Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι"

Transcript

1 Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε ότι ισχύουν: a a a a b b b b c c c c d d d d και a a b b c c d d β) Το σύνολο πραγματικών πινάκων x το οποίο συμβολίζουμε με M ( ) Σε, αυτό το σύνολο γνωρίζουμε ότι ισχύουν: και a b a b a a b b c d c d c c d d a b a b c d c d γ) Το σύνολο πολυωνύμων βαθμού το πολύ το οποίο συμβολίζουμε με P ( ) Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε ότι ισχύουν: ( ax b x cx d) ( ax b x cx d) ( a a) x ( b b ) x ( c c) x ( d d) και ( a x b x c x d ) ( a ) x ( b ) x ( c ) x ( d ) Τα τρία αυτά σύνολα έχουν στοιχεία το καθένα διαφορετικού είδους μαθηματικά αντικείμενα Ωστόσο, τα σύνολα αυτά παρουσιάζουν χαρακτηριστικές ομοιότητες όταν εφαρμόζουμε στα στοιχεία τους τις δύο αυτές πράξεις, δηλαδή την πρόσθεση των στοιχείων τους και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί στοιχείου τους Τα τρία αυτά σύνολα εφοδιασμένα με τις συγκεκριμένες αυτές πράξεις λέμε ότι αποτελούν διανυσματικούς χώρους και τα στοιχεία τους τα λέμε διανύσματα γιατί, όπως θα δούμε παρακάτω, τα στοιχεία τους ικανοποιούν κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες ως προς τις πράξεις αυτές Γενικότερα, θεωρούμε ένα σύνολο V με στοιχεία μαθηματικά αντικείμενα (διανύσματα, πίνακες, πολυώνυμα, συναρτήσεις κλπ) στο οποίο έχουμε ορίσει δύο πράξεις Μία εσωτερική πράξη μεταξύ των στοιχείων του δχ, την οποία θα ονομάζουμε γενικά «πρόσθεση»: ( ) :V V V

2 Κεφάλαιο Και μία εξωτερική πράξη πραγματικών αριθμών με στοιχεία του δχ, την οποία θα ονομάζουμε γενικά «βαθμωτό πολλαπλασιασμό»: ( ) : V V Το σύνολο αυτό V ονομάζεται διανυσματικός χώρος (δχ) όταν ισχύουν οι ακόλουθες δέκα ιδιότητες u V u, V Κλειστότητα της πρόσθεσης u u u, V Αντιμεταθετικότητα 0V : u 0 u u V Ύπαρξη ουδετέρου πρόσθεσης u V uv : u ( u) 0 Ύπαρξη αντιθέτου πρόσθεσης ( u ) w u ( w) u,, w V Προσεταιριστικότητα πρόσθεσης au V u V και a Κλειστότητα του πολαπλασιασμού a( u ) au a u, V και a Πρώτος επιμεριστικός κανόνας ( a b) u au bu u V και a, b Δεύτερος επιμεριστικός κανόνας ( ab) u a( bu) u V και a, b Προσεταιριστικότητα πολαπλασιασμού u u u V Σύμβολα : για κάθε, υπάρχει, : τέτοιο ώστε, 0 το μηδενικό διάνυσμα,0 το μηδέν του πολ\μου Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου τα ονομάζουμε γενικά «διανύσματα» Η πρώτη πράξη λέγεται εσωτερική του συνόλου, γιατί εφαρμόζεται μεταξύ δύο στοιχείων του συνόλου και το αποτέλεσμα είναι στοιχείο του συνόλου ενώ η δεύτερη πράξη ονομάζεται εξωτερική γιατί εφαρμόζεται μεταξύ ενός πραγματικού αριθμού (ο οποίος δεν είναι στοιχείο του συνόλου) και ενός στοιχείου του συνόλου και το αποτέλεσμα είναι στοιχείο του συνόλου Είναι δυνατό, ένα σύνολο να είναι διανυσματικός χώρος εάν εφοδιαστεί με κάποιες πράξεις (εσωτερική «πρόσθεση» και εξωτερική «βαθμωτό πολλαπλασιασμό») και να μην είναι εάν εφοδιαστεί με κάποιες άλλες Ακόμη ένα σύνολο μπορεί να είναι δχ εφόσον εφοδιαστεί και με κάποιο άλλο ζεύγος πράξεων να ισχύουν οι παραπάνω δέκα ιδιότητες και για τις πράξεις αυτές και να είναι δχ όταν εφοδιάζεται και με αυτές Για να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο εφοδιασμένο με τις πράξεις είναι δχ πρέπει να αποδείξουμε ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες Για να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο εφοδιασμένο με τις πράξεις δεν είναι δχ πρέπει να αποδείξουμε ότι έστω μία από παραπάνω ιδιότητες δεν ισχύει Παραδείγματα συνόλων που, αποδεικνύοντας τις παραπάνω ιδιότητες, βλέπουμε ότι είναι δχ: Το σύνολο των -διάστατων διανυσμάτων, το οποίο συμβολίζουμε με, εφοδιασμένο με το σύνηθες άθροισμα διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί διάνυσμα

3 Διανυσματικοί Χώροι Το σύνολο των m x πινάκων, το οποίο συμβολίζουμε με M m, εφοδιασμένο με το σύνηθες άθροισμα πινάκων και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί πίνακα Ο τετριμμένος χώρος V 0 με το άθροισμα και το γινόμενο αριθμών Το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού το πολύ, το οποίο συμβολίζουμε με P, εφοδιασμένο με το άθροισμα πουλωνύμων και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί πολυώνυμο Εάν p( x) a x a x a x a και q( x) b x b x b x b τότε 0 p( x) q( x) ( a b ) x ( a b ) x ( a b ) x ( a b ) και m p( x) ma x ma x ma x m a 0 5 Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων: (, ) :, (, ) : V x y x y kx x kx x Ως πρόσθεση ορίζουμε ( x, kx ) ( x, kx ) ( x x, kx kx ) ( x x, k( x x )) V και ως βαθμωτό πολλαπλασιασμό a( x, kx ) ( ax, akx ) ( ax, kax ) V Συμβολισμός : Τα διανύσματα συνηθίζουμε να τα γράφουμε σε αγκύλες [ ] Ωστόσο όταν αναφερόμαστε σε σημεία του επιπέδου ή του χώρου ( ή αντίστοιχα) θα χρησιμοποιούμε τις παρενθέσεις όπως κάνουμε στη γεωμετρική προσέγγιση Παραδείγματα συνόλων που δεν είναι δχ: Ο χώρος V με το άθροισμα και το γινόμενο αριθμών διότι += δεν ανήκει στο χώρο Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων (, ) :, (, ) : V x y x y kx m x kx m x Ως πρόσθεση ορίζουμε ( x, kx m) ( x, kx m) ( x x, kx kx m) ( x x, k( x x) m) V μιας και δεν ικανοποιεί την εξίσωση στης ευθείας Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V ( x, y) : y 0 δεν είναι δχ εφόσον το (-,-) δεν δεύτερο τεταρτημόριο ανήκει στο χώρο ενώ το (,) ανήκει Σε ένα διανυσματικό χώρο ισχύουν τα ακόλουθα: a0 0 a 0 0 V Αν a 0 a 0 ή = 0 ( ) V

4 Κεφάλαιο Διανυσματικοί υπόχωροι u u u V,, W,, u V,, u u Έστω W ένα μη κενό υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου V Εάν το W, εφοδιασμένο με τις πράξεις του δχ, είναι και αυτό διανυσματικός χώρος τότε λέμε ότι είναι διανυσματικός υπόχωρος του δχ V Για να δείξουμε ότι ένα υποσύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος ενός δχ αρκεί να δείξουμε τη κλειστότητα των δύο πράξεων ως προς αυτόν το χώρο, δηλαδή: u W u, W, uw u W και Οι σχέσεις αυτές, αποτελούν μία ικανή και αναγκαία συνθήκη Δηλαδή, όταν ισχύουν το υποσύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος, ενώ όταν το υποσύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος για τα στοιχεία του ισχύουν οι σχέσεις αυτές Ισοδύναμα, μπορούμε να δείξουμε ότι: u W u, W και, Παραδείγματα διανυσματικών υπόχωρων γνωστών δχ Για κάθε δχ ο τετριμμένος χώρος δχ V 0 είναι υπόχωρός του, όπως και ο ίδιος ο δχ είναι υπόχωρος του εαυτού του Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων (, ) :, (, ) : V x y x y kx x kx x είναι υπόχωρος του παραπάνω) (το δείξαμε Το σύνολο των διαγώνιων πινάκων x είναι διανυσματικός υπόχωρος του δχ a 0 c 0 a c 0 a 0 ka 0 M, Πράγματι 0 b 0 d 0 b d και k 0 b 0 kb Η τομή W Wδύο διανυσματικών υπόχωρων WW, ενός δχ είναι διανυσματικός υπόχωρος του χώρου V Έστω u, WW τότε έχουμε ότι u, W u W u W W u, W u W Επίσης έστω u W W, a τότε έχουμε ότι u W au W au W W, u W au W

5 Διανυσματικοί Χώροι 5 Το σύνολο των σύνολο των πολυωνύμων με βαθμό το πολύ είναι διανυσματικός υπόχωρος του δχ P Πράγματι εάν p( x) ax ax a0 και q( x) b x b x b τότε p( x) q( x) ( a b ) x ( a b ) x ( a b ) και 0 mp( x) ma x ma x ma Παραδείγματα υποσυνόλων γνωστών δχ οι οποίοι δεν είναι διανυσματικοί υπόχωροι Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Το δείξαμε παραπάνω Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V ( x, y) : y 0 δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος δεύτερο τεταρτημόριο εφόσον όταν το ( xy, ) ανήκει στο σύνολο το ( x, y) δεν ανήκει στο σύνολο V αφού y 0 y 0 Γραμμικός συνδυασμός και spa Έστω,, m V διανυσματικό χώρο Ένας γραμμικός συνδυασμός των,, m είναι ένα στοιχείο του V της μορφής, m m i Θα λέμε ότι τα στοιχεία,, m παράγουν το χώρο V αν για κάθε V υπάρχουν,, m τέτοια ώστε mm Συμβολίζουμε τότε ότι V spa,,, m Δηλαδή τα στοιχεία,, m παράγουν το V αν κάθε στοιχείο του V είναι γραμμικός συνδυασμός των,, m Έστω,, m V υπόχωρος του V διανυσματικό χώρο τότε το spa,,, m είναι διανυσματικός 7 Το διάνυσμα 7 μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των 7 5 διανυσμάτων, διότι ισχύει: Για ποιους πραγματικούς αριθμούς a ισχύει ότι [,, a] spa [,,],[,,],[,,] ; Θα πρέπει να υπάρχουν λ,λ,λ ώστε το [,, a] να γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των τριών διανυσμάτων, δηλαδή να ισχύει 5

6 Κεφάλαιο 6 Ζητάμε δηλαδή, το παραπάνω σύστημα να έχει λύση (να είναι συμβιβαστό) Ακολουθούμε τις διαδικασίες που μάθαμε στο κεφάλαιο επίλυσης συστημάτων και εφαρμόζουμε την μέθοδο Gauss θα κάνουμε γραμμοπράξεις στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:, από όπου συμπεραίνουμε ότι πρέπει να ισχύει διότι σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή είναι συμβιβαστό Σε αντίθετη περίπτωση έχουμε από την τρίτη εξίσωση 0 a 0 που δεν είναι δυνατό να ισχύει a b Έστω M ( ) c d, τότε μπορούμε να γράψουμε: a b a b c d c d Δηλαδή, οι τέσσερεις αυτοί πίνακες παράγουν το χώρο αυτό πινάκων Οπότε σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω: M ( ) spa,,, Γραμμική εξάρτηση, γραμμική ανεξαρτησία και βάση δχ Έστω ένα σύνολο στοιχείων,, mενός δχ Εάν κάποιο από αυτά τα στοιχεία μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων τότε λέμε ότι τα στοιχεία,, m είναι γραμμικά εξαρτημένα Δηλαδή, θα πρέπει να υπάρχουν,, k, k, m όπου i όχι όλα μηδενικά ώστε για κάποιο στοιχείο k να ισχύει k k k k k mm Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα m είναι γραμμικά εξαρτημένα όταν η σχέση mm 0, όπου i έχει (εκτός την προφανή μηδενική) και μία άλλη λύση,, k, k, k, m όπου i όχι όλα μηδενικά Πράγματι, εάν ισχύει αυτό κάποιο k 0 οπότε το αντίστοιχο k θα μπορούσε να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων απλά λύνοντας την σχέση ως προς k, k / k k / k k k / k k m / k m Αντίστροφα, εάν υπάρχουν,, k, k, m όπου i όχι όλα μηδενικά ώστε για κάποιο στοιχείο k να ισχύει, k k k k k m m

7 Διανυσματικοί Χώροι Τότε φανερά ισχύει k k k k k mm 0 που σημαίνει ότι η σχέση mm 0, έχει μία λύση για την οποία k 0 Αντίστοιχα, ένα σύνολο στοιχείων,, mτου δχ V είναι γραμμικά ανεξάρτητα όταν κανένα από αυτά δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων Δηλαδή, ισοδύναμα εάν ισχύει η σχέση 0, όπου, τότε αναγκαστικά έχουμε: i m 0 Είναι φανερό ότι εάν η παραπάνω σχέση 0, είχε και μία άλλη λύση, εκτός της μηδενικής, για την οποία κάποιο k 0 τότε το αντίστοιχο k θα μπορούσε να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων απλά λύνοντας την σχέση ως προς, k / / / / k k k k k k k k m k m Δύο διανύσματα του δχ V είναι γραμμικά εξαρτημένα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου Κάθε υποσύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων είναι επίσης σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων Κάθε υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι σύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων Το μηδενικό διάνυσμα 0 είναι γραμμικά εξαρτημένο, γιατί 0 0 για κάθε πραγματικό Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο, γιατί 0 ισχύει εάν και μόνο αν 0 Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το σύνολο των διανυσμάτων του επιπέδου, αλλά και του χώρου, είναι διανυσματικοί χώροι Αυτό μπορεί να γίνει ορίζοντας τις κατάλληλες πράξεις και αποδεικνύοντας τις απαιτήσεις του ορισμού του διανυσματικού χώρου m m m m u u ku u Δύο διανύσματα του επιπέδου είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ανήκουν στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες 7

8 Κεφάλαιο u u γραμμικά ανεξάρτητα γραμμικά εξαρτημένα Ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι δύο διανύσματα του χώρου είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο 6 6 Τα διανύσματα, είναι γραμμικά εξαρτημένα αφού Ενώ, τα διανύσματα, είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού η σχέση k k k k /, k κάτι που δεν μπορεί να συμβαίνει ταυτόχρονα k Ένα σύνολο στοιχείων,, mτου V ονομάζεται βάση του V αν έχει τις ιδιότητες a το,, m παράγει το V, δηλαδή κάθε στοιχείο του V είναι γραμμικός συνδυασμός των,, m b αν ισχύει η σχέση mm 0, όπου i, τότε αναγκαστικά έχουμε m 0 Δηλαδή είναι γραμμικά ανεξάρτητα Ένας διανυσματικός χώρος μπορεί να έχει παραπάνω από μία βάσεις Διάσταση ενός χώρου (συμβολίζεται dimv ) είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων της βάσης Η διάσταση του τετριμμένου μηδενικού χώρου V 0 είναι 0 Έστω {,, } μια βάση του V Τότε για κάθε V, υπάρχουν μοναδικά με i Έστω dimv Εάν,, m V είναι γραμμικά ανεξάρτητα τότε m Εάν W διανυσματικός υπόχωρος του δχ V τότε dimw dimv 8

9 Διανυσματικοί Χώροι Το σύνολο e, e, όπου, 0 e, e 0, είναι μια βάση του a το e, e παράγει το, αφού αν,, τότε,,0 0,,0 0, b αν e e 0, τότε, 0, 0 0 Με παρόμοιο τρόπο, βλέπουμε ότι το σύνολο,0,,0, 0,,0,,0,, 0,,0,, είναι μια βάση του e e e λέγεται η συνήθης βάση ή κανονική βάση του Πράγματι, e,,, e όπου Αυτή Οι τέσσερεις πίνακες,,, πινάκων M ( ) είναι γραμμικά ανεξάρτητοι διότι: a 0 0 b c d a c 0 0 a 0, b 0, c 0, d 0 c d 0 0 που παράγουν τον χώρο Οπότε συμπεραίνουμε ότι οι πίνακες αυτοί αποτελούν και βάση του χώρου των πινάκων x M ( ) εφόσον (όπως είδαμε σε παραπάνω παράδειγμα) τον παράγουν επίσης Επειδή οι πίνακες αυτοί είναι η διάσταση του συγκεκριμένου χώρου είναι ο σύνολο των σύνολο των πολυωνύμων με βαθμό το πολύ είναι διανυσματικός υπόχωρος με διάσταση + Πράγματι, το σύνολο αυτό παράγεται από το σύνολο, x, x,, x αφού κάθε πολυώνυμο βαθμού το πολύ p( x) ax a x ax a0 γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω πολυωνύμων Τα στοιχεία του συνόλου αυτού είναι γραμμικά ανεξάρτητα μιας και ισχύει: x x x Για τους διανυσματικού χώρους διανυσμάτων με συντεταγμένες ( ισχύουν: dim Έστω ότι,,, τότε οι ακόλουθες τρεις προτάσεις ισχύουν: m Αν τα,, m είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε έχουμε m Αν τα,, m παράγουν το, τότε έχουμε m Αν τα,, m αποτελούν βάση του, τότε έχουμε m Έστω,, Τότε οι ακόλουθες τρεις προτάσεις είναι ισοδύναμες: ), 9

10 Κεφάλαιο Το σύνολο,, είναι μια βάση του Τα,, παράγουν το Τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα Έστω,, και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το i, i,, Τότε τα,, αποτελούν βάση του αν και μόνο αν det A 0 Έστω,, και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το i, i,, Τότε τα,, αποτελούν βάση του αν και μόνο αν το ομογενές σύστημα Ax 0έχει λύση μόνο τη μηδενική Έστω Α πίνακας εάν θεωρήσουμε ως την κάθε στήλη του ένα διάνυσμα του Τότε τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν det A 0 Όπου η στήλη i είναι το, i,, i Έστω,, m και έστω Α ο m πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το i, i,, Τότε τα,, είναι γραμμικά εξαρτημένα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα κάθε υποπίνακα του Α είναι ίση με 0 Τα διανύσματα 6, είναι γραμμικά εξαρτημένα αφού, κάθε υποορίζουσα είναι μηδενική Πράγματι, x Τα διανύσματα, είναι γραμμικά ανεξάρτητα διότι, υπάρχει μη μηδενική x υποορίζουσα 9 0 Για τους διανυσματικού χώρους διανυσμάτων με συντεταγμένες ( ), μπορεί να εφαρμοστεί ο ακόλουθος αλγόριθμος για να ελέγξουμε τη γραμμική εξάρτηση ή ανεξαρτησία στοιχείων τους: Έστω,, Σχηματίζω τον kπίνακα Α του οποίου η στήλη i είναι k το i, i,, k Μετασχηματίζω με κατάλληλες γραμμοπράξεις τον πίνακα Α σε πίνακα Β κλιμακωτής μορφής Βρίσκω ποιες στήλες του Β περιέχουν μη μηδενικό οδηγό στοιχείο Οι αντίστοιχες στήλες του Α αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα 0

11 Έστω V ο υπόχωρος του,,0,0,,0,,0,,,,0, 0,0,, Διανυσματικοί Χώροι, που παράγεται από τα διανύσματα Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του V Σχηματίζουμε τον πίνακα με στήλες τα δοσμένα διανύσματα Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών βρίσκουμε την κλιμακωτή μορφή Η πρώτη η δεύτερη και η τέταρτη στήλες του τελικού πίνακα περιέχουν μη μηδενικά οδηγά στοιχεία Σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω η πρώτη η δεύτερη και η τέταρτη στήλη του αρχικού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και εφόσον παράγουν το χώρο μια βάση του V είναι το σύνολο,,0,0,,0,,0, 0,0,, Επίσης ισχύει : Δηλαδή έχουμε λοιπόν dimv Έστω,, παράγουν ένα διανυσματικό υπόχωρο V του k Και έστω Α ο k πίνακας του οποίου η i γραμμή είναι το i, i,, k Εάν, μετασχηματίσω με κατάλληλες γραμμοπράξεις τον πίνακα Α σε πίνακα Β κλιμακωτής μορφής τότε, οι μη μηδενικές γραμμές του Β, αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και παράγουν τον υπόχώρο V Δηλαδή οι γραμμές αυτές αποτελούν βάση του υπόχωρου αυτού Εάν τώρα, στον υπόχωρο του παραπάνω παραδείγματος, θεωρήσω πίνακα με γραμμές τα διανύσματα που τον παράγουν και με κατάλληλες γραμμοπράξεις τον μετασχηματίσω σε πίνακα κλιμακωτής μορφής:

12 Κεφάλαιο Εφόσον, η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη γραμμή είναι μη μηδενικές οπότε, σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω οι γραμμές αυτές αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα Επίσης παράγουν τον διανυσματικό υπόχωρο V και αποτελούν βάση του Δίνεται το υποσύνολο του το σύνολο αυτό είναι υπόχωρος του Επειδή : V { x y z, x z, y z, x, y, z } Δείξτε ότι και βρείτε μία βάση και τη διάστασή του x y z, x z, y z x,, 0 y, 0, z,, έχουμε ότι το σύνολο V είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των,,0,,0,,,, Οπότε, V spa {,,0,,0,,,, } και σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει είναι διανυσματικός υπόχωρος του Για να βρούμε μία βάση του, αρκεί να θεωρήσουμε τον πίνακα με στήλες τις συντεταγμένες των παραπάνω γεννητόρων και να βρούμε μία κλιμακωτή μορφή του: Όλες οι στήλες περιέχουν μη μηδενικά οδηγά στοιχεία Σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω, μία βάση του V είναι τα διανύσματα,,0,,0,,,, και η διάσπαση του είναι ίση προς Άρα επειδή έχουμε γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του αυτά αποτελούν βάση του και εφόσον ανήκουν στον χώρο V ο χώρος αυτός ταυτίζεται με τον, δηλαδή ισχύει V Εναλλακτικά θα μπορούσα να θεωρήσω πίνακα με γραμμές αυτά τα διανύσματα και να κάνω γραμμοπράξεις: Όλες οι γραμμές του τελικού πίνακα είναι μη μηδενικές οπότε σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω και οι τρεις γραμμές του τελικού πίνακα

13 Διανυσματικοί Χώροι,,, 0,,, 0,0, είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου V που είναι υποσύνολο του Εφόσον έχουμε γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του αυτά αποτελούν βάση του και εφόσον ανήκουν στον χώρο V ο χώρος αυτός ταυτίζεται με τον, δηλαδή ισχύει V 5 Μηδενοχώρος, εικόνα και τάξη πίνακα Μηδενοχώρος πίνακα Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο N x : Ax 0 A ονομάζεται μηδενοχώρος ή πυρήνας του πίνακα A Είναι εύκολο να δούμε ότι Ν Α είναι διανυσματικός υπόχωρος του u, N A τότε από τον ορισμό του συνόλου έχουμε ότι: Έστω Au 0 Au A 0 A( u ) 0 u N A 0 Au 0 kau 0 Aku 0 ku N A k Η διάσταση του χώρου αυτού ονομάζεται μηδενικότητα του πίνακα και την συμβολίζουμε με dim A N A Ισχύουν τα ακόλουθα: Εάν η μοναδική λύση ενός ομογενούς συστήματος Ax 0 είναι η μηδενική τότε ισχύει N A {} 0 και A 0 Ένας x πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν NA {} 0 0 Έστω ο πίνακας A 0 Βρείτε τον πυρήνα του και τη μηδενικότητά 0 του Ο ορισμός των στοιχείων του πυρήνα μας οδηγεί στο ομογενές σύστημα x x x 0 με επαυξημένο x x x 0 x x x A

14 Κεφάλαιο από το οποίο έχουμε x 0, x x, x x (απειρία λύσεων) την [ k, k,0, k] k,,0, Οπότε A και N A spa{ } 0 Έστω ο πίνακας A Βρείτε τον πυρήνα του και τη μηδενικότητά του και με βάση αυτά εξετάστε εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Ο ορισμός των στοιχείων του πυρήνα μας οδηγεί σε ομογενές σύστημα με επαυξημένο πίνακα: Κάνουμε τους ακόλουθους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών : Από τον τελικό πίνακα παρατηρούμε ότι, το ομογενές σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση οπότε A 0 Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Έστω ο πίνακας A 6 Βρείτε τον πυρήνα του και τη μηδενικότητά του 6 9 και με βάση αυτά εξετάστε εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Ο ορισμός των στοιχείων του πυρήνα μας οδηγεί σε ομογενές σύστημα με επαυξημένο πίνακα: Κάνουμε τους ακόλουθους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών :

15 Διανυσματικοί Χώροι Από τον τελικό πίνακα παρατηρούμε ότι, το ομογενές σύστημα έχει την ακόλουθη απειρία λύσεων : kl [, k, l] k /,,0 l/,0, k /,,0 l /,0, Είναι φανερό ότι ο χώρος λύσεων του συστήματος παράγεται από δύο διανύσματα οπότε A και N A spa{, 0 } Εφόσον ο πίνακας έχει μηδενικότητα 0 συμπεραίνουμε ότι δεν είναι αντιστρέψιμος Χώρος εικόνα πίνακα Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο m R b : Ax b για κάποιο x A ονομάζεται εικόνα του πίνακα A Είναι εύκολο να δούμε ότι R Α είναι διανυσματικός υπόχωρος του u, R A τότε για κάποια xy, έχουμε ότι m Έστω Ax u Ax Ay u A( x y) u u RA Ay Ax u kax ku A kx ku ku R k A Η διάσταση του χώρου αυτού ονομάζεται τάξη ή βαθμός (rak) του πίνακα και τη συμβολίζουμε ως: rak A dim R A Για την τάξη του πίνακα ισχύουν τα ακόλουθα: Η τάξη ενός πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των οδηγών στοιχείων που υπάρχουν στην κλιμακωτή μορφή που μπορούμε να φέρουμε τον πίνακα Μία βάση του χώρου εικόνα είναι η βάση του διανυσματικού χώρου που προκύπτει εάν θεωρήσουμε τις στήλες του πίνακα (χώρος στηλών) ως διανύσματα Οπότε, ως βάση παίρνουμε τα διανύσματα (στήλες του αρχικού πίνακα) που αντιστοιχούν σε στήλες με μη μηδενικά οδηγά στοιχεία στην τελική κλιμακωτή μορφή του πίνακα rak A A Για κάποιον mx πίνακα Α ( ) Ένας x τετραγωνικός πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν rak A Ένα σύστημα x Ax b έχει τουλάχιστον μία λύση εάν και μόνο εάν ο επαυξημένος πίνακας Abκαι ο πίνακας Α έχουν την ίδια τάξη 5

16 Κεφάλαιο 0 Έστω ο πίνακας A 0 0 Για την εύρεση του χώρου εικόνα κάνουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα Επειδή ο τελικός έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία στην η, η και η στήλη, η η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα αποτελούν βάση του χώρου εικόνα και ο βαθμός του πίνακα είναι rak A Για τον συγκεκριμένο πίνακα είχαμε βρει A, οπότε βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση ( ) rak A A Έστω ο πίνακας A Βρείτε μία βάση και τη διάσταση του χώρου εικόνα του πίνακα Για την εύρεση των διανυσμάτων της βάσης του χώρου εικόνα κάνουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα: , Επειδή ο τελικός πίνακάς έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία στην η, η και η στήλη η η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα αποτελούν βάση του χώρου εικόνα και ο βαθμός του πίνακα είναι rak A Για το συγκεκριμένο πίνακα είχαμε βρει A, οπότε βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση ( ) συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος αφού rak A rak A A Επίσης Έστω ο πίνακας A 6 Βρείτε μία βάση και τη διάσταση του χώρου 6 9 εικόνα του πίνακα Για την εύρεση των διανυσμάτων της βάσης του χώρου εικόνα κάνουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα:

17 Διανυσματικοί Χώροι Επειδή ο τελικός πίνακας έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία μόνο στην η στήλη, η η στήλη του αρχικού πίνακα αποτελεί το μοναδικό στοιχείο της βάσης του χώρου εικόνα και ο βαθμός του πίνακα είναι rak A Για το συγκεκριμένο πίνακα είχαμε βρει A οπότε, βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση rak A ( A) Επίσης συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος αφού rak A Σας δίνεται το σύστημα: x y z x y z x5yz Βρείτε την τάξη του πίνακα, την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και τη βάση της εικόνας Επιχειρηματολογήστε για το αν το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση Θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος από όπου μπορούμε να βγάλουμε όλα τα συμπεράσματα Ο επαυξημένος πίνακας είναι: 5 Εκτελώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών, εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται στην κλιμακωτή μορφή Παρατηρούμε ότι έχουμε τρία μη μηδενικά οδηγά στοιχεία τόσο όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα του συστήματος όσο και συνολικά τον πίνακα του επαυξημένου Οπότε, rak( A b ) rak( A) και το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση, στη συγκεκριμένη περίπτωση την x, y, z Αφού μη μηδενικά στοιχεία υπάρχουν στην η, η και η στήλη του τελικού πίνακα (όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα τους συτήματος), η βάση της εικόνας αποτελείται από την η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα Εφόσον η διάσταση αυτού του υπόχωρου του εικόνα συμπίπτει με τον είναι τρία, συμπεραίνουμε ότι ο χώρος Σας δίνεται το σύστημα: 7

18 Κεφάλαιο x y z 6 x y z x y z Βρείτε την τάξη του πίνακα, την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και τη βάση της εικόνας Επιχειρηματολογήστε για το αν το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση Θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος από όπου μπορούμε να βγάλουμε όλα τα συμπεράσματα Ο επαυξημένος πίνακας είναι 6 Εκτελώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών, εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται στην κλιμακωτή μορφή: Παρατηρούμε ότι, αφού έχουμε δύο μη μηδενικά οδηγά στοιχεία τόσο όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα του συστήματος όσο και συνολικά τον πίνακα του επαυξημένου, ισχύει rak( A b ) rak( A) Συμπεραίνομε ότι, το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση, στη συγκεκριμένη περίπτωση άπειρες Αφού μη μηδενικά στοιχεία υπάρχουν στην η και η στήλη του τελικού πίνακα (όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα τους συτήματος), η βάση της εικόνας αποτελείται από την η και η στήλη του αρχικού πίνακα Σας δίνεται το σύστημα: x y z x y z 7 5x y z Βρείτε την τάξη του πίνακα, την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και τη βάση της εικόνας Επιχειρηματολογήστε για το αν το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση Θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος από όπου μπορούμε να βγάλουμε όλα τα συμπεράσματα 8

19 Διανυσματικοί Χώροι Ο επαυξημένος πίνακας είναι 7 5 Εκτελώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται στην κλιμακωτή μορφή: Παρατηρούμε ότι rak( A b ) rak( A) διότι έχουμε δύο μη μηδενικά οδηγά στοιχεία όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα του συστήματος και τρία και μη μηδενικά οδηγά στοιχεία όταν θεωρήσουμε συνολικά τον πίνακα του επαυξημένου Με βάση τα όσα έχουμε πει, το σύστημα δεν έχει καμία λύση Αφού μη μηδενικά στοιχεία υπάρχουν στην η και η στήλη του τελικού πίνακα (όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα τους συστήματος) η βάση της εικόνας αποτελείται από την η και η στήλη του αρχικού πίνακα Χώρος εικόνα πίνακα Έστω E, Eδιανυσματικοί υπόχωροι του ενός δχ V V,, E,, 0 E,, u u u ' ' m m Θεωρούμε το σύνολο άθροισμα E E E το οποίο αποτελείται από στοιχεία του διανυσματικού χώρου V τα οποία μπορούν να γραφούν ως άθροισμα ενός στοιχείου του E και ενός στοιχείου E Έστω ο διανυσματικός υπόχωρος E παράγεται από τα διανύσματα u, u,, u τότε για κάθε στοιχείο του u θα ισχύει u u u Επίσης εάν ο διανυσματικός υπόχωρος E παράγεται από τα ' ' διανύσματα,,, m τότε για κάθε στοιχείο του θα ισχύει m m Το τυχαίο στοιχείο h του χώρου αθροίσματος E μπορεί να γραφεί ως: ' ' h u u u m m 9

20 Κεφάλαιο Οπότε, το συγκεκριμένο σύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος του V ο οποίος παράγεται από το σύνολο των γεννητόρων u, u,, u,,,, mτων δχ E, E Η διάστασή του είναι τουλάχιστο ίση με το άθροισμα των διαστάσεων των δχ E, E και συγκεκριμένα ισχύει: dim( E) dim E E dim E dim E dim E E Αν ισχύει E E τότε ο χώρος άθροισμα ονομάζεται ευθύ άθροισμα και συμβολίζουμε E E E Είναι φανερό ότι για το ευθύ άθροισμα ισχύει: dim( E) dim E E dim E dim E Έστω E και E οι παρακάτω διανυσματικοί υπόχωροι του, E [ x, x, x, x ] x x x 0 E [ x, x, x, x ] x x, x x Βρείτε τη διάσταση καθενός από τους υποχώρους E, E, E E Έστω [x,x,x,x ] ένα τυχαίο διάνυσμα του Ε Έχουμε x x 0 0 x x x 0 x x x x x x x x 0 0 x x 0 0 Δηλαδή τα διανύσματα,, είναι γεννήτορες του Ε Αυτά είναι και γραμμικά ανεξάρτητα Πράγματι, υπολογίζουμε θεωρούμε πίνακα με στήλες τα διανύσματα,, Έτσι, Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Επειδή η η, η και η στήλη του τελικού πίνακα έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία τα διανύσματα που έχουν ως στοιχεία την η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (εναλλακτικά, επειδή ο βαθμός του τελευταίου πίνακα είναι ) Δηλαδή τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα Συνεπώς αποτελούν μια βάση του Ε, οπότε dimε = Όμοια διαπιστώνουμε ότι για το [x,x,x,x ] Ε έχουμε x x 0 x x 0 x x xu x x x 0 x x 0 άρα Ε = spa{u, }, 0

21 Διανυσματικοί Χώροι Επίσης τα u, είναι γραμμικά ανεξάρτητα (αποδεικνύεται πολύ εύκολα με τη χρήση του ορισμού) 0 0 a b 0 a b a b b a 0 οπότε αποτελούν βάση του Ε Άρα dimε = Τα στοιχεία του χώρου αθροίσματος E + E αποτελούνται από στοιχεία τα οποία μπορούν να γραφούν ως άθροισμα ενός στοιχείου του E και ενός στοιχείου E Το συγκεκριμένο σύνολο εύκολα μπορεί να δει κανείς ότι είναι διανυσματικός υπόχωρος του διότι ισχύει E + E = spa{,,, u, u } Επειδή τα και u είναι τα ίδια διανύσματα έχουμε τελικά (για αυτήν την άσκηση) ότι E + E = spa{,,, u } Τώρα ορίζουμε τον πίνακα με στήλες τα διανύσματα αυτά και τον μετασχηματίζουμε σε κλιμακωτή μορφή Αφού κάθε στήλη έχει κάποιο μη μηδενικό στοιχείο τα,,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα συμπεραίνομε ότι dim(ε + Ε ) = Εναλλακτικά επειδή γραμμική ανεξαρτησία των διανυσμάτων Εφόσον η διάσταση αυτού του υπόχωρου του χώρος άθροισμα συμπίπτει με τον 0 θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε την είναι, συμπεραίνουμε ότι ο Για το άθροισμα E E σύμφωνα με όσα έχουμε υπολογίσει παραπάνω έχουμε: dim( E E) dim E dim E dim( E E) dim( E E) dim( E E )

22 Κεφάλαιο Οπότε, επειδή EE {} 0, ο δεν είναι το ευθύ άθροισμα των υπόχωρων E, E Ασκήσεις πάνω στους διανυσματικούς χώρους Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του υπόχωρος του [ x, y, z] z 0 [ x, y, z] y z δεν είναι Λύση Το σύνολο W= { [x,y,z] z 0 } δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος του, γιατί αν θεωρήσουμε το [,0,] Τ W, τότε [,0,] Τ = [,0, ] Τ W Το σύνολο U= { [x,y,z] y z = } δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος του, γιατί το μηδενικό διάνυσμα δεν ανήκει στο U Εξετάστε ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του δικαιολογείστε την απάντησή σας Λύση U x, y, z x 5y z,, 5 0 V x y z x y z W x, y, z 5x y z 0 είναι υπόχωροι του Το U δεν είναι υπόχωρος του γιατί δεν περιέχει το 0,0,0 Το V δεν είναι υπόχωρος Πράγματι, έχουμε για παράδειγμα αφού, αλλά,0,,0, 5 0 ( ) Τα W είναι υπόχωρος του Πράγματι, για κάθε / / / x, y, z, x, y, z W, / / / / / / x, y, z x, y, z x x, y y, z z και / / / 5( x x ) ( y y ) ( z z ) / / / (5x y z) (5x y z ) Άρα / / / ( x, y, z) ( x, y, z ) W Και, για κάθε k και x, y, z,, k x y z kx, ky, kz και W, και,0, V V αφού

23 Διανυσματικοί Χώροι 5( kx) ( ky) ( kz) k(5x y z) 0 Οπότε k( x, y, z) W Ισοδύναμα, για κάθε, x, y, z, x, y, z W, kl και / / / / / / / / /,,,,,, k x y z l x y z kx lx ky ly kz lz και / / / 5( kx lx ) ( ky ly ) ( kz lz ) k x y z l x y z / / / (5 ) (5 ) Άρα k x y z l x y z W / / / (,, ) (,, ) Έστω P ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων που έχουν βαθμό το πολύ Αποδείξτε ότι μια βάση του P είναι το σύνολο {, t,( t ) } και βρείτε την παράσταση του 5t t ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της παραπάνω βάσης Λύση Ξέρουμε ότι η διάσταση του P είναι Αρχικά πρέπει να αποδείξουμε ότι το σύνολο {, t,( t) } είναι γραμμικά ανεξάρτητο Θα το κάνουμε με τη χρήση του ορισμού: a b( t ) c( t ) 0 ct b c t a b c ( ) ( ) c b c a b c 0 a b c 0 Επίσης πρέπει να δείξουμε ότι τα τρία αυτά στοιχεία παράγουν το χώρο Δηλαδή, πρέπει να δείξουμε ότι για το τυχαίο στοιχείο του χώρου t t υπάρχουν abc,, τέτοια ώστε a b( t ) c( t ) t t Οπότε από a b( t ) c( t ) ( a b c) ( b c) t ct t t συμπεραίνομε ότι c, b c, a b c Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ότι για το τυχαίο στοιχείο του χώρου t t c, b c, a b c το τυχαίο στοιχείο του χώρου tt γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων αυτών οπότε αυτά παράγουν το χώρο Για το δεύτερο ερώτημα, λύνουμε την εξίσωση a b( t ) c( t ) t 5t δηλαδή την ct ( b c) t ( a b c) 5t t Αυτή ισοδυναμεί με το σύστημα c 5, b c, a b c Άρα a 0, b, c 5

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού: με V και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3)

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι (3) Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι () Παράδειγμα Δίνεται ο πίνακας A = 6. Να υπολογισθούν οι θεμελιώδεις υποχώροι που σχετίζονται με τον πίνακα Α. Να βρεθεί η διάστασή του κάθε ενός και από μία βάση τους.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2

Γ 3 2Γ. Από τον τελευταίο πίνακα προκύπτει το ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα. 3x 2 2x 3 = 1 x 3 = 2 Γραμμικά συστήματα Άσκηση. Να βρεθεί η λύση του γραμμικού συστήματος x 2x 2 + x 3 = x + x 2 x 3 = 2 2x x 2 + x 3 = Απόδειξη. Θεωρούμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος 2 2 2 και εκτελούμε στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα