( ) ( ) ( ) ( ) =α συνεπώς: 2α 4βα+β = 2βα+ 2α 1 2α 4βα+β + 2βα 2α+ 1= 0. α 1= ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ.

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 9/4/6 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑ ΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΚΑ () Ο ΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟ ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 69 Α 4. i) Σ ii) Σ 7 Μονάδες 4 Μονάδες 4 Μονάδες Ε Ω = f d ) iii) Λ (το σωστό είναι: β α iv) Σ v) Λ (Μπορεί να μην έχει μέγιστο η συνάρτηση) Μονάδες για κάθε σωστή απάντηση ΘΕΜΑ Β Β. Η f συνεχής στο =α συνεπώς: lim f = f α lim 4β +β = β α α α ( µοναδες) α 4βα+β = βα+ α α 4βα+β + βα α+ = α β= α βα+β +α α+ = ( α β ) + ( α ) = α = α β= β= β= α= ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

2 Συνεπώς η f γίνεται: f Όμως: 4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 4 +, = ( Μονάδες), = + = συνεπώς: Β. Η f παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με f 4 4 f = 4 + = άρα: Α (, ) και f = 4+ για κάθε R.( Μονάδα) =. f = 4 4= 4 Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο (, ) Α είναι: ε : y f = f y = 4 y= 4 7 (4 Μονάδες) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: Ε Ω = f y d= d= 8+ 8 d= Β. ( ) = ( 4+ 4) d= ( ) d= ( ) d= = ( ) ( ) 6 4 = = + = τ.μ. ( Μονάδες) ηµ ( 4 4) 4( ) = = 4 4 ηµ f lim ηµ lim lim Θέτουμε: u 4 4 = με limu lim ( ) = 4 = 4 4( ) συνεπώς: ηµ f ηµ 4 ηµ u lim = lim = 4 lim = 4 = 4 u u ( Μονάδες) lim + f 4+ = lim + 4+ Θέτουμε: u= συνεπώς: 4+ lim u= lim = lim = lim =+ (,5 Μονάδα) συνεπώς: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ f 4+ lim = lim = u lim =+ (,5 Μονάδα) + + u + Β 4. f = 4 4= =. Ο πίνακας μεταβολών είναι: χ + f + f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ). = η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι το Στο f = 4 + = 4+ = H f αντιστρέφεται για κάθε διότι είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) και συνεπώς είναι και «-». ( Μονάδες) f 4 4 = + = + = + = ( ) y+ = = =. Θέτουμε y f y ( ) ( ) lim f = lim 4+ = lim = Συνεπώς: [ ) ր ( + ) = ) = [ + ) f, f, lim f, + y y+. y+ y+ y+ = = = + = άρα γνωρίζουμε ότι f ( y) + Συνεπώς ισχύει ότι: f = + με: [ ) ΘΕΜΑ Γ Α = +.( Μονάδες) f, h h h Γ. i) Είναι lim = lim = lim( ) = ( Μονάδες) h h D.L.H h h h ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ u= h f(+ h) f() f(+ u) f() Επίσης lim = lim = f και lim h h h u h ( )( f(+ h) f() ) h u = f (), > Άρα από υπόθεση: f () = f() + (ln ) ( Μονάδες) ii) Από f () = f() + ( ln ), > = > f () f() ln, = > ( µοναδα f () f() ln, ) 4 f() ln f() =, > άρα f = ln+ c c = άρα Η f είναι συνεχής στο = άρα f() f () f() = ln, > ln = + c ln () για = > = + f() = ln, > ( Μονάδες) ( ) f = lim f() = lim ln = lim lim ln = lim ln = ln + ( ln ) lim = lim = lim = lim( ) = + D.L.H Συνεπώς ο τύπος της f είναι: f ln,> =,= ( Μονάδες) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

5 Γ. Για > : f '() = ln και ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ f ''() = = χ + f - + f f κοίλη στο (,] και κυρτή στο [, + ) με σημείο καμπής το (,) ( Μονάδες) χ + f f ց ց < f > f f > f ր ր > f > f f > Άρα fրστο (, ) (, + ), f συνεχής στο [ +, ) άρα fր στο [ +, ). Τότε το ολικό ελάχιστο m = f() = ( Μονάδες) Γ. + = + f f f f. Πρέπει. Προφανείς ρίζες = και = Αν < < έχουμε ( Μονάδες) > και 5 6 > f f > f και > f f οπότε > f f f f Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη στο (,) ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

6 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Αν > έχουμε < και 5 6 < f f < f και < f f οπότε < f f f f Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη στο ( +, ) Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες στο [,+ ) τις = και =. Γ 4. Αν λ ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι εϕθ (t) =λ= f ( t ) με ( t ) > ( Μοναδες) εϕθ (t) = (t) ln((t)) θ (t) = (t) (t) = (t) f = ln = άρα Μ(,). ( Μονάδες) (4 Μονάδες) ( Μονάδα) ( +εϕ θ(t)) θ (t) = (t) (t) (t) (t) (t) (t) = = (t) ΘΕΜΑ Δ Δ. t f() + ln + f() =,> + ln t f() f() + ln f() + ln + f() = + ln + f() = + ln + f() = + ln = + + Έστω ln ϕ () = + με Rέχουμε ότι: ϕ '() = + > ϕր στοr ϕ" " ϕ ( f() ) =ϕ ( + ln ) ϕ + ϕ " " ln f() =, > " " f() = + ln, > ( Μονάδες) π ηµ + ηµ συν + = > d g() ln, () ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

7 ΑΡΧΗ 7ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ π ηµ ηµ συνd θέτω u π = u= και = u= du= ηµ d=συν d, ηµ =, u u u u u = u du= 'u du= u (u ) du = udu= u u u = 'udu= u + (u)' du= u u = + du= + = + ( ) = Άρα από την () έχουμε g() + + = ln g() = ln, > Δ. α) + ln f() =,> ( + ln ) ln ln f '() = = =,> f '() = ln = ln = = ln = ( Μονάδες) f '() > ( ln ) > ln > ln < ln < ln < < χ + f + - f f (, ] f [, + ) = f = ολικ όµ έγιστο της f άρα f() f, για κάθε > f(), για κάθε > ΤΕΛΟΣ 7ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ ( Μονάδες)

8 ΑΡΧΗ 8ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ g() ln, = > g'() =, > με g' = g (), ά g'. ύ, = + > για κ θε > γν α ξουσαστο + g' χ + g + + g g g' i < g'() g' = g γν. ϕθνουσα ί στο (, ] i g'() g' = g γν. αύ ξουσαστο [, + ) = => g() = ελάχιστο της g Ο.Ε Άρα g() g, για κάθε > g(), για κάθε > ( Μονάδες) β) f(), για κάθε > g(), για κάθε > f() g() ( Μονάδα) για κάθε > f() g(), για κάθε > f() g(), Θέτουμε: λ() = g() f() επομένως έχουμε λ(), για κάθε, () ή, ()d ( g() f() ) d Ηισό τηταισχύ ειμό νογια = λ συνεχ ς λ > > f() g() d< f()d g()d < f()d< g()d ( Μονάδες) ΤΕΛΟΣ 8ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

9 ΑΡΧΗ 9ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ () h (t)dt f(t) g(t) dt Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση ϕ = ( ) συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. ϕ = ( ) f(t)dt g(t)dt < h (t)dt * ϕ = Έχουμε: h() d = () Η συνεχής στο [,] h() δεν είναι ίση με / παντού. Αν h() = / τότε από () d= = ΑΤΟΠΟ Άρα από: ( ) ( ) h() h() d > ( Μονάδα) h () h() + d> h ()d h() d+ d> h d + > h ()d + + > h ()d > άρα φ() > και επειδή η εξίσωση έχει ρίζα στο (, ). ϕ ϕ < από Θ. Bolzano υπάρχει ( Μονάδες), ώστε φ( ) = ή Δ 4. Η παράγουσα Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα παρακάτω διαστήματα όπου εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. Από Θ.Μ.Τ. για την Η στο α+β α, υπάρχει α+β, : α ( Μονάδες) ΤΕΛΟΣ 9ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ α+β α+β Η Η α Η Η α Η '( ) = h( ) = = α+β α β α ( Μονάδες) α+ β Από Θ.Μ.Τ. για την Η στο, β υπάρχει α+ β, β : α+ β α+ β Η( β) Η Η β Η Η '( ) = h( ) = = ( Μονάδες) α+ β β β α Η h ( ) > για κάθε (, ) συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο ( ) Ακόμη έχουμε: α, (, ),, β (, ) α+β α+ β α+β α+ β α+β α+ β < 6α+ β< α+ 6β α<βισχύει άρα: < < < Συνεπώς: α+β α+ β Η Η α Η β Η hր < h < h < β α β α και,. β α> α+β α+ β Η +Η <Η α +Η β ( Μονάδα) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