Γενικευμένες συντεταγμένες

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γενικευμένες συντεταγμένες"

Ἀχιλλεύς Ελευθερίου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

2 Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων: rr 1, rr 2,..., rr. Η μελέτη του συστήματος απλοποιείται εάν αντί των καρτεσιανών συντεταγμένων των η πιο πάνω διανυσμάτων χρησιμοποιήσουμε τις μεταβλητές: q i, i= 1,2,..., 3n. Οι μεταβλητές αυτές καλούνται γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος.

3 Γενικευμένες συντεταγμένες Συχνά οι δυνάμεις μεταξύ των υλικών σημείων είναι τέτοιες ώστε μερικές από τις συντεταγμένες να συνδέονται με σχέσεις. Παράδειγμα τέτοιων σχέσεων υπάρχει σε στερεό σώμα n-υλικών σημείων όταν οι δυνάμεις μεταξύ των υλικών σημείων είναι τέτοιες ώστε οι σχετικές αποστάσεις μεταξύ τους να διατηρούνται σταθερές: rr ii rr jj = cccccccccc. Αυτές τις σχέσεις τις καλούμε δεσμούς. Εν γένει, με την παρουσία των δεσμών, οι 3n γενικευμένες συντεταγμένες δεν είναι πλέον ανεξάρτητες μεταξύ τους. Το πλήθος των ανεξάρτητων συντεταγμένων m καλείται βαθμός ελευθερίας του συστήματος Κάθε υλικό σύστημα μπορεί να παρασταθεί με ένα σημείο: q = (q 1, q 2,..., q m ) στο χώρο των q m -διαστάσεων, τον οποίο καλούμε και θεσεογραφικό χώρο.

4 Γενικευμένες συντεταγμένες Ανάλογα με τη μορφή των δεσμών, τα συστήματα χαρακτηρίζονται ως: α. Ολόνομα: όταν οι δεσμοί είναι της μορφής: ff jj = rr 1, rr 2,..., rr, tt = 0 jj = 1, 2,.., kk β. Μη ολόνομα: όταν οι δεσμοί δεν μπορούν να εκφραστούν όπως παραπάνω. Είναι δηλαδή ανισότητες ή μη ολοκληρώσιμες σχέσεις διαφορικών των συντεταγμένων του συστήματος. Τα ολόνομα συστήματα διακρίνονται σε: Σκληρόνομα ή μη ρεόνομα: εάν οι δεσμοί είναι ανεξάρτητοι του χρόνου ff jj tt = 0, με j=1, 2,.., k Ρεόνομα: όταν οι δεσμοί μεταβάλλονται με το χρόνο: ff jj tt 0, για τουλάχιστον ένα δείκτη j. Παράδειγμα ολόνομου συστήματος είναι η κίνηση υλικού σημείου στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας Β. Αν η ακτίνα Β της σφαίρας είναι ανεξάρτητη του χρόνου, το σύστημα είναι σκληρόνομο αλλιώς είναι ρεόνομο. Η υλική σφαίρα που κυλιέται σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει αποτελεί παράδειγμα μη ολόνομου συστήματος.

5 Αρχή των δυνατών έργων Αν έχουμε ένα σύστημα n-υλικών σημείων σε ισορροπία. Τότε όλες οι δυνάμεις FF ii ii = 1, 2,.., που δρουν σε κάθε υλικό σημείο είναι μηδέν, FF ii = 0 Εάν θεωρήσουμε μια απειροστή δυνατή μετατόπιση του συστήματος, δδrr ii ii = 1, 2,...,, το δυνατό έργο των δυνάμεων FF ii θα είναι: δδww = FF ii δδrr ii = 0 Αλλά η ολική δύναμη FF ii που ασκείται στο σημείο ii ισούται με το άθροισμα της ολικής δύναμης ff ii που οφείλεται στα άλλα σημεία ή στα εξωτερικά πεδία και της σσ ολικής δύναμης FF ii των δεσμών στο ii. σ FF ii = FF ii + ff ii ii = 1, 2,... Έτσι η εξίσωση των δυνατών έργων γράφεται: FF ii σ δδrr ii + ff ii δδrr ii = 0

6 Αρχή των δυνατών έργων Εάν δεχτούμε ότι σε κανένα από τους δεσμούς δεν έχουμε δυνάμεις τριβής, τότε οι δυνάμεις FF ii σ είναι κάθετες προς τις δυνατές μετατοπίσεις δδrr ii. Έτσι: ff ii δδrr ii = 0 Η εξίσωση αυτή καλείται αρχή των δυνατών έργων για τη στατική. Βάση της αρχής του D Alembert: FF ii pp ii = 0, ii = 1, 2,..., η δυναμική ανάγεται στη στατική και η παραπάνω εξίσωση γενικεύεται στην: Έτσι: ff ii pp ii δδrr ii = 0 Κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο των εξωτερικών δυνάμεων συν το έργο των δυνάμεων αδράνειας pp ii ισούται με μηδέν. Η τελευταία εξίσωση καλείται αρχή των δυνατών έργων στη δυναμική.

