Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός."

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, ΠΑΤΡΑ Τηλ.: , Φαξ: , Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ όπουλ ος TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE DEPARTMENT: BUSINESS ADMINISTRATION (PATRAS) Address: M. Alexandrou 1, PATRA Greece Tel.: ,Fax: , Profe ss or J. Mi tr opou l os Θέμα: Έλεγχοι υποθέσεων για το μέσο Επιμέλεια: Χρυσάνθη Παπαθανασοπούλου Ημερομηνία: 01/12/2015 1

2 Έλεγχος για πληθυσμιακούς μέσους Όταν η μηδενική υπόθεση αφορά έναν πληθυσμιακό μέσο, η στατιστική συνάρτηση ελέγχου μπορεί να είναι είτε η Ζ είτε η t. Υπάρχουν δυο περιπτώσεις που χρησιμοποιείται η Ζ. Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. 2. Η σ είναι γνωστή και το μέγεθος του δείγματος είναι τουλάχιστον 30. (Ο πληθυσμός δεν χρειάζεται, να είναι κανονικός). Συνάρτηση ελέγχου Ζ: Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού γνωστή και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο έλεγχος υποθέσεων για τον μέσο μ του πληθυσμού υπολογίζεται από τον τύπο: Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για τον μέσο του πληθυσμού: Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού γνωστή και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης (confidence interval estimator) του μέσου μ του πληθυσμού είναι το διάστημα τιμών: Η πιθανότητα 1-α ονομάζεται στάθμη εμπιστοσύνης (confidence level). Οι όροι ονομάζονται κατώτερο όριο εμπιστοσύνης (lower confidence level LCL) και ανώτερο όριο εμπιστοσύνης (upper confidence level UCL) αντίστοιχα. Συχνά ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης εκφράζεται με την μορφή: 2

3 Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η t: Ο πληθυσμός είναι κανονικός και η σ είναι άγνωστη αλλά η δειγματική τυπική απόκλιση s είναι γνωστή. Συνάρτηση ελέγχου : Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο έλεγχος υποθέσεων για τον μέσο μ του πληθυσμού υπολογίζεται από τον τύπο: και ακολουθεί την κατανομή student t με ν=η-1 βαθμούς ελευθερίας. Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για τον μέσο του πληθυσμού: Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου μ του πληθυσμού υπολογίζεται από τον τύπο: με ν=η-1 βαθμούς ελευθερίας. Περιπτώσεις που δεν καλύπτονται από τις στατιστικές συναρτήσεις ελέγχου Ζ και t: 1. Ο πληθυσμός δεν είναι κανονικός και η σ είναι άγνωστη. (Πολλοί στατιστικοί θα αποδέχονταν έναν t έλεγχο αν το μέγεθος του δείγματος ήταν "αρκετά μεγάλο. Το μέγεθος είναι αρκ ετά μεγάλο αν είναι τουλάχιστον 30 στην περίπτω ση που οι πληθυσμοί πιστεύεται ότι δεν είναι πολύ ασύμμετροι. Αν είναι, γνωστά ότι ο πληθυσμός είναι πολύ ασύμμετρος, τότε το μέγεθος θα πρέπει να είναι αντιστοίχως μεγαλύτερο). 2. Ο πληθυσμός δεν είναι κανονικός και το μέγεθος του δείγματος 3

4 είναι μικρότερο του Ο πληθυσμός είναι κανονικός και η σ άγνωστη. Είναι γνωστός μόνο ο δειγματικός μέσος και όχι η δειγματική τυπική απόκλιση S. Τα δειγματικά δεδομένα επίσης δεν είναι, γνωστά και συνεπώς το S δεν μπορεί να υπολογιστεί. (Προφανώς, αυτή η περίπτωση είναι σπάνια). Κατηγορίες ελέγχου: 4

5 Έλεγχος του μέσου ενός πληθυσμού όταν η τυπική απόκλιση είναι γνωστή (συνάρτηση ελέγχου Z) Άσκηση: Ένας φοιτητής διοίκησης επιχειρήσεων ισχυρίζεται ότι ο μέ σος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει περισσότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα. Για να ελέγξει τον ισχυρισμό αυτόν ένας καθηγη τής στατιστικής επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 φοιτητών MBA και τους ρώτησε πόσες εργασίες πρέπει να ετοιμάζουν ανά εβδομάδα. Οι απαντήσεις δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Μπορεί ο καθηγητής να συμπεράνει με στάθμη σημαντικότητας 5% αν ο ισχυρισμός είναι αληθής, αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των εργασιών ανά εβδομάδα έχει κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=1,5; Α. Επίλυση με τυποποιημένο στατιστικό έλεγχο (standardized test statistic) Σύμφωνα με το ερώτημα της άσκησης ο έλεγχος υποθέσεων που πρέπει να γίνει είναι: H 0 : µ = 5 κατά της H 1 : µ > 5 Στην συγκεκριμένη άσκηση η σ είναι γνωστή (σ=1,5) και ο πληθυσμός κανονικός, άρα σύμφωνα με τα παραπάνω, η στατιστική συνάρτηση ελέγχου που πρέπει να χρησιμοποιηθεί είναι η Ζ. 5

6 Ο τύπος υπολογισμού του Ζ είναι: Όπου: :ο μέσος του δείγματός (πρέπει να υπολογιστεί), : η τιμή που ελέγχεται στην H 0, μ= 5 : η τυπική απόκλιση του πληθυσμού, σ=1,5 : το μέγεθος του δείγματος, Άρα το Ζ είναι: Η περιοχή απόρριψης είναι: * 6

7 * Υπολογισμός του Ζ 0,05 Το ζητούμενο είναι η τιμή Ζ 0,05. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η ανάλυση των διαστημάτων, που οδηγεί στον εξής υπολογισμό: Ρ(Ζ> Ζ 0,05 ) = 0, Ρ(Ζ< Ζ 0,05 ) = 0,05 Ρ(Ζ< Ζ 0,05 ) =1-0,05 Ρ(Ζ< Ζ 0,05 ) =0,95 Αν ανατρέξουμε στον πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής διαπιστώνουμε ότι η τιμή 0,9500 δεν υπάρχει και ότι οι πλησιέστερες τιμές είναι 0,9495 για Ζ=1,64 και 0,9505 για Ζ=1,65 αντίστοιχα. Έτσι, μπορούμε να προσεγγίσουμε τη ζητούμενη τιμή στο μέσον των δυο πλησιέστερων: Άρα: Ζ 0,05 = = 1,645 7

8 Αθροιστικές πιθανότητες τυποποιημένης κανονικής κατανομής Ρ(-οο < Ζ < z) ο z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0, ,5596 0, ,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517.0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0, ,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0, ,7764 ),7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0, ,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0, ,8315 0, ,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0, ,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0, ,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 8

9 Επειδή η τιμή =2,11 είναι μεγαλύτερη από την =1,645 πρέπει να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση και να συμπεράνουμε ότι υπάρχουν αρκετά στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση, ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι μεγαλύτερος από 5. Όταν η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, ο έλεγχος λέγεται ότι είναι στατιστικά σημαντικός (statistically significant). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι: ο έλεγχος [της υπόθεσης ότι ο μέσος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει περισσότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα] ήταν στατιστικά σημαντικός με στάθμη σημαντικότητας 5%. 9

10 Β. Επίλυση με του υπολογισμό της τιμής p: Τιμή p (p-value) είναι η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρει ο έλεγχος μια τιμή σαν αυτή που έχει υπολογιστεί από το δείγμα, με δεδομένη την αλήθεια της μηδενικής υπόθεσης. Η τιμή p ενός ελέγχου υπόθεσης αποτελεί μια πολύτιμη πληροφορία, ε- πειδή είναι ένα μέτρο της στατιστικής βαρύτητας των στοιχείων που στηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση. Στη συγκεκριμένη άσκηση, η τιμή p είναι η πιθανότητα, σε έναν πληθυσμό με μέσο 5 (του ελέγχου) και τυπική απόκλιση 1,5, ένα δείγμα μεγέθους 10 να έχει μέσο 6 ή μεγαλύτερο: p-τιμή = 2,11 10

11 Η παραπάνω πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: P(Z > 2,11) = 1 P(Z < 2,11) = 1 0,9826* = 0, 017 * Όπου ο υπολογισμός της πιθανότητας P(Z < 2,11) παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα της τυποποιημένης κανονικής κατανομής: 11

12 Αθροιστικές πιθανότητες τυποποιημένης κανονικής κατανομής Ρ(-οο < Ζ < z) ο z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0, ,5596 0, ,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517.0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0, ,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0, ,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0, ,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0, ,8315 0, ,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0, ,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0, ,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0, ,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0, ,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,

13 Ερμηνεία της τιμής p: p < 0,01: υπάρχει συντριπτική απόδειξη (overwhelming evidence) υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης, ή ο έλεγχος έχει στατιστικά πολύ σημαντικός (highly significant). 0,01 <p<0,05: υπάρχει ισχυρή απόδειξη (strong evidence) υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης, ή ο έλεγχος είναι στατιστικά σημαντικός (significant). 0,05<p<0,10: p>0,10: υπάρχει ασθενής απόδειξη (weak evidence) υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης, ή ο έλεγχος είναι στατιστικά μη σημαντικός (not significant). δεν υπάρχει απόδειξη (no evidence) υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης. Στην συγκεκριμένη άσκηση επειδή p=0,017<0,05 υπάρχει ισχυρή απόδειξη (strong evidence) υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης, ή ο έλεγχος είναι στατιστικά σημαντικός (significant). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι: ο έλεγχος [της υπόθεσης ότι ο μέσος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει περισσότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα] ήταν στατιστικά σημαντικός με στάθμη σημαντικότητας 5%. 13

14 Όπως βλέπουμε όποια και από τις δύο μεθόδους και να χρησιμοποιήσουμε: τυποποιημένο στατιστικό έλεγχο (περιοχή απόρριψης) ή τιμή p, το αποτέλεσμα του ελέγχου θα είναι τι ίδιο. Τιμή p και περιοχή απόρριψης: Τόσο η μέθοδος της περιοχής απόρριψης όσο και αυτή της τιμής p μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την υποστήριξη του ίδιου τύπου αποφάσεων. Αρχικά καθορίζεται η στάθμη σημαντικότητας α, ανάλογα με τις ανάγκες του προβλήματος και τη βαρύτητα της απόφασης που πρέπει να ληφθεί. Στη συνέχεια υπολογίζεται η περιοχή απόρριψης και εξετάζεται αν ο έλεγχος (π.χ. ο μέσος του δείγματος) βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης, οπότε και απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση. Στη μέθοδο της τιμής p υπολογίζεται η τιμή p η οποία συγκρίνεται απευθείας με την επιλεγμένη στάθμη σημαντικότητας: Εάν η p-τιμή είναι μικρότερη του α, κρίνουμε ότι η p-τιμή είναι αρκετά μικρή και απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση Εάν η p-τιμή είναι μεγαλύτερη του α, δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση Υπολογισμός Όπως είδαμε, υπάρχουν δύο τρόποι για τη λύση στατιστικών προβλημάτων. Αν επιλέξουμε τον χειρόγραφο υπολογισμό, είναι προτιμότερη η μέθοδος της περιοχής απόρριψης. Για τον υπολογισμό μπορούν να χρησιμοποιηθούν έτοιμοι πίνακες πιθανοτήτων. Όταν ο έλεγχος είναι ο μέσος του δείγματος μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε την τιμή p χειρόγραφα. Αν όμως η άσκηση απαιτεί να χρησιμοποιήσουμε στατιστικούς δείκτες που δεν έχουν κανονική κατανομή, είναι αδύνατο να υπολογιστεί χειρόγραφα η τιμή p. Εκεί θα περιοριστούμε στη μέθοδο της περιοχής απόρριψης. 14

15 Στην συνέχεια θα προσαρμόσουμε την εκφώνηση της παραπάνω άσκησης προκειμένου να επιλύσουμε και του άλλους δύο τύπους ελέγχων: Μονόπλευρο αριστερού άκρου και δίπλευρου ελέγχου. Άσκηση: Ένας φοιτητής διοίκησης επιχειρήσεων ισχυρίζεται ότι ο μέ σος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει λιγότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα. Για να ελέγξει τον ισχυρισμό αυτόν ένας καθηγη τής στατιστικής επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 φοιτητών MBA και τους ρώτησε πόσες εργασίες πρέπει να ετοιμάζουν ανά εβδομάδα. Οι απαντήσεις δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Μπορεί ο καθηγητής να συμπεράνει με στάθμη σημαντικότητας 5% αν ο ισχυρισμός είναι αληθής, αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των εργασιών ανά εβδομάδα έχει κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=1,5; Α. Επίλυση με τυποποιημένο στατιστικό έλεγχο (standardized test statistic) Σύμφωνα με την διατύπωση του ισχυρισμού στο ερώτημα της άσκησης ο έλεγχος υποθέσεων που πρέπει να γίνει τώρα είναι: H 0 : µ = 5 κατά της H 1 : µ < 5 15

16 Το Ζ υπολογίζεται όπως παραπάνω: Τώρα αλλάζει η περιοχή απόρριψης που είναι : * Παρατηρήστε ότι το σύμβολο της ανισότητας (μικρότερο) είναι το ίδιο με αυτό που υπάρχει στην εναλλακτική υπόθεση. Επίσης παρατηρήστε το αρνητικό πρόσημο, δείχνει ότι η περιο χή απόρριψης βρίσκεται στο αριστερό άκρο της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, όπ ου η τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή έχει αρνητικές τιμές. 16

17 * Υπολογισμός του Ζ 0,05 Επειδή η καμπύλη της τυποποιημένης κανονικής κατανομής είναι συμμετρική ως προς το 0, το ζητούμενο, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, είναι η τιμή - Ζ 0,05 Παραπάνω από τους πίνακες της τυποποιημένης κανονικής κατανομής υπολογίσαμε ότι Ζ 0,05 =1,645. Έτσι είναι: - Ζ 0,05 = - 1,645 Άρα, η περιοχή απόρριψης είναι: < - 1,645 Επειδή η τιμή =2,11 δεν είναι μικρότερη από την = -1,645 (δηλαδή δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης) δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αρκετά στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την εναλλακτική υπόθεση, ότι ο μέσος του πληθυσμού είναι μικρότερος από 5. Β. Επίλυση με του υπολογισμό της τιμής p: Στον τύπο αυτό του ελέγχου υποθέσεων, όπου ενδιαφερόμαστε μόνο για τιμές στο αριστερό άκρο της κατανομής, υπολογίζουμε απευθείας την τιμή p ως, όπου είναι η τιμή του ελέγχου. Συνεπώς υπολογίζουμε την τιμή p ως: (για τον υπολογισμό της πιθανότητας βλέπε πίνακα τυποποιημένης κανονικής κατανομής σελ.12) 17

18 Επειδή p=0,9826>0,05 (και συγκεκριμένα p=0,9826>0,10) δεν υπάρχει απόδειξη υπέρ της εναλλακτικής υπόθεσης, ή ο έλεγχος είναι στατιστικά μη σημαντικός (significant). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι: ο έλεγχος [της υπόθεσης ότι ο μέσος φοιτητής MBA είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει λιγότερες από 5 εργασίες την εβδομάδα] ήταν στατιστικά μη σημαντικός με στάθμη σημαντικότητας 5%. 18

19 Άσκηση: Ένας φοιτητής διοίκησης επιχειρήσεων ισχυρίζεται ότι ο μέ σος φοιτητής MBA δεν ετοιμάζει 5 εργασίες την εβδομάδα. Για να ελέγξει τον ισχυρισμό αυτόν ένας καθηγη τής στατιστικής επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 φοιτητών MBA και τους ρώτησε πόσες εργασίες να ετοιμάζουν ανά εβδομάδα. Οι απαντήσεις δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Μπορεί ο καθηγητής να συμπεράνει με στάθμη σημαντικότητας 5% αν ο ισχυρισμός είναι αληθής, αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός των εργασιών ανά εβδομάδα έχει κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=1,5; Α. Επίλυση με τυποποιημένο στατιστικό έλεγχο (standardized test statistic) Σύμφωνα με την διατύπωση του ισχυρισμού στο ερώτημα της άσκησης ο έλεγχος υποθέσεων που πρέπει να γίνει τώρα είναι: H 0 : µ = 5 κατά της H 1 : µ 5 19

20 Το Ζ υπολογίζεται όπως παραπάνω: Η διαφορά σε σχέση με τα προηγούμενα παραδείγματα είναι ότι η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν ο μέσος είναι είτε μεγαλύτερος είτε μικρότερος από τον υπάρχοντα, δηλαδή υπάρχει περιοχή απόρριψης και στα δυο άκρα της κατανομής: ή Στα μαθηματικά αυτό συμβολίζεται ως: Επειδή α=0,05 θα είναι α/2=0,025, οπότε θα πρέπει να υπολογίσουμε το: = =1,96* * Υπολογισμός του Ζ 0,025 Το ζητούμενο είναι η τιμή Ζ 0,025. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται η ανάλυση των διαστημάτων, που οδηγεί στον εξής υπολογισμό: Ρ(Ζ> Ζ 0,025 ) = 0, Ρ(Ζ< Ζ 0,025 ) = 0,025 Ρ(Ζ< Ζ 0,025 ) =1-0,025 Ρ(Ζ< Ζ 0,025 ) =0,975. Εάν κάνουμε αντίστροφη αναζήτηση στον Πίνακα, για το 0,975, θα βρούμε την αντίστοιχη τιμή z A = Άρα λέμε ότι: Ζ.025 =

21 Αθροιστικές πιθανότητες τυποποιημένης κανονικής κατανομής Ρ(-οο < Ζ < z) ο z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0, ,5596 0, ,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517.0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0, ,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0, ,7764 ),7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0, ,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0, ,8315 0, ,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0, ,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0, ,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0, ,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0, ,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,

22 Επειδή η καμπύλη της τυποποιημένης κανονικής κατανομής είναι συμμετρική ως προς το 0, να θυμίσουμε ότι - Ζ.025 = ( Συνέχεια της άσκησης) Η περιοχή απόρριψης θα αποτελείται από τα δυο διαστήματα τιμών: ή Επειδή το είναι μεγαλύτερο από το 1,96, απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. 22

23 Β. Επίλυση με του υπολογισμό της τιμής p: Η τιμή p υπολογίζεται ως το άθροισμα των πιθανοτήτων των δυο διαστημάτων: Ρ( < ) + Ρ( > ) = Ρ( <-2,11) + Ρ( >2,11), όπου η = τιμή του ελέγχου (1) Όπως γνωρίζουμε η κανονική κατανομή είναι συμμετρική οπότε: Ρ( <-2,11) = 1- Ρ( <2,11) (2) Ρ( >2,11) = 1- Ρ( <2,11) (3) Άρα η (1) διαμορφώνεται από την (2) και (3): Ρ( <-2,11) + Ρ( >2,11)= 1- Ρ( <2,11) +1- Ρ( <2,11) = 2-2 Ρ( <2,11)= 2[1- Ρ( <2,11)]= 2(1-0,9826)=0,035 Παρατηρήστε ότι επειδή τα διαστήματα στα δυο άκρα της κατανομής είναι συμμετρικά, θα μπορούσαμε απλά να πολλαπλασιάσουμε την πιθανότητα του ενός διαστήματος επί 2. Γενικά η τιμή p ενός ελέγχου δυο άκρων υπολογίζεται ως: p-value = 2Ρ( > ) = 2Ρ( > 2,11 ) = 2 Ρ( >2,11)= 2[1- Ρ( <2,11)]= 2(1-0,9826)= 0,035 όπου είναι η πραγματική τιμή του ελέγχου και είναι η απόλυτη τιμή της. 23

24 Αθροιστικές πιθανότητες τυποποιημένης κανονικής κατανομής Ρ(-οο < Ζ < z) ο z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0, ,5596 0, ,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517.0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0, ,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0, ,7764 ),7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0, ,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0, ,8315 0, ,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0, ,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0, ,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0, ,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0, ,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,

25 Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για τον μέσο του πληθυσμού: Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού γνωστή και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης (confidence interval estimator) του μέσου μ του πληθυσμού είναι το διάστημα τιμών: Η πιθανότητα 1-α ονομάζεται στάθμη εμπιστοσύνης (confidence level). Οι όροι ονομάζονται κατώτερο όριο εμπιστοσύνης (lower confidence level LCL) και ανώτερο όριο εμπιστοσύνης (upper confidence level UCL) αντίστοιχα. Συχνά ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης εκφράζεται με την μορφή: Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης Στην παραπάνω άσκηση θα υπολογίσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για τον μέσο αριθμό εργασιών που ένας φοιτητής είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει ανά εβδομάδα, με στάθμη εμπιστοσύνης 95%, αφού η στάθμη σημαντικότητας είναι α=5% : Για τον υπολογισμό θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: Από την άσκηση έχουμε υπολογίσει: :ο μέσος του δείγματός (πρέπει να υπολογιστεί), : η τυπική απόκλιση του πληθυσμού, σ=1,5 : το μέγεθος του δείγματος, 25

26 = =1,96* (βλέπε για υπολογισμό, σελ 20-21) Αν αντικαταστήσουμε όλα τα παραπάνω στον τύπο βρίσκουμε ότι ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης 95% είναι: Συνεπώς τα δύο όρια εμπιστοσύνης είναι: LCL=6-0,930=5,07 UCL=6+0,930=6,93 Ερμηνεία: Εκτιμούμε ότι ο μέσος αριθμός εργασιών που ένας φοιτητής είναι υποχρεωμένος να ετοιμάζει ανά εβδομάδα είναι μεταξύ 5,07 και 6,93 και η εκτίμηση αυτή έχει πιθανότητα 95% να είναι σωστή. Αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε επανειλημμένα δείγματα μεγέθους 10, στο 95% των περιπτώσεων ο μέσος του δείγματος θα απέχει λιγότερο του 0,93 από τον μέσο του πληθυσμού. 26

27 Έλεγχος του μέσου ενός πληθυσμού όταν η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη (συνάρτηση ελέγχου t) Στις προηγούμενες ασκήσεις είδαμε τρόπους εκτίμησης του μέσου ενός πληθυσμού όταν η τυπική απόκλιση είναι γνωστή όπου ο έλεγχος μιας υπόθεσης υπολογίστηκε από τον τύπο: όπου η τυπική απόκλιση σ θεωρείται ως δεδομένη. Όμως μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση είναι αυτή που δέχεται ότι η τυπική απόκλιση όπως και ο μέσος είναι άγνωστες παράμετροι, και κατά συνέπεια δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προηγούμενη κατανομή δειγματοληψίας. Αντίθετα, στη θέση της τυπικής απόκλισης σ του πληθυσμού, στον παραπάνω τύπο θα χρησιμοποιηθεί η τυπική απόκλιση s του δείγματος. Το αποτέλεσμα: ονομάζεται στατιστικό μέγεθος t επειδή όταν η κατανομή του πληθυσμού είναι κανονική η τιμή t ακολουθεί την κατανομή student t. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας της κατανομής είναι ν=η-1. Έλεγχος υποθέσεων: Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο έλεγχος υποθέσεων για τον μέσο μ του πληθυσμού υπολογίζεται από τον τύπο: και ακολουθεί την κατανομή student t με ν=η-1 βαθμούς ελευθερίας. Κατανόηση των στατιστικών εννοιών Βαθμοί ελευθερίας 27

28 Παραπάνω αναφέρθηκε ο όρος βαθμοί ελευθερίας, για τον οποίο καλό είναι να δώσουμε μια εξήγηση της σημασίας του. Η κατανομή student t χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του μέσου του πληθυσμού όταν η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη. Για τον σκοπό αυτό υπολογίζεται η διασπορά του δείγματος με τη βοήθεια του τύπου: Για τον υπολογισμό του πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τον μέσο του δείγματος. Θυμηθείτε ότι οι κατανομές δειγματοληψίας παράγονται με την επανειλημμένη επιλογή δειγμάτων από τον ίδιο πληθυσμό. Αν έχουμε υπολογίσει τον μέσο και στη συνέχεια θέλουμε να επιλέξουμε ένα δείγμα μεγέθους n, έχουμε απόλυτη ελευθερία για την επιλογή των πρώτων n-1 στοιχείων του δείγματος, αλλά το τελευταίο πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε ο μέσος να μείνει αμετάβλητος. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι n=3 και =10, και έχουμε επιλέξει Χ 1 =6, Χ 2 =8, τότε το Χ 3 δεν μπορεί να είναι οποιοδήποτε στοιχείο, αλλά μόνο Χ 3 =16, ώστε για το δείγμα των τριών στοιχείων να είναι =10. Συνεπώς, αν και το δείγμα έχει τρία στοιχεία μπορούμε να επιλέξουμε ελεύθερα μόνο τα δυο, δηλαδή έχουμε n-1 =2 βαθμούς ελευθερίας. Όπως λέγεται, ένας βαθμός ελευθερίας χάνεται επειδή το δείγμα πρέπει να συμφωνεί με τον υπολογισμένο μέσο. Παρατηρήστε ότι ο παρονομαστής του παραπάνω τύπου είναι n 1, δηλαδή το πλήθος των βαθμών ελευθερίας. 28

29 Άσκηση: Τα πανεπιστημιακά βιβλιοπωλεία διαθέτουν βιβλία που χρησιμοποιούνται από τους φοιτητές στα διάφορα μαθήματα. Στην αρχή κάθε εξαμήνου προμηθεύονται αρκετά αντίτυπα για να καλύψουν την προβλεπόμενη ζήτηση και στο τέλος του εξαμήνου επιστρέφουν στους εκδότες τα αντίτυπα που δεν διατέθηκαν. Ένα βιβλιοπωλείο επιθυμεί να κρατήσει το ποσοστό των επιστροφών όσο το δυνατόν χαμηλότερα, με μέσο όρο που δεν θα ξεπερνά το 10%. Για τον σκοπό αυτό επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 βιβλίων και κατέγραψε το ποσοστό των επιστροφών στο τέλος ενός εξαμήνου Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε με στάθμη σημαντικότητας 5% ότι το μέσο ποσοστό επιστροφών είναι μικρότερο του 10%; (Θεωρήστε ότι η τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή). Επίλυση: Το ζητούμενο είναι ο έλεγχος μιας υπόθεσης για τον μέσο του ποσοστού επιστροφών των βιβλίων. Σύμφωνα με το ζητούμενο της άσκησης, η εναλλακτική υπόθεση διατυπώνεται ως: H 1 : µ < 10 και η μηδενική ως συνήθως είναι H 0 : µ = 10. Δηλαδή θα γίνει ο εξής έλεγχος υποθέσεων: H 0 : µ = 10 κατά της H 1 : µ < 10 (Μονόπλευρος αριστερού άκρου) Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού δεν είναι γνωστή, θα υπολογίσουμε τον έλεγχο t: για v=n 1 βαθμούς ελευθερίας. Για να υπολογίσουμε τον έλεγχο t θα πρέπει να βρούμε τον μέσο και την τυπική απόκλιση του δείγματος. Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε: 29

30 Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης του δείγματος θα υπολογίσουμε πρώτα την διασπορά του δείγματος με τον παρακάτω τύπο: ή Όπου: =5041, και Για το υπολογισμό της διασποράς μπορούμε να δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα με τους υπολογισμούς που συμπεριλαμβάνονται στους τύπους: X i X i - (X i - ) 2 X i 2 4 7,1-3,1 9, ,1 7,9 62, ,1 3,9 15, ,1-0,1 0, ,1-2,1 4, ,1 1,9 3, ,1-3,1 9, ,1-4,1 16, ,1-2,1 4, ,1 0,9 0,81 64 ΣΎΝΟΛΟ ,

31 ή Συνεπώς η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι: Ως μέσος του πληθυσμού θα χρησιμοποιηθεί η τιμή της μηδενικής υπόθεσης μ=5. Αντικαθιστώντας όλους αυτούς τους αριθμούς βρίσκουμε τον έλεγχο t: Η περιοχή απόρριψης θα είναι: Από τον πίνακα της κατανομής t βρίσκουμε την παραπάνω τιμή =1,

32 Η τιμή t του ελέγχου είναι t=-2,442 συνεπώς βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης και έτσι μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει, ότι από τα δεδομένα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μέσο ποσοστό επιστροφών είναι μικρότερο του 10%. Στην συνέχεια θα προσαρμόσουμε την εκφώνηση της παραπάνω άσκησης προκειμένου να επιλύσουμε και του άλλους δύο τύπους ελέγχων: Μονόπλευρο δεξιού άκρου και δίπλευρου ελέγχου. 32

33 Άσκηση: Τα πανεπιστημιακά βιβλιοπωλεία διαθέτουν βιβλία που χρησιμοποιούνται από τους φοιτητές στα διάφορα μαθήματα. Στην αρχή κάθε εξαμήνου προμηθεύονται αρκετά αντίτυπα για να καλύψουν την προβλεπόμενη ζήτηση και στο τέλος του εξαμήνου επιστρέφουν στους εκδότες τα αντίτυπα που δεν διατέθηκαν. Ένα βιβλιοπωλείο επιθυμεί να κρατήσει το ποσοστό των επιστροφών όσο το δυνατόν χαμηλότερα, με μέσο όρο που δεν θα ξεπερνά το 10%. Για τον σκοπό αυτό επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 βιβλίων και κατέγραψε το ποσοστό των επιστροφών στο τέλος ενός εξαμήνου Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε με στάθμη σημαντικότητας 5% ότι το μέσο ποσοστό επιστροφών είναι μεγαλύτερο του 10%; (Θεωρήστε ότι η τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή). Επίλυση: Το ζητούμενο είναι ο έλεγχος μιας υπόθεσης για τον μέσο του ποσοστού επιστροφών των βιβλίων. Σύμφωνα με το ζητούμενο της άσκησης, η εναλλακτική υπόθεση διατυπώνεται ως: H 1 : µ > 10 και η μηδενική ως συνήθως είναι H 0 : µ = 10. Δηλαδή θα γίνει ο εξής έλεγχος υποθέσεων: H 0 : µ = 10 κατά της H 1 : µ > 10 (Μονόπλευρος δεξιού άκρου) Το t υπολογίζεται όπως παραπάνω: Τώρα αλλάζει η περιοχή απόρριψης που είναι: Παρατηρήστε ότι το σύμβολο της ανισότητας (μεγαλύτερο) είναι το ίδιο με αυτό που υπάρχει στην εναλλακτική υπόθεση. Από τον πίνακα της κατανομής t βρίσκουμε την παραπάνω τιμή =1,

34 Η τιμή t του ελέγχου είναι t=-2,442 συνεπώς δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης και έτσι δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει, ότι από τα δεδομένα δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μέσο ποσοστό επιστροφών είναι μεγαλύτερο του 10%. 34

35 Άσκηση: Τα πανεπιστημιακά βιβλιοπωλεία διαθέτουν βιβλία που χρησιμοποιούνται από τους φοιτητές στα διάφορα μαθήματα. Στην αρχή κάθε εξαμήνου προμηθεύονται αρκετά αντίτυπα για να καλύψουν την προβλεπόμενη ζήτηση και στο τέλος του εξαμήνου επιστρέφουν στους εκδότες τα αντίτυπα που δεν διατέθηκαν. Ένα βιβλιοπωλείο επιθυμεί να κρατήσει το ποσοστό των επιστροφών όσο το δυνατόν χαμηλότερα, με μέσο όρο που δεν θα ξεπερνά το 10%. Για τον σκοπό αυτό επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 10 βιβλίων και κατέγραψε το ποσοστό των επιστροφών στο τέλος ενός εξαμήνου Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε με στάθμη σημαντικότητας 5% ότι το μέσο ποσοστό επιστροφών δεν είναι 10%; (Θεωρήστε ότι η τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή). Επίλυση: Το ζητούμενο είναι ο έλεγχος μιας υπόθεσης για τον μέσο του ποσοστού επιστροφών των βιβλίων. Σύμφωνα με το ζητούμενο της άσκησης, η εναλλακτική υπόθεση διατυπώνεται ως: H 1 : µ 10 και η μηδενική ως συνήθως είναι H 0 : µ = 10. Δηλαδή θα γίνει ο εξής έλεγχος υποθέσεων: H 0 : µ = 10 κατά της H 1 : µ 10 (Δίπλευρος έλεγχος) Το t υπολογίζεται όπως παραπάνω: Η διαφορά σε σχέση με τα προηγούμενα παραδείγματα είναι ότι η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν ο μέσος είναι είτε μεγαλύτερος είτε μικρότερος από τον υπάρχοντα, δηλαδή υπάρχει περιοχή απόρριψης και στα δυο άκρα της κατανομής: ή Στα μαθηματικά αυτό συμβολίζεται ως: 35

36 Επειδή α=0,05 θα είναι α/2=0.025, οπότε θα πρέπει να υπολογίσουμε το: = Από τον πίνακα της κατανομής t βρίσκουμε την παραπάνω τιμή =2,262 Η περιοχή απόρριψης θα αποτελείται από τα δυο διαστήματα τιμών: ή Η τιμή t του ελέγχου είναι t=-2,442 συνεπώς βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης και έτσι μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει, ότι από τα δεδομένα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το μέσο ποσοστό επιστροφών δεν είναι 10%. 36

37 Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για τον μέσο του πληθυσμού: Όταν η τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού είναι άγνωστη και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου μ του πληθυσμού υπολογίζεται από τον τύπο: με ν=η-1 βαθμούς ελευθερίας. Υπολογισμός διαστήματος εμπιστοσύνης Στην παραπάνω άσκηση θα υπολογίσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο ποσοστό επιστροφών, με στάθμη εμπιστοσύνης 95%, αφού η στάθμη σημαντικότητας είναι α=5%: Για τον υπολογισμό θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: Από την άσκηση έχουμε υπολογίσει: =3,755 =2,262 Αν αντικαταστήσουμε όλα τα παραπάνω στον τύπο βρίσκουμε ότι ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης 95% είναι: Συνεπώς τα δύο όρια εμπιστοσύνης είναι: LCL=7,1-2,686=4,414 UCL=7,1+2,686=9,786 37

38 Έλεγχος για τη διαφορά μεταξύ δύο πληθυσμιακών μέσων χρησιμοποιώντας ανεξάρτητα δείγματα Για να εκτιμήσουμε ή να ελέγξουμε τη διαφορά μεταξύ των μέσων δυο πληθυσμών, πρέπει να επιλέξουμε τυχαία δείγματα από τους δυο πληθυσμούς. Αρχικά θα συζητήσουμε την περίπτωση όπου τα δείγματα είναι ανεξάρτητα. Δυο τυχαία δείγματα σε δυο πληθυσμούς λέγονται ανεξάρτητα, όταν η επιλογή του ενός δεν εξαρτάται με κανένα τρόπο από την επιλογή του άλλου. Η διαδικασία της δειγματοληψίας φαίνεται στην παρακά τω εικόνα. Παρατηρήστε ότι τα μεγέθη των δειγμάτων θεωρούνται διαφορετικά, n 1 για τον πρώτο πληθυσμό και n 2 για τον δεύτερο. Για κάθε δείγμα υπολογίζουμε τον μέσο και τη διασπορά. 38

39 Περιπτώσεις στις οποίες η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η t: Και οι δυο πληθυσμοί είναι κανονικά κατανεμημένοι, οι πληθυσμιακές τυπικές αποκλίσεις σ 1 και σ 2 είναι άγνωστες, αλλά οι δειγματικές τυπικές αποκλίσεις s 1 και s 2 είναι γνωστές. Στην περίπτωση που τα σ 1 και σ 2 μπορεί να υποτεθεί ότι είναι ίσα (αν και άγνωστα), το t υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: Έλεγχος υποθέσεων όταν τα σ 1 και σ 1 μπορεί να υποτεθεί ότι είναι ίσα (αν και άγνωστα): με ν= + βαθμούς ελευθερίας όπου: Η ποσότητα ονομάζεται σταθμισμένος εκτιμητής διασποράς (pooled variance estimator) και χρησιμοποιεί ως συντελεστές στάθμισης τους βαθμούς ελευθερίας των δυο δειγμάτων. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται δυνατός χάρη στην προϋπόθεση ότι οι διασπορές των δυο πληθυσμών είναι ίσες. Ο σταθμισμένος εκτ ιμητής διασποράς δίνει καλύτερες εκτ ιμή - σεις επειδή συνδυάζει τα δυο δείγματα. Ο παραπάνω έλεγχος ακολουθεί την κατανομή student t με ν= + βαθμούς ελευθερίας, με την προϋπόθεση ότι οι δυο πληθυσμοί έχουν κανονική κατανομή. Από το στοιχείο αυτό βρίσκουμε, με τους συνηθισμένους μαθηματικούς υπολογισμούς, τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης: 39

40 Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών με ίσες διασπορές είναι: με ν= + βαθμούς ελευθερίας. Άσκηση: Μία έρευνα επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 8 κατόχων ψηφιακών και 8 κατόχων συμβατικών φωτογραφικών μηχανών και κατέγραψε τον αριθμό των φωτογραφιών που έδωσαν για εκτύπωση μέσα σε ένα μήνα, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Ψηφιακή Συμβατική Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε, με στάθμη σημαντικότητας 5%, ότι ο μέσος αριθμός εκτυπώσεων διαφέρει ανάμεσα στους δύο πληθυσμούς. Θεωρείστε ότι οι δύο πληθυσμοί είναι κανονικά κατανεμημένοι και ότι έχουν ίσες διασπορές. Επίλυση: Θα πρέπει να ελέγξουμε μια υπόθεση για τη διαφορά των μέσων των δύο πληθυσμών. Έστω: μ 1 : ο μέσος των εκτυπώσεων του πληθυσμού των κατόχων ψηφιακών μηχανών, και μ 2 : ο μέσος των εκτυπώσεων του πληθυσμού των κατόχων συμβατικών μηχανών σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης ο έλεγχος υποθέσεων που πρέπει γίνει είναι: 40

41 H 0 : μ 1 - μ 2 =0 κατά της H 1 : μ 1 - μ 2 0 Από τα δεδομένα υπολογίζουμε: 16,5 Για το υπολογισμό της διασποράς της μεταβλητής Χ 1 μπορούμε να δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα με τους υπολογισμούς που συμπεριλαμβάνονται στους τύπους: X i X i - (X i - ) 2 X i ,25-3,25 10, ,25-6,25 39, ,25 4,75 22, ,25 12,75 162, ,25 1,75 3, ,25-4,25 18, ,25-6,25 39, ,25 0,75 0, ΣΎΝΟΛΟ ,

42 Για το υπολογισμό της διασποράς της μεταβλητής Χ 2 μπορούμε να δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα με τους υπολογισμούς που συμπεριλαμβάνονται στους τύπους: X i X i - (X i - ) 2 X i ,5-16,5 272, ,5 7,5 56, ,5 19,5 380, ,5 7,5 56, ,5-16,5 272, ,5 31,5 992, ,5-16,5 272, ,5-16,5 272,25 0 ΣΎΝΟΛΟ Ο σταθμισμένος εκτιμητής διασποράς είναι: Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι: ν= + Ο έλεγχος είναι: 42

43 όπου από την μηδενική υπόθεση θέτουμε H 0 : μ 1 - μ 2 =0 Από την κατανομή δειγματοληψίας student η περιοχή απόρριψης είναι: ή Στα μαθηματικά αυτό συμβολίζεται ως: Επειδή α=0,05 θα είναι α/2=0.025, οπότε θα πρέπει να υπολογίσουμε το: = Από τον πίνακα της κατανομής t βρίσκουμε την παραπάνω τιμή =2,145 43

44 Η περιοχή απόρριψης θα αποτελείται από τα δυο διαστήματα τιμών: ή Η τιμή t του ελέγχου είναι t=0,244 συνεπώς δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης και έτσι δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει, ότι από τα δεδομένα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο μέσος αριθμός εκτυπώσεων δεν διαφέρει ανάμεσα στους δύο πληθυσμούς. 44

45 Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης Εκτός από τον έλεγχο υπόθεσης σχετικά με την διαφορά των μέσων, μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε έναν εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά αυτή, για στάθμη εμπιστοσύνης 95%. Εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων δύο πληθυσμών με ίσες διασπορές είναι: με ν= + βαθμούς ελευθερίας. Όπως υπολογίσαμε και παραπάνω (σελ 43-44): =2,145. Άρα το διάστημα εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων εκτυπώσεων των δύο πληθυσμών είναι: Το κάτω και άνω όριο του διαστήματος είναι: LCL:-13,605 UCL:17,105 45

46 Στην συνέχεια θα προσαρμόσουμε την εκφώνηση της παραπάνω άσκησης προκειμένου να επιλύσουμε και του άλλους δύο τύπους ελέγχων: Μονόπλευρο δεξιού άκρου και Μονόπλευρο αριστερού άκρου. Άσκηση: Μία έρευνα επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 8 κατόχων ψηφιακών και 8 κατόχων συμβατικών φωτογραφικών μηχανών και κατέγραψε τον αριθμό των φωτογραφιών που έδωσαν για εκτύπωση μέσα σε ένα μήνα, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Ψηφιακή Συμβατική Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε, με στάθμη σημαντικότητας 5%, ότι ο μέσος αριθμός εκτυπώσεων των κατόχων ψηφιακών μηχανών είναι μεγαλύτερος από το μέσο αριθμό των κατόχων συμβατικών μηχανών; Θεωρείστε ότι οι δύο πληθυσμοί είναι κανονικά κατανεμημένοι και ότι έχουν ίσες διασπορές. Επίλυση: Θα πρέπει να ελέγξουμε μια υπόθεση για τη διαφορά των μέσων των δύο πληθυσμών. Έστω: μ 1 : ο μέσος των εκτυπώσεων του πληθυσμού των κατόχων ψηφιακών μηχανών, και μ 2 : ο μέσος των εκτυπώσεων του πληθυσμού των κατόχων συμβατικών μηχανών σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης ο έλεγχος υπ οθέσεων που πρέπει γίνει είναι: H 0 : μ 1 - μ 2 =0 κατά της H 1 : μ 1 - μ 2 > 0 Από τα δεδομένα έχουμε υπολογίσει: 46

47 Τον σταθμισμένο εκτιμητή διασποράς: Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι: ν= + Ο έλεγχος είναι: Τώρα αλλάζει η περιοχή απόρριψης που από την κατανομή δειγματοληψίας student η περιοχή απόρριψης είναι: Από τον πίνακα της κατανομής t βρίσκουμε την παραπάνω τιμή =1,761 47

48 Η τιμή t του ελέγχου είναι t=0,244 συνεπώς δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης και έτσι δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει, ότι από τα δεδομένα δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο μέσος αριθμός εκτυπώσεων των κατόχων ψηφιακών μηχανών είναι μεγαλύτερος από το μέσο αριθμό των κατόχων συμβατικών μηχανών. 48

49 Άσκηση: Μία έρευνα επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 8 κατόχων ψηφιακών και 8 κατόχων συμβατικών φωτογραφικών μηχανών και κατέγραψε τον αριθμό των φωτογραφιών που έδωσαν για εκτύπωση μέσα σε ένα μήνα, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Ψηφιακή Συμβατική Μπορούμε από τα δεδομένα να συμπεράνουμε, με στάθμη σημαντικότητας 5%, ότι ο μέσος αριθμός εκτυπώσεων των κατόχων ψηφιακών μηχανών είναι μικρότερος από το μέσο αριθμό των κατόχων συμβατικών μηχανών; Θεωρείστε ότι οι δύο πληθυσμοί είναι κανονικά κατανεμημένοι και ότι έχουν ίσες διασπορές. Επίλυση: Θα πρέπει να ελέγξουμε μια υπόθεση για τη διαφορά των μέσων των δύο πληθυσμών. Έστω: μ 1 : ο μέσος των εκτυπώσεων του πληθυσμού των κατόχων ψηφιακών μηχανών, και μ 2 : ο μέσος των εκτυπώσεων του πληθυσμού των κατόχων συμβατικών μηχανών σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης ο έλεγχος υπ οθέσεων που πρέπει γίνει είναι: H 0 : μ 1 - μ 2 =0 κατά της H 1 : μ 1 - μ 2 < 0 Από τα δεδομένα έχουμε υπολογίσει: 49

50 Τον σταθμισμένο εκτιμητή διασποράς: Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας είναι: ν= + Ο έλεγχος είναι: Αλλάζει η περιοχή απόρριψης που από την κατανομή δειγματοληψίας student η περιοχή απόρριψης είναι: Η περιοχή απόρριψης θα είναι: Από τον πίνακα της κατανομής t βρίσκουμε την παραπάνω τιμή =1,761 (σελ.47) Η τιμή t του ελέγχου είναι t=0,244 συνεπώς δεν βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης και έτσι δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση υπέρ της εναλλακτικής. Αυτό σημαίνει, ότι από τα δεδομένα δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο μέσος αριθμός εκτυπώσεων των κατόχων ψηφιακών μηχανών είναι μικρότερος από το μέσο αριθμό των κατόχων συμβατικών μηχανών. 50

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 10,12 KELLER

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ 10,12 KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 63 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 610 369051, Φαξ: 610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Επιµέλεια: Χρυσάνθη Παπαθανασοπούλου

Επιµέλεια: Χρυσάνθη Παπαθανασοπούλου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 63 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 36905, Φαξ: 60 39684, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ενδεικτικό Θέμα εξετάσεων: Μέτρα θέσης Παλινδρόμηση

Θέμα: Ενδεικτικό Θέμα εξετάσεων: Μέτρα θέσης Παλινδρόμηση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr TECHNOLOGICAL

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6

Θέμα: Ασκήσεις για εύρεση ολικής, συνδυασμένης και δεσμευμένης πιθανότητας. Βιβλίο Keller Κεφάλαιο 6 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 968, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη τ ής Ι. Μ ητ ρ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (Συνδυασμένη, ολική και δεσμευμένη) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 KELLER

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (Συνδυασμένη, ολική και δεσμευμένη) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 6 4 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 60 6905, Φαξ: 60 9684, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής Ι. Μητρόπουλο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων

Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Κεφάλαιο 11 Εισαγωγή στον Έλεγχο Υποθέσεων Επαγωγική Στατιστική Ο έλεγχος υποθέσεων είναι η δεύτερη μορφή της επαγωγικής στατιστικής. Έχει επίσης μεγαλύτερη δυνατότητα εφαρμογής. Για να κατανοήσουμε την

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Η Υπόθεση είναι μία πεποίθηση σχετικά με μία παράμετρο Παράμετρος μπορεί να είναι ο μέσος ενός πληθυσμού, ένα ποσοστό, ένας συντελεστής

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 260 36905, Φαξ: 260 39684, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος Το σύμβολο μ απεικονίζει 92.4% το μέσο όρο του πληθυσμού 121 92.4% το μέσο όρο του δείγματος 8 6.1% το μέσο όρο της κατανομής t 0 0% το μέσο όρο της κανονικής κατανομής 2 1.5% Το σύμβολο X απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληπτικές κατανομές

Δειγματοληπτικές κατανομές Δειγματοληπτικές κατανομές Κατανομές που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο υποθέσεων στα δείγματα Κανονική κατανομή (z-κατανομή) t-κατανομή Χ κατανομή F-κατανομή Ζητάμε να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 KELLER

Θέμα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr TECHNOLOGICAL

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 2 ο ) 3/3/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος ο ) 3/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0 Περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 09-10-2015 Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων Βασικές έννοιες Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-2015 1. Στατιστικοί παράμετροι - Διάστημα εμπιστοσύνης Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις)

Εξαρτημένα δείγματα (εξαρτημένες μετρήσεις) Ν6_(6)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_0_Έλεγχος_Υποθέσεων0 Ανεξάρτητα δείγματα Εξαρτημένα δείγματα Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ανεξάρτητα δείγματα (ανεξάρτητες μετρήσεις)

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα