(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική εκεί. (ii) Κατόπιν δείξτε ότι η συνάρτηση v(x, y) είναι αρμονική συζυγής της u(x, y) σε χωρίο D εάν και μόνο εάν η u(x, y) είναι αρμονική συζυγής της v(x, y) στο D. (iii) Εστω η συνάρτηση u(x, y) = sinh x sin y. Δείξτε ότι είναι αρμονική και βρείτε την συζυγή της συνάρτηση v(x, y). Άσκηση Προσδιορείστε τα σημειοσύνολα στα οποία είναι διαφορίσιμες στο C οι συναρτήσεις: (i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix Άσκηση 3 Γράψτε τις εξισώσεις Cauchy-Riemann για την συνάρτηση: f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ και υπολογίστε την παράγωγο df dz U, V ως προς r, θ. με την βοήθεια των μερικών παραγώγων των Άσκηση 4 Βρείτε όλες τις συναρτήσεις που είναι αναλυτικές στο C εκτός από το (0, 0) και το μέτρο τους είναι σταθερό στις καμπύλες r = a sin θ.

2 Άσκηση 5 Εστω f(z) αναλυτική συνάρτηση στο απλά συνεκτικό χωρίο D C και δεν παίρνει πραγματικές, μη θετικές τιμές εκεί. Δείξτε ότι αν ισχύει: f(z) = φ(x)ψ(y) ; x + iy = z D τότε: f(z) = e az +bz+c ; a R, b, c C Μιγαδική Ολοκλήρωση Άσκηση Εστω C απλή κλειστή καμπύλη που έχει εσωτερικό σημείο το (0, 0) και εξωτερικό το z. Επίσης έστω f αναλυτική συνάρτηση στο C εκτός του σημείου (0, 0) και φραγμένη στο εξωτερικό της καμπύλης C. Δείξτε ότι: f(z) = dζ zf(ζ) πi C z ζ Άσκηση Δείξτε ότι: K(0,R) z e πiz3 dz = n + όπου K(0, R) είναι η περιφέρεια κύκλου ακτίνας R με κέντρο το (0, 0) και n φυσικός αριθμός με n < R 3 < n +. Άσκηση 3 Αν a, b εσωτερικά σημεία κύκλου ακτίνας R με κέντρο το (0, 0) και n φυσικός αριθμός, δείξτε ότι: K(0,R) z n log ( ) z a z b dz = πi n + (bn+ a n+ )

3 Άσκηση 4 Ολοκληρώνοντας την f(z) = eaz με 0 < a < στη περιφέρεια ορθογωνίου e z + τετραπλεύρου με κορυφές (±R, 0), (±R, π) δείξτε ότι: e ax e x + dx = π sin aπ Άσκηση 5 Ολοκληρώνοντας την f(z) = eπiz κατά μήκος της διαδρομής C = s z H(0, ρ) s + H(0, R) με s ± ευθύγραμμα τμήματα του πραγματικού άξονα s = [ R, ρ], s + = [ρ, R] και H(z 0, r) ημικύκλιο με κέντρο το z 0 και ακτίνα r, δείξτε ότι: ( sin x ) dx = π x Άσκηση 6 Προσδιορίστε τους πόλους της συνάρτησης: f(z) = e z. Κατόπιν, επιλέγοντας κατάλληλη διαδρομή στο μιγαδικό επίπεδο, χρησιμοποιείστε το Θεώρημα cosh z ολοκληρωτικών υπολοίπων για να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: e x cosh x dx Άσκηση 7 Αν C είναι ο μοναδιαίος κύκλος διαγραφόμενος αριστερόστροφα, δείξτε ότι: C ( exp z + ) z dz = πi n=0 n!(n + )! 3

4 Άσκηση 8 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: με a > 0, m > 0. dx x sin mx x + a Άσκηση 9 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: x sin x (x + a )(x + b ) επιλέγοντας την κατάλληλη διαδρομή ολοκλήρωσης στο μιγαδικό επίπεδο για ze την συνάρτηση f(z) = iz όπου a, b ανήκουν στο R (z +a )(z +b ) +. Άσκηση 0 Δείξτε ότι αν η f(z) έχει απλή ρίζα στο z 0, τότε η /f(z) έχει ολοκληρωτικό υπόλοιπο /f (z 0 ) στο z 0. Κατόπιν, χρησιμοποιώντας αυτή την ιδιότητα βρείτε τα ολοκληρώματα: π π sin θ dθ a sin θ ; π π cos θ dθ a sin θ με a πραγματικό και a >. Άσκηση Να λυθεί η ολοκληρωτική εξίσωση: π P u(x) x t dx = t + ( v(t)) βρίσκοντας τον μετασχηματισμό Hilbert της συνάρτησης v(t). Υπόδειξη: Βρείτε μιγαδική συνάρτηση f(z) = u(x, y) + iv(x, y) τέτοια ώστε u(x, 0) u(x) = R(f(z)) και v(x, 0) v(x) = I(f(z)) και να ικανοποιούνται οι συνθήκες ώστε οι u(x), v(x) να είναι ζεύγος Hilbert. 4

5 Άσκηση Θεωρείστε την συνάρτηση απόκρισης G(t) η οποία μηδενίζεται για αρνητικές τιμές του t ενώ για θετικές τιμές δίνεται από την σχέση: G(t) = G 0 sin µt t 3/ (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση g(ω) που είναι ο μετασχηματισμός Fourier της G(t) δίνεται ως: g(ω) = i G 0[ ω ω + µ ω µ] ; ω µ g(ω) = i G 0[ ω ω + µ] + i + G 0[ µ ω] ; 0 ω µ (ii) Δείξτε ότι η μιγαδική συνάρτηση του z = x + iy η οποία ανάγεται στην g(x) για y = 0 δίνεται από την σχέση: g(z) = i G 0[ z z + µ z µ] και στην συνέχεια βρείτε τις ανωμαλίες κλάδου που έχει η συνάρτηση αυτή. Επίσης δείξτε ότι υπάρχει επιλογή των τομών έτσι ώστε η g(z) να είναι αναλυτική στο άνω z-ημιεπίπεδο. Άσκηση 3 Οι αριθμοί Fibonacci ορίζονται από την ακολουθία: f 0 = ; f = ; f n = f n + f n n Εστω F (z) = n=0 f n z n. Δείξτε ότι: Η αναγωγική σχέση f n = f n + f n δίνει. Res( F (z) z n+, 0) = f n. F (z) = z z Χρησιμοποιώντας το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων για κύκλο ακτίνας R με κέντρο το 0 στο όριο R παίρνετε μία ταυτότητα που ικανοποιεί το f n. 5

6 Άσκηση 4 Εστω f(z) = a n z z αναλυτική συνάρτηση που απεικονίζει αμφιμονοσήμαντα n= τον μοναδιαίο δίσκο D = {z : z < } σε περιοχή με εμβαδόν A. Δείξτε ότι ισχύει: A = π n a n n= Άσκηση 5 Εστω f ολομορφική συνάρτηση στο δίσκο {z : z < + ɛ} και a C με a <. Βρείτε συνάρτηση φ a : [0, π] R τέτοια ώστε: f(a) = π 0 f(e it )φ a (t) dt Άσκηση 6 Δείξτε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό a ισχύει η σχέση: { π log a if a > log e it + a dt = π 0 0 if a Άσκηση 7 Εστω a, b C και b <. Δείξτε ότι: π z = z a a b dz = z b b + Άσκηση 8 Εστω a > 0. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Rz=0 a z z dz 6

7 Άσκηση 9 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: π/ 0 log sin x dx Άσκηση 0 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: όπου σ > 0 και 0 < t <. σ+i σ i zt z z + dz Άσκηση Εστω a C με a < και n N. Δείξτε ότι η εξίσωση: (z ) n e z = a έχει ακριβώς n λύσεις στο ημιεπίπεδο Rz > 0. Υπολογισμός αθροισμάτων Άσκηση Χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικά υπόλοιπα βρείτε το άθροισμα: n= (n + a) Άσκηση Χρησιμοποιώντας ολοκληρωτικά υπόλοιπα βρείτε το άθροισμα: ( ) n n= n 4 7

8 Άσκηση 3 Θεωρείστε την συνάρτηση cot πz z + a με a 0. Δείξτε ότι έχει πόλους για z = n ; n Z και z = ±ia και βρείτε τα αντίστοιχα ολοκληρωτικά υπόλοιπα. Στη συνέχεια δείξτε ότι: n= n + a = π coth πa a a Άσκηση 4 Δείξτε ότι: n + n + = π tanh π 3 3 Άσκηση 5 Χρησιμοποιώντας την κατάλληλη διαδρομή ολοκλήρωσης για τη συνάρτηση f(z) = δείξτε ότι: z sin πz sinh πaz ( ) n n n=sinh πan = πa ( ) n n a n= sinh πn/a όπου a πραγματικός, διάφορος του 0. Αρχή του ορίσματος Άσκηση Δείξτε ότι η f(z) = z 4 +iz 3 + έχει μία μόνο ρίζα στο πρώτο τεταρτημόριο του z-επιπέδου και τέσσερις ρίζες στο εσωτερικό κύκλου ακτίνας 3/ με κέντρο το (0, 0). Άσκηση Αν a > e δείξτε ότι η εξίσωση az n = e z έχει ακριβώς n λύσεις στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. 8

9 Άσκηση 3 Αν a, b μη μηδενικοί πραγματικοί δείξτε ότι η f(z) = z n + a z n + b με n φυσικό, έχει για n άρτιο ακριβώς n ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος, ενώ για n περιττό έχει n ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος. Μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων Δίνεται το δυναμικό ενός βαθμωτού πραγματικού πεδίου φ: V [φ] = φ 4 φ4 Θεωρώντας εξάρτηση μόνο από τις μεταβλητές (t, x) προκύπτει ότι το φ υπακούει την εξίσωση κίνησης: t φ xφ + φ φ 3 = 0. Αναζητήστε τα ακρότατα του δυναμικού και εξετάστε ποιά από αυτά είναι ευσταθή. Σχεδιάστε μία ποιοτική γραφική παράσταση του δυναμικού.. Εφαρμόστε τη διαταρακτική θεωρία πολλαπλών κλιμάκων γύρω από το ευσταθές σημείο ισορροπίας του πιο πάνω δυναμικού και απαλείψτε κατάλληλα τους όρους που καταστρέφουν το διαταρακτικό ανάπτυγμα. Δείξτε ότι στη τρίτη τάξη του διαταρακτικού αναπτύγματος προκύπτει η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger: i T u + Xu + u u = 0 όπου T, X είναι οι συντεταγμένες στις κατάλληλες κλίμακες και u είναι κατάλληλη συνάρτηση πλάτους που προσδιορίζει το φ. 3. Επιβεβαιώστε ότι μία λύση της πιο πάνω εξίσωσης είναι τα φωτεινά σολιτόνια της μορφής: u = u 0 sech(u 0 X) e iωt όπου Ω, u 0 σταθερές. Προσδιορίστε την σχέση διασποράς για τη λύση αυτή και σχολιάστε την ιδιαιτερότητά της. 9