SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD
|
|
|
- Αλκιππη Γιάγκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan Ivan Kovačević
2 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: NAPREZANJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU Osijek, 15. rujan Ivan Kovačević
3 SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZNANSTVENO PODRUČJE: ZNANSTVENO POLJE: ZNANSTVENA GRANA: TEMA: PRISTUPNIK: NAZIV STUDIJA: TEHNIČKE ZNANOSTI TEMELJNE TEHNIČKE ZNANOSTI TEHNIČKA MEHANIKA NAPREZANJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ Tekst zadatka U radu treba analizirati utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa. Štap treba biti konstantne krutosti, dvoosno ili jednoosno simetričnog poprečnog presjeka. U uvodu treba opisati problem, u teoretskom dijelu dati osnovnu analizu i prikaz izraza za izračun zadanog problema. Riješiti zadane primjere. Rad treba sadržavati sažetak na izvornom jeziku. Rad treba predati u 3 primjerka (original + 2 kopije), spiralno uvezana u A4 formatu i cjelovitu elektroničku datoteku na CD-u. Osijek, 15. lipanj Mentor/ica: Predsjednik/ica Odbora za završne i diplomske ispite: izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak-Klečina izv.prof.dr.sc. Mirjana Bošnjak-Klečina
4 SADRŽAJ 1. SAŽETAK UVOD POJAM SAVIJANJA ČISTO SAVIJANJE SAVIJANJE SILAMA RIJEŠENI PRIMJERI TABLIČNI PRIKAZ NAPREZANJA ZAKLJUČAK LITERATURA
5 1. SAŽETAK Tema ovog rada je utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa koji je konstantne krutosti. Obuhvaćeni su jednoosno i dvoosno simetrični poprečni presjeci. U teoretskom dijelu su prikazane osnovne analize i izvodi za izračun zadanog problema. Riješeno je nekoliko primjera u kojima su izračunata normalna i posmična naprezanja u zadanim točkama poprečnog presjeka. Ključne riječi: moment savijanja, poprečna sila, normalno naprezanje, posmično naprezanje. 2
6 2. UVOD Savijanje nastaje zbog okomitog djelovanja opterećenja na uzdužnu os nosača. Pri savijanju se ravni štapovi zakrivljuju, a zakrivljeni štapovi mijenjaju svoju zakrivljenost. Razlikuje se čisto savijanje i savijanje silama. Kod čistog savijanja, sve su komponente unutrašnjih sila jednake nuli osim momenta savijanja. Kod savijanja silama, pojavljuje se još i poprečna sila zbog koje nastaje smicanje. Prilikom djelovanja opterećenja na nosač, unutar njega dolazi do naprezanja. Naprezanje je unutarnja sila koja je raspodijeljena po jedinici površine nekog čvrstog tijela koja se javlja kao reakcija na djelovanje vanjskih sila ili promjene temperature. Razlikujemo normalna i posmična naprezanja. Normalnih naprezanja nema u neutralnoj osi, dok se maksimalna normalna naprezanja, koja nastaju uslijed djelovanja momenta savijanja, nalaze u točki koja je najudaljenija od neutralne osi. Normalna naprezanja se mijenjaju linearno po visini poprečnog presjeka. Raspodjela normalnih naprezanja ovisi o obliku poprečnog presjeka. Posmična naprezanja, koja nastaju zbog djelovanja poprečne sile, maksimalnu vrijednost imaju u neutralnoj osi.raspodjela posmičnih naprezanja ovisi o obliku poprečnog presjeka. U praktičnom dijelu su u zadanim nosačima određeni dijagrami unutarnjih sila i zatim je proveden izračun normalnih i posmičnih naprezanja na zadanim poprečnim presjecima te je tablično prikazan raspored naprezanja u zadanim točkama. 3
![3. POJAM SAVIJANJA Slika 3.1. Element opterećen momentima savijanja [6] Na (slici 3.1.) se nalazi element kojem se uzdužna os iskrivljuje pod djelovanjem opterećenja, odnosno mijenja se zakrivljenost osi elementa.](/docs-images/83/88216206/images/7-1.jpg "Zbog te zakrivljenosti se u unutarnjem presjeku elementa, pored momenta savijanja, pojavljuje još i poprečna sila [1].")
7 3. POJAM SAVIJANJA Slika 3.1. Element opterećen momentima savijanja [6] Na (slici 3.1.) se nalazi element kojem se uzdužna os iskrivljuje pod djelovanjem opterećenja, odnosno mijenja se zakrivljenost osi elementa. Zbog te zakrivljenosti se u unutarnjem presjeku elementa, pored momenta savijanja, pojavljuje još i poprečna sila [1]. Razlikujemo tri vrste savijanja: čisto savijanje u poprečnom presjeku elementa se pojavljuje samo moment savijanja savijanje silama u poprečnom presjeku elemnta se pojavljuje i poprečna sila pored momenta savijanja koso savijanje nastaje kada vektor rezultirajućeg momenta savijanja vanjskih sila ne djeluje samo oko jedne od glavnih osi tromosti poprečnog presjeka elementa. 4
8 4. ČISTO SAVIJANJE Slika 4.1. Čisto savijanje [4] Za čisto savijanje vrijede sljedeće pretpostavke: a) Bernoullieva hipoteza tj. hipoteza ravnih presjeka b) Hookeov zakon koji kaže da su normalna naprezanja proporcionalna deformacijama do granice proporcionalnosti c) Homogenost i izotropnost materijala d) Uzajamno djelovanje sila ne postoji među uzdužnim vlaknima Uzdužna vlakna na konkavnoj strani štapa se skraćuju, a na konveksnoj se strani produljuju (slika 4.1). Sloj čija se vlakna savijaju i zadržavaju svoju prvobitnu duljinu se zove neutralna os. Položaj neutralne osi je određen točkama u kojima je σ x = 0. Te točke dijele poprečni presjek na dva dijela: vlačni i tlačni pojas. Po visini presjeka deformacije se mijenjaju linerano, a po širini presjeka su konstantne. 5
9 Slika 4.2. Presjek štapa [1] Za promatrani štap vrijede sljedeći uvjeti ravnoteže: F x =0; M x =0; F y =0; M x =0; F z =0; M Z =0; Slika 4.3. Element izložen savijanju [1] Oblik elementa do deformacije i nakon nje je prikazan na slici 4.3. Uočljivo je da relativno produljenje vlakna AB na udaljenosti z od neutralnog sloja iznosi: 6
10 Normalna naprezanja u smjeru okomito na os iznose nula. Vlakno AB je u stanju vlačnog naprezanja. Prema Hookeu vrijedi: Uvrštavanjem navedenog izraza u prije dobivene jednadžbe dobivamo: z da je statički moment presjeka s obzirom na os y. Budući da je jednak nuli, znači da neutralna os y prolazi kroz težište poprečnog presjeka i tada vrijedi: Centrifugalni moment z yda je jednak nuli, što znači da moment djeluje u ravnini koja prolazi kroz jednu od glavnih osi. 7
11 1 ρ predstavlja zakrivljenost neutralnog sloja štapa koji se naziva progibna linija štapa ili elastična linija. Kombinirajući izraze: Dobijemo konačni izraz za normalna naprezanja koja nastaju uslijed djelovanja momenta savijanja u svakoj točki poprečnog presjeka: gdje je: M moment savijanja Iy moment tromosti presjeka z udaljenost točke od težišta Posmičnih naprezanja nema jer se u poprečnom presjeku ne javlja poprečna sila (T=0). Proračun čvrstoće se provodi tako da se maksimalno normalno naprezanje usporedi sa dopuštenim naprezanjem. Uvjet glasi da dopušteno naprezanje mora biti veće od maksimalnog normalnog: 8
12 Primjer raspodjele normalnih naprezanja po simetričnom jednoosnom (slika 4.4.) i dvoosnom (slika 4.5.) poprečnom presjeku: Slika 4.4. Izrazi za proračun naprezanja kod jednoosno simetričnog poprečnog presjeka: W y uk =W y g +W y d σ g max = % &'( + σ d max = % &'( ) * ), * Slika 4.5. Izrazi za proračun naprezanja kod dvoosno simetričnog poprečnog presjeka: σ max = % &'( - * x z z=. / σ max = % &'( ) * W y g =W y d 9
13 5. SAVIJANJE SILAMA Promatramo ravni štap konstantne krutosti koji ima najmanje jednu os simetrije (slika 5.1.) Slika 5.1. Presjek štapa [1] Kod savijanja silama, vrijede sljedeće pretpostavke: a) između vlakana ne postoje unutarnje sile u pravcu normala na vlakna b) progibi su minimalni c) vrijedi linearni zakon za normalna naprezanja po visini poprečnog presjeka uslijed djelovanja momenta savijanja. Budući da uz moment savijanja djeluje jos i poprečna sila, pojavljuju se i posmična naprezanja τ xy i τ xz. Vrijede sljedeći uvjeti ravnoteže (slika 5.2): Slika 5.2. Presjek elementa [1] 10
14 F x =0; M x =0; F y =0; M x =0; F z =0; M Z =0; Izraz za naprezanje (σ x = % x z) dobiveni za čisto savijanje u potpunosti vrijede i u slučaju savijanja -0 silama. Ako se poprečna sila mijenja uzduž promatranog dijela štapa (slika 5.2.), iskrivljenje poprečnih presjeka na tom dijelu štapa će biti različito. Produljenje uzdužnih vlakana ovisi o iskrivljenju poprečnih presjeka. Kako u susjednim presjecima djeluju poprečne sile različite veličine, u tim presjecima će posmična naprezanja biti različita. Zbog te razlike posmičnih naprezanja, pojavljuju se normalna naprezanja koja izražavaju međusobno djelovanje uzdužnih vlakana. [1] Slika 5.3. Izdvojeni element štapa [1] Na izdvojenom elementu štapa (slika 5.3.) djeluju sile u lijevom i desnom presjeku, kao i normalna i posmična naprezanja. Slika 5.4. Element raspolovljen po uzdužnoj osi [1] 11
15 Uz pretpostavku da su posmična naprezanja raspoređena jednoliko po širini presjeka (slika 5.4.), postavljamo sljedeće jednadžbe ravnoteže: Uz izraze σ x = % -0 i A 1=A 2 dobijemo: A budući da vrijedi: Dobijemo: gdje je: T z poprečna sila S y statički moment b širina presjeka Iy moment tromosti presjeka Maksimalna vrijednost posmičnog naprezanja se javlja u visini neutralne osi i raspodjela posmičnih naprezanja ovisi o obliku poprečnog presjeka. 12
16 Prilikom dimenzioniranja nosača opterećnog na savijanje silama, mora biti zadovoljen sljedeći uvjet: Primjeri raspodjele posmičnih naprezanja na jednoosno (slika 5.5) i dvoosno (slika 5.6.) simetričnom poprečnom presjeku: Slika 5.5. Slika 5.6. Izraz za proračun posmičnih naprezanja na navedenim simetričnim poprečnim presjecima: 13
17 6. RIJEŠENI PRIMJERI Zadatak 1. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M A =0; R C x 4-30x4x2-30x5=0; R C = 97,5 kn M C =0; -R A x 4+30x4x2-30x1=0; R A = 52,5 kn Momenti: M l B =52,5x2-30x2x1; M l B =M max =45 knm M d C =-30x1; M d C = -30 knm Vertikalne sile: V A =R A ; V A = 52,5 kn V l C =52,5-30x4; V l C = -67,5 kn V d C =-67,5+97,5; V d C = 30 kn 14
18 Raspodjela naprezanja: 15
19 Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=15x2,5+ 25x2,5+ 15x2,5= 137,5 cm 2 Maksimalne unutarnje sile: M y =46 knm= kncm T z =67,5 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( 123/,25 +15x2,5x13,75 2 )+ /,23/25 1/ 1/ Iy=17 473,95 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 15x2,5x13, ,5x2,5x6,25 S 2 =710,93 cm 3 S 3 =15x1,5x14,25 S 3 =320,625 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 9: ;<< x z = -0 1= :=>,?2 x15 Točka 2: σ x = 0 σ x = -3,94 kn/cm 2 Točka 3: σ x = 78-0 x z = : ;<< 1= :=>,?2 x 13,5 σ x = 3,55 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točak 1: τ xz =0 16
20 Točka 2: τ xz 3 B0-0 3 C τ xz = 1,098 kn/cm 2 = ;=,2 3 =1<,?> 1= :=>,?2 3 /,2 Točka 3: τ xz 3 B0-0 3 C = ;=,2 3 >/<,;/2 1= :=>,? τ xz = 0,0825 kn/cm 2 17
21 Zadatak 2. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M B =0; R D x 4-30x1-40x4x2-30x5=0; R D = 110 kn M D =0; -R B x 4+30x5+40x4x2-30x1=0; R B = 110 kn Momenti: M l B =-30x1; M l B = -30 knm M l C =-30x3+110x2-40x2x1; M l C =M max = 50 knm M l D =-30x1; M l D = -30 knm Vertikalne sile: V A =-F; V A = -30 kn V B = ; V B =80 kn V l D =80-40x4; V l D = -80 kn V d D = ; V d D = 30 kn 18
22 Raspodjela naprezanja: 19
23 Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=3x12+3x8=60 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y = 4 cm T z = >31/3;DE3>31>,2 = 9 cm ;< Maksimalne unutarnje sile: M y =50 knm= 5000 kncm T z =80 kn Moment tromosti presjeka: Iy= >31/5 1/ +3x12x32 + E3>5 1/ +8x3x4,52 Iy= 1260 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 8x3x4,5+3x3x1,5 S 2 = 121,5 cm 3 S 3 =4x3x7 S 3 = 84 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 <<< x z =92-0 1/;< x6 Točka 2: σ x =0 σ x = -23,8 kn/cm 2 20
24 Točka 3: σ x = 78 <<< x z =2-0 1/;< x5 σ x = 19,84 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz = Točka 3: τ xz 3 B0-0 3 C = E< 3 1/1,2 1/;< 3 > τ xz = 2,57 kn/cm 3 B0-0 3 C = E< 3 E: 1/;< 3 > τ xz = 1,777 kn/cm 2 21
25 Zadatak 3. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M d B =0; -R E x 4+40x1+50x4x2+40x5=0; R E = 160 kn Fy=0; R A x =0; R A =170 kn Momenti: M E =0; -M A -170x5+40x3+50x5x2,5-40x1=0; M A = M max = -145 knm 30:m=120:(3-m) 150m=90 m=0,6 M l C =170x x2x1; M l C = 95 knm M d D -40x3,4+160x2,4-50x2,4x1x2; M d D =104 knm M d E =-40x1; M d E = -40 knm 22
26 Vertikalne sile: V A =R A ; V l C =170-50x2; Vc d =70-40; V l E =30-50x3; V d E = ; V A = 170 kn V l C =70 kn V d C =30 kn V l E = -120 kn V d E = 40 kn 23
27 Raspodjela naprezanja: Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=2x(3x17)+20x3=162 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y = 4 cm T z = /<3>31E,2D/31=3>3E,2 = 12,2 cm 1;/ Maksimalne unutarnje sile: M y =145 knm= kncm T z =170 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( >31=5 1/ +3x17x3,72 )+ /<3>5 1/ +20x3x6,32 Iy= 6279,28 cm 4 Statički momet presjeka: S 2 = 20x3x6,3 24
28 S 2 = 378 cm 3 S 3 =2x(3x12,2x6,1 S 3 = 446,52 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 2<< x z =91: -0 ;/=?,/E x7,8 σ x = -18 kn/cm 2 Točka 2: σ x = 78 1: 2<< x z = -0 ;/=?,/E x4,8 Točka 3: σ x =0 σ x = -11 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz gore = Točka 2: τ xz dolje = Točka 3: τ xz 3 B0-0 3 C = 1=< 3 >=E ;/=?,/E 3 /< τ xz gore = 0,511 kn/cm 3 B0-0 3 C τ xz dolje = 1,7 kn/cm 3 B0-0 3 C τ xz = 2,01 kn/cm 2 = 1=< 3 >=E ;/=?,/E 3 ; = 1=< 3 ::;,2/ ;/=?,/E 3 ; 25
29 Zadatak 4. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M A =0; R C x 3-40x3x1,5-20x4-50=0; R C = 103,33 kn M C =0; -R A x 3+40x3x1, x1=0; R A = 36,66 kn Momenti: M d C =-50-20x1; M d C =M max = 70 knm Vertikalne sile: V A =R A ; V A = 36,66 kn V l C =36,66-40x3; V l C = -83,33 kn V d C =-83,33+103,33; V d C = 20 kn 26
30 Raspodjela naprezanja: 27
31 Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=12x16-6x10=132 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y =6 cm T z =8 cm Maksimalne unutarnje sile: M y =70 knm= kncm T z =83,33 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( 1/3>5 1/ +12x3x6,52 )+2x( 3x ) Iy= cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 3x12x6,5+2x3x5x2,5 S 2 = 309 cm 3 S 3 =12x2x7 S 3 = 168 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78-0 x z =9=<<< > 2?; x8 Točka 2: σ x =0 σ x = -15, 57 kn/cm 2 28
32 Točka 3: σ x = 78-0 x z ==<<< > 2?; x6 σ x = 11,67 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz = Točka 3: τ xz 3 B0-0 3 C = E>,>> 3 ><? > 2?; 3 ; τ xz = 1,193 kn/cm 3 B0-0 3 C = E>,>> 3 1;E > 2?; 3 1/ τ xz = 0,324 KN/cm 2 29
33 Zadatak 5. Za nosač prikazan na slici, treba odrediti maksimalna naprezanja u točkama 1,2 i 3 zadanog poprečnog presjeka. Nacrtati dijagrame unutarnjih sila i raspodjelu pripadajućih naprezanja. Izrada: Dijagram unutarnjih sila Reakcije: M A =0; R C x 4-30x2-40x5x2,5-30x5=0; R C = 177,5 kn M C =0; -R A x 4+40x4x2-40x1x0,5+30x2-30x1=0; R A = 82,5 kn Momenti: M l B =-40x2x1+82,5x2; M l B = M max =85 knm M d C =--30x1-40x1x0,5; M d C = -50 knm Vertikalne sile: V A =R A ; V A = 82,5 kn V l B =82,5-40x2; V l B = 2,5 kn V d B =2,5-30; V d B = -27,5 kn V l C =-27,5-40x2; V l C = -107,5 kn V d C =-107,5+177,5; V d C = 70 kn 30
34 Raspodjela naprezanja: 31
35 Proračun naprezanja: Površina poprečnog presjeka: A=2x20x2+30x4=200 cm 2 Težište poprečnog presjeka: T y =15 cm T z = ><3:3//D/3/3/<31< =17,2 cm /<< Maksimalne unutarnje sile: M y =85 knm= kncm T z =107,5 kn Moment tromosti presjeka: Iy= 2x( /3/<5 1/ +2x20x7,22 )+ ><3:5 +30x4x4,8 2 1/ Iy= 9 738,66 cm 4 Statički moment presjeka: S 2 = 30x4x4,8+2x2x2,8x1,4 S 2 = 591,68 cm 3 S 3 =2x2x4x15,2=243,2cm 3 S 3 = 243,2 cm 3 Normalna naprezanja: Točka 1: σ x = 78 9E 2<< x z = -0? =>E,;; x6,8 Točka 2: σ x =0 σ x = -5,93 kn/cm 2 32
36 Točka 3: σ x = 78-0 x z = E 2<<? =>E,;; x13,2 σ x = 11,52 kn/cm 2 Posmična naprezanja: Točka 1: τ xz =0 Točka 2: τ xz = Točka 3: τ xz 3 B0-0 3 C τ xz = 1,63 kn/cm 3 B0-0 3 C τ xz =0,67 kn/cm 2 = 1<=,2 3 2?1,;E?=>E,;; 3 : = 1<=,2 3 /:>,/?=>E,;; 3 : 33
37 7. TABLIČNI PRIKAZ NAPREZANJA 34
38 8. ZAKLJUČAK Zadatak mog završnog rada je bio analizirati utjecaj momenta savijanja i poprečne sile na naprezanje ravnog štapa kod jednoosnog i dvoosnog simetričnog poprečnog presjeka. U zadanim poprečnim presjecima su proračunata pripadajuća normalna i posmična naprezanja. Vidljivo je da normalna naprezanja uslijed djelovanja momenta savijanja ne zavise od oblika poprečnog presjeka, dok poprečna naprezanja, uslijed djelovanja poprečne sile, zavise od oblika poprečnog presjeka. Dobiveni rezultati su prikazani tablično. Prilikom izgradnje konstrukcije, izuzetno je važno poznavati karakteristike materijala i oblike poprečnog presjeka kako bi se postigla najbolja iskoristivost i kvaliteta sa što manjim utroškom materijala. 35
39 9. LITERATURA [1] Šimić, V. : Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb, 1992 [2] Alfirević, I. : Nauka o čvrstoći 1, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1989 [3] [4] [5] [6] 36
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujan 2015. Marija Vidović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJE
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Savijanje nosaa. Savijanje ravnog štapa prizmatinog poprenog presjeka. a)isto savijanje. b) Savijanje silama. b) Savijanje silama.
Štap optereen na savijanje naivamo nosa ili grea. Savijanje nosaa a) Napreanja ( i τ) b) Deformacije progib (w) Os štapa se ko savijanja akrivljuje to je elastina ili progibna linija nosaa. Savijanje ravnog
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA
PRORAČUN GLAVNOG KROVNOG NOSAČA STATIČKI SUSTAV, GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE I MATERIJAL Statički sustav glavnog krovnog nosača je slobodno oslonjena greda raspona l11,0 m. 45 0 65 ZAŠTITNI SLOJ BETONA
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio
Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino
Dimenzioniranje nosaa. 1. Uvjeti vrstoe
Dimenzioniranje nosaa 1. Uvjeti vrstoe 1 Otpornost materijala prouava probleme 1. vrstoe,. krutosti i 3. elastine stabilnosti konstrukcija i dijelova konstrukcija od vrstog deformabilnog materijala. Moraju
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA
ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek 25. rujan 2015. Siniša Ivković SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.07.2015 Marko Srdanović SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić TEHNIČKA MEHANIKA 2 Predavanja Akad. god. 2008/09
Prof. dr. sc. Vedrana Koulić EHNČK EHNK Predavanja kad. god. 008/09 OPORNOS ERJL Otpornost materijala je grana tehničke mehanike koja proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova
20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm
MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike
4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I
4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD Osijek, 15. rujna 2015. Dragana Zekić SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKKULTET ZAVRŠNI RAD TEMA: IZRAČUN UNUTRAŠNJIH SILA I PLANOVA
PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)
ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje
Vrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami
BETONSKE KONSTRUKCIJE 3 M 1/r dijagrami Izv. prof. dr.. Tomilav Kišiček dipl. ing. građ. 0.10.014. Betonke kontrukije III 1 NBK1.147 Slika 5.4 Proračunki dijagrami betona razreda od C1/15 do C90/105, lijevo:
Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.
Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE
TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne
STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje
PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1
PRIMJERI TEST PITANJA iz OTPORNOSTI MATERIJALA I 1 Napomene: Pitanja služe kao priprema za izradu testova iz Otpornosti Materijala I, koji se polažu parcijalno i integralno. Testovi su koncipirani kao
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače
Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m
SVEUČILIŠTE U MOSTARU GRAĐEVINSKI FAKULTET
SVEUČILIŠTE U MOSTRU GRĐEVINSKI FKULTET Kolegij: Osnove betonskih konstrukcija k. 013/014 god. 8. pismeni (dodatni) ispit - 10.10.014. god. Zadatak 1 Dimenzionirati i prikazati raspored usvojene armature
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 14. rujna 2017. Marijan Mikec SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Izrada projektno-tehničke dokumentacije armiranobetonske
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Dinamika tijela. a g A mg 1 3cos L 1 3cos 1
Zadatak, Štap B duljine i mase m pridržan užetom u točki B, miruje u vertikalnoj ravnini kako je prikazano na skii. reba odrediti reakiju u ležaju u trenutku kad se presječe uže u točki B. B Rješenje:
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Masa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU GRAĐEVINSKI FAKULTET OSIJEK ZAVRŠNI RAD
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD Osijek, 15.09.2015. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURAJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ZAVRŠNI RAD TEMA: USPOREDBA REZULTATA PRORAČUNA STATIČKI NEODREĐENIH SUSTAVA
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
SPREGNUTE KONSTRUKCIJE
SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Konvencija o znacima za opterećenja grede
Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju
Kolegij: Konstrukcije Rješenje zadatka 2. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu. Efektivna. Jedinična težina. 1. Glina 18,5 21,
Kolegij: Konstrukcije 017. Rješenje zadatka. Okno Građevinski fakultet u Zagrebu 1. ULAZNI PARAETRI. RAČUNSKE VRIJEDNOSTI PARAETARA ATERIJALA.1. Karakteristične vrijednosti parametara tla Efektivna Sloj
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
OTPORNOST MATERIJALA 1
OTPORNOST MATERIJALA 1 10. PREDAVANJE: ČISTO SMICANJE. PRORAČUN VAROVA, VIJAKA I ZAKOVICA. 2. svibnja 2017. Prošli tjedan smo naučili... da osim ANALITIČKE METODE za proračun progiba i zaokreta na grednim
BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A
Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.
Proračunski model - pravougaoni presek
Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA
SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama
5. ožujka 2018. 7. Proračun nosača naprezanih poprečnim silama Primjer sloma zbog djelovanja poprečne sile SLIKA 1. T- nosač slomljen djelovanjem poprečne sile Do sloma armirano-betonske grede uslijed
Značenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I
5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni
PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - "T" PRESEK Na skici dole su prikazane sve potrene geometrijske veličine, dijagrami dilatacija i napona,
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
J. Brnić & G. Turkalj: Nauka o čvrstoći I, Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka, 2004.
/5 Ispravci u knjii: J. rnić & G. Turkalj: Nauka o čvrsoći I, Tehnički fakule Sveučiliša u Rijeci, Rijeka,. Daum adnje promjene:. svibnja 5. Redni broj roj sranice. 9 Ispravak Na sl..9a prikaana su poiivna
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
OTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBG 4. STTIČKI PRORČUN STUBIŠT PROGR IZ KOLEGIJ BETONSKE I ZIDNE KONSTRUKCIJE 9 6 5 5 SVEUČILIŠTE U ZGREBU JBG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... naliza opterećenja 5 5 4 6 8 0 Slia 4..
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Proizvoljno opterećenje tijela može zahtijevati složenu analizu naprezanja i deformacija,
1. Osnove čvrstoće 1.1. Pojam i vrste opterećenja Nauka o čvrstoći proučava utjecaj vanjskih sila i momenata na ponašanje čvrstih (realnih) tijela. Djelovanje vanjskih sila i momenata na tijelo naziva
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program
BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 017. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) () () 600 (B) 600 (B) 500 () 500 () SDRŽJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01... 3.1. naliza opterećenja ploče POZ 01-01...
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program
BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA
JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona.
Dimenzionisanje štapova izloženih uvijanju na osnovu dozvoljenog tangencijalnog napona Prema osnovnoj formuli za dimenzionisanje maksimalni tangencijalni napon τ max koji se javlja u štapu mora biti manji
PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET
TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)
PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno