Η ακόλουθη συνάρτηση συνδέει συνολικό κόστος TC και παραγόμενη ποσότητα Q: TC = Q + 3Q 2

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ακόλουθη συνάρτηση συνδέει συνολικό κόστος TC και παραγόμενη ποσότητα Q: TC = Q + 3Q 2"

Ἡσαΐας Δουρέντης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΟ13 ΑΣΚΗΣΗ 1 [Μέρος Α] Η ακόλουθη συνάρτηση συνδέει συνολικό κόστος TC και παραγόμενη ποσότητα : TC = (A)Γράψτε τις συναρτήσεις του Οριακού Κόστους (Marginal Cost - MC), του Μεταβλητού Κόστους (Variable Cost VC), του Σταθερού Κόστους (Fixe Cost - FC), του Μέσου Συνολικού Κόστους (Average Total Cost - ATC), του Μέσου Μεταβλητού Κόστους (Average Variable Cost - AVC), και του Μέσου Σταθερού Κόστους (Average Fixe Cost - AFC). MC ( ) 10 6 VC AC AC AC , AVC ATC FC AFC (Β) Βρείτε την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το ATC και υπολογίστε το ελάχιστο ATC. Κριτήριο α παραγώγου

2 Κριτήριο β παραγώγου AC άρα για 5,8 το ATC ελαχιστοποιείται. Το ελάχιστο ATC είναι: ,8 35,8 4.58, 1 ATC(5,8) 164,9 ί 5,8 5,8 (Γ) Βρείτε την ποσότητα όπου το ATC ισούται με το MC. Υπολογίστε το ATC και το MC σε αυτή την ποσότητα. Τι παρατηρείτε από τις απαντήσεις στα ερωτήματα Β και Γ; Σχολιάστε. ATC MC ,8 ό ώ ATC(5,8) 164,9 MC(5,8) 164,9 [Μέρος Β] Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή που επιδιώκει μεγιστοποίηση των κερδών του είναι P= και η συνάρτηση του συνολικού κόστους της επιχείρησής του είναι TC = ln, όπου Ρ είναι η τιμή, και η ποσότητα του προϊόντος. (A)Να προσδιορισθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο το κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται και να υπολογιστεί το ελάχιστο κόστος. (Α) TC n Κριτήριο α παραγώγου

3 7 7 TC 0 3,5 Κριτήριο β παραγώγου 7 7 TC 0 άρα για 3,5 το TC ελαχιστοποιείται. Το ελάχιστο κόστος είναι TC(3,5) 100 3,5 7 n3,5 98, 3 (Β) Να προσδιορισθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο ο μονοπωλητής μεγιστοποιεί τα κέρδη του Π και να υπολογιστεί το μέγιστο κέρδος. Η συνάρτηση κέρδους 5 7 n Κριτήριο α παραγώγου n ( ) TR TC P TC n n , , Κριτήριο β παραγώγου Εάν 1 τότε () 0 Εάν,5 τότε (,5) 0

4 Άρα για,5 το κέρδος Π μεγιστοποιείται και το μέγιστο κέρδος είναι 5 (,5),5 7 n,5 3, 41,5 ΑΣΚΗΣΗ [Μέρος Α] Η τεχνολογία παραγωγής μιας επιχείρησης χαρακτηρίζεται από συνάρτηση οριακού κόστους MC = 0,6 + 0,15, όπου η ποσότητα προϊόντος. Ταυτόχρονα, οι 4 συνθήκες αγοράς είναι τέτοιες ώστε η επιχείρηση να έχει συνάρτηση οριακού εσόδου MR = 4 0,5, όπου η ποσότητα προϊόντος. Η επιχείρηση γνωρίζει ότι έχει σταθερό κόστος FC = 4, ενώ δίνεται η πληροφορία ότι το συνολικό έσοδο της επιχείρησης για μηδενικό επίπεδο πωλήσεων ( = 0 ) είναι TR = 0. (A)Να προσδιορισθούν οι συναρτήσεις συνολικού κόστους TC, συνολικού εσόδου TR, και η συνάρτησης ζήτησης που αντιμετωπίζει η επιχείρηση. MC 0, 6 0,15 MR 4 0,5 FC 4 3 TC MC 0, 6 0,15 0,3 0, 05 c TC 3 0,3 0,5 4 TR MR c ά c ό ό Ά TR 4 0,5 4 0, , 5 Επομένως TR 0,5 4 P P 0,5 4 (Β) Να προσδιορισθεί η συνάρτηση κέρδους Π της επιχείρησης, να βρεθεί το επίπεδο που μεγιστοποιεί το κέρδος της επιχείρησης και το μέγιστο κέρδος. 3 TR TC 0, 5 4 0,3 0, , 5 4 0,3 0, ,05 0,05 4 Κριτήριο α παραγώγου

5 MR MC 4 0,5 0, 6 0,15 4 0,5 0, 6 0,15 0,15 0,1 0 0,1 4 0,15 0, 01 1, 1, 1 Άρα 1, 0,1 1, 1 0,3 0,11,1 0 ί 0,3 0,11,1 4 0,3 Κριτήριο β παραγώγου 0,15 0,1 0,3 0,1 Για 4 0 άρα για 4 [Μέρος Β] 4 1,6 το κέρδος μεγιστοποιείται με Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης σε μία αγορά δίνεται από τη συνάρτηση = 10 ( p 3), ενώ η συνάρτηση προσφοράς είναι γραμμική και δίνεται από τη συνάρτηση: s = p 1, όπου, και s η ζητούμενη και προσφερόμενη ποσότητα αντίστοιχα, και p η τιμή του προϊόντος. Η αγορά βρίσκεται σε ισορροπία όταν η ζητούμενη ποσότητα είναι ίση με την προσφερόμενη ποσότητα για δεδομένο επίπεδο τιμών = s (Α) Η συνάρτηση προσφοράς πρέπει να ικανοποιεί την οικονομική συνθήκη να είναι αύξουσα στο πεδίο ορισμού ενώ η συνάρτηση ζήτησης φθίνουσα και p 0, s 0, 0. Βρείτε αλγεβρικά το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ώστε να ισχύουν οι προαναφερόμενοι περιορισμοί που θέτει η οικονομική θεωρία.

6 10 p 3 10 p 6 p 9 10 p 6 p 9 1 p 6 p s p1 Για την συνάρτηση ζήτησης πρέπει: p p P 1, ,3 0,16 6 6,3 6,16 Το τριώνυμο πρέπει να γίνεται ετερόσημο του a 1 0 επομένως 0,16 p 6,16 0 p 6,16 ' 0 p 6 0 p 3 Το πεδίο ορισμού της ζήτησης είναι: 3 p 6,16 Για την συνάρτηση προσφοράς 0 p 1 0 p Επομένως το κοινό πεδίο ορισμού είναι: 3 p 6, (Β) Να βρεθεί το σημείο ισορροπίας της αγοράς. (Το σημείο ισορροπίας να συμβολιστεί με p, ). s 1 p 6 p p 1 p 4 p

7 P 1, ,9 0, ,9 8,9 4,45 Η τιμή p είναι δεκτή γιατί ανήκει στο προηγούμενο πεδίο ορισμού. Άρα p 4,45 τιμή ισορροπίας Με 4, 45 18,9 1 7,9 η ποσότητα ισορροπίας s 14,45 64,45 7,9 Άρα q 7,9 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού: 600 P 5. 0 (Α)Να προσδιορισθούν οι συναρτήσεις συνολικού εσόδου TR, οριακού εσόδου MR, και μέσου εσόδου AR TR P TR 5 TR (0 ) 600 MR TR MR MR AR P 5 0 (Β) Να προσδιορισθούν η ποσότητα προϊόντος και η τιμή P για τις οποίες μεγιστοποιείται το συνολικό έσοδο TR, καθώς και το μέγιστο έσοδο TR. Κριτήριο α παραγώγου

8 TR ή ύ ,98 ή0 48,98 8, TR άρα για q 8,98 το TR μεγιστοποιείται. Άρα 600 p 5 7,4 0 8, ,98 TR 5 8, ,90 10,10 48,98 (Γ) Να προσδιορισθεί η ελαστικότητα ζήτησης στις περιπτώσεις που η τιμή είναι ίση με P, (P +3), και (P 3). [Υπόδειξη: να αντιστραφεί η συνάρτηση ζήτησης ώστε η ποσότητα να είναι συνάρτηση της τιμής.] 600 P 5 5 P P P 600 P P 500 0P P 5 E E E E 500 0P P P 5 P 5 0 P P P 0P P P P P 5 P Για P 7,4

9 E Για E Για E 600 7, 4 1 8,98 7, 4 5 P 3 10, 4 και , 4 1,36 19,37 10, 4 5 p 3 4,4 και 600 4, 4 0,66 44,93 4, ,4 19,37 10, ,4 44,93 4,4 5 ΑΣΚΗΣΗ 4 Α) Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: x x (3x ) (i) y( x 1)ln(x +1), (ii) y e, (iii) y (4x 3) i) y x 1 n x 1 1 x y x n( x 1) x 1 y x n x 1 x x 1 ii) x x y e x x x x y e x x e 4x 1 3x 34x 3 3x 8x y y iii) 4x 3 4x 3 1x 9 4x 16x y 4x 3 1x 16x 9 y 4x 3 Β) Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων: (i)y=3x 3-6x, (ii) y=e -x/

10 y 3x 6x 3 y 9x 1x 0 3x 3x 4 0 x 0 ή x 3 y 18x 1 4 Εάν x y άρα για x 0 y παρουσιάζει μέγιστη τιμή την 3 y Εάν x y άρα για 3 3 τιμή την 3 4 x η y παρουσιάζει ελάχιστη y 3 6 y ii) y e x x y xe 0 x 0 x x x y e x e 1 x e Ισχύει 0 0 y άρα για x 0 y παρουσιάζει μέγιστη τιμή την ye 0 1

Σχετικά έγγραφα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 01-013 Δεύτερη Γραπτή Εργασία Επιχειρησιακά Μαθηματικά