Βαγγέλης Κουντούρης Φυσικός 1 ο Γυµνάσιο Ιλίου. Μια διδακτική προσέγγιση της έννοιας «δύναµη»

Transcript

1 Φυσικός 1 ο Γυµνάσιο Ιλίου Μια διδακτική προσέγγιση της έννοιας «δύναµη» Νίκαια 24/04/2004

2 Έννοια δύναµη 1. Ορισµός 2. Χαρακτηριστικά δύναµης 3. Μέτρηση δύναµης 4. Συνισταµένη δυνάµεων 5. Πειραµατικός προσδιορισµός της συνισταµένης δύο συγγραµµικών δυνάµεων

3 1. Ορισµός Όπως είναι γνωστό δύναµη ονοµάζεται η αιτία που µπορεί να παραµορφώσει ένα σώµα ή να του αλλάξει την κινητική κατάσταση ή και τα δύο. Αυτό το τελευταίο (ή και τα δύο), που είναι και ο κανόνας, συνήθως παραλείπεται και ως αναφορά και ως παράδειγµα. Στο σχολικό βιβλίο, πάντως, της Γ Γυµνασίου υπάρχει η πρόταση: «Συχνά µπορεί να εµφανίζονται και τα δυο αποτελέσµατα µιας δύναµης». Η πρόταση αυτή είναι, βέβαια, σωστή, αλλά επειδή είναι γραµµένη µε άτονα γράµµατα, ενώ οι προτάσεις για την αλλαγή της ταχύτητας και την παραµόρφωση είναι γραµµένες µε έντονα γράµµατα (bold), δηµιουργεί την εντύπωση στους µαθητές ότι είναι λιγότερο σηµαντική. Υπάρχει, επίσης, και ένα παράδειγµα: «όταν χτυπάµε µε τη ρακέτα ένα µπαλάκι του τένις το µπαλάκι παραµορφώνεται και µεταβάλλεται η ταχύτητά του». Το παράδειγµα αυτό είναι, επίσης, σωστό, αλλά η λεζάντα της φωτογραφίας που το συνοδεύει µιλά µόνο για αλλαγή της πορείας της µπάλας και όχι και για ταυτόχρονη παραµόρφωσή της. Αντίθετα στο σχολικό βιβλίο της Α Λυκείου δεν υπάρχει καµία αναφορά.

4 2. Χαρακτηριστικά δύναµης Όπως είναι γνωστό τα χαρακτηριστικά µιας δύναµης είναι: το σηµείο εφαρµογής η διεύθυνση η φορά και το µέτρο (συχνά αντί της διεύθυνσης και φοράς χρησιµοποιείται ο όρος «κατεύθυνση»). Θα ασχοληθούµε περισσότερο µε το σηµείο εφαρµογής. Είναι προφανές ότι όταν ένα σώµα δέχεται µια δύναµη δεν µπορεί το σηµείο εφαρµογής αυτής της δύναµης να είναι σηµείο κάποιου άλλου σώµατος. Εποµένως το σηµείο εφαρµογής µιας δύναµης είναι ένα πολύ σηµαντικό χαρακτηριστικό της αφού είναι πάντα κάποιο σηµείο του σώµατος που τη δέχεται. Το σηµείο εφαρµογής δηλαδή µας δείχνει τον «ιδιοκτήτη» µιας δύναµης, γνώση ιδιαίτερα χρήσιµη όταν θέλουµε να προσδιορίσουµε τη συνισταµένη δυνάµεων που έχει νόηµα µόνο αν όλες οι δυνάµεις ασκούνται στο ίδιο σώµα. Στο βιβλίο της Γ Γυµνασίου υπάρχει η πρόταση: «Το σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος που παριστάνει τη δύναµη, είναι το σηµείο του σώµατος, στο οποίο ασκείται» η οποία και είναι σωστή. Αντίθετα στο βιβλίο της Α Λυκείου το σηµείο εφαρµογής δεν αναφέρεται καθόλου. Στο ίδιο βιβλίο, µάλιστα, δηµιουργείται και σύγχυση αφού υπάρχουν εικόνες (όπως η εικόνα 1) όπου τα σηµεία εφαρµογής και των δύο δυνάµεων που δέχεται ένα σώµα είναι σηµεία του σώµατος, εικ. 1

5 εικόνες (όπως η εικόνα 2) όπου έχουν σχεδιασθεί δυο δυνάµεις µε σηµεία εφαρµογής το ένα στην αρχή και το άλλο στο τέλος του αντιστοίχου διανύσµατος, εικ. 2 εικόνες (όπως η εικόνα 3) όπου τα σηµεία εφαρµογής και των δύο δυνάµεων που δέχεται ένα σώµα είναι στον αέρα εικ 3 και εικόνες (όπως η εικόνα 4) όπου το σηµείο εφαρµογής της µιας εκ των δύο δυνάµεων που δέχεται ένα σώµα είναι σηµείο του σώµατος, ενώ το σηµείο εφαρµογής της άλλης δύναµης είναι στον αέρα. εικ. 4

6 Να σηµειώσουµε επίσης ότι οι δυνάµεις ασκούνται µόνο σε υλικά σώµατα. Εποµένως στη διατύπωση του νόµου του Coulomb όπως αυτή υπάρχει στο βιβλίο της Β Λυκείου Γενικής Παιδείας: «κάθε σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο ασκεί δύναµη σε κάθε άλλο σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο..» θα` πρεπε αντί του όρου «σηµειακό ηλεκτρικό φορτίο» να υπήρχε ο όρος «φορτισµένο σωµατίδιο» Επίσης στο βιβλίο της Β Λυκείου Κατεύθυνσης υπάρχει η σωστή έκφραση «όταν ένα φορτισµένο σωµατίδιο κινείται µέσα σε µαγνητικό πεδίο, η δύναµη που του ασκεί το πεδίο», αλλά και η έκφραση «το µαγνητικό πεδίο ασκεί στα κινούµενα φορτία δύναµη» (και µάλιστα στην ίδια σελίδα )

7 3. Μέτρηση δύναµης Επειδή το αποτέλεσµα που επιφέρει µια δύναµη στο σώµα στο οποίο ασκείται εξαρτάται από: τις ιδιότητες του σώµατος τον τρόπο άσκησης της δύναµης και το µέτρο της θα πρέπει να βρούµε τρόπο να µετράµε δυνάµεις. Είναι προφανές ότι, αφού µια δύναµη γίνεται αντιληπτή από τα αποτελέσµατά της, η µέτρησή της δεν µπορεί παρά να βασίζεται σ` αυτά. Για την κατασκευή του δυναµοµέτρου, του οργάνου µέτρησης δύναµης, επελέγη ως αποτέλεσµα η παραµόρφωση ενός ελατηρίου. Κατά την παρουσίαση του δυναµοµέτρου ως φιλοσοφία και ως κατασκευή δεν θα πρέπει: να θεωρείται το δυναµόµετρο ως ήδη γνωστό από παλιά, οπότε και να µελετιέται επί τροχάδην σαν επανάληψη να χρησιµοποιείται για την κατασκευή του ο συλλογισµός: «αν σ` ένα ελατήριο ασκήσουµε µια δύναµη διαπιστώνουµε ότι το ελατήριο αποκτά µια παραµόρφωση, αν ασκήσουµε διπλάσια, τριπλάσια κ.λπ. δύναµη, η παραµόρφωση είναι διπλάσια, τριπλάσια κ.λπ.», διότι πριν να κατασκευάσουµε το δυναµόµετρο δεν έχουµε τη δυνατότητα να διαπιστώσουµε αν µια δύναµη είναι διπλάσια ή τριπλάσια κ.λπ µιάς άλλης να θεωρείται ο νόµος του Hooke ως ήδη γνωστός, για τον ίδιο µε την προηγούµενη περίπτωση λόγο να θεωρείται ότι η δύναµη που παραµορφώνει ένα κατακόρυφο ελατήριο είναι το βάρος του σώµατος που έχει προσδεθεί στο άκρο του (αντί του ορθού: είναι ίση µε το βάρος του σώµατος, εφ` όσον αυτό ισορροπεί)

8 Στο βιβλίο της Γ Γυµνασίου γίνεται αρχικά µια αναφορά στο πρότυπο ελατήριο που µάλλον σύγχυση προκαλεί («ας χρησιµοποιήσουµε την παραµόρφωση ενός ελατηρίου για να προσδιορίσουµε τη µονάδα της δύναµης»). Στη συνέχεια όµως γίνεται µια καλή παρουσίαση του οργάνου µε τη βοήθεια σωστής εικόνας και µε την χρήση δυνάµεων F, 2F, 3F µε τις οποίες επιµηκύνεται ένα ελατήριο, η σχέση των οποίων, όµως, είναι, κατ` αρχήν, αυθαίρετη, αφού δεν γίνεται καµµία αναφορά στη µάζα και στο βάρος των σωµάτων που κάθε φορά κρέµονται από το ελατήριο. Στο βιβλίο της Α Λυκείου η παρουσίαση είναι πολύ σύντοµη. Για να είναι περισσότερο ικανοποιητική η παρουσίαση του δυναµοµέτρου ως φιλοσοφία και ως κατασκευή θα µπορούσαµε: ψ m 2m 2ψ 3ψ 3m

9 να θεωρήσουµε ένα ιδανικό ελατήριο σε κατακόρυφη θέση, µε το πάνω του άκρο ακλόνητα στερεωµένο και δίπλα του µια, επίσης κατακόρυφη, µετροταινία να ασκήσουµε στο ελατήριο διαφορετικές δυνάµεις µε το χέρι µας οπότε θα διαπιστώσουµε ότι η επιµήκυνσή του είναι µεγαλύτερη όταν και η δύναµη που του ασκούµε είναι µεγαλύτερη να ασκήσουµε στο ελατήριο όση δύναµη µπορούµε πρώτα µε το ένα µας χέρι και µετά και µε τα δύο οπότε θα διαπιστώσουµε ότι η επιµήκυνση στη δεύτερη περίπτωση είναι, περίπου, διπλάσια από ό,τι στην πρώτη να κρεµάσουµε στο κάτω άκρο του ελατηρίου διαδοχικά ένα σώµα µάζας m, ένα µάζας 2m, ένα µάζας 3m... οπότε θα διαπιστώσουµε ότι η επιµήκυνση είναι ψ, 2ψ, 3ψ...ανάλογη δηλαδή µε τη µάζα του σώµατος, άρα και µε το βάρος του, άρα και µε, την ίση µε το βάρος, δύναµη που ασκείται στο ελατήριο να βαθµολογήσουµε το όργανο µε τη βοήθεια της µετροταινίας και µε την, κατ` αρχήν αυθαίρετη, παραδοχή ότι σώµα µάζας 1Kg έχει βάρος περίπου 10Ν

10 4. Συνισταµένη δυνάµεων Όπως είναι γνωστό συνισταµένη των δυνάµεων που δέχεται ένα σώµα λέγεται η δύναµη που µπορεί µόνη της να προκαλέσει στο σώµα τα ίδια µ` αυτές τις δυνάµεις αποτελέσµατα. Η πρόταση αυτή είναι γραµµένη µε ικανοποιητικό τρόπο και στο βιβλίο της Γ Γυµνασίου και στο βιβλίο της Α Λυκείου, χωρίς όµως να είναι, όπως θα ήταν καλύτερα, και έντονα τονισµένη. (Θα έπρεπε επίσης να επισηµαίνεται ότι η συνισταµένη είναι ανύπαρκτη δύναµη.) Ως προς την αναγκαιότητα εισαγωγής της έννοιάς της τώρα. Γενικά θα πρέπει, πριν την εισαγωγή µιας καινούργιας γνώσης, να φαίνεται η αναγκαιότητα εισαγωγής της, ιδιαίτερα στις περιπτώσεις όπου αυτή η αναγκαιότητα είναι «φωναχτή». Μια καινούργια γνώση δεν πρέπει να εισάγεται «εν ψυχρώ», σχεδόν εκδικητικά, αλλά ως αναγκαία, απαραίτητη και χρήσιµη για την επίλυση προβληµάτων. Με προϋπόθεση, βέβαια, ότι για να αναζητηθεί η λύση ενός προβλήµατος θα πρέπει πρώτα να φανεί ποιό είναι αυτό το πρόβληµα. Στο βιβλίο της Γ Γυµνασίου η αναγκαιότητα αυτή δεν φαίνεται καθόλου. Στο βιβλίο της Α Λυκείου η αναγκαιότητα φαίνεται, περισσότερο, ως περιέργεια αν «υπάρχει µια δύναµη που µπορεί να αντικαταστήσει τις δυνάµεις αυτές (που ασκούνται σε ένα σώµα) και να επιφέρει το ίδιο αποτέλεσµα». Περιέργεια, λοιπόν, είναι µόνο η αναγκαιότητα εισαγωγής της συνισταµένης ή και κάτι άλλο πρακτικότερο;

11 Ας δούµε τις περιπτώσεις των δύο σωµάτων Σ και Σ Το σώµα Σ ( εικ. 5 ) δέχεται µία µόνο δύναµη, το βάρος του Β, (περίπτωση σπανιότατη στη Γη, που ισχύει µόνο εφ` όσον στην περιοχή του σώµατος υπάρχει κενό). Β εικ. 5 Σ Αν αυτό το σώµα ήταν αρχικά ακίνητο, είναι λογικό να προβλεφτεί ότι, αφού δεν υπάρχει άλλη δύναµη, θα κινηθεί όπως «δείχνει» η δύναµη Β, κατακόρυφα δηλαδή µε φορά προς τα κάτω, πράγµα που, και πειραµατικά, επαληθεύεται. Το σώµα Σ όµως (εικ. 6 ) δέχεται τρείς δυνάµεις: το βάρος του Β, τη δύναµη F 1 και τη δύναµη F 2 (περίπτωση πολύ συνηθισµένη στη Γη ). F 1 Σ F 2 Β εικ. 6

12 Αν αυτό το σώµα αφεθεί ελεύθερο δεν φαίνεται απίθανο να κινηθεί όπως «δείχνει» η µεγαλύτερη σε µέτρο δύναµη F 1. Φαίνεται όµως πολύ πιθανό να «ακούσει» κυρίως τη µεγαλύτερη δύναµη, χωρίς όµως ν` αγνοήσει και τις µικρότερες δυνάµεις F 2 και Β, τόσο ως προς το µέτρο όσο και ως προς τη διεύθυνση και τη φορά, µε συνέπεια να κινηθεί µε τρόπο που δεν είναι εύκολα προβλέψιµος. Εποµένως είναι φανερή η ανάγκη να βρεθεί µια µέθοδος ώστε σώµατα όπως το Σ που δέχεται τρείς δυνάµεις (αλλά και άλλα που δέχονται περισσότερες ) να ανάγονται σε περίπτωση όπως αυτή του σώµατος Σ. Να φαίνεται, δηλαδή, ότι δέχονται, αντί για πολλές, µία, µόνο, δύναµη Fολ (εικ. 7), Fολ Σ εικ. 7 αυτή που ονοµάσαµε συνισταµένη, οπότε θα «ακούσει» κατ` ανάγκην αυτή τη µία και µοναδική δύναµη και θα κινηθεί µε τρόπο που είναι εύκολα προβλέψιµος. Αυτή είναι µια, περισσότερο πρακτική, ανάγκη εισαγωγής της έννοιας της συνισταµένης.

13 5. Πειραµατικός προσδιορισµός της συνισταµένης δύο συγγραµικών δυνάµεων Στο βιβλίο της Γ Γυµνασίου γίνεται στην αρχή µια προσπάθεια πειραµατικού προσδιορισµού της συνισταµένης µέσω ενός παραδείγµατος όπου τα µέλη µιάς οµάδας τραβούν ένα αµαξάκι προς τη µία κατεύθυνση ενώ τα µέλη µιάς άλλης οµάδας προς την αντίθετη. Το παράδειγµα είναι αρκετά καλό για µια πρώτη προσέγγιση παρ` όλο που προηγείται της έννοιας της συνισταµένης που αναφέρεται αρκετά παρακάτω. Τα συµπεράσµατα όµως : «εάν δύο δυνάµεις µε µέτρα F 1 και F 2 έχουν την ίδια διεύθυνση και φορά η συνισταµένη τους έχει τη διεύθυνση και τη φορά των δυνάµεων και µέτρο : F ολ = F 1 + F 2, ενώ αν έχουν αντίθετη φορά η συνισταµένη τους έχει τη φορά της µεγαλύτερης και µέτρο : F ολ = F 1 - F 2» δεν προκύπτουν από κανένα πείραµα. Στο βιβλίο της Α Λυκείου αναφέρεται στην αρχή: «Επειδή η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος, οι δυνάµεις προστίθενται διανυσµατικά». Προτείνεται όµως και πειραµατική δραστηριότητα για τον υπολογισµό της συνισταµένης.

14 Α. όταν οι δύο δυνάµεις είναι αντίρροπες (εικ. 8) «Αναρτήστε από τις θηλιές Α και Γ δύο βαρίδια µε βάρη 0,5Ν και 1,5Ν... Μετρήστε το µήκος του ελατηρίου. (εικ. 8α) F δ F 2 Ο F 1 Γ Α 1,5Ν 0,5Ν εικ. 8α Αφαιρέστε τα βαρίδια από τα άκρα Α και Γ και αναρτήστε στο Γ ένα βαρίδι, του οποίου το βάρος είναι ίσο µε τη διαφορά των δύο βαριδίων δηλαδή 1Ν. Μετρήστε πάλι το µήκος του ελατηρίου. (εικ. 8β) F 2 -F 1 Ο F δ Γ 1 Ν εικ. 8β Προκαλείται και στην περίπτωση αυτή η ίδια επιµήκυνση του ελατηρίου;

15 Ποια σχέση συνδέει τις δυνάµεις F, F 2, F 1 ;» και στη συνέχεια: «από την παραπάνω δραστηριότητα προκύπτει ότι η συνισταµένη δύο δυνάµεων που έχουν αντίθετη κατεύθυνση έχει τιµή ίση µε τη διαφορά των τιµών των δυνάµεων και κατεύθυνση αυτή που αντιστοιχεί στη δύναµη µε τη µεγαλύτερη τιµή» Από τη δραστηριότητα όµως αυτή δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη συνισταµένη των δύο δυνάµεων, αφού η γνώση της τιµής της συνισταµένης προηγείται της δραστηριότητας. ( η δραστηριότητα αυτή θα µπορούσε να χρησιµεύσει µόνο για επαλήθευση ) Τι θα` πρεπε εποµένως να κάνουµε για να προσδιορίσουµε τη συνισταµένη δύο αντίροπων δυνάµεων; Θα` πρεπε: αντί να κρεµάσουµε στο σηµείο Γ ένα βαρίδι βάρους 1Ν, να κρεµάσουµε ένα δοχείο (εικ. 8γ) Ο δ εικ. 8γ να ρίξουµε µέσα στο δοχείο κατάλληλη ποσότητα άµµου, ώστε να επιτύχουµε η επιµήκυνση του ελατηρίου να είναι όση ήταν και προηγουµένως, όταν στα άκρα Γ και Α ήταν κρεµασµένα τα σώµατα µε βάρη 1,5Ν και 0,5Ν αντίστοιχα να µετρήσουµε µε τη βοήθεια δυναµοµέτρου το βάρος του δοχείου

16 να συγκρίνουµε το βάρος του δοχείου µε το 1Ν να επαναλάβουµε τη διαδικασία µερικές φορές µε διαφορετικές τιµές βαρών των σωµάτων που χρησιµοποιούµε Β. όταν οι δύο δυνάµεις είναι οµόρροπες (εικ. 9 ) «Πραγµατοποιείστε τη διάταξη του σχήµατος. Κρεµάστε από το άκρο του ελατηρίου δύο βαρίδια µε βάρη Β 1 =0,5Ν και Β 2 =1Ν. Μετρήστε την επιµήκυνση του ελατηρίου ( εικ. 9α ). Β 2 Β 1 Β 3 εικ. 9α εικ. 9β Αντικαταστήστε τα δύο βαρίδια µε το βαρίδι που έχει βάρος Β 3 =1,5Ν. Μετρήστε και πάλι την επιµήκυνση του ελατηρίου και συγκρίνετέ την µε την προηγούµενη ( εικ. 9β ). Τι διαπιστώνετε; Τι συµπεραίνετε;» και στη συνέχεια:

17 «από την παραπάνω δραστηριότητα προκύπτει ότι αν δυο δυνάµεις έχουν την ίδια κατεύθυνση η συνισταµένη τους έχει τιµή ίση µε το άθροισµα των τιµών των συνιστωσών δυνάµεων...» Από τη δραστηριότητα όµως αυτή δεν προκύπτει κανένα συµπέρασµα για τη συνισταµένη δύο οµόροπων δυνάµεων ( ούτε και η δραστηριότητα αυτή θα µπορούσε να χρησιµεύσει για επαλήθευση, παρόλο που πάλι φαίνεται ότι η γνώση της τιµής της συνισταµένης προηγείται της δραστηριότητας) διότι δεν υπάρχουν καν δύο δυνάµεις. Στο άκρο του ελατηρίου ασκείται µία µόνο δύναµη: αυτή από το σώµα Β 2 και εποµένως δεν έχει έννοια να µιλάµε για τη συνισταµένη της. Τι θα` πρεπε εποµένως να κάνουµε για να προσδιορίσουµε τη συνισταµένη δύο οµόροπων δυνάµεων; Θα` πρεπε: να κρεµάσουµε, µέσω των δύο τροχαλιών, στα άκρα των νηµάτων δύο σώµατα µε βάρη Β 1 και Β 2 να σηµειώσουµε τη θέση στην οποία θα φθάσει το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου (εικ. 9γ) δ F 2 F 1 Ο Γ Α Β 1 Β 2 εικ. 9γ να ξεκρεµάσουµε τα δύο σώµατα και να κρεµάσουµε στο άκρο Α του ενός νήµατος το δοχείο

18 να ρίξουµε µέσα στο δοχείο κατάλληλη ποσότητα άµµου, ώστε να επιτύχουµε η επιµήκυνση του ελατηρίου να είναι όση ήταν και προηγουµένως, όταν στα άκρα Γ και Α ήταν κρεµασµένα και τα δύο σώµατα µε βάρη Β 1 και Β 2 (εικ. 9δ) δ Ο Α εικ. 9δ να µετρήσουµε µε τη βοήθεια δυναµοµέτρου το βάρος του δοχείου να συγκρίνουµε το βάρος Β του δοχείου µε το άθροισµα των βαρών Β 1 και Β 2 να επαναλάβουµε τη διαδικασία µερικές φορές µε διαφορετικές τιµές βαρών των σωµάτων που χρησιµοποιούµε