Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας 1. Μοντελοποίηση Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Επιλογή βαθμών ελευθερίας 2. Υπολογισμός κινηματικών παραμέτρων Θέσεις & διευθύνσεις Γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες 3. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων 3

4 I) Μοντελοποίηση 4

5 Μοντελοποίηση Συστημάτων με Πολλούς Β.Ε. Το ίδιο σύστημα μπορεί να περιγραφεί με πολλά μοντέλα Συνήθως επιλέγεται το πιο απλό μοντέλο που μπορεί να περιέχει/περιγράψει την αναγκαία πληροφορία Ν=1 Ν=2 Ν=4 5

6 Μοντελοποίηση 1. Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Αδράνεια, δυσκαμψία, απόσβεση, εξωτερικές δυνάμεις 2. Επιλογή βαθμών ελευθερίας qq Περιγράφουν πλήρως την κινηματική του συστήματος Στρατηγική επιλογή Αναγνώριση και απαληφή περιορισμών 6

7 II) Κινηματική 7

8 Κινηματική 1. Υπολογισμός συντεταγμένων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των Β.Ε. qq Σημειακή μάζα Θέση rr (qq) Στερεό σώμα (2D κίνηση) Κέντρο βάρους rr GG (qq), Διεύθυνση θθ qq Ελατήρια/αποσβεστήρες Σχετική θέση δδrr (qq) των δύο ακροδεκτών κάθε στοιχείου Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές Θέση rr FF (qq) όπου ασκείται η εξωτερική δύναμη FF Διεύθυνση θθ TTTT qq του σώματος όπου ασκείται η ροπή TT 8

9 Κινηματική 2. Υπολογισμός των γραμμικών/γωνιακών ταχυτήτων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των qq και qq Η ταχύτητα uu (qq, qq ) της θέσης rr (qq) μπορεί να γραφεί μέσω ενός Ιακωβιανoύ πινάκων JJ (qq): uu = ddrr (qq) dddd = JJ (qq) qq όπου JJ qq = ddrr (qq) ddqq Ιακωβιανός πίνακας της θέσης rr (qq) ως προς τους Β.Ε. qq 9

10 Κινηματική 2. Ιακωβιανοί πίνακες ενδιαφέροντος Ταχύτητα θέσης i: uu = ddrr dddd = JJ (qq) qq Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 3 διαστάσεις: Γωνιακή ταχύτητα ωω δεν είναι παράγωγος κάποιας γωνίας! ωω = JJ ω (qq) qq Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 2 διαστάσεις: ωω = θθ = JJ θ (qq) qq 10

11 Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m 1 uu 1 cc m 2 uu 2 Επιλογή 1 Επιλογή 2 δδrr cc = xx 1 xx 2 ff cc = cc uu 1 uu 2 = cc xx 1 xx 2 δδrr cc = xx 2 xx 1 ff cc = cc uu 2 uu 1 = cc xx 2 xx 1 m 1 ff cc ff cc ff cc ff cc ff cc ff m m cc cc cc ff cc ff cc m 2 11

12 III) Μέθοδος Lagrange 12

13 Μέθοδος Lagrange (κλασσική) Η δυναμική εξίσωση για τον j-οστό Β.Ε. προκύπτει ως: dd dddd TT qq, qq qq jj TT qq, qq qq jj + VV qq qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN TT(qq, qq ) VV qq Κινητική ενέργεια συστήματος Δυναμική ενέργεια συστήματος γενικευμένη δύναμη Β.Ε. j NN FFFFFFFFFF ξξ jj = ( rr FF ) TT FF qq jj =1 NN TTTTTTTTTTTT + ( ωω ) TT ΤΤ qq jj =1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού JJ F (qq) της θέσης rr FF (qq) όπου ασκείται η δύναμη FF ως προς τους Β.Ε. qq j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα JJ ωω (qq) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή ΤΤ 13

14 Μέθοδος Lagrange: Μεθοδολογία dd dddd TT qq, qq qq jj TT qq, qq qq jj + VV qq qq jj = ξξ jj, jj = 1,2,, NN 1. Υπολογισμός κινητικής ενεργείας TT qq, qq, δυναμικής ενέργειας V qq, και Ιακωβιανών JJ (qq) για τις εξωτερικές δυνάμεις Με βάση τη κινητική/κινηματική του συστήματος 2. Για κάθε βαθμό ελευθερίας qq jj : 1. Πρώτος όρος: παραγώγηση TT qq, qq ως προς qq jj. Παραγώγηση αποτελέσματος ως προς χρόνο t. 2. Δεύτερος όρος: παραγώγηση TT qq, qq ως προς qq jj. 3. Τρίτος όρος: παραγώγηση V qq ως προς qq jj. 4. Τέταρτος όρος: άθροισμα εσωτερικών γινόμένων των j-ιοστών στήλων των Ιακωβιανών JJ FF (qq) με τις FF και των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών JJ ωωi (qq) με τις ΤΤ. 14

