ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΣΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΨΥΧΡΗ ΕΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΔΙΣΚΩΝ ΜΕΣΩ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ 3D-FEA ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΚΠΟΝΗΤΗΣ : ΤΑΣΟΥΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ, Α.Ε.Μ. : 5164 Αρ. Διπλωματικής : ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΚΟΡΔΑΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ

2 2

3 Πίνακας περιεχομένων 1. Εισαγωγή Στάθμη γνώσεων Η έλαση και η ιστορία της Τεχνολογικά χαρακτηριστικά Μαθηματικό μοντέλο έλασης Χρησιμότητα των πεπερασμένων στοιχείων στην κατεργασία της έλασης Οργάνωση της εργασίας Ανάπτυξη 3D-FEA μοντέλων για τη δυναμική προσομοίωση της έλασης Περίπτωση απαραμόρφωτου (rigid) ελάστρου- παραμορφώσιμου (deformable) ελάσματος Φάση σχεδίασης στην περίπτωση απαραμόρφωτου ελάστρου - παραμορφώσιμου ελάσματος Στάδιο τελικής επεξεργασίας (post-processing) Περίπτωση παραμορφώσιμων (deformable) ελάστρωνπαραμορφώσιμου (deformable) ελάσματος Φάση σχεδίασης στην περίπτωση παραμορφώσιμων ελάστρων- παραμορφώσιμων ελάσματος Στάδιο τελικής επεξεργασίας Σύγκριση των αποτελεσμάτων για μοντελοποίηση των ελάστρων ως απαραμόρφωτα και παραμορφώσιμα Περίπτωση απαραμόρφωτων (rigid) ελάστρων μορφής ` παραμορφώσιμου ελάσματος Φάση σχεδίασης στην περίπτωση απαραμόρφωτων ελάστρων μορφής- παραμορφώσιμου ελάσματος Στάδιο τελικής επεξεργασίας Προσδιορισμός παραμενουσών τάσεων μετά από διαδικασίες ψυχρής έλασης μέσω δυναμικής προσομοίωσης χρησιμοποιώντας 3D-FEA μοντέλα Εισαγωγή Φάση σχεδίασης μοντέλου για την έλαση κυκλικού δίσκου Στάδιο τελικής επεξεργασίας Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

4 4

5 Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως τον κ. Γεώργιο Σκορδάρη για την πολύτιμη καθοδήγησή του κατά την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Ευχαριστώ τους φίλους και την οικογένειά μου για τη στήριξή τους όλο αυτό το διάστημα. Αφιερώνω τη διπλωματική εργασία στη μνήμη του πατέρα μου. 5

6 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έλαση είναι μια ευρέως χρησιμοποιούμενη διαδικασία πλαστικής παραμόρφωσης για τη διαμόρφωση ελασμάτων και καλύπτει περίπου το 90% της παραγωγής μετάλλων που παράγονται με μηχανουργικές διαδικασίες. Τα ελάσματα χρησιμοποιούνται σε όλες σχεδόν τις μεταλλικές κατασκευές, στην αυτοκινητοβιομηχανία, στην κατασκευή πλοίων, λεβήτων, γεφυρών, μεγάλων βιομηχανικών κατασκευών κτλ. Ως εκ τούτου γίνεται αναγκαία η μελέτη των παραμέτρων και η βελτιστοποίηση που θα αποφέρει καλύτερη ποιότητα και χαμηλότερο κόστος. Σε αυτή τη διαδικασία μεγάλο ρόλο έχει παίξει η ραγδαία ανάπτυξη των δυνατοτήτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών Η/Υ με τη χρήση μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Με τις μεθόδους FEM υπάρχει η δυνατότητα να προσομοιωθεί η κατεργασία και να εκτιμηθούν εκ των προτέρων κρίσιμα μεγέθη που ενδιαφέρουν το μηχανικό όπως οι τάσεις και οι παραμορφώσεις αλλά και η τραχύτητα που έχει επίπτωση στην τελική επιφάνεια του τεμαχίου. Έτσι αποφεύγονται ακριβές και χρονοβόρες διαδικασίες δοκιμής και επαλήθευσης ώστε να εκτιμηθούν οι παράγοντες που επιδρούν στην κατεργασία. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, θα αναλυθεί η επίδραση της έλασης στις παραμένουσες τάσεις μέσα στο υλικό και θα τονιστεί η σημασία που έχει ο προσδιορισμός τους στη στατική συμπεριφορά του ελάσματος και στις τελικές του ιδιότητες. Συγκεκριμένα θα χρησιμοποιηθούν FEA μοντέλα για να γίνει μια τρισδιάστατη (3D) προσομοίωση της έλασης μεταλλικού ελάσματος και να προσδιοριστούν οι παραμένουσες ισοδύναμες τάσεις που υπάρχουν στο υλικό μετά την κατεργασία. Τα FEΑ μοντέλα είναι ο μόνος τρόπος για να προσδιοριστούν οι παραμένουσες ισοδύναμες τάσεις μέσα στο υλικό. Όσον αφορά τις παραμέτρους, θα δωθεί έμφαση στο κομμάτι των επιλογών που υπάρχουν στη μοντελοποίηση των εργαλείων που χρησιμοποιούνται, δηλαδή να μοντελοποιηθούν ως απαραμόρφωτα (rigid) ή παραμορφώσιμα (deformable). Παρουσιάζονται και συγκρίνονται τα αποτελέσματα των επιλύσεων και στις δυο περιπτώσεις και αναφέρονται τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της κάθε επιλογής. Με την επιλογή αυτή, γίνεται μια μοντελοποίηση με ειδικά έλαστρα, τα έλαστρα μορφής και παρουσιάζεται η κατανομή των τάσεων και άλλα κρίσιμα μεγέθη. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται μια εφαρμογή σε έναν κυκλικό κοπτικό δίσκο, ο οποίος θα υποστεί έλαση σε μια περιοχή για την αλλαγή της στατικής και της δυναμικής συμπεριφοράς του, μεθοδολογία που χρησιμοποιείται και στη βιομηχανία παραγωγής κοπτικών δίσκων. Τέλος, παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τα αποτελέσματα της διπλωματικής εργασίας. 6

7 2.ΣΤΑΘΜΗ ΓΝΩΣΕΩΝ 2.1. Η έλαση και η ιστορία της Ο αντικειμενικός σκοπός της διαδικασίας της έλασης είναι να μειωθεί το πάχος ενός ελάσματος από μια αρχική τιμή σε μια προκαθορισμένη τελική τιμή. Αυτό επιτυγχάνεται σε ένα έλαστρο όπου τα δυο ράουλα περιστρέφονται με αντίθετη φορά, αναγκάζοντας το έλασμα να εισέλθει στο διάκενο της έλασης και το εξαναγκάζουν να εξέλθει, προκαλώντας την απαιτούμενη μείωση του πάχους του. Με αυτή τη διαδικασία, το μέταλλο υπόκειται σε πλαστική παραμόρφωση υπό την επίδραση των συμπιεστικών τάσεων που είναι αποτέλεσμα της τριβής μεταξύ των ελάστρων και της επιφάνειας του ελάσματος. Η έλαση σαν κατεργασία αναπτύχθηκε περί τα τέλη του 16 ου αιώνα και το πρώτο ολοκληρωμένο έλαστρο κατασκευάστηκε από τον Leonardo Da Vinci. Σήμερα το 90% περίπου του όγκου των παραγόμενων προϊόντων μέσω μηχανουργικών κατεργασιών παράγεται με τη διαδικασία της έλασης, κάτι που την καθιστά ως την πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη κατεργασία ανά τον κόσμο. Τυποποίηση προϊόντων έλασης 2.2. Τεχνολογικά χαρακτηριστικά Το πρωτογενές υλικό της έλασης είναι προϊόν χύτευσης (ingot), ενώ τα προϊόντα των επόμενων φάσεων διακρίνονται σε επιμήκη (ράβδοι, μπιγέτες, μορφοδοκοί) και σε πλατιά προϊόντα (πλάκες, ελάσματα). Ανάλογα με τη φάση της έλασης και τη μορφή του προϊόντος, ακολουθείται η εξής τυποποίηση, Σχ Α) Ημι-κατεργασμένα προϊόντα (semi-finished products) Μπιγέτα πρώτης έλασης (bloom)- τετραγωνικής διατομής με εμβαδόν Α>15x15 cm 2 Περαιτέρω μείωση του πάχους μπορεί να οδηγήσει σε: 1) Μπιγέτα (billet) τετραγωνικής διατομής με μικρότερο εμβαδόν (Α>4x4 cm 2 ) 2) Πλάκα (slab) ορθογωνικής διατομής με εμβαδόν Α>100 cm 2 και πλάτος τουλάχιστον διπλάσιο του πάχους της. Β) Τελικά προϊόντα (finished products) Περαιτέρω διαμόρφωση των ημι-κατεργασμένων προϊόντων οδηγεί σε: Επιμήκη προϊόντα μορφής που προέρχονται από την έλαση μπιγετών (μορφοδοκοί, ήλοι με σπειρώματα, δακτύλιοι κλπ.) με ειδικές μεθόδους έλασης. 7

8 Πλατιά προϊόντα που προέρχονται από την έλαση πλακών και διακρίνονται ανάλογα με το πάχος και το πλάτος τους σε: 1) Ελάσματα (plates) με πάχος> 6 mm. 2) Λεπτά ελάσματα (sheets) με πάχος<6 mm και πλάτος>600 mm. 3) Λεπτές λωρίδες (strips) με πάχος<6 mm και πλάτος<600 mm. Σχ. 2.1 Προϊόντα έλασης Η κινηματική της κατεργασίας είναι μια παράμετρος η οποία καθορίζει το είδος της έλασης. Έτσι διακρίνουμε την διαμήκη, την εγκάρσια και την πλάγια έλαση, Σχ

9 Σχ.2.2 Είδη έλασης με κριτήριο την κινηματική της κατεργασίας Μια ακόμα κατηγοριοποίηση της μηχανουργικής κατεργασίας της έλασης είναι ο διαχωρισμός της σε ψυχρή και θερμή έλαση. Η έλαση μπορεί φυσικά να πραγματοποιηθεί σε υψηλή και χαμηλή θερμοκρασία. Το σημείο διάκρισης ανάμεσα σε χαμηλή και υψηλή θερμοκρασία και κατά συνέπεια το σημείο διάκρισης ανάμεσα σε ψυχρή και θερμή έλαση είναι η θερμοκρασία ανακρυστάλλωσης, της οποίας το χαμηλότερο σημείο είναι το απόλυτο μηδέν και το υψηλότερο είναι το σημείο τήξης του μετάλλου που πρόκειται να ελασθεί, Τ m. Όταν η θερμοκρασία της έλασης είναι χαμηλότερη από το μισό της θερμοκρασίας τήξης 0.5 Τ m λέμε ότι έχουμε ψυχρή έλαση (cold rolling) ενώ αν η θερμοκρασία κατά την έλαση είναι πάνω από αυτό το όριο τότε έχουμε θερμή έλαση (hot rolling). Κάθε μια από αυτές τις διαδικασίες φυσικά έχει πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Στις υψηλές θερμοκρασίες στις οποίες συμβαίνει η θερμή έλαση, το υλικό είναι πιο μαλακό και απαιτείται λιγότερη δύναμη για μια συγκεκριμένη μείωση πάχους. Το μειονέκτημα της έλασης σε υψηλές θερμοκρασίες αφορά στην ανάπτυξη ενός στρώματος οξείδωσης στην επιφάνεια και την επίδρασή του στην κατεργασία και την ποιότητα του τελικού προϊόντος. Η ψυχρή έλαση ακολουθεί μετά τη διαδικασία της αφαίρεσης αυτού του επιφανειακού στρώματος. Το σημαντικό στην ψυχρή έλαση είναι ο έλεγχος της διαστατικής ακρίβειας και της επιφανειακής ποιότητας. Αυστηρές ανοχές στις διαστάσεις του πλάτους και του πάχους πρέπει να τηρούνται ώστε το προϊόν να είναι εμπορικά ανταγωνιστικό και κατασκευαστικά λειτουργικό. Οι δυνάμεις που απαιτούνται πλέον είναι αυξημένες καθώς η αντίσταση του υλικού σε παραμόρφωση είναι μεγαλύτερη. Εργαλειομηχανές έλασης Η εργαλειομηχανή της έλασης ονομάζεται έλαστρο (mill). Τα δομικά μέρη ενός ελάστρου φαίνονται στο Σχ Αποτελείται από τα ράουλα (rolls), οι άξονες των οποίων στρέφονται μέσα σε κουζινέτα (bearings), ενώ όλα μαζί είναι εγκατεστημένα σε ειδικό κέλυφος (housing). Τα ράουλα είναι χαλύβδινα κυλινδρικά τύμπανα με ομοιόμορφη διατομή ή έχουν διαμορφωθεί κατάλληλα (ράουλα μορφής) ώστε να αποδίδουν το αντίστοιχο γεωμετρικό 9

10 σχήμα στο τελικό προϊόν. Τα ράουλα που επιτελούν την πλαστική παραμόρφωση τοποθετούνται με οριζόντιους άξονες το ένα πάνω στο άλλο, ενώ κατακόρυφα ράουλα χρησιμοποιούνται βοηθητικά για τον έλεγχο του πλάτους του τελικού προϊόντος. Τα έλαστρα, ανάλογα με την εργασία που έχουν να επιτελέσουν και τα φορτία που δέχονται κατασκευάζονται σε ανάλογες διατάξεις. Οι διάφορες μορφές ελάστρων είναι οι ακόλουθες: Έλαστρο δυο ραούλων (2-high mill), Σχ. 2.3Α: Πρόκειται για την απλούστερη κατασκευή ελάστρου. Έλαστρο δυο ράουλων με αναστρεφόμενη κίνηση (2-high reversing mill), Σχ. 2.3Β: Εξασφαλίζει περαιτέρω μείωση του πάχους με αναστροφή της περιστροφής των ραούλων, αποφεύγοντας έτσι τη μεταφορά του τεμαχίου σε άλλη θέση (εξοικονόμηση χρόνου κατεργασίας). Έλαστρο τριών ραούλων (3-high mill), Σχ. 2.3Γ: Στρέφονται τα άνω και κάτω ράουλα ενώ το μεσαίο στρέφεται μέσω της αναπτυσσόμενης τριβής. Πρόκειται για εναλλακτική λύση της προηγούμενης μορφής. Έλαστρο τεσσάρων ραούλων (4-high mill), Σχ. 2.3Δ: Τα ενεργά ράουλα είναι μικρότερης διαμέτρου και στηρίζονται σε δυο ράουλα αντιστήριξης μεγαλύτερης διαμέτρου για να αποφευχθεί ο κίνδυνος κάμψης τους από τα φορτία έλασης. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται μεγάλη εξοικονόμηση ενέργειας και μεγαλύτερη μείωση πάχους ανά πάσο. Έλαστρο τύπου Cluster (cluster mill), Σχ. 2.3Ε: Κάθε ενεργό ράουλο στηρίζεται από δυο ράουλα αντιστήριξης και κάθε ράουλο αντιστήριξης από δυο άλλα μεγαλύτερης διαμέτρου. Παραλλαγή του τύπου αυτού είναι το έλαστρο Sendzimir. Τα έλαστρα αυτά χρησιμοποιούνται για την κατεργασία πολύ λεπτών ελασμάτων (foils). Έλαστρο με πλανητικά ράουλα (planetary mill), Σχ. 2.3Ζ: Αποτελείται από δύο ράουλα αντιστήριξης μεγάλης διαμέτρου που περιβάλλονται από μεγάλο αριθμό μικρών περιφερειακών (πλανητικών) ραούλων. Ο κύριος ρόλος των πλανητικών ραούλων είναι η απευθείας μείωση (εν θερμώ) του πάχους ελάσματος σε ένα πάσο. Καθένα από αυτά εξασφαλίζει σχεδόν ομοιόμορφη μείωση πάχους και είναι διατεταγμένα έτσι ώστε, μόλις παύει την επενέργειά του ένα ζεύγος πλανητικών ραούλων, να αναλαμβάνει δράση το επόμενο ζεύγος. Η συνολική δράση με τη χρήση πλανητικών ράουλων προσιδιάζει περισσότερο με τη διαδικασία σφυρηλάτησης. 10

11 Σχ. 2.3 Διατάξεις έλασης Μεταλλουργικοί μετασχηματισμοί κατά την έλαση Στη σύγχρονη ιστορία της έλασης, η χύτευση πλινθώματος (ingot casting) ακολουθείται αμέσως από διαδικασία θερμής έλασης. Η δενδριτική μορφή του χάλυβα αφαιρείται σε φούρνους αναθέρμανσης στους οποίους εισέρχονται στοιχεία κραμάτωσης σε στερεή μορφή. Υποτίθεται ότι πριν το πέρασμα του ελάσματος στα ράουλα, το τεμάχιο έχει ήδη ανοπτηθεί και ανακρυσταλλωθεί. Η διαδικασία αυτή έχει μικρή επίδραση στις τελικές ιδιότητες του υλικού καθώς πριν το τελικό πέρασμα, γίνονται πολλά άλλα διαδοχικά περάσματα στα οποία αλλάζει η δομή των κόκκων. Όσο η θερμοκρασία κατά την έλαση είναι υψηλότερη, τόσο μαλακώνει το υλικό και μπορεί να παραμορφωθεί ευκολότερα. Τα υλικά μπορούν να υποστούν δυο είδη παραμορφώσεων: την ελαστική και την πλαστική. Η πλαστική παραμόρφωση είναι μόνιμη και τόσο η αντοχή όσο και η σκληρότητα αποτελούν μέτρα της αντίστασης του υλικού σε αυτή την παραμόρφωση. Σε μικροσκοπική κλίμακα, η πλαστική παραμόρφωση αντιστοιχεί στην συνολική κίνηση 11

12 ενός μεγάλου αριθμού ατόμων ως απόκριση σε μια εφαρμοζόμενη τάση. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, διατομικοί δεσμοί υπόκεινται σε θραύση και κατόπιν επανασχηματίζονται. Σημαντικό για την κατανόηση των μηχανισμών ισχυροποίησης είναι η σχέση μεταξύ της κίνησης της διαταραχής και της μηχανικής συμπεριφοράς των μετάλλων. Επειδή η μακροσκοπική πλαστική παραμόρφωση αντιστοιχεί στην κίνηση ενός μεγάλου αριθμού διαταραχών, η ικανότητα ενός μετάλλου να παραμορφώνεται πλαστικά εξαρτάται από την ικανότητα των διαταραχών να κινούνται. Εφόσον η σκληρότητα και η αντοχή (τόσο σε διαρροή όσο και σε εφελκυσμό) σχετίζονται με την ευκολία με την οποία μπορεί να συμβεί η πλαστική παραμόρφωση, μειώνοντας την κινητικότητα των διαταραχών, η μηχανική αντοχή μπορεί να αυξηθεί. Δηλαδή, απαιτούνται μεγαλύτερες μηχανικές δυνάμεις για να επιφέρουν πλαστική παραμόρφωση. Αντιθέτως, όσο απεριόριστη είναι η κίνηση της διαταραχής τόσο μεγαλύτερη είναι η ευκολία με την οποία ένα μέταλλο μπορεί να παραμορφώνεται και τόσο μαλακότερο και ασθενέστερο γίνεται. Ουσιαστικά, όλες οι τεχνικές ισχυροποίησης βασίζονται στην παρακάτω απλή αρχή : ο περιορισμός ή η παρεμπόδιση της κίνησης της διαταραχής καθιστά ένα υλικό σκληρότερο και πιο ισχυρό. Σκλήρυνση με ενδοτράχυνση Σκλήρυνση με ενδοτράχυνση είναι το φαινόμενο κατά το οποίο ένα όλκιμο μέταλλο γίνεται σκληρότερο και ισχυρότερο όταν παραμορφώνεται πλαστικά. Μερικές φορές καλείται και σκλήρυνση με κατεργασία, ή ψυχρηλασία επειδή η θερμοκρασία στην οποία η παραμόρφωση λαμβάνει χώρα είναι ψυχρή σε σχέση με την απόλυτη θερμοκρασία τήξης του μετάλλου. Τα περισσότερα μέταλλα επιδέχονται σκλήρυνση με ενδοτράχυνση σε θερμοκρασία δωματίου. Μερικές φορές εξυπηρετεί να εκφράσουμε τον βαθμό της πλαστικής παραμόρφωσης σαν επί τοις εκατό (%) ψυχρηλασία παρά σαν παραμόρφωση. Η επί τοις % ψυχρηλασία ορίζεται ως εξής % 100, όπου Α 0 είναι το αρχικό εμβαδό της ενεργής διατομής που δέχεται την πλαστική παραμόρφωση και Α d το εμβαδό της μετά την παραμόρφωση. Το φαινόμενο της σκλήρυνσης με ενδοτράχυνση εξηγείται βάσει των αλληλεπιδράσεων παραμόρφωσης μεταξύ διαταραχής-διαταραχής. Η πυκνότητα διαταραχών σε ένα μέταλλο αυξάνει με την παραμόρφωση ή την ψυχρηλασία, εξ αιτίας του πολλαπλασιασμού ή του σχηματισμού νέων διαταραχών. Συνεπώς, η μέση απόσταση διαχωρισμού μεταξύ των διαταραχών μειώνεται - οι διαταραχές τοποθετούνται η μια πιο κοντά στην άλλη. Κατά μέσο όρο, οι αλληλεπιδράσεις παραμόρφωσης μεταξύ των διαταραχών είναι απωθητικές. Το καθαρό αποτέλεσμα είναι ότι η κίνηση της διαταραχής εμποδίζεται από την παρουσία άλλων διαταραχών. Καθώς η πυκνότητα των διαταραχών αυξάνει, η αντίσταση στην κίνηση της διαταραχής από άλλες διαταραχές γίνεται πιο έντονη. Επομένως, η επιβαλλόμενη τάση που είναι απαραίτητη για να παραμορφώσει ένα μέταλλο αυξάνει με την αύξηση της ψυχρηλασίας. Η σκλήρυνση με ενδοτράχυνση χρησιμοποιείται συχνά εμπορικά για να αυξήσει τις μηχανικές ιδιότητες των μετάλλων κατά τη διάρκεια των διαδικασιών παραγωγής. 12

13 Ισχυροποίηση με ελάττωση του μεγέθους του κόκκου Σε ένα πολυκρυσταλλικό μέταλλο το μέγεθος των κόκκων, ή η μέση διάμετρός τους, επηρεάζει τις μηχανικές του ιδιότητες. Γειτονικοί κόκκοι έχουν συνήθως διαφορετικούς κρυσταλλογραφικούς προσανατολισμούς και φυσικά, ένα κοινό όριο κόκκου. Κατά την διάρκεια της πλαστικής παραμόρφωσης, η κίνηση της ολίσθησης ή της διαταραχής πρέπει να γίνει κατά μήκος αυτού του κοινού συνόρου, ας πούμε, από τον κόκκο Α στον κόκκο Β. Το όριο κόκκου δρα σαν φράγμα στην κίνηση της διαταραχής για δυο λόγους: 1) Εφόσον οι δυο κόκκοι είναι διαφορετικών προσανατολισμών, μια διαταραχή που περνά στον κόκκο Β θα πρέπει να αλλάξει την διεύθυνση κίνησής της-αυτό γίνεται δυσκολότερο όσο η διαφορά στον κρυσταλλικό προσανατολισμό αλλάζει. 2) Η ατομική αταξία σε μια περιοχή του ορίου κόκκου θα καταλήξει σε μια ασυνέχεια των επιπέδων ολίσθησης από τον ένα κόκκο στον άλλο. Ένα υλικό το οποίο έχει μικρούς κόκκους (λεπτόκοκκο) είναι σκληρότερο και ισχυρότερο από ένα χονδρόκοκκο υλικό, καθόσον το πρώτο έχει μια μεγαλύτερη συνολική περιοχή ορίου κόκκου ώστε να εμποδίζει την κίνηση της διαταραχής. Για πολλά υλικά, η αντοχή σε διαρροή σ y μεταβάλλεται με το μέγεθος του κόκκου σύμφωνα με την σχέση. Σε αυτή την εξίσωση η οποία καλείται εξίσωση Hall- Petch, d είναι η μέση διάμετρος του κόκκου και σ 0, κ y είναι σταθερές του υλικού. Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι η εξίσωση Hall-Petch δεν ισχύει για πολυκρυσταλλικά υλικά τόσο με πολύ μεγάλους όσο και με πολύ μικρούς κόκκους. Θα πρέπει, επίσης, να αναφερθεί ότι η μείωση του μεγέθους των κόκκων βελτιώνει όχι μόνο την αντοχή αλλά επίσης και την δυσθραυστότητα πολλών κραμάτων. Περιορισμοί κατά την κατεργασία της έλασης Το ελάχιστο πάχος που μπορεί να ελασθεί Το φαινόμενο αυτό συμβαίνει όταν το πάχος ενός λεπτού σκληρού ελάσματος πρέπει να μειωθεί σε ένα μόνο πέρασμα, χρησιμοποιώντας έλαστρα μεγάλης διαμέτρου. Για να αυξήσουμε τη μείωση, τα έλαστρα έρχονται προοδευτικά όλο και πιο κοντά σε μια προσπάθεια να μειώσουμε το διάκενο της έλασης. Καθώς η μείωση του πάχους αυξάνεται, η συμπίεση στο έλασμα επίσης αυξάνεται και τα έλαστρα παραμορφώνονται όλο και περισσότερο. Μόλις επιτευχθεί ένα συγκεκριμένο διάκενο, καμία περαιτέρω μείωση του πάχους δεν μπορεί να επιτευχθεί, έχουμε δηλαδή φτάσει στο ελάχιστο ελάσιμο πάχος. Μια υδροστατική κατάσταση της τάσης έχει σταθεροποιηθεί μέσα στο έλασμα στην περιοχή παραμόρφωσης. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η πλαστική παραμόρφωση στην οποία υπόκειται το μέταλλο έχει αυξήσει τη σκληρότητά του με ταυτόχρονη μικρή μείωση του όγκου του, μπορεί να γίνει αντιληπτό γιατί το μέταλλο δε μπορεί να παραλάβει περαιτέρω μείωση του πάχους του. Αν προσπαθήσουμε να ξεπεράσουμε αυτό το όριο, τότε το μόνο που θα πετύχουμε είναι διαπλάτυνση του ελάστρου και πιθανή καταστροφή ή αυξημένη φθορά του. Ο Stone (1953) παρουσίασε τη σχέση με την οποία μπορεί να υπολογιστεί το πάχος που δύναται να ληφθεί από την έλαση του υλικού με ένα μόνο πέρασμα.,όπου D είναι η διάμετρος των ελάστρων, Ε το μέτρο ελαστικότητας, μ ο συντελεστής τριβής και σ fm το όριο διαρροής του υλικού του ελάσματος. 13

14 Κροκοδειλίαση και σπάσιμο ακμών Το μήκος του εξηλασμένου ελάσματος αυξάνει όσο το πάχος μειώνεται και έτσι οι παραμορφώσεις λόγω εφελκυσμού στην κατεύθυνση της έλασης συχνά περιορίζουν τη μέγιστη μείωση πάχους που μπορούμε να πετύχουμε σε ένα πέρασμα. Η κατανομή των τάσεων σε συνδυασμό με τις παραμένουσες τάσεις και τις εφελκυστικές παραμορφώσεις που προαναφέρθηκαν μπορεί να ξεπεράσουν κάποια όρια του υλικού και να προκαλέσουν είτε το φαινόμενο της κροκοδειλίασης ή σπάσιμο, θραύση κάποιων ακμών. Σχ. 2.4 Φαινόμενα κροκοδειλίασης κατά την έλαση 2.3. Μαθηματικό μοντέλο έλασης Τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν αναπτυχθεί για τη μελέτη της κατεργασίας της έλασης είναι πολυάριθμα και με αρκετές διαφοροποιήσεις μεταξύ τους. Οι δημοσιεύσεις έχουν ήδη αρχίσει από τις αρχές του 20 ου αιώνα και συνεχίζονται ως σήμερα. Η πολυπλοκότητά τους, το μαθηματικό υπόβαθρο, η ικανότητα πρόβλεψης πραγματικών αποτελεσμάτων και η ευκολία χρήσης έχουν ευρεία ποικιλία. Τα μονοδιάστατα (1D) μοντέλα έχουν τη δυνατότητα να προβλέψουν τις δυνάμεις που αναπτύσσονται στα έλαστρα, όπως επίσης και τη ροπή που απαιτείται για την κίνησή τους. Τα παραδοσιακά μοντέλα τέτοιου τύπου βασίζονται στο κλασσικό μοντέλο του Orowan (1943), το οποίο περιλαμβάνει την ιδέα του «λόφου τριβής» και τις απλοποιήσεις του. Στη βιομηχανία χάλυβα χρησιμοποιούνται συχνά η τεχνική του Bland και Ford (1948) για ψυχρή έλαση και η το μοντέλο του Sims (1954) σαν μια πρώτη προσέγγιση για θερμή έλαση. Εναλλακτικά, οι πίνακες των Cook και McCrum (1958) που βασίζονται στο μοντέλο του 14

15 Sims μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Η ικανότητα για πρόβλεψη αποτελεσμάτων ενδυναμώνεται και από το γεγονός ότι λαμβάνεται υπόψη η διαπλάτυνση του ελάστρου κάτω από την επίδραση της πίεσης έλασης. Η γνωστή σχέση του Hitchcock (1935) χρησιμοποιείται σε τέτοια μοντέλα για να εκτιμήσει το εύρος της ακτίνας του πεπλατυμμένου αλλά ακόμα κυκλικού ελάστρου ενώ σε μια άλλη εκδοχή (Roychoudhury και Lenard, 1984) η ελαστική παραμόρφωση του ελάστρου αναλύεται χρησιμοποιώντας τη δισδιάστατη 2D θεωρία της ελαστικότητας. Φαινόμενα τριβής στις διεπιφάνειες μπορούν να μοντελοποιηθούν με δυο τρόπους χρησιμοποιώντας είτε το συντελεστή στατικής ή δυναμικής τριβής. Επιπρόσθετα, εμπειρικές σχέσεις που περιγράφουν την εξέλιξη της κρυσταλλοδομής των υλικών (ποσότητα στατικής, δυναμικής ανακρυστάλλωσης, επαναφορά, παραμένουσες παραμορφώσεις, καθώς και μηχανικές και μεταλλουργικές ιδιότητες μετά την ψυχρή και τη θερμή έλαση) κατά τη διάρκεια της ψυχρής και της θερμής έλασης μπορούν να προστεθούν στα 1D μοντέλα. Το κλασσικό μοντέλο του Orowan Τα περισσότερα από τα 1D μοντέλα βασίζονται στη μέθοδο της ισορροπίας κατά την οποία μια φέτα του παραμορφωμένου υλικού απομονώνεται και χρησιμοποιείται μια ισορροπία όλων των εξωτερικών δυνάμεων που ενεργούν σε αυτό για να αναπτυχθεί μια διαφορική εξίσωση ισορροπίας. Αν οι δυνάμεις αδράνειας αναμένεται να έχουν σημαντική συνεισφορά στις τάσεις, πρέπει να αναπτυχθούν και εξισώσεις κίνησης, εξισώνοντας το άθροισμα όλων των δυνάμεων με το γινόμενο μάζας και επιτάχυνσης. Οι αδρανειακές δυνάμεις, όμως, δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικές σε σύγκριση με τις υπόλοιπες. Οι δυνάμεις εξαιτίας της πίεσης έλασης, κατανεμημένες κατά μήκος του τόξου επαφής, οι διατμητικές τάσεις στη διεπιφάνεια και οι τάσεις στην εφαπτομενική και την ακτινική κατεύθυνση συγκροτούν το σύστημα των δυνάμεων, η εξίσωση του οποίου στην κατεύθυνση της έλασης οδηγεί στη βασική εξίσωση της ισορροπίας. Υποθέτοντας ότι τα επίπεδα παραμένουν επίπεδα, επιτρέπεται αυτή η σχέση να είναι μια 1D, κανονική διαφορική εξίσωση ισορροπίας με εξαρτημένες μεταβλητές τις εξής : πίεση έλασης p, το πάχος του ελάσματος h, την ακτίνα του παραμορφωμένου ελάστρου R, τη διατμητική τάση διεπιφάνειας τ, την τάση στην κατεύθυνση της έλασης σ x και ως ανεξάρτητη μεταβλητή την x, που συμβολίζει την απόσταση στην κατεύθυνση της έλασης, μετρημένη από τη γραμμή που συνδέει τα κέντρα των ελάστρων. Έτσι η εξίσωση γίνεται: 2 0 (1) όπου το δείχνει ότι η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τις συνθήκες ισορροπίας ανάμεσα στο ουδέτερο σημείο και την είσοδο (όταν χρησιμοποιείται το - ) και ανάμεσα στο ουδέτερο σημείο και την έξοδο (όταν χρησιμοποιούμε το + ). Οι απαραίτητες πρόσθετες ανεξάρτητες εξισώσεις λαμβάνονται από τη θεωρία της πλαστικότητας και τη γεωμετρία της παραμορφωμένης ζώνης. Αυτές περιλαμβάνουν το κριτήριο κατά Mises για την πλαστική ροή, το οποίο σχετίζει τις συνιστώσες των τάσεων στην κατεύθυνση της έλασης και κάθετα προς αυτήν,με το όριο διαρροής του υλικού. Με την παραδοχή για επίπεδη παραμορφωσιακή (plane-strain) πλαστική ροή, το κριτήριο γίνεται σ x +p=2k (2) 15

16 όπου το k είναι το όριο διαρροής του μετάλλου σε καθαρή διάτμηση. Η άλλη μεταβλητή, το πάχος του ελάσματος μπορεί να βρεθεί από τη γεωμετρία 2 1 cos (3) Προκειμένου να ολοκληρωθεί η (1) πρέπει να δοθούν η αντίσταση του μετάλλου και η διατμητική τάση στις διεπιφάνειες. Η τελευταία δίνεται σαν συνάρτηση του συντελεστή τριβής και της πίεσης έλασης (4) Αντικαθιστώντας τη (2) στην (1), η (1) γίνεται Η (5) με χρήση της (3) και της (4) είναι έτοιμη προς ολοκλήρωση. Ο υπολογισμός της δύναμης και της ροπής της έλασης αρχίζει με την ολοκλήρωση των εξισώσεων ισορροπίας ως προς την πίεση έλασης. Στην είσοδο, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες οριακές συνθήκες p entry =σ entry - 2k entry - όπου φ 1 είναι η γωνία του διάκενου έλασης και το - σαν πρόσημο για την κατεύθυνση της δύναμης τριβής, η ολοκλήρωση οδηγεί σε μια καμπύλη για την πίεση έλασης. Το επόμενο βήμα είναι ολοκλήρωση από την έξοδο χρησιμοποιώντας και πάλι κατάλληλες οριακές συνθήκες p exit =2k exit σ exit και τώρα το + σαν πρόσημο, η ολοκλήρωση οδηγεί σε μια άλλη καμπύλη για την πίεση έλασης. Όταν οι δυο καμπύλες ενωθούν, δίνουν το λόφο τριβής (friction hill). Το σημείο τομής των δυο καμπυλών είναι το ουδέτερο σημείο ή ουδετέρα διατομή, στην οποία η επιφανειακή γραμμική ταχύτητα ανάμεσα στα έλαστρα και το έλασμα είναι ίσες και δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ τους. Περαιτέρω ολοκλήρωση της κατανομής της πίεσης έλασης στο μήκος επαφής από την είσοδο ως την έξοδο, οδηγεί στη δύναμη της έλασης. Η εξίσωση (1) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναλύσει έλαση είτε εν ψυχρώ ή εν θερμώ, με τη διαφοροποίηση να είναι ο τρόπος περιγραφής του όρου 2k, της αντίστασης δηλαδή του μετάλλου σε παραμόρφωση. Αν έχουμε ψυχρή έλαση, τότε σύμφωνα με τον Alexander (1972) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση όπου ο συντελεστής διορθώνει τη σχέση τάσης-παραμόρφωσης όπως λαμβάνεται από μια δοκιμή μονοαξονικού εφελκυσμού ή θλίψης. Αν μελετάται θερμή έλαση (hot rolling), η αντίσταση σε παραμόρφωση πρέπει να εκφραστεί σε συνάρτηση με το ρυθμό παραμόρφωσης. Ένας συχνά χρησιμοποιούμενος τύπος είναι ο όπου τα C και m είναι σταθερές που καθορίζονται για κάθε περίπτωση ξεχωριστά. 16

17 Το μοντέλο του Sims Ο Sims (1954) λαμβάνει υπόψη του ότι οι γωνίες στο διάκενο της έλασης είναι μικρές συγκρινόμενες με τη μονάδα και έτσι κάνει τις προσεγγίσεις ότι sin tan και 1. Επίσης υποθέτει ότι οι διατμητικές τάσεις στη διεπιφάνεια είναι αμελητέες όταν συγκρίνονται με άλλους όρους και ότι για την τριβή ισχύει τ=k στην επαφή ανάμεσα στο έλαστρο και το έλασμα. Αυτές οι απλοποιήσεις, συν την υπόθεση ότι το υλικό του μετάλλου του ελάσματος είναι ιδανικό πλαστικό, επιτρέπουν μια ολοκλήρωση από την οποία προκύπτει η δύναμη στα έλαστρα ανά μονάδα πλάτους ως : 2 Σε αυτή την εξίσωση ο όρος 2k αντιπροσωπεύει το όριο διαρροής του μετάλλου στην επίπεδη παραμορφωσιακή κατάσταση συμπίεσης (plane strain compression). Το μήκος επαφής είναι και ο συντελεστής Q p εξαρτάται από το μέγεθος της ακτίνας του πεπλατυμμένου ελάστρου, το τελικό πάχος κατά την έξοδο του ελάσματος και το πάχος της λωρίδας στο ουδέτερο σημείο h np : 2 1 tan Το πάχος του ελάσματος στο ουδέτερο σημείο βρίσκεται εξισώνοντας της πιέσεις της έλασης στο σημείο αυτό. Η θέση του ουδετέρου σημείου, φ n, λαμβάνεται από τη σχέση: ln 1 2 tan 4 tan 1 Στην παραπάνω σχέση, το r αντιπροσωπεύει τη μείωση κατά το πέρασμα, σε μορφή κλάσματος ή ποσοστού. Το μοντέλο των Bland και Ford Επιπρόσθετα της παραδοχής για μικρές γωνίες στο μοντέλο του Sims, εδώ υποτίθεται ότι η πίεση στα έλαστρα είναι ίση με τις τάσεις στην κατακόρυφη διεύθυνση και αφού η διαφορά μεταξύ τους είναι συνάρτηση συνημιτόνου πολύ μικρών γωνιών, το λάθος δεν είναι μεγάλο, ειδικά στην ψυχρή έλαση όπου οι διάμετροι των ελάστρων είναι συνήθως πολύ μεγαλύτερες από το πάχος του ελάσματος. Η ολοκλήρωση οδηγεί στην παρακάτω έκφραση της δύναμης των ελάστρων: 2 όπου το Η δίνεται από τον τύπο 17

18 2 tan Η θέση του ουδέτερου σημείου υπολογίζεται από τον τύπο tan, όπου Η γωνία εμπλοκής στην είσοδο. Το μοντέλο των Bland και Ford συχνά χρησιμοποιείται στη βιομηχανία στην ανάλυση και τον έλεγχο της διαδικασίας ψυχρής έλασης. Μηχανική της έλασης Κατά τη διαδικασία της επιφανειακής διαμήκους έλασης, το έλασμα εισέρχεται στο διάκενο μεταξύ των ελάστρων με μια αρχική ταχύτητα v o και έναν αρχικό όγκο V o =h o b o l o και εξέρχεται με μια τελική ταχύτητα v 1 και έναν τελικό όγκο V 1 =h 1 b 1 l 1. Έτσι, το πάχος του ελάσματος θα μειωθεί, ενώ η συνθήκη συνέχειας θεωρητικά θα διατηρηθεί v o h o b o =v 1 h 1 b 1 Σε ελάσματα των οποίων το πλάτος b δε μεταβάλλεται σημαντικά, με μείωση του πάχους το έλασμα θα εξέλθει με μια ταχύτητα v 1 >v o. Η γραμμική ταχύτητα στην εξωτερική επιφάνεια των ελάστρων v w πρέπει να ρυθμιστεί ώστε v o <v w <v 1. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη της έλασης φαίνονται στο Σχ

19 Σχ. 2.5 Χαρακτηριστικά μεγέθη επιφανειακής διαμήκους έλασης Το έλασμα κατά τη διάρκεια της επαφής κινείται λόγω της δύναμης τριβής που αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια ελάστρων-εξωτερική επιφάνεια ελάσματος. Μια κρίσιμη περιοχή που αφορά τις χαρακτηριστικές ταχύτητες κατά την έλαση και κατ έπέκταση τη φορά της δύναμης τριβής, είναι η ουδέτερη διατομή στην οποία οι γραμμικές ταχύτητες ελάστρων και ελάσματος είναι ίσες. Η περιοχή πριν την ουδετέρα διατομή ονομάζεται περιοχή βραδυπορείας ενώ η περιοχή μετά την ουδετέρα διατομή ονομάζεται περιοχή προπορείας, Σχ

20 Σχ. 2.6 Δυνάμεις τριβής και χαρακτηριστικές ταχύτητες κατά την έλαση Κρίσιμο μέγεθος για την έναρξη της εμπλοκής είναι η γωνία εμπλοκής α Ε για την οποία πρέπει να ισχύει α Ε μ, Σχ Για την έλαση λεπτών ελασμάτων η γωνία εμπλοκής συνηθίζεται να είναι α Ε 9 ο. Για να επιτευχθεί η είσοδος του κατεργαζόμενου τεμαχίου \ στο διάκενο μεταξύ των ελάστρων θα πρέπει η συνολική οριζόντια συνιστώσα στην είσοδο να είναι θετική, όπως φαίνεται στις εξισώσεις του Σχ Προκειμένου να υπάρξει ευκολότερη εμπλοκή μπορεί να μειωθεί το α Ε είτε να αυξηθεί ο συντελεστής τριβής μ. Επίσης, δύναται να εξασκηθούν δυνάμεις στο υλικό, συμπιεστικές στην είσοδο ή ελκτικές στην έξοδο. H επιφάνεια επαφής τεμαχίου-ελάστρου εκτείνεται κατά μήκος του τόξου επαφής, το οποίο έχει προβεβλημένο μήκος L p κατά τον άξονα του τεμαχίου ίσο με: (1) Όσον αφορά τη μέγιστη μείωση του πάχους του ελάσματος που μπορεί να επιτευχθεί με ένα πέρασμα, υπάρχει και εκεί περιορισμός, όπως έχει ήδη αναφερθεί. Από το Σχ. 2.5 προκύπτει εύκολα ότι 20

21 και λόγω της (1) tanα R R tan R 2, οπότε λαμβάνοντας υπόψη και τη συνθήκη έναρξης της έλασης (ως ανισότητα) μ tanα και επιλύοντας ως προς Δh, προκύπτει η μέγιστη δυνατή μείωση πάχους σε ένα πέρασμα ίση προς (Δh) max =μ 2 R Σχ. 2.7 Συνθήκη έναρξης εμπλοκής κατά την έλαση Οι μαθηματικές σχέσεις που παρατίθενται παρακάτω ισχύουν υπό τις εξής παραδοχές: 1) Επίπεδη παραμόρφωση: Όταν το πάχος του ελάσματος είναι πολύ μικρό σε σχέση με το πλάτος του, γίνεται η παραδοχή ότι η μεταβολή του πλάτους είναι αμελητέα σε σχέση με τη μεταβολή στις άλλες 2 διαστάσεις. Για αυτό το λόγο μπορεί να γίνει δισδιάστατη ανάλυση της πλαστικής παραμόρφωσης. Σε πολλές μελέτες έχει διερευνηθεί η επίδραση αυτής της αλλαγής του πλάτους στα τελικά αποτελέσματα και για λόγους πλάτους προς πάχος μεγαλύτερους από 10, δεν επηρεάζει σημαντικά τα τελικά αποτελέσματα. 21

22 2) Το μήκος του τόξου επαφής μεταξύ ελάστρων και ελάσματος παραμένει κύκλος κατά τη διάρκεια της έλασης. 3) Το μέταλλο παραμορφώνεται τέλεια πλαστικά κατά τη διάρκεια της έλασης. 4) Ο όγκος του ελάσματος παραμένει σταθερός πριν και μετά την έλασή του. Στην πραγματικότητα είναι πολύ πιθανό ο όγκος να μειώνεται λίγο επειδή κλείνουν κάποιοι πόροι λόγω της δημιουργούμενης ενδοτράχυνσης. 5) Ομοιογενής συμπίεση, Σχ. 2.8: Ή αλλιώς η παραδοχή ότι τα επίπεδα παραμένουν επίπεδα. Ο Schey (2000) οριοθετεί αυτή την περίπτωση ανάλογα με το λόγο του μέσου πάχους του ελάσματος κατά το πέρασμα h ave =( h εισόδου +h εξόδου )/2 και του μήκους επαφής, όπου R η ακτίνα του πεπλατυμμένου αλλά ακόμη κυκλικού τροχού και η μείωση του πάχους Δh=h εισόδου -h εξόδου. Όταν 1, η παραμόρφωση είναι ανομοιογενής και τα αρχικά επίπεδα λυγίζουν και δεν παραμένουν επίπεδα. Όταν ο λόγος αυτός είναι αρκετά μικρότερος από τη μονάδα τότε η δύναμη και η τριβή έχουν σημαντικές τιμές και η παραδοχή της ομοιογενούς συμπίεσης μπορεί να γίνει με καλή ακρίβεια. Σχ. 2.8 α) Μη ομοιογενής συμπίεση. β) Ομοιογενής συμπίεση 22

23 Ακολουθεί μια μαθηματική ανάλυση της διαδικασίας της έλασης. 23

24 π διαφορική εξίσωση γίννεται μια απ πλοποιητική ή περιγραφή ή των Για να λυθεί η παραπάνω ην εξέλαση.. τάσεων κατά τη 24

25 Απλοποιητική περιγραφή τάσεων κατά την έλαση Η ουδετέρα διατομή στην οποία όπως προαναφέρθηκε αλλάζει η φορά της δύναμης τριβής και εξισώνονται οι γραμμικές ταχύτητες ελάστρων και ελάσματος. Στην ουδετέρα διατομή παρατηρείται η μέγιστη πίεση των ελάστρων συγκριτικά με όλες τις άλλες θέσεις, Σχ

26 Σχ. 2.9 Κατανομή πίεσης κατά την έλαση Η τριβή κατανέμεται για 2 εργασίες. Πρώτα για να παραγάγει το πλαστικό έργο που απαιτείται για την ομοιογενή παραμόρφωση του τεμαχίου και δεύτερον να παραγάγει το πρόσθετο έργο για την υπερνίκηση των τριβών. Η μορφή της καμπύλης κατανομής της πίεσης των ράουλων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη, δεδομένου ότι εξασφαλίζει τον προσδιορισμό του σημείου εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης έλασης και διευκολύνει έτσι τον προσδιορισμό της απαιτούμενης ροπής στρέψης και της ισχύος κατεργασίας. Ο προσδιορισμός της θέσης της γίνεται σύμφωνα με την παρακάτω μεθοδολογία, Σχ

27 Σχ Προσδιορισμός θέσεως ουδετέρας διατομής Με βάση τις παραπάνω σχέσεις, μπορούμε να παραστήσουμε την κατανομή των τάσεων συναρτήσει της θέσης στο έλασμα, Σχ και κατά μήκος της γραμμής επαφής και του πλάτους των ελάστρων, Σχ

28 Σχ Κατανομή τάσεων σε διάφορες περιπτώσεις έλασης 28

29 Σχ Κατανομή τάσεων κατά μήκος της γραμμής επαφής και του πλάτους του ελάστρου κατά την ξηρή έλαση (χάλυβας St10, ε h =0.2, m=διάμετρος μετρητικών ωστηρίων) 29

30 Σημαντικά στοιχεία που πρέπει να είναι γνωστά για την έλαση είναι η δύναμη έλασης F, η στρεπτική ροπή M d και η ισχύς της κατεργασίας Ρ και προσδιορίζονται με τις σχέσεις που αναπτύσσονται στο Σχ Σχ Προσδιορισμός δύναμης έλασης (F), στρεπτικής ροπής (Md) και ισχύος P. Πλάτυνση της ακτίνας καμπυλότητας ανά πάσο Στις παραδοχές που αναφέρθηκαν παραπάνω, ήταν και η παραδοχή ότι το μήκος τόξου επαφής ελάστρων-ελάσματος παραμένει κύκλος, δηλαδή ουσιαστικά το έλαστρο έχει συνεχώς κυκλική μορφή. Λόγω των ισχυρών φορτίων έλασης, το έλαστρο υφίσταται τοπικά στο τόξο επαφής ελαστική παραμόρφωση, που έχει ως συνέπεια τοπικά την πλάτυνση (μείωση της καμπυλότητας) του. Αποτέλεσμα αυτής της ελαστικής 30

31 παραμόρφωσης είναι το τόξο επαφής να ανήκει σε κύκλο ακτίνας R >R, η οποία προσδιορίζεται από την ημι-εμπειρική σχέση του Hitchcock 1 όπου η σταθερά C=16(1-v 2 ) 2 /πε χαρακτηρίζει το υλικό του ελάστρου και για χάλυβα λαμβάνει την τιμή C=2.16*10-11 Pa -1, ν ο λόγος Poisson και Ε το μέτρο ελαστικότητας του υλικού του ελάστρου, b το πλάτος της μπιγέτας, R η ακτίνα του απαραμόρφωτου ελάστρου και Ρ το φορτίο έλασης βασισμένο όμως στην ακτίνα R του παραμορφωμένου ελάστρου, Σχ Σχ Ελαστική παραμόρφωση ελάστρου κατά την έλαση χάλυβα (0.05% C, 0.07% Si, 0.032% Mn, 0.012% P, 0.022% S, 0.033% Al) 31

32 Υπολογισμός του φορτίου έλασης Α) Ομοιογενής παραμόρφωση Το φορτίο έλασης προκύπτει από τη μέση πίεση ελάστρου πολλαπλασιασμένη με την προβεβλημένη επιφάνεια επαφής, δηλαδή = όπου ισούται με το όριο διαρροής Υ σε μονοαξονικό εφελκυσμό στην έλαση ορθογωνικής μπιγέτας και με στην περίπτωση έλασης πλάκας (επίπεδη παραμορφωσιακή κατάσταση). Β) Ανομοιογενής παραμόρφωση (προσεγγιστική λύση) Θεωρώντας το πρόβλημα ως σφυρηλάτηση ορθογωνικής μπιγέτας με μέσο πάχος, προκύπτει ο προσεγγιστικός τύπος 1,όπου και. Υπολογισμός ροπής στρέψης ελάστρων και ισχύος κατεργασίας Ροπή στρέψης ελάστρων: 2 όπου ο συντελεστής λ ισούται με 0.5 για θερμή έλαση ή 0.45 για ψυχρή έλαση. Απαιτούμενο έργο κατεργασίας: 2 2. Ισχύς κατεργασίας: 4, όπου Ν η συχνότητα περιστροφής των ελάστρων. 32

33 2.4. Χρησιμότητα των πεπερασμένων στοιχείων στην κατεργασία της έλασης Οι μαθηματικές σχέσεις στο μοντέλο της έλασης, χρησιμοποιούν αρκετές παραδοχές στην ανάπτυξη της θεωρίας τους, οι οποίες στην πραγματικότητα δεν ισχύουν ακριβώς ή και καθόλου. Η κυριότερη παραδοχή είναι ότι δεν υπάρχει σημαντική μεταβολή διάστασης στην κατεύθυνση του πλάτους. Στην εργασία αυτή, όπου αναλύεται η συμπεριφορά ενός ελάσματος τετραγωνικής διατομής εμβαδού Α=2x2 mm 2, αυτή η παραδοχή δεν ισχύει. Έτσι γίνεται αυτόματα αντιληπτό ότι το μαθηματικό μοντέλο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί με την ίδια ακρίβεια για την έλαση πλάκας, όπου πράγματι η μεταβολή του πλάτους είναι αμελητέα σε σχέση με τις άλλες 2 διαστάσεις, και για έλασμα τετραγωνικής διατομής όπου το πλάτος έχει ίδια τιμή με το πάχος. Επίσης, η παραδοχή ότι το τόξο επαφής ανάμεσα στα ράουλα και το τεμάχιο παραμένει κύκλος ή ότι διαπλατύνεται γραμμικά με ελαστική παραμόρφωση, είναι δυνατόν να μην ισχύει στην πραγματικότητα. Έτσι όταν πρόκειται να μελετηθεί η έλαση μιας τετραγωνικής διατομής, οι αναλυτικές μαθηματικές σχέσεις δε δίνουν ακριβή αποτελέσματα. Για αυτό το λόγο η ανάλυση γίνεται με 3D μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων (FEΑ μοντέλο). Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται ευρέως στις μορφοποιήσεις, όπου χρησιμοποιούνται μη γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία για την παροχή αναλυτικών πληροφοριών σχετικά με ένα προϊόν, και να βελτιστοποιηθούν παράγοντες που αφορούν την οικονομικότητά του, όπως κατεργαστικότητα, τελικό σχήμα, παραμένουσες τάσεις, διάρκεια ζωής προϊόντος κτλ. Στην έλαση η προσομοίωση της κατεργασίας με FEM μπορεί να μειώσει το κόστος των εργαλείων, ελαχιστοποιεί την ανάγκη για κατασκευή πολλαπλών πρωτοτύπων και μειώνει την κατανάλωση υλικού. Αυτό αυξάνει τις πιθανότητες να γίνει γρήγορα η σωστή σχεδίαση των ελάστρων και της κατεργασίας γενικότερα και διευκολύνει την παραγωγή ποιοτικών και ανταγωνιστικών προϊόντων. Ένας από τους σκοπούς της παρούσας εργασίας είναι να υπολογισθούν οι παραμένουσες τάσεις μετά την κατεργασία του ελάσματος. Έτσι δύναται να εξαχθούν συμπεράσματα αλλά και ακριβείς εκτιμήσεις σχετικά με την τελική σκληρότητα του ελάσματος, τις στατικές και δυναμικές, μηχανικές του ιδιότητες. Είναι εφικτό στην περίπτωση των παραμορφώσιμων (deformable) ελάστρων να υπολογισθούν οι τάσεις και οι παραμορφώσεις που αναπτύσσονται στα έλαστρα, καθώς και τις πιθανές συνέπειες αυτών στην τελική επιφάνεια του ελάσματος. Ένα παράδειγμα κατανομής τάσεων που προκύπτει μετά από 2D-μοντελοποίηση με πεπερασμένα στοιχεία απεικονίζεται στο Σχ

34 Σχ Κατανομή τάσεων κατά την εξέλαση ελασμάτων 2.5. Οργάνωση της εργασίας 1) Προσομοίωση της έλασης στοιχειώδους τετραγωνικής διατομής 2x2 mm 2,με απαραμόρφωτα (rigid) έλαστρα, για τη μείωση της διατομής κατά 500 μm.παρουσίαση και σχολιασμός αποτελεσμάτων (κύριες και ισοδύναμες τάσεις, παραμένουσες τάσεις, επιφάνεια κτλ.). 2) Προσομοίωση της έλασης στοιχειώδους τετραγωνικής διατομής 2x2 mm 2,με έλαστρα παραμορφώσιμα (deformable), για τη μείωση της διατομής κατά 500 μm. Παρουσίαση και σχολιασμός αποτελεσμάτων. 3) Σύγκριση των αποτελεσμάτων 1-2. Παρουσίαση και σχολιασμός διαφορών και συγκλίσεων. Επιλογή καλύτερου τρόπου μοντελοποίησης των ελάστρων. 4) Προσομοίωση της έλασης στοιχειώδους τετραγωνικής διατομής 2x2 mm 2, με απαραμόρφωτα έλαστρα μορφής, για τη μείωση του πάχους κατά 20 μm. Παρουσίαση και σχολιασμός αποτελεσμάτων. 5) Εφαρμογή των δυναμικών 3D-FEA μοντέλων σε κυκλικό κοπτικό δίσκο. 34

35 3. ΑΝΑΠΤΥΞΗ 3D FEA ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΕΛΑΣΗΣ 3.1. Περίπτωση απαραμόρφωτου (rigid) ελάστρου- παραμορφώσιμου (deformable) ελάσματος Φάση σχεδίασης στην περίπτωση απαραμόρφωτου ελάστρουπαραμορφώσιμου ελάσματος Ένας προβληματισμός που απασχολεί συχνά τους μηχανικούς στο πεδίο των προσομοιώσεων κατεργασιών είναι η μοντελοποίηση των εργαλείων. Για ευκολία και ταχύτητα στην επίλυση συχνά προτιμάται να μοντελοποιηθούν ως απαραμόρφωτα (rigid), δηλαδή να μην παραλαμβάνουν τάσεις ή παραμορφώσεις. Αυτό για υλικά μεγάλης σκληρότητας και υψηλών μηχανικών ιδιοτήτων είναι σχετικά κοντά στην πραγματική κατάσταση. Από την άλλη, υπάρχει η επιλογή της μοντελοποίησης με παραμορφώσιμα (deformable) έλαστρα, η οποία ανταποκρίνεται ακριβώς στην πραγματική κατάσταση στα πλάισια μιας προσομοίωσης αλλά απαιτεί περισσότερο χρόνο και κόπο στη φάση της σχεδίασης. Στην έλαση έχει νόημα αυτός ο διαχωρισμός, γιατί στη θεωρία υπάρχει αναφορά για ελαστική ή ακόμα και πλαστική παραμόρφωση των ελάστρων η οποία ενδεχομένως επηρεάζει τα τελικά αποτελέσματα. Στην παράγραφο αυτή, με την ανάπτυξη ενός 3D-δυναμικού μοντέλου θα γίνει προσομοίωση της έλασης, χρησιμοποιώντας απαραμόρφωτα έλαστρα, δηλαδή έλαστρα τα οποία δεν παραμορφώνονται από τα φορτία που δέχονται κατά τη διαδικασία της έλασης. Ο λόγος για αυτή την επιλογή είναι ότι το υλικό των ελάστρων είναι αρκετά πιο σκληρό και στιβαρό από το υλικό του ελάσματος και έτσι μπορούμε να υποθέσουμε με ικανοποιητική ακρίβεια ότι δεν λαμβάνει καμία τάση ή παραμόρφωση. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει η δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν στοιχεία κελύφους (shell elements) που θα προσομοιώνουν την επιφάνεια των ελάστρων, αντί για στερεά (solid elements) που θα προσομοίωναν ολόκληρο τον όγκο των ελάστρων. Έτσι μπορεί να μειωθεί ο αριθμός των συνολικών στοιχείων που απαιτούνται για καλή διακριτοποίηση των ελάστρων, καθώς θα είναι μια μικρότερη συνολικά περιοχή προς διακριτοποίηση. Ταυτόχρονα μπορούν να χρησιμοποιηθούν περισσότερα στοιχεία στο έλασμα, μέχρι να εξαντληθούν οι υπολογιστικές δυνατότητες επίλυσης των 2*10 5 στοιχείων. Το πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε για τις FEM προσομοιώσεις είναι το LS-DYNA της εταιρείας LIVEMORE SOFTWARE TECHNOLOGY CORPORATION (LSTC) και συγκεκριμένα η έκδοση 971 και είναι ένας κώδικας πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση μη γραμμικών συστημάτων σε αναλύσεις τρισδιάστατων μοντέλων. 35

36 Σχ Γεωμετρία τεμαχίου και εργαλείων Θα μελετηθεί ένας στοιχειώδης όγκος, του οποίου οι διαστάσεις περιγράφονται στο Σχ Οι διαστάσεις των ελάστρων δεν προκύπτουν τυχαία αλλά μέσα από μια μεθοδολογία που βασίζεται στην κινηματική και τη γεωμετρία της κατεργασίας. Η μεθοδολογία αυτή έχει ως εξής: Η συνολική κινηματική της κατεργασίας βασίζεται στην ανάπτυξη δυνάμεων τριβής ανάμεσα στο κατεργαζόμενο τεμάχιο (έλασμα) και τα εργαλεία (έλαστρα) όταν το έλασμα βρίσκεται σε κατάλληλη θέση. Όμως, για να αρχίσει η εμπλοκή και να κινηθεί το έλασμα μέσω της τριβής των διεπιφανειών ελάστρων-ελάσματος, πρέπει tanα Ε μ. Επιλέγεται α Ε =5 ο, τιμή συνηθισμένη για λεπτά ελάσματα. Ο συντελεστής τριβής είναι μ=0.1 36

37 επομένως ικανοποιείται η συνθήκη εμπλοκής. Από την εξίσωση που προκύπτει από τη γεωμετρία του μοντέλου: Δh=h o -h 1 =2r(1-cosα Ε ) Tο έλασμα έχει διατομή διαστάσεων 2x2 mm 2 και μήκος 10 mm, όπως φαίνεται στο Σχ και σκοπός είναι το τελικό πάχος να ανέλθει στα 1.5 mm, όπως επίσης φαίνεται στο ίδιο σχήμα. Για να αρχίσει η εμπλοκή και να κινείται το έλασμα μέσω της τριβής, πρέπει να έχει κάποια αρχική ταχύτητα με την οποία θα εισέλθει στο διάκενο όπου θα γίνει η έλαση. Η τελική του ταχύτητα θα διαμορφωθεί με βάση την εξίσωση της συνέχειας, b o h o v o =b 1 h 1 v 1. Επιλέχθηκε η αρχική γραμμική ταχύτητα του ελάσματος να είναι v o =4.8. H γραμμική ταχύτητα στην επιφάνεια των ελάστρων, δηλαδή σε ακτίνα r=65.7 mm από το κέντρο τους πρέπει να επιλεχθεί λίγο μεγαλύτερη από την v o, ώστε να είναι εφικτή η εμπλοκή και η έναρξη της κατεργασίας με την τριβή. Επιλέγεται, λοιπόν, μια γωνιακή ταχύτητα περιστροφής των ελάστρων ίση με rad/s που αντιστοιχεί σε επιφανειακή γραμμική ταχύτητα v=5 m/min. Αυτά τα μεγέθη δίνονται στον κώδικα του LS-DYNA μέσω ειδικών καμπυλών οι οποίες για το έλασμα δίνονται σε μορφή γραμμικής ταχύτητας-χρόνου (v-t), Σχ ενώ για τα έλαστρα δίνονται σε μορφή γωνιακής ταχύτητας-χρόνου (ω-t), βλ. Σχ , Σχ Σχ Καμπύλη ω-t ελάστρου 1 37

38 Σχ Καμπύλη ω-t ελάστρου 2 Σχ Καμπύλη v-t ελάσματος Η ταχύτητα v o = είναι μια σχετικά χαμηλή ταχύτητα για την κατεργασία της έλασης, όπου γενικά αναπτύσσονται μεγαλύτερες ταχύτητες. Σύμφωνα με τη βιβλιογραφία όμως, οι τάσεις που αναπτύσσονται με χαμηλές ταχύτητες στο έλασμα είναι μεγαλύτερες από αυτές που αναπτύσσονται με υψηλές ταχύτητες. Αυτό συμβαίνει γιατί σε μικρές ταχύτητες, ο χρόνος που διέρχεται το έλασμα από το διάκενο της έλασης είναι μεγαλύτερος άρα η καταπόνηση που υφίσταται διαρκεί για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. Επίσης η μείωση του πάχους είναι σχετικά μεγάλη, της τάξης του 25 % με τη μείωση από τα 2 mm στο 1.5 mm. 38

39 Αυτές οι δυο παράμετροι επιλέχθηκαν με σκοπό να υπάρχει έντονη καταπόνηση σε υψηλές τάσεις για μεγάλο χρονικό διάστημα κατά την κατεργασία, ώστε να μπορούν να κριθούν οι διαφορές ανάμεσα στις 2 μοντελοποιήσεις (με παραμορφώσιμα και απαραμόρφωτα έλαστρα) σε περίπτωση υψηλής καταπόνησης. Η κινηματική του μοντέλου είναι η εξής: Τα έλαστρα αρχίζουν να περιστρέφονται με αντίθετες φορές, με γωνιακές ταχύτητες που φαίνονται στα Σχ και Σχ Στο έλασμα δίνεται μια αρχική ταχύτητα με την οποία θα εισέλθει στο διάκενο μεταξύ των ελάστρων, Σχ , ώστε να μειωθεί το πάχος του κατά ποσό ίδιο με την απόσταση των ελάστρων, δηλαδή κατά 0.5 mm και από 2 mm να γίνει 1.5 mm. Όταν εισέλθει στο διάκενο με την κατάλληλη αυτή αρχική ταχύτητα, τα έλαστρα θα έχουν αποκτήσει την τελική τους γωνιακή ταχύτητα και έτσι το έλασμα θα κινείται πλέον εξαιτίας της δημιουργούμενης τριβής στις διεπιφάνειες μεταξύ τους. Η κινηματική αυτή προσδιορίζεται μέσω εντολών που αναφέρονται στις οριακές συνθήκες κίνησης (boundary condition), όπου δίνονται οι καμπύλες ταχυτήτων σε αντιστοιχία με τα τεμάχια που επιτελούν τις κινήσεις. Τα έλαστρα όπως προαναφέρθηκε, έχουν μοντελοποιηθεί ως απαραμόρφωτα, με υλικό έναν σκληρυμένο χάλυβα. Οι μηχανικές ιδιότητες που απαιτούνται από τον κώδικα του προγράμματος LS-DYNA παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.1.1: Πυκνότητα ρ (kg/m 3 ) 7850 Μέτρο ελαστικότητας Ε (GPa) 210 Λόγος Poisson 0.3 Πίνακας Απαιτούμενες από τον κώδικα μηχανικές ιδιότητες των ελάστρων Το υλικό του ελάσματος είναι χάλυβας AISI Έχει μοντελοποιηθεί ως παραμορφώσιμο με ελαστο-πλαστική συμπεριφορά, του οποίου οι μηχανικές ιδιότητες περιγράφονται από την καμπύλη ισοδύναμης τάσης - ισοδύναμης παραμόρφωσης σ-ε στο Σχ , που προσεγγίζεται ικανοποιητικά με πενταγραμμικό νόμο. Το όριο διαρροής του είναι SY=1.3 GPa και το όριο θραύσης του SM=1.75 GPa. 39

40 Σχ Καμπύλη τάσης (σ)- παραμόρφωσης (ε) ελάσματος Για τη διακριτοποίηση των ελάστρων χρησιμοποιήθηκαν στοιχεία κελύφους τετραεδρικά, τύπου Belytschko-Tsay. Αυτός ο τύπος στοιχείου είναι υπολογιστικά αποδοτικός και επαρκής σε σχέση με άλλους τύπους στοιχείων κελύφους (π.χ. Ηughes-Liu), για αυτό και επιλέχθηκε έναντι αυτών. Για τη διακριτοποίηση του ελάσματος, χρησιμοποιήθηκαν στερεά στοιχεία με τον τύπο fully integrated S/R solid intended for elements with poor aspect ratio, efficient formulation. Ορίστηκαν 2 επαφές επιφάνεια με επιφάνεια, μια για την επιφάνεια του πάνω ελάστρου με την πάνω επιφάνεια του ελάσματος και μια για την επιφάνεια του κάτω ελάστρου με την κάτω επιφάνεια του ελάσματος. Πρέπει να δηλωθεί ένα κομμάτι (part) σαν πρωτεύον (master) και ένα σαν δευτερεύον (slave). Όταν υπάρχει επαφή ανάμεσα σε παραμορφώσιμο και απαραμόρφωτο σώμα, ορίζεται πάντοτε σαν πρωτεύον το απαραμόρφωτο σώμα και σαν δευτερεύον το παραμορφώσιμο σώμα. Έτσι, ορίστηκε το έλαστρο ως πρωτεύον (master) και το έλασμα ως δευτερεύον (slave). Παράλληλα, στην επαφή αναπτύσσεται έντονα το φαινόμενο της τριβής. Η τριβή πρέπει να ποσοτικοποιηθεί και αυτό εξαρτάται από τον στατικό και το δυναμικό συντελεστή τριβής. Η επιλογή έγινε από τη βιβλιογραφία και για το συγκεκριμένο συνδυασμό υλικών επιλέχθηκε ο στατικός συντελεστής τριβής FS=0.1 και ο δυναμικός συντελεστής τριβής FD=0.01. Oι LS- DYNA τριβολογικοί αλγόριθμοι υπολογίζουν μια δύναμη στη διεπιφάνεια για κάθε αύξουσα κίνηση του δευτερεύοντος κόμβου και αυτή η τιμή συγκρίνεται με τη δύναμη τριβής. Εάν η δύναμη στη διεπιφάνεια είναι μεγαλύτερη από τη δύναμη τριβής, η καινούργια δύναμη της διεπιφάνειας προσδιορίζεται κατάλληλα. Οι εφελκυστικές και οι διατμητικές τάσεις στη διεπιφάνεια αυξάνονται μέχρι την ενεργοποίηση του κριτηρίου αστοχίας, καθώς η διείσδυση αυξάνει. Η εξίσωση που περιγράφει το κριτήριο αστοχίας είναι η ακόλουθη (1) 40

41 (1) Ενδεικτικά αναφέρονται μερικά στοιχεία για το πώς λειτουργεί ο αλγόριθμος της επαφής στο LS-DYNA. Η επαφή ορίζεται όταν ταυτοποιηθούν οι περιοχές που πρέπει να ελεγχθούν για πιθανή διείσδυση ενός δευτερεύοντος κόμβου (slave node) σε μια κύρια έδρα (master segment). Ο έλεγχος για διείσδυση γίνεται με τους διάφορους αλγορίθμους ανά το χρονικό βήμα που έχει οριστεί. Οι LS-DYNA 3D-αλγόριθμοι της διεπιφάνειας υποθέτουν ελατήρια στη διεπιφάνεια ελάστρων-ελάσματος με συγκεκριμένη στιβαρότητα. Στην περίπτωση της επαφής τύπου penalty-based όταν ανιχνευθεί μια διείσδυση, εφαρμόζεται από τα ελατήρια μια δύναμη ανάλογη με το βάθος διείσδυσης για να αντισταθεί και εν τέλει να μην επιτρέψει καθόλου τη διείσδυση. Δίνονται στα έλαστρα οι βαθμοί ελευθερίας που είναι απαραίτητοι για την κίνησή τους και περιορίζονται οι υπόλοιποι. Αυτό συμβαίνει για να μην υπάρξει μετακίνηση των ελάστρων κατά την σύγκρουση ελάστρων-ελάσματος, λόγω των δυνάμεων που θα αναπτυχθούν σε αυτή την περιοχή για το συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Εν προκειμένω, δίνεται στα έλαστρα η δυνατότητα να περιστραφούν στο Ζ-άξονα (rotation about Z- axis) και αποκλείονται οι άλλοι 5 βαθμοί ελευθερίας (μεταφορά στους x, y, z, και περιστροφή γύρω από τους x, y). Ένα πολύ σημαντικό στοιχείο όσον αφορά την ακρίβεια της ανάλυσης που επιτυγχάνεται, είναι η διακριτοποίηση και ειδικά η πυκνότητα του πλέγματος. Το πλέγμα (mesh) θα είναι πιο πυκνό όσο μεγαλώνει ο αριθμός των στοιχείων στα οποία αυτό χωρίζεται. Στην περίπτωσή 3.1, τα έλαστρα έχουν μοντελοποιηθεί ως απαραμόρφωτα και δεν παραλαμβάνουν τάσεις ή παραμορφώσεις, ως εκ τούτου η διακριτοποίηση τους δεν είναι μεγάλης σημασίας και το πλέγμα του κελύφους τους μπορεί να είναι σχετικά αραιό με στοιχεία μεγαλύτερου μήκους. Το έλασμα, όμως, είναι αυτό στο οποίο παρουσιάζεται ενδιαφέρον να ερευνηθεί τι συμβαίνει με τις παραμένουσες τάσεις. Άρα η διακριτοποίηση του πλέγματός του πρέπει να γίνει αρκετά πυκνή, δηλαδή με πολλά στοιχεία μικρού μήκους. Έγιναν δοκιμές με διάφορες διακριτοποιήσεις. Από ένα χρονικό σημείο και μετά, με αλλαγή της διακριτοποίησης των τεμαχίων, τα αποτελέσματα παρουσίαζαν αμελητέα μεταβολή. Ο βέλτιστος συνδυασμός διακριτοποίησης-χρόνου-αποτελεσμάτων που τελικά επιλέχθηκε παρατίθεται στους παρακάτω πίνακες, Πίνακας και Πίνακας

42 ΈΛΑΣΤΡΑ Αριθμός elements Μέγεθος στην ακτινική διεύθυνση (μm) Μέγεθος στην περιφέρεια (μm) Έλαστρο Έλαστρο Πίνακας Στοιχεία διακριτοποίησης ελάστρων ΈΛΑΣΜΑ Κατεύθυνση X Κατεύθυνση Y Κατεύθυνση Z Αριθμός elements Μέγεθος elements(μm) Σύνολο elements 125*37*37= Πίνακας Στοιχεία διακριτοποίησης ελάσματος Το Σχ μας δείχνει τη γεωμετρία του προβλήματος και τη διακριτοποίηση του. 42

43 Σχ D απεικόνιση της γεωμετρίας και της διακριτοποίησης των τεμαχίων Αφού έχει οριστεί πλήρως η γεωμετρία, η κινηματική και οι οριακές συνθήκες του 3D-μοντέλου της έλασης, ορίστηκαν κάποια αρχεία τα οποία χρειάζεται να εξαχθούν κατά το στάδιο της τελικής επεξεργασίας των αποτελεσμάτων. 43

44 Παρατίθεται ο Πίνακας 3.1.4, στον οποίο περιλαμβάνονται συγκεντρωτικά όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν στην προσομοίωση. Γωνία εμπλοκής α Ε 5 0 Ακτίνα ελάστρων r Πλάτος ελάστρων b Μήκος ελάσματος l ο Πλάτος ελάσματος b ο Αρχικό πάχος ελάσματος h ο Τελικό πάχος ελάσματος h mm 5 mm 10 mm 2 mm 2 mm 1.5 mm Μείωση πάχους (%) 25% Αρχική ταχύτητα ελάσματος v o Γωνιακή ταχύτητα ελάστρων Γραμμική επιφανειακή ταχύτητα ελάστρων 4.8 m/min rad/s 5 m/min Στατικός συντελεστής τριβής μ 0.1 Πίνακας Συγκεντρωτικός πίνακας με τις παραμέτρους που επιλέχθηκαν για την προσομοίωση της έλασης. 44

45 Στάδιο τελικής επεξεργασίας Με τον επιλυτή (solver) του προγράμματος LS-DYNA, έγινε η επίλυση των δεδομένων που εισήχθησαν στο στάδιο της σχεδίασης (pre-processing) και ακολούθησε η επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Το στάδιο αυτό ονομάζεται στάδιο τελικής επεξεργασίας (post-processing). Κυρίως, ενδιαφέρει να υπολογιστούν οι παραμένουσες τάσεις στο υλικό του ελάσματος, η τιμή και η θέση στην οποία αναπτύσσονται οι μέγιστες εξ αυτών. Σημαντικές είναι, επίσης, οι δυνάμεις που αναπτύσσονται στη διεπιφάνειες ελάστρων-ελάσματος συναρτήσει του χρόνου. Στο Σχ παρουσιάζεται η καμπύλη δύναμης-χρόνου που αναπτύσσεται στο έλασμα σε όλη τη διάρκεια της κατεργασίας. Διακρίνεται μια σταθεροποίηση της δύναμης έλασης σε ένα χρονικό διάστημα, γεγονός επιθυμητό για το σύνολο σχεδόν των κατεργασιών. Η τιμή σε αυτό το διάστημα είναι περίπου 3200 Ν. Σχ Καμπύλη δύναμης έλασης-χρόνου Μετά το πέρας της κατεργασίας της έλασης, η οποία είχε ως αποτέλεσμα την αλλαγή των διαστάσεων της διατομής, συγκεκριμένα τη μείωση του πάχους της και την αύξηση του πλάτους, έχουν εισαχθεί στο έλασμα παραμένουσες τάσεις λόγω της δημιουργούμενης ενδοτράχυνσης. Το προφίλ τους εμφανίζεται στο Σχ , τη χρονική στιγμή που το έλασμα έχει βγει εντελώς από το διάκενο, σε t=0.3 s. Τα απαραμόρφωτα έλαστρα επειδή δεν δέχονται τάσεις, ούτε παραμορφώσεις, δεν εμφανίζονται στα σχήματα που ακολουθούν. Επίσης, στο Σχ φαίνεται η κατεύθυνση Α-Α διάφορων τομών στο εσωτερικό του ελάσματος, οι οποίες θα παρουσιαστούν στη συνέχεια. Στα σχήματα που ακολουθούν, Σχ Σχ , παρατίθενται οι κατανομές των τάσεων και στις 3 κύριες διευθύνσεις γιατί η έναρξη της πλαστικής διαρροής είναι συνάρτηση των κύριων τάσεων και οφείλεται στην τιμή των διαφορών των κύριων τάσεων. Η χρονική στιγμή t=0.105 s αναφέρεται σε μια χρονική στιγμή κατά την οποία η έλαση είναι σε εξέλιξη. 45

46 Σχ Κατεύθυνση τομής Α-Α Εντατική κατάσταση στη Ζ-κατεύθυνση Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Ζ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s 46

47 Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα α στη Ζ κατεεύθυνση σεε χρόνο t=0.3 s. Σχ Κατανομή τάσεων σε σ μια διατομή στο μέσ σο του ελάσμ ματος, στη Ζ κατεύθυ υνση, σε χρ ρόνο t=0.3 s 47

48 Εντατική κατάσταση στην Υ κατεύθυνση Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στην Υ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s 48

49 Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στην Υ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.3 s Σχ Κατανομή τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, στην Υ κατεύθυνση, σε χρόνο t=0.3 s 49

50 Τάσεις στη Χ κατεύθυνση Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Χ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Χ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.3 s 50

51 Σχ Κατανομή τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, στη Χ κατεύθυνση, σε χρόνο t=0.3 s Στα Σχ Σχ απεικονίζονται οι τάσεις που αναπτύσσονται σε κάθε διεύθυνση σε διάφορες χρονικές στιγμές κατά την κατεργασία της έλασης. Οι τάσεις αυτές οφείλονται στους εξής παράγοντες: Όταν το έλασμα δέχεται μια δύναμη σε κάποια κατεύθυνση αναπτύσσονται και οι αντίστοιχες τάσεις σε αυτή την κατεύθυνση. Ενδεικτικό αυτής της αρχής είναι οι θλιπτικές τάσεις στην Υ διεύθυνση κατά την έλαση σε t=0.105 s, Σχ , όταν εξασκείται η συμπιεστική δύναμη έλασης για τη μείωση του πάχους. Αυτή η συμπεριφορά επηρεάζει και τις παραμορφώσεις στις διάφορες κατευθύνσεις. Προκειμένου να ισχύσει η διατήρηση του όγκου κατά την έλαση, αν π.χ. μειωθεί η διάσταση στην Υ κατεύθυνση, θα πρέπει να αυξηθούν οι διαστάσεις στις άλλες δυο διευθύνσεις Χ και Ζ ή να αυξηθεί η ταχύτητα του ελάσματος. Αυτή η ενδεχόμενη αλλαγή διαστάσεων με τη σειρά της, επιφέρει την ανάπτυξη ανάλογων τάσεων στο έλασμα. Για παράδειγμα, με τη μείωση του πάχους του 51

52 ελάσματος στη διεύθυνση Υ, έχουμε αύξηση του πλάτους στη διεύθυνση Ζ και παρατηρούμε εφελκυστικές τάσεις στα πλαϊνά του ελάσματος, Σχ Η αποφόρτιση του ελάσματος μετά την έξοδό του από το διάκενο της έλασης όταν πλέον δεν του ασκούνται δυνάμεις είναι σημαντικός παράγοντας για την τελική κατανομή των παραμενουσών τάσεων. Αυτή η κατάσταση απεικονίζεται στα στιγμιότυπα τη χρονική στιγμή t=0.3 s. Όταν παύουν να ασκούνται οι δυνάμεις έλασης, το έλασμα τείνει να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση, δηλαδή στις αρχικές του διαστάσεις. Αυτό όμως δε μπορεί να συμβεί καθώς έχει ξεπεραστεί το όριο διαρροής SY και το υλικό του βρίσκεται πλέον στην περιοχή της πλαστικής παραμόρφωσης, με την εισαγωγή παραμενουσών τάσεων. Η προσπάθεια επαναφοράς, δημιουργεί κάποιες τάσεις στο υλικό. Για παράδειγμα, στην Υ διεύθυνση, στο κέντρο του ελάσματος όπου είχαμε τη μεγαλύτερη συγκέντρωση θλιπτικών τάσεων κατά την κατεργασία, παρατηρείται ο σχηματισμός πυρήνα εφελκυστικών τάσεων κατά την επαναφορά, ως προσπάθεια του υλικού να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση, Σχ Επίσης, κάθε διατομή έχει διαφορετικό χρόνο αποφόρτισης και αυτό επηρεάζει τα τελικά αποτελέσματα. Η εσωτερική δομή του υλικού και οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των κόκκων του, είναι ένας ακόμα παράγοντας που επηρεάζει τις παραμένουσες τάσεις στο υλικό. Όταν ένας κόκκος του υλικού δέχεται τη δύναμη έλασης, τείνει να μετακινηθεί εξαιτίας της τάσης που δημιουργείται. Θα συναντήσει αντίσταση, όμως, από το γειτονικό του κόκκο και αυτός με τη σειρά του από άλλους κόκκους κ.ο.κ. Έτσι η μετακίνηση αυτή των αταξιών σε συνδυασμό με την πολυεντατική καταπόνηση του υλικού, θα οδηγήσει σε περιοχές όπου έχουμε συγκέντρωση θλιπτικών τάσεων και δε μπορούν να μετακινηθούν πλέον οι αταξίες, συμβάλλοντας στην ισχυροποίηση του υλικού. Η δυναμική προσομοίωση της κατεργασίας είναι και αυτή ένας παράγοντας που επηρεάζει την κατανομή των τάσεων. Παρατηρείται ότι οι παραπάνω παράγοντες επηρεάζουν όπως περιγράφηκε το μεγαλύτερο τμήμα του ελάσματος εκτός από τις 2 ακραίες περιοχές του, την αρχή δηλαδή και το τέλος του. Η διαφορετική κατανομή που παρατηρείται εκεί σε κάθε αντίστοιχο σχήμα, οφείλεται στην σύγκρουση που γίνεται μεταξύ του ελάσματος και των ελάστρων κατά την εισαγωγή κυρίως του πρώτου στο διάκενο της έλασης. Οι τάσεις που αναπτύσσονται σε αυτές τις περιοχές είναι μεγαλύτερες και έχουν ως αποτέλεσμα να υπάρχουν μεγαλύτερες τάσεις και παραμορφώσεις. Επίσης, η αντίσταση λόγω της εσωτερικής δομής του υλικού είναι διαφορετική σε αυτές τις 2 περιοχές καθώς π.χ. για την μπροστινή επιφάνεια, δεν υπάρχει υλικό μπροστά της ώστε να αλληλεπιδράσουν οι κόκκοι. Ως εκ τούτου οι κόκκοι της έχουν μεγαλύτερη ελευθερία να κινηθούν στην κατεύθυνση άσκησης των δυνάμεων. Η παραπάνω ανάλυση σε κάθε διεύθυνση ξεχωριστά είναι σημαντική και για έναν ακόμα λόγο. Οι παραμένουσες κύριες τάσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν, αν το υλικό μελετηθεί ως ανισότροπο, στον προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων του σε κάθε διεύθυνση, μέσω των καμπυλών τάσης-παραμόρφωσης σ-ε. 52

53 Ισοδύναμες τάσεις κατά Von-Mises Σχ D κατανομή ισοδύναμων τάσεων στο έλασμα σε χρόνο t=0.105 s Σχ Καμπύλη τάσης (σ) - παραμόρφωσης (ε) μετά την εισαγωγή παραμενουσών τάσεων 53

54 Σχ D κατα ανομή ισοδύ ύναμων τάσ σεων στο έλλασμα σε χρ ρόνο t=0.3 s Σχ χ Κα ατανομή ισο οδύναμων τάσεων σε μ μια διατομή στο μέσο το ου ελάσματτος, σε χρόνο t=0..3 s 54

55 Η ισοδύναμη τάση των 1.71 GPa ξεπερνά το όριο ελαστικής διαρροής SY του υλικού το οποίο είναι 1.3 GPa, επομένως σύμφωνα με το κριτήριο αστοχίας υλικού κατά Von- Mises το υλικό έχει εισέλθει στην περιοχή της πλαστικής του παραμόρφωσης και φορτίζεται πλέον με νέο νόμο, διαφορετική δηλαδή καμπύλη τάσης παραμόρφωσης από αυτή που δόθηκε ως δεδομένη με βάση τα στοιχεία του υλικού, Σχ Συγκεκριμένα, το νέο όριο διαρροής του υλικού έχει τιμή ίση με την παραμένουσα ισοδύναμη τάση. Με την αποφόρτιση υπό γωνία α με tanα= Ε, στο σημείο τομής με τον άξονα των παραμορφώσεων υπολογίζεται η ισοδύναμη παραμένουσα πλαστική παραμόρφωση. Επίσης, έγιναν προσομοιώσεις με μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα ελάσματος, v ελάσματος =48 m/min και γωνιακή ταχύτητα ελάστρου ω ελάστρου = rad/s που αντιστοιχούν σε μέγιστη επιφανειακή γραμμική ταχύτητα ελάστρου v ελάστρου =50 m/min. Τα υπόλοιπα στοιχεία της μοντελοποίησης παρέμειναν ίδια. Παρατηρήθηκε ότι με αυξημένες ταχύτητες, οι τάσεις στο έλασμα μειώθηκαν όπως φαίνεται και στο Σχ Ο χρόνος t=0.06 s, αναφέρεται σε χρόνο αποφόρτισης, μετά το τέλος της κατεργασίας έλασης. Σχ D κατανομή ισοδύναμων τάσεων σε χρόνο t=0.06 s, για την περίπτωση ταχύτητας ελάσματος v ελάσματος =48 m/min Αυτή η συμπεριφορά οφείλεται στο μικρότερο χρόνο που ήταν σε επαφή τα έλαστρα με το έλασμα εξαιτίας της μεγαλύτερης ταχύτητας της κατεργασίας. Λόγω της μεγαλύτερης ταχύτητας της κατεργασίας, αναπτύσσονται εντονότερα φαινόμενα σύγκρουσης κατά τη φάση της εισαγωγής του ελάσματος στο διάκενο της έλασης. Αποτέλεσμα αυτής της σύγκρουσης ήταν και η κακή επιφάνεια ειδικά στο μπροστά μέρος όπου και έγινε η σύγκρουση. Έτσι ενώ είναι επιθυμητή η μείωση της ταχύτητας για λόγους οικονομίας, υπάρχουν περιορισμοί όσον αφορά τις παραμένουσες τάσεις και την τελική επιφάνεια του τεμαχίου, παράμετροι που εξαρτώνται κυρίως από το ποσοστό μείωσης του πάχους. 55

56 3.2. Περίπτωση παραμορφώσιμων (deformable) ελάστρωνπαραμορφώσιμων (deformable) ελάσματος Φάση σχεδίασης στην περίπτωση παραμορφώσιμων ελάστρωνπαραμορφώσιμων ελάσματος Η βασική διαφορά αυτής της μοντελοποίησης σε σύγκριση με αυτήν της παραγράφου 3.1, είναι ότι τα έλαστρα που χρησιμοποιήθηκαν εδώ είναι παραμορφώσιμα, μπορούν δηλαδή να παραλάβουν τάσεις και παραμορφώσεις. Όπως αναφέρθηκε στις παραδοχές κατά τη μοντελοποίηση της έλασης, Σελ.17, θεωρείται πάντα ότι το τόξο επαφής παραμένει κύκλος, δηλαδή ότι τα έλαστρα δεν έχουν ελαστικές ή πλαστικές παραμορφώσεις, γεγονός που μπορεί να μην ισχύει στην πραγματικότητα και έτσι να επηρεαστούν τα αποτελέσματα. Στη σχεδίαση του μοντέλου στο πρόγραμμα LS-DYNA, οι περισσότερες παράμετροι παρέμειναν ίδιες (οριακές συνθήκες, συνθήκες επαφής, καμπύλες v-t για το έλασμα, Σχ και ω-t για τα έλαστρα, Σχ , Σχ , διακριτοποίηση στο έλασμα, εξαχθέντα αρχεία κτλ.) με τις παραμέτρους που χρησιμοποιήθηκαν στην περίπτωση 3.1. Σχ Καμπύλη ω-t ελάστρου 1 56

57 Σχ Καμπύλη ω-t ελάστρου 2 Σχ Καμπύλη v-t ελάσματος Βασικές διαφοροποιήσεις στη φάση σχεδίασης του μοντέλου των παραμορφώσιμων ελάστρων συγκριτικά με αυτό των απαραμόρφωτων στην παράγραφο είναι Το υλικό που χρησιμοποιείται για τα έλαστρα είναι ένας σκληρυμένος χάλυβας αλλά δεν περιγράφεται πλέον μόνο με την πυκνότητα ρ, το μέτρο ελαστικότητας Ε και το λόγο poisson. Οι μηχανικές του ιδιότητες δίνονται από πολυγραμμικό νόμο τάσης παραμόρφωσης, η καμπύλη του οποίου δίνεται στο Σχ Αντίστοιχο νόμο ακολουθεί και το έλασμα. 57

58 Σχ Καμπύλη τάσης (σ) παραμόρφωσης (ε) ελάστρων Η καμπύλη τάσης παραμόρφωσης για το έλασμα φαίνεται στο Σχ Σχ Καμπύλη τάσης (σ) παραμόρφωσης (ε) ελάσματος 58

59 Η διακριτοποίηση των ελάστρων σε αυτή την περίπτωση δεν έγινε με στοιχεία κελύφους αλλά με στοιχεία στερεού σώματος και τον τύπο fully integrated S/R solid intended for elements with poor aspect ratio, efficient formulation. Στο πρόγραμμα του LS-DYNA όταν δηλώνεται περιστροφή σε παραμορφώσιμα σώματα πρέπει να δηλωθεί και το κέντρο περιστροφής τους με την εντολή offset. Για το κάτω έλαστρο το κέντρο περιστροφής (x, y) είναι το (0, 0) ενώ για το πάνω έλαστρο το κέντρο περιστροφής (x, y) είναι το (0, 1.329*10 5 ) Στα έλαστρα υπάρχει μια οπή στο κέντρο τους, Σχ , προκειμένου να επιτευχθεί η μετάδοση της ισχύος από τον άξονα του κινητήρα ή κάποια κοίλη άτρακτο συνδεδεμένη με αυτόν, μέσω κάποιου στοιχείου π.χ. σφήνα ή με συναρμογή σύσφιξης. Τα πλέγματα των ελάστρων έχουν καλύτερη διακριτοποίηση κοντά στις περιοχές επαφής με το έλασμα, καθώς εκείνες οι περιοχές είναι περισσότερο κρίσιμες για την ανάπτυξη των τάσεων και των παραμορφώσεων τόσο στο έλασμα όσο και στα έλαστρα. Προτιμήθηκε, λοιπόν, να μην γίνει μια ομοιόμορφη διακριτοποίηση στα έλαστρα, αλλά να τοποθετηθούν περισσότερα στοιχεία κοντά στην επαφή, ώστε να προκύψουν ακριβέστερα αποτελέσματα μέσω του πυκνότερου πλέγματος. Στο έλασμα από την άλλη πλευρά διατηρήθηκε η ίδια διακριτοποίηση με την περίπτωση 3.1, όπως παρουσιάζεται και στον Πίνακα και απεικονίζεται στο Σχ , προκειμένου να είναι εφικτή η άμεση σύγκριση των δυο περιπτώσεων και να μην υπάρχει η αμφιβολία ότι πιθανές διαφορές οφείλονται σε διαφορετική διακριτοποίηση του πλέγματος. Παρατηρείται στη Λεπτομέρεια Α, Σχ , ότι το έλασμα έχει τοποθετηθεί λίγο πριν το διάκενο μεταξύ των ελάστρων και τα έλαστρα είναι ήδη μετατοπισμένα στο ύψος που θα επιτευχθεί η τελική μείωση του πάχους του ελάσματος. Θα μπορούσε να τοποθετηθεί το έλασμα στο διάκενο, αρχικά να κατέβαιναν τα έλαστρα και να συμπίεζαν το έλασμα και εν συνεχεία με την περιστροφή τους να το οδηγούσαν στην έξοδο με μείωση του πάχους του. Επιλέχθηκε η πρώτη στρατηγική γιατί με τη δεύτερη θα είχαμε κακή επιφάνεια με ανομοιομορφίες λόγω της αρχικής πολύ μεγάλης συμπίεσης στο έλασμα. 59

60 Σχ Γεωμετρία των τεμαχίων και κινηματική της κατεργασίας Έλασμα Κατεύθυνση Χ Κατεύθυνση Υ Κατεύθυνση Ζ Αριθμός elements Μήκος elements Συνολικός αριθμός elements 125*37*37= elements Πίνακας Στοιχεία διακριτοποίησης ελάσματος 60

61 Στο Σχ , απεικονίζεται το κατασκευαστικό σχέδιο των ελάστρων και ολόκληρου του μοντέλου. Σχ Διαστάσεις τεμαχίου και εργαλείων στη μοντελοποίηση της κατεργασίας. Στο Σχ απεικονίζεται η διακριτοποίηση του ελάσματος καθώς και η μορφή του, πριν να αρχίσει η κατεργασία της έλασης. 61

62 Σχ Διακριτοποίηση ελάσματος Στάδιο τελικής επεξεργασίας Με τον επιλυτή (solver) του προγράμματος LS-DYNA, έγινε η επίλυση των δεδομένων που εισήχθησαν στο στάδιο της σχεδίασης (pre-processing) και ακολούθησε η επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Έτσι μπορούμε να δούμε τι συμβαίνει με τις τάσεις, την τιμή και την κατανομή τους, τώρα πλέον και στα έλαστρα, με τις παραμορφώσεις, τις δυνάμεις συναρτήσει του χρόνου και άλλα αποτελέσματα. Αφού σχολιασθούν τα αποτελέσματα, θα γίνει σύγκριση με την περίπτωση των απαραμόρφωτων ελάστρων ώστε να δούμε ποιο μας δίνει καλύτερα αποτελέσματα και σε ποιο χρόνο. Στο Σχ δίνεται η δύναμη έλασης κατά την κατεργασία για τη χρονική διάρκεια επίλυσης του μοντέλου. Αν συγκριθεί με την αντίστοιχη καμπύλη του Σχ θα παρατηρηθεί μια πολύ καλή προσέγγιση αποτελεσμάτων. Σχ Καμπύλη δύναμης έλασης-χρόνου 62

63 Τάσεις στη Ζ κατεύθυνση Σε μια χρονική στιγμή κατά την οποία βρίσκεται σε εξέλιξη η κατεργασία της έλασης, όπως έχει επιλεγεί για t=0.105 s, το έλασμα βρίσκεται ανάμεσα από τα παραμορφώσιμα έλαστρα, στο διάκενο της έλασης, και φορτίζεται με μια πολυαξονική εντατική κατάσταση. Πιέζεται με τη δύναμη έλασης στην κατεύθυνση Υ και τη δύναμη τριβής στην κατεύθυνση Χ και τείνει να μεγαλώσει κυρίως στην κατεύθυνση του πλάτους Ζ, όπως φαίνεται στο τελικό αποτέλεσμα αλλά και από την κατανομή των τάσεων, Σχ Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Ζ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s Αν συγκριθεί η κατανομή των τάσεων στο Σχ με την αντίστοιχη κατανομή που αναπτύχθηκε στην περίπτωση των απαραμόρφωτων ελάστρων, Σχ.3.1.9, διαπιστώνεται ότι τα αποτελέσματα είναι σχεδόν ταυτόσημα. Η εξήγηση και σε αυτή την περίπτωση είναι ότι οι τάσεις κατά την εμπλοκή τείνουν να μεγαλώσουν το πλάτος του ελάσματος στη Ζ κατεύθυνση. Και στις υπόλοιπες κατευθύνσεις Χ και Υ αλλά και σε όψεις και τομές σε όλες τις κατευθύνσεις και χρονικές στιγμές, παρατηρήθηκε μια ταύτιση στις τιμές των τάσεων και στην κατανομή τους ανάμεσα στις δυο περιπτώσεις 3.1 και 3.2. Ως εκ τούτου δεν κρίνεται σκόπιμο να παρουσιαστούν εκτεταμένα οι κύριες τάσεις σε αυτή την παράγραφο, καθώς ουσιαστικά έχει επαναληφθεί η ανάλυση στην περίπτωση των απαραμόρφωτων ελάστρων, παράγραφος 3.1. Παρατίθεται μόνο η κατανομή των ισοδύναμων τάσεων μετά την αποφόρτιση του ελάσματος σε χρόνο t=0.3 s. Σε αυτή την περίπτωση παρατηρείται μια παρεμφερής κατανομή των ισοδύναμων τάσεων μετά την πλήρη αποφόρτιση του ελάσματος, σε σχέση με την περίπτωση των απαραμόρφωτων ελάστρων. 63

64 Σχ D κατανομή ισοδύναμων τάσεων στο έλασμα σε χρόνο t=0.3 s Σχ Κατανομή ισοδύναμων τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, σε χρόνο t=0.3 s 64

65 Μια διαφοροποίηση της τρισδιάστατης κατανομής ισοδύναμων τάσεων, Σχ είναι στην πάνω επιφάνεια, όπου οι τάσεις φαίνεται να εμφανίζουν κάποια περιοδικότητα αλλά και μια μικρή αλλαγή στα πλάγια του ελάσματος. Αυτές οι μικροδιαφορές οφείλονται σε ορισμένες μη γραμμικότητες που έχουν εισαχθεί στην επίλυση λόγω της παραμόρφωσης που λαμβάνουν τα έλαστρα. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των κόκκων του υλικού, οι δυνάμεις και οι υπόλοιποι παράγοντες που σχολιάστηκαν στην παράγραφο 3.1.2, Σελ.46-47, καθορίζουν το τελικό αποτέλεσμα της κατανομής των τάσεων και στην μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα έλαστρα. Στην περίπτωση που μελετάται, όπως έχει προαναφερθεί, τα έλαστρα παραλαμβάνουν και αυτά τάσεις αφού έχουν μοντελοποιηθεί ως παραμορφώσιμα. Αναμενόταν, λοιπόν, να παίξουν ρόλο στη διαφορετική κατανομή των τάσεων του ελάσματος. Παρατηρήθηκε, όμως, ότι οι τάσεις ουσιαστικά έμειναν ίδιες και αυτό οφείλεται στις χαμηλές τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται στα έλαστρα, Σχ Σχ Κατανομή ισοδύναμων εναπομενουσών τάσεων στα έλαστρα μετά το τέλος της κατεργασίας Πράγματι, οι ισοδύναμες τάσεις των ελάστρων είναι πρακτικά μηδενικές, της τάξης των 10-4 GPa, και γι αυτό το λόγο δεν αλλάζουν τις τάσεις που αναπτύσσονται στα έλαστρα. 65

66 3.3. Σύγκριση των αποτελεσμάτων για μοντελοποίηση των ελάστρων ως απαραμόρφωτα και ως παραμορφώσιμα. Από το παραπάνω αποτέλεσμα για την κατανομή των τάσεων στα έλαστρα, προκύπτει το συμπέρασμα ότι τα έλαστρα δε φορτίζονται σημαντικά και δε διαφοροποιούν τις τάσεις στο έλασμα, ως εκ τούτου δεν υπάρχει κρίσιμος λόγος να μοντελοποιηθούν ως παραμορφώσιμα. Επίσης, με τα παραμορφώσιμα έλαστρα, αυξάνεται σημαντικά ο χρόνος επίλυσης και υπάρχει περίπτωση να μειώνεται η ακρίβεια της διακριτοποίησης στο έλασμα. Αυτό είναι πιθανό να συμβαίνει γιατί υπάρχει περιορισμός όσον αφορά τον μέγιστο αριθμό των στοιχείων που θα χρησιμοποιηθούν, μέχρι τις περίπου, λόγω των υπολογιστικών δυνατοτήτων. Τα έλαστρα, όμως, θέλουν και αυτά μια σχετικά καλή διακριτοποίηση με αρκετά στοιχεία. Έτσι είναι πιθανό να μειωθούν τα διαθέσιμα στοιχεία για το έλασμα, με αποτέλεσμα να υπάρχει αραιό πλέγμα με στοιχεία μεγαλύτερων διαστάσεων και τα τελικά αποτελέσματα να είναι λιγότερο ακριβή. Γενικότερα πάντως, πρέπει να επισημανθεί ότι είναι χρήσιμη η μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα έλαστρα μιας και αυτά αντιπροσωπεύουν μια πραγματική κατάσταση. Σίγουρα στην πραγματικότητα τα έλαστρα φθείρονται εξαιτίας των τάσεων που αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια της κατεργασίας, άλλες φορές πιο έντονα και άλλες λιγότερο έντονα. Έτσι με τέτοιες μεθοδολογίες προσομοίωσης, μπορεί να υπολογιστεί η φθορά των ελάστρων μετά από κάποιο συγκεκριμένο αριθμό κύκλων φόρτισης. Άρα γενικά η προσομοίωση των εργαλείων έλασης ως παραμορφώσιμα είναι ένα στοιχείο που μπορεί να φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο στη μελέτη φθοράς και τάσεων υπό ορισμένες συνθήκες. Μέχρι στιγμής αυτό που έχει παρουσιασθεί είναι μια αναλυτική μοντελοποίηση της έλασης με παραμετρικό τρόπο. Οι μηχανικές ιδιότητες, οι οριακές συνθήκες και η κινηματική του προβλήματος είναι παραμετροποιημένες και μπορούν να αλλάξουν από το χρήστη μέσω του περιβάλλοντος εργασίας ή μέσω του κώδικα που σχηματίζεται στο LS-DYNA σε μορφή αρχείου keyword (.k). Έγινε σαφής διαχωρισμός ανάμεσα σε 2 περιπτώσεις, που αναπτύχθηκαν στις παραγράφους 3.1 και 3.2, για απαραμόρφωτα και παραμορφώσιμα εργαλεία, αντικείμενο το οποίο προβληματίζει τους προγραμματιστές στον τομέα των κατεργασιών. Σχολιάστηκαν τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα της κάθε επιλογής κάτω από τις συγκεκριμένες παραμετρικές συνθήκες και τα αποτελέσματα αποτελούν εργαλείο για την καλύτερη επιλογή του τύπου των ελάστρων. Επίσης δόθηκε αναλυτική περιγραφή των παραμενουσών τάσεων, τόσο σε κάθε διεύθυνση ξεχωριστά όσο και συνολικά των ισοδύναμων τάσεων. Με τα αποτελέσματα στις 2 περιπτώσεις που έχουν μελετηθεί, έγινε σαφές ότι δεν καλύπτει τέτοια προβλήματα η θεωρία που βασίζεται στο 2D-μοντέλο με τις παραδοχές που γίνονται και δεν ισχύουν στην περίπτωση που μελετάται αλλά και σε πληθώρα παρόμοιων περιπτώσεων. Για αυτό το λόγο έγινε κατανοητή η αναγκαιότητα μιας τέτοιας τρισδιάστατης (3D) μοντελοποίησης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) καθώς μόνο έτσι δύναται να έχουμε τα αναλυτικά αποτελέσματα για τις παραμένουσες τάσεις. Η σύνθετη πολύ-αξονική φόρτιση που οδηγεί σε πολυεντατική κατάσταση με σύνθετες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των κόκκων του υλικού, η δυνατότητα να γίνουν τομές στο εσωτερικό του ελάσματος και να παρατηρηθεί αν υπάρχει ομοιομορφία ή όχι, όπως επίσης και η δυνατότητα να μελετηθούν οι διαφορές σε διαφορετικούς χρόνους αποφόρτισης, ενισχύουν την άποψη ότι μόνο με ένα 3D-FEΑ μοντέλο είναι δυνατόν να υπάρξει πλήρης απεικόνιση των ισοδύναμων παραμενουσών τάσεων στο έλασμα. 66

67 3.3. Περίπτωση απαραμόρφωτων (rigid) ελάστρων μορφήςπαραμορφώσιμου (deformable) ελάσματος Φάση σχεδίασης στην περίπτωση απαραμόρφωτων ελάστρων μορφήςπαραμορφώσιμου ελάσματος Στις προηγούμενες περιπτώσεις, δηλαδή τις περιπτώσεις των παραγράφων 3.1 και 3.2, μετά την κατεργασία της έλασης με τη μείωση του πάχους του ελάσματος, αυξήθηκε το πλάτος του. Ο σκοπός αυτών των προσομοιώσεων δεν ήταν η τόσο η μελέτη της διαστατικής ακρίβειας αλλά ήταν περισσότερο ο υπολογισμός των παραμενουσών τάσεων στο έλασμα. Σε αυτή την περίπτωση της παραγράφου 3.3, διαφοροποιείται ο σκοπός της μελέτης των δυο προηγούμενων περιπτώσεων και τίθεται ένας νέος προβληματισμός. Τι συμβαίνει στην περίπτωση που θέλουμε να πετύχουμε συγκεκριμένες διαστάσεις μετά την έλαση με ταυτόχρονη εισαγωγή παραμενουσών τάσεων στο έλασμα. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι η χρήση ελάστρων με ειδική γεωμετρία, αντίστοιχη του επιθυμητού τελικού τεμαχίου, που ονομάζονται έλαστρα μορφής. Σε μια υπόθεση εργασίας, στο ίδιο έλασμα τετραγωνικής διατομής 2x2 mm 2, έστω ότι πρέπει να επιτευχθεί μια μικρή σχετικά μείωση της τάξης των 20 μm στο πάχος του ελάσματος, από τα 2000 μm στα 1980 μm. Ταυτόχρονα όμως, το πλάτος είναι επιθυμητό να παραμείνει αμετάβλητο στα 2000 μm. Στην παράγραφο αναπτύχθηκε η σύγκριση μεταξύ της μοντελοποίησης για απαραμόρφωτα και παραμορφώσιμα έλαστρα. Προέκυψε το συμπέρασμα ότι η προσομοίωση με απαραμόρφωτα έλαστρα είναι προτιμότερη, καθώς λαμβάνονται τα ίδια σχεδόν αποτελέσματα σε μικρότερο χρόνο επίλυσης, αυξάνεται η ακρίβεια της διακριτοποίησης των ελάστρων αλλά και του ελάσματος που κυρίως ενδιαφέρει. Από την άλλη πλευρά, τα παραμορφώσιμα έλαστρα ναι, μεν, ανταποκρίνονται στις πραγματικές συνθήκες όπου δέχονται τάσεις αλλά είναι τόσο μικρές που δεν επηρεάζουν το αποτέλεσμα της κατανομής των τάσεων στο έλασμα ενώ αυξάνουν το χρόνο επίλυσης. Συνεπώς, η μοντελοποίηση των ελάστρων μορφής θα γίνει με απαραμόρφωτα έλαστρα και επομένως η διακριτοποίηση τους με στοιχεία κελύφους (shell elements). Επιπλέον, επειδή η μείωση του πάχους είναι μικρότερη, αναμένονται μικρότερες παραμένουσες τάσεις και γενικά χαμηλότερες τάσεις στο έλασμα κατά τη διάρκεια της κατεργασίας. Το κατασκευαστικό σχέδιο των ελάστρων όπως σχεδιάστηκε στο περιβάλλον του προγράμματος LS-DYNA με τις ειδικές εντολές σχεδιασμού που διαθέτει, παρατίθεται στο Σχ Η διάμετρος Φ128 που έχει σχεδιαστεί είναι η εσωτερική ακτίνα των ελάστρων κατά τη σχεδίασή τους στο LS-DYNA. Επειδή τα έλαστρα έχουν διακριτοποιηθεί με στοιχεία κελύφους, η τιμή της εσωτερικής αυτή διαμέτρου δεν έχει μεγάλη σημασία, όσο μεγαλύτερη είναι, τόσο καλύτερη η διακριτοποίηση στα έλαστρα. Η ακτίνα έχει διατηρηθεί σταθερή, r=65.7 mm και με βάση τη μαθηματική σχέση που αναφέρθηκε στη θεωρία η γωνία εμπλοκής είναι πλέον: 67

68 Σχ Σχηματική γεωμετρική παράσταση των ελάστρων μορφής Επίσης, υπάρχει αυτή η πλευρική προέκταση των ελάστρων κατά 985 μm το καθένα εξού και η διάσταση 2*65.7+2*0.985= mm. Υπάρχει ένα κενό 10 μm ανάμεσα στα έλαστρα ώστε να μην υπάρχει μεταλλική τριβή μεταξύ τους. Με απλή μαθηματική πράξη επαλήθευσης, 985 μm +985 μm +10 μm = 1980 μm όσο δηλαδή και το τελικό επιθυμητό πάχος του ελάσματος. Τέλος, κάτω δεξιά έχει καταχωρηθεί και η διάσταση των 2 mm που είναι το πλάτος του ελάσματος που παραμένει αμετάβλητο και μετά την έλαση. Μια τρισδιάστατη (3D) απεικόνιση του συστήματος έλαστρα-έλασμα για καλύτερη κατανόηση της γεωμετρίας και της κινηματικής έχει καταχωρηθεί στο Σχ

69 Σχ D απεικόνιση της κινηματικής της κατεργασίας Στο Σχ απεικονίζεται η διακριτοποίηση του ελάσματος καθώς και η μορφή του, πριν να αρχίσει η κατεργασία της έλασης. Σχ Διακριτοποίηση ελάσματος Σχετικά με τις υπόλοιπες παραμέτρους που καθορίζονται στη φάση της σχεδίασης του μοντέλου (pre-processing) αξίζει να αναφερθεί ότι χρησιμοποιήθηκαν τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά όπως και στην περίπτωση Τα στοιχεία της διακριτοποίησης π.χ. 69

70 μέγεθος στοιχείων, τύπος στοιχείων, οι οριακές συνθήκες που παρατίθενται στα Σχ Σχ και οι συνθήκες επαφής. Σχ Καμπύλη ω-t ελάστρου 1 Σχ Καμπύλη ω-t ελάστρου 2 70

71 Σχ Καμπύλη v-t ελάσματος Οι μηχανικές ιδιότητες των ελάστρων οι οποίες απεικονίζονται στον Πίνακα 3.3.1: ζητούνται και στον κώδικα, Πυκνότητα ρ (kg/m 3 ) 7850 Μέτρο ελαστικότητας Ε (GPa) 210 Λόγος Poisson 0.3 Πίνακας Απαιτούμενες από τον κώδικα, μηχανικές ιδιότητες ελάστρων Όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, οι μηχανικές ιδιότητες του ελάσματος δίνονται από την καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης σ-ε στο Σχ Το όριο διαρροής σε αυτή την περίπτωση είναι SY=1 GPa και το όριο θραύσης SM=1.35 GPa. 71

72 Σχ Καμπύλη τάσης (σ) παραμόρφωσης (ε) ελάσματος Στον Πίνακα παρατίθεται ένας συγκεντρωτικός πίνακας όπου περιλαμβάνονται όλες οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν στην προσομοίωση. Ακτίνα ελάστρων r 65.7 mm Πλάτος ελάστρων b 3 mm Μήκος ελάσματος l ο 10 mm Πλάτος ελάσματος b ο 2 mm Αρχικό πάχος ελάσματος h ο 2 mm Τελικό επιθυμητό πάχος ελάσματος h mm Μείωση πάχους (%) 1% Αρχική ταχύτητα ελάσματος v o 4.8 m/min Γωνιακή ταχύτητα ελάστρων rad/s Γραμμική επιφανειακή ταχύτητα ελάστρων 5 m/min Στατικός συντελεστής τριβής μ 0.1 Πίνακας Συγκεντρωτικός πίνακας με τις παραμέτρους που επιλέχθηκαν για την προσομοίωση της έλασης με έλαστρα μορφής 72

73 Στάδιο τελικής επεξεργασίας Με τον επιλυτή του LS-DYNA λαμβάνονται και εδώ τα αποτελέσματα για τις παραμένουσες τάσεις. Αναμένονται χαμηλότερες τάσεις που θα οφείλονται στη μικρότερη μείωση του πάχους σε σχέση με τις προηγούμενες μοντελοποιήσεις στις παραγράφους 3.1 και 3.2. Η ιδιομορφία αυτής της περίπτωσης είναι ότι με τη μείωση του πάχους δεν αυξάνεται η διάσταση του πλάτους, υπάρχει δηλαδή μια επιπλέον οριακή συνθήκη στο πρόβλημα. Εντατική κατάσταση στη Ζ κατεύθυνση Οι τάσεις στη Ζ κατεύθυνση, Σχ Σχ , οφείλονται στην κινητική του προβλήματος. Το έλασμα αρχικά πιέζεται στην Υ κατεύθυνση από τα έλαστρα με σκοπό να δημιουργηθούν θλιπτικές τάσεις στην Υ κατεύθυνση. Λόγω αυτής της κίνησης, το έλασμα τείνει να αυξήσει τη διάστασή του στην Ζ κατεύθυνση. Όμως, εκεί θα συναντήσει αντίσταση από τα πλευρικά τοιχώματα των ελάστρων μορφής και τελικά το πλάτος του θα παραμείνει αμετάβλητο. Έτσι, θα αναπτυχθούν τάσεις και εξαιτίας της οριακής αυτής συνθήκης, οι οποίες όπως φαίνεται στην περιοχή της επαφής είναι θλιπτικές. Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Ζ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s 73

74 Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Ζ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.3 s Σχ Κατανομή τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, στη Ζ κατεύθυνση, σε χρόνο t=0.3 s 74

75 Τάσεις στην Υ κατεύθυνση Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στην Υ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στην Υ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.3 s 75

76 Σχ Κατανομή τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, στην Υ κατεύθυνση, σε χρόνο t=0.3 s 76

77 Τάσεις στη Χ κατεύθυνση Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Χ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.105 s Σχ D κατανομή τάσεων στο έλασμα στη Χ κατεύθυνση σε χρόνο t=0.3 s 77

78 Σχ Κατανομή τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, στη Χ κατεύθυνση, σε χρόνο t=0.3 s 78

79 Τάσεις κατά Von-Mises Όπως έχει αναφερθεί και σε προηγούμενες παραγράφους, η κατανομή τάσεων που ενδιαφέρει κυρίως και από την οποία μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για τη φόρτιση του υλικού, είναι η κατανομή των ισοδύναμων τάσεων ή τάσεων κατά Von- Mises. Από αυτήν επίσης εξάγονται συμπεράσματα για τις παραμένουσες τάσεις και για το νέο νόμο κράτυνσης του υλικού του ελάσματος. Σχ D κατανομή ισοδύναμων τάσεων στο έλασμα σε χρόνο t=0.105 s 79

80 Στις παραγράφους 3.1 και 3.2 είχε σχολιαστεί ότι υπάρχει μια ομοιόμορφη κατανομή των ισοδύναμων τάσεων σε όλο σχεδόν το μήκος του κατεργασμένου τεμαχίου με εξαίρεση τις περιοχές στην αρχή και το τέλος του, Σχ και Σχ Εδώ συναντάται μια διαφορετική κατανομή, με χαμηλότερες σαφώς παραμένουσες τάσεις οι οποίες εκτείνονται σε μικρές περιοχές. Κυρίως υπάρχει συγκέντρωση τάσεων στις γωνίες του ελάσματος, Σχ Για όλες τις κατανομές των κύριων και των ισοδύναμων τάσεων, Σχ Σχ , ευθύνονται οι παράγοντες που αναπτύχθηκαν στην παράγραφο 3.1, Σελ.46-47, ενώ επιπλέον ισχύει και η οριακή συνθήκη του σταθερού πλάτους με την εφαρμογή πίεσης από τα έλαστρα μορφής στα πλαϊνά του ελάσματος. Έτσι δημιουργείται μια νέα πολύ-αξονική εντατική κατάσταση η οποία επηρεάζει σημαντικά τις κινήσεις των κόκκων μέσα στο υλικό και δημιουργεί περιοχές διαφορετικής φόρτισης. Οι τάσεις που παραμένουν τελικά στο έλασμα, είναι πολύ χαμηλές, σχεδόν μηδενικές στο μεγαλύτερο τμήμα του ελάσματος. Όπως προαναφέρθηκε, αυτό οφείλεται στο συνδυασμό των υψηλών μηχανικών ιδιοτήτων του υλικού και της μικρής μείωσης πάχους κατά 20 μm. Για μεγαλύτερες μειώσεις παχών υπάρχουν πολύ μεγάλες παραμορφώσεις στο έλασμα και δημιουργούνται προβλήματα σύγκλισης της επίλυσης (distortion). Για να υπάρξουν μεγαλύτερες παραμένουσες τάσεις, μια λύση είναι η μεγαλύτερη μείωση του πάχους σε διαδοχικά περάσματα με την ίδια σχεδίαση που παρουσιάστηκε στην παράγραφο Σχ D κατανομή ισοδύναμων τάσεων στο έλασμα σε χρόνο t=0.3 s 80

81 Σχ Κατανομή ισοδύναμων τάσεων σε μια διατομή στο μέσο του ελάσματος, σε χρόνο t=0.3 s Από τα παραπάνω αποτελέσματα γίνεται αντιληπτή η χρησιμότητα των πεπερασμένων στοιχείων στην ανάλυση των παραμενουσών τάσεων κατά την κατεργασία της έλασης και ιδιαίτερα στην περίπτωση της έλασης με έλαστρα μορφής. Αυτή η κατανομή οφειλόμενη στην αλληλεπίδραση των κόκκων του υλικού και στις εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται δε μπορεί να προβλεφθεί με αναλυτικά μαθηματικά μοντέλα ούτε με FEΑ μοντέλα τα οποία δεν είναι τρισδιάστατα. Μόνο με μια 3D-FEM προσομοίωση μπορούμε να έχουμε την ακριβή απεικόνιση των παραμενουσών τάσεων. Είναι μια κατανομή που δε μπορεί να προβλεφθεί εκ των προτέρων και ο μηχανικός που διεξάγει την κατεργασία πρέπει να τη λάβει υπόψη του. 81

82 4. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΝΑΠΟΜΕΝΟΥΣΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΚΟΠΤΙΚΩΝ ΔΙΣΚΩΝ ΜΕΣΩ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ 3D-FEA ΜΟΝΤΕΛΑ. 4.1 Εισαγωγή Κυκλικοί κοπτικοί δίσκοι (circular saw blades) μορφοποιούνται με έλαση για να βελτιώσουν τη στατική και δυναμική συμπεριφορά τους. Η πλαστική παραμόρφωση και η σκλήρυνση με ενδοτράχυνση στην περιοχή της έλασης προκαλούν παραμένουσες τάσεις στο δίσκο, οι οποίες επιδρούν στη στατική στιβαρότητα και τις φυσικές ιδιοσυχνότητες του δίσκου. Οι κοπτικοί δίσκοι είναι ευρέως διαδεδομένοι στην κοπή ξύλου αλλά και σε άλλες εφαρμογές. Χρησιμοποιούνται σε διάφορες μορφές και μεγέθη, από εργαλεία χειρός μέχρι μεγάλα κέντρα κατεργασίας (CNC μηχανές). Η μεταχείριση του υλικού στην παραγωγή κοπτικών δίσκων προσαρμόζεται ανάλογα με την εφαρμογή του δίσκου, δηλαδή τις απαιτήσεις της ποιότητας κοπής. Εκτός από το σχήμα των δοντιών, το υλικό τους και το χώρο για το απόβλιττο, οι αξονικές δονήσεις των κοπτικών δίσκων έχουν μεγάλη επίδραση στην ποιότητα των ακμών και της επιφάνειας που κατεργάζονται. Οι αυξημένες απαιτήσεις σε ποιότητα, απόδοση κοπής και καλύτερη διαχείριση στις φυσικές πηγές του υλικού απαιτούν λεπτούς, σταθερούς κοπτικούς δίσκους με πολύ μικρά εύρη αξονικών δονήσεων και υψηλές δυνατότητες απόσβεσης. Αυτές οι ιδιότητες παίζουν σημαντικό ρόλο, εξ αιτίας των υψηλών περιστροφικών ταχυτήτων λειτουργίας τους. Εξ αιτίας του εύρους των υψηλών περιστροφικών ταχυτήτων λειτουργίας, είναι πιθανόν η περιστροφική συχνότητα να συμπέσει με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, οδηγώντας σε συντονισμό. Η επίτευξη σταθερής δυναμικής συμπεριφοράς των κοπτικών δίσκων κατά τη διάρκεια της κοπής απαιτεί υψηλή στατική στιβαρότητα και υψηλό συντελεστή απόσβεσης για τους δίσκους από χάλυβα. Για να επιτευχθεί αυτός ο σκοπός, δεν είναι μόνο απαραίτητο να επιλεγεί σωστά το υλικό του δίσκου αλλά να διεξαχθούν και θερμικές κατεργασίες για την αύξηση της σκληρότητας και των μηχανικών ιδιοτήτων των δίσκων. Επιπρόσθετα, οι θερμικές και φυγοκεντρικές τάσεις που λαμβάνουν χώρα κατά τη διαδικασία κοπής επηρεάζουν αρνητικά τη δυναμική συμπεριφορά του δίσκου. Η προένταση του δίσκου με έλαση και συνεπώς η εισαγωγή παραμενουσών τάσεων στο υλικό είναι μια εμπειρική και επιστημονικά αποδεκτή μέθοδος βελτίωσης της στατικής και δυναμικής συμπεριφοράς τους. Η προένταση με έλαση μπορεί να μειώσει το πάχος των δίσκων μέχρι και 40% συγκριτικά με αυτούς που δεν έχουν ελασθεί. Η παλαιότερη γνωστή μέθοδος για τη δημιουργία παραμενουσών τάσεων σε κυκλικούς δίσκους βασίζεται στη δημιουργία τάσεων στην κεντρική ζώνη με σφυρηλασία. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος είναι πολύ ανακριβής καθώς ούτε η εφαρμοζόμενη δύναμη, ούτε ο ακριβής χρόνος έκθεσης στη δύναμη είναι προκαθορισμένα. Για αυτό το λόγο, το 1955 το Institute for Tool Research στο Remscheid άρχισε να αναπτύσσει μια ενοποιημένη διαδικασία για την εισαγωγή παραμενουσών τάσεων σε κυκλικούς κοπτικούς δίσκους. 82

83 Σχ. 4.1 Φωτογραφία κοπτικού δίσκου εμπορίου, με εμφανή τα ίχνη έλασης 4.2. Φάση σχεδίασης μοντέλου για την έλαση κυκλικού δίσκου. Οι διαστάσεις του δίσκου που μελετάται, παρατίθενται στον Πίνακα 4.1 : Εξωτερική διάμετρος d out (mm) 10 Εσωτερική διάμετρος d in (mm) 1 Πάχος δίσκου b (mm) 1 Πίνακας 4.1 Διαστάσεις κοπτικού δίσκου 83

84 Οι παραπάνω διαστάσεις απεικονίζονται στο κατασκευαστικό σχέδιο του δίσκου, Σχ. 4.2: Σχ. 4.2 Κατασκευαστικό σχέδιο κοπτικού δίσκου Η κινηματική του προβλήματος είναι η εξής: Ο δίσκος βρίσκεται σε μια οριζόντια θέση παράλληλα προς το έδαφος και στηρίζεται μέσω αξονικής στερέωσης από έναν άξονα στην κατεύθυνση Ζ. Ο δίσκος έχει τη δυνατότητα να περιστραφεί ελεύθερα. Υπάρχουν 2 έλαστρα που στηρίζονται σε 2 βηματικούς κινητήρες, τα οποία βρίσκονται σε μια συγκεκριμένη κατακόρυφη απόσταση στον άξονα Ζ και περιστρέφονται στην κατεύθυνση Χ. Οι διαστάσεις των ελάστρων όπως προέκυψαν από τις μαθηματικές σχέσεις που βασίζονται στη γεωμετρία και έχουν παρουσιασθεί σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις που μελετήθηκαν, παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.2: Διάμετρος ελάστρων (mm) 15 Πλάτος ελάστρων b (mm) 1 Πίνακας 4.2 Διαστάσεις ελάστρων και στοιχεία γεωμετρίας μοντέλου 84

85 Τα παραπάνω δεδομένα περιγράφονται στο Σχ. 4.3 στο οποίο παρουσιάζεται το κατασκευαστικό σχέδιο των ελάστρων. Τα γεωμετρικά δεδομένα του Πίνακα 4.2 είναι εμφανή και στην τρισδιάστατη (3D) παράσταση του ελάστρου στο Σχ Σχ. 4.3 Κατασκευαστικό σχέδιο ελάστρων 85

86 Σχ D απεικόνιση της γεωμετρίας των ελάστρων Όσον αφορά τη διακριτοποίηση, γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι επειδή οι διαστάσεις είναι αρκετά μεγάλες, η διακριτοποίηση με μικρά στοιχεία προκειμένου να προκύψουν ικανοποιητικά αποτελέσματα που να προσεγγίζουν την πραγματικότητα, είναι ιδιαίτερα δυσχερής. Για παράδειγμα, για να διακριτοποιηθεί όλος ο όγκος του δίσκου θα έπρεπε το μήκος των στοιχείων να είναι της τάξης του ενός (1) mm σε κάθε κατεύθυνση, οπότε η διακριτοποίηση δε θα έδινε αποτελέσματα καλής ακρίβειας. Όλα αυτά με βασικό δεδομένο το όριο της υπολογιστικής ικανότητας του διαθέσιμου υπολογιστή, το οποίο είναι περίπου στοιχεία. Η έλαση του δίσκου δε θα γίνει σε ολόκληρη την επιφάνειά του, αλλά σε μια διατομή του, περιορισμένων διαστάσεων σε σχέση με τις διαστάσεις ολόκληρου του δίσκου. Αυτό το στοιχείο λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση, για να αποφευχθεί το παραπάνω πρόβλημα με το μέγεθος της διακριτοποίησης. Σχεδιάζεται στο LS-DYNA η γεωμετρία μόνο της διατομής εκείνης που θα ελασθεί. Οι διαστάσεις αυτού του τμήματος δίνονται συνοπτικά στον Πίνακα 4.3. Σύμφωνα με διάφορες μελέτες, έχει παρατηρηθεί ότι υπάρχει μια βέλτιστη ακτίνα για την οποία η ίδια εφαρμοζόμενη πίεση αποφέρει μεγαλύτερες τάσεις. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι αυτή η ακτίνα είναι μεταξύ 0.6 και 0.72 της εξωτερικής ακτίνας του δίσκου. Εν προκειμένω δηλαδή, με μια διάμετρο έλασης 6.5 mm ενώ η διάμετρος του δίσκου είναι 10 mm θα επιτευχθούν με την ίδια δύναμη, μεγαλύτερες παραμένουσες τάσεις. 86

87 Εξωτερική διάμετρος διατομής d out (mm) 6.5 Εσωτερική διάμετρος διατομής d in (mm) 5.5 Πάχος διατομής b (mm) 1 Πίνακας 4.3 Διαστάσεις της διατομής του δίσκου που θα γίνει η έλαση Σχεδιάζεται λοιπόν αυτή η περιοχή του δίσκου και προσομοιώνεται το υπόλοιπο υλικό με ελατήρια στιβαρότητας k ίση με το μέτρο ελαστικότητας E του υλικού του δίσκου, δηλαδή Ε=210 GPa. Με αυτή τη μεθοδολογία αναπτύσσεται μια ισοδύναμη κατάσταση κατά την οποία το υλικό εκτός της περιοχής της έλασης έχει προσομοιωθεί με ελατήρια στιβαρότητας k για να ληφθεί υπόψη η αντίσταση που παρέχει στο υλικό στην περιοχή της έλασης. Φυσιολογικά, το υλικό σε αυτή τη διαδικασία δε μπορεί να διαρρεύσει στην κατεύθυνση του πλάτους. Όμως αυτό θα συνέβαινε αν δεν προσομοιωνόταν με κάποιο τρόπο και η στιβαρότητα του υλικού εκτός περιοχής έλασης. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιήθηκαν τα ελατήρια, για να δωθεί η αντίσταση που χρειάζεται το υλικό της περιοχής που κατεργαζόμαστε και να μειωθεί μόνο το πάχος του με την αντίστοιχη ενδοτράχυνση και σκλήρυνσή του. Η στιβαρότητα των ελατηρίων είναι ίση με το μέτρο ελαστικότητας του υλικού ώστε οι παραμορφώσεις κατά την κατεργασία να είναι ελαστικές. Η 3D παράσταση της διατομής του δίσκου που θα κατεργαστεί και τα ελατήρια που θα τοποθετηθούν απεικονίζονται στο Σχ Έτσι, με την αντικατάσταση υλικού μέσω ελατηρίων επιτεύχθηκε πρώτα η αύξηση της διακριτοποίησης που μπορεί να γίνει πλέον με μικρότερα στοιχεία στον δίσκο, καθώς έχει σχεδιαστεί μια σαφώς μικρότερη περιοχή. Δεύτερον, μέσω της κατάλληλης επιλογής της στιβαρότητας των ελατηρίων, το μοντέλο είναι ισοδύναμο με το μοντέλο όπου θα σχεδιαζόταν και θα μοντελοποιούταν ολόκληρη η επιφάνεια του δίσκου. Οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται πλήρως. Στον Πίνακα 4.4 και Πίνακας 4.5 παρουσιάζονται τα στοιχεία του πλέγματος με τα οποία διακριτοποιήθηκε ο δίσκος και τα έλαστρα αντίστοιχα. 87

88 Σχ D απεικόνιση της γεωμετρίας της διατομής έλασης και τοποθέτηση ελατηρίων. Δίσκος Στοιχεία (elements) Μέγεθος element Σύνολο elements (μm) Χ κατεύθυνση (περιφέρεια) Υ κατεύθυνση (ακτινική) Ζ κατεύθυνση (πάχος) =700*12*12= elements Πίνακας 4.4 Στοιχεία διακριτοποίησης δίσκου Έλαστρα Στοιχεία (elements) Μέγεθος element Σύνολο elements (μm) Χ κατεύθυνση (πάχος) Υ κατεύθυνση (περιφέρεια) Ζ κατεύθυνση (ακτινική) =5*180*30=27000 elements/ έλαστρο Πίνακας 4.5 Στοιχεία διακριτοποίησης ελάστρων 88

89 Στο Σχ. 4.6 δείχνεται η γεωμετρία ολόκληρου του μοντέλου, με όλα τα ελατήρια στις 2 πλευρές, εσωτερική και εξωτερική, της πλευράς που θα ελασθεί. Σχ D απεικόνιση των ελάστρων και της διατομής έλασης με διακριτοποίηση και ελατήρια Όπως μπορεί να αντιληφθεί κανείς, επειδή τα ελατήρια (τα απεικονιζόμενα με καφέ χρώμα) είναι πάρα πολλά, δεν είναι δυνατόν να έχουμε ευκρινή εικόνα τους στο Σχ.4.6. Για αυτό το λόγο παρατίθεται μια λεπτομέρεια στο Σχ. 4.7 με ένα ελατήριο σε μια τυχαία διατομή του δίσκου για να υπάρχει η ευκρινής απεικόνιση. 89

90 Σχ. 4.7 Στοιχείο ελατηρίου (Spring element) σε ευκρινή απεικόνιση Έγινε πλέον φανερό με ποιό τρόπο ενώ έχει σχεδιαστεί μια λεπτή μικρή διατομή από τον συνολικό όγκο του δίσκου, με τα ελατήρια εσωτερικά και εξωτερικά αυτής της διατομής, προσομοιώνεται η ελαστικότητα του υλικού που κανονικά υπάρχει εκεί. Αυτό όπως προαναφέρθηκε, γίνεται για να επιτευχθεί καλύτερη διακριτοποίηση στην περιοχή που ενδιαφέρει, δηλαδή στην περιοχή της έλασης. Τα υλικά που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτή την περίπτωση είναι διαφορετικά από τα υλικά στις προηγούμενες μοντελοποιήσεις. Ο χάλυβας που χρησιμοποιήθηκε έχει χαμηλότερο όριο διαρροής στo 1 GPa. Η καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης σ-ε η οποία προσεγγίζεται ικανοποιητικά με πολυγραμμικό νόμο, συγκεκριμένα πενταγραμμικό, απεικονίζεται στο Σχ

91 Σχ. 4.8 Καμπύλη τάσης (σ) παραμόρφωσης (ε) ελάσματος Τώρα όσον αφορά τα έλαστρα, αυτά έχουν μοντελοποιηθεί ως παραμορφώσιμα. Όπως έχει αναλυθεί στη σύγκριση μεταξύ απαραμόρφωτων-παραμορφώσιμων ελάστρων, τα απαραμόρφωτα έλαστρα είναι προτιμητέα σε σχέση με τα παραμορφώσιμα, γιατί μειώνουν το χρόνο επίλυσης, ενώ τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι πολύ κοντά μεταξύ τους. Όμως, αναφέρθηκε επίσης, ότι με διαφοροποίηση κάποιων δεδομένων, π.χ. ταχύτητα, μηχανικές ιδιότητες, τα αποτελέσματα μπορεί να αποκλίνουν περισσότερο. Επειδή αυτή η γεωμετρία του προβλήματος είναι διαφορετική από τις προηγούμενες και αφού δεν υπάρχει τόσο μεγάλο πρόβλημα με τη διακριτοποίηση μετά την εισαγωγή των ελατηρίων, προτιμήθηκε να μοντελοποιηθούν τα έλαστρα ως παραμορφώσιμα για να μελετηθεί καλύτερα τι συμβαίνει στα συνεργαζόμενα τεμάχια, με την πραγματική κατάσταση. Η καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης των ελάστρων απεικονίζεται στο Σχ

92 Σχ. 4.9 Καμπύλη τάσης (σ) παραμόρφωσης (ε) ελάστρων Τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν για τη μοντελοποίηση των ελάστρων αλλά και του δίσκου που είναι παραμορφώσιμα είναι στερεά στοιχεία και έχουν τον τύπο που έχει χρησιμοποιηθεί και στις προηγούμενες περιπτώσεις, δηλαδή είναι fully integrated S/R solid intended for elements with poor aspect ratio, efficient formulation. Για την επαφή χρησιμοποιήθηκε ο τύπος Automatic contact surface to surface. Σαν πρωτεύουσες (master) επιφάνειες επιλέχθηκαν οι επιφάνειες των ελάστρων που έρχονται σε επαφή με τον δίσκο και σαν δευτερεύουσες (slave) επιφάνειες οι επιφάνειες του ίδιου του δίσκου, επειδή έχουν καλύτερη διακριτοποίηση. Σχετικά με την κινηματική του μοντέλου, Σχ. 4.10: Τα έλαστρα κατ αρχήν μετακινούνται σε μια συγκεκριμένη απόσταση στον άξονα Ζ κατά 15 μm το καθένα, συνολικά δηλαδή 30 μm. Το τελικό πάχος του δίσκου στη διατομή που γίνεται η έλαση είναι τα 990 μm από τα 1000 μm που ήταν αρχικά και δεν είναι τα 970 μm όπου και κατεβαίνουν τα έλαστρα, λόγω της ελαστικής επαναφοράς του υλικού του δίσκου. Αυτή η κίνηση γίνεται με μια κατακόρυφη μετατόπιση που έχουν τα έλαστρα για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Αφού κατέβουν τα έλαστρα και συμπιέσουν σε μια περιοχή τον δίσκο, μετά θα αρχίσει η περιστροφή τους, μέσω της οποίας θα παραχθεί η τριβή η οποία θα κινήσει τον κοπτικό δίσκο. Για να αρχίσει όμως η έλαση θα πρέπει και ο κοπτικός δίσκος να έχει μια αρχική γωνιακή ταχύτητα με την οποία θα περιστρέφεται και η οποία ταχύτητα κατά τα γνωστά θα είναι λίγο μικρότερη από την επιφανειακή γραμμική ταχύτητα των ελάστρων, Σχ Μετά το πέρας μιας πλήρους περιστροφής, τα έλαστρα θα επανέλθουν στις αρχικές θέσεις τους. 92

93 Σχ Κινηματική μοντέλου έλασης διατομής κοπτικού δίσκου 93

94 Σχ Οριακές συνθήκες μοντέλου 94

95 Με αυτή τη διαδικασία, θα υπάρχει μια ακριβής απεικόνιση των παραμενουσών τάσεων στην πλαστική περιοχή της μειωμένης διαμέτρου. Με κατάλληλες μαθηματικές σχέσεις υπάρχει η δυνατότητα να υπολογιστούν οι τάσεις στην ελαστική περιοχή εκτός της διατομής έλασης. Από εκεί και πέρα μπορεί να γίνει μια ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων (modal analysis) με το καινούριο πλέον μητρώο στιβαρότητας και να βρεθεί η μεταβολή της κρίσιμης περιστροφικής ταχύτητας του δίσκου. Στην ουσία δηλαδή προτείνεται ένα δυναμικό μοντέλο το οποίο μπορεί να υπολογίζει με ακρίβεια στον τρισδιάστατο χώρο, σε όλες τις κατευθύνσεις ποιά είναι η κατανομή των παραμενουσών τάσεων και πώς αλλάζει η στατική στιβαρότητα του δίσκου και τα αποτελέσματα αυτά μπορεί να χρησιμοποιηθούν για περαιτέρω ανάλυση της δυναμικής ευστάθειάς του. Επίσης, μια προέκταση του θεωρήματος του Hill επιτρέπει να ληφθούν υπόψη διαφορετικές καμπύλες τάσης-παραμόρφωσης στις κατευθύνσεις Χ,Υ,Ζ ανάλογα με την τιμή και το πρόσημο των παραμενουσών τάσεων σε κάθε μια από αυτές τις κατευθύνσεις. Αυτό επιτρέπει το χαρακτηρισμό του υλικού ως ανισότροπο, γεγονός που ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Έτσι τα αποτελέσματα είναι πιο ρεαλιστικά κατά την ανάλυση των ιδιοσυχνοτήτων συγκριτικά με την παραδοχή ότι το υλικό είναι ισότροπο. 4.3 Στάδιο τελικής επεξεργασίας Με τον επιλυτή του προγράμματος LS-DYNA, έγινε η επίλυση των δεδομένων που εισήχθησαν στο στάδιο της σχεδίασης (pre-processing) και ακολούθησε η επεξεργασία των αποτελεσμάτων. Το στάδιο αυτό ονομάζεται στάδιο τελικής επεξεργασίας (postprocessing). Έτσι υπάρχει η δυνατότητα να αναλυθούν τα αποτελέσματα τα οποία ενδιαφέρουν και είναι ο σκοπός της παρούσας παραγράφου 4. Κυρίως ενδιαφέρει να υπολογιστούν οι παραμένουσες τάσεις στο υλικό του δίσκου, η τιμή και η θέση στην οποία αναπτύσσονται οι μέγιστες εξ αυτών. Καταρχήν παρατίθεται το Σχ. 4.12, στο οποίο απεικονίζεται μια τυχαία διατομή του δίκσου μετά την έλαση, με τις νέες διαστάσεις σε αυτή την περιοχή. Παρατηρείται η μείωση του πάχους κατά 10 μm και η σταθερότητα στη διάσταση του πλάτους, όπου λόγω των ελατηρίων παραμένει αμετάβλητη στα 1000 μm. Πρέπει να τονιστεί σε αυτό το σημείο ότι δεν είναι τόσο μεγάλης σπουδαιότητας η διαστατική ακρίβεια στην περιοχή της διατομής όσο οι παραμένουσες τάσεις που εισάγονται στον δίσκο και οι οποίες όπως έχει αναφερθεί αλλάζουν τη στατική και δυναμική συμπεριφορά του. 95

96 Σχ Τελικές διαστάσεις της διατομής του δίσκου μετά την έλασή της 96

97 Σχ Κατανομή ισοδύναμων τάσεων στον κοπτικό δίσκο μετά το τέλος της έλασης σε χρόνο t=0.27 s Στο Σχ απεικονίζονται οι τάσεις κατά Von-Mises στο δίσκο μετά από χρόνο t=0.27 s, δηλαδή μετά το τέλος της έλασης της διατομής. Είναι χαρακτηριστική η ομοιομορφία των παραμενουσών τάσεων στην περιοχή έλασης, με τη μέγιστη τάση να φτάνει στα 1.68 GPa κοντά στο όριο θραύσης του υλικού. Στα πλάγια του δίσκου, εσωτερικά και εξωτερικά της διατομής όπου κανονικά υπάρχει υλικό και έχει αντικατασταθεί από τα ελατήρια, αναπτύσσονται τάσεις από 0 έως 1.18 GPa, ανάλογα με το βάθος. 97

98 Σχ Κατανομή τάσεων στον κοπτικό δίσκο στη Χ κατεύθυνση μετά το τέλος της έλασης, σε χρόνο t=0.27 s. Εκτός από τις ισοδύναμες τάσεις υπάρχουν και οι κύριες τάσεις στις διάφορες κατευθύνσεις, οι οποίες ενδιαφέρουν για τον προσδιορισμό της ανισοτροπίας του υλικού. Σε μελέτη ανάλυσης ιδιοσυχνοτήτων δεν μπορεί να γίνει η θεώρηση που συνήθως γίνεται στις στατικές αναλύσεις, δηλαδή ότι το υλικό είναι ισότροπο (εμφανίζει ίδιες ιδιότητες και στις 3 κατευθύνσεις φόρτισης). Στην ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι διαφορετικές ιδιότητες του υλικού σε κάθε κατεύθυνση. Αυτό μπορεί να γίνει με αλλαγή των καμπυλών τάσης-παραμόρφωσης σ-ε, μετά την εισαγωγή των παραμενουσών τάσεων, με βάση το θεώρημα του Hill, το οποίο θα περιγραφεί παρακάτω. 98

99 Οι κύριες τάσεις στη Χ κατεύθυνση, Σχ έχουν και αυτές ομοιομορφία, με τη μέγιστη τάση να φτάνει τα GPa σχεδόν σε όλη την επιφάνεια μιας διατομής, με εξαίρεση μια περιοχή στα πλαϊνά του δίσκου όπου έχουμε τάση μέχρι GPa. Οι διαφορετικές τάσεις σε αυτή την περιοχή οφείλονται σε κάποιες υπερφορτίσεις λόγω των στοιχείων ελατηρίων και δε λαμβάνονται υπόψη στον παρακάτω προσδιορισμό των νέων ιδιοτήτων του υλικού. Αυτές οι τάσεις είναι θλιπτικές, όπως είναι λογικό, καθώς η κατεύθυνση Χ είναι η κατεύθυνση εκείνη στην οποία έχουν τοποθετηθεί τα ελατήρια που προσομοιώνουν το υπόλοιπο υλικό του δίσκου. Υπάρχουν, λοιπόν, θλιπτικές τάσεις λόγω της πίεσης που υφίσταται η διατομή από τα ελατήρια προκειμένου να μην αλλάξει η διάσταση του πλάτους της αν δεν ξεπεραστούν τα όρια του υλικού. Σχ Κατανομή τάσεων στον κοπτικό δίσκο στην Υ κατεύθυνση μετά το τέλος της έλασης, σε χρόνο t=0.27 s Παρόμοια κατανομή παρατηρείται και στην Υ κατεύθυνση, Σχ. 4.15, με τη μέγιστη τάση να είναι θλιπτική, Gpa, όπως και στην Χ κατεύθυνση. 99

100 Σχ Κατανομή τάσεων στον κοπτικό δίσκο στη Ζ κατεύθυνση μετά το τέλος της έλασης, σε χρόνο t=0.27 s. Στη Ζ κατεύθυνση, Σχ. 4.16, παρατηρείται μια ομοιόμορφη και εδώ, κατανομή, με τη μέγιστη θλιπτική τάση να είναι GPa. Αυτή τη φορά οι θλιπτικές τάσεις οφείλονται στην πίεση που ασκούν τα έλαστρα στον κοπτικό δίσκο προκειμένου να μειωθεί το πάχος του στη Ζ κατεύθυνση. Και εδώ παρατηρείται μια μικρή περιοχή με τοπικές υπερφορτίσεις που οφείλεται στην καταπόνηση των ελατηρίων και σε ορισμένες μη γραμμικότητες που εισήχθησαν κατά την επίλυση. Με βάση τις κατανομές των τάσεων που αναπτύσσονται στις διευθύνσεις Χ,Υ,Ζ (βλ. Σχ. 4.14, Σχ. 4.15, Σχ. 4.16), σύμφωνα με το θεώρημα του Hill μπορούν να καθοριστούν 100

101 οι νέες καμπύλες τάσης παραμόρφωσης του δίσκου σε κάθε διεύθυνση φόρτισης, Σχ Σχ Καμπύλες τάσης (σ)-παραμόρφωσης (ε) σε κάθε διεύθυνση φόρτισης του υλικού, σύμφωνα με το θεώρημα του Hill Πλέον, μετά την εισαγωγή παραμενουσών τάσεων στον κοπτικό δίσκο, το όριο διαρροής του στις κατευθύνσεις Χ και Υ είναι SY= 2.9 GPa και στην κατεύθυνση Ζ είναι SY=2.2 GPa, από SY=1 GPa που ήταν αρχικά σε όλες τις κατευθύνσεις. Διακρίνεται δηλαδή μια ανισοτροπία του υλικού. Η ανισοτροπία αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη σε δυναμικές αναλύσεις ιδιοσυχνοτήτων, όπου είναι λανθασμένη η παραδοχή για ισοτροπία του υλικού, δηλαδή για σταθερές μηχανικές ιδιότητες σε κάθε κατεύθυνση φόρτισης. 101

102 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Καταστρώθηκε 3D-FEA παραμετρικό μοντέλο για τον προσδιορισμό των παραμενουσών τάσεων μετά από ψυχρή έλαση, μέσω δυναμικής προσομοίωσής της. Η μοντελοποίηση με απαραμόρφωτα (rigid) έλαστρα δίνει παρόμοια αποτελέσματα με τη μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα (deformable) έλαστρα. Έτσι, είναι προτιμότερη η μοντελοποίηση με απαραμόρφωτα έλαστρα καθώς μειώνεται ο χρόνος επίλυσης του προβλήματος. Παρουσιάζονται οι κύριες τάσεις σε κάθε διεύθυνση φόρτισης του υλικού, Χ,Υ,Ζ. Αυτές οι τάσεις είναι απαραίτητες για τον προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων του υλικού, στην περίπτωση που μελετηθεί ως ανισότροπο. Με αύξηση της ταχύτητας έλασης μειώνονται οι τάσεις στο έλασμα, κατά τη διάρκεια και μετά το τέλος της κατεργασίας, επειδή είναι μικρότερος ο χρόνος που είναι σε επαφή τα έλαστρα με το έλασμα. Καταστρώθηκε 3D-FEA παραμετρικό μοντέλο με απαραμόρφωτα έλαστρα μορφής για τη μείωση πάχους του ελάσματος. Η πολυαξονική εντατική κατάσταση παρουσιάζεται μέσω της κατανομής των ισοδύναμων τάσεων. Παρουσιάζεται παραμετρικό μοντέλο ψυχρής έλασης για την προσομοίωση διαδικασιών προέντασης κοπτικού δίσκου προκειμένου να βελτιωθεί η στατική και δυναμική του συμπεριφορά. Τα αποτελέσματα δίνουν την κατανομή των παραμενουσών ισοδύναμων τάσεων και τις κύριες παραμένουσες τάσεις σε κάθε διεύθυνση φόρτισης, Χ,Υ,Ζ. Με βάση το θεώρημα του Hill, δύναται να προσδιοριστούν οι μηχανικές ιδιότητες του υλικού του δίσκου μετά την έλαση μιας διατομής του, σε κάθε διεύθυνση φόρτισής του. Αυτός ο προσδιορισμός είναι ιδιαίτερα χρήσιμος σε αναλύσεις ιδιοσυχνοτήτων όπου πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η ανισοτροπία του υλικού. 102

103 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Κ.-Δ. Μπουζάκης, Μορφοποιήσεις με πλαστική παραμόρφωση υλικού, ISBN , Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, /07/ John G. Lenard, Primer on Flat Rolling, ISBN , London George T. Halmos, Roll Forming Handbook, ISBN , Taylor & Francis Group, of metals.pdf, 24/4/ William D. Callister, Jr, Επιστήμη Και Τεχνολογία Των Υλικών, ISBN , 5 η Έκδοση, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη, LS-DYNA Keyword User s Manual Volume I&II (Version 971), ISBN , LSTC, May LS-DYNA Theoretical Manual, LSTC, California, N. Nicoletti, D. Fendeleur, L. Nilly, M. Renner, Using Finite Elements to Model Circular Saw Roll Tensioning, Holz Als Roh-Und Werkstoff s4 (1996) , Springer-verlag 1996, p Analysis of Roll Tensioning and its Influence on Circular Saw Stability, G.S.Schajer, C.D. Mote Jr, Wood Sci. Technol. 17: (1983). 11. K.-D. Bouzakis, G. Skordaris, E. Bouzakis, E. Lili, Determination of the Effective Film Mechanical Properties in the Impact Test Imprint of Coated Specimens, Key Engineering Materials Vol. 438 (2010), p Ε. Chu, Journal of Materials Processing Technology, Vol. 50 (1995), p

104 104

105 ΕΚΤΕΝΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έλαση είναι μια ευρέως χρησιμοποιούμενη διαδικασία πλαστικής παραμόρφωσης για τη διαμόρφωση ελασμάτων και καλύπτει περίπου το 90% της παραγωγής μετάλλων που παράγονται με μηχανουργικές διαδικασίες. Τα ελάσματα χρησιμοποιούνται σε όλες σχεδόν τις μεταλλικές κατασκευές, στην αυτοκινητοβιομηχανία, στην κατασκευή πλοίων, λεβήτων, γεφυρών, μεγάλων βιομηχανικών κατασκευών κτλ. Ως εκ τούτου γίνεται αναγκαία η μελέτη των παραμέτρων και η βελτιστοποίηση που θα αποφέρει καλύτερη ποιότητα και χαμηλότερο κόστος. Σε αυτή τη διαδικασία μεγάλο ρόλο έχει παίξει η ραγδαία ανάπτυξη των δυνατοτήτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών Η/Υ με τη χρήση μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων (Finite Element Method, FEM). Με τις μεθόδους FEM υπάρχει η δυνατότητα να προσομοιωθεί η κατεργασία και να εκτιμηθούν εκ των προτέρων κρίσιμα μεγέθη που ενδιαφέρουν το μηχανικό όπως οι τάσεις και οι παραμορφώσεις αλλά και η τραχύτητα που έχει επίπτωση στην τελική επιφάνεια του τεμαχίου. Έτσι αποφεύγονται ακριβές και χρονοβόρες διαδικασίες δοκιμής και επαλήθευσης ώστε να εκτιμηθούν οι παράγοντες που επιδρούν στην κατεργασία. Στην παρούσα διπλωματική εργασία, αναλύεται η επίδραση της έλασης στις παραμένουσες τάσεις στο εσωτερικό του υλικού και τονίζεται η σημασία που έχει ο προσδιορισμός τους στη στατική συμπεριφορά του ελάσματος και στις τελικές του ιδιότητες. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται FEΑ μοντέλα για να γίνει μια τρισδιάστατη (3D) δυναμική προσομοίωση της έλασης μεταλλικού ελάσματος και να προσδιοριστούν οι παραμένουσες ισοδύναμες τάσεις που υπάρχουν στο υλικό μετά την κατεργασία. Τα FEA μοντέλα είναι ο μόνος τρόπος για να προσδιοριστούν οι παραμένουσες ισοδύναμες τάσεις μέσα στο υλικό. Οι μαθηματικές σχέσεις στο μοντέλο της έλασης χρησιμοποιούν αρκετές παραδοχές στην ανάπτυξη της θεωρίας τους, οι οποίες στην πραγματικότητα δεν ισχύουν ακριβώς ή και καθόλου. Η κυριότερη παραδοχή είναι αυτή της επίπεδης παραμόρφωσης, δηλαδή ότι δεν υπάρχει αλλαγή διάστασης στην κατεύθυνση του πλάτους και ισχύει ικανοποιητικά για λόγους πλάτους προς πάχος μεγαλύτερους από 10. Στην εργασία αυτή, όπου αναλύεται η συμπεριφορά ενός ελάσματος τετραγωνικής διατομής εμβαδού Α=2x2 mm 2 αυτό δεν ισχύει γιατί ο λόγος πάχους προς πλάτος είναι 1. Άρα αυτόματα γίνεται αντιληπτό ότι το μαθηματικό μοντέλο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπως στην έλαση πλάκας, όπου η μεταβολή του πλάτους είναι αμελητέα σε σχέση με τις άλλες 2 διαστάσεις. Το πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε για αυτές τις προσομοιώσεις είναι το LS- DYNΑ. Στην παράγραφο 3 αναπτύσσονται FEA μοντέλα για τον προσδιορισμό των εναπομενουσών τάσεων μετά από ψυχρή έλαση. Η μοντελοποίηση με απαραμόρφωτα (rigid) ή παραμορφώσιμα (deformable) εργαλεία είναι μια επιλογή που προβληματίζει τους μηχανικούς στο πώς θα προσομοιώσουν μια κατεργασία. Συχνά η επιλογή των απαραμόρφωτων εργαλείων δεν αλλάζει ιδιαίτερα τα αποτελέσματα και επιλύει σε λιγότερο χρόνο. Όμως η μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα εργαλεία μπορεί μεν να είναι πιο χρονοβόρα διαδικασία αλλά ανταποκρίνεται ακριβώς στην πραγματικότητα. 105

106 Έτσι γίνεται 3D μοντελοποίηση της ψυχρής έλασης και με τους 2 τύπους εργαλείων, εδώ ελάστρων, και συγκρίνονται τα αποτελέσματα. Στην υποπαράγραφο 3.1 αναλύεται η περίπτωση της μοντελοποίησης με απαραμόρφωτα έλαστρα. Η γεωμετρία του μοντέλου απεικονίζεται στο Σχ. 1. Το έλασμα από πάχος 2 mm όταν περάσει ανάμεσα από τα περιστρεφόμενα έλαστρα θα μειωθεί το πάχος του στα 1.5 mm με ταυτόχρονη αύξηση των άλλων διαστάσεών του, κυρίως του πλάτους του. Σχ. 1 Γεωμετρία τεμαχίου και εργαλείων Στη φάση της σχεδίασης δίνονται όλες οι απαραίτητες παράμετροι που πρέπει να δοθούν στον κώδικα του προγράμματος, δηλαδή οριακές συνθήκες, κινηματική, μηχανικές ιδιότητες κ.ά. Τα στοιχεία (elements) που χρησιμοποιήθηκαν για την διακριτοποίηση των ελάστρων είναι στοιχεία κελύφους (shell elements) ενώ για το έλασμα είναι στερεά στοιχεία (solid elements).στη φάση της τελικής επεξεργασίας, τα 106

107 απο οτελέσματα που βγή ήκαν από τον επιλυ υτή (solverr) αναλύθη ηκαν εκτεν νώς και παρ ρουσιάζοντα αι στη διπλω ωματική εργασία. Η ερ ργασία είναι περισσότεερο επικενττρωμένη στηνν κατανομή των παραμενουσώνν ισοδύναμω ων τάσεων αλλά και σ στις παραμέένουσες τάσεις σε κά άθε διεύθυννση φόρτισ σης του υλικού, υ Χ,Υ Υ,Ζ. Ενδειικτικά στο Σχ. 2 παρ ρουσιάζεται η κατανομ μή των ισοδ δύναμων πα αραμενουσώ ών τάσεωνν μετά το τέέλος της κατεεργασίας τη ης έλασης, τη τ χρονική στιγμή σ t=0.3 3 s. Σχ. 2 3D κατανο ομή ισοδύνα αμων τάσεω ων στο έλασ σμα σε χρόννο t=0.3 s Γίίνεται εκτεννής αναφορ ρά στους παράγοντεςς που επη ηρεάζουν ττην κατανομή των τάσεων ειδικά σε κάθε διιεύθυνση ξεεχωριστά α αλλά και τιςς ισοδύναμεες. Περιληπ πτικά, οι παρ ράγοντες αυτοί είναι η δυναμική ή πολύ-αξο ονική εντατική κατάστα αση με τηνν οποία κατα απονείται το έλασμα λόγω λ των ασκούμενω α ων δυνάμεω ων έλασης, η αποφόρττιση του ελάσ σματος με την προσπ πάθεια επανναφοράς το ου, η εσωτερική δομή ή του υλικού ύ με τις αλληλεπιδράσεεις των κόκκκων του και κ οι περιο οχές σύγκρ ρουσης του υ ελάσματος με τα έλασ στρα. Σττην υποπα αράγραφο γίνεται η μοντελο οποίηση με παραμορ ρφώσιμα έλ λαστρα. Προ οκειμένου να α μπορέσειι να γίνει η σύγκριση σ ανάμεσα στις 2 περιπτώ ώσεις, διατη ηρήθηκε ίδια η διακριτο οποίηση του υ ελάσματο ος, με στοιχ χεία της τάξης μερικώ ών δεκάδωνν μm, οι ορια ακές συνθήκες και οι μηχανικές μ ιδ διότητες του υ ελάσματο ος. Σε αυτή την περίπττωση, οι μηχ χανικές ιδιό ότητες τωνν ελάστρω ων δίνοντα αι με πολλυγραμμικό νόμο τάσ σης σπαρ ραμόρφωση ης ε. Για α την μονντελοποίησ ση των παραμορφώ π ώσιμων ελ λάστρων χρησιμοποιήθη ηκαν στερεά ά στοιχεία όπως ό και για το έλασμ μα. Οι ισοδύναμες τάσ σεις που προ οέκυψαν μεττά την επίλυ υση του μονντέλου παρ ρουσιάζοντα αι στο Σχ

108 Σχ. 3 3D κατανομή ισοδύναμων τάσεων στο έλασμα σε χρόνο t=0.3 s Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων μετά από τις δυο περιπτώσεις μοντελοποίησης των ελάστρων όπως φαίνεται στα Σχ. 2 και Σχ. 3 αλλά και σε τομές στο εσωτερικό του ελάσματος οι οποίες παρουσιάζονται στη διπλωματική, εξάγεται το συμπέρασμα ότι η κατανομή των τάσεων είναι σχεδόν ταυτόσημη. Έτσι για τις συγκεκριμένες συνθήκες κατεργασίας είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθούν απαραμόρφωτα έλαστρα καθώς επιλύουν σε μικρότερο χρόνο και χρειάζονται λιγότερα στοιχεία για τη διακριτοποίηση τους σε σχέση με τα παραμορφώσιμα. Από την άλλη βέβαια, σε άλλες συνθήκες π.χ. με έλαστρα χαμηλότερων μηχανικών ιδιοτήτων είναι πιθανό να είναι απαραίτητη η μοντελοποίηση με παραμορφώσιμα έλαστρα. Στην υποπαράγραφο 3.3 παρουσιάζεται μια περίπτωση μοντελοποίησης με έλαστρα μορφής τα οποία δεν επιτρέπουν την αύξηση του πλάτους του ελάσματος αλλά μόνο τη μείωση του πάχους του με την ταυτόχρονη εισαγωγή παραμενουσών τάσεων. Εκεί υπάρχει μια επιπλέον οριακή συνθήκη κατά την οποία δεν επιτρέπεται η αύξηση του πλάτους λόγω της αντίστασης που συναντά από τα πλάγια τοιχώματα των ελάστρων μορφής. Έτσι προκύπτει μια διαφορετική πολύ-αξονική εντατική κατάσταση για την οποία ευθύνονται οι παράγοντες που αναφέρονται στην 3.1 συν την οριακή συνθήκη του αμετάβλητου πλάτους. Η κατανομή των τάσεων παρουσιάζεται εκτενώς στη διπλωματική εργασία. Στην παράγραφο 4 παρουσιάζεται ο προσδιορισμός εναπομενουσών τάσεων μετά από διαδικασίες προέντασης κοπτικών δίσκων μέσω δυναμικής προσομοίωσης χρησιμοποιώντας 3D-FEA μοντέλα. Για την βελτίωση της στατικής και της δυναμικής συμπεριφοράς κοπτικών δίσκων, εφαρμόζεται η έλαση μιας μικρής διατομής στην επιφάνειά τους. Σκοπός είναι η εισαγωγή παραμενουσών τάσεων σε μια μικρή περιοχή, οι οποίες θα επηρεάσουν τη στιβαρότητα ολόκληρου του δίσκου και θα μειώσουν το 108

109 εύρος ταλάντωσης, μετατοπίζοντας τις φυσικές ιδιοσυχνότητες του δίσκου μακριά από την περιστροφική ταχύτητα λειτουργίας. Για την προσομοίωση αυτής της διαδικασίας αναπτύχθηκε ένα 3D-FEΑ μοντέλο. Κατά την κατασκευή του μοντέλου παρατηρήθηκε ότι για μεγάλους όγκους δεν είναι δυνατό να πετύχουμε ικανοποιητική διακριτοποίηση. Έτσι αφού η έλαση θα γίνει μόνο σε μια μικρή διατομή και όχι σε όλο τον δίσκο, σχεδιάστηκε μόνο αυτή η διατομή. Το υπόλοιπο υλικό εσωτερικά και εξωτερικά της διατομής προσομοιώθηκε με ελατήρια στιβαρότητας k=ε (μέτρο ελαστικότητας του υλικού του δίσκου) για να ληφθεί υπόψη η ελαστικότητα και η αντίσταση του δίσκου. Σχ. 4 Κατανομή ισοδύναμων τάσεων στον κοπτικό δίσκο μετά το τέλος της έλασης σε χρόνο t=0.27 s. Η κατανομή των ισοδύναμων τάσεων μετά την κατεργασία της έλασης του κοπτικού δίσκου παρουσιάζεται στο Σχ. 4. Αντίστοιχα αποτελέσματα υπάρχουν και σε κάθε διεύθυνση φόρτισης του υλικού Χ,Υ,Ζ. Έτσι, με βάση το θεώρημα του Hill για την διαφοροποίηση των μηχανικών ιδιοτήτων ανάλογα με την εισαγωγή παραμενουσών τάσεων σε κάθε διεύθυνση, εξάγονται τα διαγράμματα τάσης σ- παραμόρφωσης ε, σε κάθε διεύθυνση φόρτισης του υλικού, Σχ