Διάλεξη 1: Βασικές Έννοιες

Transcript

1 EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 1: Βασικές Έννοιες Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων: Α. Κοκόσης Συνεργάτες: Α. Νικολακόπουλος, Θ.Χ. Ξενίδου

2 Επισκόπηση Βασικές Έννοιες Βιομηχανική προσομοίωση i. Απλή και βιομηχανική προσομοίωση ii. iii. Μαθηματική αναπαράσταση συστημάτων Κατηγορίες και τεχνικές προσομοίωσης - Σειριακή προσομοίωση και τεχνικές αποκοπής (tearing) - Συγχρονισμένη προσομοίωση - Προσομοίωση ανοικτών συστημάτων

3 1. Εισαγωγικά

4 Προσομοίωση διεργασιών και ροοδιαγραμμάτων i. Προσομοίωση απλής Χημικής Διεργασίας ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΡΟΦΟΔΟΣΙΑ Ροές Συγκεντρώσεις Πιέσεις Θερμοκρασία ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΙΟΝΤΑ Ροές Συγκεντρώσεις Πιέσεις Θερμοκρασία ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ (Διαστασιολόγηση)

5 Προσομοίωση διεργασιών και ροοδιαγραμμάτων ii. Προσομοίωση ροοδιαγράμματος Βιομηχανικής Εγκατάστασης Σύνταξη ροοδιαγράμματος Ορίζεται ως η χρήση υπολογιστικών μέσων για την εκτέλεση των υπολογισμών - ισοζυγίων μάζας και ενέργειας - διαστασιολόγησης - κοστολόγησης της συστοιχίας διεργασιών μιας βιομηχανικής εγκατάστασης σε συνθήκες μόνιμης κατάστασης. Αφορά το σύνολο του ροοδιαγράμματος και όχι κάθε διεργασία ξεχωριστά.

6 Σχεδιασμός Διεργασίας επιμέρους στάδια Ανάγκες Ροοδιάγραμμα Σύνθεση Ανάλυση Ισοζύγια μάζας & ενέργειας Κοστολόγηση / Διαστασιολόγηση Μεταβλητές απόφασης (αρχικές τιμές) Βελτιστοποίηση παραμέτρων Βελτιστοποίηση εξοπλισμού Οικονομική αξιολόγηση Τελικό Ροοδιάγραμμα

7 Χρήση ροοδιαγράμματος στο σχεδιασμό μιας διεργασίας Πλεονεκτήματα i. Μειώνει σημαντικά το χρόνο σχεδιασμού μια πραγματικής εγκατάστασης - επιτρέπει τη μελέτη και τον έλεγχο εναλλακτικών διαμορφώσεων ii. Συμβάλλει στη βελτίωση υπάρχουσας εγκατάστασης - απαντά σε ερωτήσεις του τύπου τι θα συμβεί εάν; - προσδιορίζει τις βέλτιστες συνθήκες λειτουργίας για δεδομένους περιορισμούς - βοηθά στον εντοπισμό των περιοριστικών τμημάτων της διεργασίας (debottlenecking)

8 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών a. Διεργασίες σαν Συστήματα Εισόδων - Εξόδων Προσομοίωση ανά Μονάδα σε Σειρά Σε κάθε μονάδα είσοδος, x i Μονάδα έξοδος, y i παράμετροι, u i Δηλαδή, f i (x i, y i, u i ) = 0, οπότε, y i = g i (x i, u i ) υπολογίζονται δίνονται

9 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών b. Διάκριση ανάμεσα σε Ανοικτά και Κλειστά Συστήματα Ανοικτά συστήματα: περιγράφονται από συστήματα διακριτών εξισώσεων: - αλγεβρικών - διαφορικών (απλές, με μερικές παραγώγους) Γενική μορφή: f j (x 1, x 2, x m ) = 0, y k = g (x 1, x 2, x m ) ; x i (0) = 0 j = 1,..., m k =1,..., n i = 1,..., m Εδώ θα υποθέσουμε μόνο αλγεβρικά συστήματα

10 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών c. Εξισώσεις Μεταβλητές - Παράμετροι residuals NE = n f 1 (x 1, x 2,, x m ) = 0 = r 1 f 2 (x 1, x 2,, x m ) = 0 = r 2... f n (x 1, x 2,, x m ) = 0 = r n NV = m

11 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών c. Εξισώσεις Μεταβλητές Παράμετροι α. Στην προσομοίωση πρέπει NE = NV. Οι υπόλοιπες NV NE = NP αποτελούν σχεδιαστικές παραμέτρους β. Παράμετροι σε ένα μοντέλο μπορούν να αποτελούν μεταβλητές σε κάποιο άλλο. Σε κάθε περίπτωση μπορούν να γίνουν είσοδοι ή έξοδοι για την ανάλυση Παραδείγματα: - καθαρότητα προϊόντων στην απόσταξη - βαθμός μετατροπής στην αντίδραση - ανακύκλωση / ρεύμα απομάκρυνσης γ. Σε κλειστά μοντέλα, ο αριθμός των παραμέτρων συνήθως δίνεται στο χρήστη (ή είναι γνωστή στο μηχανικό από το είδος της διεργασίας)

12 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών c. Εξισώσεις Μεταβλητές Παράμετροι (2) Σε παλαιότερα χρόνια υπήρχε απαίτηση για ανάλυση βαθμών ελευθερίας που σήμερα υπολογίζεται ουσιαστικά από το λογισμικό. Όταν ορίζουμε επιπλέον εξισώσεις, NΕ > NV έχουμε υπερορισμένο σύστημα (overdefined), ενώ για NV > NE έχουμε βαθμούς ελευθερίας (i.e. πρόβλημα βελτιστοποίησης)

13 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών δ. Ανοικτά και κλειστά συστήματα Κλειστά: δίνουν έξοδο μέσα από αλγόριθμους. Στιβαρή και ελεγχόμενα Ανοικτά: δίνουν έξοδο μέσα από εξισώσεις. Ανοικτά Κλειστά Ανοικτά? Κλειστά (προφανής μεταφορά) Ορίζονται εξισώσεις που αντιστοιχούν στα υπόλοιπα (residuals) των ανοικτών συστημάτων Για κάθε Δx i Δy (κλειστά μοντέλα) i u i r r y i i ( x, y, z ) r, i i i i xi i (Ιακωβιανό στοιχείο)

14 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών δ. Σύγκριση Ανοικτών - Κλειστών συστημάτων (2) είσοδος παράμετροι έξοδος x 1, x 2,..., x n u 1, u 2,..., u n y 1, y 2,..., y n f 1 = r 1 f 2 = r 2... αij βij γij f n = r n f n εξισώσεις που αντιστοιχούν στο ανοικτό μοντέλο x x + x y + y (κλειστό μοντέλο) i i i Υπολογίζει το r i σαν αποτέλεσμα των αλλαγών των ri ri ri Υπολογίζει το,, α ij, β ij, γ ij x y u j j j ( ) x, y, u i i i

15 2. Βασικές κατηγορίες προσομοίωσης

16 Κατηγορίες και τεχνικές βιομηχανικής προσομοίωσης i. Σειριακή προσομοίωση (κλειστών συστημάτων) [sequential modular approach] ii. Συγχρονισμένη προσομοίωση (κλειστών συστημάτων) [simultaneous modular approach] iii. Προσομοίωση ανοικτών συστημάτων [equation-oriented approach] Στη συνέχεια θα αναλυθεί η εφαρμογή των ανωτέρω τεχνικών σε μια απλή βιομηχανική διεργασία.

17 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών Παράδειγμα Διεργασίας Ένα απλό ροοδιάγραμμα Mixer Reactor Separator Περιλαμβάνει: Αντιδραστήρας, διαχωριστήρας 2 αναμεικτήρες 1 ανακύκλωση Mixer

18 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών Αναπαράσταση σε όρους εισόδων-εξόδων Τέσσερα (4) υποσυστήματα y 31 x 12 y 21 x 11 y 11 Mixer Reactor x21 x31 Separator Σύμβαση: Χρήση 2 δεικτών Ο πρώτος αναφέρεται στη διεργασία Ο δεύτερος αριθμεί ανάλογα την είσοδο ή την έξοδο x 41 x 42 y 32 Mixer y 41

19 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών Ανάπτυξη υπολογιστικών προτύπων 1. Εξισώσεις για κάθε μονάδα (model equations) mixer1: f1 ( x 11,x 12,y11 ) = 0 reactor: f2 ( x 21,x 21, u2 ) = 0 f ( x,y,y, u ) = 0 seperator: mixer2: f4 ( x 41,x 42,y41 ) = 0 x 12 y 31 Γενίκευση: x ij y ij u i είσοδος j στη μονάδα i έξοδος j από τη μονάδα i παράμετρος μονάδας i y 21 x 11 y 11 Mixer Reactor x21 x31 x 41 y 32 x 42 Mixer Separator y 41 Έχουμε άλλες εξισώσεις;

20 Βασικές έννοιες αναπαράστασης διεργασιών Εξισώσεις Σύνδεσης 1. Εξισώσεις σύνδεσης (connectιvity equations) x12 y31 = 0 x21 y11 = 0 x31 y21 = 0 x42 y32 = 0 x 12 y 21 x 11 y 11 Mixer Reactor x21 x31 y 31 Separator y 32 x 42 Παρατηρήσεις: x 41 Mixer y 41 οι εξισώσεις για κάθε μονάδα αντιπροσωπεύουν τις εξισώσεις διατήρησης μάζας και ενέργειας καθώς και εξισώσεις υπολογισμού φυσικών ιδιοτήτων και άλλων συσχετίσεων Οι παράμετροι κάθε μονάδας i, μπορεί να είναι π.χ. η θερμοκρασία, η πίεση του αντιδραστήρα. Πρέπει να ορισθούν.

21 Σειριακή προσομοίωση (sequential modular approach) Βασική ιδέα 1. Προσομοίωση κάθε διεργασίας στη σειρά (ακολουθώντας τη ροή των ρευμάτων ή τις προδιαγραφές) 2. Σε κάθε περίπτωση που χρειάζεται μεταβλητές από προωθημένες (forward) ή προηγούμενες (backward) διεργασίες, υπόθεση τιμών για τα ρεύματα/μεταβλητές, που αποτελούν τις μεταβλητές αποκοπής (tear streams) 3. Υπολογισμός τιμών για τις μεταβλητές αποκοπής σε μεταγενέστερα στάδια 4. Σύγκλιση επιτυγχάνεται όταν επιτευχθεί - σύγκλιση σε κάθε διεργασία - σύγκλιση στις μεταβλητές/ρεύματα αποκοπής Εμπορικά πακέτα Aspen Plus (Evans et al, 1979) HYSIS (Mahoney & Santollani, 1994) SUPERPO (Futtellugen)

22 Σειριακή προσομοίωση (sequential modular approach) Παράδειγμα S2 y 31 x 12 y 21 x 11 y 11 Mixer Reactor x21 x31 S1 1 S3 2 3 S4 Separator y 32 x 42 S5 x 41 S6 Mixer 4 y 41 S7

23 Σειριακή προσομοίωση (sequential modular approach) Αποκοπή με βάση τη φυσική ροή των ρευμάτων Με βάση τα παραπάνω, οι εξισώσεις παράδειγμα γράφονται ως εξής: i ( ) f i= 1,2,3,4 = 0 για το συγκεκριμένο ( ) = = ( ) f x,x,y 0 y g x,x ( u ) = = ( u ) f x,x, 0 y g x, ( u ) = = ( u ) y = g ( x, u ) f x,y,y, 0 y g x, ( ) = = ( ) f x,x,y 0 y g x,x x 12 (αποκοπή στο ) σύγκλιση (χωρίς αποκοπή) σύγκλιση (χωρίς αποκοπή) σύγκλιση (χωρίς αποκοπή) σύγκλιση Σύγκλιση στο x 12? Αν ναι σταματάμε. Αν όχι συνεχίζουμε.

24 Σειριακή προσομοίωση (sequential modular approach) Βήματα σειριακής προσομοίωσης σε μορφή αλγορίθμου y 31 x 12 y 21 x 11 y 11 Mixer Reactor x21 x31 Separator x 41 y 32 x 42 Mixer y 41

25 Σειριακή προσομοίωση (sequential modular approach) Βήματα: σχόλια παρατηρήσεις Ρεύμα αποκοπής είναι η ανακύκλωση και κάθε φορά υπολογίζεται ως εξής: ( ) x = f x,y k ' k 1 k Το ρεύμα αποκοπής δεν καθορίζεται μονοσήμαντα από το ροοδιάγραμμα, δηλαδή υπάρχουν βαθμοί ελευθερίας στην επιλογή του Η αναγνώριση επιλογών γίνεται αυτόματα (εσωτερικός) αλγόριθμος αλλά τα ρεύματα (tearing variables) μπορούν (και πρέπει) να ρυθμιστούν σε περιπτώσεις σύνθετων ροοδιαγραμμάτων Η φυσική ροή ρευμάτων δεν είναι ο καλύτερος τρόπος καθορισμού μεταβλητών αποκοπής

26 Σειριακή προσομοίωση (sequential modular approach) Εναλλακτικό σενάριο αποκοπής y 31 x 12 y 21 x 11 y 11 Mixer Reactor x21 x31 Separator x 41 y 32 x 42 Mixer y 41 Ας δοκιμάσουμε την είσοδο του αντιδραστήρα

27 Συγχρονισμένη Προσομοίωση (simultaneous modular approach) Υπολογιστική Πρόκληση: (α) Η Σειριακή Προσομοίωση αντιμετωπίζει συχνά προβλήματα σύγκλισης, ειδικά σε μεγάλα προβλήματα και σε διεργασίες με πολλά ρεύματα ανακύκλωσης (β) Η Σειριακή Προσομοίωση δεν κρατάει, σε κάθε συγκεκριμένο υπολογιστικό στάδιο, τη συνολική εικόνα του συνολικού υπολογιστικού προβλήματος Βασική ιδέα Προσπάθεια σύγκλισης όλων τα επιμέρους υποσυστημάτων (επί μέρους διεργασίες), μαζί, απλοποιώντας τις υπολογιστικές δυσκολίες που προκύπτουν μέσα απο γραμμικοποιήσεις των επί μέρους διεργασιών Εμπορικά πακέτα Flowpack (πρόδρομος σημερινών πακέτων) Rosen (1962) Umeda et al. (1972), Reklaitis (1979), Mahalec and Motard (1979), Biegler & Hughes (1982) Όλες οι μονάδες γράφονται όπως και στη σειριακή k ij προσέγγιση, δηλαδή: y = g ij i ( x, u ik i ) y α x ij ijk ik k= 1

28 Προσομοίωση ανοικτών συστημάτων (equation-oriented approach) Πρόκληση: Τι χρειαζόμαστε τη Συγχρονισμένη Προσομοίωση όταν η γραμμικοποίηση μπορεί να γίνει απευθείας με Taylor; Οι γραμμικοποιήσεις στη Συγχρονισμένη Προσομοίωση είναι επίπονες, προσεγγιστικές και συχνά αυθαίρετες Βασική ιδέα Επίλυση του συστήματος σαν ένα μεγάλο πρόβλημα μη-γραμμικών εξισώσεων, επιτρέποντας στις γραμμικοποιήσεις να γίνονται αυτόματα μέσα από υπολογιστικές ρουτίνες (numerical approach). Εμπορικά πακέτα gproms Aspen Plus / HYSIS

29 Προσομοίωση ανοικτών συστημάτων (equation-oriented approach) Σημαντικά ζητήματα σχετίζονται με Αριθμητικά Θέματα το μέγεθος του συστήματος των εξισώσεων ανάλυση βαθμών ελευθερίας έλεγχος μοναδικότητας λύσης μη-γραμμικότητα συστήματος εξισώσεων αρχικοποίηση μεταβλητών υπολογισμό παραγώγων (π.χ Jacobian) για επίλυση συστημάτων με μέθοδο Netwon Εξισώσεις Συστήματος 1. Εξισώσεις μοντέλου (για κάθε μονάδα) 2. Εξισώσεις σύνδεσης των μονάδων 3. Εξισώσεις που προκύπτουν από προδιαγραφές σχεδιασμού (design specifications)

30 Σύγκριση τεχνικών προσομοίωσης Σειριακή προσομοίωση Προσομοίωση ανοικτών συστημάτων Προσομοίωση ανά στάδιο (μονάδα) Λιγότερο ευέλικτη σύγκλιση Εύρωστη σύγκλιση Η αρχικοποίηση είναι σημαντική Μικρές απαιτήσεις αποθήκευσης Εύκολη εφαρμογή (μικρές απαιτήσεις μοντελοποίησης) Ταυτόχρονη επίλυση όλων των μοντέλων / μονάδων Ιδιαίτερα ευέλικτη σύγκλιση Όχι τόσο εύρωστη σύγκλιση Η αρχικοποίηση είναι πολύ σημαντική Οι απαιτήσεις αποθήκευσης μπορεί να είναι τεράστιες Υψηλές απαιτήσεις μοντελοποίησης

31 Συνδυασμός τεχνικών προσομοίωσης Βασικά προβλήματα Στη Σειριακή Προσομοίωση (κλειστών συστημάτων) τα προβλήματα είναι: Οι επαναλήψεις και η σύγκλιση της ανακύκλωσης Στη Προσομοίωση Ανοικτών Συστημάτων, τα προβλήματα είναι: Η καλή αρχικοποίηση Η επίλυση των συστημάτων των μη-γραμμικών εξισώσεων

32 Συνδυασμός (Υβριδισμός) τεχνικών προσομοίωσης Α μέθοδος (αυξανόμενη πολυπλοκότητα μοντέλου) χρήση της σειριακής για αρχικοποίηση και προσέγγιση της λύσης (στη συνέχεια) χρήση της προσομοίωσης ανοικτών συστημάτων για την επίτευξη λύσης μεγαλύτερης ακρίβειας Β μέθοδος (επιτάχυνση) χρήση της σειριακής για αρχικοποίηση και προσέγγιση της λύσης (στη συνέχεια) χρήση της προσομοίωσης ανοικτών συστημάτων για βελτίωση σύγκλισης