Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος."

Transcript

1 Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές έννοιες, ιστορικά στοιχεία. Κάτω ϕράγµα πολυπλοκότητας της ταξινόµησης. Το πρόβληµα του τερµατισµού. Προβλήµατα Απόφασης. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 2 / 48 Σε αυτό το µάθηµα Προβλήµατα και Γλώσσες Μελετάµε Προβλήµατα Απόφασης. Ζητείται ο σχεδιασµός αλγορίθµου που αποφασίζει «ΝΑΙ» ή «ΟΧΙ». Αλφάβητα, λέξεις, γλώσσες. Η (κυρίως, µη) ύπαρξη αλγορίθµου είναι αντικείµενο της Υπολογισιµότητας. Εισαγωγή στις Κανονικές Γλώσσες Regulr Lnguges Πεπερασµένα Ντετερµινιστικά Αυτόµατα. Deterministic Finite Automt DFAs Εισαγωγή στα Μη Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα. Non-deterministic Finite Automt Οι ελάχιστες απαιτήσεις σε πόρους των δυνατών αλγορίθµων είναι αντικείµενο της Πολυπλοκότητας. Παράδειγµα: Κύκλος Hmilton σε γράφηµα. Πρόβληµα Εύρεσης: Να περιγραφεί αλγόριθµος που υπολογίζει έναν κύκλο Hmilton, σε γράφηµα εισόδου, G(V, E), αν αυτός ο κύκλος υπάρχει. 2 Πρόβληµα Απόφασης: Να περιγραφεί αλγόριθµος που, για είσοδο ένα γράφηµα G(V, E), να απαντά «ΝΑΙ» ή «ΟΧΙ», αν το G έχει, ή δεν έχει κύκλο Hmilton, αντιστοίχως. Αν λύσουµε το, αυτοµάτως έχουµε λύσει και το 2. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 4 / 48

2 Προβλήµατα και Γλώσσες Αλφάβητο και Λέξεις Τα προβλήµατα απόφασης µπορούν να περιγραφούν µε τυπικές γλώσσες. Οι γλώσσες είναι σύνολα λέξεων. Μια λέξη είναι µια ακολουθία συµβόλων από ένα δεδοµένο αλφάβητο. Χρησιµοποιούµε λέξεις για να περιγράψουµε την είσοδο µηχανές των υπολογιστικών µας µοντέλων. εδοµένης µιας λέξης, οι µηχανές ϑα απαντούν: «ΝΑΙ», αν η λέξη ανήκει στη γλώσσα. «ΟΧΙ», διαφορετικά. Εποµένως: Γλώσσα Πρόβληµα (απόφασης) και Λέξη Είσοδος. Αλφάβητο: πεπερασµένο, µη κενό σύνολο από σύµβολα. Π.χ., Σ = {, }, Σ = {,, c }. Η ακόµα: Σ = { while, void, int, for, if... } Λέξη/Συµβολοσειρά: πεπερασµένη ακολουθία συµβόλων του αλφαβήτου Σ. Π.χ.,, c, ή ένα πρόγραµµα σε C (ή Jv, ή C++,... ) Μήκος λέξης: πλήθος συµβόλων της λέξης, συµβ. µε w. Κενή Λέξη: Λέξη µηδενικού µήκους, συµβολίζεται µε ɛ. Σ k : σύνολο λέξεων µήκους k που αποτελούνται από σύµβολα του Σ. {, } 2 = {,,, }. {,, c }2 = {, c, c, c, c, }. Σ : σύνολο όλων των λέξεων επί του Σ: Σ = k N Σk Π.χ., {, } = { ɛ,,,,,,,,,... }. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 5 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 6 / 48 Πράξεις µε Λέξεις Τυπικές Γλώσσες Παράθεση των x και y: x y ή απλώς xy. Π.χ., παράθεση των και δίνει. Επανάληψη της λέξης w k ϕορές: w k = k ϕορές {}}{ w w w. Αντίστροφη w R της λέξης w: προκύπτει γράφοντας την w από το τέλος προς την αρχή. Π.χ., () R =, (cc) R = cc. Παλινδροµική λέξη w αν w = w R : π.χ., () R =. Για κάθε δύο λέξεις x και y είναι (x y) R = y R x R. Η x είναι υπολέξη της w αν w = y x z. Μπορεί να είναι y = ɛ ή z = ɛ (ή και τα δύο). Τυπική Γλώσσα L επί του αλφαβήτου Σ: Ενα συγκεκριµένο υποσύνολο του Σ. Με άπειρο ή πεπερασµένο πλήθος συµβολοσειρών (λέξεων) - αριθµήσιµο. Μερικά παραδείγµατα γλωσσών επί του αλφαβήτου Σ = {,, 2 }: L = { 2, 2, 2, 2, 2, 2 } = Σ 3 L 2 = { ɛ,,,,... } L 3 = { w Σ : το τελευταίο ψηφίο του w είναι }. L 4 = { } = (η κενή γλώσσα). L 5 = { ɛ } η γλώσσα που περιέχει µόνο την κενή λέξη. L 6 = { w : w συντακτικά ορθό πρόγραµµα σε C } = Γλώσσα C Κάθε συντακτικά ορθό πρόγραµµα είναι µία λέξη της γλώσσας. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 7 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 8 / 48

3 Πράξεις µε Γλώσσες Πράξεις Συνόλων: ένωση, τοµή, διαφορά, συµπλήρωµα. Παράθεση γλωσσών L και L 2 επί του αλφαβήτου Σ : L L 2 = { w Σ : w = x x 2, για x L και x 2 L 2 } = L L2 Π.χ., αν L = {,, } και L 2 = { ɛ, }: L L 2 = {,,,,, } Παράθεση Γλώσσας µε την ίδια: L 2 = { w Σ : w = x x 2, για x L και x 2 L } Παράθεση Γλώσσας k φορές: L k = { w Σ : w = x x 2 x k, για x, x 2,..., x k L } Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 9 / 48 Πράξεις µε Γλώσσες Παράθεση οποιουδήποτε (πεπερασµένου) πλήθους λέξεων της L: L = L k (Παρατήρηση: k.) k N Παράδειγµα: αν L = {, }, τότε: L = { ɛ,,,,,,,,... } Αν L = { ɛ }, τότε L = { ɛ }. Αν L =, τότε L = { ɛ }. Παράθεση ϑετικού πεπερασµένου πλήθους λέξεων της L: L + = L k (Παρατήρηση: k.) k Z + Πότε είναι L = L + ; Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () / 48 Αναπαράσταση Γλωσσών Με απλή απαρίθµηση των λέξεών τους, όταν είναι πεπερασµένες. Μέσω κοινής χαρακτηριστικής ιδιότητας που έχουν οι λέξεις: Π.χ., L = { w {, } : w έχει άρτιο πλήθος από } Π.χ., L 2 = { n n : n }. Κανονικές Γλώσσες Μέσω συνολοθεωρητικών πράξεων επί άλλων γλωσσών, π.χ., L L 2. Μέσω γραµµατικών, που αποτελούν µηχανισµούς παραγωγής λέξεων της γλώσσας. Μέσω υπολογιστικών µηχανών (ισοδύναµα: αλγορίθµων) που αποφασίζουν αν µια λέξη ανήκει στη γλώσσα ή όχι. Π.χ., ένας συντακτικός αναλυτής που αποφασίζει αν ένα πρόγραµµα C είναι ορθό ή όχι. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 2 / 48

4 Πεπερασµένα Αυτόµατα Παράδειγµα: Αυτόµατη Πόρτα Μονής Κατεύθυνσης Deterministic Finite Automt (DFA ) Υπολογιστές µε πολύ µικρή µνήµη. Τα συναντάµε συχνά στην καθηµερινότητά µας. Αποτελούν τη ϐάση λειτουργίας ηλετροµηχανικών συσκευών και πολλών άλλων διεπαφών µε τις οποίες έχουµε εκτεταµένη εµπειρία. Προδιαγραφές Λειτουργίας Η πόρτα ανοίγει προς τα µέσα (δεν είναι συρόµενη). Ανοίγει όταν: εν είναι ανοιχτή. Ανιχνεύεται παρουσία έξω. εν ανιχνεύεται παρουσία µέσα (ώστε να µην χτυπήσει ο µέσα). Κλείνει όταν: Είναι ανοιχτή. εν ανιχνεύεται παρουσία πουθενά (µέσα ή έξω). Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 4 / 48 Παράδειγµα: Αυτόµατη Πόρτα Μονής Κατεύθυνσης Παράδειγµα: Αυτόµατη Πόρτα Μονής Κατεύθυνσης ΜΕΣΑ, ΠΑΝΤΟΥ, ΠΟΥΘΕΝΑ ΕΞΩ Ενας τυποποιηµένος τρόπος αναπαράστασης της πόρτας. Ενας υπολογιστής µε µνήµη it (ΑΝΟΙΚΤΑ ΚΛΕΙΣΤΑ ). ΚΛΕΙΣΤΑ ΠΟΥΘΕΝΑ ΑΝΟΙΚΤΑ ΕΞΩ, ΜΕΣΑ, ΠΑΝΤΟΥ Ενας ανελκυστήρας χρειάζεται λίγη περισσότερη µνήµη. Αλλα παραδείγµατα: οικιακές συσκευές, τµήµατα αριθµοµηχανών, ψηφιακών ϱολογιών. Πιθανοτικό αντίστοιχο των πεπερασµένων αυτοµάτων: Αλυσίδες Mrkov Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 5 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 6 / 48

5 Παράδειγµα Πεπερασµένου Αυτοµάτου Παράδειγµα Πεπερασµένου Αυτοµάτου q q 2 q 3 q q 2 q 3,, Παράδειγµα Εκτέλεσης για Είσοδο : ιάγραµµα Καταστάσεων Τρεις καταστάσεις, q, q 2, q 3. Αρχική Κατάσταση: q. Κατάσταση Αποδοχής: q 2. Μεταβάσεις µεταξύ καταστάσεων. q q 2 q 2 q 3 q 2 Παράδειγµα Εκτέλεσης για Είσοδο : (αποδοχή) q q q 2 q 3 q 2 q 3 q 2 Μερικές ενδεικτικές δοκιµές ακόµα: (αποδοχή),,,,, Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 7 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 8 / 48 Παράδειγµα Πεπερασµένου Αυτοµάτου Πεπερασµένα Αυτόµατα q q 2 q 3, Παράδειγµα Εκτέλεσης για Είσοδο : Ορισµός Μια πεντάδα (Q, Σ, δ, q, F), όπου: Q είναι ένα πεπερασµένο σύνολο καταστάσεων. 2 Σ είναι ένα πεπερασµένο σύνολο που ονοµάζεται αλφάβητο. q q 2 q 2 q 3 q 2 (αποδοχή) 3 δ : Q Σ Q είναι η συνάρτηση µεταβάσεων. Παράδειγµα Εκτέλεσης για Είσοδο : q q q 2 q 3 q 2 q 3 q 2 Μερικές ενδεικτικές δοκιµές ακόµα: (αποδοχή) 4 q Q είναι η αρχική κατάσταση. 5 F Q είναι το σύνολο των καταστάσεων αποδοχής.,,,,, Αποδέχεται τις λέξεις που τελειώνουν σε: ακολουθούµενο από άρτιο πλήθος. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 8 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 9 / 48

6 Παράδειγµα Γλώσσες Αυτοµάτων q q 2 q 3, Ενα πεπερασµένο αυτόµατο M (Q, Σ, δ, q, F), όπου: Q = { q, q 2, q 3 }. 2 Σ = {, }. 3 Αρχική κατάσταση, q. 4 Καταστάσεις αποδοχής, F = {q 2 }. Συνάρτηση Μεταβάσεων, δ: δ q q q 2 q 2 q 3 q 2 q 3 q 2 q 2 Εάν A είναι το σύνολο των λέξεων που αποδέχεται το αυτόµατο M, λέµε ότι το A είναι η γλώσσα του M και γράφουµε L(M) = A. Επίσης λέµε ότι το M αποδέχεται ή αναγνωρίζει την A. Ενα αυτόµατο αναγνωρίζει / αποδέχεται την A αν αποδέχεται όλες τις λέξεις που ανήκουν στην A και µόνον αυτές. Ενα αυτόµατο αποδέχεται πολλές λέξεις, αλλά αναγνωρίζει µία µόνο γλώσσα. Αν δεν αποδέχεται καµία λέξη, τότε αναγνωρίζει την κενή γλώσσα,. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 2 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 2 / 48 Παραδείγµατα () Παραδείγµατα () q q 2 Τυπική Περιγραφή: q q 2 Τυπική Περιγραφή: M 2 = ( Q = { q, q 2 }, Σ = {, }, δ, q, F = { q 2 } ) δ q q q 2 q 2 q q 2 Ποια γλώσσα αναγνωρίζει το M 2 ; Ενδεικτικές δοκιµές:,. ιαπιστώνουµε πειραµατικά ότι: L(M 2 ) = { w w τελειώνει σε }. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 22 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 22 / 48

7 Παραδείγµατα (2) Παραδείγµατα (2) q q 2 q q 2 Τυπική Περιγραφή: Τυπική Περιγραφή: M 3 = ( Q = { q, q 2 }, Σ = {, }, δ, q, F = { q } ) δ q q q 2 q 2 q q 2 Ποια γλώσσα αναγνωρίζει το M 3 ; Ενδεικτικές δοκιµές:,. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 23 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 23 / 48 Παραδείγµατα (2) Παραδείγµατα (ΙΙ) q q 2 s q r Τυπική Περιγραφή: M 3 = ( Q = { q, q 2 }, Σ = {, }, δ, q, F = { q } ) δ q q q 2 q 2 q q 2 q 2 r 2 Τυπική Περιγραφή: Ποια γλώσσα αναγνωρίζει το M 3 ; Ενδεικτικές δοκιµές:,. ιαπιστώνουµε πειραµατικά ότι: L(M 3 ) = { w w = ή w τελειώνει σε }. Παρατήρηση: Το M 3 αποδέχεται την κενή λέξη, ɛ. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 23 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 24 / 48

8 Παραδείγµατα (ΙΙ) Παραδείγµατα (ΙΙ) s q r q 2 r 2 δ s q r q q q 2 q 2 q q 2 r r 2 r r 2 r 2 r s q r q 2 r 2 δ s q r q q q 2 q 2 q q 2 r r 2 r r 2 r 2 r Τυπική Περιγραφή: M 4 = ( Q = { s, q, q 2, r, r 2 }, Σ = {, }, δ, s, F = { q, r } ) Ποια γλώσσα αναγνωρίζει το M 4 ; Ενδεικτικές δοκιµές:,,,,,,, Τυπική Περιγραφή: M 4 = ( Q = { s, q, q 2, r, r 2 }, Σ = {, }, δ, s, F = { q, r } ) Ποια γλώσσα αναγνωρίζει το M 4 ; Ενδεικτικές δοκιµές:,,,,,,, L(M 4 ) = { w η w αρχίζει και τελειώνει µε: ή µε }. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 24 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 24 / 48 Παραδείγµατα (ΙΙΙ) Παραδείγµατα (ΙΙΙ) q Τυπική Περιγραφή: M 5 = ( Q = {q, q, q 2 }, Σ = {,, 2, RESET }, δ q, F = { q } ) Αλφάβητο: Σ == {,, 2, RESET }. 2, RESET 2 Προσοχή: το RESET είναι ένα σύµβολο. Συνάρτηση µεταβάσεων, δ: q 2 q 2, RESET, RESET Ποιά είναι η τυπική περιγραφή του αυτοµάτου; Ποιά γλώσσα αναγνωρίζει; Γλώσσα που αναγνωρίζει το M 5 : δ 2 RESET q q q q 2 q q q q 2 q q q 2 q 2 q q q L(M 5 ) = { w w τελειώνει σε RESET ή ( i w i ) mod 3 = } Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 25 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 26 / 48

9 Ορισµός Υπολογισµού Σχεδίαση Πεπερασµένων Αυτοµάτων Εστω M = (Q, Σ, δ, q, F) πεπερασµένο αυτόµατο και w = w w 2... w n µια συµβολοσειρά εισόδου, όπου w i Σ, για i =,..., n. Το M αποδέχεται την w αν υπάρχει ακολουθία καταστάσεων r, r,..., r n Q που ικανοποιεί τις συνθήκες: r = q. 2 δ(r i, w i+ ) = r i+. 3 r n F. Ορισµός Μια γλώσσα λέγεται κανονική εάν υπάρχει πεπερασµένο αυτόµατο που την αναγνωρίζει. Υποθέτουµε ότι πρέπει να αποφασίσουµε αν µια δεδοµένη λέξη ανήκει ή όχι σε δεδοµένη γλώσσα. Μετά από κάθε σύµβολο, πρέπει να αποφαινόµαστε αν το τµήµα της λέξης που διαβάσαµε ως τώρα ανήκει ή όχι στη γλώσσα. εν µπορούµε να ϑυµόµαστε όλα τα σύµβολα που έχουµε διαβάσει. Αρκεί να ϑυµόµαστε τις κρίσιµες πληροφορίες, που εξαρτώνται από την εκάστοτε γλώσσα. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 27 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 28 / 48 Παράδειγµα Σχεδίασης (α) Παράδειγµα Σχεδίασης (β) εδοµένα: Αλφάβητο εισόδου: {, }. Ζητούµενη Γλώσσα: όλες οι λέξεις µε περιττό πλήθος από. Σκεπτικό: ε µπορούµε ούτε χρειάζεται να ϑυµόµαστε το ακριβές πλήθος των. Αρκεί να ϑυµόµαστε δύο περιπτώσεις:. Εχουµε διαβάσει άρτιο πλήθος από µέχρι στιγµής. Αρχική είναι η q α : αρχικά έχουµε διαβάσει µηδέν (άρτιο) πλήθος : q α q π 2. Εχουµε διαβάσει περιττό πλήθος από µέχρι στιγµής. Εποµένως, δύο καταστάσεις: q α q π Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 29 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48

10 Παράδειγµα Σχεδίασης (β) Παράδειγµα Σχεδίασης (β) Αποδοχής είναι η q π : όπου ϑα έχουµε διαβάσει περιττό πλήθος : Ανάγνωση µας αφήνει στην ίδια κατάσταση: δε µεταβάλλει το πλήθος των : q α q π q α q π Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48 Παράδειγµα Σχεδίασης (β) Παράδειγµα Σχεδίασης (2α) Ανάγνωση προκαλεί µετάβαση από την κάθε κατάσταση στην άλλη: q α q π εδοµένα: Αλφάβητο εισόδου: {, }. Ζητούµενη Γλώσσα: όλες οι λέξεις που περιέχουν την υπολέξη. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 3 / 48

11 Παράδειγµα Σχεδίασης (2β) Παράδειγµα Σχεδίασης (2γ) Σκεπτικό: Ολα τα που προηγούνται πρέπει να «αγνοηθούν». Αρχική κατάσταση q, στην οποία «αγνοούνται» τα. Το πρώτο που διαβάζεται ίσως είναι το πρώτο του. Μία κατάσταση q για το πρώτο που διαβάζουµε. Το δεύτερο που διαβάζεται ίσως είναι το δεύτερο του. Κατάσταση q όπου µεταβαίνουµε από την q µε ανάγνωση. Αν στην q διαβάσουµε, τότε αποδεχόµαστε: Κατάσταση αποδοχής q, όπου µεταβαίνουµε από την q µε ανάγνωση. Ανάγνωση στην q αποκλείει το που προηγήθηκε να ανήκει σε. q q q q Θέλουµε να αγνοήσουµε όλα τα επόµενα που µπορεί να διαβάσουµε. q q q q Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 32 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 33 / 48 Παράδειγµα Σχεδίασης (2γ) Παράδειγµα Σχεδίασης (2γ) Ανάγνωση στην q δε µας πειράζει (παρότι είναι το τρίτο τουλάχιστον): q q q q Ισως αυτό να είναι το «δεύτερο» της που ψάχνουµε. Εφόσον έχουµε δεί, παραµένουµε σε κατάσταση αποδοχής q :, q q q q Η λέξη ανήκει στη δεδοµένη γλώσσα, ό,τι σύµβολο κι αν ακολουθεί τα. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 33 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 33 / 48

12 Παραδείγµατα Σχεδιασµού Αυτοµάτων Παραδείγµατα Σχεδιασµού Αυτοµάτων (/2) Για καθεµία από τις ακόλουθες γλώσσες, να σχεδιαστεί ένα πεπερασµένο αυτόµατο. Το σύνολο των δυαδικών συµβολοσειρών που: (α) αρχίζουν µε. (β) περιέχουν δύο συνεχόµενα. (γ) δεν περιέχουν δύο συνεχόµενα. (δ) τελειώνουν µε. (ε) περιέχουν τουλάχιστον δύο. s 3,, (α) s s s 2, (β) s s s 2, (γ) s s s 2 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 34 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 35 / 48 Παραδείγµατα Σχεδιασµού Αυτοµάτων (2/2) Κανονικές Πράξεις (δ) s s s 2 Ορισµός Εστω δύο γλώσσες A και B. Ορίζουµε τις κανονικές πράξεις: Ενωση: A B = { x x A ή x B }. Παράθεση: A B = { xy x A και y B }. (ε), s s s 2 Σώρευση: A = { x x 2... x k k και κάθε x i A}. Μας ενδιαφέρει η κλειστότητα των κανονικών γλωσσών ως προς τις κανονικές πράξεις. ηλαδή, ότι αν αυτές εφαρµοστούν σε κανονικές γλώσσες, δίνουν κανονικές γλώσσες. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 36 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 37 / 48

13 Κανονικές Πράξεις Θεώρηµα Αν L, L 2 κανονικές γλώσσες, η L L 2 είναι κανονική. ΑΠΟ ΕΙΚΤΙΚΗ Ι ΕΑ ίνονται κανονικές γλώσσες A, A 2. Θα δείξουµε ότι A A 2 κανονική. Για τις A, A 2 υπάρχει ένα αυτόµατο, M, M 2, που την αναγνωρίζει. Θα κατασκευάσουµε ένα αυτόµατο, M, που αναγνωρίζει την A A 2. ΑΠΟ ΕΙΚΤΙΚΗ Ι ΕΑ (συνέχεια) Πώς «ακολουθούµε» την εκτέλεση και των δύο µε πεπερασµένη µνήµη; Θα πρέπει να ϑυµόµαστε Ϲεύγη καταστάσεων. Συνεπώς, το M ϑα πρέπει να έχει Q = Q Q 2 καταστάσεις. Οι µεταβάσεις του M ϑα οδηγούν από ένα Ϲεύγος σε ένα άλλο. Καταστάσεις αποδοχής: Ϲεύγη που περιλαµβάνουν κατάσταση αποδοχής του M, ή του M 2. Θα κατασκευάσουµε το M από τα M, M 2, που προσοµοιώνει τα M, M 2. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 38 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 39 / 48 Παράδειγµα Παράδειγµα q q 2, q 3 M M 2 r r 2 Ζητείται αυτόµατο M που αναγνωρίζει τη γλώσσα L(M ) L(M 2 ). Ποιές είναι οι L(M ) και L(M 2 ); Το M ϑα πρέπει να αποδέχεται µια λέξη w αν και µόνο αν: Το M ϑα έχει Q Q 2 καταστάσεις: r q r q 2 r q 3 r 2 q r 2 q 2 r 2 q 3 Μία κατάσταση για κάθε Ϲευγάρι καταστάσεων από τα M, M 2. είτε w L(M ) είτε w L(M 2 ) (είτε ανήκει και στις δύο). Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 4 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 4 / 48

14 Παράδειγµα Παράδειγµα Αρχική κατάσταση του M είναι το Ϲεύγος αρχικών καταστάσεων των M, M 2 : r q r q 2 r q 3 r q r q 2 r q 3 r 2 q r 2 q 2 r 2 q 3 Κατ/σεις Αποδοχής του M: Ϲεύγη µε κατ. αποδοχής είτε του M είτε του M 2. r 2 q r 2 q 2 r 2 q 3 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 4 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 4 / 48 Τυπική Σύνοψη Κατασκευής Κλειστότητα ως προς Παράθεση; Σύνολο καταστάσεων: Q = Q Q 2, δηλαδή: Q = { (q, q ) q Q και q Q 2 } Συνάρτηση µεταβάσεων: Για κάθε (q, q ) Q, και Σ: ( ) ( ) δ (q, q ), = δ (q, ), δ 2 (q, ) Αρχική Κατάσταση: (q, q 2 ) (αρχικές των M, M 2 αντίστοιχα). { Καταστάσεις αποδοχής: F = (q, q ) q F ή q F 2 }: Ισοδύναµα: F = (F Q 2 ) (Q F 2 ) ( ιαφορετικό από F = F F 2 : τι δίνει αυτό;) Θεώρηµα Αν L, L 2 κανονικές γλώσσες, η L L 2 είναι κανονική. ΑΠΟ ΕΙΚΤΙΚΗ Ι ΕΑ οκιµάζουµε την προηγούµενη τεχνική (από την περίπτωση της ένωσης). Πώς να «στήσουµε» το M, από τα M, M 2, ώστε να αποδέχεται µια λέξη όταν: ένα πρώτο τµήµα της γίνεται αποδεκτό από το M, το υπόλοιπο γίνεται αποδεκτό από το M 2 ; Πρόβληµα: το M δε γνωρίζει «που να χωρίσει» την είσοδό του. Χρειαζόµαστε πιο «ισχυρό» ορισµό υπολογισµού για να συνεχίσουµε. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 42 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 43 / 48

15 Μη ντετερµινισµός Εώς τώρα εξετάσαµε µόνο ντετερµινιστικά (αιτιοκρατικά) αυτόµατα. Μη ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα Non-deterministic Finite Automt NFA Κάθε µετάβαση ενός DFA καθορίζεται µονοσήµαντα µέσω της δ από: - Την τρέχουσα κατάσταση, r i, του αυτοµάτου, - το επόµενο σύµβολο εισόδου, α i+ Σ. Σε ένα NFA, η τρέχουσα κατάσταση και το επόµενο σύµβολο εισόδου µπορεί να οδηγούν ταυτόχρονα σε περισσότερες από µία µεταβάσεις!!! Κάθε ντετερµινιστικό αυτόµατο είναι τετριµένα και µη ντετερµινιστικό. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 44 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 45 / 48 Παράδειγµα NFA Μη Ντετερµινιστικός Υπολογισµός Ενα NFA:,,, ɛ q q 2 q 3 q 4 ιαφορές µε τα ντετερµινιστικά πεπερασµένα αυτόµατα: Ιδιο σύµβολο σε ίδια κατάσταση = διαφορετικές µεταβάσεις. Η κενή λέξη, ɛ, µπορεί επίσης να ενεργοποιεί µεταβάσεις. Από την ίδια κατάσταση: µηδέν, µία, ή περισσότερες ɛ-µεταβάσεις. Από οποιαδήποτε κατάσταση, για οποιοδήποτε σύµβολο: µπορεί «να µην υπάρχουν» µεταβάσεις. Ενα NFA ακολουθεί από µια κατάσταση παράλληλα όλες τις µεταβάσεις, που αντιστοιχούν στο τρέχον σύµβολο εισόδου. Το NFA «διασπάται» σε πολλαπλά αντίγραφα του εαυτού του και ακολουθεί όλες τις δυνατότητες παράλληλα. Τα προηγούµενα ισχύουν και για την περίπτωση που µία ή περισσότερες µεταβάσεις από την τρέχουσα κατάσταση επιγράφονται µε το σύµβολο ɛ. Το NFA αποδέχεται την είσοδό του εάν στο τέλος της ανάγνωσης της εισόδου υπάρχει έστω και ένα αντίγραφο που ϐρίσκεται σε κατάσταση αποδοχής. Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 46 / 48 Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 47 / 48

16 Μη Ντετερµινιστικός Υπολογισµός,, NFA:, ɛ q q 2 q 3 q 4 Παράδειγµα Εκτέλεσης για Είσοδο : q q q 3 q 2 q q 3 q q 4 q 3 q 2 q q 4 q 4 q 3 q 2 q q 4 q 4 q 3 q Ο. Τελέλης Κανονικές Γλώσσες () 48 / 48

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα.

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα. Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες (3) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς (Ντετερµινιστική) Κλειστότητα Κανονικών Γλωσσών ως προς Ενωση. Κατασκευή: DFA

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1. Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ. Μάθηµα 3.2: ηµήτρης Ψούνης

ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ. Μάθηµα 3.2: ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ Μάθηµα 3.2: Ντετερµινιστικά Πεπερασµένα Αυτόµατα ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β. Θεωρία 1. Πεπερασµένα Αυτόµατα 1. Λειτουργία και Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E.

Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L. να αναγνωρίζει (ηµιαποφασίζει) µια γλώσσα L. 1. Η TM «εκτελεί» τον απαριθµητή, E. Οι γλώσσες των Μηχανών Turing Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Μια TM µπορεί ένα από τα δύο: να αποφασίζει µια γλώσσα L Αποδέχεται όταν (η είσοδος στην TM) w L. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Μη Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα Τυπικός

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο; Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία.

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία. Γνωριµία Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις Τι θα κάνουμε σήμερα Κλειστότητα Κανονικών Πράξεων (1.2.3) Εισαγωγή στις Κανονικές Εκφράσεις Τυπικός ορισμός της κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ.

Γνωριµία. ιακριτά Μαθηµατικά. Βιβλία Μαθήµατος. Επικοινωνία. ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης. Ωρες γραφείου (502, Γρ. Γνωριµία ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη 26): ευτέρα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA. Αλέξανδρος Τζάλλας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8 : Αυτόματα NFA - DFA Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8: Πεπερασμένα Αυτόματα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε: Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις

Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 18 Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης. Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων. Εφαρµογές. Παράδειγµα 1.

Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων. Εφαρµογές. Παράδειγµα 1. Αρχή Εγκλεισµού-Αποκλεισµού (3 σύνολα) Αρχή Εκλεισµού-Αποκλεισµού Η Τάξη των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.g Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς A B C = A + B + C A B B C A C +

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ 2, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Θεωρείστε τις γλώσσες Α = { n n } και Β = {w η w είναι λέξη επί του αλφαβήτου {,} τ.ώ. w }. (α) Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ 1, Λ 2 επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις. Σε περίπτωση που μια σχέση ισχύει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ η Γραπτή Εργασία-Ενδεικτικές Λύσεις Επιµέλεια:. Σούλιου Θέµα (Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Κυριακή, 15 Μαρτίου 2015 Διάρκεια : 15.00 17.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις. Σχέσεις Ισοδυναµίας. Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση. Ανακλαστικές (a, a) R

Σύνοψη Προηγούµενου. Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις. Σχέσεις Ισοδυναµίας. Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση. Ανακλαστικές (a, a) R Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ανακλαστικές (, ) R Συµµετρικές (, ) R

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις

Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις Κανονικές Εκφράσεις Στοιχειώδεις Κανονικές Εκφράσεις Κανονικές Εκφράσεις Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις ηµιουργία Κανονικών Εκφράσεων Παραδείγµατα Κανονικών Εκφράσεων Τις Κανονικές εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας

Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { a i b j c k d m i, j, k, m 0 και i + j = k + m } (β) { uxvx rev u,v,x {0,1,2} + και όλα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 7: Πεπερασμένη αναπαράσταση γλωσσών Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 Λύσεις

Φροντιστήριο 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Φροντιστήριο 2 Λύσεις Ποια από τα πιο κάτω αυτόματα αποτελούν DFA επί του αλφάβητου {,}. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. (i) (ii) (iii) (iv) (v), (vi),

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 10: Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Αυτόματα Στοίβας Τυπικός Ορισμός Αυτομάτου Στοίβας (2.2.1) Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N.

- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N. Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµική Σχέση για την ακολουθία a n } είναι: - εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Μηχανές Επεξεργασίας Πληροφοριών Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Είναι µηχανές που δέχονται ένα σύνολο από σήµατα εισόδου και παράγουν ένα αντίστοιχο σύνολο σηµάτων εξόδου Σήµατα Εισόδου Μηχανή Επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Επιπλέον Ασκήσεις Για κάθε n 1: n i 2 = n(n + 1)(2n

Διαβάστε περισσότερα

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25 Κεφάλαιο 2 Κανονικές Γλώσσες & Πεπερασμένα Αυτόματα Σύνοψη Τα Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) είναι το απλούστερο και το πιο ευρέως διαδεδομένο μοντέλο υπολογισμού από αυτά που θα εξετάσουμε. Είναι επίσης γνωστά

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο Κατακερµατισµός 1 Οργάνωση Αρχείων (σύνοψη) Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο 1. Αρχεία Σωρού 2. Ταξινοµηµένα Αρχεία Φυσική διάταξη των εγγραφών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα (4) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. v 2. u 3.

Παράδειγµα (4) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. v 2. u 3. Παράδειγµα (2) s t Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (2) w x Ορέστης Τελέλης z y tllis@unipi.r v u Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Τα δύο γραφήµατα δεν είναι ισόµορφα. Ο κόµβος (αριστερά) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση: (func endfunc)-([a-za-z])+

Απάντηση: (func endfunc)-([a-za-z])+ Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Ασκήσεις Επανάληψης ) Περιγράψτε τις κανονικές εκφράσεις που υποστηρίζουν (i) συμβολοσειρές που ξεκινούν με το πρόθεμα "func" ή "endfunc" ακολουθούμενο το σύμβολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Σάββατο, 15 Μαρτίου 2014 Διάρκεια : 9.30 11.30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 4 ο ιδάσκων: Α. Ντελόπουλος Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και

Διαβάστε περισσότερα