Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

2 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση μέσω διακριτών στοιχείων Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων μέσω της μεθόδου Lagrange Ιακωβιανοί πίνακες Μητρώα μάζας, ελαστικότητας, απόσβεσης Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων Παραδείγματα

3 Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας 1. Μοντελοποίηση Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Επιλογή βαθμών ελευθερίας 2. Υπολογισμός κινηματικών παραμέτρων Θέσεις & διευθύνσεις Γραμμικές και γωνιακές ταχύτητες 3. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων

4 I) Μοντελοποίηση

5 Μοντελοποίηση Συστημάτων με Πολλούς Β.Ε. Το ίδιο σύστημα μπορεί να περιγραφεί με πολλά μοντέλα Συνήθως επιλέγεται το πιο απλό μοντέλο που μπορεί να περιέχει/περιγράψει την αναγκαία πληροφορία Ν=1 Ν=2 Ν=4

6 Μοντελοποίηση 1. Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Αδράνεια, δυσκαμψία, απόσβεση, εξωτερικές δυνάμεις 2. Επιλογή βαθμών ελευθερίας q Περιγράφουν πλήρως την κινηματική του συστήματος Στρατηγική επιλογή Αναγνώριση και απαληφή περιορισμών

7 II) Κινηματική

8 Κινηματική 1. Υπολογισμός συντεταγμένων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των Β.Ε. q Σημειακή μάζα Θέση r (q) Στερεό σώμα (2D κίνηση) Κέντρο βάρους r G (q), Διεύθυνση θ q Ελατήρια/αποσβεστήρες Σχετική θέση δr (q) των δύο ακροδεκτών κάθε στοιχείου Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές Θέση r F (q) όπου ασκείται η εξωτερική δύναμη F Διεύθυνση θ T q του σώματος όπου ασκείται η ροπή T

9 Κινηματική 2. Υπολογισμός των γραμμικών/γωνιακών ταχυτήτων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των q και q Η ταχύτητα u (q, q ) της θέσης r (q) μπορεί να γραφεί μέσω ενός Ιακωβιανoύ πινάκων J (q): u = dr (q) dt = J (q) q όπου J q = dr (q) dq Ιακωβιανός πίνακας της θέσης r (q) ως προς τους Β.Ε. q

10 Κινηματική 2. Ιακωβιανοί πίνακες ενδιαφέροντος Ταχύτητα θέσης : u = dr dt = J (q) q Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 3 διαστάσεις: Γωνιακή ταχύτητα ω δεν είναι παράγωγος κάποιας γωνίας! ω = J ω (q) q Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 2 διαστάσεις: ω = θ = J θ (q) q

11 Σχετική θέση ακροδεκτών ελατηρίου/αποσβεστήρα Έστω «1» και «2» οι ακροδέκτες ενός ελατηρίου/αποσβεστήρα Η σχετική θέση των ακροδεκτών μπορεί να επιλεγεί με δύο τρόπους Επιλογή επιρεάζει την φορά των αντίστοιχων δυνάμεων m 1 u 1 c m 2 u 2 Επιλογή 1 Επιλογή 2 δr c = x 1 x 2 f c = c u 1 u 2 = c x 1 x 2 δr c = x 2 x 1 f c = c u 2 u 1 = c x 2 x 1 m 1 f c f c f c f c f c f m m c c c f c f c m 2

12 III) Μέθοδος Lagrange

13 Μέθοδος Lagrange (κλασσική) Η δυναμική εξίσωση για τον j-οστό Β.Ε. προκύπτει ως: d dt T q, q q j T q, q q j + V q q j = ξ j, j = 1,2,, N T(q, q ) V q Κινητική ενέργεια συστήματος Δυναμική ενέργεια συστήματος γενικευμένη δύναμη Β.Ε. j N Force ξ j = ( r F ) T F q j =1 N Torque + ( ω ) T Τ q j =1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού J F (q) της θέσης r F (q) όπου ασκείται η δύναμη F ως προς τους Β.Ε. q j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα J ω (q) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή Τ

14 Μέθοδος Lagrange: Μεθοδολογία d dt T q, q q j T q, q q j + V q q j = ξ j, j = 1,2,, N 1. Υπολογισμός κινητικής ενεργείας T q, q, δυναμικής ενέργειας V q, και Ιακωβιανών J (q) για τις εξωτερικές δυνάμεις Με βάση τη κινητική/κινηματική του συστήματος 2. Για κάθε βαθμό ελευθερίας q j : 1. Πρώτος όρος: παραγώγηση T q, q ως προς q j. Παραγώγηση αποτελέσματος ως προς χρόνο t. 2. Δεύτερος όρος: παραγώγηση T q, q ως προς q j. 3. Τρίτος όρος: παραγώγηση V q ως προς q j. 4. Τέταρτος όρος: άθροισμα εσωτερικών γινόμένων των j-ιοστών στήλων των Ιακωβιανών J F (q) με τις F και των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών J ω (q) με τις Τ.

15 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή) Αντί παραγώγισης ως προς κάθε Β.Ε. q j ξεχωριστά, παραγώγιση ως προς το διάνυσμα q των Β.Ε. d dt T q T q + V q = ξ d dt d dt T q 1 T q Ν T q 1 T q Ν V q 1 V q Ν ξ 1 ξ N Δυνάμεις αδράνειας Μη γραμμικές δυνάμεις Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Δυνάμεις απόσβεσης Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές

16 Κινητική Ενέργεια Η κινητική ενέργεια Τ q, q ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών Τ q, q όλων των στοιχείων αδράνειας Τ q, q = Τ(q, q ) Κινητική ενέργεια -ιοστού στοιχείου αδράνειας (3D): Τ = 1 2 m T u G ug + ω T I ω = = 1 2 q T m T J G JG T + J ω I J ω q Σε 2D κίνηση: Μ q Τ = 1 2 q T m T J G JG + I T J θ Jθ q

17 Μητρώο Μάζας Η κινητική ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως Τ q, q = 1 2 q T Μ(q) q ο συμμετρικός θετικά ορισμένος Ν Ν πίνακας Μ(q) είναι το μητρώο μάζας και υπολογίζεται αναλυτικά ως: Τ q, q = Τ = 1 2 q T { m T J G JG T + J T I J T } Μητρώο μάζας Μ(q) ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων μάζας M(q) κάθε στοιχείου αδράνειας q Μ q Μ q = M(q) M(q) = m T J G JG T + J T I J T

18 Δυναμική Ενέργεια Η Δυναμική ενέργεια V q ενός συστήματος ισούται με το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών V q όλων των στοιχείων ελαστικότητας/δυσκαμψίας V q = V lnear q +V gravty q Δυναμική ενέργεια λόγω γραμμικών ελατηρίων V lnear q = { Vlnear(q)} Δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας V gravty q = { Vgravty(q)} V lnear (q) = 1 2 ( k T δr k δr k ) Vgravty (q) = m g z (q)

19 Μητρώο Ελαστικότητας Η δυναμική ενέργεια V lnear (q) λόγω γραμμικών ελατηρίων συνήθως μπορεί να γραφεί ως: ο συμμετρικός θετικά ημιορισμένος Ν Ν πίνακας K είναι το μητρώο ελαστικότητας και υπολογίζεται ως εξής: V lnear q = Vlnear V lnear q = 1 2 qt K q = 1 2 k T δr k δr k = 1 2 qt k T J δr J δr Μητρώο Κ ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων ελαστικότητας Κ γραμμικών στοιχείων ελαστικότητας Κ q K = K K = k T J δr J δr

20 Γενικευμένες Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας λόγω δυναμικής ενέργειας βαρύτητας V gravty (q): ξ gravty = V gravty q q Ισούται με άθροισμα γενικευμένων δυνάμεων σε κάθε στοιχείου μάζας ξ gravty = ξ gravty = m Vgravty q g z q q q = m = ξgravty T g J z Ιακωβιανός πίνακας της z συντεταγμένης του Κ.Β. της μάζας ως προς τους Β.Ε. q

21 Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων Γενικευμένες δυνάμεις εξωτερικών δυνάμεων/ροπών: N Force ξ = J F T F =1 N Torque + J ω, T Τ =1 Ιακωβιανός πίνακας της θέσης r F όπου ασκείται η δύναμη F Ιακωβιανός πίνακας της γωνιακής ταχύτητας του σώματος όπου ασκείται η ροπή Τ Στην ειδική περίπτωση εξωτερικών δυνάμεων που αντιστοιχούν σε γραμμικά στοιχεία αποσβεσης, οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις υπολογίζονται μέσω του μητρώου απόσβωσης

22 Δυνάμεις Απόσβεσης Δύναμη σε γραμμικό αποσβεστήρα u 1 u 2 u 1 u 2 m 1 m 2 m 1 f c f c m 2 c f c = c u 1 u 2 = c δrc = c c J δr (q) q Αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις ξ c = J T 1 ( f c ) + J T 2 f c = (J T 1 J T c 2 ) c J δr (q) q ξ c = c J δr (q) T c c J δr (q) q

23 Μητρώο Απόσβεσης Γενικευμένες δυνάμεις λόγω γραμμικών αποσβεστήρων: ξ damp q, q = ξ c όπου ο συμμετρικός Ν Ν πίνακας C(q) είναι το μητρώο απόσβεσης Ν damp C q = C(q) =1 Ν damp =1 Ν damp = { J δr =1 = C(q) q T c J δr } Το μητρώο απόσβεσης C ενός συστήματος = άθροισμα μητρώων απόσβεσης C κάθε γραμμικού στοιχείου απόσβεσης

24 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) d dt T q T q + V q = ξ d dt T q = d dt Μ q q = Μ q q + d dt Μ q q T q = 1 (q T Μ(q) q ) 2 q V q q = V lnear q q + V gravty q q = K q ξ gravty N Force ξ = C q + J T F =1 N Torque + J T, T Τ =1

25 Μη Γραμμικές Δυνάμεις Πρώτος και ο δεύτερος όρος συνεισφέρουν μη γραμμικές αδρανειακές δυνάμεις (φυγοκεντικές, Corols) ξ nonln q, q dμ q = dt q (q T Μ(q) q ) q όπου 1 (q T Μ(q) q ) 2 dμ q dt q q = ( N J=1 { M q q j }) q j = 1 2 q T Μ q 1 q 1 2 q T Μ q N q T Μ q j = Μ 11 q Μ 1N q q j q j Μ N1 q Μ NN q q j q j

26 Μέθοδος Lagrange (Μητρωϊκή Μορφή) Συνολικά (Ν βαθμοί ελευθερίας) N Force Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonln + J T F =1 N Torque + J T, T Τ =1 Δυνάμεις αδράνειας Δυνάμεις απόσβεσης Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Μη γραμμικές δυνάμεις Εξωτερικές δυνάμεις Εξωτερικές ροπές Στην περίπτωση συστήματος 1 Β.Ε. η αντίστοιχη δυναμική εξίσωση είναι: m x + c x + k x = mg + f t

27 Παράδειγμα 1: Ταλαντώσεις στο φορτίο γερανογέφυρας λόγω της κίνησης της γερανογέφυρας

28 Παράδειγμα 1: Μοντελοποίηση Πλάγια όψη x F(t) g Μ c c T θ L m q = x θ

29 Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος M = x 0 Τ r G m r G = Θέση x + Κ.Β. L sμάζας θ L m c Τ θ c T L m = x + L s θ L c θ Τ z G δr c = x δθ ct = 2 θ cτ 1 θ cτ = θ r F = x Θέση Κ.Β. μάζας Μ z συντεταγμένη θέσης Κ.Β. μάζας m Σχετική θέση ακροδεκτών c Σχετική γωνία ακροδεκτών c Τ 0 Τ Θέση όπου ασκείται η δύναμη F Z x F(t) g c Μ θ m X q = x θ

30 Παράδειγμα 1: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας M r G = x 0 Τ m r G = x + L s θ L c Τ θ m z G = L c θ δr c = x δθ ct = 2 θ cτ 1 θ cτ = θ Z x F(t) c c T Μ θ g X L m q = x θ r F = x 0 Τ s θ sn (θ) c θ cos (θ)

31 Παράδειγμα 1: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος M J G = Z x F(t) Μ g m J G = 1 L c θ 0 L s θ m J z = 0 L s θ c c T θ L m X c J δr = 1 0 ct = 0 1 J δθ J F = q = x θ

32 Παράδειγμα 1: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων MM q = Μ ΜJ T G Μ J G = M 0 0 Z x F(t) c c T Μ L X g m m M q = m J T G m J G = m 1 L c θ L 2 θ m Μητρώο αδράνειας συστήματος q = x θ M q = m M q + M M q = M + m m L c θ m L 2

33 Παράδειγμα 1: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων Z x F(t) Μ g Το σύστημα δεν έχει γραμμικά στοιχεία ελαστικότητας! c c T L X Μητρώοελαστικότητας συστήματος θ m K = 0 q = x θ

34 Παράδειγμα 1: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας Z x F(t) Μ g mξ gravty = m g mj T z = m g 0 L s θ c c T L X Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος θ m q = x θ ξ gravty = mξ gravty = 0 m g L s θ

35 Παράδειγμα 1: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων c C = cj T δr c c J δr = c ct C = ct T J δr ct ct J δr = c T Z x F(t) c c T Μ θ L m X g Μητρώο απόσβεσης συστήματος q = x θ C = c C + ct C = c 0 0 c T

36 Παράδειγμα 1: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές Γενικευμένες δυνάμεις λόγω εξωτερικών δυνάμεων/ροπών Z x F(t) Μ g ξ = MJ T F F = F 0 = F 0 c c T θ L m X H F ασκείται κατά τον άξονα x q = x θ

37 Παράδειγμα 1: Μη γραμμικές δυνάμεις M q = M + m m L c θ m L 2 Z x F(t) Μ g c c T θ L m X dμ q ξ nonln q, q = dt = m L s θ θ 2 0 q + 1 q T Μ q q 2 q q = x θ

38 Παράδειγμα 1: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: Z x F(t) g Ροπή αδράνειας μάζας m σε απόσταση L M + m m L c θ x m L 2 θ = + c 0 c T x θ 0 m g L s θ + m L s θ θ F(t) 0 c c T Μ θ X L m q = x θ Δύναμη επαναφοράς εκκρεμούς

39 Παράδειγμα 2: Ταλάντωση στην κεφαλή σκληρού δίσκου

40 Παράδειγμα 2: Μοντελοποίηση κάτοψη T(t) I L k θ δ c T q = θ δ Η ελαστικότητα στην κεφαλή (μάζα m, μήκος L) μοντελοποιείται σαν καμπτικό ελατήριο k. Η μάζα της κεφαλής μοντελοποιείται ως δύο σημειακές μάζας m/2. Η πρώτη βρίσκεται επί τον άξονα περιστροφής και συνεισφέρει στην αδράνεια Ι επί του άξονα περιστροφής. Η δεύτερη σημειακή μάζα θεωρείται ότι βρίσκεται σε απόσταση L από τον άξονα. Η στροφική απόκριση c T είναι λόγω τριβών κατά την περιστροφή του άξονα. Η εξωτερική ροπή T(t) ασκείται από τον κινητήρα που ελέγχει την κεφαλή

41 Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος I θ = θ m r G Διεύθυνση αδράνειας Ι = L c θ δ s θ L s θ + δ c θ Θέση Κ.Β. μάζας m T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ δr k = Σχετική δ θέση ακροδεκτών k δθ ct = 2 θ cτ 1 θ cτ = θ Σχετική γωνία ακροδεκτών c Τ θ Τ = θ Διεύθυνση στερεού σώματος (αδράνειας Ι) όπου ασκείται η ροπή Τ

42 Παράδειγμα 2: Κινηματική Θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των βαθμών ελευθερίας Ι θ = θ m r G = L c θ δ s θ L s θ + δ c θ T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ δr k = δ 2 1 δθ ct = θ cτ θ cτ = θ θ Τ = θ s θ sn (θ) c θ cos (θ)

43 Παράδειγμα 2: Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων για τις θέσεις/διευθύνσεις ενδιαφέροντος I J θ = 1 0 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ m J G = L s θ δ c θ s θ L c θ δ s θ c θ k J δr = 0 1 ct J δθ = 1 0 J T = 1 0

44 Παράδειγμα 2: Μητρώα Αδράνειας Μητρώα αδράνειας στοιχείων ΙM q = Ι Ι T J θ Ι Jθ = I 0 0 m M q = m mj T G m J G = m L2 + δ 2 L 1 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Μητρώο αδράνειας συστήματος M q = m M q + Ι M q = Ι + m (L2 + δ 2 ) m L m

45 Παράδειγμα 2: Μητρώα Ελαστικότητας Μητρώα ελαστικότητας στοιχείων k K = k k T J δr k J δr = 0 0 k T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Μητρώο ελαστικότητας συστήματος K = k K = 0 0 k

46 Παράδειγμα 2: Δυνάμεις Βαρύτητας Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας στοιχείων μάζας Στο σύστημα η βαρύτητα δεν επιδρά στις δυναμικές εξισώσεις επειδή καμία μάζα δεν κινείται κατά τον άξονα της βαρύτητας z T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Γενικευμένες δυνάμεις βαρύτητας συστήματος ξ gravty = 0

47 Παράδειγμα 2: Μητρώα Απόσβεσης Μητρώα απόσβεσης στοιχείων ct C = ct T J δr ct ct J δr = c T T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Μητρώο απόσβεσης συστήματος C = ct C = c T 0 0 0

48 Παράδειγμα 2: Εξωτερικές Δυνάμεις/Ροπές I T 1 ξ = J θ Τ = 0 Τ = Τ 0 T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ

49 Παράδειγμα 2: Μη γραμμικές δυνάμεις M q = Ι + m (L2 + δ 2 ) m L m T(t) Y I c T L k θ δ X q = θ δ ξ nonln q, q dμ q = dt = 2 μ δ θ δ m δ θ 2 q + 1 (q T Μ(q) q ) 2 q

50 Παράδειγμα 2: Δυναμικές Εξισώσεις Συνολικά, οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για τους 2 Β.Ε. Είναι: T(t) Y I c T L k δ θ X q = θ δ Ι + m (L 2 + δ 2 ) θ k δ m L m θ δ + c T 0 0 = 2 m δ θ δ m δ θ 2 θ δ + T(t) 0

51 Παράρτημα

52 Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Παράγωγος ενός N 1 διανύσματος r ως προς M 1 διάνυσμα q είναι ο N M πίνακας J (Ιακωβιανός) Τα στοιχεία του r είναι συνάρτηση του q Το στοιχείο J(, j) είναι η μερική παράγωγος του -οστού στοιχείου του r ως προς το j-οστό στοιχείο του q r q = r 1 q f N q r 1 (q) q 1 r 1 (q) q M q = q 1 q M J = dr(q) dq = r N (q) q 1 r (q) q j r N (q) q M

53 Παράρτημα: Ιακωβιανός Πίνακας Στην δυναμική μηχανικών συστημάτων: r είναι η θέση r ενός σημείου ενδιαφέροντος και q είναι οι Β.Ε. Η αντίστοιχη ταχύτητα r μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του q με μέσω του J (κανόνας αλυσίδας) u = r = dr (q) dt = r (q) q dq dt = J (q) q O Ιακωβιανός πίνακας J (q) περιγράφει πως η ταχύτητα r της θέσης εξαρτάται από την χρονική μεταβολή των Β.Ε. q.