μαθηματικές σχέσεις Ενότητα 5: Ταξινομήσεις, Συναρτήσεις, Κανονικότητες και Αλγεβρικές Σχέσεις Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών

Transcript

1 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών μαθηματικές σχέσεις Ενότητα 5: Ταξινομήσεις, Συναρτήσεις, Κανονικότητες και Αλγεβρικές Σχέσεις Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

2 σχέσεις στα μαθηματικά Η έννοια της σχέσης στα μαθηματικά αναφέρεται σε σαφώς διατυπωμένο κανόνα ή διαδικασία που συνδέει μεταξύ τους στοιχεία του ίδιου ή διαφορετικών υλικών ή νοητών αντικειμένων (Χασάπης, 2000) παραδείγματα: ο κανόνας κόκκινα τρίγωνα κάνει διάκριση με βάση το χρώμα ο κανόνας περισσότερα από 3 ορίζει σχέση διάκρισης με κριτήριο το μέγεθος ο κανόνας κάτω από 8 κάνει διάκριση με βάση τη διάταξη ο κανόνας ένα φύλο σε κάθε παίχτη ορίζει σχέση αντιστοιχίας 2

3 ταξινόμηση η διαδικασία διαχωρισμού των στοιχείων ενός συνόλου σε υποσύνολα που γίνεται στη βάση ενός προεπιλεγμένου κριτηρίου που λειτουργεί ως κανόνας. παράδειγμα ταξινόμηση παιχνιδιών με βάση το σχήμα, ή το χρώμα, ή το μέγεθος, ή το υλικό, κτλ. μια ορθή ταξινόμηση είναι απόλυτα συνεπής απέναντι στο κριτήριο οι ταξινομήσεις έχουν διαφορετικούς βαθμούς δυσκολίας ανάλογα με το κριτήριο 3

4 διάταξη η τοποθέτηση ενός συνόλου διακριτών ή συνεχών μεγεθών σε ιεραρχική σειρά (από το μικρότερο στο μεγαλύτερο ή αντίστροφα) με μία τάξη μεγέθους. παράδειγμα: από το βαρύτερο στο ελαφρύτερο, από το πιο χοντρό στο πιο λεπτό, από το πιο κοντά στο πιο ψηλό, κοκ. γνωστικές προϋποθέσεις για μια σωστή διάταξη: τη δυνατότητα νοερής αναπαράστασης των αντικειμένων σε μια νοητή σειρά - ρόλος της μνήμης εργασίας μεταβατική σχέση σε τρία αντικείμενα (αν α>β και β>γ τότε α>γ) - βασική προϋπόθεση για έμμεσες συγκρίσεις π.χ., αν ο Κ είναι πιο ψηλός από τον Γ που είναι ο ψηλότερος από 5 παίχτες, τότε είναι ο ψηλότερος από όλους χωρίς να χρειάζεται να τον συγκρίνουμε με καθέναν τους η δυνατότητα εστίασης σε δύο χαρακτηριστικά ταυτόχρονα: ότι το β είναι ταυτόχρονα μεγαλύτερο από το γ και μικρότερο από το α 4

5 ταξινόμηση - διάταξη ενδείξεις πρώιμης ικανότητας ταξινόμησης και διάταξης από μικρά παιδιά στο παιχνίδι με τον απεγκλωβισμό των ράβδων (κάτι σαν τζένγκα) τα παιδιά από νωρίς μπορούν να ταξινομούν με βάση τις επαφές των ράβδων, σε αυτές που δεν ακουμπάνε με κανέναν και αυτές που ακουμπάνε με έναν ή με δύο κοκ, και τις διατάσσουν με βάση τη δυσκολία (από την πιο εύκολη στην πιο δύσκολη) και δεν ξεκινάνε από αυτές που βρίσκονται στον πάτο του σωρού στο παιχνίδι που φτιάχνουμε πύργους από κύβους ξεκινάνε από τους μεγαλύτερους που μπαίνουν στη βάση, στους μικρότερους που μπαίνουν πάνω του 5

6 δραστηριότητες δραστηριότητες να ταξινομούν αντικείμενα με βάση κριτήρια τα οποία αλλάζουν: ταξινόμηση με βάση το σχήμα, μετά με βάση το χρώμα, μετά με βάση το υλικό, κτλ ταξινόμηση με βάση την ύπαρξη μιας ιδιότητας και μετά με βάση την άρνηση μιας ιδιότητας π.χ., ποια αντικείμενα δεν κυλάνε, δεν τρώγονται, ποια ζώα δεν πετάνε, κτλ. ταξινόμηση με βάση την κατηγορία που ανήκουν π.χ., φρούτα - λαχανικά, φρούτα ανά εποχή, κοκ 6

7 αντιστοιχίσεις η αντιστοίχιση είναι σημαντική σχέση στα μαθηματικά γιατί πάνω της χτίζεται η κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης, βασική έννοια της άλγεβρας διμελείς σχέσεις: σχέσεις που συνδέουν ένα μέλος ενός συνόλου που αντιστοιχίζεται σε ένα μέλος ενός άλλου συνόλου είδος (είναι είδος αντιστοίχισης) όλα τα πιθανά ζεύγη ανάμεσα στα μέλη ενός συνόλου Α και εκείνα ενός συνόλου Β, ορίζονται από το Καρτεσιανό Γινόμενο: ΑxB 7

8 Καρτεσιανό Γινόμενο: ΑxB Αν Α τα πρωτάκια και Β τα νήπια, το παρακάτω καρτεσιανό γινόμενο ορίζουν όλα τα πιθανά ζεύγη (Πρωτάκια, Νήπια) B/A A1 A2 B1 (A1,B1) (A2,B1) B2 (A2,B1) (A2,B2) B3 (A3,B3) (A3,B3) 8

9 Συνάρτηση Η διμελής σχέση των συνόλων Α και Β όπου κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β, ονομάζεται στα μαθηματικά συνάρτηση αν όλα τα στοιχεία του Α αντιστοιχηθούν με όλα τα στοιχεία του Β τότε λέμε ότι είναι μία απεικόνιση ένα προς ένα (συμβολικά: 1-1) π.χ., μια απεικόνιση ένα προς ένα είναι αυτή ανάμεσα στο σύνολο χωρών Α={α, β, γ, δ) και το σύνολο χωρών με χρυσά μετάλλια Β={2, 3, 1, 4) με στοιχεία (α, 3) (β, 2) (γ, 4) (δ, 1) 9

10 δραστηριότητες να κάνουν αντιστοιχίσεις και να συγκρίνουν πληθικότητες συνόλων χωρίς απαρίθμηση βλ. ένα προς ένα αντιστοίχηση να λένε αν όλα τα αντικείμενα αντιστοιχήθηκαν σε άλλο αντικείμενο ή αν κάποια περίσσεψαν να βρίσκουν τη σχέση στη βάση της οποίας έγινε μια αντιστοίχιση να κάνουν αντιστοιχίσεις στη βάση σχέσεων/κανόνων ταξινομούν γεωμετρικά σχήματα στη βάση της ομοιότητας και συζητούν επί των κανόνων για να προκύψουν οι ιδιότητες των σχημάτων 10

11 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών ταξινομήσεις, οργάνωση και παρουσίαση δεδομένων 11

12 Ψηφοφορία για αγαπηµένο φρούτοιστόγραµµα } } Στόχοι: Τα νήπια να µπορούν να κατασκευάζουν διαγράµµατα συχνοτήτων σε διάφορες µορφές (ιστόγραµµα, πίτα, κτλ.) και να µπορούν να αναγνωρίζουν την πλειοψηφική και την µειοψηφική κατηγορία δεδοµένων που εµφανίζεται σε αυτά.

13 Αναπαραστάσεις για αξιολόγηση

14 περιοδικότητες ένα είδους διάταξης είναι η περιοδικότητα η περιοδικότητα είναι μια επαναλαμβανόμενη δομή η περιοδικότητα είναι μια μορφή κανονικότητας η μελέτη των κανονικοτήτων μπορεί να μας εισάγει στη μελέτη πιο εκλεπτυσμένων σχέσεων ανάμεσα σε πράγματα, που θα μας εισάγει σε πιο αφηρημένες σχέσεις όπως οι αλγεβρικές δομές 14

15 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών κανονικότητες ή μοτίβα 15

16 κανονικότητες ή μοτίβα ή pauerns Οι κανονικότητες παίζουν κύριο ρόλο στην επίλυση προβλημάτων σε όλους τους τομείς της ζωής. Οι ψυχολόγοι αναλύουν κανονικότητες της ανθρώπινης συμπεριφοράς, οι μετεωρολόγοι μελετούν κανονικότητες στον καιρό, οι αστρονόμοι αναζητούν μοτίβα στις κινήσεις των αστεριών και των γαλαξιών. Ειδικά για τα μαθηματικά όμως, η μελέτη των κανονικοτήτων (επαναλαμβανόμενων μορφών) βρίσκεται στον πυρήνα της μαθηματικής σκέψης. Πολλοί υποστηρίζουν ότι τα paeerns είναι ο θεμέλιος λίθος των μαθηματικών και κατ άλλους τα μαθηματικά είναι «η επιστήμη των paeerns». (Bennet & Nelson, 2001, στο Κυλάφης, Π 2009).

17 κανονικότητες ή μοτίβα ή pauerns Η εύρεση μιας κανονικότητας απαιτεί σύγκριση και αντιπαραβολή. Σύγκριση για τον εντοπισμό σταθερών χαρακτηριστικών αντιπαραβολή για τον εντοπισμό εκείνων που μεταβάλλονται (Bennet & Nelson, 2001, στο Κυλάφης, 2009).

18 Παραδείγματα κανονικοτήτων: ΑΒΓΑΒΓΑΒΓΑΒΓ. 3,6,9,12,15,18.

19 Ορισμός κανονικότητας Η απόδοση του όρου paeern (που χρησιμοποιείται διεθνώς για την περιγραφή των επαναλαμβανόμενων μορφών) στην ελληνική γλώσσα δεν είναι εύκολη, καθώς αν ανατρέξουμε σε οποιοδήποτε λεξικό υπάρχει μια πλειάδα ερμηνειών, πράγμα που περιπλέκει τα πράγματα. Αν και στην ελληνική γλώσσα για την παραπάνω έννοια, έχει υιοθετηθεί ο ξενικός όρος μοτίβο, η λέξη μπορεί να μεταφραστεί και ως πρότυπο, υπόδειγμα, τύπος, σχέδιο, ίχνος, πατρόν, ψηφιδωτό, παράσταση, μοντέλο, δομή, διάταξη κ.λ.π. προτιμούμε τον όρο κανονικότητα

20 «Τι είναι μία κανονικότητα;» Η απάντηση δεν είναι τόσο απλή. Τα μοτίβα είναι μια αρχική έννοια, πάνω στην οποία βασίζονται οι θετικές επιστήμες και έτσι περιγράψιμα (όχι οριζόμενα) από το σύνολο που ανήκουν (Κυλάφης 2009:46). Οι κλίμακες, ή οι μουσικοί δρόμοι παραδείγματος χάριν, είναι μια ορισμένη με σαφήνεια μορφή ακουστικής κανονικότητας και τα ψηφιδωτά είναι μια ορισμένη με σαφήνεια μορφή δισδιάστατων κανονικοτήτων. Χρήση της έννοιας στην εκπαίδευση: «Στο χώρο των Μαθηματικών, κανονικότητα αποτελεί ένα σύνολο από μορφικά, γεωμετρικά ή μετρικά χαρακτηριστικά που παραμένουν σταθερά μέσα σε ομάδες αριθμών, σχημάτων, μεγεθών ή άλλων μαθηματικών καταστάσεων» Τζεκάκη & Κούλελη (2007) η εύρεση μιας κανονικότητας απαιτεί την ανακάλυψη ηχητικών, οπτικών και κινητικών δομών που μπορούν να επαναλαμβάνονται, να αναπτύσσονται ή γενικότερα να σχετίζονται μεταξύ τους με έναν κανόνα (Τζεκάκη 2007)

21 Βασικές κατηγορίες εκπαιδευτικών κανονικοτήτων Επαναλαμβανόμενες κανονικότητες (pauerns) Οι επαναλαμβανόμενες κανονικότητες είναι κανονικότητες με ένα αναγνωρίσιμο, επαναλαμβανόμενο κύκλο στοιχείων αναφερόμενο ως «μονάδα επανάληψης». π.χ.,το ΑΒΓΑΒΓΑΒΓ μπορεί να ιδωθεί ως ένα επαναλαμβανόμενο γραμμικό paeern με τρία στοιχεία και ένα κύκλο μήκους 3. Από παιδαγωγικής πλευράς οι επαναλαμβανόμενες κανονικότητες θεωρούνται κατάλληλες για την εξάσκηση των μαθητών του νηπιαγωγείου και των πρώτων τάξεων του δημοτικού σχολείου η κυκλική φύση τους προσιδιάζει στις καθημερινές εμπειρίες των παιδιών. π.χ.,η χρήση χειρονομιών που επαναλαμβάνονται διαδοχικά σε θεατρικά παιχνίδια στα οποία τα παιδιά συμμετέχουν από πολύ νωρίς, η απαγγελία των ημερών της εβδομάδας ή των μηνών του έτους είναι οικείες καταστάσεις σε όλα σχεδόν τα παιδιά ως εκ τούτου οι επαναλαμβανόμενες κανονικότητες συνάδουν με την εμπειρία τους και λειτουργούν ως εργαλεία ανάπτυξης της κανονικότητας και διαδοχής.

22 Επαναλαμβανόμενες κανονικότητες Ο Threlfall αναφέρει ότι κάποιοι συγγραφείς τις θεωρούν ως μια χρήσιμη βάση στη διδασκαλία άλλων θεμάτων και στη νοηματοδότηση καινούργιων ιδεών, ανασύροντας μέσω αυτών χρήσιμες πλευρές της εμπειρίας τους. Κατ άλλους η αναζήτηση σε μια επαναλαμβανόμενη κανονικότητα του «τι ακολουθεί μετά», δηλαδή ποιο στοιχείο ακολουθεί, αποτελεί έναν προπομπό στη χρήση της σύγκρισης. η πρόβλεψη είναι ανώτερη γνωστική λειτουργία που απαιτεί αφηρημένη σκέψη Άλλοι συγγραφείς θεωρούν την εργασία με τις κανονικότητες πολύτιμη, διότι αναπτύσσουν ένα τρόπο σκέψης που οδηγεί σε ανώτερες ιδέες των μαθηματικών και από αυτή την άποψη επιβάλλεται η συστηματική κι όχι αποσπασματική ενασχόληση των μαθητών μ αυτά.

23 Αναπτυσσόμενες κανονικότητες Οι αναπτυσσόμενες κανονικότητες προέρχονται από εικονιστικά, πρακτικά ή αριθμητικά πλαίσια τα οποία ξεδιπλώνονται (αναπτύσσονται) με βάση έναν κανόνα και παρέχουν ευκαιρίες για αναγνώριση, περιγραφή, επέκταση και δημιουργία νέων όρων. Οι αναπτυσσόμενες κανονικότητες μπορεί να είναι και αριθμητικές κανονικότητες όταν πρόκειται για κανονικότητες που σχηματίζονται από αριθμούς. Εδώ εντάσσονται και οι γνωστές από τα σχολικά μας χρόνια ακολουθίες, όπως οι αριθμητικές και γεωμετρικές πρόοδοι, αλλά και ακολουθίες όπως οι παρακάτω: - ακολουθία άρτιων αριθμών, 2,4,6,8,.. - ακολουθία περιττών αριθμών, 1,3,5,7,. - ακολουθία Fibonacci, 1,1,2,3,5,8 - ακολουθία τετραγώνων φυσικών αριθμών, 1,4,9,16,25,. κ.ο.κ.

24 Οι αναπτυσσόμενες κανονικότητες Οι αναπτυσσόμενες κανονικότητες, μέσα σε εικονιστικά πλαίσια ή σε προβλήματα γενίκευσης, δίνουν τη δυνατότητα μιας εναλλακτικής παρουσίασης μιας ακολουθίας αριθμών Οι αναπτυσσόμενες κανονικότητες σε πλαίσια εικονιστικά ή πρακτικά είναι περισσότερο στοιχειώδη από τα καθαρά συμβολικά, λόγω: α) της δυνατότητας κατασκευής των πρώτων όρων τους με διάφορα υλικά (π.χ. μάρκες, κυβάκια, σπιρτόξυλα), β) της σχεδίασης στο χαρτί της αναπαράστασή τους, και γ) της έκφρασή τους με μια αριθμητική ακολουθία που είναι σε συμφωνία με τα προτεινόμενα από τον Bruner στάδια εισαγωγής σε μια καινούργια έννοια που κατά σειρά είναι: το πραξιακό, το εικονικό και το συμβολικό.

25 Οι αναπτυσσόμενες κανονικότητες Οι διαφορετικές αναπαραστάσεις των αναπτυσσόμενων κανονικοτήτων, αλλά και κάθε μαθηματικής έννοιας γενικότερα, επιβάλλεται, καθώς οι διάφορες σύγχρονες θεωρίες αναπαραστάσεων θεωρούν επιβεβλημένη τη δυνατότητα να διαχειρίζεται ένας μαθητής μια έννοια στις διάφορες μορφές αναπαράστασής της προκειμένου να μιλήσουμε για καλύτερη κατανόηση της έννοιας. Η παρουσίαση αναπτυσσόμενων paeerns μέσα σε πρακτικά και εικονιστικά πλαίσια τους προσδίδει μια πιο ρεαλιστική όσο και παιγνιώδη διάσταση, κι υπό αυτή την έννοια θα μπορούσε κάποιος να υποστηρίξει ότι είναι περισσότερο εφικτή η διαχείρισή τους (κατασκευή, επέκταση αλλά και αναγνώριση του κανόνα) από τους μικρούς μαθητές προτάσσοντας τις χειριστικές και σχεδιαστικές αναπαραστάσεις και σε ένα επόμενο στάδιο αναδεικνύοντας την αριθμητική τους διάσταση.

26 Άλλες αριθμητικές κανονικότητες Σε οποιαδήποτε δραστηριότητα των μαθηματικών μπορούν να αναδειχθούν κανονικότητες, αναδεικνύοντας με τη σειρά τους τη δομή των μαθηματικών. Για παράδειγμα το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης στηρίζεται στη δεκάδα και την επανάληψή της. Η ανακάλυψη και ο εντοπισμός τέτοιων κανονικοτήτων από τα παιδιά καλλιεργεί την φαντασία τους και δίνει νέα ώθηση στην ατομική κατασκευή των μαθηματικών εννοιών. δεκαδικό σύστημα αριθμολέξεων = γλωσσική κανονικότητα

27 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Κανονικότητες και αλγεβρικός συλλογισμός

28 Κανονικότητες και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό με την ενασχόληση των παιδιών με τις κανονικότητες, την εύρεση του κανόνα που τις διέπει και την γενίκευσή της, το παιδί εισάγεται ομαλά και αβίαστα στον αλγεβρικό συλλογισμό η άλγεβρα γεννιέται σαν απόρροια της ανάγκης του παιδιού να περιγράψει τους όρους της κανονικότητας και να προβλέψει τη συνέχειά της

29 Κανονικότητες και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό ΙΙ Μέχρι πρόσφατα στο δημοτικό σχολείο διδάσκονταν μόνο αριθμητική και κάποιες στοιχειώδεις έννοιες γεωμετρίας. Λόγω του ότι η άλγεβρα θεωρούνταν περισσότερο αφηρημένη, αφού απαιτεί τυπική σκέψη ενώ η αριθμητική όχι. Δεδομένου ότι η τυπική σκέψη αντιστοιχεί σε ένα μεταγενέστερο αναπτυξιακό στάδιο, υποστηριζόταν ότι η άλγεβρα πρέπει να έρθει αργότερα από την αριθμητική. Η τάση αυτή επικρατούσε για πολλά χρόνια και ο λόγος για αυτό ήταν η ισχυρή κυριαρχία του πιαζετικού κονστρουκτιβισμού (Lins & Kaput, 2004 στο Κυλάφης 2009). Η άλγεβρα εισάγονταν στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση, ως γενίκευση της αριθμητικής. Αρχικά τα παιδιά μάθαιναν έτοιμους κανόνες και τύπους τους οποίους εφάρμοζαν χωρίς καμιά συμβολή στην κατασκευή τους. Οι απόδειξη αυτών των τύπων γινότανε σε μεγαλύτερες τάξεις.

30 Κανονικότητες και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό ΙΙΙ Νέες μελέτες έδειξαν ότι η άλγεβρα δεν πρέπει απαραίτητα να ακολουθεί την αριθμητική στα προγράμματα σπουδών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Η παράλληλη ανάπτυξη των δύο περιοχών δημιουργεί νέα δεδομένα στα μαθηματικά της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Ένα σημαντικό εργαλείο που επιτρέπει την εξοικείωση των παιδιών με τον αλγεβρικό συλλογισμό είναι οι κανονικότητες (paeerns). Οι μαθητές αναγνωρίζουν σε αυτά κοινές μορφές, χαρακτηριστικά ή άλλα στοιχεία που επιτρέπουν την εύρεση σχέσεων ή συνδυασμών και δημιουργούν αλληλοσυσχετίσεις μεταξύ των στοιχείων αυτών ή αναπτύσσουν νέα πιο γενικευμένα αντικείμενα ή ιδέες.

31 Κανονικότητες και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό IV Με τις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις που δομούν οι κανονικότητες οι μαθητές εισάγονται ομαλά σε ανώτερες μαθηματικές ιδέες όπως είναι οι αλγεβρικές σχέσεις των συναρτήσεων (Τζεκάκη 2007:252). Η ενασχόληση με δραστηριότητες σχετικές με τα paeerns φέρνουν την άλγεβρα μέσα στον πραγματικό κόσμο και παρέχουν στους μαθητές εμπειρίες έρευνας, ανακάλυψης, αλλά και βιωματικής προσέγγισης και κατασκευής των αλγεβρικών εννοιών.

32 Κανονικότητες και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό V Στην ενασχόληση με τις κανονικότητες η άλγεβρα ενυπάρχει στην αναζήτηση των ομοιοτήτων και διαφορών, ανάμεσα στους όρους τους σε οποιαδήποτε μορφή κι αν δίδονται, αριθμητική ή γεωμετρική, στην αναζήτηση του τι μένει σταθερό και τι μεταβάλλεται, στην εύρεση αριθμητικών σχέσεων μεταξύ των όρων, στην εξοικείωση τους με τα διάφορα αναπαραστασιακά συστήματα, στις λεκτικές περιγραφές, στους πίνακες και στα διαγράμματα, όλα αυτά αποτελούν τρόπους για να εκφραστούν μαθηματικές σχέσεις. Η αλγεβρική σκέψη προϋπάρχει της συμβολικής απόδοσής της, και προφανώς η γενίκευση συντελείται πριν την συμβολική έκφρασή της διατηρώντας τον αλγεβρικό της χαρακτήρα.

33 Κανονικότητες και εισαγωγή στον αλγεβρικό συλλογισμό VI Όταν δίνουμε μία κανονικότητα στα παιδιά, για να το κατανοήσουν σε βάθος πρέπει να είναι σε θέση να πάνε πέρα από αυτό που τους δίνουμε και να αρχίσουν να εργάζονται με αυτό. π.χ., για να εργαστεί με την κανονικότητα , ένα παιδί θα μπορούσε να παρατηρήσει ότι οι αριθμοί είναι όλοι περιττοί και/ή ότι αυξάνονται ανά 2. Η αναφορά σε κάτι πέρα από αυτό που δίνονται ρητά, χαρακτηρίζεται συχνά ως "γενίκευση" (Hargreaves et al.,1998, στο Κυλάφης 2009). π.χ., η εύρεση του δέκατου ή του εκατοστού όρου, σε μία κανονικότητα που δίνονται οι 5 πρώτοι όροι αποτελούν παραδείγματα γενίκευσης.

34 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Κανονικότητες και αναλυτικό πρόγραμμα

35 Κανονικότητες και αναλυτικό πρόγραμμα Στα νέα προγράμματα σπουδών καθώς και στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών βρίσκουμε πολλές δραστηριότητες διερεύνησης κανονικοτήτων. Ο ρόλος τους στην εκπαίδευση όμως δεν είναι πάντοτε σαφής και πολλές φορές παραγνωρίζεται (Κολέζα 2009:374). Οι όποιες αδυναμίες στην περιγραφή και ανακάλυψη των κανονικοτήτων αλλά και στην ανάπτυξη του αλγεβρικού συλλογισμού, έχουν να κάνουν με παράγοντες έξω από τους μαθητές. π.χ., έλλειψη πρώιμων εμπειριών, στην ανεπάρκεια των δασκάλων ακόμα και στην αλγεβρική ποιότητα των έργων στα οποία εκτίθενται οι μαθητές. Το ζητούμενο λοιπόν είναι το σωστό διδακτικό περιβάλλον, οι διδακτικές πρακτικές, και οι δάσκαλοι που θα αξιοποιήσουν τις δυνατότητες των μαθητών. Θα πρέπει η ανακάλυψη κανονικοτήτων να συνδέεται με τον αλγεβρικό κανόνα που τις διέπει και αντίστροφα σε όσα προβλήματα είναι εφικτό να χρησιμοποιούνται διάφορες κανονικότητες για να λυθούν.

36 χρήση κανονικοτήτων στην τάξη θα πρέπει να γίνεται σταδιακή εξοικείωση των παιδιών με τις κανονικότητες, από τις πιο απλές στις πιο σύνθετες. Ειδικά στις μικρές τάξεις πρέπει να υπάρχει μια συστηματική αλλά φθίνουσα καθοδήγηση από την πλευρά του δασκάλου, ο οποίος με διερευνητικές ερωτήσεις θα πρέπει βοηθά τους μαθητές να βρουν μόνοι τους τις απαντήσεις. Οι εκπαιδευτικοί γενικότερα θα πρέπει να μην χάνουν το στόχος της ενασχόλησης των παιδιών με τις κανονικότητες που είναι να αποκτήσει το παιδί αβίαστα τις δεξιότητες της άλγεβρας, ως απόρροια της ανάγκης του να τις περιγράφει.

37 Οι μαθητές θα εργαστούν προς την κατεύθυνση να είναι σε θέση να: δημιουργήσουν τις δικές τους κανονικότητες σε διάφορα επίπεδα δυσκολίας όπως: κόκκινο, μπλε, κόκκινο, μπλε... κόκκινο, μπλε, κίτρινο, επαναλάβετε... κόκκινο, κόκκινο, μπλε, κόκκινο, κόκκινο, μπλε... κόκκινο, μπλε, κόκκινο, κόκκινο, μπλέ, κόκκινο, κόκκινο, μπλε,... να αναπαράγουν κανονικότητες που άλλοι έχουν κάνει να επεκτείνουν τα σχέδια που έχουν ξεκινήσει άλλοι να μπορούν να πουν τι λείπει, αν μέρος ένα ενός σχεδίου είναι κρυμμένο να μπορούν να συγκρίνουν και να μιλήσουν για τα σχέδια που προκύπτουν από καθημερινές εμπειρίες τους να αναγνωρίζουν μοτίβα στο περιβάλλον - π.χ. σανίδες φράχτη: κοντή, ψηλή, κοντή, ψηλή,... να χρησιμοποιήσουν κανονικότητες για να περιγράψουν τον κόσμο γύρω τους και για την επίλυση προβλημάτων εντοπίζουν μία κανονικότητα 37

38 Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας κανονικοτήτων από Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

39 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας Αρχικά στο πρώτο στάδιο οι ερευνητές θεωρούν πως οι μαθητές πρέπει να ενθαρρύνονται από τον δάσκαλο να δίνουν σαφείς περιγραφές της κανονικότητας και να επικεντρώνονται στην εικονική αναπαράσταση που βλέπουν (αγνοώντας τα επιμέρους τμήματα του). Εστίαση στο b) Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

40 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας μαθήτρια: Απλά γίνεται πιο ψηλό κάθε φορά. δάσκαλος: Το έκανες πιο ψηλό κάθε φορά. Και πόσο πιο ψηλό; μαθήτρια: 1 σειρά δάσκαλος: Κατά 1 σειρά. Τι άλλο ξέρεις για τη μια σειρά; μαθήτρια: Γίνεται μεγαλύτερη. δάσκαλος: Γίνεται μεγαλύτερη πόσο; μαθήτρια: 2. δάσκαλος: Κατά 2. Μπράβο. Γίνεται πιο ψηλό κάθε φορά κατά μια σειρά και γίνεται μεγαλύτερο κάθε φορά κατά δύο. Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

41 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας Στο δεύτερο στάδιο πρέπει να γίνονται στους μαθητές σαφείς ερωτήσεις για τη σύνδεση της θέσης της μορφής με το paeern, που «βοήθησε τους μαθητές να αρχίσουν να συσχετίζουν τα δύο σημεία, τα εικονικά και τα ενδεικτικά». Για παράδειγμα, για το paeern b αυτές οι ερωτήσεις ήταν της μορφής: «Με τι μοιάζει το paeern;», «Πόσες στήλες είναι;», «Πόσοι κύβοι είναι σε κάθε στήλη;» «Πόσοι κύβοι είναι στα αριστερά και πόσοι στα δεξιά;» Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

42 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας οι ερωτήσεις αυτές αφορούσαν ρητά τη θέση των στοιχείων στο paeern και οι οποίες, όπως φαίνεται στο παρακάτω απόσπασμα, «βοήθησαν στην αποδόμηση του εικονικού σημείου στα μέρη του και στη συσχέτιση των μερών με το ενδεικτικό σημείο που δείχνει τη θέση του στο paeern», βοηθώντας π.χ. τον John να αναπτύξει μια πιο στενή σχέση με το αντικείμενο, δηλαδή την συναρτησιακή σχέση: δάσκαλος.: Τι λέτε για τον 4ο όρο; John: Έχει 9. δάσκαλος: Mπορείτε να μου πείτε με τι μοιάζουν οι 9 κύβοι; John: Χμ! δάσκαλος: Μπορείτε να περιγράψετε με τι μοιάζουν οι 9 κύβοι. Πώς είναι; John: 5 σε μια πλευρά και 4 σε άλλη. δάσκαλος: Πώς αυτό συνδέεται με τον αριθμό θέσης; John: Αυτός είναι ίδιος ο 4ος (δείχνοντας στα αριστερά), και αυτό είναι ένα περισσότερο (δείχνοντας στα δεξιά). Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

43 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας Στο τρίτο στάδιο ακολουθεί σταδιακά η γενίκευση του paeern από τους μικρούς αριθμούς θέσης, στους μεγάλους αριθμούς θέσης. Είναι σαφής στο ακόλουθο απόσπασμα η σύνδεση των δύο σημείων του εικονικού και του δεικτικού: Brian: Χμ! Το πρώτο είχε 2 απ τη μια πλευρά και έπειτα 3 στην άλλη. δάσκαλος: Σε αυτό 2 και 3 (δείχνοντας τη δεύτερη μορφή); Brian: Ναι, και έτσι σκεφτήκαμε ότι ο 20ός θα είχε 20 σε μια πλευρά και 21 στην άλλη. Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

44 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας δάσκαλος: 20 στην μία πλευρά και 21 στην άλλη. Ποιος είδε εκείνο το paeern; Εντάξει, πώς θα μοιάζει ο 10ος; Evan: Θα έχει 10 σε μια πλευρά και 11 στην άλλη. δάσκαλος: 10 σε μια πλευρά και 11 σε άλλη. Τώρα πρόκειται να ρωτήσω μια πραγματικά δύσκολη ερώτηση, «Τι νομίζετε για τον 50ό; Πώς θα έμοιαζε;» Helen: 50 σε μια πλευρά και 51 σε άλλη. δάσκαλος: Πολύ καλά, ο 100ός; Elise: 100 σε μια πλευρά και 101 σε άλλη. δάσκαλος: Πολύ καλά! Ο 1.000ός; Adam: σε μια πλευρά και στην άλλη. Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

45 Ενδεικτικό Παράδειγμα διδασκαλίας Στο τέταρτο στάδιο εισάγεται μια κάρτα με τον αριθμό ν πάνω της επεκτείνοντας τις παραπάνω σκέψεις στη γλώσσα της γενικότητας: δάσκαλος: Τι λέτε για τον ν- οστό; Ben: 1 ν- οστός σε μια πλευρά και ένας ν- οστός στην άλλη. Ben: Όχι, ν- οστός και ένας! Και οι δύο έχουν τον ν- οστό αλλά αυτό έχει ένα περισσότερο. δάσκαλος: Πόσοι θα υπήρχαν όλοι μαζί στο 100ό βήμα εν τούτοις; Karen: 201. δάσκαλος: Πώς το ξέρετε; Karen: Εύκολο, αφού υπάρχουν 100 και 100 σε κάθε πλευρά είναι 200 συν 1, είναι 201. δάσκαλος: Πολύ καλά. Ναι αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτούμε. Υπάρχει άλλη σκέψη γι αυτό σαν αυτή; δάσκαλος: Άλλος τρόπος. John: Κάθε βήμα σε κάθε πλευρά συν ένα περισσότερο στην εξωτερική πλευρά Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

46 Αξιολόγηση των γνώσεων των παιδιών Από τους μαθητές ζητείται συνήθως η περιγραφή της κανονικότητας, η συμπλήρωσή της, η συνέχισή της, και η εύρεση της θέσης που κατέχει κάποιος όρος στην κανονικότητα. Η εκτίμηση των παραπάνω ικανοτήτων των μαθητών, απαιτεί συχνά δραστηριότητες κατά πολύ διαφορετικές από αυτές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάπτυξή τους. Η αξιολόγηση ενέχει να έρθουν τα παιδιά αντιμέτωπα με συγκεκριμένα έργα που απαιτούν μία ή περισσότερες από τις παραπάνω ικανότητες, έτσι ώστε να μπορούν να διαμορφωθούν κάποια ασφαλή, ως ένα βαθμό, κριτήρια, περί των ικανοτήτων τους. Τα κριτήρια αξιολόγησης βασίζονται στην εξιχνιάσιμη σύνδεση της επίδοσης σε μια δραστηριότητα και της απαιτούμενης ικανότητας, κι ως εκ τούτου υπάρχει κίνδυνος να εξαχθούν λανθασμένα συμπεράσματα, δηλαδή υπερεκτίμησης ή υποεκτίμησης των ικανοτήτων των μαθητών. Χρήζει, δηλαδή ιδιαίτερης προσοχής το επίπεδο δυσκολίας του paeern, προκειμένου να εκτιμήσουμε αυτή την ικανότητα των παιδιών Cooper & Warren (στο Κυλάφης 2009):

47 Ενδεικτικές εισαγωγικές ασκήσεις στις κανονικότητες Β. Παρατηρώ και συνεχίζω να χρωματίζω (Λεμονίδης,Θεωδώρου κ.α)

48 Πρόβλημα των Zazkis & Liljedahl (2002) «Φαντάσου ένα ξύλινο τρένο του οποίου το πρώτο βαγόνι είναι κόκκινο, το δεύτερο μπλε, το τρίτο κίτρινο, το τέταρτο είναι κόκκινο, το πέμπτο είναι μπλε, το έκτο είναι κίτρινο και το ίδιο pakern συνεχίζεται για όλα τα βαγόνια. Ποιο είναι το χρώμα του εκατοστού βαγονιού; Αν το τρένο έχει Χ βαγόνια, ποιος είναι ο αριθμός του τελευταίου κίτρινου βαγονιού;» Ακόμα και πολύ μικροί μαθητές μπορούν να εμπλακούν σε αυτή τη δραστηριότητα συνέχισης αυτής της κανονικότητας. Μπορούν να φτιάξουν ένα τρένο και να χρωματίσουν τα βαγόνια του. Στις μικρές ηλικίες η συνέχιση της κανονικότητας μπορεί να βασιστεί στην παρατήρηση της επανάληψης, δηλαδή στην ικανότητα συσχέτισης στοιχείων με γειτονικά στοιχεία (όπως το μπλε μετά το κόκκινο, το κόκκινο μετά το κίτρινο κ.ο.κ.) καθώς επίσης και με μια ρυθμική προσέγγιση απομνημονεύοντας τη μονάδα επανάληψης.

49 Πρόβλημα των Zazkis & Liljedahl (2002) «Φαντάσου ένα ξύλινο τρένο του οποίου το πρώτο βαγόνι είναι κόκκινο, το δεύτερο μπλε, το τρίτο κίτρινο, το τέταρτο είναι κόκκινο, το πέμπτο είναι μπλε, το έκτο είναι κίτρινο και το ίδιο pakern συνεχίζεται για όλα τα βαγόνια. Ποιο είναι το χρώμα του εκατοστού βαγονιού; Αν το τρένο έχει Χ βαγόνια, ποιος είναι ο αριθμός του τελευταίου κίτρινου βαγονιού;» Η εργασία με τα paeern βοηθάει στην ανάπτυξη της ικανότητας για μαθηματικό συλλογισμό που είναι σπουδαίος για τη μάθηση- ως πλαίσιο για γενίκευση, ως ένα εννοιολογικό σταθερό βήμα στην άλγεβρα, ως πλαίσιο για αναγνώριση, εικασίες και αναζήτηση κανόνων (Threlfall, 1999). Οπωσδήποτε, για τα παραπάνω απαιτείται να αναπτυχθεί η αντίληψη της μονάδας επανάληψης σε μια επαναλαμβανόμενη κανονικότητα. Μόνο τότε μπορεί κάποιος να ασχοληθεί με το ερώτημα: «Ποιο είναι το χρώμα του εκατοστού βαγονιού;». Επίσης οι επαναλαμβανόμενες κανονικότητες παρέχουν ένα όχημα για κατεύθυνση της προσοχής των παιδιών στην πολλαπλασιαστική δομή των φυσικών αριθμών, εξασφαλίζοντας έτσι μια πύλη για την εισαγωγή στις έννοιες της Θεωρίας Αριθμών.

50 Ενδεικτικές εισαγωγικές ασκήσεις στις κανονικότητες Από πόσα τετράγωνα αποτελείτε ο πέμπτος όρος της παρακάτω κανονικότητας;

51 51

52 52

53 Ζητήστε από τους μαθητές να ονομάσουν τις κανονικότητες, με γράμματα ή αριθμούς για να δουν την ομοιότητα ανάμεσα σε φαινομενικά διαφορετικές κανονικότητες 53

54 54

55 55

56 56

57 57

58 η σημασία να αναγνωρίζεις κανονικότητες 58

59 59

60 60

61 We also make action patterns by doing actions such as clapping a rhythm or lining up in an AB pattern (stand-sit, boy-girl). 61

62 Βιβλιογραφία Κυλάφης, Παναγιώτης (2009). Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ PATTERNS ΣΤΗ ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ- Η ανάπτυξη του πρώιμου αλγεβρικού συλλογισμού. Διαθέσιμο στον διαδικτυακό τόπο hep:// dipl/dipl_kylafis.panagio s.pdf Κολέζα Ε. (2009).Θεωρία και πράξη στην διδασκαλία των μαθηματικών. Αθήνα: Τόπος Τζεκάκη Μαριάννα.(2007). Μικρά παιδιά, μεγάλα μαθηματικά νοήματα- Προσχολική και πρώτη σχολική ηλικία. Αθήνα: Gutenberg Τζεκάκη, Μ. & Κούλελη, Μ. (2007). Διερεύνηση της ικανότητας αναγνώρισης προτύπων σε παιδιά προσχολικής ηλικίας, Στο Χ. Σακονίδης & Δ. Δεσλή (επιμ.) Πρακτικά του 2ου Πανελλήνιου Συνέδριο της Ένωσης Ερευνητών στη Διδακτική των Μαθηματικών Λεμονίδης,Θεωδώρου, Καψάλης, Πνευματικός. Μαθηματικά Ά δημοτικού- μαθηματικά της φύσης και της ζωής. Αθήνα: ΟΑΕΔΒ Ζαχάρος, Κ. (2007) Οι μαθηματικές έννοιες στην προσχολική εκπαίδευση και η διδασκαλία τους. Αθήνα, Μεταίχμιο