ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ
|
|
|
- Όλυμπος Βυζάντιος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 1 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο μέσο Δ της πλευράς ΑΒ φέρουμε κάθετη ευθεία που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουμε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΕ= ΒΕ. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)
2 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) το ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9) γ) η ΑΗ είναι διάμεσος του ΒΑΕ τριγώνου. (Μονάδες 9)
3 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο φέρουμε τις διαμέσους του ΒΜ και ΓΝ. Προεκτείνουμε την ΒΜ (προς το Μ) κατά τμήμα ΜΔ=ΒΜ και την ΓΝ (προς το Ν) κατά τμήμα ΝΕ=ΓΝ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΔ//ΒΓ και ΑΕ//ΒΓ. (Μονάδες 13) β) Είναι τα σημεία Ε, Α και Δ συνευθειακά; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)
4 4 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και η διαγώνιός του ΒΔ. Από τις κορυφές Α και Γ φέρουμε τις κάθετες ΑΕ και ΓΖ στη ΒΔ, που την τέµνουν στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΒΖ είναι ίσα. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 15)
5 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ φέρουμε ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΒΑ και ευθύγραμμο τμήμα ΜΕ ίσο και παράλληλο προς την πλευρά ΓΑ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΑ=ΑΕ (Μονάδες 8) β) Τα σημεία Δ, Α και Ε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. (Μονάδες 9) γ) ΔΕ=ΒΓ (Μονάδες 8)
6 6 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ το μέσο της πλευράς ΑΒ. Από το Δ διέρχεται μια τυχαία ευθεία (ε) που τέμνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σημείο Ε. Η ευθεία (ε) χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε ένα τρίγωνο ΑΔΕ και σε ένα τετράπλευρο ΒΔΕΓ. α) Ποια πρέπει να είναι η θέση του σημείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΒΔΕΓ να είναι τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12) β) Ποιο πρέπει να είναι το είδος του ΑΒΓ τριγώνου, ώστε το τραπέζιο του ερωτήματος (α) να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)
7 7 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, προεκτείνουμε την πλευρά ΔΑ (προς το Α) κατά τμήμα ΑΗ=ΔΑ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ˆ, η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Το τρίγωνο ΔΖΗ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία ˆΖ. (Μονάδες 13)
8 8 Δίνεται ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο με ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας ˆ του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Είναι το σημείο Ε μέσο της πλευράς ΑΒ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)
9 9 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Θεωρούμε σημείο Ε του τμήματος ΑΟ και σημείο Ζ του τμήματος ΟΓ, ώστε ΟΕ=ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΒΖ (Μονάδες 12) β) το ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)
10 10 Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( Â = 90 ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ= ΒΓ 2 (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8) ΑΓ γ) ΔΕ= 2 (Μονάδες 9)
11 11 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία ˆΑ =120 και ΑΒ=2ΑΔ. Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δ του παραλληλογράμμου, η οποία τέμνει την ΑΒ στο Ε, και στη συνέχεια το κάθετο τμήμα ΑΖ στη ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) γωνία Αˆ Ε = 30. (μον.10) ΑΒ β) ΑΖ = (μον.15) 4
12 12 o Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â= 90 ) με ΒΓ = 8 cm. Έστω ΑΜ είναι διάμεσος του τριγώνου και ΜΔ ΑΓ. Αν η γωνία ΑΜΓ ˆ είναι ίση με 120 ο, τότε: α) Να δείξετε ότι ΑΒ = 4 cm. (Μονάδες 12) β) Να βρείτε το μήκος της ΜΔ. (Μονάδες 13)
13 13 o Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με Aˆ = Δˆ = 90, ΑΒ > ΓΔ, ΒΓ = 4ΓΔ και ˆΒ = 60 ο. Φέρουμε την ΓΗ ΑΒ και θεωρούμε τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ = 3ΓΔ. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)
14 14 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στην προέκταση της ΒΑ (προς το μέρος της κορυφής Α) παίρνουμε σημείο Δ ώστε ΑΒ = ΑΔ και στην προέκταση της ΔΓ (προς το μέρος της κορυφής Γ) παίρνουμε σημείο Ε ώστε ΔΓ = ΓΕ. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΓΒ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12) β) Να δείξετε ότι ΒΕ//ΑΓ και ΒΕ ΑΓ=. (Μονάδες 13) 2
15 15 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Φέρουμε, εκτός του τριγώνου, τις ημιευθείες Αx και Αy τέτοιες ώστε Αx ΑΒ και Αy ΑΓ. Στις Αx και Αy θεωρούμε τα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΑΔ=ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΓΕ. (Μονάδες 12) β) Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των τμημάτων ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΜΝ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)
16 16 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ και Ε το μέσο της πλευράς του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΕΑΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Η ΔΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. (Μονάδες 15)
17 17 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ=ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Η ΒΕ διέρχεται από το μέσο της διαμέσου ΑΜ. (Μονάδες 13)
18 18 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και η διάμεσός του ΑΜ. Στην προέκταση της διαμέσου ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΜΔ=ΔΕ. Αν το σημείο Ζ είναι το ίχνος του Δ στην ΑΜ, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΜΓΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12) β) ΒΓ Ζ= 4 (Μονάδες 13)
19 19 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ˆΓ ˆ 60 ο = =, ΑΔ=12 και ΓΔ=20. Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου. (Μονάδες 13)
20 20 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ). Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ=ΓΖ. (Μονάδες 12) β) ΑΖ=ΒΕ. (Μονάδες 13)
21 21 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), το ύψος του ΑΔ και τα μέσα Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξτε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΓΔΖ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) Το τετράπλευρο ΑΖΔΕ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
22 22 Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΔΒΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) β) Η ευθεία ΔΖ διχοτομεί το τμήμα ΑΕ. (Μονάδες12)
23 23 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και γωνία Γ =30. Θεωρούμε το ύψος ΑΔ και το μέσο Ζ της πλευράς ΑΓ. Προεκτείνουμε το ύψος ΑΔ (προς το Δ) κατά ίσο τμήμα ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) =. (Μονάδες 12) β) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 13)
24 24 Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και το ύψος του ΑΔ. Προεκτείνουμε το ΑΔ (προς το Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ. Έστω Κ το συμμετρικό του Β ως προς το Δ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΑΒΕΚ είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)
25 25 Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του σχήματος είναι παραλληλόγραμμο. Έστω ότι και. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε ΑΖ=ΑΕ. (Μονάδες 12) β) Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ΑΖ=ΑΕ, τότε αυτό είναι ρόμβος. (Μονάδες 13)
26 26 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ στο οποίο η διαγώνιος ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΑΔ. Αν η γωνία και η γωνία, να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 25)
27 27 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ. Θεωρούμε τα σημεία Ε και Ζ πάνω στην ΑΒ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ το σημείο τομής των ΔΖ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΖ=ΓΕ (Μονάδες 13) β) Τα τρίγωνα ΕΚΖ και ΔΚΓ είναι ισοσκελή (Μονάδες 12)
28 28 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο είναι το κέντρο του. Έστω Ε, Ζ, Η, Θ τα μέσα των ΟΔ, ΟΑ, ΟΒ και ΟΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Αν η περίμετρος του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 40, να βρείτε την περίμετρο του ΕΘΗΖ. (Μονάδες 15)
29 29 Σε κύκλο κέντρου Ο, έστω ΟΑ μία ακτίνα του. Φέρουμε τη μεσοκάθετη της ΟΑ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β και Γ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΟΒΑ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΟΒΑΓ είναι ρόμβος. (Μονάδες 12)
30 30 Δίνεται γωνία xoy και σημείο Α στο εσωτερικό της. Από το Α φέρνουμε τις κάθετες ΑΒ, ΑΓ προς τις πλευρές Οx, Oy της γωνίας αντίστοιχα, και ονομάζουμε Μ το μέσο του ΟΑ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) = 2 xoy (Μονάδες 15)
31 31 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με και. Επιπλέον, τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τη γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 8)
32 32 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ). Έστω Δ σημείο της πλευράς ΑΓ τέτοιο ώστε, η διχοτόμος ΔΕ της γωνίας να είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) Αν, I. να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 8) II. να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7)
33 33 Θεωροφμε παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ και Α, Γ οι προβολζσ των κορυφών Α και Γ ςτθ διαγώνιο ΒΔ. Αν τα ςθμεία Α και Γ δεν ταυτίηονται, να αποδείξετε ότι: α) ΑΑ // ΓΓ (Μονάδεσ 8) β) ΑΑ =ΓΓ (Μονάδεσ 10) β) Το τετράπλευρο ΑΓ ΓΑ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 7)
34 34 Θεωροφμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ) με γωνία Β = 2Γ. Από το μζςο Μ τησ ΒΓ φζρνουμε ευθεία παράλληλη ςτην ΑΒ, η οποία τζμνει την πλευρά ΑΓ ςτο Δ. α) Να υπολογίςετε I. τισ γωνίεσ και του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 7) II. τισ γωνίεσ του τριγώνου ΑΜΓ. (Μονάδεσ 9) β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΔ είναι μεςοκάθετοσ του ΑΓ. (Μονάδεσ 9)
35 35 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α= 40 0 και Β = Τα ςημεία Δ και Ε είναι τα μζςα των ΑΒ και ΑΓ με ΔΕ = 9 και ΕΓ = 16. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ και να βρείτε ποιεσ είναι οι ίςεσ πλευρζσ του. (Μονάδεσ 8) β) Να αποδείξετε ότι ΒΓ=18. (Μονάδεσ 8) γ) Να υπολογίςετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9)
36 36 Θεωροφμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν οι διχοτόμοι των απζναντι γωνιών Δκαι Β τζμνουν τισ πλευρζσ ΑΒ και ΓΔ ςτα ςημεία Ε και Ζ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΓΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 12) β) Το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 13)
37 37 Στισ πλευρζσ ΑΔ και ΒΓ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ θεωροφμε ςημεία E και Z, τζτοια ώςτε ΑE=ΓZ. Αν η ευθεία ΖΕ τζμνει τισ προεκτάςεισ των πλευρών ΑΒ και ΓΔ ςτα ςημεία H και Θ, να αποδείξετε ότι: α) ΗΒΖ = ΕΔΘ (Μονάδεσ 8) β) ΒΖΗ = ΔΕΘ (Μονάδεσ 8) γ) ΒΗ=ΘΔ (Μονάδεσ 9)
38 38 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με. Ζςτω ότι τα ςημεία Δ και Ε είναι τα μζςα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίςτοιχα, τζτοια ώςτε. α) Να δικαιολογήςετε γιατί. (Μονάδεσ 8) β) Να υπολογίςετε I. τη γωνία. (Μονάδεσ 8) II. τισ γωνίεσ και του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9)
39 39 Ζςτω τρίγωνο ΑΒΓ με Δ και Ε τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, ΑΔ=9, ΕΓ=10 και ΒΓ=30. α) Να υπολογίςετε τθν περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) γ) Να υπολογίςετε το μικοσ x του τμιματοσ ΔΕ. (Μονάδεσ 8)
40 40 Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω ςχιματοσ τα ςθμεία Δ και Ε είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, ΑE=8, ΕΔ=9 και ΔΒ=10. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΕΓΒ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) β) Να υπολογίςετε το μικοσ τθσ πλευράσ ΒΓ. (Μονάδεσ 8) γ) Να ςυγκρίνετε τισ περιμζτρουσ του τριγώνου ΑΒΓ και του τετραπλεφρου ΔΕΓΒ. (Μονάδεσ 9)
41 41 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Τα ςημεία Δ και Ε είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. Επιπλζον ιςχφουν ΑΔ=ΕΔ=ΔΒ με ΑΕ=8 και ΔΒ=10. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 8) β) Να αποδείξετε ότι ΒΓ=20. (Μονάδεσ 8) γ) Να υπολογίςετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9 )
42 42 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Τα ςημεία Δ και Ε είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. Επιπλζον ιςχφουν ΑΔ=ΕΔ=ΔΒ με ΑΕ=8 και ΔΒ=10. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 6) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 10) γ) Να υπολογίςετε την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9)
43 43 Στο παρακάτω ςχήμα είναι ε 1 //ε 2 και το ςημείο Ο είναι το μζςο τησ ΒΔ. Να αποδείξετε ότι: α) τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ίςα και να γράψετε τα ίςα ςτοιχεία τουσ. (Μονάδεσ 12) β) το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 13)
44 44 Στο παρακάτω ςχήμα είναι ε 1 //ε 2 και AB=6. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ φ και ω. (Μονάδεσ 10) β) Να προςδιορίςετε το είδοσ του τριγώνου ΑΒΚ ωσ προσ τισ γωνίεσ του. (Μονάδεσ 7) γ) Να υπολογίςετε το μήκοσ τησ ΑΚ, αιτιολογώντασ την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 8)
45 45 Στο παρακάτω ςχήμα δίνεται κφκλοσ (O,R) και τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά τμήμα ΜΓ=ΜΑ και την ΟΜ κατά τμήμα ΜΔ=ΟΜ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΜΒ και ΜΓΔ είναι ίςα, και να γράψετε τα ίςα ςτοιχεία τουσ. (Μονάδεσ 13) β) Να αιτιολογήςετε γιατί ΟΑ//ΓΔ. (Μονάδεσ 12)
46 46 Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Φζρουμε την εξωτερική διχοτόμο Αx τησ γωνίασ ˆΑ και από το ςημείο Γ την κάθετο ΓΔ ςτην Αx. Τα ςημεία Ε και Ζ είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΑΖΔ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 13) β) το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 12)
47 47 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ > ΒΓ φζρουμε από τισ κορυφζσ Α και Γ καθζτουσ ςτη διαγώνιο ΒΔ, οι οποίεσ την τζμνουν ςε διαφορετικά ςημεία Ε και Ζ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΕ=ΓΖ. (Μονάδεσ 15) β) Το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 10) Α Β Ε Δ Γ Γ
48 48 Θεωροφμε ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΓΔ>ΑΒ και ˆΒ = 135 ο. Από τισ κορυφζσ Α και Β φζρουμε τα φψθ του ΑΕ και ΒΖ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τραπεηίου. (Μονάδεσ 10) β) Να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΕΔ=ΒΖ=ΓΖ (Μονάδεσ 15)
49 49 Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΓΒ. Φζρουμε από τη κορυφή Α ευθεία (ε) παράλληλη ςτη ΒΓ. Η μεςοκάθετοσ τησ πλευράσ ΑΒ τζμνει την (ε) ςτο Δ και την ΒΓ ςτο Ε. α) Να αποδείξετε ότι ΔΑ=ΔΒ και ΕΑ=ΕΒ. (Μονάδεσ 6) β) Αν Μ το μζςο του ΑΒ, να ςυγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΜΔ και ΕΜΒ. (Μονάδεσ 10) γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΒΕ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 9)
50 50 Σε τρίγωνο ΑΒΓ ιςχφει Αˆ Γ 120 ˆ 0 και Αˆ 3Γˆ. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του. (Μονάδεσ 15) β) Αν η πλευρά ΒΓ=2cm να βρείτε το μήκοσ τησ ΑΒ. (Μονάδεσ 10)
51 51 Δίνεται ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ˆΑ 90 0 και 0 ˆΓ 25. Δίνονται επίςησ η διάμεςοσ ΑΜ, το φψοσ ΑΗ από την κορυφή Α και η διχοτόμοσ ΑΔ τησ γωνίασ ˆΑ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ ˆ ΑΜΒ, ˆ ΗΑΒ, ˆ ΑΔΒ. (Μονάδεσ 15) 0 β) Να αποδείξετε ότι ΜΑΔ ˆ ΔΑΗ ˆ 20. (Μονάδεσ 10)
52 52 Δίνεται ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ), με ΑΒ=6, ΒΓ=4 και Γˆ Δίνονται επίςθσ τα φψθ ΑΕ και ΒΖ από τισ κορυφζσ Α και Β αντίςτοιχα. α) Να υπολογίςετε τισ υπόλοιπεσ γωνίεσ του τραπεηίου ΑΒΓΔ. (Μονάδεσ 6) β) Να αποδείξετε τα τρίγωνα ΑΕΔ, ΒΖΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 10) γ) Να υπολογίςετε τθν περίμετρο του ΑΒΓΔ. (Μονάδεσ 9)
53 53 Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ), με ΑΒ=ΒΓ=4, φψοσ ΒΕ από τθ κορυφι Β. ˆΑ 90 0 και ˆΓ Δίνεται επίςθσ το α) Να υπολογίςετε τισ άλλεσ δυο γωνίεσ του τραπεηίου ΑΒΓΔ. (Μονάδεσ 8) β) Να αποδείξετε 2ΕΓ=ΒΓ. (Μονάδεσ 9) γ) Αν Μ,Ν τα μζςα των πλευρϊν ΑΔ, ΒΓ αντίςτοιχα να βρείτε το μικοσ του ευκυγράμμου τμιματοσ ΜΝ. (Μονάδεσ 8)
54 54 Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προζκταςη τησ ΒΓ (προσ το μζροσ του Γ) θεωροφμε τμήμα ΓΔ=ΒΓ. Φζρουμε τμήμα ΔΕ κάθετο ςτην ΑΔ ςτο ςημείο τησ Δ, τζτοιο ώςτε ΔΕ=ΒΓ. ( Α και Ε ςτο ίδιο ημιεπίπεδο ωσ προσ την ΒΔ). α) Να βρείτε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΑΒΔ. (Μονάδεσ 12) β) Να αποδείξετε ότι ΑΒΔΕ παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 13)
55 55 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (με ˆΑ 90 0 ) και η διχοτόμοσ τησ γωνίασ ˆΓ τζμνει την πλευρά ΑΒ ςτο ςημείο Δ, τζτοιο ώςτε ΓΔ=ΔΒ=2cm. Να αποδείξετε ότι: α) ˆΒ (Μονάδεσ 12) β) ΑΒ=3cm (Μονάδεσ 13)
56 56 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ΒΓ=2ΑΒ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ. Αν η ΑΔ είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΜ και Ε σημείο στην προέκτασή της ώστε ΑΔ=ΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΕΜ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) MΕ=ΜΓ (Μονάδες 13)
57 57 Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και ςημεία Ε και Ζ ςτισ προεκτάςεισ των ΑΒ (προσ το Β) και ΒΓ (προσ το Γ) αντίςτοιχα, ώςτε ΒΕ=ΓΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΔ είναι ίςα. (Μονάδεσ 12) β) Οι γωνίεσ ΕΔΓ και ΑΖΒ είναι ίςεσ. (Μονάδεσ 13)
58 58 Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ=3, ΓΔ=4. Θεωροφμε ςθμείο Ε ςτθν ΑΒ ώςτε ΑΕ=1. Στο τραπζηιο ΕΒΓΔ θεωροφμε τα Κ και Λ, μζςα των ΕΔ και ΒΓ αντίςτοιχα. α) Να υπολογίςετε τθ διάμεςο ΚΛ του τραπεηίου ΕΒΓΔ. (Μονάδεσ 13) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 12)
59 59 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A ˆ = 90 o, ˆB = 35 ο και Μ το μέσο της ΒΓ. α) Να υπολογίσετε τη γωνία Γ. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΜΒ. (Μονάδες 15)
60 60 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Α ορθή, 2Γˆ = ˆΒ και ΑΔ το ύψος του. α) Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 9) β) Να υπολογιστεί η γωνία ΒΑΔ. (Μονάδες 7) ΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι: Β =. (Μονάδες 9) 2
61 61 Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΒΔ = ΒΓ. Αν υπολογίσετε: ο ΒΓ= 110 και ο Α Β=25 α) Τη γωνία Γ. (Μονάδες 11) β) Τη γωνία Α. (Μονάδες 14) να
62 62 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και εκτός αυτού κατασκευάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες i. ΑΒ Ε ii. ΒΕ Α (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
63 63 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΑΒΔΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10) β) 2 ΕΓΑ= 90 ο ΒΑΓ ˆ. (Μονάδες 15)
64 64 Στο παρακάτω σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο και το ΑΓΔΕ είναι ορθογώνιο. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Α είναι μέσο του ΒΕ. (Μονάδες 8) β) Το τρίγωνο ΒΕΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9) γ) ΒΓΑ= Α Ε (Μονάδες 8)
65 65 Δίνονται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΓ και ΒΔΕΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΓΕΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13) β) ΑΒΖ=Γ Ε. (Μονάδες 12)
66 66 Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε τις διαμέτρους του ΑΓ και ΒΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 13) β) Ποια σχέση πρέπει να έχουν οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι τετράγωνο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 12)
67 67 Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και διάμετρό του ΑΒ. Στην εφαπτομένη του κύκλου στο Β θεωρούμε σημείο Γ τέτοιο ώστε, η γωνία ΒΓΟ να είναι ίση με 30 ο. Αν η ΟΓ τέμνει τον κύκλο στο Δ να αποδείξετε ότι: α) ΟΓ = 2ΟΑ. (Μονάδες 12) β) ΒΓ = Α. (Μονάδες 13)
68 68 Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ˆ = 90 ο ) θεωρούμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)
69 69 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Στα σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέρος, και θεωρούμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε Μ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)
70 70 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. (Μονάδες 13)
71 71 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α Λ = 90 ο και Λ B = 30 ο. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα με ΕΔ=1, να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ (Μονάδες 8) β) ΒΓ.. (Μονάδες 9) γ) ΑΔ.. (Μονάδες 8) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
72 72 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΚΕΓκαι ΛΖΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΕΗ=ΖΘ, όπου Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστοιχα. (Μονάδες 10)
73 73 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΓ και εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχοτομούνται. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ. (Μονάδες 15)
74 74 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε την ακτίνα ΟΑ και τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο μέσο της Μ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΟΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΓΟΒ. (Μονάδες 15)
75 75 Δίνεται ρόμβος ΑΒΔΓ. Στην προέκταση της διαγωνίου ΑΔ (προς το Δ) παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Ε ισαπέχει από τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα). (Μονάδες 10) β) Το σημείο Ε ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ. (Μονάδες 15)
76 76 Έστω τρίγωνο ΑΒΔ με Α Λ = 120 ο. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα Να αποδείξετε ότι: ΑΕΒ και ΑΖ. α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΒΔΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)
77 77 Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε δυο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12)
78 78 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β Λ = 90 ο και Ζ το μέσο του ΑΓ. Με υποτείνουσα το ΑΓ κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο Α Γ με Λ = 90 Ο. α) Να αποδείξετε ότι ΒΖ = Ζ. (Μονάδες 13) β) Αν ο ΑΓΒ=30 Λ, να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΒΓΔ. (Μονάδες 12)
79 79 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με και Ε τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ = ΑΓ, και γωνία Β Λ ίση με 30 Ο. Θεωρούμε Δ Ε Γείναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 16) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Α Ε είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9)
80 80 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ (προς το Α) και την πλευρά ΔΓ (προς το Γ) κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΓΖ = Γ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΖ = Ε (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)
81 81 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με και ˆ φέρουμε το ύψος του ΑΔ και την διάμεσο ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) οι γωνίες και είναι ίσες, (Μονάδες 12) β) ˆ 2. (Μονάδες 13)
82 82 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Βˆ =60 Ο. Φέρουμε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ του παραλληλογράμμου που αντιστοιχούν στην ευθεία ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ ΓΖ, 2 (Μονάδες 8) β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ίσο με το τρίγωνο ΒΓΖ, (Μονάδες 9) γ) το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)
83 83 Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ν και Κ των ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΝ = ΚΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΑΝΔ και ΒΓΚ είναι ίσα, (Μονάδες 8) ii. το τετράπλευρο ΝΒΚΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΝΔ και ΔΚ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΝΚΖΕ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)
84 84 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ ) με ΑΒ=8 και ΔΓ=12. Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη του τραπεζίου, α) να αποδείξετε ότι ΔΗ = ΘΓ. (Μονάδες 12) β) να υπολογίσετε τη διάμεσο του τραπεζίου. (Μονάδες 13)
85 85 ΓΔ Στο τραπζηιο του παρακάτω ςχιματοσ ζχουμε ΑΒ=ΑΔ=, 2 o Δ 60 και Μ το μζςο τθσ πλευράσ ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) θ ΔΒ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Δ, (Μονάδεσ 9) β) θ ΒΜ χωρίηει το τραπζηιο ςε ζνα ρόμβο και ζνα ιςόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδεσ 16) Α Β Γ M Γ
86 86 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και Μ το μζςο τησ ΒΓ. Προεκτείνουμε τη διάμεςο ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ=ΜΑ. Από το Α φζρουμε παράλληλη προσ τη ΒΓ η οποία τζμνει την προζκταςη τησ ΔΓ ςτο ςημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδεσ 12) β) (Μονάδεσ 13)
87 87 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο, ώστε AΓ AB.Στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε AΔ AΓ και στην προέκταση της ΒΑ (προς το Α) θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε AE AΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΓ EΓ, (Μονάδες 12) β) η γωνία ΕΑΓ είναι διπλάσια της γωνίας ΑΔΓ. (Μονάδες 13)
88 88 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι τριγώνου ΔΕΓ. ˆ B και. Έστω ΕΖ η διάμεσος του α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Α και Γ του παραλληλογράμμου. (Μονάδες 8) β) Αν Κ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΕΖ=ΑΚ. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖΓ. (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η.
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7) β) το ΔΕΓΒ είναι παραλληλόγραμμο.
ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ
5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Θ ΕΜΑ Β 2814 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Α= 8. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα
ΘΕΜΑ 5. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι = (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 2 ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τις διαμέσους του ΒΚ και ΓΛ, οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Θ. α) Οι διάμεσοι ΒΚ και ΓΛ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) Τα τρίγωνα ΑΒΘ και ΑΓΘ είναι
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε
ΘΕΜΑ 4 Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο
2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB
2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
Β ΘΕΜΑ ΙΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΘΕΜΑ 2 _2814 0 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με 80.Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.
1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.1 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ, ΓΖ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
«Β Θέματα» (Έκδοση: )
«Β Θέματα» (Έκδοση: 13 03-2015) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα της συλλογικής δουλειάς των συνεργατών του δικτυακού τόπου http://lisari.blogspot.gr Έκδοση: 13 03 2015 (συνεχής ανανέωση) Το
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ. 2ο ΘΕΜΑ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ο ΘΕΜΑ 8. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB B. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα E A και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο Η. α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΔΕΓΒ είναι
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 7η έκδοση Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι
Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Γεωμετρία. Κεφ 1 ο : Γεωμετρια. Μέρος Α Θεωρία. 1. Με τι είναι ίσο το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου; 2. Ποιο τρίγωνο λέγετε οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο. 3. Ποιο τρίγωνο λέγετε
2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130
ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα
Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 ΓΕ Ο Η ΕΡΗ Ο Ε Ο ΓΕΩ Ε Ρ Α Θ μα 2ο Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦ 4 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
ΘΕΜΑ 1 0 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε
Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα
3o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Τρίγωνα 4 η διδακτική ενότητα : Ισότητα τριγώνων Ερωτήσεις κατανόησης 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις : α) Υπάρχουν σημεία του επιπέδου που
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Άλγεβρα ( ) = ( 1)( 3 2) ( 1) 2. i) Να αποδείξετε ότι ( ) ii) Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή του ( ) iii) Να λύσετε την εξίσωση P( x ) = 0
ΤΑΞΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ MAΘΗΜΑΤΙΚΑ 016 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Άλγεβρα 1) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) = ( + 1)( 1) ( + 1)( 5 + 7) P x x x x x i) Να αποδείξετε ότι ( ) P x = 7x x 8 Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή
Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου
Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Τρίγωνα
1.Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.
1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ>ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕ η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=, ΒΓ=5 και ΒΕ=5, να αποδείξετε ότι: α) ΑΓ
Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB
ΘΕΜΑ 4 Στο κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ ιςχφουν τα εξήσ: α = β, γ = δ και ε = ζ. α) Να υπολογίςετε το άθροιςμα α+ γ + ε. (Μονάδεσ 8) β) Αν οι πλευρζσ ΑΖ και
Ζςτω ότι Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίςτοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλζον ιςχφει ΑΒ>ΑΔ, να εξετάςετε αν είναι αληθείσ ή όχι οι ακόλουθοι ιςχυριςμοί:
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης 1 Σ.Μιχαήλογλου Δ.Πατσιμάς ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ο ΘΕΜΑ 509. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με BA B και. A B A
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης
Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης 1 Σ.Μιχαήλογλου Δ.Πατσιμάς ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ο ΘΕΜΑ 509. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με BA B και. A B A
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler
Κόλλιας Σταύρος 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
Κόλλιας Σταύρος http://users.sch.gr/stkollias 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΕΡΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο 1.2-1.6 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ και μια παράλληλη προς την ΑΔ, η οποία τέμνει τη ΒΓ στο Ε, την ΑΓ στο Ζ και την ΑΒ στο Η. Να αποδείξετε ότι
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ 6-10-014 514. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν 5, και. α) Να προσδιορίσετε ως προς τις πλευρές, το είδος των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΕ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 6 β) Να αποδείξετε ότι
ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)
ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1
ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Όταν ήμουν χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό
Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Οι αζκήζεις ηης ηράπεζας θεμάηωμ απαλλαγμέμες από ηα ζτήμαηα (όποσ ήηαμ δσμαηόμ) 13/11/015 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών
ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ 1. Από τυχαίο ςθμείο Γ θμικυκλίου διαμζτρου ΑΒ φζρω παράλλθλθ προσ τθν ΑΒ, που τζμνει το θμικφκλιο ςτο Δ. i. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που ςχθματίηεται είναι
ΘΕΜΑ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ εςωτερικήσ του γωνίασ Â. Από την κορυφή Α διζρχεται ημιευθεία Ax // ΒΓ ςτο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ). Στην ημιευθεία Ax θεωροφμε ςημείο
α. ΕΓΚΕΝΤΡΟ 1. Σημείο τομής των
Μαθηματικά για την Α Λυκείου Αφορμή για Επανάληψη στη Γεωμετρία της Α Λυκείου. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) με ένα μόνο στοιχείο της στήλης (Β). Κώστας Βακαλόπουλος Τάσος Γαβράς Στήλη
ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε