ΣΕΦΝΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ. ημειώσεις Διαλέξεων ΦΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΨΝ ΚΑΙ ΣΟΠΟΓΡΑΥΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΣΟΜΕΑ ΕΡΓΨΝ ΤΠΟΔΟΜΗ ΚΑΙ ΑΓΡΟΣΙΚΗ ΑΝΑΠΣΤΞΗ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΣΟΒΙΟ ΠΟΛΤΣΕΦΝΕΙΟ ΦΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΨΝ ΚΑΙ ΣΟΠΟΓΡΑΥΨΝ ΜΗΦΑΝΙΚΨΝ ΣΟΜΕΑ ΕΡΓΨΝ ΤΠΟΔΟΜΗ ΚΑΙ ΑΓΡΟΣΙΚΗ ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΚΑΙ ΣΟΙΦΕΙΨΝ ΣΕΦΝΙΚΨΝ ΕΡΓΨΝ ΣΕΦΝΙΚΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ημειώσεις Διαλέξεων Μαρίνος Καττής Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, 2012

2

3 Περιεχόμενα I 1 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΟΙ ΑΡΦΕ ΣΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ ΔΤΝΑΜΗ Ο ΝΟΜΟ ΣΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΤ ΣΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ ΔΤΝΑΜΕΙ ΠΟΤ ΕΠΕΝΕΡΓΟΤΝ Ε ΤΛΙΚΟ ΨΜΑΣΙΔΙΟ Η ΑΡΦΗ ΣΗ ΜΕΣΑΚΙΝΗΗ ΣΗ ΔΤΝΑΜΗ Η ΑΡΦΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΚΑΙ Η ΑΡΦΗ ΣΗ ΔΡΑΗ-ΑΝΣΙΔΡΑΗ ΔΤΝΑΜΕΙ Ε ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΑ ΨΜΑΣΑ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ψ ΠΡΟ ΗΜΕΙΟ ΣΟ ΘΕΨΡΗΜΑ ΣΟΤ VARIGNON ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ψ ΠΡΟ ΑΞΟΝΑ ΖΕΤΓΟ ΔΤΝΑΜΕΨΝ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΖΕΤΓΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΜΕΣΑΚΙΝΗΗ ΔΤΝΑΜΗ-ΙΟΔΤΝΑΜΑ ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Η ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΣΟΤ ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΟΤ ΨΜΑΣΟ ΕΙΑΓΨΓΗ ΑΝΑΓΨΓΗ ΕΝΟ ΤΣΗΜΑΣΟ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Ε ΕΝΑ ΑΠΛΟΤΣΕΡΟ ΤΣΗΜΑ ΑΝΑΓΨΓΗ Ε ΕΝΑ ΠΑΡΑΠΕΡΑ ΑΠΛΟΤΣΕΡΟ ΤΣΗΜΑ ΟΙ ΤΝΘΗΚΕ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΕΝΟ ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΟΤ ΨΜΑΣΟ ΣΕΡΕΗ ΣΗΡΙΞΗ ΕΝΟ ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΟΤ ΔΙΚΟΤ ΣΟ ΕΔΑΥΟ ΟΙ ΑΝΣΙΔΡΑΕΙ, ΣΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΤΘΕΡΟΤ ΨΜΑΣΟ ΚΑΙ Η ΙΟΣΑΣΙΚΟΣΗΣΑ ΟΙ ΑΡΦΕ ΤΝΘΕΗ ΕΠΙΠΕΔΨΝ ΣΕΡΕΨΝ ΦΗΜΑΣΙΜΨΝ ΙΟΣΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ ΕΙΑΓΨΓΗ... 35

4 II 5.2 ΣΗΡΙΞΕΙ ΔΟΚΟΙ-ΤΠΟΣΤΛΨΜΑΣΑ-ΡΑΒΔΟΙ ΠΛΑΙΙΑ ΚΑΙ ΣΟΞΑ Η ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ ΕΙΑΓΨΓΗ H ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΠΟΝΗΗ ΣΗ ΡΑΒΔΟΤ Η ΟΡΘΗ ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΣΑΗ Η ΔΙΑΜΗΚΗ (Ή ΟΡΘΗ) ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ ΣΑΕΨΝ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΕΨΝ ΟΙ ΦΕΕΙ ΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΛΑΣΙΚΟΣΗΣΑ ΚΑΜΧΗ-ΔΙΑΣΜΗΗ ΕΙΑΓΨΓΗ ΑΠΛΗ ΚΑΜΧΗ ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΚΕΝΣΡΗ ΥΟΡΣΙΗ ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΥΟΡΣΙΗ ΚΑΙ ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ ΠΤΡΗΝΑ ΔΙΑΣΟΜΗ ΔΙΑΣΜΗΗ... 78

5 1 1 ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ Θα εισάγουμε πρώτα ορισμένες βασικές έννοιες τις οποίες θα τις χρησιμοποιήσουμε στην συνέχεια για την θεμελίωση της μηχανικής. Οι έννοιες αυτές είναι ο χώρος, ο χρόνος, η ύλη και η δύναμη. την μηχανική ενδιαφερόμαστε για την φυσική πραγματικότητα, την οποία την αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας. την φυσική πραγματικότητα, αντιλαμβανόμαστε τα φυσικά αντικείμενα, έχουμε την αίσθηση του χώρου μέσα στον οποίο βρίσκονται, αντιλαμβανόμαστε ή διαπιστώνουμε την κίνησή τους, τις μεταβολές τους και τις αλληλεπιδράσεις τους. Αντιλαμβανόμαστε τον χρόνο ως διαδοχή συμβάντων. Σα φυσικά αντικείμενα του φυσικού κόσμου συνίστανται από την ύλη, η οποία εμφανίζεται με μια από τις παρακάτω τρεις καταστάσεις: την στερεή, την υγρή και την αέρια. Αντικείμενο των φυσικών επιστημών, είναι η μελέτη του φυσικού κόσμου. Η μηχανική των στερεών είναι ο κλάδος των φυσικών επιστημών που μελετάει την συμπεριφορά των φυσικών σωμάτων σε στερεή κατάσταση (στερεά σώματα), όταν αυτά υπόκεινται σε δυνάμεις. Όπως σε κάθε επιστημονική περιοχή, η μελέτη των στερεών σωμάτων απαιτεί την δημιουργία του μοντέλου τους. Σα στερεά σώματα βρίσκονται μέσα στον χώρο, τον οποίο περιγράφουμε με τον Ευκλείδειο μαθηματικό χώρο. Σα γεωμετρικά σημεία του Ευκλειδίου χώρου αντιστοιχούν αμφιμονοσήμαντα με τα σημεία του φυσικού χώρου, τα οποία θα αναφέρονται ως προς ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Σο φυσικό σώμα καταλαμβάνει ένα τμήμα του φυσικού χώρου, το οποίο περιγράφεται με τον γεωμετρικό όγκο στον Ευκλείδιο χώρο που θεωρήσαμε. Σα φυσικά σώματα συντίθενται από ύλη που βρίσκεται σε μία από τις τρεις καταστάσεις που αναφέραμε. Ψς γνωστόν, η ύλη δεν διανέμεται συνεχώς στην φυσική περιοχή που καταλαμβάνει το στερεό σώμα. Προκειμένου να περιγράψουμε το στερεό σώμα, εισάγουμε την έννοια του υλικού σωματιδίου: ως υλικό σωματίδιο ορίζουμε ένα μικρό τμήμα του στερεού σώματος, του οποίου οι διαστάσεις τείνουν να μηδενισθούν. Λόγω των μηδενιζόμενων διαστάσεων του υλικού σωματιδίου, θεωρούμε ότι η θέση του στο χώρο είναι σημειακή. Η ύλη του υλικού σωματιδίου υποθέτουμε ότι διανέμεται συνεχώς μέσα στον φυσικό όγκο που καταλαμβάνει. Σο στερεό σώμα υποθέτουμε ότι συντίθεται από υλικά σωματίδια, που είναι συνεχώς διανεμημένα στο χώρο που καταλαμβάνει το σώμα. Με την θεώρηση αυτή το στερεό σώμα εξομοιώνεται με ένα συνεχές μέσο, και έτσι ανοίγεται ο δρόμος για την εισαγωγή του απειροστικού λογισμού στην μελέτη του. Ανάλογα με μέγεθος

6 2 των διαστάσεων και των δυνάμεων που εμπλέκονται στο πρόβλημα, ένα στερεό σώμα μπορεί να προσομοιωθεί και με ένα υλικό σωματίδιο. Έτσι, οι πλανήτες του ηλιακού μας συστήματος μπορούν να προσομοιωθούν με υλικά σωματίδια, όταν μελετάμε την αλληλεπίδρασή τους. Επίσης, στην ανάλυση των δικτυωμάτων, οι κόμβοι τους προσομοιώνονται με υλικά σωματίδια. Σα σώματα βρίσκονται στο χώρο, κινούνται και αλληλεπιδρούν μεταξύ του μέσω των δυνάμεων. Σην έννοια της δύναμης θα την συζητήσουμε ιδιαίτερα παρακάτω. Μια έννοια συνδεμένη με την αίσθηση της διαδοχής των συμβάντων είναι ο χρόνος. Όταν λέμε ότι ένα σώμα κινείται στο χώρο, εννοούμε ότι μεταβάλλεται διαδοχικά η θέση του σε αυτόν, η οποία καθορίζεται ως προς ένα σύστημα αναφοράς που θεωρείται ακίνητο. Η διαδοχή των θέσεων του σώματος στον χώρο μετριέται με τον χρόνο. Η μελέτη της κίνησης ενός υλικού σωματιδίου ή ενός στερεού σώματος μπορεί να γίνει ανεξάρτητα από την αιτία που προκαλεί ή μεταβάλλει την κίνησή τους. Η μελέτη αυτή είναι αντικείμενο της Κινηματικής. Αν στο παραπάνω αντικείμενο συμπεριλάβουμε και την αιτία που προκαλεί την κίνηση και τις μεταβολές της, τότε κλάδος αυτός της μηχανικής λέγεται Δυναμική. Η τατική είναι ο κλάδος εκείνος της Μηχανικής που μελετάει την ακινησία των στερεών σωμάτων, όταν αυτά καταπονούνται από εξωτερικές δυνάμεις. Διακρίνεται στην τατική του Απολύτως τερεού ώματος, και στην τατική του Παραμορφωσίμου ώματος.

7 2 3 ΟΙ ΑΡΦΕ ΣΗ ΜΗΦΑΝΙΚΗ 2.1 ΕΙΑΓΨΓΗ το κεφάλαιο αυτό, θα παρουσιάσουμε τέσσερις βασικές αρχές, πάνω στις οποίες στηρίζεται η ανάπτυξη της μηχανικής του στερεού σώματος. Οι τέσσερις αυτές αρχές εμπλέκουν την έννοια της δύναμης, που αποτελεί την εκδήλωση της αλληλεπίδρασης των φυσικών σωμάτων. Η δύναμη περιγράφει μια νοητή οντότητα, που η παρουσία της γίνεται αισθητή μόνο από τα αποτελέσματα που επιφέρει στα σώματα που εξασκείται. Οι τέσσερις βασικές αρχές, που θα συζητήσουμε ξεχωριστά παρακάτω, είναι: o o o o η αρχή του παραλληλογράμμου των δυνάμεων, η αρχή της μετακίνησης των δυνάμεων, η αρχή της κίνησης, και η αρχή της δράσης-αντίδρασης. Πριν συζητήσουμε την κάθε αρχή ξεχωριστά, θα εισάγουμε πρώτα την έννοια της δύναμης. 2.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ ΔΤΝΑΜΗ Η δύναμη κάνει την παρουσία της σε κάθε βήμα της καθημερινής μας δραστηριότητας. Για παράδειγμα, το άνοιγμα-κλείσιμο μιας πόρτας, η ανύψωση βαρών, κλπ, είναι δραστηριότητες, στις οποίες πρέπει να εξασκήσουμε δύναμη. Από αυτή την καθημερινή εμπειρία είναι φανερό ότι η δύναμη, ως οντότητα, πέρα από μέγεθος, εμπλέκει φορέα και φορά. Έτσι, θα παριστάνουμε γραφικά τη δύναμη, με ένα ευθύγραμμο βέλος, του οποίου τα χαρακτηριστικά περιγράφουν αυτά της δύναμης και θα την δηλώνουμε με ένα κεφαλαίο λατινικό γράμμα, όπως, για παράδειγμα, την

8 4 δύναμη F του χήματος 2.1. Η δύναμη, που εξασκείται σε ένα στερεό σώμα, θεωρούμε ότι εφαρμόζεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο του, το οποίο αποτελεί το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Μια δύναμη, που εξασκείται σε ένα σώμα, προκαλεί, είτε μεταβολή στο σχήμα και στον όγκο του (παραμόρφωση), είτε μεταβολή της κινητικής του κατάστασης. Για αυτό, μερικές φορές, ορίζουμε την δύναμη ως την αιτία που προκαλεί παραμόρφωση σε ένα σώμα, ή μεταβάλλει την κινητική του κατάσταση. χήμα 2.1 Μέχρι τώρα, σκόπιμα, αποφύγαμε να χαρακτηρίσουμε την δύναμη ως διάνυσμα. Για να χαρακτηρίσουμε μια οντότητα ως διάνυσμα, θα πρέπει, πέραν της περιγραφής της με βέλος, να ικανοποιεί και την πράξη της πρόσθεσης των διανυσμάτων. Η αρχή του παραλληλογράμμου των δυνάμεων, που διατυπώνεται αμέσως παρακάτω, εισάγει την πράξη της πρόσθεσης των διανυσμάτων στις δυνάμεις. 2.3 Ο ΝΟΜΟ ΣΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΤ ΣΨΝ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Επειδή η δύναμη έχει μέγεθος, φορέα και φορά, εισάγαμε, προηγουμένως, το βέλος για να την περιγράψουμε. Αυτό όμως, όπως είπαμε, δεν είναι αρκετό για να εντάξουμε την δύναμη στα διανύσματα. Για παράδειγμα, η τάση, παρόλο που είναι το πηλίκο δύναμης προς επιφάνεια και περιγράφεται και αυτή με βέλος, δεν είναι διάνυσμα. Για να εντάξουμε την δύναμη στα διανύσματα, θα πρέπει η πρόσθεση δύο δυνάμεων, που εξασκούνται στο ίδιο υλικό σωματίδιο, να ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου, που είναι ο κανόνας πρόσθεσης των διανυσμάτων. χήμα 2.2 Έστω, λοιπόν, δύο δυνάμεις F και F, που εφαρμόζονται σε ένα υλικό 1 2 σωματίδιο P του στερεού σώματος, που δείχνεται στο χήμα 2.2. Σο αποτέλεσμα, που επιφέρουν οι δύο αυτές δυνάμεις στο σώμα, είναι αυτό που θα επέφερε σε αυτό μια δύναμη R, που συμπίπτει με την διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν οι δυνάμεις F και F. Σο 1 2 γεγονός αυτό μπορεί να επιβεβαιωθεί εμπειρικά με πολλούς και απλούς τρόπους. Έτσι, θα λέμε ότι η δύναμη R αποτελεί την πρόσθεση των δύο

9 δυνάμεων F και F, και θα την ονομάζουμαι συνισταμένη. Έτσι, 1 2 μπορούμε να γράψουμε 5 R F F. (2.1) 1 2 Η σχέση αυτή δείχνει ότι η πρόσθεση των δυνάμεων συμπίπτει με την πρόσθεση των διανυσμάτων. Αυτό μας επιτρέπει να εντάξουμε την δύναμη στα διανύσματα. Αμέσως παρακάτω, θα συζητήσουμε, πως μπορούμε να προσδιορίσουμε την συνισταμένη πολλών δυνάμεων, που επενεργούν σε ένα υλικό σωματίδιο, και πως μεταβάλλονται οι συνιστώσες μιας δύναμης, αν αλλάξουμε το σύστημα αναφοράς. 2.4 ΔΤΝΑΜΕΙ ΠΟΤ ΕΠΕΝΕΡΓΟΤΝ Ε ΤΛΙΚΟ ΨΜΑΣΙΔΙΟ υνισταμένη συντρεχουσών δυνάμεων Θεωρούμε ένα υλικό σωματίδιο P, που βρίσκεται σε ένα σημείο P του ευκλείδειου χώρου, που περιγράφεται με το σύστημα συντεταγμένων ( x,, ) (χήμα 2.3). το υλικό σωματίδιο επενεργούν οι δυνάμεις F, F, F και F, των οποίων ζητάμε να βρούμε την συνισταμένη τους Με άλλα λόγια, ζητάμε να βρούμε εκείνη την δύναμη R, η οποία, αν εφαρμοσθεί στο υλικό σωματίδιο, επιφέρει σε αυτό το ίδιο αποτέλεσμα με εκείνο των τεσσάρων δυνάμεων. Για τον προσδιορισμό της συνισταμένης των δυνάμεων αυτών, εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου ξεχωριστά για τα ζευγάρια των δυνάμεων F, F και F, F. Η συνισταμένη του πρώτου ζευγαριού, έστω ότι είναι η δύναμη R, και του δεύτερου ζευγαριού, η 1,2 δύναμη R (χήμα 2.4). Για τις δύο αυτές συνισταμένες, γράφουμε: 3,4 χήμα 2.3 R F F, (2.2) 1,2 1 2 R F F. (2.3) 3,4 3 4 την συνέχεια, θα εφαρμόσουμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου για τις δυνάμεις R και R (χήμα 2.5). Η πρόσθεση των δύο αυτών 1,2 3,4 δυνάμεων παρέχει την συνισταμένη R των τεσσάρων δυνάμεων: χήμα 2.4

10 6 R R R F F F F. (2.4) 1,2 3, Για τον προσδιορισμό της συνισταμένης R, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε μια διαφορετική διαδικασία. Θα μπορούσαμε να βρούμε πρώτα την συνισταμένη R των F και F, στην συνέχεια, την 1,2 1 2 συνισταμένη R των R και F, και τέλος, την συνισταμένη των R 1,2,3 1,2 3 1,2,3 και F, που θα είναι η συνισταμένη R όλων των δυνάμεων. 4 Σο δυναμοπολύγωνο συντρεχουσών συνεπίπεδων δυνάμεων χήμα 2.5 Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου προκύπτει μια απλή γραφική διαδικασία για τον προσδιορισμό της συνισταμένης πολλών δυνάμεων, που επενεργούν σε ένα υλικό σωματίδιο. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως μέθοδος του δυναμοπολυγώνου. Η μέθοδος του δυναμοπολυγώνου, αν και γενικά μπορεί να διατυπωθεί για δυνάμεις στο χώρο, πρακτική αξία έχει μόνο για συνεπίπεδες δυνάμεις. Σην διαδικασία αυτή θα την περιγράψουμε για τις τρεις συνεπίπεδες δυνάμεις F, F, F, που επενεργούν στο υλικό σωματίδιο P του χήματος 2.6. το ίδιο φύλλο χαρτιού, που είναι σχεδιασμένες οι δυνάμεις, κατασκευάζουμε το δυναμοπολύγωνο των δυνάμεων ως εξής: από ένα σημείο Α φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που είναι παράλληλο και ίσο με την δύναμη F. 1 Σο τμήμα ΑΒ αντιπροσωπεύει την δύναμη F. Από το σημείο Β φέρουμε 1 το ΒΓ, που είναι παράλληλο και ίσο με την δύναμη F, και από το σημείο 2 Γ, το τμήμα ΓΔ, παράλληλο και ίσο με την δύναμη F. Σα τμήματα ΒΓ και 3 ΓΔ αντιπροσωπεύουν τις δυνάμεις F και F, αντίστοιχα. Σο ευθύγραμμο 2 3 τμήμα ΑΔ αντιπροσωπεύει την συνισταμένη δύναμη R των τριών δυνάμεων. χήμα 2.6 Οι καρτεσιανές συνιστώσες της δύναμης Η δύναμη, ως οντότητα, θα πρέπει να είναι ανεξάρτητη από το σύστημα συντεταγμένων, που χρησιμοποιούμε, για να την περιγράψουμε. Δηλαδή, αν η δύναμη, που εφαρμόζεται σε ένα υλικό σωματίδιο, παριστάνεται με ένα βέλος, το βέλος αυτό περιγράφει τα χαρακτηριστικά της φυσικής αυτής οντότητας και θα πρέπει να είναι τα ίδια για οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων. Έστω, μια δύναμη F που εφαρμόζεται σε ένα υλικό

11 σωματίδιο P, του οποίου η θέση περιγράφεται σε σχέση με ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ( x,, ). ύμφωνα με τα παραπάνω, η δύναμη F μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα των τριών δυνάμεων F, F, F, που αποτελούν τις ακμές ενός στοιχείου x ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, που είναι παράλληλες στους άξονες x,,, αντίστοιχα, με την σχέση 7 F F F F. (2.5) x Οι δυνάμεις F, F και F, επειδή είναι παράλληλες στα μοναδιαία x διανύσματα i, j και k των αξόνων x, και, αντίστοιχα, γράφονται χήμα 2.7 F F x x i, F F i, F F i. (2.6) Σα F, F, F αποτελούν τις καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες της x δύναμης F ως προς το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ( x,, ). Αναλυτικός προσδιορισμός της συνισταμένης συντρεχουσών δυνάμεων την συνέχεια, θα δείξουμε πως, μπορούμε να προσδιορίσουμε την συνισταμένη πολλών δυνάμεων, που εφαρμόζονται σε ένα υλικό σωματίδιο, χρησιμοποιώντας τις καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες τους. Έστω οι δυνάμεις F, F, F και F, που επενεργούν σε ένα υλικό σωματίδιο, που βρίσκεται στο σημείο P του χώρου. Οι δυνάμεις αυτές, ως προς το σύστημα συντεταγμένων ( x,, ), μπορούν να γραφτούν στη μορφή F F i F j F k, 1 1x 1 1 F F i F j F k, 2 2x 2 2 F F i F j F k, 3 3x 3 3 F F i F j F k, 4 4x 4 4 (2.7) όπου F, F, F ( i 1,2,3,4) είναι οι καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες ix i i των δυνάμεων ως προς τους άξονες x, και, αντιστοίχα. Σα διανύσματα i, j και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x, και. Η συνισταμένη δύναμη των δυνάμεων αυτών είναι: χήμα 2.8 R F F F F (2.8) Αντικαθιστώντας στην σχέση αυτή τις (2.7), προκύπτει

12 8 R R i R j R k, (2.9) x όπου R, R, R είναι οι αλγεβρικές καρτεσιανές συνιστώσες της R, που x παρέχονται από τις σχέσεις: R F F F F, x 1x 2x 3x 4x R F F F F, (2.10) R F F F F χήμα 2.9 Σα παραπάνω μπορούν να γενικευθούν για n αριθμό δυνάμεων. την περίπτωση αυτή οι καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες της R γράφονται R F F F, x 1x 2x nx R F F F, (2.11) 1 2 n R F F F. 1 2 n Οι αλγεβρικές συνιστώσες της δύναμης σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων Θεωρούμε μία δύναμη F που επενεργεί σε ένα υλικό σωματίδιο. Η δύναμη αυτή, ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x,, ), μπορεί να γραφεί στη μορφή F F i F j F k, (2.12) x όπου F, F και F είναι οι καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες της F. x Θεωρούμε τώρα ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων ( x,, ), του οποίου τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων είναι τα i *, προς το σύστημα αυτό, η δύναμη F γράφεται * j και * k. Ψς χήμα 2.10 όπου F, x F F i F j F k, (2.13) x F και F είναι οι αλγεβρικές καρτεσιανές συνιστώσες της δύναμης F ως προς το σύστημα ( x,, ). Επειδή το διάνυσμα της δύναμης είναι το ίδιο και για τα δύο συστήματα συντεταγμένων, από τις (2.12) και (2.13) προκύπτει F i F j F k F i F j F k (2.14). x x

13 Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης εσωτερικά με i, προκύπτει 9 F l F l F l F, x xx x x x F l F l F l F, x x F l F l F l F, x x όπου l l * cosθ ( i x,, ; j x,, ). Σο ij j i ij θ ij είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας i του πρώτου συστήματος με τον άξονα j του δεύτερου συστήματος. Η παραπάνω σχέση, σε μητρωική μορφή, γράφεται F l l l F * * * * x xx x x x F * l * l * l * F x F l l l F * * 8 * x (2.15) Η σχέση αυτή συνδέει τις καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες των δύο συστημάτων. 2.5 Η ΑΡΦΗ ΣΗ ΜΕΣΑΚΙΝΗΗ ΣΗ ΔΤΝΑΜΗ Η δεύτερη αρχή αναφέρεται σε απολύτως στερεά σώματα, σε σώματα δηλαδή, που δεν παραμορφώνονται, όταν σε αυτά επενεργούν εξωτερικές δυνάμεις. Ψς απολύτως στερεά σώματα θεωρούμε εκείνα, των οποίων οι σχετικές αποστάσεις των υλικών σωματιδίων τους δεν μεταβάλλονται, όταν καταπονούνται από εξωτερικές δυνάμεις. Η αρχή αυτή δεν ισχύει σε παραμορφώσιμα σώματα. Η δύναμη, που επενεργεί σε ένα υλικό σωματίδιο του σώματος, ορίζει μια νοητή ευθεία γραμμή πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμά της. Η ευθεία αυτή γραμμή αποτελεί το φορέα της δύναμης. Η αρχή της μετακίνησης της δύναμης διατυπώνεται ως εξής: ε μια δύναμη, που επενεργεί σε ένα απολύτως στερεό σώμα, μπορούμε να αλλάξουμε το σημείο εφαρμογής της μετακινώντας την κατά μήκος του φορέα της, χωρίς να μεταβληθούν τα αποτελέσματα που επιφέρει η δύναμη στο σώμα (χήμα 2.11). χήμα 2.11

14 10 χήμα 2.12 Η αλήθεια της παραπάνω αρχής διαπιστώνεται μόνο εμπειρικά. Ένα άμεσο επακόλουθο αυτής της αρχής είναι ότι, εάν δύο δυνάμεις επενεργούν σε δύο διαφορετικά υλικά σωματίδια του σώματος, είναι ίσες σε μέγεθος και έχουν κοινό φορέα και αντίθετη διεύθυνση, τότε οι δράσεις των δύο αυτών δυνάμεων αλληλο-ακυρώνονται. Με άλλα λόγια, δεν προκαλούν κανένα αποτέλεσμα στο σώμα. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: αν οι δύο δυνάμεις επενεργούσαν στο ίδιο υλικό σωματίδιο του σώματος, ήταν δηλαδή συντρέχουσες, δεν θα επέφεραν κανένα αποτέλεσμα στο σώμα, γιατί, σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλόγραμμου, έχουν μηδενική συνιστώσα. Οι δύο δυνάμεις, που επενεργούν σε διαφορετικά υλικά σωματίδια P και Q του σώματος, μπορούν να γίνουν συντρέχουσες, αφού, σύμφωνα με την αρχή που συζητάμε, μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκος του κοινού τους φορέα και να γίνουν συντρέχουσες (χήμα 2.12). Με αυτόν τον τρόπο, οι δύο δυνάμεις αποκτούν ένα κοινό σημείο εφαρμογής S, και επειδή, όπως είπαμε, έχουν μηδενική συνιστώσα, δεν επιφέρουν κανένα αποτέλεσμα στο σώμα, δηλαδή αλληλο-ακυρώνονται. Η δύναμη, λοιπόν, που επενεργεί σε ένα απολύτως στερεό σώμα, είναι ένα ολισθαίνον διάνυσμα. 2.6 Η ΑΡΦΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΚΑΙ Η ΑΡΦΗ ΣΗ ΔΡΑΗ-ΑΝΣΙΔΡΑΗ χήμα 2.13 Η αρχή της κίνησης Η αρχή της κίνησης και η αρχή της δράσης-αντίδρασης έχουν εισαχθεί από τον Νεύτωνα και αποτελούν δύο από τις βασικές αρχές της Νευτώνειας μηχανικής. Η αρχή της κίνησης προϋποθέτει την έννοια του υλικού σωματιδίου, και την υπόθεση ότι το υλικό σωματίδιο είναι σε ηρεμία, ή κινείται με σταθερή ταχύτητα, αν σε αυτό δεν επενεργούν δυνάμεις ή, αν οι επενεργούσες δυνάμεις έχουν συνισταμένη μηδέν. Η αρχή της κίνησης διατυπώνεται ως εξής: Αν σε ένα υλικό σωματίδιο επενεργεί μια δύναμη F, το υλικό σωματίδιο αποκτάει μια επιτάχυνση a, που είναι ανάλογη της δύναμης. Μαθηματικά, η αρχή αυτή περιγράφεται από την σχέση F ma, (2.16)

15 11 όπου m είναι ο συντελεστής αναλογίας μεταξύ δύναμης και επιτάχυνσης και εκφράζει την ποσότητα ύλης του υλικού σωματιδίου. Ο συντελεστής αυτός είναι γνωστός ως μάζα του υλικού σωματιδίου. τα πλαίσια της στατικής ενδιαφερόμαστε για την ισορροπία των υλικών σωματιδίων και των στερεών σωμάτων. Αν οι δυνάμεις, που επενεργούν στο υλικό σωματίδιο, έχουν μηδενική συνισταμένη, τότε, σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση, η επιτάχυνση του υλικού σωματιδίου θα είναι το μηδενικό διάνυσμα. Θα λέμε, τότε, ότι το υλικό σωματίδιο ισορροπεί. Με βάση πάλι την έννοια του υλικού σωματιδίου, η αρχή της δράσηςαντίδρασης διατυπώνεται ως εξής: Όταν δύο υλικά σωματίδια εξασκούν δυνάμεις το ένα στο άλλο, είτε αυτά είναι σε επαφή ή είναι σε απόσταση μεταξύ τους, οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες σε μέγεθος, αντίθετες σε φορά και έχουν τον ίδιο φορέα. την περίπτωση που βρίσκονται σε απόσταση, ο φορέας των δυνάμεων είναι η ευθεία γραμμή, που συνδέει τα δύο σωματίδια. Προκειμένου να κατανοήσουμε την αρχή αυτή και να διασαφηνίσουμε ποια είναι η δράση και ποια είναι η αντίδραση, ας θεωρήσουμε την περίπτωση των δύο στερεών σωμάτων Α και Β, που δείχνονται στο χήμα Σα σώματα αυτά βρίσκονται σε σημειακή επαφή και εξασκεί δύναμη το ένα στο άλλο. Σα υλικά σωματίδια των σωμάτων Α και Β, τα οποία αντιστοιχούν στο σημείο επαφής τους, τα δηλώνουμε με P και Q αντίστοιχα. Έστω η δύναμη, που εξασκείται από το σώμα Α στο σώμα Β είναι η F. Θεωρούμε ότι η δύναμη αυτή εξασκείται μέσω των υλικών σωματιδίων των δύο σωμάτων. Δηλαδή, θεωρούμε ότι το υλικό σωματίδιο P του σώματος Α εξασκεί την δύναμη F στο υλικό σωματίδιο Q του σώματος Β. Αυτή η δύναμη είναι η δύναμη δράσης του σώματος Α (υλικού σωματιδίου P) στο σώμα Β (υλικό σωματίδιο Q). Σο σωματίδιο Q με την σειρά θα αποκριθεί στο υλικό σωματίδιο P με μια δύναμη ίση και αντίθετη της F, που είναι η δύναμη αντίδρασης του σώματος Β (υλικού σωματιδίου Q) στο σώμα Α (υλικό σωματίδιο P). Η δύναμη δράσης του σώματος Α δείχνεται καλύτερα, όταν αυτή απομονωθεί από το σώμα Α και εμφανισθεί να εφαρμόζεται στο σώμα Β, χωρίς να δείχνεται το σώμα από την οποία προέρχεται. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε και χήμα 2.14 χήμα 2.15

16 12 την δύναμη αντίδρασης στο σώμα Α χωρίς να εμφανίσουμε το σώμα Β. Αυτή η τεχνική θα εφαρμοσθεί κατά την κατασκευή του διαγράμματος ελεύθερου σώματος, που θα συζητήσουμε παρακάτω.

17 3 13 ΔΤΝΑΜΕΙ Ε ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΑ ΨΜΑΣΑ 3.1 ΕΙΑΓΨΓΗ τα προηγούμενα κεφάλαιο, παρουσιάσαμε τις βασικές αρχές της μηχανικής και εισάγαμε την έννοια της συγκεντρωμένης δύναμης, που επενεργεί σε ένα υλικό σωματίδιο. το κεφάλαιο αυτό, θα μελετήσουμε την συμπεριφορά του απολύτως στερεού σώματος, όταν σε αυτό επενεργούν συγκεντρωμένες δυνάμεις. Αφού εισάγουμε την έννοια της ροπής δύναμης ως προς σημείο και την έννοια της ροπής ζεύγους δυνάμεων, θα ορίσουμε τα στατικώς ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων. την συνέχεια, θα περιγράψουμε, πως μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα σύνθετο σύστημα δυνάμεων, που επενεργεί σε ένα απολύτως στερεό σώμα, με ένα άλλο απλούστερο ισοδύναμο σύστημα, που αποτελείται από μία δύναμη και από μια ροπή ζεύγους. Με βάση το απλούστερο αυτό σύστημα, θα εξάγουμε τις εξισώσεις, που περιγράφουν την ισορροπία ενός απολύτως στερεού σώματος. 3.2 Η ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ψ ΠΡΟ ΗΜΕΙΟ Διδιάστατη περίπτωση Πριν εισάγουμε την έννοια της ροπής μιας δύναμης ως προς ένα σημείο, θα ορίσουμε τον στερεό δίσκο. Ο στερεός δίσκος είναι ένα εξιδανικευμένο απολύτως στερεό σώμα, που έχει επίπεδο σχήμα, συντίθεται από υλικά σωματίδια και φορτίζεται με δυνάμεις, που βρίσκονται πάνω στο επίπεδό του. τερεά σώματα, όπως αυτό του χήματος 3.1, που έχουν πολύ μικρό πάχος και επίπεδες εξωτερικές επιφάνειες, που είναι παράλληλες μεταξύ τους, μπορούν να εξιδανικευτούν με έναν στερεό δίσκο. χήμα 3.1 Θεωρούμε, τώρα, μια δύναμη F, που επενεργεί σε έναν στερεό δίσκο, και ένα τυχαίο υλικό σωματίδιο του δίσκου που αντιστοιχεί στο γεωμετρικό

18 14 χήμα 3.2 χήμα 3.3 σημείο P (χήμα 3.2). Για να ορίσουμε την έννοια της ροπής και να κατανοήσουμε την φυσική της σημασία, ας φαντασθούμε έναν άξονα κάθετο στον δίσκο, που διέρχεται από το σημείο P (χήμα 3.3). Η δύναμη F προσδίδει στον δίσκο μια τάση περιστροφής γύρω από τον άξονα αυτό. Για μια δεδομένη τιμή της δύναμης, η τάση περιστροφής αυξάνει, όταν μεγαλώνει η απόσταση d της δύναμης από τον άξονα. Επίσης, για μια δεδομένη απόσταση d της δύναμης από το P, η τάση περιστροφής αυξάνει, όταν αυξάνει το μέγεθος της δύναμης. Έτσι, λοιπόν, προκειμένου να περιγράψουμε την αιτία, που προσδίδει στον δίσκο την τάση περιστροφής γύρω από τον κάθετο άξονα, που διέρχεται από το σημείο P, εισάγουμε την έννοια της ροπής της δύναμης F ως προς το σημείο P. Ψς ροπή της δύναμης F, ως προς το σημείο P, ορίζουμε μια ποσότητα, της οποίας το μέγεθος δίνεται με την σχέση MP Fd, (3.1) χήμα 3.4 όπου F είναι το μέτρο της δύναμης. Προφανώς, η φορά της τάσης περιστροφής του δίσκου, γύρω από τον άξονα, καθορίζεται από την κατεύθυνση που έχει η δύναμη F. Η φορά αυτή, πάνω στον δίσκο, μπορεί να είναι είτε ωρολογιακή ή αντι-ωρολογιακή. Έτσι, ορίζουμε ως θετική ροπή, εκείνη που προσδίδει αντι-ωρολογιακή τάση περιστροφής στον δίσκο, και ως αρνητική, εκείνη που προσδίδει ωρολογιακή τάση περιστροφής. Παρατηρούμε ότι η ροπή ως προς σημείο έχει χαρακτηριστικά ανάλογα με αυτά της δύναμης. Έτσι, θα περιγράψουμε την ροπή ως προς το σημείο P με ένα βέλος M, που βρίσκεται πάνω P στον άξονα περιστροφής και έχει αρχή το σημείο P (χήμα 3.4). Ο άξονας περιστροφής θα είναι ο φορέας της ροπής και το σημείο P το σημείο εφαρμογής της. Σο βέλος έχει μήκος MP Fd και φορά, που θα προσδιορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού ως εξής: κρατούμε τον άξονα με το δεξί μας χέρι, έτσι ώστε τα δάκτυλά μας να δείχνουν την φορά περιστροφής του δίσκου. Ο αντίχειρας, τότε, θα δείχνει την φορά του βέλους. Παρακάτω, όταν θα συζητήσουμε την τρισδιάστατη περίπτωση, θα δείξουμε ότι η ροπή ως προς σημείο είναι διάνυσμα. Αν το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα, στην κατεύθυνση που δείχνει το βέλος της ροπής, είναι n, τότε γράφουμε

19 M M n ( Fd ) n. (3.2) P P 15 τη συνέχεια θα γράψουμε τη ροπή M σε μια διαφορετική διανυσματική P μορφή, που είναι κατάλληλη για τριδιάστατα προβλήματα. Προς τον σκοπό αυτό, θεωρούμε μια διανυσματική ακτίνα r που ξεκινάει από το P και έχει πέρας ένα σημείο του φορέα της δύναμης (χήμα 3.5). Από τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου έχουμε r F r F sinφ. (3.3) Όμως, επειδή d r sin φ, και F F, η παραπάνω σχέση γράφεται χήμα 3.5 r F Fd. (3.4) Επίσης, είναι γνωστό ότι το εξωτερικό διάνυσμα r F είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των r και F δηλαδή στο δίσκο, με φορά, που προσδιορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. Άρα, το διάνυσμα r F είναι παράλληλο στο n και έχει την ίδια φορά. υνεπώς, μπορούμε να γράψουμε: n r F r F. (3.5) Από τις (3.2), (3.3) και (3.4) προκύπτει M r F. (3.6) P Όταν είναι γνωστά το διάνυσμα θέσης r και το διάνυσμα της δύναμης F με τις καρτεσιανές τους συνιστώσες, δηλαδή r r i r j r k, x F F i F j F k, x Z (3.7) τότε είναι εύκολο να δειχθεί ότι, η ροπή να υπολογισθεί από την σχέση M ως προς το σημείο P μπορεί P i j k M r r r. (3.8) P x F F F x

20 16 Σρισδιάστατη περίπτωση χήμα 3.6 χήμα 3.7 τη συνέχεια, θα επεκτείνουμε τα παραπάνω, στην περίπτωση του τρισδιάστατου απολύτως στερεού σώματος. Θεωρούμε, λοιπόν, την δύναμη F, που επενεργεί σε ένα απολύτως στερεό σώμα και ένα σημείο P του σώματος (χήμα 3.6). Η δύναμη F και το σημείο P ορίζουν ένα επίπεδο. Σα υλικά σωματίδια του σώματος, που βρίσκονται στο επίπεδο αυτό, ορίζουν ένα (νοητό) στερεό δίσκο, με την έννοια που ορίσαμε προηγούμενα. χηματίζουμε τώρα (νοερά) τον άξονα n, που διέρχεται από το σημείο P του σώματος και είναι κάθετος στον επίπεδο στερεό δίσκο (χήμα 3.7). την συνέχεια, υποθέτουμε ότι το σώμα συντίθεται από επίπεδους στερεούς δίσκους, που είναι παράλληλοι στον επίπεδο στερεό δίσκο της δύναμης και του σημείου και είναι συνδεδεμένα στερεά μεταξύ τους. Ένας από αυτούς τους δίσκους δείχνεται στο χήμα 3.7. Όλοι αυτοί οι δίσκοι διαπερνώνται κάθετα από τον άξονα n. Όπως είπαμε προηγούμενα, η ροπή της δύναμης F ως προς το σημείο P εκφράζει την τάση, που εισάγει η δύναμη αυτή για περιστροφή του στερεού δίσκου, που ορίζει η δύναμη αυτή και το σημείο P. Όμως, επειδή οι δίσκοι, από τους οποίους συντίθεται το σώμα, είναι στερεά συνδεδεμένοι μεταξύ τους, η τάση του προηγούμενου στερεού δίσκου μεταφέρεται σε όλου τους δίσκους. υνεπώς, η ροπή της δύναμης F, ως προς το σημείο P του σώματος, εκφράζει την τάση, που εισάγει η δύναμη, να περιστραφούν όλοι οι δίσκοι γύρω από τον άξονα n. Με βάση τα παραπάνω, η ροπή της δύναμης F, ως προς σημείο P του στερεού σώματος, θα ορισθεί με την ίδια σχέση (3.6). το σημείο αυτό, θα πρέπει να διευκρινήσουμε το εξής: η ροπή, εδώ, δεν εκφράζει μόνο την τάση περιστροφής του συγκεκριμένου στερεού δίσκου, που περιέχει την δύναμη και το σημείο. Εκφράζει την τάση περιστροφής και όλων των επίπεδων στερεών δίσκων που απαρτίζουν το στερεό, η οποία, όπως είπαμε, είναι ίδια. υνεπώς, το διάνυσμα της ροπής, ως προς σημείο, είναι ένα ολισθαίνον διάνυσμα. Η ροπή είναι διάνυσμα Φαρακτηρίσαμε, προηγούμενα, χωρίς να το έχουμε επαρκώς αιτιολογήσει, την ροπή ως διάνυσμα. Όπως η δύναμη, έτσι και η ροπή εντάσσεται στα διανυσματικά μεγέθη, επειδή η πρόσθεση δύο ροπών

21 ακολουθεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Έστω ότι στο σώμα επενεργούν, οι δυνάμεις F και F. Αν οι δυνάμεις αυτές επενεργούσαν 1 2 ξεχωριστά στο σώμα, οι ροπές των δυνάμεων αυτών, ως προς ένα σημείο P του σώματος, έστω ότι ήταν οι M και M P 1 P 2. Η κάθε μία από αυτές τις ροπές εκφράζει την τάση, που εισάγεται στο σώμα από την αντίστοιχη δύναμη, για περιστροφή, γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το P και είναι κάθετη στο επίπεδο της δύναμης και του σημείου P. Μπορούμε να δείξουμε εμπειρικά ότι, η ταυτόχρονη δράση των δύο παραπάνω δυνάμεων στο σώμα εισάγει σε αυτό μια τάση περιστροφής, που αντιστοιχεί σε μια ροπή M, που προκύπτει από τις ροπές P P 1 M και M με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Δηλαδή, το σώμα θα P 2 περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, που περνάει από το P και είναι συγγραμμικός με το διάνυσμα M. Έτσι, γράφουμε p 17 M M M. (3.9) p P 1 P 2 Δηλαδή, όπως η δύναμη, έτσι και η ροπή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. 3.3 ΣΟ ΘΕΨΡΗΜΑ ΣΟΤ VARIGNON Θεωρούμε τις δυνάμεις { R, M },, που επενεργούν στο ίδιο υλικό P σωματίδιο του σώματος, που βρίσκεται στην θέση Q (χήμα 3.8). Οι δυνάμεις αυτές είναι συντρέχουσες, και επομένως, μπορούν να αντικατασταθούν με μία δύναμη R, την συνισταμένη τους, που είναι ίση με R F F F. (3.10) 1 2 n Θα βρούμε τώρα πως συνδέεται η ροπή της συνισταμένης R, ως προς ένα τυχαίο σημείο P του σώματος, με τις ροπές M, M,, M των 1 2 n δυνάμεων F, F,, F 1 2 n, αντιστοίχως, ως προς το σημείο P. Η ροπή της συνισταμένης R ως προς το σημείο P του σώματος είναι M r R, (3.11) P χήμα 3.8 όπου επιλέξαμε η διανυσματική ακτίνα r να έχει πέρας το σημείο Q. Αντικαθιστώντας την (3.7) στην (3.11) προκύπτει M M M M, (3.12) P P 1 P 2 Pn

22 18 όπου M r F, P 1 1 P 1 1 M r F,..., M r F, (3.13) Pn n χήμα 3.9 είναι οι ροπές των δυνάμεων F, F,, F 1 2 n, ως προς το σημείο P, αντίστοιχα. Η σχέση αυτή δείχνει ότι η ροπή της συνισταμένης των δυνάμεων, που επενεργούν σε ένα υλικό σωματίδιο του σώματος, ισούται με το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως προς το ίδιο σημείο (χήμα 3.9). 3.4 ΡΟΠΗ ΔΤΝΑΜΗ Ψ ΠΡΟ ΑΞΟΝΑ χήμα 3.10 χήμα 3.11 το απολύτως στερεό σώμα του χήματος 3.10, επενεργεί η δύναμη F. το σώμα αυτό θεωρούμε έναν νοητό άξονα λ, που βρίσκεται σε τυχαία θέση ως προς την δύναμη. την ενότητα αυτή, θα προσδιορίσουμε την τάση που αποκτάει το σώμα να περιστραφεί, γύρω από τον άξονα λ, λόγω της δύναμης F. Αν ο άξονας λ είναι ασυμβάτως κάθετος στην δύναμη, τότε αναγόμαστε στην προηγούμενη περίπτωση: η τάση, που αποκτάει το σώμα για περιστροφή γύρω από τον άξονα λ, εκφράζεται με την ροπή της δύναμης F ως προς σημείο P, που ορίζεται από την κάθετη τομή του επιπέδου, που περιέχει την δύναμη, με τον άξονα λ. την περίπτωση, που ο άξονας λ δεν είναι ασυμβάτως κάθετος στην δύναμη F (χήμα 3.10), μπορούμε να προσδιορίσουμε την τάση περιστροφής του σώματος γύρω από τον άξονα λ, ως εξής: αναλύουμε την δύναμη F σε μία διανυσματική συνιστώσα διανυσματική συνιστώσα Fp παράλληλη στον άξονα λ, και σε μια F ασυμβάτως κάθετη σε αυτόν (χήμα 3.11). n Είναι φανερό ότι, τάση περιστροφής του σώματος, γύρω από τον άξονα λ, εισάγει μόνο η διανυσματική συνιστώσα F. Θεωρούμε, λοιπόν, το n επίπεδο που περιέχει την συνιστώσα αυτή και τέμνει κάθετα τον άξονα λ στο σημείο P (χήμα 3.11). Η ροπή της συνιστώσας F ως προς σημείο n P περιγράφεται από την σχέση M r F, (3.14) λ n n όπου r n είναι ένα διάνυσμα θέσης, που ξεκινάει από το P και έχει πέρας ένα σημείο του φορέα της δύναμης F. n

23 Εναλλακτικά, μπορούμε να προσδιορίσουμε την ροπή αυτή ως εξής: προσδιορίζουμε την ροπή M της δύναμης F ως προς ένα τυχαίο σημείο Q του άξονα λ (χήμα 3.11). Η ροπή αυτή θα είναι M r F, όπου r είναι ένα διάνυσμα θέσης, που ξεκινάει από το Q και έχει πέρας ένα σημείο του φορέα της δύναμης. Επειδή η ροπή ως προς σημείο είναι διάνυσμα μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, στις κατευθύνσεις δύο τυχαίων αξόνων. Έτσι, αναλύουμε την ροπή M στην διανυσματική συνιστώσα M, που είναι κάθετη στον άξονα λ, και στην διανυσματική n συνιστώσα M, που είναι παράλληλη στον άξονα αυτόν (χήμα 3.12). Η λ διανυσματική συνιστώσα M έχει μέτρο M, που ισούται με την προβολή της M πάνω στον άξονα, δηλαδή λ M λ( r F ) (3.15) λ όπου λ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα λ στην φορά, που δείχνει ο αντίχειράς μας, όταν κρατάμε τον άξονα με το δεξί μας χέρι και τα δάκτυλά μας δείχνουν την τάση περιστροφής του σώματος. Έτσι, η διανυσματική συνιστώσα M γράφεται λ M M λ [ λ ( r F)] λ. (3.16) λ λ Εύκολα δείχνεται ότι οι σχέσεις (3.14) και (3.16) είναι ισοδύναμες. Όταν είναι γνωστές οι καρτεσιανές αλγεβρικές συνιστώσες των διανυσμάτων, που υπεισέρχονται στην σχέση (3.14), δηλαδή, όταν λ λ i λ j λ k x r r i r j r k, (3.17) x F F i F j F k, x Z τότε, το μέτρο M της M προσδιορίζεται από την ορίζουσα λ λ λ λ λ x M r r r. λ x F F F x λ χήμα ΖΕΤΓΟ ΔΤΝΑΜΕΨΝ ΚΑΙ ΡΟΠΗ ΖΕΤΓΟΤ τον στερεό δίσκο του χήματος 3.13 επενεργούν δύο παράλληλες δυνάμεις, οι οποίες έχουν ίσο μέτρο F, αντίθετες διευθύνσεις και

24 20 απέχουν μεταξύ τους απόσταση d. Θα λέμε ότι οι δύο αυτές δυνάμεις ορίζουν ένα ζεύγος δυνάμεων. Έστω P ένα τυχαίο σημείο του δίσκου, που απέχει αποστάσεις d και d από τις δυνάμεις F και F, αντίστοιχα. Σο μέτρο της συνιστάμενης ροπής των δύο αυτών δυνάμεων, ως προς το σημείο P θα είναι M Fd Fd F ( d d ) Fd. (3.18) χήμα 3.13 Παρατηρούμε ότι το μέτρο της συνισταμένης ροπής των δύο δυνάμεων, ως προς το σημείο P, δεν εξαρτάται από την θέση του σημείου P στον επίπεδο δίσκο! Αυτό σημαίνει ότι δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις, που βρίσκονται σε απόσταση d, δηλαδή ένα ζεύγος δυνάμεων, εισάγει στο σώμα μία τάση περιστροφής, που είναι η ίδια για οποιονδήποτε άξονα κάθετο στον δίσκο. Η ροπή αυτή θα λέγεται ροπή ζεύγους. Σο διάνυσμα της ροπής αυτής μπορεί να έχει ως σημείο εφαρμογής το οποιοδήποτε σημείο του στερεού δίσκου. Αν n είναι το μοναδιαίο διάνυσμα, που είναι κάθετο στον δίσκο και έχει φορά εκείνη που υπαγορεύει ο κανόνας του δεξιού χεριού για την τάση περιστροφής του δίσκου, το διάνυσμα της ροπής ζεύγους θα είναι M Mn, (3.19) όπου M Fd. (3.20) Θα επεκτείνουμε τώρα τα παραπάνω σε ένα τρισδιάστατο απολύτως στερεό σώμα. Θεωρούμε δύο παράλληλες, ίσες και αντίθετες δυνάμεις, που επενεργούν στο απολύτως στερεό σώμα του χήματος Αν η μία δύναμη παρασταθεί με το διάνυσμα F, τότε η άλλη θα είναι η F. Οι δύο αυτές δυνάμεις έχουν το ίδιο μέτρο F. Η συνισταμένη ροπή των δύο αυτών δυνάμεων, ως προς ένα τυχαίο σημείο P του σώματος, είναι χήμα 3.14 M r F r ( F ), (3.21) 1 2 από όπου M r F, r r r 1 2. (3.22) τις σχέσεις αυτές, τα r και r είναι δύο διανύσματα θέσης των 1 1 δυνάμεων F και F, αντίστοιχα, σε σχέση με το σημείο P. Από την σχέση

25 (3.22) προκύπτει ότι η ροπή ζεύγους είναι ανεξάρτητη του σημείου P. Αυτό σημαίνει ότι η ροπή ζεύγους είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΜΕΣΑΚΙΝΗΗ ΔΤΝΑΜΗ-ΙΟΔΤΝΑΜΑ ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Η επίπεδη περίπτωση ύμφωνα με την δεύτερη αρχή της μηχανικής, μία δύναμη που επενεργεί σε ένα απολύτως στερεό σώμα, μπορεί να μετακινηθεί πάνω στο φορέα της, χωρίς να επέλθει καμιά μεταβολή στην τάση, που εισάγει στο σώμα, για μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Αμέσως παρακάτω θα δούμε ότι, αν η δύναμη, που επενεργεί στο σώμα, μεταφερθεί παράλληλα στον εαυτόν της, τότε συμβαίνει μια μεταβολή της τάσης του σώματος για περιστροφική κίνηση. Θα βρούμε πρώτα ποια είναι αυτή η μεταβολή για την επίπεδη περίπτωση. Θεωρούμε, λοιπόν, τον στερεό δίσκο του χήματος 3.15 στον οποίο επενεργεί μια δύναμη F. το χήμα 3.7 δείχνεται ο ίδιος δίσκος, όπου η δύναμη έχει μεταφερθεί παράλληλα στον εαυτόν της σε μια απόσταση a. Θα διερευνήσουμε, τώρα, σε τι στατικά διαφέρει η πρώτη κατάσταση από την δεύτερη. Προς αυτό τον σκοπό, ας φαντασθούμε, για τις δύο περιπτώσεις, έναν άξονα που διαπερνάει κάθετα τον στερεό δίσκο σε ένα σημείο P, που βρίσκεται πάνω στην ευθεία, που έχει μεταφερθεί η δύναμη. την πρώτη περίπτωση, η δύναμη εισάγει στο σώμα μια τάση περιστροφής γύρω από τον άξονα, που περιγράφεται με την ροπή Fa. την δεύτερη περίπτωση, παρατηρούμε ότι το σώμα δεν έχει καμιά τάση περιστροφής γύρω από τον συγκεκριμένο άξονα. Άρα, λοιπόν, η δεύτερη κατάσταση διαφέρει από την πρώτη, ως προς την τάση περιστροφής του δίσκου, γύρω από τον συγκεκριμένο άξονα, κατά μια ποσότητα, που αντιστοιχεί σε μια ροπή Fa. Ας θεωρήσουμε, τώρα, τον άξονα να διαπερνάει τον δίσκο σε μια τυχαία θέση Q, και ας δούμε σε τι διαφέρουν οι τάσεις περιστροφής των δύο καταστάσεων, που δείχνονται στα χήματα 3.17 και Για την πρώτη κατάσταση, η τάση περιστροφής περιγράφεται με την ροπή Fd, ενώ, για την δεύτερη κατάσταση, με την ροπή Fd. Παρατηρούμε ότι η διαφορά της τάσης περιστροφής μεταξύ των δύο καταστάσεων είναι χήμα 3.15 χήμα 3.16 χήμα 3.17 χήμα 3.18

26 22 χήμα 3.19 σταθερή και περιγράφεται με την ροπή Fd Fd F ( d d ) Fa. Η διαφορά αυτή των ροπών είναι σταθερή και ανεξάρτητη της θέσης του άξονα. υνεπώς, θα μπορούσε να αντιπροσωπευθεί με μια ροπή ζεύγους δυνάμεων μεγέθους M Fa. Με αυτή την παρατήρηση ερχόμαστε τώρα στο εξής ερώτημα: Πως οι δύο παραπάνω καταστάσεις θα μπορούσαν να γίνουν στατικά ισοδύναμες, να έχουν δηλαδή την ίδια τάση για μεταφορική κίνηση και την ίδια τάση για περιστροφική κίνηση; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι απλή: προσθέτοντας στην δεύτερη κατάσταση την ποσότητα της τάσης περιστροφής κατά την οποία διαφέρει από την πρώτη. Αυτό μπορεί να γίνει εφαρμόζοντας στην δεύτερη κατάσταση μια ροπή ζεύγους ίση με M Fa (χήμα 3.19). χήμα 3.20 χήμα 3.21 Σρισδιάστατη περίπτωση το χήμα 3.20, δείχνεται ένα τρισδιάστατο απολύτως στερεό σώμα, πάνω στο οποίο επενεργεί η δύναμη F (κατάσταση α). ε ένα σημείο P του σώματος, εφαρμόζουμε τις δυνάμεις F και F, οι οποίες, επειδή έχουν συνισταμένη μηδέν δεν προκαλούν καμία μεταβολή στο σώμα. Έτσι, η δεύτερη κατάσταση είναι στατικά ισοδύναμη με την πρώτη κατάσταση. την δεύτερη αυτή κατάσταση, η αρχική δύναμη F και η δύναμη F, που έχει εφαρμοσθεί στο σημείο P, συνιστούν ένα ζεύγος δυνάμεων με ροπή M r F. Αν στην δεύτερη κατάσταση, αντικαταστήσουμε το ζεύγος δυνάμεων με την τάση για περιστροφή που εισάγει στο σώμα, δηλαδή με την ροπή ζεύγους M, τότε στο σώμα, έχουμε μείνει με μια δύναμη F, εφαρμοσμένη στο P, και με μια ροπή ζεύγους ίση με ένα ελεύθερο διάνυσμα. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι: M r F, που είναι Η στατική κατάσταση ενός απολύτως στερεού σώματος, στο οποίο εξασκείται μια δύναμη F, είναι στατικά ισοδύναμη με μια άλλη κατάσταση, όπου στο σώμα εξασκείται η δύναμη F εφαρμοσμένη σε ένα άλλο σημείο P του σώματος και μια ροπή ζεύγους M r F, όπου το r είναι ένα διάνυσμα θέσης, που ξεκινάει από το σημείο P και έχει πέρας ένα σημείο του φορέα της δύναμης F της πρώτης κατάστασης. χήμα 3.22

27 4 23 Η ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΣΟΤ ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΟΤ ΨΜΑΣΟ 4.1 ΕΙΑΓΨΓΗ το κεφάλαιο αυτό ορίζουμε την συνισταμένη δύναμη και ροπή ενός συστήματος δυνάμεων και ροπών ζεύγους, που επενεργούν σε ένα απολύτως στερεό σώμα, καθώς και τα ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων και ροπών ζεύγους. την συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις έννοιες αυτές περιγράφουμε, πως μπορούμε να αντικαταστήσουμε ένα σύνθετο σύστημα δυνάμεων και ροπών ζεύγους, που επενεργεί σε ένα απολύτως στερεό σώμα, με ένα άλλο απλούστερο ισοδύναμο σύστημα, που αποτελείται από μία δύναμη από μια ροπή ζεύγους. Με βάση το απλούστερο αυτό σύστημα, θα εξαχθούν οι εξισώσεις, που περιγράφουν την ισορροπία ενός απολύτως στερεού σώματος. 4.2 ΑΝΑΓΨΓΗ ΕΝΟ ΤΣΗΜΑΣΟ ΔΤΝΑΜΕΨΝ Ε ΕΝΑ ΑΠΛΟΤΣΕΡΟ ΤΣΗΜΑ Θεωρούμε ένα απολύτως στερεό σώμα, πάνω στο οποίο επενεργεί ένα σύστημα δυνάμεων { F, F, F,, F } n. Οι δυνάμεις αυτές μπορούν να μεταφερθούν σε ένα σημείο P του σώματος προσθέτοντας για κάθε δύναμη, που μεταφέρεται, και την αντίστοιχη ροπή ζεύγους, προκειμένου να διατηρηθεί η στατική ισορροπία. Για παράδειγμα, η δύναμη F μπορεί 1 να μεταφερθεί παράλληλα στο σημείο P, προσθέτοντας στο σώμα μια ροπή ζεύγους M r F. Η ροπή αυτή είναι κάθετη στο επίπεδο, που ορίζουν η δύναμη F και το σημείο P, το δε διάνυσμα r 1 1 ξεκινάει από το σημείο P και έχει πέρας ένα οποιοδήποτε σημείο του φορέα της δύναμης F. Σην διαδικασία αυτή την εφαρμόζουμε για όλες τις δυνάμεις 1 χήμα 4.1

28 24 F (k=1,2,3,, n). την κάθε δύναμη F αντιστοιχεί μια ροπή ζεύγους k k M r F, με το διάνυσμα k k k k r να ξεκινάει από το σημείο P και να έχει πέρας ένα σημείο του φορέα της δύναμης F. Με τον τρόπο αυτό, έχουμε k καταστήσει τις δυνάμεις συντρέχουσες, και επομένως μπορούμε να τις προσθέσουμε διανυσματικά, εφαρμόζοντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Αν δυνάμεων αυτών, θα έχουμε R είναι το διανυσματικό άθροισμα των χήμα 4.2 R F F F + + F. (4.1) n Επίσης, στο ίδιο σημείο P μπορούμε να συγκεντρώνουμε όλες τις ροπές M, που είναι ελεύθερα διανύσματα, και να τις αθροίσουμε διανυσματικά. k Αν M είναι το διανυσματικό άθροισμα των ροπών αυτών, θα έχουμε P M M M M M (4.2) P n χήμα 4.3 Έτσι, λοιπόν, το σύστημα των δυνάμεων { F, F, F,, F }, που n επενεργεί στο απολύτως στερεό σώμα, έχει αντικατασταθεί από το ισοδύναμο στατικό σύστημα { R, M }, που αποτελείται από την P συνισταμένη δύναμη R, που δίνεται από την σχέση (4.1), και από την ροπή ζεύγους M, που δίνεται από την σχέση (4.2). P 4.3 ΑΝΑΓΨΓΗ Ε ΕΝΑ ΠΑΡΑΠΕΡΑ ΑΠΛΟΤΣΕΡΟ ΤΣΗΜΑ χήμα 4.4 Θα δείξουμε, ότι το σύστημα { R, M }, που αντικαθιστά ισοδύναμα το P αρχικό σύστημα δυνάμεων { F, F, F,, F }, μπορεί να n αντικατασταθεί, παραπέρα, με ένα άλλο απλούστερο σύστημα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: αναλύουμε την ροπή ζεύγους M σε δύο P συνιστώσες, την M, που είναι κάθετη στην δύναμη R, και την M, Pn, PR, που είναι παράλληλη στην δύναμη R (χήμα 4.4). Σο σύστημα { R, M } μπορούμε να το αντικαταστήσουμε μόνο με την δύναμη R, Pn, που βρίσκεται παράλληλα μετατοπισμένη, σε μια κατάλληλη θέση. Σην θέση αυτή θα την προσδιορίσουμε βρίσκοντας ένα σημείο του φορέα της μετατοπισμένης δύναμης R. Για να διατηρηθεί η στατική ισοδυναμία, θα πρέπει η ροπή της μετατοπισμένης δύναμης R, ως προς το αρχικό σημείο εφαρμογής P της δύναμης R, θα πρέπει να είναι ίση με M, Pn, δηλαδή

29 M r R, (4.3) P, n Q 25 όπου το r Q ξεκινάει από το P και έχει πέρας το σημείο Q του φορέα της δύναμης R στην μετατοπισμένη της θέση. Από την σχέση αυτή μπορούμε να προσδιορίσουμε το διάνυσμα r q. Έχοντας προσδιορίσει το διάνυσμα r, η εξίσωση του φορέα της μετατοπισμένης δύναμης R θα q έχει την μορφή r() t r R t (4.4) Q όπου t είναι μια πραγματική παράμετρος. Η ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο Q και είναι παράλληλη στη δύναμη R. Για ένα συγκεκριμένο σύστημα δυνάμεων, η ευθεία αυτή γραμμή είναι μοναδική στο σώμα, και ονομάζεται κεντρικός άξονας του σώματος, για το συγκεκριμένο σύστημα δυνάμεων. Έτσι, το σύστημα { R, M } μπορούμε να το P αντικαταστήσουμε με την μετατοπισμένη δύναμη R, και με την ροπή ζεύγους M, που είναι η παράλληλη συνιστώσα της ροπής M, στην PR, P δύναμη R. Ερμηνεύοντας τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε, ότι ένα απολύτως στερεό σώμα, κάτω από την επενέργεια ενός συστήματος δυνάμεων, έχει την τάση να εκτελέσει μια μεταφορική κίνηση, στην διεύθυνση της δύναμης R, και μια περιστροφή, γύρω από έναν άξονα παράλληλο στην δύναμη αυτή. χήμα ΟΙ ΤΝΘΗΚΕ ΙΟΡΡΟΠΙΑ ΕΝΟ ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΟΤ ΨΜΑΣΟ Ένα σύστημα δυνάμεων { F, F, F,, F }, που επενεργεί σε ένα n απολύτως στερεό σώμα, θα λέμε ότι αποτελεί ένα ισόρροπο σύστημα δυνάμεων, αν, ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο P του σώματος, ισχύει { R 0, M 0 }. (4.5) P τη συνέχεια θα δείξουμε ότι, αν η σχέση αυτή ισχύει για ένα σημείο P του σώματος, θα ισχύει και για οποιοδήποτε άλλο σημείο P του σώματος. Πράγματι, το σύστημα, { R, M }, που αναφέρεται στο σημείο P, P και αντικαθιστά ισοδυνάμως το αρχικό σύστημα { F, F, F,, F } n (χήμα 4.6), μπορεί, με την ίδια διαδικασία, να αντικατασταθεί με ένα άλλο ισοδύναμο σύστημα { R, M }, P που θα αναφέρεται στο σημείο P χήμα 4.6

30 26 (χήμα 4.7), όπου MP M r R. (4.6) P R την σχέση αυτή, το r R είναι ένα διάνυσμα, που ξεκινάει από το σημείο P χήμα 4.7 και έχει πέρας ένα οποιοδήποτε σημείο του φορέα της μετατοπισμένης δύναμης R. Από την σχέση αυτή, προκύπτει ότι, αν { R 0, M 0 }, τότε { R 0, M 0 }. P P 4.5 ΣΕΡΕΗ ΣΗΡΙΞΗ ΕΝΟ ΑΠΟΛΤΣΨ ΣΕΡΕΟΤ ΔΙΚΟΤ ΣΟ ΕΔΑΥΟ Ο στερεός σχηματισμός και η δεσμική ράβδος Θα συζητήσουμε τώρα πως μπορούμε να συνδέσουμε ένα απολύτως στερεό σώμα στερεά με το έδαφος, που θα το θεωρούμε ως ένα απολύτως στερεό και ακίνητο σώμα. Σο πρόβλημα αυτό ανακύπτει κατά τον σχεδιασμό του στατικού συστήματος μιας κατασκευής, που συντίθεται από δομικά στοιχεία, που πρέπει να συνδέονται κατάλληλα μεταξύ τους, ώστε να διαμορφώνουν έναν στερεό σχηματισμό. Με τον όρο στερεό σχηματισμό εννοούμε ότι, το δομικό σύστημα, του οποίου τα μέλη θεωρούνται ως απολύτως στερεά σώματα, συμπεριφέρεται, μαζί με το έδαφος, ως ένα ενιαίο απολύτως στερεό σώμα. τη συνέχεια, θα συζητήσουμε, με ποιο τρόπο μπορούμε να διαμορφώσουμε έναν στερεό σχηματισμό απολύτως στερεών σωμάτων, ξεκινώντας από την δισδιάστατη περίπτωση. Πριν ξεκινήσουμε την συζήτηση αυτή, θα ορίσουμε τα μέσα σύνδεσης των απολύτως στερεών σωμάτων, που είναι οι δεσμικές ράβδοι. Σην δεσμική ράβδο την ορίζουμε ως ένα απολύτως στερεό σώμα, που συντίθεται από υλικά σωματίδια τοποθετημένα κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος. Αν μια δεσμική ράβδος παρεμβληθεί μεταξύ δύο υλικών σωματιδίων P, Q, τότε, εμποδίζει την σχετική μετακίνησή των υλικών αυτών σωματιδίων. Η στερεή στήριξη υλικού σωματιδίου με το έδαφος Φρησιμοποιώντας τις δεσμικές ράβδους, θα δείξουμε πώς μπορούμε να συνδέσουμε στερεά με το έδαφος ένα υλικό σωματίδιο Q. Θα θεωρήσουμε, πρώτα, την δισδιάστατη περίπτωση, υποθέτοντας ότι το

31 υλικό σωματίδιο μπορεί να κινείται μόνο πάνω σε ένα επίπεδο. Αν στο υλικό σωματίδιο Q, που βρίσκεται σε μια απόσταση από το έδαφος, εφαρμοσθεί μια δύναμη, τότε αυτό θα κινηθεί, σύμφωνα με τον νόμο του Νεύτωνα, στην διεύθυνση της δύναμης. Για να ακινητοποιήσουμε το υλικό σωματίδιο Q σε σχέση με το έδαφος, το συνδέουμε με ένα υλικό σωματίδιο P του εδάφους, χρησιμοποιώντας μια δεσμική ράβδο (χήμα 4.8). Αν, τώρα, στο υλικό σωματίδιο Q, εφαρμόσουμε μια δύναμη, που δεν είναι συγγραμμική με την δεσμική ράβδο, τότε το υλικό σωματίδιο θα κινηθεί σε μια κυκλική τροχιά πάνω στο επίπεδο. Αυτό συμβαίνει, επειδή το σημείο P, ως σημείο του εδάφους, είναι ακίνητο και η δεσμική ράβδος κρατεί τα δύο σημεία σε σταθερή απόσταση. Η συνιστώσα της επιβαλλόμενης δύναμης, που είναι συγγραμμική με την ράβδο, εξουδετερώνεται από την αντίδραση, που αναπτύσσει η ράβδος. Αντίθετα, η κάθετη συνιστώσα της δύναμης είναι αυτή που προξενεί την περιστροφική κίνηση του υλικού σωματιδίου γύρω από το P. Άρα, με μια δεσμική ράβδο είναι αδύνατο να επιτύχουμε την ακινητοποίηση του υλικού σωματιδίου, για οποιαδήποτε δύναμη που θα μπορούσε να εφαρμοσθεί σε αυτό. Είναι προφανές ότι το υλικό σωματίδιο ακινητοποιείται μόνο για μια συγγραμμική με την ράβδο δύναμη, που εξασκείται στο υλικό σωματίδιο Q (χήμα 4.9). Για να επιτύχουμε την ακινητοποίηση του υλικού σωματιδίου Q, για κάθε δύναμη, που μπορεί να επιβληθεί σε αυτό, το συνδέουμε με ένα δεύτερο υλικό σωματίδιο S του εδάφους χρησιμοποιώντας μια δεύτερη δεσμική ράβδο (χήμα 4.10). Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί, αν στο υλικό σωματίδιο Q επιβάλλουμε μια δύναμη, που δεν είναι συγγραμμική με καμία από τις δύο ράβδους. Με το ίδιο επιχείρημα, που αναπτύξαμε προηγούμενα, αν δεν υπήρχε η πρώτη ράβδος, το υλικό σωματίδιο θα κινείτο, λόγω της επιβαλλόμενης δύναμης, πάνω σε μια περιφέρεια κύκλου με κέντρο το υλικό σωματίδιο S και ακτίνα SQ (χήμα 4.11). Η ταυτόχρονη ύπαρξη των δύο ράβδων σημαίνει την ταυτόχρονη δυνατότητα κίνησης του υλικού σωματιδίου Q, πάνω σε δύο περιφέρειες, κάτι που είναι αδύνατο να συμβεί. υνεπώς, το υλικό σωματίδιο θα παραμένει ακίνητο στο σημείο τομής των δύο περιφερειών. Η δύναμη, που επιβάλλεται στο υλικό σωματίδιο, εξουδετερώνεται με τις δύο δυνάμεις αντίδρασης, που αναπτύσσουν οι χήμα 4.8 χήμα 4.9 χήμα 4.10 χήμα

32 28 δύο δεσμικές ράβδους. Οι δύο αυτές δυνάμεις αντίδρασης είναι συγγραμμικές με τις ράβδους. χήμα 4.12 χήμα 4.13 Ας δούμε όμως τι θα συμβεί στην ειδική περίπτωση, όπου οι δύο δεσμικοί ράβδοι, που συνδέουν το υλικό σωματίδιο με το έδαφος, βρίσκονται στην ίδια γραμμή, όπως δείχνεται στο χήμα Με βάση τα παραπάνω επιχειρήματα, πάλι το υλικό σωματίδιο δεν μπορεί να κινηθεί ταυτόχρονα και στις δύο περιφέρειες. Όμως, η επιβαλλόμενη δύναμη F δεν μπορεί να εξουδετερωθεί από τις αντιδράσεις, που αναπτύσσουν οι δύο ράβδοι. Αυτό συμβαίνει, επειδή δεν είναι δυνατόν να σχηματισθεί παραλληλόγραμμο από τις αναπτυσσόμενες αντιδράσεις R και R των 1 2 ράβδων, που να έχει την εφαρμοσμένη δύναμη ως συνισταμένη. Αυτό θα γίνει κατανοητό αναλύοντας την περίπτωση που δείχνεται στο χήμα το σχήμα αυτό ένα υλικό σωματίδιο έχει συνδεθεί με δύο συμμετρικά τοποθετημένες ράβδους με το έδαφος. Οι γωνίες των δύο ράβδων σχηματίζουν γωνία φ με το ορίζοντα. Αν, στο υλικό σωματίδιο, επιβάλουμε μια κατακόρυφη δύναμη P, τότε οι αναπτυσσόμενες αντιδράσεις, που εξουδετερώνουν την δύναμη αυτή βρίσκονται κατασκευάζοντας το Διάγραμμα Ελεύθερου ώματος του υλικού σωματιδίου (χήμα 4.13). Από την συνθήκη ισορροπίας του υλικού σωματιδίου στην οριζόντια και κατακόρυφη διεύθυνση βρίσκουμε R cos f R cos f, R sinf R sinf P, (4.7) από όπου P R R. (4.8) 1 2 2sinφ χήμα 4.14 Παρατηρούμε ότι, όταν φ 0, τότε R R 1 2. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευθεί ως έλλειψη μηχανισμού παραλαβής της δύναμης P, όταν οι δύο ράβδοι είναι συγγραμμικές. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε το εξής: ένα υλικό σωματίδιο μπορεί να συνδεθεί στερεά με το έδαφος μόνο με δύο ράβδους, αρκεί αυτές να μην είναι συγγραμμικές.

33 Η στερεή στήριξη ενός απολύτως στερεού δίσκου με το έδαφος 29 Θεωρούμε τον στερεό δίσκο του χήματος 15, που μπορεί να κινείται μόνο πάνω στο επίπεδό του. την συνέχεια, θα περιγράψουμε, πως μπορούμε να συνδέσουμε τον δίσκο αυτό στερεά με το έδαφος χρησιμοποιώντας δεσμικές ράβδους. Σο έδαφος, όπως και προηγούμενα, θα το θεωρούμε ως έναν απολύτως στερεό ημι-άπειρο δίσκο, που το επίπεδό του ταυτίζεται με αυτό του απολύτως στερεού δίσκου. υνδέουμε, πρώτα, το υλικό σωματίδιο Q του δίσκου με το έδαφος χρησιμοποιώντας δύο δεσμικές ράβδους. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνουμε τη στερεή σύνεση με το έδαφος μόνο του υλικού σωματιδίου Q, και όχι των υπολοίπων σημείων του δίσκου. Αυτό σημαίνει ότι, αν εφαρμόσουμε μια συνεπίπεδη δύναμη σε ένα συνοριακό υλικό σωματίδιο T, που δεν είναι συγγραμμική με το QT, τότε ο δίσκος θα περιστραφεί γύρω από το Q. Αυτό συμβαίνει, επειδή το τμήμα QT του δίσκου συμπεριφέρεται ως δεσμική ράβδος, που συνδέει το υλικό σωματίδιο T με το ακινητοποιημένο σωματίδιο του δίσκου Q. Όπως και προηγούμενα, για να ακινητοποιήσουμε το Σ, θα χρησιμοποιήσουμε μια δεσμική ράβδο, που την παρεμβάλουμε μεταξύ του σημείου T και ενός υλικού σωματιδίου L του εδαφικού δίσκου. Έχοντας ακινητοποιήσει τα δύο υλικά σωματίδια Q, T του δίσκου, έχουν ακινητοποιηθεί και τα υπόλοιπα υλικά σωματίδια του δίσκου. Αυτό συμβαίνει, γιατί το οποιοδήποτε υλικό σωματίδιο M του δίσκου συνδέεται με δύο δεσμικές ράβδους ΜQ και MT, που συντίθενται από υλικά σωματίδια του απολύτως στερεού δίσκου. Είναι προφανές ότι, για να επιτευχθεί η στερεή σύνδεση του δίσκου με το έδαφος, δεν πρέπει τα σημεία Q και Σ να ταυτίζονται. Θα μπορούσε το Q να είναι ένα εσωτερικό σημείο του δίσκου. Αυτό γίνεται, αν θεωρήσουμε τις δύο πρώτες δεσμικές ράβδους να συνδέουν δύο διαφορετικά σημεία του συνόρου και οι προεκτάσεις τους να τέμνονται στο Q (χήμα 4.18). την περίπτωση αυτή, οι δύο δεσμικές ράβδοι θεωρούνται ότι προεκτείνονται μέχρι το Q με υλικά σωματίδια του δίσκου. Αν αριθμήσουμε τις ράβδους με την σειρά που τις βάλαμε ως 1, 2 και 3, και ονομάσουμε το σημείο τομής των δύο πρώτων ως Ο1,2 (=Q), και τα χήμα 4.15 χήμα 4.16 χήμα 4.17 χήμα 4.18

34 30 υπόλοιπα σημεία τομής των ράβδων ανά δύο ως O2,3 και Ο1,3, τότε η στερεή σύνδεση του δίσκου με το έδαφος απαιτεί O O O. (4.9) 1,2 2,3 1,3 χήμα 4.19 Η απαίτηση αυτή προκύπτει από τον παρακάτω συλλογισμό: αν δεν ίσχυε η παραπάνω συνθήκη, τότε, το εσωτερικό υλικό σωματίδιο Q ( O O O ) του δίσκου, που στηρίζεται στο έδαφος με τις 1,2 2,3 1,3 προεκτεταμένες ράβδους 1 και 2, θα στηριζόταν με το έδαφος και με την προεκτεταμένη ράβδο 3. την περίπτωση αυτή, εξασφαλίζεται η ακινητοποίηση του υλικού σωματιδίου Q, όχι όμως και των υπολοίπων υλικών σωματιδίων του δίσκου. Με άλλα λόγια, ένας απολύτως στερεός δίσκος μπορεί να συνδεθεί στερεά με το έδαφος μόνο με τρείς δεσμικές ράβδους, που δεν συντρέχουν στο ίδιο σημείο. 4.6 ΟΙ ΑΝΣΙΔΡΑΕΙ, ΣΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΤΘΕΡΟΤ ΨΜΑΣΟ ΚΑΙ Η ΙΟΣΑΣΙΚΟΣΗΣΑ Οι αντιδράσεις των δεσμικών ράβδων χήμα 4.20 Είδαμε παραπάνω, με ποιο τρόπο ένας απολύτως στερεός δίσκος μπορεί να συνδεθεί στερεά με το έδαφος, μόνο με τρείς ράβδους. Αν λοιπόν, έχουμε τον δίσκο του χήματος 4.20, που στηρίζεται στο έδαφος με τρείς μη συντρέχουσες ράβδους, τότε, ο δίσκος μπορεί να φορτισθεί με οποιαδήποτε σύστημα εξωτερικών δυνάμεων και ο δίσκος να βρίσκεται σε ισορροπία. Αυτό σημαίνει ότι οι τρείς μη συντρέχουσες ράβδοι αντιδρούν στο επιβαλλόμενο σύστημα δυνάμεων αναπτύσσοντας αξονικές δυνάμεις, που ακυρώνουν την τάση που αποκτά ο δίσκος, λόγω του συστήματος αυτού, για μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Οι δεσμικές ράβδοι αντιδρούν με την ανάπτυξη τριών δυνάμεων, που έχουν φορείς, τις γραμμές που ορίζουν οι δεσμικές ράβδοι. Οι δυνάμεις αυτές θα ονομάζονται αντιδράσεις των δεσμικών ράβδων, για το συγκεκριμένο σύστημα εξωτερικών δυνάμεων, που επιβάλλεται στον δίσκο. Για τις τρείς αυτές αντιδράσεις, αυτό που δεν γνωρίζουμε είναι το μέγεθος τους. Σα άγνωστα μεγέθη των αντιδράσεων προσδιορίζονται από τις εξισώσεις ισορροπίας του δίσκου, κατασκευάζοντας το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του δίσκου.

35 Σο διάγραμμα ελεύθερου σώματος του δίσκου 31 Σο διάγραμμα ελεύθερου σώματος (ΔΕ) του δίσκου προκύπτει αφαιρώντας τις δεσμικές ράβδους, που συνδέουν τον δίσκο με το έδαφος, και τοποθετώντας, στις θέσεις τους, τις δυνάμεις που εξασκούν στον δίσκο, δηλαδή, τις αντιδράσεις. το ΔΕ δείχνουμε, εκτός από τις αντιδράσεις, που είναι άγνωστες ποσότητες, και όλες τις εξωτερικές δυνάμεις του συστήματος, που είναι γνωστές ποσότητες. Για κάθε μια από τις άγνωστες αντιδράσεις, επιλέγουμε, αυθαίρετα, μια συγκεκριμένη φορά, που σημειώνεται με ένα βέλος, και συνοδεύεται με το αλγεβρικό της μέτρο. Αν, για μια αντίδραση, επιλέξουμε το βέλος της να εισέρχεται στο δίσκο και δηλώσουμε το αλγεβρικό της μέτρο με R, τότε, αν από την ανάλυση προκύψει ότι R<0, αυτό θα σημαίνει ότι η δύναμη επενεργεί με διαφορετική φορά στον δίσκο, δηλαδή το βέλος της εξέρχεται από αυτόν. Οι δυνάμεις των αντιδράσεων, των οποίων τα μεγέθη είναι τρείς άγνωστες ποσότητες, μαζί με τις εξωτερικές δυνάμεις και τα πιθανά εξωτερικά ζεύγη ροπών, διαμορφώνουν ένα στατικό σύστημα δυνάμεων και ροπών, που βρίσκεται σε ισορροπία. Σα τρία άγνωστα μεγέθη των αντιδράσεων υπολογίζονται από τις τρείς εξισώσεις, που περιγράφουν την ισορροπία του δίσκου. χήμα 4.21 Η ισοστατικότητα του δίσκου Δείχθηκε προηγούμενα, ότι η στερεή στήριξη ενός απολύτως στερεού δίσκου στο έδαφος γίνεται με τρείς μη συντρέχουσες δεσμικές ράβδους. Για την περίπτωση που η στερεή σύνδεση του δίσκου με το έδαφος γίνεται χρησιμοποιώντας μόνο τρεις δεσμικές ράβδους, τότε οι τρείς άγνωστες αντιδράσεις των δεσμικών ράβδων προσδιορίζονται από τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας. Θα λέμε τότε ότι ο δίσκος στηρίζεται ισοστατικά με το έδαφος, ή διαφορετικά, ότι ο δίσκος είναι ισοστατικός. Για την περίπτωση, που χρησιμοποιούνται περισσότερες από τρεις δεσμικές ράβδοι, για την στερεή στήριξη του δίσκου στο έδαφος, τότε, οι αντιδράσεις των δεσμικών ράβδων δεν μπορούν να προσδιορισθούν από τις τρείς εξισώσεις ισορροπίας. Θα λέμε, τότε, ότι ο δίσκος στηρίζεται υπερστατικά με το έδαφος, ή απλά, ότι είναι υπερστατικός (χήμα 4.22). ε έναν υπερστατικό δίσκο, για να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τις χήμα 4.22

36 32 αντιδράσεις των δεσμικών ράβδων, θα πρέπει να κατασκευάσουμε ένα σύστημα εξισώσεων, που θα περιλαμβάνει τόσες εξισώσεις, όσες είναι οι δεσμικές ράβδοι. Οι εξισώσεις αυτές θα πρέπει να εμπλέκουν τις άγνωστες αντιδράσεις των δεσμικών ράβδων και τα επιβαλλόμενα φορτία. Επομένως, για να συμπληρωθεί το σύστημα των τριών εξισώσεων ισορροπίας του δίσκου, χρειαζόμαστε τόσες επιπρόσθετες εξισώσεις, όσες είναι οι υπεράριθμες δεσμικές ράβδοι, που χρησιμοποιήθηκαν. Οι επιπρόσθετες αυτές εξισώσεις κατασκευάζονται από γεωμετρικές συνθήκες συμβιβαστότητας των παραμορφώσεων θεωρώντας τον δίσκο ως ένα παραμορφώσιμο σώμα. Σο πώς γίνεται αυτό, θα το δούμε αργότερα. Ο αριθμός των επιπρόσθετων αγνώστων αντιδράσεων ορίζει τον βαθμό υπερστατικότητας. Έτσι, θα λέμε τότε ότι ο δίσκος είναι μία φορά, δύο φορές, κλπ, υπερστατικός, αν οι υπεράριθμες αντιδράσεις είναι μία, δύο, κλπ. Όταν ο αριθμός των δεσμικών ράβδων που χρησιμοποιούνται είναι μικρότερος από τρείς, τότε ο δίσκος γίνεται μηχανισμός. 4.7 ΟΙ ΑΡΦΕ ΤΝΘΕΗ ΕΠΙΠΕΔΨΝ ΣΕΡΕΨΝ ΦΗΜΑΣΙΜΨΝ Ο πρώτος τρόπος σύνδεσης χήμα 4.23 την συνέχεια θα συζητήσουμε, πώς μπορούμε να διαμορφώσουμε επίπεδα συστήματα συνδεόμενων δίσκων, που να αποτελούν στο σύνολό τους ένα στερεό σχηματισμό. Οι αρχές σχηματισμού των συστημάτων αυτών αποτελεί την βάση σύνθεσης επίπεδων δομικών συστημάτων κατασκευών, που τα δομικά τους μέλη θα πρέπει να συνδέονται με τέτοιο τρόπο, ώστε να αποτελούν στερεούς σχηματισμούς και να έχουν μια δεδομένη στατικότητα. Ας δούμε, τώρα, πως μπορούμε να σχηματίσουμε ένα στερεό σχηματισμό επίπεδων δίσκων, ξεκινώντας από έναν επίπεδο δίσκο Δ1, που είναι στερεά συνδεδεμένος με το έδαφος, με τρείς μη συντρέχουσες δεσμικές ράβδους (χήμα 4.23). Ο δίσκος αυτός, μαζί με το έδαφος, αποτελούν ένα στερεό σχηματισμό, και επομένως, μπορεί να χρησιμοποιηθεί, ως μέσο στήριξης ενός δεύτερου δίσκου Δ2. Έτσι, συνδέουμε τον δίσκο Δ2 με το έδαφος ή με τον δίσκο Δ1 χρησιμοποιώντας τρείς μη συντρέχουσες δεσμικές ράβδους. Μια επιλογή

37 είναι αυτή που δείχνεται στο χήμα 4.24 όπου έχουμε χρησιμοποιήσει δύο δεσμικές ράβδους για να συνδέσουμε τον δίσκο Δ2 με τον δίσκο Δ1, και μια δεσμική ράβδο για να τον συνδέσουμε με το έδαφος. Μπορούμε να συνεχίσουμε την διαδικασία αυτή συνδέοντας έναν τρίτο δίσκο Δ3 με το έδαφος και τους δίσκους Δ1 και Δ2, χρησιμοποιώντας τρείς μη συντρέχουσες ράβδους. Μια επιλογή είναι αυτή που δείχνεται στο χήμα Η διαδικασία αυτή περιλαμβάνει διαδοχικές συνδέσεις δίσκων χρησιμοποιώντας, για κάθε δίσκο, τρείς μη συντρέχουσες ράβδους. Η σύνδεση του κάθε νέου δίσκου γίνεται με τον διαμορφωμένο στερεό σχηματισμό των προηγούμενων δίσκων. Η ανάλυση ενός τέτοιου δομικού συστήματος, όταν καταπονείται από ένα σύστημα δυνάμεων, προϋποθέτει την αναγνώριση του τρόπου σύνθεσής του, δηλαδή, την διαδοχική σειρά στήριξης των δομικών του μελών (δίσκων). Η ανάλυση του δομικού συστήματος, δηλαδή, ο προσδιορισμός των αντιδράσεων γίνεται αντίστροφα. Δηλαδή, κατασκευάζουμε το ΔΕ του τελευταίου δίσκου και προσδιορίζουμε τις τρείς αντιδράσεις του. την συνέχεια, προχωράμε στον προτελευταίο δίσκο, στον οποίο, με βάση την αρχή δράση-αντίδραση έχουμε συμπεριλάβει στο ΔΕ τις ήδη γνωστές αντιδράσεις του τελευταίου δίσκου, ως εξωτερικές φορτίσεις. Η διαδικασία ανάλυσης συνεχίζεται με τον ίδιο τρόπο για τον προηγούμενο δίσκο, κλπ. χήμα 4.24 χήμα Ο δεύτερος θεμελιώδης τρόπος σύνδεσης Ο δεύτερος θεμελιώδης τρόπος σύνθεσης ενός στερεού σχηματισμού επίπεδων δίσκων βασίζεται στην μόρφωση, πρώτα, ενός στερεού σχηματισμού επίπεδων δίσκων σε σχέση με έναν δίσκο, που θα τον θεωρούμε ακίνητο. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: στον πρώτο δίσκο Δ, 1 που τον θεωρούμε ακίνητο, συνδέουμε έναν δεύτερο δίσκο Δ με τρεις 2 συντρέχουσες δεσμικές ράβδους. την συνέχεια, με τον στερεό σχηματισμό των Δ και Δ συνδέουμε έναν τρίτο δίσκο Δ με τρεις δεσμικές ράβδους. Οι δεσμικές αυτές ράβδοι μπορούν να συνδέσουν τον Δ, είτε με έναν από τους δύο δίσκους Δ και Δ, ή και με τους δύο. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχισθεί και για περισσότερους δίσκους. το τέλος, τον στερεό σχηματισμό που διαμορφώσαμε, σε σχέση με τον χήμα 4.26 χήμα 4.27

38 34 πρώτο δίσκο, τον συνδέουμε με το έδαφος χρησιμοποιώντας τρεις δεσμικές ράβδους. Παρατηρούμε ότι, στον δεύτερο αυτό τρόπο, δεν υπάρχει κανένας δίσκος, που να συνδέεται απευθείας με το έδαφος με τρεις ράβδους. χήμα 4.28

39 5 35 ΙΟΣΑΣΙΚΑ ΔΟΜΙΚΑ ΤΣΗΜΑΣΑ 5.1 ΕΙΑΓΨΓΗ το κεφάλαιο αυτό, θα παρουσιάσουμε τις βασικές αρχές, που διέπουν την ανάλυση απλών δομικών συστημάτων, με βάση τις οποίες προσδιορίζονται οι αντιδράσεις και τα εντατικά τους μεγέθη. Θα περιορισθούμε μόνο σε απλά ισοστατικά δομικά συστήματα, στα οποία γίνεται χρήση μόνο των εξισώσεων ισορροπίας του απολύτως στερεού σώματος, που αναπτύχθηκαν προηγούμενα. Αυτό σημαίνει ότι, στα πλαίσια αυτού του κεφαλαίου, υποθέτουμε ότι τα δομικά μέλη των δομικών συστημάτων, συμπεριφέρονται ως απολύτως στερεά σώματα. Μια τέτοια υπόθεση απλουστεύει τον προσδιορισμό των αντιδράσεων και των εντατικών μεγεθών του δομικού συστήματος και παρέχει αποτελέσματα με καλή ακρίβεια για τις απαιτήσεις της πράξης. 5.2 ΣΗΡΙΞΕΙ Κύλιση Ο τύπος της στήριξης, που δεσμεύει, σε μία μόνο διεύθυνση, την μεταφορική κίνηση του δομικού στοιχείου στη θέση στήριξης, θα ονομάζεται κύλιση (χήμα 5.1). Η κύλιση θα προσομοιώνεται με μια δεσμική ράβδο, που θα τοποθετείται στην διεύθυνση που δεσμεύεται η κίνηση (χήμα 5.2). Η προσομοίωση αυτή αντιστοιχεί σε μια μόνο δύναμη αντίδρασης, που ο φορέας της θα βρίσκεται πάνω στην δεσμική ράβδο (χήμα 5.3). Μερικές φορές, η λειτουργία του δομικού στοιχείου μας επιτρέπει να προσομοιώσουμε ως κύλιση στηρίξεις, που λειτουργούν μονόπλευρα στην δέσμευση της κίνησης, που επιβάλλουν στο δομικό στοιχείο. Για παράδειγμα, το καλώδιο, που χρησιμοποιείται για την ανάρτηση της δοκού του χήματος 5.4, περιορίζει την κίνηση μόνο όταν χήμα 5.1

40 36 χήμα 5.2 αυτό είναι τεντωμένο (εφελκυόμενο) και στην διεύθυνση της δύναμης που το τεντώνει (εφελκύει). Η δέσμευση αυτή μπορεί να προσομοιωθεί με μία κύλιση, με τον όρο ότι, η δύναμη που θα προκύψει, μετά την ανάλυση, θα είναι εφελκυστική για το καλώδιο. Ένα δεύτερο παράδειγμα, ανάλογο με το προηγούμενο, είναι η στήριξη μιας δοκού με ένα απλό θλιβόμενο στοιχείο, χωρίς τριβή (χήμα 5.5). την περίπτωση αυτή, το στοιχείο αυτό δεσμεύει την προς τα κάτω κατακόρυφη κίνηση της δοκού στο σημείο επαφής, αλλά δεν δεσμεύει την προς τα πάνω κίνηση. Αυτό σημαίνει ότι, η αντίδραση, που θα προκύψει από την ανάλυση, θα πρέπει να προκαλεί συμπίεση (θλίψη) στο στοιχείο έδρασης. χήμα 5.3 χήμα 5.4 χήμα 5.5 χήμα 5.6 Μία στήριξη του στοιχείου μέσω μίας ράβδου (χήμα 5.6), αντιστοιχεί σε μία κύλιση, που προσομοιώνεται με μία δεσμική ράβδο, που συνδέει το στοιχείο με το έδαφος, έχει την συμπεριφορά μιας δεσμικής ράβδου. Άρθρωση χήμα 5.7 Ο τύπος της στήριξης, που δεσμεύει την μεταφορική κίνηση του δομικού στοιχείου στην θέση σύνδεσης, σε δύο διευθύνσεις, θα ονομάζεται άρθρωση (χήμα 5.7). Εύκολα συνάγεται ότι, όταν έχουμε την δέσμευση της μεταφορικής κίνησης του σημείου σύνδεσης του στοιχείου σε δύο διαφορετικές διευθύνσεις, θα έχουμε την δέσμευση της μεταφορικής κίνησης του, σε οποιαδήποτε άλλη διεύθυνση. Όμως, η άρθρωση δεν δεσμεύει και την περιστροφική κίνηση του δομικού στοιχείου, γύρω από το σημείο σύνδεσης. Οι αρθρώσεις θα προσομοιώνονται με δύο δεσμικές

41 ράβδους, οι γραμμές των οποίων μπορεί να επιλεχθούν αυθαίρετα (χήμα 5.8). Η αντίδραση τέτοιων στηρίξεων είναι μια δύναμη τυχαίας διεύθυνσης, και μπορεί να αντιπροσωπευθεί από μία κατακόρυφη και 37 χήμα 5.8 χήμα 5.9 χήμα 5.10 από μία οριζόντια συνιστώσα (χήμα 5.9). Μια στήριξη πάνω σε ένα στοιχείο με τριβή, μπορεί να προσομοιωθεί με μια άρθρωση, αρκεί η κάθετη συνιστώσα της δύναμης στο στοιχείο στήριξης να είναι θλιπτική (χήμα 5.10). Πάκτωση Ο τύπος της στήριξης, που δεσμεύει την μεταφορική κίνηση του στοιχείου και την περιστροφή του, στο σημείο σύνδεσης, θα ονομάζεται πάκτωση. Η περιστροφή περιγράφεται από την γωνία, που περιστρέφεται, ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα αβ του συνόρου του στοιχείου, που αντιστοιχεί στην σύνδεση (χήμα 5.11). ε αυτό τον τύπο στήριξης, η σύνδεση ορίζεται ως προς ένα μικρό συνοριακό ευθύγραμμο τμήμα του συνόρου του στοιχείου, και όχι ως προς ένα σημείο του συνόρου, όπως συμβαίνει χήμα 5.11 χήμα 5.12 χήμα 5.13 στις δύο προηγούμενες στηρίξεις. Ένας αντιπροσωπευτικός τύπος τέτοιας στήριξης είναι η συγκολλημένη δοκός σε ένα τοίχο. Ο περιορισμός της περιστροφής του μικρού ευθύγραμμου τμήματος αβ του στοιχείου προϋποθέτει, από τη στήριξη την ανάπτυξη ενός

42 38 κατάλληλου μηχανισμού για την παραλαβή των αντιδράσεων, που είναι μία ροπή ζεύγους και μία δύναμη τυχαίας διευθύνσεως (χήμα 5.13). Έτσι, μια πάκτωση μπορεί να προσομοιωθεί με δύο παράλληλες ράβδους, στις οποίες αναπτύσσεται το ζεύγος των δυνάμεων, και με μια τρίτη διαγώνια ράβδο, που μαζί με την μία από τις δύο παράλληλες ράβδους, δημιουργούν τον μηχανισμό περιορισμού της μεταφορικής κίνησης σε δύο διευθύνσεις. 5.3 ΔΟΚΟΙ-ΤΠΟΣΤΛΨΜΑΣΑ-ΡΑΒΔΟΙ Έννοιες και ορισμοί Οι δοκοί, τα υποστυλώματα και οι ράβδοι είναι τα πιο συνηθισμένα δομικά στοιχεία που χρησιμοποιούνται στην πράξη. Σα στοιχεία αυτά, συνήθως, είναι κυλινδρικής μορφής, με διάσταση μήκους πολύ μεγαλύτερη από τις διαστάσεις της διατομής τους. Σα στοιχεία αυτά διαφοροποιούνται ως προς τα φορτία, που σχεδιάζονται να παραλαμβάνουν. Η δοκός σχεδιάζεται να παραλαμβάνει φορτία που χήμα 5.14 χήμα 5.15 χήμα 5.16 εξασκούνται κάθετα στον άξονα της, και δευτερευόντως αξονικά φορτία (χήμα 5.14). Σο υποστύλωμα σχεδιάζεται να παραλαμβάνει κυρίως θλιπτικά κεντρικά, ή έκκεντρα αξονικά φορτία, και δευτερευόντως εγκάρσια φορτία (χήμα 5.15). Η ράβδος σχεδιάζεται να παραλαμβάνει μόνο αξονικά φορτία (χήμα 5.16). Ψς άξονας των στοιχείων αυτών θεωρείται το ευθύγραμμο τμήμα, που ενώνει τα κέντρα βάρη των

43 διατομών τους. Σα στοιχεία αυτά, στην πραγματικότητα, είναι τριδιάστατα σώματα, αλλά, η ανάλυσή τους, με τις παραδοχές και εξιδανικεύσεις, που εισάγονται παρακάτω, καθίσταται μονοδιάστατη. Σα εξωτερικά φορτία, που καταπονούν τις δοκούς και τα υποστυλώματα, υποθέτουμε ότι βρίσκονται πάνω σε ένα (νοητό) επίπεδο, που διέρχεται από τον άξονα του στοιχείου. Σο επίπεδο αυτό θα το ονομάζουμε επίπεδο φόρτισης του στοιχείου. Για τον προσδιορισμό των αντιδράσεων, καθώς επίσης και των εντατικών μεγεθών διατομής, που ορίζονται παρακάτω, τα στοιχεία αυτά θα θεωρούνται ότι συμπεριφέρονται ως απολύτως στερεά σώματα. 39 Υορτία διατομής Οι ορισμοί των εντατικών φορτίων διατομής θα δοθούν για μια συμμετρική δοκό, της οποίας το επίπεδο φόρτισης ταυτίζεται με το χήμα 5.17 επίπεδο συμμετρίας (χήμα 5.17). Κατά την φόρτιση της δοκού, αυτό που συμβαίνει σε κλίμακα ατόμων, είναι η μεταβολή των ατομικών αποστάσεων του υλικού της δοκού, που μακροσκοπικά εκδηλώνεται με την παραμόρφωσή της. Η μεταβολή των ατομικών αποστάσεων της δοκού έχει ως συνέπεια την ανάπτυξη επιπρόσθετων δυνάμεων μεταξύ των ατόμων της, που τείνουν να επαναφέρουν τα άτομα αυτά στην αρχική φυσική τους θέση. ε μια διατομή της δοκού, οι δυνάμεις αυτές μπορούν να αναχθούν, ως προς το κέντρο βάρους της διατομής, σε μια συγκεντρωμένη δύναμη R και μια σε μια ροπή M (χήμα 5.18). Για int int

44 40 την περιγραφή των μεγεθών αυτών, εισάγουμε ένα Καρτεσιανό επίπεδο συντεταγμένων ( x,, ), του οποίου η αρχή τοποθετείται στην αριστερή ακραία διατομή της δοκού, ο άξονας x ταυτίζεται με τον άξονά της δοκού, και ο άξονας με τον άξονα συμμετρίας της, όπως δείχνεται στο χήμα Επειδή το επίπεδο φόρτισης της δοκού ταυτίζεται με το επίπεδο συμμετρίας της, που είναι το επίπεδο x, η συνισταμένη R των int εσωτερικών δυνάμεων θα βρίσκεται πάνω σε αυτό το επίπεδο, το δε διάνυσμα της ροπής ζεύγους μπορούμε να γράψουμε M θα είναι κάθετο σε αυτό. Έτσι, int χήμα 5.18 R Ni Vj, M Mk. (5.1) int int όπου i, j και k είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x, και, αντίστοιχα. Η αλγεβρική συνιστώσα V, που βρίσκεται πάνω στην διατομή, θα ονομάζεται διατμητική δύναμη, η δε αλγεβρική συνιστώσα, που είναι κάθετη στην διατομή, αξονική δύναμη. Η ροπή ζεύγους έχει αλγεβρική συνιστώσα μόνο στην διεύθυνση του άξονα, την Μ, που θα την ονομάζουμε καμπτική ροπή. Σα τρία μεγέθη { N, V, M } αποτελούν τα εντατικά φορτία διατομής της δοκού. Η θετική προσήμανση των μεγεθών αυτών δείχνεται στο χήμα 5.19, αναφορικά με την ίνα αναφοράς. Η ίνα αναφοράς (η διακεκομένη γραμμή, στο χήμα 5.19), αντικαθιστά το σύστημα αναφοράς, και επιλέγεται ώστε να δείχνει την κάτω ίνα του δομικού στοιχείου. Σα διαγράμματα των εντατικών μεγεθών Σα εντατικά φορτία μεταβάλλονται σε κάθε διατομή, είναι, δηλαδή, συναρτήσεις της θέσης της διατομής, που ορίζεται με την μεταβλητή x ενός σταθερού συστήματος συντεταγμένων (x,,). Έτσι μπορούμε να γράψουμε χήμα 5.19 N N ( x ), V V ( x ), M M ( x ). (5.2) Οι γραφικές παραστάσεις των μεγεθών αυτών ονομάζονται διαγράμματα εντατικών μεγεθών, ή απλά, διαγράμματα Ν, V και Μ της δοκού (χήμα 5.20). Για εποπτεία, τα διαγράμματα αυτά κατασκευάζονται πάνω στην γραμμική προσομοίωση του δομικού συστήματος ως εξής: σε κάθε θέση

45 41 της διατομής του δομικού συστήματος, φέρνουμε πάνω στην γραμμή του δομικού μέλους της διατομής, ένα κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη (απόλυτη) τιμή του εντατικού μεγέθους, που σχεδιάζουμε. Σο ευθύγραμμο αυτό τμήμα, για αρνητικές τιμές του εντατικού μεγέθους, το σχεδιάζουμε στην πλευρά της ίνας αναφοράς, ενώ για θετικές τιμές, το σχεδιάζουμε στην αντίθετη πλευρά. Από τον κανόνα αυτό, εξαιρούμε το διάγραμμα Μ, για το οποίο κάνουμε ακριβώς το αντίθετο. Σο σημείο του άκρου του ευθύγραμμου αυτού τμήματος, που δεν ανήκει στο δομικό στοιχείο, περιγράφει το εντατικό μέγεθος στη θέση αυτή. Για ένα εντατικό μέγεθος, το σύνολο των ακραίων σημείων των ευθύγραμμων τμημάτων όλων των διατομών της δοκού, αποτελεί το διάγραμμα του εντατικού αυτού μεγέθους. Η εξαίρεση, που γίνεται για το διάγραμμα των ροπών, οφείλεται στο ότι η τοποθέτηση των ροπών με αυτό τον τρόπο, παρέχει μια εικόνα της παραμόρφωσης, που θα υποστεί ο άξονας του στοιχείου. χήμα 5.20 Οι σχέσεις των εντατικών μεγεθών Η ένταση που αναπτύσσεται σε μία δοκό, λόγω μιας εξωτερικής φόρτισης, περιγράφεται με τις συναρτήσεις των φορτίων διατομής N N ( x ), V V ( x ), M M ( x ). Θα προσδιορίσουμε τις σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων αυτών από τις συνθήκες ισορροπίας ενός στοιχειώδους τμήματος της δοκού. Σο τμήμα αυτό της δοκού αποκόπτεται σε μια θέση x, όπου δεν εφαρμόζεται συγκεντρωμένη δύναμη ή ροπή, αλλά μόνο ένα συνεχώς διανεμημένο γραμμικό φορτίο w w ( x ), που είναι κάθετο στον άξονα της δοκού (χήμα 5.21). Θα υποθέσουμε ότι τα αναπτυσσόμενα φορτία, που αναπτύσσονται στο δομικό στοιχείο στην περιοχή της διατομής x, έχουν μια συνεχή μεταβολή, που περιγράφεται με την συνέχεια των συναρτήσεων V V ( x ), M M ( x ). Σο στοιχειώδες τμήμα της δοκού, το αποκόπτουμε από την δοκό, κάνοντας δύο κάθετες τομές στον άξονά της στις θέσεις x και x+dx. Σα εντατικά μεγέθη στην θέση x της δοκού θα είναι V V ( x ), M M ( x ) και στην θέση x+dx θα είναι V V ( x dx ), M M ( x dx ). Η συνέχεια των ποσοτήτων αυτών στην περιοχή της θέσης x μας επιτρέπει να γράψουμε V ( x dx ) V ( x ) dv, M ( x dx ) M ( x ) dm. (5.3)

46 42 Η διανεμημένη φόρτιση πάνω στο στοιχειώδες τμήμα της δοκού μπορεί να αντικατασταθεί με μία συγκεντρωμένη δύναμη ίση με w ( x dx ) w ( x ) w ( x ) dw w ( x ) R dx dx w 2 2. (5.4) 1 w ( x ) dx dwdx 2 Παραλείποντας τα απειροστά ανώτερης τάξης, έχουμε R w( xd ) x. (5.5) w Η σχέση αυτή δείχνει ότι, πάνω στο στοιχειώδες τμήμα της δοκού, η συνεχής φόρτιση μπορεί να θεωρηθεί ομοιόμορφη και ίση με w( x ), και επομένως, η συνισταμένη της R εφαρμόζεται στο μέσο του μήκους dx w (χήμα 5.21). Επομένως, από τη συνθήκη ισορροπίας κατά x και, και από την συνθήκη ισορροπίας, γύρω από το σημείο του κέντρου βάρους της δεξιάς διατομής του στοιχειώδους τμήματος, έχουμε: χήμα 5.21 V ( V dv ) R 0 w dx Vdx R M ( M dm ) 0. w 2 Από τις σχέσεις αυτές, παίρνοντας υπόψη την (5.5), προκύπτει dv wdx 0, 2 ( dx ) dm Vdx w 0. 2 (5.6) (5.7) Από τις σχέσεις αυτές, παραλείποντας τα απειροστά ανώτερης τάξης, έχουμε dv w, (5.8) dx dm V. (5.9) dx Ολοκληρώνοντας τις σχέσεις αυτές μεταξύ των διατομών που βρίσκονται στις θέσεις Α και Β, βρίσκουμε B V V w ( x ) dx, (5.10) B A A

47 B M M V ( x ) dx. (5.11) B A A 43 Ερμηνεύοντας τα ολοκληρώματα των παραπάνω σχέσεων με τα εμβαδά που αντιπροσωπεύουν στα αντίστοιχα διαγράμματα, μπορούμε να προσδιορίσουμε εύκολα την τιμή της ροπής σε ένα σημείο Β, αν ξέρουμε την ροπή στο Α και το διάγραμμα των τεμνουσών. Επίσης, αν ξέρουμε την φόρτιση και την τέμνουσα στο Α, μπορούμε να προσδιορίσουμε την τέμνουσα στο Β με την σχέση (5.11). Επίσης, από τις σχέσεις (5.10), (5.11) προκύπτουν τα παρακάτω: Αν σε ένα τμήμα της δοκού, η συνεχής φόρτιση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n, τότε η τέμνουσα είναι πολυώνυμο βαθμού n+1 και η ροπή βαθμού n+2. Έτσι, όταν ένα τμήμα της δοκού δεν έχει φορτίο, η τέμνουσα σε αυτό θα είναι μια γραμμή παράλληλη στον άξονα της δοκού, και η ροπή μια γραμμή πλάγια. Όταν σε ένα τμήμα της δοκού η φόρτιση είναι ομοιόμορφη, τότε η τέμνουσα, στο τμήμα αυτό, θα είναι μια πλάγια γραμμή στον άξονα και η ροπή μια παραβολή. Ακόμα, από τα σημεία μηδενισμού του διαγράμματος των τεμνουσών, μπορούμε να βρούμε τις ακραίες τιμές (μέγιστα ή ελάχιστα) των ροπών. 5.4 ΠΛΑΙΙΑ ΚΑΙ ΣΟΞΑ Σο πλαίσιο είναι ένα δομικό στοιχείο, που αποτελείται από ευθύγραμμα δομικά στοιχεία, που συνδέονται μεταξύ τους με γωνία και έχουν την γεωμετρική μορφή δοκού ή υποστυλώματος (χήμα 5.22). Σα σημεία που συνδέονται δύο ή περισσότερα ευθύγραμμα στοιχεία του πλαισίου ονομάζονται κόμβοι. Ένα πλαίσιο μπορεί να έχει έναν ή περισσότερους κόμβους, τα δε ευθύγραμμα τμήματα, από τα οποία αποτελείται, μπορεί να έχουν διαφορετικές διατομές. Μια βασική υπόθεση στην συμπεριφορά ενός πλαισίου είναι ότι, οι γωνίες που σχηματίζουν τα ευθύγραμμα στοιχεία του πλαισίου, που συνδέονται σε έναν κόμβο, δεν μεταβάλλονται κατά την φόρτισή του. Σα πλαίσια, στα οποία τα φορτία και οι αναπτυσσόμενες αντιδράσεις στηρίξεων βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, θα ονομάζονται επίπεδα πλαίσια. χήμα 5.22

48 44 ε αντίθεση με την δοκό, που έχει ως άξονα ένα ευθύγραμμο τμήμα, το τόξο έχει ως άξονα ένα τμήμα μια επίπεδης καμπύλης. Τπάρχουν κυκλικά τόξα, παραβολικά τόξα, ελλειπτικά τόξα, κλπ (χήμα 5.23). Σα τόξα, όπως οι δοκοί και τα υποστυλώματα, είναι τριδιάστατα σώματα, που οι διαστάσεις της διατομής τους είναι πολύ μικρότερες από το μήκος του άξονά τους. χήμα 5.23 χήμα 5.24 Η διατομή ενός τόξου, που ορίζεται ως μια κάθετη τομή στον καμπύλο άξονα, υποθέτουμε ότι είναι σταθερή σε όλα τα σημεία του άξονα του τόξου. Επίσης, υποθέτουμε ότι το επίπεδο του καμπύλου άξονα του τόξου είναι επίπεδο συμμετρίας του τόξου και ότι αυτό αποτελεί και το επίπεδο φόρτισής του. Οι έννοιες των φορτίων διατομής, που αναπτύχθηκαν για μια δοκό, μπορούν να επεκταθούν άμεσα για μια διατομή πλαισίου ή τόξου. Επίσης, οι νόμοι μόρφωσης στερεών σχηματισμών, που αναπτύχθηκαν για στερεούς δίσκους, μπορούμε να χρησιμοποιηθούν για να κατασκευασθούν σύνθετα δομικά επίπεδα συστήματα, αντικαθιστώντας τους δίσκους με δοκούς, πλαίσια και τόξα. Σα συστήματα αυτά θα ονομάζονται πλαισιωτά δομικά συστήματα, που μπορεί να είναι ισοστατικά ή υπερστατικά (χήμα 5.24).

49 6 45 Η ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ 6.1 ΕΙΑΓΨΓΗ Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων στηρίξεων, των δυνάμεων συνδέσμων και των φορτίων διατομής, που αναπτύσσονται σε ένα δομικό σύστημα, από ένα σύνολο εξωτερικών δράσεων, υποθέσαμε ότι τα μέλη του συστήματος συμπεριφέρονται ως απολύτως στερεά σώματα. Μια τέτοια υπόθεση διευκολύνει την μαθηματική ανάλυση των δομικών συστημάτων και παρέχει αποτελέσματα με ικανοποιητική ακρίβεια για μια συγκεκριμένη κατηγορία υλικών, που, για τις συνηθισμένες φορτίσεις, υφίστανται απειροστές παραμορφώσεις. την κατηγορία των υλικών αυτών, ανήκουν τα περισσότερα δομικά υλικά, που χρησιμοποιούμε στην πράξη. Οι αντιδράσεις στηρίξεων, οι δυνάμεις συνδέσμων και τα φορτία διατομής, περιγράφουν την εντατική κατάσταση του δομικού συστήματος και είναι ιδεατές οντότητες. Οντότητες, δηλαδή, που γίνονται αντιληπτές μόνο από τα αποτελέσματα που επιφέρουν, όταν αναπτύσσονται. Επομένως οι οντότητες αυτές, έμμεσα μόνο μπορούν να μετρηθούν. Παρακάτω, θα ορίσουμε δύο επιπλέον ποσότητες, την ορθή τάση και την διατμητική τάση, που αναπτύσσονται σε μια μικρή επιφάνεια του σώματος, προκειμένου να περιγράψουμε την εντατική κατάσταση, που αναπτύσσεται σε ένα σώμα. Αντίθετα, οι ποσότητες που περιγράφουν την παραμορφωσιακή κατάσταση του δομικού συστήματος, είναι ορατές οντότητες και μπορούν να μετρηθούν πειραματικά με άμεσο τρόπο. Οι ποσότητες αυτές είναι η μετατόπιση ενός υλικού σωματιδίου του σώματος, η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση, που υφίσταται μικρό ευθύγραμμο μήκος του σώματος, και η γωνιακή παραμόρφωση δύο

50 46 μικρών ευθύγραμμων τμημάτων του σώματος, που ξεκινούν από το ίδιο σημείο και τέμνονται κάθετα. 6.2 H ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΣΑΠΟΝΗΗ ΣΗ ΡΑΒΔΟΤ Θεωρούμε μια λεπτή ράβδο, της οποίας το αρχικό μήκος είναι l και το 0 αρχικό εμβαδόν της διατομή A (χήμα 6.1). την ράβδο εφαρμόζονται 0 χήμα 6.1 χήμα 6.2 αξονικά δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις, των οποίων τα σημεία εφαρμογής είναι τα κέντρα βάρους των δύο ακραίων διατομών της. Προφανώς, η ράβδος, κάτω από την δράση των δύο αυτών δυνάμεων, βρίσκεται σε ισορροπία. Αν οι δυνάμεις εξέρχονται από την ράβδο, θα λέμε ότι η ράβδος εφελκύεται και ότι η εντατική κατάσταση, που αναπτύσσεται στην ράβδο, είναι εφελκυσμός. την περίπτωση αυτή, το μήκος της ράβδου αυξάνεται και η διατομή της μειώνεται (χήμα 6.1). Σα αντίθετα συμβαίνουν, αν οι δύο δυνάμεις εισέρχονται στην ράβδο. Θα λέμε, τότε, ότι η ράβδος θλίβεται και ότι η εντατική κατάσταση, που αναπτύσσεται στην ράβδο είναι θλίψη (χήμα 6.1). την συνέχεια, οι δύο παραπάνω καταστάσεις θα περιγράφονται με δύο δυνάμεις P, που εξέρχονται από τη ράβδο, όπου το P θα δηλώνει το αλγεβρικό μέγεθος των δύο δυνάμεων. Αν P 0, θα έχουμε εφελκυσμό, ενώ, αν P 0, θα έχουμε θλίψη (χήμα 6.2). 6.3 Η ΟΡΘΗ ΣΑΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΣΑΗ χήμα 6.3 Η δράση των δύο δυνάμεων, που εφαρμόζονται στα κέντρα βάρη των ακραίων διατομών της ράβδου, προκαλεί μια ομογενή ένταση στη ράβδο, η οποία εμφανίζει μια τοπική διαταραχή στη γειτονιά των σημείων εφαρμογής. Με τον όρο ένταση εννοούμε τις επιπρόσθετες ατομικές δυνάμεις που αναπτύσσει η ράβδος, προκειμένου να αντισταθεί στην μεταβολή της γεωμετρίας της φυσική της κατάστασης, που προκαλείται από τις δυνάμεις που εξασκούνται σε αυτήν. Προκειμένου να αποκτήσουμε μια εικόνα των επιπρόσθετων αυτών ατομικών δυνάμεων, κάνουμε μία (νοητή) τομή στην φορτισμένη ράβδο, που είναι κάθετη στον άξονά της και μακριά από τις ακραίες διατομές της. Με την τομή αυτή, η ράβδος διαιρείται σε δύο τμήματα που δείχνεται στο χήμα 6.3. τα δύο

51 αυτά τμήματα της ράβδου, με ΔN, δηλώνουμε τις επιπρόσθετες ατομικές δυνάμεις, που αναπτύσσονται στα άτομα της ράβδου, που διαχωρίστηκαν με την τομή που έγινε. Οι δυνάμεις αυτές, σε τομές που βρίσκονται μακριά από τις ακραίες διατομές, μπορούμε να πούμε ότι γίνονται σχεδόν παράλληλες στις εξωτερικές δυνάμεις P. Έτσι, η δράση όλων αυτών των δυνάμεων μπορεί να αντικατασταθεί με μια μόνο δύναμη N ΔN i, που επενεργεί στο κέντρο βάρος της διατομής. Η δύναμη αυτή είναι γνωστή ως αξονική δύναμη. το χήμα 6.4 δείχνονται τα διαγράμματα ελεύθερου σώματος των δύο τμημάτων. Από την ισορροπία των δύο αυτών τμημάτων προκύπτει ότι N P. Η δράση των δυνάμεων ΔN, πάνω στην επιφάνεια της τομής, μπορεί να αντικατασταθεί με την i ορθή τάση, που ορίζεται με τη σχέση 0 i N σ. (6.1) A χήμα Η ποσότητα αυτή αντικαθιστά με έναν συνεχή και ομοιόμορφο τρόπο την δράση των δυνάμεων ΔN i, που επενεργούν κάθετα στην επιφάνεια A 0 της ράβδου και διανέμονται ασυνεχώς πάνω στην επιφάνεια αυτή (χήμα 6.5). Για τον ορισμό της ορθής τάσης έχουμε υποθέσαμε ότι η ύλη της δοκού διανέμεται συνεχώς στο χώρο που καταλαμβάνει ο όγκος της. Η υπόθεση της συνεχούς διανομής της ύλης αποτελεί την βάση ανάπτυξης της μηχανικής των υλικών. τον παραπάνω ορισμό της ορθής τάσης, χρησιμοποιήσαμε το εμβαδόν A της διατομής, που αντιστοιχεί στην 0 αφόρτιστη κατάσταση της ράβδου, και όχι το εμβαδόν A της φορτισμένης κατάστασης, που θα ήταν η σωστή επιλογή. Μια τέτοια επιλογή, θα περιέπλεκε την μαθηματική ανάλυση, χωρίς κανένα πρακτικό όφελος, καθότι, για τις παραμορφώσεις των περισσοτέρων δομικών υλικών, που χρησιμοποιούνται στις κατασκευές, ισχύει A A da, όποτε 0 N N N σ A A da A 0 0. χήμα 6.5 Θα ορίσουμε τώρα την διατμητική τάση κάνοντας μια πλάγια επίπεδη τομή στην ράβδο, στην ίδια θέση του άξονα. Η τομή αυτή θα ορίζεται με

52 48 χήμα 6.6 χήμα 6.7 την γωνία θ, που σχηματίζει η κάθετη στο επίπεδό της με τον άξονα της ράβδου. Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι το εμβαδόν A της πλάγιας αυτής θ τομής (χήμα 6.6) συνδέεται με το εμβαδόν της κάθετης τομής A με την 0 σχέση A A 0. (6.2) θ cosθ Η συνισταμένη των επιπρόσθετων ατομικών δυνάμεων, που αναπτύσσονται στα άτομα, των δύο τμημάτων της ράβδου, που διαχωρίζει η πλάγια τομή, θα είναι πάλι ίση με N( P). Αν αναλύσουμε την δύναμη N σε δύο κάθετες συνιστώσες κάθετη στην πλάγια τομή και την ισχύει N, N, με την θ s N να είναι θ N πάνω στην τομή (χήμα 6.7), θα s N N cosθ, N N sinθ. (6.3) θ s Αν οι συνιστώσες αυτές διανεμηθούν πάνω στην πλάγια τομή, τότε, σε σχέση με την πλάγια τομή διατμητική τάση τ θ με τις σχέσεις σ N N cosθ N n 2 cos θ, θ A A / cosθ A θ 0 0 A, ορίζουμε την ορθή τάση θ Ns N sinθ N 1 N τ sinθ cosθ sin2θ. θ A A / cosθ A 2 A θ σ και την θ Για θ 0 στις παραπάνω σχέσεις, δηλαδή για την κάθετη τομή, προκύπτει N σ, τ 0 θ 0 θ 0 A (6.4) 0 δηλαδή, όπως αναμενόταν, παίρνουμε το αποτέλεσμα (6.1), που προέκυψε για την κάθετη τομή. Αν θέσουμε N σ σ, (6.5) 0 θ 0 A 0 τότε, οι παραπάνω σχέσεις γράφονται 1, τ σ sin2θ. (6.6) θ σ σ cos θ θ 0

53 49 Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει ότι η μέγιστη ορθή τάση συμβαίνει, όταν θ 0 (cosθ 1) και έχει την τιμή maxσ θ σ. την διατομή της 0 μέγιστης ορθής τάσης η διατμητική δύναμη είναι μηδέν. Η μέγιστη διατμητική τάση συμβαίνει, όταν θ 45 (sin2θ 1) και είναι ίση με max σ 0 τ. την διατομή της μέγιστης διατμητικής τάσης η ορθή τάση θ είναι ίση με 2 σ 0 σ θ Η ΔΙΑΜΗΚΗ (Ή ΟΡΘΗ) ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΣΜΗΣΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΗ Η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση Θεωρούμε την λεπτή ράβδο του χήματος 6.8, που έχει κυκλική διατομή και καταπονείται αξονικά με δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις P. Οι δύο δυνάμεις, που επιβάλλονται ταυτόχρονα στην ράβδο μέσω κάποιου εξωτερικού μηχανισμού, ξεκινούν από την μηδενική τους τιμή και φθάνουν στην τελική τους τιμή P με έναν συνεχή και αυξανόμενο τρόπο. Κατά την έναρξη της φόρτισης, το αρχικό μήκος της ράβδου ήταν l 0 και η αρχική διάμετρος της διατομή της ήταν D, ενώ, κατά το τέλος της 0 φόρτισης, το μήκος της ράβδου έγινε l και η διάμετρος D. Αν οι δυνάμεις P είναι εφελκυστικές, δηλαδή αν P 0, τότε η μεταβολή δl l l, που 0 υφίσταται το μήκος της ράβδου, είναι θετική, ενώ η μεταβολή δd D D 0 της διαμέτρου είναι αρνητική. Σα αντίθετα συμβαίνουν, αν οι δύο δυνάμεις είναι θλιπτικές, δηλαδή αν P 0. χήμα 6.8 Λόγω των δύο δυνάμεων, η ράβδος υπέστη μια μεταβολή στον όγκο της, επειδή μεταβλήθηκε το μήκος της και η διάμετρός της. Από την άλλη πλευρά, το κυλινδρικό της σχήμα παρέμεινε αμετάβλητο. Γενικά, όταν ένα στερεό σώμα υφίσταται, από κάποια αιτία, μεταβολή στον όγκο ή στο σχήμα του, θα λέμε ότι παραμορφώνεται, ή, διαφορετικά, ότι υφίσταται παραμόρφωση. την παραπάνω περίπτωση, η ράβδος, από τις δύο δυνάμεις, υπέστη μόνο παραμόρφωση όγκου. Η περιγραφή τέτοιων παραμορφώσεων γίνεται με την διαμήκη ( ή ορθή) παραμόρφωση ε και

54 50 την εγκάρσια παραμόρφωση ε. Η ποσότητες αυτές, αναφορικά με την d ράβδο του χήματος 6.8, ορίζονται με τις σχέσεις δl δd ε, ε (6.7) d l D 0 0 όπου δl l l, δd D D. Οι ποσότητες αυτές είναι αδιάστατες και 0 0 εκφράζουν τα ποσοστά μεταβολής του μήκους και της διαμέτρου της ράβδου, αντίστοιχα, σε σχέση με το αρχικές τους τιμές. την συνέχεια, θα συζητήσουμε ένα βασικό αποτέλεσμα, που σχετίζεται με την διαμήκη (ή ορθή) παραμόρφωση. Αν, από την προηγούμενη ράβδο, αποκόψουμε ένα τμήμα, μήκους l 0, και εφαρμόσουμε σε αυτό, με την ίδια διαδικασία, τις δύο δυνάμεις P, τότε η ορθή παραμόρφωση που για το τμήμα αυτό θα είναι δl ε ( δl l l ), (6.8) l 0 0 όπου l είναι η μεταβολή του μήκους l. Αυτό που πειραματικά θα 0 χήμα 6.9 διαπιστωθεί είναι ότι ε ε. Σο γεγονός αυτό μπορεί να ερμηνευθεί χρησιμοποιώντας το απλοποιημένο μοντέλο που δείχνεται στο χήμα 6.9. Η ράβδος του χήματος 6.9 είναι από κρυσταλλικό υλικό με την απλοποιημένη δομή που δείχνεται. Αν η ατομική απόσταση των ατόμων του κρυσταλλικού υλικού, στην απαραμόρφωτη κατάσταση, είναι a, και 0 υπάρχουν n άτομα κατά μήκος της ράβδου, τότε, το μήκος της ράβδου θα είναι l ( n 1) a. Κατά την παραμόρφωση της ράβδου, όλες οι 0 0 ατομικές αποστάσεις θα γίνουν a a δa, και συνεπώς το νέο μήκος 0 0 της ράβδου θα γίνει l ( n 1) a. Λόγω της παραμόρφωσης, η μεταβολή του μήκους της ράβδου θα είναι δl l l ( n 1) a ( n 1) a ( n 1) δa. (6.9) υνεπώς, η ορθή παραμόρφωση θα είναι δl ( n 1) δa δa 0 0 ε. (6.10) l ( n 1) a a Σο αποτέλεσμα αυτό δείχνει ότι η ορθή παραμόρφωση της ράβδου είναι ανεξάρτητη από τον αριθμού των ατόμων, που είναι διανεμημένα κατά

55 μήκος της. Σο παραπάνω αποτέλεσμα προϋποθέτει ότι οι μεταβολές των αποστάσεων μεταξύ των ατόμων, που βρίσκονται κατά μήκος της ράβδου, είναι όλες ίσες. 51 Αν η ορθή τάση δεν είναι ομοιόμορφη κατά μήκος της ράβδου, η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση της ράβδου, θα πρέπει να ορισθεί σε σχέση με ένα απειροστό τμήμα της dl, με την σχέση δ ( dl ) ε, (6.11) dl όπου δ ( dl ) dl dl. Με dl δηλώνουμε το παραμορφωμένο μήκος του dl. (Σο χήμα 6.10 δείχνει τα στοιχεία της απαραμόρφωτης κατάστασης της ράβδου και το χήμα 6.11 τα αντίστοιχα στοιχεία στην παραμορφωμένη κατάσταση). Η παράμετρος l δηλώνει την απόσταση των διατομών της ράβδου από την αριστερή της διατομή. Για τον παραπάνω ορισμό της διαμήκους (ή ορθής) παραμόρφωσης, θεωρήσαμε ότι οι τάσεις σ σl () και σ ( l dl ) σ dσ στις διατομές του απειροστού στοιχείου της ράβδου, που αντιστοιχούν στις θέσεις l και l dl, είναι πρακτικά ίσες, δηλαδή σ ( l dl ) σl (). Η συνολική μεταβολή του μήκους της ράβδου θα είναι ίση με L δl δ ( dl ), (6.12) 0 χήμα 6.10 χήμα 6.11 από όπου, με βάση την (6.11), βρίσκουμε L δl εdl. (6.13) 0 το σημείο αυτό, θα ορίσουμε την μετατόπιση u της διατομής της ράβδου στην θέση l, ως την μετακίνηση που υφίσταται η διατομή αυτή λόγω της παραμόρφωσης, θεωρώντας ότι η αρχική διατομή της ράβδου παραμένει αμετακίνητη κατά την παραμόρφωση. Η μετατόπιση θα είναι μια συνάρτηση της παραμέτρου l, δηλαδή u u() l. Αν η μετατόπιση στην θέση l είναι ul (), και στην θέση l dl είναι u( l dl ) (χήμα 6.12), τότε, η μεταβολή του μήκους του απειροστού στοιχείου θα είναι χήμα 6.12 δ ( dl ) u( l dl ) u( l ) du. (6.14)

56 52 υνεπώς, με βάση την (6.11) θα έχουμε du ε. (6.15) dl Η σχέση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μετατόπισης μιας συγκεκριμένης διατομής της ράβδου, όταν είναι γνωστή, ως συνοριακή συνθήκη η μετατόπιση μιας συγκεκριμένης διατομής. Η διατμητική παραμόρφωση χήμα 6.13 χήμα 6.14 Η διαμήκης (ή ορθή) παραμόρφωση περιγράφει την μεταβολή των διαστάσεων της ράβδου, που προκαλεί τη μεταβολή του όγκου της. Για να μελετήσουμε την μεταβολή του σχήματος ενός σώματος, λόγω της δράσης εξωτερικών δυνάμεων, θεωρούμε ένα στερεό σώμα σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου αρχικών διαστάσεων α, b και c (χήμα 6.13). Σο σώμα αυτό καταπονείται στην πάνω και κάτω του πλευρά, με μια ομοιόμορφη διανομή διατμητικών τάσεων τ, που εφαρμόζεται, όπως 1 δείχνεται στο χήμα Η φόρτιση αυτή εξασφαλίζει την ισορροπία του σώματος κατά την διεύθυνση, που είναι παράλληλη στην ακμή α, επειδή οι δυνάμεις, που αντιστοιχούν στις διανομές αυτές των διατμητικών τάσεων, συνθέτουν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις μεγέθους τ ( ab ) 1 χήμα Όμως, οι δύο αυτές δυνάμεις αποτελούν ένα ζεύγος δυνάμεων με ροπή ( τ ab) c, που τείνει να περιστρέψει το σώμα γύρω 1 από άξονα, που είναι παράλληλος στην ακμή b. Για να αποφευχθεί η στροφή εφαρμόζεται μια διανομή ομοιόμορφων τάσεων τ στις δύο 2 κατακόρυφες έδρες του στοιχείου, όπως δείχνεται στο χήμα Οι διανομές αυτές συνθέτουν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις μεγέθους τ ( bc ), που αποτελούν ένα ζεύγος δυνάμεων με μοχλοβραχίονα c. Η 2 ροπή ζεύγους των δύο αυτών δυνάμεων είναι ίση με τ ( abc ). Για να μη 2 περιστρέφεται το στοιχείο, θα πρέπει τ ( abc ) τ ( abc ) (6.16) 1 2 χήμα 6.15 από όπου, τ τ. (6.17) 1 2

57 53 Ας δούμε τώρα πως παραμορφώνεται το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο λόγω της δράσης των διατμητικών τάσεων τ τ. Λόγω των διατμητικών 1 2 αυτών τάσεων, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο θα παραμορφωθεί σε ένα πλάγιο παραλληλεπίπεδο, όπως αυτό που δείχνεται στο χήμα 6.16, όπου η ορθή γωνία των ακμών α και c θα μεταβληθεί σε οξεία γωνία, που θα την δηλώνουμε με θ. Ορίζουμε ως διατμητική παραμόρφωση γ των ακμών α και c του στοιχείου, την μεταβολή (σε ακτίνια), που υπέστη η αρχική ορθή γωνία τους, δηλαδή χήμα 6.16 π γ θ. (6.18) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ ΣΑΕΨΝ ΠΑΡΑΜΟΡΥΨΕΨΝ Η πειραματική δοκιμή του μονοαξονικού εφελκυσμού Θεωρούμε μία λεπτή ευθύγραμμη ράβδο μήκους l 0 και κυκλική διατομής ακτίνας D. Η ράβδος στερεώνεται στο ένα της άκρο και εφελκύεται στο 0 άλλο με μια δύναμη P, που αυξάνεται βαθμιαία και αργά από την μηδενική μέχρι την τελική της τιμή (χήμα 6.17). ε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ε-σ σχεδιάζουμε την καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων σ f () της ράβδου. ε μια τιμή της εφελκυστικής τάσης σ P / A, αντιστοιχεί η τιμή της διαμήκους παραμόρφωση 0 ε Δ/ l, όπου 0 A πd 2 /4 0 0 ράβδου, λόγω της δύναμης P.. Σο Δ είναι η αύξηση του μήκους της Για τα περισσότερα δομικά υλικά, μια τυπική μορφή της καμπύλης τάσεων παραμορφώσεων δείχνεται στο χήμα Για ένα μαλακό χάλυβα, που αποτελεί ένα συνηθισμένο δομικό υλικό, το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων δείχνεται στο χήμα τα διαγράμματα αυτά διακρίνεται η ελαστική και η πλαστική περιοχή, που διαχωρίζονται με το όριο διαρροής (σημείο Τ της καμπύλης). Οι περιοχές αυτές αντιστοιχούν στην ελαστική και πλαστική κατάσταση της ράβδου. τον κλάδο της καμπύλης, που αντιστοιχεί στην ελαστική περιοχή (τμήμα ΟΤ) εμφανίζεται, συνήθως, ένα γραμμικό τμήμα OP, με άνω όριο το όριο αναλογίας σ. Σο μη γραμμικό τμήμα PΤ του κλάδου αυτού έχει ως άνω P χήμα 6.17 χήμα 6.18

58 54 χήμα 6.19 χήμα 6.20 χήμα 6.21 χήμα 6.22 Αν η φόρτιση της ράβδου αντιστοιχεί σε ένα σημείο του ελαστικού κλάδου της καμπύλης, η βαθμιαία αποφόρτισή της ακολουθεί την αντίστροφη διαδρομή κατά μήκος του κλάδου αυτού (χήμα 6.20). Αν η φόρτιση της ράβδου αντιστοιχεί σε ένα σημείο Μ του πλαστικού κλάδου της καμπύλης, η βαθμιαία αποφόρτιση της ράβδου ακολουθεί έναν νέο κλάδο ΜΝ, που είναι σχεδόν παράλληλος με τον γραμμικό κλάδο της ελαστικής περιοχής OP (χήμα 6.21). Όταν αφαιρεθεί η δύναμη, η ράβδος δεν επανακτά το αρχικό της μήκος. Μία μόνιμη παραμόρφωση εμφανίζεται στην ράβδο, την οποία ονομάζουμε παραμένουσα παραμόρφωση. Έτσι, την παραμόρφωση ε, που αντιστοιχεί σε ένα σημείο του πλαστικού κλάδου μπορούμε να την γράψουμε σαν ένα άθροισμα της παραμένουσας παραμόρφωσης ε P ε και της ελαστικής P παραμόρφωσης ε, που εξαφανίζεται όταν αποφορτισθεί η ράβδος. Έτσι e λοιπόν, έχουμε ε ε ε (6.19) P όριο το όριο διαρροής e σ. Σα όρια αυτά αποτελούν χαρακτηριστικές σταθερές του υλικού και προσδιορίζονται πειραματικά. Η θέση του ορίου διαρροής Τ, σε μια καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων που έχει εξαχθεί πειραματικά, δεν είναι ένα σαφές σημείο. ε μία πειραματική καμπύλη, όπως αυτή του χήματος 6.22, ορίζουμε ως σημείο διαρροής Τ ένα σημείο του πλαστικού κλάδου της καμπύλης, που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή λαμβάνεται ε 2. s ε της παραμένουσας παραμόρφωσης. υνήθως, s Για τον μαλακό χάλυβα, ο πλαστικός κλάδος της καμπύλης τάσεων παραμορφώσεων φτάνει ένα τοπικό μέγιστο, στη συνέχεια πέφτει σε ένα τοπικό ελάχιστο, και αμέσως μετά, για ένα μικρό τμήμα, παρουσιάζει κάποιες μικρές διακυμάνσεις γύρω από μια γραμμή παράλληλη στον άξονα παραμόρφωσης (χήμα 6.23). Σο τοπικό μέγιστο (άνω όριο διαρροής) αντιστοιχεί στην τάση σ και καλείται πλαστικό όριο του PL υλικού, ενώ το τοπικό ελάχιστο (κάτω όριο διαρροής) ορίζει το όριο διαρροής σ του μαλακού χάλυβα. Μετά τον κλάδο των χαρακτηριστικών διακυμάνσεων, ακολουθεί ένας ανερχόμενος κλάδος,

59 που έχει τα κοίλα προς τα κάτω. τον κλάδο αυτό η καμπύλη φτάνει μια μέγιστη τιμή σ, που καλείται ολική αντοχή του υλικού. Η ολική αντοχή u σ εμφανίζεται και στο διάγραμμα του χήματος την περιοχή της u ολικής αντοχής σ το σώμα εμφανίζει μεγάλες μετατοπίσεις, που u επιφέρουν σημαντικές μεταβολές στις διαστάσεις του σώματος. Για παράδειγμα, στην ράβδο εμφανίζεται ένας λαιμός, σαν αποτέλεσμα της σημαντικής μείωσης της διατομής στην περιοχή αυτή. υνεπώς, για την περιοχή αυτή έχει μεγάλη σημασία, αν ο ορισμός της τάσης αναφέρεται στην αρχική διατομή A της ράβδου, ή στην τρέχουσα διατομή της Α. 0 Μετά την μέγιστη τιμή σ, ο κλάδος της καμπύλης πέφτει σχετικά u γρήγορα μέχρι μία τιμή της τάσης που αντιστοιχεί στη θραύση της ράβδου (σημείο F). ε μια μεγάλη κατηγορία υλικών, η πλαστική περιοχή του διαγράμματος τάσεων παραμορφώσεων είναι σχετικά μικρή και θεωρείται πρακτικά αμελητέα (χήμα 6.24). Σο υλικά αυτά δεν παρουσιάζουν σημαντικές μεταβολές στις διαστάσεις τους, πριν την θραύση τους, η οποία συμβαίνει ξαφνικά, όταν η εξωτερική τάση φτάσει μια ορισμένη τιμή. Σα υλικά αυτά ονομάζονται ψαθυρά (π.χ., το γυαλί), ενώ τα υλικά, που παρουσιάζουν σημαντικό πλαστικό κλάδο ονομάζονται όλκιμα υλικά. χήμα 6.23 χήμα Μοντελοποίηση των πειραματικών διαγραμμάτων Σα διαγράμματα τάσεων παραμορφώσεων, που αποκτώνται στο εργαστήριο από την δοκιμή του μονοαξονικού εφελκυσμού της ράβδου, αποτελούνται από ορισμένους κλάδους, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν μια συγκεκριμένη συμπεριφορά του υλικού της ράβδου. Οι κλάδοι αυτοί είναι ο γραμμικός ελαστικός κλάδος, ο μη γραμμικός ελαστικός κλάδος και ο πλαστικός κλάδος. Για την διευκόλυνση της μαθηματικής ανάλυσης, κάνουμε ορισμένες εξιδανικεύσεις για τους κλάδους αυτούς, κατασκευάζοντας, έτσι, τα μοντέλα της καταστατικής συμπεριφοράς του υλικού. Για παράδειγμα, ο κλάδος της καμπύλης, που αντιστοιχεί στην πλαστική περιοχή, συνήθως είναι μη γραμμικός και μπορεί να προσαρμοσθεί πάνω σε αυτόν μια γνωστή μαθηματική καμπύλη. Βέβαια, χήμα 6.25

60 56 ο γραμμικός κλάδος της ελαστικής περιοχής δεν επιδέχεται παραπέρα απλοποίηση. χήμα 6.26 χήμα 6.27 την ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε δύο συγκεκριμένα μοντέλα καταστατικής συμπεριφοράς του δομικού χάλυβα, που αποτελούν την εξιδανίκευση του τυπικού διαγράμματος τάσεων - παραμορφώσεων, που αποκτιέται στο εργαστήριο. Σο τυπικό πειραματικό διάγραμμα τάσεων - παραμορφώσεων του χάλυβα και οι αντίστοιχες μοντελοποιήσεις τους δείχνονται στα χήματα (6.25), (6.26) και (6.27). το πρώτο μοντέλο (χήμα 6.26) ο πλαστικός κλάδος του τυπικού διαγράμματος έχει αντικατασταθεί με ένα γραμμικό κλάδο. Η γραμμικοποίηση του τμήματος αυτού δείχνεται με την διακεκομμένη γραμμή στο πραγματικό διάγραμμα του χήματος Η τάση διαρροής σ στο μοντελοποιημένο διάγραμμα αντιστοιχεί στην τομή των δύο γραμμικών κλάδων του διαγράμματος. Μία απλοποιημένη μορφή του μοντελοποιημένου διαγράμματος 6.26, που χρησιμοποιείται στην πράξη, δείχνεται στο χήμα ΟΙ ΦΕΕΙ ΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΛΑΣΙΚΟΣΗΣΑ Σο μέτρο ελαστικότητας και ο λόγος του Poisson ε ένα διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων, την κλίση του ευθύγραμμου κλάδου της καμπύλης σ σ ( ε ) την δηλώνουμε με E ( tan ω) (χήμα 6.28). υνεπώς, η εξίσωση της ευθείας του γραμμικού αυτού κλάδου της καμπύλης είναι σ Eε. (6.20) χήμα 6.28 Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή ως ο νόμος του Hooke για ισότροπα ελαστικά υλικά, και ο συντελεστής κλίσης E ως μέτρο ελαστικότητας. Σο μέτρο ελαστικότητας, όπως και η καμπύλη τάσεων-παραμορφώσεων, αποτελούν χαρακτηριστικά στοιχεία της συμπεριφοράς των υλικών, για τις συγκεκριμένες συνθήκες, που προέκυψαν. Δηλαδή, για το ίδιο υλικό, κάτω από τις ίδιες συνθήκες εκτέλεσης δοκιμής, δύο διαφορετικά

61 εργαστήρια θα παράγουν την ίδια καμπύλη τάσεων παραμορφώσεων και το ίδιο μέτρο ελαστικότητας. 57 Μια δεύτερη ελαστική σταθερά του υλικού είναι ο λόγος του Poisson ν. Ο λόγος του Poisson ορίζεται σε σχέση με την δοκιμή εφελκυσμού μιας ράβδου, και περιγράφει την μείωση, που υφίσταται η διατομή της, όταν η ένταση στην ράβδο είναι γραμμικά ελαστική (χήμα 6.28). Αν η ράβδος, για παράδειγμα, έχει κυκλική διατομή, τότε, κατά τον εφελκυσμό, η αρχική της ακτίνα D θα μειωθεί και θα γίνει ίση με D. Η ποσότητα 0 ε D D 0 (6.21) d D0 ορίζεται ως εγκάρσια παραμόρφωση της ράβδου. Η ποσότητα αυτή είναι συνάρτηση της διαμήκους (ή ορθής) παραμόρφωσης της ράβδου, που ορίζεται με την σχέση ε l l 0, (6.22) l 0 όπου l και l είναι το αρχικό και τελικό μήκος της ράβδου, αντίστοιχα. 0 Όταν η ράβδος βρίσκεται στην περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας, δείχνεται πειραματικά ότι οι δύο αυτές παραμορφώσεις συνδέονται με μια σχέση της μορφής ε d ν, (6.23) ε όπου ν είναι μια σταθερά του υλικού της ράβδου, που είναι γνωστή ως ο λόγος του Poisson. Αποδεικνύεται ότι, για την ελαστική αυτή σταθερά, ισχύει 1 ν 0.5. (6.24) Τλικά, με αρνητικό λόγο του Poisson, δεν έχουν βρεθεί (ακόμα) στην φύση, παρόλο, που θεωρητικά προβλέπεται η ύπαρξή τους. Για την εφελκυόμενη ράβδο, αρνητικός λόγος του Poisson σημαίνει αύξηση της διατομής της, ενώ αυξάνει το μήκος της. Πρόσφατα, στο εργαστήριο, έχουν παραχθεί υλικά με αρνητικό λόγο Poisson.

62 58 ε ένα στοιχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, μια διανομή διατμητικών τάσεων τ, όπως αυτή που δείχνεται στο χήμα 6.29, οδηγεί σε μια παραμόρφωση του σχήματος του στοιχείου, που περιγράφεται με την γωνιακή παραμόρφωση γ. την περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας, η σχέση μεταξύ των δύο αυτών ποσοτήτων έχει την μορφή τ Gγ, (6.25) όπου G είναι μια ελαστική παράμετρος, γνωστή ως μέτρο διάτμησης. Αποδεικνύεται ότι η σταθερά αυτή συνδέεται με τις δύο προηγούμενες με την σχέση E G. (6.26) 2(1 ν ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η πλήρης περιγραφή της γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς ενός υλικού μπορεί να γίνει μόνο με δύο χήμα 6.29 ανεξάρτητες ελαστικές παραμέτρους. Ο γενικευμένος νόμος του Hooke Για την γενίκευση των παραπάνω, θα θεωρήσουμε ένα στερεό σώμα, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με απειροστές διαστάσεις, όπως αυτό που δείχνεται στο χήμα Σο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι τοποθετημένο στο χώρο έτσι ώστε, η μια του κορυφή να είναι κεντραρισμένη σε ένα σημείο ( x,, ) και οι ακμές του να διευθύνονται παράλληλα στους θετικούς ημιάξονες του συστήματος συντεταγμένων. Έστω dx, d, d ότι είναι οι ακμές του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, που είναι παράλληλες στους άξονες x, και, αντίστοιχα. Σις έδρες του παραλληλεπιπέδου αυτού θα τις δηλώνουμε με χήμα 6.30 το όνομα του άξονα, ως προς το οποίο είναι κάθετες. Έτσι, στο άξονα x, αντιστοιχούν δύο έδρες του παραλληλογράμμου, που βρίσκονται η μία απέναντι από την άλλη. Η μία από αυτές αντιστοιχεί στην συντεταγμένη x και η άλλη στην συντεταγμένη x dx. Σην πρώτη θα την δηλώνουμε ως έδρα x με την μικρότερη συντεταγμένη, και την δεύτερη ως έδρα x με την μεγαλύτερη συντεταγμένη. Αντίστοιχη ονοματολογία εισάγουμε και για τις υπόλοιπες έδρες του παραλληλογράμμου. Σην ονοματολογία αυτή

63 θα την χρησιμοποιήσουμε για τον ορισμό των τάσεων, που επενεργούν στις έδρες του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και για την θετική τους προσήμανση. 59 Ας θεωρήσουμε τώρα δύο ορθές και ίσες τάσεις, που επενεργούν στις δύο έδρες x του παραλληλογράμμου, έτσι ώστε να εξέρχονται από αυτό (χήμα 6.31). Γενικά, τις ορθές τάσεις θα τις δηλώνουμε με το ελληνικό γράμμα σ, που θα συνοδεύεται με έναν κάτω δείκτη, που θα δηλώνει την έδρα στην οποία επενεργεί. Έτσι, για τις δύο αυτές ορθές τάσεις, θα γράφουμε σ. Λόγω των ορθών αυτών τάσεων, που είναι θετικές x επειδή εξέρχονται από το σώμα, η ακμή dx αυξάνεται και γίνεται dx (>dx ), ενώ οι δύο άλλες d και d μειώνονται και γίνονται d ( d ) και d ( d ). Έτσι, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο παραμορφώνεται, παραμένοντας, όμως, ορθογώνιο με ακμές dx, d, d. Έτσι, έχουμε τις παρακάτω παραμορφώσεις για τις ακμές του στοιχείου χήμα 6.31 dx dx d d d d ε, ε, ε. (6.27) x dx d d Η πρώτη από αυτές είναι η διαμήκης παραμόρφωση του στοιχείου, που αναπτύσσεται στις ακμές του στοιχείου, που είναι παράλληλες στην ορθή τάση, που προκαλεί την παραμόρφωση του στοιχείου. Η παραμόρφωση αυτή συνδέεται με την ορθή τάση σ με τον νόμο του Hooke σ x από όπου ε x x Eε, (6.28) σ x. (6.29) x E Οι άλλες δύο είναι εγκάρσιες παραμορφώσεις του στοιχείου, που συνδέονται με την διαμήκη παραμόρφωση ε με τις σχέσεις x ε ε νε, x x νε. (6.30) Παίρνοντας υπόψη την (6.28), οι παραπάνω σχέσεις γράφονται ε ν E σ, ε σ x x ν. (6.31) E

64 60 την συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω αποτελέσματα για να γενικεύσουμε τον νόμο του Hooke στον τριδιάστατο χώρο, θεωρώντας την ταυτόχρονη επενέργεια τριών ορθών εφελκυστικών τάσεων σ, σ x και σ στις έδρες του στοιχείου (χήμα 6.32). (Σις τάσεις στο χήμα 6.32, για απλότητα θα τις παριστάνουμε με βέλη.) Θα θεωρήσουμε ότι η παραμόρφωση, που υφίσταται το στοιχείο, λόγω της ταυτόχρονης εφαρμογής των τριών ορθών τάσεων στις έδρες του, αποτελεί το αθροιστικό αποτέλεσμα τριών ξεχωριστών μονοδιάστατων καταστάσεων: της κατάστασης Ι, που αντιστοιχεί στην τάση σ, x της κατάστασης ΙΙ, που αντιστοιχεί στην τάση σ, και της κατάστασης ΙΙΙ, που αντιστοιχεί στην τάση σ. ύμφωνα με τα παραπάνω, οι παραμορφώσεις του στοιχείου, που αναπτύσσονται λόγω της σ, θα είναι x I σ x ε x E I ν I ν ε σ, ε σ (6.32) x x E E Ομοίως, για τις άλλες δύο μονοδιάστατες καταστάσεις, θα έχουμε II ν σ II II ν ε σ, ε, ε σ, (6.33) x E E E III ν III ν I ν ε σ, ε σ, ε σ. (6.34) x E E E Οι τελικές παραμορφώσεις του στοιχείου θα είναι χήμα 6.32 ε ε ε ε, I II III x x x x ε ε ε ε, (6.35) I II III ε ε ε ε. I II III Αντικαθιστώντας στις σχέσεις αυτές τις (6.33) - (6.35) προκύπτουν οι σχέσεις: σ x ν ε ( σ σ ) x Ε Ε σ ν ε ( σ σ ) (6.36) x Ε Ε σ ν ε ( σ σ ) x Ε Ε

65 61 Οι σχέσεις αυτές αποτελούν τον γενικευμένο νόμο του Hoοke για την παραμόρφωση του όγκου του απειροστού στοιχείου. Ας θεωρήσουμε τώρα μια διανομή διατμητικών τάσεων πάνω στις έδρες και του στοιχείου, όπως δείχνεται στο χήμα Σα διατμητικές αυτές τάσεις θα τις δηλώνουμε με το ελληνικό γράμμα τ, που θα συνοδεύεται με δύο κάτω δείκτες. Ο πρώτος δείκτης θα δηλώνει την έδρα, πάνω στην οποία επενεργεί η τάση, ενώ ο δεύτερος την άξονα στον οποίο είναι παράλληλη. Έτσι, η τάση τ θα βρίσκεται στο επίπεδο και θα είναι παράλληλη στον άξονα. Ακόμα, μια διατμητική τάση είναι θετική, όταν επενεργεί στην έδρα του στοιχείου με την μεγαλύτερη συντεταγμένη και έχει την φορά του θετικού άξονα, προς τον οποίο είναι παράλληλη. ύμφωνα με όσα εκτέθηκαν προηγούμενα, οι διατμητικές τάσεις τ, που επενεργούν στις έδρες, θα πρέπει να είναι ίσες με τις τ, προκειμένου να διατηρείται η ισορροπία του στοιχείου, δηλαδή τ τ. (6.37) χήμα 6.33 Η συγκεκριμένη διανομή των διατμητικών τάσεων παραμορφώνει την ορθή γωνία των ακμών d και d σε μια οξεία γωνία θ, χωρίς να μεταβάλει τα μήκη τους. Η μεταβολή της γωνίας των δύο αυτών ακμών είναι η διατμητική παραμόρφωση γ, που ορίζεται με την σχέση γ π θ. (6.38) 2 την περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας, οι διατμητικές τάσεις τ ( τ ) συνδέοντα με τις γωνιακή παραμόρφωση γ ( γ ) με την σχέση τ Gγ (6.39) όπου G είναι το μέτρο διάτμησης. Με όμοιο τρόπο ορίζουμε τις διανομές των διατμητικών τάσεων τ ( τ ) και τ ( τ ) στις υπόλοιπες έδρες x x του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Για τις τάσεις αυτές προκύπτουν, με όμοιο τρόπο, οι παρακάτω σχέσεις x x

66 62 τ x Gγ, τ Gγ, (6.40) x x x όπου γ ( γ ) και γ ( γ ) είναι οι αντίστοιχες γωνιακές x x x x παραμορφώσεις των τ ( τ ) και τ ( τ ). Οι σχέσεις (6.40) μαζί με x x τις σχέσεις (6.44) - (6.45) αποτελούν τον γενικευμένο νόμο του Hooke. x x H πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης Η ράβδος του χήματος 6.34, που έχει αρχικό μήκος l και διατομή A, 0 0 χήμα 6.34 χήμα 6.35 είναι στερεωμένη στο ένα της άκρο και εφελκύεται αξονικά στο άλλο, με μία δύναμη P. Η δύναμη P, που έχει σημείο εφαρμογής το κέντρο βάρους της ακραίας διατομής, εφαρμόζεται αυξητικά και με αργό ρυθμό, μέχρι την τελική της τιμή. το στερεωμένο άκρο της ράβδου, που δεν υποχωρεί κατά την εφαρμογή της δύναμης, αναπτύσσεται ως αντίδραση μια ίση και αντίθετη αξονική δύναμη P. Αν Δ είναι η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης P, τότε η καμπύλη P P(Δ) δείχνεται στο χήμα ε κάθε τιμή της δύναμης P, αντιστοιχεί μια τάση σ P A / και μια παραμόρφωση ε Δ/ l 0 0. Η γραφική παράσταση των τάσεων σ P / A συναρτήσει των παραμορφώσεων ε Δ/ l, αποτελεί 0 0 την καταστατική σχέση σ σ ( ε ), που συζητήσαμε προηγούμενα (χήμα 6.36). Ας δούμε τώρα, ποιο είναι το έργο που κάνει η δύναμη, που εφαρμόζεται στην ράβδο, καθώς αυξάνει από το μηδέν μέχρι την τελική της τιμή. Όταν η δύναμη έχει μια τιμή P, για μια απειροστή μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, η αύξηση στο έργο, που εκτελεί η δύναμη, είναι dw PdΔ. (6.41) χήμα 6.36 Σο στοιχειώδες αυτό έργο δείχνεται με την διαγραμμισμένη επιφάνεια στο χήμα ύμφωνα με τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, το έργο, που εκτελεί η δύναμη P, αποθηκεύεται στην ράβδο ως ενέργεια παραμόρφωσης, υπό την προϋπόθεση ότι οι θερμοκρασιακές μεταβολές, που λαμβάνουν χώρα στην ράβδο κατά την διάρκεια παραμόρφωσής της, είναι αμελητέες. Αυτό μπορεί να εκφρασθεί με την σχέση du dw, (6.42)

67 63 όπου U δηλώνει την ενέργεια παραμόρφωσης που αποθηκεύεται στο σώμα. Είναι προφανές, ότι, κατά την αύξηση της δύναμης από την αρχική μηδενική της τιμή μέχρι την τελική της τιμή P, η ολική ενέργεια παραμόρφωσης, που αποθηκεύεται στην ράβδο, υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα Δ U P (Δ) dδ. (6.43) 0 Θα ορίσουμε τώρα την πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης της ράβδου, που είναι μια ποσότητα αντίστοιχη της πυκνότητας μάζας της ράβδου. Επειδή στην ράβδο επικρατεί μια ομογενής κατάσταση τάσεων και παραμορφώσεων, θα ορίσουμε την ποσότητα με την σχέση χήμα 6.37 U u= (6.44) V όπου V A l είναι ο όγκος της ράβδου. Φρησιμοποιώντας την (6.44) 0 0 και τις σχέσεις ε Δ/ l, σ P / A, από την παραπάνω σχέση 0 0 παίρνουμε: Δ ε U P(Δ) Δ u d ( ) σdε V A l (6.45) Η σχέση αυτή δείχνει ότι η πυκνότητα ενέργειας παραμόρφωσης της ράβδου ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας, που βρίσκεται μεταξύ της καμπύλης τάσεων - παραμορφώσεων σ σ ( ε ) και του άξονα παραμορφώσεων (διαγραμμισμένη επιφάνεια στο χήμα 6.37). Για την γραμμική ελαστικότητα, όπου ισχύει σ Eε, η παραπάνω σχέση παρέχει από όπου 1 u σdεu Eεdε Eε ε ε 2 (6.46) u σε. (6.47) 2

68 64

69 65 7 ΚΑΜΧΗ-ΔΙΑΣΜΗΗ 7.1 ΕΙΑΓΨΓΗ το κεφάλαιο αυτό θα αναπτύξουμε τις βασικές εξισώσεις, που διέπουν την τεχνική θεωρία κάμψης και διάτμησης. Η παρουσίαση της τεχνικής θεωρίας κάμψης θα ξεκινήσει με την συζήτηση της καμπτικής συμπεριφοράς μιας δοκού, που βρίσκεται σε καθαρή κάμψη, από όπου θα προκύψουν οι βασικές παραδοχές της τεχνικής θεωρίας κάμψης. Θα αναπτυχθούν πρώτα οι βασικές εξισώσεις, που περιγράφουν την εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση μιας δοκού με ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας, που αποτελεί και το επίπεδο φόρτισης της δοκού (απλή κάμψη). τη συνέχεια, οι εξισώσεις αυτές θα γενικευθούν για την περίπτωση, που η δοκός καταπονείται σε δύο άξονες μέ ή χωρίς αξονική δύναμη. Η θεωρία της διάτμησης θα αναπτυχθεί για την περίπτωση της συμμετρικής δοκού. 7.2 ΑΠΛΗ ΚΑΜΧΗ Καθαρή κάμψη Η περίπτωση της καθαρής κάμψης μιας δοκού θα συζητηθεί, με βάση την αμφιέρειστη δοκό, που δείχνεται στο χήμα 7.1. Η δοκός είναι τοποθετημένη οριζόντια και καταπονείται με δύο κατακόρυφες και ίσες δυνάμεις μεγέθους P. Σο κατακόρυφο επίπεδο, που περιέχει τις δύο δυνάμεις, διέρχεται από τον άξονα της δοκού και αποτελεί επίπεδο συμμετρίας της. Οι δυνάμεις ισαπέχουν από τις στηρίξεις μια απόσταση α, όπως δείχνεται στο χήμα 7.1. Η επιλογή της συγκεκριμένης φόρτισης έγινε, γιατί στην περιοχή της δοκού, που βρίσκεται μεταξύ των δύο δυνάμεων, αναπτύσσεται μια χήμα 7.1

70 66 χήμα 7.2 εντατική κατάσταση καθαρής κάμψης. Δηλαδή, σε κάθε διατομή της περιοχής αυτής, αναπτύσσεται μόνο καμπτική ροπή, χωρίς την παρουσία διατμητικής και αξονικής δύναμης. Πράγματι, κάνοντας μια κάθετη τομή στην δοκό στην περιοχή αυτή και κατασκευάζοντας το ΔΕ του αποκομμένου αριστερού τμήματος της δοκού (βλέπε, χήμα 7.2), από τις συνθήκες ισορροπίας προκύπτει ότι M Pa, V 0, N 0. Για να περιγράψουμε την καμπτική παραμόρφωσης της δοκού, θα θεωρήσουμε την δοκό ότι συντίθεται από ίνες παράλληλες στον άξονά της, που σχηματίζονται από υλικά σωματίδια. Οι ίνες αυτές συμπεριφέρονται ως ράβδοι με διατομή da, που παραλαμβάνουν μόνο αξονικές δυνάμεις. Επίσης, οι ίνες, πέρα από την μεταβολή του μήκους τους, υφίστανται και μια καμπύλωση. την περιοχή της δοκού, που βρίσκεται μεταξύ των δύο δυνάμεων, κατά την παραμόρφωση, παρατηρούμε τα εξής: χήμα 7.3 Οι διατομές της περιοχής αυτής, μετά την παραμόρφωση, παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον παραμορφωμένο άξονα της δοκού. Οι ίνες της περιοχής αυτής, που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο της δοκού, επιδεικνύουν την ίδια παραμορφωσιακή συμπεριφορά. (Τπενθυμίζουμε ότι η δοκός, που εξετάζουμε, είναι τοποθετημένη οριζόντια.) Οι παραμορφωμένες ίνες της περιοχής αυτής, που βρίσκονται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο παράλληλο του διαμήκους επιπέδου συμμετρίας της δοκού, αποτελούν τόξα ομόκεντρων κυκλικών περιφερειών (χήμα 7.3). Η μεταβολή του ύψους της δοκού λόγω παραμόρφωσης, στην περιοχή αυτή, είναι αμελητέα. Από τις παραπάνω παρατηρήσεις, προκύπτουν οι βασικές υποθέσεις μιας τεχνικής θεωρίας κάμψης δομικών που παρουσιάζεται παρακάτω.

71 67 Οι βασικές υποθέσεις της τεχνικής θεωρίας κάμψης Για την ανάπτυξη μιας τεχνικής θεωρίας, που θα περιγράφει την εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση μιας δοκού, που βρίσκεται υπό κάμψη, εισάγουμε τις παρακάτω υποθέσεις: 1. Η δοκός κατέχει ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας. Οι φορτίσεις και οι στηρίξεις της δοκού είναι συμμετρικά τοποθετημένες ως προς το επίπεδο αυτό, που θα το ονομάζουμε επίπεδο κάμψης (χήμα 7.4) 2. την δοκό υπάρχει ένα σύνολο διαμήκων ινών, που, κατά την παραμόρφωση, καμπυλώνονται, χωρίς να μεταβάλλουν το μήκος τους. Οι ίνες αυτές σχηματίζουν ένα επίπεδο, που είναι κάθετο στο επίπεδο κάμψης και θα το ονομάζουμε ουδέτερο επίπεδο. Σην τομή του επιπέδου κάμψης με το ουδέτερο επίπεδο θα την ονομάζουμε καμπτικό άξονας της δοκού. 3. Οι επίπεδες διατομές της δοκού, που είναι κάθετες στον καμπτικό της άξονα πριν την παραμόρφωση, παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον παραμορφωμένο καμπτικό άξονα και μετά την παραμόρφωση. 4. Οι ορθές παραμορφώσεις, που αναπτύσσονται πάνω στα επίπεδα των διατομών της δοκού, είναι αμελητέες συγκρινόμενες με τις παραμορφώσεις που αναπτύσσονται κάθετα στα επίπεδα των διατομών της. χήμα 7.4

72 68 Η καμπτική παραμόρφωση της δοκού Για την ανάλυση της καμπτικής παραμόρφωσης της δοκού, εισάγουμε ένα σταθερό Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ( x,, ), του οποίου η αρχή είναι τοποθετημένη στην ακραία αριστερή διατομή της δοκού, ο άξονας x ταυτίζεται με τον καμπτικό άξονά της, και ο άξονας βρίσκεται πάνω στο επίπεδο κάμψης κατευθυνόμενος προς την κάτω πλευρά της (χήμα 7.4). Από τις υποθέσεις 1 και 4, που διατυπώθηκαν προηγούμενα, συμπεραίνουμε ότι οι ίνες, που βρίσκονται πάνω σε ένα επίπεδο παράλληλο του επιπέδου κάμψης της δοκού, επιδεικνύουν την ίδια συμπεριφορά με τις αντίστοιχες ίνες του επιπέδου κάμψης. Ψς αντίστοιχες ίνες θεωρούνται εκείνες που απέχουν ίση απόσταση από το ουδέτερο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι η καμπτική παραμόρφωση της δοκού είναι ανεξάρτητη της συντεταγμένης, και επομένως, μπορεί να περιγραφεί, πλήρως, από την παραμόρφωση των ινών που βρίσκονται πάνω στο επίπεδο κάμψης. Ο καμπτικός άξονας της δοκού, μετά την παραμόρφωση, καμπυλώνεται, χωρίς να μεταβάλλεται το μήκος του. Η καμπύλη αυτή θα ονομάζεται ελαστική καμπύλη της δοκού και θα βρίσκεται πάνω στο επίπεδο κάμψης. Η περιγραφή της καμπύλης αυτής θα γίνει ως προς τους άξονες x και v, όπου ο άξονας v συμπίπτει με τον άξονα. χήμα 7.5 Θεωρούμε ένα υλικό σωματίδιο του καμπτικού άξονα της δοκού, το οποίο, πριν την παραμόρφωση, βρίσκεται στην θέση x (χήμα 7.5). Έστω P το σημείο του καμπτικού άξονα, που αντιστοιχεί στην θέση αυτή. Κατά την παραμόρφωση της δοκού, το υλικό σωματίδιο θα μετατοπισθεί κατά v( x ), κάθετα στον άξονα x και πάνω στο επίπεδο κάμψης της δοκού καταλαμβάνοντας την θέση του σημείου P. Αν, στο σημείο P της καμπύλης v( x ), φέρουμε την εφαπτομένη της, τότε, η γωνία θ, που σχηματίζει η εφαπτομένη αυτή με τον άξονα x, παρέχεται από την σχέση dv tanθ. (7.1) dx Επειδή η γωνία αυτή είναι μικρή, μπορούμε να γράψουμε

73 dv θ tanθ. (7.2) dx 69 Θεωρούμε τώρα το σημείο Q της καμπύλης, που είναι η μετατοπισμένη θέση ενός άλλου υλικού σωματιδίου του καμπτικού άξονα, που βρίσκεται στην θέση x dx και αντιστοιχεί στο σημείο Q (χήμα 7.6). Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο Q σχηματίζει με τον άξονα x μια γωνία ίση με θ( x dx ) θ( x ) dθ. (7.3) Σο τόξο PQ, που έχει ένα μήκος ίσο με ds, είναι το παραμορφωμένο τμήμα PQ του καμπτικού άξονα. Σο μήκος του PQ είναι ίσο με dx ( 0). Επειδή ο καμπτικός άξονας καμπυλώνεται, χωρίς να μεταβάλλεται το μήκος του, ισχύει P Q dx. (7.4) Αν, στα σημεία P και Q, φέρουμε τις καθέτους στην καμπύλη, αυτές θα τμηθούν σε ένα σημείο O του καμπτικού επιπέδου σχηματίζοντας μια γωνία dθ. Επειδή τα σημεία P και Q βρίσκονται σε απειροστή απόσταση μεταξύ τους, μπορούμε να πούμε ότι OP OQ ρ, και επομένως το τόξο PQ ταυτίζεται με κυκλικό τόξο. Σο μήκος ds dx του τόξου PQ παρέχεται από την σχέση ds ρ dθ. (7.5) χήμα 7.6 ημειώνουμε ότι, αν dθ 0, η καμπύλη έχει τα κοίλα της στραμμένα στον άξονα x, με αποτέλεσμα, το σημείο O να βρίσκεται προς την πλευρά του αρνητικού άξονα v και το ρ θα θεωρείτε αρνητικό. Σότε, dθ dθ, ρ ρ και ds ρdθ. Αν dθ 0, τότε, το σημείο O βρίσκεται προς την πλευρά του θετικού άξονα v και το ρ θα είναι θετικό. ε κάθε περίπτωση, ισχύει η σχέση ds ρdθ. (7.6) Από την σχέση αυτή, παίρνοντας υπόψη την (7.2) βρίσκουμε 2 dθ d v κ 2 dx dx, (7.7) όπου, έχουμε εισάγει την ποσότητα

74 70 1 κ, (7.8) ρ που ορίζει την καμπυλότητα της καμπύλης στην θέση x. Η ορθή παραμόρφωση της δοκού σαν συνάρτηση της καμπυλότητας χήμα 7.7 χήμα 7.8 Θεωρούμε ένα απειροστό τμήμα της δοκού, που, στην απαραμόρφωτη κατάστασή της δοκού, περιορίζεται μεταξύ των διατομών της x και x dx (χήμα 7.7). Πάνω στο επίπεδο κάμψης της δοκού, οι δύο αυτές διατομές αντιπροσωπεύονται με τα ευθύγραμμα τμήματα AB,.., στην απαραμόρφωτη κατάσταση (χήμα 7.7), και με τα τμήματα AB,CD στην παραμορφωμένη κατάσταση (χήμα 7.8). το απειροστό αυτό τμήμα, ο απαραμόρφωτος καμπτικός άξονας δείχνεται με το ευθύγραμμο τμήμα PQ, και ο παραμορφωμένος, με το ευθύγραμμο τμήμα PQ. Όπως είπαμε παραπάνω, το τμήμα PQ αποτελεί τμήμα της καμπύλης v( x ) με μήκος ds, που δίνεται με την σχέση (7.6). ύμφωνα με την υπόθεση 3, τα τμήματα AB,CD είναι κάθετα στον παραμορφωμένο άξονα της δοκού, και συνεπώς, οι προεκτάσεις τους διέρχονται από το O. την απαραμόρφωτη κατάσταση της δοκού, έστω μια ίνα EF του απειροστού στοιχείου πάνω στο επίπεδο κάμψης, που απέχει μια απόσταση από τον καμπτικό άξονα. Προφανώς, EF dx την παραμορφωμένη κατάσταση, η ίνα αυτή θα αντιπροσωπεύεται με το τόξο E F ds, που θα βρίσκεται σε μια απόσταση από τον καμπυλωμένο τμήμα του καμπτικού άξονα. Επειδή η δοκός δεν παραμορφώνεται κατά την εγκάρσια διεύθυνση (υπόθεση 4), θα ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι το EF είναι τόξο κυκλικής περιφέρειας ακτίνας OE OF ( ρ). Κατά την παραμόρφωση της δοκού, η ίνα EF ( dx ), που έχει μήκος dx, πέρα από την καμπύλωση που υφίσταται, μεταβάλλει και το μήκος της, που γίνεται ίσο με E F ds ( ρ ) dθ. υνεπώς, η διαμήκης (ορθή) παραμόρφωση της ίνας αυτής θα είναι E F EF ds dx ε. (7.9) EF dx

75 Επειδή ds ( ρ ) dθ, από την σχέση αυτή έχουμε 71 από όπου ( ρ ) dθ ( ρdθ ) ε κ, (7.10) ( ρdθ ) ε κ. (7.11) Η σχέση αυτή δείχνει ότι, σε μια διατομή της δοκού οι ορθές παραμορφώσεις των ινών είναι ανάλογες της καμπυλότητας του καμπτικού άξονα στην θέση της διατομής και μεταβάλλονται γραμμικά στο ύψος της δοκού. Από την (7.11) και από τον νόμο του Hooke σ Eε, οι τάσεις που αναπτύσσονται στην ίνα, που απέχει απόσταση, από το ουδέτερο επίπεδο, θα είναι σ Eε Eκ, (7.12) όπου E είναι το μέτρο ελαστικότητας της δοκού. Η σχέση ορθών τάσεων και καμπτικής ροπής ε μια διατομή της δοκού, η ορθή τάση, που αναπτύσσεται σε μια ίνα, διανέμεται ομοιόμορφα στην απειροστή διατομή της, που έχει εμβαδόν da (χήμα 7.9). Η δύναμη, που καταπονεί την ίνα, είναι κάθετη στην διατομή και ίση με df σda. (7.12) χήμα 7.9 Η συνισταμένη των στοιχειωδών δυνάμεων df όλων των ινών, που διέρχονται από την διατομή, θα πρέπει να είναι μηδενική, καθότι δεν υπάρχει αξονική δύναμη Ν στην διατομή. Έτσι έχουμε df σda 0. (7.13) A A Από την παραπάνω σχέση και την (7.12), προκύπτει από όπου σda ( Eκ ) da Eκ da 0, (7.14) A A A da 0. (7.15) A

76 72 Η σχέση αυτή υπαγορεύει ότι ο καμπτικός άξονας της δοκο, που συμπίπτει με τον άξονα x, διέρχεται από τα κέντρα βάρους των διατομών. Αυτό σημαίνει ότι, ο κεντροβαρικός άξονας της δοκού συμπίπτει με τον καμπτικό άξονα. Επίσης, η στοιχειώδης δύναμη df, που καταπονεί την ίνα, που απέχει από το ουδέτερο επίπεδο, προξενεί μια ροπή γύρω από τον άξονα ίση με 2 dm df ( EκdA) Eκ da F. (7.16) Η συνολική ροπή των στοιχειωδών ροπών όλων των ινών θα πρέπει να είναι ίση με την καμπτική ροπή, που επενεργεί στη διατομή της διατομής, δηλαδή, (7.17) 2 2 M dm ( Eκ ) da Eκ da F A A A από όπου προκύπτει M EIκ. (7.18) την σχέση αυτή, η ποσότητα I, που ορίζεται με την σχέση I 2 da, (7.19) A αντιπροσωπεύει την ροπή αδράνειας της διατομής ως προς τον άξονα. Από τις (7.12) και (7.20), προκύπτει η σχέση M σ. (7.20) I Η σχέση αυτή παρέχει τις ορθές τάσεις πάνω στην διατομή, που βρίσκεται στην θέση x, όταν είναι γνωστή η καμπτική ροπή M( x ), που επενεργεί σε αυτήν. 7.3 ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ Σα προηγούμενα αποτελέσματα αφορούσαν μια συμμετρική δοκό, της οποίας το επίπεδο φόρτισης ταυτιζόταν με το διαμήκες επίπεδο συμμετρίας της. τη συνέχεια, τα αποτελέσματα αυτά θα γενικευτούν για την περίπτωση που η δοκός κατέχει ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας,

77 που δεν συμπίπτει με το επίπεδο φόρτισής της. Η περίπτωση αυτή είναι γνωστή ως λοξή κάμψη, η οποία όπως θα δούμε, μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα, δύο απλών κάμψεων. Για να αποφύγουμε την προσήμανση της καμπτικής ροπής με την ίνα αναφοράς, εισάγουμε μια νέα προσήμανση της καμπτικής ροπής ως προς τους άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Για την περίπτωση που το επίπεδο φόρτισης της δοκού συμπίπτει με το διαμήκες επίπεδο συμμετρίας, που είναι το επίπεδο x, η θετική καμπτική ροπή θα έχει τη διεύθυνση του καμπτικού άξονα (χήμα 7.10). Δηλώνοντας την καμπτική ροπή με την νέα προσήμανση, η σχέση (7.20) γράφεται σ M και χρησιμοποιώντας. (7.21) I Αν, τώρα, το επίπεδο της παραπάνω συμμετρικής δοκού συμπίπτει με το επίπεδο x, τότε το επίπεδο αυτό θα είναι και το επίπεδο κάμψης της. Αν δηλώσουμε την καμπτική ροπή, που επενεργεί στο επίπεδο x, με M, και ορίσουμε την θετική της κατεύθυνση αυτή του άξονα, τότε οι τάσεις, για την περίπτωση αυτή, παρέχονται με τη σχέση M σ. (7.22) I χήμα Αν τώρα το επίπεδο φόρτισης της δοκού είναι πλάγιο, διέρχεται, δηλαδή, μόνο από τον άξονα της δοκού, τότε, η καμπτική ροπή Μ, που θα αναπτυχθεί, θα επενεργεί πάνω σε αυτό το επίπεδο, που αποτελεί και το επίπεδο κάμψης της δοκού. Αν σε μια διατομή αναλύσουμε την ροπή M της διατομής σε δύο συνιστώσες M και M αναφορικά με τους άξονες και, αντίστοιχα (χήμα 7.11), η ορθή τάση που αναπτύσσεται στην διατομή θα είναι M M I I. (7.23) σ Η σχέση αυτή προκύπτει από την επαλληλία δυο ξεχωριστών καταστάσεων φόρτισης: από μια φόρτιση που εφαρμόζεται πάνω στο επίπεδο x και παράγει την ροπή M, και από μία φόρτιση που χήμα 7.11

78 74 εφαρμόζεται πάνω στο επίπεδο x και παράγει την ροπή M. Οι δύο αυτές ξεχωριστές φορτίσεις προκύπτουν από την ανάλυση της φόρτισης της δοκού πάνω στα επίπεδα x και x. Για να είναι επιτρεπτή η επαλληλία των δύο αυτών φορτίσεων, θα πρέπει οι σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων να είναι γραμμικές. 7.4 ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΚΕΝΣΡΗ ΥΟΡΣΙΗ Η δοκός του χήματος 7.12 φορτίζεται με μια δύναμη P, που εφαρμόζεται κάθετα στην αριστερή ακραία διατομή της, στην θέση του κέντρου βάρους της. Θα λέμε τότε ότι η δύναμη P εφαρμόζεται κεντρικά στην δοκό, ή ότι η φόρτιση είναι κεντρική. ε κάθε διατομή, η δοκός καταπονείται με μια αξονική δύναμη N( P), που παράγεται από μια ομοιόμορφη διανομή ορθών τάσεων, που αναπτύσσεται πάνω στην διατομή. Η ομοιόμορφη αυτή διανομή των ορθών τάσεων παρέχεται από την σχέση N σ (7.24) A χήμα 7.12 χήμα 7.13 όπου A είναι το εμβαδόν της διατομής. Έστω, τώρα, ότι η δύναμη P δεν επενεργεί στο κέντρο βάρους της ακραίας διατομής, αλλά σε ένα σημείο της, που βρίσκεται πάνω στον άξονα και σε μια απόσταση e από το κέντρο βάρους της, όπου είναι ο άξονας συμμετρίας της διατομής. Θα λέμε τότε ότι η δύναμη P εφαρμόζεται έκκεντρα στην δοκό με εκκεντρότητα e, ή ότι ή φόρτιση είναι έκκεντρη (χήμα 7.13). Αν, σε κάποια θέση του άξονα της δοκού, κάνουμε μια εγκάρσια τομή, η ισορροπία του αριστερού αποκομμένου τμήματος της δοκού εξασφαλίζεται, αν τοποθετήσουμε στην διατομή μια δύναμη N P, που θα βρίσκεται πάνω στο επίπεδο x και σε μια απόσταση e από τον άξονα x. Σην δύναμη N μπορούμε να την μετακινήσουμε παράλληλα στον εαυτόν της και να την τοποθετήσουμε στο κέντρο βάρους της διατομής εφαρμόζοντας μια ροπή ζεύγους M e N. Έτσι, η διατομή καταπονείται από μια κεντρική δύναμη N και από μια καμπτική ροπή M en. Οι ορθές τάσεις στην διατομή, που προκύπτουν από την επαλληλία των δύο αυτών εντατικών μεγεθών, θα είναι

79 75 N en σ A I. (7.25) Αν η δύναμη P, που εφαρμόζεται στην ακραία διατομή της δοκού είναι παράλληλη στον άξονα της δοκού, και απέχει αποστάσεις e και e από τους κύριους άξονες και της διατομής, τότε στην διατομή αναπτύσσεται μια αξονική δύναμη N P που εφαρμόζεται στο σημείο ( e, e ) της διατομής (χήμα 7.14). Σην δύναμη αυτή μπορούμε να την μετακινήσουμε παράλληλα στο εαυτόν της και να την τοποθετήσουμε στο κέντρο βάρους της διατομής προσθέτοντας τις ροπές M e N, M e N. την περίπτωση αυτή στην διατομή συνυπάρχει μια κεντρική φόρτιση και μια διπλή κάμψη. Από την επαλληλία των δύο αυτών φορτίσεων, προκύπτουν οι ορθές τάσεις στην διατομή στην μορφή N en en. (7.26) A I I σ χήμα ΚΕΝΣΡΙΚΗ ΥΟΡΣΙΗ ΚΑΙ ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΧΗ Αν η διατομή μιας δοκού καταπονείται ταυτόχρονα από μια κεντρική αξονική δύναμη N και από τις καμπτικές ροπές M, M (χήμα 7.15), όπου οι άξονες και είναι κύριοι κεντροβατικοί άξονες της διατομής, τότε οι ορθές τάσεις της διατομής παρέχονται από την N M M σχέση σ. (7.27) A I I Η σχέση αυτή δείχνει ότι οι ορθές τάσεις είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων και. Θα κάνουμε τώρα την γραφική παράσταση της συνάρτησης σ σ ( x, ) χρησιμοποιώντας το σύστημα αξόνων ( σ,, ), που είναι τοποθετημένο στο κέντρο βάρος της διατομής, με τον άξονα των τάσεωνσ να εξέρχεται από την δοκό. Ψς προς το σύστημα αυτό, η επιφάνεια σ σ ( x, ) είναι επίπεδη και τέμνει το επίπεδο της διατομής σε μια ευθεία. Η ευθεία αυτή αποτελεί την ουδέτερη γραμμή της διατομής και βρίσκεται από την σχέση χήμα 7.15 σ (, ) 0. (7.28)

80 76 Η σχέση αυτή δηλώνει ότι οι ορθές τάσεις πάνω στην ουδέτερη γραμμή είναι μηδενικές. Φρησιμοποιώντας την (7.28), η (7.29) παρέχει N M M 0. (7.29) A I I χήμα 7.16 Η ευθεία αυτή διαχωρίζει την διατομή, αν, βέβαια, την τέμνει, σε δύο περιοχές: στην περιοχή των εφελκυστικών τάσεων και στην περιοχή των θλιπτικών τάσεων (χήμα 7.16). Οι περιοχές αυτές προσδιορίζονται βρίσκοντας το πρόσημο μιας τάσης σε ένα σημείο της περιοχής. Οι μέγιστες (κατά απόλυτη τιμή) ορθές τάσεις της διατομής εμφανίζονται στα σημεία του συνόρου της διατομής, που απέχουν την μεγαλύτερη απόσταση από την ουδέτερη γραμμή. Σα σημεία αυτά προσδιορίζονται φέρνοντας τις εφαπτόμενες στο σύνορο της διατομής, που είναι παράλληλες στην ουδέτερη γραμμή. 7.6 ΠΤΡΗΝΑ ΔΙΑΣΟΜΗ Η διατομή μιας δοκού καταπονείται ταυτόχρονα από μια κεντρική αξονική δύναμη N και από τις καμπτικές ροπές M και M, όπου οι άξονες και είναι κύριοι κεντροβαρικοί άξονες της διατομής. Η τριάδα των εντατικών φορτίων της διατομής { N, M, M } μπορεί να αντικατασταθεί ισοδύναμα μόνο με την δύναμη Ν εφαρμοσμένη στο σημείο ( e, e ) της διατομής, όπου e M, I M e. (7.30) I Έτσι, οι ορθές τάσεις που αναπτύσσονται στην διατομή, παρέχονται από την σχέση N e e σ (, ) (1 ). (7.31) A I / A I / A Από την σχέση αυτή προκύπτει η εξίσωση της ουδέτερης γραμμής στην μορφή e e 1 0, (7.32) i 2 2 i

81 όπου έχουμε θέσει 77 i I / A, i I / A. (7.33) Σην εξίσωση αυτή την γράφουμε στην μορφή / / i e i e (7.34) από όπου, άμεσα προκύπτει, ότι η ουδέτερη γραμμή τέμνει τους άξονες και στα σημεία 2 ( i / e,0) 2, (0, i / e ). (7.35) Είναι φανερό ότι η ουδέτερη γραμμή εξαρτάται μόνο από την θέση του σημείου ( e, e ) που εφαρμόζεται η αξονική δύναμη Ν και όχι από το μέγεθος της δύναμης αυτής. το σημείο αυτό, εγείρεται το ακόλουθο ερώτημα: Ποια είναι τα σημεία της διατομής, στα οποία, αν εφαρμοσθεί η αξονική δύναμης Ν, οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις στην διατομή είναι παντού ομόσημες της Ν; Σα σημεία αυτά ορίζουν μια περιοχή εσωτερικά της διατομής, που ονομάζεται πυρήνας της διατομής. Είναι προφανές ότι, αν η αξονική δύναμη εφαρμόζεται σε ένα σημείο του συνόρου του πυρήνα της διατομής, τότε η ουδέτερη γραμμή αντιστοιχεί σε μια εφαπτόμενη του συνόρου της διατομής. Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στην ανάπτυξη της παρακάτω μεθοδολογίας για τον προσδιορισμό του συνόρου του πυρήνα της διατομής: Υέρουμε όλες τις εφαπτόμενες του συνόρου της διατομής. Για κάθε εφαπτόμενη k προσδιορίζουμε την εξίσωσή της στην μορφή χήμα (7.36) k k όπου (,0) και (,0) είναι τα σημεία, που η εφαπτομένη τέμνει τους k k άξονες και, αντίστοιχα. Η κάθε εφαπτομένη, που αντιστοιχεί σε μια ουδέτερη γραμμή της διατομής, αντιστοιχεί σε ένα σημείο εφαρμογής k k ( e, e ) της αξονικής δύναμης, που βρίσκεται στο σύνορο του πυρήνα.

82 78 Οι συντεταγμένες του σημείου αυτού, που θα λέγεται πυρηνικό συνοριακό σημείο, προσδιορίζονται από τις σχέσεις 2 2 k i i k e, e. (7.37) k k Σα πυρηνικά συνοριακά σημεία όλων των εφαπτομένων ορίζουν το σύνορο του πυρήνα (χήμα 7.17). 7.7 ΔΙΑΣΜΗΗ χήμα 7.18 Η κάμψη και η διάτμηση είναι δύο συζευγμένες εντατικές καταστάσεις, που δεν μπορούν να διαχωρισθούν. Είναι αδύνατο να υπάρξει καθαρή διάτμηση σε μια δοκό, όπως συμβαίνει με την περίπτωση της καθαρής κάμψης. Αυτό συμβαίνει γιατί η διατμητική δύναμη προκύπτει από την παραγώγιση της ροπής. Η ανάπτυξη των εξισώσεων, που θα περιγράφουν την εντατική κατάσταση της διάτμησης, θα στηριχθεί στις ίδιες παραδοχές που έγιναν για την κάμψη. Έτσι, θα συζητήσουμε την εντατική κατάσταση της διάτμησης, με βάση μια δοκό που κατέχει ένα διαμήκες επίπεδο συμμετρίας για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις που συζητήθηκαν προηγούμενα για την κάμψη. Από μια τέτοια δοκό αποκόπτουμε ένα στοιχειώδες τμήμα μήκους dx, στις διατομές του οποίου τοποθετούμε τα εντατικά μεγέθη που επενεργούν (χήμα 7.18). την αριστερή διατομή του αποκομμένου τμήματος, που αντιστοιχεί στη θέση x, η καμπτική ροπή είναι M( x ). Λόγω της ροπής αυτής, οι ορθές τάσεις, που αναπτύσσονται σε μια απειροστή επιφάνεια da της διατομής, που βρίσκεται σε απόσταση t από τον, θα είναι M( x) σ ( x ) t. (7.38) I υνεπώς, η στοιχειώδης δύναμη, που επενεργεί πάνω στην απειροστή επιφάνεια da της αριστερής διατομής, θα είναι α M( x) df σ ( x ) da tda. (7.39) I την δεξιά διατομή του αποκομμένου τμήματος, που αντιστοιχεί στη θέση x dx, η ροπή είναι M ( x dx ). Λόγω της ροπής αυτής οι ορθές τάσεις,

83 που αναπτύσσονται στην αντίστοιχη απειροστή επιφάνεια da της δεξιάς διατομής είναι 79 M ( x dx ) σ ( x dx ) t. (7.40) I υνεπώς, η στοιχειώδης δύναμη, που επενεργεί πάνω στην απειροστή επιφάνεια da της δεξιάς διατομής του αποκομμένου στοιχείου, είναι δ M ( x dx ) M ( x ) dm df σ ( x dx ) da tda tda. (7.41) I I Θα προσδιορίσουμε τώρα τις διατμητικές τάσεις στις θέσεις της διατομής, που απέχουν απόσταση από τον άξονα. Όπως για τις ορθές τάσεις, θα υποθέσουμε ότι οι διατμητικές τάσεις, που αναπτύσσονται στη διατομή, είναι ανεξάρτητες της μεταβλητής. Αυτό σημαίνει ότι οι διατμητικές τάσεις σε σημεία της διατομής που απέχουν την ίδια απόσταση από τον άξονα, είναι ίσες. Έστω τ ότι είναι οι διατμητικές τάσεις που αναπτύσσονται στη διατομή σε απόσταση από τον άξονα. Για να προσδιορίσουμε τις τάσεις αυτές κάνουμε μια επιπρόσθετη τομή στο αποκομμένο στοιχειώδες τμήμα στην θέση, όπως δείχνεται στο χήμα την κάθετη τομή, που έχει εμβαδόν bdx, όπου b είναι το πάχος της διατομής στην θέση που έγινε η τομή, οι διατμητικές τάσεις διανέμονται ομοιόμορφα και είναι ίσες με τ. Αυτό συμβαίνει, γιατί σύμφωνα με όσα εκτέθηκαν στην ενότητα 6.4, οι διατμητικές τάσεις, που επενεργούν σε δύο επίπεδες επιφάνειες του σώματος, που τέμνονται κάθετα, είναι ίσες. Οι τάσεις αυτές είτε συγκλίνουν ή αποκλίνουν στην τομή των δύο επιφανειών. Με βάση τα παραπάνω, η δύναμη που επενεργεί στην τομή, που έχει εμβαδό bdx, θα είναι ίση με dt τbdx. (7.42) χήμα 7.19 Η δύναμη αυτή θα ισορροπεί τις δύο δυνάμεις, που επενεργούν στην αριστερή και δεξιά διατομή του στοιχείου που δείχνεται στο χήμα Οι δυνάμεις αυτές είναι ίσες με a α M( x) F df tda I (7.43) A A δ δ M ( x ) dm F df tda I (7.44) A A

84 80 όπου A είναι το εμβαδόν της διατομής μετά τη δεύτερη τομή. Από την ισορροπία του στοιχείου έχουμε από όπου δ a F dt F, (7.46) dm dt S, (7.47) I όπου έχει τεθεί S A tda. (7.48) Από την σχέση αυτή προκύπτει ότι q dt dx S V. (7.49) I Η σχέση αυτή δείχνει ότι η μεταβολή της δύναμης, που επενεργεί σε μια τομή της δοκού, που είναι παράλληλη του ουδετέρου επιπέδου της, είναι ανάλογη της διατμητικής δύναμης (χήμα 7.20). χήμα 7.20 Από τις (7.49) και (7.43), προκύπτει η βασική σχέση της διάτμησης τ VS. (7.50) bi Η σχέση αυτή παρέχει τις διατμητικές τάσεις στη διατομή μιας δοκού σε μία απόσταση από τον άξονα. τη σχέση αυτή η ποσότητα S είναι η