7 Η εξίσωση: Αρχή των δυνατών έργων ff ii pp ii δδrr ii = 0 είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις του Νεύτωνα, αν θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχουν δεσμοί μεταξύ των σημείων. Στην περίπτωση αυτή οι μετατοπίσεις δδrr ii ii = 1, 2,.., είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Με την παρουσία δεσμών οι συντεταγμένες rr ii ii = 1, 2,..., αντικαθιστώνται με γενικευμένες συντεταγμένες ανεξάρτητες μεταξύ τους, qq kk kk = 1, 2,..., mm rr ii = rr ii (qq 1, qq 2,..., qq mm ) Με αυτή τη λογική τα διαφορικά θέσεων δδrr ii γράφονται ως εξής: δδrr ii = rr ii δδqq kk kk Έτσι η σχέση της αρχής των ελάχιστων έργων παίρνει τη μορφή: ff ii pp ii rr ii δδqq kk kk = 0 ff ii pp ii kk rr ii δδqq kk = 0

8 Αρχή των δυνατών έργων Δεδομένου ότι τα διαφορικά δδqq kk είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, έχουμε : ff ii rr ii pp ii rr ii = 0 kk = 1, 2,..., mm Αυτό αποτελεί και τη γενικευμένη έκφραση της αρχής D'Alembert. Η γενικευμένη δύναμη: FF kk = ff ii rr ii συν τη γενικευμένη δύναμη αδράνειας: δίνουν άθροισμα μηδέν. PP kk= pp ii rr ii µε kk = 1, 2,..., mm µε kk = 1, 2,..., mm Βάσει των πιο πάνω ορισμών η σχέση της αρχής των ελάχιστων έργων γράφεται και στη μορφή: PP kk= FF kk Αυτή υποκαθιστά τις εξισώσεις του Νεύτωνα.

9 Εξισώσεις Lagrange Στην εξίσωση της αρχής των δυνατών έργων, η γενικευμένη δύναμη αδράνειας, μπορεί να παρουσιαστεί ως μικτή συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων qq και των ταχυτήτων υυ των αρχικών συντεταγμένων. PP kk= pp ii rr ii = dd dddd = mm ii rr ii rr ii mm ii υυ ii rr ii Η μορφή αυτή δεν είναι βολική. mm ii rr ii dd dddd Θα θέλαμε να απαλείψουμε τις ταχύτητες υυ έτσι ώστε να έχουμε: τη γενικευμένη δύναμη αδράνειας PP ii εκφρασμένη συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων qq και ταχυτήτων qq μόνο. rr ii Θα ακολουθήσει μια παρένθεση μέσα από την οποία θα δείξουμε πως θα προκύψουν οι εξισώσεις που θα απαλείφουν τις ταχύτητες υυ στην παραπάνω εξίσωση.

10 Εξισώσεις Lagrange Παραγωγίζοντας την rr ii = rr ii (qq 1, qq 2,..., qq mm ) διαδοχικά βρίσκουμε: mm υυ ii ddrr ii dddd = rr ii qq jj qq jj jj=1 mm υυ ii = 1 υυ ii qq kk jj=1 = rr ii dd + rr ii tt 2 rr ii qq jj qq jj dddd + 2 rr ii tt mm rr ii = 2 rr ii qq jj qq jj jj=1 + 2 rr ii tt Υποθέτοντας ότι μπορούμε να κάνουμε τις παρακάτω αντιμεταθέσεις στις παραπάνω παραγωγίσεις: 2 qq jj = 2 qq jj qq jj και 2 = 2 tt tt Προκύπτει: 2 dd rr ii = υυ ii dddd qq kk Κλείνοντας την παρένθεση και μεταφέροντας τα αποτελέσματα των (1) & (2)

11 Εξισώσεις Lagrange Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω αποτελέσματα στην εξίσωση της αρχής των δυνατών έργων, η γενικευμένη δύναμη αδράνειας γίνεται: Όπου: PP kk= dd dddd mm ii υυ ii υυ ii qq kk = dd dddd qq kk mm ii υυ ii dd dddd mm ii υυ 2 ii 2 PP kk= dd dddd qq kk TT = mm ii υυ 2 ii 2 η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος. TT υυ ii mm ii υυ ii 2 Οι εξισώσεις κινήσεις του συστήματος, με τη βοήθεια της παραπάνω εξίσωσης εκφράζονται στη συμπαγή μορφή: PP kk= FF kk dd = F dddd qq kk, kk = 1, 2,..., mm kk Αυτές καλούνται εξισώσεις του Lagrange. 2

12 Εξισώσεις Lagrange Στην ειδική περίπτωση κατά την οποία οι δυνάμεις ff ii προέρχονται από δυναμικό, τότε ff ii = ii VV και η γενικευμένη δύναμη FF kk είναι FF kk = ff ii rr ii = ii VV rr ii = VV έτσι οι εξισώσεις του Lagrange λαμβάνουν τη συνηθισμένη μορφή dd LL = 0, kk = 1, 2,..., mm dddd qq kk όπου: L = Τ - V η Lagrangian του συστήματος. Στη γενικότερη περίπτωση, όταν εκτός από τις δυνάμεις FF kk = / ασκούνται στο σύστημα και άλλες δυνάμεις FF kk οι οποίες δεν πηγάζουν από δυναμικό, η παραπάνω αντικαθιστάται από την: dd = F dddd qq kk, kk = 1, 2,..., mm kk

Σχετικά έγγραφα

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών