2 3x 5x x

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Περιληψη Παρακάτω ακολουθεί παρουσίαση καθώς και υπόδειξη λύσης ασκήσεων γραμμικής άλγεβρας προς ενημέρωση και βοήθεια ϕοιτητών τμήματος Μαθηματικών με κατεύθυνση Στατιστικής και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικών για το μάθημα του Α εξαμήνου ΕΦΑΡ- ΜΟΣΜΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Για υπολογισμούς χρησιμοποιούμε το περιβάλλον Maple 11 Άσκηση 11 Πότε ο πίνακας A με είναι συμμετρικός; A = 1 Αλγεβρα Πινακων 2 3x 5x x Απόδειξη Ενας πίνακας είναι συμμετρικός όταν a ij = a ji για i j Άσκηση 12 Να εξεταστεί αν υπάρχουν x y ώστε 2 0 5x 5 2 sin x = x + y 7 e y Απόδειξη Δύο πίνακες είναι ίσοι όταν είναι ίδιας διάστασης και έχουν τα αντίστοιχα ως προς τη θέση στοίχεια τους ίσα Άσκηση 13 Είναι ο πίνακας A με στοιχεία a ij = 2i + 4j 1 i j 10 συμμετρικός; Απόδειξη Αρκεί να βρούμε ένα ζεύγος δεικτών i j με a ij a ji 3 x Άσκηση 14 Βρείτε για ποια x R ο πίνακας A = 2 1 είναι άνω τριγωνικός και 0 7 για ποια x είναι κάτω τριγωνικός Απόδειξη Ενας πίνακας είναι άνω τριγωνικός όταν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από τη διαγώνιο του είναι μηδενικά δηλαδή a ij = 0 με i > j Αντίστοιχα ο πίνακας κάτω τριγωνικός όταν όλα τα στοιχεία που βρίσκονται πάνω από τη διαγώνιο του είναι μηδενικά δηλαδή a ij = 0 με i < j Άσκηση 15 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Σε περίπτωση αληθούς ισχυρισμού αιτιολογήστε ενώ σε περίπτωση λάθους δώστε αντιπαράδειγμα (1) Ο ανάστροϕος κάθε διαγώνιου πίνακα είναι κάτω τριγωνικός (2) Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συμμετρικός Ημερομηνία 5 Σεπτεμβρίου

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 3 (3) Κάθε πίνακας που είναι ταυτόχρονα άνω και κάτω τριγωνικός είναι διαγώνιος Άσκηση 16 Βρείτε τον πίνακα B 2013 όπου B = Απόδειξη Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό ανάπτυγμα για αντιμεταθετικούς πίνακες A B το ο- ποίο δίνεται από τη σχέση 1 n ( ) n (11) (A + B) n = A n k B k k k=0 για κάθε n N και συγκεκριμένα τη μορϕή που παίρνει όταν B = I Χρησιμοποιήστε επαγωγή Άσκηση 17 Εστω A = και B = Να βρεθούν οι παρακάτω πίνακες AB A 2B (A T ) 2 Άσκηση 18 Να υπολογιστούν οι πίνακες B n n N με B = k=0 [ Απόδειξη Βρίσκουμε κατάλληλο πίνακα A ώστε B = A + I και χρησιμοποιούμε το διωνυμικό ανάπτυγμα (11) για αντιμεταθετικούς πίνακες Θα χρειαστούν οι σχέσεις n ( ) n n ( ) n n ( ) n = 2 n = = 2 n 1 k k k k=0 k αρτιος k=0 k περιττός Εναλλακτικά μπορούμε να «υποψιαστούμε» τη μορϕή της δύναμης του πίνακα και να αποδείξουμε τον ισχυρισμό μας με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής Άσκηση 19 Να αποδείξετε ότι οι n n πίνακες A με στοιχεία μονάδες ικανοποιούν τη σχέση ( ) 1 (A I) n 1 A I = I Απόδειξη Καταλήγουμε από το αριστερό μέλος της ισότητας την οποία θέλουμε να δείξουμε n n n στο δεξί παρατηρώντας ότι για A = έχουμε n n n A2 = n n n επομένως A 2 = na 1 0 Άσκηση 110 Βρείτε τον 2 2 πίνακα A ο οποίος αντιμετατίθεται με τον B = 0 0 Ποια η μορϕή του A όταν αντιμετατίθεται με κάθε 2 2 πίνακα; Απόδειξη Οι πίνακες A B αντιμετατίθενται όταν AB = BA Συμπεραίνουμε ότι A διαγώνιος Παραπέρα και αϕού πια γνωρίζουμε ότι A διαγώνιος θεωρούμε έναν τυχαίο Γ και από τη σχέση AΓ = ΓA καταλήγουμε ότι A = κi για κάποιο κ R 1 Οι συντελεστές στο άθροισμα δίνονται από την έκϕραση ( ) n k = n! (n k)!k! όπου για n N συμβολίζουμε n! = 1 2 n

4 4 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Άσκηση 111 Βρείτε παραδείγματα 2 2 πινάκων ώστε (1) A 2 = I (2) B 2 = O B O Άσκηση 112 Πόσοι διαϕορετικοί πολλαπλασιασμοί απαιτούνται για τον υπολογισμό του γινομένου ενός m n πίνακα A με ένα n r πίνακα B; Άσκηση 113 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές; Σε περίπτωση αληθούς ισχυρισμού αιτιολογήστε ενώ σε περίπτωση λάθους δώστε αντιπαράδειγμα (1) Το άθροισμα δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός (2) Το γινόμενο δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός (3) Το άθροισμα δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών συμμετρικών πινάκων είναι συμμετρικός (4) Το γινόμενο δύο ίδιας διάστασης τετραγωνικών συμμετρικών πινάκων είναι συμμετρικός Άσκηση 114 Βρείτε τις n οστές n N δυνάμεις των παρακάτω πινάκων a 0 1 a A = B = C = b Άσκηση 115 Αν X 2 = X = a b c 0 a b 0 0 a και γνωρίζοντας ότι X 2 X αντιμεταθετικοί δείξτε ότι Στη συνέχεια βρείτε όλους τους X με την παραπάνω ιδιότητα Άσκηση 116 Ο n n πίνακας A έχει τις εξής ιδιότητες (1) Ο πίνακας A T A είναι συμμετρικός (2) Ο πίνακας A + A T είναι συμμετρικός και ο A A T αντισυμμετρικός (3) Ο A γράϕεται σαν άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα (4) Να γραϕούν οι παρακάτω πίνακες ως άθροισμα ενός συμμετρικού και ενός αντισυμμετρικού πίνακα A = B = Απόδειξη Ενας πίνακας B είναι συμμετρικός αν ο ανάστροϕος του είναι ο εαυτός του δηλαδή αν B T = B ενώ καλείται αντισυμμετρικός αν B T = B Για το τρίτο ερώτημα αναλύουμε τον A στους πίνακες 1(A + 2 AT ) και 1(A 2 AT ) ενώ για το τελευταίο ερώτημα κάνουμε εϕαρμογή του τρίτου Άσκηση 117 Πόσα στοιχεία είναι δυνατόν να οριστούν με ανεξάρτητο τρόπο σε ένα n n πίνακα A όταν αυτός

5 (1) είναι συμμετρικός; (2) είναι αντισυμμετρικός; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 5 Απόδειξη Για την πρώτη περίπτωση μπορούν να οριστούν ανεξάρτητα n(n + 1)/2 το πλήθος στοιχεία ενώ για τη δεύτερη n(n 1)/2 το πλήθος στοιχεία 3 1 Άσκηση 118 Αν A = υπολογίστε την παράσταση A (A 4I) 2014 αϕού πρώτα επαληθεύσετε ότι A 2 4A + I = O a b Άσκηση 119 Αν A = επαληθεύσετε ότι A c d 2 (a + d)a + (ad bc)i = O 4 3 Άσκηση 120 Αν A = αποδείξτε ότι 1 0 A n = 3n 1 A + 3 3n I n N 2 2 Απόδειξη Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα της Άσκησης 119 και επαγωγή Άσκηση 121 Οι πραγματικοί αριθμοί x 1 x 2 x n ικανοποιούν τη σχέση (12) x n = 4x n 1 3x n 2 n = 3 4 Εκϕράστε τον x n συναρτήσει των x 1 x 2 n Απόδειξη Μπορούμε να γράψουμε τη σχέση (12) ως xn 4 3 xn 1 xn 1 = = A = A x n x n 2 x 2 xn 2 = A n 2 x n 2 x2 n 3 x 1 όπου A ο πίνακας της Άσκησης 120 Άσκηση 122 Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις (α) [ OA OB 2 ( ) 2 + OA OB = OA 2 OB 2 (β) (γ) [[ OA OB OC + [[ OB OC OA + [[ OC OA OB = O [ OA πρoβ OB OA OB = 0 Απόδειξη Εϕαρμόζουμε τον ορισμό του εσωτερικού και εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων καθώς και της προβολής διανύσματος σε διάνυσμα ξεκινάμε από τα αριστερά μέλη των ισοτήτων προς απόδειξη και καταλήγουμε στα δεξιά Άσκηση 123 Αν οι σύνθετοι πίνακες A B έχουν τη μορϕή A = = [A 1 A 2 B = = [ B1 B 2

6 6 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ δείξτε ότι AB = A 1 B 1 + A 2 B 2 = Άσκηση 124 Με ποια διάταξη πολλαπλασιάζονται οι πίνακες A = a b c d e f B = j k l m n o g h i p q r ως σύνθετοι; Απόδειξη Ο πολλαπλασιασμός δύο σύνθετων πινάκων P Q γίνεται όταν ο τρόπος διαμέρισης των γραμμών του Q είναι ίδιος με τη διαμέριση των στηλών του P Άσκηση 125 Αν X = Y = και f(x) = x x 2 + x 1 δείξτε ότι f(x) = f(y ) = Απόδειξη Παρατηρούμε ότι f(x) = (x 1) 3 2x επομένως f(x) = (X I) 3 2X 2 Οριζουσες Αντιστροϕοι Πινακες Άσκηση 21 Εστω A = Δείξτε ότι η ορίζουσα του A είναι ίση με την ορίζουσα του ανάστροϕου του Απόδειξη Εχουμε ότι A = A T = Άσκηση 22 Αν A = υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα B = λi 3 A Άσκηση 23 Επαληθεύστε με παραδείγματα τη σχέση det A = det A Άσκηση 24 Υπολογίστε τις ορίζουσες των παρακάτω πινάκων α β β β α α α α A = β α β β β β α β B = β α α α β β α α Γ = β β β α β β β α α 0 0 β 0 α β 0 0 β α 0 β 0 0 α Απόδειξη Εχουμε ότι A = a 4 6a 2 b 2 + 8ab 3 3b 4 B = a 4 + 3a 2 b 2 3ba 3 ab 3 Γ = a 4 2a 2 b 2 + b 4 Άσκηση 25 Αν οι τετραγωνικοί ν ν πίνακες A B ικανοποιούν τη σχέση AB = O ν και ο A (ή ο B) είναι αντιστρέψιμος δείξτε ότι B = O ν ή A = O ν

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 7 Απόδειξη Αν ο A αντιστρέψιμος σημαίνει ότι υπάρχει ο A 1 με την ιδιότητα A 1 A = I Ετσι έχουμε AB = O A 1 AB = A 1 O IB = O B = O Αντίστοιχα δουλεύουμε στην περίπτωση που ο B αντιστρέψιμος a b Άσκηση 26 Οταν ο πίνακας A = είναι αντιστρέψιμος ο αντίστροϕος του δίνεται c d από την παρακάτω σχέση A 1 1 d b = ad bc c a Απόδειξη Ο A είναι αντιστρέψιμος επομένως η ορίζουσα του A = ad bc είναι μη μηδενική Υπολογίζουμε τον αντίστροϕο με βάση τον προσαρτημένο πίνακα του A ο οποίος αποτελείται από τα αλγεβρικά συμπληρώματα του M ij σύμϕωνα με τη σχέση και καταλήγουμε στο συμπέρασμα A 1 = 1 A adja = 1 A M11 M 21 M 12 M 22 Άσκηση 27 Επαληθεύστε με ένα παράδειγμα ότι εν γένει δεν ισχύει η πρόταση «ο αντίστροϕος του αθροίσματος δύο πινάκων είναι το άθροισμα των αντίστροϕων του» στην περίπτωση ϕυσικά που οι A B αντιστρέϕονται Απόδειξη Ισοδύναμα αρκεί να βρούμε A B ώστε (A + B) 1 A 1 + B 1 Άσκηση 28 Με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς (μέθοδος Gauss-Jordan) βρείτε στην περίπτωση που αντιστρέϕονται τους αντίστροϕους των παρακάτω πινάκων A = B = C = D = Απόδειξη Εχουμε ότι A 1 = B 1 = ενώ ο πίνακας D δεν αντιστρέϕεται Άσκηση 29 Βρείτε τις πραγματικές τιμές των a b ώστε 1 2a (α) = b b 3 2 (β) 2 = C 1 =

8 8 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Απόδειξη a = b = 2 Άσκηση 210 Βρείτε πίνακα A ώστε [ 1 Απόδειξη A = ( ) [ 4A T = 4 4 Άσκηση 211 Αν D n η ορίζουσα του n n πίνακα A n με a b 0 0 b a b A n = 0 0 a b 0 0 b a όπου a b R δείξτε ότι D n = ad n 1 b 2 D n 2 n N n 2 με D 0 = 1 D 1 = a Στη συνέχεια υπολογίστε την ποσότητα D n όταν a = 2 b = 1 3 Γραμμικα Συστηματα Άσκηση 31 Βρείτε την κανονική μορϕή των πινάκων A = B = Απόδειξη Η κανονική μορϕή του πίνακα A είναι ο πίνακας K τέτοιος ώστε K = P AQ = Η κανονική μορϕή του πίνακα B είναι ο πίνακας K τέτοιος ώστε K = P BQ = Άσκηση 32 Να παραγοντοποιηθούν οι παρακάτω πίνακες σε μορϕή LU A = B = C =

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 9 Απόδειξη Για τον πίνακα E 1 A όπου έχουμε μεταθέσει την πρώτη με τη δεύτερη γραμμή ισχύει E 1 A = = }{{} P U όπου E 1 ο πίνακας αλλαγής γραμμών Ετσι E 1 A = P 1 U A = E 1 1 P 1 U = } {{ } L Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο στον πίνακα B εϕόσον πάλι χρειάζεται εναλλαγή γραμμών ώστε το πρώτο αριστερά πάνω στοιχείο του B να είναι μη μηδενικό καταλήγουμε ότι E 1 B = P 1 U B = E1 1 P 1 U = }{{} L Παραπέρα έχουμε ότι C = P 1 U = Άσκηση 33 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα 3x + 4y + z = 1 2x + 3y = 0 4x + 3y z = 2 = x + 2y z = 2 2x + 5y + 2z = 1 7x + 11y + 5z = } {{ } L x + 10z = 5 3x + y 4z = 1 4x + y + 6z = 1 Απόδειξη Οι λύσεις για τα δύο πρώτα συστήματα αντίστοιχα είναι τα διανύσματα στήλες ( ) T (12 + 9κ 5 4κ κ) T κ R ενώ το τρίτο σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση 34 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα για τις διάϕορες τιμές της παραμέτρου a R ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1

10 10 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Απόδειξη Για κάθε a 1 και a 2 τα συστήματα έχουν μοναδική λύση ( 1 a a a 2 + a 2 + a 1 + a ) T 2 + a για a = 1 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής (1 κ λ κ λ) T κ λ R ενώ για a = 2 το σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση 35 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα για τις διάϕορες τιμές της παραμέτρου a R x + ay + 2z = 1 x + (2a 1)y + 3z = 1 x + ay + (a + 3)z = 2a 1 Απόδειξη Για κάθε a 1 και a 1 τα συστήματα έχουν μοναδική λύση ( a a a 2a 2 ) T 1 + a για a = 1 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής (1 κ κ 0) T κ R ενώ για a = 1 το σύστημα είναι ασυμβίβαστο Άσκηση 36 Να βρεθεί συνθήκη για τα a b c R ώστε το παρακάτω σύστημα να έχει άπειρες λύσεις x y + 2z = a 2x 3y + z = b 3x y + cz = 1 Απόδειξη Οταν 7a 2b = 1 c = 12 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Άσκηση 37 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x + y 2z = 1 2x + 3y z = 1 4x + 5y 5z = 4 x + y 2z = 1 2x + 3y z = 1 4x + 5y 5z = 3 x + 2y 2z + 3w = 1 x + 3y 2z + 3w = 0 2x + 4y 3z + 6w = 4 x + y z + 4w = 6 Απόδειξη Το πρώτο σύστημα είναι ασυμβίβαστο το δεύτερο έχει άπειρες λύσεις της μορϕής (2 + 5κ 1 3κ κ) T κ R και το τρίτο έχει τη μοναδική λύση ( ) T Άσκηση 38 Να βρεθούν τα a R ώστε τα παρακάτω συστήματα να έχουν τουλάχιστον μία λύση x + 2y z = 4 2x + 4y + 3z = 5 x 2y + 6z = a Απόδειξη Για a = 7 έχουμε άπειρες λύσεις της μορϕής ( ) T κ κ 3 κ R 5

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 11 Άσκηση 39 Δείξτε ότι αν ένα γραμμικό σύστημα έχει τουλάχιστο δύο λύσεις τότε έχει άπειρες λύσεις Απόδειξη Μπορούμε να κατασκευάσουμε άπειρες λύσεις από τις δύο λύσεις X 1 X 2 του συστήματος θεωρώντας τις X = X 1 + κ(x 1 X 2 ) για κ R αϕού AX = b Άσκηση 310 Βρείτε την ανηγμένη κλιμακωτή μορϕή του πίνακα A = a και στη συνέχεια λύστε το σύστημα όπου a R x y + z + w = 1 3x y z + w = a 4x 2y + 2w = 3 Απόδειξη Η κλιμακωτή μορϕή ενός πίνακα είναι εκείνος ο πίνακας ο οποίος έχει (α) Σε κάθε μη μηδενική γραμμή το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο το 1 (β) Σε κάθε μη μηδενική γραμμή το ηγετικό 1 βρίσκεται στα δεξιά του ηγετικού 1 της προηγούμενης γραμμής (γ) Οι μη μηδενική γραμμές εμϕανίζονται πριν από τις μηδενικές γραμμές Ο πίνακας καλείται ανηγμένος κλιμακωτός όταν επιπλέον έχουμε ότι (δ) Σε κάθε μη μηδενική γραμμή το ηγετικό 1 είναι το μόνο μη μηδενικό στοιχείο στην στήλη στην οποία βρίσκεται Παραπέρα κάθε πίνακας μπορεί να μετασχηματιστεί με πράξεις γραμμών σε ανηγμένο κλιμακωτό ( Μέθοδος Απαλοιϕής Gauss ) Επομένως έχουμε ότι η ανηγμένη κλιμακωτή μορϕή του πίνακα A είναι ο πίνακας a 1 2 a a + 2 Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής ( ) T κ 1 + 2κ + λ κ λ κ λ R 2 Άσκηση 311 Αϕού λύσετε το παρακάτω σύστημα x y + z + w = 1 3x y z + w = a 4x 2y + 2w = 3 να εκϕράσετε τις λύσεις του στη μορϕή a 0 + κ b 0 + λ c 0 όπου διανύσματα (πίνακες 5 1) και κ λ R Αν ( ) T λύση του συστήματος να την εκϕράσετε με την παραπάνω μορϕή Βρείτε δύο μη τετριμμένες 2 λύσεις του ομογενούς συστήματος AX = O όπου A ο πίνακας συντελεστών του παραπάνω συστήματος 2 Το ομογενές σύστημα AX = O έχει πάντα τη μηδενική-τετριμμένη λύση X = O

12 12 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Απόδειξη Κάθε λύση παριστάνεται ως X = ( ) T +κ ( ) T +λ ( ) T }{{}}{{}}{{} a 0 b 0 c 0 Για κ = 0 λ = 1 παίρνουμε τη λύση ( ) T Οι λύσεις του ομογενούς συστήματος AX = O έχουν την παραπάνω μορϕή για a 0 = 0 δηλαδή έχουν τη μορϕή X = κ ( ) T +λ ( ) T }{{}}{{} b 0 c 0 Επομένως επιλέγουμε δύο ζεύγη κ λ εκτός της περίπτωσης κ = λ = 0 ώστε να προκύψουν μη τετριμμένες λύσεις του ομογενούς συστήματος Άσκηση 312 Να βρεθούν τα a R ώστε τα παρακάτω συστήματα να έχουν μοναδική λύση Πότε έχουμε άπειρες λύσεις x + 2y + z = 3 ay + 5z = 10 2x + 7y + az = b Απόδειξη Οταν a έχουμε μοναδική λύση ενώ όταν a = 5 b = 12 και a = 3 b = 4έχουμε άπειρες λύσεις Άσκηση 313 Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα x y 2z = 3 2x + y + z = 3 5x + y + 3z = 11 x + 2y z = 0 3x + 4y + z + 2w = 3 6x + 8y + 2z + 5w = 7 9x + 12y + 3z + 10w = 13 Απόδειξη Το πρώτο σύστημα έχει τη μοναδική λύση (2 1 0) T ενώ το δεύτερο έχει άπειρες λύσεις της μορϕής ((1 4κ λ)/3 κ λ 1) T κ λ R 4 Γραμμικη Ανεξαρτησια-Ιδιοτιμεσ-Ιδιοδιανυσματα Άσκηση 41 Δείξτε ότι τα παρακάτω διανύσματα a = (4 3 7) T b = (1 9 2) T c = (7 11 6) T είναι γραμμικά εξαρτημένα και ικανοποιούν τη σχέση (41) 4 a + 5 b 3 c = 0 Απόδειξη Τα a b c είναι γραμμικά εξαρτημένα αν το ομογενές σύστημα λ 1 a + λ 2 a + λ 3 a = 0 έχει μη μηδενική λύση δηλαδή αν υπάρχουν λ 1 λ 2 λ 3 όχι όλα μηδέν ώστε 4λ 1 + λ 2 + 7λ 3 = 0 3λ 1 + 9λ λ 3 = 0 7λ 1 2λ 2 + 6λ 3 = 0 Το παραπάνω σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορϕής ( 4κ/3 5κ/3 κ) T κ R Για κ = 3 έχουμε ότι (4 5 3) T λύση επομένως ισχύει η (41)

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 13 Άσκηση 42 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ιδιοτιμές των παρακάτω πινάκων A = B = C = Απόδειξη Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι δ A (λ) = λi A = λ και δεν έχει καμία ρίζα πραγματική επομένως καμία ιδιοτιμή πραγματική Βεβαίως αν θεωρήσουμε το σύνολο των ϕανταστικών C έχουμε ότι το σύνολο των ιδιοτιμών του A δηλαδή το ϕάσμα του A είναι σ(a) = {4i 4i} όπου i η ϕανταστική μονάδα 3 Παραπέρα έχουμε επομένως σ(b) = {1} σ(c) = {1 2 3} δ B (λ) = (λ 1) 2 δ C (λ) = (λ 1)(λ 2)(λ 3) Άσκηση 43 Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων cos x sin x cos x sin x A = B = sin x cos x sin x cos x Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = (λ 1)(λ + 1) επομένως λ 1 = 1 λ 2 = 1 Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για την ιδιοτιμή λ 1 Αν x κπ κ Z τότε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στη λ 1 προκύπτει από τη μη cos x+1 μηδενική λύση του ομογενούς [ συστήματος (A λ 1 )X = O και είναι το ( sin x 1)T 1 0 Αν x = 2κπ κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το (1 0) 0 1 T 1 0 Αν x = (2κ + 1)π κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 1 (0 1) T Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για την ιδιοτιμή λ 2 Αν x κπ κ Z τότε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στη λ 1 προκύπτει από τη μη cos x 1 μηδενική λύση του ομογενούς [ συστήματος (A λ 2 )X = O και είναι το ( sin x 1)T 1 0 Αν x = 2κπ κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το (0 1) 0 1 T 1 0 Αν x = (2κ + 1)π κ Z τότε A = και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το 0 1 (1 0) T Εχουμε ότι δ B (λ) = λ 2 2(cos x)λ + 1 Η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου είναι = 4 sin 2 x 0 επομένως οι πραγματικές ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου υπάρχουν όταν sin x = 0 δηλαδή x = κπ κ Z 1 0 Αν κ άρτιος τότε B = = I και δ 0 1 B (λ) = (λ 1) 2 Επομένως ο B έχει μία ιδιοτιμή λ 1 = 1 με αλγεβρική πολλαπλότητα ν 1 = 2 και B λ 1 I = O άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (1 0) T (0 1) T 3 Στα επόμενα θα θεωρούμε ότι βρισκόμαστε πάντα στο σύνολο των πραγματικών R εκτός και αν αναϕέρεται ρητά κάτι διαϕορετικό

14 14 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ 1 0 Αν κ περιττός τότε B = = I και δ 0 1 B (λ) = (λ + 1) 2 Επομένως ο B έχει μία ιδιοτιμή λ 1 = 1 με αλγεβρική πολλαπλότητα ν 1 = 2 και B λ 1 I = O άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (1 0) T (0 1) T Άσκηση 44 Αν ο n n πίνακας A είναι άνω τριγωνικός με a ii a jj για i j με 1 i j n τότε πόσες και ποιες είναι οι ιδιοτιμές του Τι συμπέρασμα ισχύει αν ο A είναι κάτω τριγωνικός με την ίδια ιδιότητα ως προς τα διαγώνια στοιχεία του; Απόδειξη Οταν A άνω τριγωνικός έχουμε ότι λ a 11 a 22 a 1n 0 λ a δ A (λ) = λi n A = 22 a 23 a 2n = (λ a 11)(λ a 22 ) (λ a nn ) 0 0 λ a nn επομένως ο A έχει n διακεκριμένες ιδιοτιμές Το ίδιο συμπέρασμα ισχύει στην περίπτωση όπου A κάτω τριγωνικός Άσκηση 45 Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων A = B = Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = (λ 1) 3 επομένως ο πίνακας A έχει μία ιδιοτιμή λ 1 = 1 με αλγεβρική πολλαπλότητα ν 1 = 3 και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το (0 1 0) T Εχουμε ότι δ B (λ) = (λ 1) 3 (λ 2) 2 επομένως ο πίνακας B έχει ιδιοτιμές λ 1 = 1 λ 2 = 2 με ν 1 = 3 ν 2 = 2 Τα ιδιοδιάνυσματα που αντιστοιχούν στη λ 1 είναι τα ( ) T και ( ) T ενώ το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της λ 2 είναι το ( ) T Άσκηση 46 Αν λ x η ιδιοτιμή και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα ενός πίνακα A δείξτε ότι για κάθε πολυώνυμο p(s) = s m + a m 1 s m a 1 s + a 0 ο αριθμός p(λ) και το διάνυσμα x είναι αντίστοιχα η ιδιοτιμή και το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα p(a) Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι p(a) x = p(λ) x Άσκηση 47 Αν το 8 είναι ιδιοτιμή του πίνακα A με ιδιοδιάνυσμα x και το 5 είναι ιδιοτιμή του πίνακα B με το ίδιο ιδιοδιάνυσμα x ποια είναι η ιδιοτιμή του πίνακα (α) A + B (β) AB που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα x; Απόδειξη Για το (α) είναι το 13 για το (β) το 40 Άσκηση 48 Αν το 4 είναι ιδιοτιμή του πίνακα A με ιδιοδιάνυσμα x ποια είναι η ιδιοτιμή του πίνακα (α) A 3 (β) A 1 στην περίπτωση που ο A είναι αντιστρέψιμος

15 που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα x; ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 15 Απόδειξη Για το (α) είναι το 64 για το (β) το 025 Άσκηση 49 Υπολογίστε το ϕάσμα του πίνακα A με A = αν γνωρίζετε ότι το ϕάσμα του πίνακα B με B = είναι σ(b) = {1 2} Απόδειξη Παρατηρούμε ότι A T = B και δ B (λ) = λi B = λi A T = (λi A) T = λi A = δ A (λ) επομένως σ(a) = σ(b) = {1 2} Άσκηση 410 Να λυθεί το παρακάτω σύστημα X = 6X Απόδειξη Υπολογίζουμε την ορίζουμε 6I A = 0 άρα το 6 δεν είναι ιδιοτιμή του πίνακα A επομένως το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση (0 0 0) T Άσκηση 411 Αν το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής ενός n n πίνακα A είναι σταθερό τότε ο πίνακας A κ κ N έχει την ίδια ιδιότητα δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του είναι σταθερό χωρίς απαραίτητα να είναι ίσο με το αντίστοιχο άθροισμα των στοιχείων της γραμμής του A Άσκηση 412 Πως μπορούμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα ενός n n πίνακα A με χρήση των ιδιοτιμών του Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγουμε για την ύπαρξη αντιστρόϕου του A βάσει του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου; Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = λi A = λ n + c n 1 λ n 1 + c 1 λ + c 0 επομένως για λ = 0 λαμβάνουμε A = c 0 δηλαδή ( 1) n A = c 0 άρα (42) A = ( 1) n c 0 Από τη σχέση (42) έπεται ότι αν c 0 = 0 ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος Παραπέρα αν ο A έχει n ιδιοτιμές όχι απαραίτητα διαϕορετικές μεταξύ τους τότε λi A = (λ λ 1 ) (λ λ n ) επομένως για λ = 0 λαμβάνουμε A = ( 1) n λ 1 λ n άρα (43) A = λ 1 λ n όπου ενδεχομένως κάποια από τα λ i i = 1 n να είναι ίσα μεταξύ τους

16 16 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ 0 1 Άσκηση 413 Εστω πίνακας A με A = 1 2 την ορίζουσα του πίνακα B χωρίς υπολογισμό του B και B = A 3 5A 2 + 6I Υπολογίστε Απόδειξη Εστω λ x ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα του A Τότε 4 Bx = (A 3 5A 2 + 6I)x = A 3 x 5A 2 x + 6x = λ 3 x 5λ 2 x + 6x = (λ 3 5λ 2 + 6)x επομένως το λ 3 5λ ιδιοτιμή του B Εχουμε ότι δ A (λ) = (λ 1) 2 άρα σ(a) = {1} Επομένως ο B έχει ιδιοτιμές 5 λ 1 = λ 2 = 2 και από τη σχέση (43) έπεται ότι B = 2 2 = 4 5 Διαγωνοποιηση πινακα Άσκηση 51 Εξετάστε αν διαγωνοποιούνται οι παρακάτω πίνακες A = B = και αν η απάντηση είναι καταϕατική ποια η σχέση που συνδέει τον πίνακα με τον όμοιο διαγώνιο του; Απόδειξη Ο A δεν διαγωνοποιείται γιατί στην ιδιοτιμή του λ 1 = 2 με ν 1 = 2 αντιστοιχεί ένα μόνο ιδιοδιάνυσμα Ο B διαγωνοποποιείται και λ 1 = 1 λ 2 = 2 Ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ 1 λ 2 είναι ο P = [ [ 0 1 και P 1 = P 1 BP = D = Ισχύει ότι Άσκηση 52 Να λυθεί η εξίσωση πινάκων X 2 = B όπου B ο πίνακας της Άσκησης 51 Απόδειξη Εχουμε ότι B = P DP 1 όπου R D οι πίνακες της λύσης της Άσκησης 51 Εχουμε ότι X 2 = B X 2 = P DP 1 P 1 X 2 P = D Y 2 = D = [ Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι αν ένας πίνακας A έχει ιδιοτιμή λ και ιδιοδιάνυσμα x τότε ο πίνακα A n με n N έχει ιδιοτιμή λ n και ιδιοδιάνυσμα x 5 Ο πίνακας B είναι 2 2 επομένως έχει το πολύ 2 ιδιοτιμές

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 17 όπου ορίσαμε Y = P 1 XP Επομένως έχουμε ότι Y = [ 1 0 Y = 1 0 ή Y = υπολογίζουμε τις 4 λύσεις της αρχικής εξίσωσης πινάκων Άσκηση 53 Αν A = πολύ [ [ ή Y = ή Χρησιμοποιούμε τώρα τη σχέση X = P Y P 1 και εκϕράστε τον A 2013 ως πολυώνυμο του A βαθμού το Απόδειξη Εχουμε ότι λ 2013 = δ A (λ)π(λ) + υ(λ) όπου π(λ) το πηλίκο της «διαίρεσης» του λ 2013 με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A και υ(λ) το υπόλοιπο το οποίο είναι βαθμού τουλάχιστον κατά 1 μικρότερο από το βαθμό του δ A (λ) Δηλαδή (51) λ 2013 = δ A (λ)π(λ) + aλ 2 + bλ + c Παραπέρα δ A (λ) = (λ 1)(λ 3)(λ + 3) Η σχέση (51) για λ = 1 λ = 3 λ = 3 δημιουργεί το παρακάτω 3 3 σύστημα το οποίο έχει τη μοναδική λύση a + b + c = 1 3a + 3b + c = ( 3) a + 3b + c = ( 3) 2013 ( ) T Άσκηση 54 Να βρεθεί ο αντίστροϕος του πίνακα A ο οποίος έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο δ A (λ) = λ 3 λ 2 3λ + 3 Ποιος ο A 2 ; Απόδειξη Αρχικά παρατηρούμε ότι δ A (0) = 3 0 επομένως σύμϕωνα με (42) ο πίνακας A αντιστρέϕεται Παραπέρα με χρήση του Θεωρήματος Cayley-Hamilton έχουμε τα παρακάτω δ A (A) = A 3 A 2 3A + 3I O = A 3 A 2 3A + 3I A 1 O = A 1 (A 3 A 2 3A + 3I) O = A 2 A 3I + 3A 1 A 1 = 1 3 A A + I

18 18 Ι Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ Πολλαπλασιάζοντας κάθε μέλος της παραπάνω ισότητας πινάκων με A 1 λαμβάνουμε ( A 2 = A A2 + 1 ) 3 A + I = 1 3 A I + A 1 = 1 3 A I + ( 1 3 A A + I ) = A2 Άσκηση 55 Με χρήση του Θεωρήματος Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τους παρακάτω πίνακες (α) B = 2A 4 7A 3 2A A 24I 3 (β) C = A 6 + 2A 5 + 5A 4 11A 3 2A 2 + 9A 7I 3 (γ) D = A 9 2A 8 4A 7 + 7A 6 + 3A 5 + 2A 4 13A A 2 + 5A 9I 3 με A = Απόδειξη B = 12A C = 5A + I 3 D = A I 3 Άσκηση 56 Για ποιες τιμές των παραμέτρων a b οι πίνακες A = B = a 1 b 1 δεν διαγωνοποιούνται; Άσκηση 57 Αν ο n n πίνακας A έχει την ιδιότητα A κ = O για κάποιο κ N με 2 κ < n ποιο πολυώνυμο βαθμού μικρότερου του n επαληθεύει; Απόδειξη Εχουμε ότι δ A (λ) = λ n + c n 1 λ n 1 + c κ λ κ + + c 1 λ + c 0 επομένως δ A (A) = A n + c n 1 A n c κ A κ + c κ 1 A κ c 1 A + c 0 I O = O + c n 1 O + + c κ O + c κ 1 A κ c 1 A + c 0 I = c κ 1 A κ c 1 A + c 0 I όπου χρησιμοποιήσαμε το Θεώρημα Cayley-Hamilton και το ότι A j = O για κάθε j N με j κ Επομένως ο A επαληθεύει το πολυώνυμο p(λ) = c κ 1 λ κ c 1 λ + c 0 βαθμού το πολύ κ 1 Άσκηση 58 Να διαγωνοποιηθεί ο σύνθετος διαγώνιος πίνακας A = A 1 = και A = 1 3 A1 0 όπου 0 A 2

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι 19 Άσκηση 59 Αν ο πίνακας A διαγωνοποιείται τότε είναι όμοιος 6 με τον ανάστροϕο του Αναϕορες [1 Ανδρεαδακης Σ (1991) Γραμμική Άλγεβρα Εκδ Συμμετρία [2 Halmos P (1995) Linear Algebra Problem Book Amer Math Soc [3 Kolman B (1997) Introductory Linear Algebra with Applications Prentice Hall [4 Leon SJ (1990) Linear Algebra with Applications MacMillan [5 Μαρουλας Ι (2005) Γραμμική Άλγεβρα ΕΜΠ [6 Morris AO (1980) Μία εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα Μετάϕραση ΔΙΔεριζιώτη Εκδ: ΓΑ Πνευματικού [7 Χρυσακης Θ (2013) Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρία Νέα Εκδοση Αθήνα Τμημα Μαθηματικων Κατευθυνση Στατιστικης και Χρηματοοικονομικων Μαθηματικων Πανεπιστημιο Αιγαιου Καρλοβασι ΤΚ Σαμος Ελλαδα Τηλ istamatiou@aegeangr joniou@gmailcom 6 Δύο n n πίνακες A και B καλούνται όμοιοι όταν υπάρχει ένας n n αντιστρέψιμος πίνακας P ώστε B = P 1 AP