Κεφάλαιο 14: Στατική μη-γραμμική Ανάλυση (Pushover Analysis) Πολυωρόφων

Transcript

1 Κεφάλαιο : Στατική μη-γραμμική Ανάλυση (Pshover Analyss) Πολυωρόφων Επίπεδων Πλαισίων Μαθηματική Διατύπωση Ως προοίμιο για τη μαθηματική διατύπωση της στατικής μη-γραμμικής (υπερωθητικής) ανάλυσης (pshover analyss) για επίπεδους φορείς κρίνεται σκόπιμο πρώτα να αναφερθούμε συνοπτικά στη γνωστή πλεον γραμμική ελαστική δυναμική μέθοδο ανάλυσης των κατασκευών (ιδιομορφική ανάλυση) Έτσι καταδεικνύεται πως η μη-γραμμική στατική ανάλυση μπορεί να θεωρηθεί ως μια επέκταση της γραμμικής θεωρίας υπό τις κατάλληλες όμως προϋποθέσεις και παραδοχές Η ανάγκη της εισαγωγής της μη-γραμμικής απόκρισης για κατασκευές υπό σεισμική φόρτιση και πρωτίστως της προσεγγιστικής υπερωθητικής ανάλυσης αναπτύσσεται με ιδιαίτερη σαφήνεια στην εργασία των Krawnkler and Senevratna (998) Εδώ θα δώσουμε τη βασική διατύπωση της υπερωθητικής ανάλυσης μέσω ενός παραδείγματος που αφορά ένα 9-ώροφο επίπεδο πλαίσιο Γραμμική ελαστική δυναμική ανάλυση Για την κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιούμε το Ν-βάθμιο δυναμικό σύστημα του Σχήματος του οποίου η βάση υποβάλλεται σε μεταφορική δυναμική διέγερση με παράγωγα την ταχύτη- τα και την επιτάχυνση εξαιτίας της οποίας προκύπτουν οι ολικές (Τ) και οι αντίστοιχες σχετικές μετατοπίσεις των μαζών ως υ = =3 () Η απόκριση της κατασκευής παραμένει γραμμική και η εσωτερική απόσβεση του παραμορφούμενου φορέα αποδίδεται με μία ισοδύναμη ιξώδη-γραμμική απόσβεση Στη συνέχεια όσον αφορά τη διατύπωση της ισορροπίας του φορέα οι αναπτυσσόμενες δυνάμεις που ενεργούν στην μάζα δηλαδή η ελαστική δύναμη επαναφοράς P P s η δύναμη απόσβεσης d και τέλος η αδρανειακή δύναμη a διατυπώνονται για κάθε χρονική στιγμή t ως εξής με την αρχή του D P Alebert: P P P 0 a d s () όπου P a = - υ P = - c c c d P = - k k k s Σχήμα Ν-βάθμιο δυναμικό σύστημα 69

2 Σχήμα Υπολογισμός συντελεστών δυσκαμψίας k k c Σημειώνεται ότι τα μεγέθη και (=3 ) είναι οι συντελεστές δυσκαμψίας και απόσβεσης του συστήματος (Σχήμα ) ενώ το αρνητικό πρόσημο των δυνάμεων οφείλεται στο ότι έχουν αντίθετη φορά από õ τη θεωρούμενη θετική μετατόπιση Με τις σχετικές αντικαταστάσεις για τις δυνάμεις η Εξίσωση () παίρνει τη μορφή: + c c c + k k k 0 Εκτελώντας την ίδια διαδικασία για όλες τις μάζες του συστήματος προκύπτουν οι Ν εξισώσεις ισορροπίας: + c c c + k k k 0 + c c c + k k k 0 + c c c + k k k 0 Συμβολίζοντας στην συνέχεια τα μητρώα και τα διανύσματα με έντονη γραφή έχουμε 70

3 C K 0 C K (3) () c c c k k k c c c k k k = C= K = c c c k k k Για την επίλυση του διαφορικού συστήματος των Εξισώσεων (3) ως προς το βασικό άγνωστο Ν-διάστατο διάνυσμα των σχετικών μετακινήσεων των μαζών του συστήματος προχωράμε πρώτα στην χρήση της θεωρίας των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων η οποία αποδίδει και το φυσικό περιεχόμενο της ιδιοταλάντωσης του συστήματος Θεωρούμε προσωρινά ότι η απόσβεση του συστήματος ισούται με το μηδέν που σημαίνει μία ιδεατή κατάσταση ταλάντωσης του συστήματος στην οποία τα πλάτη ταλάντωσης δεν μειώνονται με τον χρόνο Επίσης θεωρούμε μηδενική εξωτερική διέγερση που αντιστοιχεί σε ελεύθερη ταλάντωση του Ν-βάθμιου δυναμικού συστήματος του Σχήματος Κατά συνέπεια έχουμε K 0 (5) Στη συνέχεια για την Εξίσωση (5) αναζητούμε λύσεις της μορφής (6) η οποία παριστάνει μία συγχρονισμένη κίνηση όλων των μαζών του συστήματος με κοινή χρονική εξέλιξη των μετατοπίσεων Το διάνυσμα είναι ανεξάρτητο του χρόνου t Αντικαθιστώντας προκύπτει το ιδιομορφικό σύστημα k k k 0 k k k 0 k k k 0 (7) 7

4 Όπως και στο Κεφάλαιο το πρώτο μέρος της διαφορικής εξίσωσης είναι ανεξάρτητο και η η διαφορική εξίσωση του συστήματος γράφεται αναλυτικά ως του χρόνου και συμβολίζεται με Τότε προκύπτουν οι δύο αποσυζευγμένες k k k 0 εξισώσεις: (8) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο του διαχωριζμού των μεταβλητών για την επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης και προκύπτει στο Κεφάλαιο πως το πρώτο μέρος της διαφορικής εξίσωσης είναι ανεξάρτητο Όπως k k k (0) του χρόνου και συμβολίζεται k k με k Τότε προκύπτουν οι δύο αποσυζευγμένες Όπως και στο Κεφάλαιο το πρώτο μέρος της διαφορικής εξίσωσης είναι ανεξάρτητο 0 () εξισώσεις: (9) του χρόνου και συμβολίζεται με Τότε προκύπτουν οι δύο αποσυζευγμένες Η Εξίσωση (0) σε μητρωική μορφή διατυπώνεται ως εξισώσεις: Όπως και στο Κεφάλαιο το πρώτο μέρος της διαφορικής εξίσωσης είναι ανεξάρτητο του χρόνου και συμβολίζεται με Τότε προκύπτουν k k k K οι δύο αποσυζευγμένες εξισώσεις: (0) () και είναι πρόβλημα ιδιοτιμών διότι k k ισχύει πως k k k 0 () (0) (0) K = 0 (3) Η Εξίσωση (0) σε μητρωική μορφή διατυπώνεται ως 0 0 () Για την εύρεση μη-μηδενικής λύσης απαιτείται να μηδενισθεί η ορίζουσά () () του K Η συστήματος Εξίσωση Η Εξίσωση (0) σε σε μητρωική μορφή διατυπώνεται ως ως και είναι πρόβλημα ιδιοτιμών διότι ισχύει πως det K () K () και είναι πρόβλημα ιδιοτιμών 0 () K = 0 (3) διότι ισχύει πως και Τώρα είναι πρόβλημα το ανάπτυγμα ιδιοτιμών της διότι ορίζουσας ισχύει πως είναι μία αλγεβρική εξίσωση Ν βαθμού ως Για την εύρεση μη-μηδενικής λύσης απαιτείται να μηδενισθεί η ορίζουσά του προς και διαθέτει πραγματικές K ρίζες = διότι 0 τα μητρώα Κ και Μ είναι συμμετρικά (3) συστήματος K = 0 (3) Για την εύρεση μη-μηδενικής λύσης απαιτείται να μηδενισθεί η ορίζουσά του και θετικά ορισμένα συστήματος Για την εύρεση μη-μηδενικής det Για K κάθε λύσης τιμή απαιτείται της 0 ρίζας να μηδενισθεί προκύπτει και ένα αντίστοιχο () η ορίζουσά του συστήματος ιδιοδιάνυσμα Τώρα το ανάπτυγμα Εξετάζοντας της ορίζουσας την Εξίσωση είναι () μία αλγεβρική παρατηρούμε εξίσωση ότι προκύπτουν Ν βαθμού ως () Ν det K 0 προς ανεξάρτητες και διαφορικές διαθέτει πραγματικές εξισώσεις ως ρίζες εξής: διότι τα μητρώα Κ και Μ είναι συμμετρικά Τώρα το ανάπτυγμα της ορίζουσας είναι μία αλγεβρική εξίσωση Ν βαθμού ως Τώρα το ανάπτυγμα της ορίζουσας είναι μία αλγεβρική εξίσωση Ν βαθμού ως προς και και διαθέτει πραγματικές κάθε μία ρίζες ανεξάρτητη διότι τα μητρώα διαφορική Κ και εξίσωση Μ είναι ταυτίζεται συμμετρικά με και την θετικά ελεύθερη ορισμένα ταλάντωση Για κάθε τιμή της ρίζας προς θετικά και ορισμένα διαθέτει πραγματικές Για κάθε τιμή 0 =3 ρίζες της διότι ρίζας τα μητρώα προκύπτει Κ και Μ και είναι ένα συμμετρικά αντίστοιχο (5) Η ιδιοδιάνυσμα και προκύπτει θετικά ορισμένα και Εξετάζοντας αντίστοιχο Για κάθε την ιδιοδιάνυσμα τιμή Εξίσωση της ρίζας () Εξετάζοντας παρατηρούμε προκύπτει την Εξίσωση και ότι ένα προκύπτουν () αντίστοιχο Ν παρατηρούμε ότι προκύπτουν χωρίς ανεξάρτητες απόσβεση Ν ανεξάρτητες ενός διαφορικές διαφορικές διακριτού εξισώσεις εξισώσεις μονοβάθμιου ως εξής: ως εξής: ταλαντωτή με ιδιοσυχνότητα του ιδιοδιάνυσμα οποίου οι μετακινήσεις Εξετάζοντας δίδονται την Εξίσωση () παρατηρούμε ότι προκύπτουν Ν από τη γνωστή λύση της αρμονικής ταλάντωσης Η (5) ανεξάρτητες διαφορικές εξισώσεις 0 =3 ιδιομορφή που αντιστοιχεί στη μικρότερη ως εξής: ιδιοσυχνότητα Η κάθε Η κάθε μία μία ανεξάρτητη διαφορική εξίσωση ταυτίζεται με την ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση ενός διακριτού μονοβάθμιου ταλαντωτή εξίσωση ταυτίζεται με την (και ταυτόχρονα στην ελεύθερη ταλάντωση (5) 0 =3 με ιδιοσυχνότητα χωρίς μεγαλύτερη απόσβεση αντίστοιχη ενός διακριτού ιδιοπερίοδο του οποίου οι μετακινήσεις δίδονται από τη γνωστή 0 μονοβάθμιου =3 ) ονομάζεται Η ταλαντωτή θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα ιδιομορφή του λύση κάθε της μία αρμονικής ανεξάρτητη ταλάντωσης διαφορική Η ιδιομορφή εξίσωση ταυτίζεται που αντιστοιχεί με την στη ελεύθερη μικρότερη ταλάντωση ιδιοσυχνότητα (και ταυτόχρονα απόσβεση στην μεγαλύτερη ενός διακριτού αντίστοιχη μονοβάθμιου ιδιοπερίοδο ταλαντωτή λύση της αρμονικής ταλάντωσης Η οποίου Αποδεικνύεται οι μετακινήσεις ότι δίδονται μεταξύ από των τη ιδιοδιανυσμάτων γνωστή χωρίς (ιδιομορφών) ) ονομάζεται με ιδιοσυχνότητα θεμελιώδης ισχύουν οι ιδιομορφή του ιδιομορφή Αποδεικνύεται που αντιστοιχεί ότι μεταξύ των στη ιδιοδιανυσμάτων μικρότερη ιδιοσυχνότητα (ιδιομορφών) (και ισχύουν ταυτόχρονα οι συνθήκες στην ορθογωνικότητας οποίου συνθήκες οι ορθογωνικότητας μετακινήσεις δίδονται Θεωρώντας από τη γνωστή δύο διαφορετικές λύση της αρμονικής ιδιοτιμές ταλάντωσης και του Η Θεωρώντας δύο διαφορετικές ιδιοτιμές και του ιδιοπροβλήματος με τις αντίστοιχες ιδιομορφές μεγαλύτερη και ιδιομορφή αντίστοιχη που αντιστοιχεί ιδιοπερίοδο στη μικρότερη ) ονομάζεται ιδιοσυχνότητα θεμελιώδης ιδιομορφή ιδιοπροβλήματος (και ταυτόχρονα στην ισχύουν οι εξής με τις σχέσεις: αντίστοιχες ιδιομορφές και ισχύουν οι εξής σχέσεις: μεγαλύτερη Αποδεικνύεται αντίστοιχη ότι ιδιοπερίοδο μεταξύ των ιδιοδιανυσμάτων ) ονομάζεται θεμελιώδης (ιδιομορφών) ιδιομορφή ισχύουν οι = (6) συνθήκες Αποδεικνύεται ορθογωνικότητας ότι μεταξύ Θεωρώντας των ιδιοδιανυσμάτων δύο διαφορετικές (ιδιομορφών) ιδιοτιμές και ισχύουν του οι = (7) ιδιοπροβλήματος συνθήκες ορθογωνικότητας με τις αντίστοιχες Θεωρώντας ιδιομορφές 38 δύο διαφορετικές και ισχύουν ιδιοτιμές οι εξής και σχέσεις: του Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά την πρώτη με το και τη δεύτερη με το έχουμε ιδιοπροβλήματος με τις αντίστοιχες = ιδιομορφές και ισχύουν οι εξής σχέσεις: (6) = 7 (8) =

5 Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά την πρώτη με το και τη δεύτερη με το από αριστερά την πρώτη με το και τη έχουμε Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη το από και αριστερά τη δεύτερη δεύτερη την πρώτη με με το το έχουμε με το έχουμε και τη δεύτ = = (8) (7) = = = (8) (8) Τ = (7) Πολλαπλασιάζουμε = Τ (7) (9) από = αριστερά Τ την πρώτη = με το και τη δεύτερη με το = Τ (7) έχουμε (9) το = (9) Πολλαπλασιάζουμε Επειδή τα μητρώα από Κ και αριστερά Μ είναι την πάντοτε πρώτη συμμετρικά με το και και και τη τη δεύτερη θετικά δεύτερη με ορισμένα με το το έχουμε ισχύει έχουμε Πολλαπλασιάζουμε πως Επειδή από Επειδή αριστερά τα μητρώα την τα μητρώα = πρώτη Κ και με και Μ το είναι είναι πάντοτε και Επειδή πάντοτε τη δεύτερη τα μητρώα συμμετρικά συμμετρικά με το και Κ και και θετικά έχουμε Πολλαπλασιάζουμε Μ θετικά είναι πάντοτε ορισμένα ορισμένα συμμετρικά ισχύει ισχύει πως πως από αριστερά και θετικά = Τ την πρώτη με (8) και τη δεύτερη με το και = Τ Επομένως αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε και Τ = = Επομένως Τ (8) τις και κατά μέλη τις = Επομένως και αφαιρώντας = κατά μέλη Επομένως τις αφαιρ Τ = = (8) = (9) Εξισώσεις (6) και Τ (7) έχουμε πως (8) Εξισώσεις Εξισώσεις (6) (6) και και Επειδή τα μητρώα (7) (7) έχουμε έχουμε Εξισώσεις πως πως (9) Τ Κ = και (6) και (7) έχουμε πως 0 = Μ είναι πάντοτε συμμετρικά και θετικά ορισμένα (9) ισχύει πως Τ = (0) Επειδή τα μητρώα και είναι πάντοτε 0 0 = = συμμετρικά (9) = 0 = (0) και θετικά ορισμένα τα και θετικά ορισμένα ισχύει ισχύει πως Επειδή (0) τα μητρώα Κ και Μ είναι και Τ = πάντοτε συμμετρικά και Επομένως αφαιρώντας ισχύει κατά πως πως μέλη τις Επειδή Επειδή όμως τα μητρώα = ισχύει Επειδή όμως συνάγεται ισχύει ότι 0 και Κ και ΤΜ είναι πάντοτε συμμετρικά Επομένως και συνάγεται αφαιρώντας και θετικά Kορισμένα ότι και Επειδή όμως ισχύει κατά 0 μέλη ισχύει τις πως και K 0 συνάγεται Επειδή αφαιρώντας όμως ότι ισχύει κατά μέλη 0 Εξισώσεις = (6) και και Τ (7) = έχουμε πως Επομένως αφαιρώντας κατά και μέλη τις συνάγεται τις Εξισώσεις K ότι (6) 0 = και Τ = και 0 και Εξισώσεις (7) Ακολούθως έχουμε (6) πως και θεωρούμε (7) έχουμε την Εξίσωση πως (3) Επομένως αφαιρώντας κατά μέλη τις με εξωτερική διέγερση βάσης Το Εξισώσεις (6) και (7) Ακολούθως 0 = έχουμε θεωρούμε πως θεωρούμε την την Εξίσωση Εξίσωση (3) με εξωτερική διέγερση (0) βάσης Το Ακολούθως (3) θεωρούμε εξωτερική την Εξίσωση διέγερση (3) βάσης με Το άγνωστο Εξισώσεις διάνυσμα (6) μετατοπίσεων και (7) έχουμε της Εξίσωσης πως εξωτερική άγνωστο άγνωστο (6) παίρνει την ακόλουθη μορφή: διάνυσμα διάνυσμα μετατοπίσεων της Εξίσωσης (6) παίρνει (0) την ακόλουθη μορφή: Επειδή όμως 0 άγνωστο της Εξίσωσης διάνυσμα (6) μετατοπίσεων παίρνει την της ακόλουθη Εξίσωσης μορφή: ισχύει = (6) παίρνει τη Ν Επειδή όμως ισχύει 0 K 0 + Ν + + Ν (0) συνάγεται ότι 0 και K 0 0 = + () Ν (0) Επειδή όμως ισχύει + συνάγεται ότι + + και () Επειδή όμως Ακολούθως ισχύει θεωρούμε συνάγεται την ότι Εξίσωση (3) 0 με και εξωτερική K διέγερση 0 βάσης Το + + () Επειδή όμως ισχύει συνάγεται ότι 0 και K 0 Ακολούθως άγνωστο διάνυσμα θεωρούμε μετατοπίσεων την συνάγεται Εξίσωση της ότι (3) Εξίσωσης με εξωτερική (6) και παίρνει διέγερση την ακόλουθη βάσης Το μορφή: Εισάγοντας Ακολούθως την Εξίσωση() στην Εξίσωση(3) έχουμε: θεωρούμε Ακολούθως θεωρούμε Εισάγοντας Εισάγοντας την την Εξίσωση την την Εξίσωση Εξίσωση() (3) με (3) με εξωτερική στην εξωτερική Εισάγοντας στην Εξίσωση(3) διέγερση διέγερση την Εξίσωση() βάσης έχουμε: Το έχουμε: βάσης Το άγνωστο διάνυσμα Ακολούθως μετατοπίσεων θεωρούμε την της Εξίσωσης (3) (6) με παίρνει εξωτερική την ακόλουθη διέγερση άγνωστο μορφή: βάσης στην διάνυσμα Το Εξίσωση(3) μετατοπίσεων της διάνυσμα άγνωστο έχουμε: Εξίσωσης μετατοπίσεων (6) παίρνει της την Εξίσωσης ακόλουθη μορφή: (6) παίρνει την C K C K C C K K = = = ακόλουθη μορφή: άγνωστο διάνυσμα μετατοπίσεων της Εξίσωσης (6) παίρνει την Ν () = = = = = Ν ακόλουθη μορφή: () = = () = () = Ν Εισάγοντας την Εξίσωση() + στην + Εξίσωση(3) + έχουμε: () Εισάγοντας την Εξίσωση() στην Εξίσωση(3) έχουμε: () () Εισάγοντας Πολλαπλασιάζοντας την Εξίσωση() στη συνέχεια στην στην από αριστερά με το Εισάγοντας και λαμβάνοντας Πολλαπλασιάζοντας στη στη συνέχεια συνέχεια από αριστερά με το υπόψη τις την Εξίσωση() C στην Εξίσωση(3) K και υπόψη τις Πολλαπλασιάζοντας από έχουμε: αριστερά με το στη συνέχεια και λαμβάνοντας από αριστερά υπόψη με το τις και λα C K συνθήκες ορθογωνικότητας των = ιδιομορφών προκύπτει πως συνθήκες = των = ιδιομορφών προκύπτει συνθήκες ορθογωνικότητας των πως = C συνθήκες ιδιομορφών ορθογωνικότητας προκύπτει πως των ιδιομορφών προκύπτει πως = = K = = = = C = K = () Πολλαπλασιάζοντας = () με το C K C () στη C συνέχεια = από αριστερά = K με το και λαμβάνοντας () υπόψη τις C K (3) Πολλαπλασιάζοντας στη συνέχεια από αριστερά με το και λαμβάνοντας υπόψη () τις K (3) Πολλαπλασιάζοντας και υπόψη τις συνθήκες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτει (3) συνθήκες ορθογωνικότητας C K L C πως στη συνέχεια από των αριστερά ιδιομορφών με K το προκύπτει και L λαμβάνοντας πως υπόψη τις Πολλαπλασιάζοντας στη συνθήκες ορθογωνικότητας των συνέχεια ιδιομορφών C από αριστερά Kπροκύπτει με το πως L και λαμβάνοντας C υπόψη τις K L συνθήκες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτει πως συνθήκες ορθογωνικότητας των ιδιομορφών προκύπτει πως Το αρχικό διαφορικό σύστημα συνεπώς διασπάται σε σύστημα C K Ν ανεξάρτητων Το αρχικό διαφορικό σύστημα συνεπώς διασπάται σε σύστημα (3) Ν Το αρχικό διαφορικό σύστημα C K Το συνεπώς αρχικό διασπάται διαφορικό σε σύστημα συνεπώς Ν ανεξάρτητων εξισώσεων που κάθε μία παριστάνει κίνηση μονοβάθμιου ταλαντωτή όπου διασπάται σε σύσ C K εξισώσεων εξισώσεων που που κάθε κάθε μία μία παριστάνει παριστάνει κίνηση (3) ταλαντωτή όπου εξισώσεων κίνηση που κάθε μονοβάθμιου μία παριστάνει ταλαντωτή κίνηση όπου μονοβάθμιου L Το αρχικό C διαφορικό είναι L K σύστημα συνεπώς L διασπάται σε σύστημα Ν ανεξάρτητων εξισώσεων που κάθε μία C C K K (3) C L είναι είναι ο ο συντελεστής παριστάνει κίνηση L ο K συντελεστής μονοβάθμιου ταλαντωτή όπου L διέγερσης διέγερσης Θεωρώντας ιξώδη απόσβεση και L διέγερσης C K Θεωρώντας ιξώδη απόσβεση (3) και C K L είναι είναι Θεωρώντας ο συντελεστής ο συντελεστής ιξώδη διέγερσης διέγερσης απόσβεση Θεωρώντας Θεωρώντας και Το αρχικό C διαφορικό K σύστημα L συνεπώς διασπάται ιξ σε σύστημα Ν ανεξάρτητων δεδομένου ότι ισχύει η συνθήκη ορθογωνικότητας C 0 προκύπτει πως δεδομένου ότι ισχύει η συνθήκη C 0 προκύπτει πως ιξώδη Το εξισώσεων απόσβεση αρχικό διαφορικό δεδομένου και που δεδομένου κάθε σύστημα ότι μία ότι ισχύει ισχύει συνεπώς παριστάνει η συνθήκη η συνθήκη διασπάται δεδομένου κίνηση ορθογωνικότητας σε μονοβάθμιου ότι σύστημα ισχύει η συνθήκη ανεξάρτητων Cταλαντωτή 0 ορθογωνικότητας όπου προκύπτει πως Το C 0 εξισώσεων αρχικό διαφορικό σύστημα συνεπώς διασπάται σε σύστημα Ν ανεξάρτητων C Το που αρχικό κάθε διαφορικό Cμία παριστάνει σύστημα συνεπώς κίνηση διασπάται μονοβάθμιου L C C C C C σε + σύστημα ταλαντωτή C Ν ανεξάρτητων + όπου εξισώσεων L που Στη συνέχεια διαιρώντας την Εξίσωση(3) με τη μάζα Στη συνέχεια διαιρώντας την Εξίσωση(3) με μάζα προκύπτει + + κάθε μία παριστάνει κίνηση μονοβάθμιου ταλαντωτή όπου εξισώσεων είναι ο συντελεστής διέγερσης Θεωρώντας ιξώδη απόσβεση και L είναι συντελεστής διέγερσης Θεωρώντας προκύπτει Στη Στη συνέχεια συνέχεια διαιρώντας διαιρώντας την την Εξίσωση(3) με τη μάζα προκύπτει Στη συνέχεια διαιρώντας με τη μάζα την Εξίσωση(3) προκύπτει με τη μάζα προ + + όπου C 0 () ιξώδη απόσβεση και που + κάθε μία + παριστάνει κίνηση () μονοβάθμιου ταλαντωτή όπου είναι ο συντελεστής διέγερσης ιξώδη απόσβεση είναι και είναι ο συντελεστής διέγερσης ο όπου συντελεστής συμμετοχής της Θεωρώντας ιξώδη απόσβεση και δεδομένου L δεδομένου ότι ισχύει ότι ισχύει η συνθήκη ορθογωνικότητας C 0 όπου προκύπτει πως συνθήκη ορθογωνικότητας 0 προκύπτει πως είναι ο συντε δεδομένου Τέλος ότι ισχύει η συνθήκη ορθογωνικότητας στην περίπτωση του φασματικού δυναμικού υπολο όπου Cόπου C C 0 προκύπτει πως δεδομένου C ότι + είναι ο συντελεστής συμμετοχής της ης ιδιομορφής Τέλος στην περίπτωση ισχύει η C του συνθήκη + φασματικού δυναμικού ορθογωνικότητας C υπολογισμού για κάθε () 0 προκύπτει είναι ο συντελεστής 39 συμμετοχής της ης Τέλος στην πως περίπτωση του φασμα ιδιομορφή ιδιομορφής όπου είναι ο συντελεστής ιδιομορφή συμμετοχής με της ιδιοσυχνότητα ης ιδιομορφής προκύπτει από το φάσμα σχεδια C Τέλος στην στην περίπτωση περίπτωση του φασματικού του φασματικού δυναμικού δυναμικού υπολογισμού υπολογισμού για κάθε ιδιομορφή με Στη συνέχεια ιδιοσυχνότητα διαιρώντας C είναι ο συντελεστής συμμετοχής της ης ιδιομορφής προκύπτει από φάσμα σχεδιασμού η φασματική την Εξίσωση(3) με τη μάζα προκύπτει ιδιομορφή με για κάθε με ιδιοσυχνότητα ιδιοσυχνότητα 39 προκύπτε C C Στη συνέχεια Τέλος διαιρώντας στην περίπτωση την Εξίσωση(3) του φασματικού με επιτάχυνση τη μάζα δυναμικού με αποτέλεσμα ιδιομορφή προκύπτει από με ιδιοσυχνότητα το φάσμα σχεδιασμού προκύπτει η φασματική από επιτάχυνση το φάσμα προκύπτει Στη d σχεδιασμού () υπολογισμού για κάθε επιτάχυνση επιτάχυνση η φασματική τα d () ιδιομορφικά σεισμικά φορτ συνέχεια d διαιρώντας () με αποτέλεσμα την Εξίσωση(3) τα ιδιομορφικά με τη μάζα σεισμικά προκύπτει φορτία του συστήματος με αποτέλεσμα τα ιδιομορφικά με αποτέλεσμα σεισμικά ιδιομορφή φορτία του με συστήματος ιδιοσυχνότητα Στη συνέχεια διαιρώντας την Εξίσωση(3) με τη μάζα προκύπτει τα ιδιο να δίδονται προκύπτει ως εξής: από το φάσμα σχεδιασμού η φασματική να δίδονται ως εξής: να 39 δίδονται ως εξής: επιτάχυνση d () με αποτέλεσμα τα ιδιομορφικά σεισμικά φορτία να του δίδονται συστήματος ως εξής: επιτάχυνση d P() με αποτέλεσμα τα 39 ιδιομορφικά σεισμικά P φορτία του συστήματος (5) d () 39 d () να δίδονται ως εξής: P να δίδονται ως εξής: 39 d () Μη-γραμμική P (5) στατική P d () Μη-γραμμική στατική ανάλυση (5) ανάλυση d πολυώροφων () επίπεδων συστημάτων πολυώροφων επίπεδων σ Για τη μετάβαση από γραμμική δυναμική ανάλυση Για Μη-γραμμική στατική ανάλυση πο 73 τη σε μετάβαση μη-γραμμική από γραμμική αναγκαστικά δυναμική θα ανάλυση σε μη-γραμμικ Για τη μετάβαση από γραμμική δυναμική α μεταπέσουμε σε οιωνεί στατικές συνθήκες φόρτισης μεταπέσουμε ως τρόπο σε οιωνεί απλοποίησης στατικές του συνθήκες φόρτισης ως τρόπο

6 Μη-γραμμική στατική ανάλυση πολυώροφων επίπεδων συστημάτων Για τη μετάβαση από γραμμική δυναμική ανάλυση σε μη-γραμμική αναγκαστικά θα μεταπέσουμε σε οιωνεί στατικές συνθήκες φόρτισης ως τρόπο απλοποίησης του προβλήματος αλλά ταυτόχρονα διατηρώντας τις βασικές αρχές για αντισεισμικό σχεδιασμό Θεωρούμε τον Ν-βάθμιο δυναμικό σύστημα του Σχήματος 3 το οποίο φορτίζεται με το διάνυσμα Ρ των οριζόντιων στατικών δυνάμεων στις στάθμες των ορόφων του Θεωρούμε ότι οι στατικές δυνάμεις ακολουθούν κατανομή καθ ύψος που καθορίζεται από το διάνυσμα γ και διατηρείται σταθερή σε ολόκληρη τη διάρκεια της ανάλυσης με το μέτρο τους να αυξάνεται σταδιακά Ο φορέας τροποποιείται κατάλληλα σε κάθε βήμα ανάλυσης λόγω σταδιακής εμφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων μέχρι να επέλθει η κατάρρευση του φορέα Η ανάλυση που ακολουθεί (akaros 005) και αναφέρεται στα επίπεδα πολυώροφα πλαίσια η δε περίπτωση των ασύμμετρων χωρικών κτιρίων αντιμετωπίζεται με τον ορισμό κατάλληλων μη-γραμμικών μονοβάθμιων ταλαντωτών (akaros 009 0) (a) (b) (c) (d) Σχήμα 3 Κατανομή των (a) δυνάμεων στους (b) ΒΕ του προσομοιώματος και των (c) ανελαστικών μετατοπίσεων στην ανελαστική περιοχή και (d) διάγραμμα Vo- Εχουμε συνεπώς τη φόρτιση και τις ανελαστικές μετακινήσεις του πολυβάθμιου συστήματος ως P P P P 00 nel = 00 Οι τελικές ανελαστικές μετατοπίσεις nel από την ολοκλήρωση της στατικής μη-γραμμικής ανάλυση ισούνται με nel Η κατανομή καθ ύψος ψ υπολογίζεται διαιρώντας όλες τις ανελαστικές μετακινήσεις με τη μετακίνηση στην κορυφή το δε σχήμα της θυμίζει γραμμική κατανομή που είναι σχεδόν ανεξάρτητη από το τελικό επίπεδο της ανελαστικής μετακίνησης του Σχήματος 3(d) Ως εκ τούτου η κατανομή ψ θεωρείται ως παρόμοια με την πρώτη (δεσπόζουσα) ιδιομορφή του δυναμικού συστήματος που επίσης έχει ομαλή και σχεδόν γραμμική κατανομή κατ ύψος Τότε η Εξίσωση(3) για μηδενική απόσβεση είναι 7

7 και αντιστοιχεί σ ένα σύστημα Ν εξισώσεων της μορφής ψ + γ P = - ψ + γ P = - K δ P ψ + γ P = - Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με το την Εξίσωση (6) έχουμε: ψ P P όπου P Εισάγοντας τις μετασχηματισμένες μετατοπίσεις και μάζες = η Εξίσωση(7) παίρνει τη μορφή P = = = = Οι μετασχηματισμένες μετατοπίσεις μπορούν να γραφούν ως (7) (8) (9) (30) (3) (3) ενώ ο συντελεστής της οριζόντιας στατικής δύναμης P στην κορυφή του φορέα είναι (33) 75

8 Τέλος η Εξίσωση(9) παίρνει τη μορφή P = = (3) Είναι γνωστό ότι η συνολική σεισμική τέμνουσα βάσης V o του φορέα ισούται με το άθροισμα όλων των εξωτερικών οριζοντίων στατικών δυνάμεων που ενεργούν στις στάθμες των ορόφων δηλαδή Vo P (35) Συνεπώς επιλύνοντας την Εξίσωση(3) ως προς την ισοδύναμη στατική οριζόντια δύναμη προκύπτει ότι P Vo Αντικαθιστώντας στην Εξίσωση(9) έχουμε V o +V o (36) Η Εξίσωση(36) αντιπροσωπεύει έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή (Σχήμα ) που διαθέτει ισοδύναμη μάζα και φορτίζεται με την ισοδύναμη στατική δύναμη V o Η δύναμη αυτή εξαρτάται τόσο από την κατανομή ψ των τελικών ανελαστικών μετακινήσεων λόγω της μη-γραμμικής στατικής ανάλυσης όσο και από την κατανομή γ των οριζοντίων στατικών δυνάμεων που εφαρμόσθηκαν κατά τη μη-γραμμική στατική ανάλυση Τέλος δίδεται απευθείας από τον δεύτερο όρο της Εξίσωσης (36) ως V o=vo (37) a V Από την παραπάνω ανάλυση έχουμε και o=a V o αντίστοιχα όπου a a = (38) Στην ειδική περίπτωση που η κατανομή ψ των τελικών ανελαστικών μετακινήσεων είναι ίση με την κατανομή γ των οριζοντίων στατικών δυνάμεων των ορόφων ενώ ταυτόχρονα ισχύει ότι όλες οι μάζες είναι ίσες με τότε οι συντελεστές a a a και a είναι ίσοι και δίδονται ως Το επόμενο στάδιο είναι η μετάβαση από το πολυβάθμιο προσομείωμα του επίπεδου πλαισίου στον μονοβάθμιο ταλαντωτή με σκοπό τον προσδιορισμό της μετακίνησης κορυφής και της τέμνουσας βάσης Αυτά τα δύο μεγέθη είναι αρκετά για έλεγχο επάρκειας του αρχικού σχεδισμού του κτιρίου σε σεισμικά φορτία 76

9 Σχήμα Ισοδύναμο μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα Η Στοχευόμενη Μετατόπιση Πλαισιακού Φορέα Είδαμε προηγουμένως ότι για κάθε πολυβάθμιο σύστημα που προσομοιώνει ένα επίπεδο πλαίσο μπορεί να ορισθεί προσεγγιστικά ένας αντίστοιχος ισοδύναμος (ή ιδεατός) μονοβάθμιος ταλαντωτής Συνεπώς μπορούμε να εφαρμόσουμε αυτά που αναφέρθηκαν και να υπολογίσουμε για κάθε δεδομένο σεισμό-σχεδιασμού () τη μετατόπιση-στόχο (taret-dsplaceent) t του ιδεατού μονοβάθμιου ταλαντωτή () το προφίλ των ανελαστικών μετατοπίσεων του αρχικού επίπεδου πλαισίου και () την εικόνα του μηχανισμού διαρροής με τις θέσεις εμφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων Συνεπώς το κομβικό σημείο για την εφαρμογή της μη-γραμμικής στατικής ανάλυσης στα πολυβάθμια συστήματα αποτελεί η χάραξη της καμπύλης Vo - του Σχήματος 5 όπου V o είναι η τέμνουσα βάσης του πολυώροφου επίπεδου φορέα και η οριζόντια μετατόπιση στην κορυφή (τελευταίο όροφο) του πλαισιακού φορέα Μετά τη χάραξη της καμπύλης Vo - μπορούμε στην συνέχεια να υπολογίσουμε την ισοδύναμη μάζα από την Εξίσωση (8) που φέρει ο ισοδύναμος μονοβάθμιος ταλαντωτής τους συντελεστές μετατροπής a a και από τις Εξίσωσεις (38) και την ενεργή δυσκαμψία k = Vo από το Σχήμα Με γνωστά τα στοιχεία αυτά υπολογίζουμε τη μετατόπιση-στόχο t του ιδεατού ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή όπως θα φανεί στο παράδειγμα που ακολουθεί Τέλος ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία μπορούμε να υπολογίσουμε το προφίλ των ανελαστικών μετατοπίσεων του αρχικού πλαισιακού φορέα και την έκταση του μηχανισμού διαρροής στο πλαίσιο για τη δεδομένη σεισμική φόρτιση 3 Αριθμητικό Παράδειγμα Ως αριθμητικό παράδειγμα επιλέγουμε ένα πολυώροφο επίπεδο πλαίσιο από οπλισμένο σκυροδέμα (Ο/Σ) με σεισμό σχεδιασμού αυτόν της Λευκάδας της /8/003 77

10 Σχήμα 5 Καμπύλη τέμνουσας βάσης μετακίνησης της οροφής για πολυώροφο επίπεδο πλαίσιο 3 Δεδομένα του προβλήματος Δίδεται το 9-ώροφο τετράστυλο επίπεδο πλαίσιο Ο/Σ του Σχήματος 6 Το υπ όψη πλαίσιο αναλύθηκε και διαστασιολογήθηκε με βάση τους νέους Ελληνικούς Κανονισμούς ΕΑΚ (003) Για την αντισεισμική ανάλυση θεωρήθηκε ότι το πλαίσιο ανήκει στη ζώνη σεισμικής επικινδυνότητας ΙΙ με εδαφική επιτάχυνση σχεδιασμού A 0 έχει συντελεστή σπουδαιότητας 00 συντελεστή θεμελίωσης 00 ποσοστό ιξώδους απόσβεσης 5% φασματικό συντελεστή επαύξησης της επιτάχυνσης εδάφους 0 () 5 έδαφος Γ και συντελεστή συμπεριφοράς = 50 Τα δεδομένα του πλαισίου οι διαστάσεις η όπλιση των υποστυλωμάτων και τα διαγράμματα ροπών-καμπυλοτήτων των δοκών φαίνονται στα Σχήματα 6 ως 8 καθώς επίσης και στους Πίνακες ως 3 Επίσης θα γίνει χρήση του επιταχυσιογραφήματος από το σεισμό αναφοράς «-Λευκάδα» (arars et al 003) με διπλασιασμό του μεγέθους των επιταχύνσεων για την εμφάνιση μη-γραμμικής συμπεριφοράς στον υπό εξέταση φορέα Για τον αντισεισμικό έλεγχο του πλαισίου αυτού ακολουθήθηκε η κάτωθι μεθοδολογία 3 Στατική μη-γραμμική ανάλυση Για τη διενέργεια της στατικής μη-γραμμικής ανάλυσης χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα SAP 000 Η φόρτιση του πλαισίου έγινε με οριζόντιες στατικές δυνάμεις τριγωνικής κατανομής καθ ύψος Για τον υπολογισμό της μετακίνησης-στόχου του φορέα με χρήση της στατικής μη-γραμμικής ανάλυσης και για τον σεισμό αναφοράς «-Λευκάδα» πρέπει να ορίσουμε πρώτα τον ισοδύναμο μονοβάθμιο ταλαντωτή Για τον σκοπό αυτό εκτελούμε τη στατική μη-γραμμική ανάλυση στο εξεταζόμενο 9-ώροφο πλαίσιο μέχρι την εμφάνιση αστοχίας Το διάγραμμα (Ρ= τέμνουσα βάσης = η μετατόπιση P του 78

11 Σχήμα 6 (a) 9-ώροφο πλαίσιο (b) πολυβάθμιο δυναμικό προσομοίωμα και (c) κρίσιμες διατομές δοκών Σχήμα 7 Διάγραμμα ροπών-καμπυλοτήτων της πλακοδοκού ενάτου ορόφου) δίδεται στο Σχήμα 8 μαζί με την τελική κατανομή των ανελαστικών μετακινήσεων των ορόφων που αντιστοιχεί σε κατάσταση αστοχίας του πλαισίου Ο ισοδύναμος μονοβάθμιος ταλαντωτής μπορεί να υπολογισθεί είτε από την προτεινόμενη μεθοδολογία του Παραρτήματος Β του Ευρωκώδικα ΕΝ 998- είτε από άλλες παρόμοιες μεθοδολογίες που έχουν δημοσιευτεί στη διεθνή βιβλιογραφία Σε αμφότερες των περιπτώσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση το διάγραμμα του Σχήματος 8 79

12 Γεωμετρικά στοιχεία δοκών E ef =05E h = 080 b = 60 h = 05 f bw = 00 = 0096 Μόνιμο (G) και ωφέλιμο (Q) φορτίο δοκών G = 0 k Q = 0 k Φορτία δοκών για τον σεισμικό συνδυασμό: p = G + 030Q = 3 k Υλικά (Ο/Σ χάλυβας): C0 / 5 S5000 Μέτρο Ελαστικότητας: E = k Πίνακας Διαστάσεις δοκών ιδιότητες υλικών και φορτία δοκών του πλαισίου Στο εν λόγω σχήμα φαίνεται πως το ιδεατό ισοδύναμο μη-γραμμικό σύστημα έχει οριζόντια δυσκαμψία k = k και μάζα 37 t όπου η ομοαλοποιημένη κατανομή των μετακινήσεων των ορόφων είναι φ Η ιδιοπερίοδος και η ιδιοσυχνότητα του μονοβάθμιου συστήματος για ταλάντωση επάνω στον πρώτο κλάδο του δι-γραμμικού διαγράμματος του Σχήματος 8 ισούνται με k sec rad sec 80

13 Όροφος Υποστυλώματα Περιμετρικά Υποστυλώματα Ενδιάμεσα Όροφος Υποστυλώματα Περιμετρικά ΕΙef=05E Υποστυλώματα Υποστυλώματα Ενδιάμεσα ΕΙef=05E Υποστυλώματα Eef=00E 9 ος 050x050 Οπλισμοί Eef=00E Οπλισμοί 9 ος 050x050 Οπλισμοί Οπλισμοί Όροφος Υποστυλώματα x050 9 ος = x050 8 ος = x050 7 ος = Περιμετρικά Υποστυλώματα 80 Ενδιάμεσα Υποστυλώματα ΕΙef=05E Eef=00E Οπλισμοί 8 ø 0 + ø Οπλισμοί 8 ø 0 + ø 8 ος 050x050 Οπλισμοί 80 Οπλισμοί 8 ος 050x050 Οπλισμοί 80 0Οπλισμοί 0 00 Οπλισμοί 8 ø 0 + ø Οπλισμοί 0 ø 0 + ø 7 ος 050x050 Οπλισμοί Οπλισμοί 7 ος 050x050 Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 8 ø 0 + ø Οπλισμοί 0 ø 0 + ø 6 ος 060x060 Οπλισμοί 00 Οπλισμοί 6 ος 060x060 Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0ø 0 0+ ø Οπλισμοί Οπλισμοί 0 ø x ø ος = ος ος 060x060 5 ος 060x060 Οπλισμοί Οπλισμοί 0 ø 0 + ø Οπλισμοί ø 0 + ø 00 Οπλισμοί ος ος 060x x060 ος Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0 = 0008 ος 0008 ος 060x060 Οπλισμοί ος 6 Οπλισμοί 0 0 ος 060x Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0 ος ος 0008 ος 060x x060 Οπλισμοί Οπλισμοί ø ø 6 6 Οπλισμοί 0 Οπλισμοί Οπλισμοί 6 ø 0 + ø 060x ος ος 060x060 = 0008 Οπλισμοί 00 Οπλισμοί 3 3 ος ος 060x x060 Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 0 3 ος 0008 ος 060x060 Οπλισμοί 0 3 ος Οπλισμοί 0 0 ος 060x Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0ø ø 6 Οπλισμοί 3 ος ος Οπλισμοί ø 0 + ø 0008 ος 060x060 Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 0 Οπλισμοί ος 6 = ος 060x060 Οπλισμοί 00 Οπλισμοί ος ος 060x x060 Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 0 ος 0008 ος 060x060 Οπλισμοί ος Οπλισμοί 0 ø ø 6 6 Οπλισμοί ø 0 + ø ος x060 Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0 ος 0008 ος ος 060x x060 Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 0 Οπλισμοί 0 = Οπλισμοί 60 Οπλισμοί ος 070x070 Οπλισμοί Οπλισμοί 6 6 ø 0 0+ ø Οπλισμοί Οπλισμοί 0 ø 0 + ø ος ος 070x x070 Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0 ος ος 070x070 Οπλισμοί Οπλισμοί 0 0 = ος ος x Οπλισμοί Οπλισμοί Οπλισμοί 0 Οπλισμοί 0 Πίνακας ος ος Διαστάσεις και όπλιση υποστυλωμάτων του πλαισίου ος 070x x Πίνακας Πίνακας Διαστάσεις Διαστάσεις και και όπλιση όπλιση υποστυλωμάτων του του πλαισίου πλαισίου Πίνακας Διαστάσεις και και όπλιση υποστυλωμάτων του του πλαισίου Πίνακας Διαστάσεις και και όπλιση υποστυλωμάτων του του πλαισίου Πίνακας Πίνακας Διατομή Δοκού Διαστάσεις Διαστάσεις και και όπλιση όπλιση υποστυλωμάτων υποστυλωμάτων του του πλαισίου πλαισίου y y Διατομή Διατομή Δοκού Δοκού y y y y Διατομή + Δοκού y Διατομή Δοκού y y y

14 Διατομή Δοκού y y Πίνακας 3 Ροπές και καμπυλότητες των διατομών των δοκών του πλαισίου 8

15 (a) (b) P Σχήμα 8 (a) Καμπύλη και (b) προφίλ ανελαστικών μετακινήσεων (κατάσταση αστοχίας) από την στατική μη-γραμμική ανάλυση Από το φάσμα επιταχύνσεων (ζ=5%) του σεισμού αναφοράς «Τ-Λευκάδας» και για = 07 sec προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές για την ελαστική φασματική επιτάχυνση Sa και την ελαστική φασματική μετακίνηση S d S a 57 sec S d Sa Ακολούθως η τέμνουσα βάσης του ελαστικού ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή είναι P = S el a = = 999 k Από το Σχήμα 8 επίσης προκύπτει άμεσα ότι το τμήμα του συντελεστή συμπεριφοράς R y (από τον συνολικά διαθέσιμο συντελεστή συμπεριφοράς) που οφείλεται στην πλαστιμότητα του ισοδύναμου μη-γραμμικού συστήματος είναι Ry = P P el y = = 06 Ο συντελεστής συμμετοχής είναι v = Ln n = 30 όπου Ln φ Τ Μφ = 377 και n φ Τ Μδ = 6330 Ακολούθως χρησιμοποιώντας τις σχέσεις των assar and Krawnkler (99) υπολογίζουμε τον συντελεστή c=086 για κράτυνση 5% Συνεπώς η ελάχιστη απαιτούμενη πλαστιμότητα μ που πρέπει να διαθέτει ο φορέας υπολογίζεται από την ακόλουθη σχέση: R c 086 y 06 0 c 086 (38) 83

16 Kατά συνέπεια η μετακίνηση-στόχος του ιδεατού ισοδύναμου μονοβάθμιου είναι 0 v S t d R 06 y (39) Σχήμα 9 Μηχανισμός διαρροής του πλαισίου από τη στατική μη-γραμμική ανάλυση Λόγω της ισοδυναμίας του μονοβάθμιου ταλαντωτή με το πραγματικό 9-ώροφο επίπεδο πλαίσιο προκύπτει πως για τον σεισμό αναφοράς «Τ-Λευκάδας» η αναμενόμενη μετακίνηση στην κορυφή του πλαισίου θα είναι = 056 επίσης 9 Από την ήδη γνωστή επίλυση της στατικής μη-γραμμικής ανάλυσης επιλέγουμε το = 056 βήμα της ανάλυσης που έδωσε στην μετακίνηση 9 Τότε οι μετακινήσεις των άλλων ορόφων αποτελούν τις μετακινήσεις στόχο για τον θεωρούμενο σεισμό αναφοράς «Τ-Λευκάδας» όπως φαίνεται στο Σχήμα 8(b) Τέλος στο Σχήμα 9 δίδεται η θέση των πλαστικών αρθρώσεων που αναπτύσσονται στο 9-ώροφο πλαίσιο όταν επιτευχθεί η παραπάνω μετακίνηση κορυφής 8