ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ]

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ MATLAB ΔΕΥΤΕΡΗ ΕΚΔΟΣΗ [ΒΕΛΤΙΩΜΕΝΗ ΚΑΙ ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΗ] Συγγραφείς ΝΤΑΟΥΤΙΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ Πανεπιστήμιο Minnesota, USA ΜΑΣΤΡΟΓΕΩΡΓΟΠΟΥΛΟΣ ΣΠΥΡΟΣ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΣΙΔΗΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΜΟΡΦΙΛΗ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

2 Πίνακας Περιεχομένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Πρόλογος Προβλήματα που θα εξετασθούν Παράσταση αριθμών στον υπολογιστή... 4 Συστήματα αρίθμησης... 5 Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης... 5 Δυαδικό σύστημα αρίθμησης... 6 Μετατροπές ανάμεσα σε διάφορα συστήματα αρίθμησης... 6 Αναπαράσταση ενός αριθμού σε ηλεκτρονικό υπολογιστή... 8 Αναπαράσταση σταθερού σημείου... 9 Αναπαράσταση κινητής υποδιαστολής Είδη σφαλμάτων Σφάλμα αποκοπής Σφάλμα στρογγυλοποίησης Κατάσταση προβλήματος και αριθμητική ευστάθεια Υπολογιστικό Εργαστήριο 1 - Εισαγωγή στο MATLAB Σκοποί Προκαταρκτικά Εφαρμογές Βασικές αριθμητικές πράξεις Χρήση μεταβλητών Πίνακες και διανύσματα Βασικές εντολές στο MATLAB για δημιουργία γραφικών παραστάσεων m-αρχεία Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις... 51

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Εισαγωγή Απαλοιφή Gauss Κόστος απαλοιφής Gauss Κάποια προβλήματα και κάποιες λύσεις Πίνακες με ειδική δομή Λύση εξισώσεων με πολλαπλά δεξιά σκέλη Συστήματα κακής κατάστασης Νόρμα διανύσματος και πίνακα Νόρμα για διανύσματα Νόρμα για πίνακες Επαναληπτικές μέθοδοι Μέθοδος Jacobi Μέθοδος Gauss-Seidel Γενίκευση της μελέτης σύγκλισης επαναληπτικών μεθόδων 105 Υπολογιστικό Εργαστήριο 2 Γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις Σκοποί Προκαταρκτικά Απαλοιφή Gauss Εσωτερικές εντολές του MATLAB για επίλυση γραμμικών συστημάτων Αντιστροφή πίνακα Υπολογιστικό κόστος κατά την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με πλήρεις πίνακες και πίνακες με ζώνες Προβλήματα κακής κατάστασης Μέθοδοι επαναληπτικής επίλυσης γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Υπολογιστικό κόστος κατά την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Kεφαλαίου viii

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μη γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις Εισαγωγή Μέθοδος Picard ή μέθοδος διαδοχικών αντικαταστάσεων Μέθοδος Newton - Raphson Γεωμετρική απεικόνιση της μεθόδου Newton - Raphson Σύγκλιση μεθόδων Picard και Newton - Raphson Αδυναμίες της μεθόδου Newton - Raphson Μέθοδος Newton - Raphson πολλών μεταβλητών για συστήματα μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Γενική διαδικασία επαναλήψεων Υπολογιστικό Εργαστήριο 3 Μη γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις Σκοποί Προκαταρκτικά Επαναληπτικές τεχνικές επίλυσης μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Σύγκλιση επαναληπτικών τεχνικών επίλυσης μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Επαναληπτικές τεχνικές επίλυσης για συστήματα μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Kεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παρεμβολή και προσέγγιση συναρτήσεων Παρεμβολή και Προεκβολή Είδη συναρτήσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για παρεμβολή ή προεκβολή Υπολογισμός του πολυώνυμου παρεμβολής Παρεμβολή Lagrange Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου Lagrange Παρεμβολή Neville και παρεμβολή Aitken Παρεμβολή Newton με Διαιρεμένες Διαφορές ix

5 4.3 Σφάλμα και Σύγκλιση του Πολυωνύμου Παρεμβολής Σύγκλιση Προεκβολή Βέλτιστη τοποθέτηση των σημείων δεδομένων Ορθογώνια πολυώνυμα Πολυώνυμα Legendre και Chebyshev Πολυώνυμα Legendre και οι ιδιότητές τους Πολυώνυμα Chebyshev και οι ιδιότητές τους Παρεμβολή Chebyshev Υπολογισμός του αναπτύγματος Chebyshev Πολυωνυμική παρεμβολή κατά τμήματα και ελαστικές καμπύλες Splines Τριγωνικές συναρτήσεις σχήματος τέντας Παρεμβολή με κυβική ελαστική καμπύλη (Spline) Διατύπωση και σημασία του προβλήματος προσέγγισης συναρτήσεων Σχέση παρεμβολής και προσέγγισης Προσέγγιση με πολυωνυμική συνάρτηση Μη γραμμική παλινδρόμηση δεδομένων όταν δεν είναι δυνατή ή δεν απαιτείται η αναγωγή σε γραμμική παλινδρόμηση Τριγωνομετρική προσέγγιση και παρεμβολή Υπολογιστικό Εργαστήριο 4 Παρεμβολή και προσέγγιση συναρτήσεων Σκοποί Προκαταρκτικά Πολυωνυμική παρεμβολή Προσέγγιση συναρτήσεων Χρήση του MATLAB για παρεμβολή και προσέγγιση Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Kεφαλαίου x

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Αριθμητική ολοκλήρωση και διαφόριση Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε μία διάσταση Συνήθης μεθοδολογία της αριθμητικής ολοκλήρωσης Ολοκλήρωση με πολυώνυμο τοπικής παρεμβολής: Κανόνες των Newton-Cotes Κανόνας του τραπεζίου Σύνθετος κανόνας του τραπεζίου Σημεία που απέχουν ίσες αποστάσεις Κανόνας του Simpson του 1/ Σύνθετος κανόνας του Simpson του 1/ Κανόνες του Simpson των 3/8, του Boole και ανώτερης τάξης Κανόνας μεσαίου σημείου και ανοικτοί τύποι Βέλτιστη κατανομή των σημείων βάσης και ο τετραγωνισμός Gauss-Legendre Κανονική μορφή Τετραγωνισμός Gauss-Legendre Περισσότερα από δύο σημεία Σφάλμα του τετραγωνισμού Gauss-Legendre Τετραγωνισμοί Gauss-Radau και Gauss-Lobatto Πρότυπα στοιχεία και αριθμητική ολοκλήρωση σε δύο διαστάσεις Τριγωνικό στοιχείο Αριθμητική παραγώγιση συνάρτησης Το πρόβλημα της αριθμητικής παραγώγισης Προς τα πίσω, κεντρικές και προς τα εμπρός διαφορές Τύποι πεπερασμένων διαφορών από γραμμική παρεμβολή Τύποι πεπερασμένων διαφορών από τετραγωνική παρεμβολή Τύποι πεπερασμένων διαφορών από παρεμβολή υψηλότερης τάξης Υπολογιστικό Εργαστήριο 5 Αριθμητική ολοκλήρωση και παραγώγιση συναρτήσεων Σκοπός Προκαταρκτικά xi

7 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση συναρτήσεων που υλοποιούν τη θεωρία, σε μία διάσταση Κλειστοί και ανοικτοί τύποι Newton - Cotes Υπολογισμός ολοκληρωμάτων όταν δεν είναι γνωστή η ολοκληρωτέα συνάρτηση, αλλά απλά ζεύγη τιμών ( x, f ) για i 1,2,..., N, N Τετραγωνισμός Gauss-Legendre Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τη βοήθεια εντολών του MATLAB Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε δύο διαστάσεις με χρήση εντολών του MATLAB Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε δύο διαστάσεις με χρήση συναρτήσεων που βασίζονται στον κανόνα του τραπεζίου όταν αυτός εφαρμόζεται και στις δύο διαστάσεις Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε δύο διαστάσεις με χρήση συναρτήσεων που βασίζονται στον κανόνα του Simpson του 1/3 όταν αυτός εφαρμόζεται και στις δύο διαστάσεις Υπολογισμός ολοκληρωμάτων σε δύο διαστάσεις με χρήση συναρτήσεων που βασίζονται στον τετραγωνισμό Gauss- Legendre πάνω σε τριγωνικά χωρία Αριθμητική παραγώγιση Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Kεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Αρχικών Τιμών Εισαγωγή Επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης (ΠΑΤ) Σφάλματα, σύγκλιση και συνέπεια αριθμητικών μεθόδων Συνθήκες ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης προβλήματος αρχικών τιμών Άμεση μέθοδος Euler i i xii

8 Εξαγωγή του τύπου της μεθόδου Euler μέσω του αναπτύγματος σε σειρά Taylor και ανάλυση των ιδιοτήτων ακρίβειας Έμμεση μέθοδος Euler Μέθοδος Πρόβλεψης - Διόρθωσης Euler Μέθοδοι Runge - Kutta Αριθμητική ευστάθεια μεθόδων επίλυσης προβλήματος διαφορικών εξισώσεων ΠΑΤ Άμεση Mέθοδος Euler Έμμεση Mέθοδος Euler Επίλυση συστημάτων διαφορικών εξισώσεων (ΠΑΤ) Αριθμητική ευστάθεια αλγορίθμων επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων ΠΑΤ Διαγωνιοποίηση πίνακα με μετασχηματισμούς ομοιότητας Δυναμικά συστήματα Ανάλυση δυναμικών συστημάτων σε διδιάστατα συστήματα Υπολογιστικό Εργαστήριο 6 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Αρχικών Τιμών Σκοποί Προκαταρκτικά Επίλυση μιας Συνήθους Διαφορικής Εξίσωσης Προβλήματος Αρχικών Τιμών με χρήση της μεθόδου Euler Κλιμάκωση του σφάλματος κατά την επίλυση των ΣΔΕ ΠΑΤ με την μέθοδο Euler Επίλυση μιας Συνήθους Διαφορικής Εξίσωσης - Προβλήματος Αρχικών Τιμών με χρήση της μεθόδου Runge Kutta Κλιμάκωση του σφάλματος κατά την επίλυση των ΣΔΕ ΠΑΤ με τη μέθοδο Runge Kutta Επίλυση συστημάτων Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με χρήση Άμεσης και Έμμεσης μεθόδου Euler, καθώς και με μέθοδο Runge Kutta Αριθμητική αστάθεια κατά την επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Προβλημάτων Αρχικών Τιμών Επίλυση συστήματος Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Προβλημάτων Αρχικών Τιμών με διάφορες μεθόδους xiii

9 Ακαμψία κατά την επίλυση συστήματος Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Γραμμική ευστάθεια και ιδιοτιμές Χρονική συμπεριφορά των λύσεων των εξισώσεων ενός CSTR Διάγραμμα επιπέδου φάσεων για τις εξισώσεις ενός CSTR. 481 Συμπεριφορά στον χρόνο των εξισώσεων Lorenz Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Kεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Οριακών Τιμών Εισαγωγή Διάχυση σε μία διάσταση Αγωγή θερμότητας σε μία διάσταση Γενικότερες εξισώσεις Οριακές συνθήκες Dirichlet Neumann Robin Αριθμητική ολοκλήρωση μια Συνήθους Διαφορικής Εξίσωσης- Προβλήματος Οριακών Τιμών Οριακές συνθήκες πρώτου είδους (Dirichlet) Οριακές συνθήκες δευτέρου είδους (Neumann) Οριακές συνθήκες τρίτου είδους (Robin) Συζευγμένες Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Οριακών Τιμών Υπολογιστικό Εργαστήριο 7 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Οριακών Τιμών Σκοποί Προκαταρκτικά Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Προβλημάτων Οριακών Τιμών με χρήση μεθόδου πεπερασμένων διαφορών Κλιμάκωση του σφάλματος σε σχέση με την πύκνωση του πλέγματος xiv

10 Πολλαπλές λύσεις μιας μη-γραμμικής Συνήθους Διαφορικής Εξίσωσης Οριακών Τιμών Επίλυση Συστήματος Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Προβλήματος Οριακών Τιμών Επίλυση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων Προβλημάτων Oριακών Tιμών με χρήση συναρτήσεων του MATLAB Λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Kεφαλαίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Αρχικών-Οριακών Τιμών Εισαγωγή Μέθοδος των γραμμών Οριακή συνθήκη Neumann Αριθμητική ευστάθεια Άμεση Euler Έμμεση Euler Υπολογιστικό Εργαστήριο 8 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Προβλήματα Οριακών Τιμών και Προβλήματα Αρχικών Τιμών Οριακών Τιμών Σκοποί Προκαταρκτικά Επίλυση ελλειπτικής Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης Προβλήματος Οριακών Τιμών χρησιμοποιώντας την μέθοδο πεπερασμένων διαφορών Κλιμάκωση του σφάλματος σε σχέση με την πύκνωση του πλέγματος σε μια ελλειπτική Μερική Διαφορική Εξίσωση Πολλαπλές λύσεις μιας μη γραμμικής ελλειπτικής Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης Οριακών Τιμών Επίλυση παραβολικής Μερικής Διαφορικής Εξίσωσης ως προς τον χρόνο και μια χωρική διάσταση χρησιμοποιώντας την μέθοδο των Γραμμών Αριθμητική ευστάθεια της μεθόδου των Γραμμών xv

11 Ασκήσεις Κώδικες MATLAB Κεφαλαίου ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Εισαγωγή στο MATLAB Εκχώρηση πραγματικών και μιγαδικών αριθμών σε μεταβλητές Εισαγωγή διανυσμάτων και πινάκων Μαθηματικές λειτουργίες και προτεραιότητες Συναρτήσεις ενσωματωμένες στo MATLAB και αξιοποίηση της βοήθειας κατά την χρήση του MATLAB Δημιουργία m-αρχείων και αρχείων συναρτήσεων στo MATLAB Υποσυναρτήσεις, ιδιωτικές συναρτήσεις και φωλιασμένες συναρτήσεις Δομημένος προγραμματισμός Λογικοί πίνακες και η έννοια της διανυσματοποίησης (vectorization) Γραφικές παραστάσεις στo MATLAB ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΑΓΓΛΙΚΩΝ ΟΡΩΝ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΝΟΜΑΤΩΝ xvi