ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ"

Transcript

1

2 ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z 4 είναι ίσο με : Α. 4, Β. 4i, Γ. -4i, Δ. -4. Β. Να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών z, z - για τους οποίους ισχύει =. z - i ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f, με , < < 5 f () = 5 - (α + β ) n( e) + (α + )e, 5 Α. Να βρεθούν τα im f (), im f () Β. Να βρεθούν τα α, β IR, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο = 5. Γ. Για τις τιμές των α, β του ερωτήματος Β, να βρείτε το im f (). + ΘΕΜΑ 4 ο Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f (t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου t. Αν ο ρυθμός 8 μεταβολής της f (t) είναι -. t + α) Να βρείτε τη συνάρτηση f (t). β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωσή του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t = 8, υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t =, η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln,4). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΜΑΙΟΥ ΘΕΜΑ ο 5 + i (5 + i)( - i) - 5i + i + - i Α. α) z = = = = = - i. + i ( + i)( - i) δ) z 4 = ( - i) 4 = (( - i) ) = (-i) = - 4 Δ z - z - Β. = = z - = z - i. z - i z - i Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με Α (, ) και Β (, ), η διχοτόμος της γωνίας Oy, με εξίσωση y =. ΘΕΜΑ ο A. im f () = im ( ) = im f () = im (α +β ) n( e) + (α + )e = α + β + α Β. Για να είναι η συνάρτηση f συνεχής στο = 5, πρέπει im f () = im f () = f (5) δηλαδή α + β + α + = α + β + α + = (α + ) + β = α + = και β = Άρα α = - και β = , < < 5 Γ. Για α = - και β =, είναι f () = n( e), 5 im f () = im n( e) = +, διότι + + im ( e) = + και im n = ΘΕΜΑ 4 ο 8 [ n ] α) f (t) = - = 8 - = 8 (t + ) - t t + t + άρα f (t) = 8 n(t + ) - t + c Είναι f () = άρα c =. Επομένως f (t) = 8 n(t + ) - t, t t β) f (t) = - =, t. t + t + t + f (t) + - f (t) H συγκέντρωσή του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη όταν t =. γ) f (8) = 8 n(8 + ) - 8 = 8 n9-6 = 8 n - 6 = 6 n - 6 = 6( n - ) >, διότι n >. f () = 8 n( + ) - = 8 n - 8,4 - = 9, - <. Άρα τη χρονική στιγμή t = 8, υπάρχει ακόμα επίδραση του φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t =, η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί.

4 ΙΟΥΝΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (, f ( )). A. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο. β. Αν η f δεν είναι συνεχής στο, τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο. γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο, τότε η f είναι συνεχής στο. B. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο. Στήλη Α (συναρτήσεις) Στήλη Β (εφαπτόμενες) α. f () =, =. y = - + π β. f () = ημ, = π. y = 4 + γ. f () =, =. y = 9-6 δ. f () =, = 4 4. y = δεν υπάρχει Θέμα ο Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [, ] και ισχύει f () >, για κάθε (, ). Αν f () = και f () = 4, να δείξετε ότι: α. η ευθεία y = τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (, ). 4 f + f + f + f β. υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ) = 4 γ. υπάρχει (, ), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M (, f ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = +. Θέμα 4 ο Τη χρονική στιγμή t = χορηγείται σ' έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση αt f (t) =, t, όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί t + β πραγματικοί αριθμοί και ο χρόνος t μετράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. α. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β. β. Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Θέμα ο Α. y - f ( ) = f ( ). ( - ) A. 6 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 8 Β. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό. Β. α -, β -, γ - 5, δ -. Θέμα ο α. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα στο (, ). ος τρόπος η f είναι συνεχής στο [, ] f () < < f () από Θ. ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) = ος τρόπος Έστω η συνάρτηση g, με g () = f () -. η g είναι συνεχής στο [, ], ως διαφορά συνεχών. g () = f () - = - = - < g () = f () - = 4 - = > από Θ. Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g ( ) = ή f ( ) - = ή f ( ) =. Είναι f () >, για κάθε (, ), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), άρα η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα στο (, ), δηλαδή η ευθεία y = τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (, ). β. Είναι f () >, για κάθε (, ), άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, ). f < < f () < f < f () < f < 4 () f < < f () < f < f () < f < 4 () f < < f () < f < f () < f < 4 () f < < f () < f < f () < f < (4) (+) 4 (), (), (), (4) 8 < f + f + f + f < f + f + f + f < < f + f + f + f f () < < f () 4 και επειδή η f είναι συνεχής στο [, ], από Θ. ενδιαμέσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε 4 f + f + f + f f ( ) = 5. 4

6 γ. ος τρόπος η f είναι συνεχής στο [, ] η f είναι παρ/μη στο (, ) από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f () - f () f ( ) = = - ος τρόπος Έστω η συνάρτηση g, με g () = f () -. η g είναι συνεχής στο [, ], ως διαφορά συνεχών. η g είναι παρ/μη στο (, ), με g () = f () -. g () = f () - = g () = f () - = 4 - = από Θ. Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g ( ) = ή f ( ) - = ή f ( ) =. Άρα υπάρχει (, ), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M (, f ( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y = +. Θέμα 4 ο α. Η f είναι συνεχής στο [, + ) και παραγωγίσιμη στο [, + ) με αt αt αt αβ t f (t) = = = = t t β + t β + t + + β β β αβ t (αβ t) (β + t ) - αβ t (β + t ) f (t) = = β + t (β + t ) = = (β + t ) 4 αβ (β + t ) - αβ t t αβ + αβ t - αβ t (β + t ) 4 αβ - αβ t = (β + t ) Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης f είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται όταν t = 6, άρα f (6) = 5 και f (6) = (Θ. Fermat). 4 αβ - αβ 6 4 f (6) = = αβ - αβ 6 = (β + 6 ) α>, β> β> αβ (β - 6) = β - 6 = β = 6 β=6 αβ 6 α 6 6 f (6) = 5 = 5 = 5 α = 5 α = 5 β β. Η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, άρα f (t). α = 5 8t f (t) = β = t 8t 5t f (t) 6 + t 6 + t 5t 6 + t t - 5t t > β = 6 t + t -5t Άρα το φάρμακο δρα αποτελεσματικά από ώρες μέχρι και ώρες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο - + Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f () =, όπου α πραγματικός - α αριθμός. α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε η συνάρτηση f να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 4. β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (, ) να διέρχεται από το σημείο Α (-, ). γ. Αν α >, να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός (, ) τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη να είναι παράλληλη προς τον άξονα. ΘΕΜΑ 4 ο Σε έναν διαγωνισμό ενός Οργανισμού για την πρόσληψη προσωπικού, συγκεντρώθηκαν γραπτά υποψηφίων. Κάθε γραπτό διορθώνεται από δύο διαφορετικούς βαθμολογητές. Κάθε βαθμολογητής διορθώνει 4 φακέλους των 5 γραπτών την ημέρα. Για τη διόρθωση κάθε γραπτού ο βαθμολογητής αμείβεται με δραχμές. Τη διόρθωση συντονίζουν δύο επόπτες που αμείβονται με 4 δραχμές την ημέρα. Στο τέλος της διόρθωσης όλων των γραπτών, κάθε βαθμολογητής παίρνει επιπλέον ως επίδομα δραχμές ανεξάρτητα από τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκε. α) Να αποδείξετε ότι το κόστος Κ () σε χιλιάδες δραχμές για τη διόρθωση 6 όλων των γραπτών δίνεται από τη συνάρτηση K () = + + 4, όπου ο αριθμός των βαθμολογητών που απασχολούνται. β) Πόσοι πρέπει να είναι οι βαθμολογητές, ώστε το κόστος της διόρθωσης να είναι ελάχιστο; γ) Να βρείτε το ελάχιστο κόστος του ερωτήματος (β) και τον αριθμό των ημερών που απασχολήθηκαν οι βαθμολογητές για τη διόρθωση των γραπτών.

8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ ο α. D f = (-, α) (α, + ) και 4 D f άρα α = 4. β. Πρέπει λ εφαπτ. = λ ΑΜ = f (). - + ( - )( - α) - ( - + ) f () = = - α ( - α) - α - + α α + α - = = ( - α) ( - α) - α + α - α - f () = = = ( - α) (α - ) α - = α - λ ΑΜ = = = - + α = γ. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f ( ) =. f () = - α + α - = - α + α - = ( - α) Πρέπει Δ (-α) - 4 (α - ) 4α - α + 8 α - α + (α - )(α - ), που ι σχύει διότι α >. ΘΕΜΑ 4 ο α. γραπτά. φορές = βαθμολογήσεις κάθε πακέτο έχει 4 φακέλους. 5 γραπτά = γραπτά : = πακέτα βαθμολόγησης Κόστος βαθμολόγησης =. δρχ. = 4 δρχ = 4 χιλ. δρχ. () Επίδομα =. βαθμολογητές = δρχ. = χιλ. δρχ. () Η διόρθωση θα διαρκέσει πακέτα = μέρες () βαθμολογητές Οι δύο επόπτες θα πάρουν : δρχ. = δρχ. = χιλ. δρχ. (4) Από (), () και (4) έχουμε : 6 6 Κ () = = σε χιλ. δρχ., > β. Κ () = = - =, > 4 + Κ () - + Κ () Ελάχιστο κόστος για = 4 βαθμολογητές. γ. Ελάχιστο κόστος = Κ (4) = 48 χιλ. δρχ. Από τη σχέση (), για = 4 έχουμε ότι η διόρθωση των γραπτών θα γίνει σε 4 = 5 μέρες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. α. Να αποδείξετε ότι αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ. β. Αν f () < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f; Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ). α. Η συνάρτηση f () = e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. π β. Η συνάρτηση f, με f () = -ημ + +, όπου, π ημ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. γ. Αν είναι f () = g () +, για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση h () = f () - g () είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για f () - e + την οποία ισχύει im = 5. ημ α. Να βρείτε το f (). β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =. γ. Αν h () = e -. f (), να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α (, f ()) και Β (, h ()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. ΘΕΜΑ 4 ο Η τιμή Ρ ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, t - 6 δίνεται από τον τύπο P (t) = t + 4 α. Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά. β. Να βρείτε το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται. γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη. δ. Να αποδείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να μπορεί να γίνει μικρότερη από την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά.

10 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α. α. ο θέμα θεωρίας σελίδα 5. β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Β. α. Λ, β. Σ, γ. Λ. ΘΕΜΑ ο α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με f () - e + κπ g () =, με κ Ζ. ημ Είναι f () = e - + g () ημ και im g () = 5. H f είναι συνεχής στο =, άρα im im f () = f () = e - + g () ημ = im(e - ) + im g () imημ = + 5 = β. im = im = im + g () - f () - f () e - + g () ημ e - ημ e - ημ = im + im g () im e - e ημ = + 5 =, διότι im = im = και im L'Hospital =. Άρα f () =. - h () - h () e f () - - f () γ. im = im = im e - - f () = im e im = f () = f (), άρα h () = f (). Επομένως οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α (, f ()) και Β (, h ()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. 84 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

11 ΘΕΜΑ 4 ο α. Ρ () = 4 + = 4 - = (t - 6) t + - (t - 6) t + t β. Ρ (t) = 4 + = 5 t t t + - t (t - 6) - t + t + = 4 = t + t t + t Ρ (t) > > - t + t + > 4 5 t απορρίπτεται - ± Δ = - 4 (-) 5 = 69 και t = = - 5 t 5 + P (t) + - P (t) H τιμή του προϊόντος αυξάνεται όταν < t < 5. γ. Η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη τη χρονική στιγμή t = 5. δ. H τιμή του προϊόντος μειώνεται όταν t > 5. t - 6 t - 6 t im Ρ (t) = im 4 + = 4 + = im im 5 t + t + t = 4 + im = 4 + = 4 > = P () + t

12 ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑ o A.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z. Να αποδείξετε ότι z z = z z. Α.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α. z = z z β. z = z γ. z = - z δ. z = z ε. i z = z Β.. Αν z = + 4i και z = + i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α Στήλη Β α. 4. z z β.. z γ. 5. z δ z ε i z στ. 5 ζ. Β.. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z =, να δείξετε ότι z =. z ΘΕΜΑ ο α, Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με τύπο f () = - - e, > - α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = -/9. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α (4, f (4)). γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον και τις ευθείες = και =. ΘΕΜΑ ο Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR, ισχύει ότι : f () + β f () + γ f() = για κάθε ΙR, όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β < γ. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () = στο ανοικτό διάστημα (, ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

13 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: i) f (), για κάθε ΙR ii) f () = - t f (t) dt, για κάθε ΙR. Έστω ακόμη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο g () = -, για κάθε ΙR. f () α. Να δείξετε ότι ισχύει f () = -f (). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. γ. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι f () = + im f () ημ. δ. Να βρείτε το όριο ( ) + ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Θέμα ο Α. ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 7 Α. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Β. - ζ, - γ, - α, 4 - δ, 5 - β. Β. z = z = zz = z =. z Θέμα ο α. Η f είναι συνεχής, άρα είναι και συνεχής στο =, άρα im f () = im f () = f () - + Είναι im f () = im α = 9α e - e im f () = im = im = L'Hospital + - f () = 9α Άρα 9α = - α = - / e β. f (4) = = - e 4 - Για > : f () = = - ( - ) = e ( - e ) ( - ) - ( - e ) ( - ) e ( - ) - ( - e ) ( - ) e (4 - ) - ( - e ) - e - ( - e) f (4) = = = - (4 - ). (ε) : y - f (4) = f (4) ( - 4) (ε) : y - ( - e) = -. ( - 4) (ε) : y - + e = (ε) : y = e.

14 γ. Για [, ] είναι f () = - 9 <, άρα 7 E = - f () d = - - d = d = = τ.μ Θέμα ο α. ος τρόπος Έστω ότι η παραγωγίσιμη f παρουσιάζει ακρότατο στο. Από Θ. Fermat είναι f ( ) =. [f () + β f () + γ f ()] = ( ) f (). f () + β f (). f () + γ. f () = και για = είναι : f ( ). f ( ) + β f ( ). f ( ) + γ. f ( ) = = Άτοπο διότι το τριώνυμο έχει Δ = - 56 <. Άρα η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. β. Η λύση αυτή αποτελεί και ο τρόπο για το α ερώτημα. [f () + β f () + γ f ()] = ( ) f (). f () + β f (). f () + γ. f () = [f () + β f () + γ]. f () = Είναι f () + β f () + γ >, για κάθε IR, διότι είναι τριώνυμο ως προς f () με Δ = (β) γ = 4β - γ = 4 (β - γ) <, αφού β < γ. Είναι >, για κάθε IR, διότι είναι τριώνυμο ως προς με Δ = -56 < Άρα f () = >, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα. f () + β f () + γ (άρα η f δεν παρουσιάζει ακρότατα, για το α ερώτημα) γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = η g είναι συνεχής στο [, ], ως πολυωνυμική. g () = - < και g () = 4 >. Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), ώστε g ( ) =. Είναι f () + β f () + γ f () = g () και για = f ( ) + β f ( ) + γ f ( ) = g ( ) Είναι β < γ, f ( ). [f ( ) + β f ( ) + γ] = άρα γ >. f ( ) = ή f ( ) + β f ( ) + γ =. Άρα β < γ < 4γ Το f ( ) + β f ( ) + γ είναι τριώνυμο με Δ = β - 4γ <. β < 4γ Άρα f ( ) + β f ( ) + γ >, για κάθε IR. β - 4γ < Επομένως f ( ) = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το είναι μοναδικό. Άρα υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () = στο διάστημα (, ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

15 Θέμα 4 ο α. f () = - t f (t) dt = - t f (t) dt = - u f (u) du Θέτω t = u du = dt t = u =. t = u =. ( ) ( ) f () = - u f (u) du = - u f (u) du = - f () (α) - f () f () f () - = - = - = f() f() άρα η g είναι σταθερή στο IR. β. g () = - = γ. f () = - u f (u) du = - = f () g () = - = - =, και επειδή η g είναι σταθ είναι g () =, για κάθε IR ερή - =, για κάθε IR f () = +, για κάθε IR f () f () =, για κάθε IR. + δ. Είναι f () ημ = ημ ημ ημ im = im = im = im = im = im = Από κριτήριο παρεμβολής im ημ + =, + άρα im f () ημ =. + ( )

16 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o A.. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε : όλες οι συναρτήσεις της μορφής G () = F () + c, c IR είναι παράγουσες της f στο Δ και οποιαδήποτε άλλη παράγουσα της f στο Δ παίρνει τη μορφή G () = F () + c, c IR. Α.. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις, ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. β α. λf () d =... α β α [ ] β. f () + g () d =... β [ ] γ. λf () + μg () d =... α όπου λ, μ ΙR και f, g συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β]. Β.. Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () = 6 + 4, IR και η γραφική της παράσταση στο σημείο Α (, ) έχει κλίση. Β.. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα : π 4 α. (e + ) d, β. d, γ. (ημ + συν) d. ΘΕΜΑ o α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει z + 6 = 4 z +. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει z - = z - i. ΘΕΜΑ o + α, αν Δίνεται η συνάρτηση f () =, όπου α IR. - + ( - e ) n( - ), αν (, ] - + α. Να υπολογίσετε το όριο - e im. - β. Να βρείτε το α IR, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο =. γ. Για α = -, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. ΘΕΜΑ 4 o Έστω μια πραγματική συνάρτηση f συνεχής στο (,+ ) για την οποία tf (t) ισχύει f () = + dt, με >. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ). β. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι + n f () =, >. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και = e. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o A.. 4 Ο θέμα θεωρίας σελίδα 7. β β β β β A.. α. λ f () d, β. f () d + g () d, γ. λ f () d + μ g () d. α α α α α f () = ( ) d f () = c = B.. f () = (6 + 4) d = c f () = A (, ) C f = c c = f () = Άρα f () = Β.. α. (e + ) d = e + = e + - ( + ) = e β. d = d = π π [ ] d = = = γ. (ημ + συν) d = -συν + ημ = 5. ΘΕΜΑ o α. z + 6 = 4 z + z + 6 = 6 z + (z + 6)(z + 6) = 6(z + )(z + ) zz + 6z + 6z + 56 = 6zz + 6z + 6z + 6-5zz = - 4 zz = 6 z = 6 z = 4 άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 4. β. Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με Α (, ) και Β (, ), η διχοτόμος της γωνίας Oy, με εξίσωση y =. ΘΕΜΑ o e e α. im = im =. - L'Hospital β. im f () = im( + α) = + α n( - ) + im f () = im ( - e ) n( - ) = im = L'Hospital im e e ( - e ) ( - e ) - e - e = im = - im im = - = ( - )e - e f () = + α Για να είναι η f συνεχής στο = πρέπει + α = α =

18 γ. Η f είναι συνεχής στο [, ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο παραγωγισίμων f () = + α = - f () = ( - e ) n = Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f (ξ) =, δηλαδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. ΘΕΜΑ 4 o tf (t) α. f () = + dt = + tf (t) dt, με >. () H f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις των παραγωγίσιμων f () =, f () = και f () = tf (t) dt. β. () f () = + tf (t) dt Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : ( ) f () = () + tf (t) dt f () + f () = + f () : f () + f () = f () + f () = [ f ()] = ( n) > n + c Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = n + c f () =, με > n + Για = είναι f () = c =, άρα f () =, με >. n + ( n + ) - ( n + ) () - ( n + ) - n γ. f () = = = = + f () + - f () n + Ολικό μέγιστο f () = = - + n + im f () = im = - () f (A) = (-, ] n + im f () = im = im = () + + L'Hospital + δ. Από () και () η C f έχει ασύμπτωτες τους άξονες και y y. f () > στο [, e] u = n και du = d e e n + ε. Ε = f () d = d = (u + )du = u = = e u = u = + u = + - = τ.μ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

19 ΜΑЇΟΣ ΘΕΜΑ o A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι β α f (t) dt = G (β) - G (α). Β.. Έστω η συνάρτηση f () = ημ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR και ισχύει f () = συν. Β.. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μια μέγιστη τιμή. β. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και im f () =. δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR, τότε f () d = f () - f () d. im f () =, τότε ε. Αν im f () >, τότε f () > κοντά στο. ΘΕΜΑ ο Έστω z ένας μιγαδικός αριθμός και f (ν) = i ν z, ν IN*. α. Να δείξετε ότι f () + f (8) + f () + f (8) =. ΘΕΜΑ ο Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το ΙR. Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι -. α. Να δείξετε ότι η g είναι -. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση g (f () + - ) = g (f () + - ) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. ΘΕΜΑ 4 ο α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι αν h () > g () για κάθε [α, β], τότε και h () d > g () d. β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ΙR συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις : f () - e -f () = -, ΙR και f () =. i) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. ii) Να δείξετε ότι < f () <. f (), για κάθε >. iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα, να δείξετε ότι < E < f (). 4 β α β α

20 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ Θέμα ο Α. 5 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 7. Β. ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα. Β. α. Λάθος, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Θέμα ο α. f () + f (8) + f () + f (8) = i z + i 8 z + i z + i 8 z = - i z + z + i z - z =. Θέμα ο α. g ( ) = g ( ) f (g ( )) = f (g ( )) και επειδή η fog είναι «-», είναι =. β. g (f () + - ) = g (f () + - ) και η g είναι «-», άρα f () + - = f () = - + =. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = - +. h () = ( - + ) = h () = h () Δ = (-, -) im h () = im ( - + ) = - h στο Δ - - h (Δ ) = (-, ) imh () = im( - + ) = - - h (Δ ) άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα ρ στο Δ = (-, -) και ρ < Δ = [-, ] h (-) = h στο Δ h (Δ ) = [-, ] h () = - h (Δ ) άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα ρ στο Δ = [-, ] Δ = (, + ) imh () = im( - + ) = - h στο Δ h (Δ ) = (-, + ) im h () = im ( - + ) = h (Δ ) άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα ρ στο Δ = (, + ) και ρ > Αρκεί να δείξουμε ότι ρ >. η h είναι συνεχής στο [, ] h () = και h () = - Από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) και επειδή ρ < και ρ > θα είναι ρ (, ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

21 Θέμα 4 ο β [ ] α. h () > g () h () - g () > άρα h () - g () d > β β β β h () d - g () d > h () d > g () d. α α α α α - f () - f () β. i. f () - e = ( - ) f () + e f ( ) = e + e + e f () - f () f () [ + e ] = f () = ή f () = - f () f () ii. oς τρόπος > f () Θα δείξω < f () < f () < < f () f () - f () < < f () - η f είναι συνεχής στο [, ] η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), f () - f () τέτοιο ώστε f (ξ) =. - f () e e f () = = = f () + e + e Άρα αρκεί να δείξουμε f () < f (ξ) < f (), με < ξ <. Δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. f () f () f () f () f () e + e - e + e e f () = = f () + e f () + e = = + e + e διότι f () >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. ος τρόπος f () f () f () f () e f () f () + e - e e f () e f () f () f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f () -. > f () e f () e - f () + e + e g () = f () - = - = >, για > f () ( ) f f () f () διότι > f () > f () f () > e > e e - > άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) g > g () > g () f () - > f () > ().

22 Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f () -. f (). h () = f () - f () -. f () = -. f (). f () f () f () f () f () e + e - e + e e f () = = f () f () + e + e = = + e + e διότι f () >. Άρα h () <, για >, δηλαδή η h είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). f () f () f () f () e f () + e - e e f () f () e f () h f () f ( ) > h () < h () f () - f () < f () < f () (). > Από () και () έχουμε : < f () <. f (), για κάθε >. iii. Είναι f (). f (), για κάθε, άρα f (), για κάθε και E = f () d. (α) 4 4 < f () d < f () d < E < E () [ ] (α) f () < f () f () d < f () d E < f () - () f () d E < f () - f () d E < f () - E E < f () E < f () (4) Aπό () και (4) έχουμε < E < f () 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). β α. Αν f () d, τότε κατ ανάγκη θα είναι f (), για κάθε [α, β]. α β. Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. δ. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και σημείο [α, β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει f ( ) =. ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και υπάρχει (α, β), τέτοιο ώστε f ( ) =, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει πάντα f (α). f (β) <. ΘΕΜΑ o Δίνεται η συνάρτηση e - e + f () =, IR. α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f -. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f - () = έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ o - f () d. - Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη στο IR, με τύπο - z - + z f () =, + z όπου z συγκεκριμένος μιγαδικός αριθμός z = α + βi, α, β IR με α. α. Να βρείτε τα όρια im f () και im f (). + - β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f, εάν z + > z -. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. ΘΕΜΑ 4 o Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη στο IR με δεύτερη συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις f ()f () + (f ()) = f ()f (), IR και f () = f () =. α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f. β. Αν η g είναι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το g (t) διάστημα [, ], να αποδείξετε ότι η εξίσωση - dt = + f (t) έχει μια μοναδική λύση στο διάστημα [, ].

24 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o α. Λ, β. Σ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ. ΘΕΜΑ o e - (e - ) (e + ) - (e - )(e + ) α. f () = = e + (e + ) e(e + ) - e(e - ) e = = >, για κάθε IR. (e + ) (e + ) Η f είναι γν. αύξουσα στο IR, άρα και, δηλαδή αντιστρέψιμη. e - y = ye + y = e - y + = e - ye e + y + = e ( - y) e = - f (y) = + y - y + y = n - y n + y - y y y + y > ( + y)( - y) > - y - y > y < y < - < y < - + Άρα f () = n, (-, ) β. f () = n = - - = + = - =. = -u d = -du - - n - - = u = - = - u = + - u γ. I = f ()d = d = - du - n + u - n u - u = du = - n du = - I I = I = - u + u ΘΕΜΑ o - z - + z ( - z)( - z) - ( + z)( + z) α. f () = = + z + z - z - z + zz - - z - z - zz -(z + z) -4Re(z) = = = + z + z + z im f () = Re( z) -4Re(z) -4Re(z) im = im = im = z -4Re(z) -4Re(z) -4Re(z) im f () = im = im = im =. + z β. z + > z - z + > z - (z + )(z + ) > (z - )(z - ) zz + z + z + > zz - z - z + (z + z) > 4Re(z) > ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

25 z - - z f () = -4Re(z) = -4Re(z) = 4Re(z) + z + z + z ( ) ( ) - - z z + f () f () ( ) ( ) ( ) -4Re(z) - z 4zRe(z) Re(z) τοπ. μέγιστο f (- z ) = = = -z + z z z -4Re(z) z -4 z Re(z) Re(z) τοπ. ελάχιστο f ( z ) = = = - z + z z z ( ) γ. Δ = -, - z με f γν. αύξουσα -4Re(z) im f () = im = z Re(z) f (Δ f συνεχής ) =, Re(z) z im f () = f (- z ) = -z z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Δ = - z, z με f γν. φθίνουσα Re(z) f (- z ) = z Re(z) Re(z) f (Δ ) = -, Re(z) z z f ( z ) = - z f (Δ ), άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο Δ ( ) Δ = z, + με f γν. αύξουσα f συνεχής Re(z) im f () = f ( z ) = - z z Re(z) f (Δ ) = -, -4Re(z) z im f () = im = z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Re(z) Re(z) Επομένως f (A) = f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) = -, z z και η f () = έχει μοναδική ρίζα στο ΙR.

26 ΘΕΜΑ 4 o α. f ()f () + (f ()) = f ()f () [f ()f ()] = f ()f () Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου f ()f () = c e και για = έχουμε f (). f () = c =. Άρα f ()f () = e f ()f () = e [f ()] = (e ) Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. έχουμε f () = e + c και για = έχουμε f () = + c = c =. Επομένως f () = e. Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι η f δεν έχει ρίζες, άρα από συνέπειες του Θ. Bolzano η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR και επειδή f () = > θα είναι f () >, για κάθε IR. Επομένως f () = e. g (t) β. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = - dt -. + f (t) g (t) Είναι h () = - - dt t + e H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g (t) h () = - < και h () = - dt> διότι : t + e g (t) () t t t e e e + e + e t + e + e () g (t) Από (), () () t + e g (t) g (t) Άρα - και - dt t t + e + e g (t) g (t) dt - dt dt t t + e + e g (t) - dt - h () > t + e άρα από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της h στο (, ). g (t) g (t) g () h () = - - dt = - dt = - t t + e + e + e g () g () Από την () έχουμε e + e h () h () >, για κάθε [, ] Άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, ], και η h () = έχει μοναδική ρίζα στο [, ]. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

27 ΜΑΪΟΣ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = -z. β. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f () > για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. γ. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει f () d = f () + c, c IR. δ. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( ) =, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο. ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + βi, όπου α, β IR και w = z -iz + 4, όπου z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w) = α - β + 4 και Ιm(w) = β - α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = -, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = -. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = -, έχει το ελάχιστο μέτρο. ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f () = α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β. Να αποδείξετε ότι f (e ) f ( + ), για κάθε IR. γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (, ) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f -. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f -, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση =. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α, β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α, β). Αν ισχύει f (α) = f (β) = και υπάρχουν αριθμοί γ (α, β), δ (α, β), έτσι ώστε f (γ) f (δ) <, να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f () = στο διάστημα (α, β). β. Υπάρχουν σημεία ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ ) < και f (ξ ) >. γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

28 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΘΕΜΑ o A. 6 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 8 Β. Θεωρία, σελίδα 5 Γ. α. ΣΩΣΤΟ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ ο α. w = z - i. z + 4 = (α + βi) - i (α - βi) + 4 = α + βi - αi - β + 4 = (α - β + 4) + (β - α). i άρα Re(w) = α - β + 4 και Im(w) = β - α β. = α - β + 4 και y = β - α (, y) (ε ) : y = - β - α = α - β β = α - άρα (α, β) (ε) : y = - γ. Από το Ο (, ) φέρνω ευθεία ε κάθετη στην ε την οποία τέμνει στο σημείο Κ. Είναι λ ε = άρα λ ε = - και (ε ) : y = -. y = - = y = - y = - άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο z = - i ΘΕΜΑ ο α. f () = >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. f () = + 6 =. ( + 6) - + f () - + f () Η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο (-, ], ενώ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο [, + ). Η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, άρα είναι και -, δηλαδή αντιστρέφεται. β. Μας ζητούν να δείξουμε ότι f (e ) f ( + ). Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, αρκεί να δείξουμε ότι e +, για κάθε IR. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = e - -, IR g () = e g () - + g () Η g παρουσιάζει ελάχιστο για =. g () g () e - - e +. γ. Είναι f () =, άρα η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο Ο (, ) είναι: y - =. ( - ) y = Από συμπέρασμα του σχολικού βιβλίου (σελίδα 55), οι C f και C f- είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y =. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

29 δ. Από τα παραπάνω προκύπτει το παρακάτω σχήμα C f Το ζητούμενο εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f -, την ευθεία = και τον άξονα λόγω συμμετρίας ισούται με το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, την ευθεία y = και τον άξονα y y E = [ - f ()] d = ( ) d = = = τ.μ. 6 4 ΘΕΜΑ 4 ο α. Είναι γ δ, διότι αν γ = δ τότε f (γ) = f (δ) και f (γ). f (δ) = [f (γ)] (άτοπο διότι f (γ). f (δ) < ) Έστω γ < δ f συνεχής στο [γ, δ] [α, β] f (γ). f (δ) < Από Θ. Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον (γ, δ), τέτοιο ώστε f ( ) =. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f () = στο διάστημα (α, β). β. Έστω ότι f (γ) > και f (δ) <. f συνεχής στο [α, γ] f παραγωγίσιμη στο (α, γ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η (α, γ), τέτοιο ώστε f (γ) - f (α) f (η ) = > () γ - α f συνεχής στο [γ, ] f παραγωγίσιμη στο (γ, ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η ( γ, ), τέτοιο ώστε f ( ) - f (γ) f (η ) = < () - γ

30 f συνεχής στο [, δ] f παραγωγίσιμη στο (, δ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η (, δ), τέτοιο ώστε f (δ) - f ( ) f (η ) = < () δ - f συνεχής στο [δ, β] f παραγωγίσιμη στο (δ, β) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον η 4 (δ, β), τέτοιο ώστε f (β) - f (δ) f (η 4) = > (4) β - δ f συνεχής στο [η, η ] f παραγωγίσιμη στο (η, η ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (η, η ) τέτοιο ώστε f (η ) - f (η ) f (ξ ) = < από () και () η - η f συνεχής στο [η, η 4 ] f παραγωγίσιμη στο (η, η 4 ) Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (η, η 4 ) τέτοιο ώστε f (η 4) - f (η ) f (ξ ) = > από () και (4) η - η 4 α γ δ β η η η η 4 γ. f συνεχής στο [ξ, ξ ] f (ξ ) < και f (ξ ) > από (β) ερώτημα Από Θ. Bolzano η f () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα ξ, που είναι θέση πιθανού σημείου καμπής. ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι ζητήθηκε ν αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f, είναι λανθασμένο διότι δεν μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ξ. Η διατύπωση έπρεπε να είναι : «γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.». ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

31 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F () + c, c ΙR, είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ, παίρνει τη μορφή G() = F () + c, c ΙR. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με Σωστό ή Λάθος. α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z - z z + z z + z β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (, β), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση -, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή : αν =, τότε f ( ) = f ( ). δ. Αν f, g είναι συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει : f () g () d = f () g () - f () g () d Γ. Πότε μία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; ΘΕΜΑ ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις : z = και Ιm(z). β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 4 w = z + κινείται z σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f () = + -. α. Να αποδείξετε ότι im f () =. + β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C f, όταν το τείνει στο -. γ. Να αποδείξετε ότι f () + + f () =. δ. Να αποδείξετε ότι d = n( + ). + ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις : f () = - f ( - ) και f (), για κάθε IR. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα. γ. Έστω η συνάρτηση f () g () =. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g f () στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45.

32 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ Θέμα ο Α. 4 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 7 Β. α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Λάθος, δ) Σωστό. y Γ. Θεωρία, σελίδα Θέμα ο α) Είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα που βρίσκονται στον άξονα ή πάνω από τον άξονα. 4 β) z = z = 4 zz = 4 z = z 4 y w = z + = ( z + z ) = Re(z) z Όπως φαίνεται στο σχήμα το πραγματικό μέρος του z, άρα και η εικόνα του w κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. B - O A Θέμα ο ( ) α. im f () = im + - = im ( ) ( + - )( + + ) > + - = im = im = im = f () + - β. im = im = im = im = im = - = λ - - < [ f () - λ ] = ( ) = ( + + ) ( + + )( + - ) im im im = = im - im = im = = β < Άρα η πλάγια ασύμπτωτη της C f, όταν το τείνει στο -, είναι η y = -. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

33 ( ) γ. f () = / + - = / - = = - f () + δ. Από (γ) ερώτημα έχουμε : f () = - f () - + f () άρα f () + + f () = f () = f () + f () =. + f () d = - d = - f () d = - f () + f () [ ] [ ] n n [ ] = - nf () - nf () = - n( - ) = n( - ) ( + ) = n = n = n( + ). - ( - )( + ) Θέμα 4 ο α. Η f είναι συνεχής στο IR και f (), για κάθε IR. Από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. Επομένως η f είναι γνησίως μονότονη. β. Είναι f () = - f ( - ), για κάθε IR. Για = έχουμε f () = - f () f () = f () =. Άρα το = είναι ρίζα της f () = και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα τη =. γ. Έστω ότι η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (, ). f ( Πρέπει g ( ) = ) = f ( ) =, άρα Α (, ) f ( ) f () - g () - g () f () f () f () im = im = im = im - - f () ( - ) - f () f () = im im = f () =, - f () f () διότι f () f () - f () im = im = f () και - - f συνεχής im = = f () im f () f () άρα g () = = εφ45, επομένως η εφαπτομένη της C g στο σημείο Α (, ), στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45. -

34 ΜΑΪΟΣ 4 ΘΕΜΑ o Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι f ( ) =. Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με Σωστό ή Λάθος. α. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. β. im f () =, αν και μόνο αν im f () = im f () =. + γ. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f. g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : (f. g) ( ) = f ( ). g ( ). δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε β α f (t) dt = G(β) - G(α). ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () =. ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα. β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση g () = e. f (), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR και f () = f (/) =. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ,,τέτοιο ώστε f (ξ) = -f (ξ). β. Εάν f () = -, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I (α) = g () d, α α IR. γ. Να βρείτε το όριο im Ι (α). α - ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: IR IR, τέτοια ώστε f () =. Αν για κάθε IR, ισχύει g () = z f (t) dt - z + ( - ), z = α + βi C, z με α, β IR*, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο IR και να βρείτε τη g. β. Να αποδείξετε ότι z = z + z. γ. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β να αποδείξετε ότι Re(z ) = - ½. δ. Αν επιπλέον f () = α >, f () = β και α > β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

35 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ 4 ΘΕΜΑ o A. ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 6 Β. Θεωρία, σελίδα Γ. α. ΣΩΣΤΟ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΛΑΘΟΣ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > άρα D f = (, + ) f () = ( n)' = ( )' n + ( n)' = n + = n + = ( n + ) > - f () = ( n+) = n+ = n = - = e = e e f'() f () Ολικό ελάχιστο f = n = n e = = e e e e e e β. f () = ( n + ) = ()' ( n + ) + ( n + )' = n + [ ] - f () = n + = n = - = e = e e + f () - + f () f = e e e e e άρα έχει σημείο καμπής Α, e e e γ. Στο διάστημα Δ =, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα e - + n imf () = im ( n) = im = im = L' Hospital + - f (Δ ) = -, e f = - e e e n = n e e e e = e = e

36 Στο διάστημα Δ =, + η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα e im f () = im ( n) = im im n = f (Δ ) = -, + f = - e e e Επομένως f (A) = f (Δ ) f (Δ ) = -, + e ΘΕΜΑ ο α. g () = (e. f()) = (e ). f () + e. f () = e (f () + f ()) η g είναι παραγωγίσιμη στο [, /] g () = g (/) = Από Θ. Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε g'(ξ) = e ξ (f (ξ) + f (ξ)) = f (ξ) + f (ξ) = f (ξ) = - f (ξ) ( ) α β. Ι(α) = g () d = e f () d = e ( - ) d α α α = e ( - ) d = e ( - ) - e ( - ) d α = - e (α - α ) - e (4 - ) d () α ( ) α e (4 - ) d = e (4 - ) d = e (4 - ) - e (4 - ) d α α α α α = - - e (4α - ) e () Από () και () έχουμε : α α α Ι(α) = - e (α - α) + + e (4α - ) + 4-4e α α α = - - e (4α - ) - 4e d = - - e (4α - ) - 4 e α = e (-α + α + 4α - - 4)+ 4 + α = e (-α + 7α - 7) α -α + 7α - 7 γ. im e (-α + 7α - 7) = im = α - α - -α L' Hospital e α α + 7 = im = α - -α - e L' Hospital -4 α = im = - 4 im e = α - -α e α - α Άρα imι(α) = 7 + im e (-α + 7α - 7) = 7 + = 7 α - α - α α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

37 ΘΕΜΑ 4 ο α. g () = z f (t) dt - z + ( - ) z Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο IR Η h () = z f (t) dt είναι παραγωγίσιμη στο IR Η t () = είναι παραγωγίσιμη στο IR Η φ () = z Η s () = z + z f (t) dt είναι παρ/μη στο ΙR ως σύνθεση των h και t ( - ) είναι παραγωγίσιμη στο IR ως πολυωνυμική Άρα η g είναι παρ/μη στο IR ως διαφορά των παρ/μων φ και s. g () = z f (t) dt - z + ( - ) z = z f (t) dt - z + ( - ) z = z f ( ) - z + z β. Παρατηρούμε ότι g () = z f (t) dt - z + z ( - ) = g (), για κάθε IR Άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο στο = και επειδή ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat, προκύπτει ότι g () =. g () = f () = z f () - z + = z = z +. z z γ. z z z = z + zz = z + z + zz = zz z z z z z zz z z = + + z + z + = z + z = - z z zz α τρόπος : Re(z ) = - Re(z ) = - ½ β τρόπος : z = (α+ βi) = α + αβi - β = (α - β )+ αβi (α+ βi) + (α - βi) = - α + αβi - β + α - αβi - β = - (α - β ) = - α - β = - ½ Re(z ) = -½ δ. Θα δείξουμε ότι β <. Είναι α - β = - ½ < (α - β) (α + β) <. Όμως α - β > διότι α > β, άρα α + β < β < - α <. Η f είναι συνεχής στο [, ] f () = α > και f () = β < Από Θ. Bolzano για την f στο διάστημα [, ] προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =.

38 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ o A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με Σωστό ή Λάθος. α. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. β. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. γ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες. δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. k ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε im f () = k im f (), εφόσον f () κοντά στο, με k ΙΝ και k. Γ. Να ορίσετε πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f: IR IR με f () = + m - 4-5, όπου m IR, m >. α. Να βρείτε τον m ώστε f (), για κάθε IR. β. Αν m =, να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. ΘΕΜΑ ο Δίνεται μια συνάρτηση f: [α, β] IR συνεχής στο διάστημα [α, β] με f () για κάθε [α, β] και μιγαδικός αριθμός z με Re(z), Ιm(z) και Re(z) > Im(z). Αν z + = f (α) και z + = f (β), να αποδείξετε ότι: z z α. z = β. f (β) < f (α) γ. η εξίσωση f (α) + f (β) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (-, ). ΘΕΜΑ 4 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, + ) IR τέτοια, ώστε f () = + f (t) dt. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ). β. Να αποδείξετε ότι f () = e - ( + ). γ. Να αποδείξετε ότι η f () έχει μοναδική ρίζα στο [, + ). δ. Να βρείτε τα όρια im f () και im f (). + - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

39 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΙΟΥΛΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ o A. 9 ο Θέμα Θεωρίας, σελίδα 4 Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Γ. Θεωρία, σελίδα ΘΕΜΑ o α. Είναι f () f () f (). H f είναι παραγωγίσιμη στο IR, με f () = ( + m ) =. ln + m. lnm - 4. ln4-5. ln5 H f παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Από Θ. Fermat, f () = ln + lnm - ln4 - ln5 = ln + lnm = ln4 + ln5 lnm = ln m = m =. β. Για m =, είναι f () = f () E = f () d = f () d = ( ) d = = τ.μ. n n n4 n5 n n n4 n5 ΘΕΜΑ o α. z + = f (α) ΙR άρα z + = z + z + = z + z z z z zz + z = z z + z zz - z z + z - z = zz(z - z) - (z - z) = (z - z) (zz - ) = z - z = ή zz - = z = z ή zz = Im(z) z ΙR ή z = z = z =. f (β) + = f (α) άρα f (β) < f (α). β. z + = f (α) z + = f (α) z + + = f (α) z z z γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f (α) + f (β). η g είναι συνεχής στο [-, ] ως πολυωνυμική. g (-) = - f (α) + f (β) g () = f (α) + f (β) g (-). g () = [- f (α) + f (β)]. [f (α) + f (β)] = f (β) - f (α) < από (β) από Θ. Bolzano η g () = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (-, ).. z

40 ΘΕΜΑ 4 o α. f () = + f (t) dt = + f (u) du Θέτω t = u. Είναι dt = du. Όταν t = τότε u = Όταν t = τότε u = άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. β. f () = + f (u) du = + f () f () - f () = f () e - f () e = e f () e = e ( ) ( ) Άρα f () e = e d = -e d = - e - () -e = - e + e d = - e - e + c και e - e + c f () = f () = ce - e Για = είναι f () = + f (u) du = = () f () = ce = c - c = c = () f () = e f () = e - ( + ). γ. f () = e - > για >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + f () =, άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο [, + ) την =. δ. im f () = im (e - - ) = im e - = +, διότι im e = + και im im + + L' Hospital e + = = e e το im f () είναι κακώς ορισμένο διότι δεν υπάρχει διάστημα της μορφής (-, α), με α ΙR, που να ορίζεται η f, αφού D = [, + ). f () d ) ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι ζητήθηκε να υπολογιστεί ένα όριο που ήταν κακώς ορισμένο ήταν «περίεργο». Ίσως αγνοήθηκε ότι D f = [, + ). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ

41 ΜΑΪΟΣ 5 A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f (α) f (β), δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β), τέτοιος ώστε f ( ) = η. Α. Πότε η ευθεία y = λ + β λέγεται ασύμπτωτη της C f στο + ; Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, με Σωστό ή Λάθος. α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f (α) < και υπάρχει ξ (α, β), ώστε f (ξ) =, τότε κατ ανάγκη f (β) >. β. Αν υπάρχει το im [ f () + g ()], τότε κατ ανάγκη υπάρχουν τα im f () και im g (). γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f - και C f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f -. δ. Αν im f () = και f () > κοντά στο, τότε im = +. f () ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι f (t) dt = f () - f (α), για κάθε ένα σημείο του Δ, τότε ισχύει ( α ) Δ. στ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z, με z = z = z =. 9 α. Δείξτε ότι : z = z. z β. Δείξτε ότι ο αριθμός z + είναι πραγματικός. z z γ. Δείξτε ότι : z + z + z = z z + z z + z z. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f () = e λ, λ >. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λe. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ. Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε (λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y y, είναι Ε (λ) = e - λ. δ. Υπολογίστε το λ Ε (λ) im. + ημλ λ +

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Αν z = α + βi και z = γ + δi τότε : z z = (α + βi)(γ +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (-6-) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Α. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 2. Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Α. A2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 2. Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες 6 Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

G(x) = G(x) = ΘΕΜΑ 1o

G(x) = G(x) = ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη

Θέματα Πανελλαδικών στις Παραγώγους. Εφαπτομένη Θέματα Πανελλαδικών 000-04 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ

Θ.Rolle Θ.Μ.T. Συνέπειες Θ.Μ.Τ Θέματα Πανελλαδικών 000-05 στις Παραγώγους Εφαπτομένη Έστω η συνάρτηση f :, με f 000 ln Έστω η συνάρτηση Έστω c > 000 και έστω ότι η ευθεία y = c και η C f τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία Α,Β του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.Aν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 9 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 7-8 ΘΕΜΑ Α (α) Δίνεται η συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα [ ].Αν η G είναι μια παράγουσα της στο [ ], τότε να αποδείξετε ότι : d

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A1. Έστω μια

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Α2. Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑo ΑAν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία των πανελλαδικών εξετάσεων [] [] Ορισμοί ) Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα