Αναλυτική Μελέτη Περισφιγμένων Στοιχείων Οπλισμένου Σκυροδέματος με τη Μέθοδο των Μη Γραμμικών Πεπερασμένων Στοιχείων στο Χώρο

Transcript

1 Αριστοτέλιο Πανπιστήμιο Θσσαλονίκης Πολυτχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Επιστήμης και Τχνολογίας των Κατασκυών Εργαστήριο Κατασκυών Οπλισμένου Σκυροδέματος και Φέρουσας Τοιχοποιίας Βασίλιος Κ. Παπανικολάου Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός ΑΠΘ, MSc DIC Αναλυτική Μλέτη Πρισφιγμένων Στοιχίων Οπλισμένου Σκυροδέματος μ τη Μέθοδο των Μη Γραμμικών Ππρασμένων Στοιχίων στο Χώρο Διδακτορική Διατριβή Θσσαλονίκη 27

2

3 Βασίλιος Κ. Παπανικολάου Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός ΑΠΘ, MSc DIC Αναλυτική Μλέτη Πρισφιγμένων Στοιχίων Οπλισμένου Σκυροδέματος μ τη Μέθοδο των Μη Γραμμικών Ππρασμένων Στοιχίων στο Χώρο Διδακτορική Διατριβή Υποβλήθηκ στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΑΠΘ Τομέας Επιστήμης και Τχνολογίας των Κατασκυών Ημρομηνία Προφορικής Εξέτασης : 1 Δκμβρίου 27 Εξταστική Επιτροπή Α. Κάππος, Καθηγητής ΑΠΘ, Επιβλέπων Ι. Δουδούμης, Καθηγητής ΑΠΘ, Μέλος Τριμλούς Συμβουλυτικής Επιτροπής Χ. Ιγνατάκης, Καθηγητής ΑΠΘ, Μέλος Τριμλούς Συμβουλυτικής Επιτροπής Α. Αβδλάς, Καθηγητής ΑΠΘ, Εξταστής Α. Καραμπίνης, Καθηγητής ΔΠΘ, Εξταστής Ε. Μητσοπούλου, Καθηγήτρια ΑΠΘ, Εξτάστρια M. Παπαδρακάκης, Καθηγητής ΕΜΠ, Εξταστής

4

5 Στην αγαπημένη μου Ρένα

6 27 Βασίλιος Κ. Παπανικολάου ΑΠΘ Αναλυτική Μλέτη Πρισφιγμένων Στοιχίων Οπλισμένου Σκυροδέματος μ τη Μέθοδο των Μη Γραμμικών Ππρασμένων Στοιχίων στο Χώρο Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτλίου Πανπιστημίου Θσσαλονίκης δν υποδηλώνι αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα (Ν. 5343/1932, άρθρο 22, παρ. 2)

7 Πρόλογος Science is a way of thinking much more than it is a body of knowledge Dr. Carl E. Sagan ( ) Η κπόνηση μιας διδακτορικής διατριβής, σ αντιδιαστολή μ μια διατριβή προπτυχιακού ή μταπτυχιακού πιπέδου, προϋποθέτι ξ ορισμού την ξασφάλιση του πρωτότυπου ρυνητικού χαρακτήρα της. Ωστόσο, στη σύγχρονη παγκοσμιοποιημένη ρυνητική κοινότητα, όπου η δξαμνή της γνώσης διυρύνται μ ταχύτατους ρυθμούς, η αναζήτηση της πρωτοτυπίας πολλές φορές προσγγίζι ή και συγκρούται μ τα όρια του φικτού. Για το λόγο αυτόν, οι πλέον καταρτισμένοι και έμπιροι ρυνητές καλούνται να ντοπίσουν τα πιθανά σημία ισορροπίας μταξύ καινοτομίας και ραλισμού, υποδικνύοντας το δύσβατο και συνάμα μοναχικό δρόμο της πιστημονικής έρυνας σ αυτούς που, αν και αρχικά πιθανώς στρούνται μέρος των απαραίτητων γνωστικών φοδίων, έχουν τη διάθση και τις δυνάμις πνυματικές και ψυχικές να τον ακολουθήσουν. Μ βάση την παραπάνω διαδικασία, η παρούσα διατριβή βασίστηκ σ μια πρωτότυπη και φιλόδοξη ιδέα του πιβλέποντα καθηγητή μου κ. Ανδρέα Κάππου, η οποία προέβλπ τη μλέτη πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος και ιδιαίτρα βάθρων γφυρών κοίλης διατομής, μ τη χρήση αμιγώς αναλυτικών ργαλίων και συγκκριμένα μ τη μέθοδο των μη γραμμικών ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Ο πρωταρχικός στόχος ήταν προσομοίωση της πραγματικής συμπριφοράς των στοιχίων αυτών υπό κατακόρυφη κντρική θλίψη, μ έμφαση στο φαινόμνο τις πρίσφιξης, το οποίο ιδικά στην πρίπτωση των κοίλων βάθρων δν ίχ ακόμα διρυνηθί ουσιωδώς, τόσο σ αναλυτικό όσο και σ πιραματικό πίπδο. Παράλληλη πρόταση ήταν η αξιολόγηση της αποτλσματικότητας ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης τόσο σ συμπαγίς όσο και κοίλς διατομές βάθρων γφυρών και η πιλογή των προσφορότρων ξ αυτών μ κριτήρια μηχανικής συμπριφοράς, κατασκυαστικής υκολίας και οικονομίας. Τη βασική προϋπόθση για την πραγματοποίηση της παρούσας αναλυτικής έρυνας αποτέλσ η πιλογή νός γνικού προγράμματος ππρασμένων στοιχίων που θα ίχ τη δυνατότητα να φέρι ις πέρας μ πιτυχία μια ομολογουμένως βαριά ανάλυση ππρασμένων στοιχίων στο χώρο, ώστ στη συνέχια η έρυνα να κατυθυνθί άμσα v

8 προς τη λογική μιας κτνούς παραμτρικής ανάλυσης ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης. Ωστόσο, η πρώτη πιλογή προγράμματος αποδίχτηκ ανπιτυχής, κυρίως λόγω αδυναμιών κατά την πίλυση του μη γραμμικού προβλήματος και ιδιαίτρα πέρα από το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής του προσομοιωμένου φορέα. Ακολούθησ δύτρη πιλογή προγράμματος, η οποία έδιξ πολύ νθαρρυντικά στοιχία σ πίπδο αριθμητικής σταθρότητας και αρκτά βλτιωμένς δυνατότητς στην προσομοίωση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος. Το γγονός αυτό κατύθυν την έρυνα στη δινέργια πιλοτικών αναλύσων υποστυλωμάτων συμπαγούς διατομής μ ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης και την αξιολόγηση των αναλυτικών αποτλσμάτων μ βάση την πιραματική μπιρία. Στο σημίο αυτό ντοπίστηκ μια σημαντική αδυναμία του προγράμματος να πριγράψι πιτυχώς την αυξημένη ικανότητα παραμόρφωσης των πρισφιγμένων στοιχίων, γγονός που αποδόθηκ, μέσω πραιτέρω διρύνησης, στην λλιπή μαθηματική διατύπωση του υφιστάμνου καταστατικού νόμου σκυροδέματος. Η παραπάνω αδυναμία του προγράμματος να καταγράψι αξιόπιστα αναλυτικά αποτλέσματα ανέκοψ προσωρινά την πορία της ρυνητικής προσπάθιας προς τους βασικούς της στόχους, ανακατυθύνοντάς την αναγκαστικά σ ένα άγνωστο μέχρι πρότινος πδίο έρυνας, που αφορούσ τη διατύπωση βλτιωμένων καταστατικών ξισώσων για το νόμο σκυροδέματος, στο πλαίσιο της γνικής θωρίας πλαστικότητας. Το βασικό μπόδιο στο σημίο αυτό ήταν ο κλιστός κώδικας του προγράμματος ο οποίος δν πέτρπ καμία έξωθν πέμβαση και για το λόγο αυτό αναπτύχθηκ κατάλληλο λογισμικό στο οποίο νσωματώθηκαν αρχικά οι υφιστάμνς καταστατικές ξισώσις, οι οποίς στη συνέχια βλτιώθηκαν και βαθμονομήθηκαν μ βάση μια κτνή συλλογή πιραματικών δδομένων από τη βιβλιογραφία. Πρέπι να σημιωθί ότι βλτιώσις στον καταστατικό νόμο σκυροδέματος έγιναν μ γνώμονα τη μγαλύτρη δυνατή συμβατότητά τους μ το γνικότρο μαθηματικό υπόβαθρο του υφιστάμνου καταστατικού νόμου, ώστ να ίναι στη συνέχια φικτή η νσωμάτωσή τους στο κυρίως πρόγραμμα μέσω άμσης συνργασίας μ την ταιρία ανάπτυξής του, η οποία και τλικά πτύχθη. Μ δδομένη πλέον την παρουσία νός βλτιωμένου καταστατικού νόμου απαλλαγμένου από τις αδυναμίς του προηγούμνου, η πίτυξη του τλικού στόχου δν προσέκρουσ σ πραιτέρω προβλήματα. Το μόνο που κρίθηκ αναγκαίο κατά τη δινέργια της παραμτρικής ανάλυσης βάθρων συμπαγούς και κοίλης διατομής μ ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης ήταν η ανάπτυξη μιας σιράς βοηθητικών προγραμμάτων για την ταχύτρη κτέλση των πολυάριθμων αναλύσων και την υχρέστρη διαχίριση του τράστιου όγκου των παραγόμνων αποτλσμάτων, τα οποία ξπρνούσαν τις αποθηκυτικές δυνατότητς των διαθέσιμων υπολογιστικών συστημάτων. Τα αποτλέσματα της παραμτρικής ανάλυσης τλικά δικαίωσαν την όλη ρυνητική προσπάθια, προσφέροντας νδιαφέροντα συμπράσματα αναφορικά μ τη συμπριφορά των πρισφιγμένων βάθρων γφυρών. Γνικότρα, η μέθοδος των ππρασμένων vi

9 στοιχίων στο χώρο ανδίχθη ως ένα σύγχρονο ισχυρό αναλυτικό ργαλίο στη μλέτη φορέων οπλισμένου σκυροδέματος, μ φαρμογές που μπορούν να δώσουν το έναυσμα για αρκτές ακόμα μλλοντικές διατριβές στο ν λόγω ρυνητικό πδίο. Στο σημίο αυτό θα ήθλα να υχαριστήσω θρμά τον πιβλέποντα Καθηγητή μου κ. Ανδρέα Κάππο για την καθοδήγηση και την αμέριστη υποστήριξή του καθ όλη τη διάρκια κπόνησης της παρούσας διατριβής. Τον υχαριστώ ιδιαίτρα γιατί μου παρίχ απόλυτη λυθρία αναζήτησης και έκφρασης, πάντα όμως στο πλαίσιο νός γόνιμου διαλόγου σ αυστηρά πιστημονική βάση. Εκτιμώ τέλος απριόριστα, ίσως πιδή μ κφράζι και προσωπικά, την προσήλωσή του στη λπτομέρια, αισθητική και ουσιαστική, ιδιαίτρα κατά τη διόρθωση του τλικού κιμένου της διατριβής. Επίσης θα ήθλα να υχαριστήσω : Τον Καθηγητή κ. Ιωάννη Δουδούμη και τον Καθηγητή κ. Χρήστο Ιγνατάκη για τις παρατηρήσις και υποδίξις τους κατά τη διάρκια κπόνησης της παρούσας διατριβής και ιδιαίτρα στη φάση διόρθωσης του τλικού κιμένου. Τον Dr. Jan Červenka, Τχνικό Διυθυντή της ταιρίας Červenka Consulting για την άριστη συνργασία και την πολύτιμη συνδρομή του στην νσωμάτωση του νέου καταστατικού νόμου στο πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ, καθώς και για την υγνική φιλοξνία του στην Πράγα. Τη Γνική Γραμματία Έρυνας και Τχνολογίας (ΓΓΕΤ) για τη χρηματοδότηση της παρούσας έρυνας μέσω του ρυνητικού προγράμματος Αντισισμική Προστασία Γφυρών (AσΠροΓ). Την Εγνατία Οδός Α.Ε. και ιδιαίτρα το Δρ. Παναγιώτη Πανέτσο, για την υγνική παροχή των σχδίων διατομών βάθρων γφυρών, τα οποία ξτάστηκαν στην παρούσα διατριβή. Τον καλό μου φίλο και συνάδλφο Σίμο Αναγνώστη για τις πολλές υχάριστς ώρς συζήτησης και ανταλλαγής ιδών σ πιστημονικά πδία κοινού νδιαφέροντος. Τον αγαπημένο μου δάσκαλο και φίλο Κώστα Συμωνίδη, ο οποίος μου νέπνυσ την προγραμματιστική σκέψη στα 13 μου. Κλίνοντας τη διατριβή αυτή στα 31 μου, συνιδητοποιώ ότι του χρωστάω πραγματικά πολλά. vii

10 Τέλος, θα ήθλα να υχαριστήσω θρμά τους γονίς μου και τον αδρφό μου για την αγάπη και την υποστήριξή τους, ψυχολογική και οικονομική, στην προσπάθιά μου όλα τα προηγούμνα χρόνια. Πρισσότρο από όλους όμως θέλω να υχαριστήσω την αγαπημένη μου σύζυγο, η οποία μ αγάπη και κατανόηση στάθηκ δίπλα μου σ αυτή τη δύσκολη πρίοδο. Ελπίζω ο χρόνος που ίσως της στέρησα να αποβί στο μέλλον σ καλό και των δυο μας. Θσσαλονίκη, Σπτέμβριος 27 Βασίλιος Κ. Παπανικολάου viii

11 Πριχόμνα Πρόλογος... v Πριχόμνα...ix Κατάλογος σχημάτων...xiii Κατάλογος πινάκων...xxi Συμβολισμοί...xxiii Πρίληψη...xxix Summary...xxxi 1. Εισαγωγή Γνικά Θέση του προβλήματος Στόχοι της παρούσας έρυνας Διάρθρωση της διατριβής Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Επισκόπηση της έρυνας πάνω στο πρόβλημα της πρίσφιξης κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος Πιραματική έρυνα Αναλυτική έρυνα Μέθοδος μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο Γνικές αρχές Καταστατικοί νόμοι σκυροδέματος και χάλυβα Καταστατικοί νόμοι σκυροδέματος Καταστατικοί νόμοι χάλυβα Ππρασμένα στοιχία και προσομοίωση του οπλισμένου σκυροδέματος ix

12 2.2.4 Αλγόριθμοι πίλυσης Επισκόπηση της θωρίας πλαστικότητας μ φαρμογή σ καταστατικούς νόμους σκυροδέματος Κριτήρια αστοχίας Παράμτρος και συνάρτηση κράτυνσης/χαλάρωσης Συνάρτηση πλαστικού δυναμικού Αριθμητική ολοκλήρωση Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Επιλογή προγράμματος Η/Υ για την παρούσα έρυνα Κριτήρια πιλογής και δοκιμαστική χρήση διαθέσιμων προγραμμάτων Βασικά στοιχία και υπόβαθρο του προγράμματος ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ Γνικά χαρακτηριστικά του προγράμματος Καταστατικός νόμος σκυροδέματος για την πριοχή του φλκυσμού Καταστατικός νόμος σκυροδέματος για την πριοχή της θλίψης Καταστατικός νόμος χάλυβα Διαδικασία προσομοίωσης και αλγόριθμοι πίλυσης Εφαρμογή του προγράμματος ΑΤΕΝΑ στην ανάλυση κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος Ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού Πιλοτική ανάλυση στοιχίων συμπαγούς και κοίλης διατομής Συμπράσματα Αξιολόγηση προγράμματος Βλτίωση του υφιστάμνου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Αξιολόγηση υφιστάμνου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Κριτήριο διαρροής Βαθμονόμηση Παράμτρος και συναρτήσις κράτυνσης/χαλάρωσης Βαθμονόμηση Συνάρτηση πλαστικού δυναμικού Βαθμονόμηση Αριθμητική ολοκλήρωση Ανάπτυξη λογισμικού καταστατικού οδηγού Αξιολόγηση βλτιωμένου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Ενσωμάτωση του νέου καταστατικού νόμου στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ x

13 3.3.9 Πραιτέρω αξιολόγηση του νέου καταστατικού νόμου μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Γνικά Μλέτη κυκλικών βάθρων συμπαγούς και κοίλης διατομής Αναλυτικά προσομοιώματα και ξταζόμνς παράμτροι Αναλυτικά αποτλέσματα και συμπράσματα Μλέτη ορθογωνικών βάθρων συμπαγούς και κοίλης διατομής Αναλυτικά προσομοιώματα και ξταζόμνς παράμτροι Αναλυτικά αποτλέσματα και συμπράσματα Πραιτέρω θέματα προσομοίωσης Επιρροή του λυγισμού των διαμήκων ράβδων Επιρροή της δυσκαμψίας των γκάρσιων οπλισμών Επιρροή του φαινομένου της αποφλοίωσης της πικάλυψης Επιρροή της γωμτρικής μη γραμμικότητας Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα Βιβλιογραφία Παράρτημα Α : Διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης Παράρτημα Β : Διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας Παράρτημα Γ : Παράδιγμα προσδιορισμού των παραμέτρων του προτινόμνου καταστατικού νόμου Παράρτημα Δ : Παράδιγμα δημιουργίας προσομοιώματος Παράρτημα Ε : Βιβλιοθήκη συναρτήσων Excel (VBA) xi

14

15 Κατάλογος σχημάτων Σχήμα 1.1 Τυπικές συμπαγίς διατομές βάθρων γφυρών...2 Σχήμα 1.2 Κυκλικές, ορθογωνικές και σύνθτς διατομές κοίλων βάθρων γφυρών...4 Σχήμα 1.3 Λιτουργία του μηχανισμού πρίσφιξης για αραιή (αριστρά) και πυκνή (δξιά) διάταξη γκάρσιων οπλισμών...6 Σχήμα 2.1 Βασικές παράμτροι που πηράζουν την αποτλσματικότητα της πρίσφιξης...11 Σχήμα 2.2 Διαστάσις δοκιμίων και ναλλακτικές μορφές πρίσφιξης σκλών κοίλης διατομής : Διαμήκις οπλισμοί Ø6 και γκάρσιοι οπλισμοί Ø4 (Mo et al., 23)...14 Σχήμα 2.3 Μταβολή της μονοαξονικής καμπύλης τάσωνπαραμορφώσων του σκυροδέματος λόγω πρίσφιξης, βάσι των συντλστών αποτλσματικότητας (Κ) και κλίσης (Ζ) του κατρχόμνου κλάδου...16 Σχήμα 2.4 Σχηματική ροή της μηγραμμικής μθόδου των ππρασμένων στοιχίων...23 Σχήμα 2.5 Καταστατικός νόμος μικροπιπέδων. Διακριτοποίηση της σφαίρας μοναδιαίου όγκου σ 21 μικροπίπδα (αριστρά) και ανάλυση του διανύσματος των παραμορφώσων σ ένα μικροπίπδο (δξιά)...29 Σχήμα 2.6 Θώρηση διακριτής (αριστρά) και κατανμημένης ρηγμάτωσης (δξιά)...31 Σχήμα 2.7 Μορφές μονοαξονικών καταστατικών νόμων χάλυβα...32 Σχήμα 2.8 Αναλυτική διατύπωση των ισοπαραμτρικών ππρασμένων στοιχίων...33 Σχήμα 2.9 Μορφές προσομοίωσης οπλισμών (α) Διακριτή (β) Κατανμημένη (γ) Εμφυτυμένη...36 Σχήμα 2.1 Ο αλγόριθμος πίλυσης NewtonRaphson σ πλήρη (NR, αριστρά) και τροποποιημένη μορφή (mnr, δξιά)...37 Σχήμα 2.11 Αριθμητικές δυσκολίς στις πριπτώσις οριακών σημίων απόκρισης...38 Σχήμα 2.12 O αλγόριθμος πίλυσης arclength (AL)...39 Σχήμα 2.13 Συντταγμένς του χώρου HaighWestergaard (a) στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, (β) στο πίπδο Rendulic και (γ) στο πίπδο κτροπής...42 Σχήμα 2.14 Τα κριτήρια αστοχίας Von Mises, DruckerPrager και MenétreyWillam στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, στο πίπδο Rendulic και στο πίπδο κτροπής...45 Σχήμα 2.15 Επιφάνις αρχικής διαρροής και αστοχίας του κριτηρίου MenétreyWillam κατά την κράτυνση...47 Σχήμα 2.16 Επιφάνια αστοχίας και πιφάνια παραμένουσας αντοχής του κριτηρίου MenétreyWillam κατά τη χαλάρωση...47 Σχήμα 2.17 Παράδιγμα ζύγους συναρτήσων κράτυνσης/χαλάρωσης για φαρμογή στο σκυρόδμα...48 Σχήμα 2.18 Τομή των πιφανιών πλαστικού δυναμικού (g) και φόρτισης (f) στο σημίο της τρέχουσας ντατικής κατάστασης σ ij (ρξ στο πίπδο Rendulic)...51 Σχήμα 2.19 Η διαδικασία πιστροφής του διανύσματος των τάσων στην πιφάνια φόρτισης κατά την πλαστική διόρθωση...54 Σχήμα 3.1 Δοκιμαστική φαρμογή του προγράμματος ADINA σ πίπδο φορέα (δοκός οπλισμένου σκυροδέματος σ κάμψη)...57 Σχήμα 3.2 Δοκιμαστική φαρμογή του προγράμματος ADINA σ χωρικό φορέα (υποστύλωμα οπλισμένου σκυροδέματος μ συνθήκς πάκτωσης στην κφαλή και τον πόδα, υπό κατακόρυφη θλίψη)...57 xiii

16 Σχήμα 3.3 Διακριτοποίηση διατομών πρισφιγμένου υποστυλώματος μ διακριτή (αριστρά) και μφυτυμένη (δξιά) προσομοίωση οπλισμών Σχήμα 3.4 Σύγκριση μταξύ των προγραμμάτων ADINA και ATENA σ πίπδο φορέα (δοκός οπλισμένου σκυροδέματος σ κάμψη) και πορία ρηγμάτωσης του σκυροδέματος κατά τη φόρτιση Σχήμα 3.5 Σύγκριση μταξύ των προγραμμάτων ADINA και ATENA σ χωρικό φορέα (υποστύλωμα οπλισμένου σκυροδέματος) και πορία ρηγμάτωσης του σκυροδέματος κατά τη φόρτιση Σχήμα 3.6 Το ολοκληρωμένο γραφικό πριβάλλον του προγράμματος ΑΤΕΝΑ για ανάλυση σ δύο (2D) και τρις (3D) διαστάσις Σχήμα 3.7 Ανξάρτητη λιτουργία των σταδίων προπξργασίας, ανάλυσης και μτπξργασίας στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ Σχήμα 3.8 Τύποι στρών ππρασμένων στοιχίων για την προσομοίωση του σκυροδέματος Σχήμα 3.9 Γραμμικό ππρασμένο στοιχίο ράβδου για την προσομοίωση των οπλισμών Σχήμα 3.1 Το κριτήριο διαρροής Rankine στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, στο πίπδο Rendulic και στο πίπδο κτροπής Σχήμα 3.11 Συνάρτηση φλκυστικής τάσης σκυροδέματος ύρους ρήγματος και χαρακτηριστικό μήκος Σχήμα 3.12 Διάγραμμα ροής της λιτουργίας του καταστατικού νόμου για την πριοχή του φλκυσμού... 7 Σχήμα 3.13 Προσομοίωση του φαινομένου της φλκυστικής συμβολής του χάλυβα στη δυσκαμψία του σκυροδέματος Σχήμα 3.14 Το κριτήριο διαρροής MenétreyWillam στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, στο πίπδο Rendulic και στο πίπδο κτροπής Σχήμα 3.15 Αλληλοτομία των πιφανιών Rankine και MenétreyWillam για λ t = 2 και έλλιψη αλληλοτομίας για λ t = Σχήμα 3.16 Συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης του τμήματος πλαστικότητας του καταστατικού νόμου.. 75 Σχήμα 3.17 Μονοαξονικός καταστατικός νόμος χάλυβα Σχήμα 3.18 Διάγραμμα φορτιστικού βήματος κριτηρίου σύγκλισης Σχήμα 3.19 Το πρόγραμμα ξαγωγής αποτλσμάτων ( 25 γραμμές κώδικα)... 8 Σχήμα 3.2 Λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος ξαγωγής αποτλσμάτων... 8 Σχήμα 3.21 Το πρόγραμμα μαζικής κτέλσης αναλύσων ( 1 γραμμές κώδικα) Σχήμα 3.22 Λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος μαζικής κτέλσης αναλύσων Σχήμα 3.23 Το πρόγραμμα οπτικής ολοκλήρωσης ( 1 γραμμές κώδικα) Σχήμα 3.24 Κώδικας οπτικής αναγνώρισης αριθμητικών τιμών Σχήμα 3.25 Λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος οπτικής ολοκλήρωσης Σχήμα 3.26 Σύγκριση μταξύ μθόδων οπτικής και αριθμητικής ολοκλήρωσης Σχήμα 3.27 Διατομές υποστυλωμάτων (Sheikh & Uzumeri, 198) και κοίλου βάθρου (Mander et al., 1983) Σχήμα 3.28 Προσομοίωση του ¼ της διατομής λόγω διπλής συμμτρίας Σχήμα 3.29 Συνοριακές συνθήκς λόγω διπλής συμμτρίας Σχήμα 3.3 Εναλλακτικές διατάξις οπλισμού πρίσφιξης των υποστυλωμάτων Σχήμα 3.31 Εναλλακτικές διατάξις οπλισμού πρίσφιξης του κοίλου βάθρου Σχήμα 3.32 Εικόνα προσομοιωμάτων C3C και ΗPC και αντίστοιχς διατάξις οπλισμού Σχήμα 3.33 Συγκριτικά διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης μταξύ της παρούσας ανάλυσης, των πιραματικών αποτλσμάτων και της ανάλυσης ΜCFT xiv

17 Σχήμα 3.34 Συγκριτικά διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης μταξύ διαφορτικών διατάξων πρίσφιξης των υποστυλωμάτων...91 Σχήμα 3.35 Εικόνα παραμόρφωσης και ρηγμάτωσης υποστυλώματος συμπαγούς διατομής (C3C)...93 Σχήμα 3.36 Συγκριτικά διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης μταξύ διαφορτικών διατάξων πρίσφιξης του κοίλου βάθρου...93 Σχήμα 3.37 Εικόνα παραμόρφωσης και ρηγμάτωσης βάθρου κοίλης διατομής (HPB)...94 Σχήμα 3.38 Μοναχικό ππρασμένο στοιχίο (RVE) και συνοριακές συνθήκς...97 Σχήμα 3.39 Διαδικασία φόρτισης του RVE για διαδρομές φόρτισης αυξανόμνων βαθμών πρίσφιξης (πίπδo Rendulic για θ = 6 ο )...98 Σχήμα 3.4 Σύγκριση αναλυτικών και πιραματικών (Imran, 1994) διαγραμμάτων τάσωνπαραμορφώσων άοπλου σκυροδέματος για αυξανόμνους βαθμούς πρίσφιξης (f c = 28.6 MPa)...99 Σχήμα 3.41 Αναλυτικά διαγράμματα τάσωνπλαστικών παραμορφώσων άοπλου σκυροδέματος για διάφορους βαθμούς νργής πρίσφιξης (f c = 28.6 MPa)...1 Σχήμα 3.42 Σταθρή (αριστρά) και μταβαλλόμνη (δξιά) διύθυνση του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης...1 Σχήμα 3.43 Διακριτοποίηση του άοπλου υποστυλώματος σ καννάβους διαφορτικής πυκνότητας...11 Σχήμα 3.44 Σύγκριση της απόκρισης του άοπλου σκυροδέματος για διαφορτικές πυκνότητς καννάβου διακριτοποίησης (f c = 3 MPa, w co =.5 mm)...11 Σχήμα 3.45 Μονοαξονικές καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων για διάφορς αντοχές σκυροδέματος, όπως προκύπτουν από τον υφιστάμνο καταστατικό νόμο...13 Σχήμα 3.46 Διαδικασία ψηφιοποίησης καμπυλών μ τη βοήθια ιδικού λογισμικού...15 Σχήμα 3.47 Σύγκριση πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (χρήση πραγματικής φλκυστικής αντοχής από κανονιστική σχέση)...15 Σχήμα 3.48 Σύγκριση πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (χρήση σταθρού λόγου θλιπτικής προς φλκυστική αντοχή)...15 Σχήμα 3.49 Σύγκριση θλιπτικού μσημβρινού πιφάνιας αστοχίας (θ = 6 ο ) και πιραματικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος στο πίπδο Rendulic...16 Σχήμα 3.5 Σχέση μταξύ του λόγου f bc / f c και της μονοαξονικής αντοχής του σκυροδέματος μ βάση τα πιραματικά αποτλέσματα...17 Σχήμα 3.51 Σύγκριση πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος στο πίπδο Rendulic...19 Σχήμα 3.52 Βαθμονόμηση της τάσης του σκυροδέματος που ορίζι την έναρξη της πλαστικής ροής μ βάση τις διατάξις του MC9 (CEB, 1993) και της CEB WG on HSC/HPC (1995) Σχήμα 3.53 Επιρροή της τιμής της οριακής ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης στην απόκριση του σκυροδέματος υπό μονοαξονική και τριαξονική θλίψη Σχήμα 3.54 Μταβολή της πιφάνιας φόρτισης κατά τη διάρκια της κράτυνσης στο πίπδο Rendulic, στο διαξονικό πίπδο (σ 3 = ) και στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων Σχήμα 3.55 Μταβολή της πιφάνιας φόρτισης κατά τη διάρκια της χαλάρωσης στο πίπδο Rendulic, στο διαξονικό πίπδο (σ 3 = ) και στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων Σχήμα 3.56 Προτινόμνς μορφές συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης Σχήμα 3.57 Σχέση μταξύ f c και πιραματικής μονοαξονικής παραμόρφωσης.5fc που αντιστοιχί στην τάση.5 f c xv

18 Σχήμα 3.58 Προτινόμνη σχέση μταξύ f c και παραμέτρου κλίσης t s Σχήμα 3.59 Διύθυνση (ψ) μικροαυξητικού (α) και ολικού (β) διανύσματος πλαστικών παραμορφώσων Σχήμα 3.6 Σχέση μταξύ συνολικής παραμόρφωσης στη μονοαξονική αντοχή ( c ) και μονοαξονικής αντοχής σκυροδέματος (f c ) Σχήμα 3.61 Σχέση μταξύ βαθμού πρίσφιξης και αύξησης των παραμορφώσων υπό τριαξονική θλίψη Σχήμα 3.62 Επιλογή του βαθμού (n) της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού (για βαθμούς πρίσφιξης σ pc / f c = 1 και σ pc / f c =.5) Σχήμα 3.63 Διυθύνσις του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων που αντιστοιχούν στη μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική αντοχή του σκυροδέματος Σχήμα 3.64 Μταβολή της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού κατά τη διάρκια της κράτυνσης και της χαλάρωσης (πίπδο Rendulic) Σχήμα 3.65 Μη συσχτισμένη πλαστική ροή κατά την κράτυνση υπό μονοαξονική θλίψη (πίπδο Rendulic) Σχήμα 3.66 Διάγραμμα ροής της διαδικασίας αριθμητικής ολοκλήρωσης Σχήμα 3.67 Λιτουργία των παναληπτικών μθόδων regulafalsi και τέμνουσας Σχήμα 3.68 Διαδρομή σύγκλισης της μθόδου αριθμητικής ολοκλήρωσης στο πίπδο Rendulic Σχήμα 3.69 Το λογισμικό του καταστατικού οδηγού ( 3 γραμμές κώδικα) Σχήμα 3.7 Διαγράμματα ροής των μθόδων φόρτισης του καταστατικού οδηγού Σχήμα 3.71 Σύγκριση καμπυλών τάσωνπαραμορφώσων και αντίστοιχων σημίων λέγχου Σχήμα 3.72 Μονοαξονικές καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων για διάφορς αντοχές σκυροδέματος, όπως προκύπτουν από το βλτιωμένο καταστατικό νόμο Σχήμα 3.73 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Dahl, 1992) για σκυρόδμα συνήθους και υψηλής αντοχής υπό μονοαξονική θλίψη Σχήμα 3.74 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (στοχυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Dahl, 1992) για σκυρόδμα συνήθους και υψηλής αντοχής υπό μονοαξονική θλίψη Σχήμα 3.75 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 32.1 MPa) υπό μονοαξονική θλίψη Σχήμα 3.76 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 32.1 MPa) υπό ισοδιαξονική θλίψη Σχήμα 3.77 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Hussein & Marzouk, 2) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 96. MPa) υπό ισοδιαξονική θλίψη Σχήμα 3.78 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Imran, 1994) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 28.6 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Σχήμα 3.79 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Candappa et al., 21) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 41.9 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Σχήμα 3.8 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Candappa et al., 21) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 6.6 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Σχήμα 3.81 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Xie et al., 1995) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 6.2MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης xvi

19 Σχήμα 3.82 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (στοχυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Xie et al., 1995) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 6.2 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Σχήμα 3.83 Λιτουργία του συνδυαστικού αλγορίθμου (στο διαξονικό πίπδο για χάρη απλότητας) Σχήμα 3.84 Σύγκριση μταξύ των αναλυτικών αποτλσμάτων που προέκυψαν από τον καταστατικό οδηγό και της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων για μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική θλίψη Σχήμα 3.85 Μονοαξονική φόρτιση σκυροδέματος σ θλίψηφλκυσμόθλίψη Σχήμα 3.86 Διαξονική ντατική κατάσταση η οποία πιβάλλται από κλίσιμο ρήγματος λόγω σύνθλιψης του σκυροδέματος σ διαφορτική διύθυνση...15 Σχήμα 3.87 Τριαξονική ντατική κατάσταση η οποία πιβάλλται από κλίσιμο ρηγμάτων λόγω σύνθλιψης του σκυροδέματος σ διαφορτική διύθυνση...15 Σχήμα 3.88 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για μονοαξονικό φλκυσμό Σχήμα 3.89 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για διαξονική θλίψηφλκυσμό Σχήμα 3.9 Γωμτρικά χαρακτηριστικά και διακριτοποίηση της δοκού Leonhardt Σχήμα 3.91 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων της δοκού Leonhardt Σχήμα 3.92 Σύγκριση της απόκρισης του άοπλου σκυροδέματος για διαφορτικές πυκνότητς καννάβου διακριτοποίησης (f c = 3 MPa) μ το βλτιωμένο καταστατικό νόμο Σχήμα 3.93 Σύγκριση της απόκρισης των υποστυλωμάτων C1 C4 μταξύ του αρχικού και του νέου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Σχήμα 3.94 Απόκριση υποστυλωμάτων C1 C4 για αυξανόμνη πυκνότητα της διάταξης πρίσφιξης Σχήμα 3.95 Απόκριση κοίλου βάθρου για αυξανόμνη πυκνότητα της διάταξης πρίσφιξης Σχήμα 4.1 Προσομοιώματα που χρησιμοποιήθηκαν για τον έλγχο της πιρροής του ύψους, της πυκνότητας διακριτοποίησης και του μγέθους της διατομής Σχήμα 4.2 Συγκριτικό διάγραμμα απόκρισης μταξύ προσομοιωμάτων διαφορτικού ύψους, πυκνότητας διακριτοποίησης και μγέθους διατομής Σχήμα 4.3 Ορισμός δικτών αποτλσματικότητας της πρίσφιξης Σχήμα 4.4 Χαρακτηριστικά διατομής και διακριτοποίησης του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS Σχήμα 4.5 Χαρακτηριστικά διατομής και διακριτοποίησης του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS Σχήμα 4.6 Χαρακτηριστικά διατομής και διακριτοποίησης του συμπαγούς κυκλικού βάθρου CSS Σχήμα 4.7 Χαρακτηριστικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών των κυκλικών βάθρων Σχήμα 4.8 Καμπύλς αντίστασης βάθρων κοίλης (αριστρά) και συμπαγούς (δξιά) κυκλικής διατομής μ ξωτρική σπίρα Ø14/ Σχήμα 4.9 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη κυκλική διατομή CHS Σχήμα 4.1 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη κυκλική διατομή CHS Σχήμα 4.11 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για τη συμπαγή κυκλική διατομή CSS Σχήμα 4.12 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) της κοίλης κυκλικής διατομής CHS2 για πρίσφιξη μ σπίρς (αριστρά) και συνδτήρς (δξιά). Τα χρώματα υψηλότρων συχνοτήτων στο οπτικό φάσμα αντιστοιχούν σ μγαλύτρς τιμές κατακόρυφων θλιπτικών τάσων xvii

20 Σχήμα 4.13 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) της κοίλης κυκλικής διατομής CHS2 για πρίσφιξη μ συνδτήρς αποκλιστικά στην ξωτρική παριά (αριστρά) και για πρίσφιξη μ συνδτήρς τόσο στην ξωτρική όσο και στην σωτρική παριά (δξιά) Σχήμα 4.14 Εικόνα ρηγμάτωσης της διατομής CHS2 μ συνδτήρς στην ξωτρική και σωτρική παριά (CHS2_13), σ υψηλά πίπδα μέσης αξονικής παραμόρφωσης ( = 3 ) Σχήμα 4.15 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) της κοίλης κυκλικής διατομής CHS2 για πρίσφιξη μ ή χωρίς γκάρσιους συνδέσμους Σχήμα 4.16 Συγκριτικά διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας των κυκλικών βάθρων μ διαφορτικούς λόγους πάχους προς ξωτρική διάμτρο (t/d e ) Σχήμα 4.17 Συγκριτικά διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας για τις τρις κυκλικές διατομές ως προς την απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών (s) Σχήμα 4.18 Λόγοι παραμορφώσων κατά τη διαρροή του πρώτου και του τλυταίου γκάρσιου οπλισμού ως προς την αντίστοιχη παραμόρφωση των κυκλικών διατομών CHS2 και CSS στη μέγιστη αντοχή Σχήμα 4.19 Συγκριτικό διάγραμμα καμπυλών αντίστασης του κοίλου βάθρου CHS2_15 για σκυροδέματα συνήθους (C2) και υψηλής αντοχής (C5) και αντίστοιχοι δίκτς αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (K R ) Σχήμα 4.2 Χαρακτηριστικά διατομών και προσομοιωμάτων του τοιχωματικού βάθρου RSS Σχήμα 4.21 Κάνναβος διακριτοποίησης του τοιχωματικού βάθρου RSS Σχήμα 4.22 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του τοιχωματικού βάθρου RSS Σχήμα 4.23 Χαρακτηριστικά διατομών και προσομοιωμάτων του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.24 Κάνναβος διακριτοποίησης του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.25 Χαρακτηριστικά διατομής και προσομοιώματος του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.26 Κάνναβος διακριτοποίησης του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.27 Χαρακτηριστικά διατομής και προσομοιώματος του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.28 Κάνναβος διακριτοποίησης του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.29 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.3 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.31 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Σχήμα 4.32 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για τη συμπαγή ορθογωνική διατομή RSS Σχήμα 4.33 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη ορθογωνική διατομή RHS Σχήμα 4.34 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη ορθογωνική διατομή RHS Σχήμα 4.35 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη ορθογωνική διατομή RHS Σχήμα 4.36 Καμπύλς αντίστασης των διατομών RSS (αριστρά) και RHS1(δξιά) μ πυκνές διατάξις πρίσφιξης Σχήμα 4.37 Εικόνς ρηγμάτωσης των διατομών RSS_12 και RHS1_17 (γκάρσιοι σύνδσμοι) στον κατρχόμνο κλάδο απόκρισης (¼ διατομής) Σχήμα 4.38 Εικόνα παραμόρφωσης των γκάρσιων οπλισμών στις διατομές RSS_12 (αριστρά) και RHS1_17 (δξιά). Μ κόκκινο χρώμα φαίνονται τα μγαλύτρα μγέθη αξονικών παραμορφώσων των οπλισμών xviii

21 Σχήμα 4.39 Εικόνς γκάρσιων μτακινήσων (x1) για τις διατομές RSS_12 (πάνω) και RHS1_17 (κάτω) στη μέγιστη αντοχή. Μ μαύρη γραμμή φαίνται η απαραμόρφωτη κατάσταση Σχήμα 4.4 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) για τις διατομές RSS_12 (πάνω) και RHS1_17 (κάτω) Σχήμα 4.41 Ενίσχυση διατομών RSS (αριστρά) και RHS1 (δξιά) μ πριμτρικούς οπλισμούς μγαλύτρης διαμέτρου Σχήμα 4.42 Καμπύλς αντίστασης των νισχυμένων διατομών RSS_12 (αριστρά) και RHS1_17 (δξιά) Σχήμα 4.43 Δίκτς αποτλσματικότητας και οικονομίας μ βάση την πλαστιμότητα (Κ W85 ) για τις νισχυμένς διατομές RSS και RHS Σχήμα 4.44 Ογκομτρικά ποσοστά γκάρσιων οπλισμών ανά διύθυνση ανηγμένα στο συνολικό ογκομτρικό ποσοστό (ρ w ) για τις διατομές RSS και RHS1...2 Σχήμα 4.45 Εικόνς γκάρσιων μτακινήσων (x1) σ μέση αξονική παραμόρφωση = 3 για διατομές μ πριμτρικούς οπλισμούς μόνο (RHS1_3, αριστρά) και μ αραιούς γκάρσιους συνδέσμους (RHS1_6, δξιά)...21 Σχήμα 4.46 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) για τις διατομές RHS3_7 (αριστρά) και RHS3_8 (δξιά)...22 Σχήμα 4.47 Συγκριτικά διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας των ορθογωνικών βάθρων μ διαφορτικούς λόγους μήκους προς πάχος (h/t)...23 Σχήμα 4.48 Λόγοι παραμορφώσων κατά τη διαρροή του πρώτου και του τλυταίου γκάρσιου οπλισμού ως προς την αντίστοιχη παραμόρφωση των ορθογωνικών διατομών RSS και RHS1 στη μέγιστη αντοχή.23 Σχήμα 4.49 Μήκος λυγισμού διαμήκους ράβδου...25 Σχήμα 4.5 Ελάχιστη απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών για την κδήλωση λαστικού λυγισμού, συναρτήσι της διαμέτρου των διαμήκων ράβδων για χάλυβα S5s...26 Σχήμα 4.51 Αρχικά και τροποποιημένα διαγράμματα τάσωνπαραμορφώσων των διαμήκων ράβδων για τα προσομοιώματα C3C και RHS2_ Σχήμα 4.52 Καμπύλς αντίστασης προσομοιωμάτων C3C και RHS2_12 συμπριλαμβανομένου ή όχι του ανλαστικού λυγισμού των διαμήκων ράβδων...27 Σχήμα 4.53 Κατανομή γκάρσιων πιέσων λόγω πρίσφιξης (Yalcin & Saatcioglu, 2)...29 Σχήμα 4.54 Παραμτρική διρύνηση της πιρροής της δυσκαμψίας των γκάρσιων οπλισμών Σχήμα 4.55 Αξονικές δυνάμις οπλισμών λόγω πρίσφιξης (Karabinis & Kiousis, 1996b) Σχήμα 4.56 Προσομοίωση γκάρσιων οπλισμών μ στοιχία ράβδου και μ μη γραμμικά λατήρια Σχήμα 4.57 Καμπύλς αντίστασης και κατανομή γκάρσιων τάσων (σ 1 στη μέγιστη αντοχή) μταξύ προσομοίωσης οπλισμών μ στοιχία ράβδου και μη γραμμικά λατήρια Σχήμα 4.58 Καμπύλς αντίστασης του υποστυλώματος C1B μ και χωρίς την προσομοίωση του σκυροδέματος πικάλυψης και σύγκριση μ την αντίστοιχη πιραματική καμπύλη Σχήμα 4.59 Σύγκριση μταξύ δικτών αποτλσματικότητας που προέρχονται από οπτική ολοκλήρωση (Κ) και από τις αντίστοιχς καμπύλς απόκρισης (K R ) Σχήμα 4.6 Σύγκριση καμπυλών απόκρισης προσομοιωμάτων μ νργοποίηση ή όχι της πιλογής γωμτρικής μη γραμμικότητας Σχήμα 5.1 Ανάλυση βραχίονα οπλισμένου σκυροδέματος μη συμβατικής κοίλης διατομής μ φαρμογή της μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο Σχήμα 5.2 Απλές και σύνθτς μορφές κοίλων διατομών xix

22

23 Κατάλογος πινάκων Πίνακας 1.1 Συχνότητα μφάνισης τύπων διατομών βάθρων σ διάφορς χώρς...5 Πίνακας 2.1 Κατάλογος ργασιών μ θέμα την πιραματική μλέτη κοίλων διατομών βάθρων γφυρών...12 Πίνακας 2.2 Χαρακτηριστικά παραδίγματα φαινομνολογικών μοντέλων...15 Πίνακας 2.3 Κατάλογος ργασιών μ θέμα την προσομοίωση κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο...19 Πίνακας 3.1 Παράμτροι καταστατικού νόμου σκυροδέματος...76 Πίνακας 3.2 Κυριότρς συνοριακές συνθήκς, φορτίσις και σημία καταγραφής...77 Πίνακας 3.3 Κριτήρια σύγκλισης αλγορίθμων πίλυσης...78 Πίνακας 3.4 Γωμτρία και καταστατικοί νόμοι για την προσομοίωση των υποστυλωμάτων...89 Πίνακας 3.5 Γωμτρία και καταστατικοί νόμοι για την προσομοίωση του κοίλου βάθρου...9 Πίνακας 3.6 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης συμπαγών διατομών...92 Πίνακας 3.7 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης κοίλών διατομών...94 Πίνακας 3.8 Τιμές της παραμέτρου κκντρότητας (e) για διάφορς θλιπτικές αντοχές σκυροδέματος...18 Πίνακας 3.9 Τιμές τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (f cc ) για γκάρσις τάσις σ pc = f c και διάφορς αντοχές σκυροδέματος Πίνακας 3.1 Διαφοροποιημένς παράμτροι υλικού μ βάση τη στοχυμένη παραμόρφωση πάνω στα αντίστοιχα πιραματικά στοιχία (Xie et al., 1995) Πίνακας 3.11 Παράμτροι νέου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Πίνακας 3.12 Προτινόμνς τιμές των παραμέτρων του καταστατικού νόμου σκυροδέματος μ βάση τη γνικυμένη βαθμονόμηση για διάφορς αντοχές σκυροδέματος (f c ) Πίνακας 3.13 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης συμπαγών διατομών Πίνακας 3.14 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης κοίλών διατομών Πίνακας 4.1 Παράμτροι του καταστατικού νόμου σκυροδέματος (γνικυμένη βαθμονόμηση) για ποιότητς C2/25 και C5/ Πίνακας 4.2 Παράμτροι του καταστατικού νόμου χάλυβα για ποιότητα S5s...16 Πίνακας 4.3 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS Πίνακας 4.4 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS Πίνακας 4.5 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του συμπαγούς κυκλικού βάθρου CSS Πίνακας 4.6 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του τοιχωματικού βάθρου RSS Πίνακας 4.7 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Πίνακας 4.8 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS Πίνακας 4.9 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS xxi

24

25 Συμβολισμοί Α. Λατινικοί a A b B Β c(κ) c ts c ο C C R C C 85 C W85 d d d s d e d i dλ D, D ijkl D ep D T D S Σταθρά έλξως της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού Πρώτη παράμτρος της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού Πλάτος ορθογωνικής διατομής Δύτρη παράμτρος της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού Μητρώο παραμορφώσων μτακινήσων ππρασμένου στοιχίου Συνάρτηση χαλάρωσης Παράμτρος φλκυστικής συμβολής χάλυβα Πάχος σκυροδέματος πικάλυψης Τρίτη παράμτρος της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού Δίκτης οικονομίας μ βάση τη μέγιστη αντοχή Δίκτης οικονομίας μ βάση την παραμόρφωση στη μέγιστη αντοχή Δίκτης οικονομίας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς τις παραμορφώσις Δίκτης οικονομίας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς την απορροφώμνη νέργια Διάνυσμα πικόμβιων μτακινήσων ππρασμένου στοιχίου Μικροαυξητικό πρόθμα Διάμτρος ράβδων οπλισμού Εξωτρική διάμτρος κυκλικής διατομής Εσωτρική διάμτρος κυκλικής κοίλης διατομής Πλαστικός ή θραυστικός πολλαπλασιαστής Ελαστικό καταστατικό μητρώο υλικού Ελαστοπλαστικό καταστατικό μητρώο υλικού Εφαπτομνικό καταστατικό μητρώο υλικού Επιβατικό καταστατικό μητρώο υλικού cr D Καταστατικό μητρώο ρηγματωμένης πριοχής στο τοπικό σύστημα D Διάμτρος ράβδου οπλισμού xxiii

26 e e p E c E s f f p f f f bc f c f cc f cu f t f y f yw g G f h I 1 J 2 J 3 J k T k(κ) k o K Τ K K R Κ Κ 85 Παράμτρος κκντρότητας του κριτηρίου διαρροής MenétreyWillam Εκτροπική πλαστική παραμόρφωση Μέτρο λαστικότητας σκυροδέματος Μέτρο λαστικότητας χάλυβα Κριτήριο διαρροής Κριτήριο διαρροής νόμου πλαστικότητας Κριτήριο διαρροής νόμου θραύσης Ισοδιαξονική θλιπτική αντοχή σκυροδέματος Μέση μονοαξονική θλιπτική αντοχή σκυροδέματος Τριαξονική θλιπτική αντοχή σκυροδέματος Παραμένουσα θλιπτική αντοχή σκυροδέματος Μέση μονοαξονική φλκυστική αντοχή σκυροδέματος Τάση διαρροής οπλισμών Τάση διαρροής γκάρσιων οπλισμών Συνάρτηση πλαστικού δυναμικού Ενέργια θραύσης Μήκος ορθογωνικής διατομής Πρώτη αναλλοίωτος του τανυστή των τάσων Δύτρη αναλλοίωτος του αποκλίνοντα τανυστή των τάσων Τρίτη αναλλοίωτος του αποκλίνοντα τανυστή των τάσων Ιακωβιανό μητρώο Εφαπτομνικό μητρώο δυσκαμψίας ππρασμένου στοιχίου Συνάρτηση κράτυνσης Παράμτρος κράτυνσης που ορίζι την πιφάνια αρχικής διαρροής Καθολικό φαπτομνικό μητρώο δυσκαμψίας φορέα Συντλστής αποτλσματικότητας της πρίσφιξης Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση τη μέγιστη αντοχή Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση την παραμόρφωση στη μέγιστη αντοχή Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς τις παραμορφώσις xxiv

27 Κ W85 L t L c m n n k n 1 n 2 P P cr r r ij r(θ,e) r g R R s t t s T u U w w t w to w c w co x z Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς την απορροφώμνη νέργια Χαρακτηριστικό μήκος Μήκος ζώνης σύνθλιψης Παράμτρος σωτρικής τριβής του κριτηρίου διαρροής MenétreyWillam Βαθμός της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού Ιδιοδιάνυσμα που ορίζι τη διύθυνση ανισοτροπίας k Πρώτη παράμτρος της συνάρτησης χαλάρωσης Δύτρη παράμτρος της συνάρτησης χαλάρωσης Καθολικό διάνυσμα φόρτισης φορέα Κρίσιμο φορτίο λυγισμού (Euler) Διάνυσμα μη γραμμικής απόκρισης ππρασμένου στοιχίου Τανυστής διόρθωσης των τάσων Ελλιπτική συνάρτηση του κριτηρίου διαρροής MenétreyWillam Συντλστής διατμητικής συνοχής ρήγματος Καθολικό διάνυσμα μη γραμμικής απόκρισης φορέα Δύναμη αντίδρασης κατακόρυφου στοιχίου οπλισμένου σκυροδέματος Απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών Πάχος κυκλικής ή ορθογωνικής κοίλης διατομής Παράμτρος κλίσης της συνάρτησης χαλάρωσης Μητρώο μτασχηματισμού Διάνυσμα μτακινήσων ππρασμένου στοιχίου Καθολικό διάνυσμα μτακινήσων φορέα Βάρος σημίου ολοκλήρωσης ππρασμένου στοιχίου Εύρος ρήγματος Εύρος ρήγματος που αντιστοιχί στο μηδνισμό της φλκυστικής τάσης Πλαστική μτακίνηση ζώνης σύνθλιψης Πλαστική μτακίνηση ζώνης σύνθλιψης που αντιστοιχί στην πλήρη απώλια της συνοχής του υλικού Διάνυσμα συντταγμένων κόμβων ππρασμένου στοιχίου Ύψος προσομοιώματος xxv

28 Ζ Συντλστής κλίσης του κατρχόμνου κλάδου απόκρισης του πρισφιγμένου σκυροδέματος Β. Ελληνικοί α α f α p β γ δ, ij c cu bc cc e, e ij p p, ij f f, ij f ˆ k v p v Συντλστής θρμικής διαστολής του σκυροδέματος Συνισφορά του τμήματος θραύσης στο συνδυαστικό αλγόριθμο Συνισφορά του τμήματος πλαστικότητας στο συνδυαστικό αλγόριθμο Παράμτρος πλαστικής διόγκωσης της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού τύπου DruckerPrager Συντλστής ανακούφισης του συνδυαστικού αλγορίθμου Μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα και τανυστής συνολικών παραμορφώσων Συνολική παραμόρφωση στη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος Συνολική παραμόρφωση στην παραμένουσα μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος Συνολική παραμόρφωση στην ισοδιαξονική αντοχή του σκυροδέματος Συνολική παραμόρφωση στην τριαξονική αντοχή του σκυροδέματος Διάνυσμα και τανυστής λαστικών παραμορφώσων Διάνυσμα και τανυστής πλαστικών παραμορφώσων Διάνυσμα και τανυστής θραυστικών παραμορφώσων Μέγιστη θραυστική παραμόρφωση στη διύθυνση ανισοτροπίας k Συνολική ογκομτρική παραμόρφωση Ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση p v,t Οριακή τιμή ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης στη μέγιστη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος p eq Ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση (παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης) p eq,t Οριακή τιμή ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης στη μέγιστη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος s θ Παραμόρφωση χάλυβα Αναλλοίωτη τασική γωνία ομοιότητας xxvi

29 κ Παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης λ t ν ξ Σταθρά μγέθυνσης της φλκυστικής αντοχής f t Λόγος του Poisson Υδροστατικό μέτρο του διανύσματος των τάσων ξ Υδροστατικό μέτρο του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων ρ Εκτροπικό μέτρο του διανύσματος των τάσων ρ Εκτροπικό μέτρο του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων ρ w σ, σ ij σ ο σ co σ pc σ s σ cr τ ο χ ψ Ογκομτρικό ποσοστό γκάρσιων οπλισμών Διάνυσμα και τανυστής τάσων Υδροστατική οκταδρική τάση Θλιπτική τάση σκυροδέματος που ορίζι την έναρξη της πλαστικής ροής Εγκάρσια τάση σκυροδέματος (τάση πρίσφιξης) Τάση χάλυβα Κρίσιμη τάση λυγισμού Διατμητική οκταδρική τάση Ζητούμνος βαθμός σύγκλισης του συνδυαστικού αλγορίθμου Διύθυνση του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων ως προς τον υδροστατικό άξονα xxvii

30

31 Πρίληψη Η παρούσα διατριβή μ τίτλο Αναλυτική Μλέτη Πρισφιγμένων Στοιχίων Οπλισμένου Σκυροδέματος μ τη Μέθοδο των Μη Γραμμικών Ππρασμένων Στοιχίων στο Χώρο πριλαμβάνι μια αναλυτική διρύνηση της συμπριφοράς βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος, συμπαγούς και κοίλης διατομής, μ ναλλακτικές διατάξις οπλισμού πρίσφιξης. Ειδικότρα, ξτάζται μια σιρά γωμτρικών διατάξων γκάρσιων οπλισμών, όπως οι κλιστοί αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς και οι γκάρσιοι σύνδσμοι και αποτιμάται η αποτλσματικότητα της πρίσφιξης σ κάθ πρίπτωση. O βασικός στόχος ίναι ο προσδιορισμός των προσφορότρων διατάξων, τόσο από πλυράς ξασφάλισης αντοχής και πλάστιμης συμπριφοράς όσο και από πλυράς κατασκυαστικής υκολίας και οικονομίας. Η αναλυτική μλέτη των βάθρων γίνται μ τη χρήση ππρασμένων στοιχίων τριών διαστάσων για την προσομοίωση του σκυροδέματος σ συνδυασμό μ μφυτυμένα γραμμικά στοιχία ράβδου για την προσομοίωση των οπλισμών. Μ τον τρόπο αυτόν ίναι δυνατή η άμση προσομοίωση της πρίσφιξης που προκύπτι από την παρμπόδιση της γκάρσιας διόγκωσης του σκυροδέματος του πυρήνα υπό αξονική κντρική θλίψη. Για τις ανάγκς της αναλυτικής έρυνας χρησιμοποιήθηκ το μπορικό πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ, στο οποίο υλοποιήθηκαν σημαντικές βλτιώσις κυρίως σ πίπδο καταστατικού νόμου πλαστικότητας σκυροδέματος, ο οποίος τροποποιήθηκ κατάλληλα έτσι ώστ να συμπριλάβι τα ιδιαίτρα χαρακτηριστικά της πρίσφιξης τα οποία δν ήταν δυνατόν να πριγραφούν από τον υφιστάμνο νόμο. Συγκκριμένα, νσωματώθηκαν νές καταστατικές ξισώσις όσον αφορά την παράμτρο κράτυνσης/χαλάρωσης και τη συνάρτηση πλαστικού δυναμικού και έγιν βαθμονόμηση όλων των παραμέτρων του υλικού μέσω μιας κτνούς πιραματικής βάσης δδομένων. Οι παραπάνω βλτιώσις νσωματώθηκαν στο πιλγμένο πρόγραμμα και πραγματοποιήθηκαν διρυνητικές αναλύσις μ σκοπό την αξιολόγηση της απόδοσης του νέου καταστατικού νόμου και της αριθμητικής διαδικασίας πίλυσης γνικότρα. Στη συνέχια έγιν μία κτνής παραμτρική ανάλυση κυκλικών και ορθογωνικών βάθρων κοίλης και συμπαγούς διατομής, τα οποία αντιστοιχούν σ πραγματικές γέφυρς που έχουν κατασκυαστί στον λληνικό χώρο. Εξτάστηκαν ναλλακτικές διατάξις και πυκνότητς γκάρσιων οπλισμών πρίσφιξης καθώς και η πιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος στην αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων στοιχίων. Μ βάση τα αναλυτικά αποτλέσματα, αναδικνύονται από τη μία πλυρά οι προσφορότρς διατάξις πρίσφιξης βάσι συγκκριμένων δικτών απόκρισης και κόστους και από την άλλη ντοπίζονται προβλήματα μιωμένης πλάστιμης συμπριφοράς σ ορισμένς από αυτές. Η παρούσα έρυνα αποδικνύι ότι η μέθοδος της μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων xxix

32 στο χώρο μπορί να αποτλέσι ένα σημαντικό ργαλίο για τη μλέτη της συμπριφοράς όχι μόνο στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος συνήθους γωμτρίας ή/και διατάξων πρίσφιξης αλλά και συνθτότρων μορφών, όπως τα κοίλα βάθρα γφυρών, όπου οι συνήθις φαινομνολογικές προσγγίσις νγένι αδυνατούν να πκταθούν. xxx

33 Summary The present thesis entitled Analytical Study of Confined Reinforced Concrete Members using the ThreeDimensional Nonlinear Finite Element Method includes an analytical study of reinforced concrete bridge piers of solid and hollow section with various transverse reinforcement arrangements. A variety of confinement patterns is examined, such as closed overlapping hoops and transverse links, and effectiveness of confinement is assessed in each of them. A key issue is to suggest the most convenient confinement arrangements in terms of enhanced strength and ductility, as well as ease of construction and cost effectiveness. Modelling of bridge sections is performed using threedimensional solid (brick) elements for concrete and embedded linear truss elements for reinforcement bars. In this context, direct simulation of the confinement effect is achieved, emanating from the induced restriction of concrete expansion due to axial tension of lateral reinforcement bars, under concentric monotonic compressive loading. For performing the present analysis, the commercial finite element package ATENA was selected and considerably improved, mainly in terms of the standard featured concrete constitutive law, which was revised to account for confinement characteristics that were not captured by the existing model. More specifically, new constitutive equations in terms of the hardening/softening parameter and the plastic potential function were formulated in the context of the plasticity constitutive model for concrete in compression and all model parameters were calibrated upon the uniaxial concrete compressive strength, on the basis of an extensive experimental database. The above improvements were incorporated in the selected finite element software and verification analyses were performed in order to validate the efficiency of the improved concrete constitutive model and the performance of the nonlinear solver in general. Following the above developments, a large parametric analysis was performed on circular and rectangular bridge piers of solid and hollow section, which were taken directly from real constructed bridges in Greece. Various confinement arrangements and transverse reinforcement spacings were examined, as well as the effect of high strength concrete on confinement effectiveness. The analysis results are used as a basis for identifying the most convenient reinforcement arrangements in terms of various performance and economic indices, as well as detecting reduced ductility characteristics in a few cases. The present study clearly shows that threedimensional analysis can be considered as a very powerful analytical tool for investigating the structural performance not only of reinforced concrete members of common configurations, but also of more complex geometries and/or reinforcement patterns, such as those found in hollow bridge piers, wherein standard phenomenological models are generally not applicable. xxxi

34

35 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή 1. Εισαγωγή 1.1 Γνικά Θέση του προβλήματος Η μλέτη και η κατασκυή βάθρων και πυλώνων παίζι πρωταρχικό ρόλο στη σισμική συμπριφορά των γφυρών από σκυρόδμα, δδομένου ότι στις πρισσότρς πριπτώσις αποτλούν τους κύριους φορίς ανάληψης των σισμικών δυνάμων και μτακινήσων (ξαίρση στον κανόνα αποτλούν οι γέφυρς μ σισμική μόνωση όπου η έκλυση της σισμικής νέργιας γίνται στα φέδρανα, νώ τα βάθρα παραμένουν κατά κανόνα στην λαστική πριοχή). Ο μλτητής θα πρέπι να ξτάσι ναλλακτικές λύσις αναφορικά μ τη γωμτρία της διατομής, τη διάταξη των οπλισμών και την ποιότητα των υλικών, ώστ να ξασφαλίσι την απαιτούμνη ικανότητα ανλαστικής παραμόρφωσης (πλαστιμότητα) των κρίσιμων πριοχών χωρίς ουσιώδη μίωση της αντοχής τους. Η πιλογή της μορφής της διατομής των βάθρων μπορί να γίνι ανάμσα σ συμπαγίς ή κοίλς διατομές, κυκλικής, ορθογωνικής ή σύνθτης γωμτρίας. Επιπλέον, οι γκάρσιοι οπλισμοί μπορούν να έχουν τη μορφή σπιρών ή συνδτήρων διαφόρων τύπων και τέλος το σκυρόδμα μπορί να ίναι συνήθους ή υψηλής αντοχής. Στο σχήμα 1.1 (Priestley et al., 1996) παρουσιάζονται οι συνηθέστρς μορφές συμπαγών διατομών που χρησιμοποιούνται στα βάθρα των σύγχρονων γφυρών από σκυρόδμα. Βασική πιλογή αποτλί αυτή μταξύ κυκλικών ή ορθογωνικών διατομών, μ τις πρώτς (ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ) να προσφέρουν νγένι κατασκυαστική υκολία και οικονομία, ξαιρτική πρίσφιξη του γκιβωτισμένου πυρήνα (λόγω της όπλισης μ σπιροιδή οπλισμό) και αποτλσματική προστασία έναντι λυγισμού των διαμήκων ράβδων. Επιπλέον, η συμπριφορά τους ως προς την πλαστιμότητα ίναι ανξάρτητη από τη διύθυνση της σισμικής διέγρσης. Από την άλλη πλυρά, οι ορθογωνικές διατομές (ΔΔ, ΕΕ, ΖΖ), αν και γνωρίζουν υρία φαρμογή, υστρούν ως προς τη σισμική τους συμπριφορά, ιδιαίτρα για λοξή ως προς τους άξονές τους διύθυνση διέγρσης (που ίναι και ο γνικός κανόνας), όπου παρατηρίται πρόωρη αποφλοίωση του σκυροδέματος πικάλυψης λόγω πριορισμού του πλάτους της θλιβόμνης ζώνης του σκυροδέματος. Επίσης, διατομές της μορφής ΔΔ θα πρέπι να αποφύγονται λόγω λλιπούς πρίσφιξης του σκυροδέματος του πυρήνα (Penelis & Kappos 1997) και να πιλέγται η μορφή ΕΕ. Ωστόσο, η μορφή αυτή αντνδίκνυται στις πριπτώσις βάθρων μγάλων διαστάσων, λόγω των μγάλων απαιτήσων σ γκάρσιους οπλισμούς προς ξασφάλιση των πολυάριθμων διαμήκων ράβδων έναντι λυγισμού, γγονός που αυξάνι την κατασκυαστική δυσκολία και το αντίστοιχο κόστος. Μία ναλλακτική λύση αποτλί η υβριδικής μορφής διατομή ΖΖ η οποία, αν και ορθογωνικού σχήματος, πριέχι αλληλοκαλυπτόμνς κυκλικές διατάξις οπλισμών και νδίκνυται σ πριπτώσις 1

36 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή βάθρων μγάλων διαστάσων, προσφέροντας καλύτρη σισμική συμπριφορά κατά τη διύθυνση της διαγωνίου της. Τέλος, στις πριπτώσις γφυρών μ σχτικά μικρό αριθμό ανοιγμάτων και μονολιθικής σύνδσης βάθρων καταστρώματος, όπου η διαμήκης σισμική ένταση παραλαμβάνται σ μγάλο βαθμό από τα ακρόβαθρα, μπορούν να κατασκυαστούν τοιχωματικές διατομές (HH), οι οποίς προσφέρουν υψηλή δυσκαμψία στην γκάρσια διύθυνση της γέφυρας, χωρίς να προσλκύουν υψηλά σισμικά φορτία (λόγω της μικρής δυσκαμψίας) στη διαμήκη διύθυνση. Στις πριπτώσις μγαλύτρου αριθμού ανοιγμάτων, η κατασκυή τοιχωματικών βάθρων προϋποθέτι τη σύνδσή τους μ το κατάστρωμα μέσω φδράνων (π.χ. γέφυρα ποταμού Λίσσου της Εγνατίας Οδού). Σχήμα 1.1 Τυπικές συμπαγίς διατομές βάθρων γφυρών Ιδιαίτρα διαδδομένη πρακτική τα τλυταία χρόνια (κυρίως στην Ευρώπη) ίναι η κατασκυή βάθρων κοίλης διατομής, τα οποία έχουν το πλονέκτημα της μιωμένης σισμικά νργής μάζας (χωρίς αντίστοιχη μίωση της αντοχής) αλλά και του μιωμένου συνολικού κόστους υλικών. Στο σχήμα 1.2 (Priestley et al., 1996, Hines et al., 21) παρουσιάζονται τυπικές πριπτώσις κυκλικών, ορθογωνικών και σύνθτων κοίλων διατομών, μ τις πρώτς να αποτλούν οικονομική λύση όταν κατασκυάζονται μ μονή 2

37 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή στρώση διαμήκων και γκάρσιων οπλισμών (συνδτήρων ή σπιρών) στην ξωτρική παριά (Zahn et al., 199). Στις διατομές αυτές το πάχος θα πρέπι να ίναι το λάχιστο δυνατό ώστ να αποφύγονται μγάλοι όγκοι μη πρισφιγμένου σκυροδέματος. Ωστόσο, η όπλιση μ ξωτρική μόνο σπίρα αποφύγται (ιδιαίτρα στον υρωπαϊκό χώρο) λόγω προβλημάτων ρηγμάτωσης της σωτρικής παριάς, που οφίλονται κυρίως σ θρμοκρασιακές μταβολές. Αντί αυτής, γίνται τοποθέτηση μιας δύτρης σπίρας στην σωτρική παριά, η οποία όμως (φόσον ίναι ισχυρή και μικρού βήματος) μπορί να προκαλέσι έντονς γκάρσις πιέσις προς την σωτρική πικάλυψη (αρνητική πρίσφιξη), οδηγώντας σ μία μη πιθυμητή πρόωρη αποφλοίωσή της (Κάππος και Νανούλης, 1998). Για το λόγο αυτόν συνιστάται η σύνδση των οπλισμών της σωτρικής και ξωτρικής παριάς μ γκάρσιους συνδέσμους, η τοποθέτηση των οποίων όμως χαρακτηρίζται νγένι από κατασκυαστική δυσκολία. Από την άλλη πλυρά, οι ορθογωνικές κοίλς διατομές, οι οποίς έχουν σημαντική παρουσία στις σύγχρονς γέφυρς του λληνικού και υρωπαϊκού χώρου, αν και δν αντιμτωπίζουν φαινόμνα αρνητικής πρίσφιξης λόγω της διάταξης των γκάρσιων οπλισμών ανά πιμέρους τοίχωμα, απαιτούν την παρουσία πυκνού δικτύου γκάρσιων συνδέσμων ή αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων μταξύ ξωτρικής και σωτρικής παριάς για την αποφυγή πρόωρου λυγισμού των διαμήκων ράβδων κοντά στο μέσο των σκλών της διατομής, τα οποία ίναι πρακτικά απρίσφικτα. Κατά συνέπια, το κατασκυαστικό κόστος αυξάνται σημαντικά λόγω της δυσκολίας στην τοποθέτηση των παραπάνω πυκνών γκάρσιων οπλισμών. Τέλος, οι σύνθτς μορφές κοίλων διατομών, οι οποίς ίναι λιγότρο διαδδομένς από τις αντίστοιχς απλής μορφής, πιλέγονται συνήθως μ βάση αρχιτκτονικά και αισθητικά κριτήρια, συνήθως σ βάθρα ή πυλώνς μγάλου ύψους τα οποία ίναι ορατά από μγάλς αποστάσις. Τέτοις διατομές συνήθως παρουσιάζουν δυσκολίς στη διαμόρφωση και την τοποθέτηση των οπλισμών, οπότ ίναι σκόπιμο να συνοδύονται από αντίστοιχς πιραματικές δοκιμές για τον έλγχο της συμπριφοράς τους υπό σισμική φόρτιση (Hines et al., 21). Στον πίνακα 1.1 παρουσιάζται συνοπτικά η συχνότητα μφάνισης των βασικότρων μορφών διατομών βάθρων γφυρών, η οποία ποικίλλι ανάλογα μ τη χώρα (fib, 27). Από τα προαναφρθέντα προκύπτι το συμπέρασμα ότι η παρουσία γκάρσιων οπλισμών σ βάθρα γφυρών παίζι κυρίαρχο ρόλο, γιατί κτός από το ότι προσφέρουν αντοχή σ τέμνουσα και προστασία έναντι λυγισμού των διαμήκων ράβδων, συντλούν στην αποτλσματική πρίσφιξη της διατομής και πηράζουν σημαντικά το συνολικό κατασκυαστικό κόστος. Ειδικά στις πριπτώσις κοίλων διατομών, οι οποίς λόγω της ιδιαίτρης γωμτρίας τους ίναι δύσκολο να γκιβωτιστούν αποτλσματικά στο σύνολο του όγκου τους, αλλά και σ ορισμένς πριπτώσις αντιστρέφουν την νγένι υνοϊκή πιρροή των γκάρσιων οπλισμών στην πρίσφιξη, η λπτομρής μλέτη της συμπριφοράς τους υπό κντρική θλιπτική φόρτιση, μέσω πιραματικών ή αναλυτικών 3

38 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή μθόδων, αποτλί ένα σημαντικό πδίο έρυνας. Ωστόσο, μέχρι σήμρα η πιραματική διρύνηση του φαινομένου της πρίσφιξης κοίλων διατομών ίναι πολύ πριορισμένη (Mo et al., 23), έχοντας πικντρωθί κυρίως στη μλέτη της σισμικής συμπριφοράς των κοίλων βάθρων υπό μονότονη ή ανακυκλιζόμνη οριζόντια φόρτιση. Επίσης, η αναλυτική αντιμτώπιση του προβλήματος μ τις κλασικές φαινομνολογικές προσγγίσις παρουσιάζι δυσκολίς, λόγω του γγονότος ότι τα αντίστοιχα μοντέλα έχουν διατυπωθί και βαθμονομηθί βάσι πιραματικών αποτλσμάτων αποκλιστικά σ συμπαγίς διατομές. Από την άλλη πλυρά, η προσέγγιση του προβλήματος μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο (λόγω της αμιγώς τρισδιάστατης φύσης της πρίσφιξης), η οποία δύναται να αντιμτωπίσι το φαινόμνο στη θμλιώδη του βάση και νγένι χωρίς πμβάσις φαινομνολογικού χαρακτήρα στον καταστατικό νόμο του σκυροδέματος, αποτλί μία νδιαφέρουσα ναλλακτική λύση, η οποία ωστόσο μφανίζται αφνός ξαιρτικά απαιτητική σ υπολογιστική ισχύ και αφτέρου λγχόμνη ως προς την αξιοπιστία των καταστατικών νόμων και των τχνικών προσομοίωσης του τρισδιάστατου προβλήματος. Την τλυταία δκατία έχουν γίνι αρκτές προσπάθις στην παραπάνω κατύθυνση από διάφορους ρυνητές, οι οποίς όμως αφορούν αποκλιστικά την προσομοίωση πρισφιγμένων υποστυλωμάτων συμπαγούς διατομής χωρίς να έχουν πκταθί στη μλέτη κοίλων βάθρων. Στο ανοικτό αυτό αντικίμνο αναλυτικής έρυνας πιδιώκι να συμβάλλι και η παρούσα διατριβή. Σχήμα 1.2 Κυκλικές, ορθογωνικές και σύνθτς διατομές κοίλων βάθρων γφυρών 4

39 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή Πίνακας 1.1 Συχνότητα μφάνισης τύπων διατομών βάθρων σ διάφορς χώρς ΗΠA Δύση ΗΠΑ Ανατολή Νέα Ζηλανδία Μξικό Ιαπωνία Ιταλία Γαλλία Ελλάδα Σλοβνία Συμπαγή κυκλικά Συμπαγή ορθογωνικά Τοιχωματικά < 3 m ύψος Κοίλα κυκλικά > 3 m ύψος Εκτός μικρών γφυρών Κοίλα ορθογωνικά > 3 m ύψος > 3 m ύψος Εκτός μικρών γφυρών Εκτός μικρών γφυρών Μγάλς γέφυρς > 2 m Εμφάνιση : Συχνή Πριστασιακή Σπάνια Δν κατασκυάζται Η λιτουργία του μηχανισμού πρίσφιξης βασίζται στην παθητική νργοποίηση των γκάρσιων οπλισμών, οι οποίοι παρμποδίζουν την γκάρσια διόγκωση του σκυροδέματος που προέρχται από την κντρική αξονική σύνθλιψη του στοιχίου. Η τρισδιάστατη ντατική κατάσταση που μφανίζται στο σωτρικό του γκιβωτισμένου πυρήνα της διατομής, προκαλί την αύξηση τόσο της αντοχής όσο και της ικανότητας παραμόρφωσης (πλαστιμότητας) του στοιχίου (Penelis & Kappos, 1997). Ο όγκος της πρισφιγμένης ζώνης σ σχέση μ τις υπόλοιπς αννργές πριοχές, οι οποίς διατηρούν τις ιδιότητς του άοπλου σκυροδέματος, προσδιορίζται συνήθως μ τον μπιρικό κανόνα των 45 ο και ξαρτάται άμσα από την πυκνότητα της διάταξης των γκάρσιων οπλισμών και την κατανομή τους καθ ύψος του στοιχίου (Σχ. 1.3). Η μλέτη του φαινομένου αυτού μπορί να γίνι τόσο μ πιραματικές δοκιμές, όσο και μ αναλυτικές μθόδους, μπιρικού ή μη χαρακτήρα. Όπως σημιώθηκ και παραπάνω, στην παρούσα διατριβή, η μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης θα γίνι μ φαρμογή της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο, και συγκκριμένα μ τη χρήση στρών ππρασμένων στοιχίων για την προσομοίωση του σκυροδέματος, σ συνδυασμό μ γραμμικά στοιχία ράβδου για την προσομοίωση των οπλισμών. 5

40 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή Σχήμα 1.3 Λιτουργία του μηχανισμού πρίσφιξης για αραιή (αριστρά) και πυκνή (δξιά) διάταξη γκάρσιων οπλισμών 1.2 Στόχοι της παρούσας έρυνας Βασικός στόχος της παρούσας διατριβής ίναι ο προσδιορισμός της αποτλσματικότητας διαφόρων γωμτρικών διατάξων γκάρσιων οπλισμών σ συμπαγίς ή κοίλς διατομές κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος (μ έμφαση στα βάθρα γφυρών), τόσο από πλυράς ξασφάλισης αντοχής και πλάστιμης συμπριφοράς, όσο και από πλυράς κατασκυαστικής υκολίας και οικονομίας. Ειδικότρα, προτίνται η διρύνηση της αποτλσματικότητας διαφόρων γωμτρικών διατάξων πρίσφιξης, όπως οι κλιστοί αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς και οι γκάρσιοι σύνδσμοι. Για τη δινέργια της παραμτρικής ανάλυσης θα γίνι κατάλληλη πιλογή νός γνικού (μπορικού) προγράμματος ππρασμένων στοιχίων, το οποίο θα αξιολογηθί μέσω πιλοτικών αναλύσων, ώστ να λγχθί η καταλληλότητά του στην αντιμτώπιση του προβλήματος της πρίσφιξης. Στην πρίπτωση μφάνισης αδυναμιών του προγράμματος αναφορικά μ την πριγραφή των βασικών χαρακτηριστικών απόκρισης των πρισφιγμένων στοιχίων, θα γίνι προσπάθια βλτίωσης του αντίστοιχου καταστατικού νόμου σκυροδέματος σ πίπδο μαθηματικής διατύπωσης. Παράλληλος στόχος της διατριβής ίναι η ανάπτυξη μιας γνικής μθοδολογίας προσομοίωσης, πίλυσης και μτπξργασίας κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο, ώστ να αποτλέσι βάση για πραιτέρω έρυνα στο ίδιο αντικίμνο. 6

41 Κφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.3 Διάρθρωση της διατριβής Στο πόμνο κφάλαιο παρουσιάζται μία κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας πάνω στο θέμα της πρίσφιξης υποστυλωμάτων και βάθρων γφυρών, όπως έχι αντιμτωπιστί στο παρλθόν, τόσο μ πιραματικές όσο και μ αναλυτικές μθόδους. Επίσης, γίνται μία γνική αναφορά στα βασικά χαρακτηριστικά της μθόδου ππρασμένων στοιχίων στο χώρο καθώς και μία πριγραφή των βασικών αρχών της γνικής θωρίας πλαστικότητας, μ έμφαση στους καταστατικούς νόμους σκυροδέματος. Στο τρίτο κφάλαιο γίνται καταρχήν η πιλογή νός κατάλληλου προγράμματος ππρασμένων στοιχίων για την κτέλση της παρούσας ανάλυσης, το οποίο αξιολογίται ως προς την καταλληλότητα και τις πιδόσις του βάσι πιλοτικών αναλύσων. Στη συνέχια προτίνται μία σιρά βλτιώσων του καταστατικού νόμου σκυροδέματος του προγράμματος, έτσι ώστ να πιτυχθί η μέγιστη δυνατή συμβατότητα μ τις ιδιαίτρς απαιτήσις της προσομοίωσης του προβλήματος της πρίσφιξης. Στο τέταρτο κφάλαιο παρουσιάζται μία κτνής παραμτρική ανάλυση διατομών βάθρων γφυρών μ ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης και σχολιάζονται τα αναλυτικά αποτλέσματα. Στο πέμπτο κφάλαιο παρουσιάζονται τα γνικά συμπράσματα που προέκυψαν από το σύνολο της παραπάνω διαδικασίας και γίνονται προτάσις για πραιτέρω έρυνα. Ακολουθί μία σιρά παραρτημάτων μ τα πλήρη αναλυτικά αποτλέσματα της παραμτρικής ανάλυσης καθώς και παραδίγματα βαθμονόμησης του βλτιωμένου καταστατικού νόμου σκυροδέματος και της δημιουργίας, πίλυσης και μτπξργασίας των προσομοιωμάτων βάθρων γφυρών. 7

42

43 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας 2. Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας 2.1 Επισκόπηση της έρυνας πάνω στο πρόβλημα της πρίσφιξης κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος Στην νότητα αυτή, γίνται μία σύντομη βιβλιογραφική αναφορά σ πιραματικές και αναλυτικές έρυνς πάνω στη συμπριφορά υπό αξονική φόρτιση συμπαγών και κοίλων διατομών οπλισμένου σκυροδέματος, μ ιδιαίτρη έμφαση στη μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης υποστυλωμάτων και βάθρων γφυρών Πιραματική έρυνα Η πιραματική μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης σ κατακόρυφα στοιχία οπλισμένου σκυροδέματος ξκίνησ τυπικά από τα μέσα της δκατίας του 4 (King, 1946), αλλά πιο μπριστατωμένς μλέτς παρουσιάστηκαν αρκτά αργότρα (π.χ. Soliman & Yu, 1967) και κυρίως από τη δκατία του 7 και φξής, μ χαρακτηριστικά παραδίγματα τις ργασίς των Vallenas et al. (1977), Sheikh & Uzumeri (198), Scott et al. (1982), Mander et al. (1983), μταξύ άλλων. Βασικό γνώρισμα των παραπάνω πιραματικών ρυνών ίναι η δινέργια δοκιμών κντρικής σύνθλιψης σ υποστυλώματα συμπαγούς κυκλικής ή ορθογωνικής διατομής, πρισφιγμένα μ διάφορς διατάξις γκάρσιων οπλισμών (συνδτήρων ή σπιρών). Μία γνική πισκόπηση του θέματος της πρίσφιξης υποστυλωμάτων μπορί να βρθί στην ργασία των Sakai & Sheikh (1989), που καλύπτι ργασίς ως τα τέλη της δκατίας του 8. Η έρυνα πκτάθηκ τα πόμνα χρόνια στη μλέτη της πρίσφιξης υποστυλωμάτων οπλισμένου σκυροδέματος υψηλής αντοχής (π.χ. Yong et al., 1988, Ravzi & Saatcioglu, 1996) μ αποτέλσμα να αποσαφηνιστούν και να βαθμονομηθούν οι διάφορς παράμτροι που πηράζουν την αποτλσματικότητα της πρίσφιξης, η οποία κφράζται μ την αύξηση της αντοχής και της πλαστιμότητας των πρισφιγμένων στοιχίων (Σχ. 2.1). Η πιρροή των παραμέτρων αυτών συνοψίζται ως ξής (Penelis & Kappos, 1997) : α) Ευνοϊκή πιρροή μγαλύτρων ογκομτρικών ποσοστών γκάρσιων οπλισμών (ρ w ). Το ογκομτρικό ποσοστό ορίζται ως ο όγκος του χάλυβα των γκάρσιων οπλισμών προς τον όγκο του γκιβωτισμένου πυρήνα, ο οποίος συνήθως ορίζται από τον κντροβαρικό άξονα των πριμτρικών γκάρσιων οπλισμών. Υψηλότρα ογκομτρικά ποσοστά οδηγούν σ αύξηση της αντοχής και της πλαστιμότητας του πρισφιγμένου σκυροδέματος. 9

44 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας β) Μη υνοϊκή πιρροή μγαλύτρης θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (f c ). Τα σκυροδέματα υψηλότρων αντοχών χαρακτηρίζονται νγένι από μιωμένη πλαστιμότητα (π.χ. Wee et al., 1996). Επομένως, για την ίδια ανηγμένη τιμή αξονικού φορτίου (ν = Ν / Α f c ), η πλυρική διόγκωση σ ένα σκυρόδμα υψηλής αντοχής ίναι μικρότρη σ σχέση μ ένα αντίστοιχο σκυρόδμα συνήθους αντοχής, οπότ η νργοποίηση των γκάρσιων οπλισμών στην πρώτη πρίπτωση ίναι πριορισμένη. Μ άλλα λόγια, πιδή οι γκάρσιοι οπλισμοί ουσιαστικά προσφέρουν τη δυστένιά τους μέχρι τη διαρροή, οι ανηγμένς γκάρσις δυνάμις πρίσφιξης (ως προς τη θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος) που προκύπτουν στην πρίπτωση των σκυροδμάτων υψηλής αντοχής ίναι μικρότρς σ σχέση μ αυτές του σκυροδέματος συνήθους αντοχής (για την ίδια ποιότητα οπλισμών), οπότ τλικά οδηγούν σ μικρότρς αυξήσις της αντίστοιχης αντοχής και πλαστιμότητας του στοιχίου. γ) Ευνοϊκή πιρροή υψηλότρων ορίων διαρροής των γκάρσιων οπλισμών (f yw ). Οι γκάρσιοι οπλισμοί μγαλύτρης αντοχής μπορούν να προσφέρουν ισχυρότρς γκάρσις δυνάμις πρίσφιξης, οδηγώντας σ υψηλότρα πίπδα αντοχής και πλαστιμότητας. δ) Ευνοϊκή πιρροή μικρότρων αποστάσων μταξύ των γκάρσιων οπλισμών (s). Για δδομένο ογκομτρικό ποσοστό γκάρσιων οπλισμών, η αποτλσματικότητα της πρίσφιξης αυξάνται για μικρότρς αποστάσις μταξύ των γκάρσιων οπλισμών, λόγω των μικρότρων πρακτικά απρίσφικτων πριοχών που διαμορφώνονται στον νδιάμσο χώρο. Επίσης, οι μικρότρς αποστάσις οδηγούν σ αυξημένα πίπδα πλαστιμότητας πιδή αποτρέπουν τον ανλαστικό λυγισμό των διαμήκων ράβδων μτά την αποφλοίωση του σκυροδέματος πικάλυψης. ) Ευνοϊκή πιρροή πυκνότρων διατάξων γκάρσιων οπλισμών. Μ τη διαμόρφωση συνθτότρων διατάξων πρίσφιξης, μιώνται ο όγκος των απρίσφικτων πριοχών του πυρήνα της διατομής, οδηγώντας νγένι σ υψηλότρα πίπδα αντοχής και πλαστιμότητας. και σ δυτρύοντα ρόλο : στ) Ευνοϊκή πιρροή πυκνότρων διατάξων διαμήκων οπλισμών. η) Ευνοϊκή πιρροή, ως προς την αντοχή, μγαλύτρης ταχύτητας πιβολής της φόρτισης. θ) Ευνοϊκή πιρροή της κκντρότητας της φόρτισης ιδιαίτρα στην πλαστιμότητα. 1

45 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.1 Βασικές παράμτροι που πηράζουν την αποτλσματικότητα της πρίσφιξης Οι παραπάνω πιραματικές έρυνς αποτέλσαν τη βάση για την ανάπτυξη μπιρικών μοντέλων υπολογισμού της αποτλσματικότητας της πρίσφιξης (τα οποία θα παρουσιαστούν συνοπτικά στην πόμνη νότητα) καθώς και την ισαγωγή σχτικών διατάξων ως προς τα απαιτούμνα ποσοστά γκάρσιων οπλισμών και του τρόπου όπλισης των υποστυλωμάτων, στο σύνολο σχδόν των σύγχρονων κανονισμών οπλισμένου σκυροδέματος. Τα μπιρικά αυτά μοντέλα και οι αντίστοιχς κανονιστικές διατάξις ίναι δυνατόν να φαρμοστούν άμσα και σ συμπαγίς διατομές βάθρων γφυρών, οι οποίς αν και μγαλύτρς σ διαστάσις, διακρίνονται από παρόμοιο μηχανισμό νργοποίησης της πρίσφιξης υπό κντρική σύνθλιψη μ αυτόν των συμπαγών υποστυλωμάτων. Ωστόσο, η φαρμογή τους σ κοίλς διατομές βάθρων ίτ απλής (κυκλικής, ορθογωνικής) ίτ, πολύ πρισσότρο, σύνθτης μορφής (πολυκυψλικής κλπ) δν ίναι προφανής, πιδή η συμπριφορά τους σ τριαξονική ένταση λόγω πρίσφιξης διαφοροποιίται σημαντικά σ σχέση μ την αντίστοιχη των συμπαγών διατομών, όπως σημιώθηκ στο προηγούμνο κφάλαιο. Στο θέμα της μλέτης της συμπριφοράς βάθρων γφυρών κοίλης διατομής, έγιναν κτταμένς πιραματικές έρυνς ιδιαίτρα την τλυταία δκατία, μία χαρακτηριστική σιρά από τις οποίς παρουσιάζται στον πίνακα 2.1. Παρατηρίται ωστόσο, ότι το σύνολο σχδόν της πιραματικής έρυνας πικντρώνται στη μλέτη της απόκρισης των κοίλων βάθρων υπό οριζόντια ανακυκλιζόμνη φόρτιση μ αξονικό φορτίο, μ βασικό στόχο την καταγραφή των μγθών που αφορούν την αντοχή και την πλαστιμότητα των κοίλων διατομών σ κάμψη και διάτμηση υπό σισμική διέγρση. Αυτό οφίλται στο γγονός ότι 11

46 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας η μλέτη της σισμικής συμπριφοράς των κοίλων βάθρων έχι πρωταρχική σημασία στο σχδιασμό και την κατασκυή γφυρών σ πριοχές υψηλής σισμικότητας (όπως η Νότια Ευρώπη), στις οποίς ολοένα και πρισσότρο κατασκυάζονται αντίστοιχς διατομές. Από την άλλη πλυρά, η πιραματική μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης καθαυτού προϋποθέτι ισχυρή κντρική θλιπτική φόρτιση ώστ να οδηγήσι το πιραματικό δοκίμιο πέρα από τη μέγιστη αντοχή του, μ στόχο την καταγραφή της πλήρους καμπύλης αντίστασης και τον υπολογισμό της ζητούμνης αυξημένης αντοχής και πλαστιμότητας του στοιχίου. Μία τέτοια όμως διαδικασία ίναι πρακτικά ανέφικτη για δοκίμια βάθρων πραγματικών διαστάσων, λόγω των τράστιων απαιτήσων σ μηχανικά μέσα για την πιβολή της κατακόρυφης φόρτισης, μ μόνη ναλλακτική λύση την κατασκυή δοκιμίων κοίλης διατομής υπό πολύ μικρή κλίμακα. Πίνακας 2.1 Κατάλογος ργασιών μ θέμα την πιραματική μλέτη κοίλων διατομών βάθρων γφυρών Ερυνητική ομάδα Τύπος βάθρων Τύπος φόρτισης Mander et al. (1983) Κοίλα ορθογωνικά Οριζόντια ανακυκλιζόμνη Morkin & Rumman (1985) Κοίλα κυκλικά Οριζόντια μονότονη και ανακυκλιζόμνη Poston et al. (1986) Τοιχωματικά Κοίλα ορθογωνικά Κοίλα πολυκυψλικά Έκκντρη αξονική Zahn et al. (199) Κοίλα κυκλικά Οριζόντια ανακυκλιζόμνη Taylor et al. (1995) Κοίλα ορθογωνικά Έκκντρη αξονική Pinto (1996) Κοίλα ορθογωνικά Οριζόντια ανακυκλιζόμνη Yeh et al. (21) Κοίλα κυκλικά Οριζόντια ανακυκλιζόμνη Mo et al. (23) Κοίλα ορθογωνικά Κντρική αξονική Οριζόντια ανακυκλιζόμνη Calvi et al. (25) Κοίλα ορθογωνικά Οριζόντια ανακυκλιζόμνη Κατά συνέπια, η πιραματική έρυνα σ κοίλς διατομές οπλισμένου σκυροδέματος υπό κντρική σύνθλιψη ίναι ξαιρτικά πριορισμένη. Οι Taylor et al. (1995) ξέτασαν πιραματικά μία σιρά λπτότοιχων ορθογωνικών κοίλων διατομών σ κλίμακα 1 / 5, συμπριλαμβάνοντας στην έρυνά τους και μία αντίστοιχη σιρά δοκιμών από προηγούμνους ρυνητές (Procter, 1977, Jobse & Moustafa, 1984, Poston et al., 1986). Οι λόγοι μήκους της σωτρικής πλυράς προς πάχος κυμάνθηκαν από 2.4 έως 33.6 και η φόρτιση ήταν νγένι έκκντρη αξονική, αλλά σ μρικές πριπτώσις η κκντρότητα ήταν χαμηλή (5 %), οπότ μπορί να θωρηθί οιονί κντρική. Η όπλιση των κοίλων διατομών έγιν μ διαμήκις οπλισμούς, πριμτρικούς συνδτήρς και γκάρσιους συνδέσμους μταξύ της ξωτρικής και της σωτρικής παριάς. Η έρυνα δν πικντρώθηκ στη μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης, αλλά στην πιρροή του πάχους της διατομής σ φαινόμνα τοπικού λυγισμού της διατομής. Αποδίχτηκ, μταξύ άλλων, 12

47 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας ότι για λόγους σωτρικού μήκους προς πάχος μικρότρους από 15, η διατομή αστοχί από σύνθλιψη του σκυροδέματος παρά από λυγισμό, ο οποίος αποτλί μη πιθυμητή μορφή αστοχίας. Από την παραπάνω έρυνα προέκυψαν αντίστοιχς συστάσις για το σχδιασμό κοίλων βάθρων (Taylor & Breen, 1995), οι οποίς στη συνέχια νισχύθηκαν μ αυστηρότρα κριτήρια (Priestley, 1998), οδηγώντας τλικά στη σύνταξη αντίστοιχων οδηγιών σ θνικούς κανονισμούς (π.χ. Εγκύκλιος Ε39/99, 1999). Μγαλύτρη έμφαση στην πρίσφιξη κοίλων διατομών δίνται στην ργασία των Mo et al. (23) στην οποία, κτός από το κντρικό θέμα της μλέτης της σισμικής συμπριφοράς κοίλων ορθογωνικών βάθρων, ξτάζται και η αποτλσματικότητα ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης. Οι πιραματικές δοκιμές γίνονται μ πιβολή αξονικής σύνθλιψης σ ένα μόνο σκέλος της κοίλης διατομής (panel), από το οποίο έχι αφαιρθί το σκυρόδμα πικάλυψης των οπλισμών. Εξτάστηκαν τρις ναλλακτικές μορφές πρίσφιξης μ πριμτρικούς συνδτήρς και γκάρσιους συνδέσμους, μ λάχιστς διαφορές μταξύ τους, οι οποίς ντοπίζονται μόνο στη μορφή αγκύρωσης των γκάρσιων οπλισμών (Σχ. 2.2). Επίσης ξτάστηκ η πιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος (22 MPa και 41 ΜPa) καθώς και η απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών (3 και 4 mm). Συνολικά ξτάστηκαν 28 δοκίμια, τα οποία πριλάμβαναν και δοκίμια άοπλου σκυροδέματος, ως μέτρο αναφοράς. Η μορφή της αστοχίας ήταν η κατακόρυφη ρηγμάτωση στα άοπλα δοκίμια και η συντριβή του σκυροδέματος στην πλιοψηφία των πρισφιγμένων δοκιμίων, νώ υπήρχαν και πριπτώσις λυγισμού των διαμήκων ράβδων στα δοκίμια από σκυρόδμα υψηλής αντοχής μ μγαλύτρς αποστάσις μταξύ γκάρσιων οπλισμών (4 mm). Επίσης, το σκυρόδμα υψηλότρης αντοχής παρουσίασ μν αυξημένο αρχικό μέτρο λαστικότητας και μγαλύτρη μέγιστη αντοχή σ σχέση μ το σκυρόδμα συνήθους αντοχής, αλλά η ικανότητα παραμόρφωσής του (πλαστιμότητα) ήταν αρκτά πριορισμένη. Οι τρις ναλλακτικές μορφές πρίσφιξης παρουσίασαν αμλητές διαφορές μταξύ τους ως προς την αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων στοιχίων, μ την προϋπόθση ότι αναφέρονται σ κοινή ποιότητα σκυροδέματος και ίδια απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών. Τέλος, πιββαιώθηκ η υνοϊκή πιρροή της μικρότρης απόστασης μταξύ γκάρσιων οπλισμών (3 mm) στην αποτλσματικότητα της πρίσφιξης, ιδιαίτρα στην πρίπτωση του σκυροδέματος συνήθους αντοχής. Το συμπέρασμα που προκύπτι από την παραπάνω βιβλιογραφική πισκόπηση ίναι ότι η ουσιαστική μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης σ κοίλς διατομές οπλισμένου σκυροδέματος ίναι ένα ανοικτό πδίο έρυνας, το οποίο χρήζι πραιτέρω πιραματικής διρύνησης. Επομένως, λλίψι πιραματικών δοκιμών κντρικής σύνθλιψης σ κοίλα βάθρα πλήρους γωμτρίας, δν καθίσταται δυνατή η απυθίας σύγκριση μταξύ πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων. Για το λόγο αυτόν, στα πόμνα κφάλαια, πρόκιται να δοθί ιδιαίτρη μέριμνα στον έλγχο και την αξιολόγηση της πάρκιας των 13

48 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας αναλυτικών μθόδων, έτσι ώστ η φαρμογή τους στη μλέτη των κοίλων διατομών να πριγράψι όσο το δυνατόν πιο ραλιστικά το φυσικό φαινόμνο. Σχήμα 2.2 Διαστάσις δοκιμίων και ναλλακτικές μορφές πρίσφιξης σκλών κοίλης διατομής : Διαμήκις οπλισμοί Ø6 και γκάρσιοι οπλισμοί Ø4 (Mo et al., 23) Αναλυτική έρυνα Τις τλυταίς τρις δκατίς, η αναλυτική έρυνα πάνω στο φαινόμνο της πρίσφιξης πικντρώθηκ κυρίως στην ανάπτυξη φαινομνολογικών μοντέλων μπιρικού χαρακτήρα, τα οποία βαθμονομήθηκαν βάσι αποτλσμάτων από πιράματα κντρικής σύνθλιψης κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος. Αρχικά προτάθηκαν μοντέλα που συνκτιμούν την πιρροή της πρίσφιξης μόνο στην πλαστιμότητα του σκυροδέματος (μ γνωστότρο κίνο των Kent & Park, 1971), νώ αργότρα νσωματώθηκ και η αύξηση στην αντοχή του πρισφιγμένου σκυροδέματος, μ χαρακτηριστικά παραδίγματα τα μοντέλα των Muguruma et al. (198), Sheikh & Uzumeri (1982), Park et al. (1982), Mander et al. (1988), μταξύ άλλων (Πίν. 2.2). Μία συγκριτική αξιολόγηση διάφορων μπιρικών μοντέλων μπορί να βρθί στην ργασία του Sheikh (1982a) αλλά και στην ργασία των Kappos et al. (1999), η οποία πριλαμβάνι και στατιστική αξιολόγηση. Τα μπιρικά αυτά μοντέλα έχουν τη μορφή μονοαξονικών καμπυλών τάσωνπαραμορφώσων για το πρισφιγμένο σκυρόδμα, στις 14

49 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας οποίς νσωματώνται η αύξηση της αντοχής και της ικανότητας παραμόρφωσης (πλαστιμότητας) του υλικού λόγω των γκάρσιων δυνάμων πρίσφιξης. Οι παραπάνω μταβολές κφράζονται συνήθως μ κατάλληλους συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης (K = f cc /f c ) και κλίσης του κατρχόμνου κλάδου (Ζ), οι οποίοι τροποποιούν κατάλληλα την αρχική μονοαξονική καμπύλη τάσωνπαραμορφώσων του άοπλου σκυροδέματος (Σχ. 2.3), προσδίδοντας τις ανάλογς αυξήσις στην αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών. Οι συντλστές αυτοί ξαρτώνται από τις βασικές παραμέτρους που πηράζουν την πρίσφιξη, όπως η αντοχή του σκυροδέματος και το ογκομτρικό ποσοστό, η διάταξη και η αντοχή των γκάρσιων οπλισμών. Πίνακας 2.2 Χαρακτηριστικά παραδίγματα φαινομνολογικών μοντέλων Ερυνητική ομάδα Σχέση τάσωνπαραμορφώσων για πρισφιγμένο σκυρόδμα Ανρχόμνος κλάδος Κατρχόμνος κλάδος Παραμένουσα τάση Διατομές προς φαρμογή Muguruma et al. (198) f Ε σ= E + c c c c 2 c f f c cc 2 σ= 2 cc + cc ( c cc) 2 ( ) f f f ( ) f cu cc σ = cc + cc cu cc Κυκλικές Ορθογωνικές Park et al. (1982) Sheikh & Uzumeri (1982) 2 2 σ= K fc.2 Κ.2 Κ 2 2 σ= fcc cc cc c ( ) 2 % του Κ f c Ορθογωνικές σ= K f 1 Z.2 K cc ( cu ) 3 % του f cc Ορθογωνικές σ= f 1 Z Mander et al. (1988) fcc r cc σ= r r 1+ cc fcc r cc σ= r r 1+ cc Κυκλικές Ορθογωνικές Τοιχωματικές Fujii et al. (1988) f Ε σ= E + c c c c 2 c f f c cc 3 σ= ( 3 cc) + fcc ( c cc) 2 σ = fcc Z ( cc) 2 % του f cc Κυκλικές Ορθογωνικές Kappos (1991) 2 2 σ= K fc 2 2 Κ c Κ c 2 ( c) σ =Κ fc 1 Z K 25 % του Κ f c Ορθογωνικές Saatcioglu & Ravzi (1992) K 2 σ= fcc cc cc.15 f σ = cc f cc ( cc) ( cu cc) 2 % του f cc Κυκλικές Ορθογωνικές Τοιχωματικές Hoshikuma et al. (1997) n 1 1 E 1 n σ= c cc σ = fcc Z ( cc) 5 % του f cc Κυκλικές Ορθογωνικές 15

50 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.3 Μταβολή της μονοαξονικής καμπύλης τάσωνπαραμορφώσων του σκυροδέματος λόγω πρίσφιξης, βάσι των συντλστών αποτλσματικότητας (Κ) και κλίσης (Ζ) του κατρχόμνου κλάδου Το βασικό μιονέκτημα των παραπάνω φαινομνολογικών μοντέλων ίναι ότι η φαρμογή τους πριορίζται κυρίως σ συμπαγίς (κυκλικές ή ορθογωνικές) διατομές για το λόγο ότι έχουν βαθμονομηθί βάσι πιραματικών δοκιμίων αντίστοιχης διατομής και γωμτρίας. Επομένως, η άμση πέκτασή τους σ συνθτότρς μορφές όπως τα κοίλα βάθρα γφυρών δν νδίκνυται καθώς η αντίστοιχη πιραματική έρυνα, όπως έχι ήδη σημιωθί, ίναι ξαιρτικά πριορισμένη (Mo et al., 23). Επιπλέον, η παρουσία μγάλου αριθμού διαφορτικών μπιρικών μοντέλων πρίσφιξης στη βιβλιογραφία υποδηλώνι ότι το πδίο φαρμογής τους ίναι σχτικά πριορισμένο, πιδή η βαθμονόμησή τους συνήθως βασίζται σ ένα πριορισμένο σύνολο πιραματικών δοκιμών, το οποίο χαρακτηρίζται από μία συγκκριμένη διάταξη φόρτισης, γωμτρίας δοκιμίων και σύνθσης σκυροδέματος (Sheikh, 1982b). Επίσης, λόγω του μονοαξονικού τους χαρακτήρα, τα παραπάνω μοντέλα δν μπορούν να φαρμοστούν άμσα σ αναλύσις πιφανιακών ή χωρικών ππρασμένων στοιχίων και για αυτό συνήθως υλοποιούνται μόνο σ προγράμματα γραμμικών ππρασμένων στοιχίων (π.χ. Elnashai et al., 27). Ακόμα όμως και σ αυτή την απλουστυμένη πρίπτωση, η χρήση νός σταθρού συντλστή αποτλσματικότητας της πρίσφιξης (Κ), ο οποίος υπολογίζται στην κατάσταση διαρροής των γκάρσιων οπλισμών (και προφανώς δν ξαρτάται από την τρέχουσα παραμορφωσιακή κατάσταση του στοιχίου), παραπέμπι σ συνθήκς νργής πρίσφιξης που ίναι ανακόλουθς μ το φυσικό φαινόμνο. Για το λόγο αυτόν έχουν προταθί μπιρικά (ψυδοχωρικά) μοντέλα μταβλητού συντλστή (Madas & Elnashai, 1992), τα οποία συνχώς αναπροσαρμόζουν το συντλστή πρίσφιξης κατά τη φόρτιση του φορέα ανάλογα μ την αξονική παραμόρφωση του στοιχίου, μ στόχο τη ραλιστικότρη προσομοίωση του παθητικού χαρακτήρα του φαινομένου, ιδιαίτρα σ συνθήκς ανακυκλιζόμνης και δυναμικής φόρτισης. 16

51 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Μία νδιαφέρουσα προσπάθια αποδέσμυσης από την κλασική θώρηση των φαινομνολογικών μοντέλων έχι προταθί από τους Karabinis & Kiousis (1996a, 1996b), οι οποίοι ανέπτυξαν μία πρωτότυπη μέθοδο για τη μη γραμμική ανάλυση πρισφιγμένων κυκλικών και ορθογωνικών συμπαγών διατομών οπλισμένου σκυροδέματος. Αναπτύχθηκ ένας καταστατικός νόμος για το σκυρόδμα μ βάση τη θωρία πλαστικότητας, ο οποίος πριλάμβαν ένα κριτήριο διαρροής DruckerPrager, ένα μη συσχτισμένο νόμο πλαστικής ροής της ίδιας μορφής, μία συνάρτηση κράτυνσης/χαλάρωσης βασισμένη στο μέτρο του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων και μία κατάλληλη συνάρτηση πλαστιμότητας (λπτομρίς ορισμοί των ννοιών αυτών θα δοθούν στην πόμνη νότητα). Χωρίς τη χρήση ππρασμένων στοιχίων, η πίλυση βασίστηκ στην αριθμητική ολοκλήρωση των καταστατικών ξισώσων, ξχωριστά για τον πρισφιγμένο πυρήνα του σκυροδέματος, τους γκάρσιους οπλισμούς και το σκυρόδμα πικάλυψης. Μ την πιβολή του συμβιβαστού των γκάρσιων παραμορφώσων μταξύ σκυροδέματος και οπλισμών, μέσω μιας κατάλληλης παναληπτικής διαδικασίας, καταγράφηκαν οι καμπύλς αντίστασης των πρισφιγμένων στοιχίων και η σύγκριση μ αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα έδιξ γνικά ικανοποιητική σύγκλιση. Την τλυταία δκατία, η αναλυτική μλέτη του προβλήματος της πρίσφιξης έχι πκταθί στην φαρμογή της μθόδου μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Σ αυτό συντέλσ η αλματώδης αύξηση της διαθέσιμης υπολογιστικής ισχύος, καθώς και η ανάπτυξη ξλιγμένων καταστατικών νόμων και τχνικών προσομοίωσης για το σκυρόδμα και το χάλυβα. Το πλονέκτημα της μθοδολογίας αυτής ίναι ότι καταργί σ μγάλο βαθμό τους πριορισμούς που σχτίζονται μ την πολυπλοκότητα της γωμτρίας της διατομής και των διατάξων των γκάρσιων οπλισμών, αντιμτωπίζοντας το πρόβλημα στη θμλιώδη του μορφή, μ άμση προσομοίωση της τρισδιάστατης ντατικής κατάστασης του πρισφιγμένου στοιχίου και νγένι χωρίς πμβάσις φαινομνολογικού χαρακτήρα στον καταστατικό νόμο του σκυροδέματος. Χαρακτηριστικές αναλυτικές μλέτς που ντάσσονται στο παραπάνω πδίο έρυνας αναφέρονται στη συνέχια. Η πρώτη γνωστή προσπάθια φαρμογής της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο (για τη μλέτη της πρίσφιξης) έγιν από τους AbdelHalim & AbuLebdeh (1989). Συγκκριμένα, ξτάστηκ η συμπριφορά των πιραματικών συμπαγών ορθογωνικών υποστυλωμάτων των Scott et al. (1982) μ ναλλακτικές αραιές διατάξις πρίσφιξης υπό κατακόρυφη θλιπτική φόρτιση. Για την προσομοίωση του σκυροδέματος χρησιμοποιήθηκαν στρά οκτάκομβα στοιχία και για τους οπλισμούς δίκομβα γραμμικά στοιχία ράβδου μ διακριτή μορφή (κοινή τοπολογία κόμβων μ τα στοιχία σκυροδέματος). Στα στοιχία σκυροδέματος αποδόθηκ ο καταστατικός νόμος μη γραμμικής λαστικότητας των Cedolin et al. (1977) και στους οπλισμούς ένας μονοαξονικός κρατυνόμνος νόμος χάλυβα. Η ανάλυση πιββαίωσ την υνοϊκή πιρροή 17

52 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας των υψηλότρων ογκομτρικών ποσοστών και των πυκνότρων διατάξων των γκάρσιων οπλισμών στην αποτλσματικότητα της πρίσφιξης (αύξηση αντοχής και πλαστιμότητας). Ωστόσο, δν παρουσιάστηκαν συγκρίσις μταξύ των πλήρων αναλυτικών και αντίστοιχων πιραματικών καμπυλών αντίστασης. Οι Foster et al. (1998) και Liu & Foster (2) προσομοίωσαν τα πιραματικά δοκίμια συμπαγών κυκλικών και ορθογωνικών υποστυλωμάτων υψηλής αντοχής των Ravzi & Saatcioglu (1996) χρησιμοποιώντας έναν καταστατικό νόμο μικροπιπέδων (microplane model, Carol et al., 1992) για το σκυρόδμα και διακριτά στοιχία ράβδου για τους οπλισμούς. Στην ανάλυση προσομοιώθηκ το φαινόμνο της αποφλοίωσης του σκυροδέματος πικάλυψης μ τη χρήση ιδικών ππρασμένων στοιχίων, στα οποία τίθται αυτόματα μηδνική δυσκαμψία όταν η γκάρσια παραμόρφωση στη διπιφάνια πικάλυψηςπυρήνα ξπράσι μία συγκκριμένη τιμή που προσδιορίζται μπιρικά. Η σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών καμπυλών αντίστασης έδιξ πολύ ικανοποιητική σύγκλιση στις πριπτώσις που το παραπάνω φαινόμνο συμπριλήφθηκ στην ανάλυση. Ανάλογη προσπάθια μ την προηγούμνη έγιν από τους Imran & Pantazopoulou (21) για τα κυκλικά υποστυλώματα των Sheikh & Toklucu (1993), μ τις διαφορές ότι (α) χρησιμοποιήθηκ καταστατικός νόμος πλαστικότητας για το σκυρόδμα, (β) η ανάλυση έγιν στο πίπδο μ συνθήκς αξονοσυμμτρικής έντασης, (γ) οι οπλισμοί προσομοιώθηκαν μ κατανμημένη μορφή, γγονός που οδηγί σ ιδατή πλήρη πρίσφιξη του πυρήνα (ανάλογη μ αυτή που προσφέρουν οι χαλύβδινοι σωλήνς ή τα ινοπλισμένα υφάσματα) και (δ) το φαινόμνο της αποφλοίωσης του σκυροδέματος προσομοιώθηκ μ μία απλοποιημένη θώρηση, βάσι συνδυασμού δύο αναλύσων, μίας που πριλάμβαν την πικάλυψη και μία χωρίς αυτήν (Imran, 1994). Οι Montoya et al. (21) προσομοίωσαν τα πιραματικά δοκίμια συμπαγών ορθογωνικών υποστυλωμάτων των Sheikh & Uzumeri (198) μ τη χρήση στρών ππρασμένων στοιχίων για το σκυρόδμα, στα οποία οι διαμήκις οπλισμοί νσωματώθηκαν μ κατανμημένη μορφή και διακριτών γραμμικών στοιχίων ράβδου για τους γκάρσιους οπλισμούς. Για το σκυρόδμα χρησιμοποιήθηκ ένας καταστατικός νόμος μη γραμμικής λαστικότητας, ο οποίος ίναι γνωστός ως τροποποιημένη θωρία θλιπτικού πδίου (Modified Compression Field Theory, Vecchio & Collins, 1986), νώ για τους οπλισμούς ένας μονοαξονικός πολυγραμμικός νόμος. Η σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών καμπυλών αντίστασης ήταν ικανοποιητική, ιδιαίτρα μ την ισαγωγή στον καταστατικό νόμο σκυροδέματος νός συντλστή μίωσης της θλιπτικής αντοχής του υλικού λόγω γκάρσιων φλκυστικών τάσων, ο οποίος βέβαια ίχ καθαρά μπιρικό χαρακτήρα και ήταν βαθμονομημένος μ βάση τα αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα. 18

53 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Πίνακας 2.3 Κατάλογος ργασιών μ θέμα την προσομοίωση κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο Ερυνητική ομάδα AbdelHalim & AbuLebdeh (1989) Barzegar & Maddipudi (1997) Foster et al. (1998) Kang et al. (2) Liu & Foster (2) Barros (21) Imran & Pantazopoulou (21) Montoya et al. (21) Attarnejad & Amirebrahimi (22) Johansson & Åkesson (22) Κwon & Spacone (22) Hu et al. (23) Faria et al (24) Luccioni & Rougier (25) Grassl & Jirásek (26) Zergua & Naimi (26) Τύπος φορέα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή κυκλικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή κυκλικά υποστυλώματα Συμπαγή κυκλικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή κυκλικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή κυκλικά υποστυλώματα Κοίλα ορθογωνικά βάθρα Ανάλυση στο πίπδο (2D) Συμπαγή κυκλικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά υποστυλώματα Συμπαγή ορθογωνικά και κυκλικά υποστυλώματα Νόμος σκυροδέματος Μη γραμμικής λαστικότητας Μη γραμμικής λαστικότητας Μικροπιπέδων Πλαστικότητας Προσομοίωση οπλισμών Διακριτή Εμφυτυμένη Τύπος φόρτισης Κντρική θλιπτική Κντρική θλιπτική Τύπος πρίσφιξης Εγκάρσιοι οπλισμοί Εγκάρσιοι οπλισμοί Διακριτή αξονοσυμμτρική Κντρική θλιπτική Εγκάρσιοι οπλισμοί Διακριτή Οριζόντια μονότονη μ αξονικό φορτίο Μικροπιπέδων Διακριτή Κντρική θλιπτική Πλαστικότητας Πλαστικότητας Μη γραμμικής λαστικότητας (ΜCFT) Εγκάρσιοι οπλισμοί Εγκάρσιοι οπλισμοί Κατανμημένη αξονοσυμμτρική Κντρική θλιπτική Εγκάρσιοι οπλισμοί Κατανμημένη αξονοσυμμτρική Κντρική θλιπτική Εγκάρσιοι οπλισμοί Κατανμημένοι (διαμήκις) Διακριτή (γκάρσιοι) Κντρική θλιπτική Πλαστικότητας Διακριτή Κντρική θλιπτική Πλαστικότητας Μη γραμμικής λαστικότητας Πλαστικότητας Βλάβης Βλάβης Πλαστικότητας Βλάβης Πλαστικότητας Θραύσης Πλαστικότητας Εγκάρσιοι οπλισμοί Εγκάρσιοι οπλισμοί Κατανμημένη αξονοσυμμτρική Κντρική θλιπτική Χαλύβδινος σωλήνας Διακριτή Οριζόντια μονότονη μ αξονικό φορτίο Εγκάρσιοι οπλισμοί Κατανμημένη αξονοσυμμτρική Κντρική θλιπτική Χαλύβδινος σωλήνας Διακριτή Οριζόντια ανακυκλιζόμνη μ αξονικό φορτίο Εγκάρσιοι οπλισμοί Κατανμημένη αξονοσυμμτρική Κντρική θλιπτική Χαλύβδινος σωλήνας Διακριτή Διακριτή Έκκντρη θλιπτική Κντρική θλιπτική Εγκάρσιοι οπλισμοί Εγκάρσιοι οπλισμοί 19

54 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Στις παραπάνω χαρακτηριστικές αναλυτικές έρυνς προστίθνται και αρκτές ακόμα, διαφοροποιημένς ως προς τη μορφή των προσομοιούμνων κατακόρυφων στοιχίων, των αντίστοιχων καταστατικών νόμων σκυροδέματος, τον τύπο της φόρτισης και των μορφών πρίσφιξης (μ στοιχία χάλυβα). Στον πίνακα 2.3 παρουσιάζται ένας συγκντρωτικός κατάλογος των γνωστών βιβλιογραφικών αναφορών (σ χρονολογική σιρά), οι οποίς πριλαμβάνουν ως κντρικό ή δυτρύον θέμα την ανάλυση κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Εξαίρση αποτλί η ργασία των Faria et al. (24), στην οποία αναλύθηκαν κοίλς διατομές μν, αλλά στο πίπδο, μ την παραδοχή ισοδύναμης συμπαγούς διατομής (μορφής Ι). Κοινό χαρακτηριστικό όλων των παραπάνω ργασιών ίναι ότι δν έχι συμπριληφθί στην ανάλυση η δυνατότητα λυγισμού των διαμήκων ράβδων των κατακόρυφων στοιχίων. Είναι φανρό ότι, όπως φαίνται στον πίνακα 2.3, η μλέτη της πρίσφιξης κοίλων διατομών μ τη μέθοδο της μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων δν έχι αντιμτωπιστί ουσιαστικά μέχρι σήμρα στη διθνή βιβλιογραφία, γγονός που αναδικνύι τη σημασία της αντιμτώπισής της στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας. Προηγούμνη αντίστοιχη έρυνα έχι παρουσιαστί μόνο σ πίπδο λαστικής ανάλυσης (Κάππος και Νανούλης, 1998). 2.2 Μέθοδος μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο Στην νότητα αυτή γίνται μία σύντομη αναφορά στη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων μ ιδιαίτρη έμφαση στη μη γραμμική (nonlinear), μη ξαρτώμνη από το ρυθμό πιβολής της φόρτισης (rateindependent), ανάλυση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος στις τρις διαστάσις, διαδικασία που πρόκιται να φαρμοστί στη συνέχια για την προσομοίωση του φαινομένου της πρίσφιξης σ βάθρα γφυρών συμπαγούς και κοίλης διατομής. Συγκκριμένα παρουσιάζται μία κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας σ θέματα όπως οι καταστατικοί νόμοι σκυροδέματος και χάλυβα, οι μθοδολογίς προσομοίωσης και οι αλγόριθμοι πίλυσης του μη γραμμικού προβλήματος Γνικές αρχές Η μέθοδος των ππρασμένων στοιχίων αποτλί ένα ισχυρό αναλυτικό ργαλίο για τον υπολογισμό της απόκρισης φορέων αποτλούμνων από υλικά που χαρακτηρίζονται από μη γραμμική συμπριφορά. Ιδιαίτρη πρίπτωση αποτλούν οι φορίς οπλισμένου σκυροδέματος, χαρακτηριστικό γνώρισμα των οποίων ίναι η συνχής αλληλπίδραση του ανομοιογνούς, ανισότροπου και ψαθυρού σκυροδέματος μ ράβδους οπλισμού 2

55 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας ανλαστικής συμπριφοράς. Τα φαινόμνα που απορρέουν, όπως η ρηγμάτωση και η συντριβή του σκυροδέματος, η διαρροή του χάλυβα, η μπλοκή των αδρανών, η δράση βλήτρου των οπλισμών και η ατλής συνάφια μταξύ χάλυβα και σκυροδέματος καθιστούν την αναλυτική τους προσομοίωση μία ξαιρτικά πολύπλοκη και υπολογιστικά απαιτητική διαδικασία Η φαρμογή της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων σ φορίς οπλισμένου σκυροδέματος αποτλί τα τλυταία χρόνια ένα νργό πδίο έρυνας, το οποίο, έχοντας σύμμαχο την αλματώδη αύξηση της διαθέσιμης υπολογιστικής ισχύος, έχι οδηγήσι σ πλήθος σχτικών δημοσιύσων και στην ανάπτυξη σημαντικού αριθμού αντίστοιχων προγραμμάτων λογισμικού. Ωστόσο, η σημαντική πρόοδος στον ρυνητικό τομέα, νώ καθιστά όλο και πρισσότρο πρακτική τη χρήση της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων στην ανάλυση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος, ταυτόχρονα γκυμονί κινδύνους στην φαρμογή της, οι οποίοι ντοπίζονται στους παρακάτω παράγοντς (Vecchio, 21) : α) Διαφορτικές θωρητικές προσγγίσις Στη σχτική βιβλιογραφία έχι δημοσιυτί μγάλος αριθμός καταστατικών νόμων, οι οποίοι στηρίζονται σ διαφορτικές θμλιώδις αρχές, όπως η μη γραμμική λαστικότητα, η πλαστικότητα, η θραυστομηχανική κλπ. Η ρηγμάτωση του σκυροδέματος μπορί να προσομοιωθί μ διακριτό ή κατανμημένο τρόπο και στη δύτρη πρίπτωση μπορί να ίναι σταθρής ή μταβαλλόμνης κλίσης (fixed / rotating crack models), ή συνδυασμός των δύο. Επίσης, ορισμένς διατυπώσις βασίζονται αυστηρά σ θωρίς κλασικής μηχανικής, νώ άλλς σ φαινομνολογικές προσγγίσις και μπιρικές σχέσις. Δδομένου ότι δν υπάρχι κάποια νοποιημένη θωρητική προσέγγιση που να καλύπτι όλς τις πριπτώσις φορέων και φορτίσων, η πιλογή του κατάλληλου θωρητικού μοντέλου θα πρέπι να γίνι μ βάση τα κάθ φορά ιδιαίτρα χαρακτηριστικά του υπό διρύνηση προβλήματος. β) Διαφορτικοί καταστατικοί νόμοι συμπριφοράς του οπλισμένου σκυροδέματος Τα βασικά μακροσκοπικά χαρακτηριστικά της συμπριφοράς του οπλισμένου σκυροδέματος, όπως η αντοχή, η παραμόρφωση και η μορφή της αστοχίας, πηράζονται άμσα από σωτρικούς μηχανισμούς όπως, μταξύ άλλων, η μίωση της θλιπτικής αντοχής λόγω γκάρσιας ρηγμάτωσης, η ολίσθηση, ο λυγισμός και η δράση βλήτρου των ράβδων οπλισμού, η πιρροή του μγέθους του φορέα, η θρμοκρασία, ο ρπυσμός και η συστολή ξήρανσης. Για κάθ έναν από τους μηχανισμούς αυτούς έχουν προταθί διαφορτικές μέθοδοι προσέγγισης, οι οποίς πηράζουν άμσα τα τλικά αναλυτικά αποτλέσματα. Κατά συνέπια, θα πρέπι να γίνται προκτίμηση κυρίως 21

56 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας μέσω της πιραματικής μπιρίας για το ποιοι μηχανισμοί αναμένται να παίξουν σημαντικό ρόλο στο υπό διρύνηση πρόβλημα και στη συνέχια να γίνται πιλογή της καταλληλότρης μθόδου για την προσομοίωσή τους. γ) Απαιτούμνη μπιρία στην προσομοίωση Η χρήση της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων παρουσιάζι δυσκολίς ως προς την ορθή προσομοίωση του ξταζόμνου φορέα μ ππρασμένα στοιχία μη γραμμικής συμπριφοράς, ιδιαίτρα όταν αυτή ξφύγι από την απλουστυμένη μονοδιάστατη μορφή και πκτίνται στις δύο και, πολύ πρισσότρο, στις τρις διαστάσις του χώρου. Παράγοντς όπως ο τύπος των ππρασμένων στοιχίων (διατύπωση, βαθμοί λυθρίας, αριθμητική ολοκλήρωση), η μορφή και η πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης, η προσομοίωση των οπλισμών (διακριτή, μφυτυμένη ή κατανμημένη), οι συνοριακές συνθήκς (ιδιαίτρα σ πριπτώσις συμμτρίας), η μορφή της φόρτισης (δυνάμις ή μτακινήσις) και ο ρυθμός πιβολής της, η παραδοχή μγάλων μτακινήσων (φαινόμνα δυτέρας τάξης), οι αλγόριθμοι πίλυσης και τα κριτήρια σύγκλισης μπορούν να πηράσουν σημαντικά το τλικό αποτέλσμα. Για το λόγο αυτόν απαιτίται μπιρία στην ορθή αξιολόγηση της πιρροής της κάθ μιας από τις παραπάνω παραμέτρους ξχωριστά, μ στόχο την κατά το δυνατόν ακριβέστρη αναλυτική προσομοίωση του φυσικού προβλήματος. δ) Όγκος αποτλσμάτων Χαρακτηριστικό των αναλύσων ππρασμένων στοιχίων ίναι κατά κανόνα ο πολύ μγάλος όγκος αποτλσμάτων, ιδιαίτρα στις πριπτώσις μη γραμμικών νόμων υλικών όπως το οπλισμένο σκυρόδμα όπου ίναι αναγκαία η πιβολή πολλών βημάτων φόρτισης, και πίσης στις πριπτώσις φορέων στις δύο ή τρις διαστάσις όπου αυξάνται σημαντικά ο αριθμός των βαθμών λυθρίας και των συνοριακών συνθηκών του προβλήματος. Για το λόγο αυτόν, καθίσταται αναγκαία η χρήση λογισμικού μτπξργασίας, το οποίο φιλτράρι κατάλληλα τα πρωτογνή αποτλέσματα, παρουσιάζοντας μόνο τα ζητούμνα σ γραφική ή πινακοποιημένη μορφή. Ωστόσο, η κρισιμότρη διαδικασία ίναι η ορθή πιλογή της μορφής (μτακινήσις, τάσις, παραμορφώσις) και της θέσης των ζητούμνων αποτλσμάτων καθώς και η μτέπιτα ρμηνία και αξιολόγησή τους. ) Έλλιψη γνώσης στο αντικίμνο Είναι γνωστό ότι υπάρχουν μη κατανοητά σημία στη συμπριφορά του οπλισμένου σκυροδέματος, τα οποία δν ίναι δυνατόν να προσομοιωθούν ικανοποιητικά βάσι του σημρινού πιπέδου γνώσης. Για το λόγο αυτόν, η φαρμογή της μθόδου των 22

57 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας ππρασμένων στοιχίων θα πρέπι να γίνται μ πρίσκψη και κριτικό πνύμα και, όπου ίναι δυνατόν, θα πρέπι τα αποτλέσματα που προκύπτουν να συγκρίνονται μ αντίστοιχα πιραματικά στοιχία ή διαφορτικές αναλυτικές (ή αριθμητικές) προσγγίσις, τροποποιώντας όπου χριάζται τις πολυάριθμς παραμέτρους που πριγράφηκαν παραπάνω. Η φαρμογή της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων σ φορίς οπλισμένου σκυροδέματος βασίζται στην προσομοίωση του συνχούς μέσου μ κατάλληλη μορφή και πλήθος ππρασμένων στοιχίων, ξχωριστά για το σκυρόδμα και τις ράβδους οπλισμού. Στη συνέχια πιβάλλται στο φορέα ένα καθολικό διάνυσμα φόρτισης (P), μ τη μορφή μικρών φορτιστικών βημάτων. Στόχος της μθόδου ίναι ο προσδιορισμός της μη γραμμικής απόκρισης του φορέα και συγκκριμένα ο προσγγιστικός υπολογισμός του καθολικού διανύσματος μτακινήσων (U) που προκύπτι από την παραπάνω φόρτιση. Αυτό πιτυγχάνται μ τη χρήση μιας κατάλληλης παναληπτικής μθόδου, η οποία γραμμικοποιί το πρόβλημα σ κάθ πανάληψη. Οι αριθμητικές διαδικασίς που υλοποιούνται στα αντίστοιχα προγράμματα λογισμικού πριγράφονται λπτομρώς στη σχτική βιβλιογραφία (π.χ. Bathe, 1982, Hinton, 1992) και μπορούν να συνοψιστούν στα παρακάτω βασικά βήματα (Σχ. 2.4) : Σχήμα 2.4 Σχηματική ροή της μηγραμμικής μθόδου των ππρασμένων στοιχίων 23

58 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας 1. Για το τρέχον φορτιστικό βήμα (n) προσδιορίζται το καθολικό διάνυσμα φόρτισης ( n P) του φορέα και ανακαλίται από τη μνήμη το καθολικό φαπτομνικό μητρώο δυσκαμψίας του προηγούμνου φορτιστικού βήματος ( n1 Κ Τ ). 2. Επιβάλλονται οι συνοριακές συνθήκς. 3. Επιλύται η παρακάτω γραμμική ξίσωση και υπολογίζται το καθολικό διάνυσμα των μτακινήσων ( n U) : K U= P U= K P (2.1) n 1 n n n n 1 1 n T T Το διάνυσμα αυτό (λαστική πρόβλψη) συνήθως δν αντιστοιχί στην πραγματική ντατική κατάσταση του φορέα (λόγω της νδχόμνης ανλαστικής συμπριφοράς των υλικών) και πρέπι να διορθωθί στη συνέχια μ μία κατάλληλη παναληπτική διαδικασία. 4. Για κάθ ππρασμένο στοιχίο : α) Υπολογίζται το διάνυσμα πικόμβιων μτακινήσων (d) του στοιχίου, το οποίο προέρχται από το καθολικό διάνυσμα μτακινήσων ( n U), ανάλογα μ τη θέση του στοιχίου στον κάνναβο διακριτοποίησης. β) Υπολογίζται το διάνυσμα παραμορφώσων του στοιχίου ( = Β d), όπου (Β) ίναι το μητρώο παραμορφώσων πικόμβιων μτακινήσων του στοιχίου. γ) Από τον αντίστοιχο καταστατικό νόμο υλικού υπολογίζται για κάθ σημίο ολοκλήρωσης του ππρασμένου στοιχίου (Gauss point) το διάνυσμα των μη γραμμικών τάσων (σ). δ) Υπολογίζται το φαπτομνικό καταστατικό μητρώο του υλικού (D Τ ) για κάθ σημίο ολοκλήρωσης. ) Υπολογίζται το φαπτομνικό μητρώο δυσκαμψίας του στοιχίου (k T ) και το διάνυσμα μη γραμμικής απόκρισης του στοιχίου (r), μ αριθμητική ολοκλήρωση των συνισφορών όλων των σημίων ολοκλήρωσης του ππρασμένου στοιχίου : k B D B (2.2) T T = T dv V T r= B σ dv (2.3) V 5. Από τις συνισφορές όλων των ππρασμένων στοιχίων συντίθται το νέο καθολικό φαπτομνικό μητρώο δυσκαμψίας ( n Κ Τ ) και το καθολικό διάνυσμα μη γραμμικής απόκρισης (R) του φορέα. 6. Επιβάλλονται οι συνοριακές συνθήκς. 24

59 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας 7. Υπολογίζται το διάνυσμα φόρτισης κτός ισορροπίας (outofbalance ή residual load) ( n P R) και πιβάλλται ως πρόσθτη φόρτιση στο φορέα. Στη συνέχια πιλύται η παρακάτω γραμμική ξίσωση και υπολογίζται το πρόσθτο διάνυσμα μτακινήσων (ΔU), το οποίο προστίθται στο υπάρχον καθολικό διάνυσμα μτακινήσων (U) : KT Δ U= P R Δ U= KT ( P R ) (2.4) n n n 1 n n U = n U + ΔU (2.5) 8. Τα βήματα 4 έως 7 παναλαμβάνονται μέχρι να ικανοποιηθούν τα κριτήρια σύγκλισης της παναληπτικής διαδικασίας, όπως για παράδιγμα ο μηδνισμός των δυνάμων κτός ισορροπίας ( n P R) ή των πρόσθτων μτακινήσων (ΔU), οπότ και η ανάλυση συνχίζται στο πόμνο φορτιστικό βήμα. Η παραπάνω διαδικασία μπορί να διαφοροποιηθί σ ορισμένα σημία, ιδιαίτρα ως προς την ανανέωση (πικαιροποίηση) ή όχι του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας του φορέα, ανάλογα μ τον αλγόριθμο πίλυσης που πιλέγται για τη λύση του μη γραμμικού προβλήματος Καταστατικοί νόμοι σκυροδέματος και χάλυβα Βασικό ρόλο στην αξιοπιστία των αναλυτικών αποτλσμάτων κατά την φαρμογή της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων σ φορίς οπλισμένου σκυροδέματος έχι η πιλογή των αντίστοιχων καταστατικών νόμων σκυροδέματος και χάλυβα. Η βασική λιτουργία νός καταστατικού νόμου ίναι η σχέση μταξύ της τρέχουσας παραμορφωσιακής κατάστασης του υλικού και της αντίστοιχης ντατικής κατάστασης (Εξ. 2.6), λαμβάνοντας ή όχι ταυτόχρονα υπόψη και το αντίστοιχο ιστορικό φόρτισης (load history). Στη γνική διαδικασία πίλυσης που παρουσιάστηκ στην προηγούμνη νότητα, η παρουσία του καταστατικού νόμου ντοπίζται στο βήμα 4γ και ίναι προφανές ότι πηράζι σ μγάλο βαθμό το συνολικό υπολογιστικό κόστος της ανάλυσης πιδή βρίσκται στον σώτρο βρόχο της αντίστοιχης παναληπτικής διαδικασίας. σ = ƒ(σ, ) (2.6) Καταστατικοί νόμοι σκυροδέματος Οι καταστατικοί νόμοι σκυροδέματος που έχουν κατά καιρούς προταθί στη βιβλιογραφία ίναι πολυάριθμοι και βασίζονται σ πολύ διαφορτικές μταξύ τους θωρητικές προσγγίσις, όπως η θώρηση του συνχούς μέσου ή οι αρχές της 25

60 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας μικρομηχανικής και θρμοδυναμικής, ωστόσο αρκτά μικρότρος αριθμός ξ αυτών έχι νσωματωθί αποτλσματικά σ αντίστοιχο λογισμικό ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων. Η κατηγοριοποίησή τους μπορί να γίνι μ πολλούς διαφορτικούς τρόπους, ένας κ των οποίων ίναι μ βάση το θωρητικό τους υπόβαθρο : α) Αμιγώς μπιρικοί καταστατικοί νόμοι (empirical models) Στην κατηγορία αυτήν ντάσσονται οι καταστατικοί νόμοι που προέρχονται από στατιστική πξργασία πιραματικών αποτλσμάτων και έχουν τη μορφή κλιστών μη γραμμικών συναρτήσων της μορφής σ = ƒ(). Χαρακτηριστικά παραδίγματα αποτλούν οι καταστατικοί νόμοι των Hognestad et al. (1955), Saenz (1964), Sargin (1971) και Carreira & Chu (1985). Τα βασικά μιονκτήματα των νόμων αυτών ίναι ότι συνήθως πριορίζονται στη μονοαξονική απόκριση του σκυροδέματος (αν και έχουν γίνι αντίστοιχς προσπάθις πέκτασής τους στις δύο ή τρις διαστάσις π.χ. Gerstle, 1981), αγνοούν νγένι το ιστορικό φόρτισης και μπριέχουν την γγνή διασπορά που παρουσιάζουν τα αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα λόγω των διατάξων φόρτισης, των συνοριακών συνθηκών, της πιρροής του μγέθους των δοκιμίων και της σύνθσης του σκυροδέματος. β) Καταστατικοί νόμοι γραμμικής λαστικότητας (linear elasticity models) Οι νόμοι γραμμικής λαστικότητας (π.χ. Chen, 1994) αποτλούν την απλούστρη μορφή καταστατικών νόμων σκυροδέματος (Εξ. 2.7), διαχιριζόμνοι το υλικό ως γραμμικά λαστικό μέχρι το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής, όπου και πέρχται ψαθυρή αστοχία. Αν και στην πρίπτωση του φλκυσμού οδηγούν σ ικανοποιητικά αποτλέσματα, δν μπορούν να προσομοιώσουν την έντονη μη γραμμικότητα της συμπριφοράς του σκυροδέματος σ θλίψη. σ ij = Dijkl dkl (2.7) γ) Καταστατικοί νόμοι μη γραμμικής λαστικότητας (nonlinear elasticity models) Για την ορθή αντιμτώπιση της μη γραμμικής συμπριφοράς του σκυροδέματος κυρίως υπό θλιπτική ένταση, οι παραπάνω νόμοι γραμμικής λαστικότητας φαρμόστηκαν κατά μικρά φορτιστικά βήματα, μταξύ των οποίων το καταστατικό μητρώο μταβάλλονταν κατάλληλα έτσι ώστ να συμπριλάβι τη μη γραμμική απόκριση του υλικού. Μ τον τρόπο αυτόν προέκυψαν οι νόμοι μη γραμμικής λαστικότητας, οι οποίοι αποτέλσαν το πρώτο σημαντικό βήμα προς την αξιόπιστη προσομοίωση της συμπριφοράς του σκυροδέματος υπό τρισδιάστατη ντατική κατάσταση. Προτάθηκαν 26

61 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας δύο διαφορτικές προσγγίσις για την ανανέωση του καταστατικού μητρώου, μία μ βάση το πιβατικό μητρώο (D S ) (ολική διατύπωση secant ή total models) και, η πιο πρόσφατη, μ βάση το φαπτομνικό μητρώο (D T ) (μικροαυξητική διατύπωση tangent, incremental ή hypoelastic models). Στην πρώτη πρίπτωση (π.χ. Cedolin et al., 1977), οι όροι του πιβατικού καταστατικού μητρώου ξαρτώνται μονοσήμαντα από τις συνολικές παραμορφώσις του υλικού μ αποτέλσμα να αγνοίται το ιστορικό φόρτισης και κατά συνέπια να πριορίζται η φαρμογή της μόνο σ πριπτώσις μονότονης φόρτισης. Στη δύτρη πρίπτωση (π.χ. Elwi & Murray, 1979, Ignatakis et al., 199), οι όροι του φαπτομνικού καταστατικού μητρώου συναρτώνται τόσο από τις παραμορφώσις όσο και από την τρέχουσα ντατική κατάσταση και πομένως, η ανάλυση μπορί να πκταθί σ πριπτώσις αποφόρτισης ή ανακύκλισης. Πρέπι να σημιωθί ότι και στις δύο προαναφρθίσς πριπτώσις, το καταστατικό μητρώο πριλαμβάνι τις γνωστές λαστικές παραμέτρους του υλικού (Ε c και ν) μ τη διαφορά ότι πλέον μπορούν να μταβάλλονται, σ αντίθση μ τους νόμους γραμμικής λαστικότητας, όπου παραμένουν σταθρές. Σ αρκτές πριπτώσις, οι νόμοι μη γραμμικής λαστικότητας συνδυάζονται μ μία κατάλληλη πιφάνια αστοχίας σκυροδέματος (π.χ. Ignatakis & Stavrakakis, 1992, Balan et al., 21) για τον προσδιορισμό της μέγιστης αντοχής του υλικού στην τρισδιάστατη ντατική κατάσταση. Οι καταστατικοί νόμοι μη γραμμικής λαστικότητας έχουν γνωρίσι υρία φαρμογή, κυρίως λόγω της σχτικά απλής διατύπωσής τους και της δυνατότητς άμσης νσωμάτωσής τους σ προγράμματα ππρασμένων στοιχίων. Ωστόσο, αρκτοί από αυτούς δν αποδίδουν ορθά την ανλαστική διόγκωση του σκυροδέματος σ υψηλές θλιπτικές τάσις, μφανίζοντας αποκλίσις από τα αντίστοιχα πιραματικά δδομένα (π.χ. Chen & Ting, 198). δ) Καταστατικοί νόμοι πλαστικότητας (plasticity models) Οι καταστατικοί νόμοι πλαστικότητας σκυροδέματος αποτλούν ίσως τη μγαλύτρη κατηγορία στο συγκκριμένο πδίο έρυνας και στηρίζονται σ ένα ισχυρό από μηχανικής άποψης θωρητικό υπόβαθρο (γνική θωρία πλαστικότητας), το οποίο έχι ως βασικό γνώρισμα το διαχωρισμό των μικροαυξητικών παραμορφώσων σ λαστική και πλαστική συνιστώσα (Chen & Han, 1988). Το λαστικό μρίδιο ακολουθί τις αρχές της γραμμικής λαστικότητας, νώ το πλαστικό μρίδιο ένα νόμο πλαστικής ροής, ο οποίος απαιτί την αριθμητική συνργασία στοιχίων όπως οι πιφάνις φόρτισης, οι συναρτήσις κράτυνσης/χαλάρωσης και οι συναρτήσις πλαστικού δυναμικού, τα οποία θα παρουσιαστούν λπτομρώς στην πόμνη νότητα. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθί πολυάριθμοι καταστατικοί νόμοι πλαστικότητας για το σκυρόδμα (π.χ. Chen & Chen, 1975, Pramono & Willam, 1989, Stavrakakis et al., 27

62 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας 1993, Feenstra & De Borst, 1996, Menétrey et al., 1997, Grassl et al., 22), οι οποίοι διαφοροποιούνται ανάλογα μ την αναλυτική διατύπωση των παραπάνω βασικών στοιχίων της θωρίας πλαστικότητας και τους πιθανούς συνδυασμούς μταξύ αυτών. Βέβαια, στο πλαίσιο της γνικής θωρίας πλαστικότητας ντάσσονται και συνθτότρς διατυπώσις πολλαπλών κριτηρίων διαρροής ή/και συναρτήσων πλαστικού δυναμικού (Simo et al., 1988, Pivonka et al., 24, Park & Kim, 25). Ορισμένοι από τους προαναφρθέντς καταστατικούς νόμους έχουν νσωματωθί πιτυχώς σ αντίστοιχα προγράμματα ππρασμένων στοιχίων ρυνητικού και γνικού (μπορικού) χαρακτήρα (ABAQUS, DIANA, ATENA), ένα από τα οποία πλέγη να φαρμοστί στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας. Τα πλονκτήματα των καταστατικών νόμων πλαστικότητας ντοπίζονται στις δυνατότητς προσομοίωσης φαινομένων αποφόρτισης, ανακύκλισης και ανλαστικής διόγκωσης του σκυροδέματος σ θλίψη. ) Καταστατικοί νόμοι βλάβης του συνχούς μέσου (continuum damage models) Οι καταστατικοί νόμοι βλάβης του συνχούς μέσου φαρμόζονται στην προσομοίωση της προοδυτικής σωτρικής μικρορηγμάτωσης του σκυροδέματος μ την ισαγωγή κατάλληλων δικτών βλάβης στο φαπτομνικό καταστατικό μητρώο (D Τ ). Συνήθως χρησιμοποιούνται δύο δίκτς βλάβης, ένας που αντιστοιχί στην ισότροπη σύνθλιψη του πορώδους ιστού του σκυροδέματος και ένας που αντιστοιχί στην ανισότροπη συγκέντρωση μικρορηγματώσων και μικροκνών στο σωτρικό του υλικού (Lemaitre, 1996). Το πλονέκτημα των καταστατικών νόμων βλάβης ίναι η δυνατότητά τους να προσομοιώσουν την απώλια αντοχής του σκυροδέματος, η οποία παρατηρίται πιραματικά κατά τη χαλάρωση, την αποφόρτιση ή την ανακύκλιση. Ωστόσο, δν ίναι ικανοί να πριγράψουν τις μηαναστρέψιμς πλαστικές παραμορφώσις και την ανλαστική διόγκωση του υλικού καθώς και, αρκτές φορές, τον ανισότροπο χαρακτήρα της ρηγμάτωσης του σκυροδέματος. Για τους λόγους αυτούς τα τλυταία χρόνια έχουν προταθί συνδυασμένοι καταστατικοί νόμοι βλάβηςπλαστικότητας (π.χ. Meschke et al., 1988, Grassl & Jirásek, 26, Jason et al., 26). στ) Καταστατικοί νόμοι βασισμένοι στην νδοχρονική θωρία ανλαστικότητας (endochronic theory of inelasticity) Η νδοχρονική θωρία ανλαστικότητας για το σκυρόδμα (Bažant & Bhat, 1976) στηρίζται στη συνχή πριγραφή της συμπριφοράς του υλικού, σ αντίθση μ την ασυνχή (κατά βήματα) πριγραφή της θωρίας πλαστικότητας. Αυτό πιτυγχάνται μ την αντικατάσταση της κλασικής πιφάνιας αστοχίας μέσω της ισαγωγής μιας κλίμακας πλασματικού χρόνου, η οποία ορίζται συναρτήσι των τάσων ή των παραμορφώσων και χρησιμοποιίται για τον υπολογισμό της βλάβης στην σωτρική 28

63 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας δομή του υλικού. Η νδοχρονική θωρία μπορί να πριγράψι το σύνολο σχδόν των ιδιαίτρων χαρακτηριστικών συμπριφοράς του σκυροδέματος, ωστόσο η φαρμογή της έχι πρακτικά σταματήσι τα τλυταία 2 χρόνια, λόγω του μγάλου αριθμού των απαιτούμνων παραμέτρων υλικού (πρίπου 4) για τη βαθμονόμηση των αντίστοιχων καταστατικών νόμων. ζ) Καταστατικοί νόμοι μικροπιπέδων (microplane models) Η συγκκριμένη κατηγορία καταστατικών νόμων σκυροδέματος, οι οποίοι αποτλούν πρόσφατη ξέλιξη στο συγκκριμένο πδίο έρυνας (Bažant & Prat, 1988), ξτάζουν τη συμπριφορά του υλικού σ όρους διανυσμάτων τάσων και παραμορφώσων, σ αντίθση μ τις προηγούμνς κατηγορίς που βασίζονται στις αναλλοίωτς δυτέρας τάξως των αντίστοιχων τανυστών. Η βασική θώρηση ίναι ότι οι μακροσκοπικές τάσις αντιστοιχούν σ μία σφαίρα σκυροδέματος μοναδιαίου όγκου και υπολογίζονται μέσω ολοκλήρωσης των αντίστοιχων μικροσκοπικών τάσων, οι οποίς δρουν σ έναν ππρασμένο αριθμό μικροπιπέδων που συνθέτουν την πιφάνια της παραπάνω σφαίρας (Σχ. 2.5). Οι πιδόσις των συγκκριμένων καταστατικών νόμων ίναι νγένι πολύ ικανοποιητικές, ωστόσο οι απαιτήσις τους ίναι ιδιαίτρα αυξημένς ως προς το υπολογιστικό κόστος (4 έως 1 φορές μγαλύτρο από τους αντίστοιχους μακροσκοπικούς νόμους). Επίσης, ίναι αρκτά δύσκολο να βαθμονομηθούν μέσω πιραματικών δοκιμών, λόγω του μγάλου αριθμού των απαιτούμνων παραμέτρων υλικού, οι οποίς σ αρκτές πριπτώσις δν έχουν σαφή φυσική σημασία. Σχήμα 2.5 Καταστατικός νόμος μικροπιπέδων. Διακριτοποίηση της σφαίρας μοναδιαίου όγκου σ 21 μικροπίπδα (αριστρά) και ανάλυση του διανύσματος των παραμορφώσων σ ένα μικροπίπδο (δξιά) ζ) Καταστατικοί νόμοι θραύσης ή ρηγμάτωσης (fracture ή crack models) Οι προαναφρθίσς κατηγορίς καταστατικών νόμων πολλές φορές αδυνατούν να προσομοιώσουν την ανισότροπη συμπριφορά του σκυροδέματος λόγω της ρηγμάτωσης, η οποία οφίλται στην υπέρβαση της φλκυστικής αντοχής του υλικού. 29

64 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Για το λόγο αυτόν συχνά συνδυάζονται μ έναν αντίστοιχο καταστατικό νόμο θραύσης (π.χ. De Borst, 1986, Červenka et al., 1998) για να αντιμτωπίσουν το σύνολο των πιθανών τρισδιάστατων ντατικών καταστάσων. Οι δύο βασικές προσγγίσις που έχουν προταθί στη βιβλιογραφία ίναι οι θωρήσις διακριτής (discrete) και κατανμημένης (smeared) ρηγμάτωσης. Σύμφωνα μ την πρώτη προσέγγιση (π.χ. Grootenboer et al., 1981) η δημιουργία νός ρήγματος συνοδύται από το διαχωρισμό των γιτονικών συνόρων των ππρασμένων στοιχίων που συμβάλλουν στο σημίο της ρηγμάτωσης και την προσθήκη πιπλέον κόμβων στον κάνναβο διακριτοποίησης του φορέα (Σχ. 2.6, αριστρά), οι οποίοι συχνά συνδέονται μταξύ τους μ γραμμικά λατηριακά στοιχία για την προσομοίωση ιδιοτήτων όπως η μπλοκή των αδρανών και η δράση βλήτρου των οπλισμών. Βασικά μιονκτήματα της παραπάνω μθόδου ίναι η άμση ξάρτηση της μορφής διίσδυσης της ρηγμάτωσης από τη διάταξη και την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης και η αύξηση του υπολογιστικού κόστους λόγω της ισαγωγής νέων όρων στο καθολικό μητρώο δυσκαμψίας του φορέα. Για τους παραπάνω λόγους, έχι από καιρό πικρατήσι η ναλλακτική θώρηση της κατανμημένης ρηγμάτωσης (π.χ. Rashid, 1968, Červenka & Gerstle, 1971, Rots & Blaauwendraad, 1989), κατά την οποία το ρήγμα διαχέται στον όγκο πιρροής που αντιστοιχί στο αντίστοιχο σημίο ολοκλήρωσης του ππρασμένου στοιχίου μέσω κατάλληλων μταβολών των παραμέτρων υλικού του αντίστοιχου καταστατικού μητρώου στη διύθυνση κάθτα στη ρηγμάτωση (Σχ. 2.6, δξιά). Μ τον τρόπο αυτόν δν αυξάνται το μέγθος του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας (και κατά συνέπια το απαιτούμνο υπολογιστικό κόστος) και δν πριορίζται ο προσανατολισμός του ρήγματος από τη διάταξη του καννάβου των ππρασμένων στοιχίων. Επίσης, η παραπάνω μέθοδος μπίπτι καλύτρα στη λογική των ισοπαραμτρικών ππρασμένων στοιχίων, στα οποία το σύνολο των απαιτούμνων υπολογισμών δινργίται στις θέσις των σημίων ολοκλήρωσης. Βασικές υποκατηγορίς της μθόδου της κατανμημένης ρηγμάτωσης ίναι η θώρηση ρήγματος σταθρής κλίσης (fixed crack model), όπου ο προσανατολισμός του κάθ ρήγματος παραμένι αμτάβλητος μτά την πρώτη μφάνισή του και η θώρηση του στρφόμνου ρήγματος (rotating crack model), όπου ο αντίστοιχος προσανατολισμός ακολουθί συνχώς την τρέχουσα διύθυνση των κυρίων τάσων. Η πιλογή μταξύ των παραπάνω μθόδων ξαρτάται κάθ φορά από τη γωμτρία και κυρίως από τη μορφή φόρτισης του ξταζόμνου φορέα. 3

65 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.6 Θώρηση διακριτής (αριστρά) και κατανμημένης ρηγμάτωσης (δξιά) θ) Μη τοπικές διατυπώσις (nonlocal models) Όλς οι παραπάνω κατηγορίς καταστατικών νόμων στηρίζονται στη θώρηση ότι η ντατική κατάσταση σ κάθ σημίο του υλικού ξαρτάται αποκλιστικά από τις παραμορφώσις και το ιστορικό φόρτισης στο ίδιο σημίο (τοπική διατύπωση local formulation). Ωστόσο, έχι αποδιχτί πιραματικά σ δοκιμές μονοαξονικού φλκυσμού ή μονοαξονικής θλίψης (Van Mier, 1986) ότι, κατά τη ρηγμάτωση ή τη σύνθλιψη του σκυροδέματος αντίστοιχα, η κατανομή των παραμορφώσων παύι να ίναι ομοιογνής σ όλο τον όγκο του φορέα και συγκντρώνται τοπικά σ μία ζώνη ππρασμένου μήκους (strain localization), αποφορτίζοντας ταυτόχρονα το πριβάλλον υλικό. Κατά συνέπια, η απόκριση του φορέα δν ξαρτάται αποκλιστικά από τις ιδιότητς του υλικού αλλά και από την ίδια τη γωμτρία του. Για την αντιμτώπιση του παραπάνω φαινομένου στο πλαίσιο της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων, έχουν προταθί βλτιώσις στους υφιστάμνους καταστατικούς νόμους, οι οποίς ντάσσονται στη λογική των μη τοπικών διατυπώσων και, κτός των ιδιοτήτων του υλικού, πριλαμβάνουν και (α) τις διαστάσις των ππρασμένων στοιχίων (χαρακτηριστικό μήκος characteristic length) στον προσδιορισμό της σχέσης μταξύ τάσων και παραμορφώσων (θώρηση ζώνης ρηγμάτωσης crack band model, π.χ. Bažant & Oh, 1983), ή (β) τις παραμορφώσις σ μία ππρασμένη γιτονιά ππρασμένων στοιχίων (θώρηση μη τοπικού συνχούς μέσου nonlocal continuum model, π.χ. Bažant & Jirásek, 22). Βασικό πλονέκτημα των παραπάνω διατυπώσων, κτός από την προσομοίωση φαινομένων τοπικής συγκέντρωσης παραμορφώσων, ίναι η μίωση της υαισθησίας της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων ως προς την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης (mesh dependency). 31

66 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Καταστατικοί νόμοι χάλυβα Οι καταστατικοί νόμοι χάλυβα που χρησιμοποιούνται στην προσομοίωση των ράβδων οπλισμού διατυπώνονται κατά κανόνα σ μονοαξονική μορφή (σ s = ƒ( s )), η οποία μπορί να ίναι διγραμμική (τέλια λαστοπλαστική ή κρατυνόμνη), πολυγραμμική, ή καμπύλης μορφής (π.χ. Ramberg & Osgood, 1943) (Σχ. 2.7). Επίσης, ίναι δυνατόν να λαμβάνουν υπόψη την υστρητική συμπριφορά του υλικού υπό ανακυκλιζόμνη φόρτιση (π.χ. Menegotto & Pinto, 1973). Σχήμα 2.7 Μορφές μονοαξονικών καταστατικών νόμων χάλυβα Ππρασμένα στοιχία και προσομοίωση του οπλισμένου σκυροδέματος H συνήθης πρακτική για την προσομοίωση του σκυροδέματος στο χώρο ίναι η χρήση στρών ππρασμένων στοιχίων (solid elements) μ τρις μταφορικούς βαθμούς λυθρίας σ κάθ κόμβο (π.χ. Barzegar & Maddipudi, 1997). Τα στοιχία αυτά ανάλογα μ τη γωμτρία του προσομοιωμένου φορέα και την πιθυμητή ακρίβια της ανάλυσης μπορούν να ίναι ττράδρα έως ξάδρα, μ 4 έως 27 κόμβους και 1 έως 27 σημία ολοκλήρωσης. Κατά κανόνα ανήκουν στην οικογένια των ισοπαραμτρικών ππρασμένων στοιχίων (isoparametric elements) (π.χ. Hutton, 24), το οποίο υποδηλώνι ότι χρησιμοποιούν τις ίδις συναρτήσις μορφής (shape functions Ν) για να πριγράψουν την αντιστοιχία μταξύ των πικόμβιων συντταγμένων (x) και του πδίου γωμτρίας (x, y, z) (Εξ. 2.8) καθώς και αυτή μταξύ των πικόμβιων μτακινήσων (d) και του πδίου μτακινήσων (u) (Εξ. 2.9). Οι συναρτήσις μορφής (Ν) κφράζονται σ 32

67 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας ένα σύστημα φυσικών συντταγμένων (natural coordinates) (ξ, η, ζ), οι οποίς λαμβάνουν τιμές από 1 έως 1 ανάλογα μ τη θέση του σημίου υπολογισμού (Σχ. 2.8) : x y = N x (2.8) z u = N d (2.9) Σχήμα 2.8 Αναλυτική διατύπωση των ισοπαραμτρικών ππρασμένων στοιχίων Οι παραμορφώσις στο σωτρικό του ππρασμένου στοιχίου () προκύπτουν από μρική παραγώγιση του αντίστοιχου πδίου μτακινήσων (u) ή από τις αντίστοιχς πικόμβις παραμορφώσις (d) μ τη χρήση του μητρώου μτακινήσωνπαραμορφώσων (Β), το οποίο μφανίζται στο βήμα 4β της γνικής διαδικασίας πίλυσης (βλ ). = u= N d= B d και B= N (2.1) Το μητρώο φαπτομνικής δυσκαμψίας του στοιχίου (k Τ ) υπολογίζται από τη σχέση (2.2), μ την ολοκλήρωση να λαμβάνι χώρα στο σύστημα των φυσικών συντταγμένων : T T T T dv T V k = B D B = B D B J dξdηdζ (2.11) όπου J ίναι η ορίζουσα του Ιακωβιανού μητρώου (Jacobian matrix J), το οποίο συνδέι τα συστήματα των πραγματικών (x, y, z) και των φυσικών (ξ, η, ζ) συντταγμένων του στοιχίου : 33

68 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας J = x y z ξ ξ ξ x y z η η η x y z ζ ζ ζ (2.12) Επιδή το παραπάνω τριπλό ολοκλήρωμα (Εξ. 2.11) ίναι πρακτικά αδύνατο να υπολογιστί απυθίας (κλιστή λύση), ακολουθίται κατά κανόνα η διαδικασία της αριθμητικής ολοκλήρωσης στα σημία ολοκλήρωσης του ππρασμένου στοιχίου, τα οποία έχουν προκαθορισμένς συντταγμένς (ξ i, η j, ζ k ) και αντίστοιχα βάρη (w i, w j, w k ). Η ακρίβια της λύσης ξαρτάται άμσα από τον αριθμό των κόμβων και των σημίων ολοκλήρωσης του ππρασμένου στοιχίου, ωστόσο η πιλογή στοιχίων υψηλότρης τάξης (element order) αυξάνι σημαντικά το απαιτούμνο υπολογιστικό κόστος της ανάλυσης n m l ƒ( ξηζ,, )dξdηdζ w kw jwiƒ( ξi, ηj, ζk) (2.13) i= 1 j= 1 k= 1 Η προσομοίωση των οπλισμών στην ανάλυση φορέων σκυροδέματος μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων μπορί να γίνι μ τρις διαφορτικούς τρόπους : α) Διακριτή προσομοίωση (discrete formulation) Στη διακριτή μορφή (Ngo & Scordelis, 1967, Nilson, 1968), οι οπλισμοί προσομοιώνονται μ γραμμικά στοιχία ράβδου (truss elements) δύο ή τριών κόμβων, τα οποία μοιράζονται την ίδια τοπολογία κόμβων μ τα στρά στοιχία σκυροδέματος (Σχ. 2.9α). Το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας του φορέα προκύπτι από παλληλία των αντίστοιχων συνισφορών. Η διατύπωση αυτή νγένι ίναι η πιο ακριβής και μπορί ύκολα να συμπριλάβι και την πιρροή της συνάφιας χάλυβασκυροδέματος ίτ μ πρόσθτα λατηριακά στοιχία, ίτ απυθίας στην αναλυτική διατύπωση του ππρασμένου στοιχίου ράβδου. Ωστόσο, το βασικό μιονέκτημα ίναι ότι η διάταξη του καννάβου διακριτοποίησης των στοιχίων σκυροδέματος δσμύται από την αντίστοιχη των ράβδων οπλισμού. Επίσης, η παραπάνω διαδικασία οδηγί σ μγάλο αριθμό στρών ππρασμένων στοιχίων μικρού μγέθους (ιδιαίτρα σ πριπτώσις προσομοίωσης της λπτής πικάλυψης των οπλισμών), τα οποία νγένι αλλοιώνουν την κανονικότητα του καννάβου διακριτοποίησης του σκυροδέματος και πιβαρύνουν σημαντικά το υπολογιστικό κόστος της ανάλυσης. 34

69 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας β) Κατανμημένη προσομοίωση (smeared formulation) Στην πρίπτωση αυτή, οι οπλισμοί κατανέμονται ομοιόμορφα ντός των πριβαλλόντων ππρασμένων στοιχίων σκυροδέματος μ τη μορφή μιας ιδατής δέσμης παράλληλων στρώσων χάλυβα ισοδύναμου όγκου (ή, πρακτικά, ποσοστού πί του όγκου του σκυροδέματος) (Σχ. 2.9β). Η δέσμη αυτή έχι αντίστοιχο προσανατολισμό μ αυτόν των πιμέρους ράβδων και η συνολική δυστένιά της προστίθται στο τοπικό μητρώο δυσκαμψίας των πριβαλλόντων ππρασμένων στοιχίων σκυροδέματος (και όχι στο καθολικό μητρώο δυσκαμψίας, όπως στην πρίπτωση της διακριτής προσομοίωσης). Η προσέγγιση αυτή συνιστάται για την προσομοίωση ομοιόμορφα κατανμημένων οπλισμών (π.χ. σχάρς τοιχίων, πλάκς) ή σ πριπτώσις οπλισμών δυτρύουσας σημασίας, όπως οι διαμήκις οπλισμοί υποστυλωμάτων (Montoya et al., 21). γ) Εμφυτυμένη προσομοίωση (embedded formulation) Η τρίτη και πιο πρόσφατη πρόταση για την προσομοίωση των οπλισμών ίναι αυτή της μφυτυμένης προσομοίωσης (π.χ. Elwi & Hrudey, 1989). Στην πρίπτωση αυτή, οι οπλισμοί προσομοιώνονται μ γραμμικά στοιχία ράβδου (όπως και στη διακριτή μορφή) αλλά η τοπολογία τους ίναι ανξάρτητη από αυτήν των στοιχίων σκυροδέματος, μ αποτέλσμα να μην υπάρχι κανένας πριορισμός όσον αφορά την τοπολογία του αντίστοιχου καννάβου διακριτοποίησης. Η μθοδολογία που ακολουθίται κατά την μφυτυμένη προσομοίωση ίναι η ξής : Αρχικά ντοπίζονται τα σημία τομής μταξύ των στοιχίων οπλισμού και σκυροδέματος και τα γραμμικά στοιχία ράβδου υποδιαιρούνται αυτόματα σ μικρότρα τμήματα, έτσι ώστ κάθ ένα από αυτά να πριέχται μέσα σ ένα μόνο στρό στοιχίο σκυροδέματος, το οποίο ονομάζται γονικό στοιχίο (parent element) (Σχ. 2.9γ). Μ την παραδοχή τέλιας συνάφιας (perfect bond) μταξύ σκυροδέματος και χάλυβα, τα στοιχία ράβδου μοιράζονται το ίδιο πδίο μτακινήσων (u) μ τα αντίστοιχα γονικά στρά ππρασμένα στοιχία. Πρέπι να σημιωθί ότι οι κόμβοι που τοποθτούνται στα παραπάνω σημία τομής ίναι ικονικοί, μ την έννοια ότι δν αυξάνουν τους βαθμούς λυθρίας των αντίστοιχων γονικών στοιχίων και κατά συνέπια δ μταβάλλουν το μέγθος του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας (Κ Τ ). Στη συνέχια, κάθ στοιχίο ράβδου συνισφέρι τη δυστένιά του στο αντίστοιχο γονικό στοιχίο, όχι μ ομοιόμορφα κατανμημένη μορφή (σ όλο τον όγκο του γονικού στοιχίου) όπως στην προηγούμνη πρίπτωση, αλλά μ αριθμητική ολοκλήρωση κατά μήκος του, η οποία ξαρτάται από τη θέση του μέσα στο γονικό στοιχίο και προϋποθέτι τον παρακάτω μτασχηματισμό συντταγμένων : 35

70 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας n T T T T T dv Ts V i= 1 k = B D B + B T D T B d (2.14) όπου n ίναι ο αριθμός των ράβδων που πριέχι το γονικό στοιχίο, l ίναι το μήκος της ράβδου, Τ ίναι το μητρώο μτασχηματισμού μταξύ των συντταγμένων του γραμμικού και του γονικού στοιχίου, D Ts το καταστατικό μητρώο χάλυβα και Β το κοινό μητρώο παραμορφώσωνμτακινήσων του στρού και γραμμικού ππρασμένου στοιχίου σκυροδέματος και χάλυβα αντίστοιχα. Η παραπάνω διατύπωση δν απαγορύι την προσομοίωση ατλούς συνάφιας, η οποία μπορί να υλοποιηθί μ προσθήκη πιπλέον βαθμών λυθρίας και κατάλληλων συναρτήσων συνάφιας στα γραμμικά στοιχία οπλισμού (Hartl et al., 2, Jendele & Červenka, 26). Σχήμα 2.9 Μορφές προσομοίωσης οπλισμών (α) Διακριτή (β) Κατανμημένη (γ) Εμφυτυμένη Αλγόριθμοι πίλυσης Η ξασφάλιση της ισορροπίας μταξύ της ξωτρικής φόρτισης και της μη γραμμικής απόκρισης νός φορέα στο πλαίσιο της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων, προϋποθέτι έναν κατάλληλο αλγόριθμο πίλυσης του αντίστοιχου μη γραμμικού προβλήματος. Οι δύο βασικές κατηγορίς αλγορίθμων πίλυσης ίναι αυτές των διαδοχικών βημάτων ή θαμιστικές (incremental methods) και των δσμύσων (constrained methods). Στην πρώτη κατηγορία η φόρτιση πιβάλλται μ τη μορφή μικρών φορτιστικών βημάτων σταθρού μγέθους (π.χ. δυνάμις, μτακινήσις), σ κάθ ένα από τα οποία φαρμόζται συνήθως μία κατάλληλη παναληπτική διαδικασία έτσι ώστ να ικανοποιηθούν τα κριτήρια σύγκλισης του αλγορίθμου. Η συνηθέστρη παναληπτική διαδικασία, η οποία πριλαμβάνται στο σύνολο των προγραμμάτων ππρασμένων στοιχίων, ίναι η μέθοδος NewtonRaphson, σύμφωνα μ την οποία σ κάθ φορτιστικό βήμα κτλίται ένα πλήθος παναλήψων (iterations), σ κάθ μία από τις οποίς τα φορτία κτός ισορροπίας (P R) που προκύπτουν φαρμόζονται ως ξωτρική φόρτιση 36

71 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας στην πόμνη πανάληψη. Τα πρόσθτα μγέθη απόκρισης (U) της κάθ πανάληψης προστίθνται στα προηγούμνα μέχρι να ικανοποιηθούν τα κριτήρια σύγκλισης, οπότ πέρχται η πιθυμητή ισορροπία και η πίλυση συνχίζται στο πόμνο φορτιστικό βήμα. Οι βασικές παραλλαγές στη μέθοδο NewtonRaphson αφορούν τη συχνότητα πικαιροποίησης του καθολικού μητρώου φαπτομνικής δυσκαμψίας του φορέα (Κ Τ ). Όταν το μητρώο αυτό ανανώνται μτά από κάθ πανάληψη η μέθοδος χαρακτηρίζται πλήρης (full NewtonRaphson NR) (Σχ. 2.1, αριστρά), νώ αντίθτα στην τροποποιημένη μορφή (modified NewtonRaphson mnr), το μητρώο δυσκαμψίας ανανώνται μτά το τέλος κάθ φορτιστικού βήματος (παραμένοντας σταθρό στη διάρκια των παναλήψων) ή γίνται χρήση του αρχικού λαστικού μητρώου δυσκαμψίας (Κ) καθ όλη τη διάρκια της ανάλυσης (Σχ. 2.1, δξιά). Η πλήρης μορφή, αν και απαιτί μιωμένο αριθμό παναλήψων για να οδηγήσι σ αριθμητική σύγκλιση, ταυτόχρονα αυξάνι το υπολογιστικό κόστος λόγω των χρονοβόρων διαδικασιών υπολογισμού και αντιστροφής του φαπτομνικού μητρώου δυσκαμψίας. Αντίθτα, οι τροποποιημένς μέθοδοι απαιτούν μικρότρο αριθμό αντίστοιχων υπολογισμών (έως και μηδνικό, στην πρίπτωση χρήσης του λαστικού μητρώου δυσκαμψίας), αλλά αυξάνουν τον απαιτούμνο αριθμό παναλήψων σ κάθ φορτιστικό βήμα. Επίσης, οι τροποποιημένς μέθοδοι προσφέρουν βλτιωμένη σύγκλιση στα βήματα όπου αναμένται η πίτυξη της μέγιστης αντοχής του φορέα, όπου η αντίστοιχη καμπύλη αντίστασης παρουσιάζι σχτική πιπδότητα. Για τους παραπάνω λόγους, η πιλογή της κατάλληλης μορφής της μθόδου NewtonRaphson θα πρέπι να γίνται μ κριτήριο τόσο την αναμνόμνη συμπριφορά του φορέα στα σημία έντονης μη γραμμικότητας όσο και τη μορφή της φόρτισης. Σχήμα 2.1 Ο αλγόριθμος πίλυσης NewtonRaphson σ πλήρη (NR, αριστρά) και τροποποιημένη μορφή (mnr, δξιά) Στο σχήμα 2.11 παρουσιάζονται όλς οι δυνατές μορφές μη γραμμικής απόκρισης που ίναι δυνατόν να προκύψουν κατά την πίλυση νός φορέα. Μέχρι το σημίο καμπής Α (snapthrough point), η φαρμογή της μθόδου NewtonRaphson σ συνδυασμό μ προσαγωγή δυνάμων δν παρουσιάζι νγένι προβλήματα αριθμητικής σύγκλισης. Πέρα 37

72 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας όμως από το σημίο αυτό, νώ η ζητούμνη στάθμη αντίστασης του φορέα προς πίτυξη ισορροπίας συνχώς αυξάνται στα πόμνα φορτιστικά βήματα, η πραγματική αντοχή του συνχώς μιώνται και κατά συνέπια δν ίναι δυνατή η σύγκλιση της παραπάνω μθόδου (βέλτιστη δυνατή λύση αποτλί το Α ). Το πρόβλημα αυτό αντιμτωπίζται μ την φαρμογή καταναγκασμένων μτακινήσων μ τη μορφή συνοριακής συνθήκης (displacement control DC) σ συνδυασμό μ τη μέθοδο NewtonRaphson. Ωστόσο, η πίλυση μπορί να προχωρήσι μόνο μέχρι το σημίο αντίστροφης καμπής Β (snapback point), πέραν του οποίου η βέλτιστη λύση αντιστοιχί στο σημίο Β. Για την αντιμτώπιση των παραπάνω προβλημάτων, έχι αναπτυχθί μία σιρά μθόδων πίλυσης μ δσμύσις των μτακινήσων που έχουν τη δυνατότητα να συγκλίνουν και σ σύνθτς πριπτώσις μη γραμμικής απόκρισης (Σχ. 2.11). Η κυριότρη των μθόδων αυτών, η οποία μφανίζται στη βιβλιογραφία μ αρκτές ναλλακτικές μορφές ίναι η μέθοδος μήκους τόξου (arclength AL) (Crisfield, 1982, Memon, 24), βασικό χαρακτηριστικό της οποίας ίναι ότι μταβάλλι τη ζητούμνη στάθμη αντίστασης του φορέα σ κάθ πανάληψη αντί να τη διατηρί σταθρή, όπως συμβαίνι στη μέθοδο NewtonRaphson. Ταυτόχρονα, ισάγι μία πρόσθτη ξίσωση δέσμυσης των μτακινήσων, έτσι ώστ να ακολουθίται μία προκαθορισμένη διαδρομή σύγκλισης, όπως για παράδιγμα η κάθτος στο διάνυσμα της λαστικής πρόβλψης σ κάθ πανάληψη (normal update method) ή ένα κυκλικό τόξο σταθρής ακτίνας (Crisfield method) (Σχ. 2.12). Πρέπι να σημιωθί, ότι οι μέθοδοι μ δσμύσις των μτακινήσων αυξάνουν νγένι το υπολογιστικό κόστος της ανάλυσης και θα πρέπι να φαρμόζονται μόνο όταν κρίνται απολύτως απαραίτητο, βάσι της αναμνόμνης μορφής απόκρισης του ξταζόμνου φορέα. Στην παρούσα ανάλυση, πιδή η απόκριση των προσομοιωμάτων αναμένται να παρουσιάσι σημίο καμπής (Α) αλλά όχι και σημίο αντίστροφης καμπής (Β), η χρήση της τροποποιημένης μθόδου NewtonRaphson (μ χρήση του λαστικού μητρώου δυσκαμψίας) σ συνδυασμό μ φόρτιση καταναγκασμένων μτακινήσων θωρίται παρκής. Σχήμα 2.11 Αριθμητικές δυσκολίς στις πριπτώσις οριακών σημίων απόκρισης 38

73 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.12 O αλγόριθμος πίλυσης arclength (AL) 2.3 Επισκόπηση της θωρίας πλαστικότητας μ φαρμογή σ καταστατικούς νόμους σκυροδέματος Στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας και για την φαρμογή της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων σ πρισφιγμένα κατακόρυφα στοιχία οπλισμένου σκυροδέματος στο χώρο, ο καταστατικός νόμος που πριγράφι τη συμπριφορά του σκυροδέματος υπό τριαξονική θλίψη βασίστηκ στην κλασική θωρία πλαστικότητας. Ο καταστατικός αυτός νόμος, όπως θα αναφρθί στο πόμνο κφάλαιο, πρόκιται να βλτιωθί σ αρκτά σημία, έτσι ώστ να ανταποκριθί στις ιδικές απαιτήσις του προβλήματος της πρίσφιξης. Για τους παραπάνω λόγους, στην παρούσα νότητα θα γίνι μία σύντομη αναφορά στο θωρητικό υπόβαθρο της θωρίας πλαστικότητας, μ έμφαση στην φαρμογή της στο σκυρόδμα. Σύμφωνα μ την κλασική θωρία πλαστικότητας (Chen & Han, 1988), το μικροαυξητικό διάνυσμα των συνολικών παραμορφώσων (d) διαχωρίζται σ δύο ανξάρτητα μταξύ τους μρίδια (συνιστώσς), το λαστικό (d e ) και το πλαστικό (d p ), σύμφωνα μ τη σχέση : d = d e + d p (2.15) Οι απιροστές αυξήσις των αναστρέψιμων λαστικών παραμορφώσων (d e ) συναρτώνται μ τις αντίστοιχς αυξήσις των τάσων (dσ) μ μία μητρωική σχέση γραμμικής λαστικότητας (νόμος του Hook), μέσω του λαστικού καταστατικού μητρώου 39

74 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας (D). To λαστικό αυτό μητρώο ισότροπου υλικού μπριέχι τις βασικές λαστικές παραμέτρους (σταθρές) του υλικού, οι οποίς ίναι το μέτρο λαστικότητας (Ε c ) και ο λόγος του Poisson (ν). d e = D 1 dσ (2.16) 1 ν ν ν ν 1 ν ν E ν ν 1 ν = (1 + ν) (1 ν) (1 2 ν) /2 (1 2 ν) /2 (1 2 ν) /2 1 c D (2.17) Οι απιροστές αυξήσις των μηαναστρέψιμων πλαστικών παραμορφώσων (d p ) ακολουθούν ένα νόμο πλαστικής ροής (flow rule), ο οποίος καθορίζι ότι η διύθυνση του μικροαυξητικού διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (d p ) ίναι πάντα κάθτη σ μία πιφάνια πλαστικού δυναμικού (plastic potential surface) (g = ). Η πιφάνια αυτή μπορί ίτ να ταυτίζται μ την πιφάνια διαρροής (yield surface) (g = f = ), οπότ ο νόμος πλαστικής ροής ονομάζται συσχτισμένος (associated), ίτ να ίναι διαφορτική (g f), οπότ προκύπτι ένας μη συσχτισμένος (nonassociated) νόμος πλαστικής ροής. Η λιτουργία των πιφανιών διαρροής και πλαστικού δυναμικού θα πριγραφί στις πόμνς νότητς. Η παράμτρος dλ > ονομάζται πλαστικός πολλαπλασιαστής (plastic multiplier) και προκύπτι από μία κατάλληλη διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης, η οποία πίσης θα πριγραφί στις πόμνς νότητς. d p ij g = dλ σ ij (2.18) Έχι αποδιχθί πιραματικά (π.χ. Smith et al., 1989, Sfer et al., 22) ότι ένας συσχτισμένος νόμος πλαστικής ροής υπρκτιμά την πραγματική πλαστική διόγκωση (plastic dilation) του σκυροδέματος και συνπώς η πιλογή νός μη συσχτισμένου νόμου αποτλί μονόδρομο για την πριγραφή του συγκκριμένου υλικού. Τόσο η πιφάνια διαρροής (f = ) όσο και αυτή του πλαστικού δυναμικού (g = ) πριγράφονται αναλυτικά στο χώρο των κυρίων τάσων (μηδνικές διατμητικές τάσις), πράγμα που σημαίνι ότι δύο ντατικές καταστάσις ίδιου μγέθους αλλά διαφορτικού προσανατολισμού, αποτυπώνονται μ τις ίδις συντταγμένς στο χώρο αυτόν. Ο χώρος των κυρίων τάσων και κατά συνέπια οι παραπάνω πιφάνις μπορούν να αποτυπωθούν ίτ στο κλασικό καρτσιανό σύστημα συντταγμένων (σ 1, σ 2, σ 3 ), ίτ σ πιο πρόσφορς 4

75 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας αναλυτικά μορφές, όπως ένα κυλινδρικό σύστημα συντταγμένων που ορίζται συναρτήσι των αναλλοίωτων μγθών (Ι 1, J 2, J 3 ) του διανύσματος των κυρίων τάσων (σ 1 > σ 2 > σ 3, θλίψη αρνητική). Ένα τέτοιο σύστημα μπορί να οριστί μ βάση τις οκταδρικές τάσις (π.χ. AbdelHalim & AbuLebdeh, 1989), σύμφωνα μ τις παρακάτω σχέσις : σ ο = I 1 3 Ι 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 (2.19) τ ο = 2 J σ σ σ σ σ σ J 2 = ( ) + ( ) + ( ) (2.2) όπου σ ο και τ ο ίναι η υδροστατική και η διατμητική οκταδρική τάση αντίστοιχα. Μια ανάλογη διατύπωση, η οποία θα χρησιμοποιηθί για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας, ίναι ο χώρος HaighWestergaard (Haigh, 192, Westergaard, 192) (Σχ. 2.13), ο οποίος ορίζται βάσι των παρακάτω σχέσων : I1 ξ = 3 Ι 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 (2.21) Η συντταγμένη ξ ακολουθί τη χωροδιαγώνιο του αντίστοιχου καρτσιανού συστήματος συντταγμένων (σ 1, σ 2, σ 3 ) και ορίζι τον υδροστατικό άξονα. Το μέγθος ξ ονομάζται υδροστατικό μέτρο (hydrostatic length) του διανύσματος των τάσων. ρ = 2 J2 1 σ σ σ σ σ σ J 2 = ( ) + ( ) + ( ) (2.22) θ = J3 cos 3/2 3 2 J 2 J 3 = (σ 1 Ι 1 /3) (σ 2 Ι 1 /3) (σ 3 Ι 1 /3) (2.23) Οι συντταγμένς ρ και θ ορίζουν ένα πολικό σύστημα συντταγμένων στο πίπδο κτροπής (deviatoric plane), το οποίο ίναι κάθτο στον υδροστατικό άξονα και διέρχται από τη συντταγμένη ξ. Το μέγθος ρ ονομάζται κτροπικό μέτρο (deviatoric length) του διανύσματος των τάσων και η γωνία θ ( θ 2π) αναλλοίωτη τασική γωνία ομοιότητας (Lode angle ή angle of similarity). Τέλος, για πρακτικούς λόγους χρησιμοποιίται συχνά το πίπδο Rendulic, το οποίο ορίζται από τον υδροστατικό άξονα και έναν από τους τρις άξονς των τάσων (συνήθως της σ 3 ), πριλαμβάνοντας ταυτόχρονα τη διχοτόμο των υπολοίπων δύο (σ 1 = σ 2 ). Στο 41

76 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας πίπδο Rendulic, ο υδροστατικός άξονας σχηματίζι γωνία 54.7 ο μ τον άξονα σ 3 και ορίζι ένα ημιπίπδο σταθρής γωνίας θ = 6 ο, στο οποίο μπορούν να πριγραφούν μονοαξονικές και τυπικές τριαξονικές διαδρομές φόρτισης. Αντίστοιχα, ο υδροστατικός άξονας σχηματίζι γωνία 35.3 ο μ τη διχοτόμο σ 1 = σ 2 και ορίζι ένα ημιπίπδο σταθρής γωνίας θ = ο, στο οποίο μπορούν να πριγραφούν ισοδιαξονικές και μη τυπικές τριαξονικές διαδρομές φόρτισης. Από τα δύο παραπάνω ημιπίπδα διέρχονται αντίστοιχα ο θλιπτικός και ο φλκυστικός μσημβρινός (compressive και tensile meridian) της πιφάνιας διαρροής. Πρέπι να σημιωθί δώ, ότι για τη δημιουργία του σχήματος 2.13 καθώς και μιας κτνούς σιράς σχημάτων και πινάκων που παρουσιάζονται στο παρόν και στο πόμνο κφάλαιο, ήταν απαραίτητη η δημιουργία μιας βιβλιοθήκης ιδικών συναρτήσων σ γλώσσα προγραμματισμού Visual Basic for Applications (VBA) του λογιστικού φύλλου Excel, η οποία παρουσιάζται λπτομρώς στο Παράρτημα Ε. ρ σ 3 θ = o ξ 35.3 o ρ σ 1 = σ 2 (β) θ = σ 1 = σ 3 θ = 18 (ισοδυν. μ θ = 6 ) σ 3 θ = 12 (ισοδυν. μ θ = ) θ = 24 (ισοδυν. μ θ = ) σ 2 = σ 3 σ 1+σ 2+σ 3 const σ 1 σ 2 θ = 3 (ισοδυν. μ θ = 6 ) θ = 6 (γ) θ = σ 1 = σ 2 Σχήμα 2.13 Συντταγμένς του χώρου HaighWestergaard (a) στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, (β) στο πίπδο Rendulic και (γ) στο πίπδο κτροπής 42

77 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Κριτήρια αστοχίας Ένα βασικό συστατικό για την υλοποίηση της θωρίας πλαστικότητας στο πλαίσιο νός καταστατικού νόμου σκυροδέματος ίναι η κλογή νός κατάλληλου κριτηρίου αστοχίας (f) (failure surface). Το κριτήριο αυτό ορίζται ως μία συνάρτηση των κυρίων τάσων (ή ισοδύναμα ως μία συνάρτηση των αναλλοίωτων μγθών τους), η οποία γωμτρικά αποτυπώνται ως μία πιφάνια (f = ) στο χώρο των κυρίων τάσων. f = ƒ (σ 1, σ 2, σ 3 ) (2.24) ή ισοδύναμα : f = ƒ (I 1, J 2, J 3 ) (2.25) Βασικός ρόλος νός κριτηρίου αστοχίας ίναι να διαχωρίζι τις πιτρπτές από τις μη πιτρπτές ντατικές καταστάσις του υλικού (τριάδς κύριων τάσων), σ κάθ φάση του ιστορικού φόρτισής του. Στην πρίπτωση που για μία τριάδα κύριων τάσων ισχύι f <, τότ το αντίστοιχο σημίο (σ 1, σ 2, σ 3 ) στο χώρο των κυρίων τάσων βρίσκται στο σωτρικό της πιφάνιας αστοχίας και το υλικό λιτουργί αμιγώς λαστικά, χωρίς να αναπτύσσονται πρόσθτς πλαστικές παραμορφώσις (d p = ). Σημιώνται δώ ότι μία τέτοια κατάσταση δν υφίσταται μόνο κατά την προφανή πρίπτωση της λαστικής φόρτισης του υλικού, όπου οι πλαστικές παραμορφώσις ίναι μηδνικές ( p = ), αλλά και στην πρίπτωση που έχουν αναπτυχθί ήδη κάποις πλαστικές παραμορφώσις ( p ), οπότ γίνται λόγος για λαστική αποφόρτιση. Όταν όμως η ντατική κατάσταση του υλικού τίνι να ξπράσι το κριτήριο αστοχίας (f > ) σ κάποιο δοκιμαστικό λαστικό φορτιστικό βήμα, τότ νργοποιούνται ταυτόχρονα δύο παράλληλοι μηχανισμοί : ο πρώτος ίναι η ανάπτυξη πρόσθτων πλαστικών παραμορφώσων (d p ) βάσι του νόμου πλαστικής ροής (Εξ. 2.18) και ο δύτρος ίναι η πιστροφή του διανύσματος των τάσων πάνω στην πιφάνια αστοχίας, ώστ να ξασφαλίζται πάντοτ η συνθήκη συμβατότητας (f ) (consistency condition). Οι δύο αυτοί μηχανισμοί υλοποιούνται και συγχρονίζονται μέσα από τη διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης, η οποία θα πριγραφί σ πόμνη νότητα. Βασικό χαρακτηριστικό των κριτηρίων αστοχίας, το οποίο καθορίζι τόσο την πολυπλοκότητά τους όσο και τη δυνατότητα φαρμογής τους σ διάφορς κατηγορίς υλικών ίναι ο αριθμός των παραμέτρων (σταθρών) που υπισέρχονται στην αναλυτική τους διατύπωση (Εξ. 2.24), οι οποίς ίτ ξαρτώνται από βασικές μηχανικές ιδιότητς του υλικού ίτ έχουν βαθμονομηθί βάσι πιραματικών αποτλσμάτων. Οι αρχικές 43

78 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας προτάσις στη βιβλιογραφία αφορούν κριτήρια μίας παραμέτρου (Tresca, 1864, Von Mises, 1913), τα οποία βρίσκουν φαρμογή κυρίως σ μέταλλα, πιδή η μοναδική τους παράμτρος ξαρτάται μόνο από τη διατμητική αντοχή του υλικού (αναλλοίωτη J 2 ή ρ), αγνοώντας την πιρροή της υδροστατικής πίσης (αναλλοίωτη Ι 1 ή ξ) που χαρακτηρίζι τα γαιώδη υλικά και το σκυρόδμα (Σχ. 2.14). Μρική λύση στο συγκκριμένο πρόβλημα δίνουν τα κριτήρια δύο παραμέτρων (MohrCoulomb, DruckerPrager, 1952), τα οποία συμπριέλαβαν την πιρροή της υδροστατικής πίσης ως δύτρη παράμτρο. Ειδικότρα, το κριτήριο DruckerPrager ίναι αρκτά δημοφιλές για την ανάλυση φορέων σκυροδέματος λόγω της απλής σχτικά βαθμονόμησής του και της διαθσιμότητάς του σ ανάλογο λογισμικό (Σχ. 2.14). Ωστόσο, οι δύο σημαντικές του αδυναμίς ντοπίζονται (α) στους υθύγραμμους μσημβρινούς, οι οποίοι υπρκτιμούν την πραγματική τριαξονική ντατική κατάσταση του σκυροδέματος σ υψηλά πίπδα υδροστατικής πίσης (πρίσφιξης) και (β) στο κυκλικό ίχνος στο πίπδο κτροπής, το οποίο σ συνδυασμό μ το (α) αδυνατί να προβλέψι την αντοχή του σκυροδέματος για οποιαδήποτ διαδρομή φόρτισης στον φλκυστικό μσημβρινό (π.χ. ισοδιαξονική). Για τους παραπάνω λόγους έχουν προταθί στη βιβλιογραφία ξιδικυμένα κριτήρια αστοχίας για το σκυρόδμα, βασικό γνώρισμα των οποίων ίναι η παρουσία κυρτών μσημβρινών (convex meridians) που ταυτόχρονα ξαρτώνται από την αναλλοίωτη τασική γωνία ομοιότητας (θ). Δημοφιλέστρα ξ αυτών ίναι το κριτήριο τριών παραμέτρων των MenétreyWillam (Menétrey & Willam, 1995), το οποίο θα χρησιμοποιηθί για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας και θα πριγραφί λπτομρώς στο πόμνο κφάλαιο (Σχ. 2.14), τα κριτήρια τσσάρων παραμέτρων του Ottosen (Ottosen, 1977) και των HsiehTingChen (Hsieh et al., 1982) και το κριτήριο πέντ παραμέτρων των WillamWarnke (Willam & Warnke, 1974). Μία διξοδική αναφορά στο σύνολο των γνωστών κριτηρίων αστοχίας για το σκυρόδμα αλλά και άλλα υλικά, μπορί να βρθί στην ργασία του Yu (22). Επίσης, έχουν προταθί και τροποποιημένς μορφές των παραπάνω κριτηρίων (π.χ. του κριτηρίου HsiehTingChen από τους Imran & Pantazopoulou, 21), οι οποίς απικονίζονται στο χώρο των κυρίων τάσων ως κλιστές πιφάνις (cap models) μ μσημβρινούς που τέμνουν τον υδροστατικό άξονα. Στόχος τους ίναι να προσομοιώσουν τις πλαστικές παραμορφώσις του σκυροδέματος που έχουν παρατηρηθί πιραματικά (Launay & Gachon, 1972) στις ακραίς καταστάσις της υδροστατικής τριαξονικής φόρτισης (pure hydrostatic loading), οι οποίς βέβαια δν ίναι συνήθις και δν αναμένται να προκύψουν στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας. Θα πρέπι να σημιωθί δώ ότι η αξία νός κριτηρίου αστοχίας δν ίναι πάντοτ υθέως ανάλογη του αριθμού των παραμέτρων τις οποίς μπριέχι, αλλά αναδικνύται από τη φυσική σημασία που έχουν οι παράμτροι αυτές και κατά συνέπια την υκολία βαθμονόμησής του για τις ανάγκς του κάστοτ προβλήματος. 44

79 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.14 Τα κριτήρια αστοχίας Von Mises, DruckerPrager και MenétreyWillam στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, στο πίπδο Rendulic και στο πίπδο κτροπής Παράμτρος και συνάρτηση κράτυνσης/χαλάρωσης Η γνική διατύπωση των κριτηρίων αστοχίας της προηγούμνης νότητας (Εξ. 2.24) πριγράφι πιφάνις μ απόλυτα σταθρή θέση στο χώρο των κυρίων τάσων, οι οποίς οριοθτούν την λαστική συμπριφορά του υλικού. Για το λόγο αυτόν, στην παρούσα μορφή, ίναι ικανή να πριγράψι μόνο τέλια λαστοπλαστικά υλικά, τα οποία λιτουργούν λαστικά μέχρι η διαδρομή φόρτισής τους (load path) να τμήσι για πρώτη φορά την πιφάνια αστοχίας. Στη συνέχια οποιαδήποτ προσπάθια πραιτέρω φόρτισης δ δύναται να μταβάλλι την ένταση του υλικού (λόγω της πιβολής της συνθήκης συμβατότητας, f ), παρά μόνο να προκαλέσι αέναη αύξηση των πλαστικών παραμορφώσων βάσι του νόμου πλαστικής ροής (Εξ. 2.18). Επιδή μία τέτοια συμπριφορά δικαιολογίται μόνο ως ξιδανικυμένη συμπριφορά ορισμένων μτάλλων, προφανώς δν μπορί να πριγράψι κρατυνόμνα (hardening) ή/και χαλαρούμνα (softening) υλικά όπως το σκυρόδμα. Κατά συνέπια, για την πριγραφή των φαινομένων της κράτυνσης και της χαλάρωσης ίναι αναγκαία η συνχής μταβολή του κριτηρίου αστοχίας στο χώρο των κυρίων τάσων, η οποία μπορί να πιτυχθί μέσω της παραμέτρου και των συναρτήσων κράτυνσης/χαλάρωσης. Οι συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης αποτλούν γραμμικές ή μη γραμμικές συναρτήσις μίας μταβλητής (που ονομάζται παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης και θα 45

80 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας πριγραφί παρακάτω), οι οποίς συμμτέχουν στην αναλυτική διατύπωση του κριτηρίου αστοχίας και του προσδίδουν την ιδιότητα να μταβάλλι τη θέση και το σχήμα του στο χώρο των κυρίων τάσων. Έτσι, η νέα διατύπωση των κριτηρίων αστοχίας παίρνι τη μορφή : f = ƒ (σ 1, σ 2, σ 3, k(κ), c(κ)) (2.26) ή ισοδύναμα f = ƒ (I 1, J 2, J 3, k(κ), c(κ)) (2.27) όπου k(κ) και c(κ) αποτλούν τις συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης, αντίστοιχα. Επιδή σύμφωνα μ την παραπάνω διατύπωση το κριτήριο αστοχίας αποκτά κινητότητα στο χώρο των κυρίων τάσων και ίναι πλέον ικανό να πριγράψι κρατυνόμνα ή/και χαλαρούμνα υλικά μτονομάζται σ κριτήριο διαρροής και η αντίστοιχη πιφάνια (f = ) αναβαθμίζται σ πιφάνια διαρροής (yield surface) ή, ισοδύναμα, σ πιφάνια φόρτισης (loading surface). Εάν η πιφάνια φόρτισης διογκώνται ομοιόσχημα στο χώρο των κυρίων τάσων τότ η κράτυνση/χαλάρωση ονομάζται ισότροπη (isotropic), άν διατηρί το μέγθος και το σχήμα της, αλλά μτατοπίζται παράλληλα στο χώρο των τάσων ονομάζται κινηματική (kinematic) και άν ταυτόχρονα διογκώνται και μτατοπίζται τότ ονομάζται μικτή (mixed). Η συνάρτηση κράτυνσης (k(κ)) συνήθως διατυπώνται μ τέτοιον τρόπο έτσι ώστ να δίνι αριθμητικές τιμές στο διάστημα [k o,1]. Η αρχική τιμή k o, ισρχόμνη στο κριτήριο διαρροής (Εξ. 2.26) προσδιορίζι μία ιδική πρίπτωση πιφάνιας φόρτισης που ονομάζται πιφάνια αρχικής διαρροής (initial yield surface). Η πιφάνια αυτή αποτλί το όριο πέραν του οποίου το υλικό παύι για πρώτη φορά να συμπριφέρται λαστικά και ισέρχται στο κρατυνόμνο στάδιο, αναπτύσσοντας τις αρχικές μηαναστρέψιμς πλαστικές παραμορφώσις. To κρατυνόμνο στάδιο συνχίζται μέχρι η συνάρτηση κράτυνσης να αποκτήσι τλική τιμή ίση μ τη μονάδα, η οποία αντιστοιχί σ μία πιφάνια φόρτισης που οριοθτί το τέλος της κράτυνσης και την αρχή της χαλάρωσης (στις πριπτώσις βέβαια χαλαρούμνων υλικών όπως το σκυρόδμα). Η πιφάνια αυτή ταυτίζται ουσιαστικά μ την πιφάνια αστοχίας του υλικού, όπως πριγράφηκ ως ιδική πρίπτωση στην προηγούμνη νότητα. Στο σχήμα 2.15 φαίνονται οι πιφάνις αρχικής διαρροής (k = k o ) και αστοχίας (k = 1) για το κριτήριο διαρροής MenétreyWillam. 46

81 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.15 Επιφάνις αρχικής διαρροής και αστοχίας του κριτηρίου MenétreyWillam κατά την κράτυνση Η αντίστοιχη διατύπωση της συνάρτησης χαλάρωσης (c(κ)) δίνι αριθμητικό αποτέλσμα στο διάστημα [1,] μ τη μονάδα να αντιστοιχί στην πιφάνια αστοχίας (k = c = 1) και τη μηδνική τιμή στην πιφάνια κίνη όπου το υλικό θωρίται ότι έχι απολέσι πλήρως τη συνοχή του και ονομάζται πιφάνια παραμένουσας αντοχής (residual surface) (Σχ. 2.16). Πρέπι να σημιωθί δώ ότι η ανξάρτητη διατύπωση των συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης πιτυγχάνται μ τη διατήρηση της τιμής της μονάδας κατά τη διάρκια των αντίθτων μ αυτές σταδίων απόκρισης του υλικού (χαλάρωσης και κράτυνσης αντίστοιχα) (Σχ. 2.17). Σχήμα 2.16 Επιφάνια αστοχίας και πιφάνια παραμένουσας αντοχής του κριτηρίου MenétreyWillam κατά τη χαλάρωση 47

82 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Σχήμα 2.17 Παράδιγμα ζύγους συναρτήσων κράτυνσης/χαλάρωσης για φαρμογή στο σκυρόδμα Μία πολύ συνηθισμένη πρακτική αναφορικά μ τη διατύπωση των συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης, ίναι η αντιστοίχησή της μ την αντίστοιχη μονοαξονική συμπριφορά του υλικού το οποίο πριγράφουν. Μ τον τρόπο αυτόν πιτυγχάνται η συσχέτιση των παραμέτρων του τρισδιάστατου προβλήματος μ τις παραμέτρους του αντίστοιχου μονοαξονικού νόμου. Έτσι στην πρίπτωση του σκυροδέματος αναφέρονται, μταξύ άλλων, συναρτήσις κράτυνσης μ παραβολική (Hognestad et al., 1955, Imran & Pantazopoulou, 21) ή λλιπτική μορφή (Červenka et al., 1998) και αντίστοιχς, γραμμικές ή μη, μορφές συναρτήσων χαλάρωσης. Όπως αναφέρθηκ παραπάνω, οι συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης έχουν ως μοναδική μταβλητή (ττμημένη στο Σχ. 2.17) την παράμτρο κράτυνσης/χαλάρωσης (κ), η οποία αναφέρται συχνά και ως ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση ( p eq ). Η τιμή της παραμέτρου αυτής θα πρέπι σ όλς τις φάσις της απόκρισης να αντιπροσωπύι το βαθμό βλάβης του υλικού, έτσι ώστ να λέγχι άμσα, μέσω των συναρτήσων κράτυνσης/χαλάρωσης, το σχήμα και τη θέση της πιφάνιας φόρτισης και κατ πέκταση την τρισδιάστατη ντατική κατάσταση του υλικού. Ουσιαστικά κφράζι τη μνήμη του υλικού κατά την πορία φόρτισης και αποφόρτισής του. Για τον ορισμό της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης έχουν προταθί μορφές που βασίζονται αποκλιστικά στις πλαστικές παραμορφώσις, όπως αυτή της μέγιστης θλιπτικής πλαστικής παραμόρφωσης (Εξ. 2.28) (Červenka et al., 1998), του μέτρου του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (Εξ. 2.29) (Han & Chen, 1985) ή μορφές που κτός των πλαστικών παραμορφώσων, συμπριλαμβάνουν και τις τάσις, όπως αυτή του πλαστικού έργου (Han & Chen, 1985, Imran & Pantazopoulou, 21) (Εξ. 2.3). dκ = min (d ) (2.28) p ij 48

83 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας dκ = dκ = σ 2 d d p p ij ij 3 (2.29) ij d (2.3) p ij Πρέπι να σημιωθί δώ ότι η παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης διατυπώνται πάντοτ σ μικροαυξητική μορφή (dκ), έτσι ώστ να ξαρτάται όχι μόνο από την τρέχουσα κατάσταση αλλά και από το ιστορικό φόρτισης του υλικού. Τλικά, η τιμή της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης που υπισέρχται στις αντίστοιχς συναρτήσις κράτυνσης (k(κ)) και χαλάρωσης (c(κ)) ίναι ίση μ το σύνολο των μικροαυξήσων που συσσωρύονται καθ όλη τη διάρκια της διαδικασίας φόρτισης : κ = dκ (2.31) Ωστόσο, έχι παρατηρηθί ότι οι παραπάνω διατυπώσις της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης αδυνατούν από μόνς τους να προσομοιώσουν την αυξημένη ικανότητα παραμόρφωσης του σκυροδέματος υπό θλιπτική τριαξονική ένταση (Ohtani & Chen, 1989, Labbane et al., 1993, Kang et al., 2). Για το λόγο αυτόν έχουν προταθί συνθτότρς μορφές παραμέτρων κράτυνσης/χαλάρωσης, οι οποίς μπριέχουν πρόσθτς συναρτήσις πλαστιμότητας ή πρίσφιξης (ductility ή confinement functions) που βασίζονται συνήθως στην ντατική κατάσταση (τάσις) του υλικού. Χαρακτηριστικά αναφέρονται οι πριπτώσις της χρήσης της μέγιστης αλγβρικά κύριας τάσης (σ 1 ) (Pivonka et al., 2), της νδιάμσης κύριας τάσης (σ 2 ) (Karabinis & Kiousis, 1996b, Barros, 21), του μέσου όρου των δύο μγαλύτρων αλγβρικά κύριων τάσων (σ 1, σ 2 ) (Johansson & Åkesson, 22) και της υδροστατικής τάσης ή, ισοδύναμα, της πρώτης αναλλοίωτης του τανυστή των τάσων (Ι 1 ) (Pietruszczak et al., 1988, Grassl & Jirasek, 26, Jason et al., 26). Μία νδιαφέρουσα ναλλακτική πρόταση των Imran & Pantazopoulou (21) συνιστά τη μγέθυνση (scaling) της οριακής τιμής της ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης ( p eq,t, που αντιστοιχί σ k(κ) = k( p eq,t ) = 1), ανάλογα μ την λάχιστη αλγβρικά συνολική ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση (συρρίκνωση) που καταγράφται κατά τη φόρτιση του υλικού ( v,min ) : = Q ( ˆ ) + ˆ (2.32) p p eq,t v,min v,min eq,t όπου Q ίναι μία παράμτρος υλικού και τα μγέθη μ (^) δηλώνουν τιμές που λαμβάνονται από μονοαξονική θλιπτική φόρτιση. Μ τον τρόπο αυτόν, η συνάρτηση κράτυνσης k(κ) συνχώς κτίνται κατά μήκος του θτικού οριζόντιου ημιάξονα (κ), 49

84 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας προσομοιώνοντας την αύξηση της ικανότητας παραμόρφωσης του σκυροδέματος υπό τριαξονική θλίψη, η οποία χαρακτηρίζται από υψηλότρα πίπδα αρχικής συρρίκνωσης του υλικού. Οι Grassl et al. (22) πρότιναν μία πιο καθαρή διατύπωση όσον αφορά την παράμτρο κράτυνσης/χαλάρωσης, η οποία ξαρτάται αποκλιστικά από την ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση του υλικού ( p v ) και σ συνδυασμό μ μία μη γραμμική συνάρτηση πλαστικού δυναμικού προσγγίζι πολύ ικανοποιητικά την ικανότητα παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος, χωρίς τη χρήση πρόσθτων συναρτήσων πλαστιμότητας ή παρόμοιων αριθμητικών τχνασμάτων. Η μέθοδος αυτή πλέγη για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας και θα πριγραφί λπτομρώς στο πόμνο κφάλαιο. Τέλος, για τον ορισμό της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης, έχι πίσης προταθί και η παλληλία των ογκομτρικών ( p v ) και κτροπικών ( e p ) πλαστικών παραμορφώσων μ κατάλληλους συντλστές συμμτοχής (Faruque & Chang, 199) Συνάρτηση πλαστικού δυναμικού Όπως πριγράφηκ στην προηγούμνη νότητα, η τιμή της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης (κ) και κατ πέκταση οι τιμές των αντίστοιχων συναρτήσων (k(κ), c(κ)), το μέγθος και η θέση της πιφάνιας φόρτισης (f = ) και τλικά η ντατική κατάσταση του υλικού (σ ij ), ξαρτώνται μρικώς ή αποκλιστικώς από το μικροαυξητικό διάνυσμα των πλαστικών παραμορφώσων (d p ). Το διάνυσμα αυτό, σύμφωνα μ το νόμο πλαστικής ροής (Εξ. 2.18), πιβάλλται να ίναι κάθτο σ μία πιφάνια πλαστικού δυναμικού (g = ), η οποία πάντοτ διέρχται από το σημίο του χώρου των κυρίων τάσων που αντιστοιχί στην τρέχουσα ντατική κατάσταση (σ ij ). Μ άλλα λόγια, η πιφάνια αυτή καθορίζι κάθ στιγμή το λόγο μταξύ των συνιστωσών του μικροαυξητικού διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων και πηράζι καθοριστικά τόσο την παραμορφωσιακή όσο και την ντατική κατάσταση του υλικού. Στη γνικότρη πρίπτωση νός μη συσχτισμένου νόμου πλαστικής ροής, η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού ίναι διαφορτική από αυτή του κριτηρίου διαρροής (g f) και έχι την ξής μορφή : g = ƒ (σ 1, σ 2, σ 3, k(κ), c(κ)) (2.33) ή ισοδύναμα g = ƒ (I 1, J 2, J 3, k(κ), c(κ)) (2.34) 5

85 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας όπου k(κ) και c(κ) ίναι οι ίδις συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης που υπισέρχονται στη διατύπωση της πιφάνιας φόρτισης (Εξ. 2.26). Πρέπι να σημιωθί δώ, ότι η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού έχι τη δυνατότητα να κινίται λύθρα κατά μήκος του υδροστατικού άξονα (ξ) μέσω της σταθράς έλξως (a) (attraction) έτσι ώστ να διέρχται πάντοτ από το σημίο που αντιστοιχί στην τρέχουσα ντατική κατάσταση (σ ij ) (Σχ. 2.18). Σχήμα 2.18 Τομή των πιφανιών πλαστικού δυναμικού (g) και φόρτισης (f) στο σημίο της τρέχουσας ντατικής κατάστασης σ ij (ρξ στο πίπδο Rendulic) Οι συναρτήσις πλαστικού δυναμικού που έχουν κατά καιρούς προταθί ίτ έχουν παρόμοια αναλυτική διατύπωση μ γνωστά κριτήρια διαρροής ίτ ντλώς πρωτότυπς μορφές, ανάλογα μ τις ιδιότητς του υλικού που πριγράφουν. Ιδιαίτρη αναφορά μπορί να γίνι σ συναρτήσις πλαστικού δυναμικού τύπου Von Mises (μηδνικής κλίσης ως προς τον υδροστατικό άξονα), οι οποίς έχουν το μιονέκτημα ότι δν μπορούν να προβλέψουν την πλαστική διόγκωση του σκυροδέματος μέσω των ογκομτρικών πλαστικών παραμορφώσων ( = ). Η αδυναμία αυτή μπορί να ξπραστί μ τη p v χρήση συνθτότρων συναρτήσων πλαστικού δυναμικού τύπου DruckerPrager, σταθρής (Červenka et al., 1998) ή μταβλητής κλίσης (Han & Chen, 1985, Imran & Pantazopoulou, 21) καθώς και μ μη γραμμικές πολυωνυμικές συναρτήσις (Menétrey et al., 1997, Grassl et al., 22), οι οποίς σ συνδυασμό μ μία κατάλληλη παράμτρο κράτυνσης/χαλάρωσης μπορούν να πριγράψουν την αυξημένη ικανότητα παραμόρφωσης του σκυροδέματος υπό πρίσφιξη, όπως θα πριγραφί στο πόμνο κφάλαιο. 51

86 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας Αριθμητική ολοκλήρωση Για τη συνργασία όλων των πιμέρους στοιχίωνργαλίων της θωρίας πλαστικότητας, τα οποία διατυπώθηκαν στις προηγούμνς νότητς, ίναι απαραίτητη μία κατάλληλη αριθμητική διαδικασία που να ξασφαλίζι τη συνθήκη συμβατότητας (f ) κατά τη φόρτιση και αποφόρτιση του υλικού. Η διαδικασία αυτή ονομάζται αριθμητική ολοκλήρωση (numerical integration) και η βασική της λιτουργία ίναι να λαμβάνι ως δδομένα ισόδου την τρέχουσα ένταση και παραμόρφωση του υλικού (βήμα n) καθώς και ένα διάνυσμα πρόσθτων συνολικών παραμορφώσων, το οποίο προέρχται ξωτρικά από τον αλγόριθμο πίλυσης της μθόδου ππρασμένων στοιχίων (βλ. βήμα 4β της γνικής διαδικασίας πίλυσης) και να δίνι ως αποτέλσμα τα διορθωμένα μγέθη έντασης και πλαστικής παραμόρφωσης (βήμα n+1) λόγω της μη γραμμικής απόκρισης του υλικού. Η διαδικασία αυτή παναλαμβάνται για όλα τα σημία ολοκλήρωσης (Gauss points) του συνόλου των ππρασμένων στοιχίων, έτσι ώστ να υπολογιστί το συνολικό διάνυσμα απόκρισης του φορέα στο τρέχον φορτιστικό βήμα. Τα γνικά βήματα της μθόδου αριθμητικής ολοκλήρωσης συνοψίζονται στα ξής : 1) Λαμβάνονται ως δδομένς οι τρέχουσς τάσις ( n σ ij ), οι τρέχουσς πλαστικές n παραμορφώσις ( ) και οι πρόσθτς συνολικές παραμορφώσις (d ij ) του υλικού. p ij 2) Ελαστική πρόβλψη (elastic predictor) : υπολογίζονται οι δοκιμαστικές τάσις ( t σ ij ) που προκύπτουν από την υπόθση της λαστικής απόκρισης του υλικού λόγω των πρόσθτων συνολικών παραμορφώσων (d ij ) : t σ ij = n σ ij + D ijkl d kl (2.35) 3) Ελέγχται το κριτήριο διαρροής για τις δοκιμαστικές τάσις ( t σ ij ) και τις τρέχουσς τιμές των συναρτήσων κράτυνσης/χαλάρωσης : f = ƒ ( t σ ij, k(κ), c(κ)) (2.36) 4) Εάν f τότ η απόκριση ίναι λαστική p (dij = ), οπότ τίθται : n+1 σ ij = t σ ij (2.37) n+ 1 p ij = n p ij (2.38) και η διαδικασία ολοκληρώνται. 52

87 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας 5) Πλαστική διόρθωση (plastic corrector) : άν f > τότ το διάνυσμα των δοκιμαστικών τάσων υπρβαίνι το κριτήριο διαρροής και θα πρέπι να πιστρέψι κατάλληλα στην πιφάνια φόρτισης, ώστ να διατηρηθί η συνθήκη συμβατότητας (f = ). Η πιστροφή αυτή συμβαδίζι πάντοτ μ την ανάπτυξη πρόσθτων πλαστικών παραμορφώσων μέσω του νόμου πλαστικής ροής : p g dij = dλ = dλ m σ ij (2.39) H διόρθωση του διανύσματος των τάσων (r ij ), ώστ αυτό να πιστρέψι στην πιφάνια φόρτισης από τη δοκιμαστική θέση ( t σ ij ), ξαρτάται άμσα από το διάνυσμα των πρόσθτων πλαστικών παραμορφώσων, σύμφωνα μ τη σχέση : n+1 σ ij = n σ ij + e dσ ij = n σ ij + D ijkl d = n σ ij + e kl D (d d ) = p ijkl kl kl n σ ij + D d D d = t σ ij p ijkl kl ijkl kl dλ D m = t σ ij r ij (2.4) ijkl * kl οπότ ισχύι : r = D d = dλ D m (2.41) p * ij ijkl ij ijkl kl Οι τλικές τιμές των τάσων και πλαστικών παραμορφώσων ίναι ίσς μ : n+1 σ ij = t σ ij r ij = t σ ij dλ D m (2.42) ijkl * kl n+ 1 p ij = n p ij + d = n + p ij p ij * dλ m ij (2.43) Κατά την φαρμογή της παραπάνω διαδικασίας πρέπι να αντιμτωπιστούν ορισμένς αριθμητικές δυσκολίς, οι οποίς σχτίζονται μ την ανάπτυξη των πρόσθτων πλαστικών παραμορφώσων (Εξ. 2.39). Όπως πριγράφηκ στις προηγούμνς νότητς, στη γνική πρίπτωση της κρατυνόμνης/χαλαρούμνης πλαστικότητας, το μέγθος των πλαστικών παραμορφώσων πηράζι την τιμή της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης, η οποία μ τη σιρά της μταβάλλι τις τιμές των αντίστοιχων συναρτήσων και τλικά το μέγθος και τη θέση της πιφάνιας φόρτισης στο χώρο των κυρίων τάσων. Για το λόγο αυτόν, κατά τη διαδικασία πιστροφής του διανύσματος των τάσων στην πιφάνια φόρτισης (Eξ. 2.41) και λόγω της ανάπτυξης πρόσθτων πλαστικών παραμορφώσων (Εξ. 2.39), η ίδια η πιφάνια φόρτισης (f = ) συνχώς μταβάλλται (πριγράφοντας, κατά πρίπτωση 53

88 Κφάλαιο 2 Κριτική πισκόπηση της βιβλιογραφίας νίοτ την κράτυνση ή τη χαλάρωση του υλικού). Η δύτρη δυσκολία έγκιται στο γγονός ότι κατά την ανάπτυξη πρόσθτων πλαστικών παραμορφώσων μταβάλλται πίσης η θέση και το μέγθος της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού (g = ) και κατά συνέπια οι διυθύνσις του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (m*) και * πιστροφής του διανύσματος των τάσων στην πιφάνια φόρτισης ( D m ). Εν συντομία, πρέπι να αντιμτωπιστί το σύνθτο πρόβλημα της πιστροφής του διανύσματος των τάσων σ μία συνχώς μταβαλλόμνη πιφάνια υπό μία συνχώς μταβαλλόμνη διύθυνση (Σχ. 2.19). Για την αντιμτώπιση του παραπάνω προβλήματος έχουν προταθί αρκτοί αλγόριθμοι στη βιβλιογραφία (π.χ. Runesson et al., 1988, Macari et al., 1997), οι οποίοι ονομάζονται αλγόριθμοι παναφοράς (returnmapping algorithms) και μπορούν να χωριστούν σ δύο μγάλς κατηγορίς ανάλογα μ τον ορισμό της διύθυνσης του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (m*) : αν η διύθυνση αυτή αντιστοιχί σ μία γνωστή ντατική κατάσταση του υλικού (π.χ. n σ ij ) τότ ο αλγόριθμος ονομάζται άμσος (explicit) (ForwardEuler, Vermeer κλπ), νώ αν αντιστοιχί σ άγνωστη κατάσταση (π.χ. n+1 σ ij ) τότ ονομάζται έμμσος (implicit) (BackwardEuler, Generalized Midpoint Rule κλπ) και συνήθως απαιτίται κατάλληλη παναληπτική διαδικασία για την υλοποίησή του. Στην πράξη συνήθως προτιμώνται οι έμμσοι αλγόριθμοι μ πικρατέστρο τον αλγόριθμο BackwardEuler, ο οποίος ίναι ανξάρτητος από το μέγθος του φορτιστικού βήματος και χαρακτηρίζται από ακρίβια και σύγκλιση χωρίς προϋποθέσις (unconditional stability). Ένας τέτοιος αλγόριθμος θα υλοποιηθί για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας και θα πριγραφί λπτομρώς στο πόμνο κφάλαιο. ijkl kl Σχήμα 2.19 Η διαδικασία πιστροφής του διανύσματος των τάσων στην πιφάνια φόρτισης κατά την πλαστική διόρθωση 54

89 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 3. Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 3.1 Επιλογή προγράμματος Η/Υ για την παρούσα έρυνα Για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας, η οποία αφορά τη μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος μ έμφαση στα βάθρα γφυρών συμπαγούς ή κοίλης διατομής, ίναι αναγκαίο να διατίθται ένα κατάλληλο πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων, το οποίο να έχι όλα κίνα τα απαραίτητα χαρακτηριστικά που καθιστούν δυνατή την προσομοίωση των στοιχίων στις τρις διαστάσις. Θωρήθηκ ότι το κόστος της κ του μηδνός ανάπτυξης νός ολοκληρωμένου προγράμματος ππρασμένων στοιχίων αφνός ξφύγι από τον κύριο στόχο της διατριβής, αφτέρου ίναι διαθέσιμα αρκτά μπορικά προγράμματα ππρασμένων στοιχίων, τα οποία μ κατάλληλο χιρισμό, πιθανές βλτιώσις, αλλά και μ την ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού (ιδιαίτρα για λόγους μτπξργασίας των ογκωδών αποτλσμάτων) αναμένται να ανταποκριθούν στις ανάγκς της παρούσας ανάλυσης. Για το λόγο αυτόν έγιν πιλογή νός κατάλληλου προγράμματος βάσι συγκκριμένων κριτηρίων αξιοπιστίας και λιτουργικότητας καθώς και μ τη δινέργια πιλοτικών αναλύσων. Η διαδικασία πιλογής καθώς και τα βασικά χαρακτηριστικά του προγράμματος που τλικά πιλέχθηκ παρουσιάζονται στις πόμνς νότητς Κριτήρια πιλογής και δοκιμαστική χρήση διαθέσιμων προγραμμάτων Η πιλογή του κατάλληλου λογισμικού για τις ανάγκς της παρούσας ανάλυσης βασίστηκ σ μία σιρά κριτηρίων, τα οποία σχτίζονται τόσο μ τις δυνατότητς προσομοίωσης, πίλυσης και μτπξργασίας όσο και μ την αξιοπιστία των παραγόμνων αποτλσμάτων. Τα σημαντικότρα ξ αυτών ίναι τα ξής : Παρουσία σύγχρονου και αξιόπιστου καταστατικού νόμου για το σκυρόδμα (υπό τριαξονική πιπόνηση). Παρουσία κατάλληλων χωρικών ππρασμένων στοιχίων, η συμπριφορά των οποίων να διέπται από τον προαναφρθέντα καταστατικό νόμο σκυροδέματος. Δυνατότητα προσομοίωσης των οπλισμών μ διακριτή ή, κατά προτίμηση, μφυτυμένη μορφή. Αξιόπιστοι αλγόριθμοι πίλυσης των ξισώσων ισορροπίας, οι οποίοι να πιτρέπουν την καταγραφή της απόκρισης του φορέα πέρα από το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής. 55

90 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Εύχρηστο γραφικό πριβάλλον για τη δημιουργία του προσομοιώματος και τη μτπξργασία των αναλυτικών αποτλσμάτων. Διαθσιμότητα του προγράμματος μ μορφή πλήρους ή έστω δοκιμαστικής έκδοσης. Το μιονέκτημα όσον αφορά την πιλογή νός κατάλληλου γνικού προγράμματος ππρασμένων στοιχίων ίναι ότι πιδή οι δυνατότητές του συνήθως κτίνονται ταυτόχρονα σ πολλούς πιστημονικούς τομίς (δομικές κατασκυές, μηχανολογία, ρυστομηχανική, θρμοδυναμική, ηλκτρομαγνητισμός κλπ), η παρκής αντιμτώπιση των μη γραμμικών καταστατικών νόμων των υλικών και των ιδιαιτροτήτων της προσομοίωσης φορέων οπλισμένου σκυροδέματος (όπως η αλληλπίδραση οπλισμών και σκυροδέματος) ίναι συνήθως πολύ πριορισμένη. Από ένα σύνολο διαθέσιμων μπορικών προγραμμάτων, τα οποία διατίθνται για την προσομοίωση φορέων άοπλου ή οπλισμένου σκυροδέματος (π.χ. ADINA, ANSYS, ABAQUS, DIANA), ξτάστηκ αρχικά η καταλληλότητα του προγράμματος ADINA (ADINA, 23) το οποίο θωρήθηκ (από την αρχική μλέτη της σχτικής βιβλιογραφίας) ότι καλύπτι ένα σημαντικό μέρος των παραπάνω κριτηρίων. Ωστόσο, η πραγματική μπιρία χρήσης του προγράμματος ADINA, αρχικά σ ανάλυση πίπδων και στη συνέχια χωρικών φορέων άοπλου και οπλισμένου σκυροδέματος, έδιξ ότι αυτό δν καλύπτι τις προαναφρθίσς ανάγκς της παρούσας διατριβής, για τους παρακάτω λόγους, κατά σιρά βαρύτητας : Παρουσιάστηκαν προβλήματα σύγκλισης του μη γραμμικού προβλήματος στην πριοχή ανάπτυξης της μέγιστης αντοχής του φορέα και πομένως αδυναμία καταγραφής του κατρχόμνου (φθιτού) κλάδου της απόκρισης του σκυροδέματος υπό μονότονη φόρτιση (ξαναγκασμένη μτακίνηση), μ αποτέλσμα να ίναι αδύνατον να προσδιοριστούν βασικές παράμτροι όπως η οριακή παραμόρφωση και η πλαστιμότητα του φορέα. Στα σχήματα 3.1 και 3.2 παρουσιάζονται παραδίγματα φαρμογής του προγράμματος σ φορίς στο πίπδο και στο χώρο αντίστοιχα, στα οποία μφανίζται η παραπάνω αδυναμία. Η ναλλακτική μορφή φόρτισης μ βάση τις δυνάμις δν πέλυσ το παραπάνω πρόβλημα λόγω της απουσίας κατάλληλου αλγόριθμου πίλυσης (π.χ. arclength). Επίσης δν υπάρχι η δυνατότητα συνέχισης της ανάλυσης πέρα από την πίτυξη του μέγιστου αριθμού παναλήψων, η οποία θα μπορούσ να δώσι κάποια λύση, έστω και μ μιωμένη ακρίβια. Ο καταστατικός νόμος σκυροδέματος (Bathe, 1982) βασίζται στη θωρία της μη γραμμικής λαστικότητας, η οποία έχι ξπραστί από πιο σύγχρονς προσγγίσις (θωρία πλαστικότητας, θραύσης, μικροπιπέδων κλπ), ιδιαίτρα για την προσομοίωση του σκυροδέματος στις τρις διαστάσις. Επιπλέον, το κριτήριο διαρροής του καταστατικού νόμου δ βασίζται σ κάποια γνωστή διατύπωση της βιβλιογραφίας 56

91 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης (DruckerPrager, WillamWarnke κλπ) αλλά ίναι αρκτά προσγγιστικό και βαθμονομίται μ δυσκολία. 1 8 kn 2Ø Ø m.6 Σχήμα 3.1 Δοκιμαστική φαρμογή του προγράμματος ADINA σ πίπδο φορέα (δοκός οπλισμένου σκυροδέματος σ κάμψη) 2 kn m.2 Σχήμα 3.2 Δοκιμαστική φαρμογή του προγράμματος ADINA σ χωρικό φορέα (υποστύλωμα οπλισμένου σκυροδέματος μ συνθήκς πάκτωσης στην κφαλή και τον πόδα, υπό κατακόρυφη θλίψη) Η διαδικασία προσομοίωσης του φορέα στο γραφικό προπξργαστή ήταν χρονοβόρα και πίπονη λόγω έλλιψης βασικών λιτουργιών (π.χ. πολλαπλή αντιγραφή στοιχίων), αλλά κυρίως λόγω της διακριτής προσομοίωσης των οπλισμών (κοινή τοπολογία κόμβων στοιχίων σκυροδέματος και οπλισμών), η οποία θέτι σημαντικούς πριορισμούς στον καθορισμό της πυκνότητας και της κανονικότητας διακριτοποίησης του φορέα (Σχ. 3.3 αριστρά). Επίσης υπάρχι έλλιψη ανάλογων αυτοματισμών όσον αφορά τη μτπξργασία των αριθμητικών αποτλσμάτων, γγονός που σ συνδυασμό μ τα προηγούμνα καθιστά πρακτικά αδύνατη τη δινέργια μγάλου όγκου αναλύσων στο πλαίσιο μιας παραμτρικής διρύνησης. 57

92 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.3 Διακριτοποίηση διατομών πρισφιγμένου υποστυλώματος μ διακριτή (αριστρά) και μφυτυμένη (δξιά) προσομοίωση οπλισμών Για τους παραπάνω λόγους έγιν και δύτρη πιλογή μπορικού προγράμματος ππρασμένων στοιχίων, συγκκριμένα του προγράμματος ΑΤΕΝΑ (Červenka et al., 27), το οποίο έχι αναπτυχθί σχτικά πρόσφατα (227) και ίναι ιδικά προσανατολισμένο στην ανάλυση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος στο πίπδο ή στο χώρο. Η χρήση του προγράμματος ΑΤΕΝΑ ανέδιξ βλτιωμένα χαρακτηριστικά, τα οποία συνοψίζονται στα ξής : Παρουσιάζται νγένι σταθρότητα στην πριοχή της μέγιστης αντοχής του ξταζόμνου φορέα και καταγράφται μ πιτυχία η πορία χαλάρωσης του υλικού, η οποία συνοδύται και από ρηγμάτωση του σκυροδέματος. Η παραπάνω διαπίστωση ισχύι υπό οποιαδήποτ μορφή φόρτισης του φορέα (μτακινήσις ή δυνάμις). Στα σχήματα 3.4 και 3.5 παρουσιάζονται τα συγκριτικά διαγράμματα της απόκρισης των φορέων των σχημάτων 3.1 και 3.2 αντίστοιχα, μταξύ των προγραμμάτων ΑΤΕΝΑ και ADINA, όπου ίναι φανρή η υπροχή του πρώτου. Διατίθται ένας σύγχρονος καταστατικός νόμος θραύσης πλαστικότητας (Červenka et al., 1998) μ πριορισμένο αριθμό παραμέτρων και απλή σχτικά βαθμονόμηση. Η διαδικασία δημιουργίας του προσομοιώματος (μοντέλου) μέσω του γραφικού προπξργαστή ίναι φιλική στο χρήστη μ πολλές δυνατότητς πξργασίας. Σημαντικό πλονέκτημα ίναι η δυνατότητα μφυτυμένης προσομοίωσης των στοιχίων οπλισμού, η οποία ανξαρτητοποιί πλήρως την τοπολογία τους από την αντίστοιχη των στοιχίων σκυροδέματος (Σχ. 3.3 δξιά). Ο γραφικός μτπξργαστής των αναλυτικών αποτλσμάτων ίναι προσαρμοσμένος στις ιδιαιτρότητς της ανάλυσης αποτλσμάτων φορέων οπλισμένου σκυροδέματος 58

93 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης (π.χ. ξχωριστή απικόνιση σκυροδέματος και οπλισμών) και παρέχι τη δυνατότητα πίπδων τομών μ οποιονδήποτ προσανατολισμό. Η δομή του προγράμματος υνοί την ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού για την καλύτρη προσαρμογή του στις ανάγκς του κάστοτ προβλήματος καθώς και την υκολότρη συλλογή και πξργασία των αναλυτικών αποτλσμάτων. 1 kn 2Ø26 ADINA 8 ATENA 6 4 2Ø m.12 Σχήμα 3.4 Σύγκριση μταξύ των προγραμμάτων ADINA και ATENA σ πίπδο φορέα (δοκός οπλισμένου σκυροδέματος σ κάμψη) και πορία ρηγμάτωσης του σκυροδέματος κατά τη φόρτιση 2 kn ADINA ATENA m.35 Σχήμα 3.5 Σύγκριση μταξύ των προγραμμάτων ADINA και ATENA σ χωρικό φορέα (υποστύλωμα οπλισμένου σκυροδέματος) και πορία ρηγμάτωσης του σκυροδέματος κατά τη φόρτιση Για τους παραπάνω λόγους θωρίται ότι το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ ίναι σ θέση να αποτλέσι ένα ισχυρό αναλυτικό υπόβαθρο για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας καλύπτοντας σχδόν το σύνολο των απαιτούμνων κριτηρίων. Βέβαια, το συγκκριμένο πρόγραμμα, αν και θωρητικά ίναι προσανατολισμένο στην ανάλυση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος και δν παρουσιάζι αριθμητικά προβλήματα κατά τη μη γραμμική ανάλυση, νδέχται να μην ανταποκριθί πλήρως στην προσομοίωση του φυσικού 59

94 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης μηχανισμού της πρίσφιξης (αύξηση αντοχής και ικανότητας παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος) στο πλαίσιο μιας νγένι απαιτητικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Για το λόγο αυτόν, μτά την παρουσίαση των βασικών χαρακτηριστικών του προγράμματος ΑΤΕΝΑ, θα ακολουθήσι μία πιλοτική ανάλυση κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος για την αξιολόγηση των πιδόσων του προγράμματος πάνω στο συγκκριμένο πρόβλημα Βασικά στοιχία και υπόβαθρο του προγράμματος ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ Στην νότητα αυτήν παρουσιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά και το θωρητικό υπόβαθρο του προγράμματος ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ, το οποίο όπως και τα πρισσότρα παρόμοια προγράμματα ακολουθί την καθιρωμένη δομή : προπξργασία (preprocessing) πίλυση (solution) μτπξργασία (postprocessing). Ο όρος προπξργασία αφορά το σύνολο των απαραίτητων νργιών για τη δημιουργία του αναλυτικού προσομοιώματος (μοντέλου), οι βασικότρς των οποίων ίναι οι ξής : Ορισμός των παραμέτρων των καταστατικών νόμων (σκυρόδμα χάλυβας) Ορισμός της γωμτρίας του φορέα Ορισμός των συνοριακών συνθηκών και φορτίσων Ορισμός των σημίων καταγραφής (monitoring points) αριθμητικών αποτλσμάτων Διακριτοποίηση του φορέα Ορισμός των φορτιστικών βημάτων και των παραμέτρων του αλγορίθμου πίλυσης Το δύτρο στάδιο αφορά την πίλυση του γραμμικού ή μη προβλήματος και την καταγραφή των αντίστοιχων αναλυτικών αποτλσμάτων. Τέλος, στο στάδιο της μτπξργασίας λαμβάνται η γραφική απικόνιση του παραμορφωμένου φορέα και των αντίστοιχων μγθών απόκρισης σ χρωματική κλίμακα (μτακινήσις, δυνάμις, παραμορφώσις, τάσις) καθώς και οι αντίστοιχς αριθμητικές τιμές Γνικά χαρακτηριστικά του προγράμματος Στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ τα παραπάνω βασικά στάδια ίτ νσωματώνονται σ ολοκληρωμένς κλιστές φαρμογές (ΑΤΕΝΑ2D για πίπδους φορίς και ΑΤΕΝΑ3D για χωρικούς φορίς), ίτ η διαχίριση τους μπορί να γίνι ντλώς ανξάρτητα μ τη χρήση αρχίων κιμένου (text ή ASCII format) δδομένων και αποτλσμάτων. Η πρώτη μορφή έχι τα σημαντικά πλονκτήματα της φιλικότητας και της υκολίας χρήσης λόγω του νοποιημένου γραφικού πριβάλλοντος (Σχ. 3.6), αλλά χαρακτηρίζται από πριορισμένη 6

95 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης υλιξία όσον αφορά αφνός τη συλλογή και την πξργασία των πιθυμητών αποτλσμάτων (για παράδιγμα δν υποστηρίζται προς το παρόν καταγραφή αριθμητικών αποτλσμάτων σ πίπδο πιφάνιας (surface monitors), η οποία ίναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό της συνολικής αντίδρασης του φορέα) και αφτέρου τη διαχίριση μγάλου αριθμού και όγκου αναλύσων. Επομένως για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας, η οποία απαιτί μγάλο αριθμό προσομοιωμάτων (τα οποία μ τη σιρά τους ξάγουν σημαντικό όγκο αριθμητικών αποτλσμάτων) ακολουθίται αναγκαστικά η δύτρη προσέγγιση (Σχ. 3.7), η οποία αν και συγκριτικά πιο απαιτητική στη χρήση προσφέρι σημαντικά πρισσότρς δυνατότητς. Οι δυνατότητς αυτές μπορούν να προσαρμοστούν κατάλληλα στο ξταζόμνο πρόβλημα μέσω ανάπτυξης βοηθητικού λογισμικού (λόγω της συμβατότητας που ξασφαλίζι η μορφή κιμένου των αρχίων δδομένων και αποτλσμάτων), όπως θα παρουσιαστί στις πόμνς νότητς. ΑΤΕΝΑ 2D (227) Προπξργασία Επίλυση Μτπξργασία ΑΤΕΝΑ 3D (2527) Προπξργασία Επίλυση Μτπξργασία Σχήμα 3.6 Το ολοκληρωμένο γραφικό πριβάλλον του προγράμματος ΑΤΕΝΑ για ανάλυση σ δύο (2D) και τρις (3D) διαστάσις 61

96 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.7 Ανξάρτητη λιτουργία των σταδίων προπξργασίας, ανάλυσης και μτπξργασίας στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ 62

97 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Για την προσομοίωση του σκυροδέματος, το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ διαθέτι μία σιρά ισοπαραμτρικών στρών ππρασμένων στοιχίων μ τέσσρις, πέντ και έξι έδρς (Σχ. 3.8), τα οποία μπορούν να συνδυαστούν κατάλληλα, ανάλογα μ τη γωμτρία του φορέα που πρόκιται να διακριτοποιηθί. Τα στοιχία αυτά διαθέτουν τρις μταφορικούς βαθμούς λυθρίας ανά κόμβο και ακολουθούν έναν καταστατικό νόμο σκυροδέματος, ο οποίος θα πριγραφί στη συνέχια. Στην παρούσα έρυνα, η μπιρία φαρμογής έδιξ ότι τα ξάδρα στοιχία παρκούν για τη διακριτοποίηση ορθογωνικών ή κοίλων κυκλικών διατομών νώ για τη διακριτοποίηση κυκλικών συμπαγών διατομών ίναι απαραίτητη και η παρουσία πντάδρων στοιχίων. Ττράδρο στοιχίο (tetrahedral element) Πντάδρο στοιχίο (wedge ή prism element) Εξάδρο στοιχίο (brick element) 4 έως 1 κόμβοι 1 ή 4 σημία ολοκλήρωσης 6 έως 15 κόμβοι 8 ή 27 σημία ολοκλήρωσης 8 έως 2 κόμβοι 6 ή 9 σημία ολοκλήρωσης Σχήμα 3.8 Τύποι στρών ππρασμένων στοιχίων για την προσομοίωση του σκυροδέματος Για την προσομοίωση των οπλισμών το πρόγραμμα διαθέτι γραμμικά στοιχία ράβδου δύο ή τριών κόμβων μ ένα μταφορικό βαθμό λυθρίας ανά κόμβο στην αξονική τους διύθυνση (Σχ. 3.9), τα οποία όπως σημιώθηκ και προηγουμένως μπορούν να μφυτυτούν στα στρά στοιχία σκυροδέματος. Κατά τη διαδικασία αυτή, το πρόγραμμα τοποθτί αυτόματα πιπλέον (ικονικούς) κόμβους στα σημία τομής μταξύ των γραμμικών στοιχίων του οπλισμού και των δρών των στρών στοιχίων σκυροδέματος και συνδέι κινηματικά τους αντίστοιχους βαθμούς λυθρίας μταξύ των δύο υλικών. Επιπλέον, υπάρχι και η δυνατότητα κατανμημένης προσομοίωσης των οπλισμών στον όγκο του ππρασμένου στοιχίου, η οποία όμως λόγω της νγένι μιωμένης ακρίβιας δν ξυπηρτί τις ανάγκς της παρούσας ανάλυσης. Οι συναρτήσις μορφής όλων των παραπάνω ππρασμένων στοιχίων μπορούν να βρθούν στο γχιρίδιο θωρίας του προγράμματος (Červenka et al., 27). 63

98 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Γραμμικό στοιχίο ράβδου (truss element) 2 ή 3 κόμβοι 1 ή 2 σημία ολοκλήρωσης Σχήμα 3.9 Γραμμικό ππρασμένο στοιχίο ράβδου για την προσομοίωση των οπλισμών Το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ διαθέτι κατάλληλους καταστατικούς νόμους για τον υπολογισμό της μη γραμμικής απόκρισης του σκυροδέματος, τόσο στο πίπδο όσο και στο χώρο. Για ανάλυση αποκλιστικά στο πίπδο διατίθται ένας νόμος μη γραμμικής λαστικότητας (SBETA) (Červenka, 1985), ο οποίος μπορί να αποδοθί σ στοιχία μμβράνης πίπδης έντασης, νώ για ανάλυση στο χώρο, στην οποία θα πικντρωθί η παρούσα έρυνα, διατίθται ένας συνδυασμένος καταστατικός νόμος θραύσης πλαστικότητας (NonLinCementitious2), ο οποίος μπορί να αποδοθί σ στρά ππρασμένα στοιχία και αποτλίται από δύο ανξάρτητα τμήματα που πριγράφουν τη συμπριφορά του σκυροδέματος σ φλκυσμό και θλίψη αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό της συνολικής μη γραμμικής απόκρισης του υλικού τα παραπάνω τμήματα συντίθνται μ μία κατάλληλη παναληπτική διαδικασία, η οποία θα πριγραφί σ πόμνη νότητα. Η λιτουργία του συνδυασμένου καταστατικού νόμου βασίζται στην αρχή της αποσύζυξης των λαστικών ( e ij ), πλαστικών ( p ij ) και θραυστικών (δηλ. μτά τη ρηγμάτωση) παραμορφώσων ( f ij ) σύμφωνα μ τη σχέση (De Borst, 1986) : ij = e ij + p ij + f ij (3.1) και οι πικαιροποιημένς τιμές των τάσων υπολογίζονται σύμφωνα μ τη σχέση : σ = σ + D (d d d ) (3.2) n+ 1 n p f ij ij ijkl kl kl kl όπου οι αυξήσις p d ij και του καταστατικού νόμου αντίστοιχα. f d ij υπολογίζονται από τα τμήματα πλαστικότητας και θραύσης Καταστατικός νόμος σκυροδέματος για την πριοχή του φλκυσμού Το τμήμα θραύσης του καταστατικού νόμου (Červenka et al., 1998) ορίζι ότι η απόκριση του υλικού ίναι γραμμικά λαστική έως ότου τουλάχιστον μία από τις τρις 64

99 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης κύρις τάσις ξπράσι την φλκυστική αντοχή του σκυροδέματος (f t ). Τη στιγμή που η φλκυστική αντοχή ξπραστί σ μία από τις κύρις διυθύνσις τότ θωρίται ότι δημιουργίται ρήγμα κάθτο στη διύθυνση αυτή, διανμημένο σ ολόκληρο τον όγκο του αντίστοιχου ππρασμένου στοιχίου (μέθοδος διανμημένης ρωγμής). Για τη δινέργια του παραπάνω λέγχου φαρμόζται το κριτήριο διαρροής Rankine, το οποίο ορίζι ότι οι κύρις φλκυστικές τάσις δν μπορούν να ξπράσουν σ οποιοδήποτ στάδιο φόρτισης την αντίστοιχη φλκυστική αντοχή του υλικού : f f k = σ n n f (3.3) t k k ij i j t ή σ συντταγμένς Haigh Westergaard : f f = ξ 2 ρ cosθ 3 f t (3.4) Σχήμα 3.1 Το κριτήριο διαρροής Rankine στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, στο πίπδο Rendulic και στο πίπδο κτροπής Το κριτήριο Rankine ουσιαστικά παριστάνι τρις πιφάνις στο χώρο των κυρίων τάσων σ μορφή πυραμίδας, όπως φαίνται στο σχήμα 3.1. Μτά τη ρηγμάτωση, οι τάσις και οι παραμορφώσις του υλικού κφράζονται ως προς τις τρις διυθύνσις ανισοτροπίας (τοπικό σύστημα) μέσω των ιδιοδιανυσμάτων n k (k = 1, 2, 3). Οι διυθύνσις ανισοτροπίας στην πρίπτωση πιλογής στρφόμνων ρηγμάτων ταυτίζονται μ τις κάστοτ κύρις διυθύνσις έντασης, νώ στην πρίπτωση χρήσης σταθρών ρηγμάτων ταυτίζονται μ τις κύρις διυθύνσις τη στιγμή της πρώτης ρηγμάτωσης. Ο τανυστής των δοκιμαστικών τάσων (λαστική πρόβλψη) υπολογίζται από την παρακάτω σχέση : t σ ij = n σij Dijkl dkl + (3.5) Εάν η δοκιμαστική τάση ( t σ ) δν ικανοποιί το κριτήριο διαρροής (Εξ. 3.3), τότ η ij μικροαυξητική τιμή της θραυστικής παραμόρφωσης στη διύθυνση ανισοτροπίας k 65

100 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης υπολογίζται μέσω μιας συνθήκης που ορίζι ότι η τλική τιμή της τάσης ( n + 1 σ ) θα πρέπι να ικανοποιί τη σχέση : f f k = σ n n f = σ n n D d n n f = (3.6) n+ 1 k k t k k f k k ij i j t ij i j ijmn mn i j t ij Η παραπάνω σχέση μπορί να απλοποιηθί θωρώντας ότι το μικροαυξητικό διάνυσμα της θραυστικής παραμόρφωσης ίναι πάντα κάθτο στην πιφάνια διαρροής και ότι λέγχται μία διύθυνση ανισοτροπίας (k) κάθ φορά : f d dλ dλ n n f fk k k k k k ij = = i j σij (3.7) Από τις σχέσις (3.6) και (3.7) προκύπτι ότι η μικροαυξητική τιμή του θραυστικού πολλαπλασιαστή (dλ k ) ίναι ίση μ : dλ k = ( ) σ n n f w t k k k ij i j t t D n n n n k k k k ijmn i j m n (3.8) όπου το ύρος ρήγματος k w t στη διύθυνση ανισοτροπίας k ορίζται ως ξής : w = L (ˆ + dλ ) (3.9) k f k t t k και ο όρος L t συμβολίζι το χαρακτηριστικό μήκος του ππρασμένου στοιχίου, το οποίο θα ρμηνυτί στη συνέχια. Το σύστημα των ξισώσων (3.8) και (3.9) πιλύται μ μία κατάλληλη παναληπτική διαδικασία πιδή η φλκυστική αντοχή του σκυροδέματος (f t ) στη ρηγματωμένη κατάσταση μταβάλλται συναρτήσι του ύρους ρήγματος (w t ), σύμφωνα μ την παρακάτω φθίνουσα κθτική συνάρτηση (Hordijk, 1991) (Σχ. 3.11) : σ f w w 3 w t w c2 t w w to t 3 c 2 = 1+ c1 e (1+ c 1) e t to to (3.1) όπου : c 1 = 3, c 2 = 6.93 και w o = 5.14 G f / f t Το ύρος ρήγματος που αντιστοιχί στο μηδνισμό της φλκυστικής τάσης (w to ) ορίζται μ βάση την νέργια θραύσης του σκυροδέματος (G f ), η οποία ισούται μ το μβαδόν του αντίστοιχου διαγράμματος φλκυστικής τάσης ύρους ρήγματος και συμβολίζι την απώλια νέργιας λόγω ρηγμάτωσης στη μονάδα όγκου του υλικού. Ο 66

101 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης όρος L t στη σχέση (3.9) αποτλί το χαρακτηριστικό μήκος του ππρασμένου στοιχίου, διατύπωση η οποία μπίπτι στη γνικότρη θωρία της ζώνης ρηγμάτωσης (Bažant & Oh, 1983) και αποσκοπί τόσο στην προσομοίωση του φαινομένου της τοπικής συγκέντρωσης των παραμορφώσων κατά τη ρηγμάτωση του υλικού, όσο και στη μίωση της υαισθησίας της ανάλυσης ως προς την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης. Στη βιβλιογραφία έχουν προταθί διάφορς μέθοδοι για τον προσδιορισμό του χαρακτηριστικού μήκους (L t ) (π.χ. Olivier, 1989, Feenstra & De Borst, 1996). Στο συγκκριμένο καταστατικό νόμο ορίζται ως το μήκος της προβολής του ρηγματωμένου στοιχίου στην αντίστοιχη διύθυνση ανισοτροπίας (κάθτη στη ρηγμάτωση). Έχι αποδιχθί (Červenka et al., 1995) ότι η συγκκριμένη προσέγγιση δίνι ικανοποιητικά αποτλέσματα για στρά ππρασμένα στοιχία χαμηλής τάξης (οκτάκομβα), τα οποία πρόκιται να χρησιμοποιηθούν στην παρούσα αναλυτική έρυνα. Σχήμα 3.11 Συνάρτηση φλκυστικής τάσης σκυροδέματος ύρους ρήγματος και χαρακτηριστικό μήκος Μ την ανάπτυξη του όρου παναληπτική διαδικασία συγκλίνι φόσον ισχύι η σχέση : k f(w t ) σ μία σιρά Taylor αποδικνύται ότι η παραπάνω k f(w t ) < w D n n n n k k k k ijmn i j m n L t (3.11) Η σχέση (3.11) παύι να ισχύι στην πρίπτωση χαλαρούμνων υλικών (όπως το σκυρόδμα) μόνο όταν παρατηρίται σημίο αντίστροφης καμπής (snapback) στην καμπύλη αντίστασης του αντίστοιχου προσομοιώματος (βλ. Σχ. 2.11), γγονός το οποίο μπορί να συμβί μόνο άν γίνι χρήση ππρασμένων στοιχίων μγάλου μγέθους. Στην κλασική μέθοδο ππρασμένων στοιχίων μ δδομένο βήμα παραμόρφωσης ίναι αδύνατον να προσομοιωθί μία τέτοια συμπριφορά σ πίπδο καταστατικού νόμου. Αυτό σημαίνι ότι κατά τη διάρκια της ανάλυσης, ένα πιθανό σημίο αντίστροφης 67

102 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης καμπής θα αγνοηθί μ αποτέλσμα την υπρκτίμηση της απορροφώμνης νέργιας του συστήματος. Για το λόγο αυτόν θα πρέπι τα ππρασμένα στοιχία να έχουν διαστάσις μικρότρς από : min(d kkkk ) Lt < f() t w (3.12) f() t όπου ίναι η αρχική κλίση της καμπύλης του σχήματος Μία τυπική τιμή που w προκύπτι από τη σχέση 3.12 για τη μέγιστη τιμή του χαρακτηριστικού μήκους (ξαρτάται από τις τιμές των E, ν, f t και G f ) ίναι πρίπου.6 m και καλύπτι πλήρως τις ανάγκς της παρούσας ανάλυσης. Είναι πίσης σημαντικό να γίνι διάκριση μταξύ της συνολικής θραυστικής παραμόρφωσης ( ˆ ) στη διύθυνση ανισοτροπίας k, η οποία αντιστοιχί στη μέγιστη f k θραυστική παραμόρφωση που καταγράφται κατά τη διάρκια της φορτιστικής διαδικασίας, και της τρέχουσας θραυστικής παραμόρφωσης ( ), η οποία νδέχται να ίναι μικρότρη λόγω πιθανού κλισίματος των ρηγμάτων. Οι θραυστικές παραμορφώσις στο τοπικό σύστημα ( ), το οποίο ορίζται από τα ιδιοδιανύσματα n k, υπολογίζονται μ f ij βάση την παρακάτω μητρωική σχέση (Rots & Blaauwendraad, 1989) : f ij f cr 1 = ( D+ D ) D (3.13) όπου cr D ίναι το καταστατικό μητρώο της ρηγματωμένης πριοχής στο τοπικό σύστημα, το οποίο προκύπτι από τη σχέση : σ = D (3.14) cr f ij ijkl kl Στην παρούσα διατύπωση θωρίται ότι δν υπάρχι αλληλπίδραση μταξύ ορθών και διατμητικών τάσων, οπότ οι μη μηδνικοί όροι του τανυστή D δίνονται από τις σχέσις : cr ijkl Όροι καταστατικού μητρώου ρηγματωμένης πριοχής για στάδιο Ι : cr kkkk k f(w t ) f ˆ k D = (χωρίς άθροιση δικτών) (3.15) 68

103 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Όροι καταστατικού μητρώου ρηγματωμένης πριοχής για στάδια ΙΙ και ΙΙΙ : ( ) D = min D,D r (χωρίς άθροιση δικτών και μ i j) (3.16) cr cr cr g ijij iiii jjjj όπου r g ίναι ο συντλστής διατμητικής συνοχής του ρήγματος (shear retention factor) ο οποίος ισάγται ως παράμτρος υλικού. Σ αντίθση μ την κλασική διατύπωση όπου ο συντλστής διατμητικής συνοχής πιδρά ως μιωτικός συντλστής στο μέτρο διάτμησης (G) του υλικού, δώ αποτλί το λόγο μταξύ των διατμητικών (Εξ. 3.15) και ορθών (Εξ. 3.16) όρων του καταστατικού μητρώου της ρηγματωμένης κατάστασης. Οι συνιστώμνς τιμές για το r g κυμαίνονται μταξύ 1 και 1. Εξάλλου, για να αποφυχθί ο απιρισμός των σχέσων (3.15) και (3.16) πριν την έναρξη της ρηγμάτωσης ( ˆ = ), αρχικά τίθνται μγάλς τιμές στους αντίστοιχους όρους ορθής δυσκαμψίας : f k D f() cr t kkkk = (3.17) μ όπου μ ίναι ένας μικρός αριθμός (ή, ισοδύναμα, η αρχική τιμή της μέγιστης θραυστικής παραμόρφωσης ( ˆ ) τίθται ίση μ μ). f k Το πιβατικό καταστατικό μητρώο στο τοπικό σύστημα προκύπτι από τη σχέση (3.2) μ χρήση της σχέσης (3.13) : cr 1 D S = D D ( D + D) D (3.18) Το καθολικό πιβατικό καταστατικό μητρώο προκύπτι από το αντίστοιχο τοπικό μ τη χρήση νός μητρώου μτασχηματισμού (Τ). Στο σχήμα 3.12 απικονίζται ένα λπτομρές διάγραμμα ροής της λιτουργίας του τμήματος θραύσης του καταστατικού νόμου. D = T D T (3.19) T S S 69

104 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης n σ ij n ij f ˆ k T ij dij n n T ij ij = n ij k k f w = ˆ k /Lt t k Άν σ kk > f(w t ) n σ = T T σ d ij = Tim Tjndmn n ij im jn mn k f w = ˆ k /Lt β = n dσ k f(w t ) kk n σ kk σ = σ + β dσ n ij ij ij d = (1 β) d ij ij f() Άν σ kk > f(w ) k cr t cr t D kkkk = D kkkk = μ f ˆ k dλ r+ 1 = t ( ˆ k ) t ( k) w = L + dλ k f r t σ f w kk D kkkk r 1 r Έως dλ + dλ < ανοχή ( ) cr ( ) 1 D = min D,D r cr cr cr g ijij iiii jjjj D = D D D + D D S dσ = D d S ij ijmn mn t () * σ = σ + dσ n ij ij ij S D ˆ = ˆ + dλ f k f k f(w ) σ k n cr t kk kkkk = f ˆ k ( ) D = min D,D r cr cr cr g ijij iiii jjjj cr ( ) 1 D = D D D + D D σ = σ + D d t n S ij ij ijmn mn () * () * σ S ii σ jj D ijij =, i j 2 ii jj n+ 1 t σij = Tim Tjn σ mn f 1 n 1 n d = D ( + σ σ D d ) Σχήμα 3.12 Διάγραμμα ροής της λιτουργίας του καταστατικού νόμου για την πριοχή του φλκυσμού 7

105 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Ένα πιπλέον χαρακτηριστικό του προγράμματος, όσον αφορά το τμήμα θραύσης του καταστατικού νόμου, ίναι η προσομοίωση του φαινομένου της συμβολής του χάλυβα στην φλκυστική αντοχή του σκυροδέματος (tension stiffening), το οποίο ανακόπτι το ρυθμό μίωσης των φλκυστικών τάσων του σκυροδέματος κάθτα σ μία διανμημένη ρωγμή. Αυτό πιτυγχάνται μ την πιβολή νός κάτω ορίου στην φλκυστική αντοχή του σκυροδέματος μέσω μιας πρόσθτης παραμέτρου (c ts ), η οποία για φορίς οπλισμένου σκυροδέματος τίθται ίση μ.4 σύμφωνα μ τις διατάξις του MC9 (CEB, 1993) (Σχ. 3.13) και για άοπλο σκυρόδμα μηδνίζται. Σχήμα 3.13 Προσομοίωση του φαινομένου της φλκυστικής συμβολής του χάλυβα στη δυσκαμψία του σκυροδέματος Οι παράμτροι του τμήματος θραύσης του καταστατικού νόμου βαθμονομήθηκαν συναρτήσι της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (f c ) βάσι κανονιστικών σχέσων της βιβλιογραφίας. Συγκκριμένα, η μέση μονοαξονική φλκυστική αντοχή του σκυροδέματος προκύπτι από τη σχέση : f = c ft (3.2) η οποία ισχύι τόσο για σκυροδέματα τόσο συνήθους όσο και υψηλής αντοχής (CEB WG on HSC/HPC, 1995). Η νέργια θραύσης (G f ) ορίζται σύμφωνα μ τις διατάξις του ΜC9 (CEB, 1993) συναρτήσι της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (f c ) και του μέγιστου κόκκου αδρανούς (d) ως ξής : G f.7 fc Gf 1 = (/m) (3.21) 1 71

106 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης όπου G f =.3 για τη συνήθη τιμή μέγιστου κόκκου αδρανούς d = 16 mm Καταστατικός νόμος σκυροδέματος για την πριοχή της θλίψης Το τμήμα πλαστικότητας του καταστατικού νόμου, το οποίο πριγράφι τη συμπριφορά του σκυροδέματος σ θλίψη, μπίπτι στην κλασική θωρία πλαστικότητας, όπως πριγράφηκ στο προηγούμνο κφάλαιο ( 2.3). Παρακάτω γίνται μία σύντομη αναφορά στα ιδιαίτρα χαρακτηριστικά του συγκκριμένου νόμου (κριτήριο διαρροής, παράμτρος και συναρτήσις κράτυνσης/χαλάρωσης και συνάρτηση πλαστικού δυναμικού), νώ κτνέστρη αναφορά θα γίνι σ πόμνη νότητα όπου θα πριγραφούν προτινόμνς βλτιώσις στις υφιστάμνς καταστατικές ξισώσις. Το κριτήριο διαρροής του καταστατικού νόμου πλαστικότητας ίναι το κριτήριο τριών παραμέτρων των Menétrey & Willam (1995), το οποίο διατυπώνται σ συντταγμένς HaighWestergaard ως ξής : 2 ρ ρ ξ = + + = p f (ξ,ρ,θ) 1.5 m r(θ,e) c(κ) k(κ) f c 6 k(κ) fc 3 k(κ) f c (3.22) όπου ο όρος m ίναι η παράμτρος σωτρικής τριβής του υλικού : m = 3 ( ) ( ) 2 2 k(κ) fc λt ft e k(κ) f λ f e+ 1 c t t (3.23) και r(θ,e) ίναι μία λλιπτική συνάρτηση η οποία ορίζται ως ξής : r(θ,e) = (1 e ) cos θ + (2e 1) 2 (1 e ) cosθ + (2e 1) [4 (1 e ) cos θ + 5e 4e] /2 (3.24) Σχήμα 3.14 Το κριτήριο διαρροής MenétreyWillam στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων, στο πίπδο Rendulic και στο πίπδο κτροπής 72

107 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Οι τρις παράμτροι που καθορίζουν το σχήμα και το μέγθος του κριτηρίου διαρροής ίναι η μέση τιμή της μονοαξονικής θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (f c ), η αντίστοιχη μέση μονοαξονική φλκυστική αντοχή (f t ) και η παράμτρος κκντρότητας (e). Πρέπι να σημιωθί ότι υπάρχι η δυνατότητα διαφοροποίησης της φλκυστικής αντοχής του σκυροδέματος που χρησιμοποιίται στο τμήμα πλαστικότητας από κίνη που χρησιμοποιίται στο τμήμα θραύσης μέσω της σταθράς μγέθυνσης (λ t ) (scaling factor). Η παρουσία της σταθράς αυτής, μ προπιλγμένη (ή ρήμην default) τιμή λ t = 2, ξασφαλίζι αφνός βλτιωμένη σύγκλιση μταξύ αναλυτικής και πιραματικής τριαξονικής θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (θα αποδιχθί σ πόμνη νότητα) και αφτέρου την αλληλοτομία μταξύ των πιφανιών διαρροής των δύο ανξάρτητων τμημάτων (θραύσης και πλαστικότητας) του καταστατικού νόμου (Σχ. 3.15), η οποία απαιτίται για τη σύγκλιση της παναληπτικής διαδικασίας σύνθσης των τμημάτων αυτών. Η παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης (κ) ή ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση p ( eq ) ορίζται ως η λάχιστη αλγβρική τιμή μταξύ των όρων του τανυστή των πλαστικών παραμορφώσων. Σ μικροαυξητική μορφή : dκ = d = min (d ) (3.25) p eq p ij Η συνάρτηση κράτυνσης ίναι λλιπτικής μορφής και βασίζται στην παραπάνω ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση : p p eq,t eq k( eq) = ko + 1 ko 1 p eq,t p k(κ) = ( ) 2 (3.26) όπου p eq,t ίναι η ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση στη μέγιστη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος και προκύπτι από τη διαφορά μταξύ των αντίστοιχων τιμών της e συνολικής ( ) και της λαστικής παραμόρφωσης ( = f /E ). Η τιμή k o που αντιστοιχί c c c c στην πιφάνια αρχικής διαρροής και κατά συνέπια στην έναρξη της κράτυνσης του υλικού ορίζται ως ξής : k o = σ co / f c (3.27) όπου σ co ίναι η αντίστοιχη μονοαξονική τάση του σκυροδέματος που οριοθτί την έναρξη της πλαστικής ροής (θα πρέπι σ co > f t για να ισχύουν οι ξισώσις του κριτηρίου διαρροής) και συνήθως θωρίται ίση μ το 3 έως 4 % της αντίστοιχης μονοαξονικής αντοχής του σκυροδέματος. 73

108 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.15 Αλληλοτομία των πιφανιών Rankine και MenétreyWillam για λ t = 2 και έλλιψη αλληλοτομίας για λ t = 1 Η συνάρτηση χαλάρωσης ίναι γραμμικής μορφής (Εξ. 3.28) και βασίζται τόσο στην ισοδύναμη πλαστική παραμόρφωση όσο και στο μήκος της ζώνης σύνθλιψης του σκυροδέματος (L c ), το οποίο ορίζται (κατ αναλογία μ το χαρακτηριστικό μήκος (L t ) για τη θραύση) ως το μήκος της προβολής του θλιβόμνου ππρασμένου στοιχίου στη διύθυνση της μέγιστης θλιπτικής κύριας τάσης. Το γινόμνο των παραπάνω δύο όρων αποτλί την πλαστική μτακίνηση της ζώνης σύνθλιψης (w c ), η μέγιστη τιμή της οποίας ισάγται στον καταστατικό νόμο ως παράμτρος υλικού μ προπιλγμένη τιμή w co =.5 mm για σύνηθς σκυρόδμα (Van Mier, 1986, Červenka et al., 27) και αντιστοιχί στην πλήρη απώλια της συνοχής του υλικού. Ο ττραγωνικός κθέτης στη σχέση (3.28) διασφαλίζι τη συμβατότητα της συνάρτησης χαλάρωσης μ το δυτέρου βαθμού κριτήριο διαρροής MenétreyWillam. Στο σχήμα 3.16 παρουσιάζονται οι συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης του τμήματος πλαστικότητας του καταστατικού νόμου. c(κ) = w c c(w c) = 1 w co 2 (3.28) 74

109 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.16 Συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης του τμήματος πλαστικότητας του καταστατικού νόμου Η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού έχι αντίστοιχη μορφή μ αυτήν του κριτηρίου διαρροής DruckerPrager, έτσι ώστ να προκύπτι ένας μη συσχτισμένος νόμος πλαστικής ροής (g f), κατάλληλος για υλικό όπως το σκυρόδμα : g = β ξ + ρ a (3.29) Η παράμτρος πλαστικής διόγκωσης (β) ορίζται ως παράμτρος υλικού και παραμένι αμτάβλητη. Αν β > τότ προκύπτι πλαστική διόγκωση του υλικού (plastic dilation), αν β < προκύπτι πλαστική συρρίκνωση (plastic compaction), νώ αν β = η μταβολή του όγκου ίναι μόνο λαστική και ξαρτάται μόνο από το λόγο του Poisson (η ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση ίναι μηδνική). Επιδή η προπιλγμένη τιμή β = του καταστατικού νόμου δν μπορί να θωρηθί παρκής από τη στιγμή που ίναι γνωστό από την πιραματική μπιρία ότι η θλίψη του σκυροδέματος συνοδύται από πλαστική διόγκωση (π.χ. Smith et al., 1989), έγιν μία αρχική βαθμονόμηση της παραμέτρου πλαστικής διόγκωσης (β) μ βάση την παραδοχή της μηδνικής ογκομτρικής παραμόρφωσης ( v = ) στη μέγιστη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος (f c ) (Van Mier, 1986, Imran & Pantazopoulou, 1996, Grassl et al., 22). Από μία κτνή παραμτρική διαδικασία δοκιμών, κατά την οποία καταγράφηκ η ογκομτρική παραμόρφωση του άοπλου σκυροδέματος στη μέγιστη αντοχή για διάφορς τιμές των παραμέτρων β, f c, E c, ν και, προέκυψ η παρακάτω σχέση : p eq,t 2 β β f c (1 2 ν) = p 2 2 Ec eq,t (3.3) 75

110 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης από την οποία προκύπτι μία θτική ρίζα για το β που οδηγί μ ακρίβια στην παραδοχή της μηδνικής ογκομτρικής παραμόρφωσης στη μέγιστη αντοχή. Στον πίνακα 3.1 παρουσιάζονται όλς οι παράμτροι του καταστατικού νόμου σκυροδέματος : Πίνακας 3.1 Παράμτροι καταστατικού νόμου σκυροδέματος Παράμτρος καταστατικού νόμου σκυροδέματος NonLinCementitious2 ΑΤΕΝΑ Μέτρο λαστικότητας σκυροδέματος E c E Λόγος του Poisson ν MU Μονοαξονική θλιπτική αντοχή σκυροδέματος (μέση τιμή) f c FC Μονοαξονική φλκυστική αντοχή σκυροδέματος (μέση τιμή) f t FT Σταθρά μγέθυνσης της φλκυστικής αντοχής λ t FT_MULT Παράμτρος κκντρότητας κριτηρίου διαρροής e EΧC Θλιπτική τάση σκυροδέματος που ορίζι την έναρξη της πλαστικότητας σ co FC Οριακή τιμή ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης στη μέγιστη p eq,t μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος EPS_CP Μέγιστη πλαστική μτακίνηση ζώνης σύνθλιψης w co WD Παράμτρος πλαστικής διόγκωσης της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού β ΒΕΤΑ Ενέργια θραύσης G f GF Καταστατικός νόμος χάλυβα Για τον υπολογισμό της μη γραμμικής απόκρισης των οπλισμών, το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ διαθέτι ένα μονοαξονικό πολυγραμμικό καταστατικό νόμο χάλυβα (π.χ. διγραμμικό, τριγραμμικό κλπ), ο οποίος ορίζται από ζύγη τιμών τάσηςπαραμόρφωσης (Σχ. 3.17). Επίσης διαθέτι και συνθτότρους καταστατικούς νόμους που υποστηρίζουν ανακυκλιζόμνη φόρτιση και προσομοίωση της συνάφιας μταξύ χάλυβα και σκυροδέματος. Ωστόσο, στην παρούσα ανάλυση λόγω της μονοτονικότητας της φόρτισης δν ίναι απαραίτητη η χρήση ανακυκλιζόμνου νόμου χάλυβα και πίσης θωρίται νγένι τέλια συνάφια μταξύ χάλυβα και σκυροδέματος. Σχήμα 3.17 Μονοαξονικός καταστατικός νόμος χάλυβα 76

111 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Διαδικασία προσομοίωσης και αλγόριθμοι πίλυσης Για την προτοιμασία του προσομοιώματος στο γραφικό προπξργαστή (GiD, Σχ. 3.7), δίνται η δυνατότητα ορισμού των συνοριακών συνθηκών, της φόρτισης και των σημίων καταγραφής του φορέα, σ πίπδο κόμβου, γραμμής και πιφάνιας (Πίν. 3.2). Κατά τη διακριτοποίηση του φορέα που ακολουθί, ο κώδικας διασύνδσης (GiDATENA interface) μταφέρι αυτόματα όλς τις παραπάνω ιδιότητς σ πίπδο κόμβου ππρασμένου στοιχίου. Στην πρίπτωση μη γραμμικής ανάλυσης (όπως ν προκιμένω) ίναι πίσης απαραίτητο να οριστί ο αριθμός των φορτιστικών βημάτων βάσι των οποίων θα φαρμοστί η πιλγμένη φόρτιση του φορέα. Επίσης υπάρχι η δυνατότητα δημιουργίας πολλαπλών σταδίων φόρτισης (intervals) διαφορτικού μγέθους και μορφής, όπως συμβαίνι για παράδιγμα στις πιραματικές τριαξονικές δοκιμές άοπλου σκυροδέματος (π.χ. Imran, 1994). Πίνακας 3.2 Κυριότρς συνοριακές συνθήκς, φορτίσις και σημία καταγραφής Συνοριακές συνθήκς Φορτίσις Επικόμβια σημία καταγραφής Δέσμυση μτακίνησης Ελατηριακή σταθρά Δύναμη Καταναγκασμένη μτακίνηση Διαφορά θρμοκρασίας Μτακίνηση, Αντίδραση Τάση, Παραμόρφωση κατά x, y, z κατά x, y, z κατά x, y, z Τέλος, το πρόγραμμα διαθέτι κατάλληλους αλγόριθμους πίλυσης του μη γραμμικού προβλήματος (πλήρης και τροποποιημένος NewtonRaphson, arclength) και υπάρχι δυνατότητα ορισμού του μέγιστου αριθμού παναλήψων και των αντίστοιχων κριτηρίων σύγκλισης (Πίν. 3.3). Πρέπι να σημιωθί ότι το πρόγραμμα έχι τη δυνατότητα να συνχίζι τη διαδικασία πίλυσης ακόμα και αν δν ικανοποιίται το σύνολο των κριτηρίων σύγκλισης μτά από το μέγιστο αριθμό παναλήψων, έτσι ώστ να ίναι πάντα δυνατή η λήψη αριθμητικών αποτλσμάτων έστω και μικρότρης ακρίβιας από τη ζητούμνη. Η δυνατότητα αυτή αποτλί σημαντικό πλονέκτημα έναντι παρόμοιων προγραμμάτων (π.χ. ADINA), καθώς δίνι την υχέρια στον ρυνητή να κρίνι την αξιοπιστία των παραγόμνων αποτλσμάτων μ βάση το βαθμό πιθανής υπέρβασης των πιλγμένων κριτηρίων σύγκλισης. Στο σχήμα 3.18 παρουσιάζται ένα διάγραμμα φορτιστικού βήματος τιμής κριτηρίου σύγκλισης από το οποίο προκύπτι το συμπέρασμα ότι η παρατηρούμνη υπέρβαση του κριτηρίου σύγκλισης ίναι πολύ μικρή ώστ να οδηγήσι σ αναξιόπιστα αποτλέσματα. Προφανώς, αν η αντιμτώπιση ήταν διαφορτική, η πίλυση θα σταματούσ πρόωρα στο σημίο της πρώτης υπέρβασης του συγκκριμένου κριτηρίου σύγκλισης. 77

112 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πίνακας 3.3 Κριτήρια σύγκλισης αλγορίθμων πίλυσης Κριτήριο σύγκλισης (ανηγμένς τιμές) Μέγιστη αποδκτή τιμή Διαφορά μτακινήσων (Displacement error) Δυνάμις κτός ισορροπίας (Residual error) Μέγιστς δυνάμις κτός ισορροπίας (Absolute residual error) Διαφορά νέργιας (Energy error) Μέγιστος αριθμός παναλήψων (Iteration limit) 5 Σχτικό σφάλμα δύναμης (residual error) Όριο κριτηρίου Φορτιστικό βήμα Σχήμα 3.18 Διάγραμμα φορτιστικού βήματος κριτηρίου σύγκλισης 3.2 Εφαρμογή του προγράμματος ΑΤΕΝΑ στην ανάλυση κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος Το πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ, το οποίο πιλέχθηκ βάσι συγκκριμένων κριτηρίων για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας και παρουσιάστηκ στην προηγούμνη νότητα, πρέπι αρχικά να αξιολογηθί ως προς την ποιότητα των ξαγόμνων αποτλσμάτων στο πλαίσιο μιας πιλοτικής ανάλυσης κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος (βλ. και Papanikolaou & Kappos, 25). Τα αναλυτικά αποτλέσματα της πιλοτικής αυτής φαρμογής πρόκιται να συγκριθούν, όπου ίναι δυνατόν, μ αντίστοιχα πιραματικά και αναλυτικά αποτλέσματα από τη βιβλιογραφία, ώστ να ντοπιστούν πιθανά προβλήματα σ πίπδο προσομοίωσης ή καταστατικών νόμων πριν η έρυνα πκταθί στη γνικυμένη φαρμογή του προγράμματος σ βάθρα γφυρών συμπαγούς ή κοίλης διατομής. 78

113 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού Όπως πριγράφηκ στην προηγούμνη νότητα, η πιλογή της ανξάρτητης αντιμτώπισης των σταδίων προπξργασίας, πίλυσης και μτπξργασίας του προγράμματος ΑΤΕΝΑ (μέσω αρχίων κιμένου) δίνι τη δυνατότητα προσαρμογής των δυνατοτήτων του προγράμματος στις ιδιαίτρς απαιτήσις του κάστοτ ξταζόμνου προβλήματος μέσω ανάπτυξης ανξάρτητου βοηθητικού λογισμικού. Στην προκιμένη πρίπτωση, λόγω του μγάλου αριθμού, μγέθους και συνθτότητας των προσομοιωμάτων οπλισμένου σκυροδέματος που πρόκιται να ξταστούν, η διαδικασία μτπξργασίας των αποτλσμάτων προκύπτι ξαιρτικά δυσχρής και χρονοβόρος. Επίσης, ο συνολικός όγκος των αποτλσμάτων αυτών αναμένται να ξπράσι κατά πολύ τις αποθηκυτικές δυνατότητς των διαθέσιμων υπολογιστικών συστημάτων. Για το λόγο αυτόν θωρήθηκ αναγκαία η ανάπτυξη μιας σιράς βοηθητικών προγραμμάτων (σ γλώσσα προγραμματισμού Borland Delphi 7.), τα οποία στοχύουν κυρίως στην απλοποίηση και την αυτοματοποίηση των παραπάνω διαδικασιών, καθιστώντας πρακτικά φικτή τη δινέργια της παρούσας έρυνας. Το πρώτο πρόγραμμα που αναπτύχθηκ (Σχ. 3.19) έχι βασική αποστολή να συγκντρώνι σ μορφή λογιστικών φύλλων τα αριθμητικά αποτλέσματα μιας μμονωμένης ανάλυσης από όλα τα σημία καταγραφής (τα οποία δηλώνονται κατά την προτοιμασία του μοντέλου) σ όλα τα φορτιστικά βήματα. Επίσης έχι τη δυνατότητα να ξαγάγι πιλκτικά αποτλέσματα από τα αντίστοιχα δυαδικά αρχία (πιπλέον των σημίων καταγραφής) μτά το πέρας της ανάλυσης. Στα αποτλέσματα αυτά πριλαμβάνονται τα ντατικά μγέθη των οπλισμών στους νδιάμσους (ικονικούς) κόμβους, οι οποίοι δημιουργούνται αυτόματα κατά τη διαδικασία μφύτυσης των οπλισμών στα στοιχία σκυροδέματος και προφανώς δν υφίστανται πριν την κτέλση της ανάλυσης ώστ να οριστούν ως σημία καταγραφής. Πραιτέρω δυνατότητς του προγράμματος ίναι ο υπολογισμός της συνολικής αντίδρασης του φορέα από τα αντίστοιχα πικόμβια μγέθη, η μφάνιση πληροφοριών που αφορούν τις παραμέτρους της ανάλυσης και των πιδόσων του αλγορίθμου πίλυσης (αριθμός παναλήψων, κριτήρια σύγκλισης κλπ) και τέλος η παρουσίαση των αριθμητικών αποτλσμάτων στα σημία καταγραφής μ τη μορφή ποπτικών διαγραμμάτων xy. Το πλήρς λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος παρουσιάζται στο σχήμα

114 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.19 Το πρόγραμμα ξαγωγής αποτλσμάτων ( 25 γραμμές κώδικα) Σχήμα 3.2 Λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος ξαγωγής αποτλσμάτων Το δύτρο πρόγραμμα (Σχ. 3.21) έχι σκοπό τη μαζική δινέργια αναλύσων από μία πιλγμένη λίστα αρχίων δδομένων. Το πρώτο του βασικό πλονέκτημα ίναι ότι κμταλλύται τους σύγχρονους πξργαστές διπλού πυρήνα (dual core), αντιστοιχώντας το ήμισυ της παραπάνω λίστας στον κάθ πυρήνα πξργασίας. Μ τον τρόπο αυτόν ίναι δυνατή η παράλληλη κτέλση δύο αναλύσων ταυτόχρονα, πριορίζοντας στο μισό το συνολικά απαιτούμνο χρόνο. Το δύτρο πλονέκτημα ίναι ότι, μτά την κτέλση κάθ ανάλυσης, ξτάζι τα παραγόμνα αποτλέσματα και δινργί αυτόματα τους απαραίτητους υπολογισμούς, ώστ να πιλέξι μόνο κίνα τα δυαδικά (binary) αρχία 8

115 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης που αντιστοιχούν σ σημαντικά φορτιστικά βήματα (όπως π.χ. αυτό που αντιστοιχί στη μέγιστη αντοχή του φορέα), διαγράφοντας τα υπόλοιπα. Μ τον τρόπο αυτόν μιώνι δραστικά τις απαιτήσις αποθηκυτικού χώρου για κάθ προσομοίωμα, οι οποίς οφίλονται αποκλιστικά στα μγάλου μγέθους δυαδικά αρχία που πριέχουν το σύνολο των αριθμητικών αποτλσμάτων. Τέλος, έχι τη δυνατότητα να συλλέξι πληροφορίς που αφορούν την ντατική κατάσταση των οπλισμών (π.χ. φορτιστικό βήμα πρώτης διαρροής) καθώς και να αποστίλι πληροφορίς μέσω ηλκτρονικού ταχυδρομίου ( ) για την πορία ξέλιξης της συνήθως πολύωρης (έως πολυήμρης) διαδικασίας, έτσι ώστ να ίναι δυνατός ο ποπτικός έλγχος ξ αποστάσως. Το πλήρς λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος παρουσιάζται στο σχήμα Σχήμα 3.21 Το πρόγραμμα μαζικής κτέλσης αναλύσων ( 1 γραμμές κώδικα) Λίστα αρχίων Ανάγνωση.inp Αποτλέσματα.out.msg.err Προσδιορισμός σημαντικών φορτιστικών βημάτων δδομένων Πυρήνας 1 (CPU Core 1).inp Ανάλυση (ATENAConsole) Δυαδικά αρχία αποτλσμάτων Διαγραφή πριττών δυαδικών αρχίων Πυρήνας 2 (CPU Core 2) Αποστολή / SMS για έλγχο ξ αποστάσως Εξαγωγή αποτλσμάτων οπλισμών από δυαδικά αρχία Ανάκτηση συντταγμένων κόμβων οπλισμών Εξαγωγή συγκντρωτικών αποτλσμάτων Σχήμα 3.22 Λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος μαζικής κτέλσης αναλύσων 81

116 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Το τρίτο πρόγραμμα που αναπτύχθηκ (Σχ. 3.23) αποσκοπί στον υπολογισμό της μέσης τάσης (ή παραμόρφωσης) σ μία οριζόντια διατομή νός κατακόρυφου πρισφιγμένου στοιχίου οπλισμένου σκυροδέματος. Ο υπολογισμός αυτός κτλίται ξχωριστά τόσο για την πρισφιγμένη πριοχή (πιφάνια που πρικλίται από τον ξωτρικό συνδτήρα) όσο και στην απρίσφικτη πριοχή της παραπάνω διατομής. Επιδή η διαδικασία υπολογισμού μ βάση την κλασική αριθμητική ολοκλήρωση (σύνολο πικόμβιων μγθών πί την αντίστοιχη πιφάνια πιρροής) ίναι από δυσχρής έως πρακτικά αδύνατη (ιδιαίτρα στις πριπτώσις κυκλικών διατομών), αναπτύχθηκ μία πρωτότυπη διαδικασία η οποία στηρίζται στη χρωματική απικόνιση της διατομής και ονομάστηκ οπτική ολοκλήρωση. Σχήμα 3.23 Το πρόγραμμα οπτικής ολοκλήρωσης ( 1 γραμμές κώδικα) Κατά τη διαδικασία της οπτικής ολοκλήρωσης, η ικόνα της πρισφιγμένης διατομής μφανίζται στην οθόνη του Η/Υ μ τη μορφή ισοχρωματικών πιφανιών (contours) του ζητούμνου μγέθους απόκρισης (τάσις ή παραμορφώσις) και αναγνωρίζται αυτόματα η μορφή της διατομής (ορθογωνική ή κυκλική, συμπαγής ή κοίλη) καθώς και η πρισφιγμένη και απρίσφικτη πριοχή. Στη συνέχια οι πριοχές αυτές σαρώνονται και καταμτρίται ο συνολικός αριθμός των ικονοστοιχίων (pixels) που αντιστοιχούν σ κάθ χρώμα της χρωματικής κλίμακας. Τέλος, γίνται οπτική αναγνώριση (OCR) από την οθόνη των αριθμητικών τιμών που αντιστοιχούν στο κάθ χρώμα της χρωματικής κλίμακας (Σχ. 3.24) και υπολογίζται η μέση τιμή του ζητούμνου μγέθους απόκρισης από την παρακάτω σχέση : 82

117 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης x = n i= 1 ( x p ) n i n i= 1 p i i (3.31) όπου : x η μέση τιμή του ζητούμνου μγέθους απόκρισης στην ξταζόμνη πριοχή x i η τιμή του μγέθους απόκρισης που αντιστοιχί στο χρώμα i p i ο αριθμός των ικονοστοιχίων της πριοχής που αντιστοιχούν στο χρώμα i n o αριθμός των χρωμάτων της χρωματικής κλίμακας function TMainForm.GetLetter(DC : HDC; x,y : word) : string; const Let : array[..9] of string = (' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', '11111', ' ', ' '); var i,j,k : byte; s : string; Ok : boolean; begin Result := ''; for i := to 9 do begin Ok := true; for j := 1 to 5 do begin s := Copy(Let[i],5*(j1)+1,5); for k := 1 to 5 do begin if ((s[k] = '1') and (GetPixel(DC,x+k1,y5+j) = White)) or ((s[k] = '') and (GetPixel(DC,x+k1,y5+j) = Black)) then begin Ok := false; Break; end; end; if not Ok then Break; end; if Ok then begin Result := Chr(48+i); Break; end; end; end; Σχήμα 3.24 Κώδικας οπτικής αναγνώρισης αριθμητικών τιμών Το πλήρς λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος παρουσιάζται στο σχήμα Μ μία συγκριτική διρύνηση αποδίχτηκ ότι η ακρίβια της μθόδου της οπτικής ολοκλήρωσης ξαρτάται από τον αριθμό των χρωμάτων (n) που μφανίζονται στις ισοχρωματικές πιφάνις της διατομής. Στο σχήμα 3.26 φαίνται ότι η πιλογή χρωματικής κλίμακας άνω των 2 χρωμάτων προσφέρι ξαιρτική σύμπτωση μ τη 83

118 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης θωρητικά ακριβή μέθοδο της αριθμητικής ολοκλήρωσης. Το γγονός αυτό, σ συνδυασμό μ το σχδόν μηδνικό κόστος ως προς το χρόνο κτέλσης, καθιστά τη μέθοδο της οπτικής ολοκλήρωσης αξιόπιστη λύση για τον ποσοτικό προσδιορισμό της αποτλσματικότητας της πρίσφιξης. Σχήμα 3.25 Λιτουργικό διάγραμμα του προγράμματος οπτικής ολοκλήρωσης Mέση τιμή μγέθους απόκρισης (σ ή ) Οπτική ολοκλήρωση Αριθμητική ολοκλήρωση 4 χρώματα χρώματα χρώματα Αριθμός χρωμάτων χρώματα Σχήμα 3.26 Σύγκριση μταξύ μθόδων οπτικής και αριθμητικής ολοκλήρωσης 84

119 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πιλοτική ανάλυση στοιχίων συμπαγούς και κοίλης διατομής Η πιλοτική ανάλυση κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων υπό κντρική σύνθλιψη, η οποία αποσκοπί στην αξιολόγηση του προγράμματος ΑΤΕΝΑ για τη μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης, πριλαμβάνι τέσσρα υποστυλώματα συμπαγούς διατομής και ένα βάθρο κοίλης διατομής. Τα υποστυλώματα που ξτάστηκαν (C1C4) προέρχονται από την αντίστοιχη πιραματική έρυνα των Sheikh & Uzumeri (198) και έχουν πίσης αντιμτωπιστί αναλυτικά από τους Montoya et al. (21) μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων βάσι της τροποποιημένης θωρίας θλιπτικού πδίου (MCFT, Vecchio & Collins, 1986). Το βάθρο κοίλης διατομής (HP) προέρχται από την πιραματική έρυνα των Mander et al. (1983), η οποία όμως αφορά ανακυκλιζόμνη σισμική φόρτιση (όχι κντρική αξονική σύνθλιψη) και συνπώς δν προσφέρι τη δυνατότητα σύγκρισης μ πιραματικά αποτλέσματα. Στο σχήμα 3.27 παρουσιάζονται οι διατομές των ξταζόμνων κατακόρυφων στοιχίων. Η προσομοίωση έγιν μ τη χρήση οκτάκομβων στρών ππρασμένων στοιχίων για το σκυρόδμα και δίκομβων γραμμικών στοιχίων για τις ράβδους οπλισμού. Στα στοιχία σκυροδέματος αποδόθηκ ο υφιστάμνος καταστατικός νόμος θραύσης πλαστικότητας (NonLinCementitious2) νώ στα στοιχία ράβδου ένας μονοαξονικός πολυγραμμικός καταστατικός νόμος χάλυβα. Το ύψος των προσομοιωμάτων καθορίστηκ ως ακέραιο πολλαπλάσιο της απόστασης (s) μταξύ των γκάρσιων οπλισμών (6s για τα υποστυλώματα και 4s για το κοίλο βάθρο). Για τη μίωση του υπολογιστικού κόστους και λόγω διπλής συμμτρίας προσομοιώθηκ το ένα τέταρτο της διατομής των στοιχίων, πρακτική η οποία αποδίχτηκ ότι δν πηράζι μ κανένα τρόπο τα τλικά αποτλέσματα (Σχ. 3.28). Οι συνοριακές συνθήκς που φαρμόστηκαν ίναι η κατακόρυφη δέσμυση στη βάση του στοιχίου (z) και δύο οριζόντις δσμύσις ανά διύθυνση (x, y) στα αντίστοιχα κατακόρυφα πίπδα συμμτρίας (Σχ. 3.29). Η φόρτιση η οποία φαρμόστηκ στην κφαλή των στοιχίων ίχ τη μορφή αξονικής θλιπτικής μτακίνησης και συνδυάστηκ μ έναν τροποποιημένο αλγόριθμο NewtonRaphson (mnr) μ σκοπό να καταγραφί η απόκριση και πέρα από το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής (κατρχόμνος κλάδος απόκρισης). Η συνολική αντίδραση στην κφαλή του στοιχίου υπολογίστηκ από τα αντίστοιχα πικόμβια μγέθη σ κάθ φορτιστικό βήμα μ τη χρήση του βοηθητικού λογισμικού που πριγράφηκ στην προηγούμνη νότητα, νώ η κατακόρυφη παραμόρφωση μτρήθηκ για μν τα υποστυλώματα σ μία πριοχή ύψους 12 mm στο μέσον του υποστυλώματος 1 (όπως και στην αντίστοιχη πιραματική διάταξη), νώ για το κοίλο βάθρο σ ολόκληρο το ύψος του. 1 Στην πρίπτωση που δν αντιστοιχούσ κόμβος σ απόσταση ± 12/2 mm από το μέσον του υποστυλώματος, έγιν γραμμική παρμβολή μταξύ των μγθών των άνω και κάτω γιτονικών κόμβων. 85

120 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης C1 (2A11) C2 (4B319) HP C3 (2C517) C4 (4D624) Σχήμα 3.27 Διατομές υποστυλωμάτων (Sheikh & Uzumeri, 198) και κοίλου βάθρου (Mander et al., 1983) Μοντέλο ¼ 4 35 P(kN) Υποστύλωμα C1B fc = MPa Μοντέλο ¼ 15 Προσομοίωμα 1//4 1 Προσομοίωμα 1// Σχήμα 3.28 Προσομοίωση του ¼ της διατομής λόγω διπλής συμμτρίας Σχήμα 3.29 Συνοριακές συνθήκς λόγω διπλής συμμτρίας 86

121 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πέρα από την ανάλυση των παραπάνω κατακόρυφων στοιχίων, τα οποία βασίστηκαν σ πραγματικά πιραματικά δοκίμια, η πιλοτική έρυνα πκτάθηκ και στην παραμτρική ανάλυση ναλλακτικών διατάξων γκάρσιων οπλισμών, έτσι ώστ να διαπιστωθί κατά πόσο η ανάλυση ππρασμένων στοιχίων στο χώρο (και ιδικά το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ) μπορί να πριγράψι μ πιτυχία τα ιδιαίτρα χαρακτηριστικά του φαινομένου της πρίσφιξης, όπως η αύξηση της αντοχής και της ικανότητας παραμόρφωσης των πρισφιγμένων στοιχίων. Οι ναλλακτικές αυτές διατάξις φόρτισης προήλθαν από την προοδυτική αφαίρση των γκάρσιων οπλισμών από τα παραπάνω προσομοιώματα μέχρι να παραμίνι μόνο ο κατακόρυφος οπλισμός και τλικά το άοπλο σκυρόδμα (Σχ. 3.3). Επιπλέον, στην πρίπτωση του κοίλου βάθρου ξτάστηκ η προσθήκη διαγωνίων συνδέσμων (Pinto, 1996) καθώς και η πύκνωση των συνδτήρων στη μισή απόσταση (Σχ. 3.31). Άοπλο Διαμήκις μόνο Διάταξη Α Διάταξη Β Διάταξη C C1 * 2A11 C2 * 4B319 C3 * 2C517 C4 * 4D624 * Αρίθμηση πιραματικών δοκιμίων κατά Sheikh & Uzumeri (198) Σχήμα 3.3 Εναλλακτικές διατάξις οπλισμού πρίσφιξης των υποστυλωμάτων 87

122 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Άοπλο Διαμήκις μόνο HPA HPB * HPC / HPD ** * Πιραματικό δοκίμιο από Mander et al. (1983) ** Διαγώνιοι σύνδσμοι (Pinto, 1996) Σχήμα 3.31 Εναλλακτικές διατάξις οπλισμού πρίσφιξης του κοίλου βάθρου Στους πίνακς 3.4 και 3.5 παρουσιάζονται τα γωμτρικά χαρακτηριστικά και οι παράμτροι των καταστατικών νόμων σκυροδέματος και χάλυβα που χρησιμοποιήθηκαν για την προσομοίωση των υποστυλωμάτων και του κοίλου βάθρου αντίστοιχα. Στο σχήμα 3.32 φαίνονται οι ικόνς των προσομοιωμένων κατακόρυφων στοιχίων (υποστύλωμα C3C και βάθρο ΗPC) και οι αντίστοιχς διατάξις κατακόρυφων και γκάρσιων οπλισμών. Σχήμα 3.32 Εικόνα προσομοιωμάτων C3C και ΗPC και αντίστοιχς διατάξις οπλισμού 88

123 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πίνακας 3.4 Γωμτρία και καταστατικοί νόμοι για την προσομοίωση των υποστυλωμάτων Γωμτρία προσομοιωμάτων C1 C2 C3 C4 Μήκος / Πλάτος (m) Ύψος (m) Επικάλυψη (m) Στρά ππρασμένα στοιχία Ιδιότητς σκυροδέματος f c (ΜPa) E c (MPa) ν f t (MPa) λ t e σ co (MPa) p eq,t w co (m) β G f (/m) Ιδιότητς διαμήκων οπλισμών Διάμτρος d s (mm) E s (ΜPa) f y = σ s1 (MPa) s σ s2 (MPa) s σ s3 (MPa) s Ιδιότητς γκάρσιων οπλισμών Διάμτρος d s (mm) Απόσταση s (mm) E s (ΜPa) f y = f yw = σ s1 (MPa) s σ s2 (MPa) s

124 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πίνακας 3.5 Γωμτρία και καταστατικοί νόμοι για την προσομοίωση του κοίλου βάθρου Γωμτρία προσομοιωμάτων HP Ιδιότητς διαμήκων οπλισμών HP Μήκος / Πλάτος (m).375 Διάμτρος d s (mm) 1 Πάχος (m).12 E s (ΜPa) 28 Ύψος (m).48 f y = σ s1 (MPa) 335 Επικάλυψη (m).2 s Στρά ππρασμένα στοιχία 128 σ s2 (MPa) 335 Ιδιότητς σκυροδέματος s2.3 f c (ΜPa) 3. σ s3 (MPa) 45 E c (MPa) 2753 s3.5 ν.2 Ιδιότητς γκάρσιων οπλισμών f t (MPa) 2.45 Διάμτρος d s (mm) 6 λ t 2. Απόσταση s (mm) 12 * e.52 E s (ΜPa) 2 σ co (MPa) 9.16 f y = f yw = σ s1 (MPa) 32 p eq,t s w co (m).5 σ s2 (MPa) 32 β.239 s2.15 G f (/m) σ s3 (MPa) 411 * 6 mm στο ΗPD s3.5 Στο σχήμα 3.33 παρουσιάζονται τα συγκριτικά διαγράμματα φορτίουπαραμόρφωσης των υποστυλωμάτων συμπαγούς διατομής (C1B, C2B, C3C, C4B) μταξύ της παρούσας ανάλυσης (ΑΤΕΝΑ), των αντίστοιχων πιραματικών αποτλσμάτων (Sheikh & Uzumeri, 198) και των αναλυτικών αποτλσμάτων βάσι της θωρίας ΜCFT (Montoya et al., 21). Παρατηρίται ικανοποιητική σύγκλιση μταξύ της παρούσας ανάλυσης και των αντίστοιχων αποτλσμάτων της βιβλιογραφίας, ωστόσο υπάρχι μία τάση υπρκτίμησης της θλιπτικής αντοχής, η οποία θα αιτιολογηθί σ πόμνη νότητα. Επιπλέον, παρατηρίται μία πρόωρη ξασθένηση της αντοχής των υποστυλωμάτων μτά την πίτυξη της μέγιστης τιμής της (μιωμένη πλαστιμότητα), η οποία όμως δν μφανίζται στα πιραματικά αποτλέσματα. Η παρατήρηση αυτή ίναι μφανέστρη στο σχήμα 3.34, όπου παρουσιάζονται τα συγκριτικά διαγράμματα φορτίουπαραμόρφωσης μταξύ των διαφορτικών διατάξων πρίσφιξης (Πίν. 3.4) του κάθ υποστυλώματος. Συγκκριμένα, νώ παρατηρίται σταδιακή αύξηση της αντοχής για πυκνότρς διατάξις πρίσφιξης, η αναμνόμνη αύξηση της πλαστιμότητας (μίωση της κλίσης του κατρχόμνου κλάδου) δν καταγράφται στα αναλυτικά αποτλέσματα. 9

125 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 4 35 P(kN) Υποστύλωμα C1B fc = MPa 5 P(kN) Υποστύλωμα C2B fc = MPa Ανάλυση ΑΤΕΝΑ 2 Ανάλυση ΑΤΕΝΑ 1 Ανάλυση ΜCFT Πίραμα 1 Ανάλυση ΜCFT Πίραμα P(kN) Υποστύλωμα C3C fc = MPa 6 P(kN) Υποστύλωμα C4B fc = 3.52 MPa Ανάλυση ΑΤΕΝΑ Ανάλυση ΜCFT 2 Ανάλυση ΑΤΕΝΑ Ανάλυση ΜCFT 1 Πίραμα 1 Πίραμα Σχήμα 3.33 Συγκριτικά διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης μταξύ της παρούσας ανάλυσης, των πιραματικών αποτλσμάτων και της ανάλυσης ΜCFT 4 P(kN) Υποστύλωμα C1 fc = MPa 5 P(kN) Υποστύλωμα C2 fc = MPa Διαμήκις Άοπλο Β Α Διαμήκις Β Α Άοπλο P(kN) Υποστύλωμα C3 fc = MPa 6 P(kN) Υποστύλωμα C4 fc = 3.52 MPa 4 C 5 B Β Διαμήκις Α 3 A Διαμήκις Άοπλο Άοπλο Σχήμα 3.34 Συγκριτικά διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης μταξύ διαφορτικών διατάξων πρίσφιξης των υποστυλωμάτων 91

126 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Στον πίνακα 3.6 παρουσιάζται μία ποσοτική κτίμηση της αύξησης της αντοχής των πρισφιγμένων διατομών μέσω του συντλστή αποτλσματικότητας της πρίσφιξης (Κ = f cc / f c ). Ο υπολογισμός της μέσης θλιπτικής τάσης της πρισφιγμένης πριοχής (f cc ) έγιν μ τη βοήθια του λογισμικού οπτικής ολοκλήρωσης σ μία οριζόντια τομή στο μέσον του κατακόρυφου στοιχίου (πίπδο γκάρσιων οπλισμών) και στο φορτιστικό βήμα που αντιστοιχί στη μέγιστη αντοχή. Στον ίδιο πίνακα, για λόγους σύγκρισης, παρατίθνται και οι αντίστοιχς τιμές που προέκυψαν από δύο γνωστά φαινομνολογικά μοντέλα (Park et al., 1982, Kappos, 1991). Παρατηρίται ικανοποιητική σύγκλιση ιδιαίτρα στις πριπτώσις πυκνότρων διατάξων πρίσφιξης, νώ για χαμηλότρα ποσοστά γκάρσιων οπλισμών, τα φαινομνολογικά μοντέλα προβλέπουν μγαλύτρους συντλστές αποτλσματικότητας σ σχέση μ την παρούσα ανάλυση. Πίνακας 3.6 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης συμπαγών διατομών Μοντέλο ρ w % Ανάλυση (K = f cc /f c ) Park et al. * (K) Kappos ** (K) C1A C1B C2A C2B C3A C3B C3C C4A C4B Ισοχρωματικές πιφάνις θλιπτικών τάσων του προσομοιώματος C1B στο πίπδο των γκάρσιων οπλισμών (πλήρης διατομή). Μ σκούρο τόνο φαίνται η πρισφιγμένη πριοχή όπως αναγνωρίστηκ από τη μέθοδο της οπτικής ολοκλήρωσης * K = 1 + ρ w f yw f c ** K = 1 + α ρ w f f yw c b Στο σχήμα 3.35 φαίνται η ικόνα παραμόρφωσης και ρηγμάτωσης του υποστυλώματος C3C (¼ της διατομής) κατά τη διάρκια πιβολής του αξονικού φορτίου. Τα χρώματα υψηλότρων συχνοτήτων στο οπτικό φάσμα αντιστοιχούν σ υψηλότρς τιμές των κατακόρυφων θλιπτικών τάσων. Είναι φανρός ο διαχωρισμός μταξύ πρισφιγμένων και απρίσφικτων πριοχών λόγω της παρουσίας των γκάρσιων οπλισμών καθώς και η ρηγμάτωση του σκυροδέματος της ξωτρικής πικάλυψης. Στο ίδιο σχήμα φαίνται και η οριζόντια τομή στο πίπδο των γκάρσιων οπλισμών στο μέσον του υποστυλώματος. 92

127 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.35 Εικόνα παραμόρφωσης και ρηγμάτωσης υποστυλώματος συμπαγούς διατομής (C3C) Στο σχήμα 3.36 παρουσιάζονται τα συγκριτικά διαγράμματα φορτίουπαραμόρφωσης μταξύ διαφορτικών διατάξων πρίσφιξης του κοίλου βάθρου (Πίν. 3.5). Η αύξηση της αντοχής των πρισφιγμένων διατομών ίναι και πάλι μφανής, γγονός που καθιστά την ανάλυση ππρασμένων στοιχίων μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ ικανή να προσομοιώσι το φαινόμνο της πρίσφιξης ακόμα και σ διατομές πολύπλοκης γωμτρίας. Ωστόσο, η αδυναμία προσομοίωσης της αυξημένης ικανότητας παραμόρφωσης των ισχυρότρα πρισφιγμένων διατομών παραμένι. 14 P(kN) Κοίλο Βάθρο ΗP f c = 3 MPa Διαμήκις D C B Α 6 Άοπλο Σχήμα 3.36 Συγκριτικά διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης μταξύ διαφορτικών διατάξων πρίσφιξης του κοίλου βάθρου Στο σχήμα 3.37 φαίνται η ικόνα παραμόρφωσης και ρηγμάτωσης του βάθρου ΗPB (¼ της διατομής) κατά τη διάρκια πιβολής του αξονικού θλιπτικού φορτίου. Διακρίνονται, όπως και προηγουμένως, οι πρισφιγμένς και απρίσφικτς πριοχές και η 93

128 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ρηγμάτωση της πικάλυψης τόσο στο ξωτρικό όσο και στο σωτρικό της διατομής. Στο ίδιο σχήμα φαίνται και η οριζόντια τομή στο πίπδο των γκάρσιων οπλισμών στο μέσον του βάθρου. Στον πίνακα 3.7 γίνται η σύγκριση των συντλστών αποτλσματικότητας (Κ) μταξύ της ανάλυσης και του φαινομνολογικού μοντέλου Park et al. (1982), το οποίο ωστόσο αφορά συμπαγίς διατομές. Διαπιστώνται ότι οι συντλστές που προκύπτουν από την ανάλυση υπολίπονται σ όλς τις πριπτώσις των αντίστοιχων συντλστών που προκύπτουν από το φαινομνολογικό μοντέλο. Σχήμα 3.37 Εικόνα παραμόρφωσης και ρηγμάτωσης βάθρου κοίλης διατομής (HPB) Πίνακας 3.7 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης κοίλών διατομών Μοντέλο ρ w % Ανάλυση (K = f cc /f c ) Park et al. (K) Ισοχρωματικές πιφάνις θλιπτικών τάσων του προσομοιώματος ΗPD στο πίπδο των γκάρσιων οπλισμών (πλήρης διατομή) ΗPA ΗPB ΗPC ΗPD

129 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Συμπράσματα Αξιολόγηση προγράμματος Από την πιλοτική φαρμογή του προγράμματος ΑΤΕΝΑ σ κατακόρυφα πρισφιγμένα στοιχία οπλισμένου σκυροδέματος προέκυψαν τα ξής βασικά συμπράσματα : Το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ ανταποκρίθηκ μ πιτυχία τόσο στην προσομοίωση όσο και στην ανάλυση στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος χωρίς να παρουσιάσι προβλήματα αριθμητικής φύσως, ακόμα και κατά την καταγραφή της απόκρισης πέρα από το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής (κατρχόμνος κλάδος). Το βοηθητικό λογισμικό που αναπτύχθηκ για της ανάγκς της παρούσας έρυνας συντέλσ τα μέγιστα στην ταχία και αξιόπιστη συλλογή των αναλυτικών αποτλσμάτων καθώς και στον ποπτικό τους έλγχο. Η μέθοδος των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο αποδίχτηκ ικανή να αντιμτωπίσι το φαινόμνο της πρίσφιξης ακόμα και σ διατομές πολύπλοκης γωμτρίας, όπως τα κοίλα βάθρα γφυρών, που δν καλύπτονται από τα συνήθη φαινομνολογικά μοντέλα. Φυσικά φαινόμνα, όπως η συγκέντρωση τάσων στον πρισφιγμένο πυρήνα λόγω της παθητικής νργοποίησης των γκάρσιων οπλισμών καθώς και η ρηγμάτωση του σκυροδέματος πικάλυψης, πριγράφηκαν μ πιτυχία από την ανάλυση ππρασμένων στοιχίων (Σχ και 3.37). Η σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων για τα υποστυλώματα (Σχ. 3.33) έδιξ μία μικρή υπρκτίμηση της αντοχής των πρισφιγμένων στοιχίων υπέρ της ανάλυσης, η οποία νδέχται να οφίλται σ συνδυασμό των φαινομένων λυγισμού των διαμήκων ράβδων (buckling) και της αποφλοίωσης της ξωτρικής πικάλυψης των οπλισμών (cover spalling), τα οποία δν κατέστη δυνατόν να συμπριληφθούν στην παρούσα ανάλυση. Ιδιαίτρα για την αποφλοίωση της πικάλυψης έχουν προταθί τχνικές προσομοίωσης στη βιβλιογραφία (π.χ. Liu & Foster, 2), βάσι των οποίων τα ππρασμένα στοιχία που ανήκουν στην πικάλυψη αποκτούν μηδνική δυσκαμψία ή αποσύρονται από το μητρώο δυσκαμψίας (element death) όταν η γκάρσια παραμόρφωση στη διπιφάνια μταξύ πικάλυψης και πρισφιγμένου πυρήνα ξπράσι μία συγκκριμένη τιμή που ορίζται μπιρικά και συνήθως προηγίται του σημίου πίτυξης της μέγιστης αντοχής. Τα αννργά ππρασμένα στοιχία δν μπορούν πλέον να αναλάβουν κατακόρυφς δυνάμις αντίδρασης, γγονός που οδηγί στον υπολογισμό μικρότρης συνολικής αντοχής για το πρισφιγμένο στοιχίο. Η δυνατότητα αυτή δν υποστηρίζται στην παρούσα φάση από το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ και αποτλί αντικίμνο πραιτέρω έρυνας. Ωστόσο, στην παρούσα ανάλυση, πιδή η παραπάνω παραδοχή θα ίναι κοινή σ όλα τα προσομοιώματα βάθρων συμπαγούς ή κοίλης διατομής που πρόκιται να αναλυθούν στο πόμνο κφάλαιο, δν πρόκιται να πηράσουν σημαντικά τη 95

130 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης συγκριτική αξιολόγηση μταξύ ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης του ιδίου προσομοιώματος. Επίσης, ο υπολογισμός της μέσης τάσης του πρισφιγμένου πυρήνα μέσω της μθόδου της οπτικής ολοκλήρωσης, ο οποίος προσδιορίζι το συντλστή αποδοτικότητας της πρίσφιξης (Κ), δν πηράζται από την παρουσία ή όχι του σκυροδέματος πικάλυψης. Διαπιστώθηκ η σημαντική αδυναμία του υφιστάμνου καταστατικού νόμου θραύσηςπλαστικότητας να προσομοιώσι την αναμνόμνη αύξηση της ικανότητας παραμόρφωσης (πλαστιμότητας) του πρισφιγμένου σκυροδέματος. Η διαπίστωση αυτή προκύπτι από την ρμηνία των σχημάτων 3.34 και 3.36, όπου η κλίση του κατρχόμνου κλάδου απόκρισης παραμένι πρακτικά αμτάβλητη κατά την πύκνωση των διατάξων πρίσφιξης, γγονός που αντιτίθται στην πιραματική μπιρία. Συνπώς, τίθται έντονος προβληματισμός στο σημίο αυτό όσον αφορά την αξιοπιστία των αναλυτικών αποτλσμάτων. Στην πόμνη νότητα θα διρυνηθούν σ βάθος οι λόγοι που οδηγούν στην παραπάνω αδυναμία και θα γίνι προσπάθια βλτίωσης του καταστατικού νόμου σκυροδέματος του πιλγέντος προγράμματος. 3.3 Βλτίωση του υφιστάμνου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Όπως διαπιστώθηκ στην προηγούμνη νότητα, ο καταστατικός νόμος σκυροδέματος του προγράμματος ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ στην παρούσα μορφή του αδυνατί να προσομοιώσι την αναμνόμνη αύξηση της ικανότητας παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος. Για το λόγο αυτόν, θα γίνι αρχικά μία διρύνηση των αιτιών που προκαλούν αυτήν τη μη πιθυμητή συμπριφορά και στη συνέχια θα πραγματοποιηθούν οι κατάλληλς αλλαγές στις αντίστοιχς ξισώσις του καταστατικού νόμου. Πέρα από την αντιμτώπιση του παραπάνω βασικού προβλήματος, οι αλλαγές αυτές, όπου ίναι φικτό, θα πκταθούν και σ γνικότρα χαρακτηριστικά της συμπριφοράς του σκυροδέματος μ στόχο τη δημιουργία νός νέου, βλτιωμένου καταστατικού νόμου. Επιπλέον, τόσο οι υφιστάμνς όσο και οι πιπλέον παράμτροι που θα προκύψουν από τις ν λόγω βλτιώσις θα βαθμονομηθούν πλήρως βάσι πιραματικών αποτλσμάτων και κανονιστικών σχέσων από τη βιβλιογραφία. Η βαθμονόμηση θα γίνι μ στόχο την έκφραση όλων των παραμέτρων του υλικού συναρτήσι της μέσης μονοαξονικής θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (f c ). Η διαδικασία θα ολοκληρωθί μ την νσωμάτωση του νέου καταστατικού νόμου στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ και την φαρμογή του τλυταίου στην ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος. 96

131 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Αξιολόγηση υφιστάμνου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Η αδυναμία του υφιστάμνου καταστατικού νόμου θραύσηςπλαστικότητας να πριγράψι την αύξηση της ικανότητας παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος προφανώς στιάζται στο τμήμα του καταστατικού νόμου, το οποίο διαχιρίζται την απόκριση του υλικού σ θλίψη βάσι της θωρίας πλαστικότητας. Συνπώς το τμήμα που αναλαμβάνι τον φλκυσμό (νόμος θραύσης) δ θα τροποποιηθί. Η δυνατότητα αυτή οφίλται στο γγονός ότι τα δύο τμήματα του καταστατικού νόμου, όπως παρουσιάστηκαν στην προηγούμνη νότητα, διατυπώνονται ντλώς ανξάρτητα το ένα από το άλλο και τλικά συντίθνται μ μία κατάλληλη παναληπτική διαδικασία. Για να στιαστί το βασικό πρόβλημα της υποκτίμησης της ικανότητας παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος σ πίπδο καταστατικού νόμου και να αποφυχθούν πιθανά σφαλμένα συμπράσματα, που ίσως οφίλονται στην πολυπλοκότητα νός προσομοιωμένου φορέα οπλισμένου σκυροδέματος (γωμτρία, συνοριακές συνθήκς, παρουσία οπλισμών κλπ), η διρύνηση έγιν μ τη χρήση νός μοναχικού ππρασμένου στοιχίου (Representative Volume Element RVE) (Grassl, 24). Πιο συγκκριμένα, προσομοιώθηκ στο ΑΤΕΝΑ ένα οκτάκομβο κυβικό ισοπαραμτρικό ππρασμένο στοιχίο μ μοναδιαίς διαστάσις, στο οποίο αποδόθηκ υλικό σκυροδέματος βάσι του υφιστάμνου καταστατικού νόμου. Στο στοιχίο αυτό φαρμόστηκαν κατάλληλς συνοριακές συνθήκς σ τρις γιτονικές του έδρς (λόγω συμμτρίας) (Σχ. 3.38) και υποβλήθηκ σ τριαξονική φόρτιση δύο φάσων, κατά τρόπο παρόμοιο μ την πιραματική πρακτική. Σχήμα 3.38 Μοναχικό ππρασμένο στοιχίο (RVE) και συνοριακές συνθήκς Πιο συγκκριμένα, κατά την τριαξονική φόρτιση φαρμόστηκαν αρχικά οριζόντις (γκάρσις) θλιπτικές δυνάμις (σ 1 = σ 2 ) μέχρι να πιτυχθί ο πιθυμητός βαθμός νργής πρίσφιξης (μ ταυτόχρονα δσμυμένη την κατακόρυφη μτακίνηση) και στη συνέχια το 97

132 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης στοιχίο υποβλήθηκ σ κατακόρυφη θλιπτική ξαναγκασμένη μτακίνηση ( 3 ) μέχρι την πλήρη απώλια της συνοχής του (πιφάνια παραμένουσας αντοχής). Πρέπι να σημιωθί ότι, στην προκιμένη πρίπτωση, οι αριθμητικές τιμές των δυνάμων και των μτακινήσων ταυτίζονται μ τις αντίστοιχς τάσις και παραμορφώσις λόγω των μοναδιαίων διαστάσων του RVE. Στο σχήμα 3.39 φαίνονται τα στάδια φόρτισης του μοναχικού στοιχίου καθώς και οι αντίστοιχς διαδρομές φόρτισης στο χώρο των κυρίων τάσων για αυξανόμνους βαθμούς πρίσφιξης. Στο ίδιο σχήμα, για λόγους σύγκρισης, παρουσιάζονται ακόμα οι ναλλακτικές διαδρομές φόρτισης που αντιστοιχούν σ ομοιόμορφη φόρτιση του υλικού (σ 1 = σ 2 = σ 3 ) μέχρι την πίτυξη του πιθυμητού βαθμού πρίσφιξης, χωρίς αντίστοιχη δέσμυση της κατακόρυφης μτακίνησης. Σχήμα 3.39 Διαδικασία φόρτισης του RVE για διαδρομές φόρτισης αυξανόμνων βαθμών πρίσφιξης (πίπδo Rendulic για θ = 6 ο ) Τα αναλυτικά αποτλέσματα μ τη μορφή διαγράμματος τάσωνπαραμορφώσων φαίνονται στο σχήμα 3.4 και συγκρίνονται μ αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα από τη βιβλιογραφία (Imran, 1994). Παρατηρίται ότι νώ αναφορικά μ την τριαξονική ένταση η σύγκλιση ίναι ικανοποιητική, αναφορικά μ την παραμόρφωση οι διαφορές ίναι σημαντικές. Αυτό υποδηλώνι αρχικά ότι το κριτήριο διαρροής του καταστατικού νόμου (που καθορίζι την ντατική κατάσταση του υλικού) δ χριάζται ουσιαστικές βλτιώσις και το πρόβλημα ντοπίζται αποκλιστικά στη διατύπωση της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης και της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού, οι οποίς διαχιρίζονται τον υπολογισμό των πλαστικών παραμορφώσων. 98

133 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 12 σ 3 (MPa) f c = 28.6 MPa 1 σ1 = σ2 = 21 ΜPa ΜPa ΜPa ΜPa 2.1 ΜPa 4.2 ΜPa 1 = Σχήμα 3.4 Σύγκριση αναλυτικών και πιραματικών (Imran, 1994) διαγραμμάτων τάσωνπαραμορφώσων άοπλου σκυροδέματος για αυξανόμνους βαθμούς πρίσφιξης (f c = 28.6 MPa) Για το λόγο αυτόν, η απόκριση του υλικού ξτάζται στη συνέχια σ πίπδο πλαστικών παραμορφώσων (αφαιρούνται δηλαδή οι λαστικές παραμορφώσις e = σ/e c ) (Σχ. 3.41) και διαπιστώνται ότι το μέγθος των πλαστικών παραμορφώσων στη μέγιστη αντοχή του υλικού έχι σταθρή τιμή, ανξάρτητη από το βαθμό πρίσφιξης (οριζόντις τάσις σ 1 και σ 2 ), γγονός που αντιτίθται στην πιραματική μπιρία (π.χ. Imran & Pantazopoulou, 21). Η συμπριφορά αυτή ρμηνύται αν ληφθί υπόψη η υφιστάμνη διατύπωση της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης : dκ = min (d ) (3.32) p ij η οποία υποδηλώνι ότι η κράτυνση και η χαλάρωση του υλικού ξαρτάται από μία μόνο διύθυνση του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (στην προκιμένη πρίπτωση μόνο από την κατακόρυφη παραμόρφωση που έχι την λάχιστη αλγβρική τιμή) αγνοώντας τις υπόλοιπς δύο διυθύνσις, οι οποίς όμως στην πραγματικότητα ξαρτώνται άμσα από την γκάρσια ένταση (πρίσφιξη) του υλικού. Συνπώς, ο ορισμός της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης θα πρέπι να αναθωρηθί, έτσι ώστ να ξαρτάται από το σύνολο των διυθύνσων του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων. Μία ακόμα αδυναμία του υφιστάμνου καταστατικού νόμου αφορά τον ορισμό της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού τύπου DruckerPrager, η οποία χαρακτηρίζται από σταθρή παράμτρο πλαστικής διόγκωσης (β) και υποδηλώνι ότι, ανξάρτητα από την τρέχουσα ντατική κατάσταση (σ ij ), η διύθυνση του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (ή, διαφορτικά, ο λόγος μταξύ υδροστατικών (ξ ) και κτροπικών (ρ ) p 3 99

134 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης μέτρων του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων) παραμένι σταθρή κατά την πλαστική ροή, γγονός που πίσης αντιτίθται στην πιραματική μπιρία (Smith et al., 1989). Επομένως ίναι απαραίτητη η διατύπωση μιας νέας συνάρτησης πλαστικού δυναμικού μ μταβαλλόμνη φαπτομνική κλίση (Σχ. 3.42), η οποία να ξαρτάται από την τρέχουσα ντατική κατάσταση του υλικού. 12 σ 3 (MPa) f c = 28.6 MPa 1 σ1 = σ2 = 21 ΜPa ΜPa ΜPa ΜPa 2.1 ΜPa 1.5 ΜPa 1 p = 2 p 3 p Σχήμα 3.41 Αναλυτικά διαγράμματα τάσωνπλαστικών παραμορφώσων άοπλου σκυροδέματος για διάφορους βαθμούς νργής πρίσφιξης (f c = 28.6 MPa) ρ/f c d p ρ/f c d p % Πρίσφιξη 2 % Πρίσφιξη Μονοαξονική 4 % Πρίσφιξη Μονοαξονική 4 % Πρίσφιξη ξ/f c ξ/f c Σχήμα 3.42 Σταθρή (αριστρά) και μταβαλλόμνη (δξιά) διύθυνση του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Τέλος, ξτάστηκ η υαισθησία του υφιστάμνου καταστατικού νόμου ως προς την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης. Για τις ανάγκς της διρύνησης αυτής, ένα υποστύλωμα άοπλου σκυροδέματος (όμοιο μ το υποστύλωμα C1 της πιλοτικής μλέτης αλλά χωρίς οπλισμούς) διακριτοποιήθηκ σ καννάβους διαφορτικής πυκνότητας και υποβλήθηκ σ κατακόρυφη θλιπτική καταναγκασμένη μτακίνηση (Σχ. 3.43). Για τον 1

135 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ορισμό της συνάρτησης χαλάρωσης, η οποία στον υφιστάμνο καταστατικό νόμο έχι γραμμική μορφή και ξαρτάται από τις πλαστικές μτακινήσις, χρησιμοποιήθηκ η προπιλγμένη τιμή μέγιστης πλαστικής μτακίνησης w co =.5 mm για σύνηθς σκυρόδμα (Van Mier, 1986, Červenka et al., 27). Το συγκριτικό διάγραμμα του σχήματος 3.44 δίχνι ότι η απόκριση του άοπλου σκυροδέματος υπό μονοαξονική θλίψη ίναι άμσα ξαρτώμνη από την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης, γγονός που προβληματίζι όσον αφορά την νγένι αξιοπιστία των αναλυτικών αποτλσμάτων. Σχήμα 3.43 Διακριτοποίηση του άοπλου υποστυλώματος σ καννάβους διαφορτικής πυκνότητας 35 3 σ (ΜPa) f c = 3 MPa Αραιός κάνναβος 1 Κανονικός κάνναβος 5 Πυκνός κάνναβος Σχήμα 3.44 Σύγκριση της απόκρισης του άοπλου σκυροδέματος για διαφορτικές πυκνότητς καννάβου διακριτοποίησης (f c = 3 MPa, w co =.5 mm) Η συμπριφορά αυτή μπορί να ρμηνυτί ως ξής : στο συγκκριμένο πρόβλημα η κατανομή των τάσων και των παραμορφώσων στον όγκο του υποστυλώματος ίναι απόλυτα ομοιογνής, μ αποτέλσμα όλα τα ππρασμένα στοιχία να φτάνουν 11

136 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ταυτόχρονα στη μέγιστη αντοχή τους και κατά συνέπια να ισέρχονται ταυτόχρονα στο στάδιο της χαλάρωσης. Επιδή η συνάρτηση χαλάρωσης βασίζται στις μτακινήσις, για να οδηγηθί το κάθ ένα από τα ππρασμένα αυτά στοιχία στην τλική κατάσταση της παραμένουσας αντοχής (c = ), θα πρέπι να συγκντρώσι πλαστική μτακίνηση ίση μ w co κατά μήκος της διύθυνσης φόρτισης. Επομένως, ανάλογα μ το πλήθος των ππρασμένων στοιχίων (πυκνότητα διακριτοποίησης) στην κατακόρυφη διύθυνση φόρτισης, η συνολική μτακίνηση που πρέπι να συγκντρωθί σ όλο το ύψος του στοιχίου διαφοροποιίται, γγονός που προφανώς μταβάλλι και την αντίστοιχη συνολική παραμόρφωση (η οποία ισούται μ τη συνολική μτακίνηση προς το συνολικό ύψος του στοιχίου). Πρέπι να σημιωθί δώ ότι η παραπάνω διατύπωση της συνάρτησης χαλάρωσης μ βάση τις μτακινήσις μπίπτι στην κατηγορία των μη τοπικών διατυπώσων (nonlocal formulations), η οποία έχι ως στόχο να μιώσι την πιρροή της πυκνότητας του καννάβου διακριτοποίησης, σ πριπτώσις όπου αναμένται συγκέντρωση θλιπτικών παραμορφώσων σ μία πριορισμένη ζώνη σύνθλιψης κάθτη στη διύθυνση της φόρτισης. Η συμπριφορά αυτή έχι παρατηρηθί σ πιράματα μονοαξονικής θλίψης άοπλου σκυροδέματος (Van Mier, 1986), όπου διαπιστώθηκ ότι η χαλάρωση του θλιβόμνου σκυροδέματος δν αποτλί ιδιότητα του υλικού αλλά ξαρτάται από το μέγθος (ν προκιμένω το ύψος) του ξταζόμνου φορέα σκυροδέματος. Ωστόσο, για να προσομοιωθί μία τέτοια συμπριφορά μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων, κτός από μία μη τοπική διατύπωση της συνάρτησης χαλάρωσης, θα πρέπι αφνός να καθοριστί αυθαίρτα το ύψος της αναμνόμνης ζώνης σύνθλιψης (το οποίο δν ίναι προφανές κ των προτέρων) και αφτέρου να αποδοθί στη ζώνη αυτή (μέσω αριθμητικού τχνάσματος) μία λαφρώς μικρότρη αντοχή (f c ) ή μέγιστη πλαστική μτακίνηση (w co ), έτσι ώστ η χαλάρωση να πριοριστί στη ζώνη σύνθλιψης και όχι σ ολόκληρο το φορέα. Επιπλέον, λόγω της παραπάνω ασυνέχιας στις ιδιότητς του υλικού, υπάρχι το νδχόμνο αριθμητικής αστάθιας κατά την πίλυση. Η αντιμτώπιση νός τέτοιου προβλήματος ξφύγι από τις ανάγκς της παρούσας έρυνας, η οποία πρόκιται να ξτάσι τμήματα διατομών οπλισμένου σκυροδέματος, τα οποία λόγω της γωμτρίας τους, της φόρτισης και των αντίστοιχων συνοριακών συνθηκών δν αναμένται να παρουσιάσουν φαινόμνα τοπικής συγκέντρωσης παραμορφώσων. Για το λόγο αυτόν θα ξταστί στην πόμνη νότητα μία διατύπωση τοπικού χαρακτήρα (local formulation) για τη συνάρτηση χαλάρωσης, που σημαίνι ότι η συνάρτηση αυτή πλέον θα ξαρτηθί από τις πλαστικές παραμορφώσις και όχι τις μτακινήσις. Στη συνέχια θα διαπιστωθί ο βαθμός υαισθησίας της ως προς την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης (μ τρόπο παρόμοιο του σχήματος 3.44) και τλικά θα διαπιστωθί το κατά πόσο ξυπηρτί ή όχι τις ανάγκς της παρούσας έρυνας. 12

137 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Τέλος, θα ξταστί η δυνατότητα βλτίωσης της υφιστάμνης γραμμικής μορφής της συνάρτησης χαλάρωσης, έτσι ώστ να προκύψι μία νέα διατύπωση που αφνός να ξασφαλίζι ομαλότρη συναρμογή μ την αντίστοιχη συνάρτηση κράτυνσης στο σημίο της μέγιστης αντοχής και αφτέρου να προσομοιώνι όσο το δυνατόν πιο ραλιστικά τη μη γραμμική μορφή του κατρχόμνου κλάδου κατά την πιραματική μονοαξονική απόκριση του σκυροδέματος σ θλίψη. Επίσης, η συνάρτηση χαλάρωσης θα πρέπι να πριγράφι τη σημαντικά αυξημένη κλίση του κατρχόμνου κλάδου που παρατηρίται πιραματικά σ σκυροδέματα υψηλότρης αντοχής (ψαθυρή αστοχία). Τα παραπάνω δύο προβλήματα ίναι μφανή στις μονοαξονικές καμπύλς του σχήματος Στις πόμνς νότητς θα πριγραφούν μ λπτομέρια τα χαρακτηριστικά του νέου καταστατικού νόμου πλαστικότητας καθώς και η διαδικασία βαθμονόμησης των υφιστάμνων και των νέων παραμέτρων μ βάση τη μέση μονοαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος (f c ). Μία τέτοια βαθμονόμηση στοχύι στον πρακτικό χαρακτήρα και την υκολία φαρμογής του νέου καταστατικού νόμου στις συνήθις πριπτώσις όπου δν ίναι διαθέσιμς κ των προτέρων λπτομρίς πιραματικές μτρήσις των πολυάριθμων ιδιοτήτων του σκυροδέματος σ 3 (MPa) f c = 1 MPa fc = 2 MPa Σχήμα 3.45 Μονοαξονικές καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων για διάφορς αντοχές σκυροδέματος, όπως προκύπτουν από τον υφιστάμνο καταστατικό νόμο Κριτήριο διαρροής Βαθμονόμηση Όπως αναφέρθηκ στις προηγούμνς νότητς, το κριτήριο διαρροής του υφιστάμνου καταστατικού νόμου (Εξ. 3.22) (Menétrey & Willam, 1995) δ χριάζται πραιτέρω αλλαγές στη διατύπωσή του, τη στιγμή που ίναι σ θέση να προβλέψι σ ικανοποιητικό 13

138 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης βαθμό την αυξημένη τριαξονική αντοχή του πρισφιγμένου σκυροδέματος (Σχ. 3.4). Συνπώς θωρίται έτοιμο προς βαθμονόμηση, βάσι πιραματικών αποτλσμάτων και κανονιστικών σχέσων από τη βιβλιογραφία. Για τις ανάγκς της βαθμονόμησης η πιφάνια φόρτισης λαμβάνι τη μορφή πιφάνιας αστοχίας, θέτοντας τις συναρτήσις κράτυνσης (k(κ)) και χαλάρωσης (c(κ)) του υλικού ίσς μ τη μονάδα : 2 ρ ρ ξ p f (ξ,ρ,θ) = m r(θ,e) + 1= f c 6 fc 3 f c (3.33) Εκτός της μέσης μονοαξονικής θλιπτικής αντοχής του σκυροδέματος (f c ), η οποία θωρίται ως παράμτρος αναφοράς, οι υπόλοιπς παράμτροι του κριτηρίου διαρροής θα βαθμονομηθούν κατάλληλα συναρτήσι του f c. Η φλκυστική αντοχή του σκυροδέματος (f t ) αποτλί κοινή μταβλητή στα τμήματα θραύσης και πλαστικότητας του καταστατικού νόμου του προγράμματος ΑΤΕΝΑ, αλλά όπως ήδη έχι αναφρθί, υπάρχι η δυνατότητα μταβολής της στο τμήμα πλαστικότητας μ τη χρήση της σταθράς μγέθυνσης λ t. Για τη βαθμονόμηση της ισοδύναμης φλκυστικής αντοχής (λ t f t ) του κριτηρίου διαρροής, δοκιμάστηκαν δύο διαφορτικές προσγγίσις : η πρώτη αφορά τη χρήση της πραγματικής φλκυστικής αντοχής μέσω της ίδιας κανονιστικής σχέσης που χρησιμοποιήθηκ για τη βαθμονόμηση του τμήματος θραύσης (Εξ. 3.2) (θέτοντας ταυτόχρονα λ t = 1) και η δύτρη την υπόθση νός σταθρού λόγου θλιπτικής προς φλκυστική αντοχή (f c / f t ) (Ottosen, 1977, Menétrey & Willam, 1995). Για την αξιολόγηση των παραπάνω μθόδων συγκντρώθηκ μια σιρά πιραματικών αποτλσμάτων από τη βιβλιογραφία, η οποία αποτλίται από πιράματα τριαξονικής θλίψης κυλινδρικών δοκιμίων σκυροδέματος, συνήθους και υψηλής αντοχής. Για τη συγκέντρωση των πιραματικών στοιχίων νγένι χρησιμοποιήθηκαν απυθίας οι αριθμητικές τιμές που παρατίθνται στις αντίστοιχς ργασίς, όπου αυτές ήταν διαθέσιμς, νώ σ διαφορτική πρίπτωση (που αποτέλσ κανόνα) έγιν σάρωση (scanning) και ψηφιοποίηση (digitizing) των αντίστοιχων διαγραμμάτων μ ιδικό λογισμικό (Σχ. 3.46). Στα σχήματα 3.47 και 3.48 φαίνται η σύγκριση μταξύ πιραματικών και αναλυτικών τιμών τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (f cc ), όπως προέκυψαν από την φαρμογή των δύο παραπάνω προσγγίσων. 14

139 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 2 σ3 (MPa) f c = 6.2 MPa Σάρωση πρωτότυπου Ψηφιοποίηση (GetData) Λογιστικό φύλλο (Excel) Σχήμα 3.46 Διαδικασία ψηφιοποίησης καμπυλών μ τη βοήθια ιδικού λογισμικού 4 3 f cc, Αναλυτική (MPa).6 fc t = f o 45 o 2 1 Ansari and Li (1998) Attard and Setunge (1996) Candappa et al. (2) Imran (1994) Kotsovos and Newman (198) Sfer et al. (22) Smith et al. (1989) Xie et al. (1995) f cc, Πιραματική (MPa) Σχήμα 3.47 Σύγκριση πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (χρήση πραγματικής φλκυστικής αντοχής από κανονιστική σχέση) 4 f cc, Αναλυτική (MPa) f t = f c / 1 R 2 = 95.4 % 45 o Ansari and Li (1998) Attard and Setunge (1996) Candappa et al. (2) Imran (1994) Kotsovos and Newman (198) Sfer et al. (22) Smith et al. (1989) Xie et al. (1995) f cc, Πιραματική (MPa) Σχήμα 3.48 Σύγκριση πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (χρήση σταθρού λόγου θλιπτικής προς φλκυστική αντοχή) 15

140 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Παρατηρίται ότι νώ η κανονιστική σχέση προσγγίζι απλώς ικανοποιητικά τα πιραματικά αποτλέσματα, η μέθοδος του σταθρού λόγου μ βέλτιστη τιμή ίση μ f c / f t = 1 παρουσιάζι ξαιρτική σύμπτωση και κατά συνέπια μπορί να φαρμοστί για τη βαθμονόμηση της παραμέτρου λ t ως ξής : fc fc fc fc λt ft = λt = = = ft f 18 c (3.34) Αντίστοιχη πολύ ικανοποιητική σύμπτωση ίναι μφανής και κατά τη σύγκριση της βαθμονομημένης, σύμφωνα μ τα παραπάνω, πιφάνιας αστοχίας (θλιπτικός μσημβρινός, θ = 6 ο ) μ τα παραπάνω πιραματικά αποτλέσματα (Σχ. 3.49). 4 ρ/f c σ 3 3 Ansari and Li (1998) 2 Attard and Setunge (1996) Candappa et al. (2) Imran (1994) 1 f c Kotsovos and Newman (198) Sfer et al. (22) Smith et al. (1989) 1 2 θ = 6 (k = c = 1) 3 Xie et al. (1995) 4 ξ/f c 5 Σχήμα 3.49 Σύγκριση θλιπτικού μσημβρινού πιφάνιας αστοχίας (θ = 6 ο ) και πιραματικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος στο πίπδο Rendulic Η παράμτρος κκντρότητας (e) του κριτηρίου διαρροής καθορίζι το σχήμα της αντίστοιχης πιφάνιας αστοχίας στο πίπδο κτροπής και λαμβάνι τιμές από.5 (τριγωνικό ίχνος) έως 1. (κυκλικό ίχνος). Επιδή η παράμτρος αυτή πηράζι κυρίως την καμπυλότητα του φλκυστικού μσημβρινού της πιφάνιας αστοχίας (θ = ο ), βαθμονομίται συνήθως μ βάση την ισοδιαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος (f bc ). Οι Menétrey & Willam (1995) έχουν προτίνι για το σκυρόδμα ένα πιθυμητό ύρος τιμών.5 < e.6, μ βέλτιστη τιμή το e =.52, η οποία οδηγί σ μία σταθρή ισοδιαξονική αντοχή f bc = 1.14 f c (για f c / f t = 1). Η τιμή αυτή θωρίται παρκής για 16

141 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης σκυρόδμα συνήθους αντοχής, βασιζόμνη στα πιραματικά αποτλέσματα των Kupfer et al. (1969). Ωστόσο, πρόσφατς έρυνς σ σκυροδέματα υψηλής αντοχής (Traina & Mansour, 1991, Hussein & Marzouk, 2) έδιξαν ότι ο λόγος μταξύ ισοδιαξονικής και μονοαξονικής θλιπτικής αντοχής ίναι μιωμένος για υψηλότρς αντοχές σκυροδέματος και για το λόγο αυτόν ίναι αναγκαία μία πιο λπτομρής βαθμονόμηση της παραμέτρου κκντρότητας. Στο σχήμα 3.5 φαίνται η σχέση μταξύ του λόγου f bc / f c και της μονοαξονικής αντοχής (f c ) βάσι πιραματικών αποτλσμάτων από τη βιβλιογραφία. Μ κθτική παλινδρόμηση προκύπτι η σχέση : f bc / f c = 1.5 f c.75 (3.35) f bc / f c Endebrock and Traina (1972) Hussein and Marzouk (2) Kotsovos and Newman (198) Kupfer et al. (1969) Lan and Guo (1999) Lee et al. (24) Liu et al. (1972) Nawy et al. (23) Nelissen (1972) Su and Hsu (1998) Tasuji et al. (1978) Traina (1983) Traina and Mansour (1991) Yin et al. (1981) f bc / f c = 1.5 f c.75 f c Σχήμα 3.5 Σχέση μταξύ του λόγου f bc / f c και της μονοαξονικής αντοχής του σκυροδέματος μ βάση τα πιραματικά αποτλέσματα Αν και η διασπορά των παραπάνω πιραματικών αποτλσμάτων ίναι σημαντική (λόγω του διαφορτικού μγέθους των πιραματικών δοκιμίων, των συνοριακών συνθηκών και των διατάξων φόρτισης που χρησιμοποιήθηκαν από τους διάφορους ρυνητές), η σχέση (3.35) πριγράφι ικανοποιητικά την τάση μίωσης του λόγου f bc / f c για αυξανόμνη μονοαξονική αντοχή, σ αντιδιαστολή μ μία θώρηση σταθρής τιμής ίσης μ Πρέπι να σημιωθί ότι στο σχήμα 3.5, όπου ήταν δυνατόν, έγιν μικρή διόρθωση των αντοχών των πιραματικών δοκιμίων ώστ να αντιστοιχούν στην τυποποιημένη κυλινδρική αντοχή (3 15 mm) μέσω προτινόμνων σχέσων από τη βιβλιογραφία (Mansur & Islam, 22, Rashid et al., 22). Ο πίνακας 3.8 πριλαμβάνι τις τιμές της παραμέτρου κκντρότητας (e) που οδηγούν σ ισοδιαξονική αντοχή (f bc ) ίση μ την υπολογιζόμνη από τη σχέση (3.35), όπως προέκυψαν από μία παναληπτική διαδικασία δοκιμών. Στο σημίο αυτό παρατηρίται σημαντική υαισθησία της 17

142 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ισοδιαξονικής αντοχής ως προς την τιμή της παραμέτρου κκντρότητας (μταβολή του e κατά πρίπου.2 προσαυξάνι την ισοδιαξονική αντοχή κατά 15 % του f c ). Για την αξιολόγηση του βαθμονομημένου κριτηρίου διαρροής δημιουργήθηκ μία κτνής βάση πιραματικών αποτλσμάτων (σύνολο 36 πιράματα), σημαντικά διυρυμένη σ σχέση μ την αντίστοιχη βάση που παρουσιάστηκ στην αρχική δημοσίυση των Menétrey & Willam (1995), η οποία συμπριλαμβάνι και μη κυλινδρικά δοκίμια καθώς και μη τυπικές τριαξονικές διαδρομές φόρτισης στον φλκυστικό μσημβρινό (θ = ο ). Στο συγκριτικό διάγραμμα του σχήματος 3.51 παρατηρίται ικανοποιητική σύγκλιση μταξύ της πιφάνιας αστοχίας και των πιραματικών αποτλσμάτων, ιδιαίτρα για χαμηλούς και μέτριους βαθμούς πρίσφιξης (ξ / f c > 2), οι οποίοι ίναι συνηθέστροι σ πριπτώσις παθητικής πρίσφιξης κατακόρυφων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος υπό αξονική φόρτιση. Κατά συνέπια, η παραπάνω διαδικασία βαθμονόμησης του κριτηρίου διαρροής θωρίται παρκής για τις ανάγκς της παρούσας έρυνας. Πίνακας 3.8 Τιμές της παραμέτρου κκντρότητας (e) για διάφορς θλιπτικές αντοχές σκυροδέματος f c (MPa) f bc /f c e

143 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 6 5 ρ/f c σ θ = 6 1 f c f t ξ/f c (k = c = 1) 1 2 f bc θ = 3 Ansari and Li (1998) Attard and Setunge (1996) Balmer (1949) Candappa et al. (2) 4 Chinn and Zimmerman (1965) Lan and Guo (1999) Imran (1994) Kotsovos and Newman (198) Richart et al. (1928) Mills and Zimmerman (197) 5 Sfer et al. (22) Schickert and Winkler (1977) 6 1 Smith et al. (1989) Xie et al. (1995) σ 1 = σ 2 8 Σχήμα 3.51 Σύγκριση πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος στο πίπδο Rendulic Παράμτρος και συναρτήσις κράτυνσης/χαλάρωσης Βαθμονόμηση Για την αντιμτώπιση του προβλήματος της υποκτίμησης της ικανότητας παραμόρφωσης του σκυροδέματος υπό τριαξονική ένταση, η οποία όπως αποδίχτηκ παραπάνω οφίλται στον ορισμό της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης, κρίθηκ απαραίτητη η παναδιατύπωσή της έτσι ώστ αφνός να πριλαμβάνι το σύνολο των διυθύνσων του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων και αφτέρου να χαρακτηρίζται από απλότητα στη βαθμονόμηση μ όσο το δυνατόν μικρότρο αριθμό παραμέτρων. Η προτινόμνη νέα παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης ίναι η ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση του σκυροδέματος ( ) (Grassl et al., 22), ως αντιπροσωπυτική του βαθμού βλάβης του υλικού σ κάθ φάση φόρτισης. Το σημαντικό πλονέκτημα της προσέγγισης αυτής ίναι ότι δν απαιτούνται πρόσθτς συναρτήσις πλαστιμότητας (ductility functions) για την πριγραφή της αυξημένης ικανότητας παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος, όπως συμβαίνι σ ανάλογους p v 19

144 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης καταστατικούς νόμους (π.χ. Barros, 21, Imran & Pantazopoulou, 21). Αντιθέτως, η πιρροή της τριαξονικής ντατικής κατάστασης στην ικανότητα παραμόρφωσης του σκυροδέματος προκύπτι απυθίας από τη μη γραμμικότητα της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού, η οποία θα πριγραφί στην πόμνη νότητα. dκ = d = d + d + d (3.36) p p p p v Η κράτυνση του υλικού πριγράφται από τη διόγκωση της πιφάνιας φόρτισης μέσω της αντίστοιχης συνάρτησης (k(κ)). Η συνάρτηση αυτή παρέμιν στην ίδια μορφή σ σχέση μ την λλιπτική συνάρτηση του υφιστάμνου καταστατικού νόμου, μ τη διαφορά ότι στην προκιμένη πρίπτωση κφράζται συναρτήσι της ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης : p p v,t v k( v) = ko + 1 ko 1 p v,t p k(κ) = ( ) 2 (3.37) όπου p v,t ίναι η ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση στη μέγιστη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος, νώ η τιμή k o ορίζι την πιφάνια αρχικής διαρροής. Έχι παρατηρηθί πιραματικά ότι το σκυρόδμα συνήθους αντοχής συμπριφέρται πρακτικά λαστικά μέχρι το 3 έως 4 % της μονοαξονικής του αντοχής (Kotsovos & Newman, 198) και συνπώς μία τιμή k o =.3.4 θα ήταν παρκής. Ωστόσο, για να συμπριληφθούν στο νέο καταστατικό νόμο και τα σκυροδέματα υψηλής αντοχής, τα οποία χαρακτηρίζονται από υρύτρο αρχικό λαστικό κλάδο σ σχέση μ τα σκυροδέματα συνήθους αντοχής, χριάστηκ μία λπτομρέστρη βαθμονόμηση, βασιζόμνη στις διατάξις του MC9 (CEB, 1993) και της ομάδας ργασίας της CEB για σκυροδέματα υψηλής αντοχής (CEB WG on HSC/HPC, 1995). Στο σχήμα 3.52 (αριστρά) φαίνονται οι μονοαξονικές καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων σκυροδέματος, όπως προτίνονται από το συνδυασμό των δύο παραπάνω κιμένων. Για τις ανάγκς της διαδικασίας βαθμονόμησης, γίνται η παραδοχή ότι η αρχική λαστική συμπριφορά ισχύι έως ότου το πιβατικό (secant) μέτρο λαστικότητας του σκυροδέματος μιωθί στο 9 % του αρχικού φαπτομνικού (tangent) μέτρου λαστικότητας. Στο ίδιο σημίο, η ζητούμνη τιμή του σ co τίθται ίση μ την αντίστοιχη μονοαξονική τάση του σκυροδέματος (Σχ δξιά). Μ κθτική παλινδρόμηση προκύπτι η προτινόμνη σχέση μταξύ σ co και f c : σ co = f c / 6 (3.38) 11

145 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 12 f c σ co f c = σ co σ co = f c / f c Σχήμα 3.52 Βαθμονόμηση της τάσης του σκυροδέματος που ορίζι την έναρξη της πλαστικής ροής μ βάση τις διατάξις του MC9 (CEB, 1993) και της CEB WG on HSC/HPC (1995) Μ βάση την προηγούμνη παραδοχή, το μέτρο λαστικότητας του σκυροδέματος (Ε c ), το οποίο νσωματώνται στο λαστικό καταστατικό μητρώο (D) (Εξ. 2.17), τίθται ίσο μ το 9 % του αρχικού φαπτομνικού μέτρου λαστικότητας, όπως προτίνται από την CEB WG on HSC/HPC (1995) και αφορά τόσο τα σκυροδέματα υψηλής όσο και συνήθους αντοχής : f c E c = (3.39) Επιπλέον, ο λόγος του Poisson (ν) θωρίται ότι διατηρί σταθρή τιμή (παραδοχή που συμβαδίζι μ την κλασική θωρία πλαστικότητας) ίση μ.2 (CEB, 1993, Rashid et al., 22). Μτά την έναρξη της κράτυνσης, η αύξηση της ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης συνχίζται μέχρι την πίτυξη της οριακής τιμής. Η τιμή αυτή καθορίζι το τέλος της κράτυνσης, θέτοντας ίση μ τη μονάδα την αντίστοιχη συνάρτηση (Εξ. 3.26) και κατά συνέπια η πιφάνια φόρτισης παίρνι τη μορφή πιφάνιας αστοχίας. Για τη βαθμονόμηση της οριακής τιμής γίνται η παραδοχή ότι η συνολική ογκομτρική παραμόρφωση ( v ) στη μέγιστη μονοαξονική αντοχή (f c ) του σκυροδέματος ίναι ίση μ το μηδέν (Van Mier, 1986, Imran & Pantazopoulou, 1996, Grassl et al., 22), σχέση η οποία οδηγί στην ισότητα μταξύ της πλαστικής και της λαστικής παραμόρφωσης στη θέση αυτή (Εξ. 3.4). Η οριακή αυτή τιμή για την ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση θωρίται ότι παραμένι σταθρή για όλς τις υπόλοιπς ντατικές καταστάσις του υλικού p v,t p v,t 111

146 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης f = (3.4) P c v,t (1 2ν) Ec Αποδικνύται ότι η τιμή της παραμέτρου p v,t πηράζι μόνο το μέγθος των γκάρσιων παραμορφώσων ( 1 = 2 ) και η πιρροή της μιώνται όσο αυξάνται ο βαθμός πρίσφιξης (Grassl, 24). Στο σχήμα 3.53 φαίνονται δύο διαγράμματα μονοαξονικής και τριαξονικής θλίψης (τα οποία προέκυψαν από τον καταστατικό οδηγό (constitutive driver) που θα πριγραφί σ πόμνη νότητα) όπου δοκιμάζται αφνός η προτινόμνη τιμή της σχέσης (3.4) καθώς και η διπλάσιά της (υπρβολική τιμή πλαστικής διόγκωσης του σκυροδέματος). Παρατηρίται ότι στην πρίπτωση τριαξονικής έντασης μ βαθμό νργού πρίσφιξης μόλις 1 % (σ 1 = σ 2 =.1 f c ) οι διαφορές στην γκάρσια απόκριση (μταξύ των δύο τιμών της παραμέτρου ) ίναι πρακτικά μηδνικές. Ωστόσο, στις πριπτώσις p v,t παθητικής πρίσφιξης όπου οι γκάρσις τάσις δν ίναι σταθρές, αλλά ξαρτώνται άμσα από την ντατική κατάσταση του μέσου πρίσφιξης (οπλισμοί, ανθρακοϋφάσματα κλπ), η ορθή βαθμονόμηση της οριακής ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης έχι προέχουσα σημασία, ιδιαίτρα στις πριπτώσις που η διαρροή του μέσου πρίσφιξης έπται της μέγιστης αντοχής του σκυροδέματος (Grassl, 24). Στο σχήμα 3.54 φαίνται η μταβολή της πιφάνιας φόρτισης κατά τη διάρκια της κράτυνσης σ διάφορς γωμτρικές μορφές. 25 σ 3 fc = 2 MPa (απρίσφικτο) 35 σ 3 fc = 2 MPa (πρίσφιξη 1 %) 3 2 v 25 v = = Σχήμα 3.53 Επιρροή της τιμής της οριακής ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης στην απόκριση του σκυροδέματος υπό μονοαξονική και τριαξονική θλίψη 112

147 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ρ/f c σ 3 θ = 6 f c k = k o..5 ft ξ/f c (c = 1) θ = fbc σ 1 = σ σ 1/f c.2. σ 2/f c fc ft ft.2 k o fbc fc 1.2 k = 1. (c = 1) 1.4 σ 3 = Σχήμα 3.54 Μταβολή της πιφάνιας φόρτισης κατά τη διάρκια της κράτυνσης στο πίπδο Rendulic, στο διαξονικό πίπδο (σ 3 = ) και στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων 113

148 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Κατά την αύξηση των πλαστικών παραμορφώσων πέραν της οριακής τιμής p v,t, η συνάρτηση κράτυνσης παραμένι ίση μ τη μονάδα και το υλικό ισέρχται στη φάση της χαλάρωσης. Η σταδιακή απώλια της συνοχής του υλικού προσομοιώνται μ την παράλληλη μτακίνηση της πιφάνιας φόρτισης κατά μήκος του αρνητικού υδροστατικού άξονα (ξ) μέσω της συνάρτησης χαλάρωσης. Για να μτριαστούν όσο το δυνατόν πρισσότρο οι αδυναμίς του υφιστάμνου καταστατικού νόμου όπως πριγράφηκαν προηγουμένως (υαισθησία στην πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης υπό κατακόρυφη φόρτιση, διαφορά κλίσων των συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης στο σημίο μέγιστης αντοχής και μη ραλιστική μορφή του κατρχόμνου κλάδου απόκρισης σ σχέση μ την πιραματική μπιρία), η βλτιωμένη συνάρτηση χαλάρωσης που προτίνται ακολουθί την ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση όπως και στην κράτυνση p ( κ = v ) και έχι την παρακάτω μη γραμμική μορφή, η οποία διατυπώθηκ από τους Van Gysel & Taerwe (1996) για μονοαξονική θλίψη και υιοθτήθηκ στη συνέχια από την CEB WG on HSC/HPC (1995). c(κ) = 1 p c( v) = n n (3.41) n = / (3.42) p p 1 v v,t n = ( + t)/ (3.43) p p 2 v,t s v,t Η συνάρτηση χαλάρωσης ξκινάι από τη μονάδα και προσγγίζι ασυμπτωτικά τη μηδνική τιμή, όπου και θωρίται ότι το υλικό έχι απολέσι πλήρως τη συνοχή του. Στο σχήμα 3.55 φαίνται η μταβολή της πιφάνιας φόρτισης κατά τη διάρκια της χαλάρωσης σ διάφορς γωμτρικές μορφές. Στο σχήμα 3.56 παρουσιάζονται οι προτινόμνς μορφές των συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης, συναρτήσι της ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης. 114

149 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ft ρ/f c σ 3 θ = 6 fc c = 1.,.8 2,.6 2,.4 2,.2 2,. ξ/f c (k = 1) θ = fbc σ 1 = σ σ 1/f c.2. σ 2/f c fc ft ft fbc.8 2 fc 1.2 c = 1. (k = 1) 1.4 σ 3 = Σχήμα 3.55 Μταβολή της πιφάνιας φόρτισης κατά τη διάρκια της χαλάρωσης στο πίπδο Rendulic, στο διαξονικό πίπδο (σ 3 = ) και στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσων 115

150 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης k(κ) / c(κ) 1..8 k c k.6 c.4.2 k o. p v,t κ = p v Σχήμα 3.56 Προτινόμνς μορφές συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης Η παράμτρος t s που μφανίζται στη σχέση (3.43) καθορίζι την κλίση της συνάρτησης χαλάρωσης και βαθμονομίται βάσι της μονοαξονικής αντοχής (f c ) μ την ξής διαδικασία : θωρίται ότι κατά την φαρμογή του νέου καταστατικού νόμου θα πρέπι να προκύψι μία τέτοια μονοαξονική καμπύλη τάσωνπαραμορφώσων σκυροδέματος, ώστ ο κατρχόμνος κλάδος της καμπύλης αυτής να διέρχται από ένα προκαθορισμένο σημίο λέγχου μ συντταγμένς (.5 f c,.5fc ). Για να οριστί η μονοαξονική παραμόρφωση (.5fc ) που αντιστοιχί στην τάση.5 f c για διάφορς αντοχές σκυροδέματος, συγκντρώθηκ αρχικά μια σιρά πιραματικών αποτλσμάτων από τη βιβλιογραφία (Σχ. 3.57) και στη συνέχια, για κάθ πιραματικό σημίο, προσδιορίστηκ μ μία διαδικασία δοκιμών η τιμή της παραμέτρου κλίσης (t s ), η οποία όταν ισάγται στον καταστατικό νόμο οδηγί στην αντίστοιχη πιραματική μονοαξονική παραμόρφωση.5fc (Σχ. 3.58). Μ γραμμική παλινδρόμηση προέκυψ η παρακάτω σχέση μταξύ f c και t s : t s ( ) = f c / 15 (3.44) Πρέπι να σημιωθί ότι το μιονέκτημα της παραπάνω μθόδου ίναι η ανάγκη παναβαθμονόμησης της παραμέτρου t s άν πιλχθί διαφορτική τιμή για την οριακή ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση ( p v,t ) από την προτινόμνη της σχέσης (3.4). 116

151 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης fc Ansari and Li (1998) Dahl (1992) Harries and Kharel (23) Smith et al. (1989) Wang et al. (1978) Wee et al. (1996) Xie et al. (1995) Σχέση MC9 (CEB, 1993) Σχέση CEB228 (1995) f c +.67 R 2 = 7 % f c Σχήμα 3.57 Σχέση μταξύ f c και πιραματικής μονοαξονικής παραμόρφωσης.5fc που αντιστοιχί στην τάση.5 f c 9 8 t s ( ) 7 6 Ansari and Li (1998) 5 Dahl (1992) 4 Harries and Kharel (23) f c / 15 Smith et al. (1989) 3 Wang et al. (1978) R 2 = 83 % 2 Wee et al. (1996) Xie et al. (1995) 1 f c Σχήμα 3.58 Προτινόμνη σχέση μταξύ f c και παραμέτρου κλίσης t s Συνάρτηση πλαστικού δυναμικού Βαθμονόμηση Η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού (g), όπως έχι ήδη αναφρθί, καθορίζι κάθ στιγμή τη διύθυνση του μικροαυξητικού διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων μέσω νός μη συσχτισμένου νόμου πλαστικής ροής. Μ τον τρόπο αυτόν πηράζι αλυσιδωτά την τιμή της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης (στην προκιμένη πρίπτωση την ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση), την τιμή των αντίστοιχων συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης, τη θέση και το μέγθος της πιφάνιας φόρτισης και τλικά την ντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση του υλικού. Συνπώς, η πιλογή της 117

152 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης αναλυτικής της μορφής παίζι κυρίαρχο ρόλο στη σχέση μταξύ έντασης και παραμόρφωσης του σκυροδέματος. Η υφιστάμνη συνάρτηση πλαστικού δυναμικού τύπου DruckerPrager, η οποία χαρακτηρίζται από σταθρή παράμτρο πλαστικής διόγκωσης (β), δν ίναι κατάλληλη να συνδυαστί μ τη νέα παράμτρο κράτυνσης/χαλάρωσης (ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση) γιατί έχι αποδιχθί πιραματικά ότι η πλαστική διόγκωση του σκυροδέματος μιώνται όσο αυξάνουν οι γκάρσις θλιπτικές τάσις (πρίσφιξη) λόγω της αντίστοιχης μίωσης των σωτρικών μικρορηγματώσων (π.χ. Smith et al., 1989) (Σχ. 3.42). Για τους παραπάνω λόγους θα πρέπι να διατυπωθί μία νέα συνάρτηση πλαστικού δυναμικού, της οποίας η φαπτομνική κλίση (πρώτη παράγωγος) να μταβάλλται κατά μήκος του υδροστατικού άξονα. Κατά συνέπια, προτίνται μία πολυωνυμική συνάρτηση, η οποία ξαρτάται από την αναλλοίωτη τασική γωνία ομοιότητας (θ) και έχι ρυθμιζόμνο πολυωνυμικό βαθμό (n). Πρέπι να σημιωθί ότι τα χαρακτηριστικά αυτά ίναι πρωτότυπα και δν πριλαμβάνονται σ παρόμοιους καταστατικούς νόμους της βιβλιογραφίας (π.χ. Imran & Pantazopoulou, 21, Grassl et al., 22, Grassl & Jirásek, 26). g = n ρ 1 ρ ξ A + C + (B C) (1 cos3θ) + a k c f 2 c k c fc k c fc (3.45) Για τη βαθμονόμηση των παραμέτρων Α, Β και C της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού, γίνται η παραδοχή ότι η διύθυνση (ψ) του μικροαυξητικού διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (d p ) ταυτίζται μ κίνη του ολικού διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων ( p ) σ τρία διακριτά σημία λέγχου, τα οποία θα οριστούν παρακάτω. Η διύθυνση αυτή ορίζται ως η γωνία που σχηματίζται μταξύ του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων και του υδροστατικού άξονα ή, ισοδύναμα, η γωνία μταξύ της φαπτομένης της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού (g = ) στο σημίο που αντιστοιχί στην τρέχουσα ντατική κατάσταση (σ ij ) και του άξονα κτροπής (ρ) (Σχ. 3.59). ψ = ρ ξ = dξ (3.46) dρ όπου ξ και ρ ίναι το υδροστατικό και κτροπικό μέτρο του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων αντίστοιχα (τα οποία υπολογίζονται μ παρόμοιο τρόπο μ τα αντίστοιχα μέτρα του διανύσματος των τάσων). 118

153 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Σχήμα 3.59 Διύθυνση (ψ) μικροαυξητικού (α) και ολικού (β) διανύσματος πλαστικών παραμορφώσων Τα σημία λέγχου για τη βαθμονόμηση των παραμέτρων Α, Β και C (Εξ. 3.45) αντιστοιχούν στη θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος υπό μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική φόρτιση αντίστοιχα. Συγκκριμένα, οι παράμτροι Α και Β βαθμονομούνται από τη μονοαξονική και τριαξονική αντοχή πάνω στο θλιπτικό μσημβρινό (θ = 6 ο ) της πιφάνιας αστοχίας και η παράμτρος C από την ισοδιαξονική αντοχή πάνω στον φλκυστικό μσημβρινό (θ = ο ). Για τις ανάγκς της βαθμονόμησης, η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού (Εξ. 3.45) λαμβάνι αντίστοιχη μορφή μ αυτήν του κριτηρίου διαρροής στην κατάσταση αστοχίας, δηλαδή οι τιμές των συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης τίθνται ίσς μ τη μονάδα (k = c = 1). g = n ρ 1 ρ ξ A + C (B C) (1 cos3θ) a f + c 2 + fc fc (3.47) Για τη βαθμονόμηση των παραμέτρων Α και Β στο θλιπτικό μσημβρινό (θ = 6 ο ), η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού (Εξ. 3.47) παίρνι την απλούστρη μορφή : g = n ρ ρ ξ A + B + a fc fc fc (3.48) Η διύθυνση ψ ίναι ίση μ την πρώτη παράγωγο της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού (g = ) ως προς τον άξονα κτροπής (ρ) : 119

154 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ψ = dξ ρ = n A dρ fc n 1 + B (3.49) Αν ψ 1 και ψ 2 ίναι οι διυθύνσις του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων και ρ 1, ρ 2 τα κτροπικά μέτρα του διανύσματος των τάσων για μονοαξονική και τριαξονική θλίψη αντίστοιχα, τότ προκύπτι : ρ 1 ψ 1 = n A fc n 1 + B (3.5) ρ ψ 2 = n A f 2 c n 1 + B (3.51) Από την πίλυση του συστήματος των ξισώσων (3.5) και (3.51) προκύπτουν οι ζητούμνς τιμές των παραμέτρων Α και Β : ψ1 ψ2 A = ρ 1 ρ 2 n fc f c n 1 n 1 (3.52) ρ 1 Β = ψ 1 n A fc n 1 (3.53) Η παράμτρος C βαθμονομίται στον φλκυστικό μσημβρινό (θ = ο ) πάνω στον οποίο η συνάρτηση πλαστικού δυναμικού (Εξ. 3.47) παίρνι την απλούστρη μορφή : g = n ρ ρ ξ A + C + a fc fc fc (3.54) Αν ψ 3 και ρ 3 ίναι η διύθυνση του ολικού διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων και το κτροπικό μέτρο του διανύσματος των τάσων για ισοδιαξονική θλίψη αντίστοιχα, τότ προκύπτι : ψ 3 = dξ ρ = n A dρ f 3 c n 1 + C (3.55) 12

155 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης το οποίο οδηγί στην τιμή της παραμέτρου C : ρ C = ψ 3 n A f 3 c n 1 (3.56) Στο σημίο αυτό, ίναι απαραίτητος ο υπολογισμός των τιμών των ρ 1, ρ 2, ρ 3 και ψ 1, ψ 2, ψ 3 για να προκύψουν οι ζητούμνς τιμές των παραμέτρων Α, Β και C μέσω των σχέσων (3.52), (3.53) και (3.56). Τα κτροπικά μέτρα ρ 1, ρ 2, ρ 3 ξαρτώνται από τα αντίστοιχα διανύσματα των τάσων για μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική θλίψη αντίστοιχα και υπολογίζονται ως ξής : α) Μονοαξονική θλίψη : Ο υπολογισμός του μέτρου ρ 1 ξαρτάται μόνο από τη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος (f c ). ρ 1 = 2J 2 = 2 1 ( ) + ( f ) + (f ) = 2 f c c c (3.57) β) Τριαξονική θλίψη : Ο υπολογισμός του μέτρου ρ 2 απαιτί τον υπολογισμό της τριαξονικής αντοχής του σκυροδέματος (f cc ) που αντιστοιχί σ ένα προπιλγμένο μέγθος γκάρσιων τάσων (σ 1 = σ 2 = σ pc ) πάνω στο θλιπτικό μσημβρινό της πιφάνιας αστοχίας (θ = 6 ο ). Στην προκιμένη πρίπτωση, πιλέχθηκ αυθαίρτα μία γκάρσια τάση ίση μ τη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος (σ pc = f c, ή βαθμός πρίσφιξης 1 %) και οι αντίστοιχς τιμές της τριαξονικής αντοχής (f cc ) για διάφορς αντοχές σκυροδέματος (όπως προέκυψαν από μία παναληπτική διαδικασία δοκιμών βάσι του βαθμονομημένου κριτήριο αστοχίας), παρουσιάζονται στον πίνακα 3.9. ρ 2 = 2J 2 = 2 1 (σ σ ) + (σ f ) + (f σ ) = 2 f σ pc pc pc cc cc pc cc pc (3.58) γ) Ισοδιαξονική θλίψη : Ο υπολογισμός του μέτρου ρ 3 ξαρτάται μόνο από την ισοδιαξονική αντοχή του σκυροδέματος (f bc ), η οποία έχι ήδη βαθμονομηθί μ βάση την αντίστοιχη μονοαξονική αντοχή (Εξ. 3.35). ρ 3 = 2J 2 = 2 1 ( f ) + (f f ) + (f ) = 2 f bc bc bc bc bc (3.59) 121

156 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πίνακας 3.9 Τιμές τριαξονικής αντοχής σκυροδέματος (f cc ) για γκάρσις τάσις σ pc = f c και διάφορς αντοχές σκυροδέματος. f c (MPa) σ pc f cc Οι διυθύνσις ψ 1, ψ 2 και ψ 3 για μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική θλίψη αντίστοιχα, μπορούν να υπολογιστούν μ βάση το λόγο μταξύ των υδροστατικών (ξ ) και κτροπικών (ρ ) μέτρων του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων (Εξ. 3.46). Οι θλιπτικές τάσις και παραμορφώσις λαμβάνουν αρνητικές τιμές στις ξισώσις (3.61), (3.64) και (3.67). ψ = ρ ξ = 1 p p 2 p p 2 p p 2 2 (1 2) (2 3) (3 1) p p p (3.6) Ορισμός κύριων πλαστικών παραμορφώσων α) Οι τιμές των κύριων πλαστικών παραμορφώσων που αντιστοιχούν στη μονοαξονική θλιπτική αντοχή υπολογίζονται ως ξής : p 3 = 3 e 3 = c 1 f c ν E = fc c E ( + ) c c (3.61) p 1 = p 2 = 2 p p v,t 3 (3.62) όπου f p = c v,t E c (1 2ν) (Εξ. 3.4) 122

157 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Η συνολική παραμόρφωση που αντιστοιχί στη μονοαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος ( 1 c, Εξ. 3.61) υπολογίζται βάσι των διατάξων του MC9 (CEB, 1993) και της CEB WG on HSC/HPC (1995) για σκυρόδμα συνήθους και υψηλής αντοχής αντίστοιχα :.22 c = min.31.7 fc 1 (3.63) Πρέπι να σημιωθί δώ ότι τα πιραματικά αποτλέσματα σχτικά μ την ξάρτηση της c από τη μονοαξονική αντοχή f c παρουσιάζουν σημαντική διασπορά, η οποία πιθανόν οφίλται στις διαφορτικές συνθέσις σκυροδέματος, μγέθη δοκιμίων, συνοριακών συνθηκών και διατάξων μέτρησης μταξύ διαφορτικών ρυνητών (Carreira & Chu, 1985), όπως άλλωστ και στη σχτική πιπδότητα της καμπύλης τάσηςπαραμόρφωσης στην πριοχή της μέγιστης αντοχής. Ωστόσο, η κανονιστική σχέση (3.63) προσγγίζι ικανοποιητικά τα πιραματικά αποτλέσματα που συγκντρώθηκαν από τη σχτική βιβλιογραφία, όπως φαίνται στο σχήμα c Ansari and Li (1998) Attard and Setunge (1996) Candappa et al. (2) Dahl (1992) Hognestad et al. (1955) Imran (1994) Ramaley and McHenry (1947) Sfer et al. (22) Smith et al. (1989) Smith and Young (1956) Wang et al. (1978) Wee et al. (1996) Xie et al. (1995) Σχέση MC9 (CEB, 1993) Σχέση CEB228 (1995) f c Σχήμα 3.6 Σχέση μταξύ συνολικής παραμόρφωσης στη μονοαξονική αντοχή ( c ) και μονοαξονικής αντοχής σκυροδέματος (f c ) β) Οι τιμές των κύριων πλαστικών παραμορφώσων που αντιστοιχούν στην τριαξονική θλιπτική αντοχή υπολογίζονται ως ξής : 1 Αναφέρται ως c1 στο κίμνο του ΜC9 (CEB, 1993) 123

158 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης p 3 = 3 e 3 = cc 1 E = 1 cc fcc 2 ν σpc E (3.64) fcc ν ( σpc + σpc ) c c p 1 = p 2 = 2 p p v,t 3 (3.65) όπου f p = c v,t E c (1 2ν), ίση μ την αντίστοιχη τιμή για μονοαξονική θλίψη (Εξ. 3.4) Για τον υπολογισμό της συνολικής παραμόρφωσης που αντιστοιχί στην τριαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος ( cc, Eξ. 3.64), προτίνται μία γραμμική σχέση μταξύ του βαθμού πρίσφιξης (σ pc / f c ) και του λόγου αύξησης των παραμορφώσων ( cc / c ), η οποία προέκυψ μ γραμμική παλινδρόμηση πάνω σ πιραματικά αποτλέσματα που συγκντρώθηκαν από τη βιβλιογραφία (Σχ. 3.61). Παρατηρίται ότι η διασπορά των αποτλσμάτων ίναι μγαλύτρη για υψηλότρους βαθμούς πρίσφιξης. cc = c σ f pc c (3.66) η οποία απλοποιίται σ cc = 18 c για την πιλογή σ pc = f c (Πίν. 3.9) cc / c cc / c = σ pc / f c R 2 = 88 % Ansari and Li (1998) Attard and Setunge (1996) Candappa et al. (2) Imran (στγνά δοκίμια) (1994) Imran (υγρά δοκίμια) (1994) Kotsovos and Newmann (198) Sfer et al. (22) Smith et al. (1989) Xie et al. (1995) Σχέση από Ansari and Li (1998) Σχέση από Candappa et al. (2) 1 σ pc / f c Σχήμα 3.61 Σχέση μταξύ βαθμού πρίσφιξης και αύξησης των παραμορφώσων υπό τριαξονική θλίψη γ) Οι τιμές των κύριων πλαστικών παραμορφώσων που αντιστοιχούν στην ισοδιαξονική θλιπτική αντοχή υπολογίζονται ως ξής : 124

159 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης p 3 = p 2 = 3 e 3 = bc 1 f ν ( f + ) bc bc E c = bc f E (3.67) bc ( 1 ν) c p 1 = 2 (3.68) p p v,t 3 όπου f p = c v,t E c (1 2ν), ίση μ την αντίστοιχη τιμή για μονοαξονική θλίψη (Εξ. 3.4) Για τον υπολογισμό της συνολικής παραμόρφωσης που αντιστοιχί στην ισοδιαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος ( bc, Εξ. 3.67), ίναι δυνατόν να χρησιμοποιηθί η σχέση : bc / c = 3 f bc / f c 2 (3.69) η οποία διατυπώθηκ από τους Darwin & Pecknold (1977) και υιοθτήθηκ στη συνέχια από τον MC9 (CEB, 1993). Ωστόσο, η σχέση αυτή φαίνται να υπρκτιμά τη ζητούμνη παραμόρφωση σ σχέση μ την πλιοψηφία των πιραματικών στοιχίων, τα οποία παρουσιάζουν αμλητέα αύξηση των παραμορφώσων υπό ισοδιαξονική θλίψη (Liu et al., 1972, Yin et al., 1989, Traina & Mansour, 1991, Hussein & Marzouk, 2, Lee et al., 24). Μέχρι να γίνι διαθέσιμη μία βλτιωμένη βάση παρόμοιων πιραματικών αποτλσμάτων στη βιβλιογραφία, προτίνται ναλλακτικά, ως μέση λύση, να τθί η αύξηση των παραμορφώσων υπό ισοδιαξονική θλίψη ίση μ την αντίστοιχη αύξηση των τάσων (Σχ. 3.35). bc / c = f bc / f c = 1.5 f c.75 (3.7) Επιδή οι παράμτροι της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού βαθμονομούνται βάσι νός αυθαίρτου μγέθους γκάρσιων τάσων (δώ : σ pc = f c ), πρέπι να διρυνηθί κατά πόσο η αύξηση των παραμορφώσων στη μέγιστη αντοχή λόγω τριαξονικής έντασης ( cc / c ), όπως αυτή προκύπτι από τον καταστατικό νόμο, ίναι γραμμική συνάρτηση του βαθμού πρίσφιξης (σ pc / f c ), όπως έχι ήδη υποτθί κατά τη διαδικασία βαθμονόμησης βάσι της σχέσης (3.66). Μία παραμτρική ανάλυση έδιξ ότι μία πολυωνυμική συνάρτηση πλαστικού δυναμικού τρίτου βαθμού (n = 3) ξασφαλίζι τη ζητούμνη γραμμικότητα και πομένως η αυθαίρτη πιλογή του μγέθους των γκάρσιων τάσων (σ pc ) για τη βαθμονόμηση των παραμέτρων της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού δν πηράζι τα τλικά αποτλέσματα (Σχ. 3.62). Σημιώνται δώ ότι η αρχική πρόταση των Grassl et al. (22) αφορούσ συνάρτηση πλαστικού δυναμικού δυτέρου βαθμού, η οποία 125

160 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης όπως φαίνται από το σχήμα 3.62 δν οδηγί στη ζητούμνη γραμμική σχέση μταξύ βαθμού πρίσφιξης και λόγου αύξησης των παραμορφώσων στη μέγιστη αντοχή cc / c cc / c n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 18 σpc = fc n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 9 σpc =.5 fc 1 R 2 = 1 % 5 σ pc / f c R 2 = 1 % 2 1 σ pc / f c Σχήμα 3.62 Επιλογή του βαθμού (n) της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού (για βαθμούς πρίσφιξης σ pc / f c = 1 και σ pc / f c =.5) Στο σχήμα 3.63 φαίνονται τα διανύσματα των πλαστικών παραμορφώσων για μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική θλίψη, όπως προέκυψαν από την παραπάνω διαδικασία βαθμονόμησης. Παρατηρίται ότι για υψηλότρους βαθμούς πρίσφιξης (αλγβρικά μικρότρς τιμές του ξ), η διύθυνση του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων συγκλίνι προς αυτήν του άξονα κτροπής (ρ) και κατά συνέπια η συσσώρυση ογκομτρικών πλαστικών παραμορφώσων (πλαστική διόγκωση) πιβραδύνται. Το γγονός αυτό πηράζι άμσα την τιμή της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης, η οποία για υψηλότρους βαθμούς πρίσφιξης αυξάνται μ βραδύτρους ρυθμούς, μ αποτέλσμα να συσσωρύονται συνολικά μγαλύτρς αξονικές και γκάρσις πλαστικές παραμορφώσις μέχρι το τέλος της κρατυνόμνης φάσης (k = 1). Στο σχήμα 3.64 φαίνται η μταβολή της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού κατά τη διάρκια της κράτυνσης και της χαλάρωσης (για μηδνική τιμή της σταθράς έλξως a) και στο σχήμα 3.65 η μη συσχτισμένη μορφή του νόμου πλαστικής ροής κατά την κράτυνση (διαφορτική κλίση των πιφανιών φόρτισης και πλαστικού δυναμικού για ίδια ντατική κατάσταση), όπου ίναι μφανές ότι η χρήση νός συσχτισμένου νόμου (g = f) θα οδηγούσ σ υπρκτίμηση της πλαστικής διόγκωσης του σκυροδέματος (π.χ. Kang & Willam, 1999). Στο Παράρτημα Γ παρουσιάζται ένα λπτομρές παράδιγμα προσδιορισμού των παραμέτρων του προτινόμνου καταστατικού νόμου, σύμφωνα μ τις σχέσις που διατυπώθηκαν στην παρούσα νότητα. 126

161 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 4. ρ/f c σ 3 d p (τριαξονική) f 3. f cc g 2. d p (μονοαξονική) θ = f c 1. f bc g d p σ 1 = σ 2 (ισοδιαξονική) f θ = 4. ξ/f c (k = c = 1) g 5. Σχήμα 3.63 Διυθύνσις του διανύσματος των πλαστικών παραμορφώσων που αντιστοιχούν στη μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική αντοχή του σκυροδέματος ρ/f c k = 1. θ = c = a = (c = 1) (k = 1) ξ/f c θ = Σχήμα 3.64 Μταβολή της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού κατά τη διάρκια της κράτυνσης και της χαλάρωσης (πίπδο Rendulic) 127

162 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 1..8 ρ/f c d p f c σ 3 k = k o f g.6 θ = 6.8 (c = 1) ξ/f c 1. Σχήμα 3.65 Μη συσχτισμένη πλαστική ροή κατά την κράτυνση υπό μονοαξονική θλίψη (πίπδο Rendulic) Για την φαρμογή του νόμου πλαστικής ροής κατά τη διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης που ακολουθί, οι μρικές παράγωγοι της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού ως προς τις κύρις τάσις διατυπώνονται ως ξής : g σ 1 n A = ( ) n k c f c n 1 2 (2J 2) 2 σ1 σ2 σ C + (B C)(1 cos3θ) 2 k c f c 1 2J 2 σ1 σ2 σ k c f c (3.71) Οι αντίστοιχς παράγωγοι g σ 2, g σ 3 προσδιορίζονται μ κυκλική διάταξη τον όρων σ 2 και σ 3 στη σχέση (3.71). 128

163 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Αριθμητική ολοκλήρωση Για την αριθμητική ολοκλήρωση των καταστατικών ξισώσων χρησιμοποιήθηκ o αλγόριθμος μορφής backwardeuler του προγράμματος ΑΤΕΝΑ (Wilkins, 1964), ο οποίος βλτιώθηκ σημαντικά ως προς την παναληπτική διαδικασία πιστροφής του διανύσματος των τάσων στην πιφάνια φόρτισης. Συγκκριμένα χρησιμοποιήθηκ μία παναληπτική διαδικασία μ συνδυασμό των μθόδων regulafalsi και τέμνουσας (secant), η οποία μφανίζι αριθμητική σταθρότητα και ταχία σύγκλιση. Επίσης, η διαδικασία της αριθμητικής ολοκλήρωσης ίναι ανξάρτητη από το μέγθος του φορτιστικού βήματος και δν απαιτί την παραγώγιση του κριτηρίου διαρροής. Για να διατηρηθί η συνθήκη συμβατότητας των καταστατικών ξισώσων (f ) κατά τη διάρκια της πλαστικής ροής, η παραπάνω διαδικασία ανανώνι παναληπτικά τις ξής ποσότητς : (1) τον πλαστικό πολλαπλασιαστή (dλ), ο οποίος καθορίζι τον τανυστή k διόρθωσης των τάσων ( dλdijklmkl ) και τις πρόσθτς πλαστικές παραμορφώσις ( + ), (2) τη διύθυνση πιστροφής ( m ) του διανύσματος των τάσων προς την k dλm ij πιφάνια φόρτισης και (3) τις τιμές των συναρτήσων κράτυνσης (k(κ)) και χαλάρωσης (c(κ)), οι οποίς λέγχουν τη θέση και το μέγθος της πιφάνιας φόρτισης (f = ) και της πιφάνιας πλαστικού δυναμικού (g = ) στο χώρο των κυρίων τάσων. Ένα λπτομρές διάγραμμα ροής της διαδικασίας αριθμητικής ολοκλήρωσης παρουσιάζται στο σχήμα Στο σχήμα 3.67 πριγράφται η λιτουργία των παναληπτικών μθόδων regulafalsi και τέμνουσας, οι οποίς πριλαμβάνονται στην παραπάνω διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης, μ στόχο τη σύγκλιση του κριτηρίου διαρροής προς τη μηδνική τιμή (f = ) κατά την πλαστική διόρθωση. Οι παραπάνω μέθοδοι, μια κ των οποίων πιλέγται κάθ φορά ανάλογα μ την τιμή του όρου f B της προηγούμνης πανάληψης (regulafalsi για f B < και τέμνουσα για f B > ), βασίζονται σ διαδοχικές γραμμικές παρμβολές ως προς την πιθυμητή μηδνική τιμή (f = ), μ αναπροσαρμοζόμνα αριστρά και δξιά όρια, ανάλογα μ την τιμή του κριτηρίου διαρροής (f) σ κάθ πανάληψη. Στο σχήμα 3.68 παρουσιάζται η διαδρομή σύγκλισης της αριθμητικής ολοκλήρωσης στο πίπδο Rendulic (για ένα φορτιστικό βήμα), κατά την οποία ίναι μφανής η συνχής μταβολή της μικροαυξητικής τιμής του πλαστικού πολλαπλασιαστή (dλ) και της διύθυνσης πιστροφής του διανύσματος των τάσων (m ij ), μέχρι την τλική ικανοποίηση της συνθήκης συμβατότητας (f = ). k ij 129

164 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Δδομένα n σ ij n p ij dij Πλαστική ροή Backward Euler Επαναληπτική διαδικασία (k = k+1) t Ελαστική πρόβλψη σ = σ + D d n ij ij ijkl kl Ναι Αρχική διύθυνση πιστροφής m ij = t g( σ ij) σ ij Νέος πλαστικός πολλαπλασιαστής dλ = dλ f Α A dλ f Β B dλ f A Α Κριτήριο διαρροής f = f( σ, ) t n p A ij ij dλ = A Αρχική πιστροφή f = f( σ dλ D m, ) = dλ t n p B ij Β ijkl kl ij Β Υπολογισμός κριτηρίου διαρροής f = f( σ dλ D m, + dλ m) t n p B ij Β ijkl kl ij Β ij m Νέα διύθυνση πιστροφής k ij t k 1 g( σij dλdijklm kl ) = σ Υπολογισμός κριτηρίου διαρροής f = f( σ dλd m, + dλm ) t k n p k ij ijkl kl ij ij ij Όχι f A > Ναι (1) f B < Όχι (2) Όχι f < Όχι Αποτλέσματα Ελαστική απόκριση σ n+ 1 ij = = t σ ij n+ 1 p n p ij ij Αποτλέσματα Ελαστοπλαστική απόκριση σ = σ dλ D m n+ 1 t k ij ij Β ijkl kl = + dλ m n+ 1 p n p k ij ij Β ij Ναι f B = f dλ B = dλ f A = f dλ A = dλ f A = f B dλ Α = dλ Β f B = f dλ B = dλ (1) Μέθοδος RegulaFalsi (2) Μέθοδος τέμνουσας Ναι dλ Α dλ Β < 1 3 dλ Β or f < 1 9 Σχήμα 3.66 Διάγραμμα ροής της διαδικασίας αριθμητικής ολοκλήρωσης Σχήμα 3.67 Λιτουργία των παναληπτικών μθόδων regulafalsi και τέμνουσας 13

165 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ρ t σij dλ n+1 σij m 1.23 dλ m 3 m 2.22 dλ n σij m ξ.179 Σχήμα 3.68 Διαδρομή σύγκλισης της μθόδου αριθμητικής ολοκλήρωσης στο πίπδο Rendulic Τέλος, αν και δ χρησιμοποιίται στην παρούσα διατύπωση, το λαστοπλαστικό (φαπτομνικό) καταστατικό μητρώο του υλικού, μπορί να υπολογιστί σύμφωνα μ την παρακάτω σχέση : D ep = D T = D g f D D σ σ f g f f D δ σ σ κ σ T Τ T (3.72) Ανάπτυξη λογισμικού καταστατικού οδηγού Για την αξιολόγηση του βλτιωμένου καταστατικού νόμου πλαστικότητας σκυροδέματος σ θλίψη, πριν γίνι προσπάθια νσωμάτωσής του στο πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ και συνδυασμού του μ τον υφιστάμνο καταστατικό νόμο θραύσης για τον φλκυσμό, αναπτύχθηκ κατάλληλο λογισμικό μ τη μορφή καταστατικού οδηγού. Ένας καταστατικός οδηγός δν πριλαμβάνι ππρασμένα στοιχία και αντίστοιχς μητρωικές διατυπώσις, αλλά φαρμόζι φορτιστικά βήματα τάσων ή παραμορφώσων σ ένα ιδατό υλικό σημίο (ανάλογο μ ένα σημίο ολοκλήρωσης Gauss νός ππρασμένου στοιχίου), στο οποίο έχουν αποδοθί οι ιδιότητς του υπό αξιολόγηση καταστατικού νόμου. Στο σχήμα 3.69 φαίνται μία γνική 131

166 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ικόνα του προγράμματος (αναπτύχθηκ σ γλώσσα προγραμματισμού Borland Delphi 7.), το οποίο πριλαμβάνι, μταξύ άλλων, τις ξής βασικές δυνατότητς : Καθορισμός όλων των παραμέτρων και των κριτηρίων σύγκλισης του βλτιωμένου καταστατικού νόμου αλλά και νσωμάτωση του υφιστάμνου για παλήθυση των αποτλσμάτων μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ. Επίσης ίναι δυνατή η αυτόματη βαθμονόμηση των παραμέτρων αυτών μ βάση τη μονοαξονική αντοχή σ θλίψη (f c ), σύμφωνα μ τις διαδικασίς που πριγράφηκαν στις προηγούμνς νότητς. Επίσης, για λόγους σύγκρισης ίναι δυνατός ο συνδυασμός ναλλακτικών κριτηρίων διαρροής (DruckerPrager, Ottosen), παραμέτρου και συναρτήσων κράτυνσης και χαλάρωσης καθώς και συναρτήσων πλαστικού δυναμικού (DruckerPrager, πολυωνυμικής). Επιβολή μονοαξονικής, τριαξονικής και ισοδιαξονικής φόρτισης μ τη μορφή βήματος τάσων η παραμορφώσων. Απικόνιση διάφορων μορφών αποτλσμάτων σ πραγματικό χρόνο (τάσις, παραμορφώσις, μέτρα διανυσμάτων ξ, ρ, ξ, ρ κλπ). Σχήμα 3.69 Το λογισμικό του καταστατικού οδηγού ( 3 γραμμές κώδικα) Η λιτουργία του καταστατικού οδηγού στηρίζται κατά βάση στη διαδικασία αριθμητικής ολοκλήρωσης που πριγράφηκ στην προηγούμνη νότητα, αλλά πίσης νσωματώνι και μία πρωτότυπη αριθμητική μέθοδο που ξασφαλίζι τις συνθήκς 132

167 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης ισορροπίας στις τρις κύρις διυθύνσις ανάλογα μ τη διαδρομή φόρτισης του υλικού (μονοαξονική, ισοδιαξονική ή τριαξονική). Σύμφωνα μ τη μέθοδο αυτή, πιβάλλονται φορτιστικά βήματα τάσων (stress control), φαρμόζοντας αρχικά μια διόρθωση των τάσων στη διύθυνση φόρτισης (ή σ δύο διυθύνσις στην πρίπτωση της ισοδιαξονικής φόρτισης), βάσι του αλγορίθμου αριθμητικής ολοκλήρωσης του σχήματος Στη συνέχια, για τις τάσις κτός ισορροπίας που προκύπτουν, φαρμόζται μία παναληπτική διαδικασία τύπου NewtonRaphson για την ικανοποίηση των συνθηκών ισορροπίας στις υπόλοιπς διυθύνσις (μηδνικές τάσις για μονοαξονική και ισοδιαξονική φόρτιση και τάσις ίσς μ το μέγθος των αρχικών γκάρσιων τάσων πρίσφιξης στην πρίπτωση της τριαξονικής φόρτισης). Μ τον τρόπο αυτόν κατέστη φικτός ο προσδιορισμός της απόκρισης του υλικού και πέρα από το σημίο της μέγιστης αντοχής (στάδιο χαλάρωσης). Αναπτύχθηκ πίσης και μία δύτρη ναλλακτική μέθοδος πιβολής της φόρτισης μ βάση τις παραμορφώσις (strain control), η οποία σ κάθ φορτιστικό βήμα προσγγίζι τη στοχυόμνη παραμόρφωση, αυξομιώνοντας κατάλληλα, μέσω μιας δύτρης παναληπτικής διαδικασίας, ένα δοκιμαστικό φορτιστικό βήμα τάσης (που πιλύται μ βάση την πρώτη μέθοδο). Στα διαγράμματα ροής του σχήματος 3.7 φαίνται λπτομρώς η λιτουργία των παραπάνω μθόδων στο πλαίσιο του καταστατικού οδηγού Αξιολόγηση βλτιωμένου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Μ βάση το λογισμικό καταστατικού οδηγού, το οποίο πριγράφηκ στην προηγούμνη νότητα, έγιν αξιολόγηση του βλτιωμένου καταστατικού νόμου για σκυροδέματα συνήθους και υψηλής αντοχής μέσω σύγκρισης μ αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα μονοαξονικής, διαξονικής και τριαξονικής θλίψης από τη βιβλιογραφία. Πρέπι να σημιωθί δώ ότι οι παράμτροι του καταστατικού νόμου υπολογίζονται μ βάση σχέσις που πριλαμβάνουν μόνο τη μονοαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος (f c ), η οποία αναφέρται στις αντίστοιχς πιραματικές ργασίς, ακολουθώντας τις διαδικασίς που πριγράφηκαν στις προηγούμνς νότητς ( γνικυμένη βαθμονόμηση ). Κατά συνέπια, οι αποκλίσις μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων οφίλονται κατά βάση στην γγνή διασπορά των πιραματικών αποτλσμάτων, στα οποία βασίστηκ η βαθμονόμηση των παραμέτρων του νέου καταστατικού νόμου (Σχ. 3.48, 3.5, 3.58, 3.6, 3.61). Ωστόσο, η δομή του νέου καταστατικού νόμου προσφέρι τη δυνατότητα παναβαθμονόμησης μ βάση συγκκριμένα πιραματικά αποτλέσματα, τα οποία ίτ προέρχονται από πρότυπς δοκιμές προσδιορισμού των βασικών παραμέτρων του υλικού (f c, E c, f t και ν), ίτ πριλαμβάνουν και κτνέστρς δοκιμές για τον προσδιορισμό παραμέτρων όπως π.χ. η τριαξονική αντοχή (f cc ) και παραμόρφωση ( cc ), μ στόχο τη βλτίωση της σύγκλισης ως προς τα πιραματικά αυτά αποτλέσματα ( στοχυμένη 133

168 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης βαθμονόμηση ). Παρόλα αυτά, η γνικυμένη βαθμονόμηση θωρίται παρκής για πρακτικές φαρμογές όπου συνήθως δν ίναι διαθέσιμα λπτομρή πιραματικά στοιχία πέρα από τη μονοαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος. n σ i n i dσ i n σ i n i dσ = [,, dσ ] T i 3 = d t n dσ = [ dσ, dσ, dσ ] T i t = n 3 3 dσ = [, dσ, dσ ] T i 2 3 dσi B 3 σ = σ + dσ t n k i k i k i λα = A n 3 = 3 Β λ = 1 B 3 t k σ i n kσ n i ki λ = λ + ( ) t A Β Α Α 3 3 B A 3 3 λ λ t n t n ( ) ( ) dσ = σ σ, σ σ, k i 1 k 1 2 k 2 T [ dσ, dσ, dσ λ] n+ 1 3 t n ( ) dσ = σ σ,, k i 1 k 1 T [ dσ 1, dσ2 λ, dσ3 λ] n n+ 1 σ = k dσ σ n i k i i < 1 5 = n+ 1 n i k i < n+ 1 t 3 3 n+ 1 B 3 3 λ Β = = λ B < t 3 3 n+ 1 Α 3 3 λ Α = = λ Α 3 Β 3 λ Α Β n+ 1 Β 3 3 λ Β = = λ = = λ λ λ < λ 1 Β Α Β 3 < 1 t n n+ 1 n+ 1 σ i i Σχήμα 3.7 Διαγράμματα ροής των μθόδων φόρτισης του καταστατικού οδηγού 134

169 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Αρχικά θα ξταστί η αξιοπιστία του καταστατικού οδηγού μέσω της σύγκρισης των σημίων λέγχου (ζύγη τάσωνπαραμορφώσων μονοαξονικής, τριαξονικής και ισοδιαξονικής αντοχής) που χρησιμοποιήθηκαν για τη βαθμονόμηση των διαφόρων παραμέτρων του καταστατικού νόμου (ιδιαίτρα των παραμέτρων Α, Β και C της σχέσης 3.45) μ τις αντίστοιχς καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων, όπως αυτές προέκυψαν μέσω του καταστατικού οδηγού. Στο σχήμα 3.71 παρατηρίται ότι οι καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων διέρχονται μ ακρίβια από τα αντίστοιχα σημία λέγχου και πομένως παληθύται η αξιοπιστία του καταστατικού οδηγού. 3.5 Σημία λέγχου της βαθμονόμησης 3 σ 3 /f c 5% Πρίσφιξη % Πρίσφιξη 2% Πρίσφιξη.5 Ισοδιαξονική θλίψη Μονοαξονική θλίψη 3 / c Σχήμα 3.71 Σύγκριση καμπυλών τάσωνπαραμορφώσων και αντίστοιχων σημίων λέγχου Στη συνέχια λέγχται η βλτίωση της μορφής των μονοαξονικών καμπυλών σ σχέση μ τον υφιστάμνο (στο ΑΤΕΝΑ) καταστατικό νόμο (Σχ. 3.45). Στο σχήμα 3.72 παρατηρίται ότι τα προβλήματα που ίχαν διαπιστωθί προηγουμένως, αντιμτωπίστηκαν σ πολύ ικανοποιητικό βαθμό (ομαλή συναρμογή κρατυνόμνου και κατρχόμνου κλάδου, ραλιστική ικόνα χαλάρωσης του σκυροδέματος και ψαθυρή συμπριφορά των σκυροδμάτων υψηλότρης αντοχής). Στο σχήμα 3.73 παρουσιάζται μία σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Dahl, 1992) για σκυρόδμα συνήθους και υψηλής αντοχής υπό μονοαξονική θλίψη. Για το σκυρόδμα συνήθους αντοχής η σύγκλιση ίναι ικανοποιητική, νώ για το σκυρόδμα υψηλής αντοχής παρατηρίται ότι τα πιραματικά αποτλέσματα παρουσιάζουν μιωμένς παραμορφώσις σ σχέση μ την ανάλυση. Εάν όμως πραγματοποιηθί μία στοχυμένη βαθμονόμηση, δηλαδή άν οι τιμές των Ε c, c και t s βαθμονομηθούν μ βάση την κάθ μία πιραματική καμπύλη ξχωριστά (αντί να χρησιμοποιηθούν οι προτινόμνς σχέσις (3.39), (3.63), και (3.44) αντίστοιχα), οι παραπάνω αποκλίσις μιώνονται σημαντικά (Σχ. 3.74), αλλά ββαίως το κόστος της υπολογιστικής διαδικασίας αυξάνι. 135

170 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης σ 3 (MPa) f c = 12 MPa fc = 2 MPa Σχήμα 3.72 Μονοαξονικές καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων για διάφορς αντοχές σκυροδέματος, όπως προκύπτουν από το βλτιωμένο καταστατικό νόμο 12 σ 3 (ΜPa) f c = 15.7 MPa Σχήμα 3.73 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Dahl, 1992) για σκυρόδμα συνήθους και υψηλής αντοχής υπό μονοαξονική θλίψη Στο σχήμα 3.75 παρουσιάζται μία σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για σκυρόδμα υπό μονοαξονική θλίψη, τόσο στη διύθυνση φόρτισης ( 3 ), όσο και στις μη φορτιζόμνς διυθύνσις ( 1, 2 ). Η σύγκλιση ίναι ικανοποιητική και η σχτικά μικρή απόκλιση στην οριζόντια (γκάρσια) παραμόρφωση οφίλται στο ότι η συνολική ογκομτρική παραμόρφωση θωρίται μηδνική στο σημίο της μέγιστης αντοχής (Εξ. 3.4), παραδοχή από την οποία αποκλίνι η συγκκριμένη πιραματική καμπύλη (σ 3 v ). Επιπλέον, η αρχική πλαστική συρρίκνωση (αρνητική ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση) που παρατηρίται στην ίδια πιραματική καμπύλη δν ίναι δυνατόν να προσομοιωθί μ την 136

171 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης παρούσα διατύπωση του καταστατικού νόμου, γιατί ξ ορισμού, η ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση, ως παράμτρος κράτυνσης/χαλάρωσης, οφίλι να ίναι πάντα μη αρνητική (Σχ. 3.56). 12 σ 3 (ΜPa) f c = 15.7 MPa Σχήμα 3.74 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (στοχυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Dahl, 1992) για σκυρόδμα συνήθους και υψηλής αντοχής υπό μονοαξονική θλίψη 35 σ 3 (ΜPa) f c = 32.1 MPa 3 v = Σχήμα 3.75 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 32.1 MPa) υπό μονοαξονική θλίψη Στα σχήματα 3.76 και 3.77 φαίνονται οι συγκρίσις μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων για σκυροδέματα συνήθους και υψηλής αντοχής, αντίστοιχα, υπό ισοδιαξονική θλίψη (γνικυμένη βαθμονόμηση). Η σύγκλιση στις διυθύνσις φόρτισης ( 2, 3 ) ίναι ικανοποιητική, νώ στην μη φορτιζόμνη διύθυνση ( 1 ) η αντίστοιχη παραμόρφωση υπρκτιμάται. Πρέπι να σημιωθί ότι, στην πρίπτωση 137

172 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης του σκυροδέματος υψηλής αντοχής, τα αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα (Hussein & Marzouk, 2) παρουσιάζουν λάχιστη αύξηση των παραμορφώσων υπό ισοδιαξονική θλίψη. Το γγονός αυτό δικαιολογί την πιλογή της νέας συνάρτησης πλαστικού δυναμικού (Εξ. 3.45), η οποία ξαρτάται από την αναλλοίωτη τασική γωνία ομοιότητας (θ). Επιπλέον, στη συγκκριμένη πιραματική δοκιμή δν καταγράφηκ ο κατρχόμνος κλάδος του σκυροδέματος, οπότ μία αντίστοιχη σύγκριση δ θα ίχ νόημα. 4 σ 3 (ΜPa) f c = 32.1 MPa = 3.4 Σχήμα 3.76 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 32.1 MPa) υπό ισοδιαξονική θλίψη 12 σ 3 (ΜPa) f c = 96. MPa = 3.4 Σχήμα 3.77 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Hussein & Marzouk, 2) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 96. MPa) υπό ισοδιαξονική θλίψη Στα σχήματα 3.78, 3.79 και 3.8 φαίνονται οι συγκρίσις μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων για σκυροδέματα συνήθους και υψηλής αντοχής υπό 138

173 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης τριαξονική θλίψη για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης (γνικυμένη βαθμονόμηση). Η σύγκλιση ίναι νγένι ικανοποιητική και δικαιολογίται από το γγονός ότι τα συγκκριμένα πιραματικά αποτλέσματα παρουσιάζουν μικρή διασπορά σ σχέση μ τις αντίστοιχς ξισώσις βαθμονόμησης. Είναι φανρό, ιδιαίτρα από τη σύγκριση των σχημάτων 3.4 και 3.78, ότι ο βλτιωμένος καταστατικός νόμος προσομοιώνι μ πιτυχία όχι μόνο την αύξηση της αντοχής, αλλά πλέον και την αντίστοιχη αύξηση της παραμόρφωσης του σκυροδέματος υπό τριαξονική θλίψη. 12 σ 3 (MPa) f c = 28.6 MPa 1 σ1 = σ2 = 21 ΜPa ΜPa ΜPa ΜPa 4.2 ΜPa 2.1 ΜPa 1 = Σχήμα 3.78 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Imran, 1994) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 28.6 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Στη σύγκριση του σχήματος 3.81 αντίθτα, παρατηρίται ότι η γνικυμένη βαθμονόμηση δν προσγγίζι ικανοποιητικά την ένταση και την παραμόρφωση του σκυροδέματος υψηλής αντοχής της συγκκριμένης πιραματικής έρυνας (Xie et al., 1995). Ωστόσο, μία στοχυμένη βαθμονόμηση μ διαφοροποιημένς παραμέτρους υλικού (Πίν. 3.1), οι οποίς συμβαδίζουν μ τα ν λόγω πιραματικά στοιχία (και κατά συνέπια δν πηράζονται από την γγνή διασπορά των ξισώσων της γνικυμένης βαθμονόμησης) οδηγί σ σαφώς βλτιωμένα αποτλέσματα (Σχ. 3.82). Οι υπόλοιπς παράμτροι του υλικού που δν αναφέρονται στον πίνακα 3.1 ακολουθούν τις ξισώσις της γνικυμένης βαθμονόμησης, όπως πριγράφηκαν στις προηγούμνς νότητς. Πρέπι να σημιωθί ότι οι τιμές των E c και c προέρχονται από τυπικές δοκιμές μονοαξονικής θλίψης 1, η παραμόρφωση cc προέρχται από μία κ των πιραματικών τριαξονικών 1 Η σχτικά χαμηλή τιμή του μέτρου λαστικότητας Εc (η οποία υπολογίστηκ από το διάγραμμα τάσων παραμορφώσων υπό μονοαξονική θλίψη) πιθανώς οφίλται στην χρήση πυριτικής παιπάλης (silica fume) στη σύνθση του ν λόγω σκυροδέματος (Xie et al., 1995). 139

174 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης δοκιμών (δώ για σ 1 = σ 2 = 29.3 ΜPa) και η φλκυστική αντοχή f t δν αντιστοιχί σ πιραματική τιμή (η οποία ξάλλου δν παρατίθται στη συγκκριμένη ργασία) αλλά από το βέλτιστο λόγο f c / f t, ο οποίος στη συγκκριμένη πρίπτωση υπολογίστηκ, βάσι των αντίστοιχων τριαξονικών αντοχών, ίσος μ f c / f t = Ακόμα καλύτρη σύγκλιση ίναι δυνατόν να πιτυχθί αν και οι υπόλοιπς παράμτροι του καταστατικού νόμου (όπως οι σ co και t s ) τροποποιηθούν αντίστοιχα. 12 σ 3 (MPa) f c = 41.9 MPa σ1 = σ2 = 12 ΜPa MPa 6 4 ΜPa 4 MPa 2 1 = Σχήμα 3.79 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Candappa et al., 21) για σκυρόδμα συνήθους αντοχής (f c = 41.9 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης 14 σ 3 (MPa) f c = 6.6 MPa 12 σ1 = σ2 = 12 ΜPa 1 8 MPa 8 4 ΜPa 6 MPa = Σχήμα 3.8 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Candappa et al., 21) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 6.6 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης 14

175 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 2 σ 3 (MPa) f c = 6.2 MPa σ1 = σ2 = 29.3 ΜPa ΜPa 2.3 ΜPa ΜPa 14.3 ΜPa 11.3 ΜPa 8.3 ΜPa ΜPa ΜPa Σχήμα 3.81 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (γνικυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Xie et al., 1995) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 6.2MPa) υπό τριαξονική θλίψη και για διάφορους βαθμούς πρίσφιξης Πίνακας 3.1 Διαφοροποιημένς παράμτροι υλικού μ βάση τη στοχυμένη παραμόρφωση πάνω στα αντίστοιχα πιραματικά στοιχία (Xie et al., 1995) Παράμτρος Γνικυμένη Στοχυμένη f c E c f t c cc σ 3 (MPa) f c = 6.2 MPa 16 σ1 = σ2 = 29.3 ΜPa 23.3 ΜPa 2.3 ΜPa ΜPa 14.3 ΜPa 11.3 ΜPa 8.3 ΜPa ΜPa ΜPa Σχήμα 3.82 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών (στοχυμένη βαθμονόμηση) και πιραματικών αποτλσμάτων (Xie et al., 1995) για σκυρόδμα υψηλής αντοχής (f c = 6.2 MPa) υπό τριαξονική θλίψη και διάφορους βαθμούς πρίσφιξης 141

176 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Ενσωμάτωση του νέου καταστατικού νόμου στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ Στις προηγούμνς νότητς διατυπώθηκ ένας νέος καταστατικός νόμος πλαστικότητας σκυροδέματος σ θλίψη, ο οποίος αποτλίται από κριτήριο διαρροής τριών παραμέτρων, συναρτήσις κράτυνσης και χαλάρωσης που βασίζονται στην ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση και μία πολυωνυμική συνάρτηση πλαστικού δυναμικού. Τα πρωτότυπα χαρακτηριστικά του βλτιωμένου καταστατικού νόμου ίναι η ξάρτηση της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού από την αναλλοίωτη τασική γωνία ομοιότητας (θ), γγονός που καθιστά δυνατή τη βαθμονόμηση της αύξησης των παραμορφώσων υπό ισοδιαξονική θλίψη, ο ρυθμιζόμνος βαθμός της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού, ο οποίος ξασφαλίζι τη γραμμικότητα μταξύ του βαθμού πρίσφιξης και της αύξησης των παραμορφώσων υπό τριαξονική θλίψη, και τέλος η βλτιωμένη συνάρτηση χαλάρωσης, η οποία προσομοιώνι ραλιστικά τη συμπριφορά του σκυροδέματος στο αντίστοιχο στάδιο. Πίνακας 3.11 Παράμτροι νέου καταστατικού νόμου σκυροδέματος Παράμτρος καταστατικού νόμου σκυροδέματος NonLinCementitious3 ΑΤΕΝΑ Μέτρο λαστικότητας σκυροδέματος E c E Λόγος του Poisson ν MU Μονοαξονική θλιπτική αντοχή σκυροδέματος (μέση τιμή) f c FC Μονοαξονική φλκυστική αντοχή σκυροδέματος (μέση τιμή) f t FT Σταθρά μγέθυνσης της φλκυστικής αντοχής λ t FT_MULT Παράμτρος κκντρότητας κριτηρίου διαρροής e EΧC Θλιπτική τάση σκυροδέματος που ορίζι την έναρξη της πλαστικότητας σ co FC Οριακή τιμή ογκομτρικής πλαστικής παραμόρφωσης στη μέγιστη p μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος 1 v,t EPS_VP Παράμτρος κλίσης της συνάρτησης χαλάρωσης 2 t s SOFT_T Πρώτη παράμτρος της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού 3 A A Δύτρη παράμτρος της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού 3 B B Τρίτη παράμτρος της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού 3 C C Βαθμός της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού 3 n ORDER Ενέργια θραύσης G f GF Οι παράμτροι του νέου καταστατικού νόμου (Πίν. 3.11) βαθμονομήθηκαν μ τη δημιουργία μιας κτνούς βάσης πιραματικών αποτλσμάτων και κανονιστικών σχέσων από τη βιβλιογραφία. Τλικό αποτέλσμα της γνικυμένης αυτής διαδικασίας 1 αντικαθιστά την παράμτρο EPS_CP 2 αντικαθιστά την παράμτρο WD 3 αντικαθιστούν την παράμτρο BETA 142

177 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης βαθμονόμησης ίναι η συνάρτηση όλων των παραμέτρων του καταστατικού νόμου από τη μέση μονοαξονική θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος (Πίν. 3.12). Τα αναλυτικά αποτλέσματα που προέκυψαν από την νσωμάτωση του καταστατικού νόμου σ ένα κατάλληλο λογισμικό καταστατικού οδηγού συγκρίθηκαν μ αντίστοιχα αποτλέσματα από τη βιβλιογραφία και διαπιστώθηκ νγένι ικανοποιητική σύγκλιση, μ πιτυχή προσομοίωση των ιδιαίτρων χαρακτηριστικών του πρισφιγμένου σκυροδέματος όπως η αύξηση της αντοχής, αλλά και της αντίστοιχης παραμόρφωσης υπό τριαξονική θλίψη. Ένα σημαντικό ακόμα στοιχίο του βλτιωμένου καταστατικού νόμου ίναι ότι έχι ανοικτή δομή που πιτρέπι την παναβαθμονόμησή του μ βάση σ συγκκριμένα πιραματικά αποτλέσματα μ στόχο τη βέλτιστη δυνατή σύγκλιση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων. Το τλικό βήμα για να καταστί δυνατή η φαρμογή του νέου καταστατικού νόμου στη μλέτη κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος ίναι η κατάλληλη νσωμάτωσή του στο πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ. Η πραγματοποίηση των πιθυμητών αλλαγών έγιν μέσω άμσης συνργασίας μ την αντίστοιχη ταιρία ανάπτυξης του προγράμματος (Červenka Consulting, Prague, Czech Republic). Η διαδικασία νσωμάτωσης πριλάμβαν (1) την αλλαγή της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης ώστ να ξαρτάται πλέον από την ογκομτρική πλαστική παραμόρφωση, (2) την αλλαγή της συνάρτησης χαλάρωσης και την ξάρτησή της από τις παραμορφώσις αντί των μτακινήσων, (3) την αλλαγή της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού και (4) τη βλτίωση της διαδικασίας αριθμητικής ολοκλήρωσης. Ο νέος καταστατικός νόμος για τη θλίψη συνδυάστηκ μ το υφιστάμνο τμήμα που πριγράφι τον φλκυσμό (νόμος θραύσης) μέσω νός κατάλληλου συνδυαστικού αλγόριθμου (Červenka et al., 1998). Σύμφωνα μ αυτόν, η συνολική παραμόρφωση διαχωρίζται σ τρία μρίδια, το λαστικό ( e ij ), το πλαστικό ( p ij ) και το θραυστικό ( f ij ) (Εξ. 3.1) Οι νές τάσις σ κάθ φορτιστικό βήμα υπολογίζονται ως ξής : n+1 σ ij = n σ ij + D (d d d ) (3.73) p f ijkl kl kl kl όπου οι αυξήσις p d ij και και θραύσης του καταστατικού νόμου αντίστοιχα. f d ij υπολογίζονται από τα αντίστοιχα τμήματα πλαστικότητας 143

178 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Πίνακας 3.12 Προτινόμνς τιμές των παραμέτρων του καταστατικού νόμου σκυροδέματος μ βάση τη γνικυμένη βαθμονόμηση για διάφορς αντοχές σκυροδέματος (f c ) f c (ΜPa) E c (MPa) ν f c (MPa) f t (MPa) λ t e σ co (MPa) p v,t t s A B C n G f (/m) f c (ΜPa) E c (MPa) ν f c (MPa) f t (MPa) λ t e σ co (MPa) p v,t t s A B C n G f (/m) Το παραπάνω πρόβλημα μπορί να διατυπωθί ως ένα σύστημα δύο ξισώσων μ δύο αγνώστους ως ξής : f ( σ + D (d d d )) λύση ως προς p n f p ij ijkl kl kl kl p d kl (3.74) f ( σ + D (d d d )) λύση ως προς f n p f ij ijkl kl kl kl f d kl (3.75) 144

179 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Τα δδομένα ισόδου της κάθ μίας από τις παραπάνω ξισώσις ξαρτώνται από τα αποτλέσματα της άλλης, οπότ για την ταυτόχρονη πίλυσή τους φαρμόζται η παρακάτω παναληπτική διαδικασία : Βήμα 1 : f ( σ + D (d d + γ d d )) πίλυση ως προς p n f(i 1) cor(i 1) p(i) ij ijkl kl kl kl kl p(i) d kl (3.76) Βήμα 2 : f ( σ + D (d d d )) πίλυση ως προς f n p(i) f (i) ij ijkl kl kl kl f(i) d kl (3.77) Βήμα 3 : d = d d (3.78) cor(i) f(i) f(i 1) ij ij ij Οι διορθώσις των παραμορφώσων μταξύ δύο διαδοχικών παναλήψων (i και i 1) μπορούν να κφραστούν ως ξής : d = (1 γ) α α d (3.79) cor(i) f p cor(i 1) ij ij όπου : α f = d d d f(i) f(i 1) ij ij d p(i) p(i 1) ij ij (3.8) α p p(i) p(i 1) dij dij = (3.81) d cor(i 1) ij και το γ ίναι ένας συντλστής ανακούφισης της παναληπτικής διαδικασίας (relaxation factor) που συμβάλλι καθοριστικά στην αριθμητική σύγκλιση του αλγορίθμου. Ο υπολογισμός του συντλστή γ βασίζται στις τρέχουσς τιμές των παραμέτρων α f και α p, οι οποίς συμβολίζουν τη συνισφορά των καταστατικών νόμων θραύσης και πλαστικότητας, αντίστοιχα, στο τλικό αποτέλσμα. Το γινόμνο των δύο αυτών συντλστών πρέπι να ίναι αρνητικό για να ξασφαλίζται η σύγκλιση, σύμφωνα μ τη συνθήκη : 145

180 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης f p (1 γ) α α < 1 (3.82) Ο συντλστής γ πιλέγται έτσι ώστ η σχέση (3.82) να ικανοποιίται στο τέλος κάθ πανάληψης. Υπάρχουν τρις διαφορτικές πριπτώσις όσον αφορά τον υπολογισμό του συντλστή γ : 1) f p α α χ (3.83) όπου η τιμή χ σχτίζται μ το ζητούμνο βαθμό σύγκλισης (convergence rate) και για σύγκλιση πρώτου βαθμού (γραμμική) τίθται ίση μ χ = ½. Στην πρίπτωση αυτή η σύγκλιση ίναι ξασφαλισμένη και ο συντλστής γ τίθται ίσος μ μηδέν (γ = ). 2) f p χ α α 1 < < (3.84) Στην πρίπτωση αυτή η σύγκλιση πιβραδύνται και ο συντλστής γ τίθται ίσος μ : f p α α γ = 1 (3.85) χ για την πιτάχυνση της παναληπτικής διαδικασίας. f p 3) 1 α α (3.86) Στην πρίπτωση αυτή ο συνδυαστικός αλγόριθμος αποκλίνι και ο συντλστής γ τίθται ίσος μ : γ = 1 α f χ α p (3.87) για τη σταθροποίηση της παναληπτικής διαδικασίας. Η παραπάνω διαδικασία ξασφαλίζι τη σύγκλιση του συνδυαστικού αλγορίθμου φόσον οι παράμτροι α f και α p δ διαφοροποιούνται σημαντικά κατά τη διάρκια των παναλήψων, γγονός που ξασφαλίζται μ την ορθή διαμόρφωση των προσομοιωμάτων (κανονικοποιημένος κάνναβος διακριτοποίησης, φόρτιση κλπ). Η ταχύτητα της σύγκλισης ξαρτάται από την ψαθυρότητα του υλικού, το ρυθμό της πλαστικής διόγκωσης και το μέγθος των ππρασμένων στοιχίων που χρησιμοποιούνται κατά την προσομοίωση. 146

181 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Είναι πίσης πιθυμητή η πραιτέρω σταθροποίηση του συνδυαστικού αλγορίθμου μ ξομάλυνση του συντλστή γ κατά τη διάρκια της παναληπτικής διαδικασίας ως ξής : i i 1 γ + γ γ = (3.88) 2 όπου οι δίκτς i και i 1 συμβολίζουν τις τιμές του συντλστή γ σ δύο διαδοχικές παναλήψις. Η σχέση αυτή ξομαλύνι την πιθανή πριοδική μταβολή (oscillation) του συντλστή γ. Μία σημαντική προϋπόθση για τη σύγκλιση του συνδυαστικού αλγορίθμου ίναι η συνχής αλληλοτομία των πιφανιών διαρροής που αντιστοιχούν στα τμήματα θραύσης και πλαστικότητας του καταστατικού νόμου, η οποία ξασφαλίζται από τη σταθρά μγέθυνσης της φλκυστικής αντοχής του σκυροδέματος λ t (Σχ. 3.15) που πριγράφηκ σ προηγούμνη νότητα ( ). Επίσης, όταν η ντατική κατάσταση του υλικού δν ικανοποιί το κριτήριο Rankine στο τέλος του πρώτου βήματος, η σιρά των βημάτων 1 και 2 του αλγορίθμου (Σχ και 3.77) αντιστρέφται. Επιπλέον, πιδή η σύνθλιψη του σκυροδέματος σ μία διύθυνση πηράζι τη ρηγμάτωση στις υπόλοιπς διυθύνσις, όταν παραβιάζται το κριτήριο αστοχίας MenétreyWillam η φλκυστική αντοχή του υλικού σ όλς τις διυθύνσις προοδυτικά μηδνίζται. Σχήμα 3.83 Λιτουργία του συνδυαστικού αλγορίθμου (στο διαξονικό πίπδο για χάρη απλότητας) Η λιτουργία του συνδυαστικού αλγόριθμου φαίνται σχηματικά στο σχήμα Όταν νργοποιούνται και τα δύο τμήματα (θραύσης και πλαστικότητας), η συμπριφορά του αλγορίθμου μπορί να παρομοιαστί μ αυτήν νός καταστατικού νόμου πλαστικότητας 147

182 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης πολλαπλών πιπέδων διαρροής (multisurface plasticity) (Simo et al., 1988). Ωστόσο, σ αντίθση μ έναν τέτοιο αλγόριθμο, η παρούσα διατύπωση έχι γνικότρο χαρακτήρα καλύπτοντας το σύνολο των πιθανών φορτιστικών διαδρομών και αντιμτωπίζοντας φυσικά φαινόμνα όπως το άνοιγμα και κλίσιμο των ρηγμάτων, που θα παρουσιαστί στην πόμνη νότητα. Βέβαια, στην παρούσα φάση έχι αναπτυχθί για συνδυασμό δύο καταστατικών νόμων και η πέκτασή του σ πρισσότρους δν ίναι αυτονόητη Πραιτέρω αξιολόγηση του νέου καταστατικού νόμου μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ Μ το συνδυασμό μταξύ του νέου καταστατικού νόμου πλαστικότητας και του υφιστάμνου καταστατικού νόμου θραύσης, προέκυψ ένας νέος συνδυασμένος καταστατικός νόμος θραύσηςπλαστικότητας (NonLinCementitious3), ο οποίος λέγχθηκ διξοδικά ώστ αφνός να διαπιστωθί άν τα αναλυτικά αποτλέσματα από την φαρμογή του σ ππρασμένα στοιχία συμβαδίζουν μ τα αντίστοιχα αποτλέσματα του καταστατικού οδηγού και αφτέρου άν παρουσιάζι νγένι αριθμητική υστάθια κατά την ανάλυση συνθτότρων προσομοιωμάτων. Στο σχήμα 3.84 φαίνται η σύγκριση μταξύ των αποτλσμάτων του καταστατικού οδηγού και της ανάλυσης μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ, σ πίπδο μοναχικού ππρασμένου στοιχίου (RVE) για διάφορς θλιπτικές διαδρομές φόρτισης. Η απόλυτη σύμπτωση η οποία παρατηρίται, πιστοποιί την πιτυχή νσωμάτωση των βλτιωμένων καταστατικών ξισώσων στο πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ. 35 σ 3 (ΜPa) Καταστατικός οδηγός ATENA (NonLinCementitious3) = 2 3 Τριαξονική θλίψη (1 % πρίσφιξη) Ισοδιαξονική θλίψη 2 = = 2 3 Μονοαξονική θλίψη Σχήμα 3.84 Σύγκριση μταξύ των αναλυτικών αποτλσμάτων που προέκυψαν από τον καταστατικό οδηγό και της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων για μονοαξονική, τριαξονική και ισοδιαξονική θλίψη 148

183 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Στη συνέχια, ξτάστηκαν τρία διαφορτικά σνάρια σύνθτων διαδρομών φόρτισης σ ένα μοναχικό ππρασμένο στοιχίο (RVE), τα οποία πριλάμβαναν τόσο θλιπτικές όσο και φλκυστικές φορτίσις, έτσι ώστ να λγχθί η αριθμητική υστάθια του συνδυαστικού αλγορίθμου : 1) Μονοαξονική θλίψη πέρα από το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής του σκυροδέματος (σύνθλιψη), στη συνέχια αποφόρτιση μέσω φλκυσμού και τέλος παναφόρτιση σ θλίψη. Στο σχήμα 3.85 παρατηρίται ότι κατά τη διάρκια της αποφόρτισης, αμέσως μτά την ξάντληση της φλκυστικής αντοχής του σκυροδέματος (η οποία έχι ήδη μιωθί λόγω της πρότρης σύνθλιψης), δημιουργίται ρήγμα κάθτο στην αντίστοιχη διύθυνση (3 ή z) το οποίο τλικά κλίνι κατά την παναφόρτιση. Η απόκριση του υλικού στη συνέχια ακολουθί την ίδια διαδρομή στον κατρχόμνο κλάδο όπως ακριβώς πριν την αποφόρτιση. 35 fc = 3 MPa ft = 2.45 MPa 3 σ 3 f c άνοιγμα ρήγματος μιωμένη φλκυστική αντοχή λόγω πρότρης σύνθλιψης 5.1 f t Σχήμα 3.85 Μονοαξονική φόρτιση σκυροδέματος σ θλίψηφλκυσμόθλίψη 2) Κλίσιμο ρήγματος λόγω σύνθλιψης σ άλλη διύθυνση (Σχ. 3.86) : στο παράδιγμα αυτό, αρχικά δημιουργίται ένα ρήγμα στη διύθυνση 1 (ή x) μέσω φλκυστικής φόρτισης. Όταν το ρήγμα διυρυνθί πλήρως και η τάση σ 1 κάθτη σ αυτό μηδνιστί, δσμύονται οι μτακινήσις στη διύθυνση 1 και φαρμόζται θλιπτικό φορτίο στη διύθυνση 3. Μτά την πίτυξη της μέγιστης μονοαξονικής αντοχής σ θλίψη, οι γκάρσις παραμορφώσις στη διύθυνση 1 κλίνουν το ρήγμα. Στο σημίο αυτό, η τάση σ 3 συνχίζι να αυξάνται μέχρι να πιτυχθί διαξονική ντατική κατάσταση (σ 3 > f c ) και το υλικό να ισέλθι τλικά σ ένα δύτρο κατρχόμνο κλάδο απόκρισης. 3) Στο τρίτο παράδιγμα το υλικό φορτίζται και στις τρις διυθύνσις (Σχ. 3.87). Αρχικά φαρμόζονται ίσς φλκυστικές τάσις στις διυθύνσις 1 και 2 (ή x και y), 149

184 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης δημιουργώντας ταυτόχρονα δύο αντίστοιχα ρήγματα. Στη συνέχια οι μτακινήσις δσμύονται στις διυθύνσις 1 και 2 και φαρμόζονται θλιπτικές τάσις στη διύθυνση 3, το οποίο σημαίνι ότι και τα δύο τμήματα (θραύσης και πλαστικότητας) του καταστατικού νόμου νργοποιούνται σ όλς τις διυθύνσις. Μ τη σύνθλιψη του σκυροδέματος στη διύθυνση 3, κλίνουν και τα δύο ρήγματα και το υλικό ισέρχται σ τριαξονική ντατική κατάσταση σ 3 f c fc = 3 MPa ft = 2.45 MPa διαξονική ντατική κατάσταση 25 κλίσιμο ρήγματος άνοιγμα ρήγματος 1 f t.2 Πρώτο φορτιστικό στάδιο : διύθυνση 1 (x) Δύτρο φορτιστικό στάδιο : διύθυνση 3 (z) Σχήμα 3.86 Διαξονική ντατική κατάσταση η οποία πιβάλλται από κλίσιμο ρήγματος λόγω σύνθλιψης του σκυροδέματος σ διαφορτική διύθυνση 9 8 σ 3 fc = 3 MPa ft = 2.45 MPa τριαξονική ντατική κατάσταση 7 6 Πρώτο φορτιστικό στάδιο : διυθύνσις 1 και 2 (x και y) Δύτρο φορτιστικό στάδιο : διύθυνση 3 (z) f c 2 1 άνοιγμα και των δύο ρηγμάτων κλίσιμο και των δύο ρηγμάτων 1 1 = 2 f t Σχήμα 3.87 Τριαξονική ντατική κατάσταση η οποία πιβάλλται από κλίσιμο ρηγμάτων λόγω σύνθλιψης του σκυροδέματος σ διαφορτική διύθυνση Η αποτλσματική προσομοίωση των παραπάνω σύνθτων φορτιστικών διαδρομών από το συνδυασμένο καταστατικό νόμο πιββαιώνι την αριθμητική του υστάθια καθώς 15

185 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης και την ικανότητά του να διαχιρίζται φυσικά φαινόμνα όπως το άνοιγμα και το κλίσιμο των ρηγμάτων. Εξάλλου, η αποτλσματικότητά του λέγχθηκ και μ συγκρίσις μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων, πέρα των αποκλιστικά θλιπτικών φορτίσων που ξτάστηκαν στην προηγούμνη νότητα. Συγκκριμένα, αναλύθηκαν οι πριπτώσις μονοαξονικού φλκυσμού και διαξονικής θλίψηςφλκυσμού (Σχ και 3.89 αντίστοιχα), οι οποίς αν και δν αφορούν άμσα το φαινόμνο της πρίσφιξης, στο οποίο πικντρώνται η παρούσα έρυνα, πιββαιώνουν την νγένι σταθρή λιτουργία του καταστατικού νόμου παρουσιάζοντας ικανοποιητική σύγκλιση μ τα αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα σ 1 (ΜPa) f t = 2.6 MPa (σ2 =.55 σ1) (σ2 =.55 σ1) 3 (σ2 =.55 σ1) 3 2, 3 1, (σ2 (σ2 = ) = σ1) (σ2 = σ1) (σ2 = ) σ1 : φλκυστική σ2 : φλκυστική σ3 =.8.4 () σ2 = : μονοαξονικός φλκυσμός σ2 = σ1 : ισοδιαξονικός φλκυσμός (+) Σχήμα 3.88 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για μονοαξονικό φλκυσμό 35 3 σ 3 (ΜPa) f c = 32. MPa 1, 2 σ1 = 3 (σ1 = ) σ2 : φλκυστική σ3 : θλιπτική (σ1/σ3 =.1) (σ1/σ3 =.2) 1 5 (+) ().25 Σχήμα 3.89 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων (Kupfer et al., 1969) για διαξονική θλίψηφλκυσμό 151

186 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης Αφού πραγματοποιήθηκ η νσωμάτωση και πιββαιώθηκ η ορθή λιτουργία του νέου καταστατικού νόμου στο πριβάλλον ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων του προγράμματος ΑΤΕΝΑ, ξτάστηκ η αποτλσματικότητά του σ έναν πραγματικό φορέα οπλισμένου σκυροδέματος στο χώρο και συγκκριμένα τη γνωστή δοκό του Leonhardt (Leonhardt & Walther, 1962), η οποία ήδη ίχ ξταστί σ προηγούμνη νότητα σ δύο διαστάσις (Σχ. 3.1). Ο φορέας αυτός πιλέχθηκ μ γνώμονα μία ντατική κατάσταση που πριλαμβάνι συνδυασμό φλκυστικών και θλιπτικών τάσων καθώς και μία έντονη ρηγμάτωση διατμητικού τύπου, έτσι ώστ να νργοποιηθούν και τα δύο τμήματα (θραύσης και πλαστικότητας) του καταστατικού νόμου σκυροδέματος. Στο σχήμα 3.9 παρουσιάζται η γωμτρία του φορέα και ο κάνναβος διακριτοποίησης μ στρά ππρασμένα στοιχία σκυροδέματος και γραμμικά μφυτυμένα στοιχία χάλυβα για τους οπλισμούς. Στο σχήμα 3.91 συγκρίνται η απόκριση και η μορφή της ρηγμάτωσης του προσομοιωμένου φορέα μ την αντίστοιχη πιραματική, όπου παρατηρίται πολύ ικανοποιητική σύγκλιση. f c = 28.5 MPa r g = 5. Στρά στοιχία :5416 Γραμμικά στοιχία : 2 Προσομοίωση ½ λόγω συμμτρίας Φόρτιση μ καταναγκασμένη μτακίνηση Γωμτρία προσομοιώματος Κάνναβος ππρασμένων στοιχίων Σχήμα 3.9 Γωμτρικά χαρακτηριστικά και διακριτοποίηση της δοκού Leonhardt 152

187 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 8 7 Δύναμη (kn) Μέγιστς κύρις παραμορφώσις και ρήγματα Ανάλυση Πίραμα σ βύθιση.5 m 1 Βύθιση στο μέσον (m) σ βύθιση.1 m Πιραματική μορφή διατμητικής αστοχίας σ βύθιση.2 m Αξονικές τάσις μφυτυμένων οπλισμών σ βύθιση.33 m σ βύθιση.33 m Σχήμα 3.91 Σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων της δοκού Leonhardt Στη συνέχια λέγχθηκ η υαισθησία της ανάλυσης ως προς την πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης σ κατακόρυφα στοιχία άοπλου σκυροδέματος υπό κντρική σύνθλιψη. Για τον έλγχο αυτόν χρησιμοποιήθηκαν τα ίδια προσομοιώματα στα οποία ίχ διαπιστωθί η υαισθησία της προηγούμνης συνάρτησης χαλάρωσης ως προς την πυκνότητα του καννάβου (Σχ. 3.43). Από τη σύγκριση του σχήματος 3.92 διαπιστώνται ότι η νέα διατύπωση της συνάρτησης χαλάρωσης μ βάση τις παραμορφώσις (τοπική διατύπωση), για το συγκκριμένο τύπο φορέα, οδηγί σ αποτλέσματα ανξάρτητα της πυκνότητας διακριτοποίησης. Η διαπίστωση αυτή πρόκιται να πανλγχθί στο πόμνο κφάλαιο και για φορίς οπλισμένου σκυροδέματος (βάθρα γφυρών). Συνπώς, στο σημίο αυτό συμπραίνται ότι το σύνολο των αδυναμιών που παρατηρήθηκαν στην αρχική διατύπωση του καταστατικού νόμου έχουν αντιμτωπιστί μ πιτυχία. 153

188 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 35 3 σ (ΜPa) fc = 3 MPa Αραιος κάνναβος 1 Κανονικός κάνναβος 5 Πυκνός κάνναβος Σχήμα 3.92 Σύγκριση της απόκρισης του άοπλου σκυροδέματος για διαφορτικές πυκνότητς καννάβου διακριτοποίησης (f c = 3 MPa) μ το βλτιωμένο καταστατικό νόμο Πριν πκταθί η παρούσα αναλυτική έρυνα στην ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος, παναλήφθηκ η πιλοτική ανάλυση των υποστυλωμάτων συμπαγούς διατομής και του βάθρου κοίλης διατομής του προηγούμνου κφαλαίου μ φαρμογή του βλτιωμένου καταστατικού νόμου σκυροδέματος. Οι απαιτούμνς παράμτροι βαθμονομήθηκαν σύμφωνα μ τη διαδικασία της γνικυμένης βαθμονόμησης ως προς τη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος, νώ οι παράμτροι του καταστατικού νόμου χάλυβα παρέμιναν αμτάβλητς. Στο σχήμα 3.93 φαίνονται οι καμπύλς τάσωνπαραμορφώσων των υποστυλωμάτων C1 C4 μ το νέο (NonLinCementitious3) και τον αρχικό καταστατικό νόμο (NonLinCementitious2). Παρατηρίται ότι η κτιμώμνη ικανότητα παραμόρφωσης των πρισφιγμένων υποστυλωμάτων αυξήθηκ ικανοποιητικά, προσγγίζοντας ποιοτικά την αντίστοιχη μορφή των πιραματικών αποτλσμάτων. Το συμπέρασμα αυτό ίναι πιο μφανές στα σχήματα 3.94 και 3.95 όπου φαίνται η παραμτρική ανάλυση των υποστυλωμάτων C1 C4 και του κοίλου βάθρου HP αντίστοιχα, για ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης. Στις παραπάνω αναλύσις ίναι μφανής η αύξηση της παραμόρφωσης στη μέγιστη αντοχή και ιδιαίτρα η αναμνόμνη μίωση της κλίσης του κατρχόμνου κλάδου για αυξανόμνη πυκνότητα των διατάξων πρίσφιξης. Ωστόσο, παρατηρίται και δώ, όπως και στην πιλοτική ανάλυση του προηγούμνου κφαλαίου, υπρκτίμηση της πιραματικής αντοχής των υποστυλωμάτων, η οποία πιθανώς οφίλται στην αγνόηση του φαινομένου της αποφλοίωσης της ξωτρικής πικάλυψης των οπλισμών, παραδοχή η οποία θα ξταστί κτνώς σ πόμνη νότητα. Τέλος, οι αντίστοιχοι συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης (Κ) (Πίν και 3.14), όπως προέκυψαν από τη μέθοδο της οπτικής ολοκλήρωσης, μφανίζονται αυξημένοι σ σχέση μ τον προηγούμνο καταστατικό νόμο, προσγγίζοντας καλύτρα τα αντίστοιχα φαινομνολογικά μοντέλα, ιδιαίτρα στις πριπτώσις αραιότρων διατάξων πρίσφιξης. 154

189 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης P(kN) Υποστύλωμα C1B fc = MPa 6 5 P(kN) Υποστύλωμα C2B fc = MPa NonLinCementitious3 15 NonLinCementitious2 Ανάλυση ΜCFT 1 Πίραμα NonLinCementitious3 2 NonLinCementitious2 Ανάλυση ΜCFT Πίραμα P(kN) Υποστύλωμα C3C fc = MPa 7 P(kN) Υποστύλωμα C4B fc = 3.52 MPa NonLinCementitious3 2 NonLinCementitious2 Ανάλυση ΜCFT Πίραμα NonLinCementitious3 NonLinCementitious2 2 Ανάλυση ΜCFT Πίραμα Σχήμα 3.93 Σύγκριση της απόκρισης των υποστυλωμάτων C1 C4 μταξύ του αρχικού και του νέου καταστατικού νόμου σκυροδέματος P(kN) Υποστύλωμα C1 fc = MPa Β 6 5 P(kN) Υποστύλωμα C2 fc = MPa Β Α 3 Α 15 Διαμήκις 2 Διαμήκις 1 Άοπλο Άοπλο P(kN) Υποστύλωμα C3 fc = MPa 7 P(kN) Υποστύλωμα C4 fc = 3.52 MPa 5 C 6 B 4 Β 5 3 Α 4 3 A 2 Διαμήκις Άοπλο Διαμήκις 2 Άοπλο Σχήμα 3.94 Απόκριση υποστυλωμάτων C1 C4 για αυξανόμνη πυκνότητα της διάταξης πρίσφιξης 155

190 Κφάλαιο 3 Μθοδολογία και παράμτροι της παρούσας ανάλυσης 16 P(kN) Κοίλο Βάθρο ΗP f c = 3 MPa 14 D 12 1 C B 8 Α 6 Διαμήκις 4 Άοπλο Σχήμα 3.95 Απόκριση κοίλου βάθρου για αυξανόμνη πυκνότητα της διάταξης πρίσφιξης Πίνακας 3.13 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης συμπαγών διατομών Μοντέλο ρ w % Ανάλυση (K = f cc /f c ) Park et al. (K) Kappos (K) C1A C1B C2A C2B C3A C3B C3C C4A C4B Πίνακας 3.14 Συντλστές αποτλσματικότητας της πρίσφιξης κοίλών διατομών Μοντέλο ρ w % Ανάλυση (K = f cc /f c ) Park et al. (K) ΗPA ΗPB ΗPC ΗPD Το γνικό συμπέρασμα που προκύπτι από την παρούσα αναλυτική διρύνηση ίναι ότι ο νέος καταστατικός νόμος σκυροδέματος που αναπτύχθηκ μέσω ανξάρτητου λογισμικού και τλικά νσωματώθηκ μ πιτυχία στο πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ χαρακτηρίζται από αρκτά βλτιωμένα χαρακτηριστικά, τα οποία τον καθιστούν ικανό να φαρμοστί στην ανάλυση βάθρων γφυρών συμπαγούς και κοίλης διατομής, η οποία θα παρουσιαστί λπτομρώς στο πόμνο κφάλαιο. 156

191 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος 4. Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος 4.1 Γνικά Στο κφάλαιο αυτό παρουσιάζται μία κτνής παραμτρική ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος, συμπαγούς και κοίλης διατομής, μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Βασικός στόχος ίναι να διρυνηθί η αποτλσματικότητα διαφόρων γωμτρικών διατάξων πρίσφιξης, έτσι ώστ να προσδιοριστούν οι προσφορότρς από αυτές, τόσο από πλυράς ξασφάλισης αντοχής και πλάστιμης συμπριφοράς, όσο και από πλυράς κατασκυαστικής υκολίας και οικονομίας. Για τις ανάγκς της ανάλυσης χρησιμοποιήθηκ το πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ, στο οποίο έχι ήδη νσωματωθί ο βλτιωμένος καταστατικός νόμος σκυροδέματος, όπως παρουσιάστηκ λπτομρώς στο προηγούμνο κφάλαιο. Επιλέχθηκαν χαρακτηριστικές πριπτώσις βάθρων κυκλικής και ορθογωνικής διατομής, τα οποία αντιστοιχούν σ πραγματικές γέφυρς που έχουν κατασκυαστί στον λληνικό χώρο και συγκκριμένα πί του άξονα της Εγνατίας Οδού και των κάθτων αξόνων της. Οι βασικοί τύποι βάθρων που ξτάστηκαν ίναι οι ξής : Κυλινδρικά βάθρα συμπαγούς διατομής Κυλινδρικά βάθρα κοίλης διατομής Πρισματικά βάθρα συμπαγούς ορθογωνικής διατομής (τοιχωματικά) Πρισματικά βάθρα ορθογωνικής κοίλης διατομής Οι παραπάνω τύποι βάθρων προσομοιώθηκαν μ στρά και γραμμικά ππρασμένα στοιχία σκυροδέματος και οπλισμών αντίστοιχα, σύμφωνα μ τη διαδικασία που πριγράφηκ στις πιλοτικές αναλύσις του προηγούμνου κφαλαίου. Όπου ήταν δυνατόν προσομοιώθηκ το ένα τέταρτο της διατομής λόγω διπλής συμμτρίας και τέθηκαν οι κατάλληλς συνοριακές συνθήκς, νώ η φόρτιση ίχ τη μορφή κατακόρυφης θλιπτικής καταναγκασμένης μτακίνησης. Το ύψος κάθ προσομοιώματος ορίστηκ στο 1. m, ώστ να υπάρχι ταύτιση μταξύ της πιβαλλόμνης μτακίνησης και της μτρούμνης μέσης αξονικής παραμόρφωσης. Η πυκνότητα του καννάβου διακριτοποίησης για κάθ διατομή πιλέχθηκ μ βάση τα παρακάτω κριτήρια : Ο λόγος των πλυρών των στρών ππρασμένων στοιχίων σκυροδέματος να πλησιάζι όσο το δυνατόν πρισσότρο τη μονάδα, έτσι ώστ να ξασφαλίζται η κανονικότητα του καννάβου διακριτοποίησης, η οποία οδηγί νγένι σ αριθμητική σταθρότητα. 157

192 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Η διακριτοποίηση να ίναι αρκτά πυκνή ώστ να αποτυπώνι την ντατική κατάσταση του προσομοιώματος μ όσο το δυνατόν μγαλύτρη ακρίβια, χωρίς όμως να ξπρνά σημαντικά τον αριθμό των 5 στρών ππρασμένων στοιχίων, πέρα από τον οποίο παρατηρήθηκ ότι τόσο ο χρόνος κτέλσης της ανάλυσης, όσο και η ποσότητα των παραγόμνων αποτλσμάτων αυξάνονται γωμτρικά και ίναι δύσκολο να αντιμτωπιστί αποτλσματικά από τα διαθέσιμα υπολογιστικά συστήματα. Αυτό οφίλται στη μη γραμμικότητα της ανάλυσης, στο μγάλο αριθμό βαθμών λυθρίας που προκύπτουν από τη χρήση στρών ππρασμένων στοιχίων και κυρίως στην πολυπλοκότητα του καταστατικού νόμου σκυροδέματος ο οποίος τα διέπι. Στο σημίο αυτό κρίθηκ απαραίτητη η διρύνηση της υαισθησίας της πίλυσης ως προς το ύψος του προσομοιώματος, της πυκνότητας του καννάβου διακριτοποίησης και του τμήματος της διατομής που προσομοιώνται (ολόκληρης ή νός ττάρτου). Για το σκοπό αυτόν πιλύθηκαν κοίλα κυκλικά βάθρα ύψους z = 1. m και z = 2. m, πυκνής και αραιής διακριτοποίησης, νός ττάρτου και της πλήρους διατομής (Σχ. 4.1). Στο συγκριτικό διάγραμμα του σχήματος 4.2 παρατηρίται ότι οι διαφορές μταξύ των διαφόρων προσομοιωμάτων ίναι αμλητές και πομένως οι παραπάνω παραδοχές κατά την προσομοίωση δν πηράζουν ουσιωδώς την ποιότητα και την αξιοπιστία των τλικών αποτλσμάτων της παρούσας παραμτρικής ανάλυσης. Ύψος z = 1. m Αραιή διακριτοποίηση Ύψος z = 2. m ¼ διατομής Σχήμα 4.1 Προσομοιώματα που χρησιμοποιήθηκαν για τον έλγχο της πιρροής του ύψους, της πυκνότητας διακριτοποίησης και του μγέθους της διατομής 158

193 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πυκνή διακριτοποίηση, z = 1., 1/4 διατομής Πυκνή διακριτοποίηση, z = 1. m Πυκνή διακριτοποίηση, z = 2. m 1 Αραιή διακριτοποίηση, z = 1. m Σχήμα 4.2 Συγκριτικό διάγραμμα απόκρισης μταξύ προσομοιωμάτων διαφορτικού ύψους, πυκνότητας διακριτοποίησης και μγέθους διατομής Η ποιότητα σκυροδέματος που χρησιμοποιήθηκ στην ανάλυση ταυτίζται μ αυτήν των πραγματικών βάθρων και ίναι C2/25 κατά τον Ελληνικό Κανονισμό Οπλισμένου Σκυροδέματος (ΕΚΟΣ) (ΟΑΣΠ / ΣΠΜΕ, 21) ή Β25 κατά το Γρμανικό Κανονισμό DIN 145 (1988) η οποία αντιστοιχί, σύμφωνα μ τους παραπάνω κανονισμούς, σ μέση μονοαξονική θλιπτική αντοχή σκυροδέματος ίση μ f c = 28 MPa. Επιπλέον, για λόγους πληρότητας της παραμτρικής ανάλυσης, ξτάστηκ και η πιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος στην αποτλσματικότητα της πρίσφιξης. Για το λόγο αυτόν, ορισμένα προσομοιώματα πιλύθηκαν και για ποιότητα σκυροδέματος C5/6 (σκυρόδμα υψηλής αντοχής), η οποία αντιστοιχί σ θλιπτική αντοχή f c = 58 MPa. Στον πίνακα 4.1 παρουσιάζονται όλς οι παράμτροι του καταστατικού νόμου για το σκυρόδμα (NonLinCementitious3), όπως αυτές προέκυψαν μ βάση τη γνικυμένη διαδικασία βαθμονόμησης του προηγούμνου κφαλαίου για τις ν λόγω ποιότητς σκυροδέματος. Η ποιότητα χάλυβα που χρησιμοποιήθηκ στην ανάλυση συμφωνί πίσης μ αυτήν της πραγματικής κατασκυής και ίναι S5s τόσο για τους διαμήκις όσο και τους γκάρσιους οπλισμούς. Στον πίνακα 4.2 παρουσιάζονται οι παράμτροι του καταστατικού νόμου για το χάλυβα (διγραμμικός νόμος) που αντιστοιχούν στην ποιότητα χάλυβα S5s, σύμφωνα μ τη σχτική προδιαγραφή του Ελληνικού Οργανισμού Τυποποίησης ΕΛΟΤ 971 (ΕΛΟΤ, 1987). 159

194 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.1 Παράμτροι του καταστατικού νόμου σκυροδέματος (γνικυμένη βαθμονόμηση) για ποιότητς C2/25 και C5/6 Σκυρόδμα C2/25 (Β25) C5/6 E (MPa) MU.2.2 FC (MPa) FT (MPa) FT_MULT EΧC FC (MPa) EPS_VP SOFT_T A B C ORDER 3 3 GF (/m) Πίνακας 4.2 Παράμτροι του καταστατικού νόμου χάλυβα για ποιότητα S5s Χάλυβας S5s Ε s (MPa) 2 f y = σ s1 (MPa) 5 s σ s (MPa) σ s2 (MPa) 55 s2.5 1 s Για κάθ προσομοίωμα καταγράφηκ η πλήρης καμπύλη αντίστασης, μ τη μορφή συνολικής κατακόρυφης αντίδρασης (R) έναντι μέσης αξονικής παραμόρφωσης () καθώς και τα σημία διαρροής των κατακόρυφων και των γκάρσιων οπλισμών (βλ. Παράρτημα Α). Μ βάση τις καμπύλς αυτές, ορίστηκαν οι παρακάτω ποσοτικοί δίκτς αποτλσματικότητας της πρίσφιξης (Σχ. 4.3) : K R Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση τη μέγιστη αντοχή. Είναι ίσος μ το λόγο της μέγιστης αντίδρασης του πρισφιγμένου στοιχίου ως προς την αντίστοιχη αντοχή του απρίσφικτου στοιχίου που αποτλίται μόνο από σκυρόδμα και διαμήκις οπλισμούς. 16

195 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Κ Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση την παραμόρφωση στη μέγιστη αντοχή. Είναι ίσος μ το λόγο της παραμόρφωσης στη μέγιστη αντοχή του πρισφιγμένου στοιχίου ως προς την αντίστοιχη παραμόρφωση του απρίσφικτου στοιχίου. Κ 85 Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς τις παραμορφώσις. Είναι ίσος μ το λόγο της παραμόρφωσης στο 85 % της μέγιστης αντοχής του πρισφιγμένου στοιχίου (πί του κατρχόμνου κλάδου απόκρισης) ως προς την αντίστοιχη παραμόρφωση του απρίσφικτου στοιχίου. Κ W85 Δίκτης αποτλσματικότητας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς την απορροφώμνη νέργια. Είναι ίσος μ το λόγο της απορροφώμνης νέργιας (μβαδόν που πρικλίται από την καμπύλη αντίστασης) στο 85 % της μέγιστης αντοχής του πρισφιγμένου στοιχίου ως προς την αντίστοιχη νέργια του απρίσφικτου στοιχίου. Σχήμα 4.3 Ορισμός δικτών αποτλσματικότητας της πρίσφιξης Για την αξιολόγηση της οικονομικότητας των διαφόρων διατάξων πρίσφιξης, ορίστηκαν οι παρακάτω δίκτς οικονομίας, οι οποίοι ίναι ίσοι μ τους αντίστοιχους δίκτς αποτλσματικότητας (αφαιρούμνης της μονάδας), ανηγμένους ως προς το ογκομτρικό ποσοστό των γκάρσιων οπλισμών (ρ w ). Το ογκομτρικό ποσοστό ορίζται ως ο λόγος των οπλισμών πρίσφιξης προς τον αντίστοιχο όγκο του πρισφιγμένου σκυροδέματος και ουσιαστικά κφράζι το κόστος του χάλυβα που απαιτίται για την πρίσφιξη της διατομής. 161

196 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος C R = (Κ R 1) / ρ w Δίκτης οικονομίας μ βάση τη μέγιστη αντοχή. C = (Κ 1) / ρ w Δίκτης οικονομίας μ βάση την παραμόρφωση στη μέγιστη αντοχή. C 85 = (Κ 85 1) / ρ w Δίκτης οικονομίας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς τις παραμορφώσις. C W85 = (Κ W85 1) / ρ w Δίκτης οικονομίας μ βάση την πλαστιμότητα ως προς την απορροφώμνη νέργια. Συνολικά πιλύθηκαν 183 διαφορτικά προσομοιώματα τα οποία παρουσιάζονται μαζί μ τα αντίστοιχα αναλυτικά αποτλέσματα στις πόμνς νότητς. Για την κτέλση των αναλύσων χρησιμοποιήθηκ ένας ισχυρός πξργαστής (Intel Core 2 Duo 66), ο οποίος χρονίστηκ κατά 5 % υψηλότρα από τις ργοστασιακές του ρυθμίσις (από 2.4 σ 3.6 GHz) για την ταχύτρη κτέλση της υπολογιστικής διαδικασίας. Συνολικά απαιτήθηκαν πρίπου 32 ώρς πξργασίας, μ ταυτόχρονη διξαγωγή δύο αναλύσων, οι οποίς μοιράστηκαν, μ τη βοήθια του βοηθητικού λογισμικού μαζικής κτέλσης αναλύσων που πριγράφηκ στο προηγούμνο κφάλαιο, στους δύο ανξάρτητους πυρήνς πξργασίας του ν λόγω υπολογιστικού συστήματος. Απαιτήθηκαν συνολικά πρίπου 2 ΤΒ 1 αποθηκυτικού χώρου, ο οποίος πριορίστηκ στο ικανό προς διαχίριση μέγθος των 1 GB μ τη χρήση κατάλληλων φίλτρων του παραπάνω βοηθητικού λογισμικού. Στο παράρτημα Δ παρουσιάζται ένα λπτομρές παράδιγμα δημιουργίας, πίλυσης και μτπξργασίας νός τυπικού προσομοιώματος ορθογωνικού κοίλου βάθρου μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ. 4.2 Μλέτη κυκλικών βάθρων συμπαγούς και κοίλης διατομής Αναλυτικά προσομοιώματα και ξταζόμνς παράμτροι Η πρώτη ομάδα βάθρων γφυρών που ξτάστηκ αφορά βάθρα συμπαγούς και κοίλης κυκλικής διατομής. Η βασική διατομή που πιλέχθηκ αντιστοιχί σ ένα πραγματικό κοίλο κυκλικό βάθρο ξωτρικής διαμέτρου d e = 1.5 m και πάχους t =.45 m (t/d e = 1/3), το οποίο προέρχται από μία τυπική άνω διάβαση της Εγνατίας Οδού. Μ βάση τη διατομή αυτή ορίστηκ μία πιπλέον κοίλη διατομή ίδιας ξωτρικής διαμέτρου, αλλά μικρότρου πάχους t =.3 m (t/d e = 1/5), μ στόχο τη διρύνηση της πιρροής του λόγου t/d e στην αποτλσματικότητα της πρίσφιξης. Επίσης, ορίστηκ και η αντίστοιχη 1 1 ΤΒ = 124 GB 162

197 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος συμπαγής διατομή μ την ίδια διάμτρο d e = 1.5 m. Στα σχήματα 4.4 και 4.5 φαίνονται οι διατομές και ο κάνναβος ππρασμένων στοιχίων των κοίλων διατομών πάχους.3 m (CHS1 1 ) και.45 m (CHS2) αντίστοιχα. Στο σχήμα 4.6 φαίνται η αντίστοιχη συμπαγής διατομή (CSS 2 ) για την προσομοίωση της οποίας, κτός από ξάδρα ππρασμένα στοιχία, απαιτήθηκαν και πντάδρα στοιχία για την πλήρωση του κέντρου της διατομής. Σημιώνται ότι οι διαμήκις οπλισμοί σ όλα τα κυκλικά βάθρα παρέμιναν σταθροί και ίσοι μ 32Ø25 στην ξωτρική παριά και 16Ø14 στην σωτρική (στις αντίστοιχς πριπτώσις παρουσίας γκάρσιων οπλισμών στη μικρή διάμτρο των κοίλων διατομών). Στην πρίπτωση παρουσίας διπλής στρώσης ξωτρικών γκάρσιων οπλισμών (στη συμπαγή διατομή), οι διαμήκις οπλισμοί τοποθτήθηκαν ναλλάξ σ δύο αντίστοιχς στρώσις των 16Ø25. d e = 1.5 m d i =.9 m t =.3 m c o = 5 cm z = 1. m t/d e =.2 Πολυγωνική διατομή 32 πλυρών Εξάδρα στοιχία (brick) : 3584 Σχήμα 4.4 Χαρακτηριστικά διατομής και διακριτοποίησης του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS1 1 Circular Hollow Section 2 Circular Solid Section 163

198 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος d e = 1.5 m d i =.6 m t =.45 m c o = 5 cm z = 1. m t/d e =.3 Πολυγωνική διατομή 32 πλυρών Εξάδρα στοιχία (brick) : 5376 Σχήμα 4.5 Χαρακτηριστικά διατομής και διακριτοποίησης του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS2 Στη συνέχια πιλέχθηκαν οι ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης για τις παραπάνω διατομές, οι οποίς πριλαμβάνουν τις ξής μορφές μ όλους τους δυνατούς μταξύ τους συνδυασμούς : Σπίρς ή συνδτήρς Εγκάρσιοι σύνδσμοι Εσωτρική σπίρα / συνδτήρς (για τις κοίλς διατομές CHS1 και CHS2) Μονή ή διπλή ξωτρική σπίρα / συνδτήρς (για τη συμπαγή διατομή CSS) 164

199 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος d e = 1.5 m c o = 5 cm z = 1. m t/d e = 1 Πολυγωνική διατομή 32 πλυρών Εξάδρα στοιχία (brick) : 5376 Πντάδρα στοιχία (wedge) : 1792 Σχήμα 4.6 Χαρακτηριστικά διατομής και διακριτοποίησης του συμπαγούς κυκλικού βάθρου CSS Στο σχήμα 4.7 φαίνονται ορισμένς από τις διατάξις γκάρσιων οπλισμών που ξτάστηκαν στα προσομοιώματα κυκλικών βάθρων. Πρέπι να σημιωθί δώ ότι σ όλα τα κυκλικά βάθρα πιλέχθηκ να προσομοιωθί το σύνολο της διατομής αντί του νός ττάρτου, πιδή η γωμτρία των κυκλικών σπιρών δν μφανίζι διπλή συμμτρία. Λόγω της ιδιαίτρης γωμτρίας των κυκλικών σπιρών στο χώρο, αναπτύχθηκ βοηθητικό λογισμικό για τη δημιουργία της τοπολογίας των αντίστοιχων γραμμικών ππρασμένων στοιχίων (σ μορφή.dxf), τα οποία στη συνέχια ισήχθησαν στο γραφικό προπξργαστή (GiD) και μφυτύτηκαν στα στρά ππρασμένα στοιχία σκυροδέματος. 165

200 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Εξωτρική σπίρα Εξωτρική και σωτρική σπίρα Εξωτρική και σωτρική σπίρα και γκάρσιοι σύνδσμοι Εξωτρικός και σωτρικός συνδτήρας Εξωτρικός μονός συνδτήρας Εξωτρικός μονός συνδτήρας και γκάρσιοι σύνδσμοι Εξωτρικός διπλός συνδτήρας Σχήμα 4.7 Χαρακτηριστικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών των κυκλικών βάθρων Εκτός από τις παραπάνω ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης, ξτάστηκ ακόμα η πιρροή του βήματος της σπίρας (s) ή της απόστασης μταξύ των συνδτήρων (1 και 2 cm) και η πιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος (C2 και C5) για ορισμένα από τα προσομοιώματα. Επιπλέον, πιλύθηκαν και οι αντίστοιχς απρίσφικτς διατομές για τον προσδιορισμό των δικτών αποτλσματικότητας (Κ) και οικονομίας (C), που πριγράφηκαν στην προηγούμνη νότητα. Στους πίνακς 4.3, 4.4 και 4.5 παρουσιάζονται αναλυτικά οι διατάξις οπλισμών όλων των προσομοιωμάτων κυκλικών βάθρων που 166

201 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος πιλύθηκαν στο πλαίσιο της παρούσας παραμτρικής ανάλυσης καθώς και τα αντίστοιχα ογκομτρικά ποσοστά γκάρσιων οπλισμών (ρ w ). Στο σημίο αυτό πρέπι να σημιωθί ότι στα πραγματικά κοίλα βάθρα που έχουν κατασκυαστί, η σωτρική σπίρα (Ø12) ίχ αραιότρο βήμα από την ξωτρική, μ στόχο τον πριορισμό των ρηγματώσων που οφίλονται σ πριβαλλοντικές δράσις αλλά πιθανώς και την αποφυγή φαινομένων αρνητικής πρίσφιξης. Ωστόσο, στο πλαίσιο της παρούσας παραμτρικής ανάλυσης, το βήμα της σωτρικής σπίρας τέθηκ ίσο μ αυτό της ξωτρικής, έτσι ώστ αφνός να δυνατή η τοποθέτηση γκάρσιων συνδέσμων μταξύ σωτρικής και ξωτρικής σπίρας και αφτέρου να αποτυπωθί σαφέστρα το φαινόμνο της αρνητικής πρίσφιξης στις κοίλς κυκλικές διατομής Πίνακας 4.3 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS1 Ονομασία Διαμήκις ξωτρικοί Διαμήκις σωτρικοί Μορφή Εγκάρσιοι ξωτρικοί Εγκάρσιοι σωτρικοί Εγκάρσιοι σύνδσμοι ρ w CHS1_1 CHS1_2 32Ø25 CHS1_3 32Ø25 16Ø14 CHS1_4 32Ø25 Σπίρς Ø14/ CHS1_5 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/1 Ø12/ CHS1_6 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/1 Ø12/1 8Ø12/ CHS1_7 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/1 Ø12/1 16Ø12/ CHS1_8 32Ø25 Σπίρς Ø14/ CHS1_9 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/2 Ø12/ CHS1_1 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/2 Ø12/2 8Ø12/ CHS1_11 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/2 Ø12/2 16Ø12/2 5.6 CHS1_12 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/ CHS1_13 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/ CHS1_14 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/1 8Ø12/ CHS1_15 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/1 16Ø12/ CHS1_16 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/ CHS1_17 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/2 Ø12/ CHS1_18 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/2 Ø12/2 8Ø12/ CHS1_19 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/2 Ø12/2 16Ø12/2 5.6 CHS1_1_C5 CHS1_3_C5 32Ø25 16Ø14 CHS1_13_C5 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/ CHS1_15_C5 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/1 16Ø12/

202 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.4 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου κυκλικού βάθρου CHS2 Ονομασία Διαμήκις ξωτρικοί Διαμήκις σωτρικοί Μορφή Εγκάρσιοι ξωτρικοί Εγκάρσιοι σωτρικοί Εγκάρσιοι σύνδσμοι ρ w CHS2_1 CHS2_2 32Ø25 CHS2_3 32Ø25 16Ø14 CHS2_4 32Ø25 Σπίρς Ø14/1 3.5 CHS2_5 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/1 Ø12/ CHS2_6 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/1 Ø12/1 8Ø12/ CHS2_7 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/1 Ø12/1 16Ø12/1 7.3 CHS2_8 32Ø25 Σπίρς Ø14/ CHS2_9 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/2 Ø12/ CHS2_1 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/2 Ø12/2 8Ø12/ CHS2_11 32Ø25 16Ø14 Σπίρς Ø14/2 Ø12/2 16Ø12/ CHS2_12 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/1 3.5 CHS2_13 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/ CHS2_14 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/1 8Ø12/ CHS2_15 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/1 16Ø12/1 7.3 CHS2_16 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/ CHS2_17 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/2 Ø12/ CHS2_18 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/2 Ø12/2 8Ø12/ CHS2_19 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/2 Ø12/2 16Ø12/ CHS2_1_C5 CHS2_3_C5 32Ø25 16Ø14 CHS2_13_C5 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/ CHS2_15_C5 32Ø25 16Ø14 Συνδτήρς Ø14/1 Ø12/1 16Ø12/

203 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.5 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του συμπαγούς κυκλικού βάθρου CSS Ονομασία Διαμήκις ξωτρικοί Μορφή Εγκάρσιοι ξωτρικοί Εγκάρσιοι σύνδσμοι ρ w CSS_1 CSS_2 32Ø25 CSS_3 32Ø25 Σπίρς Ø14/1 2.2 CSS_4 32Ø25 Σπίρς Ø14/1 2Ø12/ CSS_5 32Ø25 Σπίρς Ø14/1 4Ø12/ CSS_6 32Ø25 Σπίρς Ø14/2 1.1 CSS_7 32Ø25 Σπίρς Ø14/2 2Ø12/ CSS_8 32Ø25 Σπίρς Ø14/2 4Ø12/ CSS_9 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/1 2.2 CSS_1 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/1 2Ø12/ CSS_11 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/1 4Ø12/ CSS_12 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/2 1.1 CSS_13 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/2 2Ø12/ CSS_14 32Ø25 Συνδτήρς Ø14/2 4Ø12/ CSS_15 2x16Ø25 CSS_16 2x16Ø25 Σπίρς 2xØ14/ CSS_17 2x16Ø25 Σπίρς 2xØ14/1 2Ø12/ CSS_18 2x16Ø25 Σπίρς 2xØ14/1 4Ø12/ CSS_19 2x16Ø25 Σπίρς 2xØ14/ CSS_2 2x16Ø25 Σπίρς 2xØ14/2 2Ø12/ CSS_21 2x16Ø25 Σπίρς 2xØ14/2 4Ø12/ CSS_22 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/ CSS_23 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/1 2Ø12/ CSS_24 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/1 4Ø12/ CSS_25 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/ CSS_26 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/2 2Ø12/ CSS_27 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/2 4Ø12/ CSS_1_C5 CSS_15_C5 2x16Ø25 CSS_22_C5 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/ CSS_24_C5 2x16Ø25 Συνδτήρς 2xØ14/1 4Ø12/

204 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Αναλυτικά αποτλέσματα και συμπράσματα Από την ανάλυση των κυκλικών βάθρων που πριγράφηκαν στην προηγούμνη νότητα προέκυψαν οι καμπύλς αντίστασης για κάθ διάταξη γκάρσιων οπλισμών (Πίν. 4.3, 4.4, 4.5) και υπολογίστηκαν οι αντίστοιχοι δίκτς αποτλσματικότητας (Κ) και οικονομίας (C), έτσι ώστ να ίναι δυνατή η συγκριτική τους αξιολόγηση. Ενδικτικές καμπύλς αντίστασης παρουσιάζονται στο σχήμα 4.8, νώ το σύνολό τους παρατίθται στο Παράρτημα Α. CHS1_4 CSS_ Σχήμα 4.8 Καμπύλς αντίστασης βάθρων κοίλης (αριστρά) και συμπαγούς (δξιά) κυκλικής διατομής μ ξωτρική σπίρα Ø14/1 Μ βάση τις τιμές των δικτών αποτλσματικότητας και οικονομίας δημιουργήθηκαν συγκριτικά ιστογράμματα για τις τρις κυκλικές διατομές (CHS1, CHS2 και CSS), τα οποία πριλαμβάνονται στο Παράρτημα Β. Στα σχήματα 4.9, 4.1 και 4.11 παρουσιάζονται νδικτικά τα συγκριτικά ιστογράμματα των συντλστών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για τις τρις κυκλικές διατομές, στα οποία, για λόγους ποπτίας, έχουν προστθί τικέτς ομαδοποίησής τους ανά μορφή και απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών (s). Τα καμπύλα βέλη δίχνουν ότι η πριγραφή των διατάξων που αναγράφται σ μία ομάδα (μταξύ των διακκομμένων γραμμών) παναλαμβάνται αυτούσια και στις γιτονικές. Επίσης πριλαμβάνται και το αντίστοιχο συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ των ξταζόμνων ποιοτήτων σκυροδέματος (C2 και C5). Από τη μλέτη των συγκριτικών ιστογραμμάτων των δικτών αποτλσματικότητας και οικονομίας για τα κυκλικά βάθρα προέκυψαν τα παρακάτω συμπράσματα : Στο σύνολο των πριπτώσων, δν παρατηρήθηκαν ουσιαστικές διαφορές μταξύ σπιρών και συνδτήρων ως προς την αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών. Ωστόσο, αξίζι να σημιωθί ότι οι συνδτήρς προσφέρουν οριακά υψηλότρους δίκτς αποτλσματικότητας σ σχέση μ τις σπίρς πιδή 17

205 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος διατάσσονται κάθτα στην κατακόρυφη διύθυνση της φόρτισης και κατά συνέπια ακριβώς παράλληλα στην γκάρσια διόγκωση του σκυροδέματος. Απναντίας, οι σπίρς ίναι λαφρώς κκλιμένς σ σχέση μ το οριζόντιο πίπδο κατά γωνία tan 1 (s / (d e 2c)), οπότ δν μπορούν να συνισφέρουν το θωρητικό μέγιστο της αντοχής τους. Το φαινόμνο αυτό αποτυπώνται στις ισοχρωματικές πιφάνις των κατακόρυφων (αξονικών) τάσων του σκυροδέματος όπου, στην πρίπτωση των σπιρών, μφανίζται μία σχτική ασυμμτρία, η οποία ίναι πρισσότρο έντονη στις πριπτώσις μγαλύτρου βήματος σπίρας (Σχ. 4.12). Πέρα όμως της παραπάνω πουσιώδους αδυναμίας, η χρήση συνχούς σπίρας για την πρίσφιξη των κυκλικών βάθρων νγένι νδίκνυται μ γνώμονα την κατασκυαστική υκολία, σ αντίθση μ τους μμονωμένους κυκλικούς συνδτήρς, τα άκρα των οποίων νδέχται να ίναι ατλώς αγκυρωμένα ή να διατάσσονται στην ίδια κατακόρυφη διύθυνση K R ξωτρικοί ξωτ. + σωτ. ξώτ. + σωτ. + 8 σύνδ. ξώτ. + σωτ σύνδ. C2 C5 1. CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 CHS1_13 CHS1_15 s = 1 s = 2 s = 1 s = 2 σπίρς συνδτήρς Σχήμα 4.9 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη κυκλική διατομή CHS K R ξωτρικοί ξωτ. + σωτ. ξώτ. + σωτ. + 8 σύνδ. ξώτ. + σωτ σύνδ. C2 C5 1. CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 CHS2_13 CHS2_15 s = 1 s = 2 s = 1 s = 2 σπίρς συνδτήρς Σχήμα 4.1 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη κυκλική διατομή CHS2 171

206 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος K R 1 1 C2 C ξωτρικοί ξώτ. + 2 σύνδ. ξώτ. + 4 σύνδ CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 ξωτρικοί ξώτ. + 2 σύνδ. CSS_24 ξώτ. + 4 σύνδ. s = 1 s = 2 s = 1 s = 2 σπίρς συνδτήρς s = 1 s = 2 s = 1 s = 2 σπίρς συνδτήρς μονή στρώση διπλή στρώση Σχήμα 4.11 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για τη συμπαγή κυκλική διατομή CSS CHS2_8 (s = 2 cm) CHS2_16 (s = 2 cm) Σχήμα 4.12 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) της κοίλης κυκλικής διατομής CHS2 για πρίσφιξη μ σπίρς (αριστρά) και συνδτήρς (δξιά). Τα χρώματα υψηλότρων συχνοτήτων στο οπτικό φάσμα αντιστοιχούν σ μγαλύτρς τιμές κατακόρυφων θλιπτικών τάσων Στα κοίλα κυκλικά βάθρα παρατηρήθηκ ότι η χρήση κυκλικών σπιρών ή συνδτήρων στην σωτρική παριά δν προσφέρι καμία ουσιαστική βλτίωση στην αντοχή της πρισφιγμένης διατομής σ σχέση μ την παρουσία γκάρσιων οπλισμών αποκλιστικά στην ξωτρική παριά. Επιπλέον, στη διατομή μγαλύτρου πάχους (CHS2), η παρουσία σωτρικών γκάρσιων οπλισμών οδηγί ακόμα και σ μιωμένς πιδόσις ως προς την πλαστιμότητα. Παρατηρώντας τις ισοχρωματικές πιφάνις των αξονικών τάσων για τις διατομές στις οποίς έχουν τοποθτηθί γκάρσιοι οπλισμοί τόσο στην ξωτρική όσο και στην σωτρική παριά (Σχ. 4.13), παρατηρίται ότι οι σωτρικοί γκάρσιοι οπλισμοί ασκούν δυνάμις πρίσφιξης ουσιαστικά μόνο στην σωτρική πικάλυψη των οπλισμών (αρνητική πρίσφιξη, Κάππος και Νανούλης, 1998), δημιουργώντας μία αννργή ζώνη στη γιτονική πριοχή του πυρήνα που 172

207 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος διαμορφώνται από τους γκάρσιους οπλισμούς της ξωτρικής παριάς. Άμση συνέπια του φαινομένου αυτού ίναι η τάση της σωτρικής πικάλυψης να αποκολληθί από τον πυρήνα (αποφλοίωση), γγονός το οποίο μφανίζται στην ικόνα του ρηγματωμένου στοιχίου σ υψηλά πίπδα αξονικής παραμόρφωσης (Σχ. 4.14), μ αποτέλσμα τη μιωμένη πλαστιμότητα της διατομής. Από τα παραπάνω προκύπτι το συμπέρασμα ότι η χρήση σωτρικών γκάρσιων οπλισμών (χωρίς την παρουσία γκάρσιων συνδέσμων) δν προσφέρι ουσιαστικό όφλος ως προς τις πιδόσις της διατομής σ αντοχή και πλαστιμότητα. Επίσης, από τους αντίστοιχους δίκτς οικονομίας προκύπτι ότι αποτλί και μη οικονομική λύση λόγω της χρήσης μγαλύτρου όγκου χάλυβα. Ωστόσο, αποτλί συνήθη πρακτική (κυρίως στον υρωπαϊκό χώρο) η τοποθέτηση μιας αραιότρης στρώσης γκάρσιων οπλισμών στην σωτρική παριά για λόγους λιτουργικότητας, η οποία αποσκοπί στον έλγχο της ρηγμάτωσης λόγω πριβαλλοντικών δράσων. CHS2_12 CHS2_13 Σχήμα 4.13 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) της κοίλης κυκλικής διατομής CHS2 για πρίσφιξη μ συνδτήρς αποκλιστικά στην ξωτρική παριά (αριστρά) και για πρίσφιξη μ συνδτήρς τόσο στην ξωτρική όσο και στην σωτρική παριά (δξιά) Σχήμα 4.14 Εικόνα ρηγμάτωσης της διατομής CHS2 μ συνδτήρς στην ξωτρική και σωτρική παριά (CHS2_13), σ υψηλά πίπδα μέσης αξονικής παραμόρφωσης ( = 3 ) 173

208 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Αντίθτα, όταν οι σωτρικοί οπλισμοί πρίσφιξης συνδθούν μ τους ξωτρικούς μέσω γκάρσιων συνδέσμων, τότ παρατηρίται ντυπωσιακή αύξηση τόσο της αντοχής, όσο και της πλαστιμότητας της πρισφιγμένης διατομής. Ταυτόχρονα κλίπι ο κίνδυνος της αποφλοίωσης της σωτρικής πικάλυψης των κοίλων διατομών γιατί πλέον οι γκάρσιοι οπλισμοί της σωτρικής παριάς μταφέρουν μέσω των γκάρσιων συνδέσμων τον φλκυσμό τους στους αντίστοιχους οπλισμούς της ξωτρικής παριάς, μ αποτέλσμα η συνολική διάταξη να λιτουργί κατά μια μονολιθική έννοια (ως νιαίο σύνολο). Στις ισοχρωματικές πιφάνις του σχήματος 4.15 φαίνται χαρακτηριστικά η διαμόρφωση ισχυρότρων υποζωνών πρίσφιξης στο σωτρικό της κοίλης διατομής μ τη χρήση γκάρσιων συνδέσμων. Αύξηση των πιδόσων μ χρήση γκάρσιων συνδέσμων παρατηρίται και στη συμπαγή διατομή, ωστόσο ίναι αρκτά ηπιότρη σ σχέση μ τις αντίστοιχς κοίλς (Σχ. 4.11). Επιπλέον, η λύση της τοποθέτησης γκάρσιων συνδέσμων σ κοίλς διατομές κτός από νδδιγμένη για τους παραπάνω λόγους, αποδικνύται και οικονομική στην πλιοψηφία των πριπτώσων βάσι των αντίστοιχων δικτών οικονομίας. Αντίθτα, στη συμπαγή διατομή δν προκύπτι σαφές πλονέκτημα των γκάρσιων συνδέσμων ως προς την οικονομικότητα, ιδιαίτρα στις πριπτώσις ισχυρά πρισφιγμένων διατομών μ διπλή ξωτρική στρώση γκάρσιων οπλισμών. CHS2_13 (χωρίς γκάρσιους) CHS2_14 (γκάρσιοι 8Ø12/1) CHS2_15 (γκάρσιοι 16Ø12/1) Σχήμα 4.15 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) της κοίλης κυκλικής διατομής CHS2 για πρίσφιξη μ ή χωρίς γκάρσιους συνδέσμους Στη συμπαγή διατομή παρατηρίται σημαντική αύξηση της αντοχής και ιδιαίτρα της πλαστιμότητας μ χρήση διπλής στρώσης ξωτρικών γκάρσιων οπλισμών, η οποία δν υστρί ως προς την οικονομικότητα παρά τη χρήση διπλάσιου όγκου χάλυβα για το σκοπό αυτόν (Παράρτημα Β, Σχ. Β.17 Β.24). Από τη συγκριτική αξιολόγηση των δικτών αποτλσματικότητας μταξύ των τριών διαφορτικών διατομών (CHS1, CHS2 και CSS) προέκυψ το συμπέρασμα ότι για το ίδιο ογκομτρικό ποσοστό οπλισμού (ρ w ), η παρουσία μγαλύτρου όγκου σκυροδέματος (ή λόγου πάχους προς ξωτρική διάμτρο) οδηγί σ αυξημένς 174

209 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος πιδόσις τόσο ως προς την αντοχή όσο και ως προς την πλαστιμότητα. Στο σχήμα 4.16 φαίνονται τα συγκριτικά διαγράμματα των δικτών αποτλσματικότητας για τις τρις παραπάνω διατομές και για όλς τις ναλλακτικές μορφές γκάρσιων οπλισμών που ξτάστηκαν. Το παραπάνω συμπέρασμα αφορά και τους αντίστοιχους δίκτς οικονομίας, οι οποίοι προκύπτουν σημαντικά μγαλύτροι για μγαλύτρο όγκο σκυροδέματος (το πιπλέον κόστος του οποίου βέβαια, αν και μικρότρο του αντίστοιχου κόστους του χάλυβα, δ συνυπολογίζται στην παρούσα διατύπωση των δικτών οικονομίας). Το συμπέρασμα που προκύπτι ίναι ότι οι ογκωδέστρς κυκλικές διατομές νγένι υπρτρούν έναντι των λπτότρων και θα πρέπι να προτιμώνται, παρατήρηση που δικαιώνι και τις σχτικές διατάξις των κανονισμών πρί λαχίστου πάχους των τοιχωμάτων των κοίλων βάθρων (π.χ. d i /t = 8. ~ 15., Εγκύκλιος Ε39/99, 1999) K R συμπαγές CHS1 CHS2 CSS K συμπαγές CHS1 CHS2 CSS t =.45 m t =.3 m t =.45 m t =.3 m ρ w ( ) ρ w ( ) K 85 συμπαγές CHS1 CHS2 CSS K W85 συμπαγές CHS1 CHS2 CSS t =.45 m t =.3 m 7 5 t =.45 m t =.3 m 2 ρ w ( ) ρ w ( ) Σχήμα 4.16 Συγκριτικά διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας των κυκλικών βάθρων μ διαφορτικούς λόγους πάχους προς ξωτρική διάμτρο (t/d e ) Από την ξέταση των δικτών αποτλσματικότητας προέκυψ το αναμνόμνο συμπέρασμα ότι η πύκνωση των γκάρσιων οπλισμών προσφέρι σημαντική αύξηση τόσο της αντοχής όσο και της πλαστιμότητας των πρισφιγμένων διατομών (Σχ. 4.17). Πρέπι να σημιωθί όμως ότι από τους αντίστοιχους δίκτς οικονομίας δν προκύπτι 175

210 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος ανάλογη υπροχή των πυκνότρων διατάξων γκάρσιων συνδέσμων ως προς το κόστος του πιπλέον χάλυβα (Παράρτημα Β, Σχ. Β.5 Β.8, Β.13 Β.16, Β.21 Β.24) K R s = 1 s = ρ w ( ) s = s = 2 K ρ w ( ) K 85 s = 1 s = K W85 s = 1 s = ρ w ( ) ρ w ( ) Σχήμα 4.17 Συγκριτικά διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας για τις τρις κυκλικές διατομές ως προς την απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών (s) Αναφορικά μ τις θέσις διαρροής των γκάρσιων οπλισμών, παρατηρήθηκ ότι σ ισχυρότρα πρισφιγμένς διατομές (μγαλύτρς τιμές ρ w ) η διαρροή πέρχται νγένι νωρίτρα και ορισμένς φορές ακόμα και πριν την πίτυξη της μέγιστης αντοχής του πρισφιγμένου στοιχίου (Σχ. 4.18) (π.χ. Madas & Elnashai, 1992, 1993). Επίσης, στο ίδιο σχήμα ίναι μφανές ότι η διαρροή των γκάρσιων οπλισμών δν ίναι ταυτόχρονη αλλά προοδυτική. Η παρατήρηση αυτή αντιτίθται στην κλασική θώρηση των μπιρικών μοντέλων, σύμφωνα μ την οποία οι δίκτς αποτλσματικότητας της πρίσφιξης καθορίζονται από την αντοχή των γκάρσιων οπλισμών κατά την υποθτικά ταυτόχρονη διαρροή τους (π.χ. Mander et al., 1988, Saatcioglu & Ravzi, 1992). Είναι πομένως προφανές, ότι σ αντίθση μ τις φαινομνολογικές προσγγίσις, η ανάλυση ππρασμένων στοιχίων στο χώρο μπορί να δώσι μία πολύ πιο λπτομρή ικόνα αναφορικά μ τη συμπριφορά των οπλισμών. Στο σύνολο των πριπτώσων παρατηρήθηκ ότι το σκυρόδμα υψηλής αντοχής (C5) προσέφρ σημαντικά χαμηλότρς πιδόσις τόσο στην αντοχή όσο και στην 176

211 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών συγκριτικά μ το σκυρόδμα συνήθους αντοχής (C2) (Σχ. 4.19). Η πριορισμένη αύξηση της αντοχής οφίλται στο γγονός ότι ο λόγος των μέγιστων γκάρσιων τάσων πρίσφιξης που συνισφέρουν οι γκάρσιοι οπλισμοί (f yw ) κατά τη διαρροή τους, ως προς τη μονοαξονική αντοχή του σκυροδέματος (f c ), ίναι μικρότρος στην πρίπτωση του σκυροδέματος υψηλής αντοχής και πομένως οδηγί σ μικρότρη αύξηση της τριαξονικής αντοχής του σκυροδέματος (f cc ). Όσον αφορά τη μιωμένη πλαστιμότητα, αυτή οφίλται αποκλιστικά στην αντίστοιχη ιδιότητα των σκυροδμάτων υψηλής αντοχής, η οποία έχι νσωματωθί στον καταστατικό νόμο υλικού μέσω της διαδικασίας βαθμονόμησης (παράμτρος t s ). Συνπώς πιββαιώνται το γγονός ότι η αποτλσματικότητα της πρίσφιξης ξαρτάται άμσα από τη σχέση μταξύ των αντοχών του σκυροδέματος (f c ) και των γκάρσιων οπλισμών (f yw ) και η οποία κφράζται μέσω του μηχανικού ποσοστού γκάρσιων οπλισμών ω w = ρ w f yw /f c (ΟΑΣΠ / ΣΠΜΕ, 21) c, διαρροής / cc (%) CHS c, διαρροής / cc (%) CSS Διαρροή πρώτου γκάρσιου οπλισμού Διαρροή τλυταίου γκάρσιου οπλσιμού Διαρροή πρώτου γκάρσιου οπλισμού 8 Διαρροή τλυταίου γκάρσιου οπλσιμού ρ w ρ w Σχήμα 4.18 Λόγοι παραμορφώσων κατά τη διαρροή του πρώτου και του τλυταίου γκάρσιου οπλισμού ως προς την αντίστοιχη παραμόρφωση των κυκλικών διατομών CHS2 και CSS στη μέγιστη αντοχή C C2 C C2 Διαμήκις μόνο 4 Διαμήκις μόνο CHS2_15 Σχήμα 4.19 Συγκριτικό διάγραμμα καμπυλών αντίστασης του κοίλου βάθρου CHS2_15 για σκυροδέματα συνήθους (C2) και υψηλής αντοχής (C5) και αντίστοιχοι δίκτς αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (K R ) 177

212 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος 4.3 Μλέτη ορθογωνικών βάθρων συμπαγούς και κοίλης διατομής Αναλυτικά προσομοιώματα και ξταζόμνς παράμτροι Η δύτρη ομάδα βάθρων γφυρών που ξτάστηκ αφορά ορθογωνικά βάθρα συμπαγούς και κοίλης διατομής. Συγκκριμένα, πιλέχθηκ ένα βάθρο συμπαγούς ορθογωνικής διατομής (τοιχωματικό) και τρία βάθρα κοίλης ορθογωνικής διατομής, μ διαφορτικούς λόγους πλυρών (h/b) και μήκους προς πάχος (h/t), από πραγματικές γέφυρς της Εγνατίας οδού. Σ όλς τις πριπτώσις προσομοιώθηκ το ένα τέταρτο της διατομής λόγω διπλής συμμτρίας ώστ να μιωθί το απαιτούμνο υπολογιστικό κόστος. Το τοιχωματικό βάθρο (RSS 1 ) προέρχται από τη γέφυρα Γ11 του τμήματος ΜυλοπόταμουΛυκόπτρας της Εγνατίας Οδού και έχι διαστάσις m (h/b 5). Προσομοιώθηκαν δύο διαφορτικές πυκνότητς πρίσφιξης (αραιή και πυκνή), οι οποίς αντιστοιχούν στις διατομές της βάσης και του μέσου του ύψους του βάθρου. Τα χαρακτηριστικά των παραπάνω διατομών και οι αντίστοιχοι κάνναβοι διακριτοποίησης φαίνονται στα σχήματα 4.2 και Στα ίδια σχήματα αναγράφονται οι διαστάσις των διατομών καθώς και οι διάμτροι των διαμήκων οπλισμών, οι οποίοι ίναι κοινοί σ όλα τα προσομοιώματα. Οι ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης που τοποθτήθηκαν στις δύο παραπάνω διατομές του τοιχωματικού βάθρου πριλαμβάνουν γκάρσιους συνδέσμους (όπως στην πραγματική κατασκυή) και κλιστούς αλληλοκαλυπτόμνους συνδτήρς, μ στόχο να διρυνηθί η αποτλσματικότητα της κάθ διάταξης. Στο σχήμα 4.22 φαίνονται τα αναπτύγματα των οπλισμών πρίσφιξης στις διατομές αυτές. Οι αλληλοκαλυπτόμνοι οπλισμοί σχδιάστηκαν μ τέτοιον τρόπο ώστ αφνός να ίναι κατά το δυνατόν λιγότρο πιμήκις και αφτέρου να προκύπτι ακριβώς η ίδια διάταξη μ αυτήν που αντιστοιχί στην πραγματική κατασκυή (μόνο γκάρσιοι σύνδσμοι). Πρέπι να σημιωθί ότι, για την πίτυξη του δύτρου στόχου, οι αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς όπου ήταν αναγκαίο συμπληρώθηκαν μ πιπλέον γκάρσιους συνδέσμους. Επίσης, όπως και στην ανάλυση των κυκλικών βάθρων, ξτάστηκ η πιρροή της απόστασης (s) μταξύ των γκάρσιων οπλισμών (1, 15 και 2 cm) καθώς και η πιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος (C2 και C5). Στον πίνακα 4.6 παρουσιάζονται αναλυτικά όλς οι διατάξις οπλισμών των διατομών που πιλύθηκαν καθώς και τα αντίστοιχα ογκομτρικά ποσοστά γκάρσιων οπλισμών (ρ w ). 1 Rectangular Solid Section 178

213 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.6 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του τοιχωματικού βάθρου RSS Ονομασία Πυκνότητα πρίσφιξης Διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι πριμτρικά Εγκάρσιοι κρυφοκολ. Εγκάρσιοι αλληλοκαλ. Εγκάρσιοι σύνδσμοι ρ w RSS_1 Σκυρόδμα μόνο RSS_2 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RSS_3 Πριμτρικοί Ø14/1 Ø1/1 3.1 RSS_4 Πριμτρικοί Ø14/15 Ø1/15 2. RSS_5 Πριμτρικοί Ø14/2 Ø1/2 1.5 RSS_6 Αραιή Σύνδσμοι Ø14/1 Ø1/1 Ø1/ RSS_7 Αραιή Αλληλοκαλ. Ø14/1 Ø1/1 Ø1/1 Ø1/ RSS_8 Αραιή Σύνδσμοι Ø14/15 Ø1/15 Ø1/ RSS_9 Αραιή Αλληλοκαλ. Ø14/15 Ø1/15 Ø1/15 Ø1/ RSS_1 Αραιή Σύνδσμοι Ø14/2 Ø1/2 Ø1/ RSS_11 Αραιή Αλληλοκαλ. Ø14/2 Ø1/2 Ø1/2 Ø1/ RSS_12* Πυκνή Σύνδσμοι Ø14/1 Ø1/1 Ø1/ RSS_13 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø14/1 Ø1/1 Ø1/1 Ø1/ RSS_14 Πυκνή Σύνδσμοι Ø14/15 Ø1/15 Ø1/ RSS_15 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø14/15 Ø1/15 Ø1/15 Ø1/ RSS_16 Πυκνή Σύνδσμοι Ø14/2 Ø1/2 Ø1/2 5.7 RSS_17 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø14/2 Ø1/2 Ø1/2 Ø1/ RSS_1_C5 Σκυρόδμα μόνο RSS_2_C5 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RSS_12_C5 Πυκνή Σύνδσμοι Ø14/1 Ø1/1 Ø1/ RSS_13_C5 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø14/1 Ø1/1 Ø1/1 Ø1/ * Διάταξη που έχι κατασκυαστί στη γέφυρα Γ11 του τμήματος ΜυλοπόταμουΛυκόπτρας 179

214 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Αραιή διάταξη πρίσφιξης h = 7.8 m b = 1.5 m c o = 5 cm h/b 5 Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Διαμήκις οπλισμοί (κοινοί) : Ø25 πριμτρικά Ø16 σωτρικά (κρυφοκολώνς) Σχήμα 4.2 Χαρακτηριστικά διατομών και προσομοιωμάτων του τοιχωματικού βάθρου RSS Εξάδρα στοιχία (brick) : 3696 Σχήμα 4.21 Κάνναβος διακριτοποίησης του τοιχωματικού βάθρου RSS 18

215 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος RSS Αραιή διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι σύνδσμοι RSS Αραιή διάταξη πρίσφιξης Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς RSS Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι σύνδσμοι RSS Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς Σχήμα 4.22 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του τοιχωματικού βάθρου RSS 181

216 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Τα κοίλα ορθογωνικά βάθρα που μλτήθηκαν προέρχονται από τη γέφυρα Γ11 του τμήματος ΜυλοπόταμουΛυκόπτρας (RHS1 1 ), από την κοιλαδογέφυρα Καβάλας (RHS2) και από τη γέφυρα του ποταμού Αλιάκμονα (RHS3). Διαφέρουν μταξύ τους ως προς το λόγο πλυρών και ως προς το λόγο μήκους προς πάχος (h/b 2 και h/t 1 για τη διατομή RHS1, h/b = 1 και h/t = 1 για τη διατομή RHS2 (ττραγωνική) και h/b = 2 και h/t 2 για τη διατομή RHS3), έτσι ώστ να διρυνηθί η πιρροή της γωμτρίας της κοίλης διατομής ως προς την αποτλσματικότητα της πρίσφιξης. Πρέπι να σημιωθί δώ, ότι η διατομή RHS3 μ λόγο h/t 2 υπρβαίνι το ανώτατο όριο h/t = 15 που ορίζται στις θνικές διατάξις για την αντισισμική μλέτη γφυρών (Εγκύκλιος Ε39/99, 1999). Επίσης, σύμφωνα μ τις συστάσις του Priestley για τις γέφυρς της Εγνατίας Οδού (Priestley, 1998) και οι υπόλοιπς δύο διατομές (RHS1 και RHS2) ίναι λγχόμνς ως προς το προτινόμνο ανώτατο όριο h/t = 8 αλλά όχι ως προς το κατώτατο όριο πάχους προς πικάλυψη t/c o = 5 (c o = 5 cm). Για το κοίλο βάθρο RHS1 προσομοιώθηκαν δύο διαφορτικές πυκνότητς πρίσφιξης (αραιή και πυκνή), οι οποίς αντιστοιχούν στις διατομές της βάσης και του μέσου του ύψους του βάθρου. Για τα βάθρα RHS2 και RHS3 η πυκνότητα διακριτοποίησης ήταν κοινή σ όλα τα αντίστοιχα προσομοιώματα. Τα χαρακτηριστικά των παραπάνω διατομών καθώς και οι αντίστοιχοι κάνναβοι διακριτοποίησης φαίνονται στα σχήματα 4.23 έως Στα ίδια σχήματα αναγράφονται οι διαστάσις των διατομών καθώς και οι διάμτροι των διαμήκων οπλισμών οι οποίοι ίναι κοινοί σ όλα τα προσομοιώματα. Οι ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης που ξτάστηκαν στις παραπάνω διατομές κοίλων βάθρων πριλαμβάνουν γκάρσιους συνδέσμους (όπως στις πραγματικές κατασκυές), πρόσθτους διαγώνιους συνδτήρς (Pinto, 1996) και κλιστούς αλληλοκαλυπτόμνους συνδτήρς, μ στόχο να διρυνηθί η αποτλσματικότητα της κάθ διάταξης. Στα σχήματα 4.29, 4.3 και 4.31 φαίνονται τα αναπτύγματα των οπλισμών πρίσφιξης των παραπάνω διατομών. Επίσης, ξτάστηκ η πιρροή της απόστασης (s) μταξύ των γκάρσιων οπλισμών (1, 15 και 2 cm) καθώς και η πιρροή της ποιότητας του σκυροδέματος (C2 και C5). Στους πίνακς 4.7, 4.8 και 4.9 παρουσιάζονται αναλυτικά όλς οι διατάξις οπλισμών των διατομών που πιλύθηκαν για τα παραπάνω ορθογωνικά κοίλα βάθρα καθώς και τα αντίστοιχα ογκομτρικά ποσοστά γκάρσιων οπλισμών (ρ w ). Πρέπι να σημιωθί ότι στα κοίλα βάθρα και ιδιαίτρα στο βάθρο RHS1, όπου μφανίζονται γκάρσιοι πριμτρικοί συνδτήρς μγάλων διαμέτρων (έως και Ø22), η τοποθέτησή τους γίνται αναγκαστικά σ διάταξη διπλού Π ( ) λόγω αφνός των πρακτικών δυσκολιών κατά την κάμψη τους και αφτέρου του μγάλου μήκους που απαιτίται για τη διαμόρφωση κλιστών συνδτήρων. 1 Rectangular Hollow Section 182

217 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Αραιή διάταξη πρίσφιξης h = 7.3 m b = 3.5 m t =.74 m z = 1. m h/t 1 Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Διαμήκις οπλισμοί (κοινοί) : Ø32 στην ξωτρική παριά των Ø32 και Ø25 ναλλάξ στην ξωτρική Σχήμα 4.23 Χαρακτηριστικά διατομών και προσομοιωμάτων του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS1 183

218 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Εξάδρα στοιχία (brick) : 44 Σχήμα 4.24 Κάνναβος διακριτοποίησης του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS1 h = 4. m b = 4. m t =.4 m z = 1. m h/t = 1 Διαμήκις οπλισμοί (κοινοί) : Ø16 Σχήμα 4.25 Χαρακτηριστικά διατομής και προσομοιώματος του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS2 184

219 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Εξάδρα στοιχία (brick) : 486 Σχήμα 4.26 Κάνναβος διακριτοποίησης του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS2 h = 5.5 m b = 2.75 m t =.3 m z = 1. m h/t 2 Διαμήκις οπλισμοί (κοινοί) : Ø25 Σχήμα 4.27 Χαρακτηριστικά διατομής και προσομοιώματος του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS3 185

220 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Εξάδρα στοιχία (brick) : 544 Σχήμα 4.28 Κάνναβος διακριτοποίησης του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS3 RHS1 Αραιή διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι σύνδσμοι RHS1 Αραιή διάταξη πρίσφιξης Πρόσθτοι διαγώνιοι συνδτήρς Σχήμα 4.29 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS1 (συνχίζται στην πόμνη σλίδα) 186

221 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος RHS1 Αραιή διάταξη πρίσφιξης Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς RHS1 Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι σύνδσμοι RHS1 Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Πρόσθτοι διαγώνιοι συνδτήρς RHS1 Πυκνή διάταξη πρίσφιξης Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς Σχήμα 4.29 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS1 187

222 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος RHS2 Εγκάρσιοι σύνδσμοι RHS2 Πρόσθτοι διαγώνιοι συνδτήρς RHS2 Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς Σχήμα 4.3 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS2 188

223 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος RHS3 Εγκάρσιοι σύνδσμοι RHS3 Πρόσθτοι διαγώνιοι συνδτήρς RHS3 Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς Σχήμα 4.31 Αναπτύγματα γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS3 189

224 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.7 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS1 Ονομασία Πυκνότητα πρίσφιξης Διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι πριμτρικά μικ. πλυρά Εγκάρσιοι πριμτρικά μγ. πλυρά Εγκάρσιοι αλληλοκαλ. Εγκάρσιοι σύνδσμοι και διαγ. ρ w RHS1_1 Σκυρόδμα μόνο RHS1_2 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RHS1_3 Αραιή Πριμτρικοί Ø2/1 Ø14/1 8.3 RHS1_4 Αραιή Πριμτρικοί Ø2/15 Ø14/ RHS1_5 Αραιή Πριμτρικοί Ø2/2 Ø14/ RHS1_6 Αραιή Σύνδσμοι Ø2/1 Ø14/1 Ø1/ RHS1_7 Αραιή Σύνδ. + διαγ. Ø2/1 Ø14/1 Ø1/ RHS1_8 Αραιή Αλληλοκαλ. Ø2/1 Ø14/1 Ø1/1 Ø1/ RHS1_9 Αραιή Σύνδσμοι Ø2/15 Ø14/15 Ø1/ RHS1_1 Αραιή Σύνδ. + διαγ. Ø2/15 Ø14/15 Ø1/ RHS1_11 Αραιή Αλληλοκαλ. Ø2/15 Ø14/15 Ø1/15 Ø1/ RHS1_12 Αραιή Σύνδσμοι Ø2/2 Ø14/2 Ø1/ RHS1_13 Αραιή Σύνδ. + διαγ. Ø2/2 Ø14/2 Ø1/2 6.1 RHS1_14 Αραιή Αλληλοκαλ. Ø2/2 Ø14/2 Ø1/2 Ø1/ RHS1_15 Πυκνή Πριμτρικοί Ø22/1 Ø16/ RHS1_16 Πυκνή Πριμτρικοί Ø22/15 Ø16/ RHS1_17* Πυκνή Σύνδσμοι Ø22/1 Ø16/1 Ø14/ RHS1_18 Πυκνή Σύνδ. + διαγ. Ø22/1 Ø16/1 Ø14/ RHS1_19 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø22/1 Ø16/1 Ø14/1 Ø14/ RHS1_2 Πυκνή Σύνδσμοι Ø22/15 Ø16/15 Ø14/ RHS1_21 Πυκνή Σύνδ. + διαγ. Ø22/15 Ø16/15 Ø14/ RHS1_22 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø22/15 Ø16/15 Ø14/15 Ø14/ RHS1_1_C5 Σκυρόδμα μόνο RHS1_2_C5 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RHS1_17_C5 Πυκνή Σύνδσμοι Ø22/1 Ø16/1 Ø14/ RHS1_18_C5 Πυκνή Σύνδ. + διαγ. Ø22/1 Ø16/1 Ø14/ RHS1_19_C5 Πυκνή Αλληλοκαλ. Ø22/1 Ø16/1 Ø14/1 Ø14/ * Διάταξη που έχι κατασκυαστί στη γέφυρα Γ11 του τμήματος ΜυλοπόταμουΛυκόπτρας 19

225 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.8 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS2 Ονομασία Διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι πριμτρικά Εγκάρσιοι αλληλοκαλ. Εγκάρσιοι σύνδ. και διαγ. ρ w RHS2_1 Σκυρόδμα μόνο RHS2_2 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RHS2_3 Πριμτρικοί Ø12/1 8.8 RHS2_4 Πριμτρικοί Ø12/ RHS2_5 Πριμτρικοί Ø12/2 4.4 RHS2_6 Σύνδσμοι Ø12/1 Ø12/ RHS2_7 Σύνδσμοι + διαγώνιοι Ø12/1 Ø12/ RHS2_8 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/1 Ø12/1 Ø12/ RHS2_9* Σύνδσμοι Ø12/15 Ø12/ RHS2_1 Σύνδσμοι + διαγώνιοι. Ø12/15 Ø12/ RHS2_11 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/15 Ø12/15 Ø12/ RHS2_12 Σύνδσμοι Ø12/2 Ø12/ RHS2_13 Σύνδσμοι + διαγώνιοι Ø12/2 Ø12/ RHS2_14 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/2 Ø12/2 Ø12/ RHS2_1_C5 Σκυρόδμα μόνο RHS2_2_C5 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RHS2_6_C5 Σύνδσμοι Ø12/1 Ø12/ RHS2_7_C5 Σύνδσμοι + διαγώνιοι Ø12/1 Ø12/ RHS2_8_C5 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/1 Ø12/1 Ø12/ * Διάταξη που έχι κατασκυαστί στην κοιλαδογέφυρα Καβάλας 191

226 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Πίνακας 4.9 Εναλλακτικές διατάξις γκάρσιων οπλισμών του κοίλου ορθογωνικού βάθρου RHS3 Ονομασία Διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι πριμτρικά Εγκάρσιοι αλληλοκαλ. Εγκάρσιοι σύνδ. και διαγώνιοι ρ w RHS3_1 Σκυρόδμα μόνο RHS3_2 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RHS3_3 Πριμτρικοί Ø12/ RHS3_4 Πριμτρικοί Ø12/ RHS3_5 Πριμτρικοί Ø12/ RHS3_6 Σύνδσμοι Ø12/1 Ø1/ RHS3_7 Σύνδσμοι + διαγώνιοι Ø12/1 Ø1/ RHS3_8 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/1 Ø1/1 Ø1/ RHS3_9 Σύνδσμοι Ø12/15 Ø1/ RHS3_1 Σύνδσμοι + διαγώνιοι. Ø12/15 Ø1/ RHS3_11 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/15 Ø1/15 Ø1/ RHS3_12* Σύνδσμοι Ø12/2 Ø1/ RHS3_13 Σύνδσμοι + διαγώνιοι Ø12/2 Ø1/ RHS3_14 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/2 Ø1/2 Ø1/ RHS3_1_C5 Σκυρόδμα μόνο RHS3_2_C5 Διαμήκις οπλισμοί μόνο RHS3_6_C5 Σύνδσμοι Ø12/1 Ø1/ RHS3_7_C5 Σύνδσμοι + διαγώνιοι Ø12/1 Ø1/ RHS3_8_C5 Αλληλοκαλυπτόμνοι Ø12/1 Ø1/1 Ø1/ * Διάταξη που έχι κατασκυαστί στη γέφυρα του ποταμού Αλιάκμονα 192

227 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Αναλυτικά αποτλέσματα και συμπράσματα Στην νότητα αυτήν παρουσιάζονται και σχολιάζονται τα αποτλέσματα της ανάλυσης ορθογωνικών βάθρων συμπαγούς και κοίλης διατομής, τα οποία πριγράφηκαν στην προηγούμνη νότητα. Μ βάση τις καμπύλς αντίστασης που προέκυψαν από το σύνολο των ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης (Πίν. 4.7, 4.8 και 4.9) και παρατίθνται στο παράρτημα Α, υπολογίστηκαν οι αντίστοιχοι δίκτς αποτλσματικότητας (Κ) και οικονομίας (C), οι οποίοι παρατίθνται μ τη μορφή συγκριτικών ιστογραμμάτων στο Παράρτημα Β. Στα σχήματα 4.32 έως 4.35 παρουσιάζονται νδικτικά τα συγκριτικά ιστογράμματα του συντλστή αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την τοιχωματική (RSS) και τις τρις κοίλς ορθογωνικές διατομές, αντίστοιχα (RHS1, RHS2, RHS3), μαζί μ το αντίστοιχο ιστόγραμμα των ξταζόμνων ποιοτήτων σκυροδέματος K R πριμτρικοί μόνο s = 1 s = 15 s = 2 σύνδσμοι αλληλοκαλυπτόμνοι σύνδσμοι αλληλοκαλ. C2 C5 RSS_3 RSS_4 RSS_5 RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 s = 1 s = 15 s = 2 s = 1 s = 15 s = 2 αραιή διάταξη πυκνή διάταξη Σχήμα 4.32 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για τη συμπαγή ορθογωνική διατομή RSS K R πριμτρικοί μόνο s = 1 s = 15 s = 2 σύνδσμοι σύνδσμοι + διαγώνιοι αλληλοκαλυπτόμνοι πριμτρ. μόνο s = 1 s = 15 σύνδσμοι σύνδ. + διαγ. αλληλοκαλ. C2 C5 1. RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 s = 1 s = 15 s = 2 s = 1 s = 15 αραιή διάταξη πυκνή διάταξη Σχήμα 4.33 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη ορθογωνική διατομή RHS1 193

228 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος K R πριμτρικοί μόνο C2 C s = 1 s = 15 s = RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 σύνδσμοι RHS2_6 σύνδ. + διαγ. RHS2_7 αλληλοκαλ. RHS2_8 s = 1 s = 15 s = 2 Σχήμα 4.34 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη ορθογωνική διατομή RHS K R πριμτρικοί μόνο s = 1 s = 15 s = 2 σύνδσμοι σύνδ. + διαγ. RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 αλληλοκαλ. C RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 C5 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 s = 1 s = 15 s = 2 Σχήμα 4.35 Συγκριτικό ιστόγραμμα μταξύ δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) για την κοίλη ορθογωνική διατομή RHS3 Από τη μλέτη των συγκριτικών ιστογραμμάτων των δικτών αποτλσματικότητας και οικονομίας για τα ορθογωνικά βάθρα, προέκυψαν τα παρακάτω συμπράσματα : Τόσο στην τοιχωματική όσο και στις κοίλς ορθογωνικές διατομές, η παρουσία αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων οδήγησ σ λαφρώς καλύτρς πιδόσις ως προς την αντοχή και πιο σημαντικές ως προς την πλαστιμότητα σ σχέση μ τους γκάρσιους συνδέσμους. Ωστόσο, δν προέκυψαν ανάλογς βλτιώσις των αντίστοιχων δικτών οικονομίας, λόγω της απαίτησης μγαλύτρου όγκου χάλυβα για τη διαμόρφωση των αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων. Αν σ αυτό προστθί και το γγονός ότι η τοποθέτηση αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων παρουσιάζι νγένι μγαλύτρς κατασκυαστικές δυσκολίς σ σχέση μ τους γκάρσιους συνδέσμους, τότ μπορί να 194

229 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος δικαιολογηθί η πιλογή των τλυταίων στα πραγματικά βάθρα γφυρών της Εγνατίας Οδού (η οποία οφίλται κατξοχήν σ κατασκυαστικούς λόγους). Για το τοιχωματικό βάθρο RSS μ πυκνή διάταξη πρίσφιξης (Σχ. 4.2, κάτω) καθώς και για το κοίλο ορθογωνικό βάθρο RHS1 μ πίσης πυκνή διάταξη πρίσφιξης (Σχ. 4.23, κάτω), νώ οι διαφορές των δικτών αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ R ) μταξύ γκάρσιων συνδέσμων και αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων ήταν σχτικά μικρές, οι αντίστοιχοι δίκτς αποτλσματικότητας μ βάση την πλαστιμότητα (Κ 85 και Κ W85 ) προέκυψαν σημαντικά μγαλύτροι υπέρ των αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων. Για να δικαιολογηθί το παραπάνω διαφαινόμνο μιονέκτημα των γκάρσιων συνδέσμων, αρχικά ξτάστηκαν οι αντίστοιχς καμπύλς αντίστασης, οι οποίς στην πρίπτωση των γκάρσιων συνδέσμων μφανίζουν αιφνίδια απώλια αντοχής (ψαθυρού χαρακτήρα) μτά την πίτυξη της μέγιστης αντοχής (Σχ. 4.36). 6 5 Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς (RSS_13) 1 8 Αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς (RHS1_19) 4 Εγκάρσιοι σύνδσμοι (RSS_12) 6 Εγκάρσιοι σύνδσμοι (RHS1_17) 3 2 Διαμήκις μόνο (RSS_2) Διαμήκις μόνο (RHS1_2) Σχήμα 4.36 Καμπύλς αντίστασης των διατομών RSS (αριστρά) και RHS1(δξιά) μ πυκνές διατάξις πρίσφιξης Αφού πρώτα αποκλίστηκ η κδοχή της αριθμητικής αστάθιας της ανάλυσης (μ τη χρήση μικρότρων φορτιστικών βημάτων, διαφορτικών κριτηρίων σύγκλισης και πυκνότρων καννάβων διακριτοποίησης), διρυνήθηκ η μορφή ρηγμάτωσης των διατομών μ γκάρσιους συνδέσμους που μφάνισαν την παραπάνω ψαθυρή αστοχία. Στο σχήμα 4.37 παρουσιάζονται οι ικόνς ρηγμάτωσης του τοιχωματικού βάθρου RSS_12 και του κοίλου ορθογωνικού RHS1_17 σ χαρακτηριστικά φορτιστικά βήματα του κατρχόμνου κλάδου απόκρισης. Παρατηρίται ότι το τοιχωματικό βάθρο παρουσιάζι έντονη ρηγμάτωση κατά μήκος του κορμού (κτός των κρυφοκολωνών), νώ στο κοίλο βάθρο η ρηγμάτωση κτίνται αποκλιστικά κατά μήκος της μγάλης πλυράς. Αντίθτα, στο σωτρικό των κρυφοκολωνών του τοιχωματικού βάθρου και στη μικρή πλυρά του κοίλου βάθρου δν μφανίζται αντίστοιχη ρηγματωμένη κατάσταση. Για να ξηγηθί το παραπάνω φαινόμνο ξτάστηκαν στη συνέχια οι ικόνς παραμόρφωσης των γκάρσιων οπλισμών στην οριζόντια στρώση που αντιστοιχί στο μέσον του ύψους των προσομοιωμάτων (z =.5 m) (Σχ. 4.38), στις 195

230 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος οποίς παρατηρίται έντονη συγκέντρωση παραμορφώσων στους πριμτρικούς οπλισμούς που διατρέχουν το μήκος του κορμού της τοιχωματικής διατομής και το μήκος της μγάλης πλυράς της κοίλης διατομής. Είναι φανρό ότι οι παραπάνω πριμτρικοί οπλισμοί δν ίναι ικανοί να παρμποδίσουν τη φυσιολογική γκάρσια διόγκωση του σκυροδέματος λόγω της κατακόρυφης φόρτισης. Η διόγκωση αυτή για το τοιχωματικό βάθρο ίναι ντονότρη κατά μήκος του κορμού και για το κοίλο ορθογωνικό βάθρο κατά μήκος της μγάλης πλυράς, όπως φαίνται από τις αντίστοιχς ικόνς παραμόρφωσης στο οριζόντιο πίπδο (Σχ. 4.39). Αντίθτα, το πυκνό πλέγμα γκάρσιων οπλισμών στις κρυφοκολώνς του τοιχωματικού βάθρου και η παρουσία ισχυρότρων πριμτρικών οπλισμών κατά μήκος της μικρής πλυράς του κοίλου βάθρου (Ø22 αντί για Ø16) αυξάνουν την αποτλσματικότητα της πρίσφιξης (Σχ. 4.4) μποδίζοντας αποτλσματικά τη ρηγμάτωση. Το λογικό συμπέρασμα που προκύπτι ίναι ότι η σχτική αναλογία μταξύ των ποσοστών των γκάρσιων οπλισμών στις δύο κάθτς μταξύ τους διυθύνσις παίζι καθοριστικό ρόλο στον πριορισμό των ρηγματώσων που προκαλούνται από την γκάρσια διόγκωση του σκυροδέματος λόγω της κατακόρυφης θλιπτικής φόρτισης. RSS_12 (9 % μέγιστης αντοχής) RSS_12 (85 % μέγιστης αντοχής) RSS_12 (8 % μέγιστης αντοχής) RHS1_17 (95 % μέγιστης αντοχής) RHS1_17 (9 % μέγιστης αντοχής) RHS1_17 (85 % μέγιστης αντοχής) Σχήμα 4.37 Εικόνς ρηγμάτωσης των διατομών RSS_12 και RHS1_17 (γκάρσιοι σύνδσμοι) στον κατρχόμνο κλάδο απόκρισης (¼ διατομής) Σχήμα 4.38 Εικόνα παραμόρφωσης των γκάρσιων οπλισμών στις διατομές RSS_12 (αριστρά) και RHS1_17 (δξιά). Μ κόκκινο χρώμα φαίνονται τα μγαλύτρα μγέθη αξονικών παραμορφώσων των οπλισμών. 196

231 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος u x =.11 m u y =.18 m u x =.133 m u y =.54 m Σχήμα 4.39 Εικόνς γκάρσιων μτακινήσων (x1) για τις διατομές RSS_12 (πάνω) και RHS1_17 (κάτω) στη μέγιστη αντοχή. Μ μαύρη γραμμή φαίνται η απαραμόρφωτη κατάσταση 1 Σχήμα 4.4 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) για τις διατομές RSS_12 (πάνω) και RHS1_17 (κάτω) Για την παλήθυση του παραπάνω συμπράσματος έγιναν συμπληρωματικές αναλύσις για τις παραπάνω διατομές, στις οποίς αντικαταστάθηκαν οι πριμτρικοί γκάρσιοι οπλισμοί μ αντίστοιχους μγαλύτρης διαμέτρου, τόσο για τις πριπτώσις των γκάρσιων συνδέσμων (RSS_12, RHS1_17) όσο και για αυτές των αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων (RSS_13, RHS1_19). Συγκκριμένα, στο τοιχωματικό βάθρο δοκιμάστηκαν διάμτροι Ø16 και Ø18, αντί της διαμέτρου Ø14, και στο κοίλο βάθρο διάμτροι Ø18 και Ø22 κατά μήκος της μγάλης πλυράς, αντί της διαμέτρου Ø16 (Σχ. 4.41). Οι καμπύλς αντίστασης που προέκυψαν από τις παραπάνω συμπληρωματικές αναλύσις έδιξαν ότι η παρουσία ισχυρότρων πριμτρικών 1 Η ικόνα της συνολικής διατομής προέρχται από γραφική πξργασία της αρχικής ικόνας του ¼ της διατομής 197

232 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος οπλισμών προσέφρ σημαντικά υψηλότρα πίπδα πλαστιμότητας στις πρισφιγμένς διατομές (Σχ. 4.42), πριορισμό της ρηγμάτωσης καθώς και μικρή αύξηση της μέγιστης αντοχής. Τοιχωματικό βάθρο RSS Κοίλο ορθογωνικό βάθρο RHS1 Σχήμα 4.41 Ενίσχυση διατομών RSS (αριστρά) και RHS1 (δξιά) μ πριμτρικούς οπλισμούς μγαλύτρης διαμέτρου RSS_12 RHS1_ Ø16 Ø Ø16 Ø18 Ø22 Ø Σχήμα 4.42 Καμπύλς αντίστασης των νισχυμένων διατομών RSS_12 (αριστρά) και RHS1_17 (δξιά) Οι δίκτς αποτλσματικότητας των παραπάνω νισχυμένων διατομών (Σχ. 4.43) πιββαιώνουν την αυξημένη πλαστιμότητα των διατάξων πρίσφιξης μ γκάρσιους συνδέσμους και ισχυρούς πριμτρικούς οπλισμούς. Αντίθτα, οι αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς δν μφανίζουν ανάλογη βλτίωση της πλαστιμότητας υπό αντίστοιχη νίσχυση των πριμτρικών οπλισμών. Οι δίκτς οικονομίας στο ίδιο σχήμα υποδηλώνουν ότι το κόστος των ισχυρότρων πριμτρικών οπλισμών ίναι παρόμοιο μ αυτό της χρήσης αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων, ωστόσο αν συνυπολογιστί και ο παράγοντας της κατασκυαστικής υκολίας τότ υνοίται σαφώς η νίσχυση των πριμτρικών οπλισμών στις πριπτώσις πυκνών διατάξων γκάρσιων συνδέσμων, μ στόχο την ξασφάλιση πλάστιμης συμπριφοράς της πρισφιγμένης διατομής. 198

233 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Αποτλσματικότητα (RSS) Οικονομία (RSS) Αποτλσματικότητα (RHS1) Οικονομία (RHS1) Ø14 Ø16 Ø18 K W85 RSS_12 RSS_ Ø14 Ø16 Ø18 C W85 RSS_12 RSS_ Ø16 Ø18 Ø22 K W85 RHS1_17 RHS1_ Ø16 Ø18 Ø22 C W85 RHS1_17 RHS1_19 Σύνδσμοι Αλληλοκαλ. Σύνδσμοι Αλληλοκαλ. Σύνδσμοι Αλληλοκαλ. Σύνδσμοι Αλληλοκαλ. Σχήμα 4.43 Δίκτς αποτλσματικότητας και οικονομίας μ βάση την πλαστιμότητα (Κ W85 ) για τις νισχυμένς διατομές RSS και RHS1 Στο σχήμα 4.44 παρουσιάζονται τα ογκομτρικά ποσοστά οπλισμών του τοιχωματικού βάθρου RSS_12 και του τοιχωματικού βάθρου RHS1_17 ανά διύθυνση, ανηγμένα στο συνολικό ογκομτρικό ποσοστό (ρ w = ρ wx + ρ wy ), τα οποία αναφέρονται στις πριοχές στις οποίς μφανίστηκ η ρηγμάτωση, δηλαδή στον κορμό του τοιχωματικού βάθρου (κτός των κρυφοκολωνών) και στη μγάλη πλυρά του κοίλου βάθρου (χωρίς τις γωνίς). Παρατηρίται ότι στην πρίπτωση του τοιχωματικού βάθρου (RSS), η πιθυμητή πλάστιμη συμπριφορά που πιτυγχάνται μ τη χρήση πριμτρικών οπλισμών Ø18 (Σχ. 4.42) αντιστοιχί σ μία αναλογία πρίπου 35 % 65 % μταξύ πριμτρικών οπλισμών (ρ wx ) και γκάρσιων συνδέσμων (ρ wy ) αντίστοιχα, σχδόν ίδια μ αυτήν που προσφέρι η μη νισχυμένη διατομή μ αλληλοκαλυπτόμνους συνδτήρς (δηλαδή μ πριμτρικούς οπλισμούς Ø14). Στην πρίπτωση του κοίλου βάθρου (RHS1), στην οποία η πιθυμητή πλάστιμη συμπριφορά πιτυγχάνται μ τη χρήση πριμτρικών οπλισμών Ø22 στη μγάλη πλυρά (Σχ. 4.42), η αντίστοιχη αναλογία ανέρχται πρίπου στο 5 % 5 %, δηλαδή απαιτίται παρόμοιο ογκομτρικό ποσοστό πριμτρικών οπλισμών και γκάρσιων συνδέσμων. Το βασικό συμπέρασμα που προκύπτι ίναι ότι η παρουσία ισχυρότρων πριμτρικών οπλισμών έχι νγένι υνοϊκή πιρροή στην πλαστιμότητα των πρισφιγμένων κοίλων ορθογωνικών διατομών και το ογκομτρικό ποσοστό τους δ θα πρέπι σ καμία πρίπτωση να υπολίπται ουσιωδώς του αντίστοιχου των γκάρσιων συνδέσμων. Πρέπι να σημιωθί δώ, ότι σύμφωνα μ την παράγραφο του ΕΚΟΣ (ΟΑΣΠ / ΣΠΜΕ, 21), τα ογκομτρικά ποσοστά οπλισμών των πρισφιγμένων διατομών ανά διύθυνση οφίλουν να ίναι πρίπου ίσα (ρ wx ρ wy ), διάταξη μ την οποία δν έχουν συμμορφωθί οι συγκκριμένς διατομές στις πριπτώσις των πυκνών διατάξων πρίσφιξης της βάσης των βάθρων (RSS_12 έως RSS_17 και RHS1_17 έως RHS1_22). Αντίθτα, οι αραιές διατάξις του μέσου του ύψους των βάθρων (RSS_6 199

234 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος έως RSS_11 και RHS1_6 έως RHS1_14) δν παρουσίασαν κανένα πρόβλημα ψαθυρής αστοχίας πιδή τα αντίστοιχα ποσοστά των γκάρσιων συνδέσμων (ρ wy ) ίναι σημαντικά χαμηλότρα. Υπνθυμίζται πίσης ότι οι διατάξις των προσομοιωμάτων RSS_12 και RHS1_17 που αντιμτωπίζουν το παραπάνω πρόβλημα αντιστοιχούν νγένι σ πραγματικά βάθρα γφυρών που έχουν ήδη κατασκυαστί. Επομένως, θα πρέπι να δίνται ιδιαίτρη προσοχή κατά το σχδιασμό τόσο των συμπαγών όσο και των κοίλων ορθογωνικών διατομών όσον αφορά τη σχτική αναλογία των γκάρσιων οπλισμών πρίσφιξης που διατάσσονται στις δύο διυθύνσις. Τέλος, η αυξημένη πλαστιμότητα που παρατηρίται στις διατομές μ αλληλοκαλυπτόμνους συνδτήρς λογικά οφίλται στη συνισφορά των σκλών τους που συντρέχουν μ τους πριμτρικούς οπλισμούς, η οποία προσαυξάνι το ογκομτρικό ποσοστό γκάρσιων οπλισμών στην αντίστοιχη διύθυνση (ρ wx ). Ωστόσο, όπως σημιώθηκ και παραπάνω, οι αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς νγένι δν νδίκνυνται λόγω της αυξημένης κατασκυαστικής δυσκολίας. Τοιχωματικό βάθρο RSS Κοίλο ορθογωνικό βάθρο RHS1 1% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% % Σύνδσμοι (RSS_12) ρwy ρwx Αλληλοκαλυπτόμνοι (RSS_13) 1% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% % Σύνδσμοι (RHS1_17) ρwy ρwx Αλληλοκαλυπτόμνοι (RHS1_19) Ø14 Ø16 Ø18 Ø14 Ø16 Ø18 Ø16 Ø18 Ø22 Ø16 Ø18 Ø22 Σχήμα 4.44 Ογκομτρικά ποσοστά γκάρσιων οπλισμών ανά διύθυνση ανηγμένα στο συνολικό ογκομτρικό ποσοστό (ρ w ) για τις διατομές RSS και RHS1 Αξίζι πίσης να σημιωθί ότι, όπως προκύπτι από τους αντίστοιχους δίκτς αποτλσματικότητας, η παρουσία των πριμτρικών οπλισμών από μόνη της έχι λάχιστη συνισφορά ως προς την αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών και μόνο ο κατάλληλος συνδυασμός τους μ γκάρσιους συνδέσμους ή αλληλοκαλυπτόμνους συνδτήρς μπορί να οδηγήσι σ αξιόλογς αυξήσις των 2

235 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος παραπάνω μγθών. Ωστόσο, η συνισφορά των πριμτρικών οπλισμών ίναι καθοριστική στον πριορισμό της σημαντικής διόγκωσης του σκυροδέματος κατά μήκος των σκλών της κοίλης διατομής. Στο σχήμα 4.45 φαίνται ότι η διόγκωση μιας κοίλης διατομής, ως απόλυτο μέγθος, μ μόνο πριμτρικούς οπλισμούς (RHS_3) δν παρουσιάζι σημαντικές διαφορές μ αυτή στην οποία έχουν προστθί αραιοί γκάρσιοι οπλισμοί (RHS_6) υπό την ίδια αξονική παραμόρφωση. Ωστόσο, η αιτία στην οποία οφίλται τλικά η σημαντική διαφορά σ σχέση μ την αντοχή και την πλαστιμότητα μταξύ των παραπάνω διατάξων ίναι ο πριορισμός της διαφορικής διόγκωσης της διατομής (μιωμένη γκάρσια κάμψη των μλών), η οποία αποδίδται στη δράση των γκάρσιων συνδέσμων. Συγκκριμένα, η διατομή χωρίς γκάρσιους οπλισμούς παρουσιάζι διαφορικές διογκώσις μταξύ του μέσου των πλυρών και των γωνιών ίσς μ Δu x = 4.8 mm και Δu y = 12.3 mm, νώ αυτή μ γκάρσιους οπλισμούς Δu x = 3.2 mm ( 33 %) και Δu y = 9.3 ( 24 %). Οι διαφορές αυτές ίναι ακόμα ντονότρς στην πρίπτωση της διατομής μ πυκνούς γκάρσιους οπλισμούς (RHS1_17_F22 1 ) μ αντίστοιχα μγέθη Δu x = 1.5 mm ( 69 %) και Δu y = 5.9 mm ( 52 %) σ σχέση μ τη διατομή RHS_3 (χωρίς γκάρσιους οπλισμούς). u x =.554 m u x =.587 m u y =.321 m u x =.56 m u y =.198 m u y =.322 m u x =.555 m u y =.229 m Σχήμα 4.45 Εικόνς γκάρσιων μτακινήσων (x1) σ μέση αξονική παραμόρφωση = 3 για διατομές μ πριμτρικούς οπλισμούς μόνο (RHS1_3, αριστρά) και μ αραιούς γκάρσιους συνδέσμους (RHS1_6, δξιά) Οι πρόσθτοι διαγώνιοι συνδτήρς, οι οποίοι τοποθτήθηκαν στα κοίλα βάθρα μαζί μ γκάρσιους συνδέσμους, παρουσίασαν πολύ ικανοποιητική συμπριφορά ως προς την αντοχή και ιδιαίτρα ως προς την πλαστιμότητα στις διατομές μικρότρου πάχους (RHS2, RHS3). Αντίθτα, στο κοίλο βάθρο μγάλου πάχους (RHS1) η χρήση διαγώνιων συνδτήρων δν προσέφρ κανένα ουσιαστικό κέρδος. Ειδικά για τη διατομή RHS3, η οποία όπως αναφέρθηκ στην προηγούμνη νότητα ξπρνά το ανώτατο πιτρπόμνο όριο μήκους προς πάχος (h/t = 15) που καθορίζται από την Εγκύκλιο Ε39/99 (1999), η χρήση διαγώνιων συνδτήρων οδηγί σ ξαιρτικές 1 Επιλέχθηκ η νισχυμένη διατομή πιδή φτάνι σ αξονική παραμόρφωση 3 21

236 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος πιδόσις, οι οποίς ξπρνούν κατά πολύ τις αντίστοιχς των αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων. Πρέπι σ κάθ πρίπτωση να υπνθυμιστί δώ, ότι η παρούσα ανάλυση δν αντιμτώπισ άλλα θέματα που αφορούν στην απόκριση των λπτότοιχων κοίλων διατομών, όπως η τοπική αστοχία λόγω λυγισμού. Στις ισοχρωματικές πιφάνις του σχήματος 4.46 φαίνται η διαμόρφωση ισχυρότρων υποζωνών πρίσφιξης στο σωτρικό της παραπάνω κοίλης διατομής μ τη χρήση διαγώνιων συνδτήρων. Από τους αντίστοιχους δίκτς οικονομίας προκύπτι ότι η παραπάνω λύση ίναι πολύ οικονομικότρη ως προς το κόστος του χάλυβα σ σχέση μ τους αλληλοκαλυπτόμνους συνδτήρς, κτιμάται ωστόσο ότι δν ίναι κατασκυαστικά ύκολη η τοποθέτησή τους στην πράξη, άλλωστ η χρήση τους, απ όσο ίναι γνωστό, πριορίζται μέχρι στιγμής σ ργαστηριακά δοκίμια (Pinto, 1996). RHS3_7 (σύνδσμοι + διαγώνιοι) RHS3_8 (αλληλοκαλυπτόμνοι) Σχήμα 4.46 Ισοχρωματικές πιφάνις αξονικών τάσων (στη μέγιστη αντοχή) για τις διατομές RHS3_7 (αριστρά) και RHS3_8 (δξιά) Όπως παρατηρήθηκ και στα κυκλικά βάθρα, έτσι και στα ορθογωνικά, οι διατομές μ μγαλύτρο λόγο μήκους προς πάχος (h/t) προσφέρουν υψηλότρους δίκτς αποτλσματικότητας για το ίδιο ογκομτρικό ποσοστό γκάρσιων οπλισμών, τόσο ως προς την αντοχή όσο και ως προς την πλαστιμότητα της πρισφιγμένης διατομής (Σχ. 4.47). Προϋπόθση βέβαια ίναι, όπως σημιώθηκ και προηγουμένως, ότι τα ποσοστά των πριμτρικών οπλισμών δν υπολίπονται σημαντικά των αντίστοιχων των γκάρσιων συνδέσμων. Όπως και στα κυκλικά βάθρα, οι πυκνές διατάξις πρίσφιξης (στα βάθρα RSS και RHS1) και οι μικρότρς αποστάσις μταξύ των γκάρσιων οπλισμών (s) προσέφραν αυξημένς πιδόσις στην αντοχή και την πλαστιμότητα των διατομών σ σχέση μ τις αραιότρς μορφές. Ωστόσο, δν προκύπτι ανάλογη υπροχή των πυκνότρων διατάξων ως προς το κόστος του πιπλέον χάλυβα που απαιτίται για τη διαμόρφωσή τους. Επίσης, όπως και στα κυκλικά βάθρα, πιββαιώθηκ και δώ η αντίστροφη σχέση μταξύ του ογκομτρικού ποσοστού των γκάρσιων οπλισμών και της θέσης διαρροής τους (Σχ. 4.48), ιδιαίτρα στις πριπτώσις πολύ ισχυρά πρισφιγμένων βάθρων (π.χ. RSS_12, RHS1_17), όπου η πρώτη διαρροή λαμβάνι χώρα σ σχτικά 22

237 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος χαμηλή στάθμη αξονικού φορτίου και η πίτυξη της μέγιστης αντοχής σχδόν συμπίπτι μ τη διαρροή του τλυταίου γκάρσιου οπλισμού. Στο σύνολο των πριπτώσων παρατηρήθηκ ότι το σκυρόδμα υψηλής αντοχής (C5) προσέφρ σημαντικά χαμηλότρς πιδόσις τόσο στην αντοχή όσο και στην την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών, γγονός που παρατηρήθηκ και στις κυκλικές διατομές και αιτιολογήθηκ στην αντίστοιχη νότητα K R RSS RHS1 RHS2 RHS3 b/t K W85 RSS RHS1 RHS2 RHS3 b/t b/t b/t b/t 5 b/t ρ w ( ) ρ w ( ) Σχήμα 4.47 Συγκριτικά διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας των ορθογωνικών βάθρων μ διαφορτικούς λόγους μήκους προς πάχος (h/t) c, διαρροής / cc (%) RSS Διαρροή πρώτου γκάρσιου οπλισμού Διαρροή τλυταίου γκάρσιου οπλσιμού c, διαρροής / cc (%) RHS1 Διαρροή πρώτου γκάρσιου οπλισμού Διαρροή τλυταίου γκάρσιου οπλσιμού ρ w ρ w Σχήμα 4.48 Λόγοι παραμορφώσων κατά τη διαρροή του πρώτου και του τλυταίου γκάρσιου οπλισμού ως προς την αντίστοιχη παραμόρφωση των ορθογωνικών διατομών RSS και RHS1 στη μέγιστη αντοχή 23

238 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος 4.4 Πραιτέρω θέματα προσομοίωσης Πριν την ολοκλήρωση της παρούσας έρυνας και την παρουσίαση των γνικών συμπρασμάτων στο τλυταίο κφάλαιο, έγιν προσπάθια πραιτέρω διρύνησης ορισμένων ιδικών θμάτων που σχτίζονται μ την προσομοίωση του φαινομένου της πρίσφιξης μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων. Τα θέματα αυτά αφορούν ορισμένς παραδοχές που έγιναν κατά τη διάρκια της αναλυτικής διαδικασίας, οι οποίς ίτ θωρούνται πάγις στην πλιοψηφία παρόμοιων ργασιών ίτ έχουν αντιμτωπιστί μ διαφορτικές προσγγίσις στη βιβλιογραφία. Ωστόσο, όπως θα αποδιχθί στις πόμνς παραγράφους, οι παραδοχές αυτές δν πηράζουν σημαντικά την ποιότητα και την ακρίβια των αποτλσμάτων της παρούσας έρυνας Επιρροή του λυγισμού των διαμήκων ράβδων Στο πλαίσιο της παρούσας ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων, αγνοήθηκ η πρίπτωση λυγισμού των διαμήκων ράβδων των πρισφιγμένων κατακόρυφων στοιχίων. Είναι γνικά αποδκτό (Penelis & Kappos, 1997) ότι μία από τις υνοϊκές δράσις των πυκνά διατταγμένων γκάρσιων οπλισμών ίναι ότι μποδίζουν τον πιθανό λυγισμό των διαμήκων ράβδων. Επομένως, θωρήθηκ ότι στα προσομοιώματα που ξτάστηκαν στις προηγούμνς νότητς, στα οποία το πλέγμα των γκάρσιων οπλισμών ίναι σχτικά πυκνό (s = 12 cm), ο λυγισμός των διαμήκων ράβδων ίναι δυνατόν να αγνοηθί. Ωστόσο, στο σημίο αυτό θα γίνι πραιτέρω διρύνηση του φαινομένου του λυγισμού των διαμήκων ράβδων, ώστ να διαπιστωθί το ύλογο της παραπάνω παραδοχής. Για κντρικά θλιβόμνα στοιχία όπως οι διαμήκις ράβδοι οπλισμού, υπάρχουν δύο διαφορτικοί τρόπου λυγισμού : ο λαστικός λυγισμός, ο οποίος λαμβάνι χώρα πριν τη διαρροή (f y ) του υλικού και οφίλται σ λαστική αστάθια, και ο ανλαστικός λυγισμός, ο οποίος έπται της διαρροής και οφίλται στη δραστική μίωση του πιβατικού μέτρου λαστικότητας (secant stiffness) του χάλυβα μτά τη διαρροή. Το κρίσιμο φορτίο (Euler), το οποίο διαχωρίζι τις παραπάνω δύο πριπτώσις δίνται από τη σχέση : P π Ε Ι π Ε Ι 2 2 s s cr = = 2 2 s 2 (4.1) όπου Ε s ίναι το μέτρο λαστικότητας του χάλυβα, Ι ίναι η ροπή αδράνιας της κυκλικής διατομής της ράβδου και l = s/2 ίναι το μήκος λυγισμού της ράβδου, μ βάση της 24

239 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος παραδοχή πλήρους πάκτωσης στα άκρα της, τα οποία δσμύονται από τους γκάρσιους οπλισμούς (Σχ. 4.49). Η αντίστοιχη κρίσιμη τάση ίναι ίση μ : σ π D π Εs Pcr π Εs Ι 64 π Εs D π Εs cr = = = = = A π D s π D s 4 s s D (4.2) οπότ στην πρίπτωση που ισχύι σ cr < f y κδηλώνται λαστικός λυγισμός, νώ σ πρίπτωση που σ cr > f y o λυγισμός ίναι ανλαστικός. Επομένως το βασικό μέγθος για τον προσδιορισμό της μορφής του λυγισμού ίναι ο λόγος της απόστασης μταξύ γκάρσιων οπλισμών προς τη διάμτρο των διαμήκων ράβδων (s/d). Στο σχήμα 4.5 παρουσιάζται η λάχιστη απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών (s min ) που απαιτίται για την κδήλωση λαστικού λυγισμού (μ πιβολή της ισότητας σ cr = f y ), συναρτήσι της διαμέτρου των διαμήκων ράβδων, όπως προκύπτι για τυπική ποιότητα χάλυβα S5s (Ε s = 2 GPa, f y = 5 MPa). Διαπιστώνται ότι για τις συνήθις ποιότητς χάλυβα και τις συνήθις αποστάσις μταξύ γκάρσιων οπλισμών που φαρμόζονται στην πράξη, δν ίναι δυνατόν να κδηλωθί λαστικός λυγισμός των διαμήκων ράβδων. Ακόμα και αν γίνι η πλέον συντηρητική παραδοχή της δικηνητής πάκτωσης στα άκρα της ράβδου (l = s), οι λάχιστς αποστάσις (s min ) του σχήματος 4.5 υποδιπλασιάζονται, αλλά συνχίζουν να υπρβαίνουν τις συνήθις αποστάσις μταξύ γκάρσιων οπλισμών. Σχήμα 4.49 Μήκος λυγισμού διαμήκους ράβδου 25

240 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος s min (cm) Es = 2 GPa fy = 5 MPa Ø Σχήμα 4.5 Ελάχιστη απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών για την κδήλωση λαστικού λυγισμού, συναρτήσι της διαμέτρου των διαμήκων ράβδων για χάλυβα S5s Το φαινόμνο του ανλαστικού λυγισμού των διαμήκων ράβδων ίναι συνθτότρο και έχι αντιμτωπιστί στη βιβλιογραφία τόσο αναλυτικά όσο και πιραματικά (π.χ. Mau & ElMabsout, 1989, Mau, 199, Yalcin & Saatcioglu, 2, Bae et al., 25). Για τις ανάγκς της παρούσας διρύνησης πιλέχθηκαν, λόγω της απλότητάς τους, οι προτινόμνς μπιρικές σχέσις των Yalcin & Saatcioglu (2), βάσι των οποίων προσδιορίζται ένα τροποποιημένο διάγραμμα τάσωνπαραμορφώσων για το χάλυβα, στο οποίο συμπριλαμβάνται το φαινόμνο του ανλαστικού λυγισμού. Σ αντιδιαστολή μ το κλασικό διάγραμμα τάσων παραμορφώσων του χάλυβα σ φλκυσμό (όπου μτά τη διαρροή το υλικό ισέρχται στην κρατυνόμνη φάση), η απόκριση του υλικού σ θλίψη, όταν συμπριληφθί το φαινόμνο του ανλαστικού λυγισμού, μταβάλλται ανάλογα μ την τιμή του λόγου s/d. Σύμφωνα μ τους παραπάνω ρυνητές, για λόγο s/d < 4.5 (ή 5. κατά Mau, 199) η απόκριση του χάλυβα παραμένι αμτάβλητη και ταυτίζται μ την αντίστοιχη σ φλκυσμό, για λόγους 4.5 s/d 8. η συμπριφορά ίναι πίσης κρατυνόμνη αλλά σ μιωμένο βαθμό, νώ στην ακραία πρίπτωση όπου s/d > 8, η διαρροή συνοδύται από χαλάρωση του υλικού. Στην τλυταία ακραία πρίπτωση, το σημίο που ορίζι το χαλαρούμνο κλάδο απόκρισης έχι συντταγμένς (f u, u ) : 1.7 s fu = 28 f D y (4.3) s u = 4 6 ln D y, όπου y = f y /E s (4.4) 26

241 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Από τα παραπάνω προκύπτι το συμπέρασμα ότι το φαινόμνο του ανλαστικού λυγισμού των διαμήκων ράβδων ίναι δυνατόν να προσομοιωθί στο πλαίσιο της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων μ κατάλληλη τροποποίηση του καταστατικού νόμου του χάλυβα που αποδίδται στις θλιβόμνς διαμήκις ράβδους. Για τις ανάγκς της παρούσας διρύνησης πιλέχθηκαν δύο ακραίς πριπτώσις προσομοιωμάτων μ μγάλς σχτικά αποστάσις μταξύ γκάρσιων οπλισμών και συγκκριμένα το υποστύλωμα C3C (s = 1.16 cm, D = 13 mm, s/d = 7.93) της πιλοτικής ανάλυσης του Κφαλαίου 3 και το κοίλο βάθρο RHS2_12 (s = 2 cm, D = 16 mm, s/d = 12.5) της παραμτρικής ανάλυσης που παρουσιάστηκ στις προηγούμνς νότητς. Τα τροποποιημένα διαγράμματα τάσωνπαραμορφώσων των διαμήκων ράβδων παρουσιάζονται μαζί μ τα αντίστοιχα αρχικά διαγράμματα στο σχήμα Στο σχήμα 4.52 παρουσιάζονται οι καμπύλς αντίστασης που προέκυψαν από την παραπάνω ανάλυση, συμπριλαμβανομένης ή όχι της προσομοίωσης του ανλαστικού λυγισμού των διαμήκων ράβδων. Διαπιστώνται ότι οι διαφορές ίναι πρακτικά αμλητές, οπότ το γνικό συμπέρασμα που προκύπτι ίναι ότι η παραδοχή της αγνόησης του φαινομένου του ανλαστικού λυγισμού κρίνται νγένι αποδκτή στο πλαίσιο της παρούσας ανάλυσης (που πικντρώνται σ καλώς σχδιασμένα βάθρα γφυρών). 6 Υποστύλωμα C3C 6 Βάθρο RHS2_12 σ s σ s Χωρίς λυγισμό Μ λυγισμό 2 Χωρίς λυγισμό Μ λυγισμό Σχήμα 4.51 Αρχικά και τροποποιημένα διαγράμματα τάσωνπαραμορφώσων των διαμήκων ράβδων για τα προσομοιώματα C3C και RHS2_ P (kn) Υποστύλωμα C3C fc = MPa 3 25 P (ΜΝ) Βάθρο RHS2_12 Χωρίς λυγισμό Μ λυγισμό fc = 28 MPa Χωρίς λυγισμό 15 2 M λυγισμό Σχήμα 4.52 Καμπύλς αντίστασης προσομοιωμάτων C3C και RHS2_12 συμπριλαμβανομένου ή όχι του ανλαστικού λυγισμού των διαμήκων ράβδων 27

242 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Επιρροή της δυσκαμψίας των γκάρσιων οπλισμών Στην νότητα αυτήν, ξτάζται η ισχύς της παραδοχής ότι οι οπλισμοί, στο πλαίσιο της παρούσας ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων, έχουν προσομοιωθί μ γραμμικά στοιχία ράβδου, τα οποία χαρακτηρίζονται από ππρασμένη δυστένια και μηδνική δυσκαμψία (Σχ. 3.9). Η παραδοχή αυτή αποτλί κανόνα σ ανάλογς ργασίς (βλ. Πίν. 2.3 για διακριτή προσομοίωση οπλισμών) και δν έχι ξταστί λπτομρώς κατά πόσο ή όχι πηράζι την ορθή προσομοίωση του φαινομένου της πρίσφιξης. Για το λόγο αυτόν, θα γίνι αρχικά μία προσπάθια ρμηνίας της φυσικής συμπριφοράς των γκάρσιων οπλισμών σ πρισφιγμένα στοιχία οπλισμένου σκυροδέματος και στη συνέχια θα διρυνηθί η πάρκια της προσομοίωσής τους μ γραμμικά στοιχία ράβδου. Είναι γνωστό ότι κατά την αξονική φόρτιση νός κατακόρυφου πρισφιγμένου στοιχίου, οι γκάρσιοι οπλισμοί νργοποιούνται λόγω της φυσικής διόγκωσης του πρισφιγμένου πυρήνα, ασκώντας δυνάμις αντίδρασης προς το σωτρικό του (παθητική πρίσφιξη). Μτά τη διαρροή των οπλισμών, οι δυνάμις αυτές σχδόν σταθροποιούνται (η πραιτέρω αύξησή τους ίναι σχτικά μικρή και οφίλται στην κράτυνση του χάλυβα) προσφέροντας τλικά συνθήκς νργής πρίσφιξης. Το ρώτημα που ανακύπτι ίναι ο φυσικός μηχανισμός μ τον οποίον μταβιβάζονται οι δυνάμις πρίσφιξης από τους γκάρσιους οπλισμούς στον πυρήνα του σκυροδέματος. Στο σημίο αυτό, οι αναλυτικές προσγγίσις (φαινομνολογικού χαρακτήρα) που έχουν προταθί στη βιβλιογραφία διαφέρουν μταξύ τους. Οι Saatcioglu & Ravzi (1992) και Yalcin & Saatcioglu (2) θώρησαν ότι οι γκάρσις δυνάμις πρίσφιξης των οπλισμών μπορούν να προσομοιωθούν μέσω μίας μη ομοιόμορφης κατανομής γκάρσιων πιέσων κατά μήκος κάθ πλυράς του πρισφιγμένου πυρήνα, η οποία προκύπτι από τη συνδυασμένη δράση του αντίστοιχου τμήματος του γκάρσιου οπλισμού κατά μήκος της πλυράς και των τμημάτων κάθτων σ αυτήν (Σχ. 4.53). Η μη ομοιόμορφη αυτή κατανομή προκύπτι από την παραδοχή ότι οι γκάρσιοι οπλισμοί ασκούν υψηλές αξονικές δυνάμις αντίδρασης κατά μήκος τους (λόγω υψηλής δυστένιας) και μιωμένς δυνάμις κάθτα σ αυτούς (λόγω χαμηλής δυσκαμψίας). Ωστόσο, για λόγους απλότητας, η μη γραμμική κατανομή της πίσης ξομαλύνται και μτατρέπται σ ισοδύναμη ομοιόμορφη (equivalent uniform confinement pressure) βάσι μπιρικών συντλστών. Αν και κάτι τέτοιο νγένι ισχύι σ κυκλικές διατομές, όπου η τάση στφάνης (Penelis & Kappos, 1997) των γκάρσιων οπλισμών μπορί να αντικατασταθί από μία ομοιόμορφη ακτινική πίση προς το κέντρο της διατομής, στις ορθογωνικές διατομές μπορί να οδηγήσι σ υπρκτίμηση της πραγματικής δράσης των γκάρσιων οπλισμών όπως σημιώνουν και οι ίδιοι οι ρυνητές (Saatcioglu & Ravzi, 1992), ιδιαίτρα σ πριπτώσις αραιότρων διατάξων πρίσφιξης. Μία πρόσθτη παρατήρηση στην παραπάνω θώρηση προκύπτι από το γγονός ότι η δυσκαμψία των ράβδων οπλισμού (ΕΙ) ίναι πρακτικά αμλητέα σ σχέση μ τη δυστένιά 28

243 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος τους (ΕΑ) (ΕΑ/ΕΙ = για ράβδο Ø14 έως ΕΑ/ΕΙ = για ράβδο Ø8), οπότ η τλική ομαλοποίηση της κατανομής αυτής υνοί καταφανώς την (αμλητέα) δυσκαμψία των ράβδων οπλισμού σ βάρος της (σημαντικής) δυστένιάς τους. Επίσης, η κατανομή των τάσων του πρισφιγμένου πυρήνα λόγω της ομοιόμορφης πριμτρικής γκάρσιας πίσης προκύπτι πίσης ομοιόμορφη στην πιφάνια του πρισφιγμένου πυρήνα της διατομής, γγονός που δ συνάδι μ την κλασική θώρηση των πρισφιγμένων και απρίσφικτων ζωνών που σχηματίζονται στο σωτρικό του πυρήνα ανάλογα μ τη διάταξη των γκάρσιων οπλισμών (Σχ. 1.3) (Sheikh & Uzumeri, 1982, Penelis & Kappos, 1997). Μία αντίστοιχη προσέγγιση στο παραπάνω πρόβλημα έχι προταθί από τους Braga & Laterza (1998), οι οποίοι φάρμοσαν μια μη ομοιόμορφη κατανομή γκάρσιων πιέσων πριμτρικά του πρισφιγμένου πυρήνα. Σχήμα 4.53 Κατανομή γκάρσιων πιέσων λόγω πρίσφιξης (Yalcin & Saatcioglu, 2) Για να διαπιστωθί κατά πόσο η πιρροή της δυσκαμψίας των γκάρσιων οπλισμών παίζι ρόλο στην κατανομή των γκάρσιων τάσων στο σωτρικό του πρισφιγμένου πυρήνα και κατ πέκταση στην αποτλσματικότητα της πρίσφιξης, έγιναν πρόσθτς 29

244 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος διρυνητικές αναλύσις ππρασμένων στοιχίων. Επιδή το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ δ διαθέτι στοιχία δοκού (beam elements) για την προσομοίωση των οπλισμών έτσι ώστ να αποτιμηθί η καμπτική συνισφορά των γκάρσιων οπλισμών, οι παραπάνω αναλύσις έγιναν μ το πρόγραμμα SAP2 (Computers and Structures, 26). Συγκκριμένα προσομοιώθηκ στο πίπδο μία ττραγωνική διατομή σκυροδέματος διαστάσων 2 2 cm μ 16 πιφανιακά ππρασμένα στοιχία κλύφους πίπδης έντασης, στα οποία αποδόθηκαν οι λαστικές ιδιότητς του σκυροδέματος (Ε c = 29 GPa, ν =.2). Πριμτρικά της διατομής του σκυροδέματος τοποθτήθηκαν γραμμικά στοιχία δοκού στα οποία αποδόθηκ το μέτρο λαστικότητας του χάλυβα S5s (Ε s = 2 GPa) και η γωμτρία κυκλικής διατομής ράβδου Ø1 (D = 1 mm). Η διόγκωση του σκυροδέματος προσομοιώθηκ μ αριθμητικό τέχνασμα και συγκκριμένα μ φόρτιση θρμοκρασιακής μταβολής ίση μ +1 ο C, θέτοντας ταυτόχρονα το συντλστή θρμικής διαστολής του σκυροδέματος ίσο μ α = , έτσι ώστ να προκύψι μέγιστη γκάρσια παραμόρφωση του σκυροδέματος αντίστοιχη μ αυτή που οδηγί στη διαρροή των οπλισμών (f yw /E s = 2.5 ). Η ανάλυση ήταν γραμμική λαστική μ την παραδοχή μικρών παραμορφώσων. Για λόγους σύγκρισης, η παραπάνω διαδικασία παναλήφθηκ μ τροποποιημένς ιδιότητς των στοιχίων οπλισμού, και συγκκριμένα θέτοντας σ αυτούς αρχικά μηδνική δυσκαμψία (ώστ να προκύψουν ουσιαστικά στοιχία ράβδου), στη συνέχια δυσκαμψία 1, 1 και 1 φορές της αρχικής και τέλος άπιρη δυσκαμψία (απολύτως άκαμπτα στοιχία). Στο σχήμα 4.54 παρουσιάζται η σύγκριση μταξύ όλων των πριπτώσων της παραμτρικής ανάλυσης μ τη μορφή ισοχρωματικών πιφανιών της τάσης σ 1 στην οριζόντια διύθυνση (η οποία ίναι ισοδύναμη μ την τάση σ 2 στην κάθτη διύθυνση λόγω συμμτρίας). Διαπιστώνται μ σαφήνια ότι η πιρροή της πραγματικής δυσκαμψίας των γκάρσιων οπλισμών ίναι αμλητέα και αρχίζι να γίνται μφανής μόνο πέρα του (υποθτικού) κατονταπλασιασμού του ν λόγω μγέθους, γγονός που πιββαιώνται στο ίδιο σχήμα και από τα διαγράμματα ροπών που αναπτύσσονται στους οπλισμούς. Ακόμα, ίναι μφανές ότι μια ομοιόμορφα κατανμημένη τάση στην πιφάνια της διατομής (που αντιστοιχί στην προσέγγιση της ισοδύναμης ομοιόμορφης πριμτρικής πίσης όπως διατυπώθηκ παραπάνω) προκύπτι μόνο μ την παραδοχή απολύτως άκαμπτων γκάρσιων οπλισμών, η οποία σ καμία πρίπτωση δν ανταποκρίνται στην πραγματικότητα. Κατά συνέπια, η παραδοχή της προσομοίωσης των γκάρσιων οπλισμών μ στοιχία ράβδου κρίνται νγένι αποδκτή. Η παραδοχή της αποκλιστικά αξονικής συνισφοράς των γκάρσιων οπλισμών, η οποία ίναι νγένι συμβατή μ τη διακριτή προσομοίωσή τους ως στοιχία ράβδου στο πλαίσιο της ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο, έχι ξταστί σ φαινομνολογική βάση από τους Karabinis & Kiousis (1996b). Στο σχήμα 4.55 παρουσιάζται η προσομοίωση της δράσης των γκάρσιων οπλισμών μέσω νός συνόλου ξωτρικών μοναχικών δυνάμων (F), οι οποίς αντικαθιστούν τις σωτρικές αξονικές 21

245 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος αντιδράσις των οπλισμών. Στην απλούστρη πρίπτωση νός μονού συνδτήρα, οι δυνάμις αυτές δρουν σημιακά στις τέσσρις γωνίς του πρισφιγμένου πυρήνα, ως μμονωμένς αντιδράσις στη φυσική του διόγκωση. Βέβαια, η παραπάνω θώρηση ίναι αρκτά απλουστυμένη σ σχέση μ την πραγματική αξονική συνισφορά κάθ ράβδου οπλισμού, η οποία νγένι κατανέμται σ όλο το μήκος της λόγω της θωρούμνης τέλιας συνάφιάς της μ το γιτονικό σκυρόδμα. Μηδνική δυσκαμψία (ράβδος) Πραγματική δυσκαμψία δοκού (ΕΙ) 1 ΕΙ 1 ΕΙ 1 ΕΙ Άκαμπτη δοκός Οριζόντις τάσις σ 1 u x,γωνία = u x,μέσον = u x,γωνία = u x,μέσον = u x,γωνία = u x,γωνία = u x,γωνία = u x,μέσον = u x,μέσον = u x,μέσον = Ροπές οπλισμών u x,γωνία = u x,μέσον = Μηδνικές Αξονικές δυνάμις οπλισμών N γωνία = kn N μέσον = kn N γωνία = 19.2 kn N μέσον = kn Ελαστική ανάλυση 16 στοιχία κλύφους Ε c = 29 GPa ν =.2 E s = 2 GPa D = 1 mm α = Φόρτιση +1 o C Σχήμα 4.54 Παραμτρική διρύνηση της πιρροής της δυσκαμψίας των γκάρσιων οπλισμών 211

246 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Σχήμα 4.55 Αξονικές δυνάμις οπλισμών λόγω πρίσφιξης (Karabinis & Kiousis, 1996b) Για να παληθυτί η ισχύς της παραδοχής της αποκλιστικά αξονικής συνισφοράς των γκάρσιων οπλισμών, έγιναν πρόσθτς διρυνητικές αναλύσις μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ. Συγκκριμένα προσομοιώθηκ ένας πρισφιγμένος πυρήνας σκυροδέματος διαστάσων 5 5 cm (χωρίς την πικάλυψη) μ διάταξη μονού συνδτήρα, σύμφωνα μ τη γνική μθοδολογία του προηγούμνου κφαλαίου, αλλά μ δύο διαφορτικές κδοχές όσον αφορά την προσομοίωση των γκάρσιων οπλισμών : στην πρώτη πρίπτωση οι οπλισμοί προσομοιώθηκαν μ γραμμικά στοιχία ράβδου (Ø8) νώ στη δύτρη αντικαταστάθηκαν μ μη γραμμικά λατήρια, τοποθτημένα σημιακά στις τέσσρις γωνίς του πυρήνα (θέσις μοναχικών δυνάμων στο σχήμα 4.55), στα οποία αποδόθηκ η ίδια μη γραμμική συμπριφορά μ αυτήν των στοιχίων ράβδου (καταστατικός νόμος χάλυβα και μβαδόν που αντιστοιχί σ ράβδο Ø8) (Σχ. 4.56). Η φόρτιση των υποστυλωμάτων ήταν αξονική καταναγκασμένη μτακίνηση. Στο συγκριτικό διάγραμμα του σχήματος 4.57 παρατηρίται ότι οι διαφορές μταξύ των δύο παραπάνω προσγγίσων ίναι σχτικά μικρές (3.4 % διαφορά στη μέγιστη αντοχή και 12 % στην αντίστοιχη παραμόρφωση), νώ παρατηρίται ότι η προσομοίωση μ γραμμικά στοιχία ράβδου δίνι μγαλύτρη αποτλσματικότητα της πρίσφιξης. Αυτό θωρίται ότι οφίλται στη δράση των γκάρσιων οπλισμών σ όλο το μήκος της πριμέτρου της διατομής και όχι σημιακά στις γωνίς. Επομένως, το γνικό συμπέρασμα που προκύπτι από την νότητα αυτήν, ίναι ότι η προσομοίωση των οπλισμών μ τη χρήση γραμμικών στοιχίων ράβδου στο 212

247 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος πλαίσιο της παρούσας έρυνας (αλλά και γνικότρα), αποδίδι σ πολύ ικανοποιητικό βαθμό το φυσικό μηχανισμό πρίσφιξης στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος. Σκυρόδμα : f c = 28 MPa (C2/25) Διαμήκις οπλισμοί : Ø16 (S5s) Εγκάρσιοι οπλισμοί : Ø8 (S5s) Μη γραμμικά λατήρια : σ s1 = 5 ΜPa s1 =.25 σ s2 = 55 ΜPa s2 =.5 Σχήμα 4.56 Προσομοίωση γκάρσιων οπλισμών μ στοιχία ράβδου και μ μη γραμμικά λατήρια 1 P (kn) fc = 28 MPa Στοιχία ράβδου Στοιχία ράβδου Μη γραμμικά λατήρια 2 Μη γραμμικά λατήρια Σχήμα 4.57 Καμπύλς αντίστασης και κατανομή γκάρσιων τάσων (σ 1 στη μέγιστη αντοχή) μταξύ προσομοίωσης οπλισμών μ στοιχία ράβδου και μη γραμμικά λατήρια 213

248 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος Επιρροή του φαινομένου της αποφλοίωσης της πικάλυψης Έχι παρατηρηθί πιραματικά (π.χ. Sheikh & Uzumeri, 198, Ravzi & Saatcioglu, 1996), ότι σ κντρικά θλιβόμνα πρισφιγμένα στοιχία σκυροδέματος, το απρίσφικτο σκυρόδμα της πικάλυψης των οπλισμών έχι την τάση να αποκολλάται από τον πυρήνα (αποφλοίωση), ακόμα και σ χαμηλή στάθμη αξονικής παραμόρφωσης. Το φαινόμνο αυτό οφίλται στις υψηλές φλκυστικές παραμορφώσις που αναπτύσσονται στη διπιφάνια μταξύ του πρισφιγμένου πυρήνα και της πικάλυψης, λόγω του φαινομένου Poisson και της παρμπόδισης της διόγκωσης του πυρήνα από τους γκάρσιους οπλισμούς (Foster et al., 1998), μ αποτέλσμα την πρόωρη ρηγμάτωση του σκυροδέματος στην πριοχή αυτή και τλικά την αποκόλλησή του από τον πρισφιγμένο πυρήνα. Αν και στο πλαίσιο της παρούσας ανάλυσης η ρηγμάτωση αυτή προσομοιώνται πιτυχώς (π.χ. Σχ. 3.35, 3.37), το ρηγματωμένο σκυρόδμα συνχίζι να παραλαμβάνι αξονικές τάσις, αν και μιωμένς σ σχέση μ αυτές του πρισφιγμένου πυρήνα. Το θέμα αυτό έχι αντιμτωπιστί στη βιβλιογραφία από τους Liu & Foster (2), σύμφωνα μ τους οποίους τα ππρασμένα στοιχία που ανήκουν στην πικάλυψη αποκτούν αυτόματα μηδνική δυσκαμψία, όταν η γκάρσια παραμόρφωση στη διπιφάνια μταξύ πικάλυψης και πρισφιγμένου πυρήνα ξπράσι μία συγκκριμένη τιμή που ορίζται μπιρικά. Ωστόσο, όπως έχι ήδη σημιωθί σ προηγούμνη νότητα, η δυνατότητα μιας τέτοιας προσομοίωσης δν υποστηρίζται στην παρούσα φάση από το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ, οπότ η παρούσα ανάλυση έγιν μ την παραδοχή της μη αποφλοίωσης του σκυροδέματος πικάλυψης. Η παραπάνω παραδοχή ίχ ως άμσο αντίκτυπο την υπρκτίμηση της μέγιστης κατακόρυφης αντίδρασης των προσομοιωμάτων που ξτάστηκαν, όπως διαπιστώθηκ από τη σύγκριση μ αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα (Σχ. 3.93). Για το λόγο αυτόν, ένα υποστύλωμα της πιλοτικής ανάλυσης του προηγούμνου Κφαλαίου (C1B ή 2A11 κατά Sheikh & Uzumeri, 198) προσομοιώθηκ και πιλύθηκ χωρίς την πικάλυψη (μ τρόπο ανάλογο των Imran & Pantazopoulou, 21). Στο συγκριτικό διάγραμμα του σχήματος 4.58 παρατηρίται ότι στην πρίπτωση που η πικάλυψη αφαιρθί πλήρως, η αναλυτική απόκριση του φορέα προσγγίζι πολύ ικανοποιητικά την αντίστοιχη πιραματική. Βέβαια, η παραπάνω προσέγγιση αποτλί ένα κάτω όριο για τον υπολογισμό της πραγματικής πιραματικής αντοχής, πιδή η αποφλοίωση της πικάλυψης ίναι συνήθως μρική, όπως φαίνται και στη φωτογραφία του αντίστοιχου πιραματικού δοκιμίου (Σχ. 4.58). 214

249 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος 45 4 P(kN) Υποστύλωμα C1B (2A11) fc = MPa Χωρίς πικάλυψη 15 Μ πικάλυψη 1 Πίραμα Σχήμα 4.58 Καμπύλς αντίστασης του υποστυλώματος C1B μ και χωρίς την προσομοίωση του σκυροδέματος πικάλυψης και σύγκριση μ την αντίστοιχη πιραματική καμπύλη Ωστόσο, στην παρούσα ανάλυση, πιδή η παραδοχή της μη αποφλοίωσης της πικάλυψης ίναι κοινή σ όλα τα προσομοιώματα, θωρίται ότι δν πηράζι σημαντικά τη συγκριτική αξιολόγηση μταξύ ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης που αναφέρονται στο ίδιο προσομοίωμα. Στις προηγούμνς νότητς, ο υπολογισμός των διαφόρων δικτών αποτλσματικότητας της πρίσφιξης έγιν μ βάση τις καμπύλς απόκρισης των αντίστοιχων προσομοιωμάτων (Παράρτημα Α), οι οποίς αν και προσφέρονται για τη συλλογή πλήθους στοιχίων όσον αφορά την αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων στοιχίων, μπριέχουν ως ένα βαθμό την πιρροή της παρουσίας του σκυροδέματος πικάλυψης στη συνολική αντοχή. Απναντίας, η ναλλακτική μέθοδος της οπτικής ολοκλήρωσης που πριγράφηκ στο προηγούμνο Κφάλαιο και φαρμόστηκ στα προσομοιώματα της αντίστοιχης πιλοτικής ανάλυσης, ίναι απαλλαγμένη από την πιρροή του σκυροδέματος πικάλυψης, τη στιγμή που υπολογίζι τη μέση τάση του σκυροδέματος αποκλιστικά στον πρισφιγμένο πυρήνα. Για παράδιγμα, στο προσομοίωμα χωρίς πικάλυψη του σχήματος 4.58, ο συντλστής αποτλσματικότητας μ βάση την αντοχή (Κ = f cc /f c ) προέκυψ ίσος μ 1.14, νώ ο αντίστοιχος συντλστής, συμπριλαμβανομένης της πικάλυψης, ίχ προκύψι ίσος μ 1.15 (Πίν. 3.13). Επομένως, για λόγους σύγκρισης, καταγράφηκαν οι συντλστές αποτλσματικότητας (Κ), όπως προέκυψαν από την φαρμογή της μθόδου της οπτικής ολοκλήρωσης σ μία νδικτική σιρά προσομοιωμάτων της παραμτρικής ανάλυσης βάθρων γφυρών και συγκρίθηκαν μ τους συντλστές αποτλσματικότητας (K R ) που προέρχονται από τις αντίστοιχς καμπύλς απόκρισης (Σχ. 4.59). Παρατηρίται ότι οι συντλστές που προέκυψαν από τη μέθοδο της οπτικής ολοκλήρωσης παρουσιάζονται νγένι αυξημένοι σ σχέση μ αυτούς που προέρχονται από τις καμπύλς απόκρισης, λόγω της πιρροής της μιωμένης αντοχής του σκυροδέματος πικάλυψης στη δύτρη πρίπτωση. Ωστόσο, η προσαύξηση αυτή ίναι ομοιόμορφη στο σύνολο των προσομοιωμάτων, οπότ δν πηράζι ουσιωδώς τη 215

250 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος συγκριτική αξιολόγηση μταξύ ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης που παρουσιάστηκ στις προηγούμνς νότητς. Επομένως, στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας, η παραδοχή της μη αποφλοίωσης του σκυροδέματος πικάλυψης κρίνται παρκής και η λπτομρέστρη προσομοίωση του φαινομένου αυτού θα αποτλέσι θέμα πραιτέρω έρυνας, στο πλαίσιο μιας σύγκρισης μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων (τα οποία στην πρίπτωση των κοίλων βάθρων δν ίναι ακόμα διαθέσιμα στη βιβλιογραφία) Κ R ή Κ Από καμπύλς απόκρισης Από οπτική ολοκλήρωση Ποσοστό πικάλυψης CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CSS_3 CSS_4 CSS_5 RSS_12 RSS_13 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 17 % 11 % 7 % 8 % 14 % 25 % 33 % Σχήμα 4.59 Σύγκριση μταξύ δικτών αποτλσματικότητας που προέρχονται από οπτική ολοκλήρωση (Κ) και από τις αντίστοιχς καμπύλς απόκρισης (K R ) Επιρροή της γωμτρικής μη γραμμικότητας Στην παρούσα ανάλυση έγιν η παραδοχή μικρών παραμορφώσων, δηλαδή η θώρηση ότι οι συνθήκς ισορροπίας της μη γραμμικής ανάλυσης πιβάλλονται στον απαραμόρφωτο φορέα (AbdelHalim & AbuLebdeh, 1989). Για να ξταστί η ισχύς της παραπάνω παραδοχής, παναλήφθηκ η ανάλυση ορισμένων προσομοιωμάτων μ νργοποίηση της πιλογής της γωμτρικής μη γραμμικότητας (geometrical nonlinearity) του προγράμματος ΑΤΕΝΑ, σύμφωνα μ την οποία οι συνθήκς ισορροπίας φαρμόζονται στον παραμορφωμένο φορέα σ κάθ πανάληψη του αλγορίθμου πίλυσης. Στο σχήμα 4.6 παρουσιάζονται οι καμπύλς απόκρισης που προέκυψαν από την πιλογή της γωμτρικής μη γραμμικότητας, οι οποίς συγκρινόμνς μ τις αντίστοιχς υφιστάμνς, δν παρουσιάζουν νγένι αξιόλογς διαφορές. Ωστόσο, στην πρίπτωση των προσομοιωμάτων RSS_12 και RHS1_17, όπου μφανίστηκ αστοχία ψαθυρού τύπου (Σχ. 216

251 Κφάλαιο 4 Ανάλυση βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος 4.36), η πιλογή της γωμτρικής μη γραμμικότητας φαίνται να πισπύδι λαφρά την κδήλωση της αστοχίας αυτής. Πρέπι να σημιωθί δώ, ότι το απαιτούμνο υπολογιστικό κόστος για την πίλυση των προσομοιωμάτων στην πρίπτωση της νργοποίησης της γωμτρικής μη γραμμικότητας προέκυψ σημαντικά αυξημένο. Επομένως, κρίνται ότι η παραδοχή μικρών παραμορφώσων ίναι νγένι αποδκτή στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας. 8 7 CHS2_ RSS_ Μικρές παραμορφώσις 1 Γωμτρική μη γραμμικότητα Μικρές παραμορφώσις 1 Γωμτρική μη γραμμικότητα RHS1_17 25 RHS3_ Μικρές παραμορφώσις 2 Γωμτρική μη γραμμικότητα Μικρές παραμορφώσις 5 Γωμτρική μη γραμμικότητα Σχήμα 4.6 Σύγκριση καμπυλών απόκρισης προσομοιωμάτων μ νργοποίηση ή όχι της πιλογής γωμτρικής μη γραμμικότητας. 217

252

253 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα 5. Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα Στην παρούσα διατριβή παρουσιάστηκ μία αναλυτική μλέτη βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος, συμπαγούς και κοίλης διατομής, μ τη μέθοδο της μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Βασικός στόχος ήταν ο προσδιορισμός της αποτλσματικότητας διαφόρων γωμτρικών διατάξων πρίσφιξης τόσο από πλυράς ξασφάλισης αυξημένης αντοχής και πλάστιμης συμπριφοράς, όσο και από πλυράς κατασκυαστικής υκολίας και οικονομίας. Για τις ανάγκς της παρούσας ανάλυσης πιλέχθηκ μτά από συγκριτική έρυνα το μπορικό πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων ΑΤΕΝΑ, το οποίο ίναι προσανατολισμένο στην ανάλυση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος και αποδίχτηκ, μέσω πιλοτικών αναλύσων, κατάλληλο για την υλοποίηση της παραπάνω αναλυτικής διαδικασίας χωρίς να παρουσιάζι νγένι προβλήματα αριθμητικής σύγκλισης, ακόμα και πέρα από το σημίο πίτυξης της μέγιστης αντοχής των ξταζόμνων προσομοιωμάτων. Ωστόσο, στην πορία της έρυνας προέκυψ αδυναμία του προγράμματος να καταγράψι την αυξημένη ικανότητα παραμόρφωσης των πρισφιγμένων διατομών και για το λόγο αυτόν έγιν προσπάθια βλτίωσης του αντίστοιχου καταστατικού νόμου σκυροδέματος. Η προσπάθια αυτή απέφρ ένα νέο καταστατικό νόμο βασισμένο στην κλασική θωρία πλαστικότητας, ο οποίος βαθμονομήθηκ κατάλληλα βάσι πιραματικών στοιχίων από τη βιβλιογραφία και νσωματώθηκ στο κυρίως πρόγραμμα μέσω άμσης συνργασίας μ την ταιρία ανάπτυξης του προγράμματος. Από συγκριτικές αναλύσις αποδίχτηκ ότι ο νέος καταστατικός νόμος βλτίωσ σ μγάλο βαθμό τις αδυναμίς του προκατόχου του και κατέστη δυνατή η άμση φαρμογή του σ προσομοιώματα διατομών βάθρων γφυρών για τη μλέτη του φαινομένου της πρίσφιξης. Ακολούθησ η κατάλληλη προσομοίωση των ν λόγω διατομών μ μη γραμμικά ππρασμένα στοιχία στο χώρο, στο πλαίσιο μιας κτνούς παραμτρικής ανάλυσης, παράμτροι της οποίας ήσαν οι ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης (όπως οι γκάρσιοι σύνδσμοι και οι αλληλοκαλυπτόμνοι συνδτήρς), η απόσταση μταξύ των γκάρσιων οπλισμών, η γωμτρία της διατομής και η ποιότητα του σκυροδέματος. Τα αποτλέσματα των αναλύσων, τα οποία συλλέχθηκαν μ τη χρήση πρωτότυπου λογισμικού που αναπτύχθηκ στο πλαίσιο της διατριβής, ανέδιξαν τις προσφορότρς διατάξις βάσι συγκκριμένων δικτών αποτλσματικότητας και οικονομίας και ταυτόχρονα ντόπισαν ορισμένα προβλήματα στην ανλαστική συμπριφορά ορισμένων διατάξων. Τα γνικά συμπράσματα που προέκυψαν από το σύνολο της παραπάνω ρυνητικής προσπάθιας πικντρώνονται στα ξής : Η χρήση νός γνικού μπορικού προγράμματος ππρασμένων στοιχίων, σ αντιδιαστολή μ την κ του μηδνός ανάπτυξη νός αντίστοιχου προγράμματος 219

254 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα ρυνητικού χαρακτήρα για την πίλυση φορέων οπλισμένου σκυροδέματος, προσφέρι αρκτά πλονκτήματα αλλά και σοβαρά μιονκτήματα. Βασικό πλονέκτημα ίναι ότι η έρυνα μπορί να πικντρωθί άμσα στο βασικό της στόχο που ίναι η προσομοίωση, πίλυση και αξιολόγηση των αναλυτικών αποτλσμάτων, χωρίς να αναλωθί στην ανάπτυξη του συνόλου των αριθμητικών διαδικασιών που απαιτί ένα ολοκληρωμένο πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων. Επίσης, η χρήση νός έτοιμου προγράμματος προσδίδι γνικό χαρακτήρα στη μθοδολογία που αναπτύσσται για την αντιμτώπιση του κάστοτ προβλήματος, γγονός που διυκολύνι τη μλλοντική έρυνα στο ίδιο αντικίμνο από διαφορτικές ρυνητικές ομάδς. Από την άλλη πλυρά, το βασικό μιονέκτημα της παραπάνω προσέγγισης ίναι ότι ένα γνικό πρόγραμμα ππρασμένων στοιχίων, λόγω της συνήθους πέκτασής του σ πολλούς πιστημονικούς τομίς, πιθανώς αδυνατί να αντιμτωπίσι τις ιδιαιτρότητς της προσομοίωσης φορέων οπλισμένου σκυροδέματος και πολύ πρισσότρο να καταγράψι τη μη γραμμική απόκριση των αντίστοιχων υλικών στην τρισδιάστατη ντατική κατάσταση. Για τους παραπάνω λόγους, ίναι πολλές φορές απαραίτητο να γίνουν βλτιωτικές πμβάσις από τον ρυνητή, οι οποίς όμως, λόγω του νγένι κλιστού χαρακτήρα του πηγαίου κώδικα των παραπάνω προγραμμάτων, ίναι δυσχρίς έως αδύνατς. Στην παρούσα έρυνα, η πιλογή του προγράμματος ΑΤΕΝΑ σ συνδυασμό μ τη βλτίωση του καταστατικού νόμου σκυροδέματος και την ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού για τη μτπξργασία των αναλυτικών αποτλσμάτων, προσέφρ μια γνική μθοδολογία ικανή να αντιμτωπίσι το πρόβλημα της πρίσφιξης βάθρων γφυρών οπλισμένου σκυροδέματος. Πρέπι ακόμα να σημιωθί, ότι νγένι το κόστος της φαρμογής της μθόδου των ππρασμένων στοιχίων στην ανάλυση βάθρων γφυρών ίναι αμλητέο σ σχέση μ αυτό μίας αντίστοιχης πιραματικής διρύνησης. Η δυνατότητα της μφυτυμένης προσομοίωσης των οπλισμών του προγράμματος ΑΤΕΝΑ αποδίχτηκ πολύ σημαντική στην παρούσα ανάλυση γιατί πιτρέπι τη διαμόρφωση σύνθτων διατάξων πρίσφιξης (όπως των διαγώνιων συνδτήρων) χωρίς αντίστοιχη πύκνωση του καννάβου των στρών ππρασμένων στοιχίων σκυροδέματος, η οποία μπορί να οδηγήσι σ απώλια της κανονικότητάς του και κατά συνέπια σ αύξηση των απαιτήσων σ υπολογιστική ισχύ και σ πιθανά προβλήματα αριθμητικής σύγκλισης. Η ανάπτυξη βοηθητικού λογισμικού για την αυτοματοποιημένη μτπξργασία των αριθμητικών αποτλσμάτων αποτέλσ μονόδρομο για την πιτυχή κτέλση της παρούσας παραμτρικής ανάλυσης, λόγω του υπρβολικά μγάλου μγέθους των αντίστοιχων αρχίων που νγένι προκύπτουν από ανάλυση χωρικών προσομοιωμάτων, τα οποία πριλαμβάνουν μγάλο αριθμό στρών ππρασμένων στοιχίων και σύνθτους καταστατικούς νόμους υλικών. Επίσης, η κμτάλλυση από το παραπάνω 22

255 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα λογισμικό της δυνατότητας παράλληλης πξργασίας των σύγχρονων υπολογιστικών συστημάτων μίωσ δραστικά το συνολικό υπολογιστικό χρόνο της ανάλυσης. Η αλλαγή, μταξύ άλλων, της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης και της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού του αρχικού καταστατικού νόμου σκυροδέματος του προγράμματος ΑΤΕΝΑ, οδήγησ σ σημαντική βλτίωση της κτίμησης της πραγματικής ικανότητας παραμόρφωσης του πρισφιγμένου σκυροδέματος, συγκρινόμνη μ αντίστοιχα πιραματικά αποτλέσματα τριαξονικών δοκιμών από τη βιβλιογραφία. Η φαρμογή του στη συνέχια σ προσομοιώματα βάθρων γφυρών συμπαγούς και κοίλης διατομής δν παρουσίασ νγένι προβλήματα αριθμητικής αστάθιας, προσφέροντας ανάλογα βλτιωμένα αναλυτικά αποτλέσματα. Επίσης, στο συγκκριμένο πρόβλημα, ο νέος καταστατικός νόμος παρίχ μιωμένη υαισθησία ως προς την πυκνότητα διακριτοποίησης του καννάβου ππρασμένων στοιχίων, αναδικνύοντας την αξιοπιστία της προτινόμνης μθοδολογίας. Η διαδικασία γνικυμένης βαθμονόμησης του νέου καταστατικού νόμου σκυροδέματος, η οποία βασίστηκ σ μία κτταμένη συλλογή πιραματικών αποτλσμάτων από τη βιβλιογραφία, καθιστά το νόμο αυτόν πρακτικό στην φαρμογή στις συνήθις πριπτώσις όπου δν ίναι γνωστές κ των προτέρων οι πολυάριθμς ιδιότητς του υλικού παρά μόνο η κατηγορία του (μονοαξονική αντοχή σ θλίψη). Ωστόσο, στις πριπτώσις όπου οι ιδιότητς αυτές ίναι γνωστές ν μέσω κατάλληλων πιραματικών δοκιμών και ο βασικός στόχος ίναι η σύγκριση μταξύ αναλυτικών και πιραματικών αποτλσμάτων, ο καταστατικός νόμος διατηρί τη δυνατότητα παναβαθμονόμησής του (στοχυμένη βαθμονόμηση), για την πραιτέρω βλτίωση των πιδόσών του. Η ανάλυση μ τη μέθοδο των ππρασμένων στοιχίων στο χώρο πριέγραψ μ πιτυχία τα βασικά χαρακτηριστικά της συμπριφοράς των κατακόρυφων πρισφιγμένων στοιχίων οπλισμένου σκυροδέματος, τα οποία έχουν παρατηρηθί πιραματικά σ προηγούμνς έρυνς. Τα χαρακτηριστικά αυτά ίναι η αύξηση της αντοχής και της πλαστιμότητας των κατακόρυφων στοιχίων υπό κντρική αξονική φόρτιση κατά την πύκνωση των διατάξων πρίσφιξης και τη μίωση της απόστασης μταξύ των γκάρσιων οπλισμών καθώς και η συνάρτηση των παραπάνω μγθών από τις ποιότητς σκυροδέματος και χάλυβα. Η ανάλυση των κοίλων κυκλικών βάθρων ανέδιξ το πρόβλημα της τάσης αποφλοίωσης της σωτρικής πικάλυψης στις πριπτώσις χρήσης μόνο ξωτρικών και σωτρικών σπιρών ή συνδτήρων. Απναντίας, η προσθήκη γκάρσιων συνδέσμων οδήγησ σ ντυπωσιακά αυξημένς πιδόσις ως προς την αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών. Επιπλέον, αποδίχτηκ ότι η πιλογή συνδτήρων έναντι σπιρών για την πρίσφιξη των κυκλικών διατομών δν προσφέρι ουσιαστικό κέρδος σ πίπδο πιδόσων και οικονομίας, και πομένως αντνδίκνυται 221

256 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα λόγω αυξημένης κατασκυαστικής δυσκολίας. Επίσης, τόσο οι συμπαγίς όσο και οι κοίλς διατομές μ αυξημένους λόγους πάχους προς ξωτρική διάμτρο οδήγησαν σ αυξημένς πιδόσις για το ίδιο ογκομτρικό ποσοστό γκάρσιων οπλισμών. Η ανάλυση των ορθογωνικών βάθρων ανέδιξ το πρόβλημα της μιωμένης πλαστιμότητας των διατομών μ πυκνές διατάξις πρίσφιξης, όταν το ποσοστό των γκάρσιων συνδέσμων υπρβαίνι σημαντικά το αντίστοιχο ποσοστό των πριμτρικών γκάρσιων οπλισμών. Η λύση του παραπάνω προβλήματος στις ν λόγω διατομές πιτύχθηκ δια της κατάλληλης νίσχυσης των πριμτρικών οπλισμών μ χρήση ράβδων μγαλύτρης διαμέτρου, έτσι ώστ να πέλθι η πιθυμητή ισορροπία μταξύ των αντίστοιχων ογκομτρικών ποσοστών στις δύο διυθύνσις. Επίσης, αποδίχτηκ ότι η πιλογή γκάρσιων συνδέσμων έναντι των αλληλοκαλυπτόμνων συνδτήρων οδηγί σ παρόμοις πιδόσις ως προς την αντοχή και την πλαστιμότητα των πρισφιγμένων διατομών και πομένως συνιστάται, αν ληφθί υπόψη και ο σημαντικός παράγοντας της κατασκυαστικής υκολίας (και, ββαίως, δικαιώνι την ήδη κτταμένη χρήση της λύσης αυτής σ πολλές σύγχρονς λληνικές γέφυρς). Επιπλέον, η χρήση πρόσθτων διαγωνίων συνδτήρων προσέφρ πολύ ικανοποιητικές πιδόσις ιδιαίτρα σ κοίλς διατομές μικρότρου πάχους. Ωστόσο, όπως και στα κυκλικά βάθρα, παληθύτηκ η υπροχή των ορθογωνικών διατομών μ μγαλύτρους λόγους μήκους προς πάχος, για το ίδιο ογκομτρικό ποσοστό γκάρσιων οπλισμών. Στο σύνολο των πριπτώσων που ξτάστηκαν αποδίχτηκ ότι το σκυρόδμα υψηλής αντοχής προσφέρι συγκριτικά μιωμένς πιδόσις σ σχέση μ το σκυρόδμα συνήθους αντοχής, γγονός που οφίλται τόσο στην ψαθυρή συμπριφορά του πρώτου κατά τη χαλάρωση όσο και στις ππρασμένς γκάρσις δυνάμις πρίσφιξης που ασκούν κατά τη διαρροή τους οι τυπικής αντοχής γκάρσιοι οπλισμοί (S5s) που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα έρυνα. Αποδίχτηκ ότι οι παραδοχές μη λυγισμού των διαμήκων ράβδων, της προσομοίωσης των οπλισμών μ γραμμικά στοιχία ράβδου μηδνικής δυσκαμψίας, της αγνόησης του φαινομένου της αποφλοίωσης της πικάλυψης και της θώρησης μικρών παραμορφώσων, δν πηράζουν νγένι την αξιοπιστία των αναλυτικών αποτλσμάτων και την αξιολόγηση των ναλλακτικών διατάξων πρίσφιξης, στο πλαίσιο της παρούσας έρυνας. Το γνικό συμπέρασμα που προκύπτι από την παρούσα έρυνα ίναι ότι η αποτίμηση της αποτλσματικότητας της πρίσφιξης μ φαρμογή της μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο, αν και μιονκτί σ σχέση μ αντίστοιχς φαινομνολογικές προσγγίσις ως προς το απαιτούμνο υπολογιστικό κόστος, δν έχι κανέναν πριορισμό ως προς τη γωμτρία της ξταζόμνης διατομής, την πολυπλοκότητα της διάταξης των γκάρσιων οπλισμών και τις κατηγορίς σκυροδέματος και χάλυβα. Στο σχήμα 5.1 φαίνται ένα νδικτικό παράδιγμα 222

257 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα φαρμογής της παρούσας μθοδολογίας σ ένα βραχίονα μη συμβατικής ορθογωνικής κοίλης διατομής (ρομβικής στο σωτρικό), ο οποίος αποτλί τμήμα νός πυλώνα της γέφυρας ΡίουΑντιρρίου (Παπανικόλας και ΒλάμηςΣταθόπουλος, 23). Το συγκκριμένο στοιχίο κατασκυάστηκ από σκυρόδμα υψηλής αντοχής (C6/75, f c = 68 MPa) και πριλαμβάνι στο σωτρικό του μία ιδιαίτρα σύνθτη διάταξη γκάρσιων οπλισμών πρίσφιξης. Από το παραπάνω παράδιγμα αναδικνύται ο γνικός χαρακτήρας της παρούσας μθοδολογίας, η οποία μπορί να αποτλέσι σημαντικό ργαλίο στην αποτίμηση της αποτλσματικότητας της πρίσφιξης σ βάθρα τόσο υφιστάμνων όσο και νέων γφυρών στο στάδιο της μλέτης. Πρωτογνές σχέδιο διατομής Προσομοίωση οπλισμών Αξονικές τάσις Προσομοίωση σκυροδέματος Ø2/2 2 Διαμήκις μόνο Εγκάρσις μτακινήσις Καμπύλς αντίστασης Ρηγμάτωση διατομής Σχήμα 5.1 Ανάλυση βραχίονα οπλισμένου σκυροδέματος μη συμβατικής κοίλης διατομής μ φαρμογή της μη γραμμικής ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο 223

258 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα Η παρούσα μθοδολογία μπορί να πκταθί τόσο στην κατύθυνση των καταστατικών νόμων και των τχνικών προσομοίωσης όσο και στην κατύθυνση της φαρμογής, μ τη μορφή παραμτρικών αναλύσων. Συγκκριμένς κατυθύνσις για πραιτέρω έρυνα μπορούν να αποτλέσουν οι παρακάτω : Πραιτέρω βλτίωση του καταστατικού νόμου σκυροδέματος σ θλίψη ώστ να συμπριλάβι και την αρχική πλαστική συρρίκνωση του υλικού, η οποία παρατηρίται πιραματικά πριν την πίτυξη της μέγιστης αντοχής (και προς το παρόν αντιμτωπίζται μόνο λαστικά). Αυτό μπορί να πιτυχθί μ μία βλτιωμένη διατύπωση της παραμέτρου κράτυνσης/χαλάρωσης και της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού, η φαπτομένη της οποίας θα πρέπι στα αρχικά στάδια της κράτυνσης να παρουσιάζι αρνητική κλίση σ σχέση μ τον υδροστατικό άξονα. Ακόμα, ίναι δυνατόν να νσωματωθί η πιραματικά παρατηρούμνη απομίωση του μέτρου λαστικότητας του σκυροδέματος σ θλίψη, μ στόχο τη βλτιωμένη πριγραφή φαινομένων αποφόρτισης ή ακόμα και ανακύκλισης (Imran & Pantazopoulou, 21). Προσομοίωση του φαινομένου της αποφλοίωσης του σκυροδέματος πικάλυψης. Η διαδικασία αυτή, όπως πριγράφηκ στο προηγούμνο κφάλαιο, απαιτί την υπό προϋποθέσις διαγραφή συγκκριμένων ππρασμένων στοιχίων από το μητρώο δυσκαμψίας του φορέα, έτσι ώστ να προσομοιωθί η πραγματική απώλια υλικού, η οποία παρατηρίται πιραματικά. Ωστόσο, η παραπάνω διαδικασία νδέχται να οδηγήσι σ αριθμητικές αστάθις κατά την πίλυση λόγω των απότομων αλλαγών στο μητρώο δυσκαμψίας. Στην παρούσα φάση, η παραπάνω δυνατότητα δν υποστηρίζται άμσα από το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ, αλλά ίναι δυνατόν να υλοποιηθί μ έμμσο τρόπο (βήμα προς βήμα) μέσω ανάπτυξης κατάλληλου βοηθητικού λογισμικού, έχοντας ως στόχο τη βλτιωμένη σύγκλιση μταξύ πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων ως προς τη μέγιστη αντοχή των πρισφιγμένων στοιχίων. Παραμτρική διρύνηση της πιρροής της ποιότητας των γκάρσιων οπλισμών στην αποτλσματικότητα της πρίσφιξης. Προσδιορισμός απλών μπιρικών σχέσων υπολογισμού της αποτλσματικότητας της πρίσφιξης σ κοίλα βάθρα γφυρών μ βάση τη διάταξη και την απόσταση μταξύ γκάρσιων οπλισμών, τη γωμτρία της διατομής και των ιδιοτήτων χάλυβα και σκυροδέματος, μέσω κτνών παραμτρικών αναλύσων βασιζόμνων στην προτινόμνη μθοδολογία ανάλυσης ππρασμένων στοιχίων στο χώρο. Συγκριτική διρύνηση ως προς την αποτλσματικότητα της πρίσφιξης και το κατασκυαστικό κόστος απλών και πολυκυψλικών ορθογωνικών (Poston et al., 1986), ή οβάλ κοίλων βάθρων (οι οποίς βέβαια δν ίναι συνήθις στην Ελλάδα), ιδιαίτρα για πριπτώσις μγαλύτρων λόγων μήκους προς πλάτος (Σχ. 5.2). 224

259 Κφάλαιο 5 Γνικά συμπράσματα Προτάσις για μλλοντική έρυνα Σχήμα 5.2 Απλές και σύνθτς μορφές κοίλων διατομών Παραμτρική ανάλυση βλτιστοποίησης της αποτλσματικότητας της πρίσφιξης σ κατακόρυφα νγένι στοιχία οπλισμένου σκυροδέματος (συμπαγούς ή κοίλης διατομής) μ γνώμονα την κατά το δυνατόν ταυτόχρονη διαρροή των γκάρσιων οπλισμών στη θέση πίτυξης της μέγιστης αντοχής του πρισφιγμένου στοιχίου (βλ. Σχ και 4.48). Σ μια παράλληλη κατύθυνση, σκόπιμη ίναι και η πιραματική μλέτη πρισφιγμένων κυκλικών και ορθογωνικών κοίλων διατομών μ ναλλακτικές διατάξις πρίσφιξης υπό κντρική σύνθλιψη και παράλληλη προσομοίωση μ ππρασμένα στοιχία στο χώρο, μ στόχο τη σύγκριση μταξύ πιραματικών και αναλυτικών αποτλσμάτων. 225

260

261 Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Α. Ξένη AbdelHalim, M.A.H., and AbuLebdeh, T.M. (1989) Analytical study for concrete confinement in tied columns, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 115, No. 11, pp ADINA (23) ADINA user interface command reference manual. Volume I : ADINA model definition, ADINA R & D, Inc. Ansari, F., and Li, Q. (1998) Highstrength concrete subjected to triaxial compression, ACI Materials Journal, Vol. 95, No. 6, pp Attard, M.M., and Setunge, S. (1996) Stress strain relationship of confined and unconfined concrete, ACI Materials Journal, Vol. 93, No. 5, pp Attarnejad, R., and Amirebrahimi, A.M. (22) Loaddisplacement curves of square reinforced concrete columns based on fracture mechanics, Proceedings of the 15 th ASCE Engineering Mechanics Conference, June 25, 22, Columbia University, New York. Bae, S., Mieses, A.M., and Bayrak, O. (25) Inelastic buckling of reinforcing bars, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 131, No. 2, pp Balan, T.A., Spacone, E., and Kwon, M. (21) A 3D hypoplastic model for cyclic analysis of concrete structures, Engineering Structures, Vol. 23, No. 4, pp Balmer, G.G. (1949) Shearing strength of concrete under high triaxial stress Computation of Mohr's envelope as a curve, Structural Research Laboratory Report, No. SP23, United States Department of the Interior, Bureau of Reclamation, Washington D.C. Barros, M. (21) Elastoplastic modelling of confined concrete elements following MC9 equations, Engineering Structures, Vol. 23, No. 4, pp Barzegar, F., and Maddipudi, S. (1997) Three dimensional modeling of concrete structures I : Plain concrete, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 123, No. 1, pp Bathe, K.J. (1982) Finite element procedures in engineering analysis, PrenticeHall, Englewood Cliffs, New Jersey. Bažant, Z.P., and Bhat, P.D. (1976) Endochronic theory of inelasticity and failure of concrete, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 16, No. 4, pp Bažant, Z.P., and Jirásek, M. (22) Nonlocal integral formulations of plasticity and damage : Survey of progress, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 128, No. 11, pp Bažant, Z.P., and Oh, B.H. (1983) Crack band theory for fracture of concrete, Materials and Structures, RILEM, Vol. 16, No. 3, pp Bažant, Z.P., and Prat, P.C. (1988) Microplane model for brittle plastic material: I. Theory, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 114, No. 1, pp

262 Βιβλιογραφία Braga, F., and Laterza, M. (1998) A new approach to the confinement of R/C columns, 11 th European Conference on Earthquake Engineering, Balkema, Rotterdam. Calvi, G.M., Pavese, A., Rasulo, A., and Bolognini, D. (25) Experimental and numerical studies on the seismic performance of R/C hollow bridge piers, Bulletin of Earthquake Engineering, Vol. 3, No. 3, pp Candappa, D.C., Sanjayan, J.G., and Setunge, S. (21) Complete triaxial stressstrain curves of highstrength concrete, Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol. 13, No. 3, pp Carol, I., Prat, P.C., and Bažant, Z.P. (1992) New explicit microplane model for concrete : theoretical aspects and numerical implementation, International Journal of Solids and Structures, Vol. 29, No. 9, pp Carreira, D.J., and Chu, K.H. (1985) Stressstrain relationship for plain concrete in compression, ACI Journal, Vol. 82, No. 6, pp CEB (1993) CEB/FIP Model Code 199, Bulletin d Information CEB, 213/214, Lausanne. CEB Working Group on HSC/HPC (1995) High Performance Concrete Recommended Extensions to the Model Code 9 Research Needs, Bulletin d' Information CEB, 228, Lausanne. Cedolin, L., Crutzen, Y.R.J., and Del Poli, S. (1977) Triaxial stressstrain relationships for concrete, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 13, No. 3, pp Červenka, J., Červenka, V., and Eligehausen, R. (1998) Fractureplastic material model for concrete. Application to analysis of powder actuated anchors, Proceedings of the 3 rd International Conference on Fracture Mechanics of Concrete Structures FraMCoS 3, Gifu, Japan, eds. H. Mihashi and K. Rokugo, Aedificatio Publishers, Freiburg, Germany, Vol. 2, pp Červenka, V. (1985) Constitutive model for cracked reinforced concrete, ACI Journal, Vol. 82, No. 6, pp Červenka, V., and Gerstle, K. (1971) Inelastic analysis of reinforced concrete panels. Part I : Theory, Publication I.A.B.S.E., Vol. 31, No. 11, pp Červenka, V., Jendele, L., and Červenka, J. (27) ATENA Program Documentation. Part 1 : Theory, Červenka Consulting, Prague, Czech Republic. Červenka, V., Pukl, R., Ozbolt, J., and Eligehausen, R. (1995) Mesh sensitivity effects in smeared finite element analysis of concrete structures, Proceedings of FraMCoS 2, pp Chen, A.C.T., and Chen, W.F. (1975) Constitutive relations for concrete, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 11, No. 4, pp Chen, W.F. (1994) Constitutive equations for engineering materials, Elsevier Publications. Chen, W.F., and Han, D.J. (1988) Plasticity for structural engineers, SpringerVerlag, New York. Chen, W.F., and Ting, E. (198) Constitutive models for concrete structures, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 16, No. 1, pp Chinn, J., and Zimmerman, R.M. (1965) Behavior of plain concrete under various high triaxial compression loading conditions, Technical report WL TR 64163, Air Force Weapons Laboratory, New Mexico. 228

263 Βιβλιογραφία Computers and Structures (26) SAP2 Linear and nonlinear static and dynamic analysis and design of threedimensional structures, Computers and Structures Inc., Berkeley, California, USA. Crisfield, M.A. (1983) An arclength method including line searches and accelerations, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 19, No. 9, pp Dahl, K.K.B. (1992) A constitutive model for normal and highstrength concrete, ABK Report No. R287, Department of Structural Engineering, Technical University of Denmark. Darwin, D., and Pecknold, D.A. (1977) Nonlinear biaxial stressstrain law for concrete, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 13, No. 2, pp De Borst, R. (1986) Nonlinear analysis of frictional materials, PhD Thesis, Delft University of Technology, The Netherlands. DIN 145 (1988), Beton und Stahlbeton, Bemessung und Ausführung. Drucker, D.C., and Prager, W. (1952) Soil mechanics and plastic analysis for limit design, Quarterly of Applied Mathematics, Vol. 1, No. 2, pp Elnashai, A.S., Papanikolaou, V.K., and Lee, D.H. (27) ZeusNL A program for inelastic dynamic analysis of structures, MidAmerica Earthquake Center, University of Illinois at UrbanaChampaign, USA. Elwi, A.E., and Hrudey, T.M. (1989) Finite element model for curved embedded reinforcement, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 115, No. 4, pp Elwi, A.E., and Murray, D.W. (1979) A 3D hypoplastic concrete constitutive relationship, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 15, No. 4, pp Endebrock, E.G., and Traiana, L.A. (1972) Static concrete constitutive relations based on cubical specimens, Air Force Weapon Lab, Technical Report No. AFWLTR7259, Vol. I and II, Kirtland Air Force Base, New Mexico. Faria, R., Pouca, N.V., and Delgado, R. (24) Simulation of the cyclic behaviour of R/C rectangular hollow section bridge piers via a detailed numerical model, Journal of Earthquake Engineering, Vol. 8, No. 5, pp Faruque, M.O., and Chang, C.J. (199) A constitutive model for pressure sensitive materials with particular reference to plain concrete, International Journal of Plasticity, Vol. 6, No. 1, pp Feenstra, P.H., and De Borst, R. (1996) A composite plasticity model for concrete, International Journal of Solids and Structures, Vol. 33, No. 5, pp fib (27) Seismic design and retrofit structural solutions, Bulletin No. 39, 3 pp. Foster, S.J., Liu, J., and Sheikh, S.A. (1998) Cover spalling in HSC columns loaded in concentric compression, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 124, No. 12, pp Fujii, M., Kobayashi, K., Miyagawa, T., Inoue, S., and Matsumoto, T. (1988) A study on the application of a stressstrain relation of confined concrete, Proceedings, JCA Cement and Concrete, Vol. 42, Japan Cement Association, Tokyo, Japan, pp Gerstle, K.H. (1981) Simple formulation of triaxial concrete behavior, ACI Journal, Vol. 78, No. 5, pp

264 Βιβλιογραφία Grassl, P. (24) Modelling of dilation of concrete and its effect in triaxial compression, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 4, No. 91, pp Grassl, P., and Jirásek, M. (26) Damageplastic model for concrete failure, International Journal of Solids and Structures, Vol. 43, No. 2223, pp Grassl, P., Lundgren, K., and Gylltoft, K. (22) Concrete in compression : A plasticity theory with a novel hardening law, International Journal of Solids and Structures, Vol. 39, No. 2, pp Grootenboer, H.J., Leijten, S.F.C.H., and Blaauwendraad, J. (1981) Numerical models for reinforced concrete structures in plane stress, Heron, Vol. 26, No. 1c, 83 pp. Haigh, B.T. (192) The strain energy function and the elastic limit, Engineering, Vol. 19, pp Han, D.J., and Chen, W.F. (1985) A nonuniform hardening plasticity model for concrete materials, Mechanics of Materials, Vol. 4, No. 34, pp Harries, K.A., and Kharel, G. (23) Experimental investigation of the behavior of variably confined concrete, Cement and Concrete Research, Vol. 33, No. 6, pp Hartl, H., Sparowitz, L., and Elgamal, A. (2) The 3D computational modelling of reinforced and prestressed concrete structures, Proceedings of the 3 rd International PhD Symposium in Civil Engineering, Vienna, Vol. 2, pp Hines, E.M., Dazio, A., and Seible, F. (21) Cyclic tests of structural walls with highly confined boundary elements Phase III Web crushing, Structural Engineering Report SSRP 21/27, University of California at San Diego, 26 pp. Hinton, E. (1992) NAFEMS Introduction to nonlinear finite element analysis, NAFEMS, Birniehill, East Kilbride, Glasgow. Hognestad, E., Hanson, N.W., and McHenry, D. (1955) Concrete Stress Distribution in Ultimate Strength Design, ACI Journal, Vol. 52, No. 4, pp Hordijk, D.A. (1991) Local approach to fatigue of concrete, PhD Thesis, Delft University of Technology, The Netherlands. Hoshikuma, J., Kawashima, K., Kagayam, K., and Taylor, A.W. (1997) Strain model for confined reinforced concrete in bridge piers, Journal of structural engineering, ASCE, Vol. 123, No. 5, pp Hsieh, S.S., Ting, E.C., and Chen, W.F. (1982) A plasticfracture model for concrete, International Journal of Solids and Structures, Vol. 18, No. 3, pp Hu, H.T., Huang, C.S., Wu, M.H., and Wu, Y.M. (23) Nonlinear analysis of axially loaded concretefilled tube columns with confinement effect, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 129, No. 1, pp Hussein, A., and Marzouk, H. (2) Behavior of highstrength concrete under biaxial stress, ACI Materials Journal, Vol. 97, No. 1, pp Hutton, D.V. (24) Fundamentals of finite element analysis, McGraw Hill, New York. Ignatakis, C.E., and Stavrakakis, E.J. (1992) Constitutive model of concretelike materials under short time triaxial loading, Proceedings of the 1 st National Congress on Computational Mechanics, Athens. 23

265 Βιβλιογραφία Ignatakis, C.E., Stavrakakis, E.J., and Penelis, G.G. (199) Analytical model for masonry using the finite element method, International Journal for Software for Engineering Workstations, Vol. 6, No. 2, pp Imran, I. (1994) Applications of nonassociated plasticity in modeling the mechanical response of concrete, PhD Thesis, Department of Civil Engineering, University of Toronto. Imran, I., and Pantazopoulou, S.J. (1996) Experimental study of plain concrete under triaxial stress, ACI Materials Journal, Vol. 93, No. 6, pp Imran, I., and Pantazopoulou, S.J. (21) Plasticity model for concrete under triaxial compression, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 127, No. 3, pp Jason, L., Huetra, A., PijaudierCabot, G., and Ghavamian, S. (26) An elasticplastic damage formulation for concrete : Application to elementary tests and comparison with an isotropic damage model, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 195, No. 52, pp Jendele, L. and Červenka, J. (26) Finite element modelling of reinforcement with bond, Computers and Structures, Vol. 84, No. 28, pp Jobse, H.J., and Moustafa, S.E. (1984) Applications of highstrength concrete for highway bridges, PCI Journal, MayJune 1984, pp Johansson, Μ., and Åkesson, Μ. (22) Finite element study on concretefilled steel tubes using a new confinement sensitive concrete compression model, Nordic Concrete Research, Vol. 27, pp Kang, H.D., and Willam, K.J. (1999) Localization characteristics of triaxial concrete model, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 125, No. 8, pp Kang, H.D., Willam, K.J., Shing, B., and Spacone, E. (2) Failure analysis of R/C columns using a triaxial concrete model, Computers and Structures, Vol. 77, No. 5, pp Kappos, A.J. (1991) Analytical prediction of the collapse earthquake for R/C buildings : Suggested methodology, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 2, No. 2, pp Kappos, A.J., Cryssanthopoulos, M.K., and Dymiotis, C. (1999) Uncertainty analysis of strength and ductility of confined reinforced concrete members, Engineering Structures, Vol. 21, No. 3, pp Karabinis, A.I., and Kiousis, P.D. (1996a) Plasticity computations for the design of the ductility of circular concrete columns, Computers and Structures, Vol. 6, No. 5, pp Karabinis, A.I., and Kiousis, P.D. (1996b) Strength and ductility of rectangular concrete columns : A plasticity approach, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 122, No. 3, pp Kent, D.C., and Park, R. (1971) Flexural members with confined concrete, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 97, No. 7, pp King, J.W.H. (1946) The effect of lateral reinforcement in reinforced concrete columns, The Structural Engineer, London, Vol. 24, No. 7, pp Kotsovos, M.D., and Newman, J.B. (198) A mathematical description of deformational behavior of concrete under generalized stress beyond ultimate strength, ACI Journal, Vol. 77, No. 5, pp Kupfer, H., Hilsdorf, K., and Rusch, H. (1969) Behavior of concrete under biaxial stresses, ACI Journal, Vol. 66, No. 8, pp

266 Βιβλιογραφία Kwon, M., and Spacone, E. (22) Threedimensional analysis of reinforced concrete columns, Computers and Structures, Vol. 8, No. 2, pp Labbane, M., Nripendra, K.S., and Ting, E.C. (1993) Yield criterion and loading functions for concrete plasticity, International Journal of Solids and Structures, Vol. 3, No. 9, pp Lan, S., and Guo, Z. (1999) Biaxial compression behavior of concrete under repeated loading, Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol. 11, No. 2, pp Launay, P., and Gachon, H. (1972) Strain and ultimate strength of concrete under triaxial stress, ACI Special Publication, Vol. 34, pp Lee, S.K., Song, Y.C., and Han, S.H. (24) Biaxial behavior of plain concrete of nuclear containment building, Nuclear Engineering and Design, Vol. 227, No. 2, pp Lemaitre, J. (1996) A course on damage mechanics, 2 nd ed., Springer, Berlin. Leonhardt, F. and Walther, R. (1962) Schubversuche an einfeldrigen stahlbetonbalken mit und ohne schubbewehrung, Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 151, Ernst & Sohn, Berlin. Liu, J., and Foster, S.J. (2) A threedimensional finite element model for confined concrete structures, Computers and Structures, Vol. 77, No. 5, pp Liu, T.C.Y., Nilson, A.H., and Slate, F.O. (1972) Stressstrain response and fracture of concrete in uniaxial and biaxial compression, ACI Journal, Vol. 69, No. 5, pp Luccioni, B.M., and Rougier, V.C. (25) A plastic damage approach for confined concrete, Computers and Structures, Vol. 83, No. 27, pp Macari, E.J., Weihe, S., and Arduino, P. (1997) Implicit integration of elastoplastic models for frictional materials with highly nonlinear hardening functions, Mechanics of CohesiveFrictional Materials, Vol. 2, No. 1, pp Madas, P., and Elnashai, A.S. (1992) A new passive confinement model for the analysis of concrete structures subjected to cyclic and transient dynamic loading, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 21, No. 5, pp Madas, P., and Elnashai, A.S. (1993) Discussion of Strength and ductility of confined concrete by M. Saatcioglu and S.R. Ravzi (June 1992, Vol. 118, No.6), Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 119, No. 1, pp Mander, J.B., Priestley, M.J.N., and Park, R. (1983) Behavior of hollow reinforced concrete columns, Bulletin of New Zealand National Society for Earthquake Engineering, Vol. 16, No. 4, pp Mander, J.B., Priestley, M.J.N., and Park, R. (1988) Theoretical stressstrain model for confined concrete, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 18, No. 8, pp Mansur, M., and Islam, M.M. (22) Interpretation of concrete strength for nonstandard specimens, Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol. 14, No. 2, pp Mau, S.T. (199) Effect of tie spacing on inelastic buckling of reinforcing bars, ACI Structural Journal, Vol. 87, No. 6, pp Mau, S.T., and ElMabsout, M. (1989) Inelastic buckling of reinforcing bars, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 115, No. 1, pp

267 Βιβλιογραφία Memon, B.A. (24) Arclength technique for nonlinear finite element analysis, Journal of Zhejiang University Science, Vol. 5, No. 5, pp Menegotto, M., and Pinto, P. (1973) Method of analysis for cyclically loaded reinforced concrete plane frames including changes in geometry and nonelastic behaviour of elements under combined normal force and bending, Proceedings of the IABSE Symposium on Resistance and Ultimate Deformability of Structures Acted on by WellDefined Repeated Loads, Lisbon, Portugal. Menétrey, P., and Willam, K.J. (1995) Triaxial failure criterion for concrete and its generalization, ACI Structural Journal, Vol. 92, No. 3, pp Menétrey, P., Walther, R., Zimmermann, T., Willam, K.J., and Regan, P.E. (1997) Simulation of punching failure in reinforcedconcrete structures, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 123, No. 5, pp Meschke, G., Lackner, R., and Mang, H.A. (1988) An anisotropic elastoplasticdamage model for plain concrete, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 42, No. 4, pp Mills, L.L., and Zimmerman, R.M. (197) Compressive strength of plain concrete under multiaxial loading conditions, ACI Journal, Vol. 67, No. 1, pp Mo, Y.L., Wong, D.C., and Maekawa, K. (23) Seismic performance of hollow bridge columns, ACI Structural Journal, Vol. 1, No. 3, pp Montoya, E., Vecchio, F.J., and Sheikh, S.A. (21) Compression field modeling of confined concrete, Structural Engineering and Mechanics, Vol. 92, No. 3, pp Morkin, Z.A., and Rumman, W.S. (1985) Ultimate capacity of reinforced concrete members of hollow circular sections subjected to monotonic and cyclic bending, ACI Structural Journal, Vol. 82, No. 5, pp Muguruma, H., Watanabe, S., Katsuta, S., and Tanaka, S. (198) A stressstrain model of confined concrete, Proceedings, JCA Cement and Concrete, Vol. 34, Japan Cement Association, Tokyo, Japan, pp Nawy, E.G., Lim, D.H., and McPherson, K.L. (23) Compressive behavior of highstrength highperformance concrete under biaxial loading, ACI Special Publication, Vol. 213, pp Nelissen, L.J.M. (1972) Biaxial testing of normal concrete, Heron (Delft), Vol. 18, No. 1, 9 pp. Ngo, D., and Scordelis, A.C. (1967) Finite element analysis of reinforced concrete beams, ACI Journal, Vol. 64, No. 3, pp Nilson, A.H. (1968) Nonlinear analysis of reinforced concrete by the finite element method, ACI Journal, Vol. 65, No. 9, pp Ohtani, Y., and Chen, W.F. (1989) A plasticsoftening model for concrete materials, Computers and Structures, Vol. 33, No. 4, pp Olivier, J. (1989) A consistent characteristic length for smeared cracking models, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 28, No. 2, pp Ottosen, N.S. (1977) A failure criterion for concrete, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, Vol. 13, No. 4, pp

268 Βιβλιογραφία Papanikolaou, V.K., and Kappos, A.J. (25) Modelling confinement in concrete columns and bridge piers through 3D nonlinear finite element analysis, fib Symposium Keep Concrete Attractive, Budapest, Hungary, May 25, pp Park, H., and Kim, J. (25) Plasticity model using multiple failure criteria for concrete in compression, International Journal of Solids and Structures, Vol. 42, No. 8, pp Park, R., Priestley, M.J.N., and Gill, W.D. (1982) Ductility of square confined concrete columns, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 18, No. 4, pp Penelis, G.G., and Kappos, A.I. (1997) Earthquake resistant concrete structures, E & FN SPON, Chapman & Hall, London. Pietrusczak, S., Jiang, J., and Mirza, F.A. (1988) An elastoplastic constitutive model for concrete, International Journal of Solids and Structures, Vol. 24, No. 7, pp Pinto, A.V. (Ed.) (1996) Pseudodynamic and shaking table tests on R/C bridges, ECOEST/PREC8 Report, No. 5. Pivonka, P., Lackner, R., and Mang, H. (2) Numerical analyses of concrete subjected to triaxial compressive loading, European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS 2, Barcelona, September 2, 26 pp. Pivonka, P., Ožbolt, R., Lackner, R., and Mang, A.H. (24) Comparative studies of 3Dconstitutive models for concrete : application to mixedmode fracture, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 6, No. 2, pp Poston, R.W., Gilliam, T.E., Yamamoto, Y., and Breen, J.E. (1986) Hollow concrete bridge pier behavior, ACI Journal, Vol. 82, No. 6, pp Pramono, E., and Willam, K.J. (1989) Fracture energybased plasticity formulation of plain concrete, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 115, No. 6, pp Priestley, M.J.N. (1998) Seismic design issues for hollow bridge piers, Report No. 98/1, Egnatia Odos S.A., Greece. Priestley, M.J.N., Seible, F., and Calvi, G.M. (1996) Seismic design and retrofit of bridges, John Wiley and Sons, NY, 686 pp. Procter, A.N. (1977) Hollow rectangular reinforced concrete columns, Civil Engineering, London, September 1977, pp Ramaley, D., and McHenry, D. (1947) Stressstrain curves for concrete strained beyond ultimate load, Laboratory Report No. SP12, U.S. Bureau of Reclamation, Denver, 23 pp. Ramberg, W., and Osgood, W. (1943) Description of stressstrain curves by three parameters, Technical Note No. 92, NACA. Rashid, M.A., Mansur, M.A., and Paramasivam, P. (22) Correlations between mechanical properties of highstrength concrete, Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol. 14, No. 3, pp Rashid, Y.R. (1968) Analysis of prestressed concrete pressure vessels, Nuclear Engineering and Design, Vol. 7, No. 4, pp

269 Βιβλιογραφία Ravzi, S.R., and Saatcioglu, M. (1996) Tests of high strength concrete columns under concentric loading, Report OCEERC 963, Department of Civil Engineering, University of Ottawa, Canada. Richart, F.E., Brandtzaeg, A., and Brown, R.L. (1928) A study of the failure of concrete under combined compressive stresses, Engineering Experiment Station Bulletin, No. 185, University of Illinois, Urbana. Rots, J.G., and Blaauwendraad, J. (1989) Crack models for concrete : Discrete or smeared? Fixed, multidirectional or rotating?, HERON, Vol. 34, No. 1. Runesson, K., Sture, S., and Willam, K. (1988) Integration in computational plasticity, Computers and Structures, Vol. 3, No. 12, pp Saatcioglu, M., and Ravzi, S.R. (1992) Strength and ductility of confined concrete, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 118, No. 6, pp Saenz, L.P. (1964) Discussion of Equation for the stressstrain curve of concrete by Desayi and Krishnan, ACI Journal, Vol. 61, No. 9, pp Sakai, K., and Sheikh, S.A. (1989) What do we know about confinement in reinforced concrete columns? (A critical review of previous work and code provisions), ACI Structural Journal, Vol. 86, No. 2, pp Sargin, M. (1971) Stressstrain relationship for concrete and the analysis of structural concrete sections, Study No. 4, Solid Mechanics Division, University of Waterloo, 167 pp. Schickert, G., and Winkler, H. (1977) Results of test concerning strength and strain of concrete subjected to multiaxial compressive stresses, Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton, Heft 277, Berlin, West Germany. Scott, B.D., Park, R., and Priestley, M.J.N. (1982) Stressstrain behavior of concrete confined by overlapping hoops at low and high strain rates, ACI Journal, Vol. 79, No. 1, pp Sfer, D., Carol, I., Gettu, R., and Etse, G. (22) Study of the behavior of concrete under triaxial compression, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 128, No. 2, pp Sheikh, S.A. (1982a) A comparative study of confinement models, ACI Journal, Vol. 79, No. 4, pp Sheikh, S.A. (1982b) A comparative study of confinement models Discussion by R. Park, A. Fafitis, S.P. Shah, and Author, ACI Journal, Vol. 8, No. 3, pp Sheikh, S.A., and Toklucu, M.T. (1993) Reinforced concrete columns confined by circular spirals and hoops, ACI Structural Journal, Vol. 9, No. 5, pp Sheikh, S.A., and Uzumeri, S.M. (198) Strength and ductility of tied concrete columns, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 18, No. 4, pp Sheikh, S.A., and Uzumeri, S.M. (1982) Analytical model for concrete confinement in tied columns, Journal of the Structural Division, ASCE, Vol. 18, No. 12, pp Simo, J.C., Kennedy, J.G., and Govindjee, S. (1988) Nonsmooth multisurface plasticity and viscoplasticity. Loading/unloading conditions and numerical algorithms, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 26, No. 1, pp Smith, G.M., and Young, L.E. (1956) Ultimate Flexural Analysis Based on StressStrain Curves of Cylinders, ACI Journal, Vol. 53, No. 6, pp

270 Βιβλιογραφία Smith, S.S., Willam, K.J., Gerstle, K.H., and Sture, S. (1989) Concrete over the top, or is there life after peak?, ACI Materials Journal, Vol. 86, No. 5, pp Soliman, M.T.M., and Yu, C.W. (1967) The flexural stressstrain relationship of concrete confined by rectangular transverse reinforcement, Magazine of Concrete Research, Vol. 19, No. 61, pp Stavrakakis, E.J., Ignatakis, C.E., and Penelis, G.G. (1993) Constitutive model for concrete under biaxial stress state, Journal of the Mechanical Behavior of Materials, Vol. 4, No. 4, pp Su, E.C.M., and Hsu, T.T.C. (1998) Biaxial compression fatigue and discontinuity of concrete, ACI Materials Journal, Vol. 85, No. 3, pp Tasuji, M.E., Slate, F.O., and Nilson, A.H. (1978) Stressstrain response and fracture of concrete in biaxial loading, ACI Journal, Vol. 75, No. 7, pp Taylor, A.W., and Breen, J.E. (1994) Design recommendations for thinwalled box piers and pylons, Concrete International, Vol. 16, No. 12, pp Taylor, A.W., Rowell, R.B., and Breen, J.E. (1995) Behavior of thinwalled concrete box piers, ACI Structural Journal, Vol. 92, No. 3, pp Traina, L.A. (1983) Experimental stressstrain behavior of a low strength concrete under multiaxial states of stress, Air Force Weapon Lab, Technical Report No. AFWLTR7259, Vol. I and II, Kirtland Air Force Base, New Mexico. Traina, L.A., and Mansour, S.A. (1991) Biaxial strength and deformational behavior of plain and steel fiber concrete, ACI Materials Journal, Vol. 88, No. 4, pp Tresca, H. (1864) Sur I ecoulement des corps solids soumis a de fortes pression, Comptes Rendus hebdomadaires des Seances de l Academie des Sciences, Rend 59, pp Vallenas, J., Bertero, V.V., and Popov, E.P. (1977) Concrete confined by rectangular hoops subjected to axial loads, Report 77/13, Earthquake Engineering Research Centre, University of California, Berkeley. Van Gysel, A., and Taerwe, L. (1996) Analytical formulation of the complete stressstrain curve for high strength concrete, Materials and Structures, RILEM, Vol. 29, No. 193, pp Van Mier, J.G.M. (1986) Multiaxial strain softening of concrete. Part I : Fracture, Materials and Structures, RILEM, Vol. 19, No. 111, pp Vecchio, F.J. (21) Nonlinear finite element analysis of reinforced concrete : At the crossroads?, Structural Concrete, Vol. 2, No. 4, pp Vecchio, F.J., and Collins, M.P. (1986) The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear, ACI Journal, Vol. 82, No. 2, pp Von Mises, R. (1913) Mechanik der festen Körper im plastisch deformablen Zustand, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der wissenschaften zu Göettinger, Mathematischphysikalische Klasse, pp Wang, P.T., Shah, S.P., and Naaman, A.E. (1978) Stressstrain curves of normal and lightweight concrete in compression, ACI Journal, Vol. 75, No. 11, pp Wee, T.H., Chin, M.S., and Mansur, M.A. (1996) Stressstrain relationship of highstrength concrete in compression, Journal of Materials in Civil Engineering, ASCE, Vol. 8, No. 2, pp

271 Βιβλιογραφία Westergaard, H.M. (192) On the resistance of ductile materials to combined stresses, J. Franklin Institute, Vol. 189, pp Wilkins, M.L. (1964) Calculation of elasticplastic flow, Methods of Computational Physics, Academic Press, New York, Vol. 3, pp Willam, K.J., and Warnke, E.P. (1974) Constitutive model for triaxial behavior of concrete, Concrete Structures Subjected to Triaxial Stresses, International Association for Bridges and Structural Engineering, Bergamo, Italy, May Xie, J., Elwi, A.E., and MacGregor, J.G. (1995) Mechanical properties of three highstrength concretes containing silica fume, ACI Materials Journal, Vol. 92, No. 2, pp Yalcin, C., and Saatcioglu, M. (2) Inelastic analysis of reinforced concrete columns, Computers and Structures, Vol. 77, No. 5, pp Yeh, Y.K., Mo, Y.L., and Yang, C.Y. (21) Seismic performance of hollow circular bridge piers, ACI Structural Journal, Vol. 98, No. 6, pp Yin, W.S., Su, E.C.M., Mansur, M.A., and Hsu, T.T.C. (1989) Biaxial tests of plain and fiber concrete, ACI Materials Journal, Vol. 86, No. 3, pp Yong, Y.K., Nour, M.G., and Nawy, E.G. (1988) Behavior of laterally confined highstrength concrete under axial loads, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 114, No. 2, pp Yu, M. (22) Advances in strength theories for materials under complex stress state in the 2 th century, Applied Mechanics Reviews, Vol. 55, No. 3, pp Zahn, F.A., Park, R., and Priestley, M.J.N. (199) Flexural strength and ductility of circular hollow reinforced concrete columns without confinement on inside face, ACI Structural Journal, Vol. 87, No. 2, pp Zergua, A., and Naimi, M. (26) Elasticplastic fracture analysis of structural columns, Journal of Civil Engineering and Management, Vol. 12, No. 2, pp

272 Βιβλιογραφία Β. Ελληνική Εγκύκλιος Ε39/99 (1999) Οδηγίς για την αντισισμική μλέτη γφυρών. ΕΛΟΤ (1987) ΕΛΟΤ 971 Συγκολλήσιμοι χάλυβς οπλισμένου σκυροδέματος. Κάππος, Α.Ι., και Νανούλης, Κ. (1998) Προβλήματα κοίλων βάθρων σ γέφυρς από σκυρόδμα, 13 ο Ελληνικό Συνέδριο Σκυροδέματος, Ρέθυμνο, Οκτώβριος 1998, Τόμος Ι, σλ ΟΑΣΠ / ΣΠΜΕ (21) Ελληνικός κανονισμός οπλισμένου σκυροδέματος (ΕΚΟΣ). Παπανικόλας, Π., και ΒλάμηςΣταθόπουλος, Α. (23) Αντισισμική μλέτη γέφυρας ΡίουΑντιρρίου, 14 ο Ελληνικό Συνέδριο Σκυροδέματος, Κως, Οκτώβριος 23, Τόμος Γ, σλ

273 Παράρτημα Α Παράρτημα Α : Διαγράμματα φορτίου παραμόρφωσης Στο παράρτημα αυτό πριέχονται όλα τα διαγράμματα φορτίουπαραμόρφωσης για τα προσομοιώματα της παραμτρικής ανάλυσης του κφαλαίου 4. Υπόμνημα : Πάνω αριστρά από κάθ διάγραμμα μφανίζται η ονομασία του προσομοιώματος σύμφωνα μ τους αντίστοιχους πίνακς του κφαλαίου 4. Οι διακκομμένς γραμμές ορίζουν τα ζύγη μέγιστης αντοχής αντίστοιχης παραμόρφωσης και παραμένουσας αντοχής (85% της μέγιστης) αντίστοιχης παραμόρφωσης. Το κυκλικό σημίο ( ) ορίζι τη θέση διαρροής των διαμήκων οπλισμών. Τα δύο ττραγωνικά σημία ( ) ορίζουν τις θέσις διαρροής του πρώτου και του τλυταίου γκάρσιου οπλισμού αντίστοιχα. 239

274 Παράρτημα Α CHS1_1 (A.1) CHS1_2 (A.2) CHS1_3 (A.3) CHS1_4 (A.4) CHS1_5 (A.5) CHS1_6 (A.6) CHS1_7 (A.7) CHS1_8 (A.8)

275 Παράρτημα Α CHS1_9 (A.9) CHS1_1 (A.1) CHS1_11 (A.11) CHS1_12 (A.12) CHS1_13 (A.13) CHS1_14 (A.14) CHS1_15 (A.15) CHS1_16 (A.16)

276 Παράρτημα Α CHS1_17 (A.17) CHS1_18 (A.18) CHS1_19 (A.19) CHS1_1_C5 (A.2) CHS1_3_C5 (A.21) CHS1_13_C5 (A.22) CHS1_15_C5 (A.23)

277 Παράρτημα Α CHS2_1 (A.24) CHS2_2 (A.25) CHS2_3 (A.26) CHS2_4 (A.27) CHS2_5 (A.28) CHS2_6 (A.29) CHS2_7 (A.3) CHS2_8 (A.31)

278 Παράρτημα Α CHS2_9 (A.32) CHS2_1 (A.33) CHS2_11 (A.34) CHS2_12 (A.35) CHS2_13 (A.36) CHS2_14 (A.37) CHS2_15 (A.38) CHS2_16 (A.39)

279 Παράρτημα Α CHS2_17 (A.4) CHS2_18 (A.41) CHS2_19 (A.42) CHS2_1_C5 (A.43) CHS2_3_C5 (A.44) CHS2_13_C5 (A.45) CHS2_15_C5 (A.46)

280 Παράρτημα Α CSS_1 (A.47) CSS_2 (A.48) CSS_3 (A.49) CSS_4 (A.5) CSS_5 (A.51) CSS_6 (A.52) CSS_7 (A.53) CSS_8 (A.54)

281 Παράρτημα Α CSS_9 (A.55) CSS_1 (A.56) CSS_11 (A.57) CSS_12 (A.58) CSS_13 (A.59) CSS_14 (A.6) CSS_15 (A.61) CSS_16 (A.62)

282 Παράρτημα Α CSS_17 (A.63) CSS_18 (A.64) CSS_19 (A.65) CSS_2 (A.66) CSS_21 (A.67) CSS_22 (A.68) CSS_23 (A.69) CSS_24 (A.7)

283 Παράρτημα Α CSS_25 (A.71) CSS_26 (A.72) CSS_27 (A.73) CSS_1_C5 (A.74) CSS_15_C5 (A.75) CSS_22_C5 (A.76) CSS_24_C5 (A.77)

284 Παράρτημα Α RSS_1 (A.78) RSS_2 (A.79) RSS_3 (A.8) RSS_4 (A.81) RSS_5 (A.82) RSS_6 (A.83) RSS_7 (A.84) RSS_8 (A.85)

285 Παράρτημα Α RSS_9 (A.86) RSS_1 (A.87) RSS_11 (A.88) RSS_12 (A.89) RSS_12_F16 (A.9) RSS_12_F18 (A.91) RSS_13 (A.92) RSS_13_F16 (A.93)

286 Παράρτημα Α RSS_13_F18 (A.94) RSS_14 (A.95) RSS_14_F16 (A.96) RSS_14_F18 (A.97) RSS_15 (A.98) RSS_15_F16 (A.99) RSS_15_F18 (A.1) RSS_16 (A.11)

287 Παράρτημα Α RSS_17 (A.12) RSS_1_C5 (A.13) RSS_2_C5 (A.14) RSS_12_C5 (A.15) RSS_13_C5 (A.16)

288 Παράρτημα Α RHS1_1 (A.17) RHS1_2 (A.18) RHS1_3 (A.19) RHS1_4 (A.11) RHS1_5 (A.111) RHS1_6 (A.112) RHS1_7 (A.113) RHS1_8 (A.114)

289 Παράρτημα Α RHS1_9 (A.115) RHS1_1 (A.116) RHS1_11 (A.117) RHS1_12 (A.118) RHS1_13 (A.119) RHS1_14 (A.12) RHS1_15 (A.121) RHS1_16 (A.122)

290 Παράρτημα Α RHS1_17 (A.123) RHS1_17_F18 (A.124) RHS1_17_F22 (A.125) RHS1_18 (A.126) RHS1_18_F18 (A.127) RHS1_18_F22 (A.128) RHS1_19 (A.129) RHS1_19_F18 (A.13)

291 Παράρτημα Α RHS1_19_F22 (A.131) RHS1_2 (A.132) RHS1_21 (A.133) RHS1_22 (A.134)

292 Παράρτημα Α RHS1_1_C5 (A.135) RHS1_2_C5 (A.136) RHS1_17_C5 (A.137) RHS1_18_C5 (A.138) RHS1_19_C5 (A.139)

293 Παράρτημα Α RHS2_1 (A.14) RHS2_2 (A.141) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_3 (A.142) RHS2_4 (A.143) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_5 (A.144) RHS2_6 (A.145) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_7 (A.146) RHS2_8 (A.147) 3 ΜΝ 3 ΜΝ

294 Παράρτημα Α RHS2_9 (A.148) RHS2_9_F14 (A.149) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_9_F16 (A.15) RHS2_1 (A.151) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_1_F14 (A.152) RHS2_1_F16 (A.153) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_11 (A.154) RHS2_11_F14 (A.155) 3 ΜΝ 3 ΜΝ

295 Παράρτημα Α RHS2_11_F16 (A.156) RHS2_12 (A.157) 3 ΜΝ 3 ΜΝ RHS2_13 (A.158) RHS2_14 (A.159) 3 ΜΝ 3 ΜΝ

296 Παράρτημα Α RHS2_1_C5 (A.16) RHS2_2_C5 (A.161) 5 ΜΝ 5 ΜΝ RHS2_6_C5 (A.162) RHS2_7_C5 (A.163) 5 ΜΝ 5 ΜΝ RHS2_8_C5 (A.164) 5 ΜΝ

297 Παράρτημα Α RHS3_1 (A.165) RHS3_2 (A.166) RHS3_3 (A.167) RHS3_4 (A.168) RHS3_5 (A.169) RHS3_6 (A.17) RHS3_7 (A.171) RHS3_8 (A.172)

298 Παράρτημα Α RHS3_9 (A.173) RHS3_1 (A.174) RHS3_11 (A.175) RHS3_12 (A.176) RHS3_13 (A.177) RHS3_14 (A.178)

299 Παράρτημα Α RHS3_1_C5 (A.179) RHS3_2_C5 (A.18) RHS3_6_C5 (A.181) RHS3_7_C5 (A.182) RHS3_8_C5 (A.183)

300

301 Παράρτημα Β Παράρτημα Β : Διαγράμματα δικτών αποτλσματικότητας Στο παράρτημα αυτό παρουσιάζονται όλα τα συγκριτικά ιστογράμματα των δικτών αποτλσματικότητας (Κ) και οικονομίας (C) που ορίστηκαν στην νότητα 4.1 και αντιστοιχούν στα διαγράμματα φορτίουπαραμόρφωσης του παραρτήματος Α. 267

302 Παράρτημα Β CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 K R CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.1) CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 K CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.2) CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 K 85 CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.3) CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 K W85 CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.4)

303 Παράρτημα Β CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 C R CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.5) CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 C CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.6) CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 C 85 CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.7) CHS1_4 CHS1_5 CHS1_6 CHS1_7 CHS1_8 CHS1_9 CHS1_1 CHS1_11 CHS1_12 CHS1_13 CHS1_14 CHS1_15 CHS1_16 CHS1_17 CHS1_18 CHS1_19 C W85 CHS1_13 CHS1_15 C2 C5 (Β.8)

304 Παράρτημα Β CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 K R CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.9) CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 K CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.1) CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 K 85 CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.11) CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 K W85 CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.12)

305 Παράρτημα Β CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 C R CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.13) CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 C CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.14) CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 C 85 CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.15) CHS2_4 CHS2_5 CHS2_6 CHS2_7 CHS2_8 CHS2_9 CHS2_1 CHS2_11 CHS2_12 CHS2_13 CHS2_14 CHS2_15 CHS2_16 CHS2_17 CHS2_18 CHS2_19 C W85 CHS2_13 CHS2_15 C2 C5 (Β.16)

306 Παράρτημα Β CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 K R CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.17) CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 K CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.18) CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 K CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.19) CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 K W CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.2)

307 Παράρτημα Β CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 C R CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.21) CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 C CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.22) CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 C CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.23) CSS_3 CSS_4 CSS_5 CSS_6 CSS_7 CSS_8 CSS_9 CSS_1 CSS_11 CSS_12 CSS_13 CSS_14 C W CSS_16 CSS_17 CSS_18 CSS_19 CSS_2 CSS_21 CSS_22 CSS_23 CSS_24 CSS_25 CSS_26 CSS_27 CSS_22 CSS_24 C2 C5 (Β.24)

308 Παράρτημα Β RSS_3 RSS_4 RSS_5 K R RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.25) RSS_3 RSS_4 RSS_5 K RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.26) RSS_3 RSS_4 RSS_5 K 85 RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.27) RSS_3 RSS_4 RSS_5 K W85 RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.28)

309 Παράρτημα Β RSS_3 RSS_4 RSS_5 C R RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.29) RSS_3 RSS_4 RSS_5 C RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.3) RSS_3 RSS_4 RSS_5 C 85 RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.31) RSS_3 RSS_4 RSS_5 C W85 RSS_6 RSS_7 RSS_8 RSS_9 RSS_1 RSS_11 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_16 RSS_17 RSS_12 RSS_13 C2 C5 (Β.32)

310 Παράρτημα Β K R Ø14 Ø16 Ø C R Ø14 Ø16 Ø RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 (Β.33) K Ø14 Ø16 Ø C Ø14 Ø16 Ø18 1. RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 (Β.34) Ø14 Ø16 Ø18 K C 85 Ø14 Ø16 Ø RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 (Β.35) Ø14 Ø16 Ø18 K W Ø14 Ø16 Ø18 C W RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 RSS_12 RSS_13 RSS_14 RSS_15 (Β.36) 276

311 Παράρτημα Β RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 K R RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.37) RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 K RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.38) RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 K 85 RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.39) RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 K W85 RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.4)

312 Παράρτημα Β RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 C R RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.41) RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 C RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.42) RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 C 85 RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.43) RHS1_3 RHS1_4 RHS1_5 C W85 RHS1_6 RHS1_7 RHS1_8 RHS1_9 RHS1_1 RHS1_11 RHS1_12 RHS1_13 RHS1_14 RHS1_15 RHS1_16 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_2 RHS1_21 RHS1_22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 C2 C5 (Β.44)

313 Παράρτημα Β K R Ø16 Ø18 Ø C R Ø16 Ø18 Ø22 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 (Β.45) K Ø16 Ø18 Ø C Ø16 Ø18 Ø RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 (Β.46) K 85 Ø16 Ø18 Ø C 85 Ø16 Ø18 Ø RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 (Β.47) K W85 Ø16 Ø18 Ø C W85 Ø16 Ø18 Ø RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 RHS1_17 RHS1_18 RHS1_19 (Β.48) 279

314 Παράρτημα Β RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 K R RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.49) RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 K RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.5) RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 K 85 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.51) RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 K W85 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.52)

315 Παράρτημα Β RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 C R RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.53) RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 C RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.54) RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 C 85 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.55) RHS2_3 RHS2_4 RHS2_5 C W85 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 RHS2_9 RHS2_1 RHS2_11 RHS2_12 RHS2_13 RHS2_14 RHS2_6 RHS2_7 RHS2_8 C2 C5 (Β.56)

316 Παράρτημα Β RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 K R RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.57) RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 K RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.58) RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 K 85 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.59) RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 K W85 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.6)

317 Παράρτημα Β RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 C R RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.61) RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 C RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.62) RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 C 85 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.63) RHS3_3 RHS3_4 RHS3_5 C W85 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 RHS3_9 RHS3_1 RHS3_11 RHS3_12 RHS3_13 RHS3_14 RHS3_6 RHS3_7 RHS3_8 C2 C5 (Β.64)

318

319 Παράρτημα Γ Παράρτημα Γ : Παράδιγμα προσδιορισμού των παραμέτρων του προτινόμνου καταστατικού νόμου Στο παράρτημα αυτό παρουσιάζται ένα ολοκληρωμένο παράδιγμα βαθμονόμησης του νέου καταστατικού νόμου, όπως παρουσιάστηκ στο κφάλαιο 3. Η βαθμονόμηση θα γίνι για σκυρόδμα συνήθους αντοχής f c = 2 MPa (παράμτρος αναφοράς), ώστ να προκύψουν οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων του καταστατικού νόμου που πριέχονται στον πίνακα Παράμτρος f t (FT). Υπολογίζται από τη σχέση (3.2) :.6.6 fc 2 ft = = = ΜPa Παράμτρος G f (GF). Υπολογίζται από τη σχέση (3.21) : G f.7.7 fc 2 Gf = = = /m 1 1 όπου G f =.3 για τυπική τιμή μέγιστου κόκκου αδρανούς d = 16 mm. Παράμτρος Ε c (EC). Υπολογίζται από τη σχέση (3.39) : f c E c = = = ΜPa Παράμτρος ν (MU). Τίθται ίση μ.2 Παράμτρος e (EXC). Αρχικά υπολογίζται η πιθυμητή ισοδιαξονική αντοχή από τη σχέση (3.35) : 285

320 Παράρτημα Γ f bc / f c = 1.5 f c.75 = = f bc = MPa Στη συνέχια από παναληπτική διαδικασία δοκιμών προκύπτι η τιμή e =.5281, η οποία αντιστοιχί στην παραπάνω ισοδιαξονική αντοχή του σκυροδέματος. Παράμτρος σ co (FC). Υπολογίζται από τη σχέση (3.38) : σ co = f c / 6 = / 6 = 4.32 MPa Παράμτρος λ t (FT_MULT). Υπολογίζται από τη σχέση (3.34) : λ t.4.4 fc 2 = = = 1.43 Παράμτρος P v,t (EPS_VP). Υπολογίζται από τη σχέση (3.4) : f 2 = = = P c v,t (1 2ν) (1 2.2) Ec Παράμτρος t s (SOFT_T). Υπολογίζται από τη σχέση (3.44) : t s ( ) = f c / 15 = 2/15 = 1.33 Παράμτρος n (ORDER). Τίθται ίση μ 3 (βλ. Σχ. 3.62) Παράμτροι Α, Β και C της συνάρτησης πλαστικού δυναμικού Αρχικά θα πρέπι να υπολογιστούν τα μγέθη ρ 1, ρ 2, ρ 3 (σχέσις (3.57), (3.58) και (3.59) αντίστοιχα) : ρ 1 = 2 2 fc = 2 =

321 Παράρτημα Γ 2 2 ρ 2 = fcc σpc = = όπου η τιμή f cc προέκυψ από το κριτήριο αστοχίας MenétreyWillam για σ pc = f c (βαθμός πρίσφιξης 1 %), μέσω κατάλληλης παναληπτικής διαδικασίας (Πίν. 3.9). ρ 3 = 2 2 fbc = = Στη συνέχια υπολογίζονται τα μγέθη ψ 1, ψ 2 και ψ 3 από τη σχέση (3.6) : ψ = ρ ξ = 1 p p 2 p p 2 p p 2 2 (1 2) (2 3) (3 1) p p p Για κάθ ένα μέγθος ίναι απαραίτητς οι τιμές των πλαστικών παραμορφώσων p και 3. p 1, p 2 Για το ψ 1 :.22 Από τη σχέση (3.63) : c = min.31.7 fc 1 = min =.22 p fc 3 = c E = c =.138 p 1 = p 2 = p p v,t 3 2 = (.138) 2 = από τα παραπάνω προκύπτι ψ 1 = Για το ψ 2 : Από τη σχέση (3.66) : cc = c σ f pc c 2 = =

322 Παράρτημα Γ p 1 3 = cc fcc 2 ν σpc E = [ ( 2 )] =.364 c p 1 = p 2 = p p v,t 3 2 = (.363) 2 =.184 από τα παραπάνω προκύπτι ψ 2 = Για το ψ 3 : Από τη σχέση (3.7) : bc / c = f bc / f c = 1.5 f c.75 = bc =.264 p 3 = bc f bc ( 1 ν) E =.264 ( ) c = p 1 = 2 = (.185) =.419 p p v,t 3 από τα παραπάνω προκύπτι ψ 3 = Από τις σχέσις, (3.52), (3.53) και (3.56) και προκύπτουν οι ζητούμνς τιμές των παραμέτρων Α, B και C αντίστοιχα : ψ1 ψ2 A = ρ 1 ρ 2 n fc f c n 1 n 1 = = ρ 1 Β = ψ 1 n A fc n 1 = = ρ C = ψ 3 n A f 3 c n = =

323 Παράρτημα Δ Παράρτημα Δ : Παράδιγμα δημιουργίας προσομοιώματος Στο παράρτημα αυτό θα παρουσιαστί η διαδικασία δημιουργίας, πίλυσης και μτπξργασίας νός από τα 183 προσομοιώματα βάθρων γφυρών της παραμτρικής ανάλυσης του Κφαλαίου 4, και συγκκριμένα του βάθρου κοίλης ορθογωνικής διατομής RHS1_17. Η δημιουργία του προσομοιώματος γίνται μ τη χρήση του προπξργαστή GiD (Σχ. 3.7) νώ η πίλυση και η μτπξργασία μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ και το ξιδικυμένο λογισμικό που έχι αναπτυχθί για το σκοπό αυτόν (Σχ. 3.21). Η γωμτρία του προσομοιώματος παρουσιάζται στο σχήμα 4.23, ο κάνναβος διακριτοποίησης στο σχήμα 4.24 και η διάταξη των οπλισμών στο σχήμα Τα γνικά του χαρακτηριστικά (από Πίν. 4.7) ίναι τα ξής : Ονομασία Πυκνότητα πρίσφιξης Διάταξη πρίσφιξης Εγκάρσιοι πριμτρικά μικ. πλυρά Εγκάρσιοι πριμτρικά μγ. πλυρά Εγκάρσιοι αλληλοκαλ. Εγκάρσιοι σύνδσμοι και διαγ. ρ w RHS1_17 Πυκνή Σύνδσμοι Ø22/1 Ø16/1 Ø14/ Γίνται κκίνηση του προπξργαστή GiD και πιλέγται ο κώδικας διασύνδσης μ το ΑΤΕΝΑ (ATENAGiD interface) : Data Problem Type ATENAV3 Static3D Στα αριστρά μφανίζται η ργαλιοθήκη μ όλς τις βασικές λιτουργίς του προγράμματος ΑΤΕΝΑ (υλικά σκυροδέματος και χάλυβα, συνοριακές συνθήκς κλπ) για τη δημιουργία του προσομοιώματος. Επιλέγται το ργαλίο γραμμής και σχδιάζονται τρία παραλληλόγραμμα που αντιστοιχούν στη γωνία και στις δύο πλυρές της βάσης του κοίλου βάθρου (¼ της διατομής).,.74,.74,.74,.74, Esc.74, 3.65, 3.65,.74.74,.74 Esc.74,.74.74,1.75,1.75,.74 Esc Σ πρίπτωση ένωσης μ υφιστάμνο κόμβο πιλέγται Join στο παράθυρο που μφανίζται. 289

324 Παράρτημα Δ Επιλέγται το ργαλίο πιφάνιας και ορίζονται οι τρις πιφάνις που αντιστοιχούν στα παραλληλόγραμμα που σχδιάστηκαν προηγουμένως, μ πιλογή των τσσάρων γραμμών που ορίζουν το καθένα. Το τέλος κάθ πιλογής δηλώνται μ Esc. Για τη δημιουργία του χωρικού προσομοιώματος πιλέγται Utilities Copy και στο παράθυρο που ανοίγι ορίζονται τα ξής : Entities type : Surfaces Transformation : Translation First point : x =., y =., z =. Second point : x =., y =., z = 1. Duplicate entities :, Do extrude : Surfaces Create contacts :, Maintain layers : Multiple copies : 1 Στη συνέχια Select, πιλέγονται οι τρις πιφάνις της βάσης του βάθρου και Finish. Επιλέγται το ργαλίο όγκου και ορίζονται οι τρις όγκοι που αντιστοιχούν στη γωνία και στις δύο πλυρές του κοίλου βάθρου, μ πιλογή των έξι πιφανιών που ορίζουν τον καθένα. Το τέλος κάθ πιλογής δηλώνται μ Esc. 29

325 Παράρτημα Δ Στη συνέχια θα πρέπι να σχδιαστούν οι ράβδοι οπλισμού ως μμονωμένς γραμμές, μ όμοιο τρόπο όπως ορίστηκαν τα παραλληλόγραμμα της βάσης του βάθρου. Επιδή όμως στο συγκκριμένο τύπο προσομοιώματος κάτι τέτοιο προκύπτι αρκτά χρονοβόρο, πιλέγται η ισαγωγή της τοπολογίας των οπλισμών απυθίας από σχέδιο του AutoCAD μέσω αρχίου.dxf : Files Import DXF Συνιστάται η ομαδοποίηση των διαφόρων τύπων οπλισμών (διαμήκις, πριμτρικοί συνδτήρς, γκάρσιοι σύνδσμοι) σ διαφορτικά στρώματα (layers), τα οποία ισάγονται αυτούσια από το AutoCAD στον προπξργαστή GiD. Μ τον τρόπο αυτόν ίναι υκολότρη στη συνέχια η μαζική πιλογή τους για την απόδοση των ιδιοτήτων του χάλυβα. Από τη λίστα των στρωμάτων ( Utilities Layers) απνργοποιούνται όλα τα στρώματα κτός από αυτά που αντιστοιχούν στους γκάρσιους οπλισμούς. Στη συνέχια γίνται η πολλαπλή αντιγραφή των γκάρσιων οπλισμών ανά 1 cm καθ ύψος του βάθρου. Utilities Copy Entities type : Lines Transformation : Translation First point : x =., y =., z =. Second point : x =., y =., z =.1 Duplicate entities :, Do extrude : No Create contacts :, Maintain layers : Multiple copies : 1 Στη συνέχια Select, πιλέγονται όλς οι γραμμές των γκάρσιων οπλισμών και στο τέλος Finish. 291

326 Παράρτημα Δ Ορίζονται οι ιδιότητς του υλικού σκυροδέματος C2/25 από την αντίστοιχη πιλογή, οι οποίς αποδίδονται (Assign Volumes) στους τρις όγκους του κοίλου βάθρου. Για την ύκολη πιλογή των όγκων γίνται απνργοποίηση των στρωμάτων που αντιστοιχούν στους οπλισμούς. Ορίζονται οι ιδιότητς του χάλυβα από την αντίστοιχη πιλογή, οι οποίς αποδίδονται (Αssign Lines) στις γραμμές που ορίζουν τους οπλισμούς (Ø32 και Ø25 για τους διαμήκις, Ø22 και Ø16 για τους πριμτρικούς και Ø14 για τους γκάρσιους συνδέσμους). Στους οπλισμούς που διατρέχουν τις δύο κατακόρυφς πιφάνις συμμτρίας, αποδίδται το ήμισυ της αντίστοιχης πιφάνιας του χάλυβα. Για την ύκολη πιλογή των ομάδων των γραμμών μ διαφορτική διάμτρο, γίνται νργοποίηση και απνργοποίηση των αντίστοιχων στρωμάτων. Ορίζονται οι συνοριακές συνθήκς από την αντίστοιχη πιλογή : Constraint for surface Z constraint : αποδίδται στις τρις πιφάνις (surfaces) της βάσης του βάθρου. Constraint for surface Χ constraint : αποδίδται στην κατακόρυφη πιφάνια συμμτρίας της μγάλης πλυράς. Constraint for surface Υ constraint : αποδίδται στην κατακόρυφη πιφάνια συμμτρίας της μικρής πλυράς. 292

327 Παράρτημα Δ Ορίζται η φόρτιση του φορέα από την αντίστοιχη πιλογή : Displacement for surface ZDisplacement.1 m : αποδίδται στις τρις πιφάνις (surfaces) της κφαλής του βάθρου και αντιστοιχί στην καταναγκασμένη μτακίνηση που πιβάλλται σ κάθ φορτιστικό βήμα. Ορίζονται οι πιφάνις καταγραφής της κατακόρυφης αντίδρασης του φορέα από την αντίστοιχη πιλογή : Monitor for surface Output Data : Reactions DirZ : αποδίδται στις τρις πιφάνις (surfaces) της κφαλής του βάθρου. Επίσης μπορί να γίνι ορισμός σημίων ή γραμμών καταγραφής μτακινήσων που αφορούν την κατακόρυφη βύθιση ή τη διόγκωση των πλυρών του βάθρου. Ορίζται η πυκνότητα διακριτοποίησης του φορέα για τους όγκους του σκυροδέματος ως ξής : Mesh Structured Volumes Επιλέγονται οι τρις όγκοι Esc Επιλογή αριθμού διαίρσης πλυρών Assign Επιλογή πλυράς Esc Η παραπάνω διαδικασία παναλαμβάνται για όλς τις πλυρές που αντιστοιχούν στους τρις όγκους του σκυροδέματος (γωνία : 8x8x11, μγάλη πλυρά : 8x31x11, μικρή πλυρά : 8x11x11) και στο τέλος πιλέγται Close. Οι οπλισμοί διακριτοποιούνται μ ένα ππρασμένο στοιχίο ανά γραμμή μ την πιλογή : Mesh Structured Lines Assign number of cells 1 Assign Επιλέγονται όλοι οι οπλισμοί Esc Close Μ την πιλογή Mesh Generate mesh ο φορέας διακριτοποιίται σ 44 ξάδρα στοιχία (brick) για το σκυρόδμα και 549 γραμμικά στοιχία (truss) για τους οπλισμούς. 293

328 Παράρτημα Δ Από την πιλογή ορίζονται οι παράμτροι του αλγορίθμου πίλυσης : Method : Newton Raphson Displacement Error :.1 Residual Error :.5 Absolute Residual Error :.5 Energy Error : 5e6 Iteration limit : 5 Optimize width : Sloan Stiffness type : Elastic Predictor Assemble Stiffness Matrix : Each Step Solver : LU Line Search With Iterations Unbalanced Energy Limit :.8 Line Search Iteration Limit : 3 Minimum Eta :.1 Maximum Eta : 1 Από την πιλογή βημάτων πίλυσης : ορίζται ο αριθμός των LOAD STEP Multiplier : 1. Number of LOAD STEPs : 3 Από την πιλογή δημιουργίται και αποθηκύται το αρχίο δδομένων (RHS1_17.inp) που πρόκιται να πιλυθί στη συνέχια μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ. Το αρχίο δδομένων ισάγται στο πρόγραμμα μαζικής κτέλσης αναλύσων (ΑΤΕΝΑ Batch), στο οποίο γίνται η πιλογή της έξυπνης πιλογής φορτιστικών βημάτων και ορίζται το οριζόντιο πίπδο στο οποίο θα ξαχθούν αποτλέσματα για τους οπλισμούς (5/11 = που αντιστοιχί στο σύνορο μταξύ 5 ου και 6 ου στρού ππρασμένου στοιχίου καθ ύψος). 294

329 Παράρτημα Δ Η ανάλυση στη συνέχια κτλίται μ το πρόγραμμα ΑΤΕΝΑ σ πριβάλλον γραμμής ντολών (command line). Μτά την ολοκλήρωσή της, δημιουργούνται αυτόματα τρία αρχία : RHS1_17.Resume.xls το οποίο πριέχι την πλήρη καμπύλη απόκρισης του φορέα σ μορφή λογιστικού φύλλου, το RHS1_17.ReinfResults.xls το οποίο πριέχι τις καμπύλς απόκρισης όλων των οπλισμών και το RHS1_17.ReinfYield.xls το οποίο πριέχι τους αριθμούς των φορτιστικών βημάτων στα οποία διέρρυσ η κάθ ράβδος οπλισμού. Επιπλέον, στον ίδιο φάκλο παραμένουν όλα τα σημαντικά δυαδικά αρχία αποτλσμάτων τα οποία πιλέχθηκαν μέσω της διαδικασίας έξυπνης πιλογής. Για παράδιγμα, το αρχίο RHS1_17.73.Pre1 αντιστοιχί στη μέγιστη τιμή της κατακόρυφης αντίδρασης του φορέα (1 %), η οποία προέρχται από το 73ο βήμα πίλυσης. Τα δυαδικά αυτά αρχία διαβάζονται από το γραφικό μτπξργαστή του ΑΤΕΝΑ, ο οποίος μπορί να απικονίσι όλα τα μγέθη απόκρισης σ χρωματική κλίμακα, τη ρηγμάτωση του φορέα καθώς και τις κατάλληλς οριζόντις τομές για την φαρμογή της μθόδου της οπτικής ολοκλήρωσης. Στις διπλανές ικόνς παρουσιάζται η καμπύλη απόκρισης, όπως προέκυψ από το λογιστικό φύλλο που δημιουργήθηκ αυτόματα από το πρόγραμμα μαζικής κτέλσης αναλύσων καθώς και χαρακτηριστικές δυνατότητς απικόνισης του γραφικού μτπξργαστή του ΑΤΕΝΑ. 295

330 Παράρτημα Δ Τέλος, θα πρέπι να σημιωθί ότι τα προσομοιώματα των κυκλικών βάθρων ίναι πρισσότρο απαιτητικά ως προς τη δημιουργία τους, πιδή απαιτούν μτατροπή των κυκλικών τόξων σ ισοδύναμα πολυγωνικά και κατάλληλο συνδυασμό ξάδρων και πντάδρων στρών ππρασμένων στοιχίων, στην πρίπτωση των συμπαγών βάθρων. Επίσης, λόγω της πολυπλοκότητας της γωμτρίας των γκάρσιων οπλισμών των κυκλικών βάθρων και ιδιαίτρα των κυκλικών σπιρών αναπτύχθηκ ιδικό λογισμικό το οποίο δέχται ως δδομένα τα βασικά γωμτρικά χαρακτηριστικά του φορέα και δημιουργί αυτόματα ένα αρχίο.dxf που πριγράφι την τοπολογία του συνόλου των οπλισμών (διαμήκις και γκάρσιοι), το οποίο ισάγται απυθίας στον προπξργαστή GiD. 296