15 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή) Αντί παραγώγισης ως προς κάθε Β.Ε. qq jj ξεχωριστά, παραγώγιση ως προς το διάνυσμα qq των Β.Ε. dd dddd TT qq TT qq + qq = ξξ dd dddd dd dddd TT qq 1 TT qq Ν TT qq 1 TT qq Ν VV qq 1 VV qq Ν ξξ 1 ξξ NN Δυνάμεις αδράνειας Μη γραμμικές δυνάμεις Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Δυνάμεις απόσβεσης Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές 15

16 Κινητική Ενέργεια Η κινητική ενέργεια Τ qq, qq ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών Τ qq, qq όλων των στοιχείων αδράνειας Τ qq, qq = Τ(qq, qq ) Κινητική ενέργεια i-ιοστού στοιχείου αδράνειας (3D): Τ = 1 2 mm TT uu GG uugg + ωω TT II ωω = = 1 2 qq TT mm TT JJ GG JJGG TT + JJ ωω II JJ ωω qq Σε 2D κίνηση: ΜΜ qq Τ = 1 2 qq TT mm TT JJ GG JJGG + II TT JJ θθ JJθθ qq 16

17 Μητρώο Μάζας Η κινητική ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως Τ qq, qq = 1 2 qq TT ΜΜ(qq) qq ο συμμετρικός θετικά ορισμένος Ν Ν πίνακας ΜΜ(qq) είναι το μητρώο μάζας και υπολογίζεται αναλυτικά ως: Τ qq, qq = Τ = 1 2 qq TT { mm TT JJ GG JJGG + TT JJ TT II JJ TT } Μητρώο μάζας ΜΜ(qq) ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων μάζας MM(qq) κάθε στοιχείου αδράνειας qq ΜΜ qq ΜΜ qq = MM(qq) MM(qq) = mm TT JJ GG JJGG TT + JJ TT II JJ TT 17

18 Δυναμική Ενέργεια Η Δυναμική ενέργεια VV qq ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών V qq όλων των στοιχείων ελαστικότητας/δυσκαμψίας VV qq = VV llllllllllll qq +VV gggggggggggggg qq Δυναμική ενέργεια λόγω γραμμικών ελατηρίων VV llllllllllll qq = { VVllllllllllll(qq)} Δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας VV gggggggggggggg qq = { VVgggggggggggggg(qq)} VV llllllllllll (qq) = 1 2 ( kk TT δδrr kk δδrr kk ) VVgggggggggggggg (qq) = mm gg zz (qq) 18

19 Μητρώο Ελαστικότητας Η δυναμική ενέργεια V llllllllllll (qq) λόγω γραμμικών ελατηρίων συνήθως μπορεί να γραφεί ως: ο συμμετρικός θετικά ημιορισμένος Ν Ν πίνακας KK είναι το μητρώο ελαστικότητας και υπολογίζεται ως εξής: VV llllllllllll qq = Vllllllllllll VV llllllllllll qq = 1 2 qqtt KK qq = 1 2 kk TT δδrr kk δδrr kk = 1 2 qqtt kk Μητρώο ΚΚ ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων ελαστικότητας ΚΚ γραμμικών στοιχείων ελαστικότητας TT JJ δr JJ δδrr ΚΚ qq KK = KK KK = kk TT JJ δr JJ δδrr 19

20 Γενικευμένες Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας λόγω δυναμικής ενέργειας βαρύτητας V gggggggggggggg (qq): ξξ gggggggggggggg = VV gggggggggggggg qq qq Ισούται με άθροισμα γενικευμένων δυνάμεων σε κάθε στοιχείου μάζας ξξ gggggggggggggg = VVgggggggggggggg qq qq = ξξgggggggggggggg ξξ gggggggggggggg = mm gg zz qq qq = mm TT gg JJ zz Ιακωβιανός πίνακας της z συντεταγμένης του Κ.Β. της μάζας i ως προς τους Β.Ε. qq 20

21 Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων/ροπών: NN FFFFFFFFFF ξξ = JJ FF TT FF =1 NN TTTTTTTTTTTT + JJ ωω, TT ΤΤ =1 Ιακωβιανός πίνακας της θέσης rr F όπου ασκείται η δύναμη FF Ιακωβιανός πίνακας της γωνιακής ταχύτητας του σώματος όπου ασκείται η ροπή ΤΤ Στην ειδική περίπτωση εξωτερικών δυνάμεων που αντιστοιχούν σε γραμμικά στοιχεία αποσβεσης, οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις υπολογίζονται μέσω του μητρώου απόσβωσης 21

22 Δυνάμεις Απόσβεσης Δύναμη σε γραμμικό αποσβεστήρα uu 1 uu 2 uu 1 uu 2 m 1 m 2 m 1 ff cc ff cc m 2 cc ff cc = cc uu 1 uu 2 cc = cc δδrrcc = cc JJ δδrr (qq) qq Αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις ξξ cc = JJ TT 1 ( ff cc ) + JJ TT 2 ff cc = (JJ TT 1 JJ TT cc 2 ) cc JJ δδrr (qq) qq cc ξξ cc = JJ δδrr (qq) TT cc cc JJ δδrr (qq) qq 22

23 Μητρώο Απόσβεσης Γενικευμένες δυνάμεις λόγω γραμμικών αποσβεστήρων: ξξ dddddddd qq, qq = ξξ cc όπου ο συμμετρικός Ν Ν πίνακας CC(qq) είναι το μητρώο απόσβεσης Ν dddddddd CC qq = CC(qq) =1 Ν dddddddd =1 Ν dddddddd = { JJ δrr =1 = CC(qq) qq TT cc JJ δrr } Το μητρώο απόσβεσης CC ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων απόσβεσης CC κάθε γραμμικού στοιχείου απόσβεσης 23

24 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) dd dddd TT qq TT qq + qq = ξξ dd dddd TT qq = dd dddd ΜΜ qq qq = ΜΜ qq qq + dd dddd ΜΜ qq qq TT qq = 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) 2 qq VV qq qq = VV llllllllllll qq qq + VV gggggggggggggg qq qq = KK qq ξξ gggggggggggggg NN FFFFFFFFFF ξξ = CC qq + JJ TT FF =1 NN TTTTTTTTTTTT + JJ TT, TT ΤΤ =1 24

25 Μη Γραμμικές Δυνάμεις Πρώτος και ο δεύτερος όρος συνεισφέρουν μη γραμμικές αδρανειακές δυνάμεις (φυγοκεντικές, Coriolis) ξξ nnnnnnnnnnnn qq, qq ddμμ qq = dddd qq + 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) 2 qq όπου ddμμ qq dddd 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) 2 qq qq = ( NN JJ=1 { MM qq qq jj }) qq jj = 1 2 qq TT ΜΜ qq 1 qq 1 2 qq TT ΜΜ qq NN qq TT ΜΜ qq jj = Μ 11 qq Μ 1NN qq qq jj qq jj Μ NN1 qq Μ NNNN qq qq jj qq jj 25

26 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) Συνολικά (Ν βαθμοί ελευθερίας) NN FFFFFFFFFF ΜΜ qq qq + CC qq qq + KK qq = ξξ ggggggvv + ξξ nnnnnnnnnnnn + JJ TT FF =1 NN TTTTTTTTTTTT + JJ TT, TT ΤΤ =1 Δυνάμεις αδράνειας Δυνάμεις απόσβεσης Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Μη γραμμικές δυνάμεις Εξωτερικές δυνάμεις Εξωτερικές ροπές Στην περίπτωση συστήματος 1 Β.Ε. η αντίστοιχη δυναμική εξίσωση είναι: mm xx + cc xx + kk xx = mmmm + ff tt 26

27 Παράδειγμα 1: Ταλαντώσεις στο φορτίο γερανογέφυρας λόγω της κίνησης της γερανογέφυρας 27

28 Παράδειγμα 1: Μοντελοποίηση Πλάγια όψη xx F(tt) g Μ cc cc TT θθ L m qq = xx θθ 28

29 Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος MM = Θέση x Κ.Β. 0 Τ μάζας Μ rr GG mm rr GG = Θέση xx + Κ.Β. LL ssμάζας θθ LL m cc Τ θθ cc TT L mm = z συντεταγμένη xx + LL ss θθ LL θέσης cc Τ θθ Κ.Β. μάζας m zz GG δδrr cc = Σχετική xx θέση ακροδεκτών c 1 δθ cccc = Σχετική 2 θθ ccτ γωνία θθ ccτ ακροδεκτών = θθ c Τ rr FF = Θέση xx όπου ασκείται η δύναμη F 0 Τ ZZ xx F(tt) g Μ cc XX θθ m qq = xx θθ 29

30 Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας MM rr GG = x 0 Τ mm rr GG = xx + LL ss θθ LL cc Τ θθ mm zz GG = LL cc θθ δδrr cc = xx δθ cccc = 2 θθ ccτ 1 θθ ccτ = θθ ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m qq = xx θθ rr FF = xx 0 Τ ss θθ sin (θθ) cc θθ cos (θθ) 30

31 Παράδειγμα 1: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος MM JJ GG = mm JJ GG = 1 LL cc θθ 0 LL ss θθ mm JJ zz = 0 LL ss θθ ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m cc JJ δδrr = 1 0 cccc = 0 1 JJ δδθ JJ FF = qq = xx θθ 31

32 Παράδειγμα 1: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων MMMM qq = Μ ΜJJ TT GG Μ JJ GG = MM 0 0 ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT L g XX mm MM qq = m mjj TT GG m JJ GG = mm 1 LL cc θθ LL 2 θθ m Μητρώο αδράνειας συστήματος qq = xx θθ MM qq = mm MM qq + MM MM qq = MM + mm mm LL cc θθ mm LL 2 32

33 Παράδειγμα 1: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων ZZ xx F(tt) Μ g Το σύστημα δεν έχει γραμμικά στοιχεία ελαστικότητας! cc cc TT L XX Μητρώοελαστικότητας συστήματος θθ m KK = 00 qq = xx θθ 33

34 Παράδειγμα 1: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας mmξξ gggggggggggggg = mm gg mmjj TT zz = mm gg 0 LL ss θθ Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m ξξ gggggggggggggg = mmξξ gggggggggggggg = 0 mm gg LL ss θθ qq = xx θθ 34

35 Παράδειγμα 1: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων cc CC = ccjj TT δrr cc cc JJ δrr = cc cccc CC = cccc TT JJ δrr cctt cccc JJ δrr = cc TT ZZ xx F(tt) Μ cc cc TT θθ g XX L m Μητρώο απόσβεσης συστήματος qq = xx θθ CC = cc CC + cccc CC = cc 0 0 cc TT 35

36 Παράδειγμα 1: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές Γενικευμένες δυνάμεις λόγω εξωτερικών δυνάμεων/ροπών ZZ xx F(tt) Μ g ξξ = MMJJ TT F FF = FF 0 = FF 0 cc cc TT θθ L m XX H F ασκείται κατά τον άξονα x qq = xx θθ 36

37 Παράδειγμα 1: Μη γραμμικές δυνάμεις MM qq = MM + mm mm LL cc θθ mm LL 2 ZZ xx F(tt) Μ g cc cc TT θθ XX L m ddμμ qq ξξ nnnnnnnnnnnn qq, qq = dddd = mm LL ss 2 θθ θθ 0 qq qq TT ΜΜ qq qq qq qq = xx θθ 37

38 Παράδειγμα 1: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: ZZ xx F(tt) g Ροπή αδράνειας μάζας m σε απόσταση L MM + mm mm LL cc θθ xx mm LL 2 θθ = + cc 0 cc TT xx θθ 0 mm gg LL ss θθ + mm LL ss θθ θθ FF(tt) 0 cc cc TT Μ XX L θθ m qq = xx θθ Δύναμη επαναφοράς εκκρεμούς 38

39 Παράδειγμα 2: Ταλάντωση στην κεφαλή σκληρού δίσκου 39

40 Παράδειγμα 2: Μοντελοποίηση κάτοψη TT(tt) II L k θθ δδ cc TT qq = θθ δδ Η ελαστικότητα στην κεφαλή (μάζα m, μήκος L) μοντελοποιείται σαν καμπτικό ελατήριο k. Η μάζα της κεφαλής μοντελοποιείται ως δύο σημειακές μάζας m/2. Η πρώτη βρίσκεται επί τον άξονα περιστροφής και συνεισφέρει στην αδράνεια Ι επί του άξονα περιστροφής. Η δεύτερη σημειακή μάζα θεωρείται ότι βρίσκεται σε απόσταση L από τον άξονα. Η στροφική απόκριση c T είναι λόγω τριβών κατά την περιστροφή του άξονα. Η εξωτερική ροπή T(t) ασκείται από τον κινητήρα που ελέγχει την κεφαλή 40

41 Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος II θθ = Διεύθυνση θθ αδράνειας Ι mm rr GG = LL cc θθ δδ ss θθ Θέση Κ.Β. μάζας m LL ss θθ + δδ cc θθ TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ δδrr kk = Σχετική δδ θέση ακροδεκτών k δθ cccc = 2 1 Σχετική θθ ccτ γωνία θθ ccτ ακροδεκτών = θθ c Τ θθ Τ = Διεύθυνση θθ στερεού σώματος (αδράνειας Ι) όπου ασκείται η ροπή Τ 41

42 Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας Ι θθ = θθ mm rr GG = LL cc θθ δδ ss θθ LL ss θθ + δδ cc θθ TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ δδrr kk = δδ δθ 2 1 cccc = θθ ccτ θθ ccτ = θθ θθ Τ = θθ ss θθ sin (θθ) cc θθ cos (θθ) 42

43 Παράδειγμα 2: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος II JJ θ = 1 0 TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ mm JJ GG = LL ss θθ δ cc θθ ss θθ LL cc θθ δ ss θθ cc θθ kk JJ δr = 0 1 cccc JJ δθ = 1 0 JJ TT =

44 Παράδειγμα 2: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων ΙMM qq = Ι Ι TT JJ θ Ι JJθθ = II 0 0 mm MM qq = m mjj TT GG m JJ GG = mm LL2 + δδ 2 LL 1 TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Μητρώο αδράνειας συστήματος MM qq = mm MM qq + Ι MM qq = Ι + mm (LL2 + δδ 2 ) mm LL m 44

45 Παράδειγμα 2: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων kk KK = kk kk TT JJ δr kk JJ δδrr = 0 0 kk TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Μητρώο ελαστικότητας συστήματος KK = kk KK = 0 0 kk 45

46 Παράδειγμα 2: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας Στο σύστημα η βαρύτητα δεν επιδρά στις δυναμικές εξισώσεις επειδή καμία μάζα δεν κινείται κατά τον άξονα της βαρύτητας z TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος ξξ gggggggggggggg = 00 46

47 Παράδειγμα 2: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων cccc CC = cccc TT JJ δrr cctt cccc JJ δrr = cc TT TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Μητρώο απόσβεσης συστήματος CC = cccc CC = cc TT

48 Παράδειγμα 2: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές II TT 1 ξξ = JJ θ Τ = 0 Τ = Τ 0 TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ 48

49 Παράδειγμα 2: Μη γραμμικές δυνάμεις MM qq = Ι + mm (LL2 + δδ 2 ) mm LL m TT(tt) YY II cc TT L k θθ δδ XX qq = θθ δδ ddμμ qq ξξ nnnnnnnnnnnn qq, qq = qq + 1 (qq TT ΜΜ(qq) qq ) dddd 2 qq = 2 μμ δδ θθ δδ mm δδ θθ 2 49

50 Παράδειγμα 2: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: TT(tt) YY II cc TT L k δδ θθ XX qq = θθ δδ Ι + mm (LL 2 + δδ 2 ) θθ kk δδ mm LL m θθ δδ + cc TT 0 0 = 2 mm δδ θθ δδ mm δδ θθ 2 θθ δδ + TT(tt) 0 50

51 Παράρτημα 51

52 Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Παράγωγος ενός NN 1 διανύσματος rr ως προς MM 1 διάνυσμα qq είναι ο NN MM πίνακας JJ (Ιακωβιανός) Τα στοιχεία του rr είναι συνάρτηση του qq Το στοιχείο JJ(, jj) είναι η μερική παράγωγος του i-οστού στοιχείου του rr ως προς το j-οστό στοιχείο του qq rr qq = rr 1 qq ff NN qq rr 1 (qq) qq 1 rr 1 (qq) qq MM qq = qq 1 qq MM JJ = ddrr(qq) ddqq = rr NN (qq) qq 1 rr (qq) qq jj rr NN (qq) qq MM 52

53 Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Στην δυναμική μηχανικών συστημάτων: rr είναι η θέση rr ενός σημείου ενδιαφέροντος i και qq είναι οι Β.Ε. Η αντίστοιχη ταχύτητα rr μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του qq με μέσω του JJ (κανόνας αλυσίδας) uu = rr = ddrr (qq) dddd = rr (qq) qq ddqq dddd = JJ (qq) qq O Ιακωβιανός πίνακας JJ (qq) περιγράφει πως η ταχύτητα rr της θέσης i εξαρτάται από την χρονική μεταβολή των Β.Ε. qq. 53

54 Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.