ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Διατήρηση ορμής

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διατρηση ορμς Ας θεωρσομε δυο υλικά σημεία και, με μάζες και αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονικ στιγμ στις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες r και r και έχουν αντίστοιχες ταχύτητες u και u Ας υποθέσομε ότι το υλικό σημείο ασκεί στο δύναμη F και ότι το ασκεί στο δύναμη F Πχ, ένα θετικό και ένα αρνητικό φορτίο στον χώρο ασκούν ίσες και αντίθετες ελκτικές δυνάμεις το ένα στο άλλο Επίσης, ας θεωρσομε ότι δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στα υλικά σημεία Από τον Δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα έχομε ότι du F (4) du F (4) Και από τον Τρίτο Νόμο του Νεύτωνα έχομε ότι F F Από τον συνδυασμό των δυο νόμων παίρνομε du du (4) d ( u ) d( u ) d( u ) d( u ) d ( u u ) 0 (44) Ορίζομε ως ορμ του υλικού σημείου το p u, ως ορμ του υλικού σημείου το p u και ως συνολικ ορμ του συστματος των δυο σημείων το P p p Τότε η (44) γράφεται ως d ( p p ) P p p 0 (45) σταθερό (46) Αποδείξαμε λοιπόν το θεώρημα διατρησης της ορμς Θεώρημα: Αν σε σύστημα δυο αλληλεπιδρώντων υλικών σημείων δεν ασκείται εξωτερικ δύναμη, η συνολικ ορμ του συστματος διατηρείται

2 4 Κέντρο μάζας Ας γενικεύσομε τώρα το παραπάνω θεώρημα για περισσότερα των δυο υλικών σημείων Ας θεωρσομε υλικά σημεία,,, με μάζες,,,,, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονικ στιγμ στις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες r, r, r,, r Ας υποθέσομε ότι το υλικό σημείο i ασκεί στο υλικό σημείο j δύναμη F ij, όπου i j Επίσης, ας θεωρσομε ότι στο υλικό σημείο i, i, ασκείται εξωτερικ δύναμη F i Από τον Δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα έχομε d r F F F F 4 (47) d r F F F 4 (48) F d r F F F 4 (49) F d r F F F F Προσθέτομε όλες τις εξισώσεις κατά μέλη και έχομε (40) d r d r d r d r F F F F, (4) διότι από τον Τρίτο Νόμο του Νεύτωνα έχομε ότι F ij F ji Η τελευταία εξίσωση γράφεται ως d F ( r r r r ) F F F (4) d r r r r F F F F, (4) όπου είναι η ολικ μάζα του συστματος των υλικών σημείων Αν τη διανυσματικ ποσότητα

3 που γράφεται και ως r r r r, (44) r r r r, (45) τη συμβολίσομε με R, τότε η εξίσωση (4) γράφεται ως d R F F F F (46) Αν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στα υλικά σημεία, τότε η εξίσωση (4) γράφεται ως d ( u u u u ) 0, (47) που είναι ο νόμος διατρησης της ορμς συστματος αλληλεπιδρώντων υλικών σημείων, στα οποία δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις Ας δούμε τώρα τη φυσικ σημασία της εξίσωσης (46) Αν θεωρσομε το R ως τη διανυσματικ ακτίνα ενός νοητού υλικού σημείου με μάζα, τότε η εξίσωση (46) είναι η εξίσωση κίνησης αυτού του νοητού υλικού σημείου υπό την επίδραση της συνισταμένης των δυνάμεων F, F, F,, F Αξίζει λοιπόν να δούμε που βρίσκεται αυτό το νοητό υλικό σημείο σε σχέση με τα πραγματικά υλικά σημεία,,, Από τον ορισμό του R r r r R r r r r r (47) βλέπομε ότι το διάνυσμα R φτιάχνεται από «ποσοστά» i των r i, i Άρα το νοητό υλικό σημείο είναι «κάπου μεταξύ» των πραγματικών υλικών σημείων και είναι πολύ πιθανό να μη συμπίπτει με κανένα από αυτά Αυτό το νοητό σημείο λέγεται κέντρο μάζας των υλικών σημείων,,, Θεώρημα: Το κέντρο μάζας αλληλεπιδρώντων υλικών σημείων κινείται σαν όλες οι μάζες να ταν συγκεντρωμένες εκεί και να ασκείται σ αυτό η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στα υλικά σημεία Για να κατανοσομε καλύτερα τον ορισμό (47) του κέντρου μάζας, ας τον εφαρμόσομε σε δυο υλικά σημεία Ας θεωρσομε δυο υλικά σημεία και, με μάζες και αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονικ στιγμ στις θέσεις x και x του άξονα x Οι διανυσματικές ακτίνες των υλικών σημείων είναι r x iˆ και r x iˆ Χρησιμοποιώντας τον ορισμό (47) έχομε

4 x iˆ x iˆ x x R iˆ X iˆ, (48) όπου X x x (49) Ας δούμε τώρα αν αυτό το X μπορούμε να το βρούμε με τον απλό τρόπο που χρησιμοποιούσαμε στο Λύκειο για το κέντρο μάζας Αν X είναι το σημείο του κέντρου μάζας στον άξονα x, τότε αυτό το σημείο είναι κάπου μεταξύ των σημείων x και x x Αν θέλετε μπορείτε να θεωρσετε ότι τα x, x είναι θετικές ποσότητες, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο Γράφομε λοιπόν X x ) ( x ), (40) ( X όπου X x είναι η απόσταση της μάζας από το κέντρο μάζας και x X είναι η αντίστοιχη απόσταση για τη μάζα Λύνοντας ως προς X παίρνομε την (49) Παρατρηση: Μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να περιγράψομε την κίνηση ενός στερεού σώματος μάζας στον χώρο υπό την επίδραση της βαρύτητας, διότι το σώμα μπορεί να περιστρέφεται καθώς κινείται Όμως, το κέντρο μάζας του σώματος κάνει πολύ απλ κίνηση, που περιγράφεται από την εξίσωση d R g, (48) όπου g είναι η δύναμη της βαρύτητας Τη λύση αυτς της εξίσωσης την είδαμε στο Παράδειγμα Ιδιότητες του κέντρου μάζας: Το κέντρο μάζας ενός ομογενούς σώματος έχει τις εξς ιδιότητες, που αποδεικνύονται πολύ εύκολα: Αν το σώμα έχει σημείο συμμετρίας, τότε το κέντρο μάζας του είναι αυτό το σημείο συμμετρίας Πχ, το κέντρο σφαίρας σφαιρικού φλοιού είναι το κέντρο μάζας του σώματος Ομοίως για κύλινδρο κυλινδρικό φλοιό Αν το σώμα έχει άξονα συμμετρίας, τότε το κέντρο μάζας του είναι πάνω στον άξονα συμμετρίας Πχ, το κέντρο μάζας κώνου είναι πάνω στον άξονα συμμετρίας του Αν το σώμα έχει δυο άξονες συμμετρίας, τότε το κέντρο μάζας του είναι στην τομ των δυο αξόνων συμμετρίας 4 Αν το σώμα έχει επίπεδο συμμετρίας, τότε το κέντρο μάζας του είναι πάνω στο επίπεδο συμμετρίας 5 Αν ένα σώμα αποτελείται από δυο μέρη, ας πούμε A και B, με μάζες A και B αντιστοίχως, τότε το κέντρο μάζας του σώματος μπορεί να βρεθεί θεωρώντας μάζα A στο κέντρο μάζας του A και μάζα B στο κέντρο μάζας του B

5 Άσκηση 4: Να αποδειχτούν οι παραπάνω ιδιότητες Λάβετε υπόψη σας ότι από τον ορισμό (47) έχομε ότι οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας υλικών σημείων είναι x x x x X, Y y y y y, Z z z z z Εύρεση κέντρο μάζας σώματος: Για σύστημα διακριτών υλικών σημείων η έκφραση (47) μάς δίνει τη διανυσματικ ακτίνα του κέντρου μάζας τους Τι γίνεται όμως αν τα υλικά σημεία δεν είναι διακριτά, αλλά είναι τα άτομα ενός στερεού σώματος; Σ αυτν την περίπτωση η κατανομ της μάζας είναι συνεχς και όχι διακριτ Άρα πρέπει να γενικεύσομε την έκφραση (47) για συνεχ κατανομ μάζας Ας θεωρσομε στερεό σώμα μάζας με πυκνότητα και ας θεωρσομε έναν απειροστό όγκο του σώματος dv στη διανυσματικ ακτίνα r Σ αυτόν τον όγκο υπάρχει η απειροστ μάζα d dv Κατ αναλογία λοιπόν προς τη σχέση (47) γράφομε R d r ( V ) ( V ) r dv, όπου το σύμβολο ) (V στο ολοκλρωμα σημαίνει ότι πρέπει να ολοκληρώσομε ως προς όλον τον όγκο V του στερεού σώματος

6