Moguća je klasifikacija metoda po načinu kako faze dolaze u kontakt: kontinualni i stupnjeviti (diskontinualni) kontakt. Od svih tehnika ekstrakcija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Moguća je klasifikacija metoda po načinu kako faze dolaze u kontakt: kontinualni i stupnjeviti (diskontinualni) kontakt. Od svih tehnika ekstrakcija"

Transcript

1 METODE ODVAJANJA Odvajanje radnog materijala predstavlja jednu od osnovnih i najčešće primenjivanih tehnika u hemijskim laboratorijama. Fizičke i hemijske osobine supstanci na kojima se zasnivaju analitička određivanja obično nisu specifične, tako da pojedina analitička određivanja ometaju ili onemogućuju druge prisutne supstance. Svi prirodni i veštački proizvodi koji podležu hemijskim ispitivanjima praktično predstavljaju manje ili više složene smeše. Poteškoće prilikom određivanja pojedinih komponenti smeše se mogu ponekad prevazići jednostavnim postupcima maskiranja i demaskiranja, ali u većini slučajeva to nije moguće, pa se pre određivanja supstance moraju odvajati. Dve supstance možemo međusobno odvojiti ako se razlikuju po svojim osobinama, kao što su veličina molekula, gustina, napon para, rastvorljivost, naelektrisanja i sl. Metode odvajanja koje se zasnivaju na ovim osobinama veoma su raznovrsne i njihova potpuno zadovoljavajuća podela ne postoji. Osnovi većine metoda leže u dva procesa: Građenje dvofaznog sistema, tako da jedna faza sadrži supstancu koja se određuje, a druga supstancu koja ometa određivanje. Mehaničko odvajanje dve faze Građenje dvofaznog sistema i mehaničko odvajanje faza mogu se ostvariti na više načina. Dvofazni sistem se nekada može ostvariti dodavanjem odgovarajućeg taložnog reagensa rastvoru uzorka i prevođenjem u čvrstu fazu komponente koja se određuje ili komponente koja smeta, a čvrsta i tečna faza se mogu odvojiti filtrovanjem. Dvofazni sistemi se nekada mogu graditi zagrevanjem uzorka i prevođenjem u gasnu fazu komponente koja se određuje ili komponente koja smeta, a odvajanje tečne i gasne faze se može izvesti na destilacionoj koloni ili jednostavnim isparavanjem. Dvofazni sistem se nekad može dobiti dovođenjem analiziranog rastvora u kontakt sa drugim tečnim rastvaračem koji se ne meša sa prvim rastvaračem i u koji prelazi, određivana komponenta ili komponenta koja smeta, a dve tečne faze se mogu odvojiti u levku za odvajanje. Odvajane supstanci kod ovih metoda se zasniva na nejednakoj raspodeli supstance između dve faze. Procesi raspodele su ravnotežni procesi, odvajanje nikada nije potpuno. Uvek će u obe faze zaostajati izvesna količina željene i neželjene supstance, a njihova količina će biti određena njihovim ravnotežnim koncentracijama u svakoj fazi. Da bi se efikasnost odvajanja povećala, često je proces odvajanja potrebno ponoviti više puta. Kod nekih metoda odvajanja koriste se razlike u kinetičkim osobinama čestica supstanci kao što su: brzina u električnom, gravitacionom ili termičkom polju. Postoji više načina klasifikacije metoda odvajanja: -odvajanja po tipovima faza, -odvajanja po tipu procesa i -odvajanja po tipu sile koja koja prouzrokuje odvajanje.

2 Moguća je klasifikacija metoda po načinu kako faze dolaze u kontakt: kontinualni i stupnjeviti (diskontinualni) kontakt. Od svih tehnika ekstrakcija pruža najveću fleksibilnost u ovom pogledu dok su ostale tehnike ograničene na jednu ili drugu metodu, hromatografija se po definiciji može primeniti samo kontinualno. Postoji podela po pravcu protoka faza: proticanje kroz jednu fazu (u istom smeru) i proticanje u suprotnom smeru. Kod proticanja kroz jednu fazu, faza u kojoj se nalazi uzorak smatra se stacionarnom. Ona se dovodi u dodir sa drugom fazom sukcesivnim dodavanjem novih porcija za koje se može reći da prolaze kroz stacionarnu fazu. Primer za ovu vrstu procesa je ekstrakcija, kod koje se jedna faza dovodi u vezu sa nekoliko zapremina faze kojom se vrši ekstrakcija, a koje se posle skupljaju u jedan jedini ekstrakt. Kao drugi primer se može navesti obična destilacija. Kod procesa protivstrujnog (suprotnog) proticanja dve faze se kreću u suprotnim pravcima u odnosu jedna na drugu. U najvećem broju slučajeva jedna od faza je stacionarna dok se druga kreće, pa je to praktično pseudostacionarno proticanje. Ovaj proces se razlikuje od prethodnog po tome što se sukcesivno dodaju porcije obe faze. Tako se u stupnjevitom procesu svaka frakcija faze 1 dovodi u dodir sa svežom frakcijom faze 2, i svaka frakcija faze 2 dovodi u dodir sa svežom frakcijom faze 1. Tehnike koje se izvode na ovaj način su: ekstrakcija, hromatografija, elektroforeza, diferencijalna dijaliza i frakciona destilacija. Ovaj proces je od primarnog značaja u analitičkoj hemiji.

3 Težnja za uspostavljanje ravnoteže može se smatrati silom usled koje dolazi do odvajanja. Drugi tip sile je kinetičke prirode, jer od brzine putovanja rastvarača zavisi i odvajanje. Faktor iskorišćenja i faktor odvajanja Postupkom odvajanja određivana supstanca treba da se dobije u što većem iskorišćenju i u što većem stepenu čistoće. Faktor odvajanja za neku supstancu definisan je kao udeo od ukupne količine supstance dobijen odvajanjem n( A) R( A) = n A 0 ( ) R ( A) - faktor iskorićenja n( A) - količina supstance A dobijene odvajanjem ( ) n0 A - ukupna (početna) količina supstance A u analiziranom rastvoru Kod visoko efikasnog odvajanja faktor iskorišćenja za određivanu supstancu treba da je što bliži jedinici ( 100% ), dok za supstancu od koje se odvajanje izvodi faktor treba da ima što nižu vrednost. Faktor odvajanja željene komponente A, od od neželjne komponente B je (Sandell) veličina koja pokazuje koliko se puta izmenio odnos količina neželjene i željene komponente posle odvajanja prema odnosu njihovih količina u uzorku pre odvajanja. n( B) n( A) R( B) SB = = A n0 ( B) R( A) n0 ( A) Faktor odvajanja (faktor koncentrovanja) treba da ima što nižu vrednost. Najpoželjnije su one metode kod kojih je ravnoteža raspodele supstance između dve faze selektivna i dovoljno kvantitativna tako da se odvajanje može izvesti u jednom jedinom stepenu.

