2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

Transcript

1 ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se aritmi nazivaju $%&$' i označavaju se 0 (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 0) Ako je osnova (baza) e (, 7) onda se takvi aritmi zovu ($' I označavaju se ln Moramo voditi računa o zapisu: ( ) Upoznajmo se sa svojstvima aritma kroz sledeće primere:

2 Izračunati: )* ln +, -. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( 0 ).* 0 ln Svi ovi aritmi za rešenje imaju, jer je (/# 0 00 ln 0* a) + b) Primenićemo svojstvo 0# + ( ) Dakle: a) + () ( po drugom svojstvu) b) () 00 * Primenićemo: a) 0 b) 0 0 Dakle: 0 a) 0 0 b) 0 0 0

3 * Izračunati: a) 8 b) Ovde ćemo upotrebiti v) Podsetnik: i a) b) v) 8 * Izračunati: a) 8 b) v) 7 Ovde ćemo upotrebiti da je a) 8 b) v) 7

4 * Izračunati: a)!"# 0 b) 0 Dakle rešenja oba ova zadačića je. * Izračunati: a) 787 b) Ako je i izračunati 00, # Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: a) itd. Dakle: Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 0 tada je: 787 ;, Kao što vidimo dosta toga se skratiti (sad vidimo da je bilo bolje da 8 uzmemo osnovu, ali nema veze vraćamo se u ) 8 b)

5 00 00 (ovde je jasno da nova osnova mora biti.) 0 0 () ( + ) ( 9) (+ ) ( + ) + + * Izračunati: 8 a) Primenjujemo: b) 0 8 Dakle: 8 i 0 Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima aritama, pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: )* Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 0. Rešenja: a) b) v) d) a) b) ( + ( ) + ) +

6 v) (/#, ( ) + g) + +.* Rešiti po jednačine: a) + + b) + + π + v) + + Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva aritma spakuju obe strane!!! Dobićemo izraz, ovde izvršimo takozvano '!'7%, tj. skratimo aritme i dobijemo a) + + +!%# Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! / 0

7 b) + + π + ( ) ( ) ( ).../ + π + π π π...(!) v) / 0* Ako je 7 i Izračunati 8, # ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti (7) Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 8. Probajte razne 7 7 opcije, nešto mora da upali, uglavnom, iskustvo je presudno!!! 7

8 LOGARITAMSKA FUNKCIJA Funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji aritamska funkcija. Označava se sa: y (čita se aritam od za osnovu a) Ako je ae yln Ako je a0 y Za osnovne aritamske funkcije važi: y a ( a, a > 0, a R) a ) Funkcije su definisane za ( 0, ) ) Nula funkcije je tj. grafik seče -osu u tački A(,0) ) Monotonost (rašćenje i opadanje) a) Ako je osnova a > finkcija je rastuća b) Ako je osnova 0 < a < funkcija je opadajuća ) Znak funkcije: a) Ako je osnova a >, znak je: y > 0 za (, ) y < 0 za (0,) b) Ako je osnova 0 < a <, znak je: y > 0 za (0,) y < 0 za (, ) Evo par primera osnovnih grafika: ) y naziva se Napravimo tablicu, ali vrednosti za biramo pametno,,,8,,,. 8 Videćemo zašto!!! Za y 0 Za y Za y Za 8 y Za y

9 Za Za 8 y y X 8 8 Y y Kako je a > 0 ona je rastuća!!! ) y Slično kao malopre pravimo tablicu: X 8 8 Y

10 y Dakle kad je osnova a izmedju 0 i grafik je opadajući!!! Za malo složenije grafike je moguće izvršiti pomeranje duž i y-ose (slično kao kod kvadratne funkcije) ali za ozbiljnije zadatke će nam biti potrebno znanje iz IV godine srednje škole. ) Data je funkcija y a ( ) ( a > 0, a ) a) za koje vrednosti argumenata funkcija ima smisla u skupu realnih brojeva b) Odrediti nule date funkcije; c) Odrediti tako da za osnovu a vrednost funkcije bude. Rešenje: y a ( ) Pazi: Sve iza mora biti >0 Znači: > 0 upotrebimo znanje iz kvadratne nejednačine!!! (podseti se) 0 ±, 0 Pa je oblast definisanosti: (,0),

11 b) Nule f-je su rešenja jednačine y0 Znači: a ( ) 0 Kako je a 0 to mora biti: 0 ±, Dakle ova funkcija ima nule i c) ( ) 0 y a a zamenimo y ( ) Idemo po definiciji A 0 ± 8, 0 B B A