ΜΕΛΕΤΗ ΙΦΑΣΙΚΗΣ ΑΝΤΙΡΡΟΗΣ ΣΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΚΑΝΑΛΙ ΜΕ ΜΙΚΡΟ ΙΑΚΕΝΟ Ε.Ι.Π. ΡΟΣΟΥ ΧΗΜΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΑΠΘ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΧΗΜΙΚΩΝ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕΛΕΤΗ ΙΦΑΣΙΚΗΣ ΑΝΤΙΡΡΟΗΣ ΣΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΚΑΝΑΛΙ ΜΕ ΜΙΚΡΟ ΙΑΚΕΝΟ Ε.Ι.Π. ΡΟΣΟΥ ΧΗΜΙΚΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΑΠΘ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2005

2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Μετά την ολοκλήρωση της διατριβής θα ήθελα καταρχήν να εκφράσω τις πιο θερµές ευχαριστίες µου στον Καθηγητή κ. Αναστάσιο Ι. Καράµπελα για την ανάθεση του θέµατος, τη δηµιουργική καθοδήγηση, το αµείωτο ενδιαφέρον και την αµέριστη συµπαράσταση που µου προσέφερε αυτά τα χρόνια της συνεργασίας µας. Η πολύπλευρη βοήθειά του, και η ηρεµία και κατανόηση µε την οποία αντιµετώπιζε κάθε δυσκολία που εµφανιζόταν κατά την εκπόνηση της διατριβής µου υπήρξαν καθοριστικές για την ολοκλήρωση της εργασίας. Ένα µεγάλο ευχαριστώ θα ήθελα επίσης να απευθύνω ξεχωριστά στον επίκουρο Καθηγητή κ. Σπύρο Β. Παρά, για το ενδιαφέρον που επέδειξε κατά την εκπόνηση της διατριβής, γιατί ήταν πάντα πρόθυµος να µε βοηθήσει και γιατί, πάντα µέσα από τις συζητήσεις µας προέκυπταν χρήσιµοι συλλογισµοί για τη βελτίωση της εργασίας µου και της συνολικής εικόνας της διατριβής. Ιδιαίτερα θα πρέπει να ευχαριστήσω και τον Καθηγητή κ. Σταύρο Γ. Νυχά, µέλος της Τριµελούς, για τα εποικοδοµητικά σχόλια και τις υποδείξεις του και γιατί ήταν πάντα διαθέσιµος να συζητήσει µαζί µου. εν θα έπρεπε να παραλείψω τους τεχνικούς του εργαστηρίου Τεχνολογίας Χηµικών Εγκαταστάσεων και αγαπητούς φίλους κκ. Στέλιο Λέκκα και Φώτη Λαµπρόπουλο οι οποίοι έδειχαν πάντα κατανόηση σε ό,τι πρόβληµα κι αν είχα µε τις διάφορες κατασκευές-συσκευές και έκαναν ό,τι µπορούσαν για να βοηθήσουν στην επίλυσή του. Ι- διαίτερη µνεία βέβαια πρέπει να γίνει και στη συνεισφορά των µηχανουργών κκ. Γιώργου Γεωργιάδη και Τριαντάφυλλου Τσιληπήρα που µε το µεράκι τους και την καλή τους διάθεση συνέβαλαν σηµαντικά στην κατασκευή της πειραµατικής διάταξης. Οφείλω επίσης να απευθύνω ευχαριστίες στο συναδέλφο κ. Στέφανο Μουρούζη- Μουρουζίδη µε τον οποίο µοιραστήκαµε τον ίδιο χώρο εργασίας όλα αυτά τα χρόνια, και σε όλους γενικά στους εργαζόµενους στο εργαστήριο Τεχνολογίας Χηµικών Εγκαταστάσεων για το φιλικό περιβάλλον εργασίας που µου παρείχαν αυτά τα χρόνια. Θέλω επίσης να εκφράσω τις ευχαριστίες µου προς το Ε.Κ.Ε.Τ.Α./Ι.Τ.ΧΗ.. για την υποτροφία που µου χορήγησε, στα πλαίσια διαφόρων ερευνητικών έργων καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας εργασίας. Ξεχωριστά, θέλω να εκφράσω τη βαθιά µου ευγνοµωσύνη και ένα τεράστιο ευχαριστώ στην οικογένειά µου που µε στήριξε απόλυτα και µε κάθε δυνατό µέσο -και παρά τις δυσκολίες που αντιµετώπιζαν και οι ίδιοι- όλα τα χρόνια των σπουδών µου. Μου

4 έλειψε πολύ η παρουσία τους δίπλα µου, η σπιτική φροντίδα και περιποίηση όλο αυτό το διάστηµα και το ξέρουν. Έκανα ό,τι ήταν δυνατό για να τους ευχαριστήσω και το όνοµά τους υπάρχει και θα υπάρχει σε όλες τις εργασίες µου. Ένα µεγάλο ευχαριστώ και στη Σοφία που µπορεί τελικά να µην πρόλαβε να αναλάβει τη γλωσσική επιµέλεια του κειµένου, όπως επιθυµούσε, αλλά η συµπαράστασή της κατά τη διάρκεια εκπόνησης της διατριβής -και ειδικά στις δύσκολες φάσεις της- ήταν ιδιαίτερα σηµαντική. Πάνω από όλους τέλος θέλω να ευχαριστήσω τον Ύψιστο που µε κράτησε γερό αυτά τα χρόνια, ενδυνάµωσε τη θέλησή µου να κάνω ένα βήµα παραπάνω στη ζωή µου και ένιωθα να είναι πάντα δίπλα µου.

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ Σκοπός της εργασίας είναι η µελέτη της αντιρροής υγρού-αερίου σε κατακόρυφο κανάλι ορθογωνικής διατοµής µικρού διακένου (1cm) και σχετικά µικρού µήκους (38cm). Στη διατριβή µελετώνται πειραµατικά βασικά ρευστοδυναµικά χαρακτηριστικά της υγρής στιβάδας (όπως το πάχος της στιβάδας και η διατµητική τάση του υγρού στο τοίχωµα) σε συνθήκες αντιρροής µε αέρα, ενώ ιδιαίτερη έµφαση δίνεται και στα χαρακτηριστικά της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας τα οποία θεωρείται ότι προκαθορίζουν σε σηµαντικό βαθµό την εξέλιξη της αντιρροής των δύο φάσεων. Στα πειράµατα χρησιµοποιήθηκε ατµοσφαιρικός αέρας ο οποίος εισέρχεται από το κάτω µέρος του καναλιού µέσω ειδικά διαµορφωµένου τµήµατος, το οποίο εξασφαλίζει την οµαλή είσοδό του και την ελαχιστοποίηση των διαταραχών της ροής του στην περιοχή εκείνη (στο κάτω µέρος του καναλιού) όπου έρχεται για πρώτη φορά σε επαφή µε την υγρή στιβάδα. Ως υγρή φάση χρησιµοποιήθηκε νερό, υδατικά διαλύµατα βουτανόλης 1.5% και 2.5% και ένα ηλεκτροχηµικό διάλυµα, προκειµένου να εξεταστεί η επίδραση της επιφανειακής τάσης του υγρού στη διαµόρφωση της ροής. Η υγρή φάση τροφοδοτείται στο κανάλι από το πάνω µέρος του, µέσα από ειδικά κατασκευασµένο πορώδες τοίχωµα ώστε να εξασφαλίζεται η οµοιόµορφη κατανοµή της στο εσωτερικό του καναλιού. Τα πειράµατα διεξήχθησαν σε σχετικά χαµηλούς αριθµούς Reynolds υγρού, Re (<350), για τους οποίους, δεδοµένου του µικρού µήκους του καναλιού, η ροή της υγρής στιβάδας είναι υπό διαµόρφωση. Η εργασία περιλαµβάνει οπτικές παρατηρήσεις και ψηφιακή καταγραφή της ροής, ενώ παράλληλα µετρώνται -σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της ροής- το πάχος της υγρής στιβάδας, εφαρµόζοντας µια αγωγιµοµετρική τεχνική και η διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της ηλεκτροδιάχυσης. Η στατιστική ανάλυση των πειραµατικών δεδοµένων οδηγεί στον προσδιορισµό της τοπικής µέσης χρονικής τιµής και της τυπικής απόκλισης του πάχους της υγρής στιβάδας, ενώ παρόµοια στατιστικά δεδοµένα εξάγονται από τις τοπικές µετρήσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος. Επιπροσθέτως, µε περαιτέρω επεξεργασία των χρονο-σειρών του πάχους προκύπτουν βασικά χαρακτηριστικά των διεπιφα-

6 νειακών κυµάτων, όπως είναι η κύρια συχνότητα εµφάνισής τους, η ταχύτητά τους, το µήκος και το ύψος τους. Στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας, οι οπτικές παρατηρήσεις δείχνουν ότι παρόλο που η µείωση της επιφανειακής τάσης προκαλεί τη µείωση της απόστασης από την είσοδο του υγρού όπου εµφανίζονται οι πρώτοι κυµατισµοί στην επιφάνεια της στιβάδας, η περαιτέρω διαµόρφωση της ροής του υγρού (σε µεγαλύτερες αποστάσεις από το σηµείο εισόδου του) δεν διαφοροποιείται µεταξύ των υγρών που χρησιµοποιήθηκαν. Τα νέα πειραµατικά δεδοµένα του πάχους στιβάδας δείχνουν ότι για τιµές Re >200 η τυπική απόκλιση του πάχους τείνει να σταθεροποιηθεί σε όλες τις θέσεις µέτρησης. Παρόµοια ασθενή εξάρτηση από την παροχή του υγρού, για την ίδια περιοχή τιµών τού Re, εµφανίζουν η ταχύτητα και το ύψος των κυµάτων για όλα τα υγρά που εξετάστηκαν. Η κύρια συχνότητα των κυµάτων, η οποία µειώνεται µε αύξηση της απόστασης από το σηµείο εισόδου του υγρού, φαίνεται να µη µεταβάλλεται µε τον Re. Τα χαρακτηριστικά των σχεδόν διδιάστατων κυµάτων, που αναπτύσσονται κοντά στην περιοχή εισόδου του υγρού, είναι σε ικανοποιητική συµφωνία µε τα αποτελέσµατα ανάλυσης ευστάθειας της ροής, τα οποία υποδεικνύουν µια περισσότερο ασταθή δοµή για τα διαλύµατα βουτανόλης, έναντι εκείνης του νερού. Όσον αφορά στα κύµατα που αναπτύσσονται κοντά στην έξοδο του υγρού αυτά είναι τρισδιάστατα και σαφώς πιο ενισχυµένα -έναντι των προαναφερόµενων διδιάστατων κυµάτων- και όπως έδειξε η ανάλυση των δεδοµένων της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος φαίνεται ότι επηρεάζουν και τις συνθήκες ροής του υγρού κοντά στο τοίχωµα. Στην περίπτωση της αντιροοής υγρού-αέρα, οι οπτικές παρατηρήσεις δείχνουν ότι η έναρξη της πληµµύρισης λαµβάνει χώρα στο κάτω τµήµα του καναλιού και ότι ο µηχανισµός της εξαρτάται από τον Re. Οι κρίσιµες ταχύτητες πληµµύρισης για τα µικρής επιφανειακής τάσης διαλύµατα βουτανόλης είναι µικρότερες συγκριτικά µε εκείνες του νερού. Το µέσο πάχος στιβάδας τείνει να αυξάνεται µε την ταχύτητα του αέρα, για όλα τα υγρά που εξετάζονται, και λαµβάνει τη µέγιστη τιµή του κατά την έναρξη της πληµ- µύρισης. Παρόµοια µεταβολή εµφανίζουν η τυπική απόκλιση του πάχους, το µέσο ύψος των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, αλλά και το πάχος του υποστρώµατος, κάτι που σηµαίνει ότι η αύξηση του µέσου πάχους δεν οφείλεται µόνο σε αύξηση του ύψους των µεγάλων κυµάτων. Η ταχύτητα των κυµάτων παρά την αντιρροή αέρα παραµένει σχεδόν αµετάβλητη, κάτι που πιστεύεται ότι οφείλεται στην ενίσχυση των κυµάτων και την αυξηµένη επίδραση της βαρύτητας, η οποία αντισταθµίζει τις δυνάµεις οπισθέλκουσας που ασκούνται πάνω στα κύµατα (λόγω της αντιρροής του αέρα). Παράλληλα, η πα-

7 ρουσία των σηµαντικών διεπιφανειακών τριβών στην επιφάνεια της στιβάδας, θεωρείται ότι προκαλεί τη µείωση της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος µε αύξηση της ταχύτητας του αέρα, ειδικότερα κοντά στην πληµµύριση. Η κύρια συχνότητα των κυµάτων σε όλες τις θέσεις µέτρησης κατά µήκος της ροής µειώνεται µε την ταχύτητα του αέρα, µε παράλληλη όµως αύξηση του ενεργειακού τους περιεχοµένου. Τα κύµατα στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού ενισχύονται επίσης σηµαντικά και επηρεάζουν έτσι τις συνθήκες ροής κοντά στο τοίχωµα, κάτι που υποδεικνύεται από την αύξηση -µε την ταχύτητα του αέρα- των τιµών της τυπικής απόκλισης της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος. Αξιοποιώντας τα παραπάνω αποτελέσµατα, αναπτύσσεται ένα απλό µονοδιάστατο µοντέλο πρόβλεψης των µέσων τιµών του πάχους στιβάδας και της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος σε συνθήκες αντιρροής (πριν την έναρξη της πληµµύρισης). Οι προβλέψεις είναι ικανοποιητικές συγκεινόµενες µε τις µετρήσεις και το µοντέλο θεωρείται χρήσιµο για πρακτικές εφαρµογές.

8

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ iii viii 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2.1. ιφασική αντιρροή και πληµµύριση Γενική περιγραφή Πληµµύριση Βασικοί συσχετισµοί ιφασική αντιρροή και πληµµύριση σε ορθογωνικά κανάλια ιφασική αντιρροή σε κατακόρυφους κυλινδρικούς αγωγούς 2.2. Ελευθέρως ρέουσα στιβάδα Γενική περιγραφή διαµόρφωσης της ροής Πειραµατικές µελέτες των χαρακτηριστικών της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας Θεωρητικές µελέτες ανάλυσης ευστάθειας της ροής ελευθέρως ρέουσας στιβάδας ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 3.1. Περιγραφή πειραµατικής διάταξης και συνθήκες µέτρησης 3.2. Πειραµατικές τεχνικές Οπτικές παρατηρήσεις Αγωγιµοµετρική τεχνική Μετρήσεις πάχους υγρής στιβάδας Ηλεκτροχηµική τεχνική- Μετρήσεις διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος Βασικές αρχές της τεχνικής Εφαρµογή της τεχνικής Συχνοτική απόκριση ηλεκτροδίων ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 61

10 ii 4.1. Συλλογή πειραµατικών δεδοµένων 4.2. Στατιστική επεξεργασία και ανάλυση µετρήσεων 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ 5.1. Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας Οπτικές παρατηρήσεις Πάχος υγρής στιβάδας Γενικές παρατηρήσεις Πειραµατικές µετρήσεις Στατιστική επεξεργασία Φασµατική ανάλυση Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και ταχύτητα κυµάτων Προτεινόµενες συσχετίσεις- Μελέτες υδροδυναµικής αστάθειας ιατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος καναλιού Γενικές παρατηρήσεις Πειραµατικές µετρήσεις Στατιστική επεξεργασία Φασµατική ανάλυση 5.2. Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής Πληµµύριση Οπτικές παρατηρήσεις Κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης Προτεινόµενες συσχετίσεις Πάχος υγρής στιβάδας για αντιρροή Γενικές παρατηρήσεις Στατιστική επεξεργασία Χαρακτηριστικά κυµάτων Φασµατική ανάλυση Ταχύτητα κυµάτων ιατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος καναλιού σε αντιρροή Γενικές παρατηρήσεις Πειραµατικές µετρήσεις Στατιστική επεξεργασία Φασµατική ανάλυση 5.3. Συσχετισµός πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος στη διφασική αντιρροή ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α - ΒΑΘΜΟΝΟΜΗΣΕΙΣ 189

11 iii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΛΑΤΙΝΙΚΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ A διατοµή του καναλιού 2 A c επιφάνεια ηλεκτροδίου καθόδου 2 A G επιφάνεια της διατοµής του καναλιού που καταλαµβάνεται από την αέρια φάση b διάκενο του καναλιού (απόσταση µεταξύ παραλλήλων πλακών) c πειραµατικά προσδιορισµένη ταχύτητα (celerity) των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων 2 Θ -1 C αδιάστατη ταχύτητα των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων - C 1, C 2 παράµετροι της εξίσωσης Wallis, 1969 (Εξ ) - C 3, C 4 παράµετροι της εµπειρικής συσχέτισης που παρατίθεται από τον - Sudo (1996) για τον προσδιορισµό του συντελεστή f i (Εξ & ) C xy συντελεστής ετεροσυσχέτισης - C f συγκέντρωση M -3 C 4 συγκέντρωση των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων στην κύρια µάζα του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος M -3 dp/dx πτώση πίεσης M -2 Θ -2 D εσωτερική διάµετρος αγωγού D e υδραυλική διάµετρος του ορθογωνικού καναλιού D µοριακή διαχυτότητα 2 Θ -1 f κύρια συχνότητα των µεγάλων κυµάτων της επιφάνειας της υ- γρής στιβάδας (προσδιορισµένη µε ανάλυση FFT) f G συντελεστής τριβής αερίου-τοιχώµατος καναλιού (Εξ ) - f i συντελεστής τριβής στη διεπιφάνεια υγρού-αερίου (Εξ ) - f s συχνότητα δειγµατοληψίας Θ -1 Θ -1

12 iv f w f w συντελεστής τριβής υγρού-τοιχώµατος καναλιού για την κατακόρυφη υγρή στιβάδα - συντελεστής τριβής υγρού-τοιχώµατος καναλιού για µονοφασική - ροή (Εξ ) F a σταθερά Faraday - g επιτάχυνση της βαρύτητας Θ -2 h flmax πειραµατικό µέγιστο πάχος της υγρής στιβάδας σε συνθήκες α- ντιρροής µε αέρα, που αντιστοιχεί στην κρίσιµη ταχύτητα πληµ- µύρισης (βλ. Κεφ ) h mean πειραµατικό µέσο πάχος της υγρής στιβάδας h RMS τυπική απόκλιση του πάχους της υγρής στιβάδας h s µέσο πάχος υποστρώµατος h Ν µέσο πάχος της υγρής στιβάδας υπολογισµένο από την εξίσωση του Nusselt, 1916 (Εξ ) I lim ένταση του οριακού ρεύµατος ηλεκτροδιάχυσης (Eξ ) A I lim,mean µέση τιµή της έντασης του οριακού ρεύµατος ηλεκτροδιάχυσης A (Εξ ) Κ s συντελεστής µεταφοράς µάζας υγρού-στερεού (Εξ ) Θ -1 Κ s,mean µέση τιµή συντελεστή µεταφοράς µάζας υγρού-στερεού (Εξ ) Θ -1 l c µήκος του ηλεκτροδίου καθόδου στην κατεύθυνση της ροής, x Q, Q G ογκοµετρική παροχή του υγρού, αερίου 3 Θ -1 S G τµήµα της περιµέτρου του καναλιού που είναι σε επαφή µε την αέρια φάση S i µήκος της διεπιφάνειας υγρού-αερίου t χρόνος Θ <u> µέση ταχύτητα της κατερχόµενης υγρής στιβάδας υπολογισµένη από την εξίσωση του Nusselt, 1916 (Εξ ) Θ -1 u i ταχύτητα στη διεπιφάνεια υγρού-αερίου Θ -1 u s µέση ταχύτητα στην επιφάνεια της κατερχόµενης υγρής στιβάδας (ταχύτητα µεγάλων κυµάτων) υπολογισµένη από την εξίσωση του Nusselt, 1916 (Εξ ) Θ -1 u x ταχύτητα της υγρής φάσης στην κατεύθυνση της ροής, x Θ -1

13 v U GR U *, U G * µέση πραγµατική ταχύτητα του αερίου που υπολογίζεται µε βάση την πραγµατική διατοµή που αντιστοιχεί στη ροή του αερίου αδιάστατες ταχύτητες του υγρού, αερίου (ορίζονται κάθε φορά ανάλογα µε το χαρακτηριστικό µήκος που χρησιµοποιείται π.χ. για την περίπτωση αγωγού εσωτερικής διαµέτρου D ισχύουν οι Εξ & 2.1-3) Θ -1 U S, U GS φαινοµενική ταχύτητα του υγρού, αερίου (Εξ. 1-2) Θ -1 w πλάτος καναλιού w c πλάτος του ηλεκτροδίου καθόδου x κατακόρυφη απόσταση από την είσοδο της υγρής τροφοδοσίας (σε κατεύθυνση παράλληλη µε αυτή της ροής) y οριζόντια απόσταση από το τοίχωµα του αγωγού - ΕΛΛΗΝΙΚΟΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ α, α r κλάσµα κενού για την αέρια φάση για διφασική ροή σε αγωγό, - κανάλι ορθογωνικής διατοµής (Εξ & 5.3-5) Γ µαζική ροή της υγρής φάσης ανά µονάδα πλάτους της πλάκας M -1 Θ -1 δ c πάχος οριακού υποστρώµατος συγκέντρωσης (Εξ ) h max µέγιστο ύψος κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα h mean µέσο ύψος κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα δ v πάχος οριακού ιξώδους υποστρώµατος (Εξ ) x απόσταση µεταξύ µετρητικών στοιχείων λ µήκος κύµατος µ, µ G δυναµικό ιξώδες του υγρού, αερίου M -1 Θ -1 ν, ν G κινηµατικό ιξώδες του υγρού, αερίου 2 Θ -2 ρ, ρ G πυκνότητα του υγρού, αερίου Μ -3 σ επιφανειακή τάση του υγρού MΘ -2 Τ θερµοκρασία Τ τ G διατµητική τάση αερίου-τοιχώµατος καναλιού Μ -1 Θ -2 τ i διατµητική τάση στη διεπιφάνεια υγρού-αερίου Μ -1 Θ -2 τ w διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος καναλιού Μ -1 Θ -2 τ w,mean πειραµατική µέση τιµή της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος Μ -1 Θ -2 τ w,rms τυπική απόκλιση της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος Μ -1 Θ -2

14 vi τ w ω *, σ * µέση τιµή της διατµητικής τάσης στο τοίχωµα του καναλιού για µονοφασική ροή υγρού (Εξ ) αδιάστατες συχνότητες (Εξ & Εξ ) Μ -1 Θ -2 Α ΙΑΣΤΑΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Bo Bo D g ( ρ ρ ) 2 G = D g σ ( ρ ρ ) 2 G e = e σ * wb( ρ ρg) g Bo = σ Re Re Re Ka GS w = 4Γ µ bugs ρg = µ G bu ρ = µ σ ρ = µ µ g 1/3 αριθµός Bond για αγωγό εσωτερικής διαµέτρου D αριθµός Bond για κανάλι υδραυλικής διαµέτρου D e τροποποιηµένος αριθµός Bond για κανάλι ορθογωνικής διατοµής, µε πλάτος w και διάκενο b (Εξ ) αριθµός Reynolds του υγρού βασισµένος στην ανηγµένη µαζική ροή του (Εξ. 1-1) αριθµός Reynolds του αερίου βασισµένος στην φαινοµενική του ταχύτητα (Εξ ) αριθµός Reynolds του υγρού για µονοφασική ροή του εντός του καναλιού (Εξ ) αριθµός Kapitza (Εξ. 1-3) We Sc Fi Fr Fr σ < u > ρ 2 N = αριθµός Weber (Εξ ) = = h ν µ D ρ D σ αριθµός Schmidt 3 = 3 Ka 3 4 ρ gν = αριθµός Film (Eξ ) GS S ρgu = gb 2 GS ( ρ ρ ) ρu = gb 2 S G ( ρ ρ ) G αριθµός Froude του αερίου για ροή σε ορθογωνικό κανάλι, βασισµένος στη φαινοµενική ταχύτητα του αερίου και το διάκενο b του καναλιού αριθµός Froude του υγρού για ροή σε ορθογωνικό κανάλι, βασισµένος στη φαινοµενική ταχύτητα του υγρού και το διάκενο b του καναλιού

15 vii Oh = 2 µ ρ D σ e αριθµός Ohnesorge για κανάλι ισοδύναµης διαµέτρου D e (Eξ )

16 viii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήµα 2-1 Μετάβαση διφασικής ροής υγρού-αερίου από την κατάσταση της αντιρροής σε εκείνη της οµορροής σε κατακόρυφο αγωγό (Hewitt, 1995)... 8 Σχήµα Σχήµα Σχήµα Σχήµα Σχήµα Σχήµα Ισοζύγιο δυνάµεων σε διφασική δακτυλιοειδή αντιρροή εντός κατακόρυφου αγωγού (Richter, 1981 Bharathan & Wallis, 1983) (α) Πειραµατική διάταξη µελέτης του φαινοµένου της πληµµύρισης σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής, Osakabe & Kawasaki (1989). (β)τυπική διαµόρφωση της αντιρροής σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής µε µικρό διάκενο για την περίπτωση χαµηλών και υψηλών ταχυτήτων αέρα (πληµµύριση κορυφής), Osakabe & Kawasaki (1989) Τυπική διαµόρφωση κυµατισµών -χωρίς εξωτερική διέγερση- σε κατακόρυφη ρέουσα υγρή στιβάδα για σχετικά χαµηλές τιµές Re (<200) (Alekseenko et al., 1994) Πειραµατική διάταξη µελέτης χαρακτηριστικών ελευθέρως ρέουσας υγρής στιβάδας και διφασικής αντιρροής υγρού-αέρα σε κατακόρυφο κανάλι ορθογωνικής διατοµής (α) Βασικά χαρακτηριστικά των πλακών του καναλιού. (β) ύο πλάκες τοποθετηµένες επάλληλα µε παρεµβολή ράβδων Plexiglas δηµιουργούν το χώρο ροής των δύο φάσεων (α) Τµήµα εισόδου της υγρής φάσης στο κανάλι. (β) Τµήµα εισόδου του αέρα στο κανάλι (Η απόσταση για τη θέση x=36cm µετράται από το σηµείο εισόδου του υγρού) Σχήµα Τεχνικές φωτισµού και βιντεοσκόπησης Σχήµα Επεξεργασία των ψηφιακών λήψεων και εκτίµηση των χαρακτηριστικών (π.χ. ταχύτητα, µήκος κύµατος) των επιφανειακών κυ- µάτων Σχήµα Σχηµατική παράσταση των µετρήσεων µε την αγωγιµοµετρική

17 ix τεχνική - Μετρητικό στοιχείο ζεύγους παραλλήλων συρµάτων Σχήµα Ηλεκτρονικό κύκλωµα αναλυτή σήµατος Σχήµα ιάταξη βαθµονόµησης των αγωγιµοµετρικών µετρητικών στοιχείων Σχήµα Ηλεκτροχηµική µέθοδος: απλό ηλεκτρόδιο και «παράλληλο ζεύγος ηλεκτροδίων» (κατανοµή ταχύτητας και συγκέντρωσης) Σχήµα Χαρακτηριστικές καµπύλες πόλωσης της καθόδου (ηλεκτρόδιο 2A ) Σχήµα Σχηµατική παράσταση των µετρήσεων µε την ηλεκτροχηµική τεχνική. Μετρητικό στοιχείο «ηλεκτροδίου ζεύγους» Σχήµα Ηλεκτρονικό κύκλωµα διαφορικού ενισχυτή Σχήµα Εικόνες διαµόρφωσης της ροής κατά µήκος της κατακόρυφης πλάκας (στη µια εκ των δύο που συνιστούν το κανάλι) για το νερό, για δύο διαφορετικές τιµές Re (130 και 280). Στην αριστερή πλευρά των εικόνων σηµειώνεται η απόσταση από την είσοδο του υγρού, όπως αναφέρεται και στο κείµενο, ενώ διακρίνονται και τα ενσωµατωµένα στην πλάκα µετρητικά στοιχεία Σχήµα Η περιοχή εισόδου και η περιοχή ανάπτυξης των κυµάτων για το νερό, για δύο διαφορετικές τιµές Re : (α) 130 και (β) Σχήµα Οι περιοχές εισόδου και ανάπτυξης των κυµάτων για το διάλυµα βουτανόλης 2.5%, για δύο τυπικές τιµές Re Σχήµα Η διαµόρφωσης της επιφάνειας της στιβάδας σε µια περιοχή πλησίον της εξόδου του υγρού για ενδιάµεσες τιµές Re : (α) για νερό (Κα=3500) και (β) για διάλυµα βουτανόλης 2.5% (Κα=1650). 71 Σχήµα Μεταβολή των χαρακτηριστικών των επιφανειακών κυµάτων για το νερό στο κάτω τµήµα του καναλιού (µεταξύ x=18 και 29cm) για Re =205 και διαφορετικές χρονικές στιγµές (το υπό εξέταση κύµα σηµειώνεται µε w) Σχήµα Τυπικές χρονο-σειρές πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν και διάφορες τιµές Re, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Εξάρτηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας, h mean, από τον αριθµό Re για το νερό σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της µιας πλάκας του καναλιού. Τα σύµβολα προσδιορίζουν την υγρή φάση και την απόσταση, σε cm, της θέσης µέτρησης από την είσοδο του υγρού... 76

18 x Σχήµα Εξάρτηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας, h mean, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν σε απόσταση 8cm από την είσοδο του υγρού (όπου η επιφάνεια της στιβάδας είναι σχεδόν αδιατάρακτη) Σχήµα Εξάρτηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας, h mean, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της µιας πλάκας του καναλιού Σχήµα Μεταβολή των τιµών τυπικής απόκλισης του πάχους, h RMS, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της µιας πλάκας του καναλιού Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν και διάφορες τιµές Re, στη θέση x=8cm Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν και διάφορες τιµές Re, στη θέση x=19cm Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν και διάφορες τιµές Re, στη θέση x=36cm Σχήµα Συναρτήσεις ετερο-συσχέτισης για διάφορες τιµές Re για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης: (α) x = 19cm και (β) x = 36cm Σχήµα Εξάρτηση της ταχύτητας των µεγάλων κυµάτων, c, για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης, για τις θέσεις x=19cm και x=36cm Σχήµα Σύγκριση και συσχέτιση των τιµών της αδιάστατης οµάδας kre (k: αδιάστατο µήκος κύµατος) για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν µε χρήση των αδιαστάτων αριθµών Re και Κα (Re /Κα 3/11 ) σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36cm) για την περίπτωση ροής υπό διαµόρφωση Σχήµα Γεωµετρικά χαρακτηριστικά των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων Σχήµα Μεταβολή του µέσου ύψους των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h mean, µε τον αριθµό Re σε δύο θέσεις (x=19 και 36cm) κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Σύγκριση της εξάρτησης του µέσου πάχους υποστρώµατος, h s,

19 xi από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης: (α) x=19cm και (β) x=36cm Σχήµα Μεταβολή του αδιάστατου µέσου µέγιστου ύψους των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h max, µε την αδιάστατη οµάδα Re /Κα 3/11 για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, σε απόσταση 36cm από την είσοδο του υγρού (όπου τα κύµατα είναι τρισδιάστατα και η ροή τείνει σε διαµόρφωση) και σύγκρισή τους µε διάφορα βιβλιογραφικά δεδοµένα και προτεινόµενη εµπειρική συσχέτιση Σχήµα Εξάρτηση της αδιάστατης ταχύτητας των κυµάτων, C, από τις τιµές της αδιάστατης οµάδας Re /Κα 3/11 για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού (όπου τα κύµατα διατηρούν το διδιάστατο χαρακτήρα τους). Σύγκριση µε βιβλιογραφικά δεδοµένα και αναλυτικά αποτελέσµατα γραµµικής ανάλυσης ευστάθειας της ροής Σχήµα Σύγκριση των πειραµατικών τιµών της ταχύτητας των µεγάλων κυµάτων, c, στη θέση x=19cm για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν µε τα ασυµπτωτικά αναλυτικά αποτελέσµατα του Anshus (1972) για την περίπτωση µεγάλων τιµών Re και Κα Σχήµα Σύγκριση των θεωρητικών προβλέψεων για το µέσο µέγιστο ύ- ψος των κυµάτων, h max, µε πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας και βιβλιογραφικά δεδοµένα µε χρήση του αδιάστατου λόγου h max /h N και του αδιάστατου αριθµού We Σχήµα Σύγκριση των θεωρητικών προβλέψεων για την ταχύτητα των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων µε πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας και βιβλιογραφικά δεδοµένα µε χρήση του αδιάστατης ποσότητας 3-C και του αδιάστατου αριθµού We Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος, τ w, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα (ElSol), για διάφορες τιµές Re, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Ελευθέρως ρέουσα στιβάδα πάνω σε επίπεδη κεκλιµένη επιφάνεια υπό την επίδραση της βαρύτητας (το ισοζύγιο ορµής αφορά στο στοιχειώδες πάχος dy) Σχήµα Μεταβολή της τοπικής µέσης διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος καναλιού τ w,mean, του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος (ElSol) µε τον αριθµό Re, για διάφορες θέσεις κατά µήκος της πλάκας Σχήµα Μεταβολή της τυπικής απόκλισης της τοπικής διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος καναλιού τ w,rms, του ηλεκτροχηµικού διαλύ- µατος (ElSol) µε τον αριθµό Re, για διάφορες θέσεις κατά µήκος

20 xii της πλάκας Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών της διατµητικής τάσης για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα (ElSol) για διάφορες τιµές Re και διάφορες θέσεις κατά µήκος της πλάκας Σχήµα Επίδραση της ταχύτητας του αέρα στη διαµόρφωση ροής της υγρής στιβάδας στην περιοχή εισόδου (x 0 έως 12 cm), για διάλυµα βουτανόλης 2.5%, για δύο τιµές Re : (α) Re =130 και (β) Re = Σχήµα ιαµόρφωση της ροής για διάλυµα βουτανόλης 2.5% στο κάτω τµήµα του καναλιού για Re =260: (α) διαµόρφωση της επιφάνειας για διάφορες ταχύτητες αέρα, (β) ανάπτυξη και διάσπαση ενός «συνεκτικού» κύµατος (στάδια έναρξης της πληµµύρισης). 115 Σχήµα Πλευρική καταγραφή της επίδρασης της αντιρροής αέρα στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας για διάλυµα βουτανόλης 2.5% στο κάτω τµήµα του καναλιού (µεταξύ των θέσεων x=32 και x=34cm) για Re =185 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS. Η λευκή διακεκοµένη γραµµή αντιστοιχεί κατά προσέγγιση στο τοίχωµα του καναλιού Σχήµα (α) Πλευρική καταγραφή της επίδρασης της αντιρροής αέρα στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας για διάλυµα βουτανόλης 2.5% στο κάτω τµήµα του καναλιού (µεταξύ των θέσεων x=32 και x=34cm) για Re =280 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS. (β) Στάδια απόφραξης της διατοµής και έναρξη της πληµµύρισης (για U GS = 7.5m/s ) Σχήµα Εξάρτηση της κρίσιµης ταχύτητας πληµµύρισης του αέρα U GS από τον αριθµό Re της υγρής φάσης, για το νερό και τα υδατικά διαλύµατα βουτανόλης 1.5 και 2.5% Σχήµα Σύγκριση των νέων δεδοµένων πληµµύρισης για το νερό µε βιβλιογραφικά δεδοµένα (για κανάλια ορθογωνικής διατοµής) και µε προτεινόµενους εµπειρικούς συσχετισµούς Σχήµα (α) Σύγκριση των νέων δεδοµένων πληµµύρισης για το νερό µε το µοντέλο των Cetinbudaklar & Jameson (1969), για δύο τι- µές του συντελεστή τριβής f i και διάφορα δεδοµένα που αναφέρονται από αυτούς τους ερευνητές για την ίδια περιοχή τι- µών Re µε τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία. (β) Σύγκριση των νέων δεδοµένων πληµµύρισης για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν, µε τις προβλέψεις του µοντέλου των Cetinbudaklar & Jameson (1969) σχετικά µε την εξάρτηση της κρίσιµης ταχύτητας αέρα από τον αριθµό Ka

21 xiii Σχήµα Συσχέτιση της τιµής της αδιάστατης ποσότητας Fr GS / Ka 0.4 που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης, µε τον αριθµό Froude της υγρής φάσης, Fr S, για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις του πάχους στιβάδας για το νερό για δύο τιµές Re (Re = 140 και 280) και διάφορες τιµές U GS, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης : (α) x=19cm και (β) x=36cm Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις του πάχους στιβάδας για το διάλυ- µα βουτανόλης 2.5% για δύο τιµές Re (Re = 130 και 260) και διάφορες τιµές U GS, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης : (α) x=19cm και (β) x=36cm Σχήµα Μεταβολή του µέσου πάχους της υγρής στιβάδας µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµή- µατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Μεταβολή του µέγιστου πάχους της υγρής στιβάδας που µετράται κατά την έναρξη της πληµµύρισης, h flmax, µε τον Re στη θέση x=36 cm για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν Σχήµα Μεταβολή του µέσου ύψους των κυµάτων, h mean, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµή- µατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Μεταβολή του µέσου πάχους υποστρώµατος, h s, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Μεταβολή του λόγου των τιµών RMS του πάχους της υγρής στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής, h cc,rms, προς τις αντίστοιχες τιµές απουσία αέρα, h ff,rms, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυ- µα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας του νερού, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS, για (α) x=19cm και (β) x=36cm Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας του διαλύµατος βουτανόλης 1.5%, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS, για (α) x=19cm και (β) x=36cm

22 xiv Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας του διαλύµατος βουτανόλης 2.5%, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS, για (α) x=19cm και (β) x=36cm Σχήµα Μεταβολή της ταχύτητας των κυµάτων, c, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό και (β) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Μεταβολή της αδιάστατης ταχύτητας των κυµάτων, c/<u> cc, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36cm), για: (α) νερό και (β) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Τυπικές συναρτήσεις ετερο-συσχέτισης σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36cm) για διάφορες τιµές Re και U GS, για: (α) νερό και (β) διάλυµα βουτανόλης 2.5% Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος, τ w, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για Re =135 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος, τ w, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για Re =200 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος, τ w, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για Re =265 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Μεταβολή της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος, τ w,mean, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα µε την ταχύτητα U GS, για διάφορες τιµές Re, για : (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Μεταβολή της τυπικής απόκλισης της διατµητικής τάσης υγρούτοιχώµατος, τ w,rms, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα µε την ταχύτητα U GS, για διάφορες τιµές Re, για : (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Μεταβολή της έντασης των διακυµάνσεων της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα µε την ταχύτητα U GS, για διάφορες τιµές Re, για : (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών της διατµητικής τάσης για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας

23 xv U GS για τη θέση x=19cm Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών της διατµητικής τάσης για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS για τη θέση x=36cm Σχήµα Σχήµα Σχήµα Σχήµα Σχήµα Σχηµατική παράσταση της κατανοµής των δύο φάσεων σε αντιρροή εντός του ορθογωνικού καναλιού. Σύστηµα συντεταγµένων και χαρακτηριστικές διαστάσεις Σύγκριση των νέων πειραµατικών δεδοµένων για το πάχος στιβάδας, µε τη µορφή του λόγου h cc /h ff ως προς την ταχύτητα U GS, για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% στη θέση x=36cm µε τις τιµές που εκτιµώνται από την Εξ Οι προβλέψεις αντιστοιχούν σε τιµές Re = 100, 195 και Σύγκριση των νέων πειραµατικών δεδοµένων για τη διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος, µε τη µορφή του λόγου τ cc /τ ff ως προς την ταχύτητα U GS, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα στη θέση x=36cm µε τις τιµές που εκτιµώνται από την Εξ Οι προβλέψεις αντιστοιχούν σε τιµές Re = 135, 200 και Σύγκριση των τιµών της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% στη θέση x=36cm, που υπολογίζονται από την Εξ µε χρήση των πειραµατικών δεδοµένων πάχους στιβάδας (για τον προσδιορισµό της τιµής τ i ), µε τις τιµές που εκτιµώνται µε βάση την εµπειρική συσχέτιση που χρησιµοποιήθηκε. Οι προβλέψεις αντιστοιχούν σε τιµές Re =100, 195 και Σύγκριση των νέων πειραµατικών δεδοµένων της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος ως προς την ταχύτητα U GS, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα στη θέση x=36cm µε τις τιµές που εκτιµώνται από την Εξ , µε χρήση των πειραµατικών δεδοµένων πάχους στιβάδας του διαλύµατος βουτανόλης 2.5%. Οι προβλέψεις αντιστοιχούν σε τιµές Re =130, 195 και Σχήµα Π.Α-1 Καµπύλες βαθµονόµησης ροοµέτρων για την υγρή φάση. 190 Σχήµα Π.Α-2 Σχήµα Π.Α-3 Σχήµα Π.Α-4 Σχήµα Π.Α-5 Καµπύλη βαθµονόµησης ροοµέτρου για την αέρια φάση (τροφοδοσία αέρα) 191 Καµπύλη βαθµονόµησης ροοµέτρου για την αέρια φάση (µέτρηση της παροχής αέρα που αποµακρύνεται από την αντλία κενού). 191 Τυπική καµπύλη βαθµονόµησης ηλεκτρονικού αναλυτή σήµατος Καµπύλες βαθµονόµησης µετρητικών στοιχείων παραλλήλων

24 xvi συρµάτων (αγωγιµότητα αναφοράς: 706 µs/cm) Σχήµα Π.Α-6 Τυπικές καµπύλες βαθµονόµησης των ηλεκτροδίων της ηλεκτροχηµικής τεχνικής. 194

25 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ Η διφασική ροή αερίου-υγρού παρουσιάζει σηµαντικό πρακτικό ενδιαφέρον επειδή συναντάται συχνά σε διάφορες εφαρµογές, όπως η µεταφορά, µε αγωγούς, φυσικού αερίου-πετρελαίου και γενικά η διακίνηση διφασικών ρευστών σε εγκαταστάσεις. Η προσπάθεια ανάπτυξης και βελτιστοποίησης της τεχνολογίας των πυρηνικών αντιδραστήρων και η ανάγκη διαχείρισης συστηµάτων πολυφασικής ροής (όπως συµβαίνει κατά την εξόρυξη και τη µεταφορά αργού πετρελαίου) οδήγησαν σε εκτεταµένη µελέτη της διφασικής ροής σε κυλινδρικούς αγωγούς από τις αρχές της δεκαετίας του Εξίσου σηµαντική όµως τα τελευταία χρόνια είναι η διερεύνηση αυτού του είδους ροής για βελτίωση σχεδιασµού και λειτουργίας αρκετών συσκευών διεργασιών οι οποίες περιλαµβάνουν µεταφορά µάζας και ενέργειας, όπως για παράδειγµα συµπυκνωτές, αναβραστήρες, διφασικοί εναλλάκτες. Ειδικότερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν προσφάτως συσκευές µικρών διαστάσεων (compact), µε σχετικά υψηλή απόδοση για τις παραπάνω διεργασίες, οι οποίες απαρτίζονται από µια επαλληλία (περίπου) επίπεδων και συνήθως κατακόρυφων επιφανειών. Σε τέτοιες συσκευές βασικό χαρακτηριστικό είναι οι λεπτές στιβάδες υγρού που ρέουν κατά µήκος των στερεών κατακόρυφων επιφανειών (falling films). Η σχετικά µικρή θερµική αντίσταση και οι µεγάλες επιφάνειες επαφής προσδίδουν στη δοµή και ιδιαίτερα στην επιφάνεια των υγρών στιβάδων σηµαντικό ρόλο στη µεταφορά θερµότητας και µάζας. Εποµένως, ο σχεδιασµός και η βελτιστοποίηση της λειτουργίας τέτοιων συσκευών διεργασιών απαιτεί επαρκή γνώση των χαρακτηριστικών ροής της υγρής στιβάδας. Είναι γνωστή η πολυπλοκότητα της διφασικής ροής, δεδοµένου ότι χαρακτηρίζεται από αλληλεπίδραση των δύο φάσεων (σε οµορροή ή αντιρροή) µε τις σχετικά κινούµενες διεπιφάνειες των δύο ρευστών να έχουν γενικά άγνωστη µορφή και να µπορούν να κατανεµηθούν εντός του καναλιού -όπου εξελίσσεται η ροή- µε διάφορους τρόπους, επηρεάζοντας έτσι τη διαµόρφωση του συνολικού πεδίου ροής. Για την κατακόρυφη διφασική αντιρροή ειδικότερα, για την οποία η επίδραση της βαρύτητας είναι σηµαντική, η διαµόρφωση και διατήρησή της ελέγχεται από τη διεπιφανειακή τριβή

26 2 µεταξύ των φάσεων που αυξάνει ανάλογα µε την σχετική ταχύτητά τους. Για δεδοµένη γεωµετρία και φυσικές ιδιότητες των φάσεων υπάρχει µια συγκεκριµένη µέγιστη σχετική ταχύτητα, η οποία αντιστοιχεί σε οριακή διατήρηση της αντιρροής. Για µεγαλύτερες ταχύτητες παρατηρείται έναρξη της πληµµύρισης, δηλαδή συµπαρασυρµός µέρους της υγρής φάσης από την αέρια. Η πληµµύριση παρουσιάζει σηµαντικό ενδιαφέρον για διάφορες συσκευές βιοµηχανικών διεργασιών, αφού έχει ως αποτέλεσµα την παρεµπόδιση έως και διακοπή της οµαλής λειτουργίας τους. Τυπικές περιπτώσεις είναι οι µικρού όγκου (compact) συµπυκνωτές µε επαναρροή (reflux condensers), καθώς και οι αναβραστήρες (thermosyphon reboilers) όπου η πληµµύριση µπορεί να δηµιουργήσει σοβαρά προβλήµατα. Άλλη σηµαντική περίπτωση εµφανίζεται στη λειτουργία των πυρηνικών αντιδραστήρων, των οποίων το κεντρικό τµήµα (πυρήνας) καλύπτεται εξωτερικά από κάποιο ψυκτικό µέσο (συνήθως νερό). Ενδεχόµενη απώλεια πίεσης είναι δυνατόν να οδηγήσει σε εξάτµιση του ψυκτικού µέσου οπότε θα πρέπει να διοχετευθεί νέα, επιπρόσθετη ποσότητα ώστε να διατηρηθεί η ασφαλής λειτουργία του αντιδραστήρα. Για αυτή την ποσότητα θα πρέπει να υπάρχει πρόβλεψη να είναι επαρκής ώστε η ροή της να εξακολουθήσει να είναι καθοδική, παρά την αντιρροή του ατµοποιηµένου ψυκτικού, και να συνεχίσει την ψύξη του αντιδραστήρα που διαφορετικά λόγω των υ- ψηλών θερµοκρασιών µπορεί να καταστραφεί. Μια ειδική κατηγορία συµπυκνωτών που ενδιαφέρει την παρούσα διατριβή, είναι µορφής εναλλακτών πλακών (plate heat exchangers) οι οποίοι ανήκουν στις συσκευές διεργασιών µικρών διαστάσεων (compact devices) και τείνουν να υποκαταστήσουν τα τελευταία χρόνια τους συµβατικούς εναλλάκτες κελύφους-αυλών. Η ευρεία χρησιµοποίησή τους δεν οφείλεται µόνο στο µικρό µέγεθός τους, αλλά και στη σηµαντική συνεισφορά τους στην εξοικονόµηση ενέργειας δεδοµένου ότι µπορούν να εξασφαλίσουν υψηλούς ρυθµούς µεταφοράς θερµότητας ακόµη και για σχετικά µικρές παροχές υγρής φάσης (Wadekar, 2000). Η ανάγκη διατύπωσης αξιόπιστων σχέσεων για το σχεδιασµό τέτοιων συσκευών µικρών διαστάσεων αποτελεί το έναυσµα για τη µελέτη της διφασικής αντιρροής σε κανάλια µε µικρό διάκενο. Οι εναλλάκτες πλακών ειδικότερα, συνίστανται από επάλληλες µεταλλικές πλάκες µε κυµατοειδή επιφάνεια (corrugated plates) συνήθως, οι οποίες τοποθετούνται ώστε να δίνουν ένα πρότυπο «διασταυρούµενης» ροής. Αυτό το µοντέλο ροής που επιβάλλει η γεωµετρική τους διαµόρφωση θα µπορούσε να θεωρηθεί -κατά µία απλουστευµένη προσέγγιση- ως συνδυασµός δύο ξεχωριστών προτύπων ροής της αντιρροής που εξελίσσεται στα µικρά κανάλια (κυλινδρικούς αγωγούς) που δηµιουργούνται λόγω των πτυχώσεων επί της επιφάνειας των πλακών,

27 Εισαγωγή 3 και της αντιρροής µέσα σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής µε µικρό διάκενο. Οι προαναφερόµενες συσκευές απαρτίζονται από επιφάνειες µε ύψος της τάξεως του ενός µέτρου (1m), όπου ρέουν λεπτές στιβάδες υγρού υπό διαµόρφωση (developing liquid films), ενώ κινούνται κατ αντιρροή ατµοί ή αέρια. Αυτά τα πεδία διφασικής ροής χαρακτηριζόµενα από λεπτές, αναπτυσσόµενες στιβάδες υγρού µε σχετικά µικρούς αριθµούς Reynolds, Re, ενδιαφέρουν ιδιαίτερα την παρούσα διατριβή. Σκοπός της διατριβής Παρά το γεγονός ότι τα τελευταία χρόνια έχουν παρουσιαστεί στη διεθνή βιβλιογραφία αρκετές εργασίες σχετικές µε τη διφασική αντιρροή και κατ επέκταση µε το φαινόµενο της πληµµύρισης, οι διαθέσιµες πληροφορίες για το συγκεκριµένο είδος ροής εντός καναλιών µε ορθογωνική διατοµή είναι εξαιρετικά περιορισµένες. Πιο συγκεκριµένα, οι περισσότερες µελέτες αναφέρονται σε αντιρροή υγρού-αερίου εντός αγωγών σχετικά µεγάλης διαµέτρου D (>5cm) και µεγάλου µήκους (>2m) για την περίπτωση µεγάλων αριθµών Reynolds του υγρού, Re (Re >1000) και αφορούν σε σχεδόν δια- µορφωµένη ροή για την υγρή φάση. Στην παρούσα εργασία, ο Re ορίζεται ως εξής: Re 4Γ = (1-1) µ όπου Γ είναι η µαζική ροή της υγρής φάσης ανά µονάδα πλάτους της πλάκας, ρ και µ η πυκνότητα και το δυναµικό της ιξώδες αντίστοιχα. Σηµειώνεται ότι η πλειοψηφία των διαθέσιµων πειραµατικών δεδοµένων για διφασική αντιρροή εντός κατακόρυφης -ή κεκλιµένης γενικότερα- γεωµετρίας βασίζεται κατά κύριο λόγο σε οπτικές παρατηρήσεις και αφορά στις κρίσιµες φαινοµενικές ταχύτητες πληµµύρισης της υγρής και της αέριας φάσης. Οι φαινοµενικές ταχύτητες των δύο φάσεων (U S και U GS για το υγρό και το αέριο αντίστοιχα) ορίζονται µε βάση την διατοµή Α του καναλιού, εντός του οποίου εξελίσσεται η ροή: U S, GS Q G, = (1-2) A όπου Q, Q G είναι η ογκοµετρική παροχή της υγρής και της αέριας φάσης αντίστοιχα. Οι ταχύτητες αυτές καθορίζουν και τα όρια της αντιρροής των δύο φάσεων, καθώς για δεδοµένη παροχή της µιας φάσης υπάρχει µια ορισµένη κρίσιµη ταχύτητα της άλλης φάσης για την οποία ξεκινά η πληµµύριση. Σκοπός της διατριβής είναι να συµβάλλει στην κατανόηση της διφασικής αντιρροής (στη µελέτη της οποίας επικεντρώνεται κυρίως), αλλά και του φαινοµένου της

28 4 πληµµύρισης, σε κατακόρυφο κανάλι ορθογωνικής διατοµής σχετικά µικρού διακένου (1cm) και µικρού µήκους (38cm). Το κανάλι αυτό µπορεί να θεωρηθεί κατά µια απλουστευµένη προσέγγιση ότι προσοµοιάζει σε ένα ανεξάρτητο «στοιχείο» ενός τυπικού ε- ναλλάκτη πλακών. H παρούσα εργασία αποσκοπεί στην καλύτερη κατανόηση των χαρακτηριστικών ροής σε συσκευές µικρών διαστάσεων µε στενή γεωµετρία και κατ επέκταση στη βελτιστοποίηση του σχεδιασµού και της λειτουργίας τους. Η µελέτη διεξάγεται στην περιοχή των σχετικά µικρών Re (60<Re <350) και υψηλών αριθµών Kapitza, Κα (1650<Ka<3500), ο οποίος ορίζεται ως εξής: Ka σ ρ = µ µ g 1/3 (1-3) όπου σ είναι η επιφανειακή της τάση του υγρού. Οι παραπάνω περιοχές τιµών για τους αριθµούς Re και Κα είναι ιδιαίτερης σηµασίας για τις προαναφερθείσες εφαρµογές. οµή και περιεχόµενο της διατριβής Η παρούσα διατριβή εκτός από οπτικές παρατηρήσεις της ροής (η οποία για την περίπτωση της υγρής στιβάδας θα πρέπει να υπογραµµιστεί ότι είναι υπό διαµόρφωση) και προσδιορισµό των κρίσιµων ταχυτήτων πληµµύρισης, επεκτείνεται και στη µελέτη των ειδικών χαρακτηριστικών της υγρής στιβάδας (µε ή χωρίς αντιρροή αέρα). Καταρχήν, επιχειρούνται προκαταρκτικές ποιοτικές παρατηρήσεις της επιφανειακής διαµόρφωσης της στιβάδας µε ψηφιακή καταγραφή (βιντεοσκόπηση) της εξέλιξης της ροής σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του καναλιού. Παράλληλα εξετάζονται το πάχος της υγρής στιβάδας και η διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος αγωγού. Στη µελέτη αυτή διερευνάται και η επίδραση επί της ροής των φυσικών ιδιοτήτων της υγρής φάσης και πιο συγκεκριµένα της επιφανειακής τάσης σ, µε χρήση τριών διαφορετικών υγρών µε µικρή διαφορά στις τιµές ιξώδους και πυκνότητας, αλλά µε σχετικά σηµαντική διαφορά στις τι- µές επιφανειακής τάσης. Ιδιαίτερη µελέτη γίνεται για την ελευθέρως ρέουσα υγρή στιβάδα και ειδικότερα για τα χαρακτηριστικά των επιφανειακών κυµάτων που αναπτύσσονται υπό την επίδραση της βαρύτητας, τα οποία θεωρείται ότι επηρεάζουν σηµαντικά τη διαµόρφωση της αντιρροής και συνδέονται κατ επέκταση µε το µηχανισµό της πληµµύρισης.

29 Εισαγωγή 5 Το περιεχόµενο της παρούσας διατριβής κατανέµεται σε πέντε (5) κύρια κεφάλαια: Στο Κεφάλαιο 2 παρατίθεται βιβλιογραφική επισκόπηση του υπό µελέτη αντικειµένου στην οποία περιλαµβάνονται και οι αντίστοιχες αναφορές για την ελευθέρως ρέουσα υγρή στιβάδα. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφεται ο πειραµατικός εξοπλισµός και οι τεχνικές µέτρησης που εφαρµόζονται στην εργασία. Για τη συλλογή των πειραµατικών δεδοµένων χρησιµοποιούνται µια αγωγιµοµετρική και µια ηλεκτροχηµική τεχνική για τη µέτρηση του πάχους της υγρής στιβάδας και της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος καναλιού, αντίστοιχα. Τα πειράµατα διεξάγονται µε ροή της υγρής φάσης κατά µήκος της µιας ή και των δύο πλακών του καναλιού, µε ή χωρίς αντιρροή αέρα. Οι ο- πτικές παρατηρήσεις της διαµόρφωσης της ροής της υγρής στιβάδας (µε ή χωρίς α- ντιρροή αέρα) οι οποίες συµπληρώνουν τη φυσική εικόνα του φαινοµένου υποστηρίζονται από κινηµατογράφιση µε χρήση βιντεοκάµερας ταχείας καταγραφής. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται ο τρόπος συλλογής των πειραµατικών δεδοµένων και οι µέθοδοι στατιστικής ανάλυσης και επεξεργασίας. Στο Κεφάλαιο 5 περιλαµβάνεται η ανάλυση και η ερµηνεία των αποτελεσµάτων της εργασίας σε δυο ενότητες, δηλαδή για τις περιπτώσεις ελευθέρως ρέουσας στιβάδας και διφασικής αντιρροής. Η στατιστική επεξεργασία των χρονοσειρών του πάχους της υγρής στιβάδας και της διατµητικής τάσης, επιτρέπει τον προσδιορισµό των τοπικών µέσων χρονικών τιµών και των τυπικών αποκλίσεων των µεγεθών αυτών. Από τη φασµατική ανάλυση των χρονοσειρών προκύπτουν οι χαρακτηριστικές συχνότητες των κυµάτων της διεπιφάνειας, ενώ µε περαιτέρω επεξεργασία και ανάλυση των δεδοµένων του πάχους παρέχεται η δυνατότητα προσδιορισµού βασικών χαρακτηριστικών της υγρής στιβάδας. Με βάση τις παραπάνω πειραµατικές µετρήσεις και την ανάλυσή τους παρουσιάζεται ένα απλό φαινοµενολογικό µοντέλο συσχέτισης των δεδοµένων του πάχους στιβάδας και της διατµητικής τάσης σε συνθήκες αντιρροής. Στο Κεφάλαιο 6 ολοκληρώνεται η διατριβή µε την παράθεση των βασικών συµπερασµάτων και τη διατύπωση ενδεικτικών προτάσεων για περαιτέρω έρευνα της διφασικής αντιρροής σε ανάλογες γεωµετρίες µικρών διαστάσεων.

30

31 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ 2.1 ΙΦΑΣΙΚΗ ΑΝΤΙΡΡΟΗ ΚΑΙ ΠΛΗΜΜΥΡΙΣΗ Γενική περιγραφή Η διαµόρφωση της ροής ενός υγρού µε τη µορφή λεπτής στιβάδας κατά µήκος µιας κατακόρυφης ή γενικότερα κεκλιµένης επιφάνειας εξαρτάται από την παροχή του υγρού και τις ιδιότητές του, αλλά και από τα χαρακτηριστικά της επιφάνειας, την κλίση της και από την ύπαρξη ή όχι ροής αερίου παράλληλα προς αυτή της υγρής στιβάδας. Η ροή του υγρού µπορεί να είναι γενικά στρωτή, σε µεταβατική κατάσταση, ή τυρβώδης και η επιφάνειά του να καλύπτεται από µικρά διδιάστατα ή µεγαλύτερα τρισδιάστατα κύµατα. Η αντιρροή ενός αερίου σε άµεση επαφή µε το υγρό µπορεί να επιφέρει από ασήµαντες ως πολύ µικρές αλλαγές στη διαµόρφωση της ροής του τελευταίου όταν η παροχή της αέριας φάσης είναι σχετικά χαµηλή. Περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας του αερίου όµως προκαλεί αστάθεια στη ροή της υγρής στιβάδας και µπορεί να επιφέρει σηµαντική παραµόρφωση στη δοµή της κυµατοειδούς επιφάνειας του υγρού, µέχρι και µεταφορά µέρους του, κατά τη φορά ροής του αερίου, εµποδίζοντας έτσι τη διατήρηση της διφασικής αντιρροής. Γενικά, η ανάπτυξη και η σταθεροποίηση της διφασικής αντιρροής ενός υγρού και ενός αερίου που εισάγονται ταυτόχρονα σε κατακόρυφο κανάλι και βρίσκονται σε άµεση επαφή, επηρεάζεται σηµαντικά από τις δυνάµεις που οφείλονται στη βαρύτητα και τις αντίστοιχες που οφείλονται στη διεπιφανειακή τριβή µεταξύ των δύο φάσεων η επίδραση της τελευταίας ειδικά, στη διατήρηση της αντιρροής, µεγαλώνει µε αύξηση της σχετικής ταχύτητας των δύο φάσεων. Εποµένως, για δεδοµένη γεωµετρία και φυσικές ιδιότητες των δύο φάσεων υπάρχει µια µέγιστη ταχύτητα αέριας φάσης (για συγκεκριµένη παροχή υγρού) η τιµή της οποίας καθορίζει και την οριακή διατήρηση της α- ντιρροής. Για µεγαλύτερες τιµές της εµφανίζεται η πληµµύριση, δηλαδή ο συµπαρασυρµός µέρους της υγρής φάσης από την αέρια, ενώ περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας

32 8 του αερίου µπορεί να οδηγήσει και σε ανοδική οµορροή των δύο φάσεων (Bankoff & ee, 1986). Στο ακόλουθο Σχήµα 2-1 όπου απεικονίζονται τα στάδια µετάβασης από την αρχική αντιρροή στην τελική κατάσταση της οµορροής, ως συνάρτηση της ταχύτητας του αερίου, διευκρινίζεται και ο ορισµός της πληµµύρισης σε κατακόρυφο αγωγό σχετικά µεγάλης διαµέτρου. Η υγρή φάση θεωρείται ότι εισάγεται στον αγωγό µέσω πορώδους τοιχώµατος µε τη µορφή λεπτής στιβάδας στα τοιχώµατα του αγωγού και εξάγεται ο- µαλά, χωρίς διαταραχές, από το κάτω µέρος του. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχήµα 2-1. Μετάβαση διφασικής ροής υγρού-αερίου από την κατάσταση της αντιρροής σε εκείνη της οµορροής σε κατακόρυφο αγωγό (Hewitt, 1995). Απουσία αέρα ή σε χαµηλές παροχές αέριας φάσης η ρέουσα υγρή στιβάδα συνεχίζει να ρέει χωρίς µεταβολές στα χαρακτηριστικά της (Σχήµα 2-1α), αλλά καθώς η ταχύτητα του αερίου αυξάνεται σταδιακά, αυξάνονται και οι διαταραχές στην επιφάνεια του υγρού, η οποία γίνεται περισσότερο κυµατοειδής. Εντονότερη αλληλεπίδραση προκαλεί την αποκοπή σταγόνων από την επιφάνεια των κυµάτων και το συµπαρασυρµό τους από το αέριο, µε αποτέλεσµα µεταφορά µέρους της υγρής φάσης πάνω από το ση- µείο εισόδου της στον αγωγό (Σχήµα 2-1β). Αυτή η κατάσταση αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης (onset of flooding). Με περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας του αέρα (και πριν επέλθει οµορροή των δύο φάσεων), είναι δυνατόν να διατηρηθεί µεν η καθο-

33 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 9 δική ροή του υγρού αλλά να υφίσταται ταυτόχρονα και ανοδική ροή µε τη µορφή αναρριχόµενης υγρής στιβάδας (climbing film) η κατάσταση αυτή αναφέρεται στη βιβλιογραφία (π.χ. Bankoff & ee, 1986 Hewitt, 1995) ως µερική µεταφορά υγρού (partial delivery flow rate) (Σχήµατα 2-1γ & 2-1δ). Η εκτίµηση της έναρξης της πληµµύρισης γίνεται συνήθως µε οπτικές παρατηρήσεις, και µπορεί να θεωρηθεί ότι υφίσταται είτε όταν η επιφάνεια του υγρού γίνεται σαφώς ασταθής µε το σχηµατισµό διαφόρων κυµατοειδών δοµών µεγάλου ύψους, είτε κατά την αποκοπή των πρώτων σταγόνων, είτε κατά την πλήρη αναστροφή της ροής του υγρού (π.χ. Bankoff & ee, 1986). Η εκτίµηση αυτή αποτελεί εποµένως ένα καθαρά υποκειµενικό κριτήριο, όπως χαρακτηριστικά αναφέρουν οι Bankoff & ee (1986), οι οποίοι σηµειώνουν επίσης ότι το κριτήριο που θα χρησιµοποιηθεί δεν επηρεάζει σηµαντικά τον προσδιορισµό της οριακής τιµής της σχετικής ταχύτητας των δύο φάσεων, αφού το φαινόµενο της πληµµύρισης συµβαίνει ακαριαία και τα παραπάνω στάδια λαµβάνουν χώρα σχεδόν ταυτόχρονα ή για τιµές σχετικής ταχύτητας που διαφέρουν ελάχιστα µεταξύ τους Πληµµύριση Βασικοί συσχετισµοί Η διφασική αντιρροή και ειδικότερα το φαινόµενο της πληµµύρισης έχει µελετηθεί ευρύτατα τις τελευταίες δεκαετίες και αρκετές εργασίες έχουν δηµοσιευθεί σχετικά µε τους παράγοντες που το επηρεάζουν. Επίσης, ένας µεγάλος αριθµός συσχετισµών έχουν προταθεί για την πρόβλεψη των κρίσιµων ταχυτήτων πληµµύρισης των δύο φάσεων. Οι περισσότερες δηµοσιεύσεις ωστόσο αναφέρονται σε µεγάλους αριθµούς Re και αγωγούς µεγάλου µήκους, όπου η ροή είναι διαµορφωµένη. Σε µια εκτεταµένη βιβλιογραφική ανασκόπηση που παρουσιάστηκε από τους Bankoff & ee (1986) αναφέρθηκαν τα κυριότερα αναλυτικά (θεωρητικά) µοντέλα που αναπτύχθηκαν για την πρόβλεψη της έναρξης του φαινοµένου της πληµµύρισης, αλλά και ένας σηµαντικός αριθµός εµπειρικών συσχετίσεων οι οποίες προέκυψαν κυρίως από µελέτη του φαινοµένου για την περίπτωση δακτυλιοειδούς ροής (annular flow) σε αγωγούς µεγάλης διαµέτρου. Μια παρόµοια ανασκόπηση από τον Hewitt (1995) αναφέρεται επίσης σε δακτυλιοειδή αντιρροή και εστιάζεται κυρίως στη σχέση του µηχανισµού πληµµύρισης µε την ανάπτυξη και τη δοµή των κυµάτων διαταραχής (disturbance waves) σε αυτή διερευνάται επίσης και η επίδραση, στην έναρξη της πληµµύρισης, του τύπου και του σχήµατος των διατάξεων εισόδου και εξόδου της υγρής και της αέριας

34 10 φάσης. Μια ακόµη ενδιαφέρουσα ανασκόπηση από τους McQuillan & Whalley (1985) επικεντρώνεται στη συγκέντρωση ενός µεγάλου αριθµού δηµοσιευµένων δεδοµένων πληµµύρισης και στη σύγκρισή τους µε διάφορες προταθείσες εµπειρικές συσχετίσεις. Οι παραπάνω δηµοσιεύσεις όπως επίσης και ένας µεγάλος αριθµός µελετών (π.χ. Sudo et al., 1991 Koizumi & Ueda, 1996 Jeong & No, 1996 Wongwises, 1998 Vijayan et al., 2001) οδήγησαν στο συµπέρασµα ότι οι κυριότεροι παράγοντες που επηρεάζουν το µηχανισµό της πληµµύρισης, είναι: ο τύπος του καναλιού εντός του οποίου εξελίσσεται η διφασική αντιρροή (γεω- µετρία, διαστάσεις και κλίση), ο τύπος και το σχήµα των διατάξεων εισόδου και εξόδου των δύο φάσεων, οι φυσικές ιδιότητες και των δύο ρευστών. Ο σχετικά µεγάλος αριθµός των παραπάνω παραµέτρων που σχετίζονται µε την έ- ναρξη της πληµµύρισης δικαιολογεί εν µέρει την αδυναµία ανάπτυξης ενός γενικευµένου µοντέλου πρόβλεψης της πληµµύρισης. Ο παλαιότερος και ευρύτερα χρησιµοποιούµενος συσχετισµός -λόγω της απλής µορφής του- για την εκτίµηση της έναρξης της πληµµύρισης σε κατακόρυφους αγωγούς προτάθηκε από τον Wallis (1969), και δίδεται από την ακόλουθη σχέση: όπου U + C U = C (2.1-1) * * G 1 2 U U * G * = U = U GS S ρg gd( ρ ρ ) G ρ gd( ρ ρ ) G (2.1-2) (2.1-3) µε την τιµή των παραµέτρων C 1 = και C 2 = , να εξαρτάται κυρίως από τη γεωµετρία του αγωγού. Στις παραπάνω αδιάστατες ποσότητες, U GS και U S είναι οι φαινοµενικές ταχύτητες της αέριας και της υγρής φάσης αντίστοιχα, ρ G και ρ οι πυκνότητες των δύο φάσεων, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και D η διάµετρος του αγωγού. Ο συσχετισµός αυτός βασίζεται σε πειραµατικά δεδοµένα και εφαρµόζεται µε σχετική ε- πιτυχία κυρίως στην περίπτωση αγωγών µεγάλης διαµέτρου (D>3cm) και µόνο εφόσον οι τιµές του Re δεν είναι πολύ µικρές ή πολύ µεγάλες (Bankoff & ee, 1986). Αρκετές τροποποιήσεις αυτού του συσχετισµού συναντώνται συχνά στη βιβλιογραφία προκειµένου να ληφθούν υπόψη και ορισµένες άλλες ιδιότητες των ρευστών εκτός της πυκνότητας συχνά δε, όταν η γεωµετρία του καναλιού δεν είναι κυκλική χρησιµοποιείται κά-

35 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 11 ποιο άλλο ισοδύναµο µήκος, D e, αντί της διαµέτρου D (π.χ. Osakabe & Kawasaki, 1989 Zapke & Kroeger, 2000a, b). Αναφορικά µε τoυς µηχανισµούς που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία σχετικά µε την έναρξη της πληµµύρισης σε κατακόρυφα κανάλια, οι περισσότερες πρόσφατες µελέτες συγκλίνουν σε δύο κύριες κατηγορίες (π.χ. acy & Dukler, 1994 Hewitt, 1995, Mouza et al., 2002). Η µια από αυτές δέχεται ότι η έναρξη της πληµµύρισης λαµβάνει χώρα µε µεταφορά (κατά τη φορά ροής του αερίου) των κυµάτων που δηµιουργούνται κοντά στην έξοδο του υγρού, ενώ η άλλη κατηγορία συσχετίζει την πληµµύριση µε την αστάθεια των διεπιφανειακών κυµάτων, τα οποία διογκώνονται καταρχήν υπό την επίδραση του αερίου και τελικά διασπώνται δίνοντας σταγόνες υγρού (οι οποίες αποκόπτονται από την επιφάνειά τους) που συµπαρασύρονται από το αέριο. Σηµειώνεται ότι τα κύµατα αυτά, πριν διασπαστούν, είναι δυνατόν να οδηγήσουν σε απόφραξη της διατοµής του καναλιού όπου εξελίσσεται η αντιρροή, ανάλογα µε τα γεωµετρικά του χαρακτηριστικά και την παροχή της υγρής φάσης. Στην τελευταία κατηγορία ανήκουν δύο από τις παλαιότερες προσπάθειες διατύπωσης θεωρητικών µοντέλων στα οποία η έναρξη της πληµµύρισης είναι το αποτέλεσµα της διεπιφανειακής αστάθειας που προκαλείται από τις δύο φάσεις σε αντιρροή. Πιο συγκεκριµένα οι Shearer & Davidson (1965) υπέθεσαν ότι η έναρξη της πληµµύρισης λαµβάνει χώρα όταν κάποιο από τα επιφανειακά κύµατα «καθηλώνεται» λόγω της εξισορρόπησης του βάρους του από δυνάµεις οπισθέλκουσας και δυνάµεις πίεσης οι οποίες ασκούνται από την αντιρροή της αέριας φάσης. Το ύψος ενός τέτοιου «καθηλωµένου κύµατος» (standing wave) είναι πολύ ευαίσθητο ακόµη και σε ελάχιστη αύξηση της ταχύτητας του αερίου και µπορεί έτσι να αυξηθεί πολλαπλάσια του µέσου πάχους. Η θεωρία τους προβλέπει ουσιαστικά αυτήν ακριβώς την κρίσιµη ταχύτητα της αέριας φάσης που οδηγεί στη δηµιουργία καταρχήν του «καθηλωµένου» κύµατος. Στη µελέτη που παρουσιάστηκε από τους Cetinbudaklar & Jameson (1969) επιχειρήθηκε η πρόβλεψη µιας αντίστοιχης κρίσιµης ταχύτητας αερίου. Η τιµή αυτή σχετίστηκε µε τη δυνατότητα σηµαντικής αύξησης του µεγέθους των καθοδικά κινούµενων κυµάτων επί της επιφάνειας του υγρού και την απόφραξη στη συνέχεια της διατοµής του αγωγού, που αποτελεί και το σηµείο έναρξης της πληµµύρισης. Σε ορισµένες άλλες προσπάθειες διερεύνησης του φαινοµένου της πληµµύρισης έχουν αναπτυχθεί φαινοµενολογικά µοντέλα στα οποία λαµβάνεται υπόψη και η διεπιφανειακή τριβή µεταξύ των δύο φάσεων προκειµένου να καθοριστούν οι οριακές συνθήκες διατήρησης της αντιρροής. Αναφέρονται ενδεικτικά οι εργασίες των Richter

36 12 (1981) και Bharathan & Wallis (1983) οι οποίες βασίστηκαν στην ταυτόχρονη επίλυση µονοδιάστατων ισοζυγίων ορµής για τη συνολική διατοµή του αγωγού (στοιχειώδης όγκος Ι) και για τη διατοµή του αγωγού που αντιστοιχεί στο χώρο ροής του αερίου (στοιχειώδης όγκος ΙΙ), όπως φαίνεται στο Σχήµα Σε µόνιµες συνθήκες ροής και µε την υπόθεση της οµοιόµορφης κατανοµής της υγρής στιβάδας περιµετρικά του αγωγού, τα ισοζύγια αυτά εκφράζονται µε τις παρακάτω σχέσεις: dp 2 2 π D π + τπ w D= [ ρ(1 α) + ρα G ] g D (2.1-4) dx dp πd πd a τπ i D a = ρgg α (2.1-5) dx 4 4 Σχήµα Ισοζύγιο δυνάµεων σε διφασική δακτυλιοειδή αντιρροή εντός κατακόρυφου αγωγού (Richter, 1981 Bharathan & Wallis, 1983). όπου: τ w τ i α η διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος αγωγού, η διεπιφανειακή διατµητική τάση και το κλάσµα κενού για την αέρια φάση, το οποίο αν ο όγκος των διεσπαρµένων

37 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 13 σταγόνων της υγρής φάσης θεωρηθεί αµελητέος υπολογίζεται από τη σχέση: π ( 2 ) 4 a = = 1 2 π D dx 4 2 D h dx 2h D 2 (2.1-6) Με την υπόθεση ότι η πτώση πίεσης dp/dx είναι ίδια και στις δύο φάσεις αποδεικνύεται ότι: 4τw 4τi + = ( ρ ρg) g (1 α) (2.1-7) D D α Η παραπάνω εξίσωση για την επίλυσή της προϋποθέτει και τον ορισµό των διατµητικών τάσεων τ w και τ i. Η διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος αγωγού τ w ορίζεται µε βάση έναν συντελεστή τριβής f w και τη µέση ταχύτητα της υγρής φάσης <u> : ρu τw = fwρ < u > = fw 2 2 (1 α) S 2 (2.1-8) Για τον υπολογισµό του συντελεστή τριβής για στρωτή ροή σε αγωγούς χρησιµοποιείται η ακόλουθη σχέση: f w = D H 16 µ < u > ρ όπου D H η υδραυλική διάµετρος του τµήµατος του αγωγού που ρέει η υγρή φάση: D H 2 2 πd πd α (2.1-9) 4 = 4 = D(1 α) (2.1-10) π D Αρκετοί ερευνητές χρησιµοποιούν προσεγγιστικές τιµές για τον συντελεστή τριβής, όπως αυτές που προτείνουν ο Richter (1981) και οι Bharathan & Wallis (1983) και είναι ίσες προς f w =08 και f w =05 αντίστοιχα. Η διατµητική τάση στη διεπιφάνεια αερίου-υγρού ορίζεται µε ανάλογο τρόπο µε τη διατµητική τάση τ w, βάσει ενός συντελεστή τριβής f i από την ακόλουθη σχέση: τ 1 ( ) 2 i = fiρg UGR + us (2.1-11) 2 όπου U GR είναι η µέση πραγµατική ταχύτητα του αερίου (που υπολογίζεται µε βάση την πραγµατική διατοµή που αντιστοιχεί στη ροή του αερίου) και u s η ταχύτητα της υγρής στιβάδας στην επιφάνειά της. Σηµειώνεται ότι κατά την έναρξη της πληµµύρισης ισχύει συνήθως: U GR >>u s, όποτε αν ληφθεί επίσης υπόψη ότι για λεπτές στιβάδες και σχετικά

38 14 µεγάλη διάµετρο αγωγών είναι: U GR U GS, µπορεί να γίνει τελικά η ακόλουθη απλοποίηση: U GR +u s U GS. Από τις παραπάνω σχέσεις, ο Richter (1981) υποθέτοντας ένα συγκεκριµένο σχή- µα για τα διεπιφανειακά κύµατα κατέληξε στην ακόλουθη εξίσωση για την εκτίµηση των ταχυτήτων πληµµύρισης: fw 3 *6 *2 *4 *2 Bo UG U + fwboug fwu G = 1 (2.1-12) 4 Σε ανάλογη σχέση κατέληξαν και οι Bharathan & Wallis (1983): *2 *2 2fU i G 2fwU + = 1 α 5/2 2 α ( 1 α ) (2.1-13) Όσον αφορά στον προσδιορισµό του συντελεστή τριβής f i έχουν προταθεί διάφορες εµπειρικές συσχετίσεις, όπως η ακόλουθη που παρουσιάστηκε από τον Wallis (1969) για την περίπτωση κυµατοειδούς δακτυλιοειδούς ροής (wavy annular flow): h fi = fw (2.1-14) D Ανάλογος συσχετισµός για την περίπτωση της αντιρροής σε κανάλια ορθογωνικής διατοµής προτείνεται από τον Sudo et al. (1996) και λαµβάνει υπόψη τις φυσικές ιδιότητες της υγρής φάσης (συµπεριλαµβανοµένης της επιφανειακής τάσης): h = + fi 08 1 C3 D e C4 (2.1-15) όπου D e είναι η υδραυλική διάµετρος του καναλιού, ενώ οι σταθερές C 3, C 4 ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: ( C + ) / Bo = (2.1-16) e C3 41.3Bo e 10 C = (2.1-17) Bo e Ο αριθµός Bond, Bo e, ορίζεται µε βάση την υδραυλική διάµετρο D e ως εξής: ( G) g Boe D ρ ρ = e σ 1/2 (2.1-18) Πιο πρόσφατα οι Vijayan et al. (2002) αναλύοντας τα πειραµατικά τους δεδοµένα για την περίπτωση αντιρροής εντός αγωγών σχετικά µεγάλης διαµέτρου, για Re >1000, πρότειναν τον ακόλουθο συσχετισµό: ( ρ ρ ) g G fi = 400ReS ReGS Bo have σ (2.1-19)

39 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 15 µε τους αριθµούς Re S και Re GS της υγρής και αέριας φάσης αντίστοιχα, να ορίζονται µε βάση τις φαινοµενικές ταχύτητες των φάσεων και τη διάµετρο του αγωγού. Αν και το φαινόµενο της πληµµύρισης έχει µελετηθεί ευρύτατα τις τελευταίες δεκαετίες, ωστόσο η διερεύνησή του σε περιπτώσεις µη διαµορφωµένης ροής για την υγρή στιβάδα, ή σε χαµηλούς Re είναι εξαιρετικά περιορισµένη. Ακόµη λιγότερα είναι τα δεδοµένα που αφορούν στα χαρακτηριστικά της ρέουσας υγρής στιβάδας σε αντιρροή µε αέριο ιδιαίτερα για την περίπτωση ροής σε κανάλια µη κυλινδρικής γεωµετρίας, για τα οποία η πληροφορία είναι σχεδόν ανύπαρκτη. Στην ακόλουθη ανασκόπηση, ιδιαίτερη βαρύτητα δίνεται σε µελέτες που σχετίζονται µε την αντιρροή υγρού-αερίου εντός ορθογωνικών καναλιών ωστόσο, επιχειρείται και µια σύντοµη αναφορά σε επιλεγµένες παρόµοιες µελέτες διφασικής αντιρροής για την περίπτωση αγωγών ιφασική αντιρροή και πληµµύριση σε ορθογωνικά κανάλια Μια από τις πρώτες πειραµατικές προσπάθειες διερεύνησης του φαινοµένου της πληµµύρισης σε διατοµή διαφορετική της κυκλικής παρουσιάστηκε από τους ee & Bankoff (1984) οι οποίοι διεξήγαγαν πειράµατα σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής µήκους 2.13m και πλάτους 38cm, για δύο διαφορετικά διάκενα (7.6 και 3.8cm) και τρεις διαφορετικές τιµές γωνίας κλίσης µε την οριζόντιο (4.5 ο, 30 ο και 87 ο ), για σχετικά µεγάλους αριθµούς Re (>800). Τα αποτελέσµατά τους, τα οποία αναφέρονται σε «διαχωρισµένη» αντιρροή νερού-ατµού (όπου µόνο η µια πλευρά του καναλιού διαβρέχεται), έδειξαν ότι για όλες τις γωνίες κλίσης η αντιρροή διευκολύνεται ιδιαίτερα στην περίπτωση του µικρότερου διακένου που εξετάσθηκε. Εξίσου σηµαντική προέκυψε και η επίδραση της γωνίας κλίσης στην υφιστάµενη διαµόρφωση της ροής κατά την έναρξη της πληµµύρισης. Έτσι, στην περίπτωση του σχεδόν οριζοντίου ή ελαφρά κεκλιµένου καναλιού δεν παρατηρήθηκε σηµαντική µεταβολή των χαρακτηριστικών των πλήρως διαµορφωµένων µεγάλων κυµάτων (roll waves) λόγω της επίδρασης του αέρα και η έ- ναρξη της πληµµύρισης έδειξε να ταυτίζεται µε εκείνη την οριακή κατάσταση για την οποία δεν µπορεί να διατηρηθεί περαιτέρω η αντιρροή. Αντίθετα, σε κατακόρυφη θέση, λίγο πριν την έναρξη της πληµµύρισης, οι ίδιοι ερευνητές παρατήρησαν ότι το πρότυπο ροής είναι αρκετά πιο πολύπλοκο, σχεδόν χαοτικό, χωρίς να υφίστανται κάποια καλά διαµορφωµένα κύµατα στην επιφάνεια της στιβάδας, ενώ το ίδιο το φαινόµενο εξελίσσεται κυρίως µε αποκοπή σταγόνων από την επιφάνεια του υγρού και συµπαρασυρµό τους από το αέριο. Εκτεταµένη διερεύνηση της διφασικής αντιρροής και του φαινοµένου της πληµµύρισης σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής για Re >2000 παρουσιάστηκε

40 16 από την Biage et al. (1989). Το κανάλι που χρησιµοποιήθηκε είχε πλάτος 25cm, σχετικά µεγάλο διάκενο (25mm) µεταξύ των παραλλήλων πλακών που το διαµορφώνουν και συνολικό µήκος 2.56m. Η µελέτη επικεντρώθηκε σε συγκεκριµένο τµήµα του καναλιού (µήκους 1.05m) και περιελάµβανε τοπικές µετρήσεις του πάχους στιβάδας, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος αυτού του τµήµατος, για την περίπτωση «διαχωρισµένης» αντιρροής νερού-αέρα. Οι οπτικές παρατηρήσεις αυτής της µελέτης έδειξαν ότι η έναρξη της πληµµύρισης σχετίζεται µε αποκοπή σταγόνων από την επιφάνεια της υγρής φάσης, πολύ κοντά στην είσοδο του υγρού, χωρίς όµως να λαµβάνει χώρα µεταφορά κυµάτων κατά τη ανοδική φορά ροής της αέριας φάσης. Πιο συγκεκριµένα, διαπιστώθηκε ότι στο κάτω µέρος του καναλιού και για τιµές παροχών αέριας φάσης πλησίον της έναρξης της πληµµύρισης, υφίσταται µεν αναστροφή ροής κάποιων µεγάλων κυµάτων, τα οποία όµως σχεδόν αµέσως φαίνεται να µην µπορούν να διατηρηθούν σε αυτή την ανοδική ροή, αλλά να «υποχωρούν» και τελικά να αποσβένονται. Η στατιστική ανάλυση των µετρήσεων του πάχους της υγρής στιβάδας συνέβαλλε στη διερεύνηση του µηχανισµού της πληµµύρισης και την επιβεβαίωση των οπτικών παρατηρήσεων. Οι Roy & Jain (1989) µελέτησαν τα χαρακτηριστικά ροής λεπτής στιβάδας υγρής φάσης κατά µήκος κεκλιµένης επίπεδης επιφάνειας µήκους 38cm και πλάτους 19cm, για τρεις διαφορετικές γωνίες κλίσης από το οριζόντιο επίπεδο (40 ο, 50 ο και 61 ο ), για διάφορες τιµές Re µεταξύ 800 και Από τα πειραµατικά τους δεδοµένα προέκυψε ότι το µέσο τοπικό πάχος της υγρής στιβάδας αυξάνεται µε αύξηση της παροχής του αέρα και µείωση της κλίσης. ιαπιστώθηκε επίσης ότι οι κυµατισµοί που αναπτύσσονται στην επιφάνεια του υγρού, λόγω της αντιρροής αέρα, έχουν αυξηµένο ύψος και χαρακτηρίζονται από χαµηλότερη συχνότητα συγκριτικά µε την περίπτωση ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (απουσία αέρα). Οι Zapke & Kroeger (2000a, b) διεξήγαγαν πειρά- µατα πληµµύρισης σε κεκλιµένα και κατακόρυφα κανάλια ορθογωνικής διατοµής (µε πλάτος και διάκενο που κυµαίνονται µεταξύ 50 και 150mm και 10 και 20mm αντίστοιχα) για τιµές Re >400 και εξέτασαν την επίδραση των διαστάσεων του καναλιού στη διαµόρφωση της ροής κατά την έναρξη της πληµµύρισης. ιαπίστωσαν ότι η κρίσιµη ταχύτητα της αέριας φάσης εξαρτάται σηµαντικά από το διάκενο και την κλίση του καναλιού και ότι το ιξώδες του υγρού φαίνεται να έχει ισχυρότερη επίδραση επί των δεδοµένων πληµµύρισης σε σχέση µε την τιµή της επιφανειακής τάσης. Οι ίδιοι ερευνητές σχολιάζουν ότι σε κάθε περίπτωση, η µείωση της επιφανειακής τάσης της υγρής φάσης συνοδεύεται από µείωση της ταχύτητας πληµµύρισης και προτείνουν ένα συσχετισµό

41 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 17 πρόβλεψης των δεδοµένων πληµµύρισης, στον οποίο λαµβάνονται υπόψη οι διαστάσεις των καναλιών που χρησιµοποιήθηκαν στη µελέτη τους και οι ιδιότητες των ρευστών: Fr G = 055 Fr Oh (2.1-20) όπου οι αριθµοί Froude Fr G και Fr της αέριας και της υγρής φάσης αντίστοιχα, ορίζονται µε βάση το πλάτος w και την υδραυλική διάµετρο D e του καναλιού, δηλαδή: Fr Fr G ρgu = gw 2 GS ( ρ ρ ) ρgu = gd 2 S G ( ρ ρ ) e G (2.1-21) (2.1-22) ενώ ο αριθµός Ohnesorge χρησιµοποιείται για να συµπεριληφθεί στο συσχετισµό η επίδραση των ιδιοτήτων του υγρού: Oh 2 = µ ρ D σ (2.1-23) e Οι Vlachos et al. (2001) παρουσίασαν δεδοµένα πληµµύρισης για κανάλια ορθογωνικής διατοµής µε διάκενο 5 και 10mm για Re µεταξύ 200 και 1500 και διαπίστωσαν την εξάρτηση του µηχανισµού και των ταχυτήτων πληµµύρισης από την τιµή του διακένου. Πιο συγκεκριµένα παρατήρησαν ότι το µικρότερο διάκενο διευκολύνει την έναρξη της πληµµύρισης (η οποία λαµβάνει χώρα κυρίως µε απόφραξη του καναλιού), ενώ για το µεγαλύτερο διάκενο το ίδιο φαινόµενο µπορεί να οφείλεται είτε στην αποκοπή σταγόνων από τους επιφανειακούς κυµατισµούς (για τιµές Re <400), είτε και σε απόφραξη του διακένου (για Re >400). «Πληµµύριση κορυφής» (top flooding) Οι Osakabe & Kawasaki (1989) µελέτησαν την πληµµύριση σε στενά κανάλια ορθογωνικής διατοµής (2x100, 5x100 και 10x100 mm 2 ) µήκους 1.23 m και σε κανάλια δακτυλιοειδούς γεωµετρίας, σε πειραµατικές διατάξεις στις οποίες η τροφοδοσία της υγρής φάσης δε γίνεται µέσω κάποιου πορώδους τµήµατος, αλλά µε υπερχείλισή της ε- ντός του καναλιού από µια µικρή δεξαµενή (upper plenum) τοποθετηµένη στο πάνω µέρος του (βλ. Σχ ). Σε συνθήκες πληµµύρισης κι ενώ έχει ήδη αρχίσει η αναστροφή µέρους της υγρής φάσης εντός του καναλιού, η περαιτέρω ανοδική ροή της και µεταφορά της εντελώς εκτός του καναλιού περιορίζεται από τη στάθµη του υγρού στη µικρή δεξαµενή στο πάνω µέρος. Το φαινόµενο αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία σαν

42 18 «πληµµύριση κορυφής» (top flooding) και είναι αρκετά διαφορετικό από το αντίστοιχο που εξετάζεται στην παρούσα εργασία, όπου η υγρή φάση εισάγεται στο κανάλι οµαλά µέσω πλευρικών πορώδων τµηµάτων. Τα δεδοµένα αυτών των ερευνητών αφορούν σε Re >500 και δεν αναφέρονται σε αυτή καθαυτή την έναρξη της πληµµύρισης στο χώρο του καναλιού (incipient flooding), αλλά στην περαιτέρω εξέλιξη του φαινοµένου, δηλαδή στη µεταφορά σηµαντικού µέρους της υγρής φάσης κατά τη φορά ροής του αερίου, πάνω από την κορυφή του καναλιού (partial delivery flow rate) αυτό σηµαίνει ότι η παροχή του υγρού κατά την τροφοδοσία του είναι διαφορετική από την παροχή του στο (α) (β) Πληµµύριση κορυφής Σχήµα (α) Πειραµατική διάταξη µελέτης του φαινοµένου της πληµµύρισης σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής, Osakabe & Kawasaki (1989). (β) Τυπική διαµόρφωση της αντιρροής σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής µε µικρό διάκενο για την περίπτωση χαµηλών και υψηλών ταχυτήτων αέρα (πληµµύριση κορυφής), Osakabe & Kawasaki (1989). κάτω µέρος του καναλιού. Ανάλογες µελέτες του φαινοµένου της πληµµύρισης σε κανάλια ορθογωνικής διατοµής µε παρόµοιο τρόπο εισαγωγής της υγρής φάσης (constant static head) αναφέρονται από τους arson et al. (1994), Sudo et al. (1991) και Sudo (1996). Οι arson et al. (1994) χρησιµοποιώντας ορθογωνικά κανάλια µε πολύ µικρό διάκενο (1.1 και 2.2mm) µελέτησαν την επίδραση της διαµόρφωσης της πειραµατικής τους διάταξης επί των δεδοµένων πληµµύρισης. ιαπίστωσαν ότι οι ταχύτητες πληµµύ-

43 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 19 ρισης επηρεάζονται λιγότερο από το µέγεθος του διακένου και τη θερµοκρασία της υ- γρής φάσης σε σχέση µε την επίδραση του τύπου, των διαστάσεων και της θέσης τοποθέτησης του διαχυτήρα αέρα (air injector). Οι Sudo et al. (1991) και Sudo (1996) επικεντρώθηκαν επίσης στη διερεύνηση της επίδρασης των διαστάσεων των καναλιών στην ταχύτητα πληµµύρισης. Παρατήρησαν έτσι, ότι η κρίσιµη ταχύτητα του αέρα αυξάνεται µε αύξηση του διακένου του καναλιού, σε αντίθεση µε το µήκος του που φαίνεται να έχει αµελητέα επίδραση επί των δεδοµένων πληµµύρισης. Ωστόσο, το βασικό τους συµπέρασµα προήλθε από τη σύγκριση µεταξύ των δεδοµένων πληµµύρισης που αφορούν σε διαφορετικές γεωµετρίες καναλιών. Πιο συγκεκριµένα, για τα ορθογωνικά κανάλια διαπιστώθηκε ότι η ταχύτητα πληµµύρισης του αέρα για την περίπτωση πολύ χαµηλών παροχών νερού τείνει να αυξάνεται απότοµα (σχεδόν ασυµπτωτικά) µε µείωση της ταχύτητας του νερού, σε αντίθεση µε τους αγωγούς που η αντίστοιχη τάση µείωσης είναι γραµµική. Οι ίδιοι ερευνητές µε χρήση των πειραµατικών τους δεδοµένων παρουσίασαν τον ακόλουθο συσχετισµό για την εκτίµηση των ταχυτήτων πληµµύρισης, στον οποίο λαµβάνεται υπόψη η επίδραση των διαστάσεων του καναλιού αλλά και αυτή της επιφανειακής τάσης του υγρού: Yb 2.1Xb = 1.3e (2.1-24) όπου οι αδιάστατοι αριθµοί X b και Y b ορίζονται ως εξής: 0.25 b Xb = 1.52 ( Bo ) U w * 1.3 * b (2.1-25) Y b b = 1.52 w 0.25 U * Gb (2.1-26) και Βο * είναι ένας τροποποιηµένος αριθµός Bond για κανάλι ορθογωνικής διατοµής που δίνεται από τη σχέση: * wb( ρ ρg) g Bo = (2.1-27) σ ενώ οι αδιάστατες ταχύτητες U * b και U * Gb ορίζονται µε χαρακτηριστικό µήκος το διάκενο του καναλιού b (βλ. Εξ & 2.1-3). Ο Sudo (1996) αξιοποιώντας βιβλιογραφικά δεδοµένα πληµµύρισης για ορθογωνικά και «δακτυλιοειδή» (annular) κανάλια (Mishima, 1984 Osakabe & Kawasaki, 1989 Bharathan & Wallis, 1979), σε συνδυασµό µε τα δεδοµένα των Sudo et al. (1991), πρότεινε τροποποίηση των σχέσεων που δίνουν τις αδιάστατες ποσότητες Χ b και Y b :

44 20 ( ) b * b = + b b X Bo U 0.72 w (2.1-28) Y b 1 b = 0.72 w 0.2 U * Gb (2.1-29) Oι προβλέψεις αυτού του συσχετισµού διαπιστώθηκε ότι είναι σε ικανοποιητική συµφωνία µε τα δεδοµένα πληµµύρισης (που χρησιµοποιήθηκαν για τη διαµόρφωσή του), ιδιαίτερα στην περιοχή των σχετικά υψηλών τιµών Re (>1000) και των µεγάλων τιµών του λόγου του πλάτους προς το διάκενο του καναλιού, w/b, (>15) ιφασική αντιρροή σε κατακόρυφους κυλινδρικούς αγωγούς Η µελέτη των Dukler et al. (1984) αποτελεί µια από τις πρώτες συστηµατικές προσπάθειες διερεύνησης της διφασικής αντιρροής σε αγωγούς, µε πειραµατικές µετρήσεις του πάχους και της πτώσης πίεσης εντός αγωγού εσωτερικής διαµέτρου 50.8mm και συνολικού µήκους 4.5m, για διάφορες τιµές Re >300. Οι µετρήσεις πραγ- µατοποιήθηκαν σε διάφορες θέσεις πάνω και κάτω από το σηµείο τροφοδοσίας της υ- γρής φάσης, µε σκοπό να µελετηθεί και η οµορροή των δύο φάσεων πάνω από την είσοδο του υγρού µετά την έναρξη της πληµµύρισης. Αυτά τα πειράµατα συνεχίστηκαν από τον Zabaras (1985) ο οποίος για την περίπτωση της διφασικής αντιρροής πραγµατοποίησε µετρήσεις σε δύο θέσεις κατά µήκος του αγωγού, δηλαδή µια πολύ κοντά στην τροφοδοσία (0.15m) και µια άλλη αρκετά χαµηλά (1.7m), σε περιοχή όπου η ροή µπορεί να θεωρηθεί διαµορφωµένη, για την ίδια περιοχή τιµών Re µε εκείνη των Dukler et al. (1984). Η υγρή φάση που χρησιµοποιήθηκε ήταν κατάλληλο ηλεκτροχηµικό διάλυµα το οποίο επέτρεψε την πραγµατοποίηση ταυτόχρονων τοπικών µετρήσεων του πάχους στιβάδας και της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος. Τα πειράµατά του έδειξαν ότι η έναρξη της πληµµύρισης σχετίζεται µε αναστροφή της ροής της υγρής στιβάδας που συµβαίνει σε περιοχή πολύ κοντά στην είσοδο της τροφοδοσίας. Παρατήρησαν µάλιστα ότι τουλάχιστον µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης, τα µεγάλα διεπιφανειακά κύµατα συνεχίζουν να κινούνται καθοδικά µε ταχύτητα ίδια σχεδόν µε αυτή που έχουν στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας και ότι δεν διογκώνονται ποτέ αρκετά -λόγω της αντιρροής του αέρα- τόσο ώστε να φράξουν τη διατοµή του αγωγού. Οι acy & Dukler (1994) διεξήγαγαν πειράµατα στο ίδιο αγωγό επικεντρώνοντας όµως τη µελέτη τους σε περιοχή µήκους 20cm γύρω από τη θέση τροφοδοσίας της υγρής φάσης. Οι ταυτόχρονες µετρήσεις του πάχους της υγρής στιβάδας και της πτώσης πίεσης σε

45 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 21 διάφορες θέσεις πάνω, κάτω και εντός του πορώδους τµήµατος τροφοδοσίας, επιβεβαίωσαν το µηχανισµό πληµµύρισης που προτάθηκε από τον Zabaras (1985). Οι Karimi & Kawaji (2000) µελέτησαν την δακτυλιοειδή αντιρροή υγρού-αέρα σε κατακόρυφο αγωγό µήκους 2.45m και εσωτερικής διαµέτρου 50.8mm, πραγµατοποιώντας µετρήσεις του πάχους στιβάδας και της κατανοµής της ταχύτητας σε απόσταση 1.5m από την είσοδο του υγρού, για σχετικά µεγάλους αριθµούς Re (>1400). Τα πειραµατικά τους δεδοµένα επιβεβαίωσαν το συµπέρασµα του Zabaras (1985) ότι τα µεγάλα διεπιφανειακά κύµατα δε φαίνεται να επιβραδύνονται σηµαντικά από την αντιρροή του αέρα, τουλάχιστον µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης. Συµπληρωµατική απόδειξη προς αυτή την κατεύθυνση προσέφεραν και οι µετρήσεις της κατανοµής ταχύτητας εντός της υγρής στιβάδας, οι οποίες έδειξαν ότι κατά την έναρξη της πληµµύρισης παρατηρείται µια σχετικά µικρή µείωση της ταχύτητας των κυµάτων η οποία όµως αφορά σε µια στενή περιοχή πολύ κοντά στη διεπιφάνεια υγρού-αερίου. Σε παρόµοια µελέτη της δακτυλιοειδούς διφασικής αντιρροής από τους Vijayan et al. (2001, 2002) σε αγωγούς µήκους ~2m και διαφόρων διαµέτρων (25, 67 και 99mm) επιβεβαιώθηκε η επίδραση των διαστάσεων επί του µηχανισµού πληµµύρισης, ενώ µελετήθηκαν και τα χαρακτηριστικά της ρέουσας υγρής στιβάδας για την κατάσταση µετά την έναρξη της πληµµύρισης (post-flooding conditions), για τιµές Re µεταξύ 1000 και Πρόσφατα, οι Mouza et al. (2002) διερεύνησαν το µηχανισµό της πληµµύρισης, για Re >100, στην περίπτωση αγωγών µικρής διαµέτρου (6, 7, 8 και 9mm) χρησιµοποιώντας αέρα και δύο υγρά (νερό και κηροζίνη). Σε όλες τις περιπτώσεις διαπιστώθηκε η ισχυρή επίδραση της µικρής διαµέτρου στον µηχανισµό έναρξης της πληµµύρισης, η οποία σχετίζεται µε τη διόγκωση των κυµάτων πλησίον της εξόδου του υγρού, την αναστροφή της ροής τους και την ανοδική µεταφορά τους πάνω από το σηµείο τροφοδοσίας της υγρής φάσης. Το βασικό συµπέρασµα που προκύπτει από την παραπάνω ανασκόπηση είναι ότι οι λίγες εργασίες που αναφέρονται σε κανάλια ορθογωνικής διατοµής αφορούν κυρίως σε δεδοµένα ταχυτήτων πληµµύρισης από οπτικές παρατηρήσεις και σε καµία σχεδόν από αυτές δεν επιχειρείται περαιτέρω διερεύνηση των χαρακτηριστικών της υγρής στιβάδας κατά την αντιρροή. Μοναδική εξαίρεση αποτελεί η εργασία της Biage (1989) στην οποία όµως η µελέτη της αντιρροής αφορά σε Re >1500 και αρκετά µεγαλύτερο κανάλι (σε σχέση µε το υπό µελέτη στην παρούσα εργασία), στο οποίο µάλιστα η υγρή φάση ρέει κατά µήκος ενός µόνο εκ των τοιχωµάτων του καναλιού. Στις υπόλοιπες εργασίες, η προσπάθεια για περισσότερο λεπτοµερή µελέτη της διφασικής αντιρροής, περιορίζεται κυρίως σε µετρήσεις του πάχους στιβάδας και της πτώσης πίεσης για σχετικά

46 22 υψηλές τιµές Re (Re >1500), εντός αγωγών σχετικά µεγάλης διαµέτρου (D>5cm). Είναι ωστόσο σηµαντικό να αναφερθεί ότι τα δεδοµένα του πάχους στιβάδας σε συνδυασµό µε παρόµοιες µετρήσεις, π.χ. της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος (σε συνθήκες αντιρροής), θα µπορούσαν να βοηθήσουν στην περαιτέρω διερεύνηση αυτού του είδους ροής. Οι εργασίες των Wragg & Einarsson (1971) και Zabaras (1985) είναι οι µοναδικές στις οποίες οι συνθήκες ροής πλησίον του τοιχώµατος, για την περίπτωση κατακόρυφης δακτυλιοειδούς αντιρροής, διερευνήθηκαν µε απευθείας µετρήσεις της τοπικής τιµής της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος (µε χρήση ειδικής ηλεκτροχη- µικής τεχνικής). Πιο συγκεκριµένα, οι Wragg & Einarsson (1971) παρουσίασαν µετρήσεις της τοπικής διατµητικής τάσης για τιµές Re µεταξύ 40 και 1700 και διάφορες τι- µές ταχύτητας αερίου, αρκετά µικρότερες όµως από τις κρίσιµες για την έναρξη της πληµµύρισης. Η µελέτη τους ωστόσο, περιορίστηκε σε σχολιασµό της ποιοτικής οµοιότητας που παρατηρείται µεταξύ των χρονο-σειρών της διατµητικής τάσης και των αντιστοίχων του πάχους στιβάδας. Ο Zabaras (1985), όπως προαναφέρθηκε, πραγµατοποίησε ταυτόχρονες µετρήσεις πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης σε δύο θέσεις κατά µήκος του αγωγού και διερεύνησε την επίδραση των κυµάτων της διεπιφάνειας στη διάτµηση του υγρού στο τοίχωµα. Σηµειώνεται ότι αν και στη βιβλιογραφία αναφέρονται και ορισµένες άλλες εργασίες (π.χ. Karimi & Kawaji, ) στις οποίες επιχειρείται διερεύνηση της αλληλεπίδρασης υγρού-αερίου σε αντιρροή, εν τούτοις αφορούν σε µετρήσεις της κατανοµής ταχύτητας εντός υγρών στιβάδων σχετικά µεγάλου πάχους (Re >1500) εποµένως, σε αυτές τις µελέτες, η διατµητική τάση υγρούτοιχώµατος δεν µετράται απευθείας αλλά υπολογίζεται έµµεσα χρησιµοποιώντας τα δεδοµένα για την κατανοµή της ταχύτητας. 2.2 ΕΛΕΥΘΕΡΩΣ ΡΕΟΥΣΑ ΣΤΙΒΑ Α Γενική περιγραφή διαµόρφωσης της ροής Η βαρύτητα σε κατακόρυφα ρέουσες στιβάδες υγρών επηρεάζει καθοριστικά τη διαµόρφωση κυµατικών δοµών επί της επιφάνειάς τους, των οποίων τα χαρακτηριστικά πιστεύεται ότι επηρεάζουν σηµαντικά το πρότυπο ροής που διαµορφώνεται τελικά κατά την αντιρροή και κατ επέκταση τον µηχανισµό της πληµµύρισης. Οπτικές παρατηρήσεις έχουν δείξει (Alekseenko et al., 1994) ότι η συνήθης δια- µόρφωση της κατακόρυφης ροής µιας λεπτής στιβάδας υγρού (βλ. Σχήµα 2.2-1) περιλαµβάνει µετάβαση από την κατάσταση µιας αρχικά λείας επιφάνειας χωρίς κυµατι-

47 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 23 σµούς, σε µια περισσότερο πολύπλοκη επιφανειακή δοµή (µε αύξηση της απόστασης από την είσοδο της υγρής φάσης), η οποία χαρακτηρίζεται καταρχήν από διδιάστατα κύµατα (two-dimensional waves). Τα τελευταία εξελίσσονται σε τρισδιάστατα µεγάλα κύµατα (roll waves) ή κύµατα µε τη µορφή «δακρύων» (tear drop) τα οποία διαδίδονται στο χώρο και φαίνονται να κινούνται επί ενός λεπτού υποστρώµατος (substrate). Ένας µεγάλος αριθµός δηµοσιεύσεων είναι διαθέσιµος στη βιβλιογραφία σχετικά µε τα χαρακτηριστικά της ελευθέρως ρέουσας υγρής στιβάδας -υπό την επίδραση της βαρύτητας- κυρίως όσον αφορά σε διαµορφωµένη ροή εντός αγωγών ή επί της εξωτερικής τους Σχήµα Τυπική διαµόρφωση κυµατισµών -χωρίς εξωτερική διέγερση- σε κατακόρυφη ρέουσα υγρή στιβάδα για σχετικά χαµηλές τιµές Re (<200) (Alekseenko et al., 1994). επιφάνειας και για σχετικά µεγάλες τιµές Re (>1000). Αναφορικά µε το µήκος που α- παιτείται για να αναπτυχθεί πλήρως η ροή της κυµατοειδούς στιβάδας (δηλαδή την α- πόσταση από το σηµείο εισόδου της υγρής τροφοδοσίας), αυτό καθορίζεται µε βάση το τοπικό µέσο πάχος της στιβάδας αλλά και τα χαρακτηριστικά των κυµάτων (π.χ. ταχύτητα, ύψος, κύρια συχνότητα), τα οποία από ένα σηµείο και µετά παρουσιάζουν µια ασθενή τάση να µεταβληθούν µε την απόσταση αυτό σηµαίνει ότι τα κύµατα αποκτούν µια «σταθεροποιηµένη» µορφή (π.χ. Alekseenko et al., 1994 Chang, 1994). Είναι αξιοσηµείωτο ότι ο Zabaras (1985) που πραγµατοποίησε µετρήσεις των χαρακτηριστικών της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας, εντός αγωγού, σε µήκος µέχρι και 4 m από το σηµείο

48 24 τροφοδοσίας του υγρού, δεν κατάφερε να δώσει σαφή απάντηση για το αν η ροή είναι πλήρως διαµορφωµένη σε τόσο µεγάλη απόσταση. Επίσης, οι Alekseenko et al. (1994) αναφέρουν ότι ανάλογα µε τον αριθµό Re είναι δυνατόν να απαιτηθεί µήκος µέχρι και 9m για την πλήρη σταθεροποίηση της δοµής των κυµάτων. Η παρακάτω ανασκόπηση αποσκοπεί στην παρουσίαση ορισµένων επιλεγµένων πειραµατικών µελετών που αναφέρονται κυρίως σε ροή υπό διαµόρφωση, ανεξάρτητα του αριθµού Re, αλλά και σε αναφορά ορισµένων σηµαντικών θεωρητικών µελετών που αφορούν σε ελευθέρως ρέουσες στιβάδες Πειραµατικές µελέτες των χαρακτηριστικών της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας Οι Tailby & Portalski (1962), Portalski (1963) και Portalski & Clegg (1972) µελέτησαν πειραµατικά την περιοχή εισόδου της υγρής φάσης όπου αναπτύσσονται τα πρώτα µικρά κύµατα, για την περίπτωση ροής στιβάδας πάνω σε κατακόρυφη επίπεδη επιφάνεια πλάτους 53cm και µήκους 2.13m. Χρησιµοποιήθηκαν διάφορα υγρά και αριθµοί Re µεταξύ 30 και 3000 (ανάλογα µε το ιξώδες της υγρής φάσης) η εξέλιξη της ροής κατά µήκος της πλάκας µελετήθηκε τόσο µε οπτικές παρατηρήσεις (φωτογράφηση ροής), όσο και µε µετρήσεις του πάχους της στιβάδας. ιαπιστώθηκε τότε ότι το µήκος της περιοχής ροής (πολύ κοντά στην είσοδο του υγρού) για το οποίο δεν εµφανίζονται κύµατα, αλλά και η περαιτέρω διαµόρφωση της ροής εξαρτάται σε όλες τις περιπτώσεις από την παροχή του υγρού. Τα πειραµατικά τους δεδοµένα επίσης οδήγησαν επιπρόσθετα στην ταξινόµηση των προτύπων ροής σε πέντε κατηγορίες ανάλογα µε τον αριθ- µό Re. Τα όρια αυτών των «περιοχών», όσον αφορά στις τιµές του αριθµού Re, εξαρτώνται σηµαντικά από το είδος της υγρής φάσης, οι ιδιότητες της οποίας επηρεάζουν και το µέσο πάχος στιβάδας. Οι Stainthorp & Allen (1965) διερεύνησαν επίσης την περιοχή εισόδου για ροή υγρής στιβάδας εντός αγωγού διαµέτρου 3.45cm και µήκους 0.76m και για τιµές Re µεταξύ 15 και 500. Επιβεβαίωσαν την εξάρτηση του µήκους εισόδου από τον Re ενώ παράλληλα υποστήριξαν ότι για τιµές Re <17 δεν υφίστανται καθόλου κύµατα σε όλο το µήκος του αγωγού. Οι ίδιοι ερευνητές παρατήρησαν επίσης ότι παρόλο που η µεταβολή της δοµής των πρώτων µικρών κυµάτων στην περιοχή εισόδου του υγρού είναι ταχύτατη, τα κύµατα αυτά ωστόσο φαίνεται να έχουν µια σχεδόν σταθερή τιµή µήκους, σχεδόν ανεξάρτητη του αριθµού Re. ιαπίστωσαν τέλος ότι µε αύξηση του Re απαιτείται µικρότερο µήκος ροής για τη µετάβαση από την κατάσταση των σχεδόν διδιά-

49 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 25 στατων κυµάτων σε εκείνη των µεγαλυτέρων τρισδιάστατων κυµάτων. Παρόµοιες µελέτες της περιοχής εισόδου, για Re >20 και αγωγό διαµέτρου 3.81cm πραγµατοποιήθηκαν από τους Jones & Whitaker (1966) και Strobel & Whitaker (1969) στις οποίες εξετάσθηκε επιπρόσθετα και η εξάρτηση των χαρακτηριστικών των κυµάτων (ταχύτητα, µήκος και ύψος) από την προσθήκη επιφανειοδραστικών συστατικών στην υγρή φάση. Στην εργασία των Wragg & Einarsson (1970) παρουσιάστηκαν πειραµατικά δεδοµένα διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος για κατακόρυφη ροή εντός αγωγού εσωτερικής διαµέτρου 3.45cm και µήκους 70cm, για τιµές Re µεταξύ 40 και Οι µετρήσεις πραγµατοποιήθηκαν σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του αγωγού µε εφαρµογή ειδικής ηλεκτροχηµικής τεχνικής. Παράλληλα, χρησιµοποιήθηκε και «ηλεκτρόδιο επαφής τύπου βελόνας» (needle contact probe) προκειµένου να συγκριθούν τα αποτελέσµατα των δύο µεθόδων σχετικά µε την κύρια συχνότητα των µεγάλων κυµάτων που αναπτύσσονται στην επιφάνεια της στιβάδας και να εξετασθεί η επίδραση αυτών των κυµάτων στη διάτµηση του υγρού στο τοίχωµα. Οι ίδιοι ερευνητές µελέτησαν επίσης την επίδραση της σύστασης του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος που χρησιµοποιήθηκε και ε- κείνη της διαµέτρου των ηλεκτροδίων στις µετρήσεις της διατµητικής τάσης. Αν και η εργασία των Chu & Dukler (1974) αναφέρεται σε διαµορφωµένη ροή για την περίπτωση ενδιαµέσων έως υψηλών τιµών Re (~ ) αποτελεί ωστόσο ση- µαντική προσπάθεια διερεύνησης των χαρακτηριστικών κατακόρυφων λεπτών στιβάδων. Στη µελέτη τους διακρίνονται δύο κατηγορίες κυµάτων, εκείνη των µεγάλων κυ- µάτων (roll waves) τα οποία κινούνται επί του υποστρώµατος χωρίς να υφίστανται κάποια περαιτέρω αλλαγή στη δοµή ή την ταχύτητά τους και εκείνης των µικρότερων κυ- µάτων (ripples) τα οποία καλύπτουν µερικά (ή ολικά) το υπόστρωµα. Οι Salazar & Marshall (1978) διεξήγαγαν πειράµατα µέτρησης του τοπικού πάχους της υγρής στιβάδας κατά µήκος µιας κατακόρυφης επίπεδης επιφάνειας πλάτους 35cm και µήκους 1.55m, για τιµές Re µεταξύ 145 και Το βασικό τους συµπέρασµα ήταν η επίδραση της απόστασης από την είσοδο της υγρής τροφοδοσίας επί της τιµής του πάχους της στιβάδας. Τα πειραµατικά τους δεδοµένα έδειξαν ότι στην περιοχή πολύ κοντά στην είσοδο του υγρού, όπου δεν έχουν αναπτυχθεί ακόµη κύµατα, το µέσο πάχος στιβάδας λαµβάνει, για όλες τις τιµές Re που εξετάστηκαν, την µικρότερη τιµή σε σχέση µε εκείνες που καταγράφονται στο υπόλοιπο τµήµα της πλάκας. Στη συνέχεια, κατά τη φορά της ροής και σε εκείνη την περιοχή όπου αρχίζουν να αναπτύσσονται οι επιφανειακοί κυµατισµοί, το τοπικό µέσο πάχος δείχνει να αυξάνεται και τελικά

50 26 να λαµβάνει µία σχεδόν σταθερή τιµή σε θέση µακριά από την είσοδο του υγρού, εκεί όπου η ροή τείνει να είναι διαµορφωµένη. Μια συστηµατική προσπάθεια συλλογής και στατιστικής ανάλυσης δεδοµένων πάχους στιβάδας παρουσιάστηκε και από τους Takahama & Kato (1980), οι οποίοι µελέτησαν την εξέλιξη των χαρακτηριστικών της στιβάδας µε την απόσταση από το ση- µείο εισόδου του υγρού, για ροή επί της εξωτερικής επιφάνειας αγωγού εξωτερικής διαµέτρου 45mm και µήκους 2m. Αξιοποιώντας τα πειραµατικά τους δεδοµένα, για τιµές Re >800, έδειξαν ότι ο κρίσιµος αριθµός Re για τη µετάβαση από τη στρωτή (µε κυµατισµούς) στην τυρβώδη ροή εξαρτάται από την διαµήκη (longitudinal) απόσταση. Στην ίδια µελέτη σχολιάζεται επίσης ότι το ύψος των µεγάλων κυµάτων (roll waves) αυξάνεται µε τον Re και την απόσταση από την είσοδο του υγρού τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά που προκύπτουν από τη στατιστική επεξεργασία (π.χ. κύρια συχνότητα και ταχύτητα κυµάτων) οδήγησαν στο συµπέρασµα ότι τα µεγάλα κύµατα είναι λίγα σε α- ριθµό σε σχέση µε τα µικρότερα που καλύπτουν το υπόστρωµα. Στη µελέτη των Brauner & Maron (1982) έγινε προσπάθεια συσχέτισης των χαρακτηριστικών των κυµάτων µε τη µεταφορά µάζας υγρού-στερεού για ροή κατά µήκος κεκλιµένης επίπεδης επιφάνειας πλάτους 63cm και µήκους 1.2m. Χρησιµοποιήθηκαν διάφορες τιµές Re >100 ενώ διερευνήθηκε και η επίδραση της κλίσης της πλάκας στη δοµή της επιφάνειας του υγρού. ιαπιστώθηκε ότι µόνο τα σχετικά µεγάλα κύµατα, τα οποία φάνηκε ότι µπορούν να διεισδύσουν σηµαντικά εντός του υποστρώµατος της στιβάδας, είναι δυνατόν να επηρεάσουν τη µεταφορά µάζας και εποµένως η µελέτη ε- νός τέτοιου είδους µεταφοράς πρέπει να γίνεται σε περιοχή όπου έχουν ήδη εµφανισθεί τα πρώτα µεγάλα κύµατα (έστω κι αν η ροή σε αυτή την περιοχή είναι υπό διαµόρφωση). Οι ίδιοι ερευνητές έδειξαν ότι η επίδραση των µεγάλων κυµάτων στη µεταφορά µάζας ασκείται µέσω ενός µηχανισµού περιοδικής αναδιαµόρφωσης της δοµής των ο- ριακών υποστρωµάτων που αντιστοιχούν στο εµπρόσθιο και οπίσθιο τµήµα ενός τέτοιου κύµατος έτσι λαµβάνει χώρα περιοδική «ανανέωση» της µάζας του υγρού που περιλαµβάνεται σε αυτά τα µεγάλα κύµατα. Ο Zabaras (1985) µελέτησε τα χαρακτηριστικά ροής υγρής στιβάδας σε κατακόρυφο αγωγό εσωτερικής διαµέτρου 5.08cm για Re >310. Η µελέτη περιελάµβανε ταυτόχρονες µετρήσεις πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του αγωγού. Τα πειραµατικά δεδοµένα επιβεβαίωσαν την εξάρτηση των χαρακτηριστικών της υγρής στιβάδας από την αξονική απόσταση, ενώ η ανάλυση και η συσχέτιση των ταυτόχρονων µετρήσεων πάχους και διατµητικής τάσης

51 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 27 έδειξαν ότι η διαµόρφωση της δοµής της επιφάνειας αντικατοπτρίζεται στις µετρήσεις της διατµητικής τάσης κυρίως σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την είσοδο του υγρού όπου έχουν ήδη αναπτυχθεί µεγάλα κύµατα. Οι Alekseenko et al. (1985) επιβάλλοντας µικρές διδιάστατες εξωτερικές διαταραχές σε ρέουσα υγρή στιβάδα επί της εξωτερικής επιφάνειας αγωγού µε διάµετρο 60mm και µήκος 1m, διερεύνησαν την εξέλιξη και τελική διαµόρφωση των κυµάτων που αναπτύσσονται µε αυτό τον τρόπο στην επιφάνεια του υγρού (excited waves). Τα πειράµατα έγιναν µε διάφορα υγρά προκειµένου να µελετηθεί η επίδραση του ιξώδους στη διαµόρφωσης της δοµής των κυµάτων για Re >100. Οι ίδιοι ερευνητές διαπίστωσαν ότι τα «µεµονωµένα» µεγάλα κύµατα (solitary waves) σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας είναι σταθεροποιηµένες κινούµενες δοµές (stationary traveling waves) µε περίπου σταθερή ταχύτητα. Οι Nakoryakov et al. (1987) συνέχισαν αυτή τη µελέτη µε διερεύνηση της διαµόρφωσης της ροής σε κατακόρυφες ελευθέρως ρέουσες υγρές στιβάδες, χωρίς όµως την επιβολή εξωτερικών διαταραχών, για Re >500. ιαπίστωσαν τότε πως όταν εµφανίζονται οι πρώτες κυµατοειδείς δοµές µε τη µορφή «εξογκώµατος» (humps) -κατά τη φορά της ροής- το ύψος των ήδη υπαρχόντων µεγαλυτέρων κυµάτων της επιφανείας δείχνει να µειώνεται έναντι της αύξησης εκείνου των µικρότερων κυµάτων του υποστρώµατος τα οποία αρχίζουν να ενισχύονται. Ση- µειώνεται ότι οι εργασίες αυτών των ερευνητών όπως και αρκετές ακόµη µελέτες σχολιάζονται συνοπτικά στο βιβλίο των Alekseenko et al. (1994), το οποίο συνιστά µια ευρεία βιβλιογραφική ανασκόπηση µε σηµαντική πληροφορία όσον αφορά στην ανάπτυξη των κυµάτων σε κατακόρυφη ρέουσα υγρή στιβάδα και τη µελέτη της υδροδυναµικής ευστάθειας της ροής. Οι Aragaki et al. (1987) διερεύνησαν τα χαρακτηριστικά ρέουσας υγρής στιβάδας επί της εξωτερικής επιφάνειας αγωγού διαµέτρου 5cm και για Re >100. Η µελέτη περιελάµβανε και µέτρηση της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τα δεδοµένα της οποίας χρησιµοποιήθηκαν για τον υπολογισµό του αντίστοιχου συντελεστή τριβής και υπέδειξαν την ύπαρξη µιας µεταβατικής περιοχής µεταξύ στρωτής και τυρβώδους ροής για αριθµούς Re µεταξύ 700 και Οι Karapantsios et al. (1989) και Karapantsios & Karabelas (1994) διεξήγαγαν πειράµατα σε κατακόρυφο αγωγό εσωτερικής διαµέτρου 50mm και συνολικού µήκους 2.65m, για τιµές Re µεταξύ 500 και Οι οπτικές τους παρατηρήσεις επιβεβαίωσαν την ύπαρξη µεγάλων κυµάτων που υφίστανται επί ενός υποστρώµατος µε σχετικά σταθερό πάχος και κάποιων µικρότερων κυµάτων που αποτελούν µέρος της δοµής του

52 28 υποστρώµατος. ιερεύνησαν επίσης τα χαρακτηριστικά της στιβάδας µακριά από το σηµείο εισόδου της τροφοδοσίας και διαπίστωσαν ότι ενώ το µέσο πάχος παραµένει περίπου σταθερό, η ταχύτητα των κυµάτων και το µέγιστο ύψος τους συνεχίζουν να µεταβάλλονται, σε µικρό έστω βαθµό, κάτι που αναδεικνύει το πρόβληµα που προκύπτει συχνά µε το απαιτούµενο µήκος για την ύπαρξη πλήρως διαµορφωµένης ροής. Οι Nosoko et al. (1996) και Yoshimura et al. (1996) µελέτησαν πειραµατικά τη διαµόρφωση των διδιάστατων κυµάτων υγρής στιβάδας για ροή κατά µήκος επίπεδης επιφάνειας πλάτους 20cm και µήκους 24cm για τιµές Re >80. ιαπίστωσαν ότι η επιβολή εξωτερικής διέγερσης οποιασδήποτε συχνότητας προκειµένου για την ανάπτυξη κυµάτων (excited waves) οδηγεί σε άµεση εµφάνιση διαταραχών επί της επιφάνειας της στιβάδας, δηλαδή σε εξάλειψη της περιοχής εισόδου. ιερευνήθηκε επίσης η εξάρτηση των χαρακτηριστικών των κυµάτων από την επιβολή ή όχι εξωτερικής διαταραχής αλλά και από τη συχνότητα αυτής της διαταραχής. Οι ίδιοι ερευνητές κατέληξαν στο ότι η απορρόφηση αερίου σε επαφή µε την υγρή στιβάδα αυξάνεται τόσο µε τον Re όσο και µε τον αριθµό των κυµάτων που υφίστανται επί της επιφάνειας του υγρού. Οι Patnaik & Perez-Blanco (1996) χρησιµοποίησαν οπτική τεχνική για τη µελέτη των χαρακτηριστικών υγρής στιβάδας για ροή σε κατακόρυφο αγωγό, για διάφορες τι- µές Re >200. ιερευνήθηκε η επίδραση της διαµέτρου του αγωγού και του ιξώδους του υγρού επί της διαµόρφωσης των κυµάτων και διαπιστώθηκε ότι σε κάθε περίπτωση και παρά το ότι η ροή δεν έχει διαµορφωθεί πλήρως, υπάρχει µια κατηγορία µικρών κυµάτων τα οποία παρεµβάλλονται στο υπόστρωµα µεταξύ των µεγαλυτέρων επιφανειακών κυµάτων αυτά τα µικρά κύµατα έχουν συχνότητα µικρότερη από εκείνη των µεγαλυτέρων. Οι Adomeit & Renz (2000) µελέτησαν την ανάπτυξη επιφανειακών κυµατισµών για ροή λεπτής στιβάδας στο εσωτερικό κατακόρυφων αγωγών διαµέτρου 46 και 54cm, για τιµές Re µεταξύ 75 και 530. Η µελέτη τους εστιάστηκε σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την είσοδο του υγρού (~1.5m) και διαπιστώθηκε ότι τα επιφανειακά κύµατα έ- χουν ισχυρά τρισδιάστατη δοµή η οποία επηρεάζεται σηµαντικά από τις αλληλεπιδράσεις που υφίστανται µεταξύ τους ή και µε το υπόστρωµα. Σε σχετικά πρόσφατη εργασία τους οι Ambrosini et al. (2002) µελέτησαν τη δια- µόρφωση της ροής ελευθέρως ρέουσας στιβάδας νερού για την περίπτωση κεκλιµένης (45 ο ) και κατακόρυφης επίπεδης επιφάνειας (πλάτους 60cm και µήκους 2m), πραγµατοποιώντας µετρήσεις πάχους στιβάδας σε διάφορες θέσεις κατά µήκος και κατά πλάτος της ροής, για τιµές Re µεταξύ 200 και Τα πειραµατικά τους δεδοµένα επιβε-

53 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 29 βαίωσαν την επίδραση της κλίσης της πλάκας στα χαρακτηριστικά της ρέουσας στιβάδας, σε αντίθεση µε τη θερµοκρασία του υγρού, η µεταβολή της οποίας δε φαίνεται να επιδρά επί της διαµόρφωσης των κυµατισµών. Οι Park & Nosoko (2002) µελέτησαν πειραµατικά τη δοµή της επιφάνειας υγρής στιβάδας που ρέει κατά µήκος επίπεδης πλάκας µήκους 48cm και πλάτους 20.5cm, για τιµές Re >40. Ανάλογα µε τις εργασίες των Nosoko et al. (1996) και Yoshimura et al. (1996) διερευνήθηκε η εξάρτηση των χαρακτηριστικών των κυµάτων από την επιβολή ή όχι εξωτερικής διαταραχής, αλλά και από τη συχνότητα αυτής της διαταραχής, ενώ µελετήθηκε και ο τρόπος µετάβασης της ροής από το πρότυπο των διδιάστατων κυµάτων στο αντίστοιχο των τρισδιάστατων. ιαπιστώθηκε έτσι ότι τα τρισδιάστατα κύµατα που προκύπτουν µε επιβολή εξωτερικής διαταραχής (excited waves) οµοιάζουν προς τη δοµή τους µε τα αντίστοιχα «συνήθη» κύµατα (natural waves), όταν η συχνότητα της διαταραχής που επιβάλλεται είναι σχετικά µεγάλη (>20Ηz). Ανάλογη µελέτη της δια- µόρφωσης της επιφάνειας ελευθέρως ρέουσας στιβάδας νερού παρουσιάστηκε πρόσφατα από τους Park et al. (2004) για την περίπτωση ροής εντός πολύ στενού αγωγού δια- µέτρου 0.1cm και µήκους 1m, για τιµές Re >200 στην ίδια εργασία διερευνήθηκε και η επίδραση των µεγάλων κυµάτων στην απορρόφηση οξυγόνου από την υγρή στιβάδα Μελέτες ανάλυσης ευστάθειας της ροής ελευθέρως ρέουσας στιβάδας Η θεωρητική ανάλυση των κυµάτων που διαµορφώνονται πάνω σε µια λεπτή στιβάδα υγρού αποτέλεσε αντικείµενο µελέτης για αρκετά χρόνια ιδιαίτερα όσον αφορά στην ανάπτυξη των διδιάστατων κυµάτων. Η συνήθης µέθοδος αντιµετώπισης ενός τέτοιου προβλήµατος περιλαµβάνει ανάλυση ευστάθειας της ροής (stability analysis) µε εφαρµογή της εξίσωσης Orr-Sommerfeld (OS) και διατύπωση του προβλήµατος µε βάση είτε τη χρονική (temporal), είτε τη χωρική (spatial) διαµόρφωση των κυµάτων. Η επιφάνεια της υγρής στιβάδας θεωρείται ότι είναι ηµιτονοειδής γύρω από τη µέση τιµή της, ή έστω ελαφρά διαταραγµένη από το ηµιτονοειδές σχήµα. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελούν οι µελέτες των Benjamin (1957) και Yih (1963) οι οποίοι κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι η ροή µιας υγρής στιβάδας µε λεία ε- πιφάνεια (απουσία κυµατισµών) είναι πάντοτε ασταθής, ακόµη και για χαµηλές παροχές της υγρής φάσης, ειδικά για την περίπτωση κατακόρυφης ροής όπου η επίδραση της βαρύτητας διευκολύνει τη δηµιουργία κυµατισµών. Ωστόσο, τα αποτελέσµατά τους αφορούν σε γραµµική ανάλυση ευστάθειας (linear stability analysis) για την οποία οι «ασυµπτωτικές» λύσεις που εξάγονται προϋποθέτουν σταθερή τιµή για την ταχύτητα

54 30 των κυµάτων και το ρυθµό ανάπτυξής τους, ενώ επίσης αναφέρονται και σε χαµηλές τιµές Re και µήκους κύµατος. Η µελέτη του Kapitza (1964) που αποτελεί επίσης µια από τις πρώτες προσπάθειες διερεύνησης της ευστάθειας της ροής, καταλήγει στο ότι υπάρχει µια κρίσιµη τιµή για τον Re, για την οποία η ρέουσα στιβάδα ενός υγρού παύει να είναι αδιατάρακτη και χαρακτηρίζεται από την ανάπτυξη κυµατισµών επί της επιφανείας της. Στις µελέτες των Anshus & Goren (1966), Krantz & Goren (1971) και Anshus (1972) παρουσιάζονται επίσης αναλυτικά αποτελέσµατα (numerical results) µε επέκταση της γραµµικής ανάλυσης ευστάθειας σε µεγαλύτερους αριθµούς Re και για υγρά µε υψηλή τιµή επιφανειακής τάσης. Οι Pierson & Whitaker (1977) µελέτησαν τη ροή λεπτής υγρής στιβάδας και την ανάπτυξη των κυµατισµών στην περιοχή πολύ κοντά στην είσοδο της τροφοδοσίας κατά µήκος επίπεδης κατακόρυφης επιφάνειας πλάτους 10cm για τιµές Re µεταξύ 53 και 400. Οι ίδιοι ερευνητές µε εφαρµογή της εξίσωσης OS απέδειξαν ότι τα αναλυτικά αποτελέσµατα που προκύπτουν µε χρήση είτε της χωρικής είτε της χρονικής περιγραφής της διαµόρφωσης των κυµάτων είναι σε πολύ καλή συµφωνία µεταξύ τους. Ανάλογα ικανοποιητική είναι και η σύγκριση αυτών των αποτελεσµάτων µε τα αντίστοιχα πειραµατικά δεδοµένα που αφορούν στο µήκος, την ταχύτητα αλλά και το ρυθµό ανάπτυξης των κυµάτων για µια ευρεία περιοχή τιµών Re και για την περίπτωση υγρών µε σχετικά υψηλή τιµή επιφανειακής τάσης. Τα αποτελέσµατα των παραπάνω µελετών ωστόσο, βασίζονται στη γραµµική α- νάλυση ευστάθειας και έχουν γνωστούς περιορισµούς, δεδοµένου ότι µπορούν να ε- φαρµοστούν για πρόβλεψη των κρίσιµων συνθηκών για εµφάνιση διδιάστατων κυµάτων «ηµιτονοειδούς» µορφής (sinusoidal waves), πολύ κοντά στο σηµείο ανάπτυξής τους, εκεί δηλαδή όπου αυτά τα κύµατα χαρακτηρίζονται από µικρό ύψος και µήκος. Εποµένως, µια τέτοια ανάλυση δεν ισχύει για την περιγραφή πλήρως διαµορφωµένων και τρισδιάστατων κυµάτων µακριά από το σηµείο εισόδου της υγρής φάσης. Έτσι αναπτύχθηκαν και άλλες µέθοδοι ανάλυσης όπως αυτές που περιλαµβάνουν οι µελέτες των Benney (1966) και Nakaya (1975) στις οποίες παρουσιάστηκε µια µονοδιάστατη ανάλυση για την περιγραφή κυµατοειδών διαταραχών (wave disturbances) µε πεπερασµένο, µικρό ύψος (finite amplitude) και µε µήκος κύµατος αρκετά µεγαλύτερο σε σύγκριση µε το πάχος της στιβάδας. Η ανάλυση που προτάθηκε από αυτούς τους ερευνητές ωστόσο αγνοεί την επίδραση της επιφανειακής τάσης του υγρού και είναι γνωστή στη βιβλιογραφία σαν «εξίσωση µακρών κυµάτων» (ong-wave equation, W) η εξίσωση αυτή αφορά και πάλι σε κύµατα που αναπτύσσονται πολύ κοντά στην είσοδο της τρο-

55 Βιβλιογραφική ανασκόπηση 31 φοδοσίας, διδιάστατα, αλλά που χαρακτηρίζονται από µεγάλο µήκος κύµατος. Μια α- πλοποιηµένη, ελάχιστα µη-γραµµική (weakly non-linear) επέκταση της εξίσωσης W για υγρά µε µεγάλη επιφανειακή τάση και µε ύψος κυµάτων ίδιας τάξης µεγέθους µε το µήκος κύµατος παρουσιάστηκε από τον in (1974) και οδήγησε στην εισαγωγή ενός νέου µοντέλου γνωστού σαν «εξίσωση Kuramoto-Sivashinsky» (KS), που συναντάται συχνά στη βιβλιογραφία λόγω της σχετικά απλοποιηµένης µορφής του. Οι Alekseenko et al. (1985), ανέπτυξαν ένα µοντέλο περιγραφής µη-γραµµικών κυµάτων µεγάλου µήκους (W) και αξιοποιώντας τα πειραµατικά τους δεδοµένα σχετικά µε τα χαρακτηριστικά διδιάστατων µικρών κυµάτων τα οποία σχηµατίζονται στην επιφάνεια κατακόρυφης υγρής στιβάδας µε την επιβολή εξωτερικής διέγερσης (excited waves) σε χαµηλούς αριθµούς Re, διερεύνησαν την εφαρµογή του για την απλοποιη- µένη περίπτωση αυτών των γραµµικών κυµάτων. Οι Kheshgi & Scriven (1987) παρουσίασαν αναλυτικά αποτελέσµατα σχετικά µε την ανάπτυξη, στην κατεύθυνση της ροής, απειροελαχίστων διδιάστατων διαταραχών και την τελική εξέλιξή τους σε κύµατα πεπερασµένου ύψους, για µόνιµες συνθήκες ροής κατά µήκος µιας κατακόρυφης επίπεδης επιφάνειας. Μελέτησαν επίσης την εξάρτηση της ανάπτυξης της δοµής αυτών των διαταραχών από το αρχικό µήκος κύµατος, το µήκος της επιφάνειας, αλλά και από την παροχή και τις φυσικές ιδιότητες του υγρού. Στη θεωρητική µελέτη των Trifonov & Tsvelodub (1991) διαπιστώθηκε ότι τα διδιάστατα -µε σχεδόν ηµιτονοειδή µορφή- κύ- µατα είναι πάντοτε ασταθή, είτε αυτά αναπτύσσονται µε εξωτερική διέγερση της ροής (excited waves), είτε πρόκειται για «συνήθη» κύµατα που προκύπτουν µε φυσικό τρόπο από τις αρχικές µικρές διαταραχές στην περιοχή της τροφοδοσίας (natural waves). O µηχανισµός ανάπτυξης και διαµόρφωσης των κυµάτων επί µιας υγρής στιβάδας αποτέλεσε το αντικείµενο µιας επισκόπησης από τον Chang (1994). Σε αυτή, για τιµές Re <1000, προτάθηκε η κατάταξη της εξέλιξης των κυµάτων σε τέσσερις (4) περιοχές, όπου τα πολύ µικρά κύµατα που εµφανίζονται καταρχήν πλησίον του σηµείου εισόδου της υγρής φάσης (περιοχή Ι), ενισχύονται στην κατεύθυνση της ροής µε τη δοµή τους να µεταβάλλεται σταδιακά από διδιάστατη σε τρισδιάστατη (περιοχή ΙΙ) και δίνουν τελικά µεγάλα µεµονωµένα κύµατα τα οποία έχουν τη µορφή δακρύων (περιοχή ΙΙΙ) αυτά τα κύµατα, µε περαιτέρω αύξηση της απόστασης από την είσοδο του υγρού υφίστανται εγκάρσια µεταβολή και διάδοση (περιοχή ΙV). Ο Chang (1989, 1993) επιβεβαίωσε επίσης την ύπαρξη δύο «οικογενειών» κυµάτων (traveling wave families) οι οποίες διακρίνονται µε βάση το µήκος κύµατος ή την ταχύτητά τους. Σηµειώνεται ότι οι θεωρητικές µελέτες του Chang επικεντρώθηκαν στην εφαρµογή των εξισώσεων W και KS και τα

56 32 αποτελέσµατα που παρουσιάστηκαν για την περίπτωση χαµηλών τιµών Re (<50) και υψηλών αριθµών Ka αφορούν κύµατα των οποίων το ύψος είναι σχετικά µικρό (περίπου 10% του µέσου τοπικού πάχους). Για την περίπτωση αυτών των κυµάτων εξήχθησαν και αναλυτικές εξισώσεις συσχέτισης της ταχύτητάς τους και του πάχους της στιβάδας µε τις φυσικές ιδιότητες της υγρής φάσης (Chang, 1989). Οι Yu et al. (1995) παρουσίασαν ένα µοντέλο περιγραφής της ανάπτυξης των µεγάλων κυµάτων (µε τιµές του λόγου του πάχους υποστρώµατος προς το µέγιστο ύψος των κυµάτων µεταξύ 3 και 4) όσον αφορά σε στρωτή και πλήρως διαµορφωµένη ροή µακριά από την είσοδο της τροφοδοσίας και για µεγάλους αριθµούς Re >500. Οι Nguyen & Balakotaiah (2000) συνέχισαν αυτή τη µελέτη διαµορφώνοντας ένα νέο α- πλοποιηµένο µοντέλο µε ισχύ για µια µεγάλη περιοχή τιµών Ka και Re <100. Προχώρησαν σε σύγκριση των αναλυτικών τους αποτελεσµάτων κυρίως όµως για την περίπτωση πολύ χαµηλών τιµών Kα (Kα<22). Στην περιοχή ισχύος του το συγκεκριµένο µοντέλο προβλέπει την ανάπτυξη µεγάλων κυµάτων µε λόγο µέγιστου ύψους προς πάχος υποστρώµατος τουλάχιστον 5. Παρουσιάστηκαν επίσης αναλυτικές σχέσεις για την ταχύτητα των κυµάτων και το µέγιστο ύψος των µεγάλων «µεµονωµένων» κυµάτων. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι περαιτέρω προσπάθειες να περιγραφεί η διαµόρφωση των κυµάτων µε χρήση τρισδιάστατων αντί διδιάστατων κυµάτων έχει σαν αποτέλεσµα µια περισσότερο πολύπλοκη εξίσωση η οποία ωστόσο δε δίνει σηµαντικά καλύτερα αποτελέσµατα σε σχέση µε την απλοποιηµένη µορφή της εξίσωσης KS (Chang, 1994 & Nguyen et al., 2000). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι διαθέσιµες πληροφορίες στη βιβλιογραφία όσον αφορά στα χαρακτηριστικά υγρής στιβάδας για ροή υπό διαµόρφωση κατά µήκος κατακόρυφης επίπεδης επιφάνειας και χαµηλούς αριθµούς Re είναι ελλιπείς. Ειδικότερα δε, θα πρέπει να υπογραµµισθεί ότι πειραµατικά δεδοµένα που αφορούν σε απευθείας µέτρηση της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος αγωγού για κατακόρυφη µονοφασική ροή και διφασική αντιρροή υγρού-αέρα είναι σχεδόν ανύπαρκτα στη βιβλιογραφία µε εξαίρεση ελάχιστες εργασίες για κυλινδρικούς αγωγούς ωστόσο, υπάρχουν δηµοσιευµένες µελέτες (π.χ. Karimi & Kawaji, 1998, 2000 Moran et al., 2002) που ε- µπεριέχουν εκτιµήσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος για διάφορες συνθήκες, αλλά αυτές οι τιµές προσδιορίζονται συνήθως έµµεσα µε βάση την κατανοµή ταχύτητας της υγρής στιβάδας.

57 3. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕllll ΕΕ 3.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ Οι πειραµατικές µετρήσεις πραγµατοποιήθηκαν σε κατακόρυφο κανάλι ορθογωνικής διατοµής πλάτους 12cm και συνολικού µήκους 70cm, το οποίο αποτελεί το κύριο µέρος της πειραµατικής διάταξης που παρουσιάζεται στο Σχήµα Το κανάλι είναι Σχήµα Πειραµατική διάταξη µελέτης χαρακτηριστικών ελευθέρως ρέουσας υγρής στιβάδας και διφασικής αντιρροής υγρού-αέρα σε κατακόρυφο κανάλι ορθογωνικής διατοµής.

58 34 κατασκευασµένο από Plexiglas, ώστε να είναι δυνατή η οπτική παρατήρηση της δια- µόρφωσης της ροής σε όλο το µήκος του και συνίσταται από δύο παράλληλες πλάκες µήκους 70cm και πλάτους 14cm (βλ. Σχ ). Μεταξύ των πλακών, στις άκρες τους, τοποθετούνται ράβδοι από Plexiglas που έχουν το ίδιο µήκος µε τις πλάκες (70cm) και συγκεκριµένη διατοµή (1cm x 1cm), οι οποίες καθορίζουν το τελικό πλάτος (12cm) και διάκενο (1cm) του καναλιού. Οι πλάκες διαθέτουν παρεµβύσµατα (o-rings) στα σηµεία επαφής τους µε τις ράβδους ώστε να µην υπάρχουν διαρροές, ενώ η τέλεια εφαρµογή τους εξασφαλίζεται µε τη βοήθεια ειδικών µεταλλικών σφιγκτήρων. Πάνω στην εσωτερική επιφάνεια κάθε πλάκας έχουν επίσης διαµορφωθεί κατάλληλα και δύο τµήµατα στα οποία προσαρµόζονται χαλύβδινες (SS) πορώδεις πλάκες (µε ονοµαστικό µέγεθος πόρων 100 µm) για την οµοιόµορφη είσοδο και έξοδο (στην περίπτωση της αντιρροής) 14 cm (α) (β) ιάτρητο τµήµα πλάκας (υποδοχή πορώδους υλικού) 70 cm Υποδοχή (πατούρα) ελαστικών δακτυλίων (o-ring) Σχήµα (α) Βασικά χαρακτηριστικά των πλακών που συνιστούν το κανάλι. (β) ύο πλάκες τοποθετηµένες επάλληλα µε παρεµβολή ράβδων Plexiglas δηµιουργούν το χώρο ροής των δύο φάσεων.

59 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 35 της υγρής φάσης. Το µήκος του καναλιού εντός του οποίου εξελίσσεται τελικά η ροή και διεξάγονται οι πειραµατικές µετρήσεις είναι 38cm. Ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στην κατασκευή των τµηµάτων εισόδου της υγρής και της αέριας φάσης τα οποία περιγράφονται παρακάτω. Τµήµα εισόδου της υγρής φάσης Η υγρή φάση τροφοδοτείται στο κανάλι στο πάνω µέρος του, µέσα από ειδικά κατασκευασµένο τµήµα το οποίο αποτελεί ουσιαστικά µια µικρή, δευτερεύουσα δεξαµενή υγρού που ελαχιστοποιεί τις διαταραχές της εισαγόµενης υγρής φάσης στο κανάλι και εξασφαλίζει την οµοιόµορφη κατανοµή της επί της εσωτερικής επιφάνειας των πλακών. Το τµήµα αυτό έχει προσαρµοσθεί πάνω σε κάθε πλάκα, σε όλο το πλάτος της, κατά τρόπο τέτοιο ώστε η µια πλευρά του να ταυτίζεται µε τη διάτρητη περιοχή της πλάκας στην οποία τοποθετείται το πορώδες υλικό (βλ. Σχ α). Όµοια τµήµατα έχουν διαµορφωθεί και στο κάτω µέρος του καναλιού ώστε να εξασφαλιστεί η οµοιόµορφη έξοδος της υγρής φάσης στην περίπτωση της διφασικής αντιρροής. Τµήµα εισόδου της αέριας φάσης Ο αέρας εισάγεται στο κανάλι από το κάτω µέρος του, µέσω ενός ειδικά διαµορφωµένου κωνικού τµήµατος από Plexiglas το οποίο σχεδιάστηκε για το σκοπό αυτό και προσαρµόζεται κατάλληλα στο κάτω µέρος του καναλιού όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.1-3β. Το τµήµα αυτό είναι µηχανουργικά κατεργασµένο ώστε κατά τη σύνδεσή του µε το υπόλοιπο τµήµα ροής να εφαρµόζει τέλεια και να µη διαταράσσει την έξοδο του υγρού ή την είσοδο του αέρα. Η παροχή του αέρα κατά την είσοδό του στο τµήµα αυτό, µέσω εύκαµπτου αγωγού εσωτερικής διαµέτρου 3.5cm, κατανέµεται σε τρεις (3) όµοιες κυλινδρικές απολήξεις (fittings), από PVC, εσωτερικής διαµέτρου 2.5cm και εξέρχεται/ελευθερώνεται τελικά εντός του κωνικού τµήµατος από µικρές οπές διαµέτρου 0.5cm που έχουν ανοιχθεί περιφερειακά στο πάνω µέρος καθεµιάς από αυτές τις απολήξεις. Ένα ειδικά σχεδιασµένο διάτρητο τµήµα (honeycomb) το οποίο συνίσταται από µικρά σωληνάκια (µήκους 4cm και εσωτερικής διαµέτρου 0.5cm) τοποθετηµένα εντός λεπτού ανοξείδωτου µεταλλικού πλέγµατος, εξασφαλίζει τελικά λίγο πριν την είσοδο του αέρα στο κανάλι, την οµοιόµορφη κατανοµή της ροής εντός του τελευταίου, και την ελαχιστοποίηση των διαταραχών στην περιοχή επαφής της µε τη ρέουσα στιβάδα.

60 36 Πορώδες υλικό ιάτρητο τµήµαπλάκας (α) Υγρό 8cm Eίσοδος υγρού Eίσοδος υγρού 4cm Κατερχόµενηυγρήστιβάδα (β) x=36cm Πορώδη τµήµατα (Έξοδος υγρής φάσης σε αντιρροή) 8cm 12 cm 33 cm Σχήµα Eίσοδος αέρα (α) Τµήµα εισόδου της υγρής φάσης στο κανάλι. (β) Τµήµα εισόδου του αέρα στο κανάλι (η απόσταση για τη θέση x=36cm µετράται από το σηµείο εισόδου του υγρού).

61 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 37 Στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (απουσία αέρα) η υγρή φάση εξέρχεται αβίαστα από το κατώτερο τµήµα του καναλιού -διερχόµενη και από το τµήµα εισόδου του αέρα- και οδηγείται στο δοχείο αποθήκευσής της (που έχει χωρητικότητα 30l), από το οποίο ανακυκλώνεται στο σύστηµα µε φυγοκεντρική αντλία. Σε κατάσταση αντιρροής η αποµάκρυνση της υγρής φάσης γίνεται κυρίως από το κάτω µέρος του τµήµατος µέτρησης µε χρήση αντλίας κενού, διαµέσου πορώδων διατάξεων, ώστε να µη διαταράσσεται η ροή του αέρα πριν την είσοδό του στο κανάλι. Ωστόσο κατά την απο- µάκρυνση του κατερχόµενου υγρού αποµακρύνεται και ένα µικρό ποσοστό της συνολικής παροχής αέρα που τροφοδοτείται στο σύστηµα (σε κάθε περίπτωση µικρότερο του 10%). Το διφασικό µίγµα που δηµιουργείται έτσι οδηγείται σε διαχωριστή φάσεων ο οποίος είναι ένα κυλινδρικό δοχείο κατασκευασµένο από Plexiglas µε ύψος 50cm και διάµετρο 20cm. Στο εσωτερικό του δοχείου και στο πάνω µέρος του είναι προσαρµοσµένος ένας οµόκεντρος κυλινδρικός δακτύλιος ύψους 20cm και διαµέτρου 7cm. Καθώς το διφασικό ρευστό προσκρούει στον εσωτερικό δακτύλιο, η µεν υγρή φάση ρέει προς τα κάτω και οδηγείται τελικά στο δοχείο αποθήκευσής της, ο δε αέρας διέρχεται µέσα από αυτόν τον δακτύλιο και εκρέει τελικά εκτός της διάταξης. Αυτή η παροχή του αέρα που αποµακρύνεται από την αντλία κενού µετράται µε ροόµετρο (FISCHER- PORTER 1/2-17 GSVT-44) που είναι προσαρµοσµένο στο διαχωριστή και η τιµή της λαµβάνεται υπόψη στον προσδιορισµό της παροχής ή της φαινοµενικής ταχύτητας αέρα που εισέρχεται τελικά κάθε φορά στο κανάλι. Στο ανώτερο τµήµα της διάταξης υπάρχει ένας ανάλογος διαχωριστής φάσεων εντός του οποίου εισέρχεται το διφασικό µίγµα υγρού/αέρα, µετά την έναρξη της πληµµύρισης, εξερχόµενο από το πάνω µέρος του τµήµατος µέτρησης, µε το αέριο να ελευθερώνεται στην ατµόσφαιρα και το υγρό να οδηγείται στο δοχείο αποθήκευσής του. Η συνολική διάταξη στηρίζεται σε ένα α- κλόνητο µεταλλικό πλαίσιο έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η διατήρηση της κατακόρυφης θέσης κατά τη διάρκεια των πειραµάτων. Πειράµατα πραγµατοποιήθηκαν για διάφορες τιµές Re µεταξύ 50 και 350, τόσο για την περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας όσο και για αυτή της διφασικής αντιρροής, οπότε και χρησιµοποιήθηκαν διάφορες παροχές αέρα, για καθεµιά από τις εξεταζόµενες παροχές υγρού, που αντιστοιχούν σε τιµές φαινοµενικής ταχύτητας αέρα, U GS, µεταξύ 2 και 12m/s. Οι µετρήσεις έγιναν σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του καναλιού, οι οποίες επιλέχτηκαν κατά τρόπο τέτοιο ώστε να είναι δυνατή η µελέτη των χαρακτηριστικών της ροής υπό διαµόρφωση σε όσο το δυνατόν περισσότερες περιοχές κατά την εξέλιξή της. Σηµείο εισόδου της υγρής τροφοδοσίας (σηµείο αναφοράς για τη

62 38 µέτρηση των αποστάσεων στο τµήµα µετρήσεων στην κατακόρυφη διεύθυνση) θεωρείται η κάτω ακµή των πορωδών υλικών που βρίσκονται στο πάνω µέρος του καναλιού. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την παρούσα µελέτη έχει η περιοχή εκείνη όπου εντοπίζεται ο αρχικός σχηµατισµός των κυµάτων και της οποίας προηγείται το µήκος εισόδου της ροής, e, που χαρακτηρίζεται από αδιατάρακτη επιφάνεια για την υγρή στιβάδα. Με βάση προηγούµενες πειραµατικές µελέτες (π.χ. Stainthorp & Allen, 1965 Portalski & Clegg, 1972 Pierson & Whitaker, 1977) το µήκος που απαιτείται για να αρχίσουν να γίνονται διακριτά τα πρώτα κύµατα εκτιµάται ότι κυµαίνεται µεταξύ 5 και 10cm για την περίπτωση του νερού, παρουσιάζοντας τάση αύξησης µε τον Re, για τις τιµές Re που εξετάσθηκαν στην παρούσα εργασία. Ανάλογο ενδιαφέρον όµως εµφανίζει και η περιοχή εκείνη της υγρής στιβάδας η οποία χαρακτηρίζεται από τρισδιάστατα κύµατα και η ο- ποία για την περίπτωση του νερού εκτιµήθηκε προσεγγιστικά (π.χ. Chang, 1994) ότι υφίσταται σε απόσταση µικρότερη των 40cm από την είσοδο του υγρού. Αυτό σηµαίνει ότι οι θέσεις µέτρησης οι οποίες καθορίστηκαν σε αποστάσεις µεταξύ 8 και 36cm από την είσοδο του υγρού εκτιµάται ότι επιτρέπουν τη διερεύνηση της διαµόρφωσης της ροής για τις διάφορες υγρές φάσεις που επιλέχτηκαν. Η παροχή των υγρών µετράται µε δύο (2) βαθµονοµηµένα ροόµετρα (FISCHER- PORTER 1/2-17 GUSVT-410 και 1/2-17 GUSVT-40) η µέγιστη παροχή των ο- ποίων είναι αντίστοιχα 41 και 72l/h. Για καλύτερη ρύθµιση της ροής χρησιµοποιήθηκε συνδυασµός βανών µε παρακαµπτήριο σωλήνα (by-pass). Ο αέρας τροφοδοτείται από τον κεντρικό συµπιεστή του κτιρίου παροχής ~7m 3 /min σε 1atm (πίεση λειτουργίας 7atm). Μετά το συµπιεστή ο αέρας τροφοδοτείται σε ειδικό σύστηµα ξήρανσης, ψύξης και καθαρισµού και στη συνέχεια σε ενδιάµεσο αεροφυλάκιο όγκου 2 m 3, για να καταλήξει στο χώρο του εργαστηρίου και τελικά µέσω ενός ρυθµιστή πίεσης να διοχετευθεί στην πειραµατική διάταξη. Η παροχή του αέρα µετράται µε ένα βαθµονοµηµένο ροόµετρο (FISCHER-PORTER 1-35 G10-B65) µε µέγιστη παροχή 90m 3 /h και ρυθµίζεται µε χειροκίνητη βάνα µεγάλης ευαισθησίας. Οι καµπύλες βαθµονόµησης όλων των ροοµέτρων παρατίθενται στο Παράρτηµα Α (βλ. Σχ. Π.Α-1 έως Π.Α-3). Σηµειώνεται ότι για τα ροόµετρα υγρού η βαθµονόµηση έγινε µε µέτρηση του όγκου του υγρού που ρέει µέσω του ροοµέτρου για ορισµένο χρονικό διάστηµα, ενώ για αυτά του αέρα χρησιµοποιήθηκε ειδικός βαθµονοµητής (RITTER Gas meter BG4).

63 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 39 Όλες οι πειραµατικές µετρήσεις έγιναν κοντά σε ατµοσφαιρικές συνθήκες πίεσης και στη θερµοκρασία του περιβάλλοντος χώρου. Οι υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν ήταν τέσσερις (4), οι φυσικές ιδιότητες των οποίων παρατίθενται ακολούθως. Πίνακας Φυσικές ιδιότητες των υγρών. Υγρή φάση Πυκνότητα, ρ Ιξώδες, µ Επιφανειακή τάση, σ Ιδιότητα (Kg/m 3 ) (Pa.s) (mν/m) Ηλεκτροχηµικό διάλυµα Νερό % Βουτανόλη % Βουτανόλη Το ηλεκτροχηµικό διάλυµα παρασκευάζεται µε απεσταγµένο νερό, ενώ το νερό που χρησιµοποιείται για τα πειράµατα και την παρασκευή των διαλυµάτων βουτανόλης και προέρχεται από το δίκτυο ύδρευσης, διηθείται µε σύστηµα φίλτρων για να αποµακρυνθούν σωµατίδια µεγαλύτερα από 5µm. Επίσης γίνεται προσθήκη µικρής ποσότητας (10ppm) NaN 3 στο δοχείο αποθήκευσης του υγρού, το οποίο έχει αντιβακτηριδιακή δράση και εµποδίζει την ανάπτυξη µικροοργανισµών. Τα διαλύµατα βουτανόλης χρησιµοποιήθηκαν ώστε να διερευνηθεί η επίδραση της επιφανειακής τάσης, σ, στη δια- µόρφωση της ροής, δεδοµένου ότι αυτές οι συστάσεις εξασφαλίζουν µείωση της τιµής σ της υγρής φάσης χωρίς µεταβολή στην πυκνότητα και πολύ µικρή µεταβολή στο ιξώδες. Μεγαλύτερη συγκέντρωση βουτανόλης (µε δεδοµένη τη διαλυτότητα της βουτανόλης στο νερό που δεν υπερβαίνει το 5%) δεν οδήγησε σε σηµαντική περαιτέρω µείωση της επιφανειακής τάσης (για διάλυµα βουτανόλης 5% µετρήθηκε σ=34 N/m) Το ιξώδες µετρήθηκε µε χρήση κατάλληλων ιξωδοµέτρων (CANNON-FENSKE Viscometer Cap.N o 25 & 50) και η επιφανειακή τάση µε χρήση ειδικού οργάνου (KRUSS Tensiometer K10) µε τη «µέθοδο της ανασυρόµενης πλάκας» (plate withdrawal). Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση των πειραµάτων µε το νερό ειδικότερα κρίθηκε αναγκαία η βελτίωση της διαβροχής της εσωτερικής επιφάνειας Plexiglas του καναλιού. Για το λόγο αυτό, πριν την έναρξη κάθε πειράµατος (12 έως 36 ώρες πριν) γίνεται επεξεργασία µε πλήρωση του καναλιού µε αραιό κολλοειδές αιώρη- µα (silica sol). Εναλλακτικά, για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% ή το ηλεκτροχηµικό

64 40 διάλυµα, που εµφανίζουν καταρχήν βελτιωµένη διαβροχή έναντι του νερού, είναι δυνατόν να επιτευχθεί περαιτέρω βελτίωση της διαβροχής του εσωτερικού του καναλιού µε παραµονή του ίδιου του διαλύµατος εντός του τελευταίου για ανάλογο χρονικό διάστη- µα µε το κολλοειδές αιώρηµα. Η θερµοκρασία της υγρής φάσης διατηρείται πρακτικά σταθερή κατά τη διάρκεια των πειραµάτων. Θα πρέπει να τονισθεί ότι η µέτρηση της επιφανειακής τάσης στην περίπτωση των διαλυµάτων βουτανόλης γίνεται πριν και µετά το τέλος των πειραµάτων, λόγω της αυξηµένης πτητικότητάς τους, ενώ στην περίπτωση της διφασικής αντιρροής, µέτρηση λαµβάνεται και κατά τη διάρκεια διεξαγωγής των µετρήσεων, λαµβάνοντας δείγµα υγρού, είτε από το δοχείο συλλογής του διαλύµατος, είτε από τα σηµεία εισόδου/εξόδου του υγρού. Σε κάθε περίπτωση, προκειµένου να ε- λαχιστοποιηθεί η πιθανότητα αλλοίωσης της σύστασης των διαλυµάτων λαµβάνεται µέριµνα τόσο για την τακτική ανανέωσή του, όσο και για την µείωση του χρόνου διεξαγωγής του πειράµατος ή αύξησης της συχνότητας δειγµατοληψίας όπως αναφέρεται στο Κεφάλαιο 4. Ειδικά για το φωτοευαίσθητο ηλεκτροχηµικό διάλυµα, τα εκτεθειµένα στο φως τµήµατα του συστήµατος ροής καλύπτονται από λεπτό φύλλο αλουµινίου ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Οπτικές παρατηρήσεις Οι οπτικές παρατηρήσεις οι οποίες επιτρέπουν την προκαταρκτική περιγραφή της επιφανειακής διαµόρφωσης της υγρής στιβάδας κατά µήκος της πλάκας, µε ή χωρίς α- ντιρροή αέρα, υποστηρίζονται από ψηφιακό σύστηµα καταγραφής εικόνας (Redake Motion Scope) υψηλής ταχύτητας δειγµατοληψίας (record rate) που κυµαίνεται µεταξύ 60 και 1000 εικόνων ανά δευτερόλεπτο (frames per second). Η ταχύτητα διαφράγµατος της βιντεοκάµερας έχει εύρος από 1/50 έως 1/1000 sec και η µέγιστη τιµή της περιορίζεται από την αντίστοιχη ταχύτητα λήψης που επιλέγεται κάθε φορά. Σηµειώνεται ότι το διάφραγµα θα πρέπει να ανοιγοκλείνει µε τέτοιο ρυθµό ώστε να καταγράφονται καλά εστιασµένες και ευδιάκριτες εικόνες απαλλαγµένες από τυχόν θολότητα που προκαλείται λόγω της βιντεοσκόπησης κινούµενου αντικειµένου. Αυτό εξασφαλίζεται µε µείωση του χρόνου έκθεσης κάθε ξεχωριστής εικόνας στο φακό της βιντεοκάµερας, δηλαδή µε αύξηση του ρυθµού δειγµατοληψίας. Κάτι τέτοιο όµως απαιτεί και καλύτερο (περισσότερο έντονο) φωτισµό του αντικειµένου, ενώ συνοδεύεται από υποβάθµιση της ποιότητας της εικόνας αλλά και από αύξηση του όγκου των δεδοµένων. Φαίνεται εποµένως ότι η ικανοποιητική ψηφιακή καταγραφή προϋποθέτει

65 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 41 Σχήµα Τεχνικές φωτισµού και βιντεοσκόπησης. βέλτιστες τιµές παραµέτρων ώστε όταν οι αποθηκευµένες εικόνες αναπαράγονται για περαιτέρω ανάλυσή τους να µπορούν να καταστούν ευδιάκριτες οι λεπτοµέρειες της επιφανειακής δοµής του υγρού κατά τη ροή. Κατά την ψηφιακή καταγραφή εφαρµόζεται κυρίως η συνήθης φωτογραφική τεχνική µε τοποθέτηση της φωτεινής πηγής στην ίδια πλευρά µε τη βιντεοκάµερα (θέση «Α» για τη βιντεοκάµερα), δηλαδή µε απευθείας φωτισµό του αντικειµένου που πρόκειται να βιντεοσκοπηθεί (βλ. Σχήµα ). Ωστόσο, σε ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν να αξιοποιηθεί και µια παραλλαγή της παραπάνω τεχνικής η οποία διαφοροποιείται από την πρώτη σχετικά µε τη θέση του προς βιντεοσκόπηση αντικείµενου, το οποίο τοποθετείται µεταξύ της φωτεινής πηγής και της βιντεοκάµερας (θέση «Β» για τη βιντεοκάµερα), οπότε τελικά καταγράφεται µόνο το περίγραµµά του. Σε κάθε περίπτωση, για να εξασφαλιστεί ο οµοιόµορφος φωτισµός του καναλιού εντοπίζονται και αποµακρύνονται οι διάφορες γειτονικές πηγές φωτός ενώ συµπληρωµατικά αποµονώνονται και κατά το δυνατόν οι όποιες εστίες αντανάκλασης. Επιπροσθέτως, η φωτεινή πηγή (photoflood) που χρησιµοποιείται τοποθετείται πίσω από ηµιδιαφανή πλαστική πλάκα για την καλύτερη διάχυση του φωτός. Οι ψηφιακές λήψεις αφορούν είτε σε όλο το µήκος της

66 42 Αρχείο ψηφιακής καταγραφής POH s (~11cm) w w x w πλάκας για συνολική παρατήρηση της διαµόρφωσης της ροής, είτε επικεντρώνονται σε επιµέρους περιοχές του καναλιού (π.χ. περιοχή εισόδου) για µια πιο λεπτοµερή περιγραφή της δοµής των κυµάτων της επιφάνειας. Η δεύτερη τεχνική αξιοποιείται για τη βιντεοσκόπηση της εξέλιξη της ροής στο διάκενο µεταξύ των δύο παραλλήλων πλακών, µε εστίαση της κάµερας εντός του καναλιού (zoom-in), µε τις λήψεις να πραγµατοποιούνται µε τη χρήση φακών µικρού εστιακού βάθους οι οποίοι εξασφαλίζουν µεγέθυνση του προς βιντεοσκόπηση αντικειµένου (βλ. Κεφ ). Το λογισµικό που συνοδεύει και υποστηρίζει τη λειτουργία της κάµερας επιτρέπει στο χρήστη τη δυνατότητα παρακολούθησης του φαινοµένου σε πραγµατικό χρόνο, την αποθήκευση των ψηφιακών λήψεων σε συµπιεσµένη ή όχι µορφή, σε κωδικοποίηση (format) «avi», ενώ παρέχει και τη δυνατότητα επιλογής του ρυθµού αναπαραγωγής (playback rate) των αποθηκευµένων λήψεων. Από αυτές τις ψηφιακές λήψεις είναι επίσης δυνατόν να αποµονωθούν και να αποθηκευθούν στον ΗΥ (µε κάποια από τις γνωστές µορφές κωδικοποίησης εικόνων, π.χ. «bmp» «gif», «jpg») ορισµένες εικόνες (καρέ) για περαιτέρω επεξεργασία. Οι εικόνες αυτές µπορούν να αξιοποιηθούν για µια πρώτη εκτίµηση, µε πολύ καλή προσέγγιση, του µήκους και της ταχύτητας των κυµάτων (βλ. Σχήµα ). Η δυνατότητα αυτή προϋποθέτει τη «βαθµονόµηση» µιας ειt=25 ms t=85 ms Σχήµα Επεξεργασία των ψηφιακών λήψεων και εκτίµηση των χαρακτηριστικών (π.χ. ταχύτητα, µήκος κύµατος) των επιφανειακών κυµάτων.

67 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 43 κόνας από ένα ορισµένο αρχείο ψηφιακής λήψης και περαιτέρω χρήση αυτής της «βαθ- µονόµησης» στην ίδια ή τις υπόλοιπες εικόνες του ίδιου αρχείου. Η «βαθµονόµηση» µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια κάποιου τµήµατος της εικόνας του οποίου η διάσταση σε µονάδες µήκους είναι γνωστή. Στο παράδειγµα που παρατίθεται µια πρώτη «βαθµονό- µηση» µπορεί να γίνει µε βάση το τµήµα πλάτους του καναλιού, s, που βιντεοσκοπείται, το οποίο έχει µετρηθεί και είναι γνωστό. Σε άλλες περιπτώσεις χρησιµοποιείται το περίγραµµα του µετρητικού στοιχείου που εικονίζεται σε δεύτερο πλάνο (background) στις ψηφιακές λήψεις (όπως π.χ. στο Σχ ). Έτσι είναι δυνατή η εύρεση σε µονάδες µήκους της απόστασης µεταξύ δύο οποιονδήποτε σηµείων της ίδιας ή κάποιας εκ των υπολοίπων εικόνων που συνιστούν το αρχείο (π.χ. του µήκους x). Επίσης, µε δεδοµένη την ταχύτητα δειγµατοληψίας και άρα του χρόνου που µεσολαβεί µεταξύ των εικόνων µπορεί να υπολογισθεί η ταχύτητα ροής των επιφανειακών κυµάτων, π.χ. του κύµατος w στο Σχήµα Αγωγιµοµετρική τεχνική - Μετρήσεις πάχους υγρής στιβάδας Για τη µέτρηση του πάχους στιβάδας και του ύψους των κυµάτων µε ή χωρίς α- ντιρροή αέρα, εφαρµόζεται η αγωγιµοµετρική τεχνική ζεύγους παραλλήλων συρµάτων. Αυτή η µέθοδος στηρίζεται στο ότι η αγωγιµότητα µεταξύ δύο παραλλήλων µεταλλικών συρµάτων τα οποία είναι τοποθετηµένα κάθετα πάνω σε τοίχωµα, όπου ρέει µια υγρή στιβάδα, εξαρτάται από το πάχος της στιβάδας. Η ιδέα της τεχνικής αυτής παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τους Hewitt et al. (1964) για να εφαρµοστεί εκτετα- µένα στη συνέχεια σε διάφορες µελέτες (π.χ. Swanson, 1966 Miya, 1971 Andritsos, 1986) για µετρήσεις και σε διφασικά συστήµατα. Η ίδια µέθοδος χρησιµοποιήθηκε και σε αυτό το Εργαστήριο για µετρήσεις πάχους λεπτών στιβάδων υγρού που ρέουν εντός κατακόρυφου αγωγού (π.χ. Karapantsios et al., 1989 Karapantsios & Karabelas, 1995), ή κινούνται σε οριζόντια δακτυλιοειδή (π.χ. Paras & Karabelas, 1991) ή διαχωρισµένη διφασική οµορροή (Paras et al., 1994). ηµιουργήθηκε έτσι η ανάγκη για τροποποίηση του πρωτότυπου ηλεκτρονικού αναλυτή σήµατος που είχε αρχικά σχεδιαστεί στο Πανεπιστήµιο του Illinois (Andritsos, 1986) ώστε να εξασφαλιστεί σηµαντική βελτίωση στην ακρίβεια και την ευαισθησία της τεχνικής και σε µετρήσεις στιβάδων µικρού πάχους (Παράς, 1991). Αυτός ο αναλυτής σήµατος είναι απαραίτητος ώστε να εξασφαλίζεται η αντιστοίχιση µεταξύ της τάσης εξόδου και του πάχους της υγρής στιβάδας. Όσον αφορά στην απόκριση της τεχνικής, αυτή εξαρτάται από την απόσταση µεταξύ των δύο παράλληλων ηλεκτροδίων (συρµάτων) που συνιστούν το µετρητικό στοι-

68 44 χείο, καθώς και από το πάχος των συρµάτων που χρησιµοποιούνται. Η ηλεκτρική συ- µπεριφορά αυτών των στοιχείων µελετήθηκε κατά καιρούς από διάφορους ερευνητές (π.χ. Miya, 1971 Brown et al., 1978 Koskie et al., 1989) οι οποίοι έδειξαν ότι η αντίσταση µεταξύ των δύο συρµάτων είναι αντιστρόφως ανάλογη του µήκους των συρµάτων που είναι βυθισµένα στο υγρό, και ότι η τιµή αυτής της αντίστασης αντιστοιχεί µοναδικά σε ορισµένη τιµή πάχους της υγρής στιβάδας. Η επιλογή της διαµέτρου των συρ- µάτων είναι επίσης κρίσιµη, δεδοµένου ότι όσο λεπτότερα είναι τα σύρµατα τόσο καλύτερη είναι η απόκρισή τους και µικρότερη η διαταραχή που προκαλούν στο πεδίο ροής. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιήθηκαν ανοξείδωτα σύρµατα κατασκευασµένα από χρωµονικέλιο (chromel-nickel wire conductance probes) µε διάµετρο 0.5mm, ενώ η χρήση λεπτότερων συρµάτων κρίθηκε ακατάλληλη αφού θα ήταν πιο δύσκολο να βαθ- µονοµηθούν, αλλά κυρίως να παραµείνουν άκαµπτα σε συνθήκες αντιρροής. Επιπρόσθετα, οι Karapantsios et al. (1989) ελέγχοντας τη συµπεριφορά αγωγιµοµετρικών µετρητικών στοιχείων µε σύρµατα διαµέτρου 0.5 και 0.1mm διαπίστωσαν ότι όχι µόνο δεν παρατηρείται ουσιαστική διαφορά µεταξύ τους, αλλά επιπλέον ότι το σήµα εξόδου των λεπτότερων ηλεκτροδίων απαιτεί µεγαλύτερη ενίσχυση και είναι περισσότερο ευπρόσβλητο από ηλεκτρονικό θόρυβο κάτι που καθιστά επισφαλείς τις µετρήσεις. Το µήκος των συρµάτων που χρησιµοποιούνται είναι ~2.5mm και η απόσταση µεταξύ τους αρκετά µικρή (~2mm) ώστε να αυξηθεί η χωρική διακριτότητα της τεχνικής (Koskie et al, 1989). Το κάθε µετρητικό στοιχείο (probe) έχει τη µορφή ειδικού κυλινδρικού βύσµατος κατασκευασµένου από Plexiglas το οποίο προσαρµόζεται στο κανάλι µέσω κατάλληλα διαµορφωµένων υποδοχών (οπών), έτσι ώστε να είναι «πρόσωπο» (flush-mounted) µε την εσωτερική επιφάνεια της πλάκας στην οποία τοποθετείται, ενώ τα δύο παράλληλα σύρµατα είναι εκτεθειµένα στη ροή (βλ. Σχήµα ). Για την καλύτερη στερέωση και µόνωση των συρµάτων σε κάθε βύσµα χρησιµοποιείται εποξειδική ρητίνη. Το µετρητικό, που αποτελεί τµήµα ενός ηλεκτρονικού κυκλώµατος, τροφοδοτείται µε ε- ναλλασσόµενη τάση υψηλής συχνότητας (25kHz), ώστε να αποφευχθεί η πόλωση των ηλεκτροδίων και η ηλεκτρόλυση του νερού (Miya, 1971), από µια γεννήτρια συχνοτήτων (HAMEG Function Generator HM8030). Σηµειώνεται ότι οι Βrown et al. (1978) έδειξαν ότι η αντίσταση µεταξύ των συρµάτων είναι δυνατόν να αλλοιωθεί αν στη διεπιφάνεια υγρού/συρµάτων αναπτυχθούν επαγωγικές ή χωρητικές αντιστάσεις και µόνο όταν η εναλλασσόµενη τάση που εφαρµόζεται είναι υψηλής συχνότητας η αντίσταση του συστήµατος είναι αποκλειστικά ωµική, ανεξάρτητη αυτής της συχνότητας. Οι µε-

69 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 45 ταβολές του πάχους της υγρής στιβάδας, καθώς αυτή διαβρέχει τα σύρµατα, αντιστοιχούν σε µεταβολές της ηλεκτρικής αντίστασης (ή ισοδύναµα της αγωγιµότητας) µεταξύ των συρµάτων και άρα σε µεταβολές του πλάτους του εναλλασσόµενου ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα. Οι µεταβολές αυτές µετρώνται στα άκρα µιας µικρής αντίστασης, Μετρητικό στοιχείο ΗΥ (+Μετατροπέας Α/D) Παλµογράφος Αναλυτής σήµατος Πολύµετρο DC AC 25 khz Γεννήτρια συχνοτήτων Σχήµα Σχηµατική παράσταση των µετρήσεων µε την αγωγιµοµετρική τεχνική - Μετρητικό στοιχείο ζεύγους παραλλήλων συρµάτων. 100K + 15V GAIN X1 X10 X100 S2 3 49k9 + INPUT - R x 15V INA 101 Plasticl k ìF 1ìF 15V k9 15V V 1 7 F K 10K 15V F VAR.GAIN X K V 6 S V 15V IH D 1M V 1 7 F V DC 0UT 1nF 1nF 20K ZERO 15V 20K ZERO AC OUTPUT MONITOR 15V DG V 1nF 20K ZERO 15V + 5V 15V V CR REF. INPUT 25 KHz 10k M S1 180 DEGR REV B2 10 Q 2 A1 Q1 1/2 74S /2 74S A C RC C RC REF.MONITOR + 15V 1nF 5nF ZERO ADJ. Σχήµα Ηλεκτρονικό κύκλωµα αναλυτή σήµατος (Παράς, 1991). + 5V

70 46 ενσωµατωµένης σε ειδικό ηλεκτρονικό αναλυτή-αποδιαµορφωτή σήµατος, µε την τιµή της (~100Ω) να επιλέγεται έτσι ώστε να είναι µικρότερη από την αντίσταση του πειρά- µατος. Ο ηλεκτρονικός αναλυτής µετατρέπει την απόκριση του µετρητικού σε αναλογικό σήµα (DC output) το οποίο αντιστοιχεί στο πάχος υγρής στιβάδας και µπορεί να καταγραφεί µέσω ενός A/D µετατροπέα σε Η/Υ για περαιτέρω ανάλυση και επεξεργασία (βλ. Σχήµα ). Η τελική µετατροπή του αναλογικού σήµατος του αναλυτή (συνεχής τάση σε Volt), σε πραγµατικό πάχος υγρής στιβάδας (h σε mm) είναι δυνατή µε αξιοποίηση των παρακάτω καµπύλων βαθµονόµησης: της καµπύλης βαθµονόµησης του αναλυτή (αγωγιµότητα, 1/R, σε mho, ως προς συνεχή τάση σε Volt) η οποία υπολογίζεται στην αρχή και το τέλος κάθε πειρά- µατος, της καµπύλης βαθµονόµησης του κάθε µετρητικού στοιχείου (πάχος στιβάδας, h, σε mm, ως προς αγωγιµότητα, 1/R, σε mho), που εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά του εκάστοτε µετρητικού και της ειδικής αγωγιµότητας του υγρού στις συνθήκες του πειράµατος. Η βαθµονόµηση του αναλυτή σήµατος γίνεται χρησιµοποιώντας γνωστές ωµικές αντιστάσεις ακρίβειας 1%, στη θέση του µετρητικού στοιχείου στο ηλεκτρονικό κύκλωµα, οι οποίες καλύπτουν το συνολικό εύρος των τιµών (5-50kΩ) που αντιστοιχούν στις αναµενόµενες τιµές πάχους στιβάδας. Η τάση εξόδου του αναλυτή φαίνεται να µεταβάλλεται σχεδόν γραµµικά µε την αγωγιµότητα (1/R, mho), αλλά τα πειραµατικά δεδοµένα προσαρµόζονται για µεγαλύτερη ακρίβεια σε πολυώνυµο δευτέρου βαθµού. Μια χαρακτηριστική καµπύλη βαθµονόµησης του αναλυτή (αγωγιµότητα, 1/R τάση, V) παρουσιάζεται στο Σχήµα Π.Α-4 του Παραρτήµατος Α. Η βαθµονόµηση του µετρητικού στοιχείου, δηλαδή του ζεύγους των παραλλήλων συρµάτων, γίνεται στατικά, εκτός του τµήµατος των µετρήσεων (ex-situ) µε χρήση της διάταξης που φαίνεται στο Σχήµα , η οποία κατασκευάστηκε και χρησιµοποιήθηκε για τον ίδιο σκοπό από τον Παρά (1991). Πιο συγκεκριµένα το µετρητικό στοιχείο, αφού στερεωθεί στο κινητό τµήµα (στέλεχος Β ) ενός µικροµέτρου, βυθίζεται µέσα σε δοχείο νερού µε τα σύρµατα να εισέρχονται πλήρως στις κυλινδρικές οπές που έχουν ανοιχθεί για το σκοπό αυτό στον πυθµένα του δοχείου, έτσι ώστε η αγωγή ρεύµατος µεταξύ των δύο συρµάτων να είναι µηδενική. Στη συνέχεια, το µετρητικό µετακινείται προς τα πάνω κατά γνωστά διαστήµατα µε τη βοήθεια µικροµέτρου (µε περιστροφή του στελέχους A ), το οποίο έχει ακρίβεια εκατοστού του χιλιοστού (1mm), µε α-

71 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 47 ποτέλεσµα ολοένα και µεγαλύτερο τµήµα (µήκος) των συρµάτων να είναι εκτεθειµένο εντός του νερού, οδηγώντας σε ηλεκτρική αγωγή. Η τάση που παράγεται µετράται στην έξοδο του αναλυτή και η µεταβολή της ως προς το µήκος των συρµάτων που είναι ε- κτεθειµένο εντός του νερού (και αντιστοιχεί σε συγκεκριµένο πάχος στιβάδας) αποτελεί την καµπύλη βαθµονόµησης του κάθε µετρητικού. Κατά τη βαθµονόµηση ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δίδεται στην αποµάκρυνση τυχόν εγκλωβισµένων φυσαλίδων αέρα µεταξύ των συρµάτων οι οποίες παρεµποδίζουν την ηλεκτρική αγωγή οδηγώντας έτσι σε λανθασµένη βαθµονόµηση. Αυτή η διαδικασία βαθµονόµησης για κάθε µετρητικό στοιχείο αποδείχτηκε ικανοποιητική δίνοντας επαναλήψιµα αποτελέσµατα (για την ίδια τιµή ειδικής αγωγιµότητας του νερού). Έτσι η βαθµονόµησή τους κρίθηκε σκόπιµο να επαναληφθεί µόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις (π.χ. µετά από µακρά διακοπή χρήσης τους, ή σε περίπτωση που υπάρχει υπόνοια παραµόρφωσής τους λόγω της αντιρροής του αέρα και οπωσδήποτε σε περίπτωση αντικατάστασης κάποιου εκ των µετρητικών στοιχείων). Για την κλίµακα τιµών πάχους που αναµένονται (0.1-2mm) διαπιστώθηκε ότι το πάχος στιβάδας µεταβάλλεται γραµµικά µε την αγωγιµότητα. Σχήµα ιάταξη βαθµονόµησης των αγωγιµοµετρικών µετρητικών στοιχείων. Η αναγωγή των παραπάνω καµπύλων βαθµονόµησης στις πειραµατικές συνθήκες εξασφαλίζεται απλά µε τη µέτρηση, καταρχήν, της ειδικής αγωγιµότητας της υγρής φάσης. Η τιµή της τελευταίας κατά τη διάρκεια των πειραµάτων ενδέχεται να είναι διαφο-

72 48 ρετική από αυτή που µετρήθηκε τη στιγµή βαθµονόµησης του κάθε µετρητικού, λόγω µεταβολής της θερµοκρασίας που επηρεάζει κυρίως την τιµή της. Με βάση την ειδική αγωγιµότητα που µετράται εισάγεται τελικά στην συνάρτηση µετατροπής της ηλεκτρικής τάσης σε πάχος στιβάδας, ένας συντελεστής διόρθωσης (εφόσον η µεταβολή της τιµής της αγωγιµότητας δεν ξεπερνά το 30% αυτής του υγρού που χρησιµοποιήθηκε για της βαθµονοµήσεις των µετρητικών στοιχείων). Η µέτρηση της αγωγιµότητας γίνεται µε κατάλληλο αγωγιµόµετρο (METROHM Conductometer 660). Χρησιµοποιήθηκαν συνολικά πέντε (5) µετρητικά στοιχεία τοποθετηµένα κατά µήκος του καναλιού, κεντρικά, σε αποστάσεις x = 8, 19, 22, 33 και 36cm από την είσοδο της υγρής τροφοδοσίας και κάθε φορά γινόταν µέτρηση του πάχους σε ένα µόνο από αυτά. Ταυτόχρονες µετρήσεις πραγµατοποιήθηκαν µόνο για τα γειτονικά στοιχεία στην παρούσα πειραµατική διάταξη (δηλαδή τα ηλεκτρόδια που υπάρχουν στις θέσεις x = 19 & 22cm και x = 33 & 36cm) µε σκοπό την εξαγωγή ποιοτικών αποτελεσµάτων, όπως κατά τη συλλογή δεδοµένων για τον υπολογισµό της ετεροσυσχέτισης των κυµάτων. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η αγωγιµοµετρική τεχνική είναι απλή στην ε- φαρµογή της, αξιόπιστη και µε ικανοποιητική επαναληψιµότητα, ενώ η ακρίβειά της εκτιµάται ότι είναι γενικά της τάξεως του 5% συµπεριλαµβανοµένου του σφάλµατος που υπεισέρχεται στη διαδικασία βαθµονόµησης (π.χ. λόγω µεταβολής θερµοκρασίας ή ηλεκτρονικού θορύβου) της οποίας η ακρίβεια µε χρήση του µικροµέτρου κυµαίνεται σε επίπεδα των 20µm. Σηµαντικά µειονεκτήµατά της είναι η διαταραχή που επιβάλλουν τα σύρµατα στο πεδίο ροής και η πιθανή δηµιουργία µηνίσκου γύρω από αυτά ειδικά στην περίπτωση µικρού πάχους στιβάδας (δηλαδή όταν το πάχος είναι µικρότερο του 0.1 mm). Μειονέκτηµα θα µπορούσε επίσης να θεωρηθεί και η αδυναµία λήψης ταυτόχρονων µετρήσεων µε αυτή την τεχνική -µε σκοπό την περαιτέρω στατιστική τους επεξεργασία- από γειτονικά ηλεκτρόδια, λόγω αλληλεπίδρασης των ηλεκτρικών τους πεδίων που οδηγούν σε µείωση του ηλεκτρονικού σήµατος Ηλεκτροχηµική τεχνική - Μετρήσεις διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος Βασικές αρχές της τεχνικής Για τη µέτρηση της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος χρησιµοποιήθηκε η η- λεκτροχηµική τεχνική που παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τους Reiss & Hanratty (1962) και βασίζεται σε µια ηλεκτροχηµική (οξειδο-αναγωγική) αντίδραση της οποίας ο ρυθµός ελέγχεται από τη µεταφορά µάζας (µέσω διάχυσης) που λαµβάνει χώρα πλησίον του τοιχώµατος του καναλιού. Η τεχνική αυτή εφαρµόστηκε ευρύτατα σε συστήµατα

73 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 49 µονοφασικής ροής σε αγωγούς, µε χρήση κυκλικών ηλεκτροδίων, από τον Hanratty και τους συνεργάτες του (π.χ. Reiss & Hanratty,1963 Mitchell & Hanratty, 1966 Fortuna & Hanratty, 1971) οι οποίοι µελέτησαν και την επίδραση των διαφόρων παραµέτρων του πειράµατος (π.χ. σχήµα και διαστάσεις ηλεκτροδίων, φυσικές ιδιότητες και τιµές παροχής υγρής φάσης) επί της µορφής και της µέσης τιµής του σήµατος που καταγράφεται τελικά. Σηµαντικό πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ότι µπορεί να παρέχει πληροφορία σχετικά µε τη ροή πλησίον του τοιχώµατος χωρίς την εισαγωγή διαταραχών εντός του πεδίου ροής, αντίθετα µε την αγωγιµοµετρική τεχνική που παρουσιάστηκε παραπάνω. Η ίδια τεχνική έχει εφαρµοστεί και για τον προσδιορισµό συντελεστών µεταφοράς µάζας υγρού-στερεού σε περιπτώσεις µονοφασικής ή διφασικής ροής υγρού σε στήλες µε πληρωτικό υλικό (π.χ. Karabelas et al., 1971 Tsochatzidis & Karabelas, 1994). Συναντάται επίσης και σε µελέτες προσδιορισµού της διατµητικής τάσης σε οριζόντια διφασική ροή (π.χ. Vlachos et al., 1997), αλλά και σε εργασίες που αφορούν είτε σε ροή ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (απουσία αέρα), είτε διφασική οµορροή ή αντιρροή υγρού-αέρα εντός κατακόρυφων αγωγών (π.χ. Νakoryakov et al., 1981 Zabaras, 1985 Wragg & Einarsson, 1970 & 1971). Η τοπική τιµή της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος καναλιού που µετράται µε αυτή την τεχνική προκύπτει από τον συντελεστή µεταφοράς µάζας ενός ορισµένου διαχεόµενου συστατικού, που µετράται στην επιφάνεια ενός µικρού, ηλεκτρικά µονω- µένου ηλεκτροδίου, τοποθετηµένου «πρόσωπο» (flush-mounted) µε την εσωτερική επιφάνεια της πλάκας. Αυτό το ηλεκτρόδιο συνιστά την κάθοδο, ενώ η άνοδος είναι ένα αρκετά µεγαλύτερο ηλεκτρόδιο το οποίο τοποθετείται σε κάποια άλλη θέση στο σύστη- µα, συνήθως µετά την κάθοδο (downstream) στην κατεύθυνση της ροής (αν και όπως έχει διαπιστωθεί, η τελική του θέση δεν επηρεάζει τις µετρήσεις). Στην διάταξη που χρησιµοποιήθηκε, ως άνοδος αξιοποιείται µία από τις πορώδεις πλάκες που υπάρχουν στο κάτω τµήµα του καναλιού. Ο συντελεστής µεταφοράς µάζας προσδιορίζεται από το µετρούµενο οριακό ρεύµα διάχυσης που προκύπτει λόγω της προαναφερόµενης µεταφοράς ιόντων από το υγρό στο ηλεκτρόδιο. Στην παρούσα εργασία, οι µετρήσεις πραγµατοποιήθηκαν µε τη χρήση κατάλληλου ηλεκτροχηµικού διαλύµατος σαν υγρή φάση, και πιο συγκεκριµένα ενός υδατικού διαλύµατος 1Μ σιδηρι-κυανιούχου καλίου και 5Μ σιδηρο-κυανιούχου καλίου σε περίσσεια 1Μ υδροξειδίου του νατρίου, που λειτουργεί ως φέρων ηλεκτρολύτης. Η ίδια σύσταση χρησιµοποιήθηκε από τους Tsochatzidis & Karabelas (1994) για τον προσδιορισµό τοπικών συντελεστών µεταφοράς µάζας υγρού-στερεού αλλά και από τους Vla-

74 50 chos et al. (1997) για µέτρηση της κατανοµής της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος στην περιφέρεια του αγωγού σε σύστηµα οριζόντιας οµορροής υγρού-αέρα. Οι φυσικές ιδιότητες του διαλύµατος (βλ. Πίνακα 3.1-1) µετρώνται πριν από κάθε πείραµα και ειδικότερα όταν παρασκευάζεται νέο διάλυµα, µε την τιµή του ιξώδους να ανάγεται κάθε φορά στη θερµοκρασία του πειράµατος. Η µοριακή διαχυτότητα των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων, D, προσδιορίζεται από την ακόλουθη σχέση (Gordon et al., 1966): D 2 µ 15 m Kg o T s K = ( ) Η οξειδο-αναγωγική αντίδραση που λαµβάνει χώρα κατά τη διάρκεια των µετρήσεων είναι η ακόλουθη: Fe( CN) + e Fe( CN) (κάθοδος) Fe( CN) Fe( CN) + e (άνοδος) Ο συνολικός ρυθµός της παραπάνω αντίδρασης καθορίζεται από τα φαινόµενα που λαµβάνουν χώρα στην περιοχή της καθόδου, δεδοµένου ότι η επιφάνειά της είναι πολύ µικρότερη από αυτή της ανόδου. Με αύξηση της εφαρµοζόµενης τάσης στο σύστηµα η συγκέντρωση των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων στην επιφάνεια της καθόδου µειώνεται και τελικά µηδενίζεται. Σε αυτές τις συνθήκες η κάθοδος πολώνεται και η διάχυση των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων διαµέσου του οριακού στρώµατος συγκέντρωσης, που δηµιουργείται στην περιοχή της καθόδου (βλ. Σχ ), αποτελεί το ελέγχον στάδιο (Selman & Tobias, 1978). Παράλληλα το οριακό ρεύµα ηλεκτροδιάχυσης, I lim, που προκύπτει από αυτή τη διάχυση παραµένει σταθερό για σχετικά µεγάλο εύρος τιµών της εφαρµοζόµενης τάσης V (plateau) όπως φαίνεται και στο Σχήµα Σε αυτές τις οριακές συνθήκες διεξάγονται τα πειράµατα και µετράται η τιµή του ρεύµατος I lim η οποία αντιστοιχεί στο µέγιστο δυνατό ρυθµό της αντίδρασης που λαµβάνει χώρα στο συγκεκριµένο ηλεκτρόδιο και συνδέεται µε το συντελεστή µεταφοράς µάζας υ- γρού/στερεού, Κ s, µε την ακόλουθη σχέση (π.χ. Selman & Tobias, 1978) : όπου: Α c F α v e Ilim AF c a = ν KC ( ) e s η επιφάνεια του ηλεκτροδίου της καθόδου η σταθερά Faraday (=96500 A.s/gr-eq) ο αριθµός των ηλεκτρονίων που συµµετέχουν στην ηλεκτροχηµική αντίδραση

75 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 51 y Ιξώδες υπόστρωµα u x = τ w µ y Ροή διαλύµατος C=C oo Οριακό υπόστρωµα συγκέντρωσης δ c C y = 0 C=0 C=0 x u x A B u x Κατεύθυνση ροής I -I > 0 lim,a lim,b Κατεύθυνση ροής I - I <0 lim,a lim,b l c l c Ηλεκτρόδιο "ζεύγους" (sandwich probe) Σχήµα Ηλεκτροχηµική µέθοδος: απλό ηλεκτρόδιο και «παράλληλο ζεύγος ηλεκτροδίων» (κατανοµή ταχύτητας και συγκέντρωσης) I lim, µa V, Volt _ U (x 10 2 m/s) Σχήµα Χαρακτηριστικές καµπύλες πόλωσης της καθόδου (ηλεκτρόδιο 2A ).

76 52 C 4 η συγκέντρωση των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων στην κύρια µάζα του υγρού, η τιµή της οποίας δεν επηρεάζεται από την αντίδραση που λαµβάνει χώρα. Επειδή ο αριθµός Schmidt, Sc, του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος που χρησιµοποιείται έχει µεγάλη τιµή (περίπου 3000), το πάχος του οριακού στρώµατος συγκέντρωσης δ c είναι πολύ µικρό (της τάξεως των 10-6 m) και εντοπίζεται µέσα στο ιξώδες υπόστρωµα δ ν. Στην περίπτωση των υγρών υπάρχει η ακόλουθη συσχέτιση µεταξύ αυτών των ποσοτήτων (π.χ. Bird et al., 1986): δ 1/3 v Sc δc ( ) Οι παραπάνω ποσότητες ορίζονται από τις ακόλουθες σχέσεις: D δ c = ( ) Ksmean, 5ν δ v = ( ) τ / ρ wmean, όπου Κ s,mean και τ w,mean, η µέση τιµή του τοπικού συντελεστή µεταφοράς µάζας και της διατµητικής τάσης στο τοίχωµα αντίστοιχα. Σηµειώνεται ότι όσο µικρότερος είναι ο αριθµός Re τόσο µικρότερος είναι ο λόγος δ c /δ v, που σηµαίνει ότι το πάχος του οριακού στρώµατος συγκέντρωσης είναι µικρότερο από το ιξώδες υπόστρωµα (π.χ. Reiss & Hanratty, 1963). Στην περίπτωση αυτή, η ταχύτητα του υγρού, u x, στην κατεύθυνση της ροής, x, µεταβάλλεται γραµµικά µε την απόσταση, y, από το τοίχωµα του αγωγού (βλ. Σχ ): u τ w x y ( ) µ Από την τελευταία προκύπτει ότι οι διακυµάνσεις στη διάτµηση του υγρού επί του τοιχώµατος αναµένεται να συνδέονται µε διακυµάνσεις της ταχύτητας στην περιοχή του ιξώδους υποστρώµατος. Για ηλεκτρόδιο σχήµατος παραλληλογράµµου σε ψευδο- µόνιµες συνθήκες και όταν το πλάτος του, w c, είναι πολύ µεγαλύτερο από το πάχος δ c, η εξίσωση µεταφοράς µάζας µε συναγωγή στην περίπτωση διδιάστατης και οµοιόµορφης ροής επί της επιφάνειας του ηλεκτροδίου, γίνεται (π.χ. Reiss & Hanratty, 1963): τ w µ C y = D x 2 C ( ) 2 y δεδοµένου ότι η διάχυση λαµβάνει χώρα κυρίως κάθετα, προς την επιφάνεια του ηλεκτροδίου (κατεύθυνση y), κι ότι συµπληρωµατικά ισχύει:

77 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 53 C C uy << ux ( ) y x Η γνωστή λύση της Εξ από τον eveque (1928) δίνει τη συσχέτιση που υπάρχει ανάµεσα στον τοπικό µέσο συντελεστή µεταφοράς µάζας, Κ s,mean, και την τοπική µέση τιµή της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τ w,mean : 1/3 τ wmean, smean, = 0.807D µ Dl c K ( ) Ο συντελεστής µεταφοράς µάζας, Κ s, ορίζεται ως εξής (π.χ. Reiss & Hanratty, 1962): 1 lc C c y 0 y= 0 Ks = D dx lc ( ) Συνδυάζοντας τις Εξ & προκύπτει η ακόλουθη σχέση που συνδέει την τιµή της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος καναλιού µε το µετρούµενο οριακό ρεύµα ηλεκτροδιάχυσης: 1/3 τ w Ilim = 0.807FaAC c D ( ) µ Dl c Η τελευταία σχέση ισχύει για τις χρονικά µέσες τιµές του οριακού ρεύµατος και της διατµητικής τάσης και µόνο εφόσον ικανοποιείται κάποια από τις παρακάτω συνθήκες µπορεί να ισχύει προσεγγιστικά και µεταξύ των στιγµιαίων τιµών I lim και τ w : τ l µ D I I 2 wmean, c lim, RMS lim, mean > 5000 (Deslouis et al., 1990) ( ) < 0.12 (Rode et al., 1994) ( ) Σηµειώνεται ότι οι παραπάνω συνθήκες, µε βάση τις τιµές του οριακού ρεύµατος και αυτές της µέσης διατµητικής τάσης) που µετρήθηκαν στην παρούσα εργασία, ικανοποιούνται σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάσθηκαν Εφαρµογή της τεχνικής Για την εφαρµογή της ηλεκτροχηµικής τεχνικής κατασκευάστηκαν έξι (6) ηλεκτρόδια από λεπτό φύλλο πλατίνας (Pt). To κάθε ηλεκτρόδιο πάχους l c =0.1mm έχει πλάτος w c ~4-4.5mm και τοποθετείται κάθετα προς την κύρια κατεύθυνση της ροής (βλ. Σχ ). Οι µετρήσεις της διατµητικής τάσης πραγµατοποιήθηκαν σε τρεις διαφορετικές θέσεις κατά µήκος του καναλιού, σε αποστάσεις x = 8, 19 και 36cm από το ση- µείο εισόδου της τροφοδοσίας (ηλεκτρόδια 9 7 και 2 αντίστοιχα). Σε όλες τις θέ-

78 54 σεις χρησιµοποιήθηκε «παράλληλο ζεύγος ηλεκτροδίων» (sandwich probes) προκειµένου να καταστεί δυνατός ο προσδιορισµός τυχόν αλλαγής στη φοράς της διατµητικής τάσης υγρού/τοιχώµατος κατά την αντιρροή. Πιο συγκεκριµένα όταν η κατεύθυνση της ροής είναι από το ηλεκτρόδιο Α προς το ηλεκτρόδιο Β, τότε ο ρυθµός µεταφοράς µάζας (άρα και η τιµή της διατµητικής τάσης) που θα καταγραφεί από το δεύτερο ηλεκτρόδιο αναµένεται να είναι µικρότερος από αυτόν του πρώτου, δεδοµένου ότι το οριακό στρώ- µα συγκέντρωσης του ηλεκτροδίου Β είναι συνέχεια αυτού που αντιστοιχεί στο ηλεκτρόδιο Α και η ωθούσα δύναµη (concentration gradient) -λόγω µεγαλύτερου πάχους- µικρότερη (βλ. Σχ ). Το αντίθετο ισχύει όταν η ροή του υγρού στο τοίχωµα αλλάξει φορά. Για τη δηµιουργία του «παράλληλου ζεύγους ηλεκτροδίων» καθένα από τα δύο λεπτά φύλλα πλατίνας που χρησιµοποιήθηκαν για το σκοπό αυτό, εµβαπτίστηκε καταρχήν σε εδική κόλλα δύο συστατικών βραδείας πήξης η οποία είναι απρόσβλητη από το ηλεκτροχηµικό διάλυµα. Στη συνέχεια τα ηλεκτρόδια τοποθετήθηκαν σε κατακόρυφη θέση για κάποιο χρονικό διάστηµα οπότε και αποµακρύνθηκε η περίσσεια της κόλλας, η οποία όµως σχηµάτισε τελικά επί του κάθε ηλεκτροδίου ένα λεπτό υµένιο (πάχους µικρότερου από 0.1mm), εξασφαλίζοντας έτσι τη µόνωσή του. Αυτά τα δύο ηλεκτρικά µονωµένα πλακίδια τοποθετήθηκαν επάλληλα και προσαρµόσθηκαν σε ειδικά διαµορφωµένη σχισµή µετρητικού στοιχείου τοποθετηµένου «πρόσωπο» µε την ε- σωτερική επιφάνεια της πλάκας, διαµέσου κατάλληλης οπής που ανοίχθηκε για το σκοπό αυτό. Ακολούθησε η προσεκτική λείανση της επιφάνειας του µετρητικού που είναι εκτεθειµένη στο υγρό (και περιλαµβάνει και τις επιφάνειες των ηλεκτροδίων) µε τη βοήθεια ειδικής µηχανουργικής διάταξης τριβής -σε υψηλές στροφές-και χρήση προοδευτικά λεπτότερου γυαλόχαρτου, ενώ για το τελικό γυάλισµά του χρησιµοποιήθηκε ένα µαλακό ύφασµα (που αντικατέστησε το γυαλόχαρτο). Για τις ανάγκες της ηλεκτροχηµικής τεχνικής εφαρµόζεται συνεχής τάση ρεύµατος (DC) στα ηλεκτρόδια µε χρήση κοινών µπαταριών (ξηρών στοιχείων) 9V, προκει- µένου να εξασφαλιστεί συγκεκριµένη, σταθερή τιµή τάσης απαλλαγµένη από ηλεκτρονικό θόρυβο. Το επίπεδο της τροφοδοτούµενης τάσης καθορίζεται από την τάση που απαιτείται για την πόλωση των ηλεκτροδίων και ελέγχεται µε τη βοήθεια ροοστάτη ο οποίος έχει τη δυνατότητα αύξησης της τιµής της µε βήµα 1mV. Το προκύπτον οριακό ρεύµα ηλεκτροδιάχυσης µετατρέπεται σε τάση για κάθε ηλεκτρόδιο χωριστά χρησιµοποιώντας ακριβείς ωµικές αντιστάσεις (µεταξύ 0.5 και 1ΚΩ) και ενισχύεται µε ένα ηλεκτρονικό κύκλωµα διαφορικού ενισχυτή, το οποίο σχεδιάστηκε σε αυτό το Εργαστήριο και παρουσιάζεται στο Σχήµα Γίνονται ταυτόχρονες µετρήσεις της διατµητικής

79 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 55 τάσης κατά µήκος της πλάκας και το αναλογικό σήµα στην έξοδο του κυκλώµατος κάθε ηλεκτροδίου της καθόδου, ψηφιοποιείται και αποθηκεύεται σε Η/Υ για περαιτέρω επεξεργασία. Στο Σχήµα δίνεται παραστατικά η πειραµατική διάταξη των µετρήσεων µε την ηλεκτροχηµική τεχνική. Θα πρέπει να τονισθεί ότι επειδή στην παρούσα εργασία οι τιµές τάσης που καταγράφονται είναι πολύ µικρές (µικρότερες των 50mV πριν την ενίσχυσή τους), είναι καθοριστικής σηµασίας η επιτυχής εξάλειψη κάθε πιθανού θορύβου (εξωτερικού ή ηλεκτρονικού) από το σήµα που καταγράφεται. Έτσι γίνεται καταρχήν προσπάθεια ώστε τα πειράµατα να διεξάγονται σε ώρες που ο εξωτερικός θόρυβος (π.χ. από γειτονικές συσκευές σε λειτουργία) είναι ο ελάχιστος δυνατός. Επιπροσθέτως, στην είσοδο της τάσης στον ενισχυτή προσαρµόστηκε ειδικός αντιπαρασιτικός πυκνωτής, χρησιµοποιήθηκαν «θωρακισµένα» καλώδια µικρού κατά το δυνατόν µήκους για τη µεταφορά του σήµατος, ενώ ξεχωριστές γειώσεις τόσο στα καλώδια όσο και στα διαφορετικά τµήµατα του ενισχυτή αλλά και της διάταξης γενικότερα µείωσαν σηµαντικά το επίπεδο του θορύβου. Ο προσδιορισµός της επιφάνειας των ηλεκτροδίων που είναι εκτεθειµένη στη ροή έγινε καταρχήν µε µέτρηση των διαστάσεών τους µε τη βοήθεια µικροσκοπίου, ενώ ε- φαρµόστηκε και κατάλληλη διαδικασία βαθµονόµησής τους, ώστε να συµπεριληφθούν στον υπολογισµό της πραγµατικής επιφάνειάς τους τυχόν µικρές ατέλειές της (που ο- φείλονται π.χ. στην λείανση που προηγήθηκε). Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιήθηκε µονοφασική ροή του ηλεκτρολυτικού διαλύµατος στο ίδιο σύστηµα που γίνονται οι µετρήσεις της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας και της διφασικής αντιρροής. Έτσι για γνωστή παροχή του διαλύµατος υπολογίζεται η µέση διατµητική τάση στο τοίχωµα του α- γωγού, τ w, από την ακόλουθη σχέση: 1 2 τw = fwρu ( ) 2 Η µέση ταχύτητα της υγρής φάσης U προσδιορίζεται µε βάση την ογκοµετρική της παροχή και τη διατοµή του καναλιού, ενώ ο συντελεστής τριβής f w για την περίπτωση µονοδιάστατης στρωτής ροής σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής µε µεγάλο λόγο πλάτους προς διάκενο, σε σταθεροποιηµένες συνθήκες, δίνεται από την ακόλουθη σχέση (π.χ. Whan & Rothfus, 1959 Bird et al., 1965 Brodkey & Hersey, 1987): f w 12 = ( ) Re w όπου ο αριθµός Reynolds, Re w, ορίζεται ως εξής:

80 56 Λεπτοµέρεια ηλεκτροδίου ζεύγους (sandwich probe) Ηλεκτρόδια Καθόδου ΗΥ (+Μετατροπέας Α/D) Παλµογράφος ιαφορικός ενισχυτής Πολύµετρο DC ~400 mv Μπαταρίες (σε διάταξη µε ροοστάτη) Ηλεκτρόδιο Ανόδου Σχήµα Σχηµατική παράσταση των µετρήσεων µε την ηλεκτροχηµική τεχνική. Μετρητικό στοιχείο «ηλεκτροδίου ζεύγους». Σχήµα Ηλεκτρονικό κύκλωµα διαφορικού ενισχυτή.

81 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 57 Re bu ρ w = ( ) µ Ταυτόχρονα µετράται το αντίστοιχο οριακό ρεύµα διάχυσης, Ι lim, για κάθε ηλεκτρόδιο και µε εφαρµογή της Εξ υπολογίζεται η επιφάνεια, A c, των ηλεκτροδίων (αφού οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι προσδιορισµένες). Χαρακτηριστικές καµπύλες βαθ- µονόµησης παρατίθενται στο Σχήµα Π.Α-6 του Παραρτήµατος Α. Οι βαθµονοµήσεις επαναλαµβάνονται για κάθε ηλεκτρόδιο πριν και µετά τα πειράµατα και διαπιστώνεται ότι η απόκλισή τους είναι σε κάθε περίπτωση µικρότερη από 5%. Θα πρέπει να υπογραµµισθεί ότι η ακρίβεια της ηλεκτροχηµικής τεχνικής εξαρτάται από τον προσδιορισµό των παρακάτω ποσοτήτων: της επιφάνειας, Α c, των ηλεκτροδίων, της συγκέντρωσης, C, των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων και της επίδρασης της θερµοκρασίας επί των τιµών των D και µ. Από τις παραπάνω ποσότητες ιδιαίτερα σηµαντική κρίνεται η ακρίβεια στον προσδιορισµό της επιφάνειας A c και της συγκέντρωσης C αφού σφάλµα της τάξεως του 10% σε κάποιο από αυτά τα µεγέθη (ή και στα δύο) είναι δυνατόν να οδηγήσει σε συνολικό σφάλµα µέχρι και 30% στον υπολογισµό της διατµητικής τάσης. Σηµειώνεται ότι το ηλεκτρολυτικό διάλυµα τιτλοδοτείται πριν και µετά τα πειράµατα, µε βάση τη διαδικασία που προτείνεται από τον Vogel (1962), για να βρεθεί επακριβώς η συγκέντρωση των σιδηρι-κυανιούχων ιόντων στη µάζα του υγρού. Θα πρέπει να υπογραµµισθεί ότι επειδή το διάλυµα είναι φωτο-ευαίσθητο διατηρείται σε αδιαφανές δοχείο αποθήκευσης (όγκου 30l), ενώ κατά τη διάρκεια των πειραµάτων τόσο τα τοιχώµατα του καναλιού όσο και τα υπόλοιπα -εκτεθειµένα στο φως- τµήµατα του συστήµατος ροής καλύπτονται µε λεπτό φύλλο αλουµινίου. Η διατήρηση του διαλύµατος στο δοχείο συλλογής του γίνεται σε ατµόσφαιρα αζώτου προκειµένου αυτό να προστατευτεί από τη χηµική δράση διαλελυµένου οξυγόνου. Το διάλυµα ανανεώνεται ανά τακτά χρονικά διαστήµατα, ανάλογα και µε τη χρήση του (συνήθως ανά 1-2 εβδοµάδες) Συχνοτική απόκριση ηλεκτροδίων Η συχνοτική απόκριση της ηλεκτροχηµικής τεχνικής στις διακυµάνσεις της ροής µελετήθηκε συστηµατικά από τους Fortuna & Hanratty (1971) µε αφορµή τη διαφορά που παρατηρήθηκε (από τους Reiss & Hanratty, 1963 και Mitchell & Hanratty, 1966)

82 58 ότι υφίσταται ανάµεσα στο φάσµα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του συντελεστή µεταφοράς µάζας υγρού-στερεού και στο αντίστοιχο φάσµα των διακυµάνσεων της κατανοµής ταχύτητας του υγρού πλησίον του τοιχώµατος. Από τότε στη βιβλιογραφία έχουν παρουσιαστεί ανάλογες σηµαντικές µελέτες (π.χ. Deslouis et al., 1990 Rode et al., 1994 Bewersdorff et al., 1997 Tihon et al., 2003), το βασικό συµπέρασµα των οποίων είναι ότι το οριακό υπόστρωµα συγκέντρωσης δρα γενικά σαν «φίλτρο» υψηλών συχνοτήτων, λόγω της χαµηλής τιµής του συντελεστή µοριακής διάχυσης των υγρών. Οι ίδιες µελέτες καταλήγουν επίσης στο ότι η απόκριση του ηλεκτροδίου βελτιώνεται ση- µαντικά µε µείωση των διαστάσεών του και αύξηση του ρυθµού διάτµησης (δηλαδή της τιµής του λόγου τ w /µ ). Οι Fortuna & Hanratty (1971) διαπίστωσαν ότι η συχνοτική απόκριση βελτιώνεται µε µείωση του αριθµού Schmidt ο οποίος ωστόσο δεν θα πρέπει να µειωθεί σηµαντικά ώστε το πάχος του οριακού υποστρώµατος συγκέντρωσης να καταστεί συγκρίσι- µο µε το αντίστοιχο του ιξώδους υποστρώµατος, οπότε ενδέχεται να περιορίζεται η ισχύ της Εξ Οι ίδιοι ερευνητές πρότειναν την εισαγωγή ενός παράγοντα διόρθωσης στην Εξ , η τιµή του οποίου καθορίζεται µε βάση την αδιάστατη συχνότητα ω *, που ορίζεται ως εξής: * µ 1/3 ω = 2π f Sc ( ) τ wmean, Η διόρθωση αυτή ωστόσο, όπως αναφέρεται από τους ίδιους, δεν είναι εφικτή στην περίπτωση των µεγάλων διακυµάνσεων, όπως συµβαίνει στη συνήθη περίπτωση της δια- µορφωµένης ροής σε µεγάλες τιµές Re, εκτός κι αν η συχνότητα αυτών των διακυµάνσεων είναι σχετικά µικρή. Θα πρέπει τέλος να υπογραµµιστεί ότι οι τιµές ω* 1 αντιστοιχούν σε ψευδο-µόνιµη κατάσταση, κάτι που επιτρέπει την παραδοχή της αµελητέας δυναµικής απόκρισης του οριακού στρώµατος συγκέντρωσης στις διακυµάνσεις της ροής. Οι Deslouis et al. (1990) οι οποίοι παρουσίασαν µια αναλυτική µελέτη της συχνοτικής απόκρισης του οριακού στρώµατος συγκέντρωσης αλλά και του ίδιου του ηλεκτροδίου κατέληξαν στον προσδιορισµό µιας «συνάρτησης µεταφοράς» (transfer function)!i)g*. Η τελευταία συσχετίζει το φάσµα συχνοτήτων της διατµητικής τάσης (που µετράται π.χ. µε ηλεκτροχηµική τεχνική) µε το αντίστοιχο φάσµα της κατανοµής ταχύτητας εντός του υγρού πλησίον του τοιχώµατος (που µετράται π.χ. µε DA), το οποίο αποδείχτηκε ότι είναι περισσότερο ακριβές και αξιόπιστο όσον αφορά στον προσδιορισµό της τιµής και της συνεισφοράς των χαρακτηριστικών συχνοτήτων του εξεταζόµε-

83 Πειραµατικός εξοπλισµός και τεχνικές µέτρησης 59 νου φαινοµένου σε σχέση µε το προηγούµενο. Έτσι η συνάρτηση I)g* µπορεί να χρησι- µοποιηθεί για την «ανακατασκευή» του προκύπτοντος φάσµατος συχνοτήτων της διατµητικής τάσης προκειµένου να ληφθεί η πραγµατική του µορφή. Η ακριβής µορφή αυτής της συνάρτησης I)g* καθορίζεται από την περιοχή τιµών της αδιάστατης συχνότητας σ * (ή ξ), η οποία ορίζεται από την ακόλουθη σχέση: 2/3 ( Sc) * c σ = 2π f µ τ wmean, l 1/3 ( ) Σε αντιστοιχία προς την Εξ , τιµές σ * 1 αντιστοιχούν σε ψευδοµόνιµη κατάσταση που επιτρέπει τη χρήση της «λύσης eveque» (Εξ ) µε καλή προσέγγιση και για τις στιγµιαίες τιµές των I lim και K s. Οι Rode et al. (1994) εξέτασαν τα όρια ε- φαρµογής της «λύσης eveque» για διάφορες πειραµατικές συνθήκες, ακόµη και για περιπτώσεις όπου η ένταση των διακυµάνσεων είναι µεγάλη, και κατέληξαν τι πρέπει να ισχύει για να εφαρµοστεί αυτή, δηλαδή κατέληξαν στη συνθήκη Εξ που προαναφέρθηκε. Επίσης επιβεβαίωσαν µε πειράµατά τους σε στήλη µε πληρωτικό υλικό την απόκλιση του φάσµατος συχνοτήτων που λαµβάνεται για τις διακυµάνσεις του οριακού ρεύµατος από το αντίστοιχο φάσµα των διακυµάνσεων της τοπικής κλίσης της ταχύτητας της υγρής φάσης πλησίον των ηλεκτροδίων, µε το τελευταίο να εµφανίζει ανάλογα µε τις πειραµατικές συνθήκες µεγαλύτερες τιµές χαρακτηριστικών συχνοτήτων έναντι του πρώτου. Σε ανάλογη παρατήρηση οδηγήθηκαν και οι Bewersdorff et al. (1997) οι οποίοι πραγµατοποίησαν µετρήσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος τόσο µε την ηλεκτροχηµική τεχνική, όσο και µε χρήση της ανεµοµετρίας aser Doppler (DA), µε µετρήσεις εντός του ιξώδους υποστρώµατος, για τυρβώδη µονοφασική ροή σε κανάλι ορθογωνικής διατοµής. Το συµπέρασµά τους ήταν ότι για τις συνθήκες του πειράµατος µε την πρώτη τεχνική φαίνεται να µην µπορούν να ανιχνευθούν ικανοποιητικά συχνότητες µεγαλύτερες των 10 Hz οι οποίες όµως είναι ξεκάθαρες στην περίπτωση του φάσµατος συχνοτήτων της ταχύτητας. Ένα πιο πρόσφατο παράδειγµα µελέτης στην οποία δεν αγνοήθηκε η δυναµική του οριακού υποστρώµατος αποτελεί η εργασία των Tihon et al. (2003). Οι τελευταίοι διερεύνησαν την επίδραση των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων (roll waves) της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας επί του προτύπου ροής πλησίον του τοιχώµατος, µε ταυτόχρονες µετρήσεις πάχους και διατµητικής τάσης σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την είσοδο της υγρής τροφοδοσίας όπου η ροή θεωρείται διαµορφωµένη. Για τη µελέτη τους αυτή αξιοποίησαν το συσχετισµό που υφίσταται µεταξύ των στιγµιαίων τιµών της έντασης του ρεύµατος διάχυσης και αυτών της δια-

84 60 τµητικής τάσης στις περιπτώσεις εκείνες όπου πρέπει να ληφθεί υπόψη και η δυναµική συµπεριφορά του οριακού στρώµατος συγκέντρωσης. Η ανάγκη εφαρµογής αυτού του συσχετισµού προέκυψε από τις πειραµατικές συνθήκες της εργασίας τους (για τις οποίες ισχύει ω * >5), συνέπεια των οποίων ήταν η αλλοίωση της µορφής των χρονο-σειρών που ελήφθησαν για την διατµητική τάση (παρατηρήθηκε µείωση της έντασης των διακυµάνσεων). Το τελικό συµπέρασµα που προκύπτει από τα παραπάνω είναι ότι η συχνοτική απόκριση της ηλεκτροχηµικής τεχνικής εξαρτάται σηµαντικά από τα χαρακτηριστικά των ηλεκτροδίων που θα χρησιµοποιηθούν, τις φυσικές ιδιότητες του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος, την παροχή του, αλλά και τη θέση εντός του συστήµατος ροής όπου γίνονται οι µετρήσεις. Οι πειραµατικές συνθήκες στην παρούσα εργασία υπαγορεύουν ότι δεν απαιτείται «διόρθωση» της συχνοτικής απόκρισης των ηλεκτροδίων και εποµένως είναι εφικτή η εφαρµογή της γραµµικής εξάρτησης µεταξύ των στιγµιαίων τιµών I lim και τ 1/3 w (βλ. Εξ ).

85 4. ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ 4.1 ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Τα σήµατα εξόδου των πειραµατικών διατάξεων µέτρησης του πάχους υγρής στιβάδας και της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος αγωγού, δηλαδή του ηλεκτρονικού αναλυτή της αγωγιµοµετρικής τεχνικής και της ηλεκτρονικής διάταξης της ηλεκτροχη- µικής τεχνικής είναι σε αναλογική µορφή και εκφράζονται σε τάση συνεχούς ρεύµατος. Για την περαιτέρω επεξεργασία τους, τα αναλογικά σήµατα µετατρέπονται σε ψηφιακά από µετατροπέα αναλογικού σε ψηφιακό σήµα (A/D Converter) και στη συνέχεια αποθηκεύονται σε έναν PC Pentium II IBM συµβατό Η/Υ µε µνήµη 64MB RAM. Ο µετατροπέας A/D (µοντέλο DT2801-A της Data Translation Inc.) είναι 12bit, χαρακτηρίζεται από χρόνο µετατροπής 10µs, διαθέτει 16 κανάλια συλλογής δεδοµένων και χρησι- µοποιούµενη τάση εισόδου 0-5V. Η δειγµατοληψία, ο έλεγχος λειτουργίας του µετατροπέα A/D, η µετατροπή των δεδοµένων του σε τιµές τάσης ρεύµατος (Vοlt) και η α- ποθήκευσή τους στον Η/Υ έγινε µε το λογισµικό Chelper (Κανάκης, 1994). Συµπληρω- µατικά χρησιµοποιήθηκαν ένας αναλογικός παλµογράφος (HΑMEG Analog Oscillator HM303-6) και ένα ψηφιακό πολύµετρο (HAMEG Digital Multimeter HM8011-2) για µια πρώτη, γενική παρατήρηση της µορφής του σήµατος και του επιπέδου των τιµών του αντίστοιχα κατά τη διάρκεια της δειγµατοληψίας. Θα πρέπει τέλος να αναφερθεί ότι ανά τακτά χρονικά διαστήµατα γινόταν έλεγχος της σωστής συλλογής δεδοµένων από το πρόγραµµα Chelper µε σύνδεση του Η/Υ µε µια γεννήτρια σηµάτων (HAMEG Function Generator HM8030) και δειγµατοληψία γνωστού ηµιτονοειδούς σήµατος (ή γενικότερα γνωστής κυµατοµορφής). Για τις µετρήσεις του πάχους της υγρής στιβάδας και της διατµητικής τάσης υ- γρού/τοιχώµατος καναλιού, η συχνότητα και ο χρόνος δειγµατοληψίας ήταν 125Hz και ~81sec αντίστοιχα. Αρχικά έγιναν δοκιµές και µε άλλες υψηλότερες συχνότητες δειγ- µατοληψίας, 250 και 500Hz, για διάφορες παροχές υγρού, αλλά αποδείχθηκε ότι η αύξηση της συχνότητας δε βελτίωσε την ποιότητα της αποτύπωσης του µετρούµενου σή-

86 62 µατος παράλληλα η µέση τιµή του δείγµατος δε φάνηκε να διαφοροποιείται µε την αλλαγή του χρόνου δειγµατοληψίας. Με ανάλογες δοκιµές επιλέχθηκε και το µέγεθος του λαµβανόµενου δείγµατος ώστε να εξασφαλίζεται η µέγιστη δυνατή ευελιξία όσον αφορά στην επεξεργασία του, αλλά και ο µικρότερος δυνατός αποθηκευτικός χώρος στον Η/Υ. Σηµειώνεται ότι σε συνδυασµό µε τη συχνότητα δειγµατοληψίας, το µέγεθος του δείγµατος θα πρέπει να είναι επαρκώς µεγάλο για τη βελτίωση της διακριτικής ικανότητας του φάσµατος συχνοτήτων (βλ. Κεφ. 4.2). Γενικά, η αύξηση του µεγέθους του δείγ- µατος, Ν, βελτιώνει τη διακριτική ικανότητα, f, του προκύπτοντος φάσµατος συχνοτήτων µόνο εφόσον προέλθει από αύξηση του χρόνου δειγµατοληψίας, διότι ισχύει: f s f = (4.1-1) N όπου f s είναι η συχνότητα δειγµατοληψίας. Αύξηση της f s µειώνει µεν τη διακριτική ι- κανότητα -για το ίδιο πλήθος σηµείων που συλλέγονται- αλλά αυξάνει τη µέγιστη συχνότητα f max που µπορεί να ανιχνευθεί στο φάσµα, αφού σύµφωνα µε το θεώρηµα του Nyquist η τιµή της f max ισούται µε το µισό της συχνότητας δειγµατοληψίας. Θα πρέπει πάντως να τονισθεί ότι στην τελική επιλογή της συχνότητας δειγµατοληψίας συµβάλλουν και τα συµπεράσµατα προηγούµενων µελετών στις οποίες αναφέρονται ότι οι αναµενόµενες κύριες συχνότητες στη στιβάδα δεν θα ξεπερνούν τα 35-40Hz (e.g. Pierson & Whitaker, 1977), διαπίστωση που επιβεβαιώθηκε και από τα αποτελέσµατα της παρούσας εργασίας (Drosos et al., 2004). Για τον προσδιορισµό της ταχύτητας των κυµάτων µέσω της συνάρτησης ετεροσυσχέτισης (βλ. Κεφ. 4.2), η συχνότητα δειγµατοληψίας των ταυτόχρονων µετρήσεων σε γειτονικά ηλεκτρόδια ήταν 250Hz και ο χρόνος δειγµατοληψίας ~ 40sec. Σηµειώνεται τέλος, ότι για τον έλεγχο της επαναληψιµότητας των µετρήσεων και την αύξηση της ακρίβειας στη στατιστική επεξεργασία των δεδοµένων, γινόταν συχνά επανάληψη της δειγµατοληψίας, ειδικά για τις µετρήσεις του πάχους στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής (λόγω της πτητικότητας των διαλυµάτων βουτανόλης), αλλά και για τις µετρήσεις µε την ηλεκτροχηµική τεχνική γενικότερα, λόγω των πολύ µικρών τιµών που καταγράφονται στην περίπτωση αυτή και του µεγάλου σφάλµατος που µπορεί να υπεισέρχεται. 4.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Τα κυριότερα στατιστικά µεγέθη που υπολογίζονται είναι η µέση τιµή του δείγµατος, x, η τυπική απόκλιση (standard deviation), σ, και οι ακραίες τιµές (µέγιστη και ε-

87 Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 63 λάχιστη). Αν x i είναι οι Ν τιµές ενός δείγµατος, τότε η µέση τιµή του δείγµατος, x, που συνοψίζει και την τάση µιας σειράς µετρήσεων, είναι ο αριθµητικός µέσος όρος των τιµών του και δίνεται από τη σχέση: x = N i= 1 N x i (4.2-1) Η τυπική απόκλιση, σ, είναι ίση µε τη θετική ρίζα της µέσης τιµής των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιµών του δείγµατος από τη µέση τιµή και ορίζεται ως εξής: N i= 1 σ = x Nx 2 2 i N 1 (4.2-2) Η τυπική απόκλιση είναι η χαρακτηριστική τιµή µε την οποία εκφράζεται η διασπορά των τιµών ενός δείγµατος γύρω από τη µέση τιµή του αύξηση της τιµής της αντιστοιχεί σε αύξηση της διασποράς. Οι ακραίες τιµές και ιδιαίτερα η µέγιστη τιµή από µια σειρά δεδοµένων πάχους στιβάδας µπορεί να αξιοποιηθεί στην περίπτωση της διφασικής αντιρροής για έλεγχο της αξιοπιστίας της δειγµατοληψίας, που πραγµατοποιείται µε εφαρµογή της αγωγιµο- µετρικής τεχνικής, η οποία µπορεί για δεδοµένες συνθήκες να επηρεάζεται από το µικρό µήκος των συρµάτων που συνιστούν τα ηλεκτρόδια. Πιο συγκεκριµένα, αν στο δείγµα τιµών που συλλέγεται από ένα ορισµένο ηλεκτρόδιο η µέγιστη τιµή που ανιχνεύεται -για ορισµένες επίσης παροχές υγρής και αέριας φάσης- είναι συγκρίσιµη µε το µήκος των συρµάτων, τότε θα πρέπει να διερευνηθεί κατά πόσο αυτό το ηλεκτρόδιο µπορεί για τις συγκεκριµένες πειραµατικές συνθήκες να δώσει αξιόπιστη µέτρηση. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να γίνει -χάριν του ελέγχου- είτε επανάληψη της µέτρησης είτε/και έλεγχος του δείγµατος για την ύπαρξη και άλλων τιµών πάχους συγκρίσιµων µε το µήκος του σύρµατος. Η ταχύτητα (celerity) των κυµάτων που αναπτύσσονται επί της επιφάνειας της υγρής στιβάδας, προσδιορίζεται από τη συνάρτηση ετεροσυσχέτισης (crosscorrelation) δύο σηµάτων τα οποία προκύπτουν µε ταυτόχρονη δειγµατοληψία δεδοµένων πάχους της στιβάδας σε γειτονικές θέσεις κατά µήκος της πλάκας, που απέχουν µεταξύ τους γνωστή απόσταση x (=3 cm). Γενικά, το σήµα από το µετρητικό που «συναντά» δεύτερο η ροή αναµένεται να εµφανίζει µια µικρή καθυστέρηση (delay time) έ- ναντι του σήµατος από το πρώτο µετρητικό. Η συνάρτηση ετεροσυσχέτισης δύο χρονο-

88 64 σειρών x(t) και y(t) που έχουν µετρηθεί σε διαφορετικά σηµεία στο χώρο, δίνεται από τη σχέση: N r ˆ 1 R ( r t) = x y, r=0,1,2,3..m (4.2-3) xy n n+ r N r n= 1 όπου t ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών µετρήσεων (=1/f s ), r ο δείκτης καθυστέρησης (lag number) και m ο µέγιστος δείκτης χρονικής µετατόπισης της συνάρτησης ετεροσυσχέτισης αυτό σηµαίνει ότι µεταβάλλοντας την τιµή του m µπορεί να ελεγχθεί αν υ- πάρχει ή όχι συσχέτιση των δύο σηµάτων για µεγαλύτερο χρονικό διάστηµα. Η παραπάνω συνάρτηση κανονικοποιείται λαµβάνοντας τιµές από 1 έως +1 µε διαίρεση των τιµών της µε τον όρο Rˆ (0) R ˆ (0) έτσι προκύπτουν οι συντελεστές xx ετεροσυσχέτισης. Σε κάθε περίπτωση, η πρώτη µέγιστη τιµή της συνάρτησης δίνει και το συντελεστή συσχέτισης των δύο σηµάτων, ενώ ο χρόνος µεταξύ της χρονικής στιγ- µής που αντιστοιχεί στο πρώτο µέγιστο της συνάρτησης και της χρονικής στιγµής µηδέν (lag zero point) δίνει τη χρονική καθυστέρηση µεταξύ των δύο σηµάτων η χρονική καθυστέρηση µεταξύ δύο οποιονδήποτε εκ των υπολοίπων κορυφών της συνάρτησης αντιστοιχεί στην περίοδο του σήµατος. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι όσο περισσότερο εµφανής είναι η οµοιότητα των δύο διαφορετικών σηµάτων προς συσχέτιση και όσο περισσότερο σαφής είναι και η περιοδικότητα που χαρακτηρίζει καθένα από αυτά, τόσο περισσότερο σαφής είναι και η περιοδικότητα της συνάρτησης συσχέτισης που προκύπτει (Ramirez, 1985). Είναι σηµαντικό τέλος να αναφερθεί ότι η συνάρτηση ετεροσυσχέτισης προσδιορίζει µόνο κατά πόσο υπάρχει συσχέτιση µεταξύ δύο σηµάτων και σε τι βαθµό, αλλά δε δίνει καµία περαιτέρω πληροφορία για τον τρόπο εξάρτησης του ενός σήµατος από το άλλο (δηλαδή για τον τρόπο αλληλεπίδρασής τους), και άρα για το µηχανισµό εξέλιξης του φυσικού φαινοµένου (που αντιπροσωπεύουν τα δύο σήµατα) µεταξύ των δύο θέσεων όπου λαµβάνονται οι µετρήσεις. Ο µετασχηµατισµός Fourier χρησιµοποιείται για την περιγραφή µιας διεργασίας, για την οποία ήδη υπάρχει πληροφορία στο πεδίο του χρόνου, στο πεδίο της συχνότητας. Πιο συγκεκριµένα, παρέχει τις κύριες χαρακτηριστικές συχνότητες που ανιχνεύονται στο σήµα το οποίο αντιστοιχεί στο υπό µελέτη φαινόµενο. Γενικά, αν x(t) είναι µια χρονοσειρά η οποία λαµβάνει τιµές στο συνεχές χρονικό διάστηµα (0, Τ), ο µετασχηµατισµός της κατά Fourier από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας δίδεται από την ακόλουθη µιγαδική ποσότητα (Ramirez, 1985): yy

89 Συλλογή και επεξεργασία δεδοµένων 65 T ( ) ( ) 2π ift X f x t e dt 0 = (4.2-4) εδοµένου ότι τα περισσότερα αναλογικά σήµατα που περιγράφουν κάποιο φυσικό φαινόµενο δεν είναι δυνατόν να εκφρασθούν µαθηµατικά µε κάποια εξίσωση, το παραπάνω ολοκλήρωµα δεν µπορεί να υπολογιστεί απευθείας. Εφαρµόζεται τότε µετασχηµατισµός Fourier µε χρήση του αλγορίθµου FFT (Fast Fourier Transform) επί του ψηφιοποιηµένου σήµατος το οποίο συνίσταται από µια ακολουθία διακεκριµένων ση- µείων οµοιόµορφα κατανεµηµένων στο χρόνο. Το προκύπτον φάσµα συχνοτήτων (Power Spectral Density) ή περιοδόγραµµα του δείγµατος παρέχει τις κυρίαρχες συχνότητες ο προσδιορισµός του ωστόσο µε χρήση του αλγορίθµου είναι µια εκτιµήτρια του πραγµατικού φάσµατος συχνοτήτων µε τυπικό σφάλµα εκτίµησης 100%. Το περιοδόγραµµα εµφανίζει συχνά «παρεµβολές» (leakage) από συχνότητες που περιέχονται ήδη στο ψηφιοποιηµένο σήµα και µπορεί να οφείλονται είτε στη δειγµατοληψία και τους παράγοντες που την επηρεάζουν (π.χ. εξωτερικός ή ηλεκτρονικός θόρυβος), είτε και σε αυτή την ψηφιοποίησή του. Αυτές οι «παρεµβολές» σχετίζονται άµεσα µε τη συχνότητα δειγµατοληψίας f s αφού ο υπολογισµός του φάσµατος συχνοτήτων ενός ψηφιοποιηµένου σήµατος µε FFT, αντιστοιχεί σε FFT του γινοµένου του συνεχούς σήµατος επί µια τετραγωνική συνάρτηση µε συχνότητα ίση µε την τιµή f s. Προκύπτουν έτσι ανεπιθύµητες συχνότητες στο περιοδόγραµµα οι οποίες παρεµβάλλονται µεταξύ των κυρίαρχων του σήµατος. Το επίπεδο εξάλειψης αυτών των συχνοτήτων εξαρτάται από την πληροφορία που πρόκειται να ανακτηθεί από ένα ορισµένο φάσµα συχνοτήτων αυτή η πληροφορία είναι δυνατόν να εντοπίζεται στην περιοχή αυτών των ανεπιθύµητων «παρεµβολών» και να µην µπορεί να γίνει εύκολα διακριτή. Αυτό σηµαίνει ότι αν σε κάποια διεργασία ενδιαφέρει η ακριβής τιµή της κύριας συχνότητας και όχι µόνο η διαπίστωση της ύπαρξης (ή όχι) περιοδικότητας στο σήµα που αναλύεται, τότε απαιτείται η εξάλειψη ή έστω η ελαχιστοποίηση τέτοιας µορφής «παρεµβολών». Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούνται κάποιες παραστάσεις, που είναι γνωστές στη βιβλιογραφία σα «συναρτήσεις -παράθυρα» (window functions), µε τις οποίες κάθε σηµείο του δείγµατος πολλαπλασιάζεται επί έναν όρο µιας περιοδικής συνάρτησης που λαµβάνει τιµές στο πεδίο του χρόνου ανάµεσα στο µηδέν και τη µέγιστη τιµή της. Ωστόσο η επιλογή της κατάλληλης χρονικής συνάρτησης θα πρέπει να γίνει µε γνώµονα τις αναµενόµενες κυρίαρχες συχνότητες του φαινοµένου που µελετάται. Για παράδειγµα είναι σηµαντικό να γνωρίζουµε αν η χρονο-σειρά που υπόκειται σε FFT πρόκειται να εµφανίσει γειτονικές κυρίαρχες συχνότητες καθώς µια συνάρτηση που εξαλείφει σε σηµαντικό βαθµό τις παρεµ-

90 66 βολές (πχ. Hanning window function) είναι δυνατόν να µειώνει παράλληλα και τη διακριτική ικανότητα του περιοδογράµµατος. Έτσι µπορεί να οδηγήσει σε συνένωση αυτών των γειτονικών αλλά διαφορετικών συχνοτήτων και σε εµφάνισή τους σαν µια ε- νιαία στο περιοδόγραµµα. Μια τέτοια χρονική συνάρτηση ωστόσο µπορεί να είναι επιθυµητή όταν οι κυρίαρχες συχνότητες δεν είναι γειτονικές και ιδιαίτερα όταν το επίπεδο κάποιας από αυτές είναι συγκρίσιµο µε το αντίστοιχο των «παρεµβολών» που θα πρέπει στην περίπτωση αυτή να εξαλειφθούν. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε την ε- φαρµογή του µετασχηµατισµού Fourier, τη χρήση του αλγορίθµου FFT και την ερµηνεία των αποτελεσµάτων δίδονται σε διάφορες δηµοσιεύσεις (π.χ. Ramirez, 1985). Για τη συγκεκριµένη εργασία χρησιµοποιήθηκε η συνάρτηση Welch (Ramirez, 1985) ενώ για τη µείωση του τυπικού σφάλµατος, το αρχικό δείγµα των Ν σηµείων χωρίσθηκε σε 2Κ-1 τµήµατα 256 σηµείων τα οποία έχουν 50% επικάλυψη µεταξύ τους και υπολογίσθηκε το περιοδόγραµµα για το καθένα από αυτά. Το τελικό περιοδόγραµ- µα προέκυψε από το µέσο όρο των επιµέρους φασµάτων (averaging modified periodograms). Για τη µέθοδο Welch το τυπικό σφάλµα είναι: ε = r 11 9(2K 1) (4.2-5) Σηµειώνεται ότι η αύξηση του Κ οδηγεί µεν σε µείωση του σφάλµατος ε r, αλλά υποβαθµίζει τη διακριτική ικανότητα f sm η οποία είναι ιδιαίτερα σηµαντική παράµετρος όταν οι αναµενόµενες συχνότητες είναι χαµηλές (<20Hz). Το τελικό περιοδόγραµµα υπόκειται στη διαδικασία της εξοµάλυνσης (smoothing) για περαιτέρω µείωση του τυπικού σφάλµατος της εκτίµησης το οποίο είναι µικρότερο του 15%, ενώ η διακριτική ικανότητα του περιοδογράµµατος είναι περίπου 1Hz.

91 5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕΕ 5.1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣ ΡΕΟΥΣΑΣ ΣΤΙΒΑ ΑΣ Οπτικές παρατηρήσεις Οι οπτικές παρατηρήσεις διαµόρφωσης της ροής υποστηρίχτηκαν από ψηφιακό σύστηµα ταχείας καταγραφής εικόνας, προκειµένου να καταστεί δυνατή η προκαταρκτική µελέτη της ανάπτυξης των κυµάτων σε όλο το µήκος του τµήµατος µέτρησης. Η καταγραφή στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας γίνεται µε τοποθέτηση της κάµερας απέναντι από µια εκ των πλακών που συνιστούν το κανάλι και ρύθµισή της κατά τέτοιο τρόπο ώστε να µπορεί να εστιάζει σε όλο το πλάτος του καναλιού. Το µήκος που εξετάζεται κάθε φορά, στην κατεύθυνση της ροής, εξαρτάται από την αντίστοιχη περιοχή του τµήµατος µέτρησης που επιλέγεται για παρατήρηση της ανάπτυξης των κυµάτων. Θα πρέπει να υπογραµµιστεί ότι οι δυνατότητες λεπτοµερούς περιγραφής της διαµόρφωσης της ροής µε χρήση ορισµένων µεµονωµένων εικόνων, αντί για το πρωτογενές αρχείο ψηφιακής λήψης (βίντεο) από το οποίο επιλέχτηκαν, είναι περιορισµένες ιδιαίτερα δε όταν γίνεται προσπάθεια αναζήτησης -µε χρήση µόνο αυτών των εικόνων- εκείνων των στοιχείων που θα διευκολύνουν τον εντοπισµό των διαφορών µεταξύ των περιπτώσεων που εξετάζονται. Ωστόσο στην παρούσα εργασία, µε παράθεση ορισµένων τυπικών εικόνων, γίνεται προσπάθεια περιγραφής της ανάπτυξης των κυµάτων στην κατερχόµενη υγρή στιβάδα για δύο από τα υγρά που χρησιµοποιήθηκαν, για το νερό και το διάλυµα βουτανόλης 2.5% σε όλες τις εικόνες (στην αριστερή τους πλευρά) σηµειώνεται και η απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας. Οι φωτογραφίες που παρουσιάζονται στο Σχήµα αφορούν στη διαµόρφωση της ροής για την περίπτωση του νερού µεταξύ των θέσεων που αντιστοιχούν σε α- ποστάσεις 10 και 25cm από το σηµείο εισόδου του υγρού, για δύο διαφορετικές τιµές Re. Μια σχετικά µεγαλύτερη περιοχή εισόδου -για την οποία η επιφάνεια της υγρής στιβάδας είναι αδιατάρακτη- είναι καταρχήν εµφανής για την µεγαλύτερη τιµή Re (Re =280), ενώ για µικρότερες παροχές υγρού (Re =130) µικρού µήκους κύµατα εµφα-

92 68 x 10cm 2.5 cm x 25cm Re = 130 Re = 280 Σχήµα Εικόνες διαµόρφωσης της ροής κατά µήκος της κατακόρυφης πλάκας (στη µια εκ των δύο που συνιστούν το κανάλι) για το νερό, για δύο διαφορετικές τιµές Re (130 και 280). Στην αριστερή πλευρά των εικόνων σηµειώνεται η απόσταση από την είσοδο του υγρού, όπως αναφέρεται και στο κείµενο, ενώ διακρίνονται και τα ενσωµατω- µένα στην πλάκα µετρητικά στοιχεία. νίζονται σε θέση που είναι εγγύτερα (8-10cm) στην είσοδο της υγρής τροφοδοσίας αυτά φαίνεται να διατηρούν το διδιάστατο χαρακτήρα τους για κάποια απόσταση (~4-5cm) πριν ενισχυθούν κατά µήκος της ροής και εξελιχθούν σε τρισδιάστατα. Η δοµή των επιφανειακών κυµάτων για τις ίδιες τιµές Re παρουσιάζεται και στο Σχήµα , όπου απεικονίζονται και οι δύο περιοχές εισόδου (entrance region) και ανάπτυξης των πρώτων κυµάτων (wave inception region), ακριβώς κάτω από το σηµείο εισόδου του υγρού, µε την υγρή στιβάδα να εµφανίζεται λεία και αδιατάρακτη κατά την είσοδό της στο κανάλι και για τις δύο περιπτώσεις τιµών Re. Με σύγκριση του τρόπου δια- µόρφωσης της ροής εντός της περιοχής ανάπτυξης των κυµάτων, για τις δύο τιµές Re που εξετάζονται, είναι φανερό ότι για Re =280 η σταδιακή «µετάβαση» των αρχικών µικρών διαταραχών από το διαδιάστατο στον τρισδιάστατο χαρακτήρα τους, στην κατεύθυνση της ροής, λαµβάνει χώρα σε µικρότερο µήκος συγκριτικά µε εκείνο που παρατηρείται για Re =130. Πιο συγκεκριµένα, για Re =280 φαίνεται να υπάρχει µια στενή περιοχή που εκτείνεται µόλις λίγα εκατοστά (~1-2λ, όπου λ: µήκος κύµατος) από το σηµείο όπου εµφανίζονται οι πρώτες διαταραχές στην επιφάνεια της στιβάδας, πέραν της οποίας τα µικρά διδιάστατα κύµατα υπό ανάπτυξη εξελίσσονται περισσότερο από-

93 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 69 τοµα -σε σχέση µε εκείνα που αντιστοιχούν σε Re =130- σε µεγαλύτερα τρισδιάστατα κύµατα. Κάτι τέτοιο πιθανόν σηµαίνει ότι η ροή του υγρού καθίσταται περισσότερο α- σταθής όσο αυξάνεται η παροχή του. Η διαπίστωση αυτή επιβεβαιώνεται και µε µια πιο προσεκτική εξέταση των Σχηµάτων και στα οποία παρατηρείται ότι µε αύξηση του Re, τα αρχικά µικρά κύµατα όχι µόνο χαρακτηρίζονται από περισσότερο απότοµο εµπρόσθιο τµήµα (wave-front), αλλά και εξελίσσονται ταχύτατα (σχεδόν ακαριαία) σε µεγαλύτερα, των οποίων η µορφή έχει το σχήµα «W» ή «U». Ανάλογη τάση έχει αναφερθεί και σε άλλες µελέτες (π.χ. Pierson & Whitaker, 1977 Chang, 1994). Στο σηµείο αυτό θα ήταν χρήσιµο να σχολιαστεί ότι η τιµή του µήκους κύµατος, λ, που α- ναφέρθηκε µπορεί να εκτιµηθεί µε καλή προσέγγιση αξιοποιώντας τις εικόνες που παρατίθενται. Συγκεκριµένα, η τιµή τού λ παρουσιάζει σηµαντική εξάρτηση από την παροχή του υγρού αλλά και τη θέση κατά µήκος της ροής στην οποία αντιστοιχεί (για παράδειγµα, για το νερό, στην περιοχή ανάπτυξης των κυµάτων, για Re =130 είναι x 0cm x 10cm x 9cm x 18cm (α) (β) Σχήµα Η περιοχή εισόδου και η περιοχή ανάπτυξης των κυµάτων για το νερό, για δύο διαφορετικές τιµές Re : (α) 130 και (β) 280.

94 70 λ 1cm, ενώ για Re =280 είναι λ 1.5cm). Με περαιτέρω εξέταση της διαµόρφωσης της ροής πέραν της περιοχής ανάπτυξης των πρώτων κυµάτων διαπιστώνεται ότι ανεξάρτητα της τιµής Re, τα κύµατα που προκύπτουν σε κάθε περίπτωση φαίνεται ότι συνεχίζουν να κινούνται προς τα κάτω, χωρίς σηµαντική διαφοροποίηση των χαρακτηριστικών τους, για σχετικά µεγάλη απόσταση (~10λ). Αρκετά χαµηλότερα δε, πλησίον του κατώτερου τµήµατος του καναλιού, µε τη βαρύτητα να συντελεί στην περαιτέρω ενίσχυσή τους, προκύπτουν µεγαλύτερες τρισδιάστατες δοµές που έχουν τη µορφή «δακρύων» (tear-drop humps) των κυµάτων αυτών προηγούνται «οµάδες» µικρότερων κυµάτων που εντοπίζονται µπροστά ακριβώς από το µέτωπο των µεγαλυτέρων και καλύπτουν τµήµα του υποστρώµατος µεταξύ των τελευταίων (όπως θα φανεί πιο ξεκάθαρα στο Σχήµα που παρατίθεται παρακάτω). Η διαµόρφωση της ροής για την περίπτωση του διαλύµατος βουτανόλης 2.5% (που έχει µικρότερη επιφανειακή τάση από το νερό) είναι παρόµοια µε αυτή που περιγράφηκε παραπάνω για την περίπτωση του νερού, µε τα αρχικά µικρά διδιάστατα κύ- µατα να ενισχύονται στην κατεύθυνση της ροής και να εξελίσσονται τελικά σε µεγαλύτερα «µεµονωµένα» κύµατα που έχουν τη µορφή «εξογκωµάτων» (humps). Ωστόσο, µε προσεκτική εξέταση της διαµόρφωσης της ροής για την περίπτωση του διαλύµατος βουτανόλης παρατηρείται σηµαντική διαφοροποίηση σε σχέση µε το νερό, κυρίως όσον αφορά στην περιοχή ανάπτυξης των πρώτων κυµάτων, όπως φαίνεται και στο Σχήµα , στο οποίο απεικονίζονται τυπικές φωτογραφίες αυτής της περιοχής για δύο τι- µές Re. Είναι φανερό ότι και στις δύο περιπτώσεις, τα κύµατα για το διάλυµα βουτανόλης αρχίζουν να εµφανίζονται σε µικρότερη απόσταση από την είσοδο της τροφοδο- x 0cm x 10cm Re = 120 Re = 270 Σχήµα Οι περιοχές εισόδου και ανάπτυξης των κυµάτων για το διάλυµα βουτανόλης 2.5%, για δύο τυπικές τιµές Re.

95 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 71 σίας (σε περίπου 5cm για Re =120), σε σχέση µε το νερό για την ίδια περίπου τιµή Re. Ένα ακόµη χαρακτηριστικό των κυµάτων του διαλύµατος βουτανόλης προκύπτει µε ταυτόχρονη εξέταση των Σχηµάτων και στα οποία είναι εµφανής ο «ασθενής» διδιάστατος χαρακτήρας τους αλλά και το αρκετά πιο απότοµο εµπρόσθιο τµήµα τους, σε σχέση µε το νερό, κάτι που παρατηρείται ήδη και στην περιοχή της αρχικής τους ανάπτυξης. Στο Σχήµα όπου παρουσιάζονται τυπικές εικόνες εξέλιξης της ροής σε περιοχή σχετικά αποµακρυσµένη από την είσοδο του υγρού, για Re >200, και για τις δύο υγρές φάσεις που εξετάζονται παρατηρούνται καταρχήν λίγο µεγαλύτερα κύµατα για την περίπτωση του διαλύµατος βουτανόλης. Για το νερό τα κύµατα φαίνεται να είναι περισσότερο οργανωµένα επί της επιφάνειας της στιβάδας και πιο συνεκτικά στη διάσταση του πλάτους δίνουν έτσι την εντύπωση ότι συνιστούν µια «ενιαία» (τρισδιάστατη) δοµή από τη µία άκρη του καναλιού - κατά το πλάτος του- µέχρι την άλλη. Επίσης, το υπόστρωµα µεταξύ αυτών των κυµάτων για το νερό δείχνει να είναι σχεδόν αδιατάρακτο (ή έστω λιγότερο διαταραγµένο) σε σχέση µε την «ανάγλυφη» εικόνα που εµφανίζει το υπόστρωµα για το διάλυµα βουτανόλης µια περισσότερο πυκνή «διάταξη» των κυµάτων στην περίπτωση του διαλύ- µατος βουτανόλης είναι εµφανής. Ωστόσο, και στις δύο περιπτώσεις που εξετάζονται είναι δυνατό να διακρίνει κανείς τα «πρόδροµα» κύµατα (forerunner waves). Η τάση που σηµειώνεται παραπάνω διακρίνεται καλύτερα µε προσεκτική παρατήρηση των ψηφιακών καταγραφών που αφορούν στο διάλυµα βουτανόλης για το οποίο φαίνονται ξεκάθαρα οι πιο έντονες και συχνές αλληλεπιδράσεις µεταξύ των κυµάτων, σε σχέση µε την περίπτωση του νερού. x 18cm (α) x 22cm (β) x 29cm x 33cm Re = 205 Re = 225 Σχήµα Η διαµόρφωσης της επιφάνειας της στιβάδας σε µια περιοχή πλησίον της εξόδου του υγρού για ενδιάµεσες τιµές Re : (α) για νερό (Κα=3500) και (β) για διάλυµα βουτανόλης 2.5% (Κα=1650).

96 72 Η αλληλουχία των εικόνων στο Σχήµα παρέχει σηµαντική πληροφορία σχετικά µε τη «σταθεροποίηση» των τρισδιάστατων κυµάτων στο κάτω τµήµα του καναλιού καθώς, όπως φαίνεται, ένα ορισµένο κύµα (σηµειώνεται µε w στις εικόνες) διατηρεί σχεδόν την αρχική του µορφή για απόσταση περίπου 6cm και για χρόνο της τάξεως των 120ms που χρειάζεται για να διανύσει την απόσταση αυτή. w w w t=0 ms t=40ms t=120 ms Σχήµα Μεταβολή των χαρακτηριστικών των επιφανειακών κυµάτων για το νερό στο κάτω τµήµα του καναλιού (µεταξύ x=18 και 29cm) για Re =205 και διαφορετικές χρονικές στιγµές (το υπό εξέταση κύµα σηµειώνεται µε w) Πάχος υγρής στιβάδας Γενικές παρατηρήσεις Όπως έχει αναφερθεί (βλ. Κεφ ), το πάχος της υγρής στιβάδας µετρήθηκε µε την αγωγιµοµετρική τεχνική και για την περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του καναλιού (επί της µιας εκ των δύο πλακών που το συνιστούν), στο κεντρικό του τµήµα. Για τα πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας που αφορούν στην ελευθέρως ρέουσα στιβάδα, και ειδικά όταν στο ίδιο διάγραµµα γίνεται σύγκριση των αποτελεσµάτων µεταξύ των διαφορετικών υγρών φάσεων που εξετάσθηκαν, χρησιµοποιείται συµβολισµός ανάλογα µε το υγρό στο οποίο αναφέρονται και τη θέση του µετρητικού στοιχείου κατά µήκος της πλάκας για παράδειγµα, τα σύµβολα W _(19), B1_(19) και Β2_(19) χρησιµοποιούνται για να δηλώσουν µετρήσεις για το νερό (W) και τα διαλύµατα βουτανόλης 1.5% (Β1) και 2.5% (Β2) αντίστοιχα, σε απόσταση 19cm από το σηµείο εισόδου του υγρού. Τυπικές απεικονίσεις της µεταβολής του τοπικού πάχους, h, µε το χρόνο παρουσιάζονται στο Σχήµα για το νερό και τα δύο διαλύµατα βουτανόλης που χρησι- µοποιήθηκαν. Οι κορυφές που εµφανίζονται σε αυτές τις χρονο-σειρές αποδίδονται

97 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας B - W_(8) 205 C - W_(8) 300 D - W_(8) (α) h, mm t, sec cm- B1_(8) t, sec 200 C - B1_(8) t, sec 295 D - B1_(8) h, mm t, sec cm- B2_(8) t, sec 190 C - B2_(8) t, sec 280 D - B2_(8) h, mm t, sec t, sec t, sec cm- W _(19) 205 H - W _(19) 300 I - W _(19) (β) h, mm t, sec cm - B2_(19) t, sec 190 H - B2_(19) t, sec 280 I - B2_(19) h, mm t, sec t, sec t, sec cm - W _(36) 205 M - W _(36) 300 N - W _(36) (γ) h, mm t, sec cm - B2_(36) t, sec 190 M - B2_(36) t, sec 280 N - B2_(36) h, mm t, sec t, sec t, sec Σχήµα Τυπικές χρονο-σειρές πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν και διάφορες τιµές Re, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm.

98 74 στην ύπαρξη κυµάτων στην επιφάνεια της στιβάδας, ενώ διακρίνεται και το υπόστρωµα µεταξύ των µεγαλυτέρων κυµάτων, ως περιοχή µικρού πάχους επί της οποίας φαίνονται να «κινούνται» κάποια µικρότερα κύµατα. Με µια πρώτη εξέταση των χρονο-σειρών είναι επίσης εµφανής η αναµενόµενη αύξηση του επιπέδου των τιµών του πάχους αλλά και του βαθµού διαταραχής της στιβάδας µε τον Re, χωρίς όµως να παρατηρείται καταρχήν κάποια σηµαντική διαφοροποίηση σχετικά µε τη συµπεριφορά των διαφορετικών υγρών. Μοναδική εξαίρεση αποτελεί η θέση x=8cm, πλησίον του σηµείου εισόδου της υγρής φάσης, όπου η διαταραχή της στιβάδας είναι σαφώς πιο έντονη για τα διαλύ- µατα βουτανόλης έναντι του νερού. Αυτή η διαταραχή είναι πάντως σε κάθε περίπτωση περισσότερο «οµοιόµορφη» (φαίνεται να έχει τη µορφή κοινού ηµιτονοειδούς σήµατος) έναντι εκείνης που υφίσταται στο ενδιάµεσο (x=19cm) και το κατώτερο (x=36cm) τµή- µα του καναλιού, κάτι που µπορεί να αποδοθεί στην ύπαρξη µικρών διδιάστατων κυµάτων στη θέση x=8cm, όπως έδειξαν και οι οπτικές παρατηρήσεις Πειραµατικές µετρήσεις - Στατιστική Επεξεργασία Είναι γνωστή η έκφραση για το µέσο πάχος της στιβάδας νευτωνικού υγρού που ρέει χωρίς κυµατισµούς πάνω σε κατακόρυφο τοίχωµα (Nusselt, 1916). Η σχέση αυτή προϋποθέτει σταθερές τιµές για την πυκνότητα, ρ, και το ιξώδες, µ, του υγρού και α- γνοεί την πιθανή κίνηση του περιβάλλοντος αερίου λόγω της επαφής του µε την υγρή επιφάνεια. Πιο συγκεκριµένα είναι: h N 1/3 1/ g 4 ρ g 3Γµ 3 µ = = ρ Re 1/3 ( ) όπου h N είναι το µέσο πάχος στιβάδας (αναφέρεται και σαν «πάχος Nusselt» στο εξής) και Γ είναι η µαζική παροχή υγρού ανά µονάδα πλάτους της πλάκας. Η παραπάνω σχέση ισχύει µε πολύ καλή προσέγγιση για σχετικά µικρές παροχές υγρού, όπως αυτές που εξετάζονται στην παρούσα εργασία, για τις οποίες η επιφάνεια της στιβάδας είναι σχεδόν αδιατάρακτη. Σηµειώνεται ότι από τη θεωρία του Nusselt (1916) προκύπτουν και οι ακόλουθες σχέσεις για τη µέση, <u>, και τη µέγιστη τιµή, u s, της ταχύτητας της κατερχόµενης υγρής στιβάδας: 2 ghn ρ < u >= ( ) 3µ 2 ghn ρ us = ( ) 2µ

99 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 75 Στο Σχήµα παρουσιάζεται για την περίπτωση του νερού η µεταβολή του τοπικού µέσου πάχους µε την τιµή του Re για όλες τις θέσεις µέτρησης κατά µήκος του καναλιού. Παρατηρείται αύξηση των τιµών h mean µε τον Re, ενώ οι µικρότερες τιµές αντιστοιχούν στη θέση x=8cm (πλησίον της εισόδου της τροφοδοσίας) όπου η στιβάδα είναι επίπεδη και σχεδόν αδιατάρακτη, χωρίς την παρουσία κυµάτων (όπως διαπιστώθηκε και από τις οπτικές παρατηρήσεις). Ένα άλλο χαρακτηριστικό είναι ότι οι τιµές του µέσου πάχους φαίνεται να είναι λίγο µεγαλύτερες στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού, στις θέσεις x=19 και 22cm, έναντι αυτών που καταγράφονται στις θέσεις x=33 και 36cm, ειδικότερα για τιµές Re >200. Ανάλογη παρατήρηση αναφέρεται από τους Salazar & Marshall (1978) οι οποίοι σχολιάζουν ότι η τάση αυτή µπορεί να αποδοθεί στην ενίσχυση, σε αυτή την περιοχή, των αρχικών διδιάστατων κυµάτων που α- ναπτύχθηκαν πλησίον της εισόδου της τροφοδοσίας. Η µεταβολή του µέσου πάχους στη θέση x=8cm για τα τρία υγρά που µελετήθηκαν παρουσιάζεται στο Σχήµα και όπως αναµένεται εµφανίζει µια τάση µεταβολής παρόµοια µε αυτή του πάχους «Nusselt», h N, που προβλέπεται από την Εξ Οι τιµές αυτές παρατίθενται και στο Σχήµα µαζί µε εκείνες που αντιστοιχούν στις θέσεις x=19 και 36cm και για τα τρία υγρά, χωρίς ωστόσο να υφίσταται κάποια σαφής τάση που να συνδέεται µε τις διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των υγρών (ιδιαίτερα δε, µε τη διαφορά στην τιµή της επιφανειακής τους τάσης). Έτσι είναι δύσκολο να δοθεί συγκεκριµένη ερµηνεία για τις µη-συστηµατικές διαφορές του Σχήµατος Όσον αφορά στη «διασπορά» των στιγµιαίων τιµών του πάχους γύρω από τη µέση τιµή, αυτή δίδεται από τις τιµές RMS του πάχους, h RMS, η εξάρτηση των οποίων από τον αριθµό Re φαίνεται στο Σχήµα Για όλες τις παροχές υγρού που εξετάσθηκαν, οι τιµές h RMS είναι σηµαντικά µικρότερες από αυτές του µέσου πάχους, h mean, και εµφανίζουν ισχυρή εξάρτηση από τον Re για τιµές του µικρότερες από 200. Στην περίπτωση αυτή παρατηρείται σηµαντική αύξηση των τιµών RMS σε αντίθεση µε την τάση που εκδηλώνουν αυτές για Re >200 οπότε και παραµένουν περίπου σταθερές. Μια ση- µαντική παρατήρηση αφορά τις τιµές h RMS για τη θέση x=8cm οι οποίες φαίνεται ότι παρουσιάζουν την προαναφερόµενη τάση αύξησης µε τον Re καταρχήν, αλλά για τιµές Re >200 παρατηρείται δραστική µείωσή τους σε χαµηλά επίπεδα. Η τάση αυτή οφείλεται πιθανότατα σε µετατόπιση της περιοχής ανάπτυξης των «πρώτων» κυµάτων (wave inception region) σε µεγαλύτερη απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας καθώς αυξάνεται η παροχή του υγρού. Οι τιµές RMS για την ίδια θέση φαίνεται επίσης να είναι µεγαλύτερες για τα µικρότερης επιφανειακής τάσης διαλύµατα βουτανόλης, κάτι που α-

100 76 h mean, mm W _(8) W _(19) W _(22) W _(33) W _(36) Nusselt (Water) Re Σχήµα Εξάρτηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας, h mean, από τον αριθµό Re για το νερό σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της µιας πλάκας του καναλιού. Τα σύµβολα προσδιορίζουν την υγρή φάση και την απόσταση, σε cm, της θέσης µέτρησης από την είσοδο του υγρού W _(8) B1_(8) B2_(8) Nusselt (Water) h mean, mm Σχήµα Re Εξάρτηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας, h mean, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν σε απόσταση 8cm από την είσοδο του υγρού (όπου η επιφάνεια της στιβάδας είναι σχεδόν αδιατάρακτη).

101 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 77 h mean, mm W _(8) W _(19) W _(36) B1_(8) B1_(19) B1_(36) B2_(8) B2_(19) B2_(36) Nusselt Re Σχήµα Εξάρτηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας, h mean, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της µιας πλάκας του καναλιού. h RMS, mm W _(8) W _(19) W _(36) B1_(8) B1_(19) B1_(36) B2_(8) B2_(19) B2_(36) 3 Σχήµα Re Μεταβολή των τιµών τυπικής απόκλισης του πάχους, h RMS, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της µιας πλάκας του καναλιού

102 78 ναµένεται µε βάση το µεγαλύτερο µήκος εισόδου που αντιστοιχεί στο νερό και τη σχεδόν αδιατάρακτη επιφάνεια της στιβάδας του στην περιοχή αυτή, όπως έδειξαν οι οπτικές παρατηρήσεις. Ανάλογη τάση παρατηρείται και στη θέση x=19cm όπου οι τιµές RMS για την περίπτωση του νερού είναι λίγο χαµηλότερες από τις αντίστοιχες των διαλυµάτων βουτανόλης, εκτός από την περιοχή τιµών Re >200 για την οποία οι τιµές για όλα τα υγρά είναι συγκρίσιµες. Αντίθετα, η τάση που καταγράφεται για τη θέση x=36cm και είναι αντίστροφη της παραπάνω, µε τις τιµές RMS για το νερό να είναι λίγο µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες των διαλυµάτων, είναι δύσκολο να ερµηνευθεί. Αν και λόγω των πολύ µικρών τιµών πάχους που µετρώνται δεν είναι δυνατόν να αγνοηθεί το πειραµατικό σφάλµα, ωστόσο µπορεί να δοθεί µια ικανοποιητική ποιοτική εξήγηση που να δικαιολογεί αυτή την τάση. Οι οπτικές παρατηρήσεις έδειξαν ότι η επιφανειακή δοµή της στιβάδας για το νερό πλησίον της εξόδου του καναλιού χαρακτηρίζεται κυρίως από µεγάλα κύµατα µε τη µορφή «δακρύων» (tear-drop humps) και από µικρότερα «πρόδροµα» κύµατα (forerunner waves) που προηγούνται των µεγαλυτέρων, ενώ το υπόστρωµα µεταξύ αυτών των «οµάδων» κυµάτων είναι σχεδόν αδιατάρακτο. Αντίθετα, στην περίπτωση των διαλυµάτων βουτανόλης η δοµή της επιφάνειας της στιβάδας είναι κάπως διαφορετική, καθώς φαίνεται να είναι περισσότερο διαταραγµένη έναντι του νερού πιο συγκεκριµένα δείχνει να καλύπτεται σε µεγαλύτερη έκταση από µικρά κύµατα τα οποία υφίστανται και στην περιοχή µεταξύ των µεγαλυτέρων κυµάτων, εκεί δηλαδή όπου η αντίστοιχη περιοχή για το νερό φαίνεται αδιατάρακτη. Κάτι τέτοιο µπορεί να οφείλεται στο µικρότερο µήκος από την είσοδο του υγρού που απαιτείται στην περίπτωση των διαλυµάτων βουτανόλης για την ανάπτυξη των πρώτων κυµάτων, µε αποτέλεσµα η ενίσχυση και ακολούθως η αλληλεπίδρασή τους να λαµβάνει χώρα σε µικρότερη απόσταση επίσης από την κορυφή του καναλιού, σε σχέση µε το νερό. Έτσι προκύπτει µια περισσότερο «οµοιόµορφα» διαταραγµένη επιφάνεια που οδηγεί ενδεχο- µένως σε µικρότερες τιµές RMS για το πάχος στιβάδας στην περίπτωση των διαλυµάτων βουτανόλης Φασµατική ανάλυση Η φασµατική ανάλυση όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 4 εφαρµόζεται προκειµένου να ανιχνευτεί πιθανή περιοδικότητα του εξεταζόµενου φαινοµένου και να ταυτοποιηθούν οι κύριες συχνότητες που το χαρακτηρίζουν. Στην περίπτωση των χρονοσειρών του πάχους στιβάδας, η ανάλυση αυτή χρησιµοποιείται ως εργαλείο για τον προσδιορισµό των κύριων συχνοτήτων των επιφανειακών κυµάτων. Τυπικά φάσµατα

103 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 79 συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας παρουσιάζονται στα Σχήµατα έως για τις τρεις θέσεις µέτρησης (x= 8, 19 και 36cm) και για όλες τις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν. Η µορφή τους παρέχει σηµαντική πληροφορία σχετικά µε την περιοδικότητα που µπορεί να χαρακτηρίζει το φαινόµενο (δηλαδή τη ροή της στιβάδας) αλλά και σχετικά τη µεταβολή που υφίσταται η δοµή της υγρής στιβάδας κατά µήκος του τµήµατος ροής για διάφορες τιµές Re. Έτσι, το µικρού εύρους (στενό) φάσµα που προσδιορίζεται στην περίπτωση των διαλυµάτων βουτανόλης για τη θέση x=8cm και παρέχει µια και µόνο χαρακτηριστική συχνότητα είναι αντιπροσωπευτικό του είδους των κυµάτων που διαπιστώθηκε και οπτικά ότι αναπτύσσονται στην περιοχή αυτή υ- πενθυµίζεται ότι αυτά τα κύµατα οφείλονται αποκλειστικά σε αστάθεια της ροής (natural waves) κι όχι σε εξωτερική διέγερσή της (excited waves). Στη βιβλιογραφία ανάλογη δοµή έχει αναφερθεί για τα κύµατα εκείνα που σχηµατίζονται πλησίον της εισόδου της τροφοδοσίας, είτε αυτά προκύπτουν λόγω αστάθειας της ροής όπως στην παρούσα εργασία (π.χ. Chang, 1994), είτε µε εξωτερική διέγερσή της (π.χ. Alekseenko et al., 1994). Ειδικότερα, στη µελέτη του ο Chang (1994) σχολιάζει ότι απειροελάχιστες διαταραχές που εισάγονται στη ροή κατά την τροφοδοσία της ενισχύονται σηµαντικά εντός µια περιοχής µικρού µήκους, αµέσως µετά την είσοδο της τροφοδοσίας, και οδηγούν τελικά στο σχηµατισµό «µονοχρωµατικών» κυµάτων των οποίων ο ρυθµός ανάπτυξης ακολουθεί εκθετική αύξηση εντός των ορίων αυτής της περιοχής. Το φάσµα συχνοτήτων αυτών των κυµάτων είναι ανάλογο µε το αντίστοιχο φάσµα που προσδιορίστηκε για τη θέση x=8cm. Για την περίπτωση του νερού ωστόσο, το οποίο έχει µεγαλύτερη επιφανειακή τάση από τα διαλύµατα βουτανόλης, το σηµείο όπου εµφανίζονται για πρώτη φορά τα κύµατα εντοπίζεται χαµηλότερα από τη θέση x=8cm (ή ταυτίζεται στην καλύτερη περίπτωση µε αυτή), κάτι που αποτυπώνεται στην πολύ µικρή κορυφή που µόλις ανιχνεύεται και αντιστοιχεί στην κύρια συχνότητά τους. Η διαπίστωση αυτή επιβεβαιώνεται από τις οπτικές παρατηρήσεις και την εξέταση των χρονο-σειρών του πάχους σε x=8cm για µεγαλύτερες τιµές Re είναι φανερό ότι και για την περίπτωση των διαλυµάτων βουτανόλης έχουµε µετατόπιση του σηµείου έναρξης των κυµάτων σε µεγαλύτερη απόσταση από την είσοδο του υγρού. Στο Σχήµα παρουσιάζεται το φάσµα συχνοτήτων για το ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού, εκεί όπου, όπως έδειξαν οι οπτικές παρατηρήσεις, τα κύµατα διατηρούν µεν στοιχεία του διδιάστατου χαρακτήρα τους, παράλληλα όµως φαίνεται να λαµβάνει χώρα και ανάπτυξη τρισδιάστατων κυµάτων. Αυτή η διαµόρφωση της επιφάνειας της

104 W _(8) B1_(8) B2_(8) PSD f, Hz W _(8) B1_(8) B2_(8) PSD f, Hz W _(8) B1_(8) B2_(8) PSD f, Hz W _(8) B1_(8) B2_(8) PSD f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν και διάφορες τιµές Re, στη θέση x=8cm.

105 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας W _(19) B1_(19) B2_(19) PSD f, Hz W _(19) B1_(19) B2_(19) PSD f, Hz W _(19) B1_(19) B2_(19) PSD f, Hz W _(19) B1_(19) B2_(19) PSD f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν και διάφορες τιµές Re, στη θέση x=19cm.

106 W _(36) B1_(36) B2_(36) PSD f, Hz W _(36) B1_(36) B2_(36) PSD f, Hz W _(36) B1_(36) B2_(36) PSD f, Hz W _(36) B1_(36) B2_(36) PSD f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διακυµάνσεων του πάχους στιβάδας για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν και διάφορες τιµές Re, στη θέση x=36cm.

107 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 83 στιβάδας, η οποία πλέον συνίσταται από διάφορα είδη κυµάτων, σχετίζεται µε το σχετικά ευρύτερο φάσµα που αντιστοιχεί στη θέση x=19cm, σε σχέση µε το αντίστοιχο για x=8cm, για όλες τις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν. Η κύρια συχνότητα στην περίπτωση αυτή είναι περίπου 20Hz, µικρότερη από εκείνη των αρχικών µικρών διδιάστατων κυµάτων και φαίνεται να µην εξαρτάται από τον αριθµό Re, αύξηση της τιµής του ο- ποίου οδηγεί µόνο σε µικρή µείωσή της, όπως συµβαίνει και µε µείωση της επιφανειακής τάσης του υγρού που χρησιµοποιείται. Ωστόσο η αύξηση των τιµών Re έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση της µέγιστης τιµής (κορυφής) του φάσµατος η οποία (λαµβάνοντας υπόψη και το σφάλµα ±15% στον προσδιορισµό του φάσµατος) έχει την ίδια περίπου τιµή για όλα τα υγρά που εξετάσθηκαν. Αυτή η µέγιστη τιµή που είναι ένα «µέτρο» της έντασης των διακυµάνσεων του πάχους µπορεί να θεωρηθεί -αν υποτεθεί ότι όλα τα είδη των κυµάτων της επιφάνειας κινούνται µε την ίδια περίπου ταχύτηταότι σχετίζεται µε την ενέργεια που µεταφέρεται από τα επιφανειακά κύµατα. Σε µεγαλύτερη απόσταση από την είσοδο του υγρού, όπου τα κύµατα έχουν σαφώς τρισδιάστατο χαρακτήρα, παρατηρείται σε όλες τις περιπτώσεις µείωση της κύριας συχνότητας των κυµάτων στην τιµή των 10Hz περίπου, όπως έχει αναφερθεί σε παρόµοιες µελέτες στη βιβλιογραφία (π.χ. Ambrosini et al., 2002) σε αυτή τη θέση, οι διακυµάνσεις του πάχους στιβάδας είναι περισσότερο έντονες σε σχέση µε εκείνες που καταγράφηκαν στη θέση x=19cm. Αξιοσηµείωτη είναι µια δευτερεύουσα συχνότητα µε τιµή πλησίον των 5Hz (η οποία αναφέρεται επίσης στη µελέτη των Patnaik & Perez-Blanko, 1996) που γίνεται διακριτή για όλες τις υγρές φάσεις ιδιαίτερα πλησίον της εξόδου του καναλιού και για τις υψηλότερες τιµές Re που εξετάσθηκαν. Αυτή η συχνότητα µπορεί να αποδοθεί σε κατανοµή µέρους της ενέργειας σε µικρότερα κύµατα, δεδοµένου ότι σε αυτή τη θέση -όπως έδειξαν και οι οπτικές παρατηρήσεις- λαµβάνει χώρα αλληλεπίδραση γειτονικών κυµάτων και διάδοσή τους τόσο κατά µήκος της ροής, παράλληλα προς αυτή, όσο και πλευρικά, κάθετα στη διεύθυνσή της. Ανάλογη συχνότητα, όχι ό- µως το ίδιο έντονη, παρατηρείται και στα φάσµατα συχνοτήτων των διαλυµάτων βουτανόλης στη θέση x=19cm, για τις ενδιάµεσες τιµές Re που εξετάστηκαν. Στην περίπτωση αυτή η εν λόγω συχνότητα µπορεί να αποδοθεί στο ότι στις µικρότερες παροχές υγρού, όπου τα κύµατα φαίνεται να σχηµατίζονται καταρχήν αρκετά κοντά στο σηµείο εισόδου της τροφοδοσίας, είναι αναµενόµενο ο τρισδιάστατος χαρακτήρας των κυµάτων και οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ τους να είναι το ίδιο σηµαντικές και στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού. Αξιοσηµείωτο είναι επίσης ότι στη µελέτη των Karapantsios et al. (1989), για την περίπτωση ρέουσας υγρής στιβάδας εντός αγωγού, προσδιορίστηκε µια

108 84 χαρακτηριστική συχνότητα της τάξης των 5Hz για Re =509 σε µεγάλη απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας (~250cm). Συνδέοντας τα δεδοµένα της παρούσας εργασίας µε αυτή την παρατήρηση, µπορεί να υποτεθεί ότι στην περίπτωση που το τµήµα µέτρησης είχε µεγαλύτερο µήκος θα ήταν πολύ πιθανή κάποια περαιτέρω χωρική διαφοροποίηση της δοµής της στιβάδας (π.χ. ενεργειακή µετάπτωση και «αναδιανοµή» της ενέργειας των κυµάτων σε κύµατα µικρότερης συχνότητας) κατά µήκος της ροής, σε αρκετά µεγαλύτερη απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και ταχύτητα κυµάτων Η ταχύτητα (celerity) των επιφανειακών κυµάτων, c, προσδιορίζεται µε χρήση της συνάρτησης ετερο-συσχέτισης µεταξύ δύο χρονο-σειρών πάχους που καταγράφονται ταυτόχρονα σε γειτονικές θέσεις (βλ. Κεφ. 4) τυπικές συναρτήσεις ετεροσυσχέτισης για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% δίνονται στο Σχήµα Η ταχύτητα των κυ- µάτων µετρήθηκε σε δύο θέσεις, στο ενδιάµεσο του καναλιού (x 19cm) και στο κατώτερο τµήµα του (x 36cm) και τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο Σχήµα για όλα τα υγρά που χρησιµοποιήθηκαν. Όπως έχει αναφερθεί σε παρόµοιες µελέτες στη βιβλιογραφία (π.χ Jones & Whitaker, 1966 Ambrosini et al., 2002), η ταχύτητα µε την οποία κινούνται τα κύµατα αυξάνεται ανάλογα µε τον Re. Αυτή η αύξηση ωστόσο, στην περίπτωση των τιµών c που µετρήθηκαν στην παρούσα εργασία, είναι περισσότερο έντονη για τιµές Re µικρότερες από ~200, σε αντίθεση µε τις µεγαλύτερες τιµές Re που εξετάσθηκαν. Κάτι τέτοιο µπορεί να αποδοθεί στην παρουσία «σταθεροποιηµένων» κυµάτων επί της επιφάνειας της στιβάδας για Re >200, τα χαρακτηριστικά των οποίων, καθώς αυτά συνεχίζουν να κινούνται, υπόκεινται σε πολύ µικρές αλλαγές. Χαρακτηριστική είναι επίσης η αύξηση της ταχύτητας που παρατηρείται για όλα τα υγρά µε αύξηση της απόστασης από την είσοδο της τροφοδοσίας, κάτι αναµενόµενο δεδοµένου ότι στο κατώτερο τµήµα του καναλιού οι αλληλεπιδράσεις των κυµάτων είναι περισσότερο έντονες και συχνές οδηγούν έτσι στη δηµιουργία µεγαλυτέρων κυµάτων που κινούνται ταχύτερα προς τα κάτω. Λίγο µεγαλύτερες τιµές φαίνεται λαµβάνει η ταχύτητα c και για την περίπτωση του νερού που χαρακτηρίζεται από µεγαλύτερη επιφανειακή τάση έναντι των διαλυµάτων βουτανόλης. Μια περισσότερο αναλυτική µελέτη συσχέτισης της µετρηµένης ταχύτητας c µε τις φυσικές ιδιότητες των υγρών που χρησι- µοποιήθηκαν παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο , όπου η ανάπτυξη των κυµάτων εξετάζεται µε βάση την υδροδυναµική ανάλυση ευστάθειας της ροής.

109 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (α) C xy t, sec (β) C xy t, sec Σχήµα Συναρτήσεις ετερο-συσχέτισης για διάφορες τιµές Re για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης: (α) x = 19cm και (β) x = 36cm.

110 c, m/s 0.3 W _(19) 0.2 W _(36) B1_(19) B1_(36) 0.1 B2_(19) B2_(36) Re Σχήµα Εξάρτηση της ταχύτητας των µεγάλων κυµάτων, c, για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης, για τις θέσεις x=19cm και x=36cm FF 1 W _(19) W _(36) B1_(19) B1_(36) B2_(19) B2_(36) Alekseenko et al., 1994 k Re x= 19cm x= 36cm Σχήµα Re / (Ka 3/11 ) Σύγκριση και συσχέτιση των τιµών της αδιάστατης οµάδας kre (k: αδιάστατο µήκος κύµατος) για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν µε χρήση των αδιαστάτων αριθ- µών Re και Κα (Re /Κα 3/11 ) σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36cm) για την περίπτωση ροής υπό διαµόρφωση.

111 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 87 Στο Σχήµα γίνεται µια πρώτη προσπάθεια συσχέτισης των χαρακτηριστικών των επιφανειακών κυµάτων και για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν µε εισαγωγή του αδιάστατου µήκους κύµατος k και των αδιαστάτων αριθµών Re και Ka. Το αδιάστατο µήκος κύµατος ορίζεται ως 2πh N /λ, όπου λ=c/f είναι το µήκος κύ- µατος (wavelength) και f η κύρια συχνότητα των κυµάτων (η οποία προκύπτει από τη φασµατική ανάλυση). Τα δεδοµένα παρουσιάζονται µε τη µορφή των αδιαστάτων οµάδων kre και Re /Ka 3/11 όπως προτάθηκε από τους Alekseenko et al. (1994) για την περίπτωση διδιάστατων κυµάτων, είτε αυτά οφείλονται σε αστάθεια της ροής, είτε σε ε- ξωτερική διέγερσή της. Σηµειώνεται ότι ο αριθµός Κa χρησιµοποιείται για να ληφθούν υπόψη οι διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των υγρών φάσεων που εξετάζονται, σε αντικατάσταση του αδιάστατου αριθµού Fi (Film number) που προτάθηκε από τους παραπάνω ερευνητές, για τον οποίο ισχύει (βλ. και Εξ. 1-2): Fi σ 3 = 3 Ka 3 4 ρ gν = ( ) Όπως έχει προαναφερθεί (βλ. Κεφ. 3.1) ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στην παρούσα εργασία στην κατασκευή του τµήµατος εισόδου της υγρής φάσης, ώστε αυτό να εξασφαλίζει την οµοιόµορφη είσοδο και κατανοµή της στο κανάλι, απαλλαγµένη κατά το δυνατόν από τεχνητές διαταραχές που θα µπορούσαν να διεγείρουν τη δηµιουργία κυ- µάτων. Αυτό σηµαίνει ότι η παρούσα µελέτη πραγµατεύεται την ανάπτυξη των «κοινών» κυµάτων που προκύπτουν χωρίς εξωτερική διέγερση. Η Καµπύλη FF 1 αντιστοιχεί (κατά τους Alekseenko et al., 1994) στα αρχικά, µικρά διδιάστατα κύµατα που αναπτύσσονται αρκετά κοντά στην είσοδο του υγρού, πλησίον της περιοχής εκείνης όπου εµφανίζονται (γίνονται σαφώς διακριτές) οι πρώτες µικρές διαταραχές στην επιφάνεια της στιβάδας (wave inception region) τα κύµατα αυτά χαρακτηρίζονται από µέγιστο ρυθµό ανάπτυξης (maximum growth waves) και υφίστανται κυρίως µεταξύ των θέσεων x=8cm και x=19cm. Αυτή η καµπύλη για µια ορισµένη υγρή φάση περιγράφεται από την ακόλουθη αναλυτική έκφραση (Alekseenko et al., 1994): kre gρ hn Re c = ( ) σ 1.8 η οποία προκύπτει από την µη-γραµµική ανάλυση ευστάθειας της ροής για την περίπτωση των διδιάστατων κυµάτων, µε χρήση µιας «δι-κυµατικής εξίσωσης» (Two-wave Equation). Η τελευταία (όπως αναφέρεται από τους Alekseenko et al., 1994) βασίζεται στην «εξίσωση µακρών κυµάτων» (W-Equation), προϋποθέτει χαµηλές τιµές Re και

112 88 τιµές του λόγου h N /λ πολύ µικρότερες από την τιµή 1, και περιγράφει τις δύο κατηγορίες κυµάτων που αναπτύσσονται στην επιφάνεια κατακόρυφα ρέουσας στιβάδας. Η µια κατηγορία αφορά τα κύµατα που χαρακτηρίζονται από ταχύτητα µεγαλύτερη της µέσης τιµής <u> (και παρατηρούνται στις συνήθεις περιπτώσεις των σχετικά µεγάλων αριθ- µών Re ), ενώ η άλλη εκείνα που κινούνται µε µικρότερη ταχύτητα. Όπως φαίνεται στο Σχήµα τα πειραµατικά δεδοµένα για x=19cm προσεγγίζουν περισσότερο την Καµπύλη FF 1 συγκριτικά µε τα αντίστοιχα της θέσης x=36cm. Αυτή η τάση µπορεί να αποδοθεί στο ότι τα κύµατα που αναπτύσσονται στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού είναι πιο κοντά στην περιοχή όπου εντοπίζονται εκείνα τα κύµατα που χαρακτηρίζονται από µέγιστο ρυθµό ανάπτυξης. Αντίθετα, στο κατώτερο τµήµα του καναλιού που είναι σε µεγαλύτερη απόσταση από αυτή την περιοχή, τα κύµατα έχουν σαφώς τρισδιάστατο χαρακτήρα. Από τα παραπάνω µπορεί να υποτεθεί ότι αν υπήρχαν διαθέσιµα πειραµατικά δεδοµένα σε κάποια θέση µεταξύ των x=8cm και x=19cm και ιδιαίτερα πλησίον της x=8cm, αυτά πιθανόν να προσέγγιζαν ακόµη περισσότερο την Καµπύλη FF 1. Η φασµατική ανάλυση που προηγήθηκε και ο προσδιορισµός των κυρίαρχων συχνοτήτων χρησιµοποιήθηκε περαιτέρω ως εργαλείο για τον υπολογισµό του µέσου ύ- ψους των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h mean, και του µέσου πάχους του υποστρώµατος, h s. Αυτές οι ποσότητες δίνονται παραστατικά στο Σχήµα όπου το µέσο ύψος h mean ορίζεται όπως φαίνεται ως η µέση τιµή της διαφοράς µεταξύ ενός ε- λαχίστου, στη χρονο-σειρά του πάχους, και του αµέσως επόµενου µεγίστου που αντιστοιχεί σε µεγάλο επιφανειακό κύµα, για όλα τα µεγάλα κύµατα που ανιχνεύτηκαν στο καταγραφέν σήµα. Το πάχος υποστρώµατος µετράται από την επιφάνεια της πλάκας και αντιστοιχεί στο µέσο τοπικό ελάχιστο πάχος στιβάδας για το οποίο η επιφάνεια της στιβάδας είναι αδιατάρακτη. Για τον υπολογισµό αυτών των ποσοτήτων χρησιµοποιήθηκε ο αλγόριθµος που προτάθηκε από τη Schadel (1988) και αξιοποιεί την κύρια χαρακτηριστική συχνότητα για τη διάκριση των µεγάλων κυµάτων διαταραχής από τα µικρότερα κύµατα που κινούνται πάνω στο υπόστρωµα. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά µε την εφαρµογή του αλγορίθµου δίνονται στη διδακτορική διατριβή της Schadel, ενώ θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στην παρούσα εργασία χρησιµοποιήθηκε η τροποποιηµένη υ- πολογιστική διαδικασία που προτάθηκε από τον Παρά (1991), στη διδακτορική διατριβή του οποίου περιγράφεται λεπτοµερώς. Η τροποποίηση αυτή κρίθηκε αναγκαία προκειµένου να συµπεριληφθεί στον υπολογισµό του εύρους των µεγάλων κυµάτων και η συνεισφορά των µικρότερων κυµάτων που οδεύουν πάνω στα τελευταία, µε αποτέλε-

113 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 89 σµα τη βελτίωση της ακρίβειας κατά τον υπολογισµό του εύρους και των υπολοίπων χαρακτηριστικών των κυµάτων. Στο Σχήµα παρουσιάζεται η µεταβολή του µέσου ύψους πάνω από το υπόστρωµα h mean µε τον Re για τα τρία υγρά που εξετάσθηκαν. Τρεις διαφορετικές περιοχές µπορούν να διακριθούν σε κάθε περίπτωση, οι οποίες συµβολίζονται µε Α, Β, Γ, και αντιστοιχούν σε παρόµοια τάση µεταβολής της τιµής τού h mean για όλα τα υγρά. Αυτή η τάση γίνεται προσπάθεια να ερµηνευθεί ποιοτικά µε βάση τις οπτικές παρατη- Σχήµα Γεωµετρικά χαρακτηριστικά των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων. ρήσεις της παρούσας εργασίας (και ιδιαίτερα µε βάση την εξάρτηση του «µήκους εισόδου» από τον αριθµό Re ) και µε αξιοποίηση της µελέτης του Chang (1994), ο οποίος ταξινόµησε την ανάπτυξη των κυµάτων -ανάλογα µε το είδος του κύµατος- σε τέσσερις περιοχές (σύµφωνα µε την εργασία του στις περιοχές Ι έως IV) οι οποίες εντοπίζονται εντός της κλίµακας τιµών Re που εξετάστηκαν.

114 A B ä (α) ãh mean, mm W _(19) W _(36) Re A B ä (β) ãh mean, mm B1_(19) B1_(36) Re A B ä (γ) ãh mean, mm B2_(19) B2_(36) Re Σχήµα Μεταβολή του µέσου ύψους των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h mean, µε τον α- ριθµό Re σε δύο θέσεις (x = 19 και 36cm) κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5%.

115 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 91 Περιοχή Α: Αυτή η περιοχή χαρακτηρίζεται από έντονη εξάρτηση του ύψους των κυµάτων από τον Re, µε τις τιµές h mean στη θέση x=19cm να φαίνεται ότι είναι λίγο µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες στη θέση x=36cm. Η τάση αυτή µπορεί να αποδοθεί στο ότι σε σχετικά µικρές παροχές υγρού η ανάπτυξη των πρώτων κυµάτων λαµβάνει χώρα πολύ κοντά στο σηµείο εισόδου του υγρού, µε αποτέλεσµα η θέση x=19cm να ευρίσκεται εντός της περιοχής εκείνης όπου επικρατούν έντονα µη-γραµµικά φαινόµενα. Σε αυτή την περιοχή συντελείται η περαιτέρω ενίσχυση των αρχικών µικρών κυµάτων και η «µετάπτωσή» τους από τον διδιάστατο στον τρισδιάστατο χαρακτήρα τους. Η δοµή των κυµάτων σε αυτή τη θέση (ενδιάµεσο τµήµα καναλιού) είναι όµοια µε εκείνη που περιγράφεται από τον Chang (1994) να επικρατεί στην περιοχή ΙΙΙ, όπου τα κύµατα συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να αυξάνουν σε ύψος. Αντίθετα, η παρατηρούµενη επιφανειακή δοµή της στιβάδας στη θέση x=36cm είναι ανάλογη µε εκείνη που αναφέρεται από τον Chang για την περιοχή ΙV, η οποία χαρακτηρίζεται από εγκάρσια µεταβολή στη δοµή των κυµάτων, που µπορεί να οδηγήσει σε αλληλεπίδραση γειτονικών κυµάτων, µε τελικό αποτέλεσµα τη διάσπαση ή/και διασπορά τους κατά µήκος και πλάτος του καναλιού. Αυτή ακριβώς η αλληλεπίδραση είναι που µπορεί να επιφέρει µείωση του ύ- ψους των κυµάτων δεδοµένου ότι αυτά αναπτύσσονται πλέον όχι µόνο κατά µήκος της ροής, αλλά διαδίδονται και πλευρικά, κάθετα στην κατεύθυνσή της. Περιοχή Β: Στις ενδιάµεσες τιµές Re που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία η παραπάνω τάση αντιστρέφεται και το ύψος των κυµάτων στο κατώτερο τµήµα του καναλιού φαίνεται ότι είναι µεγαλύτερο από αυτό των αντιστοίχων που υφίστανται στη θέση x=19cm, ό- πως θα αναµενόταν καταρχήν. Αυτή η διαφορά µπορεί να αποδοθεί στην εξάρτηση του µήκους κάθε περιοχής (που πραγµατεύεται η µελέτη του Chang) από το µήκος των κυ- µάτων, η τιµή του οποίου αυξάνεται µε την παροχή του υγρού (Re ). Αυτό σηµαίνει ότι µε αύξηση του µήκους κύµατος, καθεµιά εκ των περιοχών του Chang (I-IV) εκτείνεται επίσης σε µεγαλύτερο µήκος µε αποτέλεσµα τα κύµατα και στις δύο θέσεις µέτρησης, στην παρούσα εργασία, να εντοπίζονται καλά εντός της περιοχής ΙΙΙ. Σε αυτή την περιοχή, από την αρχή έως το τέλος της, παρατηρείται αύξηση του µήκους, του ύψους και της ταχύτητας των κυµάτων. Όσον αφορά στην έντονη κορυφή που εµφανίζουν τα δεδοµένα h mean για την περίπτωση του νερού στην περιοχή τιµών Re µεταξύ 200 και 250, δεν µπορεί να δοθεί ικανοποιητική ερµηνεία. Θα πρέπει όµως να τονιστεί (σε µια προσπάθεια επεξήγησης αυτής της τάσης) ότι οι τιµές h mean που αφορούν την αµέσως

116 W _(19) B1_(19) B2_(19) (α) h s, mm Re W _(36) B1_(36) B2_(36) (β) h s, mm Re Σχήµα Σύγκριση της εξάρτησης του µέσου πάχους υποστρώµατος, h s, από τον αριθµό Re για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης: (α) x=19cm και (β) x=36cm.

117 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 93 επόµενη Περιοχή Γ και αντιστοιχούν σε Re >250 εµφανίζουν µια σχετικά µικρή µείωση έναντι της Περιοχής Β. Αυτή η µείωση είναι δυνατόν να αποδοθεί στο µεγαλύτερο ποσοστό αύξησης του πάχους υποστρώµατος, h s, που παρατηρείται για το νερό, για τιµές Re >200, έναντι αυτού για Re <200 όπως φαίνεται και στο Σχήµα Περιοχή Γ: Για τιµές Re >250 παρατηρούµε ότι το ύψος των κυµάτων h mean αποκτά µια σταθερή περίπου τιµή, ανεξάρτητη σχεδόν της παροχής του υγρού. Ανατρέχοντας στα Σχήµατα και στα οποία παρατηρήθηκε ανάλογη τάση για τα δεδοµένα RMS του πάχους στιβάδας και για την ταχύτητα των κυµάτων σε Re >250, µπορεί να υποστηριχτεί ότι η Περιοχή Γ χαρακτηρίζεται από την παρουσία κινούµενων σταθεροποιη- µένων κύµατων (traveling stationary waves). Αυτά, συνεχίζουν να διατηρούν τα χαρακτηριστικά τους σε µεγάλη απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας, πολύ κοντά στην έξοδο του καναλιού, ακόµη κι αν δεν είναι διδιάστατα. Αρκετά ενδιαφέρουσα είναι η σύγκριση µε παρόµοια βιβλιογραφικά δεδοµένα ή συσχετισµούς των χαρακτηριστικών των κυµάτων της παρούσας εργασίας που υφίστανται στη θέση x=36cm για τις µεγαλύτερες τιµές Re που εξετάσθηκαν και αφορούν σε µειωµένο ρυθµό ανάπτυξης κυµάτων σε σχέση µε τα ανώτερα τµήµατα του καναλιού. Για τις ανάγκες αυτής της σύγκρισης χρησιµοποιείται µια διαφορετική εκτίµηση του µέσου ύψους πάνω από το υπόστρωµα, η ποσότητα h max, η οποία προκύπτει από τις τιµές h(95%) και h(5%) που αντιστοιχούν στο µέσο πάχος στιβάδας µε πιθανότητα 95% και 5%. Στο Σχήµα παρουσιάζονται οι τιµές του αδιάστατου λόγου h max /h mean για την περίπτωση στιβάδων που ρέουν κατακόρυφα, για διάφορα υγρά, για σχεδόν διαµορφωµένη ροή κυµάτων. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι για τα βιβλιογραφικά δεδοµένα, που συγκρίνονται µε αυτά της παρούσας εργασίας, η τιµή h max προσδιορίζεται ως η διαφορά µεταξύ της απόλυτης µέγιστης και ελάχιστης τιµής της χρονο-σειράς του πάχους που καταγράφηκε. Η Καµπύλη FF 2 αντιστοιχεί σε µια γενικευµένη εµπειρική συσχέτιση η οποία λαµβάνει υπόψη τις φυσικές ιδιότητες του υγρού και περιγράφεται από την εξίσωση (Alekseenko et al., 1994): h h max 1 mean 003Re 0.1Re 3/11 3/11 Ka Ka = + e e ( ) Η Καµπύλη FF 2 φαίνεται να συσχετίζει ικανοποιητικά τα δεδοµένα της παρούσας εργασίας όσον αφορά στο µέσο ύψος h max, για όλες τις υγρές φάσεις, έστω κι αν η ροή στη θέση x=36cm δεν είναι πλήρως διαµορφωµένη. Αξιοσηµείωτο είναι επίσης ότι ο

118 94 FF 2 ãh max / h mean 1 W _(36) B1_(36) B2_(36) Ethylene glycol-water (Brauer, 1956) Water (Chu et al., 1975) Water (Ganchev et al., 1970) Alekseenko et al., Re / (Ka 3/11 ) Σχήµα Μεταβολή του αδιάστατου µέσου µέγιστου ύψους των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h max, µε την αδιάστατη οµάδα Re /Κα 3/11 για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, σε απόσταση 36cm από την είσοδο του υγρού (όπου τα κύµατα είναι τρισδιάστατα και η ροή τείνει σε διαµόρφωση) και σύγκρισή τους µε διάφορα βιβλιογραφικά δεδοµένα και προτεινόµενη εµπειρική συσχέτιση. λόγος h max /h mean έχει τιµές γύρω στη µονάδα σε αυτό το τµήµα του καναλιού (x=36cm) το οποίο είναι αποµακρυσµένο από την περιοχή µέγιστου ρυθµού ανάπτυξης των κυµάτων Προτεινόµενες συσχετίσεις Μελέτες υδροδυναµικής αστάθειας Η γραµµική ανάλυση ευστάθειας της ροής έχει περιορισµένη εφαρµογή δεδοµένου ότι µπορεί να προβλέψει ικανοποιητικά τις κρίσιµες συνθήκες για την εµφάνιση διδιάστατων κυµάτων «ηµιτονοειδούς µορφής» µικρού µήκους και ύψους για σχετικά χαµηλές τιµές Re. Ωστόσο, η βασική παραδοχή αυτής της ανάλυσης σχετικά µε τη διδιάστατη δοµή των κυµάτων έχει αξιοποιηθεί ευρύτατα για την περιγραφή κυµάτων που αναπτύσσονται χωρίς εξωτερική διέγερση και ιδιαίτερα για εκείνα που σχηµατίζονται πολύ κοντά στην είσοδο της υγρής τροφοδοσίας. Όσον αφορά στην παρούσα εργασία και µε δεδοµένο ότι τα κύµατα στη θέση x=19cm φαίνεται να διατηρούν σε σηµαντικό βαθµό το διδιάστατο χαρακτήρα τους, θα ήταν ενδιαφέρον να γίνει σύγκριση των χαρα-

119 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 95 c / <u> Γραµµικη ' Αναλυση ' Ευσταθειας ' (Μικροι' Re και µικροι ' κυµαταριθµοι) ' W _(19) B1_(19) B2_(19) Kapitza et al., 1949 Jones et al., 1966 Strobel et al., 1969 Pierson et al., 1977 Anshus et al., 1966 Krantz et al., 1971 Pierson et al., Re / (Ka 3/11 ) Σχήµα Εξάρτηση της αδιάστατης ταχύτητας των κυµάτων, C, από τις τιµές της αδιάστατης ο- µάδας Re /Κα 3/11 για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν, στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού (όπου τα κύµατα διατηρούν το διδιάστατο χαρακτήρα τους). Σύγκριση µε βιβλιογραφικά δεδοµένα και αναλυτικά αποτελέσµατα γραµµικής ανάλυσης ευστάθειας της ροής. κτηριστικών τους, όπως αυτά προέκυψαν από τις πειραµατικές µετρήσεις, µε τα αποτελέσµατα διαφόρων θεωρητικών µελετών αλλά και ανάλογα βιβλιογραφικά πειραµατικά δεδοµένα. Σε µεγαλύτερη απόσταση από την είσοδο του υγρού (όπως π.χ. στο κατώτερο τµήµα του καναλιού) όπου οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των κυµάτων είναι περισσότερο έντονες οδηγώντας έτσι σε χαοτική επιφανειακή δοµή που χαρακτηρίζεται από διάφορα είδη κυµάτων µε σαφώς τρισδιάστατο χαρακτήρα η θεωρία της γραµµικής ευστάθειας δεν µπορεί να εφαρµοστεί. Στο Σχήµα παρουσιάζονται πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας σχετικά µε την εξάρτηση της αδιάστατης ταχύτητας των κυµάτων, C (=c/<u>), από την αδιάστατη οµάδα Re /Ka 3/11. Οι καµπύλες αντιστοιχούν σε αναλυτικά αποτελέσµατα γραµµικής ανάλυσης ευστάθειας της ροής, δηλαδή αφορούν σε µικρού µήκους διδιάστατα κύµατα. Οι σχετικά χαµηλές τιµές της αδιάστατης ποσότητας C, για όλες τις υγρές φάσεις αποδίδονται στο ότι τα κύµατα στη θέση x=19cm είναι ασταθή. Στη βιβλιογραφία (π.χ. Nguyen & Balakotaiah, 2000) αναφέρε-

120 96 ται ότι αυτό το επίπεδο τιµών για την ταχύτητα C αντιστοιχεί σε περιοδικά κύµατα τα οποία είναι ασταθή και συνεχίζουν να παραµένουν ασταθή για ένα σχετικά µεγάλο µήκος ροής για το οποίο παρατηρείται αύξηση του ύψους τους µε παράλληλη µείωση της αδιάστατης ταχύτητάς τους C. Στην παρούσα εργασία, είναι φανερό ότι για τα τρία υ- γρά που εξετάσθηκαν, τα πλέον ασταθή κύµατα φαίνεται να είναι αυτά που αντιστοιχούν στο διάλυµα βουτανόλης 2.5% που χαρακτηρίζεται από τη χαµηλότερη τιµή επιφανειακής τάσης (και τη µικρότερη τιµή Ka). Η τάση αυτή είναι σε συµφωνία µε αντίστοιχη που αναφέρρεται από τους Alekseenko et al. (1994), οι οποίοι παρουσίασαν µια ελάχιστα µη-γραµµική (slightly non-linear) ανάλυση της εξίσωσης OS χρησιµοποιώντας µια προσέγγιση α βαθµού για την παράµετρο ε (=h N /λ). Αυτή η προσέγγιση ισοδυναµεί µε την περίπτωση ροής υγρών µε µεγάλο αριθµό We και σχετικά µικρές τιµές Re. Ικανοποιητική συµφωνία παρατηρείται συγκρίνοντας τα πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας µε ανάλογα δεδοµένα της βιβλιογραφίας, ειδικότερα δε µε αυτά των Pierson & Whitaker (1977) των οποίων η µελέτη αφορά επίσης σε ροή στιβάδας κατά µήκος κατακόρυφης πλάκας για τις ίδιες περίπου τιµές Re (100<Re <500) που εξετάζονται σε αυτή την εργασία. Σηµειώνεται ότι τα αποτελέσµατα των ίδιων ερευνητών που προέκυψαν από τη θεωρητική ανάλυση αναφέρονται σε σχετικά υψηλές τιµές Re (Re >10). Ένα ακόµη χαρακτηριστικό που προκύπτει από το Σχήµα είναι ότι οι τιµές C που προσδιορίστηκαν για τους µεγαλύτερους αριθµούς Re που εξετάσθηκαν, τείνουν στην «οριακή» τιµή 1.69 η οποία, όπως αναφέρουν οι Prokopiou et al. (1991), είναι η τελική «σταθερή» τιµή που χαρακτηρίζει τα µεγάλα µεµονωµένα (solitary) περιοδικά κύµατα. Επιπλέον απόδειξη για την ικανοποιητική συµφωνία των πειραµατικών δεδοµένων της παρούσας εργασίας µε τη θεωρητική ανάλυση, παρέχει η σύγκριση τους µε τα αναλυτικά ασυµπτωτικά αποτελέσµατα (για τις περιπτώσεις µεγάλων τιµών Re και Κα) που παρουσιάστηκαν από τον Anshus (1972) και προέκυψαν µε εφαρµογή της γραµµικής ανάλυσης ευστάθειας για µεγαλύτερες τιµές Re (Σχ ). Οι Καµπύλες FF 3-1, FF 3-2 και FF 3-3 αντιστοιχούν στα τρία διαφορετικά υγρά που χρησιµοποιήθηκαν (νερό και διαλύµατα βουτανόλης 1.5% και 2.5%) και περιγράφονται από την ακόλουθη αναλυτική εξίσωση: 2/11 2/3 ( ) C = Ka Re ( ) Στα Σχήµατα και συγκρίνονται τα χαρακτηριστικά των κυµάτων στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού (x=19cm) µε τα αποτελέσµατα του απλοποιη- µένου µοντέλου που παρουσιάστηκε από τους Nguyen & Balakotaiah (2000) για την

121 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας c, m/s W _(19) B1_(19) B2_(19) Anshus FF -1 (W), FF Anshus -2 (B1), Anshus, 1972 FF Anshus -3 (B2), Re Σχήµα Σύγκριση των πειραµατικών τιµών της ταχύτητας των µεγάλων κυµάτων, c, στη θέση x=19cm για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν µε τα ασυµπτωτικά αναλυτικά α- ποτελέσµατα του Anshus (1972) για την περίπτωση µεγάλων τιµών Re και Κα. περίπτωση διδιάστατων κυµάτων σχετικά µεγάλου ύψους και αφορά σε χαµηλές τιµές Re (2-20) και Κα (6-22). Αυτοί οι ερευνητές πρότειναν τις ακόλουθες σχέσεις για την εκτίµηση του µέγιστου πάχους στιβάδας και της ταχύτητας των κυµάτων: h h max N 1 = 1.925We = 0.132Re Ka ( ) 1 5/3 1 3 C 11.55We 1 = ( ) όπου We είναι ο αριθµός Weber που ορίζεται ως εξής: We σ < u > ρ 2 N = ( ) h Ανάλογες σχέσεις για την εκτίµηση των τιµών h max και C παρουσιάστηκαν και από τον Chang (1989) η µελέτη του βασίστηκε στην µη-γραµµική ανάλυση της εξίσωσης W για την περίπτωση σταθεροποιηµένων µεµονωµένων κυµάτων (steady solitary waves) για χαµηλές τιµές Re, πλησίον της κρίσιµης τιµής για τη δηµιουργία κυµάτων σε κατακόρυφα ρέουσα στιβάδα τα αποτελέσµατά της περιγράφονται από τις ακόλουθες αναλυτικές εκφράσεις:

122 98 3 hmax 42 usρghn 1 = ( ) h 25 v σ N Η τελευταία µε χρήση αδιαστάτων αριθµών γίνεται: h h max N 1 = 7.56We = 0.52Re Ka ( ) 1 5/3 1 Η αδιάστατη ταχύτητα των κυµάτων θα είναι τότε: h h max N 3 c 1 1= 2 = 3 4 us 2 ( C) ή 3 C 15.12We 1 = ( ) Στα Σχήµατα και οι παραπάνω συσχετίσεις συγκρίνονται και µε διάφορα βιβλιογραφικά δεδοµένα, εκτός από αυτά της παρούσας εργασίας. Για τα τελευταία χρησιµοποιούνται οι περισσότερο αντιπροσωπευτικές τιµές h(95%) αντί αυτών του απόλυτου µεγίστου h max. Θα πρέπει επίσης να τονιστεί ότι τα αναλυτικά αποτελέσµατα αφορούν σε διδιάστατα κύµατα, ενώ τα κύµατα που εξετάζονται για τη θέση x=19 cm διατηρούν µεν σε κάποιο βαθµό τον διδιάστατο χαρακτήρα τους χωρίς όµως να είναι αυστηρά διδιάστατα. Παρόλα αυτά, τα πειραµατικά δεδοµένα του πάχους h max της παρούσας εργασίας ευρίσκονται περίπου µεταξύ των προβλέψεων του Chang (1989) -οι οποίες αφορούν χαµηλές τιµές Re και υψηλές τιµές Κα- και εκείνων των Nguyen & Balakotaiah (2000). Οι τελευταίοι ερευνητές αναφέρουν µάλιστα ότι η ανάλυσή τους µπορεί να προβλέψει τα χαρακτηριστικά κυµάτων για τις περιπτώσεις χαµηλών έως ενδιαµέσων τιµών Re (0<Re <100) και για όλες τις τιµές Κα (5<Κα<4). Όσον αφορά στα δεδοµένα της αδιάστατης ταχύτητας C είναι φανερό ότι εµφανίζουν µεγαλύτερη διασπορά τιµών σε σχέση µε αυτά του µέγιστου πάχους στιβάδας, κάτι που παρατηρήθηκε και από τους Nguyen & Balakotaiah (2000) για τα πειραµατικά δεδοµένα της ίδιας της µελέτης τους, όπου ως υγρή φάση χρησιµοποιήθηκαν διάφορα υδατικά διαλύ- µατα γλυκερίνης. Στην µελέτη τους επιβεβαιώθηκε επίσης ότι η αύξηση του αριθµού Κα ισοδυναµεί µε µικρότερη αστάθεια των κυµάτων. Αυτή η τάση είναι εµφανής κατά τη σύγκριση µεταξύ των δεδοµένων νερού και αυτών των διαλυµάτων βουτανόλης παρόλο που για όλες τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία υγρές φάσεις τα δεδοµένα είναι της ίδιας τάξης µεγέθους.

123 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (h max / h N ) W _(19) B1_(19) B2_(19) Kapitza et el., 1949 (Alcohol) Kapitza et al., 1949 (Water) Nguyen et al., 2000 (Ka=22) Chang, 1989 Nguyen & Balakotaiah, We -1 Σχήµα Σύγκριση των θεωρητικών προβλέψεων για το µέσο µέγιστο ύψος των κυµάτων, h max, µε πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας και βιβλιογραφικά δεδοµένα µε χρήση του αδιάστατου λόγου h max /h N και του αδιάστατου αριθµού We C 0.1 W _(19) B1_(19) B2_(19) Kapitza et el., 1949 (Alcohol) Jones et al., 1966 (Water) Nguyen et al., 2000 (Ka=22) Chang, 1989 Nguyen & Balakotaiah, We -1 Σχήµα Σύγκριση των θεωρητικών προβλέψεων για την ταχύτητα των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων µε πειραµατικά δεδοµένα της παρούσας εργασίας και βιβλιογραφικά δεδοµένα µε χρήση του αδιάστατης ποσότητας 3-C και του αδιάστατου αριθµού We.

124 ιατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος καναλιού Γενικές Παρατηρήσεις Η διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος καναλιού µετρήθηκε µε εφαρµογή της ηλεκτροχηµικής τεχνικής και χρήση του «ηλεκτροδίου ζεύγους» (sandwich probe), το οποίο συνίσταται από δύο ξεχωριστά ηλεκτρόδια προσαρµοσµένα στο ίδιο µετρητικό στοιχείο. Έτσι, όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 3.2.3, είναι δυνατή τόσο η µέτρηση της τιµής της διατµητικής τάσης, όσο και ο προσδιορισµός της φοράς της ροής. Οι µετρήσεις πραγµατοποιήθηκαν σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του καναλιού, στην περιοχή εισόδου της υγρής φάσης (x=8cm), στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού (x=19cm), αλλά και στο κατώτερο τµήµα του, πλησίον της εξόδου του υγρού (x=36cm). Στο Σχήµα παρουσιάζονται τυπικές απεικονίσεις της χρονικής εξέλιξης της διατµητικής τάσης σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του καναλιού. Σηµειώνεται ότι το ηλεκτροχηµικό διάλυµα που χρησιµοποιήθηκε έχει τις ίδιες περίπου φυσικές ιδιότητες µε το υδατικό διάλυµα βουτανόλης 2.5% και εποµένως τα δεδοµένα πάχους στιβάδας αυτού του διαλύµατος θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν για µια πρώτη, ποιοτική συσχέτιση µε τα αντίστοιχα δεδοµένα της διατµητικής τάσης. Έτσι, µε παρατήρηση της µορφής της χρονο-σειράς που αντιστοιχεί στο κατώτερο τµήµα του (βλ. Σχ γ), διαπιστώνεται σαφής οµοιότητα µε τη αντίστοιχη χρονική απεικόνιση του πάχους στιβάδας στην ίδια θέση (βλ. Σχ γ). Η περιοδικότητα που χαρακτηρίζει και τα δύο είδη χρονοσειρών είναι το ίδιο έντονη και σαφής, µε τις κορυφές για την περίπτωση του πάχους στιβάδας να αντιστοιχούν στην παρουσία µεγάλων κυµάτων επί της επιφανείας της. Ωστόσο, τα µικρότερα κύµατα που παρατηρήθηκαν στις χρονο-σειρές του πάχους δεν παρουσιάζονται το ίδιο έντονα στη χρονική απεικόνιση της διατµητικής τάσης, ειδικά για τις µικρότερες τιµές Re που εξετάσθηκαν. Κάτι τέτοιο θα µπορούσε να σηµαίνει ότι τα τρισδιάστατα και µε σχετικά µεγάλο ύψος κύµατα σε αυτή τη θέση (x=36cm) είναι εκείνα που κυρίως επηρεάζουν τις συνθήκες ροής πλησίον του τοιχώµατος. Όσον αφορά στις µετρήσεις για τη θέση x=8cm όπου η ροή είναι σχεδόν αδιατάρακτη, οι διακυµάνσεις στην τιµή της διατµητικής τάσης, είναι πολύ µικρότερες σε σύγκριση µε αυτές στη θέση x=36 cm, όπως αναµενόταν, και χωρίς να υφίσταται κάποια εµφανής περιοδικότητα. Ωστόσο οι διακυµάνσεις αυτές, ειδικά για τις χαµηλότερες τιµές Re που εξετάστηκαν, θα µπορούσαν να αποδοθούν στην ύπαρξη κάποιων µικρών κυµατισµών επί της επιφάνειας, δεδοµένου ότι µε µείωση του Re µειώνεται και η απόσταση από την είσοδο του υγρού που απαιτείται για τη δηµιουργία των πρώτων -µικρών έστω- κυ- µάτων. Θα πρέπει όµως να υπογραµµισθεί ότι αυτές οι διακυµάνσεις µπορεί να οφείλο-

125 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (α) τ w, N/m t, sec 5 4 (β) τ w, N/m t, sec 5 4 (γ) τ w, N/m t, sec Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρού/τοιχώµατος, τ w, για το η- λεκτροχηµικό διάλυµα (ElSol), για διάφορες τιµές Re, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm.

126 102 νται και σε ηλεκτρονικό ή εξωτερικό θόρυβο, δεδοµένου ότι παρά τις τεχνικές που ε- φαρµόστηκαν για την προστασία του λαµβανόµενου σήµατος από τυχόν θόρυβο, η παρουσία του (έστω και εξασθενηµένη) δεν µπορεί να αποκλεισθεί εντελώς. Σηµειώνεται ότι οι µετρούµενες τιµές τάσης -πριν την ενίσχυσή τους- είναι µικρές και κυµαίνονται σε επίπεδα κάτω των 30mV. Αξιοσηµείωτη είναι και η χρονική εξέλιξη της διατµητικής τάσης στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού (x=19cm) για την οποία φαίνεται ότι δεν υπάρχει αντιστοιχία µε τη χρονική εξέλιξη του πάχους στη θέση αυτή (βλ. Σχ β). Τυχόν ελάττωµα των ί- διων των ηλεκτροδίων αποκλείστηκε µε συστηµατική επανάληψη των µετρήσεων αλλά και εναλλαγή (αντικατάσταση) του συγκεκριµένου µετρητικού στοιχείου µε «ηλεκτρόδιο ζεύγους» άλλης θέσης. Επιπρόσθετα, µε χρήση της Εξ (ή ισοδύναµα της Εξ ), για τις τιµές διατµητικής τάσης που µετρήθηκαν και µε δεδοµένη την κύρια συχνότητα των κυµάτων στην θέση x = 19 cm (όπως αυτή προσδιορίστηκε µε βάση τις µετρήσεις του πάχους στιβάδας), διαπιστώθηκε ότι η αδιάστατη συχνότητα ω * (ή σ * ) λαµβάνει σε κάθε περίπτωση τιµή µικρότερη από 0.8. Αυτό σηµαίνει ότι η συχνοτική απόκριση των ηλεκτροδίων είναι επαρκώς υψηλή (Fortuna & Hanratty, 1971 Deslouis et al., 1990 Tihon et al., 2003) και τέτοια που δε θα µπορούσε να προκαλέσει σηµαντική εξασθένηση στο πλάτος των χρονο-σειρών της διατµητικής τάσης. Από τα παραπάνω, λαµβάνοντας υπόψη και τη µορφή της χρονικής εξέλιξης της διατµητικής τάσης στη θέση x=36 cm, καθίσταται φανερό ότι τα κύµατα διαταραχής που αναπτύσσονται στο µέσο του καναλιού δεν ίσως είναι αρκετά έντονα ώστε να επηρεάσουν τη ροή πλησίον του τοιχώµατος (κάτι που θα αντικατοπτριζόταν σε αντίστοιχη διακύµανση των στιγµιαίων τιµών της διατµητικής τάσης). Το συµπέρασµα αυτό είναι σε συµφωνία µε τις τιµές της τυπικής απόκλισης του πάχους στιβάδας, h RMS, οι οποίες για όλες τις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν και για τη θέση x=19 cm είναι µικρότερες κατά 35-50% των αντιστοίχων τιµών για τη θέση x=36cm (βλ. Σχ ). Στην ίδια κατεύθυνση οδηγεί και η παρατήρηση των φασµάτων συχνότητας του πάχους στιβάδας (βλ. Σχ και ) τα οποία υποδεικνύουν λιγότερο ενισχυµένα κύµατα στο ενδιάµεσο σε σχέση µε το κατώτερο τµήµα του καναλιού. Υπενθυµίζεται ότι στο µέσο του καναλιού (x=19cm) τα κύµατα συνεχίζουν να είναι σχεδόν διδιάστατα, ενώ είναι δυνατόν στην ίδια θέση -ανάλογα µε τον αριθµό Re - να λαµβάνει χώρα παράλληλα και µεταβολή της δοµής τους η οποία αποκτά τελικά τριδιάστατο χαρακτήρα. Στην εργασία του Zabaras (1985), ο οποίος πραγµατοποίησε ταυτόχρονες µετρήσεις πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης σε διάφορες θέσεις, αναφέρεται ότι οι πο-

127 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 103 λύ µικρές διακυµάνσεις που εµφανίζονται στις χρονο-σειρές της διατµητικής τάσης σε απόσταση 0.15m από την είσοδο του υγρού, σχετίζονται µάλλον µε τα µικρά κύµατα που υφίστανται επί του υποστρώµατος ωστόσο, θα πρέπει να σηµειωθεί ότι τα κύµατα αυτά, για την ίδια εργασία, εµφανίζονται πολύ πιο έντονα στην απεικόνιση της χρονικής εξέλιξης του πάχους στιβάδας. Ο ίδιος ερευνητής, επιχειρώντας συσχέτιση ορισµένων από τις ταυτόχρονες χρονο-σειρές πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης, διαπίστωσε ότι για µικρή απόσταση από την είσοδο του υγρού η συσχέτιση δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική (µικρότερη σε κάθε περίπτωση από 20%). Οι Karimi & Kawaji (1999), οι οποίοι πραγµατοποίησαν ταυτόχρονες µετρήσεις του πάχους στιβάδας και της κατανοµής ταχύτητας εντός της υγρής στιβάδας για κατακόρυφη ροή (για Re >1000), σχολιάζουν ότι τα κύµατα που αναπτύσσονται στην περιοχή διαµόρφωσης της ροής δεν είναι δεδοµένο ότι θα επιφέρουν σηµαντικές αλλαγές στην κατανοµή ταχύτητας εντός της στιβάδας ακόµη και πλησίον της επιφάνειάς της. Οι ίδιοι ερευνητές διαπιστώνουν ότι σε αυτή την περιοχή η χρονική εξέλιξη του πάχους στιβάδας είναι ποιοτικά όµοια µε την αντίστοιχη της κατανοµής ταχύτητας µόνο πλησίον της ελεύθερης επιφάνειας, όσο δηλαδή η απόσταση από το τοίχωµα αυξάνεται. Αντίθετα, σε απόσταση 1.5m από την είσοδο του υγρού όπου η ροή θεωρείται διαµορφωµένη και η επιφάνεια της στιβάδας καλύπτεται από σχετικά µεγάλα κύµατα (µε λόγο µέγιστου ύψους προς πάχος υποστρώµατος τουλάχιστον 2), η επίδραση των κυµάτων γίνεται αισθητή ακόµη και κοντά στο τοίχωµα. Θα πρέπει να σηµειωθεί επίσης ότι αν και η διακύµανση της στιγµιαίας τιµής της διατµητικής τάσης είναι περίπου η ίδια για τις θέσεις x=8cm και x=19cm, εν τούτοις, σε x=19cm για τις µεγαλύτερες τιµές Re που εξετάσθηκαν φαίνεται να εκδηλώνεται σε κάποιο βαθµό ο αναµενόµενος περιοδικός χαρακτήρας του σήµατος. Αυτή η περιοδικότητα, αν και δεν είναι ιδιαίτερα έντονη (όπως στην περίπτωση του πάχους στιβάδας) θα µπορούσε ίσως να αποδοθεί σε ορισµένα (λίγα σε αριθµό) περισσότερο ενισχυµένα κύµατα, η επίδραση των οποίων φαίνεται να εκδηλώνεται -σε µικρό βαθµό έστω- και πλησίον του τοιχώµατος. Οι Moran et al. (2002), οι οποίοι µελέτησαν την κατανοµή της ταχύτητας υγρής στιβάδας (µε αριθµό Ka=18.4) σε µεγάλη απόσταση από την είσοδο του υγρού, για αριθµούς Re µεταξύ 10 και 220, αναφέρουν χαρακτηριστικά ότι ακόµη και σε σχετικά χαµηλούς αριθµούς Re αρκεί η παρουσία έστω και λίγων -σε αριθµό- µεγάλων κυµάτων ώστε η διαταραχή της επιφάνειας να εκδηλωθεί και εντός του υποστρώµατος, επηρεάζοντας τη διάτµηση του υγρού στο τοίχωµα.

128 Πειραµατικές µετρήσεις Στατιστική επεξεργασία Η µέση τιµή της διατµητικής τάσης για διάφορες τιµές του αριθµού Re δίνεται στο Σχήµα Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η µικρότερη τιµή Re επιλέχτηκε µετά από αρκετές δοκιµές έτσι ώστε να εξασφαλίζει την επαρκή διαβροχή της πλάκας επί της οποίας ρέει η υγρή στιβάδα αλλά και την οµοιόµορφη κατανοµή του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος. Όσον αφορά στην καµπύλη FF 4, αυτή αντιστοιχεί στις τιµές που προσδιορίστηκαν για την περίπτωση αδιατάρακτης (χωρίς κυµατισµούς), µονοδιάστατης ροής στην κατεύθυνση x µε την ταχύτητα της στιβάδας u x (y) να µεταβάλλεται µόνο κατά τη διεύθυνση y (βλ. Σχ ). Στην περίπτωση αυτή, το ισοζύγιο ορµής σε µόνιµη κατάσταση για ροή στιβάδας επί κεκλιµένης επιφάνειας δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 1 dp µ + g cosθ + = 0 ρ dx ρ dy 2 dux 2 όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει η επιφάνεια µε την κατακόρυφο. Η παραπάνω, για σταθερό ιξώδες και πυκνότητα του υγρού, γίνεται: d dp τ yx = ρg cosθ dy dx ( ) ( ) Σχήµα Ελευθέρως ρέουσα στιβάδα πάνω σε επίπεδη κεκλιµένη επιφάνεια υπό την επίδραση της βαρύτητας (το ισοζύγιο ορµής αφορά στο στοιχειώδες πάχος dy).

129 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 105 Θεωρώντας αµελητέα την επίδραση του αέρα στη ροή της στιβάδας, µπορεί (σε πρώτη προσέγγιση) να αγνοηθούν οι δυνάµεις πίεσης και αυτές της διεπιφανειακής διατµητικής τάσης στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, οπότε µε µια πρώτη ολοκλήρωση της Εξ προκύπτει: τ ( y) = ρ ygcosθ ( ) yx δεδοµένου ότι στην επιφάνεια της στιβάδας (y = 0) ισχύει η ακόλουθη συνοριακή συνθήκη: τ du = = 0 ( ) yx x µ y = 0 dy y= 0 Από την Εξ εξάγεται ότι η διατµητική τάση επί του τοιχώµατος, τ w,mean, για γνωστό πάχος στιβάδας h mean, και κατακόρυφη ροή (θ = 0) θα είναι: τ = ρ gh ( ) wmean, mean Η εξίσωση αυτή παρουσιάστηκε από τον Nusselt (1916), ενώ ισοδύναµα ο Wallis (1969) σχολιάζει ότι εάν το σύστηµα συντεταγµένων οριστεί έτσι ώστε η απόσταση y να µετράται από το τοίχωµα προς την ελεύθερη επιφάνεια της στιβάδας προκύπτει για την διατµητική τάση τ yx : τ ( y) = ρ g( h y) ( ) yx mean Για τα νέα δεδοµένα διαπιστώνεται καταρχήν ότι η µεταβολή των µέσων τιµών της διατµητικής τάσης µε τον αριθµό Re είναι σύµφωνη µε αυτή που προβλέπεται από την Εξ , καθώς η αύξηση της παροχής του υγρού επιφέρει επίσης αύξηση στην τιµή της διατµητικής τάσης. Όσον αφορά στην εξάρτηση των τιµών από τη θέση µέτρησης, είναι φανερό ότι για την περιοχή εισόδου (x=8cm) φαίνεται να υπάρχει ικανοποιητική συµφωνία µεταξύ των µετρούµενων τιµών και αυτών που προβλέπονται από την Εξ Ωστόσο, µε αύξηση της απόστασης από την είσοδο του υγρού, οι τιµές της µέσης διατµητικής τάσης είναι µεγαλύτερες από τις τιµές «Nusselt», µε εκείνες που αντιστοιχούν στο κατώτερο τµήµα του καναλιού (x=36cm) να εµφανίζουν και τη µεγαλύτερη απόκλιση (παρουσιάζονται αυξηµένες κατά περίπου 10-15%). Για την τάση αυτή που παρατηρήθηκε επίσης από τους Wragg & Einarsson (1970) και Zabaras (1985) για την ίδια περιοχή τιµών Re µε αυτή της παρούσας εργασίας, δεν µπορεί να δοθεί ικανοποιητική ερµηνεία. Θα ήταν χρήσιµο ωστόσο να αναφερθεί ότι για την περίπτωση των σχετικά µεγάλων Re (>500), η αύξηση της διατµητικής τάσης που παρατηρείται σε µεγάλες αποστάσεις από την είσοδο του υγρού (>2m) συγκριτικά µε εκείνη που µε-

130 τ w,mean, N/m 2 3 FF (8)-A ElSol_ (8) (19)-A ElSol_(19) (36)-A ElSol_(36) FF4 Eξ. ( ) Re Σχήµα Μεταβολή της τοπικής µέσης διατµητικής τάσης υγρού/τοιχώµατος καναλιού τ w,mean, του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος (ElSol) µε τον αριθµό Re, για διάφορες θέσεις κατά µήκος της πλάκας ElSol_ (8)-A (8) ElSol_(19) (19)-A ElSol_(36) (36)-A τ w,rms, N/m Re Σχήµα Μεταβολή της τυπικής απόκλισης της τοπικής διατµητικής τάσης υγρού/τοιχώµατος καναλιού τ w,rms, του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος (ElSol) µε τον αριθµό Re, για διάφορες θέσεις κατά µήκος της πλάκας.

131 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 107 τράται (για την ίδια παροχή υγρού) κοντά στην είσοδό του, αποδίδεται στη βιβλιογραφία (π.χ. Zabaras, 1985 Wasden & Dukler, 1989 Karimi & Kawaji, 1999 & 2000), στην παρουσία µεγάλων κυµάτων (roll waves) πάνω στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας. Πιο συγκεκριµένα για την περίπτωση των σχετικά µεγάλων Re και της σχεδόν διαµορφωµένης ροής, υποστηρίζεται ότι στη δοµή αυτών των µεγάλων κυµάτων αναπτύσσεται µια ζώνη ανακύκλωσης (re-circulation region), που έχει σαν αποτέλεσµα τη µεταφορά µέρους της µάζας του υγρού από το υπόστρωµα προς την επιφάνεια της στιβάδας. Έτσι, τείνει να αυξάνεται η τοπική µέση διατµητική τάση που µετράται µε την ηλεκτροχηµική τεχνική καθώς και ο ρυθµός µεταφοράς µάζας υγρού-στερεού. Αυτή η αύξηση στη µεταφορά µάζας, όπως αναφέρουν οι Moran et al. (2002), είναι τόσο πιο σηµαντική όσο µεγαλύτερος είναι ο λόγος του µέγιστου προς το ελάχιστο πάχος, η τιµή του οποίου, όπως σχολιάζουν οι ίδιοι, αυξάνεται µε τον αριθµό Re και την απόσταση από την είσοδο του υγρού. Όσον αφορά στις τιµές της τυπικής απόκλισης της διατµητικής τάσης, τ w,rms, (Σχήµα ) παρατηρείται ότι για όλες τις θέσεις µέτρησης είναι σχεδόν σταθερές και σχεδόν ανεξάρτητες του αριθµού Re, ενώ σε κάθε περίπτωση οι µεγαλύτερες τιµές αντιστοιχούν στο κατώτερο τµήµα του καναλιού. Κάτι τέτοιο αναµενόταν και από την εξέταση των χρονο-σειρών στη θέση x=36 cm όπου σε συνδυασµό µε τις αντίστοιχες χρονο-σειρές του πάχους διαπιστώθηκε ότι τα περισσότερο ενισχυµένα κύµατα σε αυτή την περιοχή -σε σχέση µε εκείνα που αντιστοιχούν στο ενδιάµεσο του καναλιού- είναι ικανά να επηρεάσουν τις συνθήκες ροής πλησίον του τοιχώµατος. Κάτι τέτοιο επιβεβαιώνεται και µε αντιπαραβολή των τιµών τ w,rms και των τιµών h RMS του πάχους της στιβάδας (βλ. Σχ ) από την οποία προκύπτει ότι υφίσταται ικανοποιητική συµφωνία µεταξύ τους, δεδοµένου ότι για τιµές Re >200 η τυπική απόκλιση για την περίπτωση του τοπικού πάχους φαίνεται επίσης να σταθεροποιείται, όπως επίσης και το µέσο ύψος των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα. Όσον αφορά στις τιµές τ w,rms που α- ντιστοιχούν σε 130<Re <200 διαπιστώνεται µια µικρή σχετικά αυξητική τάση, λιγότερο έντονη από αυτή που παρατηρείται για τις τιµές h RMS υπενθυµίζεται ότι οι τελευταίες αυξάνονται περισσότερο για τιµές Re µεταξύ 50 και 150, παρά για Re > Φασµατική ανάλυση Οι παραπάνω παρατηρήσεις, ειδικότερα όσον αφορά στη διαµόρφωση της στιβάδας στο κατώτερο τµήµα του καναλιού, επιβεβαιώνονται και από τα φάσµατα συχνότητας των διαταραχών της διατµητικής τάσης, µερικά αντιπροσωπευτικά εκ των οποίων

132 108 παρουσιάζονται στο Σχήµα Στα φάσµατα αυτά εκτός από τον εντοπισµό της κύριας συχνότητας που χαρακτηρίζει το φαινόµενο σε κάθε θέση µέτρησης (στην προκειµένη περίπτωση την επίδραση που µπορεί να έχουν οι επιφανειακοί κυµατισµοί επί της ροής πλησίον του τοιχώµατος), αντικατοπτρίζεται και η σχέση µεταξύ των τιµών τ w,rms για τις διάφορες θέσεις µέτρησης. Έτσι διαπιστώνεται για άλλη µια φορά ότι στην περιοχή εισόδου όπου δεν υφίστανται κύµατα (αλλά κι όταν υφίστανται είναι πολύ µικρά ώστε να ανιχνευθούν από την ηλεκτροχηµική τεχνική), το φαινόµενο δεν παρουσιάζει κάποια εµφανή περιοδικότητα. Σε παρόµοιο συµπέρασµα οδηγεί και η µορφή του φάσµατος που αντιστοιχεί στην ενδιάµεση θέση µέτρησης (x=19cm), για την οποία ωστόσο σε όλες τις περιπτώσεις εµφανίζεται µια συχνότητα -έστω όχι τόσο έντονη ό- πως π.χ. στην περίπτωση των µετρήσεων του πάχους- που κυµαίνεται µεταξύ 3 και 8Hz. Αυτή η συχνότητα θα µπορούσε πιθανότατα να αποδοθεί στην παρουσία στη θέση x=19cm ορισµένων λίγων -σε αριθµό- κυµάτων, τα οποία όµως είναι περισσότερο ενισχυµένα σε σχέση µε τα υπόλοιπα κύµατα που έχουν αναπτυχθεί στην ίδια θέση και είναι ικανά έτσι να «διαπεράσουν» τη στιβάδα του υποστρώµατος, επηρεάζοντας -σε µικρό έστω βαθµό- την τιµή της διατµητικής τάσης στο τοίχωµα. Ανάλογη παρατήρηση αναφέρεται και από τους Wragg & Einarsson (1970) οι οποίοι πραγµατοποίησαν µετρήσεις της κύριας συχνότητας των µεγάλων κυµάτων µε χρήση «ηλεκτροδίου επαφής τύπου βελόνας» (needle-contact probe). ιαπίστωσαν τότε ότι η συχνότητα αυτή φαίνεται να συµφωνεί µε εκείνη που προκύπτει από την ανάλυση των χρονο-σειρών της διατµητικής τάσης µόνο σε απόσταση µεγαλύτερη των 20cm, όπου τα κύµατα αρχίζουν να ενισχύονται σηµαντικά. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όµως παρουσιάζουν τα φάσµατα για τη θέση x=36cm τα οποία φαίνεται να σχετίζονται ικανοποιητικά µε τα αντίστοιχα που αφορούν στις διαταραχές του πάχους της στιβάδας (βλ. Σχ ), γεγονός που αποδίδεται στην επίδραση των επιφανειακών κυµάτων στη διαµόρφωση της ροής στο τοίχωµα του καναλιού. Η χαρακτηριστική έντονη κορυφή που αντιστοιχεί σε κύρια συχνότητα πλησίον των 10Hz και παραµένει πρακτικά αµετάβλητη µε αύξηση του Re, παρατηρήθηκε και στην περίπτωση των µετρήσεων του πάχους στιβάδας. Ιδιαίτερη αναφορά θα πρέπει επίσης να γίνει σε µια µικρότερη συχνότητα που εµφανίζεται και στους δύο τύπους φασµάτων, κυµαίνεται πλησίον των 5Hz, και σχετίζεται πιθανότατα, όπως αναφέρθηκε και στο Κεφάλαιο µε την ενίσχυση κάποιων µικρότερων κυµάτων της διεπιφάνειας. Με βάση τα παραπάνω διαπιστώνεται γενικά ότι οι διακυµάνσεις του τοπικού πάχους αντικατοπτρίζονται σε αυτές της τοπικής διατµητικής τάσης, κυρίως όσον αφορά

133 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά ελευθέρως ρέουσας στιβάδας 109 στο κατώτερο τµήµα του καναλιού όπου η ροή τείνει προς διαµόρφωση. Το συµπέρασµα αυτό αναφέρθηκε και από τον Zabaras (1985) και υποστηρίχτηκε µε ετεροσυσχέτιση ορισµένων ταυτόχρονων µετρήσεων πάχους και διατµητικής τάσης τα αποτελέσµατα της οποίας, αν και αφορούν σε αποστάσεις αρκετά µεγαλύτερες από τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία, δείχνουν βελτίωση της συσχέτισης αυτών των ποσοτήτων µε αύξηση της απόστασης από την είσοδο της υγρής φάσης (8) ElSol_ (8) ElSol_(19) ElSol_(36) Re = (8) ElSol_ (8) ElSol_(19) ElSol_(36) Re =170 PSD 1.0 PSD f, Hz f, Hz (8) ElSol_ (8) ElSol_(19) ElSol_(36) Re = (8) ElSol_ (8) ElSol_(19) ElSol_(36) Re =230 PSD 1.0 PSD f, Hz f, Hz (8) ElSol_ (8) ElSol_(19) ElSol_(36) Re = (8) ElSol_ (8) ElSol_(19) ElSol_(36) Re =315 PSD 1.0 PSD f, Hz f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών της διατµητικής τάσης για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα (ElSol) για διάφορες τιµές Re και διάφορες θέσεις κατά µήκος της πλάκας.

134

135 5.2 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΙΦΑΣΙΚΗΣ ΑΝΤΙΡΡΟΗΣ - ΠΛΗΜΜΥΡΙΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται καταρχήν τα αποτελέσµατα του προσδιορισµού των κρίσιµων ταχυτήτων πληµµύρισης, τα οποία σε συνδυασµό µε τις οπτικές παρατηρήσεις της εξέλιξης της αντιρροής των δύο φάσεων αναµένεται να βοηθήσουν στη διερεύνηση του µηχανισµού της πληµµύρισης. Αυτά τα αποτελέσµατα καθορίζουν επίσης τις πειραµατικές συνθήκες (δηλαδή τις παροχές υγρής και αέριας φάσης) για την οριακή διατήρηση της αντιρροής, η οποία µελετάται περαιτέρω µε µετρήσεις του πάχους της υγρής στιβάδας και της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος και αποτελεί το κύριο αντικείµενο που πραγµατεύεται η παρούσα εργασία Οπτικές παρατηρήσεις Οι οπτικές παρατηρήσεις υποστηρίζονται, όπως και στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας, από ψηφιακή καταγραφή της ροής και αξιοποιούνται για την προκαταρκτική ποιοτική µελέτη της διαµόρφωσης της επιφάνειας της υγρής στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής αέρα, και κατ επέκταση τη διερεύνηση του µηχανισµού της πληµ- µύρισης. Κάθε πείραµα ξεκινά µε τροφοδοσία συγκεκριµένης σταθερής παροχής για την υγρή φάση στο σύστηµα στη συνέχεια αρχίζει η διοχέτευση του αέρα, του οποίου η παροχή αυξάνεται βαθµιαία και µε αργό ρυθµό µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης. Στην παρούσα εργασία η έναρξη της πληµµύρισης ορίζεται ως εκείνη η οριακή κατάσταση για την οποία η φορά της ροής ενός µικρού µέρους της υγρής στιβάδας αντιστρέφεται και µεταφέρεται (συµπαρασύρεται) από τη ροή του αέρα πάνω από το σηµείο εισόδου του υγρού, έστω µε τη µορφή σταγόνων (Hewitt, 1995). Θα πρέπει να υπογραµµισθεί ότι είναι δύσκολο να περιγραφεί µε ακρίβεια η διαµόρφωση της επιφάνειας της υγρής στιβάδας κατά την αντιρροή του αέρα µε τη βοήθεια κάποιων µεµονωµένων εικόνων (κι όχι µε το συνολικό βίντεο που έχει καταγραφεί). Εντούτοις, κρίνεται ότι οι παρακάτω φωτογραφίες που αφορούν στο διάλυµα βουτανόλης 2.5% παρέχουν βασική πληροφορία σχετικά µε την µεταβολή που υφίσταται το «πορτραίτο» της επιφάνειας της στιβάδας λόγω της επιβαλλόµενης ροής αέρα. Σηµειώνεται ότι οι γενικές οπτικές παρατηρήσεις σχετικά µε την εξέλιξη της αντιρροής και την έναρξη της πληµµύρισης δεν διαφοροποιούνται σηµαντικά για τα τρία υγρά που εξετάσθηκαν. Στο Σχήµα παρουσιάζονται τυπικές εικόνες της διαµόρφωσης της ροής για την περιοχή εισόδου του υγρού, για δύο διαφορετικές τιµές Re (Re = 130 και 225) και για διάφορες τιµές φαινοµενικής ταχύτητας αέρα U GS, στις οποίες περιλαµβάνεται

136 112 x 0 cm x 12 cm UGS = 4.3 m/s UGS=3.6 m/s UGS = 6.5 m/s UGS=5.4 m/s UGS = 8.6 m/s UGS=7.5 m/s (α) (β) Σχήµα Επίδραση της ταχύτητας του αέρα στη διαµόρφωση ροής της υγρής στιβάδας στην περιοχή εισόδου (x 0 έως 12 cm), για διάλυµα βουτανόλης 2.5%, για δύο τιµές Re: (α) Re=130 και (β) Re=225.

137 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 113 και η κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης. Σηµειώνεται ότι η αναδιαµόρφωση της επιφάνειας της υγρής στιβάδας -λόγω της αντιρροής του αέρα- εκδηλώνεται περισσότερο έ- ντονα σε αυτή την περιοχή της ροής, ακόµη και για τις χαµηλότερες ταχύτητες αέρα που εξετάσθηκαν στην παρούσα εργασία, σε σύγκριση µε εκείνη που παρατηρείται στο κατώτερο τµήµα του καναλιού (βλ. Σχ ). Η φαινοµενική ταχύτητα του αέρα που αντιστοιχεί σε µονοφασική ροή του εντός του καναλιού δίνεται από τη σχέση: U Q wb G GS = ( ) όπου Q G είναι η ογκοµετρική παροχή του αερίου (m 3 /s) και w, b είναι το πλάτος και το διάκενο του καναλιού αντίστοιχα. Για την περιοχή ροής που εξετάζεται πλησίον του σηµείου εισόδου του υγρού και για την περίπτωση χαµηλών ταχυτήτων αέρα U GS -αρκετά πριν από την έναρξη της πληµµύρισης- υπάρχει ένα µήκος εισόδου για το οποίο η επιφάνεια της στιβάδας είναι αδιατάρακτη χωρίς κυµατισµούς. Καθώς όµως αυξάνεται η απόσταση από την είσοδο του υγρού, µικρές διαταραχές -σχεδόν διδιάστατες- εµφανίζονται καταρχήν στην επιφάνεια της στιβάδας, οι οποίες εξελίσσονται στη συνέχεια σε µεγαλύτερες τρισδιάστατες δοµές που έχουν τη µορφή «δακρύων» (tear-drop humps). Η εικόνα αυτή είναι χαρακτηριστική και για την περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (βλ. Σχ ) και έχει παρατηρηθεί ξανά σε αυτό το Εργαστήριο (π.χ. Vlachos et al., 2001 Drosos et al., 2004), ενώ αναφέρεται και σε άλλες δηµοσιευµένες εργασίες (π.χ. Pierson & Whitaker, 1977 Chang, 1994). Η σταδιακή αύξηση ωστόσο της παροχής του αέρα οδηγεί σε µείωση του προαναφερόµενου µήκους εισόδου και αύξηση των διαταραχών επί της επιφάνειας της στιβάδας (βλ. Σχήµα ), ενώ και οι κυµατισµοί που ήδη υφίστανται, παύουν να είναι σχεδόν διδιάστατοι και αποκτούν τρισδιάστατη δοµή µε τη µορφή µικρών εξογκωµάτων (pebble-like waves). Επιπρόσθετα, και το υπόστρωµα µεταξύ των κυµάτων παύει να είναι λείο και αποκτά επίσης κυµατοειδή δοµή. Σηµειώνεται ότι τα µεγαλύτερα κύµατα φαίνεται να συνεχίζουν να κινούνται καθοδικά χωρίς ση- µαντική µεταβολή στην ταχύτητά τους ή το µήκος τους, ενώ µε προσεκτική παρατήρηση διακρίνονται ακόµη και τα µικρά «πρόδροµα» κύµατα (forerunner waves) που προηγούνται των µεγαλυτέρων κυµάτων. Αυτό σηµαίνει ότι για αρκετά µεγάλες ταχύτητες αέρα, πλησίον και πριν την έναρξη της πληµµύρισης, η επιφανειακή δοµή της στιβάδας στην περιοχή εισόδου οµοιάζει αρκετά µε αυτή που παρατηρείται στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας χαµηλά στο κανάλι (δηλαδή σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την είσοδο της υγρής τροφοδοσίας). Η επίδραση του Re στη δια-

138 114 µόρφωση της επιφάνειας της στιβάδας, κατά την αντιρροή µε αέρα, είναι αρκετά εύκολο να διακριθεί συγκρίνοντας τις αντίστοιχες εικόνες που ελήφθησαν για Re = 130 και 225. Όπως φαίνεται, σε µικρότερη παροχή υγρού (Re =130) τα σχεδόν διδιάστατα κύ- µατα φαίνεται να έχουν µεγαλύτερη οµοιοµορφία στην κατανοµή τους και να διατηρούν την αρχική (διδιάστατη) µορφή τους για µεγαλύτερες ταχύτητες αέρα (βλ. Σχήµα α). Παράλληλα, και το υπόστρωµα µεταξύ αυτών των κυµάτων για Re =130 παρουσιάζεται λιγότερο διαταραγµένο, σε σχέση µε την περισσότερο «ανάγλυφη» (µε µεγαλύτερη αταξία) επιφανειακή δοµή που παρατηρείται για την υγρή στιβάδα σε µεγαλύτερες τιµές Re. Θα πρέπει να υπογραµµισθεί ότι για την περιοχή τιµών Re και για τις ταχύτητες αέρα που εξετάζονται στην παρούσα εργασία (U GS <12m/s), σε καµία περίπτωση δεν παρατηρείται (µε γυµνό µάτι ή µε σχολαστική εξέταση των ψηφιακών καταγραφών) στην περιοχή εισόδου αποκοπή σταγόνων από τα κύµατα που αναπτύσσονται σε αυτή την περιοχή, ή αναστροφή τους πάνω από τη θέση εισόδου του υγρού. Μια τέτοια αναστροφή ροής είναι εφικτή µόνο αν η ταχύτητα του αέρα αυξηθεί σηµαντικά και λάβει τιµές αρκετά µεγαλύτερες από αυτές που αντιστοιχούν στην έναρξη της πληµµύρισης (U GS >15m/s), οπότε στην περίπτωση αυτή παρατηρείται να συµβαίνει συνολική αναστροφή της ροής του υγρού, δηλαδή συµπαρασυρµός από την αντιρροή αέρα του συνόλου σχεδόν της υγρής φάσης, ακόµη κι από το κατώτερο τµήµα του καναλιού, προς τα πάνω. Στην παρούσα εργασία η έναρξη της πληµµύρισης (incipient flooding) εντοπίζεται κυρίως στο κάτω τµήµα του καναλιού και ιδιαίτερα πλησίον του σηµείου εξόδου του υγρού, όπως φαίνεται και στο Σχήµα , όπου απεικονίζεται η επίδραση του αέρα στην επιφανειακή διαµόρφωση της στιβάδας µεταξύ των θέσεων x=22cm και x=32cm, για Re =260. Όπως δείχνουν οι εικόνες, για χαµηλές παροχές αέρα η δοµή των κυµάτων σε αυτή την περιοχή ροής δεν διαφοροποιείται σηµαντικά λόγω της αντιρροής του αέρα, αλλά είναι ποιοτικά όµοια µε εκείνη που αντιστοιχεί στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (βλ. Σχ ). Ανάλογη παρατήρηση αναφέρουν και οι Mouza et al. (2002) για τη διαµόρφωση της ροής σε σχετικά µεγάλες αποστάσεις από την είσοδο του υγρού, για την περίπτωση αντιρροής υγρού-αέρα σε αγωγούς µικρής διαµέτρου. Ωστόσο, στην παρούσα εργασία η επίδραση του αέρα -στην περίπτωση των χαµηλών ταχυτήτων αέρα- φαίνεται ότι εκδηλώνεται κυρίως στη διαµόρφωση του υποστρώµατος, η διαταραχή του οποίου αυξάνεται µε αύξηση της παροχής του αέρα. Για συνθήκες πλησίον της έναρξης της πληµµύρισης ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η δοµή που διακρίνεται χαµηλά στο κανάλι (βλ. Σχ β) για αρκετά µε-

139 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 115 x 22cm x 32cm U GS = 0m/s U GS = 7.5m/s (t = t ms) U GS = 3.2m/s U GS = 7.5m/s (t = t +122 ms) U GS =5.4m/s U GS = 7.5m/s (t = t +188 ms) (α) U GS =6.5m/s U GS = 7.5m/s (t = t +328 ms) (β) Σχήµα ιαµόρφωση της ροής για διάλυµα βουτανόλης 2.5% στο κάτω τµήµα του καναλιού για Re =260: (α) διαµόρφωση της επιφάνειας για διάφορες ταχύτητες αέρα, (β) ανάπτυξη και διάσπαση ενός «συνεκτικού» κύµατος (στάδια έναρξης της πληµµύρισης).

140 116 γάλη ταχύτητα αέρα (U GS =7.5m/s - t=0ms) και αντιστοιχεί σε ένα «συνεκτικό» κύµα το οποίο σχηµατίζεται λόγω της έντονης αλληλεπίδρασης υγρού-αέρα σε αυτή την περιοχή ροής. Ένα τέτοιο κύµα, όταν αναπτύσσεται, τείνει να ακολουθήσει ανοδική ροή µέχρι κάποιο σηµείο, για µια σχετικά µικρή απόσταση (<10cm) από τη θέση στην οποία σχη- µατίστηκε αρχικά. Ωστόσο, λόγω και του µεγάλου πλάτους του καναλιού δεν µπορεί να διατηρηθεί ενιαίο σε ανοδική κίνηση, αλλά διασπάται υπό την επίδραση του αέρα µε εκτεταµένη δηµιουργία σταγόνων, ένα µικρό µέρος των οποίων µεταφέρεται πάνω από την είσοδο της τροφοδοσίας. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι σε αυτόν τον τύπο αναστροφής της ροής του υγρού (µε τη µορφή σταγόνων που συµπαρασύρονται από τη ροή του αερίου), ο οποίος είναι ο κύριος µηχανισµός έναρξης της πληµµύρισης για τιµές Re <250, το µεγαλύτερο µέρος του υγρού που εµπεριέχεται σε αυτό το κύµα, αναγκάζεται σε πλευρική κίνηση και γενικότερη διασπορά του στην κατερχόµενη υγρή στιβάδα, οπότε οδηγείται σε καθοδική ροή µέχρι το φαινόµενο να επαναληφθεί. Ο σχηµατισµός και η ανάπτυξη ενός τέτοιου «ασταθούς» κύµατος αναφέρεται ε- πίσης και από άλλους ερευνητές (π.χ. Zabaras, 1985 acy & Dukler, 1994 Vijayan et al., 2001), για την περίπτωση µεγάλων αριθµών Re (Re >1000) και κυκλικούς αγωγούς σχετικά µεγάλης διαµέτρου (D>20mm). Συγκεκριµένα παρατηρήθηκε ότι ένα τέτοιο «συνεκτικό» κύµα κατανεµηµένο οµοιόµορφα στην κυκλική περιφέρεια δεν µπορεί να µεταφερθεί µέχρι πάνω όπως έχει υποστηριχθεί στη βιβλιογραφία (π.χ. Hewitt, 1995), αλλά ακόµη κι όταν σχηµατίζεται είναι αρκετά ασταθές και τελικά διασπάται. Ανάλογη αναφορά γίνεται και από τoυς Biage et al. (1989), για την περίπτωση αντιρροής υγρούαέρα εντός ορθογωνικού καναλιού µε σχετικά µεγάλο διάκενο (25mm), οι οποίοι διαπίστωσαν ότι τα κύµατα που προκύπτουν υπό την επίδραση του αέρα όχι µόνο δεν είναι ποτέ αρκετά µεγάλα ώστε να φράξουν τη διατοµή, αλλά και όταν αυτά σχηµατίζονται διασπώνται σχεδόν αµέσως και τελικά παρασύρονται ξανά σε καθοδική ροή από την υγρή στιβάδα. Ωστόσο, είναι αξιοσηµείωτο να αναφερθεί ότι οι Mouza et al. (2002) παρατήρησαν ότι στην περίπτωση αγωγών µικρής διαµέτρου, διευκολύνεται η ανάπτυξη τέτοιων (περιφερειακών) «συνεκτικών» κυµάτων τα οποία υπό την επίδραση του αέρα διογκώνονται περαιτέρω και τελικά µεταφέρονται ανοδικά, πάνω από το σηµείο εισόδου του υγρού, κατά την έναρξη της πληµµύρισης χωρίς να διασπώνται. Στην περίπτωση αυτή, η πληµµύριση λαµβάνει χώρα σε µικρότερες ταχύτητες αέρα συγκριτικά µε εκείνες που παρατηρούνται στην περίπτωση των αγωγών µεγαλύτερης διαµέτρου και µε αυτές της παρούσας εργασίας.

141 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 117 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποκτά η παρατήρηση της εξέλιξης της αντιρροής στο χώρο µεταξύ των δύο παραλλήλων πλακών, και ειδικότερα στο κάτω τµήµα του καναλιού όπου λαµβάνει χώρα η ανάπτυξη του προαναφερόµενου «συνεκτικού» κύµατος και η έναρξη της πληµµύρισης. Η «πλευρική» καταγραφή της ροής µε τον τρόπο που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 3 (βλ. Σχήµα ) παρέχει τη δυνατότητα µιας τέτοιας παρατήρησης, αρκεί οι λήψεις να πραγµατοποιηθούν πολύ κοντά (λόγω των χαµηλών τιµών Re που εξετάζονται στην παρούσα εργασία και άρα του µικρού πάχους της στιβάδας) µε εστίαση της κάµερας εντός του καναλιού (zoom-in), ώστε να γίνει διακριτή τόσο η διόγκωση των κυµάτων, όσο και η αποκοπή σταγόνων από αυτά. Στα Σχήµατα και απεικονίζεται η µορφή ροής της υγρής στιβάδας µε λήψη από την πλευρά του διακένου (διακρίνεται καθαρά και το ηλεκτρόδιο µέτρησης του πάχους), στο κάτω τµήµα του καναλιού και παρουσιάζονται οι δύο κύριοι µηχανισµοί πληµµύρισης που συναντώνται στην παρούσα εργασία. Πιο συγκεκριµένα x 32cm x 34cm U GS =0 m/s U GS =4.7m/s U GS =6.5m/s U GS =6.8m/s U GS =7.5m/s U GS = 7.9m/s Σχήµα Πλευρική καταγραφή της επίδρασης της αντιρροής αέρα στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας για διάλυµα βουτανόλης 2.5% στο κάτω τµήµα του καναλιού (µεταξύ των θέσεων x=32 και x=34cm) για Re =185 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS. Η λευκή διακεκοµένη γραµµή αντιστοιχεί κατά προσέγγιση στο τοίχωµα του καναλιού.

142 118 για τιµές Re <250 (βλ. Σχήµα ) µπορεί κανείς να διακρίνει την αύξηση του ύ- ψους των κυµάτων µε την ταχύτητα του αέρα και την αποκοπή σταγόνων από την επιφάνειά τους, οι οποίες µε την επίδραση του αέρα µεταφέρονται πάνω από την είσοδο του υγρού. Υπενθυµίζεται ότι τέτοια µεγάλα κύµατα, από τα οποία είναι δυνατόν να αποκοπούν σταγόνες, παρατηρούνται µόνο στο κάτω τµήµα του καναλιού. Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι ανάλογη αποκοπή σταγόνων µπορεί να υφίσταται ακόµη και για χαµηλότερες παροχές αέρα αλλά στην περίπτωση αυτή, οι σταγόνες δεν µπορούν να διατηρηθούν σε ανοδική κίνηση πάνω από την είσοδο του υγρού. Με αύξηση όµως της παροχής του αέρα, η ροή των σταγόνων αυξάνεται έτσι ώστε να παρατηρείται µια µικρή έστω ροή υγρού πάνω από την είσοδο, χωρίς όµως να λαµβάνει χώρα και αναστροφή ροής των κυµάτων. Ο µηχανισµός αυτός αναφέρεται συχνά στη βιβλιογραφία για αγωγούς (ή γενικότερα κανάλια) µεγάλης διαµέτρου (π.χ. ee & Bankoff, 1984 Biage, 1989 Vijayan et al., 2001). Ενδιαφέρον ωστόσο παρουσιάζει και η περίπτωση της µερικής απόφραξης του καναλιού η οποία λαµβάνει χώρα για Re >250 και παρατηρείται κυρίως στο κάτω τµή- µα του καναλιού, πολύ κοντά στην έξοδο του υγρού. Στην αλληλουχία των εικόνων που παρατίθενται στο Σχήµα , απεικονίζονται τα στάδια που οδηγούν στην µερική απόφραξη του καναλιού. Όπως φαίνεται και στις εικόνες, τα κύµατα που έχουν ήδη α- ναπτυχθεί στην επιφάνεια της ελευθέρως ρέουσας υγρής στιβάδας (U GS =0) µεγαλώνουν σταδιακά (αυξάνεται το ύψος τους), παράλληλα µε το πάχος του υποστρώµατος, καθώς αυξάνεται η παροχή του αέρα. Κάποια από τα κύµατα αυτά -τα οποία είναι παρόµοια µε τα προαναφερθέντα «συνεκτικά» κύµατα- για συγκεκριµένη ταχύτητα αέρα (χρονική στιγµή t=0ms) καθίστανται αρκετά ασταθή µε αποτέλεσµα τη σηµαντική αύξηση του ύψους τους που συµβαίνει ταχύτατα (πριν τη διάσπασή τους) και έχει ως αποτέλεσµα την µερική απόφραξη του καναλιού (t=16 ms). Το υγρό που εµπεριέχεται σε αυτά τα κύµατα συνεχίζει να µεταφέρεται υπό την επίδραση του αερίου προς τα πάνω ως µια µάζα (slug flow) καταρχήν, για σχετικά µικρό µήκος (<10cm) πάνω από τη θέση όπου εµφανίζεται αρχικά η απόφραξη του καναλιού, µέχρι που η ροή του αέρα «διαπερνά» αυτή τη µάζα οδηγώντας σε διάσπασή της. Τότε, το µεγαλύτερο µέρος του υγρού µεταφέρεται τελικά, υπό τη µορφή σταγόνων, πάνω από το σηµείο εισόδου του. Στη συνέχεια, αποκαθίσταται προς στιγµή η κανονική ροή του υγρού µέχρι να επαναληφθεί η προηγούµενη διαδικασία. Σηµειώνεται ότι οι Vlachos et al. (2001) που πραγµατοποίησαν πειράµατα σε παρόµοιο κανάλι αναφέρουν επίσης σαν αποκλειστικό µηχανισµό πληµµύρισης για Re >400 την απόφραξη του καναλιού, ενώ για την περιοχή τιµών Re

143 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 119 x 32cm x 32cm x 34cm x 34cm U GS =0m/s U GS =7.5m/s (t=0 ms) U GS =7.5 m/s (t=4ms) U GS =4.3m/s U GS = 7.5 m/s (t=8 ms) U GS = 7.5 m/s (t=12ms) U GS =6.5m/s U GS = 7.5 m/s (t=24 ms) U GS = 7.5 m/s (t=32ms) (α) U GS =6.8m/s (β) U GS = 7.5 m/s (t=40 ms) U GS = 7.5 m/s (t=44ms) Σχήµα (α) Πλευρική καταγραφή της επίδρασης της αντιρροής αέρα στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας για διάλυµα βουτανόλης 2.5% στο κάτω τµήµα του καναλιού (µεταξύ των θέσεων x=32 και x=34cm) για Re =280 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS. (β) Στάδια απόφραξης της διατοµής και έναρξη της πληµµύρισης (για U GS = 7.52m/s ).

144 120 µεταξύ 200 και 400 την αναστροφή της ροής µεµονωµένων «συνεκτικών» κυµάτων, όπως αυτών που παρατηρήθηκαν στην παρούσα εργασία. Συνοπτικά, δύο διαφορετικοί µηχανισµοί εξαρτώµενοι από την περιοχή τιµών Re, φαίνεται να σχετίζονται µε την έναρξη της πληµµύρισης στην περίπτωση των χα- µηλών τιµών Re (Re <250) λαµβάνει χώρα διάσπαση και αποκοπή σταγόνων από µε- µονωµένα κύµατα, ενώ για µεγαλύτερες τιµές Re (Re >250) ο µηχανισµός της πληµ- µύρισης περιλαµβάνει ταυτόχρονη µερική απόφραξη της διατοµής µέσω µεγάλων συνεκτικών κυµάτων από τις απέναντι πλευρές του καναλιού. Ωστόσο, είναι σηµαντικό να αναφερθεί ότι για όλες τις τιµές Re που εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία το υγρό φαίνεται να µεταφέρεται πάνω από το σηµείο εισόδου του µε τη µορφή σταγόνων που συµπαρασύρονται από τη ροή του αέρα Κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης - Προτεινόµενες συσχετίσεις Η εκτίµηση της έναρξης της πληµµύρισης έγινε µε οπτικές παρατηρήσεις και θεωρείται ότι λαµβάνει χώρα κατά την πρώτη αναστροφή της ροής του υγρού που -για την παρούσα εργασία- συµπίπτει µε εκτίναξη των πρώτων σταγόνων υγρού πάνω από το σηµείο εισόδου της τροφοδοσίας του. Αυτό σηµαίνει ότι κατά την έναρξη της πληµµύρισης µπορεί να θεωρηθεί ότι η παροχή της υγρής φάσης στην έξοδο του καναλιού συνεχίζει να είναι σχεδόν η ίδια µε την παροχή της τροφοδοσίας (παρά το γεγονός ότι ένα πολύ µικρό µέρος του υγρού µεταφέρεται ανοδικά µε τη µορφή σταγόνων). Στο Σχήµα παρουσιάζεται η φαινοµενική ταχύτητα του αέρα U GS, που προκαλεί την έναρξη της πληµµύρισης ως προς τον αντίστοιχο αριθµό Re του υγρού, για το νερό και τα υδατικά διαλύµατα 1.5% και 2.5% βουτανόλης. ιακρίνονται τρεις κύριες περιοχές για κάθε υγρό που χρησιµοποιήθηκε: Περιοχή Α. Σε αυτή την περιοχή, που αντιστοιχεί στις χαµηλότερες τιµές Re που εξετάσθηκαν, η κρίσιµη ταχύτητα του αερίου παρουσιάζει σηµαντική εξάρτηση από την τιµή του Re, κάτι που αναµένεται δεδοµένου ότι η αλληλεπίδραση µεταξύ των δύο φάσεων εκδηλώνεται τόσο πιο έντονα όσο περισσότερο αυξάνεται η παροχή του υγρού αυτή η τάση είναι η συνήθως αναφερόµενη στη βιβλιογραφία για την ταχύτητα πληµµύρισης (π.χ. Bankoff & ee, 1986 Hewitt, 1995). Περιοχή Β. Με περαιτέρω αύξηση της παροχής του υγρού, στην περιοχή τιµών Re µεταξύ περίπου 150 και 250, η ταχύτητα πληµµύρισης φαίνεται ότι έχει πολύ ασθενή εξάρτηση από τον Re. Τα χαρακτηριστικά των κυµάτων της ελευθέρως

145 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής ΠΕΡΙΟΧΗ A ΠΕΡΙΟΧΗ Β ΠΕΡΙΟΧΗ Γ U GS, m/s 9 6 Water 1.5% Butanol 2.5% Butanol Re Σχήµα Εξάρτηση της κρίσιµης ταχύτητας πληµµύρισης του αέρα U GS από τον αριθµό Re της υγρής φάσης, για το νερό και τα υδατικά διαλύµατα βουτανόλης 1.5 και 2.5%. ρέουσας στιβάδας (που έχουν προαναφερθεί) είναι δυνατόν να αξιοποιηθούν για µια ποιοτική ερµηνεία αυτής της τάσης, η οποία έχει αναλογίες µε εκείνη που παρατηρήθηκε -για την ίδια περιοχή τιµών Re - για το µέσο ύψος των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h mean, το οποίο για Re >150 τείνει σε σχεδόν σταθερή τι- µή, ανεξάρτητη της παροχής του υγρού (βλ. Σχ ). Περιοχή Γ. Σε µεγαλύτερες τιµές Re (>250) η κρίσιµη ταχύτητα του αέρα φαίνεται να εξαρτάται και πάλι εντονότερα από την παροχή του υγρού (έστω σε όχι τόσο µεγάλο βαθµό όπως στην περίπτωση των τιµών Re <150). Η εξάρτηση αυτή µπορεί να ερµηνευτεί ποιοτικά µε βάση τις οπτικές παρατηρήσεις που αφορούν στη ροή της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας και την υδροδυναµική ανάλυση ευστάθειας που προηγήθηκε (βλ. Κεφ ), σύµφωνα µε την οποία η ροή ενός υ- γρού γίνεται περισσότερο ασταθής µε αυξανόµενο αριθµό Re. Σε µια τέτοια περίπτωση µπορεί να υποτεθεί ότι διευκολύνεται και η έναρξη της πληµµύρισης. Η διαπίστωση αυτή είναι συνεπής µε τον παρατηρούµενο κύριο µηχανισµό έναρξης της πληµµύρισης για τιµές Re >250, ο οποίος περιλαµβάνει ταχύτατη διόγκωση των κυµάτων και µερική απόφραξη του καναλιού. Επιπλέον, τα πειραµατικά δεδοµένα για την ελευθέρως ρέουσα στιβάδα δείχνουν ότι το µέσο πάχος στιβάδας συνεχίζει να αυξάνεται µε τον Re σε αυτή την περιοχή τιµών (βλ. Σχ ), έστω κι αν το µέσο ύψος h mean τείνει να αποκτήσει µια περίπου σταθερή τιµή.

146 122 Έτσι, αναµένεται να διευκολύνεται η έναρξη της πληµµύρισης σε µικρότερες ταχύτητες αέρα, για Re >250, δεδοµένου ότι µειώνεται σηµαντικά η διαθέσιµη διατοµή για τη ροή του αέρα. Στο Σχήµα είναι επίσης εµφανής η σηµαντική επίδραση της επιφανειακής τάσης στην έναρξη της πληµµύρισης, δεδοµένου ότι τα διαλύµατα βουτανόλης εµφανίζουν χαµηλότερες τιµές ταχύτητας πληµµύρισης σε σχέση µε το νερό. Αυτή η τάση α- ναφέρεται και σε άλλες εργασίες (π.χ. Bankoff & ee, 1986 Zapke & Kroger, 2000) και µπορεί να αποδοθεί στη µικρότερη επιφανειακή τάση των διαλυµάτων βουτανόλης, η οποία συνδέεται µε αυξηµένη αστάθεια στη ροή του υγρού όπως αναφέρεται στη βιβλιογραφία (π.χ. Alekseenko et al.,1994 Chang, 1994) και έχει ήδη σχολιαστεί σε προηγούµενη ενότητα για την ελευθέρως ρέουσα στιβάδα. Η επίδραση της επιφανειακής τάσης στην ανάπτυξη και την περαιτέρω διόγκωση (ενίσχυση) των κυµάτων µέχρι την κρίσιµη κατάσταση της πληµµύρισης γίνεται επίσης φανερή και µέσω των Σχηµάτων και που παρατίθενται στο Κεφάλαιο Στο Σχήµα γίνεται σύγκριση των νέων πειραµατικών δεδοµένων για την περίπτωση του νερού, µε αντίστοιχα δεδοµένα που αναφέρονται στη βιβλιογραφία και αφορούν σε αντιρροή εντός ορθογωνικών καναλιών, για την ίδια περιοχή τιµών U * µε τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία. Υπογραµµίζεται ότι για τα νέα δεδοµένα χρησιµοποιήθηκε ως χαρακτηριστικό µήκος η τιµή του διακένου b µεταξύ των πλακών, ενώ ανάλογη αναγωγή έγινε και για τα βιβλιογραφικά δεδοµένα που παρουσιάζονται, προκειµένου να διευκολυνθεί η σύγκριση που ακολουθεί. Η εργασία του Mishima (1984), ο οποίος µελέτησε την πληµµύριση σε ορθογωνικά κανάλια µε πλάτος 40mm και διάφορα διάκενα για την περίπτωση αντιρροής νερού-ατµού, αναφέρεται από τους Osakabe & Kawasaki (1989). Τα δεδοµένα του Mishima (1984) που παρουσιάζονται στο Σχήµα αντιστοιχούν στο κανάλι µε το µεγαλύτερο διάκενο (5mm) που χρησιµοποιήθηκε στην εργασία του. Υπενθυµίζεται ότι η µελέτη των Osakabe & Kawasaki (1989) ε- στιάστηκε στην «πληµµύριση κορυφής» και σε αυτή παρουσιάζονται πειραµατικά δεδοµένα για τιµές U * µεγαλύτερες (U * >0.7) από τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία. Ιδιαίτερα αξιοσηµείωτο είναι ότι όλα τα παραπάνω δεδοµένα που αφορούν σε στενά κανάλια ορθογωνικής διατοµής (αυτά της παρούσας εργασίας και εκείνα της βιβλιογραφίας) δείχνουν ότι, για την περίπτωση των πολύ µικρών παροχών υγρού, µε µείωση της ταχύτητας U η κρίσιµη ταχύτητα του αέρα φαίνεται να αυξάνεται αρκετά απότοµα. Αυτή η τάση διαφοροποιείται από εκείνη που παρατηρείται συνήθως στους κυλινδρικούς αγωγούς σε σχετικά µεγάλους Re (>500), για τους οποίους η αντίστοιχη εξάρτη-

147 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής Eξ. ( ) Sudo et al. (1991) Zapke & Kroger (2000) Water b=5.3 b=12.3 b=5.3 b=12.3 Mishima, 1984 (Water) 5 mm 10 mm w=33 mm w=66 mm Sudo et al., 1991 (Water) Vlachos et al., 2001 (Water) (U G * ) K K K (U * ) 0.5 Σχήµα Σύγκριση των νέων δεδοµένων πληµµύρισης για το νερό µε βιβλιογραφικά δεδοµένα (για κανάλια ορθογωνικής διατοµής) και µε προτεινόµενους εµπειρικούς συσχετισµούς. ση των ταχυτήτων πληµµύρισης είναι γραµµική (π.χ. Bankoff & ee, 1986 Hewitt, 1995). Είναι γνωστό άλλωστε ότι η «εξίσωση Wallis» προβλέπει επίσης γραµµική συσχέτιση µεταξύ των αδιάστατων ταχυτήτων U * και U * G. Οι Sudo et al. (1991) παρατήρησαν ότι η προαναφερόµενη απότοµη αύξηση της κρίσιµης ταχύτητας του αέρα, είναι τόσο περισσότερο έντονη όσο µειώνεται ο λόγος του πλάτους προς το διάκενο του καναλιού, w/b. Στην ίδια εργασία αναφέρεται επίσης ότι αυτή η τάση εκδηλώνεται πιθανότατα επειδή η γεωµετρία του καναλιού είναι τέτοια που επιτρέπει στην υγρή στιβάδα να συνεχίζει να ρέει καθοδικά κατά µήκος του καναλιού (έστω όχι οµοιόµορφα κατανεµηµένη), στην περιοχή όπου εντοπίζεται η έναρξη της πληµµύρισης, ακόµη και σε υψηλές παροχές αέρα.

148 124 Έτσι, µε βάση τα πειραµατικά τους δεδοµένα, οι Sudo et al. (1991) συνιστούν ότι η χρήση ενός συσχετισµού όµοιου µε την «εξίσωση Wallis» για την πρόβλεψη των ταχυτήτων πληµµύρισης σε στενά κανάλια ορθογωνικής διατοµής, ενδείκνυται µόνο για την περίπτωση των σχετικά υψηλών παροχών υγρού για τις οποίες υπάρχει γραµµική συσχέτιση µεταξύ των * U και * U G. Μια τέτοια συσχέτιση για τα νέα δεδοµένα του νερού, για την περίπτωση των µεγαλύτερων παροχών υγρού που εξετάστηκαν, περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση (η οποία σηµειώνεται ως Καµπύλη Κ 1 στο Σχή- µα ): U U = ( ) * * G Οι τιµές των σταθερών C 1 (=0.708) και C 2 (=1.136) είναι µεν διαφορετικές από τις προταθείσες στη βιβλιογραφία (π.χ. Hewitt, 1995), αλλά σε συµφωνία µε την τάση που αναφέρεται από τους Sudo et al. (1991) για τα πειραµατικά τους δεδοµένα, τα ο- ποία δείχνουν ότι η τιµή της C 1 αυξάνεται µε αύξηση και των δύο τιµών του πλάτους και του διακένου του καναλιού, ενώ η τιµή της C 2 αυξάνεται µε το πλάτος και τείνει να είναι ανεξάρτητη του διακένου. Στο Σχήµα παρουσιάζεται επίσης ένας ακόµη εµπειρικός συσχετισµός ανάλογος µε την «εξίσωση Wallis» (σηµειώνεται ως Καµπύλη Κ 2 ) για την εκτίµηση των ταχυτήτων πληµµύρισης της παρούσας εργασίας. Σε αυτόν, οι τιµές των σταθερών C 1 και C 2 προσδιορίζονται µε βάση τις ακόλουθες εµπειρικές εξισώσεις (οι οποίες είναι ισοδύναµες των Εξ Εξ ) που διατυπώθηκαν από τους Sudo et al. (1991) για τη συσχέτιση των πειραµατικών τους δεδοµένων, που αφορούν σε ορθογωνικά κανάλια διαφόρων διαστάσεων: C *1.3 = + Bo ( ) C b = w 0.25 ( ) Η εµπειρική συσχέτιση που προτάθηκε από τους Zapke & Kroeger (2000), περιλαµβάνεται επίσης στο Σχήµα (σηµειώνεται ως Καµπύλη Κ 3 ) µε τη µορφή όµως των αδιάστατων ταχυτήτων U * * και U G των δύο φάσεων -για τη διευκόλυνση της σύγκρισης που επιχειρείται- αντί των αριθµών Froude (βλ. Εξ ): U * G 742 = ( ) U Oh * 0.15

149 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 125 Σε αυτή τη συσχέτιση, για τον υπολογισµό του αριθµού Ohnesorge χρησιµοποιήθηκαν οι ιδιότητες του νερού, ώστε να υπάρχει συνέπεια µε τα υπόλοιπα δεδοµένα. Από τη σύγκριση των νέων πειραµατικών δεδοµένων µε τους εµπειρικούς συσχετισµούς που παρατίθενται παρατηρείται σηµαντική απόκλιση, κάτι που µπορεί να αποδοθεί στο ότι η συσχέτιση των Sudo et al. (1991) βασίστηκε σε πειραµατικά δεδοµένα που αφορούν «πληµµύριση κορυφής» σε ορθογωνικά κανάλια µικρότερου διακένου συγκριτικά µε αυτό που χρησιµοποιήθηκε στην παρούσα εργασία. Επιπροσθέτως, στην εργασία των Sudo et al. (1991) χρησιµοποιήθηκαν κυρίως µεγαλύτερες παροχές υγρού (Re >200), οι οποίες κατά συνέπεια αντιστοιχούν σε µεγαλύτερες τιµές U *1/2 (>0.25) σε σχέση µε τα νέα δεδοµένα. Κατά τρόπο ανάλογο, ο συσχετισµός που προτάθηκε από τους Zapke & Kroeger (2000), βασίστηκε επίσης σε πειραµατικά δεδοµένα πληµµύρισης που ελήφθησαν σε µεγαλύτερες τιµές Re (>400), έστω κι αν οι διαστάσεις των καναλιών που χρησιµοποιήθηκαν στη µελέτη τους είναι συγκρίσιµες µε αυτές της παρούσας εργασίας. Στο Σχήµα α τα νέα πειραµατικά δεδοµένα για την περίπτωση του νερού συγκρίνονται ικανοποιητικά µε τα αναλυτικά αποτελέσµατα που προέκυψαν από τη θεωρητική µελέτη των Cetinbudaklar & Jameson (1969) για το διφασικό σύστηµα νερόαέρας, για δύο διαφορετικές τιµές του διεπιφανειακού συντελεστή τριβής f i (05 και 07). Παρουσιάζονται επίσης και ορισµένα άλλα βιβλιογραφικά δεδοµένα για την περίπτωση αντιρροής εντός αγωγών σχετικά µεγάλης διαµέτρου (D>20mm) που παρατίθενται από αυτούς τους ερευνητές. Σηµειώνεται ότι στα πλαίσια της σύγκρισης που επιχειρείται, η ταχύτητα U G,mean έχει υπολογιστεί ως ποσοστό (80%) της φαινοµενικής ταχύτητας αέρα, U GS, όπως προτείνεται από τους Cetinbudaklar & Jameson (1969). Οι ίδιοι ερευνητές παρουσίασαν επίσης αναλυτικά αποτελέσµατα για την κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης του αέρα και ορισµένη τιµή του συντελεστή τριβής f i (=05) για την περίπτωση διφασικών συστηµάτων όπου η υγρή φάση έχει σταθερό ιξώδες και πυκνότητα. Στο Σχήµα β παρατίθενται τα αποτελέσµατα αυτά ως συνάρτηση του α- ριθµού Kapitsa, Κα, για την περίπτωση που η πυκνότητα και το ιξώδες της υγρής φάσης είναι 1Kg/m 3 και 1mPa.s, αντίστοιχα, ενώ παρουσιάζονται και τα δεδοµένα πληµµύρισης για τις τρεις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν. Το γενικό συµπέρασµα αφορά στη συµφωνία που παρατηρείται µεταξύ της τάσης των νέων δεδοµένων και εκείνης των αποτελεσµάτων των Cetinbudaklar & Jameson (1969) η οποία υποδεικνύει µείωση των ταχυτήτων πληµµύρισης µε µείωση του Ka (στην προκειµένη περίπτωση όπου οι άλλες ιδιότητες διατηρούνται σταθερές, µε µείωση της επιφανειακής τάσης σ).

150 126 U G,mean, m/s Water Wallis, 1961 Stainthorpe & Batt, f =05 i Cetinbudaklar & Jameson, 1969 f =07 i (α) Re U G,mean, m/s Water (Ka=3500) 1.5%Butanol (Ka=2240) 2.5%Butanol (Ka=1600) Ka=3360 Ka=1600 Cetinbudaklar & Jameson, 1969 (β) Re Σχήµα (α) Σύγκριση των νέων δεδοµένων πληµµύρισης για το νερό µε το µοντέλο των Cetinbudaklar & Jameson (1969), για δύο τιµές του συντελεστή τριβής f i και διάφορα δεδοµένα που αναφέρονται από αυτούς τους ερευνητές για την ίδια περιοχή τιµών Re µε τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία. (β) Σύγκριση των νέων δεδοµένων πληµµύρισης για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησι- µοποιήθηκαν, µε τις προβλέψεις του µοντέλου των Cetinbudaklar & Jameson (1969) σχετικά µε την εξάρτηση της κρίσιµης ταχύτητας αέρα από τον αριθµό Ka.

151 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 127 Στο Σχήµα προτείνεται ένας συσχετισµός, ο οποίος βασίζεται στους αριθ- µούς Froude, Fr S, και Kapitza, Ka, της υγρής φάσης και τον αριθµό Froude της αέριας φάσης, Fr GS. Παρατηρείται ότι η συσχέτιση που επιχειρείται είναι αρκετά ικανοποιητική και τα δεδοµένα πληµµύρισης µπορούν να περιγραφούν από την Καµπύλη Κ 4 που αντιστοιχεί σε εξίσωση της µορφής: Fr = c Ka Fr, (c fl : σταθερά) ( ) GS fl S όπου η σταθερά c fl =138. Είναι σηµαντικό να αναφερθεί ότι από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης του αέρα είναι ανάλογη της τιµής του Ka 0.2 (Fr GS ~U 2 GS ), κάτι που είναι σε συµφωνία µε τα αποτελέσµατα της µελέτης των Cetinbudaklar & Jameson (1969) για υγρά µε χαµηλό ιξώδες. Σηµειώνεται επίσης ότι η βιβλιογραφική ανασκόπηση έδειξε ότι δεν υπάρχουν επαρκή πειραµατικά δεδοµένα πληµµύρισης σε στενά κανάλια για την περίπτωση υγρών φάσεων διαφορετικών από το νερό (τα οποία όµως να αντιστοιχούν σε τιµές U * συγκρίσιµες µε αυτές της παρούσας εργασίας), ώστε να παρατεθούν για σύγκρισή τους µε τα νέα δεδοµένα. 8 Fr G /Ka Water 1.5% Butanol 2.5% Butanol Εξ. ( ) K Fr Σχήµα Συσχέτιση της τιµής της αδιάστατης ποσότητας Fr GS / Ka 0.4 που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης, µε τον αριθµό Froude της υγρής φάσης, Fr S, για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν.

152 Πάχος υγρής στιβάδας σε αντιρροή Γενικές παρατηρήσεις Το πάχος της υγρής στιβάδας µετρήθηκε µε την αγωγιµοµετρική τεχνική για διάφορες παροχές της υγρής φάσης (Re ) και διάφορες ταχύτητες αέρα, U GS, συµπεριλαµβανοµένης εκείνης που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης. Η µελέτη της µεταβολής του πάχους επικεντρώθηκε στο κάτω τµήµα του καναλιού, στις θέσεις x=19 cm και x=36 cm, στην περιοχή ροής δηλαδή όπου λαµβάνει χώρα η έναρξη της πληµµύρισης. Τυπικές απεικονίσεις της µεταβολής του τοπικού πάχους στιβάδας µε το χρόνο, για το νερό και το διάλυµα βουτανόλης 2.5%, παρουσιάζονται στα Σχήµατα και , τα οποία παρέχουν σηµαντική πληροφορία σχετικά µε τη διαµόρφωση της ροής της υγρής στιβάδας ανάλογα µε την παροχή του αέρα. Πιο συγκεκριµένα: Σε χαµηλές ταχύτητες αέρα, η επιφανειακή δοµή της υγρής στιβάδας είναι σχεδόν όµοια (ειδικά στην ενδιάµεση θέση x=19cm) µε εκείνη που παρατηρείται στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (βλ. Σχήµα ). Έτσι φαίνεται ότι στη θέση x=19cm αναπτύσσονται κύµατα µικρού ύψους και σχετικά µεγάλης συχνότητας τα οποία κινούνται πάνω σε ένα σχεδόν αδιατάρακτο υπόστρωµα, σε αντίθεση µε τα µεγαλύτερα κύµατα µικρότερης συχνότητας που υφίστανται σε µεγαλύτερη απόσταση από την είσοδο του υγρού (x=36cm). Σε µεγαλύτερες ταχύτητες αέρα και ειδικότερα όσο προσεγγίζεται η έναρξη της πληµµύρισης, η δοµή της στιβάδας δε φαίνεται να διαφέρει σηµαντικά µεταξύ των θέσεων x=19cm και x=36cm (ιδιαίτερα για τις µεγαλύτερες τιµές Re που εξετάστηκαν). Και στις δύο θέσεις παρατηρείται σηµαντική ενίσχυση των διεπιφανειακών κυµάτων, ενώ και η κύρια συχνότητά τους -που µειώνεται µε αύξηση της παροχής του αέρα- είναι περίπου η ίδια σε όλο το µήκος ροής, ανεξάρτητη της απόστασης από το σηµείο εισόδου της τροφοδοσίας. Παράλληλα, είναι φανερό ότι και στις δύο περιπτώσεις οι µεγαλύτερες ταχύτητες αέρα οδηγούν σε σηµαντική αύξηση του µέσου πάχους της στιβάδας, µε την τάση αυτή ωστόσο να εµφανίζεται περισσότερο έντονα στη θέση x=36cm. Όσον αφορά στην αναδιαµόρφωση που υφίσταται η επιφανειακή δοµή λόγω της αντιρροής του αέρα, η σύγκριση των αντιστοίχων χρονο-σειρών υποδεικνύει γενικά µια περισσότερο διαταραγµένη στιβάδα για το διάλυµα βουτανόλης 2.5%, για τις µεγαλύτερες ταχύτητες αέρα που εξετάζονται. Αυτή η τάση είναι σε συµφωνία (µπορεί να συσχετιστεί) µε τις µικρότερες κρίσιµες ταχύτητες πληµµύρισης που καταγράφηκαν για το διάλυµα σε σχέση µε εκείνες του νερού. Αξιοσηµείωτο είναι επίσης ότι στην περίπτωση του διαλύµατος βουτανόλης, η διαταραχή της στιβάδας φαίνεται να είναι η ίδια σε όλο

153 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 129 h, mm Re = 140 U GS (m/s) (α) t, sec h, mm Re = 280 U GS (m/s) (a) t, sec h, mm Re = 140 U GS (m/s) (β) t, sec h, mm Re = 280 U GS (m/s) (b) t, sec Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις του πάχους στιβάδας για το νερό για δύο τιµές Re (Re = 140 και 280) και διάφορες τιµές U GS, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης : (α) x=19cm και (β) x=36cm.

154 130 h, mm Re = 130 U GS (m/s) (α) t, sec h, mm Re = 260 U GS (m/s) (a) t, sec h, mm Re = 130 U GS (m/s) (β) t, sec h, mm Re = 260 U GS (m/s) (b) t, sec Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις του πάχους στιβάδας για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% για δύο τιµές Re (Re = 130 και 260) και διάφορες τιµές U GS, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης : (α) x=19cm και (β) x=36cm.

155 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 131 το µήκος της ροής και να µην εξαρτάται από τη θέση όπου λαµβάνονται οι µετρήσεις (ακόµη και για τις χαµηλότερες ταχύτητες αέρα που εξετάστηκαν) Στατιστική επεξεργασία Χαρακτηριστικά κυµάτων Η εξάρτηση του µέσου πάχους της υγρής στιβάδας από την ταχύτητα U GS του αέρα παρουσιάζεται στο Σχήµα για το νερό και τα υδατικά διαλύµατα βουτανόλης, για διάφορες τιµές Re, στις θέσεις x =19cm και x=36cm. Σηµειώνεται ότι οι γραµ- µοσκιασµένες περιοχές αντιστοιχούν -κατά προσέγγιση- σε συνθήκες µετά την έναρξη της πληµµύρισης (post-flooding conditions). Σε όλες τις περιπτώσεις παρατηρείται ότι στις χαµηλές ταχύτητες αέρα υφίσταται οµαλή, σταδιακή αύξηση του µέσου πάχους (σε ποσοστό που κυµαίνεται µεταξύ +15 και +30% επί της τιµής που µετρήθηκε για αυτό απουσία αέρα), ενώ για µεγαλύτερες παροχές αέρα, κοντά στην έναρξη της πληµµύρισης, η τιµή τού h mean αυξάνεται απότοµα. Αυτή η αύξηση είναι λιγότερο έντονη στην ενδιάµεση θέση µέτρησης (x=19cm), ενώ στο κατώτερο τµήµα του καναλιού (x=36cm) το µέσο πάχος λαµβάνει τη µέγιστη τιµή του, η οποία µπορεί να συσχετιστεί µε την έ- ναρξη της πληµµύρισης σε αυτή την περιοχή. Πράγµατι, αυτή η µέγιστη τιµή αντιστοιχεί στην κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης του αέρα που προέκυψε µε βάση τις οπτικές παρατηρήσεις. Η περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας του αέρα, κι ενώ η πληµµύριση έχει ήδη αρχίσει, επιφέρει σταδιακή µείωση του µέσου πάχους, πιθανότατα λόγω µείωσης της καθοδικής ροής του υγρού στην περιοχή ροής που εξετάζεται κάθε φορά. Σηµειώνεται ότι αυτή η µείωση της παροχής του υγρού εκδηλώνεται αρκετά πιο έντονα στο κατώτερο τµήµα του καναλιού, για σχετικά µεγάλες τιµές U GS (π.χ. U GS >14m/s), για τις οποίες µάλιστα παρατηρείται αναστροφή της συνολικής ροής της στιβάδας σε όλο το µήκος του καναλιού, κατά τρόπο τέτοιο ώστε όλη σχεδόν η υγρή φάση κινείται ανοδικά και µεταφέρεται έξω από το κανάλι, πάνω από το σηµείο εισόδου της τροφοδοσίας. Παρόµοιες µετρήσεις του πάχους της υγρής στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής µε αέρα αναφέρονται από τους Zabaras (1985) και acy & Dukler (1994), για τιµές Re (>300), µεγαλύτερες από τις εξεταζόµενες στην παρούσα εργασία. Τα αποτελέσµατα αυτών των ερευνητών έδειξαν επίσης ότι το µέσο πάχος αυξάνεται απότοµα για τις σχετικά µεγάλες ταχύτητες αέρα, µε τη µέγιστη τιµή του να αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης. Ωστόσο, είναι αξιοσηµείωτο ότι η βαθµιαία αύξηση του πάχους που παρατηρήθηκε στην εργασία τους για την περιοχή των χαµηλών ταχυτήτων αέρα, είναι σε κάθε περίπτωση αρκετά µικρότερη από αυτή που καταγράφηκε στην παρούσα εργασία. Μάλιστα, οι ίδιοι ερευνητές παρατήρησαν ότι σε σχετικά µεγάλες παροχές της υγρής

156 x=19 cm x=36 cm (α) h mean, mm U, m/s GS U, m/s GS 1.0 x=19 cm x=36 cm (β) h mean, mm U, m/s GS U, m/s GS 1.0 x=19 cm x=36 cm (γ) h mean, mm U, m/s GS U, m/s GS Σχήµα Μεταβολή του µέσου πάχους της υγρής στιβάδας µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5%.

157 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 133 φάσης (Re >1000) το µέσο πάχος παραµένει πρακτικά αµετάβλητο σχεδόν µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης, οπότε και εµφανίζει ραγδαία αύξηση προς τη µέγιστη τιµή του. Η τάση αύξησης του µέσου πάχους της στιβάδας αλλά και του ύψους των κυµάτων της επιφάνειας, υπό την επίδραση της αντιρροής αέρα, σχολιάζεται και από τους Roy & Jain (1989) για την περίπτωση ροής κατά µήκος επίπεδης κεκλιµένης επιφάνειας. Οι ίδιοι αναφέρουν επίσης ότι αυτή η αύξηση είναι τόσο µεγαλύτερη όσο µεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης από το οριζόντιο επίπεδο. Στις εργασίες των Biage (1989), Karimi & Kawaji (2000) και Vijayan et al. (2002) οι οποίες σε Re >2000 παρατηρείται επίσης -σε συµφωνία µε την εργασία του Zabaras (1985)- ότι κατά την αντιρροή το µέσο τοπικό πάχος είναι σχεδόν ανεξάρτητο από την ταχύτητα του αέρα και µόνο κατά την έναρξη της πληµµύρισης αυξάνεται ραγδαία στη µέγιστη τιµή του. Έτσι, οι Biage et al. (1989) οι οποίοι πραγµατοποίησαν µετρήσεις του πάχους σε διάφορες αποστάσεις που κυµαίνονται από 5 έως 100cm από την είσοδο της τροφοδοσίας, διαπίστωσαν ότι σε όλες τις θέσεις µέτρησης η µέση τιµή του πάχους διατηρείται σχεδόν σταθερή (το µέσο πάχος σε συνθήκες αντιρροής αυξάνεται λιγότερο από 5%, έναντι αυτού απουσία αέρα, όπως αναφέρουν χαρακτηριστικά) µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης. Οι Karimi & Kawaji (2000) των οποίων οι µετρήσεις αναφέρονται σε απόσταση 1.5m από την είσοδο της τροφοδοσίας σχολιάζουν ανάλογα ότι παρά τις σηµαντικές αλλαγές που φαίνεται να λαµβάνουν χώρα στη διεπιφανειακή δοµή της στιβάδας, ακόµη και για µικρές παροχές αέρα, το µέσο πάχος διατηρείται σταθερό παρουσιάζοντας µια µικρή αύξηση, µόλις 8% επί της τιµής που µετρήθηκε για αυτό απουσία αέρα, µέχρι τη ραγδαία αύξησή του κατά την έναρξη της πληµµύρισης. Θα ήταν χρήσιµο να υπογραµµιστεί σε αυτό το σηµείο ότι η µέγιστη τιµή του µέσου πάχους που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης για Re >250 ελέγχεται ως προς την ακρίβειά της, ειδικότερα για τη θέση x=36cm. Κάτι τέτοιο αποδίδεται στη ση- µαντική διόγκωση των επιφανειακών κυµάτων (τα οποία οδηγούν ενδεχοµένως και σε απόφραξη του καναλιού) που παρατηρήθηκε για αυτή την περιοχή παροχών υγρού, και άρα την αντίστοιχη σηµαντική αύξηση του µέσου πάχους της στιβάδας, η τιµή του ο- ποίου σε µια τέτοια περίπτωση είναι δυνατόν να ξεπερνά το µήκος του ηλεκτροδίου (~2.7mm). Ο συλλογισµός αυτός επιβεβαιώνεται και από την τιµή του µέσου πάχους (βλ. Σχ γ) που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης (µέγιστη µέση τιµή) για το διάλυµα βουτανόλης 2.5% για Re =290, η οποία είναι µικρότερη ακόµη και από την αντίστοιχη που υφίσταται για Re =225. Κάτι τέτοιο µπορεί να οφείλεται στο ότι για Re =290 και σχετικά µεγάλες ταχύτητες αέρα, το πάχος στιβάδας κατά τη δειγµατολη-

158 134 ψία µπορεί να αυξάνεται πολύ (δηλαδή να λαµβάνει στιγµιαία τιµές µεγαλύτερες από το µήκος του ηλεκτροδίου), τόσο που το συγκεκριµένο ηλεκτρόδιο να µην µπορεί να µετρήσει τις µεγαλύτερες στιγµιαίες τιµές του πάχους, µε αποτέλεσµα να αλλοιώνεται η δειγµατοληψία και να µειώνεται η µέση τιµή του δείγµατος. Σηµειώνεται ότι η τιµή αυτή, όπως και οι υπόλοιπες που αφορούν στα χαρακτηριστικά των κυµάτων, επιβεβαιώθηκε πειραµατικά µε επανάληψη της µέτρησης. Στο Σχήµα παρουσιάζονται οι τιµές του µέγιστου πάχους στιβάδας που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης, h flmax, για διάφορες τιµές Re, για όλες τις υγρές φάσεις που εξετάστηκαν. Η τιµή του µπορεί να δώσει µια αντιπροσωπευτική εικόνα για τυχόν σηµαντική διόγκωση των κυ- µάτων, και προέκυψε, για κάθε υγρό, ως αριθµητικός µέσος όρος των 20 µεγαλυτέρων τιµών πάχους οι οποίες ανιχνεύονται στη χρονο-σειρά που αντιστοιχεί στην έναρξη της πληµµύρισης, για δεδοµένη παροχή υγρού. Είναι χαρακτηριστικό ότι ενώ για τιµές Re <250 το µέγιστο πάχος φαίνεται να είναι αρκετά µικρότερο από το µήκος του ηλεκτροδίου και να αυξάνεται βαθµιαία ανάλογα µε την παροχή του υγρού, σε µεγαλύτερες τιµές Re (>250) τείνει να γίνει συγκρίσιµο µε το µήκος του ηλεκτροδίου. Επίσης, για Re >250, η προαναφερόµενη αυξητική του τάση µε τον Re δεν υφίσταται πλέον και το µέγιστο πάχος τείνει να σταθεροποιηθεί σε τιµή ~2.6mm (πιθανότατα επειδή τυχόν περαιτέρω αύξησή του δεν µπορεί να καταγραφεί από το συγκεκριµένο ηλεκτρό h flmax, mm Water 1.5% Butanol 2.5% Butanol Re Σχήµα Μεταβολή του µέγιστου πάχους της υγρής στιβάδας που µετράται κατά την έναρξη της πληµµύρισης, h flmax, µε τον Re στη θέση x=36 cm για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησι- µοποιήθηκαν.

159 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 135 διο). Στην εργασία του, ο Zabaras (1985) προσδιόρισε µε ανάλογο τρόπο τις τιµές του µέγιστου πάχους κατά την έναρξη της πληµµύρισης, µε σκοπό να διαπιστώσει αν υφίσταται ή όχι απόφραξη της διατοµής. Μια ακόµη σηµαντική παράµετρος που εξετάζεται στα πλαίσια της προσπάθειας διερεύνησης της αναδιαµόρφωσης που υφίσταται η επιφάνεια της υγρής στιβάδας κατά την αντιρροή του αέρα, είναι το µέσο ύψος των κυµάτων πάνω από το υπόστρωµα, h mean. Στο Σχήµα παρουσιάζεται η µεταβολή του µε την ταχύτητα του αέρα, και στις δύο θέσεις µέτρησης, για διάφορες τιµές Re και για τις τρεις υγρές φάσεις που χρησιµοποιήθηκαν. Ο υπολογισµός αυτού του µεγέθους, που αντιστοιχεί στη διαφορά ύψους ανάµεσα σε ένα ελάχιστο και στο αµέσως επόµενο µέγιστο της υγρής στιβάδας (βλ. Σχήµα ) έγινε µε τον τρόπο που περιγράφεται στο Κεφάλαιο Ση- µειώνεται ότι η υπολογιστική διαδικασία σε συνθήκες αντιρροής είναι περισσότερο πολύπλοκη δεδοµένου ότι απαιτεί την ακριβή γνώση της τιµής της κύριας συχνότητας των κυµάτων, η οποία όπως θα σχολιαστεί παρακάτω, στο Κεφάλαιο , µεταβάλλεται µε την ταχύτητα του αέρα. Από το Σχήµα διαπιστώνεται ότι η τάση αύξησης του µέσου ύψους των κυµάτων, h mean, και στις δύο θέσεις µέτρησης είναι παρόµοια µε εκείνη που παρατηρήθηκε για το µέσο πάχος στιβάδας, το οποίο όµως φαίνεται να αυξάνεται περισσότερο απότοµα όσο προσεγγίζεται η έναρξη της πληµµύρισης. Με αντιπαραβολή των Σχηµάτων και προκύπτει ότι η αύξηση του µέσου πάχους δεν οφείλεται µόνο στην αύξηση του ύψους των µεγάλων κυµάτων διαταραχής, αλλά και στην αύξηση του πάχους του υποστρώµατος της στιβάδας, h s. Κάτι τέτοιο ε- πιβεβαιώνεται από το Σχήµα στο οποίο παρουσιάζεται η µεταβολή του πάχους h s µε την ταχύτητα του αέρα. Η τιµή τού h s προσδιορίστηκε µε την ίδια υπολογιστική διαδικασία που χρησιµοποιήθηκε για τον υπολογισµό του ύψους h mean. Η µεταβολή του πάχους υποστρώµατος, το οποίο είναι σχεδόν σταθερό στην περιοχή των χαµηλών ταχυτήτων αέρα, φαίνεται ότι είναι σε συµφωνία µε την µεταβολή του µέσου πάχους της στιβάδας και του ύψους των κυµάτων, δεδοµένου ότι σε αυτές τις χαµηλές ταχύτητες, οι τιµές των h mean και h mean χαρακτηρίζονται από παρόµοια τάση αύξησης. Αντίθετα, σε µεγαλύτερες παροχές αέρα, πλησίον της πληµµύρισης, όπου (όπως διαπιστώθηκε παραπάνω) το ύψος h mean µεταβάλλεται λιγότερο απότοµα -συγκριτικά µε το µέσο πάχος h mean - µε την ταχύτητα του αέρα, το πάχος του υποστρώµατος αυξάνεται ραγδαία κατά την έναρξη της πληµµύρισης. Η τάση αυτή θα µπορούσε να αποδοθεί στη διαµόρφωση της επιφάνειας της υγρής στιβάδας, η οποία σε χαµηλές ταχύτητες αέρα περιλαµβάνει ένα σχεδόν λείο υπόστρωµα πάνω στο οποίο κινούνται τα µεγάλα κύµατα

160 x=19 cm x=36 cm (α) h mean, mm U, m/s GS U, m/s GS 1.0 x=19 cm x=36 cm (β) h mean, mm U, m/s GS U, m/s GS 1.0 x=19 cm x=36 cm (γ) h mean, mm U, m/s GS U, m/s GS Σχήµα Μεταβολή του µέσου ύψους των κυµάτων, h mean, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5%.

161 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής x=19 cm x=36 cm (α) h s, mm U, m/s GS U, m/s GS 1.0 x=19 cm x=36 cm (β) h s, mm U, m/s GS U, m/s GS 1.0 x=19 cm x=36 cm (γ) h s, mm U, m/s GS U, m/s GS Σχήµα Μεταβολή του µέσου πάχους υποστρώµατος, h s, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τι- µές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5%.

162 138 διαταραχής. Μάλιστα, τα τελευταία αυτά είναι που δέχονται κατά κύριο λόγο την επίδραση της αντιρροής του αέρα. Με αύξηση όµως της ταχύτητας αέρα, η διαταραχή της επιφάνειας φαίνεται (µε εξέταση των χρονο-σειρών του πάχους) ότι αυξάνεται επίσης, µε αποτέλεσµα η επίδραση του αέρα να «κατανέµεται» µεταξύ των µεγάλων διεπιφανειακών κυµάτων και των µικρότερων κυµάτων του υποστρώµατος της στιβάδας τα οποία ενισχύονται επίσης. Οι παραπάνω συλλογισµοί σχετικά µε την αναδιαµόρφωση που υφίσταται η ε- πιφανειακή δοµή της στιβάδας κατά τη µετάβαση στην κρίσιµη κατάσταση της πληµ- µύρισης, επαληθεύονται µέσω των τιµών RMS του πάχους στιβάδας σε συνθήκες α- ντιρροής. Η µεταβολή αυτών των τιµών µε την ταχύτητα του αέρα απεικονίζεται στο Σχήµα µε τη µορφή ενός αδιάστατου λόγου RMS, που προκύπτει µε διαίρεση αυτών των τιµών (σε συνθήκες αντιρροής) µε τις αντίστοιχες τιµές RMS για την ελευθέρως ρέουσα στιβάδα, h ff,rms. Είναι φανερό ότι πριν από την επικείµενης έναρξη της πληµµύρισης προηγείται η αύξηση των τιµών RMS, η οποία µάλιστα είναι περισσότερο απότοµη για όλα τα υγρά (ακόµη και για τις χαµηλότερες ταχύτητες αέρα που εξετάστηκαν), ειδικά στη θέση x=36cm, σε σύγκριση µε την αύξηση του µέσου πάχους. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η εξέταση της επίδρασης της επιφανειακής τάσης στα χαρακτηριστικά της υγρής στιβάδας, η οποία διερευνάται µε παρατήρηση της µεταβολής του µέσου πάχους στιβάδας καταρχήν, για το νερό και το διάλυµα βουτανόλης 2.5%. Από το Σχήµα µπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι η κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης του αέρα για το διάλυµα βουτανόλης αντιστοιχεί στη µέγιστη τιµή του µέσου πάχους και για τις δύο θέσεις µέτρησης, σε αντίθεση µε το νερό για το οποίο η κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης δεν προκαλεί σε καµία περίπτωση για τη θέση x=19cm ανάλογη -µε τη θέση x=36 cm- ραγδαία αύξηση του πάχους στη µέγιστη τιµή του. Κάτι τέτοιο θα µπορούσε να αποδοθεί στο ότι η αλληλεπίδραση υγρού-αέρα στην περίπτωση του διαλύµατος εκδηλώνεται περισσότερο έντονα, προκαλώντας σηµαντική διαταραχή στην επιφάνεια της στιβάδας αυτής της υγρής φάσης, της οποίας η ροή έχει διαπιστωθεί ότι είναι περισσότερο ασταθής (λόγω της µικρής επιφανειακής τάσης που τη χαρακτηρίζει) σε σχέση µε αυτή του νερού. Αυτή ακριβώς η διαταραχή φαίνεται ότι εκτείνεται «οµοιόµορφα» σε όλο το µήκος ροής της στιβάδας από το κατώτερο στο ανώτερο τµή- µα της, µε αποτέλεσµα το µέσο πάχος να µεταβάλλεται µε τον ίδιο σχεδόν τρόπο και στις δύο θέσεις µέτρησης. Παρόµοια τάση για τη µεταβολή του µέσου πάχους σε συνθήκες αντιρροής αναφέρεται και από τον Zabaras (1985) για την περίπτωση του ηλεκτροχηµικού διαλύµατος (χαµηλής επιφανειακής τάσης) που χρησιµοποιήθηκε στην

163 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής x=19 cm x=36 cm (α) h cc,rms / h ff,rms U GS, m/s U GS, m/s 7.0 x=19 cm x=36 cm (β) h cc,rms / h ff,rms U, m/s GS U, m/s GS 7.0 x=19 cm x=36 cm (γ) h cc,rms / h ff,rms U GS, m/s U GS, m/s Σχήµα Μεταβολή του λόγου των τιµών RMS του πάχους της υγρής στιβάδας σε συνθήκες α- ντιρροής, h cc,rms, προς τις αντίστοιχες τιµές απουσία αέρα, h ff,rms, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό, (β) διάλυµα βουτανόλης 1.5% και (γ) διάλυµα βουτανόλης 2.5%.

164 140 εργασία του. Τα πειραµατικά του δεδοµένα έδειξαν ότι η επίδραση της επιβαλλόµενης ροής αέρα στη διαµόρφωση της επιφάνειας της στιβάδας είναι το ίδιο σηµαντική και εκδηλώνεται µε τον ίδιο τρόπο και στις δύο θέσεις µέτρησης (οι οποίες βρίσκονται σε απόσταση 0.15m και 1.7m από την είσοδο του υγρού). Για την περίπτωση του νερού, τα νέα δεδοµένα δείχνουν ότι το µέσο πάχος της στιβάδας στη θέση x=19cm συνεχίζει να αυξάνεται ακόµη και για ταχύτητες αέρα µεγαλύτερες από την κρίσιµη για την έναρξη της πληµµύρισης. Η διαφορά στην επιφανειακή τάση αντικατοπτρίζεται και στις µεγαλύτερες τιµές RMS που παρατηρούνται για τα διαλύµατα βουτανόλης, αλλά και την περισσότερο απότοµη αύξησή τους πλησίον της έναρξης της πληµµύρισης. Αυτή η διαφορά µεταξύ του νερού και των διαλυµάτων βουτανόλης είναι και πάλι αρκετά πιο έ- ντονη στην ενδιάµεση θέση µέτρησης (x=19cm), όπου η διαταραχή της στιβάδας στην περίπτωση των διαλυµάτων φαίνεται να είναι το ίδιο σηµαντική µε εκείνη που παρατηρείται στο κατώτερο τµήµα του καναλιού Φασµατική ανάλυση Η µεταβολή που υφίσταται η δοµή της υγρής στιβάδας λόγω της αντιρροής του αέρα και ειδικότερα πλησίον της έναρξης της πληµµύρισης, αποτυπώνεται και στα φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους της υγρής στιβάδας. Τυπικά παραδείγ- µατα παρουσιάζονται στα Σχήµατα έως για τις δύο θέσεις µέτρησης και για όλες τις υγρές φάσεις που εξετάσθηκαν. Από το σύνολο των πειραµάτων και λαµβάνοντας υπόψη το σφάλµα στον προσδιορισµό του πλάτους του φάσµατος αλλά και τη διακριτική ικανότητα του τελευταίου (±10-15% και ±1.5Hz αντίστοιχα), προκύπτει ότι για σχετικά χαµηλές ταχύτητες αέρα (U GS <5m/s), η χαρακτηριστική συχνότητα των µεγάλων επιφανειακών κυµάτων δεν µεταβάλλεται σηµαντικά σε σχέση µε την τι- µή που προκύπτει για την ελευθέρως ρέουσα στιβάδα, παραµένοντας επίσης το ίδιο διακριτή και σαφής (βλ. Σχ και ). Έτσι, στη θέση x=19cm η κύρια συχνότητα κυµαίνεται µεταξύ 17 και 20Hz, ενώ στη θέση x=36cm η κορυφή του φάσµατος αντιστοιχεί σε συχνότητα µεταξύ 7 και 10Hz. Ωστόσο, αυτή η έστω µικρή αύξηση στην ταχύτητα του αέρα είναι ικανή να προκαλέσει και στις δύο θέσεις µέτρησης ανάλογη µεταβολή στη µέγιστη τιµή του φάσµατος (ειδικά για τα διαλύµατα βουτανόλης), η οποία συνδέεται µε την ένταση των διαταραχών του πάχους της στιβάδας και σχετίζεται µε το ποσοστό της µεταφερόµενης ενέργειας από τα διεπιφανειακά κύµατα. Η περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας του αέρα έχει σαν αποτέλεσµα την περαιτέρω ενίσχυση

165 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής Re = 110 U GS (m/s) Re = 110 U GS (m/s) (α) PSD f, Hz 1.0 Re = U GS (m/s) f, Hz 8 6 Re = 245 U GS (m/s) PSD " ευτερευουσα" ' συχνοτητα ' ~10 Hz f, Hz f, Hz (a) Re = 175 U GS (m/s) Re = 175 U GS (m/s) (β) PSD f, Hz Re = 310 U GS (m/s) f, Hz 10 8 Re = 310 U GS (m/s) PSD " ευτερευουσα" ' συχνοτητα ' ~3-5 Hz f, Hz f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας του νερού, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS, για (α) x=19cm και (β) x=36cm.

166 Re = 105 U GS (m/s) U GS (m/s) (α) PSD f, Hz Re = 235 U GS (m/s) f, Hz 10 8 Re = 235 U GS (m/s) PSD " ευτερευουσα" ' συχνοτητα ' ~10 Hz f, Hz f, Hz (a) Re = 170 U GS (m/s) Re = 170 U GS (m/s) (β) PSD f, Hz Re = 305 U GS (m/s) f, Hz 10 8 Re = 305 U GS (m/s) PSD " ευτερευουσα" ' συχνοτητα ' ~3-5 Hz f, Hz f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας του διαλύµατος βουτανόλης 1.5%, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS, για (α) x=19cm και (β) x=36cm.

167 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής Re = 100 U GS (m /s) Re = 100 U GS (m /s) (α) PSD f, Hz Re = 260 U GS (m /s) f, Hz 10 8 Re = 260 U GS (m /s) PSD " ευτερευουσα" ' συχνοτητα ' ~10 Hz f, Hz f, Hz (a) Re = 130 U GS (m /s) Re = 130 U GS (m /s) (β) PSD " ευτερευουσα" ' συχνοτητα ' ~3-5 Hz PSD f, Hz Re = 290 U GS (m /s) f, Hz Re = 290 U GS (m /s) f, Hz f, Hz ( a) Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών του πάχους στιβάδας του διαλύµατος βουτανόλης 2.5%, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS, για (α) x=19cm και (β) x=36cm.

168 144 των κυµάτων παράλληλα µε τη σταδιακή µείωση της κύριας συχνότητάς τους η οποία τελικά κυµαίνεται µεταξύ 1 και 3Hz. Αυτή η κυρίαρχη συχνότητα διαπιστώνεται από τη µελέτη των ψηφιακών καταγραφών και των χρονο-σειρών του πάχους ότι αντιστοιχεί στα µεγαλύτερα από τα κύµατα που αναπτύσσονται στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας. Έτσι, η έναρξη της πληµµύρισης συµπίπτει µε την ανάπτυξη κυµάτων µικρότερης συχνότητας και µεγαλύτερου ύψους -ακόµη και στη θέση x=19cm - συγκριτικά µε εκείνα που παρατηρήθηκαν στις χαµηλότερες ταχύτητες αέρα. Ανάλογη µείωση στην κύρια συχνότητα των κυµάτων -µε την τελική τιµή να κυµαίνεται µεταξύ 2 και 5Hzαναφέρεται από τους Zabaras (1985) και Biage (1989), οι οποίοι παρατήρησαν επίσης ότι το φάσµα συχνοτήτων του πάχους στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής, διαφοροποιείται σηµαντικά σε σχέση µε εκείνο της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας. Οι ίδιοι ερευνητές σχολιάζουν ακόµη ότι αν και το µεγαλύτερο µέρος της ενέργειας των κυµάτων αντιστοιχεί σε συχνότητα ~2-5Hz, ένα επίσης σηµαντικό µέρος της µεταφερόµενης ενέργειας κατά την έναρξη της πληµµύρισης συσχετίζεται µε κύµατα των οποίων η συχνότητα είναι πλησίον ή λίγο µεγαλύτερη των 10Hz (ειδικά για τις µεγαλύτερες τιµές Re που εξετάστηκαν σε αυτές τις εργασίες). Αντίθετα, στην παρούσα εργασία η κύρια συχνότητα αντιστοιχεί σε µια έντονη, σαφή κορυφή. Με προσεκτική εξέταση των φασµάτων διακρίνεται επίσης η εµφάνιση µιας δευτερεύουσας συχνότητας µε τιµή που κυµαίνεται µεταξύ 3 και 5Hz και η οποία µπορεί να αποδοθεί στην ενίσχυση κάποιων µικρότερων κυµάτων που προϋπάρχουν στην επιφάνεια της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας.της επιφάνειας της υγρής στιβάδας αυτή η συχνότητα φαίνεται τελικά να εξαλείφεται για παροχές αέρα πολύ κοντά στην πληµµύριση. Ανατρέχοντας κανείς στις οπτικές παρατηρήσεις της αντιρροής (βλ. Σχ ), µπορεί να διαπιστώσει ότι η ανάπτυξη τέτοιου είδους µικρών κυµάτων είναι εφικτή σε όλο το µήκος του καναλιού µε αύξηση της παροχής αέρα, ακόµη και σε θέσεις πολύ κοντά στην είσοδο του υγρού (έστω κι αν απαιτείται σηµαντική αύξηση της ταχύτητας του αέρα). Σε σχετικά µεγάλες παροχές αέρα, µια πρόσθετη χαρακτηριστική συχνότητα ~10Hz παρατηρείται στα φάσµατα που αντιστοιχούν στη θέση x=19cm για όλα τα υγρά, ειδικότερα για τις µεγαλύτερες τιµές Re. Αυτή η συχνότητα µπορεί να θεωρηθεί ενδεικτική της περισσότερο «βαθµιαίας» αναδιαµόρφωσης που υφίσταται η επιφανειακή δοµή της στιβάδας σε αυτή τη θέση, µε αύξηση της παροχής του αέρα, σε αντίθεση µε τις δραστικές αλλαγές που καταγράφονται για τη ροή του υγρού στο κατώτερο τµήµα του καναλιού στη θέση αυτή η µείωση της κύριας συχνότητας είναι µάλλον απότοµη. Παρόµοιες δευτερεύουσες συχνότητες για την αντιρροή υγρού-αέρα (µικρότερες από εκείνη που προκύπτει για την ελευθέρως ρέ-

169 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 145 ουσα στιβάδα, αλλά µεγαλύτερες από αυτή που αντιστοιχεί στην πληµµύριση) παρατηρήθηκαν για την περίπτωση των υψηλών ταχυτήτων αέρα και από τους Roy & Jain (1989). Η περαιτέρω αύξηση της ταχύτητας του αέρα (σε τιµές µεγαλύτερες από την κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης) δείχνει να επιφέρει σηµαντική µείωση στο ενεργειακό περιεχόµενο των κυµάτων και στις δύο θέσεις µέτρησης, πιθανότατα λόγω µείωσης της καθοδικής ροής του υγρού. Ο µεγαλύτερος βαθµός διαταραχής της επιφανειακής στιβάδας των διαλυµάτων βουτανόλης συγκριτικά µε το νερό -που διαπιστώθηκε µε βάση τις τιµές RMS του πάχους στιβάδας- επιβεβαιώνεται και µε σύγκριση µεταξύ των φασµάτων των τριών φάσεων που χρησιµοποιούνται. Από αυτή προκύπτει ότι ιδιαίτερα για την ενδιάµεση θέση µέτρησης (x=19cm) τα κύµατα στην περίπτωση του νερού φαίνεται να σχετίζονται µε µικρότερο ποσοστό µεταφερόµενης ενέργειας έναντι των κυµάτων των διαλυµάτων βουτανόλης Ταχύτητα κυµάτων Το ενδεχόµενο µείωσης της ταχύτητας των κυµάτων -λόγω της πιθανής επιβράδυνσης που υφίσταται η συνολική ροή της στιβάδας µε την αντιρροή του αέρα- εξετάζεται µε προσδιορισµό της ταχύτητάς τους για διάφορες παροχές υγρού και αέρα. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιείται η συνάρτηση ετερο-συσχέτισης ταυτόχρονων µετρήσεων του πάχους της στιβάδας (µεταξύ δύο ηλεκτροδίων που απέχουν απόσταση x=3cm), και λαµβάνονται τόσο στο ενδιάµεσο τµήµα του καναλιού (x=19cm), όσο και στο κατώτερο τµήµα του (x=36cm). Από το Σχήµα όπου παρουσιάζεται η µεταβολή της ταχύτητας των κυµάτων, c, για το νερό και το διάλυµα βουτανόλης 2.5%, σε συνάρτηση µε την ταχύτητα του αέρα, είναι φανερό ότι η επίδραση της αντιρροής του αέρα στην µεταβολή της ταχύτητας των κυµάτων εκδηλώνεται περισσότερο έντονα στο κάτω τµήµα του καναλιού. Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση φαίνεται ότι η ταχύτητα c εξαρτάται περισσότερο από τον Re και λιγότερο από την παροχή του αέρα, ακόµη και στην περίπτωση των σχετικά υψηλών ταχυτήτων του τελευταίου. Αυτή η τάση µπορεί να συσχετιστεί µε την αύξηση του ύψους των µεγάλων κυµάτων, τη διόγκωση και ενίσχυσή τους, καθώς η ταχύτητα του αέρα αυξάνεται στην περίπτωση αυτή όµως, η αυξηµένη επίδραση της διεπιφανειακής τριβής που ασκείται πάνω στην κατερχόµενη υγρή στιβάδα «αντισταθµίζεται» από την επίσης αυξηµένη επίδραση της βαρύτητας (λόγω του µεγαλυτέρου µεγέθους των κυµάτων) µε αποτέλεσµα την ασθενή εξάρτηση της ταχύτητας των κυµάτων από την παροχή του αέρα. Στο Σχήµα , για τη θέση

170 x=19 cm x=36 cm c, m/s U, m/s GS U, m/s GS 0.6 x=19 cm x=36 cm c, m/s U, m/s GS U, m/s GS (α) (β) Σχήµα Μεταβολή της ταχύτητας των κυµάτων, c, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36 cm), για: (α) νερό και (β) διάλυµα βουτανόλης 2.5%. x=19cm, παρουσιάζονται και τα αποτελέσµατα της αδιάστατης ποσότητας c/<u> cc ό- που η µέση ταχύτητα της υγρής στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής, <u> cc, υπολογίζεται για κάθε υγρό µέσω του πειραµατικά µετρηµένου πάχους h mean, µε χρήση της Εξ που παρατίθεται στο ακόλουθο Κεφάλαιο 5.3,. Είναι ενδιαφέρον ότι η ταχύτητα των κυµάτων είναι αρκετά µεγαλύτερη από τη µέση ταχύτητα της στιβάδας, ιδιαίτερα στις µεγαλύτερες παροχές αέρα που εξετάζονται για κάθε παροχή υγρού. Όσον αφορά στην τιµή της αδιάστατης ταχύτητας c/<u> cc απουσία αέρα (U GS =0), φαίνεται να ακολουθεί την τάση που παρατηρήθηκε για την ελευθέρως ρέουσα στιβάδα (βλ. Σχ ).

171 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής x=19 cm x=19 cm c/<u> cc U GS, m/s U GS, m/s (α) (β) Σχήµα Μεταβολή της αδιάστατης ταχύτητας των κυµάτων, c/<u> cc, µε την ταχύτητα U GS για διάφορες τιµές Re, σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36cm), για: (α) νερό και (β) διάλυµα βουτανόλης 2.5%. Θα πρέπει να υπογραµµιστεί ότι για παροχές αέρα κοντά στην έναρξη της πληµ- µύρισης λαµβάνει χώρα σηµαντική παραµόρφωση της επιφανειακής δοµής της υγρής στιβάδας, ιδιαίτερα στη θέση x=36cm, µε αποτέλεσµα να µην υφίσταται ικανοποιητική συσχέτιση µεταξύ των µεγάλων διεπιφανειακών κυµάτων. Στο Σχήµα παρουσιάζονται τυπικά διαγράµµατα της συνάρτησης ετερο-συσχέτισης για την περίπτωση του νερού και του διαλύµατος βουτανόλης 2.5%. Όπως φαίνεται στην περίπτωση αυτή, δεν είναι δυνατόν να υπολογιστεί η ταχύτητα των κυµάτων µέσω της συνάρτησης ετερο-συσχέτισης. Οι Zabaras (1985) και Biage et al. (1989), διαπιστώνουν επίσης ότι η ταχύτητα των κυµάτων παραµένει σχεδόν αµετάβλητη τουλάχιστον µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης. Σε αυτές τις µελέτες ωστόσο, διαπιστώθηκε ότι τα µεγάλα κύµατα τα οποία συσχετίζονται ικανοποιητικά ακόµη και σε υψηλές παροχές αέρα (ιδιαίτερα όµως για Re >700), συνεχίζουν να ρέουν καθοδικά χωρίς να επιβραδύνονται από την αντιτιθέµενη ροή αέρα. Στη µελέτη των Karimi & Kawaji (2000), των οποίων οι µετρήσεις αφορούν σε Re >2000, αναφέρεται επίσης ότι σηµαντική µείωση της ταχύτητας των κυµάτων παρατηρείται µόνο για ταχύτητες αέρα µεγαλύτερες από την κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης. Σε όλες αυτές τις µελέτες δηλώνεται ότι η συσχέτιση των κυµάτων ήταν

172 Re = 110 U GS (m/s) x=19 cm Re = 245 U GS (m/s) x=19 cm (α) C xy t, sec Re = 110 U GS (m/s) x=36 cm t, sec Re = 245 U GS (m/s) x=36 cm C xy t, sec t, sec (a) Re = 100 U GS (m/s) x=19 cm Re = 225 U GS (m/s) x=19 cm (β) C xy t, sec t, sec Re = 100 U GS (m/s) x=36 cm Re = 225 U GS (m/s) x=36 cm C xy t, sec t, sec ( a) Σχήµα Τυπικές συναρτήσεις ετερο-συσχέτισης σε δύο θέσεις κατά µήκος του τµήµατος µέτρησης (x=19 και 36cm) για διάφορες τιµές Re και U GS, για: (α) νερό και (β) διάλυµα βουτανόλης 2.5%.

173 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 149 εφικτή σε όλες τις παροχές αέρα που εξετάστηκαν (ακόµη και κατά την έναρξη της πληµµύρισης). Κάτι τέτοιο µπορεί να οφείλεται στις µεγαλύτερες τιµές Re που χρησι- µοποιήθηκαν σε αυτές τις εργασίες αφού σύµφωνα µε τη µελέτη των acy & Dukler (1994) ο συντελεστής συσχέτισης των κυµάτων κατά την έναρξη της πληµµύρισης αυξάνεται από τη σχεδόν µηδενική ή µη προσδιορίσιµη τιµή του για Re =300 σε αρκετά υψηλότερη τιµή για Re =3000. Είναι σηµαντικό τέλος να αναφερθεί ότι όλοι οι προαναφερόµενοι ερευνητές παρατηρούν δραστική µείωση της ταχύτητας των κυµάτων κατά την έναρξη της πληµµύρισης ιατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος καναλιού Γενικές Παρατηρήσεις Οι µετρήσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος πραγµατοποιήθηκαν σε σε αποστάσεις 8, 19 και 36 cm από την είσοδο του υγρού και αναµένεται να υποβοηθήσουν -σε συνδυασµό µε τα χαρακτηριστικά του πάχους στιβάδας- στην περαιτέρω διερεύνηση της διφασικής αντιρροής. Η συνεισφορά των «ηλεκτροδίων ζεύγους» σε αυτή την κατεύθυνση αποδείχτηκε χρήσιµη καθώς παρείχαν τη δυνατότητα προσδιορισµού της φοράς ροής της στιβάδας πλησίον του τοιχώµατος. Ταυτόχρονες µετρήσεις από η- λεκτρόδια που ανήκουν στο ίδιο µετρητικό στοιχείο έδειξαν ότι για όλες τις τιµές Re και ταχυτήτων αέρα που εξετάζονται, δεν αλλάζει το πρόσηµο της διαφοράς των τιµών της διατµητικής τάσης µεταξύ των δύο ηλεκτροδίων του ίδιου µετρητικού στοιχείου - ακόµη και στο κατώτερο τµήµα του καναλιού (x=36cm)- και εποµένως η φορά της διατµητικής τάσης σε όλες τις περιπτώσεις είναι αντίθετη από αυτή της βαρύτητας. Αυτό σηµαίνει ότι η ροή της υγρής φάσης κοντά στο τοίχωµα είναι καθοδική. Το συµπέρασµα αυτό επιβεβαιώθηκε συµπληρωµατικά µε µια σειρά µετρήσεων στις οποίες γινόταν επιλεκτικά αποσύνδεση ενός εκ των δύο ηλεκτροδίων (του ίδιου µετρητικού στοιχείου), µε σκοπό να διερευνηθεί η επίδραση αυτής της αποσύνδεσης επί των τιµών του άλλου ηλεκτροδίου που ανήκει στο ίδιο ζεύγος. Αυτές οι µετρήσεις έδειξαν ότι η αποσύνδεση του «ανώτερου» από τα δύο ηλεκτρόδια (δηλαδή αυτού που συναντά πρώτο η ροή) έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση στην τιµή της διατµητικής τάσης που καταγράφεται από το «κατώτερο» ηλεκτρόδιο (αυτό που συναντά δεύτερο η ροή) του ίδιου µετρητικού στοιχείου. Αντίθετα, η αποσύνδεση του δεύτερου ηλεκτροδίου δεν επιφέρει καµία απολύτως µεταβολή στην τιµή που µετράται από το πρώτο. Εποµένως, η ροή της στιβάδας είναι πάντοτε καθοδική, αφού σε αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε η αποσύνδεση του δεύτερου ηλεκτροδίου να είναι εκείνη που θα επέφερε διαφοροποίηση στην τιµή που

174 150 µετράται από το πρώτο (βλ. Κεφ ). Θα πρέπει να αναφερθεί ότι ειδικά για τις παροχές αέρα πλησίον της έναρξης της πληµµύρισης η πιθανή αναστροφή της ροής ελέγχθηκε µε ξεχωριστή σειρά µετρήσεων. Οι µετρήσεις αυτές έδειξαν ότι για το ίδιο µετρητικό στοιχείο, το κατώτερο ηλεκτρόδιο του ζεύγους δεν επηρεάζει την τιµή που καταγράφεται από το ανώτερο. Επιπροσθέτως, η στιγµιαία αποσύνδεση του τελευταίου, έχει µεν σαν αποτέλεσµα την αύξηση της τιµής του κάτω ηλεκτροδίου, αλλά σε τέτοιο επίπεδο που δεν επιφέρει αλλαγή στο προσήµο της διαφοράς των τιµών τους. Η διαφορά στη διαµόρφωση της στιβάδας σε διάφορες θέσεις κατά µήκος του καναλιού, η οποία φαίνεται να επηρεάζει ανάλογα µε τις πειραµατικές συνθήκες και τη διάτµηση του υγρού στο τοίχωµα, αντικατοπτρίζεται στις χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης που παρουσιάζονται στα Σχήµατα έως για διάφορες τιµές Re και U GS. Έτσι, στην περιοχή εισόδου (x=8cm) είναι φανερό ότι ακόµη και για σχετικά υψηλές ταχύτητες αέρα (πλησίον της πληµµύρισης), η διακύµανση στην τιµή της διατµητικής τάσης δεν µεταβάλλεται σηµαντικά. Αυτό σηµαίνει ότι στη θέση αυτή, παρόλο που η επιφάνεια της υγρής στιβάδας αρχίζει να διαταράσσεται αισθητά καθώς αυξάνεται η ταχύτητα του αέρα (βλ. Σχ ), οι κυµατισµοί που αναπτύσσονται στην επιφάνεια του υγρού (λόγω της αντιρροής του αέρα) φαίνεται ότι δεν είναι επαρκώς ενισχυµένοι ώστε να «διαπεράσουν» τη στιβάδα του υποστρώµατος και να επηρεάσουν έτσι τη διατµητική τάση του υγρού στο τοίχωµα. ιαφορετική εικόνα εµφανίζει η χρονική εξέλιξη της διατµητικής τάσης στη θέση x=19cm, όπου παρατηρείται αύξηση στη διακύµανση της τιµής της µε την ταχύτητα του αέρα, η οποία µπορεί να αποδοθεί σε αλλαγή των συνθηκών ροής κοντά στο τοίχωµα. Σηµειώνεται ότι για την ποιοτική αντιπαραβολή των µετρήσεων της διατµητικής τάσης µε εκείνες του πάχους στιβάδας θα µπορούσαν να χρησιµοποιηθούν ενδεικτικά οι µετρήσεις που αφορούν στο διάλυµα βουτανόλης 2.5%, το οποίο έχει περίπου τις ίδιες φυσικές ιδιότητες µε το ηλεκτροχηµικό διάλυµα. Είναι χαρακτηριστικό ότι όσο αυξάνεται η ταχύτητα του αέρα (π.χ. για U GS >5m/s), η µεταβολή που υφίσταται η επιφανειακή δοµή της υγρής στιβάδας (βλ. Σχ α) φαίνεται να αντικατοπτρίζεται σε κάποιο βαθµό και στις µετρήσεις της διατµητικής τάσης, πιθανότατα λόγω της περαιτέρω ενίσχυσης των κυµάτων διαταραχής σε αυτή τη θέση (µε την αντιρροή του αέρα) τα οποία είναι πλέον ικανά να επηρεάσουν τη διάτµηση στο τοίχωµα. Όσον αφορά στη µορφή της χρονικής απεικόνισης που καταγράφεται στο κατώτερο τµήµα του καναλιού (x=36cm), η αντιπαραβολή της µε την α- ντίστοιχη χρονική εξέλιξη του πάχους στιβάδας για την ίδια θέση (βλ. Σχ β), οδηγεί στο συµπέρασµα ότι υπάρχει πολύ ικανοποιητική συσχέτιση µεταξύ τους, για

175 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής (α) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec 5 4 (β) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec 5 4 (γ) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τ w, για το η- λεκτροχηµικό διάλυµα, για Re =135 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm

176 (α) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec 5 4 (β) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec 5 4 (γ) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τ w, για το η- λεκτροχηµικό διάλυµα, για Re =200 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm

177 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής (α) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec 5 4 (β) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec 5 4 (γ) τ w, N/m U GS (m/s) t, sec Σχήµα Τυπικές χρονικές απεικονίσεις της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τ w, για το η- λεκτροχηµικό διάλυµα, για Re =265 και διάφορες τιµές ταχύτητας U GS, για: (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm

178 154 όλες τις παροχές αέρα. Αυτό αναµενόταν, δεδοµένης της ικανοποιητικής συσχέτισης που παρατηρήθηκε επίσης στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας. Για τις µεγαλύτερες ταχύτητες αέρα ειδικότερα, φαίνεται ότι η συµφωνία είναι ακόµη καλύτερη, αφού πλέον διακρίνεται αρκετά έντονα ακόµη και η επίδραση των µικρότερων κυ- µάτων της επιφάνειας στις συνθήκες ροής κοντά στο τοίχωµα. Παρόµοια συµπεράσµατα σχετικά µε την επίδραση των διεπιφανειακών κυµάτων στις διατµητικές τάσεις του υγρού στο τοίχωµα αναφέρονται και στη βιβλιογραφία (π.χ. Zabaras, 1985 Karimi & Kawaji, 1999 Moran et al., 2002), όπου επιβεβαιώνεται ότι τα κύµατα που αναπτύσσονται στην περιοχή διαµόρφωσης της ροής (δηλαδή σε µικρή απόσταση από την είσοδο του υγρού), δεν µπορούν να επηρεάσουν αισθητά τις συνθήκες ροής κοντά στο τοίχω- µα. Αξιοσηµείωτο είναι επίσης ότι στην εργασία του Zabaras (1985), ο οποίος παρουσιάζει ταυτόχρονες µετρήσεις πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης, προκύπτει ότι η συσχέτιση αυτών των µετρήσεων είναι πολύ καλή µόνο σε µεγάλη απόσταση από την είσοδο της τροφοδοσίας (1.7m), για όλες τις τιµές Re και U GS που εξετάστηκαν. Αντίθετα, σε µικρή απόσταση από την είσοδο του υγρού (0.15m), διαπιστώθηκε ότι δεν υ- φίσταται καν συσχέτιση µεταξύ αυτών των µεγεθών. Ωστόσο, ο ίδιος ερευνητής αναφέρει ότι µε αύξηση της παροχής του αέρα µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης, οι ταυτόχρονες µετρήσεις πάχους και διατµητικής τάσης κοντά στην είσοδο αρχίζουν να συσχετίζονται όλο και περισσότερο (έστω κι αν η συσχέτιση αυτή είναι λιγότερο ικανοποιητική σε σύγκριση µε την αντίστοιχη που υφίσταται στο κατώτερο τµήµα του αγωγού) Πειραµατικές µετρήσεις Στατιστική επεξεργασία Η µεταβολή της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης τ w,mean, µε την ταχύτητα U GS του αέρα για διάφορες τιµές Re παρουσιάζεται στο Σχήµα , για τις τρεις διαφορετικές θέσεις µέτρησης. Σε όλες τις περιπτώσεις είναι εµφανής η µείωση της µέσης τιµής µε αύξηση της παροχής του αέρα, ιδιαίτερα όµως στο ενδιάµεσο (x=19cm) και το κατώτερο τµήµα του καναλιού (x=36cm). Η µείωση αυτή είναι περισσότερο έντονη ι- διαίτερα για τις σχετικά µεγαλύτερες ταχύτητες που εξετάσθηκαν (U GS >6m/s) και ειδικότερα πλησίον της πληµµύρισης. Πιο συγκεκριµένα, φαίνεται να υπάρχει µια χαρακτηριστική τιµή για την ταχύτητα U GS η οποία κυµαίνεται γενικά µεταξύ 6 και 7m/s, πέραν της οποίας η διατµητική τάση υγρού-τοιχώµατος µειώνεται δραστικά. Ανατρέχοντας στην αντίστοιχη εξάρτηση της µέσης τιµής του πάχους από την ταχύτητα του αέρα (βλ. Σχ γ) διαπιστώνεται ότι η ίδια περίπου χαρακτηριστική τιµή αντιστοιχεί ε-

179 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής (α) 3 τ w,mean, N/m U GS, m/s 4 (β) 3 τ w,mean, N/m U GS, m/s 4 (γ) 3 τ w,mean, N/m U GS, m/s Σχήµα Μεταβολή της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τ w,mean, για το η- λεκτροχηµικό διάλυµα µε την ταχύτητα U GS, για διάφορες τιµές Re, για : (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm.

180 156 πίσης σε δραστική αύξηση του τοπικού µέσου πάχους στιβάδας. Αυτή η οµοιότητα α- ναδεικνύει την ισχυρή επίδραση της διεπιφανειακής διατµητικής τάσης στις συνθήκες ροής της υγρής στιβάδας κοντά στο τοίχωµα. Η µείωση της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης είναι αναµενόµενη δεδοµένου ότι η επίδραση της βαρύτητας επί της ρέουσας υγρής φάσης «αντισταθµίζεται» µερικά, στην περίπτωση της αντιρροής αέρα, και από την διεπιφανειακή διατµητική τάση. Η διαφορά στην τάση µείωσης της µέσης τι- µής µεταξύ των θέσεων x=8cm και x=19, 36cm θα µπορούσε να αποδοθεί στη διαφορετική διαµόρφωση της επιφάνειας της στιβάδας σε αυτές τις θέσεις, η οποία για το µεν κατώτερο τµήµα του καναλιού είναι κυµατοειδής (ακόµη και απουσία αέρα), ενώ για την περιοχή ροής κοντά στην είσοδο του υγρού είναι σχεδόν αδιατάρακτη. Κάτι τέτοιο µπορεί να σηµαίνει ότι η επίδραση της αντιρροής του αέρα στην τιµή της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος εκδηλώνεται περισσότερο έντονα εκεί όπου προϋπάρχουν κύ- µατα υπενθυµίζεται ότι για τη θέση x=8cm διαπιστώθηκε ότι η εµφάνιση των πρώτων σχετικά µεγάλων κυµάτων είναι εφικτή κυρίως για U GS >6m/s (βλ. Σχ ). Ανάλογη παρατήρηση αναφέρεται και στην εργασία των Karimi & Kawaji (1999) οι οποίοι διαπίστωσαν ότι η επίδραση της διεπιφανειακής διατµητικής τάσης είναι τόσο πιο ση- µαντική όσο αυξάνεται η παροχή του αέρα, και όσο περισσότερο διαµορφωµένη είναι η ροή της υγρής στιβάδας. Η µεταβολή των τιµών της τυπικής απόκλισης της διατµητικής τάσης, τ w,rms (βλ. Σχ ) επιβεβαιώνει τους παραπάνω συλλογισµούς, αφού όπως φαίνεται για τη θέση x=8cm οι τιµές αυτές είναι πρακτικά αµετάβλητες, σχεδόν ανεξάρτητες της παροχής του αέρα, και µόνο για ταχύτητες U GS >9m/s φαίνεται να υπάρχει τάση αύξησής τους. Αντίθετα, στο ενδιάµεσο αλλά και το κατώτερο τµήµα του καναλιού παρατηρείται αύξηση των τιµών τ w,rms ανάλογα µε την ταχύτητα του αέρα. Αυτή η αύξηση είναι περισσότερο απότοµη για παροχές αέρα πλησίον της πληµµύρισης, κάτι που είναι σε συµφωνία µε την τάση αύξησης που εµφανίζουν οι τιµές της τυπικής απόκλισης του πάχους στιβάδας (βλ. Σχ ). Παρόµοια τάση για τις τιµές της τυπικής απόκλισης της διατµητικής τάσης αναφέρεται στις εργασίες των Zabaras (1985) και των Karimi & Kawaji (1999). Οι Wragg & Einarsson (1971) οι οποίοι πραγµατοποίησαν επίσης µετρήσεις της διατµητικής τάσης σε µικρή απόσταση από την είσοδο του υγρού, παρατήρησαν παρόµοια αύξηση στη διακύµανση της διατµητικής τάσης µε την ταχύτητα του αέρα. Οι ίδιοι µάλιστα, βασιζόµενοι στις µετρήσεις τους, αναφέρουν χαρακτηριστικά, ότι η αύξηση της ταχύτητας του αέρα έχει σαν αποτέλεσµα τη «µεταφορά» του τρισδιά-

181 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 157 τ w,rms, N/m (α) U GS, m/s τ w,rms, N/m (β) U GS, m/s τ w,rms, N/m (γ) U GS, m/s Σχήµα Μεταβολή της τυπικής απόκλισης της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, τ w,rms, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα µε την ταχύτητα U GS, για διάφορες τιµές Re, για : (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm.

182 158 τ w,rms /τ w,mean (α) U GS, m/s τ w,rms /τ w,mean (β) U GS, m/s τ w,rms /τ w,mean (γ) U GS, m/s Σχήµα Μεταβολή της έντασης των διακυµάνσεων της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος, για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα µε την ταχύτητα U GS, για διάφορες τιµές Re, για : (α) x=8cm, (β) x=19cm και (γ) x=36cm.

183 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 159 στατου προτύπου ροής (το οποίο απουσία αέρα παρατηρείται κυρίως σε σχετικά µεγάλη απόσταση από την είσοδο του υγρού) από το κατώτερο, στο ανώτερο τµήµα του καναλιού, κάτι που είναι σε συµφωνία µε τις οπτικές παρατηρήσεις στην παρούσα εργασία (βλ. Κεφ ). Οι τιµές RMS φαίνεται ότι λαµβάνουν τη µέγιστη τιµή τους κατά την έναρξη της πληµµύρισης και σε κάθε περίπτωση οι µεγαλύτερες τιµές είναι εκείνες που αντιστοιχούν στη θέση x=36cm, στο σηµείο εκείνο δηλαδή όπου τα κύµατα είναι ήδη τρισδιάστατα (ακόµη και απουσία αέρα) και περισσότερο ενισχυµένα (σε σχέση µε εκείνα στη θέση x=19cm) ώστε να µπορούν να επηρεάσουν σηµαντικά τις συνθήκες ροής πλησίον του τοιχώµατος. Επιπροσθέτως, η θέση x=36cm είναι πολύ κοντά στο σηµείο (x=38cm) όπου οι δύο φάσεις έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή, εκεί δηλαδή όπου η αλληλεπίδραση υγρού-αέρα είναι περισσότερο έντονη. Το συµπέρασµα αυτό επιβεβαιώνεται από το Σχήµα όπου παρατίθεται η µεταβολή της έντασης των διακυµάνσεων της διατµητικής τάσης, τ w,rms /τ w,mean, µε την ταχύτητα του αέρα και για τις τρεις θέσεις µέτρησης είναι φανερό ότι η επίδραση της αντιρροής του αέρα στις συνθήκες ροής κοντά στο τοίχωµα εκδηλώνεται µε έντονο τρόπο κυρίως στη θέση x=36cm Φασµατική ανάλυση Η επίδραση των κυµάτων διαταραχής, που αναπτύσσονται στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας και ενισχύονται κατά την αντιροοή του αέρα, επί των συνθηκών ροής πλησίον του τοιχώµατος του καναλιού διερευνάται συµπληρωµατικά και µέσω των φασµάτων συχνότητας των διαταραχών της διατµητικής τάσης. Η φασµατική ανάλυση εστιάζεται στο ενδιάµεσο (x=19cm) και στο κατώτερο τµήµα (x=36cm) του καναλιού δεδοµένου ότι -µε βάση και τα παραπάνω αποτελέσµατα- τα κύµατα που εµφανίζονται στην περιοχή εισόδου (x=8cm) λόγω της αντιρροής του αέρα, δε φαίνεται να επηρεάζουν σηµαντικά τη δοµή του υποστρώµατος της στιβάδας. Από το Σχήµα όπου παρουσιάζονται αντιπροσωπευτικά φάσµατα για τη θέση x=19cm είναι φανερό ότι στην περιοχή των σχετικά µικρών ταχυτήτων αέρα (U GS <5m/s) η µορφή του φάσµατος είναι ποιοτικά όµοια µε εκείνη που προκύπτει µε ανάλυση των δεδοµένων της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος για την περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (βλ. Σχ ). Ωστόσο, η περαιτέρω αύξηση της παροχής του αέρα οδηγεί σε διαφοροποίηση της εικόνας του φάσµατος, το ύψος του οποίου αυξάνεται υποδεικνύοντας αύξηση στη διακύµανση της διατµητικής τάσης. Λίγο πριν την έναρξη της πληµµύρισης µάλιστα, η κύρια συχνότητα που ανιχνεύεται για τα δεδοµένα της διατµητικής τάσης κυµαίνεται

184 160 µεταξύ 2 και 4Hz, δηλαδή είναι σχεδόν ίδια µε την τιµή που προέκυψε από την αντίστοιχη φασµατική ανάλυση των χρονο-σειρών του πάχους στιβάδας (βλ. Σχ ). Αυτό σηµαίνει ότι η ενίσχυση των κυµάτων διαταραχής -λόγω της αντιρροής του αέραόπως αυτή διαπιστώθηκε µε βάση τα δεδοµένα του πάχους στιβάδας, έχει σαν αποτέλεσµα αυτά τα (ενισχυµένα πλέον) κύµατα να επηρεάζουν τη διάτµηση του υγρού στο τοίχωµα. Ανάλογη παρατήρηση αναφέρεται στην εργασία του Zabaras (1985) ο οποίος σχολιάζει ότι σε απόσταση 0.15m από την είσοδο του υγρού, για όλες τις τιµές Re που εξετάσθηκαν, ικανοποιητική συσχέτιση µεταξύ των χρονο-σειρών του πάχους στιβάδας και της διατµητικής τάσης υφίσταται µόνο σε µεγάλες ταχύτητες αέρα, κοντά στην έ- ναρξη της πληµµύρισης. Αντίθετα, ο ίδιος αναφέρει ότι όσο αυξάνεται η απόσταση από την είσοδο του υγρού και η ροή της στιβάδας είναι διαµορφωµένη (ή τείνει να διαµορφωθεί) η συσχέτιση πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης είναι αισθητά βελτιωµένη ακόµη και για τις χαµηλότερες ταχύτητες αέρα. Τα διαγράµµατα που παρατίθενται στο Σχήµα επιβεβαιώνουν την παραπάνω παρατήρηση του Zabaras (1985) και αποτελούν µια ακόµη απόδειξη της διαφορετικής διαµόρφωσης της στιβάδας µεταξύ των δύο θέσεων µέτρησης. Παρατηρείται επίσης ότι η επιφανειακή δοµή της στιβάδας στη θέση x=36cm φαίνεται να επηρεάζει άµεσα και τις συνθήκες ροής πλησίον του τοιχώ- µατος για όλες τις παροχές υγρής και αέριας φάσης που εξετάσθηκαν. Είναι εµφανής τόσο η σταδιακή αύξηση του ύψους του φάσµατος µε την ταχύτητα του αέρα, όσο και η µείωση της κύριας συχνότητας του φαινοµένου (µε την τελική της τιµή να κυµαίνεται µεταξύ 2 και 4Hz). Η τάση αυτή είναι παρόµοια µε εκείνη που προέκυψε από τη φασµατική ανάλυση των χρονο-σειρών του πάχους στιβάδας (βλ. Σχ ) και µπορεί να αποδοθεί στην αναδιαµόρφωση των κυµάτων διαταραχής κατά την αντιρροή του αέρα. Αξιοσηµείωτο είναι ότι στα φάσµατα της διατµητικής τάσης εµφανίζεται και µια δευτερεύουσα συχνότητα (ειδικότερα για τις µεγαλύτερες τιµές Re που εξετάστηκαν) µε τιµή περίπου 3-5Hz, η οποία παρατηρήθηκε και στην περίπτωση της φασµατικής ανάλυσης του πάχους στιβάδας και µπορεί να αποδοθεί στην ενίσχυση ορισµένων µικρότερων κυµάτων που επίσης επηρεάζουν τη διατµητική τάση του υγρού στο τοίχωµα. Από τα παραπάνω, σε συνδυασµό µε τις παρατηρήσεις για την ελευθέρως ρέουσα στιβάδα, προκύπτει ότι οι συνθήκες ροής της υγρής στιβάδας κοντά στο τοίχωµα σχετίζονται όχι µόνο µε την παροχή του υγρού και την απόσταση της θέσης µέτρησης από το σηµείο εισόδου της τροφοδοσίας, αλλά και µε την παροχή του αέρα (όταν αυτός τροφοδοτείται στο κανάλι σε αντιρροή µε την υγρή φάση).

185 Αποτελέσµατα και ανάλυση Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής Re = 135 U GS (m/s) PSD f, Hz 10 8 Re = 200 U GS (m/s) PSD f, Hz 10 8 Re = 295 U GS (m/s) PSD f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών της διατµητικής τάσης για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS για τη θέση x=19cm.

186 Re = 135 U GS (m/s) Re = 170 U GS (m/s) PSD 4 PSD f, Hz f, Hz 10 8 Re = 200 U GS (m/s) Re = 230 U GS (m/s) PSD 4 PSD f, Hz f, Hz 10 8 Re = 265 U GS (m/s) Re = 295 U GS (m/s) PSD 4 PSD f, Hz f, Hz Σχήµα Φάσµατα συχνοτήτων των διαταραχών της διατµητικής τάσης για το ηλεκτροχηµικό διάλυµα, για διάφορες τιµές Re και ταχύτητας U GS για τη θέση x=36cm.

187 Αποτελέσµατα και ανάλυση - Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής Συσχετισµός πάχους στιβάδας και διατµητικής τάσης σε διφασική αντιρροή Όπως διαπιστώθηκε παραπάνω, κατά τη διφασική αντιρροή και σχεδόν µέχρι την έναρξη της πληµµύρισης, η ροή της στιβάδας συνεχίζει να χαρακτηρίζεται από την καθοδική κίνηση σχετικά µεγάλων επιφανειακών κυµάτων, η ταχύτητα των οποίων δε φαίνεται να µεταβάλλεται σηµαντικά σε σχέση µε αυτή που αντιστοιχεί στην περίπτωση της ελευθέρως ρέουσας στιβάδας (απουσία αέρα), για την ίδια παροχή υγρής φάσης. Ωστόσο, κάτι τέτοιο δε σηµαίνει αναγκαστικά ότι η επίδραση της διεπιφανειακής διατµητικής τάσης επί της ροής της υγρής φάσης είναι αµελητέα. Αντίθετα, όπως έδειξαν οι οπτικές παρατηρήσεις καταρχήν και οι πειραµατικές µετρήσεις στη συνέχεια, οι δυνάµεις που ασκούνται από τον αέρα φαίνεται να οδηγούν σε διαφοροποίηση της επιφανειακής δοµής της υγρής στιβάδας σε σχέση µε αυτή που υφίσταται απουσία αέρα. Έ- τσι, τόσο το ύψος όσο και η συχνότητα των µεγάλων κυµάτων, σε αντίθεση µε την ταχύτητά τους, διαπιστώθηκε ότι εµφανίζουν ισχυρή εξάρτηση από την ταχύτητα του αέρα. Η αντιρροή του αέρα όµως επιδρά σηµαντικά και στη διαµόρφωση της συνολικής ροής του υγρού (και αυτής εντός του υποστρώµατος) όπως φανερώνει η µεταβολή των τιµών του µέσου πάχους της στιβάδας και της τυπικής απόκλισης αυτού, σε συνδυασµό µε τη παράλληλη µείωση της µέσης τιµής της διατµητικής τάσης υγρού-τοιχώµατος. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται ένα φαινοµενολογικό µοντέλο, εφαρµόζοντας µονοδιάστατα ισοζύγια ορµής στην υγρή και την αέρια φάση, προκειµένου να ε- κτιµηθεί το µέσο πάχος της υγρής στιβάδας σε συνθήκες αντιρροής µε αέρα, h cc, και η µέση τιµή της διατµητικής τάσης, τ w,mean, για ταχύτητες αέρα U GS µικρότερες από την κρίσιµη ταχύτητα πληµµύρισης. Η βασική παραδοχή που γίνεται για την ανάπτυξη του µοντέλου αφορά στη µορφή της διεπιφάνειας της υγρής στιβάδας κατά την αντιρροή, η οποία υποτίθεται ότι είναι σχεδόν αδιατάρακτη. Η Εξ η οποία αναφέρεται σε σταθεροποιηµένη µονοδιάστατη ροή στην κατεύθυνση x, µε την ταχύτητα της στιβάδας u x (y) να µεταβάλλεται µόνο κατά τη διεύθυνση y, γίνεται στην περίπτωση της κατακόρυφης ροής: 1 dp µ + g + = 0 ρ dx ρ dy 2 dux 2 µε οριακές συνθήκες: u x = 0 για y = 0 (5.3-1)

188 164 dux dy y= hcc τ µ i = για y = h cc όπου τ i είναι η τιµή της διεπιφανειακής διατµητικής τάσης που θεωρείται σταθερή. Ολοκλήρωση της παραπάνω Εξ µεταξύ των τιµών y=y και y=h cc (στην επιφάνεια της υγρής στιβάδας), µε βάση το σύστηµα συντεταγµένων που φαίνεται στο Σχήµα 5.3-1, για σταθερές φυσικές ιδιότητες της υγρής φάσης, δίνει την ακόλουθη έκφραση για την κατανοµή της διατµητικής τάσης: τ µ dux dp yx g ( hcc y) i dy ρ = = dx τ (5.3-2) Για την αντιρροή υγρού-αέρα εντός κατακόρυφου καναλιού ορθογωνικής διατο- µής, το ισοζύγιο δυνάµεων για την αέρια φάση, στην περίπτωση που διαβρέχονται από το υγρό µόνο οι πλευρές µε το µεγαλύτερο πλάτος και θετική φορά αυτή της βαρύτητας, είναι (βλ. Σχήµα 5.3-1): dp A G + ρ ga G G + τ S S G G + τi i = 0 (5.3-3) dx όπου: τ G η διατµητική τάση αέρα-τοιχώµατος ρ G η πυκνότητα του αέρα Α G το τµήµα της διατοµής του καναλιού που καταλαµβάνεται από τον αέρα S G το µήκος της περιφέρειας του καναλιού που είναι σε επαφή µε τον αέρα S i το µήκος της διεπιφάνειας υγρού-αέρα Από το Σχήµα µε την υπόθεση της σχεδόν αδιατάρακτης διεπιφάνειας υ- γρού-αέρα, το παραπάνω ισοζύγιο γίνεται: dp wb ( 2 h cc ) + ρ gwb G ( 2 h cc ) + 2τG ( b 2 h cc ) + 2τ w i = 0 (5.3-4) dx ή dp ρgg + τg + τi = 0 (5.3-5) dx w α b r όπου α r είναι το «κλάσµα κενού» του αέρα στο κανάλι, που ορίζεται ως εξής: b 2h α cc r = (5.3-6) b

189 Αποτελέσµατα και ανάλυση - Χαρακτηριστικά διφασικής αντιρροής 165 Σχήµα Σχηµατική παράσταση της κατανοµής των δύο φάσεων σε αντιρροή εντός του ορθογωνικού καναλιού. Σύστηµα συντεταγµένων και χαρακτηριστικές διαστάσεις. Θεωρώντας ότι η πτώση πίεσης στο υγρό και τον αέρα οφείλεται αποκλειστικά στις τριβές και είναι ίση για κάθε φάση, µπορεί να γίνει αντικατάσταση του όρου dp/dx της Εξ από την Εξ οπότε προκύπτει τελικά: du x 2 2 τ yx = µ = ρg ρgg τg τi ( hcc y) τi (5.3-7) dy w αrb Η ολοκλήρωση της τελευταίας δίνει την κατανοµή της ταχύτητας u x (y): 2 2 ρg ρgg τg τi 2 w αrb y τ i ux( y) = hccy y (5.3-8) µ 2 µ ενώ µε περαιτέρω ολοκλήρωση αυτής της κατανοµής για το µέσο πάχος στιβάδας h cc, εξάγεται η ογκοµετρική παροχή του υγρού ανά µονάδα πλάτους του καναλιού, Q w :