Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)"

Transcript

1 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του υπολογισμού Σχεδίαση πεπερασμένων αυτομάτων Ανταιτιοκρατία (Κεφάλαιο.2, Sipser) Ορισμός μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Κλειστότητα ως προς τις κανονικές πράξεις ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-

2 Πεπερασμένα αυτόματα Ερώτημα: Τι είναι υπολογιστής; Ποιες οι δυνατότητές του; Ποιοι οι περιορισμοί του; Η Θεωρία Υπολογισμού επιδιώκει να απαντήσει στα ερωτήματα αυτά στα πλαίσια διάφορων υπολογιστικών μοντέλων. Πεπερασμένα αυτόματα: Απλούστερο υπολογιστικό μοντέλο Περιορισμένη μνήμη ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-2

3 Αναπαράσταση Πεπερασμένων Αυτομάτων Γραφήματα με βάρη Κορυφές καταστάσεις Ακμές μεταβάσεις Βάρη ενέργειες που προκαλούν τη μετάβαση ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-3

4 Διασταύρωση Μια σιδηροδρομική γραμμή διασταυρώνεται με κάποιο δρόμο. Τ Π Ε Τ: τραίνο Π: πύλη Ε: Ελεγκτής Ένας ελεγκτής πρέπει να κλείνει την πύλη κάθε φορά που το τραίνο πλησιάζει: Όταν δεν υπάρχει τραίνο κοντά στο δρόμο η πύλη μπορεί και πρέπει να είναι ανοικτή Όταν πλησιάζει κάποιο τραίνο στο δρόμο, αν η πύλη είναι ανοικτή πρέπει να κλείσει και αν είναι κλειστή πρέπει να παραμείνει κλειστή Όταν το τραίνο απομακρύνεται και η πύλη είναι κλειστή τότε μπορεί να ανοίξει. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-4

5 Καταστάσεις ελεγκτή Κλείσε την πύλη: close Άνοιξε την πύλη: open Μηνύματα προς ελεγκτή Διασταύρωση Το τραίνο πλησιάζει: train_approaching Το τραίνο φεύγει: train_leaving Δεν υπάρχει τραίνο: no_train no_train train_leaving no_train train_leaving open close train_approaching train_approaching ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-5

6 Διασταύρωση Καταστάσεις ελεγκτή Κλείσε την πύλη: close Άνοιξε την πύλη: open Διάγραμμα Καταστάσεων Μηνύματα προς ελεγκτή Το τραίνο πλησιάζει: train_approaching Το τραίνο φεύγει: train_leaving Δεν υπάρχει τραίνο: no_train no_train train_leaving no_train train_leaving open close train_approaching train_approaching no_train train_approaching train_leaving Πίνακας Μεταβάσεων: open open close open close open close open ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-6

7 Αναγνώριση συμβολοσειρών Θέλουμε να αναγνωρίσουμε κατά πόσο μια ακολουθία τελειώνει στη συμβολοσειρά «μαι» Καταστάσεις Έχω δει συμβολοσειρά που τελειώνει σε «μ»: είδα μ Έχω δει συμβολοσειρά που τελειώνει σε «μα»: είδα μα Έχω δει συμβολοσειρά που τελειώνει σε «μαι»: είδα μαι Η συμβολοσειρά που έχω δει δεν τελειώνει σε κανένα από τα πιο πάνω: κανένα Όχι μ Όχι μ ή α μ Όχι μ ή ι μ κανένα είδα μ είδα μα είδα μαι μ α ι εκκίνηση Όχι μ μ ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-7

8 Πεπερασμένα Αυτόματα Ορισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Πεπερασμένο αυτόματο είναι μια πεντάδα (Q, Σ, δ, q 0, F), όπου. Q είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, τα στοιχεία του οποίου ονομάζονται καταστάσεις, 2. Σείναι ένα πεπερασμένο σύνολο, που ονομάζεται αλφάβητο, 3. δ: Q Σ Q, είναι η συνάρτηση μεταβάσεων, 4. q 0 Q είναι η εναρκτήρια κατάσταση (αρχική κατάσταση), 5. F είναι το σύνολο των καταστάσεων αποδοχής (τελικές καταστάσεις). Πεπερασμένα αυτόματα, ντετερμινιστικά αυτόματα, deterministic automata, DFA ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-8

9 Παράδειγμα Πεπερασμένου Αυτομάτου M = (Q, Σ, δ, q, F), όπου Q= {q, q 2, q 3 } Σ = {0,} η συνάρτηση μεταβάσεων δ περιγράφεται στον πίνακα εναρκτήρια κατάσταση είναι η q και F = {q 2 } 0 q q q 2 q 2 q 3 q 2 q 3 q 2 q q q 2 q 3 0, ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-9

10 Επεξεργασία Αυτομάτων Έστω μια λέξη w = w w 2 w n. Όταν το αυτόματο Μ λάβει την λέξη w την επεξεργάζεται ως εξής: Ξεκινώντας από την εναρκτήρια κατάσταση τo αυτόματο λαμβάνει τα σύμβολα της λέξης ένα προς ένα. Μετά από την ανάγνωση κάθε συμβόλου, το αυτόματο μεταβαίνει από την τρέχουσα κατάσταση σε μία καινούρια κατάσταση επιλέγοντας τη μετάβαση που επιγράφεται με το συγκεκριμένο σύμβολο. Μετά από την επεξεργασία και του τελευταίου συμβόλου το αυτόματο παράγει μια έξοδο: Παράδειγμα Αν βρίσκεται σε κατάσταση αποδοχής, η έξοδος είναι αποδοχή Διαφορετικά η έξοδος είναι απόρριψη 0 q 0 q α 2 q 3 Λέξη 000: Απόρριψη Λέξη 00: Αποδοχή Λέξη : Αποδοχή 0, ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-0

11 Ορολογία Γλώσσα του αυτομάτου Μ, L(M): το σύνολο όλων των λέξεων του αποδέχεται το αυτόματο Μ. Αν L(M) = Α τότε λέμε ότι το Μ αναγνωρίζει την Α Κάθε αυτόματο αποδέχεται πολλές λέξεις αλλά αναγνωρίζει μια μόνο γλώσσα Ποια η γλώσσα του αυτόματου M ; 0 0 q q α 2 q 3 0, L(M ) = {w η w περιέχει τουλάχιστον ένα σύμβολο και το τελευταίο ακολουθείται από άρτιο αριθμό 0} ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-

12 Παράδειγμα Μ 2 =({q, q 2 }, {0, }, δ, q, {q 2 }) 0 q q q 2 q 2 q q 2 Διάγραμμα Καταστάσεων: 0 q 0 q 2 L(M 2 )=;; Δοκιμάζουμε κάποιες λέξεις εισόδου 0,, 00, 00, 00 L(M 2 ) = {w w τελειώνει σε } ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-2

13 Παράδειγμα Μ 3 =({q, q 2 }, {0, }, δ, q, {q }) 0 q q q 2 q 2 q q 2 Διάγραμμα Καταστάσεων: 0 q 0 q 2 L(M 3 )= ;; L(M 3 ) = {w w τελειώνει σε 0 ή έχει μήκος 0} ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-3

14 Ορισμός του υπολογισμού To αυτόματο M = (Q, Σ, δ, q 0, F) αποδέχεται μια λέξη w = w w 2 w n Σ n αν υπάρχει ακολουθία καταστάσεων r 0, r,, r n του Q που να ικανοποιεί τις συνθήκες: r 0 = q 0 δ(r i, w i+ ) = r i+ για i = 0,,n, και r n F Το αυτόματο Μ αναγνωρίζει τη γλώσσα Α αν: A = {w το Μ αποδέχεται την w} ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-4

15 Κανονική Γλώσσα ΟΡΙΣΜΟΣ Μια γλώσσα λέγεται κανονική αν υπάρχει πεπερασμένο αυτόματο που να την αναγνωρίζει. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-5

16 Σχεδίαση Αυτομάτων Πρόβλημα: Δοθείσας μιας γλώσσας σχεδιάστε ένα αυτόματο που να την αναγνωρίζει. Παράδειγμα : Α = {w w έχει άρτιο αριθμό από } Βήμα : Καθορισμός καταστάσεων Έλεγχος κάθε συμβόλου και αν το τμήμα της λέξης που εξετάστηκε ανήκει ή όχι στη γλώσσα Καθορισμός πληροφοριών που πρέπει να θυμόμαστε:. είτε ο αριθμός των που διαβάσαμε είναι άρτιος 2. είτε ο αριθμός των που διαβάσαμε είναι περιττός Αποδίδουμε σε κάθε περίπτωση μια κατάσταση q άρτιο q περιττό ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-6

17 Βήμα 2: Καθορισμός Μεταβάσεων Σχεδίαση Αυτομάτων Με βάση το πώς πρέπει να μετακινηθούμε μετά την ανάγνωση ενός συμβόλου Ανάγνωση 0: αριθμός δεν αλλάζει άρα μένουμε στην ίδια κατάσταση Ανάγνωση : αριθμός αλλάζει άρα αν είμαστε στο q άρτιο πάμε q περιττό και ανάποδα 0 0 q άρτιο q περιττό ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-7

18 Σχεδίαση Αυτομάτων Βήμα 3: Καθορισμός εναρκτήριας κατάστασης Αντιστοιχεί στην περίπτωση της λέξης με 0 σύμβολα. Εναρκτήρια το q άρτιο αφού σε 0 σύμβολα το πλήθος των είναι άρτιο Βήμα 4: Καθορισμός Τελικών Καταστάσεων Στην περίπτωσή μας το q άρτιο 0 0 q άρτιο q περιττό ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-8

19 Πράξεις σε Κανονικές Γλώσσες Έστω δυο γλώσσες Α και Β: Ένωση: Συναρμογή (Σύμπτυξη): Σώρευση: ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-9

20 Κλειστότητα ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα σύνολο είναι κλειστό ως προς κάποια πράξη αν η πράξη αυτή, όταν εκτελείται σε μέλη του συνόλου, επιστρέφει ένα αντικείμενο που ανήκει επίσης στο σύνολο. Παράδειγμα Το σύνολο των φυσικών είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό Το σύνολο των φυσικών δεν είναι κλειστό ως προς την διαίρεση ΘΕΩΡΗΜΑ Η κλάση των κανονικών γλωσσών είναι κλειστή ως προς τις κανονικές πράξεις. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-20

21 ΘΕΩΡΗΜΑ Κλειστότητα ως προς την ένωση Η κλάση των κανονικών γλωσσών είναι κλειστή ως προς την ένωση. Δηλαδή: Αν οι γλώσσες Α και Α 2 είναι κανονικές γλώσσες τότε το ίδιο ισχύει για τη γλώσσα Α Α 2. Βασική Ιδέα: Αφού οι Α και Α 2 είναι κανονικές γλώσσες τότε υπάρχουν αυτόματα Μ και Μ 2 που τις αναγνωρίζουν. Συνδυάζουμε τα Μ και Μ 2 για να κτίσουμε αυτόματο Μ που να αναγνωρίζει τη γλώσσα Α Α 2. Με κάθε σύμβολο που διαβάζουμε πρέπει να γνωρίζουμε σε ποια κατάσταση βρισκόμαστε σε κάθε ένα από τα επιμέρους αυτόματα. Συνεπώς: πρέπει να θυμόμαστε ζεύγη Αν το Μ έχει k καταστάσεις και το Μ 2 έχει k 2 καταστάσεις, το Μ πρέπει να έχει k k 2 καταστάσεις. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-2

22 Παράδειγμα () Έστω οι γλώσσες Α ={w η λέξη w τελειώνει σε 0 ή έχει μήκος 0} Α 2 ={w η λέξη w έχει άρτιο μήκος} Α Α 2 : όλες οι λέξεις που είτε έχουν άρτιο μήκος είτε τελειώνουν σε 0 0 0, q in0 q in q even q odd 0 0, Αυτόματο Μ Αυτόματο Μ 2 ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-22

23 Παράδειγμα (2) 0 0, q in0 0 q in q even 0, q odd Αυτόματο Μ Αυτόματο Μ 2 Λέξεις που τελειώνουν σε 0 και έχουν άρτιο μήκος 0 q q 2 0 Λέξεις που τελειώνουν σε 0 και έχουν περιττό μήκος 0 0 Λέξεις που τελειώνουν σε και έχουν περιττό μήκος q 3 q 4 Αυτόματο Μ Λέξεις που τελειώνουν σε και έχουν άρτιο μήκος ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-23

24 Απόδειξη κλειστότητας ως προς την ένωση Κατασκευαστική Έστω Μ = (Q, Σ, δ, q, F ) και Μ 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2, F 2 ). Κατασκευάζουμε το Μ = (Q, Σ, δ, q 0, F) ως εξής: Q = {(r, r 2 ) r Q, r 2 Q 2 } Σ: το αλφάβητο είναι το ίδιο με αυτό των Μ και Μ 2. Για κάθε (r, r 2 ) Q και a Σ, θέτουμε δ((r, r 2 ), a) = (δ (r, a), δ 2 (r 2, a)) q 0 = (q, q 2 ) F = {(r, r 2 ) Q r F ή r 2 F 2 } Μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w επί του αλφάβητου Σ: w L(Μ) αν και μόνο αν w L(Μ ) L(Μ 2 ) (Δείξτε το!) ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-24

25 Ανταιτιοκρατία Αιτιοκρατία: από κάθε κατάσταση, για κάθε σύμβολο η επόμενη κατάσταση είναι καθορισμένη και μοναδική. Ανταιτιοκρατία: γενίκευση της αιτιοκρατίας Ενδέχεται να υπάρχουν περισσότερες από μια επιλογές για την επόμενη κατάσταση. Ανταιτιοκρατικά αυτόματα, μη ντετερμινιστικά αυτόματα, nondeterministic automata, NFA 0, 0,ε q q 2 q 3 q 4 0, Διαφορές από DFA Από κάθε κατάσταση μπορούν να εκκινούν μηδέν, ένα, ή περισσότερα βέλη για κάθε σύμβολο του αλφαβήτου Προσθέτει το σύμβολο εστο αλφάβητο. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-25

26 Πως υπολογίζει ένα NFA; 0, 0,ε q q 2 q 3 q 4 0, Έστω βρισκόμαστε στην q και λαμβάνουμε Το αυτόματο διασπάται σε πολλαπλά αντίγραφα του εαυτού του και ακολουθεί όλες τις δυνατότητες παράλληλα. Αν σε κάποιο αντίγραφο το επόμενο σύμβολο εισόδου δεν εμφανίζεται σε κανένα από τα βέλη τότε το αντίγραφο «σβήνει». Το αυτόματο τερματίζει αν στο τέλος της ανάγνωσης της εισόδου υπάρχει έστω και ένα αντίγραφο που οδηγεί σε κατάσταση αποδοχής. Τι γίνεται όταν σε κάποια κατάσταση ξεκινά μονοπάτι με το σύμβολο ε; Χωρίς να διαβάσει κανένα σύμβολο της λέξης εισόδου, το αυτόματο διασπάται σε αντίγραφα, το ένα παραμένει στην τρέχουσα κατάσταση και τα υπόλοιπα ακολουθούν τα εξερχόμενα βέλη με επιγραφή «ε». ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-26

27 Δέντρο Υπολογισμού Ένα NFA μπορεί να τύχει ερμηνείας ως ένα δένδρο δυνατοτήτων: Η ρίζα του δέντρου αντιστοιχεί στην αρχή του υπολογισμού. Κάθε σημείο διακλάδωσης αντιστοιχεί σε ένα σημείο του υπολογισμού στο οποίο το αυτόματο έχει πολλαπλές επιλογές. Το αυτόματο αποδέχεται αν έστω και ένα από τα μονοπάτια αυτού του δένδρου καταλήγει σε κατάσταση αποδοχής. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-27

28 Παράδειγμα 0, 0, 0,ε q q 2 q 3 q 4 Πως προχωρά ο υπολογισμός πάνω στη λέξη 000 q q q q q q 2 q 2 q 3 q q q 2 q 3 q 3 q 3 q 4 q 4 q 3 q 4 q 4 q ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-28

29 Παράδειγμα 0, 0, 0,ε q q 2 q 3 q 4 Ποια γλώσσα αναγνωρίζει το αυτόματο; Τη γλώσσα με όλες τις λέξεις που έχουν ως υπολέξη το 0 ή το ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-29

30 Χρησιμότητα NFA Κάθε NFA μπορεί να μετατραπεί σε ένα αντίστοιχο ισοδύναμο DFA Τα NFA είναι συνήθως μικρότερα Η λειτουργία ενός NFA είναι ευκολότερα κατανοητή Η κατασκευή ενός NFA είναι ευκολότερη ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-30

31 Παράδειγμα Α = {w w περιέχει το σύμβολο στην τρίτη θέση από το τέλος} 0000 ανήκει στην Α 0 δεν ανήκει 0, 0, 0, q q 2 q 3 q 4 Ποιο είναι το αντίστοιχο ντετερμινιστικό; ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-3

32 Χρήση «ε»-μεταβάσεων Το αυτόματο αποδέχεται όλες τις λέξεις 0 k όπου το k μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος ο οποίος είναι είτε πολλαπλάσιο του 2 είτε πολλαπλάσιο του 3. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-32

33 NFA Ορισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Μη ντετερμινιστικό, πεπερασμένο αυτόματο είναι μια πεντάδα, Σ, δ,,, όπου. είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, τα στοιχεία του οποίου ονομάζονται καταστάσεις, 2. Σ είναι ένα πεπερασμένο σύνολο, που ονομάζεται αλφάβητο, 3. : Σ, είναι η συνάρτηση μεταβάσεων, 4. είναι η εναρκτήρια κατάσταση (αρχική κατάσταση), 5. είναι το σύνολο των καταστάσεων αποδοχής (τελικές καταστάσεις). Παρατήρηση: Κάθε DFA είναι και NFA! Συμβολισμός: Σ Σ ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-33

34 Παράδειγμα NFA N =, Σ, δ,,, όπου = {q, q 2, q 3, q 4 } Σ 0, η συνάρτηση μεταβάσεων περιγράφεται στον πίνακα εναρκτήρια κατάσταση είναι η και F = {q 4 } 0 ε q {q } {q,q 2 } q 2 {q 3 } {q 3 } q 3 {q 4 } q 3 {q 4 } {q 4 } 0, 0, 0,ε q q 2 q 3 q 4 ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-34

35 Ορισμός του υπολογισμού To αυτόματο Ν =, Σ, δ,, αποδέχεται μια λέξη w αν αυτή μπορεί να γραφτεί στη μορφή w = y y 2 y m όπου y i Σ ε αν υπάρχει ακολουθία καταστάσεων r 0, r,, r m του που να ικανοποιεί τις συνθήκες: r 0 = δ,, για i = 0,,m, και r m F Το αυτόματο N αναγνωρίζει τη γλώσσα Α αν: A = {w το N αποδέχεται την w} ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-35

36 Ισοδυναμία NFA με DFA ΘΕΩΡΗΜΑ Για κάθε μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο υπάρχει ισοδύναμο ντετερμινιστικό. Ιδέα απόδειξης Πρέπει να δείξουμε ότι αν μια γλώσσα αναγνωρίζεται από κάποιο μη ντετερμινιστικό αυτόματο, υπάρχει ντετερμινιστικό αυτόματο που την αναγνωρίζει. Κατασκευή ενός ντετερμινιστικού αυτόματου που να προσομοιώνει το μη ντετερμινιστικό Υπόδειξη: Κάθε σύμβολο στο NFA μας οδηγεί σε ένα σύνολο καταστάσεων Αυτό το σύνολο πρέπει να αντιπροσωπεύει μια κατάσταση του ντετερμινιστικού αυτομάτου. Άρα οι καταστάσεις του DFA θα περιέχουν όλα τα δυνατά υποσύνολα των καταστάσεων του NFA ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-36

37 Κατασκευαστική Απόδειξη Θεωρήματος Έστω το NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F) Κατ αρχή, ας υποθέσουμε ότι το Ν δεν περιέχει μεταβάσεις «ε». Κατασκευάζουμε το Μ = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ως εξής: Q = (το δυναμοσύνολο του Q) Σ: το αλφάβητο είναι το ίδιο με αυτό του Ν Για κάθε R Q και a Σ, θέτουμε δ (R, a) = {q Q q δ(r, a) για κάποιο r R} q 0 = q 0 F = {R Q το R περιέχει κάποια κατάσταση αποδοχής του Ν} ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-37

38 Ισοδυναμία NFA με DFA (Απόδειξη) Μετατροπή μεταβάσεων ε: E(R) = { q η q είναι προσπελάσιμη από το R μέσω μηδέν ή περισσοτέρων μεταβάσεων «ε»} Ορθότητα Κατασκευής: Σε κάθε βήμα του υπολογισμού του Μ επί κάποιας εισόδου, το Μ βρίσκεται σε μια κατάσταση που αντιστοιχεί στο σύνολο των καταστάσεων που θα μπορούσε να βρίσκεται το Ν στο σημείο εκείνο. Μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w επί του αλφάβητου Σ: w L(Μ) αν και μόνο αν w L(Ν) (Δείξτε το!) ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-38

39 ΝFA και Κανονικές Γλώσσες ΠΟΡΙΣΜΑ Μια γλώσσα είναι κανονική αν και μόνο αν υπάρχει μη ντετερμινιστικό πεπερασμένο αυτόματο που να την αναγνωρίζει. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-39

40 Παράδειγμα: NFA to DFA Ποιο είναι το DFA που αντιστοιχεί στο πιο κάτω NFA; b q ε a a q 2 q a,b 3 Μ =, Σ, δ,, = {, {q }, {q 2 }, {q 3 }, {q, q 2 }, {q, q 3 }, {q 2, q 3 }, {q, q 2, q 3 }} Σ = {a, b} q 0 = E({q }) = {q, q 3 } F = {{q }, {q, q 2 }, {q, q 3 }, {q, q 2, q 3 }} δ = ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-40

41 Πράξεις σε Κανονικές Γλώσσες Έστω δυο γλώσσες Α και Β: Ένωση: Συναρμογή (Σύμπτυξη): Σώρευση: ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-4

42 ΘΕΩΡΗΜΑ Κλειστότητα ως προς την ένωση Το σύνολο των κανονικών γλωσσών είναι κλειστό ως προς την ένωση. Το θεώρημα αυτό έχει ήδη αποδειχθεί χρησιμοποιώντας πεπερασμένα ντετερμινιστικά αυτόματα (διαφάνεια 2-24). Θα δούμε τώρα μια απλουστευμένη απόδειξη χρησιμοποιώντας μηντετερμινιστικά αυτόματα. Η απόδειξη είναι και πάλι κατασκευαστική. Βασική Ιδέα: Αφού οι Α και Α 2 είναι κανονικές γλώσσες τότε υπάρχουν μη ντετερμινιστικά αυτόματα Ν και Ν 2 που τις αναγνωρίζουν. Συνδυάζουμε τα Ν και Ν 2 για να κτίσουμε αυτόματο Ν που να αναγνωρίζει τη γλώσσα Α Α 2. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-42

43 Απόδειξη κλειστότητας ως προς την ένωση Έστω Ν και Ν 2 μη ντετερμινιστικά αυτόματα που αναγνωρίζουν τις γλώσσες Α και Α 2 αντίστοιχα. Κτίζουμε το Ν ως εξής: Εισάγουμε μια καινούρια αρχική κατάσταση η οποία διακλαδώνεται προς τις αρχικές καταστάσεις των μηχανών Ν και Ν 2 μέσω μεταβάσεων ε. Ν Ν ε Ν 2 ε ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-43

44 Απόδειξη κλειστότητας ως προς την ένωση Έστω Ν = (Q, Σ, δ, q, F ) και Ν 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2, F 2 ). Κατασκευάζουμε το Ν = (Q, Σ, δ, q 0, F) ως εξής: Q = {q 0 } Q Q 2 Σ: το αλφάβητο είναι το ίδιο με αυτό των Ν και Ν 2. Για κάθε q Q και a Σ, θέτουμε Αρχική κατάσταση είναι η καινούρια κατάσταση q 0 F = F F 2 Μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w επί του αλφάβητου Σ: w L(Ν) αν και μόνο αν w L(Ν ) L(Ν 2 ) (δείξτε το!) ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-44 ε ε

45 Παράδειγμα 0 0, q in0 0 q in q even 0, q odd Αυτόματο Ν Αυτόματο Ν 2 0 ε q in0 0 q in q 0 ε q even 0, 0, q odd Αυτόματο Ν ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-45

46 Κλειστότητα ως προς τη συναρμογή ΘΕΩΡΗΜΑ Το σύνολο των κανονικών γλωσσών είναι κλειστό ως προς τη συναρμογή. Δηλαδή: Αν οι γλώσσες Α και Α 2 είναι κανονικές γλώσσες τότε το ίδιο ισχύει για την γλώσσα Α Α 2. Κατασκευαστική απόδειξη Βασική Ιδέα: Αφού οι Α και Α 2 είναι κανονικές γλώσσες τότε υπάρχουν μη ντετερμινιστικά αυτόματα Ν και Ν 2 που τις αναγνωρίζουν. Συνδυάζουμε τα Ν και Ν 2 για να κτίσουμε αυτόματο Ν που να αναγνωρίζει τη γλώσσα Α Α 2. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-46

47 Κλειστότητα ως προς τη συναρμογή Έστω Ν και Ν 2 μη ντετερμινιστικά αυτόματα που αναγνωρίζουν τις γλώσσες Α και Α 2 αντίστοιχα. Κτίζουμε το Ν ως εξής: Επιλέγουμε ως αρχική κατάσταση την αρχική κατάσταση του Ν και ως τελικές καταστάσεις τις τελικές καταστάσεις του Ν 2. Οι τελικές καταστάσεις του Ν συνδέονται μέσω ε μεταβάσεων με τις αρχικές καταστάσεις του Ν 2. Ν Ν 2 ε ε Ν ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-47

48 Κλειστότητα ως προς τη συναρμογή Έστω Ν = (Q, Σ, δ, q, F ) και Ν 2 = (Q 2, Σ, δ 2, q 2, F 2 ). Κατασκευάζουμε το Ν = (Q, Σ, δ, q 0, F) ως εξής: Q = Q Q 2 Σ: το αλφάβητο είναι το ίδιο με αυτό των Ν και Ν 2. Για κάθε q Q και a Σ, θέτουμε q ε ε q 0 = q F = F 2 Μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w επί του αλφάβητου Σ: w L(Ν) αν και μόνο αν w L(Ν )L(Ν 2 ) (δείξτε το!) ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-48

49 Κλειστότητα ως προς τη σώρευση ΘΕΩΡΗΜΑ Το σύνολο των κανονικών γλωσσών είναι κλειστό ως προς τη σώρευση. Δηλαδή: Αν η γλώσσα Α είναι κανονική γλώσσα τότε το ίδιο ισχύει για τη γλώσσα Α*. Κατασκευαστική απόδειξη Βασική Ιδέα: Αφού η Α είναι κανονική γλώσσα τότε υπάρχει μη ντετερμινιστικό αυτόματο Ν που την αναγνωρίζει. Επεξεργαζόμαστε το Ν για να κτίσουμε αυτόματο Ν που αναγνωρίζει τη γλώσσα Α*. ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-49

50 Κλειστότητα ως προς τη σώρευση Έστω Ν μη ντετερμινιστικό αυτόματο που αναγνωρίζει τη γλώσσα Α. Κτίζουμε το Ν ως εξής: Εισάγουμε μια νέα αρχική κατάσταση η οποία είναι και τελική (0 επαναλήψεις των λέξεων του Α). Συνδέουμε την κατάσταση αυτή μέσω μιας ε μετάβασης με την αρχική κατάσταση του Ν. Οι τελικές καταστάσεις του Ν συνδέονται μέσω ε μεταβάσεων με τις αρχικές καταστάσεις του Ν. Ν ε ε Ν ε ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-50

51 Κλειστότητα ως προς τη σώρευση Έστω Ν = (Q, Σ, δ, q, F ). Κατασκευάζουμε το Ν = (Q, Σ, δ, q 0, F) ως εξής: Q = {q 0 } Q Σ: το αλφάβητο είναι το ίδιο με αυτό του Ν. Για κάθε q Q και a Σ, θέτουμε q ε ε ε ε Αρχική κατάσταση είναι η q 0. F = {q 0 } F Μπορούμε να δείξουμε ότι για οποιαδήποτε λέξη w επί του αλφάβητου Σ: w L(Ν) αν και μόνο αν w L(Ν ) *. (δείξτε το!) ΕΠΛ 2 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2-5

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 4: Μη Ντετερμινιστικά (Αντιαιτιοκρατικά) Πεπερασμένα Αυτόματα (ΝFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Μη Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα Τυπικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 7 : Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα, Κανονικές Πράξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 5: Κανονικές Εκφράσεις Τι θα κάνουμε σήμερα Κλειστότητα Κανονικών Πράξεων (1.2.3) Εισαγωγή στις Κανονικές Εκφράσεις Τυπικός ορισμός της κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 Λύσεις

Φροντιστήριο 2 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Φροντιστήριο 2 Λύσεις Ποια από τα πιο κάτω αυτόματα αποτελούν DFA επί του αλφάβητου {,}. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας. (i) (ii) (iii) (iv) (v), (vi),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Θεωρείστε τις γλώσσες Α = { n n } και Β = {w η w είναι λέξη επί του αλφαβήτου {,} τ.ώ. w }. (α) Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Λ, Λ 2, Λ επί του αλφάβητου αυτού. Να διερευνήσετε κατά πόσο ισχύει κάθε μια από τις πιο κάτω σχέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Σχεδιασμός Ασυμφραστικών Γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (2): Πεπερασµένα Αυτόµατα, Κανονικές Εκφράσεις Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα.

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (3) Παραδείγµατα µε Κανονικές Εκφράσεις. Σε αυτό το µάθηµα. Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες (3) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς (Ντετερµινιστική) Κλειστότητα Κανονικών Γλωσσών ως προς Ενωση. Κατασκευή: DFA

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) {0 n 1 n n > 0} {0 n 1 2n n > 0} (β) {w {a,b} * η w ξεκινά και τελειώνει με το ίδιο σύμβολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Αυτόματα Στοίβας Τυπικός Ορισμός Αυτομάτου Στοίβας (2.2.1) Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w#z w, z {a,b}* και η z είναι υπολέξη της w}. Συγκεκριμένα,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { a i b j c k d m i, j, k, m 0 και i + j = k + m } (β) { uxvx rev u,v,x {0,1,2} + και όλα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Κυριακή, 15 Μαρτίου 2015 Διάρκεια : 15.00 17.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25

q 0 q 0.2 q 0.1 q 0.05 q 0.05 q 0.25 q 0.15 q 0.1 q 0.2 q 0.25 q 0.25 q 0.25 Κεφάλαιο 2 Κανονικές Γλώσσες & Πεπερασμένα Αυτόματα Σύνοψη Τα Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) είναι το απλούστερο και το πιο ευρέως διαδεδομένο μοντέλο υπολογισμού από αυτά που θα εξετάσουμε. Είναι επίσης γνωστά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 12: Μηχανές Turing Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing (TM) Τυπικός Ορισμός Μηχανής Turing (3.1.1) 1 Τι είδαμε μέχρι στιγμής Πεπερασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Σάββατο, 15 Μαρτίου 2014 Διάρκεια : 9.30 11.30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 3: Μη-ντετερμιμιστικά πεπερασμένα αυτόματα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 10: Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 4: Μη-ντετερμινιστικά πεπερασμένα αυτόματα με ε-μεταβάσεις Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 4. Μη Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 9,19 Φεβρουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μοντέλα Υπολογισμού Μη Ντετερμινιστικό Πεπερασμένα Αυτόματα: Διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 10: Αυτόματα Στοίβας II Τι θα κάνουμε σήμερα Ισοδυναμία αυτομάτων στοίβας με ασυμφραστικές γραμματικές (2.2.3) 1 Ισοδυναμία PDA με CFG Θεώρημα: Μια

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1. Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww rev w {a, b} * και w αποτελεί καρκινική λέξη } (α) H ζητούμενη μηχανή

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 4. Πεπερασμένα Αυτόματα 6 Φεβρουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μοντέλα Υπολογισμού 1930 : Μηχανή Turing : αφαιρετική μηχανή (μοντελοποίηση ενός υπολογιστή)

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Της Ασυμφραστικής

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 4: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 3 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 6: Μη Κανονικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Το Λήμμα της Άντλησης για κανονικές γλώσσες Παραδείγματα 1 Πότε μια γλώσσα δεν είναι κανονική;

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μηχανές Turing (3.1) Τυπικό Ορισμός Παραδείγματα Παραλλαγές Μηχανών Turing (3.2) Πολυταινιακές

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Έστω αλφάβητο Σ και γλώσσες Α, Β επί του αλφάβητου αυτού. Για κάθε μια από τις πιο κάτω περιπτώσεις να διερευνήσετε κατά πόσο Γ Δ, ή, Δ Γ, ή και τα δύο. Σε περίπτωση, που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G 1, G 2 οι G 1 και G 2 είναι δύο CFG που παράγουν μια κοινή λέξη μήκους 144 } (β) { D,k το D είναι ένα DFA

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 7. Αυτόματα Στοίβας 9,13 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Γιατί τα πεπερασμένα αυτόματα δεν μπορούν να αναπαραστήσουν οποιαδήποτε κατηγορηματική γλώσσα?

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 3 Λύσεις Να δώσετε ασυμφραστικές γραμματικές που να παράγουν τις πιο κάτω γλώσσες: (α) { xyxy rev x {a, b}, y {a, b} * } (α) Μια γραμματική για τη γλώσσα έχει ως εξής: S as a

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Μηχανές Επεξεργασίας Πληροφοριών Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Είναι µηχανές που δέχονται ένα σύνολο από σήµατα εισόδου και παράγουν ένα αντίστοιχο σύνολο σηµάτων εξόδου Σήµατα Εισόδου Μηχανή Επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 5: Λεκτική ανάλυση (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένος έλεγχος καταστάσεων

Πεπερασμένος έλεγχος καταστάσεων Κεφάλαιο 6 Μηχανές Turing Σύνοψη Οι Μηχανές Turing (ΜΤ) δεν είναι απλά μία ακόμη μηχανή αναγνώρισης για κάποια ευρύτερη οικογένεια γλωσσών από τις γλώσσες, που γίνονται δεκτές από τα Αυτόματα Στοίβας.

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα