Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι"

Transcript

1 Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε ότι ισχύουν: a a a a b b b b c c c c d d d d και a a b b c c d d β) Το σύνολο πραγματικών πινάκων x το οποίο συμβολίζουμε με M ( ) Σε, αυτό το σύνολο γνωρίζουμε ότι ισχύουν: και a b a b a a b b c d c d c c d d a b a b c d c d γ) Το σύνολο πολυωνύμων βαθμού το πολύ το οποίο συμβολίζουμε με P ( ) Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε ότι ισχύουν: ( ax b x cx d) ( ax b x cx d) ( a a) x ( b b ) x ( c c) x ( d d) και ( a x b x c x d ) ( a ) x ( b ) x ( c ) x ( d ) Τα τρία αυτά σύνολα έχουν στοιχεία το καθένα διαφορετικού είδους μαθηματικά αντικείμενα Ωστόσο, τα σύνολα αυτά παρουσιάζουν χαρακτηριστικές ομοιότητες όταν εφαρμόζουμε στα στοιχεία τους τις δύο αυτές πράξεις, δηλαδή την πρόσθεση των στοιχείων τους και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί στοιχείου τους Τα τρία αυτά σύνολα εφοδιασμένα με τις συγκεκριμένες αυτές πράξεις λέμε ότι αποτελούν διανυσματικούς χώρους και τα στοιχεία τους τα λέμε διανύσματα γιατί, όπως θα δούμε παρακάτω, τα στοιχεία τους ικανοποιούν κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες ως προς τις πράξεις αυτές Γενικότερα, θεωρούμε ένα σύνολο V με στοιχεία μαθηματικά αντικείμενα (διανύσματα, πίνακες, πολυώνυμα, συναρτήσεις κλπ) στο οποίο έχουμε ορίσει δύο πράξεις Μία εσωτερική πράξη μεταξύ των στοιχείων του δχ, την οποία θα ονομάζουμε γενικά «πρόσθεση»: ( ) :V V V

2 Κεφάλαιο Και μία εξωτερική πράξη πραγματικών αριθμών με στοιχεία του δχ, την οποία θα ονομάζουμε γενικά «βαθμωτό πολλαπλασιασμό»: ( ) : V V Το σύνολο αυτό V ονομάζεται διανυσματικός χώρος (δχ) όταν ισχύουν οι ακόλουθες δέκα ιδιότητες u V u, V Κλειστότητα της πρόσθεσης u u u, V Αντιμεταθετικότητα 0V : u 0 u u V Ύπαρξη ουδετέρου πρόσθεσης u V uv : u ( u) 0 Ύπαρξη αντιθέτου πρόσθεσης ( u ) w u ( w) u,, w V Προσεταιριστικότητα πρόσθεσης au V u V και a Κλειστότητα του πολαπλασιασμού a( u ) au a u, V και a Πρώτος επιμεριστικός κανόνας ( a b) u au bu u V και a, b Δεύτερος επιμεριστικός κανόνας ( ab) u a( bu) u V και a, b Προσεταιριστικότητα πολαπλασιασμού u u u V Σύμβολα : για κάθε, υπάρχει, : τέτοιο ώστε, 0 το μηδενικό διάνυσμα,0 το μηδέν του πολ\μου Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου τα ονομάζουμε γενικά «διανύσματα» Η πρώτη πράξη λέγεται εσωτερική του συνόλου, γιατί εφαρμόζεται μεταξύ δύο στοιχείων του συνόλου και το αποτέλεσμα είναι στοιχείο του συνόλου ενώ η δεύτερη πράξη ονομάζεται εξωτερική γιατί εφαρμόζεται μεταξύ ενός πραγματικού αριθμού (ο οποίος δεν είναι στοιχείο του συνόλου) και ενός στοιχείου του συνόλου και το αποτέλεσμα είναι στοιχείο του συνόλου Είναι δυνατό, ένα σύνολο να είναι διανυσματικός χώρος εάν εφοδιαστεί με κάποιες πράξεις (εσωτερική «πρόσθεση» και εξωτερική «βαθμωτό πολλαπλασιασμό») και να μην είναι εάν εφοδιαστεί με κάποιες άλλες Ακόμη ένα σύνολο μπορεί να είναι δχ εφόσον εφοδιαστεί και με κάποιο άλλο ζεύγος πράξεων να ισχύουν οι παραπάνω δέκα ιδιότητες και για τις πράξεις αυτές και να είναι δχ όταν εφοδιάζεται και με αυτές Για να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο εφοδιασμένο με τις πράξεις είναι δχ πρέπει να αποδείξουμε ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες Για να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο εφοδιασμένο με τις πράξεις δεν είναι δχ πρέπει να αποδείξουμε ότι έστω μία από παραπάνω ιδιότητες δεν ισχύει Παραδείγματα συνόλων που, αποδεικνύοντας τις παραπάνω ιδιότητες, βλέπουμε ότι είναι δχ: Το σύνολο των -διάστατων διανυσμάτων, το οποίο συμβολίζουμε με, εφοδιασμένο με το σύνηθες άθροισμα διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί διάνυσμα

3 Διανυσματικοί Χώροι Το σύνολο των m x πινάκων, το οποίο συμβολίζουμε με M m, εφοδιασμένο με το σύνηθες άθροισμα πινάκων και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί πίνακα Ο τετριμμένος χώρος V 0 με το άθροισμα και το γινόμενο αριθμών Το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού το πολύ, το οποίο συμβολίζουμε με P, εφοδιασμένο με το άθροισμα πουλωνύμων και τον πολλαπλασιασμό αριθμού επί πολυώνυμο Εάν p( x) a x a x a x a και q( x) b x b x b x b τότε 0 p( x) q( x) ( a b ) x ( a b ) x ( a b ) x ( a b ) και m p( x) ma x ma x ma x m a 0 5 Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων: (, ) :, (, ) : V x y x y kx x kx x Ως πρόσθεση ορίζουμε ( x, kx ) ( x, kx ) ( x x, kx kx ) ( x x, k( x x )) V και ως βαθμωτό πολλαπλασιασμό a( x, kx ) ( ax, akx ) ( ax, kax ) V Συμβολισμός : Τα διανύσματα συνηθίζουμε να τα γράφουμε σε αγκύλες [ ] Ωστόσο όταν αναφερόμαστε σε σημεία του επιπέδου ή του χώρου ( ή αντίστοιχα) θα χρησιμοποιούμε τις παρενθέσεις όπως κάνουμε στη γεωμετρική προσέγγιση Παραδείγματα συνόλων που δεν είναι δχ: Ο χώρος V με το άθροισμα και το γινόμενο αριθμών διότι += δεν ανήκει στο χώρο Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων (, ) :, (, ) : V x y x y kx m x kx m x Ως πρόσθεση ορίζουμε ( x, kx m) ( x, kx m) ( x x, kx kx m) ( x x, k( x x) m) V μιας και δεν ικανοποιεί την εξίσωση στης ευθείας Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V ( x, y) : y 0 δεν είναι δχ εφόσον το (-,-) δεν δεύτερο τεταρτημόριο ανήκει στο χώρο ενώ το (,) ανήκει Σε ένα διανυσματικό χώρο ισχύουν τα ακόλουθα: a0 0 a 0 0 V Αν a 0 a 0 ή = 0 ( ) V

4 Κεφάλαιο Διανυσματικοί υπόχωροι u u u V,, W,, u V,, u u Έστω W ένα μη κενό υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου V Εάν το W, εφοδιασμένο με τις πράξεις του δχ, είναι και αυτό διανυσματικός χώρος τότε λέμε ότι είναι διανυσματικός υπόχωρος του δχ V Για να δείξουμε ότι ένα υποσύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος ενός δχ αρκεί να δείξουμε τη κλειστότητα των δύο πράξεων ως προς αυτόν το χώρο, δηλαδή: u W u, W, uw u W και Οι σχέσεις αυτές, αποτελούν μία ικανή και αναγκαία συνθήκη Δηλαδή, όταν ισχύουν το υποσύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος, ενώ όταν το υποσύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος για τα στοιχεία του ισχύουν οι σχέσεις αυτές Ισοδύναμα, μπορούμε να δείξουμε ότι: u W u, W και, Παραδείγματα διανυσματικών υπόχωρων γνωστών δχ Για κάθε δχ ο τετριμμένος χώρος δχ V 0 είναι υπόχωρός του, όπως και ο ίδιος ο δχ είναι υπόχωρος του εαυτού του Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων (, ) :, (, ) : V x y x y kx x kx x είναι υπόχωρος του παραπάνω) (το δείξαμε Το σύνολο των διαγώνιων πινάκων x είναι διανυσματικός υπόχωρος του δχ a 0 c 0 a c 0 a 0 ka 0 M, Πράγματι 0 b 0 d 0 b d και k 0 b 0 kb Η τομή W Wδύο διανυσματικών υπόχωρων WW, ενός δχ είναι διανυσματικός υπόχωρος του χώρου V Έστω u, WW τότε έχουμε ότι u, W u W u W W u, W u W Επίσης έστω u W W, a τότε έχουμε ότι u W au W au W W, u W au W

5 Διανυσματικοί Χώροι 5 Το σύνολο των σύνολο των πολυωνύμων με βαθμό το πολύ είναι διανυσματικός υπόχωρος του δχ P Πράγματι εάν p( x) ax ax a0 και q( x) b x b x b τότε p( x) q( x) ( a b ) x ( a b ) x ( a b ) και 0 mp( x) ma x ma x ma Παραδείγματα υποσυνόλων γνωστών δχ οι οποίοι δεν είναι διανυσματικοί υπόχωροι Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ανήκουν σε συγκεκριμένη ευθεία y kx m η οποία δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Το δείξαμε παραπάνω Το σύνολο των σημείων του επιπέδου που βρίσκονται στο πρώτο και στο V ( x, y) : y 0 δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος δεύτερο τεταρτημόριο εφόσον όταν το ( xy, ) ανήκει στο σύνολο το ( x, y) δεν ανήκει στο σύνολο V αφού y 0 y 0 Γραμμικός συνδυασμός και spa Έστω,, m V διανυσματικό χώρο Ένας γραμμικός συνδυασμός των,, m είναι ένα στοιχείο του V της μορφής, m m i Θα λέμε ότι τα στοιχεία,, m παράγουν το χώρο V αν για κάθε V υπάρχουν,, m τέτοια ώστε mm Συμβολίζουμε τότε ότι V spa,,, m Δηλαδή τα στοιχεία,, m παράγουν το V αν κάθε στοιχείο του V είναι γραμμικός συνδυασμός των,, m Έστω,, m V υπόχωρος του V διανυσματικό χώρο τότε το spa,,, m είναι διανυσματικός 7 Το διάνυσμα 7 μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των 7 5 διανυσμάτων, διότι ισχύει: Για ποιους πραγματικούς αριθμούς a ισχύει ότι [,, a] spa [,,],[,,],[,,] ; Θα πρέπει να υπάρχουν λ,λ,λ ώστε το [,, a] να γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των τριών διανυσμάτων, δηλαδή να ισχύει 5

6 Κεφάλαιο 6 Ζητάμε δηλαδή, το παραπάνω σύστημα να έχει λύση (να είναι συμβιβαστό) Ακολουθούμε τις διαδικασίες που μάθαμε στο κεφάλαιο επίλυσης συστημάτων και εφαρμόζουμε την μέθοδο Gauss θα κάνουμε γραμμοπράξεις στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:, από όπου συμπεραίνουμε ότι πρέπει να ισχύει διότι σε αυτήν την περίπτωση το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή είναι συμβιβαστό Σε αντίθετη περίπτωση έχουμε από την τρίτη εξίσωση 0 a 0 που δεν είναι δυνατό να ισχύει a b Έστω M ( ) c d, τότε μπορούμε να γράψουμε: a b a b c d c d Δηλαδή, οι τέσσερεις αυτοί πίνακες παράγουν το χώρο αυτό πινάκων Οπότε σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω: M ( ) spa,,, Γραμμική εξάρτηση, γραμμική ανεξαρτησία και βάση δχ Έστω ένα σύνολο στοιχείων,, mενός δχ Εάν κάποιο από αυτά τα στοιχεία μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων τότε λέμε ότι τα στοιχεία,, m είναι γραμμικά εξαρτημένα Δηλαδή, θα πρέπει να υπάρχουν,, k, k, m όπου i όχι όλα μηδενικά ώστε για κάποιο στοιχείο k να ισχύει k k k k k mm Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα m είναι γραμμικά εξαρτημένα όταν η σχέση mm 0, όπου i έχει (εκτός την προφανή μηδενική) και μία άλλη λύση,, k, k, k, m όπου i όχι όλα μηδενικά Πράγματι, εάν ισχύει αυτό κάποιο k 0 οπότε το αντίστοιχο k θα μπορούσε να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων απλά λύνοντας την σχέση ως προς k, k / k k / k k k / k k m / k m Αντίστροφα, εάν υπάρχουν,, k, k, m όπου i όχι όλα μηδενικά ώστε για κάποιο στοιχείο k να ισχύει, k k k k k m m

7 Διανυσματικοί Χώροι Τότε φανερά ισχύει k k k k k mm 0 που σημαίνει ότι η σχέση mm 0, έχει μία λύση για την οποία k 0 Αντίστοιχα, ένα σύνολο στοιχείων,, mτου δχ V είναι γραμμικά ανεξάρτητα όταν κανένα από αυτά δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων Δηλαδή, ισοδύναμα εάν ισχύει η σχέση 0, όπου, τότε αναγκαστικά έχουμε: i m 0 Είναι φανερό ότι εάν η παραπάνω σχέση 0, είχε και μία άλλη λύση, εκτός της μηδενικής, για την οποία κάποιο k 0 τότε το αντίστοιχο k θα μπορούσε να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων απλά λύνοντας την σχέση ως προς, k / / / / k k k k k k k k m k m Δύο διανύσματα του δχ V είναι γραμμικά εξαρτημένα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου Κάθε υποσύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων είναι επίσης σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων Κάθε υπερσύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων είναι σύνολο γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων Το μηδενικό διάνυσμα 0 είναι γραμμικά εξαρτημένο, γιατί 0 0 για κάθε πραγματικό Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα είναι γραμμικά ανεξάρτητο, γιατί 0 ισχύει εάν και μόνο αν 0 Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι το σύνολο των διανυσμάτων του επιπέδου, αλλά και του χώρου, είναι διανυσματικοί χώροι Αυτό μπορεί να γίνει ορίζοντας τις κατάλληλες πράξεις και αποδεικνύοντας τις απαιτήσεις του ορισμού του διανυσματικού χώρου m m m m u u ku u Δύο διανύσματα του επιπέδου είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ανήκουν στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες 7

8 Κεφάλαιο u u γραμμικά ανεξάρτητα γραμμικά εξαρτημένα Ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι δύο διανύσματα του χώρου είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο 6 6 Τα διανύσματα, είναι γραμμικά εξαρτημένα αφού Ενώ, τα διανύσματα, είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού η σχέση k k k k /, k κάτι που δεν μπορεί να συμβαίνει ταυτόχρονα k Ένα σύνολο στοιχείων,, mτου V ονομάζεται βάση του V αν έχει τις ιδιότητες a το,, m παράγει το V, δηλαδή κάθε στοιχείο του V είναι γραμμικός συνδυασμός των,, m b αν ισχύει η σχέση mm 0, όπου i, τότε αναγκαστικά έχουμε m 0 Δηλαδή είναι γραμμικά ανεξάρτητα Ένας διανυσματικός χώρος μπορεί να έχει παραπάνω από μία βάσεις Διάσταση ενός χώρου (συμβολίζεται dimv ) είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων της βάσης Η διάσταση του τετριμμένου μηδενικού χώρου V 0 είναι 0 Έστω {,, } μια βάση του V Τότε για κάθε V, υπάρχουν μοναδικά με i Έστω dimv Εάν,, m V είναι γραμμικά ανεξάρτητα τότε m Εάν W διανυσματικός υπόχωρος του δχ V τότε dimw dimv 8

9 Διανυσματικοί Χώροι Το σύνολο e, e, όπου, 0 e, e 0, είναι μια βάση του a το e, e παράγει το, αφού αν,, τότε,,0 0,,0 0, b αν e e 0, τότε, 0, 0 0 Με παρόμοιο τρόπο, βλέπουμε ότι το σύνολο,0,,0, 0,,0,,0,, 0,,0,, είναι μια βάση του e e e λέγεται η συνήθης βάση ή κανονική βάση του Πράγματι, e,,, e όπου Αυτή Οι τέσσερεις πίνακες,,, πινάκων M ( ) είναι γραμμικά ανεξάρτητοι διότι: a 0 0 b c d a c 0 0 a 0, b 0, c 0, d 0 c d 0 0 που παράγουν τον χώρο Οπότε συμπεραίνουμε ότι οι πίνακες αυτοί αποτελούν και βάση του χώρου των πινάκων x M ( ) εφόσον (όπως είδαμε σε παραπάνω παράδειγμα) τον παράγουν επίσης Επειδή οι πίνακες αυτοί είναι η διάσταση του συγκεκριμένου χώρου είναι ο σύνολο των σύνολο των πολυωνύμων με βαθμό το πολύ είναι διανυσματικός υπόχωρος με διάσταση + Πράγματι, το σύνολο αυτό παράγεται από το σύνολο, x, x,, x αφού κάθε πολυώνυμο βαθμού το πολύ p( x) ax a x ax a0 γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω πολυωνύμων Τα στοιχεία του συνόλου αυτού είναι γραμμικά ανεξάρτητα μιας και ισχύει: x x x Για τους διανυσματικού χώρους διανυσμάτων με συντεταγμένες ( ισχύουν: dim Έστω ότι,,, τότε οι ακόλουθες τρεις προτάσεις ισχύουν: m Αν τα,, m είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε έχουμε m Αν τα,, m παράγουν το, τότε έχουμε m Αν τα,, m αποτελούν βάση του, τότε έχουμε m Έστω,, Τότε οι ακόλουθες τρεις προτάσεις είναι ισοδύναμες: ), 9

10 Κεφάλαιο Το σύνολο,, είναι μια βάση του Τα,, παράγουν το Τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα Έστω,, και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το i, i,, Τότε τα,, αποτελούν βάση του αν και μόνο αν det A 0 Έστω,, και έστω Α ο πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το i, i,, Τότε τα,, αποτελούν βάση του αν και μόνο αν το ομογενές σύστημα Ax 0έχει λύση μόνο τη μηδενική Έστω Α πίνακας εάν θεωρήσουμε ως την κάθε στήλη του ένα διάνυσμα του Τότε τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν det A 0 Όπου η στήλη i είναι το, i,, i Έστω,, m και έστω Α ο m πίνακας του οποίου η στήλη i είναι το i, i,, Τότε τα,, είναι γραμμικά εξαρτημένα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα κάθε υποπίνακα του Α είναι ίση με 0 Τα διανύσματα 6, είναι γραμμικά εξαρτημένα αφού, κάθε υποορίζουσα είναι μηδενική Πράγματι, x Τα διανύσματα, είναι γραμμικά ανεξάρτητα διότι, υπάρχει μη μηδενική x υποορίζουσα 9 0 Για τους διανυσματικού χώρους διανυσμάτων με συντεταγμένες ( ), μπορεί να εφαρμοστεί ο ακόλουθος αλγόριθμος για να ελέγξουμε τη γραμμική εξάρτηση ή ανεξαρτησία στοιχείων τους: Έστω,, Σχηματίζω τον kπίνακα Α του οποίου η στήλη i είναι k το i, i,, k Μετασχηματίζω με κατάλληλες γραμμοπράξεις τον πίνακα Α σε πίνακα Β κλιμακωτής μορφής Βρίσκω ποιες στήλες του Β περιέχουν μη μηδενικό οδηγό στοιχείο Οι αντίστοιχες στήλες του Α αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα 0

11 Έστω V ο υπόχωρος του,,0,0,,0,,0,,,,0, 0,0,, Διανυσματικοί Χώροι, που παράγεται από τα διανύσματα Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του V Σχηματίζουμε τον πίνακα με στήλες τα δοσμένα διανύσματα Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών βρίσκουμε την κλιμακωτή μορφή Η πρώτη η δεύτερη και η τέταρτη στήλες του τελικού πίνακα περιέχουν μη μηδενικά οδηγά στοιχεία Σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω η πρώτη η δεύτερη και η τέταρτη στήλη του αρχικού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και εφόσον παράγουν το χώρο μια βάση του V είναι το σύνολο,,0,0,,0,,0, 0,0,, Επίσης ισχύει : Δηλαδή έχουμε λοιπόν dimv Έστω,, παράγουν ένα διανυσματικό υπόχωρο V του k Και έστω Α ο k πίνακας του οποίου η i γραμμή είναι το i, i,, k Εάν, μετασχηματίσω με κατάλληλες γραμμοπράξεις τον πίνακα Α σε πίνακα Β κλιμακωτής μορφής τότε, οι μη μηδενικές γραμμές του Β, αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα και παράγουν τον υπόχώρο V Δηλαδή οι γραμμές αυτές αποτελούν βάση του υπόχωρου αυτού Εάν τώρα, στον υπόχωρο του παραπάνω παραδείγματος, θεωρήσω πίνακα με γραμμές τα διανύσματα που τον παράγουν και με κατάλληλες γραμμοπράξεις τον μετασχηματίσω σε πίνακα κλιμακωτής μορφής:

12 Κεφάλαιο Εφόσον, η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη γραμμή είναι μη μηδενικές οπότε, σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω οι γραμμές αυτές αποτελούν γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα Επίσης παράγουν τον διανυσματικό υπόχωρο V και αποτελούν βάση του Δίνεται το υποσύνολο του το σύνολο αυτό είναι υπόχωρος του Επειδή : V { x y z, x z, y z, x, y, z } Δείξτε ότι και βρείτε μία βάση και τη διάστασή του x y z, x z, y z x,, 0 y, 0, z,, έχουμε ότι το σύνολο V είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των,,0,,0,,,, Οπότε, V spa {,,0,,0,,,, } και σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει είναι διανυσματικός υπόχωρος του Για να βρούμε μία βάση του, αρκεί να θεωρήσουμε τον πίνακα με στήλες τις συντεταγμένες των παραπάνω γεννητόρων και να βρούμε μία κλιμακωτή μορφή του: Όλες οι στήλες περιέχουν μη μηδενικά οδηγά στοιχεία Σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω, μία βάση του V είναι τα διανύσματα,,0,,0,,,, και η διάσπαση του είναι ίση προς Άρα επειδή έχουμε γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του αυτά αποτελούν βάση του και εφόσον ανήκουν στον χώρο V ο χώρος αυτός ταυτίζεται με τον, δηλαδή ισχύει V Εναλλακτικά θα μπορούσα να θεωρήσω πίνακα με γραμμές αυτά τα διανύσματα και να κάνω γραμμοπράξεις: Όλες οι γραμμές του τελικού πίνακα είναι μη μηδενικές οπότε σύμφωνα με τα όσα είπαμε παραπάνω και οι τρεις γραμμές του τελικού πίνακα

13 Διανυσματικοί Χώροι,,, 0,,, 0,0, είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του χώρου V που είναι υποσύνολο του Εφόσον έχουμε γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα του αυτά αποτελούν βάση του και εφόσον ανήκουν στον χώρο V ο χώρος αυτός ταυτίζεται με τον, δηλαδή ισχύει V 5 Μηδενοχώρος, εικόνα και τάξη πίνακα Μηδενοχώρος πίνακα Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο N x : Ax 0 A ονομάζεται μηδενοχώρος ή πυρήνας του πίνακα A Είναι εύκολο να δούμε ότι Ν Α είναι διανυσματικός υπόχωρος του u, N A τότε από τον ορισμό του συνόλου έχουμε ότι: Έστω Au 0 Au A 0 A( u ) 0 u N A 0 Au 0 kau 0 Aku 0 ku N A k Η διάσταση του χώρου αυτού ονομάζεται μηδενικότητα του πίνακα και την συμβολίζουμε με dim A N A Ισχύουν τα ακόλουθα: Εάν η μοναδική λύση ενός ομογενούς συστήματος Ax 0 είναι η μηδενική τότε ισχύει N A {} 0 και A 0 Ένας x πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν NA {} 0 0 Έστω ο πίνακας A 0 Βρείτε τον πυρήνα του και τη μηδενικότητά 0 του Ο ορισμός των στοιχείων του πυρήνα μας οδηγεί στο ομογενές σύστημα x x x 0 με επαυξημένο x x x 0 x x x A

14 Κεφάλαιο από το οποίο έχουμε x 0, x x, x x (απειρία λύσεων) την [ k, k,0, k] k,,0, Οπότε A και N A spa{ } 0 Έστω ο πίνακας A Βρείτε τον πυρήνα του και τη μηδενικότητά του και με βάση αυτά εξετάστε εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Ο ορισμός των στοιχείων του πυρήνα μας οδηγεί σε ομογενές σύστημα με επαυξημένο πίνακα: Κάνουμε τους ακόλουθους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών : Από τον τελικό πίνακα παρατηρούμε ότι, το ομογενές σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση οπότε A 0 Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Έστω ο πίνακας A 6 Βρείτε τον πυρήνα του και τη μηδενικότητά του 6 9 και με βάση αυτά εξετάστε εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Ο ορισμός των στοιχείων του πυρήνα μας οδηγεί σε ομογενές σύστημα με επαυξημένο πίνακα: Κάνουμε τους ακόλουθους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών :

15 Διανυσματικοί Χώροι Από τον τελικό πίνακα παρατηρούμε ότι, το ομογενές σύστημα έχει την ακόλουθη απειρία λύσεων : kl [, k, l] k /,,0 l/,0, k /,,0 l /,0, Είναι φανερό ότι ο χώρος λύσεων του συστήματος παράγεται από δύο διανύσματα οπότε A και N A spa{, 0 } Εφόσον ο πίνακας έχει μηδενικότητα 0 συμπεραίνουμε ότι δεν είναι αντιστρέψιμος Χώρος εικόνα πίνακα Έστω ένας mx πίνακας Α τότε το σύνολο m R b : Ax b για κάποιο x A ονομάζεται εικόνα του πίνακα A Είναι εύκολο να δούμε ότι R Α είναι διανυσματικός υπόχωρος του u, R A τότε για κάποια xy, έχουμε ότι m Έστω Ax u Ax Ay u A( x y) u u RA Ay Ax u kax ku A kx ku ku R k A Η διάσταση του χώρου αυτού ονομάζεται τάξη ή βαθμός (rak) του πίνακα και τη συμβολίζουμε ως: rak A dim R A Για την τάξη του πίνακα ισχύουν τα ακόλουθα: Η τάξη ενός πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των οδηγών στοιχείων που υπάρχουν στην κλιμακωτή μορφή που μπορούμε να φέρουμε τον πίνακα Μία βάση του χώρου εικόνα είναι η βάση του διανυσματικού χώρου που προκύπτει εάν θεωρήσουμε τις στήλες του πίνακα (χώρος στηλών) ως διανύσματα Οπότε, ως βάση παίρνουμε τα διανύσματα (στήλες του αρχικού πίνακα) που αντιστοιχούν σε στήλες με μη μηδενικά οδηγά στοιχεία στην τελική κλιμακωτή μορφή του πίνακα rak A A Για κάποιον mx πίνακα Α ( ) Ένας x τετραγωνικός πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν rak A Ένα σύστημα x Ax b έχει τουλάχιστον μία λύση εάν και μόνο εάν ο επαυξημένος πίνακας Abκαι ο πίνακας Α έχουν την ίδια τάξη 5

16 Κεφάλαιο 0 Έστω ο πίνακας A 0 0 Για την εύρεση του χώρου εικόνα κάνουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα Επειδή ο τελικός έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία στην η, η και η στήλη, η η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα αποτελούν βάση του χώρου εικόνα και ο βαθμός του πίνακα είναι rak A Για τον συγκεκριμένο πίνακα είχαμε βρει A, οπότε βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση ( ) rak A A Έστω ο πίνακας A Βρείτε μία βάση και τη διάσταση του χώρου εικόνα του πίνακα Για την εύρεση των διανυσμάτων της βάσης του χώρου εικόνα κάνουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα: , Επειδή ο τελικός πίνακάς έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία στην η, η και η στήλη η η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα αποτελούν βάση του χώρου εικόνα και ο βαθμός του πίνακα είναι rak A Για το συγκεκριμένο πίνακα είχαμε βρει A, οπότε βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση ( ) συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος αφού rak A rak A A Επίσης Έστω ο πίνακας A 6 Βρείτε μία βάση και τη διάσταση του χώρου 6 9 εικόνα του πίνακα Για την εύρεση των διανυσμάτων της βάσης του χώρου εικόνα κάνουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα:

17 Διανυσματικοί Χώροι Επειδή ο τελικός πίνακας έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία μόνο στην η στήλη, η η στήλη του αρχικού πίνακα αποτελεί το μοναδικό στοιχείο της βάσης του χώρου εικόνα και ο βαθμός του πίνακα είναι rak A Για το συγκεκριμένο πίνακα είχαμε βρει A οπότε, βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση rak A ( A) Επίσης συμπεραίνουμε ότι ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος αφού rak A Σας δίνεται το σύστημα: x y z x y z x5yz Βρείτε την τάξη του πίνακα, την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και τη βάση της εικόνας Επιχειρηματολογήστε για το αν το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση Θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος από όπου μπορούμε να βγάλουμε όλα τα συμπεράσματα Ο επαυξημένος πίνακας είναι: 5 Εκτελώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών, εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται στην κλιμακωτή μορφή Παρατηρούμε ότι έχουμε τρία μη μηδενικά οδηγά στοιχεία τόσο όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα του συστήματος όσο και συνολικά τον πίνακα του επαυξημένου Οπότε, rak( A b ) rak( A) και το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση, στη συγκεκριμένη περίπτωση την x, y, z Αφού μη μηδενικά στοιχεία υπάρχουν στην η, η και η στήλη του τελικού πίνακα (όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα τους συτήματος), η βάση της εικόνας αποτελείται από την η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα Εφόσον η διάσταση αυτού του υπόχωρου του εικόνα συμπίπτει με τον είναι τρία, συμπεραίνουμε ότι ο χώρος Σας δίνεται το σύστημα: 7

18 Κεφάλαιο x y z 6 x y z x y z Βρείτε την τάξη του πίνακα, την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και τη βάση της εικόνας Επιχειρηματολογήστε για το αν το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση Θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος από όπου μπορούμε να βγάλουμε όλα τα συμπεράσματα Ο επαυξημένος πίνακας είναι 6 Εκτελώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών, εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται στην κλιμακωτή μορφή: Παρατηρούμε ότι, αφού έχουμε δύο μη μηδενικά οδηγά στοιχεία τόσο όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα του συστήματος όσο και συνολικά τον πίνακα του επαυξημένου, ισχύει rak( A b ) rak( A) Συμπεραίνομε ότι, το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση, στη συγκεκριμένη περίπτωση άπειρες Αφού μη μηδενικά στοιχεία υπάρχουν στην η και η στήλη του τελικού πίνακα (όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα τους συτήματος), η βάση της εικόνας αποτελείται από την η και η στήλη του αρχικού πίνακα Σας δίνεται το σύστημα: x y z x y z 7 5x y z Βρείτε την τάξη του πίνακα, την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και τη βάση της εικόνας Επιχειρηματολογήστε για το αν το σύστημα έχει τουλάχιστον μία λύση Θα εργαστούμε με τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος από όπου μπορούμε να βγάλουμε όλα τα συμπεράσματα 8

19 Διανυσματικοί Χώροι Ο επαυξημένος πίνακας είναι 7 5 Εκτελώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών εύκολα βρίσκουμε ότι ο πίνακας μετατρέπεται στην κλιμακωτή μορφή: Παρατηρούμε ότι rak( A b ) rak( A) διότι έχουμε δύο μη μηδενικά οδηγά στοιχεία όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα του συστήματος και τρία και μη μηδενικά οδηγά στοιχεία όταν θεωρήσουμε συνολικά τον πίνακα του επαυξημένου Με βάση τα όσα έχουμε πει, το σύστημα δεν έχει καμία λύση Αφού μη μηδενικά στοιχεία υπάρχουν στην η και η στήλη του τελικού πίνακα (όταν θεωρήσουμε μόνο το τμήμα που αντιστοιχεί στον πίνακα τους συστήματος) η βάση της εικόνας αποτελείται από την η και η στήλη του αρχικού πίνακα Χώρος εικόνα πίνακα Έστω E, Eδιανυσματικοί υπόχωροι του ενός δχ V V,, E,, 0 E,, u u u ' ' m m Θεωρούμε το σύνολο άθροισμα E E E το οποίο αποτελείται από στοιχεία του διανυσματικού χώρου V τα οποία μπορούν να γραφούν ως άθροισμα ενός στοιχείου του E και ενός στοιχείου E Έστω ο διανυσματικός υπόχωρος E παράγεται από τα διανύσματα u, u,, u τότε για κάθε στοιχείο του u θα ισχύει u u u Επίσης εάν ο διανυσματικός υπόχωρος E παράγεται από τα ' ' διανύσματα,,, m τότε για κάθε στοιχείο του θα ισχύει m m Το τυχαίο στοιχείο h του χώρου αθροίσματος E μπορεί να γραφεί ως: ' ' h u u u m m 9

20 Κεφάλαιο Οπότε, το συγκεκριμένο σύνολο είναι διανυσματικός υπόχωρος του V ο οποίος παράγεται από το σύνολο των γεννητόρων u, u,, u,,,, mτων δχ E, E Η διάστασή του είναι τουλάχιστο ίση με το άθροισμα των διαστάσεων των δχ E, E και συγκεκριμένα ισχύει: dim( E) dim E E dim E dim E dim E E Αν ισχύει E E τότε ο χώρος άθροισμα ονομάζεται ευθύ άθροισμα και συμβολίζουμε E E E Είναι φανερό ότι για το ευθύ άθροισμα ισχύει: dim( E) dim E E dim E dim E Έστω E και E οι παρακάτω διανυσματικοί υπόχωροι του, E [ x, x, x, x ] x x x 0 E [ x, x, x, x ] x x, x x Βρείτε τη διάσταση καθενός από τους υποχώρους E, E, E E Έστω [x,x,x,x ] ένα τυχαίο διάνυσμα του Ε Έχουμε x x 0 0 x x x 0 x x x x x x x x 0 0 x x 0 0 Δηλαδή τα διανύσματα,, είναι γεννήτορες του Ε Αυτά είναι και γραμμικά ανεξάρτητα Πράγματι, υπολογίζουμε θεωρούμε πίνακα με στήλες τα διανύσματα,, Έτσι, Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Επειδή η η, η και η στήλη του τελικού πίνακα έχει μη μηδενικά οδηγά στοιχεία τα διανύσματα που έχουν ως στοιχεία την η, η και η στήλη του αρχικού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (εναλλακτικά, επειδή ο βαθμός του τελευταίου πίνακα είναι ) Δηλαδή τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα Συνεπώς αποτελούν μια βάση του Ε, οπότε dimε = Όμοια διαπιστώνουμε ότι για το [x,x,x,x ] Ε έχουμε x x 0 x x 0 x x xu x x x 0 x x 0 άρα Ε = spa{u, }, 0

21 Διανυσματικοί Χώροι Επίσης τα u, είναι γραμμικά ανεξάρτητα (αποδεικνύεται πολύ εύκολα με τη χρήση του ορισμού) 0 0 a b 0 a b a b b a 0 οπότε αποτελούν βάση του Ε Άρα dimε = Τα στοιχεία του χώρου αθροίσματος E + E αποτελούνται από στοιχεία τα οποία μπορούν να γραφούν ως άθροισμα ενός στοιχείου του E και ενός στοιχείου E Το συγκεκριμένο σύνολο εύκολα μπορεί να δει κανείς ότι είναι διανυσματικός υπόχωρος του διότι ισχύει E + E = spa{,,, u, u } Επειδή τα και u είναι τα ίδια διανύσματα έχουμε τελικά (για αυτήν την άσκηση) ότι E + E = spa{,,, u } Τώρα ορίζουμε τον πίνακα με στήλες τα διανύσματα αυτά και τον μετασχηματίζουμε σε κλιμακωτή μορφή Αφού κάθε στήλη έχει κάποιο μη μηδενικό στοιχείο τα,,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άρα συμπεραίνομε ότι dim(ε + Ε ) = Εναλλακτικά επειδή γραμμική ανεξαρτησία των διανυσμάτων Εφόσον η διάσταση αυτού του υπόχωρου του χώρος άθροισμα συμπίπτει με τον 0 θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε την είναι, συμπεραίνουμε ότι ο Για το άθροισμα E E σύμφωνα με όσα έχουμε υπολογίσει παραπάνω έχουμε: dim( E E) dim E dim E dim( E E) dim( E E) dim( E E )

22 Κεφάλαιο Οπότε, επειδή EE {} 0, ο δεν είναι το ευθύ άθροισμα των υπόχωρων E, E Ασκήσεις πάνω στους διανυσματικούς χώρους Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του υπόχωρος του [ x, y, z] z 0 [ x, y, z] y z δεν είναι Λύση Το σύνολο W= { [x,y,z] z 0 } δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος του, γιατί αν θεωρήσουμε το [,0,] Τ W, τότε [,0,] Τ = [,0, ] Τ W Το σύνολο U= { [x,y,z] y z = } δεν είναι διανυσματικός υπόχωρος του, γιατί το μηδενικό διάνυσμα δεν ανήκει στο U Εξετάστε ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του δικαιολογείστε την απάντησή σας Λύση U x, y, z x 5y z,, 5 0 V x y z x y z W x, y, z 5x y z 0 είναι υπόχωροι του Το U δεν είναι υπόχωρος του γιατί δεν περιέχει το 0,0,0 Το V δεν είναι υπόχωρος Πράγματι, έχουμε για παράδειγμα αφού, αλλά,0,,0, 5 0 ( ) Τα W είναι υπόχωρος του Πράγματι, για κάθε / / / x, y, z, x, y, z W, / / / / / / x, y, z x, y, z x x, y y, z z και / / / 5( x x ) ( y y ) ( z z ) / / / (5x y z) (5x y z ) Άρα / / / ( x, y, z) ( x, y, z ) W Και, για κάθε k και x, y, z,, k x y z kx, ky, kz και W, και,0, V V αφού

23 Διανυσματικοί Χώροι 5( kx) ( ky) ( kz) k(5x y z) 0 Οπότε k( x, y, z) W Ισοδύναμα, για κάθε, x, y, z, x, y, z W, kl και / / / / / / / / /,,,,,, k x y z l x y z kx lx ky ly kz lz και / / / 5( kx lx ) ( ky ly ) ( kz lz ) k x y z l x y z / / / (5 ) (5 ) Άρα k x y z l x y z W / / / (,, ) (,, ) Έστω P ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων που έχουν βαθμό το πολύ Αποδείξτε ότι μια βάση του P είναι το σύνολο {, t,( t ) } και βρείτε την παράσταση του 5t t ως γραμμικό συνδυασμό των στοιχείων της παραπάνω βάσης Λύση Ξέρουμε ότι η διάσταση του P είναι Αρχικά πρέπει να αποδείξουμε ότι το σύνολο {, t,( t) } είναι γραμμικά ανεξάρτητο Θα το κάνουμε με τη χρήση του ορισμού: a b( t ) c( t ) 0 ct b c t a b c ( ) ( ) c b c a b c 0 a b c 0 Επίσης πρέπει να δείξουμε ότι τα τρία αυτά στοιχεία παράγουν το χώρο Δηλαδή, πρέπει να δείξουμε ότι για το τυχαίο στοιχείο του χώρου t t υπάρχουν abc,, τέτοια ώστε a b( t ) c( t ) t t Οπότε από a b( t ) c( t ) ( a b c) ( b c) t ct t t συμπεραίνομε ότι c, b c, a b c Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ότι για το τυχαίο στοιχείο του χώρου t t c, b c, a b c το τυχαίο στοιχείο του χώρου tt γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των πολυωνύμων αυτών οπότε αυτά παράγουν το χώρο Για το δεύτερο ερώτημα, λύνουμε την εξίσωση a b( t ) c( t ) t 5t δηλαδή την ct ( b c) t ( a b c) 5t t Αυτή ισοδυναμεί με το σύστημα c 5, b c, a b c Άρα a 0, b, c 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ ιανυσµατικοί Χώροι ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούνε µια σύντοµη εισαγωγή στην έννοια του διανύσµατος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα