, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες. Μία δεδομένη συντεταγμένη, q k. , μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση.

Transcript

1 Ενότητα 10 Γενικευμένες συντεταγμένες Εξισώσεις Lagrage 91 Γενικευμένες συντεταγμένες Βαθμοί ελευθερίας Έστω,, o ελάχιστος αριθμός συντεταγμένων που απαιτείται για να καθορίσει ένα σύστημα Συμβολίζουμε τις συντεταγμένες αυτές με q1, q,, q, και τις ονομάζουμε γενικευμένες συντεταγμένες Μία δεδομένη συντεταγμένη, q, μπορεί να είναι είτε γωνία, είτε απόσταση Ο αριθμός των συντεταγμένων που μπορούν να μεταβάλλονται ανεξάρτητα μεταξύ τους αποτελούν τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος Αν όλες οι γενικευμένες συντεταγμένες ενός συστήματος μεταβάλλονται ανεξάρτητα μεταξύ τους, τότε το σύστημα ονομάζεται ολόνομο Ας πάρουμε για παράδειγμα την κίνηση ενός σωματίου Αν κινείται πάνω σε ένα επίπεδο, τότε, έχει δύο βαθμούς ελευθερίας Έστω, q1, q, οι γενικευμένες συντεταγμένες του Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματίου εκφράζονται ως εξής, συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων: x x q, q 1 y y q1, q Αν το σωμάτιο έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας, τότε, αντίστοιχα θα έχουμε: x x q, q, q 1 3 y y q, q, q 1 3 z z q1, q, q3 Έστω ότι τα q μεταβάλλονται από τις αρχικές τιμές q1, q, και παίρνουν γειτονικές τιμές ( q1 q1, q q,) Οι αντίστοιχες μεταβολές σε καρτεσιανές συντεταγμένες θα είναι: x x x q1 q q1 q y y y q1 q q1 q z z z q1 q q1 q x Οι μερικές παράγωγοι, κλπ, είναι και αυτές συναρτήσεις των q q1 Αν τώρα έχουμε ένα σύστημα πολλών σωματίων, με βαθμούς ελευθερίας και γενικευμένες συντεταγμένες q1, q,, q, τότε, κατά την μεταβολή από την κατάσταση q 1, q,, q στην κατάσταση ( q1 q1, q q,, q q), ένα αντιπροσωπευτικό σωμάτιο,, κινείται από το σημείο x, y, z στο σημείο x x, y y, z z, όπου,

2 x y 1 1 x q q y q q z z q 1 q Και πάλι οι μερικές παράγωγοι είναι συναρτήσεις των q (911) 9 Γενικευμένες δυνάμεις Όταν ένα σωμάτιο μετατοπίζεται κατά r υπό την επίδραση της δύναμης F, ξέρουμε ότι παράγεται έργο W F r XxYyZz, όπου F X, Y, Z(ορθογώνιες συνιστώσες της F ) Αν εκφράσουμε τα x, y, z συναρτήσει των q βρίσκουμε ότι: W X x Y y Z z q Q x y z Q X Y Z q q q q 1 q q q, όπου 1 Η ποσότητα Q ονομάζεται γενικευμένη δύναμη συνδεδεμένη με την συντεταγμένη q Αφού το γινόμενο Q q έχει διαστάσεις έργου, το Q θα έχει διαστάσεις δύναμης αν το q είναι απόσταση και ροπής αν το q είναι γωνία Για ένα σύστημα Ν σωματίων, το συνολικό έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις F ( 1,,, N) κατά την μετατόπιση του συστήματος είναι: N N W F r X x Yy Z z 1 1 Αντικαθιστούμε τα x,, συναρτήσει των μεταβολών των γενικευμένων συντεταγμένων, οπότε: N x y z W X Y Z q Qq 1 1 q q q 1 N x y z όπου, Q X Y Z 1 q q q (91) είναι η γενικευμένη δύναμη για την συντεταγμένη q Συχνά δεν είναι πρακτικό (αλλά ούτε και αναγκαίο) να χρησιμοποιούμε αυτή την σχέση για να βρούμε την γενικευμένη δύναμη Q Ευκολότερα την βρίσκουμε, χρησιμοποιώντας το ότι το Q q είναι το έργο που παράγεται από το σύστημα υπό την επίδραση της γενικευμένης δύναμης Q, όταν η συντεταγμένη q αλλάξει κατά q (οι άλλες γενικευμένες συντεταγμένες παραμένουν σταθερές) Πχ αν το σύστημα είναι ένα στερεό σώμα, το έργο που παράγεται από τις εξωτερικές δυνάμεις όταν το σώμα στραφεί κατά γωνία γύρω από δεδομένο άξονα είναι L, όπου,

3 L είναι η συνολική ροπή όλων των δυνάμεων περί τον άξονα αυτό Οπότε η L είναι η γενικευμένη δύναμη που συνδέεται με την συντεταγμένη 93 Γενικευμένες δυνάμεις για διατηρητικά πεδία δυνάμεων Επανερχόμαστε για λίγο στην περίπτωση ενός σωματίου, το οποίο υποθέτουμε ότι βρίσκεται σε διατηρητικό πεδίο δυνάμεων, συνεπώς, V X x V Y y V Z z όπου V(x,y,z), η δυναμική ενέργεια Οπότε η γενικευμένη δύναμη εκφραστεί ως: V x V y V z V Q x q y q z q q V Δηλαδή, Q q Q μπορεί να Πχ αν χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες, q1 r, q, τότε οι V V γενικευμένες δυνάμεις θα είναι Qr, Q r Αν V=V(r) (κεντρική δύναμη), τότε, Q 0 Για διατηρητικό σύστημα Ν σωματίων μπορούμε να γράψουμε για την γενικευμένη δύναμη: N V x V y V z V Q 1 x q y q z q q (931) 94 Οι εξισώσεις Lagrage για ένα σωμάτιο Για να βρούμε τις γενικές διαφορικές εξισώσεις κίνησης συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων q, θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε από την εξίσωση F ma Είναι, όμως, απλούστερο να ακολουθήσουμε άλλη οδό: Βρίσκουμε την κινητική ενέργεια του συστήματος συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων: 1 T mx y z x q x Αλλά, x xq ( 1, q,, q) xq ( ), δηλαδή, x q xq, q, 1 q t 1 q όμοια, για τα y και z (Οι βαθμοί ελευθερίας είναι 1,, ή 3, εφόσον πρόκειται για ένα σωμάτιο) Συνεπώς, η κινητική ενέργεια είναι συνάρτηση των q : 1 T mx q, q y q, qz q, q

4 T x y z Έτσι, mx y z q q q q x x x Αλλά, (από την x q ) q q q 1 T x y z Συνεπώς, mx y z q q q q Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο, t: d T x y z d x d y d z mx my mz mx my mz dt q q q q dt q dt q dt q Για οποιαδήποτε συνάρτηση f ( q1, q,, q ) έχουμε: d f f f( q1, q,, q ) q1 q dt q1 q x Οπότε, θέτοντας f, βρίσκουμε ότι: q d x x x x q1 q dt q q1q qq qq q Aλλά, x x x x q1 q q q1 q q d x x Συνεπώς, Όμοια, για τα y, z dt q q Αυτό σημαίνει ότι οι τελεστές d και μπορούν να αντιμετατίθενται dt q m x x Έτσι, mx Οπότε, η (941) γράφεται (εφόσον, mx X, κλπ) : q q d T x y z m X Y Z x y z dt q q q q q (941) Q Τ d T T Q (94) dt q q Αυτές είναι οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης σε γενικευμένες συντεταγμένες, οι λεγόμενες εξισώσεις Lagrage, για ένα σωμάτιο V Αν το πεδίο δυνάμεων είναι διατηρητικό, τότε, Q, οπότε, οι εξισώσεις q (94) γράφονται ως:

5 d T T V T ( T V) Q dt q q q q q V Εφόσον V=V(q) και 0, έχουμε: q d L L dt q q (943) όπου, ορίσαμε την συνάρτηση L=T-V (944) που ονομάζεται συνάρτηση Lagrage του μηχανικού συστήματος Οι εξισώσεις (943) είναι οι εξισώσεις Lagrage για διατηρητικό πεδίο δυνάμεων 95 Οι εξισώσεις Lagrage για γενικό σύστημα Έστω x, οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματίου ( x x1, y x, z x3) (η αλλαγή συμβολισμού διευκολύνει στα επόμενα) N 1 Τότε, T mx y z m x (951) Οι καρτεσιανές συντεταγμένες x είναι συναρτήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων q Γενικά, x x( q1, q,, q, t) x( q, t) (ρητή εισαγωγή του χρόνου για να περιγράψει πχ ένα σώμα που κινείται πάνω σε επιφάνεια που και η ίδια κινείται με κάποιο τρόπο) Οπότε, x x x q, (95) όπου 1 q t =1,,,3Ν, με Ν τον αριθμό των σωματίων του συστήματος, και =1,,,, όπου οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος Προφανώς, στην γενική περίπτωση, T T( q, q, t) T 1 x Οπότε, mx mx q 1 q 1 q x x Αλλά, από την (95) προκύπτει ότι q q Οπότε, από την (953), έχουμε ότι: T x mx q 1 q και παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο: d T x d x mx mx dt q 1 q 1 dt q Αλλά, η γενικευμένη δύναμη, σύμφωνα με την (91), είναι: (953) (954)

6 x Q X 1 q Επίσης, d x 1 T mx mx 1 dt q 1 q q Οπότε, η εξίσωση (954) δίνει: d T T Q (955) dt q q όπου =1,,, Οι (955) αποτελούν τις εξισώσεις Lagrage του συστήματος των Ν σωματίων V Αν το σύστημα είναι διατηρητικό, τότε, Q Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε, q όπως και για την περίπτωση του ενός σωματίου, την συνάρτηση Lagrage, L=T-V, οπότε η (955) γίνεται: d L L (956) dt q q όπου =1,,, Αν μέρος των γενικευμένων δυνάμεων δεν είναι διατηρητικό, μπορούμε να γράψουμε V Q Q και να ορίσουμε και πάλι την συνάρτηση Lagrage (για το q διατηρητικό κομμάτι) L=T-V, οπότε, η (955) γίνεται: d L L Q (957) dt q q όπου =1,,, [Αυτή την μορφή χρησιμοποιούμε πχ όταν υπάρχουν δυνάμεις τριβής]