= k. n! k! (n k)!, k=0

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= k. n! k! (n k)!, k=0"

Transcript

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα, με det(a την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα A, με F ένα τυχαίο σώμα και με F[x] το δακτύλιο των πολυωνύμων στη μεταβλητή x με συντελεστές από το F Πράξεις Πινάκων 1 Υπολογίστε τον πίνακα 2 Δίνονται οι πίνακες A = (α Δείξτε ότι AB = 7I n ( (β Υπολογίστε τον πίνακα (BA n για n N για n N και B = ( a b 3 Δίνεται πίνακας A = c d F 2 2 (α Δείξτε ότι A 2 (a + da + (ad bc I = O (β Βρείτε όλους τους πίνακες A F 2 2 για τους οποίους ισχύει A 2 = O (γ Βρείτε όλους τους πίνακες A F 2 2 για τους οποίους ισχύει A 2 = I (δ Βρείτε όλους τους πίνακες A R 2 2 για τους οποίους ισχύει A 2 = I 4 Ενας πίνακας A R n n λέγεται στοχαστικός αν τα στοιχεία του είναι μη αρνητικοί αριθμοί και το άθροισμα των στοιχείων οποιασδήποτε γραμμής του A είναι ίσο με 1 (α Δείξτε ότι ένας πίνακας A R n n με στοιχεία μη αρνητικούς αριθμούς είναι στοχαστικός αν και μόνο αν ισχύει AX = X, όπου X R n 1 είναι ο πίνακας - στήλη όλα τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με 1 1

2 (β Συνάγετε ότι το γινόμενο δύο οποιωνδήποτε n n στοχαστικών πινάκων είναι επίσης n n στοχαστικός πίνακας 5 Εστω A, B F n n δύο άνω τριγωνικοί πίνακες (α Δείξτε ότι ο πίνακας AB είναι επίσης άνω τριγωνικός (β Αν κάθε στοιχείο στην κύρια διαγώνιο του B είναι ίσο με μηδέν, δείξτε ότι το ίδιο ισχύει για τον AB (γ Αν κάθε στοιχείο στην κύρια διαγώνιο του A είναι ίσο με μηδέν, δείξτε ότι το ίδιο ισχύει για τον AB (δ Αν A 1, A 2,, A n F n n είναι άνω τριγωνικοί πίνακες κάθε στοιχείο στην κύρια διαγώνιο των οποίων είναι ίσο με μηδέν, δείξτε ότι A 1 A 2 A n = O 6 Δίνονται πίνακες A F m n, B F n p και C F p q (α Εκφράστε το στοιχείο (i, j του γινομένου ABC ως συνάρτηση των στοιχείων των A, B και C (β Γενικότερα, έστω A 1, A 2,, A p πίνακες για τους οποίους ορίζεται το γινόμενο A 1 A 2 A p Εκφράστε το στοιχείο (i, j του πίνακα A 1 A 2 A p ως συνάρτηση των στοιχείων των A 1, A 2,, A p 7 Για ακεραίους 0 k n γράφουμε ( n = k n! k! (n k!, όπου m! = 1 2 m για θετικούς ακεραίους m και 0! = 1 κατά σύμβαση ( ( ( n n 1 n 1 (α Δείξτε ότι = + για 1 k n 1 k k k 1 (β Αν A, B είναι τετραγωνικοί πίνακες επί του F της ίδιας διάστασης και AB = BA, δείξτε ότι A m B n = B n A m για όλα τα m, n N (γ Αν A, B είναι τετραγωνικοί πίνακες επί του F της ίδιας διάστασης και AB = BA, δείξτε ότι n ( n (A + B n = A k B n k k για κάθε n N k=0 2

3 8 Εστω πίνακες A, B, P F n n (α Αν ο P είναι αντιστρέψιμος και AP = O, δείξτε ότι A = O (β Αν ο P είναι αντιστρέψιμος και P B = O, δείξτε ότι B = O (γ Αν AB = BA, A 2 = B 2 και ο A + B είναι αντιστρέψιμος, δείξτε ότι A = B 9 Δίνεται πίνακας A F n n (α Αν ο A είναι συμμετρικός, δείξτε ότι ο πίνακας P t AP είναι συμμετρικός για κάθε P F n n (β Αν ο P t AP είναι συμμετρικός για κάποιον αντιστρέψιμο πίνακα P F n n, δείξτε ότι ο A είναι συμμετρικός πίνακας 10 Για ποιους θετικούς ακεραίους n ισχύει καθένα από τα εξής; (α Αν ο πίνακας A F n n είναι συμμετρικός, τότε και ο A 2 είναι συμμετρικός (β Αν A R n n και ο πίνακας A 2 είναι συμμετρικός, τότε και ο A είναι συμμετρικός (γ Αν ο πίνακας A R n n είναι αντιστρέψιμος και ο A 2 είναι συμμετρικός, τότε ο A είναι συμμετρικός (δ Αν A R n n και ο πίνακας (A + B 2 είναι συμμετρικός για κάθε συμμετρικό πίνακα B R n n, τότε ο A είναι συμμετρικός 11 Για τυχαίο πίνακα A F n n συμβολίζουμε με tr(a το άθροισμα των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (ίχνος του A (α Για A, B F n n και λ F, δείξτε ότι: tr(λa = λtr(a, tr(a + B = tr(a + tr(b, tr(ab = tr(ba (β Αν για τη συνάρτηση ϕ : F n n F ισχύουν ϕ(λa = λϕ(a, ϕ(a + B = ϕ(a + ϕ(b, ϕ(ab = ϕ(ba για όλους τους πίνακες A, B F n n και κάθε λ F, δείξτε ότι υπάρχει c F τέτοιο ώστε ϕ(a = c tr(a για κάθε A F n n 3

4 12 Δίνεται πίνακας A F n n (α Υπολογίστε το ίχνος tr(a 2 ως συνάρτηση των στοιχείων του A (β Συνάγετε ότι αν F = R και ο πίνακας A είναι συμμετρικός, τότε tr(a 2 0 και η ισότητα ισχύει μόνο για το μηδενικό πίνακα 13 Συμβολίζουμε με K n (F το σύνολο όλων των πινάκων της μορφής BC CB, όπου B, C F n n (α Δείξτε ότι tr(a = 0 για κάθε πίνακα A F n n που μπορεί να γραφεί ως άθροισμα πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του K n (F ( ( ( (β Δείξτε ότι οι πίνακες, και ανήκουν στο K (F (γ Δείξτε ότι κάθε πίνακας A F n n ίχνους μηδέν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του K n (F 14 Υπάρχει θετικός ακέραιος n και πίνακες A, B, C C n n τέτοιοι ώστε (α AB BA = I; (β AB BA = A και AC = I; 15 Δίνονται οι πίνακες A = (α Υπολογίστε τον πίνακα B και δείξτε ότι B 2 = O και B = A I (β Συνάγετε ότι ο A είναι αντιστρέψιμος και υπολογίστε τον αντίστροφό του (γ Υπολογίστε τον πίνακα A n για n N 16 Υπολογίστε τον πίνακα 17 Υπολογίστε τον πίνακα λ λ λ n n για n N και λ F για n N 18 Δίνεται ο άνω τριγωνικός n n πίνακας A =

5 (α Υπολογίστε τους πίνακες A 2 και A 3 (β Υπολογίστε τον πίνακα A m για τυχαίο m N 19 Εστω πίνακας A F n n Βρείτε όλους τους πίνακες B F n n για τους οποίους ισχύει AB = BA στις εξής περιπτώσεις: (α A = , (β A = , (γ ο A είναι διαγώνιος και τα στοιχεία του στην κύρια διαγώνιο είναι διαφορετικά ανά δύο, (δ A = 0 0 0, (ε A = Εστω πίνακας A F n n (α Αν ισχύει AB = BA για κάθε διαγώνιο πίνακα B F n n, δείξτε ότι ο A είναι διαγώνιος πίνακας (β Αν ισχύει AB = BA για κάθε B F n n, δείξτε ότι A = λi για κάποιο λ F (γ Αν ισχύει AB = BA για κάθε πίνακα B F n n τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο του οποίου είναι ίσα με μηδέν, δείξτε ότι A = λi για κάποιο λ F (δ Αν ισχύει AP = P A για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα P F n n, δείξτε ότι A = λi για κάποιο λ F (ε Για ποιους πίνακες A ισχύει AB = BA για κάθε άνω τριγωνικό πίνακα B F n n, τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο του οποίου είναι ίσα με μηδέν; 21 Ενας τετραγωνικός πίνακας A λέγεται μηδενοδύναμος αν ισχύει A m = O για κάποιο θετικό ακέραιο m (α Δείξτε ότι δεν υπάρχουν αντιστρέψιμοι μηδενοδύναμοι πίνακες (β Δείξτε ότι αν ο πίνακας A είναι άνω τριγωνικός και όλα τα στοιχεία πάνω στην κύρια διαγώνιο του A είναι ίσα με μηδέν, τότε ο A είναι μηδενοδύναμος 5

6 (γ Δείξτε ότι αν οι A, B είναι μηδενοδύναμοι πίνακες και BA = λab για κάποιο λ F, τότε ο A + B είναι επίσης μηδενοδύναμος πίνακας (δ Δώστε παράδειγμα 2 2 μηδενοδύναμων πινάκων A, B τέτοιων ώστε ο A + B να είναι αντιστρέψιμος πίνακας (ε Βρείτε όλους τους 2 2 μηδενοδύναμους πίνακες Συνάγετε ότι αν οι A, B και A + B είναι 2 2 μηδενοδύναμοι πίνακες, τότε AB = BA = O (στ Αληθεύει ότι αν οι A, B και A+B είναι 3 3 μηδενοδύναμοι πίνακες, τότε AB = O ή BA = λab για κάποιο λ F; 22 Βρείτε όλους τους αντιστρέψιμους πίνακες A R n n με στοιχεία μη αρνητικούς αριθμούς για τους οποίους τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα A 1 είναι επίσης μη αρνητικοί αριθμοί (α για n = 2, (β για τυχαίο θετικό ακέραιο n 23 Εστω A F m n και B F n m Δείξτε ότι ο πίνακας I m AB είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο πίνακας I n BA είναι αντιστρέψιμος Στοιχειώδεις Μετασχηματισμοί και Γραμμικά Συστήματα 24 Υπολογίστε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή του πίνακα 1 2 n n + 1 n + 2 2n n 2 n + 1 n 2 n + 2 n 2 για n 2 25 Να λύσετε τα συστήματα των γραμμικών εξισώσεων: x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 2 + x 3 + x 4 = 1 (α x 3 + x 4 + x 5 = 1 (β x 98 + x 99 + x 100 = 1 x 1 + x 3 + x 5 = 1 x 2 + x 4 + x 6 = 1 x 3 + x 5 + x 7 = 1 x 96 + x 98 + x 100 = 1 πάνω σε τυχαίο σώμα F 26 Για τις διάφορες τιμές του λ R, να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: 6

7 (α (γ { λx1 + x 2 = 1 x 1 + λx 2 = λ (β λx 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + λx 2 + x 3 = λ x 1 + x 2 + λx 3 = λ 2 λx 1 + x x n 1 + x n = 1 x 1 + λx x n 1 + x n = λ x 1 + x λx n 1 + x n = λ n 2 x 1 + x x n 1 + λx n = λ n 1 για τυχαίο ακέραιο n 3 27 Δίνεται πίνακας A F m n Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (i για κάθε b F m, το γραμμικό σύστημα Ax = b έχει το πολύ μία λύση, (ii το ομογενές γραμμικό σύστημα Ax = 0 έχει μόνο την τετριμμένη λύση 28 Δίνεται πίνακας A F m n με m < n (α Δείξτε ότι το ομογενές γραμμικό σύστημα Ax = 0 έχει μία τουλάχιστον μη τετριμμένη λύση (β Αν το σώμα F είναι άπειρο, δείξτε ότι το σύστημα Ax = 0 έχει άπειρες λύσεις 29 Δίνεται πίνακας A Q m n και διάνυσμα b Q m Δείξτε ότι αν το γραμμικό σύστημα Ax = b έχει μιγαδική λύση x C n, τότε το σύστημα αυτό έχει και ρητή λύση x Q n 30 Δίνονται θετικοί ακέραιοι m, p και μη αντιστρέψιμος πίνακας A F n n (α Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας B F n p, τέτοιος ώστε AB = O (β Δείξτε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας C F m n, τέτοιος ώστε CA = O 31 Εστω πίνακες A F n m και B F m n με AB = I n (α Δείξτε ότι το ομογενές γραμμικό σύστημα Bx = 0 δεν έχει μη τετριμμένη λύση (β Συνάγετε ότι ισχύει n m (γ Αν n = m, δείξτε ότι ισχύει επίσης BA = I n 7

8 32 Δίνονται σύνολο S με n στοιχεία και μη κενά υποσύνολα A 1, A 2,, A n+1 του S Χρησιμοποιώντας την Άσκηση 28, δείξτε ότι υπάρχουν μη κενά, ξένα μεταξύ τους σύνολα δεικτών I, J {1, 2,, n + 1} τέτοια ώστε i I A i = j J A j 33 Υπολογίστε τον αντίστροφο των πινάκων: 1 λ λ 2 λ n λ λ n 2 (α A n = λ n 3, για λ F (β B n = R n n, για n Δίνεται ο πίνακας A n = n n n n n n n R n n (α Υπολογίστε τον αντίστροφο του A n για n = 2, 3, 4, 5 (β Υπολογίστε τον αντίστροφο του A n για τυχαίο θετικό ακέραιο n 35 Δίνεται ο πίνακας A n = (α Για ποιες τιμές του n είναι ο πίνακας A n αντιστρέψιμος; R n n (β Υπολογίστε τον αντίστροφο του A n, όταν αυτός υπάρχει 36 Εστω πίνακας A C n n 8

9 (α Αν κάθε στοιχείο της κύριας διαγωνίου του A είναι ίσο με n και καθένα από τα υπόλοιπα στοιχεία του A έχει μέτρο μικρότερο ή ίσο του 1, δείξτε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος (β Ισχύει το ίδιο αν υποθέσουμε ότι κάθε στοιχείο της διαγωνίου του A είναι ίσο με n 1; 37 Εστω πίνακες A, B F n n Αν υπάρχουν ακέραιοι m 1 και p 0 τέτοιοι ώστε AB m = (I B p, δείξτε ότι ο πίνακας B είναι αντιστρέψιμος 38 Εστω πίνακες A, B C n n με AB = BA και έστω P = A + B + I (α Αν P x = 0 για κάποιο x C n, δείξτε ότι (A + I k x = ( B k x για κάθε k N (β Αν A m = B m+1 = I για κάποιο θετικό ακέραιο m, δείξτε ότι ο πίνακας P είναι αντιστρέψιμος (γ Αληθεύει το (β χωρίς την υπόθεση ότι AB = BA; 39 Εστω πίνακες A, B F n n (α Αν AB = A + B, δείξτε ότι AB = BA (β Αν P F n n είναι αντιστρέψιμος πίνακας και ισχύει A = P B(A + P, δείξτε ότι ABP = P BA (γ Αληθεύει το (β χωρίς την υπόθεση ότι ο P είναι αντιστρέψιμος; Ορίζουσες 40 Ποιο είναι το πρόσημο του όρου a 13 a 25 a 31 a 46 a 52 a 64 στο ανάπτυγμα της 6 6 ορίζουσας det(a ij ; 41 Δείξτε ότι (α det (β det 1 a a 2 + bc 1 b b 2 + ac 1 c c 2 + ab 1 a a 2 a 3 + bcd 1 b b 2 b 3 + acd 1 c c 2 c 3 + abd 1 d d 2 d 3 + abc = 2 det = 0 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2, 9

10 για a, b, c, d F 42 Υπολογίστε τις n n ορίζουσες: (α det (β det n 1 1 n Θεωρούμε την n n ορίζουσα c n α + β α β α + β α β α + β = det α β α + β α β α + β για α, β F (α Δείξτε ότι c n = (α + βc n 1 αβ c n 2 για n 2, όπου c 0 = 1 κατά σύμβαση (β Συνάγετε έναν τύπο για το c n της μορφής c n = p n (α, β, όπου p n (x, y Z[x, y] είναι πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές 44 Εστω ο n n πίνακας A n της Άσκησης 34 (α Υπολογίστε την ορίζουσα του A n για n = 1, 2, 3, 4, 5 (β Υπολογίστε την ορίζουσα του A n για τυχαίο θετικό ακέραιο n (γ Υπολογίστε τον προσαρτημένο πίνακα του A n για τυχαίο θετικό ακέραιο n (δ Να λύσετε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων A n x = b, όπου b είναι η στήλη μήκους n όλα τα στοιχεία της οποίας είναι ίσα με 1 45 Δείξτε ότι η ορίζουσα του προσαρτημένου πίνακα ενός πίνακα A F n n είναι ίση με (det(a n 1 46 Εστω αντιστρέψιμος πίνακας A F n n Δείξτε ότι το άθροισμα των στοιχείων του αντίστροφου πίνακα A 1 είναι ίσο με 1/ det(a επί το άθροισμα των οριζουσών των 10

11 n πινάκων που προκύπτουν αντικαθιστώντας μια από τις n γραμμές του A με τη γραμμή ( Δίνεται θετικός ακέραιος m (α Αν για δύο n n πίνακες A = (a ij και B = (b ij με στοιχεία ακέραιους αριθμούς ισχύει a ij b ij (mod m για 1 i, j n, δείξτε ότι det(a det(b (mod m (β Δείξτε ότι ο πίνακας A = είναι αντιστρέψιμος R Εστω ο n n πίνακας A = a 1 a 2 a n a 2 1 a 2 2 a 2 n a1 n 1 a2 n 1 an n 1, όπου a 1, a 2,, a n είναι στοιχεία ενός σώματος F (α Δείξτε ότι det(a = 1 i<j n (a j a i (β Αν τα a 1, a 2,, a n είναι διαφορετικά ανά δύο, συνάγετε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος και δείξτε ότι το άθροισμα των στοιχείων του A 1 είναι ίσο με 1 (γ Δείξτε ότι a 1 a 2 a n a 2 1 a 2 2 a 2 n det a n 2 1 a n 2 2 a n 2 n a n 1 a n 2 a n n = (a 1 + a a n 1 i<j n (a j a i 11

12 49 Υπολογίστε την n n ορίζουσα x 1 + y 1 x 2 + y 1 x n + y 1 det (x 1 + y 1 (x 1 + y 2 (x 2 + y 1 (x 2 + y 2 (x n + y 1 (x n + y 2 (x 1 + y 1 (x 1 + y n 1 (x n + y 1 (x n + y n 1 για πραγματικούς αριθμούς x 1,, x n, y 1,, y n 1 50 Εστω f(t η ορίζουσα του n n πίνακα c 1 t a t a t a t b t c 2 t a t a t b t b t c 3 t a t b t b t b t c n t, όπου a, b, c 1, c 2,, c n C και έστω το πολυώνυμο ϕ(t = (c 1 t(c 2 t (c n t (α Δείξτε ότι f(a = ϕ(a και ότι f(b = ϕ(b (β Αν a b, δείξτε ότι f(0 = bϕ(a aϕ(b b a 51 Να υπολογίσετε την ορίζουσα του (k + 1 (k + 1 πίνακα ( n ( n ( 0 1 n k ( n+1 ( n+1 ( A(n, k = n k, ( n+k ( n+k 0 1 όπου ( m r = m! Υπόδειξη: ( m r!(m r! r ( = m 1 ( r + m 1 r 1 ( n+k k 52 Εστω A, B F n n και a 1, a 2,, a n, b 1, b 2,, b n, x 1, x 2,, x n F (α Δείξτε ότι η ορίζουσα του πίνακα A + B είναι ίση με το άθροισμα των οριζουσών των 2 n πινάκων που προκύπτουν από τον A αντικαθιστώντας κάποιες από τις στήλες του A (πιθανώς καμιά ή και όλες με τις αντίστοιχες στήλες του B 12

13 (β Υπολογίστε την n n ορίζουσα a 1 b 1 + x 1 a 1 b 2 a 1 b n det a 2 b 1 a 2 b 2 + x 2 a 2 b n a n b 1 a n b 2 a n b n + x n (γ Υπολογίστε το όριο lim n ( 1 n/2 n! det ( 1 n 1 n 53 Εστω η n n ορίζουσα d n = det 1 1! 1 2! 1 n! 1 1 2! n! 1 1 3! (n+1! 1 1 (n+1! (2n 1! (α Υπολογίστε τη d n για n = 2 και n = 3 (β Δείξτε ότι d n = 1!2! (n 1! n!(n + 1! (2n 1! det ( n ( n 1 2 ( n+1 2 ( 2n 1 n ( n+1 3 ( 2n 1 n+1 ( n n ( n+1 n+1 ( 2n 1 2n 1 (γ Υπολογίστε τη d n για τυχαίο θετικό ακέραιο n 54 Εστω ακέραιος n 2 και a 0, a 1,, a n 1 R 13

14 (α Δείξτε ότι det a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 = a 0 +a 1 +2a a n 2 a n 1 (β Υπάρχει πίνακας A τα στοιχεία του οποίου ανήκουν στο σύνολο { 1, 0, 1}, τέτοιος ώστε det(a = 2010; 55 Εστω θετικοί ακέραιοι n, m και x 0, x 1,, x m 1 F (α Αν A F n n και B = (b ij F m m, δείξτε ότι b 11 A b 12 A b 1m A b 21 A b 22 A b 2m A det = (det(am (det(b n b m1 A b m2 A b mm A (β Εστω ο m 2 m 2 πίνακας C m = (c ij, όπου 0 i, j m 2 1, με στοιχεία c ij = x s 0 r 0 x s 1 r 1, όπου i = r 0 +mr 1, j = s 0 +ms 1 και r 0, r 1, s 0, s 1 {0, 1,, m 1} Δείξτε ότι ( 2m det(c m = (x i x j i>j 56 Εστω πίνακες A F n n, B F n m και D F m m (α Δείξτε ότι ( A B det O D = det(a det(d (β Εστω ότι A, B R n n (δηλαδή F = C και n = m Δείξτε ότι ( A B det = det(a ib det(a + ib B A και συνάγετε ότι ( A B det B A 0 14

15 57 Εστω πίνακες A, B, C, D F n n (α Δείξτε ότι αν ο A είναι αντιστρέψιμος και AC = CA, τότε ( A B det = det(ad CB C D (β Ισχύει το συμπέρασμα του (α χωρίς την υπόθεση AC = CA; 58 Εστω πίνακες A F m n και B F n m (α Αν m > n, δείξτε ότι det(ab = 0 (β Αν m n, δείξτε ότι det(ab = S det(a S det(b S, όπου στο άθροισμα του δεξιού μέλους το S = {j 1 < j 2 < < j m } διατρέχει όλα τα υποσύνολα του {1, 2,, n} με m στοιχεία, A S είναι ο m m πίνακας με στήλες τις j 1, j 2,, j m στήλες του A και B S είναι ο m m πίνακας με γραμμές τις j 1, j 2,, j m γραμμές του B (γ Για τυχαίο πίνακα Q R n m, δείξτε ότι det(q t Q 0 59 Δείξτε ότι det a 1 a 2 a 3 a n a n a 1 a 2 a n 1 a n 1 a n a 1 a n 2 ( n 1 n = ( 1 n 1 j=0 k=1 ζ jk a k, a 2 a 3 a 4 a 1 όπου ζ = e 2πi/n Συνάγετε ότι n n 1 2 n 1 det n 1 n 1 n n 1 (n + 1 nn 1 = ( Εστω n n πίνακας A, καθένα από τα στοιχεία του οποίου είναι ίσο με 1 ή 1 15

16 (α Δείξτε ότι η ορίζουσα του A είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2 n 1 (β Για δοσμένο n, υπολογίστε την ελάχιστη θετική τιμή που μπορεί να λάβει η ορίζουσα του A 61 Υπάρχει πίνακας A R n n τέτοιος ώστε A 2 = I; (α Απαντήστε το ερώτημα αυτό για n = 2, για n = 3, για τυχαίο θετικό ακέραιο n (β Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους n για τους οποίους υπάρχουν αντιστρέψιμοι πίνακες A, B R n n τέτοιοι ώστε A 2 + B 2 = O 62 Εστω ότι A, B R 2 2 είναι συμμετρικοί αντιστρέψιμοι πίνακες Δείξτε ότι ο A 2 + B 2 είναι επίσης αντιστρέψιμος πίνακας Ισχύει το ίδιο για n n πίνακες; 63 Δίνεται σώμα F (α Αν το F έχει τουλάχιστον τρία στοιχεία, δείξτε ότι κάθε πίνακας A F n n μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αντιστρέψιμων πινάκων, ένας από τους οποίους είναι άνω τριγωνικός και ο άλλος κάτω τριγωνικός (β Αν n 2, δείξτε ότι κάθε πίνακας A F n n μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αντιστρέψιμων πινάκων 64 Δείξτε ότι: (α Αν A 1, A 2,, A n+1 F n n είναι τυχαίοι πίνακες, τότε υπάρχουν λ 1, λ 2,, λ n+1 F, όχι όλα μηδέν, τέτοια ώστε det(λ 1 A 1 + λ 2 A λ n+1 A n+1 = 0 (β Υπάρχουν πίνακες A 1, A 2 R 2 2 με την εξής ιδιότητα: αν λ 1, λ 2 είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, όχι και οι δύο μηδέν, τότε det(λ 1 A 1 + λ 2 A 2 0 (γ Υπάρχουν πίνακες A 1, A 2, A 3, A 4 R 4 4 με την εξής ιδιότητα: αν λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 είναι τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί, όχι όλοι μηδέν, τότε det(λ 1 A 1 + λ 2 A 2 + λ 3 A 3 + λ 4 A Δίνεται θετικός ακέραιος n και τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί a ij για 1 i, j n με i j Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a ii {0, 1} για 1 i n, τέτοιοι ώστε ο πίνακας A = (a ij R n n να είναι αντιστρέψιμος 16

17 Τάξη Πίνακα Συμβολίζουμε με rank(a την τάξη ενός πίνακα A F m n, δηλαδή το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό k για τον οποίο υπάρχει μη μηδενική k k υποορίζουσα του A και υπενθυμίζουμε ότι η τάξη ενός πίνακα δε μεταβάλλεται όταν εκτελούμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις γραμμές (ή στις στήλες του πίνακα αυτού 66 Υπολογίστε την τάξη του πίνακα της Άσκησης 24 για κάθε θετικό ακέραιο n 67 Δίνεται θετικός ακέραιος n Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τάξη ενός μηδενοδύναμου πίνακα A F n n (δηλαδή n n πίνακα με A m = O για κάποιο θετικό ακέραιο m; 68 Για τυχαίους πίνακες A F m n και B F n p δείξτε ότι: (α rank(ab rank(a (β rank(ab rank(b 69 Δίνεται πίνακας A F m n Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (α rank(a = m (β Υπάρχει μία m m υποορίζουσα του A η οποία είναι διάφορη του μηδενός (γ Το γραμμικό σύστημα Ax = b είναι συμβιβαστό για κάθε b F m 1 (δ Υπάρχει πίνακας B F n m τέτοιος ώστε AB = I m 70 Δίνεται πίνακας A F m n Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (α rank(a = n (β Υπάρχει μία n n υποορίζουσα του A η οποία είναι διάφορη του μηδενός (γ Το γραμμικό σύστημα Ax = b έχει το πολύ μία λύση για κάθε b F m 1 (δ Το ομογενές γραμμικό σύστημα Ax = 0 έχει μόνο την τετριμμένη λύση x = 0 (ε Υπάρχει πίνακας C F n m τέτοιος ώστε CA = I n 71 Για τυχαίο πίνακα A F m n δείξτε ότι: (α rank(p AQ rank(a για P F m m και Q F n n (β rank(p A = rank(a για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα P F m m (γ rank(aq = rank(a για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα Q F n n (δ rank(p AQ = rank(a για όλους τους αντιστρέψιμους P F m m και Q F n n 17

18 72 Δείξτε ότι rank(a+b rank(a+rank(b για τυχαίους πίνακες A, B F m n 73 Δίνεται ακέραιος n 2 Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη τιμή της τάξης ενός n n πίνακα, τα στοιχεία του οποίου είναι ακριβώς οι ακέραιοι 1, 2,, n 2 ; 74 Εστω θετικός ακέραιος n και πίνακας A = (a ij R n n με a ij = { 0, αν i = j, 1, διαφορετικά (α Αν ο n είναι άρτιος, δείξτε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος (β Εστω ότι ο n είναι περιττός Ποιες είναι οι δυνατές τιμές της τάξης του A; 75 Εστω A ένας n n πίνακας με τις εξής ιδιότητες: Κάθε στοιχείο της κύριας διαγωνίου του A είναι ίσο με μηδέν και καθένα από τα υπόλοιπα στοιχεία του A είναι ίσο με 1 ή με 2010 Δείξτε ότι rank(a n 1 76 Δίνεται πίνακας A R n n για τον οποίο ισχύει A t + A = J n I n, όπου J n είναι ο n n πίνακας κάθε στοιχείο του οποίου είναι ίσο με 1 (α Δείξτε ότι rank(a n 1 (β Δώστε παράδειγμα τέτοιου πίνακα με rank(a = n 1 (γ Για n 2, δώστε παράδειγμα τέτοιου πίνακα με rank(a = n Ο Διανυσματικός Χώρος F n 1 Ορίζουμε τον πυρήνα ενός πίνακα A F m n ως ker(a := {x F n 1 : Ax = 0} και την απεικόνιση L A : F n 1 F m 1 θέτοντας L A (x = Ax για x F n 1 77 Δίνεται πίνακας A F m n Δείξτε ότι οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες: (α Οι στήλες του A παράγουν το χώρο F m 1 (β Το γραμμικό σύστημα Ax = b είναι συμβιβαστό για κάθε b F m 1 (γ Η απεικόνιση L A : F n 1 F m 1 είναι επί (δ rank(a = m 78 Δίνεται πίνακας A F m n Δείξτε ότι οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες: (α Οι στήλες του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του F m 1 18

19 (β Το ομογενές γραμμικό σύστημα Ax = 0 έχει μόνο την τετριμμένη λύση x = 0 (γ Η απεικόνιση L A : F n 1 F m 1 είναι 1 1 (δ rank(a = n 79 Εστω διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί λ 1, λ 2,, λ n που δεν ανήκουν στο σύνολο { 1, 2,, n} Δείξτε ότι οι στήλες του πίνακα λ 1 +1 λ 1 +2 λ 1 +n 1 λ λ n λ 2 +2 λ 2 +n 1 1 λ n+2 λ n+n είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα του R n 1 80 Εστω W το σύνολο των στοιχείων (x 1 x 2 x n t του διανυσματικού χώρου F n 1 που ικανοποιούν τη σχέση x 1 + x x n = 0 (α Δείξτε ότι το W είναι υπόχωρος του F n 1 (β Υπολογίστε τη διάσταση του W και βρείτε μια βάση αυτού 81 Δίνεται πίνακας A F m n (α Δείξτε ότι η διάσταση του υπόχωρου του F m 1 που παράγεται από τις στήλες του A είναι ίση με την τάξη του A (β Συνάγετε ότι η διάσταση του υπόχωρου του F m 1 που παράγεται από τις στήλες του A είναι ίση με τη διάσταση του υπόχωρου του F n 1 που παράγεται από τις στήλες του A t 82 Δείξτε ότι dim ker(a = n rank(a για κάθε πίνακα A F m n 83 Βρείτε όλους τους υπόχωρους W του R n 1 με την ιδιότητα: αν (x 1 x 2 x n t W και σ είναι μετάθεση του συνόλου {1, 2,, n}, τότε (x σ(1 x σ(2 x σ(n t W Ποιες είναι οι δυνατές τιμές της διάστασης ενός τέτοιου υπόχωρου; 84 Δείξτε ότι για κάθε υπόχωρο W του χώρου F n 1 υπάρχουν θετικός ακέραιος r και πίνακας A F r n τέτοιοι ώστε W = ker(a 85 Δείξτε ότι για τον προσαρτημένο πίνακα adj(a ενός πίνακα A F n n ισχύουν: (α Αν rank(a = n, τότε rank(adj(a = n 19

20 (β Αν rank(a = n 1, τότε rank(adj(a = 1 (γ Αν rank(a n 2, τότε rank(adj(a = 0 Αφηρημένοι Διανυσματικοί Χώροι Συμβολίζουμε με dim(v τη διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V και με F n [x] τον F-διανυσματικό χώρο όλων των πολυωνύμων p(x F[x] βαθμού μικρότερου ή ίσου του n 86 Δίνονται γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα u 1, u 2,, u n ενός διανυσματικού χώρου V και διανύσματα v 1, v 2,, v m που παράγουν το V Χρησιμοποιήστε την Άσκηση 28 για να δείξετε ότι n m 87 Υπολογίστε τη διάσταση των παρακάτω υπόχωρων του F n n : (α του υπόχωρου των άνω τριγωνικών n n πινάκων, (β του υπόχωρου των άνω τριγωνικών n n πινάκων, κάθε στοιχείο στην κύρια διαγώνιο των οποίων είναι ίσο με μηδέν, (γ του υπόχωρου των συμμετρικών n n πινάκων, (δ του υπόχωρου των αντισυμμετρικών n n πινάκων 88 Δίνεται το σύνολο W n = {A F n n : tr(a = 0} όλων των n n πινάκων με στοιχεία από το F, το ίχνος των οποίων είναι ίσο με μηδέν (α Δείξτε ότι το W n είναι γνήσιος υπόχωρος του F n n Ποια είναι η διάστασή του; (β Συνάγετε ότι οποιοιδήποτε πίνακες A 1, A 2,, A n 2 F n n με tr(a i = 0 για 1 i n 2 είναι γραμμικώς εξαρτημένα στοιχεία του F n n (γ Βρείτε γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία A 1, A 2,, A n 2 του F n n, τέτοια ώστε tr(a i = 1 για 1 i n 2 (δ Εστω πίνακας B F n n ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του I n και έστω πίνακες A 1, A 2,, A n 2 F n n Αν ισχύει A i B = BA i για 1 i n 2, δείξτε ότι οι A 1, A 2,, A n 2 είναι γραμμικώς εξαρτημένα στοιχεία του F n n 89 Εστω V το σύνολο των πινάκων στο F m n των οποίων τα στοιχεία κάθε γραμμής και κάθε στήλης έχουν άθροισμα μηδέν (α Δείξτε ότι ο V είναι γραμμικός υπόχωρος του F m n (β Βρείτε μια βάση του V για m = 2 και τυχαίο n 20

21 (γ Βρείτε μια βάση του V για τυχαία m και n (δ Συνάγετε ότι dim(v = (m 1(n 1 90 Δίνονται πολυώνυμα φ 0 (x, φ 1 (x,, φ n (x F n [x] (α Αν το φ i (x έχει βαθμό ίσο με i για 0 i n (οπότε το φ 0 (x είναι μη μηδενικό σταθερό πολυώνυμο, δείξτε ότι η (φ 0 (x, φ 1 (x,, φ n (x είναι βάση του F n [x] (β Εστω a F Συνάγετε από το (α ότι τα πολυώνυμα φ i (x = (x a i για 0 i n αποτελούν τα στοιχεία μιας βάσης του F n [x] (γ Αν F = C, εκφράστε ένα τυχαίο πολυώνυμο p(x F n [x] ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της βάσης του ερωτήματος (β 91 Εστω a F (α Δείξτε ότι το σύνολο W = {p(x F n [x] : p(a = 0} είναι γνήσιος υπόχωρος του διανυσματικού χώρου F n [x] (β Αν p 0 (x, p 1 (x,, p n (x F n [x] και p i (a = 0 για 0 i n, δείξτε ότι τα p 0 (x, p 1 (x,, p n (x είναι γραμμικώς εξαρτημένα στοιχεία του F n [x] (γ Εστω μη μηδενικό στοιχείο b F Δείξτε ότι υπάρχουν γραμμικώς ανεξάρτητα p 0 (x, p 1 (x,, p n (x F n [x], τέτοια ώστε p i (a = b για 0 i n 92 Δίνονται ανά δύο διακεκριμένα στοιχεία a 1, a 2,, a n ενός σώματος F και τα πολυώνυμα φ(x = (x a 1 (x a 2 (x a n και φ i (x = φ(x/(x a i για 1 i n του F[x] (α Δείξτε ότι τα φ 1 (x, φ 2 (x,, φ n (x είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του F-διανυσματικού χώρου F[x] (β Δείξτε ότι κάθε πολυώνυμο p(x F[x] με βαθμό μικρότερο του n γράφεται στη μορφή p(x = c 1 φ 1 (x + c 2 φ 2 (x + + c n φ n (x με c i = p(a i φ (a i για 1 i n 93 Δίνονται τα στοιχεία φ i (x = x i (1 + x n i του F n [x] για 0 i n (α Δείξτε ότι η B n = (φ 0 (x, φ 1 (x,, φ n (x είναι βάση του F n [x] (β Για 0 k n, εκφράστε το μονώνυμο x k ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της βάσης B n 21

22 (γ Αν n = 4, πράξτε ομοίως για το πολυώνυμο p(x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 94 Δίνεται διανυσματικός χώρος V διάστασης n και υπόχωροί του U και W Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: (i V = U W (ii V = U + W και dim(u + dim(w = n (iii Υπάρχουν βάσεις B και C των U και W, αντίστοιχα, με B C =, η ένωση των οποίων είναι βάση του V (iv Για οποιεσδήποτε βάσεις B και C των U και W, αντίστοιχα, ισχύει B C = και η ένωση B C είναι βάση του V 95 Εστω V n = R n [x] Συμβολίζουμε με U n το σύνολο των πολυωνύμων p(x V n για τα οποία ισχύει p( x = p(x και με W n το σύνολο των πολυωνύμων q(x V n για τα οποία ισχύει q( x = q(x (α Δείξτε ότι τα σύνολα U n και W n είναι υπόχωροι του διανυσματικού χώρου V n (β Υπολογίστε τις διαστάσεις των U n και W n (γ Δείξτε ότι V n = U n W n 96 Δίνεται ένας F-διανυσματικός χώρος V διάστασης n και ένας γνήσιος υπόχωρος U του V Δείξτε ότι ο U είναι ίσος με την τομή όλων των υπόχωρων διάστασης n 1 του V που περιέχουν τον U 97 Δίνεται διανυσματικός χώρος V διάστασης n (α Εστω U και W υπόχωροι του V διάστασης k και n 1, αντίστοιχα Δείξτε ότι η διάστασης της τομής U W είναι ίση με k 1 ή k και ότι ισχύει dim(u W = k U W (β Αν W 1, W 2 είναι δύο διαφορετικοί υπόχωροι του V διάστασης n 1, ποιες είναι οι δυνατές τιμές της διάστασης του W 1 W 2 ; (γ Εστω ακέραιος 1 r n Αν W 1, W 2,, W r είναι υπόχωροι του V διάστασης n 1, ποιες είναι οι δυνατές τιμές της διάστασης του W 1 W 2 W r ; 98 Δίνονται υπόχωροι U, V, W ενός διανυσματικού χώρου (α Δείξτε ότι U W + V W (U + V W (β Ισχύει πάντοτε η ισότητα στο (α; 22

23 (γ Αν οι U, V, W έχουν πεπερασμένη διάσταση, δείξτε ότι dim(u + V + W dim(u + dim(v + dim(w dim(u V dim(u W dim(v W + dim(u V W (δ Αν οι U, V, W έχουν πεπερασμένη διάσταση, συνάγετε από το (γ ότι dim(u + dim(v + dim(w dim(u + V + W m, όπου m είναι ο μέγιστος των ακεραίων dim(u V + dim(u W, dim(u V + dim(v W και dim(u W + dim(v W 99 Ενα πολυώνυμο a 0 +a 1 x+ +a n x n F n [x] λέγεται συμμετρικό (ή παλινδρομικό αν ισχύει a i = a n i για 0 i n Συμβολίζουμε W n με το σύνολο των συμμετρικών πολυωνύμων του F n [x] (α Δείξτε ότι το W n είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου F n [x] (β Δείξτε ότι τα πολυώνυμα p i (x = x i + x n i για 0 i n/2 αποτελούν τα στοιχεία μιας βάσης του W n και συνάγετε ότι dim(w n = n/2 + 1 (γ Δείξτε ότι τα πολυώνυμα φ i (x = x i + x i x n i για 0 i n/2 αποτελούν επίσης τα στοιχεία μιας βάσης του W n Θέτουμε τώρα F = R Ενα συμμετρικό πολυώνυμο a 0 + a 1 x + + a n x n R n [x] λέγεται μονότροπο αν 0 a 0 a 1 a n/2 (δ Δείξτε ότι ένα συμμετρικό πολυώνυμο p(x R n [x] είναι μονότροπο αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του p(x ως προς τη βάση του του W n στο ερώτημα (γ είναι μη αρνητικοί αριθμοί (ε Συνάγετε ότι αν τα πολυώνυμα p(x R n [x] και q(x R m [x] είναι συμμετρικά και μονότροπα, τότε το γινόμενό τους p(xq(x R n+m [x] είναι επίσης συμμετρικό και μονότροπο 100 Εστω S ένα σύνολο m διανυσμάτων το οποίο παράγει ένα διανυσματικό χώρο V διάστασης n 2 Υποθέτουμε ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε m 1 στοιχείων του S είναι συγγραμμικό με το στοιχείο του S που περισσεύει (δύο διανύσματα λέγονται συγγραμμικά αν είναι γραμμικώς εξαρτημένα (α Δείξτε ότι n m 1 (β Δείξτε ότι το άθροισμα των στοιχείων του S είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα 23

24 101 Εστω διανυσματικός χώρος V πάνω σε ένα άπειρο σώμα Δείξτε ότι ο V δεν είναι ίσος με την ένωση πεπερασμένου πλήθους γνήσιων υποχώρων του 102 Εστω δύο βάσεις B και C ενός διανυσματικού χώρου V πεπερασμένης διάστασης (α Δείξτε ότι για κάθε v C υπάρχει u B τέτοιο ώστε το σύνολο (B {u} {v} να είναι βάση του χώρου V (β Δείξτε ότι για κάθε v C υπάρχει u B τέτοιο ώστε τα σύνολα (B {u} {v} και (C {v} {u} να είναι και τα δύο βάσεις του χώρου V 103 Εστω διανυσματικός χώρος V διάστασης n και έστω A ένας n n πίνακας με στοιχεία διανύσματα του V Δώστε απόδειξη ή αντιπαράδειγμα για την ακόλουθη πρόταση: Αν κάθε γραμμή του A είναι βάση του V, τότε είναι δυνατόν να αναδιαταχθεί κάθε γραμμή του A έτσι ώστε κάθε στήλη του πίνακα που θα προκύψει να είναι επίσης βάση του V Γραμμικές Απεικονίσεις Για F-διανυσματικούς χώρους V και W, συμβολίζουμε με L(V, W τον F-διανυσματικό χώρο όλων των γραμμικών απεικονίσεων T : V W Ο δυϊκός χώρος V του V είναι ο F-διανυσματικός χώρος L(V, F όλων των γραμμικών μορφών T : V F 104 Δίνονται ακέραιοι 1 k n και η απεικόνιση T : F n F n η οποία ορίζεται θέτοντας T (x = (x 1,, x k, 0,, 0 για x = (x 1, x 2,, x n F n (α Δείξτε ότι η T είναι γραμμική απεικόνιση και ότι T (T (x = T (x για κάθε x F n (β Βρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της T και υπολογίστε τις διαστάσεις τους (γ Για ποιες τιμές των k και n είναι η T ισομορφισμός διανυσματικών χώρων; (δ Υπολογίστε τον πίνακα της T ως προς τη συνήθη βάση του F n 105 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : F n F n που ορίζεται θέτοντας T (x = (x 1 x 2, x 2 x 3,, x n x 1 για x = (x 1, x 2,, x n F n (όπου για n = 1 έχουμε T (x = 0 για κάθε x F, κατά σύμβαση (α Δείξτε ότι η T είναι γραμμική απεικόνιση (β Βρείτε τον πυρήνα και την εικόνα της T και υπολογίστε τις διαστάσεις τους (γ Εστω n = 2 και F = R Δείξτε ότι για x R 2, το T (x είναι η ορθογώνια προβολή του 2x στην ευθεία x 1 + x 2 = 0 24

25 106 Δίνεται η γραμμική απεικόνιση F-διανυσματικών χώρων T : V U και υπόχωρος W του V (α Δείξτε ότι η εικόνα T (W = {T (w : w W } του W ως προς την απεικόνιση T είναι υπόχωρος του U (β Αν ο V έχει πεπερασμένη διάσταση, δείξτε ότι το ίδιο ισχύει για την εικόνα T (W και ότι dim T (W dim(w 107 Δίνεται διανυσματικός χώρος V Βρείτε όλες τις γραμμικές απεικονίσεις T : V V με την εξής ιδιότητα: τα διανύσματα v και T (v είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε v V 108 Δίνεται γραμμικός μετασχηματισμός T : V V ενός διανυσματικού χώρου V και διάνυσμα x V Αν ισχύουν T m (x = 0 και T m 1 (x 0 για κάποιο θετικό ακέραιο m, δείξτε ότι τα διανύσματα x, T (x, T 2 (x,, T m 1 (x είναι γραμμικώς ανεξάρτητα 109 Δίνεται γραμμικός μετασχηματισμός T : V V ενός διανυσματικού χώρου V (α Αν x 1, x 2,, x 2 k είναι στοιχεία του V και ισχύουν T m (x m 0 και T 2m (x m = 0 για 1 m 2 k, δείξτε ότι τα διανύσματα x 1, x 2, x 4,, x 2 k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (β Αν ο V έχει πεπερασμένη διάσταση, δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος m τέτοιος ώστε ker(t m Im(T m = {0} 110 Δίνεται διανυσματικός χώρος V, στοιχεία v 1, v 2,, v n V και γραμμικός μετασχηματισμός T : V V Αν T (v 1 = v 1, T (v i = v i 1 + v i για 2 i n και το v 1 είναι μη μηδενικό διάνυσμα, δείξτε ότι το {v 1, v 2,, v n } είναι γραμμικώς ανεξάρτητο υποσύνολο του V 111 Δίνεται διανυσματικός χώρος V διάστασης n Αν {u 1,, u n+1 } και {v 1,, v n+1 } είναι υποσύνολα του V με n+1 στοιχεία, κάθε γνήσιο υποσύνολο καθενός από τα οποία είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, δείξτε ότι υπάρχει γραμμικός ισομορφισμός T : V V τέτοιος ώστε τα διανύσματα T (u i και v i να είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε i με 1 i n Εστω V ο υπόχωρος του F m n που αποτελείται από τους πίνακες τα στοιχεία κάθε γραμμής και κάθε στήλης των οποίων έχουν άθροισμα μηδέν (βλέπε Άσκηση 89 Για X V, έστω T (X F (m 1 (n 1 ο πίνακας που προκύπτει από τον X διαγράφοντας την τελευταία γραμμή και στήλη (α Δείξτε ότι η T : V F (m 1 (n 1 είναι γραμμική απεικόνιση 25

26 (β Δείξτε ότι η T είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων (γ Συνάγετε ότι dim(v = (m 1(n Για A F p m και θετικό ακέραιο n θεωρούμε την απεικόνιση T : F m n F p n η οποία ορίζεται θέτοντας T (X = AX για X F m n (α Δείξτε ότι η απεικόνιση T είναι γραμμική (β Αν p = m και ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος, δείξτε ότι η T είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων (γ Αν η T είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων, δείξτε ότι p = m και ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος 114 Δίνεται γραμμική απεικόνιση F-διανυσματικών T : V W Αν ο V έχει πεπερασμένη διάσταση, δείξτε ότι dim(v = dim ker(t + dim Im(T 115 Εστω γραμμικοί μετασχηματισμοί S, T : V V ενός F-διανυσματικού χώρου V (α Δείξτε ότι ο περιορισμός της T στον υπόχωρο ker(st του V ορίζει μια γραμμική απεικόνιση R : ker(st ker(s (β Δείξτε ότι ker(r = ker(t και ότι Im(R = ker(s Im(T (γ Αν ο V έχει πεπερασμένη διάσταση, συνάγετε ότι dim ker(st dim ker(s + dim ker(t και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ker(s Im(T 116 Δίνεται η γραμμική απεικόνιση F-διανυσματικών χώρων T : V U και υπόχωρος W του U (α Δείξτε ότι η αντίστροφη εικόνα T 1 (W = {v V : T (v W } του W ως προς την T είναι υπόχωρος του V (β Εστω π : U U/W ο φυσικός επιμορφισμός του U επί του χώρου πηλίκο U/W Δείξτε ότι T 1 (W = ker(s, όπου S είναι η σύνθεση π T : V U/W (γ Αν οι V και U έχουν πεπερασμένη διάσταση, δείξτε ότι dim T 1 (W dim(v dim(u + dim(w 117 Εστω F-διανυσματικοί χώροι V 0, V 1,, V m, V m+1 με V 0 = V m+1 = {0} Αν υπάρχουν γραμμικές απεικονίσεις T i : V i V i+1 για 0 i m, τέτοιες ώστε ker(t i = Im(T i 1 για κάθε 1 i m, δείξτε ότι m ( 1 i dim(v i = 0 i=1 26

27 118 Εστω F-διανυσματικός χώρος V διάστασης n και γραμμικές απεικονίσεις S, T : V V Δείξτε ότι: (α Αν Im(T = ker(t, τότε ο n είναι άρτιος ακέραιος (β Αν Im(S = ker(s, Im(T = ker(t, Im(S Im(T = Im(ST και ST = T S, τότε ο n είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του Για A F m n θεωρούμε την απεικόνιση T A : F n m F η οποία ορίζεται θέτοντας T A (X = tr(ax για X F n m (α Δείξτε ότι η T A είναι γραμμική απεικόνιση για κάθε A F m n (β Αν T A : F n m F είναι η μηδενική απεικόνιση, δείξτε ότι A = O (γ Εστω T : F m n (F n m η απεικόνιση που ορίζεται θέτοντας T (A = T A για A F m n Δείξτε ότι η T είναι γραμμική απεικόνιση (δ Δείξτε ότι για κάθε γραμμική απεικόνιση L : F n m F υπάρχει μοναδικός πίνακας A F m n τέτοιος ώστε L = T A 120 Εστω πίνακες A, B F m n (α Αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P F m m τέτοιος ώστε B = P A, δείξτε ότι για x F n 1 ισχύει η ισοδυναμία Ax = 0 Bx = 0 (β Αν για x F n 1 ισχύει η ισοδυναμία Ax = 0 Bx = 0, δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P F m m τέτοιος ώστε B = P A Τάξη Γραμμικής Απεικόνισης Υπενθυμίζουμε ότι η τάξη μιας γραμμικής απεικόνισης T : V W ορίζεται ως rank(t = dim Im(T Ειδικότερα, για κάθε πίνακα A F m n η τάξη της γραμμικής απεικόνισης L A : F n 1 F m 1 που ορίζεται θέτοντας L A (x = Ax για x F n 1 είναι ίση με τη διάσταση του υπόχωρου του F m 1 που παράγεται από τις στήλες του A και συνεπώς (Άσκηση 81 ίση με rank(a 121 Δίνονται διανυσματικοί χώροι V και W πεπερασμένης διάστασης και γραμμική απεικόνιση T : V W (α Δείξτε ότι η T είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν rank(t = dim(v (β Δείξτε ότι η T είναι επιμορφισμός αν και μόνο αν rank(t = dim(w 27

28 (γ Συνάγετε ότι η T είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν rank(t = dim(v = dim(w 122 Δίνονται F-διανυσματικοί χώροι U, V, W πεπερασμένης διάστασης και γραμμικές απεικονίσεις T : U V και S : V W (α Δείξτε ότι rank(st min{rank(s, rank(t } (β Συνάγετε ότι rank(ab min{rank(a, rank(b} για πίνακες A F m n και B F n p 123 Δίνεται F-διανυσματικός χώρος V διάστασης n και γραμμικές απεικονίσεις S, T, R : V V (α Δείξτε ότι rank(s + T rank(s + rank(t (β Δείξτε ότι rank(s + rank(t n + rank(st (γ Δείξτε ότι rank(sr + rank(rt rank(r + rank(srt 124 Εστω πίνακας A F n n Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή της τάξης του A (α αν A 2 = O; (β αν A 3 = O; 125 Δίνεται F-διανυσματικός χώρος V διάστασης n και γραμμικός μετασχηματισμός S : V V Ορίζουμε το γραμμικό μετασχηματισμό T : V V θέτοντας T (x = x S(x για x V (α Δείξτε ότι S(T (x = T (S(x για κάθε x V (β Δείξτε ότι rank(s + rank(t n (γ Δείξτε ότι οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i V = Im(S Im(T (ii Im(S Im(T = {0} (iii rank(s + rank(t = n (iv Im(S = ker(t (v ker(s = Im(T (vi S(T (x = T (S(x = 0 για κάθε x V Για τυχαίο πίνακα A F n n συνάγετε τα εξής: 28

29 (δ rank(a + rank(i A n (ε Ισχύει rank(a + rank(i A = n αν και μόνο αν A 2 = A 126 Δείξτε ότι: (α Για τυχαίους πίνακες A, B F n n ισχύει rank(ab rank(ba n/2 (β Υπάρχουν πίνακες A, B F n n ώστε rank(ab rank(ba = n/2 (γ Αν για τους A, B F n n ισχύει AB = O και οι πίνακες A + A t και B + B t είναι αντιστρέψιμοι, δείξτε ότι rank(a = rank(b = n/2 127 Εστω διανύσματα u, v C n με u 0 Δείξτε ότι υπάρχει συμμετρικός πίνακας P C n n τέτοιος ώστε P u = v Πίνακας μιας Γραμμικής Απεικόνισης 128 Δίνονται διανυσματικοί χώροι V και W διάστασης n και m, αντίστοιχα, και γραμμική απεικόνιση T : V W Εστω A F m n ο πίνακας της T ως προς τυχαίες βάσεις των V και W (α Δείξτε ότι rank(t = rank(a Συνάγετε ότι η T είναι: (β μονομορφισμός αν και μόνο αν rank(a = n, (γ επιμορφισμός αν και μόνο αν rank(a = m, (δ ισομορφισμός αν και μόνο αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος 129 Θεωρούμε την απεικόνιση T : R n [x] R n [x] που ορίζεται θέτοντας T (p(x = p(x p (x για p(x R n [x] (α Δείξτε ότι η απεικόνιση T είναι γραμμική (β Βρείτε τον πίνακα της T ως προς τη βάση (1, x,, x n του R n [x] (γ Συνάγετε ότι η T είναι γραμμικός ισομορφισμός και υπολογίστε το ίχνος της (δ Βρείτε όλα τα πολυώνυμα p(x R n [x] για τα οποία ισχύει T (p(x = x n (ε Υπολογίστε το σταθερό όρο του p(x R n [x], αν T (p(x = 1 + x + + x n 130 Εστω A F p m, θετικός ακέραιος n και η γραμμική απεικόνιση T : F m n F p n η οποία ορίζεται θέτοντας T (X = AX για X F m n (βλέπε Άσκηση

30 (α Υπολογίστε τον πίνακα της T ως προς τις συνήθεις βάσεις (κατάλληλα διατεταγμένες των F m n και F p n (β Δείξτε ότι rank(t = n rank(a (γ Συνάγετε ότι η T είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων αν και μόνο αν p = m και ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος (δ Αν p = m, δείξτε ότι tr(t = n tr(a, όπου με tr(t συμβολίζουμε το ίχνος του πίνακα της T ως προς οποιαδήποτε βάση του F m n (βλέπε Άσκηση Δίνονται πίνακες A F p m και B F n q και η γραμμική απεικόνιση T : F m n F p q η οποία ορίζεται θέτοντας T (X = AXB για X F m n (α Δείξτε ότι η απεικόνιση T είναι γραμμική (β Δείξτε ότι η T είναι ισομορφισμός διανυσματικών χώρων αν και μόνο αν p = m, q = n και οι πίνακες A και B είναι αντιστρέψιμοι (γ Υπολογίστε τον πίνακα της T ως προς τις συνήθεις βάσεις (κατάλληλα διατεταγμένες των F m n και F p q (δ Εστω ότι ισχύουν p = m και q = n Δείξτε ότι tr(t = tr(a tr(b και ότι det(t = (det(a n (det(b m, όπου με tr(t και det(t συμβολίζουμε το ίχνος και την ορίζουσα του πίνακα της T ως προς οποιαδήποτε βάση του F m n (βλέπε Άσκηση Συμβολίζουμε με V n τον πραγματικό διανυσματικό χώρο διάστασης 2 n μια βάση του οποίου είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του συνόλου [n] := {1, 2,, n} Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση ϕ n : V n V n που ορίζεται θέτοντας ϕ n (S = ( 1 S T T T [n] για κάθε S [n] Για παράδειγμα, για n = 2 έχουμε ϕ n ({1, 2} = {1} {2}+{1, 2} Υπολογίστε το ίχνος και την ορίζουσα της ϕ n Συνάγετε ότι η ϕ n είναι αντιστρέψιμη για κάθε θετικό ακέραιο n ( Ir O 133 Δίνεται ο πίνακας J r = F O O n n, όπου 0 r n (α Αν n 2, δείξτε ότι ο πίνακας J r μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αντιστρέψιμων πινάκων τα στοιχεία των οποίων ανήκουν στο σύνολο { 1, 0, 1} (β Συνάγετε από το (α ότι αν n 2, τότε κάθε πίνακας A F n n μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αντιστρέψιμων πινάκων 30

31 134 Εστω επί απεικόνιση f : R n n {0, 1,, n} για την οποία ισχύει f(ab min {f(a, f(b} για όλους τους πίνακες A, B R n n Δείξτε ότι f(a = rank(a για κάθε A R n n ως εξής: (α Δείξτε ότι f(p A = f(ap = f(a για κάθε A R n n και κάθε αντιστρέψιμο πίνακα P R n n (β Για A R n n δείξτε ότι f(a = f(j k, όπου k = rank(a και J k είναι ο διαγώνιος πίνακας τάξης k με στοιχεία 1,, 1, 0,, 0 στην κύρια διαγώνιο (γ Δείξτε ότι f(j k f(j k+1 για k = 0, 1,, n 1 (δ Συνάγετε ότι f(a = rank(a για κάθε A R n n 135 Θεωρούμε γραμμικό μετασχηματισμό T : V V ενός F-διανυσματικού χώρου V και θέτουμε Fix(T = {x V : T (x = x} (α Δείξτε ότι το Fix(T είναι υπόχωρος του V (β Δείξτε γενικότερα ότι για κάθε λ F, το σύνολο V λ (T = {x V : T (x = λx} είναι υπόχωρος του V (γ Εστω ότι ο V έχει πεπερασμένη διάσταση Δείξτε ότι Fix(T {0} αν και μόνο αν υπάρχει y V τέτοιο ώστε y x T (x για κάθε x V (δ Εστω ότι ο V έχει πεπερασμένη διάσταση και έστω k N Δείξτε ότι dim Fix(T k αν και μόνο αν υπάρχει διατεταγμένη βάση του V ως προς την οποία ο πίνακας της T έχει τη μορφή ( Ik B O C (ε Ισχύει το (γ χωρίς την υπόθεση ότι ο V έχει πεπερασμένη διάσταση; 136 Δίνεται γραμμικός μετασχηματισμός T : V V ενός F-διανυσματικού χώρου V για τον οποίο ισχύει T (T (x = T (x για κάθε x V (α Δείξτε ότι Im(T = Fix(T (όπου το Fix(T ορίστηκε στην Άσκηση 135 (β Δείξτε ότι V = ker(t Fix(T (γ Εστω ότι ο V έχει πεπερασμένη διάσταση Δείξτε ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση του V ως προς την οποία ο πίνακας της T έχει τη μορφή ( Ir O O O 137 Δίνεται γραμμικός μετασχηματισμός T : V V ενός F-διανυσματικού χώρου V για τον οποίο ισχύει T (T (x = x για κάθε x V 31

32 (α Δείξτε ότι ο T είναι γραμμικός ισομορφισμός (β Θεωρούμε τους υπόχωρους Fix(T και U = {x V : T (x = x} του V που ορίστηκαν στην Άσκηση 135 Δείξτε ότι x + T (x Fix(T και x T (x U για κάθε x V Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύει 1 1 στο F (δηλαδή ότι η χαρακτηριστική του F είναι διάφορη του 2 (γ Δείξτε ότι V = Fix(T U (δ Εστω ότι ο V έχει πεπερασμένη διάσταση n Δείξτε ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση του V ως προς την οποία ο πίνακας της T έχει τη μορφή ( Ik O O 138 Δίνεται γραμμικός μετασχηματισμός T : V V ενός R-διανυσματικού χώρου V για τον οποίο ισχύει T (T (x = x για κάθε x V I n k (α Δείξτε ότι ο T είναι γραμμικός ισομορφισμός (β Δείξτε ότι για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα x V, τα διανύσματα x και T (x είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Υποθέτουμε τώρα ότι ο V έχει πεπερασμένη διάσταση n (γ Δείξτε ότι υπάρχει βάση του V της μορφής {u 1,, u m } {T (u 1,, T (u m } και συνάγετε ότι ο n είναι άρτιος ακέραιος (δ Δείξτε ότι υπάρχει διατεταγμένη βάση του V ως προς την οποία ο πίνακας της T έχει τη μορφή ( O Im O I m 139 Εστω F-διανυσματικός χώρος V διάστασης n και γραμμική απεικόνιση T : V V Εστω επίσης W m = Im(T m για θετικούς ακεραίους m (α Δείξτε ότι αν ισχύουν T m = O για κάποιο θετικό ακέραιο m και W i {0}, τότε dim(w i+1 < dim(w i (β Δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος m, τέτοιος ώστε T m = O αν και μόνο αν υπάρχει βάση του V ως προς την οποία ο πίνακας της T είναι άνω τριγωνικός και κάθε στοιχείο στην κύρια διαγώνιό του είναι ίσο με μηδέν 32

33 (γ Δείξτε ότι αν T n = O και T n 1 O, τότε υπάρχει βάση του V ως προς την οποία ο πίνακας της T είναι ίσος με (δ Δείξτε ότι αν T m = O για κάποιο θετικό ακέραιο m, τότε T n = O Ομοιότητα Πινάκων Υπενθυμίζουμε ότι δύο πίνακες A, B F n n λέγονται όμοιοι αν αυπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P F n n, τέτοιος ώστε B = P 1 AP 140 Δίνεται πίνακας A F n n (α Εστω ότι A = λi για κάποιο λ F Δείξτε ότι αν B F n n είναι πίνακας όμοιος με τον A, τότε B = A (β Εστω ότι A λi για κάθε λ F Δείξτε ότι υπάρχει πίνακας B F n n διάφορος του A, ο οποίος είναι όμοιος με τον A 141 Δίνονται όμοιοι πίνακες A, B F n n (α Δείξτε ότι tr(a = tr(b, ότι det(a = det(b και ότι rank(a = rank(b (β Δείξτε ότι οι πίνακες A m και B m είναι όμοιοι για κάθε m N (γ Δείξτε ότι οι πίνακες φ(a και φ(b είναι όμοιοι για κάθε πολυώνυμο φ(x F[x] (δ Εστω n 2 και C, D R n n Αν για κάθε ακέραιο m 2 οι πίνακες C m και D m είναι όμοιοι, είναι υποχρεωτικά οι C και D όμοιοι; 142 Δίνεται ο πίνακας C = Fn n, όπου n 2 (α Δείξτε ότι αν ο πίνακας A F n n είναι όμοιος με τον C, τότε A 2 = O και A O 33

34 (β Για n = 2, δείξτε ότι κάθε μη μηδενικός πίνακας A F 2 2 με A 2 = O είναι όμοιος με τον C (γ Για n = 3, δείξτε ότι κάθε μη μηδενικός πίνακας A F 3 3 με A 2 = O είναι όμοιος με τον C (δ Ισχύει το ίδιο για n = 4; 143 Να εξετάσετε αν είναι όμοιοι οι ακόλουθοι πίνακες: (α F4 4 και F (β F4 4 και F4 4 ( Ir O 144 Δίνονται ακέραιοι 0 r n και ο πίνακας J r = O O F n n (α Δείξτε ότι για κάθε πίνακα A F n n που είναι όμοιος με τον J r ισχύει A 2 = A (β Δείξτε ότι αν για τον πίνακα A F n n ισχύει A 2 = A, τότε ο A είναι όμοιος με τον J r όπου r = rank(a ( Ik O 145 Δίνονται ακέραιοι 0 k n και ο πίνακας J k = O I n k F n n (α Δείξτε ότι για κάθε πίνακα A F n n που είναι όμοιος με τον J k ισχύει A 2 = I (β Δείξτε ότι αν για τον πίνακα A F n n έχουμε A 2 = I και ισχύει 1 1 στο F, τότε ο A είναι όμοιος με τον J k για κάποια τιμή του k (γ Αληθεύει το (β χωρίς την υπόθεση ότι ισχύει 1 1 στο F; ( O Im 146 Δίνεται ο πίνακας J m = O I m F 2m 2m (α Δείξτε ότι για κάθε πίνακα A F 2m 2m που είναι όμοιος με τον J m ισχύει A 2 = I 34

35 (β Δείξτε ότι αν για τον πίνακα A F n n ισχύει A 2 = I, τότε ο n είναι άρτιος και ο A είναι όμοιος με τον πίνακα J m για m = n/2 147 Εστω 1 λ λ 0 A n (λ = F n n λ για λ F Δείξτε ότι οι πίνακες A n (λ και A n (µ είναι όμοιοι για τυχαία μη μηδενικά στοιχεία λ, µ F Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Γράφουμε χ A (x = det(a xi για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός τετραγωνικού πίνακα A 148 Εστω ο n n πίνακας A n = , όπου n 2 (α Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A n (β Για ποιες τιμές του n είναι ο A n αντιστρέψιμος; 149 Εστω θετικοί ακέραιοι p, q Συμβολίζουμε με J τον πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, κάθε στοιχείο του οποίου είναι ίσο με 1 Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: (α του p p πίνακα J + qi p, ( qip J (β του (p + q (p + q πίνακα J pi q 35

36 150 Εστω αντιστρέψιμος πίνακας A F n n με χ A (x = (λ 1 x(λ 2 x (λ n x, για κάποια λ i F (α Δείξτε ότι λ i 0 για κάθε δείκτη i και ότι χ A 1(x = ( 1 λ 1 x( 1 λ 2 x ( 1 λ n x (β Αν ο A είναι όμοιος με τον A 1 και ο n είναι περιττός, δείξτε ότι λ i { 1, 1} για έναν τουλάχιστον δείκτη 1 i n 151 Για πίνακες A F m n και B F n m δείξτε ότι x n det(xi m AB = x m det(xi n BA 152 Εστω πίνακας A F n n τα στοιχεία κάθε γραμμής και κάθε στήλης του οποίου έχουν άθροισμα μηδέν Αν A ij είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον A διαγράφοντας την i γραμμή και τη j στήλη και n χ A (x = c i x i, δείξτε ότι c 1 = ( 1 i+j 1 n det(a ij Συνάγετε ότι η απόλυτη τιμή της det(a ij είναι ανεξάρτητη των i και j 153 Εστω F-διανυσματικοί χώροι V 0, V 1,, V m, V m+1 με V 0 = V m+1 = {0} και γραμμικές απεικονίσεις f i : V i V i+1 για 0 i m, τέτοιες ώστε ker f i = Im f i 1 για κάθε 1 i m Εστω γραμμικοί ενδομορφισμοί T i : V i V i για 1 i m, τέτοιοι ώστε T i+1 f i = f i T i για 1 i m 1 Αν p i (x είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του T i : V i V i για 1 i m, δείξτε ότι p 1 (x p 3 (x = p 2 (x p 4 (x για m = 2, για m = 3, για τυχαίο θετικό ακέραιο m Συνάγετε από τα παραπάνω το ζητούμενο της Άσκησης Εστω ένα άπειρο σώμα F και A F n n Αν ο πίνακας (A+B 2 είναι συμμετρικός για κάθε συμμετρικό πίνακα B F n n για τον οποίο ο A+B είναι αντιστρέψιμος, δείξτε ότι ο A είναι συμμετρικός πίνακας i=0 155 Δείξτε ότι: 36

37 (α Κάθε 2 2 πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να γραφεί στη μορφή B 2 + ci, με B R 2 2 και c R (β Κάθε 2 2 πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να γραφεί στη μορφή B 2 + C 2, με B, C R 2 2 (γ Για κάθε θετικό ακέραιο n υπάρχει n n πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς ο οποίος δεν μπορεί να γραφεί στη μορφή B 2 + C 2, όπου B, C R n n είναι πίνακες με BC = CB 156 Για έναν n n πίνακα A με στοιχεία ακέραιους αριθμούς ισχύει det (A 3 I = 1 (α Δείξτε ότι det (A I = 1 (β Αν n = 2, δείξτε ότι A 2 = O 157 Εστω ότι για τους πίνακες A, B F n n έχουμε det(a + rb = 0 για r = 1, 2,, n + 1 Ισχύει υποχρεωτικά ότι det(a = 0; Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 158 Εστω V ένας F-διανυσματικός χώρος διάστασης n και γραμμική απεικόνιση T : V V Εστω ότι υπάρχουν n + 1 ιδιοδιανύσματα της T, οποιαδήποτε n από τα οποία είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Δείξτε ότι υπάρχει λ F με T (x = λx για κάθε x V 159 Υπολογίστε τις ιδιοτιμές του πίνακα για a, b, c F A = 0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0, 160 Δίνεται ο 2n 2n πίνακας με a, b C C n = a b a b b a b a a b a b b a b a 37,

38 (α Υπολογίστε την τάξη του C n (β Υπολογίστε τις ιδιοτιμές του C n (γ Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον C n αντικαθιστώντας κάθε στοιχείο της διαγωνίου του με δοσμένο x C 161 Δίνονται πίνακες A, B F n n (α Αν οι A και B είναι όμοιοι, δείξτε ότι για κάθε λ F οι ιδιοχώροι των A και B με αντίστοιχη ιδιοτιμή λ έχουν ίσες διαστάσεις (β Εστω ότι F = C και ότι για κάθε λ C, οι ιδιοχώροι των A και B με αντίστοιχη ιδιοτιμή λ έχουν ίσες διαστάσεις Είναι υποχρεωτικά οι A και B όμοιοι; 162 Εστω πίνακας A C n n (α Αν χ A (x = (λ 1 x(λ 2 x (λ n x, δείξτε ότι χ A 2(x = (λ 2 1 x(λ 2 2 x (λ 2 n x Υποθέτουμε τώρα ότι ο A είναι όμοιος με τον A 2 (β Ποιες είναι οι δυνατές τιμές της ορίζουσας του A; (γ Δείξτε ότι για κάθε ιδιοτιμή λ του A, το λ 2 είναι επίσης ιδιοτιμή του A και ότι υπάρχει ιδιοτιμή µ του A τέτοια ώστε λ = µ 2 (δ Δείξτε ότι για κάθε μη μηδενική ιδιοτιμή λ του A, υπάρχει θετικός ακέραιος m της μορφής 2 k 1 τέτοιος ώστε λ m = 1 (ε Συνάγετε ότι tr(a = rank(a, αν όλες οι ιδιοτιμές του A είναι πραγματικοί αριθμοί 163 Εστω πίνακας A = (a ij C n n για τον οποίο ισχύουν a ii = 1 και n j=1 a ij 2 για 1 i n (α Δείξτε ότι λ 1 1 για κάθε ιδιοτιμή λ C του A (β Αν όλες οι ιδιοτιμές του A είναι πραγματικοί αριθμοί, δείξτε ότι 0 det(a Δίνονται πίνακες A, B, C C n n με AB = BA, AC = CA και BC = CB (α Δείξτε ότι υπάρχουν λ, µ, ν C και μη μηδενικό διάνυσμα y C n, τέτοια ώστε Ay = λy, By = µy και Cy = νy (β Συνάγετε ότι υπάρχουν α, β, γ R, τέτοια ώστε det(αa + βb + γc = 0 38

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι

Φρ. Κουτελιέρης. Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/24 Κ2: Γραµµικά συστήµατα 1. Ορισµοί 2. Σύστηµα σε µορφή πίνακα 3. Επίλυση Crammer 4. Επίλυση Gauss

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου υγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1.1... 1. 5.1αʹ Pure states... 50

1.1... 1. 5.1αʹ Pure states... 50 Φασματική αραιοποίηση και το πρόβλημα των Kadison-Singer Διπλωματική Εργασία Κωνσταντίνος Στούμπος Επιβλέπων: Απόστολος Γιαννόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα