2 3x 5x x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 3x 5x x"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Περιληψη Παρακάτω ακολουθεί παρουσίαση καθώς και υπόδειξη λύσης ασκήσεων γραμμικής άλγεβρας προς ενημέρωση και βοήθεια ϕοιτητών τμήματος Μαθηματικών με κατεύθυνση Στατιστικής και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικών για το μάθημα του Α εξαμήνου ΕΦΑΡ- ΜΟΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Για υπολογισμούς χρησιμοποιούμε το περιβάλλον Maple 11 Άσκηση 11 Πότε ο πίνακας A με είναι συμμετρικός; A = 1 Αλγεβρα Πινακων 2 3x 5x x Απόδειξη Ενας πίνακας είναι συμμετρικός όταν a ij = a ji για i j Άσκηση 12 Να εξεταστεί αν υπάρχουν x y ώστε 2 0 5x 5 2 sin x = x + y 7 e y Απόδειξη Δύο πίνακες είναι ίσοι όταν είναι ίδιας διάστασης και έχουν τα αντίστοιχα ως προς τη θέση στοίχεια τους ίσα Άσκηση 13 Είναι ο πίνακας A με στοιχεία a ij = 2i + 4j 1 i j 10 συμμετρικός; Απόδειξη Αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος δεικτών i j με a ij a ji 3 x Άσκηση 14 Βρείτε για ποια x R ο πίνακας A = 2 1 είναι άνω τριγωνικός και 0 7 για ποια x είναι κάτω τριγωνικός Απόδειξη Ενας πίνακας είναι άνω τριγωνικός όταν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από τη διαγώνιο του είναι μηδενικά δηλαδή a ij = 0 με i > j Αντίστοιχα ο πίνακας κάτω τριγωνικός όταν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από τη διαγώνιο του είναι μηδενικά δηλαδή a ij = 0 με i < j Άσκηση 15 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Σε περίπτωση αληθούς ισχυρισμού αιτιολογήστε ενώ σε περίπτωση λάθους δώστε αντιπαράδειγμα (1) Ο ανάστροϕος κάθε διαγώνιου πίνακα είναι κάτω τριγωνικός (2) Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συμμετρικός Ημερομηνία 5 Σεπτεμβρίου

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 3 (3) Κάθε πίνακας που είναι ταυτόχρονα άνω και κάτω τριγωνικός είναι διαγώνιος Άσκηση 16 Βρείτε τον πίνακα B 2013 όπου B = Απόδειξη Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό ανάπτυγμα για αντιμεταθετικούς πίνακες A B το ο- ποίο δίνεται από τη σχέση 1 n ( ) n (11) (A + B) n = A n k B k k k=0 για κάθε n N και συγκεκριμένα τη μορϕή που παίρνει όταν B = I Χρησιμοποιήστε επαγωγή Άσκηση 17 Εστω A = και B = Να βρεθούν οι παρακάτω πίνακες AB A 2B (A T ) 2 Άσκηση 18 Να υπολογιστούν οι πίνακες B n n N με B = k=0 [ Απόδειξη Βρίσκουμε κατάλληλο πίνακα A ώστε B = A + I και χρησιμοποιούμε το διωνυμικό ανάπτυγμα (11) για αντιμεταθετικούς πίνακες Θα χρειαστούν οι σχέσεις n ( ) n n ( ) n n ( ) n = 2 n = = 2 n 1 k k k k=0 k αρτιος k=0 k περιττός Εναλλακτικά μπορούμε να «υποψιαστούμε» τη μορϕή της δύναμης του πίνακα και να αποδείξουμε τον ισχυρισμό μας με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής Άσκηση 19 Να αποδείξετε ότι οι n n πίνακες A με στοιχεία μονάδες ικανοποιούν τη σχέση ( ) 1 (A I) n 1 A I = I Απόδειξη Καταλήγουμε από το αριστερό μέλος της ισότητας την οποία θέλουμε να δείξουμε n n n στο δεξί παρατηρώντας ότι για A = έχουμε n n n A2 = n n n επομένως A 2 = na 1 0 Άσκηση 110 Βρείτε τον 2 2 πίνακα A ο οποίος αντιμετατίθεται με τον B = 0 0 Ποια η μορϕή του A όταν αντιμετατίθεται με κάθε 2 2 πίνακα; Απόδειξη Οι πίνακες A B αντιμετατίθενται όταν AB = BA Συμπεραίνουμε ότι A διαγώνιος Παραπέρα και αϕού πια γνωρίζουμε ότι A διαγώνιος θεωρούμε έναν τυχαίο Γ και από τη σχέση AΓ = ΓA καταλήγουμε ότι A = κi για κάποιο κ R 1 Οι συντελεστές στο άθροισμα δίνονται από την έκϕραση ( ) n k = n! (n k)!k! όπου για n N συμβολίζουμε n! = 1 2 n

4 4 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 111 Βρείτε παραδείγματα 2 2 πινάκων ώστε (1) A 2 = I (2) B 2 = O B O Άσκηση 112 Πόσοι διαϕορετικοί πολλαπλασιασμοί απαιτούνται για τον υπολογισμό του γινομένου ενός m n πίνακα A με ένα n r πίνακα B; Άσκηση 113 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Σε περίπτωση αληθούς ισχυρισμού αιτιολογήστε ενώ σε περίπτωση λάθους δώστε αντιπαράδειγμα (1) Το άθροισμα δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός (2) Το γινόμενο δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός (3) Το άθροισμα δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών συμμετρικών πινάκων είναι συμμετρικός (4) Το γινόμενο δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών συμμετρικών πινάκων είναι συμμετρικός Άσκηση 114 Βρείτε τις n οστές n N δυνάμεις των παρακάτω πινάκων a 0 1 a A = B = C = b Άσκηση 115 Αν X 2 = X = a b c 0 a b 0 0 a και γνωρίζοντας ότι X 2 X αντιμεταθετικοί δείξτε ότι Στη συνέχεια βρείτε όλους τους X με την παραπάνω ιδιότητα Άσκηση 116 Ο n n πίνακας A έχει τις εξής ιδιότητες (1) Ο πίνακας A T A είναι συμμετρικός (2) Ο πίνακας A + A T είναι συμμετρικός και ο A A T αντισυμμετρικός (3) Ο A γράϕεται σαν άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα (4) Να γραϕούν οι παρακάτω πίνακες ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα A = B = Απόδειξη Ενας πίνακας B είναι συμμετρικός αν ο ανάστροϕος του είναι ο εαυτός του δηλαδή αν B T = B ενώ καλείται αντισυμμετρικός αν B T = B Για το τρίτο ερώτημα αναλύουμε τον A στους πίνακες 1(A + 2 AT ) και 1(A 2 AT ) ενώ για το τελευταίο ερώτημα κάνουμε εϕαρμογή του τρίτου Άσκηση 117 Πόσα στοιχεία είναι δυνατόν να οριστούν με ανεξάρτητο τρόπο σε ένα n n πίνακα A όταν αυτός

5 (1) είναι συμμετρικός; (2) είναι αντισυμμετρικός; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 5 Απόδειξη Για την πρώτη περίπτωση μπορούν να οριστούν ανεξάρτητα n(n + 1)/2 το πλήθος στοιχεία ενώ για τη δεύτερη n(n 1)/2 το πλήθος στοιχεία 3 1 Άσκηση 118 Αν A = υπολογίστε την παράσταση A (A 4I) 2014 αϕού πρώτα επαληθεύσετε ότι A 2 4A + I = O a b Άσκηση 119 Αν A = επαληθεύσετε ότι A c d 2 (a + d)a + (ad bc)i = O 4 3 Άσκηση 120 Αν A = αποδείξτε ότι 1 0 A n = 3n 1 A + 3 3n I n N 2 2 Απόδειξη Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα της Άσκησης 119 και επαγωγή Άσκηση 121 Οι πραγματικοί αριθμοί x 1 x 2 x n ικανοποιούν τη σχέση (12) x n = 4x n 1 3x n 2 n = 3 4 Εκϕράστε τον x n συναρτήσει των x 1 x 2 n Απόδειξη Μπορούμε να γράψουμε τη σχέση (12) ως xn 4 3 xn 1 xn 1 = = A = A x n x n 2 x 2 xn 2 = A n 2 x n 2 x2 n 3 x 1 όπου A ο πίνακας της Άσκησης 120 Άσκηση 122 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις (α) [ OA OB 2 ( ) 2 + OA OB = OA 2 OB 2 (β) (γ) [[ OA OB OC + [[ OB OC OA + [[ OC OA OB = O [ OA πρoβ OB OA OB = 0 Απόδειξη Εϕαρμόζουμε τον ορισμό του εσωτερικού και εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων καθώς και της προβολής διανύσματος σε διάνυσμα ξεκινάμε από τα αριστερά μέλη των ισοτήτων προς απόδειξη και καταλήγουμε στα δεξιά Άσκηση 123 Αν οι σύνθετοι πίνακες A B έχουν τη μορϕή A = = [A 1 A 2 B = = [ B1 B 2

6 6 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ δείξτε ότι AB = A 1 B 1 + A 2 B 2 = Άσκηση 124 Με ποια διάταξη πολλαπλασιάζονται οι πίνακες A = a b c d e f B = j k l m n o g h i p q r ως σύνθετοι; Απόδειξη Ο πολλαπλασιασμός δύο σύνθετων πινάκων P Q γίνεται όταν ο τρόπος διαμέρισης των γραμμών του Q είναι ίδιος με τη διαμέριση των στηλών του P Άσκηση 125 Αν X = Y = και f(x) = x x 2 + x 1 δείξτε ότι f(x) = f(y ) = Απόδειξη Παρατηρούμε ότι f(x) = (x 1) 3 2x επομένως f(x) = (X I) 3 2X 2 Οριζουσες Αντιστροϕοι Πινακες Άσκηση 21 Εστω A = Δείξτε ότι η ορίζουσα του A είναι ίση με την ορίζουσα του ανάστροϕου του Απόδειξη Εχουμε ότι A = A T = Άσκηση 22 Αν A = υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα B = λi 3 A Άσκηση 23 Επαληθεύστε με παραδείγματα τη σχέση det A = det A Άσκηση 24 Υπολογίστε τις ορίζουσες των παρακάτω πινάκων α β β β α α α α A = β α β β β β α β B = β α α α β β α α Γ = β β β α β β β α α 0 0 β 0 α β 0 0 β α 0 β 0 0 α Απόδειξη Εχουμε ότι A = a 4 6a 2 b 2 + 8ab 3 3b 4 B = a 4 + 3a 2 b 2 3ba 3 ab 3 Γ = a 4 2a 2 b 2 + b 4 Άσκηση 25 Αν οι τετραγωνικοί ν ν πίνακες A B ικανοποιούν τη σχέση AB = O ν και ο A (ή ο B) είναι αντιστρέψιμος δείξτε ότι B = O ν ή A = O ν

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 7 Απόδειξη Αν ο A αντιστρέψιμος σημαίνει ότι υπάρχει ο A 1 με την ιδιότητα A 1 A = I Ετσι έχουμε AB = O A 1 AB = A 1 O IB = O B = O Αντίστοιχα δουλεύουμε στην περίπτωση που ο B αντιστρέψιμος a b Άσκηση 26 Οταν ο πίνακας A = είναι αντιστρέψιμος ο αντίστροϕος του δίνεται c d από την παρακάτω σχέση A 1 1 d b = ad bc c a Απόδειξη Ο A είναι αντιστρέψιμος επομένως η ορίζουσα του A = ad bc είναι μη μηδενική Υπολογίζουμε τον αντίστροϕο με βάση τον προσαρτημένο πίνακα του A ο οποίος αποτελείται από τα αλγεβρικά συμπληρώματα του M ij σύμϕωνα με τη σχέση και καταλήγουμε στο συμπέρασμα A 1 = 1 A adja = 1 A M11 M 21 M 12 M 22 Άσκηση 27 Επαληθεύστε με ένα παράδειγμα ότι εν γένει δεν ισχύει η πρόταση «ο αντίστροϕος του αθροίσματος δύο πινάκων είναι το άθροισμα των αντίστροϕων του» στην περίπτωση ϕυσικά που οι A B αντιστρέϕονται Απόδειξη Ισοδύναμα αρκεί να βρούμε A B ώστε (A + B) 1 A 1 + B 1 Άσκηση 28 Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς (μέθοδος Gauss-Jordan) βρείτε στην περίπτωση που αντιστρέϕονται τους αντίστροϕους των παρακάτω πινάκων A = B = C = D = Απόδειξη Εχουμε ότι A 1 = B 1 = ενώ ο πίνακας D δεν αντιστρέϕεται Άσκηση 29 Βρείτε τις πραγματικές τιμές των a b ώστε 1 2a (α) = b b 3 2 (β) 2 = C 1 =

8 8 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Απόδειξη a = b = 2 Άσκηση 210 Βρείτε πίνακα A ώστε [ 1 Απόδειξη A = ( ) [ 4A T = 4 4 Άσκηση 211 Αν D n η ορίζουσα του n n πίνακα A n με a b 0 0 b a b A n = 0 0 a b 0 0 b a όπου a b R δείξτε ότι D n = ad n 1 b 2 D n 2 n N n 2 με D 0 = 1 D 1 = a Στη συνέχεια υπολογίστε την ποσότητα D n όταν a = 2 b = 1 3 Γραμμικα Συστηματα Άσκηση 31 Βρείτε την κανονική μορϕή των πινάκων A = B = Απόδειξη Η κανονική μορϕή του πίνακα A είναι ο πίνακας K τέτοιος ώστε K = P AQ = Η κανονική μορϕή του πίνακα B είναι ο πίνακας K τέτοιος ώστε K = P BQ = Άσκηση 32 Να παραγοντοποιηθούν οι παρακάτω πίνακες σε μορϕή LU A = B = C =

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 9 Απόδειξη Για τον πίνακα E 1 A όπου έχουμε μεταθέσει την πρώτη με τη δεύτερη γραμμή ισχύει E 1 A = = }{{} P U όπου E 1 ο πίνακας αλλαγής γραμμών Ετσι E 1 A = P 1 U A = E 1 1 P 1 U = } {{ } L Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο στον πίνακα B εϕόσον πάλι χρειάζεται εναλλαγή γραμμών ώστε το πρώτο αριστερά πάνω στοιχείο του B να είναι μη μηδενικό καταλήγουμε ότι E 1 B = P 1 U B = E1 1 P 1 U = }{{} L Παραπέρα έχουμε ότι C = P 1 U = Άσκηση 33 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα 3x + 4y + z = 1 2x + 3y = 0 4x + 3y z = 2 = x + 2y z = 2 2x + 5y + 2z = 1 7x + 11y + 5z = } {{ } L x + 10z = 5 3x + y 4z = 1 4x + y + 6z = 1 Απόδειξη Οι λύσεις για τα δύο πρώτα συστήματα αντίστοιχα είναι τα διανύσματα στήλες ( ) T (12 + 9κ 5 4κ κ) T κ R ενώ το τρίτο σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση 34 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα για τις διάϕορες τιμές της παραμέτρου a R ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1

10 10 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Απόδειξη Για κάθε a 1 και a 2 τα συστήματα έχουν μοναδική λύση ( 1 a a a 2 + a 2 + a 1 + a ) T 2 + a για a = 1 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής (1 κ λ κ λ) T κ λ R ενώ για a = 2 το σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση 35 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα για τις διάϕορες τιμές της παραμέτρου a R x + ay + 2z = 1 x + (2a 1)y + 3z = 1 x + ay + (a + 3)z = 2a 1 Απόδειξη Για κάθε a 1 και a 1 τα συστήματα έχουν μοναδική λύση ( a a a 2a 2 ) T 1 + a για a = 1 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής (1 κ κ 0) T κ R ενώ για a = 1 το σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση 36 Να βρεθεί συνθήκη για τα a b c R ώστε το παρακάτω σύστημα να έχει άπειρες λύσεις x y + 2z = a 2x 3y + z = b 3x y + cz = 1 Απόδειξη Οταν 7a 2b = 1 c = 12 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Άσκηση 37 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x + y 2z = 1 2x + 3y z = 1 4x + 5y 5z = 4 x + y 2z = 1 2x + 3y z = 1 4x + 5y 5z = 3 x + 2y 2z + 3w = 1 x + 3y 2z + 3w = 0 2x + 4y 3z + 6w = 4 x + y z + 4w = 6 Απόδειξη Το πρώτο σύστημα είναι ασυμβίβαστο το δεύτερο έχει άπειρες λύσεις της μορϕής (2 + 5κ 1 3κ κ) T κ R και το τρίτο έχει τη μοναδική λύση ( ) T Άσκηση 38 Να βρεθούν τα a R ώστε τα παρακάτω συστήματα να έχουν τουλάχιστον μία λύση x + 2y z = 4 2x + 4y + 3z = 5 x 2y + 6z = a Απόδειξη Για a = 7 έχουμε άπειρες λύσεις της μορϕής ( ) T κ κ 3 κ R 5

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 11 Άσκηση 39 Δείξτε ότι αν ένα γραμμικό σύστημα έχει τουλάχιστο δύο λύσεις τότε έχει άπειρες λύσεις Απόδειξη Μπορούμε να κατασκευάσουμε άπειρες λύσεις από τις δύο λύσεις X 1 X 2 του συστήματος θεωρώντας τις X = X 1 + κ(x 1 X 2 ) για κ R αϕού AX = b Άσκηση 310 Βρείτε την ανηγμένη κλιμακωτή μορϕή του πίνακα A = a και στη συνέχεια λύστε το σύστημα όπου a R x y + z + w = 1 3x y z + w = a 4x 2y + 2w = 3 Απόδειξη Η κλιμακωτή μορϕή ενός πίνακα είναι εκείνος ο πίνακας ο οποίος έχει (α) Σε κάθε μη μηδενική γραμμή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο το 1 (β) Σε κάθε μη μηδενική γραμμή το ηγετικό 1 βρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού 1 της προηγούμενης γραμμής (γ) Οι μη μηδενική γραμμές εμϕανίζονται πριν από τις μηδενικές γραμμές Ο πίνακας καλείται ανηγμένος κλιμακωτός όταν επιπλέον έχουμε ότι (δ) Σε κάθε μη μηδενική γραμμή το ηγετικό 1 είναι το μόνο μη μηδενικό στοιχείο στην στήλη στην οποία βρίσκεται Παραπέρα κάθε πίνακας μπορεί να μετασχηματιστεί με πράξεις γραμμών σε ανηγμένο κλιμακωτό ( Μέθοδος Απαλοιϕής Gauss ) Επομένως έχουμε ότι η ανηγμένη κλιμακωτή μορϕή του πίνακα A είναι ο πίνακας a 1 2 a a + 2 Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής ( ) T κ 1 + 2κ + λ κ λ κ λ R 2 Άσκηση 311 Αϕού λύσετε το παρακάτω σύστημα x y + z + w = 1 3x y z + w = a 4x 2y + 2w = 3 να εκϕράσετε τις λύσεις του στη μορϕή a 0 + κ b 0 + λ c 0 όπου διανύσματα (πίνακες 5 1) και κ λ R Αν ( ) T λύση του συστήματος να την εκϕράσετε με την παραπάνω μορϕή Βρείτε δύο μη τετριμμένες 2 λύσεις του ομογενούς συστήματος AX = O όπου A ο πίνακας συντελεστών του παραπάνω συστήματος 2 Το ομογενές σύστημα AX = O έχει πάντα τη μηδενική-τετριμμένη λύση X = O

12 12 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Απόδειξη Κάθε λύση παριστάνεται ως X = ( ) T +κ ( ) T +λ ( ) T }{{}}{{}}{{} a 0 b 0 c 0 Για κ = 0 λ = 1 παίρνουμε τη λύση ( ) T Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος AX = O έχουν την παραπάνω μορϕή για a 0 = 0 δηλαδή έχουν τη μορϕή X = κ ( ) T +λ ( ) T }{{}}{{} b 0 c 0 Επομένως επιλέγουμε δύο ζεύγη κ λ εκτός της περίπτωσης κ = λ = 0 ώστε να προκύψουν μη τετριμμένες λύσεις του ομογενούς συστήματος Άσκηση 312 Να βρεθούν τα a R ώστε τα παρακάτω συστήματα να έχουν μοναδική λύση Πότε έχουμε άπειρες λύσεις x + 2y + z = 3 ay + 5z = 10 2x + 7y + az = b Απόδειξη Οταν a έχουμε μοναδική λύση ενώ όταν a = 5 b = 12 και a = 3 b = 4έχουμε άπειρες λύσεις Άσκηση 313 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x y 2z = 3 2x + y + z = 3 5x + y + 3z = 11 x + 2y z = 0 3x + 4y + z + 2w = 3 6x + 8y + 2z + 5w = 7 9x + 12y + 3z + 10w = 13 Απόδειξη Το πρώτο σύστημα έχει τη μοναδική λύση (2 1 0) T ενώ το δεύτερο έχει άπειρες λύσεις της μορϕής ((1 4κ λ)/3 κ λ 1) T κ λ R 4 Γραμμικη Ανεξαρτησια-Ιδιοτιμεσ-Ιδιοδιανυσματα Άσκηση 41 Δείξτε ότι τα παρακάτω διανύσματα a = (4 3 7) T b = (1 9 2) T c = (7 11 6) T είναι γραμμικά εξαρτημένα και ικανοποιούν τη σχέση (41) 4 a + 5 b 3 c = 0 Απόδειξη Τα a b c είναι γραμμικά εξαρτημένα αν το ομογενές σύστημα λ 1 a + λ 2 a + λ 3 a = 0 έχει μη μηδενική λύση δηλαδή αν υπάρχουν λ 1 λ 2 λ 3 όχι όλα μηδέν ώστε 4λ 1 + λ 2 + 7λ 3 = 0 3λ 1 + 9λ λ 3 = 0 7λ 1 2λ 2 + 6λ 3 = 0 Το παραπάνω σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής ( 4κ/3 5κ/3 κ) T κ R Για κ = 3 έχουμε ότι (4 5 3) T λύση επομένως ισχύει η (41)

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 13 Άσκηση 42 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ιδιοτιμές των παρακάτω πινάκων A = B = C = Απόδειξη Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι δ A (λ) = λi A = λ και δεν έχει καμία ρίζα πραγματική επομένως καμία ιδιοτιμή πραγματική Βεβαίως αν θεωρήσουμε το σύνολο των ϕανταστικών C έχουμε ότι το σύνολο των ιδιοτιμών του A δηλαδή το ϕάσμα του A είναι σ(a) = {4i 4i} όπου i η ϕανταστική μονάδα 3 Παραπέρα έχουμε επομένως σ(b) = {1} σ(c) = {1 2 3} δ B (λ) = (λ 1) 2 δ C (λ) = (λ 1)(λ 2)(λ 3) Άσκηση 43 Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων cos x sin x cos x sin x A = B = sin x cos x sin x cos x Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = (λ 1)(λ + 1) επομένως λ 1 = 1 λ 2 = 1 Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για την ιδιοτιμή λ 1 Αν x κπ κ Z τότε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στη λ 1 προκύπτει από τη μη cos x+1 μηδενική λύση του ομογενούς [ συστήματος (A λ 1 )X = O και είναι το ( sin x 1)T 1 0 Αν x = 2κπ κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το (1 0) 0 1 T 1 0 Αν x = (2κ + 1)π κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 1 (0 1) T Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για την ιδιοτιμή λ 2 Αν x κπ κ Z τότε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στη λ 1 προκύπτει από τη μη cos x 1 μηδενική λύση του ομογενούς [ συστήματος (A λ 2 )X = O και είναι το ( sin x 1)T 1 0 Αν x = 2κπ κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το (0 1) 0 1 T 1 0 Αν x = (2κ + 1)π κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 1 (1 0) T Εχουμε ότι δ B (λ) = λ 2 2(cos x)λ + 1 Η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου είναι = 4 sin 2 x 0 επομένως οι πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου υπάρχουν όταν sin x = 0 δηλαδή x = κπ κ Z 1 0 Αν κ άρτιος τότε B = = I και δ 0 1 B (λ) = (λ 1) 2 Επομένως ο B έχει μία ιδιοτιμή λ 1 = 1 με αλγεβρική πολλαπλότητα ν 1 = 2 και B λ 1 I = O άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (1 0) T (0 1) T 3 Στα επόμενα θα θεωρούμε ότι βρισκόμαστε πάντα στο σύνολο των πραγματικών R εκτός και αν αναϕέρεται ρητά κάτι διαϕορετικό

14 14 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ 1 0 Αν κ περιττός τότε B = = I και δ 0 1 B (λ) = (λ + 1) 2 Επομένως ο B έχει μία ιδιοτιμή λ 1 = 1 με αλγεβρική πολλαπλότητα ν 1 = 2 και B λ 1 I = O άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (1 0) T (0 1) T Άσκηση 44 Αν ο n n πίνακας A είναι άνω τριγωνικός με a ii a jj για i j με 1 i j n τότε πόσες και ποιες είναι οι ιδιοτιμές του Τι συμπέρασμα ισχύει αν ο A είναι κάτω τριγωνικός με την ίδια ιδιότητα ως προς τα διαγώνια στοιχεία του; Απόδειξη Οταν A άνω τριγωνικός έχουμε ότι λ a 11 a 22 a 1n 0 λ a δ A (λ) = λi n A = 22 a 23 a 2n = (λ a 11)(λ a 22 ) (λ a nn ) 0 0 λ a nn επομένως ο A έχει n διακεκριμένες ιδιοτιμές Το ίδιο συμπέρασμα ισχύει στην περίπτωση όπου A κάτω τριγωνικός Άσκηση 45 Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων A = B = Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = (λ 1) 3 επομένως ο πίνακας A έχει μία ιδιοτιμή λ 1 = 1 με αλγεβρική πολλαπλότητα ν 1 = 3 και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το (0 1 0) T Εχουμε ότι δ B (λ) = (λ 1) 3 (λ 2) 2 επομένως ο πίνακας B έχει ιδιοτιμές λ 1 = 1 λ 2 = 2 με ν 1 = 3 ν 2 = 2 Τα ιδιοδιάνυσματα που αντιστοιχούν στη λ 1 είναι τα ( ) T και ( ) T ενώ το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της λ 2 είναι το ( ) T Άσκηση 46 Αν λ x η ιδιοτιμή και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα ενός πίνακα A δείξτε ότι για κάθε πολυώνυμο p(s) = s m + a m 1 s m a 1 s + a 0 ο αριθμός p(λ) και το διάνυσμα x είναι αντίστοιχα η ιδιοτιμή και το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα p(a) Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι p(a) x = p(λ) x Άσκηση 47 Αν το 8 είναι ιδιοτιμή του πίνακα A με ιδιοδιάνυσμα x και το 5 είναι ιδιοτιμή του πίνακα B με το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x ποια είναι η ιδιοτιμή του πίνακα (α) A + B (β) AB που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα x; Απόδειξη Για το (α) είναι το 13 για το (β) το 40 Άσκηση 48 Αν το 4 είναι ιδιοτιμή του πίνακα A με ιδιοδιάνυσμα x ποια είναι η ιδιοτιμή του πίνακα (α) A 3 (β) A 1 στην περίπτωση που ο A είναι αντιστρέψιμος

15 που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα x; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 15 Απόδειξη Για το (α) είναι το 64 για το (β) το 025 Άσκηση 49 Υπολογίστε το ϕάσμα του πίνακα A με A = αν γνωρίζετε ότι το ϕάσμα του πίνακα B με B = είναι σ(b) = {1 2} Απόδειξη Παρατηρούμε ότι A T = B και δ B (λ) = λi B = λi A T = (λi A) T = λi A = δ A (λ) επομένως σ(a) = σ(b) = {1 2} Άσκηση 410 Να λυθεί το παρακάτω σύστημα X = 6X Απόδειξη Υπολογίζουμε την ορίζουμε 6I A = 0 άρα το 6 δεν είναι ιδιοτιμή του πίνακα A επομένως το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση (0 0 0) T Άσκηση 411 Αν το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής ενός n n πίνακα A είναι σταθερό τότε ο πίνακας A κ κ N έχει την ίδια ιδιότητα δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του είναι σταθερό χωρίς απαραίτητα να είναι ίσο με το αντίστοιχο άθροισμα των στοιχείων της γραμμής του A Άσκηση 412 Πως μπορούμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα ενός n n πίνακα A με χρήση των ιδιοτιμών του Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγουμε για την ύπαρξη αντιστρόϕου του A βάσει του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου; Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = λi A = λ n + c n 1 λ n 1 + c 1 λ + c 0 επομένως για λ = 0 λαμβάνουμε A = c 0 δηλαδή ( 1) n A = c 0 άρα (42) A = ( 1) n c 0 Από τη σχέση (42) έπεται ότι αν c 0 = 0 ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος Παραπέρα αν ο A έχει n ιδιοτιμές όχι απαραίτητα διαϕορετικές μεταξύ τους τότε λi A = (λ λ 1 ) (λ λ n ) επομένως για λ = 0 λαμβάνουμε A = ( 1) n λ 1 λ n άρα (43) A = λ 1 λ n όπου ενδεχομένως κάποια από τα λ i i = 1 n να είναι ίσα μεταξύ τους

16 16 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ 0 1 Άσκηση 413 Εστω πίνακας A με A = 1 2 την ορίζουσα του πίνακα B χωρίς υπολογισμό του B και B = A 3 5A 2 + 6I Υπολογίστε Απόδειξη Εστω λ x ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα του A Τότε 4 Bx = (A 3 5A 2 + 6I)x = A 3 x 5A 2 x + 6x = λ 3 x 5λ 2 x + 6x = (λ 3 5λ 2 + 6)x επομένως το λ 3 5λ ιδιοτιμή του B Εχουμε ότι δ A (λ) = (λ 1) 2 άρα σ(a) = {1} Επομένως ο B έχει ιδιοτιμές 5 λ 1 = λ 2 = 2 και από τη σχέση (43) έπεται ότι B = 2 2 = 4 5 Διαγωνοποιηση πινακα Άσκηση 51 Εξετάστε αν διαγωνοποιούνται οι παρακάτω πίνακες A = B = και αν η απάντηση είναι καταϕατική ποια η σχέση που συνδέει τον πίνακα με τον όμοιο διαγώνιο του; Απόδειξη Ο A δεν διαγωνοποιείται γιατί στην ιδιοτιμή του λ 1 = 2 με ν 1 = 2 αντιστοιχεί ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα Ο B διαγωνοποποιείται και λ 1 = 1 λ 2 = 2 Ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ 1 λ 2 είναι ο P = [ [ 0 1 και P 1 = P 1 BP = D = Ισχύει ότι Άσκηση 52 Να λυθεί η εξίσωση πινάκων X 2 = B όπου B ο πίνακας της Άσκησης 51 Απόδειξη Εχουμε ότι B = P DP 1 όπου R D οι πίνακες της λύσης της Άσκησης 51 Εχουμε ότι X 2 = B X 2 = P DP 1 P 1 X 2 P = D Y 2 = D = [ Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν ένας πίνακας A έχει ιδιοτιμή λ και ιδιοδιάνυσμα x τότε ο πίνακα A n με n N έχει ιδιοτιμή λ n και ιδιοδιάνυσμα x 5 Ο πίνακας B είναι 2 2 επομένως έχει το πολύ 2 ιδιοτιμές

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 17 όπου ορίσαμε Y = P 1 XP Επομένως έχουμε ότι Y = [ 1 0 Y = 1 0 ή Y = υπολογίζουμε τις 4 λύσεις της αρχικής εξίσωσης πινάκων Άσκηση 53 Αν A = πολύ [ [ ή Y = ή Χρησιμοποιούμε τώρα τη σχέση X = P Y P 1 και εκϕράστε τον A 2013 ως πολυώνυμο του A βαθμού το Απόδειξη Εχουμε ότι λ 2013 = δ A (λ)π(λ) + υ(λ) όπου π(λ) το πηλίκο της «διαίρεσης» του λ 2013 με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A και υ(λ) το υπόλοιπο το οποίο είναι βαθμού τουλάχιστον κατά 1 μικρότερο από το βαθμό του δ A (λ) Δηλαδή (51) λ 2013 = δ A (λ)π(λ) + aλ 2 + bλ + c Παραπέρα δ A (λ) = (λ 1)(λ 3)(λ + 3) Η σχέση (51) για λ = 1 λ = 3 λ = 3 δημιουργεί το παρακάτω 3 3 σύστημα το οποίο έχει τη μοναδική λύση a + b + c = 1 3a + 3b + c = ( 3) a + 3b + c = ( 3) 2013 ( ) T Άσκηση 54 Να βρεθεί ο αντίστροϕος του πίνακα A ο οποίος έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο δ A (λ) = λ 3 λ 2 3λ + 3 Ποιος ο A 2 ; Απόδειξη Αρχικά παρατηρούμε ότι δ A (0) = 3 0 επομένως σύμϕωνα με (42) ο πίνακας A αντιστρέϕεται Παραπέρα με χρήση του Θεωρήματος Cayley-Hamilton έχουμε τα παρακάτω δ A (A) = A 3 A 2 3A + 3I O = A 3 A 2 3A + 3I A 1 O = A 1 (A 3 A 2 3A + 3I) O = A 2 A 3I + 3A 1 A 1 = 1 3 A A + I

18 18 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Πολλαπλασιάζοντας κάθε μέλος της παραπάνω ισότητας πινάκων με A 1 λαμβάνουμε ( A 2 = A A2 + 1 ) 3 A + I = 1 3 A I + A 1 = 1 3 A I + ( 1 3 A A + I ) = A2 Άσκηση 55 Με χρήση του Θεωρήματος Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τους παρακάτω πίνακες (α) B = 2A 4 7A 3 2A A 24I 3 (β) C = A 6 + 2A 5 + 5A 4 11A 3 2A 2 + 9A 7I 3 (γ) D = A 9 2A 8 4A 7 + 7A 6 + 3A 5 + 2A 4 13A A 2 + 5A 9I 3 με A = Απόδειξη B = 12A C = 5A + I 3 D = A I 3 Άσκηση 56 Για ποιες τιμές των παραμέτρων a b οι πίνακες A = B = a 1 b 1 δεν διαγωνοποιούνται; Άσκηση 57 Αν ο n n πίνακας A έχει την ιδιότητα A κ = O για κάποιο κ N με 2 κ < n ποιο πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του n επαληθεύει; Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = λ n + c n 1 λ n 1 + c κ λ κ + + c 1 λ + c 0 επομένως δ A (A) = A n + c n 1 A n c κ A κ + c κ 1 A κ c 1 A + c 0 I O = O + c n 1 O + + c κ O + c κ 1 A κ c 1 A + c 0 I = c κ 1 A κ c 1 A + c 0 I όπου χρησιμοποιήσαμε το Θεώρημα Cayley-Hamilton και το ότι A j = O για κάθε j N με j κ Επομένως ο A επαληθεύει το πολυώνυμο p(λ) = c κ 1 λ κ c 1 λ + c 0 βαθμού το πολύ κ 1 Άσκηση 58 Να διαγωνοποιηθεί ο σύνθετος διαγώνιος πίνακας A = A 1 = και A = 1 3 A1 0 όπου 0 A 2

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 19 Άσκηση 59 Αν ο πίνακας A διαγωνοποιείται τότε είναι όμοιος 6 με τον ανάστροϕο του Αναϕορες [1 Ανδρεαδακης Σ (1991) Γραμμική Άλγεβρα Εκδ Συμμετρία [2 Halmos P (1995) Linear Algebra Problem Book Amer Math Soc [3 Kolman B (1997) Introductory Linear Algebra with Applications Prentice Hall [4 Leon SJ (1990) Linear Algebra with Applications MacMillan [5 Μαρουλας Ι (2005) Γραμμική Άλγεβρα ΕΜΠ [6 Morris AO (1980) Μία εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα Μετάϕραση ΔΙΔεριζιώτη Εκδ: ΓΑ Πνευματικού [7 Χρυσακης Θ (2013) Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία Νέα Εκδοση Αθήνα Τμημα Μαθηματικων Κατευθυνση Στατιστικης και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικων Πανεπιστημιο Αιγαιου Καρλοβασι ΤΚ Σαμος Ελλαδα Τηλ Δύο n n πίνακες A και B καλούνται όμοιοι όταν υπάρχει ένας n n αντιστρέψιμος πίνακας P ώστε B = P 1 AP

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.

t t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

( A = A = 3 5 A 2 + B 2.

( A = A = 3 5 A 2 + B 2. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Χειμερινό Εξάμηνο 25 Ασκήσεις Για πίνακες A R m n και B R p q ορίζονται οι πίνακες AB και BA και ισχύει AB = BA Τι συμπεραίνετε για τα m, n, p, q; 2 Για A, B R n n : (α Δείξτε ότι (A

Διαβάστε περισσότερα

[A I 3 ] [I 3 A 1 ].

[A I 3 ] [I 3 A 1 ]. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 17 Οκτωβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 5 Νοεμβρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 12: Μήτρες (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση

Διαβάστε περισσότερα

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με

Εάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εϕαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton

Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εϕαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton Εύρεση της n-οστής δύναμης ενός πίνακα εϕαρμόζοντας το θεώρημα των Cayley-Hamilton Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Α ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Α ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΘ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα

Χαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα