ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ"

Transcript

1 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014

2

3 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ ΑΓ ή ΓΑ ή β ΒΓ ή ΓΒ ή α Ονομασία Γωνιών ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ ˆ ή ˆ ή ˆ μ α δ α υ α Διάμεσος ΑΜ ή μ α Διχοτόμος ΑΔ ή δ α Ύψος ΑΖ ή υ α Από την κορυφή Α στο μέσο Μ της απέναντι πλευράς. Χωρίζει την γωνία Α σε δύο ίσες γωνίες ˆ ˆ 1. Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Το Ζ λέγεται προβολή του Α στη ΒΓ Το τμήμα ΖΒ λέγεται προβολή του ΑΒ στη ΒΓ Το ύψος ΑΖ στο ορθογώνιο τρίγωνο : Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Συμπίπτει με την πλευρά ΑΒ. Το ύψος ΑΖ στο αμβλυγώνιο τρίγωνο : Από την κορυφή Α κάθετη στην απέναντι πλευρά. Βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Για να φέρουμε κάθετη, προεκτείνουμε την απέναντι πλευρά. 1

4 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 1 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Π-Γ-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Γ-Π-Γ Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ - Π-Π-Π Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΩ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ : Κάθε τρίγωνο έχει 6 κύρια στοιχεία, 3 πλευρές και 3 γωνίες. Για να είναι λοιπόν ίσα δύο τρίγωνα θα έπρεπε να έχουν και τα 6 αυτά στοιχεία τους ίσα ένα προς ένα. Όμως με τα κριτήρια ισότητας μπορούμε με 3 μόνο στοιχεία από κάθε τρίγωνο να λέμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Παράδειγμα : Πλευρές Γωνίες. ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ, ˆ, ˆ, ˆ Α Β, Α Γ, Β ' Γ ', ˆ ', ˆ ', ˆ ' και γράφουμε : ' '(...) Π-Γ-Π ' '(...) ' ' ' ˆ ˆ '(...) μέσα στις παρενθέσεις γράφουμε το λόγο για τον οποίο τα στοιχεία αυτά είναι ίσα επάνω στο βέλος γράφουμε ποιο κριτήριο χρησιμοποιούμε για να είναι τα τρίγωνα ίσα Λυμένο Παράδειγμα 1ο: Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν β = β, ˆ = ˆ ' και Να αποδείξετε ότι : i) ˆ = ˆ ' ii) α = α και γ = γ Απάντηση με μεθοδολογία: δα = δ α. Σχεδιάζω δύο τρίγωνα και σημειώνω στο σχήμα με ίδια σύμβολα τα ίσα στοιχεία, που μου δίνει η εκφώνηση. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΓ και Α Δ Γ «γιατί μου ζητήθηκε ( ˆ = ˆ ') που ανήκουν στα παραπάνω τρίγωνα και γιατί γνωρίζω αρκετά στοιχεία για τα τρίγωνα αυτά». '() Εκφώνηση Π-Γ-Π άρα τα τρίγωνα έχουν και τα '() Εκφώνηση ΑΔΓ=Α'Δ'Γ' ˆ ˆ υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλ. ˆ ˆ '() ˆ ˆ ως μισά ίσων γωνιών Γ = Γ δ, δ διχοτόμοι και ˆ= ˆ α α Α Α' Τέλος συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ '() ˆ ˆ '() ˆ ˆ '() Εκφώνηση Εκφώνηση προηγούμενο Γ-Π-Γ ˆ ˆ άρα τα τρίγωνα έχουν και τα ΑΒΓ=Α'Β'Γ' α = α υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλ. γ = γ

5 Λυμένο Παράδειγμα ο: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις της βάσης ΒΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ : ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ( Εκφώνηση ) Π-Γ-Π ( Εκφώνηση ) ΑΒΔ = ΑΓΕ ˆ ˆ ( ως παραπληρωματικές ) ίσων γωνιών Β ˆ = Γˆ άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή : ΑΔ = ΑΕ άρα το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α στην οποία θεωρούμε τμήματα ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΓ : (... ) (... ) ΑΒΖ = ΑΕΓ ( ) άρα τα τρίγωνα έχο υν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... =... Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Συγκρίνω τα τρίγωνα. και. : ()... ()... () =.... άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... = = =... άρα το τρίγωνο... είναι ισοσκελέ ς 3

6 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΓΕΝΙΚΑ : Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν: μία πλευρά ίση και ένα οποιοδήποτε ακόμη στοιχείο τους (πλευρά γωνία) ένα προς ένα ίσο, τότε είναι ίσα. Λυμένο Παράδειγμα 1ο: Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών (ΑΒ= ΑΓ) ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν : α) από τη βάση ΒΓ β) από τις ίσες πλευρές του. α) Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΗΕ : α) β) ˆ ˆ ( Εκφώνηση ) ( ως μισά ίσων πλευρών ΑΒ=ΑΓ ) Κρ.Ορθ.Τριγ. άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα ΒΔΖ = ΓΕΗ δηλαδή : Δ Ζ = Ε Η β) Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΛ και ΑΕΚ : ˆ ˆ ( κοινή γωνία ) ( ως μισά ίσων πλευρών ΑΒ=ΑΓ ) Κρ.Ορθ.Τριγ. ΑΔΛ = ΑΕΚ άρα τα τρίγωνα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή : Δ Λ = Ε Κ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. : () = () άρα τα τρίγωνα έχου ν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλα δή :... =... Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές, είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. : () = () άρα τα τρίγωνα έχου ν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλα δή :... =... 4

7 Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα να αποδείξετε ότι και τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές, είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα.. και.. : ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ (... ) (.... ) άρα τα τρίγωνα έχουν και τα... =... υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα δηλαδή :... = Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι : α) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου β) η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι α = α, υ α = υ α και μ α = μ α, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Συγκρίνω τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΜ και Α Δ Μ : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΜΓ και Α Μ Γ : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ : Μία μεγάλη άσκηση που για να λυθεί χρειάζεται να συγκρίνουμε 3 ζεύγη τριγώνων. Με κάθε σύγκριση κερδίζουμε νέα στοιχεία ώστε να συγκρίνουμε τα επόμενα ζεύγη τριγώνων. 5

8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Η πρώτη δυσκολία που συναντούμε είναι η κατανόηση της άσκησης και η δημιουργία σχήματος. Η δυσκολία αυτή μπορεί να ξεπεραστεί διαβάζοντας όχι ολόκληρη την άσκηση, αλλά τμηματικά σχεδιάζοντας ταυτόχρονα και μέρος του σχήματος. π.χ. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών (ΑΒ= ΑΓ) ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχουν : α) από τη βάση ΒΓ β) από τις ίσες πλευρές του. Διαβάζω : «ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ» και σχεδιάζω ισοσκελές τρίγωνο Διαβάζω : «ΑΒ = ΑΓ» και ονομάζω ΑΒ και ΑΓ τις ίσες πλευρές. Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών» και ονομάζω Δ το μέσο της ΑΒ και Ε το μέσο της ΑΓ Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν» και μεταφράζω «απέχουν ίσες αποστάσεις» Θυμάμαι ότι η έννοια της απόσταση σημείου από ευθεία σημαίνει την κάθετη από το σημείο προς την ευθεία. Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν α) από τη βάση ΒΓ» και σχεδιάζω τις καθέτους από τα Δ και Ε προς την ΒΓ Διαβάζω : «τα μέσα των ίσων πλευρών ισαπέχουν β) από τις ίσες πλευρές του» και σχεδιάζω τις καθέτους από τα Δ και Ε προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Αφού έχουμε ολοκληρώσει το σχήμα, είναι σημαντικό να σημειώσουμε επάνω του τα στοιχεία που δόθηκαν (άμεσα ή έμμεσα ) ότι είναι ίσα, χρησιμοποιώντας το ίδιο σύμβολο και να γράψουμε στη στήλη με τα δεδομένα μας αυτά που γνωρίζουμε. π.χ. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ= ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΑΓ θεωρούμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ αντίστοιχα. Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Παρατηρείστε ότι στο σχήμα και τα δεδομένα έχουμε σημειώσει Β = Γ γιατί μας έδωσε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Πώς θα επιλέξουμε τα ζεύγη των τριγώνων που θα συγκρίνουμε. Η επιλογή μας γίνεται με δύο βασικά κριτήρια 1) το ζητούμενο της άσκησης και ) τα στοιχεία που ήδη μας έχουν δώσει. π.χ. Στο προηγούμενο πρόβλημα: 1) Το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές ή ότι ΔΜ = ΜΕ. Ψάχνουμε λοιπόν ζεύγη τριγώνων που να έχουν πλευρές τις ΔΜ και ΜΕ, παρατηρείστε ότι αυτά είναι τα ΒΔΜ και ΓΕΜ. ) Κοιτάζοντας στο σχήμα ποια τρίγωνα έχουν τα περισσότερα σύμβολα σημειωμένα επάνω στις πλευρές ή τις γωνίες τους ξεχωρίζουμε πάλι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ. Πώς θα κάνουμε την σύγκριση. Στη σύγκριση των δύο τριγώνων προσέχουμε : 1) Να χρησιμοποιήσουμε τρία στοιχεία από το πρώτο τρίγωνο που επιλέξαμε και να τα συγκρίνουμε με τρία στοιχεία του δεύτερου τριγώνου ) Να δικαιολογούμε κάθε φορά γιατί τα στοιχεία αυτά είναι ίσα, σύμφωνα με αυτά που μας έχει δώσει η εκφώνηση και όχι επειδή φαίνονται ίσα. 3) Να ελέγχουμε σε ποιο κριτήριο ισότητας τριγώνων στηριζόμαστε, ώστε να απαντήσουμε «άρα τα τρίγωνα είναι ίσα». 4) Μην ξεχνάτε αποδεικνύοντας ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, θα έχετε και τα υπόλοιπα 3 στοιχεία τους ίσα. 6

9 τότότεαβτ<α<β+γβγ νφυλλο ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικοί γεωμετρικοί τόποι ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Γεωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων που έχουν μία (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. ΚΥΚΛΟΣ : Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που απέχουν μία ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο. ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ενός τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Ανισοτικές σχέσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Σύντομα : Αξ>Βˆ ˆ Αεξ>ˆ ˆεΓΠόρισμα Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μία ορθή ή αμβλεία γωνία Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο από ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. ΓΠόρισμα Σύντομα : ΑΒ<ΑΓνˆ ˆάΓ<ΒνάεΓ<ˆ <Βˆ Α Αν μία γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντί της πλευρά είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου Αν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές. Αν ένα τρίγωνο έχει και τις τρείς γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την διαφορά τους. Σύντομα β-γ:ά Η τελευταία σχέση είναι γνωστή και ως τριγωνική ανισότητα. 7

10 Β=ΑΓΑνΚΒ=ότεΚΒΚτίστροφαΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κάθετες και πλάγιες ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου. Σύντομα :άταν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια τμήματα τότε : Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο Αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. Σύντομα : να άτότεανάτότβ ΑΚεκαιανΒΒΚΚΚΙΙ ΓΘΕΩΡΗΜΑ <<ΑΑΕΕ 8

11 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου Η ευθεία ΟΒ λέγεται διακεντρική ευθεία. Το τμήμα ΟΒ συμβολίζεται με δ. Η ακτίνα του κύκλου είναι η ΟΑ = R. Η ευθεία ε λέγεται : Η ευθεία ε και ο κύκλος έχουν κοινά σημεία : Σχέση της ακτίνας R με την δ = ΟΒ Επιπλέον 1. Εξωτερική του κύκλου κανένα δ > R. Εφαπτόμενη του κύκλου Ένα το Α που λέγεται σημείο επαφής δ = R Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. Η εφαπτομένη του κύκλου σε κάθε σημείο του είναι μοναδική 3. Τέμνουσα του κύκλου Δύο τα Α και Α που λέγονται σημεία τομής. δ < R, ΘΕΩΡΗΜΑ Ι Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους. Απόδειξη : Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΟΡ και ΒΟΡ : ΑΟ = ΒΟ = R ΟΡ κοινή είναι ορθογώνια άρα θα είναι ίσα Επομένως ΡΑ = ΡΒ ΠΟΡΙΣΜΑ Αν Ρ ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική του ευθεία ΟΡ : Είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής. Διχοτομεί την γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων και τη γωνία των ακτίνων στα σημεία επαφής. ΑΣΚΗΣΗ 9

12 Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Δύο κύκλοι (Κ,R) και (Λ, ρ) Το τμήμα ΚΛ συμβολίζεται με δ και λέγεται διάκεντρος των δύο κύκλων. Για τις θέσεις των κύκλων λέμε : Οι δύο κύκλοι έχουν κοινά σημεία : Σχέση της ακτίνων R και ρ με την δ Αριθμός κοινών εφαπτομένων 1. Ο κύκλος (Λ,ρ) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου (Κ,R) κανένα δ < R - ρ Καμιά. Ο κύκλος (Λ,ρ) εφάπτεται εσωτερικά του κύκλου (Κ,R) Ένα το Α που λέγεται σημείο επαφής δ = R - ρ Mία 3. Οι κύκλοι (Λ,ρ) και (Κ,R) τέμνονται Δύο τα Α και Β που λέγονται σημεία τομής. R ρ < δ < R +ρ Δύο εξωτερικές 4. Ο κύκλος (Λ,ρ) εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου (Κ,R) Ένα το Α που λέγεται σημείο επαφής δ = R +ρ Δύο εξωτερικές και Μία εσωτερική 5. Ο κύκλος (Λ,ρ) βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου (Κ,R) κανένα δ > R +ρ Δύο εξωτερικές και Δύο εσωτερικές ΘΕΩΡΗΜΑ Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής τους χορδής. ΑΣΚΗΣΗ 10

13 ΦΥΛΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.1, 4., 4.3, 4.4, 4.5 Παράλληλες ευθείες ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΤΕΜΝΟΥΣΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Οι γωνίες α, δ, ζ, η λέγονται εντός Οι γωνίες β, γ, ε, θ λέγονται εκτός Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε3 λέγονται επί τα αυτά μέρη Δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της τέμνουσας ε3 λέγονται εναλλάξ ΘΕΩΡΗΜΑ I Απόδειξη : Αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. Έστω ω = φ. Αν οι ευθείες ε1, ε τέμνονται σε σημείο Γ, η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. Άρα ε1 // ε Σύντομα : ωˆ και φˆ εντός εναλλάξ ε1 // ε και ωˆ = φˆ Σύντομα: ΠΟΡΙΣΜΑ I Αν δύο ευθείες τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν: εντός, εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ή εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές τότε είναι παράλληλες. ΠΟΡΙΣΜΑ ΙI Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σύντομα : ωˆ και φˆ εντός επι τα αυτά ε1 // ε και ωˆ + φˆ = Απόδειξη : Σύντομα : ε1 ε3 ε1 // ε ε ε3 Αίτημα παραλληλίας ή Ευκλείδειο αίτημα Πράγματι : ω = φ = 900. Άρα ε 1 // ε Από το σημείο Α εκτός της ευθείας ε μπορώ να κατασκευάσω μόνο μία παράλληλη προς αυτή, την ε1. Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μία παράλληλη προς αυτή. ˆ και φˆ εντός, εκτός επι τα αυτά ω ε1 // ε και ωˆ = φˆ 11

14 και εε/εε/ε/ε331/εκαι εε ε1ιδιότητες παραλλήλων ευθειών ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Πρόταση I Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται από τρίτη τότε σχηματίζουν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. Απόδειξη : Σύντομα: ω ˆ και φ ˆ εντός εναλλάξ ω ˆ = φˆ και ε 1// ε Αν ˆ και ˆ δεν είναι ίσες, φέρουμε την Αx ώστε x ˆ = ˆ. Τότε επειδή αυτές είναι εντός εναλλάξ και είναι ίσες, θα είναι Αx // ε. Κατά συνέπεια θα υπάρχουν δύο παράλληλες προς την ε που είναι άτοπο. Άρα ˆ = ˆ. ΠΟΡΙΣΜΑ Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες και τέμνονται από τρίτη τότε σχηματίζουν: εντός, εκτός επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, και εντός επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές Σύντομα: ω ˆ και φ ˆ εντός, εκτός επι τα αυτά και ε // ε 1 ω ˆ και φ ˆ εντός επι τα αυτά και ε // ε 1 Σύντομα:1 ω ˆ = φˆ 0 ω ˆ + φ ˆ = 180 Πρόταση ΙI Αν δύο διαφορετικές ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες προς τρίτη ευθεία τότε θα είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Απόδειξη : Αν δύο ευθείες ε 1 και ε είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει την μία από αυτές τότε θα τέμνει και την εεεεινε εεηνεάλλη.11καιιι ιπρόταση μνιττέ/τέμντηαν η ε δεν έτεμνε την ε θα ήταν ε // ε έτσι θα είχαμε από το Α δύο παράλληλες προς την ε πράγμα αδύνατο, άρα η ε τέμνει την ε ΠΟΡΙΣΜΑ εαν μία ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες ευθείες, θα 1είναι κάθετη και στην άλλη. ε Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι : ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι : παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ 1

15 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου Απόδειξη : ΘΕΩΡΗΜΑ Οι τρείς μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. το Ο λέγεται περίκεντρο Οι μεσοκάθετοι των ΒΓ και ΑΒ τέμνονται στο Ο, αφού τέμνονται οι κάθετες ευθείες τους ΑΒ και ΒΓ. Όμως κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Άρα ΟΑ = ΟΒ και ΟΒ = ΟΓ, επομένως και ΟΑ = ΟΓ άρα και η ΟΜ μεσοκάθετος της ΑΓ. Απόδειξη : ΘΕΩΡΗΜΑ Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Οι διχοτόμοι ΒΕ και ΓΖ τέμνονται στο Ι, αφού ˆ ˆ ˆ ˆ το Ι λέγεται έκκεντρο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ˆ ˆ Το Ι ως σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές των γωνιών Β και Γ δηλ. ΙΘ=ΙΖ και ΙΘ=ΙΝ. Άρα αφού ΙΖ=ΙΝ θα ισαπέχει από τις πλευρές της Γ. Άρα ΑΔ διχοτόμος της Α. ΚΕΦΑΛΑΙΟ , 4., 4.3, 4.4, 4.5

16 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.6, 4.7, 4.8 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Άθροισμα γωνιών τριγώνου Απόδειξη : Από μία κορυφή του τριγώνου π.χ. την Α, φέρουμε την ευθεία xy // ΒΓ. ˆ ως εντός εναλλάξ των Τότε παραλλήλων xy // ΒΓ με τέμνουσα την ΑΒ και ˆ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy // ΒΓ με τέμνουσα την ΑΓ ˆ ˆ έ Αλλά ˆ ΘΕΩΡΗΜΑ Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. ˆ ˆ ˆ έ Άρα ΠΟΡΙΣΜΑ Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 600. Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες, μία προς μία, είναι : ίσες αν είναι και οι δύο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι : παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου Το Άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι : ς έ θ ρ ο ) 4 ν ( Το Άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι : 4 ορθές 14

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.6, 4.7, 4.8 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 15

18 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 16

19 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ Ορισμός : Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 1) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. ) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. ΠΡΟΣΟΧΗ! Γνωρίζουμε ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο (Δηλαδή ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ) και προσπαθούμε να αποδείξουμε τις προτάσεις. Οι αποδείξεις : Για τα 1) και ) γίνονται με σύγκριση των τριγώνων ΑΒΔ και ΓΒΔ. Για το 3) με σύγκριση των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ 1) Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. ) Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες. 3) Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. 4) Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες ΠΡΟΣΟΧΗ! Γνωρίζουμε τις προτάσεις και προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο. Δηλαδή ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ Οι αποδείξεις : Για τα 1) και 4) γίνονται με σύγκριση των τριγώνων ΑΒΔ και ΓΒΔ. Για το 3) με σύγκριση των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ και για το ) λαμβάνουμε υπόψη ότι το άθροισμα όλων των γωνιών είναι 4 ορθές. ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ Ορισμός : Ορθογώνιο λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία γωνία ορθή ΡΟΜΒΟΣ Ορισμός : Ρόμβος λέγεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Ορισμός : Τετράγωνο λέγεται το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος. 17

20 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΩΝ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΠΡΟΣΟΧΗ! Δεν σημαίνει ότι αν ένα τετράπλευρο έχει μία από αυτές τις ιδιότητες θα είναι παραλ/μο, ορθογώνιο, ρόμβος ή τετράγωνο αντίστοιχα. Πλάγιο παραλληλόγραμμο Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο 1 Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες 3 Δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες 4 Όλες οι πλευρές του είναι ίσες 5 Δύο διαδοχικές του πλευρές ίσες 6 Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες 7 Όλες οι γωνίες του είναι ορθές ( ίσες ) 8 Δύο διαδοχικές του γωνίες ίσες 9 Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται 10 Οι διαγώνιοί του είναι ίσες 11 Οι διαγώνιοί του είναι κάθετες 1 Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ : ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΡΟΜΒΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Είναι παραλληλόγραμμο και έχει μια γωνία ορθή Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του είναι ίσες Έχει τρείς γωνίες ορθές Όλες οι γωνίες του είναι ίσες Έχει όλες τις πλευρές του ίσες Είναι παραλληλόγραμμο και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες Είναι παραλληλόγραμμο και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Είναι παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του Μία γωνία του είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες Μία γωνία του είναι ορθή και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του Μία γωνία του είναι ορθή και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και μία διαγώνιος του διχοτομεί μία γωνία του Οι διαγώνιοι του είναι ίσες και κάθετες 18

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 19

22 0

23 ΦΥΛΛΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.6, 5.7, 5.8, 5.9 ΘΕΩΡΗΜΑ I Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά κα ίσο με το μισό της. Δ μέσο της ΑΒ ΒΓ ΔΕ =/ / Ε μέσο της ΑΓ ΠΡΟΣΟΧΗ! Απόδειξη : Προεκτείνουμε την ΔΕ κατά τμήμα ΕΖ = ΔΕ Το τετράπλευρο ΑΔΓΖ είναι παραλ/μο αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα ΑΔ=// ΓΖ, οπότε ΔΒ=//ΓΖ αφού ΑΔ=ΔΒ Έτσι το τετράπλευρο ΔΖΓΒ είναι παραλληλόγραμμο οπότε : (i) ΔΖ//ΒΓ άρα ΔΕ//ΒΓ και (ii) ΔΖ=ΒΓ ή ΔΕ=ΒΓ ή ΔΕ= ΘΕΩΡΗΜΑ II Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το μέσον της τρίτης πλευράς. Δ μέσο της ΑΒ Ε μέ σο της ΑΓ ΔΕ // ΒΓ ΘΕΩΡΗΜΑ III Αν τρείς (τουλάχιστον) παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μια ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ε1 // ε // ε3 ΔΕ = ΕΖ ΑΒ = ΒΓ ΘΕΩΡΗΜΑ IV Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα /3 του μήκους της αντίστοιχης διαμέσου. Δ μέσο της ΒΓ Ε μέσο της ΑΓ ΑΘ= ΑΔ, ΒΘ= ΒΕ, ΓΘ= ΓΖ Ζ μέσο της ΑΒ ΘΕΩΡΗΜΑ V Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο ( Η ορθόκεντρο) Οι κορυφές Α, Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ και το ορθόκεντρο Η, αποτελούν την ορθοκεντρική τετράδα δηλ. κάθε ένα από αυτά είναι ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζουν τα άλλα τρία σημεία. 1

24 ΘΕΩΡΗΜΑ VΙ Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 0 ˆ Αν Α=90 ΑΜ διάμεσος ΠΡΟΣΟΧΗ! ΑΜ = ΒΓ Απόδειξη : Φέρουμε την διάμεσο ΜΔ του τριγώνου ΑΜΓ Το ΜΔ συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ΑΜΓ. Οπότε ΜΔ // ΑΒ Αλλά ΑΒ ΑΓ επομένως και ΜΔ ΑΓ Άρα το ΜΔ είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου ΑΜΓ Οπότε ΑΜ = ΜΓ δηλαδή ΑΜ = ΘΕΩΡΗΜΑ VΙΙ Αν η διάμεσος ενός τριγώνου ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή. ΒΜ = ΜΓ ΑΜ = ΒΓ 0 ˆ Α=90 ΘΕΩΡΗΜΑ VΙΙΙ Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία του ισούται με 300, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Αν Αˆ = 90 0 και Βˆ = ΠΡΟΣΟΧΗ! ΒΓ ΑΓ= αντίστροφα Αν Αˆ = 90 0 ΒΓ κα ι ΑΓ= Βˆ = 30 0 Απόδειξη : Γνωρίζουμε : Α=900 και Β=300 Επειδή Β=300 τότε Γ = = 600 Φέρουμε την διάμεσο ΑΜ και είναι Έτσι Α = Γ = 600 Οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Επομένως ΑΓ ΠΡΟΣΟΧΗ! Απόδειξη Αντίστροφο : 0 Γνωρίζουμε : Α=90 και Φέρουμε την διάμεσο ΑΜ και είναι αφού Οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Έτσι Γ = 600 Επομένως Β = =300

25 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5.6, 5.7, 5.8, 5.9

26 4

27 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Ορισμός : Τραπέζιο λέγεται το κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες. ΘΕΩΡΗΜΑ I Η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και είναι ίση με το ημιάθροισμά τους. Δηλ. i) ii) EZ // AB, ΕΖ // ΓΔ ΑΒ + ΓΔ ΕΖ = ΠΟΡΙΣΜΑ Η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου ΑΒΓΔ διέρχεται από τα μέσα Κ, Λ των διαγώνιων του και το τμήμα ΚΛ είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και είναι ίσο με την ημιδιαφορά τους. Δηλ. i) ii) ΚΛ // AB, ΚΛ = ΓΔ ΚΛ // ΓΔ ΑΒ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ Ορισμός : Ισοσκελές λέγεται το Τραπέζιο του οποίου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις : i) Οι γωνίες που πρόσκεινται στις βάσεις είναι ίσες. ˆΑ = Β ˆ και Δ ˆ = Γˆ ii) Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. ΑΓ = ΒΔ 5

28 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟΥ Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις : i) Οι γωνίες που πρόσκεινται στις βάσεις είναι ίσες. Απόδειξη : Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο τότε : ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ Φέρουμε τα ύψη ΑΗ και ΒΚ. Τότε τα τρίγωνα ΑΔΗ και ΒΚΓ θα είναι ίσα γιατί έχουν : 1) ˆ ˆ 0 Η = Κ = 90 ) ΑΔ = ΒΓ 3) ΑΗ = ΒΚ = ύψος τραπεζίου οπότε θα είναι : Γ ˆ = Δˆ Επειδή ˆ ˆ 0 Α + Δ = 180 και ˆ ˆ 0 Β + Γ = 180 (ως εντός και επί τα αυτά μέρη ) έχουμε ˆ ˆΑ = Β ii) Οι διαγώνιοι του είναι ίσες. Απόδειξη : Έστω ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο τότε : ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΒΓ Τότε τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΔΓ θα είναι ίσα γιατί έχουν : 1) ΑΔ = ΒΓ ˆ ˆ ) ΔΓ κοινή 3) ΑΔΓ = ΒΓΔ ˆ ( Δ = Γ ˆ ) οπότε θα είναι : ΑΓ = ΒΔ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο που λέγεται περίκεντρο, κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου Οι διχοτόμοι των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Ι που λέγεται έγκεντρο, κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου Οι διάμεσοι των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ που λέγεται βαρύκεντρο Τα ύψη των τριών πλευρών του τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο Η που λέγεται ορθόκεντρο 6

29 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ,

30 ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 8

31 =ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικά ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Επίκεντρη γωνία λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου. Εγγεγραμμένη γωνία λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στον κύκλο και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου. Το τόξο που περιέχεται στη γωνία ˆ λέγεται αντίστοιχο τόξο της εγγεγραμμένης ή της επίκεντρης γωνίας Γωνία χορδής και εφαπτομένης λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στον κύκλο και η μία πλευρά της είναι τέμνουσα του κύκλου ενώ η άλλη πλευρά της εφαπτομένη του κύκλου. Στις γωνίες αυτές δεν δίνουμε ονόματα και δεν θα ασχοληθούμε με αυτές. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. Πορίσματα Σύντομα : φ=ˆ ήˆ ˆ ω Το μέτρο μίας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες και αντίστροφα. ΘΕΩΡΗΜΑ Η γωνία που σχηματίζεται από μία χορδή κύκλου και την εφαπτομένη στο άκρο της χορδής ισούται με την εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής. ΑΣΚΗΣΕΙΣ : : Σχολικό βιβλίο σελ. 13 Σύντομα : =φαπόδειξη ˆωˆ ωφˆ Απόδειξη : Σχολικό βιβλίο σελ. 14 9

32 Εγγεγραμμένο τετράπλευρο Εγγράψιμο τετράπλευρο Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραμμένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου. ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: Οι απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. Ορισμός : Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερεις κορυφές του. ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αν ισχύει μία από τις ακόλουθες προτάσεις: Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές. Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες. Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου. Πόρισμα Μία εξωτερική του γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του. Αποδείξεις : Σχολικό βιβλίο σελ ) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Α ˆ = 10 και Β ˆ = 80 εξ Να βρείτε τις γωνίες Β, ˆ Γ ˆ και Δ ˆ του τετραπλεύρου

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Η παρούσα σύνοψη παρουσιάζει τις προτάσεις του σχολικού βιβλίου που διδάχτηκαν την φετινή χρονιά,συνοπτικά δίχως αποδείξεις και με διαφορετική σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)

Τρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και το 3.2 Ασκήσεις: 1-8 Θεωρία ως και το 3.4 Ασκήσεις: 9-13 Θεωρία ως και το 3.7 Ασκήσεις: 14-29

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ  ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές:

Εφαρμογές της αναλυτικοσυνθετικής μεθόδου. Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Δέκα Στοιχειώδεις Κατασκευές: Κ 1 : Κατασκευή ευθείας διερχόμενης από δύο σημεία. Κ 2 : Κατασκευή κύκλου με δοθέν κέντρο και δοθείσα ακτίνα. Κ 3 : Κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου Κ 4 : Κατασκευή ευθυγράμμου

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 o ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ 2 o Τ ΣΙΚ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ Πρωταρχικές έννοιες Όπως τα αντιλαμβανόμαστε : Σημείο, Ευθεία, Επίπεδο. ξιώματα προτάσεις που τις αποδεχόμαστε χωρίς απόδειξη. αξίωμα: πό δυο διαφορετικά σημεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση.

β. Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την κορυφή του ισοσκελούς τριγώνου καλείται βάση. 1 Τρίγωνα 11 Στοιχεία και είδη τριγώνων 111 Κύρια στοιχεία τριγώνου Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου Συγκρίνοντας τις πλευρές του τριγώνου μεταξύ τους προκύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 0-0-06 ΘΕΜΑ α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr 9--0 Θεώρημα Θαλή.897. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 4 ο (Παράλληλες ευθείες) Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις Διαγωνισμάτων Λύσεις 1 ου Διαγωνίσματος Θέμα 1 ο α) Από μία κορυφή, π.χ. την Α, φέρουμε ευθεία xy ΒΓ. Τότε ω = Β και φ = Γ, ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων xy και ΒΓ με τέμνουσες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Α, Β ΤΑΞΕΩΝ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα -εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (29) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (29) -2- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία:

14ο Λύκειο Περιστερίου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α. Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: ΘΕΜΑ Α μ 4χ3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστές ή με το Λ αν τις θεωρείται λανθασμένες.

Διαβάστε περισσότερα