Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων 3 Μοντελοποίηση Δυναμικών Συστημάτων Διακριτά και Συνεχή Δυναμικά Μοντέλα Διακριτά μοντέλα μηχανικών συστημάτων Στοιχεία m, k, c μηχανικών συστημάτων Ισοδύναμα στοιχεία Ενέργεια, Έργο και Ισχύς Case Studies

4 Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων 4 Πρόβλημα/ Ερώτημα Απλοποίηση Απλοποιημένο Δυναμικό Σύστημα Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων Μαθηματικό μοντέλο

5 Συνεχή και διακριτά Δυναμικά Συστήματα 1/2 5 Συνεχή Δυναμικά Συστήματα Λαμβάνουν υπόψη χωρική κατανομή μάζας/ελαστικότητας/απόσβεσης Περιγράφονται από Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Διακριτά Δυναμικά Συστήματα Παραδοχή: μάζα/ελαστικότητα/απόσβεση βρίσκεται συγκεντρωμένη σε ορισμένα σημεία του συστήματος Πεπερασμένοι βαθμοί ελευθερίας Περιγράφονται από Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

6 Συνεχή και διακριτά Δυναμικά Συστήματα 2/2 6 Μοντελοποίηση κίνησης δοκού σε εφελκυσμό Συνεχές Μοντέλο Διακριτό Μοντέλο Βαθμοί ελευθερίας Δυναμικό μοντέλο Κίνηση άκρου u(x,t) x(t)

7 Διακριτά Μοντέλα Μηχανικών Συστημάτων 1/2 7 Μηχανικά Συστήματα Μεταφορική κίνηση (translation) Περιστροφική κίνηση (rotation) Στοιχεία Μηχανικών Συστημάτων Αδράνεια (inertia) Δυσκαμψία (stiffness) Αποθήκευση ενέργειας Απόσβεση (damping) Απώλεια ενέργειας Εξωτερικές δυνάμεις Είσοδος/έξοδος ενέργειας

8 Διακριτά Μοντέλα Μηχανικών Συστημάτων 2/2 8 Σημειακή μάζα Β.Ε.: η θέση r της στο χώρο (max 3) Αδράνεια: λόγω μάζας m Στερεό σώμα Β.Ε.: θέση r και διεύθυνση στο χώρο (max 6) Αδράνεια λόγω μάζας m και λόγω αδράνειας Ι Οι βαθμοί ελευθερίας (Β.Ε.) συνήθως είναι λιγότεροι λόγω περιορισμών (constraints)

9 Σύστημα ενός Βαθμού Ελευθερίας 9 Κίνηση σημειακής μάζας κατά τον άξονα x μόνο mm xx + cc xx + kk xx = FF tt Δυναμικό Μοντέλο

10 Ενέργεια σε Σημειακή Μάζα 1/4 10 Μάζα m αποθήκευση κινητικής ενέργειας Τ = TT xx = 1 2 mm xx 2 = 1 2 mm uu2 υπολογισμός μάζας mm = ddl uu dduu = dd2 TT uu dduu 2

11 Ενέργεια σε Σημειακή Μάζα 2/4 11 Δυσκαμψία k Aποθήκευση δυναμικής ενέργειας U(x) Αντιστοιχεί σε δύναμη επαναφοράς Δύναμη συνάρτηση της μετατόπισης dduu xx FF kk xx = ddxx Γραμμικό ελατήριο (Hook) U xx = 1 2 kk xx2 FF kk xx = kkkk Βαρύτητα U zz = mm gg zz FF kk = mm gg

12 Ενέργεια σε Σημειακή Μάζα 3/4 12 Δυσκαμψία k Μοντελοποιεί μια δύναμη μου αντιτήθεται σε μια μετατόπιση Η πηγή της δυσκαμψίας μπορεί να είναι Ελαστιότητα σε εφελκισμό, κάμψη, στρέψη Εξωτερικής δυνάμης που είναι συνάρτηση μετατόπισης

13 Ενέργεια σε Σημειακή Μάζα 4/4 13 Απόσβεση c Μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα Οφείλεται σε φαινόμενα τριβής Δύσκολη η μοντελοποίηση Ισχύς που χάνεται PP cc = FF cc uu Διάφορα μοντέλα Γραμμική απόσβεση Αεροδυναμική αντίσταση Τριβή ολισθήσεως FF cc = cc uu FF cc = 1 2 ρρ cc DD(uu) AA uu uu FF cc = ηη Ν ssssssss(uu)

14 Ενέργεια & Ισχύς σε Σημειακή Μάζα 14 Εξωτερική δύναμη F(t) Έργο W : δw = FF TT δδrr = FF δδxx Ισχύς που προσφέρεται στο σύστημα από μια εξωτερική διέγερση F(t) που ασκείται σε ένα σημείο που κινείται με ταχύτητα u PP FF = FF uu PP FF > 0 : η δύναμη προσθέτει ενέργεια (παρέχει ισχύς) PP FF < 0 : η δύναμη αφαιρεί ενέργεια (καταναλώνει ισχύ)

15 Ενέργεια σε Στερεά Σώματα 15 Κινητική ενέργεια T = 1 2 mm uu GG TT uu GG ωω TT II ωω μεταφορική κίνηση περιστροφική κίνηση Επίπεδη κίνηση (2D): T = 1 2 mm uu GG TT uu GG II θθ 2 Δυναμική ενέργεια Λόγω ελαστικότητας (μέτρου ελαστικότητας Ε) αν το σώμα θεωρηθεί άκαμπτο Λόγω βαρύτητας U rr GG = mm gg zz

16 Μεταφορική Vs Περιστροφική Κίνηση 1/2 16 Αντιστοιχεία στοιχείων

17 Μεταφορική Vs Περιστροφική Κίνηση 2/2 17 Δυσκαμψία σε περιστροφική κίνηση Πολύ σημαντική στην μετάδοση ροπής σε μακρής άξονες Μ κκ = kk Δθ Απόσβεση σε περιστροφική κίνηση Σημαντική πηγή τριβής στα έδρανα περιστρεφόμενων άξονων Μ cc = cc θθ

18 Case Studies: Μοντελοποίηση 18 Συστημέτων 1 Β.Ε. 1) Επιπλέων ιστιοπλοϊκό 2) Κίνηση γερανού 3) Δόνηση χορδής κιθάρας

19 Γραμμικά Διακριτά Στοιχεία για Μηχανικά Συστήματα 19 Μεταβλητές ισχύος Μεταφορικό σύστημα Γραμμική ταχύτητα uu Δύναμη F Περιστροφικό σύστημα Γωνιακή ταχύτητα ω Ροπή Τ Ισχύς PP = FF uu PP = Τ ωω Βαθμός ελευθερίας Γραμμική μετατόπιση Γωνιακή μετατόπιση θθ Μεταβλητή «Ροής» Γραμμική ταχύτητα uu = xx Γωνιακή ταχύτητα ωω = θθ Μεταβλητή «Σθένους» Δύναμη FF Ροπή MM Στοιχείο Αδράνειας Μάζα mm F = mm uu Ροπή αδράνειας Ι Τ = II ωω Στοιχείο Ελαστικότητας Γραμμικό ελατήριο kk FF = kk (xx 1 xx 2 ) Στοιχείο Απόσβεσης Γραμμικός αποσβεστ. cc FF = cc (uu 1 uu 2 ) Περιστροφίκό ελατήριο kk TT Τ = kk TT (θθ 1 θθ 2 ) Περιστροφ. Αποσβεστ. cc TT Τ = cc TT (ωω 1 ωω 2 )

20 Case Studies: Μοντελοποίηση Συστημέτων 1 Β.Ε. 20 Επιπλέων ιστιοπλοϊκό Κίνηση γερανού Δόνηση χορδής κιθάρας

21 Δόνηση Χορδής Κιθάρας 21 Βαθμός ελευθερίας Απόσταση χορδής x από θέση ισορροπίας πάνω από έναν μαγνήτη «Αδράνεια» Μάζα χορδής «Δυσκαμψία» Ελαστικότητα χορδής Προένταση χορδής Απόσβεση Τριβή στις εδράσεις χορδής Αεροδυναμική αντίσταση Εξωτερικές δυνάμεις Διέγερση χορδής από μουσικό x(t)

22 Κίνηση Γερανού: κατακόρυφο άξονα 22 Βαθμός ελευθερίας Κατακόρυφη μετακίνηση x γερανού στο σημείο βάσης φορτίου «Αδράνεια» Μάζα (γερανού+αντίβαρου) «Δυσκαμψία» Ελαστικότητα συρματόσχ. στήριξης Ελαστικότητα σκελετού γερανού «Απόσβεση» Τριβή σκελετού γερανού Εξωτερικές δυνάμεις Βάρος φορτίου f(t) c m k m f(t) x(t) f(t) x(t)

23 Κίνηση Γερανού: οριζόντιο επίπεδο 23 Βαθμός ελευθερίας Οριζόντια μετακίνηση x γερανού στο σημείο βάσης φορτίου «Αδράνεια» Αδράνεια (γερανού+ αντίβαρου) «Δυσκαμψία» Ελαστικότητα σκελετού γερανού «Απόσβεση» Τριβή σκελετού γερανού Εξωτερικές δυνάμεις Ροπή περιστροφής γερανού M(t) κάτωψη Τ(t) x(t) m k c m f(t) x(t)

24 Κίνηση Γερανού: Εγκάρσια ταλάντωση φορτίου 24 Βαθμός ελευθερίας Γωνία θ φορτίου ως προς κατακόρυφο άξονα «Αδράνεια» Ι(m,L) λόγω μάζας φορτίου m «Δυσκαμψία» Δύναμη επαναφοράς λόγω βάρους του φορτίου «Απόσβεση» Τριβή στην έδραση σχοινιών Εξωτερικές δυνάμεις Δύναμη λόγω μετακίνησης γερανού θ(t) Πλάγια όψη VV(θθ) = mmmmmm = mmmmmm(1 cos (θθ)) V θ = mmmmmm sin (θθ) mmmmmmθ LL mm

25 Κίνηση ιστιοπλοϊκού: Εμπρός κίνηση Κίνηση Ιστιοπλοϊκού: Εμπρός κίνηση 25 Βαθμός ελευθερίας Εμπρος μετατόπιση x «Αδράνεια» Μάζα πλοίου «Δυσκαμψία» Δεν υπάρχει «Απόσβεση» Τριβή νερού-πλοίου Εξωτερικές δυνάμεις Πρόωση από πανιά, έλικα x(t)

26 Κίνηση ιστιοπλοϊκού: Κλίση 26 Βαθμός ελευθερίας Κλίση θ ως προς κατακόρυφο άξονα «Αδράνεια» Αδράνεια πλοίου «Δυσκαμψία» Δύναμη επαναφοράς λόγω άνωσης «Απόσβεση» Τριβή νερού-πλοίου Εξωτερικές δυνάμεις Πρόωση από πανιά

27 Κίνηση ιστιοπλοϊκού: Κατακόρυφη Κίνηση Βαθμός ελευθερίας Κατακόρυφη μετατόπιση x από σημείο ισσοροπίας βαρύτητας-άνωσης «Αδράνεια» Μάζα πλοίου «Δυσκαμψία» Δύναμη επαναφοράς λόγω άνωσης «Απόσβεση» Τριβή νερού-πλοίου Εξωτερικές δυνάμεις Κύμματα, αέρας FF kk = mm + ρρ WW V g = mm ρρ WW A LL 0 x gg = ρρ WW AA gg xx 27

28 Γραμμικά Ελατήρια σε Σειρά / Παράλληλα 28 Ελατήρια σε σειρά Κοινή δυναμη k1 k2 k se m Κυριαρχεί η πιο εύκαμπτη m 1 kk ssss = 1 kk kk 2 Ελατήρια παράλληλα Κοινή μετατόπιση Κυριαρχεί η πιο δύσκαμπτη k1 k2 k1 k2 m m k pa m kk pppp = kk 1 + kk 2

29 Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Αδράνεια, δυσκαμψία, απόσβεση, εξωτερικές δυνάμεις 2. Επιλογή βαθμών ελευθερίας qq Περιγράφουν πλήρως την κινηματική του συστήματος Στρατηγική επιλογή Αναγνώριση και απαληφή περιορισμών 3. Υπολογισμός κινηματικών παραμέτρων Θέσεις Ταχύτητες, γωνιακές ταχύτητες 4. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων Εξισώσεις Νεύτωνα Μέθοδος Lagrange

30 Κινηματική 1/ Υπολογισμός συντεταγμένων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των Β.Ε. qq Σημειακή μάζα Θέση rr ii (qq) Στερεό σώμα Κέντρο βάρους rr GG (qq) Διεύθυνση θθ qq Ελατήρια/αποσβεστήρες θέσεις rr ii (qq) των ακροδεκτών κάθε ελατηρίου/αποσβεστήρα Εξωτερικές δυνάμεις Θέσεις rr ii (qq) όπου ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις

31 Κινηματική 2/ Υπολογισμός των γραμμικών/γωνιακών ταχυτήτων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των qq και qq Η ταχύτητα uu ii (qq, qq ) της θέσης rr ii (qq) μπορεί να γραφεί μέσω ενός Ιανωβιανoύ πινάκων JJ ii (qq): uu ii = ddrr ii(qq) dddd = JJ ii (qq) qq όπου JJ ii qq = ddrr ii(qq) ddqq Ιακωβιανός πίνακας της θέσης rr ii (qq) ως προς τους Β.Ε. qq

32 Κινηματική 1/3 32 Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων ταχυτήτων ενδιαφέροντος Ταχύτητα κέντρου βάρους: uu GG = ddrr GG dddd = JJ GG(qq) qq Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 3 διαστάσεις: Γωνιακή ταχύτητα ωω δεν είναι παράγωγος κάποιας γωνίας! ωω = JJ Τ (qq) qq Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 2 διαστάσεις: ωω = θθ = JJ Τ (qq) qq

33 Εξισώσεις Νεύτωνα 1/2 33 Κίνηση 3D κίνηση 1D κίνηση Μεταφορική Περιστροφική ΣFF = LL = mm dduu GG dddd ΣΤΤ GG = HH GG = II GG ddωω dddd ΣFF = mm xx GG ΣΤ GG = II θθ Σε κάθε στερεό σώμα ασκούνται Ν FFFFFFFFFF δυνάμεις F ii στα σημεία rr ii, και Ν Torque ροπές Τ ii. Αυτές περιλαμβάνουν: Εξωτερικές δυνάμεις Δυνάμεις/ροπές λόγω ελαστικότητας: F ii (qq), Τ ii (qq) Δυνάμεις/ροπές λόγω απόσβεσης: F ii qq, Τ ii qq Εσωτερικές δυνάμεις και αντιδράσεις

34 Εξισώσεις Νεύτωνα 2/2 34 Έστω ότι σε ένα σώμα ασκούνται Ν FFFFFFFFFF δυνάμεις F ii στα σημεία rr ii, και Ν Torque ροπές Τ ii. Συνησταμένη δυνάμεων NN FFFFFFFFFF ΣFF = FF ii ii=1 Συνησταμένη ροπών ως προς κέντρο μάζας NN FFFFFFFFFF NN TTTTTTTTTTTT ΣTT GG = (rr ii rr GG ) FF ii ii=1 + TT ii ii=1

35 Κατάστρωση Δυναμικών εξισώσεων 35 μέσω Εξισώσεων Νεύτωνα 1. Υπολογισμός uu GG, ωω παραγωγίζοντας τις σχέσεις uu GG = JJ GG qq qq, ωω = JJ Τ (qq) qq 2. Υπολογισμός συνιστωσών δυνάμεων Έφραση «ελαστικών» δυνάμεων ως συνάρτηση του qq Έφραση δυνάμεων απόσβεσης ως συνάρτηση του qq 3. Υπολογισμός συνισταμένων ΣFF και ΣTT GG. 4. Αντικατάσταση uu GG,ωω, ΣFF, ΣTT GG στους νόμους Νεύτωνα ΣFF = mmuu GG ΣΤΤ GG = II GG ωω 5. Επίλυση και αντικατάσταση εσωτερικών δυνάμεων & αντιδράσεων.

36 Μέθοδος Lagrange 1/3 36 Η δυναμική εξίσωση για τον j-οστό Β.Ε. προκύπτει ως: dd dddd qq jj qq jj = ξ jj jj = 1,2,, NN Συνάρτηση γενικευμένη δύναμη Β.Ε. j LL = TT(qq, qq ) VV qq Κινητική ενέργεια συστήματος NN FFFFFFFFFF ξξ jj = ( rr ii ) TT FF qq ii jj ii=1 Δυναμική ενέργεια συστήματος NN TTTTTTTTTTTT + ( ωω ii ) TT ΤΤ qq ii jj ii=1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού JJ ii (qq) της θέσης rr ii (qq) όπου ασκείται η δύναμη FF ii ως προς τους Β.Ε. qq j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα JJ ΤΤ (qq) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή ΤΤ ii

37 Μέθοδος Lagrange 2/ Η κινητική ενέργεια Τ qq, qq ενός συστήματος ισούται ii με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών Τ qq, qq όλων των στοιχείων αδράνειας Τ qq, qq = iiτ(qq, qq ) ii, ii TT(qq, qq ) = 1 2 ( iimm ii TT uu GG ii uugg 2. Η Δυναμική ενέργεια VV qq ενός συστήματος ισούται με ii το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών V qq όλων των στοιχείων ελαστικότητας/δυσκαμψίας VV qq = VV llllllllllll qq +VV gggggggggggggg qq = ii { VVllllllllllll(qq)} + ii { VV ii + ii ωω TT ii II ii ωω) ii gggggggggggggg(qq)} Γραμμικά ελατήρια Βαρύτητα iivv llllllllllll (qq) = 1 2 ( iikk ii ΔΔxx TT iivv gggggggggggggg (qq) = mm gg zz ii (qq) ii ΔΔxx )

38 Μέθοδος Lagrange 3/3 38 Επειδή TT qq, qq, VV(qq), οι εξισώσεις Langrange γίνονται: dd dddd TT qq, qq qq jj TT qq, qq qq jj + VV qq qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN Μεθοδολογία: για κάθε βαθμό ελευθερίας qq jj : 1. Πρώτος όρος: παραγώγηση TT qq, qq ως προς qq jj. Παραγώγηση αποτελέσματος ως προς χρόνο t. 2. Δεύτερος όρος: παραγώγηση TT qq, qq ως προς qq jj. 3. Τρίτος όρος: παραγώγηση V qq, qq ως προς qq jj. 4. Τέταρτος όρος: άθροισμα εσωτερικών γινόμένων των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών JJ ii (qq) με τις FF ii και των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών JJ Τ (qq) με τις ΤΤ ii.

39 Δυνάμεις Απόσβεσης 39 Δύναμη σε γραμμικό αποσβεστήρα uu 1 uu 2 uu 1 uu 2 m 1 m 2 m 1 ff cc ff cc m 2 cc ff cc = cc (uu 1 uu 2 ) Αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις ξξ cc = JJ 1 TT ( ff cc ) + JJ 2 TT ff cc = (JJ 1 TT JJ 2 TT ) cc (JJ 1 JJ 2 ) qq Ιακωβιανoί πίνακες των θέσεων rr 1 (qq) και rr 22 (qq) ως προς τους Β.Ε. qq

40 Κύληση Τροχού Χωρίς Ολίσθηση 1/2 40 xx(tt) k R,m,Ι ff(tt) c

41 Κύληση Τροχού Χωρίς Ολίσθηση 2/ Βαθμός ελευθερίας: επίπεδη κίνηση στερεού σώματος περιγράφεται από 3 Β.Ε. (xx, yy, θθ) 2 περιορισμοί Κίνηση στο οριζόντιο επίπεδο y = 0 όχι ολίσθηση xx = RR θθ Άρα τελικα Ν = 3 2 = 1 βαθμός ελευθερίας Επιλογή ως Β.Ε. της οριζόντιας θέσης του κέντρου τροχού qq = xx

42 Κινηματική: θέσεις / διευθύνσεις 42 Αδράνεια στερεού σώματος: Θέση κέντρου βάρους xx GG = xx Διεύθυνση θθ = 1 xx RR Ελατήριο/αποσβεστήρας Αριστερό άκρο έχει μηδενική ταχύτητα και δεν επιδρά Θέση δεξί άκρου xx 2 = xx GG = xx Εξωτερική δύναμη Ασκείται στο κέντρο βάρους xx F = xx GG = xx

43 Κινηματική: ταχύτητες 43 Ιακωβιανοί πίνακες θέσης Ιακωβιανοί είναι 1 1 επειδή οι θέσεις περιγράφονται σε 1 διάσταση (xx) και το σύστημα έχει 1 B.E. Θέση κέντρου βάρους/δεξί άκρο ελατηρίου/ αποσβεστήρα/εξωτερικής δύναμης: xx GG = xx 2 = xx FF = xx J GG = J 2 = J F = 1 Ιακωβιανοί πίνακες διεύθυνσης Διεύθυνση τροχού: θ = 1 RR xx J TT = 1 RR

44 Επίλυση μέσω εξισώσεων Νεύτωνα 44 xx(tt) FF(tt) Εξωτερική δύναμη F kk F cc F rrrrrr F(tt) F kk = kk xx F cc = cc xx F rrrrrr Δύναμη ελατηρίου Δύναμη αποσβεστήρα Δύναμη κύλησης Αντικαθιστώ στις εξισώσεις Νεύτωνα: ΣFF = mm xx GG FF tt + F kk + F cc F rrrrrr = mm xx mm xx = cc xx kk xx + FF tt F rrrrrr [1] ΣΤ GG = II θθ RR F rrrrrr = II θθ = II RR xx Λύνωντας την [2] ως προς την αντίδραση F rrrrrr και αντικαθιστώντας στην [1]: (mm + II RR2) xx + cc xx + kk xx = FF tt [2]

45 Επίλυση μέσω Μεθόδου Lagrange 1/2 45 Κινητική ενέργεια: TT = 1 2 mmxx GG IIθθ 2 = 1 2 mmxx II(xx RR )2 = 1 II (mm + 2 RR 2)xx 2 Δυναμική ενέργεια: VV = 1 2 kkxx 2 2 = 1 2 kkxx2 Εξωτερικές δυνάμεις (όχι αδράνεια/ελαστικότητα) FF tt + F cc = FF tt cc xx Ιακωβιανός για την θέση που ασκούνται οι εξωτερικές δυνάμεις J = 1

46 Επίλυση μέσω Μεθόδου Lagrange 2/2 46 dd dddd TT qq, qq qq jj TT qq, qq qq jj + VV qq qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN Σε αυτή την περίπτωση N=1. Μοναδικός Β.Ε. το q = xx dd dddd TT qq jj = dd dddd TT xx = dd dddd TT xx = dd dddd (mm + II RR 2)xx II = (mm + RR2) xx Οπότε: TT qq jj = TT xx = 0 VV qq jj = xx = kkkk NN FFFFFFFFFF ξξ jj = ( rr ii ) TT FF qq ii = 1 (FF tt cc xx ) = FF tt cc xx jj ii=1 (mm + II RR2) xx + cc xx + kk xx = FF tt

47 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

48 Παράρτημα: Ιακωνιακός Πίνακας 1/2 48 Παράγωγος ενός NN 1 διανύσματος rr ως προς MM 1 διάνυσμα qq είναι ο NN MM πίνακας JJ (Ιακωβιανός) Τα στοιχεία του rr είναι συνάρτηση του qq Το στοιχείο JJ(ii, jj) είναι η μερική παράγωγος του i-οστού στοιχείου του rr ως προς το j-οστό στοιχείο του qq rr qq = rr 1 qq ff NN qq rr 1 (qq) qq 1 rr 1 (qq) qq MM qq = qq 1 qq MM JJ = ddrr(qq) ddqq = rr NN (qq) qq 1 rr ii (qq) qq jj rr NN (qq) qq MM

49 Παράρτημα: Ιακωνιακός Πίνακας 1/2 49 Στην δυναμική μηχανικών συστημάτων: rr είναι η θέση rr ii ενός σημείου ενδιαφέροντος i και qq είναι οι Β.Ε. Η αντίστοιχη ταχύτητα rr ii μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του qq με μέσω του JJ ii (κανόνας αλυσίδας) uu ii = rr ii = ddrr ii(qq) dddd = rr ii (qq) qq ddqq dddd = JJ ii(qq) qq O Ιακωβιανός πίνακας JJ ii (qq) περιγράφει πως η ταχύτητα rr ii της θέσης i εξαρτάται από την χρονική μεταβολή των Β.Ε. qq.

50 Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.