T p =. (1) p = m q. (2)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "T p =. (1) p = m q. (2)"

Ἔβέρ Θεοτόκης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Υπενύμιση: Συχνά δεν εμφανίζονται όλες οι μεταβλητές μιάς συνάρτησης, πχ. F(,t) = F() = F(t) = F. Έντονη γραφή υποδεικνύει άνυσμα, π.χ. F αντιστοιχεί σε τρείς συνιστώσες, {F x, F y, F z }, στον τρισδιάστατο χώρο ισχύει (x, y, z). Μία ανυσματική σχέση ανάγεται σε σχέση συνιστωσών, π.χ. F = -k, σημαίνει {F x = -kx, F y = -ky, F z = -kz}. Η παράγωγος στο χρόνο σημειώνεται με μία κουκίδα πάνω από την μεταβλητή, d/dt x(t) = x..9 Χαμιλτωνιανή διατομικού μορίου Εν γένει, η κατασκευή της χαμιλτωνιανής βασίζεται, πρώτον, στον ορισμό της ορμής γιά κάε βαμό ελευερίας. Γιά δυναμικά αλληλεπίδρασης που δεν εξαρτώνται από την ταχύτητα, η ορμή, p, του αντίστοιχου βαμού ελευερίας, q, παράγεται από την κινητική ενέργεια, Τ, εκφρασμένης βάσει της ταχύτητας q, (πχ. Τ = (/) q ), μέσω της σχέσης Εάν Τ = (/) q τότε p =. () q p = q. () Δεύτερον, αντιστρέφοντας την σχέση, δηλαδή εκφράζοντας την ταχύτητα μέσω της ορμής, q = p/, η Τ = (/) q μπορεί να εκφραστεί βάσει της ορμής, Τ = p /, και έτσι να κατασκευασεί η Η συναρτήσει των p και q μέσω της Η(p, q) = Τ(p) V(q) = p / V(q). (3) Στην περίπτωση όπου το δυναμικό, V, εξαρτάται από την ταχύτητα, η ορμή ορίζεται με L χρήση όλης της Λαγρανζιανής, L = T - V, μέσω της p = = q (T V). q Γιά την κατασκευή της χαμιλτωνιανής ενός διατομικού μορίου, εωρούμε δύο άτομα μάζας και, σε έσεις και, με καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y, z ) και (x, y, z ), αντιστοίχως, που αλληλεπιδρούν μέσω δυναμικού V(), όπου είναι το μέτρο της

2 απόστασης των ατόμων, = - = ( ) = (x x ) (y y ) (z z ). Η χαμιλτωνιανή του συστήματος παράγεται μέσω της κινητικής ενέργειας Τ = (/) (/), απ' όπου, πρώτον, p οπότε, δεύτερον, = = και p = =, p Η(p, p,, ) = p V(). (4) Σημειώνεται ότι = ( x, y, z ), = x y z, p = (p x, p y, p z ) και p = p x p y p z, και ομοίως γιά το άτομο (). Στη χαμιλτωνιανή το δυναμικό V() συζεύγνει τις μεταβλητές και, αφού =. ( - ) Αποσύζευξη και απλοποίηση μπορεί να επέλει μέσω αλλαγής μεταβλητών, έτσι ώστε το δυναμικό να εξαρτάται μόνο από μία μεταβλητή. Αυτό γίνεται αν εωρηούν ως μεταβλητές η σχετική απόσταση και το κέντρο βάρους των σωματιδίων, = -, ή {x = x - x, y = y - y, z = z - z } και R =, ή {Χ = x x, ομοίως γιά Υ και Ζ}, (5) M M M M με Μ =. Αντιστρέφοντας τον γραμμικό μετασχηματισμό υπολογίζονται οι και μέσω των = (x, y, z) και R = (Χ, Υ, Ζ), = R M και = R -. (6) M Βάσει της διαδικασίας παραγωγής της χαμιλτωνιανής που περιγράφεται στην αρχή του κεφαλαίου, πρέπει να κατασκευασεί πρώτα η κινητική ενέργεια με βάση τις ταχύτητες, και R. Αυτό γίνεται μέσω του τύπου Τ = (/) (/) και της παραγώγισης των προηγούμενων σχέσεων = R M και = R -. (7) M

3 Μέσω αυτών των σχέσεων αντικαίστανται τα και στην Τ και μετά από πράξεις λαμβάνεται Τ = = ( R M ) ( R - M ) ή Τ = Μ R μ, με μ = /Μ, (μ - ανηγμένη μάζα). (8) Οι ορμές αντίστοιχες των R και, πρώτον, είναι P = R = ΜR και p = = μ, οπότε, δεύτερον, η χαμιλτωνιανή γίνεται P p Η(P, p, R, ) = V(). (9) M µ Παρατηρούμε ότι η κίνηση των μεταβλητών R και είναι αποσυζευγμένη αφού η χαμιλτωνιανή διαχωρίζεται σε δύο ανεξάρτητα τμήματα, (Η = Η κβ Η σχ ), P Η κβ (P, R) = M p και Η σχ (p, ) = V(), (0) µ που το κάε ένα περιγράφει αποκλειστικά την κίνηση μόνο μιάς εκ των μεταβλητών R και. Η Η κβ (P, R) περιγράφει ελεύερη κίνηση του κέντρου βάρους, (μάζας Μ), στο χώρο R (Χ, Υ, Ζ) με ορμή P (P Χ, P Υ, P Ζ ), (οπότε P = P Χ P Υ P Ζ ). Αντίετα, η Η σχ (p, ) χαρακτηρίζει την κίνηση σωματιδίου μάζας μ σε σφαιρικό δυναμικό V(). Το δυναμικό μπορεί να εωρηεί ότι εκπορεύεται από ένα αυαίρετο σημείο αναφοράς. Λόγω της σφαιρικότητας του δυναμικού, που εξαρτάται μόνο από το μέτρο,, του και όχι από την κατεύυνση, η Η σχ (p, ) αναλύεται περαιτέρω και απλοποιείται με τη χρήση σφαιρικών μεταβλητών. 3

4 Συγκεκριμένα, οι σφαιρικές μεταβλητές (,, φ) σχετίζονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες μέσω των σχέσεων z = cos, y = sin sinφ και x = sin cosφ, (όπου έναι από 0 έως, από 0 έως π και φ από 0 έως π). Η ανάλυση ξεκινά, όπως πιό πάνω, με την εώρηση της κινητική ενέργειας που είναι Τ σχ = (/)μ = (/)μ( x y z ) () Παραγωγίζοντας τις σχέσεις μετασχηματισμού, (όπως z = cos - sin κλπ.), και αντικαιστώντας στην πιό πάνω σχέση μετά από αρκετές πράξεις λαμβάνουμε Τ σχ = μ μ ( sin φ ) ή έτοντας I = μ (Ι είναι ροπή αδράνειας), Τ σχ = μ I ( sin φ ). () Οι ορμές των μεταβλητών (,, φ), πρώτον, ορίζονται μέσω παραγωγίσεων της Τ, p = σχ = μ, p = σχ = Ι, p φ = σχ ϕ = Ι sin φ. (3) Δεύτερον, αντικαιστώντας τις ταχύτητες με ορμές η χαμιλτωνιανή Η σχ εκφράζεται συναρτήσει των (,, φ) και των αντίστοιχων ορμών (p, p, p φ ), (οι p και p φ είναι στροφορές), Η σχ (p, p, p φ,,, φ) = p µ V() p I pϕ Isin. (4) 4

5 Παρατηρούμε ότι ένα τμήμα της χαμιλτωνιανής περιγράφει την κίνηση του ακτινικού βαμού ελευερίας, Η (p, ) = p µ V(), (5) δηλαδή την δονητική κίνηση του μορίου με μεταβλητή έσης, με μάζας μ και αντίστοιχη ορμή p, ενώ το υπόλοιπο τμήμα, Η,φ (p, p φ,, φ), περιγράφει την περιστροφική κίνηση του διατομικού μορίου με ροπή αδράνειας, Ι, και μεταβλητές έσης, (δύο γωνίες), και φ που έχουν αντίστοιχες ορμές, (στροφορμές), p και p φ, (Η σχ = Η (p, ) Η,φ (p, p φ,, φ)), Η,φ (p, p φ,, φ) = p I pϕ Isin. (6) Μετά τους μετασχηματισμούς η συνολική χαμιλτωνιανή πέρνει την μορφή, (με I = μ ), Η(P, p, p, p φ, R,,, φ) = Η κβ (P, R) Η (p, ) Η,φ (p, p φ,, φ), ή P p Η(P, p, p, p φ, R,,, φ) = M µ V() p I pϕ Isin. (7) Ενώ διακρίνονται τα δύο τμήματα της χαμιλτωνιανής που περιγράφουν κατά κύριο λόγο την δόνηση και την περιστροφή, Η και Η,φ, οι αντίστοιχες κινήσεις των βαμών ελευερίας δεν είναι ανεξάρτητες, αφού η ροπή αδράνειας, Ι = μ, εξαρτάται από την διαπυρηνική απόσταση,. Αποσύζευξη των κινήσεων μπορεί να επέλει μετά από ανάλυση του όρου της στροφορμής, (/Ι = /μ ), σε δυναμοσειρά με όρους ελαττούμενης σημασίας. Αυτό γίνεται με την ανάπτυξη του / σε σειρά Taylo γύρω από ένα σημείο, όπως το ελάχιστο,, του δυναμικού V(), 5

6 3 4 5 = ( ) ( ) ( ) ( )... (8) Αντικατάσταση στην Χαμιλτωνιανή δίνει Η σχ (p, p, p φ,,, φ) = p µ V() p I p ϕ I sin Η(), (9) τώρα με ροπή αδρανείας σταερή, I = μ, και Η () = I ( ( ) ( ) ( ) 3 5 ( 4 )...)(p p φ /sin ). 4 (0) Ο Η () συζεύγνει την δόνηση με την περιστροφική κίνηση αλλά συχνά μπορεί να αγνοηεί. 6

Σχετικά έγγραφα

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin.

L 2 z. 2mR 2 sin 2 mgr cos θ. 0 π/3 π/2 π L z =0.1 L z = L z =3/ 8 L z = 3-1. V eff (θ) =L z. 2 θ)-cosθ. 2 /(2sin. Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 15-16 Ν. Βλαχάκης 1. Σημειακό σώμα μάζας m είναι δεμένο σε αβαρές και μη εκτατό νήμα ακτίνας R και κινείται κάτω από την επίδραση του βάρους του mgẑ και της τάσης