4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Transcript

1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω A ένα υποσύνολο του Ονομάζουμ πραγματική συνάρτηση μ πδίο ορισμού το A, μια διαδικασία f, μ την οποία, κάθ στοιχίο A αντιστοιχίζται σ ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το λέγται τιμή της f στο και συμβολίζται μ f ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σύνολο τιμών της συνάρτησης f : A B λέγται το σύνολο fa που πριέχι όλα τα στοιχία του B τα οποία ίναι ικόνς των στοιχίων του A, δηλαδή f A Β / f μ A Β A f B f(a) f() ΠΩΣ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια πραγματική συνάρτηση f (i) το πδίο ορισμού της (ii) o τύπος της συνάρτησης ίναι ορίζται όταν δίνονται: Για παράδιγμα f f ή 5 ή 5 f 5 ή 5 Πολλές φορές δν δίνται το πδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης, αλλά ννοίται ότι ίναι το «υρύτρο» υποσύνολο του στο οποίο έχι νόημα ο τύπο της συνάρτησης Είναι δυνατόν μία συνάρτηση να διπλό ή τριπλό κτλ τύπο Για παράδιγμα η, συνάρτηση: f, έχι πδίο ορισμού το και έχι τύπο, f, f, όταν και όταν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στα πόμνα θα ασχοληθούμ μ πραγματικές συναρτήσις που έχουν πδίο ορισμού ένα διάστημα ή ένωση διαστημάτων ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

2 ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ I Γνωρίζουμ ότι: A Αν μία συνάρτηση έχι τύπο f B πραγματικών αριθμών από το οποίο ξαιρούνται οι ρίζς της ξίσωσης δηλαδή Αν η συνάρτηση έχι τύπο f λύσων της ανίσωσης A f, έχι πδίο ορισμού το σύνολο των A / B, δηλαδή A B, έχι πδίο ορισμού το σύνολο των A / A II Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f βρίσκται ως ξής: Λύνουμ τον τύπο ως προς και γνωρίζοντας ότι η μταβλητή παίρνι τιμές στο πδίο ορισμού Α της συνάρτησης, βρίσκουμ το σύνολο που παίρνι τιμές η μταβλητή I Πδίο ορισμού συνάρτησης ΑΣΚΗΣΕΙΣ, Να βρθί το πδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσων: (i) f 5 f (ii) (iii) f 5 Να βρθί ο α, ώστ η συνάρτηση f ορισμού το α α 8 να έχι πδίο Για ποις τιμές του α, οι παρακάτω συναρτήσις έχουν πδίο ορισμού το (i) f α α (ii) f III Σύνολο τιμών συνάρτησης α (α ) α Να βρθί το σύνολο τιμών των συναρτήσων: (i) f (ii) f 5 (iii) f Πδίο ορισμού συνάρτησης ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρίτ το πδίο ορισμού των συναρτήσων: 5 5 (i) f (ii) f (iii) f 5 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

3 Να βρίτ το πδίο ορισμού των συναρτήσων: (i) f 6 (ii) f 5 Να βρίτ το πδίο ορισμού των συναρτήσων: 7 (i) f (ii) f 9 7 (iii) f 6 (vi) f 5 Να βρίτ το πδίο ορισμού των συναρτήσων: (ii) f (iv) f 7 (iv) f 7 5 Δίνται η συνάρτηση f 9 9 (i) Να βρίτ το πδίο ορισμού της συνάρτησης f f (ii) Να λύστ την ξίσωση (ii) Να βρίτ το πρόσημο της συνάρτησης f, δηλαδή να βρίτ τα διαστήματα στα οποία η f παίρνι θτικές τιμές και τα διαστήματα στα οποία η f παίρνι αρνητικές τιμές 6 Η συνάρτηση f έχι πδίο ορισμού το A, Να βρίτ το πδίο ορισμού της συνάρτησης g f 5 Παράμτροι 7 Να βρθί ο α, ώστ η συνάρτηση f 6 α να έχι πδίο ορισμού το 8 Για ποις τιμές του α οι παρακάτω συναρτήσις έχουν πδίο ορισμού το (i) f (ii) f α (α ) α α α Σύνολο τιμών συνάρτησης 9 Να βρίτ το σύνολο τιμών των συναρτήσων: (i) f (ii) f f (iii) Να βρίτ το σύνολο τιμών των συναρτήσων: (i) f (ii) f 6 Να βρίτ το σύνολο τιμών των συναρτήσων (i) f (ii) f 9 (iii) f (iii) f ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

4 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Α, Αν, B, νός καρτσιανού πιπέδου, τότ: ίναι δύο σημία AB Α, Β, Ο ΠΟΡΙΣΜΑ M, Η απόσταση νός σημίου του καρτσιανού πιπέδου από την αρχή των αξόνων δίνται από τον τύπο: ΟΜ Ο Μ α,β ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Ο κύκλος C μ κέντρο την αρχή ακτίνα ρ, έχι ξίσωση: ρ των αξόνων και Ο ρ Μ, Παρατήρηση Ο κύκλος C ακτίνα ρ έχι ξίσωση: μ κέντρο ένα τυχαίο σημίο K, του καρτσιανού πιπέδου και o ο C: ρ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Δίνται η συνάρτηση f o ο μ πδίο ορισμού το A και μ τιμές στο M, του Γραφική παράσταση της f λέγται το σύνολο των σημίων καρτσιανού πιπέδου E για τα οποία ισχύι f σημίων M,f, A C Επομένως f και συμβολίζται f ή C M, Ε / A και f f, δηλαδή το σύνολο των C M, f Ε / A ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

5 Σχόλιο Μ την βοήθια των ιδιοτήτων των συναρτήσων που θα μάθουμ στα πόμνα, θα μπορούμ σχτικά ύκολα να κατασκυάζουμ την γραφική παράσταση απλών συναρτήσων Στην Γ Λυκίου θα μάθουμ μ την βοήθια των παραγώγων να κατασκυάζουμ τη γραφική παράσταση σύνθτων συναρτήσων ύκολα, γρήγορα και μ αρκτή ακρίβια ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ξίσωση f η οποία παληθύται μόνο από τα ζύγη, που ίναι οι συντταγμένς όλων των σημίων της, λέγται ξίσωση της γραφικής παράστασης της f του καρτσιανού πιπέδου, ανήκι στη γραφική παράσταση M α,β Το σημίο της συνάρτησης f συντταγμένς του M Παραδίγματα Αν τα σημία Aα, 8, συνάρτησης f C f β f α, αν και μόνο αν ισχύι παληθύουν τον τύπο της συνάρτησης B 5,β, δηλαδή αν και μόνο αν οι ανήκουν στην γραφική παράσταση της, να βρθούν οι α, β Αν το σημίο A, ανήκι στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f α 5α, να βρθί ο α Παρατήρηση Είναι φανρό ότι μία καμπύλη C ίναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f αν και μόνο αν κάθ υθία κάθτη στον άξονα τέμνι την γραφική παράσταση της συνάρτησης f το πολύ σ ένα σημίο C f f(α) f(α) Ν Μ α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

6 ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ Α Οι ττμημένς των σημίων στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τέμνι τον άξονα Οι τταγμένς f ίναι οι ρίζς της ξίσωσης των σημίων αυτών ίναι μηδέν Β Η τταγμένη του σημίου στο οποίο η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τέμνι τον άξονα ίναι Η ττμημένη του σημίου αυτού f ίναι προφανώς μηδέν α β α α C f Γ Για να βρούμ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης βρίσκται πάνω από τον άξονα, λύνουμ την ανίσωση f(), νώ για να βρούμ τα διαστήματα στα οποία η βρίσκται κάτω από τον άξονα, λύνουμ f f την ανίσωση C f ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνται η συνάρτηση f (i) Να βρθούν τα σημία στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f τέμνι τους άξονς (ii) Να βρθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α Οι ττμημένς των σημίων στα οποία τέμνονται οι γραφικές παραστάσις δύο συναρτήσων f, g ίναι οι λύσις της ξίσωσής: f g A κ C f Β Για να βρούμ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g, λύνουμ την ανίσωση f() g, νώ για να βρούμ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκται κάτω f g από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g, λύνουμ την ανίσωση C g α λ β B ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ f g Δίνονται οι συναρτήσις, (i) Να βρθούν τα κοινά σημία των γραφικών παραστάσων των συναρτήσων f, g (ii) Να βρθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g ΟΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: f ΚΑΙ f Θωρούμ την συνάρτηση f μ πδίο ορισμού το σύνολο A Η συνάρτηση έχι πδίο ορισμού το A και ισχύι: f f για κάθ A f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτλίται από τα σημία M, f τα οποία ίναι συμμτρικά των σημίων f M,f της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ως προς τον άξονα Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης ίναι συμμτρική της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ως προς τον άξονα f Ο C f C f Η συνάρτηση f έχι πδίο ορισμού το A και ισχύι: f αν f f f f αν f Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτλίται από τα τμήματα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμτρικά ως προς τον άξονα, των τμημάτων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν, μαζί μ τα σημία τομής της μ τον f C f f C f C f ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Γνωρίζουμ ότι ο κύκλος C μ κέντρο την αρχή, των αξόνων και ακτίνα ρ μ ρ έχι ξίσωση: ρ ρ Ο C ρ Είναι φανρό ότι ο κύκλος C δν μπορί να ίναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αφού υπάρχουν υθίς παράλληλς στον άξονα που τον τέμνουν σ δύο σημία ρ Ο C f ρ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

8 Έχουμ ρ ρ ρ ρ,ρ, Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ρ, ρ,ρ ίναι το ημικύκλιο του κύκλου C που βρίσκται πάνω από τον άξονα, νώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης g ρ ρ,ρ, ίναι το ημικύκλιο του κύκλου C που βρίσκται κάτω από τον άξονα Άρα η γραφική παράσταση του κύκλου C ίναι η ένωση των γραφικών παραστάσων των συναρτήσων f και g ρ Ο ρ C g I Απόσταση σημίων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Η απόσταση των σημίων Α, και Β,λ ίναι 5 λ μονάδς Να βρθί ο Να αποδιχθί ότι το τρίγωνο μ κορυφές τα σημία Α,, Β, Γ, ίναι ορθογώνιο Να βρθί η ξίσωση της μσοκαθέτου του υθύγραμμου τμήματος μ άκρα τα σημία Α, και Β, Α και M, B II Σημία τομής της γραφικής παράστασης μ τους άξονς Η γραφική παράσταση πάνω και κάτω από τον άξονα Δίνται η συνάρτηση f (i) Να βρθί το πδίο ορισμού της (ii) Να βρθούν τα σημία στα οποία η (iii) Να βρθούν τα διαστήματα στα οποία η κάτω) από τον άξονα C f τέμνι τους άξονς C f βρίσκται πάνω (αντίστοιχα ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

9 III Σημία τομής των γραφικών παραστάσων δύο συναρτήσων Γραφική παράσταση συνάρτησης πάνω ή κάτω από άλλη γραφική παράσταση 5 Δίνονται οι συναρτήσις: f και (i) Να βρθούν τα κοινά σημία των και C g g (ii) Nα βρθούν τα διαστήματα στα οποία η κάτω) από την C f C f C g βρίσκται πάνω, ( αντίστοιχα IV Γραφικές παραστάσις συναρτήσων και παράμτροι 6 Να βρθί ο α, ώστ οι γραφικές παραστάσις των συναρτήσων f g α+7 να έχουν ένα κοινό σημίο πάνω στην υθία και Κατόπιν να βρθούν όλα τα κοινά σημία των γραφικών παραστάσων των f, g 7 Δίνονται οι συναρτήσις f, g :, για τις οποίς ισχύι: για κάθ f g (i) Να βρίτ τις ττμημένς των κοινών σημίων των γραφικών παραστάσων των συναρτήσων f και g (ii) Να βρίτ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g f ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

10 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Απόσταση δύο σημίων Α, Β, Να αποδίξτ ότι το τρίγωνο μ κορυφές τα σημία, Γ, ίναι ορθογώνιο και να βρίτ το μβαδό του Να αποδίξτ ότι το τρίγωνο μ κορυφές τα σημία Α,, Β5, και Γ, ίναι ισοσκλές και ορθογώνιο Α, Β, Γ, Αν, και ΑΒΓ και, να βρίτ την πρίμτρο του τριγώνου Να βρίτ σημίο πάνω στον άξονα, το οποίο ισαπέχι από τα σημία Β, Α 5, και 5 Να βρίτ την ξίσωση που ικανοποιούν οι συντταγμένς των σημίων M, του καρτσιανού πιπέδου τα οποία ισαπέχουν από τον άξονα και από το σημίο Ε, Παράμτροι 6 Αν το σημίο Μ λ, ανήκι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f να βρίτ το λ 7 Αν το σημίο Μ,α ανήκι στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, να βρίτ το α 8 Να βρίτ τον α αν γνωρίζτ ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 5 α α α 5α διέρχται από την αρχή των αξόνων 9 Να βρίτ τους α, β αν γνωρίζτ ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχται από τα σημία A α, 5 και Β, β 5 Να βρίτ τους α, β αν γνωρίζτ ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α β διέρχται από τα σημία A, και Β, Σημία τομής της γραφικής παράστασης συνάρτησης μ τους άξονς Γραφική παράσταση συνάρτησης πάνω κάτω από τον άξονα Να βρθούν τα σημία που οι γραφικές παραστάσις των παρακάτω συναρτήσων τέμνουν τους άξονς 6 (i) f (ii) f 5 (iii) f 8 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

11 Δίνται η συνάρτηση f α Να βρίτ τον α γραφική παράσταση της f να διέρχται από το σημίο M,9 που βρήκατ : (i) Να βρίτ τα σημία στα οποία η γραφική παράσταση της f και (ii) Να βρίτ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f αντίστοιχα κάτω από τον άξονα, ώστ η Για την τιμή του α τέμνι τους άξονς Σημία τομής των γραφικών παραστάσων δύο συναρτήσων Γραφική παράσταση συνάρτησης πάνω κάτω από άλλη Δίνονται οι συναρτήσις f και g 8 βρίσκται πάνω, (i) Να βρίτ τα κοινά σημία των γραφικών παραστάσων των συναρτήσων f (ii) Να βρίτ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g Δίνονται οι συναρτήσις f και g (i) Να βρίτ τα κοινά σημία των γραφικών παραστάσων των συναρτήσων f (ii) Να βρίτ τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκται πάνω, αντίστοιχα κάτω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g Γραφικές παραστάσις συναρτήσων και παράμτροι 5 Αν f α β και g α α 6, να βρθούν οι α, β ώστ οι γραφικές παραστάσις των f, g να έχουν κοινά σημία πάνω στον άξονα και στην υθία 6 Να βρθούν οι α, β ώστ οι γραφικές παραστάσις των συναρτήσων 8β f α α β και g να τέμνονται πάνω στον άξονα και η γραφική παράσταση της f να φάπτται του άξονα β α 7 Δίνονται οι συναρτήσις f α και g, α, β (i) Να βρίτ τους α, β ώστ οι γραφικές παραστάσις των f, g να τέμνονται πάνω στις υθίς και (ii) Για τις τιμές των α, β που βρήκατ στο ρώτημα (i): α Να βρίτ τα κοινά σημία των C f και C g β Να βρίτ τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκται πάνω, αντίστοιχα κάτω, από την C g, g, g ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

12 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() α β ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ μία υθία στο καρτσιανό πίπδο η οποία τέμνι τον άξονα Έστω σημίο A στο Α Ο ω Ο Α ω Γωνία της υθίας μ τον άξονα λέγται η γωνία ω που διαγράφι η ημιυθία Α, αν στραφί γύρω από το A κατά την θτική φορά ( αντίθτη από την φορά πριστροφής των δικτών του ρολογιού ) μέχρι να συμπέσι μ την υθία Αν η υθία ίναι παράλληλη στον άξονα ή συμπίπτι μ αυτόν, τότ ορίζουμ ως γωνία της υθίας μ τον άξονα να ίναι η μηδνική γωνία δηλαδή ο ω Αν ω ίναι η γωνία μιας υθίας Έστω μ τον άξονα, τότ: ο ω 8 ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ μία υθία η οποία δν ίναι παράλληλη στον άξονα και σχηματίζι γωνία ω μ τον άξονα Κλίση ή συντλστής διύθυνσης της υθίας ορίζται να ίναι η φαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζται μ λ ή μ λ φω Αν η υθία Σχόλιο λ, δηλαδή ίναι παράλληλη στον άξονα, τότ δν ορίζται η κλίση αυτής Στα πόμνα όταν θα λέμ ότι μία υθία έχι κλίση λ, θα ννοούμ ότι η υθία δν ίναι παράλληλη στον άξονα H ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() α β ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθ υθία στο καρτσιανό πίπδο που δν ίναι παράλληλη στον άξονα έχι ξίσωση της μορφής α β και αντίστροφα κάθ ξίσωση της μορφής α β ίναι ξίσωση μιας υθίας ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

13 Από το προηγούμνο θώρημα συμπραίνουμ ότι: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () α β η οποία τέμνι ίναι μία υθία τον άξονα στο σημίο Β,β και σχηματίζι γωνία ω μ τον άξονα για την οποία ισχύι έχι κλίση ίση μ α φω α λ α Δηλαδή η υθία Β,β Ο ω Η γραφική παράσταση της συνάρτησης η οποία τέμνι τον f () α άξονα ίναι μία υθία στο σημίο Β, δηλαδή διέρχται από την αρχή Ο των αξόνων και σχηματίζι γωνία για την οποία ισχύι φω α ω μ τον άξονα Ο ω Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() ( Ταυτοτική συνάρτηση ) ίναι η διχοτόμος των γωνιών του και τταρτημορίου, αφού διέρχται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζι μ τον άξονα γωνία ω μ φω οπότ ο ου ου ω 5 Όμοια η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () ίναι η διχοτόμος των γωνιών του και ου τταρτημορίου ου δ 5 δ 5 Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () α β ίναι μία υθία η οποία σχηματίζι γωνία ω μ τον άξονα Είναι φανρό ότι: ο αν α, τότ ω 9 ο ο αν α, τότ 9 ω 8 ο αν α, τότ ω Όταν α, η συνάρτηση έχι μορφή f() β και λέγται σταθρή συνάρτηση Η γραφική της παράσταση ίναι μία υθία η οποία ίναι παράλληλη στον άξονα και τον τέμνι στο σημίο Β,β Παρατηρήσις Κάθ υθία του καρτσιανού πιπέδου που δν ίναι παράλληλη στον άξονα ίναι γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής f α β, α,β ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

14 Αν μία υθία διέρχται από το σημίο M,, τότ η υθία του καρτσιανού πιπέδου ίναι παράλληλη στον άξονα ίναι γραφική παράσταση συνάρτησης o ο έχι ξίσωση o και δν και Παραδίγματα Να γίνι η γραφική παράσταση των ξισώσων : και Να βρθί η συνάρτηση της οποίας η γραφική του διπλανού παράσταση ίναι η υθία σχήματος Επίσης να βρθί η γωνία που σχηματίζι η υθία μ τον άξονα Να αποδιχθί ότι η ξίσωση παριστάνι μια υθία Να βρθί την γωνία που σχηματίζι η υθία μ τον άξονα και να σχδιαστί ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ Ο συντλστής διύθυνσης λ μιας υθίας που διέρχται από τα σημία Α, και B, δίνται από τον τύπο λ Ο Α, Β, Παράδιγμα Να βρθί η ξίσωση της υθίας B, 9 που διέρχται από τα σημία A, και ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ Θώρημα Θωρούμ τις υθίς μ ξισώσις α β και α β αντίστοιχα Ισχύουν τα πόμνα: (i) H υθία ίναι παράλληλη στην αν και μόνο αν α α (ii) H υθία ίναι κάθτη στην αν και μόνο αν αα και ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να βρθί η γωνία ω που σχηματίζουν μ τον άξονα στα οποία τέμνουν τον άξονα οι παρακάτω υθίς: καθώς και τα σημία (i) (ii) 5 (iii) 5 (iv) Να ξτασθί αν η υθία που διέρχται από τα σημία ίναι παράλληλη στην υθία και Β,8 Γ, Δ, Να βρθί η ξίσωση της υθίας (i) Έχι κλίση λ ζ Α,5 και που διέρχται από τα σημία η οποία: και τέμνι τον άξονα (ii) Έχι κλίση λ 5 και τέμνι τον άξονα (iii) Σχηματίζι μ τον άξονα γωνία Α, (iv) Διέρχται από τα σημία ο ω 5 και Β,8 Για ποις τιμές του μ οι υθίς, μ μ αντίστοιχα, ίναι παράλληλς ζ Β, 5 στο σημίο Α, στο σημίο και Μ, μ ξισώσις μ και 5 Να γίνι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

16 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρίτ τη γωνία ω που σχηματίζι μ τον άξονα η υθία : (i) 6 (ii) (iii) (iv) 6 Να βρίτ την κλίση λ και το σημίο που τέμνουν τον άξονα οι παρακάτω υθίς : (i) (ii) (iii) (iv) Να βρίτ την κλίση των υθιών που διέρχονται από τα σημία: και και (iii) A,5 (i) B 5,5 A, 6 (ii) B,8 A, 6 B, και Ποις από τις υθίς αυτές σχηματίζουν οξία γωνία και ποις σχηματίζουν αμβλία γωνία μ τον άξονα ; Να βρίτ την ξίσωση της υθίας η οποία έχι κλίση λ και τέμνι τον άξονα στο σημίο Β, όταν: (i) λ και Β, (ii) λ Α, και (iii) λ Β, και 5 Να βρίτ την ξίσωση της υθίας η οποία διέρχται από τα σημία A και Β, όταν: (i) Α, και Β, (ii) Α, 5 και Β, 5 (iii) Α, και Β, 5 6 Να βρίτ την ξίσωση της υθίας η οποία διέρχται από το σημίο A παράλληλη στην υθία που δίνται, όταν: Α, και 5 Α, και (i) (ii) και ίναι 7 Να βρίτ την κλίση της υθίας στο διπλανό σχήμα 8 Να βρίτ την κλίση της υθίας στο διπλανό σχήμα ο 6 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

17 9 Οι υθίς μ ξισώσις μ μ και τέμνονται πάνω στον άξονα Να βρίτ το μ μ μ 5 Το μβαδόν του τραπζίου ΑΒΓΔ στο διπλανό σχήμα ίναι 9 και τα σημία A, B έχουν συντταγμένς,, 5, αντίστοιχα Να βρίτ το β Δ Α Γ Β β Το διπλανό σχήμα δίχνι την απόσταση νός οχήματος που κινίται, από το σημίο τρματισμού Να βρίτ σ πόσς ώρς από την κκίνηση το όχημα θα απέχι από τη σημίο τρματισμού Km Στο διπλανό σχήμα οι υθίς και ίναι κάθτς (i) Να βρίτ τις ξισώσις των υθιών και (ii) Να βρίτ τις συντταγμένς του σημίου τομής Α των υθιών αυτών ζ ζ (Απόσταση σ Κm) Α ζ (Χρόνος σ ώρς) 5 Να βρίτ την ξίσωση της υθίας παρακάτω: (i) (ii) σ καθένα από τα σχήματα που δίνονται (iii) ο 6 (iv) (v) (vi) ο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε

18 6 Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης: f και κατόπιν να βρίτ το σύνολο τιμών της συνάρτησης 8 Για ποις τιμές του α η υθία μ ξίσωση : α α α α (i) Είναι παράλληλη στον άξονα (ii) Διέρχται από την αρχή των αξόνων (iii) Σχηματίζι μ τον άξονα οξία γωνία (iv) Σχηματίζι μ τον άξονα αμβλία γωνία C f 9 Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: Να βρίτ τον τύπο της συνάρτησης f Ο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

19 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Α ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ I ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ Θωρούμ τη συνάρτηση φ μ πδίο ορισμού το σύνολο A και την συνάρτηση f φ c, c, η οποία έχι πίσης πδίο ορισμού το σύνολο A Είναι φανρό ότι για κάθ A οι τιμές της f ίναι κατά c μονάδς μγαλύτρς από τις τιμές της φ Επομένως τα σημία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτουν από μια κατακόρυφη μτατόπιση προς τα πάνω κατά c μονάδς των σημίων γραφικής παράστασης της φ c c c c c C f c C φ f() φ() c, c Επομένως Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, μ: f φ c, όπου c προκύπτι από μία κατακόρυφη μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδς προς τα πάνω Παράδιγμα Θωρούμ την συνάρτηση φ, της οποίας η γραφική παράσταση ίναι η υθία του διπλανού σχήματος, η οποία διέρχται από την αρχή Ο των αξόνων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ή f φ ίναι η μ υθία ζ η οποία προκύπτι από την υθία κατακόρυφη μτατόπιση κατά τέσσρις μονάδς προς τα πάνω Ο ζ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

20 II ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ Θωρούμ τη συνάρτηση φ μ πδίο ορισμού το σύνολο A και την συνάρτηση f φ c, c, η οποία έχι πίσης πδίο ορισμού το σύνολο A Είναι φανρό ότι για κάθ A οι τιμές της f ίναι κατά c μονάδς μικρότρς από τις τιμές της φ Επομένως τα σημία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτουν από μια κατακόρυφη μτατόπιση προς τα κάτω κατά c μονάδς των σημίων γραφικής παράστασης της φ c c c c c C φ C f c f() φ() c, c Επομένως Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, μ: f φ c, όπου c προκύπτι από μία κατακόρυφη μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδς προς τα κάτω Παράδιγμα Θωρούμ την συνάρτηση φ, της οποίας η γραφική παράσταση ίναι η υθία του διπλανού σχήματος, η οποία διέρχται από την αρχή Ο των αξόνων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ή f φ ίναι η μ υθία ζ η οποία προκύπτι από την υθία κατακόρυφη μτατόπιση κατά τέσσρις μονάδς προς τα κάτω ζ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

21 Β ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ I ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ Θωρούμ τη συνάρτηση φ μ πδίο ορισμού το σύνολο A f φ c Παρατηρούμ ότι f c φ c c φ A, c, η οποία έχι πίσης πδίο ορισμού το σύνολο A και την συνάρτηση για κάθ A Δηλαδή για κάθ οι τιμές της φ στη θέση ίναι ίσς μ τις τιμές της f στη θέση c Επομένως τα σημία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτουν από μια οριζόντια μτατόπιση προς δξιά κατά c μονάδς των σημίων γραφικής παράστασης της φ c c c c c C φ c C f f() φ c, c Επομένως Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, μ: f φ c, όπου c προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ μονάδς προς τα δξιά c κατά Παράδιγμα Θωρούμ την συνάρτηση φ, της οποίας η γραφική παράσταση ίναι η υθία του διπλανού σχήματος, η οποία διέρχται από την αρχή Ο των αξόνων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ή f φ ίναι μ η υθία ζ η οποία προκύπτι από την υθία οριζόντια μτατόπιση κατά δύο μονάδς προς τα δξιά ζ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 8

22 II ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Θωρούμ τη συνάρτηση φ μ πδίο ορισμού το σύνολο A f φ c Παρατηρούμ ότι f c φ c c φ A, c, η οποία έχι πίσης πδίο ορισμού το σύνολο A και την συνάρτηση για κάθ A Δηλαδή για κάθ οι τιμές της φ στη θέση ίναι ίσς μ τις τιμές της f στη θέση c Επομένως τα σημία που ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτουν από μια οριζόντια μτατόπιση προς αριστρά κατά c μονάδς των σημίων γραφικής παράστασης της φ c C f C φ c c c c c f() φ c, c Επομένως Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, μ: f φ c, όπου c προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδς προς τα αριστρά c Παράδιγμα Θωρούμ την συνάρτηση φ, της οποίας η γραφική παράσταση ίναι η υθία του διπλανού σχήματος, η οποία διέρχται από την αρχή Ο των αξόνων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ή f φ ζ η οποία προκύπτι από την υθία ίναι η υθία μ οριζόντια μτατόπιση κατά δύο μονάδς προς τα αριστρά ζ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 9

23 Παρατήρηση Από τα προηγούμνα ύκολα συμπραίνουμ ότι: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, μ: f φ c d, όπου c και d προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδς προς τα αριστρά ή δξιά και από μία κατακόρυφη μτατόπιση κατά μονάδς προς τα πάνω ή κάτω c d Παράδιγμα Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ, Να γίνι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 5 * Λύση f φ 5, οπότ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f Είναι προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά 5 μονάδς προς τα δξιά και από μία κατακόρυφη μτατόπιση κατά μονάδς προς τα κάτω C φ C φ 5 C f ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Στο ίδιο σύστημα συντταγμένων να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσις: (i) φ() (ii) g() (iii) f() Λύση Οι συναρτήσις f, g, h έχουν πδίο ορισμού το αν (i) Είναι f(), οπότ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αν αποτλίται από τις διχοτόμους των γωνιών του πρώτου και του δύτρου τταρτημορίου (ii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδα προς τα δξιά ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

24 (iii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδα προς τα αριστρά και κατόπιν από μία κατακόρυφη μτατόπιση κατά τρις μονάδς προς τα κάτω C g C φ C f Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ, Να παρασταθί 7 γραφικά η συνάρτηση f Λύση Έχουμ : 7 6 * C φ Οπότ 7, δηλαδή f ή f φ C f Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά προς τα αριστρά και από μία κατακόρυφη μτατόπιση κατά μονάδς προς τα πάνω μονάδς C φ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

25 αν Δίνται η συνάρτηση φ αν A Να βρθί το πδίο ορισμού της συνάρτησης φ και κατόπιν, να γίνι η γραφική της παράσταση B Σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων να γίνουν οι γραφικές παραστάσις των συναρτήσων: f φ f φ f φ (i) (ii) (iii) (iv) f φ (v) f φ Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης φ, Να παρασταθί γραφικά η συνάρτηση f Λύση Έχουμ : f * f φ Δηλαδή f ή Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτι από μία οριζόντια μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά μονάδς προς τα δξιά και από μία κατακόρυφη μτατόπιση κατά μονάδς προς τα κάτω ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

26 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ποις μτατοπίσις πρέπι να κάνουμ στην γραφική παράσταση της συνάρτησης για να πάρουμ τις γραφικές παραστάσις των συναρτήσων: f (ii) f (i) f 5 (iii) f (iv) f (v) f (v) f (v) f 5 (v) f Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της και στα σχήματα που ακολουθούν f συνάρτησης δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, ή οποία προκύπτι από την γραφική παράσταση της f μ κατάλληλη μτατόπιση Να βρίτ τον τύπο της συνάρτησης g σ κάθ πρίπτωση (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Στο ίδιο σύστημα συντταγμένων να σχδιάστ τις γραφικές παραστάσις των f g Σ ένα άλλο σύστημα συντταγμένων συναρτήσων και να σχδιάστ την γραφική παράσταση της συνάρτησης (i) Να λύστ γραφικά την ξίσωση h (ii) Να λύστ γραφικά τις ανισώσις και (iii) Να πιββαιώστ αλγβρικά τα προηγούμνα αποτλέσματα (iv) Να βρίτ το πλήθος των λύσων της ξίσωσης α, για τις διάφορς τιμές του α Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίτ το σύνολο τιμών της και κατόπιν να 5 Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης f 5 και κατόπιν να βρίτ το σύνολο τιμών της 6 Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

27 9 αν f αν Κατόπιν να κάντ τις γραφικές παραστάσις των παρακάτω συναρτήσων σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων : (i) f f f f (ii) (iii) (iv) 7 Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων να κάντ τις γραφικές παραστάσις των συναρτήσων: (i) (ii) (iii) (iv) 8 Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Αφού πρώτα κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης, στην συνέχια να κάντ τις γραφικές παραστάσις των παρακάτω συναρτήσων σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων : (i) (iii) (ii) (iv) 9 Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Nα κάντ τις γραφικές παραστάσις των παρακάτω συναρτήσων σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων : (i) (ii) Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f Nα κάντ τις γραφικές παραστάσις των παρακάτω συναρτήσων σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων : (i) 8 (ii) (iii) (iv) 8 8 Ο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 5

28 Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της f συνάρτησης (i) Να κάντ την γραφική παράσταση της συνάρτησης : g (ii) Να λύστ γραφικά την ξίσωση και τις ανισώσις :, (iii) Να παληθύστ αλγβρικά τα προηγούμνα συμπράσματα Ο Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f Σ διαφορτικά συστήματα συντταγμένων να κάντ τις γραφικές παραστάσις των συναρτήσων: (i) (ii) (iv) f (iii) f f f 5 Δίνται η συνάρτηση φ Να βρίτ τον τύπο της συνάρτησης f οποίας η γραφική παράσταση προκύπτι από την μτατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά: (i) κατά μονάδς προς τα κάτω (ii) κατά μονάδς προς τα δξιά (iii) κατά μονάδς προς τα αριστρά και 5 μονάδς προς τα πάνω (iv) κατά μονάδς προς τα δξιά και 8 μονάδς προς τα κάτω της Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και στα σχήματα που ακολουθούν δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, ή οποία προκύπτι από την γραφική παράσταση της f μ κατάλληλη μτατόπιση Να βρίτ τον τύπο της συνάρτησης g σ κάθ πρίπτωση (i) (ii) 8 (iii) 8 (iv) (v) (vi) ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 55

29 5 MNTNIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MNTNIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο Παρατηρούμ ότι Δ α,β διάστημα καθώς αυξάνουν οι τιμές του στο διάστημα Δ, αυξάνουν και οι αντίστοιχς τιμές της συνάρτησης Για οποιαδήποτ μ, f f Στην πρίπτωση αυτή, ισχύι: λέμ ότι η συνάρτηση f Δ ίναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ f f Ο α β Γνικά έχουμ τον πόμνο ορισμό: Ορισμός Μία συνάρτηση λέγται: γνησίως αύξουσα, σ ένα διάστημα Δ ορισμού της, όταν για κάθ μ, ισχύι: f f Συμβολικά γράφουμ: f f Δ, Δ του πδίου Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f στο Δ α,β Παρατηρούμ ότι διάστημα καθώς αυξάνουν οι τιμές του στο διάστημα Δ, οι αντίστοιχς τιμές της συνάρτησης λαττώνονται Για οποιαδήποτ, Δ μ, f f Στην πρίπτωση αυτή ισχύι: λέμ ότι η συνάρτηση f ίναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ f f Ο α β Γνικά έχουμ τον πόμνο ορισμό: Ορισμός Μία συνάρτηση f λέγται: γνησίως φθίνουσα, σ ένα διάστημα Δ του πδίου ορισμού της, όταν για κάθ, Δ μ, ισχύι: f f Συμβολικά γράφουμ: f Δ Αν μια συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ όλο το πδίου ορισμού της, τότ λέμ απλώς ότι η f ίναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα Αν μια συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πδίου ορισμού της, τότ λέμ ότι η f ίναι γνησίως μονότονη στο Δ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 56

30 Εφαρμογή Να μλτηθί η μονοτονία της συνάρτησης f α β Παράδιγμα Να μλτηθί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f Παρατήρηση, α 5 Από το προηγούμνο παράδιγμα συμπραίνουμ ότι: Είναι δυνατόν μια συνάρτηση f, να ίναι γνησίως μονότονη σ δύο υποδιαστήματα, του πδίου ορισμού της μ το ίδιο ίδος μονοτονίας και να μην ίναι γνησίως Δ, Δ μονότονη στην ένωση ΛΟΓΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Δ Δ Έστω μια συνάρτηση f : A αυτών και, f λ A μ f λέγται λόγος μταβολής ή πηλίκο διαφορών της f στα Αποδικνύται η πόμνη ΠΡΟΤΑΣΗ λόγος Δίνται η συνάρτηση f : A και Δ Α Θωρούμ τον λόγο μταβολής: f f λ μ, Δ και Η f ίναι γνησίως αύξουσα στο Δ Η f ίναι γνησίως αύξουσα στο Δ και αν και μόνο αν, λ για κάθ, Δ αν και μόνο αν, λ για κάθ, Δ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να μλτηθί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f 6 5 Παρατήρηση Ο λόγος μταβολής λ μιας συνάρτησης f στα σημία και ίναι ίσος μ τον συντλστή διύθυνσης της Α,f υθίας που διέρχται από τα σημία και B,f Αν ω η γωνία που σχηματίζι η υθία μ τον άξονα, ίναι φανρό ότι: λ φω f f Ο A ω C f B ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 57

31 ΠΩΣ ΜΕΛΕΤΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τη μονοτονία μιας συνάρτησης f μλτούμ μ τους ξής τρόπους: (i) Μ τον ορισμό (ii) Μ το λόγο μταβολής Όταν το πδίο ορισμού Α μιας συνάρτησης f ίναι ένωση διαστημάτων συνήθως μλτούμ την μονοτονία της f πρώτα σ κάθ ένα από αυτά και κατόπιν στην ένωση τους Σχόλιο Στην Γ Λυκίου θα μάθουμ να μλτάμ πιο ύκολα την μονοτονία μιας συνάρτησης μ την βοήθια των παραγώγων f ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να μλτηθί μ δύο τρόπους η μονοτονία της συνάρτησης f ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση f :A ίναι γνησίως μονότονη τότ η f c, μ c έχι το πολύ μία πραγματική ξίσωση ρίζα Απόδιξη α c Έστω ότι η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα και ότι η ξίσωση f c έχι δύο ρίζς, μ Αφού και η f ίναι γνησίως αύξουσα, τότ f f που ίναι άτοπο γιατί f f c Άρα η ξίσωση f c, μ c έχι το πολύ μία πραγματική ρίζα Όμοια όταν η συνάρτηση f ίναι γνησίως φθίνουσα C f α c C f ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ Σύμφωνα μ το προηγούμνο θώρημα : αν η συνάρτηση f :A ίναι f έχι το πολύ μία πραγματική ρίζα, γνησίως μονότονη τότ η ξίσωση δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνι τον άξονα το πολύ σ ένα σημίο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 58

32 Aν η συνάρτηση f :A τότ στο διάστημα α,,α παίρνι θτικές τιμές Aν η συνάρτηση f :A στο διάστημα η f παίρνι αρνητικές τιμές ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ,α Να λυθί η ξίσωση : ΘΕΩΡΗΜΑ ίναι γνησίως αύξουσα και έχι ρίζα την α, η f παίρνι αρνητικές τιμές και στο διάστημα ίναι γνησίως φθίνουσα και έχι ρίζα την α, τότ παίρνι θτικές τιμές και στο διάστημα α, Αν η συνάρτηση f : A ίναι γνησίως μονότονη τότ ισχύι η ισοδυναμία: f f για κάθ, A Απόδιξη Έστω ότι η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα Αν f f, από τον ορισμό της συνάρτησης τότ Έστω f f και έχουμ f f έχουμ f f Αν τότ πιδή η f, άτοπο Αν τότ πιδή η f, άτοπο Άρα Όμοια όταν η συνάρτηση f ίναι γνησίως φθίνουσα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ίναι γνησίως αύξουσα ίναι γνησίως αύξουσα Η συνάρτηση f : ίναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση A 9, Να λυθί η ξίσωση: διέρχται από το σημίο ΘΕΩΡΗΜΑ f Αν η συνάρτηση f : A ίναι: (i) Γνησίως αύξουσα τότ για κάθ, A ισχύι η ισοδυναμία: f f (ii) Γνησίως φθίνουσα τότ για κάθ, A ισχύι η ισοδυναμία: f f Απόδιξη (i) Έστω ότι η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα f f, από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης Αν τότ Έστω f f f f f f Αν τότ από τον ορισμό της συνάρτησης έχουμ, άτοπο Αν τότ πιδή η f ίναι γνησίως αύξουσα έχουμ, άτοπο Άρα ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 59

33 (ii) Όμοια Τα προηγούμνα ίναι χρήσιμα για την λύση ξισώσων και ανισώσων όταν δν λύνονται μ τους κλασικούς τρόπους ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η συνάρτηση f : ίναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχται από τα σημία και (i) Να λυθί η ξίσωση f 5 A,5 (ii) Να λυθί η ανίσωση f 8 Β,8 Παρατήρηση Σύμφωνα μ τα προηγούμνα η μονοτονία των συναρτήσων μας βοηθά να λύσουμ ξισώσις ή ανισώσις που δν λύνονται μ συμβατικούς τρόπους Ειδικότρα Α Για να λύσουμ μία ξίσωση έχουμ τους ξής τρόπους: Μ δοκιμές βρίσκουμ μία ρίζα της ξίσωσης και την μτασχηματίζουμ στη f μορφή f ή α, α γνησίως μονότονη οπότ συμπραίνουμ ότι η ρίζα Μτασχηματίζουμ την ξίσωση στη μορφή αποδικνύουμ ότι η συνάρτηση f o Αποδικνύουμ ότι η συνάρτηση f o ίναι μοναδική f h f g και ίναι ίναι γνησίως μονότονη Μτά από αυτό g h, δηλαδή συμπραίνουμ ότι η ξίσωση ίναι ισοδύναμη μ την f g f h g h Λύνουμ την ξίσωση g h μ τους γνωστούς τρόπους Β Για να λύσουμ μία ανίσωση, την μτασχηματίζουμ στη μορφή f g f h f g f h ή και μλτούμ την μονοτονία της συνάρτησης f Αν η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα τότ έχουμ: f g f h g h f g f h g h ή Αν η συνάρτηση f ίναι γνησίως φθίνουσα τότ έχουμ: f g f h g h f g f h g h ή Λύνουμ την τλυταία ανίσωση μ τους γνωστούς τρόπους ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

34 II ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: Παρατηρούμ ότι στο σημίο o η συνάρτηση f παίρνι την f f για κάθ μικρότρη τιμή, δηλαδή Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι η συνάρτηση f παρουσιάζι στο σημίο ολικό λάχιστο ή απλώς λάχιστο το f o o o f( o) o C f Γνικά έχουμ τον πόμνο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, μ πδίο ορισμού το σύνολο A λέμ ότι παρουσιάζι στο ολικό λάχιστο ή απλώς λάχιστο όταν: o Το A o A f f λέγται θέση λαχίστου, νώ το λάχιστο της συνάρτησης f o, για κάθ A f o και συμβολίζται μ λέγται ολικό λάχιστο ή απλώς minf Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: Παρατηρούμ ότι στο σημίο o η συνάρτηση f παίρνι την f f για κάθ μγαλύτρη τιμή, δηλαδή Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι η συνάρτηση f παρουσιάζι στο σημίο ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο το f o o o o f( o) C f Γνικά έχουμ τον πόμνο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f, μ πδίο ορισμού το σύνολο A λέμ ότι παρουσιάζι στο A ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο όταν: o Το o f f o, για κάθ A A λέγται θέση μγίστου, νώ το f λέγται ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο της συνάρτησης f και συμβολίζται μ o maf Το ( ολικό ) μέγιστο και το ( ολικό ) λάχιστο μιας συνάρτησης f ακρότατα της f λέγονται ( ολικά ) ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

35 Πως βρίσκουμ τα ακρότατα μιας συνάρτησης Τα (ολικά ) ακρότατα μίας συνάρτησης f τα βρίσκουμ μ τους παρακάτω τρόπους: Μ τη βοήθια καθολικών ανισοτήτων Από το σύνολο τιμών της συνάρτησης Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Σχόλιο Στην Γ Λυκίου θα μάθουμ να βρίσκουμ ύκολα τα ακρότατα μιας συνάρτησης f μ την βοήθια των παραγώγων Παραδίγματα Να μλτηθούν ως προς τα ακρότατα οι συναρτήσις: f f 5 f 6 (i) (ii) (iii) Να μλτηθούν ως προς τα ακρότατα οι συναρτήσις: f 5 8 f 7 f 6 (i) (ii) (iii) ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

36 III ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ) ΆΡΤΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f Η συνάρτηση Για κάθ A και το έχι πδίο ορισμού A A και έχουμ Το σημίο M,f f f ανήκι στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f, N,f N,f αλλά και το σημίο ή ανήκι πίσης στην γραφική παράσταση της f Τα σημία M και N έχουν αντίθτς ττμημένς και ίσς τταγμένς οπότ ίναι συμμτρικά ως προς τον άξονα Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχι άξονα συμμτρίας τον άξονα Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι η συνάρτηση f ίναι άρτια N M Γνικά έχουμ τον πόμνο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f A ισχύουν: μ πδίο ορισμού το σύνολο A, λέγται άρτια όταν για κάθ A και f f Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχι άξονα συμμτρίας τον άξονα αλλά και αντίστροφα αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχι άξονα συμμτρίας τον άξονα τότ ίναι άρτια Ο ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f Η συνάρτηση έχι πδίο ορισμού A Για κάθ A και το A και έχουμ Το σημίο M,f f f ανήκι στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f, N,f N, f αλλά και το σημίο ή ανήκι πίσης στην γραφική παράσταση της f Τα σημία M και N έχουν αντίθτς συντταγμένς οπότ ίναι συμμτρικά ως προς την αρχή των αξόνων Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχι κέντρο συμμτρίας την αρχή των αξόνων Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι η συνάρτηση f ίναι πριττή N M ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

37 Γνικά έχουμ τον πόμνο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f ισχύουν: A μ πδίο ορισμού το σύνολο A, λέγται πριττή όταν για κάθ A και f f Η γραφική παράσταση μιας πριττής συνάρτησης έχι κέντρο συμμτρίας την αρχή των αξόνων αλλά και αντίστροφα αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχι κέντρο συμμτρίας την αρχή των αξόνων τότ ίναι πριττή Σχόλιο Αν μία συνάρτηση f ίναι πριττή και το ανήκι στο πδίο ορισμού της, τότ f Πως βρίσκουμ αν μια συνάρτηση ίναι άρτια ή πριττή Για να δίξουμ ότι μια συνάρτηση f : A ίναι άρτια ή πριττή, ργαζόμαστ ως ξής : Ελέγχουμ αν για κάθ A και το A, δηλαδή αν το πδίο ορισμού της συνάρτησης Α, ίναι συμμτρικό σύνολο ως προς το μηδέν Βρίσκουμ το f f και το συγκρίνουμ μ το Σημίωση: Από την γραφική παράσταση της συνάρτησης έχουμ γνωστά, το Πδίο Ορισμού, το Σύνολο Τιμών, τα Ακρότατα και την Μονοτονία ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να ξτασθί αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: 5 (i) f 5 (ii) f (iii) f (iv) f 5 8 Παρατήρηση Μρικές φορές, για την μλέτη μιας συνάρτησης της μορφής: (i) f α β γ, α ίναι χρήσιμο να την μτατρέουμ στη μορφή f α κ λ, μ την μέθοδο της συμπλήρωσης ττραγώνου α β (ii) f γ δ διαιρώντας τον αριθμητή μ τον παρανομαστή ίναι χρήσιμο να την μτατρέουμ στη μορφή υ f π γ, δ ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 6

38 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Μονοτονία Να μλτηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσις: (i) f (ii) f (iii) f 9 g Δίνονται οι συναρτήσις f, g : Α μ για κάθ Α Αν η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση g ίναι γνησίως φθίνουσα, να μλτηθί η μονοτονία της συνάρτησης h f (i) Να μλτηθί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f 5 (ii) Να λυθί η ξίσωση (iii) Να λυθί η ανίσωση A, B,, A g Η συνάρτηση f : ίναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχται από τα σημία και (i) Να λυθί η ξίσωση f (ii) Να λυθί η ανίσωση f 6 (iii) Να λυθί η ξίσωση f f (iv) Να λυθί η ανίσωση Ακρότατα 6 f f 5 Να βρθούν τα ακρότατα των συναρτήσων: (i) f (ii) f 8 (iii) f 6 Να βρθούν τα ακρότατα των συναρτήσων: (i) f 8 9 (ii) f 6 (iii) f 5 f Να αποδιχθί ότι η συνάρτηση και μέγιστο για παρουσιάζι λάχιστο για 8 (i) Από όλους τους θτικούς αριθμούς μ σταθρό άθροισμα α, α, να βρίτ κίνους που έχουν το μέγιστο γινόμνο το οποίο και να υπολογίστ (ii) Από όλα τα ορθογώνια μ σταθρή πρίμτρο, να βρίτ κίνο που έχι το μέγιστο μβαδόν ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 65

39 Άρτις Πριττές συναρτήσις 9 Να ξτασθί ποις από τις παρακάτω συναρτήσις ίναι άρτις και ποις ίναι πριττές: 5 5 (i) f 5 (ii) f (iii) f 5 6 Να ξτασθί ποις από τις παρακάτω συναρτήσις ίναι άρτις και ποις ίναι πριττές: (i) f (ii) f (iii) f Ποις από τις παρακάτω γραμμές ίναι γραφικές παραστάσις άρτιας και ποις πριττής συνάρτησης; (i) (ii) (iii) Ο α Ο α Ο ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 66

40 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μονοτονία Να μλτήστ την μονοτονία των συναρτήσων: 5 f (ii) f (iii) f (i) Να μλτήστ την μονοτονία των συναρτήσων: (i) f (ii) f 7 (iii) f Να μλτήστ την μονοτονία των συναρτήσων: f (iv) (iv) f 7 5 (i) f (ii) f (iii) f (iv) f Να μλτήστ την μονοτονία των συναρτήσων : (i) f (ii) f (iii) f (iv) f 5 Να μλτήστ την μονοτονία των συναρτήσων: f f f 5 (i) (ii) (iii) 6 Να αποδίξτ ότι η συνάρτηση διαστήματα,, και 7 Να μλτήστ την μονοτονία των συναρτήσων: (i) f (ii) f f f ίναι γνησίως αύξουσα στα (iii) 8 Να βρθί ο α ώστ η συνάρτηση: f α α να ίναι γνησίως αύξουσα στο Μονοτονία και λύση ξισώσων ανισώσων 5, 9 Η συνάρτηση f : ίναι γνησίως φθίνουσα μ f (i) Να μλτήστ την μονοτονία της συνάρτησης g f 5, (ii) Να βρίτ τα πρόσημα των συναρτήσων f και g (i) Να αποδίξτ ότι κάθ γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A έχι το πολύ μια πραγματική ρίζα (ii) Να λύστ την ξίσωση (i) Να δίξτ ότι κάθ γνησίως μονότονη συνάρτηση f : έχι το πολύ μία πραγματική ρίζα (ii) Να λύστ την ξίσωση: 5 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 67

41 Η συνάρτηση f : A, διέρχται από τα σημία ίναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση και B,8 (i) Να βρίτ το πρόσημο της f (ii) Να λύστ την ξίσωση f Η συνάρτηση f : διέρχται από τα σημία ίναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση A, (i) Να βρίτ το πρόσημο της f και B, (ii) Να λύστ την ξίσωση f (iii) Να λύστ την ανίσωση f Η συνάρτηση f : τέμνι τον άξονα στο σημίο ίναι γνησίως αύξουσα και η γραφική της παράσταση A, (i) Να βρίτ το πρόσημο της f (ii) Να λύστ την ξίσωση f (iii) Να λύστ την ανίσωση f 6 (iv) Να λύστ την ξίσωση f f 6 (v) Να λύστ την ανίσωση f f Δίνται η συνάρτηση: f 5 (i) Να μλτήστ την f ως προς την μονοτονία (ii) Να βρίτ το f (iii) Να βρίτ το πρόσημο της f 6 Η συνάρτηση f : ίναι γνησίως αύξουσα μ f (i) Να βρίτ το πρόσημο της f f (iv) Να βρίτ το πρόσημο της συνάρτησης g (ii) Να λύστ τις ανισότητς: f5λ και f μ 5 f 7μ 5 (iii) Δίξτ ότι: αν α, β μ α ή β 7 Να αποδίξτ ότι η συνάρτηση f βοήθια της ιδιότητας αυτής να αποδίξτ ότι: τότ f αβ f α β ίναι γνησίως αύξουσα και μ την ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 68

42 (i) (ii) 5 Γνικές α β α β α β α β (iii) αβ α β αβ α β, α, β 8 Να αποδίξτ ότι: (i) Αν η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότ η συνάρτηση f ίναι γνησίως φθίνουσα στο Δ (ii) Αν η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και f για κάθ Δ, τότ η συνάρτηση f ίναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 9 Να αποδίξτ ότι: αν οι συναρτήσις f, g ίναι γνησίως αύξουσς ή γνησίως φθίνουσς τότ και η συνάρτηση h f g ίναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα Να αποδίξτ ότι: αν η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα και η συνάρτηση h f g ίναι γνησίως αύξουσα g γνησίως φθίνουσα, τότ η συνάρτηση Δίνται η συνάρτηση f: και η συνάρτηση g f, συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα, να μλτήστ την μονοτονία της g * Αν η Ακρότατα Να βρίτ την μέγιστη τιμή της συνάρτησης (i) f 9 (ii) f 5 (iii) Να βρίτ την μέγιστη τιμή της συνάρτησης (i) f 6 (ii) f (iii) f Να βρίτ την λάχιστη τιμή των συναρτήσων: f 5 (i) f 5 (ii) f 6 (iii) f 5 Να βρίτ τα ακρότατα των συναρτήσων : (i) f :, μ f 5 (iii) f f (ii) 6 Να βρίτ τα ακρότατα των συναρτήσων και τις τιμές του για τις οποίς παρουσιάζουν ακρότατα: f f 8 (iii) f 6 5 (i) (ii) 7 Να βρίτ την μγαλύτρη τιμή της συνάρτησης f 5 ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 69

43 8 Δίνται η συνάρτηση: f α (i) Να βρίτ τον α από το σημίο Μ,5 ώστ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχται (ii) Για την τιμή του α που βρήκατ να μλτήστ την συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα 9 Να βρίτ το σύνολο τιμών και τα ακρότατα των συναρτήσων: (i) f (ii) f Να βρίτ το σύνολο τιμών και τα ακρότατα των συναρτήσων: (i) f (ii) f Δίνονται οι συναρτήσις f, g :A Αν η f παρουσιάζι μέγιστο στο και η g παρουσιάζι λάχιστο στο μέγιστο στο o A o A, να αποδίξτ ότι η f g o A παρουσιάζι Από όλους τους αριθμούς μ άθροισμα 8, να βρίτ αυτούς που έχουν μέγιστο γινόμνο Να αποδίξτ ότι από όλα τα ορθογώνια μ πρίμτρο 6m, το ττράγωνο έχι το μγαλύτρο μβαδό (i) Από όλους τους θτικούς αριθμούς μ σταθρό γινόμνο, c να βρίτ κίνους που έχουν το λάχιστο άθροισμα το οποίο και να υπολογίστ (ii) Από όλα τα ορθογώνια μ σταθρό μβαδόν, να βρίτ κίνο που έχι την μικρότρη πρίμτρο ( ) ( ) 5 (i) Να αποδίξτ την ταυτότητα: (ii) Αν οι πραγματικοί αριθμοί και έχουν σταθρό άθροισμα c, να αποδίξτ ότι c το γινόμνο Γ γίνται μέγιστο όταν (iii) Να βρίτ την μγαλύτρη τιμή της συνάρτησης f, 6 (i) Να αποδίξτ την ταυτότητα: (ii) Aν οι θτικοί αριθμοί και έχουν σταθρό γινόμνο γίνται λάχιστο όταν c (iii) Να βρίτ την μικρότρη τιμή της συνάρτησης f c c, το άθροισμα A, ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

44 Άρτια Πριττή 7 Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσις τριών συναρτήσων f, g, φ αντίστοιχα Να μλτήστ τις συναρτήσις αυτές ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Επίσης να ξτάστ αν οι συναρτήσις ίναι άρτις ή πριττές (i) C f (ii) C (iii) g C φ 5 8 Να συμπληρώστ τις παρακάτω γραμμές ώστ να παριστάνουν γραφικές παραστάσις Α Άρτιας συνάρτησης και Β Πριττής συνάρτησης (i) (ii) (iii) Ο Ο 9 Να ξτάστ αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: (i) f (ii) f 5 (iii) 5 Να ξτάστ αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: f 6 (i) f (ii) f 5 (iii) f Να ξτάστ αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: (i) f (ii) f Να ξτάστ αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: f (ii) f 5 (i) 5 (iii) f Να ξτάστ αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: (i) 5 f (ii) (iii) f f Να ξτάστ αν ίναι άρτις ή πριττές οι συναρτήσις: ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

45 6 (i) f (ii) f 5 (iii) f 5 5 Αν η συνάρτηση ίναι πριττή και παίρνι λάχιστη τιμή, να δίξτ ότι η f παίρνι και μέγιστη τιμή 6 Δίνονται οι συναρτήσις: f, g : Να αποδίξτ τις παρακάτω προτάσις: (i) Αν οι συναρτήσις f, g ίναι άρτις τότ και η συνάρτηση h f g ίναι άρτια (ii) Αν η συνάρτηση f άρτια και η συνάρτηση g ίναι πριττή, τότ η συνάρτηση φ f g ίναι πριττή 7 (i) Δίνται η συνάρτηση f: α,α Να ξτάστ αν οι παρακάτω συναρτήσις ίναι άρτις ή πριττές: f f g f g h, h και να δίξτ ότι (ii) Να γράτ την συνάρτηση f πριττής συνάρτησης f: f f σαν άθροισμα μας άρτιας και μιας 8 Δίνται η συνάρτηση f : τέτοια ώστ f f f για κάθ, Να δίξτ ότι (i) f και (ii) Η f ίναι πριττή συνάρτηση ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

46 6ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όταν μλτούμ μια συνάρτηση κάνουμ τα παρακάτω βήματα: (i) Βρίσκουμ το πδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της (ii) Εξτάζουμ αν η συνάρτηση ίναι άρτια ή πριττή (iii) Μλτούμ την μονοτονία της συνάρτησης (iv) Βρίσκουμ τα ακρότατα της συνάρτησης (v) Βρίσκουμ τα σημία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνι τους άξονς (vi) Μλτούμ την συμπριφορά της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πδίου ορισμού της ( οριακές τιμές ) (vii) Σχδιάζουμ την γραφική παράσταση της συνάρτησης Όταν έχουμ σχδιάσι την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ίναι ύκολο να βρούμ τις ιδιότητς της συνάρτησης Παρατηρήσις Αν μία συνάρτηση f μ πδίο ορισμού το σύνολο A, ίναι άρτια ή πριττή μπορούμ (αν θέλουμ) να πριορίσουμ την μλέτη αυτής στο υποσύνολο B του πδίου ορισμού της, όπου: B A μ Αν θέλουμ να κατασκυάσουμ την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f μ σχτική ακρίβια, δίνουμ στην μταβλητή διάφορς τιμές από το πδίο ορισμού, υπολογίζουμ τις αντίστοιχς τιμές της συνάρτησης και σχηματίζουμ έναν πίνακα των αντίστοιχων τιμών Σ κάποις πριπτώσις μπορούμ να παραλίουμ ένα ή πρισσότρα από τα βήματα που αναφέρονται πιο πάνω ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

47 I ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f α β Θωρούμ τη συνάρτηση f α β όπου α, β και α η οποία: (i) Έχι πδίο ορισμού Α (ii) Για κάθ A, A f f, f και σύνολο τιμών αν β, δηλαδή η f f A και έχουμ f α β α β Επομένως πριττή f f αν β, δηλαδή η f ίναι πριττή δν ίναι άρτια ή (iii) Έστω α και, A μ, τότ έχουμ: α α α β α β f f Άρα η συνάρτηση ίναι γνησίως αύξουσα Όμοια αποδικνύται ότι ίναι γνησίως φθίνουσα όταν α (iv) Είναι φανρό ότι αν α, η συνάρτηση f δν έχι ακρότατα αφού (v) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνι τον άξονα Β,β και τον άξονα στο σημίο β A, α, α στο σημίο f A (vi) Γνωρίζουμ ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α β ίναι μία υθία μ κλίση ίση μ α, η οποία τέμνι τον άξονα στο σημίο Β,β Α Β f α β, α φω α ω Α Β f α β, α φω α ω ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μία συνάρτηση f λέγται σταθρή όταν έχι τύπο f β όπου β Έχι πδίο ορισμού Α και σύνολο τιμών το f A β μονοσύνολο Η γραφική της παράσταση αποτλίται από όλα τα Β f α β, α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 7

48 Μ,β σημία τταγμένη ίση μ β τα οποία έχουν ττμημένη οποιονδήποτ πραγματικό αριθμό και Άρα η γραφική της παράσταση ίναι η υθία ίναι παράλληλη στον άξονα και τέμνι τον άξονα στο σημίο Β,β f α II ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ, α * η οποία f α, Θωρούμ τη συνάρτηση α * η οποία: (i) Έχι πδίο ορισμού Α Αν α, τότ για κάθ έχουμ: α f f, Δηλαδή η συνάρτηση f έχι σύνολο τιμών f A, Αν α, τότ για κάθ έχουμ: α f f, Δηλαδή η συνάρτηση f (ii) Για κάθ A, έχι σύνολο τιμών f A, A και έχουμ f α α f Επομένως η συνάρτηση ίναι άρτια οπότ έχι άξονα συμμτρίας τον άξονα (iii) Έστω α : Αν,, μ, τότ έχουμ: α α f f Άρα η συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, Αν,, μ, τότ έχουμ: ίναι α α f f Άρα η συνάρτηση f ίναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Επιδή f A, και f ή συνάρτηση έχι λάχιστο το όταν Τα προηγούμνα αποτλέσματα καταγράφονται στον διπλανό πίνακα f min f Έστω α : Αν,, μ, τότ έχουμ: α α f f Άρα η συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο διάστημα, Αν,, μ, τότ έχουμ: ίναι ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 75

49 α α f f γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Επιδή f A, και Άρα η συνάρτηση f f ή συνάρτηση έχι λάχιστο το όταν Τα προηγούμνα αποτλέσματα καταγράφονται στον διπλανό πίνακα, f ma f ίναι (iv) Έστω α Δίνοντας στο τιμές θτικές που αυξάνουν απριόριστα και οι τιμές της συνάρτησης αυξάνουν απριόριστα Λέμ ότι η συνάρτηση έχι όριο στο (συν άπιρο) το και γράφουμ lim f Δίνοντας στο τιμές αρνητικές που λαττώνονται απριόριστα, οι τιμές της συνάρτησης πάλι αυξάνουν απριόριστα Λέμ ότι η συνάρτηση έχι όριο στο (πλην άπιρο) το και γράφουμ lim f (v) Ισχύι f α, αυτό σημαίνι ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνι τους άξονς f (vi) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης και στο σημίο, α ίναι μία παραβολή μ κορυφή την αρχή, των αξόνων και άξονα συμμτρίας τον άξονα f α, α f α, α III ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f α f α, Θωρούμ τη συνάρτηση * α η οποία: (i) Έχι πδίο ορισμού Α και σύνολο τιμών fa (ii) Για κάθ A, A Επομένως η συνάρτηση f ίναι πριττή και έχουμ f α α α f ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 76

50 (iii) Έστω α και, A μ, τότ έχουμ: α α f f Άρα η συνάρτηση ίναι γνησίως αύξουσα Όμοια αποδικνύται ότι η συνάρτηση ίναι γνησίως φθίνουσα όταν α (vi) Ισχύι f α Δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ο, των αξόνων f α τέμνι τον άξονα και τον άξονα στην αρχή f (v) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης α ίναι: f α, α f α, α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ Να γίνι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 5 Λύση Η συνάρτηση έχι πδίο ορισμού A, f 5, Για έχουμ οπότ:,5 f 5 Αν, τότ Αν 5,, τότ Για, έχουμ οπότ:, 5 Αν Αν 5, f 5 8 f 5,, τότ f 5 8, τότ f 5 Δηλαδή 8 αν, 5 αν 5, f αν,5 8 αν 5, Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δίνται στο διπλανό σχήμα ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 77

51 Να γίνι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f Λύση Η συνάρτηση έχι πδίο ορισμού A, Αν,,, τότ, τότ f, Αν f f Δηλαδή αν,, αν, Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δίνται στο διπλανό σχήμα 5 Να κάντ τις γραφικές παραστάσις των συναρτήσων: (ii) f (iii) g (iv) h (i) Στο ίδιο σύστημα συντταγμένων να χαράξτ τις γραφικές παραστάσις των συναρτήσων: f g και (ii) Μ την βοήθια των προηγούμνων γραφικών παραστάσων να λύστ γραφικά την ξίσωση και τις ανισώσις, (iii) Να πιββαιώστ αλγβρικά τα προηγούμνα συμπράσματα 5 Στο διπλανό σχήμα δίνται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Αν το τρίγωνο AB ίναι ισόπλυρο, να βρθούν οι συντταγμένς του σημίου Α Λύση Αν α ίναι η πλυρά του ισοπλύρου τριγώνου AB, τότ: α ΟΛ ΚΑ και ΟΚ Το σημίο Α έχι ττμημένη παραβολή έχουμ α, α α, τταγμένη α και πιδή ανήκι στην α α α α α α α Το Α έχι ττμημένη και τταγμένη, δηλαδή Α, B Ο K Λ Α ΔΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ Ε 78