Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης."

Transcript

1 Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό σηµαίνει πως δεν υπάρχει NFA/DFA που να τις αναγνωρίζει. Ισοδύναµα, δεν υπάρχει κανονική έκφραση για τις γλώσσες αυτές: η περιγραφή της B (παραπάνω) δεν είναι κανονική έκφραση. Για τη B ϕαίνεται διαισθητικά ότι οποιοδήποτε αυτόµατο ϑα πρέπει να ϑυµάται πόσα έχει διαβάσει ως τώρα. Το γεγονός ότι «δε µπορούµε να ϐρούµε» κανονική έκφραση ή NFA για µια γλώσσα δεν αποτελεί απόδειξη µη κανονικότητας. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2 / 53 Το Λήµµα της Αντλησης Θεώρηµα: Για κάθε κανονική γλώσσα A: Υπάρχει αριθµός p, το «µήκος άντλησης της γλώσσας», τέτοιος ώστε, κάθε λέξη s A µε µήκος s p µπορεί να χωριστεί σε τρία τµήµατα: s = x y z που ικανοποιούν τις ακόλουθες συνθήκες:. για κάθε i, ισχύει x y i z A, 2. y >, Χρήση του Λήµµατος Αντλησης Θέλουµε να δείξουµε ότι η γλώσσα B δεν είναι κανονική. Υποθέτουµε ότι η B είναι κανονική, µε στόχο να καταλήξουµε σε άτοπο. Από το Λήµµα της Αντλησης, ϑα υπάρχει µήκος άντλησης, p, τέτοιο ώστε όλες οι λέξεις x B µε x p να «επιδέχονται άντληση». Βρίσκουµε λέξη s B µε µήκος s p, που να µην επιδέχεται άντληση. Αποδεικνύουµε ότι η s δεν επιδέχεται άντληση: Εξετάζουµε όλες τις δυνατές διαιρέσεις της σε x, y, z. 3. x y p. Χρησιµοποιώντας, αν χρειάζεται, και τη συνθήκη x y p του Λήµµατος. Σηµείωση: Επιτρέπονται x = ɛ, z = ɛ, αλλά πάντα y ɛ. Βρίσκουµε για κάθε δυνατή διαίρεση της s µια τιµή i τέτοια ώστε: x y i z B. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 3 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 4 / 53

2 Παραδείγµατα Παράδειγµα (α) Να αποδειχθεί ότι καθεµία από τις γλώσσες είναι µη κανονική:. B = { n n n }. 2. C = { w η w έχει ίδιο πλήθος από και }. 3. F = { w w w {, } }. 4. D = { n2 n }. 5. E = { i j i > j } Να αποδειχθεί ότι η γλώσσα B = { n n n } είναι µη κανονική. Ας υποθέσουµε ότι η B είναι κανονική. Εστω p το µήκος άντλησης που προβλέπεται από το Λήµµα. Εξετάζουµε τη λέξη s = p p B (για την οποία ισχύει s > p) Η s ϑα µπορεί να χωριστεί σε τρία µέρη s = x y z, τέτοια ώστε: y >, x y i z B, για κάθε i. Εξετάζουµε τρεις περιπτώσεις: Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 5 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 6 / 53 Παράδειγµα (ϐ) Παράδειγµα 2 (α) Ν Ο η C = { w η w έχει ίδιο πλήθος από και } είναι µη κανονική.. Η y περιέχει µόνο. Τότε όµως x y y z B, διότι: είναι y ɛ, άρα διπλασιάζουµε το πλήθος µερικών (τουλ. ενός), εποµένως έχουµε > p, ενώ µόνο p. 2. Η y περιέχει µόνο. Τότε όµως x y y z B, για παρόµοιο λόγο µε προηγουµένως. 3. Η y περιέχει και και. Τότε όµως x y y z B, διότι κάποια εµφανίζονται πριν από κάποια. Ας υποθέσουµε ότι η C είναι κανονική. Εστω p το µήκος άντλησης που προβλέπεται από το Λήµµα. Επιλέγουµε τη λέξη s = p p, όπως και προηγουµένως, µε s = 2p > p. Σηµείωση: είναι C B. Αρα αν C κανονική, ϑα ήταν και η B. Η s µπορεί να χωριστεί σε τρία µέρη, s = x y z, τέτοια ώστε: y >, x y i z B, για κάθε i, x y p. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 7 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 8 / 53

3 Παράδειγµα 2(ϐ) Παράδειγµα 2(γ) Ν Ο η C = { w η w έχει ίδιο πλήθος από και } είναι µη κανονική. Ν Ο η C = { w η w έχει ίδιο πλήθος από και } είναι µη κανονική. Επειδή x y p και s = x y z = p p : ϑα πρέπει η y να περιέχει µόνο, εποµένως ϑα είναι x y y z C (ΑΤΟΠΟ), διότι ϑα έχει περισσότερα από. Παρατήρηση : Χρησιµοποιήσαµε την τρίτη συνθήκη του λήµµατος ( x y p). ιότι, για s = p p δε µπορούµε να αρνηθούµε τη δεύτερη: Για x = z = ɛ, y = p p ( p p ) i C για κάθε i! Παρατήρηση 2: Η επιλογή της λέξης s έχει µεγάλη σηµασία. Π.χ., αν επιλέξουµε s = ( ) p C, δε ϑα καταλήξουµε σε άτοπο: υπάρχει «διαίρεση», x = ɛ, y =, z = ( ) p ικανοποιεί όλες τις συνθήκες του λήµµατος. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 9 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα / 53 Παράδειγµα 3(α) Παράδειγµα 3(ϐ) Ν Ο η γλώσσα F = { w w w {, } } είναι µη κανονική. Ας υποθέσουµε ότι η F είναι κανονική. Εστω p το µήκος άντλησης που προβλέπεται από το Λήµµα. Επιλέγουµε να αντλήσουµε από τη λέξη s = p p (είναι s > p). Η s ϑα µπορεί να χωριστεί σε τρία µέρη, s = x y z, τέτοια ώστε: y >, x y i z F, για κάθε i, Ν Ο η γλώσσα F = { w w w {, } } είναι µη κανονική. Για να έχουµε επιπλέον x y p, ϑα πρέπει η (υπο-)λέξη y να αποτελείται µόνο από. Τότε όµως x y y z F, διότι δε µπορεί να γραφεί στη µορφή w w, όπου w {, } ΑΤΟΠΟ. Η 3η συνθήκη ήταν και πάλι σηµαντική: χωρίς αυτήν µπορούσαµε να επιλέξουµε x = z = ɛ και να αντλήσουµε από την s = y. x y p. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2 / 53

4 Παράδειγµα 4 (α) Παράδειγµα 4 (ϐ) Ν Ο η γλώσσα D = { n2 n } είναι µη κανονική. Ας υποθέσουµε ότι η D είναι κανονική. Εστω p το µήκος άντλησης που προβλέπεται από το Λήµµα. Επιλέγουµε να αντλήσουµε από τη λέξη s = p2 (είναι προφανώς s p). Η s ϑα µπορεί να χωριστεί σε τρία µέρη, s = x y z, τέτοια ώστε: y >, x y i z D, για κάθε i. Παρατηρούµε την ακολουθία των τέλειων τετραγώνων, που αντιστοιχούν στα µήκη των λέξεων της γλώσσας:,, 4, 9, 6, 25, 36, 49,... Το «χάσµα» µεταξύ των διαδοχικών τέλειων τετραγώνων αυξάνει. Εξετάζουµε τις δύο λέξεις, s = x y z και s = x y 2 z: ιαφέρουν µεταξύ τους κατά µία επανάληψη της y: s s = y. Από τη συνθήκη 3 του Λήµµατος Αντλησης, x y p, άρα y p. Επειδή s = p 2, έχουµε x y 2 z p 2 + p. Οµως: p 2 + p < p 2 + 2p + = (p + ) 2. Από τη συνθήκη 2 του Λήµµατος Αντλησης y ɛ, άρα x y 2 z > p 2. Αρα p 2 < x y 2 z < (p + ) 2 x y 2 z D ΑΤΟΠΟ. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 3 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 4 / 53 Παράδειγµα 5(α) Παράδειγµα 5(ϐ) Ν Ο η γλώσσα E = { i j i > j } είναι µη κανονική. Ας υποθέσουµε ότι η D είναι κανονική. Εστω p το µήκος άντλησης που προβλέπεται από το Λήµµα. Επιλέγουµε να αντλήσουµε από τη λέξη s = p+ p. Επειδή s > p, το Λήµµα µας λέει ότι η s µπορεί να χωριστεί σε τρία µέρη, s = x y z, τέτοια ώστε: y >, Ν Ο η γλώσσα E = { i j i > j } είναι µη κανονική. Επειδή x y p, η y ϑα πρέπει να περιλαµβάνει µόνο. Αν επαναλάβουµε την y τουλάχιστον µία ϕορά ακόµα, το πλήθος των αυξάνει και αυτό δε µπορεί να µας δώσει µια λέξη εκτός E. Οµως: το Λήµµα της Αντλησης προβλέπει ότι και η x y z = x z E. Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ, διότι η x z έχει το πολύ τόσα, όσα. x y i z D, για κάθε i. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 5 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 6 / 53

5 Αναπαράσταση Γλωσσών Με απλή απαρίθµηση των λέξεών τους, όταν είναι πεπερασµένες. Μέσω κοινής χαρακτηριστικής ιδιότητας που έχουν οι λέξεις: Γραµµατικές Π.χ., L = { w {, } : w έχει άρτιο πλήθος από } Π.χ., L 2 = { n n : n }. Μέσω συνολοθεωρητικών πράξεων επί άλλων γλωσσών, π.χ., L L 2. Μέσω υπολογιστικών µηχανών (ισοδύναµα: αυτοµάτων/αλγορίθµων) που αποφασίζουν αν µια λέξη ανήκει στη γλώσσα ή όχι. Συντακτικός αναλυτής που αποφασίζει αν ένα πρόγραµµα C είναι ορθό ή όχι. Μέσω γραµµατικών, που είναι µηχανισµοί παραγωγής λέξεων της γλώσσας. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 7 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 8 / 53 Παράδειγµα Παραγωγή Λέξεων Μια γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα (Context Free Grammar CFG), G : Συστατικά: A A A B B # Κανόνες Αντικατάστασης (Παραγωγικοί Κανόνες). 2 Μεταβλητές: τα σύµβολα αριστερά των κανόνων (µη τερµατικά σύµβολα). 3 Τερµατικά Σύµβολα: όλα τα υπόλοιπα σύµβολα. Συµβάσεις: Κεφαλαία για τις µεταβλητές. Πεζά ή ειδικά σύµβολα για τα τερµατικά σύµβολα. Η Εναρκτήρια Μεταβλητή ϐρίσκεται αριστερά του ου κανόνα. Γράφουµε την εναρκτήρια µεταβλητή (εκτός αν έχει οριστεί διαφορετικά, είναι αυτή που ϐρίσκεται στο αριστερό µέλος του ου κανόνα). 2 Επιλέγουµε µία από τις µεταβλητές που έχουµε γράψει και έναν κανόνα που να ξεκινά µε αυτήν. Αντικαθιστούµε τη µεταβλητή µε το δεξί µέλος του κανόνα. 3 Επαναλαµβάνουµε το ϐήµα 2 µέχρι να εξαντληθούν όλες οι µεταβλητές. Παράδειγµα Παραγωγής Λέξης: A = A = A = A = B = # Την ίδια πληροφορία (την παραγωγή) µπορούµε να αναπαραστήσουµε µε συντακτικό δέντρο. Το σύνολο των λέξεων που παράγονται µε τον τρόπο αυτόν είναι η Γλώσσα της Γραµµατικής. Με µερικές δοκιµές, µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η γλώσσα της γραµµατικής G είναι η L(G ) = { n # n n }. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 9 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2 / 53

6 Γραµµατική οµής Φράσεως Phrase-tructure Grammar G = (V, T,, P) Αλφάβητο V: περιλαµβάνει όλα τα σύµβολα της γραµµατικής. Σύνολο Τερµατικών Συµβόλων: T V. Οι λέξεις της γλώσσας αποτελούνται µόνο από τερµατικά σύµβολα. Σύνολο Μη Τερµατικών Συµβόλων: N = V \ T. Παίζουν το ϱόλο «µεταβλητών»: µια υπολέξη που περιέχει µη τερµατικό σύµβολο µπορεί να αντικατασταθεί από άλλη λέξη του V. Αρχικό (µη τερµατικό) Σύµβολο: N. Η παραγωγή λέξεων εκκινεί από το και ακολουθεί κανόνες παραγωγής. Σύνολο Παραγωγών (Κανόνων Παραγωγής) P: P (V N V ) V. Παράδειγµα Γραµµατική G = (V, T,, P) µε: V = { a, b, A, B, }, T = { a, b }, αρχικό σύµβολο και σύνολο κανόνων παραγωγής P: P = { ABa, A BB, B ab, AB b } Λέξεις που παράγονται από τη G: b a ABa, AB b a b a b a b a ABa, A BB, B ab (3 ϕορές) a b a b a b a ABa, B ab, A BB, B ab (2 ϕορές) Γλώσσα που παράγεται από τη G: L(G) = { ba, abababa }. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 22 / 53 Σχέσεις Παραγωγής Παραδείγµατα Για µια γραµµατική G = (V, T,, P): Εστω w = l z r και w = l z r λέξεις στο V. Αν z z είναι παραγωγή της G, τότε: λέµε ότι η w παράγεται άµεσα από την w, γράφουµε w w. Αν w, w,..., w n είναι λέξεις στο V και: w i w i+, για i =,..., n, είναι παραγωγές της G, τότε η w n παράγεται από την w και γράφουµε w w n (παραγωγή n ϐηµάτων). Ποιά γλώσσα παράγει η γραµµατική G = (V, T,, P) µε: { { V = {, A, a, b }, T = { a, b} V = {,, }, T = {, } () (2) P = { aa, b, A aa} P = {, } Να δοθεί γραµµατική δοµής ϕράσεως που παράγει τη γλώσσα: (3) { n n : n =,, 2,... } (4) { m n : m και n είναι µη αρνητικοί ακέραιοι } (5) { n n 2 n : n N } Γλώσσα Γραµµατικής G: L(G) = { w T : w } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 23 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 24 / 53

7 Παράδειγµα () Παράδειγµα (2) Ποιά γλώσσα παράγει η γραµµατική G = (V, T,, P) µε: V = {, A, a, b }, T = { a, b}, P = { aa, b, A aa} Με δοκιµές: Ξεκινώντας από το αρχικό σύµβολο,, έχουµε δύο δυνατές παραγωγές: aa και b Η δεύτερη παραγωγή µας δίνει τη λέξη b. Συνεχίζοντας από την πρώτη, µε τον κανόνα A aa λαµβάνουµε aaa. Ποιά γλώσσα παράγει η γραµµατική G = (V, T,, P) µε: V = {,, }, T = {, }, P = {, } Με δοκιµές: Ξεκινώντας έχουµε, εποµένως L(G). Εχουµε επίσης. Στη συνέχεια, χρησιµοποιώντας, συµπεραίνουµε L(G). Μπορούµε επίσης να συνεχίσουµε µε και να λάβουµε. Συνεχίζοντας µε, συµπεραίνουµε L(G). ιαισθητικά συµπεραίνουµε ότι L(G) = {,,,,... } Εποµένως, είναι L(G) = { aaa, b}. Οι λέξεις µε άρτιο πλήθος από και ένα µοναδικό στο τέλος. Αυτό αποδεικνύεται επαγωγικά. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 25 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 26 / 53 Παράδειγµα (3) Παράδειγµα (4α) Να δοθεί γραµµατική δοµής ϕράσεως που παράγει τη γλώσσα: { n n n =,, 2,... } Παρατηρούµε ότι ɛ L(G) (για n = ). Εισάγουµε έναν κανόνα ɛ. Επειδή «πλήθος» = «πλήθος των», εισάγουµε τον κανόνα. Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι η γραµµατική αυτή είναι ορθή. G = ( V = {,, }, T = {, },, P = { ɛ, } ) Να δοθεί γραµµατική δοµής ϕράσεως που παράγει τη γλώσσα: { m n m και n είναι µη αρνητικοί ακέραιοι } Μια γραµµατική G = (V, T,, P) που παράγει τη γλώσσα είναι ως εξής: Αλφάβητο Γραµµατικής G : V = {,, }. Τερµατικά Σύµβολα της G : T = {, }. Μη τερµατικά Σύµβολα της G : N = { }. Παραγωγές της G : P = { ɛ,, }. Παρατηρούµε ότι παράγεται η λέξη ɛ και επιπλέον για κάθε άλλη παραγωγή πεπερασµένου πλήθους ϐηµάτων έχουµε ένα διαθέσιµο για αντικατάσταση, είτε µε, είτε µε (όσες ϕορές επιθυµούµε). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 27 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 28 / 53

8 Παράδειγµα (4β) Να δοθεί γραµµατική δοµής ϕράσεως που παράγει τη γλώσσα: { m n m και n είναι µη αρνητικοί ακέραιοι } Μια δεύτερη γραµµατική G 2 = (V, T,, P) που παράγει τη γλώσσα: Αλφάβητο Γραµµατικής G 2 : V = {,,, A }. Τερµατικά Σύµβολα της G 2 : T = {, }. Μη τερµατικά Σύµβολα της G 2 : N = {, A }. Παραγωγές της G 2 : P = { ɛ,, A,, A A, A } Παράγει ακριβώς την ίδια Ϲητούµενη γλώσσα µε την G που παρουσιάστηκε προηγουµένως. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 29 / 53 Παράδειγµα (5) Να δοθεί γραµµατική δοµής ϕράσεως που παράγει τη γλώσσα: { n n 2 n : n N } Παράγεται από τη γραµµατική G = (V, T,, P), µε: Αλφάβητο: V = {,, 2,, A, B, C }. Τερµατικά Σύµβολα: T = {,, 2 }. Μη τερµατικά Σύµβολα: N = {, A, B, C }. Σύνολο Παραγωγών: P = { C, C CAB, ɛ, BA AB, A, A, B 2, 2B 22 } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 3 / 53 Τύποι Γραµµατικών οµής Φράσεως Γραµµατικές Τύπου 3 (Κανονικές) Ιεράρχηση των γραµµατικών (και των γλωσσών που παράγουν), ανάλογα µε τη δοµή των κανόνων παραγωγής (Noam Chomsky). Τύπου 3: Κανονικές Γραµµατικές. (regular grammars) Τύπου 2: Γραµµατικές Χωρίς Συµφραζόµενα. (context-free grammars) Τύπου : Γραµµατικές µε Συµφραζόµενα. (context sensitive grammars) Σύνολο Κανόνων Παραγωγής: P N T (N {ɛ}) Της µορφής A w και A wb, όπου w T, A, B N. Ισοδύναµα: της µορφής A w και A Bw. Μια γλώσσα είναι κανονική αν παράγεται από κανονική γραµµατική. Τύπου : Γραµµατικές χωρίς Περιορισµούς (unrestricted grammars) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 3 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 32 / 53

9 Γραµµατικές Τύπου 2 (Χωρίς Συµφραζόµενα) Γραµµατικές Τύπου και Τύπου Context-Free Grammars - CFG Σύνολο Κανόνων Παραγωγής: Γραµµατικές Τύπου (Με Συµφραζόµενα / Context-ensitive): Για κάθε παραγωγή w w 2 είναι w 2 w (non-contracting). P N V. Παραγωγές της µορφής A w, όπου w V. Παραγωγές της µορφής w w 2, όπου: { w = l A r w 2 = l w r Αντικατάσταση µη τερµατικών ανεξάρτητα από τα συµφραζόµενά τους. όπου: l, r V, w V \ {ɛ}. Γλώσσες Χωρίς Συµφραζόµενα: Παράγονται από Γραµµατικές Τύπου 2. Οι Κανονικές (Τύπου ) Γλώσσες είναι Χωρίς Συµφραζόµενα. Π.χ., οι { n n n N } και { ww R w {a, b} }. Επιτρέπεται ɛ, µόνο αν το δεν εµφανίζεται στα δεξιά άλλου κανόνα. Γραµµατικές Τύπου : επιτρέπονται όλων των ειδών οι παραγωγές. Στο αριστερό µέλος κάθε κανόνα να υπάρχει µη τερµατικό σύµβολο. Π.χ., τύπου είναι η γραµµατική του Παραδείγµατος (5) προηγουµένως. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 33 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 34 / 53 Τύποι Γραµµατικών οµής Φράσεως Τύπος Επιτρεπτά Είδη Κανόνων Περιορισµοί Ολα τα είδη l A r l w r, ɛ l, r V, w V + Αν υπάρχει ɛ, το να µην εµφανίζεται στα δεξιά άλλου κανόνα. 2 A w A V \ T, w V Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα Context-Free Languages 3 A a B, A a, ɛ A, B V \ T, a T Γλώσσα Τύπου 3: { m n : m, n N }. Γλώσσα Τύπου 2: { n n : n N }. Γλώσσα Τύπου : { n n 2 n : n N }. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 35 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 36 / 53

10 Οι Κανονικές Γλώσσες είναι Χωρίς Συµφραζόµενα Παραδείγµατα Σχεδιασµού Γραµµατικών (/2) Αναγνωρίζονται από DFA M = (Q, Σ, δ, q, F). Μετατρέπουµε το αυτόµατο σε γραµµατική Τύπου. Αλφάβητο: V = Q Σ. Σύνολο Τερµατικών: T = Q. Αρχικό Σύµβολο: = q. Για καθεµία από τις ακόλουθες γλώσσες, να δοθεί κανονική γραµµατική. το σύνολο των δυαδικών συµβολοσειρών που: (α) αρχίζουν µε. (β) περιέχουν δύο συνεχόµενα. (γ) δεν περιέχουν δύο συνεχόµενα. Κανόνες: R = {q a p δ(q, a) = p } {q ɛ q F} (δ) τελειώνουν µε. (ε) περιέχουν τουλάχιστον δύο. Κάθε Γραµµατική Τύπου είναι χωρίς Συµφραζόµενα (Τύπου 2) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 37 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 38 / 53 Παραδείγµατα Σχεδιασµού Γραµµατικών (/2) Παραδείγµατα Σχεδιασµού Γραµµατικών (2/2) (α) (β) (γ) C,, A B, A B, A B A C B B B ɛ A B B B ɛ A ɛ B B B A B C C C C A B A B ɛ (δ) (ε) A B, A B A B B ɛ A B B B ɛ A B A A B Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 39 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 4 / 53

11 Παραδείγµατα Σχεδιασµού Γραµµατικών (2/2) Παραδείγµατα CFG () Η γλώσσα των «ισοζυγισµένων» παρενθέσεων: Για καθεµία από τις ακόλουθες γλώσσες, να δοθεί κανονική γραµµατική.. L = { w {a, b} : η w αρχίζει µε a ή τελειώνει µε b }. 2. L 2 = { w {a, b} : η w έχει το πολύ δύο b }. 3. L 3 = { w {a, b} : w είναι (ακέραιο) πολλαπλάσιο του 3. }. 4. L 4 = { w {a, b} : η w δεν έχει τρία ή περισσότερα συνεχόµενα b }. G = ( {, (, ) }, { (, ) }, R, ), όπου: R = { ɛ,, ( ) } ή, πιο συνοπτικά: ( ) ɛ. ύο ενδεικτικές παραγωγές: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) Παρατήρηση: η ίδια λέξη µπορεί να έχει διαφορετικές παραγωγές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 4 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 42 / 53 Παραδείγµατα CFG (2) Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG Εστω η γραµµατική G 4 = ( V, Σ, R, ΕΚΦΡΑΣΗ ), όπου: V = { ΕΚΦΡΑΣΗ, ΟΡΟΣ, ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ, (, ), a, +, }. Το σύνολο κανόνων, R, περιλαµβάνει τους ακόλουθους κανόνες: ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΚΦΡΑΣΗ + ΟΡΟΣ ΟΡΟΣ ΟΡΟΣ ΟΡΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ( ΕΚΦΡΑΣΗ ) a Ενδεικτικές λέξεις παραγόµενες από την G 4 : a + a a, (a + a) a. Να δοθεί CFG για καθεµία από τις γλώσσες: (α) { w c w R w { a, b } } (ϐ) { w w R w in { a, b } } (γ) { w { a, b } w = w R } 2. Να δοθεί CFG για όλες τις κανονικές εκφράσεις επί του { a, b }, όπου: T = { a, b, (, ),,, } 3. Να δοθεί CFG για καθεµία από τις γλώσσες: (α) { a m b n m n } (ϐ) { w {a, b} η w έχει διπλάσιο πλήθος b από a } Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 43 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 44 / 53

12 Συντακτικά έντρα (Parse Trees) Για τη γραµµατική µε V = {A, B,,, #}, T = {,, #} και κανόνες: A A B, B # Συντακτικά έντρα (Parse Trees) Για τη γραµµατική της γλώσσας των «ισοζυγισµένων» παρενθέσεων: ( ) ɛ Θεωρούµε τις δύο «διαφορετικές» παραγωγές µε ίδιο συντακτικό δέντρο: Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α Α Α Β Συντακτικό δέντρο για την παραγωγή: A = A = A = A = B = # ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) # ɛ ɛ Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 45 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 46 / 53 Οµοιες Παραγωγές Οµοιες Παραγωγές Υπάρχουν παραγωγές για τη λέξη ( ( ) ) ( ): Για τις προηγούµενες παραγωγές: Αλλο δέντρο, ίδια λέξη: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) Ολες έχουν το ίδιο συντακτικό δέντρο! Οµοιες: ιαφέρουν µόνο στη σειρά εφαρµογής των (ίδιων) κανόνων ( ( ) ) ɛ Το δεξιά δέντρο αντιστοιχεί στην παραγωγή: ( ɛ ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ɛ ( ( ɛ ) ) ( ɛ ) Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 47 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 48 / 53

13 ιφορούµενες Γραµµατικές Παράδειγµα (/2) Θεωρούµε τη γραµµατική: Μερικές ϕορές, µια CFG έχει τη δυνατότητα παραγωγής της ίδιας λέξης µε παραπάνω από έναν διαφορετικούς τρόπους. Σε µια τέτοια λέξη αντιστοιχούν περισσότερα από ένα συντακτικά δέντρα. Αρα, µπορούν να αντιστοιχηθούν διαφορετικές σηµασίες (στην ίδια λέξη). Αυτό το ϕαινόµενο είναι ανεπιθύµητο εν γένει: π.χ., στις γλώσσες προγραµµατισµού, ϑέλουµε κάθε πρόγραµµα να έχει µοναδική ερµηνεία. Μια γραµµατική που παράγει την ίδια λέξη µε περισσότερους του ενός τρόπους λέγεται διφορούµενη (ή ασαφής). Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 49 / 53 + ( ) a Παράγει τη λέξη a + a a µε δύο διαφορετικούς τρόπους: + a + a a + + a + a a εν εκφράζει τις συνήθεις σχέσεις προτεραιότητας µεταξύ των και +. ύο διαφορετικά συντακτικά δέντρα για την ίδια λέξη. Αντιθέτως, είδαµε γραµµατική προηγουµένως, που παράγει ακριβώς την ίδια γλώσσα και κάθε λέξη µε µοναδικό τρόπο. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 5 / 53 Παράδειγµα (2/2) ιφορούµενες Γραµµατικές Μία λέξη να παράγεται από δύο διαφορετικά συντακτικά δέντρα. + ύο παραγωγές της ίδιας λέξης µπορεί απλώς να διαφέρουν στη σειρά αντικατάστασης των µεταβλητών (δε συνιστά διφορούµενη γραµµατική). α + α α α α α Προκειµένου να διαπιστώνουµε διφορούµενη συµπεριφορά, ορίζουµε παραγωγές που αντικαθιστούν τις µεταβλητές µε συγκεκριµένη σειρά. ύο διαφορετικά δέντρα για την ίδια έκφραση, αντίστοιχα προς τις δύο διαφορετικές παραγωγές που συζητήθηκαν προηγουµένως. Μια παραγωγή ονοµάζεται αριστερότερη, εάν σε κάθε ϐήµα αντικαθιστά την αριστερότερη από τις εναποµείνασες µεταβλητές. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 5 / 53 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 52 / 53

14 ιφορούµενες Γραµµατικές Ορισµός Μια CFG είναι διφορούµενη αν έχει τουλάχιστον δύο αριστερότερες παραγωγές για κάποια λέξη. Μερικές ϕορές, µπορούµε να ϐρούµε ισοδύναµη µη διφορούµενη γραµµατική. Μερικές CFL παράγονται µόνο από διφορούµενες γραµµατικές. (εγγενώς διφορούµενες γλώσσες) Παράδειγµα εγγενώς διφορούµενης γλώσσας: { a i b j c k i = j ή j = k }. Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 53 / 53

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1. Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα.

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα. Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες (3) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς (Ντετερµινιστική) Κλειστότητα Κανονικών Γλωσσών ως προς Ενωση. Κατασκευή: DFA

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Της Ασυμφραστικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Σχεδιασμός Ασυμφραστικών Γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσα χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 14: Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο; Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (2.3) Το Λήμμα της Άντλησης για ασυμφραστικές γλώσσες (2.3.1) Παραδείγματα 1 Πότε μια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) {0 n 1 n n > 0} {0 n 1 2n n > 0} (β) {w {a,b} * η w ξεκινά και τελειώνει με το ίδιο σύμβολο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γλωσσών. (συνέχεια) (συνέχεια) Πέμπτη 27 Οκτωβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής

Στοιχεία Θεωρίας Γλωσσών. (συνέχεια) (συνέχεια) Πέμπτη 27 Οκτωβρίου 2016 Θεόδωρος Τζουραμάνης Επίκουρος Καθηγητής https://www.icsd.aegean.gr/t.tzouramanis/courses/dm1 ttzouram@aegean.gr Πέμπτη 7 Οκτωβρίου 016 Δ Κατά τον Καθηγητή Avram Noam Chomsky οι γραμματικές ταξινομούνται σύμφωνα με τα είδη παραγωγών που επιτρέπονται,

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Κυριακή, 15 Μαρτίου 2015 Διάρκεια : 15.00 17.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Το Λήμμα της Άντλησης για κανονικές γλώσσες Παραδείγματα 1 Πότε μια γλώσσα δεν είναι κανονική;

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { a m b n c p m,n,p 0 και είτε m + n = p είτε m = n + p } (β) { xx rev yy rev x, y {a,b}

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Σάββατο, 15 Μαρτίου 2014 Διάρκεια : 9.30 11.30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { a k b m c n k < m ή m > 2n, όπου k,m,n 0 } Μια γραμματική για τη γλώσσα έχει ως εξής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N.

- εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό όρο a n της ακολουθίας, - µέσω ενός ή περισσότερων όρων από τους a 0, a 1,..., a n 1, - για κάθε n n 0, όπου n 0 N. Αναδροµικές Σχέσεις Αναδροµικές Σχέσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αναδροµική Σχέση για την ακολουθία a n } είναι: - εξίσωση που εκφράζει τον n-οστό

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II Τι θα κάνουμε σήμερα Ισοδυναμία αυτομάτων στοίβας με ασυμφραστικές γραμματικές (2.2.3) 1 Ισοδυναμία PDA με CFG Θεώρημα: Μια

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γλώσσα χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις

Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ισοδυναµίες, Μερικές ιατάξεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 18 Σύνοψη Προηγούµενου Σχέσεις, Ιδιότητες, Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { w {(, )} * οι παρενθέσεις στην w είναι ισοζυγισμένες } (β) { a k b m c 2m a k k > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης. Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 7. Κατηγορηματικές Γραμματικές 27,2 Φεβρουαρίου, 9 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Κατηγορηματικές Γραμματικές Ή Γραμματικές Χωρίς Συμφραζόμενα Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α Μπεληγιάννης - Σ Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuogr/abelga/numbertheory/nthtml Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 1 Θεωρούµε τις αριθµητικές

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας.

Επιπλέον Ασκήσεις. Μαθηµατική Επαγωγή. ιαιρετότητα. Προβλήµατα ιαιρετότητας. Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Προτάσεις. έντρα. υαδικά έντρα Αναζήτησης ( Α) Ισοζυγισµένα έντρα και Υψος. Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές.

Βασικές Προτάσεις. έντρα. υαδικά έντρα Αναζήτησης ( Α) Ισοζυγισµένα έντρα και Υψος. Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές. Βασικές Προτάσεις έντρα Ορέστης Τελέλης Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n ακµές. ικαιολόγηση: Με επαγωγή στο πλήθος των κόµβων, n. έντρο µε k εσωτερικούς κόµβους και l ϕύλλα έχει n = k + l κόµβους. tllis@unipi.r

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις Τι θα κάνουμε σήμερα Κλειστότητα Κανονικών Πράξεων (1.2.3) Εισαγωγή στις Κανονικές Εκφράσεις Τυπικός ορισμός της κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα