ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΗΣ Σίµων-Μιχαήλ Παπαλεξίου Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αν. Καθηγητής Αθήνα, Σεπτέµβριος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ»

2 Σύνοψη της παρουσίασης Βασικές έννοιες και στόχος της εργασίας. Σύντοµη περιγραφή της µεθόδου. Ανάλυση των ατµοσφαιρικών θερµοκρασιών. ιερεύνηση των σηµείων δρόσου. Εφαρµογή της µεθόδου εκτίµησης της Πιθανής Μέγιστης Κατακρήµνισης και πιθανοτική διερεύνηση των αποτελεσµάτων. Πιθανοτική αντιµετώπιση των µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων. Συµπεράσµατα.

3 Ορισµός της ΠΜΚ και υπόθεση έρευνας Η Πιθανή Μέγιστη Κατακρήµνιση (ΠΜΚ) ορίζεται ως το θεωρητικά µέγιστο ύψος κατακρηµνισµάτων για δεδοµένη διάρκεια, το οποίο είναι φυσικώς δυνατό πάνω από µια περιοχή δεδοµένης έκτασης, σε δεδοµένη γεωγραφική θέση και εποχή του έτους. Η έννοια θέτει ένα άνω όριο στο στο δυναµικό της κατακρήµνισης. Οι µέθοδοι που εφαρµόζονται επιχειρησιακά και βασίζονται στην έννοια της ΠΜΚ υπονοούν πως µπορούν να καθορίσουν το όριο αυτό. Στόχος της εργασίας να διερευνήσει το κατά πόσο τα παραπάνω ευσταθούν.

4 Μεγιστοποίηση καταιγίδας µε αναγωγή ως προς την ατµοσφαιρική υγρασία Η µέθοδος βασίζεται στην απλή σχέση Wm hm = h W όπου h m το µεγιστοποιηµένο ύψος της καταιγίδας, W m το µεγιστοποιηµένο ύψος κατακρηµνίσιµου νερού στην ατµόσφαιρα προκύπτει από το µέγιστο σηµείο δρόσου T dmax του µήνα που συνέβη η καταιγίδα, W το ύψος κατακρηµνίσιµου νερού στην ατµόσφαιρα κατά τη διάρκεια της βροχόπτωσης, που εκτιµάται από το µέσο ηµερήσιο σηµείο δρόσου T d την ηµέρα της βροχόπτωσης, και h το καταγεγραµµένο ύψος βροχής. Συνήθως µεγιστοποιούνται οι µεγαλύτερες βροχοπτώσεις κάθε µήνα. Από το σύνολό των µεγιστοποιηµένων βροχοπτώσεων η µέγιστη τιµή αποτελεί την ετήσια εκτίµηση της ΠΜΚ.

5 ιερεύνηση των ατµοσφαιρικών θερµοκρασιών-σταθµοί που µελετήθηκαν Γεωγραφικό πλάτος σε µοίρες Σταθµοί των Η.Π.Α. Σταθµοί µε χρονοσειρές > ετών Σταθµοί που αναλύθηκαν Η διερεύνηση της ατµοσφαιρικής θερµοκρασίας έγινε εξαιτίας της συνάφειας αυτής µετασηµεία δρόσου Γεωγραφικό µήκος σε µόιρες σταθµοί των Η.Π.Α. 4 σταθµοί της Ολλανδίας. Οσταθµός του Εθνικού Αστεροσκοπείου Αθηνών.

6 Θηκογράµµατα µέσων ηµερήσιων ατµοσφαιρικών θερµοκρασιών Θηκόγραµµα θερµοκρασιών σταθµού ΕΑΑ 4 ο C Το εύρος των τιµών κατά τους θερινούς µήνες παρατηρείται µειωµένο σε σχέση µετους χειµερινούς. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ - Θηκόγραµµα θερµοκρασιών σταθµού De Bilt Θηκόγραµµα θερµοκρασιών σταθµού των Η.Π.Α. 4 ο C ο C - Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ - Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ -

7 Επιλογή θεωρητικού µοντέλου κατανοµής θερµοκρασιών L-Κύτρωση.... ιάγραµµα L-Αναλογιών για του σταθµό Ε.Α.Α. Μέσος όρος Κανονική Σταθµός ΕΑ Α L-Ασυµµετρία. ιάγραµµα L-Αναλογιών σταθµών της Ολλανδίας GNO GPA P3 3P Weibul Η αρνητική ασυµµετρία στην πλειονότητα των µηνών είναι φανερή Ως γενικό µοντέλο προτείνεται η τριπαραµετρική Weibull. Η έντονη διαφοροποίηση των θερινών από τους χειµερινούς µήνες στους σταθµούς της Ολλανδίας ίσως να επιβάλει τη χρήση εποχιακών µοντέλων.. ιάγραµµα L-Αναλογιών σταθµών των Η.Π.Α. L-Κύτρωση.. Σταθµοί Ολλανδίας Μέσος όρος Κανονική L-Κύτρωση.. Σταθµοί Μέσος όρος Κανονική. GNO GPA. GNO GPA P3 P3 3P Weibul L-Ασυµµετρία 3P Weibul L-Ασυµµετρία

8 ιερεύνηση σηµείων δρόσου-θηκογράµµατα µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου Θηκόγραµµα ηµερήσιων σηµείων δρόσου σταθµού Ε.Α.Α. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ Θηκόγραµµα ηµερήσιων σηµείων δρόσου σταθµού De Bilt ο C ιαθέσιµες χρονοσειρές υπήρχαν για 4 σταθµούς της Ολλανδίας και για τον σταθµό τουεθνικού Αστεροσκοπείου Αθηνών. Το εύρος των τιµών, όπως και στις θερµοκρασίες, παρατηρείται µειωµένο κατά τους θερινούς µήνες, σε σχέση µετουςχειµερινούς. ο C - - Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ -

9 Επιλογή θεωρητικού µοντέλου κατανοµής µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου L-Κύτρωση L-ασυµµετρία ηµερήσιων σηµείων δρόσου Κανονική κατανοµή De Bilt Groningen Μέσος όρος E.A.A. Den Helder Maastricht Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ ιάγραµµα L-Αναλογιών των ηµερήσιων σηµείων δρόσου Σταθµός ΕΑ Α Σταθοµοί Ολλανδίας Μέσος όρος Κανονική 3P Weibul L-Ασυµµετρία GNO GPA P3 Αρνητική L-ασυµµετρία σε όλους σχεδόν τους µήνες. Σταδιακή αύξηση της L- ασυµµετρίας από τους χειµερινούς προς τους θερινούς µήνες. Ως θεωρητικό µοντέλο της εµπειρικής κατανοµής των µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου βάσει του γραφήµατος L-αναλογιών προτείνεται η τριπαραµετρική Weibull.

10 Σύνοψη της θεωρίας µεγίστων Σύµφωνα µε τη θεωρία των πιθανοτήτων, η µεγαλύτερη από n ανεξάρτητες και ισόνοµες τυχαίες µεταβλητές, έστω X = max ( Y1,, Yn ) έχει συνάρτηση κατανοµής που εκφράζεται από τη σχέση, ( ) = ( ) n Hn x F x όπου F ( x) = P( Yi y) είναι η κοινή συνάρτηση κατανοµής για κάθε τυχαία µεταβλητή Y i που είναι γνωστή και ως µητρική κατανοµή. Όταν ο αριθµός των ανεξάρτητων µεταβλητών τείνει στο άπειρο, προκύπτουν οι λεγόµενες ασυµπτωτικές κατανοµές µεγίστων, όπως η Gumbel και η Γενική ακραίων τιµών (ΓΑΤ). Συµβολικά αποδίδονται από τη σχέση H ( x) = limh n ( x) n

11 Από τη θεωρία µεγίστων στην πράξη-εκτιµήσεις των παραµέτρων Αναλυτικά, εφόσον η µητρική κατανοµή F x των µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου έχει καθοριστεί και γίνεται δεκτή η υπόθεση της τριπαραµετρικής Weibull µε παραµέτρους abc,, που έχουν εκτιµηθεί για κάθε µήνα, τότε η κατανοµήτων µεγίστων µηνιαίων σηµείων δρόσου, πρέπει θεωρητικά να είναι η H ( ) ( ) n µε n των αριθµό τωνηµερών του συγκεκριµένου µήνα και n x = F x τιµές παραµέτρων τις εκτιµήσεις των abc,,. ( ) Η διαφοροποίηση της εκτίµησης των παραµέτρων βάσει µεθόδου εκτίµησης είναι φανερή. Η διακύµανση της εκτίµησης των παραµέτρων σε προσοµοίωση monte carlo είναι εµφανής. Εκτιµήσεις παραµέτρων της τριπαραµετρικής Weibull µε 4 µεθόδους 4 Εκτιµήσεις Μέγιστης Πιθανοφάνειας 4 παράµετρος κλίµακας b - παράµετρος σχήµατος c Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ - c b a παράµετρος θέσης α

12 Από τη θεωρία µεγίστων στην πράξη-h παράµετρος n Τιµή της παραµέτρου n Συντελεστής αυτοσυσχέτισης ιάγραµµα συντελεστή αυτοσυσχέτισης Σταθµός ΕΑ Α Σταθµός De Bilt Σταθµός Den Helder Σταθµός Groningen Σταθµός Maastricht Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ ιάγραµµα της παραµέτρου n Σταθµός ΕΑ Α Σταθµός De Bilt Σταθµός Den Helder Σταθµός Groningen Σταθµός Maastricht Μέση τιµή Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ Υψηλές τιµές του συντελεστή αυτοσυσχέτισης κάθε µήνα και για κάθε σταθµό. Συνεπώς, δεν ισχύει η αρχή της ανεξαρτησίας των µεταβλητών και αναµένεται η τιµήτουn να είναι µικρότερη της θεωρητικής. Επιβεβαίωση της παραπάνω υπόθεσης από τις τελικές τιµές της παραµέτρου n.

13 Παράλληλη προσαρµογή των παραµέτρων Η αβεβαιότητα στην εκτίµηση των παραµέτρων abc,, και η απόκλιση της παραµέτρου n από τη θεωρητική τιµή, δικαιολογεί µια παράλληλη βελτιστοποίηση των παραµέτρων. Η παράλληλη προσαρµογή των F ( x ) και H n ( x) έγινε µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση της σχέσης LSE ( ( )) ( ( )) Total = LSE F x + LSE H n x Περιορισµός τίθεται στην τιµή τηςπαραµέτρου θέσης, να µη υπερβαίνειτη µεγίστη τιµή των αρχικών εκτιµήσεων της παραµέτρου στο δείγµα των µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου. Στόχος των παραπάνω είναι η καλύτερη προσαρµογή της κατανοµής µεγίστων στο δείγµα των µέγιστων µηνιαίων σηµείων δρόσου, που χρησιµοποιείται στη εφαρµογή της µεθόδου εκτίµησης της ΠΜΚ.

14 ιάγραµµα L-αναλογιών µέγιστων µηνιαίων σηµείων δρόσου.. ιάγραµµα L-Αναλογιών µέγιστων µηνιαίων σηµείων δρόσου Gumbel n= n= Χαρακτηριστική η αρνητική ασυµµετρία των µέγιστων σηµείων δρόσου. L-Κύτρωση... Σταθµοί Ολλανδίας Μέσος όρος σταθµών Σταθµός ΕΑΑ Gumbel Weibull max n= Weibull max n= Weibul 3P GEV L-Ασυµµετρία Φαίνεται πως η παράγωγες κατανοµές µεγίστων από την τριπαραµετρική Weibull θα µπορούσαν να εκφράσουν ικανοποιητικά το νέφος των σηµείων που περικλείεται από την κόκκινη έλλειψη. Ηασυµπτωτική κατανοµή Gumbel αδυνατεί να εκφράσει τα µέγιστα µηνιαία σηµεία δρόσου. Η ΓΑΤ θα προέκυπτε άνω φραγµένη.

15 Πιθανοτικά διαγράµµατα των µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου σε χαρτί κατανοµής της τριπαραµετρικής Weibull του σταθµού Ε.Α.Α. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ. - 1 Οκτ.. 1 Νοε. 1 εκ

16 Πιθανοτικά διαγράµµατα των µέγιστων µηνιαίων σηµείων δρόσου σε χαρτί της παράγωγης από τη Weibull κατανοµής µεγίστων του σταθµού Ε.Α.Α. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ

17 Πιθανοτικά διαγράµµατα των µέσων ηµερήσιων σηµείων δρόσου σε χαρτί κατανοµής της τριπαραµετρικής Weibull σταθµού της Ολλανδίας Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ

18 Πιθανοτικά διαγράµµατα των µέγιστων µηνιαίων σηµείων δρόσου σε χαρτί της παράγωγης από τη Weibull κατανοµής µεγίστων σταθµού της Ολλανδίας. Ιαν. Φεβ. Μαρ. Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ

19 Εφαρµογή της µεθόδου εκτίµησης της ΠΜΚ-Επίδραση της µεγιστοποίησης Βροχόπτωση σε mm Θηκόγραµµα µέγιστων µηνιαίων βροχοπτώσεων του σταθµού Ε.Α.Α. Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ υσανάλογες διευρύνσεις του εύρους τιµών σε κάποιους µήνες και µεταβολή των παράτυπων σηµείων. Επιλεκτική αύξηση της ασυµµετρίας που προκαλεί συνολική αύξηση του µέσου όρου της ασυµµετρίας κάθε σταθµού. Γενικά, παραµορφωτική επίδραση. 4 Θηκόγραµµα µεγιστοποιηµένων µηνιαίων βροχοπτώσεων του σταθµού E.A.A..3 ιάγραµµα µέσου όρου L-ασυµµετρίας ανά σταθµό Βροχόπτωση σε mm Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε εκ L-ασυµµετρία Μέσος όρος της L-ασυµµετρίας των µηνιαίων µέγιστων βροχοπτώσεων Μέσος όρος της L-ασυµµετρίας των µηνιαίων µεγιστοποιηµένων βροχοπτώσεων Ε.Α.Α. De Bilt Den Helder Groningen Maastricht Σταθµοί

20 Ηεκτίµηση της ΠΜΚ και οι παράγοντες που την επηρεάζουν Βροχόπτωση σε mm ιάγραµµα συντελεστών ετεροσυσχέτισης E.A.A. De Bilt Den Helder Groningen Maastricht Σταθµοί ιάγραµµα µεγιστοποιηµένων βροχοπτώσεων και των παραγόντων εκ των οποίων προκύπτουν για το σταθµό Ε.Α.Α Αριθµός βροχοπτώσεων Μεγιστοποιηµένες βροχοπτώσεις Αντίστοιχη ηµερήσια βροχόπτωση Σ.Ε. hm-h Σ.Ε. hm-w Σ.Ε. hm-wm Αντίστοιχο µηνιαίο µέγιστο κατακρηµνίσιµο νερό Αντίστοιχο ηµερήσιο κατακρηµνίσιµο νερό Οι µεγιστοποιηµένες βροχοπτώσεις αποδεδειγµένα σχετίζόνται µόνο µετις καταγεγραµµένες βροχοπτώσεις. Συνεπώς η εκτίµηση της ΠΜΚ εξαρτάται άµεσα από το µέγεθος των παρατηρηµένων βροχοπτώσεων. Ηεκτίµηση της ΠΜΚ γίνεται σε µια εξαιρετικά αβέβαιη περιοχή µεπολύέντονη κλίση. Αν δεν υπήρχε η βροχόπτωση από την οποία προέκυψε η ΠΜΚ, η αµέσως επόµενη εκτίµηση είναι µικρότερη περίπου κατά mm ή %.

21 Πιθανοτική αντιµετώπιση του µεγιστοποιηµένου δείγµατος Βροχόπτωση σε mm Βροχόπτωση σε mm Πιθανοτικό γράφηµα µέγιστων ετήσιων, µέγιστων και µεγιστοποιηµµένων µηνιαίω ν βροχοπτώ σεω ν του σταθµού Ε.Α.Α. Ε.Κ.µέγιστων ετήσιων Θ.Κ. GEV Μ.Ε.Τ µέγιστων ετήσιων Ε.Κ. µεγιστοπ οιηµένων µηνιαίων Θ.Κ. GEV Μ.Ε.Τ. µηνιαίων µεγιστοπ οιηµένων Ε.Κ. µέγιστων µηνιαίων Θ.Κ. GEV Μ.Ε.Τ. µέγιστων µηνιαίων Περίοδος επαναφοράς σε έτη Πιθανοτικό γράφηµα µέγιστων ετήσιων, µέγιστων και µεγιστοποιηµµένων µηνιαίω ν βροχοπτώ σεω ν του σταθµού Maastricht Ε.Κ.µέγιστων ετήσιων Θ.Κ. GEV Μ.Ε.Τ µέγιστων ετήσιων Ε.Κ. µεγιστοπ οιηµένων µηνιαίων Θ.Κ. GEV Μ.Ε.Τ. µηνιαίων µεγιστοπ οιηµένων Ε.Κ. µέγιστων µηνιαίων Θ.Κ. GEV Μ.Ε.Τ. µέγιστων µηνιαίων Περίοδος επαναφοράς σε έτη Οι 1 µέγιστες µηνιαίες βροχοπτώσεις έχουν παρόµοια συµπεριφορά µε τοδείγµα των µέγιστων ετήσιων και δεν προκύπτει να έχουν άνω όριο. Εφόσον οι µέγιστες βροχοπτώσεις δεν προκύπτει να έχουν άνω όριο και δεδοµένης της συσχέτισης αυτών µετοµεγιστοποιηµένο δείγµα από οπού προκύπτει η ΠΜΚ, τότε δεν προκύπτει άνω όριο ούτε για την εκτίµηση της ΠΜΚ. Το µέγεθος της ΠΜΚ προκύπτει ως εκτίµηση του διατεταγµένου στατιστικού πρώτης τάξης (first order statistic), ηεκτίµηση του οποίου είναι εξαιρετικά αβέβαιη.

22 Ηεκτίµηση της ΠΜΚ σε σχέση µε την περίοδο επαναφοράς του µέγιστου µηνιαίου σηµείου δρόσου ΠΜΚ σε mm ΠΜΚ σε mm 3 1 Εκτιµήσεις της ΠΜΚ µε κατανοµή µέγιστων σηµείω ν δρόσου την παράγωγη από την Weibull E.A.A. De Bilt Den Helder Groningen Maastricht 1E+ 1E+3 1E+4 1E+ 1E+6 Περίοδος επαναφοράς σε έτη Εκτιµήσεις της ΠΜΚ µε κατανοµή µέγιστων σηµείω ν δρόσου την Gumbel E.A.A. De Bilt Den Helder Groningen Maastricht 1E+ 1E+3 1E+4 1E+ 1E+6 Περίοδος επαναφοράς σε έτη Η µέθοδος δέχεται ως µέγιστο κατακρηµνίσιµο νερό για ένα µήνα, αυτό που προκύπτει από το µέγιστο µηνιαίο σηµείο δρόσου δείγµατος άνω των ετών ή αυτό που προκύπτει από κατανοµή µεγίστων για περίοδο επαναφοράς ετών. Από τη στατιστική ανάλυση δεν προκύπτει άνω όριο στο µέγιστο µηνιαίο σηµείο δρόσου. Συνεπώς δεν προκύπτει άνω όριο στην εκτίµηση της ΠΜΚ.

23 Πιθανοτική αντιµετώπιση των µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων- Επιλογή κατανοµής L-Κύτρωση ιάγραµµα L-Αναλογιών µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων Gumbel Gumbel GEV E.A.A De Bilt Den Helder Groningen Maastricht L-Ασυµµετρία ιάγραµµα της παραµέτρου σχήµατος c Μέθοδος L-ροπών Μέθοδως Ελ αχίσ των Τετραγώνων Σταθµός Ε.Α.Α. Σταθµός De Bilt Σταθµός Den Helder Σταθµός Groningen Σταθµός Maastricht Μέσος όρος Μέθοδος Μέγιστης πιθανοφ άνειας Αδυναµία της Gumbel να περιγράψει το δείγµα ετήσιων µεγίστων βροχοπτώσεων. Ως κατάλληλο θεωρητικό µοντέλο για την περιγραφεί της εµπειρικής κατανοµής µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων βάσει του γραφήµατος L-αναλογιών προκύπτει η ΓΑΤ. Η παράµετρος σχήµατος, για όλους τους σταθµούς και όλες τις µεθόδους προσαρµογής, προκύπτει αρνητική,η κατανοµή δηλαδήδενέχειάνω όριο.

24 Πιθανοτικά διαγράµµατα των µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων και η εκτίµηση της ΠΜΚ Βροχόπτωση σε mm Βροχόπτωση σε mm Πιθανοτικό γράφηµα µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων του σταθµού Ε.Α.Α ΠΜΚ Gumbel µέθοδος L-ροπ ών GEV µέθοδος L-ρόπ ων GEV Ελ αχίστων τετραγώνων GEV µέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας 98 Περίοδος επαναφοράς σε έτη Πιθανοτικό γράφηµα µέγιστων ετήσιων βροχοπτώσεων του σταθµού Maastricht ΠΜΚ Gumbel µέθοδος L-ροπ ών GEV µέθοδος L-ρόπ ων GEV Ελ αχίστων τετραγώνων GEV µέθοδος µέγιστης πιθανοφάνειας Από τα διαγράµµατα προκύπτει πως το υποθετικά ανυπέρβλητο όριο της ΠΜΚ αντιστοιχεί σε µια ρεαλιστική πιθανότητα υπέρβασης. Έτσι για το σταθµό τουε.α.α., σύµφωνα µετηµέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η πιθανότητα υπέρβασης της ΠΜΚ κάθε έτος, είναι.7%.και αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς 37 έτη. Παρόµοια τα αποτελέσµατα και στους άλλους σταθµούς. Περίοδος επαναφοράς σε έτη

25 Συµπεράσµατα Οι εκτιµήσεις της ΠΜΚ φαίνεται να είναι εξαιρετικά εξαιρετικά αβέβαιες. Προκύπτει το οξύµωρο σχήµα το άνω όριο της ΠΜΚ να µην έχει άνω όριο. Συνεπώς δεν υπάρχει ΠΜΚ. εν προκύπτει από την πιθανοτική διερεύνηση άνω όριο στο δυναµικό της κατακρήµνισης. Το υποθετικά ανυπέρβλητο άνω όριο της ΠΜΚ, βάσει της πιθανοτικής ανάλυσης αντιστοιχεί σε µια µικρή αλλά ρεαλιστική πιθανότητα υπέρβασης. Προτείνεται η χρήση της καθαρά πιθανοτικής µεθόδου.