ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΜΟΥΣΤΑΚΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Αριθμός Μητρώου: 6321 Θέμα «ΜΕΛΕΤΗ HAMILTONIAN ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΦΑΙΡΑΣ- ΡΑΒΔΟΥ» Επιβλέπων ΚΑΖΑΚΟΣ ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα, ΙΟΥΝΙΟΣ 2012

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα ΜΕΛΕΤΗ HAMILTONIAN ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΦΑΙΡΑΣ- ΡΑΒΔΟΥ Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΜΟΥΣΤΑΚΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Αριθμός Μητρώου: 6321 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις 12/10/12 Ο Επιβλέπων Καζάκος Δημοσθένης Ο Διευθυντής του Τομέα Κούσουλας Νικόλαος ~1~

3 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: ΜΕΛΕΤΗ HAMILTONIAN ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΦΑΙΡΑΣ-ΡΑΒΔΟΥ Φοιτητής: Μουστάκης Νικόλαος Επιβλέπων: Καζάκος Δημοσθένης Περίληψη Στην παρούσα διπλωματική εργασία, παρουσιάζουμε ένα νέο σύστημα διαφορικών εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν την δυναμική συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος. Οι εξισώσεις αυτές είναι 2n στο πλήθος διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, όπου n είναι το πλήθος των βαθμών ελευθερίας και ονομάζονται εξισώσεις του Hamlton ή κανονικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις αυτές είναι απολύτως ισοδύναμες με το μοντέλο διαφορικών εξισώσεων του Lagrange, εντούτοις παρουσιάζουν περισσότερα πλεονεκτήματα συγκριτικά με αυτές. Για τις εξισώσεις του Hamlton υπάρχει συστηματικός τρόπος για να επιτυγχάνουμε αλλαγή μεταβλητών και να δημιουργούμε αγνοήσιμες συντεταγμένες. Επίσης η μέθοδος του Hamlton χρησιμοποιείται και στη μελέτη προβλημάτων της Φυσικής πέρα απο την Κλασσική Μηχανική. Στην διπλωματική εργασία παρουσιάζουμε ένα εκτενές θεωρητικό πλαίσιο παρουσίασης της Αναλυτικής Δυναμικής κατα Hamlton η οποία δίνει τη δυνατότητα της μελέτης ενός δυναμικού συστήματος κατα τρόπο περισσότερο συστηματικό απο ότι η Νευτώνεια Μηχανική. Η μέθοδος αυτή είναι πιο αφηρημένη, διότι η μελέτη δεν αφορά στον φυσικό χώρο αλλα σε καμπύλους χώρους πολλών διαστάσεων που δεν έχουν άμεση φυσική σημασία. Παρά το γεγονός ότι είναι δυνατό να θεμελιωθεί η Μηχανική με τη θεωρία του Hamlton χωρίς τη βοήθεια των εξισώσεων του Νεύτωνα, οι βασικές έννοιες της Μηχανικής δυναμικών συστημάτων γίνονται πιο κατανοήσιμες αν ξεκινήσουμε με την Νευτώνεια θεώρηση διότι χρησιμοποιούνται έννοιες που είναι γνωστές απο την καθημερινή εμπειρία. Συνεπώς η παρουσίαση της εργασίας ξεκινά με την Νευτώνεια θεωρία όπου καταγράφονται οι δυσκολίες του μαθηματικού μοντέλου και περνάμε στο μοντέλο εξισώσεων του Lagrange για συστήματα με ολόνομους δεσμούς όπου διαπιστώνουμε ότι η κατάλληλη εκλογή του συστήματος των γενικευμένων συντεταγμένων βοηθά σημαντικά στην λύση του προβλήματος. Τέλος αναφερόμαστε στις εξισώσεις του Hamlton οι οποίες εξάγονται απο το μοντέλο του Lagrange, οι οποίες βρέθηκαν απο το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα και την Αρχή του D' Alembert, και βάσει του μοντέλου εφαρμόζουμε τις αρχές στο σύστημα σφάιρας-ράβδου. ~2~

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. I Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων για φυσικά συστήματα 4 1 Εισαγωγή στα στοιχεία συστημάτων 5 Εισαγωγή 1.1 Το αδρανειακό στοιχείο (nertal element) Το συμμορφούμενο στοιχείο (complant element) Tο στοιχείο αντίστασης (resstve element) 7 2 Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων μηχανικών συστημάτων βάσει του μοντέλου Νευτώνειας Μηχανικής Χώρος μορφής Ολόνομοι δεσμοί-βαθμοί ελευθερίας Διαφορικές εξισώσεις απο το νόμο του Νεύτωνα Πρακτικές δυσκολίες Νευτώνειου φορμαλισμού 11 3 Εξισώσεις Lagrange για συστήματα με ολόνομους δεσμούς 3.1 Στοιχεία της Λαγκρανζιανής προσέγγισης Η αρχή των δυνατών μετατοπίσεων Γενικευμένες συντεταγμένες Γενικευμένες δυνάμεις Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων Lagrange για συστήματα με ολόνομους δεσμούς Συστήματα με εξωτερικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις Συστήματα με αντίσταση η τριβή Μοντελοποίηση τριβής Coulomb Η αρχή της ελάχιστης δράσης Συνοπτική περίληψη κεφαλαίου 26 4 Εξισώσεις του Hamlton 4.1 Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης O φορμαλισμός του Hamlton Ολοκληρώματα των κανονικών εξισώσεων Αγκύλες του Posson Mετατροπή συστήματος σε αυτόνομο με αύξηση των βαθμών ελευθερίας Η αρχή του Hamlton Kανονικοί μετασχηματισμοί Kατασκευή κανονικών μετασχηματισμών-γενέτειρα συνάρτηση Ολοκληρωσιμότητα στη μηχανική Hamltonan H εξίσωση Hamlton-Jacob για αυτόνομα συστήματα Διαχωρίσιμα συστήματα Xώρος φάσεων-θεώρημα Louvlle Συνοπτική περίληψη κεφαλαίου 59 II Μελέτη και ανάλυση των μεθόδων ελέγχου του συστήματος σφαίρας-ράβδου 60 1 Eξαγωγή δυναμικής του συστήματος σφαίρας ράβδου Oρισμοί παραμέτρων συστήματος Εξαγωγή δυναμικών παραμέτρων συστήματος 62 2 Έλεγχος συστήματος σφαίρας-ράβδου Ορισμός φυσικών παραμέτρων συστήματος Σχεδιασμός διαγραμμάτων φάσης Δυναμική συμπεριφορά και έλεγχος συστήματος σφαίρας-ράβδου Βέλτιστος έλεγχος συστήματος συνεχούς χρόνου με ορισμό κατάλληλης Χαμιλτονιανής συνάρτησης To γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ regulators) Βέλτιστος έλεγχος συστήματος σφαίρας-ράβδου 90 Παραρτήματα 96 Βιβλιογραφία 100

5 Μέρος I Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων για δυναμικά συστήματα Τα πάντα στην φύση μεταβάλλονται συνεχώς. Όσο στατικά και αμετάβλητα μπορεί να παρουσιάζονται κάποια επιμέρους συνθετικά στοιχεία του φυσικού περιβάλλοντος, εντούτοις, τα πάντα υφίστανται αλλαγές, άλλα γρήγορα και κάποια πιο αργά. Οποιοδήποτε σύστημα του οποίου η κατάσταση αλλάζει με τον χρόνο ονομάζεται δυναμικό σύστημα. Η μελέτη των δυναμικών συστημάτων παρουσιάζει εγγενή αξία για τους επιστήμονες που προσπαθούν να κατανοήσουν τις μεθόδους που λειτουργεί η φύση. Για τους μηχανικούς είναι το πάν. Με ότι τομέα και αν δραστηριοποιηθεί ένας μηχανικός συστημάτων έρχεται σε επαφή με ένα δυναμικό σύστημα. Χρειάζεται να σχεδιάσει το σύστημα, να το λειτουργήσει και να είναι σε θέση να προβλέψει την συμπεριφορά του κάτω απο ορισμένες συνθήκες λειτουργιών. Τα δυναμικά συστήματα περιγράφονται απο διαφορικές εξισώσεις- των οποίων οι λύσεις δείχνουν πως οι μεταβλητές του συστήματος εξαρτώνται απο την ανεξάρτητη μεταβλητή του χρόνου. Στα επόμενα υποκεφάλαια παρουσιάζονται τα μαθηματικά μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για διάφορους τύπους μηχανικών δυναμικών συστημάτων. ~4~

6 1 Εισαγωγή στα στοιχεία συστημάτων 1.1 Εισαγωγή Κάθε ηλεκτρικό, μηχανικό η ηλεκτρομηχανικό σύστημα αποτελείται απο στοιχεία τα οποία αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και παράγουν την συνολική δυναμική του συστήματος. Επομένως, για να μοντελοποιήσουμε την δυναμική του συστήματος είναι απαραίτητο να κατανοούμε τις δυναμικές ιδιότητες του κάθε επιμέρους στοιχείου. Παρ'όλο που, γενικά, τα στοιχεία ενός μηχανικού συστήματος είναι κατα κανόνα πολύπλοκα, συχνά με μη γραμμικές ιδιότητες, μπορούμε στα πλαίσια των μελετών δυναμικής συμπεριφόρας που κάνουμε να θεωρούμε ότι συμπεριφέρονται σαν γραμμικά στοιχεία στις περιοχές λειτουργίας που μας ενδιαφέρει να τα λειτουργούμε. Συχνά, οι επιμέρους συστατικές δομές ενός συστήματος μπορούν να επεκταθούν χωρικά (ελατήρια) και αν κάποιος μπεί στην διαδικασία να κοιτάξει τι συμβάινει στο εσωτερικό της δομής αυτής, η περιγραφή να αποτελεί μαθηματικά χαώδης. Αυτό που κάνουν οι μηχανικοί σε τέτοιες περιπτώσεις είναι να θεωρούν μια σωρευμένη αντιπροσώπευση των λειτουργιών του επιμέρους δυναμικού στοιχείου όπου ο μηχανικός συστημάτων βασίζεται στον τρόπο που το στοιχείο αυτό αλληλεπιδρά με τα συνδεδεμένα σε αυτό στοιχεία μέσω των τελικών σημείων αυτού, αγνοώντας την συμπεριφορά των ανάμεσα σημείων που αντιπροσωπεύουν το στοιχείο σαν σύνολο. Στην συνέχεια αναφερόμαστε σε τέτοιου είδους στοιχεία συστημάτων To αδρανειακό στοιχείο Η ιδιότητα της αδράνειας είναι να αντιστέκεται στην αλλαγή της ταχύτητας. Μια κινούμενη σημειακή μάζα ή ένα περιστρεφόμενο στερεό σώμα είναι παραδείγματα αδρανειακών στοιχείων μηχανικών συστημάτων. Αν μια δύναμη f εφαρμόζεται σε μια μάζα με ορμή p, τότε η θεμελιώδης ιδιότητα του αδρανειακού στοιχείου δίνεται απο την σχέση f = d p dt Αν με q, v και a περιγράφουμε την θέση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση αντίστοιχα τότε η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί ως: f =m d 2 q dt =m d v 2 dt =m a Η σχέση αυτή ορίζει την μάζα m ως την κλίση του γραμμικού γραφήματος του μεγέθους f = f με το μέγεθος α= a. Στις μονάδες SI οι μονάδες μέτρησης είναι οι Kg και Kgm /s 2 για την μάζα και την δύναμη αντίστοιχα. Για την περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω απο έναν άξονα, η ίδια σχέση αναπτύσσεται αφορώντας όμως την εφαρμοζόμενη ροπή f και την ροπή αδράνειας I ως: f =I d ω dt = I α όπου οι ποσότητες ω και α αντιπροσωπεύουν την γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση κατα αντίστοιχο τρόπο. Οι μονάδες μέτρησης βάσει το προτύπου SI είναι kgm 2 για την ροπή αδράνειας και Nm για την ροπή. ~5~

7 Ο νόμος της αδράνειας σε (a) μεταφορική και (β) περιστροφική κίνηση και στο (γ) φαίνεται η φορά του διανύσματος για περιστροφική κίνηση To συμμορφούμενο στοιχείο Η ιδιότητα ενός συμμορφούμενου στοιχείου είναι να αντιστέκεται στην σχετική μεταβολή της απόστασης μεταξύ των τελικών του σημείων (ελατήριο). Αν ένα ελατήριο το τραβήξουμε τότε θα ασκηθεί μια δύναμη που τείνει να επαναφέρει το ελατήριο στην αρχική του σε ισσοροπία θέση. Η δύναμη δίνεται απο την σχέση: f =k q=k u dt Με k περιγράφεται η σταθερά του ελατηρίου (ακαμψία). Έτσι το k αντιπροσωπεύει την κλίση του γραφήματος ανάμεσα στα μεγέθη της δύναμης f και της μετατόπισης q και έχει μονάδες N/m. Το παρακάτω γράφημα παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά των ελαφρών και σκληρών ελατηρίων καθώς και το γραμμικό ελατήριο που περιγράφεται απο την παραπάνω σχέση. ~6~

8 1.1.3 Το στοιχείο αντίστασης Ιξώδης Τριβή ( vscous frcton) Η ιξώδης τριβή παράγεται όταν δύο επιφάνειες που χωρίζονται απο ένα υγρό ολισθαίνουν η μία σχετικά με την άλλη. Η δύναμη απόσβεσης εξαιτίας της τριβής αντιτίθεται στην κίνηση και εξαρτάται απο την φύση του υγρού ανάμεσα στις επιφάνεις αυτές. Η σχέση μεταξύ της σχετικής ταχύτητας ολίθησης και της δύναμης απόσβεσης είναι αρκετά πολύπλοκη αλλά μπορεί να προσεγγιστεί απο μια γραμμική σχέση που δίνεται ως: f =Ru=R d q.η ιξώδης τριβή είναι παρόμοια στην φύση της με την ηλεκτρική αντίσταση.σε περιστροφική κίνηση η ίδια dt σχέση εφαρμόζεται ανάμεσα στην σχετική γωνιακή ταχύτητα των δύο επιφανειών και την ροπή που δημιουργείται απο την τριβή. (a) Οι χαρακτηριστική εξίσωση της ιξώδους τριβής, και (b) το σύμβολο του αποσβετήρα. Τριβή Coulomb Η τριβή Coulomb δημιουργείται όταν δύο ξηρές επιφάνειες ολισθαίνουν η μία σε σχέση με την άλλη. Αν ασκούμε μια δύναμη σε ένα αντικείμενο τότε αυτό δεν κινείται έως η δύναμη που ασκούμε να ισούται με μια κρίσιμη τιμή η οποία λέγεται κρίσιμη στατική τριβή. Όταν εκκινά η ολίσθηση η τριβή έχει λίγο χαμηλότερη τιμή που καλείται τριβή ολίσθησης και ελλατώνεται όσο αυξάνεται η σχετική ταχύτητα ολίσθησης. ~7~

9 2 Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων μηχανικών συστημάτων βάσει του μοντέλου Νευτώνειας μηχανικής H βασική μεθοδολογία για την διαμόρφωση των διαφορικών εξισώσεων δόθηκε απο τον Ισαάκ Νεύτωνα ( ). Ανακάλυψε, ακολουθώντας τις ιδέες του Γαλιλαίου, ότι η εφαρμογή μιας δύναμης μεταβάλλει την ταχύτητα ενός σώματος. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας, η επιτάχυνση, είναι ανάλογη της εξασκούμενης δύναμης. Η μάζα του σώματος εμφανίζεται ως σταθερά αναλογίας και η σχέση προκύπτει ως: f =m a=m d v. dt Μετά απο τον Νεύτωνα ο D'Alembert ( ) πρότεινε ένα ισοδύναμο αλλα ελαφρώς διαφορετικό μοντέλο. Αντιμετώπισε την οντότητα της μάζας ώστε να έχει την δυνατότητα να διατηρεί την κινητική της κατάσταση σε σχέση με κάθε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Αλλά αν δεν αφήνεται να διατηρεί την αδρανειακή της κατάσταση με την εφαρμογήμιας εξωτερικής δύναμης τότε μια αντίρροπη εσωτερική δύναμη εξασκείται, της οποίας το μέτρο δίνεται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής και η διευθυνσή της είναι αντίρροπη με την εξωτερικά εξασκούμενη δύναμη. Παρακάτω ακολουθεί το διάγραμμα ελευθέρου σώματος (free body dagramm-fbd) ενός απλού μηχανικού συστήματος μάζας ελατηρίου, όπου παρουσιάζεται η συνεισφορά του D'Alembert στην Νευτώνεια θεώρηση της μηχανικής. Απο το διάγραμμα ελεύθερου σώματος προκύπτει η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το σύστημα: m q k q=f. 2.1 Χώρος μορφής Αν η θέση ενός συστήματος Ν υλικών σημείων προσδιορίζεται απο τις 3Ν γενικευμένες συντεταγμένες (x1,y1,z1,x2,y2,z2,...xn,yn,zn), μπορούμε να θεωρήσουμε ένα χώρο 3Ν διαστάσεων όπου κάθε σημείο του ορίζεται απο τις παραπάνω 3Ν συντεταγμένες. Ο χώρος αυτός είναι σε αυτή την περίπτωση ο R 3 R 3...R 3 (N φορές) και ονομάζεται χώρος μορφής. Κάθε σημείο του χώρου αυτού των 3Ν διαστάσεων αντιστοιχεί σε μια θέση του συστήματος των Ν υλικών σημείων στο φυσικό χώρο. Γενικότερα, αν η θέση ενός συστήματος καθορίζεται απο n γενικευμένες συντεταγμένες, τις (q1,q2,...qn), μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε τη θέση του συστήματος αυτού με ένα σημείο σε ένα χώρο n διαστάσεων: Κάθε σημείο του χώρου αυτού έχει συντεταγμένες (q1,q2,...qn) και συνεπώς αντιστοιχεί σε μια καθορισμένη θέση του συστήματος στο φυσικό χώρο. Ο παραπάνω χώρος n διαστάσεων είναι ο χώρος μορφής για το σύστημα αυτό. Το είδος του χώρου μορφής εξαρτάται απο το συσγκεκριμένο σύστημα. Για παράδειγμα ο χώρος μορφής ενός για την κίνηση ενός ελεύθερου υλικού σημείου είναι ο τρισδιάστατος χώρος R 3 ενώ ο χώρος μορφής του παρακάτω συστήματος είναι ο ~8~

10 χώρος με συντεταγμένες x1,y1,θ1, που είναι ο χώρος R 2 S 1 (δηλαδή το καρτεσιανό γινόμενο του επιπέδου με μια περιφέρεια κύκλου) που είναι επίσης τριών διαστάσεων. 2.2 Ολόνομοι δεσμοί-βαθμοί ελευθερίας Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα N υλικών σημείων που κινούνται στο χώρο. Αν για τα σημεία αυτά δεν είχαμε δεσμούς, θα χρειαζόμασταν 3Ν συντεταγμένες για να μπορέσουμε να προσδιορίσουμε την θέση τους. Αν εκλέξουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα Οxyz, η θέση του συστήματος αυτού προσδιορίζεται απο τις 3Ν συντεταγμένες x1,y1,z1,x2,y2,z2,...xn,yn,zn. Θεωρούμε τώρα ότι επιβάλλονται περιορισμοί στην κίνηση του συστήματος των Ν υλικών σημείων, οι οποίοι εκφράζονται μαθηματικά με εξισώσεις της μορφής f 1 x 1, y 1, z 1, x 2,... z N,t =0, f 2 x 1, y 1, z 1, x 2,... z N,t =0,... f k x 1, y 1, z 1, x 2,... z N,t =0, με την υπόθεση ότι οι παραπάνω εξισώσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, και k<3n. Οι περιορισμοί που ορίζονται απο τις παραπάνω εξισώσεις ονομάζονται ολόνομοι δεσμοί. Η φυσική σημασία των παραπάνω μαθηματικών εξισώσεων είναι ότι οι ολόνομοι δεσμοί είναι οι περιορισμοί στην κίνηση, οι οποίοι εκφράζονται υπό την μορφή εξισώσεων που περιέχουν τις συντεταγμένες θέσεως των υλικών σημείων του συστήματος και το χρόνο. Στην περίπτωση που οι ολόνομοι δεσμοί δεν εξαρτώνται απο το χρόνο ονομάζονται σκληρόνομοι δεσμοί, ενώ αν περιέχουν και το χρόνο ονομάζονται ρεόνομοι δεσμοί. Σε ένα τρισδιάστατο χώρο μορφής μια αλγεβρική εξίσωση της μορφής f x 1, x 2, x 3,... x n =0 (2.1) αντιπροσωπεύει μια επιφάνεια. Το σημείο του χώρου είναι δέσμιο στην κινησή του η οποία περιορίζεται στην επιφάνεια αυτή. Αν υπάρχουν δύο ολόνομοι δεσμοί τότε το σημείο του χώρου μορφής είναι δέσμιο να κινείται στην γραμμή η οποία αποτελεί την τομή των δύο δέσμιων επιφανειών. Το συμπέρασμα αυτό ισχυεί και σε μεγαλύτερο χώρο μορφής. Σαν συμπέρασμα κάθε ολόνομος δεσμός μειώνει τις διαστάσεις του χώρου μορφής κατα 1. Η ύπαρξη επομένως ολόνομων δεσμών απλοποιεί την μοντελοποίηση ενός συστήματος, μια ιδιότητα ιδιαίτερα σημαντική. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι διαστάσεις του χώρου μορφής ενός συστήματος Ν υλικών σημείων που υπόκειται σε k<3n ολόνομους δεσμούς είναι 3Ν-k. Στο χώρο αυτό μορφής η θέση του αντιπροσωπευτικού σημείου P του συστήματος των Ν υλικών σημείων προσδιορίζεται απο τις συντεταγμένες q 1, q 2,... q n, όπου n=3n-k οι διαστάσεις του χώρου μορφής. Δηλαδή τα (q1,q2,...qn) που προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στο χώρο αυτό είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Προφανώς τα q1,q2,...qn είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επίσης είναι φανερό ότι μπορούμε να εκλέξουμε κατα πολλούς τρόπους το σύστημα συντεταγμένων σε μια επιφάνεια και συνεπώς το ίδιο ισχυεί και για τις γενικευμένες συντεταγμένες. ~9~

11 Υπάρχουν δεσμοί για τους οποίους δεν υπάρχει εξίσωση της μορφής (2.1). Τέτοιος δεσμός αποτελεί ο δεσμός της μορφής f x 1, x 2,... x n, t 0. Τέτοιου είδους δεσμοί ονομάζονται ανολόνομοι δεσμοί. Παράδειγμα ανολόνομου δεσμού αποτελεί το παρακάτω σύστημα. Στο σύστημα αυτό δεν γίνεται οι δύο μάζες m1, m2 να καταλαμβάνουν την ίδια θέση την ίδια στιγμή. Έτσι ο δεσμός που εισέρχεται στο σύστημα είναι x 1 x 2, δηλαδή οι δύο μάζες δεν μπορούν να βρίσκονται στην ευθεία x 1 = x 2. Έτσι η τροχιά που περιγράφει την θέση των δύο μαζών είναι δέσμια σε ένα απο τα δύο μισά του χώρου μορφής που διαιρείται απο την απαγορευμένη γραμμή. Το σύστημα θα παραμείνει στο μισό ανάλογα με την αρχική συνθήκη αλλά είναι αδύνατον να περάσει απο την ευθεία x1=x2. Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μας λέει ότι κάθε μεταβολή στην κινητική κατάσταση συνδέεται με μια δύναμη που εφαρμόζεται για ένα σώμα. Εφ'όσον οι ολόνομοι δεσμοί μεταβάλλουν τις φυσικές τροχιές των συστημάτων, εξάγεται το συμπέρασμα ότι ασκούνται δυνάμεις που περιορίζουν τα συστήματα στις τροχιές αυτές. Οι δυνάμεις αυτές ονομάζονται δέσμιες δυνάμεις (constrant forces). H δύναμη που εξασκείται σε ένα σώμα στο σύστημα του εκκρεμούς αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα δύναμης δεσμού, η οποία αναγκάζει το σύστημα να εκτελεί κίνηση στην επιφάνεια κυκλικού δίσκου. ~10~

12 2.3 Διαφορικές εξισώσεις απο τους νόμους του Νεύτωνα Τα παραπάνω δείχνουν ότι η κίνηση κάθε συστήματος βασίζεται σε δύο ειδών δυνάμεις: Την εφαρμοζόμενη στο σύστημα δύναμη (δηλώνεται με F) και την δύναμη δεσμού (δηλώνεται με F C ). Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση του Νεύτωνα για κάθε σημειακή μάζα ως m j r j F j =F j C, όπου με F j και F j C συμβολίζουμε την επιβαλλόμενη και την δύναμη δεσμού που εξασκούνται στην j σημειακή μάζα. Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί την βασική εξίσωση στον Νευτώνειο φορμαλισμό. Είναι προφανές ότι οι εξισώσεις του Νεύτωνα όπως αναδεικνύονται παραπάνω δεν είναι βολικές σε πρακτικές εφαρμογές, γιατί η εξίσωση δεσμού εισέρχεται στην εξίσωση. Η C F j μεταβάλλεται απο σημείο σε σημείο και το μέτρο της δεν είναι, εν γένει, γνωστό εκ των προτέρων. 2.4 Πρακτικές δυσκολίες Νευτώνειου φορμαλισμού Η εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων με το μοντέλο του Νεύτωνα, διαπιστώνουμε ότι εμπεριέχει βασικά πρακτικά προβλήματα. Όλες οι δυνάμεις δεσμών πρέπει να περιλαμβάνονται στο μοντέλο και σε ένα πολύπλοκο σύστημα μπορούν να υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός δυνάμεων δεσμών οι οποίες δεν είναι έυκολα μετρήσιμες. Για παράδειγμα για ένα σύστημα αποτελούμενο απο τροχαλίες, όλες οι μάζες είναι συνδεδεμένες μέσω καλωδίων και οι δυνάμεις στα καλώδια αποτελούν τις δυνάμεις δεσμών. Ο υπολογισμός όλων αυτών των δυνάμεων αναδεικνύει την δυσχρηστικότητα του μοντέλου. Δεύτερον, σε ένα διασυνδεδεμένο σύστημα, οι σημειακές μάζες αλληλεπιδρούν η μία με την άλλη μέσω ελατηρίων η στοιχείων τριβής. Οι δυνάμεις απο τα στοιχεία αυτά πρέπει να υπολογίζονται και η μέθοδος δυσχεραίνει την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων όσο μεγαλώνει ο αριθμός των αλληλεπιδρώντων στοιχείων. Τρίτον, σε ένα πρόβλημα με Ν διαφορετικά σώματα θα πρέπει κάποιος να χρησιμοποιεί 3Ν διαφορικές εξισώσεις. Η ύπαρξη ολόνομων δεσμών είδαμε ότι μπορεί να ελλατώσει τον αριθμό των συντεταγμένων. Σε απλά συστήματα μπορούμε να ελλατώσουμε τις χρησιμοποιούμενες συντεταγμένες υιοθετώντας ένα διαφορετικό σύστημα που μας προσφέρει η τοπολογία του συστήματος χάρη στους ολόνομους δεσμούς που εισέρχονται στην περιγραφή, όμως η ύπαρξη ολόνομων δεσμών σε πιο πολύπλοκα συστήματα δεν προσφέρει εν γένει πλεονεκτήματα όταν χρησιμοποιεί τον Νευτώνειο φορμαλισμό. 3 Εξισώσεις Lagrange για συστήματα με ολόνομους δεσμούς Παρατηρούμε ότι στον Νευτώνειο φορμαλισμό θεωρεί κανείς δύο ειδών δυνάμεις: την εφαρμοζόμενη δύναμη (συμβολιζομένη με F ) και την δύναμη δεσμού, η οποία δηλώνεται ως, F C. Η εφαρμοζόμενη δύναμη F περιλαμβάνει τις δυνάμεις που εξασκούνται εκτός του συστήματος σε δομικά στοιχεία του συστήματος, καθώς και τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ σημειακών στοιχείων μάζας όπως στα ελατήρια και σε στοιχεία τριβής. Η Νευτώνεια εξίσωση για κάθε σημειακή μάζα δίνεται: m j r j F j =F jc, όπου ως F και F C δηλώνονται η εφαρμοζόμενη και η δύναμη δεσμού, αντίστοιχα, που εξασκούνται στην jστή σημειακή μάζα. Αν υπάρχουν N σημειακές μάζες αντιστοιχούν N εξισώσεις όπως η παραπάνω. Αθροίζοντας τις εξισώσεις για τις Ν σημειακές μάζες προκύπτει: N j=1 m j r j F j = F C j (3.1). N j=1 ~11~

13 Η σχέση αυτή αποτελεί την Νευτώνεια εξίσωση για ένα σύστημα αποτελούμενο απο Ν σημειακές μάζες. Μετά απο περίπου έναν αιώνα απο τον Νεύτωνα, ο Lagrange ( ) έδειξε ότι είναι περισσότερο βολικό να παράγει κανείς διαφορικές εξισώσεις βάσει των δύο βασικών μορφών ενέργειας που περιέχονται σε ένα σύστημα: της κινητικής ενέργειας και της δυναμικής ενέργειας. Ενώ υπάρχει ένας μεγάλος, κατα κανόνα, αριθμός αλληλεπιδρώντων δυνάμεων σε ένα σύστημα, υπάρχουν μόνο δυο ειδών ενέργειας. Έτσι, αν η κεντρική θεώρηση της Νευτώνειας μηχανικής δύναται να εκφραστεί με την ενέργεια, η εξαγωγή των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την δυναμική ενός συστήματος είναι απλούστερη. 3.1 Στοιχεία της Λαγκρανζιανής προσέγγισης Η αρχή των δυνατών μετατοπίσεων Είδαμε προηγουμένως, μια απο τις δυσκολίες που συνιστούν το Νευτώνειο φορμαλισμό, στην εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων για μηχανικά δυναμικά συστήματα, πολύπλοκο είναι οι αντιδράσεις δεσμών που εισέρχονται στις εξισώσεις διαφορών. Το πρώτο βήμα για την ανάπτυξη ενός καλύτερου μηχανισμού εξαγωγής μαθηματικών μοντέλων που περιγράφουν ένα σύστημα είναι να εξαλειφθούν οι δυνάμεις αυτές απο τις προκύπτουσες εξισώσεις. Παρατηρούμε ότι στην πλειονότητα των περιπτώσεων οι αντιδράσεις δεσμών δεν παράγουν έργο γιατί είναι κάθετες στις δυνατές μετατοπίσεις που επιβάλλει ένας δεσμός. Για παράδειγμα ο δεσμός που επιβάλλει ένα εκρεμμές σε μια μάζα που είναι προσαρτημένη στο άκρο του καλωδίου αναγκάζει τη μάζα να εκτελεί κίνηση πάνω στην περιφέρεια του κυκλικού δίσκου που ορίζει το καλώδιο. Προφανώς το έργο της αντίδρασης δεσμού είναι μηδενικό καθώς η δύναμη αυτή είναι συνεχώς κάθετη με την μετατόπιση του σώματος. Αν στην παραπάνω περίπτωση το σημείο στο οποίο προσαρτάται το καλώδιο δεν είναι πακτωμένο αλλά κινείται με τον χρόνο τότε το έργο της αντίδρασης δεσμού Τ προφανώς δεν μπορεί να είναι μηδενικό. Επιθυμούμε την ανάπτυξη ενός γενικού πλαισίου σύμφωνα με το οποίο το έργο των αντιδράσεων δεσμών προκύπτει μηδέν. Επιτυγχάνουμε το σκοπό αυτό θεωρώντας τις γεωμετρικά δυνατές μετατοπίσεις οι οποίες είναι συμβατές με τους δεσμούς του συστήματος, για τις οποίες το έργο των αντιδράσεων δεσμών προκύπτει ιδανικά μηδέν. Αν τραβήξουμε μια φωτογραφία του συστήματος καθώς ταλαντώνεται το σημείο προσάρτησης του ελατηρίου ως γεωμετρικά δυνατή μετατόπιση θεωρούμε την τροχιά που θα ακολουθήσει ιδανικά η μάζα αν παραμείνει στιγμιαία το σημείο που ταλαντώνεται ακίνητο. Είναι σαφές ότι το έργο των αντιδράσεων δεσμών θα είναι μηδενικό καθώς όπως διατυπώθηκε το αίτημα η αντίδραση δεσμών θα είναι διαρκώς κάθετη στην δυνατή μετατόπιση της μάζας m. Μία γεωμετρικά δυνατή ποσότητα παριστάνεται με το σύμβολο δ. Έτσι μια δυνατή μετατόπιση γράφεται ως δ r. Το έργο που συνεπώς παράγει η αντίδραση δεσμού δίνεται ως F C δ r. Μετατρέπουμε την εξίσωση (3.1) με τρόπο ώστε να περιλαμβάνει το έργο που παράγουν οι δυνάμεις, πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της εξίσωσης με την δυνατή μετατόπιση δ r. N j=1 m j N r j F j δ r j = j=1 F j C δ r j. ~12~

14 Το δεξιό μέλος της ανωτέρω σχέσης μηδενίζεται εξαλείφοντας έτσι τους όρους των αντιδράσεων δεσμών που εισέρχονται στις διαφορικές εξισώσεις. Προκύπτει επομένως η ανωτέρω εξίσωση απλοποιημένη N j=1 m j r j F j δ r j = Γενικευμένες συντεταγμένες Ένα απο τα προβλήματα που διαπιστώσαμε προηγουμένως είναι ότι για κάθε σημειακή μάζα χρειαζόμαστε 3 συντεταγμένες, επομένως σε προβλήματα Ν σωμάτων χρειαζόμαστε τουλάχιστον 3Ν συντεταγμένες. Σκοπεύουμε επομένως στο αίτημα να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό των χρησιμοποιηθέντων συντεταγμένων. Είδαμε προηγουμένως ότι οι ολόνομοι δεσμοί που εισέρχονται στην τοπολογία των μηχανικών συστημάτων δύναται να ελαχιστοποιήσουν τις συντεταγμένες σε (3Ν-κ), όπου κ είναι ο αριθμός των ολόνομων δεσμών σε έναν χώρο μορφής, όπου το σημείο που μελετάμε πρέπει να βρίσκεται εντός των συντεταγμένων αυτών. Ορίζουμε επομένως ένα νέο σύστημα συντεταγμένων σε αυτό τον (3Ν-k) χώρο συντεταγμένων όπου q αποτελούν οι ανεξάρτητες συντεταγμένες που ονομάζονται γενικευμένες συντεταγμένες. Η διαδικασία αυτή έχει ως αποτέλεσμα να εξομαλύνεται η επιφάνεια δεσμών σε ένα νέο χώρο διαστάσεων 3Ν-κ=n του οποίου οι άξονες αποτελούν τις γενικευμένες συντεταγμένες. Έτσι, ο ελάχιστος αριθμός ανεξάρτητων συντεταγμένων ενός συστήματος συμπεριλαμβανομένων και των δεσμών ισούται με τον αριθμό των γενικευμένων συντεταγμένων. Για να είμαστε πιο ακριβείς, κάθε σύνολο συντεταγμένων {q1, q2, q3,...,qn} καλείται σύνολο γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος αν και μόνο αν ο αριθμός n των συντεταγμένων είναι αρκετός και επαρκής για να προσδιορίσει την κατάσταση της θέσης του συστήματος κατα μοναδικό τρόπο. Εικ. 3.1: Γενικευμένες συντεταγμένες που ορίζονται σε μια επιφάνεια δεσμών Δεν υπάρχει μοναδικός τρόπος επιλογής των γενικευμένων συντεταγμένων, καθώς κάθε βολικό σύνολο μεταβλητών που μπορεί να προσδιορίσει την κατάσταση θέσης που εντοπίζεται ένα σημείο του συστήματος μπορεί να αποτελεί γενικευμένες συντεταγμένες για το σύστημα αυτό. Δεν χρειάζεται οι συντεταγμένες αυτές να είναι απαραίτητα καρτεσιανές. Σε κάποιες περιπτώσεις μηχανικών συστημάτων ενδέχεται να είναι πιο βολικό να εκφράσουμε την θέση των συνιστωσών του συστήματος σε πολικές συντεταγμένες r και θ. Σε συστήματα με περισσότερα απο ένα αδρανειακά στοιχεία, ενδέχεται η θέση του ενός να προσδιορίζεται απο καρτεσιανές συντεταγμένες και του άλλου με πολικές. Ο μετασχηματισμός βάσει του οποίου οι συντεταγμένες ενός συστήματος μετασχηματίζονται απο 3N συντεταγμένες σε ένα σύνολο 3Ν-k=n γενικευμένων συντεταγμένων μπορεί να επιτευχθεί εκφράζοντας τα προηγούμενα διανύσματα που χρησιμοποιούνται για να προσδιορίσουν την θέση των παλιών διανυσμάτων xκ σύμφωνα με τις νέες συντεταγμένες q στην μορφή ~13~

15 x κ =x κ q 1, q 2, q 3,..., q n, t, 3.2 όπου το κ παίρνει τιμές απο 1 ως 3Ν. Είναι περισσότερο βολικό αντί για τις συντεταγμένες x k να χρησιμοποιούμε τα διανύσματα r j που προκύπτουν για κάθε σώμα αθροίζοντας διανυσματικά τις συντεταγμένες θέσεως x k που αντιστοιχούν στο σώμα αυτό. Καταλήγουμε επομένως σε μετασχηματισμό της μορφής r 1 =r 1 q 1, q 2, q 3,...,q n,t,... r N =r N q 1, q 2, q 3,...,q n,t η σε συντομία r j =r j q,t, όπου το j παίρνει τιμές απο 1 ως Ν και το I παίρνει τιμές απο 1 ως n. Διαφορίζοντας ως προς t και εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας, προκύπτουν οι ταχύτητες των σημειακών μαζών σε σχέση με τις γενικευμένες συντεταγμένες ως r j = d r j dt n = =1 r j q q r j t. Ο τελευταίος όρος στην παραπάνω σχέση ισχυεί μόνο για ρεόνομα συστήματα όπου οι εξισώσεις δεσμών είναι χρονικώς εξαρτημένες. Ο όρος αυτός είναι ανεξάρτητος απο το q και παράλληλα κάθε q k με k είναι ανεξάρτητο απο το q καθώς αποτελεί αναγκαία συνθήκη οι γενικευμένες συντεταγμένες να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Διαφορίζοντας μερικώς την παραπάνω σχέση ως προς t προκύπτει επομένως: ṙ j q = r j q.(3.3) Η ανωτέρω σχέση πρόκειται να μας χρησιμέυσει μετέπειτα. Ομοίως, μια δυνατή μετατόπιση δ r j στο παλιό σύνολο συντεταγμένων συνδέεται με την δυνατή μετατόπιση δq στο σύνολο των γενικευμένων συντεταγμένων μέσω της σχέσης n r δ r j = j δ q =1 q.(3.4) Η εξίσωση αυτή δεν περιέχει καμια παράμετρο του χρόνου δt γιατι εξ'ορισμού κάθε δυνατή μετατόπιση περιλαμβάνει μεταβολές μόνο στις χωρικές συντεταγμένες. Η σχέση αυτή σε συνδιασμό με τις παραπάνω εξαχθείσες σχέσεις επιτυγχάνουν την μεταβασή μας απο ένα μεγαλύτερο 3Ν διαστάσεων σύστημα συντεταγμένων σε ένα μικρότερο αποτελούμενο απο n διαστάσεις. Θα αξιοποιήσουμε τις παραπάνω σχέσεις αργότερα στο σχηματισμό των δυναμικών εξισώσεων σε συστήματα γενικευμένων συντεταγμένων. ~14~

16 3.1.3 Γενικευμένες δυνάμεις Το δυνατό έργο των δεδομένων δυνάμεων που επιδρούν σε ένα σύστημα Ν υλικών σημείων είναι ίσο προς N W = F δ r.(3.5) =1 Παρατηρούμε ότι η δυνατή μετατόπιση δ r 1,...δ r N του συστήματος αντιστοιχεί σε μεταβολή των γενικευμένων συντεταγμένων κατα δ q 1,... δ q n, όπου n οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος. Ζητούμε να εκφράσουμε το δυνατό έργο των δεδομένων δυνάμεων συναρτήσει των δ q 1,...δ q n, τα οποία αντιστοιχούν στη δυνατή μετατόπιση. Για το σκοπό αυτό θα εκφράσουμε το διάνυσμα της δυνατής μετατόπισης δ r του υλικού σημείου Σ συναρτήσει των αντίστοιχων δυνατών μετατοπίσεων των γενικευμένων συντεταγμένων. Οι σχέσεις μεταξύ καρτεσιανών και γενικευμένων συντεταγμένων έιναι σχέσεις της μορφής r =r q 1,... qn,t, απο τις οποίες παίρνουμε, αν διαφορίσουμε θεωρώντας το t σταθερό, n r δ r = j δ q j =1 q j. j =1,... N Αντικαθιστούμε τα δ r, στην (3.5) και μετά απο πράξεις έχουμε για το δυνατό έργο των δεδομένων δυνάμεων n W = j =1 Q δq j, N r όπου Q j = F. (3.6) j=1,... n =1 q j Τα μεγέθη Q j, όπως ορίζονται απο την (3.6) ονομάζονται γενικευμένες δυνάμεις. Απο την (3.6) παρατηρούμε ότι αν η δυνατή μετατόπιση είναι τέτοια ώστε να μεταβληθεί μόνο η q k, το αντίστοιχο δυνατό έργο είναι ίσο προς W k =Q k δq k, (3.7) δηλαδή ίσο προς τη γενικευμένη δύναμη επι την αντίστοιχη δυνατή μετατόπιση. Αυτό δικαιολογεί και την ονομασία γενικευμένη δύναμη για τα Q k. Ο υπολογισμός μιας γενικευμένης δύναμης μπορεί να γίνει απευθείας απο την εξίσωση ορισμού της γενικευμένης δύναμης, δηλαδή την σχέση (3.6). Επίσης η Q k δύναται να υπολογισθεί και απο την σχέση (3.7) εφ'όσον είναι γνωστό το αντίστοιχο έργο W k. ~15~

17 3.2 Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων Lagrange για συστήματα με ολόνομους δεσμούς Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα συστηματικό τρόπο για να βρίσκουμε τις διαφορικές εξισώσεις της κίνησης στη γενική περίπτωση, όπου υπάρχουν δεσμοί στο σύστημα. Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν ως προς οποιοδήποτε σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων και όπως θα δούμε στα επόμενα, η κατάλληλη εκλογή του συστήματος των γενικευμένων συντεταγμένων μπορεί να βοηθήσει σημαντικά στη λύση του προβλήματος. Οι εξισώσεις αυτές, ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες, ονομάζονται εξισώσεις Lagrange. Η λύση των εξισώσεων αυτών δίνει την κίνηση του συστήματος στο χώρο μορφής του. Δηλαδή το αντιπροσωπευτικό σημείο στο χώρο μορφής γράφει μια καμπύλη στο χώρο αυτό, η οποία αντιπροσωπεύει την κίνηση του συστήματος και οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης αυτής είναι οι λύσεις των εξισώσεων του Lagrange, q =q t. Η κίνηση του συστήματος στο φυσικό χώρο των τριών διαστάσεων βρίσκεται απο εξισώσεις της μορφής (3.2), οι οποίες συνδέουν τις καρτεσιανές με τις γενικευμένες συντεταγμένες. Ένα βασικό πλεονέκτημα των εξισώσεων του Lagrange ως προς τις εξισώσεις που προκύπτουν απο το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα είναι ότι οι εξισώσεις του Lagrange έχουν την ίδια μορφή σε οποιοδήποτε σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων, ενώ οι εξισώσεις του Νεύτωνα έχουν διαφορετική μορφή σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων. Επίσης, στις εξισώσεις του Lagrange δεν εμφανίζονται οι αντιδράσεις των δεσμών, οι οποίες είναι άγνωστες και έτσι απλουστέυεται η μελέτη των προβλημάτων. Σε όλα τα επόμενα θα θεωρούμε ότι οι δεσμοί που υπάρχουν είναι ολόνομοι δεσμοί. Προηγουμένως καταλήξαμε στην σχέση: N j=1 m j r j F j δ r j =0 Αντικαθιστώντας την έκφραση που μας δίνει την δυνατή μετατόπιση (3.4) στην παραπάνω σχέση προκύπτει: N j=1 n r m j r j F j j q δ q=0. Η σχέση αυτή αλλάζοντας την σειρά της άθροισης ξαναγράφεται ως: =1 n =1 N [ m j j=1 r r j j q F r j j ] δq= q Στην συνέχεια θεωρούμε την παρακάτω διαφορική εξίσωση ως πρός τον χρόνο: d dt ṙ r j j q = r r j j q r r j j q, η r j r j q = d dt ṙ r j j q r r j j q 3.9. Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση στην εξίσωση (3.8): n =1 N [ j =1 N d m j dt ṙ r j j q j=1 ṙ m j r j j q Ας αναλύσουμε τώρα κάθε όρο στην σχέση (3.10). Η κινητική ενέργεια Τ δίνεται N j =1 r F j j ]δ q=0 (3.10). q Τ = N 1 j =1 2 m 2 j r j ~16~

18 Διαφορίζοντας ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες παίρνουμε N T q = j=1 m j ṙ j ṙ j q. Αξιοποιώντας την σχέση (3.3) που βρήκαμε παραπάνω η ανωτέρω σχέση γίνεται: N T q = j=1 m j ṙ j r j q (3.11). Διαφορίζοντας ξανά την έκφραση της κινητικής ενέργειας ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες παίρνουμε N T q = j=1 m j ṙ j ṙ j q (3.12). Αξιοποιώντας τις σχέσεις (3.11), (3.12) και (3.6) στην παράσταση (3.10) προκύπτει n { d =1 dt T T Q q q }δ q =0. Αφού οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες, κάθε δυνατή μετατόπιση κατα μήκος της -οστής συντεταγμένης δq θα είναι ανεξάρτητη απο τις δυνατές μετατοπίσεις κατα μήκος των υπόλοιπων γενικευμένων συντεταγμένων. Συμπερασματικά, το άθροισμα μπορεί να παραλειφθεί αν οι όροι μέσα στις αγκύλες ισούνται με το μηδέν. Σαν αποτέλεσμα προκύπτει: d dt T T Q q q =0.(3.13) Η παραπάνω σχέση αποτελεί την εξίσωση του Lagrange στην πιο γενική της μορφή. Εδώ η γενικευμένη δύναμη περιέχει όλες τις δυνάμεις στο σύστημα κατα μήκος της j-οστής συντεταγμένης. Οι δυνάμεις αυτές μπορεί να είναι τριών ειδών: 1. Δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ διαφορετικών σημείων μάζας του συστήματος. Τέτοιου χαρακτήρα δυνάμεις συναντά κανείς για παράδειγμα σε ένα ελατήριο. 2. Εξωτερικές δυνάμεις, συμπεριλαμβανομένης της δύναμης εξαιτίας της βαρύτητας. 3. Δυνάμεις εξαιτίας της τριβής. Δυνάμεις των δύο πρώτων κατηγοριών μπορούν να εξαχθούν απο μια βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού η οποία δηλώνεται ως V. H βαρυτική δύναμη μπορεί να εξαχθεί απο ένα βαρυτικό δυναμικό. Η δύναμη που προκαλείται απο ένα ελατήριο μπορεί να εξαχθεί απο την δυναμική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ελατήριο. Εξωτερικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις μπορούν επίσης να εξαχθούν απο κατάλληλα ορισμένες συναρτήσεις δυναμικού. Οι γενικευμένες δυνάμεις εξάγονται απο τις συναρτήσεις δυναμικού ως Q = V q. Συστήματα στα οποία οι γενικευμένες δυνάμεις προκύπτουν απο μια βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού ονομάζονται συντηρητικά συστήματα.. ~17~ Q

19 Στα συντηρητικά συστήματα, η μερική παράγωγος της συνάρτησης δυναμικού ως προς κάθε συντεταγμένη μας δίνει την δύναμη στην συντεταγμένη αυτή. Εικ.3.2: Την συνάρτηση δυναμικού μπορεί να την δεί κανείς σαν μια επιφάνεια της οποίας η βάθμωση δίνει την γενικευμένη δύναμη σε κάθε σημείο αυτής. Για συντηρητικά συστήματα (όπου οι δυνάμεις είναι των δύο πρώτων κατηγοριών όπως εξηγήθηκε προηγουμένως) η γενική εξίσωση του Lagrange (3.13) μπορεί να γραφεί ως d dt T T V =0.(3.14) q q q Για να κάνουμε την παραπάνω εξίσωση πιο βολική ορίζουμε μια νέα εξίσωση που ονομάζεται Λαγκρανζιανή εξίσωση η οποία αποτελεί την σχέση L=T V. Εφ'όσον για τα περισσότερα συστήματα η συνάρτηση δυναμικού V είναι ανεξάρτητη απο τις γενικευμένες ταχύτητες, παραγωγίζοντας την Λαγκρανζιανή εξίσωση ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες προκύπτει L = T.(3.15) q q Αντικαθιστώντας την (3.15) στην (3.14) προκύπτει η εξίσωση του Lagrange για συντηρητικά συστήματα d dt L L =0. q q Για την εξαγωγή των δυναμικών εξισώσεων ενός συστήματος με την μέθοδο του Lagrange, είδαμε με βάση τα προηγούμενα που μας οδήγησαν στην τελική εξίσωση του Lagrange, ότι δεν χρειάζεται να ανησυχεί κανείς για τις αντιδράσεις δεσμών η τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των στοιχείων που απαρτίζουν ένα σύστημα. Επίσης με την εφαρμογή της εξίσωσης του Lagrange δεν χρειάζεται να ανησυχεί κανείς για την αλλαγή των συντεταγμένων. Οι εξισώσεις του Lagrange εξάγονται πραγματοποιώντας τα ακόλουθα βήματα: 1. Προσδιορισμός ενός ελάχιστου συνόλου γενικευμένων συντεταγμένων οι οποίες να είναι συνεπείς με τους δεσμούς στο σύστημα. 2. Προσδιορισμός της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας σε σχέση με τις γενικευμένες συντεταγμένες και τις γενικευμένες ταχύτητες και εύρεση της Λαγκρανζιανής εξίσωσης απο αυτές. ~18~ q

20 3. Μερική διαφόριση της Λαγκρανζιανής εξίσωσης L ως προς q και q. 4. Εξαγωγή της Λαγκρανζιανής εξίσωσης για κάθε γενικευμένη συντεταγμένη. 3.3 Συστήματα με εξωτερικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις Μέχρι στιγμής, στις θεωρήσεις μας έχουμε λάβει υπόψιν μόνο συντηρητικά συστήματα χωρίς εξωτερικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις. Αν υπάρχουν εξωτερικά εφαρμοζόμενες δυνάμεις όπως στο σύστημα ανάστροφου εκρεμμούς που παρουσιάζεται παρακάτω, όπου ασκείται μια δύναμη στο αμαξίδιο στο οποίο τοποθετείται το ανάστροφο εκκρεμές, η ίδια γενικά θεώρηση μπορεί να αξιοποιηθεί για την εύρεση των διαφορικών εξισώσεων. Οι δυνάμεις F που εφαρμόζονται μπορούν να ειναι σταθερές η μπορεί να μεταβάλλονται σαν συναρτήσεις του χρόνου. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να ενσωματώσουμε την επιπρόσθετη εξασκούμενη δύναμη στην συνάρτηση δυναμικού. Ο ανωτέρω σκοπός επιτυγχάνεται προσθέτοντας έναν όρο στη συνάρτηση δυναμικού V. O νέος αυτός όρος ισούται με το γινόμενο της εξωτερικής δύναμης με την γενικυμένη συντεταγμένη στην οποία ασκείται η δύναμη αυτή. V εξαιτίας της εξωτερικής δύναμης= F q. O όρος αυτός, όταν τον διαφορίσουμε ως προς την γενικευμένη συντεταγμένη θα μας δώσει την εξωτερική δύναμη. Έτσι, η γενικευμένη δύναμη είναι ακόμη εξαγώγιμη απο την συνάρτηση δυναμικού ώστε Q = V q. Κατα αυτή την διαδικασία θεώρησης της εξωτερικής δύναμης που ασκείται σε ένα σύστημα, το σύστημα παραμένει συντηρητικό και μπορεί κανείς να εφαρμόσει την εξίσωση του Lagrange κατα την γνωστή διαδικασία. 3.4 Συστήματα με αντίσταση η τριβή Μέχρι στιγμής, έχουμε θεωρήσει μόνο συντηρητικά συστήματα. Στα συντηρητικά συστήματα, οι γενικευμένες δυνάμεις προκύπτουν απο μια βαθμωτή συνάρτηση δυναμικού. Το πρόβλημα με τα δομικά στοιχεία ενός συστήματος που εμφανίζουν την ιδιότητα της αντίστασης, είναι ότι η δύναμη που εμφανίζεται εξαιτίας της αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος. Δεν είναι δυνατόν, εν γένει, να προσδιορίζεται η δύναμη αυτή απο συνάρτηση δυναμικού που είναι συνάρτηση των συντεταγμένων θέσης. Εντούτοις, επιθυμούμε να διατηρήσουμε τα πλεονεκτήματα του φορμαλισμού των Νεύτωνα και Lagrange. Δείξαμε πριν την εξίσωση του Lagrange στην γενική περίπτωση d dt T T Q q q =0. ~19~

21 Ξεκινώντας απο την εξίσωση αυτή, περιελάβαμε όλες τις πιθανές μορφές συντηρητικών δυνάμεων καταλήγοντας στην εξίσωση του Lagrange για τα δυναμικά συστήματα d dt L L =0. q q Σκοπός μας είναι να επιτύχουμε την εκτεταμένη μορφή της παραπάνω εξίσωσης ώστε να περιλαμβάνει την δύναμη της αντίστασης στον όρο Q που αναπαριστά την γενικευμένη δύναμη. Αφού αυτού του τύπου η δύναμη είναι εξαρτώμενη απο την ταχύτητα, μπορούμε να επιτύχουμε αυτό τον σκοπό εισάγοντας μια εξίσωση δυναμικού η οποία είναι εξαρτώμενη απο την ταχύτητα, έτσι ώστε η διαφόριση αυτής ως προς μια γενικευμένη ταχύτητα προς την j οστή κατεύθυνση να μας δώσει την δύναμη της αντίστασης που ασκείται στην κατεύθυνση αυτή. Η εξίσωση του δυναμικού με την παραπάνω ιδιότητα ονομάζεται εξίσωση δυναμικού του Raylegh και δίνεται απο την σχέση R= 1 2 R q 2, όπου με R συμβολίζουμε τον όρο της αντίστασης που εμφανίζεται κατα μήκος της q συντεταγμένης. Επομένως η γενικευμένη δύναμη Q αποτελείται απο δύο όρους, έναν συντηρητικό και έναν παθητικό ως Q = V q R q. Κατα αυτό τον τρόπο, η γενική εξίσωση του Lagrange γράφεται d dt T T V R =0, η q q q q d T V T V V R =0 dt q q q q Παρατηρούμε ότι ο όρος περιλαμβάνεται στον όρο d dt L L R =0. q q q R παρα το γεγονός ότι είναι εξαρτώμενος απο την γενικευμένη ταχύτητα q q d dt L, αλλά προστίθεται στον όρο της γενικευμένης δύναμης. q δεν ~20~

22 Για παράδειγμα στο παραπάνω σύστημα η εξίσωση δυναμικού του Raylegh προκύπτει: R= 1 2 R 1 q 1 q R 2 2 q Μοντελοποίηση τριβής Coulomb Η τριβή Coulomb (όπου δύο ξηρές επιφάνειες ολισθαίνουν η μια ως προς την άλλη) αποτελεί τροχοπέδη στην μοντελοποίηση μηχανικών συστημάτων εξαιτίας της έντονης μη γραμμικής της φύσης. Παρ'όλα αυτά μπορούμε να την παραστήσουμε προσεγγιστικά θεωρώντας ότι αντιπροσωπεύεται απο ένα στοιχείο αντίστασης R, εμπεριέχοντας στο R την μη γραμμική φύση της τριβής Coulomb. Για να εξηγήσουμε την παραπάνω διαδικασία θεωρούμε το παρακάτω παράδειγμα ενός μηχανικού δυναμικού συστήματος. Η εξίσωση του Lagrange (αμελώντας την τριβή) και η εξίσωση δυναμικού του Raylegh προκύπτουν αντίστοιχα: L= 1 2 m q k q2 Fq, R= 1 2 R q 2, απο τα οποία προκύπτει η εξίσωση του Lagrange: m q kq F R q=0. Παρατηρούμε ότι ο όρος R μπορεί να προσεγγιστεί απο μια ασυνεχή συνάρτηση όπως παρουσιάζεται στο κατωτέρω γράφημα. ~21~

23 Αν μ είναι ο συντελεστής τριβής της τριβής ολίσθησης και Ν =mg είναι η αντίδραση απο το βάρος του σώματος, τότε η τριβή Coulomb ισούται με μn για θετικές τιμές της γενικευμένης ταχύτητας q και μν για αρνητικές τιμές αυτής. Εφ'όσον το πρόσημο της δύναμης της τριβής εξαρτάται απο το πρόσημο της γενικευμένης ταχύτητας q, μπορεί να παρασταθεί απο την συνάρτηση προσήμου (sgnum functon). Επομένως η εξίσωση του Lagrange γίνεται: sgn ẋ = ẋ ={ 1αν ẋ 0 ẋ 1αν ẋ 0 }. m q kq F μmg ẋ ẋ = Η αρχή της ελάχιστης δράσης Η αρχή της ελάχιστης δράσης αποτελεί έναν ισχυρισμό σχετικά με την φύση της κίνησης, ο οποίος παρέχει μια εναλλακτική προσέγγιση στην μηχανική σε πλήρη ανεξαρτησία με τους νόμους του Νεύτωνα. Η αρχή της ελάχιστης δράσης αποτελεί μέσο διατύπωσης της κλασσικής μηχανικής και παράλληλα έχει αποδειχθεί χρήσιμη στην γενική θεωρία της σχετικότητας, στην κβαντική θεωρία πεδίου και στην φυσική σωμάτων. Για συντηρητικά δυναμικά συστήματα, η αρχή της ελάχιστης δράσης λέει ότι αν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση q=x1 την χρονική στιγμή t1 και στην κατάσταση q= x2 την χρονική στιγμή t2, το μονοπάτι κατα το οποίο μεταβαίνει το σύστημα απο την μία κατάσταση στην άλλη θα είναι αυτό για το οποίο το ολοκλήρωμα της Λαγκρανζιανής εξίσωσης αποτελεί ελάχιστο. Αν μιλάμε για ηλεκτρικά κυκλώματα, η αρχή της ελάχιστης δράσης μεταφράζεται σαν το σύστημα να μεταβάλλει συνεχώς τις παραμέτρους του με τέτοιο τρόπο ώστε το ολοκλήρωμα της διαφοράς μεταξύ της ενέργειας που αποθηκεύεται στα πηνία με την ενέργεια που αποθηκεύεται στους πυκνωτές να είναι ελάχιστο. Είναι αρκετά εντυπωσιακό το γεγονός ότι το παραπάνω επιχείρημα όντως ευσταθεί! Για να το αποδείξουμε θα υπολογίσουμε ένα πιθανό δρόμο κάτω απο τις ακόλουθες προυποθέσεις. Υπάρχει πλήθος περιπτώσεων στις οποίες η φύση ακολουθεί κάποιους νόμους ελαχιστοποίησης. Σε κάθε περίπτωση κάποιος πρέπει να ελαχιστοποιήσει το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης. Μαθηματικώς, η αρχή περιγράφεται μέσω ενός όρου που καλούμε S ο οποίος θα είναι ελάχιστος στο επιλεχθέν μονοπάτι, όπου t2 S= t1 f dt. Στην περίπτωση των δυναμικών συστημάτων η f αποτελεί την Λαγκρανζιανή εξίσωση του συστήματος L. Αρχικά εργαζόμαστε την επίλυση του προβλήματος σε περίπτωση συστημάτων μιάς διάστασης, για τα οποία η Λαγκρανζιανή αποτελεί εξίσωση των παραμέτρων q, q και t. Η παραπάνω σχέση που επιθυμούμε να ελαχιστοποιήσουμε προκύπτει ως ακολούθως: t2 S= t1 L q, q, t dt. Άμα έχουμε μια εξίσωση q της ανεξάρτητης μεταβλητής t, το ελάχιστο έχει την ειδική ιδιότητα όπου αν το t μεταβληθεί ελάχιστα τότε το q,όντας ελάχιστο όπως και κάθε ακρότατο μιας συνεχούς συνάρτησης, μεταβάλλεται κατα αμελητέα ποσότητα όπως φαίνεται απο το παρακάτω γράφημα. Με άλλα λόγια dq dt =0. ~22~

24 Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα μονοπάτι q τέτοιο ώστε να ελαχιστοποιεί το S. Αν μεταβάλλουμε ελαφρώς με κάποιο τρόπο το q η επιδεχόμενη μεταβολή στο S προκύπτει αμελητέα. Για να μεταβάλλουμε το q(t) ορίζουμε αυθαιρέτως μια συνάρτηση η(t) και προκύπτει το νέο μεταβαλλόμενο μονοπάτι ως q t =q t α η t,(3.16) όπου το α αποτελεί την μεταβαλλόμενη ποσότητα. Ένα μικρό α έχει σαν συνέπεια μικρή διαφοροποίηση του q απο το q, ενώ μια μεγάλη μεταβολή του α συντελεί σε μεγάλη διαφορά του q απο το q. Με λίγα λόγια ο όρος α καθορίζει τον τρόπο που μεταβάλλουμε το S. Για να εξάγουμε το μεταβαλλόμενο μονοπάτι θα πρέπει το η(t) να μηδενίζεται στην αρχή και το τέλος του μονοπατιού, οπότε η t1 =η t2 =0. Χρειαζόμαστε την παράγωγο της σχέσης (3.16) η οποία δίνεται ως q t = q t α η t.(3.17) Με τα παραπάνω βήματα έχουμε μεταβάλλει το μονοπάτι κατα τον όρο α και έχουμε εξάγει νέο μονοπάτι στο οποίο το S δίνεται t2 S= t1 L q, q, t dt. ~23~

25 Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση τις σχέσεις (3.16) και (3.17) δίνεται η παραπάνω ως t2 S= t1 L q αη, q α η,t dt Τώρα η (3.18) αποτελεί εξίσωση του α και η συνθήκη ελαχιστοποίησης του S είναι Επομένως S =0 στο σημείο α=0. α t2 S α = t1 α L q, q, t dt. (3.19) Εφ'όσον η Λαγκρανζιανή εξίσωση του συστήματος L αποτελεί συνάρτηση πολλών παραμέτρων, αξιοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας στην σχέση (3.19) έχουμε α L q, q,t dt= L q q α L q q α L t t α. (3.20) Ο χρόνος t είναι ανεξάρτητος της καμπύλης α, επομένως t =0. Οι άλλοι δύο όροι της παραπάνω εξίσωσης μπορούν α να απλοποιηθούν μέσω των σχέσεων (3.16) και (3.17) ως q =η t και α q α = η t αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας προκύπτει η (3.20): α L q, q, t dt= L q η t L q η t. (3.21) Προηγουμένως εξηγήσαμε την συνθήκη ελαχιστοποίησης του S, η οποία αποτελεί ισχύουν q=q και q= q. Με τις παραπάνω ενέργειες η σχέση (3.19) γράφεται S =0 για α=0. Για α=0 α t2 S α = [ L t1 q η t L q η t ] dt=0. (3.22) Για τον δεύτερο όρο της παραπάνω σχέσης μπορούμε να γράψουμε ~24~

26 t2 L t1 q [ η t dt= L t2 q η t ]t1 t2 t1 d L η t dt. dt q Επομένως η (3.22) γράφεται t2 t1 L q [ η t dt L t2 q η t ]t1 t2 t1 d dt L η t dt=0. (3.23) q Προηγουμένως εξηγήσαμε ότι η t1 =η t2 =0. Επομένως η συνθήκη για το ελάχιστο S γίνεται t2 η t [ L t1 q d dt L q ] dt=0. Αφού η εξίσωση η(t) μπορεί να αποτελεί οποιαδήποτε τροχιά, για να έχει καθολική ισχύ η παραπάνω σχέση θα πρέπει η παράσταση εντός των αγκυλών να είναι πάντα μηδενική. Άρα καταλήγουμε στην Λαγκρανζιακή εξίσωση για μια γενικευμένη συντεταγμένη. Με ανάλογα επιχειρήματα μπορούμε να αποδείξουμε την ισχύ του θεωρήματος της ελάχιστης δράσης και για περισσότερες γενικευμένες συντεταγμένες. Στην συνέχεια ας υποθέσουμε ένα σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας. Εφ'όσον το σύστημα έχει δύο βαθμούς ελευθερίας q 1 και, η σχέση S= t1 t2 L q, q,t dt παίρνει την μορφή t2 S= t1 L q 1, q 1, q 2, q 2, t dt. Σε αυτή την περίπτωση θα ορίσουμε δύο εξισώσεις τροχιών η 1 t και η 2 t με οριακές συνθήκες η 1 t 1 =η 1 t 2 =η 2 t 1 =η 2 t 2 =0. Στην συνέχεια παίρνουμε τις μεταβληθέντες συναρτήσεις q 1 και q 2 με την βοήθεια της μεταβλητής α ως q 1 t =q 1 t αη 1 t, q 2 t =q 2 t αη 2 t. S H συνθήκη για την ελαχιστοποίηση του S είναι η ίδια σε αυτή την περίπτωση, =0 στο σημείο α=0. α Ακολουθώντας ομοίως με την προηγούμενη περίπτωση την ίδια διαδικασία, παίρνουμε την συνθήκη ως ~25~

27 [ t2 S α = L η t1 q 1 t L η 1 q 1 t L η 1 q 2 t L η 2 q 2 2 t ] dt=0. Oι όροι που περιλαμβάνουν τα η 1 t και η 2 t ολοκληρώνονται κατα μέρη και τελικά οδηγούμαστε στην σχέση (αφού εφαρμόσουμε τις οριακές συνθήκες για τα η 1 και η 2 ) t2 { [ η L 1 t t1 d q 1 dt L q 1 ] η 2 t [ L d q 2 dt L q 2 ]} =0. Eφ'όσον η παραπάνω παράσταση πρέπει να ευσταθεί για όλες τις δυνατές επιλογές τροχιακών των εξισώσεων η 2 t παίρνουμε δύο εξισώσεις του Euler: η 1 t και [ d [ d L dt q 1 L ] q =0, 1 dt L q 2 L q 2] =0. Έτσι, ο νόμος της ελάχιστης δράσης καταλήγει σε δύο Λαγκρανζιανές εξισώσεις για τις γενικευμένες συντεταγμένες q 1 και q 2. Γενικοποιώντας την ισχύ του επιχειρηματός μας, μπορούμε κατα ασφαλή τρόπο να οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι για ένα σύστημα με n συντεταγμένες, η αρχή της ελάχιστης δράσης καταλήγει σε ένα σύνολο n Λαγκρανζιανών εξισώσεων, μια για κάθε ανεξάρτητο βαθμό ελευθερίας. 3.7 Συνοπτική περίληψη κεφαλαίου Ο μαθηματικός φορμαλισμός του Lagrange, μας παρέχει μια πανίσχυρη μέθοδο για να εξάγουμε διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, για κάθε μηχανικό, ηλεκτρικό η ηλεκτρομηχανικό σύστημα. Τα βήματα που ακολουθούμε για να εφαρμόσουμε την μεθοδολογία αποτελούν κατα σειρά τα παρακάτω: Προσδιορισμός των γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος. Εκφράζουμε την κινητική και την δυναμική ενέργεια του συστήματος σαν συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος και σαν συνάρτηση των διαφοριθέντων ως προς τον χρόνο γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος. Για μηχανικά συστήματα ο όρος της δυναμικής ενέργειας αφορά την ενέργεια που αποθηκεύεται σε ελατήρια, δυναμική ενέργεια που οφείλεται στην βαρυτική έλξη και σε εξωτερικά εξασκούμενες δυνάμεις στο σύστημα δύναμη μετατόπιση. Εκφράζουμε την εξίσωση του Lagrange ως L=T V. Για μη συντηρητικά συστήματα, προσδιορίζουμε μια κατάλληλη συνάρτηση δυναμικού Raylegh ως 1 2 R q 2 όπου q αποτελεί την σχετική ταχύτητα στο οστό στοιχείο τριβής η αν μιλάμε για ηλεκτρικά κυκλώματα το ρεύμα που καταναλώνεται στην oστή κυκλωματική αντίσταση. Υπολογίζουμε τις μερικές διαφορικές εξισώσεις της Λαγκρανζιανής εξίσωσης και της δυναμικής εξίσωσης του Raylegh σε σχέση με τις γενικευμένες συντεταγμένες και τις γενικευμένες ταχύτητες. Το σύστημα διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης δίνεται ~26~,

28 d dt L q L R =0. q q 4 Εξισώσεις του Hamlton Είδαμε με βάση τις προηγούμενες θεωρήσεις και εστιάζοντας ιδιαιτέρως στην μεθοδολογία κατα Lagrange, ότι ο φορμαλισμός του Lagrange μας παρέχει κατα τρόπο συνοπτικό τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική ενός μηχανικού συστήματος, οι οποίες προκύπτουν ως διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως. Το επόμενο βήμα αφού έχουμε επιτύχει να ορίσουμε ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο του συστήματος και να καταλήξουμε σε διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξεως που περιγράφουν το σύστημα, είναι να επιλύσουμε τις εξισώσεις αυτές θεωρώντας τις αρχικές συνθήκες των καταστάσεων του συστήματος όπως τις ορίζουμε. Είναι σαφώς πιο εύκολο να καταφέρουμε την επίλυση διαφορικών εξισώσεων όταν αυτές είναι πρώτης τάξεως. Ειδικά αν η λύση δύναται να εξαχθεί μέσω αριθμητικών μεθόδων χρησιμοποιώντας υπολογιστή, όπου υπάρχουν αριθμητικά προγράμματα που αξιοποιούν αριθμητικές μεθόδους όπως για παράδειγμα η μέθοδος Runge-Kutta. 4.1 Εξαγωγή διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης Μια διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως μπόρεί να εκφραστεί στην μορφή δύο πρώτης τάξεως διαφορικών εξισώσεων αν ορίσουμε μια επιπλέον μεταβλητή. Είναι βολικό να ορίσουμε, για το σκοπό αυτό, την επιπλεόν παράμετρο του συστήματος την γενικευμένη ορμή, η οποία ορίζεται ως p = L q. 4.1 Εξαιτίας της συσχέτισης των μεγεθών p και q, η γενικευμένη ορμή καλείται επίσης και συζευγμένη ορμή (conjugate momenta). Το πλεονέκτημα που προσφέρει στην ανάλυση ο ορισμός της γενικευμένης ορμής όπως παρουσιάζεται παραπάνω, έγκειται στο γεγονός ότι η Λαγκρανζιανή οδηγείται σε μια απλή μορφή. Έχουμε d dt L q = ṗ, επομένως η Λαγκρανζιανή εξίσωση d dt L q L R =0 q q καταλήγει στην απλοποιημένη μορφή ṗ L R = q q ~27~

29 Οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν, επομένως, είναι πρώτης τάξης. Η επιθυμητή μορφή των εξισώσεων πρώτης τάξης είναι τέτοια ώστε οι διαφορικές ποσότητες q και ṗ να μπορούν να εκφραστούν σαν συναρτήσεις των θεμελιωδών μεταβλητών του συστήματος. Οι εξισώσεις για τα q προκύπτουν απο την σχέση (4.1) και οι εξισώσεις για τα ṗ δίνονται απο την εξίσωση (4.2). Σε κάποιες περιπτώσεις, η αντικατάσταση του q στην σχέση (4.2) είναι απαραίτητη ώστε να εξαλειφθούν οι διαφορικές ποσότητες απο το δεξιό μέρος της εξίσωσης. 4.2 O φορμαλισμός του Hamlton Προφανώς, σύμφωνα με τις ανωτέρω παρατηρήσεις, είναι προφανές ότι είναι αρεστό οι εξισώσεις του συστήματος να προκύπτουν εξ'αρχής ως εξισώσεις πρώτης τάξεως. Ο σκοπός αυτός επιτυγχάνεται με την μέθοδο του Hamlton. Αντίθετα με την Λαγκρανζιανή εξίσωση L=T V, θεωρούμε την συνολική ενέργεια του συστήματος η οποία δηλώνεται με την εξίσωση H =T V. Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε τις μορφές εξισώσεων των Τ και V. Διαπιστώνουμε ότι η δυναμική ενέργεια V εξαρτάται μόνο απο τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος και όχι απο τις γενικευμένες ταχύτητες, οπότε και επομένως L = q V q =0, T V q = T. q Στο επόμενο βήμα, παρατηρούμε ότι η κινητική ενέργεια είναι ομογενής συνάρτηση βαθμού 2 για τις γενικευμένες ταχύτητες. Για να επεξηγήσουμε την ερμηνεία της παραπάνω διατύπωσης ας θεωρήσουμε ένα σύστημα δύο διαστάσεων για το οποίο η κινητική ενέργεια Τ είναι συνάρτηση των q 1 και q 2. H μορφή της συνάρτησης για την κινητική ενέργεια Τ είναι τέτοια ώστε αν πολλαπλασιάσουμε με μια σταθερά k τις ταχύτητες q 1 και τότε T k q 1, k q 2 =k 2 T q 1, q 2. Συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα καλούνται ομογενείς συναρτήσεις βαθμού 2. Η κινητική ενέργεια των μηχανικών συστημάτων αποτελεί κατα κανόνα ομογενή συνάρτηση δευτέρου βαθμού. Για την ακρίβεια όλα τα συστήματα εκτός ελάχιστων εξαιρέσεων, έχουν εξίσωση κινητικής ενέργειας η οποία είναι ομογενής βαθμού 2. Αν διαφορίσουμε και τις δύο πλευρές της παραπάνω εξίσωσης με την σταθερά k προκύπτει σαν αποτέλεσμα αξιοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας για τις εξισώσεις διαφορών: q 2 T q 1 k q 1 q 2 T =2 k T q k q 1, q 2. 2 Στην προκύπτουσα παράσταση η εκλογή του k είναι αυθαίρετη, επομένως γίνεται να υπάρχει k τέτοιο ώστε k=1. Επομένως για k =1 η ανωτέρω σχέση μας δίνει T T q 1 q q 2 =2T q 1 q 1, q 2. 2 ~28~

30 Το ίδιο κατα αντιστοιχία αποτέλεσμα προκύπτει για συστήματα πολλών διαστάσεων. Έτσι για πολυδιάστατα συστήματα η σχέση ξαναγράφεται L q =2T. q Η σχέση αυτή είναι επίσης γνωστή απο τον μεγάλο μαθηματικό Euler και ονομάζεται θεώρημα του Euler για ομογενείς συναρτήσεις. Με την βοήθεια της σχέσης αυτής η συνάρτηση της ολικής ενέργειας ενός συστήματος H μπορεί να γραφεί ως Η =Τ V =2T T V =2T L H = L q q L= q p L. 4.3 Η εξίσωση στο δεξί μέρος ονομάζεται Χαμιλτονιανή εξίσωση. Η Χαμιλτονιανή εξίσωση ενός συστήματος δεν αποτελεί τίποτα λιγότερο απο την ενέργεια του συστήματος για συστήματα για τα οποία ορίζονται οι εξισωτικές μορφές των ενεργειών Τ και V. Εφ'όσον η πλειοψηφία των συστημάτων με τα οποία έρχεται σε επαφή, με σκοπό την μοντελοποίηση και τον έλεγχο αυτών, ένας μηχανικός συστημάτων, παίρνουμε τις παραπάνω προυποθέσεις για να καταλήξουμε στην Χαμιλτονιανή H. Στον φορμαλισμό του Hamlton, οι θεμελιώδεις μεταβλητές αποτελούν οι q, p και t. Είναι επομένως απαραίτητο να εκφράσουμε την συνάρτηση του Hamlton σε σχέση με τις γενικευμένες μετατοπίσεις, την γενικευμένη ορμή και τον χρόνο. Αφού σε προγενέστερες θεωρήσεις που έχουμε κάνει έχουμε εκφράσει την κινητική ενέργεια σε σχέση με τις γενικευμένες ταχύτητες q, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε τα q σε σχέση με τα p. Αυτό μπορούμε να το καταφέρουμε εύκολα αξιοποιώντας τον ορισμό της γενικευμένης ορμής p = L q. Έχοντας εξάγει την Χαμιλτονιανή ενός συστήματος Η p, q,t, οι εξισώσεις κίνησης όσον αφορά την Χαμιλτονιανή προκύπτουν διαφορίζοντας την Χαμιλτονιανή του συστήματος ως προς τισ θεμελιώδεις ποσότητες αυτής. dh = H H dp p dq q H dt. 4.4 t Απο την στιγμή που η Λαγκρανζιανή που αφορά ένα σύστημα είναι συνάρτηση των μεγεθών q, t αξιοποιώντας την εξαχθείσα σχέση (4.3) μπορούμε να γράψουμε την dh και στην ακόλουθη μορφή: q και του χρόνου dh = q dp p d q L q dq L d q q L t dt = q dp d q p L q L ~29~ dq q L dt. 4.5 t

31 Αφού η γενικευμένη ορμή στην σχέση (4.1) ορίζεται p = L q, η παραπάνω έκφραση, (4.5), ξαναγράφεται μετά τον μηδενισμό του δεύτερου όρου ως L dh = q dp dq q L dt. 4.6 t Aπο την σχέση (4.2) που έχει εξαχθεί απο τα προηγούμενα και την ξαναγράφουμε για διευκόλυνση προκύπτει ṗ L q R q =0. Απο την σχέση αυτή απομονώνοντας τον δεύτερο όρο έχουμε: L = ṗ q R. q Εμπεριέχοντας την παραπάνω έκφραση στην (4.6), η (4.6) ξαναγράφεται ως dh = q dp ṗ R q q L dt. 4.7 t Συγκρίνουμε τις παραστάσεις (4.6) και (4.7) που μας δίνουν το μέγεθος dh και κάνουμε τις παρακάτω παρατηρήσεις. Είδαμε ότι οι γενικευμένες ορμές ορίζονται απο τις σχέσεις p = L, =1,...n. Tα δεξιά μέλη της σχέσης αυτής είναι q συναρτήσεις των q, q και οι εξισώσεις p = L, =1,...n, μπορούν να θεωρηθούν ως ένα σύστημα n q αλγεβρικών εξισώσεων ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες. Υποθέτουμε ότι το σύστημα αυτό λύνεται, κάτι που εν γένει συμβαίνει, και η λύση του είναι της μορφής q = q q1,... qn, p1,... pn, t. =1,...n Δηλαδή οι γενικευμένες ταχύτητες εκφράζονται ως συναρτήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων, των γενικευμένων ορμών και του χρόνου. Οι διαφορικές εξισώσεις του Lagrange είναι διαφορικές εξισώσεις πλήθους n, δευτέρας τάξεως ως προς τις q. Τις μετασχηματίσαμε παραπάνω σε ένα σύστημα 2n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως ως προς τις μεταβλητές q και p. H αλλαγή αυτή επιτυγχάνεται μέσω της μεθόδου μετασχηματισμός του Legendre (σχέση (4.3)). Οι μεταβλητές q, p θεωρούνται ανεξάρτητες μεταξύ τους, διότι είναι οι 2n μεταβλητές στο σύστημα των εξισώσεων του Hamlton που ζητάμε να βρούμε, και συνεπώς τα διαφορικά dq, dp θεωρούνται αυθαίρετα. Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές των dq, dp, dt στις εκφράσεις (4.6), (4.7) για το διαφορικό dh πρέπει να είναι ίσοι, δηλαδή να ισχύουν οι σχέσεις ~30~

32 { 2 H 1 = q p } H = ṗ q R =1,...n q και επίσης (4.8) 3 H t = L t Οι εξισώσεις (4.8) αποτελούν ένα σύστημα 2n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ορμές και ονομάζονται κανονικές εξισώσεις η εξισώσεις Hamlton. Oι εξισώσεις αυτές παρέχουν έναν εύκολο τρόπο απευθείας εξαγωγής πρώτων εξισώσεων για ένα δυναμικό σύστημα. Το μόνο μειονέκτημα είναι ο όρος αντίστασης που περιλαμβάνεται στις εξισώσεις ο οποίος είναι συνάρτηση των γενικευμένων ταχύτητων οι οποίες δεν είναι θεμελιώδεις μεταβλητές στην χαμιλτονιανή προσέγγιση. Ωστόσο αυτό το μειονέκτημα αίρεται εύκολα καθώς μπορούν οι γενικευμένες ταχύτητες να αντικατασταθούν σε σχέση με θεμελιώδη μεταβλητές του συστήματος H με χρήση της (4.8) = q p.aξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι η εξίσωση αυτή δίνει το ίδιο κατα αναλογία αποτέλεσμα με την σχέση (4.1) p. p = L q, αν αντικαταστήσουμε την Λαγκρανζιανή με την Χαμιλτονιανή και θεωρήσουμε όπου q το Eπίσης αξίζει να σημειωθεί ότι η εξίσωση (3) απο τις σχέσεις (4.8) ουσιαστικά δεν αποτελεί διαφορική εξίσωση και επομένως δεν αναπαριστά την δυναμική ενός συστήματος. Μας λέει απλά ότι αν η Λαγκρανζιανή δεν είναι χρονικά εξαρτώμενη τότε ούτε η Χαμιλτονιανή είναι χρονικά εξαρτώμενη. Αυτό είναι προφανές καθώς τόσο η Λαγκρανζιανή όσο και η Χαμιλτονιανή συντίθενται μέσω των συναρτήσεων της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας. Στην περίπτωση της απουσίας παθητικού στοιχείου αντίστασης οι δύο πρώτες εξισώσεις της σχέσης (4.8) αποκτούν μια απλή συμμετρική μορφή: q = H p, ṗ = H q. (4.9) H συμμετρία που παρουσιάζουν οι ανωτέρω μορφές διαφορικών εξισώσεων έχει οδηγήσει γεννεές επιστημόνων να μελετούν τέτοιου είδους συστήματα με κάθε λεπτομέρεια. Τα δυναμικά συστήματα για τα οποία ευσταθούν οι εξισώσεις αυτές καλούνται Χαμιλτονιανά συστήματα (Hamltonan systems). Οι εξισώσεις (4.9) αποτελούν ένα σύστημα 2n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως ως προς τις γενικευμένες συντεταγμένες και γενικευμένες ορμές και ονομάζονται κανονικές εξισώσεις η εξισώσεις Hamlton. Στις εξισώσεις (4.9) η συνάρτηση του Hamlton θεωρείται ως συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, των γενικευμένων ορμών και του χρόνου της μορφής Η =Η q 1,... q n, p q,... p n,t. Oι μεταβλητές q, p ονομάζονται κανονικές μεταβλητές η συζηγείς μεταβλητές. Η συνάρτηση του Hamlton είναι χαρακτηριστική του συστήματος και μπορούμε να ορίσουμε ένα δυναμικο σύστημα δίνοντας τη συνάρτηση του Hamlton. ~31~

33 Oι γενικευμένες συντεταγμένες δεν έχουν εν γένει διαστάσεις μήκους ούτε οι γενικευμένες ορμές διαστάσεις ορμής, το γινόμενο όμως pq, έχει διαστάσεις δράσεως (ενέργεια επί χρόνο). Αυτό φαίνεται αν χρησιμοποιήσουμε τη σχέση οπότε έχουμε p = L q, =1,...n, p q = L q q, =1,...n, διότι οι διαστάσεις του όρου L/ q είναι ΕΤ [q ] 1, όπου Ε η ενέργεια και [q ] η διάσταση της q. 4.3 Oλοκληρώματα των κανονικών εξισώσεων (α) Ολοκλήρωμα της ενέργειας Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση του Hamlton εξαρτάται μόνο απο τις γενικευμένες συντεταγμένες και τις γενικευμένες ορμές και όχι απο τον χρόνο, οπότε είναι της μορφής Η q 1,... q n, p 1,... p n (4.10). Έστω τώρα q 1 t,... q n t, p 1 t,... p n t (4.11), μια λύση των εξισώσεων (4.9) του Hamlton. Για τη λύση αυτή η συνάρτηση (4.10) γίνεται συνάρτηση του χρόνου, Η q 1 t,...q n t, p 1 t,... p n t.(4.12) H παράγωγος της (4.12) ως προς το χρόνο είναι η n dh dt = =1 H q q H p ṗ και αν χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις (4.9) για τα q, ṗ (διότι οι συναρτήσεις (4.11), ως λύσεις, επαληθεύουν τις (4.9) βρίσκουμε dh dt =0 και συνεπώς Η q 1,... q n, p 1,... p n =σταθερό. (4.13) dh Ένα σύστημα για το οποίο η Χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα απο τον χρόνο ( =0 ) ονομάζεται αυτόνομο. dt Καταλήγουμε επομένως στο συμπέρασμα ότι όταν η συνάρτηση του Hamlton δεν εξαρτάται απο το χρόνο, είναι σταθερή κατα την κίνηση. Η (4.13) είναι ένα ολοκλήρωμα της κινήσεως. Το ολοκλήρωμα αυτό είναι το ολοκλήρωμα της ενέργειας, όπως προκύπτει αν πάρουμε υπόψη τον ορισμό της συναρτήσεως του Hamlton με τη σχέση Η = =1 n p q L. Παρατηρούμε ότι όταν L/ t=0, είναι και Η / t=0 σύμφωνα με τη σχέση 3 στις εξισώσεις (4.8). Όταν οι δεσμοί είναι σκληρόνομοι και οι σχέσεις μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων και των καρτεσιανών συστεταγμένων σε αδρανειακό σύστημα δεν περιέχουν το χρόνο, η συνάρτηση του Hamlton είναι ίση προς το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας, H =T V, δηλαδή είναι ίση προς την ενέργεια του συστήματος. Και στη γενική ~32~

34 περίπτωση όμως, το ολοκλήρωμα (4.13) συνήθως ονομάζεται ολοκλήρωμα της ενέργειας. (β) Ολοκλήρωμα γενικευμένης ορμής Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση του Hamlton δεν εξαρτάται απο μια συγκεκριμένη γενικευμένη συντεταγμένη, λ.χ την q k, οπότε H =0.(4.14) q k Aπο την ομάδα των διαφορικών εξισώσεων (4.9) για =k προκύπτει τότε ότι p k =0 και συνεπώς p k =σταθερό. Η συντεταγμένη q k για την οποία ισχυεί η σχέση (4.14) ονομάζεται αγνοήσιμη συντεταγμένη. Απο τα παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι όταν στη συνάρτηση του Hamlton μια συντεταγμένη είναι αγνοήσιμη, η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή διατηρείται. Όταν υπάρχει μια η αγνοήσιμη συντεταγμένη q k, η συνάρτηση του Hamlton έχει τη μορφή Η q 1,... q k 1, q k 1,... q n, p 1,... p n και συνεπώς η q k δεν εμφανίζεται σε καμιά απο τις διαφορικές εξισώσεις (4.9). Η αντίστοιχη ορμή είναι σταθερή p k =α. Παρατηρούμε επομένως ότι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (4.9) χωρίζεται σε δύο τμήματα, στις δύο εξισώσεις q k = H, p k ṗ k = H q k 4.15 και στις (2n-2) εξισώσεις q = H p, ṗ = H q. =1,...n, k 4.16 H λύση του συστήματος (4.15) ως προς p k είναι η p k =α και συνεπώς στο σύστημα (4.16) η συνάρτηση H είναι η H q 1,... q k 1, q k 1,... q n, p 1,... p k 1, a, p k 1,... p n, η οποία εξαρτάται μόνο απο τις 2n-2 μεταβλητές. Άρα το σύστημα (4.16) μπορεί να λυθεί μόνο του και να βρεθούν όλα τα q, p συναρτήσει του χρόνου, εκτός της q k (η p k δίνεται απο την p k =α ). Στη συνέχεια η q k βρίσκεται απο την πρώτη εξίσωση (4.15) με ολοκλήρωση, διότι το δεξιό μέλος είναι γνωστή συνάρτηση του χρόνου, εφ'όσον οι μεταβλητές απο τις οποίες εξαρτάται είναι ήδη γνωστές συναρτήσεις του χρόνου ως λύσεις των (4.16). Απο τα παραπάνω παρατηρούμε ότι όταν υπάχει μια αγνοήσιμη συντεταγμένη, η τάξη του συστήματος των κανονικών εξισώσεων του Hamlton (4.9) υποβιβάζεται κατα δύο και έχουμε να λύσουμε το σύστημα (4.16) των (2n-2) εξισώσεων, το οποίο προκύπτει απο το αρχικό σύστημα (4.9) αν αγνοήσουμε τις δύο εξισώσεις που αντιστοιχούν στην αγνοήσιμη συντεταγμένη. Αυτό δικαιολογεί και την ονομασία αγνοήσιμη. Είναι φανερό ότι όσο περισσότερες αγνοήσιμες συντεταγμένες έχουμε, τόσο ευκολότερη γίνεται η λύση του συστήματος (4.9). Αν μάλιστα όλες οι q είναι αγνοήσιμες, όλα τα H / p k είναι σταθερά και η λύση βρίσκεται αμέσως. Πρέπει να σημειώσουμε ότι δεν είναι δυνατή, εν γένει, η εύρεση ενός κανονικού μετασχηματισμού που να κάνει όλες τις γενικευμένες συντεταγμένες αγνοήσιμες. Υπάρχουν όμως προσεγγιστικές μέθοδοι που δημιουργούν τέτοιους μετασχηματισμούς. ~33~

35 4.4 Aγκύλες του Posson (α) Ορισμός Έστω q = H, p ṗ = H q, (=1,... n) το σύστημα των κανονικών εξισώσεων του Hamlton, όπου Η (q 1,... q n, p 1,... p n,t) η συνάρτηση του Hamlton. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις των q, p,t τις f (q 1,... q n, p 1,... p n,t ), g (q 1,... q n, p 1,... p n,t). Oρίζουμε ως αγκύλη του Posson για τις συναρτήσεις f και g και τη συμβολίζουμε ως n [ f, g]= =1 f q g f g p p q. (4.17) [ f, g] την παράσταση Eιδικότερα, η αγκύλη Posson μεταξύ της συνάρτησης του Hamlton και της f είναι η n [ Η, f ]= =1 ( H q f H f p p q ). (4.18) Eίναι φανερό ότι η αγκύλη του Posson είναι συνάρτηση των q, p και t. H αγκύλη του Posson [ f, g] μπορεί να θεωρηθεί και ως ένας γραμμικός τελεστής D f, υπο τη μορφή [ f, g ]= D f g, όπου ο τελεστής D f είναι ο γραμμικός διαφορικός τελεστής n D f = =1 f q f p p q, 4.19 όπως διαπιστώνουμε αμέσως απο τον ορισμό (4.18). ~34~

36 (β) Ιδιότητες Απο τον ορισμό (4.17) βρίσκουμε ότι ισχύουν οι ιδιότητες: όπου c είναι μια σταθερά. [ f, g ]= [g, f ], [ f 1 f 2, g ]=[ f 1, g] [ f 2, g ], [ f 1 f 2, g]= f 1 [ f 2, g ] f 2 [ f 1, g], [ f, c]=0, t [ [ f,g]= f t ] [, g f, g t ], [ f,[ g,h]] [ g,[h, f ]] [h,[ f,g]]= H τελευταία ιδιότητα (4.20) ονομάζεται ταυτότητα του Jacob. Oι πέντε πρώτες ιδιότητες αποδεικνύονται εύκολα απο τον ορισμό (4.17). Η ταυτότητα του Jacob αποδυκνείεται ως εξής: Με τη βοήθεια του συμβολισμού (4.19) οι δύο πρώτοι όροι της ταυτότητας του Jacob γράφονται υπο τη μορφή [ f,[ g,h]] [ g,[h, f ]]=[ f,[g,h]] [g,[h, f ]]= D f D g h D g D f h = D f D g D g D f h. Παρατηρούμε τώρα ότι οι τελεστές D f και D g είναι της μορφής 2n D f = =1 α 2n ξ, D g = =1 όπου, για λόγους απλότητας στο συμβολισμό, ορίσαμε τα ξ ως b, ξ ξ =q για =1,... n ξ n = p για =1,... n και τα α,b είναι συναρτήσεις των ξ. Mε βάση τα παραπάνω ο τελεστής D f D g D g D f γράφεται υπο τη μορφή 2n 2n D f D g D g D f = α b j =1 j=1 2 2 α ξ ξ j b j ξ j ξ 2n 2n j =1 =1 α b j ξ ξ j =1 2n 2n j=1 b j α ξ j ξ To πρώτο διπλό άθροισμα του δεξιού μέλους της (4.21) μηδενίζεται, διότι σε κάθε όρο αντιστοιχεί και ο αντιθετός του, όπως εύκολα διαπιστώνεται εκ παρατηρήσεως των, επιμέρους, συνιστάμενων αθροιστικών όρων. Κατα συνέπεια, ο τελεστής D f D g D g D f παίρνει τη μορφή, με την θεώρηση ότι εναλλάσουμε τους δείκτες και j στον τρίτο όρο της (4.21) 2n 2n D f D g D g D f = α b j b =1 j=1 ξ ξ. ξ j ~35~

37 Παρατηρούμε ότι στον τελεστή D f D g D g D f δεν εμφανίζονται πρώτες παράγωγοι. Επομένως στους δύο πρώτους όρους της συνάρτησης του Jacob, περιέχουν μόνο τις πρώτες παραγώγους της συνάρτησης h ως προς τα ξ. Eπίσης, απο τον ορισμό της αγκύλης του Posson προκύπτει ότι και ο τρίτος όρος της ταυτότητας του Jacob, [h,[ f, g]], περιέχει μόνο τις πρώτες παραγώγους της h ως προς τα ξ. Eπομένως στην ταυτότητα του Jacob δεν εμφανίζονται δεύτερες παράγωγοι της h ως προς τα ξ. Κάνουμε την παρατήρηση, όμως, ότι τι αριστερό μέλος της ταυτότητας του Jacob είναι μια ομογενής συνάρτηση των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης των συναρτήσεων f,g,h ως προς τα ξ, όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε απο τον ορισμό της αγκύλης του Posson που ξαναθυμίζουμε προς χάριν διευκόλυνσης n [ f, g ]= =1 ( f q g f g p p q ). Όμως, αφού δεν εμφανίζονται οι δεύτερες παράγωγοι όπως δείχθηκε απο τα παραπάνω, πρέπει το αριστερό μέλος της (4.20) να ισούται με το μηδέν, οπότε ολοκληρώνεται η απόδειξη της ταυτότητας του Jacob. Βάσει του ορισμού των αγκυλών του Posson έχουμε τις ειδικές περιπτώσεις [ g k, g ]= g p k, απο τις οποίες παίρνουμε ειδικότερα τις σχέσεις [ p k, g]= g g k, 4.22 όπου δ k το συναρτησοειδές του Kronecker: [q,q k ]=0, [ p, p k ]=0, [q, p k ]=δ k, 4.23 Οι αγκύλες (4.23) ονομάζονται θεμελιώδεις αγκύλες του Posson. Mε την βοήθεια των σχέσεων (4.22) μπορούμε να δώσουμε μια νέα μορφή στις κανονικές εξισώσεις (4.8). Αν στις (4.22) θέσουμε g=h, παρατηρούμε ότι οι κανονικές εξισώσεις (4.8) παίρνουν τη μορφή q =[q, H ], ṗ =[ p, H ], =1,... n (γ) Σχέση μεταξύ αγκύλων του Posson και ολοκληρωμάτων της κινήσεως Έστω ότι η συνάρτηση F q 1,... q n, p 1,... p n αποτελεί ένα ανεξάρτητο της παράμετρου του χρόνου πρώτο ολοκλήρωμα της κινήσεως των κανονικών εξισώσεων (4.9). Αυτό σημαίνει ότι αν q t, p t είναι μια λύση των εξισώσεων (4.9) θα ισχυεί για την συνάρτηση F F q 1 t,...q n t, p 1 t,... p n t =σταθερό. Απο την ανωτέρω παράσταση προκύπτει κατα λογικό τρόπο df /dt=0 και συνεπώς F q 1 q 1... F q n q n F ṗ p 1... F 1 p n ṗ n = ~36~

38 Εφ'όσον οι συναρτήσεις μορφή q t, p t επαληθεύουν τις κανονικές εξισώσεις (4.9), η σχέση (4.25) παίρνει τη κάτωθι n =1 F H F H q p p q =0, η σύμφωνα με τον ορισμό (4.17) [ F,H ]= Καταλήγουμε, συνεπώς, στο συμπέρασμα ότι αν F q, p είναι ένα πρώτο ολοκήρωμα των κανονικών εξισώσεων, η αγκύλη του Posson μεταξύ της F και της συνάρτησης του Hamlton ισούται με το μηδέν. Απο την ανωτέρω απόδειξη ισχυεί και το αντίστροφο, ήτοι, η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι μια συνάρτηση F q, p πρώτο ολοκλήρωμα της κινήσεως πρέπει να ισχυεί η σχέση (4.26). Ας κάνουμε την υπόθεση ότι έχουμε δύο ανεξάρτητα του χρόνου ολοκληρώματα της κινήσεως, τα F q, p και G q, p. Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση Φ[ F,G ] είναι επίσης πρώτο ολοκλήρωμα της κινήσεως. Αυτό προκύπτει απευθείας απο την ταυτότητα του Jacob θέτοντας όπου h=h. Eξάγεται η σχέση [ F,[G, H ]] [G,[ H, F ]] [H, F ]=0 και επειδή [G, H ]=0 και [ Η, F ]=0, σύμφωνα με την (4.26) αφού τα F και G είναι πρώτα ολοκληρώματα, ισχυεί [ Η,Φ]=0. Επομένως και η συνάρτηση Φ είναι πρώτο ολοκλήρωμα της κινήσεως. Απο τα παραπάνω εξάγεται το θεώρημα του Posson: Aν F q, p και G q, p είναι δύο πρώτα ολοκληρώματα των κανονικών εξισώσεων, τότε και η αγκύλη του Posson [F,G] αποτελεί πρώτο ολοκλήρωμα των κανονικών εξισώσεων. Σημειώνεται ότι δεν αποτελούν όλα τα ολοκληρώματα που βρίσκονται με αυτό τον τρόπο ανεξάρτητα μεταξύ τους. Το θεώρημα του Posson γενικεύεται και για την περίπτωση κατα την οποία τα ολοκληρώματα F και G είναι χρονικά εξαρτημένα. (δ) Μεταβολή μιας συνάρτησης F q, p, t κατα μήκος της κίνησης Έστω F q 1,... q n, p 1,... p n, t μια συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, γενικευμένων ορμών και του χρόνου. Δοθείσης μιας λύσης q t, p t η συνάρτηση αυτή μεταβάλλεται κατα μήκος της τροχιάς του συστήματος και η παράγωγος αυτής ισούται n df dt = F =1 q q F p ṗ F t. Eργαζόμενοι κατα παρόμοιο τρόπο για την απόδειξη της σχέσης (4.26) καταλήγουμε στον παρακάτω τύπο df F =[ H, F ] dt t. O τύπος αυτός δίνει την παράγωγο της συνάρτησης F κατα μήκος της κίνησης. ~37~

39 4.5 Mετατροπή συστήματος σε αυτόνομο με αύξηση των βαθμών ελευθερίας Θεωρούμε ένα μη αυτόνομο (δηλαδή ένα άμεσα χρονικώς εξαρτημένο) Χαμιλτονιανό σύστημα n βαθμών ελευθερίας. Θα δείξουμε ότι αν αυξήσουμε τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος κατα έναν, θεωρώντας το χρόνο t ως επιπλέον γενικευμένη συντεταγμένη μπορούμε να μετατρέψουμε το σύστημα σε αυτόνομο. Δίνεται η συνάρτηση Hamlton Η =Η q 1,... q n, p 1,... p n, t 4.27 μη αυτόνομου συστήματος n βαθμών ελευθερίας. Οι αντίστοιχες εξισώσεις Hamlton είναι q = H p, ṗ = H q, =1,...n. Μπορούμε να συμπληρώσουμε το ανωτέρω σύστημα με τις δύο προφανείς εξισώσεις ṫ=1, Ḣ = H t, 4.28 ως εξής: Ονομάζουμε (n+1) γενικευμένη συντεταγμένη το χρόνο t και (n+1) γενικευμένη ορμή τη συνάρτηση Hamlton με αρνητικό πρόσημο, οπότε q n 1 =t, p n 1 = H 4.29 και ορίζουμε ως νέα συνάρτηση Hamlton την παράσταση H =H q 1,... q n,q n 1, p 1,... p n p n 1. To σύστημα των εξισώσεων Hamlton q j = H, p j ṗ j = H q j, j=1,...n 1 για j n συμπίπτει με τις q = H p, ṗ = H q, =1,...n, ενώ για j=n 1 δίνει τις εξισώσεις q n 1 =ṫ= H =1, p n 1 p n 1 = Ḣ = H = H q n 1 t που συμπίπτουν με τις (4.28). Έτσι το μη αυτόνομο σύστημα n βαθμών ελευθερίας που αντιστοιχεί στη συνάρτηση Hamlton (4.27) μετασχηματίστηκε σε αυτόνομο σύστημα n+1 βαθμών ελευθερίας., ~38~

40 Υποθέτουμε τώρα μια δυναμική μεταβλητή του παραπάνω συστήματος Α= Α q, p,t, που εξαρτάται όπως είναι προφανές απο τον ορισμό της άμεσα απο τον χρόνο. Σύμφωνα με τις σχέσεις (4.29), η Α παίρνει τη μορφή A= A q 1,... q n, q n 1, p 1,... p n. Oρίζουμε την αγκύλη Posson στο σύστημα των n+1 βαθμών ελευθερίας. Θα δείξουμε ότι η αγκύλη την ολική παράγωγο της Α προς το χρόνο. Πραγματικά, [ Α, H ] συμπίπτει με [ A, H ]= j =1 n 1 A q j H p j A p j H q j n = A H A H j=1 q j p j p j q j A q n 1 H =[ A, H ] A p n 1 t = da dt. Παρατηρούμε, επομένως, ότι επεκτείνοντας με αυτό τον τρόπο το σύστημα στους n+1 βαθμούς ελευθερίας, είτε το αρχικό σύστημα είναι αυτόνομο είτε όχι, μπορούμε να συμπεριφερθούμε στη μεταβλητή t με τρόπο ισοδύναμο προς τις γενικευμένες συντεταγμένες q. Aν η H είναι συνάρτηση Hamlton αυτόνομου συστήματος, τότε θα ισχύει ότι H q n 1 =0, δηλαδή η q n 1 συντεταγμένη θα είναι αγνοήσιμη και η p n 1 γενικευμένη ορμή, δηλαδή η H, θα είναι ολοκλήρωμα της κίνησης. Στην περίπτωση που η H εξαρτάται άμεσα απο το χρόνο, η H αφού είναι Χαμιλτονιανή αυτόνομου συστήματος θα είναι ολοκλήρωμα της κίνησης. 4.6 Η αρχή του Hamlton (α) Θεώρημα του Euler του Λογισμού των Μεταβολών Για την κατανόηση της αρχής του Hamlton είναι σημαντικό να αποδειχθεί ένα θεώρημα του λογισμού των μεταβολών. Το θεώρημα αυτό αναφέρεται στο εξής πρόβλημα: Δίνεται μια συνάρτηση f y, ẏ,t d, όπου y= y t μια καμπύλη η οποία συνδέει δύο σταθερά σημεία Α 1 t 1, t 2, A 2 t 1, t 2 όπως στο σχήμα. Εικ. 4.1:Οιδιάφορες καμπύλες πουσυνδέουν τα δύο σημεία A 1 t 1, y 1 και Α 2 t 2, y 2. ~39~

41 Ζητάμε να βρούμε για ποια καμπύλη y t το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα J = f y, ẏ,t dt 4.30 τ 2 τ 1 κατα μήκος της καμπύλης y t απο τη θέση Α 1 ως τη θέση Α 2 παίρνει στατική τιμή. Απο τα σημεία Α 1, Α 2 περνούν άπειρες καμπύλες. Έστω ότι η προσδοκώμενη καμπύλη αποτελεί η y= y μ t. H τυχούσα καμπύλη που συνδέει τα σημεία Α 1 και Α 2 μπορεί να εκφραστεί υπο τη μορφή y= y μ t η t, όπου η συνάρτηση η t είναι μια τυχαία συνάρτηση, τέτοια ώστε να επαληθεύονται οι σχέσεις n t 1 =n t 2 =0. Για μια τυχούσα συνάρτηση η t θεωρούμε τη μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων y= y μ t α η t, 4.31 όπου α αποτελεί παράμετρος της οικογένειας. Είναι φανερό ότι οι καμπύλες (4.31) περνούν απο τα σημεία Α 1 t 1, y 1 και Α 2 t 2, y 2. Για τα μέλη της οικογένειας (4.30) το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γίνεται συναρτήσει της παραμέτρου α, t 2 J α = t 1 f y t, α, ẏ t, α, t dt Eφ'όσον το ανωτέρω επικαμπύλιο ολοκλήρωμα παίρνει στατική τιμή για την καμπύλη τιμή α=0, πρέπει να ισχύει η σχέση y= y μ t, η οποία αντιστοιχεί στην dj =0. dα α=0 Απο το ολοκλήρωμα (4.32) προκύπτει αν παραγωγίσουμε ως προς α, Oλοκληρώνοντας κατα παράγοντες προκύπτει: t 2 t 1 f ẏ t 2 ẏ α dt= t 1 t 2 dj dα = t 1 f ẏ f y y α f ẏ 2 y t α [ dt= f ẏ ẏ α dt y α ]t 1 t 2 t 2 t 1 [ d f dt dt ẏ ] Aπο τη σχέση (4.31) παίρνουμε y / α=η t και συνεπώς λόγω των n t 1 =n t 2 =0, η (4.34) δίνεται ως t 2 t 1 f ẏ t ẏ α dt= 2 [ d t 1 Συνεπώς η (4.33) παίρνει τη μορφή, θέτοντας y / α=η t, f dt dt ẏ ] ~40~

42 t 2 dj dt = t 1 [ f y d dt f η t dt ẏ ] Η (4.36) για α=0 δίνει την εξίσωση, εξαιτίας της dj t 2 t 1 [ d dα α=0 ~ =0, f dt η t dt=0, 4.37 ẏ ] όπου τώρα η συνάρτηση y που εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα είναι η συνάρτηση y μ t για την οποία το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (4.30) παίρνει στατική τιμή, διότι για α=0 η (4.31) δίνει y= y μ. H εξίσωση (4.37) αποδείχθηκε για μια συγκεκριμένη, αλλά αυθαίρετη, συνάρτηση η t. H ίδια απόδειξη ισχύει και για οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση η t και συνεπώς η (4.37) ισχύει για αυθαίρετη συνάρτηση η t. Άρα ο μηδενισμός του ολοκληρώματος (4.36) συνεπάγεται την εξίσωση f y d dt f ẏ =0. Καταλήγουμε επομένως στο θεώρημα του Euler. H συνάρτηση y μ t για την οποία το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (4.30) παίρνει στατική τιμή είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης των Euler-Lagrange. Το παραπάνω θεώρημα γενικεύεται έυκολα και για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα t 2 J = t 1 f y 1,... y n, ẏ 1,... ẏ n, t dt Oι συναρτήσεις y 1 t,... y n t που συνδέουν τα σταθερά σημεία Α 1 y 11,... y n1,t 1 και Α 2 y 12,... y n2,t 2 του χώρου και καθιστούν το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (4.38) στατικό αποτελούν λύσεις του συστήματος διαφορικών εξισώσεων f d y dt f ẏ =0, =1,...n που αποτελούν τις γνωστές εξισώσεις Euler-Lagrange. Έστω (εικ.4.1) y μ t η καμπύλη για την οποία το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (4.30) παίρνει στατική τιμή και y t μια γειτονική καμπύλη. Η μεταβολή μεταξύ των δύο καμπυλών για το ίδιο χρονικό σημείο t ορίζεται ως δ-μεταβολή. Η μεταβολή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος (4.30) αναφέρεται σε δ-μεταβολή της συνάρτησης y και συμβολίζεται ως t 2 δ t 1 f y, ẏ, t dt. Στην περίπτωση που το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα (4.30) υπολογίζεται κατα μήκος της καμπύλης είναι ίση προς μηδέν, y μ t η δ-μεταβολή του t 2 δ t 1 f y, ẏ,t dt=0. ~41~

43 (β) H τροποποιημένη αρχή Hamlton Στην παράγραφο αυτή θα δείξουμε ότι η Μηχανική Hamlton μπορεί να τεθεί θεμελιακά ανεξάρτητα απο τη Μηχανική Lagrange, μεν αξιοποίηση μιας αρχής μεταβολών, η οποία ονομάζεται τροποποιημένη αρχή Hamlton. Θεωρούμε ότι κάθε μηχανικό σύστημα περιγράφεται πλήρως απο μία βαθμωτή συνάρτηση των 2n μεταβλητών q, p και ενδεχομένως του χρόνου t, τη συνάρτηση Hamlton η Χαμιλτονιανή H =H q, p,t. Υποθέτουμε δύο σημεία του χώρου φάσεων, P 1 και P 2, και C μία οποιαδήποτε καμπύλη που ενώνει τα παραπάνω σημεία. Έστω ότι η εξέλιξη του συστήματος γίνεται κατα μήκος της καμπύλης C, ώστε το σύστημα να ξεκινά απο το σημείο P 1 τη χρονική στιγμή t 1 και να καταλήγει στο σημείο P 2 τη χρονική στιγμή t 2. Η τροποποιημένη αρχή Hamlton διατυπώνεται ως εξής: H εξέλιξη ενός μηχανικού συστήματος n βαθμών ελευθερίας, στο χρονικό διάστημα [t 1, t 2 ] γίνεται κατα μήκος εκείνης της καμπύλης C για την οποία το ολοκλήρωμα t 2 q p H dt t 1 έχει στατική τιμή. Συνεπώς η απειροστή μεταβολή κατα δ του ανωτέρω ολοκληρώματος θα πρέπει να ισούται με το μηδέν, σύμφωνα με τον ορισμό της δ-μεταβολής όπως διατυπώθηκε ανωτέρω, επομένως t 2 δ q p H dt=0. t 1 Η παράσταση q p H μπορεί να θεωρηθεί ως μια συνάρτηση F των παραμέτρων q, p, ṗ, q, oπότε η σχέση (4.38) γράφεται όπου t 2 δ F dt=0, t 1 F q, p, q, ṗ,t = q p H q, p,t Aξίζει να σημειωθεί ότι η F δεν εξαρτάται απο τις μεταβλητές ṗ. Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Euler-Lagrange παίρνουμε τις 2n εξισώσεις Λόγω της μορφής (4.39) της συνάρτησης F έχουμε : d dt F q F =0, q d dt F ṗ F =0. p F = H, q q F = q p H, p F q = p, F ṗ = Oι εξισώσεις (4.40) συμπίπτουν τελικά με τις εξισώσεις Hamlton. ~41~

44 4.7 Kανονικοί μετασχηματισμοί Η μελέτη της κίνησης όσον αφορά ένα σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας στον μηχανικό φορμαλισμό κατα Lagrange γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο: Με την επιλογή των n κατάλληλων γενικευμένων συντεταγμένων q και τον καθορισμό της συνάρτησης Lagrange του συστήματος L=T V =L q, q,t, η κίνηση θα περιγράφεται απο n διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης, τις εξισώσεις Lagrange, οι οποίες προκύπτουν απο την αρχή Hamlton d dt L q L =0, q t 2 δ L dt=0. t 1 Στην περίπτωση που κριθεί συμφέρουσα για την περιγραφή του δυναμικού συστήματος μια επιλογή νέων γενικευμένων συντεταγμένων Q, όπως για παράδειγμα αν μεταβούμε απο μια περιγραφή καρτεσιανών συντεταγμένων σε μια περιγραφή με κυλινδρικές συντεταγμένες, η μετάβαση απο τις παλιές συντεταγμένες q στις καινούργιες Q γίνεται με τη βοήθεια n το πλήθος σχέσεων της μορφής Q =Q q j,t Oι συναρτήσεις στο δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή να μην δίνεται η μια συντεταγμένη ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων συντεταγμένων. Για να πραγματοποιείται η παραπάνω συνθήκη απαιτείται επομένως det[ Q q j ] 0, έτσι ώστε οι νέες προκύπτουσες γενικευμένες συντεταγμένες να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Έτσι οι σχέσεις (4.41) αντιστρέφονται σε n το πλήθος σχέσεις της μορφής q =q Q j,t Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο τις ανωτέρω προκύπτει, επίσης, η σχέση q = q Q Q j q j t Για να βρούμε τις εξισώσεις κίνησης που ικανοποιούν οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες με τον τρόπο που επιλέγουμε να τις ορίζουμε, αντικαθιστούμε τις q, q απο τις σχέσεις (4.42) και (4.43) στην έκφραση που αφορά την συνάρτηση Lagrange L=T V =L q, q, t συναρτήσει των Q, Q και εκφράζουμε την L ως συνάρτηση των Q, Q και t, L=L q, q, t =L ' Q, Q, t. ~42~

45 Η αρχή του Hamlton περιέχει μόνο τη βαθμωτή συνάρτηση L και είναι ανεξάρτητη απο την επιλογή γενικευμένων συντεταγμένων, επομένως η αρχή Hamlton γράφεται και οι εξισώσεις κίνησης θα είναι της μορφής t 2 δ L ' Q, Q, t dt=0 t 1 d dt L' Q L' Q =0. Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων του χώρου μορφής που περιγράφονται απο σχέσεις της μορφής (4.41) και ονομάζονται μετασχηματισμοί σημείου, αφήνουν αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων Lagrange, ανεξάρτητα απο την ειδική μορφή που μπορεί να έχουν οι σχέσεις (4.41). Στη μηχανική Hamlton όπου οι γενικευμένες ορμές θεωρούνται ανεξάρτητες απο τις γενικευμένες συντεταγμένες, είναι επιτρεπτή μία μεγαλύτερη κατηγορία μετασχηματισμών που περιγράφονται απο 2n αντιστρέψιμες σχέσεις της μορφής Q =Q q j, p j,t, P =P q j, p j,t. (4.44) Οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων του χώρου φάσεων της παραπάνω μορφής, για τους οποίους υπάρχει Χαμιλτονιανή συνάρτηση H ' =H ' Q, P, t, τέτοια ώστε οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης (4.9) να μετασχηματίζονται στις εξισώσεις Q = H ', P Ṗ = H ' Q,, (4.45) oνομάζονται κανονικοί μετασχηματισμοί. Η συνάρτηση Η ' που παίζει το ρόλο της συνάρτησης Hamlton για τις νέες γενικευμένες συντεταγμένες και ορμές, ενδέχεται να μην είναι η H ακριβώς εκφρασμένη ως συνάρτηση των Q, P. O oρισμός του κανονικού μετασχηματισμού που δώσαμε παραπάνω είναι ανεξάρτητος απο το σύστημα, δηλαδή την ειδική μορφή της συνάρτησης Hamlton Η. Αν μία αλλαγή συντεταγμένων της μορφής (4.44) συμπεριφέρεται ως κανονικός μετασχηματισμός μόνο για ορισμένες συναρτήσεις Hamlton ενώ για άλλες όχι τότε δεν αποτελεί κανονικό μετασχηματισμό. 4.8 Kατασκευή κανονικών μετασχηματισμών-γενέτειρα συνάρτηση Σύμφωνα με τα όσα ειπώθηκαν στην παραπάνω παράγραφο, για να αποτελεί ένας μετασχηματισμός της μορφής (4.44), με αντίστοιχη συνάρτηση Hamlton H ', κανονικός, θα πρέπει η κίνηση του συστήματος να καθορίζεται απο τις εξισώσεις Hamlton (4.45). Κατα συνέπεια θα πρέπει πάνω στην ίδια καμπύλη του χώρου φάσεων να ικανοποιούνται ταυτόχρονα και οι δύο αρχές μεταβολών και t 2 δ q p H dt=0 t 1 δ t 1 t 2 Q P H ' dt=0. ~43~

46 Οι δύο παραπάνω αρχές μεταβολών θα ικανοποιούνται συγχρόνως, αν οι υπο ολοκλήρωση ποσότητες πέρα απο μια ποσότητα πολλαπλασιαστικού συντελεστή μ, διαφέρουν το πολύ κατα την ολική παράγωγο ως προς το χρόνο μιας αυθαίρετης συνάρτησης G των συντεταγμένων του χώρου φάσεων και του χρόνου, δηλαδή όταν ισχυεί η σχέση μ q p H = Q P H ' dg dt H σταθερά μ ονομάζεται πολλαπλασιαστής του κανονικού μετασχηματισμού. Απο εδώ και πέρα θα περιοριστούμε σε κανονικούς μετασχηματισμούς με πολλαπλασιαστή ίσο με τη μονάδα. Μπορεί να δειχθεί ότι απο κάθε κανονικό μετασχηματισμό με μ 1 μπορούμε με μια αλλαγή κλίμακας να πάρουμε ένα κανονικό μετασχηματισμό με μ=1. Η σχέση (4.46) για μ=1 γράφεται q p H = Q P H ' dg dt. Πολλαπλασιάζοντας επί dt την ανωτέρω παράσταση, παίρνουμε για το διαφορικό της αυθαίρετης συνάρτησης G τη σχέση dg= p dq P dq H ' H dt H συνάρτηση G είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση των συντεταγμένων του χώρου φάσεων και του χρόνου, δηλαδή αποτελεί μια δυναμική μεταβλητή επομένως μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει οποιονδήποτε 2n ανεξάρτητων μεταβλητών απο τις 4n διαθέσιμες μεταβλητές q, p,q, P. Για κάθε εκλογή της συνάρτησης G, μπορούμε να βρούμε μια συνάρτηση F που συνδέεται με την G και ονομάζεται γενέτειρα συνάρτηση, που μας οδηγεί στην κατασκευή ενός κανονικού μετασχηματισμού. Στην συνέχεια αναπτύσσονται συστηματικές μέθοδοι κατασκευής κανονικών μετασχηματισμών, ανάλογα με την επιλογή της μορφής της γενέτειρας συνάρτησης. Έστω ότι οι 2n μεταβλητές q,q, δηλαδή οι παλιές και οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και F 1 μία αυθαίρετη δυναμική μεταβλητή. Η F 1 τότε μπορεί να γραφεί υπο τη μορφή F 1 =F 1 q,q,t Διαφορίζοντας την (4.48) έχουμε d F 1 = F 1 d q q F 1 d Q Q F 1 t dt Aφού οι q, Q είναι ανεξάρτητες, τα διαφορικά dq, d Q είναι επίσης ανεξάρτητα. Υποθέτουμε λοιπόν ότι G=F 1, oπότε, συγκρίνοντας την έκφραση (4.49) με την (4.47) παίρνουμε συστηματικά p = F 1 q, P = F 1 Q, (4.50) H ' =H F 1. t Oι σχέσεις (4.50) είναι ικανές συνθήκες ώστε οι 4n μεταβλητές q, p,q, P και οι συναρτήσεις Η, Η ' να επαληθεύουν συγχρόνως και τις δύο αρχές μεταβολών όπως τις ορίσαμε παραπάνω. Επομένως καθορίζουν ένα κανονικό μετασχηματισμό κατα τον εξής τρόπο: Oι σχέσεις (4.50) είναι της μορφής ~44~

47 p = p q j,q j,t, P =P q j,q j,t. (4.51) Aν επιλύσουμε τις n σχέσεις p = p q j,q j,t ως προς Q, και αντικαταστήσουμε στις P =P q j,q j,t παίρνουμε τις σχέσεις της μορφής Q =Q q j, p j,t, P =P q j, p j,t, που καθορίζουν πλήρως τον ανωτέρο μετασχηματισμό. Η τρίτη σχέση των (4.50) δίνει τη νέα συνάρτηση Hamlton H ', την οποία μπορούμε με τη βοήθεια των αντιστρόφων των ανωτέρω σχέσεων να την εκφράσουμε ως συνάρτηση των Q, P, και t, δηλαδή Η ' =Η ' Q, P, t. H ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε οι σχέσεις (4.51α) να έχουν μοναδική λύση ως προς Q, βάσει θεωρήματος λύσης σύνθετων συναρτήσεων, είναι det[ 2 F 1 ] q Q j Συμπερασματικά, κάθε αυθαίρετη συνάρτηση F 1, της μορφής (4.48), είναι γενέτειρα συνάρτηση κανονικού μετασχηματισμού που καθορίζεται απο τις σχέσεις (4.51), με αναγκαία και ικανή συνθήκη να ισχυεί η συνθήκη (4.52) ώστε να είναι ανεξάρτητα τα διανύσματα Q. 'Εστω τώρα ότι οι q, P, δηλαδή οι παλιές γενικευμένες συντεταγμένες και οι νέες γενικευμένες ορμές, αποτελούν σύνολο 2n ανεξάρτητων συντεταγμένων του χώρου φάσεων. Μια δυναμική μεταβλητή F 2 μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των παραπάνω μεταβλητών και του χρόνου, Διαφορίζοντας την (4.53) έχουμε F 2 =F 2 q, P,t d F 2 = F 2 dq q F 2 dp P F 2 dt t Η σχέση (4.54) δεν περιέχει τα διαφορικά d Q, αλλά τα d P. Iσχυεί όμως ότι P d Q =d P Q Q dp, επομένως η (4.47), που ξαναθυμίζουμε dg= p dq P dq H ' H dt, γράφεται d G P Q = p dq Q dp H ' H dt Συγκρίνοντας την (4.55) με την (4.54), παρατηρούμε ότι αν επιλέξουμε την δυναμική συνάρτηση F 2 με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε F 2 =G P Q, ~45~

48 τότε οι σχέσεις p = F 2 q, Q = F 2 P, (4.56) H ' =H F 2 t, με την απαίτηση det[ 2 F 2 q P j] 0, oρίζουν σε πεπλεγμένη μορφή ένα κανονικό μετασχηματισμό με γενέτειρα συνάρτηση την F 2. Με παρόμοιο σκεπτικό μπορούμε να κατασκευάσουμε αντίστοιχες σχέσεις για άλλους τύπους κανονικών μετασχηματισμών, στους οποίους οι μεταβλητές Q, p και P, p διατηρούνται ανεξάρτητες αντίστοιχα. Συνολικά οι τέσσερις τύποι κανονικών μετασχηματισμών συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. Γενέτειρα συνάρτηση Μετασχηματισμός Συνθήκη F 1 =F 1 q,q,t F 2 =F 2 q, P,t F 3 =F 3 p,q,t F 4 =F 4 p, P, t p = F 1, P q = F 1 Q det[ 2 F 1 ] q Q 0 j p = F 2, Q q = F 2 P det[ 2 F 2 ] q P 0 j q = F 3, P p = F 3 Q det[ F 3 j] p Q 0 q = F 4 p, Q = F 4 P det[ 2 F 4 ] p P 0 j Oι τέσσερις παραπάνω τρόποι δεν είναι οι μοναδικοί τρόποι δημιουργίας κανονικών μετασχηματισμών. Ένας κανονικός μετασχηματισμός δεν είναι απαραίτητο να μπορεί να προκύψει οπωσδήποτε με μια απο τις τέσσερις αυτές μεθόδους. Γενικά μπορούν 2n οποιεσδήποτε απο τις 4n μεταβλητές q, p,q, P να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία κανονικού μετασχηματισμού μέσω μιας γενέτειρας συνάρτησης, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε n παλιές και n νέες μεταβλητές, μία για κάθε βαθμό ελευθερίας. Τότε ο κανονικός μετασχηματισμός που θα δημιουργηθεί θα διατηρεί τις 2n μεταβλητές ανεξάρτητες μεταξύ τους και η γενέτειρα συνάρτηση του θα υπάγεται σε κάποιον απο τους παραπάνω τύπους για κάποιους βαθμούς ελευθερίας και σε κάποιον άλλο για τους υπόλοιπους. Τέτοιοι κανονικοί μετασχηματισμοί ονομάζονται μετασχηματισμοί μικτού τύπου. ~46~

49 4.9 Ολοκληρωσιμότητα στη Μηχανική Hamltonan (α) Η εξίσωση Hamlton-Jacob H μέθοδος Hamlton-Jacob σκοπεύει στην εύρεση ενός κατάλληλου κανονικού μετασχηματισμού, ο οποίος πρέπει να είναι ορισμένος κατα τέτοιο τρόπο ώστε να επιτυγχάνεται οι εξισώσεις Hamlton στις νέες μεταβλητές να ολοκληρώνονται απευθείας. Ένας τέτοιος κανονικός μετασχηματισμός θα καθορίζεται μόνο απο την αντίστοιχη γενέτειρα συνάρτηση, επομένως το πρόβλημα της επίλυσης των εξισώσεων Hamlton μετατίθεται στο πρόβλημα εύρεσης μιας κατάλληλης γενέτειρας συνάρτησης. Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα n βαθμών ελευθερίας που περιγράφεται απο τη συνάρτηση Hamlton H και τη γενέτειρα συνάρτηση δευτέρου τύπου S=S q, P,t H S δημιουργεί τον κανονικό μετασχηματισμό μέσω των εξισώσεων ενώ η νέα συνάρτηση Hamlton είναι Q =Q q j, p j,t, P =P q j, p j,t, p = S q = p q j, P j, t, Q = S P =Q q j, P j, t, H ' =H S t Aν επιλέξουμε κατάλληλα τη γενέτειρα συνάρτηση S, ώστε η νέα Χαμιλτονιανή H ' να ισούται με μία αριθμητική σταθερά c. τότε οι εξισώσεις Hamlton ως προς τις νέες μεταβλητές θα είναι Q =0, P =0 και οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες και ορμές θα είναι σταθερές της κίνησης, Q =β, P =α, 4.59 όπου α, β είναι 2n σταθερές ολοκλήρωσης που εξαρτώνται απο τις αρχικές συνθήκες. Την αριθμητική σταθερά c με την οποία θα ισούται η νεά συνάρτηση Hamlton H ', μπορούμε χωρίς περιορισμό της γενικότητας να την επιλέξουμε ίση με το μηδέν. Αν για παράδειγμα η γενέτειρα συνάρτηση S 1 δίνει τη νέα Χαμιλτονιανή H ' =c, τότε η γενέτειρα συνάρτηση S 2 =S 1 ct, σύμφωνα με τη σχέση (4.58) δίνει τη Χαμιλτονιανή H ' ' =0. Η σχέση (4.57) αν λάβουμε υπόψιν μας τις σχέσεις (4.59) γράφεται ως S=S q,α,t, ~47~

50 ενώ οι σχέσεις p = S q = p q j, P j, t, παίρνουν τη μορφή Q = S P =Q q j, P j,t, p = S q = p q j,α j,t, β = S P = β q j,α j,t. (4.60) Αν αντικαταστήσουμε τις γενικευμένες ορμές απο τη σχέση (4.60α) στην σχέση (4.58) και λάβουμε υπόψιν, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι H ' =0, καταλήγουμε ότι η γενέτειρα συνάρτηση S θα πρέπει να επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση Η q, S q,t S = t H εξίσωση (4.61) ονομάζεται εξίσωση Hamlton-Jacob. Eίναι διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων πρώτης τάξης με n+1 ανεξάρτητες μεταβλητές, τις q και t. Mία πλήρης λύση της θα περιέχει συνεπώς n+1 αυθαίρετες σταθερές, μία απο τις οποίες θα είναι προσθετική, αφού μόνο οι παράγωγοι, και όχι η ίδια η συνάρτηση S εμφανίζονται στην (4.61). Συνεπώς μία πλήρης λύση θα περιέχει n αυθαίρετες μη προσθετικές σταθερές α, δηλαδή θα είναι της μορφής S=S q,α,t Mία πλήρης λύση συνεπώς της εξίσωσης Hamlton-Jacob, έχει τη μορφή (4.62), που συμπίπτει ακριβώς με την επιθυμητή μορφή της γενέτειρας συνάρτησης την (4.62). Αν λοιπόν βρούμε μια τέτοια λύση της (4.61) και τη χρησιμοποιήσουμε ως γενέτειρα συνάρτηση κανονικού μετασχηματισμού, οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες και ορμές θα ικανοποιούν τις σχέσεις (4.59), δηλαδή θα είναι σταθερές της κίνησης. Μία πλήρης λύση της εξίσωσης Hamlton-Jacob ονομάζεται κύρια συνάρτηση Hamlton. O αντίστοιχος κανονικός μετασχηματισμός θα καθορίζεται απο τις σχέσεις (4.60). Αν ισχυεί τώρα ότι det[ 2 S 0, (4.63) q α j ] oι n εξισώσεις (4.60β) μπορούν να λυθούν ως προς τα q και να πάρουμε τις σχέσεις q =q α j, β j, t, 4.64 τις οποίες αν αντικαταστήσουμε στα δεξιά μέλη των (4.60α) παίρνουμε p = p α j, β j,t Oι συναρτήσεις (4.64) και (4.65) εκφράζουν τις κανονικές μταβλητές q, p συναρτήσει του χρόνου και 2n αυθαίρετων σταθερών α, β, συνεπώς αποτελούν τη γενική λύση των εξισώσεων Hamlton του συστήματος. Στην περίπτωση που η συνάρτηση Hamlton δεν εξαρτάται άμεσα απο το χρόνο, η παραπάνω μέθοδος απλουστεύεται όπως θα δειχθεί παρακάτω. ~48~

51 4.10 Η εξίσωση Hamlton-Jacob για αυτόνομα συστήματα 'Οταν ένα Χαμιλτονιανό σύστημα είναι αυτόνομο, ο χρόνος υπεισέρχεται στην εξίσωση Hamlton-Jacob μέσω της συνάρτησης S. Επίσης γνωρίζουμε για την Χαμιλτονιανή ενός αυτόνομου συστήματος ότι H (q, p )=h=σταθ. Αν λοιπόν αναζητήσουμε μια κύρια συνάρτηση με ιδιότητα να είναι γραμμική ως προς το χρόνο έτσι ώστε S=S (q, α, t)= α 1 t+ W (q, α ), (4.66) όπου α oι n αυθαίρετες σταθερές και επιπλέον εκλέξουμε τη σταθερά α 1 ώστε να συμπίπτει με τη σταθερή τιμή h της Χαμιλτονιανής για το αυτόνομο σύστημα, η εξίσωση Hamlton-Jacob παίρνει την παρακάτω μορφή H( q, W =h. (4.67) q ) Μια πλήρης λύση της εξίσωσης (4.67) θα περιέχει n αυθαίρετες σταθερές, μια εκ των οποίων θα είναι προσθετική, αφού στην (4.16) δεν εμφανίζεται η ίδια συνάρτηση W αλλά μόνο οι παραγωγοί της. Επομένως η W θα περιέχει n-1 προσθετικές αυθαίρετες σταθερές τις οποίες ονομάζουμε α 2,...,α n και επιπλέον την α 1 =h. H συνάρτηση W =W (q,α ) ονομάζεται χαρακτηριστική συνάρτηση Hamlton. Aν τώρα θεωρήσουμε τον κανονικό μετασχηματισμό δεύτερου τύπου που έχει γενέτειρα συνάρτηση τη χαρακτηριστική συνάρτηση Hamlton W, επιλέγοντας ως νέες ορμές τις αυθαίρετες σταθερές α, έχουμε p = W q = p (q j,α j ), Q = W α =Q (q j,α j ). (4.68) Eκφράζοντας τη συνάρτηση του Hamlton του συστήματος στις νέες εκλογειθείσες μεταβλητές μέσω των σχέσεων (4.68), προκύπτει η έκφραση για την Χαμιλτονιανή H ' =H (q, p )=H( q, W q ) =h=α 1, ενώ οι εξισώσεις Hamlton θα έχουν τη μορφή Q = H ' α, Ṗ = H ' Q Αν λάβουμε υπόψιν μας ότι H ' =α 1, οι εξισώσεις (4.69) γίνονται Q 1 = H ' =1, α 1 Q j = H ' =0, j=2,n, α j Ṗ = H ' Q =0, ~49~ (4.70)

52 και η λύση των (4.70) είναι Q 1 =t β 1 =t t 0, Q j = β j =σταθ., j=2, n, P =α =σταθ., =1,n. (4.71) H σταθερά ολοκλήρωσης β 1 =t 0 συμπίπτει με την αρχική χρονική στιγμή. Απο τις λύσεις των εξισώσεων (4.71) παρατηρούμε ότι η πρώτη γενικευμένη ορμή α 1 =h συμπίπτει με τη σταθερή τιμή του ολοκληρώματος H, ενώ η συζυγής συντεταγμένη Q 1 συμπίπτει με το χρόνο. Οι υπόλοιπες γενικευμένες συντεταγμένες και ορμές είναι σταθερές της κίνησης. Οι σχέσεις (4.68β) γράφονται t t 0 = W α 1 = f 1 q j, α j, β κ = W α κ = f k q j, α j, κ=2,n. (4.72) Aν τώρα ισχυεί η συνθήκη det[ 2 W q α j ] 0, oι σχέσεις (4.72) επιλύονται ως προς q και δίνουν n σχέσεις της μορφής q =q α j, β j,t (4.73) και αν αντικαταστήσουμε τα q απο τις παραπάνω σχέσεις στις (4.68α) παίρνουμε επιπλέον p = p α j, β j,t. (4.74) Oι εξισώσεις (4.73) και (4.74) εκφράζουν τα q, p συναρτήσει του χρόνου και 2n αυθαίρετων σταθερών, συνεπώς είναι η γενική λύση των αρχικών εξισώσεων Hamlton. Παρατηρούμε ότι απο την εξίσωση (4.72α) ο χρόνος εμφανίζεται στις παραπάνω εξισώσεις μέσω της παράστασης t t 0, όπως αναμένεται εφ'όσον το σύστημα είναι αυτόνομο. Η εξίσωση Hamlton-Jacob στη μορφή (4.61) η (4.67), είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, όμως εν γένει αποτελεί μη γραμμική εξίσωση αφού στα συνήθη μηχανικά συστήματα οι ορμές, στη θέση των οποίων αντικαθιστούμε τις παραγώγους της S η της W ως προς q, εμφανίζονται υψωμένες στο τετράγωνο. Αυτή η μη γραμμικότητα της εξίσωσης έχει σαν αποτέλεσμα να μην είναι κατα κανόνα δυνατό να βρεθεί μια πλήρης λύση της εξίσωσης. Στις περιπτώσεις που κάτι τέτοιο είναι δυνατό, οι νέες γενικευμένες ορμές P είναι συνήθως καθολικά ολοκληρώματα της κίνησης, όμως οι νέες γενικευμένες συντεταγμένες Q είναι εν γένει πλειονότημες και αντιστοιχούν σε τοπικά μόνο ολοκληρώματα. ~50~

53 4.11 Διαχωρίσιμα συστήματα Ένα Χαμιλτονιανό σύστημα ονομάζεται διαχωρίσιμο όταν η εξίσωση Hamlton-Jacob για ένα σύστημα με συγκεκριμένη εκλογή συντεταγμένων, μπορεί να λυθεί με χωρισμό μεταβλητών. Η πιο απλή περίπτωση διαχωρίσιμου μηχανικού συστήματος είναι όταν σε κατάλληλες Καρτεσιανές συντεταγμένες το δυναμικό δύναται να περιγραφεί ως άθροισμα όρων, κάθε ένας απο τους οποίους εξαρτάται απο μια μόνο συντεταγμένη. Σε αυτή την περίπτωση το δυναμικό περιγράφεται ως Tότε η συνάρτηση Hamlton γράφεται ως άθροισμα H =[ 1 2 p 2 1 V 1 q 1 ] [ 1 2 p 2 V q 1, q 2,..., q n =V 1 q 1 V 2 q 2... V n q n. 2 V 2 q 2 ] και η εξίσωση Hamlton-Jacob, αν αναζητήσουμε λύση της μορφής γράφεται ως ακολούθως: [ p 2 n V n q n ] W q, α =W 1 q 1,α W 2 q 2,α... W n q n,α, [ 1 2 dw 2 1 dq 1 ] [ V 1 q dw 2 2 dq 2 ] [ V 2 q dw 2 n dq n ] V n q =α n 1. Κάθε όρος στο αριστερό μέλος της παραπάνω παράστασης εξαρτάται μόνο απο μία γενικευμένη συντεταγμένη, επομένως μπορεί να ισούται με μια σταθερά. [ 1 2 dw 2 1 dq 1 ] V 1 q 1 n =α 1 [ 1 2 dw 2 2 dq 2 ] V 2 q =α 2 2, j =2... [ 1 2 dw 2 n dq n ] V n q =α n n. α j, Kάθε μία εκ των παραπάνω εξισώσεων μπορεί να επιλυθεί με μια απλή ολοκλήρωση, ανεξάρτητα απο τις υπόλοιπες εξισώσεις, επομένως προσδιορίζεται η πλήρης λύση W. Eξαιρώντας την ανωτέρω περίπτωση, υπάρχουν και άλλες μορφές της συνάρτησης Hamlton για τις οποίες η εξίσωση Hamlton-Jacob διαχωρίζεται. Η ιδιότητα της διαχωρισιμότητας στην περίπτωση της εξίσωσης Hamlton-Jacob δεν εξαρτάται μόνο απο τα δυναμικά χαρακτηριστικά του μηχανικού συστήματος αλλά και απο την επιλογή γενικευμένων συντεταγμένων. Για παράδειγμα δύναται σε ένα σύστημα το πρόβλημα της κίνησης να διαχωρίζεται σε πολικές αλλά όχι σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Ωστόσο στα περισσότερα προβλήματα δεν υπάρχει σύστημα συντεταγμένων που να μπορούμε να ορίσουμε έτσι ώστε να διαχωρίζεται η εξίσωση Hamlton-Jacob. ~51~

54 4.12 Χώρος φάσεων-θεώρημα Louvlle (α) O χώρος φάσεων Θεωρούμε ένα σωματίδιο το οποίο υποβάλλεται σε κίνηση (περιοριζόμαστε αρχικά σε χώρο μιας διάστασης) ασκούμενη απο ένα δυναμικό (η ισοδύναμα μιας δεδομένης Λαγκραζιανής συνάρτησης L, η ισοδύναμα μιας Χαμιλτονιανής εξίσωσης H). Σε κάθε σημείο στην κινησή του το σωματίδιο χαρακτηρίζεται απο μια ορισμένη τιμή q, ενδεικτική των συντεταγμένων στον χώρο που βρίσκεται το σωματίδιο, και απο μια ορισμένη τιμή p που αποτελεί την ορμή του σωματιδίου. Δηλαδή κάθε σημείο στην κίνηση του σωματιδίου σχετίζεται με ένα μοναδικό σημείο (q,p) στο επίπεδο q-p. Ο χώρος που παράγεται απο τους άξονες q και p ονομάζεται χώρος φάσεων. Οι συντεταγμένες q και p τις θεωρούμε σαν την πρότυπη Καρτεσιανή συντεταγμένη x και την σχετιζόμενη γραμμική ορμή m ẋ αντίστοιχα είτε την κυκλική συντεταγμένη θ και την σχετιζόμενη με αυτή κυκλική ορμή m r 2 θ. Mε λίγα λόγια πρέπει να τονιστεί ότι όλα τα ακόλουθα αποτελέσματα ισχύουν για μια γενικευμένη συντεταγμένη q και την συζυγή ορμή p L q. Aν ένα σωματίδιο βρίσκεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο q 0, p 0 σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, τότε η κινησή του είναι ακριβώς καθορισμένη για όλο τον χρόνο. Το παραπάνω αποτελεί αληθές γιατί έχοντας ως δεδομένο το σημείο q 0, p 0 και τις εξισώσεις του Hamlton q= H p, και ṗ= H q προκύπτει κατα μοναδικό τρόπο το μονοπάτι που ακολουθεί το αντικείμενο στον χώρο φάσεων. Στην συνέχεια παρακολουθούμε τον χώρο φάσεων για κάποια συστήματα με δεδομένα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά τους. Περίπτωση 1: Θεωρούμε περίπτωση για την οποία ένα σωματίδιο κινείται με σταθερή ταχύτητα σε χώρο μιας διάστασης. Εφ'όσον δεν ασκείται στο σωματίδιο καμία δύναμη, η δυναμική ενέργεια είναι σταθερή (την θεωρούμε για διευκόλυνση 1 μηδενική). Συνεπώς το σωματίδιο έχει κινητική ενέργεια 2 m v2 επομένως η Χαμιλτονιανή συνάρτηση, για το σύστημα που περιγράφει την δυναμική συμπεριφορά του σωματιδίου, ισούται με H = p 2 /2m. Oι εξισώσεις του Hamlton μας δίνουν q= p/m και ṗ=0. Η δεύτερη επαληθεύει τον αρχικό συλλογισμό ότι η ταχύτητα και συνεπώς η ορμή του σωματιδίου δεν μεταβάλλεται. Έτσι οι πιθανές καμπύλες στον χώρο φάσεων αποτελούν οριζόντιες γραμμές όπως δεικνύεται παρακάτω. Παρατηρείται ότι οι γραμμές για τις οποίες ενδύκνειται αρνητική ορμή p κατευθύνονται απο τα δεξιά προς τα αριστερά εφ'όσον αυτή είναι η φορά για την οποία μειώνεται η γενικευμένη συντεταγμένη που αποτελεί την θέση ουσιαστικά του σωματιδίου. Επίσης αξίζει να αναφερθεί ότι παρά το γεγονός ότι οι γραμμές φαίνονται βασικά οι ίδιες, το αντικείμενο διασχίζει τις γραμμές για τις οποίες αντιστοιχεί μεγαλύτερο p γρηγορότερα εξαιτίας της εξίσωσης q= p/m. Επομένς όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή της ορμής τόσο μεγαλύτερος ο ρυθμός με τον οποίο η γενικευμένη συντεταγμένη μεταβάλλεται όπως αναμενόταν. ~52~

55 Περίπτωση 2: Θεωρούμε περίπτωση στην οποία ενα σωματίδιο πέφτει απο ένα ύψος. Θεωρούμε ως θετική ποσότητα το q όταν το σώμα κινείται προς το έδαφος. Αν το σώμα αφήνεται απο ένα ύψος και κινείται με κατεύθυνση κάθετα ως πρός την γή τότε η Χαμιλτονιανή ισούται με H = p 2 / 2m mgq. Οι εξισώσεις του Χάμιλτον μας δίνουν q= p/m και ṗ=mg. Διαφορίζοντας την πρώτη εξίσωση ως προς τον χρόνο και αντικαθιστώντας στην προκύπτουσα δευτεροβάθμια εξίσωση την δεύτερη εξίσωση μας δίνεται η γνωστή μας σχέση q=g. Ολοκληρώνοντας την σχέση αυτή δύο φορές μας δίνεται η γνωστή απο την φυσική σχέση q t =q 0 u 0 t g t 2 /2. Ωστόσο αν επιλέξουμε να μάθουμε πως σχηματίζεται ο χώρος φάσεων για το σύστημα η μεθοδολογία που ακολουθούμε περιλαμβάνει να επιλύουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες q ως προς την συζηγή ορμή p η το αντίστροφο ανάλογα ποια διαδικασία είναι υπολογιστικά απλούστερη. Αφού ṗ=mg, τότε ṗ=mg p p 0 =mgt t= p p 0 /mg. Αντικαθιστώντας τον χρόνο στην παραπάνω σχέση που προέκυψε για το q t, προκύπτει q p =q 0 p 0 m p p 0 mg g 2 p p 0 mg O χώρος φάσεων που σχηματίζεται αποτελεί το παρακάτω γράφημα: 2=q 0 p2 2 p 0 2m 2 g. Βλέπουμε ότι το q αποτελεί μια θετική τετραγωνική συνάρτηση της ορμής p, κάτι που σημαίνει ότι οι καμπύλες στον χώρο φάσεων είναι δεξιόστροφες-ανοιχτές παραβολικές γραμμές όπως φαίνεται παραπάνω. Παρατηρείται ότι οι καμπύλες έχουν κατεύθυνση προς τα αριστερά όταν το p είναι αρνητικό και κατεύθυνση προς τα δεξιά όταν το p είναι θετικό. Απο την εξίσωση q p που καταλήξαμε παραπάνω, βρίσκεται η κλίση της εφαπτομένης για κάθε σημείο των καμπυλών στο χώρο φάσεων, q, p. Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτει: dq /dp= p/m 2 g, έτσι η κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο των καμπυλών στο χώρο φάσης προκύπτει dp/dq=m 2 g / p. Η σχέση αυτή έχει τις ιδιότητες να τείνει η κλίση προς το άπειρο όταν το p ισούται με το μηδέν και να είναι ανεξάρτητη απο τον όρο των γενικευμένων συντεταγμένων q. Οι δύο αυτές ιδιότητες παρατηρούνται στο ακόλουθο σχήμα. ~53~

56 Περίπτωση 3: Θεωρούμε την περίπτωση του κλασσικού μηχανικού συστήματος του αρμονικού ταλαντωτή, ήτοι ενός σώματος στο οποίο προσαρτάται ένα ελατήριο. Η συνάρτηση του Χάμιλτον για τον αρμονικό ταλαντωτή (θεωρώντας για απλούστευση ότι δεν ασκούνται τριβές στο σύστημα) ισούται με H = p 2 / 2m k q 2 /2. Οι εξισώσεις του Χάμιλτον μας δίνουν q= p/m και ṗ= kq. Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει εξάρτηση της Χαμιλτονιανής συνάρτησης απο τον χρόνο, η με άλλα λόγια η ενέργεια του συστήματος δεν μεταβάλλεται. Έτσι μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη σχέση p 2 2m kq2 2 = p 2 0 2m k q H παραπάνω σχέση αποτελεί την εξίσωση μιας έλλειψης για ένα q p γράφημα. To σημείο q, p των συντεταγμένων του γραφήματος στο χώρο φάσης, κινείται κατα μήκος των καμπυλών των σχηματιζόμενων ελλείψεων ανάλογα με την αρχική ενέργεια του συστήματος (όπως καθορίζεται απο τα p 0, q 0 ). Ο χώρος φάσεων για το σύστημα του αρμονικού ταλαντωτή είναι ο παρακάτω. Απο την παραπάνω εξίσωση της έλλειψης, οι καμπύλες κατευθύνονται προς τα αριστερά όταν το q λαμβάνει αρνητικές τιμές και προς τα δεξιά όταν το q λαμβάνει θετικές τιμές. Βάσει των εξισώσεων του Χάμιλτον η κλίση της εφαπτομένης σε σημεία των καμπύλων που αποτελούν τον χώρο φάσεων, ισούται με dp/dq= ṗ / q= kq/ p/m = kmq/ p. Η κλίση τείνει στο άπειρο όταν p=0 και ισούται με το μηδέν όταν q=0, όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα. Παρά το γεγονός ότι δεν φαίνεται στο σχήμα, η κάθε έλλειψη διασχίζεται στον ίδιο χρόνο. Ένας λογικός συνειρμός που θα μπορούσε να αποτελεί ενδεικτικό του παραπάνω ισχυρισμού αποτελεί το χαρακτηριστικό ότι όσο μεγαλύτερη είναι η έλλειψη τόσο μεγαλώνουν οι τιμές της ορμής p, oπότε τόσο γρηγορότερα διασχίζεται η έλλειψη ώστε να καλύπτεται μεγαλύτερη απόσταση.συμπερασματικά μια μικρότερη έλλειψη με μικρότερη ορμή διασχίζεται στον ίδιο χρόνο με μια μεγαλύτερη έλλειψη με μεγαλύτερη ορμή. Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα, παρατηρείται ότι κανένα απο τα πιθανά μονοπάτια που σχηματίζονται στο χώρο φάσεων δεν τέμνεται με κάποιο άλλο. Ο ισχυρισμός αυτός αποτελεί αληθής σε κάθε περίπτωση. Αν δύο μονοπατια τέμνονται αν δύο τότε θα υπήρχαν δύο διαφορετικά διανυσματικά ταχύτητας q, ṗ στο σημείο τομής. Ωστόσο, οι εξισώσεις του Χάμιλτον εξάγουν κατα μοναδικό τρόπο το διανυσματικό ταχύτητας q, ṗ = H / p, H / q σε ένα δεδομένο σημείο q, p. Συμπερασματικά είναι αναγκάιο να υπάρχει μία μόνο καμπύλη σε κάθε σημείο και επομένως να μην παρατηρείται σύντμηση μεταξύ δύο μονοπατιών. Ακόμα παρατηρούμε ότι στο διάγραμμα φάσεων δεν υπεισέρχεται η παράμετρος του χρόνου. Επομένως δεν έχουμε κάποια πληροφορία παρατηρώντας μόνο το διάγραμμα φάσεων για το πόσο γρήγορα διασχίζονται οι διάφορες καμπύλες που το αποτελούν. Αυτή η πληροφορία μας δίνεται, εντούτοις, απο τις εξισώσεις του Χάμιλτον. Στην περίπτωση των Ν διαστάσεων, υπάρχουν Ν συντεταγμένες q και Ν το πλήθος συζυγείς ορμές p, επομένως ο χώρος φάσεων έχει 2Ν διαστάσεις. Προφανώς αυξάνει η πολυπλοκότητα σχεδιασμού του γραφήματος φάσεων για Ν>1. Άμα θέλαμε θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα με συντεταγμένες τα q και q αντί για τα q και p, όμως δεν θα μας παρείχε κάποια ουσιαστική πληροφόρηση για τις ιδιότητες του συστήματος. Το πλεονέκτημα του χώρου φάσεων q p, είναι ότι η κίνηση καθορίζεται απο τις εξισώσεις του Χάμιλτον οι οποίες έχουν χαρακτηριστικές ιδιότητες συμμετρίας. Αυτή η ιδιότητα της συμμετρίας οδηγεί σε πολλά χρήσιμα αποτελέσματα, το πιο αξιόλογο απο τα οποία αποτελεί το θεώρημα του Louvlle. ~54~

57 (β) Το θεώρημα του Louvlle Το θεώρημα του Louvlle μας παραθέτει, ουσιαστικά, την αντίληψη ότι μια δεδομένη αρχική περιοχή στο χώρο φάσεων διατηρεί την τιμή της, ακόμα και αν το σχήμα του χώρου φάσεων μεταβάλλεται, καθώς η περιοχή αυτή μετακινείται στον χώρο φάσεων. Η αλήθεια της παραπάνω πρότασης έγκειται στο διανυσματικό ταχύτητας q, ṗ = H / p, H / q σε κάθε σημείο της περιοχής του χώρου φάσεων. Πριν οδηγηθούμε στον απόδειξη του θεωρήματος του Louvlle θα παρατεθούν δύο παραδείγματα με σκοπό να αποδώσουν έμφαση στην αντίληψη της του θεωρήματος. Περίπτωση 1: Θεωρούμε αρχικά την περίπτωση για την οποία η ταχύτητα ενός σωματιδίου στο χώρο φάσεων είναι σταθερή. Ο χώρος φάσεων δείξαμε παρακάτω ότι σχηματίζεται όπως παρακάτω. Θεωρούμε στο χώρο φάσεων ένα ορθογώνιο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Το ορθογώνιο που σχηματίζεται, συμπεριλαμβάνοντας και την εσωτερική του επιφάνεια, μπορεί να θεωρηθεί ως η αντιπροσώπευση των συντεταγμένων q, p για ένα πολύ μεγάλο αριθμό σωματιδίων. Το ερώτημα είναι ποιο είναι το σχήμα που σχηματίζεται μετά απο κάποιο χρόνο, και ποιο το εμβαδό της σχηματιζόμενης επιφάνειας; Ας θεωρήσουμε αρχικά ότι το ορθογώνιο εκτείνεται απο το ύψος p 1 στο ύψος p 2 και εκτείνεται όσον αφορά το μήκος του απο q 1 σε q 2 ώστε q 2 q 1 =d. Kαθώς περνάει ο χρόνος, τα σωματίδια που έχουν μεγαλύτερη ορμή προφανώς κινούνται γρηγορότερα απο τα σημεία που έχουν μικρότερη ορμή. Για να μπορούμε να έχουμε μια γεωμετρική απεικόνιση υποθέτουμε ότι p 2 =2 p 1, κάτι που σημαίνει ότι τα σωματίδια που αντιστοιχίζονται στην τροχία που περνάει απο το p 2 κινούνται με την διπλάσια ταχύτητα απο τα σωματίδια που κινούνται στην τροχιά p 1. Οι οριζόντιες γραμμές παρατηρούμε ότι παραμένουν ευθείες κάτι λογικό αφού η ταχύτητα για κάθε σωματίδιο θεωρείται σταθερή.όσο περνάει ο χρόνος τόσο μεταβάλλεται το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο, με την απόσταση των διαγωνίων του να μεγαλώνει. Αφού δύο σωματίδια κινούνται με την ίδια ταχύτητα η οριζόντια αποστασή τους δεν μεταβάλλεται και επειδή τα σωματίδια κινούνται σε ευθείες παράλληλες γραμμές δεν μεταβάλλεται το ύψος του παραλληλογράμμου. Επομένως είναι προφανές ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται στο χώρο φάσεων παραμένει σταθερό καθώς μεταβάλλεται ο χρόνος. Η παραπάνω ιδιότητα της διατήρησης του εμβαδού ισχυεί για κάθε αρχικό επιλεχθέν σχήμα, για την περίπτωση της σταθερής ταχύτητας που περιγράφεται εδώ, με την θεώρηση ότι αυτό μπορεί να αποτελείται απο άπειρα θεωρητικά μικρά ορθογώνια. ~55~

58 Περίπτωση 2: Θεωρούμε την περίπτωση ενός σωματιδίου που αφήνεται να πέσει στη γή. Προηγουμένως δείξαμε πως διαμορφώνεται το διάγραμμα φάσεως για το σύστημα αυτό. Παρακάτω σχηματίζουμε κατα ανάλογο με την προηγούμενη περίπτωση ορθογώνιο που σχηματίζεται απο πολλά σημεία (p,q). Το ερώτημα είναι πως διαμορφώνεται το σχήμα αυτό καθώς μεταβάλλεται ο χρόνος και ποιο το εμβαδό της σχηματιζόμενης επιφάνειας; Kαταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και σε αυτή την περίπτωση το σχήμα της επιφάνειας στο χώρο του διαγράμματος φάσεων παραμένει παραλληλόγραμμο και έχει το ίδιο εμβαδό με το αρχικό σχήμα. Το συμπέρασμα αυτό βασίζεται σε δύο χαρακτηριστικά: Πρώτον, οι πάνω και κάτω πλευρές του σχήματος έχουν πάντα ίδιο μήκος, q 2 q 1 κάτι που εξηγείται απο το γεγονός ότι για την ίδια τιμή ορμής το σωματίδιο διανύει ισόποση απόσταση. Δεύτερον, οι νέες γραμμές του σχήματος, η αριστερή και η δεξιά, παραμένουν ευθείες γραμμές επειδή η ταχύτητα με την οποία τα σημεία κινούνται προς τα δεξιά στο διάγραμμα χώρου φάσεων μεγαλώνει γραμμικά με την ορμή p και επίσης όλα τα σημεία κινούνται καθέτως με την ίδια ταχύτητα ṗ=mg βάσει της δεύτερης εξίσωσης του Hamlton. Οι παραπάνω παρατηρήσεις συνοψίζονται περιγραφικά στο παρακάτω σχήμα. Το εμβαδό του σχήματος καθώς εξελίσσεται ο χρόνος παραμένει το ίδιο. Εφ'όσον όλα τα σημεία του σχήματος κινούνται κατα τον οριζόντιο άξονα με την ίδια ταχύτητα ( ṗ=mg ) το ύψοςτου παραλληλογράμμου παραμένει το ίδιο, p 2 p 1. Επίσης, αφού οι πλευρές της βάσης έχουν πάντα μήκος q 2 q 1 το σχήμα έχει πάντοτε εμβαδό p 2 p 1 q 2 q 1, που είναι το εμβαδό του αρχικού παραλληλογράμμου. Όπως και προηγουμένως τα αποτελέσματα είναι ανεξάρτητα του αρχικού επιλεχθέντος σχήματος αφού θα μπορούσαμε ότι σχήμα και να επιλέξουμε να το προσεγγίσουμε με άπειρα το πλήθος πολύ μικρά ορθοφώνια σχήματα. Διατύπωση θεωρήματος Louvlle Δοθέντος ενός συστήματος με Ν το πλήθος συντεταγμένες q, ο 2Ν-διάστατος όγκος, που περικλείεται απο μια (2Ν-1)- διάστατη επιφάνεια στον χώρο φάσεων, είναι συντηρούμενος καθώς η επιφάνεια κινείται στον χώρο φάσεων, καθώς εξελίσσεται ο χρόνος. Απόδειξη θεωρήματος Louvlle Αρχικά περιοριζόμαστε για ευκολία στην περίπτωση κατα την οποία ισχυεί Ν=1. Αποδεικνύοντας την ισχύ του θεωρήματος σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να γενικεύσουμε τις αρχές σε μεγαλύτερες διαστάσεις. Για κίνηση σε μία διάσταση, ο χώρος φάσεων είναι δισδιάστατος (ένας άξονας αντιστοιχεί στην συντεταγμένη q και ο άλλος στον άξονα ορμής p), έτσι ο όγκος στον οποίο αναφερόμαστε βάσει του θεωρήματος αποτελεί απλά μια επίπεδη περιοχή και η επιφάνεια μια κλειστή καμπύλη που περιτυλίγει την περιοχή αυτή. Ο στόχος μας είναι να δείξουμε ότι αν εστιάσουμε στην περιοχή που περικλείεται απο μια κλειστή καμπύλη σε μια χρονική στιγμή και αν θεωρήσουμε που τελειώνει η καμπύλη αυτή μετά απο ένα μικρό χρονικό διάστημα και δούμε την περιοχή που περιτυλίγει, τότε οι δύο περιοχές είναι ίσες. Θεωρούμε μια αυθαίρετη καμπύλη και την εικόνα της μετά απο ένα μικρό χρονικό διάστημα dt. Άμα δείξουμε ότι οι δύο καμπύλες περικλείουν την ίδια περιοχή τότε μπορούμε μεταβάλλοντας την περιοχή κατα μικρά διαστήματα χρόνου dt να δείχνουμε σε κάθε στιγμή ότι οι περικλειόμενες περιοχές δεν μεταβάλλονται, οπότε τελικά η τελική περιοχή σε ένα αυθαίρετο χρόνο έχει το ίδιο εμβαδό με την αρχική επιλεγμένη περιοχή. Το διανυσματικό ταχύτητας για ένα δωθέν σημείο (μια μπάλα, ένα άτομο κ.λ.π) καθώς κινείται στο χώρο φάσεων είναι εξ'ορισμού v= q, ṗ. Έτσι το διάνυσμα μετατόπισης σε ένα μικρό χρονικό διάστημα dt αποτελεί το dq,dp =v dt= q, ṗ dt. To παρακάτω σχήμα δείχνει πως τα διανύσματα μετατόπισης παίρνουν τα σημεία απο το αρχικό σχήμα C 0 στο χώρο φάσεων και το οδηγούν στο νέο σχήμα C dt μετά απο χρόνο dt. ~56~

59 Σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι τα δύο σχήματα C 0 και C dt καταλαμβάνουν το ίδιο εμβαδό. Με την πάροδο του χρόνου το αρχικό σχήμα C 0 μεταβάλλεται κατα τρόπο που να περιλαμβάνει γραμμική μετατόπιση, περιστροφή και διάφορες αλλοιώσεις στον χώρο φάσεων. Στην συγκεκριμένη περίπτωση αυξάνεται το εμβαδό εξαιτίας της περιοχής που καταλαμβάνει στο δεξιό κομμάτι του γραφήματος και μειώνεται εξαιτίας του κομματιού που αφήνει πίσω. Για να δώσουμε μια πληρέστερη περιγραφεί του πως αυξάνεται το εμβαδό στο δεξιό μέρος, θεωρούμε την κίνηση μεταξύ δύο γειτονικών σημείων Α και Β όπως στο παρακάτω σχήμα. Η αύξηση του εμβαδού που περιγράφεται παραπάνω αποτελεί ουστιαστικά το γραμμοσκιασμένο τμήμα όπως φαίνεται παρακάτω. Αν τα Α και Β είναι αρκετά κοντά και εφ'όσον το dt είναι αρκετά μικρό, τότε το η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει σχήμα παραλληλογράμμου. Η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδό dl dh, όπου dh αποτελεί το μέρος του διανύσματος μετατόπισης v dt= q, ṗ dt, το οποίο είναι κάθετο στη καμπύλη. Το dh μπορούμε να το γράψουμε ως dh=n v dt, όπου το n ορίζεται ως το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο είναι κάθετο στην καμπύλη (ο όρος cosθ της πράξης του εσωτερικού γινομένου μας δίνει το μέγεθος της κάθετης συνιστώσας του διανύσματος v dt ). To εμβαδό της γραμμοσκιασμένης περιοχής ισούται επομένως με dl dh=dl n v dt. Με αυτή την διαδικασία εξάγεται το πρόσημο σωστά και είναι θετικό στην συγκεκριμένη περίπτωση κάτι επιθυμητό αφού αυξάνεται η επιφάνεια όπως εξηγήσαμε παραπάνω. Η συνολική μεταβολή του εμβαδού του σχήματος καθώς μεταβαίνει στο χώρο φάσεων απο το C 0 στο C dt ισούται με το άθροισμα όλων των μικρών μεταβολών που εμφανίζονται απο τα μικρά παραλληλόγραμμα. Με άλλα λόγια ισούται με το ολοκλήρωμα των μικρών παραλληλογράμμων κατα μήκος όλης της καμπύλης C, το οποίο ισούται με da= n v dt dl da dt = v n dl C C To δεξιό μέρος της εξίσωσης αποτελεί τον τύπο του ολοκληρώματος που εμφανίζεται στο θεώρημα της απόκλισης (η θεώρημα του Gauss). Στην περίπτωση μια επιφάνειας δύο διαστάσεων που περικλείει έναν όγκο σε ένα τρισδιάστατο σχήμα το θεώρημα της απόκλισης αποτελεί ως εξής: V F dv = F d A, (4.76) S αλλά ισχυεί γενικά για κάθε (n-1)-διάστατη επιφάνεια που περικλείει έναν n-διάστατο όγκο. Το δεξιό μέρος της εξίσωσης 4.75 αποτελεί την ροή του διανύσματος v μέσω της επιφάνειας η οποία ουσιαστικά αποτελεί την καμπύλη C στην περιπτωσή μας), όπου το n dl αποτελεί το d A της (4.75) κατα αναλογία του θεωρήματος της απόκλισης. Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων, κατα την οποία μια καμπύλη καλύπτει μια περιοχή το θεώρημα της απόκλισης μας λέει Α v da= v n dl. (4.77) C ~57~

60 Συνδιάζοντας τις εξισώσεις (4.75) και (4.77) εξάγεται το συμπερασμα da dt = A v da= A q, ṗ da= q A q ṗ da p Η παραπάνω σχέση έχει ισχύ για κάθε διάνυσμα πεδίου v q, ṗ. Στην περιπτωσή μας η κίνηση των σημείων αφορά τον χώρο φάσεων κάτι που σημαίνει ότι η κίνηση καθορίζεται απο τις εξισώσεις του Hamlton q= H p και ṗ= H q. Περιλαμβάνοντας τις εξισώσεις του Hamlton στην εξίσωση (4.78) έχουμε: da dt = A q H p p H q da= A 2 H q p 2 H p q da=0, 4.79 όπου χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα της μετάθεσης των μερικών παραγώγων. Παρατηρήσεις 1. Στην περίπτωση που υπάρχουν Ν το πλήθος συντεταγμένες q, οπότε ο χώρος φάσεων έχει 2Ν διαστάσεις, η απόδειξη του θεωρήματος του Louvlle προκύπτει κατα ανάλογο τρόπο όπως παραπάνω. Η ουσιαστικά μόνη διαφορά που παρατηρείται είναι ότι υπάρχουν Ν όροι αναίρεσης στην εξίσωση (4.79). 2. Το θεώρημα του Louvlle, έγκειται στην συμμετρία των εξισώσεων του Hamlton. Χάριν της συμμετρίας αυτής, μοιάζουν οι δύο όροι της εξίσωσης (4.79) τόσο πολύ. Εξαιτίας της εγκύτητας αυτής της συμμετρίας οι δύο όροι αλληλοαναιρούνται στην εξίσωση (4.79). 3.Το θεώρημα του Louvlle θα μπορούσε να περιγραφεί ως η ιδιότητα κατα την οποία η πυκνότητα του χώρου μορφής μένει σταθερή. Αυτό σε καμιά περίπτωση δεν σημαίνει ότι η πυκνότητα σε ένα δεδομένο σημείο του χώρου μορφής δεν μεταβάλλεται. ~58~

61 4.13 Συνοπτική περίληψη κεφαλαίου Εξισώσεις πρώτης τάξης δύναται να εξαχθούν είτε μέσω μείωσης τάξης των Λαγκρανζιανών εξισώσεων, είτε μέσω της μεθοδολογίας του Hamlton. Κατα την πρώτη περίπτωση ορίζουμε την γενικευμένη ορμή (generalzed momenta) ως p = L q απο την οποία προκύπτουν εξισώσεις πρώτης τάξεως ως προς τις γενικευμένες ταχύτητες πρώτης τάξης προκύπτουν εκ των εξισώσεων ṗ L q R q =0. q. Επομένως, οι εξισώσεις Αξιοποιώντας τον Χαμιλτονιανό φορμαλισμό πραγματοποιούμε τα ακόλουθα βήματα: Ορίζουμε τις θεμελιώδεις μεταβλητές, τις γενικευμένες συντεταγμένες q και τη γενικευμένη ορμή p του συστήματος. Εκφράζουμε την κινητική ενέργεια, την δυναμική ενέργεια και το δυναμικό του Raylegh ως προς τις μεταβλητές q και p. Ελέγχουμε τις περιπτώσεις αν η δυναμική ενέργεια είναι ανεξάρτητη απο τις γενικευμένες ταχύτητες q και την περίπτωση της κινητικής ενέργειας αν είναι ομογενής εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αν οι περιπτώσεις αποτελούν αληθείς, σχηματίζουμε την εξίσωση του Hamlton H =T V. Οι εξισώσεις πρώτης τάξεως εξάγονται απο τις σχέσεις q = H, p ṗ = H R. q q ~59~

62 Μέρος II Μελέτη και ανάλυση των μεθόδων ελέγχου του συστήματος σφαίρας-ράβδου Το σύστημα σφαίρας-ράβδου αποτελεί απο τα περισσότερο δημοφιλή και σημαντικά πειραματικά μοντέλα στο εργαστήριο για να διδαχθεί κανείς έλεγχο συστημάτων. Το σύστημα σφαίρας-ράβδου είναι ευρέως χρησιμοποιούμενο σύστημα για πειραματισμό, γιατί είναι εύκολο να κατανοήσει κανείς πως λειτουργεί το σύστημα και οι τεχνικές που μελετώνται στο σύστημα αυτό καλύπτουν πολλές κλασσικές και μοντέρνες μεθόδους σχεδιασμού ελέγχου συστημάτων. Το σύστημα σφαίρας-ράβδου έχει μια ιδιαίτερα σημαντική ιδιότητα- όταν μελετάμε το σύστημα σε ανοιχτό βρόχο είναι ασταθές. Παρακάτω παρουσιάζεται ένα σχήμα με το σύστημα σφαίρας-ράβδου που θα μελετήσουμε στη συνέχεια. To σύστημα είναι αρκετά απλό. Μια σφαίρα μπορεί και κινείται κατα μήκος μιας μεγάλης ράβδου. Η ράβδος είναι προσδετημένη στον εξωτερικό άξονα ενός ηλεκτρικού κινητήρα, έτσι ώστε η ράβδος να μπορεί να στρέφεται απο τον άξονα του κινητήρα αν εφαρμοστεί ένα ηλεκτρικό σήμα ελέγχου στον ενισχυτή του κινητήρα. Η θέση της σφαίρας πάνω στην ράβδο μπορεί και εκτιμάται απο έναν ειδικό αισθητήρα. Το ζητούμενο του ελέγχου στην συγκεκριμένη περίπτωση είναι να επιτυγχάνουμε να ισσοροπεί η σφαίρα σε ένα επιθυμητό σημείο κατα μήκος της ράβδου με την μεταβολή της γωνιακής θέσης της ράβδου μέσω ενός σερβομηχανισμού. Αυτό αποτελεί ένα δύσκολο έργο ελέγχου, καθώς η σφαίρα δεν μένει ακίνητη σε ένα σημείο στην ράβδο αλλά κινείται με ταχύτητα ανάλογη της κλίσης της ραβδου. Το σύστημα ανοιχτού βρόχου είναι προφανώς ασταθές γιατί για μια δεδομένη γωνιακή θέση της ράβδου η ταχύτητα της σφαίρας συνεχώς αυξάνεται οπότε η έξοδος του συστήματος (δηλαδή η θέση της σφαίρας κατα μήκος της ράβδου) συνεχώς αυξάνεται. Για να επιτύχουμε να ισορροπεί η σφαίρας σε ένα σημείο στην ράβδο πρέπει προφανώς να εφαρμοστεί έλεγχος κλειστού βρόχου. Τα περισσότερα προβλήματα ελέγχου που συναντάμε στην πράξη είναι απλά στον ελεγχό τους. Για μια δεδομένη τιμή σήματος εισόδου η έξοδος παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή. Ένα σημαντικό σύνολο συστημάτων ωστόσο, είτε λόγω της φύσης τους είτε λόγω του σχεδιασμού τους απο τους ανθρώπους, είναι ασταθή και επομένως είναι απαραίτητος ο έλεγχος με ανατροφοδότηση έτσι ώστε να λειτουργούν με ασφάλεια. Σημαντικό δείγμα ασταθών συστημάτων αποτελεί για παράδειγμα ο έλεγχος που παρατηρείται στην βιομηχανία χημικών διεργασιών όπου επιτυγχάνεται ο έλεγχος εξωθερμικών χημικών αντιδράσεων. Αν μια χημική αντίδραση παράγει θερμότητα και η αντίδραση γίνεται γρηγορότερη καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία προφανώς πρέπει να επιτευχθεί ένας έλεγχος που θα σταθεροποιεί την θερμότητα για να μπορεί να ελεγχθεί η αντίδραση. ~60~

63 1 Εξαγωγή της δυναμικής του συστήματος σφαίρας-ράβδου Παρακάτω θα εξάγουμε τις δυναμικές εξισώσεις που περιγράφουν το μοντέλο της μελέτης μας, το οποίο φαίνεται στο παρακάτω σχηματικό γράφημα. Υπάρχουν πολλές εκδοχές που να αφορούν το σύστημα σφαίρας-ράβδου όπως η ράβδος να περιστρέφεται γύρω απο άξονα που διέρχεται απο το κέντρο μάζας της ή η ράβδος να στρέφεται σε ένα απο τα άκρα της καθώς και άλλες περιπτώσεις. Στην μελέτη μας λαμβάνουμε την περισσότερο παρατηρούμενη περίπτωση κατα την οποία η ράβδος περιστρέφεται γύρω απο το κέντρο μάζας της (θεωρώντας προφανώς ότι η μάζα της ράβδου είναι ομοιογενώς κατανεμημένη) καθώς αποτελεί την απλούστερη περίπτωση χωρίς ωστόσο να χάνονται και να υποτιμώνται προς χάριν απλουστέυσεως τα ιδιαίτερα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος. Επίσης στην μελέτη μας θα αποφύγουμε να περιγράψουμε, αναλύσουμε και μοντελοποιήσουμε το ηλεκτρικό κομμάτι που αφορά τον σερβοκινητήρα αλλά και τον σχεδιασμό των ηλεκτρονικών που χρειάζονται για την κατασκευή του συστήματος, αλλά θα περιοριστούμε στο μηχανικό κομμάτι που αφορά την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος που είναι άλλωστε και το αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Ωστόσο θεωρούμε ότι η θέση της κυλιόμενης σφαίρας βρίσκεται με ένα αισθητήρα υπερήχων, ο οποίος στέλνει ένα ηχητικό κύμα και μετρά το χρόνο που χρειάζεται η ηχώς για να επιστρέψει. Με τον τρόπο αυτό, η απόσταση της σφαίρας μπορεί να εντοπίζεται κατα μήκος της ράβδου. Επίσης με ένα γωνιόμετρο προσαρμοσμένο στο ένα άκρο της ράβδου μπορούμε να συλλέγουμε την πληροφορία που αφορά την γωνία στρέψεως αυτής. 1.1 Ορισμοί παραμέτρων συστήματος Πρίν μπούμε στην διαδικασία της δυναμικής ανάλυσης του συστήματος, είναι απαραίτητο να ορίσουμε κάποιες παραμέτρους οι οποίες χρησιμοποιούνται στο σύστημα. Καθορισμένες παράμετροι L m αποτελεί το μήκος της ράβδου. R m αποτελεί το μήκος της ακτίνας της σφαίρας. r m αποτελεί το μήκος της ακτίνας της νοητής σφαίρας που βρίσκεται σε επαφή με την ράβδο. Το μέγεθος αυτό επεξηγείται σχηματικά παρακάτω. m kg είναι η μάζα της σφαίρας. Μ kg είναι η μάζα της δοκού. C 1 N / m/s είναι ο συντελεστής τριβής μεταξύ της σφαίρας και της δοκού. J ράβδου kg m 2 είναι η ροπή αδράνειας της δοκού. J σφαίρας kg m 2 είναι η ροπή αδράνειας της σφαίρας. g=9.81 m/sec 2 είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. ~61~

64 Ανεξάρτητες μεταβλητές x m αποτελεί την αριθμητική τιμή της θέσης της σφαίρας στη ράβδο, θεωρώντας ως μηδενική τιμή θέσης το σημείο κατα το οποίο η σφαίρα τοποθετείται στο μέσο της ράβδου. Ως θετική τιμή της θέσης θεωρούμε την κατεύθυνση για την οποία η σφαίρα βρίσκεται στα δεξιά του σημείου ισορροπίας. θ rad είναι η γωνιακή θέση της ράβδου, όπου παίρνουμε ως θετική την ανθωρολογιακή φορά. 1.2 Εξαγωγή δυναμικών παραμέτρων συστήματος Σχήμα 1 Ορίζουμε ως γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος, τις q 1 =x, q 2 =θ. Αξιοποιώντας την γεωμετρία της σφαίρας και της ράβδου μπορούμε να ορίσουμε την θέση του κέντρου της σφαίρας σε καρτεσιανές συντεταγμένες (x-y). Έτσι βάσει του παραπάνω σχήματος που φαίνεται το σύστημα σφαίρας-δοκού έχουμε για την θέση της σφαίρας: x c =x cos θ y c =x sn θ (1.1) Αν διαφορίσουμε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τον χρόνο παίρνουμε την ταχύτητα της μπάλας σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x-y). ~62~

65 x c =ẋ cos θ xsn θ θ ẏ c =ẋ sn θ x cos θ θ (1.2) Ξαναδιαφορίζοντας ως προς το χρόνο τις εξισώσεις που μας δίνουν την ταχύτητα της μπάλας, προκύπτει η επιτάχυνσή της στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. x c =ẍ cos θ 2 ẋ sn θ θ xcos θ θ 2 xsn θ θ ÿ c =ẍ sn θ 2 ẋ cos θ θ xsn θ θ 2 x cos θ θ (1.3) Aξιοποιώντας την γεωμετρία προσδιορίζουμε την γωνία που σχηματίζει η μπάλα καθώς κινείται. Αν αρχικά η μπάλα ισορροπεί στο μέσο της δοκού και στρέψουμε την δοκό κατα γωνία έστω θ, τότε αμέσως μετά η σφαίρα θα σχηματίζει γωνία με τον κάθετο άξονα, α=θ. Aν μείνει εκεί η δοκός και η σφαίρα αρχίσει να κινείται, όταν διασχίσει η μπάλα απόσταση r, όση η νοητή περιφερειά του κυκλικού δίσκου που εφάπτεται με την δοκό, τότε θα έχει σχηματίσει μια γωνία 360 μοιρών. Συνεπώς μπορούμε να εκφράσουμε την γωνία α που σχηματίζει συναρτήσει της γωνίας στρέψεως της δοκού και της θέσης της πάνω στην δοκό ως α=θ x r. (1.4) Διαφορίζοντας την ανωτέρω σχέση ως προς το χρόνο μας δίνεται η γωνιακή ταχύτητα της μπάλας: α= θ ẋ r (1.5) και διαφορίζοντας ξανά ως προς το χρόνο εξάγεται η γωνιακή επιτάχυνση της μπάλας: α= θ ẍ r. (1.6) H ροπή αδράνειας της μπάλας είναι αυτή για μια οποιαδήποτε σφαίρα και ισούται με J σφαίρας = 2 5 m R2. Έχοντας εξάγει τις βασικές δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ορίζουμε στην συνέχεια την δυναμική και την κινητική ενέργεια του συστήματος. Αρχικά ορίζουμε την δυναμική ενέργεια του συστήματος E δυν, θεωρώντας ως επίπεδο μηδενικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται απο το κέντρο βάρος της ράβδου (άξονας x c ). Η δυναμική ενέργεια της ράβδου, με την υπόθεση ότι το κέντρο μάζας της ράβδου είναι συγκεντρωμένη στο σημείο στρέψεώς της, είναι μηδενική. Επομένως για την δυναμική ενέργεια του συστήματος εστιάζουμε αποκλειστικά στην δυναμική ενέργεια της μπάλας λόγω της υψομετρικής διαφοράς που σχηματίζεται με την στρέψη της ράβδου. ~63~

66 Σύμφωνα με το σχήμα 1, η δυναμική ενέργεια της μπάλας και επομένως του συστήματος είναι ίση με: E δυν = m g x sn θ Δυναμικήενέργεια μπάλας (1.7). Επιπλεόν ορίζουμε την κινητική ενέργεια του συστήματος E κιν. Ε κιν = 1 2 m ẋ c 2 ẏ c J σφαίρας α J ράβδου θ 2 Κινητική ενέργεια μπάλας Κινητική ενέργεια ράβδου. 1.8 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις που μας δίνουν τις ταχύτητες στην εξίσωση (1.2) στην σχέση (1.8), καθώς και στην σχέση (1.5) που μας δίνει την γωνιακή ταχύτητα της μπάλας α στην (1.8), η κινητική ενέργεια στην (1.8) μας δίνεται συνάρτηση της μετατόπισης x και της γωνίας θ: Ε κιν = 1 2 m ẋcos θ xsn θ θ 2 ẋsn θ xcos θ θ σφαίρας J θ ẋ 2 r 1 2 J ράβδου θ Απο τα ανωτέρω αποτελέσματα παρατηρούμε τα εξής: Διαπιστώνουμε ότι η δυναμική ενέργεια V εξαρτάται μόνο απο τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος, x και θ, καθώς είναι της μορφής V x, θ και όχι απο τις γενικευμένες ταχύτητες, οπότε V q =0, q 1 =x,q 2 =θ. Επίσης για την κινητική ενέργεια είναι ομογενής εξίσωση δευτέρου βαθμού αφού μιλάμε για μηχανικό δυναμικό σύστημα, επομένως : T T q 1 q q 2 =2T q 1 q 1, q 2. 2 Όπως δείχθηκε παραπάνω κατα την θεμελίωση των εξισώσεων του Χάμιλτον, οι δύο ανωτέρω συνθήκες σημαίνουν ότι η Χαμιλτονιανή του μηχανικού συστήματος μπορεί να γραφεί σαν το άθροισμα της δυναμικής και κινητικής ενέργειας του συστήματος. Επομένως ορίζουμε την εξίσωση Χάμιλτον, H, του συστήματος: H =E κιν E δυν =m g x sn θ 1 2 m ẋ cos θ x sn θ θ 2 ẋsn θ x cos θ θ σφαίρας J θ ẋ 2 r 1 2 J ράβδου θ 2. Στην συνέχεια ορίζουμε το δυναμικό του Raylegh για το σύστημα R= 1 2 R q 2. Σε αυτό περιέχονται ουσιαστικά οι συντελεστές που αποτελούν στοιχεία τριβής (στοιχεία απόσβεσης) C 1 για την γενικευμένη συντεταγμένη q 1 =x, και C 2 για την γενικευμένη συντεταγμένη q 2 =θ. Επομένως για το δυναμικό του Raylegh ορίζουμε την εξίσωση δυναμικού του Raylegh για το σύστημα σφάιρας-ράβδου την συνάρτηση R= 1 2 R q 2 = 1 2 C 1 ẋ2 1 2 C 2 θ 2. (1.10) ~64~

67 Πλέον έχοντας ορίσει τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος είμαστε σε θέση να ορίσουμε την γενικευμένη ορμή p για τις γενικευμένες συντεταγμένες q 1 =x, q 2 =θ. Oι γενικευμένη ορμή δίνεται, όπως εξηγήσαμε προηγουμένως, απο τον τύπο p = L. Για την Λαγκρανζιανή του συστήματος έχουμε: q L=E κιν Ε δυν = 1 2 m ẋ cos θ xsn θ θ 2 ẋ sn θ x cos θ θ σφαίρας J θ ẋ 2 r 1 2 J ράβδου θ 2 m g x sn θ. Eπομένως για την q 1 =x η αντίστοιχη γενικευμένη ορμή p x προκύπτει: p x = L. Eπειδή το μοντέλο στην γενική περίπτωση όπως περιγράφεται παραπάνω είναι ιδιαίτερα πολύπλοκο και δεν ẋ οδηγεί σε αναλυτική μορφή τις γενικευμένες ορμές θα κάνουμε κάποιες υποθέσεις οι οποίες ωστόσο δεν καταργούν την γενίκευση των ιδιοτήτων που εξάγονται απο το αναλυτικό μοντέλο. Προς χάριν της απλοποιήσεως της ανάλυσης μας, λοιπόν, υποθέτουμε ότι η γωνία θ για την οποία στρέφεται η δοκός είναι ιδιαίτερα μικρή (κάτι που θα μπορούσαμε να το έχουμε σαν ζητούμενο αν υποθέταμε ότι η ράβδος επιτρέπεται να στρέφεται κατα μικρό θ η αν κάναμε την υπόθεση ότι ο σερβοκινητήρας στρέφεται κάθε φορά κατα μικρή γωνία όπως στην περίπτωση ενός βηματικού κινητήρα). Επομένως αφού θ μικρό τότε sn θ θ και cos θ 1. Επίσης αγνοούμε τις παραγώγους της γωνίας θ, εκτιμώντας ότι η ταχύτητα για μικρές μεταβολές της γωνίας θ είναι μικρή είτε σταθερή. Έτσι οδηγούμαστε σε απλούστερες μορφές για την Χαμιλτονιανή εξίσωση του συστήματος H, και την Λαγκρανζιανή του συστήματος L. Μετά την απλοποίηση της Λαγκρανζιανής η Λαγκρανζιανή του συστήματος δίνεται: L=E κιν Ε δυν = 1 2 m ẋ x θ θ 2 ẋ θ x θ σφαίρας J θ ẋ 2 r 1 2 J ράβδου θ 2 m g x θ. (1.11) H γενικευμένη ορμή p r δίνεται λοιπόν: p x = L ẋ =m ẋ x θ θ mθ ẋ θ x θ J σφαίρας r θ ẋ Oμοίως βρίσκουμε και την γενικευμένη ορμή p θ. p θ = L = L q 2 θ = m x θ ẋ x θ θ m x ẋ θ x θ J σφαίρας θ ẋ r =ẋ m mθ 2 J σφαίρας r 2 θ J σφαίρας r r θ=ẋ J J σφαίρας ράβδου r θ [ m xθ 2 m x 2 J σφαίρας J ράβδου ] 1.13 Παραπάνω εκφράσαμε τις γενικευμένες ορμές συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων του συστήματος. Ξαναγράφουμε την Χαμιλτονιανή εξίσωση του συστήματος στην απλοποιημένη της μορφή λαμβάνοντας υπόψιν μας τις παραδοχές που θέσαμε σε ισχύ και κατα την εξαγωγή της Λαγκρανζιανής του συστήματος. H =E δυν E κιν = 1 2 m ẋ x θ θ 2 ẋ θ x θ σφαίρας J θ ẋ 2 r 1 2 J ράβδου θ 2 m g x θ Πλέον για να καταλήξουμε στις εξισώσεις του Hamlton, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε την Χαμιλτονιανή εξίσωση του συστήματος H συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων και των γενικευμένων ορμών του συστήματος, δηλαδή στην μορφή H q 1, q 2, p 1, p 2 =H x, θ, p r, p θ. Για το λόγο αυτό λύνουμε τις εξισώσεις (1.12), (1.13) ως προς τις ποσότητες ẋ και θ. Ξαναγράφουμε τις σχέσεις (1.12), (1.13) και (1.14) αμελώντας αυτή την φορά τις παραγώγους της γωνίας θ, εκτιμώντας ότι για μικρές μεταβολές της γωνίας θ η ταχύτητα με την οποία στρέφεται ο άξονας της ράβδου είναι είτε πολύ μικρή για να εκτιμηθεί στο συνολικό μοντέλο είτε σχεδόν σταθερή. Ξαναγράφουμε επομένως τις απλοποιημένες σχέσεις όπως παρακάτω: ~65~

68 p x = L ẋ =m ẋ x θ θ m θ ẋθ x θ J σφαίρας r θ ẋ p θ = L θ = m x θ ẋ x θ θ m x ẋ θ x θ J σφαίρας θ ẋ r =ẋ m mθ 2 J σφαίρας r 2 r θ=ẋ J J σφαίρας ράβδου r θ J σφαίρας r ẋ m mθ 2 J σφαίρας r θ [m xθ 2 m x 2 J σφαίρας J ράβδου ] ẋ J σφαίρας r 1.16 H=E δυν E κιν = 1 2 m ẋ x θ θ 2 ẋ θ x θ σφαίρας J θ ẋ 2 r 1 2 J ράβδου θ 2 m g xθ 1 2 m ẋ m ẋ θ σφαίρας J ẋ 2 mgxθ r Δηλαδή καταλήγουμε για την Χαμιλτονιανή, στην απλή σχέση: Λύνουμε την (1.16) ως προς ẋ : H = 1 2 m ẋ m ẋ θ σφαίρας J ẋ 2 r mgxθ 1.17 ẋ= p θ = p r θ. J σφαίρας J σφαίρας r Eπίσης λύνουμε την (1.15) επίσης ως προς ẋ : ẋ= Στην συνέχεια αντικαθιστούμε το Χαμιλτονιανή ως παρακάτω. p x J σφαίρας r 2 m mθ 2. ẋ απο την (1.16) στην έκφραση για την Χαμιλτονιανή εξίσωση, επομένως μας δίνεται η H x,θ, p θ = 1 2 m p 2 θ r J σφαίρας 2 [1 θ 2 ] 1 2 p θ 2 J σφαίρας mgxθ. Αν αντικαταστήσουμε το ẋ απο την (1.15) μας ξαναδίνεται η Χαμιλτονιανή ως: H x,θ, p x = 1 2 p x 2 m mθ 2 J σφαίρας r 2 mgxθ. ~66~

69 Πλέον, έχουμε τη δυνατότητα να λύσουμε τις εξισώσεις του Χάμιλτον q = H, ṗ p = H R. q q Για την γενικευμένη συντεταγμένη q 1 =x προκύπτει: p x ẋ= H = p x m mθ 2 J σφαίρας. r 2 Για την γενικευμένη συντεταγμένη q 2 =θ προκύπτει: θ= H p θ =m p θ 2 r J σφαίρας [1 θ 2 ] p θ. J σφαίρας Αντίστοιχα για τις γενικευμένες ορμές p x, p θ έχουμε απο την εξίσωση ṗ = H R : q q p x = mgθ C 1 ẋ, ṗ θ = θ m p θ 2 2 r mgx. J σφαίρας Στο σημείο αυτό θα κάνουμε μια τελευταία απλοποίηση. Εφ'όσον μιλάμε για μικρή μεταβολή της γωνίας θ, έστω μέγιστη τιμή 20 μοίρες, η γωνία που αντιστοιχεί σε ακτίνια ισούται με 0,349 rad. Αν την τετραγωνίσουμε, η τετραγωνισμένη ποσότητα δίνεται 0,122 rad. Επομένως στις ανωτέρο σχέσεις μπορούμε με ασφάλεια να αμελήσουμε τους τετραγωνικούς όρους της γωνίας θ. Επομένως οι εξισώσεις του Χάμιλτον δίνονται ως: p x ẋ= m J σφαίρας r 2, θ=m p θ 2 r J σφαίρας p θ, ṗ J x = mgθ C 1 ẋ, ṗ θ = θ m p θ σφαίρας 2 2 r mgx. (1.18) J σφαίρας Καταλήξαμε επομένως σε 4 πρωτοβάθμιες εξισώσεις για πλήθος 2 γενικευμένων συντεταγμένων που ήταν το ζητούμενο. Εκλέγοντας κατάλληλα τις γενικευμένες συντεταγμένες και ορίζοντας την Χαμιλτονιανή του συστήματος καταφέρνουμε με απλό και συνοπτικό τρόπο να οδηγηθούμε σε πρωτοβάθμιες διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Το μόνο βήμα που απομένει είναι η λύση των διαφορικών εξισώσεων. ~67~

70 2 Έλεγχος συστήματος σφαίρας-ράβδου Προηγουμένως καταλήξαμε στις πρωτοβάθμιες εξισώσεις που περιγράφουν την δυναμική του μηχανικού συστήματος σφαίρας-ράβδου. Είπαμε στην αρχή του κεφαλαίου, ότι το σύστημα χαρακτηρίζεται απο την ενδιαφέρουσα ιδιότητα ότι είναι ασταθές όσον αφορά έλεγχο ανοιχτού βρόχου, θεωρώντας ως είσοδο του συστήματος την γωνία θ με την οποία στρέφουμε τη ράβδο και έξοδο την μετατόπιση της μπάλας κατα μήκος της ράβδου. Αυτό είναι λογικό καθώς αν αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη και η μπάλα στο κέντρο της και ξαφνικά στραφεί η ράβδος κατα μια γωνία θ και μείνει στραμμένη η ράβδος στην γωνία αυτή, τότε η μπάλα θα αρχίσει να κυλά μέχρι να ακουμπήσει στο άκρο της ράβδου, δηλαδή δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας στο οποίο να δύναται να εισέλθει. Στο σημείο αυτό είναι απαραίτητο να κάνουμε μια εξομοίωση του συστήματος για να έχουμε μια εικόνα της συμπεριφοράς του και του ζητήματος του ελέγχου που καλούμαστε να αντιμετωπίσουμε. Για το λόγο αυτό αξοποιούμε τις εξισώσεις του Χάμιλτον που βρήκαμε προηγουμένως: ẋ= p x m J σφαίρας r 2, ṗ x = mgθ C 1 ẋ Διαφορίζοντας ως προς το χρόνο την πρώτη εξίσωση προκύπτει: ẍ= p x m J σφαίρας r 2 = mgθ C ẋ 1 m J. σφαίρας r 2 Θεωρώντας ότι αρχικά η σφαίρα βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου ακίνητη (οπότε η αρχική της θέση την χρονική στιγμη t=0 ισούται με το μηδέν x t0 =0 ) παίρνοντας μετασχηματισμό Laplace για την ανωτέρω παράσταση προκύπτει: s 2 X S sx t 0 x t 0 ' = mg Θ S C1 sx S x t 0 m J σφαίρας r 2 s 2 mg Θ S C1 s X S X S = m J σφαίρας r 2 s 2 s C1 m J σφαίρας r 2 X S = mg Θ S m J σφαίρας r 2 X S Θ S = mg s 2 s C1 m J σφαίρας r 2 J σφαίρας m r Πλέον έχοντας καταλήξει στις πρωτοβάθμιες διαφορικές εξισώσεις του συστήματος σφαίρας-ράβδου και στην συνάρτηση μεταφοράς ανάμεσα στην θέση της μπάλας και της γωνίας στρέψεως της ράβδου μπορούμε να προχωρήσουμε στην μοντελοποίηση του συστήματος ορίζοντας τις φυσικές παραμέτρους του συστήματος. ~68~

71 2.1 Ορισμός φυσικών παραμέτρων συστήματος Αριθμητικές τιμές των φυσικών παραμέτρων του συστήματος Σύμβολο Παράμετρος Τιμή μεγέθους m Μάζα μπάλας 0.15 kg M Μάζα ράβδου 1 kg r Ακτίνα μπάλας σε επαφή με ράβδο 0.02 m L Μήκος ράβδου 1m J σφαίρας Ροπή αδράνειας σφαίρας, 2 5 mr kg m 2 J ράβδου Ροπή αδράνειας ράβδου, M L kg m 2 g Επιτάχυνση της βαρύτητας 9.81 m s 1 C 1 Συντελεστής ιξώδους τριβής 1.92 Ν s m Ξαναγράφουμε τις Χαμιλτονιανές εξισώσεις αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων με τις τιμές των φυσικών μεγεθών όπως τις έχουμε εκλέξει βάσει του παραπάνω πίνακα. ẋ=4.762 p x, θ= p θ, p x = θ 1.92 ẋ, ṗ θ = θ p 2 θ x. 2.2 Σχεδιασμός διαγραμμάτων φάσης Έχοντας τις πρωτοβάθμιες εξισώσεις του Χάμιλτον, είμαστε σε θέση να σχεδιάσουμε τα διαγράμματα φάσεων, δηλαδή τα διαγράμματα των γενικευμένων συντεταγμένων συναρτήσει των γενικευμένων ορμών του συστήματος. Αρχίζουμε απο την εξίσωση ẋ=4.762 p x. Ξαναγράφουμε την εξίσωση ως: x x 0 t f t 0 =4.762 p x x x 0 =4.762 px t f t 0 =4.762 px t,όπου t f t 0 =t Στην συνέχεια λύνουμε κατα ανάλογο τρόπο την συνάρτηση ṗ x = θ 1.92 ẋ. Την ξαναγράφουμε ως εξής: p x px 0 = θ 1.92 x x 0 p t f t 0 t f t x p x0 = θ t f t x x 0 p x p x0 = θ t 1.92 x x 0. (1.21) 0 Λύνουμε την (1.20) ως προς t. Προκύπτει t= x x p x. Αντικαθιστούμε το t στην (1.21). p x p x0 = θ x x p x 1.92 x x 0. (1.22) ~69~

72 Κατα παρόμοιο τρόπο λύνουμε ως προς τον χρόνο t την εξίσωση θ= p θ. θ θ 0 t f t 0 = p θ θ θ 0 = p θ t t= θ θ p θ, όπου πάλι κάνουμε αντικατάσταση t f t 0 =t.. Στην συνέχεια ξαναγράφουμε την παράσταση ṗ θ = θ p θ x σύμφωνα με τα παραπάνω ως εξής: p θ p θ0 = θ p 2 t f t θ x p θ p θ0 = θ p 2 θ t x t, όπουαντικαθιστούμε τοt f t 0 =t. 0 Aντικαθιστούμε το χρόνο t που βρήκαμε παραπάνω στην παραπάνω έκφραση οπότε προκύπτει μετά απο πράξεις: p θ p θ0 = θ p θ θ θ x θ θ 0 p θ Πλέον έχουμε δύο εξισώσεις, τις (1.22) και (1.23), οι οποίες αποτελούν συναρτήσεις των γενικευμένων συντεταγμένων και των γενικευμένων ορμών του συστήματος. Απλοποιούμε τις παραστάσεις θεωρώντας όλες τις αρχικές συνθήκες μηδενικές. Επομένως ξαναγράφουμε μετά τις απλοποιήσεις τις σχέσεις ως: px 2 = θ x p x x, p θ = θ 2 p θ 10 5 x θ p θ. Πλέον αυτό που μένει να κάνουμε είναι να εκφράσουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες του συστήματος συναρτήσει των γενικευμένεων ορμών, δηλαδή να βρούμε εξισώσεις της μορφής x= f 1 px, pθ, και θ= f 2 p x, p θ. Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις είναι συζευγμένες και είναι ιδιαίτερα δύσκολο να επιλυθούν αναλυτικά σε κλειστή μορφή. Για το λόγο αυτό θα καταφύγουμε στην επίλυση και αναπαραστασή τους μέσω του λογισμικού MATLAB. Για τον παραπάνω λόγο συγγράφουμε το παρακάτω πρόγραμμα σε αρχείο Μ fle το οποίο ονομάζουμε lses_xoru_faseon.m. syms x th px pth % Ορίζουμε τις μεταβλητές του συστήματος εξισώσεων. [x,th]=solve('0.521*px^2=-0.161*th*x-px*x','pth=-0.714*th^2-(0.0001*x*th)/pth'); %Στο πρώτο μέλος ορίζουμε τις μεταβλητές ως προς τις οποίες λύνουμε το %σύστημα εξισώσεων.η συνάρτηση solve παίρνει ως ορίσματα τα δύο συστήματα %εξισώσεων. Με αυτή τη διαδικασία λύνουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες ως %προς τις γενικευμένες ορμές. length(x) %Βρίσκουμε το πλήθος λύσεων για την γενικευμένη συντεταγμένη της θέσης. length(th) %Βρίσκουμε το πλήθος λύσεων για την γενικευμένη συντεταγμένη της γωνίας %στρέψεως της ράβδου. Έπειτα πληκτρολογούμε στο παράθυρο εντολών (command wndow) το όνομα του αρχείου και πατάμε enter : >> lses_xoru_faseon ans = 3 ans = 3 Προκύπτουν 3 λύσεις για την θέση της μπάλας και 3 λύσεις για την γωνία στρέψεως της ράβδου. ~70~

73 Πλέον, έχοντας εκφράσσει μέσω του Μatlab τις γενικευμένες συντεταγμένες ως προς τις γενικευμένες ορμές του συστήματος σφαίρας-ράβδου, είμαστε σε θέση να σχεδιάσουμε τον χώρο φάσεων του συστήματος και να καταλήξουμε σε κάποια συμπεράσματα που να αφορούν την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Επειδή ο κώδικας για τον σχεδιασμό του γραφήματος του χώρου φάσεως είναι μεγάλος και πολύπλοκος, δεν θα τον παραθέσουμε σε αυτό το χώρο, αλλά περιλαμβάνεται στο χώρο των παραρτημάτων. Ο προκύπτων χώρος φάσεως για την γενικευμένη συντεταγμένη της θέσης x αποτελεί το παρακάτω τρισδιάστατο γράφημα. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν 3 διαφορετικές χρωματικές περιοχές. Κάθε μια απο αυτές σχετίζεται με την αντίστοιχη απο τις 3 προκύπτουσες λύσεις της γενικευμένης θέσης. Επειδή ο χώρος φάσεων είναι ιδιαίτερα πολύπλοκος, αναπαριστούμε χωριστά κάθε έναν απο τους χώρους φάσεων που σχηματίζεται απο τις χρωματικές επιφάνειες. ~71~

74 Στο πρώτο γράφημα που είναι γραμμοσκιασμένη η επιφάνεια του χώρου φάσεων με μπλέ χρώμα, παρατηρούμε ότι ουσιαστικά η επιφάνεια αποτελείται απο δύο συμμετρικές περιοχές σε κάθε μια απο τις οποίες επιτρέπεται να βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή. Το επιτρεπόμενο σημείο μετάβασης απο την μια περιοχή στην άλλη είναι το σημείο 0. Επίσης παρατηρούμε ότι η ταχύτητα με την οποία μεταβαίνει κατα μήκος της επιφάνειας η μπάλα είναι ανάλογη της γενικευμένης ορμής της θέσης p x, κάτι αναμενόμενο βάσει του τύπου : ẋ= p x m J σφαίρας r 2. Για τους συνιστώμενους χώρους φάσεων για τις δύο υπολειπόμενες λύσεις, άμα στρέψουμε κατάλληλα τα γραφήματα προκύπτουν οι παρακάτω απεικονίσεις: ~72~

75 Παρατηρούμε ότι τα δύο σχήματα είναι ακριβώς τα ίδια. Στην πραγματικότητα αποτελούν αντιδιαμετρικά σχήματα. Αξίζει να σημειωθεί βάσει των σχημάτων ότι τον βασικό και ουσιαστικό ρόλο της ταχύτητας της μπάλας την παίζει η παράμετρος της γενικευμένης ορμής p x, για μικρές τιμές της θέσης x όπως άλλωστε μας ενδιαφέρει και στην περιπτωσή μας, λόγω του περιορισμού του εύρους της κίνησης που διανύει η σφαίρα λόγω περιορισμένου μήκους της ράβδου. Η συμμετρία των παραπάνω σχημάτων αποτελεί εν γένει χαρακτηριστικό των εξισώσεων του Χάμιλτον. Κατα ανάλογο τρόπο σχεδιάζουμε και το διάγραμμα του χώρου φάσης για την γενικευμένη συντεταγμένη γωνία θ. Όπως και πρίν σχεδιάζουμε για διευκόλυνση κάθε χρωματική επιφάνεια σε ξεχωριστό γράφημα. ~73~

76 Στρέφουμε κατάλληλα τα παραπάνω γραφήματα απεικονίζοντας ουσιαστικά τις τρισδιάστατες επιφάνειες σε δύο διαστάσεις.παρατηρούμε βάσει του σχήματος ότι για μικρές τιμές της γωνίας θ, όπως έχουμε υποθέσει στην εξαγωγή των εξισώσεων του Χάμιλτον, η ταχύτητα με την οποία κινείται η γωνία θ είναι ανεξάρτητη της γενικευμένης ορμής p x αλλά ~74~

77 είναι γραμμική σε σχέση με την γενικευμένη ορμή p θ. Πράγματι για ένα δεδομένο p x παρατηρούμε ότι δεν μεταβάλλεται η γωνία θ. Τα παραπάνω αποτελούν λογική εξέλιξη κρίνοντας την εξίσωση του Χάμιλτον: θ=m p θ 2 r J σφαίρας p θ J σφαίρας Στην συνέχεια παρατηρούμε τα άλλα δύο σχήματα κατα αντίστοιχο τρόπο με τα προηγούμενα. Παρατηρούμε ότι τα δύο συνιστώμενα τμήματα του χώρου φάσεως είναι αντιδιαμετρικά. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί εν γένει χαρακτηριστικό της συμμετρίας που εισάγουν οι εξισώσεις του Χάμιλτον όπως είδαμε και στην περίπτωση του χώρου φάσεως για την γενικευμένη συντεταγμένη της θέσης της σφαίρας. 2.3 Δυναμική συμπεριφορά και έλεγχος συστήματος σφαίρας-ράβδου Προηγουμένως δείξαμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς γωνίας στρέψεως της δοκού και της θέσης της μπάλας κατα μήκος της ράβδου δίνεται απο τον τύπο: X S Θ S = s 2 s C1 m J σφαίρας r 2 mg m J σφαίρας r. 2 Κάνοντας αντικατάσταση των παραμέτρων όπως τις έχουμε ορίσει παραπάνω η συνάρτηση μεταφοράς για το συγκεκριμένο σύστημα αποτελεί ως εξής: X S Θ S = s s ~75~

78 Eξηγήσαμε προηγουμένως ότι το σύστημα όσον αφορά τον ανοιχτό βρόχο είναι ασταθές. Άμα αρχικά η μπάλα ισσοροπεί στο σημείο x=0 και ξαφνικά στρέψουμε την ράβδο κατα γωνία θ, τότε η σφαίρα θα αρχίσει να κυλάει χωρίς να σταματήσει, επομένως δεν υπάρχει σημείο ισσοροπίας. Παρακάτω κατασκευάζουμε ένα μοντέλο, χρησιμοποιώντας το εργαλείο Smulnk του υπολογιστικού λογισμικού Matlab, που να περιγράφει το σύστημα όσον αφορά τον ανοιχτό βρόχο. Η απόκριση του συστήματος x t απεικονίζεται μαζί με την βηματική είσοδο του συστήματος, θ t σε κοινό χρονικό διάγραμμα, το οποίο αποτελεί την εικόνα που μας δίνει το scope στο παραπάνω κατασκευασθέν μοντέλο, και αποτελεί το παρακάτω σχήμα. Θεωρούμε ότι το σύστημα διεγείρεται την χρονική στιμή t=2 sec, παράμετρο που έχουμε θέσει στις προδιαγραφές του προβλήματος. Με κίτρινο θεωρούμε την βηματική απόκριση με μέγιστη τιμή 2 που διεγείρει το σύστημα την χρονική στιγμή t=2 sec, και με μώβ χρώμα την απόκριση του συστήματος δηλαδή την θέση της μπάλας αν αρχικά βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου, δηλαδή στο σημείο x 0 =0. Παρατηρούμε ότι το σύστημα είναι προφανώς ασταθές. Έχει αξία να παρατηρήσουμε ότι η έξοδος, δηλαδή η θέση της μπάλας κατα μήκος της σφαίρας, είναι γραμμική ως προς το χρόνο. ~76~

79 Επομένως είναι αδύνατον να επιτύχουμε την ισσοροπία της σφαίρας κατα μήκος της ράβδου αν δεν εφαρμοστεί στο σύστημα κάποιος είδος ελέγχου με ανατροφοδότηση κατάστασης (έλεγχος κλειστού βρόχου). Θεωρώ το παρακάτω σύστημα κλειστού βρόχου, που αποτελεί την απλούστερη περίπτωση συστήματος κλειστού βρόχου. Για την παραπάνω περιγραφή κλειστού συστήματος αυτόματου ελέγχου θεωρώ ότι ο αισθητήρας είναι αρκετά καλός ώστε να εκτιμά πολύ καλά την έξοδο του συστήματος (στην προκειμένη περίπτωση που μας αφορά την θέση της μπάλας κατα μήκος της ράβδου) ώστε η συνάρτηση μεταφοράς του αισθητήρα να αποτελεί ένα κέρδος ίσο με την μονάδα. Οπότε ορίζουμε για την περιπτωσή μας ένα αιτιοκρατικό σύστημα μεταφοράς του αισθητήρα όπου στο μοντελο του δεν εισέρχονται αβεβαιότητες και σφάλματα. Άρα η συνάρτηση μεταφοράς του ισούται με: G αισθητήρα S =1. Eπομένως y ym, κάτι που θεωρούμε ως δεδομένο στις επόμενες αναλύσεις που θα κάνουμε. Θεωρώντας την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος G s και την συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή G c s, η συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ της επιθυμητής εξόδου και της εξόδου του συστήματος ισούται, σύμφωνα με την κλασσική θεωρία του αυτόματου ελέγχου, με : Y s Y r s = G c s G s 1 G c s G s. (1.25) Το μοντέλο κλειστού βρόχου για το σύστημα σφαίρας ράβδου αποτελεί ως παρακάτω: Θεωρώντας την πιο απλή μορφή ελεγκτή που έχει συνάρτηση μεταφοράς ένα κέρδος Κ, G ελεγκτή s =K, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος προκύπτει σύμφωνα με τα όσα παρατηρήθηκαν παραπάνω ως: G s = X s X r s = K G s συστ 1 K G συστ s Οι πόλοι του συστήματος καθορίζονται απο την εξίσωση 1 Κ G συστ s = ~77~

80 Για διάφορες τιμές του K μπορούμε λύνοντας την εξίσωση (1.27) να υπολογίσουμε την θέση των πόλων. Μπορούμε να βρούμε την θέση των πόλων του συστήματος, για διάφορες τιμές του Κ είτε θετικές είτε αρνητικές με την εντολή του Μatlab, rlocus(). H εντολή συντάσσεται όπως παρακάτω. Οπότε πληκτρολογούμε στο command wndow του Μatlab : >> system_ballbeam_open=tf([-1.472],[ ]) Transfer functon: s^ s >> rlocus(system_ballbeam_open) Προκύπτει ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος ως εξής: Για Κ 0 : Για K =0 οι ρίζες του συστήματος είναι σύμφωνα με τον γεωμετρικό τόπο ριζών s 1 =0 και s 2 = Επομένως αφού και οι δύο πόλοι δεν είναι αρνητικοί το σύστημα είναι ασταθές. Παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το Κ, ο ένας πόλος κινείται προς μεγαλύτερες τιμές στον αρνητικό άξονα κινούμενος προς τα αριστερά ενώ ο άλλος κινείται προς μεγαλύτερες θετικές τιμές στον θετικό άξονα. Επομένως με αύξηση του Κ μεγαλώνει πόλος που κινείται στα θετικά άρα τόσο πιο ασταθές είναι το σύστημα καθώς κινείται η έξοδος προς το άπειρο ταχύτερα. Για Κ 0 : Για να σχεδιάσουμε τον γεωμετρικό τόπο του συστήματος πληκτρολογούμε στο command wndow, >> rlocus(-system_ballbeam_open). Έτσι προκύπτει ο γεωμετρικός τόπος πόλων όπως φαίνεται στο διάγραμμα παρακάτω. ~78~

81 Για Κ=0 οι πόλοι είναι προφανώς στα σημεία 0 και Καθώς αυξάνεται το Κ παρατηρούμε ότι οι πόλοι κινούνται στον αρνητικό πραγματικό άξονα οπότε το σύστημα είναι ευσταθές. Για Κ=-2.98 παρατηρούμε ότι οι δύο πόλοι είναι ίσοι μεταξύ τους και παίρνουν την τιμή s 1,2 = Αυξάνοντας την αρνητική τιμή του Κ προκύπτουν μιγαδικοί πόλοι με αυξανόμενο φανταστικό μέρος όσο αυξάνεται η αρνητική τιμή του Κ οπότε αυξάνεται η συχνότητα των προκύπτουσων ταλαντώσεων ενώ το πραγματικό μέρος των πόλων παραμένει σταθερό, οπότε ο ρυθμός σύγκλισης δεν μεταβάλλεται πέρα απο την τιμή του Κ = To σφάλμα μόνιμης κατάστασης για βηματική είσοδο μας δίνεται ως εξής: e μον = x t =lm s 0 s Θ s 1 =lm 1 K G s 0 συστ K = s s Δηλαδή ανεξάρτητα πως εκλέγουμε το Κ<0 το σφάλμα μόνιμης κατάστασης είναι σταθερό και ισούται με το 0. Αυτό το φαινόμενο αοφείλεται στο γεγονός ότι η τάξη του συστήματος είναι διάφορη του μηδενός (συγκεκριμένα ίση με το 1 αφού έχουμε ένα πόλο στο μηδέν). Αυτό που μεταβάλλεται είναι ο χρόνος απόκρισης του συστήματος (όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή του αρνητικού πόλου τόσο πιο γρήγορη η απόκριση του συστήματος) καθώς και ο τρόπος σύγκλισης (αν έχει ταλαντώσεις κ.λ.π). Οι παραπάνω παρατηρήσεις διαπιστώνονται αν προσομοιώσουμε την βηματική απόκριση του συστήματος για Κ = 1, 2.98, 5, 100. Για το σκοπό αυτό κατασκευάζουμε στο Smulnk του Matlab το παρακάτω μοντέλο αυτόματου ελέγχου. Παρουσιάζονται οι αποκρίσεις σε κοινό διάγραμμα για να μπορούμε να συγκρίνουμε για κάθε κέρδος την εμφανιζόμενη απόκριση. ~79~

82 Ανάλογα με τις διάφορες τιμές του Κ, χρωματίζονται ανάλογα και οι αποκρίσεις του κλειστού συστήματος όπως παρουσιάζονται και στο block scope του Smulnk. Αντιστοιχίζουμε έτσι με χρωματιστές κουκίδες κάθε κέρδος που μας αποδίδει την αντίστοιχη χρωματική απόκριση όπως παρακάτω. Κ=-1 Κ=-2.98 Κ=-5 Κ=-100 ~80~

83 Βάσει των αποκρίσεων κάνουμε τις εξής παρατηρήσεις. Για 2.98 Κ 0, όπως είναι η περίπτωση για την οποία Κ = 1,το σύστημα είναι ευσταθές όμως η αποκρισή του είναι σχετικά αργή. Αυτό είναι απολύτως λογικό καθώς όπως εξηγήσαμε παραπάνω κατα την μελέτη του γεωμετρικού τόπου ριζών, όσο πιο κόντά στην αρχή των αξόνων είναι ένας πόλος του συστήματος τόσο πιο αργή είναι η απόκριση του συστήματος. Για Κ = 2.98, προφανώς είναι πιο γρήγορη η απόκριση του συστήματος. Παρατηρούμε ότι η απόκριση της εξόδου συγκλίνει στην βηματική είσοδο σε περίπου 1.5 sec. Για K 2.98, πλέον εισάγονται στο σύστημα δύο μιγαδικοί πόλοι επομένως το πραγματικό κομμάτι των πόλων δεν μεταβάλλεται πλέον όσο ελλατώνεται το Κ, επομένως δεν μεταβάλλεται ο ρυθμός σύγκλισης της απόκρισης εξόδου του συστήματος, αλλά αυξάνεται η συχνότητα της ταλάντωσης που πραγματοποιείται μέχρι να μηδενιστεί το σφάλμα μεταξύ εξόδου του συστήματος και της επιθυμητής τιμής. Συγκρίνοντας τις δύο αποκρίσεις για K = 100 και K = 5 επαληθεύονται πλήρως οι παραπάνω παρατηρήσεις. Στις δύο περιπτώσεις η έξοδος του συστήματος συγκλίνει στην επιθυμητή τιμή στο ίδιο περίπου χρονικό διάστημα 1.5sec αλλά στην περίπτωση για την οποία K = 100 αυξάνονται οι ταλαντώσεις γύρω απο την θέση ισσοροπίας x=1. Η απόκριση του συστήματος είναι αρκετά ικανοποιητική για Κ = 2.98 ως προς το σφάλμα μόνιμης κατάστασης, τον χρόνο απόκρισης, καθώς η έξοδος σταθεροποιείται στην επιθυμητή τιμή σε 1.5 sec, και την ικανοποίηση να μην σχηματίζονται ταλαντώσεις γύρω απο το σημείο ισορροπίας. H επιπλέον βελτιστοποίηση που δύναται να επιτύχουμε για να βελτιώσουμε περαιτέρω την βηματική απόκριση του συστήματος αφορά τον χρόνο απόκρισης, δηλαδή η έξοδος του συστήματος να πιάνει την επιθυμητή τιμή σε μικρότερο χρόνο. Πρίν δείξαμε ότι ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος είναι ο παρακάτω: Για το σύστημα σφαίρας-ράβδου, βάσει του ανωτέρου γεωμετρικού τόπου, έχουμε δύο πόλους, s 1 =0 και s 2 = Μπορούμε να βελτιώσουμε την μεταβατική συμπεριφορά του συστήματος με έναν ελεγκτή ο οποίος θα μετατοπίζει τον επικρατούν πόλο πιο βαθιά προς τα αριστερά του γεωμετρικού τόπου χωρίς να επηρεάσουμε ωστόσο την τάξη του συστήματος, δηλαδή να αλλάξουμε τον πόλο που είναι στο μηδέν, για να έχουμε την απαίτηση για μηδενικό σφάλμα μόνιμης ~81~

84 κατάστασης όπως εξηγήσαμε παραπάνω. Επομένως ορίζουμε έναν ελεγκτή Lead με συνάρτηση μεταφοράς : G lead =K s z s =K s p s 100. Πλέον κατασκευάζουμε το δομικό διάγραμμα αυτόματου ελέγχου για το σύστημα σφαίρας-ράβδου όπως παρακάτω. Σχήμα 2 Μένει να βρούμε το κέρδος Κ του ελεγκτή Lead για το οποίο έχουμε βέλτιστο χρόνο απόκρισης. Για το λόγο αυτό κατασκευάζουμε το γεωμετρικό τόπο πόλων του νέου συστήματος στο οποίο εντοπίζονται για διάφορες τιμές του κέρδους Κ οι θέσεις των πόλων. Για την επιδίωξη των στόχων μας, πληκτρολογούμε στο command wndow του Matlab τις παρακάτω εντολές: >> sys_ballbeam=tf([-1.472],[ ]) %oρισμός συνάρτησης μεταφοράς σφαίρας-ράβδου Transfer functon: s^ s >> lag=tf([ ],[1 100])%oρισμός συνάρτησης μεταφοράς lead ελεγκτή Transfer functon: s s >> sys_open=lag*sys_ballbeam%συνάρτηση μεταφοράς συστήματος ανοιχτού βρόχου Transfer functon: s s^ s^ s >> rlocus(-sys_open) %Κατασκευή γεωμετρικού τόπου ριζών Προκύπτει γραφικά ο γεωμετρικός τόπος του συστήματος ως εξής: ~82~

85 Παρατηρούμε ότι η προσθήκη του μηδενικού στην θέση z= 9.14 αναιρεί τον πόλο του συστήματος σφαίρας-ράβδου ενώ η προσθήκη του πόλου στο μηδέν βαθαίνει την μετατόπιση των πόλων προς τις αρνητικές τιμές με αύξηση της απόλυτης τιμής του Κ (εκλέγουμε Κ αρνητικό για να κινούμαστε στην ευστάθεια). Για Κ = 357 παρατηρούμε ότι έχουμε δύο πραγματικούς πόλους στο σύστημα. Πέρα απο αυτή την τιμή του Κ δεν μεταβάλλεται το πραγματικό μέρος των πόλων του συστήματος (οπότε δεν μεταβάλλεται ο χρόνος αποκρίσεως του συστήματος), ενώ εμφανίζονται ταλαντώσεις γύρω απο το σημείο ισορροπίας λόγω του φανταστικού μιγαδικού μέρους των πόλων. Επομένως η βέλτιστη τιμή του αναλογικού κέρδους του Lead ελεγκτή ώστε να έχουμε μηδενικό σφάλμα μόνιμης κατάστασης, να μην εμφανίζονται υπερυψώσεις και να έχουμε όσο το δυνατόν μικρότερο χρόνο απόκρισης εκλέγεται ως K = 357. Οι παρατηρήσεις αυτές αποδεικνύονται με την παρακάτω τομή της επιφάνειας του παραπάνω γεωμετρικού τόπου: Επομένως εκλέγουμε στο μοντέλο για το συστημά μας που αναπαρίσταται στο σχήμα 2 την τιμή Κ=-357 και εξομοιώνουμε την συμπεριφορά του. Η χρονική απόκριση του συστήματος για βηματική είσοδο πλάτους 1 παριστάνεται στο παρακάτω γράφημα: ~83~

86 Μεγεθύνοντας την παραπάνω εικόνα παρατηρούμε ότι ο χρόνος αποκατάστασης του συστήματος είναι περίπου 0.2 sec, εμφανώς βελτιωμένος σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση του αναλογικού ελεγκτή κέρδους. ~84~

87 2.4 Βέλτιστος έλεγχος συστήματος συνεχούς χρόνου με ορισμό κατάλληλης Χαμιλτονιανής συνάρτησης Έστω το βαθμωτό δυναμικό σύστημα στο χώρο κατάστασης ẋ= F x, u, t, για το οποίο ζητάμε τη βέλτιστη είσοδο u για την οποία ελαχιστοποιείται το κριτήριο t f J = L x,u,t dt t 0 με δεδομένα και ορισμένα τις παραμέτρους t 0, x t 0,t f και το x t f. To πρόβλημα αυτό είναι γνωστό σαν πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου δύο οριακών τιμών. Εισάγοντας τον παράγοντα Lagrange λ t, σχηματίζουμε το κριτήριο κατα ισοδύναμο τρόπο ως: t f J = t 0 t f {L x, u,t λ t [F x, u, t ẋ ]}dt= K ẋ, x, u, λ, t dt, (1.28) t 0 όπου Κ ẋ, x,u, λ,t =L x, u,t λ t [F x,u,t ẋ ], Tότε η ελαχιστοποίηση του κριτηρίου θα δίνεται κατα τα γνωστά, όπως εξηγήθηκε στο κεφάλαιο 3.4 κατα την παρουσίαση της αρχής της ελάχιστης δράσης, απο τις εξισώσεις Euler-Lagrange ως προς τις εμφανιζόμενες μεταβλητές x,u, λ. Επομένως η ελαχιστοποίηση του κριτηρίου (1.28) οδηγεί σε 3 εξισώσεις Euler-Lagrange, κάθε μία για κάθε εμφανιζόμενη μεταβλητή στο κατα ελαχιστοποίηση κριτήριο. Οι τρείς εξισώσεις αποτελούν οι παρακάτω: K x d dt K ẋ =0 K u d dt K u =0, (1.30) K λ d dt K λ =0 Απο την σχέση (1.29) και καταλήγοντας στις σχέσεις (1.30) διαπιστώνουμε τα εξής: Eπομένως η πρώτη εξίσωση απο την σχέση (1.30) ξαναγράφεται ως K ẋ = λ, K u =0, K λ =0. K x d dt λ= x {L λf } λ= Αν ορίσουμε τη συνάρτηση H =L λf, η H αποτελεί την Hamltonan συνάρτηση, επομένως η (1.31) γράφεται κατα ισοδύναμο τρόπο λ= H x, Η εξίσωση (1.32) ονομάζεται εξίσωση συμπληρωματικών καταστάσεων λ του συστήματος. Αντίστοιχα η δεύτερη εξίσωση Euler-Lagrange στις σχέσεις (1.30) δίνει: H L λf =0 u u = ~85~

88 H σχέση (1.33) αποτελεί τη συνθήκη βελτιστοποίησης απο την οποία προκύπτει ο βέλτιστος νόμος ελέγχου για το σύστημα βάσει του εφαρμοζομένου επιλεχθέντος κριτηρίου. Τέλος η τρίτη εξίσωση Euler-Lagrange απο τη σχέση (1.30) καταλήγει στην αρχική εξίσωση της δυναμικής του συστήματος: ẋ= H λ = F x, u, t. Συνεπώς στο πρόβλημα των δύο οριακών τιμών για βαθμωτά συστήματα, η εξίσωση των συμπληρωματικών καταστάσεων (1.32) μαζί με τη συνθήκη βελτιστοποίησης (1.33) και την αρχική διαφορική εξίσωση του συστήματος ẋ=f x,u, t, αποτελούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη ελαχίστου. Παρόμοιες σχέσεις προκύπτουν και στην περίπτωση που η κατάσταση x και η είσοδος u αποτελούν διανύσματα διαστάσεων n και m αντίστοιχα. Έστω ότι x=[ x 1 x 2... x n ] T, u=[u 1 u 2... u m ], F x, u,t =[ F 1 x, u, t F 2 x, u, t... F n x, u,t ] T. Zητάμε τη βέλτιστη είσοδο u για την οποία ελαχιστοποιείται ένα κριτήριο της μορφής t f J = L x,u,t dt. Εισάγοντας t 0 τους παράγοντες Lagrange λ κατα την διαδικασία όπως αναλύθηκε προηγουμένως, η ελαχιστοποίηση της J είναι ισοδύναμη προς την ελαχιστοποίηση της J : όπου t f { J = L t 0 n x,u,t λ j t [ F j x,u,t j =1 x j ] } dt= t 0 t f K x, ẋ,u, λ, t dt, n Κ x, ẋ, u, λ,t =L x, u, t λ j t [ F j x,u,t x j ]. j =1 Oι εξισώσεις Euler-Lagrange στην περίπτωση αυτή θα είναι οι παρακάτω σχέσεις: K x d dt K ẋ =0 για =1,2,...n K u d dt K u =0 για =1,2,...n K λ d dt K λ =0 για =1,2,...n Eπειδή K ẋ = λ, K u =0, K =0, και ορίζοντας την Hamltonan συνάρτηση την παράσταση λ n H =L λ j F j =L λ Τ F j=1 η πρώτη απο τις εξισώσεις Euler-Lagrange γράφεται ως L n x j=1 λ j F j x d dt { n j=1 x λ j j ẋ } =0. ~86~

89 Aπο την σχέση αυτή προκύπτει η συνθήκη των συμπληρωματικών καταστάσεων λ = L n x j=1 που μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως : λ j F j x = H x, λ= H x, όπου διαδικασία προκύπτει η συνθήκη βελτιστοποίησης, σε διανυσματική μορφή ενώ η τελευταία εξίσωση Euler-Lagrange καταλήγει πάλι στο αρχικό σύστημα H λ [ = H... H T λ 1 λ n ]. H x [ = H... H T x 1 x n] H u =0, όπου. Κατα αντίστοιχη H u [ = H... H T u 1 u n] ẋ= H = F x, u, t, όπου λ, 2.5 To γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης (LQ regulators) To γραμμικό τεραγωνικό πρόβλημα ρύθμισης αποτελεί ένα χαρακτηριστικό και ευρύτατα χρησιμοποιούμενο παράδειγμα της εφαρμογής του βέλτιστου ελέγχου σε γραμμικά δυναμικά συστήματα που περιγράφονται απο εξισώσεις κατάστασης της μορφής : ẋ t =A t x t B t u t, έτσι ώστε να ελαχιστοποιούν κάποιο τετραγωνικό κριτήριο κόστους: J = 1 2 t 0 t f [ x T t t Q t x t u T t R t u t ]dt 1 2 xt t f S x t f, όπου το t 0, x t 0 και t f θεωρούνται δεδομένα ενώ το x t f αφήνεται ελεύθερο. Για το παραπάνω τετραγωνικό κριτήριο θεωρούμε ότι οι μήτρες βάρους Q, R και S είναι συμμετρικές τετραγωνικές και επιπλέον η μήτρα R είναι θετικά ορισμένη και οι Q και S είναι θετικά ημιορισμένες ώστε να έχει νόημα η ελαχιστοποίηση. Σύμφωνα με τα όσα περιγράφηκαν προηγουμένως, για την εύρεση του βέλτιστου ελέγχου φτιάχνουμε την Hamltonan συνάρτηση για το συγκεκριμένο πρόβλημα: H = 1 2 xt Q x u T R u λ T [ Ax Bu ]. Tότε η συνθήκη βελτιστοποίησης δίνει: H u =Ru BT λ=0 (1.34) και η εξίσωση συμπληρωματικών καταστάσεων γίνεται: λ= H x = Qx AT λ. (1.35) ~87~

90 Λύση ανοικτού βρόχου: Συνοψίζοντας λοιπόν τα προηγούμενα φθάνουμε στην παρακάτω βέλτιστη λύση ανοιχτού βρόχου (μη ανατροφοδοτούμενη απο το διάνυσμα κατάστασης x) όπως προκύπτει απο τη σχέση (1.34) u= R 1 B T λ, (1.36) όπου το λ δίνεται απο τη λύση του συστήματος συμπληρωματικών καταστάσεων (1.35) μαζί με την αρχική εξίσωση ẋ t =A t x t B t u t που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Απο τα παραπάνω καταλήγουμε κατα συνοπτικό τρόπο στην ακόλουθη περιγραφή στο χώρο κατάστασης για τις παραμέτρους x και λ: [ẋ λ] [ = A BR 1 B T Q A T ][ x λ]. (1.37) Λύση κλειστού βρόχου: Με στόχο να φτάσουμε απο τη λύση ανοιχτού βρόχου (1.36) σε μια λύση κλειστού βρόχου: u t = K t x t, θεωρούμε ότι το διάνυσμα συμπληρωματικών καταστάσεων λ, μπορεί να γραφεί σε σχέση με το διάνυσμα καταστάσεων του συστήματος : λ t =P t x t και ψάχνουμε για τη μήτρα μετασχηματισμού P(t). Χρησιμοποιώντας την λ, η (1.37) δίνει: λ t =P t x t ώστε να αντικαταστήσουμε το ẋ= Ax BR 1 B T Px και λ= Qx A T Px. (1.38). Ωστόσο διαφορίζοντας την σχέση λ t =P t x t προκύπτει για το λ : λ=ṗ x P ẋ (1.39) Απο την σχέση (1.39) αντικαθιστώντας τους όρους ẋ και λ απο την (1.38) προκύπτει η σχέση: [ Ṗ PA A T P PBR 1 B T P Q] x t =0. (1.40) Eπειδή η σχέση (1.40) πρέπει να ισχυεί για κάθε x(t) ο όρος μπροστά απο το x(t) πρέπει ταυτοτικά να ισούται με το μηδέν. Έτσι η μήτρα P δίνεται απο τη λύση της διαφορικής εξίσωσης Rccat: Ṗ= PA A T P PBR 1 B T P Q, με οριακή συνθήκη P t f =S. Συμπερασματικά, η κλειστού βρόχου λύση θα δίνεται απο την σχέση Κ t = R 1 B T P t. Βασική παρατήρηση Όπως φαίνεται απο την σχέση (1.40), η μήτρα ανάδρασης K t είναι ανεξάρτητη του x t. Η ιδιότητα αυτή αποτελεί σπουδαίο πλεονέκτημα αφού παρέχει την δυνατότητα να μπορεί να λυθεί η εξίσωση Rccat εκ των προτέρων (όχι on-lne) αρχίζοντας απο την τελική τιμή P t f και πηγαίνοντας προς την αρχή, έτσι ώστε τα K t να προαποθηκευθούν στη μνήμη ενός υπολογιστή και να αξιοποιηθούν στη συνέχεια κατα τη λειτουργία του συστήματος. ~88~

91 Ειδική περίπτωση λύσης απείρου χρόνου tf Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατα την οποία ο βέλτιστος έλεγχος κλειστού βρόχου επεκτείνεται στο χρόνο. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται με την επέκταση του τελικού ορίου t f στο άπειρο, οπότε και η λύση που προκύπτει ονομάζεται κατα αντίστοιχο τρόπο και λύση απείρου χρόνου. Τότε το κριτήριο κόστους γίνεται : J = 1 2 t 0 [ x T t Q t x t u T t R t u t ] dt. (1.41) Για σύστημα ευσταθές (που προκύπτει απο την ελαχιστοποίηση ενός κριτηρίου κόστους ως προς τις καταστάσεις) είναι προφανές ότι η λύση άπειρου χρόνου πρέπει να οδηγήσει σε κάποια μόνιμη κατάσταση λειτουργίας (steady state). Για συστήματα αμετάβλητα στο χρόνο που βρίσκονται στη μόνιμη κατάσταση το πρόβλημα ρύθμισης περιγράφεται απο αλγεβρικές και όχι διαφορικές εξισώσεις. Άμεσο επακόλουθο είναι ότι και ο βρόχος ανάδρασης ορίζεται πλέον απο μια σταθερή τιμή κέρδους K t =K, η οποία θα προέρχεται απο τη λύση μόνιμης κατάστασης της εξίσωσης Rccat, δηλαδή απο τη λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Rccat που προκύπτει για Ṗ t =0 και είναι: με το κέρδος ανάδρασης να δίνεται απο την σχέση PA A T P PBR 1 B T P Q=0, Κ t = R 1 B T P t. Επειδή όμως η εξίσωση Rccat λύνεται προς τα πίσω στο χρόνο, φτάνει στη μόνιμη κατάσταση που εκφράζεται απο την αλγεβρική εξίσωση Rccat (1.41) όσο πηγαίνουμε απο το t f προς το t 0. Για t f άπειρο (δηλαδή πρακτικά πολύ μεγάλο) αφού η μήτρα βάρους στο τελικό όριο S ισούται με το μηδέν η λύση της Rccat θα ξεκινά απο την τιμή P =0, και θα πηγαίνει σε κάποια σταθερή τιμή P για χρόνους που πλησιάζουν το t 0 όπως περιγράφεται σχηματικά παρακάτω. Έτσι για προβλήματα στα οποία το τελικό όριο πηγαίνει στο άπειρο, η λύση κλειστού βρόχου είναι εξ'αρχής (απο το t 0 ) σταθερή και δίνεται απο τη σχέση: K = R 1 B T P, όπου P είναι η λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Rccat. Λόγω της προφανούς απλούστευσης στη λύση της εξίσωσης Rccat που οδηγεί σε σταθερή μήτρα ανάδρασης η βέλτιστη λύση απείρου χρόνου είναι η περισσότερο διαδεδομένη και πρακτικά εφαρμόσιμη μέθοδος σχεδιασμού βέλτιστου ελέγχου για γραμμικά δυναμικά συστήματα. ~89~

92 2.6 Βέλτιστος έλεγχος συστήματος σφαίρας-ράβδου Πλέον είμαστε σε θέση να εφαρμόσουμε τις τεχνικές βέλτιστου ελέγχου που διατυπώθηκαν παραπάνω στο ζήτημα ελέγχου του συστήματος σφαίρας-ράβδου που είναι αντικείμενο της μελέτης μας. Ξαναγράφουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος σφαίρας-ράβδου και του ελεγκτή lead. G lead = s s 100,G ball beam = s s H συνολική συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου του συστήματος αποτελεί η : 7 G open = s s 100. Βάσει της προκύπτουσας συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόχου σχηματίζουμε τον χώρο κατάστασης του συστήματος, επιλέγοντας τις καταστάσεις του συστήματος κατα συνοπτικό τρόπο ως παρακάτω: G open = Y s U s = 7 7 U s Y s = s s 100 s s 100 s2 Y s 100sY s =7U s. Eφαρμόζοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη της ανωτέρω παράστασης και θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες προκύπτει η παρακάτω διαφορική εξίσωση που συνδέει την είσοδο με την έξοδο του συστήματος. L 1 {s 2 Y s 100sY s }= L 1 {7U s } ÿ t 100 ẏ t =7u t. Θεωρώ ως καταστάσεις του συστήματος τις x 1, x 2, με τέτοιο τρόπο ώστε : x 1 = y, x 2 = ẏ. Eπομένως έχουμε για τις καταστάσεις του συστήματος: x 1 = ẏ= x 2 x 2 = ÿ= 100x 2 7u, σύμφωνα με την ανωτέρο διαφορική εξίσωση του συστήματος. Επομένως το πρότυπο καταστατικών εξισώσεων του συστήματος σφαίρας ράβδου, με την προσθήκη του Lead ελεγκτή, σε μορφή ẋ= Ax Bu, y=cx Du δίνεται ως παρακάτω: ẋ= x 1 x 2 = x 1 x u, y= 1 0 x 1 x 2, όπου οι μήτρες Α,Β, C αποτελούν κατα αντιστοιχία: ~90~

93 A= , B= 0 7, C= 1 0, D=0. Πλέον αφού ορίσουμε τα βάρη των μητρών Q, R στο επιλεχθέν κριτήριο βελτιστοποίησης (για τετραγωνικό πρόβλημα [ x T t Q t x t u T t R t u t ] dt, είμαστε σε θέση να βρούμε το βέλτιστο νόμο κλειστού βρόχου ρύθμισης), J = 1 2 t 0 σύμφωνα με την θεωρία όπως έχουμε αναφέρει προηγουμένως. Θεωρώ θετικά ορισμένες μήτρες Q και R με τυχαίες παραμέτρους έστω: Q= q q 4 και R=r. Πρέπει η μήτρα P που προκύπτει απο την διαφορική εξίσωση Rccat να είναι προφανώς θετικά ορισμένη ώστε να έχει νόημα η βελτιστοποίηση. Το σχηματικό γράφημα του συστήματος αποτελεί το παρακάτω: Σχήμα 3 Πλέον είμαστε σε θέση να αναζητήσουμε την τιμή ελέγχου για το κλειστό σύστημα βάσει του αναφερθέντος κριτηρίου. Αρχικά υπολογίζουμε την τιμή της μήτρας P μέσω της αλγεβρικής διαφορικής εξίσωσης Rccat, θεωρώντας ως παραμέτρους τα στοιχεία της μήτρας Q και το βάρος της εισόδου r. Ορίζω την μήτρα P με στοιχεία ως εξής: P= p11 p12 p21 p22. Στην συνέχεια αναζητάμε τις λύσεις απο την αλγεβρική διαφορική εξίσωση Rccat: Ṗ= PA A T P PBR 1 B T P Q PA A T P PBR 1 B T P Q=0. Στο σημείο αυτό μπορούμε για άλλη μια φορά να επιστρατεύσουμε το Matlab και να θέσουμε την υπολογιστική του δυνατότητα προκειμένου να βρούμε κάποιες ενδεικτικές λύσεις του ελεγκτή. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε την συνάρτηση LQR, η οποία παίρνει σαν ορίσματα τις μήτρες του συστήματος Α, Β,Q και R και μας επιστρέφει το κέρδος του ελεγκτή βάσει του επιλεχθέντος κριτηρίου όπως ορίζεται απο τις μήτρες Q και R, τις νέες ιδιοτιμές που καθορίζουν την δυναμική συμπεριφορά του συστήματος καθώς επίσης και την λύση της αλγεβρικής εξίσωσης Rccat. Χωρίς να μπούμε στην διαδικασία να λύσουμε την παραπάνω αλγεβρική εξίσωση με το χέρι μας, δοκιμάζουμε στο Matlab τον παρακάτω κώδικα σε αρχείο m fles του Matlab για διάφορες ενδεικτικές τιμές των μητρών Q και R και καταλήγουμε σε συμπεράσματα όσον αφορά την απόδοση του συστήματος. ~91~

94 A=[0 1;0-100]; B=[0 1]'; Q=[1 0;0 1]; R=49; [K P poles]=lqr(a,b,q,r) Q=[1 1;1 1]; [K P poles]=lqr(a,b,q,r) Q=[100 0;0 100]; [K P poles]=lqr(a,b,q,r) K = P = poles = K = P = poles = K = P = 1.0e+003 * poles = ~92~

95 Στην συνέχεια κάνουμε προσομοίωση του συστήματος στο σχήμα 3 και παρατηρούμε πως συμπεριφέρονται χρονικά οι καταστάσεις x 1, x 2 για διάφορες τιμές του Κ για διάφορες τιμές των μητρών Q, R. Q= ,R=49. Βρίσκουμε Κ1= , Κ2= Η απόκριση των καταστάσεων παρουσιάζεται όπως παρακάτω. Παρατηρούμε όπως είπαμε προηγουμένως και φάνηκε απο το Matlab ότι η μια κατάσταση έχει σχεδόν άμεσο χρόνο αποκατάστασης (πόλος στο -100) ενώ η άλλη αργεί πάρα πολύ (πόλος στο ). Ανάλογα αποτελέσματα αναμένονται αντίστοιχα και για τις άλλες περιπτώσεις για την μήτρα Q με τον τρόπο που την έχουμε εκλέξει. Στην συνέχεια πειραματιζόμαστε με την τιμή της μήτρας R. Για μικρές τιμές έστω R=0.01 παρατηρούμε τα εξής: A=[0 1;0-100]; B=[0 1]'; Q=[1 0;0 1]; R=0.01; [K P poles]=lqr(a,b,q,r) Q=[1 1;1 1]; [K P poles]=lqr(a,b,q,r) ~93~