Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο"

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilto 4 Ασκήσεις5 Ελάχιστο πολυώνυμο, κριτήριο διαγωνισιμότητας 46 Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών πινάκων 55 Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο βιβλίο Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, ISBN: , 0 Η eclass του μαθήματος υπάρχει στη διεύθυνση Εκδοχή 7//0

2 σκήσεις Ασκήσεις Πολυώνυμα Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: Συμβολισμός: Το σύνολο είναι το ή το Έστω (),() x p x[ ] x όπου p() x μονικό και ανάγωγο Δείξτε ότι ((),()) x px ή ((),())() x p x p x Βρείτε το 00 ( x, x ) και το 00 ( x, x ) Δείξτε ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο () x [ ] x 008 τέτοιο ώστε ()( x )( x ) x a Έστω () x [ ] x και a, b με a b Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ()x με το ()() x a x b b Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, b τέτοιες ώστε το πολυώνυμο ( x )( x ) να διαιρεί το x x ax bx 5 Έστω (),() x x [ ], x όπου () x 5 4 x x x,() x x x 6 x [ ] x Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους 6 Έστω (),() x x [ ], x όπου () x x x x,() x x x [ ] x Να βρεθούν οι πίνακες τέτοιοι ώστε ()() 0 7 Έστω (),() x x[ ] x με ((),()) x x Δείξτε ότι δεν υπάρχει τέτοιος ώστε ()() 0 8 a Βρείτε τις ρίζες στο του πολυωνύμου x x 6x 5 b Έστω m {0} Δείξτε ότι για κάθε c, ο m δεν είναι πολλαπλή ρίζα του 00 9 ()x x x c c Να βρεθούν όλες οι τιμές του a τέτοιες ώστε το πολυώνυμο x 0x a να διαιρεί το ( x )( x )( x 00) 9 Να βρεθούν όλα τα μονικά πολυώνυμα () x [ ] x βαθμού 4 τέτοια ώστε και 0 Έστω deg((), x x) x : μια γραμμική απεικόνιση με όπου είναι μια διατεταγμένη βάση του (() :,) 0 ( :,) 0, 0, και ((), x x) () x x x [ ] x Να βρεθεί ο πίνακας Έστω ένας διαγώνιος πίνακας, a, a και () x [ ] x Δείξτε ότι () 0 κάθε ai είναι ρίζα του ()x Έστω () x [ ] x με μη μηδενικό σταθερό όρο και τέτοιος ώστε () 0 Δείξτε ότι ο είναι αντιστρέψιμος

3 σκήσεις Έστω 5 τέτοιος ώστε 0 Έστω () x 4 x x x x Δείξτε ότι () είναι αντιστρέψιμος 4 Το συμπέρασμα στο ερώτημα b ονομάζεται το Θεώρημα Παρεμβολής του Lagrage Έστω,, διακεκριμένα Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο [ όλων των πολυωνύμων βαθμού το πολύ και την απεικόνιση : [ x],(())((),,()) x a Δείξτε ότι η είναι γραμμική, - και επί b Δείξτε ότι για κάθε,, () x [ ] x τέτοιο ώστε (),,() a a c Βρείτε ένα πολυώνυμο ()x τέτοιο ώστε (),(),( ) d Δείξτε ότι το ()x x j () x j j του υποερωτήματος b δίνεται από ()() x a j j x, όπου I 5 Έστω και B 0 ()() a Δείξτε ότι () B 0() για κάθε () [ ] x x, όπου ()x είναι η παράγωγος του ()x 0 04 b Δείξτε ότι αν ()( I ) 0 I, τότε ()( B I ) B0 I j Δείξτε ότι για κάθε υπάρχει μη μηδενικό () x [ ] x βαθμού το πολύ τέτοιο ώστε () 0 7 Έστω, B και () x [ ] x με μηδενικό σταθερό όρο Δείξτε ότι αν B B 0, τότε ()()() B B 8 Έστω a,, a Θέτουμε e a a a, i,, (Για παράδειγμα, αν, τότε i t t ti t ti e a a a, e a a a a a a, e a a a ) Δείξτε ότι αν e 0 για κάθε i,,, τότε a 0 για κάθε i,, i 9 Έστω και () x [ ] x Δείξτε ότι αν det() 0 I, τότε det(()()) 0 I 0 Επαναληπτική Άσκηση Κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα aέστω (),(),() x x [ x] x Αν () x ()() x x, τότε () x () x ή () x () x bέστω (),(),() x x [ x] x με ()x ανάγωγο Αν () x ()() x x, τότε () x () x ή () x () x cέστω (),(),() x x [ x] x Αν () x () x και () x () x, τότε ()() x () x x dέστω (),(),() x x [ x] x Αν () x () x, () x () x και ((),()) x x, τότε ()() x () x x eγια κάθε (),(),() x x [ x] x ισχύει ((),())(()()(),()) x x x x x x Έστω (),() x x[ ] x και Αν ()() 0, τότε τα (),() x x δεν είναι σχετικά πρώτα gέστω και () x [ ] x Αν ο είναι άνω τριγωνικός (αντίστοιχα διαγώνιος), τότε και ο () είναι άνω τριγωνικός (αντίστοιχα διαγώνιος) hέστω, B και () x [ ] x Αν οι, B είναι όμοιοι, τότε οι (),() B είναι όμοιοι i Έστω, B και () x [ ] x θετικού βαθμού Αν οι (),() B είναι όμοιοι, τότε οι, B είναι όμοιοι i

4 σκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση: Αν ()((),()) x x p x, τότε () x () p x Επειδή το p() x είναι ανάγωγο, οι μόνοι διαιρέτες του είναι τα σταθερά πολυώνυμα και τα πολυώνυμα της μορφής cp() x, c {0} Άρα το ()x είναι σταθερό πολυώνυμο ή πολυώνυμο της μορφής cp() x, c Επειδή τα (),() x p x είναι μονικά, παίρνουμε () x ή ()() x p x Λύση: Παρατηρούμε ότι Άρα x x γιατί x () x ( )(()()() x x ) x x Σημείωση: Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ισότητα πολυωνύμων 4 a() x (() a)(()()()() x a x () a ) x a x a x a x, όπου a() x [ ] x και θετικός περιττός ακέραιος Έχουμε 00 ( x, x ) x Από αυτό έπεται ότι Πράγματι, έστω Άρα ( x, x )(,( x ) x ) Είδαμε πριν ότι d()( x,( x ) x ) οπότε d() x και επομένως d() x x x ( x,( x ) ) 00 Τότε d x x d x x 00 () και()( ) d x x d x x, () και()( ) 008 Υπόδειξη: Θεωρήστε βαθμούς στη σχέση ()( x )( x ) x 009 και εφαρμόστε την Πρόταση 4 a Υπόδειξη: πό την ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύμων (βλ Θεώρημα ) υπάρχουν q(),() x r x [ ] x τέτοια ώστε deg() r x και ()()()()() x q x x a x b r x Θέστε στην τελευταία σχέση x a και στη συνέχεια x b για να προσδιορίστε το r() x Απάντηση: r() x ()()()() a b a b b a x a b a b 5 Λύση: Παρατηρούμε ότι ()( x x x x) x x x x x x( x )( x )( x )( x x ), x () x x x 6( )( x ), x δηλαδή έχουμε τις αναλύσεις των (),() x x σε γινόμενα ανάγωγων πολυωνύμων στο [ x] Από αυτές παίρνουμε (βλ Πρόταση και Ορισμός ) ((),()) x,((),())()() x x x x x Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο στα (),() x x για να δείξουμε ότι ((),()) x x Τότε, σύμφωνα με το σχόλιο μετά την Πρόταση 5, έχουμε ()() x x ((),())()() x x x x ((),()) x x 6 Λύση: Έστω ότι ()() 0 Εργαζόμενοι όπως στην προηγούμενη άσκηση βρίσκουμε ότι ((),()) x x x Από το Θεώρημα 6 έπεται ότι υπάρχουν (),() x x[ ] x με

5 σκήσεις 4 x ()()()() x x x x I ()()()() 0 I 7 Λύση: Έστω ότι υπάρχει τέτοιος ώστε ()() 0 Σύμφωνα με το Θεώρημα 6 υπάρχουν (),() x x[ ] x με ()()()() x x x x Τότε I ()()()() 0, άτοπο 8 a Υπόδειξη: Μια ρίζα είναι το Με τον αλγόριθμο διαίρεσης πολυωνύμων βρίσκουμε x x 6x5( x)( x x5) b Λύση: Έχουμε () x 00 x 9(00 x x 9) x και () m 0 γιατί m {0} Το ζητούμενο έπεται από την Πρόταση 0 c Απάντηση: a m(0), m m,,,4 9 Υπόδειξη: Επειδή το x είναι ανάγωγο πάνω από το, έχουμε ((), x x) x () x Επειδή x x ( x)( x), έχουμε x () x και x δεν διαιρεί το() x deg((), x x) x ή x () x και x δεν διαιρεί το() x Απάντηση: ( x )( x ), ( x )( x )(), x a a {} () x ( x )( x ), ( x )( x )(), x b b{} 0 Απάντηση: Σύμφωνα με την Πρόταση 4 έχουμε 4 (() :,)() ( πράξεις) 6 5 I Υπόδειξη: Δείξτε ότι πίνακας () είναι ο διαγώνιος πίνακας () a () () a Λύση: Αν () x a x a, 0 a0 0, τότε από () 0 έχουμε a a a I 0 0 (( a ))(( ai )) a a0 a0 ai I και συνεπώς ο είναι αντιστρέψιμος Λύση: Από x 5 ( x)( x 4 x x x)( x 4 x x )( x ) x και την υπόθεση παίρνουμε I ()()()() I 4 I 4 I I 4 και άρα ο I είναι αντιστρέψιμος 4 Υπόδειξη: Για το - βλ Πρόταση Για το επί υπενθυμίζουμε ότι dim [ x] dim 5 a Υπόδειξη: Δείξτε με επαγωγή στο ότι B για κάθε ακέραιο 0

6 σκήσεις b Λύση: Έστω ()( x )( x ) x και ()( x )( x ) x Τότε το ()x διαιρεί το ()x και, επειδή από την υπόθεση () 0, παίρνουμε () 0 Έχουμε () x 04( x )( ) x 05( )( x ) x Επειδή το ()x διαιρεί το ( x )( x) και το ( x )( x), έπεται ότι το ()x διαιρεί το ()() ()x Άρα () 0 Από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε () B 0 0() I,,,, 6 Υπόδειξη: Τα στοιχεία του διανυσματικού χώρου είναι γραμμικά εξαρτημένα γιατί το πλήθος τους είναι μεγαλύτερο του dim 7 Υπόδειξη: Αρκεί να δειχτεί ότι () B B για κάθε θετικό ακέραιο Δείξτε τη σχέση αυτή με επαγωγή στο 8 Λύση: Έχουμε την ισότητα πολυωνύμων ()()() x a x a x a x e x e x e Αν κάποιο a i ήταν αρνητικό, τότε το ai θα ήταν θετική ρίζα του πολυωνύμου στο δεξί μέλος, πράγμα άτοπο αφού οι συντελεστές του πολυωνύμου αυτού είναι θετικοί 9 Λύση: Επειδή η τιμή του πολυωνύμου ()() x για x είναι ίση με ()() 0, έχουμε ότι το x διαιρεί το ()() x, δηλαδή υπάρχει a() x [ ] x με ()()( x )() x a x Άρα και επομένως ()()()() I I a I I a I a det()() det()() det()det() 0 0 Λύση a Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι x x x b Σωστή Πράγματι, έστω ότι () x ()() x x και το ()x δεν διαιρεί το ()x Επειδή το ()x είναι ανάγωγο και δεν διαιρεί το ()x έχουμε ((),()) x x Από την Πρόταση 9 έχουμε () x () x c Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι ()()() x x x x d Σωστή Βλ Πρόταση 0 e Σωστή Πράγματι, έστω d ()((),()) x x x και ()(()()(),()) x x x x Τότε d ()() x και ()() x d ()()()() x x x x και d ()() x d ()(()()(),()) x x x x x x d()() x d x Επίσης, x x και ()() x d ()() x x και d ()() x x d ()((),()) x x x d()() x d x Δείξαμε ότι d()() x d x και d()() x d x Επειδή τα d (),() x d x είναι μονικά παίρνουμε d()() x d x Σωστή Πράγματι, βλ άσκηση 7 g Σωστή Βλ Παρατήρηση 4 h Σωστή Πράγματι, έστω ότι οι, B είναι όμοιοι, δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε B P P Τότε έχουμε B ()() P P P P P P και επαγωγικά

7 σκήσεις 6 αποδεικνύεται άμεσα ότι B P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω () x a x a x a [ ] x Τότε 0 () B a B a B a I 0 a P P a P P a I 0 P ( a ) a a0i P P (), P δηλαδή ()() B P P, που σημαίνει ότι οι (),() B είναι όμοιοι i Λάθος Ένα αντιπαράδειγμα είναι, B,() x x Τότε ()() B (και άρα οι (),() B είναι όμοιοι), αλλά οι, B δεν είναι όμοιοι γιατί ο μόνος πίνακας όμοιος με το μηδενικό είναι ο μηδενικός

8 Ασκήσεις 7 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: Με V συμβολίζουμε έναν πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικό χώρο, όπου a Αληθεύει ότι το είναι ιδιοτιμή της γραμμικής απεικόνισης 4 4 :,(, x, y,)( z w, x w, y z,) z w x w ; Αληθεύει ότι το (, 0,, ) είναι ιδιοδιάνυσμα της ; b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης :,(, x,)( y z,x y x, y z x) y z ή c Έστω : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από () e e,() e, e όπου e { e, e} είναι η συνήθης βάση του Να υπολογιστούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της όταν i) και ii) Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος στο i) a Έστω Είναι το ιδιοδιάνυσμα του ; Είναι το 6 ιδιοτιμή του ; 5 5 b Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Να βρεθούν οι πιθανές ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις a, b c V, 0 4 Έστω με () x x x x a Είναι ο αντιστρέψιμος; b Είναι ο ( )( I 4) I αντιστρέψιμος; c Υπολογίστε την ορίζουσα του 5I d Να βρεθεί το () x e Αληθεύει ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B B για κάποιο θετικό ακέραιο ; 5 Έστω, B, όπου ο είναι αντιστρέψιμος Δείξτε ότι ()() x x συμπέρασμα και χωρίς την υπόθεση ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος, βλ άσκηση 7) 6 Έστω 7 Έστω και () x [ ] x B B (Σημείωση: Ισχύει το αντιστρέψιμος και ()( x ) x x x 0, οπότε 0 0 Δείξτε ότι ( ) ()( x )( x x) x 0 0 0

9 Ασκήσεις 8 a Δείξτε ότι αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε το () είναι ιδιοτιμή του () b Έστω ότι Δείξτε ότι για κάθε ιδιοτιμή του () υπάρχει ιδιοτιμή i του τέτοια ώστε () i 8 Για ποια a το (,) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης :,(,)( x y,) x ay x y ; 9 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων a :,(, x,)(4 y z, x5, y ) z y z, b g :,(, x,)(4 y z, x5, y ) z y z 0 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των γραμμικών απεικονίσεων g : [ x] [ x],(())() g x x, h : [ x] [ x],(())() h x x, όπου ()x είναι η παράγωγος του ()x Έστω () a ij τέτοιος ώστε για κάθε j,,, ισχύει Έστω a Υπάρχει μη μηδενικό b Αν ο είναι αντιστρέψιμος και X τέτοιο ώστε X X i () b ij, τότε για κάθε j,, a 0 0 a 0 0 a 0 0 a 0 a ij Δείξτε τα εξής, ισχύει bij a Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι το ( )( x a x ) a0 b Δείξτε ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του, τότε το t είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις a Έστω ότι g g και v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της με v er g Τότε το g() v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της b Έστω v ένα ιδιοδιάνυσμα και της και της g Τότε για κάθε (),() x x[ ] x το v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της ()() g 5 Έστω δυο ιδιοτιμές μιας γραμμικής απεικόνισης : V V με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα u, v Τότε a τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και i

10 Ασκήσεις 9 b για κάθε a, b {0}, το au bv δεν είναι ιδιοδιάνυσμα της 6 Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του C Έστω Αποδείξτε ότι οι ακόλουθες ιδιότητες είναι ισοδύναμες a Ο είναι αντιστρέψιμος b O σταθερός όρος του () x είναι μη μηδενικός c Το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του 8 Έστω αντιστρέψιμος a Δείξτε ότι το είναι ιδιοτιμή του αν και μόνο αν το είναι ιδιοτιμή του b Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον και περιττός Δείξτε ότι το ή το είναι ιδιοτιμή του 44 9 Έστω τέτοιο ώστε () [ ], det,() 4 και μια ιδιοτιμή του είναι το i Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του 0 Ξέρουμε ότι όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο Αληθεύει ότι όμοιοι πίνακες έχουν τα ίδια ιδοδιανύσματα; Έστω αντιστρέψιμος Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον, τότε το είναι άρτιος,, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι της μορφής ()(), x x j t Βρείτε τους ιδιόχωρους της γραμμικής απεικόνισης :,, όπου Θεωρούμε δυο διαγώνιους πίνακες a b, B a b Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Οι, B είναι όμοιοι b Υπάρχει μετάθεση S τέτοια ώστε bi a () i για κάθε i,, c ()() x B x 4 a Έστω Δείξτε ότι ()( x ) x αν και μόνο αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 b Να βρεθούν όλοι οι τέτοιοι ώστε () x x 5 Βρείτε το χαρακτηριστικό πoλυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του a b b b b a b b b b a b b b b a 6 Έστω a, b με a b Δείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

11 Ασκήσεις 0 ( ) ab 7 Έστω είναι το a()() x b b x a B ()() x x ) B 8 Έστω a,, a, b,, b 0 a a a b 0 a a b b 0 a b b b 0 και B Δείξτε ότι ( )()( x )() x x x (Συνεπώς αν, τότε και C aib j B Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση ή αλλιώς βρείτε το C () x και τις ιδιοτιμές του C 9 Έστω και Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Για κάθε ιδιοτιμή του, βρείτε τη διάσταση του -διανυσματικού χώρου X X X 0 Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και : V B V μια γραμμική απεικόνιση Έστω ότι, είναι δυο ιδιοτιμές της τέτοιες ώστε Θέτουμε V ()( Ker ) V και V ()( Ker ) V a Δείξτε ότι V ()() V{0 } V b Έστω x V ()() V Δείξτε ότι αν το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της, τότε x V () ή x V () B B Έστω, B, C και D Τότε B B a ()()() x x x C B B b ()()() x x x D ib ib c Αν οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, τότε οι ιδιοτιμές του είναι οι,,, 0,,0 Έστω a, b Δίνεται ότι οι πίνακες, B a a b, B 0 0 b 0 0 Να βρεθούν οι a, b είναι όμοιοι, όπου Να βρεθεί τo χαρακτηριστικό πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης, όπου :,(, x,)(0, y z,) x y 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα

12 Ασκήσεις a Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B b Αν το είναι ιδιοτιμή του και το είναι ιδιοτιμή του B, τότε το είναι ιδιοτιμή του B c Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή d Κάθε έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή e Αν το είναι ιδιοτιμή του τότε το είναι ιδιοτιμή του I Αν το είναι ιδιοτιμή του, όπου, τότε το είναι ιδιοτιμή του g Αν ()() x x, όπου, B, τότε οι, B είναι όμοιοι B h Έστω ότι οι Α, Β είναι όμοιοι Τότε οι (),() B είναι όμοιοι για κάθε () x [ ] x i Υπάρχει με ιδιοτιμές τις 0,,, j Αν v είναι ιδιοδιάνυσμα της γραμμικής απεικόνισης : V V και v er, τότε το 0 είναι ιδιοτιμή της Έστω με ()( )( 5) : και διατεταγμένη βάση του με (,0,0) (,0,0) και ( :,) l Έστω Αν το είναι ιδιοτιμή του, τότε υπάρχει μη μηδενικό X με X X

13 Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Λύση a Σύμφωνα με τον ορισμό της ιδιοτιμής, το είναι ιδιοτιμή της αν και μόνο αν υπάρχει μη 4 μηδενικό ( x, y, z,) w με ( x, y, z,) w (, x, y,) z w ( x, y, z,) w (, x, y,) z w ( x w, y z, z w,)( x w,, x,) y z w x w x y z y z w z x w w x w 0 z 0 z w 0 x w 0 x z w 0, y Παρατηρούμε ότι 4 Άρα το είναι ιδιοτιμη της (και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα (0, y,0,0), όπου y 0 ) Υπολογίζοντας βρίσκουμε (, 0,, )(,,,) Από τη σχέση αυτή είναι σαφές ότι δεν υπάρχει με (,0,, )(,0,, ) Άρα το (,0,,) δεν είναι ιδιοδιανυσμα της b Έστω και (,,) z y z Έχουμε () x y0 ( x, y,)( z,,) x y () z x 0 y z x y () 0 z Το σύστημα () έχει μη τετριμμένη λύση ως προς x, y, z αν και μόνο αν 0 det 0 () det( ) det 0 ()(()() ) () 0 ()(()() ) 0 ()()() 0,, Άρα οι ιδιοτιμές είναι,, Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : y 0 y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι λύσεις του x z 0 x y z 0 τελευταίου είναι x(, 0, ), x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στη είναι τα x(,0, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : ()

14 Ασκήσεις x y 0 x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x y z 0 που ισοδυναμεί με το Οι x y z 0 x y 0 λύσεις αυτού είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x y 0 Για, το σύστημα () γίνεται x z 0 που ισοδυναμεί με το x y 0 Οι λύσεις αυτού x z 0 x y z 0 είναι x(,, ), x Άρα τα ζητούμενα ιδιοδιανύσματα είναι τα x(,, ), x {0} c Για (,) ( x,)()()( y x,) e y e xe ye y x Έστω Τότε x y έχουμε x y 0 ( x,)( y,) x y Ζητάμε μη μηδενικές λύσεις του συστήματος ως προς x, y x y 0 Έχουμε det( ) i) Έστω Τότε ( ) 0 για κάθε και άρα το παραπάνω σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση Άρα δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα της ii) Έστω Τότε το σύστημα έχει μη μηδενική λύση αν και μόνο αν ( ) 0, δηλαδή αν x y 0 και μόνο αν i, i Άρα οι ιδιοτιμές είναι οι i, i Λύνοντας το σύστημα για τις x y 0 τιμές αυτές βρίσκουμε αντίστοιχα τα ιδιοδιανύσματα x( i,), x {0} και x( i,), x {0} Γεωμετρική ερμηνεία του i) Η παριστάνει στροφή κατά 90 ο στη φορά της κίνησης των δεικτών του ρολογιού Άρα δεν υπάρχει ευθεία U που διέρχεται από το (0,0) τέτοια ώστε () U Συνεπώς η δεν έχει ιδιοδιάνυσμα Λύση a Έχουμε Επειδή, το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Έχουμε det( 6) I4 det , γιατί στον τελευταίο πίνακα δυο γραμμές είναι ίσες Άρα το 6 είναι μια ιδιοτιμή του Α b Έχουμε U

15 Ασκήσεις 4 x () x det() det xi 0 4 x 0 x x 4 () det( x )( ) x x x και άρα οι ιδιοτιμές είναι, Ιδιoδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : Έχουμε x 0 x x 0 () I0 X 0 4 x0 4 4 x 0x 0 x 0 x x 0 και το τελευταίο σύστημα ισοδυναμεί με το x x 0 που έχει λύσεις τις x 0 x x 0 x, x, x x 0 x 0 Άρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα x x 0 x, x, x, όπου τουλάχιστον ένα x 0 από τα x, x δεν είναι 0 Ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή : x 0 x x x 0 () I0 X 0 4 x0 4 x 0x 0 x 0 x 4x 0 x x x 0 x x 0 x Οι λύσεις του τελευταίου συστήματος είναι x x, x Άρα τα ιδιοδιανύσματα που x x αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι τα x x, x {0} x Λύση: Έστω ότι υπάρχει μια ιδιοτιμή λ της με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα v Τότε () v, v v 0 Επομένως a b ()(())()() v v v v v Οι πιθανές ιδιοτιμές έχουν ως εξής () v v v v Αφού v 0, έχουμε V ()() v v v v v Αφού v 0, έχουμε, οπότε, οπότε 0, c 0() 0 v 0 v Αφού v 0, παίρνουμε 0 4 Λύση a Όχι, γιατί ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του είναι 0 (βλ Πρόταση 5) b Έχουμε ()( )( x x ) x και άρα οι ιδιοτιμές του είναι 0,, Αφού το δεν είναι ιδιοτιμή του, έχουμε det( ) I 0 Όμοια det( 4) I 0 Άρα det(( )( I 4)) I det( )det( I 4)) 0 I και ο ( )( I 4) I είναι αντιστρέψιμος

16 Ασκήσεις 5 c Έχουμε det( 5) I det(( 5)( I )) I det( 5) I det( )(5)( I ) 600 d Επειδή 0,, είναι ιδιοτιμές του, οι 0,, είναι ιδιοτιμές του (Παράδειγμα 0 ) και επειδή ο είναι πίνακας αυτές είναι όλες οι ιδιοτιμές του Άρα ()( x )( x x 4) x e Υπόδειξη: Θεωρήστε ίχνη στη σχέση B B για να λάβετε 0 0, που είναι άτοπο 5 Λύση: Από τη σχέση () B B έπεται ότι οι B, B είναι όμοιοι και άρα έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (βλ Πρόταση 8) 6 Λύση: Ξέρουμε ότι 0 det (Πρόταση 5) Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε det 0 Εργαζόμενοι με ρητές συναρτήσεις και χρησιμοποιώντας ιδιότητες οριζουσών έχουμε () x det xi det xi det I x det ( ) det x I det( ) det( x)() I 0 0 x x x ( )( ) 0 x 0 x x x ( ) ( ) x x x a Βλ Παράδειγμα 0 b Λύση: Είναι σαφές ότι ισχύει το ζητούμενο αν το ()x c είναι σταθερό πολυώνυμο, γιατί τότε () ci και κάθε ιδιοτιμή του ci είναι ίση με το c Ξέρουμε ότι ο έχει τουλάχιστον μια ιδιοτιμή Αν i είναι οποιαδήποτε ιδιοτιμή του, τότε () i Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι deg() x Έστω μια ιδιοτιμή του () με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα X Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας (βλ Θεώρημα 5) υπάρχουν c,,,, c 0, τέτοια ώστε ()()() x c x x Άρα έχουμε ()()() I c I I και από (()) 0 I X παίρνουμε c()() I 0 I X Επειδή X 0 και c 0, συμπεραίνουμε ότι κάποιος πίνακας i I έχει ορίζουσα ίση με 0 Άρα το i είναι ιδιοτιμή του Έχουμε () i Σημείωση: Βλ Θεώρημα 6 για ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα 8 Λύση Έστω Έχουμε (,)(,) έχει λύση ως προς αν και μόνο αν a a Παρατηρούμε ότι το τελευταίο σύστημα 9 Απάντηση a Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή 4 και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων είναι {( x,0,0) x 0} b Οι ιδιοτιμές είναι 4, i, i με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα {(,0,0) x x 0},{(0, x, i5) x0}, {(0, x, i 5) x 0} 0 Απάντηση a Οι ιδιοτιμές είναι 0, με αντίστοιχα σύνολα ιδιοδιανυσμάτων τα { ax bx c [ x] a b c 0,( a, b,)(0,0,0)} c, { bx [ x] b 0} b Υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0, και το σύνολο των αντίστοιχων ιδιοδιανυσμάτων είναι { ax bx c [ x] a b 0, c 0} a Λύση: Αρκεί να δειχτεί ότι το είναι ιδιοτιμή του Παρατηρούμε ότι το είναι ιδιοτιμή του καθότι από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε t

17 Ασκήσεις 6 a i i t a i i Από την Πρόταση έπεται ότι το είναι ιδιοτιμή του b Υπόδειξη: Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη σχέση, δείξτε ότι Υπόδειξη: a Χρησιμοποιείστε επαγωγή και το ανάπτυγμα ορίζουσας του det() xi b a a0 0 a a0 Υπόδειξη: Ένας τρόπος λύσης είναι να παρατηρήσουμε ότι ο πίνακας της άσκησης είναι ο ανάστροφος ενός πίνακα της προηγούμενης άσκησης και να εφαρμόσουμε την Πρόταση Απάντηση: ( )( x ) 4 Υπόδειξη για το b: Με τρόπο όπως στο Παράδειγμα 0, αποδεικνύεται ότι ()()() v, v όπου v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 5 Λύση: a Έστω ότι au bv 0, () όπου a, b Τότε επειδή η είναι γραμμική έχουμε 0(0)()()() au bv a u b b au bv δηλαδή, au bv 0 () Από την () παίρνουμε au bv 0 οπότε αφαιρώντας τη () παίρνουμε b() 0 v Επειδή v 0 (το v είναι ιδιοδιάνυσμα), έχουμε b() 0 και επειδή παίρνουμε b 0 Τότε από την () έχουμε au 0, οπότε a 0 αφού u 0 b: Έστω ότι υπάρχουν a, b, με ()() au bv au bv Έχουμε ()()() au bv a u b v au bv και άρα au bv au bv Από το προηγούμενο ερώτημα τα u, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα και επομένως παίρνουμε a a, b b Αν ήταν a 0 και b 0, τότε θα είχαμε, άτοπο από την υπόθεση Δείξαμε ότι δεν υπάρχει στοιχείο της μορφής au bv, όπου a, b {0}, που είναι ιδιοδιάνυσμα της B 6 Υπόδειξη : Ο D είναι της μορφής D 0 C, όπου, B, C και ξέρουμε ότι ()()() x x x (βλ Πρόταση 4) Με πράξεις βρίσκουμε D C () x x x 4,()( )( x x5) x x C 7 Υπόδειξη: Ξέρουμε ότι ο σταθερός όρος του () x 5 και Πρόταση 6) 8 Υπόδειξη για το b: Στη λύση της άσκησης 6 είδαμε ότι ()( x )(det)() x είναι το γινόμενο των ιδιοτιμών του (Πρόταση x Δείξτε ότι από την προηγούμενη σχέση έπεται ότι αν ()()() x x x, i, τότε ()()() x x x Άρα αν,, είναι οι ιδιοτιμές του, τότε,, είναι πάλι οι ιδιοτιμές του (με ενδεχομένως άλλη σειρά) Χρησιμοποιήστε την εξής παρατήρηση: Αν X είναι

18 Ασκήσεις 7 ένα πεπερασμένο σύνολο με περιττό πλήθος στοιχείων και : X X X, τότε υπάρχει x X μια απεικόνιση τέτοια ώστε με () x x 9 Βλ Παράδειγμα μετά το Πόρισμα Απάντηση: Όχι γενικά Για παράδειγμα, οι πίνακες, 0 είναι όμοιοι, το 0 είναι ιδιοδιάνυσμα του πρώτου και όχι του δεύτερου (Αποδείξτε τους ισχυρισμούς αυτούς) Λύση: Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε det det() Αλλά det()( ) det, οπότε det( ) det Επειδή det 0, έχουμε ( ), δηλαδή ο είναι άρτιος, Επειδή ο είναι όμοιος με τον έχουμε ()() x x σύμφωνα με την Πρόταση 8, δηλαδή () x det() xi Αλλά det() det(())( xi ) det() xi det()() xi xi x Άρα ()() x x Από την τελευταία σχέση έπεται ότι αν () x x a x a x a 0, τότε ai 0 για κάθε περιττό i Άρα υπάρχει μονικό πολυώνυμο () x [ ] x βαθμού, τέτοιο ώστε ()() x x Από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας υπάρχουν,,, τέτοια ώστε ()()() x x x Επίσης υπάρχουν,, τέτοια ώστε,, ()()()() x x x x Σημείωση: Μια άλλη λύση θα δούμε στις Ασκήσεις4 Απάντηση: Οι ιδιόχωροι είναι οι () t t V,( V ), Άρα δηλαδή το σύνολο των συμμετρικών πινάκων και το σύνολο των αντισυμμετρικών πινάκων αντίστοιχα Υπόδειξη: Οι συνεπαγωγές a b, b c είναι άμεσες Για τη c a, έστω ότι ()() x B x Τότε οι, B έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Οι ιδιοτιμές του είναι οι a, a,, a και οι ιδιοτιμές του B είναι οι b, b,, γιατί οι, B είναι διαγώνιοι πίνακες Άρα υπάρχει μετάθεση για κάθε i,, b i a () i O πίνακας είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης : () e a, e i,,, i i i όπου { e, e,, e } είναι μια διατεταγμένη βάση του Έχουμε b () e a e b e ()()()() i i i i i S Άρα ο πίνακας B είναι ο πίνακας της ίδιας γραμμικής απεικόνισης : διατεταγμένη βάση { e, e, e } του Συνεπώς οι, B είναι όμοιοι a b 4 Απάντηση για το b: c a, όπου ()(),() a bc τέτοια ώστε που ορίζεται από ως προς τη

19 Ασκήσεις 8 5 Υπόδειξη: Το () x μπορεί να υπολογιστεί με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών και στηλών του πίνακα xi (Για παράδειγμα, ξεκινήστε προσθέτοντας στην πρώτη στήλη του xi κάθε άλλη στήλη Στη συνέχεια μετατρέψτε τον πίνακα σε άνω τριγωνικό αφαιρώντας την πρώτη γραμμή από κάθε άλλη γραμμή) Απάντηση: Το χαρακτηριαστικό πολυώνυμο είναι ()( x )(( ))() x a b x a b, οι ιδιοτιμές είναι a ( ) b (με πολλαπλότητα ) και a b (με πολλαπλότητα ), και οι ιδιόχωροι είναι V () E E και V () E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του 6 Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόστε στον xi την ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών,,, και δείξτε αναπτύσσοντας την ορίζουσα του προκύπτοντος πίνακα ότι det()()det()( xi )() x, a xi a x b Στη συνέχεια, εργαζόμενοι με στήλες δείξτε ότι det()()det()( xi )() x, b xi b x a Από τις δυο σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο Σημείωση: Η δεύτερη σχέση προκύπτει άμεσα εφαρμόζοντας την πρώτη σχέση στον ανάστροφο του 7 Υπόδειξη: Δείξτε την εξής ισότητα ()() πινάκων 8 Λύση ος τρόπος Έστω B xi I 0 I 0 xi 0 xi B I B I 0 B xi a a xi και B b b Τότε από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε C B και ο B είναι ο πίνακας (())( Tr C ) ab a b Από την προηγούμενη άσκηση παίρνουμε x ()( )() x x B B B ()( )() x B ( )(())( x )(()), x Tr C x x Tr C δηλαδή ()( x C )(()) x x Tr C Άρα: Αν Tr() C 0, τότε υπάρχει μοναδική ιδιοτιμή, το 0 (με πολλαπλότητα ) Αν Tr() C 0, τότε οι ιδιοτιμές είναι 0 (με πολλαπλότητα ) και Tr() C ab a b (με πολλαπλότητα ) a ος τρόπος Έστω και B b b Τότε από τον πολλαπλασιασμό a πινάκων έχουμε C x B και ο B είναι ο πίνακας (())( Tr C ) ab a b Επίσης

20 Ασκήσεις 9 C ()() B B TrC C Θεωρούμε ότι C Από C () TrC C έπεται ότι αν είναι μια ιδιοτιμή του C, τότε 0 ή TrC Επειδή το άθροισμα των ιδιοτιμών του C είναι ίσο με TrC (Πρόταση 7), συμπεραίνουμε ότι οι ιδιοτιμές του C είναι οι 0,,0,TrC Άρα ()( x C )(()) x x Tr C Σημείωση: Ένας άλλος τρόπος απόδειξης του ()( x C )(()) x x Tr C προκύπτει με βάση την άσκηση 6 ii) του βιβλίου 9 Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του x x 0 xi 0 x x ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε x 0 0 x det() xi det( ) x det x 0 0 x 0 0 x 0 0 Αναπτύσσουμε τις δυο ορίζουσες στο δεξιό μέλος ως προς την τελευταία γραμμή και έχουμε det() xi det() det() x xi xi ( ) ( ) ( ) ( ) Με βάση την προηγούμενη σχέση, μια εύκολη επαγωγή στο δίνει det()( )( xi ) x x για κάθε, δηλαδή ()( x )( x ) x Άρα οι ιδιοτιμές είναι, και η καθεμιά έχει πολλαπλότητα Λύνοντας το σύστημα () 0 I X για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το σύνολο E E, E E,, E E, όπου E,, E είναι η συνήθης βάση του Όμοια, για βλέπουμε ότι ο αντίστοιχος ιδιόχωρος παράγεται από το E E, E E,, E E Αν a ()() E () E 0, a E E a E E ai, τότε ae ae ae ae a E a E 0 και επειδή τα E,, E είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε a a a 0 Δηλαδή το E E, E E,, E E είναι γραμμικά ανεξάρτητο Επομένως είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στο Όμοια, το σύνολο E E, E E,, E E είναι μια βάση του ιδόχωρου που αντιστοιχεί στο Άρα καθένας από τους ιδιόχωρους έχει διάσταση Σημείωση: Μπορεί να δοθεί άλλη λύση που βασίζεται στην παρατήρηση ότι I (άσκηση) 0 Λύση a v V ()()()() V 0 v 0 v v v v καθώς b Έστω x u v,(),() u V v V Έστω ότι το x είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της, δηλαδή x 0 V και () x x για κάποιο Επειδή ()()()() x u v u v u v έχουμε

21 Ασκήσεις 0 x u v u v u v ()()()() u v V V οπότε από το προηγούμενο υποερώτημα παίρνουμε ()() u0 v V Αν ήταν u 0 V και v 0 V, τότε θα είχαμε 0, άτοπο Άρα u 0 V ή v, οπότε αντίστοιχα ισχύει x v V () ή x u V () 0 V a Λύση: Με στοιχειώδεις πράξεις γραμμών στον πίνακα C xi (αφαιρούμε τις γραμμές,,,v από τις γραμμές v, v,,v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B det() C det xi det B xi B () xi xi B xi B det B xi B xi Με στοιχειώδεις πράξεις στηλών στον τελευταίο πίνακα (προσθέτουμε στις στήλες,,,v τις στήλες v, v,,v αντίστοιχα) έχουμε xi B xi B B det det B xi B xi B xi () B xi B xi B xi B det det()det() B xi B xi 0 B xi ()() x x B B b Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του a c Προκύπτει άμεσα από το a για B Υπόδειξη: Από την Πρόταση 8 έχουμε ()() x x Απάντηση: a b 0 Απάντηση: () x x 4 Απάντηση a Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του 0 0 0, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το δεν είναι ιδιοτιμή του b Λ Παράδειγμα: Το είναι ιδιοτιμή του 0 0 0, το είναι ιδιοτιμή του, αλλά το δεν είναι ιδιοτιμή του a Λ Παράδειγμα: Ο δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) αφού το χαρακτηριστικό 0 πολυώνυμό του είναι το x b Σ Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 8 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα c Σ Έπεται από το Παράδειγμα 0 για και () x x Έχουμε () d Λ Παράδειγμα: 0 0 B

22 Ασκήσεις 0 e Λ Παράδειγμα: I 0 και B 0 Τότε ()()( x B) x x, αλλά οι, B δεν είναι όμοιοι γιατί αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με B P P, τότε B P IP I, άτοπο Σ Απόδειξη: Από την υπόθεση υπάρχει αντιστρέψιμος P με B P P Με μια άμεση επαγωγή αποδεικνύεται ότι B P P για κάθε θετικό ακέραιο (πως;) Έστω ότι () x a x ax a0 Τότε () B a B a B a I a P P a P P a P P P ( a )() a, a I P P P δηλαδή ()() B P P και άρα οι (),() B είναι όμοιοι g Λ Πράγματι, το πολυώνυμο () x από ρίζες στο h Σ Πράγματι, έχουμε v 0 και () v 0 0 v έχει βαθμό και άρα δεν μπορεί να έχει περισσότερες i Λ Έστω ότι υπάρχουν και με τις δοσμένες ιδιότητες Από (,0,0) (,0,0) έχουμε ότι το είναι μια ιδιοτιμή της και άρα είναι μια ιδιοτιμή του ( :,) σύμφωνα με την Πρόταση 6 Αλλά το δεν είναι ρίζα του j Σ Αφού το X με είναι ιδιοτιμή του, το X X ()( x )( x 5) x ( ) είναι ιδιοτιμή του Άρα υπάρχει μη μηδενικό

23 Ασκήσεις Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Οι παραπομπές της μορφής Θεώρημα, αναφέρονται στο Μέρος ΙΙ του βιβλίου Μια Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Α Μελάς, Ο Ταλέλλη, Εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN: Με V συμβολίζουμε έναν πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικό χώρο, όπου Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω γραμμικές απεικονίσεις είναι διαγωνίσιμες :,(, x,)( y z, x y, y z4), y z g :,(, x,)( y z, x y, y z4), y z h : [ x] [ x],(())() g x x ή Εξετάστε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι διαγωνίσιμοι Αν κάποιος πίνακας i είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί μία βάση του που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του i, ένας αντιστρέψιμος Pi με P P i i i a, b, c, d e 4 Έστω διαγωνίσιμος πίνακας a Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ο ο () είναι διαγωνίσιμος διαγώνιο και ο πίνακας P P i i i είναι διαγωνίσιμος και γενικά για κάθε () x [ ] b Δείξτε ότι αν 0 για κάποιο θετικό ακέραιο, τότε 0 c Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε ο () είναι διαγωνίσιμος για κάθε () x [ ] x 0 d Αν ()( x ) να βρεθεί ο e Έστω X με X 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Δείξτε ότι X 0 Έστω ότι ο είναι αντιστρέψιμος και Είναι δυνατό ο να είναι όμοιος με τον diag (,,,,) ; 4 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε, για κάθε ιδιοτιμή της Δείξτε ότι 5 Έστω V a Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του, μια βάση για κάθε ιδιόχωρο του και η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του x

24 Ασκήσεις b Να εξεταστεί αν ο είναι διαγωνίσιμος και στην περίπτωση που είναι διαγωνίσιμος, να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο P P να είναι διαγώνιος 4 a 6 Έστω a Αποδείξτε ότι ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν a b Έστω a Βρείτε αντιστρέψιμους πίνακες να είναι διακεκριμένοι διαγώνιοι πίνακες a b 7 Έστω c d P, Q τέτοιους ώστε οι a Δείξτε ότι αν () a d4 0bc, τότε ο είναι διαγωνίσιμος b Έστω ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή Βρείτε το c Έστω ότι τουλάχιστον ένας από τους b, c είναι διάφορος του μηδενός Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν () a d4 0bc 8 a Έστω ένας διαγωνίσιμος πίνακας του οποίου οι ιδιοτιμές είναι μη αρνητικές Δείξτε ότι υπάρχει B τέτοιος ώστε B 0 b Δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος και ότι δεν υπάρχει B τέτοιος ώστε B Έστω, P, τέτοιοι ώστε P P και είναι διαγώνιος, a Δείξτε ότι για κάθε,, έχουμε P b Έστω,, Βρείτε έναν ιδιοδιανύσματα τα P, όπου ()() με ιδιοτιμές τις,,,, Είναι ο μοναδικός; 0 Δείξτε ότι για κάθε ο παρακάτω πίνακας δεν είναι διαγωνίσιμος Να βρεθούν όλα τα a τέτοια ώστε η γραμμική απεικόνιση ακόλουθες περιπτώσεις a ( x, y,)( z x, az, y ay ), z b ( x, y,)( z ax y, z x ay,) z x y az Έστω ένας άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής P P και Q () P είναι η -στήλη του P και αντίστοιχα Q : να είναι διαγωνίσιμη στις

25 Ασκήσεις 4 *, 0 δηλαδή ο είναι άνω τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου είναι ίσο με Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν είναι διαγώνιος Εξετάστε αν ο είναι διαγωνίσιμος 4 Να βρεθούν οι τιμές των a, b, c ώστε ο 0 0 a 0 b c να είναι διαγωνίσιμος 5 Να βρεθούν οι τιμές του a ώστε η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του 0 0 a 0 a 0 0 να είναι ίση με 6 Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε κάθε v V {0} είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της Δείξτε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε V 7 Έστω : V V ένας ισομορφισμός Δείξτε τα εξής a Αν το είναι μια ιδιοτιμή της, τότε 0 8 Έστω b Το είναι ιδιοτιμή της το c Για κάθε {0}, V ()() V του d διαγωνίσιμη : με διαγωνίσιμη είναι ιδιοτιμή της ( v, v,) v μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε υπάρχει διατεταγμένη βάση a Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη b Αληθεύει ότι η είναι διαγωνίσιμη; 0 0 ( :,) c Έστω ότι, 0 Δείξε ότι το v v είναι ένα ιδιοδιάνυσμα της 9 Έστω : V V μια διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση m a Δείξτε ότι er er και Im Im m για κάθε θετικό ακέραιο m b Δείξτε ότι V er Im c Αληθεύει το συμπέρασμα του a ή b χωρίς την υπόθεση ότι η είναι διαγωνίσιμη;

26 Ασκήσεις 5 0 Έστω m τέτοιος ώστε 0 για κάποιο m Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν a Α διαγωνίσιμος 0 b Tr 0 c det() 0 I d Έστω Τότε κάθε ιδιοτιμή του I είναι ίση με Έστω, B τέτοιοι ώστε B B Αποδείξτε ότι αν ο Α έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο όμοιοι πίνακες Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ο Β είναι διαγωνίσιμος Έστω, B δυο διαγωνίσιμοι πίνακες Δείξτε ότι οι, B είναι όμοιοι αν και μόνο αν ()() x x B 4 Για κάθε θετικό ακέραιο υπολογίστε τον, όπου Έστω a Υπολογίστε τη δύναμη, b Να βρεθεί ένας πίνακας B τέτοιος ώστε B c Πόσους πίνακες B μπορείτε να βρείτε τέτοιους ώστε B ; 6 Θεωρούμε την ακολουθία (), a,,, η οποία ορίζεται από τους όρους a, a 4 και τον αναδρομικό τύπο a a a,,4, Να βρεθεί ο γενικός όρος a συναρτήσει των a, a και 7 Θεωρούμε την ακολουθία (), 0,,, που ορίζεται από 0 0,,, (ακολουθία Fiboacci) Χρησιμοποιώντας διαγωνοποίηση πινάκων, δείξτε ότι 5 5 5, 0,,, 8 a Έστω διαγωνίσιμος τέτοιος ώστε για κάθε ιδιοτιμή του Δείξτε ότι υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε B B b Δείξτε ότι δεν υπάρχει αντιστρέψιμος B τέτοιος ώστε 9 Έστω ότι Δείξτε ότι X Y, όπου B B I X {() a a 0, i }, j Y{() a 0, a } i j, ij ij ij ij αλλά το άθροισμα δεν είναι ευθύ Στη συνέχεια δείξτε ότι X, όπου {() a a 0, i } j ij ij 0 Έστω ότι Δείξτε ότι U V, όπου t t U { }, V { } Επίσης, δείξτε ότι v( v )( ) v v dim U, dim V

27 Ασκήσεις 6 Έστω ότι Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη άσκηση, αποδείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση t :,, είναι διαγωνίσιμη Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμό της Αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση, ένας υπόχωρος U του V λέγεται -αναλλοίωτος αν () U U Έστω, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε τα ακόλουθα: a Αν g g, τότε κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Έστω ότι V W U, όπου W, U είναι ιδιόχωροι των, g αντίστοιχα Αν κάθε ιδιόχωρος της είναι g-αναλλοίωτος και κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος, τότε g g Έστω, g : V V δυο γραμμικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε η είναι διαγωνίσιμη και κάθε ιδιοδιάνυσμα της είναι ιδιοδιάνυσμα της g Δείξτε ότι g g 4 Έστω V ένας πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος και W, W υπόχωροι του V τέτοιοι ώστε V W W Έστω i : Wi Wi, i,, γραμμικές απεικονίσεις Δείξτε ότι η απεικόνιση : V V,()() w w w w, όπου wi Wi, είναι καλά ορισμένη γραμμική απεικόνιση και ότι αν οι i είναι διαγωνίσιμες, τότε και η είναι διαγωνίσιμη 5 Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε ο πίνακας ab ab ab ab είναι μη μηδενικός a Δείξτε ότι ra b Δείξτε ότι ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν Tr() 0 6 Δείξτε ότι ο πίνακας a b b b b a b b b b a b b b b a είναι διαγωνίσιμος 7 Έστω a και ( v, v,) v μια διατεταγμένη βάση του Θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση : που ορίζεται από () v,() v v v av,() v v a v av a Δείξτε ότι η δεν είναι διαγωνίσιμη b Δείξτε ότι η είναι διαγωνίσιμη για κάθε 8 Έστω Έστω a,, a, b,, b τέτοια ώστε όχι όλα είναι ίσα με 0 και aibi 0 Υπολογίστε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα a a a b b b 0 i

28 Ασκήσεις 7 και δείξτε ότι αυτός δεν είναι διαγωνίσιμος 9 Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λάθος Δικαιολογήστε την απάντησή σας 4 4 a Υπάρχει διαγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση : τέτοια ώστε ()( x x) x και dim(im) b Για κάθε a, b, οι πίνακες 4 a b 4 είναι όμοιοι c Έστω : V V μια γραμμική απεικόνιση Αν είναι δυο ιδιοτιμές της, τότε η γραμμική απεικόνιση g :()()()(),()(), V V V V g u v u v είναι διαγωνίσιμη 40 Έστω με ra r Αποδείξτε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι της μορφής ( ) x a x a r x 4 Έστω και, r ()() I I οι ιδιοτιμές του Δείξτε ότι αν, τότε κάθε θετικό ακέραιο, 4 Έστω με ra και Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a 0 0 a 0 0 a Ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 0 0 a b Tr() 0 ο Α είναι διαγωνίσιμος 4 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις επόμενες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δικαιολογήστε την απάντησή σας με απόδειξη ή αντιπαράδειγμα 44 a Αν με ()( x )( ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 b Αν με ()( x )( ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος 44 c Έστω με ()( x )( ) Τότε ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν dim(0) V d Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος e Αν, B είναι διαγωνίσιμοι, τότε B διαγωνίσιμος Κάθε αντιστρέψιμος πίνακας είναι διαγωνίσιμος g Αν είναι διαγωνίσιμος, τότε υπάρχει μοναδικός αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος h Κάθε πολυώνυμο της μορφής x ax b [ x] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου διαγωνίσιμου i Κάθε πολυώνυμο της μορφής j Αν διαγωνίσιμου είναι διαγωνίσιμος και x ax b x [ ] είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο κάποιου, τότε 0 ()( x ) x 0

29 Ασκήσεις 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Απάντηση: Η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την Πρόταση 9 γιατί έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές, τις,, Για τη g μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 0 iii) Η g δεν είναι διαγωνίσιμη, γιατί οι ιδιοτιμές είναι οι,, και για τους αντίστοιχους ιδιόχωρους έχουμε dim() V dim() V H h είναι διαγωνίσιμη, γιατί από την απάντηση της άσκησης 0 των Ασκήσεων έχουμε V (0) { ax bx c [ x] a b c 0} και V () { bx [ x] b 0}, οπότε dim(0) V dim() V dim [ ] x Απάντηση a O δεν είναι διαγωνίσιμος αφού δεν έχει ιδιοτιμή (στο ) b O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V () i,() V i i i Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P i i i i έχουμε P P diag( i,) i c O είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0),() V Μια ζητούμενη βάση είναι η, Για P P diag(0,) d O δεν είναι διαγωνίσιμος καθώς υπάρχει μοναδική ιδοτιμή, το 0, και e O dim(0) V 4 ζητούμενη βάση του P P diag είναι διαγωνίσιμος Έχουμε V (0, 0,) (0), 0,() V είναι η, 0, Για P 4 0 έχουμε 0 0 Λύση: Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας diag(,,) με P P Οι ιδιοτιμές του είναι οι,, a Επειδή ο είναι διαγώνιος, ξέρουμε ότι ο () είναι διαγώνιος για κάθε πολυώνυμο () x [ ] x (Εύκολα αποδεικνύεται ότι ()((),,()) diag Έχουμε P P P P P P για κάθε θετικό ακέραιο Με επαγωγή στο αποδεικνύεται ότι Πράγματι, η σχέση αυτή είναι προφανής αν Αν P P P P για κάποιο, τότε ()() P P P P P P P P P P P PP P P I P P P P P Μια

30 Ασκήσεις 9 Τώρα αν () x ax ax a0 [ ] x, έχουμε και ο () P () P P a a a a I P 0 a P P a P P a P P a P I P 0 a ()() P P () a P P a P P a I a a () a a I 0 0 είναι διαγώνιος Άρα ο P () P είναι διαγωνίσιμος b Από P P έχουμε P P Είδαμε πριν ότι P P για κάθε θετικό ακέραιο Έστω ότι 0 για κάποιο ακέραιο Τότε 0 Άρα diag(,,) PP 0 c Επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε i 0 για κάθε i,, οπότε ο είναι αντιστρέψιμος και diag(,,) Από P P παίρνουμε P P P () P P P, δηλαδή P P diag(,,) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος και το ζητούμενο έπεται από το ερώτημα a 0 d Από ()( x ) x έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με Επειδή ο είναι διαγωνίσιμος, παίρνουμε ότι ο είναι όμοιος με τον πίνακα diag(,,,) I0, δηλαδή 00 υπάρχει αντιστρέψιμος P με P P I Τότε P() I P () PI P I e Έστω X 0, όπου X Άρα P P X 0, οπότε Έχουμε P P () P 0X P P P P y y 0 Έστω P X Από () P 0X, δηλαδή, παίρνουμε y y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 0 ή y 0 y 0 y 0 y 0 y Δηλαδή έχουμε () P X και άρα X P() P X 0 0 Αφού ο είναι διαγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος P και διαγώνιος πίνακας diag(,,) με P P Έχουμε PP και επειδή ο είναι αντιστρέψιμος έχουμε (όπως στο c) P P Έστω ότι ο είναι όμοιος με τον diag (,,,,) Επειδή όμοιοι πίανακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, παίρνουμε ότι το είναι ιδιοτιμή του Έχουμε PP P P P()( P,,) Pdiag P

31 Ασκήσεις 0 Άρα οι ιδιοτιμές του είναι οι,, Συνεπώς έχουμε για κάποιο i, δηλαδή x i i x δεν έχει πραγματική ρίζα, άτοπο 4 Λύση: Από την υπόθεση υπάρχει μια βάση,, i,, (Πρόταση ) Άρα i 0 Όμως το τριώνυμο u u του V και,,, i με () u i i u i ()(())()() u u u u u u, για κάθε i i i i i i i i i, i,, Άρα u,, u er( ) και επειδή τα u,, u παράγουν το V έχουμε er( ) V V V, δηλαδή V 5 Απάντηση: Έχουμε ()( x )( x 8) x οπότε οι ιδιοτιμές είναι - (με πολλαπλότητα ) και 8 (με πολλαπλότητα ) Οι ιδιόχωροι του είναι V ( ) { x 0 y x, y },(8) V { x x } 0 και αντίστοιχες βάσεις είναι τα σύνολα { 0, }, { } 0 Η διάσταση του διανυσματικού χώρου που παράγουν τα ιδιοδιανύσματα του είναι ίση με γιατί τα διανύσματα 0,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα 0 Ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα iv) Ένας P είναι ο P 0 0 σύμφωνα με την απόδειξη της Πρότασης 5 6 aλύση: Έχουμε () x x 7 x a Έστω 7 4( ) a a ) Έστω a Τότε 0 και το () x έχει δυο διακεκριμένες πραγματικές ρίζες Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 ) Έστω a Τότε 0 και το () x δεν έχει πραγματική ρίζα Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος 7 ) Έστω a Τότε 0 και () x x Για 7 έχουμε: dim()v ισούται με τη 7 0 διάσταση του διανυσματικού χώρου των λύσεων του x I, που είναι (πράξεις) y 0 Άρα ο Α δεν είναι διαγωνίσμος σύμφωνα με το Θεώρημα b Απάντηση: Με πράξεις βρίσκουμε V (),(6) V Άρα, αν P, έχουμε 0 P P 0 6 και αν Q, έχουμε 6 0 Q Q 0

32 Ασκήσεις 7 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό της προηγούμενης άσκησης Απάντηση για το b: a d 8 a Υπόδειξη: Αν P P είναι διαγώνιος, δείξτε ότι B, όπου P P 9 b Απάντηση: Από το a έπεται ότι ο είναι μοναδικός και () 0 ά Λύση: Έστω ο δοσμένος πίνακας Επειδή είναι τριγωνικός και κάθε στοιχείο της διαγωνίου ισούται με, ο έχει μοναδική ιδιοτιμή το (με πολλαπλότητα ν) Ξέρουμε ότι dim()() V ra I Επειδή ο πίνακας I είναι σε κλιμακωτή μορφή, το ra του ισούται με το πλήθος των μη μηδενικών γραμμών του Άρα ra() I και dim()( V ) Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος (βλ πχ Θεώρημα 0 ή Πρόταση ) aλύση: Αν είναι ο πίνακας της ως προς τη συνήθη βάση του, τότε Έχουμε 0 a a ()()( x )( x ) x x και οι ιδιοτιμές της είναι,, Ξέρουμε ότι dim()() V m, dim()() V m σύμφωνα με το Θεώρημα Από το Θεώρημα 0 συμπεραίνουμε ότι διαγωνίσιμη dim() V dim() V dim() V Άρα dim() V ( ra ) ( I) ra I Επειδή 0 a I 0 0 0, 0 a 0 βλέπουμε ότι ra( ) I a 0 b Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το συλλογισμό του a Εδώ έχουμε ()( )( x ) Απάντηση: Είναι διαγωνίσιμη για κάθε a Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ο είναι διαγωνίσιμος, τότε I

33 Ασκήσεις Λύση: Είδαμε στην άσκηση από Ασκήσεις, ότι ()( x )( ) x Χρησιμοποιώντας παραγώγους παρατηρούμε ότι Άρα το ((),())(( x ) x,( )( )) x x πολυώνυμο ()( x )( ) x έχει διακεκριμένες ρίζες στο σύμφωνα με την Πρόταση 0 και συνεπώς ο πίνακας είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 4 Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της άσκησης 0 Εδώ έχουμε διαγωνίσιμος dim() V Απάντηση: a 0 5 Απάντηση: a 0 6 Λύση: Έστω { v,, v } μια βάση του V Από την υπόθεση υπάρχουν,, τέτοια ώστε v v, i,, Άρα 7 () i i i ( v )() v () v v v v Από την άλλη μεριά, η υπόθεση δίνει ότι για κάποιο ( v )( v ) v v v v Άρα v v v v v Επειδή τα,, v είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε Δηλαδή () v i v i για κάθε i Επειδή τα v,, v παράγουν το V και η είναι γραμμική, παίρνουμε () v v για κάθε v V Πράγματι, αν v V, τότε υπάρχουν a i τέτοια ώστε v av av Επειδή η είναι γραμμική έχουμε ()() v a() v a( v ) a v a v a v a v v 8 a Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι ο πίνακας ( :,) είναι διαγώνιος b Απάντηση: Όχι αναγκαστικά Ένα αντιπαράδειγμα προκύπτει όταν 0 και Πράγματι, αν ο ήταν διαγωνίσιμος, τότε θα ήταν όμοιος με το μηδενικό πίνακα γιατί κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 Αλλά τότε θα ήταν ίσος με το μηδενικό πίνακα B v,, v του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε () vi i, vi i,, Θέτουμε 9 Λύση: Από την Πρόταση υπάρχει βάση j j και B v j B j 0 B v B 0 Τότε έχουμε την ξένη ένωση B B B Άρα B B και V B B m m Έστω m ένας θετικός ακέραιος Τότε για κάθε i,, έχουμε () v v Επομένως ισχύει B m Ker και B Im m (γιατί;) Άρα m m B B dim er dim Im i i i m m Όμως ξέρουμε ότι dim er dim Im και συνεπώς η παραπάνω ανισότητα είναι ισότητα m Άρα B dim er και B dim Im m Αυτό σημαίνει ότι: το B είναι βάση του er m για κάθε m και το B είναι βάση της Im m για κάθε m (γιατί;) m m a Επειδή τα B, B δεν εξαρτώνται από το m έχουμε Ker Ker και Im Im b Από V B B έχουμε V er Im 0 Λύση: Από την υπόθεση έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με 0 a Σωστό Αν υπήρχε αντιστρέψιμος P με P P διαγώνιος, τότε P P 0 0

34 Ασκήσεις b Σωστό Ξέρουμε ότι το Tr είναι το άθροισμα των ιδιοτιμών του (Πόρισμα 7) c Λάθος Το δεν είναι ιδιοτιμή του d Σωστό Αν είναι τέτοιο ώστε det() 0 I I, τότε det(()) 0 ιδιοτιμή του, και άρα από τημ υπόθεση I Υπόδειξη: Αν τα X,, X είναι μια βάση του και κάθε X i είναι ιδιοδιάνυσμα του, δείξτε ότι τα X, X είναι ιδιοδιανύσματα του B Υπόδειξη: Αν B Q Q και P P, τότε B () P Q P Q Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν ()() x B x, τότε οι, B είναι όμοιοι με τον ίδιο διαγώνιο πίνακα 4 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 ) Έχουμε ()( x )( x ) x 0, οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι και (διπλή ρίζα) Για, οι λύσεις του συστήματος που είναι οι x 0 () 0 X 0 6 0x, 0 6 x 0 x x x, x, x αποτελούν τον ιδιόχωρο V ( ) της Επιλέγουμε το ιδιοδιάνυσμα p Για, οι λύσεις του συστήματος 0 x 0 () 0 X x 0 x 0 Είναι οι x 0 x x 0 x, x, x x 0 0 Επομένως για ο ιδιόχωρος V () παράγεται από τα p 0, p 0 0 p, p, p είναι γραμμικά ανεξάρτητα, επειδή det 0 0, άρα αποτελούν βάση του 0 Άρα ο Α διαγωνοποιείται Θέτοντας 0 P 0 0 βρίσκουμε με πράξεις ότι Τα ιδιοδιανύσματα

35 Ασκήσεις 4 0 P 0 Ξέρουμε ότι ισχύει 0 0 P P Από την τελευταία σχέση έχουμε : 0( ) P P () πράξεις ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( ) 5 Απάντηση: Οι ιδιοτιμές είναι,, Βάσεις των ιδιόχωρων V ( ),(),() V V είναι αντίστοιχα τα διανύσματα 0, 0, 0 0 Έχουμε P P 0 0, όπου P a Άρα 0 0 P 0 0 P 0 0 Με πράξεις βρίσκουμε 0( ) 0 0 ( ) b Ως B μπορούμε να θέσουμε 0 0 B P 0 0( P πράξεις) c Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι κάθε εξίσωση της μορφής x a, όπου a {0}, έχει τρεις διακεκριμένες λύσεις στο, βλέπουμε ότι καθεμία από τις ιδιοτιμές,, έχει τρεις διακεκριμένες κυβικές ρίζες στο Επιπλέον αυτές οι 9 κυβικές ρίζες είναι ανά δύο διάφορες Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 7 ανά δύο διάφοροι πίνακες B τέτοιοι ώστε B 6 Λύση (Είναι παρόμοια με την Εφαρμογή 7 )

36 Ασκήσεις 5 Έχουμε το σύστημα a a a a a a a a 0 a Θέτουμε 0 και παίρνουμε a a () a a Διαδοχικά έχουμε a a a a a a a4 a Από την τελευταία σχέση αρκεί να υπολογίσουμε τον Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι ()( x )( x ) x, οι ιδιοτιμές του Α είναι και, οπότε ο πίνακας διαγωνοποιείται Στην ιδιοτιμή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσμα p και στην αντιστοιχεί το p Θέτουμε P οπότε P 4 Άρα ( ) 0( ) ( ) P P, 0 ( ) 4 ( ) οπότε από την () προκύπτει ( ) ( ) a a a 4 Με αντικατάσταση των όρων a και a 4, έχουμε ( ) 5 a, 4 7 Υπόδειξη: Έχουμε, όπου 0, και άρα Υπολογίστε τον όπως στην προηγούμενη άσκηση διαγωνοποιώντας τον 8 b Λύση: Από B B I παίρνουμε B B I 0 και άρα κάθε ιδιοτιμή του B στο ικανοποιεί 0 Άρα ο B δεν έχει πραγματική ιδιοτιμή Όμως το πολυώνυμο B () x έχει πραγματικούς συντελεστές και περιττό βαθμό, οπότε έχει πραγματική ρίζα (Πρόταση 8), άτοπο 9 Απάντηση: Το άθροισμα δεν είναι ευθύ καθώς έχουμε ότι X Y {() a a 0, i } j {0} 0 Λύση Αν, τότε t t U V Άρα t U V Επίσης U V t t 0 0 Άρα το άθροισμα είναι ευθύ Αποδεικνύεται (άσκηση) ότι μία βάση του U είναι η { E i,, } { E E i j } και μια βάση του V είναι η ii ij ji { E E i j }, ij ji ij 0 ij

37 Ασκήσεις 6 όπου Eij Λύση Επειδή είναι ο πίνακας που έχει παντού 0 εκτός από τη θέση ( i,) j v( v )( v) v dim U v, v( v ) dim V όπου έχει Άρα βλέπουμε ότι οι πιθανές ιδιοτιμές είναι, Για τους ιδιόχωρους έχουμε V () U και V ( ) V (βλ άσκηση, από Ασκήσεις ) Άρα V ()( V) (από την προηγούμενη άσκηση) και συνεπώς η είναι διαγωνίσιμη Για το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχουμε ()( x )( )( x ) x, Επειδή η είναι διαγωνίσιμη το Θεώρημα 0 ii) και η προηγούμενη άσκηση δίνουν ( ) dim() V, ( ) dim( V ), ( )( ) ()( x )( )( x ) x Σημείωση: Μια άλλη λύση μπορεί να δοθεί με βάση την παρατήρηση ότι a Λύση Αν v V (), τότε () v (())() g v v και άρα g(())() v g v, οπότε από την υπόθεση έχουμε g v, δηλαδή g()() v V Συνεπώς ο υπόχωρος V () είναι g -αναλλοίωτος Λόγω συμμετρίας έχουμε ότι κάθε ιδιόχωρος της g είναι -αναλλοίωτος b Υπόδειξη: Δείξτε ότι για κάθε w W και u U έχουμε g g ()() w 0 g g u Λύση: Επειδή η είναι διαγωνίσιμη, υπάρχει βάση{ v,, v } του V και υπάρχουν,, τέτοια ώστε () vi i, vi i,, (Πρόταση ) Από την υπόθεση υπάρχουν,, με g() v, v i,, Άρα i i i g g ()(())(())()() v g v g v v g v i i i i i i i ()() v g v v 0, v i i i i i l i i i i δηλαδή g g () v i 0 για κάθε i,, Επειδή η απεικόνιση g g είναι γραμμική και το σύνολο { v,, v } παράγει το V, έπεται ότι ()() g0 g v για κάθε v V Άρα g g 0 4 Υπόδειξη: Σύμφωνα με την Πρόταση υπάρχει βάση Bi του Wi αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της i, i, Δείξτε ότι το B B είναι βάση του V αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα της Άρα η είναι διαγωνίσιμη σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση 5 Υπόδειξη: a Δείξτε ότι κάθε δυο στήλες του είναι γραμμικά εξαρτημένες Εναλλακτικά, παρατηρήστε ότι a b b a και χρησιμοποιήστε το ότι ra() BCmi{ rab, rac } b Για τις ιδιοτιμές του Α, βλέπε άσκηση 8 από Ασκήσεις Χρησιμοποιήστε τη σχέση dim(0) V ra και το Θεώρημα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) Χειμερινό Εξάμηνο 009-010 Διδάσκων: Ι. Τσαγράκης 6 Ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Δείξτε ότι η απεικόνιση τον ker f. Είναι η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )

Σημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)

ΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A) Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 1-2-ΠΙΝΑΚΕΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010-2011 ΠΑΝΗΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ Ένας πίνακας Α με στοιχεία από το σύνολο F (συνήθως θεωρούμε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα