και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)"

Transcript

1 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα ποικίλει. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι η κατανομή της ποσότητας καλίου που περιέχεται σε μια μπανάνα είναι κανονική με μέση τιμή μ 63mg και τυπική απόκλιση σ 4mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει ) περισσότερο από 7 mg κάλιο ) λιγότερο από 6 mg κάλιο. β) Κάποιος καταναλώνει καθημερινά τρεις μπανάνες και έστω T η συνολική ποσότητα καλίου που παίρνει από τις τρεις μπανάνες. ) Βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής T. ) Ποια είναι η πιθανότητα η συνολική ποσότητα καλίου που παίρνει ο άνθρωπος αυτός καθημερινά από τις τρεις μπανάνες να είναι τουλάχιστον mg.. [5] Ένα σύστημα αποτελείται από 3 εξαρτήματα τύπου Ι και 5 εξαρτήματα τύπου ΙΙ που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η αξιοπιστία (πιθανότητα λειτουργίας) κάθε εξαρτήματος τύπου Ι είναι.95 ενώ η αξιοπιστία κάθε εξαρτήματος τύπου ΙΙ είναι.9. α) Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργούν συγχρόνως τουλάχιστον εξαρτήματα τύπου Ι. β) Ποια είναι η πιθανότητα να λειτουργούν συγχρόνως τουλάχιστον 4 εξαρτήματα τύπου ΙΙ. γ) Το σύστημα λειτουργεί μόνο αν λειτουργούν συγχρόνως τουλάχιστον εξαρτήματα τύπου Ι και τουλάχιστον 4 εξαρτήματα τύπου ΙΙ. Να βρεθεί η αξιοπιστία R του συστήματος. 3. [5] α) Εξηγείστε αν δύο ξένα ενδεχόμενα Α, Β με A) > και P ( B) > είναι ανεξάρτητα ή εξαρτημένα. β) Ο αριθμός των επισκέψεων των γεωπόνων-ελεγκτών σε μια γεωργική μονάδα ανά μήνα είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πιθανότητας: x 3 f (x)..6.? ) Βρείτε την πιθανότητα οι ελεγκτές σε ένα μήνα να επισκεφθούν τη μονάδα 3 φορές ακριβώς. ) Βρείτε τον αναμενόμενο αριθμό επισκέψεων των ελεγκτών στην μονάδα ανά μήνα. ) Υπολογίστε το διάστημα μ ± σ και βρείτε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει τιμή στο διάστημα αυτό. 4. [5] Δύο διαφορετικά κράματα μετάλλων Ι και ΙΙ χρησιμοποιούνται για την κατασκευή εξαρτημάτων μιας οικιακής συσκευής. Εκατό δείγματα από το κάθε ένα υπόκεινται σε ένα τεστ αντοχής. Ελαττώματα παρατηρήθηκαν σε 8 από εκείνα που γίνονται με το κράμα Ι και σε 6 από εκείνα που γίνονται με το κράμα ΙΙ. α) Σε στάθμη σημαντικότητας 5% μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το κράμα τύπου Ι είναι ανθεκτικότερο από το κράμα τύπου ΙΙ; β) Δώστε ένα 98% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό των ελαττωμάτων που παρατηρούνται στα εξαρτήματα που κατασκευάζονται με το κράμα Ι. 5. [] Το ύψος των δένδρων ενός δάσους μετριέται συνήθως από το έδαφος. Η μέθοδος αυτή είναι ακριβής αλλά δαπανηρή και για αυτό προτείνεται να υπολογίζεται το ύψος των δένδρων από αεροφωτογραφίες. Για να μελετήσουμε την ακρίβεια της

2 μεθόδου με αεροφωτογραφίες, μετρήσαμε το ύψος δένδρων και με τους δύο τρόπους και βρήκαμε τα εξής μεγέθη: Ύψος δένδρου (σε πόδια) Από το έδαφος Από αεροφωτογραφία α) Υπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων σε επίπεδο σημαντικότητας 5%; β) Ελέγξτε αν το μέσο ύψος των δέντρων, όταν υπολογίζεται από αεροφωτογραφίες είναι μεγαλύτερο από 37 πόδια (α.5). γ) Δώστε ένα 98% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ύψος του πληθυσμού των δένδρων, όταν αυτό υπολογίζεται από αεροφωτογραφίες. 6. [5] Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι συγκεντρώσεις κάποιου αμινοξέος (αλανίνη) (σε mg/ml) στο αίμα τριών ειδών κάποιου οργανισμού και για τα δύο φύλα. Είδος Β Είδος Β Είδος Β3 Αρσενικά Α Θηλυκά Α Αφού διατυπώσετε κατάλληλους ελέγχους υποθέσεων, ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν υπάρχει διαφορά στη συγκέντρωση της αλανίνης που να οφείλεται στα διαφορετικά είδη, στα διαφορετικά φύλα και αν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των παραγόντων του πειράματος. (Δίνονται: SSA 39, SSB 55, SSAB 7, SST 39). Δίνονται: - Tιμές της συνάρτησης κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ(.75).7734, Φ(.78).783, Φ(.8).788, Φ(.4).895, Φ(.33).98, Φ(.75).9599, Φ(.59).944, Φ(.33) Κριτικές τιμές Z α της τυποποιημένης κανονικής κατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α Ζ.5.57 Ζ..33 Ζ..5 Ζ.5.96 Ζ.5.64 Ζ..8 - Κριτικές τιμές (α) της κ Χ κατανομής με k βαθμούς ελευθερίας και για επίπεδο σημαντικότητας α. (.5) 3.8 (.5) 6. 3 (.5) (.5) (.5). - Κριτικές τιμές t k (α) της t κατανομής με k βαθμούς ελευθερίας και για επίπεδο σημαντικότητας α. t 9 (.).8 t 9 (.5).6 t 9 (.5).83 t 8 (.).55 t 8 (.5). t 8 (.5).73 - Κριτικές τιμές F μ,ν (α) της F κατανομής με μ και ν βαθμούς ελευθερίας για επίπεδο σημαντικότητας α. F,8 (.5) 4.4 F,8 (.5) 3.55 F,3 (.5) 4.8 F,3 (.5) 3.4 F,7 (.5) 3.35 F 4,7 (.5).73 F,35 (.5) 3.8 F 4,35 (.5).65

3 Ενδεικτικές απαντήσεις (Α Σειρά) ο Θέμα Έστω Χ η ποσότητα καλίου που περιέχεται σε μια μπανάνα. Δίνεται ότι ~ N(63, 4 ) P ( > 7) P Z > P Z > Φ P ( < 6) P Z < P Z <.75 Φ(.75) Φ(.75) α) ) (.75) (.75) ) ( ) 66 β) ) Η μέση τιμή της Τ είναι mg και η διασπορά της είναι 3 4 mg T ~ N(89, 69.8 ) άρα άρα η τυπική απόκλισή της είναι T > ) P Z > P Z 69.8 ( >.59) Φ(.59) ) Είναι γνωστό ότι ο Θέμα α) Από τα 3 εξαρτήματα τύπου Ι έστω ότι Χ από αυτά λειτουργούν συγχρόνως. Προφανώς ~ (3,.95) και επομένως, B ) ) + 3) β) Από τα 5 εξαρτήματα τύπου ΙΙ έστω ότι Χ από αυτά λειτουργούν συγχρόνως. Προφανώς ~ (5,.9) και επομένως, B ) 4) + 5) γ) Έστω Α το ενδεχόμενο: λειτουργούν συγχρόνως τουλάχιστον δύο εξαρτήματα τύπου Ι και Α το ενδεχόμενο: λειτουργούν συγχρόνως τουλάχιστον τέσσερα εξαρτήματα τύπου ΙΙ. Προφανώς A ) ) και P ( A ) 4). Από τη συνθήκη λειτουργίας του συστήματος έχουμε R P ( A A ) και επειδή τα Α, Α είναι ανεξάρτητα R P A ) A ) ( 3 ο Θέμα α) Είναι προφανώς εξαρτημένα διότι P ( A/ B) B / A) που σημαίνει ότι η γνώση για την πραγματοποίηση του ενός επηρεάζει την πιθανότητα πραγματοποίησης του άλλου. Μάλιστα, όταν πραγματοποιείται το ένα είμαστε βέβαιοι ότι δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί το άλλο. β) ) Πρέπει f ( ) + f () + f () + f (3) f (3).9.. Άρα P ( 3) f (3).. ) μ E( ) ) E ( ) Άρα σ E ( ) [ E( )] σ.78 και επομένως το διάστημα μ ± σ είναι το διάστημα (.6,.86). Ζητείται η πιθανότητα P (.6 < <.86) ) + ) + ).9. 4 ο Θέμα α) Πρόκειται για έλεγχο δύο άγνωστων ποσοστών: του ποσοστού p των ελαττωματικών κραμάτων στον πληθυσμό Ι και του ποσοστού p των ελαττωματικών κραμάτων στον πληθυσμό ΙΙ. Συγκεκριμένα, για τα p και p θα κάνουμε τον έλεγχο της υπόθεσης H : p p έναντι της εναλλακτικής H : p < p.

4 Ο έλεγχος θα γίνει με βάση τα πειραματικά δεδομένα: στον πληθυσμό Ι σε δοκιμές διαπιστώθηκαν x 8 ελαττωματικά και στον πληθυσμό ΙΙ σε δοκιμές διαπιστώθηκαν y 6 ελαττωματικά. Επειδή, 3, η απορριπτική περιοχή για την H ορίζεται από τη σχέση: < Zα, όπου ( )( + ) x 8 y 6 x + y 44 p ˆ.8, p ˆ. 6, p ˆ. + και Z α Z Επειδή, ˆ p > Z ( )( + ).(.)( + ) η H σε επίπεδο σημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται. Επομένως, με βάση τα πειραματικά δεδομένα, δεν μπορούμε να ισχυρισθούμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ότι το κράμα τύπου Ι είναι ανθεκτικότερο από το κράμα τύπου ΙΙ. β) Ζητείται 98% διάστημα εμπιστοσύνης για το άγνωστο ποσοστό p των ελαττωματικών κραμάτων στον πληθυσμό Ι. Επειδή για το παρατηρούμενο στο δείγμα ποσοστό p ˆ. 8 ισχύει ότι και ˆ ( p) το ζητούμενο 98% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το ( ).8(.8).8(.8) ± z α ή.8 ± z. ή.8 ±.33 ή.8 ±.9. 5 ο Θέμα α) Πρόκειται για σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών από ζευγαρωτές παρατηρήσεις διότι μετράμε το ίδιο δένδρο με δύο διαφορετικούς τρόπους οπότε οι δύο μετρήσεις ανά δένδρο δεν μπορεί να θεωρηθούν ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έτσι, παίρνουμε το δείγμα των διαφορών z x y : 6, 4, 5,, 7, 6, 3, 4, 8, 8 (όπου x οι μετρήσεις των υψών από το έδαφος και y οι μετρήσεις των υψών από αεροφωτογραφία) και κάνουμε έλεγχο για έναν πληθυσμό με ένα δείγμα, το δείγμα των διαφορών. Αν ονομάσουμε μ τον μέσο του πληθυσμού των υψών που μετράμε από το έδαφος και μ τον μέσο του πληθυσμού των υψών που μετράμε από αεροφωτογραφίες, θα ελέγξουμε την υπόθεση H μ μ έναντι της εναλλακτικής H μ μ. : : Ή αλλιώς, αν ονομάσουμε μ μ μ τη διαφορά των δύο μέσων, θα ελέγξουμε την υπόθεση H : μ έναντι της εναλλακτικής H : μ, με βάση το δείγμα των διαφορών z x y : 6, 4, 5,, 7, 6, 3, 4, 8, Ο μέσος αυτού του δείγματος είναι z 5 και η διασπορά του s ( ) ( z z z )

5 Επειδή < 3 (μικρό δείγμα) και η διασπορά σ του πληθυσμού των διαφορών είναι άγνωστη, η απορριπτική περιοχή της H ορίζεται από τη σχέση: sz z > t, α όπου z 5, sz και a. 5. z 5 Έτσι, επειδή 5.83 > t9,.5. 6 η μηδενική υπόθεση H s z, σε επίπεδο.7 σημαντικότητας 5%, απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι παρατηρήσεις, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δείχνουν να υπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων μέτρησης. β) Πρόκειται για έλεγχο του μέσου ενός πληθυσμού. Πιο συγκεκριμένα πρόκειται για τον έλεγχο της υπόθεσης H : μ 37 έναντι της εναλλακτικής H : μ > 37 με βάση το δείγμα y : 37, 35, 34, 4, 39, 37, 35, 4, 46, 35. Ο μέσος αυτού του δείγματος είναι y 38 και η διασπορά του s ( ) ( y y y ) Επειδή < 3 (μικρό δείγμα) και η διασπορά σ του πληθυσμού είναι άγνωστη, με την υπόθεση ο πληθυσμός (των μετρήσεων των υψών από αεροφωτογραφία) είναι κανονικός, η απορριπτική περιοχή της H ορίζεται από τη σχέση: y μ s y > t, α όπου y 38, , μ 37 και a. 5. y μ Έτσι, επειδή.83 < t. 83 s y 3.8 s y 9,.5 η μηδενική υπόθεση H, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δεν απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι παρατηρήσεις, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δεν δείχνουν ότι το μέσο ύψος των δένδρων όταν η μέτρηση γίνεται από αεροφωτογραφία είναι μεγαλύτερο από 37 πόδια. γ) Ζητείται 98% διάστημα εμπιστοσύνης για τον άγνωστο μέσο μ του πληθυσμού των μετρήσεων των υψών από αεροφωτογραφίες. Επειδή, < 3 (μικρό δείγμα) και η διασπορά σ του πληθυσμού είναι άγνωστη, με την υπόθεση ο πληθυσμός (των μετρήσεων των υψών από αεροφωτογραφία) είναι κανονικός, το s ζητούμενο 98% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το ± y 3.8 y t, ή 38 ± t α 9,. ή ±.8 ή 38 ± ο Θέμα Πρόκειται για πρόβλημα ανάλυσης διασποράς για δύο παράγοντες (Α: το φύλο και Β: το είδος) με αλληλεπίδραση. Υποθέτουμε ότι οι τέσσερις μετρήσεις αλανίνης σε κάθε «κελί», δηλαδή, για κάθε συνδυασμό φύλου-είδους, είναι ένα δείγμα μεγέθους 4 από έναν πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή. Δηλαδή υποθέτουμε ότι για κάθε συνδυασμό φύλου-είδους ο αντίστοιχος πληθυσμός με αυτό το φύλο και είδος ακολουθεί κανονική κατανομή. Υποθέτουμε επίσης ότι όλοι αυτοί οι πληθυσμοί

6 έχουν ίδια διασπορά και ότι τα δείγματα από κελί σε κελί είναι ανεξάρτητα. Με την προϋπόθεση ότι ικανοποιούνται οι παραπάνω υποθέσεις, θα κάνουμε τους ελέγχους: ) H a : α α (ο παράγοντας Α - το φύλο - δεν επιδρά στη συγκέντρωση αλανίνης, δηλαδή, η αλανίνη είναι ίδια στα δύο φύλα) H a : α α (ο παράγοντας Α επιδρά στη συγκέντρωση αλανίνης, δηλαδή, η αλανίνη είναι διαφορετική στα δύο φύλα) ) H β : β β β 3 (ο παράγοντας B -το είδος- δεν επιδρά στη συγκέντρωση αλανίνης, δηλαδή, η αλανίνη είναι ίδια στα τρία είδη) H β : τα β,,,3 δεν είναι όλα ίσα (ο παράγοντας Β επιδρά στη συγκέντρωση αλανίνης, δηλαδή, η αλανίνη δεν είναι ίδια στα τρία είδη) ) H γ : γ j για κάθε, j (δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παραγόντων Α και Β) H γ : γ j για κάποια, j (υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παραγόντων Α και Β). Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς είναι ο παρακάτω: Πηγή Mεταβολής Άθροισμα Tετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα Tετράγωνα F Παράγοντας Α SSA39 k- MSA39/39 MSA (Φύλο) F A MSE Παράγοντας Β (Είδος) SSB55 λ- MSB55/7.5 Αλληλεπίδραση SSAB7 (k-)(λ-) MSAB7/3.5 Τυχαία σφάλματα SSE38 kλ(r-)8 MSE38/8. Σύνολο SST39 kλr-3 F B F AB MSB MSE MSAB MSE Το SSE υπολογίσθηκε από τη σχέση SSA+SSB+SSAB+SSESST. Από τις τιμές που υπολογίσθηκαν στον πίνακα, έχουμε: ) Η μηδενική υπόθεση H a σε επίπεδο σημαντικότητας 5% απορρίπτεται διότι F A > F,8, και επομένως με βάση τα πειραματικά δεδομένα, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, το φύλο επιδρά στη συγκέντρωση αλανίνης δηλαδή τα πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι η συγκέντρωση αλανίνης είναι διαφορετική στα δύο φύλα. ) Η μηδενική υπόθεση H β σε επίπεδο σημαντικότητας 5% απορρίπτεται διότι F B 3.3 > F,8, και επομένως με βάση τα πειραματικά δεδομένα, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, το είδος επιδρά στη συγκέντρωση αλανίνης δηλαδή τα πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι η συγκέντρωση αλανίνης δεν είναι ίδια στα τρία είδη. ) Η μηδενική υπόθεση H γ σε επίπεδο σημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται διότι F AB.66 < F,8, και επομένως με βάση τα πειραματικά δεδομένα, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ του φύλου και του είδους

7 Β ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα ποικίλει. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι η κατανομή της ποσότητας καλίου που περιέχεται σε ένα ποτήρι χυμό πορτοκαλιού είναι κανονική με μέση τιμή μ 44mg και τυπική απόκλιση σ 3mg ανά ποτήρι. α) Ποια είναι η πιθανότητα σε ένα ποτήρι χυμό πορτοκαλιού να περιέχεται ) περισσότερο από 5 mg κάλιο ) λιγότερο από 4 mg κάλιο. β) Κάποιος καταναλώνει καθημερινά τρία ποτήρια χυμό πορτοκαλιού και έστω T η συνολική ποσότητα καλίου που παίρνει από αυτά τα τρία ποτήρια χυμό. ) Βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής T. ) Ποια είναι η πιθανότητα η συνολική ποσότητα καλίου που παίρνει ο άνθρωπος αυτός καθημερινά από τα τρία ποτήρια χυμό πορτοκαλιού να είναι τουλάχιστον mg.. [5] Ένα σύστημα αποτελείται από 8 εξαρτήματα που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η αξιοπιστία (πιθανότητα λειτουργίας) κάθε εξαρτήματος είναι.9 και το σύστημα λειτουργεί μόνο αν τουλάχιστον 6 εξαρτήματά του λειτουργούν συγχρόνως. α) Βρείτε την αξιοπιστία R του συστήματος. β) Βρείτε την πιθανότητα να υποστούν συγχρόνως βλάβη τουλάχιστον δύο εξαρτήματα δεδομένου ότι έχει υποστεί βλάβη τουλάχιστον ένα. 3. [5] α) Δώστε το νόημα της πλήρους ή τέλειας ανεξαρτησίας τριών ενδεχομένων σε αντιδιαστολή με το νόημα της ανεξαρτησίας κατά ζεύγη (δεν ζητούνται τύποισυνθήκες αλλά το νόημά τους). β) Ο αριθμός των επισκέψεων των γεωπόνων-ελεγκτών σε μια γεωργική μονάδα ανά μήνα είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ με συνάρτηση πιθανότητας: x 3 f (x)..7?. ) Βρείτε την πιθανότητα οι ελεγκτές σε ένα μήνα να επισκεφθούν τη μονάδα φορές ακριβώς. ) Βρείτε τον αναμενόμενο αριθμό επισκέψεων των ελεγκτών στην μονάδα ανά μήνα. ) Υπολογίστε το διάστημα μ ± σ και βρείτε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ να πάρει τιμή στο διάστημα αυτό. 4. [5] Δύο διαφορετικά κράματα μετάλλων Ι και ΙΙ χρησιμοποιούνται για την κατασκευή εξαρτημάτων μιας οικιακής συσκευής. Εκατό δείγματα από το κάθε ένα υπόκεινται σε ένα τεστ αντοχής. Ελαττώματα παρατηρήθηκαν σε 8 από εκείνα που γίνονται με το κράμα Ι και σε 6 από εκείνα που γίνονται με το κράμα ΙΙ. α) Σε στάθμη σημαντικότητας 5% μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το κράμα τύπου Ι είναι ανθεκτικότερο από το κράμα τύπου ΙΙ; β) Δώστε ένα 98% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό των ελαττωμάτων που παρατηρούνται στα εξαρτήματα που κατασκευάζονται με το κράμα Ι. 5. [5] Στον επόμενο πίνακα δίνεται ο ρυθμός αναπνοής τριών ειδών καβουριών, σε τρεις διαφορετικές θερμοκρασίες. Αφού διατυπώσετε κατάλληλους ελέγχους υποθέσεων, ελέγξετε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν υπάρχει διαφορά στο ρυθμό

8 αναπνοής που να οφείλεται στα διαφορετικά είδη, στις διαφορετικές θερμοκρασίες και αν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των παραγόντων του πειράματος. Είδη (Α) Θερμοκρασία(Β) Α Α Α3 Χαμηλή Β Μεσαία Β Υψηλή Β (Δίνονται: SSA.9, SSB3.4, SSAB.3, SST6.7). 6. [] Για να ελέγξουμε εάν το μήκος των αριστερών μπροστινών ποδιών είναι ίσο με το μήκος των αριστερών πίσω ποδιών των ελαφιών, μετρήσαμε τα αριστερά μπροστινά και πίσω πόδια ελαφιών μιας περιοχής. Ελάφι Μήκος μπροστινών ποδιών Μήκος πίσω ποδιών (α) Ελέγξτε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% αν τα αριστερά πίσω πόδια των ελαφιών της περιοχής είναι μεγαλύτερα από τα μπροστινά. (β) Ελέγξτε αν το μήκος των αριστερών πίσω ποδιών είναι μεγαλύτερο από 4εκ (α.5). (γ) Δώστε 98% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μήκος των αριστερών πίσω ποδιών των ελαφιών. Δίνονται: - Tιμές της συνάρτησης κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: Φ(.75).7734, Φ(.78).783, Φ(.8).788, Φ(.4).895, Φ(.33).98, Φ(.75).9599, Φ(.59).944, Φ(.33) Κριτικές τιμές Z α της τυποποιημένης κανονικής κατανομής σε επίπεδο σημαντικότητας α Ζ.5.57 Ζ..33 Ζ..5 Ζ.5.96 Ζ.5.64 Ζ..8 - Κριτικές τιμές (α) της κ Χ κατανομής με k βαθμούς ελευθερίας και για επίπεδο σημαντικότητας α. (.5) 3.8 (.5) 6. 3 (.5) (.5) (.5). - Κριτικές τιμές t k (α) της t κατανομής με k βαθμούς ελευθερίας και για επίπεδο σημαντικότητας α. t 9 (.).8 t 9 (.5).6 t 9 (.5).83 t 8 (.).55 t 8 (.5). t 8 (.5).73 - Κριτικές τιμές F μ,ν (α) της F κατανομής με μ και ν βαθμούς ελευθερίας για επίπεδο σημαντικότητας α. F,8 (.5) 4.4 F,8 (.5) 3.55 F,3 (.5) 4.8 F,3 (.5) 3.4 F,7 (.5) 3.35 F 4,7 (.5).73 F,35 (.5) 3.8 F 4,35 (.5).65

9 Ενδεικτικές απαντήσεις (Β Σειρά) ο Θέμα Έστω Χ η ποσότητα καλίου που περιέχεται σε ένα ποτήρι χυμό πορτοκαλιού. Δίνεται ότι ~ N(44, 3 ) P ( < 4) P Z < P Z <.33 Φ(.33) Φ(.33) α) ) P ( > 5) P Z > Z >.33) Φ(.33) ) ( ) 98 β) ) Η μέση τιμή της Τ είναι mg και η διασπορά της είναι 3 άρα η τυπική απόκλισή της είναι mg T ~ N(3, 5.96 ) άρα 3 P ( T > ) P Z > Z > 3.9) Φ(3.9) ) Είναι γνωστό ότι ο Θέμα α) Έστω Χ ο αριθμός των εξαρτημάτων από τα 8 που λειτουργούν συγχρόνως. Προφανώς ~ B(8,.9) και επομένως, R P P + P + P ( 6) ( 6) ( 7) ( 8) β) Έστω Υ ο αριθμός των εξαρτημάτων από τα 8 που έχουν πάθει βλάβη συγχρόνως. Προφανώς Y ~ B(8,.). Ζητείται η πιθανότητα P ( Y / Y ). Έχουμε: Y, Y ) Y ) Y ) Y ) Y / Y ) Y ) Y ) Y ) ο Θέμα α) Αν τρία ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα κατά ζεύγη τότε η γνώση για την ταυτόχρονη πραγματοποίηση δυο εξ αυτών μπορεί να επηρεάσει την πιθανότητα πραγματοποίησης του τρίτου κάτι το οποίο δε συμβαίνει αν τα τρία ενδεχόμενα είναι πλήρως ανεξάρτητα. β) ) Πρέπει f ( ) + f () + f () + f (3) f ().9.. Άρα P ( ) f ().. ) μ E( ) ) E ( ) Άρα σ E ( ) [ E( )]..56 σ.75 και επομένως το διάστημα μ ± σ είναι το διάστημα (.3,.7). Ζητείται η πιθανότητα P (.3 < <.7) ) + ) + ).9. 4 ο Θέμα α) Πρόκειται για έλεγχο δύο άγνωστων ποσοστών: του ποσοστού p των ελαττωματικών κραμάτων στον πληθυσμό Ι και του ποσοστού p των ελαττωματικών κραμάτων στον πληθυσμό ΙΙ. Συγκεκριμένα, για τα p και p θα κάνουμε τον έλεγχο της υπόθεσης H : p p έναντι της εναλλακτικής Ο έλεγχος θα γίνει με βάση τα πειραματικά δεδομένα: στον πληθυσμό Ι σε δοκιμές διαπιστώθηκαν x 8 ελαττωματικά και στον πληθυσμό ΙΙ σε δοκιμές διαπιστώθηκαν y 6 ελαττωματικά. Επειδή 3, η απορριπτική, 8.

10 περιοχή για την H ορίζεται από τη σχέση: < Zα, όπου ( )( + ) x 8 y 6 x + y 44 p ˆ.8, p ˆ. 6, p ˆ. + και Z α Z Επειδή, ˆ p > Z ( )( + ).(.)( + ) η H σε επίπεδο σημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται. Επομένως, με βάση τα πειραματικά δεδομένα, δεν μπορούμε να ισχυρισθούμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ότι το κράμα τύπου Ι είναι ανθεκτικότερο από το κράμα τύπου ΙΙ. β) Ζητείται 98% διάστημα εμπιστοσύνης για το άγνωστο ποσοστό p των ελαττωματικών κραμάτων στον πληθυσμό Ι. Επειδή για το παρατηρούμενο στο δείγμα ποσοστό p ˆ. 8 ισχύει ότι και ˆ ( p) το ζητούμενο 98% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το ( ).8(.8).8(.8) ± z α ή.8 ± z. ή.8 ±.33 ή.8 ±.9. 5 ο Θέμα Πρόκειται για πρόβλημα ανάλυσης διασποράς για δύο παράγοντες (Α: το είδος και Β: η θερμοκρασία) με αλληλεπίδραση. Υποθέτουμε ότι οι τέσσερις μετρήσεις του ρυθμού αναπνοής σε κάθε «κελί», δηλαδή, για κάθε συνδυασμό είδουςθερμοκρασίας, είναι ένα δείγμα μεγέθους 4 από έναν πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή. Δηλαδή υποθέτουμε ότι για κάθε συνδυασμό είδουςθερμοκρασίας ο αντίστοιχος πληθυσμός με αυτό το είδος και αυτή τη θερμοκρασία ακολουθεί κανονική κατανομή. Υποθέτουμε επίσης ότι όλοι αυτοί οι πληθυσμοί έχουν ίδια διασπορά και ότι τα δείγματα από κελί σε κελί είναι ανεξάρτητα. Με την προϋπόθεση ότι ικανοποιούνται οι παραπάνω υποθέσεις, θα κάνουμε τους ελέγχους: ) H a : α α α 3 (ο παράγοντας Α -το είδος- δεν επιδρά στο ρυθμό αναπνοής, δηλαδή, ο ρυθμός αναπνοής είναι ίδιος και στα τρία είδη) H α : τα a,,,3 δεν είναι όλα ίσα (ο παράγοντας Α επιδρά στο ρυθμό αναπνοής, δηλαδή, ο ρυθμός αναπνοής δεν είναι ίδιος στα τρία είδη) ) H β : β β β 3 (ο παράγοντας B -η θερμοκρασία- δεν επιδρά στο ρυθμό αναπνοής, δηλαδή, ο ρυθμός αναπνοής είναι ίδιος στις τρεις θερμοκρασίες) H β : τα β,,,3 δεν είναι όλα ίσα (ο παράγοντας Β επιδρά στο ρυθμό αναπνοής, δηλαδή, ο ρυθμός αναπνοής δεν είναι ίδιος στις τρεις θερμοκρασίες) ) H γ : γ j για κάθε, j (δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παραγόντων Α και Β) H γ : γ j για κάποια, j (υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παραγόντων Α και Β).

11 Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς είναι ο παρακάτω: Πηγή Mεταβολής Άθροισμα Tετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσα Tετράγωνα Παράγοντας Α SSA.9 k- MSA.9/.95 (Είδος) Παράγοντας Β SSB3.4 λ- MSB3.4/6.7 (Θερμοκρασία) Αλληλεπίδραση SSAB.3 (k-)(λ-)4 MSAB.3/4.75 F A F B F AB F MSA 3.75 MSE MSB 67.5 MSE MSAB.875 MSE Τυχαία σφάλματα SSE. kλ(r-)7 MSE./7.4 Σύνολο SST6.7 kλr-35 Το SSE υπολογίσθηκε από τη σχέση SSA+SSB+SSAB+SSESST. Από τις τιμές που υπολογίσθηκαν στον πίνακα, έχουμε: ) Η μηδενική υπόθεση H a σε επίπεδο σημαντικότητας 5% απορρίπτεται διότι F A 3.75 > F,7, και επομένως με βάση τα πειραματικά δεδομένα, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, το είδος επιδρά στο ρυθμό αναπνοής, δηλαδή τα πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι ο ρυθμός αναπνοής δεν είναι ίδιος στα τρία είδη. ) Η μηδενική υπόθεση H β σε επίπεδο σημαντικότητας 5% απορρίπτεται διότι F B 67.5 > F,7, και επομένως με βάση τα πειραματικά δεδομένα, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, η θερμοκρασία επιδρά στο ρυθμό αναπνοής, δηλαδή τα πειραματικά δεδομένα δείχνουν ότι ο ρυθμός αναπνοής δεν είναι ίδιος στις τρεις θερμοκρασίες. ) Η μηδενική υπόθεση H γ σε επίπεδο σημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται διότι F AB.875 < F4,7, και επομένως με βάση τα πειραματικά δεδομένα, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ του είδους και της θερμοκρασίας. 6 ο Θέμα α) Πρόκειται για σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών από ζευγαρωτές παρατηρήσεις διότι οι δύο μετρήσεις ανά ελάφι δεν μπορεί να θεωρηθούν ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού αφορούν στο ίδιο ελάφι. Έτσι, παίρνουμε το δείγμα των διαφορών z x y : 4, 4, 3, 5,, 5,, 5, 6, (όπου x οι μετρήσεις των πίσω αριστερών ποδιών και y οι μετρήσεις των εμπρός αριστερών ποδιών) και κάνουμε έλεγχο για έναν πληθυσμό με ένα δείγμα, το δείγμα των διαφορών. Αν ονομάσουμε μ τον μέσο του πληθυσμού των μηκών των πίσω αριστερών ποδιών και μ τον μέσο του πληθυσμού των μηκών των εμπρός αριστερών ποδιών, θα ελέγξουμε την υπόθεση H : μ μ έναντι της εναλλακτικής H : μ μ >. Ή αλλιώς, αν ονομάσουμε μ μ μ τη διαφορά των δύο μέσων, θα ελέγξουμε την υπόθεση H : μ έναντι της εναλλακτικής H : μ >, με βάση το δείγμα των διαφορών z x y : 4, 4, 3, 5,, 5,, 5, 6, Ο μέσος αυτού του δείγματος είναι z. 8 και η διασπορά του

12 58.8 s z z z Επειδή < 3 (μικρό δείγμα) και η διασπορά σ του πληθυσμού των διαφορών z είναι άγνωστη, η απορριπτική περιοχή της H ορίζεται από τη σχέση: > t, α όπου z.8, sz και a. 5. z.8 Έτσι, επειδή.98 > t9, η μηδενική υπόθεση H s z, σε επίπεδο.97 σημαντικότητας 5%, απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι παρατηρήσεις, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δείχνουν ότι τα πίσω αριστερά πόδια των ελαφιών είναι μεγαλύτερα από τα εμπρός αριστερά. β) Πρόκειται για έλεγχο του μέσου ενός πληθυσμού. Πιο συγκεκριμένα πρόκειται για τον έλεγχο της υπόθεσης H : μ 4 έναντι της εναλλακτικής H : μ > 4 με βάση το δείγμα x : 4, 4, 44,..., 4, 48. Ο μέσος αυτού του δείγματος είναι x 44 και η διασπορά του s ( ) ( x x x ) Επειδή < 3 (μικρό δείγμα) και η διασπορά σ του πληθυσμού είναι άγνωστη, με την υπόθεση ο πληθυσμός (των μηκών των πίσω αριστερών ποδιών) είναι κανονικός, η απορριπτική περιοχή της H ορίζεται από τη σχέση: x μ s x > t, α όπου x 44, , μ 4 και a. 5. x μ 44 4 Έτσι, επειδή.3 > t. 83 s x 3.3 s x 9,.5 η μηδενική υπόθεση H, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι οι παρατηρήσεις, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δείχνουν ότι το μέσο ύψος των αριστερών πίσω ποδιών των ελαφιών είναι μεγαλύτερο από 4 cm. γ) Ζητείται 98% διάστημα εμπιστοσύνης για τον άγνωστο μέσο μ του πληθυσμού των μηκών των αριστερών πίσω ποδιών των ελαφιών. Επειδή, < 3 (μικρό δείγμα) και η διασπορά σ του πληθυσμού είναι άγνωστη, με την υπόθεση ο πληθυσμός (των μηκών των αριστερών πίσω ποδιών) είναι κανονικός, το ζητούμενο 98% διάστημα εμπιστοσύνης είναι το x ± sx 3. t, ή 44 ± t α 9,. ή ±.8 ή 44 ±.79. s z

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου 2009 στη Στατιστική 30/09/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ [20] Μια καπνοβιοµηχανία ισχυρίζεται ότι στα νέα τσιγάρα που διαφηµίζει, η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί). Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 009 στη Στατιστική 0/0/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. [0] Οι ακαθάριστες εβδοµαδιαίες εισπράξεις µιας κτηνοτροφικής µονάδας, από την πώληση

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15 Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 009 στη Στατιστική 9/06/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Ο χρόνος ζωής ενός εξαρτήµατος εργαστηριακού οργάνου σε εκατοντάδες ώρες περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 3 ο ) 7/4/2017 2 α x b Παραγοντικό Πείραμα (1) Όταν θέλουμε να μελετήσουμε την επίδραση (στη μεταβλητή απόφασης) δύο παραγόντων, έστω Α και Β, με α στάθμες ο Α και b στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες 8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Παραγοντική Ανάλυση διασποράς-factorial Analsis of Variance Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α

Διαβάστε περισσότερα

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες

8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες 8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α λ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Β κ λ : πειραματικές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις 26/5/2017

Επαναληπτικές Ασκήσεις 26/5/2017 Επαναληπτικές Ασκήσεις 2 Άσκηση 1 η (1) Ένας ερευνητής μέτρησε τη συγκέντρωση γλυκόζης (σε mg/dl) στο αριστερό και το δεξί μάτι 35 τυχαία επιλεγμένων υγιών σκύλων συγκεκριμένης ράτσας Έστω ότι με Χ και

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 3. Ανάλυση Διακύμανσης Σύντομη ανασκόπηση βασικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 2 Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων (1) Αποτελεί ευθεία γενίκευση του σχεδίου που γνωρίσαμε όταν μιλήσαμε για τη σύγκριση κατά ζεύγη δύο μέσων μ 1 και μ 2

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Χ 2 (Μέρος 1 ο ) 28/4/2017

Έλεγχοι Χ 2 (Μέρος 1 ο ) 28/4/2017 Έλεγχοι Χ 2 (Μέρος 1 ο ) 28/4/2017 2 Έλεγχοι Χ 2 Οι έλεγχοι που μπορούν να πραγματοποιηθούν είναι οι εξής: 1. Έλεγχος Χ 2 καλής προσαρμογής 2. Έλεγχος Χ 2 ανεξαρτησίας 3. Έλεγχος Χ 2 ομογένειας Αυτό που

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού. t-έλεγχος για την σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών

Στατιστικοί Ελεγχοι. t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού. t-έλεγχος για την σύγκριση των μέσων δύο πληθυσμών Στατιστικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον μέσο μ ενός πληθυσμού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύμανση Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ -Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι τα ποσοστά των ομάδων αίματος Α, Β, ΑΒ και Ο σε

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις

Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ (Analyss of Varance for two factor Experments) (Two-Way Analyss of Varance) Ο πειραματικός σχεδιασμός για τον οποίο θα μιλήσουμε είναι μια επέκταση της μεθοδολογίας

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο Τιμές 12

Επίπεδο Τιμές 12 Άσκηση 1 (τοποθετήθηκε 26/10/2012) Οι παρακάτω μετρήσεις είναι χωρισμένες σε διαφορετικά επίπεδα ενός παράγοντα, προέρχονται από κανονική κατανομή με ίδια διακύμανση και είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA

7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA 7. Ανάλυση Διασποράς-ANOVA Παράδειγμα Μετρήσεις της συγκέντρωσης του strodum (mg/ml) σε πέντε υδάτινες περιοχές (Α,Β,C,D,Ε). Α Β C D Ε 8, 39,6 46,3 4,0 56,3 33, 40,8 4, 44, 54, 36,4 37,9 43,5 46,4 59,4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 6 η :Έλεγχοι Υποθέσεων V Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Έλεγχος υποθέσεων για τους μέσους εξαρτημένων δειγμάτων Επίδραση παρέμβασης:

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t. t 2 ή t S x( 2) x( 0) S x( 3) x( 2) 10 m

(t) x (t) t t. t 2 ή t S x( 2) x( 0) S x( 3) x( 2) 10 m ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1

Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1 Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική Τµήµα Τεχνολογίας και Συστηµάτων Παραγωγής Θέµα ον α) Έστω Ακαι Β δύο ενδεχόµενα ενός πειράµατος και έστω ότι ισχύει : (Α).5, (Α Β).6, (Β) q i)γιαποιατιµήτου qταακαιβείναιξένα;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή

Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη µία σωστή Σειρά Α σ1 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Ζήτηµα 1 ο (3 µονάδες) Εξετάσεις Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Στατιστική Θεσσαλονίκη: 03/03/2012 Προσοχή: Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν θα λαµβάνεται υπόψη

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 53Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Εισαγωγικό παράδειγµα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. Εισαγωγικό παράδειγµα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Εισαγωγικό παράδειγµα Τρεις µέθοδοι διδασκαλίας εφαρµόστηκαν σε άτοµα (ανά 8 η κάθε µία) και µετά εξετάστηκαν σε κοινά θέµατα. Η βαθµολογία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Στατιστική. 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 8 ο Μάθημα: Εφαρμογές Στατιστικής Ι: Διαστήματα Εμπιστοσύνης Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

14. Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας)

14. Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Έλεγχος Χ 4. Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας Από διασταύρωση ορισμένου είδους πειραματόζωων προκύπτουν τρεις τύποι απογόνων, Α, Β και Γ. Στο πλαίσιο ενός πειράματος, από μια τέτοια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ

ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Dafia maga Κόστος πειράματος Περιορισμοί σε χρόνο χώρο, κ.λπ. Προστασία σπάνιων ειδών. Μπορεί να κρίνουμε ότι τελικά δεν αξίζει τον κόπο..!!!! Ακρίβεια (αξιοπιστία) Αμεροληψία

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις)

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Ν6_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_0_Έλεγχος_Υποθέσεων0 Ανεξάρτητα δείγματα Εξαρτημένα δείγματα Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις)

Διαβάστε περισσότερα