ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Τοµέας Τοπογραφίας-Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας. Εισαγωγή στη Γεωδαισία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Τοµέας Τοπογραφίας-Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας. Εισαγωγή στη Γεωδαισία"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Τοµέας Τοπογραφίας-Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στη Γεωδαισία ΑΘΗΝΑ 007

2 Περιεχόµενα Πρόλογος 1 1 Εισαγωγή Ορισµός -Αντικείµενο 5 1. Ιστορικά Γεωδαιτικές µέθοδοι-μετρήσεις 9 Ο Πλανήτης Γη 13.1 Η Γη 15. Εσωτερική οµή και Σύσταση της Γης 16.3 Η Γη και οι Κινήσεις της Η Εκλειπτική Κινήσεις της γης περί τον εαυτό της 19.4 Το Πεδίο Βαρύτητας της Γης Η θεωρία του Newton-Παγκόσµια Έλξη 4.4. Το πεδίο βαρύτητας της γης Το κανονικό πεδίο βαρύτητας 9.5 Η Γη και οι παραµορφώσεις της µε το χρόνο Παλίρροιες Κινήσεις των τεκτονικών πλακών 3 Βιβλιογραφία 36 3 Σχήµα και µέγεθος της γης-επιφάνειες Αναφοράς Σχήµα και µέγεθος της γης Φυσική Γήινη Επιφάνεια Γεωειδές Ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ) Σφαίρα Οριζόντιο επίπεδο Προσδιορισµός της θέσης σηµείου της φ.γ.ε ως προς τις επιφάνειες 47 αναφοράς Βιβλιογραφία 53 4 Συστήµατα Αναφοράς Εισαγωγή Συστήµατα Συντεταγµένων Συστήµατα Συντεταγµένων στο επίπεδο Συστήµατα συντεταγµένων στον τριδιάστατο χώρο Συστήµατα Αναφοράς στη Γεωδαισία Γήϊνα ή Παγκόσµια Συστήµατα Αναφοράς Γεωδαιτικά Συστήµατα Αναφοράς Προσδιορισµός συντεταγµένων σηµείου Αστρονοµικό Σύστηµα Αναφοράς Τοπικό Αυθαίρετο Σύστηµα Αναφοράς: Μετατροπή Συστηµάτων συντεταγµένων και Συστηµάτων Αναφοράς Συστήµατα Αναφοράς που χρησιµοποιούνται στην Ελλάδα Το ΕΓΣΑ 87' Το Παλαιό Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστηµα (ΠΕΓΣΑ) 73 i

3 4.9.3 Το 50 (European Datum 1950)` Γήϊνα Συστήµατα Ελληνικό Σϋστηµα Υψοµετρίας 74 Βιβλιογραφία 76 5 Μετρήσεις Εισαγωγή Μετρήσεις Μετρήσεις µηκών Μετρήσεις γωνιών Μετρήσεις Υψοµετρικών διαφορών ( Η) Άλλες µετρήσεις Αναγωγές - Υπολογισµοί Αποτυπώσεις Χάραξη Ελεγχοι Συνεργασία µε άλλους επιστήµονες όπως: Βασικοί Ορισµοί στη ΓεωδαισίαI Μονάδες µετρήσεων 94 Βιβλιογραφία 98 6 Στοιχεία από τη θεωρία Σφαλµάτων Σφάλµατα στις µετρήσεις Πηγές και είδη σφαλµάτων Ακρίβεια-Ορθότητα Τυχαία σφάλµατα Ισοβαρείς παρατηρήσεις Καλύτερη τιµή Τυπικό Σφάλµα Αναλογικά σφάλµατα Μετάδοση σφαλµάτων Τυπικό σφάλµα της καλύτερης τιµής Παραδείγµατα Παραδείγµατα Παραδείγµατα Ανισοβαρείς Παρατηρήσεις Έννοια Βάρους καλύτερη τιµή Τυπικό σφάλµα του γενικευµένου µέσου όρου σ x A posteriori τυπικό σφάλµα της µονάδας βάρους σˆo Παραδείγµατα Παραδείγµατα Παραδείγµατα 119 Βιβλιογραφία 1 7 Προσδιορισµός Θέσης στο Επίπεδο Ορθογώνια Συστήµατα Συντεταγµένων Εισαγωγή Ορθογώνιες Επίπεδες Συντεταγµένες 15 ii

4 7.1.3 Βασικοί Υπολογισµοί Θεµελιώδη Γεωδαιτικά Προβλήµατα Εισαγωγή Πρώτο θεµελιώδες Πρόβληµα εύτερο θεµελιώδες Πρόβληµα Τρίτο θεµελιώδες Πρόβληµα Μετατροπές Συντεταγµένων Εισαγωγή Μετατροπή µεταξύ Ορθογώνιων και Πολικών Συντεταγµένων Μετατροπές ορθογώνιων Συντεταγµένων Παράλληλη µετατόπιση των αξόνων Στροφή των αξόνων Αλλαγή κλίµακας Γενική περίπτωση Προσδιορισµός παραµέτρων µετασχηµατισµού Υπολογισµοί Εµβαδών Εισαγωγή Υπολογισµός εµβαδού απλών γεωµετρικών σχηµάτων Υπολογισµός εµβαδού πολυγώνου µε ορθογώνιες συντεταγµένες 148 Βιβλιογραφία Γεωµετρία Σφαίρας Εισαγωγή Η Γεωµετρία της σφαίρας- Ορισµοί- Σφαιρικό τρίγωνο Μετρητικές σχέσεις στο σφαιρικό τρίγωνο Ορθόπλευρα και Ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα Η Γη ως σφαίρα- Υπολογισµοί στην επιφάνεια της γης Μήκη τόξων σε παράλληλο και σε µεσηµβρινό Μήκος τόξου που ορίζουν δύο τυχαία σηµεία- Αζιµούθιο 163 iii

5 Πρόλογος Γεωδαισία είναι η Γεωεπιστήµη που ασχολείται µε µετρήσεις και υπολογισµούς, µε σκοπό να προσδιορίσει το σχήµα (µορφή), το µέγεθος (διαστάσεις) και το πεδίο βαρύτητας της γης καθώς και τις µεταβολές τους µε τον χρόνο. Ασχολείται επίσης µε την αποτύπωση και απόδοση, σε χάρτες ή τοπογραφικά διαγράµµατα, τµηµάτων της φυσικής γήινης επιφάνειας. Το αντικείµενο της Γεωδαισίας, στη Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών ΕΜΠ, καλύπτεται από πολλά υποχρεωτικά και κατ επιλογήν υποχρεωτικά µαθήµατα, όπου αναπτύσσονται αναλυτικά οι µέθοδοι, τα όργανα οι πρακτικές και οι εφαρµογές που µπορεί να συναντήσει ένας διπλωµατούχος Αγρονόµος-Τοπογράφος Μηχανικός. Το Μάθηµα Γεωδαισία Ι (Εισαγωγή στη Γεωδαισία) έχει σκοπό να εισάγει τον /την σπουδαστή/στρια στις µεθόδους, στα όργανα, στις µετρήσει και στους υπολογισµούς που χρησιµοποιεί η Γεωδαισία για να προσδιορίσει τις θέσεις σηµείων πάνω στη φυσική γήινη επιφάνεια, η οποία είναι ο χώρος και το αντικείµενο µέτρησης, αποτύπωσης και µελέτης της Γεωδαισίας. Έµφαση δίνεται στις επιφάνειες αναφοράς που χρησιµοποιούνται για να αποδώσουν το σχήµα και το µέγεθος της γης καθώς και στους υπολογισµούς στο επίπεδο και στην επιφάνεια της σφαίρας. Οι Σηµειώσεις «Εισαγωγή στη Γεωδαισία» φιλοδοξούν να καλύψουν την θεωρία του Μαθήµατος αυτού. Τυχόν συµπληρωµατική θεωρία θα δίνεται µαζί µε τις Ασκήσεις, που βοηθούν στην κατανόηση και εφαρµογή της θεωρίας και οι οποίες αποτελούν αναπόσπαστο µέρος του µαθήµατος. Αθήνα Μάρτιος 006 Οι συγγραφείς 1

6 1. Ε ι σ α γ ω γ ή Χ. Μπιλλήρης 3

7 1.1 Ορισµός Αντικείµενο Γεωδαισία είναι η Γεωεπιστήµη που ασχολείται µε παρατηρήσεις, µετρήσεις και υπολογισµούς, µε σκοπό να προσδιορίσει το σχήµα (µορφή), το µέγεθος (διαστάσεις) και το πεδίο βαρύτητας της γης και τις µεταβολές τους στο χρόνο. Ως σχήµα της γης στην περίπτωση αυτή θεωρείται το σχήµα του γεωειδούς, που ορίζεται ως η ισοδυναµική επιφάνεια του γήινου πεδίου βαρύτητας που προσαρµόζεται καλύτερα στη µέση στάθµη των θαλασσών. Επίσης µετρά και απεικονίζει περιοχές της Φυσικής Γήϊνης Επιφάνειας (Φ.Γ.Ε.) µε όλα τα φυσικά και τεχνητά χαρακτηριστικά τους. Από τον ορισµό φαίνεται ότι η Γεωδαισία σχετίζεται άµεσα µε την Αστρονοµία και τη Γεωφυσική, καθώς και µε την Χαρτογραφία, επιστήµες µε τις οποίες έχει αρκετές επικαλύψεις. Κατ επέκταση καλύπτει, σε ότι αφορά αυτούς τους γνωστικούς τοµείς, και τη Σελήνη και τους άλλους πλανήτες. 1. Ιστορικά Η Γεωδαισία έχει τις ρίζες της στην αρχαιότητα, όταν οι αρχαίοι κάτοικοι της Αιγύπτου και της Μεσοποταµίας αναγκασµένοι να επαναπροσδιορίσουν τις ιδιοκτησίες τους από τις πληµµύρες των ποταµών Νείλου, Ευφράτη και Τίγρη αντίστοιχα, έκαναν τις πρώτες γεωδαιτικές εργασίες. Από πολύ παληά επίσης οι Αρχαίοι Έλληνες ασχολήθηκαν µε την Γεωδαισία προσπαθώντας να προσδιορίσουν το σχήµα και το µέγεθος της Γης. Οι πρώτες αναφορές ξεκινούν από την εποχή του Οµήρου ( π.χ.) που πίστευε ότι η γη είναι ένας κυρτός δίσκος που περιβάλλεται από τους ωκεανούς. Ο Πυθαγόρας και η σχολή του, π.χ. θεωρούνται οι πρώτοι που πίστεψαν σε µια σφαιρική γη. Ο Φιλόλαος αργότερα διατύπωσε ότι η γη είναι ένας πλανήτης που περιστρέφεται όπως και τα άλλα ουράνια σώµατα γύρω από µία εστία (κεντρική φωτιά). Ο Πλάτων παραδέχθηκε ότι η γη είναι στρογγυλή, πολύ µεγάλη, αποµονωµένη και ακίνητη στο κέντρο του κόσµου. Ο Αριστοτέλης (384-3 π.χ) µαθητής του Πλάτωνα, υποστήριξε τη θεωρία του Πλάτωνα µε επιχειρήµατα που διατύπωσε στο έργο του «Περί Ουρανού», µετά από παρατηρήσεις για το κυκλικό σχήµα της σκιάς 5

8 της γης, που διαγράφεται στη σελήνη, κατά τη διάρκεια µιάς έκλειψης, και τις µεταβολές των θέσεων του ήλιου και των άστρων που διαπίστωσαν όσοι ταξίδευαν µε κατεύθυνση βορρά-νότου. Ο τίτλος όµως του πατέρα της γεωδαισίας αποδίδεται στον Ερατοσθένη (76-19 π.χ.) που είναι ο πρώτος που προσδιόρισε το µέγεθος της γης, από µετρήσεις θεωρώντας την σφαίρα. Ο Ερατοσθένης παρατήρησε ότι (Σχ.1.1) κατά το θερινό ηλιοστάσιο οι ακτίνες του ήλιου πέφτουν κάθετα σ ένα πηγάδι της Σιήνης (σηµερινό Ασσουάν) ενώ την ίδια µέρα στην Αλεξάνδρεια, που βρίσκεται περίπου στον ίδιο µεσηµβρινό µε την Σιήνη, οι ακτίνες του ήλιου πέφτουν υπό γωνία 7 ο 1 σ ένα πύργο, την οποία υπολόγισε µε τη βοήθεια της σκιάς του πύργου.. Η απόσταση µεταξύ των δύο σηµείων εκτιµήθηκε ότι είναι 5000 στάδια υπολογίζοντας την µ ένα καραβάνι καµήλων ή κατά άλλη εκδοχή εκτιµώντας την από Αιγυπτιακούς κτηµατολογικούς χάρτες, που βασίζονταν σε βηµατόµετρα. Επίσης αµφιβολίες υπάρχουν ως προς το ποιό στάδιο χρησιµοποίησε σαν µονάδα µήκους, το Αιγυπτιακό ή το Αττικό. Σχήµα 1.1. Ο υπολογισµός της ακτίνας της γης κατά τον Ερατοσθένη, 3 ος π.χ. αι. 6

9 Έτσι η ακτίνα της γης κατά Ερατοσθένη έχει τιµές 667 km και 7380 km χρησιµοποιώντας αντίστοιχα, το Αιγυπτιακό στάδιο = m ή το Αττικό = 185 m, και µε αποχές µόλις % και % αντίστοιχα από τη µέση ακτίνα καµπυλότητας της γης (6371 km). Αργότερα, 1670 µ.χ., ο Γάλλος Αστρονόµος Picard ( ) εφαρµόζοντας την ίδια µέθοδο στη Γαλλία και χρησιµοποιώντας πρώτος τηλεσκόπιο µε σταυρόνηµα έδωσε τιµή για την ακτίνα της γης 637km µε αποχή +0.01% από την R m. Η τιµή αυτή της ακτίνας της γης βοήθησε αργότερα τον Newton να επαληθεύσει το νόµο της βαρύτητας. Οι πρώτες αµφιβολίες για το σφαιρικό σχήµα της γης, ξεκινούν την ίδια εποχή (167) από τις σηµαντικές παρατηρήσεις του Γάλλου Αστρονόµου I. Richer, ότι το µήκος του εκκρεµούς που µετρούσε τα δευτερόλεπτα ήταν πιο µικρό κατά.8mm στην Gayenne (Γαλλική Γουϊάνα, Ν. Αµερική, 5 ο Βόρειο Πλάτος) απ ότι ήταν στο Παρίσι, για να έρθει 15 χρόνια αργότερα ο Newton να διατυπώσει την άποψη ότι το σχήµα της γης είναι ένα πεπλατυσµένο στους πόλους ελλειψοειδές εφαρµόζοντας τους νόµους της βαρύτητας και της κίνησης. Έτσι, τα πρώτα µοντέλα της γης, πεπλατυσµένα στους πόλους, ανήκουν στον Newton ( ) και Huygens ( ) (διατύπωση των αρχών της φυγόκεντρης δύναµης) που έδωσαν τιµές για την επιπλάτυνση αντίστοιχα 1/30και 1/578, ενώ σήµερα η τιµή της επιπλάτυνσης που έχει προκύψει από δορυφορικές παρατηρήσεις είναι περίπου 1/98. Οι Baeyer και Bessel µέτρησαν ένα τόξο λοξό προς τον µεσηµβρινό, στην Ανατολική Πρωσσία ( ), για να υπολογίσει ο Bessel (1840) τις διαστάσεις για το ελλειψοειδές που φέρει το όνοµά του, a= ,155m και f=1/ Το ελλειψοειδές αυτό χρησιµοποιήθηκε στην Ελλάδα στο παληό Γεωδαιτικό Σύστηµα Αναφοράς. Τα τέλη του 19 ου και οι αρχές του 0ου αιώνα χαρακτηρίζονται ως η περίοδος του γεωειδούς, γιατί ήταν πια δυνατόν (µετά από επινόηση νέων οργάνων για αστρονο- 7

10 µικές, γεωδαιτικές και βαρυτοµετρικές εργασίες) να προσδιορίζονται το γεωειδές και οι αποχές του από τα ελλειψοειδή αναφοράς. Τα κυριώτερα ελλειψοειδή αναφοράς εκείνης της εποχής είναι : του µεγάλου γερµανού γεωδαίτη Helmert (1907) µε διαστάσεις α=637800m και f=1/98.3 και του J.F. Hayford (1909) µε διαστάσεις α= m και f=1/97.0. Επειδή όµως κάθε χώρα χρησιµοποιούσε το δικό της ελλειψοειδές, επικράτησε κάποια σύγχυση στη σύγκριση των γεωδαιτικών αποτελεσµάτων στα σύνορα των διαφόρων χωρών. Γι αυτό η ιεθνής Ένωση Γεωδαισίας και Γεωφυσικής (IUGG) αποφάσισε να καθιερώσει (194) το ελλειψοειδές του Hayford ως ιεθνές Ελλειψοειδές για παγκόσµια αναφορά. Το ελλειψοειδές αυτό χρησιµοποιήθηκε στον πρώτο ενιαίο Ευρωπαϊκό Τριγωνισµό (Ευρωπαϊκό Datum 1950, E.D.50), µε αρχή το Potsdam. Αντίστοιχα µετά τις παρατηρήσεις σε τεχνητούς δορυφόρους εγκρίθηκε το GRS 1967, ενώ σήµερα χρησιµοποιείται το ελλειψοειδές GRS 1980 µε α= m και f=1/ Μεγάλες εξελίξεις στη γεωδαισία σηµειώθηκαν µετά το 1950, ύστερα από την τεχνολογική εξέλιξη και εφαρµογή των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων και της Μικροηλεκτρονικής, που επέτρεψαν την δηµιουργία νέων γεωδαιτικών οργάνων για την ακριβή µέτρηση αποστάσεων, την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών αλλά και την εκτόξευση τεχνητών δορυφόρων, που αποτέλεσαν ένα νέο γεωδαιτικό εργαλείο µε νέες µεθοδολογίες και τέτοιες δυνατότητες, ώστε ο νέος κλάδος της ορυφορικής Γεωδαισίας να µπορεί σήµερα να συµβάλει αποφασιστικά στις τρέχουσες γεωδαιτικές εργασίες αλλά και στη µελέτη προβληµάτων της Γεωδυναµικής και της Γεωφυσικής, όπως οι µετακινήσεις του στερεού φλοιού της Γης. 8

11 1.3 Γεωδαιτικές µέθοδοι µετρήσεις Για να επιτύχει τους σκοπούς της η γεωδαισία µετρά γεωµετρικά κυρίως µεγέθη όπως διευθύνσεις και γωνίες, µήκη, υψόµετρα και υψοµετρικές διαφορές καθώς και δυναµικά µεγέθη, όπως ένταση και διεύθυνση του διανύσµατος του πεδίου βαρύτητας της γης. Η κλασσική γεωδαισία χρησιµοποιεί τις µετρήσεις αυτές για να προσδιορίσει τις θέσεις ενός µεγάλου αριθµού σηµείων (γεωδαιτικά σηµεία) χωρίζοντας τη γεωδαιτική διαδικασία τόσο των µετρήσεων όσο και των υπολογισµών σε οριζοντιογραφία και υψοµετρία. Οι µέθοδοι που ακολουθούνται στην οριζοντιογραφία είναι του τριγωνισµού ή/και του τριπλευρισµού, ενώ στην υψοµετρία της χωροστάθµησης. Αντίστοιχα υλοποιούνται δίκτυα οριζοντίου ή κατακορύφου ελέγχου, (κλασσικός διαχωρισµός), ενώ σήµερα τα γεωδαιτικά δίκτυα υλοποιούνται στο χώρο, µε τελικό σκοπό την ίδρυση και υλοποίηση ενός Γεωδαιτικού Συστήµατος Αναφοράς. Οι θέσεις των σηµείων στο χώρο µπορούν να εκφραστούν και αυτές χωριστά για την οριζοντιογραφία και την υψοµετρία. Κάθε σηµείο προβάλλεται κάθετα πάνω σ ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής που επιλέγεται έτσι ώστε να προσαρµόζεται καλύτερα στο γεωειδές που µε ικανοποιητική προσέγγιση ταυτίζεται µε τη µέση στάθµη των θαλασσών. Η θέση ενός σηµείου πάνω στο ελλειψοειδές (οριζοντιογραφία) ορίζεται µε το γεωδαιτικό ( ή γεωγραφικό) πλάτος (φ) και το γεωδαιτικό ή (γεωγραφικό) µήκος (λ). Η τρίτη διάσταση το υψόµετρο (h) ορίζεται µε την απόσταση του σηµείου από το ελλειψοειδές. Η επιλογή ενός Γεωδαιτικού Συστήµατος Αναφοράς και ο προσδιορισµός των γεωδαιτικών συντεταγµένων φ,λ,h των σηµείων σ αυτό αποτελεί την κύρια πρακτική εφαρµογή της Γεωδαισίας και γίνεται µε ευθύνη κρατικών υπηρεσιών. Με τις µεθόδους της Κλασσικής Γεωδαισίας δεν ήταν δυνατόν να καλυφθούν πολύ µεγάλες εκτάσεις της Γης, αφού είναι απαραίτητο να υπάρχει αµοιβαία ορατότητα ανάµεσα στα διάφορα γεωδαιτικά σηµεία για να µπορούν να γίνουν µετρήσεις. Αυτό είχε ως επακόλουθο η κάθε χώρα να έχει ανεξάρτητο γεωδαιτικό δίκτυο και δικό της γεωδαιτικό σύστηµα αναφοράς. 9

12 Η χρήση όµως των τεχνητών δορυφόρων και η χρήση συστηµάτων µετρήσεων αποστάσεων µε ακτίνες Laser καθώς και η καθιέρωση του συστήµατος GPS (Global Positioning System) επέτρεψε µετρήσεις πολύ µεγάλων αποστάσεων και τη δηµιουργία τρισδιάστατων γεωδαιτικών δικτύων, ενώ η ανάπτυξη των Η/Υ την ενιαία επίλυση (υπολογισµός συντεταγµένων των κορυφών του δικτύου) στο χώρο για τις θέσεις των γεωδαιτικών σηµείων που µπορούν να εκφράζονται τώρα µε καρτεσιανές συντεταγµένες (X,Y,Z) ή και ελλειψοειδείς (φ,λ,h) σε ένα παγκόσµιο Σύστηµα Αναφοράς. Λόγω των σχετικών κινήσεων των τεκτονικών πλακών του στερεού φλοιού της γης µαζί µε τις συντεταγµένες του σηµείου δίνεται και ο χρόνος παρατήρησης (χώρος 4 διαστάσεων). Η ολοκλήρωση µιάς γεωδαιτικής εργασίας περνάει κατά κανόνα από το στάδιο της απλής ή σύνθετης µέτρησης (εργασία υπαίθρου) για να καταλήξει στο αποτέλεσµα, συνήθως µετά από µία υπολογιστική ή και σχεδιαστική διεργασία (εργασία γραφείου). Το αποτέλεσµα µπορεί να δοθεί µε τη µορφή ενός απλού διαγράµµατος, ενός σύνθετου χάρτη πάνω σε ένα επίπεδο χαρτί, ή µε τη µορφή αριθµητικών αποτελεσµάτων πινακοποιηµένων ή αποθηκευµένων στην µνήµη κάποιου Ηλεκτρονικού Υπολογιστή ή ακόµα µπορεί να δοθεί και σε µικτή µορφή. Ανάλογα µε το αντικείµενο, την επιζητούµενη τελική ακρίβεια, την έκταση µίας εργασίας και την επιφάνεια αναφοράς που χρησιµοποιείται για την αναγωγή των γεωδαιτικών µετρήσεων και τους υπολογισµούς, υπάρχει ονοµαστικός διαχωρισµός του µέρους της γεωδαισίας που αναφέρεται σ αυτό. Έτσι το µέρος της γεωδαισίας που ασχολείται µε µετρήσεις και υπολογισµούς που αναφέρονται σε περιορισµένες εκτάσεις της φ.γ.ε., και που ως επιφάνεια προβολής της (επιφάνεια αναφοράς) χρησιµοποιεί ένα (οριζόντιο) επίπεδο, συνήθως ονοµάζεται «Τοπογραφία» Αντίθετα, το µέρος της Γεωδαισίας που ασχολείται µε µετρήσεις και υπολογισµούς που αναφέρονται σε µεγαλύτερα τµήµατα της φ.γ.ε., ή και ολόκληρης της γης και που χρησιµοποιεί ως επιφάνεια αναφοράς ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής, συνήθως ονοµάζεται «Ελλειψοειδής Γεωδαισία», ενώ το µέρος της Γεωδαισίας που ασχολείται µε το γήϊνο πεδίο βαρύτητας, ονοµάζεται «Φυσική Γεωδαισία».Επίσης η Τεχνική Γεωδαισία ασχολείται µε την επίλυση τεχνικών θεµάτων αποτύπωσης, χάραξης ή 10

13 ελέγχου κατασκευών, χρησιµοποιώντας µεθόδους και όργανα υψηλής ακρίβειας συνήθως σε περιορισµένο χώρο. Η χρήση της ιαστηµικής Τεχνολογίας και των τεχνητών ορυφόρων για γεωδαιτικούς σκοπούς δηµιούργησε τη «Τρισδιάστατη ή ορυφορική Γεωδαισία» (ή ιαστηµική Γεωδαισία) που µε τα όργανα και τις µεθόδους που χρησιµοποιεί, άλλαξε και βελτίωσε δραµατικά τις διαδικασίες των µετρήσεων και τα αποτελέσµατα και διηύρυνε τις γεωδαιτικές επιδιώξεις αρχικά µε το σύστηµα δορυφόρων TRANSIT και µετά µε τους δορυφορικούς δέκτες του συστήµατος GPS, οι οποίοι ήδη ευρέως χρησιµοποιούνται στις γεωδαιτικές εργασίες. Τέλος η Θαλάσσια Γεωδαισία και η Υδρογραφία ασχολούνται µε την εφαρµογή της γεωδαιτικής τεχνογνωσίας στο θαλάσσιο χώρο. 11

14 . Ο Πλανήτης Γη Χ. Μητσακάκη 13

15 .1 Η γη Είναι ο τρίτος σε απόσταση από τον ήλιο πλανήτης του ηλιακού συστήµατος και ο πέµπτος σε µέγεθος στο ηλιακό µας σύστηµα (µετά τους: ία, Κρόνο, Ουρανό, Ποσειδώνα). Γεννήθηκε πριν 4.5 περίπου δισεκατοµµύρια χρόνια. ιαθέτει ατµόσφαιρα και υδρόσφαιρα, ιονό- σφαιρα και µαγνητόσφαιρα. Είναι ο µοναδικός πλανήτης µε ποσότητα νερού σε Σχήµα.1. Η γη από το διάστηµα υγρή µορφή στην επιφάνειά του. Έτσι, περισσότε- ορυφορική λήψη από την NASA ρο από το 70% της επιφάνειας είναι νερό, ενώ η φυσική γήινη επιφάνεια (φ.γ.ε.) ή τοπογραφική επιφάνεια ή ανάγλυφο αποτελεί περίπου το 8% και παρουσιάζει µοναδική ποικιλότητα. Η επιφάνεια της γης είναι εξαιρετικά ανώµαλη. Για τον λόγο αυτό δεν µπορεί να περιγραφεί µε µαθηµατικές σχέσεις. Σε πρώτη προσέγγιση, µπορεί να θεωρηθεί περίπου σφαιρική και η ακτίνα της είναι R = 6371km. Για αρκετές εφαρµογές (αστρονοµία, χαρτογραφία κλπ) το σφαιρικό σχήµα είναι αρκετά καλή προσέγγιση του σχήµατος της γης. Μερικά στοιχεία για την γη είναι τα ακόλουθα: - Επιφάνεια : cm - Μάζα : gr - Πυκνότητα: Μέση πυκνότητα στην επιφάνεια.67gr/cm 3 (το νερό έχει πυκνότητα 1.07gr/cm 3 ). Η γη έχει την µεγαλύτερη πυκνότητα στο ηλιακό σύστηµα. - Η ταχύτητα διαφυγής ενός σώµατος από την έλξη της γης είναι 11180km/sec. 15

16 βάθος σε km. Εσωτερική οµή και Σύσταση της Γης Το εσωτερικό της γης αποτελείται κυρίως από πετρώµατα και µέταλλα σε διάφορες χηµικές ενώσεις. ιακρίνονται 4 βασικές στοιβάδες: Eσω πυρήνας : Αποτελείται από στερεό µέταλλο µε σύσταση Fe-Ni. Η διάµετρος του είναι περίπου 10km. Η πυκνότητα φθάνει τα 13 gr/cm 3 στο κέντρο του. Eξω πυρήνας : Αποτελείται από ρευστό διάπυρο στρώµα µε σύσταση Fe-Ni και πάχος 65 km. Πυκνότητα: 9.9 gr/cm 3 στο όριο µε τον µανδύα µέχρι 1.7 gr/cm 3 στο όριο µε τον έσω πυρήνα. ηπειρωτικός φλοιός λιθόσφαιρα το εσωτερικο της γης θαλασσια στάθµη ασθενόσφαιρα ωκεάνιος φλοιός Μανδύας: Μεγάλης πυκνότητας και κυρίως οµοιόµορφο πυριτικό πέτρωµα µε πάχος ~850km. Πυκνότητα 5.7 gr/cm 3 στην βάση της στοιβάδας. µανδύας έξω πυρήνας έσω πυρήνας Φλοιός: Αποτελείται από λεπτά πυριτικά πετρώµατα. Εχει µεταβλητό πάχος από 5km έως 65km κάτω από ψηλά όρη. Η πυκνότητά του φθάνει µέχρι 3.3 gr/ cm 3 στην βάση του. Η κάτω επιφάνεια του φλοιού παρουσιάζει κάποια χαρακτηριστική ασυνέχεια Σχήµα. Το εσωτερικό της γης στην πυκνότητα και λέγεται επιφάνεια Mohorovičić (ή επιφάνεια Moho). Εκτείνεται σ όλη την γη και παρουσιάζεται σε µεταβλητό βάθος από την επιφάνεια (κάτω από ωκεανούς στα ~10km βάθος, ενώ στα ορεινά σε αρκετές δεκάδες km). 16

17 Θερµικα Επαγωγικα Ρευµατα Ορυγµα Μεσοωκεάνιος αυχένας Ωκεανος Ηπειρωτικος φλοιος Ζωνη βύθισης Ωκεανιος φλοιος Επαγωγικο θερµικο Ανοδος ρευµα µαγµατος Εξωτερικος πυρηνας Εσωτερικος πυρηνας Ψυχρο θερµο Μανδυας Σχήµα.3 Κινήσεις στο εσωτερικό της γης Μία διαφορετική διάκριση των πρώτων 400km βάθους της γης είναι ο διαχωρισµός σε λιθόσφαιρα και ασθενόσφαιρα. Η λιθόσφαιρα (πάχος km) είναι το εξωτερικό στρώµα της γης. Περιλαµβάνει και τον φλοιό και διαθέτει σηµαντική ακαµψία και αντοχή Γι αυτό είναι και το µόνο στρώµα όπου µπορούν να συσσωρεύονται τάσεις (δυνάµεις). Αυτές οι τάσεις εκτονώνονται µε σεισµούς. Συνέπεια αυτού είναι το γεγονός ότι µόνο στην λιθόσφαιρα συναντώνται εστίες σεισµών. Κάτω από την λιθόσφαιρα βρίσκεται η ασθενόσφαιρα (πάνω ζώνη του µανδύα). Εκτείνεται από τα km µέχρι τα km βάθος και έχει θερµοκρασία κοντά στο σηµείο τήξης του µανδύα. Γενικά, η θερµοκρασία αυξάνεται γρήγορα µε το βάθος (φθάνει τις 9000 ο F στον πυρήνα, θερµότερη και από την επιφάνεια του ήλιου). Στο εσωτερικό του διάπυρου ρευστού µανδύα εκδηλώνονται θερµά επαγωγικά ρεύµατα που µεταφέρουν θερµότητα προς τα ψυχρότερα επιφανειακά στρώµατα. Στις κινήσεις αυτών των ρευµάτων µπορεί να οφείλονται και το ισχυρότατο µαγνητικό πεδίο της γης, αλλά και η κίνηση των λιθοσφαιρικών πλακών. Οι γνώσεις για το εσωτερικό της γης προέρχονται κυρίως από την µελέτη διάδοσης των σεισµικών κυµάτων που µελετά η Σεισµολογία. Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες κυµάτων: τα διαµήκη κύµατα (compressional) P και τα εγκάρσια (shear) S. Στα στερεά µέρη του εσωτερικού της γης διαδίδονται και τα δύο είδη. Στα ρευστά µόνο τα P. Είναι 17

18 γνωστό ότι η διαδροµή που ακολουθούν τα κύµατα και ο χρόνος µετάδοσης τους εξαρτάται από την κατανοµή της πυκνότητας των πετρωµάτων στο εσωτερικό της γης. Ετσι, µπορούν να προκύψουν πληροφορίες για την σύσταση του εσωτερικού της γης..3 Η Γη και οι Κινήσεις της Η γη σαν µέρος του γαλαξία κινείται µαζί µε τον γαλαξία µας µέσα στο σύµπαν ως προς άλλους γαλαξίες. Ακόµα κινείται µαζί µε το ηλιακό σύστηµα µέσα στον γαλαξία µας. Η Γεωδαισία, όµως, ενδιαφέρεται και µελετά την κίνηση της γης περί τον ήλιο και κυρίως τις κινήσεις που εκτελεί περί τον εαυτό της καθώς και τις κινήσεις του άξονα περιστροφής της αλλά και αυτές που συµβαίνουν στην επιφάνειά τους..3.1 Η Εκλειπτική ιαγράφει, όπως και οι άλλοι πλανήτες, ελλειπτική τροχιά γύρω από τον ήλιο εκτελώντας µία πλήρη περιστροφή µέσα σ ένα χρόνο µε φορά αντίστροφη των δεικτών του ρολογιού. Η τροχιά αυτή είναι γνωστή σαν εκλειπτική. Η µέση ταχύτητα περιστροφής της γης πάνω στην εκλειπτική είναι της τάξης των 9.8km/sec. Η τροχιά αυτή είναι σχεδόν κυκλική, αλλά παρουσιάζει κάποια µικρή εκκεντρότητα (δηλαδή, το πραγµατικό σχήµα της τροχιάς είναι έλλειψη). Η εκκεντρότητα, που εκφράζει πόσο αποκλίνει η τροχιά από κύκλο, µεταβάλλεται µε περίοδο ετών και οι τιµές κυµαίνονται από 0.01 µέχρι και το πολύ Σήµερα είναι της τάξης του 0.017, δηλαδή τιµή που δείχνει ότι η τροχιά της γης περί τον ήλιο είναι σχεδόν κυκλική. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η ετήσια κίνηση της γης περιγράφεται από τους νόµους της Ουράνιας Μηχανικής, δηλαδή θεωρώντας την γη και τ άλλα ουράνια σώµατα σαν υλικά σηµεία. Θεωρώντας, λοιπόν, την γη σαν υλικό σηµείο σε σχέση µε τις διαστάσεις του ηλιακού συστήµατος, η ετήσια κίνηση της γης περιγράφεται από τους τρεις νόµους της πλανητικής κίνησης του Kepler. Αυτοί σε συντοµία είναι οι ακόλουθοι: 18

19 (α) (β) Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι έλλειψη µε τον ήλιο στην µια εστία της. Ένας πλανήτης κινείται πάνω στην τροχιά του µε σταθερή επιφανειακή ταχύτητα. ηλαδή, η ακτινική απόσταση του πλανήτη από τον ήλιο διαγράφει ίσα εµβαδά σε ίσους χρόνους. (γ) Οι λόγοι των τετραγώνων των περιόδων περιστροφής των πλανητών (Τ) είναι ίσοι µε τους λόγους των κύβων του µήκους των ηµιαξόνων (a) των ελλειπτικών τροχιών: Τ /a 3 = σταθερό. Λόγω του δεύτερου νόµου η γη κινείται ταχύτερα όταν είναι κοντά στον ήλιο. Μια πλήρης περιστροφή αποτελεί το αστρικό έτος ( 365,4199 ηµέρες ατοµικού χρόνου περίπου). ηλιος Σχήµα.4 Κίνηση της γης στην εκλειπτική και ος νόµος του Kepler Το πλησιέστερο στον ήλιο σηµείο της γήινης τροχιάς λέγεται περιήλιο και απέχει σήµερα km από τον ήλιο. Η γη φθάνει στο σηµείο αυτό περίπου στις 4 Ιανουαρίου. Το πιο απόµακρο σηµείο γνωστό σαν αφήλιο, απέχει km και η γη το συναντά έξη µήνες αργότερα..3. Κινήσεις της γης περί τον εαυτό της Ηµερήσια περιστροφή H γη περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της, εκτελώντας µία πλήρη περιστροφή ανά µία αστρική ηµέρα ή ανά ηµέρες ατοµικού (δηλ. συµβατικού) χρόνου. Για την ηµερήσια κίνησή της η γη θεωρείται ως υλικό σώµα ή ακριβέστερα σαν γυροσκόπιο (σβούρα). 19

20 ΓΗ Αξονας µε ο γωνια 3 7 Προς τον ηλιο Σχήµα.5 Περιστροφή περί Το επίπεδο του ισηµερινού της γης σχηµατίζει µε το επίπεδο της εκλειπτικής κλίση (γωνία) 3 ο 7 που λέγεται λόξωση της εκλειπτικής. Αυτή η κλίση ή λόξωση είναι αιτία και για την ύπαρ- Εκλειπτικη ξη των εποχών και έχει κυµανθεί ο.1 έως 4 ο.5 άξονα από τα τελευταία χρόνια. Όταν η κλίση ήταν µεγαλύτερη υπήρχε εντονότερη αντίθεση καιρικών συνθηκών ανάµεσα στο καλο- καίρι και στο χειµώνα, ενώ οι πολικές και τροπικές ζώνες επεκτείνονταν σε βάρος των εύκρατων ζωνών. Στην περίοδο της µικρότερης κλίσης η προσπίπτουσα ηλιακή ακτινοβολία κατανέµεται πιο οµοιόµορφα µεταξύ χειµώνα και καλοκαιριού, ενώ εµφανίζεται µεγαλύτερη διαφορά στην ηλιακή ακτινοβολία µεταξύ πόλων και ισηµερινού. Σχήµα.6 Η λόξωση και οι εποχές του έτους 0

21 Η ταχύτητα περιστροφής της γης περί τον εαυτό της στον ισηµερινό είναι της τάξης των 465m/sec. Αυτή η ταχύτητα περιστροφής ήταν πολύ µεγαλύτερη και, συνεπώς, η διάρκεια της ηµέρας πολύ µικρότερη. Πριν περίπου δισεκατοµµύρια χρόνια η διάρκεια της ηµέρας ήταν µόλις 1 ώρες.. Μετάπτωση Ας σηµειωθεί ότι η περιστροφή της γης περί τον εαυτό της επηρεάζει το σχήµα της. Έτσι, αντί για σφαιρικό είναι ελαφρά διογκωµένο στον Ισηµερινό. Η διόγκωση αυτή οφείλεται στην φυγόκεντρο δύναµη που παράγεται από την περιστροφή της γης. Τόσο η έλξη που ασκείται από τον ήλιο και την σελήνη πάνω στην έξαρση της γης στον ισηµερινό, όσο και η Κλιση αξονα περιστροφης της γης και κλονηση ΠΟΛΙΚΟΣ (σηµερινος Βορειος αστερας) ΒΕΓΑΣ (Βορειος αστερας σε χρονια) Αξονας περιστροφης της γης Βορειος αστερας το 3000πΧ Επιπεδο της εκλειπτικης Σχήµα.7 Μετάπτωση και επίδραση στον Βόρειο αστέρα κλίση των 3 ο.5 του άξονα περιστροφής ως προς την κάθετο στην εκλειπτική, είναι οι κύριες αιτίες που ο άξονας της ηµερήσιας περιστροφής της γης περιστρέφεται γύρω από την κάθετο στην εκλειπτική και διαγράφει κώνο. Το φαινόµενο είναι γνωστό ως µετάπτωση. Χρειάζονται χρόνια για να διαγράψει ο άξονας περιστροφής της γης µια πλήρη κωνική επιφάνεια 1

22 Πολικος Μεταπτωση Κλονηση Β 47 ο ισηµερινο επιπεδο Παλιρροικη ελξη ΓΗ Ν ΣΕΛΗΝΗ Σχήµα.8 Μετάπτωση και κλόνηση του άξονα περιστροφής της γης ο Λόγω της κλίσης των 3. 5 του άξονα περιστροφής της γης η βαρυτική έλξη που ασκεί η σελήνη και ο ήλιος στους δύο πόλους έχει διαφορετική ένταση. Το αποτέλεσµα θα ήταν ο άξονας περιστροφής να έρθει σε κάθετη θέση ως προς την εκλειπτική (θέση της ελάχιστης ενέργειας). Εξ αιτίας, όµως, της γυροσκοπικής συµπεριφοράς της γης ο άξονας περιστροφής της κάνει κυκλική κίνηση (σαν µία σβούρα) σε διεύθυνση 90 ο ως προς την επιβαλλόµενη δύναµη έλξης της σελήνης και του ήλιου. Κλόνηση Ο στιγµιαίος άξονας περιστροφής της γης παρουσιάζει και πρόσθετες διακυµάνσεις µε περιοδικό χαρακτήρα (φαινόµενο κλόνησης). Κύρια αιτία αυτής της κίνησης είναι η κλίση της τροχιάς της σελήνης κατά 5 ο ως προς την εκλειπτική. Η κλόνηση εµφανίζεται σαν κυµατοειδής κίνηση πάνω στην φέρουσα βασική τροχιά του κώνου της µετάπτωσης. Ο πιο σηµαντικός όρος της κλόνησης έχει περίοδο 18.6 χρόνια και το πλάτος του φθάνει τα 17". Η µετάπτωση και η κλόνηση είναι κινήσεις που µπορούν να προβλεφθούν µε µοντέλα και να προσδιορισθούν

23 Κίνηση του πόλου Τέλος, φαίνεται ότι ο άξονας περιστροφής της γης µετακινείται αρκετά µέτρα σε σχέση µε την επιφάνεια της γης (φαινόµενο της κίνησης του πόλου). Η κίνηση του πόλου αποτελείται κυρίως από δύο περιοδικές συνιστώσες : µία µε περίοδο 14 µήνες (κίνηση Chandler), και µία µε περίοδο ενός έτους. Όπως, όµως, φαίνεται και από το σχήµα 9 υπάρχουν και απρόβλεπτες διακυµάνσεις στη τροχιά της κίνησης του πόλου µε την πάροδο του χρόνου. Οι κινήσεις αυτές παρακολου- και προσδιορίζονται τα µεγέθη τους από θούνται µετρήσεις. Σχήµα.9 Κίνηση του πόλου για τα έτη Η συνεχής γραµµ ή είναι η µέση µετακίνηση του πόλου Περιστροφής της για τα έτη [ΙΕRS] Έτσι, το 1899 ιδρύθηκε η ιεθνής Υπηρεσία Πλάτους (International Latitude Service, ILS) για να συντονίζει τις παρατηρήσεις της κίνησης του πόλου. Σήµερα, η κίνηση του πόλου παρακολουθείται από την ιεθνή Υπηρεσία Περιστροφής της Γης IERS (International Earth Rotation Service). 3

24 Ο προσδιορισµός της κίνησης του πόλου είναι σηµαντικός για την γεωδαισία γιατί σχετίζεται µε τον ορισµό του παγκόσµιου συστήµατος αναφοράς, όπου αναφέρονται οι γεωδαιτικές µετρήσεις σε παγκόσµια κλίµακα..4 Το Πεδίο Βαρύτητας της Γης.4.1 Η θεωρία του Newton Παγκόσµια Έλξη Ο Isaac Newton ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον 17ο αιώνα τους νόµους της κίνησης. Προηγήθηκαν, όµως, ο Galileo Galilei µε τις παρατηρήσεις του για την ελεύθερη πτώση των σωµάτων και ο Johanes Kepler που διατύπωσε τους νόµους της πλανητικής κίνησης. Οι νόµοι αυτοί υπήρξαν καθοριστικοί για την ανάπτυξη των µεθόδων που επέτρεψαν στην γεωδαισία να προσδιορίσει το σχήµα, το µέγεθος και το πεδίο βαρύτητας της γης. Οι τρεις νόµοι της κίνησης σύµφωνα µε τον Newton είναι: 1ος νόµος Σε απουσία δυνάµεων ένα σώµα σε ηρεµία παραµένει ακίνητο, ενώ σώµα κινούµενο ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα θα διατηρήσει την κίνηση επ άπειρον. Είναι γνωστός ως νόµος της αδρανείας και διατυπώθηκε αρχικά από τον Galileo. ος νόµος Όταν µια δύναµη εφαρµόζεται σε σώµα, το σώµα επιταχύνεται προς την διεύθυνση της ασκούµενης δύναµης. Η επιτάχυνση είναι ανάλογη µε την ένταση της δύναµης και αντιστρόφως ανάλογη προς την µ ετακινούµενη µάζα. F = m γ ή γ=f/m 3ος νόµος Οι δυνάµεις εκδηλώνονται πάντα σε ζεύγη µε ίσο µέτρο αλλά αντίθετη φορά και ένταση. Προς τιµήν του Newton ορίζεται 1m/sec. 1Newton : η δύναµη που κινεί µάζα 1kg µε επιτάχυνση 4

25 Η σχέση ισχύει και για την ελεύθερη πτώση των σωµάτων στην γη. Ο Newton ονόµασε την δύναµη που προκαλεί την πτώση βαρύτητα και την θεώρησε ανάλογη της µάζας m. Είναι γνωστό, όµως, ότι η µέση επιτάχυνση ενός σώµατος σε ελεύθερη πτώση είναι πάντα σταθερή και ίση µε g =9.81m/sec ή 981gal (προς τιµήν του Galileo καλείται 1gal = 1cm/sec ή 1mgal = 10-3 gal), ανεξάρτητα από το µέγεθος του σώµατος. Ο Newton, αντιλαµβανόµενος ότι η ελεύθερη πτώση και η περιστροφή της σελήνης περί την γη είναι δύο όψεις κάποιου παγκόσµιου νόµου, διατύπωσε τον νόµο της παγκόσµιας έλξης των σωµάτων. Υπάρχει δύναµη έλξης µεταξύ κάθε ζεύγους σωµάτων στο σύµπαν. Ο νόµος διατυπώνεται ως: F F Gm = m r 1 F r m m 1 Ο νόµος αναφέρεται σε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1 και m που απέχουν απόσταση r. Κάθε σηµείο ασκεί πάνω στο άλλο δύναµη ή έλξη F. Η ποσότητα G είναι η παγκόσµια σταθερά έλξης και είναι η ίδια σε κάθε εφαρµογή του νόµου. Ειναι µια από τις λίγες βασικές σταθερές στη φύση. Ο Newton διαπίστωσε ότι ο νόµος εφαρµόζεται και σε πεπερασµένων διαστάσεων σώµατα, όπως είναι τα σφαιρικά συµµετρικά σώµατα, που έλκουν ένα άλλο σώµα ως η µάζα τους να είναι συγκεντρωµένη στο κέντρο τους. Πολλά πλανητικά σώµατα είναι σχεδόν σφαιρικά, µεταξύ αυτών και η γη, ο ήλιος και η σελήνη και οι αµοιβαίες κινήσεις τους, προφανώς, διέπονται από τον νόµο της παγκόσµιας έλξης. Στο νόµο της παγκόσµιας έλξης πολύ µεγάλη σηµασία έχει η µάζα, που συχνά στην καθηµερινότητα συγχέεται µε το βάρος ενός σώµατος. Οµως, το βάρος ενός αντικειµένου στην επιφάνεια της γης ορίζεται ως η δύναµη της βαρυτικής έλξης που ασκείται στο αντικείµενο από την γη. 5

26 Αν Μ η µάζα της γης και m η µάζα του σώµατος, τότε το βάρος του είναι ίσο µε : G Μ m / R όπου R η ακτίνα της σφαιρικής γης ίση µε R~6371km, αφού τόσο απέχει το σώµα από το κέντρο έλξης, δηλαδή το κέντρο µάζας της γης. Η σχέση ισχύει και για την ελεύθερη πτώση των σωµάτων κοντά στην επιφάνεια της γης. Το βάρος, λοιπόν, ενός σώµατος εξαρτάται από την θέση του µέσα στο πεδίο βαρύτητας. Οσο ένα σώµα αποµακρύνεται από το κέντρο µάζας του έλκοντος σώµατος χάνει βάρος. Αντίθετα, η µάζα του σώµατος είναι σταθερή για την κλασσική Φυσική. Στην πτώση των σωµάτων, όµως, ρόλο παίζει εκτός από την έλξη και η περιστροφή της γης, λόγω της φυγόκεντρης δύναµης που αναπτύσσεται. Ετσι, ως πεδίο βαρύτητας της γης θεωρείται το άθροισµα της έλξης και της περιστροφής της γης και g είναι η επιτάχυνση του πεδίου βαρύτητας της γης..4. Το πεδίο βαρύτητας της γης Από την καθηµερινή ζωή είναι γνωστό ότι η πιο εµφανής δύναµη που δρα στην επιφάνεια της γης είναι η βαρύτητα. Οι επιδράσεις της βαρύτητας συναντώνται σε πλήθος φαινόµενα της καθηµερινότητας. Επιδρούν στο σχήµα µιας σταγόνας νερού, στο ότι ο ζεστός αέρας ανεβαίνει ενώ ο ψυχρός κατακάθεται, στην καµπύλη τροχιά επιστροφής στη γη που ακολουθεί µια µπάλα. Ο γεωδαίτης στην µελέτη της γεωµετρίας της γης πρέπει να εξετάσει και το πεδίο βαρύτητας της γης. Η σύγχρονη αντίληψη της γεωδαισίας συµπεριλαµβάνει και τις γεωµετρικές όψεις του πεδίου. Για την µελέτη, όµως, του πεδίου βαρύτητας της γης χρειάζεται η γνώση της κατανοµής της πυκνότητας στο εσωτερικό της γης. Η κατανοµή είναι µόνο προσεγγιστικά γνωστή. Αν θεωρηθεί R = km και GM = m 3 /sec (τιµές προσδιορισµένες από την ιεθνή Οργάνωση Γεωδαισίας International Association of Geodesy, IAG, 1995), τότε η µέση τιµή της βαρυτικής έλξης στην επιφάνεια της γης είναι : 6

27 F = 98.0 [cm/sec ] m, όπου m η µάζα του ελκυόµενου σώµατος. Αλλά η κατανοµή της πυκνότητας στο εσωτερικό της γης είναι ανώµαλη όχι µόνο ακτινικά ως προς το κέντρο αλλά και οριζόντια, ενώ η γη δεν είναι σφαιρική. Κατά συνέπεια, ούτε το πεδίο έλξης είναι οµαλό. Η τιµή της F στην παραπάνω σχέση είναι µια µέση παγκόσµια τιµή. Η περιστροφή της γης περιπλέκει περισσότερο την εικόνα, ακόµα και αν θεωρηθεί ότι η γη είναι άκαµπτη. Η δύναµη που αναπτύσσεται από την περιστροφή της γης δεν είναι άλλη από την φυγόκεντρο δύναµη. Η δύναµη αυτή είναι φαινοµενική στην φύση αλλά η δράση της µπορεί να παρατηρηθεί σ όλα τα αντικείµενα που περιστρέφονται µε την γη. Η διεύθυνσή της είναι πάντα.κάθετη στον στιγµιαίο άξονα περιστροφής της γης και µπορεί να ερµηνευθεί σαν υλοποίηση της κυκλικής, και συνεπώς, επιταχυνόµενης κίνησης. Η δύναµη είναι φαινοµενική γιατί, µόλις ένα αντικείµενο ξεφύγει από την τροχιά της γης, µηδενίζεται και η δράση της δύναµης αυτής πάνω του. Το µέγεθος της φυγόκεντρης δύναµης που δρα πάνω σε υλικό σηµείο είναι κατά τα γνωστά: f = p ω m, όπου: p η κάθετη απόσταση από τον άξονα περιστροφής ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης και m η µάζα του υλικού σηµείου. Υλικο σηµειο f r p ΒΟΡΕΙΟΣ ΠΟΛΟΣ ΚΜ ΙΣΗΜΕΡΙΝΟΣ Η τιµή της φυγόκεντρης δύναµης στον Ισηµ ερινό είναι : f = 3.39[cm /sec ] m Η τιµή αυτή είναι περίπου το 0.35% της δύναµης έλξης της γης. Προφανώς, στους πόλους η φυγόκεντρος µηδενίζεται. φυγοκεντρος δυναµη δύναµης λέγεται δύναµη βαρύτητας. Σχήµα.10 Όπως αναφέρθηκε το διανυσµατικό άθροισµα της βαρυτικής έλξης και της φυγοκέντρου 7

28 Η δύναµη βαρύτητας είναι ισχυρότερη στους πόλους (αφού η φυγόκεντρος = 0) από ότι στον ισηµερινό. Η διαφορά αυτή θα ήταν 0.35% αν η γη ήταν σφαιρική. Στην πραγµατικότητα είναι λίγο µεγαλύτερη λόγω του πεπλατυσµένου σχήµατος της γης. Η επιτάχυνση του πεδίου βαρύτητας της γης (δηλαδή, η κλίση του δυναµικού του πεδίου βαρύτητας) είναι το γνωστό διάνυσµα της βαρύτητας ή διάνυσµα της επιτάχυνσης της r βαρύτητας g. Το γήινο πεδίο βαρύτητας, σαν διανυσµατικό πεδίο, διαθέτει µέγεθος και ένταση. r Το µέτρο του g λέγεται βαρύτητα, έχει τις φυσικές διαστάσεις της επιτάχυνσης και µετράται σε gals. Η µέση τιµή του στην επιφάνεια της γης είναι της τάξης των 980.3gals. Το µέγεθος ή ένταση του r g µετριέται µε όργανα, όπως τα βαρυτίµετρα, και µε ακρίβεια µέτρησης σήµερα της τάξης του 1µgal (1µgal = 10-6 gal). Η διεύθυνση του διανύσµατος της βαρύτητας είναι η διεύθυνση της κατακορύφου, η εφαπτοµένη στην τροχιά της ελεύθερης πτώσης των σωµάτων. Ο προσδιορισµός της διεύθυνσης της βαρύτητας είναι πιο χρονοβόρος και επιτυγχάνεται µε αστρονοµικές παρατηρήσεις. Οι επιφάνειες όπου το δυναµικό του πεδίου βαρύτητας είναι σταθερό ονοµάζονται ισοδυναµικές ή χωροσταθµικές επιφάνειες. Μια παγκόσµια τράπεζα δεδοµένων, υπό την εποπτεία του Bureau Gravimetrique International (BGI), που είναι οργανισµός της International Union of Geodesy and r Geodynamics (IUGG), διαθέτει µερικά εκατοµµύρια στοιχείων από µετρήσεις του g. r Τα στοιχεία αυτά δείχνουν ότι, τόσο σε παγκόσµια όσο και σε τοπική κλίµακα, η τιµή του g πάνω στην επιφάνεια της γης µεταβάλλεται από σηµείο σε σηµείο. Αυτό οφείλεται: στο διαφορετικό υψόµετρο των σηµείων παρατήρησης στο πεπλατυσµένο σχήµα της γης και στην άνιση κατανοµή των µαζών στο εσωτερικό της γης Η διαφορά στην τιµή της βαρύτητας, λόγω της επιπλάτυνσης της γης και της φυγοκέντρου, από την ελάχιστη τιµή της στον ισηµερινό µέχρι την µέγιστη στους πόλους είναι 500mgal. 8

29 Οσον αφορά την επίδραση λόγω υψοµέτρου στην τιµή του r g, θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η τιµή της βαρύτητας ελαττώνεται µε το υψόµετρο (αρνητικό πρόσηµο στην σχέση), κατά περίπου 1% της τιµής του g για µεταβολή υψοµέτρου κατά 30km. Προσέγγιση αυτής της µεταβολής δίνει η σχέση: r dg = [ ] mgal / m dh Γενικά θα πρέπει να σηµειωθεί ότι όλες οι αποκλίσεις στην τιµή της βαρύτητας, παρ όλο που µπορεί να είναι σηµαντικές και εύκολα παρατηρήσιµες, παραµένουν πολύ µικρές αν συγκριθούν µε το ίδιο το µέγεθος της βαρύτητας..4.3 Το κανονικό πεδίο βαρύτητας Εάν χρειάζεται η προσέγγιση του πραγµατικού πεδίου βαρύτητας της γης µε ένα πρότυπο (µοντέλο), τότε, συνήθως, επιλέγεται το πεδίο βαρύτητας πού προκύπτει από ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (σώµα που παράγεται από την περιστροφή µιας έλλειψης γύρο από τον µικρό της ηµιάξονα). Το σχήµα ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής είναι µια ικανοποιητική προσέγγιση του σχήµατος της γης. Αρκεί να έχει και µέγεθος όσο και η γη, ως κέντρο του το κέντρο µάζας της γης και ο µικρός του ηµιάξονας να συµπίπτει µε τον κύριο άξονα αδρανείας της γης. Θεωρείται, επίσης, ότι το ελλειψοειδές αυτό περιστρέφεται περί τον µικρό του ηµιάξονα µε γωνιακή ταχύτητα όση και της γης και έχει συµµετρική κατανοµή µάζας. Το σώµα αυτό παράγει ένα πεδίο βαρύτητας γνωστό ως κανονικό πεδίο βαρύτητας και αντιπροσωπεύεται r από το διάνυσµα της κανονικής βαρύτητας γ. Το κανονικό πεδίο βαρύτητας έχει µεγάλη πρακτική σηµασία γιατί, αφ ενός υπολογίζεται εύκολα αναλυτικά και, αφ ετέρου οι αποκλίσεις του από το πραγµατικό πεδίο βαρύτητας είναι τόσο µικρές ώστε να µπορούν να θεωρηθούν διαφορικά πρώτης τάξης. Βασική ιδιότητα αυτού του ελλειψοειδούς αναφοράς είναι ότι: η επιφάνειά του είναι ισοδυναµική επιφάνεια του πεδίου έλξης και περιστροφής του (δηλαδή του πεδίου βαρύτητάς του). 9

30 .5 Η γη και οι παραµορφώσεις της µε τον χρόνο Ο προσδιορισµός του σχήµατος της γης είναι ένας από τους βασικούς στόχους της Γεωδαισίας. Το σχήµα της γης, όµως, µεταβάλλεται µε τον χρόνο σε τοπική, περιφερειακή αλλά και παγκόσµια κλίµακα. Οι µεταβολές αυτές χαρακτηρίζονται σαν: αιώνιες (είναι αργές κινήσεις µε γραµµικό η ερπυστικό χαρακτήρα), περιοδικές (µε περίοδο από µερικά δέκατα του sec µέχρι δεκάδες χρόνια) και επεισοδιακές (ξαφνική επιτάχυνση ή και επιβράδυνση). Η Γεωδαισία ασχολείται, κυρίως, µε τις αιώνιες ή περιοδικές και χαµηλής συχνότητας κινήσεις µε περιόδους από µερικές ώρες και µεγαλύτερης διάρκειας. Οι κινήσεις που απασχολούν την Γεωδαισία είναι πρόσφατες, από τον τελευταίο αιώνα και µέχρι σήµερα, σε αντίθεση µε άλλες Γεωεπιστήµες, όπου ασχολούνται µε τις κινήσεις των τελευταίων εκατοµµυρίων ετών. Η συµπεριφορά της γης στις δυνάµεις παραµόρφωσης βρίσκεται ανάµεσα σε δύο ακραίες συνθήκες: αυτή ενός πλήρως ρευστού (σαν την αντίδραση της επιφάνειας των ωκεανών) και ενός τέλεια άκαµπτου σώµατος (που δεν µπορεί να παραµορφωθεί). Οι πιο γνωστές από παληά και πιο καλά κατανοητές κινήσεις είναι τα παλιρροϊκά φαινόµενα (παλίρροιες), που εκπροσωπούν περιοδική παραµόρφωση του σχήµατος της γης. Άλλες κινήσεις αφορούν τις µετακινήσεις των λιθοσφαιρικών πλακών που απαρτίζουν τον γήινο φλοιό, και µπορεί να είναι ερπυστικού, αλλά, κυρίως, επεισοδιακού χαρακτήρα (σεισµικά φαινόµενα). Τέλος υπάρχουν και κινήσεις που οφείλονται σε µετεωρολογικά φαινόµενα, στην ανθρώπινη δραστηριότητα κ.α. 30

31 .5.1 Παλίρροιες Η σελήνη και ο ήλιος ασκούν ελκτικές δυνάµεις λόγω βαρύτητας σε κάθε σηµείο επάνω, γη ωκεανος σεληνη A B γη ωκεανος A σεληνη Σχήµα.11 Η έλξη της σελήνης και οι θαλάσσιες παλίρροιες ψηλότερα ή και εντός της γης. Η γη και η σελήνη (ή αντίστοιχα η γη και ο ήλιος) περιστρέφονται ως σύστηµα γύρω από το κοινό κέντρο µάζας τους (καλείται βαρύκεντρο). Συγκρατούνται αµοιβαία στην τροχιά τους από την βαρυτική έλξη (νόµος Νεύτωνα), ενώ συγχρόνως απωθούνται αµοιβαία µε την ίση και αντίθετης φοράς φυγόκεντρο δύναµη. Η δύναµη αυτή προκύπτει από την περιστροφή του συστήµατος περί το κοινό κέντρο µάζας τους. Η ισορροπία των δυνάµεων αυτών διατηρείται µόνο στο κέντρο µάζας της γης. Σε άλλα σηµεία, όµως, επάνω στην επιφάνεια της γης, ψηλότερα ή και εντός της γης δεν εξισορροπούν µε συνέπεια να εκδηλώνονται περιοδικές µεταβολές στο σχήµα της γης (στην στεριά και την θάλασσα) αλλά και της ατµόσφαιρας, οι παλίρροιες. Αυτές, που είναι γνωστές από την αρχαιότητα είναι οι θαλάσσιες παλίρροιες. Οι δυνάµεις που δηµιουργούν το φαινόµενο της παλίρροιας, δρώντας πάνω στους ωκεανούς, έχουν ως αποτέλεσµα τον σχηµατισµό δύο συµµετρικών εξογκωµάτων (παλιρροϊκά εξογκώµατα) από την ανύψωση των ωκεάνιων µαζών κατά µήκος του άξονα του συστήµατος γης-σελήνης (σηµεία Α και Β στο σχήµα.11).. Σε ιδανικές συνθήκες, εάν η γη ήταν όλη λεία και καλυπτόταν οµοιόµορφα από τον ωκεανό µέχρι ορισµένο ύψος, το σχήµα της γης θα ήταν αυτό ενός πεπλατυσµένου σφαιροειδούς. 31

32 Αυτά τα εξογκώµατα, όµως, δεν βρίσκονται ακριβώς επάνω στον άξονα του συστήµατος γησελήνη. Αντίθετα, λόγω τριβών µεταξύ φλοιού και ωκεανών, η περιστροφή της γης τείνει να παρασύρει το εξόγκωµα, µε συνέπεια να προηγείται κατά µια µικρή γωνία ως προς τον άξονα γης-σελήνης και προς την διεύθυνση της περιστροφής της γης. Επειδή η έλξη της σελήνης είναι ισχυρότερη στην πλησιέστερη όψη της γης το τελικό αποτέλεσµα είναι η επιβράδυνση του ηµερήσιου ρυθµού περιστροφής της γης. Από µετρήσεις απολιθωµάτων είναι γνωστό ότι 0.5 δισεκατοµµύρια χρόνια πριν η ηµέρα διαρκούσε λίγο περισσότερο από σηµερινές ώρες και το έτος είχε 397 ηµέρες. Η επιβράδυνση της περιστροφής εκτιµάται ότι επιµηκύνει την ηµέρα κατά 1.5millisec ανά αιώνα. Στην Ελλάδα, το µέσο εύρος των παλιρροιών είναι της τάξης των 4-40cm, δηλαδή µάλλον µικρό..5. Κινήσεις των τεκτονικών πλακών Θερµες Κηλιδες ηφαιστειο ζωνη θραυσης φλοιός λιθοσφαιρα Ασθενοσφαιρα ταφροι λιθοσφαιρα Σχήµα.13 Σχηµατική παράσταση της δοµής των τεκτονικών πλακών Ο φλοιός της γης σχηµατίσθηκε πριν περίπου 4.5 χρόνια απ ό σταδιακή ψύξη της εξωτερι- κής στοιβάδας. Η σύγχρονη αντίληψη της Γεωφυσικής υποστηρίζει ότι αποτελείται από µεγάλες άκαµπτες πλάκες που µετακινούνται αργά σχετικά η µία προς την άλλη και επι- πλέουν στο ρευστό υποκείµενο στρώµα της ασθενόσφαιρας. Η αντίληψη αυτή συνιστά τη γνωστή σήµερα Θεωρία των Τεκτονικών Πλακών. Ο ρυθµός αυτής της κίνησης είναι µικρός (µερικά εκατοστά το χρόνο). Πολλοί σχηµατισµοί της επιφάνειας της γης οφείλονται στις κινούµενες πλάκες, ενώ τα όρια των πλακών είναι οι πιο ασταθείς περιοχές του πλανήτη και χαρακτηρίζονται από έντονη σεισµική δράση και ενεργά ηφαίστεια. Η χαρτογράφηση των σεισµικών επικέντρων σε παγκόσµια κλίµακα έδειξε ότι όλοι οι µεγάλου βάθους και οι περισσότεροι ρηχοί σεισµοί 3

33 συγκεντρώνονται σε σχετικά στενές ζώνες. Ουσιαστικά η σεισµικότητα οριοθετεί τα σύνορα των λεγόµενων τεκτονικών πλακών. Πριν 50 εκατ. χρόνια οι ήπειροι είχαν διαφορετική θέση. Η περισσότερη ξηρά ήταν ενιαία (Παγγαία) και οι επτά ήπειροι σχηµατίσθηκαν µε την πάροδο του χρόνου από κατατεµαχισµό και αργή µετακίνηση. Π Α Γ Γ Α Ι Α ΛΑΥΡΑΣΙΑ Θαλασσα Τηθυος ΠΕΡΜΙΟ 80-40εκατ.χρονια πριν ΤΡΙΑΣΙΚΟ 00εκατ.χρονια πριν Σχήµα.13 Σχηµατική αναπαράσταση της µετακίνησης των ηπείρων. ΙΟΥΡΑΣΙΚΟ ΚΡΗΤΑΣΙΚΟ εκατ. χρονια πριν 65 εκατ. χρονια πριν ΣΗΜΕΡΑ Οι βασικές τεκτονικές πλάκες σήµερα είναι : Αφρικανική, Ευρασιατική, Αµερικανική, του Ειρηνικού, Ινδική και Ανταρκτική. Ενδιάµεσα υπάρχουν και µικρότερες που προέκυψαν από την σύγκρουση των βασικών. Σήµερα, στον Ελληνικό χώρο, όπου βυθίζεται η Αφρικανική πλάκα κάτω από την Ευρασιατική, διακρίνεται το Ελληνικό τόξο µε σεισµική δραστηριότητα (από Ρόδο µέσω Κρήτης στα Επτάνησα) και το εσωτερικό ηφαιστειακό τόξο ( Νίσυρος, Σαντορίνη, Μήλος κλπ). Οι αργές κινήσεις των τεκτονικών πλακών φαίνεται να παράγουν ένα τεκτονικό κύκλο, κατά τον οποίο συσσωρεύονται τάσεις στο εσωτερικό των πλακών, µε συνέπεια την σταδιακή παραµόρφωση και, τελικά, την αποφόρτιση µέσω σεισµικών επεισοδίων µε καταστρεπτικές πολύ συχνά συνέπειες για τους ανθρώπους και τις κατασκευές. 33

34 Σχήµα.14 Ενεργός τεκτονική του ευρύτερου Ελλαδικού χώρου [Παπαζάχος Β., κα, 1999] Οι γεωδαιτικές µετρήσεις µπορούν, εάν επαναλαµβάνονται κατά διαστήµατα και εφόσον διαθέτουν τη ν απαιτούµενη ακρίβεια, να καταγράψουν την µεταβολή των θέσεων σηµείων της φ.γ.ε. µε την πάροδο του χρόνου (δηλαδή να περιγράψουν ένα πεδίο µετακινήσεων της φ.γ.ε.). Χρησιµοποιούνται, λοιπόν, στις µελέτες παρακολούθησης των παραµορφώσεων, είτε αυτές αφορούν παραµορφώσεις του στερεού φλοιού της γης (τεκτονικές παραµορφώσεις) είτε την παρακολούθηση της συµπεριφοράς µεγάλων τεχνικών έργων. Η εικόνα του ρυθµού της παραµόρφωσης του γήινου φλοιού τόσο σε παγκόσµια κλίµακα (κινήσεις των πλακών) όσο και σε περιφερειακή (Σχ..15) ή τοπική κλίµακα (µετακινήσεις σ ένα ρήγµα) είναι αρκετά σαφέστερη χάρη στην συνδροµή της γεωδαιτικής µεθοδολογίας και κυρίως στις σύγχρονες δορυφορικές γεωδαιτικές µετρήσεις. 34

35 00' 30' 3 00' 3 30' 30' 00' 0Km 0cm 5cm 50cm 75cm 100cm ' Σχήµα.15 Μετακινήσεις στον Κορινθιακό κόλπο για την περίοδο

36 Βιβλιογραφια 1. Αγατζά Μπαλοδήµου Α. Μ., Μπαλοδήµος., Εισαγωγή στη Γεωδαισία. Σηµειώσεις Μαθηµάτων, ΣΑΤΜ, Αθήνα, Βέης Γ., Μπιλλήρης Χ., Παπαζήση Κ., «Κεφάλαια Ανώτερης Γεωδαισίας», Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας, ΣΑΤΜ, Αθήνα, Παπαζάχος B.Γ. και Παπαζάχου Ι., Οι σεισµοί της Ελλάδος, Εκδόσεις Ζήτη, pp. 304, Θεσσαλονίκη, Ελλάδα. 1. earch/earthrot.html

37 3. Σχήµα και µέγεθος της γης. Επιφάνειες Αναφοράς Χ. Μπιλλήρης 37

38 3.1 Σχήµα και µέγεθος της γης Από τα βασικά προβλήµατα της Γεωδαισίας, είναι ο ακριβής προσδιορισµός του σχήµατος και του µεγέθους της Γης. Με τον όρο σχήµα και µέγεθος νοείται η «φυσική και µαθηµατική» επιφάνεια της γης και οι διαστάσεις της. Η φυσική επιφάνεια της γης (φ.γ.ε) είναι το όριο µεταξύ της συµπαγούς γης ή της υδάτινης επιφάνειας της γης και της ατµόσφαιρας. Η φυσική επιφάνεια της γης καλύπτεται κατά το 7% από νερό και µόνο κατά το 8% από στερηά. Έτσι η επιφάνειά της δεν είναι ούτε µία µάζα συµπαγής ούτε µία µάζα υγρή, αφού αποτελείται από ανοµοιογενές υλικό και η συµπεριφορά της κυµαίνεται µεταξύ των δύο αυτών άκρων. Συνήθως, όταν γίνεται αναφορά στον προσδιορισµό του σχήµατος και του µεγέθους της γης, η γη στο σύνολό της θεωρείται «συµπαγής» δηλαδή απόλυτα άκαµπτη και στερεά και οι µεταβολές του σχήµατος και του µεγέθους της συναρτήσει του χρόνου µελετώνται ξεχωριστά. Η επιφάνεια της πραγµατικής γης στο κοµµάτι της στεριάς της, είναι εξαιρετικά πολύπλοκη και τα βουνά δηµιουργούν την εντύπωση, στην ανθρώπινη κλίµακα, µιας ιδιαίτερα ανώµαλης φ.γ.ε., η οποία δεν είναι δυνατόν να αποδοθεί µε κάποια µαθηµατική σχέση. Αν αναλογιστούµε όµως τις διαστάσεις της γης (ακτίνα 6371 km) και το γεγονός ότι το υψηλότερο βουνό (Ιµαλάϊα) έχει ύψος περίπου 9 km, συνειδητοποιούµε ότι η σχέση µεταξύ της µεγαλύτερης ανωµαλίας στην επιφάνεια της γης και της διαµέτρου της είναι περίπου 1/1400. ηλαδή αν είχαµε µια σφαίρα διαµέτρου 1400 mm, οι µεγαλύτερες «ανωµαλίες» πάνω στην επιφάνειά της θα ήταν µικρότερες από 1mm, γεγονός που δεν επηρεάζουν καθόλου το σχήµα της γης. Επειδή σε πολλές εφαρµογές (αστρονοµία, ουράνιος µηχανική, χαρτογραφία, διαστη- µική ναυσιπλοΐα κ.λ.π.) δεν χρειάζεται κανείς πολύ µεγάλη ακρίβεια, το ευκολότερο που έχει να κάνει, είναι να επιλέξει ένα «µοντέλο» (π.χ. µία σφαίρα), που θα χρησιµεύσει σαν µία βοηθητική επιφάνεια αναφοράς και θα αντικαταστήσει τo σχήµα της γης. Βέβαια, το µοντέλο αυτό για να είναι χρήσιµο, θα πρέπει να πλησιάζει κατά το δυνατό το σχήµα και το µέγεθος της πραγµατικής γης, αλλά για να είναι συγχρόνως και εύχρηστο θα πρέπει η επιφάνειά του να εκφράζεται µε απλή, σχετικά, µαθηµατική σχέση. Οι µικρές αποκλίσεις που θα προσδιοριστούν από την σύγκριση του σχήµατος και του µεγέθους της πραγµατικής γης µε το µοντέλο αναφοράς, 39

39 µπορούν να χρησιµεύσουν σε µια επιστηµονική ανάλυση για την ερµηνεία διαφόρων φυσικών παραµέτρων και φαινοµένων. Πράγµατι η γη σε πρώτη προσέγγιση µπορεί να θεωρηθεί σφαίρα (µε οµοιογενές υλικό και µάζα ίση µε τη µάζα της γης) µε ακτίνα 6371 km περίπου. Λόγω όµως της περιστροφής της γύρω από τον άξονά της, η γη έχει πάρει το σχήµα ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής. Βέβαια η γη δεν αποτελείται από οµοιογενές υλικό και µε την περιστροφή της θα ήταν πιο σωστό να θεωρήσει κανείς ότι παίρνει τη µορφή ενός σφαιροειδούς πεπλατυσµένου στους πόλους. Η απόκλιση όµως από µία τέτοια παραδοχή δεν είναι τόσο µεγάλη, ώστε το σχήµα δεν αποκλίνει πολύ από ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Αν τελειοποιηθεί το µοντέλο έτσι ώστε να έχει τις ίδιες µηχανικές (φυσικές) ιδιότητες, αλλά πολύ λιγώτερες επιφανειακές ανωµαλίες από την πραγµατική επιφάνεια της γης θα πρέπει η περιβάλλουσα επιφάνεια να είναι µια ισοδυναµική (χωροσταθµική) επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας της γης. Η επιφάνεια αυτή που εκλέγεται να πλησιάζει περισσότερο από κάθε άλλη ισοδυναµική επιφάνεια του πεδίου βαρύτητας της γης τη µέση στάθµη της θάλασσας (µ.σ.θ.), είναι το γεωειδές. Έτσι, λοιπόν οι βασικές επιφάνειες αναφοράς που χρησιµοποιούνται στη γεωδαισία για να περιγράψουν το φυσικό και γεωµετρικό µοντέλο της γης και πάνω στις οποίες προβάλλουµε τα σηµεία της φ.γ.ε. για να προσδιορίσουµε τη θέση τους, αλλά και τις µετρήσεις µας για να κάνουµε τους υπολογισµούς µας, είναι τρεις: το γεωειδές (φυσικό µοντέλο), το ελλειψοειδές εκ περιστροφής (µαθηµατικό µοντέλο) και η σφαίρα (προσεγγιστικό µοντέλο) Φυσική Γήϊνη Επιφάνεια Η φυσική γήϊνη επιφάνεια είναι η πραγµατική επιφάνεια της γης, περιλαµβάνει την τοπογραφική επιφάνεια καθώς επίσης και την επιφάνεια των ωκεανών, και θεωρείται το όριο µεταξύ της συµπαγούς και της υδάτινης επιφάνειας της γης και της ατµόσφαιρας και αποτελεί το κύριο αντικείµενο µελέτης και αποτύπωσης στη Γεωδαισία. Η τοπογραφική επιφάνεια υλοποιείται άµεσα στη φυσική µας εποπτεία και είναι η επιφάνεια πάνω στην οποία ζούµε και γίνονται όλες οι γεωδαιτικές µετρήσεις 40

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων

Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων Τεύχος B - Διδακτικών Σημειώσεων ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Δημήτρης Δεληκαράογλου Αναπλ. Καθ., Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επισκ.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο ΠΑΛΙΟ http://eclass.survey.teiath.gr NEO

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 -

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ. www.meteo.gr - 1 - ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΓΗΣ H Γη είναι ένας πλανήτης από τους οκτώ συνολικά του ηλιακού μας συστήματος, το οποίο αποτελεί ένα από τα εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστρικά συστήματα του Γαλαξία μας, ο οποίος με την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 5η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 5η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 5η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις 5. Φυσική Εισαγωγή στο πεδίο βαρύτητας

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΦΑΙΡΑΣ

2. ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΦΑΙΡΑΣ 2. ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΦΑΙΡΑΣ 2.1 Ωκεανοί και Θάλασσες. Σύµφωνα µε τη ιεθνή Υδρογραφική Υπηρεσία (International Hydrographic Bureau, 1953) ως το 1999 θεωρούντο µόνο τρεις ωκεανοί: Ο Ατλαντικός, ο Ειρηνικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟΥ DATUM Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης

Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις. Η κίνηση της Γης. στα Συστήματα Αναφοράς για τη ορυφορική Γεωδαισία. Η περιστροφή της Γης Οι Κινήσεις της Γης. Eπιπτώσεις στα Συστήματα για τη ορυφορική Γεωδαισία Οι αρχαίοι θεωρούσαν τη Γη ακίνητη και κέντρο του σύμπαντος Η κίνηση της Γης TEPAK ορυφορική Γεωδαισία 6 ο Εξάμηνο 2011-12 Στην

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

υψών διαφορετικού τύπου. Προσδιορίζονται είτε γεωµετρικά, είτε δυναµικά

υψών διαφορετικού τύπου. Προσδιορίζονται είτε γεωµετρικά, είτε δυναµικά Συστήµατα υψών ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΨΩΝ Η βαρύτητα εξαρτάται από το ύψος, εποµένως τα συστήµατα υψών είναι ιδιαίτερα σηµαντικά για το πεδίο βαρύτητας. ιάφορες τεχνικές µετρήσεων οδηγούν στον προσδιορισµό υψών διαφορετικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ 4η παρουσίαση Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 4ο εξάμηνο http://eclass.survey.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις, Σημειώσεις ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1

Περιεχόµενα. Περιεχόµενα... 7. Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11. Ευρετήριο Εικόνων... 18. Κεφάλαιο 1 Περιεχόµενα Περιεχόµενα... 7 Ευρετήριο Γραφηµάτων... 11 Ευρετήριο Εικόνων... 18 Κεφάλαιο 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ... 19 Θεωρία... 19 1.1 Έννοιες και ορισµοί... 20 1.2 Μονάδες µέτρησης γωνιών και µηκών...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009

Q 40 th International Physics Olympiad, Merida, Mexico, 12-19 July 2009 Q 40 th International Physics Olympiad, erida, exico, -9 July 009 ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ No. Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΗΣ-ΣΕΛΗΝΗΣ Οι επιστήμονες μπορούν να προσδιορίσουν την απόσταση Γης-Σελήνης, με μεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης

Εισαγωγή στα Δίκτυα. Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί. 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016. Χριστόφορος Κωτσάκης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Τι είναι δίκτυο;

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα

Κεφάλαιο M6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κεφάλαιο M6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρµογές των νόµων του Νεύτωνα Κυκλική κίνηση Αναπτύξαµε δύο µοντέλα ανάλυσης στα οποία χρησιµοποιούνται οι νόµοι της κίνησης του Νεύτωνα. Εφαρµόσαµε τα µοντέλα αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟ ΗΛΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το ηλιακό μας σύστημα απαρτίζεται από τον ήλιο (κεντρικός αστέρας) τους 8 πλανήτες, (4 εσωτερικούς ή πετρώδεις: Ερμής, Αφροδίτη, Γη και Άρης, και 4 εξωτερικούς: Δίας,

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο ΦΥΣΙΚΗ Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σε ένα σώµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα

Κεφάλαιο 2: Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Κεφάλαιο : Ο Νεύτωνας παίζει μπάλα Το ποδόσφαιρο κατέχει αδιαμφισβήτητα τη θέση του βασιλιά όλων των αθλημάτων. Είναι το μέσο εκείνο που ενώνει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλον τον κόσμο επηρεάζοντας ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2012-13 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ: ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΣΤΟ ΓΑΛΙΛΑΙΟ ΚΑΙ ΕΩΣ ΣΗΜΕΡΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΦΥΤΤΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Page1 ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ

HEPOS workshop 25-26/9/2008. 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ. ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ HEPOS και σύγχρονα γεωδαιτικά συστήµατα αναφοράς: Θεωρία και υλοποίηση, προοπτικές και εφαρµογές. HEPOS workshop 25-26/9/2008 26/9/2008 Συνδιοργάνωση: ΤΑΤΜ/ΑΠΘ ΑΠΘ και ΚΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΑΕ Γεωδαιτικά Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει:

1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 120 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ Ηλεκτρικό φορτίο Ηλεκτρικό πεδίο 1.Η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων έχει μέτρο 10 N. Αν η απόσταση των φορτίων διπλασιαστεί, το μέτρο της δύναμης θα γίνει: (α)

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ ΕΝΩΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. α) Ζεύγος δυνάμεων Δράσης Αντίδρασης είναι η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις)

Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Ερωτήσεις θεωρίας µε απάντηση Φυσικής Γ Γυµνασίου (ταλαντώσεις) Πότε µια κίνηση λέγεται περιοδική; Να γράψετε τρία παραδείγµατα. Μια κίνηση λέγεται περιοδική όταν επαναλαµβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήµατα.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10

ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10 ΦΥΣ. 131 ΕΡΓΑΣΙΑ # 10 1. Τρια αντικείµενα Α, Β και C µε µάζα m, 2m και 8m αντίστοιχα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και στις θέσεις που φαίνονται στο σχήµα. Σε ποια θέση (x,y) πρέπει να τοποθετεί ένα τέταρτο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ (2η παρουσίαση)

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ (2η παρουσίαση) ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ (2η παρουσίαση) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 4ο εξάμηνο ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. Ορισμός της ς - Συνδέσεις των γεωεπιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε μια διάσταση

Κίνηση σε μια διάσταση Κίνηση σε μια διάσταση Θεωρούμε κίνηση κατά μήκος μιας ευθύγραμμης διαδρομής. Η απόσταση x του κινούμενου σώματος από ένα σημείο του άξονα της κίνησης που παραμένει ακίνητο χρησιμοποιείται ως συντεταγμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

R 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

R 2. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 1. Δύο τροχοί συνδέονται με ιμάντα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι συχνότητες περιστροφής του συνδέονται με τη σχέση: A R 2 Γ R 1 B Δ 2. Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού δείχνουν ακριβώς 12h.

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1

4 η Εργασία F 2. 90 o 60 o F 1. 2) ύο δυνάµεις F1 4 η Εργασία 1) ύο δυνάµεις F 1 και F 2 ασκούνται σε σώµα µάζας 5kg. Εάν F 1 =20N και F 2 =15N βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος στα σχήµατα (α) και (β). [ 2 µονάδες] F 2 F 2 90 o 60 o (α) F 1 (β) F 1 2)

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r

v r T, 2 T, a r = a r (t) = 4π2 r Πρώτη και Δεύτερη Διαστημική Ταχύτητα Άλκης Τερσένοβ 1. Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα και Γεωστατική Τροχιά Πρώτη Διαστημική Ταχύτητα ονομάζεται η ελάχιστη ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα που

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση

Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1 Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1.Δυο τροχοί ακτινών R 1=40cm και R 2=10cm συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται ο πρώτος με συχνότητα f 1=4Hz, ο δε δεύτερος με συχνότητα f 2. Να βρεθεί ο αριθμός των στροφών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 18 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΤΡΙΚΑ ΣΜΗΝΗ Τα ρολόγια του σύμπαντος. Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

ΑΣΤΡΙΚΑ ΣΜΗΝΗ Τα ρολόγια του σύμπαντος. Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής ΑΣΤΡΙΚΑ ΣΜΗΝΗ Τα ρολόγια του σύμπαντος Δρ Μάνος Δανέζης Επίκουρος Καθηγητής Αστροφυσικής Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Αστρικό σμήνος είναι 1 ομάδα από άστρα που Καταλαμβάνουν σχετικά μικρό χώρο στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ύο λόγια από τους συγγραφείς.

ύο λόγια από τους συγγραφείς. ύο λόγια από τους συγγραφείς. Το βιβλίο αυτό γράφτηκε από τους συγγραφείς με σκοπό να συμβάλουν στην εκπαιδευτική διαδικασία του μαθήματος της Τοπογραφίας Ι. Το βιβλίο είναι γραμμένο με τον απλούστερο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ. 4ο εξάμηνο. Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ. 4ο εξάμηνο. Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών / Τμήμα Τοπογραφίας / Τομέας Τοπογραφίας Φωτογραμμετρίας Χαρτογραφίας ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος και Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας

Διαβάστε περισσότερα

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ

B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÅÐÉËÏÃÇ 1 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µιας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩ ΥΝΑΜΙΚΗ. Φυσική της Λιθόσφαιρας Κεφάλαιο 7. Καθ. Αναστασία Κυρατζή. Κυρατζή Α. "Φυσική της Λιθόσφαιρας"

ΓΕΩ ΥΝΑΜΙΚΗ. Φυσική της Λιθόσφαιρας Κεφάλαιο 7. Καθ. Αναστασία Κυρατζή. Κυρατζή Α. Φυσική της Λιθόσφαιρας ΓΕΩ ΥΝΑΜΙΚΗ Φυσική της Λιθόσφαιρας Κεφάλαιο 7 Καθ. Αναστασία Κυρατζή Κυρατζή Α. "Φυσική της Λιθόσφαιρας" 1 Εισαγωγή Υπόθεση της Μετάθεσης των ηπείρων Wegener 1912 Υπόθεση της Επέκτασης του θαλάσσιου πυθµένα

Διαβάστε περισσότερα

Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ÍÅÏ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ÍÅÏ ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 Α' ΤΑΞΗ ΓΕΝ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Η ορµή ενός σώµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών

Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την στροφική τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:...

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... 1 ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2013-2014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... Ημερομηνία: 3/06/2014 Διάρκεια: 2 ώρες Ονοματεπώνυμο:...

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός της δύναµης. Παραδείγµατα δυνάµεων

Ορισµός της δύναµης. Παραδείγµατα δυνάµεων Ανύψωση βαρών Παραδείγµατα δυνάµεων Κλώτσιµα µπάλας Άπωση µαγνητών Φύσηµαανέµου 1 Ορισµός της δύναµης Ηεξάσκηση δύναµης σε κάποιο σώµα όπως Κλώτσιµα µπάλας Φύσηµα ανέµου Συµπίεση ελατηρίου έχουν σαν αποτέλεσµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 130 Κεφάλαιο 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α. Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. α, β 2. γ 3. ε 4. β, δ 5. γ 6. α, β, γ, ε Β. Απαντήσεις στις ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού 1. η αρχαιότερη

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς

Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας. με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Εργαστηριακή Άσκηση 5 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο του απλού εκκρεμούς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g. Πειραματική διάταξη: Χρήση απλού εκκρεμούς.

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Σκιερές ζώνες Ανισοτροπία Στρώµα D

Σκιερές ζώνες Ανισοτροπία Στρώµα D Σκιερές ζώνες Ανισοτροπία Στρώµα D Φυσική της Λιθόσφαιρας Κεφάλαιο 2 Καθ. Αναστασία Κυρατζή Α. Κυρατζή "Φυσική της Λιθόσφαιρας" 1 Α. Κυρατζή "Φυσική της Λιθόσφαιρας" 2 ιάδοση κυµάτων σε επιφάνειες ασυνέχειας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κατεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις: Σε ισόχωρη αντιστρεπτή θέρµανση ιδανικού αερίου, η

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική Α ΤΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στη Φυσική ΜΕΡΟΣ 1 : Ευθύγραμμες Κινήσεις 1. Να επαναληφθεί το τυπολόγιο όλων των κινήσεων - σελίδα 2 (ευθύγραμμων και ομαλών, ομαλά μεταβαλλόμενων) 2. Να επαναληφθούν όλες οι

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΤΟΞΟ. Γεωλογική εξέλιξη της Ελλάδας Το Ελληνικό τόξο

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΤΟΞΟ. Γεωλογική εξέλιξη της Ελλάδας Το Ελληνικό τόξο ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΤΟΞΟ Γεωλογική εξέλιξη της Ελλάδας Το Ελληνικό τόξο ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωλογική εξέλιξη της Ελλάδας Ο Ελλαδικός χώρος µε την ευρεία γεωγραφική έννοια του όρου, έχει µια σύνθετη γεωλογικοτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα