117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού"

Transcript

1 117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ Ευθεία (18) ελ Κύκλος (13).ελ Παραβολή (14) ελ Έλλειψη (18).. ελ Τπερβολή (17) ελ. 3-6 Μάρτης 014 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

2 1. Διανύσματα Άσκηση 1 η. ε τρίγωνο ΑΒΓ με θεωρούμε τα σημεία Δ της ΑΒ ώστε και Ε σημείο της ΑΓ ώστε. 3 α) Να υπολογίσετε συναρτήσει των διανυσμάτων, το διάνυσμα β) Να δείξετε ότι η ευθεία ΔΕ τέμνει τη ΒΓ σε ένα σημείο Μ γ) Να υπολογίσετε συναρτήσει των διανυσμάτων, το διάνυσμα Άσκηση η. Έστω α, β διανύσματα με 3, και η γωνία τους α) Αν 60 να βρείτε τα α β, α και β β) Αν α β = - 6 να βρείτε την γωνία Άσκηση 3 η. Έστω ΑΒΓΔ τετράπλευρο και Ι, Κ τα μέσα των ΑΓ, ΒΔ αντίστοιχα. Να εξετάσετε για ποια σημεία Μ ισχύει η σχέση (ΜΑ+ΜΓ) (ΜΒ+ΜΓ)=0 Άσκηση 4 η. Δίνονται τα διανύσματα α =(-1,), β =(4,3) και =(,1) α) Να βρεθούν τα α β, α γ, β (α-γ). Σι παρατηρείτε; β) Να βρεθεί το λ ώστε τα διανύσματα λ α και α +λβ να είναι κάθετα γ) Να βρεθούν τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α και έχουν μέτρο δ) Αν ΟΑ=α και ΟΒ=β να βρεθεί σημείο Μ του άξονα xx ώστε : 0 90 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

3 Άσκηση 5 η Σα διανύσματα α και β έχουν α = και β =1 και γωνία 6 α) Να υπολογίσετε τα α β, α, β, (α+β) (α-β), (3α-β) (α+β) β) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων v=α+β και u=α-β Άσκηση 6 η Σα διανύσματα a,, x i. Να δείξετε ότι 1 x ii. Αν 1 Άσκηση 7 η του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση x x 1 να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των a,, Αν τα διανύσματα α και β είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε ότι και τα διανύσματα γ=α+β και δ=α-β είναι κάθετα μεταξύ τους και έχουν ίσα μέτρα. Άσκηση 8 η Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων α και β για τα οποία ισχύουν: χηματίζουν γωνία 60, (α+β) (α-β) και α+β =7 Άσκηση 9 η Αν, 0 και για κάθε πραγματικό αριθμό. Να δείξετε ότι. Ισχύει το αντίστροφο; Να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία. Άσκηση 10 Αν, 0 και η συνάρτηση : με τιμή x x. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση φ λαμβάνει ελάχιστη τιμή και να βρεθεί η τιμή αυτή. Πότε η τιμή αυτή είναι 0. Άσκηση 11 η Με δεδομένη την σχέση α β α β να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης 8x 6y όταν x y 4 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 3

4 Άσκηση 1 η Για οποιαδήποτε σημεία Μ, Α, Β, Γ ισχύει η σχέση: 0 Άσκηση 13 η Αν για τα διανύσματα α και β είναι 60, α =, β =1, να βρεθεί η προβολή του διανύσματος β πάνω στο διάνυσμα α Άσκηση 14 η Δίνονται τα διανύσματα α =(3,) και β =(,1). Να αναλυθεί το διάνυσμα β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία είναι παράλληλη στο α Άσκηση 15 η Αν α =(-,1) και β =(1,3), να βρεθούν διανύσματα γ, δ τέτοια ώστε α = γ δ, δ//β και α γ Άσκηση 16 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=4, ΑΓ=6 και 3 και Μ μέσο ΒΓ i. Τπολογίστε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ii. Να δείξετε ότι η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα είναι Άσκηση 17 η Δίνονται τα διανύσματα α, β. Αν ( α +β ) (3 α -β ) και ( α -6β ) ( α + β ) να δείξετε ότι η γωνία των α και β είναι αμβλεία Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 4

5 Άσκηση 18 η Αν α =1, β =, γ = 5 και α+β+γ=0, να δειχθεί ότι α β+β γ+γ α=-4 Άσκηση 19 η Αν α = β = γ =1 και α β+β γ= να δειχθεί ότι: α=β γ Άσκηση 0 η Αν α = β = γ =1 και α+β+γ=0 να βρείτε τις γωνίες των διανυσμάτων, ανά δύο. Άσκηση 1 η Αν α β+1 0 να βρεθεί το διάνυσμα x από την σχέση x+(x α)β=γ Άσκηση η Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ του επιπέδου για κάθε σημείο Μ του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση :. Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. Άσκηση 3 η Αν Α, Β σταθερά σημεία τότε γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία είναι ΑΜ ΑΒ >0 είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ. Άσκηση 4 η Έστω Ο και Α σταθερά σημεία του επιπέδου με ΟΑ =3.Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ΟΜ (ΟΜ-ΟΑ)=7 Άσκηση 5 η Αν ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία είναι ΑΒ ΑΜ+ΑΓ ΑΜ=0 Άσκηση 6 η Να αποδειχθούν και να ερμηνευθούν γεωμετρικά: οι ισοδυναμίες i) α+β = α-β α β ii) (α+β) (α-β) α = β = Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 5

6 Άσκηση 7 η ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων: α =β +γ -βγσυνα Άσκηση 8 η ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΒΓ= α, ΓΑ =β, ΑΒ =γ να δείξετε ότι: 1 a Άσκηση 9 η Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα μη συγγραμμικά διανύσματα, ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα a, Ασκηση 30 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ΟΑ=ΟΒ=ΟΓ=1 ( Ο σημείο του επιπέδου του τριγώνου ΑΒΓ ) και 0 α) Να δείξετε ότι: 0 10 β ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. γ ) Αν Μ τυχαίο σημείο του κύκλου C( 0,1) να δείξετε ότι : MA + MB +MΓ =. Άσκηση 31 η Αν,, 3 3 και a, 0 να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Μ είναι συνευθειακά, ενώ τα σημεία Α,Β,Ν δεν είναι συνευθειακά. Άσκηση 3 η Σα σημεία Α, Β, Γ βρίσκονται στην ίδια ευθεία αν και μόνο αν υπάρχει x ώστε: x 1 x Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 6

7 Άσκηση 33 η Να αποδείξετε ότι τρία σημεία Α,Β,Γ κείνται στην ίδια ευθεία τότε και μόνο,όταν υπάρχουν αριθμοί λ, μ, ν τέτοιοι ώστε: i. λ+μ+ν=0 και ένας τουλάχιστον από τους λ,μ,ν 0 ii. 0 (Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου) Άσκηση 34 η Να αποδείξετε διανυσματικά ότι οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται. Άσκηση 35 η Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Να δείξετε ότι. τη συνέχεια να υπολογίσετε το μήκος της διχοτόμου συναρτήσει των πλευρών α, β, γ του τριγώνου ΑΒΓ. Άσκηση 36 η ε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στη πλευρά ΑΒ και στη διαγώνιο ΑΓ θεωρούμε τα σημεία Μ, Ν αντίστοιχα ώστε. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Μ,Ν βρίσκονται 5 6 στην ίδια ευθεία. Άσκηση 37 η Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με και ΒΔ ύψος του τριγώνου υπολογίστε το διάνυσμα του ύψους ή ά, Άσκηση 38 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 7

8 Αν τα διανύσματα του επιπέδου, είναι μη συγγραμμικά,να βρεθεί το διάνυσμα x του επιπέδου ώστε : xa x, Άσκηση 39 η να αποδείξετε ότι : Αν, 0 και μάλιστα η ισότητα ισχύει στη περίπτωση που ή, είναι αντίρροπα. Άσκηση 40 η Αν, διανύσματα του επιπέδου και x x ά ά x να δείξετε ότι: Άσκηση 41 η Αν 0 1, 4, υπολογίστε τον αριθμό Άσκηση 4 η Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διάμεσοι είναι ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ να δείξετε ότι: 0 Άσκηση 43 η Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ με 0 90 με ΑΓ ΒΔ και. Τπολογίστε το λόγο Άσκηση 44 η Δίνονται τρίγωνο ΑΒΓ με. Η διάμεσος ΓΜ είναι κάθετη στη διχοτόμο ΑΔ και i. Τπολογίστε τα διανύσματα διαμέσου και διχοτόμου συναρτήσει των διανυσμάτων, Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 8

9 ii. Να δείξετε ότι Άσκηση 45 η Αν,, γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε τις ανισώσεις : i. 3 ii. 3 Άσκηση 46 η Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου δίνεται 1 από το τύπο Άσκηση 47 η Αν, 1, και, 3 1. Να υπολογίστε το εσωτερικό γινόμενο 7. ε τρίγωνο ΑΒΓ είναι, και να δείξετε ότι: και ΓΕ ύψος. Να βρείτε:.1. Σα διανύσματα και.. Σο μήκος του ύψους ΓΕ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 9

10 . Ευθεία 1. Σο σημείο A (3, - 1) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓΔ, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση: 3x - y - 5 = 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του.. ε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρό του. Βρείτε: α) την εξίσωση της ΒΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ. β)το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 3. Δίνονται οι ευθείες ε1: (λ + ) x + λy + 3λ - 1 = 0 και ε: (λ - 1) x + λy + 5 = 0. Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι ε1 // ε. 4. Δίνονται οι ευθείες ε1: (μ + 1) x + (μ + ) y = 0 και ε: μx - (3μ + ) y + 7 = 0. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε1 και ε να είναι Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y - 3xy - x = 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; 6. Δίνονται η ευθεία (ε): x + y 4=0 και τα σημεία Α(, 5), Β(7, 0). α ) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία (ε). β) Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Β ως προς άξονα συμμετρίας την (ε). γ) Να βρεθεί σημείο Μ της (ε)) ώστε : ΜΑ+ΜΒ= min 7. Θεωρούμε την εξίσωση( ): (λ + λ - 3) x - ( λ + λ - ) y - 5λ - 3λ + 8 = 0 Για ποιες τιμές του λ R η ( ) παριστάνει ευθεία; Από ποιο σημείο διέρχονται οι ευθείες ( ); 8. Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π1, Π είναι Π1 (t - 1, t + ) και Π (3t, 3t - 1) για κάθε χρονική στιγμή t 0. α) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 10

11 β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t = ε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων τη θέση ενός λιμανιού προσδιορίζει το σημείο Α (, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π (λ - 1, + λ), λ R. α) Για ποιες τιμές του λ ισχύει: x x ; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α, όταν κινείται ευθύγραμμα. γ) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 10. Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών(ε) που είναι παράλληλες στην ( 1) : x - 3y - 1 = 0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 τ. μ. 11. Δίνεται η ευθεία : 4 0 και τα σημεία Α(, 4) και Β(5, ). Να βρεθεί σημείο Μ της (ε) ώστε max. 1. Δίνονται τα σημεία Α(0, 1) και Β(, 4) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x, y) του επιπέδου ώστε (ΜΑΒ)= τ. μ. 13. Για ποιες τιμές του λ οι ευθείες : : x ( 3) y 6 0 :( 1) x ( 1) y 0 τέμνονται σε σημείο 1 του άξονα y y 14. Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας(ζ) που περνά από την τομή των ευθειών: : x 7y 8 0 :3x y 5 0 και σχηματίζει με την (ε) : x+3y-7=0 γωνία Ο. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 11

12 15. Αν 0 να δείξετε ότι οι εξισώσεις : α(3x+y-9)+β(x+5y+5)=0 είναι ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο Ρ και να βρείτε τον πραγματικό αριθμό γ ώστε η ευθεία (ε): 4x-3y+γ= 0 να διέρχεται από το Ρ. 16. Δίνονται οι ευθείες : :3x 4y 0 :5x1y 0 1 α ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των ευθειών, 1 β ) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από το σημείο Ρ(, -1) και σχηματίζει με τις ευθείες, ισοσκελές τρίγωνο Δίνονται δύο πλευρές ορθογωνίου ΑΒΓΔ, 1 : σημείο Α(1, ). 3x 4y 4 0 : 4x 3y 8 0 και το α ) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. β ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του οθογωνίου καθώς και οι συντεταγμένες των άλλων 3 κορυφών του. 18. Αν οι ευθείες : x y 0 : x y 0 y y ω η γωνία των ευθειών, που δεν τέμνονται κάθετα. Να δείξετε ότι: Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

13 Άσκηση 1 η. Κύκλος Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην ευθεία : x y 0 και εφάπτεται στις ευθείες : : 4x 3y 10 0 : 4x 3y Άσκηση η Απάντηση: x y 1 16 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνά από την αρχή των αξόνων και εφάπτεται στις δύο παρακάτω ευθείες : Άσκηση 3 η : x y 9 0 : x y 0 1 Απάντηση: Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες: x y 1 5 x y : 4x 3y 10 0, :3x 4y 5 0 :3x 4y 15 0 Άσκηση 4 η Απάντηση : x y 1 x y α. Να βρείτε την αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε η ευθεία : yx να εφάπτεται. Απ : 1 β. Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες από το σημείο 4, στο κύκλο του κύκλου τέμνονται κάθετα. Άσκηση 5 η x y 10 Αν :3x 4y 10 3x y 5 0 i. Να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε και μάλιστα όλες οι ευθείες περνούν από σταθερό σημείο Α. ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται του κύκλου: 4 0 Απ: i.,1 ii. x y 5 0 x y 0 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 13

14 Άσκηση 6 η Από το σημείο 6, 8 φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ, ΜΒ στο κύκλο : x y 5. Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ και η απόσταση του σημείου Μ από την χορδή. Άσκηση 7 η Απάντηση: 6x8y 5 0 και d 7,5 Βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που περνά από το σημείο Α(1, -1) και από τα σημεία τομής των κύκλων: C : x y x y 3 0 C : x y 6x 1y Άσκηση 8 η Αν 0 να αποδείξετε ότι οι κύκλοι : Απάντηση : x y 6x 9y 17 0 C : x y x y a 0 C : x y x y 0 1 τέμνονται ορθογώνια (δηλαδή οι εφαπτόμενες στα σημεία τομή των κύκλων σχηματίζουν ορθή γωνία). Άσκηση 9 η Δίνονται οι εξισώσεις : C : x y x 6y 15 0 :3x y 1 0 i. Να δείξετε ότι ο κύκλος και η ευθεία έχουν δύο κοινά σημεία Α και Β τα οποία να προσδιορίσετε. ii. Αν C C x y : Να δείξετε ότι η εξίσωση C είναι κύκλος για κάθε. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων του C για κάθε iii. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από το σημείο Γ(,0) και τη τομή των C. Απ : 1,,, 7, x3y x y Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 14

15 Άσκηση 10 η Δίνονται η παρακάτω εξίσωση και ο κύκλος C : x 8y 30 x 5y 0 0 C : x y x y Να δείξετε ότι η εξίσωση είναι ευθεία και μάλιστα αυτές περνούν από το ίδιο σημείο Α το οποίο να προσδιορίσετε.. Να βρεθούν οι ευθείες που τέμνουν το κύκλο σε σημεία Β, Γ σχηματίζοντας χορδή ΒΓ= 3 Απάντηση: 1., 4. x 3y 8 0, 3x y Άσκηση 11 η Αν C: x x0 y y0 x, y είναι : x x x x y y y y 1 1 Άσκηση 1 η τότε η εφαπτόμενη σε ένα σημείο του κύκλου Θεωρούμε το 1. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C και η ευθεία Άσκηση 13 η C : x 1 y 16 ί : y x 3 δεν έχουν κοινά σημεία. Από ένα σημείο Μ της ευθείας φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ. Να δείξετε ότι όταν το σημείο Μ διαγράφει την ευθεία τότε η ευθεία ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο. Απάντηση : Δίνονται τα σημεία 1, 5, 5, 3, 3. Αν x, y επιπέδου, να αποδείξετε ότι : 70. Αν 85 προσδιορίσετε κέντρο και ακτίνα. 3 4, 5 5 τυχαίο σημείο του να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σε κύκλο και να 3. Να υπολογίσετε τη γωνία των εφαπτόμενων του κύκλου από το Ρ (0, 3) x1 y 5, γωνία εφαπτόμενων Απ: Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

16 Άσκηση 1 η Παραβολή Να βρεθεί η εξίσωση παραβολής με εστία, 1 Άσκηση η Δίνεται η παραβολή p : y 4x. Α. Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της Β. Να βρείτε τις εφαπτόμενες, παραβολή και διευθετούσα : 1 0 Απάντηση : p στο σημείο 9, 6 x xy y Απάντηση: : x3y 9 0 που άγονται από το σημείο 3, 4 p καθώς και την απόσταση d από τη χορδή. στην Απάντηση : 14 5 x y 1 0, x 3y 15 0, d 5 Άσκηση 3 η Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης στη παραβολή p στην ευθεία : y 1x που είναι παράλληλη :3 x y 30 0 καθώς και την απόσταση d της εφαπτομένης 1 από την. Απάντηση : :3 0 d 13 1 Άσκηση 4 η Βρείτε την εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής p : y 0x που έχει το σημείο, 5 ως μέσον. Απάντηση : : 1 0 Άσκηση 5 η Δίνεται η παραβολή p ότι η χορδή ΑΒ διέρχεται από σταθερό σημείο. Άσκηση 6 η Αν οι ευθείες : y px και δύο σημεία της Α, Β ώστε : Να δείξετε Απάντηση : Σο σταθερό σημείο είναι p, 0 1 : y x ά 0 εφάπτονται μιας παραβολής. Βρείτε την εξίσωση της παραβολής. Απάντηση : Είναι η παραβολή p Άσκηση 7 η : y 4x Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 16

17 Δίνεται η παραβολή p : y px. Να δείξετε: Α. Η ευθεία yx εφάπτεται της παραβολής αν και μόνο αν p Β. Ο γεωμετρικός τόπος των εφαπτόμενων στη παραβολή από το σημείο Μ του επιπέδου που σχηματίζουν ορθή γωνία είναι η διευθετούσα : Άσκηση 8 η Αν Α, Β δύο σημεία της παραβολής p τέμνονται στο σημείο Ρ να δείξετε ότι: Άσκηση 9 η x : y px με εστία Ε και οι εφαπτόμενες στα Α, Β p Να βρεθεί ο γ. τ. των σημείων p t, pt, t. Απάντηση : είναι η p : y px Άσκηση 10 η Αν μια μεταβλητή εφαπτομένη της παραβολής C C : y 8x στα σημεία Α, Β να βρείτε το γ. τ. των μέσων Μ Σου ΑΒ. Άσκηση 11 η : y 4x 1 τέμνει τη παραβολή 16 Απάντηση: Είναι η παραβολή y x 3 Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών ΑΒ της παραβολής p που είναι παράλληλες στην ευθεία :35 0 Άσκηση 1 η Δίνεται η p : y 1x Απάντηση : Είναι η ευθεία: y : y 4x. Μια χορδή ΑΒ της παραβολής περνά από την εστία Ε. i. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των τετμημένων στα άκρα Α, Β καθώς και το γινόμενο τεταγμένων είναι σταθερό. Απ: x x 1 y y 4 ii. Να βρείτε το γ. τ. των μέσων Μ των χορδών. Απάντηση: y x 1 x 1 Άσκηση 13 η Δίνονται οι παρακάτω εξισώσεις του κύκλου C και της παραβολής p C : x y 4x 8 0 p : y 8x Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 17

18 1) Να βρείτε το κέντρο και τη ακτίνα του C, καθώς και την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ) της παραβολής p. Απ:, 0, 4, 1, 0, : x Να βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β του κύκλου Cκαι της παραβολής p. Απ:, 4,, 4 ) Να βρείτε τις εφαπτόμενες στα κοινά σημεία Α, Β και να δείξετε ότι τέμνονται κάθετα. Απ: : x y 0, : x y 0, : x y 6 0, : x y 6 0 Άσκηση 14 η Δίνεται η παραβολή y p p C C 4 x με εστία Ε, η διευθετούσα εφαπτόμενη στο που τέμνει τον άξονα σημείο Ρ φέρουμε την ευθεία xx στο σημείο Α και τον το σημείο της x, y 1 1, η yy στο Κ. Από το xx που τέμνει την διευθετούσα στο σημείο Β καθώς και την ευθεία κάθετη της παραβολής στο σημείο Ε που τέμνει τον άξονα στο σημείο Γ κα όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα. Να αποδείξετε: i. ά ί ό. ii. ό ί ί iii. ί ί vi. έ ά E v. x x ί ό xx Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 18

19 Έλλειψη Άσκηση 1 η Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ενός επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο σημεία Ε,Ε (εστίες) //,όπου δηλαδή και αυτού και δύο ευθείες (διευθετούσες) είναι ένας σταθερός αριθμός 1 (εκκεντρότητα) Αν // και Α, Α δύο σημεία του γ. τ. που ανήκουν στην ευθεία Ε Ε ώστε Α Α= α και η ευθεία E E είναι ο άξονας x x και η κάθετος στο μέσον της Ε Ε=γ είναι ο άξονας y y και x (x, y) ή Μ (x, y) ισχύει η σχέση : a 1 y όπου d χήμα άσκησης 1 να δείξετε ότι για τα τυχαία σημεία Μ. Άσκηση η Για ποιες τιμές του η εξίσωση : 1 παριστάνει έλλειψη. Ποιες είναι οι εστίες 4 3 της έλλειψης ; Απ: 3 1, 0, 1, 0 Άσκηση 3 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 19

20 Να βρεθεί ο γ. τ. των μέσων των χορδών ΑΒ της έλλειψης παράλληλες στην ευθεία Άσκηση 4 η Απάντηση : ί Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 0 e.. ί ά έ ί : 1 που είναι a Α. Η ευθεία yx εφάπτεται στην έλλειψη C : 1 αν και μόνο αν a Β. Ο γ. τ. των εφαπτόμενων από το σημείο x, y C : 1 a Άσκηση 5 η είναι ο κύκλος 0 0 C : x y Να βρείτε το γ. τ. των σημείων, Άσκηση 6 η Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτόμενης στην έλλειψη: e που τέμνονται κάθετα στην έλλειψη Απάντηση: είναι η έλλειψη C : 10 που είναι : 1 a παράλληλη στην ευθεία Απ: 3x y x y 10 0 Άσκηση 7 η Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτόμενης στην έλλειψη: e : 4 0 που είναι κάθετη στην ευθεία Απ : x y 5 0 x y 5 0 Άσκηση 8 η α) Από σημείο x1, y1 εκτός της έλλειψης e : 1 άγονται οι εφαπτόμενες,. xx1 yy1 Να δείξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ δίνεται από την εξίσωση: 1 β) Από το σημείο 16, 9 άγονται δύο εφαπτόμενες στην έλλειψη e :3 4 1 Να βρεθεί η απόσταση από τη χορδή της έλλειψης που ορίζουν τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων. Απ : d 18 Άσκηση 9 η Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης e : 1 εφάπτεται της ευθείας : x 4y10 0. Απ: Άσκηση 10 η που περνά από το σημείο 4, 1 x 4y 1 ή

21 Βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης e : 1 που έχει μέσον το σημείο ,. Απ: 9x3y 73 0 Άσκηση 11 η Δίνονται η e : 1, 0 ύ : C1 : x y, C : x y και Μ σημείο του κύκλου C, αν η ΟΜ τέμνει το δεύτερο κύκλο C στο σημείο Ν. Να 1 αποδείξετε ότι οι παράλληλοι προς τους άξονες από τα σημεία Μ, Ν τέμνονται στην έλλειψη. Άσκηση 1 η Μια χορδή της έλλειψης e αποδείξετε ότι η χορδή εφάπτεται του κύκλου C : x y Άσκηση 13 η : 1 φαίνεται από το κέντρο της με ορθή γωνία. Να Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της χορδής της έλλειψης e και άκρα,,, Άσκηση 14 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 1 : 1 δίνεται από την εξίσωση: Να δείξετε ότι τα σημεία τομής των ευθειών x y 1 :3x 5y 15 0 :3x 5y 15 0 Για κάθε βρίσκονται στην έλλειψη : :3x 5y 15 0 Άσκηση 15 η e : 1 και να δείξετε ότι οι ευθείες 5 9 για κάθε εφάπτονται στην έλλειψη Δίνονται η παραβολή p : y 4x και η έλλειψη e : 6 1) Να βρείτε τα κοινά σημεία παραβολής και έλλειψης. 1,, 1, ) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τέμνονται κάθετα. Άσκηση 16 η Δίνονται ο κύκλος c : 9 και η παραβολή e. p : y 8x. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες σε κύκλο και παραβολή καθώς και η γωνία που σχηματίζουν. 3 3 y x 3 ή y x 3 3 3

22 Άσκηση 17 η Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου 5, 4 με 0, a) Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη,της οποίας να βρείτε την εξίσωση. b) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτόμενης της έλλειψης του ερωτήματος a) στο σημείο 5, 4 με 0, c) Αν με 0, είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτόμενη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο 5, 4 Να αποδείξετε ότι 0 με τους άξονες xx και yy. a) x y 1 b) Άσκηση 18 η Δίνονται η έλλειψη c:9x 16y 144 και δύο σημεία της 4, 0, 0, 3 1) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της έλλειψης (c) που είναι παράλληλες στη χορδή ΒΓ. ) Να βρεθεί σημείο Α της έλλειψης (c) ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να έχει το μέγιστο δυνατόν εμβαδόν. a) 3x 8y 4 0 ή 3x 8y 4 0 και ), 3 χήμα άσκησης 18 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα

23 Άσκηση 1 η Υπερβολή Άλλος ορισμός της υπερβολής Τπερβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ενός επιπέδου, των οπίων ο λόγος των αποστάσεων από ένα σημείο Ε (εστία) και μια ευθεία (δ) (διευθετούσα) και είναι ένας σταθερός αριθμός 1 (εκκεντρότητα) Αν ώστε xx ί ά ό ί x x υπάρχει σημείο 0 αν σημείο της αν yy στο μέσον τότε υπάρχουν Ε, 0 0 συμμετρικά ως προς yy όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα ώστε ΧΗΜΑ 1 Η ΑΚΗΗ 0 xx,μ,ζ και Άσκηση η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 3

24 1 1 * Να δείξετε ότι τα σημεία,, 0 t t t t t ανήκουν στην υπερβολή : 1 a Άσκηση 3 η Αν η εφαπτόμενη της υπερβολής x a y : 1 στο σημείο x, y τέμνει τις ασύμπτωτες στα σημεία Α, Β να δείξετε: i. Μ μέσον του ΑΒ ii. Σο τρίγωνο ΟΑΒ έχει σταθερό εμβαδόν ( ανεξάρτητο της θέσης του σημείου Μ) 0 0 Άσκηση 4 η Δίνονται η έλλειψη : x y 18 και η υπερβολή : 8 8. Να δείξετε ότι έχουν ίδιες εστίες και οι εφαπτόμενες τέμνονται κάθετα στα σημεία τομής των και να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σημεία τομής της έλλειψης (Ε) κα τη υπερβολής (Η). Άσκηση 5 η Απάντηση: y 17 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία : k εφάπτεται στην υπερβολή : 1 a αν k. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής. Β. Βρείτε τις εφαπτόμενες κοινές εφαπτόμενες των κωνικών c c : 9. Απ : Άσκηση 6 η ημείο επαφής, Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 4 x 1 : και εξισώσεις εφαπτόμενων 3 x 7y 15 Να δείξετε ότι η κλίση της εφαπτόμενης στα άκρα μιας χορδής της υπερβολής : 1 που περνά από μια εστία και είναι κάθετη στο κύριο άξονα είναι ίση με την 9 7 εκκεντρότητα της υπερβολής. Άσκηση 7 η Να αποδείξετε ότι για την εξίσωση: c : 1 9 4

25 1) α) Είναι έλλειψη όταν 4 Άσκηση 8 η β) Είναι υπερβολή όταν 4 9 και να δείξετε ότι οι εστίες τόσο των ελλείψεων α) όσο και των ) Αν 13 υπερβολών β) είναι ίδιες ανεξάρτητα της τιμής της σταθεράς. α) Βρείτε τις εστίες,τις κορυφές και τις ασύμπτωτες της υπερβολής c. β) Αν Α και Β οι κορυφές της υπερβολής c του ερωτήματος ) και ΚΛ μια χορδή της υπερβολής που περνά από μια από τις εστίες και είναι κάθετη στο κύριο άξονα βρίσκονται σε έλλειψη. xx να δείξετε ότι τα σημεία τομής Μ των ευθειών ΑΚ και ΒΛ 3 ί 5, 0, 5, 0 έ (4, 0), 4, 0, ύ y x 4 Απ: 9x 16y 144 Τπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τις ασύμπτωτες της υπερβολής : και την ευθεία :9 4 0 Απ: 1.. Άσκηση 9 η Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη Άσκηση 10 η : Απ: 3x y 1 Να δείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τις ασύμπτωτες και τις παράλληλες σε αυτές από ένα σημείο της υπερβολής : 1 a είναι ίσο με Άσκηση 11 η. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης από το σημείο 1, 7 στην υπερβολή : 16. Απ: 5x 3y 16 0, 13x 5y 48 0 Άσκηση 1 η Βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής 3 7 : 1 που έχει το σημείο 3, 1 ως μέσο. Απ: Άσκηση 13 η Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 5

26 Μια ευθεία : 4 0 εφάπτεται στην υπερβολή με εστίες 3, 0 3, 0 Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής. Άσκηση 14 η. Απ: Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων ΡΑ, ΡΒ από το σημείο 3, στην υπερβολή : 9 9 και στη συνέχεια υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ΡΑΒ. Απ: x , 8.. Άσκηση 15 η α) Να δείξετε ότι αν η ευθεία :yx εφάπτεται στην υπερβολή a β) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής κύριο άξονα xx 1 : 1 a τότε που εφάπτεται στις ευθείες : 5x 6y 16 0 :13x 10y Απ: x Άσκηση 16 η Από το σημείο 1, 5 φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΑ στην υπερβολή Να βρεθεί η απόσταση d του σημείου Ρ από την χορδή ΑΒ της υπερβολής. Άσκηση 17 η 4y 16 : Απ: d 10 Βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων στην υπερβολή : 1 που είναι κάθετες 0 5 στην ευθεία 4x3y7 0. Απ: 3x 4y 10 0, 3x 4y 10 0 Μάρτης 014 Μανώλης Ψαρράς Μαθηματικός Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 6

27 Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 7

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. Να αποδειχθεί ότι τα μέσα των πλευρών τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράμμου.. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και ένα οποιοδήποτε σημείο Ρ του χώρου. Να αποδειχτεί ότι: P A P 0. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50

Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. Ασκήσεις προς λύση 1-50 Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 8 Ασκήσεις προς λύση 1-50 1. Θεωρούμε τα σημεία Α(1,2), Β(4,1). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9

ΘΕΜΑΤΑ. Μονάδες 8 Β. η εξίσωση της μεσοκάθετης της ΑΓ Μονάδες 9 ΓΕΛ ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β 331 Α. α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των μη μηδενικών διανυσμάτων α, β. Μονάδες 5 β. Εάν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β αντιστοίχως να δείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (104903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10)

(Μονάδες 8) γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 4 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ 1), AΓ = ( 3 λ, λ 1) είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ 0 και λ, και Μ (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100

Ασκήσεις Κύκλος. 6. Για ποια τιμή του λ το σημείο Μ(2λ + 1, λ) ανήκει στον κύκλο με εξίσωση (x 3) 2 + (y + 4) 2 = 100 Ασκήσεις Κύκλος 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου (x + 5) + (y 5) =. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου x + y 8x + 4y + 11 = 0 3. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα του κύκλου (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ

ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου-Απ Παπανικολάου ÅÓÙÔÅÑÉÊÏ ÃÉÍÏÌÅÍÏ ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÙÍ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και και το συμβολίζουμε με α β τον πραγματικό αριθμό αβ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ 1. Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο a δύο διανυσμάτων a και αν: ι) a a 5, 7,(, ) 5, ιι) a 5,,( a, ). 6 6. Το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2.

y 2 =2px με εστία Ε(p/2, 0) και διευθετούσα δ: x=-p/2. ΠΑΡΑΒΟΛΗ P Α δ (διευθετούσα) C (παραβολή) Μ (ΜΕ)=(ΜΡ) Κ Ε (εστία) Ορισμός: Παραβολή λέγεται ο γεωμ. τόπος των σημείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σημείο Ε (Εστία) και μία ευθεία δ(διευθετούσα)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.

1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η

201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ Α. ΘΕΩΡΙΑ. i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η 201 5 ΘΕΜΑΤΑ Σ ΤΟΝ ΚΥ ΚΛΟ - 1-1. Να αποδείξετε ότι: Α. ΘΕΩΡΙΑ i. η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ είναι η C : x 2 y 2 ρ 2. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C: χ 2 + ψ 2 = ρ 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις σωστού-λάθους

Ερωτήσεις σωστού-λάθους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ

ΚΥΚΛΟΣ. και ακτίνα 1 3. Σ Λ 1 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Kωνσταντόπουλος Κων/νος Μαθηματικός ΜSc 1. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz

Διαβάστε περισσότερα

Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια

Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια 185 Δ 1. Να βρείτε στο επίπεδο ενός τριγώνου ΑΒΓ σηµεία Μ και Ρ τέτοια ώστε να ισχύουν συγχρόνως : i. ΜΑ ΜΒ 3ΜΓ = Ο ii. 2 PA 2PB+ 3PΓ = Ο και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το ΑΒΜΡ είναι παρ/µο. Δ 2. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε

44 Ευθεία Τύποι - Βασικές έννοιες Εξίσωση ευθείας EΥΘΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες α Η εξίσωση ευθείας (ε) η οποία διέρχεται από το σημείο ( x,y) συντε Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της ευθείας θα πρέπει να είναι σε θέση: Να βρίσκει τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας Να διατυπώνει τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών, και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα.

Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης. Ασκήσεις προς λύση Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Μαθηµατικά Β Λυκείου Θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Διανύσματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 6 Παράλληλα διανύσµατα. Οµόρροπα διανύσµατα. Αντίρροπα διανύσµατα. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων (όλες της οι µορφές). Συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα