ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 009

2

3

4

5

6

7

8 ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ & ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ: Τα διανύσματα 1,,, k ενός m διανυσματικού χώρου είναι γραμμικώς εξαρτημένα ανν υπάρχουν συντελεστές λ1, λ,, λk με τουλάχιστον έναν από αυτούς 0, τέτοιοι ώστε: λ + λ + + λ = 1 1 k k 0 Παρατήρηση (άλλος ορισμός): Τα διανύσματα 1,,, k ενός διανυσματικού χώρου m είναι γραμμικώς εξαρτημένα ανν τουλάχιστον ένα από αυτά μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων. Απόδειξη {γραμμικώς εξαρτημένα} ανν { τουλάχιστον ένα λi 0 τ.ω. λ11+ λ+ + λii + λkk= 0 λ1 λ λk } i = 1 k λi λi λi (δηλ. το i γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων). ΓΡΑΜΜΙΚΩΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ: Τα διανύσματα 1,,, k ενός m διανυσματικού χώρου είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ανν δεν είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Δηλαδή, ανν η σχέση: λ11+ λ+ + λkk = 0 ισχύει μόνο για λ1 = λ = = λ k = 0. Δηλ. δεν υπάρχει ούτε ένα λi 0 τ.ω. λ11+ λ+ + λkk = 0 Παρατήρηση: Η σχέση λ11+ λ+ + λ = 0 γράφεται ισοδύναμα ως: k k λ1 λ = 0 λ k [ ] 1 k πίνακας με στήλες τις συνιστώσες των διανυσμάτων το οποίο είναι ένα ομογενές σύστημα της μορφής Ax = 0. Άρα, για να εξετάσουμε αν τα διανύσματα 1,,, k είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή γραμμικώς ανεξάρτητα, σχηματίζουμε τον πίνακα A = [ 1 k ] και εξετάζουμε αν το σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0 ή έχει άπειρες λύσεις. Συγκεκριμένα: α) Αν ra ( ) = k τότε τα διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (το σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0 ) β) Αν ra ( ) < k τότε τα διανύσματα είναι γραμμικώς εξαρτημένα (το σύστημα Ax = 0 έχει άπειρες λύσεις)

9 4 Παράδειγμα: Εξετάστε αν τα παρακάτω διανύσματα του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ή όχι. 1 = (1,,0,1), = (,0,, 1), = ( 1,,,0) Λύση λ1 λ λ λ1 λ λ λ+ λ= 0 λ 1 + λ 0 + λ = = 0 λ + λ λ1 λ λ1 0 λ 0 = λ 0 A x A = ( 1) (+) (+) /4 1/4 (+) (+) = U ra ( ) = {πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U}=, δηλ. ra ( ) < k= και επομένως, το σύστημα Ax = 0 έχει άπειρες λύσεις, δηλ. υπάρχει ( λ1, λ, λ) (0,0,0) τ.ω. λ11+ λ+ λ= 0. Επομένως, τα 1,, είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Σημείωση: Στο τελευταίο παράδειγμα, ξεκινήσαμε τη διαδικασία από τη σχέση λ11+ λ+ λ= 0, για λόγους κατανόησης. Μπορούσαμε να ξεκινήσουμε φτιάχνοντας κατευθείαν τον πίνακα Α με στήλες τις συνιστώσες των διανυσμάτων 1,,. Άσκηση: Εξετάστε αν τα παρακάτω διανύσματα του όχι. 1 = (1,7,6,), = (, 1,5,4), = (,,0, 1) Λύση 4 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ή, 4 = (0,4,,1) Ο πίνακας με στήλες τις συνιστώσες των διανυσμάτων 1,,, γράφεται ως: A =

10 Μπορούμε, να βρούμε την ra ( ) υπολογίζοντας πρώτα τον U, όπως κάναμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Εναλλακτικά, επειδή ο Α είναι τετραγωνικός μπορούμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα του. Έχουμε (κάνετε αν θέλετε μόνοι σας τον υπολογισμό): det A = 56, δηλαδή det A 0 και άρα το ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0. Άρα, τα 1,,, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 4 ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Κάθε διάνυσμα 1 0 μόνο του, είναι γραμμικώς ανεξάρτητο, γιατί η σχέση λ 11 = 0 ισχύει μόνο εάν λ 1 = π.χ. η σχέση λ 0 1 = ισχύει μόνο για λ 1 = 0. ) Αντίθετα, το μηδενικό διάνυσμα 0 μόνο του, είναι γραμμικώς εξαρτημένο, γιατί η σχέση λ 1 0 = 0 ισχύει και για λ1 0. ) Επίσης, αν ένα από τα 1,,, k είναι το 0 τότε είναι γραμμικώς εξαρτημένα. π.χ. έστω 1,0,, k, τότε σίγουρα ισχύει: k = 0, δηλαδή λ = 1 0 4) Αν 1,,, k είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε και τα 1,,, k, k + 1,, ρ είναι γραμμικώς εξαρτημένα. (Δηλαδή, αν σε ένα πλήθος γραμμικώς εξαρτημένων διανυσμάτων βάλουμε και άλλα διανύσματα, τότε όλα μαζί είναι και πάλι γραμμικώς εξαρτημένα). 5) Αν από ένα πλήθος γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων βγάλουμε κάποια αυτά τότε όσα μένουν είναι και πάλι γραμμικώς ανεξάρτητα. π.χ. αν θεωρήσουμε τα διανύσματα: 1 = (1,7,6,), = (, 1,5,4), = (,,0, 1), 4 = (0,4,,1) που όπως είδαμε στην παραπάνω άσκηση είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, τότε: τα 1,, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. τα 1,, 4 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. τα 1,, 4 είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. τα,, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. 4 τα 1, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα., είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, κ.λ.π. τα 1

11 m 6) Αν k > m τότε τα διανύσματα 1,,, k είναι σίγουρα γραμμικώς εξαρτημένα. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής: ο πίνακας A = [ 1 k ] είναι m k, άρα ra ( ) mi( mk, ) = m< k, και άρα το ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει άπειρες λύσεις. Έτσι: ή περισσότερα διανύσματα του είναι πάντα γραμμικώς εξαρτημένα 4 ή περισσότερα διανύσματα του είναι πάντα γραμμικώς εξαρτημένα 4 5 ή περισσότερα διανύσματα του είναι πάντα γραμμικώς εξαρτημένα κ.λ.π. m 7) Δυο διανύσματα 1, είναι γραμμικώς εξαρτημένα, ανν λ τ.ω. = λ. 1 π.χ. τα 1 = (,1,0, ), = ( 4,,0, 6), είναι γραμμικώς εξαρτημένα, γιατί = 1 αντίθετα, τα 1 = (,1,0, ), = ( 4,,0, 6) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, γιατί λ τ.ω. = λ. 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ & ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΣΤΟΝ Αν φανταστούμε τα διανύσματα του ως «βελάκια» με αρχή το (0,0) και τέλος τη θέση (x,y) των συνιστωσών του, τότε από την παραπάνω παρατήρηση 7, προκύπτει ότι δύο διανύσματα στον είναι γραμμικώς εξαρτημένα ανν είναι συνευθειακά π.χ. 1 = (,1) και = (4, ), όπου = Επομένως, μη-συνευθειακά διανύσματα του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. π.χ. αν 1 = (,1) και = (4,1), τότε λ τ.ω. = λ. 1

12 Επίσης, στην παρατήρηση 6, είδαμε ότι ή περισσότερα διανύσματα του είναι πάντα γραμμικώς εξαρτημένα. Για παράδειγμα, για οποιαδήποτε διανύσματα 1,,, τουλάχιστον ένα από αυτά γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων δυο (π.χ. = λ1 1+ λ ) και άρα,, είναι γραμμικώς εξαρτημένα. τα 1 Άσκηση: Έστω 1 = (,1), = (4,1), =,. Βρείτε λ1, λ τέτοια ώστε = λ11+ λ. Κατόπιν, δείξτε το σχηματικά χρησιμοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Λύση 4 4 λ 1 = λ1 1+ λ 1 / = λ λ 1 + = 1 / 1 1 λ δηλ. θέλουμε να λύσουμε το σύστημα: 4 λ1 1 1 = λ /. Έχουμε: 4 1/ Ab = 1 1 / (+) 4 0 5/ Ανάδρομη αντικατάσταση: η 5 5 εξίσωση: λ = λ = 6 1 η εξίσωση: λ λ = λ1+ 4 = λ1 = 6 Επομένως: 5 =

13 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ & ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΣΤΟΝ Αν φανταστούμε τα διανύσματα του ως «βελάκια» με αρχή το (0,0,0) και τέλος τη θέση (x,y,z) των συνιστωσών του, τότε από την παραπάνω παρατήρηση 7, προκύπτει ότι δύο διανύσματα στον είναι γραμμικώς εξαρτημένα ανν είναι συνευθειακά π.χ. 1 = ( 1,, 5) και = (, 9,15), όπου = 1 δηλαδή και τα δύο βρίσκονται στην ίδια ευθεία που περνά από το 0 = (0,0,0) Επομένως, δύο μη-συνευθειακά διανύσματα του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. π.χ. αν 1 = ( 1,, 5) και = (,6,15), τότε λ τ.ω. = λ. 1 Σημείωση: Τρία διανύσματα στον είναι γραμμικώς εξαρτημένα ανν είναι συνεπίπεδα. Δηλαδή, ανήκουν στο ίδιο επίπεδο που περνά από το 0 = (0,0,0). Επίσης, στην παρατήρηση 6, είδαμε ότι 4 ή περισσότερα διανύσματα του είναι πάντα γραμμικώς εξαρτημένα. Για παράδειγμα, για 4 οποιαδήποτε διανύσματα 1,,, 4, τουλάχιστον ένα από αυτά γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των άλλων τριών (π.χ. 4 = λ1 1+ λ + λ ) και άρα τα 1,,, είναι γραμμικώς εξαρτημένα. 4 m Θεώρημα: Έστω τα διανύσματα 1,,, k ενός διανυσματικού χώρου. Το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών τους, δηλαδή το σύνολο: m V = { τ.ω. = λ1 1+ λ + + λκ με 1,,, k λ λ λκ } m είναι διανυσματικός υπόχωρος του.

14 m ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω V ένας διανυσματικός υπόχωρος του. Λέμε ότι τα διανύσματα m 1,,, k του παράγουν τον V αν: 1) 1,,, k V και ) V, λ 1, λ,, λκ, τ.ω. = λ11+ λ+ + λ κ k (δηλ. κάθε διάνυσμα του V μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1,,, k ) Συμβολισμός: V = 1,,, k σημαίνει ότι τα 1,,, k παράγουν το V ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: Βάση ενός διανυσματικού χώρου V είναι ένα σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων που παράγουν το V. Με άλλα λόγια, το σύνολο { } B = 1,,, k είναι βάση του V αν: 1) 1,,, k V και ) 1,,, k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και ) V, λ 1, λ,, λk, τ.ω. = λ1 1+ λ + + λk k (δηλ. κάθε διάνυσμα του V μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1,,, k ) Σημ.: Σ αυτή την περίπτωση, η k-άδα ( λ1, λ,, λk ) είναι μοναδική για κάθε διάνυσμα V, και τα λ1, λ,, λk ονομάζονται συνιστώσες του ως προς τη βάση B. Παράδειγμα: Δείξτε ότι το σύνολο = { e 1, e, e B } όπου e 1 = (1,0,0), e = (0,1,0), e = (0,0,1) είναι βάση του. Ποιες είναι οι συνιστώσες του διανύσματος = (1,,5) ως προς τη βάση B. Λύση 1) Καθένα από τα e 1, e, e είναι άδα πραγματικών αριθμών. Άρα: e1, e, e ) Ο πίνακας με τις συνιστώσες των e 1, e, e είναι: A = = I που έχει det A = 1, δηλαδή det A 0 και άρα το ομογενές σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0. Άρα, τα e 1, e, e είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ) Κάθε = ( x, y, z) γράφεται ως:

15 x x y= 0+ y+ 0= x0+ y1+ z0 z 0 0 z δηλαδή: = xe 1+ ye + ze Έτσι, το διάνυσμα = (1,,5) γράφεται ως = 1e 1 e + 5e και άρα, οι συνιστώσες B = e, e, e είναι οι 1,,5 του ως προς τη βάση { } 1 Σημείωση: Όταν μας ενδιαφέρει η σειρά των διανυσμάτων σε μια βάση τότε αυτή ονομάζεται διατεταγμένη βάση. Έτσι στο τελευταίο παράδειγμα, οι συνιστώσες του ως προς τη διατεταγμένη βάση B = { e 1, e, e } είναι οι 1,,5, ενώ οι συνιστώσες του B = e, e, e είναι οι,1,5 ως προς τη διατεταγμένη βάση { } 1 Άσκηση: Το σύνολο = { 1,, B } με 1 = (0,1,), = (,,6), = ( 1,, 8) είναι μια διατεταγμένη βάση του. Βρείτε τις συνιστώσες του διανύσματος = (1,,5) ως προς τη B. Λύση Ψάχνουμε τη μοναδική άδα ( λ1, λ, λ ) τ.ω. = λ1 1+ λ + λ. Έχουμε: λ1 = λ11 + λ+ λ = λ11+ λ+ λ = 1 λ λ δηλαδή, έχουμε να λύσουμε το σύστημα Απαλοιφή Gauss: εναλλαγή Ab = ( 1) (+) 0 1 λ1 1 1 λλ = (+). ( ) = U d Ανάδρομη αντικατάσταση: η 8 εξίσωση: λ = 8 λ = η εξίσωση: λ λ 8 5 = 1 λ + = 1 λ = 6 1 η εξίσωση: 5 8 λ λ λ = λ1+ = λ1 = 6 Άρα, = , και συνεπώς οι συνιστώσες του = (1,,5) 6 διατεταγμένη βάση = { 1,, B } είναι,, 6 ως προς τη

16 Παρατήρηση: Κάθε διανυσματικός χώρος έχει άπειρες βάσεις. Δηλαδή, υπάρχουν άπειρα σύνολα γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων που παράγουν το V. (Εξαίρεση αποτελεί ο τετριμμένος υπόχωρος { 0 } που το πλήθος των βάσεων του είναι 0) Πρόταση: Καθεμιά από τις άπειρες βάσεις ενός διανυσματικού χώρου V έχει το ίδιο πλήθος διανυσμάτων. ΟΡΙΣΜΟΣ: Διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V είναι το πλήθος διανυσμάτων κάθε βάσης του V και συμβολίζεται με dim( V ). Σημείωση: dim( V ) = [μέγιστο πλήθος γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων του V ] π.χ. σε ένα διανυσματικό χώρο με dim( V ) =, μπορούμε να βρούμε: 1 γραμμικώς ανεξάρτητο διάνυσμα (που είναι κάθε μη-μηδενικό του διάνυσμα μόνο του) άδες με γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα άδες με γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα ενώ δεν υπάρχει: 4άδα ή 5άδα ή 6άδα κ.λ.π. με γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα Παρατήρηση: dim( ) = m Δηλαδή: dim( ) =, m dim( ) =, 4 dim( ) = 4, κ.λ.π. Παρατήρηση: Αν ο διανυσματικός χώρος V παριστάνει μια ευθεία του που περνά από το (0,0) ή μια ευθεία του που περνά από το (0,0,0), τότε: dim( V ) = 1 π.χ. ο χώρος L= {( x, y) \ x y = 0} έχει dim( L ) = 1 ενώ ο W = {( x, y, z) \ x y+ z = 0 & x+ y z = 0} έχει dim( W ) = 1 Παρατήρηση: Αν ο διανυσματικός χώρος V παριστάνει ένα επίπεδο του από το (0,0,0), τότε: dim( V ) = π.χ. ο χώρος E = {( x, y, z) \ x y+ z = 0} έχει dim( E ) = που περνά Παρατήρηση: Γενικά, ο χώρος V = {( x1, x,, x) \ α1x1+ αx + + αx = 0} (όπου τουλάχιστον ένα από τα α1, α,, α είναι 0) έχει dim( V) = 1 W = ( x, x, x, x ) 4 \ x + x 5x + x = 0 έχει dim( W ) = π.χ. ο χώρος { } Παρατήρηση: Ο τετριμμένος υπόχωρος W = { 0 } το γραμμικώς εξαρτημένο διάνυσμα 0. Άρα, dimw = 0 οποιουδήποτε αποτελείται μόνο από

17 Παρατήρηση: Αν dim( V) = k, τότε οποιοδήποτε σύνολο k γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων του V είναι βάση του. π.χ. -- οποιοδήποτε σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων του (δηλ. μησυνευθειακών διανυσμάτων του ) είναι βάση του. -- οποιοδήποτε σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων του (δηλ. μησυνεπίπεδων διανυσμάτων του ) είναι βάση του οποιοδήποτε σύνολο 4 γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων του είναι βάση του οποιοδήποτε σύνολο 5 γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων του είναι βάση του. κ.λ.π. Επίσης, -- οποιοδήποτε μη-μηδενικό διάνυσμα μιας ευθείας του που περνά από το (0,0) ή μιας ευθείας του που περνά από το (0,0,0), είναι βάση της. -- οποιοδήποτε σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων διανυσμάτων ενός επιπέδου του που περνά από το (0,0,0) είναι βάση του. Συμπέρασμα: Αν για ένα διανυσματικό χώρο V ξέρουμε ότι dim( V) = k, τότε για να δείξουμε ότι ένα σύνολο B = { 1,,, k } (που έχει k διανύσματα) είναι βάση του V, αρκεί να δείξουμε ότι: 1) 1,,, k V και ) 1,,, k είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Σημείωση: Έστω W είναι υπόχωρος του V, τότε: α) dimw dimv β) αν dimw = dimv, τότε W = V π.χ. Έστω W είναι υπόχωρος του V = και τότε: 1) W = dimw = ) αν W επίπεδο που περνά από το 0 = (0,0,0) τότε dimw = < dimv ) αν W ευθεία που περνά από το 0 = (0,0,0) τότε dimw = 1< dimv W = τότε dimw = 0 < dimv 4) αν { 0} Θεώρημα: Οι στήλες κάθε αντιστρέψιμου πίνακα A, αποτελούν βάση του Εξήγηση: { A αντιστρέψιμος πίνακας} ανν {det A 0} ανν {το σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0 } ανν {οι στήλες του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα}. Όμως, οποιαδήποτε ανεξάρτητα διανύσματα αποτελούν βάση του. Άρα, οι στήλες του A αποτελούν βάση του. Παράδειγμα: Δείξτε ότι το σύνολο {,, } = ( 1, 4, 8) είναι βάση του. B = με 1 = (0,1,) 1, = (,,6),

18 Λύση 0 1 Έχουμε: A = 1 4 και άρα: det A = + = ( ) + ( 8 + ) = δηλ. det 0 B =,, είναι βάση του A και άρα το { } 1 Παρατήρηση: det I = 1 0. Άρα, οι στήλες του I αποτελούν βάση του ΟΡΙΣΜΟΣ: Κανονική βάση ενός διανυσματικού χώρου διανύσματα τις στήλες του I. { } π.χ. η κανονική βάση του είναι η 1, η κανονική βάση του είναι η 0, 1, η κανονική βάση του είναι η 0, 1, 0, κ.λ.π. είναι η βάση που έχει ως του. α) Τι παριστάνει γεωμετρικά; β) Βρείτε μια βάση και τη διάσταση του. γ) Ελέγξτε αν το διάνυσμα b = ( 1,1,) ανήκει στον V. Αν ναι, τότε βρείτε τις συνιστώσες του ως προς τη βάση που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα. Λύση α) ο V παριστάνει ένα επίπεδο που περνά από το 0 = (0,0,0). β) για κάθε διάνυσμα = ( x, y, z) V τα x, yz, ικανοποιούν την εξίσωση: x y+ z = 0 x= y z y z δηλ. τα διανύσματα V είναι της μορφής: = y, με yz,. z 1 δηλ. y 1 z = + 0, με yz, (*) 0 1 Άσκηση: Έστω ο διανυσματικός υπόχωρος V = {( x, y, z) \ x y+ z = 0}

19 δηλ. κάθε διάνυσμα του V μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1 διανυσμάτων 1 = 1 και = 0, τα οποία επιπλέον ανήκουν στον V αφού 0 1 ικανοποιούν την εξίσωση x y+ z = 0 Άρα, V = 1, (δηλ. ο V παράγεται από τα 1, ) Ελέγχουμε αν τα 1, είναι και γραμμικώς ανεξάρτητα. Έχουμε: 1 A = ( 1/) 1 0 1/ 0 1 (+) (+) 1 0 1/ = U 0 0 Άρα, ra= ( ) δηλαδή ra ( ) = και άρα τα 1, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Επομένως, έχουμε δείξει ότι: 1) 1, V, και ) τα 1, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, και ) κάθε διάνυσμα του V μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των 1, Επομένως, το σύνολο { 1, } είναι μια βάση του V. Άρα, κάθε βάση του V έχει διανύσματα. Άρα, dim( V ) = Σημείωση: Η εξίσωση x y+ z = 0 μπορεί να θεωρηθεί ως ομογενές σύστημα 1 με πίνακα A = [ 1 1] = U και άρα βασική μεταβλητή τη x και ελεύθερες τις yz., Η γενική λύση του Ax = 0 είναι η (*). Γενικά, σε μια τέτοια λύση τα μη-μηδενικά διανύσματα που πολλαπλασιάζονται με τις ελεύθερες μεταβλητές είναι πάντα βάση του V (δεν χρειάζεται να το δείχνουμε όπως κάναμε πιο πάνω για λόγους κατανόησης). γ) Το b = ( 1,1,) ανήκει στον V γιατί 1 1+ = 0, δηλαδή οι συνιστώσες του ικανοποιούν την εξίσωση x y+ z = 0. Επειδή λοιπόν b V και { 1, } μια βάση του V, αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει μοναδική άδα ( λ1, λ ) τ.ω. b = λ11+ λ. Έχουμε: λ b = λ λ 1 = λ11 + λ 0 1 = λ 1 λ 1 δηλαδή, έχουμε να λύσουμε το σύστημα = λ. Επειδή, έχουμε ήδη κάνει τη διαδικασία A U, δεν χρειάζεται να κάνουμε όλη απαλοιφές τη διαδικασία απαλοιφής Gauss A b U d απαλοιφές. Αρκεί να εφαρμόσουμε στο b τα ίδια στάδια απαλοιφής που εφαρμόσαμε στη διαδικασία A U. Έχουμε: απαλοιφές

20 1 b = 1 ( 1/) (+) 1 / (+) 1 / = d 0 1 λ Άρα: λ = 1 0 1/ 1 / 0 1 λ = 0 0 λ 0 Ανάδρομη αντικατάσταση: η εξίσωση: 0λ1+ 0λ = 0, που ισχύει ( λ1, λ) η εξίσωση: 1 λ = λ = 1 η εξίσωση: λ1 λ = 1 λ1 = 1 λ1 = 1 Άρα, b = 1+, και συνεπώς οι συνιστώσες του b = ( 1,1,) ως προς τη διατεταγμένη βάση { 1, } είναι 1,. Παρατήρηση: επειδή dim( ) =, το b = ( 1,1,) ως διάνυσμα του που είναι, θα έχει συνιστώσες ως προς μια βάση του. Για παράδειγμα, οι συνιστώσες του ως προς την κανονική βάση του είναι 1,1,. Όμως, το b ανήκει και στο επίπεδο { (,, ) \ 0 } V = x y z x y+ z = του συνιστώσες ως προς μια βάση του V. και επειδή dim( V ) =, το b θα έχει 1,,..., k μια μ. Τότε και το Θεώρημα: Έστω V είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος και { } βάση του V. Έστω u V με u = μ μ μ,...,, u,,..., είναι βάση του V. σύνολο { } 1 i 1 i+ 1 k i i k k όπου 0 i Παράδειγμα: Στην παραπάνω άσκηση βρήκαμε ότι μια βάση του διανυσματικού χώρου { (,, ) \ 0 1 V = x y z x y+ z = } είναι η { 1, }, με 1 = 1 και = Μια άλλη βάση του V μπορούμε να βρούμε αν αντικαταστήσουμε το 1 με ένα διάνυσμα u της μορφής: u = μ1 1+ μ, όπου μ 1 0, 1 7 π.χ. u = 1 = 1 0 = 0 1 και άρα, μια άλλη βάση του V είναι η { u, } Επίσης, μια άλλη βάση παίρνουμε αν αντικαταστήσουμε το μορφής: u = μ1 1+ μ, όπου μ 0. με ένα διάνυσμα w της

21 1 1 π.χ. w= 1+ = = και άρα, μια άλλη βάση του V είναι η { w } 1, Μ αυτόν τον τρόπο, εφόσον γνωρίζουμε ήδη μια βάση του V, μπορούμε να βρούμε άπειρες άλλες βάσεις του. Άσκηση: Έστω ο διανυσματικοί υπόχωροι V = {( x, y, z) \ x y+ z = 0} { (,, ) \ 0 W = x y z x y = } του. α) Γράψτε το σύνολο V W. Είναι διανυσματικός υπόχωρος του β) Βρείτε μια βάση και τη διάσταση του V W γ) Τι παριστάνει γεωμετρικά το V W ; Λύση α) V W = {( x, y, z) \ x y+ z = 0 & x y = 0}. και και γιατί; Η τομή δύο υπόχωρων ενός διανυσματικού χώρου είναι επίσης διανυσματικός υπόχωρος του ίδιου χώρου. Οι V και W είναι υπόχωροι του, άρα και η τομή V W είναι υπόχωρος του. β) για κάθε διάνυσμα = ( x, y, z) V W } 1 1 x x y+ z = 0 y = 0 x y = z 0 0 Έχουμε: A x 1 1 ( 1) (+) A = τα x, yz, ικανοποιούν το σύστημα: = U x Όμως, Ax = 0 Ux = 0 y 0 = z 0 βασικές μεταβλητές: x, y ελεύθερη μεταβλητή: z Ανάδρομη αντικατάσταση: η εξίσωση: y z = 0 y = z 1 η εξίσωση: x y+ z = 0 x z+ z = 0 x = z δηλ. τα διανύσματα V W είναι της μορφής: z = z, με z. z

22 1 δηλ. = z 1, με z 1 1 Επομένως, μια βάση του V W είναι το μονοσύνολο 1. 1 Άρα, κάθε βάση του V W έχει 1 διάνυσμα. Άρα, dim( V W) = 1 1 γ) Όλα τα διανύσματα του V W γράφονται ως = z 1 με z. Άρα, το V 1 παριστάνει την ευθεία του διανύσματος (1,1,1) του [δηλ. την ευθεία που διέρχεται από το σημείο (0,0,0) και το σημείο (1,1,1)] W ΠΡΟΤΑΣΗ 1: Σε κάθε κλιμακωτό πίνακα U, οι μη-μηδενικές γραμμές είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα π.χ. αν U =, τότε τα διανύσματα r 1 1, r = 0 =, r = είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Εξήγηση: ο πίνακας με στήλες τα r 1, r, r 0 0 είναι ο 1 0 A =. Για να βρούμε την τάξη του δεν χρειάζεται να τον κάνουμε κλιμακωτό. Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι A = που είναι κλιμακωτός με μη-μηδενικές γραμμές. Άρα, r( A ) =. Όμως, για κάθε πίνακα A, ισχύει r( A ) r( A) =. Επομένως, ra= ( ) (όσες δηλαδή και οι στήλες του) και συνεπώς τα r 1, r, r είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ΠΡΟΤΑΣΗ : Σε κάθε κλιμακωτό πίνακα U, οι στήλες που περιέχουν οδηγούς είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα

23 π.χ. αν U =, τότε τα διανύσματα 0 1, = =, 4 = είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Εξήγηση: ο πίνακας με στήλες τα 1,, είναι ο A =, που είναι ήδη σε κλιμακωτή μορφή και έχει οδηγούς σε κάθε στήλη. Άρα, ra= ( ) (όσες δηλαδή και οι στήλες του) και συνεπώς τα 1,, είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ΧΩΡΟΣ ΣΤΗΛΩΝ ενός ΠΙΝΑΚΑ m Έστω ένας πίνακας A. Οι στήλες του A είναι διανύσματα του. Αυτά m παράγουν έναν διανυσματικό υπόχωρο του που ονομάζεται χώρος στηλών του A, και συμβολίζεται ως R ( A). Δηλ. αν 1,,, οι στήλες του A, τότε R ( A) = 1,,, Δηλ. ο R ( A) περιέχει όλα τα διανύσματα b m που γράφονται ως γραμμικοί συνδυασμοί των 1,,,. m π.χ. αν 1 A = τότε R ( A) =, 6, 9, Παρατήρηση: Για να ανήκει ένα διάνυσμα b στον R ( A), πρέπει να υπάρχουν λ1, λ,, λ τ.ω. b = λ11 + λ+ + λ το οποίο είναι ισοδύναμο με: λ1 λ1 [ ] 1 λ λ b = b = A Ax = b πίνακας με στήλες λ λ τις συνιστώσες των διανυσμάτων x Δηλαδή, b R ( A) ανν {το σύστημα Ax = b έχει λύση (μοναδική ή άπειρες)} Άσκηση: Εξετάστε αν το διάνυσμα b = ( 1,0,4) 1 A = ανήκει στο χώρο στηλών του πίνακα

24 Λύση Για να ανήκει το διάνυσμα b = ( 1,0,4) στον R ( A), πρέπει να υπάρχουν λ1, λ, λ, λ λ1 λ τ.ω. 0 λ 1 λ 6 λ 9 λ = = λ λ 4 b A x Δηλαδή, πρέπει το σύστημα Ax = b να έχει λύση (μοναδική ή άπειρες). Έχουμε: 1 1 ( ) 1 Ab 1 1 = (+) ( ) (+) (+) = U d όπου Ax = b Ux = d. Η η εξίσωση δίνει 0= 1 και άρα το σύστημα Ax = b δεν έχει καμία λύση. Επομένως, το b δεν ανήκει στον R ( A). Παρατήρηση: Αν ra ( ) = m(δηλ. ο U δεν έχει καμία μηδενική γραμμή) τότε έχουμε δει ότι το σύστημα Ax = b έχει λύση (μοναδική αν m= ή άπειρες αν m< ) για κάθε m b. Δηλαδή, σ αυτήν την περίπτωση: ( ) m R A ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Για ένα κλιμακωτό πίνακα U οι στήλες που περιέχουν οδηγούς αποτελούν μια βάση του R ( U ). Άρα: dim R ( U) = r( U) Αν A U τότε: απαλοιφές {ένα υποσύνολο των στηλών του A είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα} ανν {οι αντίστοιχες στήλες του U είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα} Συμπέρασμα: Αν A U τότε οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του απαλοιφές U που έχουν τους οδηγούς αποτελούν μια βάση του R ( A). Άρα: dim R ( A) = ra ( ) Γενικά, R( A) R ( U ) Παράδειγμα: Δείξτε ότι R( A) R ( U ), για τον πίνακα Λύση 1 Είδαμε παραπάνω ότι U = Άρα: {μια βάση του R ( U )} = {1 η & η στήλη του U } = Επομένως, ο R ( U ) περιέχει διανύσματα της μορφής: 1 A = , 0 0

25 1 λ1+ λ = λ10+ λ δηλ. της μορφής: = λ Όμως, π.χ. η η στήλη του A, δηλαδή η 9 δεν μπορεί να γραφτεί σ αυτή τη μορφή. Άρα, 9 R ( U ) και επομένως R( A) R ( U ). Άσκηση: Βρείτε τη διάσταση και μια βάση του διανυσματικού χώρου V που παράγεται από τα διανύσματα 1 = (1,, 4), = (,0, 1), = (0,6, 1), 4 = (1, 4, 9). Τι παριστάνει ο V γεωμετρικά; Λύση Σημείωση: V = 1,,, 4 και V υπόχωρος του Σχηματίζουμε τον πίνακα A με στήλες τα 1,,, Δηλαδή: 4 A = Άρα: V R ( A) Έπειτα, βρίσκουμε τον αντίστοιχο κλιμακωτό πίνακα: A = (+) (1/ 6) = U (+) (+) Επομένως, έχουμε ra= ( ) (= πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ) Άρα, dim R ( A) = dimv = {μια βάση του V } = {μια βάση του R ( A) } = { 1, } (δηλ. οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) Γεωμετρικά, ο V παριστάνει το επίπεδο του που ορίζεται από τα σημεία 0,1 και, δηλαδή από τα σημεία: (0,0,0), (1,,4) και (,0, 1). Αν θέλουμε να βρούμε μια εξίσωση αυτού του επιπέδου, εργαζόμαστε ως εξής: Κάθε επίπεδο του που περνά από το (0,0,0) έχει εξίσωση της μορφής: α x + βy+ γz = 0 με τουλάχιστον ένα από τα α, βγ, να είναι 0. Επειδή, περνά και από τα (1,, 4) και (,0, 1) θα πρέπει: α α 1 + β ( ) + γ 4= 0 α β 4γ ( 1) 0} + = { 0 } β = α + β + γ = α γ = 0 1 γ 0 Όμως, 1 4 ( ) (+) Βασικές μεταβλητές: α, β Ελεύθερη μεταβλητή: γ

26 Ανάδρομη αντικατάσταση: η 1 εξίσωση: 6β 1γ = 0 β = γ 6 1 η 1 1 εξίσωση: α β + 4γ = 0 α γ + 4γ = 0 α = γ 6 Άρα, το ζητούμενο επίπεδο έχει εξίσωση: γ x+ y+ z = 0 x+ y+ z = 0 x+ 1y+ 6z = δηλαδή, V = {( x, y, z) \ x+ 1y+ 6z = 0} ΧΩΡΟΣ ΓΡΑΜΜΩΝ ενός ΠΙΝΑΚΑ m Έστω ένας πίνακας A. Οι m γραμμές του A είναι διανύσματα του. Αυτά παράγουν έναν διανυσματικό υπόχωρο του που ονομάζεται χώρος γραμμών του A. Συμβολίζεται ως ( A R ), γιατί συμπίπτει με το χώρο στηλών του A π.χ. αν A = τότε R ( A ) =, 6, δηλ. ο ( A 4 R ) περιέχει όλα τα διανύσματα b που μπορούν να γραφτούν ως γραμμικοί συνδυασμοί των, 6,, δηλ. ως b = λ λ 6 + λ Παρατήρηση: Είδαμε παραπάνω ότι b R ( A) ανν {το σύστημα Ax = b έχει λύση (μοναδική ή άπειρες)}. Συμπέρασμα: b ( A R ) ανν {το σύστημα A x = b έχει λύση (μοναδική ή άπειρες)} ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Για ένα κλιμακωτό πίνακα U, οι μη-μηδενικές γραμμές αποτελούν μια βάση του ( U R ). Άρα: dim R ( U ) = r( U) Αν A U τότε: ( R A ) R ( U ) απαλοιφές (δηλαδή σε αντίθεση με τους χώρους στηλών των A και U που γενικά διαφέρουν, οι χώροι γραμμών τους ταυτίζονται) Συμπέρασμα: Αν A U τότε οι μη-μηδενικές γραμμές του U αποτελούν μια απαλοιφές βάση του ( A R ). Άρα: dim R ( A ) = ra ( )

27 π.χ. Έστω 1 1 A = Είδαμε παραπάνω ότι U = Άρα: dim R ( A ) = (=πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ) 1 0 και {μια βάση του R ( A )} = {οι μη-μηδενικές γραμμές του U } =, 0 1 ΜΗΔΕΝΟΧΩΡΟΣ ενός ΠΙΝΑΚΑ Έστω ένας πίνακας A m. Το σύνολο λύσεων του ομογενούς συστήματος Ax = 0 είναι διανυσματικός υπόχωρος του που συμβολίζεται ως N ( A) και ονομάζεται μηδενόχωρος του A. Απόδειξη: προφανώς N ( A), αφού μια λύση του Ax = 0 είναι η x = 0. Επίσης, N ( A) αφού τα διανύσματα x που ικανοποιούν το σύστημα Ax = 0 ανήκουν στον. Επιπλέον, έστω x 1 και x δύο οποιεσδήποτε λύσεις του Ax = 0. Δηλαδή, x1, x N ( A). Τότε: Ax ( 1+ x) = Ax1+ Ax = 0+ 0= 0. Άρα, και ( x1+ x) N ( A). Δηλαδή το N ( A) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση. Επίσης, A( λx1) = λ( Ax1) = λ0= 0. Άρα, και ( λx1) N ( A), x1 N ( A) & λ. Δη λαδή το N ( A) είναι και κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό με πραγματικό αριθμό. Συνεπώς, το N ( A) είναι διανυσματικός υπόχωρος του ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν A U τότε ξέρουμε ότι Ax = 0 Ux = 0. Επομένως: N( A) N ( U ) απαλοιφές dim N ( A) = r( A) = (πλήθος των ελεύθερων μεταβλητών) Αν ra ( ) = (δηλ. οδηγοί σε κάθε στήλη του U, δηλ. καμία ελεύθερη μεταβλητή) τότε το σύστημα Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0. Άρα: ( A ) = { 0 N } (δηλ, ο τετριμμένος υπόχωρος του ) και dim N ( A ) = 0 Σ αυτήν την περίπτωση ο N ( A) δεν έχει καμία βάση Άσκηση: Βρείτε τη διάσταση και μια βάση του μηδενόχωρου του πίνακα 1 A =

28 Λύση 1 Είδαμε παραπάνω ότι U = Άρα: dim N( A) = r( A) dim N( A) = 4 dim N ( A) = Για να βρούμε μια βάση του N ( A) πρέπει να λύσουμε το σύστημα Ax = 0, το οποίο έχει 1 x 0 τις ίδιες λύσεις με το Ux y = z =. 0 w Βασικές μεταβλητές: x, z Ελεύθερες μεταβλητές: yw, Ανάδρομη αντικατάσταση: η 4 εξίσωση: ικανοποιείται ( xyzw,,, ) η 1 εξίσωση: z+ w= 0 z = w 1 η 1 εξίσωση: x y z w 0 x y = + + w + w= 0 x = y w y w y Άρα, ο N ( A) έχει διανύσματα της μορφής: x = 1, δηλαδή της μορφής: w w y w 1 y 1 0 x = 1 = y w w 0 + 1/, με yw, 0 1 w Επομένως, μια βάση του N ( A) είναι η 1 1 0, 0 1/. 0 1 Παρατήρηση: Το σύνολο λύσεων ενός μη-ομογενούς συστήματος Ax = b δεν είναι διανυσματικός χώρος, αφού αν x 1 και x δύο οποιεσδήποτε λύσεις του, τότε: A( x1+ x) = Ax1+ Ax = b + b = b b, δηλ. το ( x1+ x) δεν είναι λύση του Ax = b. Άρα, το σύνολο λύσεων της Ax = b δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση. Άρα, δεν είναι διανυσματικός χώρος.

29 m ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω ένας πίνακας A. Ο μηδενόχωρος του A, δηλαδή ο N ( A ) ονομάζεται αριστερός μηδενόχωρος του A. Παρατήρηση: από τη σχέση dim N ( A) = r( A) προκύπτει ότι dim N ( A ) = m r( A) [μιας και ο A έχει m στήλες και επιπλέον ra ( ) = ra ( )] Άσκηση: Βρείτε τη διάσταση και μια βάση του αριστερού μηδενόχωρου του πίνακα 1 A = Τι παριστάνει γεωμετρικά αυτός ο χώρος; 1 0 Λύση Από την προηγούμενη άσκηση, ξέρουμε ότι ra= ( ). Άρα, για τη διάσταση του N ( A ) έχουμε: dim N( A ) = m r( A) dim N( A ) = dim N ( A ) = 1 Για να βρούμε μια βάση του ( A N ) πρέπει να λύσουμε το σύστημα A x = 0. Έχουμε: 1 1 ( ) ( ) ( ) A = 6 (+) ( ) 9 (+) 0 6 εναλλαγή 0 6 (+) 5 0 (+) = U όπου χρησιμοποιήσαμε το συμβολισμό U για να ξεχωρίζουμε τον κλιμακωτό που μας δίνει ο A, από τον κλιμακωτό U που μας δίνει ο A. 1 1 x 0 A x 0 U x = = y = z Βασικές μεταβλητές: x, y Ελεύθερη μεταβλητή: z Ανάδρομη αντικατάσταση: 4 η & η εξίσωση: ικανοποιούνται ( xyz,, ) η εξίσωση: y+ z = 0 y = z 1 η εξίσωση: x + y z = 0 x+ ( z) z = 0 x = 5z 5z Άρα, ο N ( A ) έχει διανύσματα της μορφής: x = z, δηλαδή της μορφής: z 5 5 x = z, με z. Επομένως, μια βάση του ( A N ) είναι η. 1 1

30 Ο N ( A ) παριστάνει την ευθεία του (5,,1). που ορίζεται από τα σημεία (0,0,0) και ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Έστω ένας πίνακας A m. Για να βρούμε τις διαστάσεις και βάσεις των R( A), R( A ), N ( A) και N ( A ) εργαζόμαστε ως εξής: 1) A U απαλοιφές ) ra= ( ) (πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ) ) Υπολογίζουμε τις διαστάσεις των R( A), R( A ), N ( A) και N ( A ) από τις σχέσεις: dim R ( A) = ra ( ), dim R ( A ) = ra ( ), dim N ( A) = r( A), dim N ( A ) = m r( A) 4) {μια βάση του R ( A) } = {οι στήλες του A που αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς} 5) {μια βάση του R ( A )} = {οι μη-μηδενικές γραμμές του U } 6) Αν dim N ( A ) = 0, τότε N ( A ) = { 0 } και άρα ο N ( A) δεν έχει βάση. Αν dim N ( A ) > 0, τότε λύνουμε το σύστημα Ux = 0 ως προς τις βασικές μεταβλητές (εκείνες δηλαδή τις μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) σε συνάρτηση με τις ελεύθερες μεταβλητές. Η γενική λύση γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός «κάποιων» διανυσμάτων του έχοντας ως συντελεστές τις ελεύθερες μεταβλητές. Αυτά τα «κάποια» διανύσματα αποτελούν όλα μαζί μια βάση του N ( A). 7) Αν dim N ( A ) = 0, τότε N ( A ) = { 0 } και άρα ο N ( A ) δεν έχει βάση. Αν dim N ( A ) > 0, τότε A U και κατόπιν, λύνουμε το σύστημα U x = 0 ως απαλοιφές προς τις βασικές μεταβλητές (εκείνες δηλαδή τις μεταβλητές που αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) σε συνάρτηση με τις ελεύθερες μεταβλητές. m Η γενική λύση γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός «κάποιων» διανυσμάτων του έχοντας ως συντελεστές τις ελεύθερες μεταβλητές. Αυτά τα «κάποια» διανύσματα αποτελούν όλα μαζί μια βάση του N ( A ). Παρατήρηση: Οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο μπορούμε να τον γράψουμε ως το χώρο στηλών R ( A) ή ως μηδενόχωρο N ( A) κάποιου πίνακα A. Συγκεκριμένα: Αν ξέρουμε ότι ένας χώρος V έχει ως βάση ή τουλάχιστον παράγεται από τα διανύσματα 1,,, k τότε θέτουμε A=[πίνακας με στήλες τα 1,,, k ] και άρα, V R ( A). Αν ξέρουμε ότι τα διανύσματα ( x1, x,, x ) του V ικανοποιούν μια ή περισσότερες εξισώσεις της μορφής α1x1+ αx+ + αx = 0, τότε θέτουμε A=[πίνακας με στήλες τους συντελεστές κάθε μεταβλητής σ αυτές τις εξισώσεις] και άρα, V N ( A).

31 π.χ. αν V = 1,,, 4 με 1 = (1,, 4), = (,0, 1), = (0,6, 1), 4 = (1, 4, 9), τότε V R ( A), όπου A = ο πίνακας με στήλες τα 1,,, π.χ. αν V = {( x, y, z) \ x y+ 6z = 0} τότε ο V αποτελείται από τις λύσεις ( x, yz, ) της εξίσωσης x y+ 6z = 0 η οποία ισοδύναμα γράφεται ως [ 1 x 6 ] y= [0]. Δηλαδή, V N ( A) όπου A = [ z 1 6] π.χ. αν V = {( x, y, z) \ x = y = z} τότε ο V αποτελείται από τις λύσεις του x = = y x z x z = 0. Δηλαδή, = + = z 1 0 A = { x y } { x y } συστήματος V N ( A) όπου ΠΡΟΤΑΣΗ 1: Έστω ένας πίνακας A. Οι χώροι R ( A) και N ( A ) είναι m συμπληρωματικοί ο ένας στον άλλο στον. Δηλαδή, ικανοποιούν και τις επόμενες ιδιότητες: m R ( A) & ( m N A ) dim R( A) + dim N ( A ) = dim m R( A) N ( A ) = 0 { } ΠΡΟΤΑΣΗ : Έστω ένας πίνακας A. Οι χώροι R ( A ) και N ( A) είναι συμπληρωματικοί ο ένας στον άλλο στον. Δηλαδή, ικανοποιούν και τις επόμενες ιδιότητες: ( R A ) & N ( A) dim ( R A ) + dim N ( A) = dim R( A ) N ( A) = 0 { } m m m Πόρισμα: R ( A) ανν dim N ( A ) = 0 [δηλ. ra ( ) = m] Άσκηση (παλαιότερο θέμα): Έστω οι πραγματικοί διανυσματικοί υπόχωροι V = { ( x, y, z ) \ x+ y = 0 } και { W = ( x, y, z) \ x y+ z = 0} του. α) Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι χώροι V και W και ποια η διάσταση του καθενός; β) Βρείτε μια βάση και τη διάσταση του υποχώρου V W. Τι παριστάνει αυτός ο χώρος γεωμετρικά; γ) Βρείτε μια βάση του υποχώρου του που είναι συμπληρωματικός του V W.

32 Λύση α) Και οι δυο χώροι περιέχουν άδες ( x, yz, ) πραγματικών αριθμών που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής α x + βy+ γz = 0. Άρα, καθένας από τους χώρους V και W παριστάνει ένα επίπεδο που περνά από το 0 = (0,0,0). Επομένως, dimv = και dimw = β) V W = {( x, y, z) \ x+ y = 0 & x y+ z = 0} δηλαδή ο V W αποτελείται από τις λύσεις του συστήματος: x x+ y= 0 0} y= x y+ z = 0 z A 0 δηλαδή, ο V W N ( A), όπου A = Έχουμε: 1 0 ( 1) A = = U (+) 0 1 Όμως, Ax = 0 Ux = 0 Βασικές μεταβλητές: x, y Ελεύθερη μεταβλητή: z Ανάδρομη αντικατάσταση: η 1 εξίσωση: y+ z = 0 y= z 1 η 1 εξίσωση: x + y= 0 x+ z = 0 x= z z 1 Άρα, ο V W έχει διανύσματα της μορφής: x = z, δηλαδή της μορφής: z / x = z 1/, με z 1 / Επομένως, μια βάση του V W είναι το μονοσύνολο 1/. 1 Επειδή η βάση έχει 1 διάνυσμα, συμπεραίνουμε ότι dim( V W ) = 1 Ο V W παριστάνει την ευθεία του που ορίζεται από τα σημεία (0,0,0) και ( /,1/,1). Δηλαδή, τα επίπεδα V και W τέμνονται σε αυτήν την ευθεία. x

33 γ) Επειδή V W N ( A), συμπεραίνουμε ότι ο συμπληρωματικός στον V W είναι ο χώρος γραμμών του A, δηλαδή ο R ( A ). Μια βάση του R ( A ) είναι οι μημηδενικές γραμμές του U, δηλαδή {μια βάση του R ( A )}= 1 0, 0 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα

ΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 ) Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή

Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή Κεφάλαιο 4 Ευκλείδιοι Χώροι 4 Ευκλείδιοι Χώροι Η ιδέα της χρήσης διατεταγµένων Ϲευγών πραγµατικών αριθµών για την περιγραφή των σηµείων στο επίπεδο και διατεταγµένων τριάδων πραγµατικών αριθµών για την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr

Γραμμική Άλγεβρα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr Γραμμική Άλγεβρα Κώστας Γλυκός 171 Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ πίνακες & ορίζουσες διανυσματικούς χώρους ευθεία και επίπεδο στο χώρο γραμμικές απεικονίσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα