Παρουσίαση 3ης Άσκησης

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρουσίαση 3ης Άσκησης"

Transcript

1 Παρουσίαση 3ης Άσκησης Παράλληλος προγραμματισμός για αρχιτεκτονικές κατανεμημένης μνήμης με MPI Συστήματα Παράλληλης Επεξεργασίας 9ο Εξάμηνο, ΣΗΜΜΥ Εργ. Υπολογιστικών Συστημάτων Σχολή ΗΜΜΥ, Ε.Μ.Π. Νοέμβριος 2016

2 Αναδρομή στις Μερικές Διαϕορικές Εξισώσεις Εξίσωση Poisson: 2 u = f σε χωρίο Ω Γνωστή και ως κυματική εξίσωση Σε καρτεσιανές συντεταγμένες (2Δ): ( ϑ2 ϑx 2 + ϑ2 ϑy 2 )u(x, y) = f(x, y) Εξίσωση Laplace: ( ϑ2 + ϑ2 )u(x, y) = 0 ϑx 2 ϑy 2 Γνωστή και ως εξίσωση θερμότητας Ειδική περίπτωση της Poisson: f=0 2 11/2016 3η Άσκηση

3 Διάδοση θερμότητας σε δύο διαστάσεις Απλή εϕαρμογή - Διάδοση θερμότητας σε επιϕάνεια από το σύνορο στο εσωτερικό Επίλυση εξίσωσης θερμότητας με συνοριακές συνθήκες y 1 u(x,1) 0 y 1 Δx Δy u(0,y) 0 u xx + u yy =0 u(1,y) 0 u(x,0) 0 1 x 1 x 3 11/2016 3η Άσκηση

4 Υπολογιστικές μέθοδοι (I) - Μέθοδος Jacobi Επαναληπτική μέθοδος Jacobi u t+1 x,y = ut x 1,y+u t x,y 1+u t x+1,y+u t x,y+1 4 y 1 5-point stencil Κάθε στοιχείο υπολογίζεται από τα γειτονικά του 1 x 4 11/2016 3η Άσκηση

5 Υπολογιστικές μέθοδοι (I) - Μέθοδος Jacobi Επαναληπτική μέθοδος Jacobi u t+1 x,y = ut x 1,y+u t x,y 1+u t x+1,y+u t x,y+1 4 y 1 y 1 t t t t t x x 5 11/2016 3η Άσκηση

6 Υπολογιστικές μέθοδοι (I) - Μέθοδος Jacobi Αλγόριθμος Jacobi for t = 0; t < T &&!converged; t++ do for i = 1; i < X 1; i++ do for j = 1; j < Y 1; j++ do u[t + 1][i][j] = (u[t][i 1][j] + u[t][i][j 1] + u[t][i + 1][j] + u[t][i][j + 1])/4 end end converged = checkconvergence(u[t], u[t + 1]) end Για τον υπολογισμό των τιμών της χρονικής στιγμής t+1, χρησιμοποιούνται οι τιμές της χρονικής στιγμής t Απαιτούνται τουλάχιστον δύο πίνακες, ένας για την τρέχουσα (t+1) κι ένας για την προηγούμενη (t) χρονική στιγμή Στο τέλος κάθε βήματος, πραγματοποιείται έλεγχος σύγκλισης 6 11/2016 3η Άσκηση

7 Εκτέλεση Jacobi (I) t=0 t=1 i=1 j=1 7 11/2016 3η Άσκηση

8 Εκτέλεση Jacobi (II) t=0 t=1 i=1 j=1 8 11/2016 3η Άσκηση

9 Εκτέλεση Jacobi (III) t=0 t=1 i=1 j=2 9 11/2016 3η Άσκηση

10 Εκτέλεση Jacobi (IV) t=0 t=1 i=3 j= /2016 3η Άσκηση

11 Εκτέλεση Jacobi (V) t=1 t=2 i=1 j= /2016 3η Άσκηση

12 Εκτέλεση Jacobi (VI) Σύγκλιση t=k t=k+1 i=4 j=6 Τα στοιχεία του πίνακα δε διαϕέρουν (ή διαϕέρουν ελάχιστα) στις χρονικές στιγμές t και t+1 Ο αλγόριθμος έχει συγκλίνει 12 11/2016 3η Άσκηση

13 Ζητήματα Υλοποίησης - MPI Διαμοιρασμός πίνακα Θεωρούμε δισδιάστατο πλέγμα επεξεργαστών P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 Πώς διαμοιράζουμε τον πίνακα στο MPI; Ποιες συναρτήσεις χρησιμοποιούμε; 13 11/2016 3η Άσκηση

14 Ζητήματα Υλοποίησης - MPI Υπολογιστικός πυρήνας Έχει κάθε διεργασία τα στοιχεία που χρειάζεται; P4? 14 11/2016 3η Άσκηση

15 Ζητήματα Υλοποίησης - MPI Υπολογιστικός πυρήνας P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 Ποια στοιχεία πρέπει να ανταλλάσουν οι επεξεργαστές; Πότε γίνεται η ανταλλαγή δεδομένων; Ποιες συναρτήσεις MPI χρησιμοποιούμε για την επικοινωνία; Πού αποθηκεύονται τα δεδομένα αυτά; 15 11/2016 3η Άσκηση

16 Ζητήματα Υλοποίησης - MPI Έλεγχος σύγκλισης Έλεγχος σύγκλισης for i = 1; i < X 1; i++ do for j = 1; j < Y 1; j++ do if u[t + 1][i][j] u[t][i][j] > ε then return 0 end end end return 1; Ο έλεγχος σύγκλισης γίνεται τοπικά σε κάθε διεργασία. Πώς θα ελέγξουμε τη σύγκλιση σε όλο το χωρίο; 16 11/2016 3η Άσκηση

17 Υπολογιστικές μέθοδοι (II) - Μέθοδος Gauss-Seidel Η μέθοδος Jacobi λύνει το πρόβλημα, αλλά έχει πολύ αργό ρυθμό σύγκλισης Παρατήρηση 1: Όταν υπολογίζω το σημείο u[t+1][i][j], έχω ήδη υπολογίσει τα σημεία u[t+1][i-1][j], u[t+1][i][j-1] t=0 t= /2016 3η Άσκηση

18 Υπολογιστικές μέθοδοι (II) - Μέθοδος Gauss-Seidel Η μέθοδος Jacobi λύνει το πρόβλημα, αλλά έχει πολύ αργό ρυθμό σύγκλισης Παρατήρηση 2: Τα σημεία u[t+1][i-1][j], u[t+1][i][j-1] έχουν updated τιμές σε σχέση με τα u[t][i-1][j], u[t][i][j-1] Επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel u t+1 x,y = ut+1 x 1,y +ut+1 x,y 1 +ut x+1,y+u t x,y+1 4 y y 1 1 t+1 t+1 t+1 t t 1 x 1 x 18 11/2016 3η Άσκηση

19 Υπολογιστικές μέθοδοι (II) - Μέθοδος Gauss-Seidel με SOR Successive Over-Relaxation (SOR): Ένας τρόπος για ταχύτερη σύγκλιση Αρχική επαναληπτική μέθοδος: u t+1 = f(u t ) Επαναληπτική μέθοδος με SOR: u t+1 = (1 ω)u t + ωf(u t ) Επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel-SOR u t+1 x,y = u t x,y + ω ut+1 x 1,y +ut+1 x,y 1 +ut x+1,y+u t x,y+1 4u t x,y 4, ω (0, 2) 19 11/2016 3η Άσκηση

20 Εκτέλεση Gauss-Seidel-SOR (I) t=0 t=1 i=1 j= /2016 3η Άσκηση

21 Εκτέλεση Gauss-Seidel-SOR (II) t=0 t=1 i=1 j= /2016 3η Άσκηση

22 Εκτέλεση Gauss-Seidel-SOR (III) t=0 t=1 i=1 j= /2016 3η Άσκηση

23 Ζητήματα Υλοποίησης - MPI Υπολογιστικός πυρήνας Τι αλλάζει στην επικοινωνία της Gauss-Seidel σε σχέση με τη Jacobi; Πότε γίνεται η ανταλλαγή των δεδομένων μεταξύ των διεργασιών; Για τον υπολογισμό κάθε στοιχείου, απαιτούνται στοιχεία από την προηγούμενη και την τρέχουσα χρονική στιγμή Ποιος υπολογιστικός πυρήνας θα είναι πιο γρήγορος, αυτός της Jacobi ή αυτός της Gauss-Seidel; Γιατί; 23 11/2016 3η Άσκηση

24 Υπολογιστικές μέθοδοι (III) - Μέθοδος Red-Black SOR To Red-Black ordering επιτυγχάνει καλύτερο ρυθμό σύγκλισης Red-Black ordering: 1. Στοιχεία σε άρτιες θέσεις (i + j)%2 = 0 Red 2. Στοιχεία σε περιττές θέσεις (i + j)%2 = 1 Black Υπολογισμός σε δύο ϕάσεις 24 11/2016 3η Άσκηση

25 Υπολογιστικές μέθοδοι (III) - Μέθοδος Red-Black SOR Red-Black SOR - Φάση 1η - Update Red u t+1 x,y = u t x,y + ω ut x 1,y+u t x,y 1+u t x+1,y+u t x,y+1 4u t x,y 4, when (x + y)%2 == 0 Στη red ϕάση υπολογίζονται τα red στοιχεία από τα black Red-Black SOR - Φάση 2η - Update Black u t+1 x,y = u t x,y + ω ut+1 x 1,y +ut+1 x,y 1 +ut+1 x+1,y +ut+1 x,y+1 4ut x,y 4, when (x + y)%2 == 1 Στη black ϕάση υπολογίζονται τα black στοιχεία από τα red 25 11/2016 3η Άσκηση

26 Εκτέλεση Red-Black-SOR - 1η ϕάση (I) t=k t=k+1 i=1 j= /2016 3η Άσκηση

27 Εκτέλεση Red-Black-SOR - 1η ϕάση (II) t=k t=k+1 i=1 j= /2016 3η Άσκηση

28 Εκτέλεση Red-Black-SOR - 1η ϕάση (III) t=k t=k+1 i=4 j= /2016 3η Άσκηση

29 Εκτέλεση Red-Black-SOR - 2η ϕάση (I) t=k t=k+1 i=1 j=2

30 Εκτέλεση Red-Black-SOR - 2η ϕάση (II) t=k t=k+1 i=4 j=5

31 Ζητήματα Υλοποίησης - MPI Υπολογιστικός πυρήνας Ο υπολογιστικός πυρήνας της Red-Black SOR περιλαμβάνει δύο ϕάσεις. Πώς αλλάζει αυτό την επικοινωνία; Τι όϕελος/κόστος μπορεί να έχει; 31 11/2016 3η Άσκηση

32 Ζητούμενα Υποχρεωτικά για τις μεθόδους Jacobi και Gauss-Seidel Προαιρετικά για τη μέθοδο Red-Black SOR Αναπτύξτε παράλληλα προγράμματα στο μοντέλο ανταλλαγής μηνυμάτων με τη βοήθεια της βιβλιοθήκης MPI Σειριακές υλοποιήσεις στα αρχεία Jacobi_serial.c, GaussSeidelSOR_serial.c και RedBlackSOR_serial.c Σκελετός υλοποίησης σε MPI στο αρχείο mpi_skeleton.c Επίδειξη παράλληλων προγραμμάτων στις 6 Δεκεμβρίου Πραγματοποιείστε μετρήσεις επίδοσης με βάση συγκεκριμένο σενάριο που θα σας δοθεί στο εργαστήριο Συγκεντρώστε τα αποτελέσματα, τις συγκρίσεις και τα σχόλιά σας στην τελική αναϕορά Παράδοση τελικής αναϕοράς στις 13 Δεκεμβρίου 32 11/2016 3η Άσκηση

Εργασία για το μεταπτυχιακό μάθημα Παράλληλοι υπολογισμοί από τον φοιτητή Μουζακίδη Αλέξανδρο AM M 853

Εργασία για το μεταπτυχιακό μάθημα Παράλληλοι υπολογισμοί από τον φοιτητή Μουζακίδη Αλέξανδρο AM M 853 Εργασία για το μεταπτυχιακό μάθημα Παράλληλοι υπολογισμοί από τον φοιτητή Μουζακίδη Αλέξανδρο AM M 853 Θέμα Παράλληλη Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων με τις μεθόδους Jacob και Jacob over

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Αρχιτεκτονικής Παράλληλων Υπολογιστών... 45

2. Στοιχεία Αρχιτεκτονικής Παράλληλων Υπολογιστών... 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 9 1. Εισαγωγή... 13 1.1 Οι Μεγάλες Σύγχρονες Επιστημονικές Προκλήσεις... 13 1.2 Εξέλιξη της Παράλληλης Επεξεργασίας Δεδομένων... 14 1.3 Οι Έννοιες της Σωλήνωσης, του Παραλληλισμού

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 3: Βασικές τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ.

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ Μαρτίου 00 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β Αριθµητική

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 215-16. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών u xx + u yy =, u(x, ) = u(x, π) =, u(, y) =, u(a, y) = sin 2y + 4 sin 5y, < x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 6: Εξίσωση διάχυσης (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις

Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε την παρακάτω δ.ε. με τη δοσμένη αρχική συνθήκη. Σχεδιάστε τις χαρακτηριστικές καθώς και το γράφημα της λύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος

Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων. Μιχάλης Δρακόπουλος Επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας 2012 2013 Εισαγωγή Στην αριθμητική επίλυση μαθηματικών εφαρμογών, όπως για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 3: Περιγραφή αριθμητικών μεθόδων (συνέχεια) Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα στην επίλυση

Ειδικά θέματα στην επίλυση Ενότητα 5: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Ειδικά Θέματα Αριθμητικής Παραγώγισης Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Αλγεβρικών Εξισώσεων Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ειδικά θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Σχήματα McCarthy I. Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα:

Σχήματα McCarthy I. Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα: Σχήματα McCarthy I Το σχήμα McCarthy είναι ένα γενικότερο προγραμματιστικό σχήμα: f(x, y) = if g(...) = 0 then h(...) else k(...) όπου g(...), h(...) και k(...) είναι όροι-συναρτήσεις που κατασκευάζονται

Διαβάστε περισσότερα

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή

4. Παραγώγιση πεπερασμένων διαφορών Σειρά Taylor Πολυωνυμική παρεμβολή 4. Παραγώγιση Η διαδικασία της υπολογιστικής επίλυσης συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων προϋποθέτει την προσέγγιση της εξαρτημένης μεταβλητής και των παραγώγων της στους κόμβους του πλέγματος. Ειδικά,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 47 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014

ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014 Περίληψη. ΤΕΧΝΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Μαρία Α. Λευτάκη 1 & Ευάγγελος Π. Βαλάρης 1 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών Νοέμβριος 2014 Μια απλή μη γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 14-15, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: Πρόβλημα 1. Για κάθε μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Δίαλεξη 1: Βασικές Έννοιες Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων: Α. Κοκόσης Συνεργάτες:

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel. Δημιουργία κώδικα στο Matlab

Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel. Δημιουργία κώδικα στο Matlab Προσεγγιστική λύση Γραμμικών Συστημάτων με την μέθοδο Gauss-Seidel Δημιουργία κώδικα στο Matlab Χατζηγεωργίου Αντώνης Νοέμβριος 2013 Περιεχόμενα 1. Αρχικό πρόβλημα.... 3 2. Εφαρμογή της θεωρίας.... 4 3.

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλη Επεξεργασία Κεφάλαιο 6 ο Σύγχρονος Παραλληλισμός

Παράλληλη Επεξεργασία Κεφάλαιο 6 ο Σύγχρονος Παραλληλισμός Παράλληλη Επεξεργασία Κεφάλαιο 6 ο Σύγχρονος Παραλληλισμός Κωνσταντίνος Μαργαρίτης Καθηγητής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας kmarg@uom.gr http://eos.uom.gr/~kmarg Αρετή Καπτάν Υποψήφια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4)

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 4) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 4) Σεπτέμβριος 2015

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ 9o εξάμηνο ΗΜΜΥ, ακαδημαϊκό έτος

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ 9o εξάμηνο ΗΜΜΥ, ακαδημαϊκό έτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΞΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ http://www.cslab.ece.ntua.gr ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * *

MEM 253. Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * MEM 253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ * * * 1 Ένα πρόβλημα-μοντέλο Ροή θερμότητας σε ένα ομογενές μέσο. Ζητούμε μια συνάρτηση x [0, 1] και t 0 τέτοια ώστε u(x, t) ορισμένη για u t u(0, t) u(x, 0) = u xx, 0 < x

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 0: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή Διαφορικές εξισώσεις Οι Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) αλλά και οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) εμφανίζονται παντού στις επιστήμες από τη μηχανική μέχρι τη βιολογία Τις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Χειμερινό εξάμηνο ακαδημαϊκού έτους 24-25, Διδάσκων: Α.Τόγκας ο φύλλο προβλημάτων Ονοματεπώνυμο - ΑΜ: ΜΔΕ ο φύλλο προβλημάτων Α. Τόγκας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές Κεφάλαιο 4 Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 4 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισµένες ελλειπτικές εξισώσεις µε πλήθος εφαρµογών σε πολλά επιστηµονικά και τεχνολογικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις

Εισαγωγή. Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε τις διαφορικές εξισώσεις και τα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών που θα συναντήσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Επίσης, θα δούμε ορισμένες ιδιότητες και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ

Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Επιστηµονικός Υπολογισµός ΙΙ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 13/3/13 Θεώρηµα Stein-Rosenberg Εστω A = D L U όπου L,U

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας.

Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας. ΔΙΑΛΕΞΗ η : Αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας Στόχος: Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Αγωγής Θερμότητας, ενώ αργότερα θα γενικεύσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης με παραγώγους Μέθοδοι πολυδιάστατης ελαχιστοποίησης Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο

2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο 1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

w 1, z = 2 και r = 1

w 1, z = 2 και r = 1 ΑΣΚΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 008-009, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #4: ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ: 0..009 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Δίδεται η διαφορική εξίσωση Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

a n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8

a n + 6a n a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 Διακριτά Μαθηματικά Σχέσεις Αναδρομής Ι 1 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 2 / 17 a n + 6a n 1 + 12a n 2 + 8a n 3 = 0, a 0 = 1, a 1 = 2, a 2 = 8 1ος τρόπος: Εχουμε τη

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής:

Διαβάστε περισσότερα

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).

6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet). 6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Χαρμανδάρης Βαγγέλης, Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης, Εαρινό Εξάμηνο 2013/14 Κεφάλαιο 6: Εφαρμογές ΙΙ Παράλληλοι Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Το μαθηματικό μοντέλο της FDTD (1)

Το μαθηματικό μοντέλο της FDTD (1) (Fe Dfferece - Tme Doma) Το μαθηματικό μοντέλο της FDTD () Η FDTD αποτελεί μια από τις πιο δημοφιλείς μεθόδους για την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων του Mawell. Το μαθηματικό της μοντέλο βασίζεται στη

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Επίλυση παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ Δημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014-2015 Εξαμ 2ον

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014-2015 Εξαμ 2ον ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014-2015 Εξαμ 2ον ΩΡΕΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΡΙΤΗ ΤΕΤΑΡΤΗ ΠΕΜΠΤΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ- ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ- ΚΥΜΑΤΙΚΗ- ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΜΦ11 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ-ΚΥΜΑΤΙΚΗ-

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις

Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Κεφαλαιο 7: Η ΜΠΣ για ελλειπτικά προβλήματα με μη-ομαλές λύσεις Όπως είδαμε μέχρι τώρα η ομαλότητα της ακριβούς λύσης επηρεάζει τις εκτιμήσεις σφάλματος με τέτοιο τρόπο ώστε ολα όσα αποδείξαμε ισχύουν

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων

Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 4: Τεχνικές επίλυσης μη-γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Βασικές Έννοιες

Διάλεξη 1: Βασικές Έννοιες EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 1: Βασικές Έννοιες Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου Διδάσκων: Α. Κοκόσης Συνεργάτες:

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

HY-486 Αρχές Κατανεμημένου Υπολογισμού Εαρινό Εξάμηνο

HY-486 Αρχές Κατανεμημένου Υπολογισμού Εαρινό Εξάμηνο HY-486 Αρχές Κατανεμημένου Υπολογισμού Εαρινό Εξάμηνο 2016-2017 Δέυτερη Προγραμματιστική Εργασία Προθεσμία παράδοσης: 19/6/2017 1. Γενική Περιγραφή Στην δεύτερη προγραμματιστική εργασία καλείστε να υλοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ. Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΡΑΥΛΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Διάλεξη 15: O αλγόριθμος SIMPLE Χειμερινό εξάμηνο 2008 Προηγούμενη παρουσίαση... Εξετάσαμε τις θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Χαρμανδάρης Βαγγέλης, Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης, Εαρινό Εξάμηνο 2013/14 Κεφάλαιο 4: Παράλληλοι Αλγόριθμοι Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Περιεχόμενα 1 Γενικά. 1 1.1 Μερικές διαφορικές εξισώσεις............................ 1 1.2 Διαφορικοί τελεστές................................. 2 1.3

Διαβάστε περισσότερα

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων. Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

προβλήµατα ανάλυσης ροής

προβλήµατα ανάλυσης ροής προβλήµατα ανάλυσης ροής ΕΚ ΟΣΗ Νοέµβριος 2006 Σελίδα 1 ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝ ΥΑΣΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΝΤΟΧΗΣ Ενσωµατώνεται το εξελιγµένο πρόγραµµα ανάλυσης προβληµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ

Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ Πρόταση για Ανασχηματισμό του Προγράμματος Προπτυχιακών Σπουδών της ΣΗΜΜΥ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Περίληψη Τί προτείνουμε, πώς και γιατί με λίγα λόγια: 55 μαθήματα = 30 για ενιαίο

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ

ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ Πληροφορική I "Προγραμματισμός" B. Φερεντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 8 : Το ιακριτό Μοντέλο Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Επίλυση ασκήσεων - Αλγόριθμοι αναζήτησης - Επαναληπτική κάθοδος ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ Θα επιλυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας

Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας Συστήματα Παράλληλης και Κατανεμημένης Επεξεργασίας Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No:08 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικά με Η/Υ Αλγ λ ό γ ρ ό ιθ ρ μοι κύκλου & έλλειψης

Γραφικά με Η/Υ Αλγ λ ό γ ρ ό ιθ ρ μοι κύκλου & έλλειψης Γραφικά με Η/Υ Αλγόριθμοι κύκλου & έλλειψης Τεχνική μέσου σημείου (μέσο έ σημείο Q) NE pixel Q Μέσο σημείο M E pixel P = ( x p, y p ) x x + 1 = p Προηγούμενο pixel Επιλογές για το Επιλογές για το τρέχων

Διαβάστε περισσότερα

FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός

FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Παραδόσεις Μαθήματος 2016 Δρ Γ Παπαλάμπρου Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ georgepapalambrou@lmentuagr Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας (Κτίριο Λ) Σχολή Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές

Κεφ. 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές Κεφ 7: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές 71 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις 7 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων 73 Οριακές συνθήκες μικτού τύπου και ακανόνιστα

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων

Πρόλογος. Κατάλογος Σχημάτων Περιεχόμενα Πρόλογος Κατάλογος Σχημάτων v xv 1 ΜΔΕ πρώτης τάξης 21 1.1 Γενικότητες........................... 21 1.2 Εισαγωγή............................ 24 1.2.1 Γεωμετρικές θεωρήσεις στο πρόβλημα της

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία για το μεταπτυχιακό μάθημα Τεχνολογία παράλληλων υπολογιστικών συστημάτων Μουζακίδης Αλέξανδρος AM M 853

Εργασία για το μεταπτυχιακό μάθημα Τεχνολογία παράλληλων υπολογιστικών συστημάτων Μουζακίδης Αλέξανδρος AM M 853 Εργασία για το μεταπτυχιακό μάθημα Τεχνολογία παράλληλων υπολογιστικών συστημάτων Μουζακίδης Αλέξανδρος AM M 853 Θέμα Υλοποίηση του παιχνιδιού της ζωής με παράλληλους αλγορίθμους κατανεμημένης μνήμης Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα:

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f () = uy (, ) + vy (, ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο = + y αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: ) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u( y,

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Α. Υπολογίστε χωρίς να εκτελέσετε κώδικα FORTRAN τα παρακάτω: Ποιά είναι η τελική τιμή του Z στα παρακάτω κομμάτια κώδικα FORTRAN:

Άσκηση 1. Α. Υπολογίστε χωρίς να εκτελέσετε κώδικα FORTRAN τα παρακάτω: Ποιά είναι η τελική τιμή του Z στα παρακάτω κομμάτια κώδικα FORTRAN: Άσκηση 1 Α. Υπολογίστε χωρίς να εκτελέσετε κώδικα FORTRAN τα παρακάτω: Ποιά είναι η τελική τιμή του J στα παρακάτω κομμάτια κώδικα FORTRAN: INTEGER J J = 5 J = J + 1 J = J + 1 INTEGER X, Y, J X = 2 Y =

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλος προγραμματισμός: Σχεδίαση παράλληλων προγραμμάτων

Παράλληλος προγραμματισμός: Σχεδίαση παράλληλων προγραμμάτων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ. και Μηχανικών Υπολογιστών Εργαστήριο Υπολογιστικών Συστημάτων Παράλληλος προγραμματισμός: Σχεδίαση παράλληλων προγραμμάτων 9 ο Εξάμηνο Σχεδιασμός παράλληλων

Διαβάστε περισσότερα