4 Ovo se dešava u slučaju kada su faktori odvajanja R ( A ) i R ( B ) veoma povoljni odnosno kad R( A) 1, a R( B) 0. Ukoliko jedan od dva faktora nije povoljan, odvajanje će biti moguće samo ako se jedan od postupaka odvajanja ponovi više puta. Ukoliko odvajamo supstancu A od supstance B prevođenjem u neki anski rastvarač (ekstrakcijom), ako je R( A ) < 1 ali R( B) 0 (što znači da se A ne ekstrahuje kventitativno), dok se B (praktično uopšte ne ekstrahuje) uspešno odvajanje se može postići ponovljenom ekstrakcijom supstance A sa novim količinama anskog rastvarača. Kada ni R ( A ) ni R ( B ) nisu povoljni, R( A ) < 1 a R( B ) > 0, postupak odvajanja postaje veoma kompleksan. Odvajanje se može postići mnogobrojnim ili kontinualnim ponavljanjem procesa odvajanja putem protivstrujnog pomeranja jedne ili obe faze (postupcima frakcionisanja u hromatografskoj ili destilacionoj koloni) Odvajanje taloženjem Odvajanja taloženjem se zasnivaju na razlikama u rastvorljivosti taloga, a uvid u mogućnosti odvajanja i uslove neophodne za odvajanje možemo dobiti na osnovu veličina proizvoda rastvorljivosti. Odvajanja taloženjem u praksi su znatno lošija i nepotpunija nego što to na osnovu teorijskih razmatranja može izgledati. Radi povećavanja efikasnosti taloženje je potrebno ponoviti i po nekoliko puta. Nesavršenost odvajanja kao i dužina analitičkih operacija (filtracija, pranje taloga) razlog su da se razdvajanja taloženjem izbegavaju kad god je to moguće i zamenjuju nekim drugim metodama (npr. ekstrakcijom). Često se izvode taloženja sa nosačem (kolektorom). Destilacija i isparavanje Kod razdvajanja destilacijom koriste se razlike u isparljivosti komponenti, odnosno razlike u njihovim pritiscima para. Što su razlike u isparljivosti komponenti veće lakše će se izvesti razdvajanje. Destilacija je jedna od najznačajnijih i najšire primenjivanih procesa u hemijskoj industriji. U analitičkoj praksi destilacija se koristi uglavnom za razdvajanje jednostavnijih smeša, u preparativne svrhe, za prečišćavanje i dobijanje čistih supstanci uključujući i hemijski čiste vode. Kod analize višekomponentnih sistema destilacija je danas gotovo potpuno potisnuta hromatografijom. Za analitička odvajanja destilacija nije dovoljno selektivna, često se grade azeotropne smeše, neke supstance se pri destilaciji termički ragrađuju, destilacija dugo traje i zahteva velike količine uzorka itd. Isparavanje (volatilizacija) i sublimacija su procesi u principu slični jednostavnoj destilaciji. Sublimacija predstavlja proces direktnog isparavanja čvrste supstance bez pojave njene tečne faze i može se posmatrati kao destilacija čvrste supstance. Jedan potpuni proces sublimacije obuhvata sukcesivnu promenu faza čvrsto gasovito čvrsto i primenjuje se uglavnom za prečišćavanje supstanci. Destilacija Razmotrićemo destilaciju binarne smeše tečnosti A i B, koje se međusobno potpuno mešaju. Kako se razdvajanja destilacijom zasnivaju na razlikama u isparljivosti supstanci, isparljivost i relativna isparljivost su pojmovi koji se u teoriji destilcije često koriste. Isparljivost je definisana kao odnos parcijalnog pritiska supstance u parnoj fazi i njenog molarnog udela u tečnoj fazi, pa će za komponentu A i B biti: p isparljivost A A = x ( ) A l

5 isparljivost B = p B ( x ) B l gde su: p A i p B parcijalni pritisci komponenti A i B u parnoj fazi (gasnoj). ( x A ) i ( x ) l B molski udeli komponente A i B u tečnoj fazi. l Relativna isparljivost dveju komponenti jednaka je odnosu njihovih individualnih isparljivosti. pa isparljivost ( xa ) A l relativnaisparljivost = α = = isparljivost p B B x ( ) Izrazimo li parcijalne pritiske komponenti kao proizvod njihovog molskog udela i pritiska para u čistom tečnom stanju (Raultov zakon za idealne rastvore) p = x p o ( ) l o ( ) A A A B pb = xb p l B gde su p A i p B pritisci para čistih komponenti A i B u tečnom stanju i to uvrstimo u izraz za realtivnu isparljivost, dobijamo: o pa α = o pb odakle vidimo da je relativna isparljivost dve komponente jednaka odnosu pritisaka para čistih komponenti u parnom stanju. (Relativna isparljivost ima značenje faktora (koeficijenta) selektivnosti i služi kao jedno od merila efikasnosti razdvajanja, a može se odrediti pomoću tački ključanja ( T A i T B ) T T logα = 8,9 B A T + T A B Relativna isparljivost se definiše tako da bude veća od jedinice ( 1) α > pa se brojilac u izvedenoj reakciji uvek odnosi na isparljiviju komponentu, što znači da je u našem slučaju komponenta A više isparljiva od komponente B. p Kako se odnos parcijalnih pritisaka komponenti A može zameniti odnosom njihovih p molskih udela u gasnom stanju ( ) A g ( xb ) g ( xa ) g ( x ) ( x ) A l A g ( xa ) l α = odnosno = α ( xb ) g ( xb) ( xb) g l ( x ) B l (Primenom Daltonovog zakona ( ) ukupan pritisak iznad tečnosti.) x p = x p biće A A g l B, dobija se drugi izraz za relativnu isparljivost. ( A) ( ) ( A) ( ) p x p x p x p x Pošto je komponenta A isparljivija od komponente B, odnos ( α > 1) A g g = = gde je p= pa + pb B B g B g, iz jednačine se vidi da će odnos molskih udela isparljivije i manje isparljivije komponente u parnoj fazi uvek biti veći od odnosa u tečnoj fazi, što znači da će parna faza uvek biti obogaćenija isparljivijom komponentom. Ovo predstavlja osnovni princip odvajanja destilacijom. Stepen obogaćivanja parne faze isparljivijom komponentom utoliko je veći što je α veće.

6 Zavisnost A u gasnoj fazi u zavisnosti od njenog udela u tečnoj fazi za razne vrednosti α koji se može smatrati i kao faktor obogaćenja jer od njegove veličine zavisi koliko će jedno razdvajanje biti lako ili teško izvesti. Zagrevamo li prema tome smešu tečnosti A i B na temperaturu ključanja, dobijena parna faza u ravnoteži sa tečnošću biće obogaćena isparljivijom komponentom (a tečna faza manje isparljivom komponentom) utoliko više što je veće α. Nijedna faza neće biti potpuno čista jer se jednom destilacijom dobija obogaćenje faza, što znači samo parcijalno razdvajanje komponenti, a ne čisti proizvodi. Poboljšanje razdvajanja bi se moglo postići ako bi se parna faza obogaćena isparljivijom komponentom ponovo kondenzovala, a dobijeni destilat ponovo destilovao, a taj proces se ponavljao više puta.

7 L H = (HETP-high equivalent to a theoretical plate) N Metode frakcione destilacije nalaze široku primenu kod razdvajanja anskih jedinjenja. Pri razdvajanju neanskih jedinjenja frakciona destilacija se praktično ne primenjuje, nego se uglavnom koriste jednostavni postupci destilacije i isparavanja. Jednostavno se može odvojiti voda, silicijum se može odvojiti u obliku SiF 4, arsen u obliku AsCl 3, ili AsH 3, antimon kao SbCl 3, kalaj kao SnBr 4 ili SnI 4, germanijum kao GeCl 4, hrom kao CrO2Cl 2, živa u elementarnom obliku, bor u obliku metil-borata, osmijum i rutenijum u obliku OsO 4, odnosno RuO 4, renijum kao Re2O 7, itd. EKSTRAKCIJA Kada se rastvor neke supstance u jednom rastvaraču dovede u kontakt sa drugim rastvaračem koji se ne meša se prvim, rastvorena supstanca će se zbog različite rastvorljivosti u ova dva rastvarača raspodeliti izmađu njih. Na ovom principu se zasnivaju metode odvajanja supstanci ekstrakcijom. U neanskoj analizi se najčešće koriste ekstrakcije iz vodenih rastvora pomoću anskih rastvarača koji se ne mešaju sa vodom. Pretpostavimo da jedan vodeni rastvor sadrži supstance A i B i da se mućka sa nekim anskim rastvaračem u kome se supstanca A rastvara bolje nego u vodi, dok je supstanca B u njemu praktično nerastvorna, dovođenjem ovih tečnih faza u međusobni kontakt najveći deo supstance A će preći u ansku fazu (ekstrahovati se), dok će supstanca B ostati u vodi. Razdvajanjem dveju tečnih faza (levak za odvajanje) razdvajaju se i supstance A i B. Ako je pri tome zapremina anskog rastvarača manja od zapremine vodenog sloja, supstanca će se ekstrahovati i koncentrovati. Ekstrakcija je vrlo efikasna, brza popularna tehnika razdvajanja (i koncentrovanja) supstanci. Primenjuje se kako za razdvajanje supstanci prisutnih u vrlo niskim koncentracijama tako i za razdvajanje supstanci prisutnih u makrokoličinama. Razdvajanja su čista, problemi koekstrakcije nisu jako izraženi, a dobijeni ekstrakt se vrlo često može direkno upotrebiti za određivanje izdvojene komponente. Koeficijent raspodele i odnos raspodele Raspodela supstance između dva rastvarača koji se ne mešaju određena je zakonom raspodele. Posmatramo li supstancu A koja se raspodeljuje između vodene ( ) i anske ( ) faze, dovođenjem ovih dveju faza u kontakt, uspostavlja se ravnoteža raspodele [ A] A( ) A( ) sa konstantom KD = K D koeficijent raspodele, a [ A ] i [ A ] A [ ] ravnotežne koncentracije supstance A u anskoj, odnosno vodenoj fazi. Što je koeficijent raspodele veći ekstrakcija je povoljnija. Opisivanje ekstrakcionih ravnoteža preko koeficijenta raspodele pogodno je u slučajevima kada se rastvorena supstanca rastvara u jednom obliku u obe faze. Često se, zbog sporednih ravnoteža rastvorena supstanca nalazi u više oblika u jednoj ili u obe faze (molekula, polimera, jona, asocijata itd.), pa bi se u takvom slučaju za karakterizaciju ekstrakcionog procesa trebalo koristiti više koeficijenata raspodele, od kojih bi svaki opisivao raspodelu samo jednog oblika. Za analitičke potrebe je obično važnije znati, koliko je od ukupne rastvorene supstance ekstrahovano, nezavisno od toga u kojim se sve oblicima supstanca nalazi u pojedinim fazama. Zbog toga je za opisivanje ravnoteže ekstrakcije pogodnije koristiti odnos raspodele D, koji označava odnos ukupnih koncentracija supstance (u svim njenim oblicima) u dve faze.

8 D c( A) = D odnos raspodele ili distribucioni koeficijent, a c( A ) c ( A ) i ( ) c A ukupne koncentracije supstance A u svim njenim oblicima u anskoj i u vodenoj fazi. Ekstrakcija jedne supstance. Stepen ekstrakcije jednostruke i višestruke ekstrakcije Prilikom posmatranja postupka ekstrakcije, pogodno je najpre posmatrati ekstrakciju jedne supstance, a nakon toga razmatranje proširiti na razdvajanje smeše supstanci. Ekstrahujemo li tako supstancu A iz vodenog rastvora nekim anskim rastvaračem, u stanju ravnoteže imaćemo c( A) D = c A ( ) Ako je zapremina anske faze V vodenoj fazi biće n A = c A V ( ) ( ) ( ) = ( ) n A c A V a ukupna količina n A = n A + n A ( ) ( ) ( ), a vodene V količine supstance u anskoj i Označimo li sa p udeo količine supstance koja se ekstrahuje i prelazi u ansku fazu, a udeo koji se ne ekstrahuje i ostaje u vodenoj fazi sa q, posle prve ekstrakcije imaćemo DV n( A) V D p = = = n( A) + n( A) DV D+ V V + 1 V n( A) 1 q = = = 1 p n( A) + n( A) DV V + 1 Efikasnost ekstrakcije jednaka je udelu ekstrahovane supstance, i obično se izražava u procentima i naziva se stepen ekstrakcije E (ili iskorišćenjem ekstrakcije R ), tako da je kod jednostruke ekstrakcije DV V D E = p 100 = 100 = 100 DV D+ V V + 1 V Iz jednačine se jasno vidi da je stepen ekstrakcije u jednakoj meri zavisan od odnosa raspodele i od odnosa zapremne anske i vodene faze. V Što su D i i stepen ekstrakcije je veći. V Uzmemo li kao primer da je D = 1000 V a = 1, jednom jedinom ekstrakcijom V ekstrahovaće se E = p 100 = 100 = 99,90% dok će neekstrahovano ostati 0,10%. V Za isti stepen ekstrakcije D = 100 trebalo bi da je odnos 10 V = itd.

9 V V Zavisnost stepana ekstrakcije od log D (uz V ) ili od 3 log dm V 3 dm uz ( D = 1) Ako je, prema tome odnos raspodele kod neke ekstrakcije vrlo veliki ( D > 1000), jedna jedina ekstrakcija će uz jednake zapremine dve faze obično biti dovoljna, da se praktično ekstrahuje sva supstanca 99,9%. Ovako visoka vrednost D sreće se veoma retko. V Nedovoljne vrednosti D se u principu mogu nadoknaditi povećanjem odnosa V, ali iz praktičnih razloga to se teško ostvaruje. Visok stepen ekstrakcije se može postići primenom višestruke ekstrakcije sa manjim zapreminama anskog rastvarača. To znači da se posle prvog uravnoteženja dva tečna sloja odvoje i vodeni sloj ponovo ekstrahuje malom zapreminom anskog rastvarača. Pri svakom uravnoteženju jedan jedan konstantan udeo p supstance se ekstrahuje iz vodene u ansku fazu, tako da se na kraju ekstrahuje više supstance sa manje rastvarača. Efikasnost ekstrakcije za svaki pojedinačan stepen izražena je u udelu supstance u svakoj fazi. Tako će posle prve ekstrakcije udeo neekstrahovane supstance koji zaostaje u vodenoj fazi biti 1 q1 = q= DV V + 1 posle druge ekstrakcije q q q q 2 2 = 1 = = DV V + 1 n 1 1 n n posle n-te ekstrakcije qn = q q = q = DV V + 1 dok će udeo ukupno neekstrahovane supstance biti 1 2

10 q n n 1 = q = DV V + 1 n Udeo supstance ekstrahovane prvom ekstrakcijom biće p, drugom ekstrakcijom p q, 2 n 1 trećom ekstrakcijom p q, n -tom ekstrakcijom p q dok će ukupni udeo ekstrahovane supstance biti jednak zbiru udela supstance u svim gornjim fazama ili razlici između jedinice (kao udela ukupno prisutne supstance na početku ekstrakcije) i udela supstance zaostale u donjoj fazi posle poslednje ekstrakcije. ukup.udeo.eks.sup.= ( 2 1 n n n ) 1 n p pq pq... pq = p q = ( 1 qn ) = ( 1 q ) Pošto se u izvedenim jednačinama broj ekstrakcija n pojavljuje kao eksponent, njegov uticaj na stepen ekstrakcije je mnogo veći od uticaja zapremine anskog rastvarača, pa će višestruka ekstrakcija uz istu zapreminu anskog rastvarača biti mnogo efikasnija od jedne jedine ekstrakcije. Uzmimo primer da je kod neke ekstrakcije D = 10 i da želimo da uz jednu jedinu q = 0,001, a da se ekstrahuje 99,9% ekstrakciju neekstrahovano ostane samo 0,1% ( ) ( p = 0,999), polazeći od 1 1 q1 = q= 0,001 = = DV 10 V V + 1 V + 1 V nalazimo da je potreban odnos zapremina dveju faza 100 i isti učinak ako se V ekstrakcija ponovi tri puta, polazeći od q 3 3 = q = 0,001 = 10 V V V nalazimo da je svaki put potrebno imati odnos 1 V. U prvom slučaju ukupna potrebna zapremina anskog rastvarača je 100V, dok u drugom iznosi samo 3V što je 33 puta manje. 1

11 Iz datih relacija se može izračunati i broj ekstrakcija potrebnih da se postigne određeni stepan ekstrakcije. n Polazeći od jednačine = q odnosno log q = nlog q dobija se qn log q n = n log q Tako npr. ako je kod neke ekstrakcije 0, 20 q = ( ) neekstrahovano ostane samo 0,1% supstance ( q = 0,001) dobijamo n 20%, a želimo da ukupno log 0,001 n = = 4,29 log 0,2 što znači da ekstrakciju treba ponoviti 5 puta. Očigledno je da se povećanjem broja ekstrakcija udeo ukupne ekstrahovane supstance povećava, ali zbog eksponencijalnog odnosa između ove dve veličine ne dobija se mnogo ako se proces ekstrakcije ponavlja više od 4 5 puta. Na slici je prikazan udeo ukupno neekstrahovane supstance, za nekoliko vrednosti D, uz iste ukupne zapremine anske i vodene faze. U praksi se zato data zapremina anskog rastvarača razdeli i koristi za nekoliko ekstrakcija i ako se nakon 4 5 ponovljenih ekstrakcija ne postgne dovoljna efikasnost, treba tražiti uslove u kojima je odnos raspodele D povoljniji (veći). Primer: Za jedan ekstrakcioni sistem D = 5. Izračunati udeo supstance koji ostaje neekstrahovan: a) posle jedne ekstrakcije sa jednakim zapreminama i i b)posle 5 ponovljenih ekstrakcija uz iste ukupne zapremime i. 1 a) V = V q1 = q= = 0,1667(16, 67%) V b) V = 5 q = q = = 5 0, 0312(3,12%) HROMATOGRAFSKE METODE godine Cvet je opisao svoj klasičan ogled u kome je izveo odvajanje pigmenata lišća i ovaj proces nazvao hromatografijom. Cvet je pretpostavio da boja zelenog lišća nije prosta materija, pa kako se do tad poznatim fizičkim i hemijskim metodama nije mogla razložiti na prostije komponente, on je to pokušao da postigne na osnovu razlike u adsorpciji različitih komponeti, na stubu kalcijumkarbonata. Hromatografija se zasniva na različitim migracijama rastvorenih supstanci kroz sistem koji se sastoji od dve faze, od kojih je jedna mobilna.

12 Druga faza je neki aktivni sorbent koji ostaje nepokretan i predstavlja stacionarnu fazu. Uzorak se postavlja na jedan kraj stacionarne faze i kontinualno ispira svežom mobilnom tečnošću koja prolazi kroz stacionarni sloj. U zavisnosti od interakcije različitih komponenti uzorka sa sorbentom dolazi do njihovog različitog zadržavanja na stacionarnoj fazi i do raspodele uzoraka između dve faze. U toku procesa dolazi do adsorpcije, odnosno desorpcije, a odvajanje je završeno kada se različite komponente pojavljuju na detektoru posle različitih vremena zadržavanja. Odvajanje smese A i B eluacionom hromatografijom na stubu sa izlaznim zapisom sa detektrora Brzina kojom se komponente kreću kroz kolonu zavisiće od njihovih koeficijenata raspodele. Ako postoji i najmanja razlika u ovim koeficijentima, komponente će kroz kolonu putovati različitim brzinama i postepno će se razdvojiti u zone ili trake.

13 JONSKA HROMATOGRAFIJA Kod jonskog hromatografskog odvajanja vrši se izmena jona sa naelektrisanim funkcionalnim grupama na stacionarnoj fazi. Odgovarajući suprotni joni vezani za funkcinalne grupe mogu se zameniti drugim jonima istog naelektrisanja u mobilnoj fazi. Proces izmene za svaki jon okarakterisan je ravnotežnom jonskom izmenom koja određuje raspodelu između faza. Mobilna faza rastvara i transportuje analit dok ga stacionarna faza zadržava.

14 Adsorbuje analit adsorpciona hromatografija Rastvara analit distribuciona hromatografija Jonoizmenjivačka hromatografija Styrene

15 Divinylbenzene Styrene-divinylbenzene smola Mobilne faze anjoni (I) Ftalna kiselina Salicilna kiselina p-hidroksibenzojeva kis. Benzojeva kiselina Borati Borat/Glukonat Kalijum hidroksid... anjoni (II) Karbonat/bikarbonat Kalijum hidroksid Borat

16 katjoni (I) Azotna kiselina Vinska kiselina Vinska/dipikolinska kiselina Vinska/limunska kiselina Natrijum dihidrogen fosfat oksalna kiselina/etilen diamin/aceton I II III IV V VI VII VIII I II III IV V VI VII VIII H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Ku I II III IV V VI VII VIII I II III IV V VI VII VIII H He Li Be B C N O F Ne

17 Na Mg Al Si P S Cl Ar K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe Cs Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn Fr Ra Ac Ku Metrosep Dual 1 70 No jon ppm 1 Chlorid Nitrit Bromid Nitrat Sulfat Sistem - Unošenje uzorka Pumpa visokog pritiska Uzorak Kolona Eluent Detektor Ftalna kiselina/acetonitril: 8,0 mmol l (TRIS ph = 4,0 ) 2,0 % IZOLACIJA I KARAKTERIZACIJA PROTEINA Biohemičar se veoma često sreće sa zadatkom da iz smese izdvoji pojedinačne proteine. Kao cilj se postavlja preparatvno dobijanje nekog određenog proteina (enzima) ili analitičko odvajanje i kvantitativno određivanje pojedinih komponenti kao što se to radi pri analizi ljudskog seruma.

18 Izolovanje proteina je često teško jer su oni veoma osetljivi i mogu se lako denaturisati, a pored toga se u telesnim tečnostima i ekstraktima tkiva nalaze vrlo komplikovane smese proteina. Fizičko-hemijske karakteristike proteina određene su oglavnom sa dva faktora: veličinom i naelektrisanjem pa su razvijene metode izolovanja koje se baziraju na razlikama u ovim parametrima. Pored toga se mogu iskoristiti i osobine vezivanja specifičnih molekula (afinitativna hromatografija i imunohemijska taloženja). Metode koje odvajaju proteine prema veličini molekula mogu služiti, kako za preparativno dobijanje, tako i za izolaciju proteina. Često su potrebne samo manje izmene u primenjenoj metodologiji da bi se postigao željeni cilj. Uz manje modifikacije ova metoda može se koristiti i za određivanje relativne mase proteina. U toku preparativnog izolovanja proteina mora se u svakoj fazi odrediti čistoća pa se preparativna i analitička metoda moraju dopunjavati. Odvajanje prema rastvorljivosti Većina se proteina može istaložiti iz vodenih rastvora pomoću neutralnih soli. Taloženje zavisi od veličine i naelektrisanja molekula, a kod izoelektrične tačke rastvorljivost proteina je najmanja. Metode taloženja sa natrijum i amonijum-sulfatom su najstariji postupci za izolovanje proteina. Rastvoru koji sadrži protein se dodaje sve veća količina soli, a istaloženi proteini se svaki put odvajaju centrifugiranjem. Promenom ph vrednosti rastvora metoda se može poboljšati, ali uprkos tome dobijaju se prilično nečiste proteinske frakcije i zbog toga se ova metoda danas koristi kao prvi korak u prečišćavanju proteina. Taloženje proteina iz vodenih rastvora može se izvesti i pomoću anskih rastvarača kao što su alkohol i aceton, koji se mešaju sa vodom. Taloženje se izvodi na niskim temperaturama jer se proteini inače lako denaturizuju. Odvajanje prema naektrisanju Rastvoreni proteini su polivalentni joni i njihova naelektrisanja potiču od karboksilnih grupa u bočnim lancima glutaminske i asparaginske kiseline. Karboksilna grupa terminalne aminokiseline lanca takođe donosi jedno negativno naelektrisanje. Pozitivna naelektrisanja daju bočni lanci baznih aminokiselina kao što su arginin lizin i histidin. Amino-terminalna grupa takođe daje pozitivno naelektrisanje ako nije acetilovana ili nije piroglutaminska kiselina. Naelektrisanje ovih kiselih i baznih grupa zavisi od ph vrednosti rastvora. Niske ph vrednosti suzbijaju disocijaciju kiselih grupa, a pri visokim ph vrednostima bazne grupe su nenaelektrisane (histidinska grupa prva gubi naelektrisanje). Kod određene ph vrednosti broj pozitivnih i broj negativnih naelektrisanja je jednak i to se naziva izoelektrična tačka proteina. Elektrofokusiranje Elektrofokusiranjem se razdvajaju proteini prema svojoj izoelektričnoj tački. Veštački amfoliti stvaraju ph gradijent u električnom polju a proteinski molekul se kreće u ovakvom ph gradijentu do mesta koje odgovara njegovoj izoelektričnoj tački. On se više ne pokreće sa tog mesta jer je molekul nenaelektrisan (ima isti broj pozitivnih i negativnih naelektrisanja) i na njega ne deluje električno polje. Upotrebom dobrih ph gradijenata postiže se dobro odvajanje proteina uz istovremeno određivanje njihovih izoelektričnih tačaka. Elektroforeza

19 Kod određene ph vrednosti koja se dobije pomošu puferskog rastvora različiti proteini imaju različit broj naelektrisanja. Ukoliko se uspostavi električno polje, brzina putovanja naelektrisanog molekula proteina zavisiće od jačine električnog polja. Ako u molekulu preovladava negativno naelektrisanje onda on putuje prema anodi. Brzina kretanja proteina u određenom električnom polju zavisi od zbira naelektrisanja kao i veličine i oblika molekula što uslovljava jačinu trenja. Elektroforeza je veoma korisna metoda za odvajanje proteina, a pored toga služi i za određivanje čistoće nekog proteinskog preparata. Pretežno se upotrebljava za analitičke svrhe, ali se može iskoristiti i za preparativno dobijanje različitih proteina. Danas se elektroforeza uglavnom izvodi na nosačima. Osim folija celuloznog acetata, kao vrlo dobri nosači su se pokazali poliakrilamidni gelovi. Shema elektroforeze. Levo je deo α-heliksa na kojim su označena mesta sa naelektrisanjima. Desno su na neki nosač naneta tri proteina sa različitim brojem naelektrisanja koji su određeno vreme ( 15h ) putovali do vrha sterlice. Elektroferogram je izazvan bojenjem, a kvantitativno određivanje se može izvesti denzinometrijski ili fotometrijski. Kod poliakrilamidnih gelova može se proizvoljno varirati stepen umreženosti, a samim tim i veličina pora. U jako umreženom gelu pored razdvajanja molekula prema naelektrisanju dolazi i do efekta molekulskih sita. Elektroforeza na poliakrilamidnim gelovima može se izvesti na taj načid da se odvajanje proteina odvaja samo po molekulskoj masi (SDS-gel elektroforeza).

20 Primer elektroforetskog odvajanja proteina iz seruma a) elektroforeza na papiru, b) diskelektroforeza, c) dvodimenzionalna imunoelektroforeza. Disk elektroforeza Kod ovog postupka dva različito jako umrežena poliakrilamidna gela sa nadsloje tako da nastane diskontinuitet. Gornji gel sa širim porama služi kao tzv. gel sakupljač za koncentrovanje proteina. Zbog toga se osobito oštre trake, a time i vrlo dobro odvajanje proteina. Elektroforeza se može kombinovati sa imunoprecipitacijom, pa se takav postupak naziva imunoelektroforeza. Hromatografija sa jonskim izmenjivačima Princip ovog postupka služi pre svega za izolovanje, a kao jonski izmenjivači kod hromatografisanja proteina retko se upotrebljavaju sintetičke smole, jer one često denaturišu proteine. Kao adsorbensi najčešće služe preparati celuloze kojima su veštačkim putem uvedene naelektrisane grupe. Tako se u celulozu mogu uvest pozitivno naelektrisane dietilaminoetil-grupe + ( CH 2 5) N H CH 2 2 CH2, ili negativno naelektrisane karboksimetil-grupe CH 2 COO. Hromatografija pomoću ovih adsorbenasa izvodi se isključivo na stubu (koloni), a u eluentu se koncentracija proteina određuje merenjem UV-apsorpcije.

21 Hromatografska homogenost koja se zapaža kao oštar pik u dijagramu eluacije može da služi kao kriterijum za čistoću proteina. Određivanje prema veličini molekula Proteini se veoma često jako razlikuku prema veličini i obliku molekula. Ove osobine se mogu iskoristiti za njihovo odvajanje, a najvažnije metode koje se koriste ovim osobinama su ultracentrifugiranje i gel-filtracija (hromatografija ekskluzijom). U ultracentrifugi, zbog rotacije nastaje sila koja je nekoliko stotina hiljada puta veća od zemljine sile gravitacije. Molekuli proteina sedimentiraju u polju centrifugalnih sila različitim brzinama pa se tako mogu i odvojiti. Ova metoda se koristi i za određivanje M r. Za preparativno odvajanje često se koristi i metoda centrifugiranja u gradijentu gustine i obično se koristi saharoza čija se gustina povećava od vrha prema dnu kiveta. U toku centrifugiranja protein ili drugi molekuli putuju do one dubine u kiveti u kojoj lebde, to jest do one gustine saharoze koja odgovara njihovoj gustini. Nakon centrifugiranja mogu se odvojiti pojedini slojevi a ova metoda se često koristi i za frakcionisanje nukleinskih kiselina. SDS-gel elektroforeza Za analitičko odvajanje proteina prema relativnoj molekulskoj masi primenjuje se gel elektroforeza u prisustvu natrijum-dodecilsulfata (SDS) što dovodi do denaturacije proteina. Kod većih molekula javlja se veći otpor prema strujanju u poliakrilamidnom gelu, pa je dužina njihovog puta manja nego kod manjih molekula. Obojenjem gel specifičnim bojama za proteine oni postaju vidljivi, a kako intenzitet obojenja zavisi od koncentracije, proteine možemo i kvantitativno odrediti. Gel filtracija (hromatografija ekskluzijom) Kod ove vrste hromatografije stacionarna faza je polisaharidni gel koji deluje kao molekulsko sito. Unutar čestica gela nalaze se vodom ispunjene šupljine u koje mogu ući samo male molekule i molekule srednje veličine. Kada se gel ispere rastvaračem molekuli koji su prodrli u šupljine mogu se eluirati. Pogodnim izborom gela i postupkom eluacije mogu se izolovati i prečistiti a ova metoda se može koristiti i za određivanje M. r Gel-filtracija na dekstrinskom gelu Afinitetna hromatografija

22 Kod ovoga postupka se primenjue potpuno drugačiji princip odvajanja proteina od do sada opisanih. Metoda se zasniva na sposobnosti proteina da vrlo specifično vežu određene male molekule. Takve sposobnosti pre svega imaju enzimski proteini, ali i imunoglobulini, hormonski receptori i ostali proteini koji pokazuje osobine specifičnog vezivanja. Molekul supstrata nekog enzima veže se kovalentno za neki nosač i za nosač se najčešće veže preko kraćeg alifatičnog lanca. Nosač sa tako učvršćenom molekulom supstrata se puni u staklenu kolonu. Iz rastvora proteina koji se propušta kroz kolonu vezaće se samo odgovarajući enzim a nevezani proteini se isperu. Na kraju se, dodatkom nekog supstrata ili molekule slične supstratu, odvoji vezani enzim koji se odvoji u eluent. Po ovom postupku mogu se postići veoma specifična odvajanja jer se koristi prirodni specifični afinitet proteina za određeni molekul. KAPILARNA ELEKTROFOREZA Kapilarna elektroforeza je danas jedna od najčešće primenjivanih tehnika za razdvajanje supstanci. Efikasnost, brzina i jednostavnost u podešavanju selektivnosti, osnovne su prednosti koje je vrlo često čine odabranom tehnikom odvajanja i određivanja čak u konkurenciji sa visokoefikasnom tečnom hromatografijom (HPLC). Od samog početka primene elektroforeze do danas, njene mogućnosti su ograničene pojavom zagrevanja medijuma usled prolaska električne struje. Jačina primenjenog električnog polja određuje efikasnost razdvajanja, ali i promenu temperature medijuma, pa se obično u klasičnoj elektroforezi na mogu koristiti električna polja jača od 100 V cm. Idejom da se elektroforeza izvodi u kapilarnim kolonama i konstrukcijom prvog komercijalnog aparata za miro -elektroforezu 80-ih godina prošlog veka, kapilarna elektroforeza postaje jedna od vodećih metoda na polju analitičkih razdvajanja i određivanja. Razdvajanja kapilarnom elektroforezom izvode se u kapilarama (najčešće fused silica) čiji je unutrašnji prečnik 25 75µ m (mogu biti opsega 5 100µ m ). Električno polje čija se jačina kreće i do 700 V, primenjuje se uz odgovarajući pufer i cm način detekcije. Shema aparature za kapilarnu elektroforezu Osnovni faktori koji određuju efikasnost razdvajanja su: -zagrevanje usled usmerenog kretanja naelektrisanih čestica u električnom polju (Džulov zakon).

23 -disperzija (širenje zona razdvajanja) i -elektroosmoze Svi ovi faktori direkno zavise od osobina uzorka ( M, r pk a, strukture, obrazovanja kompleksa), osobina pufera ( ph, viskoznost, aditivi, dielektrična konstanta) i instrumenata kojima se određivanje izvodi (dužina kapilare, jačina primenjenog električnog polja). Za razliku od HPLC profil kretanja rastvora kroz kapilaru je ravan pa su zbog toka i pikovi uži (ne dolazi do širenja zona zbog različitih brzina kretanja jona iste vrste u zavisnosti od rastojanja od zida kapilare). Tehnike kapilarne elektroforeze Razlikujemo nekoliko metoda(tehnika): -kapilarna zonska elektroforeza -kapilarna gel elektroforeza -micelarna elektrokinetička hromatografija (MEKC) -kapilarno izoelektrično fokusiranje -kapilarna izotakoforeza (CITP) Pod kapilarnom zonskom elektroforezom pdrazumeva se u stvari klasična kapilarna elektroforeza u kojoj je razdvajanje određeno brzinama kretanja jona u električnom polju u skladu sa odnosom m, u smeru od anode ka katodi. z Ukupna brzina kretanja predstavlja vektorski zbir brzina elektroosmotskog (najviše zavisi od osobina pufera) i elektroforetskog kretanja (najviše zavisi od osobina samog uzorka). Kapilarna gel elektroforeza prdstavlja tehniku u kojoj je kapilara napunjena gelom, pa se razmatra zavisnost ne samo od m odnosa nego i od veličine jona. z Kao gel se uglavnom koristi polietilen oksid (PEO), poliakril amid (PAA), dekstrin ili agaroza. Povećanjem koncentracije gela povećava se i rezolucija ali se produžava i vreme analize.

24 GCE ima dve bitne prednosti u odnosu na CZE: prisustvom gela u kapilari neutralisan je elektroosmotski protok, pa su određivanja znatno reproduktivnija i kapilarnom gel elektroforezom se mogu razdvajati i polimerni molekuli kao što su DNA i proteini kod kojih se promenom broja monomera odnos m ne menja znatno, ali se menja veličina. z Micelarna elektrokinetička hromatografija je tehnika u kojoj se supstance razdvajaju na osnovu različitih raspodela između dve faze, pa odatle i naziv hromatografija u imenu. U ovom slučaju se u kapilaru ubacuje neka površinski aktivna supstanca u dovoljnoj koncentraciji da bi došlo do udruživanja molekula i obrazovanja micela. Kako je unutrašnjost micela hidrofobna, ovom tehnikom se osim jona mogu razdvajati i nenaelektrisane čestice. joni se ne raspoređuju između rastvora i unutrašnjosi čestice pa njihovo razdvajanje i dalje zavisi samo od brzine kretanja, koja je doduše izmanjana elektrostatičkim interakcijama sa nenaelektrisanom površinom micela. Nenaelaktrisane čestice se razdvajaju isključivo u skladu sa raspodelom između rastvora i unutrašnjosti micela, a ono zavisi od hidrofobnosti molekula. Kao površinski aktivna supstanca se uglavnom koristi: natrijum dodecil sulfat (SDS), anjonski surfaktant), cetiltrimetilamonijum hlorid (katjonski surfaktant), CHAPS

25 (cviterjonski surfaktant) ili Triton X-100 kao neutralni surfaktant. Kapilarno izoelektrično fokusiranje je tehnika za razdvajanje i koncentrovanje proteina prema vrednosti njihove izoelektrične tačke ( pi ). U kapillari se formira gradijent ph tako da vrednosti ph rastu idući od anode prema katodi. Kako su proteini Zwitter joni čije naelektrisanje zavisi od ph vrednosti, tako će se po uključivanju visokog napona svaki od njih kretati prema tački u kojoj postaje elektroneutralan, i tu se zaustavlja. Da bi se formirao ph gradijent u kapilaru se, zajedno sa smesom proteina, unosi i smesa amfolita (takođe Zwitter joni) napravljeni tako da pokrivaju široku oblast ph vrednosti. Mobilizacija se izvodi povećanjem pritiska na suprotnom kraju kapilare od one na kojoj se nalazi detektor ili dodavnjem soli u anodni ili katodni prostor. Zapremine koje se koriste kod CIEF su znatno veće nego u prethodno opisanim tehnikama, jer je u ovom slučaju kompletna kapilara ispunjena uzorkom. U kapilarnoj izoelektroforezi uzorak je sendvič između dva pufera čija se mobilnost u električnom polju znatno razlikuje.

26 Puferi se biraju tako da su jonske pokretljivosti supstanci u uzorku po vrednostima između pokretljivosti korišćenih pufrea. U kapilaru se prvo unosi pufer najveće pokretljivosti vodeći pufer pa smesa supstanci za razdvajanje i na kraju pufer najmanje pokretljivosti. Uključivanjem električnog polja dolazi do preraspodele komponenti prema pokretljivostima, ali se one i dalje kreću nošene puferima pa je brzina kretanja svih zona kroz kapilaru jednaka (specifičnost CITP). I u ovoj tehnici kao i kod CIEF dolazi do fokusiranja, pa se može koristiti za prekoncentrovanje uzorka. Mana ove tehnike je što se anjoni i katjoni ne mogu istovremeno analizirati. U proučavanju ćelijskog sastava kapilarna elektroforeza ima značajno mesto. Zahvaljujući izuzetno niskim granicama detekcije, fokusiranosti laserskog snopa LiF sistemi se koriste za analizu pojedinačnih ćelija. Kapilarna elektroforeza se danas rutinski koristi u mnogim oblastima: hemiji i biohemiji, medicini, molekularnoj biologiji, zaštiti životne sredine ali su istraživanja novih mogućnosti primene još uvek brojna. Primena gasne hromatografije za ispitivanje starosti mastila

27

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Συντήρησης Αρχαιοτήτων και Έργων Τέχνης Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής - ΣΑΕΤ

Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Συντήρησης Αρχαιοτήτων και Έργων Τέχνης Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής - ΣΑΕΤ Γενική και Ανόργανη Χημεία Περιοδικές ιδιότητες των στοιχείων. Σχηματισμός ιόντων. Στ. Μπογιατζής 1 Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Συντήρησης Αρχαιοτήτων και Έργων Τέχνης Π Δ Χειμερινό εξάμηνο 2018-2019 Π

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci

Appendix B Table of Radionuclides Γ Container 1 Posting Level cm per (mci) mci 3 H 12.35 Y β Low 80 1 - - Betas: 19 (100%) 11 C 20.38 M β+, EC Low 400 1 5.97 13.7 13 N 9.97 M β+ Low 1 5.97 13.7 Positrons: 960 (99.7%) Gaas: 511 (199.5%) Positrons: 1,199 (99.8%) Gaas: 511 (199.6%)

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE

MEĐUMOLEKULSKE SILE JON-DIPOL DIPOL VODONIČNE NE VEZE DIPOL DIPOL-DIPOL DIPOL-INDUKOVANI INDUKOVANI JON-INDUKOVANI DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE JN-DIPL VDNIČNE NE VEZE DIPL-DIPL JN-INDUKVANI DIPL DIPL-INDUKVANI INDUKVANI DIPL DISPERZNE SILE MEĐUMLEKULSKE SILE jake JNSKA VEZA (metal-nemetal) KVALENTNA VEZA (nemetal-nemetal) METALNA

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA

RAVNOTEŽA TEČNO-PARA RAVNOTEŽA TEČNO-PARA Smeša dve isparljive komponente (dve tečnosti) koje se mešaju u svim odnosima: f = c p + 2 = 2 2 + 2 = 2 tečna homogena smeša+para iznad tečnosti Ako su te dve nezavisno promenjive

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS

SUPPLEMENTAL INFORMATION. Fully Automated Total Metals and Chromium Speciation Single Platform Introduction System for ICP-MS Electronic Supplementary Material (ESI) for Journal of Analytical Atomic Spectrometry. This journal is The Royal Society of Chemistry 2018 SUPPLEMENTAL INFORMATION Fully Automated Total Metals and Chromium

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του

Μάθημα 12ο. O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Μάθημα 12ο O Περιοδικός Πίνακας Και το περιεχόμενό του Γενική και Ανόργανη Χημεία 201-17 2 Η χημεία ΠΠΠ (= προ περιοδικού πίνακα) μαύρο χάλι από αταξία της πληροφορίας!!! Καμμία οργάνωση των στοιχείων.

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori i osobine rastvora

Rastvori i osobine rastvora Rastvori i osobine rastvora U srpskom jeziku reč rasvor predstavlja homogenu tečnu smešu. U engleskom reč solution predstavlja više od toga smešu dva gasa, legure (homogene smeše dva metala)... Na ovom

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c.

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c. II RAČUNSKE VEŽBE HEMIJSKE RAVNOTEŽE TEORIJSKI DEO I POJAM AKTIVNOSTI JONA Razblaženi rastvori (do 0,1 mol/dm ) u kojima je interakcija između čestica rastvorene supstance zanemarljiva ponašaju se kao

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

ANALITIČKA HEMIJA. Kvalitativna analiza Kvantitativna analiza

ANALITIČKA HEMIJA. Kvalitativna analiza Kvantitativna analiza ANALITIČKA HEMIJA Kvalitativna analiza Kvantitativna analiza RAZLIKE Kvalitativnom hemijskom analizom dolazi se do saznanja o sastavu uzorka, tj. dobija se odgovor na pitanje od kojih komponenti se uzorak

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

SEPARACIONE TEHNIKE -razdvajanje jedne kompomente iz višekomponentnog sistema taloženje i ceđenje destilacija kristalizacija ekstrakcija

SEPARACIONE TEHNIKE -razdvajanje jedne kompomente iz višekomponentnog sistema taloženje i ceđenje destilacija kristalizacija ekstrakcija HROMATOGRAFIJA SEPARACIONE TEHNIKE -razdvajanje jedne kompomente iz višekomponentnog sistema taloženje i ceđenje destilacija kristalizacija ekstrakcija centrifugiranje hromatografske tehnike HROMATOGRAFIJA

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori rastvaračem rastvorenom supstancom

Rastvori rastvaračem rastvorenom supstancom Rastvori Rastvor je homogen sistem sastavljen od najmanje dvije supstance-jedne koja je po pravilu u velikom višku i naziva se rastvaračem i one druge, koja se naziva rastvorenom supstancom. Rastvorene

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. Πρότυπα δυναμικά αναγωγής ( ) ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 25 o C. Ημιαντιδράσεις αναγωγής , V. Antimony. Bromine. Arsenic.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. Πρότυπα δυναμικά αναγωγής ( ) ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 25 o C. Ημιαντιδράσεις αναγωγής , V. Antimony. Bromine. Arsenic. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 5 o C ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V. Πρότυπα δυναμικά αναγωγής ΠΡΟΤΥΠΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΤΟΥΣ 5 o C, V, V Auminum Bervium A ( H ) e A H. 0 Be e Be H. 1 ( ) [ ] e A F. 09 AF

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA

OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan

Διαβάστε περισσότερα