Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Διδάσκων: Α. Αρβανιτογεώργος SumbolÐzoume me F to s ma twn pragmatik n twn migadik n arijm n kai me M m n(f) ton dianusmatikì q ro twn m n pinˆkwn me stoiqeða apì to F. ( 1. Εστω) W 1 ( και W 2 τα) υποσύνολα του M 2 2 (F) που αποτελούνται από στοιχεία της μορφής a b a a και αντίστοιχα. 2b a b c (α) Αποδείξτε ότι τα W 1, W 2 είναι υπόχωροι του M 2 2 (F). (β) Βρείτε βάσεις για τους υποχώρους W 1, W 2 και W 1 W 2. (γ) Να βρεθούν οι διαστάσεις των W 1, W 2, W 1 W 2 και W 1 + W 2. [15] 2. (α) Να ελέγξετε κατά πόσον τα διανύσματα ( 2, 1 2), (3, 2, 1), ( 1, 1, 1) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στον R 3 (β) Εστω T : R 3 R 3 γραμμική απεικόνιση με T ( 2, 1 2) = ( 3, 1, 2), T (3, 2, 1) = (2, 2, 1), T ( 1, 1, 1) = ( 1, 2, 4). Βρείτε την τιμή T (1, 1, 1). [20] (α) Εστω A = Αν γνωρίζετε ότι det A = 420, βρείτε την τιμή του x 2 της x 1 1 λύσης του συστήματος A x 2 x 3 = 0 1. (β) Εστω A ένας n n πίνακας με A t = A και n περιττός. Αποδείξτε ότι ο A δεν είναι αντιστρέψιμος. ( a b 4. Εστω T : C M 2 2 (R) η απεικόνιση με τύπο T (a + ib) = b a (α) Αποδείξτε ότι η T είναι γραμμική. (β) Βρείτε τον πίνακα της T ως προς τις κανονικές βάσεις των αντίστοιχων διανυσματικών χώρων (δηλ. {(1, 0), (0, 1)} και {E 11, E 12, E 21, E 22 }). (γ) Βρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της T. Ποιά η τάξη της T ; (δ) Να ελέγξετε αν η T είναι 1-1 ή επί. [20] ( ) Δίνεται ο πίνακας A =. 3 5 (α) Βρείτε τον πίνακα A (β) Ισχύει ότι αν A είναι ένας n n διαγωνιοποιήσιμος πίνακας, τότε κάθε διάνυσμα x R n είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του A; Αποδείξτε ή δώστε αντιπαράδειγμα. [20] 6. Εστω c R, n N σταθεροί αριθμοί και συμβολίζουμε με V τον διανυσματικό χώρο όλων των πραγματικών συναρτήσεων της μορφής p(x)e cx, όπου p(x) πολυώνυμο βαθμού το πολύ n 1. Θεωρούμε τον γραμμικό τελεστή T : V V με T = d dx. (α) Αποδείξτε ότι το σύνολο {e cx, xe cx, x 2 e cx,..., x n 1 e cx } αποτελεί βάση του V. (β) Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του T. (γ) Είναι ο T διαγωνιοποιήσιμος; [15] ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! ).

4 PANEPISTHMIO PATRWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS JEWRHTIKWN MAJHMATIKWN GRAMMIKH ALGEBRA I Didˆskwn: A. Arbanitoge rgoc 1. (a) ApodeÐxte ìti to sônolo V = {(w, x, y, z) R 4 : w = x + y + z} eðnai upìqwroc tou R 4. (b) BreÐte th diˆstash tou V kai mia bˆsh tou. (g) D ste parˆdeigma enìc disdiˆstatou mh tetrimmènou upìqwrou W tou V. [15] 2. (a) Exetˆste an ta dianôsmata v 1 = (1, 2, 4, 3), v 2 = (4, 7, 9, 7), v 3 = (5, 8, 6, 5) tou R 4 eðnai grammik c exarthmèna. (b) Exhg ste giatð tèssera opoiad pote dianôsmata tou R 3 eðnai grammik c exarthmèna. 3. 'Estw T : R 4 R 3 grammik apeikìnish me pðnaka [T ] = Na breðte ton pur na kai thn eikìna thc T kaj c kai bˆseic aut n. [15] x 1 + x 2 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 1 4. Na brejeð h genik lôsh tou grammikoô sust matoc 2x 1 x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 2 3x 1 + 2x 2 4x 3 3x 4 9x 5 = 3 5. Na brejoôn oi idiotimèc kai ta idiodianôsmata tou pðnaka A = EÐnai o A diagwniopoi simoc; [20] 'Estw T : R 3 R 3 grammikìc telest c me tôpo T (x, y, z) = (0, x, y). BreÐte ta qarakthristikˆ polu numa twn telest n T, T 2 = T T, T 3 = T T T. EÐnai o T diagwniopoi simoc; [15] 7. 'Estw A ènac n n pragmatikìc pðnakac. (a) DeÐxte ìti an A t = A kai n perittìc, tìte det(a) = 0. (b) DeÐxte ìti an A 2 + I = 0, tìte o n eðnai ˆrtioc. (g) IsqÔei to (b) gia migadikoôc pðnakec; [15]. KALH EPITUQIA!

5 GRAMMIKH ALGEBRA I Didˆskwn: A. Arbanitoge rgoc SumbolÐzoume me F to s ma twn pragmatik n twn migadik n arijm n kai me M m n(f) ton dianusmatikì q ro twn m n pinˆkwn me stoiqeða apì to F. 1. Na exetˆsete an ta parakˆtw uposônola eðnai upìqwroi tou M 3 3(R): W 1 = {A = (a ij) M 3 3(R) : a 11 = 1}, W 2 = to sônolo twn summetrik n 3 3 pinˆkwn. Se katafatik apˆnthsh na dojeð mia bˆsh aut n. 2. (a) Pìte ta dianôsmata v 1, v 2,..., v n enìc dianusmatikoô q rou V onomˆzontai grammik c exarthmèna; (b) Na dojeð o orismìc thc tˆxhc miac grammik c( apeikìnishc ) T : V ( W kai enìc ) pðnaka( A M m n(f). ) (g) Na elègxete katˆ pìson ta dianôsmata A 1 =, A =, A = tou 8 0 M 2 2(R) eðnai grammik c exarthmèna. 3. Na brejeð gia poièc timèc thc paramètrou λ R to sôsthma x 1 + x 2 + λx 3 = λ 2 x 1 + λx 2 + x 3 = λ λx 1 + x 2 + x 3 = 1 (a) èqei akrib c mða lôsh kai na dojeð h lôsh aut, (b) den èqei lôseic, (g) èqei ˆpeirec lôseic. [15] ( 2 1 ) 1 4. 'Estw T : R 3 R 3 h grammik apeikìnish me pðnaka [T ] β = wc proc thn kanonik diatetagmènh bˆsh β = {e 1, e 2, e 3} tou R 3. (a) Na upologistoôn ta T (e 1), T (e 2), T (e 3) kai na brejeð o tôpoc thc T. (b) Na brejeð h tˆxh thc T. (g) ApodeÐxte ìti h T den eðnai epð. [20] 5. JewroÔme th grammik apeikìnish T : V W. ApodeÐxte ta ex c: (a) Eˆn dim V > dim W h T den eðnai 1-1. (b) Eˆn dim V < dim W h T den eðnai epð. ( 1 1 ) 1 6. DÐnetai o pðnakac A = (a) BreÐte to qarakthristikì polu numo kai tic idiotimèc tou A. (b) Gia kˆje idiotim tou A breðte èna idiodiˆnusma. (g) EÐnai o A diagwniopoi simoc; [15] 7. 'Estw A M 2 2(F) kai λ 1, λ 2 dôo diaforetikèc metaxô touc idiotimèc tou A me antðstoiqa idiodianôsmata x 1 kai x 2. ApodeÐxte ìti ta x 1, x 2 eðnai grammik c anexˆrthta. Diatup ste kai apodeðxte genðkeush gia pðnaka A M n n(f). [20] KALH EPITUQIA!

6 GRAMMIKH ALGEBRA I **-9-09 Didˆskwn: A. Arbanitoge rgoc SumbolÐzoume me F to s ma twn pragmatik n twn migadik n arijm n kai me M m n(f) ton dianusmatikì q ro twn m n pinˆkwn me stoiqeða apì to F. 1. Poiì apì ta parakˆtw uposônola tou R 3 eðnai upìqwroc tou R 3 ; W 1 = {(x, y, z) R 3 : x + y = 1, z = 0} W 2 = {(x, y, z) R 3 : 2x 3y + z = 0} Se katafatik apˆnthsh na brejeð mia bˆsh tou. 2. (a) Pìte ta dianôsmata v 1, v 2,..., v n enìc dianusmatikoô q rou V onomˆzontai grammik c anexˆrthta; (b) Na dojeð o orismìc thc tˆxhc miac grammik c apeikìnishc T : V W kai enìc pðnaka A M m n (F). (g) Na elègxete katˆ pìson ta dianôsmata (1 1 0), (1 2 2), (2 0 1), (1 1 2) tou R 3 eðnai grammik c anexˆrthta. [15] 3. 'Estw a b c. ApodeÐxte ìti to sôsthma x + y + z = 1 ax + by + cz = 2 a 2 x + b 2 y + c 2 z = 1 èqei pˆnta monadik lôsh. 4. 'Estw T : M 2 3 (R) M 2 2 (R) h grammik apeikìnish me tôpo ( ) ( ) a11 a T 12 a 13 2a11 a = 12 a a 12. a 21 a 22 a (a) BreÐte ton pðnaka thc T wc proc tic kanonikèc bˆseic twn antðstoiqwn dianusmatik nn q rwn. (b) BreÐte bˆseic tou pur na kai thc eikìnac thc T. (g) Na elègxete an h T eðnai 1-1 epð. [20] DÐnetai o pðnakac A = (a) BreÐte tic idiotimèc tou A. (b) Gia kˆje idiotim tou A breðte èna idiodiˆnusma. (g) BreÐte to qarakthristikì polu numo tou A. (d) EÐnai o A diagwniopoi simoc; [20] 6. DÔo pðnakec A, B M n n (F) onomˆzontai ìmoioi eˆn upˆrqei ènac n n antistrèyimoc pðnakac Q me thn idiìthta A = Q 1 BQ. (a) ApodeÐxte ìti an o pðnakac A eðnai ìmoioc me ton λi n (λ F) tìte A = λi n. (b) DeÐxte ìti ènac diagwniopoi simoc pðnakac A o opoðoc èqei mìno mða idiotim, eðnai thc morf c A = λi n.( ) 1 1 (g) DeÐxte ìti o pðnakac den eðnai diagwniopoi simoc. [15] 'Estw A, B M 2 2 (F). ApodeÐxte ìti (AB BA) 2 = det(ab BA)I 2. KALH EPITUQIA!

7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Διδάσκων: Α. Αρβανιτογεώργος SumbolÐzoume me F to s ma twn pragmatik n twn migadik n arijm n kai me M m n(f) ton dianusmatikì q ro twn m n pinˆkwn me stoiqeða apì to F. ( 1. Εστω W 1 και ) W 2 ( τα υποσύνολα ) του M 2 2 (F) που αποτελούνται από στοιχεία της μορφής a a + b x x και αντίστοιχα. a + c b + c y y (α) Αποδείξτε ότι τα W 1, W 2 είναι υπόχωροι του M 2 2 (F). (β) Βρείτε βάσεις για τους υπόχωρους W 1, W 2 και W 1 W 2. (γ) Να βρεθούν οι διαστάσεις των W 1, W 2, W 1 W 2 και W 1 + W 2. [20] 2. (α) Εστω S 0 ο χώρος των λύσεων του ομογενούς γραμμικού συστήματος Ax = 0 όπου x το διάνυσμα-στήλη των αγνώστων. Αποδείξτε ότι αν x 0 είναι μια λύση του συστήματος Ax = B και S το σύνολο των λύσεων αυτού, τότε ισχύει S = {x 0 } + S 0 {x 0 + s : s S 0 }. { 3x1 3x (β) Να λυθεί το γραμμικό σύστημα 2 6x 3 2x 4 = 1 x 1 x 2 2x 3 + 5x 4 = 6 και να εκφραστεί το σύνολο των λύσεων S στη μορφή {x 0 } + S 0, όπως στο ερώτημα (α). [20] 3. Εστω T : R 3 R 3 η απεικόνιση με τύπο T (x, y, z) = (x + 2y z, y + 2z, x + y z). (α) Αποδείξτε ότι η T είναι γραμμική. (β) Βρείτε τον πίνακα της T ως προς την κανονική βάση του R 3. (γ) Βρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της T, καθώς και βάσεις αυτών. (δ) Να ελέγξετε αν η T είναι 1-1 ή επί. [25] 4. Δίνεται ο πίνακας A = M 3 3 (R) (α) Δείξτε ότι το 3 και το 5 είναι ιδοτιμές του A. (β) Βρείτε βάσεις για τους ιδιόχωρους E 3 και E 5. (γ) Ισχύει ότι dim E 3 + dim E 5 = 3; Είναι ο A διαγωνιοποιήσιμος; [20] 5. Να υπολογιστεί η ορίζουσα 1 + a a b b. [15] ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!