Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών θ QAM: Μια Παραμετρική Οικογένεια Ψηφιακής Διαμόρφωσης και η Επίδοσή της σε Κανάλια Λευκού Gaussian Προσθετικού Θορύβου (AWGN) και Διαλείψεων Διπλωματική εργασία Παππή Κοραλία Αριθμός Ειδικού Μητρώου: 5842 Τριμελής επιτροπή: Καραγιαννίδης Γεώργιος, Αναπληρωτής Καθηγητής, επιβλέπων Γεωργιάδης Λεωνίδας, Καθηγητής Δημάκης Χρήστος, Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2010

2 ii Τμήμα της παρούσης εργασίας έχει παρουσιαστεί στο συνέδριο WiMob 2009, Marrakech, Morocco (5 th IEEE International Conference on Wireless and Mobile Computing, Networking and Communications), υπό τον τίτλο: K. N. Pappi, A. S. Lioumpas, G. K. Karagiannidis and S. A. Kotsopoulos, "Performance Analysis of Variable Angle Quadrature Amplitude Constellations," WiMob 2009, Marrakech/Morocco. Το συνολικό υλικό της εργασίας έχει γίνει δεκτό για δημοσίευση στο Journal του IEEE Transactions on Communications, στο τεύχος Απριλίου 2010, υπό τον τίτλο: Koralia N. Pappi, Athanasios S. Lioumpas and George K. Karagiannidis, "θ QAM: a Novel Parametric Quadrature Modulation Family and its Performance in AWGN and Fading Channels", accepted for publication in IEEE Transactions on Communications.

3 Στους γονείς μου, στους φίλους που απέκτησα στο Πανεπιστήμιο, στην παρέα του ΣΦΗΜΜΥ 3.0 και στην αδερφή μου, που αποτέλεσε την αφορμή για την επιλογή της σχολής ΗΜ&ΜΥ.

4 iv

5 v ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία εξετάζεται μία παραμετρική οικογένεια ορθογωνικής διαμόρφωσης πλάτους (QAM Quadrature Amplitude Modulation), την οποία ονομάζουμε θ QAM, και η οποία περιλαμβάνει άλλους γνωστούς αστερισμούς όπως το τετραγωνικό QAM (SQAM Square QAM) και το τριγωνικό QAM (TQAM Triangular QAM), ως ειδικές περιπτώσεις. Η μεταβλητή δομή του αστερισμού θ QAM, η οποία προκύπτει από τη μεταβλητή γωνία θ μεταξύ των συμβόλων, μπορεί να μεταβάλλεται ώστε να επιτυγχάνει τον ελάχιστο ρυθμό σφαλμάτων συμβόλου (SER) ή τον ελάχιστο ρυθμό σφαλμάτων bits (BER) κάτω από συγκεκριμένη μέση ενέργεια εκπομπής. Η θεωρητική ανάλυση έχει ως στόχο να εμβαθύνει στο συμβιβασμό μεταξύ βέλτιστης επίδοσης όσον αφορά τους ρυθμούς σφαλμάτων και πολυπλοκότητας που παρουσιάζει η παραμετρική αυτή διαμόρφωση. Εξάγονται ακριβείς αναλυτικοί τύποι για το SER σε κανάλι λευκού Gaussian προσθετικού θορύβου (AWGN) και για κανάλι διαλείψεων Nakagami m, ενώ παρουσιάζονται αντίστοιχα ακριβείς προσεγγίσεις για το BER. Τέλος, βρίσκουμε τις βέλτιστες γωνίες θ, όσον αφορά το ελάχιστο SER ή BER, για συγκεκριμένη σηματοθορυβική σχέση (SNR Signal to Noise Ratio) και τάξη διαμόρφωσης Μ. Αυτό χρησιμεύει στην ανάδειξη του βέλτιστου αστερισμού για συγκεκριμένα χαρακτηριστικά καναλιού και συγκεκριμένες απαιτoύμενες τιμές SER ή BER. Η θεωρητική ανάλυση επιβεβαιώνεται από προσομοίωση του συστήματος σε υπολογιστή.

6 vi

7 vii ABSTRACT We study a parametric quadrature amplitude modulation (QAM) family, called θ QAM, which includes other known constellations, such as square QAM (SQAM) and triangular QAM (TQAM), as special cases. The versatile structure of the θ QAM signal constellation, which occurs from the varying angle between the signal points, results in achieving the minimum symbol error rate (SER) or bit error rate (BER), under an average power constraint. The theoretical study aims at providing insight into the trade off between error performance and complexity of this parametric modulation scheme. Exact analytical expressions are obtained for the SER in additive white Gaussian Noise (AWGN) and Nakagami m fading channels, while highly accurate BER approximations are presented. Finally, we find the optimum angles, in a minimal SER or BER sense, for a specific signal tonoise ratio (SNR) and modulation order, M. This serves as an indicator for the appropriate constellation with respect to channel conditions and SER or BER requirements. The presented theoretical analysis is validated via extensive computer simulations.

8 viii

9 ix ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί το τελευταίο στάδιο των προπτυχιακών μου σπουδών στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Αποτέλεσε ωστόσο για μένα αφορμή να πάρω μια μικρή γεύση για το τι είναι έρευνα και πώς αυτή συνδυάζει όποιες γνώσεις και εφόδια αποκτήσαμε με τη φοίτηση και τη ζωή μας στο Πανεπιστήμιο, εφόδια σε γνώσεις αλλά και εμπειρίες. Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Γεώργιο Καραγιαννίδη για την καθοδήγησή του και τη συνεχή βοήθειά του, όπως επίσης και το Διδάκτορα κ. Αθανάσιο Λιούμπα για την πολύτιμη συνεργασία μας στην εκπόνηση της διπλωματικής αυτής εργασίας. Ευχαριστώ ακόμη όλη την ερευνητική ομάδα του κ. Καραγιαννίδη για τις συμβουλές και τη βοήθειά τους.

10 x

11 xi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή Γενικά Προηγούμενη έρευνα Συμβολή της διπλωματικής εργασίας θ QAM: Μια οικογένεια ψηφιακής ορθογωνικής διαμόρφωσης πλάτους Γενικά στοιχεία ψηφιακών διαμορφώσεων Βασικές τεχνικές ψηφιακής διαμόρφωσης Διαμόρφωση Πλάτους Παλμού PAM (Pulse Amplitude Modulation) Διαμόρφωση Ολίσθησης Φάσης PSK (Phase Shift Keying) Ορθογωνική Διαμόρφωση Πλάτους QAM (Quadrature Amplitude Modulation) SQAM (Square QAM) Περιγραφή και εφαρμογές ΤQAM (Triangular QAM) Περιγραφή και εφαρμογές Οι αστερισμοί θ QAM Δημιουργία και περιγραφή αστερισμών Συντεταγμένες συμβόλων Μέση ενέργεια αστερισμών Ελάχιστη απόσταση γειτονικών συμβόλων Επίδοση αστερισμών θ QAM σε κανάλι Λευκού Gaussian Προσθετικού Θορύβου AWGN Στοιχεία καναλιού AWGN Θερμικός θόρυβος και μοντέλο AWGN ML κριτήριο (Maximum Likelihood) Ορισμός πιθανότητας σφάλματος συμβόλου Ορισμός πιθανότητας σφάλματος bit Σηματοθορυβική σχέση Υπολογισμός πιθανότητας σφάλματος συμβόλου SER στο θ QAM Περιοχές και όρια απόφασης Υπολογισμός πιθανότητας σφάλματος Προσεγγιστική έκφραση πιθανότητας σφάλματος bit BER στο θ QAM Αντιστοίχιση bits ανα σύμβολο (bit stream mapping) Gray code penalty Προσέγγιση BER Βέλτιστος αστερισμός θ QAM σε κανάλι AWGN Βέλτιστος αστερισμός όσον αφορά το SER... 38

12 xii Βέλτιστος αστερισμός όσον αφορά το BER Επίδοση αστερισμού θ QAM σε κανάλι διαλείψεων Γενική περιγραφή καναλιών διαλείψεων Διαλείψεις πολλαπλών οδεύσεων Κατηγοριοποιήσεις διαλείψεων Μοντελοποίηση καναλιού διαλείψεων Υπολογισμός πιθανότητας σφάλματος συμβόλου SER σε κανάλι διαλείψεων Προσέγγιση πιθανότητας σφάλματος bit BER σε κανάλι διαλείψεων Βέλτιστος αστερισμός της οικογένειας θ QAM σε κανάλι διαλείψεων Βέλτιστος αστερισμός όσον αφορά το SER Βέλτιστος αστερισμός όσον αφορά το BER Ανάλυση προσομοίωσης Συμπεράσματα και μελλοντικές προεκτάσεις Συμπεράσματα Μελλοντικές προεκτάσεις Πολυπλοκότητα αποδιαμόρφωσης Αντιμετώπιση των αστερισμών θ QAM ως αστερισμούς με signal space diversity ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Κώδικας προσομοίωσης αποστολής και λήψης πληροφορίας με χρήση των αστερισμών θ QAM σε MATLAB ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 75

13 xiii

14 xiv

15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Γενικά Η εξέλιξη των τηλεπικοινωνιών τον 20 ο αιώνα οδήγησε στην απαίτηση της όσο το δυνατόν καλύτερης αξιοποίησης του διαθέσιμου φάσματος συχνοτήτων και στην παράλληλη προσπάθεια της συνεχούς βελτίωσης και αύξησης του πλήθους των παρεχόμενων υπηρεσιών. Ιδιαίτερα στις ασύρματες τηλεπικοινωνίες, όπου κάθε τηλεπικοινωνιακό σύστημα χρησιμοποιεί το ίδιο μέσο μετάδοσης της πληροφορίας, τον αέρα, υπάρχει ανάγκη σαφούς διαχωρισμού της κάθε υπηρεσίας, ώστε να μην υπάρχουν αλληλοπαρεμβολές. Έτσι προέκυψε η ανάγκη για επικοινωνίες οι οποίες καταλαμβάνουν στενό εύρος φάσματος συχνοτήτων. Ταυτόχρονα απαιτείται να μεταφέρουν την πληροφορία με όλο και ταχύτερους ρυθμούς, αξιοποιώντας κάθε φορά τη διαθέσιμη τεχνολογία για την υλοποίηση του αντίστοιχου συστήματος σε επίπεδο υλικού. Πρώτο βήμα προς αυτή την κατεύθυνση ήταν η μετάβαση από τις αναλογικές στις ψηφιακές επικοινωνίες. Με αυτό τον τρόπο, η αρχική πληροφορία μετατρέπεται σε ψηφιακή, δηλαδή σε ακολουθία ψηφίων 0 και 1, η οποία πλέον μεταδίδεται με τη βοήθεια κάποιου φέροντος και καταλαμβάνει πλέον ελεγχόμενο, στενό εύρος ζώνης. Κάθε ψηφίο αναπαρίσταται από μία συγκεκριμένη, διακριτή κυματομορφή. Στη συνέχεια υπήρξε στροφή του ενδιαφέροντος στη χρήση διαμορφώσεων υψηλότερης τάξης, με στόχο την αύξηση του ρυθμού αποστολής της πληροφορίας χωρίς ταυτόχρονη αύξηση του απαιτούμενου φάσματος. Στις διαμορφώσεις υψηλότερης τάξης, με την αποστολή μίας κυματομορφής αποστέλλονται περισσότερα από ένα bits, επομένως υπάρχουν και περισσότερες από δύο διακριτές κυματομορφές, οι οποίες όμως καταλαμβάνουν πάντα το ίδιο εύρος ζώνης. Από το 1960 ακόμη το ενδιαφέρον στρέφεται στις οικογένειες των δισδιάστατων αστερισμών συμβόλων, όπως οι διαμορφώσεις πλάτους φάσης (combined amplitude and phase modulation AM/PM) [1] [3] και οι ορθογώνιες διαμορφώσεις πλάτους (Quadrature Amplitude Modulation QAM) [4],[5]. Σε αυτές τις διαμορφώσεις η κάθε διακριτή κυματομορφή που αποστέλλεται αποτελεί γραμμικό συνδυασμό δύο ορθογώνιων μεταξύ τους κυματομορφών, για παράδειγμα ένα ημίτονο και ένα συνημίτονο της ίδιας

16 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ συχνότητας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον υπήρξε για συγκεκριμένες διαμορφώσεις οι οποίες απαιτούν αποδιαμόρφωση πολύ χαμηλής πολυπλοκότητας, όπως το τετραγωνικό QAM (Square Quadrature Amplitude Modulation SQAM), καθώς οδηγούν σε απλές υλοποιήσεις δεκτών. Η διαμόρφωση SQAM χρησιμοποιείται σήμερα σε πάρα πολλές εφαρμογές. Οι ορθογώνιες διαμορφώσεις πλάτους μπόρεσαν στη συνέχεια να συνδυαστούν με διάφορες τεχνικές οι οποίες στοχεύουν στη βελτίωση του λαμβανόμενου σήματος. Οι δύο σημαντικότερες τεχνικές είναι η προσαρμοζόμενη (δυναμική) διαμόρφωση (adaptive modulation) [6] [8], τεχνική η οποία επιλέγει δυναμικά την ενέργεια του σήματος που αποστέλλεται, το ρυθμό αποστολής συμβόλων, την τάξη της διαμόρφωσης, το ρυθμό της κωδικοποίησης ή συνδυασμό των παραπάνω, ανάλογα με τις συνθήκες που επικρατούν στο κανάλι μετάδοσης του σήματος, και η διαφορική λήψη (diversity) [9], η οποία στοχεύει στη βελτίωση του λαμβανόμενου σήματος μέσω της αξιοποίησης πολλών αντιγράφων του Προηγούμενη έρευνα Μια άλλη προσέγγιση των ορθογωνικών διαμορφώσεων πλάτους ήταν η προσπάθεια εύρεσης του QAM με τη βέλτιστη επίδοση, δηλαδή τη μικρότερη πιθανότητα σφάλματος για δεδομένη μέση ενέργεια αποστολής. Σκοπός αυτής της προσπάθειας ήταν η επιλογή των κατάλληλων δισδιάστατων κυματομορφών (δηλαδή κυματομορφών που αποτελούν γραμμικό συνδυασμό 2 ορθογώνιων συνιστωσών) που αποτελούν τα σήματα μετάδοσης. Οι κυματομορφές αυτές αναπαρίστανται στο δισδιάστατο επίπεδο ως σημεία, οπότε το πρόβλημα ανάγεται στη βέλτιστη επιλογή αυτών των σημείων στο διδιάστατο επίπεδο. Με βάση αυτή τη σκοπιά, οι Foschini et al.[10], χρησιμοποιώντας ασυμπτωτικές προσεγγίσεις για την περιοχή υψηλού λόγου ισχύος σήματος προς θόρυβο (Signal to Noise Ratio SNR), χρησιμοποίησαν μία διαδικασία διερεύνησης κλίσης (gradient search procedure) με την οποία επιλεγόταν κάθε φορά ο τοπικά βέλτιστος αστερισμός, ξεκινώντας από μία διάταξη Ν τυχαίων σημείων στο δισδιάστατο χώρο. Δηλαδή, ξεκινώντας από Ν τυχαία σημεία και μετακινώντας τα διαδοχικά, κατέληγαν στη τοπικά βέλτιστη τοποθέτησή τους στο δισδιάστατο χώρο. Με τη μέθοδο αυτή απέδειξαν ότι οι βέλτιστοι αστερισμοί σχηματίζουν διατάξεις πλέγματα στα οποία τα σύμβολα βρίσκονται στις κορυφές σχεδόν ισόπλευρων τριγώνων. Αυτοί οι τοπικά βέλτιστοι αστερισμοί προσφέρουν επιδόσεις

17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 καλύτερες κατά 0.5dB στο SNR (π.χ. για αστερισμούς 16 συμβόλων) από άλλες γνωστές διαμορφώσεις όπως το Rectangular QAM (RQAM) και το SQAM, σε συνθήκες λευκού προσθετικού θορύβου (Additive White Gaussian Noise AWGN). Μεταγενέστερες έρευνες επικεντρώθηκαν στην επίδοση διαφόρων ειδών QAM. Οι Kifle και Vanderaar [11] σύγκριναν την επίδοση διαφόρων αστερισμών 16 και 64 συμβόλων, όπως το CQAM (Circular QAM), το TQAM (Triangular QAM or hexagonal packing) και το RQAM (Rectangular QAM), καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι, όσον αφορά το ρυθμό σφάλματος συμβόλων (SER Symbol Error Rate), το TQAM έχει την καλύτερη επίδοση. Το συμπέρασμα αυτό συμφωνεί με τα αποτελέσματα των Foschini et al., καθώς στο TQAM τα σύμβολα βρίσκονται στις κορυφές ισόπλευρων τριγώνων. Άλλες έρευνες επικεντρώθηκαν σε τρόπους υπολογισμού του BER διαφόρων σχημάτων διαμόρφωσης και στον καθορισμό ανώτατων και κατώτατων ορίων μεταξύ των οποίων βρίσκεται το BER(π.χ. [12]) Ο Sung Joon Park ([13] [14]) μελέτησε την επίδοση του TQAM, προτείνοντας συγκεκριμένη αντιστοίχιση bits σε σύμβολο (bit stream mapping) και μια μέθοδο ανίχνευσης και αποδιαμόρφωσης του TQAM, χαμηλής πολυπλοκότητας. Ωστόσο στο TQAM πρέπει να σημειώσουμε ότι υπάρχει εγγενής αδυναμία εφαρμογής του κώδικα Gray κατά την αντιστοίχιση των bits ανά σύμβολο. Το γεγονός αυτό, όπως θα επισημανθεί και παρακάτω, χειροτερεύει την επίδοση του TQAM σε σχέση με το SQAM όσον αφορά το ρυθμό σφάλματος σε bits (BER Bit Error Rate). Η επίδοση διαφόρων σχημάτων QAM έχει μελετηθεί και σε άλλες εργασίες, όπως στα [15] [18] Συμβολή της διπλωματικής εργασίας Στόχος της εργασίας αυτής είναι η μελέτη της επίδοσης διαφόρων σχημάτων ορθογωνικής διαμόρφωσης πλάτους (QAM), τα οποία ανήκουν σε μία συγκεκριμένη οικογένεια που περιγράφεται στα επόμενα κεφάλαια, και ονομάζεται θ QAM. Το θ QAM είναι μία οικογένεια αστερισμών που διατηρούν χαρακτηριστικά ήδη γνωστών διαμορφώσεων όπως το TQAM και το SQAM τα οποία έχουν ήδη μελετηθεί και χρησιμοποιούνται. Οι δύο αυτές διαμορφώσεις ανήκουν στην οικογένεια αυτή ως ειδικές περιπτώσεις. Σκοπός της μελέτης της οικογένειας αυτής είναι η εύρεση ενός ισοζυγίου μεταξύ των πλεονεκτημάτων που εμφανίζει το SQAM και των πλεονεκτημάτων που εμφανίζει το

18 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ TQAM. Συγκεκριμένα το TQAM επιτυγχάνει μεγαλύτερη εξοικονόμηση στη μέση ενέργεια αποστολής σε σχέση με το SQAM, για ίδιο ρυθμό σφάλματος συμβόλου [13]. Από την άλλη, το SQAM παρουσιάζει καλύτερη επίδοση όσον αφορά το ρυθμό σφάλματος bits, καθώς στο SQAM μπορεί να εφαρμοστεί τέλειος κώδικας Gray, ενώ στο TQAM αυτό δε συμβαίνει. Επιπλέον το SQAM μπορεί να αποδιαμορφωθεί με τεχνικές πολύ χαμηλότερης πολυπλοκότητας από ότι το TQAM. Στην οικογένεια θ QAM θα μπορέσουμε να δούμε ενδιάμεσους αστερισμούς μεταξύ SQAM και TQAM, οι οποίοι παρουσιάζουν τον καλύτερο συμβιβασμό των δύο παραπάνω φαινομένων, αλλά θα εξετάσουμε και το κατά πόσο μπορούν να εφαρμοστούν τέτοια σχήματα διαμόρφωσης, όσον αφορά την πολυπλοκότητα που παρουσιάζουν στην αποδιαμόρφωσή τους. Στην ανάλυση που θα ακολουθήσει, περιγράφεται με σαφήνεια η οικογένεια θ QAM, ενώ εξάγεται ακριβής αναλυτικός τύπος για το SER σε κανάλι λευκού προσθετικού θορύβου (AWGN), όπως και μία πολύ καλή προσέγγιση για το BER, εργαλεία τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της επίδοσης οποιουδήποτε αστερισμού της οικογένειας, συμπεριλαμβανομένων των ήδη χρησιμοποιούμενων αστερισμών SQAM και TQAM. Ιδιαίτερα για το ΤQAM δεν έχει δοθεί στη βιβλιογραφία μέχρι τώρα ακριβής αναλυτικός τύπος για την πιθανότητα σφάλματος. Ομοίως, αναλυτικοί τύποι για το SER και προσεγγίσεις για το BER εξάγονται και για κανάλια διαλείψεων τύπου Nakagami m. Με βάση τις παραπάνω εκφράσεις στη συνέχεια, αναδεικνύεται κάθε φορά ο αστερισμός που ελαχιστοποιεί το SER ή το BER, για δεδομένο λόγο σήματος προς θόρυβο (Signal to Noise Ratio SNR). Έτσι μπορεί κάθε φορά, ανάλογα με την κατάσταση του καναλιού, να βρεθεί ο αστερισμός της οικογένειας με την καλύτερη επίδοση υπό τις συγκεκριμένες συνθήκες. Τέλος, παρουσιάζεται η μέθοδος δημιουργίας της προσομοίωσης ενός συστήματος θ QAM για λειτουργία σε κανάλι διαλείψεων Rayleigh και σε κανάλι λευκού προσθετικού θορύβου, ενώ παρατίθενται εν συνομία οι πιθανές προεκτάσεις του θέματος για μελλοντική έρευνα. Η εργασία αποτελείται από τις εξής ενότητες: στο κεφάλαιο 2 περιγράφονται γενικά οι ψηφιακές διαμορφώσεις, ενώ δίνεται και αναλυτική περιγραφή της οικογένειας θ QAM. Στο κεφάλαιο 3 περιγράφεται ο θερμικός θόρυβος και το μοντέλο του λευκού προσθετικού θορύβου, ενώ αναλύεται η επίδοση της οικογένειας θ QAM σε περιβάλλον λευκού προσθετικού Gaussian θορύβου. Επίσης σημειώνονται οι βέλτιστοι αστερισμοί της

19 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5 οικογένειας θ QAM ανά περίπτωση. Στο κεφάλαιο 4 περιγράφεται το φαινόμενο των διαλείψεων σε ασύρματες επικοινωνίες και το μοντέλο Nakagami m που το περιγράφει στατιστικά, αναλύεται η επίδοση της οικογένειας θ QAM και σε κανάλια που εμφανίζουν διαλείψεις, ενώ παρουσιάζονται και εδώ οι βέλτιστοι αστερισμοί της οικογένειας κατά περίπτωση, για κανάλια διαλείψεων. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφεται αναλυτικά ένας αντιπροσωπευτικός κώδικας των προσομοιώσεων που χρησιμοποιήθηκαν για να επαληθεύσουν τα αποτελέσματα της θεωρητικής ανάλυσης. Στο κεφάλαιο 6 δίνονται τα συμπεράσματα της διπλωματικής εργασίας, ενώ επιπλέον δίνονται και κάποιες πτυχές του θέματος που προσφέρονται για μελλοντική έρευνα και προεκτάσεις της παρούσης εργασίας. Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας παρατίθεται ο κώδικας της προσομοίωσης σε γλώσσα MATLAB.

20 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

21 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 7 2. θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 2.1. Γενικά στοιχεία ψηφιακών διαμορφώσεων Στα αναλογικά συστήματα τηλεπικοινωνιών η πληροφορία του σήματος αποτυπώνεται στο πλάτος ή τη φάση ενός φέροντος, δηλαδή ενός ημιτόνου στη συχνότητα λειτουργίας του συστήματος. Αντίθετα, στα ψηφιακά συστήματα τηλεπικοινωνιών, η πληροφορία πρώτα μετατρέπεται από αναλογική σε ψηφιακή, και έπειτα αποτυπώνεται πάνω σε πεπερασμένο αριθμό αναλογικών κυματομορφών, οι οποίες ονομάζονται σύμβολα. Ο πεπερασμένος αυτός αριθμός των αναλογικών κυματομορφών δεν είναι απαραίτητα δύο, ώστε να αναπαριστούν την ψηφιακή πληροφορία 0 και 1, αλλά μπορεί να είναι μεγαλύτερος, ανάλογα με το σχήμα ψηφιακής διαμόρφωσης που χρησιμοποιείται. Στην περίπτωση που είναι μεγαλύτερος, κάθε σύμβολο κυματομορφή αναπαριστά μία ακολουθία από bits. Έτσι, κάθε ψηφιακή διαμόρφωση αποτελείται από ένα σύνολο συμβόλων τα οποία αναπαρίστανται ως διανύσματα σε έναν γεωμετρικό διανυσματικό χώρο, το οποίο ονομάζεται αστερισμός (constellation). Κάθε διάνυσμα αναπαριστά μία διαφορετική κυματομορφή σύμβολο, ενώ τα διανύσματα που αναπαριστούν αυτές οι κυματομορφές εκφράζονται συναρτήσει κάποιων συναρτήσεων βάσης. Η αντιστοίχιση σημάτων με διανύσματα εμφανίστηκε στα μέσα της δεκαετίας του 1960 από τους Wozencraft και Jacobs. Η ενέργεια του κάθε συμβόλου είναι ανάλογη του τετραγώνου του μέτρου του διανύσματος, το οποίο αναπαριστά το σύμβολο. Σκοπός του σχεδιασμού ενός σχήματος ψηφιακής διαμόρφωσης είναι η ελαχιστοποίηση της απόστασης των συμβόλων από το σημείο [0,0,...,0], δηλαδή η ελαχιστοποίηση του μέτρου τους, ώστε να επιτευχθεί η εξοικονόμηση ενέργειας εκπομπής. Επιπλέον, στόχος είναι να μη μικρύνει πολύ η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των διαφόρων συμβόλων στο διανυσματικό χώρο που αναπαρίστανται, καθώς αυτή αποτελεί την κυριότερη παράμετρο που καθορίζει την πιθανότητα σφάλματος, όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια.

22 8 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ Η διάσταση του διανυσματικού χώρου στον οποίο ανήκουν τα σύμβολα ενός αστερισμού είναι το μέγιστο πλήθος των σημάτων που ανήκουν στο χώρο αυτό και είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή τα σήματα που δεν μπορούν να γραφτούν ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων σημάτων. Επιπλέον, κάθε σήμα ενός αστερισμού σε έναν διανυσματικό χώρο Ν διαστάσεων, μπορεί να γραφεί συναρτήσει ενός ορθοκανονικού συνόλου Ν σημάτων, τα οποία αποτελούν την ορθοκανονική βάση του συστήματος, είναι γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους, ορθογώνια, και έχουν μοναδιαίο μέτρο. Αυτά τα σήματα αποτελούν τις ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης του αστερισμού. Προκύπτει επομένως ότι κάθε σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί από Ν συντεταγμένες, κάθε μία από τις οποίες αντιστοιχεί σε μία από τις ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης του συστήματος. Δηλαδή κάθε σήμα πλέον μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων βάσης. Τα σύμβολα διανύσματα από εδώ και στο εξής θα συμβολίζονται με το σύμβολο. Συνολικά η μέση ενέργεια ενός αστερισμού συμβόλων ορίζεται ως: 2.1 όπου είναι η a priori πιθανότητα εμφάνισης του συμβόλου. Στη συνέχεια αυτής της εργασίας θεωρούμε ότι όλα τα σύμβολα είναι ισοπίθανα, οπότε Βασικές Τεχνικές Ψηφιακής Διαμόρφωσης Στη συνέχεια θα αναφέρουμε κάποια βασικά σχήματα ψηφιακής διαμόρφωσης τα οποία χρησιμοποιούνται σε πολλές εφαρμογές Διαμόρφωση Πλάτους Παλμού PAM (Pulse Amplitude Modulation) Το πιο απλό σχήμα ψηφιακής διαμόρφωσης είναι η Διαμόρφωση Πλάτους Παλμού PAM (Pulse Amplitude Modulation) στην οποία η πληροφορία αποτυπώνεται στο πλάτος παλμών με συγκεκριμένο διακριτό τρόπο. Τα διάφορα σύμβολα επομένως διαφέρουν

23 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 9 μεταξύ τους μόνο κατά ένα χαρακτηριστικό, το πλάτος, και η ανίχνευση του δέκτη βασίζεται στη σωστή εκτίμηση του πλάτους. Επομένως το σήμα PAM είναι μονοδιάστατο. Επιπλέον μπορεί να υλοποιηθεί και σαν διαμόρφωση βασικής ζώνης, αλλά και σαν ζωνοπερατή διαμόρφωση, δηλαδή διαμόρφωση που διαθέτει φέρον σε μία συγκεκριμένη συχνότητα. Στο σχήμα 2.1 φαίνεται το B PAM (Binary PAM), το οποίο διαθέτει δύο σύμβολα, που αντιστοιχίζονται στα ψηφία 0 και 1. Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση βάσης, αν αναφερόμαστε στη διαμόρφωση βασικής ζώνης είναι, όπου ο παλμός βασικής ζώνης και η ενέργεια του παλμού. Αν το σήμα είναι ζωνοπερατό, τότε η συνάρτηση βάσης είναι, όπου η συχνότητα του φέροντος. Σχήμα 2.1: Δυαδικό PAM Όταν το PAM έχει περισσότερα από 2 σύμβολα, τότε σε κάθε ένα από αυτά αντιστοιχίζεται μία ακολουθία από bits. Στο σχήμα 2.2 φαίνεται η αναπαράσταση ενός M PAM με Μ=8 σύμβολα, σε καθένα από τα οποία αντιστοιχίζονται 3 bits. Η συνάρτηση βάσης, τόσο για τη βασική ζώνη όσο και για ζωνοπερατά σήματα, παραμένει η ίδια με το B PAM. Σχήμα 2.2: M PAM για M= Διαμόρφωση Ολίσθησης Φάσης PSK (Phase Shift Keying) Η διαμόρφωση ολίσθησης φάσης PSK (Phase Shift Keying) είναι μία αποκλειστικά ζωνοπερατή διαμόρφωση καθώς η πληροφορία αποτυπώνεται στη φάση ημιτονοειδών

24 10 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ κυματομορφών με ίδια συχνότητα και πλάτος. Αν Τ είναι η διάρκεια κάθε συμβόλου, τότε μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι τα σύμβολα ανήκουν σε δισδιάστατο χώρο με ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης τις cos 2 και sin Οι συνιστώσες αυτές ονομάζονται και I/Q συνιστώσες, δηλαδή συμφασική συνιστώσα (Inphase) και ορθογώνια συνιστώσα (Quadrature). Στο σχήμα 2.3 φαίνεται ένα M PSK, για Μ=8, στο οποίο σε κάθε σύμβολο αντιστοιχίζεται μία ακολουθία από 3 bits. Σχήμα 2.3: M PSK για M= Ορθογωνική Διαμόρφωση Πλάτους QAM (Quadrature Amplitude Modulation) Ο τύπος ψηφιακής διαμόρφωσης που εξετάζεται σε αυτή την εργασία είναι η Ορθογωνική Διαμόρφωση Πλάτους (Quadrature Amplitude Modulation). Στη διαμόρφωση QAM τα σήματα αναπαρίστανται συναρτήσει των συναρτήσεων βάσης του τύπου (2.2), δηλαδή όπως ακριβώς και στο PSK, οι οποίες αναφέρονται και ως συνιστώσες I/Q. Η διαμόρφωση QAM προκύπτει από την τεχνική της ψηφιακής διαμόρφωσης ολίσθησης φάσης PSK (Phase Shift Keying PSK), στην οποία τα σύμβολα που αποστέλλονται έχουν την ίδια ενέργεια, δηλαδή το ίδιο πλάτος σήματος, όμως διαφέρουν

25 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 11 στη φάση. Στη διαμόρφωση QAM, τα σύμβολα αυτά μπορούν να έχουν και διαφορετική ενέργεια σήματος σε κάθε σύμβολο. Ένας συνηθισμένος τύπος QAM είναι οι ορθογώνιοι αστερισμοί QAM, οι οποίοι ουσιαστικά δημιουργούνται από δύο PAM σήματα (Pulse Amplitude Modulation) τα οποία διαμορφώνουν το κάθε ένα τη μία από τις δύο συνιστώσες I και Q, δηλαδή τα σήματα έχουν την εξής μορφή:, 2 cos 2 2 sin Μπορούμε επίσης να αναπαραστήσουμε το κάθε σύμβολο με τις συνιστώσες του διανύσματός του:,, 2.4 Όταν τα δύο PAM σήματα που διαμορφώνουν την I και Q συνιστώσα είναι ίδια, δηλαδή έχουν την ίδια διάσταση και τα ίδια σύμβολα, τότε ο αστερισμός που προκύπτει είναι τετραγωνικός και ονομάζεται SQAM (Square QAM). Ο αστερισμός θα περιγραφεί αναλυτικότερα στη συνέχεια. Ακολούθως θα περιγραφούν αρχικά οι αστερισμοί SQAM και TQAM. Η περιγραφή τους θα δώσει μία καλύτερη εικόνα για το πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε την οικογένεια θ QAM, ενώ θα μας προϊδεάσει για τη διαφορά στην επίδοση που παρουσιάζουν οι δύο αυτές ορθογωνικές διαμορφώσεις μεταξύ τους, αλλά και σε σχέση με τις υπόλοιπες της οικογένειας θ QAM SQAM (Square QAM) Περιγραφή και εφαρμογές Το SQAM με πλήθος συμβόλων Μ είναι ένας αστερισμός ο οποίος αποτελείται από σειρές στήλες συμβόλων, τα οποία βρίσκονται διατεταγμένα σε τετραγωνικό πλέγμα, δηλαδή βρίσκονται στις κορυφές τετραγώνων. Τα σύμβολα έχουν τις συντεταγμένες της εξίσωσης (2.4) στο δισδιάστατο επίπεδο, όπου

26 12 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ, 1, 3,,3,,,3,, 3, όπου d μία απόσταση που εξαρτάται από τη μέση ενέργεια του αστερισμού. Σημειώνουμε ότι η ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών συμβόλων, όπως προκύπτει και από τα παραπάνω, είναι 2d. Στο σχήμα 2.4 παρουσιάζεται ο αστερισμός SQAM για Μ=16 σύμβολα: Σχήμα 2.4: Αστερισμός 16 SQAM Το SQAM αποτελεί ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο σχήμα διαμόρφωσης, κυρίως λόγω της απλότητας που παρουσιάζει κατά την αποδιαμόρφωση. Σύμφωνα με το ML κριτήριο (Maximum Likelihood) το οποίο χρησιμοποιείται για τη βέλτιστη αποδιαμόρφωση σε περιβάλλον λευκού προσθετικού θορύβου, οι περιοχές απόφασης περιορίζονται από όρια που είναι παράλληλα με τους άξονες I και Q των συνιστωσών των συμβόλων. Επομένως στην πράξη, αντί να υπολογιστεί η απόσταση του λαμβανόμενου σήματος από όλα τα σύμβολα του αστερισμού και να επιλεχθεί το σύμβολο που βρίσκεται στη μικρότερη απόσταση, γίνεται μία απλή σύγκριση, για κάθε μια από τις συνιστώσες του σήματος I και Q, με κατώφλια, οδηγώντας έτσι σε μια πολύ πιο εύκολη υλοποίηση ενός αποδιαμορφωτή. Επιπλέον, λόγω της ύπαρξης το πολύ τεσσάρων γειτονικών συμβόλων για κάθε σύμβολο του αστερισμού, είναι δυνατή η εφαρμογή τέλειου κώδικα Gray κατά την αντιστοίχιση των συμβόλων με τα bits της μεταδιδόμενης πληροφορίας, γεγονός που βελτιώνει το BER.

27 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 13 Πρέπει βέβαια να σημειώσουμε ότι το SQAM δεν είναι το βέλτιστο σχήμα δισδιάστατης ψηφιακής διαμόρφωσης, όσον αφορά την απαίτηση για ελάχιστη ενέργεια αποστολής. Ωστόσο σήμερα χρησιμοποιείται από ένα πολύ μεγάλο πλήθος εφαρμογών, πολλές φορές σε συνδυασμό με άλλε τεχνικές, όπως της πολυπλεξίας ή της προσαρμοζόμενης διαμόρφωσης (adaptive modulation) ΤQAM (Triangular QAM) Περιγραφή και εφαρμογές Το TQAM από την άλλη είναι μία ορθογωνική διαμόρφωση πλάτους στην οποία τα σύμβολα σχηματίζουν πλέον πλέγμα τριγωνικό, δηλαδή βρίσκονται στις κορυφές ισόπλευρων τριγώνων. Πιο συγκεκριμένα, για σύμβολα με ζυγό αριθμό bits, οι αστερισμοί TQAM αποτελούνται από σειρές συμβόλων με σύμβολα η κάθε μια, οι οποίες τοποθετούνται η μία κάτω από την άλλη έτσι ώστε να σχηματίζεται το τριγωνικό πλέγμα συμβόλων. Επιπλέον παρατηρούμε ότι διατηρείται η συμμετρία του αστερισμού ως προς την αρχή των αξόνων. Το TQAM στη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως hexagonal packing, καθώς οι περιοχές απόφασης που σχηματίζονται για τα εσωτερικά σύμβολα του αστερισμού είναι κανονικά εξάγωνα, τα οποία καλύπτουν πλήρως τον δισδιάστατο χώρο. Το TQAM απεικονίζεται στο σχήμα 2.5. Σχήμα 2.5: Αστερισμός 16 TQAM Πρέπει να σημειώσουμε ότι στη βιβλιογραφία υπάρχει μία ασάφεια ως προς το ποιος είναι ο αστερισμός TQAM. Για την ακρίβεια μπορούμε να συναντήσουμε πολλούς

28 14 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ αστερισμούς με αυτό το όνομα, καθώς η ονομασία αναφέρεται κυρίως στο τριγωνικό πλέγμα πάνω στο οποίο είναι διατεταγμένα τα σύμβολα, παρά στην ακριβή διάταξη των συμβόλων. Ωστόσο εδώ θα θεωρήσουμε ως TQAM το QAM που περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο και είναι άμεσα συγκρίσιμο με τα αντίστοιχης τάξης SQAM. Αν θεωρήσουμε ότι και στους δύο αστερισμούς η απόσταση μεταξύ γειτονικών συμβόλων είναι σταθερή (ίδιο d), άμεσο αποτέλεσμα είναι ότι στον αστερισμό TQAM τα σύμβολα πλησιάζουν προς την αρχή των αξόνων, δηλαδή μειώνεται η μέση ενέργεια του αστερισμού, ενώ η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των συμβόλων, που παίζει καθοριστικό ρόλο για το ρυθμό σφάλματος συμβόλων, παραμένει σταθερή. Δηλαδή αναμένεται να επιτυγχάνεται σχεδόν ίδια απόδοση με χαμηλότερη ενέργεια, δηλαδή ίδια πιθανότητα σφάλματος συμβόλου με το SQAM, αλλά σε χαμηλότερο SNR. Όταν όμως αντιστοιχίζουμε τα Bits στα σύμβολα των δύο αυτών αστερισμών, υπάρχει η εξής βασική διαφορά: Στο SQAM μπορούμε να εφαρμόσουμε τέλειο κώδικα gray, με αποτέλεσμα το κάθε σύμβολο να διαφέρει μόνο κατά ένα bit από κάθε γειτονικό του. Στο TQAM αντίθετα, κάθε σύμβολο μπορεί να έχει μέχρι και 6 γειτονικά σύμβολα, όμως ο κώδικας ray μπορεί να εφαρμοστεί το πολύ σε 4 γειτονικά σύμβολα. Επομένως, κάποια γειτονικά σύμβολα θα διαφέρουν κατά 2 bits. Καθώς τα περισσότερα σφάλματα εξαιτίας του θορύβου συμβαίνουν μεταξύ γειτονικών συμβόλων, αυτό έχει ως αποτέλεσμα να έχουμε περισσότερα λανθασμένα bits σε σχέση με μία περίπτωση τέλειου κώδικα Gray. Έτσι η βελτίωση που παρατηρείται στο TQAM σε σχέση με το SQAM όσον αφορά το SER, μπορεί να αναιρείται όσον αφορά το BER του αστερισμού, ανάλογα πάντα με το SNR στο οποίο αναφερόμαστε. Το TQAM σήμερα δε χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές, καθώς η αποδιαμόρφωσή του δεν είναι τόσο απλή όσο η αντίστοιχη του SQAM. Στο δέκτη δεν μπορεί να γίνει μία απλή σύγκριση των συνιστωσών του σήματος με κατώφλια, αλλά αντιθέτως πρέπει να υπολογιστούν όλες οι ευκλείδειες αποστάσεις του λαμβανόμενου συμβόλου από τα σύμβολα του αστερισμού, ώστε να ληφθεί η απόφαση για το ποιο σύμβολο έχει σταλεί. Προς την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος, έχει προταθεί μία μέθοδος αποδιαμόρφωσης που περιλαμβάνει τόσο τη σύγκριση κάποιων συνιστωσών με κατώφλια, όσο και τον υπολογισμό αποστάσεων, που παρουσιάζει μικρότερη πολυπλοκότητα από τον υπολογισμό όλων των αποστάσεων.

29 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ Οι αστερισμοί θ QAM Δημιουργία και περιγραφή αστερισμών Σε αυτή την ενότητα περιγράφεται η παραμετρική οικογένεια αστερισμών ορθογωνικής διαμόρφωσης πλάτους την οποία ονομάζουμε θ QAM. Αποτελείται από σύμβολα ζυγού αριθμού bits (even bits constellations), επομένως το πλήθος των συμβόλων κάθε αστερισμού της οικογένειας είναι 2,. Αυτός ο περιορισμός δεν είναι δεσμευτικός όσον αφορά τα τελικά συμπεράσματα της εργασίας αυτής, διευκολύνει όμως αρκετά την ανάλυση που θα ακολουθήσει, χωρίς να αποκλείεται η επέκτασή της και σε αστερισμούς μονού αριθμού bits (odd bits constellations). Η βασική παράμετρος αυτής της οικογένειας, εκτός από την τάξη του αστερισμού, δηλαδή τον αριθμό Μ των συμβόλων του κάθε αστερισμού, είναι η γωνία θ, η οποία θα οριστεί στη συνέχεια. Σχήμα 2.6: Η οικογένεια θ QAM

30 16 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ Στην οικογένεια θ QAM τα σύμβολα σχηματίζουν πλέγμα το οποίο αποτελείται από ισοσκελή τρίγωνα, όπως φαίνεται για M=16 στο σχήμα 2.6, όπου σημειώνεται και η γωνία θ. ΟΡΙΣΜΟΣ: Γωνία θ ονομάζουμε την οξεία γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα 2 ακριανά εξ αριστερών σύμβολα δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών σειρών συμβόλων του αστερισμού, και του οριζόντιου άξονα. Η γωνία αυτή συμπίπτει με τη γωνία μεταξύ των ίσων πλευρών κάθε ισοσκελούς τριγώνου του πλέγματος που σχηματίζουν τα σύμβολα και μπορεί τυπικά να πάρει τιμές στο διάστημα 0,. * *Η περίπτωση θ=0 οδηγεί σε μία PAM διαμόρφωση, γι αυτό και δεν εξετάζεται. Στην οριακή περίπτωση που, έχουμε τον γνωστό αστερισμό SQAM, όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.6, όπου ο αστερισμός SQAM σημειώνεται με τετράγωνα σύμβολα. Σε αυτή την περίπτωση σχηματίζεται πλέγμα στο οποίο τα σύμβολα βρίσκονται στις κορυφές τετραγώνων. Όσο μικραίνει η γωνία θ, μπορούμε να θεωρήσουμε τον εξής μετασχηματισμό στον αστερισμό των συμβόλων, όπως για παράδειγμα στο σχήμα 2.6 για 16 σύμβολα: Η πρώτη και η τρίτη σειρά μετακινούνται κατά την ίδια απόσταση προς τα δεξιά και η δεύτερη και η τέταρτη σειρά μετακινούνται προς τα αριστερά, ενώ ταυτόχρονα διατηρούμε τη συμμετρία του αστερισμού ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0).Ακόμη, η απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών συμβόλων σε μία σειρά, ή η απόσταση μεταξύ αντιστοίχων συμβόλων δύο γειτονικών σειρών (π.χ. τα πρώτα σύμβολα της 1 ης και της 2 ης σειράς) παραμένει ίση με 2d. Η απόσταση d ορίζεται ποσοτικά, συναρτήσει της μέσης ενέργειας του αστερισμού, στη συνέχεια. Η μετακίνηση αυτή των σειρών μπορεί να γίνει και κατά την αντίθετη φορά, χωρίς αλλαγή των αποτελεσμάτων που ακολουθούν. Οι αστερισμοί θ QAM για διάφορες τιμές της γωνίας θ σημειώνονται με μπλε σύμβολα στο σχήμα 2.6. Στην ειδική περίπτωση όπου, ο αστερισμός που προκύπτει

31 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 17 είναι το TQAM και σημειώνεται στο σχήμα με τρίγωνα σύμβολα. Στην περίπτωση αυτή τα σύμβολα του αστερισμού βρίσκονται στις κορυφές ισόπλευρων τριγώνων. Σημειώνουμε εδώ ότι οι αστερισμοί που προκύπτουν για γωνίες μικρότερες των 40 μοιρών δεν παρουσιάζουν κάποιο πρακτικό ενδιαφέρον, αφού η επίδοσή τους είναι αρκετά χειρότερη σε σχέση με τους υπόλοιπους αστερισμούς της οικογένειας, όπως θα φανεί και από την ανάλυση που θα ακολουθήσει Συντεταγμένες συμβόλων Για να διευκολυνθεί η ανάλυση των αστερισμών της οικογένειας θ QAM, ονομάζουμε τα σύμβολα των αστερισμών, με συντεταγμένες,, όπου, 1,2,,, Μ ο αριθμός συμβόλων του αστερισμού. Οι αποστάσεις μεταξύ συμβόλων που παραμένουν σταθερές και ίσες με 2d, όπως περιγράψαμε παραπάνω, είναι οι ακόλουθες:,,, 2, 1,2, 1,,, 2, 1,2, Με βάση το σχήμα 2.6 και με απλούς τριγωνομετρικούς υπολογισμούς, εξάγονται οι συντεταγμένες των παρακάτω συμβόλων για οποιονδήποτε αστερισμό θ QAM, αλλά και για οποιαδήποτε τάξη Μ, καθώς για Μ>16, οι αστερισμοί προκύπτουν με τοποθέτηση αστερισμών χαμηλότερης τάξης (π.χ. Μ=16) τον έναν γειτονικά με τον άλλον. Έτσι οι γενικοί τύποι για τις συντεταγμένες των συμβόλων προκύπτουν ως εξής:, , 2 1, για, 1,2,,, ενώ 2d είναι η απόσταση μεταξύ γειτονικών συμβόλων, 2cos και 2 sin.

32 18 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ Μέση ενέργεια αστερισμών Η μέση ενέργεια ενός αστερισμού ορθογωνικής διαμόρφωσης πλάτους ισούται με τη μέση τιμή των ενεργειών των συμβόλων του, οι οποίες σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων όπως το I/Q που ορίστηκε στην ενότητα 2.1, είναι ίσες με τα τετράγωνα των αποστάσεών τους από την αρχή των αξόνων [20],[23]. Με τη βοήθεια της (2.7) η μέση ενέργεια των αστερισμών θ QAM υπολογίζεται ως 2 1, Έπειτα από απλοποιήσεις προκύπτει: 3 4 cos Ελάχιστη απόσταση γειτονικών συμβόλων Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών συμβόλων ορίστηκε ως 2d, όπου d μία παράμετρος που εξαρτάται από τη μέση ενέργεια του αστερισμού. Από τον τύπο (2.9) μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση d συναρτήσει της μέσης ενέργειας του αστερισμού και της γωνίας θ: cos Ο υπολογισμός αυτός βρίσκει χρήση στην ανάλυση της επίδοσης των διαφόρων αστερισμών της οικογένειας και στη σύγκρισή τους. Κατά τη διαδικασία αυτή, δε συγκρίνουμε αστερισμούς με ίδια απόσταση μεταξύ συμβόλων, δηλαδή 2d, όπου d

33 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 19 σταθερό. Συγκρίνουμε αστερισμούς που έχουν ίδια μέση ενέργεια αστερισμού, και επομένως ίδιο SNR λειτουργίας, για σταθερά χαρακτηριστικά θορύβου. Τότε η απόσταση των συμβόλων κάθε αστερισμού της οικογένειας είναι 2d, όπου το d εξαρτάται από τη γωνία θ του αστερισμού, όπως εκφράζεται από τον τύπο (2.10).

34 20 θ QAM: ΜΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

35 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ ΛΕΥΚΟΥ GAUSSIAN ΠΡΟΣΘΕΤΙΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ AWGN (ADDITIVE WHITE GAUSSIAN NOISE) 3.1. Στοιχεία Καναλιού AWGN Θερμικός θόρυβος και μοντέλο AWGN Στην ενότητα αυτή αρχικά θα περιγράψουμε το θερμικό θόρυβο που παρατηρείται σε οποιοδήποτε τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση θα θεωρήσουμε κανάλι απείρου εύρους ζώνης που παρουσιάζει μόνο προσθετικό θερμικό θόρυβο. Ο θόρυβος αυτός οφείλεται στην κίνηση των ηλεκτρονίων μέσα στα αγώγιμα υλικά του συστήματος, και εξαρτάται από τη θερμοκρασία στην οποία λειτουργεί το σύστημα. Μπορεί να παρατηρηθεί στη μετάδοση οποιουδήποτε σήματος και οφείλεται στα ηλεκτρονικά εξαρτήματα του συστήματος. Ο θερμικός θόρυβος είναι μια στοχαστική διαδικασία η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί με το μοντέλο του λευκού προσθετικού γκαουσιανού θορύβου (Additive White Gaussian Noise AWGN). Χαρακτηριστικό του λευκού θορύβου είναι ότι παρουσιάζει την ίδια πυκνότητα ισχύος σε όλο το φάσμα των συχνοτήτων. Μόνο για θετικές συχνότητες, η φασματική πυκνότητα θορύβου (μονόπλευρη) ισούται με N o (W/Hz), ενώ για θετικές και αρνητικές συχνότητες (δίπλευρη) με N o /2 (W/Hz). Εδώ χρησιμοποιούμε τη φασματική πυκνότητα N o /2. Στο πεδίο του χρόνου, ο λευκός θόρυβος είναι μια τυχαία διαδικασία με μηδενική μέση τιμή και διακύμανση 2, ενώ ακολουθεί κανονική κατανομή (Gaussian) και τα δείγματα θορύβου στο πεδίο του χρόνου είναι ασυσχέτιστα. Η πιθανότητα, επομένως, να λάβει ο θόρυβος μία συγκεκριμένη τιμή n, είναι [20]: Στις ορθογωνικές διαμορφώσεις πλάτους το σήμα που μεταδίδεται είναι δύο διαστάσεων. Επομένως προστίθεται σε κάθε συνιστώσα του μία συνιστώσα θορύβου με τα

36 22 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN παραπάνω χαρακτηριστικά. Μπορούμε λοιπόν να θεωρήσουμε και τον προσθετικό θόρυβο σε ένα δισδιάστατο σήμα, ως δισδιάστατο διάνυσμα, 3.2 όπου τα, παρουσιάζουν την παραπάνω συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Οι δύο αυτές συνιστώσες του θορύβου είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, οπότε η συνολική πιθανότητα το δισδιάστατο διάνυσμα του θορύβου να παίρνει μια τιμή είναι [20]: Στο σχήμα 3.1 φαίνεται η τρισδιάστατη αναπαράστασης μιας δισδιάστατης Gaussian κατανομής πυκνότητας πιθανότητας. Σχήμα 3.1: Δισδάστατη Gaussian κατανομή πυκνότητας πιθανότητας

37 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN 23 Ο λευκός θόρυβος λειτουργεί προσθετικά στο σήμα που αποστέλλεται από τον πομπό ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος, με αποτέλεσμα, αν το σήμα που αποστέλλεται και το σήμα που λαμβάνεται, ενώ το δείγμα του λευκού θορύβου στο χρόνο, τότε ισχύει 3.4 ή αν αντιμετωπίζουμε τα σύμβολα ως διανύσματα στον γεωμετρικό χώρο που αποτυπώνουμε τον αστερισμό, ισχύει ML Κριτήριο (Maximum Likelihood) Οι περιοχές απόφασης, σύμφωνα με τις οποίες ένα λαμβανόμενο σήμα αντιστοιχίζεται σε ένα μεταδιδόμενο, σχηματίζονται σύμφωνα με το ML (Maximum Likelihood) κριτήριο. Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό, το λαμβανόμενο σήμα αντιστοιχίζεται με αυτό το μεταδιδόμενο σήμα, από το οποίο απέχει τη μικρότερη ευκλείδεια απόσταση στο χώρο αναπαράστασης των σημάτων. Όταν ένα λαμβανόμενο σήμα αντιστοιχίζεται σε άλλο μεταδιδόμενο σήμα από αυτό το οποίο έχει μεταδοθεί στην πραγματικότητα, τότε προκύπτει ένα σφάλμα συμβόλου. Η συχνότητα με την οποία προκύπτουν τέτοια σφάλματα ονομάζεται ρυθμός σφάλματος συμβόλου SER (Symbol Error Rate). Για το SER καθοριστικό ρόλο παίζει η ευκλείδεια απόσταση των αρχικών μεταδιδόμενων συμβόλων στο Ν διάστατο χώρο αναπαράστασής τους. Όσο πιο κοντά βρίσκονται δύο σύμβολα, τόσο πιθανότερο είναι το λαμβανόμενο σήμα, εξ αιτίας κάποιου παράγοντα παραμόρφωσης (θόρυβος, διαλείψεις κ.τ.λ.), να βρεθεί πιο κοντά σε άλλο μεταδιδόμενο σήμα, από αυτό το οποίο μεταδόθηκε Ορισμός πιθανότητας σφάλματος συμβόλου Η πιθανότητα να έχουμε σωστή αντιστοίχιση του λαμβανόμενου συμβόλου στον δέκτη, με το σύμβολο που έχει σταλεί, εξαρτάται από την πιθανότητα το να λάβει

38 24 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN συγκεκριμένες τιμές, δεδομένου ότι στείλαμε ένα συγκεκριμένο σύμβολο. Δηλαδή πρέπει να υπολογιστεί η υπό συνθήκη πιθανότητα: Αν είναι μία πιθανή τιμή του λαμβανόμενου συμβόλου, δεδομένου ότι έχουμε αποστείλει το σύμβολο αυτή η υπό συνθήκη πυκνότητα πιθανότητας είναι ισοδύναμη με την πυκνότητα πιθανότητας να έχουμε θόρυβο τέτοιο ώστε, δηλαδή όταν μιλάμε για δισδιάστατα σύμβολα. Γενικά για σύμβολα Ν διαστάσεων ισχύει Επομένως η πιθανότητα σφάλματος, δηλαδή η πιθανότητα ένα λαμβανόμενο σύμβολο να αντιστοιχηθεί σε άλλο σύμβολο από αυτό που έχει αποσταλεί, είναι 3.8 R m όπου το R m είναι το τμήμα του χώρου στον οποίο ανήκουν τα διανύσματα και, στο οποίο όταν βρεθεί το διάνυσμα, αντιστοιχίζεται σε λάθος σύμβολο αποστολής [20],[23]. Γεωμετρικά το παραπάνω ολοκλήρωμα αναπαριστά τον όγκο που περικλείεται κάτω από την επιφάνεια της κατανομής του σχήματος [...], για τα τμήματα του επιπέδου που αποτελούν το χώρο R m. Συνολικά για όλα τα σύμβολα του αστερισμού, η μέση πιθανότητα σφάλματος συμβόλου, ή SEP (Symbol Error Probability) που προβλέπει το ρυθμό σφάλματος συμβόλου SER (από εδώ και στο εξής θα χρησιμοποιείται μόνο ο όρος SER), είναι: 1 3.9

39 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN 25 δηλαδή ο μέσος όρος των πιθανοτήτων όλων των συμβόλων Ορισμός πιθανότητας σφάλματος bit Σε κάθε σύμβολο ενός αστερισμού αντιστοιχίζεται κατά μοναδικό τρόπο μία σειρά από bits (bit stream). Επειδή τα σφάλματα συμβόλου γίνονται συνηθέστερα μεταξύ γειτονικών συμβόλων του αστερισμού, επιδιώκεται τα γειτονικά σύμβολα να διαφέρουν κατά όσο το δυνατόν λιγότερα bits, ώστε ένα σφάλμα συμβόλου να προκαλέσει όσο το δυνατόν λιγότερα σφάλματα στα bits της πληροφορίας, για να έχουμε μετά τη δυνατότητα με κωδικοποιήσεις διόρθωσης σφαλμάτων να μπορούμε να αναιρέσουμε το σφάλμα στη μεταδιδόμενη πληροφορία. Έτσι ορίζεται και ο ρυθμός σφάλματος bits, BER (bit error rate). Για μεγάλη πληθώρα αστερισμών, η μέθοδος που χρησιμοποιείται για την αποτύπωση των bits στα σύμβολα του αστερισμού είναι η κωδικοποίηση Gray, με την οποία επιτυγχάνουμε κάθε σύμβολο να διαφέρει από τα γειτονικά του κατά ένα μόνο bit. Η πιθανότητα σφάλματος bit εξαρτάται και από την απόσταση Hamming, δηλαδή τον αριθμό των bits κατά τον οποίο διαφέρουν, το σύμβολο που στάλθηκε από το σύμβολο στο οποίο αντιστοιχήθηκε το λαμβανόμενο σήμα. Επομένως η πιθανότητα σφάλματος bit για ένα σύμβολο ορίζεται ως εξής: R i όπου το i παίρνει τόσες τιμές όσες είναι οι περιοχές απόφασης των υπόλοιπων συμβόλων, εκτός του σωστού, και είναι η απόσταση hamming μεταξύ του σωστού και του λανθασμένου συμβόλου. Τo άθροισμα των περιοχών R i είναι ολόκληρη η περιοχή του γεωμετρικού χώρου όπου γίνεται εσφαλμένη αντιστοίχιση. Κάθε ένα επιμέρους R i είναι η περιοχή όπου το αρχικό απεσταλμένο σύμβολο συγχέεται με ένα συγκεκριμένο λανθασμένο σύμβολο από τα υπόλοιπα σύμβολα του αστερισμού. Τέλος, είναι ο αριθμός bits ανά σύμβολο. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα ολοκληρώματα στον τύπο (3.10) υπολογίζονται αρκετά δύσκολα, ενώ πρέπει να ληφθεί υπόψη ξεχωριστά και η κάθε απόσταση Hamming.

40 26 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Επιπλέον, συνολικά η μέση πιθανότητα σφάλματος bit BEP, που προβλέπει το ρυθμό σφάλματος bit ΒER (από εδώ και στο εξής θα χρησιμοποιείται μόνο ο όρος ΒER), είναι:, Σηματοθορυβική σχέση Η σηματοθορυβική σχέση λειτουργίας ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος, ή αλλιώς ο λόγος της μέσης ισχύος του σήματος προς την ισχύ του θορύβου ονομάζεται SNR (Signal to Noise Ratio) και ορίζεται ως εξής: όπου Ν οι διαστάσεις του χώρου των συμβόλων, B to εύρος ζώνης και η διάρκεια ενός συμβόλου, ενώ ισχύει. Μπορούμε να ορίσουμε και τη σηματοθορυβική σχέση ανά bit, η οποία είναι: όπου ο αριθμός των bits ανα σύμβολο. Στη συνέχεια όταν αναφερόμαστε σε SNR, θα εννοούμε το SNR/σύμβολο. Συγκεκριμένα για την περίπτωση της διαμόρφωσης QAM (Ν=2), ισχύει.

41 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Υπολογισμός πιθανότητας σφάλματος συμβόλου SER στο θ QAM Περιοχές και όρια απόφασης Για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες σφάλματος για την οικογένεια θ QAM, πρέπει αρχικά να οριστούν τα όρια και επομένως οι περιοχές απόφασης γύρω από κάθε σύμβολο. Το κάθε σύμβολο ενός αστερισμού, έχει μία περιοχή απόφασης, μέσα στην οποία αν βρεθεί το λαμβανόμενο σύμβολο, αντιστοιχίζεται στο ανάλογο σύμβολο του αστερισμού. Τα όρια των περιοχών απόφασης σχεδιάζονται σύμφωνα με το ML κριτήριο σύμφωνα με το οποίο κάθε λαμβανόμενο σύμβολο αντιστοιχίζεται στο σύμβολο του αστερισμού από το οποίο απέχει τη μικρότερη Ευκλείδεια απόσταση. Επομένως τα όρια των περιοχών απόφασης σχηματίζονται με βάση τις μεσοκαθέτους ανάμεσα σε κάθε ζεύγος γειτονικών συμβόλων. Οι περιοχές απόφασης φαίνονται στο σχήμα 3.2 για αστερισμό 16 συμβόλων. Στο ίδιο σχήμα βλέπουμε ότι οι περιοχές απόφασης έχουν διάφορα σχήματα και επαναλαμβάνονται. Συγκεκριμένα σχηματίζονται 6 είδη περιοχών απόφασης, που αριθμούνται με τους αριθμούς 1 έως 6, και από εδώ και πέρα θα συμβολίζονται ως, 1,2,,6. Σημειώνουμε εδώ ότι αυτές οι περιοχές είναι ίδιες ανεξάρτητα από την τάξη της διαμόρφωσης, δηλαδή για κάθε 2,, απλά αλλάζει ο αριθμός που επαναλαμβάνονται. Συγκεκριμένα, για αριθμό συμβόλων Μ, αν συμβολίσουμε ως τον αριθμό επαναλήψεων της κάθε περιοχής απόφασης στον αστερισμό, με απλή παρατήρηση μπορούμε να εξάγουμε τα ακόλουθα:

42 28 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Σχήμα 3.2: Όρια και περιοχές απόφασης Υπολογισμός πιθανότητας σφάλματος Στη συνέχεια θα εκφράσουμε την πιθανότητα σφάλματος συμβόλου σε αναλυτική μορφή, με τη βοήθεια των περιοχών απόφασης που περιγράψαμε στην παράγραφο Για κάθε σύμβολο του αστερισμού, θεωρούμε ότι προκύπτει σφάλμα συμβόλου αν το λαμβανόμενο σήμα μετακινηθεί έξω από την περιοχή απόφασης του συμβόλου το οποίο στάλθηκε. Αυτή η πιθανότητα υπολογίζεται για όλα τα σύμβολα, ανάλογα με την περιοχή απόφασής τους, και στη συνέχεια παίρνουμε τον μέσο όρο αυτών των πιθανοτήτων, για να υπολογίσουμε το SER. Θα δείξουμε πως υπολογίζεται η πιθανότητα σφάλματος αρχικά για ένα σύμβολο που διαθέτει περιοχή απόφασης τύπου, και θα επεκτείνουμε τα αποτελέσματα για τις υπόλοιπες περιοχές. Καθώς οι περιοχές απόφασης σχηματίζουν συνήθως εξάγωνα, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2, θα χρησιμοποιήσουμε σφαιρικές συντεταγμένες για τον ακόλουθο υπολογισμό. Έτσι, εκφράζουμε την πυκνότητα πιθανότητας να λάβουμε το διάνυσμα ενώ έχουμε

43 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN 29 στείλει το διάνυσμα σε κυλινδρικό σύστημα με κέντρο το, οπότε η πιθανότητα σφάλματος προκύπτει ως: R 1 R1 1 R όπου R 1 το επίπεδο έξω από την περιοχή απόφασης του συμβόλου και, καθώς το εκφράζεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες και το είναι το κέντρο του κυλινδρικού συστήματος που θεωρούμε κάθε φορά. Το βρίσκεται στο κέντρο του κυλινδρικού συστήματος αναφοράς, καθώς ο θόρυβος που προστίθεται σε ένα σύμβολο είναι συμμετρικός ως προς αυτό το σημείο, δηλαδή το βρίσκεται στο κέντρο της δισδιάστατης γκαουσιανής κατανομής. Για την περιοχή κάνουμε το διαχωρισμό που φαίνεται στο σχήμα 3.3. Σημειώνουμε ότι καθώς οι περιοχές απόφασης επαναλαμβάνονται σε έναν αστερισμό, δηλαδή αποτελούν pattern, μπορούν να αντιμετωπιστούν με τον ίδιο τρόπο, αν πρόκειται για την ίδιου τύπου περιοχή απόφασης, ανεξάρτητα από τις συντεταγμένες του συμβόλου το οποίο εξετάζουμε. Επιπλέον, η γωνία θ εμφανίζεται στη γεωμετρία της εκάστοτε περιοχής απόφασης και γι αυτό σημειώνεται στο σχήμα, ενώ τα όρια της περιοχής παραμετροποιούνται συναρτήσει της γωνίας θ. Όπως φαίνεται στο σχήμα, η περιοχή R 1 έξω από την περιοχή απόφασης του συμβόλου χωρίζεται σε έξι τομείς, οι οποίοι είναι τύπου a και b. H πιθανότητα του τύπου (25) μπορεί να χωριστεί σε 6 τμήματα, 4 τύπου a και 2 τύπου b. Επομένως τα ολοκληρώματα που προκύπτουν είναι τα ακόλουθα: όπου το πρώτο ολοκλήρωμα είναι η πιθανότητα το λαμβανόμενο σήμα να βρίσκεται σε μία περιοχή τύπου a ενώ το δεύτερο σε μία περιοχή τύπου b. Με αντίστοιχη μέθοδο χωρισμού του επιπέδου σε τομείς υπολογίζουμε τις πιθανότητες σφάλματος και για τους υπόλοιπους τύπους περιοχών απόφασης:

44 30 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Σχήμα 3.3: Περιοχή απόφασης R1, χωρισμός περιοχής R 1 σε τομείς

45 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN 31 Για να βρούμε τη συνολική πιθανότητα σφάλματος συμβόλου, πρέπει να πάρουμε τη μέση τιμή των παραπάνω πιθανοτήτων για τα σύμβολα του αστερισμού. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.16.a f) για τον αριθμό επανάληψης της κάθε περιοχής απόφασης στον αστερισμό, προκύπτει:,, Στον παραπάνω τύπο είναι, δηλαδή το SNR/symbol, δ, δηλαδή η E κανονικοποιημένη απόσταση d ως προς τη μέση ενέργεια του αστερισμού, csc και sec. Τα ολοκληρώματα προκύπτουν από τη λύση ως προς το ένα διαφορικό των αρχικών ολοκληρωμάτων ενώ τα προκύπτουν ως εξής: Εύκολα προκύπτει ότι για ο τύπος απλοποιείται και καταλήγει στον γνωστό τύπο υπολογισμού του SER για το SQAM, ενώ για προκύπτει ο αναλυτικός τύπος

46 32 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN υπολογισμού του SER που αντιστοιχεί στο TQAM, ο οποίος δεν είχε εξαχθεί εως τώρα στη βιβλιογραφία. Στο σχήμα 3.4 απεικονίζεται το SER για διάφορους αστερισμούς της οικογένειας, δηλαδή για διάφορες γωνίες θ, και για διάφορες τιμές του SNR, για Μ=16 και Μ=64. Απεικονίζονται τόσο τα αποτελέσματα του θεωρητικού υπολογισμού όσο και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων. Είναι εμφανές ότι για γωνίες μικρότερες των 40 μοιρών, η επίδοση των αστερισμών χειροτερεύει κατά πολύ, σε σχέση με μεγαλύτερες γωνίες. Επιπλέον βλέπουμε ότι για M=16 η βέλτιστη γωνία προσεγγίζει τις 60 μοίρες, ενώ για M=64 από το διάγραμμα δεν είναι ξεκάθαρο το ποια είναι η βέλτιστη γωνία, αλλά ουσιαστικά όλοι οι αστερισμοί της οικογένειας έχουν σχεδόν ίδια απόδοση. Σχήμα 3.4: Το SER συναρτήσει της γωνίας θ, για διάφορες τιμές του SNR και για Μ=16 και Μ=64

47 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Προσεγγιστική έκφραση πιθανότητας σφάλματος bit BER στο θ QAM Αντιστοίχιση bits ανά σύμβολο (Bit Stream Mapping) Πριν προχωρήσουμε στον υπολογισμό του BER για τους αστερισμούς της οικογένειας θ QAM, θα πρέπει να οριστεί με σαφήνεια η αντιστοίχιση των bits στα σύμβολα του αστερισμού. Γνωρίζουμε ότι, καθώς κάθε σύμβολο μπορεί να έχει μέχρι και 6 γειτονικά σύμβολα, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τέλειο κώδικα Gray, οπότε πρέπει να βρεθεί ο βέλτιστος συνδυασμός ο οποίος θα πετυχαίνει τα λιγότερα σφάλματα σε bits. Θα προσπαθήσουμε να κάνουμε τέτοια αντιστοίχιση των bit, ώστε σε κάθε σύμβολο με 6 γειτονικά σύμβολα, τα 4 από αυτά να διαφέρουν κατά 1 bit, ενώ τα άλλα 2 να διαφέρουν κατά 2 bit. Μάλιστα, καθώς από τους έξι αυτούς γείτονες, οι τέσσερις απέχουν από το εξεταζόμενο σύμβολο απόσταση 2d, δηλαδή την ελάχιστη απόσταση, ενώ τα άλλα δύο γειτονικά σύμβολα, για γωνία απέχουν απόσταση μεγαλύτερη από την ελάχιστη, επιλέγουμε τα 4 σύμβολα που απέχουν ελάχιστη απόσταση να διαφέρουν κατά 1 Bit, ενώ τα άλλα 2 γειτονικά σύμβολα που βρίσκονται σε μεγαλύτερη απόσταση να διαφέρουν κατά 2 Bit. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί εύκολα με τον εξής τρόπο. Για κάθε M αριθμό συμβόλων, παίρνουμε τον αστερισμό SQAM της οικογένειας, ο οποίος είναι ο μοναδικός στον οποίο εφαρμόζεται τέλειος κώδικας Gray. Αφού τοποθετήσουμε τα bits σύμφωνα με τον κώδικα Gray στον αστερισμό SQAM, σχηματίζουμε τους υπόλοιπους αστερισμούς της οικογένειας θ QAM όπως στο κεφάλαιο δύο, ενώ κάθε σύμβολο, διατηρεί τα αρχικά bits που αντιστοιχήθηκαν σε αυτό στο SQAM. Με αυτό τον τρόπο τα 2 από τα 6 γειτονικά σύμβολα των εσωτερικών συμβόλων του αστερισμού, που βρίσκονται σε μεγαλύτερη από την ελάχιστη απόσταση, διαφέρουν κατά 2 Bits από το εξεταζόμενο σύμβολο, ενώ αυτά που βρίσκονται στην ελάχιστη απόσταση, διαφέρουν κατά 1 bit, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5 για 16 σύμβολα [13],[14]. Σημειώνουμε εδώ ότι η παραπάνω αντιστοίχιση που απεικονίζεται στο σχήμα 3.5 δεν είναι η μοναδική δυνατή, αλλά είναι ισοδύναμες και όλες οι αντιστοιχίσεις που προκύπτουν από τέλειο κώδικα Gray εφαρμοσμένο στο SQAM.

48 34 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Σχήμα 3.5: Bit stream mapping Gray code penalty Επειδή η αναλυτική διαδικασία υπολογισμού του BER είναι πολύ δύσκολη και μερικές φορές είναι αδύνατη η εξαγωγή αναλυτικού κλειστού τύπου, στη βιβλιογραφία γίνονται διάφορες προσεγγίσεις για το BER, που σχετίζουν το BER με το SER του εκάστοτε αστερισμού. Η πιο συνηθισμένη από αυτές τις προσεγγίσεις είναι η προσέγγιση υψηλού SNR. Όταν η τηλεπικοινωνιακή διάταξη λειτουργεί σε υψηλό SNR, τα περισσότερα σφάλματα συμβόλου συμβαίνουν όταν το λαμβανόμενο σύμβολο αντιστοιχίζεται σε κάποιο από τα γειτονικά σύμβολα του συμβόλου αποστολής. Επομένως το BER συνήθως προσεγγίζεται από την ακόλουθη έκφραση: 3.19 όπου είναι η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου SER, είναι η πιθανότητα σφάλματος bit BER, είναι ο αριθμός bits/σύμβολο ενώ είναι ένας συντελεστής που

49 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN 35 ονομάζεται Gray Code Penalty (σφάλμα κώδικα Gray) και αποτελεί ουσιαστικά τον μέσο όρο της μέσης απόστασης Hamming κάθε συμβόλου από τα γειτονικά του σύμβολα. Αυτό εκφράζεται σε τύπο από την ακόλουθη έκφραση [14]: 1 1, 3.20 όπου, είναι η απόσταση Hamming μεταξύ των συμβόλων,, όταν τα, είναι γειτονικά, ενώ ο αριθμός είναι ο αριθμός των γειτονικών συμβόλων του. Ωστόσο, σε αυτή την έκφραση, όλα τα ζεύγη, γειτονικών συμβόλων βρίσκονται στην ίδια ελάχιστη απόσταση 2 και επομένως είναι λογικό να παίρνουμε τον μέσο όρο των αποστάσεων hamming ως μία εκτίμηση για τον αριθμό των εσφαλμένων bits που μπορούν να προκύψουν για κάθε σύμβολο αποστολής. Αυτό όμως δε συμβαίνει εν γένει στους αστερισμούς της οικογένειας θ QAM. Για την ακρίβεια, συμβαίνει μόνο σε δύο ειδικές περιπτώσεις, αυτές του SQAM και του TQAM. Σε μία γενική περίπτωση αστερισμού θ QAM κάποια γειτονικά σύμβολα απέχουν απόσταση 2, και κάποια μεγαλύτερη (αν ). Έτσι, στην ακόλουθη παράγραφο προτείνουμε έναν τρόπο προσέγγισης του BER, όχι με απλό πολλαπλασιασμό του SER με έναν παράγοντα στάθμισης, αλλά πολλαπλασιασμό κάθε επιμέρους ολοκληρώματος που εμφανίζεται στο SER με παράγοντες στάθμισης, οι οποίοι προκύπτουν από τη γεωμετρία του αστερισμού και τη διαφορά σε bits των γειτονικών συμβόλων. Λαμβάνουμε δηλαδή υπόψη όχι μόνο την απόσταση Hamming, αλλά και τη γεωμετρία του αστερισμού Προσέγγιση BER Θα εξετάσουμε αρχικά την προτεινόμενη μέθοδο στην περιοχή απόφασης, κατ αντιστοιχία με τον τρόπο που υπολογίστηκε το SER. Διατηρούμε τον διαχωρισμό της συμπληρωματικής περιοχής R σε τομείς, όπως στο σχήμα 3.3. Οι τομείς τύπου a που 1 χρωματίζονται με γαλάζιο χρώμα, μπορούμε με αρκετά καλή προσέγγιση να θεωρήσουμε ότι εκτείνονται σε περιοχές απόφασης γειτονικών συμβόλων που απέχουν μόνο 1 bit από

50 36 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN το σύμβολο που εξετάζεται. Αντίθετα, οι περιοχές τύπου b που σημειώνονται με πράσινο χρώμα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι εκτείνονται μέσα στις περιοχές απόφασης των γειτονικών συμβόλων που απέχουν 2 bits. Επομένως είναι εύλογο να πολλαπλασιάσουμε τα ολοκληρώματα που αντιστοιχούν στις περιοχές τύπου a με τον παράγοντα 1, αφού τα σφάλματα που προκύπτουν εκεί οδηγούν σε ένα λανθασμένο bit από τα bits του συμβόλου. Αντίστοιχα πολλαπλασιάζουμε τα ολοκληρώματα που αντιστοιχούν στις περιοχές τύπου b με τον παράγοντα 2,, αφού τα σφάλματα που προκύπτουν εκεί οδηγούν σε δύο λανθασμένα bits από τα bits του συμβόλου. Άρα για την περιοχή ισχύει:, Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία και για τις υπόλοιπες περιοχές απόφασης και παίρνοντας το μέσο όρο τους, προκύπτει η ακόλουθη έκφραση για το BER:,, 1, 3.22 δηλαδή σε ακριβώς αντίστοιχη έκφραση όπως αυτή του SER, μόνο που τώρα για τους συντελεστές ισχύει:

51 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN = 2 1 = = = 2 = Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι η παραπάνω παράσταση για τον αστερισμό SQAM απλοποιείται και προκύπτει ακριβώς η ίδια με την παράσταση (3.19), όπου το υπολογίζεται από την παράσταση (3.20). Για τον αστερισμό TQAM ωστόσο, η παράσταση που προκύπτει είναι διαφορετική από αυτήν που θα προέκυπτε με τη χρήση του, και μάλιστα είναι αρκετά πιο ακριβής, όπως προέκυψε μέσα από αποτελέσματα προσομοιώσεων. Συγκεκριμένα η προτεινόμενη προσέγγιση για /3 (TQAM) προσεγγίζει τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων με σφάλμα μικρότερο από 2% για SNR>7dB, ενώ η γνωστή από τη βιβλιογραφία έκφραση που χρησιμοποιεί το προσεγγίζει τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων με σφάλμα μικρότερο από 2% για SNR>13dB. Επομένως η προτεινόμενη προσέγγιση κρίνεται πολύ αποδοτικότερη. Στο σχήμα 3.6 απεικονίζεται το BER για διάφορους αστερισμούς της οικογένειας, δηλαδή για διάφορες γωνίες θ, και για διάφορες τιμές του SNR, για Μ=16. Απεικονίζονται τόσο τα αποτελέσματα της θεωρητικής προσέγγισης όσο και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων. Είναι αξιοσημείωτο ότι στο διάγραμμα του σχήματος 3.6 είναι εμφανές πως για κάθε τιμή SNR, το BER παρουσιάζει ελάχιστο για διαφορετική γωνία, η οποία ξεκινάει για χαμηλά SNR περίπου από την τιμή /2 ενώ για υψηλά SNR προσεγγίζει την τιμή /3. Επιπλέον, είναι εμφανής η σύγκλιση της προτεινόμενης προσέγγισης με τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων, γεγονός που επιτρέπει τον χαρακτηρισμό της προσέγγισης ως πολύ ακριβή σε κανάλι λευκού προσθετικού θορύβου.

52 38 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Σχήμα 3.6: Το ΒER συναρτήσει της γωνίας θ, για διάφορες τιμές του SNR και για Μ= Βέλτιστος αστερισμός θ QAM σε κανάλι AWGN Βέλτιστος αστερισμός όσον αφορά το SER Όπως προέκυψε από την προηγούμενη ενότητα, τόσο από τα διαγράμματα όσο και από τους αναλυτικούς τύπους υπολογισμού, υπάρχει η δυνατότητα υπολογισμού μιας γωνίας θ για κάθε ζεύγος τιμών (Μ, γ), όπου γ το SNR, στην οποία το SER ελαχιστοποιείται. Καθώς η αναλυτική έκφραση για το SER είναι εξαιρετικά δύσκολο να λυθεί ως προς τη γωνία θ, αφού αποτελείται από ολοκληρώματα που την εμπλέκουν, ακολουθούμε την εξής μέθοδο: Η παράσταση υπολογίζεται για συγκεκριμένες τιμές του γ, δηλαδή του μέσου SNR, και του πλήθους των συμβόλων Μ. Στη συνέχεια η βέλτιστη γωνία μπορεί να υπολογιστεί ελαχιστοποιώντας την παράσταση,, για τις παραπάνω τιμές των θ και Μ, με διάφορες αριθμητικές μεθόδους βελτιστοποίησης, όπως η μέθοδος Nelder Mead [21], που περιλαμβάνεται σε πολλά μαθηματικά πακέτα.

53 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN 39 Για παράδειγμα, οι βέλτιστες γωνίες για αστερισμούς με Μ=16, 64, 256, 1024 και για διάφορες τιμές SNR δίνονται στο σχήμα 3.7. Στο διάγραμμα αυτό βλέπουμε ότι όσο αυξάνεται το Μ, η βέλτιστη γωνία μεταβάλλεται σε όλο και μεγαλύτερο διάστημα τιμών. Συγκεκριμένα, για Μ=16, η βέλτιστη γωνία βρίσκεται μεταξύ του διαστήματος, ενώ για Μ=64 μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών,. Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όσο αυξάνεται το SNR, η βέλτιστη γωνία προσεγγίζει πάντα την τιμή /3, ανεξάρτητα από την τάξη διαμόρφωσης. Σχήμα 3.7: Βέλτιστες γωνίες θ για διάφορες τιμές του Μ και του SNR όσον αφορά το SER Η σύγκληση αυτή στην τιμή π/3 συμβαίνει για τον ακόλουθο λόγο: όταν ο αστερισμός είναι το TQAM, τότε οι περιοχές απόφασης των εσωτερικών συμβόλων του αστερισμού είναι κανονικά εξάγωνα. Το κανονικό εξάγωνο έχει την ιδιότητα να παρέχει την βέλτιστη κάλυψη του επιπέδου, δηλαδή τα εξάγωνα είναι τα σχήματα με το μικρότερο εμβαδό αλλά με σταθερή ελάχιστη απόσταση από το διπλανό εξάγωνο, σε σχέση με μια

54 40 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN άλλη επιλογή σχήματος, όπως π.χ. μια τετραγωνική περιοχή απόφασης όπως συμβαίνει στο SQAM. Ωστόσο προκύπτει το εξής παράδοξο: πώς γίνεται, αφού τα κανονικά εξάγωνα είναι η βέλτιστη επιλογή για μια περιοχή απόφασης, να παρατηρούμε για μικρότερα SNR καλύτερη επίδοση σε μικρότερη γωνία από την τιμή π/3; Η απάντηση είναι ότι στα εξωτερικά σύμβολα του αστερισμού οι περιοχές απόφασης παύουν να είναι κανονικά εξάγωνα οπότε παύει να είναι αυτή η βέλτιστη κάλυψη του επιπέδου. Για μια καλύτερη εποπτεία της επιλογής γωνίας όσον αφορά το SER μπορούμε να παρατηρήσουμε και το σχήμα 3.4 της παραγράφου 3.2, όπου φαίνεται ότι η επίπτωση της επιλογής γωνίας στο SER είναι εμφανής, ειδικά για μικρή τάξη διαμόρφωσης. Για παράδειγμα, για Μ=16 και SNR=20, η πιθανότητα σφάλματος συμβόλου λαμβάνει τιμές μεταξύ 4 10 και 10. Αντιθέτως, για μεγαλύτερες τάξεις διαμόρφωσης ή για μικρότερη σηματοθορυβική σχέση φαίνεται ότι η διαφορά της επίδοσης μεταξύ των διαφόρων αστερισμών είναι πολύ μικρή. Δηλαδή, μπορεί να υπάρχει μία βέλτιστη γωνία θ, αλλά στην πράξη η διαφορά είναι αμελητέα και έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα, είτε επιλέξουμε το SQAM είτε το TQAM είτε οποιονδήποτε άλλον αστερισμό της οικογένειας θ QAM. Συνολικά μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι για τις περισσότερες περιπτώσεις, και ειδικά όσο αυξάνεται η σηματοθορυβική σχέση, η βέλτιστη επιλογή γωνίας όσον αφορά το SER είναι το TQAM, δηλαδή ο αστερισμός της οικογένειας θ QAM για /3. Ωστόσο πρέπει να τονίσουμε ότι αυτή η επιλογή προς το παρόν στηρίζεται μόνο στην εξέταση της επίδοσης του αστερισμού, και όχι στην πολυπλοκότητα της αποδιαμόρφωσής του. Εδώ πρέπει να αναφέρουμε ότι για τη βέλτιστη επιλογή γωνίας στην υλοποίηση ενός πομπού και ενός δέκτη, είναι η απαραίτητη η ανάδραση από τον δέκτη στον πομπό, δηλαδή η ύπαρξη ενός καναλιού feedback, που προσφέρει την πληροφορία της κατάστασης του καναλιού μετάδοσης. Το σύστημα ουσιαστικά μπορεί να θεωρηθεί ένα σύστημα με τεχνική adaptive modulation, στο οποίο η γωνία θ του αστερισμού αποτελεί ακόμη μία μεταβαλλόμενη παράμετρο, εκτός από την τάξη διαμόρφωσης.

55 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN Βέλτιστος αστερισμός όσον αφορά το BER Με όμοια τακτική μπορούν να εξεταστούν και οι βέλτιστες γωνίες όσον αφορά το BER, χρησιμοποιώντας την αναλυτική προσέγγιση της σχέσης (3.22). Είναι όμως ήδη φανερό από το σχήμα 3.6 ότι το TQAM παύει να είναι η βέλτιστη επιλογή γωνίας, όσον αφορά το BER. Συγκεκριμένα, όσο αυξάνεται η σηματοθορυβική σχέση, η βέλτιστη γωνία προσεγγίζει την τιμή των 65 μοιρών, η οποία φαίνεται να είναι και ο συμβιβασμός μεταξύ της βέλτιστης επίδοσης του TQAM όσον αφορά το SER και της βέλτιστης εφαρμογής του τέλειου κώδικα Gray στο SQAM. Τα δύο αυτά αντικρουόμενα φαινόμενα δημιουργούν ανάλογα με τη σηματοθορυβική σχέση έναν συμβιβασμό σε διαφορετική κάθε φορά γωνία. Ακόμη περισσότερο, για μικρότερα SNR μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου το SQAM πετυχαίνει την καλύτερη επίδοση σε σχέση με όλους τους αστερισμούς της οικογένειας. Από τα παραπάνω μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι για τη ζώνη των χαμηλών SNR (SNR<15dB), η βέλτιστη επιλογή αστερισμού είναι το SQAM, ενώ για μεγαλύτερη σηματοθορυβική σχέση (SNR>15dB) η βέλτιστη επιλογή είναι περίπου οι 65 μοίρες. Αυτή η επιλογή αφορά πάλι αποκλειστικά την επίδοση των αστερισμών όσον αφορά το BER, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η πολυπλοκότητα αποδιαμόρφωσης του αστερισμού.

56 42 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ AWGN

57 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ 4.1. Γενική περιγραφή καναλιών διαλείψεων Διαλείψεις πολλαπλών οδεύσεων Ένα ασύρματο κανάλι μετάδοσης της πληροφορίας διαφέρει σημαντικά από τα αντίστοιχα κανάλια των ενσύρματων επικοινωνιών. Στην ασύρματη επικοινωνία το σήμα δεν οδηγείται μέσα από κάποιο μέσο, αλλά μεταδίδεται στον ελεύθερο χώρο, μέσα από μετατροπείς του ηλεκτρικού σήματος σε ηλεκτρομαγνητικό κύμα και αντίστροφα, τις κεραίες. Αυτό σημαίνει ότι το σήμα διαχέεται στον ελεύθερο χώρο ως ηλεκτρομαγνητικό κύμα από την κεραία εκπομπής, και φθάνει στο δέκτη μέσω της λήψης του από την κεραία λήψης. Ωστόσο, στην κεραία λήψης φθάνουν διάφορα αντίγραφα του σήματος, δηλαδή πολλά ηλεκτρομαγνητικά κύματα, από τις διάφορες ανακλάσεις του ηλεκτρομαγνητικού κύματος που εξέπεμψε η κεραία του πομπού, ανακλάσεις που προκαλούνται από το περιβάλλον διάδοσης του κύματος. Αυτά τα αντίγραφα μπορούν να φθάνουν εξασθενημένα ή ενισχυμένα, ταυτόχρονα ή με χρονική διαφορά, μεταβαλλόμενα στο χρόνο, καθώς το περιβάλλον μετάδοσης μπορεί να αλλάζει με το χρόνο. Επομένως ο δέκτης πρέπει να μπορεί από αυτά τα αντίγραφα να λάβει σωστά την πληροφορία που εκπέμπει ο πομπός. Αυτές οι μεταβολές στην ισχύ του λαμβανόμενου κύματος ονομάζονται διαλείψεις. Τα φαινόμενα ενίσχυσης και εξασθένισης προκύπτουν από τη συμβολή των κυμάτων, η οποία λειτουργεί είτε ενισχυτικά είτε καταστροφικά, ανάλογα με τη διαφορά φάσης του κύματος. Καθώς θεωρούμε ότι γενικά, είτε κινούνται ο πομπός και ο δέκτης, είτε αλλάζει το περιβάλλον, το λαμβανόμενο σήμα συνεχώς περνάει από μια φάση ενίσχυσης σε μια φάση εξασθένισης και το αντίστροφο, με το πέρασμα του χρόνου. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται πολλαπλή όδευση του κύματος (multipath), και ειδικά όταν τα πολλαπλά αντίγραφα φθάνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές στον δέκτη, μπορούν να προκαλέσουν και μία μορφή ενδοσυμβολικής παρεμβολής, δηλαδή τα αντίγραφα ενός προηγούμενου συμβόλου να αργούν να φθάσουν τόσο στο δέκτη ώστε να

58 44 ΕΠΙΔΟΣΗ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ θ QAM ΣΕ ΚΑΝΑΛΙ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ φθάνουν ταυτόχρονα με το επόμενο σύμβολο, δημιουργώντας ασάφεια στη λήψη. Το φαινόμενο της πολλαπλής όδευσης φαίνεται στο σχήμα Κατηγοριοποιήσεις διαλείψεων Οι διαλείψεις συνήθως διαχωρίζονται σε αργές και γρήγορες διαλείψεις (slow and fast fading). Οι αργές διαλείψεις αντιπροσωπεύουν πολύ αργές μεταβολές στο κανάλι, οι οποίες προκαλούνται από φαινόμενα όπως η σκίαση (shadowing), που προκαλείται από μεγάλα κτήρια που εμποδίζουν το σήμα, βουνά κ.τ.λ. Όταν ένα κανάλι παρουσιάζει αργές διαλείψεις, η ενίσχυση ή η εξασθένιση που αυτό εισάγει μπορούν να θεωρηθούν σταθερές για ένα μεγάλο διάστημα, στο οποίο μεταδίδονται πολλά σύμβολα. Αντίθετα οι γρήγορες διαλείψεις προκαλούνται κυρίως από την κίνηση πομπού και δέκτη, ή την κίνηση αντικειμένων στο άμεσο περιβάλλον της επικοινωνίας, πάνω στα οποία ανακλάται το σήμα, και σχετίζεται άμεσα με το φαινόμενο Doppler, δηλαδή τη μεταβολή της συχνότητας του σήματος λήψης ανάλογα με τη σχετική ταχύτητα πομπού και δέκτη. Σχήμα 4.1: Φαινόμενο πολλαπλών οδεύσεων σήματος Εκτός από τον παραπάνω διαχωρισμό, οι διαλείψεις χωρίζονται και σε επίπεδες και επιλεκτικές στη συχνότητα (flat or frequency selective fading). Οι επίπεδες διαλείψεις επηρεάζουν με τον ίδιο τρόπο όλο το φάσμα συχνοτήτων του σήματος που μεταδίδεται,