Θόρυβος και λάθη στη μετάδοση PCM

Transcript

1 Θόρυβος και λάθη στη μετάδοση PCM

2 Πότε συμβαίνουν λάθη Για μονοπολική (on-off) σηματοδότηση το σήμα στην έξοδο είναι, όπου α k =0 όταν y( kts) ak n( kts) μεταδίδεται το bit 0 και α k =Α όταν μεταδίδεται το bit 1 Εάν y(kt s )>V θεωρούμε ότι μεταδόθηκε το bit 1 Εάν y(kt s )<V θεωρούμε ότι μεταδόθηκε το bit 0 Λάθη θα συμβούν όταν α k =0 και ο θόρυβος οδηγεί σε y(kt s )>V α k =A και ο θόρυβος οδηγεί σε y(kt s )<V

3 Περιγραφή με θεωρία πιθανοτήτων Οι τιμές του σήματος και του θορύβου τη στιγμή δειγματοληψίας είναι τυχαίες μεταβλητές Y και Ν Η τιμή της Y εκτός από το θόρυβο εξαρτάται και από την ύπαρξη ή μη παλμού Οι υποθέσεις H 0 : α k =0 και Y=n (μετάδοση 0) H 1 : α k =Α και Y=A+n (μετάδοση 1) συμβολίζουν τη μετάδοση του bit 0 και 1, αντίστοιχα, και λήψη του σήματος με θόρυβο

4 Υπό συνθήκη πιθανότητες Η υπό συνθήκη κατανομή πυκνότητας πιθανότητας του λαμβανόμενου σήματος Υ ανάλογα με το τι μεταδόθηκε είναι p ( y H ) p ( y) Y 0 p ( y H ) p ( y A) Y 1 N N όπου p Ν (n) η κατανομή του θορύβου Στην περίπτωση λευκού θορύβου p N 1 ( n) exp n

5 Πιθανότητα σφάλματος Εάν Υ<V επιλέγουμε την υπόθεση Η 0 μετάδοσης α k =0 Εάν Υ>V επιλέγουμε την υπόθεση Η 1 μετάδοσης α k =Α

6 Πιθανότητα σφάλματος Οι πιθανότητες σφάλματος είναι P P{ Y V H } p ( y H ) dy e0 0 Y 0 V Pe 1 P{ Y V H1} py( y H1) dy Η μέση πιθανότητα σφάλματος P e είναι P P P PP e 0 e0 1 e1 P P{ H }, P P{ H } V όπου P 0 και P 1 είναι οι a priori πιθανότητες να γεννηθούν τα bit 0 και 1, αντίστοιχα, στην πηγή πληροφορίας

7 Βέλτιστο κατώφλι Το βέλτιστο κατώφλι V opt προκύπτει από την σχέση dp / dv 0 P p ( V H ) P p ( V H ) e 0 Y opt 0 1 Y opt 1 Συνήθως αναμένουμε ισοπίθανες εμφανίσεις 0 και 1 P το βέλτιστο κατώφλι V opt βρίσκεται στην τομή των καμπυλών των υπό συνθήκη κατανομών πυκνότητας πιθανότητας γιατί; 1 P P P P e e0 e1 p ( V H ) p ( V H ) Y opt 0 Y opt 1

8 Πιθανότητα σφάλματος παρουσία λευκού θορύβου Οι πιθανότητες σφάλματος για λευκό θόρυβο και κατώφλι V είναι 1 y V Pe0 pn( y) dy exp dy Q V V παρομοίως V AV Pe 1 pn( y A) dy Q όπου Q(x) η συνάρτηση Q

9 Πιθανότητα σφάλματος παρουσία λευκού θορύβου Για ισοπίθανες εμφανίσεις 0 και 1 V opt A/ A Pe 0 Pe 1 Pe Q Η πιθανότητα σφάλματος μειώνεται ταχύτατα για Α /σ =.0 P e 10 - για Α /σ = 6.0 P e 10-9

10 Πιθανότητα σφάλματος σε πολική σηματοδότηση Για πολική (polar) σηματοδότηση, α k =±Α/ Η απόσταση μεταξύ των συμβόλων είναι ίδια με τη μονοπολική Η πιθανότητα σφάλματος προκύπτει από την ίδια σχέση Η μόνη διαφορά V opt =0 Όμως απαιτείται μικρότερη ισχύς για το ίδιο αποτέλεσμα!

11 Πιθανότητα σφάλματος για διπολική σηματοδότηση Για διπολική (bipolar) σηματοδότηση και ισοπίθανες εμφανίσεις 0 και 1 A/ A Pe 0 pn ( y) dy pn ( y) dy Q A/ A/ A Pe 1 pn( y A) dy Q A Pe 1 pn( y A) dy Q A/ και τελικά A Pe 1.5Q

12 Πιθανότητα σφάλματος και σηματοθορυβική σχέση

13 Σηματοθορυβική σχέση εξόδου Η επίδραση της σηματοθορυβικής σχέσης στην πιθανότητα σφάλματος εκδηλώνεται μέσω του πλάτους των παλμών Το πλάτος με τη σειρά του εξαρτάται από το είδος σηματοδότησης Για μονοπολική (και διπολική) σηματοδότηση S R =A / Για πολική σηματοδότηση S R =A /4 Επομένως A S μονο- (δι-) πολική R 4S πολική R ο παράγων μπορεί να έχει σημαντική επίδραση στην P e

14 Σηματοθορυβική σχέση εξόδου Η μεταβλητότητα σ ισούται με την ισχύ του θορύβου στην έξοδο του φίλτρου Ν R Ο λόγος A/σ συναρτήσει της σηματοθορυβικής σχέσης SNR c =S R /N R είναι A A SNRc / μονο- (δι-) πολική 4NR SNRc πολική

15 Πιθανότητα σφάλματος ως προς σηματοθορυβική σχέση Άρα Q SNRc / μονοπολική P 1.5 Q SNR / διπολική e c Q SNR c πολική

16 Πιθανότητα σφάλματος και ρυθμός σηματοδότησης Η επίδραση του ρυθμού σηματοδότησης r b είναι κρυμμένη στην ισχύ του θορύβου Για να περάσουν παλμοί διάρκειας Τ b =1/r b από το βαθυπερατό φίλτρο αυτό πρέπει να έχει εύρος ζώνης Β N r b / Άρα N N B N r R 0 N 0 b / Μεγαλύτεροι ρυθμοί σηματοδότησης απαιτούν μεγαλύτερη ισχύ σήματος για να διατηρήσουν την ίδια πιθανότητα λάθους!

17 Σύγκριση πιθανοτήτων σφάλματος

18 Προσαρμοσμένο φίλτρο (Matched filter )

19 Προσαρμοσμένο φίλτρο Κάθε ψηφιακός δέκτης περιλαμβάνει ένα βαθυπερατό φίλτρο για να περιορίσει το θόρυβο χωρίς εισαγωγή ISI Ποιο είναι το βέλτιστο φίλτρο; Για χρονικά περιορισμένους παλμούς σε λευκό θόρυβο προσαρμοσμένο φίλτρο

20 Υλοποίηση με τελεστικό ενισχυτή Φίλτρο ολοκλήρωσης και απόρριψης (integrate and dump) Ολοκλήρωση του σήματος μέχρι το τέλος της διάρκειας παλμού Μηδενισμός και επανεκκίνηση

21 Λόγος ενέργειας bit προς πυκνότητα θορύβου Η μέση ενέργεια ανά bit ορίζεται ως E S r / b R b Ο λόγος ενέργειας bit προς πυκνότητα θορύβου είναι E / N S / N r b 0 R 0 b Για παλμούς πλάτους a k η μέση ενέργεια ανά bit είναι E a p() t dt a b k k eq Επιλέγοντας το προσαρμοσμένο φίλτρο ως 1 h( t) p( t t) d eq η μέγιστη έξοδος του φίλτρου είναι a k

22 Λόγος ενέργειας bit προς πυκνότητα θορύβου Η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου είναι N N N N H( f ) df h( t) dt R επομένως E N b 0 ak και ανάλογα με τη σηματοδότηση A Eb / N0 μονο- (δι-) πολική Eb / N0 πολική eq

23 Πιθανότητα σφάλματος Η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να επανυπολογισθεί συναρτήσει του λόγου ενέργειας bit προς πυκνότητα θορύβου Q E b / N0 μονοπολική P / e Q Eb N0 πολική 1.5 Q E / b N0 διπολική Οι ελάχιστες δυνατές τιμές της πιθανότητας σφάλματος επιτυγχάνονται μόνο με το προσαρμοσμένο φίλτρο Ως εάν Β N =1/r b N R =N 0 r b /, άσχετα του εάν αυτό αληθεύει

24 Πιθανότητα σφάλματος για M-κη σηματοδότηση

25 Τα κατώφλια απόφασης Στη γενική περίπτωση Μ-κης σηματοδότησης με Μ άρτιο και ισοπίθανες εμφανίσεις των συμβόλων τα πλάτη των συμβόλων είναι a k = ±Α/, ±3Α/,, ±(Μ-1)Α/

26 Η πιθανότητα σφάλματος Η πιθανότητα σφάλματος για ισοπίθανα σύμβολα είναι 1 Pe Pe 0 Pe 1... PeM 1 M Για τα δύο ακραία σύμβολα A Pe 0 PeM 1 Q Για τα ενδιάμεσα σύμβολα A Pe 1 Pe 1... PeM Q

27 Πιθανότητα σφάλματος για M-κη σηματοδότηση Τελικά 1 A A Pe Q ( m ) Q M 1 A 1 Q M

28 Πιθανότητα σφάλματος και σηματοθορυβική σχέση Με τη μέση ενέργεια ενός M-κού συμβόλου να είναι E a p() t dt a M k k eq για ισοπίθανα σύμβολα a M 1 1 k A Επομένως A 3 E 3 1 S M 1 M 1 r N M eq όπου r ο ρυθμός σηματοδότησης και S R /N R η σηματοθορυβική σχέση στην είσοδο eq R R

29 Πιθανότητα σφάλματος και σηματοθορυβική σχέση Για ορθογωνικούς παλμούς eq D1/ r οπότε A 3 S 3 S 6 S R R R R 0 N 0 M N M N B M N r αφού Β N r/

30 Πιθανότητα σφάλματος και σηματοθορυβική σχέση Για το προσαρμοσμένο φίλτρο N οπότε R N 0 eq A 6 S R M 1 0 N r

31 Ρυθμός λανθασμένων bit (BER) H πιθανότητα P e αναφέρεται σε σύμβολα, όχι bit Εάν υποθέσουμε ότι η Μ-κη σηματοδότηση μεταφέρει δυαδικά μηνύματα, δηλαδή, Μ= n r rlog b M η πιθανότητα λάθους bit (για κώδικα Gray και αρκετά μεγάλη σηματοθορυβική σχέση) είναι P P /log be e M Συνήθως αναφέρεται ως Bit Error Rate (BER)

32 Ρυθμός λανθασμένων bit (BER) Τελικά P be M 1 A Q Mlog M Ως συνάρτηση της σηματοθορυβικής σχέσης A 6 S 6log M E R b M 1 N r M 1 N 0 0 με την ισότητα να ισχύει για το προσαρμοσμένο φίλτρο