Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε"

Transcript

1 Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1

2 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε αυθαίρετα σηµεία της εκτέλεσης. Μια διεργασία που έχει καταρρεύσει λέγεται εσφαλµένη (fault). Εϖιτρεϖτές Εκτελέσεις Όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες εκτελούν απεριόριστο αριθµό βηµάτων. Αν µια διεργασία αποτύχει σε κάποιο βήµα, δεν εκτελεί ξανά βήµατα. Στο τελευταίο βήµα µιας εσφαλµένης διεργασίας, αποστέλλεται µόνο ένα αυθαίρετο υποσύνολο των εξερχόµενων µηνυµάτων της διεργασίας. Εφαρµογές o Συστήµατα ελέγχου πτήσεων. o Οι διεργασίες ενός κατανεµηµένου συστήµατος χρειάζεται συχνά να συµφωνούν στο αν κάποιο µήνυµα έχει παραληφθεί. o ιάγνωση αποτυχίας διεργασιών. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 2

3 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Υϖοθέσεις Ο αριθµός των αποτυχιών είναι το πολύ f, όπου f είναι κάποιος θετικός ακέραιος. Το f ονοµάζεται βαθµός ανθεκτικότητας (resiliency) του συστήµατος. Ο γράφος είναι κλίκα µε n κόµβους. Οι σύνδεσµοι (κανάλια επικοινωνίας) είναι αξιόπιστοι. Περιγραφή Προβλήµατος Κάθε διεργασία p i έχει µια µεταβλητή εισόδου x i και µια µεταβλητή εξόδου y i. Αρχικά, η x i έχει µια τιµή από ένα σύνολο πιθανών εισόδων, ενώ η y i δεν έχει αρχικοποιηθεί. Η y i θα πρέπει να εγγραφεί µία µόνο φορά (κάθε εγγραφή στην y i είναι εποµένως µηαντιστρέψιµη). Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 3

4 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Ένας αλγόριθµος που επιλύει το πρόβληµα οµοφωνίας πρέπει να εγγυάται τα εξής: Οµοφωνία (agreement) Όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες έχουν ως έξοδο την ίδια τιµή. Εγκυρότητα (validity) Αν όλες οι διεργασίες έχουν την ίδια τιµή εισόδου, η τιµή εξόδου πρέπει να είναι η τιµή αυτή. Τερµατισµός (termination) Όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες πρέπει να τερµατίσουν. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 4

5 Πρόβληµα Οµοφωνίας Ένας αϖλός αλγόριθµος Κάθε διεργασία p διατηρεί ένα σύνολο µε τιµές που έχει δει µέχρι την τρέχουσα χρονική στιγµή, το οποίο αρχικά περιέχει µόνο την τιµή εισόδου της διεργασίας. Για f+1 γύρους κάθε διεργασία: o ενηµερώνει το σύνολο της εκτελώντας την πράξη της ένωσης µε τα σύνολα που λαµβάνει από άλλους καταχωρητές. o εκπέµπει (broadcasts) οποιεσδήποτε προσθήκες έγιναν στο σύνολο σε όλες τις υπόλοιπες διεργασίες. Μετά τους f+1 γύρους, η διεργασία αποφασίζει ως έξοδό της τη µικρότερη τιµή που περιέχεται στο σύνολό της. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 5

6 Πρόβληµα Οµοφωνίας Ένας αϖλός αλγόριθµος Γιατί (f+1) γύροι; f = 3, n = 4 Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 6

7 Πρόβληµα Οµοφωνίας Ένας αϖλός αλγόριθµος Τερµατισµός; Εγκυρότητα; Οµοφωνία: o Ας υποθέσουµε ότι µια διεργασία p i αποφασίζει µια µικρότερη τιµή, x, από κάποια άλλη p j. o Τότε, η x έχει παραµείνει «κρυφή» στην p j για (f+1) γύρους. o Έχουµε το πολύ f µη-εσφαλµένες διεργασίες. Άτοπο!!! Αριθµός διεργασιών; n > f Χρονική Πολυϖλοκότητα; (f+1) γύρους Πολυϖλοκότητα Εϖικοινωνίας; n 2 * V µηνύµατα, όπου V είναι το σύνολο τιµών εισόδου. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 7

8 Κάτω Φράγµα στον Αριθµό των Γύρων Η ϖερίϖτωση f = 1 Θεώρηµα εν υπάρχει αλγόριθµος που να επιλύει το πρόβληµα οµοφωνίας σε λιγότερο από δύο γύρους σε ένα σύστηµα µε n 3 διεργασίες στο οποίο µια διεργασία µπορεί να αποτύχει. Αϖόδειξη: Με εις άτοπο απαγωγή. Έστω ότι ο Α είναι ένας τέτοιος αλγόριθµος. Κατασκευάζουµε µια αλυσίδα από εκτελέσεις: o σε κάθε εκτέλεση υπάρχει το πολύ µια εσφαλµένη διεργασία o στην πρώτη όλες οι διεργασίες έχουν τιµή εισόδου 0 o στην τελευταία όλες οι διεργασίες έχουν τιµή εισόδου 1 o κάθε δυο διαδοχικές εκτελέσεις της αλυσίδας είναι παρόµοιες για κάποια µηεσφαλµένη διεργασία Σε όλες τις εκτελέσεις θα πρέπει οι διεργασίες να αποφασίζουν την ίδια τιµή. Άτοπο!!!! Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 8

9 Παράδειγµα n = 3 Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 9

10 Κάτω Φράγµα στον Αριθµό των Γύρων Η ϖερίϖτωση f = 2 Θεώρηµα εν υπάρχει αλγόριθµος που να επιλύει το πρόβληµα οµοφωνίας σε λιγότερο από τρεις γύρους σε ένα σύστηµα µε n 4 διεργασίες στο οποίο δύο διεργασίες µπορούν να αποτύχουν. Αϖόδειξη: Με εις άτοπο απαγωγή. Έστω ότι ο Α είναι ένας τέτοιος αλγόριθµος. Ακολουθούµε αντίστοιχα επιχειρήµατα µε την περίπτωση f=1. Ωστόσο: Τώρα έχουµε δύο γύρους!!! Τι ϖρόβληµα δηµιουργεί αυτό; Πως θα σκοτώσουµε ένα µήνυµα από την p 1 στην p j ; o θα αφαιρέσουµε τα µηνύµατα 2 ου γύρου της pj ένα-προς-ένα o στη συνέχεια θα αφαιρέσουµε το µήνυµα από την p1 στην pj o θα επαναφέρουµε τα µηνύµατα 2 ου γύρου της pj ένα-προς-ένα Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 10

11 Στο σηµείο αυτό µόνο η p0 είναι εσφαλµένη. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 11

12 Κάτω Φράγµα στον Αριθµό των Γύρων Η ϖερίϖτωση f = 2 Επαναλαµβάνω µε την p2, προκειµένου να αφαιρέσω το µήνυµα από την p0 στην p2. Στη συνέχεια, επαναλαµβάνω άλλη µια φορά µε την p2. Στη συνέχεια: o Αλλάζω την τιµή εισόδου της p0 σε 1. o Επιτελώ την αντίστροφη από την πιο πάνω διαδικασία για να επαναφέρω τα 2 µηνύµατα της p0 στο 1 ο γύρο Επαναλαµβάνω όλα τα παραπάνω για p1, p2 και p3 (στο ρόλο της p0)! Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 12

13 Κάτω Φράγµα στον Αριθµό των Γύρων Η γενική ϖερίϖτωση Θεώρηµα εν υπάρχει αλγόριθµος που να επιλύει το πρόβληµα οµοφωνίας σε λιγότερο από f+1 γύρους σε ένα σύστηµα µε n f+2 διεργασίες στο οποίο f διεργασίες µπορούν να αποτύχουν. Σκιαγράφηση Αϖόδειξης Οι κύριες ιδέες έχουν ήδη παρουσιαστεί! Η αλυσίδα εκτελέσεων που δηµιουργείται είναι πολύ µακρύτερη και χρησιµοποιεί f αποτυχίες διεργασιών. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 13

14 Εϖίτευξη Οµοφωνίας σε σύστηµα µε Βυζαντινές Αϖοτυχίες ιεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 14

15 Αλγόριθµοι Συλλογής Εκθετικά Μεγάλης Πληροφορίας (Exponential Information Gathering Algorithms) Βασική Ιδέα Οι διεργασίες στέλνουν και αναµεταδίδουν αρχικές τιµές για αρκετούς γύρους, καταγράφοντας τις τιµές που λαµβάνουν κατά µήκος διαφορετικών «µονοπατιών» επικοινωνίας (communication paths) σε µια δενδρική δοµή δεδοµένων που ονοµάζεται δένδρο EIG (Exponential Information Gathering). Τελικά, ακολουθούν έναν καθορισµένο (ίδιο για όλες) κανόνα για να αποφασίσουν ποια από τις τιµές που καταγράφονται στο δένδρο τους θα επιλέξουν ως έξοδο. οµή εδοµένων Κάθε διεργασία χειρίζεται ένα δένδρο EIG (Τ = Τ n,f ), κάθε κόµβος του οποίου έχει µια ετικέτα. Κάθε µονοπάτι του δένδρου αναπαριστά µια αλυσίδα από διεργασίες κατά µήκος των οποίων κάποια αρχική τιµή έχει µεταδοθεί. Το δένδρο έχει f+2 επίπεδα, 0,..., f+1. Κάθε κόµβος επιπέδου k έχει ακριβώς n-k παιδιά, όπου 0 k f. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 15

16 Αλγόριθµοι Συλλογής Εκθετικά Μεγάλης Πληροφορίας Ονοµασία Κόµβων Χρησιµοποιούνται αλφαριθµητικά που αποτελούν ακολουθίες από δείκτες διεργασιών. Η ετικέτα της ρίζας είναι το κενό αλφαριθµητικό λ. Κάθε κόµβος µε ετικέτα i 1...i k έχει ακριβώς n-k παιδιά µε ετικέτες i 1...i k j, όπου j {1,..., n} {i 1,..., i k }. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 16

17 Αλγόριθµοι Συλλογής Εκθετικά Μεγάλης Πληροφορίας Ο υπολογισµός διαρκεί για f+1 γύρους ακριβώς. Κατά τη διάρκεια του, κάθε διεργασία διανθίζει τους κόµβους του δένδρου της µε τιµές στο V ή µε το null. Όλοι οι κόµβοι σε επίπεδο k, έχουν διανθιστεί µέχρι και το τέλος του k-οστού γύρου. Τρόϖος ιάνθισης του δένδρου µιας διεργασίας pi Η ρίζα του δένδρου της διεργασίας p i διανθίζεται µε την τιµή εισόδου της. Σε κάθε γύρο, αν ο κόµβος µε ετικέτα i 1...i k, 1 k f+1, διανθιστεί µε κάποια τιµή v V, η i k είπε στην i στο γύρο k ότι η i k-1 είπε στην i k στο γύρο k-1 ότι... ότι η i 1 είπε στην i 2 στον γύρο 1 ότι η αρχική τιµή της i 1 είναι v. Αν ο κόµβος µε ετικέτα i 1...i k, διανθιστεί µε null η αλυσίδα επικοινωνίας i 1,..., i k, i έχει «σπάσει» λόγω κάποιας αποτυχίας. Υϖόθεση Κάθε διεργασία µπορεί να στέλνει µηνύµατα στον εαυτό της. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 17

18 Περιγραφή του Αλγορίθµου EIGStop διεργασία p i Για κάθε κόµβο µε ετικέτα x του δένδρου της, η p i διατηρεί µια µεταβλητή val(x) όπου αποθηκεύεται η τιµή µε την οποία διανθίζεται ο κόµβος. Αρχικά, val(λ) = αρχική τιµή p i. Γύρος 1: Η p i εκπέµπει την val(λ) σε όλες τις διεργασίες (καθώς και στον εαυτό της). Στη συνέχεια, η p i καταγράφει τις εισερχόµενες πληροφορίες: 1. Αν ένα µήνυµα µε τιµή v φθάσει στην p i από την p j val(j) = v. 2. Αν η p i δεν λάβει µήνυµα από την p j val(j) = null. Γύρος k, 2 k f+1: H p i εκπέµπει τα ζευγάρια (x,val(x)), για κάθε ετικέτα x ενός κόµβου στο επίπεδο k-1 του Τ, τ.ω. η ακολουθία που αναπαριστά η x δεν περιέχει τον δείκτη i. Στη συνέχεια, η p i καταγράφει τις εισερχόµενες πληροφορίες: 1. Αν xj είναι ετικέτα ενός κόµβου επιπέδου k στο Τ, όπου x είναι ένα αλφαριθµητικό που αναπαριστά µια ακολουθία από δείκτες διεργασιών και j είναι ένας ακόµη δείκτης διεργασίας, και η p i λάβει µήνυµα µε τιµή val(x) = v από την p j, τότε η p i θέτει την val(xj) = v. 2. Αν η p i δεν λάβει τέτοιο µήνυµα, τότε val(xj) = null. Μετά από f+1 γύρους έστω W i το σύνολο των τιµών που έχουν διανθίσει το δένδρο της p i. Η p i αποφασίζει την έξοδό της να είναι π.χ., το µικρότερο στοιχείο του W i. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 18

19 Περιγραφή του Αλγορίθµου EIGStop διεργασία p i Παράδειγµα n=3, f = 1, 2 γύροι, 3 επίπεδα στο δένδρο αρχικές τιµές των p 1, p 2, p 3, 0, 0, και 1, αντίστοιχα. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 19

20 Αλγόριθµος EIGStop Ορθότητα Λήµµα 1: Μετά από f+1 γύρους εκτέλεσης του EIGStop ισχύουν τα ακόλουθα: 1. val(λ) i = αρχική τιµή της p i 2. Αν xj είναι ετικέτα ενός κόµβου και val(xj) i = v, τότε val(x) j = v. 3. Αν xj είναι η ετικέτα ενός κόµβου και val(xj) i = null, τότε είτε val(x) j = null ή η p j αποτυγχάνει να στείλει µήνυµα στην p i στο γύρο x +1. Λήµµα 2: Μετά από f+1 γύρους εκτέλεσης του EIGStop ισχύουν τα ακόλουθα: 1. Αν y είναι η ετικέτα ενός κόµβου, val(y) i = v και xj είναι πρόθεµα της y, τότε val(x) j = v. 2. Αν η τιµή v εµφανίζεται στο W οποιασδήποτε διεργασίας, τότε v = val(λ) i, για κάποιο δείκτη i. 3. Αν η τιµή v εµφανίζεται στο W i, τότε υπάρχει κάποια ετικέτα y που δεν περιέχει το i τ.ω. v = val(y) i. Αϖόδειξη: Το 1 συνεπάγεται από Λήµµα 1 (µέρος 2, επαναληπτική εφαρµογή). Το 2 συνεπάγεται από 1. Για το 3, έστω ότι η v εµφανίζεται ως η val µόνο σε κόµβους µε ετικέτες που περιέχουν το i. Έστω y η µικρότερη ετικέτα µε v = val(y) i. Τότε η y έχει πρόθεµα της µορφής xi. Από 1 val(x) i = v, που αντιτίθεται στην επιλογή του y. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 20

21 Αλγόριθµος EIGStop Ορθότητα Λήµµα 3: Αν οι p i, p j είναι µη-εσφαλµένες διεργασίες, τότε W i = W j. 1. Αϖόδειξη: Έστω ότι i j. Αποδεικνύουµε ότι W i W j και W j W i. 2. W i W j Έστω v W i. Τότε το Λήµµα 2 συνεπάγεται ότι v = val(x)i, για κάποιο x που δεν περιέχει το i. i. x < f+1 xi f+1. Αφού η x δεν περιέχει το i, η (µη-εσφαλµένη) p i θα στείλει την τιµή v στην p j στο γύρο xi val(xi) j = v v W j. ii. x = f+1. Αφού υπάρχουν το πολύ f εσφαλµένες διεργασίες και όλοι οι δείκτες στην x είναι µοναδικοί, υπάρχει κάποια µη-εσφαλµένη διεργασία p l τ.ω. το l εµφανίζεται στην x η x έχει πρόθεµα της µορφής yl. Το Λήµµα 2 συνεπάγεται ότι val(y) l = v. Αφού η l είναι µη εσφαλµένη, µεταδίδει την v στην p j στο γύρο yl. val(yl) j = v v W j. 3. W j W i. Η απόδειξη είναι συµµετρική. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 21

22 Αλγόριθµος EIGStop Ορθότητα Θεώρηµα Ο αλγόριθµος EIGStop επιλύει το πρόβληµα οµοφωνίας σε σύστηµα στο οποίο διεργασίες µπορούν να καταρρέουν. Αϖόδειξη Ο τερµατισµός είναι προφανής. Επίσης, αν όλες οι αρχικές τιµές είναι v τότε κάθε W i περιέχει ακριβώς την τιµή v. Έτσι όλες έχουν έξοδο την v. Έστω ότι p i,p j είναι δύο διεργασίες που τερµατίζουν οι p i, p j είναι µη-εσφαλµένες. Το Λήµµα 3 συνεπάγεται ότι W i = W j. Άρα οι p i, p j αποφασίζουν την ίδια τιµή εξόδου. Πολυϖλοκότητες Χρονική ϖολυϖλοκότητα; Πολυϖλοκότητα εϖικοινωνίας; Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 22

23 Αλγόριθµοι για Βυζαντινές Αϖοτυχίες Ο Αλγόριθµος EIGByz Κώδικας για διεργασία p i Οι διεργασίες (υποθέτουµε n > 3f) µεταδίδουν τιµές για f+1 γύρους µε τον ίδιο τρόπο όπως στον αλγόριθµο EIGStop µε τις εξής διαφορές: Αν η p i λάβει µήνυµα από την p j που δεν έχει τη σωστή µορφή, το αγνοεί. Στο τέλος του γύρου f+1, η p i, ξεκινώντας από τα φύλλα, διανθίζει όλους τους κόµβους του δένδρου της µε µια ακόµη µεταβλητή newval, την οποία ενηµερώνει ως εξής: o Για κάθε κόµβο-φύλλο µε ετικέτα x, newval(x) = val(x). o Για κάθε εσωτερικό κόµβο µε ετικέτα x, η newval(x) παίρνει την τιµή που έχει η µεταβλητή newval σε µια αυστηρή πλειοψηφία των παιδιών της x (δηλαδή παίνρει µια τιµή v, τ.ω., newval(xj) = v για την πλειοψηφία των κόµβων µε ετικέτες της µορφής xj, αν φυσικά υπάρχει τέτοια πλειοψηφία). Αν τέτοια πλειοψηφία δεν υπάρχει, newval(x) = null. Η τιµή εξόδου της p i είναι η newval(λ). Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 23

24 Ο Αλγόριθµος EIGByz Ορθότητα Λήµµα 1: Μετά από f+1 γύρους εκτέλεσης του αλγορίθµου EIGByz ισχύει το εξής. Αν p i, p j και p k είναι µη-εσφαλµένες διεργασίες, µε i j, τότε val(x) i = val(x) j = val(y) k για κάθε ετικέτα x = yk. Απόδειξη: Aφού η k είναι µη-εσφαλµένη στέλνει το ίδιο µήνυµα µε την τιµή val(y) k και στην p i και στην p j στο γύρο x. Λήµµα 2: Μετά από f+1 γύρους εκτέλεσης του αλγορίθµου EIGByz ισχύει το εξής. Έστω ότι x = yk είναι µια ετικέτα τ.ω. η p k είναι µη-εσφαλµένη διεργασία. Τότε, newval(x) i = val(x) i = val(y) k για όλες τις µη-εσφαλµένες διεργασίες i. Αϖόδειξη: Με επαγωγή στο µήκος των ετικετών του δένδρου, ξεκινώντας από τα φύλλα. Βάση Εϖαγωγής: Έστω x η ετικέτα ενός κόµβου-φύλλου ( x = f+1). Λόγω του τρόπου ανάθεσης τιµών στις newval κόµβων-φύλλων newval(x) i = val(x) i Λήµµα 1 όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες p i έχουν την ίδια val(x) i = val(y) k. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 24

25 Ο Αλγόριθµος EIGByz Ορθότητα Εϖαγωγική Υϖόθεση: Έστω ότι 1 r f και έστω ότι ο ισχυρισµός ισχύει για όλες τις ετικέτες x = y k τ.ω. x = r+1 (και η p k είναι µη εσφαλµένη διεργασία). Εϖαγωγικό Βήµα: Θα αποδειχθεί ότι ο ισχυρισµός ισχύει για όλες τις ετικέτες x = yk µε x =r (για τις οποίες ισχύει ότι η p k είναι µη-εσφαλµένη διεργασία). Λήµµα 1 όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες p i έχουν val(x) i = val(y) k = v Κάθε µη-εσφαλµένη διεργασία j εκπέµπει την ίδια τιµή v για την ετικέτα x στον γύρο r+1 val(xj) i = v για όλες τις µη-εσφαλµένες διεργασίες p i και p j. Από επαγωγική υπόθεση newval(xj) i = val(xj) i = v, για όλες τις µη-εσφαλµένες p i και p j. Η πλειοψηφία των ετικετών των παιδιών του κόµβου x τελειώνει σε δείκτες µη-εσφαλµένων διεργασιών: # παιδιών x = n-r n-f > 3f f = 2f η πλειοψηφία είναι εγγυηµένη από το ότι το πολύ f από τα παιδιά έχουν ετικέτες των οποίων οι τελευταίοι δείκτες αντιστοιχούν σε εσφαλµένες διεργασίες. για κάθε µη-εσφαλµένη διεργασία p i, newval(xj) i = v για την πλειοψηφία των παιδιών xj του x. newval(x) i = v. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 25

26 Ο Αλγόριθµος EIGByz Ορθότητα Λήµµα 3: Αν όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες έχουν την ίδια τιµή εισόδου v, τότε η v είναι η µοναδική τιµή εξόδου για κάθε µη-εσφαλµένη διεργασία. Αϖόδειξη: Όλες οι µη-εσφαλµένες διεργασίες εκπέµπουν v στον 1 ο γύρο val(j) i = v για όλες τις µη-εσφαλµένες διεργασίες p i και p j. Λήµµα 2 newval(j) i = val(j) i = v. Aπό τον κανόνα πλειοψηφίας: newval(λ) i = v. Ορισµοί Ένας κόµβος µε ετικέτα x ονοµάζεται κοινός αν για κάθε µη-εσφαλµένη διεργασία p i, το newval(x) i έχει την ίδια τιµή. Ένα υποδένδρο λέµε ότι έχει ένα κοινό µέτωϖο αν υπάρχει ένας κοινός κόµβος σε κάθε µονοπάτι από τη ρίζα του υποδένδρου προς τα φύλλα. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 26

27 Ο Αλγόριθµος EIGByz Ορθότητα Λήµµα 4: Έστω ένας οποιοσδήποτε κόµβος µε ετικέτα x. Αν υπάρχει ένα κοινό µέτωπο για το υποδένδρο µε ρίζα τον x, τότε ο x είναι κοινός. Αϖόδειξη: Με επαγωγή στο µήκος των ετικετών του δένδρου, ξεκινώντας από τα φύλλα. Βάση Εϖαγωγής: O x είναι φύλλο. Αν υπάρχει κοινό µέτωπο για το υποδένδρο µε ρίζα τον x, αυτό θα αποτελείται µόνο από τον x. Έτσι, ο x είναι κοινός όπως απαιτείται. Εϖαγωγική Υϖόθεση: Έστω ότι 1 r f και έστω ότι ο ισχυρισµός ισχύει για κάθε κόµβο x τ.ω. x = r+1. Εϖαγωγικό Βήµα: Θα αποδειχθεί ότι ο ισχυρισµός ισχύει για όλες τις ετικέτες x τ.ω. x =r. Έστω ότι υπάρχει ένα κοινό µέτωπο του υποδένδρου µε ρίζα τον x. Αν ο x ανήκει σε αυτό, τότε είναι κοινός, όπως απαιτείται. Ας υποθέσουµε ότι αυτό δεν ισχύει. Τότε, για κάθε παιδί xl του x, υπάρχει κοινό µέτωπο για το υποδένδρο µε ρίζα τον xl. Από επαγωγική υπόθεση ο xl είναι κοινός. Άρα, όλες οι διεργασίες έχουν το ίδιο newval(xl). Αυτό ισχύει για κάθε ένα από τα παιδιά του x. Άρα, το newval(x) είναι το ίδιο για όλες τις διεργασίες και εποµένως ο x είναι κοινός. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 27

28 Ο Αλγόριθµος EIGByz Ορθότητα Λήµµα 5: Μετά από f+1 γύρους εκτέλεσης του αλγορίθµου EIGByz, ο κόµβος ρίζα λ του δένδρου κάθε µη-εσφαλµένης διεργασίας είναι κοινός. Αϖόδειξη: Η ετικέτα οποιουδήποτε φύλλου αντιστοιχεί σε µια ακολουθία από f+1 διαφορετικούς δείκτες διεργασιών. Μόνο f από αυτούς µπορούν να αντιστοιχούν σε εσφαλµένες διεργασίες. Η ετικέτα ενός από τους κόµβους του µονοπατιού από τη ρίζα στο φύλλο τελειώνει µε τον δείκτη αυτής της µη-εσφαλµένης διεργασίας. Ο κόµβος αυτός είναι κοινός. Άρα, όλο το δένδρο έχει ένα κοινό µέτωπο. Από Λήµµα 4, η ρίζα είναι επίσης κοινός κόµβος. Θεώρηµα: Ο αλγόριθµος EIGByz επιλύει το πρόβληµα της Βυζαντινής οµοφωνίας για n διεργασίες µε f αποτυχίες αν n > 3f. Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 28

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύγχρονο σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένος Υπολογισµός 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες κατάρρευσης διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 17: Συμφωνία με Βυζαντινά Σφάλματα ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Βυζαντινά Σφάλματα Τι θα δούμε σήμερα Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Συμφωνίας με Βυζαντινά Σφάλματα: n > 3f Αλγόριθμος Συμφωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιώδεις Σχέσεις και Χρονισµός Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Η Σχέση Happens-Before (Συµβαίνει-ϖριν) Οι εκτελέσεις, ως ακολουθίες γεγονότων, καθορίζουν µια καθολική διάταξη σε αυτά. Ωστόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση με σφάλματα διεργασιών Κατανεμημένα Συστήματα Ι 5η Διάλεξη 10 Νοεμβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 5η Διάλεξη 1 Συναίνεση με σφάλματα διεργασιών Προηγούμενη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται ως

Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται ως Αµοιβαίος Αϖοκλεισµός Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα? Κόκκινα-Μαύρα ένδρα (Red-Black Trees) Ένα κόκκινο-µαύρο δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης στο οποίο οι κόµβοι µπορούν να χαρακτηρίζονται από ένα εκ των δύο χρωµάτων: µαύρο-κόκκινο. Το χρώµα της

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα 13 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη 1 Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα 2 Το πρόβλημα εκλογής αρχηγού Ο αλγόριθμος LCR Ο αλγόριθμος HS 1 Σύγχρονα Κατανεμημένα

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιώδεις Σχέσεις και Χρονισµός. Παναγιώτα Φατούρου Αρχές Κατανεµηµένου Υπολογισµού

Αιτιώδεις Σχέσεις και Χρονισµός. Παναγιώτα Φατούρου Αρχές Κατανεµηµένου Υπολογισµού Αιτιώδεις Σχέσεις και Χρονισµός Η Σχέση Happens-Before (Συµβαίνει-πριν) Οι εκτελέσεις, ως ακολουθίες γεγονότων, καθορίζουν µια καθολική διάταξη σε αυτά. Ωστόσο είναι δυνατό δύο υπολογιστικά γεγονότα από

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγµα: Προσοµοίωση µιας ουράς FIFO Οι λειτουργίες που υποστηρίζονται από µια ουρά FIFO είναι: [enq(q,x), ack(q)] [deq(q), return(q,x)] όπου x είν

Παράδειγµα: Προσοµοίωση µιας ουράς FIFO Οι λειτουργίες που υποστηρίζονται από µια ουρά FIFO είναι: [enq(q,x), ack(q)] [deq(q), return(q,x)] όπου x είν Wait-free προσοµοιώσεις αυθαίρετων αντικειµένων Έχουµε δει ότι το πρόβληµα της οµοφωνίας δεν µπορεί να επιλυθεί µε χρήση µόνο read/write καταχωρητών. Πολλοί µοντέρνοι επεξεργαστές παρέχουν επιπρόσθετα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 16: Πρόβλημα Συμφωνίας. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 16: Πρόβλημα Συμφωνίας. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 16: Πρόβλημα Συμφωνίας ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Ορισμός του προβλήματος Συμφωνίας Αλγόριθμος Συμφωνίας με Σφάλματα Κατάρρευσης ΕΠΛ432: Κατανεµηµένοι Αλγόριθµοι 1 Πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Consensus and related problems

Consensus and related problems Consensus and related s Τι θα δούµε ΟΜΑ Α: Ιωάννα Ζέλιου Α.Μ.: 55 Μελισσόβας Σπύρος Α.Μ.: 21 Παπαδόπουλος Φίλιππος Α.Μ.: 60 Consensus Byzantine generals Interactive consistency Agreement Problems Imposibility

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Σύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση Συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Αναδροµή. Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής

Αναδροµή. Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής Αναδροµή Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής 1 Αναδροµή Βασική έννοια στα Μαθηµατικά και στην Πληροφορική.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο Σύγχρονου ικτύου. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Μοντέλο Σύγχρονου ικτύου. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Μοντέλο Σύγχρονου ικτύου Μία συλλογή υπολογιστικών µονάδων ή επεξεργαστές κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εκλογήαρχηγού. Εισαγωγή Ισχυρά συνδεδεµένος γράφος ακτύλιος µίας κατεύθυνσης Τοπολογία δένδρου. Κατανεµηµένα Συστήµατα 06-1

Εκλογήαρχηγού. Εισαγωγή Ισχυρά συνδεδεµένος γράφος ακτύλιος µίας κατεύθυνσης Τοπολογία δένδρου. Κατανεµηµένα Συστήµατα 06-1 Εκλογήαρχηγού Εισαγωγή Ισχυρά συνδεδεµένος γράφος ακτύλιος µίας κατεύθυνσης Τοπολογία δένδρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 06- Εισαγωγή Πρόβληµα: επιλογή µίας διεργασίας από το σύνολο εν αρκεί να αυτοανακηρυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Ενότητα 9 (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή ισχύει ότι S i S j =, για κάθε i,j µε i j και S 1 S k = U. Λειτουργίες q MakeSet(X): επιστρέφει

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 1: Εισαγωγή στον Κατανεμημένο Υπολογισμό ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Τι είναι ένα Κατανεμημένο Σύστημα; Επικοινωνία, Χρονισμός, Σφάλματα Μοντέλο Ανταλλαγής Μηνυμάτων 1

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 18: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 8: Πρόβλημα Βυζαντινών Στρατηγών ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Ορισμός Προβλήματος Τι θα δούμε σήμερα Συνθήκες Συμφωνίας κάτω από Βυζαντινό Στρατηγό Πιθανοτικοί αλγόριθμοι επίλυσης Βυζαντινής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Μοντέλο Βασικοί Αλγόριθµοι Γράφων Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα να επικοινωνούν µεταξύ τους. Με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται ως

Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται ως Αµοιβαίος Αϖοκλεισµός Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί υϖάρχει τέτοια καθολική κατάσταση;

Γιατί υϖάρχει τέτοια καθολική κατάσταση; ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΩΝ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ/ΕΓΓΡΑΦΗΣ Καταχωρητές που µοιάζουν πιο πολύπλοκοι µπορούν να υλοποιηθούν από απλούστερους καταχωρητές. Multi-valued from Binary Βασικό Αντικείµενο: δυαδικός καταχωρητής ο

Διαβάστε περισσότερα

Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται ως

Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται ως Αµοιβαίος Αϖοκλεισµός Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Ασύγχρονο Σύστηµα ιαµοιραζόµενης Μνήµης Το σύστηµα περιέχει n διεργασίες p 0,, p n-1 και m καταχωρητές R 0,, R m-1. Κάθε διεργασία µοντελοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε.

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Ψηφιακά Δένδρα Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών τα οποία είναι ακολουθίες συμβάλλων από ένα πεπερασμένο αλφάβητο Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Αµοιβαίοςαποκλεισµός. Κατανεµηµένα Συστήµατα 03-1

Αµοιβαίοςαποκλεισµός. Κατανεµηµένα Συστήµατα 03-1 Αµοιβαίοςαποκλεισµός Εισαγωγή Συγκεντρωτική προσέγγιση Κατανεµηµένη προσέγγιση Αλγόριθµος Lamport Αλγόριθµος Ricart-Agrawala Προσέγγιση µεταβίβασης σκυτάλης Αλγόριθµος LeLann Αλγόριθµος Raymond Αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Εκλογής Προέδρου. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 5: Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Εκλογής Προέδρου. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 5: Κάτω Φράγμα για Αλγόριθμους Εκλογής Προέδρου ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Κάτω Φράγμα στον Αριθμό Μηνυμάτων Ένας οποιοσδήποτε αλγόριθμος εκλογής προέδρου Α ο οποίος 1. Δουλεύει σε ασύγχρονο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου. Επιλογή i-οστoύ στοιχείου : Εύρεση στοιχείου με το i-οστό μικρότερο κλειδί

Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου. Επιλογή i-οστoύ στοιχείου : Εύρεση στοιχείου με το i-οστό μικρότερο κλειδί Δομές Αναζήτησης Χειριζόμαστε ένα σύνολο στοιχείων κλειδί από ολικά διατεταγμένο σύνολο όπου το κάθε στοιχείο έχει ένα Θέλουμε να υποστηρίξουμε δύο βασικές λειτουργίες: Εισαγωγή ενός νέου στοιχείου με

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυα Εξισορόϖησης κατάσταση εξισορροϖητή (balancer state): συλλογή από διακριτικά (tokens) στους συνδέσµους εισόδου και εξόδου του µετάβαση εξισορροϖ

ίκτυα Εξισορόϖησης κατάσταση εξισορροϖητή (balancer state): συλλογή από διακριτικά (tokens) στους συνδέσµους εισόδου και εξόδου του µετάβαση εξισορροϖ ίκτυα Μέτρησης Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένος Υπολογισµός 1 ίκτυα Εξισορόϖησης κατάσταση εξισορροϖητή (balancer state): συλλογή από διακριτικά (tokens) στους συνδέσµους εισόδου και εξόδου του µετάβαση

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Σύνοψη 3 ης ιάλεξης

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Σύνοψη 3 ης ιάλεξης Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης Σύγχρονα Κατανεµηµένα Συστήµατα Μοντελοποίηση Συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοχήβλαβών. Κατανεµηµένα Συστήµατα 19-1

Ανοχήβλαβών. Κατανεµηµένα Συστήµατα 19-1 Ανοχήβλαβών Εισαγωγή Πλεονασµός Ενεργή παραγωγή αντιγράφων Παθητική παραγωγή αντιγράφων Σύγχρονο πρωτόκολλο Ασύγχρονο πρωτόκολλο Επανόρθωση Ενεργητική ή παθητική; Κατανεµηµένη συµφωνία Πρόβληµα των δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΕΞΙΚΩΝ ΜΕ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΔΕΝΔΡΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΕΞΙΚΩΝ ΜΕ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΔΕΝΔΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΕΞΙΚΩΝ ΜΕ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΔΕΝΔΡΑ ΗΥ24 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ισοζυγισµένα Δένδρα Χρονική Πολυπλοκότητα αναζήτησης σε δοµές που έχουν ήδη διδάχθει: q Στατική Μη-Ταξινοµηµένη Λίστα -> Ο(n),

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα. Ενότητα # 2: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Κατανεμημένα Συστήματα. Ενότητα # 2: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Κατανεμημένα Συστήματα Ενότητα # 2: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων

ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων Μαρία Ι. Ανδρέου ΗΜΥ417, ΗΜΥ 663 Κατανεµηµένα Συστήµατα Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007 Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα. 1st International Olympiad in Informatics Held in Pravetz, Bulgaria May 16-19, 1989.

Προβλήµατα. 1st International Olympiad in Informatics Held in Pravetz, Bulgaria May 16-19, 1989. 1989-1 η ιεθνής Ολυµπιάδα Πληροφορικής Προβλήµατα 1st International Olympiad in Informatics Held in Pravetz, Bulgaria May 16-19, 1989. Έξι Προβλήµατα Παρουσιάστηκαν στη διενέργεια της ΙΟΙ 89 ***PROBLEM

Διαβάστε περισσότερα

Κινητά και Διάχυτα Συστήματα. Ενότητα # 8: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Κινητά και Διάχυτα Συστήματα. Ενότητα # 8: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Κινητά και Διάχυτα Συστήματα Ενότητα # 8: Εκλογή αρχηγού Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις. Απάντηση. Απάντηση

Απαντήσεις. Απάντηση. Απάντηση 6 η σειρά ασκήσεων Άλκης Γεωργόπουλος Α.Μ. 39 Αναστάσιος Κοντογιώργης Α.Μ. 43 Άσκηση 1. Απαντήσεις Η αλλαγή ενός ρολογιού προς τα πίσω µπορεί να προκαλέσει ανεπιθύµητη συµπεριφορά σε κάποια προγράµµατα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός

Θεώρηµα: Z ( Απόδειξη: Περ. #1: Περ. #2: *1, *2: αποδεικνύονται εύκολα, διερευνώντας τις περιπτώσεις ο k να είναι άρτιος ή περιττός HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Την προηγούµενη φορά Τρόποι απόδειξης Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter,

Διαβάστε περισσότερα

Δομές δεδομένων. Ενότητα 5η: Υλοποίηση Λεξικών με Ισοζυγισμένα Δένδρα Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Δομές δεδομένων. Ενότητα 5η: Υλοποίηση Λεξικών με Ισοζυγισμένα Δένδρα Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 5η: Υλοποίηση Λεξικών με Ισοζυγισμένα Δένδρα Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΕΞΙΚΩΝ ΜΕ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΔΕΝΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 07/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα να επικοινωνούν µεταξύ τους.

Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα να επικοινωνούν µεταξύ τους. Εισαγωγή Μοντέλο Βασικοί Αλγόριθµοι Γράφων Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένος Υπολογισµός 1 Κατανεµηµένα Συστήµατα Ένα κατανεµηµένο σύστηµα είναι µια συλλογή από αυτόνοµες διεργασίες οι οποίες έχουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΟΜΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ Ένα ατοµικό αντικείµενο κάποιου τύπου µοιάζει µε µια κοινή µεταβλητή αυτού του τύπου. Ένα ατοµικό αντικείµενο βρίσκεται σε µια κατ

ΑΤΟΜΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ Ένα ατοµικό αντικείµενο κάποιου τύπου µοιάζει µε µια κοινή µεταβλητή αυτού του τύπου. Ένα ατοµικό αντικείµενο βρίσκεται σε µια κατ Ατοµικά Αντικείµενα ΑΤΟΜΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ Ένα ατοµικό αντικείµενο κάποιου τύπου µοιάζει µε µια κοινή µεταβλητή αυτού του τύπου. Ένα ατοµικό αντικείµενο βρίσκεται σε µια κατάσταση και υποστηρίζει ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Δομές δεδομένων. Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Δομές δεδομένων. Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Ενότητα 8: Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητα 8 Ξένα Σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)

Κρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Εκλογή Προέδρου σε Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 4: Εκλογή Προέδρου σε Δακτύλιους. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 4: Εκλογή Προέδρου σε Δακτύλιους ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Τι θα δούμε σήμερα Δακτύλιοι Το πρόβλημα της Εκλογής Προέδρου Εκλογή Προέδρου σε Ανώνυμους Δακτύλιους Ασύγχρονος Αλγόριθμος με

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς

Μαθηµατική Επαγωγή. Ορέστης Τελέλης. Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μαθηµατική Επαγωγή Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 17 Υπενθύµιση: Ακολουθίες Ακολουθία είναι συνάρτηση από

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Υποστήριξη Φοιτητών

Προηγούµενο Μάθηµα. Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων. Υποστήριξη Φοιτητών Προηγούµενο Μάθηµα Κατανεµηµένα Συστήµατα Ι Μάθηµα Βασικής Επιλογής, Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Ιωάννης Χατζηγιαννάκης ευτέρα, 24 Οκτωβρίου, 2011 Αίθουσα Β3 Υλικό µαθήµατος Σηµειώσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:

Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε: Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης 3-4 Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ενότητες 3 & 4: ένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Γράψτε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη

Διαβάστε περισσότερα

Πρωτόκολλα Ελέγχου προσπέλασης μέσου

Πρωτόκολλα Ελέγχου προσπέλασης μέσου Πρωτόκολλα Ελέγχου προσπέλασης μέσου Πρόβλημα: ταυτόχρονη μετάδοση δύο ή περισσότερων κόμβων στο ίδιο κανάλι (μήκος κύματος). Ένα τέτοιο γεγονός ονομάζεται σύγκρουση. Ένα πρωτόκολλο MAC έχει συνήθως ως

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητες 3 & 4: Δένδρα, Σύνολα & Λεξικά Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Γράψτε μία αναδρομική συνάρτηση που θα παίρνει ως παράμετρο ένα δείκτη στη ρίζα ενός δυαδικού δένδρου και θα επιστρέφει το βαθμό του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) :

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος και Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Ακμή που περιέχεται σε κάθε μονοπάτι από το στο s a b c d e f g h i j k l Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 23: οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Ενδιάµεση Εξέταση Ηµεροµηνία : ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 2008 ιάρκεια : 2.00-4.00 ιδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοµατεπώνυµο: ΣΚΕΛΕΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιοκτησία Αντικειµένου

Ιδιοκτησία Αντικειµένου Software Transactional Memory H STM υποστηρίζει την εκτέλεση δοσοληψιών από τις διεργασίες, οι οποίες περιέχουν λειτουργίες που ο χρήστης θέλει να εκτελέσει στα διαµοιραζόµενα αντικείµενα. H STM εγγυάται

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεµηµένα Αντικείµενα 16-1

Κατανεµηµένα Αντικείµενα 16-1 Κατανεµηµένααντικείµενα Αποµακρυσµένα αντικείµενα Αναφορές προς αντικείµενα Εξυπηρετητές αντικειµένων Εκκαθάριση αντικειµένων Μετρητές αναφορών Λίστες αναφορών Αποκοµιδή απορριµµάτων Κατανεµηµένα Αντικείµενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 17-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Την προηγούμενη φορά αναφέραμε (και αποδείξαμε στην περίπτωση n = 2) το θεώρημα που λέει ότι, αν n N, n 2, τότε για κάθε y 0 υπάρχει μοναδική μηαρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 14: Ατομική ΚΚΜ Εγγραφής/Ανάγνωσης στην Παρουσία Σφαλμάτων. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι

Διάλεξη 14: Ατομική ΚΚΜ Εγγραφής/Ανάγνωσης στην Παρουσία Σφαλμάτων. ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Διάλεξη 14: Ατομική ΚΚΜ Εγγραφής/Ανάγνωσης στην Παρουσία Σφαλμάτων ΕΠΛ 432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι Σφάλματα Κατάρρευσης Τι θα δούμε σήμερα Αλγόριθμος SWMR (ΜΕΠΑ) Ατομικής ΚΚΜ στην παρουσία σφαλμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μέχρι στιγμής εξετάσθηκαν μέθοδοι ταξινόμησης µε πολυπλοκότητα της τάξης Θ ) ή Θlog ). Τι εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Τη φυσική (MAC) διεύθυνση που δίνει ο κατασκευαστής του δικτυακού υλικού στις συσκευές του (π.χ. στις κάρτες δικτύου). Η περιοχή διευθύνσεων που

Τη φυσική (MAC) διεύθυνση που δίνει ο κατασκευαστής του δικτυακού υλικού στις συσκευές του (π.χ. στις κάρτες δικτύου). Η περιοχή διευθύνσεων που 7.7 Πρωτόκολλο ARP 1 ύο είδη διευθύνσεων: MAC - IP Τη φυσική (MAC) διεύθυνση που δίνει ο κατασκευαστής του δικτυακού υλικού στις συσκευές του (π.χ. στις κάρτες δικτύου). Η περιοχή διευθύνσεων που µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα με Java. Ενότητα # 4: Αμοιβαίος αποκλεισμός Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Κατανεμημένα Συστήματα με Java. Ενότητα # 4: Αμοιβαίος αποκλεισμός Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Κατανεμημένα Συστήματα με Java Ενότητα # 4: Αμοιβαίος αποκλεισμός Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ Γ Τάξη Ε.Π.Α.Λ.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ Γ Τάξη Ε.Π.Α.Λ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΙ 2016 Γ Τάξη Ε.Π.Α.Λ. ΘΕΜΑ Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα το γράµµα Σ, αν είναι σωστή, ή το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα