6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ."

Transcript

1 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι ΑΕ=ΒΕ. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΖ είναι ισοσκελές 2. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το µέσο της πλευράς ΑΒ. Από το διέρχεται µια τυχαία ευθεία (ε) που τέµνει την πλευρά ΑΓ σε εσωτερικό της σηµείο Ε. Η ευθεία (ε) χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε ένα τρίγωνο Α Ε και σε ένα τετράπλευρο Β ΕΓ. α) Ποια πρέπει να είναι η θέση του σηµείου Ε, ώστε το τετράπλευρο Β ΕΓ να είναι τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Ποιο πρέπει να είναι το είδος του ΑΒΓ τριγώνου, ώστε το τραπέζιο του ερωτήµατος (α) να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ˆ ˆ A= =90 o, ΑΒ>Γ, ΒΓ=4Γ και ˆΒ =60 ο. Φέρουµε την ΓΗ ΑΒ και θεωρούµε τα µέσα Ε και Ζ των πλευρών Α και ΒΓ αντιστοίχως. Να δείξετε ότι: α) ΑΒ=3Γ. β) Το τετράπλευρο ΕΗΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 4. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ>Γ και Α =ΒΓ. α) Αν τα µήκη των βάσεων είναι: ΑΒ=3x+2, Γ =x+2 και το µήκος της διαµέσου του τραπεζίου είναι ΜΝ=x+4, τότε να δείξετε ότι x=2. β) Αν η γωνία Γ είναι διπλάσια της γωνίας Β, να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.

2 5. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε ˆΓ= =60 ˆ ο, Α =12 και Γ =20. Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να αποδείξετε ότι Ε=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. β) Να υπολογίσετε την περίµετρο του τραπεζίου. 6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 7. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ στο οποίο η διαγώνιος Β είναι ίση µε την πλευρά Α. Αν η γωνία ˆΓ =110 ο και η γωνία ΒΓ =30 ο, να υπολογίσετε τη γωνία Α Β. 8. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και ΑΒ<Γ. Θεωρούµε τα σηµεία Ε και Ζ πάνω στην ΑΒ έτσι ώστε ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ και έστω Κ το σηµείο τοµής των Ζ και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Ζ=ΓΕ β) Τα τρίγωνα ΕΚΖ και ΚΓ είναι ισοσκελή. 9. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε Γ >ΑΒ και Β=135 ο. Από τις κορυφές Α και Β φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. β) Να αποδείξετε ότι ΑΕ=Ε =ΒΖ=ΓΖ.

3 10. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ), µε ΑΒ=6, ΒΓ=4 και ˆΓ =60 ο. ίνονται επίσης τα ύψη ΑΕ και ΒΖ από τις κορυφές Α και Β αντίστοιχα. α) Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε τα τρίγωνα ΑΕ, ΒΖΓ είναι ίσα. γ) Να υπολογίσετε την περίµετρο του ΑΒΓ. 11. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ), µε ΑΒ=ΒΓ=4, Â =90ο και ˆΓ =60 ο. ίνεται επίσης το ύψος ΒΕ από τη κορυφή Β. α) Να υπολογίσετε τις άλλες δυο γωνίες του τραπεζίου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε 2ΕΓ=ΒΓ. γ) Αν Μ,Ν τα µέσα των πλευρών Α, ΒΓ αντίστοιχα να βρείτε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΜΝ. 12. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και Β =ΒΓ. Αν ΒΓ =110 ο και ο Α Β =25 ο, να υπολογίσετε: α) Τη γωνία Γ. β) Τη γωνία Α. 13. Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆΑ =90 ο ) θεωρούµε τα µέσα, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. β) Το τετράπλευρο Ε ΒΓ είναι ισοσκελές 14. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ, το σηµείο Μ είναι το µέσο της πλευράς Γ και τα σηµεία Κ και Λ είναι τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του Α και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τµήµατα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. β) Τα τµήµατα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα.

4 15. Έστω τρίγωνο ΑΒ µε Α=120 ο. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουµε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒ είναι ίσα. β) Το τετράπλευρο Β ΖΕ είναι ισοσκελές 16. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓ και τα σηµεία Ν και Κ των ΑΒ και Γ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΝ=ΚΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΑΝ και ΒΓΚ είναι ίσα, ii. το τετράπλευρο ΝΒΚ είναι παραλληλόγραµµο. β) Αν Ε και Ζ είναι τα µέσα των Ν και Κ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΝΚΖΕ είναι τραπέζιο. 17. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε ΑΒ=8 και Γ=12. Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη του τραπεζίου: α) να αποδείξετε ότι Η=ΘΓ. β) να υπολογίσετε τη διάµεσο του τραπεζίου. 18. Σε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) είναι Γ = 2ΑΒ. Επίσης τα Ζ, Η, Ε είναι τα µέσα των Α, ΒΓ και Γ αντίστοιχα. Ακόµη η ΖΗ τέµνει τις ΑΕ, ΒΕ στα σηµεία Θ, Ι αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραµµο. β) Να δείξετε ότι, τα σηµεία Θ, Ι είναι µέσα των ΑΕ, ΒΕ αντίστοιχα. γ) Να δείξετε ότι ΖΗ = 3 2 AB. 19. Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τις προβολές Α', Β', Γ', ' των κορυφών του Α, Β, Γ, αντίστοιχα, σε µια ευθεία ε. α) Αν η ευθεία ε αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράµµου στο ίδιο ηµιεπίπεδο και είναι ΑΑ'=3, ΒΒ'=2, ΓΓ '=5, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του παραλληλογράµµου από την ε είναι ίση µε 4. ii. Να βρείτε την απόσταση '. β) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράµµου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις ΑΑ', ΒΒ', ΓΓ', '; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

5 20. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90ο ) και η διχοτόµος Β. Από το φέρουµε Ε ΑΓ και ονοµάζουµε Ζ το σηµείο στο οποίο η ευθεία Ε τέµνει την προέκταση της ΒΑ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΖ είναι ίσα. γ) Η ευθεία Β είναι µεσοκάθετη των τµηµάτων ΑΕ και ΖΓ. δ) Το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι ισοσκελές 21. ίνεται οξεία γωνία xoy και δύο οµόκεντροι κύκλοι (Ο, ρ 1 ) και (Ο, ρ 2 ) µε ρ 1 <ρ 2, που τέµνουν την Ox στα σηµεία Κ, Α και την Oy στα Λ, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΛ=ΒΚ. β) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ισοσκελές, όπου Ρ το σηµείο τοµής των ΑΛ και ΒΚ. γ) Η ΟΡ διχοτοµεί την γωνία xoy. 22. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε Α= ˆ ˆ =90, Γ=2ΑΒ και Β= ˆ 3Γ ˆ. Από το Β φέρνουµε κάθετη στη Γ που τέµνει την ΑΓ στο σηµείο Κ και την Γ στο Ε. Επίσης φέρνουµε την ΑΕ που τέµνει τη Β στο σηµείο Λ. Να αποδείξετε ότι: α) ˆΓ =45 β) Β =ΑΕ γ) ΚΛ= 1 4 Γ. 23. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουµε το ύψος του ΑΗ κατά τµήµα Η =ΑΗ και τη διάµεσό του ΑΜ κατά τµήµα ΜΕ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=Β =ΓΕ β) ΓΒ =ΒΓΕ. γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕ είναι ισοσκελές 24. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε Γ=30 ο και έστω Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων του. Οι µη παράλληλες πλευρές του Α και ΓΒ προεκτεινόµενες τέµνονται κάθετα στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=2ΑΕ. β) ΚΛ=Α. γ) Σε ποια περίπτωση το ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραµµο; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. 25. Το τετράπλευρο ΑΒΓ του παρακάτω σχήµατος είναι ρόµβος. Θεωρούµε ΑΖ Γ και ΑΕ ΓΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ισοσκελές. β) Η ευθεία ΑΓ είναι µεσοκάθετος του τµήµατος ΖΕ. γ) Αν Μ και Ν τα µέσα των πλευρών Α και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΝΕ είναι ισοσκελές

6 26. Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) είναι ΑΒ=Α. α) Να αποδείξετε ότι η Β είναι διχοτόµος της γωνίας. β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σηµείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΕ να είναι ρόµβος. γ) Αν επιπλέον είναι ΒΑ =120 ο και οι διαγώνιοι του ρόµβου τέµνονται στο σηµείο Ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετράπλευρου ΕΟΒΓ. 27. Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ µε A= ˆ ˆ =90 ο, ΑΒ= 1 4 Γ και ΑΒ= 1 Α.Φέρουµε ΒΕ Γ. 3 α) Να δείξετε ότι το ΑΒΕ είναι ορθογώνιο. β) Να δείξετε ότι το ΒΕΓ είναι τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές. γ) Αν Κ, Λ είναι τα µέσα των ΒΕ και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η ΑΓ διέρχεται από το µέσον του ΒΚ. 28. ίνεται κύκλος (Ο, R) µε διάµετρο ΑΒ και ευθείες ε 1, ε 2 εφαπτόµενες του κύκλου στα άκρα της διαµέτρου ΑΒ. Θεωρούµε ευθεία ε εφαπτοµένη του κύκλου σε σηµείο του Ε, η οποία τέµνει τις ε 1 και ε 2 στα και Γ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι ii. Γ =Α +ΒΓ. iii. Το τρίγωνο ΓΟ είναι ορθογώνιο. β) Αν η γωνία Α Ε είναι 60 ο και η Ο τέµνει τον κύκλο (Ο, R) στο σηµείο Κ, να αποδείξετε ότι το Κ είναι µέσο του Ο. 29. ίνεται κύκλος (Ο,R) µε διάµετρο ΒΓ. Θεωρούµε σηµείο Α του κύκλου και σχεδιάζουµε το τρίγωνο ΑΒΓ. H προέκταση της ΑΟ τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ζ. Φέρουµε το ύψος του Α, η προέκταση του οποίου τέµνει τον κύκλο στο σηµείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΖΓ=ΑΒ=ΒΕ ii. Το τετράπλευρο ΒΕΖΓ είναι ισοσκελές β) Αν ˆΓ =30 ο, να αποδείξετε ότι η περίµετρος του τραπεζίου ΒΕΖΓ είναι ίση µε 5R, όπου R η ακτίνα του κύκλου. 30. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) µε Α= ˆ ˆ =90 ο, Γ=2ΑΒ και Β= ˆ 3Γ ˆ. Φέρνουµε ΒΕ Γ που τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ στο Μ. Φέρνουµε την ΑΕ που τέµνει τη διαγώνιο Β στο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) ˆΓ =45 ο. β) Το τετράπλευρο ΑΒΓE είναι παραλληλόγραµµο. Γ γ) ΜΝ=. 4 δ) ΑΕ Β.

7 31. Σε τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) ισχύει ΑΒ+Γ =Α. Αν η διχοτόµος της γωνίας Α τέµνει την ΒΓ στο Ε και την προέκταση της Γ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΖ είναι ισοσκελές. β) Το Ε είναι το µέσο της ΒΓ γ) Η Ε είναι διχοτόµος της γωνίας του τραπεζίου. 32. ίνεται τραπέζιο Α ΕΒ, µε Α //ΒΕ, στο οποίο ισχύει ότι ΑΒ=Α +ΒΕ, και Ο το µέσον της Ε. Θεωρούµε σηµείο Ζ στην ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΖ=Α και ΒΖ=ΒΕ. Αν ΑΖ =φ: α) να εκφράσετε τη γωνία ΑΖ ως συνάρτηση της φ. β) να εκφράσετε τη γωνία ΕΖΒ ως συνάρτηση της φ. γ) να αποδείξετε ότι οι ΟΑ και ΟΒ είναι µεσοκάθετοι των τµηµάτων Ζ και ΖΕ αντίστοιχα. 33. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, µε ΑΒ>Α. Θεωρούµε σηµεία Κ, Λ των Α και ΑΒ αντίστοιχα ώστε ΑΚ=ΑΛ. Έστω Μ το µέσο του ΚΛ και η προέκταση του ΑΜ (προς το Μ) τέµνει τη Γ στο σηµείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Α = Ε. β) ΒΓ+ΓΕ=ΑΒ. γ) Β= ˆ 2 ΑΛΚ. 34. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2 ΒΓ. Από την κορυφή Α φέρουµε την ΑΕ κάθετη στην ευθεία ΒΓ και Μ, Ν τα µέσα των ΑΒ, Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΒΓΝ είναι ρόµβος. β) Το τετράπλευρο ΜΕΓΝ είναι ισοσκελές γ) Η ΕΝ είναι διχοτόµος της γωνίας ΜΕΓ. 35. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε τη γωνία Α ορθή, και τυχαίο σηµείο της πλευράς ΑΒ. Έστω Κ, Μ, Ν τα µέσα των Γ, ΒΓ, Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΚΜΝ είναι παραλληλόγραµµο. β) Το τετράπλευρο ΑΚΜΝ είναι ισοσκελές γ) Η διάµεσος του τραπεζίου ΑΚΜΝ είναι ίση ΑΒ µε. 2

8 36. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ˆΒ =70 ο και το ύψος του ΑΕ. Έστω Ζ σηµείο της ΒΓ ώστε ΒΕ=ΕΖ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑZΓ είναι ισοσκελές β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου ΑΖΓ γ) Αν Μ το µέσο του Β, να αποδείξετε ότι ΑΓ ΕΜ= ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ˆΑ =90 ο και ˆΓ =30 ο. Φέρουµε το ύψος του Α και τη διάµεσο του ΑΜ. Από το Γ φέρουµε κάθετη στην ευθεία ΑΜ, θ οποία την τέµνει στο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισόπλευρο. ΒΓ β) ΜΕ=Μ =. 4 γ) Το Α ΕΓ είναι ισοσκελές 38. α) Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ θεωρούµε Κ, Λ, Μ, Ν τα µέσα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόµβος. β) Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ τα µέσα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α αντίστοιχα είναι κορυφές ρόµβου. Για να σχηµατίζεται ρόµβος το ΑΒΓ πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να αιτιολογήσετε πλήρως τη θετική ή αρνητική απάντηση σας. 39. Θεωρούµε κύκλο κέντρου Ο, µε διάµετρο ΒΓ. Από σηµείο Α του κύκλου φέρουµε την εφαπτοµένη (ε) του περιγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. Από τα σηµεία Β και Γ φέρουµε τα τµήµατα Β και ΓΕ κάθετα στην ευθεία (ε). α) Να αποδείξετε ότι ΒΑ και ΓΑ είναι διχοτόµοι των γωνιών ΒΓ και ΕΓΒ αντίστοιχα. β) Αν ΑΖ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι Α =ΑΕ=ΑΖ. γ) Να αποδείξετε ότι Β +ΓΕ=ΒΓ. 40. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και ΑΒ=Α +ΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την ΑΒ στο σηµείο Μ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο Α Μ είναι ισοσκελές. β) Το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές. γ) Η ΓΜ είναι διχοτόµος της γωνίας Γ του τραπεζίου.

9 41. Σε µια ευθεία (ε) θεωρούµε διαδοχικά τα σηµεία Α, Β, Γ έτσι ώστε ΑΒ=2ΒΓ και στο ίδιο ηµιεπίπεδο θεωρούµε ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓΕ. Αν Η είναι το µέσο του Α και η ευθεία Ε τέµνει την ευθεία (ε) στο σηµείο Ζ να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΒΗ Ε είναι ορθογώνιο. β) Το τρίγωνο ΓΖΕ είναι ισοσκελές. γ) Το τετράπλευρο ΗΕΓΑ είναι ισοσκελές 42. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και Κ το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Φέρουµε ΑΗ κάθετη στην Β και στην προέκταση της ΑΗ (προς το Η) θεωρούµε σηµείο Ε τέτοιο ώστε ΑΗ=ΗΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΚΕ είναι ισοσκελές. β) Το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ορθογώνιο. γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕ είναι ισοσκελές 43. Στο παρακάτω τετράπλευρο ΑΒΓ ισχύουν: Α =ΒΓ, ΑΓ=Β, και ΑΒ<Γ. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΟΓ είναι ισοσκελή. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι Γ =3ΑΒ και Κ, Λ τα µέσα των διαγωνίων Β και ΑΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΛΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. 44. Από εξωτερικό σηµείο Ρ ενός κύκλου κέντρου Ο φέρουµε τα εφαπτόµενα τµήµατα ΡΑ, ΡΒ και τη διακεντρική ευθεία ΡΟ που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία και Γ αντίστοιχα. Η εφαπτοµένη του κύκλου στο σηµείο Γ τέµνει τις προεκτάσεις των ΡΑ και ΡΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΡ= ΒΡ. β) ΕΑ=ΖΒ. γ) Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ισοσκελές

10 45. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η Βx είναι διχοτόµος της γωνίας Β και η Βy διχοτόµος της εξωτερικής γωνίας Β. Αν και Ε είναι οι προβολές της κορυφής Α του τριγώνου ΑΒΓ στην Βx και Βy αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο Α ΒΕ είναι ορθογώνιο. β) Η ευθεία Ε είναι παράλληλη προς τη ΒΓ και διέρχεται από το µέσο Μ της ΑΓ. γ) Το τετράπλευρο ΚΜΓΒ είναι τραπέζιο και η διάµεσος του είναι ίση µε 3 α, όπου α=βγ ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και έστω Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων ΑΓ και Β. Φέρνουµε την ΑΕ κάθετη στην διαγώνιο Β. Εάν Ζ είναι το συµµετρικό του Α ως προς την διαγώνιο Β, τότε να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο Α Ζ είναι ισοσκελές. β) ΖΓ=2ΟΕ. γ) Το Β ΖΓ είναι ισοσκελές 47. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουµε τµήµα ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της πλευράς Α τµήµα Ζ=Α. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τετράπλευρα Β ΓΕ και Β ΖΓ είναι παραλληλόγραµµα. ii. Τα σηµεία Ε, Γ και Ζ είναι συνευθειακά. β) Αν Κ και Λ είναι τα µέσα των ΒΕ και Ζ αντίστοιχα, τότε ΚΛ// Β και ΚΛ= 3 2 Β. 48. ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνία ˆΒ =60 ο. Φέρνουµε τα ύψη Α και ΓΕ που τέµνονται στο Η. Φέρνουµε την ΚΖ διχοτόµο της γωνίας ΕΗΑ και ΘΗ κάθετο στο ύψος Α. Να αποδείξετε ότι: α) Για το τµήµα ΖΕ ισχύει ΖΗ=2ΕΖ. β) Το τρίγωνο ΘΖΗ είναι ισόπλευρο. γ) Το τετράπλευρο ΘΗΚΒ είναι ισοσκελές

11 49. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόµοι των γωνιών Β και Γ τέµνονται στο. Η εξωτερική διχοτόµος της Β τέµνει την προέκταση της Γ στο Ε. ίνεται ότι ο ΑΒΕ= 70 = 2 ΓΕΒ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΒΕ είναι γ) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΒΕ είναι ισοσκελές 50. Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) µε B ˆ = 2Γ ˆ Γ και ΑΒ=ΒΓ=Α =. Φέρουµε τη 2 διχοτόµο της γωνίας Β, η οποία τέµνει το Γ στο Κ και η κάθετη από το Κ προς το ΒΓ το τέµνει στο Μ. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΚ είναι ρόµβος. ii. Το σηµείο Μ είναι το µέσο του ΒΓ. 51. Έστω τετράγωνο ΑΒΓ και Μ το µέσο της πλευράς Α. Προεκτείνουµε το τµήµα Α Α (προς την πλευρά του Α) κατά τµήµα ΑΝ=. Φέρουµε τα τµήµατα ΓΜ και ΒΝ και 2 θεωρούµε τα µέσα τους Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΝΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. β) Το τετράπλευρο Α ΚΛ είναι παραλληλόγραµµο. γ) Το τετράπλευρο ΑΜΚΛ είναι ισοσκελές 52. Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Στην προέκταση του ΒΓ (προς το Γ) θεωρούµε τµήµα ΓΖ=ΒΓ. Θεωρούµε σηµείο Ε στη ΑΒ, τέτοιο ώστε ΕΓ=ΓΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΕΖ είναι ορθή. β) Το τετράπλευρο ΑΕΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖ είναι παραλληλόγραµµο.

12 53. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ και Α =ΒΓ=ΑΒ. Φέρουµε τµήµατα ΑΕ και ΒΖ κάθετα στις διαγώνιες Β και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα σηµεία Ζ και Ε είναι µέσα των διαγωνίων ΑΓ και Β αντίστοιχα. β) ΑΕ=ΒΖ. γ) Το τετράπλευρο ΑΕΖΒ είναι ισοσκελές δ) Η Β είναι διχοτόµος της γωνίας. 54. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ// Γ) και Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. Η ΑΓ είναι κάθετη στην Α και η Β είναι κάθετη στην ΒΓ. Θεωρούµε τα µέσα Μ, Ε και Ζ των Γ, Β και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΜΕ=ΜΖ. β) Η ΜΖ είναι κάθετη στην ΑΓ. γ) Τα τρίγωνα Μ Ε και ΜΖΓ είναι ίσα. δ) Η ΟΜ είναι µεσοκάθετη του ΕΖ. 55. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Αδ τη διχοτόµο της γωνίας Α. Η µεσοκάθετος (µ) της πλευράς ΒΓ τέµνει την Αδ στο σηµείο. Από το φέρνουµε τις Ε και Η κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΒΕ=ΓΖ. ii. Το τετράπλευρο ΒΖΓΕ είναι ισοσκελές β) Κάποιος µαθητής έκανε τον εξής συλλογισµό: «Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ έχουν: 1. Α κοινή 2. Β =Γ λόγω µεσοκαθέτου. 3. ΒΑ =ΓΑ λόγω διχοτόµου. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα σύµφωνα µε το κριτήριο Π-Γ-Π» Έχει δίκιο ή όχι ο µαθητής; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 56. ίνονται δυο ίσα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΑΒ (ΑΒ=Α ), τέτοια ώστε οι πλευρές τους ΑΓ και Β να είναι κάθετες. Τα σηµεία Κ και Λ είναι τα µέσα των τµηµάτων Α και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Ε =ΕΓ. β) Γ//ΑΒ. γ) Το τρίγωνο ΕΚΛ είναι ισοσκελές και ΚΛ//ΑΒ.

13 57. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Α διάµεσος. Στο τµήµα Α θεωρούµε τυχαίο σηµείο Κ από το οποίο φέρνουµε τα τµήµατα ΚΖ και ΚΕ κάθετα στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ είναι ίσα. ii. Το τρίγωνο ΖΚΕ είναι ισοσκελές. iii. Το τετράπλευρο ΖΕΓΒ είναι ισοσκελές β) Ένας µαθητής στο (αi.) ερώτηµα έδωσε την εξής απάντηση: «Το τµήµα Α είναι διάµεσος στη βάση ισοσκελούς άρα ύψος και διχοτόµος του τριγώνου και µεσοκάθετος του ΒΓ. Οπότε και το τρίγωνο ΒΚΓ είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ έχουν: 1. ΒΚ=ΚΓ. 2. BAK =Γ AK επειδή ΑΚ διχοτόµος της Α. 3. ΑΒΚ=ΑΓΚ ως διαφορές ίσων γωνιών ισοσκελών τριγώνων. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα βάση του κριτηρίου Γ-Π-Γ» Ο καθηγητής είπε ότι η απάντηση του είναι ελλιπής. Να συµπληρώσετε την απάντηση του µαθητή ώστε να ικανοποιεί το κριτήριο Γ-Π-Γωνία διατηρώντας τις πλευρές ΒΚ και ΚΓ. 58. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ και το ύψος του ΑΗ. Αν, Ε και Ζ είναι τα µέσα των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι : α) το τετράπλευρο ΕΖΗ είναι ισοσκελές β) οι γωνίες Η Ζ και ΗΕΖ είναι ίσες. γ) οι γωνίες Ε Ζ και ΕΗΖ είναι ίσες. 59. ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ<ΑΓ. Από το Β φέρουµε κάθετη στην διχοτόµο ΑΜ της γωνίας Α, η οποία τέµνει την ΑΜ στο Η και την ΑΓ στο. Στην προέκταση της ΑΗ θεωρούµε σηµείο Ζ τέτοιο ώστε ΑΗ=ΗΖ και έστω Θ το µέσο της πλευράς ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΒΖ είναι ρόµβος. β) το τετράπλευρο ΗΒΖΘ είναι γ) η διάµεσος του τραπεζίου ΗΒΖΘ είναι ίση ΑΒ+ΑΓ µε. 4

14 60. Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο µε ΑΒ>ΒΓ τέτοιο ώστε οι διαγώνιοί του να σχηµατίζουν γωνία 60. Από το φέρουµε Μ κάθετη στην ΑΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. το σηµείο Μ είναι µέσο του ΑΟ όπου Ο το κέντρο του ορθογωνίου. ΑΓ ii. ΑΜ=. 4 β) Αν από το Γ φέρουµε ΓΝ κάθετη στη Β, να αποδείξετε ότι το ΜΝΓ είναι ισοσκελές 61. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε και Ε τα µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, Α =9, ΕΓ=10 και ΒΓ=30. α) Να υπολογίσετε την περίµετρο του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΒ είναι γ) Να υπολογίσετε το µήκος x του τµήµατος Ε. 62. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήµατος τα σηµεία και Ε είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ΑE=8, Ε =9 και Β=10. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΓΒ είναι β) Να υπολογίσετε το µήκος της πλευράς ΒΓ. γ) Να συγκρίνετε τις περιµέτρους του τριγώνου ΑΒΓ και του τετράπλευρου ΕΓΒ. 63. ίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ Γ, ΑΒ>Γ και Α =ΒΓ. α) Αν τα µήκη των βάσεων είναι ΑΒ=3x+2, Γ =x+2 και το µήκος της διαµέσου του τραπεζίου είναι ΜΝ=x+4, τότε να δείξετε ότι x=2. β) Αν η γωνία Γ είναι διπλάσια της γωνίας Β, να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο.

Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΒΖ είναι παραλληλόγραµµο. 1. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά Α κατά τµήµα Ε=Α και φέρουµε την ΒΕ που τέµνει τη Γ στο σηµείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές. β) το ΕΓΒ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ 5 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Θ ΕΜΑ Β 2814 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Α= 8. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου

Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Γεωµετρία Α Γενικού Λυκείου Απαντήσεις στα θέματα της Τράπεζας Θεμάτων Συγγραφή απαντήσεων: Αθανάσιος Τσιούµας Χρησιμοποιήστε τους σελιδοδείκτες (bookmarks) στο αριστερό μέρος της οθόνης για την πλοήγηση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 7η έκδοση Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 7η έκδοση Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1

ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1 Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα 1 ΕΝΟΤΗΤΑ Η : Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα ΕΝΟΤΗΤΑ. ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ Όταν ήμουν χρονών άρχισα να διαβάζω τα Στοιχεία του Ευκλείδη Αυτό ήταν ένα από τα μεγάλα γεγονότα στη ζωή μου, τόσο εκτυφλωτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης

Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Α Γενικού Λυκείου ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ο ΘΕΜΑ 84. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ B EH B και Z B, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΓΔ και ΓΒΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version )

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version ) 4.6-4.8 ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ (version 5--06) Σ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και τυχαίο σημείο Δ της πλευράς ΑΒ. Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΕ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ ΒΓ. ος

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Παράλληλες ευθείες 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι Â =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός 222223 444441 222220+ 222216 2 222222 είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 είναι πολλαπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο 14 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΕΛ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:9 ο _18997 ΘΕΜΑ Β Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράµπα του παρακάτω σχήµατος. α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999

Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Ζήτηµα 1ο Θέµατα Γεωµετρίας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 Α. Έστω Α η διχοτόµος της γωνίας A ) ενός τριγώνου ΑΒΓ. Από το Β φέρνουµε την παράλληλη προς την Α και έστω Ε το σηµείο τοµής της µε την ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (14) -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Τρίγωνα

Λύκειο Μεταμόρφωσης -Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Α Λυκείου-Κεφ. Τρίγωνα 1.Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

Ορθογώνιο (version )

Ορθογώνιο (version ) Ορθογώνιο (version --06) Ορισμός: Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μια γωνία ορθή. Επειδή στο παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες, ενώ δύο διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές (ως

Διαβάστε περισσότερα