u = x t t = t 0 = T = x u = = s t = = s u = u bat 1 + T c = 343 m/s 273

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : //5 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 7//5 Σηµείωση : Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστή για τις πράξεις. είξτε όµως όλα τα ϐήµατα της λύσης σας. Ασκηση. αʹ) Προφανώς ϐʹ) Επίσης, u = x t t = t = T = x u = 8 = 55. s 8 u = x t = = 79.7 s γʹ) Θα είναι u = 8 + C = C = u 8 = =.7 C o Ασκηση. Προφανώς εµείς είµαστε ακίνητοι και η νυχτερίδα πρέπει να πετάξει µακριά από εµάς, ώστε η συχνότητα που ϑα ακούσουµε να είναι µικρότερη από την παραγόµενη. Άρα από τη σχέση του Doppler f = u u + u bat f 5 = u u + u bat 5 = u bat = u bat = m/s Ασκηση 3. Η ταχύτητα του ήχου στο κτήριο είναι u = 33 Το µήκος κύµατος της πηγής ήχου είναι + T c = 33 m/s 73 u = λf = λ = u f = 33 =.85 m/s Θέλουµε να έχουµε καταστρεπτική συµβολή του ανακλώµενου κύµατος από τον τοίχο µε το κύµα στο πλέγµα, άρα πρέπει να ισχύει r = n + ) λ r = n + )λ = n + ).7

2 Φυσική Ι - 5/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων όπου r γιατί το κύµα που περνά το πλέγµα ταξιδεύει δυο ϕορές την απόσταση ανάµεσα στο πλέγµα και στον τοίχο, µέχρι να συµβάλλει ξανά πίσω καταστρεπτικά. Άρα η ελάχιστη απόσταση ανάµεσά τους δίνεται για n =, δηλ. r =.7 m. Ασκηση. αʹ) Προφανώς ω = πf = π = π Hz ϐʹ) Είναι B = T yt)t = T / T T T ) t t = T / B n = T yt) cosnω t)t = T / cosnω t)t T cosnω t)t T T T = sinnω t) T nω = sin T nω ] T / nω T T nω sinnω t) ] T T / ) T nω sinnω T ) sin = sinπn) sinπn) sinπn)) T nω T nω = γιατί ω T = π και sinkπ) =, n Z. Τέλος, nω T A n = T yt) sinnω t)t = T / sinnω t)t T sinnω t)t T T T = T nω cosnω t) ] T / + T nω cosnω t) ] T T / = T nω cosπn) ) + T nω cosπn) cosπn)) = nπ )n ) + nπ )n ) = nπ )n ) + nπ )n ) = nπ )n ) Η παραπάνω σχέση είναι για n άρτιο, και πn για n περιττό. Άρα {, n άρτιος A n = πn, n περιττός γʹ) Η Σειρά Fourier που προκύπτει είναι η xt) = + n= πn sinnω t), n περιττά T / )) T / ή αλλιώς xt) = + n= πn ) sinn )ω t), n Z

3 Φυσική Ι - 5/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 3 Ασκηση 5. αʹ) Το ηλεκτρικό πεδίο στο σηµείο P, λόγω της συνεισφοράς ενός στοιχείου της ϱάβδου µήκους x απο το δεξιό τµήµα της, είναι E = k eq x + µε διεύθυνση κατά µήκος της γραµµής που ενώνει το στοιχείο x µε το σηµείο P. Το πεδίο µπορεί να αναλυθεί σε δυο συνιστώσες, µια παράλληλη στον άξονα y y και µια κάθετη στον y y. Η κάθετη συνιστώσα έχει ϕορά προς τα αριστερά. Το ηλεκτρικό πεδίο στο σηµείο P, λόγω της συνεισφοράς του συµµετρικού του προηγούµενου στοιχείου της ϱάβδου µήκους x απο το αριστερό τµήµα της, είναι E = k eq x + µε διεύθυνση κατά µήκος της γραµµής που ενώνει το συµµετρικό στοιχείο x µε το σηµείο P. Το πεδίο µπορεί να αναλυθεί σε δυο συνιστώσες, µια παράλληλη στον άξονα y y και µια κάθετη στον y y. Η κάθετη συνιστώσα έχει ϕορά προς τα δεξιά. Οι δυο κάθετες συνιστώσες έχουν αντίθετη ϕορά και ίδιο µέτρο, άρα αλληλοακυρώνονται. Οπότε Ex P = Ex P = ϐʹ) Λόγω της παραπάνω παρατήρησης, το ηλεκτρικό πεδίο δίνεται από τη σχέση E = E y = E y = E cosθ) όπου cosθ) = x + Επίσης, η γραµµική πυκνότητα ϕορτίου µας δίνει ότι q = λx οπότε µε l/ x E = k e λ x + ) 3/ = k eλ sinθ ) sinθ ) = l/ l/) + γʹ) Αν η ϱάβδος έχει άπειρο µήκος, τότε η γωνία θ πλησιάζει τις 9 o, και άρα E = k eλ Ασκηση 6. Από τον ο νόµο του Newton, έχουµε ότι και Οµως ΣF y = T cosθ) = mg T = ΣF x = F e = T sinθ) = F e = k e q r + k e q r = mg cosθ) mg sinθ) = mg tanθ) cosθ) k e q L sinθ)) + k e q L sinθ)) = 5k e q L sin θ)

4 Φυσική Ι - 5/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων Οπότε 5k e q L L sin = mg tanθ) q = mg sin θ) tanθ) θ) 5k e Ασκηση 7. Η ϕράση εν µπορώ να κλείσω µάτι, η ηχοστάθµη µε τα δυο τρυπάνια είναι διπλάσια αυτής µε το ένα τρυπάνι! υπονοεί ότι η ηχοστάθµη µιας έντασης I διπλασιάζεται όταν διπλασιάζεται η ένταση I, δηλ. ότι αν η ηχοστάθµη του ενός τρυπανιού, τότε ισχύει β = log I I Ας δούµε αν αυτό ισχύει. β = log I I = β β = log I I = β = log I I log I = log I I I I = I I I = I I I = I Παρατηρούµε ότι ο διπλασιασµός της ηχοστάθµης όταν διπλασιάζεται η ένταση συµβαίνει µόνον όταν I = I. Προφανώς, η ένταση των τρυπανιών είναι πολύ µεγαλύτερη από την ελάχιστη αντιληπτή ένταση I, άρα η ϕράση είναι όντως λάθος στη συγκεκριµένη περίπτωση. Ασκηση 8. Γνωρίζουµε ότι το πεδίο σε οποιοδήποτε σηµείο του x άξονα δίνεται από τη σχέση E = E x = k e Qx x + a ) 3/ Η δύναµη που ασκείται σε ένα ϕορτίο q που ϐρίσκεται στον άξονα είναι x F e = k e Qq x + a ) 3/

5 Φυσική Ι - 5/Τέταρτη Σειρά Ασκήσεων 5 Σχήµα : Σχήµα Άσκησης 8. και όταν x << a, η παραπάνω σχέση γράφεται ke Qq ) F e = a x Αυτή η έκφραση είναι στη µορφή του νόµου του Hooke, µε σταθερά k = k eqq a 3 Άρα επειδή η δύναµη που ασκείται στο ϕορτίο είναι αντίθετη της µετατόπισής του και προσπαθεί να το επαναφέρει στη ϑέση ισορροπίας του, η κίνηση είναι απλή αρµονική ταλάντωση. Γνωρίζουµε ότι ω = πf = k m και άρα f = ke Qq π ma 3