g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα"

Βαυκις Καλογιάννης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για = 0 έχουμε y= 5, με ελαστικότητα του ως προς y : ε=. Να εκτιμηθεί η τιμή του y όταν =. γ). Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το μέγιστο της f() = ln(+ ). δ). Για το ζεύγος συναρτήσεων {f() =, g() = }, να γίνει το γράφημα και να υπολογιστεί το εμβαδόν της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ των καμπύλων και του άξονα, στη θετική περιοχή: { 0, y 0}.. (.6 μονάδες) α). Δίνεται η συνάρτηση: f(,p, ) = p, και θεωρούμε ότι η εξίσωση f = 0 ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {p,}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης και να επαληθευτεί το αποτέλεσμα. β). Η συνάρτηση f(,y) είναι αύξουσα, y φθίνουσα και ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης. Να γίνει το γράφημα μιας ισοσταθμικής της με το αντίστοιχο διάνυσμα κλίσης, και να διερευνηθεί αν η f(,y) είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. γ). Θεωρούμε το πρόβλημα: min{f = + y g= + y }. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η λύση (,y ) και να ερμηνευτεί η τιμή του πολλαπλασιαστή. δ). Θεωρούμε τη συνάρτηση: f(, y) = ln(y) y. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί ως τοπικό ή ολικό ακρότατο το στάσιμο σημείο της, και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της. Μέρος Β. Να λυθεί το ένα από τα δύο. (.8 μονάδες) MC Η παραγωγή και διάθεση μιας ποσότητας ενός προιόντος έχει κόστος: C= C(), και αποφέρει έσοδο: R= R(), οπότε αφήνει κέρδος: MR Π() = R() C(). Στο παραπλεύρως σχήμα δίνονται τα γραφήματα του οριακού κόστους: MC= C () και του οριακού εσόδου: MR= R (). Υποθέτοντας Π(0) = 0, να βρεθούν: α). Το μέγιστο κέρδος. β). Οι ποσότητες παραγωγής για τις οποίες το κέρδος είναι μηδενικό. γ). Τα γραφήματα της συνάρτησης κόστους C= C(), και της συνάρτησης εσόδου R= R(). 4. (.8 μονάδες) Θεωρούμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης κατανάλωσης: min{c= X+ Y U = (X+ )(Y ) } με X 0, Y 0 α) Να γίνει το γράφημα της καμπύλης αδιαφορίας U = (X+ )(Y ) =, και να βρεθεί γραφικά η λύση (X,Y ) του προβλήματος. Τι μπορείτε να πείτε για τα δύο αγαθά? β) Να βρεθούν αναλυτικά η λύση (X,Y ) του προβλήματος καθώς και η αντίστοιχη ελάχιστη δαπάνη C, ως συναρτήσεις των παραμέτρων {,,} γ). Να διερευνηθούν οι ιδιότητες ομογένειας των συναρτήσεων στο β), ως προς τις τιμές των αγαθών {,}

2 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0. Λύσεις Μέρος Α. (4 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για = 0 έχουμε y= 5, με ελαστικότητα του ως προς y : ε=. Να εκτιμηθεί η τιμή του y όταν =. γ). Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το μέγιστο της f() = ln(+ ). δ). Για το ζεύγος συναρτήσεων {f() =, g() = }, να γίνει το γράφημα και να υπολογιστεί το εμβαδόν της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ των καμπύλων και του άξονα, στη θετική περιοχή: { 0, y 0}. ln α). { = e +, = ln} = e + ln= + ln : σύνθεση, d d d = : κανόνας αλυσωτής παραγώγισης d d d Αριστερό μέρος: d d d ln = +, δεξιό μέρος: = (e + ) = (e + ) = (+ ) = + d d d Τα δύο είναι ίσα. β). Το μεταβλήθηκε κατά Δ= %Δ = (/ 0)00 = 0%. Έχουμε d= Δ. Λύση. Χρησιμοποιώντας την ελαστικότητα του y ως προς : e= /ε= / = 0.5 Επομένως το y θα μεταβληθεί κατά %Δy %dy= e(%d) = (/ ) 0% = 5% Έχουμε: dy 00= 5 dy= 5 /00= 0.5. Επομένως για = θα έχουμε: y = Λύση. Χρησιμοποιώντας την παράγωγο του y ως προς : y 0y e= = = y = 5 / 0= 0.5 ε y 5 Το μεταβλήθηκε κατά Δ= dy= y d = (0.5)= 0.5. Επομένως για = βρίσκουμε πάλι: ln(+ ) y = 5.5. γ). f() = ln(+ ) f () = = 0 = : + στάσιμο με f = < 0 παντού. (+ ) Η συνάρτηση είναι κοίλη και επομένως το στάσιμο είναι ολικό μέγιστο. δ). Οι δύο καμπύλες τέμνονται στο θετικό σημείο: ± = + = 0 = 0 = = Το εμβαδόν δίνεται από το ολοκλήρωμα: d + ( )d 0 = = + [(4 ) ( )] = + = 6

3 . (4 μονάδες) α). Δίνεται η συνάρτηση: f(,p, ) = p, και θεωρούμε ότι η εξίσωση f = 0 ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {p, }. Να βρεθεί η μερική παράγωγος χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης και να επαληθευτεί το αποτέλεσμα. β). Η συνάρτηση f(,y) είναι αύξουσα, y φθίνουσα και ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης. Να γίνει το γράφημα μιας ισοσταθμικής με το αντίστοιχο διάνυσμα κλίσης, και να διερευνηθεί αν η f(,y) είναι οιονεί κοίλη ή οιονεί κυρτή. γ). Θεωρούμε το πρόβλημα: min{f = + y g= + y }. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η λύση (,y ), και να ερμηνευτεί η τιμή του πολλαπλασιαστή. δ). Θεωρούμε τη συνάρτηση: f(, y) = ln(y) y. Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί ως τοπικό ή ολικό ακρότατο το στάσιμο σημείο της, και να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές της f α). f = p = 0 = = = : πλεγμένη παράγωγος f Για την επαλήθευση βρίσκουμε την πλεγμένη συνάρτηση: p p p = 0 = = p p Οι δύο εκφράσεις είναι ίσες: = διότι έχουμε = β). Η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη διότι η πάνω σταθμική είναι κυρτή όπως φαίνεται στο σχήμα παραπλεύρως γ). Η λύση βρίσκεται στο σημείο επαφής μιας ισοσταθμικής της f = + y με την καμπύλη του περιορισμού: g= + y =. Θα ικανοποιεί τις εξισώσεις Lagrange: f = λg λ / λ / 4 / 9 = = = fy = λgy = λ / y y = λ / y = 4 / 9 g c y λ / 4 λ / = + = + = λ = 4 / Ο πολλαπλασιαστής λ = 4 / δίνει τον ρυθμό μεταβολής της ελάχιστης τιμής f = + y = 6 / 9 ως προς την τιμή του περιορισμού: g= δ). Βρίσκουμε πρώτα το στάσιμο σημείο f = / = 0 f(, y) = ln(y) y= ln + ln y y ( =, y = ) fy = / y = 0 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον Εσσιανό πίνακα της δεύτερης παραγώγου: / 0 f = /, fyy = / y, fy = 0 Hf = 0 / y Ο Εσσιανός πίνακας είναι παντού αρνητικά ορισμένος: f < 0, f < 0 & Δ= f f f = 4 / y > 0. yy yy y Επομένως η συνάρτηση είναι γνήσια κοίλη, το στάσιμο είναι γνήσιο ολικό μέγιστο, και οι ισοσταθμικές είναι κλειστές καμπύλες. Οι άξονες αποτελούν την ισοσταθμική με τιμή f y f g f f c f

4 Μέρος Β. Να λυθεί το ένα από τα δύο. ( μονάδες) Η παραγωγή και διάθεση μιας ποσότητας ενός προιόντος έχει κόστος: C = C() και αποφέρει έσοδο: R= R(), οπότε αφήνει κέρδος: Π() = R() C(). Στο σχήμα παραπλεύρως δίνονται τα γραφήματα του οριακού κόστους: MC= C () και του οριακού εσόδου: MR= R (). Υποθέτοντας C(0) = 0, R(0) = 0, να βρεθούν: α). Το μέγιστο κέρδος β). Οι ποσότητες παραγωγής για τις οποίες το κέρδος είναι μηδενικό γ). Τα γραφήματα της συνάρτησης κόστους: C= C(), και της συνάρτησης εσόδου: R= R(), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Το κέρδος της παραγωγής δίνεται από το προσημασμένο εμβαδό μεταξύ των δύο καμπύλων: Π() = Π ()d = [R () C ()]d 0 0 Το προσημασμένο εμβαδόν είναι αρνητικό όταν η R () βρίσκεται από κάτω, όπως στο αρχικό διάστημα μέχρι το =, είναι θετικό στο διάστημα μεταξύ = και = 5 όπου η R () βρίσκεται από πάνω, και στη συνέχεια γίνεται πάλι αρνητικό. Μετρούμε τα εμβαδά χρησιμοποιώντας στοιχειώδη τρίγωνα, και βρίσκουμε: R C MC 5.5 MR α). Το κέρδος είναι μέγιστο στην παραγωγή = 5, όπου εξάλλου η καμπύλη οριακού κόστους κόβει την καμπύλη οριακού εσόδου από κάτω. Για το μέγιστο κέρδος βρίσκουμε: + Π = E + E = ( 0.5) + (4) =.5 β). Εκτός από το = 0, το κέρδος μηδενίζεται επίσης όπου το προσημασμένο εμβαδό είναι μηδενικό. Αυτό συμβαίνει στην παραγωγή =, καθώς και στην παραγωγή = γ). Η συνάρτηση εσόδου είναι R= P=. Η συνάρτηση κόστους είναι αύξουσα, με φθίνοντα ρυθμό μέχρι το =, και στη συνέχεια με αύξοντα ρυθμό. Στο σημείο καμπής =, το κόστος δίνεται από το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη οριακού κόστους και είναι ίσο με 7.5. Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία: {, }.

5 4. ( μονάδες) Θεωρούμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης της δαπάνης κατανάλωσης: min{c= X+ Y U = (X+ )(Y ) } με X 0, Y 0 α) Να γίνει το γράφημα της καμπύλης αδιαφορίας U = (X+ )(Y ) =, και να βρεθεί γραφικά η λύση (X,Y ) του προβλήματος. Τι μπορείτε να πείτε για τα δύο αγαθά? β) Να βρεθούν αναλυτικά η λύση (X,Y ) του προβλήματος καθώς και η αντίστοιχη ελάχιστη δαπάνη C, ως συναρτήσεις των παραμέτρων {,,} γ). Να διερευνηθούν οι ιδιότητες ομογένειας των συναρτήσεων στο β), ως προς τις τιμές των αγαθών {,} α). Η ισοσταθμική είναι η υπερβολή μετατοπισμένη στο σημείο: {X+ = 0, Y = 0} {X0 =, Y0 = } Γραφικά διαπιστώνουμε ότι: U. Η κατανάλωση του Y είναι πάντοτε μεγαλύτερη του.. Η κατανάλωση του X θα μηδενιστεί αν η τιμή του είναι πολύ μεγάλη (συνοριακή λύση). β). Αν η λύση είναι εσωτερική θα δίνεται από τις εξισώσεις Lagrange: C = λu X / = λ(y ) Y = /λ = Cy = λuy = λ(x+ ) X+ = /λ Y = / + (X )(Y ) U= + = /λ = λ = / Η παραπάνω λύση είναι αποδεκτή εφόσον X 0 / /, αλλιώς θα είναι συνοριακή: X = 0, Y = + Η αντίστοιχη ελάχιστη δαπάνη θα είναι: C = X + Y = ( / ) + ( / + ) = + αν / C = X + Y = 0+ (+ ) = (+ ) αν / γ). Ως προς τις τιμές των αγαθών {,} :. Οι συναρτήσεις ζήτησης {X,Y } είναι ομογενείς βαθμού 0.. Η συνάρτηση δαπάνης C είναι ομογενής βαθμού.

Σχετικά έγγραφα

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής: