Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6"

Transcript

1 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων καταστάσεων: Συστήματα που έχουν εσωτερικές καταστάσεις και προκαθορισμένο τρόπο μετάβασης από μία κατάσταση σε άλλη με βάση την τρέχουσα κατάσταση και την είσοδο (συνήθως ενέργεια κάποιου χρήστη). Μπορεί να έχουν και έξοδο. Εφαρμογές σε πλήθος επιστημονικών πεδίων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2 Παράδειγμα: πωλητής καφέ (i) Προδιαγραφές ύο είδη καφέ: ελληνικός ή φρέντο. Κόστος καφέ: 40 λεπτά. Επιτρέπονται κέρματα 10, 20, ή 50 λεπτών. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (ii) Σχεδίαση του συστήματος Εσωτερικές καταστάσεις: q0, q1, q2, q3, q4, q5 (qi: εκφράζει ότι έχουν δοθεί μέχρι στιγμής 10*i λεπτά). Πιθανές είσοδοι (ενέργειες): Ρ1, Ρ2, Ρ5 (ρίψη κέρματος 10, 20, ή 50 λεπτών), Κ1, Κ2 (πάτημα κουμπιού 1 για ελληνικό καφέ, ή 2 για φρέντο). Πιθανές έξοδοι: E1, E2, E3, E4, E5 (Ei: εκφράζει ότι επιστρέφονται 10*i λεπτά), ΕΛ (παροχή ελληνικού καφέ), ΦΡ (παροχή φρέντο). Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Πίνακας καταστάσεων: δείχνει ποια είναι η επόμενη κατάσταση και η έξοδος για κάθε συνδυασμό τρέχουσας κατάστασης και εισόδου. Αρχική κατάσταση: q0. Είσοδος Κατάστ. q0 q1 q2 q3 q4 Ρ1 q1, - q2, - q3, - q4, - q4, Ε1 Ρ2 q2, - q3, - q4, - q4, Ε1 q4, E2 Ρ5 q4, Ε1 q4, E2 q4, E3 q4, E4 q4, E5 Κ1 q0, - q1, - q2, - q3, - q0, ΕΛ Κ2 q0, - q1, - q2, - q3, - q0, ΦΡ Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) ιάγραμμα καταστάσεων: παρέχει τις ίδιες πληροφορίες με τον πίνακα καταστάσεων με πιο εποπτικό τρόπο. Αρχική κατάσταση: q0 (σημειώνεται με βέλος). Ρ1/E1 Ρ2/E2 Ρ5/E5 K1/EΛ K2/ΦΡ q0 q4 Ρ5/E1 Ρ5/E2 Ρ1/- Ρ2/- q3 q1 K1/- K2/- q2 K1/- K2/- Ρ1/- Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 5 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 1

2 Αυτόματα (i) Ένα αυτόματο έχει μερικές εσωτερικές καταστάσεις q 0, q 1, q 7, q 15,..., και μια συνάρτηση μετάβασης δ που καθορίζει την επόμενη κατάσταση του αυτομάτου με βάση την τρέχουσα κατάσταση και την συμβολοσειρά εισόδου. Αυτόματα (ii) Μηχανισμοί: χωρίς είσοδο έξοδο. δ(q i ) = q j εκτέλεση: q 0 q j q k q m... Αυτόματα πεπερασμένων καταστάσεων (FSA): με είσοδο που γίνεται αποδεκτή ή απορρίπτεται. δ(q i, α) =q j ( εισόδου (a είναι ένα από τα σύμβολα της εκτέλεση: εξαρτάται από την είσοδο Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 7 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 8 Παράδειγμα FSA για αναγνώριση περιττών δυαδικών αριθμών 1 0 q 0 q q 0 : το τελευταίο ψηφίο που διαβάστηκε είναι διάφορο του 1. q 1 : το τελευταίο ψηφίο που διαβάστηκε είναι ίσο με 1. η q 0 είναι αρχική κατάσταση ενώ η q 1 είναι κατάσταση αποδοχής (ή τελική). Ισχυρότερα αυτόματα Μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων (FSM): είναι FSA με έξοδο: δ(q i, α) = (q k, β) Αυτόματα στοίβας (PDA, pushdown automata): έχουν πολύ περισσότερες δυνατότητες καθώς έχουν μνήμη (σε μορφή στοίβας). Μηχανές Turing (TM): έχουν ακόμη περισσότερες δυνατότητες καθώς έχουν απεριόριστη μνήμη (σε μορφή ταινίας). Γραμμικά περιορισμένα αυτόματα (LBA): είναι ΤΜ με μνήμη περιορισμένη γραμμικά ως προς το μήκος της εισόδου. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 9 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 10 Αυτόματα και τυπικές γλώσσες Τυπικές γλώσσες Τυπικές γλώσσες: χρησιμοποιούνται για την περιγραφή υπολογιστικών προβλημάτων αλλά και γλωσσών προγραμματισμού. Αυτόματα: χρησιμεύουν για την αναγνώριση τυπικών γλωσσών και για την κατάταξη της δυσκολίας των αντίστοιχων προβλημάτων. Κάθε αυτόματο (χωρίς έξοδο) αναγνωρίζει μια τυπική γλώσσα: το σύνολο των συμβολοσειρών που το οδηγούν σε τελική κατάσταση. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 11 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 12 2

3 Ορισμός DFA Παράδειγμα DFA Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 13 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 14 Παράδειγμα γλώσσας με DFA και γλώσσας χωρίς DFA Επέκταση ορισμού συνάρτησης δ DFA έχεται ως ορίσματα μια κατάσταση q και μια συμβολοσειρά w και δίνει την κατάσταση όπου θα βρεθεί το αυτόματο αν ξεκινήσει από την q καιδιαβάσειτηνw. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 15 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 16 Γλώσσα αποδεκτή από DFA Μη ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα (NFA) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 17 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 18 3

4 Παράδειγμα NFA Τυπικός ορισμός NFA 19 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 20 Γλώσσα αποδεκτή από NFA Ισοδυναμία DFA και NFA (i) Σημείωση: η συνάρτησηδ είναι επεκτεταμένη ώστε να δέχεται σαν ορίσματα μια κατάσταση q και μια συμβολοσειρά w και να δίνει το σύνολο των καταστάσεων όπου μπορεί να βρεθεί το αυτόματο αν ξεκινήσει από την q καιδιαβάσειτηνw. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 21 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 22 Ισοδυναμία DFA και NFA (ii) Παράδειγμα μετατροπής NFA σε DFA (i) Έστω το NFA Μ = (Q,Σ,q 0,F,δ). Ένα ισοδύναμο DFA M'= (Q',Σ,q ' 0,F',δ'), ορίζεται ως εξής: Q' = Pow(Q), δηλαδή οι καταστάσεις του Μ είναι όλα τα υποσύνολα καταστάσεων του Μ. q ' 0 = {q 0 }, F' = {R Q' R F }, δηλαδή μια κατάσταση του Μ είναι τελική αν περιέχει μια τελική κατάσταση του Μ. δ'(r, a) = {q Q q δ(r, a) για r R}, δηλαδή δ'(r, a) είναι το σύνολο των καταστάσεων όπου μπορεί να βρεθεί το Μ ξεκινώντας από οποιαδήποτε κατάσταση του R και διαβάζοντας a. NFA για τη γλώσσα L 4 ("2 συνεχόμενα a "): DFA για τη γλώσσα L 4 : Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 23 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 24 4

5 Παράδειγμα μετατροπής NFA σε DFA (ii) NFA για τη γλώσσα L 4 : Παράδειγμα μετατροπής NFA σε DFA (ii) NFA για τη γλώσσα L 4 : DFA για τη γλώσσα L 4 : DFA για τη γλώσσα L 4 : Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 26 Παράδειγμα μετατροπής NFA σε DFA (ii) NFA για τη γλώσσα L 4 : Παράδειγμα μετατροπής NFA σε DFA (ii) NFA για τη γλώσσα L 4 : DFA για τη γλώσσα L 4 : DFA για τη γλώσσα L 4 : Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 27 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 28 Παράδειγμα μετατροπής NFA σε DFA (ii) NFA για τη γλώσσα L 4 : DFA για τη γλώσσα L 4 : Αυτόματα με ε-κινήσεις: NFA ε Τα μη ντετερμινιστικά αυτόματα με ε-κινήσεις (NFA ε ) επιτρέπουν και ορισμένες μεταβάσεις χωρίς να διαβάζεται σύμβολο (ισοδύναμα: με είσοδο το κενό string ε). Αποδέχονται τις συμβολοσειρές που μπορούν να οδηγήσουν σε τελική κατάσταση, χρησιμοποιώντας ενδεχομένως και ε-κινήσεις. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 29 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 30 5

6 Τυπικός ορισμός NFA ε Γλώσσα αποδεκτή από NFA ε Σημείωση: η συνάρτηση δ είναι επεκτεταμένη ώστε να δέχεται σαν ορίσματα μια κατάσταση q και μια συμβολοσειρά w και να δίνει το σύνολο των καταστάσεων όπου μπορεί να βρεθεί το αυτόματο αν ξεκινήσει από την q καιδιαβάσειτηνw, χρησιμοποιώντας ενδεχομένως και ε-κινήσεις όπου αυτό επιτρέπεται. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 31 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 32 ε-κλείσιμο Για να ορίσουμε τυπικά την αποδοχή σε NFA ε, αλλά και για να δείξουμε την ισοδυναμία με DFA, χρειαζόμαστε την έννοια του ε-κλεισίματος μιας κατάστασης q, που είναι το σύνολο των καταστάσεων στις οποίες μπορεί να φτάσει το αυτόματο ξεκινώντας από την q και χρησιμοποιώντας μόνο ε-κινήσεις. Ισοδυναμία NFA ε και DFA Έστω το NFA ε Μ = (Q,Σ,q 0,F,δ). Ένα ισοδύναμο DFA M'= (Q',Σ,q ' 0,F',δ'), ορίζεται ως εξής: Q' = Pow(Q), δηλαδή οι καταστάσεις του Μ είναι όλα τα υποσύνολα καταστάσεων του Μ. q ' 0 = ε-κλείσιμο(q 0 ), F' = {R Q' R F }, δηλαδή μια κατάσταση του Μ είναι τελική αν περιέχει μια τελική κατάσταση του Μ. δ'(r, a) = {q Q q ε-κλείσιμο(δ(r, a)) για r R}, δηλαδή δ'(r, a) είναι το σύνολο των καταστάσεων όπου μπορεί να βρεθεί το Μ ξεκινώντας από οποιαδήποτε κατάσταση του R και διαβάζοντας a και χρησιμοποιώντας στη συνέχεια ε-κινήσεις. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 33 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 34 Παράδειγμα ισοδυναμίας NFA ε και DFA Ελαχιστοποίηση DFA (i) ύο καταστάσεις μπορούν να συγχωνευτούν σε μία αν: είναι και οι δύο τελικές ή και οι δύο μη τελικές, και οδηγούν με τα ίδια σύμβολα σε ίδιες καταστάσεις. x 1 x 2 x k q i 0 q 0 1 q 1 y 1 y 2 y n 0 q m 1 0, 1 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 35 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 36 6

7 x 1 x 2 x k Ελαχιστοποίηση DFA (ii) q 0 1 q 1 1 y 1 y 2 y n q i q m 0 0 x 1 x 2 x k 0 q 0 q im q 1 y 1 y 2 y n 0, 1 0, 1 Ελαχιστοποίηση DFA: παράδειγμα Αρχικό DFA: Ελάχιστο DFA: 1 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 37 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 38 Μέθοδος ελαχιστοποίησης DFA Εξαλείφουμε τις απρόσιτες καταστάσεις Σημειώνουμε ως διακρίσιμες δύο καταστάσεις αν: η μία είναι τελική ενώ η άλλη όχι οδηγούν με ένα ή περισσότερα σύμβολα σε διακρίσιμες καταστάσεις (βλ. παρακάτω για αναλυτική μέθοδο) Συγχωνεύουμε ισοδύναμες (= μη διακρίσιμες) καταστάσεις. Η μέθοδος αναλυτικά Κατασκευάζουμε πίνακα για να συγκρίνουμε κάθε ζεύγος καταστάσεων. Βάζουμε ένα X σε κάθε θέση του πίνακα κάθε φορά που ανακαλύπτουμε ότι δύο καταστάσεις δεν είναι ισοδύναμες. Αρχικά εγγράφουμε X σε όλα τα ζεύγη που προφανώς διακρίνονται γιατί η μία είναι τελική και η άλλη δεν είναι. Μετά προσπαθούμε να δούμε αν διακρίνονται δύο καταστάσεις, διότι από αυτές με ένα σύμβολο a οδηγούμαστε σε διακρίσιμες καταστάσεις. Επαναλαμβάνουμε την πιο πάνω προσπάθεια ώσπου να μην προστίθεται κανένα X πια στον πίνακα. Τα υπόλοιπα ζευγάρια είναι μη διακρίσιμα, δηλαδή ισοδύναμα (και επομένως συγχωνεύσιμα). Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 39 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 40 Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου (i) Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου (ii) 41 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 42 7

8 Άλλο παράδειγμα ελαχιστοποίησης DFA DFA για τη γλώσσα L 4 = { w {a,b}* w περιέχει 2 συνεχόμενα a }: Γλώσσες, αυτόματα, γραμματικές Τυπικές γλώσσες: χρησιμοποιούνται για την περιγραφή υπολογιστικών προβλημάτων αλλά και γλωσσών προγραμματισμού. Αυτόματα: χρησιμεύουν για την αναγνώριση τυπικών γλωσσών και για την κατάταξη της δυσκολίας των αντίστοιχων προβλημάτων. Κάθε αυτόματο (χωρίς έξοδο) αναγνωρίζει μια τυπική γλώσσα. Tυπικές γραμματικές: άλλος τρόπος περιγραφής τυπικών γλωσσών. Κάθε τυπική γραμματική παράγει μια τυπική γλώσσα. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 43 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 44 Τυπικές γλώσσες Τυπικές γλώσσες (συν.) Πρωταρχικές έννοιες: σύμβολα, παράθεση. Αλφάβητο: πεπερασμένο σύνολο συμβόλων. Π.χ. {0,1}, {x,y,z}, {a,b}. Λέξη (ή συμβολοσειρά, ή πρόταση) ενός αλφαβήτου: πεπερασμένου μήκους ακολουθία συμβόλων του αλφαβήτου. Π.χ , abbbab. w = μήκος λέξης w. ε = κενή λέξη. vw = παράθεση λέξεων v και w. Άλλες έννοιες: πρόθεμα (prefix), κατάληξη (suffix), υποσυμβολοσειρά (substring), αντίστροφη (reversal), παλινδρομική ή καρκινική (palindrome). Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 45 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 46 Παράδειγμα γραμματικής για την γλώσσα των περιττών αριθμών S Χ 1 Χ Χ 0 Χ Χ 1 Χ ε S: το αρχικό σύμβολο X: μη τερματικό σύμβολο 0,1: τερματικά σύμβολα ε: η κενήσυμβολοσειρά Τυπικές γραμματικές (i) Τα S και X αντικαθίστανται με βάση τους κανόνες Κανονική παράσταση: (0+1)*1 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 47 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 48 8

9 Τυπικές γραμματικές (ii) Παράδειγμα τυπικής γραμματικής Πιθανή ακολουθία παραγωγής: Γλώσσα που παράγεται: Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 49 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 50 Ιεραρχία Γραμματικών Chomsky (i) Ιεραρχία Γραμματικών Chomsky (ii) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 51 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 52 Κανονικές παραστάσεις (Regular Expressions) Ορισμός κανονικών παραστάσεων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 53 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 54 9

10 Παραδείγματα κανονικών παραστάσεων Ισοδυναμία κανονικών παραστάσεων και αυτομάτων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 55 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Επαγωγικό βήμα. Έστω ότι για r1, r2 έχουμε αυτόματα Μ1, Μ2, με τελικές καταστάσεις f1, f2: Ισοδυναμία κανονικών παραστάσεων και αυτομάτων (συν.) <= : Κατασκευή κανονικής παράστασης από FA Απαλείφουμε ενδιάμεσες καταστάσεις σύμφωνα με το σχήμα: Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 57 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 58 Παράδειγμα κατασκευής κανονικής παράστασης από FA Κανονικές Γραμματικές Οι κανονικές γραμματικές είναι γραμματικές όπου όλοι οι κανόνες είναι της μορφής: εξιογραμμικοί (right linear) A wb ή A w Αριστερογραμμικοί (left linear) A Bw ή A w (όπου w είναι μια ακολουθία από τερματικά σύμβολα της γλώσσας) Οι κανονικές γλώσσες είναι γλώσσες που παράγονται από κανονικές γραμματικές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 59 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 60 10

11 Pumping Lemma (i) Pumping Lemma (ii) Έστω κανονική γλώσσα L. Τότε: Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 61 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 62 Pumping Lemma (iii) Έστω κανονική γλώσσα L. Τότε: υπάρχει ένας φυσικός n (= πλήθος καταστάσεων του DFA) ώστε: για κάθε z L με μήκος z n υπάρχει «σπάσιμο» του z σε u, v, w, δηλαδή z = uvw, με uv n και v > 0 ώστε για κάθε i = 0, 1, 2,... : uv i w L Απόδειξη ότι μια γλώσσα δεν είναι κανονική Χρήση του Pumping Lemma γιαναδείξουμεότιμια (μη πεπερασμένη) γλώσσα L δεν είναι κανονική: αν η L ήταν κανονική τότε το PL λέει ότι υπάρχει n εμείς μπορούμε να επιλέξουμε z L με μήκος z n το PL λέει ότι υπάρχει «σπάσιμο» z = uvw, με uv n και v > 0 εμείς μπορούμε να επιλέξουμε i ώστε η λέξη uv i w να μην είναι στη γλώσσα L ΑΤΟΠΟ Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 63 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 64 Παράδειγμα χρήσης Pumping Lemma (i) Θεώρημα: Η γλώσσα L = {z: z έχει τον ίδιο αριθμό από 0 και 1} δεν είναι κανονική. Απόδειξη: το PL λέει ότι υπάρχει n εμείς επιλέγουμε z= 0 n 1 n L με μήκος z = 2n n z = n το PL λέει ότι υπάρχει «σπάσιμο» z = uvw, με uv n και v > 0 n Παράδειγμα χρήσης Pumping Lemma (ii) Υπάρχει μία μόνο (ουσιαστικά) περίπτωση: w = u v w Η επανάληψη του v δίνει λέξεις που δεν είναι στη γλώσσα L: π.χ. uv 2 w δεν ανήκει στην L. ΑΤΟΠΟ Επομένως η L δεν είναι κανονική. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 65 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 66 11

12 εύτερο παράδειγμα χρήσης PL (i) Θεώρημα: L = {0 i 1 j : i > j} δεν είναι κανονική. Απόδειξη: το PL λέει ότι υπάρχει n εμείς επιλέγουμε z = 0 n+1 1 n L με μήκος z = 2n+1 n z = n+1 n το PL λέει ότι υπάρχει «σπάσιμο» z = uvw, με uv n και v > 0. εύτερο παράδειγμα χρήσης PL (ii) Υπάρχει μία μόνο (ουσιαστικά) περίπτωση: z = u v w η επανάληψη του v δίνει λέξεις της γλώσσας (;) από πρώτη άποψη αυτό φαίνεται προβληματικό το λήμμα ορίζει ότι θα πρέπει για κάθε i 0, uv i w L όμως, ηλέξηuv 0 w δεν είναι στην L. ΑΤΟΠΟ Επομένως η L δεν είναι κανονική. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 67 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 68 Χρήση pumping lemma (adversary argument) Παράδειγμα χρήσης Pumping Lemma με adversary argument ΑΤΟΠΟ Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 69 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 70 Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα (Context Free) [i] Context Free Grammars Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 71 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 72 12

13 Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα (Context Free) [ii] Συντακτικά ένδρα (parse trees) (i) Φύλλωμα (leafstring): aaabbb και bbba αντίστοιχα. Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 73 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 74 Συντακτικά ένδρα (ii) Συντακτικά ένδρα (iii) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 75 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 76 ιφορούμενες γραμματικές Μια γραμματική G ονομάζεται διφορούμενη αν υπάρχουν δύο συντακτικά δένδρα με το ίδιο φύλλωμα w є L(G). Εγγενώς διφορούμενες γραμματικές Για την γλώσσα του προηγούμενου παραδείγματος υπάρχει και μη διφορούμενη γραμματική που την παράγει (άσκηση). Υπάρχουν όμως και γλώσσες χωρίς συμφραζόμενα για τιςοποίεςόλεςοιγραμματικέςπουτιςπαράγουνείναι διφορούμενες. Μιατέτοιαγλώσσα(καθώς και κάθε γραμματική που την παράγει) λέγεται εγγενώς διφορούμενη (inherently ambiguous). Παράδειγμα: Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 77 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 78 13

14 Απλοποίηση Γραμματικών Κανονικές Μορφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 79 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 80 Αλγόριθμος CYK Αυτόματα Στοίβας (PushDown Automata PDA) [i] Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 81 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 82 Αυτόματα Στοίβας (PushDown Automata PDA) [ii] Αυτόματα Στοίβας (PushDown Automata PDA) [iii] Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 83 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 84 14

15 Αυτόματα Στοίβας (PushDown Automata PDA) [iv] Αυτόματα Στοίβας (PushDown Automata PDA) [v] Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 85 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 86 Σχέση context free γλωσσών και PDA Γενικές Γραμματικές (i) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 87 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 88 Γενικές Γραμματικές (ii) Γραμματικές με Συμφραζόμενα (context sensitive) [i] Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 89 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 90 15

16 Γραμματικές με Συμφραζόμενα (context sensitive) [ii] Σχέση context sensitive γλωσσών και LBA Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 91 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 92 Iεραρχία κλάσεων γλωσσών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 93 16

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γλώσσα χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

L mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc

L mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc L mma thc 'Antlhshc A. K. Kapìrhc 12 MartÐou 2009 2 Perieqìmena 1 Το Λήμμα της Άντλησης για μη κανονικές γλώσσες 5 1.1 Μη κανονικές γλώσσες..................................... 5 1.2 Λήμμα άντλησης για

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισµού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισµού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισµού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 3. Γλώσσες και Συναρτήσεις 30 Ιανουαρίου 2007 ρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 3.1.1. Αλφάβητο Πως υλοποιούµε σεέναυπολογιστήένααλγόριθµοήµια σχέση; Αλφάβητο ή Γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΘΕΜΑ 1 Α.

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΘΕΜΑ 1 Α. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΘΕΜΑ 1 Α. 1. Αν το Α έχει την τιµή 10 και το Β την τιµή 20 τότε η έκφραση (Α > 8 ΚΑΙ Β < 20) Ή (Α > 10 Ή Β = 10) είναι αληθής 2. Σε περίπτωση εµφωλευµένων βρόχων, ο εσωτερικός

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 (Α) Σημειώστε δίπλα σε κάθε πρόταση «Σ» ή «Λ» εφόσον είναι σωστή ή λανθασμένη αντίστοιχα. 1. Τα συντακτικά λάθη ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ. Διδάσκουσα Δρ Β.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ. Διδάσκουσα Δρ Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β. Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 1 Σύνολο χαρακτήρων της Pascal Για

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β )

ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β ) ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β ) ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της άσκησης είναι ο σχεδιασμός και η υλοποίηση συστήματος διόρθωσης

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

13. ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

13. ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 13. ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες

Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Γνωστικό Αντικείμενο: Εφαρμογές Πληροφορικής-Υπολογιστών Διδακτική Ενότητα: Διερευνώ - Δημιουργώ Ανακαλύπτω, Συνθετικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα;

III. Πως μετατρέπεται το πηγαίο πρόγραμμα σε εκτελέσιμο πρόγραμμα; ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: Θέμα 1ο I. Τι πρέπει να ικανοποιεί ένα κομμάτι κώδικα ώστε να χαρακτηριστεί ως υποπρόγραμμα; Τα υποπρογράμματα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 1 Συμπίεση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Μεταφραστές

Κεφάλαιο 2: Μεταφραστές Κεφάλαιο 2: Μεταφραστές Αρχές Γλωσσών και Προγραμματισμού Λειτουργία Μετάφρασης ΑΡΧΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ (Source) L A ΓΛΩΣΣΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΗ (Implementation) L Y ΤΕΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ (Target) L T Αρχικό Πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 6 ο

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 6 ο Με τι ασχολείται ο προγραμματισμός; Ο προγραμματισμός ασχολείται με την διατύπωση του αλγορίθμου σε κατανοητή μορφή από τον Η/Υ, δηλ. τη δημιουργία του προγράμματος, του συνόλου των εντολών που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Οδηγιών. BrainStorm. Περιβάλλον Τερματικού Σταθμού

Εγχειρίδιο Οδηγιών. BrainStorm. Περιβάλλον Τερματικού Σταθμού Εγχειρίδιο Οδηγιών BrainStorm Περιβάλλον Τερματικού Σταθμού Περιβάλλον Εργασίας Η BrainStorm εχει δώσει πολύ μεγάλη σημασία στην ευκολία, ταχύτητα αλλά και ελαχιστοποίηση της καθημερινής εργασίας του χειριστή

Διαβάστε περισσότερα

8. Επιλογή και επανάληψη

8. Επιλογή και επανάληψη 8. Επιλογή και επανάληψη 8.1 Εντολές Επιλογής ΕΣΕΠ06-Θ1Β5 Η ιεραρχία των λογικών τελεστών είναι µικρότερη των αριθµητικών. ΕΣ07-Θ1Γ5 Η σύγκριση λογικών δεδοµένων έχει έννοια µόνο στην περίπτωση του ίσου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Σημειώστε αν είναι σωστή ή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

aquauno PRATICO ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΗΣ ΠΟΤΙΣΜΑΤΟΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ

aquauno PRATICO ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΗΣ ΠΟΤΙΣΜΑΤΟΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ aquauno PRATICO ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΗΣ ΠΟΤΙΣΜΑΤΟΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ 8493 98 AQUAUNO PRATICO ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΑΣ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΗ ΜΑΣ. ΔΙΑΒΑΣΤΕ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ ΤΙΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ ΠΡΙΝ ΞΕΚΙΝΗΣΕΤΕ ΤΟΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. Ï.Å.Ö.Å.

1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία οποιαδήποτε επεξεργασία. Ï.Å.Ö.Å. 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1: Α. 1. Να αναφέρετε ονοµαστικά τις λειτουργίες µε τις οποίες ο υπολογιστής µπορεί να επιτελέσει µε επιτυχία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Με το πάτημα του Ok μετά από κάποια συνεδρία μετρήσεων ή με το άνοιγμα της εξέτασης μέσα από το αρχείο (βλ. εγχειρίδιο χρήσης του Biomech), η σελίδα συνοπτικής παρουσίασης της εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

3 Αλληλεπίδραση Αντικειμένων

3 Αλληλεπίδραση Αντικειμένων Αφαίρεση και Αρθρωσιμότητα 3 Αλληλεπίδραση Αντικειμένων Πώς συνεργάζονται τα αντικείμενα που δημιουργούμε Αφαίρεση (abstraction) είναι η δυνατότητα να αγνοούμε τις λεπτομέρειες και να εστιάζουμε την προσοχή

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Νο 07 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Κεφάλαιο 6ο Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Μέρος Πρώτο (6.1, 6.2 και 6.3) Α. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1. Η γλώσσα µηχανής είναι µία γλώσσα υψηλού επιπέδου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός:

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ονοματεπώνυμο: Βαθμός: Θέμα 1ο Α) Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέγοντας Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). 1) Ο έλεγχος μιας συνθήκης έχει μόνο δυο τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων

Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2014-15 Αναπαράσταση Μη Αριθμητικών Δεδομένων (κείμενο, ήχος και εικόνα στον υπολογιστή) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και δίπλα τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 Στόχοι του Μαθήματος! Ανάπτυξη αναλυτικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ (Πλ. & Υπ.) 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ (Πλ. & Υπ.) 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ (Πλ. & Υπ.) 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 και

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ανάπτυξη Εφαρµογών ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α κ Θέµα 1 ο Α. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό κάθε µιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα τη λέξη: Σωστό, αν είναι σωστή, ή τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

(6) : : 17 60 40 . .

(6) :      :     17 60 40 . . ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΓΙΑ ΠΛΗΡΩΣΗ ΜΙΑΣ ΚΕΝΗΣ ΘΕΣΗΣ ΒΟΗΘΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΟ ΗΜΟ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ Θέµα: Ειδικό

Διαβάστε περισσότερα

2 Ορισμός Κλάσεων. Παράδειγμα: Μηχανή για Εισιτήρια. Δομή μιας Κλάσης. Ο Σκελετός της Κλάσης για τη Μηχανή. Ορισμός Πεδίων 4/3/2008

2 Ορισμός Κλάσεων. Παράδειγμα: Μηχανή για Εισιτήρια. Δομή μιας Κλάσης. Ο Σκελετός της Κλάσης για τη Μηχανή. Ορισμός Πεδίων 4/3/2008 Παράδειγμα: Μηχανή για Εισιτήρια 2 Ορισμός Κλάσεων Σύνταξη κλάσης: πεδία, κατασκευαστές, μέθοδοι Ένας αυτόματος εκδότης εισιτηρίων είναι μια μηχανή που δέχεται χρήματα και εκδίδει ένα εισιτήριο. Εκδίδει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις

Περίληψη. ΗΜΥ-210: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 2005. Στοιχειώδης Λογικές Συναρτήσεις ΗΜΥ 2: Λογικός Σχεδιασµός, Εαρινό Εξάµηνο 25 Μαρ-5 ΗΜΥ-2: Λογικός Σχεδιασµός Εαρινό Εξάµηνο 25 Κεφάλαιο 4 -i: Βασικές Συνδυαστικές Συναρτήσεις και Κυκλώµατα Περίληψη Συναρτήσεις και συναρτησιακές (λειτουργικές)

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Πως να εισάγετε λίστες αναπαραγωγής διαφημίσεων

Πως να εισάγετε λίστες αναπαραγωγής διαφημίσεων JAZLER RADIOSTAR ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ Πως να εισάγετε λίστες αναπαραγωγής διαφημίσεων - Ο οδηγός αυτός απευθύνεται σε έκδοση 2.8.10 ή μεγαλύτερη του Jazler RadioStar - Ο οδηγός αυτός προϋποθέτει βασικές γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα