Ανελαστική ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς γεφυρών από σκυρόδεμα

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή- Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Εργαστήριο Κατασκευών Οπλισμένου Σκυροδέματος και Φέρουσας Τοιχοποιίας Θεμελίνα Σ. Παρασκευά Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός, ΜΔΕ Ανελαστική ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς γεφυρών από σκυρόδεμα Διδακτορική Διατριβή Θεσσαλονίκη 2013

2

3 Θεμελίνα Σ. Παρασκευά Διπλ. Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ., ΜΔΕ Ανελαστική ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς γεφυρών από σκυρόδεμα Διδακτορική Διατριβή Υποβλήθηκε στο Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας των Κατασκευών Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: 26/2/2013 Εξεταστική επιτροπή Α. Κάππος, Καθηγητής Α.Π.Θ., Επιβλέπων Κ. Στυλιανίδης, Καθηγητής Α.Π.Θ., Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Α. Σέξτος, Επίκουρος Καθηγητής Α.Π.Θ., Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Χ. Ιγνατάκης, Καθηγητής ΑΠΘ, Εξεταστής Γ. Μανώλης, Καθηγητής ΑΠΘ, Εξεταστής Ι. Ψυχάρης, Αναπληρωτής Καθηγητής ΣΠΜ ΕΜΠ, Εξεταστής Γ. Θερμού, Λέκτορας ΑΠΘ, Εξεταστής

4

5 στην οικογένειά μου

6 2013 Θεμελίνα Σ. Παρασκευά ΑΠΘ Ανελαστική ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς γεφυρών από σκυρόδεμα... «Η έγκριση της παρούσης Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2)

7 Πρόλογος Η σημασία της αξιόπιστης αποτίμησης της ανελαστικής συμπεριφοράς των κατασκευών, είναι αναγνωρισμένη διεθνώς από το σύνολο της επιστημονικής κοινότητας. Η πλέον διαδεδομένη ανελαστική μέθοδος εκτίμησης της σεισμικής απαίτησης των κατασκευών, είναι η ανελαστική στατική μέθοδος (pushover analysis), η οποία περιλαμβάνεται και στους σύγχρονους κανονισμούς. Η εν λόγω μέθοδος είναι μια προσεγγιστική μέθοδος εκτίμησης της ανελαστικής απόκρισης των κατασκευών, η οποία είναι ιδιαίτερα ελκυστική λόγω της απλότητάς της σε σχέση με την πολυπλοκότερη αλλά ακριβέστερη δυναμική ανελαστική μέθοδο χρονοϊστορίας. Βασικό μειονέκτημα της μεθόδου, αποτελεί το σχετικώς περιορισμένο πεδίο εφαρμογής της, για τη διεύρυνση του οποίου, τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύχθηκαν από πολλούς ερευνητές-μηχανικούς, εξελιγμένες μέθοδοι ανελαστικής στατικής ανάλυσης, που αποσκοπούν στην προσομοίωση τόσο της σεισμικής δράσης όσο και της μη-γραμμικής συμπεριφοράς των δομικών συστημάτων σε όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστο βαθμό, επιχειρώντας ταυτόχρονα να διατηρήσουν υπολογιστική απλότητα. Σε αυτό το πλαίσιο ερευνητικής δραστηριότητας, εντάσσεται η παρούσα διδακτορική διατριβή. Όταν ξεκίνησε η εκπόνηση της παρούσας διατριβής, κύρια επιδίωξη ήταν η διερεύνηση της δυνατότητας εφαρμογής της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης (ΙΑΣΑ) σε φορείς γεφυρών από σκυρόδεμα. Η εν λόγω μεθοδολογία, όπως παρουσιάστηκε από τους Chopra & Goel, είχε εφαρμοστεί αποκλειστικά σε κτιριακούς φορείς και ως εκ τούτου ήταν προσαρμοσμένη στα δυναμικά χαρακτηριστικά και στο δομικό σύστημά τους. Η ιδιαιτερότητα και η διαφορετικότητα της απόκρισης των γεφυρών σε σχέση με τους συνήθεις κτιριακούς φορείς, σε συνδυασμό με την απλότητα της μεθοδολογίας αλλά και την ικανοποιητική αξιοπιστία της στην αποτίμηση κτιρίων, αποτέλεσαν το κίνητρο για την έναρξη της παρούσας ερευνητικής προσπάθειας. Στην πορεία διερεύνησης του προβλήματος, μελετήθηκαν τα κρίσιμα σημεία της μεθόδου καθώς και τα προβλήματα που ανακύπτουν κατά την εφαρμογή της σε γέφυρες. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην εξάρτηση των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης από τη θέση του σημείου ελέγχου, λόγω της αδυναμίας της μεθόδου να λαμβάνει υπόψη την μεταβολή του σχήματος των ιδιομορφών μετά τη διαρροή του φορέα. Στο πλαίσιο διατήρησης της απλότητας της εφαρμογής της μεθόδου, αναπτύχθηκε μια βελτιωμένη εκδοχή της ΙΑΣΑ, με στόχο να άρει κατά το δυνατόν, το συγκεκριμένο μειονέκτημά της. Το αντικείμενο της παρούσας διατριβής στράφηκε σε γέφυρες από σκυρόδεμα, δεδομένου ότι αποτελούν ένα σημαντικά μεγάλο μέρος του συνόλου των υφιστάμενων γεφυρών στην Ελλάδα και σε άλλες Ευρωπαϊκές χώρες. Σημαντική συμβολή στην έναρξη v

8 της ερευνητικής διαδικασίας αποτέλεσε το ερευνητικό πρόγραμμα ΑΣΠροΓε, κατά τη διάρκεια του οποίου μου δόθηκε η δυνατότητα να έρθω σε επαφή με το αντικείμενο της γεφυροποιίας, σε εθνικό και ευρωπαϊκό πλαίσιο. Στο πλαίσιο του εν λόγω προγράμματος, το οποίο χρονικά συνέπεσε με το πρώτο στάδιο εκπόνησης της παρούσας διατριβής, επιλέχθησαν τρεις τύποι υφιστάμενων γεφυρών από σκυρόδεμα, με διαφορετικά δυναμικά χαρακτηριστικά, για τη διερεύνηση του εύρους του πεδίου εφαρμογής της ιδιομορφικής ανελαστικής στατικής ανάλυσης. Η ακρίβεια και η αξιοπιστία της μεθόδου διερευνήθηκε σε σχέση με την συμβατική ανελαστική στατική ανάλυση και με την εξ ορισμού ακριβέστερη ανελαστική δυναμική ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης. Μελετήθηκαν τα κρίσιμα σημεία της μεθόδου, και εντοπίστηκαν τα προβλήματα που ανακύπτουν κατά την εφαρμογή της σε γέφυρες, λόγω της διαφορετικής δυναμικής τους απόκρισης σε σχέση με αυτήν των κτιρίων. Κατά το δεύτερο στάδιο εκπόνησης της παρούσας διατριβής (μετά τη λήξη του προγράμματος ΑΣΠροΓε), αναπτύχθηκε η προτεινόμενη βελτιωμένη εκδοχή της μεθόδου, μέσω της οποίας επιχειρείται η άρση των αδυναμιών της ΙΑΣΑ, και συγκεκριμένα εκείνων που οφείλονται στην μεταβολή του σχήματος των ιδιομορφών μετά τη διαρροή της κατασκευής και κατά συνέπεια στην εξάρτηση των μεγεθών απόκρισης από τη θέση του σημείου ελέγχου στο φορέα. Σημειώνεται ότι η προσαρμογή αυτή, μπορεί να εφαρμοσθεί άμεσα και σε άλλους τύπους γεφυρών π.χ. χαλύβδινες ή σύμμεικτες, αλλά και σε κτιριακούς φορείς. Παράλληλα προτάθηκε η χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης του φορέα, η οποία παράγεται μέσω της προτεινόμενης μεθόδου ανάλυσης, ως πιο ακριβής στην εκτίμηση της πραγματικής απόκρισης του φορέα, σε σχέση με αυτήν που προκύπτει από τη συμβατική ανελαστική στατική ανάλυση, εφόσον συνεκτιμά το σύνολο των ιδιομορφών που συνεισφέρουν ουσιωδώς στην απόκριση της κατασκευής. Η αξιολόγηση της εν λόγω καμπύλης αντίστασης έγινε σε σχέση τόσο με την συμβατική καμπύλη αντίστασης όσο και με τις αντίστοιχες δυναμικές καμπύλες αντίστασης της κατασκευής. Στόχος της παρούσας διατριβής ήταν η επέκταση και η προσαρμογή της ΙΑΣΑ σε φορείς γεφυρών, καθώς και η εξεύρεση λύσεων ικανών να αντιμετωπίσουν τις αδυναμίες της μεθόδου, που οφείλονται στη διαφορετική δυναμική απόκριση των γεφυρών σε σχέση με αυτήν των κτιρίων. Μέσω της πολυετούς ερευνητικής προσπάθειας, επιχειρήθηκε η ανάπτυξη μιας βελτιωμένης εκδοχής της μεθόδου, η οποία να μπορεί να αποτελέσει ένα χρήσιμο υπολογιστικό εργαλείο, στα χέρια όχι μόνο του ερευνητή μηχανικού αλλά και του μελετητή - μηχανικού, για την μελέτη της σεισμικής απόκρισης γεφυρών, με βαθμό αξιοπιστίας σε σχέση με τη συμβατική ανελαστική στατική ανάλυση που υιοθετούν οι κανονισμοί.

9 Από τη θέση αυτή, θα ήθελα καταρχάς να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντά μου Καθηγητή κ. Ανδρέα Κάππο, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και για την πολύτιμη καθοδήγησή του όλα αυτά τα χρόνια. Τον ευχαριστώ ιδιαίτερα για τη διαρκή προτροπή του και ενθάρυνση για ένταση των προσπαθειών μου, για την ολοκλήρωση της παρούσας διατριβής, ειδικά σε κάποιες δύσκολες για μένα περιόδους της ζωής μου. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον Επ. Καθηγητή κ. Αναστάσιο Σέξτο, για τις εύστοχες παρατηρήσεις του και τη σημαντική βοήθεια που μου παρείχε σε θέματα προσομοίωσης και εφαρμογής της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Δρ. Παναγιώτη Πανέτσο και Δρ. Δημήτρη Κωνσταντινίδη για την ευγενή διάθεση του απαιτούμενου υλικού για την προσομοίωση των τριών γεφυρών της «Εγνατίας Οδού Α.Ε» που εξετάστηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής. Θα ήθελα ακόμη να ευχαριστήσω τη Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας για τη χρηματοδότηση του πρώτου σταδίου εκπόνησης της παρούσας διατριβής στο πλαίσιο του ερευνητικού προγράμματος Αντισεισμική Προστασία Γεφυρών (ΑΣΠροΓε). Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους φίλους και την οικογένειά μου, που στάθηκαν δίπλα μου σε αυτήν την πολυετή προσπάθειά μου και ειδικότερα ευχαριστώ τον σύζυγό μου για την συνεχή συμπαράστασή του και για τη σημαντική βοήθεια που μου προσέφερε μετά τη γέννηση του Οδυσσέα, για την ολοκλήρωση της συγγραφής της παρούσας διατριβής. Θεσσαλονίκη, 2013 Θεμελίνα Σ. Παρασκευά vii

10

11 Περιεχόμενα Πρόλογος... v Περιεχόμενα...ix Κατάλογος Σχημάτων... xv Κατάλογος Πινάκων...xxix Συμβολισμοί...xxxi Περίληψη...xxxvii Summary...xxxix 1. Γενική επισκόπηση Θέση του προβλήματος Στόχοι της διατριβής Διάρθρωση της διατριβής Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης Ανελαστική Στατική Ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη την κυρίαρχη ιδιομορφή της κατασκευής Μέθοδος Ν Μικροαυξητική Φασματική Ανάλυση, λαμβάνοντας υπόψη την κυρίαρχη ιδιομορφή του συστήματος Ανελαστική Στατική Ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη ανώτερες ιδιομορφές της κατασκευής Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Μικροαυξητική Φασματική Ανάλυση Ανελαστική Στατική Ανάλυση με Αναπροσαρμοζόμενη κατανομή δυνάμεων/μετακινήσεων, λαμβάνοντας υπόψη ανώτερες ιδιομορφές Κριτική σύνοψη υφισταμένων μεθόδων ix

12 3. Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Θεωρητικό υπόβαθρο της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης για φορείς γεφυρών Ελαστική απόκριση γεφυρών Ανελαστική απόκριση γεφυρών Προσαρμογή της ΙΑΣΑ για εφαρμογή της σε φορείς γεφυρών Κρίσιμα σημεία της μεθόδου Αριθμός απαραίτητων ιδιομορφών Διγραμμικοποίηση των καμπυλών αντίστασης Επιλογή κατάλληλου σημείου χάραξης των καμπυλών αντίστασης Υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης Προτεινόμενες βελτιώσεις στην Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Προβλήματα κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε ολόσωμες γέφυρες από σκυρόδεμα Βελτιωμένη ΙΑΣΑ για γέφυρες από σκυρόδεμα Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών Καμπύλες αντίστασης για φορείς γεφυρών, μέσω της ανελαστικής στατικής ανάλυσης Παράγοντες που επηρεάζουν τη μορφή της καμπύλης αντίστασης του φορέα Πολυ-ιδιομορφική (σύνθετη) καμπύλη αντίστασης Δυναμικές καμπύλες αντίστασης Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Περιγραφή και στοιχεία προσομοίωσης της γέφυρας Προσομοίωση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της γέφυρας Προσομοίωση της ανελαστικής απόκρισης του φορέα Ιδιομορφική ελαστική ανάλυση του φορέα Ανελαστική Στατική Ανάλυση Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής x

13 5.3.2 Ανελαστική Στατική Ανάλυση με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα για φόρτιση βάσει κάθε ιδιομορφής Εφαρμογή της ΙΑΣΑ και της προτεινόμενης βελτιωμένης ΙΑΣΑ Μεγέθη απόκρισης βάσει της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ Χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης Χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης Σύγκριση των στατικών μεθόδων ανάλυσης με τις αντίστοιχες δυναμικές αναλύσεις Σύγκριση των μεθόδων ανάλυσης για ελαστική απόκριση της γέφυρας Ανελαστική απόκριση του φορέα βάσει των στατικών και δυναμικών αναλύσεων Σύγκριση των καμπυλών αντίστασης του φορέα Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Περιγραφή και στοιχεία προσομοίωσης της γέφυρας Προσομοίωση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της γέφυρας Προσομοίωση του φορέα για ανελαστική απόκριση Ιδιομορφική ανάλυση ελαστική ανάλυση του φορέα Ανελαστική στατική ανάλυση Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής Ανελαστική Στατική Ανάλυση με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Ανελαστική στατική μεθόδος με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση xi

14 6.4.1 Χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα για φόρτιση βάσει κάθε ιδιομορφής Εφαρμογή της ΙΑΣΑ και της προτεινόμενης βελτιωμένης ΙΑΣΑ Μεγέθη απόκρισης βάσει της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ Χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης Χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης Σύγκριση των στατικών μεθόδων ανάλυσης με τις αντίστοιχες δυναμικές αναλύσεις Σύγκριση των μεθόδων ανάλυσης για ελαστική απόκριση της γέφυρας Ανελαστική απόκριση του φορέα βάσει των στατικών και δυναμικών αναλύσεων Σύγκριση των καμπυλών αντίστασης του φορέα Γέφυρα με μικρή επιρροή ανώτερων ιδιομορφών Περιγραφή και στοιχεία προσομοίωσης της γέφυρας Προσομοίωση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της γέφυρας Προσομοίωση της γέφυρας για ανελαστική απόκριση Ιδιομορφική ελαστική ανάλυση της γέφυρας Ανελαστική Στατική Ανάλυση Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής Ανελαστική Στατική Ανάλυση με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Καμπύλες αντίστασης του φορέα για φόρτιση βάσει κάθε ιδιομορφής Βελτιωμένη Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Μεγέθη απόκρισης βάσει της ΙΑΣΑ και της προτεινόμενης μεθοδολογίας Χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης της γέφυρας Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης xii

15 7.5.1 Χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης του φορέα Σύγκριση των στατικών μεθόδων ανάλυσης με τις αντίστοιχες δυναμικές αναλύσεις Σύγκριση των μεθόδων ανάλυσης για ελαστική απόκριση της γέφυρας Ανελαστική απόκριση του φορέα βάσει των στατικών και δυναμικών αναλύσεων Σύγκριση των καμπυλών αντίστασης του φορέα Γενικά Συμπεράσματα Συμπεράσματα από την εφαρμογή των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, για κάθε τύπο γέφυρας Συμπεράσματα από την εφαρμογή της προτεινόμενης βελτιωμένης ΙΑΣΑ σε κάθε τύπο γέφυρας των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, για κάθε τύπο γέφυρας Συμπεράσματα από τη χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης για κάθε τύπο γέφυρας Συνολική αξιολόγηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας Προτάσεις για μελλοντική έρευνα Βιβλιογραφία xiii

16

17 Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 2.1 Παράδειγμα βρόχων υστέρησης για δομικά στοιχεία από σκυρόδεμα... 7 Σχήμα 2.2 Παράδειγμα διακριτοποίησης δομικού στοιχείου κατανεμημένης πλαστικοποίησης Σχήμα 2.3 Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος Σχήμα 2.4 Εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης σύμφωνα με τη μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας, για συστήματα με (a) T T C και (b) T< T C Σχήμα 2.5 Κατάλληλες κατανομές των επιβαλλόμενων φορτίσεων ανάλογα με τον τύπο της γέφυρας Σχήμα 2.6 Διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ, σύμφωνα με τη μέθοδο Ν Σχήμα 2.7 Χάραξη της ΙΝ2 καμπύλης (Dolšek & Fajfar, 2004) Σχήμα 2.8 Ιδιότητες του ανελαστικού ΙΜΣ της n-οστής ιδιομορφής: (a) αντικατάσταση της n-οστής καμπύλης αντίστασης της κατασκευής με μια ιδεατή διγραμμική και (b) καμπύλη αντίστασης του ανελαστικού ΙΜΣ για τη n-οστή ιδιομορφή Σχήμα 2.9 Καμπύλες αντίστασης των ΙΜΣ και η διόρθωση των ιδιομορφικών μετακινήσεων μέσω των φασμάτων απόκρισης Σχήμα 2.10 Καμπύλη αντίστασης και καμπύλη απαίτησης σύμφωνα με την πολύιδιομορφική ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης Σχήμα 2.11 Καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ βάσει της Μεθόδου Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση Σχήμα 2.12 Προσδιορισμός της σεισμικής απαίτησης με την Μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση Σχήμα 2.13 Ανελαστικά μεγέθη απόκρισης του πολυβάθμιου συστήματος για την υπό εξέταση σεισμική διέγερση Σχήμα 2.14 Περιοχή εφαρμογής των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης σε φορείς γεφυρών από σκυρόδεμα Σχήμα 3.1 Μετατροπή της καμπύλης αντίστασης του φορέα (πολυβάθμιο σύστημα) σε καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ Σχήμα 3.2 Εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα με διγραμμική καμπύλη και θετική κλίση στο μετελαστικό κλάδο, κατά FEMA356 (ASCE, 2000) Σχήμα 3.3 Εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα με διγραμμική καμπύλη, κατά ATC-40 (ATC, 1996) Σχήμα 3.4 Η διγραμμική προσέγγιση του EC8 (CEN, 2004) για τις καμπύλες αντίστασης Σχήμα 3.5 Εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα με διγραμμική καμπύλη, κατά τη μέθοδο της ΕΟ του ΑΠΘ (Παναγόπουλος & Κάππος, 2009) xv

18 Σχήμα 4.1 Καμπύλες αντίστασης του φορέα για n ιδιομορφικές φορτίσεις, ως προς το σταθερό σημείο ελέγχου, i Σχήμα 4.2 Καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφική φόρτιση Σχήμα 4.3 Εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ για την 1 η, 2 η και n-οστή ιδιομορφική φόρτιση Σχήμα 4.4 Εκτίμηση της συνολικής τέμνουσας βάσης που αντιστοιχεί στη στοχευόμενη μετακίνηση, για κάθε ιδιομορφική φόρτιση Σχήμα 4.5 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης του φορέα βάσει της ΙΑΣΑ, ως προς το σημείο ελέγχου i Σχήμα 4.6 Επιλογή κατάλληλων επιταχυνσιογραφημάτων Σχήμα 4.7 Χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης του φορέα για κάθε επιταχυνσιογράφημα Σχήμα 4.8 Χάραξη της τελικής δυναμικής καμπύλης αντίστασης του φορέα Σχήμα 5.1 Γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής (αριστερός κλάδος) Σχήμα 5.2 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των ανοιγμάτων Σχήμα 5.3 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των στηρίξεων με μονολιθική σύνδεση καταστρώματος με βάθρο Σχήμα 5.4 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των στηρίξεων με σύνδεση καταστρώματος με βάθρο μέσω εφεδράνων ολίσθησης Σχήμα 5.5 Διατομή μεσοβάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα Σχήμα 5.6 Διατομή μεσοβάθρου που συνδέεται με το κατάστρωμα μέσω εφεδράνων Σχήμα 5.7 Χωρική άποψη μοντέλου προσομοίωσης Σχήμα 5.8 Τομή στο επίπεδο ΧΖ Σχήμα 5.9 Κάτοψη γέφυρας (τομή στο επίπεδο ΧY) Σχήμα 5.10 Τομή στο επίπεδο ΥΖ Σχήμα 5.11 Τοπικοί άξονες συντεταγμένων των γραμμικών στοιχείων προσομοίωσης του καταστρώματος Σχήμα 5.12 Τοπικοί άξονες συντεταγμένων των γραμμικών στοιχείων προσομοίωσης των βάθρων Σχήμα 5.13 Μη- γραμμικές περιοχές του φορέα καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα Σχήμα 5.14 Μη- γραμμικές περιοχές του φορέα καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται με το κατάστρωμα μέσω εφεδράνων ολίσθησης Σχήμα 5.15 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ελαστική ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας Σχήμα 5.16 Σημαντικότερες ιδιομορφές κατά την εγκάρσια διεύθυνση του φορέα, σε κάτοψη xvi

19 Σχήμα 5.17 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά τις κύριες διευθύνσεις, όπως ορίζονται με σημείο ελέγχου των μετακινήσεων το κέντρο μάζας του καταστρώματος Σχήμα 5.18 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά τη διαμήκη διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.19 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.20 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, που υπολογίζονται με την ΑΣΑ για φόρτιση βάσει της 1 ης ιδιομορφής Σχήμα 5.21 Κατανομή της ομοιόμορφης φόρτισης σε κάτοψη, κατά μήκος της γέφυρας.111 Σχήμα 5.22 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, οι θέσεις και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα Σχήμα 5.23 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Σχήμα 5.24 Κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης σε κάτοψη, κατά μήκος του φορέα113 Σχήμα 5.25 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Σχήμα 5.26 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, που υπολογίζονται με την ανελαστική στατική ανάλυση, για φόρτιση που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Σχήμα 5.27 Φόρτιση βάσει της 1 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου: (a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c) μέγιστη μετακίνηση (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 5.28 Καμπύλες αντίστασης για την 1 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.29 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 1 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.30 Φόρτιση βάσει της 2 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c)μέγιστη μετακίνηση (d)κρίσιμο βάθρο Σχήμα 5.31 Καμπύλες αντίστασης για την 2 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.32 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 2 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.33 Φόρτιση βάσει της 3 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c) μέγιστη μετακίνηση (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 5.34 Καμπύλες αντίστασης για την 3 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου xvii

20 Σχήμα 5.35 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 3 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.36 Φόρτιση βάσει της 4 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c)μέγιστη μετακίνηση (d)κρίσιμο βάθρο Σχήμα 5.37 Καμπύλες αντίστασης για την 4 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.38 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 4 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 5.39 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ελαστική απόκριση του φορέα Σχήμα 5.40 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα Σχήμα 5.41 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (1 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.42 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (1 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.43 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (1 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.44 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.45 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.46 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.47 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.48 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (3 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.49 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (3 η ιδιομορφική φόρτιση) xviii

21 Σχήμα 5.50 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.51 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.52 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.53 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.54 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 5.55 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, με χρήση τα σημεία ελέγχου: (a), (b), (c) και (d) Σχήμα 5.56 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, με χρήση του σημείου ελέγχου M6 για τις ιδιομορφικές φορτίσεις 2,3,4 και για την ιδιομορφική φόρτιση 1 τα σημεία: (a)m10, (b)m3, (c)m4, (d)m Σχήμα 5.57 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για το σεισμό σχεδιασμού (a)ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές Σχήμα 5.58 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ για το σεισμό σχεδιασμού (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές Σχήμα 5.59 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές Σχήμα 5.60 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού (a)ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές Σχήμα 5.61 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M6) και η αντίστοιχη διγραμική προσέγγιση αυτής Σχήμα 5.62 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M4) και η αντίστοιχη διγραμμική προσέγγιση αυτής Σχήμα 5.63 Σύγκριση φασμάτων του ΕΑΚ2003 και του ΕC8, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής xix

22 Σχήμα 5.64 Πολυ-ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης της γέφυρας Κρυσταλλοπηγής (σημείο ελέγχου των μετακινήσεων είναι το Μ6) για τα φάσματα του ΕΑΚ και του EC8, και η αντίστοιχες διγραμμικές προσεγγίσεις αυτών Σχήμα 5.65 Τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων Σχήμα 5.66 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-1 (accel:01) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, στη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής Σχήμα 5.67 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-2 (accel:02) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής Σχήμα 5.68 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-3 (accel:03) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής Σχήμα 5.69 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-4 (accel:04) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής Σχήμα 5.70 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-5 (accel:05) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής Σχήμα 5.71 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M6) Σχήμα 5.72 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M4) Σχήμα 5.73 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για ελαστική απόκριση του φορέα, για σεισμική διέγερση που αντιστοιχεί στο σεισμό σχεδιασμού Σχήμα 5.74 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το σεισμό σχεδιασμού: (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων Σχήμα 5.75 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού: (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων Σχήμα 5.76 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού: (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων Σχήμα 5.77 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού βάσει των: SPA(mode1) (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform loading) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), SPA(fn) (ΑΣΑ με επαλληλία ιδιομορφικών φορτίων), MPA(SRSS), MPA (CQC) και NL-RHA xx

23 Σχήμα 5.78 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για μιάμιση φορά του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA(mode1) (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform loading) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), SPA(fn) (ΑΣΑ με επαλληλία ιδιομορφικών φορτίων), MPA(SRSS), MPA (CQC) και NL-RHA Σχήμα 5.79 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA(mode1) (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform loading) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), SPA(fn) (ΑΣΑ με επαλληλία ιδιομορφικών φορτίων), MPA(SRSS), MPA (CQC) και NL-RHA Σχήμα 5.80 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform load pattern) (AΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), MPA και NL-RHA. (ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το Μ6) Σχήμα 5.81 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA (ΑΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform load pattern) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), MPA και NL-RHAκαι NL-RHA (ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το Μ4). 159 Σχήμα 6.1 Τυπική άνω διάβαση Σχήμα 6.2 Κατά μήκος τομή της γέφυρας Σχήμα 6.3 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή του ανοίγματος Σχήμα 6.4 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των μεσοβάθρων Σχήμα 6.5 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των ακροβάθρων Σχήμα 6.6 Κατά μήκος και εγκάρσια τομή του φορέα στη θέση μεσοβάθρου Σχήμα 6.7 Τυπική διατομή μεσοβάθρου (οπλισμός στη βάση του μεσοβάθρου) Σχήμα 6.8 Κατά μήκος τομή του φορέα στην περιοχή του ακροβάθρου Σχήμα 6.9 Εγκάρσια τομή του φορέα στην περιοχή του ακροβάθρου Σχήμα 6.10 Χωρική άποψη μοντέλου προσομοίωσης Σχήμα 6.11 Κάτοψη γέφυρας (Τομή στο επίπεδο ΧY) Σχήμα 6.12 Τομή στο επίπεδο ΧΖ Σχήμα 6.13 Ενδεικτικό μοντέλο προσομοίωσης ελαστομεταλλικού εφεδράνου (linear link element) Σχήμα 6.14 Τοπικοί άξονες συντεταγμένων του γραμμικού ελατηρίου με το οποίο προσομοιώνεται το ελαστομεταλλικό εφέδρανο Σχήμα 6.15 Περιοχές μη-γραμμικής συμπεριφοράς του φορέα καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα Σχήμα 6.16 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ελαστική ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας Σχήμα 6.17 Σημαντικές ιδιομορφές του φορέα σε κάτοψη κατά την εγκάρσια διεύθυνση Σχήμα 6.18 Καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης, κατά τις κύριες διευθύνσεις ανάλυσης και διαδοχή των πλαστικών αρθρώσεων στις αντίστοιχες διευθύνσεις. Ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το κέντρο μάζας καταστρώματος xxi

24 Σχήμα 6.19 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά τη διαμήκη διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 6.20 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 6.21 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος της τυπικής άνω διάβασης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ με κατανομή φόρτισης βάσει της 1 ης ιδιομορφής Σχήμα 6.22 Κατανομή της ομοιόμορφης φόρτισης κατά μήκος του φορέα Σχήμα 6.23 Καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της ομοιόμορφης κατανομής φόρτισης, οι θέσεις και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα Σχήμα 6.24 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Σχήμα 6.25 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος της τυπικής άνω διάβασης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Σχήμα 6.26 Κατανομή της φόρτισης από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων της γέφυρας, κατά μήκος του φορέα Σχήμα 6.27 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα, θέσεις και σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα Σχήμα 6.28 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης από την επαλληλία των ελαστικών ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Σχήμα 6.29 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος της τυπικής άνω διάβασης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. 187 Σχήμα 6.30 Κατανομή φόρτισης βάσει της 1 ης ιδιομορφής κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Πιθανές θέσεις σημείου ελέγχου: (a) κ.μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ, (c) μέγιστη μετακίνηση, (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 6.31 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης του φορέα για την 1 η ιδιομορφική φόρτιση κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία του καταστρώματος: (a) στο κ.μ. καταστρώματος, (b) στη θέση ΙΜΣ, (c) στη μέγιστη μετακίνηση, (d) στο κρίσιμο βάθρο Σχήμα 6.32 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 1 η ιδιομορφική φόρτιση κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διάφορα σημεία του καταστρώματος: (a) στο κ.μ. καταστρώματος, (b) στη θέση ΙΜΣ, (c) στη μέγιστη μετακίνηση, (d) στο κρίσιμο βάθρο xxii

25 Σχήμα η ιδιομορφή κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Πιθανές θέσεις σημείου ελέγχου: (a) κ.μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ, (c) μέγιστη μετακίνηση, (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 6.34 Καμπύλες αντίστασης του φορέα για την 2 η ιδιομορφική φόρτιση (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διάφορα σημεία του καταστρώματος: (a) στο κ.μ. καταστρώματος, (b) στη θέση του ΙΜΣ, (c) στη μέγιστη μετακίνηση, (d) στο κρίσιμο βάθρο Σχήμα 6.35 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 2 η ιδιομορφή κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς: (a) το κ.μ. καταστρώματος, (b) τη θέση του ΙΜΣ, (c) τη θέση μέγιστης μετακίνησης, (d) το κρίσιμο βάθρο Σχήμα 6.36 Σημεία ελέγχου των μετακινήσεων για την τυπική άνω διάβαση Σχήμα 6.37 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για το σεισμό σχεδιασμού (ελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.38 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού (ανελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.39 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για δυόμιση φορές το σεισμό σχεδιασμού (ανελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.40 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για το τριπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού (ανελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.41 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου (1 η ιδιομορφική φόρτιση- ανελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.42 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για δυόμιση φορές (0.40g) του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου (1 η ιδιομορφική φόρτιση- ανελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.43 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το τριπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου (1 η ιδιομορφική φόρτιση- ανελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.44 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για φόρτιση βάσει της 2 ης ιδιομορφικής κατανομής, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για το σεισμό σχεδιασμού (ελαστική απόκριση του φορέα) Σχήμα 6.45 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού (ανελαστική απόκριση του φορέα), όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 6.46 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για δυόμιση φορές (0.40g) του σεισμού σχεδιασμού (ανελαστική απόκριση του φορέα), όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (2 η ιδιομορφική φόρτιση) xxiii

26 Σχήμα 6.47 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το τριπλάσιο (0.48g) του σεισμού σχεδιασμού (ανελαστική απόκριση του φορέα), όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 6.48 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 6.49 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για δυόμιση φορές (0.40g) του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 6.50 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το τριπλάσιο (0.48g) του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (2 η ιδιομορφική φόρτιση) Σχήμα 6.51 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, με χρήση των σημείων ελέγχου: (a) το κέντρο μάζας, (b) θέση ΙΜΣ, (c) μέγιστη μετακίνηση και (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 6.52 Εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, με χρήση των σημείων ελέγχου για τις ιδιομορφικές φορτίσεις 1 η και 2 η : (a)α1. (b)μ1. (c)μ2 και (d)α Σχήμα 6.53 Μεγέθη απόκρισης της τυπικής άνω διάβασης όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για το σεισμό σχεδιασμού: (α) εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές, (c) ροπές κάμψης στη βάση των βάθρων Σχήμα 6.54 Μεγέθη απόκρισης της τυπικής άνω διάβασης όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για μιάμιση φορά του σεισμού σχεδιασμού: (α) εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές, (c) ροπές κάμψης στη βάση των βάθρων Σχήμα 6.55 Μεγέθη απόκρισης της τυπικής άνω διάβασης όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού: (α) εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές, (c) ροπές κάμψης στη βάση των βάθρων Σχήμα 6.56 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το σημείο, Α2) Σχήμα 6.57 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M2) Σχήμα 6.58 Σύγκριση φασμάτων του ΕΑΚ2003 και του EC8, για την τυπική άνω διάβαση Σχήμα 6.59 Τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα για την τυπική άνω διάβαση, για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων Σχήμα 6.60 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για την τυπική άνω διάβαση, με εφαρμογή του 1 ου επιταχυνσιογραφήματος (σημείο ελέγχου των μετακινήσεων είναι το Α2) Σχήμα 6.61 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για την τυπική άνω διάβαση, με εφαρμογή του 5 ου επιταχυνσιογραφήματος (σημείο ελέγχου των μετακινήσεων είναι το Α2) xxiv

27 Σχήμα 6.62 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για την τυπική άνω διάβαση (ως προς το Α2), που προκύπτουν από τον μ.ο. των δυναμικών καμπυλών αντίστασης των πέντε επιταχυνσιογραφημάτων Σχήμα 6.63 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για την τυπική άνω διάβαση (ως προς το Μ2), που προκύπτουν από τον μ.ο. των δυναμικών καμπυλών αντίστασης των πέντε επιταχυνσιογραφημάτων Σχήμα 6.64 Μεγέθη απόκρισης της τυπικής άνω διάβασης για το σεισμό σχεδιασμού (ελαστική απόκριση του φορέα): (a) Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος, (b) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων Σχήμα 6.65 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης της τυπικής άνω διάβασης, όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού: (a) εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στη βάση των βάθρων Σχήμα 6.66 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης της τυπικής άνω διάβασης, όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού: (a) εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στη βάση των βάθρων Σχήμα 6.67 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού βάσει των: SPA(mode1), SPA(uniform loading), SPA(fn), MPA, MPA(CQC) και NL- RHA Σχήμα 6.68 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος για μιάμιση φορά του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA(mode1), SPA(uniform loading), SPA(fn), MPA, MPA(CQC) και NL-RHA Σχήμα 6.69 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA(mode1), SPA(uniform loading), SPA(fn), MPA, MPA(CQC) και NL-RHA Σχήμα 6.70 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA (mode1), SPA(uniform loading), SPA(fn), MPA και NL-RHA (ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το Α2) Σχήμα 6.71 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA (mode1), SPA(uniform loading), SPA(fn), MPA και NL-RHA (ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το Μ2) Σχήμα 7.1 Γέφυρα Γ11 (δεξιός κλάδος) Σχήμα 7.2 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των ανοιγμάτων Σχήμα 7.3 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των στηρίξεων Σχήμα 7.4 Διατομή μεσοβάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα Σχήμα 7.5 Διατομή και οπλισμός των μεσοβάθρων της γέφυρας Σχήμα 7.6 Κάτοψη στην περιοχή του ακροβάθρου Α1, θέσεις των εφεδράνων ολίσθησης και του εγκάρσιου τόρμου στο ακρόβαθρο Σχήμα 7.7 Εγκάρσια τομή στη θέση έδρασης του καταστρώματος στο ζεύγος εφεδράνων ολίσθησης στην περιοχή του ακροβάθρου xxv

28 Σχήμα 7.8 Κατά μήκος τομή στην περιοχή του ακροβάθρου- διάταξη συστήματος εγκάρσιου τόρμου εντορμίας Σχήμα 7.9 Κάτοψη γέφυρας (τομή στο επίπεδο ΧY) Σχήμα 7.10 Τομή στο επίπεδο ΧΖ Σχήμα 7.11 Προοπτικό μοντέλου προσομοίωσης Σχήμα 7.12 Περιοχές αναμενόμενης μη-γραμμικής απόκρισης καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα Σχήμα 7.13 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ελαστική ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας Σχήμα 7.14 Σημαντικότερες ιδιομορφές κατά την εγκάρσια διεύθυνση του φορέα, σε κάτοψη Σχήμα 7.15 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά τις κύριες διευθύνσεις, όπως ορίζονται με σημείο ελέγχου των μετακινήσεων το κέντρο μάζας του καταστρώματος Σχήμα 7.16 Θέσεις των σημείων ελέγχου των μετακινήσεων, κατά μήκος του καταστρώματος της γέφυρας Γ Σχήμα 7.17 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά τη διαμήκη διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 7.18 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 7.19 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ, με κατανομή φόρτισης βάσει της 1 ης ιδιομορφής, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης Σχήμα 7.20 Κατανομή της ομοιόμορφης φόρτισης σε κάτοψη, κατά μήκος του φορέα Σχήμα 7.21 Καμπύλες αντίστασης της γέφυρας Γ11 κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για την ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, θέσεις και σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα Σχήμα 7.22 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος της γέφυρας Γ11 για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης Σχήμα 7.23 Κατανομή της φόρτισης που προκύπτει από απλή τετραγωνική επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων της γέφυρας Γ Σχήμα 7.24 Καμπύλες αντίστασης της γέφυρας Γ11 κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα, θέσεις και σειρά εμφάνισης πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα Σχήμα 7.25 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος της γέφυρας Γ11, όπως υπολογίζονται για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από την επαλληλία των σημαντικότερων ιδιομορφικών φορτίων του φορέα xxvi

29 Σχήμα 7.26 Φόρτιση βάσει της 1 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου: (a) Κ.Μ. καταστρώματος. (b) θέση ΙΜΣ (c) μέγιστη μετακίνηση (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 7.27 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης για την 1 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 7.28 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 1 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 7.29 Φόρτιση βάσει της 2 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος. (b) θέση ΙΜΣ (c)μέγιστη μετακίνηση (d) κρίσιμο βάθρο Σχήμα 7.30 Καμπύλες αντίστασης για την 2 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 7.31 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 2 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Σχήμα 7.32 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, όπως υπολογίζονται με την ΙΑΣΑ, για το σεισμό σχεδιασμού, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων.253 Σχήμα 7.33 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, όπως υπολογίζονται με την ΙΑΣΑ, για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων Σχήμα 7.34 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, όπως υπολογίζονται με την ΙΑΣΑ, για το σεισμό σχεδιασμού, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων.255 Σχήμα 7.35 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, όπως υπολογίζονται με την ΙΑΣΑ, για το σεισμό σχεδιασμού, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων.256 Σχήμα 7.36 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για το σεισμό σχεδιασμού Σχήμα 7.37 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού Σχήμα 7.38 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού Σχήμα 7.39 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας Γ11 (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το Κ.Μ.) Σχήμα 7.40 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας Γ11 (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το σημείο του καταστρώματος πάνω από το M1) Σχήμα 7.41 Σύγκριση φασμάτων του ΕΑΚ2003 και του EC8, για την τυπική άνω διάβαση Σχήμα 7.42 Τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα για τη γέφυρα Γ11 για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας Σχήμα7.43 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης, για τη γέφυρα Γ11, με χρήση του 1 ου επιταχυνσιογραφήματος (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το Κ.Μ.) xxvii

30 Σχήμα 7.44 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης, για τη γέφυρα Γ11, με χρήση του 5 ου επιταχυνσιογραφήματος (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το Κ.Μ.) Σχήμα 7.45 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για τη γέφυρα Γ11 (ως προς το Κ.Μ. του φορέα), που προκύπτουν από τον μ.ο. των δυναμικών καμπυλών αντίστασης των πέντε επιταχυνσιογραφημάτων Σχήμα 7.46 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για τη γέφυρα Γ11 (ως προς το Μ1), που προκύπτουν από τον μ.ο. των δυναμικών καμπυλών αντίστασης των πέντε επιταχυνσιογραφημάτων Σχήμα 7.47 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για ελαστική απόκριση της γέφυρας Γ11, για σεισμική διέγερση που αντιστοιχεί στο σεισμό σχεδιασμού Σχήμα 7.48 Σύγκριση των ακτινικών μετακινήσεων της γέφυρας Γ11, όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το σεισμό σχεδιασμού Σχήμα 7.49 Σύγκριση των ακτινικών μετακινήσεων της γέφυρας Γ11, όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού Σχήμα 7.50 Σύγκριση των ακτινικών μετακινήσεων της γέφυρας Γ11, όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού Σχήμα 7.51 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού βάσει των: SPA (mode1), SPA (uniform loading), SPA (fn), MPA, MPA(CQC) και NL- RHA Σχήμα 7.52 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού, βάσει των: SPA (mode1), SPA (uniform loading), SPA (fn), MPA, MPA(CQC) και NL-RHA Σχήμα 7.53 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA (mode1), SPA (uniform loading), SPA (fn), MPA, MPA(CQC) και NL-RHA Σχήμα 7.54 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA(mode1), SPA(uniform loading), MPA, NL-RHA(umax-Vmax), NL- RHA(umax-Vt), NL-RHA(umax-V(t-Δt)), και NL-RHA(umax-V(t+Δt)) (σημείο ελέγχου: το Κ.Μ. του φορέα) Σχήμα 7.55 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA(mode1), SPA(uniform loading), MPA, NL-RHA(umax-Vmax), NL- RHA(umax-Vt), NL-RHA(umax-V(t-Δt)), και NL-RHA(umax-V(t+Δt)) (σημείο ελέγχου: το Μ1) xxviii

31 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 2.1: Διαφορές σε χαρακτηριστικά μεγέθη ανάμεσα στη μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος (CSM) και στην Αναπροσαρμοζόμενη μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος (ACSM), (Kappos et al, 2012). 47 Πίνακας 2.2 Κυριότερα χαρακτηριστικά των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης (μέρος α'). 50 Πίνακας 2.3 Κυριότερα χαρακτηριστικά των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης (μέρος β') 51 Πίνακας 5.1: Ύψη των βάθρων της γέφυρας 93 Πίνακας 5.2: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα- α μέρος 103 Πίνακας 5.3: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα- β μέρος 104 Πίνακας 5.4: Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση της γέφυρας. Ακτινικές μετακινήσεις για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και οι τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος. 105 Πίνακας 5.5: Πιθανές θέσεις επιλογής σημείου ελέγχου των μετακινήσεων 115 Πίνακας 5.6: Στοχευόμενη μετακίνηση του ΙΜΣ, για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, με βάση τα φάσματα του ΕΑΚ2003 και EC Πίνακας 6.1 Τιμές μηχανικών χαρακτηριστικών εφεδράνων 171 Πίνακας 6.2: Γεωμετρικά χαρακτηριστικά πεδίλου θεμελίωσης 172 Πίνακας 6.3: Δυναμικοί δείκτες δυσκαμψίας για επιφανειακή θεμελίωση σε ομογενή ημίχωρο 173 Πίνακας 6.4: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα (α μέρος) 174 Πίνακας 6.5: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα (β μέρος) 174 Πίνακας 6.6: Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση της γέφυρας. Ακτινικές μετακινήσεις για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και οι τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος. 176 Πίνακας 6.7: Πιθανές θέσεις επιλογής σημείου ελέγχου των μετακινήσεων 188 Πίνακας 7.1 Υπολογισμός λυγηρότητας λ των μεσοβάθρων της γέφυρας 235 Πίνακας 7.2 Δυναμικά χαρακτηριστικά της γέφυρας - α μέρος 236 Πίνακας 7.3 Δυναμικά χαρακτηριστικά της γέφυρας - β μέρος 236 Πίνακας 7.4 Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση της γέφυρας: Ακτινικές μετακινήσεις για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος. 238 Πίνακας 7.5 Διατμητική αντοχή σεισμικού συνδέσμου σύμφωνα με το DIN Πίνακας 7.6 Πιθανές θέσεις επιλογής σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. 249 xxix

32 Πίνακας 7.7 Τιμές στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ, για τα φάσματα σχεδιασμού με βάση τον ΕΑΚ και EC8, για τη γέφυρα Γ xxx

33 Συμβολισμοί Α. Λατινικοί A accel λ,n A g A st B c C 0 C 1, C Rn (k) Πλήρες εμβαδόν διατομής ελαστομερούς Επιταχυνσιογράφημα βάσεως, που αντιστοιχεί στη λ ένταση σεισμικής διέγερσης και n ο αριθμός του επιταχυνσιογραφήματος Συνολικό εμβαδόν της διατομής οπλισμένου σκυροδέματος Εμβαδόν οπλισμού στη διατομή Πλάτος θεμελίου Συντελεστής απόσβεσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος ή το μητρώο απόσβεσης του πολυβάθμιου συτήματος Διορθωτικός συντελεστής μέσω του οποίου ανάγεται η φασματική μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος στην αντίστοιχη στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου του πολυβάθμιου συστήματος Διορθωτικός συντελεστής που συνεκτιμά την ανελαστική απόκριση του πολυβάθμιου συστήματος στην εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης C 2 Διορθωτικός συντελεστής επαύξησης της στοχευόμενης μετακίνησης, λόγω επιρροής της ανακύκλισης της φόρτισης στην αντοχή και δυσκαμψία του φορέα C 3 Διορθωτικός συντελεστής που συνεκτιμά την επιρροή των φαινομένων 2ας τάξεως (P-Δ) C m Συντελεστής δρώσας μάζας της κατασκευής d Στατικό ύψος διατομής D, D(t) Μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος D n, D(t) Ταχύτητα του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί στη n n-οστή ιδιομορφή D n, D(t) Επιτάχυνση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί n στη n-οστή ιδιομορφή D n,d n (t), d n Μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή D y Μετακίνηση διαρροής του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος Ε c Μέτρο ελαστικότητας E c I eff Ενεργός δυσκαμψία δομικού στοιχείου F Δύναμη επαναφοράς ή η τέμνουσα στη βάση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος F (k) Διορθωτικός συντελεστής των ιδιομορφικών μετακινήσεων, με βάση τις αντίστοιχες ανελαστικές μετακινήσεις του παραμορφωμένου φορέα, για κάθε βήμα k της ανάλυσης f 0 Βασικό, με ομοιόμορφη κατανομή, διάνυσμα επιβαλλόμενων δυνάμεων, το οποίο παραμένει σταθερό σε όλα τα βήματα της ανάλυσης f c Αντοχή σκυροδέματος xxxi

34 F i Τιμή της επιβαλλόμενης δύναμης στην θέση i της κατασκευής F i,k Τιμή της επιβαλλόμενης δύναμης στην θέση i της κατασκευής, για το βήμα k της ανάλυσης F in Τιμή της επιβαλλόμενης δύναμης, για τη n-οστή ιδιομορφή του συστήματος, στην θέση i της κατασκευής f in Ο λόγος της ιδιομορφικής μετακίνησης στη θέση i της κατασκευής για την ιδιομορφή n προς την ιδιομορφική μετακίνηση στη θέση i της 1 ης ιδιομορφής f k Διάνυσμα των επιβαλλόμενων δυνάμεων στο βήμα k της ανάλυσης f (k) Κανονικοποιημένο διάνυσμα των επιβαλλόμενων αναπροσαρμοζόμενων δυνάμεων στο βήμα k της ανάλυσης f n (k) Διάνυσμα των επιβαλλόμενων δυνάμεων, της n-οστής ιδιομορφής, στο βήμα k της ανάλυσης F ny Δύναμη διαρροής του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή του πολυβάθμιου συστήματος F y Δύναμη/αντοχή διαρροής του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος g Επιτάχυνση της βαρύτητας G Μέτρο διάτμησης του ελαστομερούς του εφεδράνου ή μέτρο διάτμησης του εδάφους I Ροπή αδράνειας διατομής i Ακτίνα αδράνειας αρηγμάτωτης διατομής σκυροδέματος I eff Ροπή αδράνειας ρηγματωμένης διατομής σταδίου ΙΙ I g Ροπή αδράνειας αρηγμάτωτης διατομής σταδίου Ι k Δυσκαμψία του πολυβάθμιου συστήματος k * Δυσκαμψία του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος K b Δυσκαμψία του εφεδράνου K e Ισοδύναμη πλευρική δυσκαμψία του φορέα K H Δυστμησία εφεδράνου K i Αρχική (ελαστική) δυσκαμψία του φορέα K v Δυστένεια εφεδράνου L ή l Ύψος δομικού στοιχείου ή μήκος στοιχείου l 0 Μήκος λυγισμού L n Συντελεστής διέγερσης της n-οστής ιδιομορφής M, m Μητρώο μάζας του πολυβάθμιου συστήματος M *, m * Μάζα του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος m i Μάζα της κατασκευής στη θέση i M * k Δρώσα μάζα του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, στο βήμα k της ανάλυσης M * n Δρώσα μάζα του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος για τη n-οστή ιδιομορφή του συστήματος M Rd Υπολογιστική ροπή αδράνειας N Αξονικό φορτίο δομικού στοιχείου p eff (t) Διάνυσμα ενεργών σεισμικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στην κατασκευή, συναρτήσει του χρόνου q Συντελεστής συμπεριφοράς q n (t) κύρια ιδιομορφική συντεταγμένη για τη n-οστή ιδιομορφή xxxii

35 r R r(k) r n (k) r no r o R μ μέγεθος απόκρισης της κατασκευής ή η κλίση του κλάδου της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος μετά τη διαρροή Ο λόγος της απαιτούμενης αντοχής για ελαστική απόκριση προς την αντοχή διαρροής του συστήματος Μέγεθος απόκρισης της κατασκευής που προκύπτει από την επαλληλία των αντίστοιχων ιδιομορφικών μεγεθών, για το βήμα k της ανάλυσης Τιμή ιδιομορφικού μεγέθους απόκρισης για τη n-οστή ιδιομορφή, για το βήμα k της ανάλυσης Μέγιστη τιμή ιδιομορφικού μεγέθους απόκρισης για τη n-οστή ιδιομορφή Μέγιστη τιμή μεγέθους απόκρισης της κατασκευής Μειωτικός συντελεστής φορτίου s Διάνυσμα ενεργών σεισμικών δυνάμεων σε φορέα γέφυρας S Συντελεστής σχήματος εφεδράνου S a Φασματική ψευδο-επιτάχυνση S an Φασματική ψευδο-επιτάχυνση για τη n-οστή ιδιομορφή του συστήματος Ισοδύναμη φασματική ψευδο-επιτάχυνση S Ελαστική ισοδύναμη φασματική ψευδο-επιτάχυνση S * a1 * a1,e S * a1,y Ισοδύναμη φασματική ψευδο-επιτάχυνση που αντιστοιχεί στη διαρροή της κατασκευής S ad Επιτάχυνση σχεδιασμού S ae Ελαστική φασματική ψευδο-επιτάχυνση S ak Φασματική ψευδο-επιτάχυνση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος στο βήμα k της ανάλυσης S an (k) Φασματική ψευδο-επιτάχυνση της n-οστής ιδιομορφής του συστήματος, για το βήμα k της ανάλυσης S ay Φασματική ψευδο-επιτάχυνση στη διαρροή της κατασκευής S d Φασματική μετακίνηση S * d1 Ισοδύναμη φασματική μετακίνηση S de Ελαστική φασματική μετακίνηση S dn,e (1) Ελαστική φασματική μετακίνηση για το 1 ο βήμα της ανάλυσης, για τη n- οστή ιδιομορφή. S dk Φασματική μετακίνηση του ΙΜΣ στο βήμα k της ανάλυσης s dn Ο λόγος της φασματικής μετακίνησης της n-οστής ιδιομορφής προς τη φασματική μετακίνηση της 1 ης ιδιομορφής S dn (k) Φασματική μετακίνηση της n-οστής ιδιομορφής του συστήματος, για το βήμα k της ανάλυσης S dy Φασματική μετακίνηση στη διαρροή της κατασκευής s n ή s * n Διάνυσμα που εκφράζει την κατανομή των ισοδύναμων σεισμικών δυνάμεων που αντιστοιχούν στη n-οστή ιδιομορφή της γέφυρας s αn Ο λόγος της ψευδο-επιτάχυνσης της n-οστής ιδιομορφής προς την ψευδοεπιτάχυνση της 1 ης ιδιομορφής T Ιδιοπερίοδος της κατασκευής T * Ιδιοπερίοδος του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος T c Τιμή της περιόδου στο άνω όριο της περιοχής σταθερής επιτάχυνσης του ελαστικού φάσματος xxxiii

36 t r Συνολικό πάχος του ελαστομερούς u Διάνυσμα μετακινήσεων του πολυβάθμιου συστήματος u c Μετακίνηση του σημείου ελέγχου c, του πολυβάθμιου συστήματος u cn Μετακίνηση του σημείου ελέγχου c, του πολυβάθμιου συστήματος, για τη n-οστή ιδιομορφή u cno Μέγιστη τιμή μετακίνησης του σημείου ελέγχου c, του πολυβάθμιου συστήματος, για τη n-οστή ιδιομορφή u co Μέγιστη τιμή μετακίνησης του σημείου ελέγχου c, του πολυβάθμιου συστήματος, για την 1 η ιδιομορφή u cy Μετακίνηση του σημείου ελέγχου c, στη διαρροή του πολυβάθμιου συστήματος u i Μετακίνηση του πολυβάθμιου συστήματος στη θέση i u ik Μετακίνηση του πολυβάθμιου συστήματος στη θέση i, στο βήμα k της ανάλυσης u k Διάνυσμα μετακινήσεων του πολυβάθμιου συστήματος, στο βήμα k της ανάλυσης u (k) Κανονικοποιημένο διάνυσμα επιβαλλόμενων αναπροσαρμοζόμενων μετακινήσεων στο βήμα k της ανάλυσης u n (k) Διάνυσμα μετακινήσεων του πολυβάθμιου συστήματος, της n-οστής ιδιομορφής, για το βήμα k της ανάλυσης u(t) g Εδαφική επιτάχυνση συναρτήσει του χρόνου V b Τέμνουσα βάσης της κατασκευής V b,k Τέμνουσα βάσης κατασκευής στο βήμα k της ανάλυσης V bn Τέμνουσα βάσης της κατασκευής για τη n-οστή ιδιομορφή v s Ταχύτητα διατμητικών κυμάτων V y, V by Τέμνουσα διαρροής του συστήματος W Βάρος κατασκευής x i Απόσταση του σημείου i από ένα σημείο αναφοράς του πολυβάθμιου συστήματος x * n Θέση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος κατά μήκος του καταστρώματος της γέφυρας z i Ύψος του σημείου i του μεσοβάθρου από το ύψος της θεμελίωσης Ύψος του μεσοβάθρου z p Β. Ελληνικοί α α 1 α n α s Γ 1 Κλίση δεύτερου κλάδου της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης της κατασκευής Ποσοστό συμμετοχής της δρώσας μάζας της θεμελιώδους ιδιομορφής Συντελεστής που καθορίζει το ποσοστό συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής στην τελική κατανομή φόρτισης ή η κλίση του δεύτερου κλάδου της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή λόγος διάτμησης Συντελεστής συμμετοχής της πρώτης ιδιομορφής xxxiv

37 Γ n γ n Γ n (k) Δ i Δ in ε cy ε ij ε sy Συντελεστής συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής Ο λόγος του συντελεστή συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής προς τον συντελεστή συμμετοχής της πρώτης ιδιομορφής Συντελεστής συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής, για το βήμα k της ανάλυσης Σχετική μετατόπιση του i ορόφου της κατασκευής Σχετική μετατόπιση του i ορόφου της κατασκευής, για τη n-οστή ιδιομορφή Παραμόρφωση σκυροδέματος κατά τη διαρροή Συντελεστής συσχέτισης των ιδιομορφών i και j Παραμόρφωση οπλισμού κατά τη διαρροή ζ τιμή ιξώδους απόσβεσης * eff Τιμή ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης ζ i Συντελεστής σχήματος που καθορίζει την κατανομή των επιβαλλόμενων δυνάμεων ζ n Τιμή ιξώδους απόσβεσης για τη n-στη ιδιομορφή ζ Τ,Ρ Τιμή της ιδιομορφικής μετακίνησης του καταστρώματος στο σημείο ένωσης του καταστρώματος με το μεσόβαθρο θ pier, θ i Πλαστική στροφή που αναπτύσσεται στην κρίσιμη διατομή του βάθρου (pier) i λ Συντελεστής φόρτισης ή συντελεστής έντασης σεισμικής διέγερσης ή λυγηρότητα στοιχείου λ k Συντελεστής φόρτισης για το βήμα k της ανάλυσης μ Δείκτης πλαστιμότητας μ* Πλαστιμότητα του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος στο σημείο τομής της διγραμμικοποιημένης αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος με το φάσμα απαίτησης ρ Φαινόμενο βάρος του εδάφους Τιμή της ιδιομορφικής μετακίνησης στο σημείο ελέγχου c της i cn i1 φ i1 κατασκευής, για τη n-οστή ιδιομορφή Τιμή της ιδιομορφικής μετακίνησης στη θέση i της κατασκευής Τιμή ιδιομορφικής μετακίνησης στην θέση i, για την πρώτη ιδιομορφή ταλάντωσης in Τιμή ιδιομορφικής μετακίνησης στον κόμβο i, για την n-οστή ιδιομορφή ταλάντωσης n Διάνυσμα ιδιομορφικών μετακινήσεων για τη n-οστή ιδιομορφή (k) n Διάνυσμα ιδιομορφικών μετακινήσεων για τη n-οστή ιδιομορφή, στο βήμα k της ανάλυσης χ Συντελεστής γεωμετρικών χαρακτηριστικών του πεδίλου θεμελίωσης ω n Ιδιοσυχνότητα κατασκευής για τη n-οστή ιδιομορφή (k) ω n Ιδιοσυχνότητα κατασκευής για τη n-οστή ιδιομορφή, στο βήμα k της ανάλυσης xxxv

38 xxxvi

39 Περίληψη Περίληψη Η παρούσα διδακτορική διατριβή εντάσσεται στο πλαίσιο της έρευνας για την ανάπτυξη εξελιγμένων ανελαστικών στατικών μεθόδων σεισμικής αποτίμησης και σχεδιασμού γεφυρών, με έμφαση στις γέφυρες από σκυρόδεμα. Αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η προσαρμογή, η επέκταση-βελτίωση και η αξιολόγηση της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης (ΙΑΣΑ), σε φορείς γεφυρών από σκυρόδεμα. Αρχικώς, γίνεται αναφορά στο θεωρητικό υπόβαθρο της ΙΑΣΑ και μελετώνται τα κρίσιμα σημεία της μεθοδολογίας που χρήζουν προσοχής, λόγω της διαφορετικότητας του δομικού συστήματος και των δυναμικών χαρακτηριστικών των γεφυρών σε σχέση με τους συνήθεις κτιριακούς φορείς. Η έρευνα επικεντρώνεται στην εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης, στην οποία η σεισμική απόκρισή τους είναι πολύ συχνά σύνθετη και ουσιωδώς διαφορετική από αυτήν των κτιρίων. Διερευνώνται ο αριθμός των απαραίτητων ιδιομορφών που θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στην ανάλυση, ο τρόπος διγραμμικοποίησης των καμπυλών αντίστασης του φορέα, η επιλογή κατάλληλου σημείου χάραξης των καμπυλών αντίστασης, και ο τρόπος υπολογισμού της στοχευόμενης μετακίνησης για συγκεκριμένη ένταση σεισμικής διέγερσης. Για τη διεξαγωγή της έρευνας, επιλέγονται τρεις τύποι πραγματικών γεφυρών από σκυρόδεμα με διαφορετική σεισμική απόκριση, ήτοι μια γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών, μια γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία, και μια γέφυρα με μικρή επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών. Κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ στις γέφυρες, διαπιστώνεται ότι τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης εξαρτώνται (σε διαφορετικό βαθμό σε κάθε τύπο γεφυρών) από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων, λόγω της μεταβολής του σχήματος των ιδιομορφών μετά τη διαρροή. Ως εκ τούτου, για γέφυρες με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στις οποίες ταυτόχρονα λαμβάνει χώρα ουσιώδης μεταβολή του σχήματος των ιδιομορφών, αποδεικνύεται ότι η ΙΑΣΑ μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένη εκτίμηση της σεισμικής απόκρισης. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού, προτείνεται μια βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία εφαρμόζεται μια διόρθωση των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης με βάση το στιγμιαίο σχήμα παραμόρφωσης των ιδιομορφικών μετακινήσεων που αντιστοιχεί στην εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης και επηρεάζεται από την ανελαστική απόκριση. Με τον τρόπο αυτόν, επιχειρείται με την προσθήκη ενός μόνο βήματος ανάλυσης, να λαμβάνεται υπόψη στο τελικό βήμα εκτίμησης των ιδιομορφικών μεγεθών, η στιγμιαία παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα. Παρουσιάζεται λεπτομερώς το σκεπτικό και η διαδικασία εφαρμογής της προτεινόμενης μεθοδολογίας, ενώ η παρουσίασή της ολοκληρώνεται με την εφαρμογή της στους τρεις διαφορετικούς τύπους γεφυρών, μέσω της οποίας επιτυγχάνεται σημαντική μείωση του σφάλματος. Ακολούθως, προτείνεται η χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης, σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου, ως πιο ακριβής εκτιμήτρια της πραγματικής απόκρισης του φορέα, σε σχέση με αυτήν που προκύπτει από τη συμβατική ανελαστική στατική ανάλυση, εφόσον συνεκτιμά το σύνολο των ιδιομορφών που συνεισφέρουν ουσιωδώς στην απόκριση της κατασκευής. Οι γέφυρες αναλύονται και με την συμβατική ανελαστική στατική ανάλυση, η οποία περιλαμβάνεται ως επιλογή και στους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς. Η ΑΣΑ εφαρμόζεται για τρεις διαφορετικές κατανομές επιβαλλόμενης φόρτισης, ήτοι την ιδιομορφική, την ομοιόμορφη και την κατανομή που προκύπτει από τετραγωνική xxxvii

40 Περίληψη επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων. Η αποτίμηση των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, σε όρους τόσο των επιμέρους μεγεθών απόκρισης όσο και των αντίστοιχων καμπυλών αντίστασης του φορέα, πραγματοποιήθηκε μέσω της σύγκρισης των αποτελεσμάτων τους με τα αντίστοιχα αποτελέσματα που προκύπτουν από την εξ ορισμού ακριβέστερη μέθοδο ανάλυσης, την ανελαστική δυναμική ανάλυση (ΑΔΑ). Βάσει των ανωτέρω, γίνεται συνολική αποτίμηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας για κάθε τύπο γέφυρας, καθώς και προτάσεις που αφορούν στη μελλοντική έρευνα για την περαιτέρω βελτίωσή της. xxxviii

41 Summary Summary The present thesis forms part of the research on the development of advanced nonlinear static methods for seismic assessment and design of bridges, focussing on concrete bridges. The main objective of this thesis is to adapt, extend-improve and evaluate the modal pushover analysis (MPA) as applied to concrete bridges. Firstly, the theoretical background of the MPA procedure is briefly discussed, and a set of additional assumptions and decisions regarding alternative procedures that can be used are presented, in order to apply the method in the case of bridges, due to their different structural system and dynamic characteristics, compared to those of ordinary building structures. The research focuses on the transverse direction of analysis, wherein the seismic response is very complex and often substantially different from that of buildings. Key issues are the number of modes that should be considered in the case of bridges, the way a pushover curve is bilinearized before being transformed into a capacity curve, the selection of an appropriate point for monitoring the displacement demand, and the use of inelastic spectra for defining the earthquake demand for each mode. The proposed MPA procedure is then verified by applying it to three actual concrete bridges with different seismic response, namely a bridge with significant influence of the higher modes, a bridge with significant tortional sensitivity, and a bridge with small influence of higher modes. In developing the MPA procedure for bridges, it was found (to varying degrees in each type of bridge) that both the target displacement and the bridge response quantities were dependent on the selected control point, due to the shape change of eigenmodes in the post-yielding range. Therefore, for bridges with significant influence of the higher modes, wherein a change of the shape of eigenmodes also takes place, it is found that MPA can lead to an incorrect assessment of the seismic response. To tackle this problem, an improved MPA procedure is proposed herein, involving an additional step to the initial procedure, in which a correction of the modal response quantities based on the instantaneous actual deformed shape of the structure, is applied. The scope of the improved proposed method is presented in detail. In order to investigate the applicability and the accuracy of the proposed method, it is applied to the three selected actual bridges, whereby a significant reduction in the error is achieved. Subsequently, a multi-modal pushover curve in terms of base shear vs displacement, is proposed, as a more accurate estimate of the actual response of the structure, compared to the pushover curve of the conventional pushover analysis, since it takes into account the modes that contribute significantly to the response of the structure. The bridges are also analyzed using conventional pushover analysis, which is included as an option in modern seismic codes. The conventional pushover analysis, is applied for three different force distributions, i.e. a modal distribution, a uniform one, and xxxix

42 Summary a distribution resulting from quadratic superposition of modal loads. The assessment of non-linear static procedures, in terms of both response quantities and pushover curves, is performed by comparing their results with those obtained by the more accurate inelastic response history analysis. On this basis, an overall assessment of the proposed methodology is carried out and recommendations are made for future research aiming to further improve the method. xl

43 Κεφάλαιο 1: Γενική επισκόπηση 1. Γενική επισκόπηση 1.1 Θέση του προβλήματος Είναι σήμερα κοινά αποδεκτό ότι οι κατασκευές στη διάρκεια ενός σεισμού μεσαίου ή μεγάλου μεγέθους, αποκρίνονται στην ανελαστική περιοχή, αναπτύσσοντας σημαντικές παραμορφώσεις στις κρίσιμες περιοχές τους. Οι πρώτοι αντισεισμικοί κανονισμοί εμφανίστηκαν στο μέσον της δεκαετίας του 20 (1924 στην Ιαπωνία και 1927 στις ΗΠΑ) μετά από πολύ ισχυρούς σεισμούς, με καταστροφικές συνέπειες και απώλειες ανθρώπινων ζωών. Αρχικά υπήρχε μόνο στατική θεώρηση των σεισμικών φορτίων, αργότερα επικράτησε η δυναμική, και σταδιακά άρχισαν να λαμβάνουν υπόψη και την ανελαστική συμπεριφορά των υλικών και των δομικών στοιχείων κατά τη διάρκεια του σεισμού. Η φιλοσοφία των αντισεισμικών κανονισμών στηρίζεται στην αρχή ότι επιτρέπεται ο σχεδιασμός των κατασκευών για δυνάμεις σημαντικά μειωμένες σε σχέση με εκείνες που αντιστοιχούν σε ελαστική απόκριση στο σεισμό σχεδιασμού, οδηγώντας έτσι σε αύξηση τόσο της οικονομικότητας όσο και της λειτουργικότητάς τους (πιο εύλογες διαστάσεις φερόντων στοιχείων). Παράλληλα, βασική αρχή των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών, είναι η εξασφάλιση της απαιτούμενης πλαστιμότητας των δομικών στοιχείων, για την αποφυγή της κατάρρευσης ακόμα και μετά από έναν πολύ ισχυρό σεισμό. Οι βασικές μέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών είναι η δυναμική φασματική και η απλοποιημένη φασματική μέθοδος (ισοδύναμη στατική μέθοδος). Με τη δημοσίευση των οδηγιών ATC-40 το 1996, FEMA 273 το 1997 και FEMA 356 το 2000, οι ανελαστικές στατικές αναλύσεις έγιναν πιο προσιτές και στους μελετητές- μηχανικούς, παρέχοντας τους τη δυνατότητα να αξιοποιήσουν τα διαθέσιμα αποδοτικά και αξιόπιστα εργαλεία (λογισμικά) για την αντισεισμική ανάλυση και την αποτίμηση των κατασκευών. Για κατασκευές με δομικά συστήματα που δεν περιλαμβάνονται στο πεδίο εφαρμογής της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, προτείνεται να εφαρμόζεται η ανελαστική δυναμική ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης (που συνήθως αναφέρεται, συντομότερα αλλά όχι εύστοχα, ως ανάλυση χρονοϊστορίας ). Η σημασία της αξιόπιστης αποτίμησης της ανελαστικής συμπεριφοράς των κατασκευών, είναι αναγνωρισμένη διεθνώς από το σύνολο της επιστημονικής κοινότητας. Δοθέντος του δυναμικού χαρακτήρα του σεισμού, ως ακριβέστερη μέθοδος θεωρείται η ανελαστική δυναμική ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης, κατά την οποία συνεκτιμώνται τα ανελαστικά χαρακτηριστικά του δομικού συστήματος και ο δυναμικός χαρακτήρας της φόρτισης. Η ανάλυση όμως αυτή, αν και αποτελεί πολύτιμο εργαλείο σε επίπεδο έρευνας, στην πράξη χαρακτηρίζεται ως σχετικώς δύσχρηστη καθώς περιλαμβάνει προβλήματα που είναι δύσκολο να αντιμετωπιστούν από έναν μελετητή-μηχανικό. Τα προβλήματα αυτά αφορούν στην επιλογή των κατάλληλων σεισμικών επιταχυνσιογραφημάτων, στην προσομοίωση των ανελαστικών χαρακτηριστικών των δομικών στοιχείων που σχετίζονται με την απόσβεση και τα διαγράμματα ροπών-στροφών (Μ-θ) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση, στον μεγάλο χρόνο επίλυσης, καθώς και στην αξιολόγηση του τεράστιου όγκου αποτελεσμάτων. Ως εκ τούτου, έως και σήμερα οι προσεγγιστικές στατικές μέθοδοι ανάλυσης, ως περισσότερο φιλικές προς το χρήστη μέθοδοι, αποτελούν ένα εύχρηστο και συχνά χρησιμοποιούμενο αναλυτικό εργαλείο. Η πλέον διαδεδομένη ανελαστική μέθοδος εκτίμησης της σεισμικής απαίτησης των κατασκευών, είναι η ανελαστική στατική μέθοδος (pushover analysis), η οποία 1

44 Κεφάλαιο 1: Γενική επισκόπηση περιλαμβάνεται και στους σύγχρονους κανονισμούς, σύμφωνα με την οποία, η κατασκευή υποβάλλεται σε πλευρικές δυνάμεις με κατάλληλη κατανομή, σταδιακά αυξανόμενες έως μια προκαθορισμένη στοχευόμενη τιμή μετακίνησης που μπορεί να συσχετισθεί με μια συγκεκριμένη στάθμη επιτελεστικότητας. Η μέθοδος των κανονισμών είναι ιδιαίτερα ελκυστική λόγω της απλότητάς της, ενώ θα πρέπει να εφαρμόζεται με προσοχή λόγω του σχετικώς περιορισμένου πεδίου εφαρμογής της. Αναφέρεται μόνο σε κατασκευές για τις οποίες η σεισμική απόκριση επηρεάζεται αποκλειστικά από την θεμελιώδη ιδιομορφή. Για τη διεύρυνση του πεδίου εφαρμογής της μεθόδου, τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύχθηκαν από πολλούς ερευνητές-μηχανικούς, εξελιγμένες μέθοδοι ανελαστικής στατικής ανάλυσης, οι οποίες αποσκοπούν στην προσομοίωση τόσο της σεισμικής δράσης όσο και της μηγραμμικής συμπεριφοράς των δομικών συστημάτων σε όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστο βαθμό, επιχειρώντας ταυτόχρονα να διατηρήσουν υπολογιστική απλότητα. Έτσι, αναπτύχθηκαν μεθοδολογίες που επιχειρούν να λάβουν υπόψη τη συμμετοχή των ανώτερων ιδιομορφών ή και την αλλαγή των δυναμικών χαρακτηριστικών κατά την πλαστικοποίηση του φορέα. Οι εξελιγμένες ανελαστικές στατικές μέθοδοι, στην πλειονότητά τους, αναφέρονται σε κτιριακούς φορείς, ενώ η αντίστοιχη έρευνα που έχει πραγματοποιηθεί για φορείς γεφυρών είναι περιορισμένη. Οι γέφυρες, λόγω του μικρού βαθμού υπερστατικότητας που συνήθως έχουν, εμφανίζουν περιορισμένη δυνατότητα ανακατανομής της σεισμικής έντασης, γεγονός που αυξάνει την πιθανότητα σημαντικής βλάβης ή ακόμα και αστοχίας. Επομένως, απαιτείται αυξημένη ακρίβεια όσον αφορά την εκτίμηση της σεισμικής απόκρισης των γεφυρών και προσεκτικός αντισεισμικός σχεδιασμός. Στο πλαίσιο της έρευνας για την ανάπτυξη εξελιγμένων ανελαστικών στατικών μεθόδων σεισμικής αποτίμησης και σχεδιασμού γεφυρών, με έμφαση στις γέφυρες από σκυρόδεμα που αποτελούν και το μέγιστο ποσοστό του σχετικού αποθέματος στην Ελλάδα και άλλες Ευρωπαϊκές χώρες, εντάσσεται η παρούσα διδακτορική διατριβή. 1.2 Στόχοι της διατριβής Η παρούσα διατριβή αποτελεί συμβολή στην ανάπτυξη των εξελιγμένων ανελαστικών στατικών μεθόδων ανάλυσης για γέφυρες από σκυρόδεμα. Η εφαρμογή των διαφόρων μεθόδων, συμπεριλαμβανομένης και της προτεινόμενης εδώ μεθοδολογίας, γίνεται σε πραγματικούς φορείς γεφυρών από σκυρόδεμα, ώστε η αξιολόγηση όλων των μεθόδων να γίνεται υπό το πρίσμα και της πρακτικής εφαρμογής. Η κριτική επισκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας (βλ. κεφ.2), έδειξε ότι ένα μεγάλο τμήμα της επιστημονικής κοινότητας εστίασε την ερευνητική δραστηριότητά του στην ανάπτυξη διαφόρων εξελιγμένων ανελαστικών στατικών μεθοδολογιών, για αναλύσεις κτιριακών φορέων, ενώ η εφαρμογή αυτών σε φορείς γεφυρών ήταν περιορισμένη. Ειδικότερα, η Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση, όπως παρουσιάζεται από τους Chopra & Goel (2002), είχε εφαρμοστεί αποκλειστικά για κτίρια. Η εν λόγω μέθοδος, η οποία συνεκτιμά την επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στην απόκριση της κατασκευής, εφαρμόστηκε για την ανάλυση μεγάλου αριθμού επιπέδων πλαισίων και πλήρων κτιρίων, εκτιμώντας τα μέγιστα μεγέθη απόκρισης, με ικανοποιητική ακρίβεια. Επειδή η μεθοδολογία είχε χρησιμοποιηθεί μόνο σε κτίρια, ήταν προσαρμοσμένη στα δυναμικά χαρακτηριστικά και στο δομικό σύστημά τους. Τυχόν εντύπωση ότι η μέθοδος μπορεί 2

45 Κεφάλαιο 1: Γενική επισκόπηση εύκολα να χρησιμοποιηθεί σε φορείς γεφυρών, λόγω της απλότητας του δομικού συστήματος των γεφυρών σε σχέση με αυτό των κτιρίων, είναι λανθασμένη. Το γεγονός είναι ότι η απόκριση των γεφυρών, κυρίως κατά την εγκάρσια διεύθυνση, είναι πολύ συχνά σύνθετη και ουσιωδώς διαφορετική από αυτήν των κτιρίων. Η ιδιαιτερότητα και η διαφορετικότητα της απόκρισης των γεφυρών σε σχέση με τους συνήθεις κτιριακούς φορείς, σε συνδυασμό με την απλότητα της μεθοδολογίας αλλά και την ικανοποιητική αξιοπιστία της σε κτίρια, αποτέλεσαν το κίνητρο καταρχήν για τη διερεύνηση του πεδίου εφαρμογής της ΙΑΣΑ σε διαφορετικούς τύπους γεφυρών από σκυρόδεμα, και στη συνέχεια για την ανάπτυξη μιας βελτιωμένης εκδοχής της μεθόδου που θα αίρει κατά το δυνατόν, τα αρχικά μειονεκτήματά της. Ως εκ τούτου, οι στόχοι της διατριβής διαμορφώθηκαν ως εξής: Λεπτομερής προσαρμογή της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης για την εφαρμογή της σε φορείς γεφυρών από Ο/Σ. Σημειώνεται ότι η προσαρμογή αυτή, όπως και άλλα στοιχεία που αναφέρονται στη συνέχεια μπορούν να εφαρμοσθούν άμεσα και σε άλλους τύπους γεφυρών π.χ. χαλύβδινες ή σύμμεικτες. Διερεύνηση των κρίσιμων σημείων της μεθοδολογίας καθώς και των προβλημάτων που ανακύπτουν κατά την εφαρμογή της σε γέφυρες. Ανάπτυξη μιας βελτιωμένης ΙΑΣΑ, μέσω της οποίας επιχειρείται η άρση των αδυναμιών της ΙΑΣΑ, και συγκεκριμένα εκείνων που οφείλονται στην εξάρτηση των αποτελεσμάτων από τη θέση του σημείου ελέγχου στο φορέα. Εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας, αλλά και άλλων συναφών μεθοδολογιών, σε διαφορετικούς τύπους πραγματικών γεφυρών από Ο/Σ. Χάραξη μιας νέας πολυ-ιδιομορφικής (σύνθετης) καμπύλης αντίστασης της γέφυρας, η οποία συνεκτιμά το σύνολο των ιδιομορφών που συνεισφέρουν ουσιωδώς στην απόκριση της κατασκευής. Αξιολόγηση της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης για σειρά συνήθων τύπων γεφυρών, σε σχέση τόσο με την συμβατική καμπύλη αντίστασης όσο και με τις αντίστοιχες δυναμικές καμπύλες αντίστασης της κατασκευής. Αποτίμηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας με βάση τα αποτελέσματα των αντίστοιχων ανελαστικών δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τους προαναφερθέντες συνήθεις τύπους γεφυρών. 1.3 Διάρθρωση της διατριβής Το πρώτο κεφάλαιο της διατριβής, περιλαμβάνει την παρούσα εισαγωγή, στην οποία παρουσιάζονται η θέση του προβλήματος, οι στόχοι και η διάθρωση της παρούσας διατριβής. Το δεύτερο κεφάλαιο, περιλαμβάνει την κριτική επισκόπηση των διαφορετικών μεθοδολογιών που έχουν προταθεί διεθνώς για την ανελαστική ανάλυση των κατασκευών, με έμφαση στην ανελαστική στατική ανάλυση και στις εξελιγμένες ανελαστικές στατικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν για την ανάλυση γεφυρών. Επιχειρείται ιστορική αναδρομή και περιγραφή των βασικότερων ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης, επισημαίνονται τα κρίσιμα σημεία αυτών, οι παραδοχές που γίνονται κατά την εφαρμογή τους, καθώς και το πεδίο εφαρμογής της κάθε μεθοδολογίας. 3

46 Κεφάλαιο 1: Γενική επισκόπηση Το τρίτο κεφάλαιο, περιλαμβάνει την αναλυτική περιγραφή της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης (ΙΑΣΑ) για γέφυρες από σκυρόδεμα, τις βασικές αρχές της μεθόδου και τα βήματα εφαρμογής της. Αναλύονται τα κρίσιμα σημεία της και διερευνώνται οι παράμετροι που θα χρησιμοποιηθούν στις αναλύσεις των επόμενων κεφαλαίων. Εντοπίζονται τα προβλήματα που ανακύπτουν από την εφαρμογή της μεθοδολογίας σε γέφυρες, ενώ προτείνεται μια βελτιωμένη μεθοδολογία για την υπέρβαση των προβλημάτων αυτών. Η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, στοχεύει στη διόρθωση των σφαλμάτων της αρχικής μεθόδου που οφείλονται στην εξάρτηση των αποτελεσμάτων από τη θέση του σημείου ελέγχου στο φορέα, ενώ παραμένει μια εύκολα εφαρμόσιμη στην πράξη μέθοδος, διατηρώντας τα πλεονεκτήματα της ΙΑΣΑ και αυξάνοντας παράλληλα την αξιοπιστία και την ακρίβειά της. Το τέταρτο κεφάλαιο της διατριβής, αναφέρεται στη διαδικασία χάραξης των καμπυλών αντίστασης γεφυρών. Αναλύονται οι σημαντικότεροι παράγοντες που επηρεάζουν τη μορφή της καμπύλης αντίστασης των γεφυρών και προτείνεται η χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής (σύνθετης) καμπύλης αντίστασης, μέσω της ΙΑΣΑ, η οποία συνεκτιμά το σύνολο των ιδιομορφών που συνεισφέρουν ουσιωδώς στην απόκριση της κατασκευής. Για την εκτίμηση της αξιοπιστίας και της ακρίβειας της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης, καθώς και της συμβατικής καμπύλης αντίστασης, διερευνάται και η χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης μέσω ανελαστικών δυναμικών αναλύσεων, σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου ως προς το οποίο γίνεται η χάραξη των προαναφερόμενων καμπυλών αντίστασης. Περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία χάραξης των πολυ-ιδιομορφικών και των δυναμικών καμπυλών αντίστασης. Το πέμπτο, το έκτο και το έβδομο κεφάλαιο της διατριβής, περιλαμβάνουν την εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας σε τρεις συνήθεις τύπους πραγματικών γεφυρών από σκυρόδεμα. Ειδικότερα, στο πέμπτο κεφάλαιο αναλύεται μια μεγάλη γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών, στο έκτο κεφάλαιο μια γέφυρα (άνω διάβαση) με σημαντική στρεπτική ευαισθησία, και στο έβδομο κεφάλαιο μια γέφυρα με μικρή επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών. Οι αναλύσεις που εφαρμόζονται στους προαναφερόμενους τύπους γεφυρών είναι η ιδιομορφική ανάλυση, η συμβατική ανελαστική στατική ανάλυση με ιδιομορφική κατανομή φόρτισης, με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, και με μια κατανομή που προκύπτει από την τετραγωνική επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων της κατασκευής. Επιπλέον, εφαρμόζονται η Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση, η προτεινόμενη βελτιωμένη ΙΑΣΑ καθώς και οι ανελαστικές δυναμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας για μια ομάδα πέντε τεχνητών επιταχυνσιογραφημάτων, κατάλληλα κλιμακωμένων. Για όλες τις γέφυρες, χαράσσονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης μέσω της συμβατικής ανελαστικής στατικής ανάλυσης, της ΙΑΣΑ, και των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων. Με βάση τα αποτελέσματα των αναλύσεων, αξιολογείται η ακρίβεια και η αξιοπιστία όλων των χρησιμοποιούμενων μεθόδων ανάλυσης για κάθε τύπο γέφυρας. Τέλος, στο όγδοο κεφάλαιο συνοψίζονται τα κυριότερα αποτελέσματα από την παρούσα έρευνα, καθώς και τα συμπεράσματα που προκύπτουν για κάθε τύπο γέφυρας, και αφορούν στο πεδίο εφαρμογής και στην αξιοπιστία των χρησιμοποιούμενων μεθόδων ανάλυσης και ειδικότερα της ΙΑΣΑ. Επιπλέον, παρουσιάζονται προτάσεις σε ό,τι αφορά τη χρηστικότητα της ΙΑΣΑ και των πολυ-ιδιομορφικών καμπυλών αντίστασης στην σεισμική αποτίμηση των γεφυρών και επισημαίνονται κατευθύνσεις για σχετική μελλοντική έρευνα. 4

47 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα 2. Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα. Στο πλαίσιο ανάπτυξης και εξέλιξης της σεισμικής μηχανικής, τις τελευταίες δεκαετίες, οι ανελαστικές μέθοδοι ανάλυσης κερδίζουν έδαφος έναντι των ελαστικών αναλύσεων, εφόσον παρέχουν τη δυνατότητα αποτύπωσης της ικανότητας παραμόρφωσης και της πορείας πλαστικοποίησης των δομικών φορέων. Ισχυροί σεισμοί των τελευταίων δεκαετιών προκάλεσαν ζημιές με καταστροφικές συνέπειες τόσο σε κτίρια όσο και σε γέφυρες, γεγονός που επιβεβαίωσε ότι η σεισμική απόκριση των κατασκευών, καθορίζεται κυρίως από τα ανελαστικά χαρακτηριστικά των πλάστιμων δομικών στοιχείων του φορέα και ως εκ τούτου, τόσο η σεισμική αποτίμηση των κατασκευών όσο και ο σχεδιασμός τους, θα πρέπει να βασίζεται σε ανελαστικές αναλύσεις των κατασκευών και όχι σε ισοδύναμες γραμμικές αναλύσεις με φάσματα σχεδιασμού μειωμένα με κατάλληλο συντελεστή συμπεριφοράς. Τις τελευταίες δεκαετίες αναπτύχθηκαν μέθοδοι ανάλυσης για τον σχεδιασμό και την αποτίμηση των κατασκευών, με βάση την επιτελεστικότητα, οι οποίες στοχεύουν στο σχεδιασμό κατασκευών για επιδιωκόμενη (σκοπούμενη) σεισμική συμπεριφορά (ενγένει σε όρους ανεκτών βλαβών), για την επιλεγείσα στάθμη σεισμικής έντασης. Καθώς η στάθμη των βλαβών σχετίζεται με τις παραμορφώσεις και τις σχετικές μετακινήσεις, οι μέθοδοι ανάλυσης με βάση την επιτελεστικότητα τις λαμβάνουν υπόψη κατά το σχεδιασμό ή την αποτίμηση της κατασκευής. Για συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής έντασης, οι ανελαστικές παραμορφώσεις που αναμένεται να αναπτυχθούν, μπορούν να προσδιοριστούν μέσω της ανελαστικής ανάλυσης της κατασκευής. Οι ανελαστικές τιμές των απαιτούμενων παραμορφώσεων που υπολογίζονται με τον τρόπο αυτό, συγκρίνονται στη συνέχεια με τις διαθέσιμες τιμές παραμορφώσεων των δομικών στοιχείων, ώστε να εκτιμηθεί η διαθέσιμη ικανότητα της κατασκευής για τη συγκεκριμένη σεισμική διέγερση. Οι ανελαστικές μέθοδοι ανάλυσης που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό ή/και την αποτίμηση των κατασκευών, κτιρίων και γεφυρών, με βάση την επιτελεστικότητα, διακρίνονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τον τρόπο προσομοίωσης της σεισμικής διέγερσης: (a) στη Δυναμική Ανελαστική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης (Nonlinear Response History Analysis-NL-RHA) και (b) στην Ανελαστική Στατική Ανάλυση (Pushover analysis). Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται συνοπτικά οι περισσότερο δοκιμασμένες ανελαστικές στατικές μέθοδοι ανάλυσης, οι οποίες διακρίνονται σε δύο επιμέρους κατηγορίες ανάλογα με τον αριθμό των ιδιομορφών που λαμβάνουν υπόψη κατά την ανάλυση του φορέα. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν οι μέθοδοι στις οποίες λαμβάνεται υπόψη αποκλειστικά η κυρίαρχη ιδιομορφή του φορέα κατά τη διεύθυνση ανάλυσης, ενώ στη δεύτερη κατηγορία ανήκουν οι μέθοδοι στις οποίες χρησιμοποιούνται επιπλέον οι ανώτερες ιδιομορφές του συστήματος για την εκτίμηση της σεισμικής απόκρισης της κατασκευής. Τόσο για την πρώτη όσο και για τη δεύτερη κατηγορία, αναπτύχθηκαν μεθοδολογίες που χρησιμοποιούν είτε σταθερές ή αναπροσαρμοζόμενες κατανομές φορτίσεων. 5

48 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα 2.1 Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης. Η Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση (Α.Δ.Α.) του ιστορικού της απόκρισης, είναι εξ ορισμού η ακριβέστερη και η πιο αξιόπιστη μέθοδος ανάλυσης των κατασκευών, εφόσον λαμβάνει υπόψη τόσο τον δυναμικό χαρακτήρα της φόρτισης, όσο και την ανελαστική συμπεριφορά των δομικών στοιχείων. Κατά την Α.Δ.Α. επιλύεται η διαφορική εξίσωση κίνησης του πολυβάθμιου συστήματος, με αριθμητική (βήμα προς βήμα) ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου, για μια συγκεκριμένη διέγερση, με σκοπό τον προσδιορισμό της αντίστοιχης σεισμικής απόκρισης του συστήματος. Η ανάπτυξη των αριθμητικών μεθόδων επίλυσης του δυναμικού προβλήματος σε ανελαστικά πολυβάθμια συστήματα και η αλματώδης εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών σε συνδυασμό με το γεγονός ότι η προσομοίωση της ανελαστικής συμπεριφοράς σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση των υλικών που χρησιμοποιούνται συνήθως, εν προκειμένω το σκυρόδεμα και ο δομικός χάλυβας, έχει πλέον εδραιωθεί, καθιστούν σήμερα την Α.Δ.Α., ένα χρήσιμο εργαλείο για τη σεισμική αποτίμηση των κατασκευών από σκυρόδεμα. Η προσομοίωση της σεισμικής διέγερσης γίνεται με τα επιταχυνσιογραφήματα βάσεως (διαγράμματα εδαφικής επιτάχυνσης ως προς το χρόνο), τα οποία είτε είναι συνθετικά είτε προέρχονται από πραγματικές καταγραφές σεισμικών διεγέρσεων. Η επιλογή και η κανονικοποίηση των εδαφικών επιταχυνσιογραφημάτων βάσεως αποτελεί ένα από τα πιο περίπλοκα ζητήματα στην δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας. Οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί, αναφέρουν ότι με τη χρήση τριών επιταχυνσιογραφημάτων βάσεως (είναι ο ελάχιστος προβλεπόμενος αριθμός), επιτρέπεται να λαμβάνονται οι μέγιστες τιμές των μεγεθών απόκρισης που προκύπτουν από την ανάλυση χρονοϊστορίας της κατασκευής. Εφόσον χρησιμοποιούνται τουλάχιστον επτά επιταχυνσιογραφήματα βάσεως, επιτρέπεται να λαμβάνονται οι μέσες τιμές των μεγεθών απόκρισης που προκύπτουν από την ανάλυση χρονοϊστορίας της κατασκευής. Για τη διενέργεια της Α.Δ.Α., χρησιμοποιούνται είτε μοντέλα διακριτοποίησης ανά δομικό στοιχείο (στα οποία το κάθε στοιχείο του προσομοιώματος αντιστοιχεί ενγένει σε ένα δομικό στοιχείο της κατασκευής και η προσομοίωση της ανελαστικής συμπεριφοράς των υλικών πραγματοποιείται με μοντέλα σημειακών πλαστικών αρθρώσεων ή κατανεμημένης πλαστικότητας) είτε μικροσκοπικά μοντέλα (μοντέλα ινών, μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων του συνεχούς μέσου). Το πιο συνηθισμένο αναλυτικό μοντέλο προσομοίωσης ενός δομικού στοιχείου της κατασκευής, είναι το μοντέλο σημειακής πλαστικότητας (lumped plasticity), χαρακτηριστικό του οποίου είναι η αντικατάσταση των πλαστικοποιημένων ζωνών του δομικού στοιχείου με σημειακές πλαστικές αρθρώσεις, η συμπεριφορά των οποίων καθορίζεται από κατάλληλους καταστατικούς νόμους. Η πλαστική συμπεριφορά περιορίζεται στα άκρα του στοιχείου, γεγονός που δίνει στο μοντέλο το πλεονέκτημα της απλότητας και των εύλογων υπολογιστικών απαιτήσεων. Ωστόσο, η επιλογή των κατάλληλων βρόχων υστέρησης (βλ. σχ. 2.1) για διαφορετικά δομικά στοιχεία, σε συνδυασμό με τα κατάλληλα μήκη των πλαστικών αρθρώσεων, δεν αποτελεί πάντα απλή διαδικασία. Ο μελετητής θα πρέπει να επιλέξει τον κατάλληλο σε κάθε περίπτωση βρόχο υστέρησης, ελέγχοντας παραμέτρους όπως η ανηγμένη αξονική δύναμη, ο τύπος της διατομής (π.χ. συμπαγής ή κοίλη), το ποσοστό του οπλισμού, ο λόγος διάτμησης, η περίσφιγξη κ.ά., κάθε μια από τις οποίες παίζει σημαντικό ρόλο στην υστερητική απόκριση των διατομών. 6

49 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα F e a b F m F pk O x y x m F m x k -x m O x y x m x d c F x y F x y k -x m x m x x cr F k r cr -x m x m F m x -F m pk pk Σχήμα 2.1 Παράδειγμα βρόχων υστέρησης για δομικά στοιχεία από σκυρόδεμα. Κατά τη διάρκεια της τελευταίας δεκαετίας, αναπτύχθηκαν πιο εξειδικευμένα αναλυτικά μοντέλα προσομοίωσης των δομικών στοιχείων κατανεμημένης πλαστικοποίησης (fibre models/elements), στα οποία το δομικό στοιχείο υποδιαιρείται αφενός κατά μήκος, αφετέρου εγκάρσια σε συγκεκριμένο αριθμό λωρίδων (η διακριτοποίηση ενός τυπικού στοιχείου οπλισμένου σκυροδέματος παρουσιάζεται στο σχήμα 2.2). Μια λεπτομερής παρουσίαση των μοντέλων κατανεμημένης πλαστικοποίησης στα ανελαστικά μοντέλα προσομοίωσης, μπορεί να βρεθεί στις εργασίες των Filippou & Fenves (2004) καθώς και των Fragiadakis & Papadrakakis (2008). Η συμπεριφορά κάθε λωρίδας καθορίζεται από κατάλληλα διαγράμματα έντασης παραμόρφωσης (σ-ε) τόσο για το χάλυβα όσο και για το περισφιγμένο σκυρόδεμα. Με βάση την αρχή της επιπεδότητας των διατομών (Bernoulli) μπορεί να υπολογιστεί η κλίση του διαγράμματος Μ-φ των διατομών και κατόπιν με ολοκλήρωση να υπολογιστεί το μητρώο δυσκαμψίας του δομικού στοιχείου. Για μια τέτοια προσομοίωση δεν απαιτείται να γίνει προηγούμενη ανάλυση για την παραγωγή της σχέσης ροπών- καμπυλοτήτων στις κρίσιμες διατομές των δομικών στοιχείων, δεν απαιτείται η χρήση του βρόχου υστέρησης (αυτή ορίζεται εμμέσως από τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά των υλικών των στοιχείων), ενώ επιτρέπεται η άμεση προσομοίωση της σχέσης αλληλεπίδρασης αξονικής δύναμης με ροπή (τόσο για την αντοχή όσο και για τη δυσκαμψία), καθώς και η απευθείας προσομοίωση της διαξονικής φόρτισης και της καμπτικής αντοχής στις κύριες διευθύνσεις, στις ορθογωνικές διατομές. Μειονέκτημα των μοντέλων αυτών αποτελεί το γεγονός ότι ενγένει υπερεκτιμούν την αρχική δυσκαμψία των δομικών στοιχείων Ο/Σ, γιατί αγνοούν την υφιστάμενη ρηγμάτωση του υλικού, λόγω των περιβαλλοντολογικών συνθηκών, του ερπυσμού και του ιστορικού φόρτισης του φορέα. Επιπλέον, τα μοντέλα αυτά αδυνατούν να προσομοιώσουν φαινόμενα που οδηγούν σε πρόωρη διατμητική αστοχία και σε αστοχία λόγω κακής συνάφειας οπλισμού με το σκυρόδεμα, χωρίς να χρησιμοποιηθούν επιπλέον στοιχεία προσομοίωσης 7

50 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα όπως είναι ελατήρια στα άκρα των στοιχείων, τα οποία όμως δεν είναι διαθέσιμα σε όλα τα λογισμικά ανάλυσης. Gauss Section b node B node A Gauss Section a B A L/2 3 L/2 RC Section Unconfined Concrete Fibres Confined Concrete Fibres Steel Fibres Σχήμα 2.2 Παράδειγμα διακριτοποίησης δομικού στοιχείου κατανεμημένης πλαστικοποίησης. Τα μοντέλα κατανεμημένης πλαστικοποίησης μπορούν να εφαρμοστούν με δύο διαφορετικούς τύπους πεπερασμένων στοιχείων. Ο πρώτος τύπος αφορά στοιχεία στα οποία επιβάλλονται μετακινήσεις, τα displacement-based (DB) στοιχεία (Hellesland & Scordelis 1981, Mari & Scordelis 1984), και ο δεύτερος τύπος, αφορά τα πιο πρόσφατα ανεπτυγμένα στοιχεία στα οποία πρέπει να ικανοποιείται η εξίσωση ισορροπίας, τα forcebased στοιχεία (FB) (Spacone et al. 1996, Neuenhofer & Filippou 1997), ενώ δεν υπάρχουν περιορισμοί στην ανάπτυξη ανελαστικών παραμορφώσεων σε αυτά (περισσότερες λεπτομέρειες δίνονται στις εργασίες των Alemdar & White (2005) και Freitas et al. (1999). Ο τελευταίος τύπος πεπερασμένων στοιχείων κερδίζει πρόσφατα έδαφος στην ανάλυση με μοντέλα κατανεμημένης πλαστικοποίησης, δεδομένου ότι ενγένει παρέχει πιο ακριβή αποτελέσματα. Ένα κρίσιμο σημείο προσομοίωσης στην Α.Δ.Α., είναι ο προσδιορισμός της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης. Συνήθως, οι πηγές απορρόφησης ενέργειας λαμβάνονται υπόψη (Clough & Penzien 1994, Chopra 2001) μέσω της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης με τιμές από 1% έως 8%, ανάλογα με τον τύπο της κατασκευής, τα υλικά που χρησιμοποιούνται, τα μη-φέροντα στοιχεία, την ιδιοπερίοδο, την ένταση της διέγερσης, και την ιδιομορφή της ταλάντωσης που λαμβάνεται υπόψη (Wakabayashi, 1986). Ωστόσο κάποιοι μελετητές, προτείνουν τα μοντέλα αυτού του τύπου να αποφεύγονται εντελώς (Wilson, 2001), ενώ κάποιοι άλλοι (Priestley & Grant, 2005; Hall, 2006) προτείνουν να γίνεται η προσομοίωση αυτών των φαινομένων όχι μέσω της απόσβεσης τύπου Rayleigh, η οποία είναι ανάλογη προς τη μάζα και τη δυσκαμψία, αλλά μέσω της απόσβεσης που είναι ανάλογη μόνο ως προς τη δυσκαμψία (Wilson 2001, Pegon, 1996, Abbasi et al και Hall 2006). 8

51 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Θεωρητικά, η Α.Δ.Α. μπορεί να εφαρμοστεί για την ανάλυση οποιουδήποτε δομικού συστήματος. Εντούτοις, υπάρχουν ορισμένα μειονεκτήματα της Α.Δ.Α. που την περιορίζουν πρακτικά και δυσκολεύουν την εφαρμογή της, σε σχέση με τις Α.Σ.Α.. Αυτά είναι: (i) η επιλογή και η κανονικοποίηση των κατάλληλων επιταχυνσιογραφημάτων για την ανάλυση μιας κατασκευής, (ii) η ευαισθησία της μεθόδου στον τύπο του βρόχου υστέρησης που χρησιμοποιείται και σε τιμές των παραμέτρων της μεθόδου ολοκλήρωσης που επιλέγεται, που προκαλεί σημαντική διαφοροποίηση στις τιμές των μεγεθών απόκρισης, (iii) η σημαντική διαφοροποίηση που παρατηρείται κατά την ανάλυση μιας κατασκευής (διατηρώντας όλες τις παραμέτρους της ανάλυσης σταθερές), ανάμεσα στις μέγιστες τιμές των μεγεθών απόκρισης (εφόσον χρησιμοποιούνται τρία επιταχυνσιογραφήματα) και στις μέσες τιμές των ίδιων μεγεθών απόκρισης (εφόσον χρησιμοποιούνται επτά ή περισσότερα επιταχυνσιογραφήματα), κυρίως όταν τα επιταχυνσιογραφήματα προέρχονται από καταγραφές πραγματικών σεισμικών διεγέρσεων, (iv) ο μεγάλος όγκος των αποτελεσμάτων, οι αυξημένες υπολογιστικές απαιτήσεις και ο πολύ μεγάλος απαιτούμενος χρόνος επίλυσης, κυρίως σε τρισδιάστατα μοντέλα προσομοίωσης. Η Α.Δ.Α. συνιστάται να συνοδεύεται πάντα από την πιο απλή, αλλά ευχερέστερα ελεγχόμενη, ανελαστική στατική ανάλυση, μέσω της οποίας οι μελετητές έχουν τη δυνατότητα να ελέγχουν τον μεγάλο όγκο των αποτελεσμάτων της Α.Δ.Α., συγκρίνοντας χαρακτηριστικά μεγέθη όπως είναι η μέγιστη μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου της κατασκευής. Πρόχειροι υπολογισμοί μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο των διαθέσιμων και απαιτούμενων μεγεθών, ώστε να επιβεβαιώνονται τα αποτελέσματα της Α.Δ.Α. (ψευδείς ιδιομορφές ταλάντωσης, που προέρχονται από ανακριβή διακριτοποίηση ή επιλογή παραμέτρων ολοκλήρωσης, μπορεί να οδηγήσουν στην παραγωγή λανθασμένων μεγεθών απόκρισης). Σήμερα, διατίθενται κατάλληλα λογισμικά για πρακτικές εφαρμογές της Α.Δ.Α., στα οποία οι βρόχοι υστέρησης και τα υπόλοιπα ανελαστικά χαρακτηριστικά των στοιχείων μπορούν να περιγραφούν πλήρως περιλαμβάνοντας τη μείωση της δυσκαμψίας, τη μείωση της αντοχής, τη στένωση των βρόχων υστέρησης, κ.ά Ανελαστική Στατική Ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη την κυρίαρχη ιδιομορφή της κατασκευής. Οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί (CEN 2004, 2005, ΥπΥποΜεΔι 2012, ASCE/SEI 2006), προτείνουν την Ανελαστική Στατική Ανάλυση (Α.Σ.Α.) ως μια εναλλακτική μέθοδο ανάλυσης των κατασκευών για το σχεδιασμό ή/ και την αποτίμηση, με βάση την επιτελεστικότητα, με σκοπό να λαμβάνονται υπόψη, με τον κατά το δυνατόν απλούστερο τρόπο, τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά που καθορίζουν την επιτελεστικότητα. Η Α.Σ.Α. πλεονεκτεί σε σχέση με την Α.Δ.Α., κυρίως στον τρόπο με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η σεισμική διέγερση. Χρησιμοποιούνται τα γνωστά από τους κανονισμούς φάσματα απόκρισης, αντί για τα κατάλληλα επιλεγμένα και κανονικοποιημένα επιταχυνσιογραφήματα, ενώ η προσομοίωση της ανελαστικής απόκρισης της κατασκευής ακολουθεί τους κανόνες προσομοίωσης που απαιτούνται στην Α.Δ.Α., χωρίς όμως την ανάγκη προσομοίωσης της υστερητικής συμπεριφοράς. Επιπλέον, ο χρόνος ανάλυσης των κατασκευών είναι σημαντικά μικρότερος σε σχέση με τον χρόνο που απαιτείται για τις Α.Δ.Α., κυρίως σε αναλύσεις μοντέλων προσομοίωσης τριών διαστάσεων. 9

52 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Η εφαρμογή της Α.Σ.Α. γίνεται σε δύο φάσεις. Η πρώτη φάση της ανάλυσης, αφορά στην εκτίμηση της σεισμικής ικανότητας της κατασκευής (capacity) και πραγματοποιείται με την εφαρμογή στην κατασκευή, στατικών δυνάμεων με κατάλληλη κατανομή, έως ότου η μετακίνηση στο σημείο ελέγχου των μετακινήσεων φθάσει μια προκαθορισμένη τιμή, η οποία ονομάζεται στοχευόμενη μετακίνηση (target displacement). Η ανάλυση μπορεί να συνεχίσει και πέρα από την στοχευόμενη μετακίνηση, μέχρις ότου επέλθει η (οιονεί-) αστοχία της κατασκευής. Από τη διαδικασία αυτή, παράγεται το διάγραμμα τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου, ήτοι η καμπύλη αντίστασης της κατασκευής (pushover curve). Ο βασικός σκοπός της ανάλυσης είναι η εκτίμηση της μέγιστης τιμής ενός μεγέθους απόκρισης, ο οποίος σύμφωνα με την διαδικασία, που αναπτύχθηκε αρχικά από τους Freeman et al. (1975) και μεταγενέστερα τους Fajfar & Fischinger (1987), ενώ αργότερα υιοθετήθηκε από τα εγχειρίδια ATC-40 (1996), FEMA273 (1997), FEMA356 (ASCE, 2000) και τον Ευρωκώδικα 8 (CEN, 2004), πραγματοποιείται στη δεύτερη φάση εφαρμογής της μεθόδου, μέσω είτε της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης ενός ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος (Ι.Μ.Σ.) για συγκεκριμένη σεισμική διέγερση, είτε μέσω του ανελαστικού (ή ισοδύναμου ελαστικού για αυξημένη απόσβεση) φάσματος απόκρισης. Με τον τρόπο αυτόν, η Α.Σ.Α. καθίσταται ένα σημαντικό εργαλείο όχι μόνο για την εκτίμηση της σεισμικής ικανότητας (capacity) ενός φορέα αλλά και τη συσχέτισή της με τη σεισμική απαίτηση (demand). Η κατανομή των επιβαλλόμενων φορτίων στην κατασκευή, καθορίζεται είτε από την κυρίαρχη ιδιομορφή του φορέα για την διεύθυνση ανάλυσης (η δεσπόζουσα ιδιομορφή ταλάντωσης για μια ανάλυση δύο διαστάσεων), ή από μια κατάλληλη (για τον εξεταζόμενο φορέα) σχέση κατανομής (ομοιόμορφη φόρτιση, τριγωνική κατανομή φόρτισης, κ.α.). Η σεισμική απαίτηση, η οποία εκφράζεται μέσω της στοχευόμενης μετακίνησης του συστήματος για συγκεκριμένη σεισμική διέγερση, μπορεί να εκτιμηθεί μέσω διαφορετικών μεθόδων που αναπτύχθηκαν τις τελευταίες δεκαετίες για το σκοπό αυτόν. Στο εγχειρίδιο ATC-55 (FEMA, 2005) διερευνώνται και σχολιάζονται λεπτομερώς οι διαθέσιμες μεθοδολογίες για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης. Οι περισσότερο χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι η μέθοδος του Ικανοτικού Φάσματος, Capacity Spectrum Method (Freeman et al. 1975, Freeman, 1998), η μέθοδος των διορθωτικών συντελεστών, Coefficient Method (FEMA 1997, ΥπΥποΜεΔι 2012), και η μέθοδος των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας, Capacity and demand sprectra, των Fajfar (1999) και Chopra & Goel (1999). Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος Η μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος αναπτύχθηκε από τους Freeman et al (1975) και Freeman (1998). Πρόκειται για μια γραφική μέθοδο εκτίμησης της σεισμικής απαίτησης, κατά την οποία η σεισμική απαίτηση (demand) και η ικανότητα της κατασκευής (capacity), σχεδιάζονται σε κοινό διάγραμμα (βλ. σχήμα 2.3) που καταχρηστικά αναφέρεται και ως φάσμα αν και δεν έχει ως τετμημένη την περίοδο. Η ικανότητα της κατασκευής εκφράζεται μέσω της καμπύλης αντίστασης του Ι.Μ.Σ., η οποία χαράσσεται σε όρους ψευδο-επιτάχυνσης προς μετακίνηση. Η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, προκύπτει από την καμπύλη αντίστασης του φορέα, η οποία παράγεται κατά την Α.Σ.Α. της κατασκευής με επιβολή φορτίσεων είτε βάσει μόνο της πρώτης ιδιομορφής ή λαμβάνοντας υπόψη περισσότερες ιδιομορφές. Η σεισμική απαίτηση εκφράζεται μέσω του 10

53 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα ελαστικού φάσματος επιτάχυνσης και μετακίνησης μειωμένο με κατάλληλο συντελεστή απόσβεσης, ο οποίος εκτιμάται από την απαίτηση πλαστιμότητας της κατασκευής, όπως αρχικά πρότειναν οι Freeman et al. (1975) και αργότερα υιοθετήθηκε και εξελίχθηκε στο Εγχειρίδιο ATC-40 (1996). Η σεισμική απαίτηση της κατασκευής προσδιορίζεται από το σημείο τομής του φάσματος απαίτησης με το φάσμα ικανότητας της κατασκευής. Επιτάχυνση Φάσμα απαίτησης Φάσμα ικανότητας σεισμική απαίτηση Απαιτούμενη Μετακίνηση μετακίνηση ικανότητας Μετακίνηση Σχήμα 2.3 Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος. Στο Εγχειρίδιο ATC-40 (ATC, 1996) προτείνονται τρεις παραλλαγές της μεθόδου για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης, οι οποίες βασίζονται στην μείωση του ελαστικού φάσματος με κατάλληλους συντελεστές απόσβεσης που εξαρτώνται από την πλαστιμότητα της κατασκευής. Σύμφωνα με την μέθοδο Α, αρχικά παράγεται το ελαστικό φάσμα απόκρισης για απόσβεση 5%. Ακολουθεί η χάραξη της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ (φάσμα ικανότητας) σε όρους φασματικής μετακίνησης (S d ) και φασματικής ψευδο-επιτάχυνσης (S a ), που προκύπτει από την καμπύλη αντίστασης του φορέα σύμφωνα με τις εξισώσεις u c Sd 1 1,c V/W b Sa 1 (2.1) (2.2) όπου, u c είναι η μετακίνηση του σημείου ελέγχου, c, στην οροφή της κατασκευής, το Γ 1 είναι ο συντελεστής συμμετοχής της κυρίαρχης ιδιομορφής για την εξεταζόμενη διεύθυνση ανάλυσης (βλ. εξίσωση (2.3)) και το α 1 ορίζεται από την εξίσωση (2.4). V b είναι η τέμνουσα βάσης του φορέα, W το βάρος του, και 1,c είναι η τιμή της ιδιομορφικής μετακίνησης του σημείου ελέγχου της κατασκευής για την κυρίαρχη ιδιομορφή. 1 1 mi i1 m 2 i i1 2 mi i1 2 m i m i i1 (2.3) (2.4) 11

54 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Από την τομή του ελαστικού φάσματος με την καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ λαμβάνεται ένα αρχικό σημείο, οι συντεταγμένες του οποίου χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την εκτίμηση των συντελεστών μείωσης του φάσματος, μέσω των εξισώσεων που αναπτύχθηκαν από τους Newmark & Hall (1982). Το νέο μειωμένο ελαστικό φάσμα, χαράσσεται σε κοινό διάγραμμα με την καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, και από την τομή των δύο καμπυλών λαμβάνεται ένα νέο σημείο. Εάν η απόκλιση των δύο σημείων βρίσκεται μέσα σε κάποια αποδεκτά όρια, τότε το νέο σημείο ορίζει την στοχευόμενη μετακίνηση του συστήματος για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση. Εάν δεν ικανοποιούνται τα κριτήρια που αφορούν στην απόκλιση των δύο σημείων, τότε ακολουθεί νέος κύκλος επανάληψης της διαδικασίας. Η μέθοδος B, είναι κυρίως αναλυτική μέθοδος και βασίζεται στην παραδοχή ότι παραμένουν σταθερά όχι μόνο ο πρώτος κλάδος της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ, αλλά και ο κλάδος μετά τη διαρροή του συστήματος. Ως εκ τούτου δεν απαιτούνται επαναληπτικοί κύκλοι υπολογισμών για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης. Η μέθοδος C, είναι μια αποκλειστικά γραφική μέθοδος που οδηγεί πάντα σε λύση. Οι Chopra & Goel (1999, 2000) απέδειξαν ότι για την μέθοδο A που προτείνεται στο ATC-40, υπάρχουν περιπτώσεις κατασκευών για τις οποίες, η μέθοδος αδυνατεί να συγκλίνει σε συγκεκριμένη λύση, ενώ ακόμα και αν συγκλίνει, η τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από την αντίστοιχη μετακίνηση που εκτιμάται από τις δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις. Σε ό,τι αφορά τις μεθόδους B και C του ATC-40, οι ίδιοι μελετητές απέδειξαν ότι οι μέθοδοι αυτοί ενώ συγκλίνουν πάντα δεν είναι πάντα αξιόπιστες. Αμφιλεγόμενο σημείο της μεθόδου αποτελεί η χρήση του μειωμένου με κατάλληλο συντελεστή απόσβεσης ελαστικού φάσματος, για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης της κατασκευής. Ο Krawinkler (1995) εντοπίζει δύο βασικά σφάλματα κατά την εφαρμογή της μεθόδου. Το πρώτο είναι ότι δεν υπάρχει μια φυσική αρχή, η οποία να δικαιολογεί την ύπαρξη μιας σταθερής σχέσης ανάμεσα στην υστερητική απόσβεση και στην ισοδύναμη ιξώδη απόσβεση, ειδικά για τα ανελαστικά συστήματα με μεγάλο βαθμό πλαστικοποίησης. Το δεύτερο σφάλμα είναι ότι η ιδιοπερίοδος που ορίζεται από το σημείο τομής του φάσματος ικανότητας με το μειωμένο ελαστικό φάσμα, μπορεί να μην έχει καθόλου σχέση με τα δυναμικά χαρακτηριστικά του ανελαστικού συστήματος. Λόγω αυτών των σφαλμάτων, το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθόδου, τέθηκε υπό αμφισβήτηση, ενώ ο Freeman αναφέρει ότι το βασικό αμφιλεγόμενο σημείο της μεθόδου είναι η σχέση ανάμεσα στο ανελαστικό φάσμα απόκρισης και στο ισοδύναμο ελαστικό φάσμα απόκρισης. Ως εναλλακτική λύση στις συστάσεις του ATC-40 προτείνει την εκτίμηση του συντελεστή απόσβεσης με βάση τις σχέσεις των Newmark-Hall (1982). Μέθοδος φασμάτων απαίτησης και ικανότητας Σε μια προσπάθεια να αντιμετωπιστούν τα αδύναμα σημεία της αρχικής εκδοχής της μεθόδου του Ικανοτικού Φάσματος, ο Bertero (1995) πρότεινε τη χρήση ενός ομαλοποιημένου ανελαστικού φάσματος σχεδιασμού ως φάσμα απαίτησης ενώ λίγο αργότερα ο Reinhorn (1997) πρότεινε τη χρήση του ανελαστικού φάσματος απαίτησης. Βάσει των προτάσεων των Bertero και Reinhorn, ο Fajfar (1999, 2000) πρότεινε τη μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας, η οποία χρησιμοποιήθηκε και από τους Chopra & Goel (1999). Η μέθοδος αυτή εξαλείφει τα βασικά σφάλματα της μεθόδου Ικανοτικού φάσματος, διότι δεν χρησιμοποιεί ούτε την ισοδύναμη ιξώδη απόσβεση ούτε την 12

55 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα ιδιοπερίοδο που προκύπτει από το σημείο τομής του φάσματος ικανότητας με το μειωμένο ελαστικό φάσμα. Το ανελαστικό φάσμα απαίτησης προκύπτει από ένα ελαστικό φάσμα, ενώ απαιτείται και μια απλή μετατροπή του πολυβάθμιου συστήματος σε ένα ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα. Για ελαστική απόκριση της κατασκευής (κάτι που συχνά συμβαίνει για τις ανώτερες ιδιομορφές), η εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης γίνεται γραφικά, χαράσσοντας την καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, η οποία λόγω της ελαστικής απόκρισης, είναι μια ευθεία γραμμή με κλίση ίση με την ελαστική ιδιοπερίοδο του συστήματος για την εξεταζόμενη ιδιομορφή, σε κοινό διάγραμμα με το ελαστικό φάσμα απαίτησης της εξεταζόμενης σεισμικής διέγερσης. Το ελαστικό φάσμα απαίτησης παράγεται από το ελαστικό φάσμα ψευδο-επιταχύνσεων (επιτάχυνση προς ιδιοπερίοδο), μέσω της εξίσωσης T 2 Sde Sae 4 2 (2.5) όπου S de και S ae, είναι οι τιμές της ελαστικής φασματικής μετακίνησης και ελαστικής ψευδο-επιτάχυνσης αντίστοιχα, για την ιδιοπερίοδο T και για συγκεκριμένη τιμή ιξώδους απόσβεσης. Η σεισμική απαίτηση του συστήματος προκύπτει από το σημείο τομής των δύο καμπυλών. Πρόκειται για μια απλή και γρήγορη διαδικασία που οδηγεί σε αξιόπιστα αποτελέσματα. Με αμιγώς αναλυτική διαδικασία (κατάλληλη για προγραμματισμό), η σεισμική απαίτηση υπολογίζεται με την λύση των αντίστοιχων εξισώσεων. Για ανελαστική απόκριση της κατασκευής, η εκτίμηση της μετακίνησης του ΙΜΣ γίνεται με τη γραφική μέθοδο που παρουσιάζεται στα σχήματα 2.4(a) (για γέφυρες με μέσες και μεγάλες τιμές ιδιοπεριόδων, T T C ) και 2.4(b) (για γέφυρες με μικρές τιμές ιδιοπεριόδων, T< T C ), ενώ μπορεί να γίνει και με αναλυτικό τρόπο χωρίς τη χρήση των γραφημάτων. Η ανελαστική σεισμική απαίτηση του ΙΜΣ, προκύπτει από το σημείο τομής της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ με το ανελαστικό φάσμα απαίτησης. Για το σημείο αυτό (performance point), ο δείκτης πλαστιμότητας που ορίζεται από την καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ και ο δείκτης πλαστιμότητας που χρησιμοποιείται για την παραγωγή του φάσματος απαίτησης είναι ίσοι. Ειδικότερα, το σημείο τομής των δύο καμπυλών, χρησιμοποιείται για τον ορισμό του δείκτη πλαστιμότητας της κατασκευής από την καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, ο οποίος πρέπει να είναι ίσος με τον δείκτη πλαστιμότητας που χρησιμοποιείται για την παραγωγή του ανελαστικού φάσματος απαίτησης. Για να επιτευχθεί αυτό απαιτείται να εφαρμοστούν κάποιοι κύκλοι επαναλήψεων, ο αριθμός των οποίων ποικίλλει κατά περίπτωση. Για πολλές γέφυρες, οι πιο σημαντικές ιδιομορφές αντιστοιχούν σε μεγάλες τιμές ιδιοπεριόδων, για τις οποίες είναι δυνατόν να εφαρμοστεί η προσέγγιση των ίσων μετακινήσεων για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης, γεγονός που απλοποιεί σημαντικά τη διαδικασία. Επιπλέον, παρατηρείται ότι στις ανώτερες ιδιομορφές, η συμπεριφορά του ανελαστικού ΙΜΣ παραμένει στην ελαστική περιοχή για τις συνήθεις στάθμες σεισμικών διεγέρσεων, άρα δεν απαιτείται επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισμό της στοχευόμενης μετακίνησης. Επομένως, η μέθοδος των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας δεν απαιτεί πάντα πολλούς υπολογιστικούς κύκλους επαναλήψεων, αλλά μπορεί να απλουστευθεί σημαντικά σε πολλές περιπτώσεις γεφυρών. 13

56 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα S a T= T c S a T< T c T> T c S ae T= T c S ae μ=1 (elastic) μ=1 (elastic) S ay S ay S d=s de S de S d (a) Sd (b) Σχήμα 2.4 Εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης σύμφωνα με τη μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας, για συστήματα με (a) T T C και (b) T< T C. Sd Για την παραγωγή του ανελαστικού φάσματος απαίτησης, η τυπική διαδικασία που ακολουθείται είναι να διαιρούνται οι τεταγμένες του ελαστικού φάσματος με έναν μειωτικό συντελεστή, R μ, ο οποίος ορίζεται ως ο λόγος της επιτάχυνσης του ελαστικού συστήματος Sae T προς την επιτάχυνση διαρροής του ανελαστικού S ay, σύμφωνα με την εξίσωση R S ae S T ay * (2.6) Ο όρος R μ είναι διαφορετικός από τον συντελεστή που χρησιμοποιείται στους αντισεισμικούς κανονισμούς R, ο οποίος λαμβάνει υπόψη τόσο την ενέργεια που απορροφάται από το σύστημα όσο και την υπεραντοχή του συστήματος. Η επιτάχυνση σχεδιασμού του συστήματος S ad, συνήθως είναι μικρότερη από την επιτάχυνση διαρροής του συστήματος S ay. Εάν ισχύει T T C τότε η ανελαστική απαιτούμενη μετακίνηση S d του ΙΜΣ, ισούται με την ελαστική απαιτούμενη μετακίνηση, S de σύμφωνα με την προσέγγιση των ίσων μετακινήσεων, και η απαιτούμενη πλαστιμότητα μ (εξίσωση (2.7)) ισούται με τον μειωτικό συντελεστή R μ. Η ελαστική απαιτούμενη μετακίνηση, S de, του ΙΜΣ, υπολογίζεται συναρτήσει της ιδιοπεριόδου του συστήματος, σύμφωνα με την εξίσωση (2.8). Sd (2.7) Sdy T2 Sde S ae(t) (2.8) 4 2 Εάν ισχύει T< T C, τότε η απαιτούμενη πλαστιμότητα υπολογίζεται από την εξίσωση (2.9) και η απαιτούμενη μετακίνηση από την εξίσωση (2.10). Τ C (R 1) 1 (2.9) T Sde C Sd Sdy 1 R 1 (2.10) R T 14

57 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Μετά την διατύπωση της πρότασης των Newmark & Hall (1973,1982) για τον υπολογισμό ανελαστικών φασμάτων, παρουσιάστηκε μια σειρά από μελέτες, μερικές από τις οποίες βασίζονταν σε σημαντικά μεγαλύτερο αριθμό επιταχυνσιογραφημάτων απ ό,τι η αρχική μελέτη των Newmark & Hall. Οι μελέτες αυτές κατέληξαν σε μια σειρά από τροποποιημένες σχέσεις για τον προσδιορισμό κατάλληλων μειωτικών συντελεστών, οι οποίες μπορεί να έχουν αρκετά περίπλοκη μορφή. Μερικές από τις πιο τεκμηριωμένες εξισώσεις έχουν προταθεί από τους Lai & Biggs (1980), Riddell & Newmark (1979), Elghadamsi & Mohraz (1987), Riddell et al (1989), Hidalgo & Arias (1990), Nassar & Krawrinkler (1991), Vidic et al (1992, 1994), Miranda (1993), και Miranda & Bertero (1994). Μέθοδος διορθωτικών συντελεστών Μια εναλλακτική διαδικασία εκτίμησης της στοχευόμενης μετακίνησης που προτείνεται στα κείμενα οδηγιών FEMA273 (1997) FEMA356 (ASCE, 2000), και στον ΚΑΝΕΠΕ (ΥπΥποΜεΔι, 2012) είναι η μέθοδος των διορθωτικών συντελεστών. Σε αντίθεση με την προηγούμενη μέθοδο, κατά την οποία λαμβάνεται υπόψη η επιβατική δυσκαμψία της κατασκευής μετά τη διαρροή του φορέα, στη μέθοδο των διορθωτικών συντελεστών, χρησιμοποιείται η αρχική δρώσα δυσκαμψία της κατασκευής. Πρόκειται για μια απλοποιημένη μέθοδο, εύκολη στην εφαρμογή, χωρίς επαναληπτικούς κύκλους υπολογισμών, κατά την οποία η τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης προκύπτει από την αντίστοιχη ελαστική μετακίνηση του ΙΜΣ, πολλαπλασιασμένη με κατάλληλους διορθωτικούς συντελεστές, σύμφωνα με την εξίσωση (2.11). Οι συντελεστές αυτοί λαμβάνουν υπόψη την αναγωγή της μετακίνησης του ΙΜΣ στο σημείο ελέγχου των μετακινήσεων του πραγματικού φορέα (C 0 ), την αναγωγή της ελαστικής μετακίνησης σε ανελαστική (C 1 ), την επαύξηση της στοχευόμενης μετακίνησης λόγω μειωμένης ικανότητας υστερητικής απόσβεσης του συστήματος (C 2 ), καθώς και την επιρροή των φαινομένων δευτέρας τάξεως (C 3 ). 2 Te uc C0 C1 C2 C3 Sa g 2 4 (2.11) όπου, C, 0 είναι ο συντελεστής με τον οποίο γίνεται η αναγωγή της μετακίνησης του ΙΜΣ (δηλ. της φασματικής μετακίνησης) στην αντίστοιχη μετακίνηση του σημείου ελέγχου του πολυβάθμιου συστήματος. Ο υπολογισμός του συντελεστή C 0, μπορεί να γίνει μέσω της εξίσωσης (2.12), λαμβάνοντας υπόψη την δεσπόζουσα ιδιομορφή του φορέα, 1, και τον αντίστοιχο συντελεστή συμμετοχής, 1. C ,c 1,c (2.12) Εναλλακτικά, προτείνεται να χρησιμοποιείται το διάνυσμα των μετακινήσεων του φορέα για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Επιπλέον, υπάρχει η δυνατότητα να λαμβάνεται η τιμή του συντελεστή C 0 απευθείας από πίνακα που δίνεται στο FEMA356 (πιν. 3-2). Εάν η εξίσωση (2.11) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης για μια ιδιομορφή πέραν της πρώτης (διαδικασία που εφαρμόζεται στην 15

58 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα ΙΑΣΑ), τότε λαμβάνονται τα αντίστοιχα μεγέθη για τα αναφέρεται στην εξεταζόμενη ιδιομορφή. n, n και n,c, όπου o δείκτης n C: 1 είναι ο συντελεστής με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η ανελαστική απόκριση του συστήματος. Με τον συντελεστή αυτόν η στοχευόμενη μετακίνηση του ΙΜΣ, η οποία υπολογίζεται για ελαστική απόκριση, ανάγεται στην αντίστοιχη μετακίνηση του ΙΜΣ για ανελαστική απόκριση. Αναφέρεται σε κατασκευές με σχετικά σταθερούς και γεμάτους βρόχους υστέρησης. Οι προτεινόμενες τιμές του συντελεστή βασίζονται σε εμπειρικές και αναλυτικές μελέτες που διεξήχθησαν σε κατασκευές που υποβλήθηκαν σε σεισμικές διεγέρσεις (Nassar & Krawinkler, 1991, Miranda & Bertero, 1994, Bonacci, 1989, Constantinou et al., 1998). Η τιμή του συντελεστή C 1 υπολογίζεται από την εξίσωση (2.13) ανάλογα με την τιμή της δεσπόζουσας ιδιοπεριόδου του συστήματος. 1.0 για Tc C1 1.0 R 1 T / R για T c c (2.13) όπου, c είναι η χαρακτηριστική περίοδος του φάσματος απόκρισης ( και στο FEMA356) πέραν της οποίας εκτείνεται ο φθίνων κλάδος του φάσματος. O όρος R είναι ο λόγος της απαιτούμενης αντοχής για ελαστική απόκριση προς την αντοχή διαρροής, σύμφωνα με την εξίσωση (2.14). Sa R C V/W y m (2.14) όπου, S a είναι η φασματική επιτάχυνση που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο του συστήματος, V y είναι η τέμνουσα διαρροής του συστήματος, W είναι το βάρος της κατασκευής, και C m είναι ο συντελεστής της ενεργού μάζας της κατασκευής που εξαρτάται από το υλικό κατασκευής και το στατικό σύστημα του φορέα (δίνεται στον πίνακα 3-1 του FEMA356). C 2 : είναι ο συντελεστής με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η επιρροή των βρόχων υστέρησης με σημαντική στένωση (pinching) ή των βρόχων υστέρησης που παρουσιάζουν σταδιακή μείωση της δυσκαμψίας, οι οποίοι προκαλούν μείωση της ενέργειας που εκλύεται από την κατασκευή. Το φαινόμενο αυτό γίνεται περισσότερο αισθητό σε κατασκευές με μικρή ιδιοπερίοδο, που χαρακτηρίζονται από μικρή αντοχή και με στενούς βρόχους υστέρησης. Επομένως μέσω του συντελεστή C 2, επιτυγχάνεται μια αναπροσαρμογή των μεγεθών απόκρισης της κατασκευής ανάλογα με τη διαθέσιμη υστερητική απόσβεση. Σύμφωνα με το FEMA356, οι τιμές του C 2 λαμβάνονται απευθείας από τον πίνακα 3-3. C: 3 είναι ο συντελεστής με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η επιρροή των φαινομένων δευτέρας τάξεως (φαινόμενα Ρ-Δ) στις οριζόντιες μετακινήσεις της κατασκευής. Τα φαινόμενα δευτέρας τάξεως που αναπτύσσονται λόγω των φορτίων βαρύτητας οδηγούν σε κάθε περίπτωση στην αύξηση της μέγιστης οριζόντιας μετακίνησης της κατασκευής. Για κατασκευές με κράτυνση, ο συντελεστής C 3 λαμβάνεται ίσος προς 1.0. Σε αντίθετες περιπτώσεις (χαλάρωση), πρέπει να υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (2.15). 16

59 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα C R 1 3/2 T (2.15) Ο συντελεστής C 3, εξαρτάται από: (i) την κλίση του δεύτερου κλάδου της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης της κατασκευής,, (ii) την δρώσα θεμελιώδη ιδιοπερίοδο της κατασκευής, Τ (iii) τον λόγο R όπως ορίζεται από την εξίσωση (2.14), (iv) την σχέση δύναμης παραμόρφωσης για κάθε όροφο (κτιριακοί φορείς), (v) τα χαρακτηριστικά της σεισμικής διέγερσης, και (vi) τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης. Συμπερασματικά, η εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του συστήματος μέσω της μεθόδου διορθωτικών συντελεστών, προϋποθέτει την μετατροπή του πολυβάθμιου συστήματος σε ένα ΙΜΣ, και η στοχευόμενη μετακίνηση του ΙΜΣ υπολογίζεται συναρτήσει της ελαστικής μετακίνησής του για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης, πολλαπλασιασμένη με κατάλληλους διορθωτικούς συντελεστές, με τους οποίους λαμβάνεται υπόψη η επιρροή σημαντικών παραγόντων λόγω της πραγματικής μηγραμμικής απόκρισης του φορέα, για την εκτίμηση μιας όσο το δυνατόν ρεαλιστικής τιμής της στοχευόμενης μετακίνησης Μέθοδος Ν2 Η ανάπτυξη της μεθόδου Ν2, ξεκίνησε στο τέλος της δεκαετίας του 1980 από τους Fajfar & Fischinger (1987, 1988), ενώ αργότερα βελτιώθηκε από τους Fajfar & Gašperšič (1996). Η εφαρμογή της μεθόδου επεκτάθηκε και σε φορείς γεφυρών (Fajfar et al. 1997). Λίγο αργότερα, και βάσει των προτάσεων των Bertero (1995) και Reinhorn (1997) η μέθοδος του ικανοτικού φάσματος τροποποιήθηκε από τον Fajfar (1999, 2000). Η τελευταία εκδοχή της μεθόδου συνδυάζει τα πλεονεκτήματα της μεθόδου του Ικανοτικού Φάσματος με εκείνα του ανελαστικού φάσματος απόκρισης, το οποίο χρησιμοποιήθηκε και από τους Chopra & Goel (1999). Μικρές τροποποιήσεις και βελτιώσεις της μεθόδου έγιναν αργότερα από τον Fajfar (2007), ενώ η μέθοδος έχει περιληφθεί στο πληροφοριακό Παράρτημα Β του EC8 (CEN 2004) και προτείνεται τόσο για τον σχεδιασμό όσο και για την αποτίμηση των κατασκευών. Η μέθοδος Ν2 αρχικά αναπτύχθηκε για αναλύσεις μοντέλων προσομοίωσης δύο διαστάσεων, όπως οι περισσότερες προσεγγιστικές μη-γραμμικές μέθοδοι. Πολύ γρήγορα έγιναν προσπάθειες προσαρμογής και επέκτασης της μεθόδου σε ασύμμετρες κατασκευές, που απαιτούν μοντέλα προσομοίωσης τριών διαστάσεων (Kilar & Fajfar, 1997, Moghadam & Tso 2001, Ayala & Tavera, 2002, Fajfar et al., 2005, Aydinoglu 2003, Chopra & Goel 2004, Fujii et al., 2004, Zheng et al., 2003, Penelis & Kappos 2005). Το όνομα της μεθόδου, περιγράφει τα βασικά χαρακτηριστικά της, ήτοι το γράμμα Ν υποδεικνύει ότι πρόκειται για μια ανελαστική (Non-linear) ανάλυση και ο αριθμός 2 αναφέρεται στις δύο διαφορετικές αναλύσεις που εφαρμόζονται στην μέθοδο με τη χρήση δύο αναλυτικών μοντέλων. Συγκεκριμένα, στην μέθοδο Ν2 εφαρμόζεται η Α.Σ.Α. του πολυβάθμιου συστήματος (με το οποίο προσομοιώνεται η κατασκευή) μέσω της οποίας προσδιορίζονται τα απαραίτητα χαρακτηριστικά της κατασκευής, που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για τον ορισμό του αντίστοιχου ΙΜΣ στο οποίο εφαρμόζεται η Α.Δ.Α. για 17

60 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης. Επισημαίνεται ότι η αρχική ιδέα της προσομοίωσης μιας κατασκευής με ένα ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα ταλάντωσης, τα χαρακτηριστικά του οποίου καθορίζονται από μια μη-γραμμική στατική ανάλυση του αντίστοιχου πολυβάθμιου συστήματος, προτάθηκε από τους Saiidi & Sozen (1981), οι οποίοι βασίστηκαν σε δουλειά που έγινε προγενέστερα από τον Biggs (1964) στα ισοδύναμα μονοβάθμια συστήματα. Ο EC8 αναφέρει ότι η μέθοδος Ν2, βασίζεται στην εφαρμογή στατικών ισοδύναμων σεισμικών φορτίων στην κατασκευή με κατανομή ανάλογη της δεσπόζουσας ιδιομορφής, γεγονός που περιορίζει την εφαρμογή της σε κατασκευές στις οποίες είναι κυρίαρχη η δεσπόζουσα ιδιομορφή κατά τη διεύθυνση ανάλυσης και η απόκρισή τους σε οριζόντια σεισμικά φορτία ως προς μια διεύθυνση ανάλυσης, μπορεί να προσομοιωθεί με την απόκριση ενός ΙΜΣ. Διευκρινίζει ότι για τους φορείς γεφυρών (CΕΝ, 2005), η προϋπόθεση αυτή ικανοποιείται σχεδόν για όλους τους τύπους γεφυρών στη διαμήκη διεύθυνση ανάλυσης, με την παραδοχή ότι η επιρροή της μάζας των βάθρων στην απόκριση του συστήματος είναι πολύ μικρή σε σχέση με την μάζα του καταστρώματος. Κατά την εγκάρσια διεύθυνση η προϋπόθεση αυτή ικανοποιείται όταν η κατανομή της δυσκαμψίας των βάθρων κατά μήκος της γέφυρας είναι ομοιόμορφη. Αυτό παρατηρείται στις γέφυρες στις οποίες το ύψος των βάθρων μειώνεται σταδιακά προς τα ακρόβαθρα ή δεν παρουσιάζει σημαντικές μεταβολές. Όταν, ωστόσο, υπάρχει ένα πολύ δύσκαμπτο βάθρο σε σχέση με τα γειτονικά του (πρακτική που δεν προσάδει στον σωστό αντισεισμικό σχεδιασμό), η απόκριση του συστήματος δεν μπορεί να προσομοιωθεί με την απόκριση ενός ΙΜΣ. Ως εκ τούτου η μέθοδος Ν2 σε γέφυρες αυτού του τύπου, προτείνεται από τον κανονισμό να μη εφαρμόζεται, αλλά να χρησιμοποιείται η δυναμική ανελαστική ανάλυση χρονοϊστορίας. Η μέθοδος Ν2 αναπτύχθηκε αρχικά για την ανελαστική ανάλυση κτιρίων. Υπάρχει η λανθασμένη εντύπωση ότι η μέθοδος μπορεί εύκολα να χρησιμοποιηθεί για φορείς γεφυρών, λόγω της απλότητας του δομικού συστήματος των γεφυρών σε σχέση με αυτό των κτιρίων. Ωστόσο, η απόκριση των γεφυρών κυρίως κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης, είναι πολύ συχνά σύνθετη και πολύ διαφορετική από αυτήν των κτιρίων. Από εφαρμογές της Ν2 σε μοντέλα ευθύγραμμων γεφυρών, με διαφορετικό αριθμό ανοιγμάτων, διαφορετικές αναλογίες δυσκαμψιών και αντοχών των μεσοβάθρων, διαφορετική εκκεντρότητα και διαφορετικές συνθήκες έδρασης του καταστρώματος στα ακρόβαθρα (Fischinger & Isaković 2002, Fischinger et al. 2004), αποδεικνύεται ότι η μέθοδος, μόνο για ορισμένους τύπους γεφυρών, δίνει συγκρίσιμα αποτελέσματα σε σχέση με αυτά των αντίστοιχων Α.Δ.Α., ενώ για τις περισσότερες περιπτώσεις, και κυρίως για τα μοντέλα γεφυρών με μεγάλη στρεπτική ευαισθησία, η Ν2 αδυνατεί να εκτιμήσει μια ρεαλιστική εικόνα απόκρισης. Κατά συνέπεια, κρίνεται απαραίτητο να γίνουν τροποποιήσεις στην μέθοδο που να λαμβάνουν υπόψη τις ιδιαιτερότητες της σεισμικής απόκρισης των γεφυρών. Κάποιες από τις τροποποιήσεις αυτές περιλαμβάνονται στον Eurocode 8/2 (CEN, 2005). Οι βασικές τροποποιήσεις της μεθόδου Ν2 για την εφαρμογή της σε φορείς γεφυρών, σύμφωνα με τους Isaković & Fischinger (2006) και Isaković et al. (2008), αφορούν (i) στην επιλογή του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων στο πολυβάθμιο σύστημα, βάσει του οποίου γίνεται η χάραξη της καμπύλης αντίστασης του φορέα, (ii) στην κατανομή των οριζόντιων επιβαλλόμενων δυνάμεων κατά μήκος του καταστρώματος και (iii) στη διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης και στον υπολογισμό της δύναμης διαρροής και της αντίστοιχης μετακίνησης του ΙΜΣ. Συγκεκριμένα, η εφαρμογή της Ν2 σε φορείς γεφυρών προτείνεται να γίνεται με βάση τα ακόλουθα βήματα (Kappos et al. 2012): 18

61 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Βήμα 1 ο : Ορίζεται το κατάλληλο μοντέλο προσομοίωσης της γέφυρας. Συνήθως λαμβάνεται ένα παρόμοιο μοντέλο προσομοίωσης με αυτό που χρησιμοποιείται στην ελαστική ανάλυση, στο οποίο εισάγονται πρόσθετες παράμετροι που ορίζουν τη μηγραμμική σχέση δύναμης-παραμόρφωσης για κάθε δομικό στοιχείο. Στις γέφυρες, η μηγραμμική συμπεριφορά συνήθως εντοπίζεται στα βάθρα, ενώ η ανωδομή θεωρείται ότι συμπεριφέρεται ελαστικά. Ένα απλό αλλά αξιόπιστο μοντέλο προσομοίωσης περιλαμβάνει πεπερασμένα στοιχεία δοκού με πλαστικές αρθρώσεις στα άκρα, ανάλογα με τις θέσεις όπου προβλέπεται να λάβει χώρα η ανελαστική απόκριση. Βήμα 2 ο : Διεξάγεται η Α.Σ.Α. επιβάλλοντας στο φορέα ισοδύναμα σεισμικά φορτία, η κατανομή των οποίων ορίζεται από την εξ. (2.16). F= i mi i (2.16) όπου F i είναι η δύναμη που επιβάλλεται στη θέση i του φορέα, m i είναι η μάζα στη θέση i, i είναι η τιμή της κανονικοποιημένης ιδιομορφικής μετακίνησης του φορέα στη θέση i, και λ ένας συντελεστής ο οποίος καθορίζει την ένταση της οριζόντιας δύναμης. Χαράσσεται η μη- γραμμική σχέση τέμνουσας βάσης και μετακίνησης της ανωδομής, γνωστή ως καμπύλη αντίστασης του φορέα. Βήμα 3 ο : Το πολυβάθμιο σύστημα αντικαθιστάται από ένα ΙΜΣ. Για την μετατροπή του πολυβάθμιου συστήματος στο αντίστοιχο ΙΜΣ έχουν αναπτυχθεί διάφορες εξισώσεις. Στη μέθοδο που παρουσιάζεται εδώ, τα χαρακτηριστικά του ΙΜΣ (η δυσκαμψία k *, η μάζα m * και η ιδιοπερίοδός του T * ) υπολογίζονται μέσω της καμπύλης αντίστασης του φορέα, σύμφωνα με τις σχέσεις που προτείνει ο Fajfar (2007). Η δυσκαμψία του ΙΜΣ υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (2.17). k * Fy (2.17) D y όπου F y και D y είναι η αντοχή διαρροής και η αντίστοιχη μετακίνηση του ΙΜΣ σύμφωνα με την εξίσωση (2.18). Ο όρος Γ 1, εκφράζει το ποσοστό συμμετοχής της πρώτης ιδιομορφής στην συνολική απόκριση του συστήματος και ορίζεται από την εξίσωση (2.3). Οι τιμές V b,y και u c,y λαμβάνονται από την καμπύλη αντίστασης του φορέα, στο σημείο διαρροής. V b,y Fy 1 και u c,y Dy 1 (2.18) Ο συντελεστής Γ 1 είναι ισοδύναμος (αλλά γενικά δεν είναι ίσος) με τον συντελεστή C 0 στη μέθοδο των διορθωτικών συντελεστών. Η μάζα του ΙΜΣ ορίζεται από την εξίσωση (2.19) και η ιδιοπερίοδος του ΙΜΣ ορίζεται από την εξίσωση (2.20). m m (2.19) * i i m* (2.20) k* T* 2 19

62 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Παρατηρείται ότι ο σταθερός συντελεστής Γ 1, εφαρμόζεται για την μετατροπή τόσο των μετακινήσεων όσο και των δυνάμεων του πολυβάθμιου συστήματος στις αντίστοιχες τιμές του ΙΜΣ. Ως εκ τούτου, η αρχική δυσκαμψία του ΙΜΣ παραμένει ίδια με αυτήν του πολυβάθμιου συστήματος που ορίζεται από την καμπύλη αντίστασής του. Παράγεται η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ σε όρους φασματικής επιτάχυνσης και μετακίνησης, S a -S d, σύμφωνα με την εξίσωση (2.21). S a F uc και Sd m* 1 (2.21) Βήμα 4 ο : Υπολογίζεται η σεισμική απαίτηση του ΙΜΣ με τη μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας (Fajfar, 1999 και Chopra & Goel, 1999) που περιγράφηκε σε προηγούμενη ενότητα. Βήμα 5 ο : Με γνωστή την τιμή της απαιτούμενης μετακίνησης του ΙΜΣ D, για τη συγκεκριμένη σεισμική διέγερση, υπολογίζεται η αντίστοιχη μέγιστη μετακίνηση του πολυβάθμιου συστήματος, μέσω της εξίσωσης (2.22). u D (2.22) co 1 Οι τροποποιήσεις που γίνονται στη μέθοδο Ν2, όταν αυτή χρησιμοποιείται σε φορείς γεφυρών, αφορούν στα εξής σημεία: (i) (ii) Επιλογή κατάλληλου σημείου ελέγχου των μετακινήσεων: Στον EC8/2 (πληροφοριακό Παράρτημα H) (CEN, 2005) προτείνεται να λαμβάνεται ως σημείο ελέγχου μετακινήσεων, το κέντρο μάζας του καταστρώματος, το οποίο συνήθως εντοπίζεται στο κέντρο ή πολύ κοντά στο κέντρο του καταστρώματος. Από μελέτες που έγιναν πάνω στο θέμα αυτό (Paraskeva et al., 2006, Isaković & Fischinger 2006), αποδείχθηκε ότι για κάποιους τύπους γεφυρών το σημείο αυτό δεν είναι κατάλληλο για τη χάραξη αντιπροσωπευτικών καμπυλών αντίστασης του φορέα. Το εν λόγω θέμα αποτελεί ένα από τα αντικείμενα έρευνας που εξετάζονται στην παρούσα διατριβή. Επιλογή κατάλληλης κατανομής φόρτισης: Σύμφωνα με τον EC8/2 (CEN, 2005), σε κάθε κόμβο του φορέα, i, με μάζα m i, εφαρμόζονται σε κάθε βήμα ανάλυσης k, οι οριζόντιες δυνάμεις F i,k όπως ορίζονται από την εξίσωση F = f m g (2.23) i,k k i i όπου f k είναι το κανονικοποιημένο διάνυσμα των επιβαλλόμενων δυνάμεων και i είναι ένας συντελεστής σχήματος που καθορίζει την κατανομή των επιβαλλόμενων δυνάμεων στη θέση i. Αν δεν εφαρμόζεται κάποια καλύτερη κατανομή, προτείνεται να χρησιμοποιούνται οι εξής δύο κατανομές: (a) μια σταθερή κατανομή κατά μήκος του καταστρώματος (deck) και τριγωνική καθ ύψος των μεσοβάθρων (pier), σύμφωνα με την εξίσωση (2.24) όπου z i είναι το ύψος του σημείου i του μεσοβάθρου από το ύψος της θεμελίωσης και z p το ύψος του μεσοβάθρου. 20

63 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα i(deck) i(pier) =1 z = z i p (2.24) (b) μια κατανομή ανάλογη προς την πρώτη ιδιομορφή της γέφυρας κατά τη διεύθυνση ανάλυσης (λαμβάνεται το διάνυσμα των ιδιομορφικών μετακινήσεων του καταστρώματος που αντιστοιχεί στην κυρίαρχη ιδιομορφή του φορέα, το οποίο προσδιορίζεται με ιδιομορφική ελαστική ανάλυση με απλά προγράμματα λογισμικού για ελαστικές αναλύσεις). Ειδικότερα για τα μεσόβαθρα, η κατανομή ορίζεται από την εξίσωση (2.25), όπου ζ Τ,P είναι η τιμή της ιδιομορφικής μετακίνησης του καταστρώματος στο σημείο ένωσης του καταστρώματος με το μεσόβαθρο. = i( pier), P z z i p (2.25) Στο FEMA356 (ASCE, 2000) προτείνεται να χρησιμοποιούνται κατ ελάχιστον δύο κατανομές επιβαλλόμενων δυνάμεων, μια από έκαστη των εξής δύο ομάδων κατανομών: 1 η ομάδα: (a) κατανομή ανάλογη προς την κυρίαρχη ιδιομορφή της κατασκευής. Η κατανομή αυτή επιτρέπεται να χρησιμοποιείται μόνο όταν η κυρίαρχη ιδιομορφή έχει ποσοστό συμμετοχής μεγαλύτερο από 75%. (b) ισοδύναμη κατανομή πλευρικών δυνάμεων (equivalent lateral force- ELF). Επιτρέπεται να χρησιμοποιείται μόνο όταν η κυρίαρχη ιδιομορφή έχει ποσοστό συμμετοχής μεγαλύτερο από 75% και πάντα σε συνδυασμό με την ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης. (c) κατανομή που προκύπτει από την τετραγωνική επαλληλία των σημαντικότερων ιδιομορφών της κατασκευής. Λαμβάνονται οι ιδιομορφές με αθροιστικό ποσοστό συμμετοχής 90%. Η κατανομή αυτή επιτρέπεται να χρησιμοποιείται όταν η θεμελιώδης ιδιοπερίοδος του συστήματος είναι πάνω από 1.0s. 2 η ομάδα: (d) ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, ανάλογη προς την κατανεμημένη μάζα της κατασκευής, που ορίζεται από τη σχέση F=mι (2.26) i i όπου F i είναι η τιμή της επιβαλλόμενης δύναμης στο σημείο i της κατασκευής, μάζα που αντιστοιχεί στο ίδιο σημείο και ι το μοναδιαίο διάνυσμα φόρτισης m i είναι η (e) αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης. Η κατανομή αυτή μεταβάλλεται ανάλογα με την παραμορφωμένη κατάσταση της κατασκευής μετά τη διαρροή της. Οι Isaković & Fischinger (2006) απέδειξαν ότι σε γέφυρες με δεσμευμένη την εγκάρσια μετακίνηση στην περιοχή των ακροβάθρων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά, η παραβολική κατανομή φόρτισης, για τον ορισμό της οποίας δεν απαιτείται ιδιομορφική ανάλυση του συστήματος. Επιπλέον βρέθηκε ότι για κάποιους τύπους γεφυρών η παραβολική κατανομή φόρτισης, οδηγεί σε καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με την ομοιόμορφη κατανομή (Isaković & Fischinger, 2006; Isaković et al., 2008). Συγκεκριμένα, σε γέφυρες με ελεύθερη δυνατότητα εγκάρσιας μετακίνησης στην περιοχή 21

64 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα των ακροβάθρων, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης καθώς και αυτή που είναι ανάλογη προς την κυρίαρχη ιδιομορφή. Βελτιωμένα αποτελέσματα παρατηρούνται όταν το σχήμα της κυρίαρχης ιδιομορφής καθορίζεται για τη στάθμη της σεισμικής διέγερσης που μελετάται (Isaković & Fischinger, 2006). Για άλλους τύπους γεφυρών (π.χ. για γέφυρες με κοντά και δύσκαμπτα κεντρικά βάθρα) η επιλογή αυτή απαιτεί κύκλους επαναλήψεων, γιατί η μορφή της κυρίαρχης ιδιομορφής μπορεί να αλλάξει σημαντικά ανάλογα με την ένταση της σεισμικής διέγερσης. Γενικά, προτείνεται να χρησιμοποιούνται δύο διαφορετικές κατανομές φορτίσεων και να λαμβάνεται υπόψη η περιβάλλουσα των δύο διαφορετικών αποκρίσεων του φορέα (βλ. σχήμα 2.5). Η κατανομή των επιβαλλόμενων δυνάμεων δεν επηρεάζει μόνο το σχήμα των μετακινήσεων του καταστρώματος της γέφυρας αλλά και την τιμή της μέγιστης μετακίνησης. Σε συνήθεις τύπους γεφυρών (γέφυρες χωρίς κοντά και δύσκαμπτα κεντρικά βάθρα) με δεσμευμένη την εγκάρσια μετακίνηση στην περιοχή των ακροβάθρων, η κατανομή των δυνάμεων που είναι ανάλογη προς την 1 η ιδιομορφή του συστήματος, οδηγεί σε μεγαλύτερες τιμές μετακινήσεων στην κεντρική περιοχή του καταστρώματος, ενώ η ομοιόμορφη κατανομή οδηγεί σε μεγαλύτερες μετακινήσεις στις περιοχές κοντά στα ακρόβαθρα. Η παραβολική κατανομή των επιβαλλόμενων δυνάμεων οδηγεί σε μια ενδιάμεση εικόνα παραμόρφωσης σε σχέση με τις προαναφερόμενες (Isaković et al., 2008). Α. Γέφυρες με δεσμευμένη την εγκάρσια Β. Γέφυρες με δυνατότητα ελεύθερης μετακίνηση στα ακρόβαθρα μετακίνησης στα ακρόβαθρα L L X m 1... m i m n F 1 F F n i F i m i i m 1... m i m n F 1 F i F n F i m i i 1 i n a) Κατανομή ανάλογη προς την 1 η ιδιομορφή a) proporcionalna proportional to the 1. nihajni 1st mode obliki c) Παραβολική κατανομή c) parabolična parabolic 1 i n a) Κατανομή ανάλογη προς την 1 η ιδιομορφή a) proporcionalna proportional to trenutni the current 1. nihajni 1st mode obliki i 1. 1 st nihajna mode obli i current trenutna 1. nihajna 1st mode obli b) b) Ομοιόμορφη enakomerna unform κατανομή b) Ομοιόμορφη κατανομή b) enakomerna unform i = i x 2 x 2 L L i = 1 Σχήμα 2.5 Κατάλληλες κατανομές των επιβαλλόμενων φορτίσεων ανάλογα με τον τύπο της γέφυρας. (iii) Τρόπος διγραμμικοποίησης της καμπύλης αντίστασης του φορέα: Η διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης αποτελεί ένα σημαντικό σημείο στη μέθοδο Ν2, διότι επηρεάζει σημαντικά τη δυσκαμψία του ΙΜΣ και την τιμή της μέγιστης μετακίνησης. Εάν η δυσκαμψία δεν υπολογιστεί με ικανοποιητική ακρίβεια τότε η πραγματική και η εκτιμώμενη μέγιστη μετακίνηση του συστήματος μπορεί να διαφέρουν σημαντικά (Paraskeva et al., 2006, Isaković & Fischinger, 2006). 22

65 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Α. Γέφυρες με δεσμευμένη την εγκάρσια Β. Γέφυρες με δυνατότητα ελεύθερης μετακίνηση στα ακρόβαθρα b) Bridges μετακίνησης with roller στα ακρόβαθρα supports at the abutments a) Bridges pinned at the abutments V sila force Reached στοχευόμενη doseženi dsiplacement μετακίνηση pomik V sila force Reached doseženi στοχευόμενη dsiplacement pomik μετακίνηση u displacement pomik u displacement pomik ιγραμμικοποίηση Bilinearna με idealization κράτυνση idealizacija Ελαστοπλαστική Elastoplastic Elastoplastična idealization διγραμμικοποίηση idealizacija Σχήμα 2.6 Διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ, σύμφωνα με τη μέθοδο Ν2. Στη μέθοδο Ν2, προτείνεται η αντικατάσταση της πραγματικής καμπύλης αντίστασης από μια διγραμμική με μηδενική κράτυνση του δεύτερου κλάδου (ελαστοπλαστικό μοντέλο). Αυτός ο τύπος διγραμμικής καμπύλης είναι κατάλληλος για μικρό αριθμό γεφυρών και για συγκεκριμένο τύπο (λ.χ. γέφυρες με δυνατότητα ελεύθερης εγκάρσιας μετακίνησης στα ακρόβαθρα). Για τους περισσότερους τύπους γεφυρών, η καμπύλη αντίστασης θα πρέπει να αντικαθίσταται από μια ιδεατή διγραμμική καμπύλη, στην οποία να λαμβάνεται υπόψη η κράτυνση του δεύτερου κλάδου μετά τη διαρροή του φορέα (βλ. σχήμα 2.6). Στον EC8 προτείνεται η καμπύλη αντίστασης να διγραμμικοποιείται με την προσέγγιση των ίσων ενεργειών. Η μορφή της διγραμμικοποιημένης καμπύλης αντίστασης εξαρτάται από τη μέγιστη μετακίνηση του σημείου ελέγχου, η οποία, αν η χάραξή της γίνει με βάση την στοχευόμενη μετακίνηση, δε μπορεί να είναι γνωστή πριν από την ανάλυση. Στην περίπτωση αυτήν, πρέπει να εφαρμόζεται ένας κύκλος επανάληψης για τον προσδιορισμό της μέγιστης μετακίνησης της καμπύλης αντίστασης και για την παραγωγή μιας ρεαλιστικής διγραμμικής καμπύλης. Στον EC8/1 οι κύκλοι επαναλήψεων είναι προαιρετικοί. Στο EC8/2(Αnnex H) προτείνεται να εκτιμάται η μέγιστη μετακίνηση της καμπύλης αντίστασης από τα αποτελέσματα της ελαστικής ιδιομορφικής ανάλυσης. Η λύση αυτή δείχνει να είναι πολύ πρακτική, ωστόσο απαιτεί μια κατάλληλη εκτίμηση της δρώσας δυσκαμψίας των βάθρων που να αντιστοιχεί στην συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Σε γέφυρες που στηρίζονται σε βάθρα με μεγάλες διαφορές στη δυσκαμψία και στην αντοχή, η διαδικασία αυτή απαιτεί κύκλους επαναλήψεων γιατί δεν είναι εφικτός ο προσδιορισμός της δρώσας δυσκαμψίας των βάθρων με επαρκή ακρίβεια. Το εν λόγω θέμα αποτελεί ένα από τα αντικείμενα έρευνας που εξετάζονται στην παρούσα διατριβή. Η μέθοδος Ν2, μπορεί να παράσχει πληροφορίες σχετικές με την αντοχή και την πλαστιμότητα της κατασκευής που δεν είναι δυνατόν να προκύψουν από μια ελαστική ανάλυση του φορέα. Επιπλέον, αναδεικνύει αδυναμίες στο σχεδιασμό της κατασκευής που δεν είναι φανερές στην ελαστική ανάλυση. Ωστόσο, πρέπει να επισημανθούν και οι περιορισμοί της μεθόδου. Η μέθοδος στηρίζεται σε δύο βασικές παραδοχές: (1) η 23

66 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα απόκριση της κατασκευής διέπεται μόνο από τη δεσπόζουσα ιδιομορφή του συστήματος και (2) η κυρίαρχη ιδιομορφή θεωρείται ότι παραμένει αμετάβλητη κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης, ανεξάρτητα από την έντασή της. Οι παραδοχές αυτές, απλοποιούν σε μεγάλο βαθμό την ανάλυση του φορέα, καθορίζουν ωστόσο τα όρια εφαρμογής της μεθόδου. Η μέθοδος μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένες εκτιμήσεις εάν εφαρμοστεί σε κατασκευές στις οποίες οι ανώτερες ιδιομορφές παίζουν σημαντικό ρόλο στην τελική απόκριση του φορέα. Λόγω της αδυναμίας της μεθόδου να λάβει υπόψη την επιρροή ανώτερων ιδιομορφών, μπορεί να μην εντοπιστεί κάποια αδυναμία που να οφείλεται στην αλλαγή των δυναμικών χαρακτηριστικών του φορέα μετά το σχηματισμό της πρώτης πλαστικής άρθρωσης. Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές εργασίες που αναφέρονται στα πλεονεκτήματα και στα μειονεκτήματα της συμβατικής Α.Σ.Α. σε σχέση με την Α.Δ.Α.. Οι Lawson et al. (1994) εφαρμόζουν την μέθοδο σε μεγάλο αριθμό δομικών συστημάτων, και μελετούν το πεδίο εφαρμογής της μεθόδου, την ακρίβεια των αποτελεσμάτων σε σχέση με την Α.Δ.Α., και επισημαίνουν τις δυσκολίες που συναντώνται κατά την εφαρμογή της. Ο Krawinkler (1995) τονίζει μεταξύ άλλων, την αδυναμία της συμβατικής ΑΣΑ να εντοπίζει κρίσιμες περιοχές του δομικού συστήματος, που ενεργοποιούνται από μεταβολές των ανελαστικών δυναμικών χαρακτηριστικών λόγω επιρροής των ανώτερων ιδιομορφών, οι οποίες είναι δυνατόν να οδηγήσουν το σύστημα σε αστοχία. Μια λεπτομερής ανάλυση του θέματος αυτού γίνεται στην εργασία των Krawinkler & Seneviratna (1998), οι οποίοι μέσα από αναλύσεις μεγάλου αριθμού κτιριακών κατασκευών, παρατήρησαν ότι οι περιορισμοί της μεθόδου γίνονται εμφανείς όσο αυξάνεται η ένταση της σεισμικής διέγερσης και όσο αυξάνεται η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στην τελική απόκριση του συστήματος. Δίνουν έμφαση στο γεγονός ότι η Α.Σ.Α., ως προσεγγιστική μέθοδος, βασίζεται στην στατική φόρτιση. Ως εκ τούτου δεν μπορεί να εκφράζει δυναμικά φαινόμενα με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Αποδεικνύουν ότι περιορισμοί της μεθόδου προέρχονται και από την κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης, όπου ανάλογα με την κατανομή της φόρτισης είναι δυνατόν να ενεργοποιούνται συγκεκριμένες ιδιομορφικές παραμορφώσεις του φορέα, και να μην εκδηλώνονται άλλες που να ενεργοποιούνται και μεγεθύνονται κατά τη σεισμική διέγερση βάσει των πραγματικών ανελαστικών δυναμικών χαρακτηριστικών της κατασκευής. Τονίζουν ότι για αξιόπιστα αποτελέσματα, θα πρέπει να λαμβάνεται ιδιαίτερη μέριμνα κατά την αντικατάσταση του πολυβάθμιου συστήματος από το ΙΜΣ, ενσωματώνοντας στην προβλεπόμενη στοχευόμενη μετακίνηση του ΙΜΣ όλα τα σημαντικά χαρακτηριστικά της εδαφικής κίνησης και της πραγματικής απόκρισης της κατασκευής που επηρεάζουν την τιμή της μετακίνησης του πολυβάθμιου συστήματος. Διερεύνηση της σχέσης ανάμεσα στο πολυβάθμιο και μονοβάθμιο σύστημα γίνεται και στην εργασία των Gupta και Krawinkler (2000). Οι Isakovic et al. (2003) ανέλυσαν έναν μεγάλο αριθμό γεφυρών από Ο/Σ, με διαφορετικά γεωμετρικά και δυναμικά χαρακτηριστικά, στην προσπάθειά τους να προσδιορίσουν κριτήρια μη- κανονικότητας για φορείς γεφυρών, βάσει των οποίων να κρίνεται εάν επιτρέπεται ή όχι η εφαρμογή της μεθόδου Ν2 στην υπό εξέταση γέφυρα, ώστε να αποφεύγονται ανακριβείς εκτιμήσεις και λανθασμένες αποτιμήσεις των φορέων. Μέσω των αναλύσεων που πραγματοποίησαν, έδειξαν ότι το κριτήριο κανονικότητας για τις γέφυρες, που προτείνει ο EC8/2, το οποίο αναφέρεται στην εκκεντρότητα του φορέα (σύμφωνα με το οποίο αν η διαφορά ανάμεσα στο κέντρο μάζας και στο κέντρο δυσκαμψίας του φορέα είναι μικρότερη από 5% τότε η γέφυρα χαρακτηρίζεται κανονική 24

67 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα και επιτρέπεται η εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης με χρήση μιας ιδιομορφής, όπως είναι η μέθοδος Ν2), δεν καλύπτει όλους τους τύπους γεφυρών. Προτείνουν τη χρήση ενός δείκτη κανονικότητας (Regularity Index- RI), ο οποίος εξαρτάται από τη σχετική δυσκαμψία των μεσοβάθρων και του καταστρώματος. Συγκεκριμένα, ορίζεται από τη διαφορά ανάμεσα στις μετακινήσεις του καταστρώματος που προκύπτουν από τον πρώτο και το δεύτερο κύκλο ανάλυσης του φορέα με τη μέθοδο Ν2. Στον πρώτο κύκλο ανάλυσης η γέφυρα, ανάλογα με τις συνθήκες στήριξης του καταστρώματος στα ακρόβαθρα, φορτίζεται είτε με ομοιόμορφη κατανομή είτε με παραβολική κατανομή φόρτισης και οι προκύπτουσες μετακινήσεις χρησιμοποιούνται για να ορίσουν την κατανομή φόρτισης που εφαρμόζεται στο φορέα στο δεύτερο κύκλο φόρτισης. Εάν η διαφορά των παραμορφώσεων του καταστρώματος ανάμεσα στους δύο κύκλους φόρτισης είναι μικρή (μικρότερη από 5%) τότε ο φορέας χαρακτηρίζεται κανονικός και επιτρέπεται η εφαρμογή της μεθόδου Ν2. Σε αντίθετη περίπτωση, ο φορέας χαρακτηρίζεται μη-κανονικός. Τέλος, συνδέουν το πεδίο εφαρμογής της ΑΣΑ με παραμέτρους που επηρεάζουν την κανονικότητα της κατασκευής, όπως είναι: (i) ο λόγος της δυσκαμψίας του καταστρώματος προς τη δυσκαμψία των βάθρων, (ii) η εκκεντρότητα, (iii) ο λόγος ανάμεσα στη δυστρεψία και στη δυσκαμψία του φορέα, (iv) ο τρόπος σύνδεσης του καταστρώματος με τα ακρόβαθρα και (v) η κατανομή της αντοχής των βάθρων κατά μήκος του φορέα. Προτάσεις για τον ορισμό κατάλληλων δεικτών κανονικότητας γεφυρών με βάση τα χαρακτηριστικά των ιδιομορφών, έχουν γίνει και από τους Calvi et al. (1994a,b), Dwairi & Kowalsky (2006), Maalek et al. (2009), Akbari & Maalek (2010). Οι Fischinger et al. (2004), αναφέρουν ότι η ΑΣΑ δεν πρέπει να εφαρμόζεται χωρίς περιορισμούς σε κατασκευές και κυρίως σε φορείς γεφυρών, όπου λόγω των ιδιαιτεροτήτων του δομικού τους συστήματος: (i) η ανωδομή μπορεί να είναι αρκετά εύκαμπτη εντός επιπέδου και ως εκ τούτου μπορεί να ενεργοποιηθούν ανώτερες ιδιομορφές ανάλογα με τη στιγμιαία δυσκαμψία των βάθρων, (ii) υπάρχει περίπτωση να αναπτυχθούν ισχυρές στρεπτικές ιδιομορφές κατά την ταλάντωση της γέφυρας. Συμπέρασμα όπου φαίνεται να καταλήγουν όλοι είναι ότι η μέθοδος Ν2, αποτελεί ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τη σεισμική αποτίμηση των κτιριακών φορέων και των γεφυρών, υπό την βασική προϋπόθεση ότι η απόκριση του συστήματος επηρεάζεται κατά βάση από την κυρίαρχη ιδιομορφή ταλάντωσης Μικροαυξητική Φασματική Ανάλυση, λαμβάνοντας υπόψη την κυρίαρχη ιδιομορφή του συστήματος. Η Μικροαυξητική Φασματική Ανάλυση με βάση την κυρίαρχη ιδιομορφή του συστήματος αναπτύχθηκε από τον Aydınoğlu (2005), και αποτελεί μια απλοποιημένη παραλλαγή της πιο σύνθετης μεθόδου που αναπτύχθηκε από τον ίδιο ερευνητή, την Μικροαυξητική Φασματική μέθοδο ανάλυσης με βάση τις σημαντικότερες ιδιομορφές του φορέα (βλ ). Η μέθοδος αυτή αποτελεί μια παραλλαγή της ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης, λαμβάνοντας υπόψη μόνο την κυρίαρχη ιδιομορφή του συστήματος, η οποία μπορεί να αποδειχθεί ελκυστική για φορείς γεφυρών, διότι επιχειρεί να δώσει λύση στο πιο κρίσιμο πρόβλημα που προκύπτει από την εφαρμογή της ΑΣΑ σε γέφυρες, ήτοι η επιλογή του σημείου ελέγχου. Αυτό το πρόβλημα ουσιαστικά προκύπτει από την υιοθέτηση της σταθερής κατανομής φόρτισης στην Α.Σ.Α.. Στην εν λόγω μέθοδο, 25

68 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα η χάραξη της καμπύλης αντίστασης του φορέα μπορεί να αποφευχθεί διότι η μέθοδος καταλήγει απευθείας στην καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης (Aydınoğlu 2005, Aydınoğlu & Önem, 2010). Η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, χαράσσεται απευθείας σε όρους S a S d, χωρίς να απαιτείται η καμπύλη αντίστασης του φορέα σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου. Επομένως, εξαλείφεται με τον τρόπο αυτόν, το πρόβλημα εντοπισμού του καταλληλότερου σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. Η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ χαράσσεται σε κοινό διάγραμμα με το ανελαστικό φάσμα απαίτησης, για την εκτίμηση της απαιτούμενης μετακίνησης του συστήματος για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση. Ως μια πιο απλή εναλλακτική μέθοδος ανάλυσης, με χαρακτηριστικά ίδια με αυτά της Μικροαυξητικής Φασματικής, αναπτύχθηκε η μικροαυξητική Ν2 μέθοδος (Incremental N2, IN2) από τους Dolšek & Fajfar (2004). Στόχος της μεθόδου αποτελεί η χάραξη της IN2 καμπύλης του φορέα σε όρους φασματικής επιτάχυνσης και μετακίνησης του σημείου κορυφής. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν και άλλα μεγέθη που υπολογίζονται μέσω της μετακίνησης του σημείου ελέγχου για τη χάραξη της καμπύλης. Κάθε σημείο της IN2 καμπύλης υπολογίζεται μέσω της μεθόδου Ν2. Στο σχήμα (2.7) παρουσιάζεται η χάραξη της IN2 καμπύλης. Η μέθοδος εφαρμόστηκε σε κτιριακούς φορείς και οδήγησε σε ικανοποιητικά αποτελέσματα σε σχέση με την αντίστοιχη ακριβέστερη μικροαυξητική δυναμική καμπύλη, η οποία χαράσσεται μέσω της μικροαυξητικής δυναμικής ανάλυσης (Incremental Dynamic Analysis, IDA) των Vamvatsikos & Cornell (2002). S ae,2 Acceleration S ae,1 S de,1 S de,2 S d,1 S d,2 Displacement Σχήμα 2.7 Χάραξη της ΙΝ2 καμπύλης (Dolšek & Fajfar, 2004). 2.3 Ανελαστική Στατική Ανάλυση λαμβάνοντας υπόψη ανώτερες ιδιομορφές της κατασκευής. Οι μέθοδοι αυτής της κατηγορίας αναπτύχθηκαν κυρίως για να άρουν τη βασική αδυναμία της ΑΣΑ να λαμβάνει υπόψη τις ανώτερες ιδιομορφές του συστήματος, με τελικό στόχο να διευρυνθούν τα όρια εφαρμογής των ανελαστικών στατικών αναλύσεων. Επιπλέον, σε κάποιες από τις μεθόδους της κατηγορίας αυτής λαμβάνεται υπόψη η 26

69 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα αναπροσαρμογή των επιβαλλόμενων δυνάμεων ανάλογα με την παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα και την ένταση της σεισμικής διέγερσης. Οι περισσότερες από τις μεθόδους, αποσκοπούν κυρίως στην εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης και δεν περιορίζονται μόνο στην παραγωγή της καμπύλης αντίστασης της κατασκευής. Εξ ορισμού, οποιαδήποτε πολυ-ιδιομορφική μέθοδος εξαρτάται από τον στατιστικό κανόνα με τον οποίο συνδυάζονται οι επιμέρους ιδιομορφές. Ο λόγος για τον οποίο κανένας από τους κανόνες επαλληλίας που χρησιμοποιείται δεν μπορεί να αποδειχθεί από θεωρητικής απόψεως σωστός, είναι γιατί οι πολυ-ιδιομορφικές ΑΣΑ, εκτιμούν μέγιστες τιμές μεγεθών, τα οποία ενώ δεν λαμβάνουν χώρα ταυτόχρονα, επαλληλίζονται σε κάθε βήμα ανάλυσης. Η σπουδαιότητα και η επιρροή των διαφορετικών συνδυαστικών κανόνων επαλληλίας, αναγνωρίστηκε αρχικά από τον Reinhorn και τους συνεργάτες του (DeRue, 1998), οι οποίοι ανέπτυξαν μια πολυ-ιδιομορφική μέθοδο στην οποία λαμβάνεται υπόψη τόσο η μεταβολή των ανώτερων ιδιομορφών όσο και η διαφορετική συμμετοχή τους στην τελική απόκριση της κατασκευής όσο μεταβάλλεται και αυξάνεται ο βαθμός πλαστικοποίησης της (βλ ). Οι Matsumori et al. (1999) ανέπτυξαν έναν διαφορετικό τρόπο συνδυασμού των ανώτερων ιδιομορφών, σύμφωνα με τον οποίο λαμβάνονται υπόψη οι δύο πρώτες ιδιομορφές της κατασκευής, από τις οποίες καθορίζονται δύο διαφορετικές κατανομές φόρτισης, που προκύπτουν από το άθροισμα και τη διαφορά των δύο ιδιομορφών. Η εν λόγω μεθοδολογία εφαρμόστηκε σε δύο τύπους κτιρίων και οδήγησε σε ικανοποιητικά αποτελέσματα σε σχέση με αυτά της αντίστοιχης ΑΔΑ. Ο Kunnath (2004), πρότεινε την εφαρμογή ανεξάρτητων ΑΣΑ, όπου η κατανομή φόρτισης για κάθε ανάλυση προκύπτει από την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων σύμφωνα με την εξίσωση (2.27). Προτείνει να χρησιμοποιούνται έως τρεις ιδιομορφές, για την εκτίμηση της κατανομής των επιβαλλόμενων δυνάμεων, ενώ ως τελικά μεγέθη απόκρισης λαμβάνονται οι μέγιστες τιμές αυτών που προκύπτουν από κάθε ΑΣΑ, ήτοι χρησιμοποιείται μια περιβάλλουσα των μέγιστων τιμών απόκρισης από κάθε ανάλυση. Η μέθοδος εφαρμόστηκε σε πλαισιακούς φορείς, για την εκτίμηση σχετικών μετατοπίσεων των ορόφων ενώ η ακρίβεια της μεθόδου ελέγχθηκε μέσω των αντίστοιχων δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων. Προέκυψε ότι η εν λόγω μέθοδος μπορεί να εκτιμήσει με μεγαλύτερη ακρίβεια τις σχετικές μετατοπίσεις των ορόφων σε σχέση με την συμβατική ΑΣΑ, η ακρίβειά της όμως εξαρτάται από τον συντελεστή α n με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη το ποσοστό επιρροής κάθε ιδιομορφής. Fi 1 1 1iS a( 1,T) iS a( 2,T 2) 3 3 3iS a( 3,T 3) m m m (2.27) όπου F i είναι η δύναμη που εφαρμόζεται στον όροφο i, και α n ένας συντελεστής που καθορίζει το ποσοστό συμμετοχής κάθε ιδιομορφής κατά την επαλληλία. Οι Isakovic & Fischinger (2005, 2006) επιπλέον των γνωστών συνδυαστικών κανόνων ιδιομορφών, ήτοι τους SRSS και CQC, εξέτασαν τη δυνατότητα επαλληλίας των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης με άθροισμα των απολύτων τιμών αυτών σε φορέα μηκανονικής γέφυρας. Από τις αναλύσεις που έκαναν προέκυψε ότι η επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης με τον τρόπο αυτόν μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερα αποτελέσματα σε σχέση με αυτά που προκύπτουν με τη χρήση των συνδυαστικών κανόνων επαλληλίας SRSS και CQC. 27

70 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση. Η Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση (ΙΑΣΑ) (Modal Pushover Analysis- MPA) είναι μια μέθοδος, η οποία βασίζεται στην επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης, σε αντιδιαστολή με την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων που χρησιμοποιήθηκε σε άλλες εργασίες (Antoniou & Pinho 2004). Η αρχική ιδέα της μεθόδου παρουσιάστηκε από τους Paret et al. (1996) και Sasaki et al. (1998), σύμφωνα με την οποία διεξάγονται ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις όπου η κατανομή φόρτισης για κάθε ανάλυση είναι ανάλογη προς την αντίστοιχη ιδιομορφή της κατασκευής. Χρησιμοποιούνται οι σημαντικότερες ιδιομορφές ανά διεύθυνση ανάλυσης. Οι ανεξάρτητες καμπύλες αντίστασης του φορέα εκφρασμένες σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση, μετατρέπονται σε καμπύλες αντίστασης των αντίστοιχων ΙΜΣ, εκφρασμένες σε όρους ψευδο-επιτάχυνσης προς μετακίνηση του αντίστοιχου ΙΜΣ και με τη μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος (Freeman et al. 1975) συγκρίνεται η ικανότητα της κατασκευής με τη σεισμική απαίτηση για κάθε ιδιομορφή. Στόχος της μεθόδου είναι να εντοπίσει τις σημαντικές ιδιομορφές και τα σημεία αστοχίας της κατασκευής. Ωστόσο, η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών δεν μπορεί εύκολα να ποσοτικοποιηθεί, λόγω της αδυναμίας της μεθόδου να εκτιμήσει με αξιοπιστία την συνολική απόκριση της κατασκευής συνδυάζοντας τις σημαντικότερες ιδιομορφές. Λίγα χρόνια αργότερα η μέθοδος ολοκληρώθηκε και βελτιώθηκε από τους Chopra & Goel (2002, 2004) και Chintanapakdee & Chopra (2003). Η ΙΑΣΑ αναπτύχθηκε βάσει των αρχών της δυναμικής των κατασκευών και αναφέρεται αποκλειστικά σε κτιριακούς φορείς (με ελαστική ή/και ανελαστική συμπεριφορά), η απόκριση των οποίων δεν καθορίζεται αποκλειστικά από την θεμελιώδη ιδιομορφή, αλλά επηρεάζεται ουσιωδώς και από τις ανώτερες ιδιομορφές. Στη συνέχεια παρουσιάζονται συνοπτικά τα βασικά σημεία της μεθοδολογίας που αναφέρονται σε κτιριακές κατασκευές με ανελαστική απόκριση. Βήμα 1 ο : Εφαρμόζεται ιδιομορφική ελαστική ανάλυση για τον υπολογισμό των δυναμικών χαρακτηριστικών της κατασκευής, ήτοι οι ιδιοσυχνότητες, ω n και τα αντίστοιχα ιδιομορφικά διανύσματα μετακινήσεων, n, για κάθε διεύθυνση ανάλυσης (διαμήκη, εγκάρσια). Προσδιορίζεται ο απαιτούμενος αριθμός των σημαντικών ιδιομορφών που θα χρησιμοποιηθούν στην εφαρμογή της μεθοδολογίας. Οι σύγχρονοι κανονισμοί (ΥπΥποΜεΔι 2012, CEN 2004), προτείνουν να λαμβάνονται ως σημαντικές οι ιδιομορφές που απαιτούνται για την ενεργοποίηση του 90% της συνολικής μάζας του φορέα για κάθε διεύθυνση ανάλυσης. Βήμα 2 ο : Διεξάγονται n (n=1, 2, 3,, Ν) ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις με κατανομή φόρτισης που ορίζεται από το γινόμενο του μητρώου της μάζας της κατασκευής επί το διάνυσμα των ελαστικών ιδιομορφικών μετακινήσεων για τη n-οστή ιδιομορφή. Τα φαινόμενα δευτέρας τάξης λαμβάνονται υπόψη (Goel & Chopra, 2004). Για κάθε ΑΣΑ, χαράσσεται η καμπύλη αντίστασης του φορέα σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου (V bn -u cn ). Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανονισμούς (ΥπΥποΜεΔι 2012, CEN 2004), προτείνεται να λαμβάνεται ως σημείο ελέγχου το κέντρο μάζας του ανώτερου (πλήρους) ορόφου του κτιρίου. Βήμα 3 ο : Η καμπύλη αντίστασης του φορέα αντικαθίσταται από μια ιδεατή διγραμμική καμπύλη, σύμφωνα με το σχήμα 2.8(a), η οποία στη συνέχεια μετατρέπεται σε καμπύλη 28

71 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα αντίστασης του ΙΜΣ σε όρους F sn/ln Dn (βλ. σχήμα 2.8(b)), σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.28) και (2.29). Fsny Vbny Ln M* n (2.28) u cny Dn (2.29) n cn όπου ο όρος M* n L n n είναι η δρώσα ενεργή μάζα (Chopra, 2001). Οι εξισώσεις (2.28) και (2.29) συνδέονται μεταξύ τους με τη σχέση (2.30), μέσω της οποίας προκύπτει ότι η κλίση του πρώτου κλάδου του διαγράμματος του σχήματος 2.8(b) ισούται με. 2 n F L sny 2 n D ny n (2.30) V b,n F sn /L n διγραμμική V bny 1 α nk n πραγματική V bny /M n * 1 α n ω n 2 1 k n 1 ω n 2 u cny u cn D ny =u cny /(Γ n φ cn ) D n (a) ιγραμμική καμπύλη αντίστασης (b) Σχέση F sn /L n -D n Σχήμα 2.8 Ιδιότητες του ανελαστικού ΙΜΣ της n-οστής ιδιομορφής: (a) αντικατάσταση της n-οστής καμπύλης αντίστασης της κατασκευής με μια ιδεατή διγραμμική και (b) καμπύλη αντίστασης του ανελαστικού ΙΜΣ για τη n-οστή ιδιομορφή. Βήμα 4 ο : Υπολογίζεται η στοχευόμενη μετακίνηση του ανελαστικού ΙΜΣ, D n, για τη n- οστή ιδιομορφή του συστήματος και για την υπό εξέταση σεισμική διέγερση, είτε επιλύνοντας την διαφορική εξίσωση κίνησης (βλ. εξίσωση (2.31) ή μέσω του ανελαστικού φάσματος απόκρισης (βλ. 2.2). F D 2 D u (t) (2.31) sn n n n n g Ln όπου, F F (D,signD ) f (D,signD ) (2.32) T sn sn n n n s n n 29

72 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Βήμα 5 ο : Υπολογίζεται η μέγιστη τιμή μετακίνησης του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων του κτιρίου, u cno, συναρτήσει της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ, του συντελεστή συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής και της τιμής cn, που είναι η συντεταγμένη του n-οστού ιδιομορφικού διανύσματος που αντιστοιχεί στο σημείο ελέγχου c. Βήμα 6 ο : Λαμβάνονται από κάθε Α.Σ.Α. τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης, r no, της κατασκευής που αντιστοιχούν στην τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης u cno. Βήμα 7 ο : Επαναλαμβάνονται τα βήματα από 2 έως 6 για όλες τις σημαντικές ιδιομορφές της κατασκευής. Βήμα 8 ο : Τα τελικά μεγέθη απόκρισης υπολογίζονται με επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης είτε με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (Square Root of Sum of Squares- SSRS), σύμφωνα με την εξίσωση (2.33), ή με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (Complete Quadratic Combination- CQC) (βλ. εξίσωση 2.34) r o ( rno)2 n r o ( ijrior jo) i j (2.33) (2.34) όπου, ε ij είναι ο συντελεστής συσχέτισης των δύο συνεχόμενων ιδιομορφών i και j (κατά τη διεύθυνση ανάλυσης του κτιρίου). Για τις ασυσχέτιστες ιδιομορφές λαμβάνεται ε 0, οπότε οι δύο κανόνες επαλληλίας ταυτίζονται. Δύο ιδιομορφές i και j, με ij ιδιοπεριόδους σχέση T i και T j αντίστοιχα (όπου Τ i >T j ), θεωρούνται ασυσχέτιστες όταν ισχύει η Ti 1 0,1 T (2.35) j Η ΙΑΣΑ βασίζεται σε τρεις παραδοχές. Η πρώτη παραδοχή αφορά στη σύζευξη των ιδιομορφών του συστήματος, η οποία δεν λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάλυση του φορέα. Θεωρείται ότι η επιρροή των ιδιομορφών εκτός της n-οστής στην απόκριση του συστήματος για τη n-οστή ιδιομορφική φόρτιση είναι μηδενική, ακόμα και μετά τη διαρροή του φορέα. Η δεύτερη παραδοχή αφορά στην επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών για τον υπολογισμό του τελικού μεγέθους απόκρισης, η οποία ισχύει μόνο σε συστήματα με ελαστική απόκριση. Για κατασκευές με ανελαστική απόκριση, η επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών δεν ισχύει λόγω της σύζευξης των ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα, μετά τη διαρροή του συστήματος. Η τρίτη βασική παραδοχή που υιοθετείται στην ΙΑΣΑ αφορά στην αντικατάσταση του πολυβάθμιου συστήματος με το ανελαστικό ΙΜΣ καθώς και την υποχρεωτική διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης, για τον ορισμό των απαραίτητων μεγεθών για τη διαδικασία διγραμμικοποίησης, όπως η ιδιοπερίοδος στην ελαστική περιοχή, και ο δείκτης πλαστιμότητας. Από την εφαρμογή της μεθόδου σε έξι κανονικά κτίρια (Goel & Chopra, 2004) και σε 108 επίπεδα πλαίσια (Chintanapakdee & Chopra, 2003) αποδεικνύεται ότι η μέθοδος οδηγεί σε πιο αξιόπιστες τιμές της σεισμικής απαίτησης σε σχέση με την συμβατική 30

73 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Α.Σ.Α. που προτείνεται στα εγχειρίδια FEMA-273 και FEMA-356 συγκρίνοντας, για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, τα αποτελέσματα με τα αντίστοιχα της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης χρονοϊστορίας. Προτάσεις για την επέκταση της μεθοδολογίας σε κτίρια μη- συμμετρικά σε κάτοψη έγιναν από τους Chopra & Goel (2004) και για μηκανονικά καθ ύψος πλαίσια από τους Chintanapakdee & Chopra (2004). Την ίδια περίοδο και από τους ίδιους μελετητές (Chopra et al., 2004) προτείνεται μια ελαφρώς τροποποιημένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία η σεισμική απαίτηση των ανώτερων ιδιομορφών υπολογίζεται ως ελαστική. Η πρόταση αυτή έγινε τόσο για λόγους απλοποίησης της διαδικασίας εκτίμησης της σεισμικής απαίτησης ώστε να μειωθεί ο υπολογιστικός χρόνος όσο και ως λύση στις περιπτώσεις των κατασκευών στις οποίες εμφανίζονται καμπύλες αντίστασης των ανώτερων ιδιομορφών με αλλαγή της φοράς της μετακίνησης μετά τη διαρροή του φορέα (Goel & Chopra, 2005b). Προσπάθειες εφαρμογής της μεθόδου σε φορείς πραγματικών γεφυρών έγιναν αρχικά από τους Kappos et al. (2004, 2005) και Paraskeva et al. (2006), ενώ σχεδόν ταυτόχρονα η ομάδα του Πανεπιστημίου της Λουμπλιάνας (Isakovic et al. 2006) εφάρμοσε την ΙΑΣΑ σε μοντέλα μη- πραγματικών γεφυρών, ταυτόχρονα με άλλες εξελιγμένες ΑΣΑ, σε μια προσπάθεια να εντοπίσει τις αδυναμίες των μεθοδολογιών που προκύπτουν, όταν αυτές εφαρμόζονται σε γέφυρες. Οι Mao et al. (2008), προτείνουν μια βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία διορθώνουν την επιβαλλόμενη φόρτιση με βάση την παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα μόνο όμως για την πρώτη ιδιομορφή, ενώ για τις ανώτερες ιδιομορφές η μεθοδολογία της ΙΑΣΑ εφαρμόζεται σύμφωνα με την αρχική της έκδοση. Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται σε κτιριακούς φορείς δίνοντας ικανοποιητικά αποτελέσματα σε σχέση με την Α.Δ.Α. Λίγο αργότερα, οι Kwak & Shin (2009) προτείνουν μια παραλλαγή της ΙΑΣΑ για εφαρμογή της σε γέφυρες, κατά την οποία υιοθετείται ένας σταθερός συντελεστής για την κλίση της καμπύλης αντίστασης μετά τη διαρροή για όλες τις ιδιομορφές. Παράλληλα, θεωρείται ότι οι μετακινήσεις των βάθρων μετά τη διαρροή θα συνεχίσουν να αυξάνονται ανάλογα με την αύξηση της στάθμης της σεισμικής διέγερσης, με την ίδια αναλογία όπως στην ελαστική απόκριση, δηλαδή οι ανελαστικές μετακινήσεων των βάθρων διορθώνονται ως προς τις αντίστοιχες ελαστικές μετακινήσεις. Με τον τρόπο αυτόν, οι Kwak & Shin προσπαθούν να βελτιώσουν από θεωρητική άποψη, την παραδοχή της ΙΑΣΑ για τις ασύζευκτες ιδιομορφές. Οι Moghadam & Tso (2000), παρουσίασαν μια παρόμοια ιδιομορφική ανελαστική στατική ανάλυση, κατά την οποία, διεξάγονται ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις με κατανομές φορτίσεων ανάλογες προς τις σημαντικότερες ιδιομορφές της κατασκευής. Οι ιδιομορφές που λαμβάνονται ως οι σημαντικότερες έχουν προεπιλεγεί και συνήθως χρησιμοποιούνται οι πρώτες τρεις ή τέσσερις ιδιομορφές. Η τελική απόκριση της κατασκευής εκτιμάται με κατάλληλο συνδυαστικό κανόνα των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης, κατά τον οποίον τα ιδιομορφικά μεγέθη λαμβάνονται με διαφορετικά βάρη ανάλογα με τον αντίστοιχο συντελεστή συμμετοχής τους. Πρόσφατα, οι Camara & Astiz (2012), χρησιμοποίησαν την ΙΑΣΑ των Chopra & Goel (2002), για να προτείνουν δύο επεκτάσεις της μεθόδου, οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή σε μη κανονικά κτίρια και σε γέφυρες με έντονο το φαινόμενο της σύζευξης των ιδιομορφών. Σύμφωνα με την πρώτη πρόταση, χρησιμοποιούνται ταυτόχρονα οι τρεις συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης για τον ορισμό της επιβαλλόμενης φόρτισης σε τρισδιάστατο μοντέλο ανάλυσης. Τα μητρώα των μεγεθών που χρησιμοποιούνται κατά τη διεξαγωγή των Α.Σ.Α., ήτοι το μητρώο μάζας, μητρώα ιδιομορφών, μετακινήσεων, κ.ά., ορίζονται με βάση τους τρεις κύριους άξονες ανάλυσης, Χ,Y,Z. Όμως, κατά τη διεξαγωγή 31

74 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα των ανεξάρτητων Α.Σ.Α., οι ιδιομορφές της κατασκευής θεωρούνται ασύζευκτες, όπως ισχύει στην ΙΑΣΑ. Σύμφωνα με τη δεύτερη πρόταση, διεξάγεται μια μόνο Α.Σ.Α. κατά την οποία λαμβάνεται υπόψη με κατάλληλο συνδυαστικό κανόνα, η σύζευξη των κυρίαρχων ιδιομορφών της διαμήκους και της εγκάρσιας διεύθυνσης ανάλυσης. Οι δύο προτεινόμενες μεθοδολογίες, εφαρμόζονται με ικανοποιητικά αποτελέσματα σε μοντέλα καλωδιωτών γεφυρών, λόγω της έντονης σύζευξης των ιδιομορφών που παρατηρείται σε γέφυρες αυτού του τύπου. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η μεθοδολογία που αναπτύχθηκε από τους Manouka et al (2008) και Μανούκα (2010), κατά την οποία διεξάγονται ταυτόχρονα ιδιομορφικές Α.Σ.Α., με επιβολή εξωτερικών δυνάμεων, με βασική διαφορά σε σχέση με τις προαναφερόμενες μεθοδολογίες, ότι το ΙΜΣ που χρησιμοποιείται, προσδιορίζεται βάσει ενεργειακών κριτηρίων, και για το λόγο αυτόν η εν λόγω μεθοδολογία ανήκει στην οικογένεια των ενεργειακών μεθόδων. Η λογική της εδράζεται στην αντίληψη ότι το έργο των εξωτερικών φορτίων που επιβάλλονται στο πολυβάθμιο προσομοίωμα ενός φορέα είναι, συγκριτικά με την τέμνουσα βάσης, ένας πιο αντιπροσωπευτικός δείκτης της ανελαστικής συμπεριφοράς, καθώς εξαρτάται από όλες τις συνιστώσες της φόρτισης και από το σύνολο των μετακινήσεων των βαθμών ελευθερίας. Η εξίσωση του παραπάνω έργου με την ενέργεια παραμόρφωσης του ΙΜΣ αξιοποιείται για τον υπολογισμό των ιδιοτήτων του τελευταίου, μέσω του οποίου υπολογίζεται μια τροποποιημένη δύναμη επαναφοράς του ΙΜΣ. Έτσι, προκύπτει μια νέα καμπύλη αντίστασης που είναι συμβατή με το διάγραμμα ενέργειας παραμόρφωσης μετακίνησης του ΙΜΣ, η οποία χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης του φορέα. Η εν λόγω μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί σε κανονικά και μη κανονικά επίπεδα και χωρικά συστήματα υπό μονοαξονική ή διαξονική οριζόντια σεισμική διέγερση, και οδηγεί σε βελτιωμένα αποτελέσματα σε σχέση με τη συμβατική ΑΣΑ. Βασικό αντικείμενο της παρούσας διατριβής αποτελεί η εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε φορείς πραγματικών γεφυρών, ο εντοπισμός των αδυναμιών της και των κρίσιμων σημείων, καθώς και η βελτίωση της μεθοδολογίας, ώστε η εφαρμογή της σε διαφορετικούς τύπους γεφυρών να οδηγεί σε αξιόπιστα αποτελέσματα Μικροαυξητική Φασματική Ανάλυση. Η Μικροαυξητική Φασματική Μέθοδος Ανάλυσης (Incremental Response Spectrum Analysis - IRSA) είναι μια πολυ-ιδιομορφική Α.Σ.Α. με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης, η οποία αναπτύχθηκε στις αρχές τις περασμένης δεκαετίας, από τον Aydınoğlu (2003, 2004). Στην εν λόγω μέθοδο, διεξάγονται ταυτόχρονα οι ιδιομορφικές Α.Σ.Α., με την επιβολή μικροαυξήσεων των μετακινήσεων ή δυνάμεων σε κάθε βήμα ανάλυσης. Παράλληλα, οι ιδιομορφικές μετακινήσεις διορθώνονται με βάση τις ανελαστικές φασματικές μετακινήσεις που αντιστοιχούν στην στιγμιαία παραμόρφωση της κατασκευής. Η διόρθωση των ιδιομορφικών μετακινήσεων για φορείς με τιμές ιδιοπεριόδου μεγαλύτερες από την χαρακτηριστική ιδιοπερίοδο, μπορεί να γίνει μέσω των ελαστικών φασματικών μετακινήσεων του φορέα, με την προσέγγιση των ίσων μετακινήσεων. Η απόκριση της κατασκευής μελετάται τμηματικά και γίνεται η παραδοχή ότι σε κάθε τμήμα (βήμα) της ανάλυσης το σύστημα συμπεριφέρεται ελαστικά. Το κάθε βήμα ανάλυσης ορίζεται από το σχηματισμό δύο διαδοχικών πλαστικών αρθρώσεων του φορέα, δηλαδή ο σχηματισμός μιας άρθρωσης σηματοδοτεί την αρχή ενός βήματος 32

75 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα ανάλυσης το οποίο σταματά με το σχηματισμό της αμέσως επόμενης πλαστικής άρθρωσης. Αρχικά η Μικροαυξητική Φασματική Ανάλυση αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε σε κτιριακούς φορείς, ενώ εφαρμογές της μεθόδου σε φορείς γεφυρών παρουσιάστηκαν σε μελέτες του Aydınoğlu (2004), των Aydınoğlu & Önem (2009), των Isakovic & Fischinger (2006, 2011), και των Isakovic et al. (2008). Τα βασικά σημεία της Μικροαυξητικής Φασματικής Ανάλυσης, όπως αναπτύχθηκε από τον Aydınoğlu (2003, 2004), περιγράφονται στη συνέχεια. Βήμα 1 ο : Διεξάγονται οι ιδιομορφικές ΑΣΑ ταυτόχρονα για όλες τις επιλεγείσες ιδιομορφές, με την επιβολή μικροαυξήσεων δυνάμεων σε κάθε βήμα ανάλυσης. Για το βήμα (k), για το οποίο η απόκριση του συστήματος θεωρείται ελαστική, η μικροαύξηση των ισοδύναμων (k) n σεισμικών φορτίσεων Δ f, και η αντίστοιχη μικροαύξηση των μετακινήσεων, ορίζονται από τις εξισώσεις (2.36) και (2.37) αντίστοιχα. (k) (k) (k) (k) n n n an (k) (k) (k) (k) n n n n (k) n Δ u, Δ f = M Γ ΔS (2.36) Δ u = Γ Δd (2.37) (k) n όπου M είναι το μητρώο μάζας, είναι το στιγμιαίο ιδιομορφικό διάνυσμα της n-οστής (k) ιδιομορφής στο βήμα (k) και Γ n είναι ο συντελεστής συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής στο βήμα (k) για την υπό εξέταση διεύθυνση ανάλυσης του φορέα. Οι όροι (k) (k) ΔSan στην εξίσωση (2.36) και Δd n στην εξίσωση (2.37), εκφράζουν τη μεταβολή της φασματικής ψευδο-επιτάχυνσης της n-οστής ιδιομορφής και τη μεταβολή της μετακίνησης της n-οστής ιδιομορφής, αντίστοιχα, για το βήμα (k) της ανάλυσης και συνδέονται μέσω της εξίσωσης (2.38). (k) (k) 2 (k) an n n S = (ω ) d (2.38) Οι μικρομεταβολές των σεισμικών φορτίων που ορίζονται από την εξίσωση (2.36) οδηγούν πάντα σε αυξητικές μεταβολές των ιδιομορφικών μετακινήσεων, οι οποίες ορίζονται από την εξίσωση (2.37). Ως εκ τούτου, η εν λόγω μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί τόσο με επιβαλλόμενες δυνάμεις (force-controlled methods) όσο και με επιβαλλόμενες μετακινήσεις/ καταναγκασμούς (performance based methods). Οι τιμές των ιδιομορφικών μετακινήσεων και των ψευδο-επιταχύνσεων στο τέλος του βήματος (k) της ανάλυσης, υπολογίζονται σε κάθε βήμα, προσθέτοντας τις μεταβολές των μεγεθών αυτών που αναπτύχθηκαν στο βήμα (k) στις τιμές των μεγεθών που αναπτύχθηκαν στο τέλος του προηγούμενου βήματος (k-1), σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.39) και (2.40) αντίστοιχα. (k) (k 1) (k) n n n (k) (k 1) (k) an an an d = d + d (2.39) S = S + S (2.40) Βήμα 2 ο : Για τον υπολογισμό των ιδιομορφικών μετακινήσεων και των αντίστοιχων ψευδο-επιταχύνσεων που είναι απαραίτητα για την χάραξη των καμπυλών αντίστασης των ΙΜΣ (modal capacity diagrams) (βλ. σχήμα 2.9), γίνονται δύο βασικές παραδοχές. Η πρώτη αφορά τη θεώρηση της ελαστικής απόκρισης του συστήματος σε κάθε βήμα της 33

76 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα ανάλυσης, βάσει της οποίας θεωρείται ότι σε κάθε βήμα λαμβάνει χώρα μόνο μια πλαστική άρθρωση στο τέλος του βήματος ανάλυσης. Η δεύτερη παραδοχή, αφορά στην ιδιομορφική κλιμάκωση (modal scaling), κατά την οποία για κατασκευές με ιδιοπεριόδους που υπερβαίνουν την χαρακτηριστική ιδιοπερίοδο T c (Τ Τ c ) (CEN,2004) χρησιμοποιείται η προσέγγιση των ίσων μετακινήσεων, σύμφωνα με την εξίσωση Δd = ΔF d (2.41) (k) (k) (1) n en (k) όπου ΔF (k) εκφράζει τη μεταβολή του συντελεστή F, που χρησιμοποιείται για τη διόρθωση των ιδιομορφικών μετακινήσεων, ο οποίος εφαρμόζεται σε όλες τις ιδιομορφές για κάθε βήμα (k) της ανάλυσης, έχει μέγιστη τιμή την μονάδα και ορίζεται από την εξίσωση (2.42). d (1) en είναι η αρχική ελαστική μετακίνηση για τη n-οστή ιδιομορφή, που υπολογίζεται στο πρώτο βήμα (k=1) της ανάλυσης, η οποία θεωρείται ότι είναι ίση με την ανελαστική μετακίνηση που αντιστοιχεί στη στιγμιαία παραμόρφωση του φορέα σε κάθε βήμα της ανάλυσης. (k) (k 1) (k) (2.42) F = F + F 1 Η τελική ιδιομορφική μετακίνηση στο τέλος κάθε βήματος ανάλυσης υπολογίζεται από την εξίσωση d = F d (2.43) (k) (k) (1) n en Οι παραπάνω σχέσεις που αφορούν στη διόρθωση των ιδιομορφών, αντιστοιχούν σε μια σταδιακή μονοτονική αύξηση του ελαστικού φάσματος απόκρισης σε κάθε βήμα ανάλυσης, με έναν κατάλληλο συντελεστή διόρθωσης, με ελάχιστη τιμή την μηδενική και μέγιστη την μονάδα. Από φυσικής άποψης, η κατασκευή ωθείται με τέτοιον τρόπο ώστε σε κάθε βήμα της ανάλυσης οι ιδιομορφικές μετακινήσεις όλων των ιδιομορφών να αυξάνονται κατά την ίδια αναλογία με την αύξηση των ελαστικών φασματικών μετακινήσεων που υπολογίστηκαν στο πρώτο βήμα της ανάλυσης (k =1), σύμφωνα με την προσέγγιση των ίσων μετακινήσεων, έως ότου όλες οι ιδιομορφικές μετακινήσεις εξισωθούν ταυτόχρονα με τις αντίστοιχες στοχευόμενες μετακινήσεις. Στο σχήμα 2.9, παρουσιάζονται ενδεικτικά τρία κλιμακωμένα φάσματα απόκρισης: το φάσμα που αντιστοιχεί στην πρώτη διαρροή, ένα δεύτερο που αντιστοιχεί σε ένα ενδιάμεσο βήμα (k) ανάλυσης ( F (k) < 1) και ένα που αντιστοιχεί στο τελευταίο βήμα ανάλυσης ( F = 1). Τα φάσματα χαράσσονται σε όρους φασματικής επιτάχυνσης προς φασματική μετακίνηση (όπως στη μέθοδο του ικανοτικού φάσματος), και στο ίδιο διάγραμμα χαράσσονται οι ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης του φορέα για όλες τις ιδιομορφές που λαμβάνονται υπόψη. Για ιδιοπεριόδους του συστήματος μικρότερες από την χαρακτηριστική (T<T c ), η ελαστική φασματική μετακίνηση διορθώνεται με τη χρήση κατάλληλου συντελεστή C Rn (k), ανάλογος με τον συντελεστής C 1 που ορίζεται στο FEMA356 (ASCE, 2000). Παρατηρείται ότι η κλίση των ιδιομορφικών καμπυλών αντίστασης μετά τη διαρροή, γίνεται συνεχώς πιο απότομη στις ανώτερες ιδιομορφές με ταυτόχρονη σταδιακή μείωση της ανελαστικής απόκρισης, δηλαδή για τις ανώτερες ιδιομορφές και εύλογες στάθμες σεισμού, η απόκριση μπορεί να είναι ελαστική (βλ. σχήμα 2.9, για n=3 και n=4). 34

77 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Επομένως, μπορεί να θεωρηθεί ότι οι ανελαστικές φασματικές μετακινήσεις των ανώτερων ιδιομορφών δεν διαφοροποιούνται σημαντικά από τις αντίστοιχες ελαστικές. Αντικαθιστώντας στην εξ. (2.37) την εξίσωση (2.41) προκύπτει η εξίσωση (2.44) για τον συντελεστή της μεταβολής των μετακινήσεων για τη n-οστη ιδιομορφή στο βήμα (k). (k) (k) (k) n n (k) (k) (k) (1) n n n en Δ u = u ΔF (2.44) u = Γ d (2.45) Βήμα 3 ο (k) : Υπολογίζονται τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης της κατασκευής, r n, (k) συναρτήσει του όρου F. Για κάθε βήμα ανάλυσης, η αύξηση ενός μεγέθους απόκρισης, υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (k) (k) (k) n n Δr = r F (2.46) (k) n όπου r είναι το ζητούμενο μέγεθος απόκρισης για την n-οστή ιδιομορφή, στο βήμα k (k) της ανάλυσης, το οποίο αντιστοιχεί στην τιμή της μετακίνησης u n που υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (2.45). Βήμα 4 ο : Υπολογισμός τελικών μεγεθών απόκρισης της κατασκευής. Η μικροαύξηση ενός μεγέθους απόκρισης, λαμβάνοντας υπόψη το σύνολο των ιδιομορφών που χρησιμοποιούνται, υπολογίζεται με επαλληλία των αντίστοιχων ιδιομορφικών αυξητικών μεταβολών του μεγέθους απόκρισης, με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας, Complete Quadratic Combination (CQC), σύμφωνα με την εξίσωση (2.34). Η μικροαύξηση της τελικής τιμής ενός μεγέθους απόκρισης, ορίζεται με τη σχέση (k) (k) (k) r = r F (2.47) Επομένως, το ζητούμενο μέγεθος απόκρισης στο τέλος κάθε βήματος ανάλυσης (k), υπολογίζεται από την εξίσωση. (k) (k 1) (k) (k 1) (k) (k) r = r + r = r + r F (2.48) (k) (k 1) r όπου r και είναι τα μεγέθη απόκρισης που αναπτύσσονται στο τέλος του βήματος (k) και στο προηγούμενο από αυτό βήμα (k-1) αντίστοιχα. Στο πρώτο βήμα ανάλυσης (k=1), λαμβάνονται τα μεγέθη απόκρισης λόγω των φορτίων βαρύτητας r. (0) 35

78 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Σχήμα 2.9 Καμπύλες αντίστασης των ΙΜΣ και η διόρθωση των ιδιομορφικών μετακινήσεων μέσω των φασμάτων απόκρισης Ανελαστική Στατική Ανάλυση με Αναπροσαρμοζόμενη κατανομή δυνάμεων/μετακινήσεων, λαμβάνοντας υπόψη ανώτερες ιδιομορφές. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν οι ανελαστικές στατικές μέθοδοι ανάλυσης με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή επιβαλλόμενων δυνάμεων/ μετακινήσεων, κατά τις οποίες διεξάγεται μόνο μια Α.Σ.Α. Η επιρροή και η συμμετοχή των ανώτερων ιδιομορφών της κατασκευής λαμβάνεται υπόψη στον ορισμό της επιβαλλόμενης κατανομής φόρτισης/ μετακινήσεων. Οι μέθοδοι ανάλυσης, διακρίνονται σε δύο επιμέρους κατηγορίες, που αναφέρονται στη συνέχεια ως Α και Β, ανάλογα με το αν επιβάλλονται δυνάμεις ή μετακινήσεις κατά την ανάλυση της κατασκευής. Α. Αναπροσαρμοζόμενη Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Η Αναπροσαρμοζόμενη Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση, είναι μια εξελιγμένη Α.Σ.Α. η οποία αποσκοπεί στο να συμπεριλάβει με χαμηλό υπολογιστικό κόστος δυναμικά φαινόμενα στην απόκριση του υπό εξέταση φορέα. Βασικό χαρακτηριστικό της μεθόδου είναι ότι το διάνυσμα της φόρτισης δεν παραμένει σταθερό αλλά αναπροσαρμόζεται όταν αλλάζουν τα δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα λόγω ανελαστικής συμπεριφοράς. Αναπτύχθηκε αρχικά για κτιριακούς φορείς από τον Reinhorn (1997) και τους Bracci et al. (1997) ενώ εφαρμόστηκε και σε φορείς γεφυρών λίγο αργότερα από τον DeRue (1998). Συγκρίσεις της Αναπροσαρμοζόμενης ΙΑΣΑ με άλλες μεθοδολογίες σε φορείς γεφυρών, μπορεί να βρεθούν στην εργασία των Isakovic & Fischinger (2006). Οι Bracci et al. (1997) ήταν οι πρώτοι που ανέπτυξαν μια ολοκληρωμένη μεθοδολογία με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης. Η ανάλυση αρχίζει με τη θεώρηση μιας πλευρικής κατανομής δυνάμεων, συνήθως τριγωνικής, ενώ σε κάθε βήμα ανάλυσης υπολογίζεται μια νέα κατανομή φόρτισης βάσει της στιγμιαίας τέμνουσας βάσης και της αντοχής των στοιχείων της κατασκευής που αναπτύσσονται στο προηγούμενο 36

79 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα βήμα. Η μεθοδολογία αυτή ενσωματώθηκε στο λογισμικό δυναμικής ανάλυσης IDARC (Valles et al., 1996). Εξελιγμένες μέθοδοι ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης, αναπτύχθηκαν λίγο αργότερα και από τους DeRue (1998), Gupta & Kunnath (2000), Elnashai (2001), Papanikolaou & Elnashai (2005), Papanikolaou et al. (2006), Antoniou & Pinho (2004a, b). Μια διαφορετική αναπροσαρμοζόμενη μέθοδος παρουσιάστηκε από τους Albanesi et al. (2002), γνωστή ως Adaptive Energy-based Pushover Analysis, σύμφωνα με την οποία η κατανομή των επιβαλλόμενων δυνάμεων ή μετακινήσεων, σε κάθε βήμα της ανάλυσης, υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη επιπλέον την κινητική ενέργεια της κατασκευής κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης. Ο DeRue (1998), ανέπτυξε μια πολυ-ιδιομορφική ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατατομή φόρτισης γνωστή ως Modal Adaptive Nonlinear Static Procedure (MANSP), η οποία λαμβάνει υπόψη την πιθανότητα ότι το διάνυσμα των ιδιομορφών και η αντίστοιχη παραμόρφωση του φορέα μπορούν να αλλάξουν σημαντικά όταν η κατασκευή υποβάλλεται σε σεισμικές διεγέρσεις αυξανόμενης έντασης. Σημαντικό σημείο της μεθόδου, αποτελεί ο τρόπος επαλληλίας των ιδιομορφών του συστήματος που λαμβάνονται υπόψη. Για την επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών χρησιμοποιείται η εξίσωση (2.49), σύμφωνα με την οποία η μεγαλύτερη τιμή του συνόλου του αθροίσματος λαμβάνεται υπόψη με μεγαλύτερο βάρος. n=1,n N p NORM = p p( value) value value p n (2.49) n=1 Όσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη p στην εξίσωση, τόσο μεγαλύτερο είναι το βάρος με το οποίο λαμβάνεται υπόψη η μεγαλύτερη τιμή του συνόλου των τιμών. Για p=1, λαμβάνεται το άθροισμα των τιμών (όλες οι τιμές έχουν το ίδιο βάρος), για p=2 η εξίσωση (2.49) παίρνει τη μορφή της εξίσωσης της απλής τετραγωνικής επαλληλίας και για p (πρακτικώς για μεγάλες τιμές του p, π.χ. p=20) το άθροισμα ισούται με την μεγαλύτερη τιμή του συνόλου, δηλαδή τα βάρη με τα οποία λαμβάνονται υπόψη οι τιμές εκτός της μεγαλύτερης είναι τόσο μικρά που τείνουν να μην λαμβάνονται υπόψη στο άθροισμα. Η διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου, συνοψίζεται σε τρία βασικά βήματα: Βήμα 1 ο : Διεξάγεται ανελαστική στατική ανάλυση για τη χάραξη της καμπύλης αντίστασης του φορέα. Για την παραγωγή της καμπύλης αντίστασης του φορέα, εφαρμόζεται στην κατασκευή μια ΑΣΑ με μεταβαλλόμενη κατανομή αδρανειακών δυνάμεων που εξαρτάται από μεταβλητές που καθορίζονται από τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής. Οι επιβαλλόμενες δυνάμεις F i, προκύπτουν από το συνδυασμό των ιδιομορφικών φορτίων σύμφωνα με την εξίσωση (2.50) ή από την εξίσωση (2.51). Η διαφορά των δύο εξισώσεων εντοπίζεται στο ό,τι η δεύτερη δεν εξαρτάται από την τιμή της φασματικής ψευδο-επιτάχυνσης της κυρίαρχης ιδιομορφής αλλά από την τέμνουσα βάσης (V b ) που αναπτύσσεται στην κατασκευή, δηλαδή εξαρτάται αποκλειστικά από τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος. i i i1 1 a1 in n n p n=1,n F = m Γ S f sa (2.50) 37

80 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα F = i m n=1,n i f i1 in n san p 2 n=1,n Γ1 nsan p V b (2.51) όπου F i είναι η επιβαλλόμενη δύναμη σε συγκεκριμένη θέση i της κατασκευής, m i είναι η μάζα στην αντίστοιχη θέση, i1 είναι η τιμή της ιδιομορφικής μετακίνησης της 1 ης ιδιομορφής στη θέση i, 1 είναι ο συντελεστής συμμετοχής της 1 ης ιδιομορφής κατά τη διέυθυνση ανάλυσης, S a1 είναι η τιμή της ψευδο-επιτάχυνσης που αντιστοιχεί στην 1 η ιδιομορφή, f in = in / i1 είναι ο λόγος της ιδιομορφικής μετακίνησης στη θέση i της κατασκευής για την ιδιομορφή n προς την ιδιομορφική μετακίνηση στη θέση i της 1 ης ιδιομορφής, n=γn / Γ1 είναι ο λόγος του συντελεστή συμμετοχής της ιδιομορφής n προς τον συντελεστή συμμετοχής της 1 ης ιδιομορφής, sa n=s an / S a1 είναι ο λόγος της ψευδοεπιτάχυνσης της ιδιομορφής n προς την ψευδο-επιτάχυνση της 1 ης ιδιομορφής. Για ανελαστική απόκριση του συστήματος, τα μεγέθη f in, n και sa n, μεταβάλλονται συνεχώς, με βάση τις ισοδύναμες (στιγμιαίες) ιδιομορφές που αναφέρονται στη δυσκαμψία του φορέα, η οποία θεωρείται σταθερή στη διάρκεια του βήματος. Ως εκ τούτου, μετά από κάθε εμφάνιση μιας νέας πλαστικής άρθρωσης, οι δυνάμεις F i ενημερώνονται βάσει των νέων δυναμικών χαρακτηριστικών της κατασκευής. Φορτίζοντας την κατασκευή με τις δυνάμεις F i, προκύπτει η καμπύλη αντίστασης της κατασκευής σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου. Βήμα 2 ο : Η καμπύλη αντίστασης της κατασκευής αντικαθίσταται από μια ισοδύναμη διγραμμική (βλ. σχήμα 2.10), η οποία ορίζεται λαμβάνοντας υπόψη την ίδια ελαστική δυσκαμψία της πραγματικής καμπύλης αντίστασης και την ίδια ενέργεια που απαιτείται για την αστοχία του φορέα. Βήμα 3 ο : Υπολογισμός της σεισμικής απαίτησης με τη χρήση του φάσματος απόκρισης. Η καμπύλη αντίστασης του φορέα μετατρέπεται σε καμπύλη ΙΜΣ, η οποία χαράσσεται σε όρους φασματικής μετακίνησης και φασματικής επιτάχυνσης μέσω των εξισώσεων (2.52) και (2.53). V * b a1 2 2 n=1,..n Γ1 nsan p S = * i d1 n=1,..n i1γ1 fin n sdn p S = u (2.52) (2.53) * Ο όρος S a1 χαρακτηρίζεται ως απαιτούμενη ισοδύναμη φασματική ψευδο-επιτάχυνση * ενώ ο όρος S d1 χαρακτηρίζεται ως απαιτούμενη ισοδύναμη φασματική μετακίνηση. u i είναι οι μετακινήσεις του πολυβάθμιου συστήματος και sd n=s dn / S d1 είναι ο λόγος της φασματικής μετακίνησης της n-οστής ιδιομορφής προς τη φασματική μετακίνηση της 1 ης * ιδιομορφής. Η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ που εκφράζεται σε όρους S a1 - S * d1, χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της απαίτησης της γέφυρας μέσω του ανελαστικού φάσματος απόκρισης (βλ. σχήμα 2.10). Αρχικά υπολογίζεται η ελαστική ισοδύναμη 38

81 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα * a1,e φασματική ψευδο-επιτάχυνση, S, από το ελαστικό φάσμα απόκρισης, η οποία αντιστοιχεί στην αρχική ιδιοπερίοδο του συστήματος, Τ. Υπολογίζεται ο μειωτικός * * * συντελεστής R μ από το λόγο S a1,e /S a1,y, όπου S a1,y είναι η ισοδύναμη φασματική ψευδοεπιτάχυνση που αντιστοιχεί στη διαρροή του συστήματος. Μέσω του μειωτικού συντελεστή, προκύπτει το ανελαστικό φάσμα απόκρισης, το οποίο χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης. Η σεισμική απαίτηση για τη συγκεκριμένη σεισμική διέγερση, προκύπτει από το σημείο τομής της καμπύλης αντίστασης του συστήματος με την καμπύλη απαίτησης. Για πολυβάθμια συστήματα η πραγματική μετακίνηση του συστήματος u i υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (2.53). S a -S a * S a1,e * R μ =S a1,e */S a1,y * ελαστικό φάσμα απόκρισης S a1,d * S a1,y * ανελαστικό φάσμα απόκρισης 4π/Τ0 2 S d1,d * S d -S d * Σχήμα 2.10 Καμπύλη αντίστασης και καμπύλη απαίτησης σύμφωνα με την πολύιδιομορφική ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης. Από την εφαρμογή της μεθόδου σε φορείς γεφυρών (DeRue, 1998), βρέθηκε ότι η μέθοδος είναι αξιόπιστη μόνο σε κανονικές γέφυρες, ενώ σε μη-κανονικές η εξίσωση (2.53) δεν λειτουργεί σωστά και τα αποτελέσματα της ανάλυσης αποκλίνουν σημαντικά από τα αντίστοιχα των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων. Επιπλέον, παρατηρήθηκε ότι τα μεγέθη στην εν λόγω μέθοδο πρέπει να κανονικοποιούνται βάσει της ιδιομορφής με το μεγαλύτερο ποσοστό συμμετοχής και όχι βάσει της ιδιομορφής με την μεγαλύτερη ιδιοπερίοδο. Η παρατήρηση αυτή οδηγεί σε βελτιωμένα αποτελέσματα κυρίως σε μηκανονικές γέφυρες. Οι Gupta & Kunnath (2000) ανέπτυξαν μια μεθοδολογία παρόμοια με αυτήν των Bracci et al., κατά την οποία η επιβαλλόμενη κατανομή φόρτισης υπολογίζεται σε κάθε βήμα της ανάλυσης, μέσω της στιγμιαίας παραμόρφωσης της κατασκευής και των αντίστοιχων ελαστικών φασματικών ψευδο-επιταχύνσεων. Πριν από κάθε βήμα ανάλυσης διεξάγεται ιδιομορφική ανάλυση χρησιμοποιώντας την στιγμιαία δυσκαμψία της κατασκευής. Ο αριθμός των ιδιομορφών που λαμβάνεται υπόψη έχει καθοριστεί από την αρχή της ανάλυσης, και τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης υπολογίζονται συναρτήσει του ποσοστού συμμετοχής κάθε ιδιομορφής, το κανονικοποιημένο ιδιομορφικό διάνυσμα μετακινήσεων, την μάζα κάθε ορόφου και τις τιμές των αντίστοιχων φασματικών ψευδοεπιταχύνσεων. Τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης επαλληλίζονται με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας και προστίθενται στα αντίστοιχα μεγέθη απόκρισης που 39

82 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα υπολογίστηκαν στο προηγούμενο βήμα ανάλυσης. Στο τέλος κάθε βήματος υπολογίζεται η νέα δυσκαμψία της κατασκευής έτσι ώστε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των ιδιομορφικών μεγεθών του επόμενου βήματος ανάλυσης. Κρίσιμο σημείο της διαδικασίας αποτελεί το γεγονός ότι οι τιμές των ελαστικών φασματικών ψευδο-επιταχύνσεων που χρησιμοποιούνται στον προσδιορισμό της επιβαλλόμενης κατανομής φόρτισης, δεν ταυτίζονται με τις τιμές των φασματικών ψευδο-επιταχύνσεων που αντιστοιχούν στην πραγματική ανελαστική απόκρισης της κατασκευής. Επομένως, δεν είναι εφικτό μέσω της εν λόγω μεθοδολογίας, να εκτιμηθούν τα μέγιστα μεγέθη απόκρισης της κατασκευής για συγκεκριμένη σεισμική διέγερση, που να αντιστοιχούν με ακρίβεια στην πραγματική ανελαστική σεισμική απαίτηση. Ως λύση του προβλήματος αυτού, οι Gupta & Kunnath προτείνουν να υπολογίζεται η στοχευόμενη μετακίνηση της κατασκευής μέσω ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης χρονοϊστορίας και να χρησιμοποιείται η εν λόγω μέθοδος μόνο ως εργαλείο για την εκτίμηση της σεισμικής ικανότητας της κατασκευής, και όχι για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης για συγκεκριμένη σεισμική διέγερση. Οι Requena & Ayala (2000), παρουσιάζουν δύο παραλλαγές της αναπροσαρμοζόμενης ανελαστικής στατικής ανάλυσης, οι οποίες αναφέρονται ως 2-Α και 2-Β. Σύμφωνα με την 2-Α, η κατανομή των επιβαλλόμενων δυνάμεων διαμορφώνεται από τον συνδυασμό με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας των ιδιομορφών που λαμβάνονται υπόψη στην ανάλυση. Σύμφωνα με την 2-Β, θεωρείται μια ισοδύναμη θεμελιώδης ιδιομορφή, η οποία προσδιορίζεται από την τετραγωνική επαλληλία των ιδιομορφών ταλάντωσης, ενώ με ανάλογο τρόπο υπολογίζεται η κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης. Όταν μεταβάλλεται η δυσκαμψία της κατασκευής λόγω του σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης, υπολογίζεται εκ νέου μια κατανομή φόρτισης, η οποία αντιστοιχεί στο νέο πλαστικό μηχανισμό της κατασκευής. Αυτή η νέα κατανομή φόρτισης, χρησιμοποιείται έως ότου δημιουργηθεί νέα πλαστική άρθρωση και μεταβληθεί ξανά η δυσκαμψία της κατασκευής, όπου τότε η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Οι δύο προτεινόμενες μεθοδολογίες, οι οποίες εφαρμόστηκαν μόνο σε κτιριακούς φορείς, λαμβάνουν υπόψη τόσο τη συμμετοχή των ανώτερων ιδιομορφών όσο και την μεταβολή της παραμορφωμένης κατάστασης της κατασκευής, χωρίς όμως τα αποτελέσματα των αναλύσεων να είναι ικανοποιητικά. Ο Elnashai (2001) την ίδια περίοδο, πρότεινε μια μέθοδο παρόμοια με την 2-Α, με τη βασική διαφορά ότι την προσάρμοσε σε μοντέλα προσομοίωσης διατομών οπλισμένου σκυροδέματος κατανεμημένης πλαστικοποίησης (fiber elements), στα οποία δεν προαπαιτείται η εισαγωγή δεδομένων ροπών- καμπυλοτήτων όπως γίνεται στις συνήθεις περιπτώσεις πεπερασμένων στοιχείων σημειακής πλαστικοποίησης, επιτυγχάνοντας με κατάλληλους αλγόριθμους η αναπροσαρμογή της κατανομής της επιβαλλόμενης φόρτισης να γίνεται λαμβάνοντας υπόψη τη γεωμετρική μη-γραμμικότητα, τις ανώτερες ιδιομορφές και την στιγμιαία παραμορφωμένη κατάσταση της κατασκευής. Οι Antoniou & Pinho (2004a) επέκτειναν και βελτίωσαν τη μέθοδο που πρότεινε ο Elnashai, σε πεπερασμένα στοιχεία δοκού οπλισμένου σκυροδέματος, και την συμπεριέλαβαν σε ένα λογισμικό πεπερασμένων στοιχείων (SeismoSoft, 2004). Ο προτεινόμενος αλγόριθμος που χρησιμοποιούν οι Antoniou & Pinho, με βάση τον οποίον αναπροσαρμόζεται η κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης σε κάθε βήμα της ανάλυσης, παράγεται σε τέσσερα βήματα, εκ των οποίων το πρώτο εφαρμόζεται μόνο στην αρχή της ανάλυσης, ενώ τα υπόλοιπα τρία επαναλαμβάνονται σε κάθε βήμα της ανάλυσης. 40

83 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Βήμα 1 ο : Προσδιορίζεται ένα βασικό διάνυσμα φόρτισης, f 0, το οποίο παραμένει σταθερό σε όλα τα βήματα της ανάλυσης, και για το λόγο αυτόν, θα πρέπει να έχει μια ομοιόμορφη κατανομή τόσο καθ ύψος της κατασκευής όσο και σε κάτοψη, έτσι ώστε να μην επηρεάζει τη μορφή του συντελεστή φόρτισης που υπολογίζεται σε κάθε βήμα της ανάλυσης. Βήμα 2 ο : Υπολογίζεται ο συντελεστής φόρτισης. Το διάνυσμα της επιβαλλόμενης φόρτισης, f, ορίζεται από το γινόμενο του βασικού διανύσματος φόρτισης, f 0, που προσδιορίστηκε στο προηγούμενο βήμα, επί ένα συντελεστή φόρτισης, λ, σύμφωνα με την εξίσωση f f (2.54) 0 Ο συντελεστής φόρτισης λ, προσδιορίζεται σε κάθε βήμα της ανάλυσης, και αυξάνεται έως ότου επέλθει η αστοχία του φορέα ή μέχρι μια προκαθορισμένη τιμή. Βήμα 3 ο : Υπολογίζεται το κανονικοποιημένο διάνυσμα των δυνάμεων που καθορίζουν την κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης σε κάθε βήμα της ανάλυσης. Αρχικά εφαρμόζεται μια ιδιομορφική ανάλυση, για τον προσδιορισμό των σημαντικότερων ιδιομορφικών διανυσμάτων και των αντίστοιχων ποσοστών συμμετοχής, βάσει των οποίων ορίζονται οι ιδιομορφικές δυνάμεις F in, σύμφωνα με την εξίσωση F m (2.55) in n in i όπου, ο δείκτης i αναφέρεται στον όροφο της κατασκευής (η εξίσωση αναφέρεται αποκλειστικά σε κτίρια), ο δείκτης n εκφράζει τον αριθμό της ιδιομορφής, in είναι η τιμή του κανονικοποιημένου διανύσματος της n-οστής ιδιομορφής στον όροφο i της κατασκευής και m i είναι η μάζα του ορόφου i. Εναλλακτικά οι ιδιομορφικές δυνάμεις F in, ορίζονται σύμφωνα με την εξίσωση (2.56), κατά την οποία χρησιμοποιείται επιπλέον ο όρος S an, που εκφράζει την τιμή της φασματικής επιτάχυνσης που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο της n-οστής ιδιομορφής. F ms (2.56) in n in i an Από τις αναλύσεις που έγιναν προέκυψε ότι η χρήση της εξίσωσης (2.56) αντί για την (2.55) οδηγεί σε βελτιωμένα αποτελέσματα σε σχέση με τις αντίστοιχες δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις. Οι πλευρικές δυνάμεις F i,που εφαρμόζονται σε κάθε όροφο i της κατασκευής, προκύπτουν από την επαλληλία των ιδιομορφικών δυνάμεων, F in, είτε μέσω της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (εφόσον οι ιδιομορφές είναι ασύζευκτες), ή με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας, με τον οποίο λαμβάνεται υπόψη η σύζευξη των ιδιομορφών. Το κανονικοποιημένο διάνυσμα των δυνάμεων, που καθορίζει την κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης, ορίζεται από την εξίσωση f i f i f i (2.57) Βήμα 4 ο : Αναπροσαρμογή του διανύσματος της επιβαλλόμενης φόρτισης, η οποία μπορεί να εφαρμοστεί με δύο τρόπους: 41

84 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα (i) Απευθείας αναπροσαρμογή του διανύσματος της επιβαλλόμενης φόρτισης, μέσω της εξίσωσης fk kfkf 0 (2.58) όπου ο δείκτης k αναφέρεται στο βήμα της ανάλυσης. (ii) Αναπροσαρμογή του διανύσματος της επιβαλλόμενης φόρτισης, με βάση την κατανομή της φόρτισης του προηγούμενου βήματος ανάλυσης, μέσω της εξίσωσης f f f f (2.59) k k 1 k k 0 όπου ο δείκτης (k-1) αναφέρεται σε ένα βήμα πριν από το k βήμα της ανάλυσης, και ο όρος Δλ k εκφράζει την αύξηση του συντελεστή φόρτισης λ στο βήμα k. Η μέθοδος των Antoniou & Pinho, βασίζεται στην επαλληλία ιδιομορφικών φορτίσεων και όχι ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης, το οποίο είναι λάθος ακόμα και για ελαστική ανάλυση. Όπως επισημαίνει και ο Priestley (2003), η χρήση των κανόνων επαλληλίας (SRSS ή CQC) για την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίσεων, δεν οδηγεί απαραίτητα σε μια αξιόπιστη κατανομή φόρτισης που περιγράφει με ακρίβεια τα δυναμικά χαρακτηριστικά της κατασκευής για ένα συγκεκριμένο επίπεδο σεισμικής διέγερσης. Την ίδια περίοδο οι Antoniou & Pinho (2004b) και οι Pinho et al. (2005), ανέπτυξαν έναν δεύτερο αλγόριθμο, για εφαρμογή της ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή επιβαλλόμενων μετακινήσεων, τον οποίο συμπεριέλαβαν στο ίδιο λογισμικό πεπερασμένων στοιχείων (SeismoSoft, 2004). Ο δεύτερος αλγόριθμος παράγεται με ανάλογο τρόπο με τον πρώτο, σε τέσσερα βήματα, εκ των οποίων το πρώτο εφαρμόζεται μόνο στην αρχή της ανάλυσης, ενώ τα υπόλοιπα τρία επαναλαμβάνονται σε κάθε βήμα της ανάλυσης. Τα δύο πρώτα βήματα είναι ίδια με τα βήματα (i) και (ii) που περιγράφηκαν προηγουμένως, με τη διαφορά ότι οριζόντια διανύσματα μετακινήσεων (u) και όχι δυνάμεων (f). Επομένως η εξίσωση (2.54) παίρνει τη μορφή u u (2.60) 0 όπου u 0 είναι μια βασική ομοιόμορφη κατανομή μετακινήσεων η οποία δεν μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της ανάλυσης. Βήμα 3 o : Υπολογίζεται το κανονικοποιημένο διάνυσμα των μετακινήσεων που καθορίζει την κατανομή των επιβαλλόμενων μετακινήσεων σε κάθε βήμα της ανάλυσης. Εφαρμόζεται μια ιδιομορφική ανάλυση, για τον προσδιορισμό των σημαντικότερων ιδιομορφών και των αντίστοιχων ιδιομορφικών συντελεστών συμμετοχής. Τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης, επαλληλίζονται μεταξύ τους, είτε με τον κανόνα SRSS είτε με τον κανόνα CQC. Οι τιμές του κανονικοποιημένου διανύσματος των μετακινήσεων u, υπολογίζονται από την εξίσωση u i u max u i (2.61) i 42

85 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα όπου u i είναι η τιμή της μετακίνησης του i ορόφου της κατασκευής, η οποία εκτιμάται με δύο τρόπους: (i) Συναρτήσει του συντελεστή συμμετοχής των ιδιομορφών, Γ n και των τιμών των ιδιομορφικών μετακινήσεων κάθε ορόφου i της κατασκευής, in, σύμφωνα με την εξίσωση N N 2 2 i in n in n 1 n 1 u u ( ) (2.62) (ii) Συναρτήσει της σχετικής μετατόπισης των ορόφων, για τη n-οστή ιδιομορφή, η οποία υπολογίζεται βάσει των ιδιομορφικών διανυσμάτων και τους αντίστοιχους συντελεστές συμμετοχής, σύμφωνα με την εξίσωση u i N N 2 2 i με i in n i,n i 1,n n 1 n 1 (2.63) όπου Δ είναι η σχετική μετατόπιση των ορόφων της κατασκευής, ο δείκτης i αναφέρεται στον αριθμό του ορόφου της κατασκευής, ο δείκτης n αναφέρεται στον αριθμό της ιδιομορφής,. Εναλλακτικά, το μέγεθος u i, υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (2.64), στην οποία λαμβάνεται υπόψη η τιμή της φασματικής μετακίνησης, S dn, που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο της n-οστής ιδιομορφής. u i N N 2 2 i με i in n i,n i 1,n S dn n 1 n 1 (2.64) Από συγκριτικές αναλύσεις των Antoniou & Pinho (2004β) με αντίστοιχες δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις, φαίνεται ότι για όλες τις περιπτώσεις κατασκευών που αναλύθηκαν, η χρήση της εξίσωσης (2.64) αντί της (2.63) οδηγεί σε βελτιωμένα αποτελέσματα. Βήμα 4 ο : Η αναπροσαρμογή της κατανομής των επιβαλλόμενων μετακινήσεων, μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: (i) Απευθείας αναπροσαρμογή του διανύσματος της επιβαλλόμενης μετακίνησης, μέσω της εξίσωσης uk kuku 0 (2.65) όπου ο δείκτης k αναφέρεται στο βήμα της ανάλυσης. (ii) Αναπροσαρμογή του διανύσματος της επιβαλλόμενης μετακίνησης, με βάση την κατανομή της μετακίνησης του προηγούμενου βήματος ανάλυσης, μέσω της εξίσωσης u u u u (2.66) k k 1 k k 0 43

86 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα όπου ο δείκτης (k-1) αναφέρεται σε ένα βήμα πριν από το k βήμα της ανάλυσης, και ο όρος Δλ k εκφράζει την αύξηση του συντελεστή φόρτισης λ στο βήμα k. Από τις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν, διαπιστώθηκε ότι η απευθείας αναπροσαρμογή του διανύσματος των επιβαλλόμενων μετακινήσεων μέσω της εξίσωσης (2.65) καθώς και η απευθείας αναπροσαρμογή του διανύσματος της επιβαλλόμενης φόρτισης μέσω της εξίσωσης (2.58) (ανάλογα με την μέθοδο που εφαρμόζεται), οδηγεί σε αριθμητική αστάθεια και μη ολοκλήρωση της ανάλυσης. Στις λίγες περιπτώσεις κατασκευών για τις οποίες ολοκληρώθηκε η ανάλυση, τα αποτελέσματα που προέκυψαν είχαν σημαντική απόκλιση από τις αντίστοιχες δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις. Από τις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν, τόσο με αναπροσαρμοζόμενο διάνυσμα επιβαλλόμενων δυνάμεων όσο και μετακινήσεων, διαπιστώθηκε ότι η εν λόγω μεθοδολογία οδηγεί σε βελτίωση της ακρίβειας συγκριτικά με τη συμβατική ΑΣΑ, χωρίς όμως να προσεγγίζει ικανοποιητικά τα αποτελέσματα της ΑΔΑ. Β. Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση. Η Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση, γνωστή ως Adaptive Capacity Spectrum Method (ACSM), συνδυάζει στοιχεία της Direct Displacement-Based design method (Priestley & Calvi, 2003), και της μεθόδου του Ικανοτικού Φάσματος - Capacity Spectrum Method (Freeman, 1998, ATC, 1996) και προσθέτει την ιδέα της αναπροσαρμοζόμενης κατανομής επιβαλλόμενων μετακινήσεων (Pinho et al., 2005). Η μέθοδος αναπτύχθηκε από την Casarotti (2004) και Casarotti & Pinho (2007). Τα βασικά βήματα της μεθόδου για την εφαρμογή της σε φορείς γεφυρών, συνοψίζονται στις παραγράφους που ακολουθούν: Βήμα 1 ο : Εκτίμηση της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ ( Equivalent SDOF Adaptive Capacity Curve ). Αρχικά εφαρμόζεται η ΑΣΑ του ανελαστικού πολυβάθμιου συστήματος της κατασκευής. Στη συνέχεια, χαράσσεται βήμα προς βήμα η αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ (βλ. σχήμα 2.11) η οποία προκύπτει από τον υπολογισμό της μετακίνησης, D k, και της αντίστοιχης ψευδοεπιτάχυνσης του ΙΜΣ, S ak, από τον πραγματικό παραμορφωμένο φορέα, για κάθε βήμα της ανάλυσης, k, σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.67) και (2.68). D S k ak mu 2 i i,k i mu i i,k i Vb,k με M g * k M * i k k (2.67) mu i ik (2.68) D * Ο όρος V b,k είναι η τέμνουσα βάσης του συστήματος στο βήμα k, και M k είναι η δρώσα μάζα του συστήματος στο βήμα k της ανάλυσης. Ο δείκτης i αναφέρεται στη * θέση/κόμβο i του πολυβάθμιου συστήματος. Παρατηρείται ότι τόσο η μάζα του ΙΜΣ, M k, όσο και η μετακίνηση του ΙΜΣ, D k και η αντίστοιχη τιμή της επιτάχυνσης, υπολογίζονται για κάθε βήμα της ανάλυσης, βάσει του στιγμιαίου παραμορφωμένου σχήματος, και όχι βάσει ενός αμετάβλητου ελαστικού ή ανελαστικού διανύσματος μετακινήσεων. Για το λόγο αυτόν, η μέθοδος χαρακτηρίζεται αναπροσαρμοζόμενη. 44

87 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα S a S ak S at βήμα t (Μ t * ) βήμα k (Μ k * ) D t D k D Σχήμα 2.11 Καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ βάσει της Μεθόδου Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση. Βήμα 2 ο : Εφαρμογή του φάσματος απαίτησης στην αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ. Η σεισμική απαίτηση του συστήματος, εκτιμάται από το σημείο τομής (performance point) της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ (Adaptive Capacity Curve) με το φάσμα απαίτησης, σύμφωνα με το σχήμα (2.12). Εφαρμόζεται μια επαναληπτική διαδικασία για την εκτίμηση της κατάλληλης τιμής της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης που θα χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή του φάσματος απαίτησης: Ως σημείο έναρξης των υπολογισμών, λαμβάνεται το σημείο τομής της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ με το φάσμα απόκρισης για 10% απόσβεση (μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε άλλη τιμή απόσβεσης). Βάσει του σημείου αυτού υπολογίζεται νέα τιμή απόσβεσης του συστήματος. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται με το μειωμένο λόγω απόσβεσης φάσμα με την νέα τιμή απόσβεσης, η οποία προκύπτει μετά από κύκλους επαναλήψεων έως ότου επέλθει η σύγκλιση των τιμών απόσβεσης. Η σύγκλιση επιτυγχάνεται συνήθως μετά από δύο ή τρεις κύκλους επαναλήψεων. Εάν το φάσμα απόκρισης προκύπτει από φάσμα πραγματικής σεισμικής διέγερσης και όχι από ένα ομαλοποιημένο φάσμα σχεδιασμού μπορεί να απαιτηθούν περισσότερες επαναλήψεις. Η εκτίμηση της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης μπορεί να γίνει μέσω της εξίσωσης (2.69). * 1 (1 r)/ r eff 0.05 * * (2.69) όπου, r είναι η κλίση του κλάδου της καμπύλης μετά τη διαρροή του συστήματος και μ * είναι η πλαστιμότητα του ΙΜΣ στο σημείο τομής της διγραμμικοποιημένης αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ με το φάσμα απαίτησης. Οι Casarotti & Pinho (2007) κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι συχνά μια μόνο επανάληψη είναι αρκετή για την σύγκλιση της απόσβεσης εφόσον χρησιμοποιείται το σημείο τομής που αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη τιμή μετακίνησης, το οποίο οδηγεί και σε αποτελέσματα πιο κοντά σε αυτά που προκύπτουν από την ΑΔΑ χρονοϊστορίας. Η χρησιμοποίηση του σημείου που αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη τιμή μετακίνησης αποτελεί σε κάθε περίπτωση μια λογική αλλά συντηρητική επιλογή, γιατί όπως προκύπτει από την μορφή της καμπύλης αντίστασης, τα διαφορετικά σημεία τομής της καμπύλης με το φάσμα απαίτησης, δίνουν παρόμοιες τιμές αντοχών αλλά αρκετά διαφορετικές τιμές απαιτούμενων μετακινήσεων. 45

88 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα S a S ak σεισμική απαίτηση (S ak -D k ) Αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης ΙΜΣ Φάσμα απαίτησης D k Σχήμα 2.12 Προσδιορισμός της σεισμικής απαίτησης με την Μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση. D Βήμα 3 ο : Εκτίμηση της ανελαστικής απόκρισης του πολυβάθμιου συστήματος. Έχοντας προσδιορίσει το σημείο τομής της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ με το φάσμα απαίτησης, λαμβάνονται από το αρχείο αποτελεσμάτων της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, τα πραγματικά μεγέθη απόκρισης που αντιστοιχούν στην εν λόγω τιμή σεισμικής απαίτησης, ήτοι μετακινήσεις καταστρώματος, τέμνουσα βάσης, ροπές κάμψης στη βάση των βάθρων, κ.α. (βλ. σχήμα 2.13). Βήμα 4 ο : Έλεγχος των κριτηρίων επιτελεστικότητας. Συγκρίνονται οι απαιτούμενες και οι διαθέσιμες τιμές αντοχής των βάθρων, μετακινήσεων και άλλων μεγεθών απόκρισης. sys,k u k u u 2,k 2,k u 3,k 1,k u4,k 1,k 4,k M b1,k M b2,k M b3,k M b4,k S a-cap ak k Σχήμα 2.13 Ανελαστικά μεγέθη απόκρισης του πολυβάθμιου συστήματος για την υπό εξέταση σεισμική διέγερση. Η Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος με Αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση (ACSM), η οποία αναπτύχθηκε κυρίως για φορείς γεφυρών (αν και μπορεί να εφαρμοστεί και σε κτιριακούς φορείς), χρησιμοποιεί: (i) φάσμα απόκρισης μειωμένο κατάλληλα βάσει της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης (βλ. εξίσωση (2.69)), το οποίο προέρχεται είτε από φάσματα κανονισμών ή από πραγματικές καταγραφές σεισμικών διεγέρσεων, (ii) αναπροσαρμοζόμενη κατανομή επιβαλλόμενων μετακινήσεων, (iii) και 46

89 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, η οποία χαράσσεται βήμα προς βήμα από τον πραγματικό παραμορφωμένο φορέα. Επομένως η βασική διαφοροποίηση της εν λόγω μεθοδολογίας σε σχέση με τις άλλες αναπροσαρμοζόμενες ΑΣΑ εντοπίζεται στο γεγονός ότι η ιδέα της αναπροσαρμογής εφαρμόζεται σε δύο σημεία: Το ένα σημείο αναφέρεται στον αλγόριθμο της ΑΣΑ (Antoniou & Pinho, 2004b), ο οποίος είναι πλήρως αναπροσαρμοζόμενος, και σύμφωνα με τον οποίο χρησιμοποιείται μια μεταβαλλόμενη και συνεχώς αναπροσαρμοζόμενη κατανομή των επιβαλλόμενων μετακινήσεων, σε αντίθεση με τη σταθερή κατανομή φόρτισης, χαρακτηριστική της απλής ΑΣΑ. Οι Pinho et al. (2007) απέδειξαν ότι η εφαρμογή αυτού του αλγορίθμου αναπροσαρμοζόμενης κατανομής μετακινήσεων σε διαφορετικούς τύπους γεφυρών, οδηγεί σε καλύτερες εκτιμήσεις του ανελαστικού παραμορφωμένου φορέα, καθώς και της κατανομής των δυνάμεων για συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης, ανεξάρτητα από την κανονικότητα της κατασκευής. Το δεύτερο σημείο της μεθόδου, στο οποίο εφαρμόζεται η αναπροσαρμογή, αφορά στον τρόπο με τον οποίο χαράσσεται η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, σύμφωνα με τον οποίο, η καμπύλη χαράσσεται απευθείας βήμα προς βήμα από την στιγμιαία παραμόρφωση του πραγματικού φορέα και όχι μέσω της μετατροπής της καμπύλης αντίστασης του φορέα μέσω κάποιας σταθερής και μη-μεταβαλλόμενης ελαστικής ή ανελαστικής ιδιομορφικής κατανομής μετακινήσεων, όπως γίνεται σε άλλες μεθόδους, όπως λ.χ. στην μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος. Στον Πίν. 2.1 παρουσιάζονται ενδεικτικά οι διαφορές της εν λόγω μεθοδολογίας με την μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος (CSM) (Kappos et al, 2012). Επιπλέον, κατά τη χάραξη της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ, το σημείο ως προς το οποίο γίνεται η χάραξη, προσδιορίζεται σε κάθε βήμα της ανάλυσης βάσει του στιγμιαίου παραμορφωμένου φορέα, και δεν αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο (προκαθορισμένο) σημείο του φορέα ή σε συγκεκριμένη κατανομή μετακινήσεων του καταστρώματος, όπως λ.χ. το σημείο μέγιστης (ανελαστικής) μετακίνησης που προτείνουν οι Isakovic & Fischinger (2006), και Fajfar et al. (1997). Πίνακας 2.1: Διαφορές σε χαρακτηριστικά μεγέθη ανάμεσα στη μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος (CSM) και στην Αναπροσαρμοζόμενη μέθοδο Ικανοτικού Φάσματος (ACSM), (Kappos et al, 2012). CSM Sa d demand S Vb Sa Mg * 1 u1c D / a / d inel / damp 1 1c ACSM Sa d demand S Vb Sa Mg * k 1 D * / a / d damp 2.4 Κριτική σύνοψη υφισταμένων μεθόδων Τις τελευταίες δεκαετίες, πολλοί μελετητές παγκοσμίως, διερευνούν το εφικτό και τη χρηστικότητα των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης τόσο σε κτιριακούς φορείς όσο και σε φορείς γεφυρών. Ο Krawinkler (2006) σε μια σχετικά πρόσφατη έρευνα του, επισημαίνει την ανάγκη εφαρμογής των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης όχι μόνο για την αποτίμηση 47

90 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα αλλά και για τον σχεδιασμό των κατασκευών. Εστιάζει την έρευνά του σε κρίσιμους ελέγχους των σύγχρονων αντισεισμικών κανονισμών που βασίζονται σε αποτελέσματα ελαστικής ανάλυσης, και αποδεικνύει την αναγκαιότητα εφαρμογής αξιόπιστων ανελαστικών αναλύσεων για την εκτίμηση των πραγματικών απαιτήσεων που αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης, οι οποίες μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές που υπολογίζονται μέσω της ελαστικής ανάλυσης. Ο Elnashai (2002) εξετάζει την εφαρμοσιμότητα τόσο της απλής συμβατικής ΑΣΑ με διαφορετικές κατανομές φορτίσεων, όσο και της εξελιγμένης ΑΣΑ με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης, σε σχέση με τη δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας σε κτιριακούς φορείς, επιχειρώντας να προσδιορίσει τα όρια που καθορίζουν την ασφαλή και αξιόπιστη εφαρμογή των ανελαστικών στατικών αναλύσεων. Απώτερος σκοπός της έρευνάς του είναι η αντικατάσταση των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, όπου αυτό είναι εφικτό, από τις πιο απλές αλλά εξίσου αξιόπιστες εξελιγμένες ανελαστικές στατικές αναλύσεις. Ο Elnashai συνδέει την εφαρμοσιμότητα των ΑΣΑ με δύο βασικές παραμέτρους: (i) την πολυπλοκότητα του στατικού συστήματος και (ii) την ένταση της στάθμης της σεισμικής διέγερσης, και αποδεικνύει ότι όσο αυξάνεται η πολυπλοκότητα του στατικού συστήματος τόσο η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στην απόκριση του φορέα γίνεται σημαντική και αυξάνεται η αδυναμία των ΑΣΑ (συμπεριλαμβανομένης αυτής με αναπροσαρμοζόμενη κατανομή φόρτισης) να εκτιμήσουν με ακρίβεια την σεισμική απόκριση του συστήματος. Επιπλέον, παρατήρησε ότι η ακρίβεια των ΑΣΑ μεθόδων μειώνεται με την αύξηση της στάθμης της σεισμικής διέγερσης. Το διάγραμμα του σχήματος 2.14 (βάσει του αντίστοιχου διαγράμματος του Elnashai (2002)), αναφέρεται σε φορείς γεφυρών και συνδέει τα όρια εφαρμογής των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης, με δύο παράγοντες: (i) την επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στη διεύθυνση ανάλυσης, η οποία μπορεί να εκφράζεται μέσω ενός δείκτη κανονικότητας των γεφυρών (όπως λ.χ. οι δείκτες που προτείνονται από τους Calvi et al. (1994a,b), Isakovic et al. (2003), Akbari & Maalek (2010)), και (ii) την στάθμη της σεισμικής διέγερσης. Όσο η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στην τελική απόκριση της γέφυρας γίνεται ουσιώδης, τόσο περιορίζεται η εφαρμοσιμότητα και η αξιοπιστία των ΑΣΑ. Επιπλέον, σε γέφυρες στις οποίες η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών είναι ουσιώδης, η αύξηση της στάθμης της σεισμικής διέγερσης καθιστά αναγκαία την εφαρμογή της ΑΔΑ, εφόσον περιορίζεται σημαντικά η αξιοπιστία και η ακρίβεια ακόμα και των εξελιγμένων ΑΣΑ. Το εύρος του πεδίου εφαρμογής των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, από τις οποίες οι περισσότερο δοκιμασμένες και κατάλληλες για εφαρμογή κυρίως σε φορείς γεφυρών παρουσιάζονται συνοπτικά στους Πίν. 2.2 και 2.3, εξαρτάται από τις παραδοχές στις οποίες βασίζονται. Οι παραδοχές αυτές, καθορίζουν τα όρια και το πεδίο εφαρμογής κάθε μεθοδολογίας, και κατ επέκταση τον βαθμό ακρίβειας και αξιοπιστίας. Οι πιο βασικές παραδοχές που εφαρμόζονται στις ΑΣΑ, αφορούν στον τρόπο με τον οποίο λαμβάνονται υπόψη η επιρροή και η επαλληλία των ανώτερων ιδιομορφών, καθώς και η μεταβολή αυτών λόγω της αύξησης της στάθμης της σεισμικής διέγερσης. Για παράδειγμα η απλή ΑΣΑ βασίζεται στην παραδοχή ότι η απόκριση της κατασκευής καθορίζεται αποκλειστικά από τη δεσπόζουσα ιδιομορφή του συστήματος κατά τη διεύθυνση ανάλυσης, ενώ η ΙΑΣΑ, η οποία λαμβάνει υπόψη τις σημαντικότερες ιδιομορφές της κατασκευής, βασίζεται στην παραδοχή ότι αυτές δεν μεταβάλλονται μετά τη διαρροή του συστήματος, αλλά τόσο το ποσοστό επιρροής τους όσο και η μορφή τους παραμένουν πρακτικώς σταθερές ανεξάρτητα από τη στάθμη της σεισμικής διέγερσης. 48

91 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Ένταση Σεισμικής διέγερσης απλή Α.Σ.Α. εξελιγμένες Α.Σ.Α. Α..Α. Επιρροή ανώτερων ιδιομορφών (δείκτης κανονικότητας γέφυρας) Σχήμα 2.14 Περιοχή εφαρμογής των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης σε φορείς γεφυρών από σκυρόδεμα. Η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών εξαρτάται κυρίως από (i) τον λόγο της δυσκαμψίας του καταστρώματος προς τη δυσκαμψία των βάθρων (το μήκος της γέφυρας και ο αριθμός και η θέση τυχόν κοντών βάθρων κατά μήκος της γέφυρας) (ii) τη σχετική αντοχή των μεσοβάθρων και (iii) τις συνθήκες έδρασης του καταστρώματος στα ακρόβαθρα (κυρίως για τις γέφυρες μικρού μήκους). Για παράδειγμα, σε γέφυρες μικρού ή μεσαίου μήκους (μικρότερο από 500m) στις οποίες το κατάστρωμα είναι πολύ δύσκαμπτο σε σχέση με τα βάθρα, ήτοι δεν στηρίζονται σε πολύ δύσκαμπτα (κοντά) βάθρα και είναι δεσμευμένη η εγκάρσια μετακίνηση του καταστρώματος στην περιοχή των ακροβάθρων, η απλή ΑΣΑ μπορεί να εφαρμοστεί, εφόσον η κυρίαρχη ιδιομορφή κατά τη διεύθυνση ανάλυσης, δεν μεταβάλλεται σημαντικά σε μεγάλες στάθμες σεισμικής διέγερσης. Εν κατακλείδι, ο χρήστης θα πρέπει να γνωρίζει τις παραδοχές, τα κρίσιμα σημεία και τα όρια εφαρμογής της μεθόδου που πρόκειται να εφαρμόσει. Υπάρχουν μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν αποκλειστικά για κτιριακούς φορείς (π.χ. Elnashai 2001, Albanesi et al. 2002) και δεν έχουν προσαρμοστεί σε φορείς γεφυρών ή το αντίστροφο. Σημαντικό κριτήριο για την επιλογή της μεθόδου ανάλυσης αποτελεί και το λογισμικό που έχει στη διάθεσή του ο χρήστης. Το κάθε λογισμικό διαθέτει τον δικό του αλγόριθμο ανάλυσης και ως εκ τούτου δεν έχουν όλα τα λογισμικά τις ίδιες δυνατότητες εφαρμογής και δεν προσφέρονται για όλες τις μεθοδολογίες ανάλυσης. Τέλος, ένα πολύ σημαντικό κριτήριο επιλογής της μεθόδου ανάλυσης, αποτελεί ο απαιτούμενος χρόνος επίλυσης καθώς και η πολυπλοκότητα εφαρμογής της εξελιγμένης ΑΣΑ. Η μέθοδος που θα επιλέγεται δεν πρέπει να είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη και δυσεφάρμοστη, διότι προφανώς τότε θα είναι προτιμότερη η εφαρμογή της εξ ορισμού ακριβέστερης ΑΔΑ. Προβάδισμα σε αυτό, έχουν οι εξελιγμένες ΑΣΑ, οι οποίες συμπεριλαμβάνονται σε κάποιο λογισμικό, μέσω του οποίου γίνονται περισσότερο προσιτές και φιλικές προς τον χρήστη. 49

92 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Πίνακας 2.2 Κυριότερα χαρακτηριστικά των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης (μέρος α'). Αριθμός ιδιομορφών που λαμβάνονται υπόψη Αριθμός ανελαστικών αναλύσεων Κατανομή φόρτισης και καμπύλες S a -S d NL-RHA Ν2 MPA (Fajfar 1999, 2000) (Chopra & Goel 2002, 2004) Όλες οι ιδιομορφές του συστήματος 1 n=1, 2,,Ν n=1,2, S όπου S ο αριθμός των επιταχυνσιογραφημάτων 0.25 EAK-1 Artificial T(s) Sa Α1 Μ1 Μ2 Α2 1 n=1, 2,,Ν όπου Ν ο αριθμός των σημαντικότερων ιδιομορφών που λαμβάνονται υπόψη στην ανάλυση Sa 2 η ιδιομορφή Α1 Μ1 Μ2 Α2 Χρησιμοποιούνται κατάλληλα κλιμακωμένα επιταχυνσιογραφήματα από πραγματικές καταγραφές σεισμικών διεγέρσεων ή/και συνθετικά επιταχυνσιογραφήματα. Παρατηρήσεις Τα μεγέθη απόκρισης λαμβάνονται απευθείας από το αρχείο αποτελεσμάτων για κάθε ανάλυση χρονοϊστορίας. Ανάλογα με τον αριθμό των επιταχυνσιογραφημάτων, λαμβάνονται είτε οι μέσες τιμές αυτών ή οι μέγιστες τιμές για τον υπολογισμό των τελικών μεγεθών απόκρισης. 1 η ιδιομορφή Η κατανομή της φόρτισης παραμένει σταθερή σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης. Επιλέγονται διαφορετικές κατανομές φόρτισης. Η σεισμική απαίτηση υπολογίζεται με τη μέθοδο Ι.Φ. ή με τη μέθοδο φασμάτων και απαίτησης (Fajfar 1999, 2000) ή με τη μέθοδο διορθωτικών συντελεστών ή με Α.Δ.Α του ΙΜΣ. Τα τελικά μεγέθη απόκρισης για την συγκεκριμένη σεισμική απαίτηση, λαμβάνονται από το αρχείο αποτελεσμάτων της ανάλυσης. Sd 1 η ιδιομορφή Η κατανομή της φόρτισης παραμένει σταθερή για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Τα τελικά μεγέθη απόκρισης προκύπτουν από την επαλληλία (SRSS ή CQC) των αντίστοιχων ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης για την ένταση της σεισμικής διέγερσης που εξετάζεται. Sd 50

93 Κεφάλαιο 2: Κριτική επισκόπηση των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης γεφυρών από σκυρόδεμα Αριθμός ιδιομορφών που λαμβάνονται υπόψη Αριθμός ανελαστικών αναλύσεων Κατανομή φόρτισης και καμπύλες S a -S d Πίνακας 2.3 Κυριότερα χαρακτηριστικά των ανελαστικών μεθόδων ανάλυσης (μέρος β') Sa IRSA MANSP ACSM (Aydınoğlu 2003, 2004) (DeReu, 1998) (Casarotti 2004, Casarotti & Pinho 2007) n=1, 2,,Ν n=1,,ν n=1,,ν n=1, 2,,Ν 1 1 Α1 Μ1 Μ2 Α2 2 η ιδιομορφή S a Α1 Μ1 Μ2 Α2 SRSS SRSS S a S ak S at βήμα t (Μ t* ) βήμα k (Μ k * ) SRSS 1 η ιδιομορφή Παρατηρήσεις Διεξάγονται ταυτόχρονα ανεξάρτητες ΑΣΑ για κάθε σημαντική ιδιομορφή του συστήματος. Η κατανομή της φόρτισης μεταβάλλεται όταν σχηματίζεται πλαστική άρθρωση στο φορέα. Σε κάθε βήμα ανάλυσης σχηματίζεται μια πλαστική άρθρωση. Κατά τη διάρκεια κάθε βήματος ανάλυσης η απόκριση της κατασκευής θεωρείται ελαστική. Τα τελικά μεγέθη απόκρισης προκύπτουν από επαλληλία (CQC) των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης. Sd Εφαρμόζεται μία ΑΣΑ, κατά την οποία η κατανομή της φόρτισης μεταβάλλεται όταν σχηματίζεται πλαστική άρθρωση στο φορέα. Η κατανομή της φόρτισης κάθε φορά, προκύπτει από την επαλληλία (SRSS) των ιδιομορφικών φορτίσεων. Τα τελικά μεγέθη προκύπτουν απευθείας από τη σεισμική απαίτηση που υπολογίζεται από την καμπύλη S a -S d με το ανελαστικό φάσμα απόκρισης. S d S dt S dk Εφαρμόζεται μια ΑΣΑ, κατά την οποία η κατανομή της φόρτισης μεταβάλλεται σε κάθε βήμα ανάλυσης. Η καμπύλη αντίστασης σε όρους S a -S d, χαράσσεται απευθείας βάσει της στιγμιαίας παραμόρφωσης του φορέα. Η ιδέα της αναπροσαρμογής εφαρμόζεται στην κατανομή των επιβαλλόμενων φορτίων και ταυτόχρονα στη χάραξη της S a -S d. Η σεισμική απαίτηση προκύπτει από το σημείο τομής της S a -S d με το φάσμα απαίτησης. Τα τελικά μεγέθη απόκρισης λαμβάνονται απευθείας από το αρχείο αποτελεσμάτων της ανάλυσης. S d 51

94 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα 3. Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα 3.1 Θεωρητικό υπόβαθρο της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης για φορείς γεφυρών. Στο παρόν κεφάλαιο, μελετάται η εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε φορείς ολόσωμων γεφυρών από σκυρόδεμα, διερευνώνται οι παράγοντες που επηρεάζουν την ακρίβειά της, και προτείνεται σειρά τροποποιήσεων για την βελτίωση της μεθόδου. Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται αναλυτικά τόσο το θεωρητικό υπόβαθρο της μεθοδολογίας όσο και τα βήματα εφαρμογής της σε φορείς γεφυρών. Αρχικά, μελετάται η εφαρμογή της μεθόδου σε γέφυρες που εμφανίζουν ελαστική απόκριση κατά τη διάρκεια μιας σεισμικής διέγερσης, ενώ στη συνέχεια μελετάται η εφαρμογή της μεθόδου στις αντίστοιχες γέφυρες με ανελαστική απόκριση. Μετά την περιγραφή της μεθοδολογίας, διερευνώνται οι βασικές παράμετροι που επηρεάζουν την αξιοπιστία της μεθόδου για εφαρμογή της σε γέφυρες. Εντοπίζονται σφάλματα που παρουσιάζονται κατά την εφαρμογή της μεθόδου σε φορείς γεφυρών, ενώ για την αντιμετώπιση των σφαλμάτων αυτών, αναπτύσσεται και προτείνεται η χρήση της βελτιωμένης ΙΑΣΑ Ελαστική απόκριση γεφυρών Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την ελαστική απόκριση ενός πολυβάθμιου συστήματος κατά τη διάρκεια σεισμικής διέγερσης u g (t), ορίζονται από την μητρωική σχέση (Chopra, 2001) mu cu ku= p ( t) (3.1) eff όπου m, k και c είναι αντίστοιχα τα μητρώα μάζας, δυσκαμψίας και απόσβεσης του συστήματος, u, u και u είναι αντίστοιχα τα διανύσματα της επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετακίνησης (για κάθε βαθμό ελευθερίας) ενώ p eff (t) εκφράζει τις ενεργές σεισμικές δυνάμεις που εφαρμόζονται στο φορέα και ορίζεται από τη σχέση (3.2). Η μορφή της εξίσωσης (3.1) παραμένει αναλλοίωτη για οποιοδήποτε σύστημα (επίπεδο ή χωρικό) υπό την προϋπόθεση ότι υπολογίζονται τα κατάλληλα μητρώα μάζας, δυσκαμψίας και απόσβεσης του συστήματος. Η μητρωική εξίσωση (3.1), αντίστοιχη της εξίσωσης ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή, παριστάνει σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων 2 ας τάξεως με σταθερούς συντελεστές. Για πολυβάθμια συστήματα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας, η επίλυση της μητρωικής εξίσωσης (3.1) γίνεται ιδιαίτερα χρονοβόρα και πολύπλοκη. p eff (t) su g (t) (3.2) Η κατανομή των ενεργών σεισμικών δυνάμεων σε φορέα γέφυρας, ορίζεται από τον όρο s=m, ενώ η χρονική τους μεταβολή εκφράζεται μέσω του όρου u g (t). Η κατανομή 52

95 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα των σεισμικών δυνάμεων, s, μπορεί να εκφραστεί εναλλακτικά από το άθροισμα των ιδιομορφικών συνιστωσών, s n, του φορέα, σύμφωνα με την εξίσωση (Chopra, 2001) N N n n n n=1 n 1 s m ι= s m (3.3) όπου n είναι το διάνυσμα της n-οστής ιδιομορφής ταλάντωσης της κατασκευής. Το γινόμενο n n ορίζει το συντελεστή συμμετοχής των ιδιομορφικών μετακινήσεων. Ο όρος n είναι γνωστός ως συντελεστής συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής κατά τη διεύθυνση ανάλυσης και ορίζεται από τη σχέση (3.4), στην περίπτωση όπου το διάνυσμα των ιδιομορφών είναι κανονικοποιημένο ως προς τη μάζα, δηλαδή όταν ισχύει r 2 mi 1.0, όπου ο δείκτης i αντιστοιχεί στους βαθμούς ελευθερίας, r, του i 1 in πολυβάθμιου συστήματος. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση, ο συντελεστής συμμετοχής της n-οστής ιδιομορφής n, ορίζεται από τη σχέση (3.5). r n mi in i 1 r mi in i 1 n r 2 mi in i 1 (3.4) (3.5) Από την εξίσωση (3.3) προκύπτει ότι η συμμετοχή της n-οστής ιδιομορφής στο διάνυσμα s καθώς και στο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο φορέα, εκφράζεται μέσω των εξισώσεων (3.6) και (3.7) αντίστοιχα. Επομένως η εξίσωση (3.2) μέσω των εξισώσεων (3.3) και (3.6) και (3.7) μπορεί να αντικατασταθεί από την εξίσωση (3.8). sn nm n (3.6) p (t) s u (t) (3.7) eff,n n g N N eff eff,n n g n 1 n 1 p (t) p (t) s u (t) (3.8) Έχει αποδειχθεί (Chopra, 2001) ότι η απόκριση ενός ελαστικού πολυβάθμιου συστήματος, όταν σε αυτό επιβάλλεται εξωτερική φόρτιση με κατανομή δυνάμεων p eff,n (t), επηρεάζεται αποκλειστικά από την n-οστή ιδιομορφή, χωρίς να ενεργοποιούνται οι υπόλοιπες ιδιομορφές του συστήματος, δηλαδή οι ιδιομορφές του συστήματος είναι μεταξύ τους ασύζευκτες. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: οι εξισώσεις που εκφράζουν την απόκριση του συστήματος όταν σε αυτό επιβάλλονται οι εξωτερικές δυνάμεις p eff,n (t), ορίζονται από την εξίσωση (3.9) mu cu ku= s u ( t) (3.9) n g 53

96 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Χρησιμοποιώντας τον κανόνα ορθογωνικότητας των ιδιομορφών αποδεικνύεται ότι καμία από τις ιδιομορφές εκτός από τη n-οστή δεν έχει συμμετοχή στην απόκριση του συστήματος. Επομένως οι οριζόντιες μετακινήσεις του καταστρώματος της γέφυρας, ορίζονται από τη σχέση u n(t) nq n(t) (3.10) όπου q n (t) η κύρια ιδιομορφική συντεταγμένη, που ικανοποιεί την εξίσωση (3.11) 2 qn 2 n nqn nqn nu g(t) n είναι η φυσική ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης και όπου, για τη n-οστή ιδιομορφή. Η λύση της εξίσωσης (3.11) μπορεί εύκολα να προκύψει, συγκρίνοντας την εξίσωση (3.11) με την εξίσωση κίνησης του ελαστικού ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή, με χαρακτηριστικά n είναι το ποσοστό απόσβεσης ταλάντωσης ( n, n ) κοινά με αυτά του πολυβάθμιου συστήματος για τη n-οστή ιδιομορφή, όταν υποβάλλεται σε φόρτιση u g (t) (βλ. εξίσωση 3.12). (3.12) 2 Dn 2 n ndn ndn u g(t) Από τις εξισώσεις (3.11) και (3.12), προκύπτει ότι η του συντελεστή (εξίσωση 3.13). q n (t) ισούται με το γινόμενο n επί τη μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, q n(t) ndn (3.13) D n Με αντικατάσταση της (3.13) στην (3.10) προκύπτουν οι οριζόντιες μετακινήσεις του καταστρώματος της γέφυρας: u n(t) n nd n(t) (3.14) Κάθε μέγεθος απόκρισης του φορέα, r(t), όπως είναι οι μετακινήσεις κόμβων, τα εντατικά μεγέθη στοιχείων, στροφές κ.ά., ορίζεται από την εξίσωση r(t) st rn S an (t) (3.15) st όπου το μέγεθος r n, είναι η τιμή του μεγέθους απόκρισης του φορέα r που προκύπτει από την ελαστική στατική ανάλυση του συστήματος όταν σε αυτό επιβάλλεται η φόρτιση s n, και S an (t) είναι η ψευδο-επιτάχυνση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος για τη n- οστή ιδιομορφή ταλάντωσης, και ορίζεται από την εξίσωση 2 S an(t) nd n(t) (3.16) 54

97 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Οι εξισώσεις (3.14) και (3.15) εκφράζουν την απόκριση του φορέα της γέφυρας για τη φόρτιση p eff,n (t) που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή. Τα μεγέθη απόκρισης για τη φόρτιση p eff (t), υπολογίζονται από τις αντίστοιχες εξισώσεις (3.17) και (3.18). N N u(t) u n(t) n nd n(t) (3.17) n 1 n 1 N N st r(t) r n(t) rn S an(t) (3.18) n 1 n 1 Η μέγιστη τιμή του μεγέθους απόκρισης r no για τη n-οστή ιδιομορφή ταλάντωσης του συστήματος υπολογίζεται από τη σχέση (3.19) r no st rn Sa n (3.19) όπου S an, είναι η τιμή της ψευδο-επιτάχυνσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή ταλάντωσης της γέφυρας, με ιδιοπερίοδο Tn 2 / n, και απόσβεση συστήματος n. Η τιμή της απόκρισης (μέγιστη τιμή) για το σύνολο των n ιδιομορφών του συστήματος, υπολογίζεται είτε με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (Square Root of Sum of Squares- SSRS) (2.33), ή με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (Complete Quadratic Combination- CQC) (βλ. εξίσωση (2.34). Παρατηρώντας τις εξισώσεις (3.6) και (3.19) συνάγεται ότι οι μέγιστες ιδιομορφικές τιμές r no των μεγεθών απόκρισης μπορούν να υπολογιστούν με δύο τρόπους: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι ισοδύναμες στατικές δυνάμεις εξαρτώνται από δύο παράγοντες: (i) από τη συνεισφορά της n-οστής ιδιομορφής s n στη χωρική κατανομή των εξωτερικών δυνάμεων p(t) και (ii) από την ψευδοεπιτάχυνση της n-οστής ιδιομορφής του μονοβάθμιου συστήματος για τη σεισμική διέγερση u(t) g. (i) Στο πολυβάθμιο σύστημα της γέφυρας εφαρμόζεται η ελαστική στατική ανάλυση για φόρτιση με τα στατικά φορτία που ορίζονται από τη σχέση fno snsan nm nsan (3.20) Η τιμή της ψευδο-επιτάχυνσης S an, υπολογίζεται από το φάσμα ψευδο-επιταχύνσεων και αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο Τ n, του ελαστικού ΙΜΣ της n-οστής ιδιομρφής. Από την εξίσωση (3.14) προκύπτει ότι στην περίπτωση αυτή η μέγιστη ιδιομορφική μετακίνηση του σημείου ελέγχου ορίζεται από την εξίσωση u S (3.21) cno n cn d n όπου cn είναι η συντεταγένη του n-οστού ιδιομορφικού διανύσματος που αντιστοιχεί στο 2 σημείο ελέγχου c, και Sdn S an / n η ελαστική φασματική μετακίνηση του ΙΜΣ της n- οστής ιδιομορφής. Δεδομένου ό,τι τα μεγέθη n και cn αποτελούν γνωστές ιδιότητες του συστήματος ενώ η φασματική μετακίνηση μπορεί να ληφθεί από το φάσμα απόκρισης (ή 55

98 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα σχεδιασμού) της σεισμικής διέγερσης, έπεται ότι η τιμή της μέγιστης ιδιομορφικής μετακίνησης μπορεί να υπολογιστεί εκ των προτέρων. (ii) Εναλλακτικά, το μέγεθος απόκρισης rn, υπολογίζεται εφαρμόζοντας στο πολυβάθμιο σύστημα της γέφυρας ελαστική στατική ανάλυση για φόρτιση με κατανομή δυνάμεων που ορίζεται από τη σχέση (3.22), μέχρι τη στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου (c) του συστήματος, u cno, η οποία ορίζεται από τη σχέση (3.21). * s n m n (3.22) Η μέγιστη τιμή του μεγέθους απόκρισης του φορέα λαμβάνεται μετά από επαλληλία των τιμών r no με κατάλληλο συνδυαστικό κανόνα (βλ. εξίσωση (2.33) ή εξίσωση (2.34) Ανελαστική απόκριση γεφυρών Η εξίσωση κίνησης ενός πολυβάθμιου συστήματος με ανελαστική απόκριση κατά τη διάρκεια σεισμικής διέγερσης u g (t), ορίζεται από την εξίσωση (3.23) (Chopra, 2001), δεδομένου ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στα δομικά στοιχεία του φορέα, για ανελαστική απόκριση, δεν είναι ανάλογες προς την ελαστική δυσκαμψία των στοιχείων και την αντίστοιχη μετακίνηση αυτών, αλλά εξαρτώνται από το ιστορικό των μετακινήσεων κατά τη διάρκεια της διέγερσης. mu cu f ( u,sign u )=-m u (t) (3.23) s g Παρά το γεγονός ότι η ιδιομορφική ανάλυση δεν ισχύει για ανελαστικά συστήματα, για την εφαρμογή της ιδιομορφικής ανελαστικής στατικής ανάλυσης, η εξίσωση (3.23) μετασχηματίζεται σε εξίσωση κίνησης του αντίστοιχου συστήματος με ελαστική απόκριση. Κάθε στοιχείο του ελαστικού συστήματος, ορίζεται έτσι ώστε να έχει την αρχική δυσκαμψία του αντίστοιχου στοιχείου του ανελαστικού συστήματος. Επιπλέον, τα δύο συστήματα έχουν την ίδια μάζα και το ίδιο ποσοστό απόσβεσης. Επομένως, οι ιδιοπερίοδοι και οι ιδιομορφές του ελαστικού συστήματος θα πρέπει να είναι ίδιες με αυτές του ανελαστικού συστήματος (όσο το τελευταίο σύστημα παραμένει στην ελαστική περιοχή απόκρισης). Επομένως, οι μετακινήσεις του ανελαστικού συστήματος μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των ιδιομορφικών μετακινήσεων του αντίστοιχου ελαστικού συστήματος, μέσω της εξίσωσης N u (t) q (t) (3.24) n 1 n n Αντικαθιστώντας την (3.24) στην (3.23), πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέρη της T εξίσωσης με τον όρο n, και χρησιμοποιώντας τον κανόνα ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, προκύπτει η εξίσωση (3.25), από την οποία φαίνεται ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης, εξαρτώνται από το σύνολο των ιδιομορφών του πολυβάθμιου συστήματος, λόγω της ανελαστικής απόκρισής του μετά τη διαρροή του (Chopra & Goel 2001). 56

99 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα F q (t) 2 q u (t) (3.25) sn n n n n n g M n όπου, F F ( q,sign q ) f ( u,sign u ) (3.26) T sn sn n n n s n n Μια βασική παραδοχή που υιοθετείται στην Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση, είναι ότι η επιρροή των ιδιομορφών εκτός της n-οστής είναι μηδενική στην απόκριση του πολυβάθμιου συστήματος, ακόμα και μετά τη διαρροή του συστήματος, κατά την ανελαστική απόκρισή του. Λόγω αυτής της παραδοχής, η κατανομή των σεισμικών δυνάμεων, s, μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της κατανομής των ιδιομορφικών φορτίσεων μέσω της εξίσωσης (3.3), όπου ο όρος n εκφράζει τις ιδιομορφές του αντίστοιχου ελαστικού συστήματος. Επομένως, η εξίσωση κίνησης του πολυβάθμιου ανελαστικού συστήματος, μετατρέπεται στην εξίσωση mu cu f ( u, signu ) s u ( t ) (3.27) s n g Για ελαστική απόκριση του συστήματος, οι εξισώσεις (3.27) και (3.9) ταυτίζονται. Βάσει της παραδοχής ότι οι μετακινήσεις του συστήματος για τη φόρτιση p eff,n (t), ορίζονται από την εξίσωση (3.10), αντικαθίσταται η εξ. (3.10) στην εξ. (3.27), T πολλαπλασιάζονται τα δύο μέρη της εξίσωσης με τον όρο n και προκύπτει η εξίσωση (3.25), με τη βασική παραδοχή ότι οι εσωτερικές δυνάμεις του συστήματος εξαρτώνται μόνο από τις συνισταμένες των ιδιομορφικών μετακινήσεων q n (t) (εξίσωση (3.26)). Με την παραδοχή αυτήν, η λύση της εξίσωσης (3.27), μπορεί να οριστεί σύμφωνα με την εξίσωση (3.12), όπου ο όρος D n, θα πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση (3.28) F D 2 D u (t) (3.28) sn n n n n g Ln όπου, F F (D,signD ) f (D,signD ) (3.29) T sn sn n n n s n n Η εξίσωση (3.28) εκφράζει την εξίσωση κίνησης του ισοδύναμου ανελαστικού μονοβάθμιου συστήματος για τη n-οστή ιδιομορφή. Το ΙΜΣ έχει ιδιοπερίοδο T n και ποσοστό απόσβεσης n, κοινά με αυτά του αντίστοιχου ελαστικού πολυβάθμιου συστήματος του φορέα, έχει μοναδιαία μάζα ενώ η σχέση ανάμεσα στον όρο F sn και στη μετακίνηση του ΙΜΣ, D n, ορίζεται μέσω της εξίσωσης (3.29). Η μετατροπή του πολυβάθμιου συστήματος, η απόκριση του οποίου ορίζεται μέσω της καμπύλης αντίστασης του φορέα σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, c, (V bn -u cn ), στο αντίστοιχο ανελαστικό ΙΜΣ, στην παρούσα διατριβή γίνεται με τις σχέσεις που προτείνουν οι Chopra & Goel (2001) για το ΙΜΣ, ενώ στη βιβλιογραφία απαντώνται και άλλοι ορισμοί του ΙΜΣ (π.χ. Fajfar 1999). 57

100 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Η τέμνουσα βάσης του φορέα (V bn ), υπολογίζεται από το άθροισμα των πλευρικών δυνάμεων που επιβάλλονται στο φορέα και σε συνδυασμό με την εξίσωση (3.20), δίνεται από τη σχέση (3.30) V F m S S * bn in n i in an n an i i Από την εξίσωση (3.30) προκύπτει ότι, η ψευδο-επιτάχυνση του ΙΜΣ που αντιστοιχεί στη n-οστή ιδιομορφή του φορέα, μπορεί να οριστεί μέσω της τέμνουσας βάσης που αναπτύσσεται στον φορέα και του συντελεστή συμμετοχής των μετακινήσεων της n-οστής ιδιομορφής, μέσω της εξίσωσης S V bn an * n (3.31) Η μετακίνηση του ΙΜΣ συνδέεται με τη μετακίνηση του φορέα μέσω της σχέσης (3.21) και ορίζεται από την εξίσωση S dn u n n n (3.32) Στο σχήμα (3.1) που ακολουθεί, παρουσιάζεται η μετατροπή της καμπύλης αντίστασης του φορέα στην αντίστοιχη καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ. Στο διγραμμικό διάγραμμα τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, ορίζονται τα μεγέθη: - V bny : η τέμνουσα βάσης κατά την (οιονεί) διαρροή του φορέα (ουσιαστικά, το σημείο καμπής της διγραμμικής σχέσης), για την n-οστή ιδιομορφική φόρτιση - u cny : η μετακίνηση του σημείου ελέγχου c κατά την (οιονεί) διαρροή του φορέα, για τη - V bnu - u cnu n-οστή ιδιομορφική φόρτιση : η τέμνουσα βάσης κατά την αστοχία του φορέα, για τη n-οστή ιδιομορφική φόρτιση : η μετακίνηση του σημείου ελέγχου c κατά την αστοχία του φορέα, για τη n-οστή ιδιομορφική φόρτιση. Με γνωστές τις ιδιότητες του ανελαστικού ΙΜΣ, υπολογίζεται η στοχευόμενη μετακίνηση του, D n. Για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης του ανελαστικού ΙΜΣ, έχουν αναπτυχθεί διάφορες μεθοδολογίες. Οι περισσότερο χρησιμοποιούμενες είναι η μέθοδος του Ικανοτικού Φάσματος (Freeman et al. 1975, Freeman, 1998), η μέθοδος διορθωτικών συντελεστών (FEMA 1997, ΥπΥποΜεΔι 2012), η μέθοδος των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας (Capacity and demand sprectra) των Fajfar (1999) και Chopra & Goel (1999), και η απευθείας εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης μέσω δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων του ΙΜΣ (Chopra & Goel, 2002). Λεπτομέρειες σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού της στοχευόμενης μετακίνησης παρουσιάζονται στην της παρούσας διατριβής. 58

101 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα V bn V b un V b yn ιδεατή διγραμμική καμπύλη αντίστασης πραγματική καμπύλη αντίστασης 1 α n k n S a φάσμα απαίτησης καμπύλη αντίστασης ΙΜΣ α 4π2 n 1 Τ n 2 1 k n 1 4π2 Τ n 2 u c yn u c un Σχήμα 3.1 Μετατροπή της καμπύλης αντίστασης του φορέα (πολυβάθμιο σύστημα) σε καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ. u n S dn S d Κατόπιν, από την εξίσωση (3.21) προσδιορίζεται η τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης του σημείου ελέγχου του πολυβάθμιου συστήματος για τη n-οστή ιδιομορφή u cno. Οι ιδιομορφικές μετακινήσεις οποιουδήποτε σημείου του καταστρώματος της γέφυρας, ή οι ιδιομορφικές τιμές οποιουδήποτε άλλου μεγέθους απόκρισης του φορέα, λαμβάνονται από το πρόγραμμα, συναρτήσει της μετακίνησης u cno. Οι τελικές τιμές των μεγεθών απόκρισης r, o υπολογίζονται με επαλληλία των αντίστοιχων ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας, σύμφωνα με την εξίσωση (2.33) ή με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (εξ. (2.34)). Η Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση, στηρίζεται σε τρεις βασικές παραδοχές. Η πρώτη παραδοχή αφορά στη συσχέτιση των ιδιομορφών του συστήματος, η οποία δεν λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάλυση του φορέα. Θεωρείται ότι η επιρροή των ιδιομορφών εκτός της n-οστής στην απόκριση του συστήματος για τη n-στή ιδιομορφική φόρτιση είναι μηδενική, ακόμα και μετά τη διαρροή του φορέα. Η δεύτερη παραδοχή αφορά στην επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών για τον υπολογισμό του τελικού μεγέθους απόκρισης, η οποία ισχύει μόνο σε συστήματα με ελαστική απόκριση. Η δυνατότητα έκφρασης του μεγέθους απόκρισης μέσω των n επιμέρους αντίστοιχων ιδιομορφικών μεγεθών, σύμφωνα με την εξίσωση (3.17) δεν ισχύει για ανελαστική απόκριση του συστήματος, λόγω της σύζευξης των ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα, μετά τη διαρροή του συστήματος. Εντούτοις, κρίνεται ότι αποτελεί μια εύλογη παραδοχή, πρακτικά εύκολα εφαρμόσιμη λόγω της εμπειρίας εφαρμογής της στα αντίστοιχα ελαστικά συστήματα, ενώ μέσω των αναλύσεων που έχουν πραγματοποιηθεί την τελευταία δεκαετία από πολλούς μελετητές (Chopra & Goel 2002, 2004, Kalkan & Kunnath 2004, 2007, Chintanapakdee & Chopra, 2003) αποδεικνύεται ότι οδηγεί σε ικανοποιητικά αποτελέσματα. Η τρίτη βασική παραδοχή που υιοθετείται στην ΙΑΣΑ αφορά στην ανάγκη αντικατάστασης του πολυβάθμιου συστήματος με το ανελαστικό ΙΜΣ και κατ επέκταση, της αντικατάστασης της n-οστής καμπύλης αντίστασης του φορέα με μια ιδεατή διγραμμική καμπύλη, από την οποία ορίζεται η σχέση San - S dn, που περιγράφει την απόκριση του ανελαστικού ΙΜΣ. Σημειώνεται ότι η διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης είναι υποχρεωτική, διότι διαφορετικά δεν μπορούν να οριστούν μεγέθη απαραίτητα για τη διαδικασία, όπως η ιδιοπερίοδος στην ελαστική περιοχή και ο δείκτης πλαστιμότητας. 59

102 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα 3.2 Προσαρμογή της ΙΑΣΑ για εφαρμογή της σε φορείς γεφυρών. Η ανάλυση μιας κατασκευής με την μέθοδο της Ιδιομορφικής Ανελαστικής Στατικής Ανάλυσης (ΙΑΣΑ), υλοποιείται με την εφαρμογή ανεξάρτητων ανελαστικών στατικών αναλύσεων με φορτίσεις που καθορίζονται βάσει των σημαντικότερων ιδιομορφών του φορέα στην εξεταζόμενη διεύθυνση ανάλυσης. Ειδικότερα, σε κάθε ανελαστική στατική ανάλυση, επιβάλλεται στον φορέα μια σταθερή κατανομή φόρτισης ανάλογη προς τα αντίστοιχα ιδιομορφικά φορτία, η οποία αυξάνεται σταδιακά μέχρι να αναπτυχθεί η στοχευόμενη μετακίνηση ή μέχρι να επέλθει η αστοχία του φορέα. Κατά τη διαδικασία αυτή, χαράσσονται ανεξάρτητες καμπύλες αντίστασης του φορέα, οι οποίες στη συνέχεια μετατρέπονται σε αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης της κατασκευής για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση και εν συνεχεία για τον υπολογισμό των απαιτούμενων μεγεθών απόκρισης. Τα βασικά βήματα εφαρμογής της μεθόδου έχουν αναπτυχθεί από τους Chopra και Goel (2001, 2002), ενώ στην παρούσα διατριβή εξετάζονται και αναπτύσσονται οι παραδοχές και οι απαραίτητες βελτιώσεις της μεθοδολογίας ώστε να είναι εφικτή η εφαρμογή της σε φορείς ολόσωμων γεφυρών από οπλισμένο σκυρόδεμα. Τα βήματα της μεθόδου παρουσιάζονται λεπτομερώς στις παραγράφους που ακολουθούν. Βήμα 1: Υπολογισμός των ιδιομορφικών χαρακτηριστικών της γέφυρας. Αρχικά, εφαρμόζεται η ιδιομορφική ελαστική ανάλυση για τον υπολογισμό των δυναμικών χαρακτηριστικών της γέφυρας. Υπολογίζονται οι ιδιοπερίοδοι ταλάντωσης, T n καθώς και τα αντίστοιχα ιδιομορφικά διανύσματα μετακινήσεων, n, για κάθε διεύθυνση ανάλυσης (διαμήκη, εγκάρσια). Σε αντίθεση με τους κτιριακούς φορείς, στις γέφυρες, ο αριθμός των ιδιομορφών που απαιτείται να λαμβάνεται υπόψη για την κάλυψη του ποσοστού 90% της συνολικής μάζας του φορέα για κάθε διεύθυνση ανάλυσης (κριτήριο που χρησιμοποιείται στους σύγχρονους αντισεισμικούς κανονισμούς), είναι σημαντικά μεγαλύτερος. Εντούτοις, από τις αναλύσεις σε φορείς γεφυρών που έγιναν στην παρούσα διατριβή, βρέθηκε ότι για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ ο αριθμός των ιδιομορφών που επηρεάζουν την απόκριση του συστήματος είναι μικρός για κάθε διεύθυνση ανάλυσης (Paraskeva et al., 2006). Περισσότερες λεπτομέρειες για τον απαιτούμενο αριθμό των ιδιομορφών που πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στην ΙΑΣΑ δίνονται στην Σε γέφυρες από οπλισμένο σκυρόδεμα, οι ελαστικές ιδιοπερίοδοι θα πρέπει να αντιστοιχούν στην δρώσα δυσκαμψία των μελών του φορέα, όπου για βάθρα τα οποία βρίσκονται κοντά στο σημείο διαρροής τους ή πέρα από αυτό, θα πρέπει να λαμβάνεται η επιβατική δυσκαμψία τους στο σημείο διαρροής της κρίσιμης διατομής (CEN 2005). Βήμα 2: Διεξαγωγή n (n=1, 2, 3,, Ν) ανεξάρτητων ανελαστικών στατικών αναλύσεων, με κατανομή φόρτισης ανάλογη των ελαστικών ιδιομορφικών μετακινήσεων (βλ. σχέση (3.22)). Η κατανομή φόρτισης παραμένει σταθερή σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης. Χαράσσεται η καμπύλη αντίστασης, σε όρους τέμνουσας βάσης και μετακίνησης του σημείου ελέγχου (V bn -u cn ), για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Τα φορτία βαρύτητας εφαρμόζονται στην κατασκευή πριν από την εφαρμογή κάθε ανελαστικής στατικής ανάλυσης, ενώ τα φαινόμενα 2 ας τάξης (Ρ-Δ) λαμβάνονται υπόψη στην ανάλυση εάν κρίνεται ότι επηρεάζουν ουσιωδώς την απόκριση της κατασκευής (το φαινόμενο αυτό παρατηρείται συνήθως σε φορείς γεφυρών με ψηλά βάθρα). Τα φαινόμενα 2 ας τάξης μπορεί να αγνοηθούν εάν δεν υπερβαίνουν το 10% των αντίστοιχων φαινομένων 1 ης τάξης. 60

103 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθούν τα απλοποιημένα κριτήρια για τον έλεγχο επιρροών 2 ας τάξης που προτείνονται στον EC2 part 1 (CEN 2004). Σημειώνεται ότι σε γέφυρες με συμμετρικά ή σχεδόν συμμετρικά κατανεμημένα φορτία βαρύτητας, οι οριζόντιες μετακινήσεις που οφείλονται αποκλειστικά στα φορτία βαρύτητας, u g, είναι σχεδόν μηδενικές. Βήμα 3: Παραγωγή της καμπύλης αντίστασης του ανελαστικού ΙΜΣ. Σύμφωνα με τις σύγχρονες και περισσότερο χρηστικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν για την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης (ASCE 2000, ATC 1996, CEN 2004), απαιτείται η εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα σε διγραμμική για τον προσδιορισμό ενός συμβατικού ορίου διαρροής, και κατ επέκταση του δείκτη πλαστιμότητας του φορέα, ο οποίος χρησιμοποιείται στη μείωση του ελαστικού φάσματος απόκρισης που αντιπροσωπεύει την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Η διγραμμικοποίηση των καμπυλών αντίστασης μπορεί να γίνει με διαφορετικές μεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν για το σκοπό αυτόν (CEN, 2004, ASCE 2000, FEMA-NIBS, 2003, Παναγόπουλος & Κάππος 2009). Η εφαρμογή των επόμενων βημάτων της ΙΑΣΑ δεν επηρεάζεται από την μέθοδο διγραμμικοποίησης της καμπύλης αντίστασης που επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί. Περισσότερες λεπτομέρειες που αφορούν στην διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης δίνονται στην της παρούσας διατριβής. Η διγραμμικοποιημένη καμπύλη αντίστασης του φορέα, η οποία απεικονίζει την απόκριση του πολυβάθμιου συστήματος, μετατρέπεται σε καμπύλη αντίστασης του ανελαστικού ΙΜΣ μέσω των εξισώσεων (3.31) και (3.32). Η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ (capacity curve) εκφράζεται εν γένει σε όρους φασματικής επιτάχυνσης του ΙΜΣ προς τη φασματική μετακίνηση του ΙΜΣ, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στην 3.1. Βήμα 4: Υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ. Ένα κρίσιμο ζήτημα στην εφαρμογή της ΙΑΣΑ έγκειται στο ότι το ποσοστό συμμετοχής των ιδιομορφών που λαμβάνεται υπόψη κατά την επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης του φορέα για τον υπολογισμό των τελικών μεγεθών απόκρισης, θα πρέπει να αντιστοιχεί σε κοινή στάθμη σεισμικής διέγερσης για όλες τις ιδιομορφές. Επομένως για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, πρέπει να υπολογίζεται η στοχευόμενη μετακίνηση του αντίστοιχου ανελαστικού ΙΜΣ, για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση. Για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης στην ανελαστική στατική ανάλυση, έχουν αναπτυχθεί τρεις βασικές μεθοδολογίες, οι οποίες παρουσιάζονται αναλυτικά στην 2.2. Στις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιείται η μέθοδος φασμάτων απαίτησης και ικανότητας (Fajfar 1999, Goel & Chopra 1999). Για ελαστική απόκριση του συστήματος, η στοχευόμενη μετακίνηση προκύπτει από το σημείο τομής της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ με το ελαστικό φάσμα που αντιπροσωπεύει την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση. Για ανελαστική απόκριση του συστήματος, ο υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης στην παρούσα διατριβή προτείνεται να γίνεται με τη χρήση ενός ανελαστικού φάσματος, η παραγωγή του οποίου γίνεται με μείωση του ελαστικού φάσματος με τον δείκτη R μ. Για τον υπολογισμό του δείκτη R μ, χρησιμοποιούνται εδώ οι σχέσεις που προτείνονται από τους Miranda & Bertero (1994), ενώ μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε άλλη ανάλογη σχέση (βλ ). Έχει αποδειχθεί (Chopra & Goel 1999, Kappos & Petranis 2001) ότι η χρήση του ανελαστικού φάσματος οδηγεί σε πιο ακριβή αποτελέσματα σε σχέση με την μέθοδο που προτείνεται από το ATC-40 (1996), σύμφωνα με την οποία το ελαστικό φάσμα μειώνεται 61

104 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα με κατάλληλους συντελεστές απόσβεσης που εξαρτώνται από την πλαστιμότητα της κατασκευής. Βήμα 5: Υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης του σημείου ελέγχου της γέφυρας. Η στοχευόμενη μετακίνηση του ανελαστικού ΙΜΣ, D n, ανάγεται στην στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου c της γέφυρας, u cno, μέσω της εξίσωσης (3.21). Ως σημείο ελέγχου του φορέα μπορεί καταρχήν να επιλεγεί οποιοδήποτε σημείο του (καταστρώματος) του φορέα πλην εκείνων όπου μηδενίζεται η μετακίνηση. Περισσότερες λεπτομέρειες για την επιλογή του σημείου ελέγχου δίνονται στην Βήμα 6: Υπολογισμός των μεγεθών απόκρισης για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Τα ζητούμενα μεγέθη απόκρισης του φορέα, r nο, υπολογίζονται με βάση την στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου του καταστρώματος, για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση, λαμβάνοντας υπόψη την ταυτόχρονη δράση των κατακόρυφων φορτίων βαρύτητας. Οι μετακινήσεις και οι πλαστικές αρθρώσεις των μελών της γέφυρας για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, λαμβάνονται απευθείας από τη βάση δεδομένων του προγράμματος ανάλυσης. Αντίθετα, αποδείχθηκε από τους Goel & Chopra (2004) ότι για ανελαστική απόκριση της κατασκευής, θα πρέπει να γίνεται μια διόρθωση στον υπολογισμό της τέμνουσας βάσης του φορέα, V bn, διότι υπάρχει κίνδυνος υπερεκτίμησης των τελικών εντατικών μεγεθών, όταν αυτά λαμβάνονται με τον κανόνα απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) των μεγεθών που προκύπτουν από κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Συγκεκριμένα, οι ροπές κάμψης που αναπτύσσονται στα άκρα των δομικών στοιχείων όπου σχηματίζονται οι πλαστικές αρθρώσεις, πρέπει να διορθώνονται με βάση το (μηγραμμικό) διάγραμμα ροπών- στροφών (Μ-θ) που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη διατομή. Επομένως, η πλαστική στροφή που αναπτύσσεται στην κρίσιμη διατομή του δομικού στοιχείου (π.χ. θ pier βάθρου) υπολογίζεται με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) των επιμέρους τιμών των πλαστικών στροφών που αναπτύσσονται στη συγκεκριμένη διατομή, σε κάθε ιδιομορφική φόρτιση και για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης, σύμφωνα με τη σχέση pier 2 pier,n (3.33) Στη συνέχεια οι ροπές κάμψης εκτιμώνται συναρτήσει αυτής της πλαστικής στροφής από το διάγραμμα Μ - θ. Οι αντίστοιχες τέμνουσες των δομικών στοιχείων υπολογίζονται συναρτήσει των παραπάνω τιμών ροπών κάμψης που αναπτύσσονται στα άκρα του στοιχείου. Η τέμνουσα βάσης του φορέα προκύπτει από το άθροισμα των τεμνουσών δυνάμεων των κατακόρυφων στοιχείων της γέφυρας. Βήμα 7: Επανάληψη διαδικασίας για τις σημαντικότερες ιδιομορφές. Τα βήματα 2 έως 6 επαναλαμβάνονται για όλες τις ιδιομορφές που κρίνονται απαραίτητες για την επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας της μεθόδου. Ο αριθμός των απαραίτητων ιδιομορφών για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ μπορεί να διαφέρει σημαντικά σε διαφορετικούς τύπους γεφυρών ή ακόμα και στις διευθύνσεις ανάλυσης της ίδιας γέφυρας. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι κατά τη διαμήκη διεύθυνση γέφυρας από Ο/Σ με ελεύθερη δυνατότητα μετακίνησης του καταστρώματος, απαιτούνται έως δύο ιδιομορφές, ενώ κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης γέφυρας από Ο/Σ με μονολιθική σύνδεση των βάθρων στο κατάστρωμα ο αριθμός των απαιτούμενων ιδιομορφών μπορεί να κυμαίνεται από δύο έως τέσσερεις. 62

105 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Λεπτομέρειες για τον αριθμό των απαραίτητων ιδιομορφών δίνονται στην παράγραφο Βήμα 8: Υπολογισμός των τελικών μεγεθών απόκρισης. Τα τελικά μεγέθη απόκρισης, r, o προκύπτουν με κατάλληλη επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών r no, που υπολογίστηκαν στα προηγούμενα βήματα. Η επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης γίνεται με κατάλληλο στατιστικό κανόνα, όπως της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (Square Root of Sum of Squares- SSRS) (εξίσωση (2.33)) ή της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (Complete Quadratic Combination- CQC) (εξίσωση (2.34)). 3.3 Κρίσιμα σημεία της μεθόδου Κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε φορείς ολόσωμων γεφυρών από σκυρόδεμα, εντοπίστηκαν ορισμένα κρίσιμα σημεία τα οποία χρήζουν ιδιαίτερης προσοχής για την αποτελεσματικότητα και την ορθή εφαρμογή της μεθόδου. Τα σημεία αυτά ουσιαστικά αποτελούν τα βασικά σημεία διαφοροποίησης της ΙΑΣΑ φορέων γεφυρών σε σχέση με την μέθοδο ΙΑΣΑ που αναπτύχθηκε αρχικά από τους Chopra & Goel (2001, 2002) για κτιριακούς φορείς. Τα σημαντικότερα σημεία που απαιτούν περαιτέρω διερεύνηση κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε γέφυρες είναι η επιλογή των απαραίτητων ιδιομορφών για την εφαρμογή της μεθόδου, ο τρόπος διγραμμικοποίησης της καμπύλης αντίστασης του πολυβάθμιου συστήματος, η επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου του φορέα ως προς το οποίο ορίζονται τα επιθυμητά μεγέθη απόκρισης, και ο τρόπος υπολογισμού της στοχευόμενης μετακίνησης του ισοδύναμου ανελαστικού μονοβάθμιου συστήματος Αριθμός απαραίτητων ιδιομορφών Η επιλογή του αριθμού των απαραίτητων ιδιομορφών για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε φορείς γεφυρών, αποτελεί μια πιο σύνθετη διαδικασία σε σχέση με αυτήν που ακολουθείται στην περίπτωση των κτιριακών φορέων. Αναλύσεις έδειξαν ότι σε σύνθετες γέφυρες μεγάλου μήκους, χρειάζονται μερικές δεκάδες ιδιομορφές για την κάλυψη του 90% της συνολικής μάζας του φορέα κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση ανάλυσης. Ως παράδειγμα αναφέρεται η ιδιομορφική ανάλυση της πρόσφατα κατασκευασμένης γέφυρας οχτώ ανοιγμάτων και συνολικού μήκους 1036m, στον ποταμό Άραχθο, κατά την οποία απαιτούνταν περίπου 450 ιδιομορφές για την κάλυψη του 90% της συνολικής μάζας της κατασκευής για κάθε διεύθυνση ανάλυσης (συμπεριλαμβανομένων και των κατακόρυφων μαζών). Από αναλύσεις που έγιναν στο πλαίσιο της παρούσας διδακτορικής διατριβής (βλ. 5.2, 6.2 και 7.2), διαπιστώθηκε ότι η επιρροή ανώτερων ιδιομορφών με μικρό ποσοστό συμμετοχής (μικρότερο από 5%) στην συνολική μάζα της κατασκευής, δεν είναι σημαντική. Ως εκ τούτου, μπορεί να επιλεγούν λιγότερες ιδιομορφές για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ, ακόμα και αν δεν ικανοποιείται το κριτήριο της κάλυψης του ποσοστού 90% της συνολικής ταλαντούμενης μάζας του φορέα. Ο αριθμός των σημαντικότερων ιδιομορφών που μπορεί να επιλέγεται, διαφοροποιείται κατά περίπτωση και εξαρτάται από την μορφολογία, τις συνθήκες στήριξης της γέφυρας, καθώς και τη διεύθυνση ανάλυσης. Επομένως δεν είναι δυνατόν να οριστεί συγκεκριμένος αριθμός ιδιομορφών που θα πρέπει να λαμβάνεται για την 63

106 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα εφαρμογή της ΙΑΣΑ, αλλά σε κάθε γέφυρα πρέπει να εφαρμόζεται η ιδιομορφική ανάλυση, να λαμβάνονται οι πιο σημαντικές ιδιομορφές ταλάντωσης ανά διεύθυνση ταλάντωσης, (ανεξάρτητα αν ικανοποιείται το κριτήριο της κάλυψης του 90% της συνολικής μάζας του φορέα) και να ακολουθεί σχετική διερεύνηση για την ενδεχόμενη επιρροή περισσότερων ανώτερων ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα. Σημειώνεται ότι στις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διδακτορικής διατριβής, βρέθηκε ότι για όλους τους τύπους γεφυρών που εξετάστηκαν, κατά τη διαμήκη διεύθυνση ανάλυσης απαιτούνται μέχρι δύο (2) ιδιομορφές ενώ κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης ο μέγιστος αριθμός των απαιτούμενων ιδιομορφών είναι τέσσερεις (4), ενώ ιδιομορφές με ποσοστό ενεργοποίησης κάτω από 5% δεν απαιτείται να λαμβάνονται υπόψη, διότι δεν συνεισφέρουν ουσιωδώς στην τελική απόκριση της γέφυρας. Η χρήση περισσότερων ιδιομορφών είναι δυνατή, χωρίς όμως να εξασφαλίζει μεγαλύτερο βαθμό ακρίβειας της μεθοδολογίας Διγραμμικοποίηση των καμπυλών αντίστασης Η μεθοδολογία της ΙΑΣΑ περιλαμβάνει την αναγωγή του πολυβάθμιου συστήματος σε ένα αντίστοιχο ισοδύναμο ανελαστικό μονοβάθμιο σύστημα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Για το λόγο αυτόν, η καμπύλη αντίστασης του φορέα πρέπει να αντικαθίσταται από μια εξιδανικευμένη διγραμμική καμπύλη, μέσω της οποίας ορίζονται ένα συμβατικό όριο διαρροής και αστοχίας του φορέα, στοιχεία που χρησιμοποιούνται στην μετατροπή της καμπύλης σε καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ, καθώς και για τον υπολογισμό του απαιτούμενου ανελαστικού φάσματος (που αντιστοιχεί στην απαιτουμένη πλαστιμότητα). Για τη διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης του φορέα, έχουν διατυπωθεί πολλές προτάσεις. Εδώ παρουσιάζονται συνοπτικά τρεις από τις συχνότερα χρησιμοποιούμενες, οι οποίες προτείνονται στα εγχειρίδια FEMA 356 (ASCE, 2000), HAZUS (FEMA-NIBS, 2003) και EC8 (CEN, 2004), και ενσωματώνουν σειρά παλαιότερων σχετικών προτάσεων καθώς και η μεθοδολογία διγραμμικοποίησης που προτείνεται από την ερευνητική ομάδα του ΑΠΘ (Παναγόπουλος & Κάππος, 2009). Η πρώτη μεθοδολογία διγραμμικοποίησης, παρουσιάστηκε αρχικά στο εγχειρίδιο FEMA-273 (1997), το οποίο οριστικοποιήθηκε σε τελική μορφή ως εγχειρίδιο FEMA 356 (ASCE, 2000) και αποτέλεσε τη βάση του Αμερικανικού κανονισμού σεισμικής αναβάθμισης κτιρίων (ASCE/SEI, 2007). Σύμφωνα με αυτήν τη μεθοδολογία, οι δύο ευθείες που συνθέτουν τη διγραμμική καμπύλη, είναι δυνατόν να προσδιορίζονται γραφικά (σχήμα 3.2). Στη διγραμμική καμπύλη που προκύπτει, η κλίση του πρώτου κλάδου ισούται με την ισοδύναμη πλευρική δυσκαμψία του φορέα, K e, ενώ η κλίση του δεύτερου κλάδου ορίζεται από το γινόμενο Ke. Η ενεργός δυσκαμψία της κατασκευής, K, e ισούται με τη δυσκαμψία που αντιστοιχεί σε δύναμη ίση προς το 60% της δύναμης διαρροής του φορέα, V y, η οποία ορίζεται από την τομή των ευθειών που συνθέτουν τη διγραμμική καμπύλη αντίστασης. Η ανηγμένη κλίση του δεύτερου κλάδου,, προσδιορίζεται από την ευθεία που διέρχεται από το σημείο της διγραμμικής καμπύλης που ορίζει τη διαρροή του φορέα και το σημείο της πραγματικής μη-γραμμικής καμπύλης αντίστασης που αντιστοιχεί στη στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου ή στη μετακίνηση αστοχίας του φορέα. Η δύναμη διαρροής V y, δεν θα λαμβάνεται μεγαλύτερη από τη μέγιστη τέμνουσα βάσης που αντιστοιχεί σε οποιοδήποτε σημείο της πραγματικής 64

107 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα μη-γραμμικής καμπύλης αντίστασης. Η ισοδύναμη ιδιοπερίοδος του φορέα στη θεωρούμενη διεύθυνση ανάλυσης, εκτιμάται με βάση την εξιδανικευμένη διγραμμική καμπύλη αντίστασης του φορέα, και ορίζεται από την εξίσωση (3.34). Ki e T0 (3.34) K e όπου T 0, είναι η ελαστική ιδιοπερίοδος του φορέα στη θεωρούμενη διεύθυνση ανάλυσης, η οποία υπολογίζεται με ελαστική δυναμική ανάλυση της κατασκευής, K i είναι η αντίστοιχη ελαστική πλευρική δυσκαμψία του συστήματος και K e είναι η ενεργός δυσκαμψία. V t V y K i αk e 0.60V y K e Σχήμα 3.2 Εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα με διγραμμική καμπύλη και θετική κλίση στο μετελαστικό κλάδο, κατά FEMA356 (ASCE, 2000). δ t Στο εγχειρίδιο της μεθόδου HAZUS (FEMA-NIBS, 2003) προτείνεται μια μέθοδος διγραμμικοποίησης, η οποία αρχικά παρουσιάστηκε στο εγχειρίδιο ATC-40 (1996). Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτήν, οι δυο ευθείες που συνθέτουν τη διγραμμική καμπύλη μπορεί να προσδιορίζονται γραφικά, με οδηγό την ισότητα (προσεγγιστικά) των εμβαδών των χωρίων που προκύπτουν πάνω και κάτω από τις τομές της πραγματικής και της διγραμμικοποιημένης καμπύλης (σχήμα 3.3). Η πρώτη ευθεία έχει αφετηρία την αρχή των αξόνων και κλίση ίση με την αρχική (ελαστική) δυσκαμψία του συστήματος, K i. Η χάραξη της δεύτερης ευθείας ορίζεται από το σημείο της πραγματικής μη-γραμμικής καμπύλης αντίστασης που αντιστοιχεί στη στοχευόμενη μετακίνηση ή στη μετακίνηση αστοχίας του φορέα και από το σημείο στο οποίο αντιστοιχεί η τέμνουσα βάσης κατά τη διαρροή του φορέα V y. Το σημείο διαρροής του φορέα προσδιορίζεται με τέτοιον τρόπο ώστε τα εμβαδά που ορίζονται πάνω και κάτω από τις τομές της πραγματικής και της εξιδανικευμένης διγραμμικής καμπύλης να είναι ίσα. Ως εκ τούτου, ο πρώτος κλάδος της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης σχεδιάζεται με βάση την κλίση του κλάδου της πραγματικής καμπύλης αντίστασης που εκφράζει την ελαστική απόκριση της κατασκευής. Επομένως, η δρώσα ιδιοπερίοδος του συστήματος που ορίζεται σύμφωνα με τη νέα διγραμμική καμπύλη είναι ίση με την ελαστική ιδιοπερίοδο του συστήματος. 65

108 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα V t K i E 2 E 1 E 1 =E 2 Σχήμα 3.3 Εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα με διγραμμική καμπύλη, κατά ATC-40 (ATC, 1996). δ t Η τρίτη μεθοδολογία, προτείνεται στον Ευρωκώδικα 8 (CEN, 2004), ο οποίος αντιμετωπίζει το θέμα της απλοποίησης των διαγραμμάτων δυνάμεων- παραμορφώσεων μέσω μιας ελαστοπλαστικής προσέγγισης (μηδενική κράτυνση) που βασίζεται στη θεώρηση ίσων εμβαδών (σχήμα 3.4). Αντίστοιχα με τη μέθοδο του HAZUS και στον EC8 το οριακό φορτίο στις καμπύλες αντίστασης λαμβάνεται στο σημείο που ο φορέας μετατρέπεται σε μηχανισμό. F * F y * E 2 E 1 =E 2 E 1 d y * Σχήμα 3.4 Η διγραμμική προσέγγιση του EC8 (CEN, 2004) για τις καμπύλες αντίστασης. d m * Η τέταρτη μεθοδολογία διγραμμικοποίησης, προτάθηκε από την ερευνητική ομάδα του ΑΠΘ (Παναγόπουλος & Κάππος, 2009), και υιοθετεί ορισμένες από τις προτάσεις της μεθόδου της FEMA, παρουσιάζει όμως κάποιες τροποποιήσεις που τη διαφοροποιούν σημαντικά. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτήν, η διγραμμική προσέγγιση των καμπυλών αντίστασης βασίζεται στη θεώρηση ίσων εμβαδών κάτω από την πραγματική και την απλοποιημένη διγραμμική καμπύλη. Η ενεργός δυσκαμψία K και η τέμνουσα διαρροής e 66

109 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα του φορέα V y υπολογίζονται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας έτσι ώστε ο αρχικός κλάδος της διγραμμικής καμπύλης να διέρχεται από το σημείο της πραγματικής καμπύλης που αντιστοιχεί στο 60% της προκύπτουσας V y. Η διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης γίνεται με βάση το θεωρητικό σημείο αστοχίας του φορέα, το οποίο υπολογίζεται μέσω μιας προδιαγεγραμμένης πτώσης αντοχής, η οποία λαμβάνεται ίση με 15% ως 25% της μέγιστης τιμής της τέμνουσας βάσης V max (βλ. σχήμα 3.5). Η μετελαστική κλίση Ke δεν επιτρέπεται να πάρει αρνητικές τιμές και αν προκύψει κάτι τέτοιο τότε λαμβάνεται 0 οπότε και Vy Vu. V u V y αk e V max V u V y αk e 0.60V y K e 0.60V y K e δ y δ u Σχήμα 3.5 Εξιδανίκευση της καμπύλης αντίστασης του φορέα με διγραμμική καμπύλη, κατά τη μέθοδο της ΕΟ του ΑΠΘ (Παναγόπουλος & Κάππος, 2009). δ y δ u Κοινό χαρακτηριστικό των τριών πρώτων μεθοδολογιών αποτελεί η διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης με βάση τη στοχευόμενη μετακίνηση, ουσιαστικά δηλαδή για δεδομένη στάθμη της σεισμικής διέγερσης. Αντίθετα, κατά την πρόταση της ερευνητικής ομάδας του Α.Π.Θ., η διγραμμικοποίηση γίνεται με βάση το θεωρητικό σημείο αστοχίας, ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο ορίζεται, κάτι που καθιστά τη διαδικασία διγραμμικοποίησης ανεξάρτητη από την σεισμική διέγερση. Από τη διαφορετική τιμή της μετακίνησης ως προς την οποία ορίζεται το τελικό σημείο της καμπύλης αντίστασης, προκύπτει ενίοτε μεγάλη διαφορά μεταξύ της καμπύλης που διγραμμικοποιείται ως προς το θεωρητικό σημείο αστοχίας της κατασκευής και εκείνης που διγραμμικοποιείται με βάση τη στοχευόμενη μετακίνηση για την υπό εξέταση σεισμική διέγερση. Η πρώτη προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα ότι ακολουθεί πιστότερα τη συμπεριφορά του φορέα για χαμηλότερες στάθμες της σεισμικής διέγερσης (ιδιαίτερα σε καμπύλες αντίστασης με διαδοχικές μικρές πτώσεις αντοχής), ενώ η δεύτερη προσέγγιση μπορεί να δίνει σημαντικές πληροφορίες για τη συνολική σεισμική απόκριση της κατασκευής. Η επιλογή κατάλληλης μεθοδολογίας για τη διγραμμικοποίηση της πραγματικής καμπύλης αντίστασης είναι σημαντική, διότι μέσω αυτής καθορίζονται τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά μεγέθη, όπως είναι η ενεργός δυσκαμψία και η ενεργός ιδιοπερίοδος του φορέα, καθώς και τα συμβατικά όρια διαρροής και αστοχίας της κατασκευής. Βάσει των μεγεθών αυτών προκύπτει η αντίστοιχη καμπύλη αντίστασης του ανελαστικού ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που χρησιμοποιείται στη μέθοδο του Φάσματος Απαίτησης για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκε, στις περισσότερες περιπτώσεις διγραμμικοποίησης, η μεθοδολογία που προτείνεται από την ερευνητική ομάδα του ΑΠΘ, κατά την οποία λαμβάνεται η καμπύλη αντίστασης του 67

110 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα φορέα που περιγράφει την απόκρισή του μέχρι την αστοχία του (το σημείο αστοχίας του φορέα ορίζεται από την πτώση της αναλαμβανόμενης δύναμης ίση προς 20% της αντοχής του), σε συνδυασμό με τον κανόνα ίσων ενεργειών (τα εμβαδά που ορίζονται από την πραγματική και τη διγραμμική καμπύλη αντίστασης είναι περίπου ίσα). Σε λίγες μόνο περιπτώσεις, στις οποίες παρατηρήθηκε μεγάλη απόκλιση της πραγματικής καμπύλης αντίστασης από τη διγραμμική καμπύλη, και για χαμηλές στάθμες σεισμικών διεγέρσεων, εφαρμόστηκε η μεθοδολογία διγραμμικοποίησης κατά ATC-40 (ATC, 1996). Από τις αναλύσεις που πραγματοποιήθηκαν διαπιστώθηκε ότι η ακρίβεια της ΙΑΣΑ εξαρτάται από το μέγεθος της απόκλισης της διγραμμικής καμπύλης αντίστασης σε σχέση με την πραγματική καμπύλη αντίστασης. Από τις συγκρίσεις των μεγεθών απόκρισης με τα αντίστοιχα μεγέθη που προκύπτουν από τις δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις χρονοϊστορίας, διαπιστώνεται ότι η ακρίβεια της ΙΑΣΑ αυξάνεται όσο περισσότερο προσεγγίζει η διγραμμική καμπύλη αντίστασης την πραγματική καμπύλη. Τα αποτελέσματα με την μεγαλύτερη ακρίβεια, παρατηρούνται όταν η πραγματική καμπύλη αντίστασης είναι διγραμμική. Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης δεν υπόκειται πλέον στο σφάλμα που οφείλεται στην αντικατάσταση της πραγματικής καμπύλης από τη διγραμμική Επιλογή κατάλληλου σημείου χάραξης των καμπυλών αντίστασης Κατά την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης και κατ επέκταση της ΙΑΣΑ σε φορείς γεφυρών, η επιλογή ενός κατάλληλου σημείου ελέγχου των μετακινήσεων αποτελεί ένα κρίσιμο σημείο της μεθοδολογίας. Βάσει του σημείου ελέγχου, ορίζονται αρχικά οι καμπύλες αντίστασης του φορέα, οι οποίες στη συνέχεια χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης, μέσω της οποίας εκτιμώνται τα ζητούμενα μεγέθη απόκρισης. Επομένως, ο έλεγχος των βημάτων της μεθοδολογίας και η χρηστικότητά της εξαρτώνται από την επιλογή ενός κατάλληλου σημείου ελέγχου. Σε αντίθεση με τα κτίρια, στα οποία ορίζεται από τους σύγχρονους κανονισμούς (ΥπΥποΜεΔι, 2012, CEN 2004), να λαμβάνεται ως σημείο ελέγχου το κέντρο μάζας του ανώτερου (πλήρους) ορόφου, στην περίπτωση των γεφυρών η επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου δεν είναι προφανής. Θεωρητικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε σημείο του καταστρώματος της γέφυρας με μη-μηδενική μετακίνηση. Πρακτικά, το σημείο αυτό θα πρέπει να εντοπίζεται εύκολα σε κάθε στάδιο ανάλυσης του φορέα ώστε να είναι εφικτός και εύκολα πραγματοποιήσιμος κάθε έλεγχος ορθότητας της μεθόδου. Επιπλέον, πρέπει οι παραγόμενες καμπύλες αντίστασης να απεικονίζουν όσο το δυνατόν καλύτερα την πραγματική απόκριση του φορέα και ταυτόχρονα να έχουν την επιθυμητή μορφή (διγραμμική) ώστε να είναι εφικτή η αναγωγή τους σε καμπύλες αντίστασης του ανελαστικού Ισοδύναμου Μονοβάθμιου συστήματος και η χρήση τους στον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης μέσω της μεθόδου των Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας. Στην έρευνα που εκπονείται στο πλαίσιο της παρούσας διδακτορικής διατριβής, εντοπίζονται χαρακτηριστικά σημεία του καταστρώματος του φορέα, τα οποία προτείνεται να χρησιμοποιούνται ως σημεία ελέγχου των μετακινήσεων σε φορείς γεφυρών. Περισσότερες λεπτομέρειες δίνονται στην παράγραφο 4.2. Κάθε γέφυρα πρέπει να 68

111 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα εξετάζεται κατά περίπτωση και να εφαρμόζεται η σχετική διερεύνηση για την επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου των μετακινήσεων για κάθε διεύθυνση ανάλυσης, το οποίο μπορεί να είναι διαφορετικό για κάθε ιδιομορφική φόρτιση Υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης Η ανελαστική στατική ανάλυση και κατ επέκταση η ΙΑΣΑ, δεν αποτελούν μόνο μια μέθοδο εκτίμησης της καμπύλης αντίστασης των κατασκευών, αλλά αξιοποιούνται και για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης της κατασκευής για μια συγκεκριμένη σεισμική διέγερση. Η εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης, γίνεται μέσω του υπολογισμού της στοχευόμενης μετακίνησης του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων του φορέα. Επομένως, η εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του φορέα για την εξεταζόμενη στάθμη της σεισμικής διέγερσης αποτελεί ένα κρίσιμο σημείο της μεθόδου που επηρεάζει καθοριστικά την αξιοπιστία και την ακρίβεια της ΙΑΣΑ σε σχέση με την ανελαστική δυναμική ανάλυση. Για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία διάφορες μέθοδοι, εκ των οποίων οι περισσότερο διαδεδομένες και χρησιμοποιούμενες είναι οι εξής: (i) η Μέθοδος Ικανοτικού Φάσματος (Freeman et al. 1975, Freeman, 1998), (ii) η μέθοδος Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας (Capacity and demand Spectra) των Fajfar (1999) και Chopra & Goel (1999). (iii) η μέθοδος των διορθωτικών συντελεστών-coefficient Method (FEMA, 1997, ΥπΥποΜεΔι, 2012) (iv) η ανελαστική δυναμική ανάλυση ενός ΙΜΣ (Chopra & Goel, 2002). Βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή αυτών των μεθόδων υπολογισμού της στοχευόμενης μετακίνησης αποτελεί η μετατροπή του πολυβάθμιου συστήματος του υπό εξέταση φορέα, σε ένα ισοδύναμο ελαστικό ή ανελαστικό μονοβάθμιο σύστημα. Λεπτομέρειες για τις τρεις πρώτες μεθόδους εκτίμησης της στοχευόμενης μετακίνησης, παρουσιάστηκαν στην 2.2. Σε ό, τι αφορά την τέταρτη μέθοδο, η στοχευόμενη μετακίνηση για τη n-οστή ιδιομορφή ταλάντωσης της κατασκευής, προκύπτει από την ανελαστική δυναμική ανάλυση του αντίστοιχου ανελαστικού ΙΜΣ. Η μέθοδος αυτή, είναι περισσότερο σύνθετη και υπολογιστικά απαιτητική σε σχέση με τις προαναφερόμενες μεθόδους εκτίμησης της στοχευόμενης μετακίνησης, και δεν προσφέρεται όταν η διέγερση εισάγεται υπό μορφή φάσματος (που είναι και ο συνηθέστερος τρόπος). Για τους λόγους αυτούς δεν εφαρμόζεται στην παρούσα διατριβή. Στην παρούσα διατριβή, ο υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης γίνεται μέσω της μεθόδου των Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας, ενώ παράλληλα πραγματοποιείται η διερεύνηση της επιρροής της επιλογής της μεθόδου εκτίμησης της στοχευόμενης μετακίνησης στην ακρίβεια της ΙΑΣΑ, με την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης μέσω και της μεθόδου των διορθωτικών συντελεστών. Διαπιστώνεται ότι η τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης διαφοροποιείται ανάλογα με την μέθοδο που επιλέγεται, 69

112 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα γεγονός που επηρεάζει την ακρίβεια της ΙΑΣΑ σε σχέση με τις ανελαστικές δυναμικές αναλύσεις χρονοϊστορίας. Για την παραγωγή του ανελαστικού φάσματος απόκρισης, βάσει του οποίου εκτιμάται η στοχευόμενη μετακίνηση του ΙΜΣ, στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιούνται οι σχέσεις που προτείνονται από τους Miranda & Bertero (1994). Οι σχέσεις αυτές θεωρούνται από τις πιο αξιόπιστες, γιατί προέκυψαν από έναν μεγάλο αριθμό καταγραφών (124 επιταχυνσιογραφήματα) σε διάφορες εδαφικές συνθήκες. Η γενική εξίσωση των Miranda & Bertero για τον μειωτικό συντελεστή R μ ορίζεται από τη σχέση (3.35). 1 R 1 1 (3.35) όπου, Φ είναι ένας αλγόριθμος που ορίζεται από το δείκτη πλαστιμότητας μ, την ιδιοπερίοδο της κατασκευής Τ, και τις συνθήκες εδάφους θεμελίωσης, σύμφωνα με τις εξισώσεις (3.36), (3.37) και (3.38) για εδάφη βραχώδη, για μέσα εδάφη (αλλούβια) και για μαλακά εδάφη, αντίστοιχα exp lnt (3.36) exp 2 lnt (3.37) 2 g 3T g T 1 1 exp 3 ln 3 4 Tg 4 (3.38) όπου T g είναι η κυριαρχούσα ιδιοπερίοδος της εδαφικής κίνησης, που μπορεί να εκτιμηθεί ως η ιδιοπερίοδος που αντιστοιχεί στη μέγιστη φασματική ταχύτητα. Οι εξισώσεις (3.35) και (3.37) βρέθηκαν (Kappos, 1999) σε καλή σύμπτωση με τα φάσματα των ελληνικών καταγραφών σε αλλουβιακά εδάφη, ενώ δεν συμβαίνει στον ίδιο βαθμό για την εξίσωση (3.36) που αναφέρεται σε βραχώδη εδάφη. Στο πλαίσιο των αναλύσεων που εφαρμόστηκαν στην παρούσα διατριβή για τη διερεύνηση της επιρροής του τρόπου υπολογισμού της στοχευόμενης μετακίνησης στην ακρίβεια της ΙΑΣΑ, χρησιμοποιήθηκαν επιπλέον οι σχέσεις που προτείνονται από τους Vidic et al. (1994) για τον υπολογισμό του μειωτικού συντελεστή R μ. Διαπιστώθηκε ότι η τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ επηρεάζεται από τις σχέσεις υπολογισμού του R μ. Υπενθυμίζεται ότι για τις γέφυρες στις οποίες οι σημαντικότερες ιδιομορφές αντιστοιχούν σε μεγάλες τιμές ιδιοπεριόδων, μπορεί εναλλακτικά να εφαρμοστεί η προσέγγιση των ίσων μετακινήσεων για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης, γεγονός που απλοποιεί σημαντικά τη διαδικασία. Επιπλέον, για τις ανώτερες ιδιομορφές, όπου η συμπεριφορά του ανελαστικού ΙΜΣ παραμένει στην ελαστική περιοχή για τις 70

113 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα συνήθεις στάθμες σεισμικών διεγέρσεων, δεν απαιτείται η επαναληπτική διαδικασία που εφαρμόζεται για τον προσδιορισμό της στοχευόμενης μετακίνησης. Επομένως, η μέθοδος των Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας, δεν απαιτεί πάντα πολλούς υπολογιστικούς κύκλους επαναλήψεων, αλλά μπορεί να απλουστευθεί σημαντικά σε πολλές περιπτώσεις γεφυρών. 3.4 Προτεινόμενες βελτιώσεις στην Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Προβλήματα κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε ολόσωμες γέφυρες από σκυρόδεμα Σύμφωνα με την ΙΑΣΑ, διεξάγονται ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, κατά τις οποίες χρησιμοποιούνται τα ελαστικά ιδιομορφικά φορτία για να ορίσουν το διάνυσμα της σεισμικής φόρτισης. Στη συνέχεια χαράσσονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης, οι οποίες μετατρέπονται σε καμπύλες αντίστασης ΙΜΣ, για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης με την μέθοδο των Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας. Εκτιμώνται τα μεγέθη απόκρισης για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, τα οποία επαλληλίζονται με κατάλληλο συνδυαστικό κανόνα για να προκύψουν τα τελικά μεγέθη απόκρισης. Τα βασικά σημεία της μεθοδολογίας προτάθηκαν αρχικά από τους Chopra & Goel (2001, 2002), ενώ βελτιώσεις και προσαρμογές της μεθοδολογίας για την εφαρμογή της σε φορείς γεφυρών έγιναν στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής (βλ. και πρόδρομη δημοσίευση από Paraskeva et al. 2006). Κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ σε αναλύσεις γεφυρών, στις οποίες οι ανώτερες ιδιομορφές παίζουν σημαντικό ρόλο στην τελική απόκριση του συστήματος, διαπιστώθηκε ότι τόσο η στοχευόμενη μετακίνηση όσο και τα τελικά μεγέθη απόκρισης εξαρτώνται από την θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. Συγκεκριμένα, παρατηρήθηκε σε αναλύσεις που έγιναν σε φορείς γεφυρών (βλ. και πρόδρομες δημοσιεύσεις Paraskeva & Kappos 2008, 2010) ότι για την ίδια σεισμική διέγερση, με χρήση διαφορετικών σημείων ελέγχου, οι τελικές μετακινήσεις του καταστρώματος της γέφυρας δεν ταυτίζονταν μεταξύ τους, γεγονός που αποδεικνύει ότι τα τελικά μεγέθη απόκρισης κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ, επηρεάζονταν από την επιλογή του σημείου ελέγχου. Το φαινόμενο αυτό γίνεται περισσότερο εμφανές κυρίως για τις πρώτες σημαντικές ιδιομορφές του φορέα και για υψηλότερες στάθμες της σεισμικής διέγερσης. Επομένως, για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού, το οποίο συνδέεται άμεσα με τον ανελαστικό κλάδο των καμπυλών αντίστασης των ιδιομορφικών φορτίσεων (για ελαστική συμπεριφορά η απόκριση ήταν ανεξάρτητη του σημείου ελέγχου), αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής, η βελτιωμένη ΙΑΣΑ. Στην βελτιωμένη ΙΑΣΑ, εφαρμόζεται μια διόρθωση των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης, με πρωταρχικό στόχο τα τελικά μεγέθη απόκρισης να μην εξαρτώνται από το σημείο ελέγχου του φορέα. Η βελτιωμένη ΙΑΣΑ αναπτύχθηκε υπό το πρίσμα να παραμείνει μια εύκολα εφαρμόσιμη στην πράξη μέθοδος, διατηρώντας τα πλεονεκτήματα της ΙΑΣΑ, αυξάνοντας παράλληλα την αξιοπιστία και την ακρίβειά της. Σημειώνεται εδώ ότι η βελτιωμένη ΙΑΣΑ δεν περιορίζεται αποκλειστικά σε φορείς γεφυρών αλλά μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιονδήποτε φορέα, εφόσον διαπιστωθεί εξάρτηση των τελικών μεγεθών απόκρισης από το σημείο ελέγχου της κατασκευής. 71

114 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Βελτιωμένη ΙΑΣΑ για γέφυρες από σκυρόδεμα Ως γνωστόν, στην ΙΑΣΑ χρησιμοποιούνται τα ελαστικά ιδιομορφικά φορτία για να ορίσουν την κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης, με βάση την οποία γίνεται η εκτίμηση των αντίστοιχων ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης για συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Στη βελτιωμένη ΙΑΣΑ, προστίθεται ένα νέο βήμα στην μεθοδολογία, στο οποίο χρησιμοποιούνται οι ανελαστικές μετακινήσεις του καταστρώματος που προκύπτουν από την ιδιομορφική φόρτιση για την εξεταζόμενη στάθμη της σεισμικής διέγερσης, δηλαδή για την στοχευόμενη μετακίνηση, για να ορίσουν ένα νέο διάνυσμα φόρτισης. Η φόρτιση αυτή χρησιμοποιείται για να παραχθούν νέες καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ, από τις οποίες υπολογίζονται οι διορθωμένες στοχευόμενες μετακινήσεις και τα τελικά μεγέθη απόκρισης της γέφυρας. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μόνο για τις ιδιομορφικές κατανομές φορτίσεων για τις οποίες παρατηρήθηκε η εξάρτηση των μεγεθών απόκρισης από το σημείο ελέγχου, ήτοι στις περιπτώσεις όπου η ανελαστική συμπεριφορά οδηγεί σε αλλοίωση του σχήματος της ελαστικής ιδιομορφής. Η χρήση μιας κατανομής φόρτισης που βασίζεται σε ανελαστικές μετακινήσεις της κατασκευής έχει αναφερθεί στο παρελθόν για κτίρια από τους Saiidi & Sozen (1981). Στο εγχειρίδιο του FEMA-273 (1997), για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ, στην συμβατική ΑΣΑ, στη μέθοδο των διορθωτικών συντελεστών, ο συντελεστής C0, με τον οποίο γίνεται η αναγωγή της φασματικής μετακίνησης σε μετακίνηση του σημείου ελέγχου της κατασκευής, υπολογίζεται με βάση το διάνυσμα των μετακινήσεων του παραμορφωμένου φορέα της κατασκευής, για την υπό εξέταση σεισμική διέγερση. Είναι η πρώτη φορά όμως με βάση τη διεθνή βιβλιογραφία, που χρησιμοποιείται στο πλαίσιο της ΙΑΣΑ ή για φορείς γεφυρών. Η προτεινόμενη μεθοδολογία για την βελτίωση της ΙΑΣΑ, παρουσιάζεται αναλυτικά στα βήματα που ακολουθούν. Για λόγους πληρότητας, παρουσιάζονται συνοπτικά και τα βήματα της μεθοδολογίας που δεν τροποποιούνται. Βήμα 1: Υπολογίζονται τα ιδιομορφικά χαρακτηριστικά του φορέα, ήτοι οι ιδιοπερίοδοι ταλάντωσης της γέφυρας, T n και τα αντίστοιχα ιδιομορφικά διανύσματα μετακινήσεων, n, για κάθε διεύθυνση ανάλυσης (διαμήκη, εγκάρσια). Επιλέγονται (με βάση τα αντίστοιχα ποσοστά συμμετοχής) οι σημαντικές ιδιομορφές ταλάντωσης για κάθε διεύθυνση. Βήμα 2: Διεξάγονται Ν ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις, με κατανομή φόρτισης ανάλογη των ελαστικών ιδιομορφικών μετακινήσεων (βλ. σχέση (3.22)). Η κατανομή φόρτισης παραμένει σταθερή σε όλη τη διάρκεια της ανάλυσης. Τα φορτία βαρύτητας εφαρμόζονται πριν από κάθε ανελαστική στατική ανάλυση του φορέα, ενώ τα φαινόμενα 2 ας τάξεως (Ρ-Δ) λαμβάνονται υπόψη, εφόσον επηρεάζουν την απόκριση του φορέα. Τα φαινόμενα 2 ας τάξης μπορεί να αγνοηθούν εάν δεν υπερβαίνουν το 10% των αντίστοιχων φαινομένων 1 ης τάξης. Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθούν τα απλοποιημένα κριτήρια για τον έλεγχο επιρροών 2 ας τάξης που προτείνονται στον EC2 part 1 (CEN 2004). Παράγονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του φορέα (pushover curves) για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου (V bn -u cn ). Ο αριθμός των ανελαστικών στατικών αναλύσεων καθορίζεται από τον αριθμό των σημαντικότερων ιδιομορφών ανά διεύθυνση ανάλυσης του φορέα. Βήμα 3: Παράγεται η καμπύλη αντίστασης του ανελαστικού ΙΜΣ. Η καμπύλη αντίστασης αντικαθίσταται από μια ιδεατή διγραμμική 'καμπύλη', από την οποία προσδιορίζονται τα 72

115 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα συμβατικά όρια διαρροής και αστοχίας καθώς και ο δείκτης πλαστιμότητας του φορέα. Η διγραμμικοποίηση των καμπυλών αντίστασης προτείνεται να γίνεται με μια από τις μεθοδολογίες που προτείνονται στους σύγχρονους κανονισμούς (ATC 1996, ASCE 2000) ή με τη μέθοδο διγραμμικοποίησης που προτάθηκε από την ερευνητική ομάδα του ΑΠΘ (Παναγόπουλος & Κάππος, 2009), σύμφωνα με όσο αναφέρονται στην της παρούσας διατριβής. Η εφαρμογή των επόμενων βημάτων της μεθοδολογίας δεν επηρεάζεται από την μέθοδο διγραμμικοποίησης που έχει επιλεγεί. Η διγραμμικοποιημένη καμπύλη αντίστασης του φορέα, μετατρέπεται σε καμπύλη αντίστασης του ανελαστικού ΙΜΣ μέσω των εξισώσεων (3.31) και (3.32). Η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ (capacity curve) εκφράζεται εν γένει σε όρους φασματικής επιτάχυνσης του ΙΜΣ (S a ) προς τη φασματική μετακίνηση του ΙΜΣ (S d ). Βήμα 4: Για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, υπολογίζεται η στοχευόμενη μετακίνηση του αντίστοιχου ανελαστικού ΙΜΣ, για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση. Για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης στην ανελαστική στατική ανάλυση, έχουν αναπτυχθεί τρεις βασικές μεθοδολογίες, οι οποίες παρουσιάζονται αναλυτικά στην 2.2. Στις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιείται η μέθοδος Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας (Capacity Spectrum Method, CSM), με χρήση του ανελαστικού φάσματος. Βήμα 5: Υπολογίζεται η στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου της γέφυρας. Η στοχευόμενη μετακίνηση του ανελαστικού ΙΜΣ, D n, ανάγεται στην στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου c της γέφυρας, u cno, μέσω της εξίσωσης (3.21). Ως σημείο ελέγχου του φορέα μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε σημείο του φορέα (στο κατάστρωμα). Περισσότερες λεπτομέρειες για την επιλογή του σημείου ελέγχου δίνονται στην Βήμα 6: Ορίζεται ένα νέο διάνυσμα φόρτισης. Για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, λαμβάνονται οι μετακινήσεις του φορέα που αντιστοιχούν στη στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου, u cno. Στο βήμα αυτό της μεθοδολογίας, εισάγεται η διόρθωση των μεγεθών απόκρισης ώστε να μην εξαρτώνται από τη θέση του σημείου ελέγχου. Για τις ιδιομορφικές φορτίσεις στις οποίες εντοπίζεται το πρόβλημα, χρησιμοποιούνται οι μετακινήσεις του καταστρώματος που υπολογίζονται στο βήμα αυτό, για τον ορισμό ενός νέου διανύσματος ιδιομορφικών μετακινήσεων, το n. Το διάνυσμα n, εκφράζει την στιγμιαία παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα, για την εν λόγω επιβαλλόμενη ιδιομορφική φόρτιση, που αντιστοιχεί στην συγκεκριμένη στοχευόμενη μετακίνηση. Αν ο φορέας παρουσιάζει ελαστική απόκριση ή βρίσκεται κοντά στο σημείο διαρροής, το βήμα αυτό της μεθοδολογίας, παραλείπεται και εφαρμόζεται η ΙΑΣΑ όπως παρουσιάζεται στην παράγραφο 3.2 της διατριβής. Το βήμα αυτό της μεθοδολογίας είναι απαραίτητο μόνο για τις κατασκευές που αναπτύσσουν ανελαστική απόκριση, κυρίως για υψηλές στάθμες σεισμικών διεγέρσεων και για κατανομές φορτίσεων που αντιστοιχούν στις πρώτες ιδιομορφές της κατασκευής. Βήμα 7: Υπολογίζονται τα μεγέθη απόκρισης για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Με βάση το νέο διάνυσμα μετακινήσεων, n, υπολογίζεται εκ νέου η αντίστοιχη καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ (σε όρους San Sdn ) μέσω των σχέσεων (3.39) και (3.40). 73

116 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα S S an dn Vbn M* n u cn Γ φ n cn (3.39) (3.40) όπου, cn είναι η τιμή του ιδιομορφικού διανύσματος n στο σημείο ελέγχου c του φορέα, και n είναι ο συντελεστής συμμετοχής της n-οστής ανελαστικής (στιγμιαίας) ιδιομορφής ο οποίος υπολογίζεται βάσει του νέου διανύσματος ιδιομορφικών ανελαστικών μετακινήσεων n και ορίζεται από την εξίσωση n i i m i i in m 2 in (3.41) Εφαρμόζεται η μέθοδος Φασμάτων Απαίτησης και Ικανότητας, για την εκτίμηση της διορθωμένης στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ, Dn και ακολουθεί ο υπολογισμός της διορθωμένης στοχευόμενης μετακίνησης του σημείου ελέγχου του φορέα u cn, μέσω της εξίσωσης (3.42). u D (3.42) cn n cn n Τα ζητούμενα μεγέθη απόκρισης του φορέα, r nο, υπολογίζονται με βάση τη διορθωμένη στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου του καταστρώματος u cn, για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση, λαμβάνοντας υπόψη την ταυτόχρονη δράση των κατακόρυφων φορτίων βαρύτητας. Οι μετακινήσεις και οι στροφές στις πλαστικές αρθρώσεις των μελών της γέφυρας για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, λαμβάνονται απευθείας από τη βάση δεδομένων του προγράμματος ανάλυσης. Οι ροπές κάμψης και οι τέμνουσες δυνάμεις που αναπτύσσονται στα άκρα των βάθρων πρέπει λαμβάνονται μετά από κατάλληλη επεξεργασία των αντίστοιχων διαγραμμάτων Μ - θ των πλαστικών αρθρώσεων που αναπτύσσονται στα πλάστιμα τμήματα της γέφυρας, ώστε να αποφεύγονται ενδεχόμενες υπερεκτιμήσεις των τελικών εντατικών μεγεθών που αναπτύσσονται σε αυτά τα τμήματα της γέφυρας (βλ. εξίσωση (3.33)). Βήμα 8: Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για τις σημαντικότερες ιδιομορφές της κατασκευής. Τα βήματα 2 έως 7 επαναλαμβάνονται για όλες τις ιδιομορφές που κρίνονται απαραίτητες για την επίτευξη ικανοποιητικής ακρίβειας της μεθόδου. Λεπτομέρειες για τον αριθμό των απαραίτητων ιδιομορφών δίνονται στην παράγραφο Βήμα 9: Υπολογίζονται τα τελικά μεγέθη απόκρισης r, o με κατάλληλη επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών r no, που υπολογίστηκαν στα προηγούμενα βήματα. Η επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης γίνεται με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (Square Root of Sum of Squares- SSRS) (εξίσωση (2.33)) Εναλλακτικά μπορεί να γίνει με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (Complete Quadratic Combination- CQC) (εξίσωση (2.34)). 74

117 Κεφάλαιο 3: Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Γεφυρών από σκυρόδεμα Από τις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής (βλ , και 7.4.2) διαπιστώνεται ότι με τη βελτιωμένη ΙΑΣΑ ελαχιστοποιείται και σε πολλές περιπτώσεις εξαλείφεται το σφάλμα που προκύπτει από την εξάρτηση των τελικών μετακινήσεων από την επιλογή του σημείου ελέγχου. 75

118 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών 4. Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών 4.1 Καμπύλες αντίστασης για φορείς γεφυρών, μέσω της ανελαστικής στατικής ανάλυσης. Ο συνηθέστερος τρόπος παραγωγής της καμπύλης αντίστασης ενός φορέα είναι μέσω της ανελαστικής στατικής ανάλυσης. Ειδικότερα για σεισμική φόρτιση, κατά την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, ο φορέας υποβάλλεται σε οριζόντια φορτία (εφόσον αγνοείται η επιρροή της κατακόρυφης συνιστώσας του σεισμού) κατανεμημένα κατά τρόπο ανάλογο προς τις αδρανειακές δυνάμεις του σεισμού, τα οποία αυξάνονται μονότονα, μέχρις ότου η μετακίνηση του σημείου ελέγχου γίνει ίση με την στοχευόμενη μετακίνηση για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης ή μέχρι να επέλθει η αστοχία της κατασκευής. Από την ανάλυση αυτήν, προκύπτει η καμπύλη αντίστασης του φορέα, η οποία ενγένει χαράσσεται σε όρους τέμνουσας βάσης προς τη μετακίνηση ενός σημείου ελέγχου της κατασκευής. Η καμπύλη αντίστασης του φορέα αποτελεί ένα σημαντικό εργαλείο, τόσο γιατί μέσω αυτής λαμβάνεται μια γενική εικόνα της συνολικής απόκρισης της κατασκευής που υποβάλλεται σε καθορισμένη φόρτιση, όσο και γιατί αποτελεί το βασικό εργαλείο για τους απαιτούμενους ελέγχους κριτηρίων επιτελεστικότητας του φορέα. Συνεπώς, όσο πιο ακριβής είναι η χάραξή της τόσο πιο ρεαλιστική είναι η εικόνα που λαμβάνεται για την απόκριση της κατασκευής και πιο αξιόπιστος ο έλεγχος των απαιτήσεων επιτελεστικότητας. Για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης (δηλ. ουσιαστικά της σεισμικής απαίτησης) στο πλαίσιο της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, η καμπύλη αντίστασης του φορέα, η οποία ορίζει τη μη-γραμμική σχέση τέμνουσας βάσης και μετακίνησης του σημείου ελέγχου, πρέπει να αντικαθίσταται από μια εξιδανικευμένη καμπύλη, η οποία συνιστάται να είναι διγραμμική, για την εκτίμηση της ισοδύναμης πλευρικής δυσκαμψίας, K, e και τον ορισμό των συμβατικών ορίων διαρροής, V y, και αστοχίας, V, u του φορέα. Ανάλογα με τη μεθοδολογία που εφαρμόζεται για τη διγραμμικοποίηση της καμπύλης αντίστασης (ATC 1996, FEMA 2000, Παναγόπουλος & Κάππος 2009), ορίζονται οι τιμές των χαρακτηριστικών μεγεθών αυτής. Η εξιδανικευμένη διγραμμική καμπύλη αντίστασης χρησιμοποιείται τόσο για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης όσο και για την εκτίμηση της πλαστιμότητας, της υπεραντοχής και εν τέλει του δείκτη συμπεριφοράς του φορέα (Kappos et al., 2010a, b). 4.2 Παράγοντες που επηρεάζουν τη μορφή της καμπύλης αντίστασης του φορέα. Η καμπύλη αντίστασης του φορέα αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο για τη σεισμική αποτίμηση και την εκτίμηση των πραγματικών δεικτών συμπεριφοράς της κατασκευής. Στην ανελαστική στατική ανάλυση η μορφή και ο βαθμός αντιπροσωπευτικότητας της καμπύλης αντίστασης παίζουν σημαντικό ρόλο στην αξιόπιστη εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του φορέα και κατ επέκταση στην ακρίβεια της μεθόδου. Επομένως παρουσιάζει ενδιαφέρον η διερεύνηση των παραγόντων που είναι δυνατόν να επηρεάσουν τη μορφή της καμπύλης αντίστασης. Για συγκεκριμένη προσομοίωση των δομικών στοιχείων μιας γέφυρας, οι βασικοί παράγοντες που μπορούν να επηρεάσουν τη 76

119 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών μορφή της καμπύλης αντίστασης του φορέα είναι η κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης (το διάνυσμα φόρτισης) και η θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. Διάνυσμα φόρτισης Το διάνυσμα φόρτισης που επιβάλλεται στον φορέα, στην πλειονότητα των αναλύσεων γεφυρών, καθορίζει τη σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων και κατ επέκταση την τιμή της αναπτυσσόμενης τέμνουσας βάσης. Όταν το σημείο ελέγχου των μετακινήσεων παραμένει σταθερό κατά τη χάραξη της καμπύλης αντίστασης, η μορφή της καμπύλης αντίστασης καθορίζεται από την τιμή της τέμνουσας βάσης που αναπτύσσεται στον φορέα. Για συγκεκριμένη προσομοίωση των δομικών στοιχείων του φορέα και των ανελαστικών χαρακτηριστικών των κρίσιμων διατομών, η κατανομή της επιβαλλόμενης τέμνουσας βάσης επηρεάζει την μορφή της καμπύλης αντίστασης της γέφυρας. Σε αναλύσεις γεφυρών που εφαρμόστηκαν στην παρούσα διατριβή καθώς και σε αναλύσεις γεφυρών που πραγματοποιήθηκαν από τους Isakovic et al. (2003) παρατηρήθηκε ότι, όταν επιβάλλεται 'ομοιόμορφη' κατανομή φόρτισης, σύμφωνα με όσα προτείνονται από τους σύγχρονους κανονισμούς (CEN 2004, FEMA 2000, ΥπΥποΜεΔι 2012), αναπτύσσονται μεγαλύτερες τιμές τέμνουσας βάσης, σε σχέση με άλλες προτεινόμενες κατανομές φορτίσεων (CEN 2004, FEMA 2000, ΥπΥποΜεΔι 2012). Ως εκ τούτου, η προκύπτουσα καμπύλη αντίστασης του φορέα δίνει μεγαλύτερες τιμές υπεραντοχής και ενεργού δυσκαμψίας της γέφυρας. Αντίθετα, μια κατανομή φόρτισης με βάση την κυρίαρχη ιδιομορφή, δίνει μικρότερες τιμές τέμνουσας βάσης, κυρίως σε περιπτώσεις όπου η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών είναι σημαντική στην τελική απόκριση του φορέα. Σε γενικές γραμμές μπορεί να θεωρηθεί ότι οι καμπύλες αντίστασης μιας γέφυρας που προκύπτουν από την εφαρμογή των προαναφερόμενων κατανομών φόρτισης αποτελούν άνω και κάτω όριο των καμπυλών αντίστασης του φορέα που είναι δυνατόν να προκύψουν από την ανελαστική στατική ανάλυσή του με εφαρμογή άλλων κατανομών φορτίσεων, όπως διαπιστώνεται και από τις αντίστοιχες αναλύσεις των γεφυρών που εξετάστηκαν στην παρούσα διατριβή (βλ , και ). Θέση του σημείου ελέγχου Για συγκεκριμένη κατανομή επιβαλλόμενης φόρτισης, ο βασικότερος παράγοντας που επηρεάζει άμεσα τη μορφή της καμπύλης αντίστασης μιας γέφυρας, είναι η θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων στο φορέα, για το οποίο δεν υπάρχει μονοσήμαντη επιλογή. Στην περίπτωση των κτιρίων, ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται ενγένει το κέντρο μάζας της οροφής του κτιρίου (εξαίρεση αποτελούν οι περιπτώσεις στις οποίες υπάρχουν σοφίτες ή μικροί οικίσκοι στο δώμα, όπου το σημείο ελέγχου λαμβάνεται στην οροφή του πλήρους υποκείμενου ορόφου (ΥπΥποΜεΔι, 2012)). Ωστόσο, διαπιστώθηκε ότι για ανώτερες ιδιομορφές, μπορεί να υπάρξει πρόβλημα στη χάραξη των καμπυλών αντίστασης ως προς το συγκεκριμένο σημείο ελέγχου, λόγω αλλαγής της φοράς της μετακίνησης του σημείου ελέγχου μετά τη διαρροή του φορέα (Goel & Chopra, 2005b). Στις γέφυρες, λόγω κυρίως της ποικιλίας των συνθηκών στηρίξεώς τους, δεν είναι προφανής η επιλογή της καταλληλότερης θέσης του σημείου ελέγχου στο φορέα. Το πρόβλημα εντοπίζεται κυρίως στην ανάλυση κατά την εγκάρσια διεύθυνση της γέφυρας, ενώ ο εντοπισμός του 77

120 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών κατάλληλου σημείου ελέγχου, εξαρτάται και από τον τρόπο σύνδεσης του καταστρώματος με τα βάθρα (κυρίως τα ακρόβαθρα). Συγκεκριμένα, κατά τη διαμήκη διεύθυνση ανάλυσης της πλειονότητας των ευθύγραμμων γεφυρών, τα σημεία του καταστρώματος παρουσιάζουν πρακτικά κοινή οριζόντια μετακίνηση. Ως εκ τούτου, οποιοδήποτε σημείο του καταστρώματος μπορεί να επιλέγεται ελεύθερα, για τη χάραξη μιας αντιπροσωπευτικής καμπύλης αντίστασης του φορέα. Στην περίπτωση γεφυρών με μεγάλη καμπυλότητα, ενδέχεται να παρατηρείται διαφοροποίηση στην οριζόντια μετακίνηση των σημείων του καταστρώματος, και να απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση για την επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. Κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης ευθύγραμμων γεφυρών με τοιχωματικά βάθρα, στις οποίες το κατάστρωμα συνδέεται με τα μεσόβαθρα μέσω εφεδράνων ολίσθησης, τα σημεία του καταστρώματος παρουσιάζουν πρακτικά κοινή εγκάρσια διεύθυνση, γεγονός που επιτρέπει την ελεύθερη επιλογή σημείου ελέγχου των μετακινήσεων για τη χάραξη της καμπύλης αντίστασης. Το πρόβλημα επιλογής του κατάλληλου σημείου ελέγχου εντοπίζεται κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης γεφυρών με καμπυλότητα, ή γεφυρών με μονολιθικές συνδέσεις του καταστρώματος με τα μεσόβαθρα, όπου οι εγκάρσιες μετακινήσεις των σημείων κατά μήκος του καταστρώματος μπορεί να διαφέρουν σημαντικά ή και ακόμα να είναι και προς αντίθετες κατευθύνσεις. Η επιλογή της θέσης του σημείου ελέγχου αποτελεί καθοριστική παράμετρο για τον ορισμό της μορφής της καμπύλης αντίστασης, όπως επίσης και για τον ορισμό της κλίσης του δεύτερου κλάδου της καμπύλης του ΙΜΣ. Επιπλέον, ως προς το σημείο αυτό υπολογίζεται και εν συνεχεία επιβάλλεται στο φορέα, η στοχευόμενη μετακίνηση για την εξεταζόμενη σεισμική απαίτηση κατά την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης. Αντίθετα, η θέση του σημείου ελέγχου δεν επηρεάζει την κλίση του πρώτου κλάδου της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ, η οποία ισούται με ω n 2 (Σχήμα (3.1)). Από τις αναλύσεις που εφαρμόστηκαν στην παρούσα διατριβή σε τρεις διαφορετικούς τύπους γεφυρών από σκυρόδεμα, και με βάση τις οδηγίες των σύγχρονων κανονισμών, προτείνεται η χρήση των ακόλουθων σημείων ελέγχου των μετακινήσεων για τη χάραξη αντιπροσωπευτικών καμπυλών αντίστασης γεφυρών. (a) (b) Ως σημείο ελέγχου μπορεί να λαμβάνεται το σημείο του καταστρώματος που αντιστοιχεί στο κέντρο μάζας (κ.μ.) του φορέα (CEN 2004-part 2) ή το σημείο πάνω από το κοντινότερο σε αυτό βάθρο, εάν οι εν λόγω μετακινήσεις πρακτικά ταυτίζονται. Σε γέφυρες με μονολιθική σύνδεση των μεσοβάθρων με το κατάστρωμα ή με κάποιου άλλου τύπου ισχυρή μεταξύ τους σύνδεση (π.χ. η ύπαρξη ισχυρού σεισμικού συνδέσμου), η μετακίνηση του καταστρώματος και η μετακίνηση της κεφαλής των βάθρων είναι πρακτικά ίδιες. Κάτι τέτοιο όμως δεν ισχύει και δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση κύλισης ή εύκαμπτης σύνδεσης των δυο αυτών στοιχείων (η σύνδεση αυτού του τύπου επιτυγχάνεται μέσω εφεδράνων ολίσθησης και μέσω ελαστομεταλλικών εφεδράνων, αντίστοιχα). Σε αναλογία με τις κτιριακές κατασκευές (Chopra, 2001), ως σημείο ελέγχου μπορεί να επιλεγεί το σημείο του καταστρώματος που αντιστοιχεί στη θέση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος κατά μήκος του άξονα της γέφυρας, που ορίζεται από τη συνισταμένη των ιδιομορφικών φορτίων που συνθέτουν την 78

121 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών οριζόντια κατανομή φόρτισης (όπως αυτή προκύπτει από την εξίσωση (3.22)). Η θέση αυτή υπολογίζεται από την εξίσωση x * i n i xm i i in m i in (4.1) όπου x i είναι η απόσταση της μάζας m, i από ένα σημείο αναφοράς του πολυβάθμιου συστήματος και in είναι η τιμή της συνιστώσας του διανύσματος της n-οστής ιδιομορφής n, που αντιστοιχεί στην μάζα m. i Στις γέφυρες συνηθίζεται να λαμβάνεται ως σημείο αναφοράς η θέση του σημείου του καταστρώματος πάνω από το ένα εκ των δύο ακροβάθρων του φορέα. Η τιμή * της x n είναι ανεξάρτητη από τον τρόπο κανονικοποίησης του διανύσματος των ιδιομορφών. Στην περίπτωση των κτιριακών φορέων, όταν το Ισοδύναμο Μονοβάθμιο Σύστημα τοποθετείται σε απόσταση ίση με την τιμή της x πάνω από το έδαφος, η ροπή ανατροπής στη βάση του συστήματος ισούται με τη ροπή ανατροπής του πολυβάθμιου συστήματος που προκαλείται από την επιβολή σε αυτό των ιδιομορφικών φορτίων που ορίζονται από την εξίσωση (3.22). Στις γέφυρες, κάτι τέτοιο επιβεβαιώνει ότι η ροπή στη βάση των βάθρων που οφείλεται στην εφαρμογή της τέμνουσας βάσης σε απόσταση * n x είναι ίδια με τη ροπή που αναπτύσσεται κατά την εφαρμογή των ιδιομορφικών φορτίων στον πραγματικό φορέα της γέφυρας. * n (c) (d) Μια άλλη πρόταση (Fischinger et al. 2004, Isakovic & Fischinger 2006) για τη θέση του σημείου ελέγχου είναι το σημείο του καταστρώματος που παρουσιάζει τη μέγιστη μετακίνηση. Στην περίπτωση αυτήν, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί κατάλληλο λογισμικό ή να γίνει μια μετεπεξεργασία των αποτελεσμάτων της ανάλυσης ώστε να εντοπίζεται σε κάθε βήμα της ανάλυσης η θέση του σημείου ελέγχου στο κατάστρωμα, κάτι που κρίνεται ιδιαίτερα χρονοβόρο σε μεγάλους τρισδιάστατους φορείς. Αντίθετα σε φορείς στους οποίους το σημείο μέγιστης μετακίνησης παραμένει σταθερό κατά την επιβολή μιας φόρτισης, το εν λόγω σημείο ελέγχου, αποτελεί μια εύκολη και εύχρηστη επιλογή. Τέλος, μια άλλη πρόταση, που προέκυψε στο πλαίσιο των αναλύσεων της παρούσας διατριβής, είναι η επιλογή ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων, του σημείου του καταστρώματος πάνω από το κρίσιμο βάθρο του φορέα. Ως κρίσιμο βάθρο ορίζεται το βάθρο με τη μεγαλύτερη απαίτηση πλαστικής στροφής. Στην περίπτωση αυτήν, είναι απαραίτητο να γίνει μια πρώτη ανάλυση του φορέα για τον εντοπισμό του κρίσιμου βάθρου ως προς το οποίο θα γίνει ο σχεδιασμός της καμπύλης αντίστασης για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Ενδέχεται, να χρειαστεί να γίνουν περισσότερες από μια αναλύσεις για τον εντοπισμό του κρίσιμου βάθρου, όταν εφαρμόζονται περισσότερες από μια κατανομές επιβαλλόμενων φορτίσεων, διότι είναι δυνατόν να αλλάζει η θέση του σημείου ελέγχου όταν η γέφυρα εισέρχεται στην ανελαστική περιοχή λόγω 79

122 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών της διαφορετικής επιρροής της κατανομής της επιβαλλόμενης φόρτισης στον σχηματισμό των πλαστικών αρθρώσεων. Επομένως, για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, ανάλογα με τη θέση του σημείου ελέγχου που επιλέγεται, παράγονται διαφορετικές καμπύλες αντίστασης του φορέα, οι οποίες μπορεί να μην αντιπροσωπεύουν όλες την πραγματική εικόνα της κατασκευής για τη στάθμη της σεισμικής διέγερσης που εξετάζεται (Paraskeva et al. 2006). Συγκεκριμένα, μπορεί να παραχθούν καμπύλες αντίστασης που να δίνουν την εικόνα ελαστικής απόκρισης του φορέα, ακόμα κι αν στην πραγματικότητα, έχουν δημιουργηθεί πλαστικοποιήσεις σε κάποια σημεία του. Επίσης, υπάρχει περίπτωση να χαραχθούν καμπύλες αντίστασης με αρνητική κλίση του δεύτερου κλάδου ή καμπύλες αντίστασης με αλλαγή της φοράς της μετακίνησης του σημείου ελέγχου μετά τη διαρροή του φορέα, όπου μετά από διαρροή κάποιου στοιχείου του φορέα, η μετακίνηση του σημείου ελέγχου αλλάζει φορά, με αποτέλεσμα στο διάγραμμα τέμνουσας-μετακίνησης, ενώ η τέμνουσα βάσης του φορέα αυξάνεται, η μετακίνηση του σημείου ελέγχου μειώνεται. Οι καμπύλες αυτού του τύπου έχουν το βασικό μειονέκτημα ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης σύμφωνα με τη μέθοδο Φασμάτων Ικανότητας και απαίτησης. Στις περιπτώσεις αυτές αναζητείται ένα διαφορετικό σημείο ελέγχου του φορέα, ως προς το οποίο θα παραχθούν νέες, αντιπροσωπευτικές καμπύλες αντίστασης για την εξεταζόμενη κατανομή φόρτισης. 4.3 Πολυ-ιδιομορφική (σύνθετη) καμπύλη αντίστασης Η Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση (ΙΑΣΑ) στη μορφή που παρουσιάστηκε στην 3.2, χρησιμοποιεί τις καμπύλες αντίστασης των ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφή που συνεισφέρει ουσιωδώς στην απόκριση. Ενδιαφέρον, ωστόσο, παρουσιάζει η χάραξη μιας καμπύλης αντίστασης για τον φορέα η οποία να συνεκτιμά το σύνολο αυτών των ιδιομορφών. Μια τέτοια καμπύλη αναμένεται να προσεγγίζει καλύτερα και την αντίστοιχη που προκύπτει από ανελαστική δυναμική ανάλυση (βλ. επόμενη ενότητα). Η χάραξη αυτής της καμπύλης αντίστασης απαιτεί μια πιο σύνθετη επεξεργασία των αποτελεσμάτων σε σχέση με την παραγωγή της καμπύλης αντίστασης του φορέα μέσω της 'κλασικής' ανελαστικής στατικής ανάλυσης. Αρχικά, εφαρμόζεται στο φορέα η ΙΑΣΑ για τις σημαντικότερες ιδιομορφές κατά τη διεύθυνση ανάλυσης που εξετάζεται. Για κάθε ιδιομορφική φόρτιση παράγεται η καμπύλη αντίστασης του φορέα σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, η οποία μετατρέπεται σε καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ για τον υπολογισμό της αντίστοιχης στοχευόμενης μετακίνησης, με τη μέθοδο των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας. Στη συνέχεια, για τη συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής έντασης που εξετάζεται, υπολογίζονται οι μετακινήσεις του σημείου ελέγχου για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Παράλληλα, υπολογίζονται οι αντίστοιχες τιμές της τέμνουσας βάσης του φορέα σύμφωνα με τη μεθοδολογία που έχει προταθεί από τους Goel & Chopra (2004). Οι τέμνουσες του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, όπως και οι αντίστοιχες ιδιομορφικές μετακινήσεις, συνδυάζονται είτε με τον κανόνα απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) (εξ. 2.33) είτε με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (CQC) (εξ. 2.34), ώστε να προκύψουν τα σημεία που θα συνθέσουν τη ζητούμενη καμπύλη αντίστασης του φορέα. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για όλες τις στάθμες της σεισμικής διέγερσης που απαιτούνται για τη χάραξη μιας αντιπροσωπευτικής καμπύλης αντίστασης του φορέα. Αναλυτικά η διαδικασία χάραξης 80

123 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης, παρουσιάζεται στα βήματα που ακολουθούν: Βήμα 1: Παραγωγή καμπυλών αντίστασης για κάθε σημαντική ιδιομορφή του φορέα. Αρχικά εφαρμόζεται η ΙΑΣΑ και παράγονται οι καμπύλες αντίστασης του φορέα για τις πιο σημαντικές ιδιομορφές για τη διεύθυνση που εξετάζεται. Η κατανομή της οριζόντιας φόρτισης που επιβάλλεται ορίζεται από τη σχέση (3.22). Η ανάλυση για κάθε ιδιομορφική φόρτιση εφαρμόζεται μέχρι να επέλθει η αστοχία του φορέα. Η χάραξη των καμπυλών αντίστασης, προτείνεται να γίνεται, εφόσον είναι δυνατόν, ως προς ένα σταθερό σημείο αναφοράς του φορέα, έστω το σημείο i, κοινό για όλες τις ιδιομορφικές φορτίσεις που εφαρμόζονται (Σχήμα 4.1). Ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων, μπορεί να λαμβάνεται ένα από τα σημεία που προτείνονται στην 4.2. Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε άλλο σημείο του φορέα ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων, υπό την προϋπόθεση ότι η παραγόμενη καμπύλη αντίστασης θα έχει την επιθυμητή διγραμμική μορφή ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης. Επισημαίνεται ότι αν γίνει χρήση των σημείων ελέγχου όπως ορίζονται στις παραγράφους (b), (c) και (d) της 4.2, ενδέχεται η θέση των σημείων αυτών να διαφοροποιείται ανάλογα με την κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης. Σε αυτές τις περιπτώσεις προτείνεται να λαμβάνεται ως σημείο ελέγχου το σημείο που επιλέγεται για την δεσπόζουσα ιδιομορφή κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση, το οποίο δεν είναι απαραίτητα το βέλτιστο με τη λογική της 4.2, αλλά προσφέρεται για χρήση και για τις ανώτερες ιδιομορφές. V b,1 V b,2 V b,n u 1,i Σχήμα 4.1 Καμπύλες αντίστασης του φορέα για n ιδιομορφικές φορτίσεις, ως προς το σταθερό σημείο ελέγχου, i. u 2,i u n,i Βήμα 2: Παραγωγή των καμπυλών αντίστασης του ΙΜΣ. Οι καμπύλες αντίστασης του φορέα για τις n ιδιομορφικές φορτίσεις, οι οποίες εκφράζονται εν γένει σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, μετατρέπονται στις αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ (Σχήμα 4.2.). Η μετατροπή γίνεται μέσω των σχέσεων (3.31) και (3.32). 81

124 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών S a,1 S a,2 S a,n 1 4π2 Τ S d1,i 4π2 Τ S d2,i Σχήμα 4.2 Καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. 4π2 Τ n 2 S dn,i Βήμα 3:Υπολογισμός στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Ο υπολογισμός της στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης που εξετάζεται (απαιτείται επαρκής αριθμός σταθμών για τη χάραξη μια αξιόπιστης τελικής καμπύλης) γίνεται με την μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας. Η στοχευόμενη μετακίνηση του σημείου ελέγχου, i, εκτιμάται για κάθε ιδιομορφική φόρτιση ξεχωριστά. Επομένως η μέθοδος φασμάτων απαίτησης και ικανότητας εφαρμόζεται n φορές για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, j. S a,1 S a,2 S a,n S d1,i S d2,i S d1j,i S d2j,i S dnj,i S dn,i Σχήμα 4.3 Εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ για την 1 η, 2 η και n-οστή ιδιομορφική φόρτιση. Στην παρούσα διατριβή, έχει χρησιμοποιηθεί το ελαστικό φάσμα του ελληνικού αντισεισμικού κανονισμού (ΕΑΚ2003), το οποίο πολλαπλασιάζεται με σταθερούς συντελεστές (0.1, 0.2,, 2.0, 2.1,, j), έτσι ώστε να παραχθούν τα φάσματα για τις αντίστοιχες στάθμες σεισμικής έντασης έως ότου επέλθει η αστοχία του φορέα. Εναλλακτικά, μπορούν να χρησιμοποιηθούν φάσματα από πραγματικές καταγραφές σεισμών, κατά προτίμηση μέσα φάσματα περισσότερων καταγραφών, ώστε να προκύπτουν ομαλές μορφές καμπυλών αντίστασης. Στο σχήμα (4.3) ο συντελεστής j αναφέρεται στη στάθμη σεισμικής έντασης για την οποία υπολογίζονται οι ιδιομορφικές μετακινήσεις και οι αντίστοιχες τιμές της τέμνουσας βάσης. Βήμα 4: Υπολογισμός μετακίνησης του πραγματικού φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Οι στοχευόμενες μετακινήσεις, D nj,i, όπως υπολογίστηκαν για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, αναφέρονται σε μετακινήσεις του αντίστοιχου ισοδύναμου μονοβάθμιου 82

125 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών συστήματος. Οι μετακινήσεις αυτές ανάγονται στις αντίστοιχες μετακινήσεις του πραγματικού φορέα μέσω των σχέσεων (4.2). Οι μετακινήσεις που προκύπτουν, u nj,i, είναι οι μετακινήσεις του σημείου ελέγχου, i, που χρησιμοποιήθηκε αρχικά στη χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα, και αναφέρονται στην στάθμη σεισμικής διέγερσης, j και στην n-οστή ιδιομορφική φόρτιση. u u... u D 1j,i 1j,i 1 1,i D 2 j,i 2 j,i 2 2,i D nj,i nj,i n n,i (4.2) Για τον υπολογισμό της τελικής μετακίνησης του σημείου ελέγχου, i, ως προς το οποίο χαράσσεται η ιδιομορφική (σύνθετη) καμπύλη αντίστασης του φορέα, οι τιμές των μετακινήσεων u nj,i (βλ. σχέση 4.2), επαλληλίζονται με κατάλληλο συνδυαστικό κανόνα σε επόμενο βήμα. Βήμα 5: Εκτίμηση της τέμνουσας βάσης του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Έχοντας υπολογίσει τις τιμές των μετακινήσεων του σημείου ελέγχου του φορέα για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, j, λαμβάνονται οι αντίστοιχες τιμές της τέμνουσας βάσης του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση (Σχήμα 4.4). Σε περίπτωση όπου για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης ο φορέας παρουσιάζει ελαστική απόκριση, η τιμή της τέμνουσας βάσης μπορεί να λαμβάνεται είτε από τις αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του φορέα που σχεδιάστηκαν στο Βήμα 1, είτε απευθείας από τα αποτελέσματα του λογισμικού που χρησιμοποιείται. V b,1 V b,2 V b,n V bj,2 V bj,n u 1j,i u 2j,i u nj,i u 1,i Σχήμα 4.4 Εκτίμηση της συνολικής τέμνουσας βάσης που αντιστοιχεί στη στοχευόμενη μετακίνηση, για κάθε ιδιομορφική φόρτιση u 2,i u n,i Βρέθηκε από τους Goel & Chopra (2004) ότι σε περίπτωση όπου η μετακίνηση του σημείου ελέγχου του φορέα, u nj, i βρίσκεται στον ανελαστικό κλάδο του διαγράμματος, θα πρέπει να γίνεται μια διόρθωση στον υπολογισμό της τέμνουσας βάσης του φορέα, V b,nj, διότι υπάρχει κίνδυνος υπερεκτίμησης των τελικών εντατικών μεγεθών, όταν αυτά λαμβάνονται απευθείας με τον κανόνα απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) των μεγεθών που προκύπτουν από κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Επομένως, υπολογίζεται η πλαστική στροφή που αναπτύσσεται στην κρίσιμη διατομή του δομικού στοιχείου (π.χ. θ pier βάθρου) με τη σχέση (3.33) και στη συνέχεια οι ροπές κάμψης εκτιμώνται συναρτήσει αυτής της πλαστικής στροφής από το διάγραμμα Μ-θ. Οι αντίστοιχες τέμνουσες των 83

126 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών δομικών στοιχείων υπολογίζονται συναρτήσει των παραπάνω τιμών ροπών κάμψης που αναπτύσσονται στα άκρα του στοιχείου, ενώ η τέμνουσα βάσης του φορέα προκύπτει από το άθροισμα των τεμνουσών δυνάμεων των κατακόρυφων στοιχείων της γέφυρας. Βήμα 6: Χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης. Η τιμή της συνολικής μετακίνησης του σημείου ελέγχου, για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης, που χρησιμοποιείται για τη χάραξη της ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης, προκύπτει με απλή τετραγωνική επαλληλία των επιμέρους ιδιομορφικών μετακινήσεων, όπως αυτές υπολογίστηκαν στο Βήμα 4, σύμφωνα με τη σχέση (4.3). Η τιμή της αντίστοιχης τέμνουσας βάσης του φορέα, προκύπτει με ανάλογο τρόπο, ήτοι με απλή τετραγωνική επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών της τέμνουσας βάσης του φορέα, όπως αυτές υπολογίστηκαν στο Βήμα 5, σύμφωνα με τη σχέση (4.4). u u u... u (4.3) j,i 1j,i 2 j,i nj,i V V V... V (4.4) bj b1j b2 j bnj V b V bj u j,i u i Σχήμα 4.5 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης του φορέα βάσει της ΙΑΣΑ, ως προς το σημείο ελέγχου i. Εναλλακτικά η επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών μπορεί να γίνει με τον κανόνα της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, μέχρι το σημείο στο οποίο επέρχεται η αστοχία του φορέα ή μέχρι μια πολύ υψηλή στάθμη σεισμικής διέγερσης (π.χ. μέχρι την τριπλάσια στάθμη της σεισμικής διέγερσης σχεδιασμού). Παρατηρήσεις Όταν επιλέγεται ένα κοινό σημείο ελέγχου για όλες τις ιδιομορφικές ανελαστικές αναλύσεις βάσει της πρώτης σημαντικής ιδιομορφικής φόρτισης ή γενικότερα μιας οποιασδήποτε ιδιομορφικής φόρτισης, υπάρχει περίπτωση για κάποια ιδιομορφική φόρτιση, η μετακίνηση του σημείου ελέγχου να μην αυξάνει μονοτονικά όσο αυξάνεται η επιβαλλόμενη φόρτιση, αλλά μετά το σημείο διαρροής να αντιστρέφεται η φορά της μετακίνησης (Paraskeva et al., 2006). Κάτι αντίστοιχο έχει παρατηρηθεί για τους 84

127 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών κτιριακούς φορείς από τους Chopra & Goel (2005b). Στην περίπτωση αυτήν, συνιστάται να χρησιμοποιείται για τη χάραξη της καμπύλης αντίστασης για την εν λόγω φόρτιση ένα διαφορετικό σημείο ελέγχου, έτσι ώστε να είναι δυνατή η εφαρμογή της μεθόδου φασμάτων απαίτησης και ικανότητας καθώς και ο υπολογισμός των υπόλοιπων μεγεθών σύμφωνα με τη διαδικασία που προαναφέρθηκε. Επομένως, τα βήματα 1 έως 5 εφαρμόζονται σύμφωνα με τα παραπάνω, με τη διαφορά ότι για τη συγκεκριμένη ιδιομορφική φόρτιση χρησιμοποιείται διαφορετικό σημείο ελέγχου. Στο Βήμα 6, για να είναι εφικτή η επαλληλία των ιδιομορφικών μετακινήσεων θα πρέπει να γίνει η αναγωγή αυτών ως προς ένα κοινό σημείο αναφοράς. Η αναγωγή γίνεται με εύκολο (αν και όχι αυτοματοποιημένο) τρόπο, λαμβάνοντας απευθείας από τα αρχεία αποτελεσμάτων της ανάλυσης, την μετακίνηση του ζητούμενου σημείου ελέγχου. Η διαφορετικότητα και η πρωτοτυπία της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης σε σχέση με τις κλασικές ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης, που είναι συνάρτηση των ιδιομορφικών χαρακτηριστικών του φορέα, αλλά όχι της σεισμικής διέγερσης, εντοπίζεται στο γεγονός ότι η πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης, εξαρτάται από το φάσμα με το οποίο υπολογίζονται οι ιδιομορφικές μετακινήσεις, οι οποίες επαλληλίζονται στη συνέχεια για την εκτίμηση της συνολικής μετακίνησης του φορέα για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης. Επομένως, η πολυ-ιδιομορφική (σύνθετη) καμπύλη αντίστασης, αναφέρεται σε συγκεκριμένη μορφή διέγερσης (συγκεκριμένο φάσμα), ενώ για κάθε διαφορετικό φάσμα αντιστοιχεί μια ενγένει διαφορετική πολυ-ιδιομορφική καμπύλη. Είναι σημαντικό να τονισθεί ότι από κάθε πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης μπορούν να λαμβάνονται απευθείας από το αρχείο δεδομένων, οποιαδήποτε στοιχεία που αφορούν στην σεισμική απόκριση της γέφυρας, για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, για το φάσμα ως προς το οποίο χαράσσεται η καμπύλη. Πρέπει να σημειωθεί ότι η πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης που προτείνεται στην παρούσα διατριβή, είναι διαφορετική από την καμπύλη αντίστασης που προτείνουν οι Casarotti & Pinho (2007), οι οποίοι προτείνουν την χάραξη της καμπύλης αντίστασης ενός ΙΜΣ μέσω της μεθόδου Ικανοτικού Φάσματος με αναπροσαρμοζόμενη επιβαλλόμενη μετακίνηση, η οποία ονομάζεται αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ (SDOF adaptive capacity curve), εκφράζεται σε όρους φασματικής επιτάχυνσης (S a ) προς φασματική μετακίνηση (S d ) και η χάραξή της γίνεται σταδιακά σε κάθε βήμα ανάλυσης του πολυβάθμιου συστήματος. Η μέθοδος που προτείνουν, συνδυάζει στοιχεία της Direct Displacement-Based Design Method (Priestley & Calvi, 2003), της μεθόδου του Ικανοτικού Φάσματος (Freeman 1998) προσθέτει την ιδέα της αναπροσαρμοζόμενης κατανομής επιβαλλόμενων μετακινήσεων (Pinho et al., 2005) (βλ ). Στο πλαίσιο της μεθόδου, παράγεται σε κάθε βήμα ανάλυσης του φορέα η αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης ενός ΙΜΣ μέσω των σχέσεων (2.67) και (2.68). Η παραγόμενη καμπύλη αντίστασης χρησιμοποιείται στη συνέχεια, για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης και των απαιτούμενων μεγεθών απόκρισης, μέσω της μεθόδου του Ικανοτικού Φάσματος. Η ανελαστική μετακίνηση του συστήματος και η αντίστοιχη τέμνουσα βάσης για την εξεταζόμενη σεισμική διέγερση, λαμβάνονται από τη βάση δεδομένων της αναπροσαρμοζόμενης καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ. Είναι φανερή επομένως η διαφορετικότητα των δύο καμπυλών αντίστασης τόσο σε αυτό που εκφράζει η κάθε μία, όσο και στον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούνται: Η αναπροσαρμοζόμενη καμπύλη αντίστασης χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης, λαμβάνοντας υπόψη την επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών, την στιγμιαία παραμόρφωση του φορέα και την αναπροσαρμογή της κατανομής της επιβαλλόμενης φόρτισης. Η πολυ- 85

128 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών ιδιομορφική (σύνθετη) καμπύλη αντίστασης αποτελεί ένα προϊόν της ΙΑΣΑ, κατά την οποία λαμβάνονται υπόψη οι ανώτερες ιδιομορφές της κατασκευής, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ένα πιο αξιόπιστο εργαλείο για την σεισμική αποτίμηση των κατασκευών (υπολογισμός των δεικτών πλαστιμότητας και υπεραντοχής). Οι πολυ-ιδιομορφικές (σύνθετες) καμπύλες αντίστασης, διαφέρουν τόσο στον τρόπο παραγωγής τους όσο και στον τρόπο με τον οποίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτίμηση της σεισμικής απαίτησης, και από τις καμπύλες αντίστασης που παράγονται με την μικροαυξητική Φασματική Μέθοδο Ανάλυσης (Incremental Response Spectrum Analysis- IRSA) που αναπτύσσεται και προτείνεται από τον Aydınoğlu (2003, 2004) (βλ ). Σύμφωνα με την μέθοδο αυτήν, οι τιμές των ιδιομορφικών μετακινήσεων και των ψευδοεπιταχύνσεων για κάθε ιδιομορφή που συνθέτουν τις αντίστοιχες ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης, υπολογίζονται σε κάθε βήμα ανάλυσης προσθέτοντας τις μεταβολές των μεγεθών αυτών που σημειώθηκαν στο βήμα (k) με τις τιμές των μεγεθών που σημειώθηκαν στο τέλος του προηγούμενου βήματος (k-1). Βασικό χαρακτηριστικό της μεθόδου, είναι ότι η απόκριση του συστήματος μελετάται τμηματικά και γίνεται η παραδοχή ότι σε κάθε τμήμα (βήμα) της ανάλυσης το σύστημα συμπεριφέρεται ελαστικά. Το κάθε βήμα ανάλυσης ορίζεται από το σχηματισμό δύο διαδοχικών αρθρώσεων. Οι ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης που προκύπτουν, χαράσσονται σε κοινό διάγραμμα με τα κατάλληλα κλιμακωμένα φάσματα σε όρους S a -S d. Επομένως, οι βασικές διαφορές των παραγόμενων καμπυλών αντίστασης του ΙΜΣ σε σχέση με την πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης, είναι πέραν του τρόπου παραγωγής των δύο καμπυλών, το γεγονός ότι η πολυ-ιδιομορφική καμπύλη εκφράζει την ανελαστική απόκριση του φορέα, ενώ οι ιδιομορφικές καμπύλες μέσω της μικροαυξητικής Φασματικής Μεθόδου Ανάλυσης, εκφράζουν την απόκριση του ανελαστικού ΙΜΣ, καθώς και το γεγονός ότι οι τελευταίες είναι ανεξάρτητες από το φάσμα της σεισμικής διέγερσης. 4.4 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης Η ανελαστική δυναμική ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης είναι εξ ορισμού η πιο ακριβής και αξιόπιστη μέθοδος ανάλυσης των κατασκευών εφόσον λαμβάνει υπόψη τόσο τον δυναμικό χαρακτήρα της φόρτισης, όσο και την ανελαστική συμπεριφορά των δομικών στοιχείων. Για το λόγο αυτόν, κρίνεται απαραίτητη και αναγκαία η σύγκριση των αποτελεσμάτων τόσο των ελαστικών όσο και των ανελαστικών στατικών αναλύσεων με τα αποτελέσματα των αντίστοιχων δυναμικών αναλύσεων. Η σύγκριση των μεθόδων, είναι σκόπιμο να εφαρμόζεται τόσο στα μεγέθη απόκρισης του υπό εξέταση φορέα (σε μετακινήσεις κόμβων, εντατικά μεγέθη, στροφές κ.ά.) όσο και στις παραγόμενες καμπύλες αντίστασης αυτού, ώστε να λαμβάνεται μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα της αξιοπιστίας και της ακρίβειας των μεθόδων ανάλυσης. Ωστόσο, ο προσδιορισμός της δυναμικής καμπύλης αντίστασης μέσω δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας αποτελεί μια διαδικασία με σημαντικό υπολογιστικό και χρονικό κόστος, παρά την συνεχή ανάπτυξη της τεχνολογίας και την αναβάθμιση των διαθέσιμων υπολογιστικών εργαλείων. Κατά την εφαρμογή της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης η σεισμική διέγερση εισάγεται μέσω των επιταχυνσιογραφημάτων, τα οποία αποτελούν καταγραφές των εδαφικών επιταχύνσεων συναρτήσει του χρόνου. Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανονισμούς (CEN 2004, ASCE/SEI 2007) η σεισμική δράση μπορεί να εισάγεται υπό 86

129 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών μορφή ιστορικού επιταχύνσεων βάσης, είτε από πραγματικές καταγραφές είτε από συνθετικά επιταχυνσιογραφήματα. Οι σύγχρονοι κανονισμοί, επιβάλλουν τη χρήση τουλάχιστον τριών διαφορετικών επιταχυνσιογραφημάτων για την εξασφάλιση της αντιπροσωπευτικότητας των αποτελεσμάτων της μεθόδου. Σε περίπτωση εφαρμογής τριών ή περισσότερων δυναμικών αναλύσεων πρέπει να χρησιμοποιούνται οι μέγιστες τιμές των μεγεθών απόκρισης του φορέα, ενώ με την εφαρμογή επτά ή περισσοτέρων αναλύσεων είναι δυνατή η θεώρηση των μέσων τιμών των μεγεθών απόκρισης. Οι δυναμικές καμπύλες αντίστασης για να είναι συγκρίσιμες με τις καμπύλες αντίστασης των ανελαστικών στατικών αναλύσεων που εξετάζονται στην παρούσα διατριβή, πρέπει να χαράσσονται σε όρους τέμνουσας βάσης προς τη μετακίνηση του σημείου ελέγχου του φορέα. Τα εν λόγω μεγέθη λαμβάνονται απευθείας από το αρχεία αποτελεσμάτων του λογισμικού ανάλυσης που χρησιμοποιείται, εδώ του SAP 2000 (Computers and Structures Inc, 2003). Σε αντιστοιχία με τις καμπύλες αντίστασης που προκύπτουν από τις ανελαστικές στατικές μεθόδους, η μορφή της δυναμικής καμπύλης αντίστασης εξαρτάται από την σεισμική διέγερση που εφαρμόζεται στο φορέα, και από το επιλεγόμενο σημείο ελέγχου των μετακινήσεων. Επιπλέον, επειδή πρόκειται για ανάλυση δυναμικού φαινομένου που εξελίσσεται στο χρόνο, η μορφή της δυναμικής καμπύλης αντίστασης επηρεάζεται από τη χρονική στιγμή όπου λαμβάνουν χώρα τα μεγέθη απόκρισης που χρησιμοποιούνται για τη χάραξή της. Για την πληρέστερη και ρεαλιστικότερη απόδοση της εικόνας απόκρισης του συστήματος λαμβάνονται για κάθε σεισμική διέγερση, τρεις (3) διαφορετικοί συνδυασμοί τέμνουσας βάσης και μετακίνησης του σημείου ελέγχου, για τη χάραξη της δυναμικής καμπύλης αντίστασης: 1. Μέγιστη τιμή μετακίνησης (u max ) του σημείου ελέγχου με την αντίστοιχη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα που αναπτύσσεται ταυτόχρονα στον φορέα (V b (t)). 2. Μέγιστη τιμή μετακίνησης (u max ) του σημείου ελέγχου με την τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα που αναπτύσσεται ένα βήμα (Δt) πριν από τη στιγμή όπου εμφανίζεται η μέγιστη τιμή μετακίνησης (V b (t-δt)), ή ένα βήμα μετά από τη στιγμή όπου εμφανίζεται η μέγιστη τιμή μετακίνησης (V b (t+δt)). 3. Μέγιστη τιμή μετακίνησης (u max ) του σημείου ελέγχου με την μέγιστη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα (V bmax ). Πρέπει να σημειωθεί ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση τα μεγέθη δεν λαμβάνουν χώρα ταυτόχρονα, αλλά μεγιστοποιούνται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές κατά την ταλάντωση του φορέα. Σε αντιστοιχία με την ιδιομορφική (σύνθετη) καμπύλη αντίστασης, κάθε σημείο της δυναμικής καμπύλης στο διάγραμμα τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, προέρχεται από την ανάλυση του φορέα για μια στάθμη σεισμικής διέγερσης. Για τη χάραξη μιας ολοκληρωμένης καμπύλης αντίστασης, εφαρμόζεται ένας μεγάλος αριθμός δυναμικών αναλύσεων για διαφορετικές στάθμες των επιβαλλόμενων σεισμικών διεγέρσεων μέχρις ότου για κάποια στάθμη διαπιστωθεί αστοχία του φορέα. Κατά τη σύνθεση της δυναμικής καμπύλης αντίστασης πρέπει οι τιμές των μετακινήσεων που προκύπτουν από κάθε ανεξάρτητη ανάλυση και συνδυάζονται κατάλληλα μεταξύ τους, ώστε να προκύψει η τιμή της τελικής μετακίνησης, να αναφέρονται σε ένα σταθερό και κοινό για όλες τις αναλύσεις σημείο ελέγχου του φορέα. Το εν λόγω σημείο ελέγχου των μετακινήσεων, πρέπει να είναι το ίδιο με αυτό που έχει επιλεγεί για τη χάραξη των 87

130 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών καμπυλών αντίστασης του φορέα που παράγονται από τις ανελαστικές στατικές αναλύσεις ώστε να είναι εφικτή η μεταξύ τους σύγκριση, χωρίς να απαιτείται επιπλέον αναγωγή αυτών. Η διαδικασία που προτείνεται εδώ για τη χάραξη της δυναμικής καμπύλης αντίστασης περιγράφεται στα βήματα που ακολουθούν. Βήμα 1: Επιλογή κατάλληλων επιταχυνσιογραφημάτων. Κρίσιμο σημείο για την αξιοπιστία και την ακρίβεια των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων αποτελεί η επιλογή των επιταχυνσιογραφημάτων που πρόκειται να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση του φορέα (Σχ.4.6). Υπάρχει η δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν είτε επιταχυνσιογραφήματα που προέρχονται από πραγματικές καταγραφές σεισμικών διεγέρσεων ή συνθετικά επιταχυνσιογραφήματα που προκύπτουν με χρήση κατάλληλου λογισμικού, όπως για παράδειγμα το λογισμικό πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα διατριβή, ASING (Sextos et al. 2003)... ug,1 u u ug, u ug,n t t t Σχήμα 4.6 Επιλογή κατάλληλων επιταχυνσιογραφημάτων. Βήμα 2: Εφαρμογή ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης στο φορέα. Τα επιταχυνσιογραφήματα που επιλέγονται στο Βήμα 1, accel 1,n, χρησιμοποιούνται για την παραγωγή των επιταχυνσιογραφημάτων που αντιπροσωπεύουν τις υπόλοιπες στάθμες σεισμικών διεγέρσεων που απαιτούνται για τη χάραξη της δυναμικής καμπύλης αντίστασης, accel,n. Η κλιμάκωση της στάθμης των σεισμικών διεγέρσεων γίνεται με σταθερούς συντελεστές λ [0, ] σύμφωνα με την σχέση accel accel (4.5),n 1,n όπου n είναι ο αριθμός των επιταχυνσιογραφημάτων που επιλέγονται για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, με τα οποία εφαρμόζονται στον φορέα οι αντίστοιχες n ανελαστικές (ή/και ελαστικές) δυναμικές αναλύσεις. Η στάθμη των σεισμικών διεγέρσεων ξεκινά από μηδενική και αυξάνεται σταδιακά μέχρι να επέλθει η αστοχία του φορέα. Το βήμα αύξησης της στάθμης των σεισμικών διεγέρσεων εξαρτάται από τον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας της παραγόμενης δυναμικής καμπύλης αντίστασης. Για ελαστική απόκριση του φορέα αρκούν δύο ή τρία σημεία της δυναμικής καμπύλης αντίστασης), ενώ όσο πλησιάζει το σημείο διαρροής του φορέα, καθώς και στον μετελαστικό κλάδο της καμπύλης, συνιστάται μεγαλύτερη πύκνωση των σημείων που λαμβάνονται κατά τη χάραξη της καμπύλης αντίστασης, για την ρεαλιστικότερη απόδοση της απόκρισης του φορέα. Αξίζει να σημειωθεί εδώ ότι η διαδοχική κλιμάκωση της ίδιας διέγερσης σε διάφορες στάθμες δεν αποτελεί έναν συνεπή τρόπο επιλογής σεισμικής δράσης για την αποτίμηση ενός φορέα, με την έννοια ότι αυξανομένης της έντασης του επιταχυνσιογραφήματος 88

131 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών μεταβάλλεται ενγένει και το συχνοτικό του περιεχόμενο, είναι ωστόσο ο ενδεικνυόμενος τρόπος για την παραγωγή μιας δυναμικής καμπύλης αντίστασης που δεν μπορεί παρά να αναπαριστά την απόκριση ενός φορέα σε δεδομένη (σεισμική) φόρτιση. Βήμα 3: Χάραξη δυναμικών καμπυλών αντίστασης του φορέα για κάθε επιταχυνσιογράφημα. Από κάθε ανελαστική δυναμική ανάλυση λαμβάνονται η τιμή της μέγιστης μετακίνησης του σημείου ελέγχου, η τιμή της μέγιστης τέμνουσας βάσης του φορέα, η τιμή της τέμνουσας βάσης που λαμβάνει χώρα ταυτόχρονα με την μέγιστη μετακίνηση του σημείου ελέγχου και οι τιμές της τέμνουσας βάσης ένα βήμα πριν και ένα βήμα μετά τη χρονική στιγμή που λαμβάνει χώρα η μέγιστη μετακίνηση. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για κάθε επιταχυνσιογράφημα ξεχωριστά και για όλες τις στάθμες σεισμικής διέγερσης. Για κάθε επιταχυνσιογράφημα χαράσσονται σε κοινό διάγραμμα τέσσερεις καμπύλες τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, μια για κάθε έναν από τους προαναφερόμενους συνδυασμούς (βλ. σχήμα 4.7). Με τον τρόπο αυτόν προκύπτουν n διαγράμματα, το κάθε ένα από τα οποία περιέχει τέσσερις καμπύλες αντίστασης (προφανώς μπορούν οριστούν και άλλες τέτοιες καμπύλες, π.χ. V b,max και αντίστοιχης μετακίνησης). Στο σχήμα 4.7, ο δείκτης n αναφέρεται στον αριθμό των επιταχυνσιογραφημάτων που χρησιμοποιούνται για την δυναμική ανάλυση του φορέα, και ο δείκτης i αναφέρεται στο σημείο ελέγχου των μετακινήσεων. V b,1 u 1max,i -V b1max,i u 1max,i -V b1(t),i u 1max,i -V b1(1+ t),i u 1max,i -V b1(1- t),i V b,2 u 1max,i -V b1max,i u 1max,i -V b1(t),i u 1max,i -V b1(1+ t),i u 1max,i -V b1(1- t),i u 1,i u 2,i u 1max,i -V b1max,i V b,n u 1max,i -V b1(t),i u 1max,i -V b1(1+ t),i u 1max,i -V b1(1- t),i u n,i Σχήμα 4.7 Χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης του φορέα για κάθε επιταχυνσιογράφημα. Βήμα 4: Χάραξη τελικής δυναμικής καμπύλης αντίστασης του φορέα. Οι δυναμικές καμπύλες αντίστασης του φορέα που προέκυψαν από την ανάλυση του, για κάθε ένα από 89

132 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών τα n επιταχυνσιογραφήματα, επαλληλίζονται κατάλληλα με σκοπό τη χάραξη της τελικής δυναμικής καμπύλης αντίστασης (σχήμα 4.8). Ο τρόπος επαλληλίας των καμπυλών εξαρτάται από τον αριθμό των n επιταχυνσιογραφημάτων που χρησιμοποιήθηκαν. Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανονισμούς (ASCE/SEI 2007, CEN 2004) σε περίπτωση εφαρμογής τριών ή περισσότερων δυναμικών αναλύσεων πρέπει να χρησιμοποιούνται οι μέγιστες τιμές των μεγεθών απόκρισης του φορέα, ενώ με την εφαρμογή επτά ή περισσοτέρων αναλύσεων είναι δυνατή η θεώρηση των μέσων τιμών των μεγεθών απόκρισης. Στο σχήμα 4.8, ο δείκτης i αναφέρεται στο σημείο ελέγχου των μετακινήσεων. V b u max,i - V bmax,i u max,i -V b(t),i u max,i -V b(1+ t),i u max,i -V b(1- t),i u i Σχήμα 4.8 Χάραξη της τελικής δυναμικής καμπύλης αντίστασης του φορέα. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκαν χρονοϊστορίες επιταχύνσεων βάσεως συμβατές με το ελαστικό φάσμα του ελληνικού αντισεισμικού κανονισμού (ΕΑΚ2003) και συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκε μια ομάδα πέντε συνθετικών επιταχυνσιογραφημάτων, η παραγωγή των οποίων επιτεύχθηκε μέσω του λογισμικού ASING (Sextos et al., 2003). Η ανάλυση χρονοϊστορίας έγινε με τη μέθοδο άμεσης ολοκλήρωσης (nonlinear time-history with direct integration) κατά Wilson με θ=1.4, με βήμα Δ t =0.002s και συνολικό αριθμό βημάτων για τα επιταχυνσιογραφήματα με διάρκεια 20s, ενώ για τα επιταχυνσιογραφήματα με διάρκεια 25s επιλέχθηκε ο ίδιος αριθμός συνολικών βημάτων και βήμα Δt=0.0025s. Δόθηκε ενιαία τιμή απόσβεσης για το σύνολο των ιδιομορφών ταλάντωσης. Σε κάποιες περιπτώσεις, οι αναλύσεις επαναλήφθηκαν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Newmark (με παραμέτρους ολοκλήρωσης γ=1/2 και β=1/4), για τη διερεύνηση της επιρροής της επιλογής της μεθόδου ολοκλήρωσης στην ακρίβεια της μεθόδου ανάλυσης. Για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων για διαφορετικές στάθμες σεισμικών διεγέρσεων, απαιτήθηκε κατάλληλη κλιμάκωση των επιταχυνσιογραφημάτων με σταθερούς συντελεστές λ [0, + ] ανάλογους με αυτούς με τους οποίους πολλαπλασιάζεται το φάσμα που χρησιμοποιείται για την παραγωγή των ανελαστικών φασμάτων που χρησιμοποιούνται κατά τη διεξαγωγή των ΑΣΑ, έτσι ώστε τα αποτελέσματα των ΑΔΑ να είναι πάντα συγκρίσιμα με τα αντίστοιχα των ΑΣΑ για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης. Επιπλέον, για τη χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης επιλέχθηκαν σε κάθε περίπτωση, σημεία ελέγχου των μετακινήσεων κοινά με αυτά που χρησιμοποιήθηκαν στη χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα από τις στατικές αναλύσεις, έτσι ώστε να είναι δυνατή η άμεση σύγκριση των παραγόμενων καμπυλών αντίστασης χωρίς να χρειάζεται να γίνεται περαιτέρω αναγωγή των αποτελεσμάτων. 90

133 Κεφάλαιο 4: Χάραξη καμπυλών αντίστασης γεφυρών Επισημαίνεται εδώ ότι οι δυναμικές καμπύλες αντίστασης είναι διαφορετικές από τις μικροαυξητικές δυναμικές καμπύλες (Incremental Dynamic Analysis (IDA) curves), που προτείνονται από τους Vamvatsikos & Cornell (2002) οι οποίες χαράσσονται εν γένει σε όρους ενός μεγέθους μέτρησης της σεισμικής έντασης (όπως επιτάχυνση του εδάφους PGA ή η φασματική επιτάχυνση για την πρώτη ιδιομορφή της κατασκευής, S a(t1, 5%) ) ως προς ένα μέγεθος που εκφράζει τον βαθμό βλάβης της κατασκευής (όπως η μέγιστη τέμνουσα βάσης ή η θ max ). Σκοπός των καμπυλών IDA είναι να περιγραφεί η εξέλιξη του βαθμού βλάβης της κατασκευής συναρτήσει της στάθμης της σεισμικής διέγερσης. Λίγο αργότερα οι ίδιοι μελετητές (Vamvatsikos & Cornell 2006) έκαναν σύγκριση των καμπυλών IDA με τις καμπύλες αντίστασης που παράγονται μέσω της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, εκφράζοντας τις τελευταίες ως προς τα μεγέθη χάραξης των IDA καμπυλών, επιχειρώντας να ερμηνεύσουν την απόκριση της κατασκευής. Αντίθετα, οι δυναμικές καμπύλες αντίστασης εκφράζονται σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, είναι άμεσα συγκρίσιμες με τις αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, είναι προσαρμοσμένες περισσότερο στην λογική της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, συνδυάζοντας την ακρίβεια των δυναμικών αναλύσεων μέσω του τρόπου υπολογισμού των μεγεθών απόκρισης που λαμβάνονται για την χάραξή τους. Σε αναλογία με τις πολυ-ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης, εξαρτώνται απολύτως από τα επιταχυνσιογραφήματα που χρησιμοποιούνται για την χάραξή τους, ενώ, εφόσον χαράσσονται στην κατάλληλη για πρακτική εφαρμογή επίπεδη (2D) μορφή (V-u) δεν παρέχουν τη δυνατότητα άμεσης συσχέτισης της βλάβης με τη στάθμη της σεισμικής διέγερσης (αυτό φυσικά μπορεί να γίνει εφόσον συνδυαστούν κατάλληλα με τα φάσματα σεισμικής απαίτησης που επιλέγονται για την αποτίμηση) 91

134 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών 5. Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών 5.1 Περιγραφή και στοιχεία προσομοίωσης της γέφυρας Η εξεταζόμενη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής ανήκει στο οδικό δίκτυο της Εγνατίας Οδού Α.Ε. (κάθετοι άξονες). Κατασκευάστηκε στην περιοχή της Βόρειας Ελλάδας, στα σύνορα με την Αλβανία και εξασφαλίζει τη διέλευση του αυτοκινητοδρόμου υπεράνω κοιλάδας, που διασταυρώνει τον άξονα της χάραξης. Μονολιθική Monolithic σύνδεση connection P6 P5 P7 P8 P9 P11 P10 Bearing type Σύνδεση με connection εφέδρανα A2 Bearing type εφέδρανα connection Σύνδεση με P3 P4 P2 P1 A1 Σχήμα 5.1 Γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής (αριστερός κλάδος) Πρόκειται για μια γέφυρα δώδεκα (12) ίσων ανοιγμάτων, συνολικού μήκους 638m και με μεγάλη καμπυλότητα σε κάτοψη, με ακτίνα καμπυλότητας 488m (σχήμα 5.1). Το κατάστρωμα της γέφυρας είναι κιβωτιοειδούς μονοκυψελικής διατομής εδραζόμενο με συνδυασμό εφεδράνων και μονολιθικών συνδέσεων επί κοίλων ορθογωνικών μονόστυλων βάθρων. Η κατά μήκος κλίση του φορέα είναι μεταβλητή (2.9% έως 5.1%) με τα υψόμετρα να αυξάνονται προς το ακρόβαθρο Α2. Η εγκάρσια κλίση του καταστρώματος είναι σταθερή και ίση με 6%. Το συνολικό πλάτος του καταστρώματος είναι 13m. Τα πεζοδρόμια έχουν πλάτος 1.25m έκαστο, ενώ το κατάστρωμα του φορέα, πλάτους 10.50m, 92

135 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών εξυπηρετεί μια κατεύθυνση κυκλοφορίας (εδώ εξετάζεται ο αριστερός κλάδος της δίδυμης γέφυρας). Το συνολικό πλάτος της άνω πλάκας του καταστρώματος είναι 12.50m, ενώ οι πρόβολοι έχουν άνοιγμα 2.70m με γραμμικά μεταβαλλόμενο πάχος από 0.20m στα άκρα σε 0.44m στη στήριξη. Το συνολικό ύψος του κιβωτίου είναι 2.80m. Η άνω πλάκα στο εσωτερικό του κιβωτίου έχει πάχος 0.30m, ενώ στις στηρίξεις υπάρχει ενίσχυση πλάτους 1.50m όπου το πάχος της άνω πλάκας αυξάνεται στα 0.44m. To πάχος της κάτω πλάκας είναι 0.20m με ενισχύσεις μήκους 0.50m στα άκρα όπου το πάχος αυξάνεται κατά 0.15m. Επιπλέον, στη συμβολή των κορμών με την άνω και την κάτω πλάκα, διαμορφώθηκαν κατάλληλες στρογγυλεύσεις. Το εσωτερικό πλάτος του κιβωτίου είναι 7.10m άνω και 6.10m κάτω, με συνέπεια οι κορμοί να είναι ελαφρά κεκλιμένοι προς το εσωτερικό παρουσιάζοντας βελτιωμένο αισθητικό αποτέλεσμα. Το πάχος των κορμών του κιβωτίου είναι 0.50m (σχήμα 5.2). Ωστόσο, στις περιοχές των στηρίξεων στα μεσόβαθρα τόσο για κατασκευαστικούς (αγκύρωση και σύνδεση των καλωδίων προέντασης στις ενδιάμεσες φάσεις της κατασκευής) όσο και για στατικούς λόγους, το πάχος των κορμών αυξάνεται στα 0.70m. Επίσης, στις ίδιες περιοχές, το πάχος της άνω πλάκας αυξάνεται στα 0.44m και της κάτω πλάκας σε 0.50m (σχήματα 5.3 και 5.4). Η μετάβαση από τη διατομή του φορέα που χρησιμοποιείται στο άνοιγμα στην αντίστοιχη διατομή που χρησιμοποιείται στη στήριξη γίνεται ομαλά με βαθμιαία-γραμμική μεταβολή των διαστάσεων πρώτα των κορμών και στη συνέχεια των πλακών. Τα μεσόβαθρα της γέφυρας, έχουν κοίλη ορθογωνική διατομή, η οποία μεταβάλλεται καθ ύψος (σχήματα 5.5 και 5.6 ). Τα ύψη των μεσοβάθρων δίνονται στον Πίν Οι εξωτερικές διαστάσεις της τυπικής διατομής είναι m παράλληλα και κάθετα στον άξονα της γέφυρας, αντίστοιχα. Το πάχος των τοιχωμάτων είναι ίσο με 0.50m, το οποίο μεταβάλλεται αυξητικά στην περιοχή της κεφαλής ανάλογα με τον τρόπο σύνδεσής τους με το κατάστρωμα. Στα μεσόβαθρα με μονολιθική σύνδεση, το πάχος των τοιχωμάτων αυξάνεται σε 0.70m (σχήμα 5.3) ενώ στην κεφαλή των βάθρων με εφέδρανα η διατομή για κατασκευαστικούς λόγους (διατμητικοί τόρμοι) καταλήγει να είναι συμπαγής (σχήμα 5.4). Στα ακρόβαθρα υπάρχουν περιορισμένου μήκους πτερυγότοιχοι, οι οποίοι συμπληρώνονται από τοίχους αντιστήριξης στο εκάστοτε απαιτούμενο μήκος. Πίνακας 5.1: Ύψη των βάθρων της γέφυρας Βάθρο Ύψος (m) Μ1 9.1 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ

136 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Τα ακραία μεσόβαθρα (Μ1 έως και Μ3 και Μ9 έως και Μ11) συνδέονται με το κατάστρωμα της γέφυρας μέσω εφεδράνων ολίσθησης (ύψους 0.18m), κινητών σε όλες τις διευθύνσεις. Η στήριξη του φορέα γίνεται μέσω διαδοκίδας πάχους 1.20m, σε συνδυασμό με το ζεύγος εφεδράνων ολίσθησης. Ο εν λόγω τρόπος στήριξης, συμπληρώνεται με σύστημα διατμητικού τόρμου, ο οποίος εξέχει κάτω από τη διαδοκίδα και την αντίστοιχη εντορμία στην κεφαλή του βάθρου, όπου μέσω ζεύγους κατακόρυφων ελαστομεταλλικών εφεδράνων (ύψους 0.15m) που ολισθαίνουν κατά την κατακόρυφη και τη διαμήκη έννοια, εξασφαλίζεται η μεταφορά στο μεσόβαθρο όλων των καθέτων στον άξονα της γέφυρας δράσεων (βλ. σχήμα 5.4). Ο εν λόγω τρόπος στήριξης, εξασφαλίζει εκτός από την κατακόρυφη και στρεπτική στήριξη του φορέα, ολίσθηση μόνο εφαπτομενικά στον άξονα της γέφυρας και στήριξη κάθετα σε αυτόν. Τα πέντε κεντρικά μεσόβαθρα (Μ4 έως και Μ8) συνδέονται μονολιθικά με τον φορέα της γέφυρας, όπου οι δύο διαμήκεις κορμοί έκαστου μεσοβάθρου προεκτείνονται στο εσωτερικό του φορέα και μορφώνουν τις δύο διαδοκίδες στήριξης του φορέα στο μεσόβαθρο. Στην περιοχή της κεφαλής όλων των μεσοβάθρων, το πλάτος τους αυξάνεται από 5.00m σε 6.10m. Η στήριξη του φορέα στα ακρόβαθρα γίνεται με τον ίδιο τρόπο που γίνεται και στα μη-μονολιθικά μεσόβαθρα, με τη διαφορά ότι στα ακρόβαθρα, ο τόρμος προεξέχει από την κάτω πλάκα του χώρου πίσω από το ακρόβαθρο και η εντορμία υπάρχει στην κάτω πλάκα του κιβωτίου. Ο εν λόγω τρόπος στήριξης, όπως και στα μη-μονολιθικά μεσόβαθρα, εξασφαλίζει την ελεύθερη μετακίνηση του καταστρώματος στην περιοχή των ακροβάθρων κατά τη διαμήκη διεύθυνση (ολίσθηση μόνο εφαπτομενικά στον άξονα της γέφυρας) ενώ η εγκάρσια μετακίνηση είναι δεσμευμένη (στήριξη κάθετα στον άξονα της γέφυρας). Τα βάθρα θεμελιώνονται σε ομάδες πασσάλων, το μήκος και τα χαρακτηριστικά των οποίων μεταβάλλονται από βάθρο σε βάθρο κατά μήκος του φορέα, ανάλογα με τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά του εδάφους. Ο φορέας κατασκευάζεται επί τόπου από προεντεταμένο σκυρόδεμα ποιότητας Β45. Τα μεσόβαθρα κατασκευάζονται από επί τόπου εγχυόμενο οπλισμένο σκυρόδεμα ποιότητας Β35. Τα ακρόβαθρα, οι θεμελιώσεις, οι τοίχοι αντιστήριξης, οι πλάκες πρόσβασης και τα πεζοδρόμια κατασκευάζονται από επί τόπου οπλισμένο σκυρόδεμα ποιότητας Β25. Ο χάλυβας οπλισμών είναι νευροχάλυβας υψηλής αντοχής Βst500s και ο χάλυβας προέντασης 1570/ AΞΩΝΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ % ΦΟΡΕΑΣ Β Σχήμα 5.2 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των ανοιγμάτων Για τον αντισεισμικό σχεδιασμό της γέφυρας χρησιμοποιήθηκε το φάσμα του Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού (ΕΑΚ, 2000) για ζώνη ΙΙ (επιτάχυνση εδάφους ίση 94

137 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών με 0.24g) και για τύπο εδάφους Β, το οποίο αντιστοιχεί περίπου στην κατηγορία εδάφους Β σύμφωνα με τον Ευρωκώδικα 8 (CEN, 2004). Λόγω της μεγάλης σημασίας της γέφυρας, ο συντελεστής σπουδαιότητας είναι ίσος με 1.30, οπότε η γέφυρα τελικά σχεδιάστηκε για φάσμα σχεδιασμού με α g ίσο με 0.31g. Τέλος, ο συντελεστής συμπεριφοράς λήφθηκε ίσος με 3.0 λόγω της ανελαστικής συμπεριφοράς που επιτρέπεται (και αναμένεται) να αναπτυχθεί στην περιοχή των βάθρων % Σχήμα 5.3 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των στηρίξεων με μονολιθική σύνδεση καταστρώματος με βάθρο % AΞΩΝΑΣ ΓΕΦΥΡΑΣ Σχήμα 5.4 Τυπική διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των στηρίξεων με σύνδεση καταστρώματος με βάθρο μέσω εφεδράνων ολίσθησης 95

138 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών ΤΟΜΗ 1-1 ΤΟΜΗ Σχήμα 5.5 Διατομή μεσοβάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα. Η αλληλεπίδραση εδάφους θεμελίωσης ανωδομής της γέφυρας (Soil Structure Interaction- SSI) μελετήθηκε σε προηγούμενη εργασία (Mergos, Sextos, Kappos, 2003), με προσομοίωση της θεμελίωσης των βάθρων (ομάδα πασσάλων) μέσω κατάλληλων συστημάτων ελατηρίων. Από τις αναλύσεις αυτές βρέθηκε ότι η αλληλεπίδραση εδάφους θεμελίωσης επηρεάζει πολύ λίγο την απόκριση της γέφυρας αυτής (λιγότερο από 15%). Για το λόγο αυτόν, αλλά και για απλοποίηση των αναλύσεων που έχουν άλλον στόχο, η θεμελίωση του φορέα στο μοντέλο προσομοίωσης που χρησιμοποιείται, γίνεται με απλή πάκτωση των στοιχείων των βάθρων, δηλαδή η ενδοσιμότητα του εδάφους δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανελαστική ανάλυση του φορέα. 96

139 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών TOMH 1-1 TOMH 2-2 Σχήμα 5.6 Διατομή μεσοβάθρου που συνδέεται με το κατάστρωμα μέσω εφεδράνων Προσομοίωση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της γέφυρας. Η ανάλυση της γέφυρας γίνεται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Τόσο για το φορέα όσο και για τα μεσόβαθρα, χρησιμοποιήθηκαν ραβδωτά (γραμμικά) στοιχεία δοκού (3-D frame elements). Η ανάλυση του μοντέλου γίνεται με το πρόγραμμα SAP2000 (CSI, 2005). Επιπρόσθετες αναλύσεις για επαλήθευση των αποτελεσμάτων έγιναν με το πρόγραμμα ANSYS (2002). Δεδομένου ότι το χωρικό προσομοίωμα που προκύπτει έχει σύνθετη γεωμετρία, στα σχήματα από 5.7 έως και 5.10 παρατίθενται η προοπτική εικόνα του μοντέλου προσομοίωσης καθώς και οι αντίστοιχες όψεις σε κάθε ένα από τα τρία επίπεδα του κύριου συστήματος συντεταγμένων OXYZ. Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 A2 Μ5 Μ6 Ζ Μ3 Μ4 Υ Χ Μ1 Μ2 Ο A1 Σχήμα 5.7 Χωρική άποψη μοντέλου προσομοίωσης. 97

140 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών A1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 A2 Σχήμα 5.8 Τομή στο επίπεδο ΧΖ. Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 A1 Α2 Σχήμα 5.9 Κάτοψη γέφυρας (τομή στο επίπεδο ΧY). A2 Μ11 Μ10 Μ9 A1 Μ8 Μ6 Μ5 Μ7 Μ4 Μ3 Μ2 Μ1 Σχήμα 5.10 Τομή στο επίπεδο ΥΖ. Ο φορέας στο σύνολό του προσομοιώνεται με 220 γραμμικά στοιχεία (19 στοιχεία για κάθε μεσαίο άνοιγμα και 15 για τα δύο ακραία). Ως συντεταγμένες των γραμμικών στοιχείων ορίζονται αυτές του κέντρου βάρους της κάθε διατομής. Ο απλουστευμένος αυτός τρόπος υπολογισμού, προϋποθέτει ότι οι κιβωτιοειδείς διατομές θα διατηρήσουν το σχήμα τους, δηλαδή πως η μορφή των διατομών δε θα μεταβληθεί αισθητά κατά τη συστροφή λόγω στρέψης. Η διακριτοποίηση που γίνεται είναι σχετικά αραιή στα μεσαία τμήματα των ανοιγμάτων και περισσότερο πυκνή στις περιοχές κοντά στις στηρίξεις, λόγω της μεταβολής της μορφής της διατομής. 98

141 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Σε όλα τα γραμμικά στοιχεία frames που χρησιμοποιούνται, ορίζονται τοπικοί άξονες συντεταγμένων, δεδομένου ότι τα στοιχεία λόγω της καμπυλότητας και των κλίσεων του φορέα, δεν είναι παράλληλα προς τους άξονες του κύριου συστήματος συντεταγμένων. Ο άξονας 1 (άξονας στοιχείου) ορίζεται αυτόματα από το πρόγραμμα από τους κόμβους αρχής και τέλους, με φορά από τα αριστερά προς τα δεξιά (σχήμα 5.11). Ορίζονται τέσσερεις (4) διαφορετικές διατομές για την προσομοίωση του καταστρώματος (frame sections), η τυπική διατομή ανοίγματος (σχήμα 5.2), η διατομή ανοίγματος με ενισχυμένους κορμούς πάχους 0.70m, η διατομή στην περιοχή των στηρίξεων με μονολιθική σύνδεση με το κατάστρωμα (σχήμα 5.5) και η διατομή στην περιοχή των στηρίξεων με σύνδεση καταστρώματος με τα βάθρα μέσω εφεδράνων ολίσθησης (σχήμα 5.6). Δεδομένου ότι το λογισμικό που χρησιμοποιείται (SAP2000v.8.2.5) δεν έχει τη δυνατότητα αυτόματης εισαγωγής κιβωτιοειδούς διατομής, εισάγεται η γενική διατομή (general) στην οποία ορίζονται σε κάθε περίπτωση τα κατάλληλα εμβαδά και ροπές αδράνειας. Η μετάβαση από τη μια μορφή διατομής στην επόμενη γίνεται με γραμμική μεταβολή. Για την προσομοίωση των μεταβατικών τμημάτων γίνεται χρήση των μηπρισματικών διατομών (non-prismatic sections). Η μεταβολή των εμβαδών είναι πάντα γραμμική, ενώ η μεταβολή των ροπών αδράνειας (ως προς τους δύο άξονες) λόγω της μεταβολής μόνο του πάχους των επιμέρους τμημάτων της διατομής και όχι των εξωτερικών διαστάσεων ορίζεται γραμμική. Z 3 j 1 i 2 Y X i: κόμβος αρχής j: κόμβος τέλους Σχήμα 5.11 Τοπικοί άξονες συντεταγμένων των γραμμικών στοιχείων προσομοίωσης του καταστρώματος. Τα βάθρα του φορέα προσομοιώνονται επίσης με γραμμικά στοιχεία δοκού στα οποία, λόγω της γεωμετρίας του φορέα (καμπυλότητα σε κάτοψη), ορίζονται κατάλληλα τοπικοί άξονες, έτσι ώστε ο ένας τοπικός άξονας να είναι παράλληλος προς την προαναφερθείσα ακτίνα καμπυλότητας, ενώ ο δεύτερος να είναι παράλληλος προς την εφαπτομένη του κύκλου στο συγκεκριμένο σημείο (σχήμα 5.12). Για την προσομοίωση των βάθρων, το χρησιμοποιούμενο λογισμικό έχει τη δυνατότητα αυτόματης εισαγωγής κοίλων ορθογωνικών διατομών (box/tubes). Στα τμήματα των βάθρων στα οποία λαμβάνει 99

142 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών χώρα η γραμμική μεταβολή των διαστάσεων της διατομής, χρησιμοποιούνται μη πρισματικές διατομές. Z 1 j 3 2 i Y X i: κόμβος αρχής j: κόμβος τέλους Σχήμα 5.12 Τοπικοί άξονες συντεταγμένων των γραμμικών στοιχείων προσομοίωσης των βάθρων. Τα μεσόβαθρα που συνδέονται με το κατάστρωμα μέσω εφεδράνων προσομοιώνονται με λιγότερα γραμμικά στοιχεία δοκού σε σχέση με τα μεσόβαθρα που συνδέονται μονολιθικά με το φορέα. Η διαφοροποίηση οφείλεται τόσο στο ότι τα δεύτερα έχουν μεγαλύτερο μήκος (κεντρικά βάθρα), όσο και στο ότι λόγω του τρόπου σύνδεσής τους με το φορέα αναμένεται να αναπτύξουν σημαντικές ροπές στην κεφαλή σε αντίθεση με τα πρώτα τα οποία συνδέονται αρθρωτά. Σε όλα τα μεσόβαθρα γίνεται πύκνωση στην περιοχή του πόδα και της κεφαλής, γιατί στις συγκεκριμένες περιοχές εμφανίζονται οι μεγαλύτερες ροπές υπό το σεισμικό συνδυασμό δράσεων (θέσεις σχηματισμού πιθανών πλαστικών αρθρώσεων), οπότε η ακρίβεια εκτίμησης των εντατικών μεγεθών στις εν λόγω περιοχές είναι σημαντική, καθώς και επειδή στην περιοχή της κεφαλής λαμβάνει χώρα διαπλάτυνση των βάθρων για την ενίσχυση της σύνδεσης με το φορέα. Η σύνδεση των βάθρων με το φορέα (με το κέντρο βάρους της διατομής του καταστρώματος) γίνεται με άκαμπτα στοιχεία δοκού (rigid elements) μηδενικής μάζας ώστε να μην επηρεάζουν τα δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα. Η τιμή της ενεργού δυσκαμψίας που χρησιμοποιείται για την προσομοίωση των μεσοβάθρων υπολογίστηκε με βάση τον EC8- Μέρος 2 (CEN, 2005), σύμφωνα με τον οποίο η δρώσα δυσκαμψία Ε c J eff των βάθρων εκτιμάται συναρτήσει της ροπής αντοχής M Rd και της στροφής διαρροής φ y της διατομής στη θέση της πλαστικής άρθρωσης, μέσω της σχέσης 100

143 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Ec J eff=v MRd φ y (5.1) όπου, ν είναι ένας διορθωτικός συντελεστής που εκφράζει την επιρροή της εφελκυστικής συμβολής στη δυσκαμψία (tension stiffening) σε μη ρηγματωμένα τμήματα του βάθρου και ισούται με 1.20, M Rd, είναι η υπολογιστική ροπή αστοχίας και φ y, είναι η καμπυλότητα τη στιγμή διαρροής, η οποία υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση φ y sy cy (5.2) d s όπου, sy είναι η παραμόρφωση διαρροής του οπλισμού, cy είναι η θλιπτική παραμόρφωση του σκυροδέματος και d s είναι η απόσταση από το άκρο της διατομής ως το κέντρο του εφελκυόμενου οπλισμού. Τα ακραία βάθρα της γέφυρας (Μ1, Μ2, Μ3 και Μ9, Μ10, Μ11) συνδέονται με το κατάστρωμα μέσω συνδυασμού ζεύγους εφεδράνων και διατμητικών κλειδιών (τόρμοι) (σχήματα 5.4 και 5.6). Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο γίνεται και η στήριξη του φορέα στην περιοχή των ακροβάθρων. Τα εφέδρανα που χρησιμοποιούνται στο φορέα είναι εφέδρανα ολίσθησης. Χαρακτηριστικό των εφεδράνων αυτού του τύπου είναι ότι έχουν πολύ μικρή οριζόντια δυστμησία που τους επιτρέπει πρακτικά ελεύθερη οριζόντια μετακίνηση και πολύ μεγάλη κατακόρυφη δυστένεια για να μπορούν να φέρουν με ασφάλεια το ίδιο βάρος της κατασκευής. Επομένως, κατά το διαμήκη άξονα της γέφυρας η μετακίνηση θεωρείται απολύτως ελεύθερη καθώς και οι στροφές και προς τους δύο άξονες, ενώ λόγω της ύπαρξης διατμητικών κλειδιών στη θέση αυτή τόσο η εγκάρσια μετακίνηση όσο και η στροφή του καταστρώματος περί τον κατακόρυφο άξονα θεωρείται δεσμευμένη. Για τους παραπάνω λόγους η προσομοίωση των εφεδράνων ολίσθησης γίνεται με τη χρήση άκαμπτων στοιχείων δοκού (rigid elements) τα οποία συνδέουν το κατάστρωμα με τα ακραία βάθρα και τα ακρόβαθρα, με ταυτόχρονη αποδέσμευση των κατάλληλων βαθμών ελευθερίας στην αρχή των στοιχείων, ώστε να προσομοιωθούν με ακρίβεια οι συγκεκριμένες συνθήκες στήριξης. Επιπλέον, δεδομένου του στόχου της διατριβής, δεν εξετάζονται εδώ θέματα συμμετοχής του ακροβάθρου και του επιχώματος στην εγκάρσια απόκριση της γέφυρας Προσομοίωση της ανελαστικής απόκρισης του φορέα Οι πιθανές θέσεις σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στη γέφυρα που μελετάται, θεωρείται ότι λαμβάνουν χώρα στη βάση και στην κεφαλή των βάθρων που συνδέονται μονολιθικά με το κατάστρωμα (σχήμα 5.13) και στη βάση των βάθρων που συνδέονται μέσω των εφεδράνων ολίσθησης με το κατάστρωμα (σχήμα 5.14). Στο λογισμικό SAP2000 (CSI, 2005), που χρησιμοποιείται για την ανελαστική ανάλυση του φορέα, οι πιθανές θέσεις σχηματισμού πλαστικών αρθρώσεων στα γραμμικά στοιχεία δοκού που χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση των βάθρων, προσομοιώνονται με μοντέλα σημειακής πλαστικότητας με διγραμική συμπεριφορά, για τα οποία εισάγονται κατάλληλα ανελαστικά διαγράμματα ροπών στροφών (Μ-θ). 101

144 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών προσομοίωση καταστρώματος με γραμμικά στοιχεία δοκού προσομοίωση βάθρου με γραμμικά στοιχεία δοκού πιθανέςθέσειςσχηματισμού πλαστικών αρθρώσεων Μ Μy αk i k i θy θ Σχήμα 5.13 Μη- γραμμικές περιοχές του φορέα καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα. προσομοίωση καταστρώματος με γραμμικά στοιχεία δοκού προσομοίωση βάθρου με γραμμικά στοιχεία δοκού σύνδεσηβάθρουμεκατάστρωμα μέσω εφεδράνων ολίσθησης πιθανή θέση σχηματισμού πλαστικής άρθρωσης Μ Μy αk i k i θy θ Σχήμα 5.14 Μη- γραμμικές περιοχές του φορέα καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται με το κατάστρωμα μέσω εφεδράνων ολίσθησης 102

145 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Ο προσδιορισμός της αντοχής και της πλαστιμότητας των κρίσιμων διατομών που αναμένεται να έχουν ανελαστική απόκριση, γίνεται με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού ανελαστικής ανάλυσης διατομών οπλισμένου σκυροδέματος, το RCCOLA-98 (Kappos, 2002) στο οποίο χρησιμοποιείται κατάλληλος νόμος για το περισφιγμένο σκυρόδεμα (Kappos, 1991). Το πρόγραμμα RCCOLA-98 (Reinforced Concrete COLumn Analysis) υπολογίζει το πλήρες διάγραμμα ροπών καμπυλοτήτων της διατομής μέχρι και την αστοχία της (που ορίζεται με μια σειρά εναλλακτικών κριτηρίων). 5.2 Ιδιομορφική ελαστική ανάλυση του φορέα Στους Πίνακες 5.2 και 5.3, δίνονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα όπως υπολογίστηκαν από την ιδιομορφική ανάλυση. Πίνακας 5.2: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα- α μέρος mode T (sec) UX UY UZ sumux sumuy sumuz

146 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Πίνακας 5.3: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα- β μέρος mode T(sec) RX RY RZ sumrx sumry sumrz Οι όροι Ux, Uy, Uz εκφράζουν τα ποσοστά (επί τις εκατό) της μάζας που ενεργοποιείται κατά τη διαμήκη διεύθυνση X, την εγκάρσια διεύθυνση Y και την κατακόρυφη διεύθυνση Z, αντίστοιχα για κάθε ιδιομορφή ταλάντωσης του φορέα (βλ. σχήμα 5.7). Οι όροι Rx, Ry, και Rz εκφράζουν τα ποσοστά της μάζας που στρέφεται περί τους άξονες X, Y και Z αντίστοιχα για κάθε ιδιομορφή ταλάντωσης του φορέα. Η πρώτη ιδιομορφή του φορέα είναι μεταφορική κατά τη διαμήκη διεύθυνση με ποσοστό συμμετοχής 74.8%. Η δεύτερη κατά σειρά εμφάνισης ιδιομορφή, είναι μεταφορική κατά την εγκάρσια διεύθυνση με ποσοστό συμμετοχής 58.9%. Κατά την ίδια διεύθυνση, οι επόμενες πιο σημαντικές ιδιομορφές (με κριτήριο το ποσοστό συμμετοχής), είναι η τέταρτη (4 η ) με ποσοστό συμμετοχής 7.0%, η δέκατη (10 η ) με ποσοστό 7.8% και η δέκατη έβδομη (17 η ) με ποσοστό 7.7%. Ακολουθεί η εικοστή τέταρτη ιδιομορφή (24 η ), με ποσοστό συμμετοχής 2.5%. 104

147 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) mode1 mode4 mode10 mode17 mode24 Ελαστική Ι.Α piers Σχήμα 5.15 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ελαστική ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας. Πίνακας 5.4: Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση της γέφυρας. Ακτινικές μετακινήσεις για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και οι τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος. Σημεία κατ/τος πάνω από τα βάθρα Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση- Εγκάρσια Διεύθυνση ανάλυσης Μετακινήσεις καταστρώματος για κάθε ιδιομορφική φόρτιση mode1 mode4 mode10 mode17 mode24 τελικές μετακινήσεις (5modes) τελικές μετακινήσεις (4modes) Απόκλιση τελικών μετακινήσεων (%) Για την επιλογή των σημαντικότερων ιδιομορφών που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια στην ΙΑΣΑ, εφαρμόζεται η ελαστική ιδιομορφική ανάλυση του φορέα, για να διερευνηθεί το ποσοστό επιρροής των ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα. Η ανάλυση γίνεται για το σεισμό σχεδιασμού, με την παραδοχή ότι ο φορέας θα παραμείνει ελαστικός (που δεν ισχύει αφού σχεδιάστηκε για q=3). Στο σχήμα 5.15 παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για κάθε ιδιομορφή, καθώς και οι τελικές τιμές των μετακινήσεων που υπολογίζονται αν ληφθούν υπόψη οι πέντε προαναφερόμενες ιδιομορφές για την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης. Στον Πίν.5.4, παρουσιάζονται οι τιμές των ακτινικών μετακινήσεων για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, οι τελικές τιμές των 105

148 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών μετακινήσεων του καταστρώματος που υπολογίζονται από την απλή τετραγωνική επαλληλία των πέντε ιδιομορφικών φορτίων και οι τελικές τιμές των μετακινήσεων του καταστρώματος, που υπολογίζονται αν ληφθούν υπόψη οι τέσσερεις από τις πέντε σημαντικότερες ιδιομορφές. Στην τελευταία στήλη του Πίν.5.4, παρουσιάζεται το ποσοστό απόκλισης (%) ανάμεσα στις τελικές μετακινήσεις που υπολογίζονται αν χρησιμοποιούνται οι πέντε ή οι τέσσερεις ιδιομορφές της γέφυρας. Παρατηρείται ότι, η επιρροή της πέμπτης ιδιομορφής (mode 24) στην τελική απόκριση της γέφυρας είναι πολύ μικρή. Συγκεκριμένα, τα ποσοστά απόκλισης των μετακινήσεων κυμαίνονται από 0.01% έως 0.35% σε όλο το μήκος του φορέα. Εξαίρεση αποτελούν τα σημεία πάνω από το πρώτο βάθρο (με απόκλιση 4%) και πάνω από το τελευταίο βάθρο με απόκλιση 2%, στα οποία το ποσοστό απόκλισης αυξάνεται, χωρίς όμως να προκαλεί ουσιώδη μεταβολή στις τελικές μετακινήσεις του καταστρώματος. Ως εκ τούτου, η πέμπτη ιδιομορφή θεωρείται ότι δεν επηρεάζει την τελική απόκριση του φορέα, και για το λόγο αυτόν, δε θα χρησιμοποιηθεί στην ΙΑΣΑ, η οποία «εξ ορισμού» εφαρμόζεται με τις ελαστικές ιδιομορφές. Στο σχήμα 5.16 παρουσιάζονται οι σημαντικότερες ιδιομορφές κατά την εγκάρσια διεύθυνση του φορέα, σε κάτοψη, οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ. 1η ιδιομορφή (mode1) T1=0.88s 2η ιδιομορφή (mode2) T2=0.63s 3η ιδιομορφή (mode3) T3=0.41s 4η ιδιομορφή (mode4) T4=0.30s Σχήμα 5.16 Σημαντικότερες ιδιομορφές κατά την εγκάρσια διεύθυνση του φορέα, σε κάτοψη Οι εναλλακτικές μεθοδολογίες που εφαρμόζονται στον φορέα αναφέρονται κυρίως στην εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης της γέφυρας, διότι ως γνωστόν (π.χ. Fischinger et al. 2004) κατά τη διεύθυνση αυτή η απόκριση του φορέα επηρεάζεται περισσότερο από τις ανώτερες ιδιομορφές. Το γεγονός αυτό είναι εμφανές και από την ιδιομορφική (ελαστική) ανάλυση που προηγήθηκε κατά την οποία αποδεικνύεται ότι κατά τη διαμήκη διεύθυνση η απόκριση του φορέα διαμορφώνεται κυρίως βάσει της θεμελιώδους ιδιομορφής με ποσοστό συμμετοχής περίπου 80%. Αντίθετα, κατά την εγκάρσια διεύθυνση 106

149 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών αποδεικνύεται ότι η απόκριση του φορέα διαμορφώνεται βάσει των τεσσάρων σημαντικότερων ιδιομορφών με αθροιστικό ποσοστό συμμετοχής περίπου 81% (κάτω από το 90% που δέχονται οι περισσότεροι κανονισμοί για την ελαστική δυναμική ανάλυση). 5.3 Ανελαστική Στατική Ανάλυση Η εφαρμογή της ανελαστικής στατικής μεθόδου ανάλυσης γίνεται σε τρισδιάστατο μοντέλο προσομοίωσης (βλ. σχήμα 5.7) ενώ η απόκριση του φορέα εξετάζεται χωριστά για καθεμιά από τις τρεις κύριες διευθύνσεις του. Λόγω της μεγάλης καμπυλότητας (σε κάτοψη) της γέφυρας, ως εγκάρσιες μετακινήσεις λαμβάνονται οι ακτινικές μετακινήσεις των κόμβων του καταστρώματος πάνω από τα βάθρα, ενώ ως διαμήκεις μετακινήσεις λαμβάνονται οι αντίστοιχες εφαπτόμενες προς τις ακτινικές μετακινήσεις. Κάτι τέτοιο προϋποθέτει να έχει δοθεί στο μοντέλο προσομοίωσης ο κατάλληλος προσανατολισμός των τοπικών αξόνων των γραμμικών στοιχείων και των κόμβων της κατασκευής (βλ. σχήμα 5.11) Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής. Η κατανομή της επιβαλλόμενης οριζόντιας φόρτισης που εφαρμόζεται, ορίζεται από το γινόμενο του μητρώου μάζας του φορέα, m, επί το μητρώο των ιδιομορφικών μετακινήσεων που αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιομορφή του φορέα κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση, n (εξ. (3.22)). Χαράσσονται οι καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά τις κύριες διευθύνσεις ανάλυσης, χρησιμοποιώντας ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων το κέντρο μάζας του καταστρώματος (CEN, 2005), π.χ. για την εγκάρσια διεύθυνση η καμπύλη δίνεται σε όρους ακτινικής μετακίνησης του σημείου ελέγχου και τέμνουσας βάσης της γέφυρας. Η ακτινική μετακίνηση του σημείου ελέγχου, στο πρόγραμμα ανάλυσης, είναι η μετακίνηση u2, παράλληλη προς τον άξονα 2 του τοπικού συστήματος συντεταγμένων ως προς το οποίο ορίστηκαν τα δομικά στοιχεία του καταστρώματος λόγω της καμπυλότητας της γέφυρας (βλ. σχήμα 5.11). Αντίστοιχα η τέμνουσα βάσης προκύπτει από το άθροισμα των τεμνουσών δυνάμεων (ΣV 2 i) που αναπτύσσονται στις βάσεις των i δομικών κατακόρυφων στοιχείων, ήτοι των μεσοβάθρων και των ακροβάθρων, που ορίζονται ως προς το τοπικό σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα 5.12). Στο ίδιο διάγραμμα (σχήμα 5.17), παρουσιάζονται οι θέσεις σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων κατά την επιβολή της φόρτισης καθώς και η σειρά σχηματισμού (αύξοντες αριθμοί) των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα της κατασκευής για εφαρμογή της επιβαλλόμενης φόρτισης κατά τη διαμήκη και την εγκάρσια διεύθυνση αντίστοιχα. Κατά τη διαμήκη διεύθυνση, η σχεδόν ταυτόχρονη εμφάνιση των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα του φορέα στην κεντρική περιοχή της γέφυρας, αποδεικνύει ότι η απόκριση του φορέα σε αυτή τη διεύθυνση πλησιάζει την απόκριση ενός μονοβάθμιου συστήματος. Αντίθετα, κατά την εγκάρσια διεύθυνση, όπου η απόκριση του συστήματος επηρεάζεται από τις ανώτερες ιδιομορφές, οι πλαστικές αρθρώσεις εμφανίζονται σε διαφορετικά σημεία κατά μήκος της καμπύλης αντίστασης. Σε αυτό οφείλεται η μεγαλύτερη κλίση ( κράτυνση ) του δεύτερου κλάδου της καμπύλης αντίστασης του φορέα σε σχέση με τη διαμήκη διεύθυνση. Η μεγαλύτερη αντοχή οφείλεται κυρίως στον 107

150 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών προσανατολισμό των ορθογωνικών βάθρων (ισχυρή τους διεύθυνση είναι η εγκάρσια). Η συνολική απόκριση του φορέα κατά τις δύο διευθύνσεις είναι πολύ ικανοποιητική, εφόσον δεν παρατηρούνται τοπικά αλλά και συνολικά στο φορέα, αστοχίες στη στάθμη της σεισμικής διέγερσης σχεδιασμού (βλ. και Mergos et al., 2003). Η ικανοποιητική συμπεριφορά της γέφυρας επαληθεύεται και μέσω της εκτίμησης του διαθέσιμου δείκτη συμπεριφοράς (ο οποίος υπολογίζεται συναρτήσει του δείκτη διαθέσιμης υπεραντοχής και του δείκτη πλαστιμότητας του φορέα, για κάθε διεύθυνση ανάλυσης) που έγινε από τους Kappos et al (2010a,b) Vb (kn) εγκάρσια διεύθυνση διαμήκης διεύθυνση σχηματισμός πλαστικών αρθρώσεων u (m) Σχήμα 5.17 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά τις κύριες διευθύνσεις, όπως ορίζονται με σημείο ελέγχου των μετακινήσεων το κέντρο μάζας του καταστρώματος. Η διερεύνηση της επιρροής της θέσης του σημείου ελέγχου στο φορέα, για τη χάραξη αντιπροσωπευτικών καμπυλών αντίστασης, πραγματοποιείται με τη χάραξη καμπυλών αντίστασης ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για κάθε διεύθυνση ανάλυσης. Η επιλογή κατάλληλου σημείου ελέγχου, διευκολύνει τη διαδικασία εφαρμογής της μεθοδολογίας ανάλυσης της γέφυρας, εφόσον το εν λόγω σημείο ελέγχου χρησιμοποιείται τόσο στην χάραξη μιας αντιπροσωπευτικής καμπύλης αντίστασης του φορέα όσο και για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του φορέα για συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Κατά τη διαμήκη διεύθυνση (βλ. σχήμα 5.18), για την εξεταζόμενη κατανομή φόρτισης, παρατηρείται ότι η χάραξη της καμπύλης αντίστασης του φορέα δεν επηρεάζεται από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων, παρά την ύπαρξη της καμπυλότητας σε κάτοψη. Αντίθετα, κατά την εγκάρσια διεύθυνση (σχήμα 5.19), οι παραγόμενες καμπύλες αντίστασης διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους ανάλογα με τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων, κάτι που αποδεικνύει ότι η επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου για τη χάραξη μιας αντιπροσωπευτικής καμπύλης 108

151 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών αντίστασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση, δεν είναι προφανής, τουλάχιστον για το συγκεκριμένο τύπο γέφυρας Vb (kn) Μ6 Μ2 Μ10 Α1 Α u (m) Σχήμα 5.18 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά τη διαμήκη διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Vb (kn) Μ6 Μ5 Μ M3 M7 M8 M9 M u (m) Σχήμα 5.19 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου 109

152 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) *(σεσμός σχεδιασμού) 1.5*(σεισμό σχεδιασμού) 2.0*(σεισμό σχεδιασμού) Α Α2 Σχήμα 5.20 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, που υπολογίζονται με την ΑΣΑ για φόρτιση βάσει της 1 ης ιδιομορφής. piers Για τις ανάγκες των επόμενων βημάτων της μεθόδου, η υπολογιζόμενη πραγματική καμπύλη αντίστασης εξιδανικεύεται σε διγραμμική, ώστε να οριστούν ένα (συμβατικό) όριο διαρροής και ένα (συμβατικό) όριο αστοχίας της κατασκευής. Χρήσιμες εν προκειμένω, είναι οι σχετικές υποδείξεις του Κανονισμού ASCE41-06 (ASCE, 2006), καθώς και του κεφ. 5 του ΚΑΝΕΠΕ (ΥπΥποΜεΔι, 2012). Η εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης γίνεται με τη μέθοδο των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας (Fajfar 1999, Chopra & Goel, 1999). Οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικών διεγέρσεων παρουσιάζονται στο σχήμα5.20, ενώ τα αποτελέσματα της συγκεκριμένης ανάλυσης σε σχέση με τις υπόλοιπες ανελαστικές μεθόδους ανάλυσης που εφαρμόζονται, παρουσιάζονται στην 5.4 της διατριβής Ανελαστική Στατική Ανάλυση με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης. Στο πλαίσιο βελτίωσης της ακρίβειας της ανελαστικής στατικής ανάλυσης, οι σύγχρονοι κανονισμοί (ASCE/SEI 2007, CEN 2004, ΥπΥποΜεΔι 2012), προτείνουν την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης με δύο κατανομές φορτίσεων. Συγκεκριμένα, προτείνεται εκτός από την ιδιομορφική κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής του φορέα, να εφαρμόζεται παράλληλα η ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης ή/και η κατανομή φόρτισης που προκύπτει μετά από κατάλληλη επαλληλία (SRSS) των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. Σύμφωνα με την ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, οι επιβαλλόμενες δυνάμεις που εφαρμόζονται στη γέφυρα, είναι ανάλογες προς τις δρώσες μάζες του μοντέλου προσομοίωσης του φορέα για την εξεταζόμενη διεύθυνση. Στο σχήμα 5.21, παρουσιάζεται 110

153 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών σε κάτοψη η κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης για τη γέφυρα που μελετάται όπως υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης (2.26). Η εν λόγω κατανομή φόρτισης απαιτείται από τους σύγχρονους κανονισμούς κατά την ανελαστική στατική ανάλυση κτιριακών φορέων σε συνδυασμό πάντα με κάποια ιδιομορφική κατανομή, δεδομένου ότι οδηγεί σε δυσμενέστερα αποτελέσματα ως προς τον λόγο V/M στο κατώτερο τμήμα του φορέα απ ό,τι η τριγωνική ή η ιδιομορφική κατανομή βάσει της πρώτης ιδιομορφής. Στις γέφυρες μια τέτοια ιδιομορφή αναμένεται στην εγκάρσια διεύθυνση φορέων χωρίς δέσμευση της εγκάρσιας μετακίνησης στα ακρόβαθρα (και χωρίς ουσιώδη επιρροή της στρέψης). Είναι επομένως σκόπιμο να εξεταστεί η επιρροή της συγκεκριμένης φόρτισης ώστε να διαπιστωθεί αν δίνει δυσμενέστερα αποτελέσματα για κάποια μεγέθη απόκρισης piers Σχήμα 5.21 Κατανομή της ομοιόμορφης φόρτισης σε κάτοψη, κατά μήκος της γέφυρας Vb (kn) Μ Μ4 Μ8 M2 M10 M M7 σχηματισμός πλαστικής άρθρωσης u (m) 2 9 Σχήμα 5.22 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, οι θέσεις και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα. 111

154 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) *(σεισμό σχεδιασμού) 1.5*(σεισμό σχεδιασμού) 2.0*(σεισμό σχεδιασμού) Σχήμα 5.23 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης. piers Οι καμπύλες αντίστασης του φορέα, σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, για την ομοιόμορφη φόρτιση κατά την εγκάρσια διεύθυνση της γέφυρας, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, παρουσιάζονται στο σχήμα Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζονται τα σημεία και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης, μέχρι την αστοχία του φορέα. Κατά την εφαρμογή της ομοιόμορφης κατανομής φόρτισης, παρατηρείται ότι οι πλαστικές αρθρώσεις σχηματίζονται διαδοχικά, αρχικά και σχεδόν ταυτόχρονα στις βάσεις των ακραίων βάθρων και στη συνέχεια στις βάσεις των κεντρικών βάθρων. Η διαφορετική σειρά εμφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων σε σχέση με την αυτήν που παρατηρείται στην κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής, οφείλεται στο γεγονός ότι τα ακραία μεσόβαθρα που έχουν την ίδια διατομή στη βάση τους με τα κεντρικά μεσόβαθρα, φορτίζονται περισσότερο με την ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, με αποτέλεσμα τα βάθρα αυτά να διαρρέουν πρώτα. Από τις καμπύλες αντίστασης που χαράσσονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων προκύπτει ότι η επιρροή της θέσης του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων είναι σημαντική για τη χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα. Οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικών διεγέρσεων παρουσιάζονται στο σχήμα 5.23 και παρατηρείται ότι, λόγω κυρίως της δέσμευσης της εγκάρσιας μετακίνησης στα ακρόβαθρα, το παραμορφωμένο σχήμα δεν είναι ομοιόμορφο Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. Σύμφωνα με την εν λόγω κατανομή φόρτισης, οι επιβαλλόμενες δυνάμεις που εφαρμόζονται στο μοντέλο της γέφυρας, κατά την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής 112

155 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών μεθόδου, προκύπτουν μετά από απλή τετραγωνική επαλληλία (SRSS) των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα (ASCE, 2000). Κατά την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων λαμβάνονται υπόψη οι σημαντικότερες ιδιομορφές του φορέα κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση (σχ. 5.16), ενώ ταυτόχρονα συνεκτιμάται το ποσοστό συμμετοχής κάθε ιδιομορφής στην τελική απόκριση του φορέα. Κρίνεται επομένως χρήσιμο, παράλληλα με τις προαναφερόμενες κατανομές φορτίσεων, να γίνει η εφαρμογή της συγκεκριμένης κατανομής στο φορέα της γέφυρας, ώστε να διαπιστωθεί αν τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι βελτιωμένα σε σχέση με την (1 η ) ιδιομορφική και την ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης piers Σχήμα 5.24 Κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης σε κάτοψη, κατά μήκος του φορέα Vb (kn) Μ6 Μ4 Μ8 M2 M10 6 M M7 σχηματισμός πλαστικής άρθρωσης u (m) Σχήμα 5.25 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. 113

156 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Στο σχήμα 5.24 παρουσιάζεται σε κάτοψη η κατανομή της επιβαλλόμενης φόρτισης για τη γέφυρα που αναλύεται. Οι καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση της γέφυρας, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων, χαράσσονται στο σχήμα Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζονται επιπλέον τα σημεία και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων κατά την επιβολή της φόρτισης κατά την εγκάρσια διεύθυνση, μέχρι την αστοχία του φορέα. u r (m) *(σεισμό σχεδιασμού) 1.5*(σεισμό σχεδιασμού) 2.0*(σεισμό σχεδιασμού) piers Σχήμα 5.26 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, που υπολογίζονται με την ανελαστική στατική ανάλυση, για φόρτιση που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. Παρατηρείται ότι η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα της γέφυρας είναι περίπου ίδια με αυτήν που παρατηρείται κατά την εφαρμογή της 1 ης ιδιομορφικής φόρτισης (σχήμα 5.17). Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει για τις τιμές των μετακινήσεων του σημείου ελέγχου στις οποίες λαμβάνουν χώρα οι πλαστικές αρθρώσεις, καθώς και για το προφίλ των ακτινικών μετακινήσεων κατά μήκος του φορέα (βλ. σχήμα 5.20). Επιπλέον, από τη μορφή των καμπυλών αντίστασης του φορέα ως προς τα διαφορετικά σημεία ελέγχου, είναι προφανής η μεγάλη επιρροή της θέσης του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων και η σπουδαιότητα επιλογής του καταλληλότερου σημείου για τη χάραξη της αντιπροσωπευτικότερης καμπύλης αντίστασης της γέφυρας. Οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για τρεις στάθμες σεισμικών διεγέρσεων παρουσιάζονται στο σχήμα Παρατηρείται ότι σε σχέση με τις ακτινικές μετακινήσεις του φορέα για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, η εν λόγω κατανομή φόρτισης οδηγεί σε μεγαλύτερες τιμές μετακινήσεων στην κεντρική περιοχή του φορέα, και σε πολύ μικρότερες στις ακραίες περιοχές του φορέα. 114

157 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών 5.4 Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Σύμφωνα με την ΙΑΣΑ, εφαρμόζονται στο φορέα ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις για κάθε σημαντική (στην εξεταζόμενη διεύθυνση) ιδιομορφή. Τα απαραίτητα δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα για την εφαρμογή της μεθοδολογίας υπολογίστηκαν κατά την ιδιομορφική ανάλυση που προηγήθηκε. Στο σημείο αυτό της μεθοδολογίας, κριτήριο για το πόσο σημαντική είναι μια ιδιομορφή στην τελική απόκριση του φορέα αποτελεί εκτός από το ποσοστό συμμετοχής της μάζας που ενεργοποιείται στη συγκεκριμένη ιδιομορφή και το αντίστοιχο ποσοστό συμμετοχής της ιδιομορφής στην τελική απόκριση του φορέα, το οποίο προκύπτει από την ελαστική ιδιομορφική ανάλυση του συστήματος. Κατά τη διαμήκη διεύθυνση παρατηρήθηκε ότι η απόκριση του συστήματος μπορεί να προσομοιωθεί ικανοποιητικά με την απόκριση ενός ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Αντίθετα, από την ιδιομορφική ελαστική ανάλυση του συστήματος κατά την εγκάρσια διεύθυνση και τη διερεύνηση που έγινε σχετικά με την συνεισφορά των ανώτερων ιδιομορφών στην τελική απόκριση της γέφυρας (βλ. Πίν.5.4) προέκυψε ότι για την εφαρμογή της μεθοδολογίας, είναι απαραίτητες οι τέσσερεις (4) ιδιομορφές του φορέα, που παρουσιάζονται στο σχήμα Χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα για φόρτιση βάσει κάθε ιδιομορφής Διεξάγονται ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις για φορτίσεις βάσει κάθε σημαντικής ιδιομορφής και χαράσσονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του φορέα, σε όρους τέμνουσας βάσης προς τη μετακίνηση του σημείου ελέγχου. Η επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου για τη χάραξη της αντιπροσωπευτικότερης καμπύλης αντίστασης δεν είναι προφανής σε φορείς γεφυρών και κυρίως κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης. Περισσότερες λεπτομέρειες πάνω σε αυτό το θέμα παρουσιάζονται στο κεφάλαιο 4 της παρούσας διατριβής. Στον Πίν.5.5, δίνονται συγκεντρωτικά οι προτεινόμενες θέσεις του σημείου ελέγχου στο φορέα, ως ο λόγος της απόστασης του σημείου από το πρώτο ακρόβαθρο του φορέα (Α1 στο σχ. 5.1) προς το συνολικό μήκος του φορέα. Πίνακας 5.5: Πιθανές θέσεις επιλογής σημείου ελέγχου των μετακινήσεων mode1 mode2 mode3 mode4 x Κ.Μ. /(συνολικό μήκος) x * n /(συνολικό μήκος) x u,max /(συνολικό μήκος) x cr /(συνολικό μήκος) Όπου, x Κ.Μ είναι η θέση του κέντρου μάζας του φορέα, x n * είναι η θέση του ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφή κατά μήκος του φορέα, x u,max είναι η θέση του σημείου στο οποίο αναπτύσσεται η μέγιστη ακτινική μετακίνηση του φορέα και x cr είναι η θέση του κρίσιμου βάθρου. Παρατηρείται ότι ενώ για την πρώτη ιδιομορφή όλες οι προτεινόμενες επιλογές πρακτικώς ταυτίζονται, δε συμβαίνει το ίδιο για τις ανώτερες ιδιομορφές κάτι που επηρεάζει την μορφή των καμπυλών αντίστασης. Στα σχήματα 5.27, 5.30, 5.33 και 5.36, 115

158 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών παρουσιάζονται οι κατανομές των ιδιομορφικών φορτίσεων. Επιπλέον σε κάθε σχήμα σημειώνονται ενδεικτικά τα χαρακτηριστικά σημεία του Πίνακα 5.5, τα οποία προτείνεται να χρησιμοποιούνται ως σημεία ελέγχου των μετακινήσεων σε φορείς γεφυρών για τη χάραξη των καμπυλών αντίστασης (βλ. 4.2). Ακολουθεί η χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, ως προς τα διαφορετικά σημεία ελέγχου (βλ. σχήματα 5.28, 5.31, 5.34 και 5.37). Στα σχήματα 5.29, 5.32, 5.35 και 5.38 χαράσσονται για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και για κάθε προτεινόμενη θέση του σημείου ελέγχου, οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ. (a,b,d) (c) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.27 Φόρτιση βάσει της 1 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου: (a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c) μέγιστη μετακίνηση (d) κρίσιμο βάθρο Vb (kn) P6, Μ6 (a, (a, b, b, d) d) (c) P2 M2 P3 M3 P4, M4, P5M5 P7 M7 P8 M8 P10 M10 P9 M u (m) Σχήμα 5.28 Καμπύλες αντίστασης για την 1 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. Παρατηρείται ότι η επιλογή του σημείου ελέγχου επηρεάζει τη μορφή της καμπύλης αντίστασης και ειδικότερα το δεύτερο κλάδο της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ. Αντίθετα, δεν επηρεάζει την κλίση του πρώτου κλάδου της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ 116

159 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών η οποία ισούται με ω n 2 αν η αρχική κλίση της αντίστοιχης καμπύλης αντίστασης του φορέα αντιστοιχεί στην ελαστική (ενεργό) δυσκαμψία της γέφυρας. Υπό την έννοια αυτή η καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ είναι καταλληλότερη από την κλασική καμπύλη αντίστασης για την περιγραφή της συμπεριφοράς της γέφυρας. Λόγω της προαναφερθείσας εξάρτησης από το σημείο ελέγχου, παράγονται καμπύλες αντίστασης οι οποίες μπορεί να παρουσιάζουν μορφή μη αντιπροσωπευτική της συμπεριφοράς του φορέα (βλ. λ.χ. σχήματα 5.34 και 5.37 ) όταν επιλέγεται το Κ.Μ του καταστρώματος ή η θέση του ΙΜΣ, ενώ η μορφή των καμπυλών αντίστασης δείχνει να είναι πιο ρεαλιστική όταν επιλέγεται το σημείο μέγιστης μετακίνησης ή το κρίσιμο βάθρο. Από τη μορφή των καμπυλών αντίστασης της γέφυρας που χαρακτηρίζονται ως ακατάλληλες για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ, ήτοι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν στον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης με τη μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας, προκύπτει ότι μπορεί να εφαρμόζεται ως κριτήριο επιλογής κατάλληλης καμπύλης αντίστασης, η κλίση του 2 ου κλάδου της καμπύλης να μην είναι μεγαλύτερη της ελαστικής Sa (m/s 2 ) P6, Μ6 (a, (a, b, b, d) d) (c) P2 M2 P3 M3 P4, M4, P5M5 P7 M7 P8 M8 P10 M10 P9 M S d (m) Σχήμα 5.29 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 1 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. A1 M1 M2 M3 M4 (a,b) M5 M6 M7 M8 (c) M9 (d) M10 M11 A2 Σχήμα 5.30 Φόρτιση βάσει της 2 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c)μέγιστη μετακίνηση (d)κρίσιμο βάθρο. 117

160 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Vb (kn) P6, Μ6 (a, (a, b,) b) P9, M9 (c) P10, M10 (d) P2 M2 P3 M3 P4 M4 P7 M7 P8 M8 P5 M u (m) Σχήμα 5.31 Καμπύλες αντίστασης για την 2 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. Sa (m/s 2 ) P6, Μ6 (a, b,) b) P9, M9 (c) P10, M10 (d) P2 M2 P3 M3 P4 M4 P7 M S d (m) Σχήμα 5.32 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 2 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. A1 M1 (c) M2 (d) M3 M4 (b) (a) M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.33 Φόρτιση βάσει της 3 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c) μέγιστη μετακίνηση (d) κρίσιμο βάθρο. 118

161 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Vb (kn) P6, Μ6 (a) P3 M3 (d) (d) (c) P2 M2 P5 M5 (b) (b) P8 M8 P10 M u (m) Σχήμα 5.34 Καμπύλες αντίστασης για την 3 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου Sa (m/s 2 ) Μ6 P6, (a) M3 P3 (d) (c) M2 P2 M5 P5 (b) M8 P8 M10 P S d (m) Σχήμα 5.35 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 3 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. 119

162 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών (b) (a) A1 M1 (c,d) M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.36 Φόρτιση βάσει της 4 ης ιδιομορφής(εγκάρσια διεύθυνση). Θέσεις σημείου ελέγχου:(a) Κ.Μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ (c)μέγιστη μετακίνηση (d)κρίσιμο βάθρο. Vb (kn) P6, Μ6 (a,) (a) P5 M5 (b) (b) P2, M2 (c, (c, d) d) P1 M1 P3 M3 P4 M4 P7 M7 P8 M8 P10 M10 P11 M u (m) Σχήμα 5.37 Καμπύλες αντίστασης για την 4 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. Sa (m/s 2 ) P6, Μ6 (a,) (a) P5(b) M5 (b) P2, M2 (c, (c, d) d) P1 M1 P3 M3 P4 M4 P8 M8 P10 M10 P11 M S d (m) Σχήμα 5.38 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 4 η ιδιομορφή (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. 120

163 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Εφαρμογή της ΙΑΣΑ και της προτεινόμενης βελτιωμένης ΙΑΣΑ Για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης της γέφυρας για συγκεκριμένη στάθμη της σεισμικής διέγερσης, χρησιμοποιούνται οι πιο αντιπροσωπευτικές για κάθε ιδιομορφική φόρτιση καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ (βλ. 4.2). Προτείνεται να επιλέγονται οι καμπύλες αντίστασης που χαράσσονται ως προς το σημείο του καταστρώματος πάνω από το κρισιμότερο βάθρο, οι οποίες βρίσκονται πολύ κοντά στις καμπύλες αντίστασης που χαράσσονται ως προς το σημείο της μέγιστης μετακίνησης του φορέα. Το σημείο που ορίζεται από την τομή της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ με την καμπύλη του (ανελαστικού) φάσματος απαίτησης, είναι αυτό ως προς το οποίο εκτιμάται ο δείκτης πλαστιμότητας από την καμπύλη αντίστασης του ΙΜΣ. Η τιμή του δείκτη πλαστιμότητας ισούται με την τιμή βάσει της οποίας ορίστηκε το ανελαστικό φάσμα (δηλ. το φάσμα αντιστοιχεί σε τέτοια στάθμη αντοχής ώστε να προκύπτει η προαναφερθείσα απαίτηση πλαστιμότητας). Το σημείο αυτό ορίζει την τιμή της ζητούμενης στοχευόμενης μετακίνησης για τη δεδομένη στάθμη σεισμικής διέγερσης, η οποία αναφέρεται σε ένα ΙΜΣ με ιδιοπερίοδο ίση με την ιδιοπερίοδο της αντίστοιχης ιδιομορφής του φορέα. Ακολουθεί η συσχέτιση της μετακίνησης αυτής με τη μετακίνηση ενός σημείου του πραγματικού φορέα, μέσω της εξίσωσης (3.21). Παράλληλα, εξετάζεται λεπτομερώς η επιρροή της θέσης του σημείου ελέγχου στα μεγέθη απόκρισης του φορέα για κάθε επιβαλλόμενη ιδιομορφική φόρτιση καθώς και η αντίστοιχη βελτίωση που παρατηρείται με την εφαρμογή της προτεινόμενης βελτιωμένης ΙΑΣΑ, σύμφωνα με όσα αναφέρονται αναλυτικά στην της παρούσας διατριβής. Οι αναλύσεις που ακολουθούν, αναφέρονται στο σεισμό σχεδιασμού του φορέα και στο διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, ενώ η διαδικασία που εφαρμόζεται μπορεί να εφαρμοστεί για οποιαδήποτε στάθμη σεισμικής διέγερσης. Φόρτιση βάσει της 1 ης ιδιομορφής Στο φορέα εφαρμόζεται η οριζόντια φόρτιση βάσει της πρώτης σημαντικής εγκάρσιας ιδιομορφής (σχήμα 5.27), παράγονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου (σχήμα 5.28), οι οποίες μετατρέπονται σε καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ (σχήμα 5.29) για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης. Ως σημεία ελέγχου επιλέγονται εκτός από τα χαρακτηριστικά σημεία που προτείνονται στον Πίν.5.5, τα σημεία του καταστρώματος πάνω από όλα τα βάθρα του φορέα. Εξαιρούνται τα σημεία πάνω από το πρώτο (Μ1) και το τελευταίο βάθρο (Μ11) της γέφυρας γιατί δεν είναι δυνατή η χάραξη μέσω αυτών, κατάλληλων καμπυλών αντίστασης του φορέα για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης με τη μέθοδο των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας (παράγονται καμπύλες αντίστασης με αρνητική κλίση του δεύτερου κλάδου). Αρχικά, γίνεται η εκτίμηση των ακτινικών μετακινήσεων του καταστρώματος με την παραδοχή ότι ο φορέας παραμένει ελαστικός για το σεισμό σχεδιασμού. Παρατηρείται ότι για ελαστική απόκριση του φορέα, τόσο η φασματική μετακίνηση S d1, όσο και το γινόμενο Γ 1 1 είναι ανεξάρτητα από τη θέση του σημείου ελέγχου. Στο σχήμα 5.39 παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για ελαστική απόκριση του φορέα. Είναι προφανές ότι τα τελικά (ιδιομορφικά) μεγέθη απόκρισης είναι ανεξάρτητα από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. 121

164 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Στο σχήμα 5.40, παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ανελαστική απόκριση του φορέα, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για το σεισμό σχεδιασμού. Παρατηρείται ότι οι μετακινήσεις του καταστρώματος ενώ αναφέρονται σε κοινή στάθμη σεισμικής διέγερσης, δεν ταυτίζονται, αλλά εξαρτώνται από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων που επιλέγεται. Επομένως, για ανελαστική απόκριση του φορέα, αποδεικνύεται ότι η εξίσωση (3.21) δίνει διαφορετική τιμή στοχευόμενης μετακίνησης (u c1 ) για κάθε σημείο ελέγχου του φορέα c, λόγω της απόκλισης του διανύσματος των ιδιομορφικών μετακινήσεων για ελαστική ταλάντωση, 1, από το διάνυσμα των μετακινήσεων του πραγματικού παραμορφωμένου καταστρώματος. Η μη ταύτιση των ιδιομορφικών μεγεθών που υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, οφείλεται στη μεταβολή του σχήματος της εξεταζόμενης ιδιομορφής, μετά τη διαρροή του συστήματος, η οποία δεν λαμβάνεται υπόψη κατά την εφαρμογή της ΙΑΣΑ. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού, εφαρμόζεται η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος (όπως φαίνονται στο σχήμα 5.40), χρησιμοποιούνται για τον ορισμό του νέου διανύσματος 1. Το διάνυσμα 1 χρησιμοποιείται για την μετατροπή των καμπυλών αντίστασης του φορέα σε νέες καμπύλες αντίστασης του αντίστοιχου ΙΜΣ, ώστε να υπολογιστεί εκ νέου η αντίστοιχη φασματική μετακίνηση, S ' d1. Η νέα βελτιωμένη τιμή στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε σημείο ελέγχου, υπολογίζεται μέσω του γινομένου Γ ' ' ' 1 1 επί τη νέα τιμή S d1 (εξίσωση (3.42). Στο σχήμα 5.41 παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται με τη βελτιωμένη ΙΑΣΑ για το σεισμό σχεδιασμού. Είναι φανερό ότι η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας έχει ως αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση της απόκλισης των μετακινήσεων που υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, ενώ παρατηρήθηκε ακόμα και ταύτιση μετακινήσεων για σημεία ελέγχου που είναι σε σχεδόν αντισυμμετρικά σημεία του φορέα. u r (m) P6 Μ6 P3 Μ3 P4 Μ4 P5 Μ5 P7 Μ7 P8 Μ8 P9 Μ9 P10 Μ Α1 0 Μ1 1 Μ2 2 Μ3 3 Μ4 4 Μ5 5 Μ6 6 Μ7 7 Μ8 8 Μ Μ10 11 Μ11 Α2 12 Σχήμα 5.39 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ελαστική απόκριση του φορέα. 122

165 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών 0.35 u r (m) M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 Σχήμα 5.40 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα. u r (m) control Μ6 ' point:p6'(a,b,c) control Μ7 ' point:p7' control Μ8 ' point:p8' control Μ9 ' point:p9' control Μ5 ' point:p5' control Μ4 ' point:p4' control M3 ' point:p3' control M10 ' point:p10' A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.41 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (1 η ιδιομορφική φόρτιση). 123

166 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) M4 M5 M6 M7 M8 M Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 Σχήμα 5.42 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (1 η ιδιομορφική φόρτιση). u r (m) M4' M5' M6' M7' M8' M9' Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 Σχήμα 5.43 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (1 η ιδιομορφική φόρτιση). Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, ώστε να εξεταστεί εάν επηρεάζεται η μεταβολή του σχήματος της εξεταζόμενης ιδιομορφής όσο 124

167 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών αυξάνει η ένταση της σεισμικής διέγερσης. Στο σχήμα 5.42, παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ανελαστική απόκριση του φορέα, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. Παρατηρείται ότι, οι μετακινήσεις του καταστρώματος, ενώ αναφέρονται σε κοινή στάθμη σεισμικής διέγερσης, διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους (μέγιστη απόκλιση 70%), γεγονός που αποδεικνύει ότι η μεταβολή του σχήματος της πρώτης ιδιομορφής είναι σημαντική. Επομένως, εφαρμόζεται η προτεινόμενη βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία επιχειρείται η διόρθωση των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης με βάση το στιγμιαίο σχήμα παραμόρφωσης των ιδιομορφικών μετακινήσεων που αντιστοιχεί στην εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Στο σχήμα 5.43 παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται με τη βελτιωμένη ΙΑΣΑ για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. Είναι φανερό ότι η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας έχει ως αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση της απόκλισης των μετακινήσεων που υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, ενώ παρατηρήθηκε ακόμα και ταύτιση μετακινήσεων. Φόρτιση βάσει της 2 ης ιδιομορφής Στο φορέα εφαρμόζεται η οριζόντια φόρτιση βάσει της δεύτερης σημαντικής εγκάρσιας ιδιομορφής (σχήμα 5.30), παράγονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου (σχήμα 5.31), οι οποίες μετατρέπονται σε καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ (σχήμα 5.32). Στο σχήμα 5.44 παρουσιάζονται οι μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα. Οι τιμές αναφέρονται στο σεισμό σχεδιασμού. Παρατηρείται ότι η απόκλιση των μετακινήσεων δεν είναι σημαντική (κυμαίνεται από 0.3% έως 5.5%). Το γεγονός αυτό οφείλεται στο ότι για τη συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης ο φορέας είναι κοντά στο όριο διαρροής του και η απόκλιση του διανύσματος των μετακινήσεων για ελαστική απόκριση, 2, από το διάνυσμα των μετακινήσεων του πραγματικού παραμορφωμένου καταστρώματος είναι πολύ μικρή. Ανεξάρτητα από την μικρή σχετική απόκλιση των μετακινήσεων, εφαρμόζεται η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, από την οποία προκύπτει ότι τα μεγέθη των διορθωμένων μετακινήσεων σχεδόν ταυτίζονται, δηλαδή είναι ανεξάρτητα από το σημείο ελέγχου των μετακινήσεων (σχήμα 5.45). Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για μεγαλύτερη ένταση σεισμικής διέγερσης, ήτοι για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. Οι ακτινικές ιδιομορφικές μετακινήσεις του καταστρώματος, που υπολογίζονται με την ΙΑΣΑ ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, παρουσιάζονται στο σχήμα Παρατηρείται ότι οι ιδιομορφικές μετακινήσεις δεν αποκλίνουν σημαντικά μεταξύ τους ακόμα και για μεγαλύτερη σεισμική διέγερση, γεγονός που αποδεικνύει ότι η δεύτερη σημαντική ιδιομορφή του συγκεκριμένου τύπου γέφυρας, δεν μεταβάλλεται σημαντικά μετά τη διαρροή του φορέα. Εντούτοις, εφαρμόστηκε η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία διαπιστώθηκε μια μικρή βελτίωση σε ότι αφορά τη μείωση της απόκλισης μεταξύ των ιδιομορφικών μετακινήσεων του καταστρώματος (βλ. σχήμα 5.47). 125

168 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) Μ6 Μ9 P6 (a, b) P9 (c) Μ10 Μ4 P10 (d) P Α1 1 Μ1 2 Μ2 Μ3 3 Μ4 4 5 Μ5 Μ6 6 7 Μ7 8 Μ8 9 Μ9 Μ10 11 Μ11 12 Α Σχήμα 5.44 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση) u r (m) P6' Μ6 (a, ' b) P9' Μ9 (c) ' P10' Μ10 (d) ' P4' Μ4 ' Α1 0 Μ1 1 Μ22 Μ3 3 Μ4 4 Μ5 5 Μ6 6 Μ7 7 8Μ8 9Μ9 Μ10 Μ11 Α Σχήμα 5.45 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση). 126

169 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) Μ4 Μ6 (a,b) Μ9 (c) Μ10 (d) Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 Σχήμα 5.46 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση). u r (m) Μ4' Μ6' (a,b) Μ9' (c) Μ10' (d) Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 Σχήμα 5.47 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (2 η ιδιομορφική φόρτιση). Φόρτιση βάσει της 3 ης ιδιομορφής Στο φορέα εφαρμόζεται η φόρτιση βάσει της τρίτης σημαντικής εγκάρσιας ιδιομορφής (βλ. σχήμα 5.27), παράγονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου (βλ. σχήμα 5.34), οι οποίες μετατρέπονται σε καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ (βλ. σχήμα 5.35), για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης σύμφωνα με την μέθοδο φασμάτων απαίτησης και ικανότητας. Στο σχήμα 5.48 παρουσιάζονται οι μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται 127

170 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα. Οι τιμές αναφέρονται στο σεισμό σχεδιασμού. Παρατηρείται ότι ο φορέας για την εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης παραμένει ελαστικός, και τα αντίστοιχα μεγέθη απόκρισης είναι ανεξάρτητα από το σημείο ελέγχου των μετακινήσεων που επιλέγεται σε κάθε περίπτωση. Ως εκ τούτου, για τη συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης, δεν είναι απαραίτητη η εφαρμογή της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. u r (m) Μ6 (a) Μ5 (b) Μ3 (c, d) Μ10 Μ Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α Σχήμα 5.48 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (3 η ιδιομορφική φόρτιση). u r (m) Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 M3(c,d) M10 M Σχήμα 5.49 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (3 η ιδιομορφική φόρτιση). 128

171 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Στη συνέχεια, υπολογίζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού (βλ. σχήμα 5.49), όπου διαπιστώνεται ότι ο φορέας για την συγκεκριμένη ιδιομορφική φόρτιση και για την εξεταζόμενη ένταση σεισμικής διέγερσης παραμένει ελαστικός, και τα αντίστοιχα μεγέθη απόκρισης είναι ανεξάρτητα από το σημείο ελέγχου των μετακινήσεων που επιλέγεται σε κάθε περίπτωση. Φόρτιση βάσει της 4 ης ιδιομορφής Στο φορέα εφαρμόζεται η φόρτιση βάσει της τέταρτης σημαντικής εγκάρσιας ιδιομορφής (βλ. σχήμα 5.36), παράγονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου (βλ. σχήμα 5.28), οι οποίες μετατρέπονται σε καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ (βλ. σχήμα 5.38). Αρχικά, γίνεται η εκτίμηση των ακτινικών μετακινήσεων του καταστρώματος με την παραδοχή ότι ο φορέας παραμένει ελαστικός για το σεισμό σχεδιασμού. Στο σχήμα 5.50 παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, για ελαστική απόκριση του φορέα. Είναι προφανές ότι τα τελικά (ιδιομορφικά) μεγέθη απόκρισης είναι ανεξάρτητα από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται η συγκεκριμένη φόρτιση για την ένταση της σεισμικής διέγερσης που αντιστοιχεί στο σεισμό σχεδιασμού, υπό την προϋπόθεση ότι ο φορέας θα συμπεριφερθεί ανελαστικά. Από τις καμπύλες αντίστασης που παράγονται, οι καμπύλες που χαράσσονται ως προς τα σημεία Μ4, Μ5, Μ6, Μ7 και Μ9, δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν γιατί δεν έχουν την κατάλληλη (διγραμμική) μορφή που απαιτείται για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης μέσω της μεθόδου φασμάτων απαίτησης και ικανότητας. Για τη συγκεκριμένη φόρτιση και στάθμη σεισμικής διέγερσης, παρατηρείται ότι δημιουργείται (οριακά) μια πλαστική άρθρωση στη βάση του βάθρου M2 (είναι το κρίσιμο βάθρο του φορέα και το βάθρο πάνω από το οποίο σημειώνεται η μέγιστη ακτινική μετακίνηση καταστρώματος), η οποία όμως δεν καταγράφεται ως πληροφορία στις καμπύλες αντίστασης του φορέα που χαράσσονται ως προς τα σημεία του καταστρώματος πάνω από τα βάθρα Μ8, Μ10 και Μ11. Οι εν λόγω καμπύλες αντίστασης, μέχρι το σημείο της στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε σημείο ελέγχου, είναι ελαστικές, και δημιουργούν τη (λανθασμένη) εντύπωση ότι ο φορέας παραμένει ελαστικός. Στην πραγματική κατάσταση όμως, έχει δημιουργηθεί μια πλαστική άρθρωση στη βάση του M2, η οποία λόγω της πολύ μικρής τιμής της, σε συνδυασμό με τη μεγάλη απόσταση των συγκεκριμένων σημείων ελέγχου από το M2, και τη μεγάλη καμπυλότητα του φορέα, δεν εκδηλώνεται με το χαρακτηριστικό σημείο καμπής στις καμπύλες αντίστασης. Αντίθετα, οι καμπύλες αντίστασης που παράγονται ως προς τα σημεία ελέγχου που εντοπίζονται πάνω από τα βάθρα Μ1, Μ2 και Μ3, έχουν τη γνωστή διγραμμική μορφή, που εκφράζει την ανελαστική απόκριση του φορέα, λόγω του σχηματισμού της πλαστικής άρθρωσης στη βάση του Μ2, για τη συγκεκριμένη στοχευόμενη μετακίνηση. Ως εκ τούτου, ο υπολογισμός των μετακινήσεων και των υπόλοιπων μεγεθών απόκρισης του φορέα, γίνεται με χρήση των καμπυλών αντίστασης του φορέα που χαράσσονται ως προς τα βάθρα Μ1, M2 και M3, διότι θεωρούνται οι περισσότερο αντιπροσωπευτικές για τη συγκεκριμένη κατανομή φόρτισης. Σημειώνεται 129

172 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών ότι για μεγαλύτερες στάθμες σεισμικής διέγερσης (λ.χ. για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού), οι καμπύλες αντίστασης ως προς τα σημεία Μ8, Μ10 και Μ11, αναμένεται να είναι εξίσου αξιόπιστες σε σχέση με τις καμπύλες αντίστασης ως προς τα Μ1, Μ2 και Μ3. Η εμφάνιση πλαστικής άρθρωσης για το σεισμό σχεδιασμού, στη συγκεκριμένη φόρτιση, παρόλο που αποτελεί την τέταρτη σε σειρά εμφάνισης ιδιομορφή (στις δύο προηγούμενες φορτίσεις για την ίδια στάθμη σεισμικής διέγερσης ο φορέας παρέμεινε ελαστικός), οφείλεται στην κατανομή της φόρτισης, με την οποία φορτίζονται περισσότερο τα δύο πρώτα και τα δύο τελευταία βάθρα της γέφυρας. Τα βάθρα αυτά, ενώ έχουν περίπου την ίδια διατομή με τα υπόλοιπα βάθρα, έχουν μικρότερο ύψος, γεγονός που οδηγεί σε δυσμενέστερα αποτελέσματα ως προς τον λόγο V/M, και ως εκ τούτου σε διαρροή του φορέα για μικρότερη τιμή τέμνουσας βάσης. u r (m) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M8 M9 M10 Σχήμα 5.50 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση). Στο σχήμα 5.51, παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος, όπως υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου (M1, M2 και M3), (για ανελαστική απόκριση του φορέα). Παρατηρείται ότι, οι μετακινήσεις του καταστρώματος ενώ αναφέρονται σε κοινό επίπεδο σεισμικής διέγερσης, δεν ταυτίζονται, αλλά εξαρτώνται από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων που επιλέγεται. Για τη διόρθωση του σφάλματος αυτού, εφαρμόζεται η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, σύμφωνα με την οποία, οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος (του σχήματος 5.51), χρησιμοποιούνται στον ορισμό του νέου διανύσματος 4. Το διάνυσμα 4 χρησιμοποιείται στην μετατροπή των καμπυλών αντίστασης του φορέα σε νέες καμπύλες αντίστασης του αντίστοιχου ΙΜΣ, ώστε να υπολογιστεί εκ νέου η αντίστοιχη φασματική μετακίνηση, S ' d4. Η βελτιωμένη τιμή της στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε σημείο ελέγχου, υπολογίζεται μέσω του γινομένου 130

173 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Γ ' ' ' 4 4 και της νέας τιμής S d4 (εξίσωση (3.42). Στο σχήμα 5.52 παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται με τη βελτιωμένη ΙΑΣΑ για το σεισμό σχεδιασμού. Είναι φανερό ότι η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας έχει ως αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση της απόκλισης των μετακινήσεων που υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, ενώ παρατηρήθηκε ακόμα και ταύτιση των μετακινήσεων u r (m) Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α M1 M2 M Σχήμα 5.51 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση). u r (m) Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α M1' M2' M3' Σχήμα 5.52 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση). 131

174 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Ενδεικτικά παρουσιάζονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα μετακινήσεων του καταστρώματος της γέφυρας, για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. Συγκεκριμένα, στο σχήμα 5.53, παρουσιάζονται οι ακτινικές μετακινήσεις που υπολογίζονται για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, ως προς τα σημεία ελέγχου M1, M2, Μ3, M10, και Μ11. Είναι εμφανής η μεγάλη απόκλιση των ακτινικών μετακινήσεων, η οποία αποδεικνύει τη σημαντική μεταβολή του σχήματος της εξεταζόμενης ιδιομορφής μετά τη διαρροή του φορέα και σε υψηλές στάθμες σεισμικής διέγερσης. Επομένως, εφαρμόζεται η προτεινόμενη βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία επιχειρείται η διόρθωση των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης με βάση το στιγμιαίο σχήμα παραμόρφωσης των ιδιομορφικών μετακινήσεων που αντιστοιχεί στην εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης (βλ. σχήμα 5.54). Είναι φανερό ότι η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας έχει ως αποτέλεσμα τη σημαντική μείωση της απόκλισης των μετακινήσεων που υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. u r (m) Μ1 Μ2 Μ3 Μ10 Μ Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α2 Σχήμα 5.53 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση). Συμπερασματικά, διαπιστώνεται ότι η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της απόκλισης και σε ορισμένες περιπτώσεις την πλήρη ταύτιση των ιδιομορφικών ακτινικών μετακινήσεων που υπολογίζονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, με αποτέλεσμα τα μεγέθη απόκρισης να μην εξαρτώνται από τη θέση του επιλεγόμενου σε κάθε περίπτωση σημείου ελέγχου των μετακινήσεων. Επομένως, κρίνεται απαραίτητη η διερεύνηση της πιθανής απόκλισης των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης του φορέα που υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ, κυρίως όταν αναφέρονται σε υψηλές στάθμες σεισμικής διέγερσης, όταν αυτά υπολογίζονται με χρήση διαφορετικών σημείων ελέγχου, και της αντίστοιχης ενδεχόμενης βελτίωσης που μπορεί να επιτευχθεί μέσω της προτεινόμενης μεθοδολογίας. 132

175 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) Μ1' Μ2' Μ3' Μ10' Μ11' Α1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 Α Σχήμα 5.54 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, όπως υπολογίζονται για διαφορετικά σημεία ελέγχου για ανελαστική απόκριση του φορέα (4 η ιδιομορφική φόρτιση). Στο σχήμα 5.55 παρουσιάζονται οι τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος της γέφυρας, όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ σε κοινό διάγραμμα με τις αντίστοιχες μετακινήσεις του καταστρώματος του φορέα που υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. Για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ χρησιμοποιήθηκαν ως σημεία ελέγχου των μετακινήσεων για όλες τις ιδιομορφικές φορτίσεις τα σημεία που προτείνονται στο κεφάλαιο 4 της παρούσας διατριβής, ήτοι (a) το σημείο του κέντρου μάζας του καταστρώματος, Μ6 το οποίο είναι κοινό σε όλες τις ιδιομορφικές φορτίσεις, (b) το σημείο του καταστρώματος στο οποίο θεωρητικά τοποθετείται το ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφική φόρτιση (c) το σημείο μέγιστης μετακίνησης για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και (d) το σημείο του καταστρώματος πάνω από το πιο κρίσιμο βάθρο για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Οι θέσεις των σημείων αυτών στο φορέα παρουσιάζονται στον Πίν.5.5 και στα σχήματα 5.27, 5.30, 5.33 και 5.36, αντίστοιχα. Παρατηρείται ότι οι τελικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, σχεδόν ταυτίζονται. Μόνον στην δεύτερη περίπτωση του σχήματος 5.55 όπου λαμβάνεται ως σημείο ελέγχου η θέση του ΙΜΣ, παρατηρείται μικρή βελτίωση των εγκάρσιων μετακινήσεων στις ακραίες περιοχές του καταστρώματος (από Α1 έως Μ3 και από Μ10 έως Α2), με την εφαρμογή της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. Επομένως, για τη συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης, η εφαρμογή της βελτιωμένης ΙΑΣΑ κρίνεται προαιρετική, λόγω των μικρών αποκλίσεων των τελικών ακτινικών μετακινήσεων του καταστρώματος. Παράλληλα, αποδεικνύεται ότι η επιλογή των σημείων ελέγχου που προτείνονται στην 4.2, για το συγκεκριμένο τύπο γέφυρας, οδηγεί σε αξιόπιστα αποτελέσματα χωρίς να είναι απαραίτητη η εφαρμογή της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. Στο σχήμα 5.56, παρουσιάζονται οι τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος της γέφυρας, όπως προκύπτουν από τις δύο μεθοδολογίες (ΙΑΣΑ και βελτιωμένη ΙΑΣΑ), χρησιμοποιώντας ως σημείο ελέγχου το κέντρο μάζας του 133

176 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών καταστρώματος για την 2 η, 3 η και 4 η ιδιομορφική φόρτιση ενώ για την 1 η ιδιομορφική φόρτιση χρησιμοποιείται (a) το σημείο του καταστρώματος πάνω από το Μ10, (b) το σημείο του καταστρώματος πάνω από το Μ3, (c) το σημείο του καταστρώματος πάνω από το Μ4 και (d) το σημείο του καταστρώματος πάνω από το Μ8. Παρατηρείται ότι η απόκλιση των μεθόδων είναι σημαντική, ενώ η εφαρμογή της ΙΑΣΑ με χρήση των εν λόγω σημείων ελέγχου υπερεκτιμά τις ακτινικές μετακινήσεις στην κεντρική περιοχή του καταστρώματος και οδηγεί σε μη ρεαλιστικά αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, η απόκλιση των μετακινήσεων πάνω από το κεντρικό βάθρο του καταστρώματος Μ6, στην περίπτωση (a) είναι 62.72%, στην περίπτωση (b) είναι 39.60%, στην περίπτωση (c) είναι 16.00% και στην περίπτωση (d) 5.24%. Για την 2 η και 3 η ιδιομορφική φόρτιση, βάσει της σχετικής διερεύνησης που προηγήθηκε (βλ. σχήματα 5.44 και 5.48) προκύπτει ότι οι ιδιομορφικές μετακινήσεις δεν εξαρτώνται από τη θέση του σημείου ελέγχου. Για την 4 η ιδιομορφική φόρτιση (βλ. σχήμα 5.51) όπου παρατηρήθηκε διαφοροποίηση των ιδιομορφικών μετακινήσεων ανάλογα με τη θέση του σημείου ελέγχου, λόγω της μικρής επιρροής της συγκεκριμένης ιδιομορφής στην τελική απόκριση του φορέα, η απόκλιση των τελικών μετακινήσεων μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ δεν είναι σημαντική. Συμπερασματικά, προτείνεται ότι για το συγκεκριμένο τύπο γέφυρας, θα πρέπει να γίνεται για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης, διερεύνηση για την μεταβολή του σχήματος των ιδιομορφών της μετά τη διαρροή. Εφόσον, διαπιστωθεί επιρροή των ιδιομορφικών μετακινήσεων από τη θέση του σημείου ελέγχου μεγαλύτερη από 10% τότε προτείνεται να εφαρμόζεται η βελτιωμένη ΙΑΣΑ, κατά την οποία διορθώνονται τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης με βάση το στιγμιαίο σχήμα παραμόρφωσης των ιδιομορφικών μετακινήσεων που αντιστοιχεί στην εξεταζόμενη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Σε ό,τι αφορά στην επιλογή του καταλληλότερου σημείου ελέγχου, από τα συγκριτικά διαγράμματα των σχημάτων 5.55 και 5.56, διαπιστώνεται ότι το μεγαλύτερο σφάλμα στην εκτίμηση των τελικών ακτινικών μετακινήσεων προκύπτει λόγω της αδυναμίας της ΙΑΣΑ, να λαμβάνει υπόψη τη μεταβολή του σχήματος κυρίως της πρώτης ιδιομορφής. Αντίθετα, το αντίστοιχο σφάλμα που προκύπτει λόγω των ανώτερων ιδιομορφών δεν επηρεάζει το ίδιο σημαντικά τις τελικές τιμές των ακτινικών μετακινήσεων. Κατόπιν τούτου, για τον συγκεκριμένο τύπο γέφυρας, προτείνεται να επιλέγεται σημείο ελέγχου για όλες τις ιδιομορφές, με βάση την πρώτη ιδιομορφή, το σημείο πάνω από το Μ6, δηλαδή το σημείο πάνω από το κρίσιμο βάθρο και πολύ κοντά στο σημείο μέγιστης μετακίνησης. 134

177 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) σημείο ελέγχου: a ΙΑΣΑ βελτιωμένη ΙΑΣΑ (a) 0.00 A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A σημείο ελέγχου: b ΙΑΣΑ βελτιωμένη ΙΑΣΑ u r (m) (b) 0.00 A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A σημείο ελέγχου: c ΙΑΣΑ 0.14 βελτιωμένη ΙΑΣΑ 0.12 u r (m) (c) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A σημείο ελέγχου: d ΙΑΣΑ 0.14 βελτιωμένη ΙΑΣΑ 0.12 u r (m) (d) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.55 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, με χρήση τα σημεία ελέγχου: (a), (b), (c) και (d). 135

178 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u r (m) ΙΑΣΑ(mode1 ως προς Μ10 P10) βελτιωμένη ΙΑΣΑ (a) 0.00 A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A u r (m) 0.20 ΙΑΣΑ(mode1 ως προς Μ3 P3) βελτιωμένη ΙΑΣΑ (b) 0.00 A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A u r (m) ΙΑΣΑ(mode1 ως προς Μ4 P4) βελτιωμένη ΙΑΣΑ 0.00 (c) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A ΙΑΣΑ(mode1 ως προς P8) u r (m) βελτιωμένη ΙΑΣΑ Μ (d) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.56 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού, μέσω της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, με χρήση του σημείου ελέγχου M6 για τις ιδιομορφικές φορτίσεις 2,3,4 και για την ιδιομορφική φόρτιση 1 τα σημεία: (a)m10, (b)m3, (c)m4, (d)m8. 136

179 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Μεγέθη απόκρισης βάσει της ΙΑΣΑ και της βελτιωμένης ΙΑΣΑ Ως μεγέθη απόκρισης της γέφυρας λαμβάνονται οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος, και οι αντίστοιχες (στην ακτινική διεύθυνση) πλαστικές στροφές που αναπτύσσονται στις βάσεις των βάθρων. Τα μεγέθη απόκρισης λαμβάνονται για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, ήτοι για το σεισμό σχεδιασμού, για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού και για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. Στο σχήμα 5.57 παρουσιάζονται τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης, όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (με σημείο ελέγχου το Μ6), ενώ στο σχήμα 5.58, παρουσιάζονται τα αντίστοιχα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. ur (m) mode1 mode2 mode3 mode4 (a) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A mode1 θp mode2 mode3 mode4 MPA MPA (b) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 Σχήμα 5.57 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της ΙΑΣΑ (MPA) για το σεισμό σχεδιασμού (a)ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές. 137

180 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών ur (m) mode1 mode2 mode3 mode4 Βελτιωμένη MPA ΙΑΣΑ (a) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 θ p mode1 mode2 mode3 mode4 Βελτιωμένη ΙΑΣΑ (b) Μ1 1 Μ2 2 Μ3 3 Μ4 4 Μ5 5 Μ6 6 Μ7 7 Μ8 8 Μ9 9 Μ10 Μ11 Σχήμα 5.58 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ για το σεισμό σχεδιασμού (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές. Η τελική εικόνα των ακτινικών μετακινήσεων διαμορφώνεται κατά κύριο λόγο βάσει της πρώτης ιδιομορφής του φορέα, ενώ δεν μεταβάλλεται με την εφαρμογή της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. Αντίθετα, από το σχηματισμό των πλαστικών στροφών στις βάσεις των βάθρων, παρατηρείται ότι στην περίπτωση εφαρμογής της ΙΑΣΑ, προκύπτει ότι για τις ιδιομορφικές φορτίσεις εκτός από αυτήν που ορίζεται βάσει της πρώτης ιδιομορφής, ο φορέας παραμένει στην ελαστική περιοχή για τη συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Η πληροφορία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι για την εκτίμηση των μεγεθών απόκρισης για την 4 η ιδιομορφική φόρτιση, χρησιμοποιήθηκε η καμπύλη αντίστασης που χαράσσεται ως προς το σημείο Μ10, για την οποία προκύπτει ότι για τη συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης, ο φορέας παραμένει ελαστικός. Μετά από τη διερεύνηση που πραγματοποιείται, βρέθηκε ότι για το σεισμό σχεδιασμού, αναπτύσσεται πλαστική άρθρωση στο Μ2 για τη συγκεκριμένη ιδιομορφική φόρτιση, η οποία εντοπίζεται και καταγράφεται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ (σχήμα5.58). Ο σχηματισμός της πλαστικής άρθρωσης σε αυτή τη θέση επαληθεύεται και μέσω των δυναμικών αναλύσεων 138

181 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών χρονοϊστορίας (βλ. σχήμα 5.74), γεγονός που επιβεβαιώνει την αξιοπιστία της βελτιωμένης ΙΑΣΑ. Στα σχήματα 5.59, και 5.60, παρουσιάζονται τα ιδιομορφικά μεγέθη απόκρισης όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ, μέσω των οποίων γίνεται σαφής η επιρροή κάθε ιδιομορφής στην τελική απόκριση του φορέα η οποία αυξάνεται για στάθμες σεισμικής διέγερσης υψηλότερες από εκείνη του σεισμού σχεδιασμού. ur (m) mode1 mode2 mode3 mode4 Βελτιωμένη MPA ΙΑΣΑ (a) A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A mode1 θp mode2 mode3 mode4 Βελτιωμένη MPA ΙΑΣΑ (b) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 Σχήμα 5.59 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές. Στα σχήματα 5.59 και 5.60, παρατηρείται ότι όσο αυξάνεται η στάθμη της σεισμικής διέγερσης τόσο αυξάνει η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα. Σε επίπεδο ακτινικών μετακινήσεων του καταστρώματος, γίνεται φανερή η συμμετοχή των ανώτερων ιδιομορφών κυρίως στις ακραίες περιοχές, στη διαμόρφωση της τελικής εικόνας μετακίνησης του καταστρώματος. Επίσης, από τα διαγράμματα που 139

182 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών περιγράφουν το μέγεθος των πλαστικών στροφών στις βάσεις των βάθρων παρατηρείται ότι για τις ιδιομορφικές φορτίσεις εκτός από τη φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής, ο φορέας παρουσιάζει ανελαστική συμπεριφορά με σχηματισμό πλαστικών αρθρώσεων σχεδόν σε όλα τα βάθρα του, για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. Η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών φαίνεται περισσότερο στο σχήμα 5.60, όπου γίνεται σαφές ότι η κυρίαρχη ιδιομορφή κρίνεται ανεπαρκής για να αποδώσει μια ρεαλιστική εικόνα απόκρισης της κατασκευής (για την εκτίμηση τόσο των ακτινικών μετακινήσεων όσο και των πλαστικών στροφών στις βάσεις των βάθρων) για στάθμες σεισμικής διέγερσης υψηλότερες από αυτή του σεισμού σχεδιασμού u r (m) mode1 mode2 mode3 mode4 Βελτιωμένη MPA ΙΑΣΑ A1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 A (a) θp mode1 mode2 mode3 mode4 Βελτιωμένη MPA ΙΑΣΑ (b) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 Σχήμα 5.60 Μεγέθη απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω της βελτιωμένης ΙΑΣΑ για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού (a)ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος και (b) πλαστικές στροφές 140

183 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης Η χάραξη της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης του φορέα βάσει της ΙΑΣΑ, απαιτεί μια πιο σύνθετη επεξεργασία των αποτελεσμάτων σε σχέση με την παραγωγή της καμπύλης αντίστασης του φορέα μέσω της κλασικής ανελαστικής στατικής ανάλυσης, εφόσον συνεκτιμά το σύνολο των σημαντικότερων ιδιομορφών του φορέα. Εφαρμόζεται η ΙΑΣΑ με βάση τις σημαντικότερες ιδιομορφές του φορέα (βλ. σχήμα 5.16), και χαράσσονται οι καμπύλες αντίστασης του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση (βλ. σχήματα 5.28, 5.31, 5.34 και 5.37). Στη συνέχεια, για συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής έντασης, υπολογίζονται οι μετακινήσεις του σημείου ελέγχου για κάθε ιδιομορφική φόρτιση. Παράλληλα, υπολογίζονται οι αντίστοιχες τιμές της τέμνουσας βάσης του φορέα σύμφωνα με τη μεθοδολογία που έχει προταθεί από τους Goel & Chopra (2004). Οι τέμνουσες του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, όπως και οι αντίστοιχες ιδιομορφικές μετακινήσεις, συνδυάζονται με τον κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) ώστε να προκύψουν τα σημεία που θα συνθέσουν τη ζητούμενη καμπύλη αντίστασης του φορέα. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για όλες τις στάθμες της σεισμικής έντασης μέχρις ότου για κάποια στάθμη διαπιστωθεί η αστοχία του φορέα ή μέχρι μια πολύ υψηλή στάθμη σεισμικής διέγερσης (όπως λ.χ. το τριπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, για τη γέφυρα που αναλύεται) σεισμός σχεδιασμού 2πλάσιο του σεισμού σχεδιασμού 3πλάσιο του σεισμού σχεδιασμού V b (kn) MPA u c (m) Σχήμα 5.61 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M6) και η αντίστοιχη διγραμική προσέγγιση αυτής. Στα σχήματα 5.61 και 5.62, παρουσιάζονται οι πολυ-ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης της γέφυρας κατά την εγκάρσια διεύθυνση, όπως χαράσσονται με χρήση των σημείων ελέγχου των μετακινήσεων το κέντρο μάζας του καταστρώματος (Μ6) και το σημείο του καταστρώματος πάνω από το Μ4, αντίστοιχα. Κάθε σημείο της πολυιδιομορφικής καμπύλης αντίστασης αντιστοιχεί σε διαφορετική στάθμη σεισμικής 141

184 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών έντασης. Λαμβάνονται συνολικά δώδεκα στάθμες της σεισμικής διέγερσης, από τη στάθμη μηδέν έως το τριπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού. V b (kn) σεισμός σχεδιασμού 2πλάσιο του σεισμού σχεδιασμού 3πλάσιο του σεισμού σχεδιασμού MPA u c (m) Σχήμα 5.62 Πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M4) και η αντίστοιχη διγραμμική προσέγγιση αυτής. S a (g) ΕC8 ΕAK2003 κατηγορία εδάφους: B κατηγορία εδάφους: B T B = 0.15 T 1 = 0.15 T C = 0.50 T 2 = 0.60 T D = 2.50 θ= 1.00 α g = 0.31 β ο = 2.50 S= 1.20 n= 1.00 A= 0.24 A= 0.24 γ 1 = 1.30 γ 1 = EC8 EAK T (s) 3.00 Σχήμα 5.63 Σύγκριση φασμάτων του ΕΑΚ2003 και του ΕC8, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής. 142

185 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Πίνακας 5.6: Στοχευόμενη μετακίνηση του ΙΜΣ, για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, με βάση τα φάσματα του ΕΑΚ2003 και EC8. mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 EAK ΕC8 EAK ΕC8 EAK ΕC8 EAK ΕC8 1.0*σεισμό σχεδ *σεισμό σχεδ *σεισμό σχεδ *σεισμό σχεδ *σεισμό σχεδ V b (kn) MPA(EAK) MPA (EC8) u c (m) Σχήμα 5.64 Πολυ-ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης της γέφυρας Κρυσταλλοπηγής (σημείο ελέγχου των μετακινήσεων είναι το Μ6) για τα φάσματα του ΕΑΚ και του EC8, και η αντίστοιχες διγραμμικές προσεγγίσεις αυτών. Σημειώνεται ότι για κάθε ανεξάρτητη ΑΣΑ που εφαρμόζεται λαμβάνεται η ακτινική μετακίνηση του σημείου ελέγχου και η αντίστοιχη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα. Η επιλογή του σημείου ως προς το οποίο χαράσσεται η πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης γίνεται αυθαίρετα, δηλαδή είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε σημείο του φορέα (πλην εκείνων με μηδενική μετακίνηση), υπό την προϋπόθεση ότι οι ιδιομορφικές μετακινήσεις που λαμβάνονται από κάθε ανεξάρτητη ΑΣΑ, αναφέρονται σε αυτό το σημείο. Από την πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης, λαμβάνονται απευθείας όλες οι απαραίτητες πληροφορίες για την απόκριση του φορέα για κάθε στάθμη της συγκεκριμένης σεισμικής διέγερσης. Υπενθυμίζεται ότι οι ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης των σχημάτων 5.61 και 5.62, ισχύουν για τη συγκεκριμένη μορφή της σεισμικής διέγερσης που χρησιμοποιήθηκε για την χάραξή τους, ήτοι το φάσμα σχεδιασμού του ΕΑΚ(2003). Για διαφορετική μορφή σεισμικής διέγερσης, η διαδικασία χάραξης της πολυιδιομορφικής καμπύλης θα πρέπει να επαναληφθεί. Στο σχήμα 5.63 παρουσιάζεται σε 143

186 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών κοινό διάγραμμα με το φάσμα του ΕΑΚ, το φάσμα σχεδιασμού που προτείνεται από τον EC8 (CEN, 2004), για την παραγωγή του οποίου εφαρμόστηκαν οι ίδιες παράμετροι με αυτές του EAK2003. Στον Πιν.5.6, παρουσιάζονται οι τιμές της στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, όπως αυτές υπολογίζονται από τα δύο διαφορετικά φάσματα. Παρατηρείται ότι το φάσμα του EC8, οδηγεί σε μικρότερες τιμές στοχευόμενης μετακίνησης του ΙΜΣ μόνο για την 1 η ιδιομορφική φόρτιση, και σε μεγαλύτερες τιμές για τις ανώτερες ιδιομορφές, δηλαδή με το φάσμα του EC8 οι ανώτερες ιδιομορφές φαίνεται να έχουν μεγαλύτερο ποσοστό συμμετοχής στην τελική απόκριση του συστήματος. Στο σχήμα 5.64 παρουσιάζονται σε κοινό διάγραμμα οι δύο πολυιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης όπως προκύπτουν από τα δύο προαναφερόμενα φάσματα. Οι δύο πολυ-ιδιομορφικές καμπύλες αντίστασης εμφανίζουν μικρές αποκλίσεις μεταξύ τους, με τα σημεία της πολυ-ιδιομορφικής καμπύλη αντίστασης του EC8, να έχουν λίγο μικρότερες μετακινήσεις για το σημείο ελέγχου, όπως φαίνεται και από τις αντίστοιχες τιμές του Πίν.5.6, και λίγο μεγαλύτερες τιμές τέμνουσας βάσης, λόγω των μεγαλύτερων τιμών των ψευδο-επιταχύνσεων των ΙΜΣ, που λαμβάνονται από τα σημεία τομής των καμπυλών αντίστασης των ΙΜΣ με το φάσμα απαίτησης του EC Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης Η δυναμική ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης είναι εξ ορισμού η πιο ακριβής και αξιόπιστη μέθοδος ανάλυσης των κατασκευών, εφόσον λαμβάνει υπόψη τόσο τον δυναμικό χαρακτήρα της φόρτισης, όσο και την ανελαστική συμπεριφορά των δομικών στοιχείων. Για το λόγο αυτόν, κρίνεται απαραίτητη και αναγκαία η σύγκριση των αποτελεσμάτων, τόσο των ελαστικών όσο και των ανελαστικών στατικών αναλύσεων με τα αντίστοιχα αποτελέσματα των δυναμικών αναλύσεων. Η σύγκριση γίνεται τόσο μέσω των μεγεθών απόκρισης (μετακινήσεις κόμβων καταστρώματος, πλαστικές στροφές) όσο και μέσω των καμπυλών αντίστασης του φορέα, ώστε να λαμβάνεται μια πιο ολοκληρωμένη εικόνα της αξιοπιστίας και της ακρίβειας των μεθόδων ανάλυσης. Κατά την εφαρμογή της ΑΔΑ, η σεισμική διέγερση εισάγεται μέσω των επιταχυνσιογραφημάτων, τα οποία αποτελούν καταγραφές των εδαφικών επιταχύνσεων συναρτήσει του χρόνου. Στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιούνται χρονοϊστορίες επιταχύνσεων βάσεως συμβατές με το ελαστικό φάσμα του Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού (ΕΑΚ, 2003) που είχε χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό της γέφυρας, και συγκεκριμένα, η ανάλυση γίνεται για μια ομάδα πέντε τεχνητών επιταχυνσιογραφημάτων (σχήμα 5.65), η παραγωγή των οποίων έγινε μέσω του προγράμματος ASING (Sextos et al. 2003). Η ανάλυση χρονοϊστορίας γίνεται με τη μέθοδο άμεσης ολοκλήρωσης (nonlinear time-history with direct integration) κατά Wilson με θ=1.4, βήμα Δt=0.002s και συνολικό αριθμό βημάτων (τα επιταχυνσιογραφήματα έχουν διάρκεια 20s). Το βήμα και ο αριθμός των βημάτων καθορίσθηκαν μετά από σχετική διερεύνηση, κατά την οποία έγιναν επαναληπτικές αναλύσεις με σταδιακή μείωση του βήματος και ταυτόχρονη αύξηση του αριθμού των βημάτων. Η επαναληπτική διαδικασία τερματίζει όταν δεν παρατηρείται μεταβολή των αποτελεσμάτων με την περαιτέρω μείωση του βήματος ανάλυσης. Ορίζεται ενιαία τιμή απόσβεσης 3.5% για το σύνολο των ιδιομορφών ταλάντωσης (επιλέχθηκε μια μέση τιμή για το ποσοστό απόσβεσης, διότι ο φορέας είναι κατασκευασμένος από διαφορετικά υλικά). Οι αναλύσεις εφαρμόζονται επιπλέον κατά Newmark (με 144

187 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών παραμέτρους ολοκλήρωσης γ=1/2 και β=1/4). Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων των αναλύσεων που εφαρμόζονται με τις δύο διαφορετικές μεθόδους άμεσης ολοκλήρωσης (Wilson και Newmark), βρέθηκε απόκλιση 0.01% έως 0.05% σε επίπεδο μετακινήσεων (για ίδιο βήμα ολοκλήρωσης, που πάντως μπορεί να μειωθεί στη μέθοδο Newmark β=1/4, δεδομένου ότι συγκλίνει χωρίς προϋποθέσεις (unconditionally stable) Sa (g) EAK2000-Target spectrum EAK-1 Artificial EAK-2 Artificial EAK-3 Artificial EAK-4 Artificial EAK-5 Artificial Τ (s) Σχήμα 5.65 Τεχνητά επιταχυνσιογραφήματα για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων T(s) EAK-1 Artificial Σχήμα 5.66 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-1 (accel:01) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, στη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής T(s) EAK-2 Artificial Σχήμα 5.67 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-2 (accel:02) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής. 145

188 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών T(s) EAK-3 Artificial Σχήμα 5.68 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-3 (accel:03) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής T(s) EAK-4 Artificial Σχήμα 5.69 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-4 (accel:04) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής EAK-5 Artificial T(s) Σχήμα 5.70 Τεχνητό επιταχυνσιογράφημα EAK-5 (accel:05) που χρησιμοποιείται για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής. Η προσομοίωση των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα της γέφυρας λόγω περιορισμών του προγράμματος ανάλυσης, εδώ του SAP 2000 (CSI, 2005), γίνεται με διαφορετικό τρόπο στην περίπτωση της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης σε σχέση με τα στοιχεία που εφαρμόζονται στην ανελαστική στατική ανάλυση. Συγκεκριμένα, 146

189 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών χρησιμοποιούνται κατάλληλα στροφικά ελατήρια (Nllink στοιχεία) στη βάση και στην κεφαλή των μεσοβάθρων που συνδέονται μονολιθικά με το κατάστρωμα, στα οποία ορίζεται ο ίδιος νόμος ροπών- στροφών (Μ-θ) με αυτόν που ορίζεται στα αντίστοιχα στοιχεία του μοντέλου για την στατική ανελαστική ανάλυση. Και στις δυο περιπτώσεις οι τιμές των διαγραμμάτων ροπών-στροφών (Μ-θ) που εφαρμόζονται σε κάθε θέση προκύπτει μετά από ανάλυση ροπών-καμπυλοτήτων (Μ-φ) κάθε διατομής μέσω του προγράμματος RCCOLA-98 (Kappos, 2002). Για την εφαρμογή των δυναμικών αναλύσεων για διαφορετικές στάθμες σεισμικών διεγέρσεων, απαιτείται η κατάλληλη κλιμάκωση των επιταχυνσιογραφημάτων με σταθερούς συντελεστές, έτσι ώστε τα αποτελέσματα να είναι σε κάθε περίπτωση συμβατά με τα αντίστοιχα των στατικών αναλύσεων. Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανονισμούς (ASCE/SEI 2007, CEN 2004), οι οποίοι προβλέπουν ότι για αριθμό επιταχυνσιογραφημάτων από τρία έως έξι, χρησιμοποιούνται οι μέγιστες τιμές των μεγεθών απόκρισης, λαμβάνονται για κάθε επιταχυνσιογράφημα, οι μέγιστες τιμές των εγκάρσιων μετακινήσεων, οι μέγιστες τιμές των πλαστικών στροφών και οι μέγιστες τιμές των ροπών που αναπτύσσονται στη βάση των μεσοβάθρων. Επειδή πρόκειται για συνθετικά-συμβατά με το φάσμα του ΕΑΚ επιταχυνσιογραφήματα και όχι επιταχυνσιογραφήματα προερχόμενα από φυσικές καταγραφές, και λόγω και της μικρής διασποράς των τεχνητών επιταχυνσιογραφημάτων, λαμβάνεται ο μέσος όρος των προαναφερόμενων μέγιστων τιμών των μεγεθών απόκρισης. Τα μεγέθη αυτά στη συνέχεια συγκρίνονται με τα αντίστοιχα των στατικών αναλύσεων Χάραξη των δυναμικών καμπυλών αντίστασης Επειδή πρόκειται για ανάλυση δυναμικού φαινομένου που εξελίσσεται στο χρόνο, η μορφή της δυναμικής καμπύλης αντίστασης επηρεάζεται από τη χρονική στιγμή όπου λαμβάνουν χώρα τα μεγέθη απόκρισης που χρησιμοποιούνται για τη χάραξή της. Επομένως, για την πληρέστερη και ρεαλιστικότερη εικόνα της απόκρισης του συστήματος, προτείνεται να λαμβάνονται οι τρεις (3) διαφορετικοί συνδυασμοί τέμνουσας βάσης και μετακίνησης του σημείου ελέγχου, που προτείνονται στην 4.4: Κατά τη χάραξη της δυναμικής καμπύλης αντίστασης, πρέπει οι τιμές των μετακινήσεων που προκύπτουν από κάθε ανάλυση και συνδυάζονται κατάλληλα για να δώσουν τις τελικές μετακινήσεις, να αναφέρονται σε ένα σταθερό και κοινό για όλες τις αναλύσεις, σημείο του φορέα. Το σημείο αυτό, πρέπει να είναι κοινό με το σημείο ελέγχου που χρησιμοποιείται για τη χάραξη των υπολοίπων καμπυλών αντίστασης του φορέα, έτσι ώστε οι παραγόμενες καμπύλες να είναι άμεσα συγκρίσιμες μεταξύ τους, χωρίς να απαιτείται επιπλέον αναγωγή αυτών. Στα σχήματα 5.71και 5.72 παρουσιάζονται οι τελικές δυναμικές καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως προκύπτουν από τον μέσο όρο των πέντε ανεξάρτητων δυναμικών αναλύσεων και χαράσσονται ως προς το κέντρο μάζας του καταστρώματος και ως προς το σημείο του καταστρώματος πάνω από το Μ4, αντίστοιχα. Λόγω του μικρού βήματος ανάλυσης που χρησιμοποιήθηκε στη μέθοδο άμεσης ολοκλήρωσης κατά Wilson (Δt=0.002s), οι δυναμικές καμπύλες αντίστασης που προκύπτουν από τους συνδυασμούς μέγιστης μετακίνησης με ταυτόχρονη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα και μέγιστης 147

190 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών μετακίνησης με την τιμή της τέμνουσας βάσης που λαμβάνει χώρα ένα βήμα πριν ή ένα βήμα μετά από τη στιγμή που εμφανίζεται η μέγιστη τιμή μετακίνησης, δεν παρουσιάζουν μεγάλες αποκλίσεις μεταξύ τους V b (kn) umax-vb(t) umax-vb(t+δt) umax-vb(t-δt) umax-vbmax u c (m) Σχήμα 5.71 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M6) V b (kn) umax-vb(t) umax-vb(t+δt) umax-vb(t-δt) umax-vbmax u c (m) Σχήμα 5.72 Δυναμικές καμπύλες αντίστασης για τη γέφυρα της Κρυσταλλοπηγής (ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων χρησιμοποιείται το M4). 148

191 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Αντίθετα η δυναμική καμπύλη αντίστασης που λαμβάνεται από το συνδυασμό μέγιστης τιμής μετακίνησης του σημείου ελέγχου με την μέγιστη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα αποκλίνει σημαντικά από τις άλλες δυναμικές καμπύλες στον μετελαστικό κλάδο, όπου οι τιμές της μέγιστης τέμνουσας βάσης του φορέα είναι σημαντικά μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τιμές τέμνουσας βάσης που λαμβάνουν χώρα ταυτόχρονα ή ένα βήμα πριν ή μετά από την τιμή της μέγιστης μετακίνησης. Επιπλέον, όπως αναμενόταν, ο μετελαστικός κλάδος των δυναμικών καμπυλών αντίστασης των δύο διαγραμμάτων είναι μικρότερος στην δεύτερη περίπτωση, ήτοι για το σημείο ελέγχου Μ4, λόγω της μικρότερης μετακίνησης του συγκεκριμένου σημείου του καταστρώματος, σε σχέση με αυτή του σημείου Μ6, κατά την παραμόρφωση του καταστρώματος, όπως είναι φανερό στα σχήματα 5.58, 5.59 και Σύγκριση των στατικών μεθόδων ανάλυσης με τις αντίστοιχες δυναμικές αναλύσεις Η ακρίβεια των ανελαστικών στατικών αναλύσεων ελέγχεται μέσω της σύγκρισης των αποτελεσμάτων τους με τα αντίστοιχα αποτελέσματα των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων, τόσο σε επίπεδο μεγεθών απόκρισης όσο και μέσω των καμπυλών αντίστασης του φορέα. Αρχικά, η σύγκριση των μεθόδων γίνεται για ελαστική απόκριση του φορέα, ώστε να εντοπιστούν οι αποκλίσεις των μεθόδων που οφείλονται στη διαφορετική προσομοίωση του φορέα και της σεισμικής διέγερσης. Ακολουθεί η σύγκριση των μεθόδων για ανελαστική απόκριση του φορέα, έτσι ώστε να εντοπιστούν οι αποκλίσεις που οφείλονται στη διαφορετική προσομοίωση των ανελαστικών χαρακτηριστικών των μοντέλων ανάλυσης, και να διαπιστωθεί η επάρκεια και η αξιοπιστία των ανελαστικών στατικών αναλύσεων σε σχέση με τις δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις του ιστορικού της απόκρισης Σύγκριση των μεθόδων ανάλυσης για ελαστική απόκριση της γέφυρας. Ο φορέας αναλύεται για σεισμική διέγερση που αντιστοιχεί στο σεισμό σχεδιασμού, με την παραδοχή ότι παραμένει ελαστικός. Για την ανάλυσή του χρησιμοποιείται η στατική ανάλυση με φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής, η ΙΑΣΑ και οι δυναμικές αναλύσεις του ιστορικού της απόκρισης. Από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων για ελαστική απόκριση του φορέα, παρέχεται η δυνατότητα προσδιορισμού της απόκλισης των μεγεθών απόκρισης, που οφείλεται στην διαφορετική προσομοίωση τόσο των μοντέλων που χρησιμοποιούνται στις στατικές και δυναμικές αναλύσεις, όσο και της σεισμικής διέγερσης για κάθε μέθοδο ανάλυσης, καθώς και στις διαφορετικές παραδοχές των μεθόδων (σχήμα 5.73). Υπενθυμίζεται ότι κατά την κλασική ανελαστική στατική ανάλυση λαμβάνεται υπόψη η επιρροή της κυριαρχούσας ιδιομορφής του φορέα, στην ΙΑΣΑ, γίνεται επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης των σημαντικότερων ιδιομορφών του φορέα, ενώ κατά τη δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας, λαμβάνεται υπόψη το σύνολο των ιδιομορφών ταλάντωσης του φορέα. Υπενθυμίζεται επίσης ότι λόγω περιορισμών του προγράμματος ανάλυσης, χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικά μοντέλα προσομοίωσης για τις στατικές και δυναμικές αναλύσεις. 149

192 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Στο σχήμα 5.73, παρατηρείται ότι στην κεντρική περιοχή της κατασκευής, οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος καθορίζονται κατά κύριο λόγο, βάσει της κυριαρχούσας ιδιομορφής, ενώ η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών είναι πολύ μικρή κάτι που αποδεικνύεται και από το γεγονός ότι οι στατικές ελαστικές αναλύσεις σχεδόν ταυτίζονται στη συγκεκριμένη περιοχή (από το Μ5 έως το Μ8). Αντίθετα στις ακραίες περιοχές του φορέα (από το Α1 έως το Μ5 και από το Μ8 έως το Α2), όπου η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών αρχίζει να γίνεται ουσιώδης, η απόκλιση ανάμεσα στην κλασική ελαστική και στην ιδιομορφική ελαστική ανάλυση αρχίζει να αυξάνεται σταδιακά (από το κέντρο προς τα άκρα του φορέα). Οι στατικές αναλύσεις σε σχέση με τις δυναμικές φαίνεται να δίνουν πρακτικώς κοινά αποτελέσματα απόκρισης μόνο στο κεντρικό τμήμα του φορέα, ενώ η απόκλισή τους αυξάνεται προς τις ακραίες περιοχές του καταστρώματος. Η ιδιομορφική ελαστική ανάλυση δίνει αποτελέσματα ανάμεσα σε εκείνα από την κλασική ελαστική και τη δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας, ενώ σε αρκετές περιοχές του φορέα σχεδόν ταυτίζεται με τις δυναμικές αναλύσεις (από Α1 έως Μ2, Μ6 έως Μ8, και Μ10 έως Α2), κάτι που αποδεικνύει ότι η επαλληλία των ιδιομορφικών μεγεθών απόκρισης δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα σε σχέση με τη δυναμική σε επίπεδο ελαστικής ανάλυσης. Η απόκλιση της ιδιομορφικής ελαστικής στατικής ανάλυσης από τη δυναμική σε ορισμένες περιοχές του καταστρώματος (Μ4 έως Μ6 και Μ9 έως Μ10) πιθανότατα οφείλεται στην επιρροή κάποιων ιδιομορφών του φορέα που δεν λαμβάνονται υπόψη στην τελική απόκρισή του κατά την ιδιομορφική ανάλυση. ur (m) L-SPA L-MPA L-RHA A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.73 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για ελαστική απόκριση του φορέα, για σεισμική διέγερση που αντιστοιχεί στο σεισμό σχεδιασμού Ανελαστική απόκριση του φορέα βάσει των στατικών και δυναμικών αναλύσεων Η ακρίβεια και η αξιοπιστία της ΙΑΣΑ (MPA) σε σχέση με την ΑΣΑ με φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής (SPA) και την πιο αξιόπιστη ανελαστική δυναμική ανάλυση του ιστορικού της απόκρισης (NL-RHA), ελέγχεται μέσω της σύγκρισης των ακτινικών μετακινήσεων του καταστρώματος, των πλαστικών στροφών και των αντίστοιχων ροπών που αναπτύσσονται στις βάσεις των βάθρων του φορέα. Στα σχήματα 5.74, 5.75και 5.76, 150

193 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αναλύσεων βάσει των τριών μεθόδων ανάλυσης (SPA, MPA και NL-RHA) για σεισμική διέγερση που αντιστοιχεί στο σεισμό σχεδιασμού, σε μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού και στο διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, αντίστοιχα SPA MPA NL-THA NL-RHA u (m) (a) A1 M M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A ,0025 SPA θ p 0,0020 MPA NL-RHA NL-THA 0,0015 0,0010 0,0005 (b) 0, Μ1 1 Μ2 2 Μ3 3 Μ4 4 M5 5 Μ6 6 Μ7 7 Μ8 8 Μ9 Μ10 Μ SPA Mb (knm) MPA NL-THA NL-RHA (c) 0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 Σχήμα 5.74 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το σεισμό σχεδιασμού: (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων 151

194 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών u (m) SPA SPA MPA NL-RHA (a) A1 M M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 0,0045 SPA θ p 0,0040 MPA 0,0035 0,0030 NL-THA NL-RHA 0,0025 0,0020 0,0015 0,0010 0,0005 (b) 0, Μ1 1 Μ2 2 Μ3 3 Μ4 4 M5 5 Μ6 6 Μ7 7 Μ8 8 Μ9 9 Μ10 10 Μ11 11 Mb (knm) SPA MPA NL-THA NL-RHA (c) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M Σχήμα 5.75 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για μιάμιση φορά το σεισμό σχεδιασμού: (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων Από τα αποτελέσματα των στατικών και δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας, όπως παρουσιάζονται σε κοινά διαγράμματα για κάθε ένταση σεισμικής διέγερσης που εξετάζεται (βλ. σχήματα 5.74, 5.75και 5.76) παρατηρείται ότι οι τρεις μέθοδοι ανάλυσης σχεδόν ταυτίζονται μόνο στην κεντρική περιοχή του καταστρώματος, όπου εμφανίζονται οι μέγιστες ακτινικές μετακινήσεις. Συγκεκριμένα, η κλασική ανελαστική στατική ανάλυση με φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής, εκτιμά με ικανοποιητική ακρίβεια τις μέγιστες μετακινήσεις μόνο στην κεντρική περιοχή του φορέα, στην οποία είναι κυρίαρχη η θεμελιώδης ιδιομορφή. Αντίθετα, η ΙΑΣΑ, προσεγγίζει ικανοποιητικά τα αποτελέσματα των αντίστοιχων ανελαστικών δυναμικών αναλύσεων σε όλο το μήκος του φορέα. 152

195 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Παρόμοια είναι η εικόνα σε όρους πλαστικών στροφών και ροπών που αναπτύσσονται στις βάσεις των βάθρων. u r (m) SPA MPA NL-RHA (a) θp 0.00 A1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 A SPA MPA NL-THA NL-RHA σδσδ (b) M1 M2 2 M3 3 M4 4 M5 5 M6 6 M7 7 M8 8 M9 9 M10 M11 Mb (knm) SPA MPA NL-THA NL-RHA (c) M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M Σχήμα 5.76 Σύγκριση των μεγεθών απόκρισης του φορέα όπως υπολογίζονται βάσει των ανελαστικών αναλύσεων για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού: (a) ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, (b) πλαστικές στροφές και (c) ροπές κάμψης στις βάσεις των βάθρων Παρατηρείται ότι μέσω των δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων προβλέπεται ο σχηματισμός περισσότερων πλαστικών αρθρώσεων κατά μήκος του φορέα σε σχέση με τον αριθμό που εκτιμάται μέσω των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, κάτι που συναντάται και στους κτιριακούς φορείς (Chopra & Goel 2002). Μέσω των συγκρίσεων, γίνεται φανερό ότι η ΙΑΣΑ προσεγγίζει σε ικανοποιητικό βαθμό την ανελαστική δυναμική ανάλυση ακόμα και στις ακραίες περιοχές της κατασκευής, στις οποίες είναι εμφανής η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών, ενώ η ακρίβειά της φαίνεται να βελτιώνεται όσο αυξάνεται η στάθμη της σεισμικής διέγερσης. 153

196 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Στα σχήματα 5.77, 5.78 και 5.79, παρουσιάζονται σε κοινά διαγράμματα οι ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος όπως υπολογίζονται μέσω των στατικών και δυναμικών ανελαστικών αναλύσεων για τις τρεις στάθμες έντασης των σεισμικών διεγέρσεων. Συγκεκριμένα, συγκρίνονται οι ακτινικές μετακινήσεις όπως εκτιμώνται μέσω της ανελαστικής στατικής ανάλυσης με φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής (SPA(mode1)), της ανελαστικής στατικής ανάλυσης με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης (SPA(uniform loading)), της ανελαστικής στατικής ανάλυσης με φόρτιση που προκύπτει από την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων (SPA(f no )), της ΙΑΣΑ (MPA) και των δυναμικών αναλύσεων χρονοϊστορίας (NL-RHA). Παρατηρείται ότι η ΑΣΑ με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα, δίνει ελαφρώς βελτιωμένα αποτελέσματα σε σχέση με την ανελαστική στατική ανάλυση του φορέα με ιδιομορφική κατανομή φόρτισης. Μέσω της συγκεκριμένης φόρτισης γίνεται μια προσπάθεια εισαγωγής της επιρροής των ανώτερων ιδιομορφών στην απόκριση του φορέα κατά την ανελαστική στατική ανάλυση. Στις περιοχές στις οποίες η ακρίβεια της ανελαστικής στατικής ανάλυσης λόγω της επιρροής των ανώτερων ιδιομορφών είναι περιορισμένη, η αντίστοιχη ανάλυση με την συγκεκριμένη φόρτιση, δίνει λίγο βελτιωμένα αποτελέσματα, χωρίς όμως να είναι σε θέση να πλησιάσει σε ικανοποιητικό βαθμό την ακρίβεια των ΑΔΑ αλλά και τα βελτιωμένα αποτελέσματα της ΙΑΣΑ. Το τελευταίο είναι αναμενόμενο, όχι μόνο διότι, ως γνωστόν (Chopra, 2001) η ιδιομορφική επαλληλία ισχύει για τα μεγέθη απόκρισης και όχι για τα φορτία, αλλά και διότι τα σχήματα και τα ποσοστά συμμετοχής των ιδιομορφών μεταβάλλονται στη διάρκεια της μετελαστικής απόκρισης του φορέα. Επίσης, στις γέφυρες (περισσότερο απ ό,τι στα κτίρια) κάποιες ανώτερες ιδιομορφές (με χαμηλά ποσοστά συμμετοχής, άρα καταρχήν μη-σημαντικές ) επηρεάζουν ουσιωδώς ορισμένες περιοχές εκτός του κεντρικού τμήματος του φορέα. Η βελτίωση που επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης με φόρτιση βάσει της επαλληλίας των ιδιομορφικών φορτίων, μειώνεται όσο αυξάνει η στάθμη της σεισμικής διέγερσης και συνακόλουθα ο βαθμός ανελαστικοποίησης. Οι ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος, που υπολογίζονται μέσω της ΑΣΑ με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, είναι αρκετά μειωμένες στην κεντρική περιοχή του φορέα σε σχέση με τις μετακινήσεις βάσει των υπολοίπων μεθόδων ανάλυσης. Αντίθετα, οι μετακινήσεις στις ακραίες περιοχές του καταστρώματος (Α1 έως Μ3 και Μ9 έως Α2) προσεγγίζουν ικανοποιητικά τις αντίστοιχες τιμές της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης. Λόγω της ομοιόμορφης κατανομής της φόρτισης, τα μεσόβαθρα στις ακραίες περιοχές, ενώ έχουν περίπου την ίδια διατομή με αυτά στην κεντρική περιοχή, έχουν πολύ μικρότερο ύψος, με αποτέλεσμα να διαρρέουν πρώτα. Επομένως, η εν λόγω μέθοδος, προβλέπει το σχηματισμό των πλαστικών αρθρώσεων στις ακραίες περιοχές της γέφυρας, σε αντίθεση με την ιδιομορφική κατανομή φόρτισης. Επομένως, φαίνεται ότι σε σχέση με την ανελαστική στατική ανάλυση με ιδιομορφική κατανομή φόρτισης, η ανελαστική ανάλυση με ομοιόμορφη κατανομή, δίνει καλύτερα αποτελέσματα στις ακραίες περιοχές της γέφυρας, ενώ αδυνατεί να εκτιμήσει τις μέγιστες τιμές του καταστρώματος στην κεντρική περιοχή, εκεί όπου είναι κυρίαρχη η θεμελιώδης ιδιομορφή. Στην περίπτωση που χρησιμοποιηθούν οι δύο (κατ ελάχιστον) κατανομές επιβαλλόμενων δυνάμεων, που προτείνει το FEMA356 (ASCE,2000), ήτοι η ομοιόμορφη κατανομή και η κατανομή βάσει της 1 ης ιδιομορφής ή η κατανομή φόρτισης από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων, 154

197 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών προκύπτει μια περιβάλλουσα των τελικών μεγεθών απόκρισης της γέφυρας, που προσεγγίζει πολύ ικανοποιητικά τα αποτελέσματα της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης. Εξαίρεση αποτελούν δύο μικρές περιοχές της γέφυρας, για τις οποίες η ακρίβεια της ΙΑΣΑ, εμφανίζεται περιορισμένη, κυρίως στις υψηλές εντάσεις σεισμικής διέγερσης. Η απόκριση της γέφυρας σε αυτές τις περιοχές φαίνεται ότι επηρεάζεται από κάποιες ανώτερες ιδιομορφές, με χαμηλά ποσοστά συμμετοχής, άρα καταρχήν μη-σημαντικές, οι οποίες μετά τη διαρροή του δομικού συστήματος και όσο αυξάνει ο βαθμός ανελαστικοποίησης, αυξάνει το ποσοστό συμμετοχής τους στη μετελαστική απόκριση του φορέα. Η απόκλιση της ΙΑΣΑ από τις ΑΔΑ στις συγκεκριμένες περιοχές της γέφυρας, οφείλεται στην αδυναμία της μεθόδου να λάβει υπόψη την μεταβολή του σχήματος και του ποσοστού των ανώτερων ιδιομορφών, μετά τη διαρροή του φορέα. Επιπλέον, στα ίδια σχήματα (5.77 έως 5.79), γίνεται σύγκριση των ακτινικών μετακινήσεων που υπολογίζονται βάσει της ΙΑΣΑ για τις περιπτώσεις όπου τα τελικά μεγέθη απόκρισης υπολογίζονται με διαφορετικούς συνδυασμούς ιδιομορφικής επαλληλίας, ήτοι εφαρμόζονται οι δύο βασικοί κανόνες ιδιομορφικής επαλληλίας, ο κανόνας της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS) (βλ. εξ. (2.33)), και ο κανόνας της πλήρους τετραγωνικής επαλληλίας (CQC) (βλ. εξ. (2.34)). Παρατηρείται ότι η επιλογή του συνδυαστικού κανόνα, κυρίως για χαμηλή ένταση σεισμικής διέγερσης, δεν επηρεάζει σημαντικά τα τελικά μεγέθη απόκρισης. Από τον έλεγχο της εξ. (2.35), προκύπτει ότι οι τέσσερεις σημαντικότερες ιδιομορφές που χρησιμοποιούνται στην ΙΑΣΑ, είναι ασυσχέτιστες, κάτι που επαληθεύει τη μικρή απόκλιση των αποτελεσμάτων ur (m) SPA(mode1) SPA(uniform loading) SPA(fn) MPA (SRSS) MPA (CQC) NL-RHA A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.77 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για το σεισμό σχεδιασμού βάσει των: SPA(mode1) (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform loading) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), SPA(fn) (ΑΣΑ με επαλληλία ιδιομορφικών φορτίων), MPA(SRSS), MPA (CQC) και NL-RHA 155

198 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών ur (m) SPA(mode1) SPA(uniform loading) SPA(fn) MPA (SRSS) MPA (CQC) NL-RHA A1 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 A2 Σχήμα 5.78 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για μιάμιση φορά του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA(mode1) (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform loading) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), SPA(fn) (ΑΣΑ με επαλληλία ιδιομορφικών φορτίων), MPA(SRSS), MPA (CQC) και NL-RHA u r (m) SPA(mode1) SPA(uniform loading) SPA(fn) MPA(SRSS) MPA(CQC) NL-RHA A1 Μ1 Μ2 Μ3 Μ4 Μ5 Μ6 Μ7 Μ8 Μ9 Μ10 Μ11 A2 Σχήμα 5.79 Ακτινικές μετακινήσεις καταστρώματος για το διπλάσιο του σεισμού σχεδιασμού, βάσει των: SPA(mode1) (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform loading) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), SPA(fn) (ΑΣΑ με επαλληλία ιδιομορφικών φορτίων), MPA(SRSS), MPA (CQC) και NL-RHA 156

199 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών Συμπερασματικά αναφέρεται ότι τα αποτελέσματα των αναλύσεων βρίσκονται σε συμφωνία με την τιμή του δείκτη κανονικότητας (RI), ο οποίος προτείνεται (Isakovic et al. 2003) να χρησιμοποιείται σε φορείς γεφυρών ως ένα επιπλέον κριτήριο, για το πεδίο εφαρμογής της ΑΣΑ (με κατανομή βάσει της 1 ης ιδιομορφής). Για την υπό μελέτη γέφυρα (γέφυρα τύπου P, ήτοι δεσμευμένη η μετακίνηση του φορέα στα ακρόβαθρα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης) και για ανελαστική απόκριση, προκύπτει ότι ο δείκτης κανονικότητας είναι ίσος με 9.5% (>5%), δηλαδή η γέφυρα ανήκει στην κατηγορία μη κανονικών γεφυρών για τις οποίες η εφαρμογή της ΑΣΑ δεν θεωρείται αξιόπιστη Σύγκριση των καμπυλών αντίστασης του φορέα Στο σχήμα 5.80 παρουσιάζονται σε κοινό διάγραμμα η πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης της γέφυρας, οι δυναμικές καμπύλες αντίστασης και οι καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως προκύπτουν από τις ανελαστικές στατικές αναλύσεις για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης και για φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής. Όλες οι καμπύλες αντίστασης χαράσσονται ως προς ένα κοινό σημείο ελέγχου των μετακινήσεων, το κέντρο μάζας του καταστρώματος, το οποίο εντοπίζεται πάνω από το κεντρικό βάθρο του φορέα, Μ6. Επιπλέον, το σημείο αυτό βρίσκεται πάνω από το κρισιμότερο βάθρο, σε αυτό αναπτύσσεται η μέγιστη εγκάρσια μετακίνηση του καταστρώματος και αυτή είναι η θέση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, για φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής (βλ. σχήμα 5.27). Η χάραξη των καμπυλών αντίστασης μπορεί να γίνει ως προς οποιοδήποτε άλλο σημείο του φορέα, υπό την προϋπόθεση να είναι κοινό για όλες τις καμπύλες, έτσι ώστε να είναι εφικτή η μεταξύ τους σύγκριση. Από τη σύγκριση των καμπυλών αντίστασης του φορέα παρατηρείται ότι η πολυιδιομορφική καμπύλη αντίστασης στο σύνολό της σχεδόν ταυτίζεται με τις δυναμικές καμπύλες αντίστασης που προκύπτουν από τους συνδυασμούς μέγιστης μετακίνησης με ταυτόχρονη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα και μέγιστης μετακίνησης με την τιμή της τέμνουσας βάσης που λαμβάνει χώρα ένα βήμα πριν ή ένα βήμα μετά από τη στιγμή που εμφανίζεται η μέγιστη τιμή μετακίνησης. Αντίθετα η δυναμική καμπύλη αντίστασης που λαμβάνεται από το συνδυασμό μέγιστης τιμής μετακίνησης του σημείου ελέγχου με την μέγιστη τιμή της τέμνουσας βάσης του φορέα αποκλίνει σημαντικά από τις άλλες δυναμικές καμπύλες στον μετελαστικό κλάδο, όπου οι τιμές της μέγιστης τέμνουσας βάσης του φορέα είναι σημαντικά μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τιμές τέμνουσας βάσης που λαμβάνουν χώρα ταυτόχρονα ή ένα βήμα πριν ή μετά από την τιμή της μέγιστης μετακίνησης. Η καμπύλη αντίστασης που παράγεται μέσω της ΑΣΑ με φόρτιση βάσει της πρώτης ιδιομορφής, εφόσον δεν λαμβάνεται υπόψη η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών κατά τη χάραξή της, φαίνεται να υποεκτιμά σε μικρό βαθμό την απόκριση του φορέα στον μετελαστικό κλάδο της καμπύλης, όπως φαίνεται και στα αντίστοιχα συγκριτικά διαγράμματα των μεγεθών απόκρισης (σχήματα 5.77 έως 5.79), ενώ στην ελαστική περιοχή σχεδόν ταυτίζεται τόσο με την ιδιομορφική όσο και με τις δυναμικές καμπύλες αντίστασης του φορέα (βλ. σχήμα 5.73). Αντίθετα, η καμπύλη αντίστασης του φορέα βάσει της ΑΣΑ με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης, λόγω της συγκεκριμένης κατανομής φόρτισης, η οποία οδηγεί σε δυσμενέστερα αποτελέσματα ως προς το λόγο V/M στο κατώτερο τμήμα του φορέα απ ό,τι η πρώτη κατανομή φόρτισης, υπερεκτιμά την αντοχή του φορέα και αποκλίνει σημαντικά από τις δυναμικές καμπύλες αντίστασης. 157

200 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών V b (kn) umax-vb(t) umax-vb(t+δt) umax-vb(t-δt) umax-vbmax MPA SPA SPA(uniform load pattern) u c (m) Σχήμα 5.80 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA (AΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform load pattern) (AΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), MPA και NL-RHA. (ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το Μ6) Στο σχήμα 5.81 δίνονται οι καμπύλες αντίστασης του φορέα, που χαράσσονται λαμβάνοντας ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων το σημείο του καταστρώματος που βρίσκεται πάνω από το Μ4, η μετακίνηση του οποίου επηρεάζεται από τις ανώτερες ιδιομορφές, όπως διαπιστώνεται από τα συγκριτικά διαγράμματα στα σχήματα 5.77 έως Παρατηρείται ότι οι καμπύλες αντίστασης που παράγονται μέσω της συμβατικής ΑΣΑ παρουσιάζουν έναν μικρότερο μετελαστικό κλάδο, υποεκτιμώντας σημαντικά τη μετακίνηση του σημείου ελέγχου, λόγω της σχετικά μικρής συνεισφοράς της πρώτης ιδιομορφής στην απόκριση της γέφυρας. Αντίθετα, η πολυ-ιδιομορφική καμπύλη αντίστασης είναι περισσότερο αντιπροσωπευτική εμφανίζοντας μικρές αποκλίσεις από τις πραγματικές δυναμικές καμπύλες αντίστασης. Η σημαντική απόκλιση της συμβατικής ΑΣΑ από τις άλλες δύο μεθόδους στην συγκεκριμένη περιοχή του καταστρώματος, επίσης συναντάται στα αντίστοιχα συγκριτικά διαγράμματα των εγκάρσιων μετακινήσεων του καταστρώματος (βλ σχήματα 5.77 έως 5.79) στα οποία είναι εμφανής η αδυναμία της μεθόδου να εκτιμήσει την πραγματική απόκριση του φορέα, κυρίως για υψηλές στάθμες σεισμικής έντασης. 158

201 Κεφάλαιο 5: Γέφυρα με σημαντική επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών V b (kn) umax-vb(t) umax-vb(t+δt) umax-vb(t-δt) umax-vbmax MPA SPA SPA(uniform load pattern) u c (m) Σχήμα 5.81 Καμπύλες αντίστασης του φορέα όπως υπολογίζονται μέσω των μεθόδων SPA (ΑΣΑ βάσει 1 ης ιδιομορφής), SPA(uniform load pattern) (ΑΣΑ με ομοιόμορφη φόρτιση), MPA και NL-RHAκαι NL-RHA (ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το Μ4). Επομένως, φαίνεται ότι, στη συγκεκριμένη γέφυρα, η ΙΑΣΑ οδηγεί σε ικανοποιητικά αποτελέσματα σε σχέση με τη δυναμική ανελαστική ανάλυση σε επίπεδο καμπυλών αντίστασης, ενώ οι ανελαστικές στατικές αναλύσεις με τις τρεις διαφορετικές κατανομές φορτίσεων (SPA) φαίνεται να περιβάλλουν τις πραγματικές καμπύλες, άρα θα μπορούσε να ληφθεί κατά περίπτωση η δυσμενέστερη κάθε φορά καμπύλη (π.χ. για τις μέγιστες τέμνουσες θα μπορούσε να ληφθεί υπόψη η καμπύλη λόγω ομοιόμορφης φόρτισης, κάτι πάντως πολύ συντηρητικό). 159

202 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία 6. Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία 6.1 Περιγραφή και στοιχεία προσομοίωσης της γέφυρας Η εξεταζόμενη γέφυρα είναι μια τυπική άνω διάβαση του οδικού δικτύου της Εγνατίας Οδού Α.Ε, και συγκεκριμένα το τεχνικό έργο Τ7. μονολιθική σύνδεση Μ2 A2 μονολιθική σύνδεση Μ1 A1 gap:15cm Σχήμα 6.1 Τυπική άνω διάβαση. Πρόκειται για μια ευθύγραμμη γέφυρα, τριών ανοιγμάτων και συνολικού μήκους 99.00m. Τα δύο ακραία συμμετρικά ανοίγματα έχουν μήκος 27.00m έκαστο ενώ το μεσαίο άνοιγμα έχει μήκος 45.00m (σχήμα 6.2). Το κατάστρωμα της γέφυρας είναι κιβωτιοειδούς μονοκυψελικής διατομής εδραζόμενο μονολιθικά επί κυκλικών μονόστυλων βάθρων. Η κατά μήκος κλίση του φορέα είναι σταθερή 7.0% με τα υψόμετρα να αυξάνονται προς το ακρόβαθρο Α2. Το συνολικό πλάτος του καταστρώματος είναι 10.00m και περιλαμβάνει δυο λωρίδες κυκλοφορίας πλάτους 3.75m έκαστη και εξωτερικό πεζοδρόμιο εκατέρωθεν των λωρίδων κυκλοφορίας πλάτους 1.50m. Ο φορέας της ανωδομής είναι προεντεταμένο μονοκυψελικό κιβώτιο. Το συνολικό ύψος της διατομής είναι 2.00m. Η άνω και η κάτω πλάκα έχουν πάχος 0.25m. Στις άκρες της διατομής διαμορφώνονται δύο πρόβολοι μήκους 1.85m και με πάχος που μεταβάλλεται γραμμικά από 0.20m στην εξωτερική παρειά μέχρι 0.40m στην ένωση με τον κορμό του κιβωτίου (σχήμα 6.3). Το κάτω πέλμα, διαμορφώνει οριζόντια επιφάνεια στις θέσεις των ακροβάθρων, ώστε να είναι δυνατή η τοποθέτηση των εφεδράνων. Στο κιβώτιο μορφώνονται συμπαγείς περιοχές μήκους 3.00m στα μεσόβαθρα και 2.00m ακρόβαθρα (σχήματα 6.4 και 6.5 αντίστοιχα). Το πάχος των κορμών του κιβωτίου είναι 0.50m και σε κάποια τμήματα μεταβάλλεται από 0.50m έως 0.70m (το σημείο όπου σταματά η συμπαγής περιοχή). Η μεταβολή πραγματοποιείται στα 4.00m εκατέρωθεν ακροβάθρων και μεσόβαθρων από το σημείο όπου σταματά η συμπαγής περιοχή. Στα μεσόβαθρα και στη συμπαγή ζώνη των ακροβάθρων, προβλέπονται ανθρωποθυρίδες επίσκεψης του φορέα τραπεζοειδούς διατομής, διαστάσεων m. 160

203 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Ο φορέας της γέφυρας συνδέεται μονολιθικά με τα δύο μεσόβαθρα, Μ1 και Μ2. Τα μεσόβαθρα της γέφυρας, έχουν συμπαγή κυκλική διατομή, διαμέτρου δυο μέτρων (2.00m) (σχήμα 6.6). Ο τύπος αυτός της διατομής χαρακτηρίζεται από μεγάλη αποδοτικότητα, οικονομία και απλότητα κατά την κατασκευή. Ο εγκάρσιος οπλισμός της διατομής αποτελείται από διπλές σπείρες (Φ16/8.5) (σχήμα 6.7), με τις οποίες επιτυγχάνεται επαρκής ενεργή περίσφιγξη, ομοιόμορφη σε όλο το ύψος της διατομής του σκυροδέματος, με σχετικά μικρό χρόνο κατασκευής, σε σχέση με αυτόν που απαιτείται αν η περίσφιγξη επιτευχθεί με εγκάρσιους συνδέσμους και συνδετήρες σε μια αντίστοιχη ορθογωνική διατομή. Τα δυο μεσόβαθρα διατάσσονται επί του άξονα της γέφυρας, χωρίς εκκεντρότητα. Τα ύψη των μεσόβαθρων είναι 5.90m και 7.90m αντίστοιχα, ενώ η διατομή τους παραμένει σταθερή σε όλο το ύψος. Η θεμελίωση του φορέα λόγω της καλής ποιότητας του εδάφους (βραχώδες) είναι επιφανειακή (πέδιλο m). Τα ακρόβαθρα έχουν μορφή τοιχωματική, καθαρού ύψους 5.63m και 5.71m, για το Α1 και το Α2 αντίστοιχα. Η έδραση του καταστρώματος στη θέση των ακροβάθρων γίνεται μέσω ελαστομεταλλικών εφεδράνων Συγκεκριμένα, σε κάθε ακρόβαθρο τοποθετείται ζεύγος εφεδράνων, σε απόσταση μεταξύ τους ίση με 5.20m. Κατά την έδραση του καταστρώματος στα εφέδρανα των ακροβάθρων, διαμορφώνεται σεισμικός αρμός μήκους 0.10m και 0.15m κατά τη διαμήκη και την εγκάρσια διεύθυνση αντίστοιχα (σχήματα 6.8 και 6.9). Η θεμελίωση του ακροβάθρου γίνεται μέσω πέδιλου διαστάσεων m, το οποίο φέρει κατάλληλες προεκτάσεις για την έδραση των πτερυγοτοίχων. Η συνολική κάτοψη του πεδίλου των ακροβάθρων έχει μορφή Π. Ο φορέας κατασκευάζεται επί τόπου από προεντεταμένο σκυρόδεμα ποιότητας Β35. Τα μεσόβαθρα κατασκευάζονται από επί τόπου εγχυόμενο οπλισμένο σκυρόδεμα ποιότητας Β35. Τα ακρόβαθρα, οι θεμελιώσεις, οι τοίχοι αντιστήριξης, οι πλάκες πρόσβασης και τα πεζοδρόμια κατασκευάζονται από επί τόπου οπλισμένο σκυρόδεμα ποιότητας Β25. Ο χάλυβας οπλισμών είναι νευροχάλυβας υψηλής αντοχής Βst500s και ο χάλυβας προέντασης 1570/1770. Τα εφέδρανα που χρησιμοποιούνται στα ακρόβαθρα είναι ελαστομεταλλικά εφέδρανα διαστάσεων , με πάχος ελαστικού 44 mm. Για τον αντισεισμικό σχεδιασμό του φορέα χρησιμοποιήθηκε το φάσμα του Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού (ΕΑΚ, 2003) για ζώνη Ι (επιτάχυνση εδάφους ίση με 0.16g) και για τύπο εδάφους Β, το οποίο αντιστοιχεί περίπου στην κατηγορία εδάφους Β σύμφωνα με τον Ευρωκώδικα 8 (CEN 2004). Ο συντελεστής σπουδαιότητας για την τυπική άνω διάβαση λαμβάνεται ίσος με 1.0, οπότε ο φορέας σχεδιάστηκε για φάσμα σχεδιασμού με α g ίσο με 0.16g. Τέλος, ο δείκτης συμπεριφοράς, βάσει του λόγου διάτμησης α s =2.4, λήφθηκε ίσος με 2.40 κατά τη διαμήκη και κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης, λόγω της ανελαστικής συμπεριφοράς που αναμένεται να αναπτυχθεί στην περιοχή των βάθρων 161

204 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία A1 M M2 A Σχήμα 6.2 Κατά μήκος τομή της γέφυρας 162

205 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Σχήμα 6.3 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή του ανοίγματος Σχήμα 6.4 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των μεσοβάθρων Σχήμα 6.5 Διατομή του καταστρώματος στην περιοχή των ακροβάθρων 163

206 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Σχήμα 5 M M c B B :1 B B B10 B Σχήμα 6.6 Κατά μήκος και εγκάρσια τομή του φορέα στη θέση μεσοβάθρου Φ28 σπείρα Φ16/ σπείρα Φ16/ σπείρα Φ16/8.5 48Φ σπείρα Φ16/ Σχήμα 6.7 Τυπική διατομή μεσοβάθρου (οπλισμός στη βάση του μεσοβάθρου). 164

207 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία cm 15% Σχήμα 6.8 Κατά μήκος τομή του φορέα στην περιοχή του ακροβάθρου Σχήμα 6.9 Εγκάρσια τομή του φορέα στην περιοχή του ακροβάθρου. 165

208 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Προσομοίωση των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της γέφυρας Η ανάλυση της γέφυρας γίνεται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Τόσο για το φορέα όσο και για τα μεσόβαθρα, χρησιμοποιήθηκαν ραβδωτά (γραμμικά) στοιχεία δοκού (3-D Beam Elements). Η ανάλυση του μοντέλου γίνεται με το πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων SAP2000 (CSI, 2003). Στα σχήματα από 6.10 έως και 6.12 παρατίθενται η προοπτική εικόνα του μοντέλου προσομοίωσης καθώς και οι αντίστοιχες όψεις στα επίπεδα ΧY και ΧΖ του κύριου συστήματος συντεταγμένων OXYZ. Α2 Μ2 Μ1 Ζ Υ Χ A1 Σχήμα 6.10 Χωρική άποψη μοντέλου προσομοίωσης. A1 M1 M2 A2 Σχήμα 6.11 Κάτοψη γέφυρας (Τομή στο επίπεδο ΧY). Α2 A1 Μ1 Μ2 Σχήμα 6.12 Τομή στο επίπεδο ΧΖ. 166

209 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Το κατάστρωμα στο σύνολό του προσομοιώνεται με 22 γραμμικά στοιχεία (frame elements). Η διακριτοποίηση που εφαρμόζεται, εξαρτάται από τη μεταβολή της μορφής της διατομής κατά μήκος του φορέα και είναι σχετικά αραιή στα μεσαία τμήματα των ανοιγμάτων και περισσότερο πυκνή στις περιοχές κοντά στις στηρίξεις. Ως συντεταγμένες των γραμμικών στοιχείων ορίζονται αυτές του κέντρου βάρους της κάθε διατομής. Ο απλουστευμένος αυτός τρόπος υπολογισμού, προϋποθέτει ότι οι κιβωτιοειδείς διατομές θα διατηρήσουν το σχήμα τους, δηλαδή πως η μορφή των διατομών δε θα μεταβληθεί ουσιωδώς κατά τη συστροφή λόγω στρέψης. Σε όλα τα γραμμικά στοιχεία ορίστηκαν τοπικοί άξονες, έτσι ώστε να είναι παράλληλα τοποθετημένοι προς τους άξονες του κύριου συστήματος συντεταγμένων, μια εύκολη διαδικασία για το συγκεκριμένο φορέα λόγω της ευθυγραμμίας του (βλ. σχήμα 5.11). Ορίστηκαν τέσσερεις (4) διαφορετικές διατομές, η διατομή ανοίγματος, η διατομή στήριξης στην περιοχή των βάθρων, η διατομή στήριξης στην περιοχή των ακροβάθρων και η διατομή στην περιοχή της συμπαγούς ζώνης. Δεδομένου ότι το πρόγραμμα (SAP2000v.8) δεν έχει τη δυνατότητα αυτόματης εισαγωγής διατομής αυτής της μορφής, αυτό επιτυγχάνεται με έμμεσο τρόπο, μέσω της γενικής διατομής (General), στην οποία ορίζονται κάθε φορά τα κατάλληλα εμβαδά και ροπές αδράνειας. Η μετάβαση από τον έναν τύπο διατομής στον άλλο γίνεται με γραμμικό τρόπο. Για την προσομοίωση των μεταβατικών τμημάτων γίνεται χρήση των μηπρισματικών διατομών (non-prismatic section). Οι εν λόγω διατομές χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση στοιχείων που οι ιδιότητές τους μεταβάλλονται κατά το μήκος τους. Ορίζονται τόσο οι διατομές που αντιστοιχούν στους κόμβους αρχής και πέρατος όσο και ο τρόπος μεταβολής των ιδιοτήτων κατά μήκος του στοιχείου. Η μεταβολή των εμβαδών είναι γραμμική, ενώ η μεταβολή των ροπών αδρανείας και στους δυο άξονες μπορεί να είναι γραμμική, παραβολική ή και κυβική. Στη συγκεκριμένη περίπτωση όπου μεταβάλλονται μόνο τα πάχη των επιμέρους τμημάτων της διατομής και όχι οι εξωτερικές διαστάσεις, επιλέγεται η γραμμική μεταβολή και για τις ροπές αδράνειας. Τα μεσόβαθρα προσομοιώνονται με γραμμικά στοιχεία δοκού (3D-frame elements), στα οποία ορίζονται τοπικοί άξονες έτσι ώστε να είναι παράλληλοι προς τους κύριους άξονες του συστήματος (βλ. σχήμα 5.12). Το λογισμικό που χρησιμοποιείται εδώ (SAP2000), έχει τη δυνατότητα αυτόματης εισαγωγής κυκλικών συμπαγών διατομών (circle section). Η διατομή των βάθρων παραμένει σταθερή καθ ύψος. Η σύνδεση των βάθρων με το κατάστρωμα γίνεται με άκαμπτα στοιχεία δοκού. Τα στοιχεία αυτά συνδέονται σταθερά με τα ανώτερα στοιχεία των βάθρων και με το κέντρο βάρους της διατομής του φορέα στην εν λόγω περιοχή. Επομένως για την προσομοίωση των άκαμπτων στοιχείων σύνδεσης, ορίζεται μια διατομή με ονομασία RIGID, στην οποία ορίζονται μεγάλες τιμές για το εμβαδόν και τις ροπές αδρανείας και προς τις δυο διευθύνσεις. Για να μην αλλοιωθεί η μάζα του φορέα λόγω των στοιχείων αυτών, ορίζεται ένα νέο υλικό με ονομασία RIGIDMAT στο οποίο η κατανεμημένη μάζα ανά όγκο και το κατανεμημένο βάρος ανά όγκο ορίζονται μηδενικά. Κατά την ανάλυση της γέφυρας η τιμή της ενεργού δυσκαμψίας που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση των βάθρων προκύπτει από τον μέσο όρο των τιμών που εκτιμώνται με βάση την εγκύκλιο Ε39/99 και το ATC-32 (1996). Σύμφωνα με την 2.5.3(2) της Ε39/99, για στοιχεία του φορέα από προεντεταμένο σκυρόδεμα χωρίς πλαστικές αρθρώσεις (κατάστρωμα), λαμβάνεται η πλήρης δυσκαμψία σταδίου Ι. 167

210 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Αντίθετα, σε στοιχεία στα οποία προβλέπεται σχηματισμός κύριων πλαστικών αρθρώσεων (βάθρα), η δρώσα δυσκαμψία E c I eff, εκτιμάται από την καμπυλότητα κατά τη διαρροή του οπλισμού στη θέση της πλαστικής άρθρωσης. Συγκεκριμένα, η ενεργός δυσκαμψία E c I eff βάσει της Ε39/99, εκτιμάται από την εξίσωση E I 300 M d (6.1) c eff Rd όπου, M Rd είναι η υπολογιστική ροπή αστοχίας, για την οποία πρέπει να λαμβάνεται η μεγαλύτερη τιμή που αντιστοιχεί στο πεδίο διακύμανσης της αξονικής δύναμης και d είναι το στατικό ύψος της διατομής στη θέση της πλαστικής άρθρωσης. Η εξίσωση (6.1) οδηγεί σε υπερεκτίμηση της δυσκαμψίας, διότι η καμπυλότητα διαρροής που χρησιμοποιείται για να προκύψει η σχέση (6.1), υπολογίζεται με βάση τη συντηρητική τιμή παραμόρφωσης του σκυροδέματος κατά τη διαρροή, ε cy = Η υπερεκτίμηση της ενεργού δυσκαμψίας οδηγεί σε αποτελέσματα προς τη μεριά της ασφάλειας όσον αφορά στις σεισμικές δράσεις, ενώ οι μετακινήσεις μπορούν να διορθωθούν μετά την ανάλυση με βάση την πραγματική δυσκαμψία. Μέσω της εξίσωσης (6.1) προκύπτει ότι ο λόγος Ι eff /Ι g είναι ίσος προς Σύμφωνα με το ATC-32(1996), για κατασκευές οπλισμένου σκυροδέματος στις οποίες αναμένεται ο σχηματισμός πλαστικών αρθρώσεων στα υποστυλώματα (ή στα βάθρα στην περίπτωση γεφυρών) θεωρείται αντιπροσωπευτικότερη η θεώρηση πλήρους ρηγματωμένης διατομής για την εκτίμηση της δυσκαμψίας. Ο συντελεστής μείωσης της αρηγμάτωτης διατομής σταδίου Ι σε ρηγματωμένη σταδίου ΙΙ (I eff / I g ), εξαρτάται από το αξονικό φορτίο του στοιχείου (Ν), το συνολικό εμβαδόν των οπλισμών στη διατομή (A st ), το συνολικό εμβαδόν της διατομής του οπλισμένου σκυροδέματος στην περιοχή της πλαστικής άρθρωσης (A g ) και την αντοχή του σκυροδέματος (f c ). Για κάθε μεσόβαθρο υπολογίζεται ο συντελεστής μείωσης της ενεργού δυσκαμψίας σε σχέση με την πλήρη δυσκαμψία στις δύο ακραίες θέσεις (στην κεφαλή και στον πόδα) και λαμβάνεται ο μέσος όρος των τιμών αυτών για την εκτίμηση της ενεργούς δυσκαμψίας του μοντέλου προσομοίωσης, η οποία προκύπτει Ι eff /Ι g =0.47. Επομένως, η τιμή της ενεργού δυσκαμψίας που τελικά χρησιμοποιείται κατά την προσομοίωση των βάθρων λαμβάνεται από τον μέσο όρο των τιμών που εκτιμήθηκαν βάσει των Ε39/99 και ATC-32 και είναι ίση προς Ι eff =0.43 Ι g. Κατά την έδραση του καταστρώματος στα εφέδρανα των ακροβάθρων, διαμορφώνεται σεισμικός αρμός μήκους 10cm και 15cm κατά τη διαμήκη και την εγκάρσια διεύθυνση αντίστοιχα. Επομένως, κατά τη διαμήκη διεύθυνση, ο σεισμικός αρμός αναμένεται να κλείσει κατά τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης, όταν η μετακίνηση του καταστρώματος γίνει ίση με 10cm, οπότε το κατάστρωμα θα έρθει σε επαφή με το θωράκιο του ακροβάθρου. Αμέσως μετά το σύστημα ακρόβαθρο έδαφος θα λάβει μέρος στην παραλαβή των σεισμικών δυνάμεων και θα διαφοροποιηθεί ο μηχανισμός απορρόφησης της σεισμικής ενέργειας, που μέχρι το κλείσιμο του αρμού γινόταν μέσω της ανελαστικής απόκρισης των μεσοβάθρων. Το σύστημα ακρόβαθροέδαφος λόγω της μεγάλης δυσκαμψίας/δυστμησίας του, αναμένεται να αναλάβει το μεγαλύτερο μέρος των σεισμικών δυνάμεων, ανακουφίζοντας με τον τρόπο αυτόν την υπόλοιπη κατασκευή, ενώ γίνονται κρίσιμα άλλα στοιχεία για την αστοχία του φορέα. Στη γενική περίπτωση, η αστοχία του φορέα μπορεί να οφείλεται σε πιθανή αστοχία του ακροβάθρου (η κρίσιμη διατομή του οποίου εντοπίζεται συνήθως στη βάση του θωρακίου), του εδάφους που βρίσκεται πίσω από αυτό ή σε αστοχία της θεμελίωσης, η οποία για την γέφυρα που εξετάζεται μπορεί να είναι αστοχία λόγω ολίσθησης του 168

211 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία ακροβάθρου. Επομένως, σε ανάλυση «πλήρους εύρους» που να καλύπτει όλα τα στάδια της σεισμικής απόκρισης, θα πρέπει να εξετάζεται λεπτομερώς και να προσομοιώνεται κατάλληλα η μη-γραμμική συμπεριφορά του συστήματος γέφυρα-ακρόβαθρο-έδαφος. Κατά την εγκάρσια διεύθυνση, ο σεισμικός αρμός αναμένεται να κλείσει όταν η μετακίνηση του καταστρώματος γίνει ίση με 15cm, το κατάστρωμα έρχεται σε επαφή με το ακρόβαθρο και ενεργοποιείται ο μηχανισμός ακροβάθρου- εδάφους. Επομένως, μπορεί να γίνει εναλλακτικά μια διαφορετική προσομοίωση του φορέα, κατά την οποία το μοντέλο θα περιλαμβάνει λεπτομερή προσομοίωση του μηχανισμού ακροβάθρου- εδάφους με μη-γραμμική συμπεριφορά, το οποίο θα συμμετέχει στην παραλαβή μεγάλου τμήματος των σεισμικών δυνάμεων, λόγω της μεγάλης δυσκαμψίας που αναμένεται να έχει. Δεδομένου του στόχου της διατριβής, δεν εξετάζονται εδώ θέματα συμμετοχής του ακροβάθρου και του επιχώματος στην εγκάρσια και διαμήκη απόκριση της γέφυρας. Το κατάστρωμα της γέφυρας εδράζεται στα ακρόβαθρα μέσω ελαστομεταλλικών εφεδράνων ορθογωνικής διατομής. Σε κάθε ακρόβαθρο τοποθετούνται δύο ελαστομεταλλικά εφέδρανα διαστάσεων (44), σε απόσταση μεταξύ τους ίση με 5.20m. Στο πλαίσιο των αναλύσεων που εφαρμόζονται στην παρούσα διατριβή, δεν προβλέπεται εμφάνιση μη-γραμμικής συμπεριφοράς στα ελαστομεταλλικά εφέδρανα, ενώ ο σχηματισμός πλαστικών αρθρώσεων περιορίζεται στην κεφαλή και στον πόδα των βάθρων. Επομένως, η προσομοίωση των ελαστομεταλλικών εφεδράνων που χρησιμοποιούνται εδώ γίνεται με στοιχεία γραμμικών ελατηρίων (linear links), με δύο κόμβους σύνδεσης. Το κάθε στοιχείο, αποτελείται από έξι διαφορετικά ελατήρια, το κάθε ένα από τα οποία αντιστοιχεί σε διαφορετικό βαθμό ελευθερίας και εκφράζει διαφορετικό τρόπο λειτουργίας (ή καταπόνησης) του στοιχείου, ήτοι θλίψη, στρέψη, διάτμηση και καθαρή κάμψη ως προς τους τρεις κύριους άξονες του στοιχείου (σχήμα 6.13). Για το κάθε ένα από τα ελατήρια ορίζονται η αντίστοιχη ελαστική ενεργός δυσκαμψία (linear effective stiffness) και το αντίστοιχο ενεργό ποσοστό απόσβεσης. Τα μηχανικά χαρακτηριστικά των ελαστομεταλλικών εφεδράνων υπολογίζονται βάσει των εξισώσεων (6.2) έως και (6.8) (Naeim & Kelly, 1999). Δυστένεια Δυστμησία Δυσκαμψία (compression stiffness) (horizontal stiffness) (bending stiffness) Q M N N Q M Σχήμα 6.13 Ενδεικτικό μοντέλο προσομοίωσης ελαστομεταλλικού εφεδράνου (linear link element). 169

212 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Η δυστμησία του εφεδράνου, K H, ορίζεται από το μέτρο διάτμησης του ελαστομερούς, G, το συνολικό πάχος του ελαστομερούς, t r και από το πλήρες εμβαδόν της διατομής του ελαστομερούς, A, μέσω της εξίσωσης (6.2) K H G A (6.2) t r Η δυστένεια του εφεδράνου, K v, υπολογίζεται από την εξίσωση (6.3) K V Ec A (6.3) t r όπου, Α είναι το ενεργό εμβαδόν της διατομής, t r, είναι το πάχος του ελαστομερούς και E c είναι το μέτρο ελαστικότητας του ελαστομεταλλικού εφεδράνου για συγκεκριμένη στάθμη κατακόρυφης φόρτισης, που εξαρτάται από το συντελεστή σχήματος του εφεδράνου S, και από το μέτρο διάτμησης του εφεδράνου G, σύμφωνα με τη σχέση (6.4). Ec 6GS2 (6.4) Η δυσκαμψία του εφεδράνου, K b, υπολογίζεται με βάση τη θεωρία της κάμψης, κατά την οποία το στοιχείο του εφεδράνου προσομοιώνεται με στοιχείο δοκού, με κόμβο αρχής το j και κόμβο τέλους το i. Το στοιχείο δοκού που χρησιμοποιείται έχει γεωμετρικά χαρακτηριστικά (I x και I y ) ίδια με αυτά του εφεδράνου. Η δυσκαμψία του στοιχείου προσδιορίζεται από τη σχέση K b (Ec I) eff (6.5) L όπου L, είναι το ύψος του στοιχείου. Επιπλέον, για τα ελαστομεταλλικά εφέδρανα χρησιμοποιείται η ενεργός δυσκαμψία του στοιχείου, (E c I) eff. Ισχύει δε ότι λόγω της παραβολικής (αντί γραμμικής) κατανομής των ορθών τάσεων από κάμψη κατά μήκος του εφεδράνου, και για τετραγωνικό στοιχείο, το γινόμενο (E c I) eff είναι περίπου ίσο με το ένα τρίτο της τιμής του γινομένου E c I, δηλαδή ισχύει η εξίσωση (EcI) eff 0.329EcI (6.6) Επομένως, η δυσκαμψία για τα ελαστομεταλλικά εφέδρανα ως προς τις δύο κύριες διευθύνσεις ανάλυσης, μετασχηματίζεται μέσω της σχέσης (6.6) στις σχέσεις (6.7) και (6.8) Ec Ix Kbx L (6.7) Ec Iy Kby L (6.8) 170

213 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Η δυστρεψία του εφεδράνου περί άξονα κατακόρυφο στο επίπεδό του, θεωρείται αμελητέα και αγνοείται. Οι τιμές των συντελεστών των μηχανικών χαρακτηριστικών των ελαστομεταλλικών εφεδράνων της γέφυρας, παρουσιάζονται στον Πίν.6.1 Πίνακας 6.1 Τιμές μηχανικών χαρακτηριστικών εφεδράνων E c kn/m 2 I x m 4 I y m 4 k N/mm 2 K H kn/m K v kn/m K bx kn/m K by kn/m Κάθε στοιχείο γραμμικού ελατηρίου έχει το δικό του σύστημα συντεταγμένων με βάση το οποίο ορίζεται η σχέση δύναμης-παραμόρφωσης. Στο σχήμα 6.14, παρουσιάζεται ο προσανατολισμός του τοπικού συστήματος συντεταγμένων του γραμμικού ελατηρίου σε σχέση με το καθολικό σύστημα συντεταγμένων της γέφυρας. Z 1 j i: κόμβος αρχής j: κόμβος τέλους i 2 X Y 3 Σχήμα 6.14 Τοπικοί άξονες συντεταγμένων του γραμμικού ελατηρίου με το οποίο προσομοιώνεται το ελαστομεταλλικό εφέδρανο. Η θεμελίωση της γέφυρας είναι επιφανειακή και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των πεδίλων θεμελίωσης παρουσιάζονται στον Πίν.6.2. Οι συνθήκες θεμελίωσης της γέφυρας στο έδαφος προσομοιώνονται με στοιχεία γραμμικών ελατηρίων (linear links), λόγω της παραδοχής για ελαστική απόκριση του εδάφους. Στους κόμβους βάσης των βάθρων τοποθετούνται μεμονωμένα γραμμικά ελατήρια με κατάλληλα ορισμένους δυναμικούς δείκτες δυσκαμψίας, τα χαρακτηριστικά των οποίων προσδιορίζονται με βάση τα 171

214 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία χαρακτηριστικά του εδάφους θεμελίωσης όπως έχουν εκτιμηθεί από την γεωτεχνική μελέτη που πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο της μελέτης θεμελίωσης του έργου, καθώς και από τα χαρακτηριστικά της θεμελίωσης (τύπος θεμελίωσης και γεωμετρικά στοιχεία). Πίνακας 6.2: Γεωμετρικά χαρακτηριστικά πεδίλου θεμελίωσης Γεωμετρικά χαρακτηριστικά θεμελίωσης Β 8.00 m L 9.00 m A b m 2 I bx m 4 I by m 4 Το μέτρο διάτμησης του εδάφους G, εκτιμάται μέσω της ταχύτητας των διατμητικών κυμάτων, v s, σύμφωνα με την εξίσωση (6.9). Το έδαφος θεμελίωσης της γέφυρας ανήκει στην κατηγορία Β σύμφωνα με τον Ευρωκώδικα 8 (CEN 2004), για την οποία, η τιμή της ταχύτητας διατμητικών κυμάτων κυμαίνεται από 360 m/s έως 800 m/s. Επομένως για την εκτίμηση του G, λαμβάνεται ως τιμή της ταχύτητας των διατμητικών κυμάτων, η μέση τιμή αυτών, ήτοι 580 m/s. 2 G v s (6.9) όπου το φαινόμενο βάρος του εδάφους, με τιμή 2.10 t/m 3. Ο EC8/5 (CEN, 2004) προτείνει μειώσεις του μέτρου διάτμησης, λόγω της δράσης των σεισμικών δυνάμεων στο έδαφος. Σύμφωνα με τον Πίν 3.1 του EC8/5, λαμβάνεται προσεγγιστικά G/G 0 =60% για την συγκεκριμένη κατηγορία εδάφους θεμελίωσης και για εδαφική επιτάχυνση 0.16g. Οι δυναμικοί δείκτες δυσκαμψίας για επιφανειακή θεμελίωση, με πέδιλο ορθογωνικής διατομής, υπολογίζονται μέσω των σχέσεων (6.10) έως και (6.15) για ομογενή ημίχωρο (Gazetas, 1991). 2GL 0.85 K y (2 2.5 ) 2 v (6.10) 0.2GL x K y (1 B/L) v (6.11) 2GL 0.75 K z ( ) 1 v (6.12) G Krx I bx (L/B) ( B/L) 1 v (6.13) G Kry Iby (L/B) v (6.14) K GI (1 B/L) 10 (6.15) t b όπου, Β είναι το πλάτος του θεμελίου, L, είναι το μήκος του θεμελίου, I bx η ροπή αδράνειας κατά τη x διεύθυνση του θεμελίου και Ι by η ροπή αδράνειας κατά τη y 172

215 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία διεύθυνση του θεμελίου, ενώ ο όρος Ι b ορίζεται από το άθροισμα των παραπάνω ροπών αδρανείας. Ο συντελεστής χ ισούται με το λόγο A 2 b /4L. Οι τιμές των δυναμικών δεικτών δυσκαμψίας που χαρακτηρίζουν τις αντίστοιχες ελατηριακές σταθερές των γραμμικών ελατηρίων παρουσιάζονται στον Πίν.6.3. Κάθε στοιχείο γραμμικού ελατηρίου έχει το δικό του σύστημα συντεταγμένων που πρέπει να είναι κατάλληλα προσανατολισμένο σύμφωνα με το καθολικό σύστημα συντεταγμένων του τεχνικού έργου (βλ. σχήμα 6.14). Πίνακας 6.3: Δυναμικοί δείκτες δυσκαμψίας για επιφανειακή θεμελίωση σε ομογενή ημίχωρο Kx Ky Kz Krx Kry Kt kn/m kn/m kn/m kn/m kn/m kn/m Προσομοίωση του φορέα για ανελαστική απόκριση. Λόγω της μονολιθικής σύνδεσης του καταστρώματος με τα μεσόβαθρα, θεωρείται ότι ο σχηματισμός των πλαστικών αρθρώσεων λαμβάνει χώρα στην κεφαλή και στη βάση των βάθρων (σχήμα 6.15). Η γέφυρα αναλύεται με το λογισμικό SAP2000 (CSI, 2005), όπως και οι άλλες δύο γέφυρες που αναλύονται στην παρούσα διατριβή. Ως εκ τούτου, για την προσομοίωση των κρίσιμων διατομών των δομικών στοιχείων, όπου αναμένεται ο σχηματισμός των πλαστικών αρθρώσεων, εφαρμόζονται όσα αναφέρονται στην B35 προσομοίωση καταστρώματος με γραμμικά στοιχεία δοκού προσομοίωση βάθρου με γραμμικά στοιχεία δοκού πιθανές θέσεις σχηματισμού πλαστικών αρθρώσεων Μ Μy k i αk i B35 θy θ B10 Σχήμα 6.15 Περιοχές μη-γραμμικής συμπεριφοράς του φορέα καθ ύψος του βάθρου που συνδέεται μονολιθικά με το κατάστρωμα. 173

216 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία 6.2 Ιδιομορφική ανάλυση ελαστική ανάλυση του φορέα Στους Πίν. 6.4 και 6.5 δίνονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά της γέφυρας όπως υπολογίζονται από την ιδιομορφική ανάλυση του φορέα. Παρουσιάζονται οι πρώτες τριάντα (30) ιδιομορφές ταλάντωσης, με τα αντίστοιχα ποσοστά της μάζας του φορέα που ενεργοποιείται ανά διεύθυνση. Πίνακας 6.4: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα (α μέρος) mode T (s) U X U Y U Z Sum U X Sum U Y Sum U Z Πίνακας 6.5: Δυναμικά χαρακτηριστικά του φορέα (β μέρος) mode T (sec) R X R Y R Z SumR X SumR Y SumR Z

217 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Οι όροι U X, U Y, U Z εκφράζουν τα ποσοστά της μάζας που ενεργοποιούνται κατά τη διεύθυνση X, Y και Ζ αντίστοιχα για κάθε ιδιομορφή ταλάντωσης του φορέα (βλ. σχήμα 6.10), ενώ οι όροι R X, R Y και R Z εκφράζουν το ποσοστό της μάζας που στρέφεται περί τον άξονα X, Y και Ζ αντίστοιχα. Παρατηρείται ότι οι δύο πρώτες ιδιομορφές του φορέα, λόγω της δυνατότητας ελεύθερης εγκάρσιας μετακίνησης του καταστρώματος στην περιοχή των ακροβάθρων είναι μεταφορικές κατά την εγκάρσια διεύθυνση με ποσοστά συμμετοχής 61% και 36% αντίστοιχα, και ταυτόχρονα στροφικές (σχήμα 6.17). Η τρίτη σημαντική ιδιομορφή κατά την εγκάρσια διεύθυνση (η 29 η ιδιομορφή με σειρά εμφάνισης) έχει πολύ μικρό ποσοστό συμμετοχής (περίπου 1%) με πρακτικώς μηδενική συνεισφορά στην τελική απόκριση του φορέα. Αντίθετα, η τρίτη ιδιομορφή (με σειρά εμφάνισης) είναι καθαρά μεταφορική κατά τη διαμήκη διεύθυνση με ποσοστό συμμετοχής 98%. Η επιλογή των σημαντικότερων ιδιομορφών για την εφαρμογή της ΙΑΣΑ, η οποία εξ ορισμού γίνεται με τις ελαστικές ιδιομορφές, βασίζεται στο κριτήριο που προτείνεται από τους σύγχρονους κανονισμούς (ASCE/SEI 2006, CEN 2004, ΥπΥποΜεΔι 2012), ήτοι το άθροισμα των ποσοστών συμμετοχής των ιδιομορφών ταλάντωσης να είναι μεγαλύτερο από το 90% της μάζας που ενεργοποιείται. Ως εκ τούτου, για την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης επιλέγονται οι δύο πρώτες ιδιομορφές, με συνολικό ποσοστό συμμετοχής 97.4%, ενώ για τη διαμήκη διεύθυνση ανάλυσης προκύπτει ότι δεν απαιτείται η εφαρμογή της ΙΑΣΑ, διότι με την κυρίαρχη ιδιομορφή κατά την εν λόγω διεύθυνση ενεργοποιείται το 98% της μάζας της γέφυρας. Για επιβεβαίωση της επιλογής των απαραίτητων ιδιομορφών κατά την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης, εφαρμόζεται η ελαστική ιδιομορφική ανάλυση του φορέα, για να διερευνηθεί επιπλέον το ποσοστό επιρροής των ιδιομορφών στην τελική απόκριση του φορέα. Η ανάλυση γίνεται για το σεισμό σχεδιασμού, με την παραδοχή ότι ο φορέας παραμένει ελαστικός (που καταρχήν δεν ισχύει αφού σχεδιάστηκε για q=2.4). 175

218 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία u (m) mode1 mode2 mode29 Ελαστική ανάλυση A1 M1 M2 A Σχήμα 6.16 Ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος για ελαστική ιδιομορφική ανάλυση της γέφυρας. Πίνακας 6.6: Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση της γέφυρας. Ακτινικές μετακινήσεις για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και οι τελικές ακτινικές μετακινήσεις του καταστρώματος. Σημεία κατ/τος Ελαστική Ιδιομορφική Ανάλυση- Εγκάρσια Διεύθυνση ανάλυσης Μετακινήσεις καταστρώματος για κάθε ιδιομορφική φόρτιση τελικές μετακινήσεις (3modes) τελικές μετακινήσεις (2modes) Απόκλιση τελικών μετακινήσεων (%) mode1 mode2 mode29 A1/ E E E E E E E E E E-09 M1/ E E E E E E E E-10 km/ E E E E E E E E-08 M2/ E E E E E E E E E E-12 A2/ E E

219 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Στο σχήμα 6.16 παρουσιάζονται οι εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για κάθε ιδιομορφή, καθώς και η τελικές τιμές των μετακινήσεων που υπολογίζονται αν ληφθούν υπόψη οι τρεις πιο σημαντικές ιδιομορφές για την εγκάρσια διεύθυνση ανάλυσης. Στον Πίν. 6.6, παρουσιάζονται οι τιμές των εγκάρσιων μετακινήσεων για κάθε ιδιομορφική φόρτιση, οι τελικές τιμές των μετακινήσεων του καταστρώματος που υπολογίζονται από την απλή τετραγωνική επαλληλία των τριών ιδιομορφικών φορτίων και οι τελικές τιμές των μετακινήσεων του καταστρώματος, που υπολογίζονται αν ληφθούν υπόψη οι δύο από τις τρεις σημαντικότερες ιδιομορφές. Στην τελευταία στήλη του Πίν. 6.6, παρουσιάζεται το ποσοστό απόκλισης (%) ανάμεσα στις τελικές μετακινήσεις που υπολογίζονται αν χρησιμοποιούνται οι τρεις ή οι δύο ιδιομορφές της γέφυρας. Παρατηρείται ότι, η επιρροή της τρίτης (mode 29) ιδιομορφής στην τελική απόκριση της γέφυρας είναι πάρα πολύ μικρή, πρακτικά μηδενική. Ως εκ τούτου, επιβεβαιώνεται ότι η τρίτη ιδιομορφή δεν επηρεάζει την τελική απόκριση του φορέα, και για το λόγο αυτόν, δε θα χρησιμοποιηθεί στην ΙΑΣΑ. Στο σχήμα 6.17 παρουσιάζονται οι δύο ιδιομορφές του φορέα σε κάτοψη που θα χρησιμοποιηθούν στην ΙΑΣΑ. 1 η ιδιομορφή (mode1) T 1 =0.96s A1 M1 M2 A2 2 η ιδιομορφή (mode2) T 2 =0.81s A1 M1 M2 A2 Σχήμα 6.17 Σημαντικές ιδιομορφές του φορέα σε κάτοψη κατά την εγκάρσια διεύθυνση. 6.3 Ανελαστική στατική ανάλυση Από την ιδιομορφική ανάλυση που προηγήθηκε (Πιν. 6.4 και 6.5), προκύπτει ότι κατά τη διαμήκη διεύθυνση, όπου η θεμελιώδης ιδιομορφή κυριαρχεί πλήρως (ποσοστό συμμετοχής 98%) η ανελαστική στατική ανάλυση μπορεί να δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Αντίθετα, κατά την εγκάρσια διεύθυνση όπου η θεμελιώδης ιδιομορφή έχει μικρότερο ποσοστό συμμετοχής (61%) καθώς και σημαντική στρεπτική επιρροή, κρίνεται απαραίτητο να εξεταστούν περαιτέρω η καταλληλότητα και η ακρίβεια της μεθόδου. Η εφαρμογή της ανελαστικής στατικής ανάλυσης γίνεται σε τρισδιάστατο προσομοίωμα (βλ. σχήμα 6.10). Εξετάζεται η απόκριση του φορέα χωριστά σε καθεμία από τις τρεις κύριες διευθύνσεις ώστε να προκύψουν σαφέστερα συμπεράσματα για την 177

220 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία συμπεριφορά της γέφυρας. Επομένως, θεωρείται ότι η απόκριση του φορέα σε καθεμία από τις τρεις κύριες διευθύνσεις είναι ανεξάρτητη από τις άλλες δύο. Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανονισμούς (ASCE/SEI 2006, CEN 2004, ΥπΥποΜεΔι 2012), η ΑΣΑ εφαρμόζεται στο φορέα με τρεις διαφορετικές κατανομές φορτίσεων, την ιδιομορφική κατανομή, την ομοιόμορφη κατανομή και την κατανομή που προκύπτει από την απλή τετραγωνική επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα Ανελαστική Στατική Ανάλυση με κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής Η κατανομή της επιβαλλόμενης οριζόντιας φόρτισης που εφαρμόζεται στο φορέα, ορίζεται από το γινόμενο του μητρώου μάζας του φορέα, m, επί το μητρώο των ιδιομορφικών μετακινήσεων που αντιστοιχεί στην κυριαρχούσα ιδιομορφή του φορέα κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση, 1 (βλ. εξίσωση (3.22)). Χαράσσονται οι καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά τις κύριες διευθύνσεις ανάλυσης μέχρι την αστοχία του φορέα. Οι καμπύλες αντίστασης ως προς τις δύο κύριες διευθύνσεις (χωρίς την προσομοίωση του σεισμικού αρμού), ορίζονται αρχικά, λαμβάνοντας ως σημείο ελέγχου των μετακινήσεων το κέντρο μάζας του καταστρώματος (CEN, 2005) και παρουσιάζονται στο σχήμα Στο ίδιο διάγραμμα παρουσιάζονται οι θέσεις σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων κατά την επιβολή της φόρτισης καθώς και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα της κατασκευής για εφαρμογή της επιβαλλόμενης φόρτισης κατά τη διαμήκη και εγκάρσια διεύθυνση αντίστοιχα. Για να εστιαστεί η διερεύνηση στο θέμα της επιρροής του τύπου της ανάλυσης, κατά τη διαμήκη διεύθυνση, το κατάστρωμα θεωρείται ότι μετακινείται ελεύθερα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η ύπαρξη του σεισμικού αρμού εύρους 0.10m (βλ. σχήμα 6.8). Η σεισμική ενέργεια εκλύεται μέσω της ανελαστικής απόκρισης των βάθρων, με το σχηματισμό πλαστικών αρθρώσεων στην κεφαλή και στον πόδα τους, ενώ η αστοχία του φορέα, η οποία σημειώνεται περίπου στα 0.25m μετακίνησης του καταστρώματος, οφείλεται σε αστοχία καμπτικού τύπου, λόγω υπέρβασης της διαθέσιμης πλαστιμότητας στη βάση του Μ1 (με θ p =0.0267). Οι πλαστικές αρθρώσεις εμφανίζονται πρώτα στο κοντύτερο βάθρο (Μ1), λόγω του ότι το σύστημα λειτουργεί σαν μεταφορικό μονοβάθμιο, με σύνδεση των βάθρων εν παραλλήλω, και σχεδόν ταυτόχρονα στο δεύτερο βάθρο (Μ2). Κατά την εγκάρσια διεύθυνση, το κατάστρωμα θεωρείται ότι μετακινείται ελεύθερα χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το κλείσιμο του σεισμικού αρμού των 0.15m (βλ. σχήμα 6.9). Η σεισμική ενέργεια εκλύεται μέσω του σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα του φορέα και η αστοχία του φορέα που σημειώνεται για εγκάρσια μετακίνηση περίπου 0.28m του κέντρου μάζας του καταστρώματος, οφείλεται σε αστοχία καμπτικού τύπου, λόγω υπέρβασης της πλαστικής στροφής στη βάση του Μ2 (με θ p =0.0305). Επιπλέον, παρατηρείται ότι κατά την εγκάρσια διεύθυνση, όπου η απόκριση του συστήματος επηρεάζεται από τις ανώτερες ιδιομορφές, οι πλαστικές αρθρώσεις εμφανίζονται σε διαφορετικά σημεία κατά μήκος της καμπύλης αντίστασης. Αρχικά σχηματίζεται η πρώτη πλαστική άρθρωση στη βάση του βάθρου Μ2 (το ψηλότερο βάθρο) και στην κεφαλή του, λόγω μεγαλύτερης επιβαλλόμενης φόρτισης σε αυτό, και στη συνέχεια με την ίδια σειρά σχηματίζονται οι πλαστικές αρθρώσεις στο βάθρο Μ1. Σε γενικές γραμμές, η συνολική απόκριση του φορέα κατά τις δύο διευθύνσεις είναι πολύ ικανοποιητική, από τη στιγμή που δεν παρατηρούνται τοπικά, αλλά και συνολικά στο φορέα, αστοχίες στη στάθμη της σεισμικής διέγερσης σχεδιασμού (για την εγκάρσια διεύθυνση η μετακίνηση σχεδιασμού 178

221 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία είναι 0.037m ως προς το κέντρο μάζας και για τη διαμήκη διεύθυνση η αντίστοιχη μετακίνηση είναι 0.035m). Η ικανοποιητική συμπεριφορά της γέφυρας επαληθεύεται και μέσω της εκτίμησης του διαθέσιμου δείκτη συμπεριφοράς (ο οποίος υπολογίζεται από το γινόμενο του δείκτη διαθέσιμης υπεραντοχής επί του δείκτη πλαστιμότητας) για κάθε διεύθυνση ανάλυσης, που έγινε από τους Kappos et al (2010a,b). V b (kn) εγκάρσια διεύθυνση διαμήκης διεύθυνση σχηματισμός πλαστικών αρθρώσεων u c (m) Σχήμα 6.18 Καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης, κατά τις κύριες διευθύνσεις ανάλυσης και διαδοχή των πλαστικών αρθρώσεων στις αντίστοιχες διευθύνσεις. Ως σημείο ελέγχου λαμβάνεται το κέντρο μάζας καταστρώματος. Όσον αφορά στη συνολική αποτίμηση του φορέα βάσει της εικόνας που δίνεται από τις καμπύλες αντίστασης, βρέθηκε ότι η διαθέσιμη πλαστιμότητα μετακινήσεων είναι αρκετά μεγάλη και στις δύο διευθύνσεις ανάλυσης λόγω της σημαντικής πλαστιμότητας καμπυλοτήτων που χαρακτηρίζει τις κρίσιμες διατομές του φορέα (μ φ =11.7). Η σημαντικά αυξημένη τιμή της αντοχής της γέφυρας, οφείλεται στους συντελεστές ασφαλείας που χρησιμοποιούνται κατά το σχεδιασμό του φορέα, στην υποχρεωτική, από τους σύγχρονους κανονισμούς (CEN, 2004), χρήση του ελάχιστου οπλισμού σε περιοχές όπου οι απαιτήσεις δεν είναι σημαντικές, και στην αξιοποίηση αυτών των περισσευμάτων αντοχής μέσω ανακατανομής των δυνάμεων μετά τη διαρροή των δομικών στοιχείων. Η διερεύνηση της επιρροής της θέσης του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων στο φορέα για τη χάραξη αντιπροσωπευτικών καμπυλών αντίστασης, πραγματοποιείται με τη χάραξη καμπυλών αντίστασης του φορέα ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, κατά τη διαμήκη (σχήμα 6.19) και κατά την εγκάρσια (σχήμα 6.20) διεύθυνση ανάλυσης αντίστοιχα. 179

222 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Παρατηρείται ότι κατά τη διαμήκη διεύθυνση, για την εξεταζόμενη κατανομή φόρτισης, οι καμπύλες αντίστασης ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου της μετακίνησης κατά μήκος του φορέα, ταυτίζονται. Επομένως, η χάραξη της καμπύλης αντίστασης του φορέα δεν επηρεάζεται από τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων, όπως άλλωστε αναμενόταν αφού η γέφυρα λειτουργεί στη διεύθυνση αυτή σαν μεταφορικό μονοβάθμιο σύστημα. Αντίθετα, κατά την εγκάρσια διεύθυνση, οι καμπύλες αντίστασης διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους ανάλογα με τη θέση του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων, γεγονός που αποδεικνύει ότι η επιλογή του κατάλληλου σημείου ελέγχου για τη χάραξη μιας αντιπροσωπευτικής καμπύλης αντίστασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση, δεν είναι προφανής τουλάχιστον για το συγκεκριμένο τύπο γέφυρας. Η μετακίνηση του σημείου ελέγχου δε χρησιμοποιείται μόνο ως παράμετρος για τη χάραξη της καμπύλης αντίστασης αλλά επιπλέον χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης του φορέα για συγκεκριμένη στάθμη σεισμικής διέγερσης. Vb (kn) A1 Μ u (m) Σχήμα 6.19 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά τη διαμήκη διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. κ.μ. Μ2 A2 Α1 M1 κμ Μ2 Α2 Για την εφαρμογή των επόμενων βημάτων της μεθόδου, η πραγματική καμπύλη αντίστασης εξιδανικεύεται σε διγραμμική, ώστε να οριστούν ένα (συμβατικό) όριο διαρροής και ένα (συμβατικό) όριο αστοχίας της κατασκευής. Χρήσιμες εν προκειμένω, είναι οι σχετικές υποδείξεις του Κανονισμού ASCE41-06 (ASCE, 2006) καθώς και του κεφ.5 του ΚΑΝΕΠΕ (ΥπΥποΜεΔι, 2012). Η εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης για κάθε στάθμη σεισμικής διέγερσης γίνεται με τη μέθοδο των φασμάτων απαίτησης και ικανότητας (Fajfar, 1999, Chopra & Goel 1999). Οι εγκάρσιες μετακινήσεις του φορέα για κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής και για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, παρουσιάζονται στο σχήμα

223 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία V b (kn) Α1 Μ1 κ.μ. Μ2 Α u c (m) Σχήμα 6.20 Καμπύλη αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου. A1 Μ1 κ.μ. Μ2 A2 u (m) x(σεισμό (σεισμό σχεδιασμού) 1.5x(σεισμό σχεδιασμού) 2.0x(σεισμό σχεδιασμού) A1 M1 κ.μ. Μ2 Α Σχήμα 6.21 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος της τυπικής άνω διάβασης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ με κατανομή φόρτισης βάσει της 1 ης ιδιομορφής. 181

224 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Ανελαστική Στατική Ανάλυση με ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης Οι σύγχρονοι κανονισμοί (ASCE/SEI 2007, CEN 2004, ΥπΥποΜεΔι 2012) προτείνουν την εφαρμογή της ΑΣΑ με εναλλακτικές κατανομές φορτίσεων σε συνδυασμό με την ιδιομορφική κατανομή φόρτισης, με στόχο την ενδεχόμενη άρση των αδυναμιών και τη βελτίωση της εν λόγω μεθοδολογίας σε σχέση με άλλες μεθόδους ανάλυσης. Συγκεκριμένα, προτείνεται εκτός από την ιδιομορφική κατανομή φόρτισης βάσει της πρώτης ιδιομορφής του φορέα, να εφαρμόζεται παράλληλα η ομοιόμορφη φόρτιση (βλ. σχέση (2.26)), σύμφωνα με την οποία οι επιβαλλόμενες δυνάμεις που εφαρμόζονται στη γέφυρα, είναι ανάλογες προς τις δρώσες μάζες του μοντέλου προσομοίωσης του φορέα για την διεύθυνση που εξετάζεται. Στο σχήμα 6.22, παρουσιάζεται σε κάτοψη η κατανομή της επιβαλλόμενης ομοιόμορφης φόρτισης για την τυπική άνω διάβαση. Η εν λόγω κατανομή φόρτισης, απαιτείται από τους σύγχρονους κανονισμούς (ΥπΥποΜεΔι, 2012) κατά την ΑΣΑ κτιριακών φορέων σε συνδυασμό πάντα με κάποια ιδιομορφική κατανομή, δεδομένου ότι οδηγεί σε δυσμενέστερα αποτελέσματα ως προς τον λόγο V/M στο κατώτερο τμήμα του φορέα απ ό,τι η τριγωνική ή η ιδιομορφική κατανομή βάσει της πρώτης ιδιομορφής. Στις γέφυρες μια τέτοια ιδιομορφή αναμένεται στην εγκάρσια διεύθυνση φορέων χωρίς δέσμευση της εγκάρσιας μετακίνησης στα ακρόβαθρα (και χωρίς ουσιώδη επιρροή της στρέψης). Είναι επομένως σκόπιμο να εξεταστεί η επιρροή της συγκεκριμένης φόρτισης σε φορείς γεφυρών ώστε να διαπιστωθεί αν δίνει δυσμενέστερα αποτελέσματα για κάποια μεγέθη απόκρισης A1 M1 κ. μ. M2 A2 Σχήμα 6.22 Κατανομή της ομοιόμορφης φόρτισης κατά μήκος του φορέα. Οι καμπύλες αντίστασης του φορέα σε όρους τέμνουσας βάσης προς μετακίνηση του σημείου ελέγχου, για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης κατά την εγκάρσια διεύθυνση της γέφυρας, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων, παρουσιάζονται στο σχήμα Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζονται τα σημεία και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα του φορέα, μέχρις ότου επέλθει η αστοχία του φορέα. Στο σχήμα 6.24 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες διγραμμικές καμπύλες αντίστασης του φορέα, οι οποίες χρησιμοποιούνται στην εκτίμηση της στοχευόμενης μετακίνησης. 182

225 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Κατά την εφαρμογή της ομοιόμορφης κατανομής φόρτισης, τα βάθρα της γέφυρας που έχουν τις ίδιες διατομές, φορτίζονται ταυτόχρονα με σχεδόν την ίδια φόρτιση. Παρατηρείται ότι οι πλαστικές αρθρώσεις σχηματίζονται σχεδόν ταυτόχρονα στις βάσεις των βάθρων Μ1 και Μ2, ενώ μετά από μετακίνηση του σημείου ελέγχου του καταστρώματος κατά περίπου 0.15m σχηματίζονται με την ίδια σειρά οι πλαστικές αρθρώσεις στην περιοχή της κεφαλής των βάθρων. Η σημαντική διαφοροποίηση των καμπυλών αντίστασης που χαράσσονται ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων αποδεικνύει ότι η επιρροή του κατάλληλου σημείου ελέγχου των μετακινήσεων είναι ουσιώδης στη χάραξη της αντιπροσωπευτικής καμπύλης αντίστασης. Οι εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για τρεις διαφορετικές στάθμες σεισμικής διέγερσης παρουσιάζονται στο σχήμα 6.25 και παρατηρείται ότι, λόγω κυρίως της δυνατότητας ελεύθερης εγκάρσιας μετακίνησης στα ακρόβαθρα, το παραμορφωμένο σχήμα του φορέα είναι σχεδόν ομοιόμορφο, με λίγο μεγαλύτερες τιμές εγκάρσιων μετακινήσεων στο τμήμα του φορέα από το κ.μ. έως το Α2, λόγω του μεγαλύτερου ύψους (μικρότερης δυσκαμψίας) του μεσοβάθρου Μ2. Vb (kn) A1 Μ u (m) Σχήμα 6.23 Καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της ομοιόμορφης κατανομής φόρτισης, οι θέσεις και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα. κ.μ. Μ2 4 2 A2 Α1 M1 κμ Μ2 Α2 σχηματισμός αρ πλαστικών αρθρώσεων 183

226 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Vb (kn) A u (m) Σχήμα 6.24 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης. Μ1 κ.μ. Μ2 A2 A1 M1 κμ Μ2 Α2 u(m) (σεισμό σχεδιασμού) 1.5 (σεισμό σχεδιασμού) 2.0 (σεισμό σχεδιασμού) A1 M1 κ. μ. Μ2 Α2 Σχήμα 6.25 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος της τυπικής άνω διάβασης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ για ομοιόμορφη κατανομή φόρτισης. 184

227 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Ανελαστική στατική μεθόδος με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. Δεύτερη εναλλακτική κατανομή φόρτισης αποτελεί η φόρτιση που προκύπτει από την απλή τετραγωνική επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα (ASCE, 2000). Κατά την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων λαμβάνονται υπόψη οι σημαντικότερες ιδιομορφές του φορέα κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση (σχήμα 6.17), ενώ ταυτόχρονα συνεκτιμάται το ποσοστό συμμετοχής κάθε ιδιομορφής στην τελική απόκριση του φορέα. Κρίνεται επομένως χρήσιμο παράλληλα με τις προαναφερόμενες κατανομές φορτίσεων να γίνει η εφαρμογή της συγκεκριμένης κατανομής (σχήμα 6.26) στο φορέα της γέφυρας, ώστε να διαπιστωθεί εάν τα αποτελέσματα που προκύπτουν είναι βελτιωμένα σε σχέση με τα αντίστοιχα της ιδιομορφικής και της ομοιόμορφης κατανομής φόρτισης. Οι καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση της γέφυρας, ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου των μετακινήσεων, χαράσσονται σε κοινό διάγραμμα όπως παρουσιάζεται στο σχήμα Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζονται τα σημεία και η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων κατά την επιβολή της φόρτισης κατά την εγκάρσια διεύθυνση, μέχρις ότου επέλθει η αστοχία του φορέα. Στο σχήμα 6.28, παρουσιάζονται οι αντίστοιχες διγραμμικές καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης, που χρησιμοποιούνται σε επόμενα βήματα της μεθοδολογίας A1 30. M κ.μ. Μ Α2 Σχήμα 6.26 Κατανομή της φόρτισης από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων της γέφυρας, κατά μήκος του φορέα 185

228 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Α M1 Vb (kn) A1 Μ1 4 2 κ.μ. Μ2 3 1 A2 κμ Μ2 Α2 σχηματισμός αρ πλαστικών αρθρώσεων u (m) Σχήμα 6.27 Καμπύλες αντίστασης του φορέα κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης που προκύπτει από επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα, θέσεις και σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα A1 Vb (kn) Μ1 κ.μ. Μ2 A2 M1 κμ Μ2 Α A u (m) Σχήμα 6.28 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης της τυπικής άνω διάβασης κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου για επιβολή της φόρτισης από την επαλληλία των ελαστικών ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. 186

229 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Παρατηρείται ότι με την εν λόγω κατανομή φόρτισης, το οριζόντιο φορτίο στο βάθρο Μ2 είναι μεγαλύτερο από εκείνο στο βάθρο Μ1, ενώ το (ανηγμένο) φορτίο που εφαρμόζεται στο Μ1 είναι μεγαλύτερο από αυτό της κατανομής με βάση την 1 η ιδιομορφή και μικρότερο από αυτό της ομοιόμορφης κατανομής. Ως εκ τούτου, η σειρά σχηματισμού των πλαστικών αρθρώσεων στα βάθρα της γέφυρας είναι ίδια με αυτήν που παρατηρείται κατά την εφαρμογή της φόρτισης με ομοιόμορφη κατανομή, με τη διαφορά ότι ενώ οι πλαστικές αρθρώσεις στο βάθρο Μ2 σχηματίζονται για τις ίδιες περίπου μετακινήσεις του Κ.Μ. του φορέα (στα 0.10m εμφανίζεται η άρθρωση στη βάση και στα 0.25m στην κεφαλή του βάθρου), οι πλαστικές αρθρώσεις του βάθρου Μ1 σχηματίζονται για λίγο μεγαλύτερες μετακινήσεις, λόγω της μικρότερης φόρτισης που επιβάλλεται σε αυτό. Επιπλέον, από τη μορφή των καμπυλών αντίστασης του φορέα ως προς τα διαφορετικά σημεία ελέγχου, είναι προφανής η μεγάλη επιρροή της θέσης του σημείου ελέγχου των μετακινήσεων και η σπουδαιότητα επιλογής του καταλληλότερου σημείου για τη χάραξη της αντιπροσωπευτικότερης καμπύλης αντίστασης της γέφυρας. Στο σχήμα 6.29 παρουσιάζονται οι εγκάρσιες μετακινήσεις του καταστρώματος για τρεις διαφορετικές στάθμες σεισμικής διέγερσης. u(m) (σεισμό σχεδιασμού) 1.5 (σεισμό σχεδιασμού) 2.0 (σεισμό σχεδιασμού) A1 M1 κ. μ. Μ2 Α2 Σχήμα 6.29 Εγκάρσιες μετακινήσεις καταστρώματος της τυπικής άνω διάβασης, για τρεις στάθμες σεισμικής διέγερσης, όπως υπολογίζονται με την ΑΣΑ με κατανομή φόρτισης που προκύπτει από την επαλληλία των ιδιομορφικών φορτίων του φορέα. 6.4 Ιδιομορφική Ανελαστική Στατική Ανάλυση Η γέφυρα αναλύεται με την ΙΑΣΑ, σύμφωνα με την οποία εφαρμόζονται στο φορέα ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις για κάθε σημαντική ιδιομορφή κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση. Κατά την διαμήκη διεύθυνση βρέθηκε ότι η απόκριση του συστήματος μπορεί να προσομοιωθεί ικανοποιητικά με την απόκριση ενός ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος, γεγονός που ικανοποιεί την βασική παραδοχή της ΑΣΑ. 187

230 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία Επιπλέον, από την ιδιομορφική ανάλυση που προηγήθηκε, βρέθηκε ότι η συμμετοχή της πρώτης μεταφορικής ιδιομορφής κατά τη διαμήκη διεύθυνση είναι 98% ενώ η δεύτερη πιο σημαντική ιδιομορφή έχει ποσοστό συμμετοχής μόλις 1%. Ως εκ τούτου, κατά τη διαμήκη διεύθυνση ανάλυσης της γέφυρας δεν απαιτείται η εφαρμογή της ΙΑΣΑ. Αντίθετα, κατά την εγκάρσια διεύθυνση, βρέθηκε ότι η πρώτη ιδιομορφή έχει ποσοστό συμμετοχής 61% ενώ η δεύτερη πιο σημαντική έχει ποσοστό συμμετοχής 36% γεγονός που υποδεικνύει την αναγκαιότητα εφαρμογής της ΙΑΣΑ Χάραξη των καμπυλών αντίστασης του φορέα για φόρτιση βάσει κάθε ιδιομορφής Διεξάγονται ανεξάρτητες ανελαστικές στατικές αναλύσεις για κατανομές φορτίσεων βάσει των σημαντικότερων ιδιομορφών της γέφυρας (βλ. σχήμα 6.17) και χαράσσονται οι αντίστοιχες καμπύλες αντίστασης του φορέα, σε όρους τέμνουσας βάσης συναρτήσει της μετακίνησης του σημείου ελέγχου. Στον Πίνακα 6.7, συνοψίζονται οι πιθανές επιλογές θέσεων του σημείου ελέγχου στο φορέα (σύμφωνα με όσα αναφέρονται στην 4.1 της παρούσας διατριβής), ως ο λόγος της απόστασης του σημείου από το πρώτο ακρόβαθρο του φορέα (Α1 στο σχήμα 6.10) προς το συνολικό μήκος του φορέα. Όπου, x Κ.Μ είναι η θέση του κέντρου μάζας του φορέα, x n * είναι η θέση του ΙΜΣ για κάθε ιδιομορφή κατά μήκος του φορέα, x u,max είναι η θέση του σημείου στο οποίο αναπτύσσεται η μέγιστη ακτινική μετακίνηση του φορέα και x cr είναι η θέση του κρίσιμου βάθρου. Πίνακας 6.7: Πιθανές θέσεις επιλογής σημείου ελέγχου των μετακινήσεων mode1 mode2 x Κ.Μ. /(συνολικό μήκος) x * n /(συνολικό μήκος) x u,max /(συνολικό μήκος) x cr /(συνολικό μήκος) Στα σχήματα 6.30 και 6.33, παρουσιάζονται οι κατανομές των ιδιομορφικών φορτίσεων για τις δύο σημαντικότερες ιδιομορφές της γέφυρας. Επιπλέον, σε κάθε σχήμα σημειώνονται τα χαρακτηριστικά σημεία του Πίν Ακολουθεί η χάραξη των αντίστοιχων καμπυλών αντίστασης του φορέα για κάθε ιδιομορφική φόρτιση ως προς διαφορετικά σημεία ελέγχου, όπως παρουσιάζονται στα σχήματα 6.31 και Στα σχήματα 6.32 και 6.35 παρουσιάζονται για κάθε ιδιομορφική φόρτιση και για κάθε προτεινόμενη θέση του σημείου ελέγχου, οι αντίστοιχες διγραμμικές καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ. Παρατηρείται ότι η επιλογή του σημείου ελέγχου επηρεάζει τη μορφή της καμπύλης αντίστασης και ειδικότερα το δεύτερο κλάδο της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ. Αντίθετα, δεν επηρεάζει την κλίση του πρώτου κλάδου της καμπύλης αντίστασης του ΙΜΣ η οποία ισούται με τον όρο ω n 2 αν η αρχική κλίση της αντίστοιχης καμπύλης αντίστασης του φορέα απεικονίζει την ελαστική (ενεργό) δυσκαμψία της γέφυρας. Για το συγκεκριμένο τύπο γέφυρας, όλες οι καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της στοχευόμενης μετακίνησης του συστήματος, διότι έχουν την επιθυμητή διγραμμική μορφή που απαιτείται για την εφαρμογή της μεθοδολογίας. 188

231 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία A1 M1 κ.μ. (a) M2(b, d) A2(c) Σχήμα 6.30 Κατανομή φόρτισης βάσει της 1 ης ιδιομορφής κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Πιθανές θέσεις σημείου ελέγχου: (a) κ.μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ, (c) μέγιστη μετακίνηση, (d) κρίσιμο βάθρο Vb (kn) A1 M1 κμ (a) Μ2 (b, d) Α2 (c) u (m) Σχήμα 6.31 Διγραμμικές καμπύλες αντίστασης του φορέα για την 1 η ιδιομορφική φόρτιση κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διαφορετικά σημεία του καταστρώματος: (a) στο κ.μ. καταστρώματος, (b) στη θέση ΙΜΣ, (c) στη μέγιστη μετακίνηση, (d) στο κρίσιμο βάθρο. 189

232 Κεφάλαιο 6: Γέφυρα με σημαντική στρεπτική ευαισθησία S a (g) S d (m) Σχήμα 6.32 Καμπύλες αντίστασης του ΙΜΣ για την 1 η ιδιομορφική φόρτιση κατά την εγκάρσια διεύθυνση ως προς διάφορα σημεία του καταστρώματος: (a) στο κ.μ. καταστρώματος, (b) στη θέση ΙΜΣ, (c) στη μέγιστη μετακίνηση, (d) στο κρίσιμο βάθρο. A1 M1 κ.μ.(a) Μ2 (b, d) Α2 (c) A1(c) (b) M1(d) κ.μ. (a) M2 A2 Σχήμα η ιδιομορφή κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Πιθανές θέσεις σημείου ελέγχου: (a) κ.μ. καταστρώματος, (b) θέση ΙΜΣ, (c) μέγιστη μετακίνηση, (d) κρίσιμο βάθρο V b (kn) A1(c) M1(d) κμ (a) Μ 2 Α2 (b) u (m) Σχήμα 6.34 Καμπύλες αντίστασης του φορέα για την 2 η ιδιομορφική φόρτιση (εγκάρσια διεύθυνση) ως προς διάφορα σημεία του καταστρώματος: (a) στο κ.μ. καταστρώματος, (b) στη θέση του ΙΜΣ, (c) στη μέγιστη μετακίνηση, (d) στο κρίσιμο βάθρο. 190