6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.
|
|
- Ἀπολλόδωρος Δημητρακόπουλος
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΒΕ. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές 2. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το µέσο της πλευράς ΑΒ. Από το διέρχεται µια τυχαία ευθεία (ε) που τέµνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σηµείο Ε. Η ευθεία (ε) χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε ένα τρίγωνο Α Ε και σε ένα τετράπλευρο Β ΕΓ. α) Ποια πρέπει να είναι η θέση του σηµείου Ε, ώστε το τετράπλευρο Β ΕΓ να είναι τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Ποιο πρέπει να είναι το είδος του ΑΒΓ τριγώνου, ώστε το τραπέζιο του ερωτήµατος (α) να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ˆ ˆ A= =90 o, ΑΒ>Γ, ΒΓ=4Γ και ˆΒ =60 ο. Φέρουµε την ΓΗ ΑΒ και θεωρούµε τα µέσα Ε και Ζ των πλευρών Α και ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ=3Γ. β) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 4. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ>Γ και Α =ΒΓ. α) Αν τα µήκη των βάσεων είναι: ΑΒ=3x+2, Γ =x+2 και το µήκος της διαµέσου του τραπεζίου είναι ΜΝ=x+4, τότε να δείξετε ότι x=2. β) Αν η γωνία Γ είναι διπλάσια της γωνίας Β, να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.
2 5. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε ˆΓ= =60 ˆ ο, Α =12 και Γ =20. Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να αποδείξετε ότι Ε=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. β) Να υπολογίσετε την περίµετρο του τραπεζίου. 6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 7. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ στο οποίο η διαγώνιος Β είναι ίση µε την πλευρά Α. Αν η γωνία ˆΓ =110 ο και η γωνία ΒΓ =30 ο, να υπολογίσετε τη γωνία Α Β. 8. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και ΑΒ<Γ. Θεωρούµε τα σηµεία Ε και Ζ πάνω στην ΑΒ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ το σηµείο τοµής των Ζ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Ζ=ΓΕ β) Τα τρίγωνα ΕΚΖ και ΚΓ είναι ισοσκελή. 9. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε Γ >ΑΒ και Β=135 ο. Από τις κορυφές Α και Β φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. β) Να αποδείξετε ότι ΑΕ=Ε =ΒΖ=ΓΖ.
3 10. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ), µε ΑΒ=6, ΒΓ=4 και ˆΓ =60 ο. ίνονται επίσης τα ύψη ΑΕ και ΒΖ από τις κορυφές Α και Β αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε τα τρίγωνα ΑΕ, ΒΖΓ είναι ίσα. γ) Να υπολογίσετε την περίµετρο του ΑΒΓ. 11. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ), µε ΑΒ=ΒΓ=4, Â =90ο και ˆΓ =60 ο. ίνεται επίσης το ύψος ΒΕ από τη κορυφή Β. α) Να υπολογίσετε τις άλλες δυο γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε 2ΕΓ=ΒΓ. γ) Αν Μ,Ν τα µέσα των πλευρών Α, ΒΓ αντίστοιχα να βρείτε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΜΝ. 12. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και Β =ΒΓ. Αν ΒΓ =110 ο και ο Α Β =25 ο, να υπολογίσετε: α) Τη γωνία Γ. β) Τη γωνία Α. 13. Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ =90 ο ) θεωρούµε τα µέσα, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. β) Το τετράπλευρο Ε ΒΓ είναι ισοσκελές 14. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ, το σηµείο Μ είναι το µέσο της πλευράς Γ και τα σηµεία Κ και Λ είναι τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του Α και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τµήµατα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. β) Τα τµήµατα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα.
4 15. Έστω τρίγωνο ΑΒ µε Α=120 ο. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒ είναι ίσα. β) Το τετράπλευρο Β ΖΕ είναι ισοσκελές 16. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓ και τα σηµεία Ν και Κ των ΑΒ και Γ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΝ=ΚΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΑΝ και ΒΓΚ είναι ίσα, ii. το τετράπλευρο ΝΒΚ είναι παραλληλόγραµµο. β) Αν Ε και Ζ είναι τα µέσα των Ν και Κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΝΚΖΕ είναι τραπέζιο. 17. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε ΑΒ=8 και Γ=12. Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη του τραπεζίου: α) να αποδείξετε ότι Η=ΘΓ. β) να υπολογίσετε τη διάµεσο του τραπεζίου. 18. Σε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) είναι Γ = 2ΑΒ. Επίσης τα Ζ, Η, Ε είναι τα µέσα των Α, ΒΓ και Γ αντίστοιχα. Ακόµη η ΖΗ τέµνει τις ΑΕ, ΒΕ στα σηµεία Θ, Ι αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραµµο. β) Να δείξετε ότι, τα σηµεία Θ, Ι είναι µέσα των ΑΕ, ΒΕ αντίστοιχα. γ) Να δείξετε ότι ΖΗ = 3 2 AB. 19. Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τις προβολές Α', Β', Γ', ' των κορυφών του Α, Β, Γ, αντίστοιχα, σε µια ευθεία ε. α) Αν η ευθεία ε αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράµµου στο ίδιο ηµιεπίπεδο και είναι ΑΑ'=3, ΒΒ'=2, ΓΓ '=5, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του παραλληλογράµµου από την ε είναι ίση µε 4. ii. Να βρείτε την απόσταση '. β) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράµµου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ', '; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας
5 20. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90ο ) και η διχοτόµος Β. Από το φέρουµε Ε ΑΓ και ονοµάζουµε Ζ το σηµείο στο οποίο η ευθεία Ε τέµνει την προέκταση της ΒΑ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΖ είναι ίσα. γ) Η ευθεία Β είναι µεσοκάθετη των τµηµάτων ΑΕ και ΖΓ. δ) Το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι ισοσκελές 21. ίνεται οξεία γωνία xoy και δύο οµόκεντροι κύκλοι (Ο, ρ 1 ) και (Ο, ρ 2 ) µε ρ 1 <ρ 2, που τέµνουν την Ox στα σηµεία Κ, Α και την Oy στα Λ, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΛ=ΒΚ. β) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ισοσκελές, όπου Ρ το σηµείο τοµής των ΑΛ και ΒΚ. γ) Η ΟΡ διχοτοµεί την γωνία xoy. 22. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε Α= ˆ ˆ =90, Γ=2ΑΒ και Β= ˆ 3Γ ˆ. Από το Β φέρνουµε κάθετη στη Γ που τέµνει την ΑΓ στο σηµείο Κ και την Γ στο Ε. Επίσης φέρνουµε την ΑΕ που τέµνει τη Β στο σηµείο Λ. Να αποδείξετε ότι: α) ˆΓ =45 β) Β =ΑΕ γ) ΚΛ= 1 4 Γ. 23. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουµε το ύψος του ΑΗ κατά τµήµα Η =ΑΗ και τη διάµεσό του ΑΜ κατά τµήµα ΜΕ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=Β =ΓΕ β) ΓΒ =ΒΓΕ. γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕ είναι ισοσκελές 24. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε Γ=30 ο και έστω Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων του. Οι µη παράλληλες πλευρές του Α και ΓΒ προεκτεινόµενες τέµνονται κάθετα στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=2ΑΕ. β) ΚΛ=Α. γ) Σε ποια περίπτωση το ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραµµο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. 25. Το τετράπλευρο ΑΒΓ του παρακάτω σχήµατος είναι ρόµβος. Θεωρούµε ΑΖ Γ και ΑΕ ΓΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ισοσκελές. β) Η ευθεία ΑΓ είναι µεσοκάθετος του τµήµατος ΖΕ. γ) Αν Μ και Ν τα µέσα των πλευρών Α και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΝΕ είναι ισοσκελές
6 26. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) είναι ΑΒ=Α. α) Να αποδείξετε ότι η Β είναι διχοτόµος της γωνίας. β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σηµείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΕ να είναι ρόµβος. γ) Αν επιπλέον είναι ΒΑ =120 ο και οι διαγώνιοι του ρόµβου τέµνονται στο σηµείο Ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου ΕΟΒΓ. 27. Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ µε A= ˆ ˆ =90 ο, ΑΒ= 1 4 Γ και ΑΒ= 1 Α.Φέρουµε ΒΕ Γ. 3 α) Να δείξετε ότι το ΑΒΕ είναι ορθογώνιο. β) Να δείξετε ότι το ΒΕΓ είναι τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές. γ) Αν Κ, Λ είναι τα µέσα των ΒΕ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ΑΓ διέρχεται από το µέσον του ΒΚ. 28. ίνεται κύκλος (Ο, R) µε διάµετρο ΑΒ και ευθείες ε 1, ε 2 εφαπτόµενες του κύκλου στα άκρα της διαµέτρου ΑΒ. Θεωρούµε ευθεία ε εφαπτοµένη του κύκλου σε σηµείο του Ε, η οποία τέµνει τις ε 1 και ε 2 στα και Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ii. Γ =Α +ΒΓ. iii. Το τρίγωνο ΓΟ είναι ορθογώνιο. β) Αν η γωνία Α Ε είναι 60 ο και η Ο τέµνει τον κύκλο (Ο, R) στο σηµείο Κ, να αποδείξετε ότι το Κ είναι µέσο του Ο. 29. ίνεται κύκλος (Ο,R) µε διάµετρο ΒΓ. Θεωρούµε σηµείο Α του κύκλου και σχεδιάζουµε το τρίγωνο ΑΒΓ. H προέκταση της ΑΟ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ζ. Φέρουµε το ύψος του Α, η προέκταση του οποίου τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΖΓ=ΑΒ=ΒΕ ii. Το τετράπλευρο ΒΕΖΓ είναι ισοσκελές β) Αν ˆΓ =30 ο, να αποδείξετε ότι η περίµετρος του τραπεζίου ΒΕΖΓ είναι ίση µε 5R, όπου R η ακτίνα του κύκλου. 30. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε Α= ˆ ˆ =90 ο, Γ=2ΑΒ και Β= ˆ 3Γ ˆ. Φέρνουµε ΒΕ Γ που τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Μ. Φέρνουµε την ΑΕ που τέµνει τη διαγώνιο Β στο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) ˆΓ =45 ο. β) Το τετράπλευρο ΑΒΓE είναι παραλληλόγραµµο. Γ γ) ΜΝ=. 4 δ) ΑΕ Β.
7 31. Σε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) ισχύει ΑΒ+Γ =Α. Αν η διχοτόµος της γωνίας Α τέµνει την ΒΓ στο Ε και την προέκταση της Γ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΖ είναι ισοσκελές. β) Το Ε είναι το µέσο της ΒΓ γ) Η Ε είναι διχοτόµος της γωνίας του τραπεζίου. 32. ίνεται τραπέζιο Α ΕΒ, µε Α //ΒΕ, στο οποίο ισχύει ότι ΑΒ=Α +ΒΕ, και Ο το µέσον της Ε. Θεωρούµε σηµείο Ζ στην ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΖ=Α και ΒΖ=ΒΕ. Αν ΑΖ =φ: α) να εκφράσετε τη γωνία ΑΖ ως συνάρτηση της φ. β) να εκφράσετε τη γωνία ΕΖΒ ως συνάρτηση της φ. γ) να αποδείξετε ότι οι ΟΑ και ΟΒ είναι µεσοκάθετοι των τµηµάτων Ζ και ΖΕ αντίστοιχα. 33. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, µε ΑΒ>Α. Θεωρούµε σηµεία Κ, Λ των Α και ΑΒ αντίστοιχα ώστε ΑΚ=ΑΛ. Έστω Μ το µέσο του ΚΛ και η προέκταση του ΑΜ (προς το Μ) τέµνει τη Γ στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Α = Ε. β) ΒΓ+ΓΕ=ΑΒ. γ) Β= ˆ 2 ΑΛΚ. 34. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2 ΒΓ. Από την κορυφή Α φέρουµε την ΑΕ κάθετη στην ευθεία ΒΓ και Μ, Ν τα µέσα των ΑΒ, Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΒΓΝ είναι ρόµβος. β) Το τετράπλευρο ΜΕΓΝ είναι ισοσκελές γ) Η ΕΝ είναι διχοτόµος της γωνίας ΜΕΓ. 35. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε τη γωνία Α ορθή, και τυχαίο σηµείο της πλευράς ΑΒ. Έστω Κ, Μ, Ν τα µέσα των Γ, ΒΓ, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΚΜΝ είναι παραλληλόγραµµο. β) Το τετράπλευρο ΑΚΜΝ είναι ισοσκελές γ) Η διάµεσος του τραπεζίου ΑΚΜΝ είναι ίση ΑΒ µε. 2
8 36. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ˆΒ =70 ο και το ύψος του ΑΕ. Έστω Ζ σηµείο της ΒΓ ώστε ΒΕ=ΕΖ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑZΓ είναι ισοσκελές β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου ΑΖΓ γ) Αν Μ το µέσο του Β, να αποδείξετε ότι ΑΓ ΕΜ= ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ =90 ο και ˆΓ =30 ο. Φέρουµε το ύψος του Α και τη διάµεσο του ΑΜ. Από το Γ φέρουµε κάθετη στην ευθεία ΑΜ, θ οποία την τέµνει στο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο. ΒΓ β) ΜΕ=Μ =. 4 γ) Το Α ΕΓ είναι ισοσκελές 38. α) Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ θεωρούµε Κ, Λ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόµβος. β) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ τα µέσα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντίστοιχα είναι κορυφές ρόµβου. Για να σχηµατίζεται ρόµβος το ΑΒΓ πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε πλήρως τη θετική ή αρνητική απάντηση σας. 39. Θεωρούµε κύκλο κέντρου Ο, µε διάµετρο ΒΓ. Από σηµείο Α του κύκλου φέρουµε την εφαπτοµένη (ε) του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Από τα σηµεία Β και Γ φέρουµε τα τµήµατα Β και ΓΕ κάθετα στην ευθεία (ε). α) Να αποδείξετε ότι ΒΑ και ΓΑ είναι διχοτόµοι των γωνιών ΒΓ και ΕΓΒ αντίστοιχα. β) Αν ΑΖ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι Α =ΑΕ=ΑΖ. γ) Να αποδείξετε ότι Β +ΓΕ=ΒΓ. 40. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και ΑΒ=Α +ΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την ΑΒ στο σηµείο Μ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο Α Μ είναι ισοσκελές. β) Το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές. γ) Η ΓΜ είναι διχοτόµος της γωνίας Γ του τραπεζίου.
9 41. Σε µια ευθεία (ε) θεωρούµε διαδοχικά τα σηµεία Α, Β, Γ έτσι ώστε ΑΒ=2ΒΓ και στο ίδιο ηµιεπίπεδο θεωρούµε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓΕ. Αν Η είναι το µέσο του Α και η ευθεία Ε τέµνει την ευθεία (ε) στο σηµείο Ζ να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΒΗ Ε είναι ορθογώνιο. β) Το τρίγωνο ΓΖΕ είναι ισοσκελές. γ) Το τετράπλευρο ΗΕΓΑ είναι ισοσκελές 42. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και Κ το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Φέρουµε ΑΗ κάθετη στην Β και στην προέκταση της ΑΗ (προς το Η) θεωρούµε σηµείο Ε τέτοιο ώστε ΑΗ=ΗΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΚΕ είναι ισοσκελές. β) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ορθογώνιο. γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕ είναι ισοσκελές 43. Στο παρακάτω τετράπλευρο ΑΒΓ ισχύουν: Α =ΒΓ, ΑΓ=Β, και ΑΒ<Γ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΟΓ είναι ισοσκελή. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι Γ =3ΑΒ και Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων Β και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. 44. Από εξωτερικό σηµείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΡΑ, ΡΒ και τη διακεντρική ευθεία ΡΟ που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία και Γ αντίστοιχα. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Γ τέµνει τις προεκτάσεις των ΡΑ και ΡΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΡ= ΒΡ. β) ΕΑ=ΖΒ. γ) Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές
10 45. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η Βx είναι διχοτόµος της γωνίας Β και η Βy διχοτόµος της εξωτερικής γωνίας Β. Αν και Ε είναι οι προβολές της κορυφής Α του τριγώνου ΑΒΓ στην Βx και Βy αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο Α ΒΕ είναι ορθογώνιο. β) Η ευθεία Ε είναι παράλληλη προς τη ΒΓ και διέρχεται από το µέσο Μ της ΑΓ. γ) Το τετράπλευρο ΚΜΓΒ είναι τραπέζιο και η διάµεσος του είναι ίση µε 3 α, όπου α=βγ ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και έστω Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων ΑΓ και Β. Φέρνουµε την ΑΕ κάθετη στην διαγώνιο Β. Εάν Ζ είναι το συµµετρικό του Α ως προς την διαγώνιο Β, τότε να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο Α Ζ είναι ισοσκελές. β) ΖΓ=2ΟΕ. γ) Το Β ΖΓ είναι ισοσκελές 47. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουµε τµήµα ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της πλευράς Α τµήµα Ζ=Α. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τετράπλευρα Β ΓΕ και Β ΖΓ είναι παραλληλόγραµµα. ii. Τα σηµεία Ε, Γ και Ζ είναι συνευθειακά. β) Αν Κ και Λ είναι τα µέσα των ΒΕ και Ζ αντίστοιχα, τότε ΚΛ// Β και ΚΛ= 3 2 Β. 48. ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνία ˆΒ =60 ο. Φέρνουµε τα ύψη Α και ΓΕ που τέµνονται στο Η. Φέρνουµε την ΚΖ διχοτόµο της γωνίας ΕΗΑ και ΘΗ κάθετο στο ύψος Α. Να αποδείξετε ότι: α) Για το τµήµα ΖΕ ισχύει ΖΗ=2ΕΖ. β) Το τρίγωνο ΘΖΗ είναι ισόπλευρο. γ) Το τετράπλευρο ΘΗΚΒ είναι ισοσκελές
11 49. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόµοι των γωνιών Β και Γ τέµνονται στο. Η εξωτερική διχοτόµος της Β τέµνει την προέκταση της Γ στο Ε. ίνεται ότι ο ΑΒΕ= 70 = 2 ΓΕΒ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΒΕ είναι γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΒΕ είναι ισοσκελές 50. Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) µε B ˆ = 2Γ ˆ Γ και ΑΒ=ΒΓ=Α =. Φέρουµε τη 2 διχοτόµο της γωνίας Β, η οποία τέµνει το Γ στο Κ και η κάθετη από το Κ προς το ΒΓ το τέµνει στο Μ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΚ είναι ρόµβος. ii. Το σηµείο Μ είναι το µέσο του ΒΓ. 51. Έστω τετράγωνο ΑΒΓ και Μ το µέσο της πλευράς Α. Προεκτείνουµε το τµήµα Α Α (προς την πλευρά του Α) κατά τµήµα ΑΝ=. Φέρουµε τα τµήµατα ΓΜ και ΒΝ και 2 θεωρούµε τα µέσα τους Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΝΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. β) Το τετράπλευρο Α ΚΛ είναι παραλληλόγραµµο. γ) Το τετράπλευρο ΑΜΚΛ είναι ισοσκελές 52. Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Στην προέκταση του ΒΓ (προς το Γ) θεωρούµε τµήµα ΓΖ=ΒΓ. Θεωρούµε σηµείο Ε στη ΑΒ, τέτοιο ώστε ΕΓ=ΓΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΕΖ είναι ορθή. β) Το τετράπλευρο ΑΕΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖ είναι παραλληλόγραµµο.
12 53. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και Α =ΒΓ=ΑΒ. Φέρουµε τµήµατα ΑΕ και ΒΖ κάθετα στις διαγώνιες Β και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα σηµεία Ζ και Ε είναι µέσα των διαγωνίων ΑΓ και Β αντίστοιχα. β) ΑΕ=ΒΖ. γ) Το τετράπλευρο ΑΕΖΒ είναι ισοσκελές δ) Η Β είναι διχοτόµος της γωνίας. 54. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) και Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Η ΑΓ είναι κάθετη στην Α και η Β είναι κάθετη στην ΒΓ. Θεωρούµε τα µέσα Μ, Ε και Ζ των Γ, Β και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΕ=ΜΖ. β) Η ΜΖ είναι κάθετη στην ΑΓ. γ) Τα τρίγωνα Μ Ε και ΜΖΓ είναι ίσα. δ) Η ΟΜ είναι µεσοκάθετη του ΕΖ. 55. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Αδ τη διχοτόµο της γωνίας Α. Η µεσοκάθετος (µ) της πλευράς ΒΓ τέµνει την Αδ στο σηµείο. Από το φέρνουµε τις Ε και Η κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΒΕ=ΓΖ. ii. Το τετράπλευρο ΒΖΓΕ είναι ισοσκελές β) Κάποιος µαθητής έκανε τον εξής συλλογισµό: «Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ έχουν: 1. Α κοινή 2. Β =Γ λόγω µεσοκαθέτου. 3. ΒΑ =ΓΑ λόγω διχοτόµου. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα σύµφωνα µε το κριτήριο Π-Γ-Π» Έχει δίκιο ή όχι ο µαθητής; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 56. ίνονται δυο ίσα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΑΒ (ΑΒ=Α ), τέτοια ώστε οι πλευρές τους ΑΓ και Β να είναι κάθετες. Τα σηµεία Κ και Λ είναι τα µέσα των τµηµάτων Α και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Ε =ΕΓ. β) Γ//ΑΒ. γ) Το τρίγωνο ΕΚΛ είναι ισοσκελές και ΚΛ//ΑΒ.
13 57. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Α διάµεσος. Στο τµήµα Α θεωρούµε τυχαίο σηµείο Κ από το οποίο φέρνουµε τα τµήµατα ΚΖ και ΚΕ κάθετα στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ είναι ίσα. ii. Το τρίγωνο ΖΚΕ είναι ισοσκελές. iii. Το τετράπλευρο ΖΕΓΒ είναι ισοσκελές β) Ένας µαθητής στο (αi.) ερώτηµα έδωσε την εξής απάντηση: «Το τµήµα Α είναι διάµεσος στη βάση ισοσκελούς άρα ύψος και διχοτόµος του τριγώνου και µεσοκάθετος του ΒΓ. Οπότε και το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ έχουν: 1. ΒΚ=ΚΓ. 2. BAK =Γ AK επειδή ΑΚ διχοτόµος της Α. 3. ΑΒΚ=ΑΓΚ ως διαφορές ίσων γωνιών ισοσκελών τριγώνων. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα βάση του κριτηρίου Γ-Π-Γ» Ο καθηγητής είπε ότι η απάντηση του είναι ελλιπής. Να συµπληρώσετε την απάντηση του µαθητή ώστε να ικανοποιεί το κριτήριο Γ-Π-Γωνία διατηρώντας τις πλευρές ΒΚ και ΚΓ. 58. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν, Ε και Ζ είναι τα µέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : α) το τετράπλευρο ΕΖΗ είναι ισοσκελές β) οι γωνίες Η Ζ και ΗΕΖ είναι ίσες. γ) οι γωνίες Ε Ζ και ΕΗΖ είναι ίσες. 59. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ. Από το Β φέρουµε κάθετη στην διχοτόµο ΑΜ της γωνίας Α, η οποία τέµνει την ΑΜ στο Η και την ΑΓ στο. Στην προέκταση της ΑΗ θεωρούµε σηµείο Ζ τέτοιο ώστε ΑΗ=ΗΖ και έστω Θ το µέσο της πλευράς ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΒΖ είναι ρόµβος. β) το τετράπλευρο ΗΒΖΘ είναι γ) η διάµεσος του τραπεζίου ΗΒΖΘ είναι ίση ΑΒ+ΑΓ µε. 4
14 60. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο µε ΑΒ>ΒΓ τέτοιο ώστε οι διαγώνιοί του να σχηµατίζουν γωνία 60. Από το φέρουµε Μ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. το σηµείο Μ είναι µέσο του ΑΟ όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου. ΑΓ ii. ΑΜ=. 4 β) Αν από το Γ φέρουµε ΓΝ κάθετη στη Β, να αποδείξετε ότι το ΜΝΓ είναι ισοσκελές 61. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε και Ε τα µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, Α =9, ΕΓ=10 και ΒΓ=30. α) Να υπολογίσετε την περίµετρο του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΒ είναι γ) Να υπολογίσετε το µήκος x του τµήµατος Ε. 62. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήµατος τα σηµεία και Ε είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ΑE=8, Ε =9 και Β=10. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΒ είναι β) Να υπολογίσετε το µήκος της πλευράς ΒΓ. γ) Να συγκρίνετε τις περιµέτρους του τριγώνου ΑΒΓ και του τετράπλευρου ΕΓΒ. 63. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ Γ, ΑΒ>Γ και Α =ΒΓ. α) Αν τα µήκη των βάσεων είναι ΑΒ=3x+2, Γ =x+2 και το µήκος της διαµέσου του τραπεζίου είναι ΜΝ=x+4, τότε να δείξετε ότι x=2. β) Αν η γωνία Γ είναι διπλάσια της γωνίας Β, να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.
2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα
Διαβάστε περισσότερα2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.
1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.
1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο
Διαβάστε περισσότεραΕ=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.
1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι
Διαβάστε περισσότεραα) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων Β Ε γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖ.
1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σηµεία και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε Β =ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΟµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότεραΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το
1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται
Διαβάστε περισσότερα4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότεραΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Διαβάστε περισσότεραA λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )
A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,
Διαβάστε περισσότερα. Ασκήσεις για εξάσκηση
. Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και
Διαβάστε περισσότερα1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι:
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΓΑ να αποδείξετε ότι: α) ΑΜ = 1 2 ( ΑΒ + ΑΓ ) β) ΜΝ = 1 2 ΒΑ 2. ** ίνονται τα διανύσµατα ΑΒ και Α Β. Αν Μ και Μ
Διαβάστε περισσότεραΚαλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία Α Λυκείου
Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Οι διχοτόμοι των 1. γωνιών του Β και Γ τέμνονται στο Ο. Η παράλληλη από το Ο προς την ΑΒ τέμνει την ΒΓ στο Δ και η παράλληλη από το Ο προς την ΑΓ τέμνει την ΒΓ στο Ε. α. Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )
ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ
Διαβάστε περισσότεραµ =. µονάδες 12+13=25
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β 1 ΓΕΝΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α=7, β=5, γ=4. Να βρείτε: 1. το είδος του τριγώνου. την προβολή της β πάνω στη γ 3. το µήκος της διαµέσου ΒΜ 4. την προβολή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ
Διαβάστε περισσότερα2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ
ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου
Διαβάστε περισσότερα1 Εγγεγραµµένα σχήµατα
Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ
ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012
ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότερα1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688
1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ 6-10-014 514. Στο διπλανό σχήμα ισχύουν 5, και. α) Να προσδιορίσετε ως προς τις πλευρές, το είδος των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΕ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. μ 6 β) Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ
Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο
Διαβάστε περισσότερα1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΤΡΙΓΩΝΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο (ΑΒ = ΑΓ), Δ, Ε σημεία της πλευράς ΒΓ τέτοια, ώστε ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ και Μ, Ρ τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ
5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Θ ΕΜΑ Β 2814 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Α= 8. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο
ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει
Διαβάστε περισσότερα2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.
Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων
Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότερα2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB
2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι
Διαβάστε περισσότεραα Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M
Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν
Διαβάστε περισσότεραΤο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,
Διαβάστε περισσότεραγεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )
γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Α Γενικού Λυκείου
Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
Διαβάστε περισσότεραΤηλ: Ανδρέου Δημητρίου 81 & Ακριτών 26 -ΚΑΛΟΓΡΕΖΑ [2]
ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΤΗ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΝΟΜ/ΜΟ: ΗΜΕΡ/ΝΙΑ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 ΚΑΘ/ΤΗΣ ΣΠΑΝΟΣ Σ. ΒΑΘΜΟΣ: /100, /20 (1) (α) Να αποδείξετε ότι: Δυο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:
ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα
ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραΑπό την αρχική σχέση έχουµε: ΑΒ + ΑΓ = ή ΑΓ = ΑΒ Άρα ΑΓ = ΑΓ = 2
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. i. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΗ, µε εφαρµογή του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, έχουµε: ΑΗ Α - Η 7-49 - 4 45. Άρα ΑΗ 45 3 5cm. K ii. ια το τρίγωνο ΑΒ έχουµε: (ΑΒ) ΒΚ Β ΑΗ Β ΑΗ Α Α ΒK, άρα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 4 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα
Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ο - ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 2 Ο Άσκηση 1 (2_18984) Θεωρούμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ. (α) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε
Διαβάστε περισσότεραΠροεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία
ΑΣΚΗΣΗ η ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Έστω Ε σηµείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι Ε = ΑΕ + ΓΖ. Λύση Αθανάσιος Μπεληγιάννης ( mathfinder )
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΕΛ ΕΡΕΤΡΙΑΣ 9/6/016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας, τη λέξη Σωστό ή Λάθος,
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:
7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει
Διαβάστε περισσότεραΘεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε
Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότερα